-ocr page 1-

-ocr page 2-

% ^y ij

.4/

u - -


		\\	\'
*	1

-ocr page 3-

-
-


		.









	-


	\'

	\'	1

BIBLIOTHEEK UNIVERSITEIT UTRECHT

A06000030127595B

3012 759 5

Hf;!

-ocr page 4-

i \'

-ocr page 5-

A-l

LEERBOEK -£-^_

^CT}?^

MECHANICA,

D". F. H. JULIIJS,

Lee raar aan tip Rijks Hoogere Burgerschool te Zwolle

MET 238 FIGUREN.

Uit ds na\'atenschap\'
Dr. D. J. E. SCHRE

ZWOLLE,
W. E. J. TJEENK WILLINK.

188 8.

-ocr page 6-

-ocr page 7-



		dhr rsj^sunjv c.:::aai\' Të utrecht INHOUD.

		EERSTE AEDEKLINU. mechanica van het stoffelijk punt. Hoofdstuk I. Beweging. Snelheid. Versnelling. ülaclz. § 1. Stoffelijk punt................. 1 $ 2. Rust. Beweging................ I § 8. Eenparige beweging............... 3 § 4. Veranderlijke beweging.............. 5 § 5. Eenparig versnelde beweging............ 7 $ G. Eenparig vertraagde beweging............ 10 Hoofdstuk II. Ontbinden van bewegingen. § 7. Ontbinding van een rechtlijnige eenparige beweging..... 11 § 8. Ontbinding van een rechtlijnige eenparig versnelde en van een rechtlijnige eenparig vertraagde beweging....... 18 $ 9. Ontbinding van een willekeurige bewegiug....... 15 § 10. Deviatie................... 15 Hoofdstuk III. Massa. Kracht. 5 11. Massa.................... 22 § 12. Kracht................... 23 § 13. Samenstelling van twee krachten........... 25 § 14. Ontbinding van een kracht............. 27 § 15. Samenstelling van drie of meer krachten........ 29 5 16. Werking en terugwerking............. 32 § 17. Arbeid door een kracht verricht........... 32 § 18. Arbeidsvermogen................ 35 $ 19. Moment van een kracht ten opzichte van een as..... 42 § 20. Moment van een kracht ten opzichte van een punt..... 45 Hoofdstuk IV. Beweging van een vrü stoffelijk punt. f 21. Vrije val van ecu stoffelijk punt........... 47 $ 22. Parabolische beweging.............. 48 f 23. Eenparige cirkelvormige beweging........... 56

-ocr page 8-



		I N II O ü D.
		IV


		Blad!. § 24. Conische slinger................ 58 § 25. Enkelvoudige trillende beweging........... 62 j 26. Planetenbeweging................ 66 § 27. Aantrekkingskracht............... 68 § 28. Zwaartekracht................. 72 § 29. Evenwicht.................. 75 Hoofdstuk V. Beweging van een stoffelijk punt langs voor- geschreven lijnen § 30. Weerstanden van vaste vlakken, lijnen, punten...... 79 §31. Beweging langs een voorgeschreven rechte lijn...... 81 § 32. Eenparige beweging langs een voorgeschreven kromme lijn . . S6 § 33. Veranderlijke beweging langs een voorgeschreven kromme lijn . 88 § 34. Beweging langs een verticalen cii\'kelomtrek....... 90 § 35. Enkelvoudige slinger............... 92 TWEEDE AFDEEL1NG. statica of leek van het evenwicht VAN KHACHTEN, WEKKENDE OP EEN ABSOLUUT VAST LICHAAM. Hoofdstuk VI. Algemeene evenwichtsvergehjkingen. § 36. Absoluut vaste lichamen.............. 95 § 37. Vervanging van krachten............. 98 § 38. Vervanging van twee krachten langs onderling evenwijdige lijnen werkende.................. 102 § 39. Koppel.................. 106 § 40. Vervanging van koppels in één vlak werkende...... 108 § 41. Vervanging van koppels in onderling evenwijdige vlakken werkende. 110 § 42. Vervanging van koppels werkende in vlakken , die elkander snijden. 112 § 43. Algemeene cvenwichtsvergelijkingen voor willekeurige krachten op een lichaam werkende............ 115 Hoofdstuk VII. Werking der zwaartekracht. § 44. Vervangende van krachten, langs onderling evenwijdige lijnen werkende.................. 123 § 45, Algemeene vergelijkingen van het zwaartepunt...... 127 § 46. Zwaartepunten van meetkundige lichamen, vlakken, lijnen . . 129 § 47. Bepaling van zwaartepunten van lijnen......... 131 § 48. Bepaling Tan zwaartepunten van vlakken........ 133 § 49. Bepaling van zwaartepunten van lichamen........ 130 § 50. Regel van Guldin ............... 138 Hoofdstuk VIII. Weerstanden van vaste steunpunten. §51. Lichaam ondersteund in een punt. Stabiel, labiel en indifferent evenwicht.................. 142

-ocr page 9-



		I N 11 O ü 1). V Bladi. § 52. Toepassing op liet meten van gewichten......... 143 $ 53. Lichaam ondersteund in twee punten......... 146 § 54. Lichaam ondersteund in drie punten.......... 150 § 55. Lichaam steunend op een horizontaal vlak........ 152 § 66. Weerstanden van twee lichamen, die elkander in één punt steunen. 155 $ 57. Brugbalans.................. 15\'J § 58. Balans van Koberval............... 162 Hoofdstuk IX. Wrü\'vingsweerstand. § 59. Wrijvingscoëflicient............... 164 $ 60. Wrijvingshoek................. 167 § 61. Lichaam in twee punten ondersteund door vaste vlakken . . .171 § 62. Wrijvingscoëfticieiit en wrijvingshoek bij de beweging in gleuven. 178 § 63. Wrijving van tappen in tappaunen.......... 181 § 64. Wrijvingsrollen................. 184 § 65. Wrijvingsbalans van Hirn............. 187 § 66. Wrijving van een touw over een cilinder...... . 1SU § 67. Remtouw................... 195 § 68. Buigingsweerstanden bij kettingen en touwen....... 197 { 69. VVeerstandscoëfficient bij de draaiing van schijven, veroorzaakt door kettingen of touwen............. 201 Hoofdstuk X. Werktuigen § 70. Nuttige en schadelijke weerstand........... 203 § 71. Arbeidssnelheid. Vang van Prony.......... 206 § 72. Hefboom................... 211 § 73. Katrollen en takels............... 211 § 74. Hellend vlak................. 218 § 75. De wig................... 226 § 76. Eenparige schroef beweging............. 227 § 77. Schroef met vlakken gang............. 229 $ 78. Schroef met scherpen gang............. 233 § 79. Riem zonder eind................ 238 DERDE AFDEEUNG. dynamica of leer der beweging van EEN NWT tX EVENWICHTSTOESTAND VEBKEEBEND ABSOLUUT VAST LICHAAM. Hoofdstuk XI. Algemeene stellingen. § 80. Werking van de inwendige krachten.......... 244 § 81. Behoud van arbeidsvermogen..... ...... 246 § 82. Beginsel der virtueele verplaatsingen.......... 247 § 83. Beginsel van d\'Alembert.............. 249

-ocr page 10-



		VI I N l£ O U U. Hoofdstuk XII. Eenparige draaiende beweging van een lichaam om een vaste as. Bladz. § 84. Arbeidsvermogen van beweging van een ronddraaiend lichaam. Traagheidsmoment...............250 § 85. Traagheidsmoment, gereduceerde massa, traaghcidsstraal . .251 § 80. Eenparig draaiende beweging........... 261 § 87. Vrije assen..................264 § 88. Samengestelde conische slinger...........267 Hoofdstuk XIII. Veranderlijk draaiende beweging van een lichaam om een vaste as. § 80. Hoekvcrsnelling................270 $ 90. Het vliegwiel.................272 § 91. Samengestelde slinger..............276 § 92. Rcversiesliuger.................278 Hoofdstuk XIV. Willekeurige beweging van oen lichaam. § 93. Arbeidsvermogen vnn een lichaam..........281 § 94. Beweging van het zwaartepunt...........285 j 95. Beweging van een vrij lichaam...........287 j 96. Hollende beweging langs een hellend vlak........290 VlEltDE AFDKKLlNGr. statica beu veerkrachtige lichamen OF LEER VAN HET EVENWICHT VAN KRACHTEN OP EEN VEERKRACHTIG LICHAAM WEKKENDE. Hoofdstuk XV. Verlenging en verkorting van een prismatische stang. $ 97. Elasticiteit..................293 § 98. Elastieiteitsmodulus...............295 § 99. ElasticileitS" en vastheidsgrens...........297 Hoofdstuk XVI. Buiging. § 100. Spanningen in gebogen balken...........299 § 101. Traagheidsmomcntcn der doorsneden.........304 j 102. Berekening van de grootste spanning.........306 § 103 Elastische lijn........\'.........311 VIJFDE AFDEELING. dynamica dek elastische lichamen. Hoofdstuk XVII. De theorie der botsing. § 104. Rechte centrale stoot..............316 § 105. Bepaling van den restitutie-coótlicient c........320 § 106. ünveerkrachtige stoot..............323

-ocr page 11-



		TN HOUD. VIT Bladl. § 107. Veerkrachtige stoot...............328 § 108. Botsing van rondwentelende lichamen. Ballistische slinger . . 329 § 109. OntplofBngen.................838 ZESDE AFDEELING. statica der vloeibare lichamen. Hoofdstuk XVIII. Evenwiehtstoestand van een vloeibaar lichaam onder de werking van uitwendige drukkraehten § 110. Onderscheid tusschcn vaste en vloeibare lichamen.....337 { 111. Drukkraehten werkende op een vloeibaar lichaam.....338 § 112. Evenwicht van krachten werkende o[i een vloeibaar lichaam geheel besloten in een vat met vaste wanden en beweegbare zuigers..................340 § 113. Hydraulische pers...............343 Hoofdstuk XIX. Werking der zwaartekracht op vloeibare lichamen. § 114. Druk tegen platte vlakken............ 346 § 115. Middelpunt van drukking............. 349 § 116. Druk tegen gebogen zijvlakken........... 350 § 117- Opwanrtschc druk............... 351 § 118. Stabiliteit, van drijvende lichamen. Metaeentrum . . . . . 353 ZEVENDE AFDEELING. dynamica der vloeibare lichamen. Hoofdstuk XX. TJitvloeiing van water. § 119. Uitvloeiingssnelheid............... 359 § 120. Hoeveelheid uitstroomend water........... 363 § 121. Uitvloeiingstijd................ 365 § 122. Snelheidscoëfficient, contractiecoëtlicient, uitvloeiingscoèfficient . 867

-ocr page 12-

VERBETERINGEN.

Bladz. 5, 6^e regel v. b. staat: v, moet zijn: c.

» 30, fig. 42. boogje hoek (9, moet doorgetrokken

woi\'den tot aan de lijn O Y.
» 33, 9^e regel v. b. staat: Q, moet zijn: K.


»	54,	46"		v. b.	»	44,4, moet zijn: 44.3.
»	62,	9«		v. b.	»	75, moet zijn: 225.
»	74,	6°		v. b.	»	K₀, moet zijn: k_B.
»	85,	7"	K =	V. 0. Qtga	»	K=tgu, moet zijn:
»	304,	1\'	regel	V. 0.	staat:	¹ ~ 42 ^oti 42 \'

moet zijn: T= -^- of 2 = .

356, 7^l\' regel v. b. staat: ji, moet zijn: ^J.

-ocr page 13-





		EEESTE AFDEELING. MECHANICA VAN HET STOFFELIJK PUNT.

		HOOFDSTUK I. Beweging. Snelheid. Versnelling. § 1. Stoffelijk punt. Onder een stoffelijk punt verstaat men een lichaam van zoo kleine afmetingen, dat de plaats die het inneemt als een meetkundig punt mag worden beschouwd. Ook dan mag een lichaam als een stoffelijk punt worden beschouwd, als het onnoodig wordt geoordeeld de plaats, die eenig deel van het lichaam inneemt, te onderscheiden van de plaats, die door een ander deel van het lichaam wordt ingenomen. Zoo worden gewoonlijk bij de bepaling der banen, doorloopen door een afgeschoten kogel of door de aarde bij haar beweging om de zon, de kogel en de aarde als stoffelijke punten behandeld. § 2. Rust. Beweging. Indien de afstand van twee stoffelijke punten P en Q geen verandering ondergaat, dan zegt men dat P en Q ten opzichte van elkander in rust zijn. Ondergaat die afstand een verandering, dan zegt men dat P en Q ziéh ten opzichte van elkander bewegen. Gewoonlijk beschouwt men slechts één dier bewegingen, bijv. die van P ten opzichte van Q. Indien een punt P zich beweegt ten opzichte van eenige punten Q, R, S enz., welke ten opzichte van elkander in rust zijn, dan worden de punten Q, R, S enz. te zamen Dr. Jiilius, Mechanica, 1

-ocr page 14-





		2

		de omgeving van P genoemd. Men zegt dan dat P zich beweegt ten opzichte van zijn omgeving, gevormd dooi\' de punten Q, B, S enz. Als de omgeving duidelijk aangewezen is, spreekt men kortheidshalve ook wel eenvoudig van de beweging van P. Daar de plaats door het stoffelijk punt P ingenomen, als een meetkundig punt mag worden beschouwd, doorloopt P bij zijn beweging een lijn, de baan van P genoemd. Al naarmate die baan een rechte of een kromme lijn is, heet de beweging van P rechtlijnig of kromlijnig. Onder de richting der beweging van het punt P, dat zich in A bevindt, verstaat men de richting van de raaklijn in A aan de baan getrokken in den zin der beweging. Is de baan een rechte lijn A B, dan is de richting der beweging standvastig, zoolang het punt zich beweegt van A naar B; is de baan een kromme lijn, dan verandert de richting der beweging van oogenblik tot oogenblik. De lengte van het stuk der baan, door het punt P in eenig tijdsverloop afgelegd, heet de weg door P in dien tijd doorloopen. Als eenheid van lengte wordt aangenomen de meter, dat is de lengte van een staaf platina, die te Parijs wordt bewaard. Tegenwoordig wordt dikwijls, vooral in de natuurkunde, de centimeter als lengteeenheid aangenomen. Alle eenheden zijn in verband te brengen met de eenheden van lengte, tijd en massa. De eenheden van tijd en massa zullen later behandeld worden; maar nu zij reeds vermeld, dat het stel- sel van eenheden, waarbij als eenheid van lengte de centi- meter, als eenheid van tijd de seconde, en als eenheid van massa het gram aangenomen wordt, het centimeter-gram- seconde-stelsel genoemd wordt, of kortheidshalve het CGS-stelsel. De lengteeenheid in het CGS-stelsel is het honderdste deel van de in dit leerboek gebruikte. Tot grondslag voor de tijdmeting dient de draaiing der aarde om haar as. Men neemt aan dat onderling gelijke tijdsverloopen die zijn, waarin de aarde onderling gelijke hoeken om haar as draait. Het meten van tijdsverloopen op dezen grondslag geschiedt met behulp van slingeruur- werken. Het is de zaak der sterrenkundigen te onderzoeken, of de aanwijzingen dier uurwerken juist zyn.

-ocr page 15-



		3

		Als eenheid van tijdsverloop wordt de seconde aangenomen. Naar de wegen in achtereenvolgende tijdsverloopen afge- legd, worden de bewegingen onderscheiden in eenparige en veranderlijke. § 3. Eenparige beweging. Men zegt dat een punt een eenparige beweging heeft, indien het in onderling gelijke tijdsverloopen, hoe klein ook genomen, onderling gelijke wegen aflegt. De snelheid van een punt met eenparige beweging wordt bepaald door den weg, dien het in zekeren tijd aflegt. Zij wordt evenredig gesteld met den weg per seconde doorloopen. a Is s het aantal meters in t seconden doorloopen, dan is meters de weg per seconde afgelegd; is v het aantal snel- heidseenheden, dan heeft men:

		Neemt men als eenheid van snelheid aan de snelheid, welke een punt met eenparige beweging heeft, dat in één seconde een weg van één meter doorloopt, dan wordt " = 1 en g v = eenheden of s = vt meters. T Het aantal snelheidseenheden van de snelheid is dus gelijk aan het aantal meters per seconde afgelegd. Het aantal meters van den in t seconden doorloopen weg is gelijk aan het product van het aantal snelheidseenheden en het aantal seconden. In het CGS-stelsel is de eenheid van snelheid, de snel- heid van een punt met eenparige beweging, dat in een seconde een weg van één centimer doorloopt. De snelheidseenheid CGS-stelsel is dus het honderdste gedeelte van de in dit leerboek gebruikte. Onder de richting der snelheid van een punt P, dat zich in A bevindt, verstaat men de richting van de raaklijn in A aan de baan getrokken in den zin der beweging. Een eenparige beweging kan zijn rechtlijnig of kromlijnig. Is de baan een rechte lijn, dan is de richting der snelheid 1*

-ocr page 16-



		4

		standvastig. Is de baan een kromme lijn, dan verandert de richting der snelheid van oogenblik tot oogenblik. Om in een beperkte ruimte figuren te kunnen teekenen, is men gewoon een lengte van een meter voor te stellen door een lijn van zoodanige lengte, dat de afmetingen der figuur de gewenschte grootte verkrijgen. In een en dezelfde figuur moet een meter steeds door een lijn van dezelfde lengte worden voorgesteld; in verschillende figuren kan de voor meter aangenomen lengte een verschillende zijn. Voortaan zal in elke figuur een meter voorgesteld worden door een lijn van zoodanige lengte als voor die figuur het meest ge- schikt is. Wordt dan aan een lijn in de figuur een lengte van s meters toegekend, dan is de werkelijke lengte dier lijn s maal zoo groot als die van de als meter aangenomen lijn. Daar de snelheid van een punt P is bepaald door haar grootte en richting, kan zij door een rechte lijn volledig worden voorgesteld. Men maakt de lijn zooveel meters lang als de snelheid snelheidseenheden heeft, terwijl de richting der lijn de richting der snelheid aangeeft. Wanneer een punt P een eenparige beweging heeft langs den omtrek van een cirkel, dan spreekt men ook wel van de hoeksnelheid van P. De lijn, die het punt P verbindt met het middelpunt van den cirkel, heet de voerstraal van P. De hoeksnelheid van een punt met eenparige cirkelvormige beweging wordt bepaald door den hoek, dien de voerstraal in zekeren tijd doorloopt. Zij wordt evenredig gesteld met den hoek per seconde doorloopen. Als eenheid van hoeksnelheid wordt aangenomen de hoek- snelheid van een punt met eenparige cirkelvormige beweging, welks voerstraal in een seconde de hoekeenheid doorloopt. Als eenheid van hoek wordt aangenomen de radiaal, dat is de hoek, welks booglengte gelijk is aan dep straal. Daar een hoek van 360° een booglengte heeft van 2 n r meters, zal een hoek van _ een booglengte hebben van r meters. *i Tl* Een radiaal is dus een hoek van 57° 17\' 45". Heeft een punt een eenparige cirkelvormige beweging met de hoeksnelheid w eenheden, en is de hoek door den voer- straal in t seconden doorloopen « radialen, dan heeft men « = ui t.

-ocr page 17-



		5

		In tegenstelling met de hoeksnelheid spreekt men van de lijnsnelheid van een punt. Er bestaat een eenvoudige be- trekking tusschen de hoeksnelheid en de lijnsnelheid van een punt. Is de hoeksnelheid van een punt 10 eenheden, de lijnsnel- heid C eenheden, en is de straal van den cirkel r meters lang, dan heeft men: c = r u>. § 4. Veranderlijke beweging. Een punt heeft een veranderlijke beweging, indien het in onderling gelijke tijdsverloopen onderling ongelijke wegen aflegt. Een veranderlijke beweging kan zijn rechtlijnig of kromlijnig. Onder de gemiddelde snelheid van een punt P gedurende eenig tijdsverloop, verstaat men de snelheid, die een punt met eenparige beweging zou moeten hebben, om in datzelfde tijdsverloop een even grooten weg af te leggen als P. Is een punt P met veranderlijke beweging op den tijd t in A, en doorloopt het in de eerstvolgende ft seconden een weg van s meters, dan is zijn gemiddelde snelheid w= -r eenheden. De grootte dier gemiddelde snelheid zal V veranderen met den duur van het tijdsverloop ft. Neemt men dit tijdsverloop kleiner en kleiner, en laat men het tot nul naderen, dan nadert de gemiddelde snelheid tot een be- paalde grenswaarde. Deze grenswaarde is de gemiddelde snelheid van P gedurende het oneindig kleine tijdsverloop volgende op den tijd t, of wel, de snelheid van het punt P met veranderlijke beweging op den tijd t. Indien op ieder oogenblik de plaats van het punt kan worden bepaald, dan is de beweging van het punt volkomen bekend, en dan kan de snelheid op ieder oogenblik worden gevonden. De plaats van een punt P kan op ieder oogenblik worden bepaald, als gegeven zijn de baan van het punt, de plaats die het op eenig oogenblik inneemt, en den weg, dien het sedert dat oogenblik in een willekeurig tijdsverloop aflegt. Laat bijv. de baan een rechte lijn z\\jn en het punt zich op eenig oogenblik in A bevinden.

-ocr page 18-



		()

		De weg s, in t seconden volgende op dat oogenblik afge- legd , kan worden gegeven door een vergelijking, bewegings- vergelijking genoemd , welke een betrekking aangeeft tusschen ,s\' en t Zij bijv. gegeven s = pt\'¹, en zij het punt op den tijd nul in A, dan is het punt na t seconden in B, op een af- stand j^\' nieters van A verwijderd. Om nu de snelheid van het punt op den tijd t te vinden, bepaalt men de gemiddelde snelheid gedurende het tijdsverloop 9 seconden, volgende op den tijd t. In de t -f- 9 eerste seconden is de afgelegde weg 8, = p (t -f- ï>)²; in de t eerste seconden s = pt-. In de & seconden, volgende op den tijd t, is dus de afgelegde weg: l=s_l s = 2 pt -\\- p&, en de gemiddelde snelheid: w = = 2 pt 4- p&. Deze gemiddelde snelheid verandert met het tijdsverloop &, maar wanneer fl^- tot nul nadert, nadert de gemiddelde snelheid tot de grenswaarde 2 pt. Is dus v het aantal snel- heidseenheden op den tijd t, dan heeft men: v = 2 pt. Zij om een ander voorbeeld te nemen, de bewegingsverge- lijking: s = pt qt² rt\' en laat gevraagd worden de snelheid op den tijd t te bepalen. De weg in de t -\\- ï> eerste seconden afgelegd, is: s_t =p (t &) q(t »)^% r(t 0). De weg in de £ eerste seconden afgelegd, is: s = pt 9² r<³. De weg in O¹ seconden volgende op den tijd t afgelegd, is dan : l=_Sl s= (p 2_?< 3r<²) » (q 3 r<) »² r»^s, en de gemiddelde snelheid: w = ~ =p 2 ₉t 3 rt* (5 3 rt) & rfr².

-ocr page 19-



		7

		Laat men l> tot nul naderen, dan nadert w tot de grens- waarde p -j- 2 qt -\\- 3 r<², en de snelheid op den tijd t is dus: v = p 2qt 3 rt\\ Laat eindelijk de bewegingsvergelijking zijn: s = r sin \'2 n ,. De weg in de (t -\|- #) eerste seconden afgelegd, is: s, = r sin 2 tt W-. De weg in de t eerste seconden afgelegd, is: s = r sin 2 7r De weg in 0 seconden volgende op den tijd t afgelegd, is: sin 2 ir &------sin 2 7i ~) of J = 2 r sin 2 tt jps, cos 2 tt \' , en de gemiddelde snelheid: 2 r . _a & _a 2 * fr U) = _ sin 2 tt 2j, cos 2 tt ~~_a jy>~~ , of voor 9 oneindig klein: » = . 2 tt _tjy cos 2 rr y, = jr- cos 2 tt ^. Neemt de snelheid van een punt voortdurend toe, dan is de beweging * versneld; neemt de snelheid voortdurend af, dan is de beweging vertraagd. § 5. Eenparig versnelde beweging. Een punt heeft een eenparig versnelde beweging, wanneer het in onderling gelijke tijdsverloopen, hoe klein ook geno- men, onderling gelijke snelheidsvermeerderingen krijgt. De versnelling van een punt met eenparig versnelde bewe- ging wordt bepaald door de snelheidsvermeerdering, die het in zekeren tijd krijgt. Zij wordt evenredig gesteld aan de snelheids- vermeerdering per seconde. Neemt de snelheid in t seconden

-ocr page 20-



		8

		met q eenheden toe, en is a het aantal versnellingseenheden, dan is: a = . Als eenheid van versnelling* wordt aangenomen, de ver- snelling van een punt met eenparig versnelde beweging, welks snelheid in een seconde met de snelheidseenheid toe- neemt. Bovenstaande vergelijking verandert daardoor in: a = i of q = at. In het CGS-stelsel is de versnellingseenheid het honderdste gedeelte van de in dit leerboek aangenomene. Heeft een punt een eenparig versnelde beweging met de versnelling a eenheden, dan neemt de snelheid in t seconden met at eenheden toe. Is dus op eenig oogenblik de snel- heid c eenheden, dan is de snelheid v eenheden na t seconden: v = c -\\- at. (4) De snelheid c wordt de aanvangssnelheid genoemd, d. w. z. de snelheid bij het begin van den tijd t; de snelheid v de eindsnelheid, d. w. z. de snelheid aan het einde van den tijd t. Om den weg te bepalen, dien een punt P met eenparig versnelde beweging met de versnelling a aflegt in t secon- den, volgende op het oogenblik waarop de snelheid is C, stelt men zich een ander punt Q voor, dat een reeks van w eenparige bewegingen volbrengt, die elk seconden duren. n Op den tijd nul heeft Q dezelfde snelheid als P; telkens na seconden verandert de snelheid van Q, en wordt gelijk aan de snelheid, die P op dat oogenblik heeft. De snel- heden, waarmede Q zich beweegt in de achtereenvolgende tijdsverloopen , zijn: c, c A-a , c 2a ........c (« 1) o De wegen, door Q in deze tijdsverloopen afgelegd, zijn; d (c ai)i (c aJ)i*....... n V »/ n V w/w

-ocr page 21-




		9

		De geheel e weg, door Q in de t eerste seconden afgelegd, is de som dier wegen, en dus: _S = _C£ -\|_ ut² jr-. 2 2w Hoe grooter n wordt genomen, des te meer komt de be- weging van Q met die van P overeen, en des te kleiner at²wordt de term jy. Neemt men n oneindig groot, dan is de beweging van Q gelijk aan die van P, en voor den door P afgelegden weg verkrijgt men dan: s = cl \\al\\ (2) Als men uit de vergelijkingen (1) en (2) t elemineert, dan verkrijgt men de vergelijkingen: *\'2* 2 v = Vc* 2 as (3) en s = ^-^~ (*) Heeft dus een punt een eenparig versnelde beweging met de versnelling a eenheden, heeft het op eenig oogenblik de snelheid c eenheden, en heeft het daarna een weg s meters

		afgelegd, dan is zijn snelheid geworden V e² -j- 2 as een- heden, en omgekeerd: Heeft een punt een eenparig versnelde beweging met de versnelling a eenheden, heeft het op eenig oogenblik de snel- heid c eenheden, en heeft het na eenigen tijd de snelheid v eenheden gekregen, dan heeft het in dat tijdsverloop den _v2____ci weg ----ö----- meters afgelegd. mtt Is de aanvangssnelheid c = o, dan veranderen de verge- lijkingen in: 1 ,___ _vi v = at 8 = k at² v = VI as en s = -^-. (5) 2 2a ^N \' Is de beweging van het punt rechtlijnig eenparig ver- sneld, dan is de richting der versnelling de richting van de lijn, waarlangs zich het punt beweegt in den zin der beweging. Op soortgelijke wijze als dit voor de snelheid is verklaard, kan ook de versnelling van een punt in richting en grootte worden voorgesteld door een rechte lijn.

-ocr page 22-



		10

		§ 6. Eenparig vertraagde beweging. Een punt heeft een eenparig vertraagde beweging, wan- neer het in onderling gelijke tijdsverloopen, hoe klein ook genomen, onderling gelijke snelheidsverminderingen ondergaat. De vertraging van een punt met eenparig vertraagde be- weging wordt bepaald door de snelheidsvermindering, die het in zekeren tijd ondergaat. Zij wordt evenredig gesteld met de snelheidsvermindering per seconde. Als eenheid van vertraging wordt aangenomen de ver- traging van een punt met eenparig vertraagde beweging, welks snelheid in een seconde met de snelheidseenheid ver- mindert. In het CGS-stelsel is de vertragingseen heid het honderdste gedeelte van de in dit leerboek aangenomene. Heeft een punt een eenparig vertraagde beweging met de vertraging a eenheden, dan neemt de snelheid in t seconden met at eenheden af. Is dus op eenig oogenblik de snel- heid c eenheden, en na t seconden v eenheden, dan is: v c at. (6) Op soortgelijke wijze als hierboven voor de eenparig ver- snelde beweging is geschied, kan de weg worden berekend door het punt afgelegd in de t seconden volgende op het oogenblik, waarop de snelheid c is. Men vindt daarvoor: 8 = ct \| at². (7) Door eleminatie van t uit de vergelijkingen (6) en (7), vindt men: 2 2 v=Vc^% 2as (8) en»=-.-. (9) Heeft dus een punt een eenparig vertraagde beweging met de vertraging a eenheden. heeft het op eenig oogenblik de snelheid c eenheden, en heeft het daarna een weg s meters afgelegd , dan is zijn snelheid geworden Vc^l 2 as eenheden, en omgekeerd: Heeft een punt een eenparig vertraagde beweging met de

-ocr page 23-

vertraging a eenheden, heeft het op eenig oogenblik de snel-
heid c eenheden, en heeft het na eenigen tijd de snelheid v
eenheden gekregen, dan heeft het in dat tijdsverloop den weg

c² v²

meters afgelegd.

~2o~

HOOFDSTUK II.

Ontbinden van bewegingen.

§ 7. Ontbinding van een rechtlijnige een-
pa rige beweging.

Laat een punt P zich in t seconden bewegen van A over
B naar C (fig. 1). Het zou ook in C zijn aangekomen,
indien het eerst van A naar D en daarna van D naar C
was gegaan. "Worden de bewegingen van A naar D en
van 1) naar C zoodanig gekozen, dat het punt t seconden
zou noodig hebben, zoowel om den weg A D, als om den
weg D C te doorloopen, dan noemt men de bewegingen van

A naar D en van D naar C de
ontbindingsbewegingen van de
werkelijke beweging die P heeft;
men zegt dan, dat men de werke-
lijke beweging van P gedurende
deze t seconden in twee bewe-
gingen ontbonden heeft.

De werkelijke beweging van P
kan op een oneindig aantal wijzen
in twee bewegingen worden ont-
bonden.
Heeft een punt P een rechtlijnige eenparige beweging,
dan kan men voor elk willekeurig tijdsverloop de beweging
van P ontbinden in twee eenparige bewegingen langs ver-
schillende rechte lijnen; daartoe wordt slechts vereischt, dat
de lijn, die in richting en grootte de snelheid van de werke-
lijke beweging voorstelt, de diagonaal is van het parallelo-
gram, beschreven op de lijnen, welke in richting en grootte

-ocr page 24-



		12

		de snelheden der ontbindingsbewegingen voorstellen, en wel de diagonaal, waarvoor deze lijnen de omliggende zijden zijn. Om dit te bewijzen wordt aangenomen, dat het punt P een rechtlijnige eenparige beweging heeft met een snelheid in richting en grootte voorgesteld door de lijn A B (fig. 2). Na 1 seconde zal P dan in B gekomen zijn. Zij verder

		figuur A B C D een parallelogram. In t seconden zal P in E komen , als A E = t. A B. Indien P eerst gedurende t seconden een rechtlijnige eenparige beweging gehad had met een snelheid, voorgesteld door de lijn A C, dan zou het na t seconden in F gekomen zijn, als A F = t. A C. Verkreeg P daarna gedurende t seconden een rechtlijnige eenparige beweging met een snelheid, in richting en grootte voorgesteld door de lijn A D, dan kan de plaats G, waar P zou aankomen, gevonden worden door uit F een lijn te trekken, evenwijdig aan A D, en daarop te nemen een stuk FO = t. AD. De driehoeken AFG en A C B zijn gelijkvormig, daar / A CB = l A FG en ^\| = ££. Hieruit volgt /_B AC= / GAF; de lijnen G A en B A vallen dus langs elkander, en het punt G ligt op de lijn A B. Daar verder -j., = -r-~* en A F = t. A C, ^J A F AC zoo is A G = t. A B. Het punt G valt dus samen met E.

-ocr page 25-



		13

		Men kan op geheel dezelfde wijze aantoonen dat het punt P eveneens in E zal aankomen, als men het eerst ge- durende t seconden zich laat bewegen met de snelheid voor- gesteld door de lijn AD, en daarna, van de plaats uit waar het zou gekomen zijn, wederom gedurende t seconden met de snelheid voorgesteld door de lijn A C. § 8. Ontbinding van een rechtlijnige eenparig versnelde en van een rechtlijnige eenparig ver- traagde beweging. Indien een punt P een eenparig versnelde beweging met de versnelling a eenheden heeft langs de lijn A B van A naar B, indien het zich op eenig oogenblik in A bevindt en de snelheid c eenheden heeft, dan kan voor een wille- keurig tijdsverloop de beweging van P worden ontbonden in twee bewegingen langs de lijn AB van A naar B, waarvan de een eenparig is met de snelheid c eenheden, en de ander eenparig versneld met de versnelling a een- heden en de aanvangssnelheid nul. Indien een punt P een eenparig vertraagde beweging met de vertraging a eenheden heeft langs de lijn AB van A naar B, indien het zich op eenig oogenblik in A bevindt en de snelheid c eenheden heeft, dan kan voor een wille- keurig tijdsverloop de beweging van P worden ontbonden in een eenparige beweging langs de lijn A B van A naar B met de snelheid c eenheden, en in een eenparig versnelde langs de lijn A B van B naar A, met de versnelling a een- heden en de aanvangssnelheid nul. Indien een punt P een rechtlijnige eenparig versnelde beweging heeft met een aanvangssnelheid nul, dan kan zijn beweging voor een willekeurig tijdsverloop ontbonden worden in twee eenparig versnelde bewegingen met aanvangssnel- heden nul langs verschillende rechte lijnen; daartoe wordt slechts vereischt, dat de lijn, die in richting en grootte de versnelling van de werkelijke beweging voorstelt, de diago- naal is van het parallelogram , beschreven op de lijnen, welke in richting en grootte de versnellingen der ontbindingsbewe-

-ocr page 26-



		14

		gingen voorstellen, en wel de diagonaal, waarvoor deze lijnen de omliggende zijden zijn. Om dit te bewijzen wordt aangenomen, dat het punt P een rechtlijnige eenparig versnelde beweging heeft met de aanvangssnelheid nul en een versnelling in richting en grootte voorgesteld door de lijn AB (lig. 3). Zij figuur ABCD

		een parallelogram. Als P op den tijd nul zich in A be- vindt, dan zal het op den tijd t seconden aangekomen zijn in E, als AE=)_lt\'¹.AB. Indien P eerst gedurende t seconden een rechtlijnige eenparig versnelde beweging ge- had had met de aanvangssnelheid nul en met een versnelling voorgesteld door de lijn A C, dan zou het na t seconden in F gekomen zijn, als A F ^ t² . A C. Verkreeg P daarna gedurende t seconden een rechtlijnige eenparig ver- snelde beweging met de aanvangssnelheid nul en een ver- snelling voorgesteld door de lijn AD, dan kan de plaats G, waar P zou aankomen, gevonden worden door uit F een lijn te trekken evenwijdig aan AD, en daarop te nemen een stuk F G = £ t\'. A D. De driehoeken AFG en ACB zijn gelijkvormig, daar ZACB= IAFG en ^g = yf. Hieruit volgt Z B AC= / GAF; de lijnen G A en BA vallen dus langs elkander, en het punt G ligt op de

-ocr page 27-



		15

		AG A B lijn A B. Daar verder -j^ = -j-~ en A F= l^t² . A C, zoo is AO = \\tⁱ . AB. Het punt G valt dus samen met E. § 9. Ontbinding van een willekeurige beweging. Hierboven is reeds opgemerkt, dat een beweging op tal- looze wijzen in twee andere kan worden ontbonden. De volgende wijze van ontbinding wordt meermalen toegepast. Laat P (fig. 4) op den tijd t seconden in A zijn en een snelheid e eenheden hebben, die in richting en grootte door A B wordt voorgesteld; de lijn A B is dan raak lijn aan de baan in A. Laat P dt seconden later in C zijn aangekomen. De beweging van P gedurende deze 9 se- conden kan dan ontbonden worden in een eenparige langs de lijn A B met de snelheid c eenheden, zoodat P na (f seconden in D komt als A D = c O meters, en in een rechtlijnige eenparig versnelde beweging met de aan- vangssnelheid nul langs de lijn D C, zoodat P in & secon- den van D naar C komt. De grootte van de versnelling dezer beweging kan worden berekend uit de lengte der lijn CD. Gewoonlijk bepaalt men de grenswaarde, waartoe deze versnelling nadert, wanneer 9 kleiner en kleiner wordt ge- nomen. § 10. Deviatie. De bewegingstoestand van een punt wordt bepaald door de richting en de grootte van zijn snelheid. Indien grootte en richting der snelheid voortdurend dezelfde blijven, dan zegt men dat de bewegingstoestand van het punt niet ver- andert. Ondergaat een van beide of beide een wijziging, dan zegt men dat de bewegingstoestand verandert.

-ocr page 28-



		16

		Laat het punt P (fig. 5) zich op den tijd t seconden in A bevinden en een snelheid hebben van c eenheden, welke in richting en Futö ______-b grootte wordt voorgesteld door de lijn A B. In- dien de bewe- gingstoestand van P niet veran- derde nadat het in A is gekomen, dan zou het 9 seconden later in C zijn, als AC c O meters. Zoo nu P zich na 9 seconden werkelijk in D bevindt, dan noemt men de lijn CD de deviatie, die P ondergaat in de 9 seconden, volgende op den tijd t. Zooals hierboven reeds is opgemerkt, kan de werkelijke beweging van P ontbonden worden in een eenparige langs de lijn A B met de snelheid c eenheden, en in een recht- lijnige eenparig versnelde met de aanvangssnelheid nul, die P in 9 seconden van C naar D brengt. De grenswaarde van de versnelling dezer laatste beweging, als 9 kleiner en kleiner wordt genomen, noemt men de deviatieversnelling van P in A. Indien de beweging van een punt volkomen bekend is, dan kan men op ieder oogenblik zijn deviatieversnelling bepalen. Laat, om een voorbeeld te ne- men, het punt P een eenparige beweging hebben met een snel- heid c eenheden langs den omtrek van een cirkel met een straal r meters. Laat P zich op den tijd t secon- den bevinden in A (fig. 6) en \'> se- conden later in B, dan is boog AB = e 9 meters. Indien de be- wegingstoestand van P niet ver- anderde, zou PnaO seconden aangekomen zijn in C, als A C = c 9 meters. Daar P na 9 seconden werkelijk in B is gekomen, is CB de deviatie, die P in deze ff seconden heeft ondergaan.

-ocr page 29-



		17

		Legt P den weg CB af met een eenparig versnelde beweging metdeaanvangssnelheid nul en de versnelling «eenheden, dan is: CB = i «O². Om de grenswaarde te bepalen waartoe a nadert, als O kleiner en kleiner wordt genomen, laat men uit B een A D loodlijn B D neer op de middellijn A M. Nu is yrö = cos CFA. Hoe kleiner 9 genomen wordt, des te dichter valt B bij A en des te kleiner wordt / CFA. Bij het onbe- paald afnemen van 0\', nadert cos CFA tot de eenheid en aan de grens is dus A D = C B. Volgens een bekende meetkundige stelling, is de koorde A B middenevenredige tusschen de middellijn en haar pro- jectie A D op de middellijn. Is qi het aantal radialen van / BMA. dan is koorde AB = 2rs\\n^<p en boog AB = ry. Bij liet kleiner worden van O wordt ook qp kleiner, en daar voor zeer kleine hoeken sin L qp = 4 <ji is, zoo nadert de koorde tot de grens rq>. Aan de grens is dus koorde A B = boog A B = c0\'. Daar dan tevens AD= CB= 2«tf", heeft men: of c² = ar c¹en dus a = . (10) De hoek CFA, dien de lijn CB maakt met de lijn AM, is des te kleiner, naarmate 9 kleiner is. De grens- richting van CB is dus de richting van AM. Heeft een punt P een eenparige beweging met de snel- heid c eenheden langs den omtrek van een cirkel, welks straal r meter lang is, dan heeft zijn deviatieversnelling de C" grootte eenheden, en op ieder oogenblik de richting van den straal naar het middelpunt toe. De deviatiever- snelling heeft dus standvastige grootte, maar veranderlijke richting. Ook dan wanneer een punt P een rechtlijnige beweging heeft, spreekt men van zijn deviatie. In dat geval kan men de deviatieversnelling eenvoudiger op de volgende wijze vinden. Dr. Jumiis, Mechanica. 52

-ocr page 30-



		18

		Onder de gemiddelde versnelling van een punt P met rechtlijnige beweging gedurende eenig tijdsverloop, verstaat men de versnelling, die een punt met eenparig versnelde beweging zou moeten hebben, opdat zijn snelheid in dat- zelfde tijdsverloop met hetzelfde bedrag zou toenemen als die van P. Is een punt P met rechtlijnige niet eenparig versnelde beweging op den tijd t seconden in A, en neemt zijn snel- heid in de eerstvolgende 9 seconden toe met c eenheden, Q dan is zijn gemiddelde versnelling d = eenheden. De grootte dier gemiddelde versnelling zal veranderen met den duur van het tijdsverloop 9. De grenswaarde waartoe de gemiddelde versnelling nadert, als het tijdsverloop (ï kleiner en kleiner wordt, noemt men de versnelling op den tijd t; zij is gelijk aan de deviatieversnelling van P in A. Ge- durende een oneindig klein tijdsverloop toch, kan de ver- snelling slechts een oneindig kleine verandering ondergaan, en de beweging mag voor dit tijdsverloop als eenparig ver- sneld worden beschouwd. Als voorbeelden zullen behandeld worden de drie vroeger in § 4 behandelde bewegingsvergelijkingen, en de daaruit gevonden snelheden op den tijd t. 1. s = pt* v = Ipt. De snelheid op den tijd t -f- & seconden is: *tY=2p( »).** De snelheid op den tijd t seconden is: v = 2 pt. De snelheidsvermeerdering in de O seconden volgende op den tijd t is dus: c = v, v = 2 p\'& en de gemiddelde versnelling r ^d= -J- Sj». De gemiddelde versnelling is onafhankelijk van het tijdsver- loop ft, en de deviatieversnelling heeft dus standvastige grootte. *2. s = pt qt rt³ v=p -2 2* 4 ³ ^²-**

-ocr page 31-

De snelheid op den tijd t -{- 9 seconden is:

De snelheid op den tijd t seconden is:
v=p -\\- 2_?< 3rt²,
waaruit volgt:

c = e, v = (2 q 6 rt) & 3 r»²

d= ^=<2q Qrt-\\-3rfr.

Voor ï> : O wordt de deviatieversnelling dus:
a=1 q -\\- & rt.

3. s = r sin 2 7r ^, v = cos 2 7r .

De snelheid op den tijd t -f- O seconden is:

l>, = -y- COS 2 TT W- ,

die op den tijd t seconden:

2nr _ *
-j7-cos 2 7T ^

waaruit:

c =

1nr( _ t & _a t\\

V_x ---- V = -=-l COS 2 71 ^{f=---------COS 2 TT ;~ I

k-ar . _n 2t !> . &
of c =------- sin 2 TT y ^Sln ^w f\'

« = # =-----j^: sin 2 tt g-L, sin tc _?.

Voor oneindig kleine waarde van & wordt dan de deviatie-
versnelling:

inr 0- . _n t in²r . _ t
a =-----yj, .7i ysin 2tt y=-------^j-sin 2 tt ^,

of hierin substitueerende s = r sin 2 tt =,

471*

Is de beweging van een punt P bekend, dan kan men
door berekening op ieder oogenblik de deviatieversnelling in

.)*

-ocr page 32-



		20

		richting en grootte bepalen. Omgekeerd kan men de be- weging van P vinden, als zijn bewegingstoestand op eenig oogenblik, en zijn deviatieversnelling van oogenblik tot oogen- blik bekend zijn. Laat een punt P dat zich in A (fig. 7) bevindt, een snelheid u eenheden hebben voorgesteld door de lijn A B; laat zijn standvastige deviatieversnelling a eenheden be-

		Fiff.7.

		vwsin. a.

		X

		dragen en de richting AX hebben; laat eindelijk « de hoek zijn, dien AB maakt met AX. Daar de deviatieversnelling standvastig is in grootte en richting, kan de beweging van P voor een willekeurig tijdsverloop ontbonden worden in een eenparige beweging langs de lijn A B met de snelheid u eenheden, en in een eenparig versnelde langs de lijn AX met de aanvangssnelheid nul en de versnelling a eenheden. De eenparige beweging kan wederom ontbonden worden in twee eenparige bewegingen, een langs de lijn AX met de snelheid c = u cos « eenheden, en een langs de lijn A Y met de snelheid v = u sin « eenheden. Daar de eenparig versnelde beweging en de eene ontbondene van de eenparige beweging in dezelfde richting plaats hebben, kan men deze twee ontbindingsbewegingen tot één samenvoegen, en wel

-ocr page 33-



		24

		tot een eenparig versnelde beweging, langs de lijn AX, met de aanvangssnelheid c eenheden en de versnelling « eenheden. Is het punt op den tijd nul in A, dan kan de plaats D, waar het zich t seconden later bevindt, gevonden worden, door eerst den weg A C = x = et -\\- \\ at\'¹ op de lijn AX af te zetten, daarna uit C een lijn evenwijdig aan AY te trekken, en daarop af te zetten een stuk CD = y = vt. Is P in D aangekomen, dan is de snelheid van zijn ontbindingsbeweging in de richting AX w_t = c -f- at, en die van zijn ontbindingsbevveging in de richting A Y W₉ = V. Zijn werkelijke snelheid is derhalve w = VioJ¹ -f- »\'_y², en de hoek (i, dien de richting der snelheid w met A X maakt. tv kan gevonden worden uit de vergelijking tg ft = . De vier vergelijkingen: x = ct-\\-^at^ï y = vt w_j: = c-\\-at w_y = v (11) zijn dus voldoende om op ieder willekeurig oogenblik de plaats en de grootte en lichting der snelheid van P te vinden. Door t uit de twee eerste vergelijkingen (11) te elemi- neeren, verkrijgt men de vergelijking: waaruit men voor een willekeurige waarde van y de bij- behoorende waarde van x kan vinden. Uit deze vergelijking kan men vinden het geheel der plaatsen, die het punt P bij zijn beweging kan innemen, derhalve de baan van P. Deze baan is een kromme lijn, parabool genoemd (fig. 8). Men kan zich voorstellen dat de beweging, die P in A heeft, de voortzetting is van een vroegere beweging. De vergelijkingen (11) gelden ook voor die vroegere beweging; t moet dan echter negatief worden, d. w. z. die vergelijkingen hebben dan betrekking op den tijd t seconden vóór den tijd nul, toen P in A was. Stelt men in de derde der vergelijkingen (11) ui^= o, dan wordt: c 4- at = o of i =------, \' a

-ocr page 34-



		22

		f* dat is, - seconden vóór den tijd waarop P in A was, had et de snelheid der ontbindingsbeweging van P in de richting A X de grootte nul, en was dus de snelheid v der ont- bindingsbeweging langs A Y de werkelijke snelheid van P.

		De plaats T waar P zich dan bevindt, heet de top van den parabool, en de lijn, die door den top evenwijdig aan AX wordt getrokken, de as der parabool. De vergelijking (12) wordt dan: ca = 5j- y², uit welke vergelijking de baan van P op eenvoudige wijze kan worden geconstrueerd.

		HOOFDSTUK III. Massa. Kracht. § 14. Massa. Newton stelde de hypothese, dat twee stoffelyke punten P en Q op elkander een invloed uitoefenen, tengevolge waarvan zij zich bewegen, en dat de grootte der deviatie-

-ocr page 35-



		*/£\'\'£\'\' &stsVés&-* versnelling van P, evenals die van Q, omgekeerd evenredig is aan het kwadraat van den afstand van P en $. Uit omstandigheden, die hier niet nader kunnen verklaard wor- den, is gebleken dat de deviatieversnelling, die een punt P onder den invloed van een punt Q verkrijgt, niet allee.a_yiin den afstand dier punten afhangt. Dïï heeft geleid tot de invoering van het begrip massa of hoeveelheid stof van een stoffelijk punt. Men stelt de massa van een stoffelijk punt P evenredig aan de grootte der deviatieversnelling, die een willekeurig punt Q onder zijn invloed verkrijgt, en evenredig aan het kwadraat van den afstand van P tot Q. Hiervan uitgaande, kunnen de sterrekundigen de massa\'s der hemellichamen vergelijken. Tot nog toe is het niet mogelijk de massa\'s van twee willekeurige lichamen op aarde te vergelijken door hun invloed op andere lichamen na te gaan. Men volgt een minder rechtstreeksche methode, waarbij men gebruik maakt van de balans. Het meten van massa\'s volgens deze methode berust daarop, dat de massa\'s van twee lichamen zich verhouden als hun gewichten. Als eenheid van massa wordt aan- genomen het kilogram, dat is de massa van een stuk platina dat te Parijs wordt bewaard. In het CGSstelsel wordt als eenheid van massa aan- genomen het gram; deze eenheid van massa is het dui- zendste gedeelte van de in dit leerboek aangenomene. § 12. Kracht. Wanneer de bewegingstoestand van een punt verandert, dan schrijft men die verandering toe aan een oorzaak; men zegt, dat op het punt een kracht werkt. Indien een punt in rust is of een rechtlijnige eenparige beweging heeft, dan werkt er dus geen kracht op; omge- keerd, indien op een punt geen kracht werkt, dan is het punt in rust of het heeft een rechtlijnige eenparige beweging. Is de beweging van het punt kromlijnig of rechtlijnig ver- anderlijk, dan werkt er een kracht op. Men kent aan een kracht toe richting en grootte. Indien een punt P dat oorspronkelijk in rust is, een rechtlijnige

-ocr page 36-



		24

		beweging van A naar B verkrijgt, dan zegt men dat er een kracht op werkt van standvastige richting. Onder de rich- ting der kracht verstaat men dan de richting, waarin P zich gaat bewegen. Men zegt dat de kracht langs de lijn A B werkt. Krijgt het punt P bovendien een eenparig versnelde beweging, ondergaat dus zijn snelheid in onderling gelijke tijdsverloopen onderling gelijke vermeerderingen, dan kent men aan de kracht ook een standvastige grootte toe. De grootte van de kracht, die aan een punt P, dat oor- spronkelijk in rust is, een rechtlijnige eenparig versnelde beweging geeft, wordt bepaald door de massa van P en door de versnelling van P. Zij wordt evenredig gesteld met die masssa en met die versnelling. Is de beweging van P rechtlijnig niet eenparig versneld, dan werkt op P een kracht van standvastige richting, maar veranderlijke grootte. Krijgt P een kromlijnige beweging, dan werkt er een kracht op, waarvan in het algemeen zoowel de grootte als de richting van oogenblik tot oogenblik verandert. Heeft een punt P een willekeurige beweging, en bevindt het zich op eenig oogenblik in A, dan wordt de kracht die op P werkt als het in A is, bepaald door de massa van P en door de deviatieversnelling van P in A. Onder de richting der kracht verstaat men dan de richting der de- viatieversnelling; de grootte der kracht wordt evenredig ge- steld met de massa van P en met de grootte der deviatie- versnelling. Heeft P een massa van m kilogram, en is zijn deviatie- versnelling als liet in A is, a eenheden, dan is het aantal krachtseenheden K van de kracht, die in A op P werkt: K = fam. Als eenheid van kracht wordt aangenomen de kracht, die aan een punt met de massa van één kilogram een ver- snelling geeft van één versnellingseenheid. Indien een punt een massa m kilogram, en in A een deviatieversnelling van a eenheden heeft, dan werkt er in A een kracht van K krachteen heden op, als: K = am. Deze krachtseenheid wordt de dynamische krachtseenheid genoemd.

-ocr page 37-



		25

		In de practijk wordt veel gebruik gemaakt van een andere krachtseenheid , het gewicht van een kilogram. Ten onrechte wordt deze krachtseenheid gewoonlijk kilogram genoemd. In dit leerboek zal zij in tegenstelling met de dynamische, de statische krachtseenheid genoemd worden. Zooals later zal worden aangetoond, is de statische krachtseenheid 9.812 maal zoo groot als de dynamische. In het CGS-stelsel is de krachtseenheid de kracht, die aan de massa van één gram de versnellingseenheid geeft. Daar de eenheid van massa het duizendste en de eenheid van ver- snelling het honderdste gedeelte is van de hierboven gekozen eenheden, zoo is de krachtseenheid in het CGS-stelsel, dy- naain geheeten, het honderdduizendste gedeelte van de dy- namische krachtseenheid. De dynaarn is dus het 981200⁸\'⁰gedeelte van de statische krachtseenheid. Daar men aan een kracht grootte en richting toekent, kan zij door een lijn A B voorgesteld worden. De lengte der lijn geeft de grootte der kracht aan; de richting der lijn de richting van de kracht, terwijl een op du lijn aan- gebracht pijltje den zin aangeeft, waarin de kracht werkt. § 13. Samenstelling van twee krachten. In de sterrenkunde en in de natuurkunde tracht men steeds het bestaan van krachten, zooals zij zich openbaren in veranderingen van de bewegingstoestanden van punten, te verklaren uit de aanwezigheid van andere punten, die een zekeren invloed uitoefenen. Vandaar dat men zich kan voorstellen, dat op een punt twee of meer krachten werken. In deze veronderstelling doet zich de vraag\' voor, wat er zal gebeuren als een punt P zich bevindt onder den invloed van twee punten Q en Q₍. en als er dus op P twee krachten werken. Zoowel de sterrenkunde als de natuurkunde hebben er toe geleid het volgende aan te nemen: Wanneer op een punt P, onder den invloed van twee punten Q en Q_{ twee krachten K en K_i werken, dan verkrijgt men de kracht B, die op P werkt tengevolge van den invloed van Q en Q_t samen, door een parallelo- gram te beschrijven op de lijnen, die in richting en grootte

-ocr page 38-



		\'20

		de krachten K en K_t voorstellen; de diagonaal, waarvoor deze lijnen de omliggende zijden zijn, stelt dan in richting en grootte de kracht B voor. Men zegt, dat men de krachten K en K_x heeft samen- gesteld , dat B de resultante is van K en K_t, en dat K en ÜT, de composatiten zijn van B. Uit bovengenoemde parallelogram-constructie blijkt nog het volgende: Indien de krachten K en K_t langs dezelfde lijn in dezelfde richting werken, dan is de resultante B gelijk aan de som van Ken K_t , en werkt langs diezelfde lijn in diezelfde richting. Indien de krachten K en K_{ langs dezelfde lijn in onder- ling tegengestelde richtingen werken, dan is de resultante B gelijk aan het verschil van K en K_l , en werkt langs diezelfde lijn in de richting der grootste kracht. Zijn in dit geval K en K_t even groot, dan is de resultante nul. Men zegt dan , dat de krachten K en K_{ elkanders werking op- heffen , of dat zij met elkander in evenwicht zijn. Indien de krachten K_l en K₂ voorgesteld worden door de lijnen A B en AC (fig. 9) -, die een hoek « met eik-

		ander maken, en de resultante K door de lijn AD, die met A B en AC hoeken qp, en q>₂ maakt, dan zijn de lijnen A B, A C en AD lang K_x, lf₂ en K meters. Daar A B C D een parallelogram is, vindt men de volgende be- trekkingen: K = 1/JST,² A\'₂ * 2 K_x #7coi7x. K. sin « . K, sin « sin _fl = ï.^: sin qp_a = Lj£.

-ocr page 39-



		27

		Is « een rechte hoek, dan vindt men: K = VK^ K? sin q., = ^? sin <p, =^. Werken op het punt P drie krachten ÜT, 2T, , ÜT,, dan kan men eerst de resultante i? van K en ÜT, door con- structie vinden; en daarna op dezelfde wijze de resultante van R en K₂. Op dezelfde wijze kan men verder gaan als er meer dan drie krachten op het punt P werken. § 14. Ontbinding van een kracht. Laat een punt P een eenparig versnelde beweging hebben met de aanvangssnelheid nul en een versnelling van a een- heden, voorgesteld door de lijn A B (fig. 40). Zooals vroeger is aangetoond, kan men voor een willekeurig tijds- verloop de beweging van P ontbinden in twee eenparig ver- snelde bewegingen met aanvangssnelheden nul en versnel-

		lingen o, en a₂ eenheden, voorgesteld door de lijnen A C en A D, als figuur A C B D een parallelogram is. Indien de massa van P m kilogram bedraagt, dan werkt langs de lijn A B een kracht K = ma dyn. eenheden. Deze kracht worde voorgesteld door A E. Om aan P een versnelling te geven voorgesteld door de lijn A C, is er een kracht K_l = ma_l dyn. eenheden noodig, werkende langs A C; deze kracht worde voorgesteld door A F. Om aan P een versnelling te geven voorgesteld door de

-ocr page 40-



		28

		lijn AD, is er een kracht K₂ ma₂ dyn. eenheden noodig, werkende langs AD; deze kracht worde voorgesteld door A G. De krachten K_x en K_%, die aan het punt P de versnel- lingen voorgesteld door de lijnen AC en AD zouden geven, worden de ontbindingskrachten van K genoemd; men zegt dat men de kracht K in de krachten K_x en K₂heeft ontbonden. De liguur AF EG is een parallelogram. De driehoeken B A C en E AF toch zijn gelijkvormig, daar / BAC = , _ . _ A E ma A B _ j , i i / E A F en -. = -----= . . Evenzoo de driehoeken - A F m* o, AC BAD en E AG. Hieruit volgt dat E F evenwijdig is aan B C en EG aan B D; daar nu A C B D een paral- lelogram is, zoo is ook A F E G een parallelogram. Heeft het punt P oorspronkelijk niet de snelheid nul, dan blijft hetzelfde betoog geldig. De kracht toch die op het punt P werkt, wordt steeds beoordeeld naar de deviatiever- snelling van P. Men kan aannemen dat de deviatie afge- legd wordt met een eenparig versnelde beweging, waarvan de aanvangssnelheid nul is Daar deze eenparig versnelde beweging in twee eenparig versnelde bewegingen kan worden ontbonden, zoo kan ook de kracht op de bovengenoemde wijze in twee krachten worden ontbonden. Men mag dus steeds een kracht K ontbinden in twee krachten K_x en K₂, indien de lijn, die de kracht K in richting en grootte voorstelt, de diagonaal is van het paral- lelogram beschreven op de lijnen , die de krachten K. en K₂voorstellen, en wel de diagonaal, waarvoor deze lijnen de omliggende zijden zijn. Uit hetgeen vroeger omtrent het samenstellen van krachten is bewezen, blijkt dat de kracht K, die ontbonden kan worden in de krachten ÜT, en JE1, ook de resultante zou zqn van K_x en K₂, indien de krachten ÜT, en K₂ op het punt P werkten, tengevolge van den invloed door andere punten op P uitgeoefend. Voor de uitwerking op het punt P is het dus onverschillig of K.. en K₂ de ontbindingskrachten, dan wel de composanten van de kracht K zijn.

-ocr page 41-



		2«

		§ 15. Samenstelling van drie of meer krachten. Een kracht K kan steeds ontbonden worden in drie krachten werkende langs lijnen, die niet in hetzelfde vlak liggen; daartoe is slechts noodig, dat de lijn die de kracht K voorstelt, de diagonaal is van het parallelopipedum beschreven op de lijnen, die de ontbindingskrachten voorstellen, en wel de diagonaal, waarvoor deze lijnen de omliggende ribben zijn. Indien de drie lijnen, waarlangs de ontbindingskrachten zullen werken, loodrecht op elkander staan, en indien men de hoeken kent, welke deze lijnen maken met de lijn. die de kracht K\'voorstelt, dan kan de grootte der ontl)indin"^,s- krachten op eenvoudige wijze worden berekend. Laat AHCJiE Fitf-tt (figl leenrecht- hoekig parallelo- pipednm zijn; de lijn AE. die de kracht K voor- stelt is K meters lang; de lijnen AB,ACenAD, die de ontbin- dingskra.chten K_lK₁ en K₃ voor- stellen zijn A",, K₂ en K₃ meters lang. Maken deze lijnen met de diagonaal hoeken «, (3 en /, dan bestaan blijkens de figuur debetrekkingen: AT, = AT cos « K_% = A\'cos ,3 en K₃ = AT cos /. Evenzoo kunnen drie krachten, werkende langs lijnen, die niet in hetzelfde vlak liggen, tot een resultante worden samengesteld. De lijn , die de resultante voorstelt, moet dan zijn de diagonaal van het parallelopipedum op de lijnen be- schreven, die de composanten voorstellen, en wel de diago- naal, waarvoor deze lijnen de omliggende ribben zijn. Indien de drie lijnen, waarlangs de composanten werken, loodrecht op elkander staan, dan kan de diagonaal van het

-ocr page 42-

rechthoekig parallelopipedum, beschreven op de lijnen die de
composanten voorstellen, en dus de grootte en richting der
resultante, op eenvoudige wijze worden berekend.

Laat (fig. 14) de lijnen A B, A C en A D de krachten
K_x, K₂ en K%, en de lijn A E de resultante K van AT,,
K₂ en K₃ voorstellen, dan zijn de lijnen A B, AC, AD
en A E lang K_x, K₂, K₃ en K meters, en men vindt de
betrekkingen:

K=\\SK_t* KS K_%i

%t o K-i

cos « = -=-. cos ft = -~-,
K \' AT\'

cos y

Uit het bovenstaande wordt de methode afgeleid tot het
berekenen van de grootte en de richting der resultante van
een willekeurig aantal op een punt werkende krachten.

Laat O (fig. 12) de plaats zijn van een punt P waarop
willekeurige krachten K_{, Af₂, K₃ enz. werken. Men brengt

>x.

door O drie onderling loodrechte lijnen X_x X, Y_t F, Z_t Z,
die coördinatenassen worden genoemd. De richtingen van
0 naar X, van O naar Y en van O naar Z worden po-
sitief, die van O naar X_t , van O naar Y_t en van O naar

-ocr page 43-



		31

		Z^ worden negatief genoemd. De lijnen, waar langs de krachten K_x , K₂, K^ enz. werken, maken hoeken a, , a₂, a₃ enz. met het positieve gedeelte der X as, \|3,, (i₂, (i\'₃ enz. met het positieve gedeelte der Y as, en y_l , y₂ , y₃ enz. met het positieve gedeelte der Z as. Elk der krachten K_t , ÜT₂, .ff₃ enz. kan ontbonden wor- den langs de drie coördinatenassen. Bij deze wijze van ont- binden kent men aan de ontbindingskrachteu een teeken toe. Men noemt een ontbindingskracht langs de lijn XX, positief, als zij werkt in de richting van O naar X, negatief als zij werkt in de richting van O naar X_t. Hetzelfde geldt voor de ontbindingskrachten langs de lijnen Y Y_{ en ZZ_t. De ontbindingskrachten van AT, zijn AT, cos or,, A\'jCos/i,, K_t cos /j ; evenzoo die van K₂ K₂ cos u₂ AT₂ cos [3₂ , K₂ cos y₂enz. Alle ontbindingskrachten langs de X as werkende heb- ben een resultante K_x, die gelijk is aan de algebraïsche som der krachten. Dus: K_x = A\', cos «, -j- K₂ cos a₂ -f- enz. = 2\' (üTcos «) Evenzoo voor de Y as en de ^ as: K_y = A", cos \|9, -\\- K₂ cos (J_a -(- enz. = 2\' (AT cos [i) K_e = AT, cos /, -\\- K₂ cos /₂ -\\- enz. = 2\' (AT cos /). De krachten K_x, Ky, K, kunnen worden samengesteld tot een resultante: K_n = V KS Kyt K,* (13) terwijl de lijn, waarlangs de resultante K₀ werkt, met de coördinatenassen hoeken a, (i, y₀ maakt, die gevonden kunnen worden uit de vergelijkingen: K_x ₀ K, Kz cos a₀ = cos [i₀ = ~y cos y₀ = -g. Bovenstaande vergelijkingen gelden ook dan, wanneer een of meer der hoeken er, [i en y stomp zijn. Was bijv. ct₁een stompe hoek, dan zou de richting van de ontbindings- kracht K_t cos «_t die van de Xas zijn van O naar X_i ; zij zou in de I, (K cos u) met het negatieve teeken moeten voorkomen; daar de cosinus van een stompen hoek negatief is, zoo zou dit werkelijk het geval zijn. De hoeken «, (3 en y die eenige lijn maakt met drie onderling loodrechte assen mogen niet willekeurig gegeven worden. Tus-

-ocr page 44-

schen die hoeken bestaat de gemakkelijk aantewijzen betrekking:
cos² « -\\- cos² ji -\\- cos² y = 1.

§ 16. Werking en terugwerking.

Zooals vroeger is opgemerkt, tracht men het ontstaan van
krachten te verklaren uit de aanwezigheid van stoffelijke
punten; daarbij is men er toe gedrongen geworden aan te
nemen, dat als het punt P op het punt Q een invloed uit-
oefent, steeds ook Q een invloed uitoefent op P, en wel
zoodanig, dat als tengevolge* van dien invloed op Q een
kracht werkt van zekere grootte en richting, ook op P een
even groote kracht werkt in tegengestelde richting. Men
zegt dat de werking gelijk is aan de terugwerking. Voor-
beelden hiervan zijn de aantrekking die zon en aarde, de
aantrekking of afstooting die twee magneetpolen, de druk-
king die twee lichamen op elkander uitoefenen.

§ 17. Arbeid door een kracht verricht.

Indien een punt P zich verplaatst heeft van A naar C,

(fig. 13 en 14), terwijl
er een kracht K op werkt
langs de lijn AB, dan zegt
men dat de kracht K arbeid
heeft verricht. Deze arbeid
wordt bepaald door de
grootte der kracht en door
de projectie A D van den
__B afgelegden weg A C
op de lijn A B. Is
de richting van A
naar D dezelfde als
die der kracht, dan

R#H

noemt men den ver-

richten arbeid posi-
tief; is de richting
van A naar D tegen-
gesteld aan die der kracht, dan noemt men den verrichten
arbeid negatief.

-ocr page 45-



		33

		De projectie A D wordt de in de richting der kracht afgelegde weg genoemd. Men kent aan dezen weg een teeken toe, en wel een positief of een negatief teeken, al naarmate de weg is afgelegd in de richting der kracht of in tegengestelde richting. Men stelt den arbeid evenredig met de grootte der kracht en met den weg in de richting der kracht afgelegd. Is dus de kracht K dyn. eenheden, en is de door P in de richting van ^/(afgelegde weg l meters, dan is het aantal arbeidseenheden van den arbeid: A = f KI. Als eenheid van arbeid wordt aangenomen de arbeid, dien een kracht van één dyn. eenheid verricht, als haar aan- grijpingspunt zich één meter in haar richting verplaatst. Een kracht van K dyn. eenheden, wier aangrijpingspunt zich l meters in haar richting verplaatst, verricht dan een arbeid van A = KI arbeidseenheden Hierin kan l positief of negatief zijn; in het eerste geval is A positief, in het tweede negatief. Deze arbeidseenheid wordt dynamische arbeidseenheid genoemd. In de practijk wordt veel gebruik gemaakt van een andere arbeidseenheid, den kilogrammeter; dat is de arbeid, dien de statische krachtseenheid (het gewicht van een kilogram) verricht, als het aangrijpingspunt dier kracht zich één meter in haar richting verplaatst. De kilogrammeter is 9,812 maal zoo groot als de dynamische arbeidseenheid. In het CGS-stelsel is de arbeidseenheid de arbeid, dien een kracht van één dynaam verricht, als haar aangrijpings- punt zich één centimeter in haar richting verplaatst. Daar een dynaam het honderdduizendste gedeelte van de dyna- mische krachtseenheid, en een centimeter het honderdste gedeelte van een meter is, zoo bevat de dynamische arbeids- eenheid 10.000000, en de kilogrammeter 98.1\'20000 arbeids- eenheden CGS-stelsel. Indien de kracht K veranderlijke grootte en richting heeft, bepaalt men de som der arbeiden, die bij eenzelfde verplaatsing van P verricht zou worden door een kracht K\', welke telkens na een zeer klein tijdsverloop dezelfde richting Dr. Julius, Mechanica. 3

-ocr page 46-



		34

		en grootte heeft als K, en zoekt de grenswaarde van deze som, als dit tijdsverloop kleiner en kleiner wordt genomen. Is de richting der kracht voortdurend loodrecht op de richting der beweging, dan is de door de kracht verrichte arbeid nul. Fvg.10.

		Laten K_x, K₂ . .. . K (fig. 15) krachten zijn, die werken op een punt P dat zich verplaatst heeft van A naar B, en laat K» de resultante dier krachten zijn, dan is langs elke willekeurige lijn: K₀ cos «o = 2\' (K cos «) = K_y cos «j -\\- AT₂ cos «₂ -\\- .... -\|- -\|- Kn COS ««. Men kieze de lijn AX zoodanig, dat zij door A en B gaat, en late uit B loodlijnen neer op de lijnen, langs welke de krachten K_t , K₂ . . K en K weiken. De cosinussen der hoeken « hebben de volgende waarden: cos a_u = -j^g ^cos ^u\\ = jjj.......^cos «» = j^- Substitueert men deze waarden in bovenstaande vergelijking, 1 en laat men den gemeenschappelijken factor -j-= weg, dan verkrijgt men: K₀ l_a = 2 (KI) = K_t l, K_t l₂ ..... X" fc. (14)

-ocr page 47-



		35

		Nu zijn li, l_{ ...l,i de door het punt P in de richting der kracht afgelegde wegen; elk der producten K l,., K_x l_{ . . . K l is dus de grootte van den arbeid, door de daarin voor- komende kracht verricht, bij de verplaatsing van het punt l\' van A naar B. Uit de vergelijking volgt dus: De arbeid door de resultante verricht is gelijk aan de som dei^- arbeiden verricht door de composanten. In lig. 15 kunnen K_l . . . K ook zijn de ontbindings- krachten van K; dus: De arbeid door een kracht verricht is gelijk aan de som der arbeiden verricht door de ontbindingskrachten. § 18. Arbeidsvermogen. Indien een stoffelijk punt door de omstandigheden , waarin het verkeert, in staat is een kracht negatieven arbeid op zich te laten verrichten, dan zegt men dat het arbeids- vermogen bezit. De grootte van dit arbeidsvermogen wordt evenredig ge- steld met het bedrag van den negatieven arbeid, dien het punt op zich kan laten verrichten. Men zegt dat een punt P de eenheid van arbeidsver- mogen bezit, als het de negatieve dynamische eenheid van arbeid op zich kan laten verrichten. Deze eenheid van arbeidsvermogen wordt de dynamische eenheid van arbeidsvermogen genoemd. In de praktijk wordt dikwijls gebruik gemaakt van de statische eenheid van arbeidsvermogen, dat is het arbeids- vermogen van een punt, dat den negatieven arbeid van een kilogrammeter op zich kan laten verrichten. De dynamische eenheid van arbeidsvermogen bevat \'10.000000, de statische 98.120000 eenheden van arbeids- vermogen CGS-stelsel. Een punt P, dat een zekere snelheid bezit, heeft ten gevolge van die snelheid arbeidsvermogen. Laat P zich in C bevinden en een snelheid c eenheden hebben in de richting CD. Als nu op P een kracht van K dyn. eenh. gaat werken langs de lijn CD van D naar C, dan verkrijgt P een rechtlijnige eenparig vertraagde be- 3*

-ocr page 48-



		36

		weging. Daar P zich dan beweegt in een richting tegen- gesteld aan die der kracht K, zoo laat het de kracht K negatieven arbeid verrichten; P bezit dus arbeidsvermogen. Om de grootte van dit arbeidsvermogen te bepalen, moet het bedrag gezocht \'worden van den negatieven arbeid, dien K kan verrichten. Zij de massa van P m kilogram, dan is de vertraging eenli. De tijd, waarna de snelheid van P nul wordt, en K dus geen negatieven arbeid meer verricht, kan gevonden worden uit de vergelijking: v = c -1 = o of t =- seconden. m K In die t seconden heeft P een weg afgelegd van K me² et \\ t¹ of van -=_rn- meters. De kracht K heeft een arbeid verricht van jr dyn. eenheden; het bedrag van dezen arbeid is onafhankelijk van de grootte der kracht K. Het arbeidsvermogen van een punt l¹, dat een massa van m kilogram en een snelheid van c eenh. heeft, bedraagt dus jT- dynamische eenheden van arbeidsvermogen. il Het arbeidsvermogen, dat P bezit tengevolge van zijn snel- heid, noemt men zijn arbeidsvermogen van beweging. Elk stoffelijk punt, waarop een kracht werkt, en dat zich in de richting dier kracht kan verplaatsen zonder dat de kracht ophoudt te werken, heeft dientengevolge arbeids- vermogen. Laat het punt P zich in C bevinden en een snelheid c eenheden hebben in de richting C Dj laat er verder een kracht van K dyn. eenheden op werken, langs de lijn CD in de richting van C naar I). Als nu op P langs de lijn Cl) een kracht K_t gaat werken, die even groot is als K in de richting van D naar C, dan zijn de krachten K en K_x in evenwicht, en P krijgt een eenparige beweging langs CD in de richting van C naar IJ; het beweegt zich dus in de richting tegengesteld aan die van ÜT,, en de kracht üf, verricht daarbij negatieven arbeid, zonder dat de snelheid van

-ocr page 49-



		37

		P verandert. P bezit dus arbeidsvermogen, omdat er [de kracht K op werkt. Het arbeidsvermogen, dat een punt bezit tengevolge van een kracht die er op werkt, noemt men zijn arbeidsvermogen van plaats. Het bedrag van den negatieven arbeid, dien K_{ verrich- ten kan, hangt af van den weg, waarover l\' zich in de richting der kracht K kan bewegen, voordat die kracht K ophoudt op P te werken. Daar dit bedrag in vele gevallen niet kan worden bepaald, beschouwt men gewoonlijk slechts het bedrag van de verandering, die het arbeidsvermogen van plaats van een punt l\' ondergaat. Indien op P een kracht werkt van A eenheden . en het zich l meters in de richting dier kracht lieert verplaatst, dan is het arbeidsvermogen van plaats van /\' met Kl een- heden verminderd, daar de negatieve arbeid, dien de kracht K_{ dan zou kunnen verrichten, met Kl eenheden afgenomen is Werkt op P een kracht van K eenheden, en verplaatst het zich l meters in de lichting tegengesteld aan die van K, dan is het arbeidsvermogen van plaats van P met Kl eenheden toegenomen, daar de negatieve arbeid, dien de kracht K_lzou kunnen verrichten, met KI eenheden is vermeerderd. In het algemeen, als op een punt P een kracht K werkt, en het beweegt zich zoodanig dat K een positieven of negatieven arbeid van A eenh. verricht, dan zal het arbeids* vermogen van plaats van P met A eenh. verminderd of vermeerderd zijn. Uit de hierboven bewezen vergelijking: KJ_u = K₁l_l-\\-K_il₁ .... JT.I, volgt, dat als op P werkt een kracht K, die de resultante is van de krachten K_l , ÜT₂ .... K, bij een willekeurige verplaatsing van P de verandering in zijn arbeidsver- mogen van plaats gelijk is aan de som van de veranderingen in arbeidsvermogen van plaats, die P bij diezelfde verplaat- sing, tengevolge van de inwerking van elk der krachten K zou ondergaan. En ook: als op P werkt een kracht K, dan is bij een willekeurige verplaatsing van /\' de verandering in zijn arbeidsvermogen van plaats gelijk aan de som van de ver- anderingen in arbeidsvermogen van plaats, die het bij

-ocr page 50-

dezelfde verplaatsing zou ondergaan onder de inwerking van
elk der ontbindingskrachten van K.

Een punt kan gelijktijdig arbeidsvermogen van plaats en
arbeidsvermogen van beweging hebben.

Bevindt zich het punt P met de massa m kilogram in A
(fig. 16), heeft het een snelheid van c eenheden in de rich-
ting A B, en werkt er op een kracht van K eenheden langs
de lijn A B in de richting van A naar
I « B, dan verliest het arbeidsvermogen van
* plaats, maar het wint arbeidsvermogen
van beweging. Heeft P zich 8 meters
verplaatst van A naar B, dan is zijn
verlies aan arbeidsvermogen van plaats

Fig/6\'

Ks eenheden. Daar P een eenparig ver-

snelde beweging heeft met de versnelling

eenheden, heeft het volgens verge-

lijking (3) in B de snelheid:

Y^ 2*
m

in.

In B heeft het een arbeidsvermogen

van

beweging van

eenheden. De vermeerdering van

het arbeidsvermogen van beweging is derhalve

mv*

------- = Ks eenheden.

De vermeerdering van het arbeidsvermogen van beweging
van P is gelijk aan de vermindering van zijn arbeidsver-
mogen van plaats.

Werkt op P een kracht in de richting tegengesteld aan
die der snelheid van P, dan kan op dergelijke wijze aan-
getoond worden, dat de vermindering van het arbeids-
vermogen van beweging gelijk is aan de vermeerdering van
het arbeidsvermogen van plaats.

Laat het punt P met de massa van m kilogram zich in
A (fig. 17) bevinden, laat het een snelheid n\\, eenheden in
de richting A B hebben, en laat er een kracht op werken
van K eenheden in de richting AX. Komt P na zekeren

-ocr page 51-

tijd in D, en heeft het daar de snelheid te eenheden, dan
is zijn ai\'beids vermogen van beweging vermeerderd met

mw¹__mwo²

eenheden; is de door P in de richting der

~2~ 2~~

kracht afgelegde weg A C

Fü?17.

S meters lang, dan is

zijn arbeidsvermogen van
plaats verminderd met A\'s
eenheden.

Daai\' de deviat.iever-
snelling van P stand-
vastig is, kan volgens
§ 10 zijn beweging ont-
bonden worden in een
eenparige beweging langs
AY en een eenparig ver-
snelde langs A X. Voor
deze laatste geldt de hier-
boven gevonden verge-
lijking:

_Ks ₌ _

me\'¹

(15)

"2 2"

waarin v en c de ont-

bindingssnelheden zijn van

tv en uu, in de richting

AX. De ontbindingssnelheden van tv en w_u in de richting

AY zijn even groot; laten zij de grootte u eenheden hebben;

mu\'

mir

(16)

nu is:

" 2 2

optelling van de vergelijkingen (15) en (16) vindt

miv\'¹ -\\- u²)__mjc¹ -\\-u²)

Ks = 2 ₂

_W2 _)_ _ui __ _WJ _en _c\'i -\\- U¹ = Wo¹,

Door

men:

of daar

mwo

** = -2-------,

Ook in dit geval is de vermeerdering van het arbeids-
vermogen van beweging van P gelijk aan de vermindering
van zijn arbeidsvermogen van plaats.

-ocr page 52-



		40 Met behulp van deze vergelijking kan de grootte dei- snelheid worden berekend, waarmede een voortgeworpen punt in eenig gegeven horizontaal vlak zal aankomen. Heeft het punt P (fig. 18) in de richting der zwaarte-

		kracht, dus in vertikale richting naar beneden, een weg h meters afgelegd, dan heeft het een arbeidsvermogen van plaats mgh eenheden verloren. Is zijn aanvangssnelheid c eenheden en zijn eindsnelheid v eenheden, dan heeft het tyiv wie een arbeidsvermogen van beweging jr------^r eenheden gewonnen. Derhalve: ü£. ^1 ₌ _mgh of v = Vc^ VghT (17) Hieruit blijkt, dat de grootte der eindsnelheid v alleen afhangt van de grootte der aanvangssnelheid c, en van den in vertikale richting afgelegden weg, en onafhankelijk is van de richting der aanvangssnelheid. Wordt bijv. door het werpen met de hand aan een steen (als stoffelijk punt beschouwd) een aanvangssnelheid van

-ocr page 53-



		41

		15 eenheden medegedeeld, dan is de snelheid, waarmede hij in een 10 meters lager gelegen horizontaal vlak aankomt, steeds: v = j/15²^f~279,81 .10 = 20,5 eenheden. In welke richting de steen ook moge voortgeworpen wor- den, naar boven, naar beneden of in horizontale richting, de eindsnelheid zal steeds dezelfde grootte hebben, want het gewonnen arbeidsvermogen van beweging zal steeds gelijk zijn aan het verloren arbeidsvermogen van plaats. Stelt men in vergelijking (17) // = 0, dan wordt v= c, d. i. de snelheid, waarmede een schuin naar boven geworpen punt P in het horizontale vlak van het beginpunt der be- weging terugkomt, is juist even groot als zijn aanvangs- snelheid was. Daar het punt geen arbeidsvermogen van plaats heeft gewonnen of veiloren, moet ook het arbeids- vermogen van beweging dezelfde grootte hebben behouden Ligt eindelijk het eindpunt der beweging hooger dan het beginpunt, dan moet de hoogte h als een negatieve groot- heid in rekening worden gebracht, en de vergelijking (17) verandert in: v = \\/~cⁱ~^: 2 gh. Het punt P heeft arbeidsvermogen van plaats gewonnen, het moet dus arbeidsvermogen van beweging verloren heb- ben; de eindsnelheid moet derhalve kleiner zijn dan de aanvangssnelheid. Of overigens het punt P dit hooger gelegen vlak zal bereiken, en op welke plaats en na welken tijd, deze vragen zullen later worden behandeld. Heeft de kracht K veranderlijke grootte en richting, dan kan men zich den geheelen duur der beweging in zoo kleine deelen verdeeld denken, dat gedurende zulk een tijdsverloop de kracht als standvastig kan worden beschouwd. Gedurende zulk een tijdsverloop is dan de som van het arbeidsver- mogen van beweging en het arbeidsvermogen van plaats van P standvastig; dus ook voor den geheelen duur dei- beweging. Dit is een bijzonder geval van de wet van het behoud van arbeidsvermogen, welke in de natuurkunde zulk een groote rol speelt, en waarvan ook in de mechanica dikwijls gebruik gemaakt wordt.

-ocr page 54-

4\'2

§ 19. Moment van een kracht ten opzichte
van een as.

Sommige beschouwingen in de mechanica worden veel
eenvoudiger, door de invoering van het begrip het moment
eener kracht K ten opzichte van een rechte lijn 00 . De
groote belangrijkheid van dit begrip voor de mechanica zal
intusschen eerst kunnen blijken bij de behandeling dei-
vaste lichamen.

Zij A (fig. 19) de plaats waar zich het stoffelijk punt P
bevindt, en K een kracht, die op P werkt langs de lijn AB.
P wordt ook wel het aangrijpingspunt van de kracht K

genoemd. Men late uit A een loodlijn A 0 neer op de
rechte lijn O O_l, die voortaan de as zal genoemd worden.
Men ontbinde de kracht K langs drie onderling loodrechte
lijnen, en wel langs de loodlijn A Y op de as 0 0_{, langs
de lijn AZ, die uit A evenwijdig aan de as 00_{ wordt
getrokken, en langs de lijn AX, die loodrecht wordt ge-

-ocr page 55-



		43

		trokken op het vlak gaande door het punt A en de as 00,. Noemt men de hoeken die AB maakt met de lijnen AX, AY en AZ, a, ji en /, dan zijn de ontbindingskrachten langs deze drie lijnen respectievelijk: Kcosa, KcosJ, UT cos/. Het moment van de kracht K wordt evenredig gesteld met de grootte der ontbindingskracht van /iTlangs de lijn AX, die loodrecht staat op het vlak gaande door het aangrijpings- punt van K en de as 0 0,, en met de lengte der lood lijn uit het aangrijpingspunt van K op de as O O, neergelaten. Is M het aantal momentseenheden, en is de loodlijn AO r meters lang, dan heeft men : M = f ,r K cos et. Als momentseenheid wordt aangenomen het moment van een kracht K, welker ontbindingskracht langs een lijn lood- recht op het vlak gaande door haar aangrijpingspunt en de as, de grootte heeft van één dynamische eenheid, terwijl de loodlijn uit haar aangrijpingspunt op de as neergelaten één meter lang is. Is de grootte van de kracht K eenheden, maakt de lijn waarlangs zij werkt, een hoek u met de loodlijn op het vlak gaande door het aangrijpingspunt van K en de as 0 O, , en is de loodlijn uit het aangrijpingspunt op de as neer- gelaten r meters lang, dan is het aantal momentseenheden van het moment van K ten opzichte van de as 0 0, : M = r K cos «. Men kent aan het moment van een kracht K ten opzichte van een as O O, een teeken toe. Ziet men langs de as in de richting van O, naar O, en verkrijgt het punt P, in- dien het zich in de richting der kracht K gaat bewegen om de as O 0,, een begin van draaiing in den zin van den horlogewijzer, dan noemt men het moment van K ten op- zichte van de as 00, positief; verkrijgt P een begin van draaiing in den zin tegengesteld aan dien van den horloge- wijzer, dan is het moment van K ten opzichte van de as 0 0_t negatief. De momentseenheid CGS-stelsel is het 10.000000»t» ge- deelte van de in dit leerboek gebruikte.

-ocr page 56-

Indien het punt P deel uitmaakte van een vast lichaam
om de as O O, draaibaar (lig. \'20), dan zou P een cirkel-

vormige beweging

FyZO.

hebben. Om den

arbeid te hepalen
dien de kracht K
verricht, indien de
voerstraal van P

^Kcosa

een oneindig kleinen

hoek doorloopt van
(f radialen, kan men
opmerken, dat de
arbeid door K ver-
richt gelijk is aan
den arbeid verricht
door de ontbindings-
kracht K cos «, daar
bij de beweging van P de richtingen der ontbindings-
krachten K cos (i en K cos / voortdurend loodrecht zijn op
de richting der beweging. Daar de ontbindingskracht K. cos «
voortdurend in de richting der beweging van P werkt,
heeft de door haar verrichte arbeid de grootte:

\'21 = K cos « X ^D00o A B,
of, daar boog AB = A O . qp meters,

31 = K cos u . A O . (p.

Het moment
dus:

van K ten opzichte van de as 0 0, is:
MKcoact.AO,

31 = M<p.

Men verkrijgt dus het aantal arbeidseenheden onder deze
omstandigheden door de kracht K verlicht, als men het
aantal momentseenheden van het moment van K ten op-
zichte van de as 0 O, vermenigvuldigt met het aantal
radialen vaa den oneindig kleinen hoek qp door den voer-
straal van P dooiioopen.

Momentenvergelijking.

Is A\' (tig. 19) de resultante van eenige krachten K_x .
Üf₂ . . . . K_lt op P werkende, dan is volgens het vroeger
verklaarde:

-ocr page 57-



		45

		K cos« = K_x cos «, -(- Z₂ cos «₂ -)-.....ÜT,, cos a of UT cos « . A 0 = üf, cos «, . ,4 O -f- K₂ ^cos "2 -4 O ...... -f- A\' cos «.^10, j _L>(P p. dus: il/ = M, i/₂ ..... 7tf.~- Bovenstaande vergelijking geldt ook dan, als een of meer der hoeken « stomp zijn. Was bijv. «₂ een stompe hoek, dan zou het moment K₂ cos «₂ . AO van K₂ ten opzichte van de as 0 0_{ negatief zijn, en in de 2. (K cos a.A O) met het negatieve teeken moeten voorkomen. Daar de cosinus van een stompen hoek negatief is, zoo zou dit werkelijk het geval zijn. Het moment der resultante ten opzichte van een as is gelijk aan de som van de momenten der composanten ten opzichte van diezelfde as. Deze vergelijking wordt de momentenvergelijking genoemd. In figuur 19 kan de kracht K ook in verschillende krachten ÜTj, K₂ . . . K worden ontbonden. Het is gemakkelijk in te zien, dat ook dan de momentenvergelijking geldt, en dus dat het moment van een kracht ten opzichte van een as gelijk is aan de som van de momenten der ontbindings- krachten ten opzichte van diezelfde as.

		§ 20. Moment van een kracht ten opzichte van een punt. De uitdrukking voor het moment van een kracht ten opzichte van een as wordt eenvoudiger, indien de lijn waar- langs de kracht werkt, gelegen is in het vlak, dat door het aangrijpingspunt der kracht loodrecht op de as wordt ge- bracht. Zij (lig. 21) O het snijpunt van de as en dit vlak. en AB de lijn waar- langs de kracht K werkt op het punt P, dat zich in A bevindt.

-ocr page 58-



		46

		Het moment van K ten opzichte van de as O 0, is dan JU = A\'cosa . A O. Laat men uit het punt O een loodlijn OB neer op de lijn AB waarlangs de kracht K werkt, dan is blijkens de figuur de lengte l dier loodlijn : 1= OB = AOcoscc. of: M = KL In dit geval spreekt men van het moment der kracht K ten opzichte van het punt 0, en men verkrijgt het aantal monientseenheden door het aantal dyn. eenheden der kracht te vermenigvuldigen met het aantal meters lengte van de loodlijn. die uit 0 wordt neergelaten op de lijn waarlangs de kracht werkt. Men kent aan het moment van een kracht ten opzichte van een punt een teeken toe. De kracht K (lig. 22) werkende langs de lijn A B, zou aan het punt P als Fiff22- het in rust was, f\' een beweging geven \\ langs A B. Deze be- weging kan be- schouwd worden als een begin van draai- ing in den zin van den horlogewijzerom b. 0, en als een be- gin van draaiing in den zin tegengesteld aan dien van den horlogewijzer om 0,. In het eerste geval noemt men het moment dei\' kracht ten opzichte van een punt positief, in het tweede geval negatief. Het moment van een kracht ten opzichte van eenig punt, gelegen in de lijn waarlangs de kracht werkt, is nul. Het boven gegeven bewijs voor de momentenvergelijking geldt ook voor dit geval, dus: Het moment van de resultante ten opzichte van een punt 0 is gelijk aan de som der momenten van de composanten ten opzichte van ditzelfde punt; en Het moment van een kracht ten opzichte van een punt O is gelijk aan de som der momenten van de ontbindings- krachten ten opzichte van hetzelfde punt.

-ocr page 59-



		47

		In deze som moet elk moment met het daaraan toe- komend teeken worden genomen. Schrijft men de momentenvergelijking in den vorm: K₀1₀ JT, f, JT₂ fj . ... K_n l_n = 2 (KI), dan blijkt het, dat als men kent de grootten der krachten die op een punt P werken, en de afstanden, waarop zich eenig punt O bevindt van de lijnen waarlangs die krachten werken. men steeds kan bepalen het product van het aantal eenheden der resultante met het aantal meters, waarop het punt P verwijderd is van de lijn, waarlangs de resultante werkt. De momentenvergelijking kan dus toegepast worden om een der grootheden K of l₀ te berekenen, als men de andere kent. Is 2.\' (KI) gelijk nul, dan moet of K of l,, gelijk nul zijn. Kan men derhalve een punt O vinden, ten opzichte waarvan de som der momenten van de op P wer- kende krachten gelijk nul is, dan gaat de lijn, waarlangs de resultante werkt, door O, en de richting der resultante is dan de richting van A naar O of van O naar A.

		HOOFDSTUK IV. Beweging van een vrjj stoffelijk punt. § 21. Vrije val van een stoffelijk punt. De waarneming heeft geleerd. dat als een stoffelijk punt in een luchtledige ruimte nabij de oppervlakte der aarde aan zich zelf wordt overgelaten, het zich gaat bewegen naar de aarde toe langs een rechte lijn. Op het punt werkt dus een kracht, die een standvastige richting heeft. Ook leert de waarneming, dat de beweging van het punt een eenparig versnelde is, en dat de versnelling dier beweging op alle plaatsen der aarde op dezelfde breedte gelegen, en voor alle punten even groot is. Op onze breedte bedraagt de versnelling 9,812 eenheden. Indien aan het punt P een snelheid wordt gegeven in willekeurige lichting, dan krijgt het een kromlijnige bewe- ging; bepaalt men de deviatieversnelling van P, dan vindt

-ocr page 60-



		48

		men dat deze van standvastige richting en grootte is; dat haar 7\'ichting dezelfde is als die van een vallend punt met de aanvangssnelheid nul, en dat zij ook 9,812 eenheden groot is. Op elk punt, dat zich vrij beweegt in de nabij- heid der aarde, werkt dus een kracht van standvastige rich- ting en grootte. Is de massa van het punt m kilogram, dan is op onze breedte de kracht 9.8-1 \'2 m dyn. eenheden groot. Later zal dit verschijnsel nader worden verklaard. De deviatieversnelling van een vrijvallend punt wordt de ver- snelling der zwaartekracht genoemd; de grootte dier ver- snelling zal voortaan door g worden voorgesteld. De kracht, die aan het punt P de versnelling g geeft. heet de zwaartekracht op P werkende, of wel het gewicht van P. Heeft P een massa van m kilogram, dan is het gewicht van P mg dyn. eenheden. De richting van de zwaartekracht, dat is de richting waarin een punt met aanvangssnelheid nul zich beweegt, heet de verticale richting; een verticale lijn wordt kortweg een verticaal genoemd. Een vlak loodrecht op de verticaal van een plaats heet een horizontaal vlak voor die plaats, en elke lijn loodrecht op de verticaal een horizontale lijn. § 22. Parabolische beweging. In § 10 is aangetoond, dat indien een punt standvastige deviatieversnelling heeft, zijn baan in het algemeen een kromme lijn is, die parabool genoemd wordt. Een punt onder de werking van een standvastige kracht heeft dus steeds een parabolische beweging. Valt de richting van de oorspronkelijke snelheid samen met die dei\' deviatieversnelling, of is zij hieraan juist tegengesteld, dan gaat de parabool in een rechte lijn over. De in die paragraaf gevonden vergelijkingen: x = et -\\- \\ at² w.c = e -J- at y vt w_y = v waarin: K c = u cos a v = u sin « en a = m

-ocr page 61-

kunnen aangewend worden om elke vraag te beantwoorden,
die zou kunnen worden gedaan met betrekking tot de be-
weging van een punt, waarop een standvastige kracht werkt.

Door een paar voorbeelden zal aangetoond worden , hoe die
vergelijkingen tot het oplossen van vraagstukken kunnen dienen.

Indien een punt door het werpen met de hand een snel-
heid u eenheden verkrijgt, en daarna zijn beweging onder
de werking der zwaartekracht voortzet, dan zjjn de voor-
waarden voor de parabolische beweging voorhanden. In
bovenstaande vergelijkingen verandert dan Kin mg ena in g.

Is de hoek dien de richting der aanvangssnelheid u maakt
met de verticaal 90°, dan is:

c = u cos 90° = 0 en v = u sin 90° = w.

In dit geval nemen de vergelijkingen de in fig. 23 aan-
gegeven eenvoudiger vormen aan.

Püf23.

Zij de snelheid, die aan het punt wordt medegedeeld,
u = 20 eenheden, en laat de tijd gevraagd worden, na
welken het punt in een 10 meters lager gelegen horizontaal
vlak aankomt, dan kan l opgelost worden uit de vergelijking:

x = ±gt²,

dus

t = \\f l£ = \\l |

» g *

9,81

= 1,428 seconden.

Dr. Julius, Mechanica.

-ocr page 62-



		50

		De weg BC, gedurende dien tijd in horizontale richting afgelegd, wordt verkregen uit de vergelijking: BC=y = ut = \'20.1,428 = 28,6 meters. De snelheid der ontbindingsbeweging in verticale richting is: w_x = gt= 9,81 .1,428 = 14,0 eenheden. De snelheid der ontbindingsbeweging in horizontale richting is even groot als de aanvangssnelheid: w_y = u = 20 eenheden. De werkelijke snelheid die het punt in O heeft is: w = t^,² -f w_v² = \|/"l4^a 2Ö~» = 24,4 eenheden. De hoek (3, dien de richting der eindsnelheid maakt met de verticaal, wordt gevonden uit de vergelijking; Is de hoek «, dien de richting der aanvangssnelheid maakt met de verticaal, scherp, dan kan, zooals in §10 is

		&#2i		verklaard, de beweging be-

		schouwd worden als de voort- zetting van een parabolische beweging met horizontale aanvangssnelheid. De snelheid der ontbin- dingsbeweging in verticale richting is nu c ucosa, die der ontbindingsbewe- ging in horizontale richting v = u sin«. Na substitutie dezer waarden verkrijgen de algemeene vergelijkingen de in fig. 24 aangegeven vormen. Heeft bijv. de aanvangs- snelheid van de in fig. 24 voorgestelde beweging juist dezelfde grootte en richting als de eindsnelheid van de in fig. 23 voorgestelde beweging, is dus:

-ocr page 63-



		51

		u = 24,4 eenheden « = 55° c = 24,4 cos 55° =14 eenheden v = 24,4 sin 55° = 20eenheden, dan komt deze beweging volkomen overeen met die, welke in het vorige geval door het punt zou zijn volbracht, indien dit zijn beweging nog voorbij het eindpunt had voortgezet. De baan is dus een parabool, welker top, van het begin- punt A afgerekend, 10 meters hooger en 28,6 meters naar links ligt. De ontbondene in horizontale richting van de eindsnelheid is 20 eenheden; de weg in horizontale rich- ting bijv. in de eerste 3 seconden afgelegd, zal dan zijn: BC = y = 20.3 = 60 meter. De ontbondene in verticale richting van de eindsnelheid is: ir, = 14 -f. 9,81 3 = 43,43 eenheden , en de in verticale richting afgelegde weg: 3 Q 8-1 3²A B = X = 44,Vï- -"₂ = ⁸⁶»1 meter. De eindsnelheid is: w = V 43.43² 20* = 47,8 eenheden. Den hoek, dien de richting der eindsnelheid maakt met de verticaal, vindt men uit de vergelijking: ^tg E^- 4:^43 = °\'⁴⁶⁵ <⁵⁼⁼²⁵°- De algemeene vergelijkingen blijven ook dan nog geldig, als de richting der aanvangssnelheid een stompen hoek maakt met de verticaal, waardoor cos a en dus ook c = u cos u negatieve waarden verkrijgen. De\' ontbindingsbeweging in verticale richting is aanvankelijk eenparig vertraagd, en haar richting tegengesteld aan die der zwaartekracht (fig. 25). Wanneer de horizontale ontbondene der aanvangssnelheid even groot is als die in de beide vorige gevallen, dan kunnen deze laatste bewegingen beschouwd worden als de voortzettingen van de hier behandelde beweging. Is bijv. u = 24,4 eenheden en « = 125°, dan is de snel- heid der ontbindingsbeweging in horizontale richting: u = 24,4 sin 125° = 20 eenheden. 4*

-ocr page 64-



		52

		De snelheid der ontbindingsbeweging in verticale richting is: C = 24,4 cos 125 = 14 eenheden. De tijd, na welken het punt aankomt in een horizontaal FiffZS

		vlak, dat 86,1 meters lager ligt dan het aanvangspunt A der beweging, wordt gevonden uit de vergelijking: X = 86,1 = _ Ut ^~², waaruit: t = 1,428 ± 1/1976\' seconden. Het dubbele teeken, waartoe de oplossing van deze vier- kantsvergelijking voert, heeft de volgende beteekenis. In de parabool, waarvan de baan een deel uitmaakt, zijn twee plaatsen, die 86,1 meter lager liggen dan A. De eene plaats C zal werkelijk door het punt P worden ingenomen na een tijd, dien men verkrijgt door in bovenstaande ver- gelijking het positieve teeken te gebruiken. De andere plaats C, is van A af gerekend achterwaarts gelegen. Beschouwt men de hier behandelde beweging als de voortzetting van een reeds vroeger begonnen beweging, dan geeft de nega-

-ocr page 65-



		53

		tieve waarde, die men voor t verkrijgt als men in boven- staande vergelijking het negatieve teeken gebruikt, den tijd aan, vóór welken het punt zich in C_l bevond. Hier moet dus het positieve teeken gebruikt worden, en dan verkrijgt men: t = 1,428 V 19,6 = 5,86 seconden. De weg B C gedurende dien tijd in horizontale richting afgelegd is: B C = y = 20 . 5,86 = 117,2 meters. De snelheid der ontbindingsbeweging in verticale richting is dan: W_x = 14 9,81 . 5,86 = 43,4 eenheden. Grootte en richting der eindsnelheid vindt men uit de vergelijkingen: w = ^43,4* 20² = 47,8 eenheden, De waarden van w en \|3 komen dus overeen met de in de vorige voorbeelden gevonden waarden. De snelheid der ontbindingsbeweging in verticale richting heeft aanvankelijk een negatieve waarde, en is dus naar boven gericht. Den tijd t_x, na welken zij nul wordt, en de richting der beweging dus horizontaal is, vindt men uit de vergelijking: 14 w_x = o = 14 -f- 9,81 t_x oi t_x = p-öv = 1,427 seconden. De gedurende dien tijd in verticale en in horizontale richting afgelegde wegen, vindt men uit de vergelijkingen: X = 14 .1,427 -f ^£L^l±±L ₌ _ 10 meters y = 20 .1,427 = 28,54 meters. De in verticale richting afgelegde weg heeft eveneens aanvankelijk negatieve, later positieve waarden. De tijd t₂, waarna deze weg nul wordt, waarna dus het voortgeworpen punt weder aankomt in het horizontale vlak van het aan- vangspunt der beweging, wordt gevonden uit de verge- Iqkingen:

-ocr page 66-



		54

		x = o = 14f₂ -\\- - -² of £₂ = q-ö5 = 2,84 sec. De tijd <₂ is tweemaal zoo groot als £,, dus is ook de in den tijd t₂ in horizontale richting afgelegde weg twee- maal zoo groot als de in den tijd t_t afgelegde, of: y_% = 57,1 meter. In de hier behandelde drie voorbeelden zijn met voor- dacht dezelfde waarden gekozen voor de standvastige snel- heid Wy der ontbindingsbeweging in horizontale richting, om te doen zien, dat het in dit geval dezelfde parabool is, waarvan de banen deel uitmaken. De vorm van de parabool door een punt onder de werking der zwaartekracht door- loopen, hangt dus alken af van de grootte der horizontale ontbondene van zijn aanvangssnelheid. Ingeval slechts dat deel der baan onderzocht moet worden, dat boven het door het aanvangspunt der beweging gebrachte horizontale vlak gelegen is, dan worden de berekeningen eenigszins eenvoudiger, als men de richting tegengesteld aan die der zwaartekracht als positief aanneemt, en tevens in plaats van den hoek « den hoek , den zoogenaamden elevatiehoek, invoert, dat is de hoek, dien de richting der aanvangssnelheid met de horizontaal maakt (fig. 26). De algemeene vergelijkingen worden dan: w_x = u* sin e gt x ut sin f \\_ gt^% w_y = u cos * y = ut cos e. Het punt P heeft zijn grootste hoogte h, worpshoogte genoemd, bereikt, als het in den top der parabool is, als dus de snelheid van zijn ontbindingsbeweging in verticale richting nul is. Men vindt h door de waarde van t uit de vergelijking: . . u sin i w_x = U sin e ot = o of t =--------- ⁹ te substitueeren in de vergelijking voor x, waardoor men verkrijgt: (Msint)» *- <2g

-ocr page 67-

De worpsverheid AB = 1 is de waarde, die y verkrijgt
op het oogenblik dat:

x =. u sin * . t "^ = o.
Substitueert men de hieruit gevonden waarde van t in


	w. /	Fy>	26 T
i f	v		k. \\
		V.

K\'mg:

de vergelijking voor y, dan vindt men voor de worps-
verheid:

2m* sint cos*
9

1 =

= sin 2 f,

waaruit men den invloed kan nagaan, dien de elevatiehoek t
heeft op de worpsverheid.

De factor sin 2 e verkrijgt zijn grootste waarde 1, als
2* = 90°, dus e = 45° is.

Bij een bepaalde grootte u van de aanvangssnelheid is
dus de grootste waarde der worpsverheid:

9
welke afstand tweemaal zoo groot is als de hoogte, die het

-ocr page 68-



		56

		punt zou bereiken, indien het met de snelheid u in verticale richting naar boven werd geworpen. De sinussen van twee hoeken, waarvan de een evenveel grooter als de ander kleiner is dan 90°, hebben dezelfde waarden. Hieruit volgt, dat bij even groote aanvangssnelheden n, twee punten even groote worpsverheden zullen hebben, indien de elevatiehoek van het eene i -\\- A, en die van het andere t A is. Wordt bijv. aan een punt P telkenmale een aanvangssnelheid M = 20 eenheden medegedeeld, dan bereikt het bij een elevatiehoek van 45° de grootste worpsverheid: 20²l = ^"o. = 40,8 meter. y,oi Bij een elevatiehoek t = 45° -\\- 15° = 60°, bedraagt de worpsverheid slechts: 20²l = __ sin 120° = 35,3 meters, y,ol en dezelfde waarde verkrijgt zij bij een elevatiehoek: i = 45° 15° 30°, 20²l = Tr-^-r sin 30 = 35,3 nieters. 9,81 \' De algemeene vergelijkingen voor de beweging van een voortgeworpen punt, zouden ook gelden voor de beweging van een uit een kanon geschoten kogel (de kogel als stoffelijk punt beschouwd), indien de beweging in het lucht- ledige geschiedde. De weerstand dei\' lucht echter, die onder overigens gelijke omstandigheden zeer snel toeneemt met de snelheid van het punt, zal bij zoo groote snelheden als die van kanonskogels, een zeer grooten invloed op de beweging hebben. Bij de berekening van de kogelbaan uit de boven- staande vergelijkingen, kan derhalve geen nauwkeurige over- eenslemming gevonden worden tusschen de berekende en de waargenomen waarden. § 23. Eenparige cirkelvormige beweging. In § 10 is gevonden, dat de deviatieversnelling van een punt P met eenparige cirkelvormige beweging, de stand-

-ocr page 69-



		57

		vastige grootte a eenheden heeft, indien de snelheid van P c eenheden is, en de straal van den doorloopen cirkel een lengte van r meters heeft; en dat haar richting op elk oogenblik is, die van den straal van P naar het middel- punt van den cirkel toe. Is de massa van P m kilogram, dan werkt op P een kracht K, die de standvastige grootte heeft: K =-----dyn. eenheden, (17) r en waarvan de richting op ieder oogenblik samenvalt met die van den straal naar het middelpunt toe. Om deze reden heeft men aan die kracht den naam van centripetaalkracht gegeven. Zulk een eenparige cirkelvormige beweging kan bijv. op de volgende wijze worden voortgebracht. Het eene einde van een uitgestrekten draad wordt be- vestigd aan een vast punt O, het andere aan een bol (als stoffelijk punt beschouwd). Het gewicht van den bol wordt buiten rekening gelaten of opgeheven gedacht. Wordt nu aan den bol een snelheid c medegedeeld in een richting loodrecht op die van den draad, dan doorloopt de bol een cirkelomtrek, en wel met een eenparige beweging. Is de massa van den bol m = 2 kilogram, is de daaraan medegedeelde snelheid c = 10 eenheden, en is de draad r = 4 meters lang, dan is de op den bol werkende kracht voortdurend naar het middelpunt toe gericht en heeft de 2.10² grootte: K = . = 50 dyn. eenheden. Deze kracht wordt door den draad op den bol uitgeoefend. Volgens het in § 16 verklaarde beginsel van werking en terugwerking wordt door den bol op den draad een even groote kracht in tegengestelde richting uitgeoefend. De draad wordt dus door de kracht K gespannen. "Wil men K in statische krachtseenheden uitdrukken, dan moet de gevonden waarde van K door 9,81 gedeeld wor- den, en dus-: 50 K = 5,1 statische eenheden. y,8i Bij de beweging wordt de draad dus even sterk ge-

-ocr page 70-

spannen, alsof hij aan een vast punt was opgehangen, en
aan het benedeneinde een massa van 5,1 kilogram droeg.

Snijdt men gedurende de beweging den draad door, dan
houdt de kracht op te werken, en de bol zal een recht-
lijnige eenparige beweging verkrijgen in de richting van de
raaklijn aan dat punt van den cirkel, waar de bol was op
het oogenblik dat de kracht ophield te werken.

Door invoering van de hoeksnelheid van P kan men aan
de uitdrukking voor de centripetaalkracht een anderen vorm
geven.

Is de hoeksnelheid van P <a eenheden, dan bestaat er
volgens § 3 tusschen de getallen, die het aantal eenheden
van de hoeksnelheid, het aantal eenheden van de Iijnsnel-
heid en het aantal meters van den straal uitdrukken, de
betrekking: c = r co.

Deze waarde in de vergelijking voor K substitueerende,
vindt men: K = mrw².

De maan beschrijft bij haar beweging om de aarde een
baan, die bij benadering kan worden beschouwd als een
cirkel, welks middelpunt met het middelpunt der aarde samen-
valt. De straal van dien cirkel is ongeveer 60 aardstralen, dus:

r = 60 . 6370000 = 382000000 meters.

De omloopstijd bedraagt 27^d 7^U 43^m ll^s of in een rond
getal 2360000 seconden; de hoeksnelheid der maan is dan:

2tt

eenheden.

2360000

Als de massa der maan m kilogram is, dan heeft derhalve
de kracht, die op de maan moet werken om haar de waar-
genomen beweging te doen volbrengen, de grootte:

. 382000000. 4. 3,14² . _nAO_ ,

K = mm\' - m . -------^₂-^ = 0,0027 m eenh.

§ 24. Conische slinger.

Om een stoffelijk punt P met de massa m kilogram, dat
een aanvangssnelheid c eenheden in horizontale richting
heeft, en waarop behalve zijn gewicht mg nog een kracht £

-ocr page 71-

werkt, een horizontalen cirkelomtrek met den straal rmeters
eenparig te doen doorloopen, moet de kracht S zoodanig
gekozen worden, dat op ieder oogenblik de resultante AT van

de beide krachten mg en S de grootte K = , en de rich-

ting van P naar
het middelpunt O
toe heeft. Is P op
eenig oogenblik in
^(fig.27); wordt
de kracht mg door
de lijn A B, en de
kracht K door de
lijn AD voorge-
steld, dan be-
schrijve men een

parallelogram,
waarvan AD de
diagonaal, en A B
de eene zijde is.
De andere zijde
stelt dan in grootte
en richting voor
de kracht S, die
op dat oogenblik
op P moet wer-
ken. Bevindt P

mff.

zich ergens an-
ders op den cirkel-
omtrek, bijv. in A_l, dan moet de richting en de grootte
van de kracht S door dezelfde constructie worden bepaald.
De hoek «, dien de lijn waarlangs de kracht S werkt
maakt met de verticaal, kan bepaald worden uit de ver-

gelijking:

AD K

^^tt=CD =

mc-

of, als men daarin de waarde K =

substitueert:

il
rg\'

(18)

tg« =

-ocr page 72-



		60

		T Vervangt men hierin tg « door j-, en lost men daarna h uit de vergelijking op, dan vindt men voor de hoogte van het punt Q, het snijpunt van A O en de as van den cirkel, boven het cirkelvlak: h = g -j meters. (19) De standvastige grootte van de kracht S zou men kunnen vinden uit de vergelijking:

		S =

	V (^m!l)² (~ r ) ^==m\\9²~\\i eenheden. Den tijd t, waarin het stoffelijk punt den cirkelomtrek doorloopt, vindt men als men dien omtrek 2 n r deelt door den in een seconde afgelegden weg c; dus: Y t = 2 7t - seconden, c t I h of voor zijn waarde y - uit vergelijking (19) substitu- c 9 eerende: ./T t = \'2 n V - seconden. (20) Zulk een eenparige beweging langs den omtrek van een horizontalen cirkel kan bijv. op de volgende wijze tot stand komen. Het eene einde van een uitgestrekten draad is aan een vast punt Q bevestigd; aan het andere einde is een bol (als stoffelijk punt beschouwd) aangebracht. Brengt men dezen draad in den stand QA (fig. 27), en deelt men daarna den bol een snelheid c mede, in een richting lood- recht op het verticale vlak Q A O, en met de uit verge- lijking (19) te bepalen grootte c = ry K- eenheden, dan zal de bol een eenparige beweging verkrijgen langs den cirkelomtrek met het middelpunt O. De draad beschrijft daarbij een kegeloppervlak, welks top in Q ligt; daarom wordt een zoodanige inrichting een conische slinger genoemd.

-ocr page 73-

Is bijv. h = 5 meter en r = 2 meter, dan moet de
snelheid c de grootte hebben:

= 2,8 eenheden.

Uit vergelijking (20) blijkt dat de omloopstijd van zulk
een conischen slinger alleen afhangt van de hoogte Q boven
het horizontale vlak van de baan. Alle conische slingers
dus, waarbij die hoogte, evenals hier, 5 meter bedraagt,
hebben denzelfden omloopstijd, namelijk:

5
9,81

4,48 seconden.

£=2.3,14

De kracht S, die bij de boven beschreven inrichting door
den draad op het stoffelijk punt wordt uitgeoefend, kan ook
op andere wijze worden aangebracht. Stelt men zich voor
dat de draad QA is doorgesneden, en dat de bol in plaats
daarvan in alle punten der baan wordt ondersteund door
een vast vlak, dat overal loodrecht staat op de richting van
den draad, dan zal de weerstand van dit vaste vlak dezelfde

uitwerking hebben
als vroeger de span-
ning van den draad.
Dit vaste vlak moet
den vorm hebben
van een kegelopper-
vlak, welks top in
Q, (Bg. 28) ligt,
en welks beschrij-
vende lijnen, overal
loodrecht staande op
de beschrijvende lij
nen van het door
den draad beschre-
ven kegeloppervlak,
met den horizon een
hoek « maken, even
groot als de hoek, dien de draad maakt met de verticaal.
Men kan derhalve van vergelijking (18) gebruik maken om
bijv. bij een kromming van een spoorweg den hoek a te

-ocr page 74-



		02

		berekenen, dien de dwarsliggers met den horizon moeten maken, opdat de vellingen van de raderen der wagens alleen een normalen en geen zijdelingschen druk uitoefenen tegen de flensen der rails. Zij bijv. de straal van de kromming r = 500 meters, en de snelheid, waarmede de trein de kromming moet door- loopen, c = 15 eenheden, dan kan de hellingshoek der dwars- liggers worden bepaald uit de vergelijking: ^tg " ⁼ ~~5009,81^X~~ ⁼ ⁰\'⁰⁴⁵⁸⁷ °^f " ⁼* ^ ³⁸\'- Is b de afstand der rails van midden tot midden gere- kend, dan is b sin u de hoogte van de buitenste rail boven de binnenste. § 25. Enkelvoudige trillende beweging. Wanneer een stoffelijk punt zich zoodanig beweegt, dat het telkens na een zeker tijdsverloop in dezelfde plaats van zijn baan terugkeert en clan denzelfden bewegingstoestand heeft, dan zegt men dat het punt een slingerbeweging vol- brengt. Zoo heeft een punt met eenparige cirkelvormige be- weging een slingerbeweging; den tijd, waarin het punt den geheelen omtrek doorloopt, noemt men zijn slingertijd. Zijn de banen, die het punt telkens doorloopt, zeer klein, dan spreekt men gewoonlijk van een trillende beweging en van den trillingstijd. Wanneer een punt Q een eenparige cirkelvormige be- weging heeft met de snelheid c eenheden, dan kan zijn be- weging voor een willekeurig tijdsverloop ontbonden worden in twee bewegingen langs twee onderling loodrechte middel- lijnen. Laat de ontbindingsbeweging langs een dier middel- lijnen, bijv. langs de horizontale middellijn A B (fig. 29) een zoodanige zijn, dat een ander punt P, die beweging volbrengende, op ieder oogenblik een snelheid heeft gelijk aan de horizontale ontbindingssnelheid van Q. Men kan aan- toonen, dat dan op elk oogenblik de plaats van F is de projectie op de lijn AB van de plaats welke Q inneemt. Neemt men toch het tijdsverloop ï>, waarin Q den boog a b doorloopt, klein genoeg, dan kan de horizontale ontbindings-

-ocr page 75-




		beweging van Q gedurende dat tijdsverloop worden be- schouwd als een eenparige beweging met de snelheid c cos «. Daar c. 9 = ab is, is de door P in dat tijdsverloop afge- legde weg c cos « . fr = ab . cos « db. Gedurende elk Fig 29.

		klein tijdsverloop fl¹ is de door P afgelegde weg even lang als de horizontale projectie van den door Q afgelegden weg; dit is dus ook zoo voor een willekeurig tijdsverloop. Is dus op den tijd nul het punt Q in C en het punt Pin 0, dan zal na elk willekeurig tijdsverloop de plaats van P zijn de projectie op A B van de plaats, welke Q inneemt. Hieruit volgt tevens , dat op ieder oogenblik: de deviatieversnelling van P naar het punt 0 toe ge- richt, en in grootte gelijk is aan de deviatieversnelling der horizontale ontbindingsbeweging van Q, en dus: de op P werkende kracht naar het punt 0 toe gericht, en in grootte gelijk is aan de horizontale ontbondene van de op Q werkende kracht. Het punt P heeft dan een zoogenaamde enkelvoudige trillende beweging, welker beschouwing van groot belang is voor de leer van het geluid en van het licht. P gaat dus langs de lijn A B heen en weer; den afstand van de uiterste standen A en B noemt men de amplitude van P.

-ocr page 76-

Onder den trillingstijd T verstaat men den tijd, waarin P
den afstand A B heen en terug doorloopt. De trillingstijd
van P is dus evengroot als die van Q, en bedraagt:

T= seconden.
c

In deze vergelijking is, c het aantal eenheden van de lijn-
snelheid van Q, en dus ook van de snelheid , die P in O heeft.
"A.ls men de uit vergelijking (17) voortvloeiende waarde:

» m

in bovenstaande vergelijking substitueert, dan verandert deze
laatste in:

\'=²-\\/

seconden.

Bevindt zich P in N (fig. 30) op den afstand x van

het punt O, en is de kracht, die alsdan op P werkt.
H eenheden groot, dan is:

H = K cos « =------x eenheden. (22)

-ocr page 77-



		05

		De kracht is dus evenredig met den afstand van P tot 0; zij heeft haar grootste waarde K. voor x = r; zij is negatief of positief, d. w. z. zij werkt naar links of naar rechts, naarmate het punt P zich rechts of links van het punt O bevindt. Hieruit volgt, dat het punt P een enkelvoudige trillende beweging zal verkrijgen, wanneer aan de volgende voor- waarden is voldaan : 1° De op het punt P werkende kracht II moet voort- durend gericht zijn naar eenzelfde punt O. 2° De grootte der kracht H moet evenredig zijn met den afstand van P tot O. 0 3° Indien Peen aanvangssnelheid heeft, dan moet deze de richting hebben van de lijn, die door P en O gaat. Stelt men het quotiënt door A voor, dan nemen de vergelijkingen (22) en (21) den volgenden vorm nan: H = Ax eenheden, (23) T= 2t y/ * seconden. (24) A is de grootte van de op P werkende kracht, als P op A een meter afstand van 0 verwijderd is. Het quotiënt is derhalve de deviatieversnelling, die de kracht H aan het punt P geeft, als het zich op een meter afstand van O be- vindt. Noemt men deze deviatieversnelling q, dan is: T==- seconden. (25) Vq Het aantal seconden van den trillingstijd van een punt P met enkelvoudige trillende beweging is dus gelijk aan het getal 2TT, gedeeld door den vierkantswortel uit het aantal eenheden der deviatieversnelling die P heeft, als het op den afstand van één meter van O is verwijderd. De trillingstijd is derhalve onafhankelijk van de ampli- tude van P. Neemt men aan dat het punt P zich op den tijd nul in O bevindt, en t seconden later aankomt in N, x meters van O verwijderd , dan is x = r sin (J. Het punt Q doorloopt Dr. Joiiiua, Mcckanica. 5

-ocr page 78-



		66

		den boog C M in denzelfden tijd t, waarin het punt P den weg ON aflegt. Is de trillingstijd van Q Tseconden, dan , . t boog CM Sr , . _ t heeft men: -j,= ~~^~~ = J., of \|J = 2^, waaruit volgt: x = r sin 27r =,. In § 10 is deze bewegingsvergelijking behandeld. Voorde deviatie versnelling van P op den tijd t, waarop P den weg 4tt²as meters heeft afgelegd , werd toen gevonden a =* -- x. De alsdan op P werkende kracht H heeft dus de grootte: _ 47i²m tl **tri \' >*** welke waarde van H met de uit de hierboven gevondene vergelijkingen (23) en (24) voortvloeiende geheel overeenstemt. § 26. Planeten b e w egi ng. Uit de waarnemingen van Tycho Brahé en die van hem- zelven leidde Keppleb de drie naar hem genoemde wetten af, omtrent de beweging van de planeten om de zon; zq luiden : l^e wet. Elke planeet beweegt zich langs den omtrek van een ellips, waarvan het eene brandpunt zich in het middel- punt der zon bevindt. 2^e wet. Bij iedere planeet zijn de perken (sectoren) door den voerstraal doorloopen, evenredig met de daartoe be- noodigde tijden. 3^e wet. De kwadraten der omloopstijden van twee pla- neten verhouden zich als de derde machten van haar ge- middelde afstanden tot de zon. Ter verklaring van deze wetten van Keppler stelde Newton de volgende hypothese op: Twee willekeurige punten P en P. trekken elkander aan met een kracht, waarvan de grootte evenredig is met de massa\'s van P en P_t, en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand. Zijn de massa\'s van de punten P en P, m en Mj, en is

-ocr page 79-



		67

		hun afstand r meters, dan trekken zij elkander aan met een kracht van K dyn. eenheden, als: K-f^. (26) Stelt men in deze vergelijking m, m, en r gelijk aan 1, dan wordt K = f. De standvastige grootheid f geeft dus aan het aantal dynamische eenheden van de kracht, waar- mede twee massa\'s elk groot één kilogram, elkander aan- trekken, wanneer zij op één meter afstand van elkander verwijderd zijn. De algemeene verklaring van de wetten van Keppler uit de hypothese van Newton kan slechts met behulp van hoogere wiskunde worden gegeven. In de veronderstelling, dat de planeten cirkelomtrekken doorloopen, kunnen genoemde wetten op eenvoudige wijze uit de hypothese van Newton worden afgeleid. Zij M kilogram de massa der zon, m kilogram de massa van een planeet, en zij r meters de afstand van het middel- punt der planeet tot het middelpunt der zon, dan is de aan- trekkingskracht, die de zon op de planeet uitoefent: Daar bij de veronderstelde beweging r standvastige grootte heeft, is dus ook de grootte van de op de planeet werkende kracht standvastig; zij is bovendien steeds naar hetzelfde punt, het middelpunt van de zon gericht. De planeet heeft dus een eenparige cirkelvormige beweging, en daarmede zijn voor het geval van cirkelvormige planetenbeweging de eerste twee wetten van Keppler verklaard. De kracht K heeft de grootte der centripetaalkracht, of: _v , Mm me\'¹ . , . K = s- =------ dyn. eenheden. als e eenheden de snelheid is van de planeet bij haar be- weging om de zon. Is T seconden de omloopstijd van de planeet, dan is:


		c = -jr en f-p- =		in ²rm


		5*

-ocr page 80-



		68

		Is van een andere planeet de massa /«,, de afstam! tot de zon r, , en de omloopslijd T,, dan is: Mm_x__4tt r. h», \'1* -¹1 Deelt men deze twee vergelijkingen op elkander, dan vindt men:

		waarmede de \'M" wet van Kr.rpi.KR is verklaard. § 27. Aantrekkingskracht. Uit de hypothese van Newton kunnen ook de verschijn- selen verklaard worden, welke zich voordoen bij de bewe- ging van een stoffelijk punt nabij de oppervlakte van de aarde. Elk punt Q van de aarde oefent op een stoffelijk punt P een kracht uit van f ., \' eenheden, als de massa van r P m kilogram, die van Q m. kilogram, en de afstand van P tot Q r meters is. Om de kracht te vinden, die de geheele aarde op P uitoefent, zou men de resultante moeten zoeken van de krachten, waarmede alle punten der aarde op P werken. Deze resultante kan niet berekend worden, daar men niet de massa van elk punt der aarde kent. Omdat echter alle composanten evenredig zijn met de massa van P, zoo zal ook de resultante evenredig zijn met de massa van P, en bijv. gelijk zijn aan mp eenheden, waarin /; dus is de kracht, die de aarde uitoefent op de massa van één kilogram. Men kan bewijzen, dat indien de aarde een homogeene bol was, of bestond uit homogeene concentrische lagen, de kracht, die de aarde op een punt P daarbuiten zou uitoefenen, dezelfde grootte en richting zou hebben, alsof de geheele massa der aarde in haar middelpunt gecon- centreerd was. Nu is de aarde wel niet een bol bestaande uit homogeene concentrische lagen, maar bij benadering mag zij daarvoor gehouden worden. In deze onderstelling is de kracht, die de aarde uitoefent op een punt P, overal gericht naar het

-ocr page 81-



		on

		middelpunt toe, en is de waarde van p overal aan de opper- vlakte der aarde dezelfde. Uit de hypothese van Newton blijkt derhalve, dat de aarde op een punt P met de massa m kilogram een kracht mp uitoefent, die van standvastige grootte is, zoolang de afstand van P tot de oppervlakte der aarde slechts een kleine verande- ring ondergaat in vergelijking met zijn afstand tot het middel- punt der aarde. Elk punt, welke zijn massa ook moge zijn, krijgt daardoor een deviatieversnelling van p eenheden. De omstandigheid dat de aarde geen bol is, maar aan de polen is afgeplat, maakt dat deze deviatieversnelling niet dezelfde is op alle plaatsen der aarde. Men noemt de kracht waarmede de aarde op een punt P werkt, de aantrekkingskracht door de aarde op P uitge- oefend; en de deviatieversnelling, die P onder de werking der aantrekkingskracht zou krijgen, de versnelling der aan- trekkingskracht voor de plaats waar P zich bevindt. Deze bedraagt aan den aequator ongeveer 9,814 eenheden. Om den invloed na te gaan, dien de hoogte van P boven de oppervlakte der aarde heeft op de versnelling der aan- trekkingskracht, kan men op de volgende wijze te werk gaan. Zij de massa der aarde A kilogram, die van P m kilogram; zij p eenheden de versnelling der aantrekkingskracht voor een plaats aan de oppervlakte der aarde, dus op een afstand gelijk aan den aardstraal of aan r meters; en p_x eenheden de versnelling der aantrekkingskracht voor een plaats op den afstand R meters van het middelpunt der aarde; dan is volgens de hypothese van Newton : j, mA . mA ,__. ^mP = f ~pr ^en ^mPi = f #0 (²⁷) r~ of na deeling: p_x = p ^. De aardstraal is ongeveer 6370000 meters lang, terwijl de hoogte van den hoogsten berg boven de oppervlakte der zee nog geen 10000 meters bedraagt. Op den top van zulk een berg zou de versnelling der aantrekkingskracht de grootte hebben: 637²p_{ = 9,81 . jïö^j = 9,78 eenheden.

-ocr page 82-

De afstand van de maan tot de aarde bedraagt ongeveer
60 aardstralen; op dien afstand heeft de versnelling der
aantrekkingskracht slechts de grootte:

r² 9 81

^ft ⁼ ^V 6ÖV² ⁼ 360Ö ⁼ °\'°⁰²⁷ ^eenheden-

In § \'23 is gevonden dat de kracht, die op de maan moet
werken, om haar de beweging mede te deelen, welke zij
werkelijk heeft, 0,0027 m eenheden bedraagt. Uit de over-
eenstemming van dit getal met het zooeven gevondene, blijkt
dat de uit de hypothese van Newton berekende waarde der
aantrekkingskracht juist de grootte heeft, die ter verklaring
van de maanbeweging moet worden aangenomen.

Op de hypothese van Newton berust ook de methode,
waarop men in de sterrenkunde de massa\'s van twee hemel-
lichamen vergelijkt.
\'\'^_r\'"f .. Zij Z kilogram de massa van de zon, A kilogram de massa
\', Ot*\',r\'< der aarde, en R meters de afstand van het middelpunt der
aarde tot het middelpunt der zon; zij verder V het aantal
eenheden van de snelheid, die de aarde bij haar beweging
om de zon bezit. Beschouwt men bij benadering de aard-
baan en evenzoo de maanbaan als cirkels, dan heeft men:

Is de massa der maan Mkilogram, is de afstand van het
middelpunt der maan tot het middelpunt der aarde r meters,
en is de snelheid, die de maan bij haar beweging om de
aarde bezit, v eenheden, dan heeft men evenzoo:


*Mv¹ _*	*--f*	MA
r	*_r2*
>n dan:
Z A	V¹ V¹	B r

Na deeling vindt men dan:

2nE <ïnr

of daar: V=~ en »= ?,

-ocr page 83-



		71

		waarin T de omloopstijd van de aarde om de zon, en t de omloopstijd van de maan om de aarde is, A r³ \' T2" Men vindt voor deze verhouding ongeveer 320000. De massa der zon is dus ongeveer 320000 maal zoo groot als de massa der aarde. Als men in de eerste der vergelijkingen (27) de groot- heden A en r vervangt door de massa M en de straal R van eenig ander bolvormig hemellichaam, dan verkrijgt men, in de veronderstelling dat ook daarop de massa op de boven aangenomen wijze is verdeeld, voor de versnelling van de aantrekkingskracht aan de oppervlakte van dat hemellichaam, de vergelijking: mM "Pi = f _R2- , welke door vergelijking (27) gedeeld, verandert in: M r² De massa der zon is ongeveer 320000 maal zoo groot als de massa der aarde, en de straal der zon is ongeveer 108 aardstralen; de versnelling van de aantrekkingskracht aan de oppervlakte van de zon heeft dus de grootte: 320000^4 r² . ₀. ₀_ . ₀_n , , Pi = P* _A------mK7* ⁼ ⁹\'⁸¹ ² \'⁴ ⁼ ² ^eenheden> Als men de kracht K in vergelijking (26) rechtstreeks meet door twee massa\'s van m en m_l kilogram op een afstand van r meters te plaatsen, en de grootte waar te nemen van de aantrekking, die deze massa\'s op elkander uitoefenen, dan kan deze vergelijking dienen om de grootte A van de massa der aarde te berekenen. Noemt men namelijk q de bekende kracht, waarmede de massa m_l op den bekenden afstand R. den aardstraal, door de onbekende aardmassa A wordt aangetrokken, dan heeft men:

		9 = f^ï4- ^B



		\'

-ocr page 84-



		72

		welke door vergelijking (26) gedeeld, verandert in: % = s~ of A = m . % . f. K m R¹ A r¹ Op deze wijze heeft inen inderdaad de massa der aarde genieten, en daarvoor ongeveer gevonden: 4 = 6,1 . 10²* kilogram. Een kubieke meier van den aardbol heeft dus gemiddeld een massa van 5675 kilogram. Als men uit vergelijking (27) f oplost, dan vindt men voor de kracht, waarmede een massa van 1 kilogram een andere massa van 1 kilogram op een afstand van 1 meter aantrekt: r* Hierin de bekende waarden substitueerende: f»9,81. K-~?J?ï =65.10-12 eenheden. \' 6,1 . lü²⁴

		§ 28. Zwaartekracht. Indien men een punt P in de nabijheid van de opper- vlakte der aarde loslaat, dan gaat het zich, volgens het boven verklaarde, onder de werking der aantrekkingskracht bewegen in de richting naar het middelpunt der aarde. Het blijkt nu, dat de richting der door ons waargenomen bewe- ging een andere is, als de werkelijke beweging. Dit ver- schijnsel wordt verklaard uit de asdraaiing der aarde, waar- aan wij zei ven deelnemen. Opdat een punt Q met de massa m kilogram, in de on- middellijke nabijheid van de oppervlakte der aarde en aan de asdraaiing der aarde deelnemende, op dezelfde plaats ten opzichte van de aarde blijve zweven, moet er een kracht K (fig. 31) op werken, steeds gericht naar het middelpunt M van den cirkel door Q doorloopen, en groot m k = mr u>² eenheden, indien w is het aantal eenheden van de hoeksnelheid van Q, en r de straal van den cirkel door Q doorloopen. Nu is de werkelijk op Q werkende kracht, de

-ocr page 85-



		73

		aantrekkingskracht P, gericht naar het middelpunt O dei- aarde, en mp eenheden groot. Indien men de kracht P ontbindt in de kracht K en in een andere kracht G, dan is de richting en de grootte van G bepaald De kracht P heeft op de beweging van het Fig31 punt Q denzelfden invloed als de ont- bindingskrachten K en G te zamen. Daar dé werking van K daarin be- staat, dat het punt Q zwevende wordt gehouden ten op- zichte van de aarde, zoo zal de waarge- nonien beweging van Q ten opzichte van de aarde, alleen af- hangen van do kracht G. Deze kracht G is het, die de zwaarte- kracht wordt ge- noemd, en die aan het punt Q de versnelling der zwaarte- kracht geeft, welke hierboven steeds dooi^- g is voorgesteld. De versnelling der zwaartekracht is niet op alle plaatsen der aarde even groot, zelfs als de versnelling der aantrek - kingskracht dit wel was; haar grootte hangt af van de breedte der plaats. In de veronderstelling dat de versnelling der aantrekkingskracht overal even groot is, kan men een. betrekking vinden tusschen de versnelling der zwaartekracht op een plaats aan den aequator en die op een plaats op de breedte y gelegen. Kortheidshalve zullen de grootheden door de wijzers o en <j> worden, onderscheiden, al naarmate zij betrekking hebben op een plaats aan den aequator of op de breedte qp. Dus: G = mg en G_(f = mg_(f K = mk_a en K_(fl = mk_(f.. Aan den aequator hebben K_n en P dezelfde lichting; dus: Gv, = P K» of mg = mp mk₀ g₀ =p k₀.


		u

-ocr page 86-



		74

		De versnelling k heeft de standvastige waarde k = Rui², als R de straal der aarde is. De aarde volbrengt haar aswenteling in 23" 56^m 4,1» of in 86164,1 seconden. De hoeksnelheid van elk punt der 2 n aarde is dus u> = _or.T , . = 0,00007292 eenheden. Neemt 86164,1 \' men R = 6370000 meters, dan is k = R^ = 0,03387. Op de breedte y heeft men blijkens de figuur, na weg- lating van den gemeenschappelijken factor m: *V =P²* V ?\\ ^c( OP «) »** terwijl k = R cos ( p a) o>² = & cos (qp «) is. Daar « in vergelijking met qp klein is, mag men haar verwaarloozen, en wordt de vergelijking: V =P² -(2pfc, - &₀²)cosH=P² ^ _ ²l-^A»zMcos <p) fy> ⁼ ^iJ \| ^j " ^2------cos 2 qp j² = v./ #/ i>M--- / -----5-------COS ²(B .......}. \'Wiar, zooals uit de boven gevonden waarden blijkt, k klein is in vergelijking van p, mogen de tweede en hoogere machten van k_n verwaarloosd worden, en gaat de vergelijking over in: 9q_l = P K cos ² ij. = p k₀-\\- k sin ²qp = g -\\- A\'₀sin 2<j>. Door rechtstreeksche waarneming heeft men voor de ver- snelling der zwaartekracht op een plaats aan den aequator gevonden 9,7806 eenheden. De versnelling der zwaarte- kracht op de breedte <p is dus: g = 9,7806 0,03387 sin »<p. Vergelijkt men de door waarneming gevonden waarden van g met de uit deze vergelijking voortvloeiende, dan blijkt het dat deze laatste te klein zijn, dat dus de waarden van g van den aequator naar de polen gaande, sterker aangroeien dan uit deze vergelijking zou volgen. De reden van dit verschil ligt in de onjuistheid van de veronderstel"

-ocr page 87-

-ocr page 88-



		70

		in evenwicht, en beschrijft men op de lijnen AC en AD, die de krachten K_x en K₂ voorstellen, een parallelo- gram, dan is de diagonaal A B even groot als de lijn die de kracht K₃ voorstelt. De zijden van den driehoek ABC stellen de drie krachten voor; zij verhouden zich als de sinussen van de tegenoverliggende hoeken. Vervangt men deze hoeken door hun supplementen «, , a₂, «₃ , dan verkrijgt men de evenredigheid: AT, : K₂ : K₃ = sin «, : sin cr₂ : sin a₃. De algemeene voorwaarden voor het evenwicht van de op een stoffelijk punt wei-kende krachten verkrijgt men uit ver- gelijking (13), door de daarin gevonden waarde der resultante gelijk nul te stellen: 1/XH- V KJ = 0. De grootheid onder het wortelteeken bestaat uit drie termen, die nooit negatief kunnen zijn. Zij kan dus alleen dan ge- lijk nul wezen, als elk der termen nul is. Deze vergelijking bevat dus de drie volgende: K_r = 0 K_y = Q K_: = 0, of voor K_x, K_y en A\'. haar waarden stellende: 2 (K cos «) = 0 2\' (Kcos §) = 0 2 (K cos y) = 0. Daar de stand van de drie onderling loodrechte assen wille- keurig gekozen is, zoo volgt uit deze vergelijkingen: Als de op een stoffelijk punt \'werkende krachten met elkander in evenwicht zijn, dan is de som van de ontbon- denen dier krachten langs elke willekeurige lijn gelijk nul. Omgekeerd: als de som der ontbondenen van de op een stoffelijk punt werkende krachten langs drie onderling loodrechte lijnen gelijk is aan nul, dan vindt hetzelfde plaats langs elke willekeurige andere lijn, en zijn de krachten met elkander in evenwicht. Weet men dat eenige krachten met elkander in evenwicht zijn, en kent men er enkele van, dan kan men soms de overige nog onbekende krachten vinden, door op het geheele stelsel van krachten de evenwichtsvergelijkingen toe te passen. Als bijv. aan het aanhechtingspunt A (fig. 33) van drie in de punten B, C en D bevestigde draden, door middel

-ocr page 89-



		77

		van een vierden draad een gewicht Q opgehangen is, dan volgt uit den toestand van rust van het punt A, dat de

		vier dooi\' middel van de draden er op uitgeoefende krachten K, , K₂, K₃ en Q aan de evenwichtsvergelijkingen inoettn voldoen Neemt men de as A Z in de richting tegengesteld aan die der zwaartekracht, waardoor de assen AX en A Y in een horizontaal vlak liggen, dan worden de evenwichtsver- gelijkingen:

		, A^-, cos «, -\\- K_t cos »j- -j- A\'₃ cos »₃ = 0 K_t cos (3, -f- K₂ cos \|?₂ -\|- Af₃ cos \|?₃ O K_t cos /, -\\- h\'₂ cos ; _a -\|- K₃ cos ^₃ Q = 0. Zijn de richtingen dei\' draden, en daarmede de hoeken bekend, dan kunnen de drie onbekende grootheden K_l , K_% , Zf₃ uit deze drie vergelijkingen berekend worden.

-ocr page 90-

f. , Ay

t / X-VU 6*C "

6 1/

;\'

4a~* ^A \' \'**V J <\'"\'\' ^ \' 

r<<

Het vraagstuk kan ook door constructie worden opgelost;
men heeft daartoe slechts een parallelopipedurn te constru-
eeren, welks diagonaal A E even groot is als de lijn, die
de kracht Q voorstelt, en welks ribben evenwijdig zijn aan
AB, AC en AD. De drie langs AB, AC en AD
vallende ribben stellen dan in richting en grootte de krachten
K_t , K₂ en K.₆ voor.

Het aantal evenwichtsvergelijkingen wordt tot twee terug-
gebracht, als alle krachten werken langs lijnen in een-
zelfde vlak gelegen. Neemt men de assen zoodanig dat
de 2T-as loodrecht staat op dit vlak, dan zijn de grootheden
cos /,.... cos y alle gelijk nul, en ter bepaling van de
richting van elk der krachten is de hoek, dien de lijn waar-
langs zij werkt met de X-as maakt, voldoende. De groot-
heden cos [i_t .... cos |3,, kunnen toch in dit geval vervangen
worden dooi\' sin w, .... sin «« (fig. 34), en de evenwichts-
vergelijkingen worden:

£ (Kcos a) = 0. £ (K sin «) = 0.

In het bijzondere geval eindelijk, dat alle krachten langs

dezelfde lijn werken, is er

FiffM.

slechts een evenwichtsverge-

lijking noodig, namelijk :

£ (K) = 0.

De som der naar den eenen
kant gerichte krachten moet
dus gelijk zijn aan de som
der naar den tegengestel-
den kant gerichte krachten.
Heeft in dit geval het punt
een eenparige beweging langs
de lijn, waarlangs de krachten
werken, dan noemt men de
som der krachten in de rich-
ting der beweging werkende,

Hi,cos a_t

ook wel de beweegkracht, en

de som der krachten in de

richting tegengesteld aan die der beweging werkende, den

weerstand.

-ocr page 91-



		79

		HOOFDSTUK V. Beweging van een stoffelijk punt langs voorgeschreven lijnen. § 30. Weerstanden van vaste vlakken, lijnen, punten. Slechts door een kracht kan de bewegingstoestand van een punt worden gewijzigd. Indien derhalve op een punt. eenige krachten werken, wier resultante A\' bekend is, en het blijkt, dat de door het punt werkelijk volbrachte beweging afwijkt van de beweging, die de kracht K alleen werkende zou tengevolge hebben, dan moet de oorzaak dier afwijking gezocht worden in een kracht, welke nog bovendien werkzaam was. Deze onbe- kende kracht moet dan een zoodanige zijn, dat zij met de kracht K samengesteld, een resultante oplevert, die de wer- kelijk volbrachte beweging tengevolge heeft. Op deze wijze moeten de krachten beoordeeld worden, die optreden, wanneer een stoffelijk punt dooi^- hindernissen in zijn vrije beweging wordt belemmerd. Grootte en rich- ting dier krachten kunnen uit de werkelijk volbrachte be- weging gevonden worden, zoodra de overige werkende krach- ten bekend zijn. Indien een stoffelijk punt zich beweegt langs de opper- vlakte van een in rust zijnden vasten wand, en de kracht ÜT een zoodanige richting heeft, dat zij, alleen werkende, het punt naar de ruimte achter de oppervlakte zou drijven, dan moet er, daar het punt op de oppervlakte blijft, behalve de kracht K nog een andere kracht P op werken, die door den vasten wand op het punt wordt uitgeoefend. Is de oppervlakte van den wand een plat vlak, dan moet de lijn, waarlangs de resultante van K en P werkt, in dit vlak zijn gelegen, daar anders het punt het vlak zou verlaten. Uit deze voorwaarde alleen kan men intusschen de grootte en de richting der onbekende kracht P nog niet bepalen. Men kan toch op oneindig veel verschillende wijzen een parallelogram beschrijven, welks eene zijde de lijn is die K voorstelt, en waarvan de diagonaal in het vlak ligt. Welke richting de onbekende kracht P ook moge hebben,

-ocr page 92-

steeds kan men zich haar ontbonden denken in twee andere
krachten N en W, waarvan de eene N langs de normaal,
de andere W langs een lijn in het vlak werkt. De ont-
bjndingskracht N kan steeds bepaald worden uit de gegeven
kracht K alleen, ook zonder dat men de werkelijk volbrachte
beweging kent. Daar toch de lijn, waarlangs de resultante
van A\' en P werkt, in het vlak moet vallen, zoo moet nood-
zakelijk de ontbindingskracht dier resultante in de richting
der normaal gelijk nul zijn. Uit fig. 35 vindt men dus de
vergelijking:

K cos u N = 0 of N = K cos a.

dat is, de normale weerstand, dien de wand biedt is steeds even

groot als en tegenge-
iïg35. steld gericht aan de

normale ontbondene

van de kracht K.

Wat de andere ont-
bindingskracht W
betreft, deze hangt
af van de stof der
lichamen, van de
hoedanigheid hun-
ner oppervlakten.
Het is niet mogelijk
a priori haar rich-
ting en grootte te

Kcosa.

bepalen ; de wetten ,
volgens welke deze
ontbindingskracht werkt, kunnen slechts gevonden worden
door waarneming van de werkelijk volbrachte beweging.
Uit zoodanige waarnemingen is gebleken, dat deze kracht W
steeds werkt in de richting tegengesteld aan die, waarin het
punt zich werkelqk beweegt, of althans zich zou bewegen,
indien de kracht W niet werkte; dat zij toeneemt met de
normale ontbindingskracht van K_t, waarmede zij bij benadering
evenredig gesteld mag worden ; en dat zij onder overigens
gelijke omstandigheden kleiner is, naarmate de oppervlakten
der lichamen gladder zijn. De onthindingskracht W wordt
de wrijvingsweerstand genoemd; zij zal later in een afzon-

-ocr page 93-



		81

		derlijk hoofdstuk worden behandeld. Voorloopig wordt aan- genornen, dat de oppervlakten volmaakt glad zijn, en dus: W=0. Onder deze omstandigheden bestaat de werking van den wand alleen in het te voorschijn roepen van de kracht N, door welke de normale ontbindingskracht van K in even- wicht gehouden wordt. Het stoffelijk punt beweegt zich derhalve als een vrij punt, waarop slechts de ontbindings- kracht K sin « werkt. Denkt men zich het stoffelijk punt ingesloten tusschen twee zulke gladde evenwijdige oppervlakten, die elke bewe- ging in de richting van de normaal, zoowel naar den eenen als naar den anderen kant beletten, dan geraakt men tot de voorstelling van een punt, dat zich slechts in een vlak kan bewegen. Men moet zich voorstellen dat dit vlak nor- male krachten doet ontstaan, telkens wanneer zonder deze het punt het vlak zou verlaten, en dat die krachten steeds juist zoo groot zijn als noodig is, om te beletten dat het punt het vlak verlaat. Denkt men zich een stoffelijk punt zoodanig door vaste lichamen omgeven, dat het zich slechts langs een rechte lijn bewegen kan, zooals bijv. een kogel in een rechte buis, dan geraakt men tot de voorstelling van een vaste rechte lijn. Men moet zich voorstellen, dat die lijn normale krachten doet ontstaan, telkens wanneer zonder deze het punt dé\'lijn zou verlaten, en dat deze krachten steeds juist zoo groot zijn als noodig is, om te beletten dat het punt de lijn verlaat. Eindelijk kan men zich een stoffelijk punt zoodanig door vaste lichamen ingesloten denken, dat elke beweging, naar welke richting ook, wordt belet; zoodoende geraakt men tot de voorstelling van een vast punt, dat telkens krachten doet ontstaan, wanneer zonder deze het stoffelijk punt in bewe- ging zou geraken; krachten steeds juist zoo groot als noodig is om elke beweging te beletten. § 31. Beweging langs een voorgeschreven rechte lijn. Indien een stoffelijk punt P onder de werking van de standvastige kracht K (lig. 36) zich langs een voorgeschreven Dr. Julius, Mechanica. 6

-ocr page 94-

rechte lijn van A naar B beweegt, dan bestaat de werking
van de vaste lijn daarin, dat zij op ieder oogenblik een
normalen weerstand N te voorschijn roept, juist zoo groot als
noodig is, om te maken dat de resultante van K en N

langs de lijn A B

Fici\'ïd ^va^- De arbeid

door de resultante

dier beide krach-

ten verricht, is

in dit geval gelijk

aan den arbeid

door de kracht K

verricht, omdat N

steeds loodrecht

gericht is op de

beweging. Is het

punt P van A in

B gekomen, dan

heeft het een

arbeidsvermogen

van plaats van

Ks eenheden ver-

loren, als de projectie van AB op de richting van K s me-

ters lang is. Heeft P in A de snelheid c eenheden, in B

de snelheid v eenheden, dan heeft P een arbeidsvermogen

wiv tïic
van beweging van  -_Q- _ eenheden gewonnen, als de

massa van P m kilogram is. Volgens de wet van het be-
houd van arbeidsvermogen is:

mv\'

me*

Ks = mas,

v*=Ve*

of:

\'.as,

waaruit blijkt, dat de grootte der eindsnelheid v onafhankelijk
is van de helling der baan, en slechts afhangt van de
grootte der aanvangssnelheid c, en van den weg in de richting
dei^- kracht afgelegd.

Vervangt men in bovenstaande vergelijking de kracht K
door het gewicht mg van het punt, en is de in verticale

-ocr page 95-

richting doorloopen hoogte h meters, dan verkrijgt inen de
vergelijking:

x _ = mgh of v = V c\'- -\\- 2 gh,

uit welke blijkt, dat de grootte der eindsnelheid v onaf-
hankelijk is van de helling der baan, en slechts afhangt
van de grootte der aanvangssnelheid c, en van het verschil
in hoogte h der punten A en B.

De resultante van de krachten K en N (fig. 37) is
.STsin «. Ontbindt men toch de kracht A\' in /^sin « en Kcoaa,
dan wordt de ontbindingskracht K cos a in evenwicht ge-
houden door den weerstand N, en de ontbindingskracht

K sin « deelt aan

het punt P langs
de voorgeschreven
lijn een bevve-
ging mede, even
alsof P een vol-
komen vrij punt
ware. De ver-
snelling , die P
verkrijgt, is dus:
A\'sin«
m
Zijn beweging

Fis 37.

Jfcosa

is eenparig ver-
sneld.

Is K het ge-
wicht van P,dan
is K=mg, en men vindt dus voor de versnelling, waar-
mede een punt P zich onder de werking der zwaartekracht
beweegt langs een hellend vlak, dat een hoek « maakt met
den horizon:

mg sin a . , ,

V = -^s--------= q sin a eenheden.

Is de aanvangssnelheid c = o, dan vindt men voor den
in t seconden afgelegden weg l: .

1 = gsmct. y meters, ptt /v-t>-(</vt*S.ffk ,;

\'M .

-ocr page 96-

Lost men hieruit t op, dan is:

2
(I

seconden.

sin «

De duur der beweging hangt alleen af van de grootte

van het quotiënt -- : verschillende hellende lijnen worden
* sin a °

dus in onderling gelijke tijden doorloopen, als de quotiënten
voor al deze lijnen gelijk zijn. De vier zijden van

sin «

een willekeurigen rechthoek ABCD

(fig. 38), welks eene diagonaal ver-
ticaal staat, voldoen aan deze voor-
waarde, want men heeft:

sin « sin «,

Verder blijkt hieruit, dat alle koor-
den, die door een der beide eind-
punten gaan van de verticale mid-
dellijn eens cirkels, door een punt P
onder de werking der zwaartekracht
in onderling gelijke tijden worden
doorloopen.
De beweging van een punt langs een voorgeschreven

Fiff.39.

rechte lijn is eenparig

als de ontbindingskrachten
in de richting der lijn
met elkander evenwicht
maken. De resultante der
krachten is dan loodrecht
op de lijn gericht, en wordt
door den weerstand van
deze in evenwicht ge-
houden.

Om bijv. een punt P
met het gewicht Q (fig. 39)

i)epsa.

zich eenparig te doen be-

wegen langs een lijn,
die een hoek u met den horizon maakt, is een in de

-ocr page 97-

richting der helling naar boven werkende kracht noodig:

K = Q sin «,
en de weerstand der baan is:

N = Q cos «.
Werkt daarentegen de kracht K (fig. 40) in horizontale

Fitj40

richting, dan moet zij voldoen aan de vergelijking:
K cos a = Q sin a of A\' =Wg et.
In dit geval heeft de weerstand de grootte:
N = Q cos « -\\- Ks\\n a,
of, na substitutie van de voor K gevonden waarde : ,

C*l < » \'

N Q (cos u -\\- tg_« . sin «) =

cos u

Het is hierbij volkomen hetzelfde of de eenparige bewe**\'-^> *
ging naar boven of naar beneden is gericht. -

-ocr page 98-



		86

		§ 32. Eenparige beweging langs een voor- geschreven kromme lijn. De normale weerstand van een rechte lijn komt steeds slechts dan in werking, als een kracht, wier richting niet met die van de lijn samenvalt, dien weerstand te voorschijn roept. Is zulk een kracht niet aanwezig, dan biedt de lijn ook geen weerstand. Bij de beweging van een punt langs een voorgeschreven kromme lijn daarentegen, wordt een weerstand ook dan te voorschijn geroepen, als er overigens geen krachten op het punt weiken. Om toch de richting der snelheid van een punt aanhoudend te doen veranderen is voortdurend een kracht noodig In de veronderstelling dat er geen \\vrijvings- weerstand bestaat, moet ook hier de weerstand in ieder punt loodrecht gericht zijn op de kromme lijn, en deze weer- stand kan dus alleen de richting, maar niet de grootte der snelheid doen veranderen. Het punt P zal derhalve, indien er overigens geen krach- ten op werken, de voorgeschreven kromlijnige baan met eenparige beweging doorloopen. Om in dit geval de grootte en de richting van den nor- malen weerstand te bepalen, moet men onderzoeken, welke kracht op een vrij stoffelijk punt zou moeten werken, om het een beweging te doen volbrengen, in alle opzichten gelijk aan de werkelijk volbrachte beweging. Daartoe verdeele men de lijn in zoo kleine deelen, dat elk deeltje als een cirkel boog mag worden beschouwd (Qg. 41). Den straal van zulk een oneindig klein cirkelboogje ab noemt men den kromtestraal van de kromme lijn in a Heeft een punt P een eenparige beweging met de snelheid c, langs den om- trek van een cirkel met den straal q, dan moet de op P werkende kracht gericht zijn naar het middelpunt van den cirkel toe, en de grootte hebben: ,, me\'¹ Daar gedurende de beweging de snelheid c van het punt onveranderd blijft, zoo is de weerstand van de kromme lijn omgekeerd evenredig met den kromtestraal.

-ocr page 99-

Indien het punt P bijv. een spiraal van buiten naar binnen
doorloopt, dan neemt de weerstand aanhoudend toe; heeft
daarentegen de lijn overal dezelfde kromming, zooals bijv.
bij een cirkelomtrek of bij een schroeflijn, dan is de weer-
stand in alle punten

even groot. Is op

F{<j41

eenige plaats op de

kromme lijn q == o,
dan wordt N on-
eindig groot, d. w. z.
een punt kan on-
mogelijk langs een
lijn met hoeken een
eenparige beweging
hebben.

Ook dan nog is
de beweging van P
eenparig, als op P
behalve de weer-
stand der kromme
lijn nog een kracht K
werkt, mits deze kracht in ieder punt loodrecht gericht zij
op de kromme lijn. De weerstand N der lijn wordt daardoor
echter een andere; hij zal nu toch moeten kunnen ontbonden
worden in twee krachten, waarvan de een is even groot als

tHC~

en tegengesteld gericht aan K, terwijl de andere ----- de

richting der snelheid zal doen veranderen.

In het bijzondere geval dat de voorgeschreven baan een
vlakke kromme lijn is, en de lijn, waarlangs de kracht K
werkt, in het vlak dier kromme ligt, heeft men:

,_r me\' _ , _r, me*

N =-------F K of N ± K =

dat

al naarmate de kracht K naar binnen of naar buiten
werkt, verkleint of vergroot zij den weerstand N. Werkt
de kracht K naar binnen, dan is de som N -\\- K, werkt zij
naar buiten, dan is het verschil NA\' gelijk aan de
centripetaalkracht.

Indien een punt P een eenparige kromlijnige beweging

-ocr page 100-

heeft langs een voorgeschreven lijn, dan is op ieder oogen-
blik de resultante van alle op P werkende krachten de
centripetaalkracht.

Heeft K toevallig de richting en de grootte der centripe-
taalkracht, dan wordt N=o; de kromme lijn zal dan
kunnen weggenomen worden ; het nu vrije punt P zal des-
niettegenstaande de voorgeschreven baan doorloopen.

§ 33. Veranderlijke beweging langs een voorge-
schreven kromme lijn.

Indien de kracht K niet loodrecht op de kromme lijn is
gericht, dan verandert ook de grootte der snelheid van P.
Om de grootte der snelheidsverandering te bepalen , kan men
ook hier gebruik maken van de wet van het behoud van
arbeidsvermogen. Welke richting toch de kracht K moge
hebben, de normale weerstand der kromme lijn is in ieder
punt loodrecht op de baan van P gericht, en verricht dus
den arbeid nul. Legt P het stuk AB (fig. 42) van zijn
voorgeschreven baan af onder de werking der kracht A\', heeft
P in A een snelheid c eenheden, in B een snelheid v een-
heden, en is de projectie van AB op de lijn , waarlangs
K werkt, s meters lang, dan heeft men:

rnv

mc- _ 

De eindsnelheid v hangt dus
wederom alleen af van de aan-
vangssnelheid, en van den in de
richting der kracht afgelegden
weg, en is geheel onafhankelijk
van den vorm der voorgeschreven
baan.

Doorloopt P bijv. onder de
werking der zwaartekracht een
volkomen gladde gebogen buis,
en is het verschil in hoogte van
het aanvangspunt en het eind-
punt der beweging h meters, dan vindt men dezelfde ver-
gelijking:

-ocr page 101-

me\'

mv*

mgh of v = l/c² -f- Igh,

die reeds in § 34 voor de beweging langs een voorgeschreven
rechte lijn, en in § 18 voor de beweging van een vrij
stoffelijk punt onder de werking der zwaartekracht is ge-
vonden.

Om op eenig oogenblik de versnelling van de ontbindings-
beweging in de richting der baan, de zoogenaamde tangen-
tiaalversnelling, te bepalen, moet men de kracht K (Qg. 43)
in twee krachten ontbinden, de eene. langs de normaal op

de kromme , de andere
Pi?43 langs do raaklijn. De

tangentiale ontbindings-
kracht K cos « geeft
aan het puntdetangen-
tiaalversnelling::

K COS tt

De normale ontbin-
dingskracht K sin «
heeft geen andere uit-
werking dan het te
voorschijn roepen van
een nieuwen weerstand
even groot als en tegengesteld gericht aan die ontbindings-
kracht. De weerstand N moet dus kunnen ontbonden
worden in een kracht even groot als en tegengesteld aan
de normale ontbindingskracht van K en in de centripetaal-
kracht.

Indien de voorgeschreven baan een vlakke kromme is,
en de.lijn, langs welke de kracht werkt, in het vlak dier
kromme ligt, dan heeft men:

N = K sin « of N±K sin « = ^C\', (28)
0 L>

al naarmate de normale ontbindingskracht K sin« naar
binnen of naar buiten werkt.

.>,.\' \'a \' m-?*Asc /&%****-*e^ ,._t.- ^,^04/ *

-ocr page 102-

§ 34. Beweging langs een verticalen cirkelomtrek.

Laat een punt P met de massa m kilogram zich bevinden
in A (fig. 44) op h nieters boven het hoogste punt van een

verticalen civkelom-

Fig.

trek met een straal

van r meters. In-
dien nu het punt
onder de werking
der zwaartekracht
valt langs een krom-
me lijn, en bijv. bij
M den cirkelom-
trek binnentreedt,
dan kan men den
weerstand bereke-
nen, dien Pin eenig
punt B van den
cirkelomtrek onder-
vindt.

Bevindt B zich
x meters beneden

het hoogste punt van den cirkel, dan kan de snelheid c

van P bepaald worden uit de vergelijking:

me\'

= mg (h x),

«)

waaruit men vindt, na voor x zijn waarde x = r (1

te hebben gesubstitueerd:

c\'¹ = 2g [h -\\- r (4 sin u) J.
De in B werkende, naar binnen gerichte weerstand van
den cirkelomtrek, kan dan uit vergelijking (28) bepaald
worden, welke voor dit geval volgens fig. 45 wordt:

at i ^m ^e%

iV -\\- mg sin a = ,

of, hierin de gevonden waarde van e² stellende en N op-
lossende :

N = 2mg (- 1 | sin «V (29)

-ocr page 103-



		91

		Of de weerstand iV, dien P ondervindt, naar binnen of naar buiten is gericht, of het dus de binnenkant of de buitenkant van den cirkelomtrek is, die weerstand biedt, dat hangt af van het teeken dat uit vergelijking (29) voor

		N verkregen wordt. De naar binnen gerichte weerstand wordt kleiner, naarmate sin« grooter wordt; hij bereikt zijn kleinste waarde in het hoogste punt van den cirkelom- trek, waar sin u 1 is, namelijk: De weerstand zal ook hier nog naar binnen gericht zijn , indien voldaan is aan de voorwaarde: »>r Hierop berust de inrichting van den zoogenaamden cen- trifugaalspoorweg, waarbij een wagen onder de werking der zwaartekracht zich beweegt langs den binnenkant van een in een verticaal vlak gelegen cirkelvormig gebogen spoorweg, zonder daarvan af te vallen. Ligt het aanvangspunt der be- weging hoog genoeg, dan zal de wagen ook in het hoogste punt van den cirkelomtrek nog een druk tegen de rails uit-*

-ocr page 104-

oefenen, een druk naar boven dus , niettegenstaande de
zwaartekracht in tegengestelde richting werkt.

Is h <^ _£- , dan zal in het bovenste gedeelte van den

cirkelomtrek de weerstand naar buiten, in het onderste ge-
deelte naar binnen gericht zijn. Het punt, waar de weer-
stand nul is, wordt gevonden door in vergelijking (29)
N=o te stellen en daaruit sin« op te lossen, welke dan
de waarde verkrijgt:

_Sm« = ₃-(l -)

§ 35. Enkelvoudige slinger.

Als bij de in de vorige paragraaf besproken inrichting
de snelheid van P in het laagste punt van den cirkelomtrek
klein is, dan zal P bij zijn opstijging spoedig tot rust komen,
en daarna zijn beweging omkeeren. In het laagste punt
gekomen zal het naar den anderen kant opstijgen, nogmaals
terugkeeren, en op deze wijze om het laagste punt van den
cirkelomtrek slingeringen volbrengen.

Een zoodanige beweging heeft bijv. een kogel, die, door

een draad aan een
vast punt verbon-
den, een weinig uit

Fi£46

zijn evenwichtsstand

gebracht en daarna
losgelaten wordt. Be-
schouwt men den
kogel als een sto£fe-
lijk punt, en ver-
waarloost men het
gewicht van den vol-
komen buigzaam en
onrekbaar . gedach-
ten draad, dan ver-
krijgt men een toe-
stel, die de enkelvoudige slinger wordt genoemd.
Onder den slingertijd van den enkelvoudigen slinger ver-

-ocr page 105-





		9:3

		staat men den tijd, dien het punt P noodig heeft, om van zijn eenen, uitersten stand in zijn anderen uitersten stand te komen; de helft dus van den tijd, die bij den conischen slinger en bij de enkelvoudige trillende beweging als trillings- tijd is aangenomen. Op het oogenblik dat de elongatiehoek, dat is de hoek dien de draad met de verticaal maakt, gelijk qp is, bedraagt de tangentiaalversnelling van P (fig. 46): mg sin qp . q , , =------ = q sin qp = \'~ x eenheden. m ⁹ ^T l De tangentiaalversnelling is derhalve evenredig met den afstand van P tot aan de verticaal; voor x = 1 meter heeft zij de waarde: g Q = . * l Indien een ander punt Q. in plaats van den boog A B, diens horizontale projectie A_l B_t (fig. 47) doorliep, en wel Siff47

		in dier voege, dat zijn versnelling evenredig was met den afstand x, en op den afstand van 1 meter de grootte q had, dan zou Q tot het doorloopen van den weg A_t B_t volgens vergelijking (25) den tijd noodig hebben: Vq ^V 9 Het punt P, dat den cirkelboog AB doorloopt, heeft wel is waar een eenigszins langeren weg af te leggen, en

-ocr page 106-



		94 gebruikt daartoe dus een eenigszins langeren tijd, maar het verschil zal des te kleiner zijn, hoe minder de lengte van den boog AB verschilt van de lengte zijner horizontale projectie A_v B₁, dat is, hoe kleiner de amplitude is. Bij een geringe amplitude mag men. dus bij benadering voor den slingertijd nemen: ^t ⁼ ⁿ\\/^l₉- ⁽³⁰⁾ Uit deze vergelijking blijkt, dat ook bij den enkelvou- digen slinger de slingertijd onafhankelijk is van de amplitude. Men kan van vergelijking (30) gebruik maken om een der drie daarin voorkomende grootheden te bepalen, zoodra de beide andere bekend zijn. Lost men er bijv. g uit op: 9= jT". dan kan zij dienen om de versnelling van de zwaartekracht te bepalen, als de waarden van t en l rechtstreeks zijn waargenomen. Lost men l op: dan geeft zij de lengte aan van den slinger, welke zijn slingeringen in t seconden volbrengt. Stelt men bijv. £ = 1, dan verkrijgt men voor de lengte van den secondenslinger op onze breedte: L = 7°,, = 0,995 meter. 3,14\'

-ocr page 107-



		TWEEDE AFDEELING.

		STATICA OF LEER VAN HET EVENWICHT VAN KRACHTEN , WERKENDE OP EEN ABSOLUUT VAST LICHAAM.

		HOOFDSTUK VI. Algemeene evenwiehtsvergelijkingen. § 36. Absoluut vaste lichamen. In de vorige afdeeling werden de lichamen steeds be- scliouwd als stoffelijke punten, hetzij omdat de afmetingen zoo klein waren, dat zij konden verwaarloosd worden, hetzij omdat er alleen sprake was van de beweging van lichamen in hun geheel, zonder dat er acht geslagen werd op het verschil in de beweging der afzonderlijke deelen. Voortaan wordt van deze vereenvoudiging afgezien. In de volgende afdeelingen zullen behandeld worden zoodanige lichamen, of lichamen onder zoodanige omstandigheden, dat *het noodig is de plaats dooi^- een deel ingenomen, te onderscheiden van de plaats door een ander deel ingenomen. De natuurkundigen stellen zich voor, dat ieder lichaam is opgebouwd uit zeer kleine deeltjes, moleculen genoemd, die elkander niet aanraken, maar door tusschenruimten, poriën, van elkander gescheiden zijn. Bovendien dringen de warmte- verschijnselen er toe aan te nemen, dat de moleculen in aanhoudende beweging zijn. Van de banen der moleculen weet men lijna niets. Men mag aannemen, dat bij vaste lichamen de moleculen zich met zeer groote snelheden be- wegen langs gesloten banen van uiterst geringe afmetingen, zoodat zij telkens op dezelfde plaats terugkomen, waar zij geweest zijn. Bij vele beschouwingen komt de beweging

-ocr page 108-



		90

		der moleculen niet in aanmerking, en wordt het werkelijke lichaam in onze voorstelling vervangen door een ander, waar- van de moleculen in rust zijn, en zich bevinden op de ge- middelde plaatsen, die zij bij haar beweging innemen. In de werkelijkheid is men in staat van elk lichaam het volume te veranderen, en dus de afstanden te wijzigen tusschen de gemiddelde plaatsen der moleculen. Men kan zich evenwel ook voorstellen een lichaam. waarvan de mole- culen niet alleen in rust zijn, maar ook hun onderlinge afstanden onder geen voorwaarde kunnen wijzigen Dergelijke vaste lichamen worden daarom absoluut vaste lichamen genoemd; en alleen de zoodanige zullen in deze afdeeling behandeld worden. Wanneer men de beschouwingen over de absoluut vaste lichamen wil toepassen op werkelijk be- staande lichamen, dan moet steeds in aanmerking genomen worden, dat zulks alleen geoorloofd is, als de werkelijke lichamen onder zoodanige omstandigheden verkeeren, dat de deelen geen merkbare afstandsverandering ondergaan, en als het niet noodig geacht wordt rekening te houden met de beweging der moleculen, d. w. z. met de warmteverschijn- selen, die zouden kunnen optreden. Men neemt daarbij dan aan, dat er zoo noodig tusschen de punten van het lichaam krachten werken, die de af- standen dier punten onveranderd houden. Omtrent deze krachten worden slechts twee veronderstellingen gemaakt. 1° dat zij werken langs de verbindingslijnen der punten, en 2" dat wanneer P een werking hetzij aantrekkend hetzij afstootend ondergaat van Q, Q een even groote werking in tegengestelde richting ondervindt van F, in. a. w , dat ook bij deze krachten, werking gelijk is aan terug- werking. Deze krachten worden inwendige krachten ge- noemd, in tegenstelling van uitwendige krachten, dat zijn zoodanige krachten, die optreden door den invloed van punten, geen deel van het beschouwde lichaam uitmakende. Men zegt dat de bewegingstoestand van een lichaam niet verandert, als de bewegingstoestand van elk zijner punten onveranderd blijft. Dit laatste zal steeds het geval zijn, als de uit- en inwendige krachten op elk punt werkende in evenwicht zijn. Indien op verschillende punten van het lichaam uitwendige krachten werken, en deze zoodanig zijn.

-ocr page 109-



		91

		dat zij tengevolge van het onderling verband der punten, geen invloed hebben op de beweging van het lichaam, dan zegt men, dat de uitwendige krachten op het lichaam wer- kende in evenwicht zijn. Onder de massa van een lichaam verstaat men de som van de massa\'s der stoffelijke punten, waaruit het lichaam bestaat. Zijn de massa\'s der stoffelijke punten m,, m₂ .. .tn, dan is dus de massa van het lichaam: *M = m_x* -f- >w₂ -f.....**-\\- m_n = .2 (>«). De afstanden tusschen de stoffelijke punten zijn zeer klein, evenals de afmetingen dier punten. Vandaar dat men ge- woonlijk niet beschouwt de massa van elk punt afzonderlijk, maar die van een groep stoffelijke punten, welke te zamen een zeker volume innemen. Onder dit volume worden ook begrepen de tusschenruimten tusschen de stoffelijke punten. De gemiddelde dichtheid van een lichaam wordt bepaald door de massa van het lichaam en door zijn volume; zij wordt evenredig gesteld met de massa die de volumeeenheid bevat. Als eenheid van gemiddelde dichtheid wordt aan- genomen de gemiddelde dichtheid van een lichaam, dat in een kubieken meter een massa van één kilogram bevat. Is de massa van een lichaam m kilogram en is zijn volume v ku- bieke meters, dan is zijn gemiddelde dichtheid d eenheden, als: d = . v Daar in het CGS-stelsel de eenheid van massa het dui- zendste deel, en de eenheid van volume het millioenste deel is van de hier gebruikte eenheden, zoo is de eenheid van gemiddelde dichtheid in het CGS-stelsel duizendmaal zoo groot als de in dit leerboek gebruikte. Als de gemiddelde dichtheid van eenig volumedeel van een lichaam dezelfde waarde heeft, hoe klein men dit volume- deel ook neemt, dan zegt men dat het lichaam een stand- vastige dichtheid heeft; men noemt het lichaam dan homogeen. Onder de soortelijke massa van een stof verstaat men de massa van een kubieken meter dier stof.

		Dr. Julius, Mechanica.		7

-ocr page 110-



		98

		§ 37. Vervanging van krachten. Indien op de punten P, en P₂ van een lichaam respec- tievelijk de uitwendige krachten K_{ en K₂ werken, in onder- ling tegengestelde richtingen langs de lijn die P, en P₂verbindt, terwijl K_x en K₂ even groot zijn, dan is de beweging van het lichaam geheel dezelfde alsof de krachten K_t en K₂ er niet op werkten. Het is toch klaarblijkelijk dat K_{ en K₂ geen invloed op de beweging van het lichaam kunnen hebben, zonder dat de afstand van P, en P₂ een verandering ondergaat. Men zegt, dat de krachten K_t en K₂elkanders werking opheffen. Men besluit hieruit tot het volgende: als op een punt P. van het lichaam een uitwendige kracht K_{ werkt langs de lijn AB, en als P₂ een ander punt van het lichaam is op de lijn AB gelegen, dan is de beweging, die het lichaam verkrijgt door de inwerking van de kracht K_{ , dezelfde als die welke het lichaam zou verkrijgen, indien op P_l geen kracht, en op P₂ een kracht K₂ werkte, langs de lijn AB, even groot als en in dezelfde richting als K_t. Laat toch AT, (fig. 48) een der krachten zijn, die op het Fiff.48.

		punt Pj van het lichaam werken, en laat P₂ een ander punt van het lichaam zijn, in de lijn gelegen waarlangs K_lwerkt. Indien nu op P₂ nog bovendien twee krachten

-ocr page 111-



		99

		K₂ en K^ gaan werken, in onderling tegengestelde rich- tingen, langs dezelfde lijn en even groot als K₁ , dan zullen deze krachten geen invloed op de beweging van het lichaam hebben, omdat haar resultante nul is. Daar nu de krachten K_l en K-,, zooals hierboven is opgemerkt, elkanders werking opheffen, zoo zal de invloed, dien de kracht K₂ in P₂ aan- grijpende op de beweging van het lichaam heeft, dezelfde zijn als die van de kracht K_t in P, aangrijpende. Uit deze beschouwingen blijkt, dat de invloed, dien een kracht heeft op de beweging van het lichaam, alleen afhangt van haar grootte, van haar richting, en van de lijn waar- langs zij werkt, en niet van het punt waarop zij werkt, of zooals men het uitdrukt, van haar aangrijpingspunt. Is dus A (Tig. 48) een meetkundig punt buiten het lichaam op de lijn gelegen waarlangs K_i werkt, dan mag ook A als het aangrijpingspunt van K_l worden beschouwd, mits men zich *Fig\'t9*

		voorstelt, dat de afstand van A tot de stoffelijke punten van het lichaam niet kan veranderen. Indien twee in de punten P_l en P₂ van het lichaam aangrijpende krachten K₁ en K_t (fig. 49) werken langs lijnen, die elkander in een punt A snijden, dan kunnen de krachten K_t en K₂ in P_t en P₂ aangrijpende, ver- vangen worden door de even groote krachten K_l\' en K₂\' 7*

-ocr page 112-



		100

		aangrijpende in A. Hierbij is het onverschillig of het snij- punt A in het lichaam is gelegen of daarbuiten, mits in het laatste geval A wordt beschouwd als een meetkundig punt, welks afstand tot de stoffelijke punten van het lichaam niet kan veranderen. De beweging van het lichaam is dus dezelfde onder de werking der krachten K_l\' en K₂\' in A aangrijpende, als onder de werking der krachten K_i en K₂aangrijpende in P, en P₂. Is R\' de resultante van de krachten K_t\' en K₂\', dan heeft R\' denzelfden invloed op de beweging van het lichaam als K_x en K_% te zamen. Men kan nu weer R\' aangrijpende in A, vervangen door de even groote kracht R aangrijpende in eenig punt B van het lichaam, op de lijn gelegen waarlangs R\' werkt. Op de be- weging van het lichaam heeft dus ook R denzelfden invloed als /T, en K₂. Daar echter onder de werking der krachten K_x\' en K₂\' geheel andere inwendige krachten tot stand komen als onder de werking der krachten ÜT, en K₂, zoo kan R niet meer worden beschouwd als de resultante, de kracht die in alle opzichten dezelfde uitwerking heeft als K_l en K₂. Vandaar dat rnen R noemt de ver- vangende van ÜT, en K₂ ; met be- trekking toch tot de beweging kan haar werking die van K_i en ÜT₂vervangen. Ook in dit geval geldt de momen- ten vergelijking. Volgens fig. 50 toch is: Moment R = moment R\' = moment K_t\' -j- moment K₂\'. Maar moment K_{\' = moment K_{ en moment K₂\' = moment K₂, dus: moment R = moment ÜT, ~j- moment K₂.

-ocr page 113-



		101

		De som der momenten van twee uitwendige in een vlak werkende krachten ten opzichte van een punt O is gelijk aan het moment van de vervangende kracht ten opzichte van hetzelfde punt O. Om de resultante B van twee in een punt A aan- grijpende krachten K_t en K₂ te vinden, kan men uit de vergelijkingen: B cos « = K^ cos «, -\\- K₂ cos «₂ (31) B sin « = A\'j sin a_l -\\- K₂ sin «₂ (32) de grootte en de richting der resultante bepalen, terwijl het punt A haar aangrijpingspunt is. Moet echter de vervangende gezocht worden van de krachten K_y en K₂ aangrijpende in A_x en A₂ (flg- 51), dan zijn bovenstaande vergelijkingen niet meer voldoende. In dit geval is er nog een vergelijking noodig, welke FUf 51

		aangeeft, dat van al de oneindig vele krachten B, die de uit dé vergelijkingen (31) en (32) voortvloeiende grootte en

-ocr page 114-



		102

		richting hebben, diegene wordt bedoeld, welke werkt langs de lijn gaande door A, het snijpunt van de lijnen waar- langs K_x en K₂ werken. Men kan daartoe gebruik maken van de momentenvergelijking, want van alle lijnen, waar- langs de kracht R kan werken, is er slechts een, wier afstand tot het punt 0 de uit de momentenvergelijking ge- vonden grootte l heeft. Voegt men dus bij de vergelijkingen (31) en (32) nog de volgende: Rl = K_il_l K₂l₂, (33) dan zijn de grootte en de richting van de vervangende, en de lijn, langs welke zij werkt, volkomen bepaald. § 38. Vervanging van twee krachten langs onderling evenwijdige lijnen werkende. Bij de boven gegeven beschouwingen is uitgegaan van de veronderstelling dat de lijnen, waarlangs de krachten werken, elkander snijden. Er moet dus onderzocht worden of deze drie vergelijkingen nog geldig blijven, indien de krachten langs onderling evenwijdige lijnen werken. Werken op de punten A en B (fig. 52) van een lichaam twee krachten K_t en K₂ langs onderling evenwijdige lijnen, dan zal het op de beweging van het lichaam geen invloed hebben, als er nog bovendien op de punten A en B twee even groote krachten Q_{ en Q₂ gaan werken, langs de lijn AB in onderling tegengestelde richtingen. De krachten K_x en K₂ hebben dus op de beweging denzelfden invloed als de vier krachten K_x, K₂, Q_t en Q₂ te zamen. De krachten K_t en Q_t hebben tot resultante R_{ ; de krachten K_% en Q₂ hebben tot resultante B₂. De vervangende van K_x en K₂ heeft dus denzelfden invloed op de beweging als de vervangende R van R_t en R₂, en daar de lijnen, waar- langs deze laatste werken, elkander snijden, mogen de ver- gelijkingen (31) (32) en (33) ook ter bepaling van de ver- vangende van K_i en K₂ worden aangewend. Stelt men in de vergelijkingen (31) en (32) a_t = «₂, dan verkrijgt men: R cos a = (K_t -\\- KA cos «, R sin « = {K_{ -\\- K₂) sin «, of R = K_t -\\- K₂ " = «, = a₂.

-ocr page 115-



		403

		De vervangende van twee krachten, in dezelfde richting langs onderling evenwijdige lijnen werkende, is gelijk aan haar som en heeft dezelfde richting als die krachten. Om het punt D te bepalen, waar de lijn langs welke de Fiff.52

		vervangende R werkt, de lijn AB snijdt, kan men van de momentenvergelijking gebruik maken. Ten opzichte van eenig punt is het moment van de vervangende R gelijk aan de som der momenten van R_t en R₂, of ook aan de som der momenten van K_t, K₂, Q_{ en Q_v Daar nu: moment Q_t -\\- moment Q₂ = 0 , zoo is het moment van R gelijk aan de som der momenten van K_x en K₂. Neemt men de momenten ten opzichte van het punt D, dan is: o = K_x x_t K_% x₂ of o = A\', l_{ K_t l_t. De twee stukken l_x en l₂, waarin de lijn A B door het punt D wordt verdeeld, zijn omgekeerd evenredig met de grootten der krachten, die op de uiteinden van A B werken. Vervangt men l_% door AB l_x, dan vindt men voor

-ocr page 116-



		104

		den afstand l_{ van D tot aan het aangrijpingspunt van K_l : *^l>=KPr-KV^AK* Werken er meer dan twee krachten langs onderling evenwijdige lijnen in een vlak, dan kan men eerst de ver- vangende ft, zoeken van A", en K₂, daarna de vervangende ft₂ van ft, en K_s enz. Ook voor de vervangende van een willekeurig aantal krachten, werkende langs onderling even- wijdige lijnen in een vlak gelegen, geldt dus: De vervangende is gelijk aan de som der krachten, en heeft dezelfde richting als deze krachten. Het moment der vervangende ten opzichte van een in het vlak gelegen punt 0, is gelijk aan de som der momenten van alle krachten ten opzichte van hetzelfde punt 0. Korter uitgedrukt, heeft men : ft = 1 (K) Rl₀ = 2 (Kl). Ook indien de krachten K_t en K₂ werken langs onder- ling evenwijdige lijnen in onderling tegengestelde rich- tingen, mogen de vergelijkingen (31) (32) en (33) ge- bruikt worden, indien men kan aantoonen, dat de krachten K_x en K^ kunnen vervangen worden door twee krachten ft, en ft.₂, werkende langs twee elkander snijdende lijnen. Gaat men op dezelfde wijze als hierboven te werk, dan blijkt (fig. 53) dat als K_{ en K₂ even groot zijn, de lijnen waarlangs de resultanten ft, en ft₂ werken, steeds onder- ling gelijke hoeken maken met de lijn AB, en dus ook onderling evenwijdig zijn. In dit geval kunnen K_x en . K_tniet vervangen worden door twee krachten langs twee elkander snijdende lijnen. Hebben K_l en K_% verschillende grootten, dan maken de lijnen waarlangs de resultanten ft, en ft₂ werken, onderling ongelijke hoeken met de lijn AB. De krachten Af, en A~₂kunnen dan vervangen worden door krachten ft, en _R₂, werkende langs twee elkander snijdende lijnen, en in dit geval gelden dus ook de vergelijkingen (31) (32) en (33). Stelt men in de vergelijkingen (31) en (32) «₂ = 180\' -f- «j, dan verkrijgt men: ft sin a (A~, K₂) sin «, en ft cos « = (K_t K₂) cos «₂.

-ocr page 117-



		105

		Brengt men deze vergelijkingen tot het kwadraat, en telt men ze op, dan wordt: 2?- = (K_t - A\'₂)² v __ v of B = ± (AT, A\'₂) en sin cc = -1L_2 sin a,. Een kracht is uit den aard der zaak steeds een positieve grootheid. Is dus K_t > iST, , dan heeft men: 11 K^ K₂ en sin et = sin or,. Is K_t <C K₂, dan wordt:

		£ = ÜT₂ K_x en sin a = sin «,

		De vervangende van twee krachten van ongelijke groot- ten, werkende langs onderling evenwijdige lijnen in onder* ling tegengestelde richtingen, is gelijk aan het verschil der krachten, en werkt in de richting der grootste. Het punt D, waar de lijn langs welke de vervangende B werkt, de lijn AB snijdt, kan weer uit de momenten*

-ocr page 118-



		106

		vergelijking worden gevonden. Neemt men de momenten ten opzichte van het punt D. dan is: A", x_l -\\- K₂ x₁ = o of A, /, -\\- K₂ l₂ = o. De twee stukken ?, en l₂ , waarin de lijn A B door het punt D wordt verdeeld, zijn omgekeerd evenredig met de grootten der krachten, die op de uiteinden van A B werken. Vervangt men ?₂ door l_t -\\-AB, dan verkrijgt men voor den afstand l_{ van D tot aan het aangrijpingspunt van K_l : A, A₂ § 39. Koppel. In de vorige paragraaf is aangetoond, dat men twee even groote krachten K_t en K₂ op een lichaam werkende, langs onderling evenwijdige lijnen in onderling tegengestelde rich- tingen, niet kan vervangen door twee krachten, werkende langs elkander snijdende lijnen; zij kunnen dus niet door één kracht worden vervangen. Een zoodanig stel krachten noemt men een koppel. Het vlak waarin de krachten werken heet het koppelolak; de afstand van de lijnen, waar langs de krachten K_t en K_% werken, heet de arm van het koppel. Het moment van een koppel wordt bepaald door de grootte der krachten en door den arm. Het wordt evenredig gesteld met de grootte dei^- krachten en met den arm. Is elk der krachten K dyn. eenheden groot, en is de arm l meters, dan is het koppelmoment: M=fKL Als eenheid van koppelmoment wordt aangenomen het moment van een koppel, waarvan elk der krachten een dyn. eenheid is, en dat een arm heeft van één meter. Is elk der krachten K dyn. eenheden, en is de arm Z meters, dan is het moment van het koppel M dier eenheden, als M=Kl. In het CGS-stelsel is de koppelmomentseenheid het 40^7degedeelte van de in dit leerboek aangenomene.

-ocr page 119-



		107

		Men kent aan een koppelmoment een teeken toe. Indien de krachten, die het koppel vormen, aan het koppelvlak een draaiing trachten te geven in den zin van den horloge- wijzer, dan noemt men het koppelmoment positief; trachten zij het koppelvlak te doen draaien in den zin tegengesteld aan dien van den horloge wijzer, dan noemt men het koppel- moment negatief. Natuurlijk hangt dan het teeken van een gegeven koppel nog af van de plaats, welke men zich voor- stelt in te nemen. Met de voeten in het koppelvlak staande, kan men zich met het hoofd óf naar de eene zijde óf naar de andere zijde van het vlak gericht denken. Wanneer men in eenig punt A van het koppelvlak (fig. 54) een loodlijn op dat vlak opricht aan dien kant, van waar- uit gezien het Pi&Sêr. koppel aan het koppelvlak een draaiing tracht te geven in den zin van den horloge- wijzer, en wan- neer op die lood- lijn een stuk m n wordt genomen, zooveel meters lang als het kop- m,________ij.. pelmoment mo- mentseenheden heeft, dan noemt men dat stuk mn in de richting van m naar n, de as van het koppel. Er zal aangetoond wor- den, dat de uit- werking van een koppel geheel be- paald is dooi\' de grootte en de richting van zijn as. en dat dus de as beschouwd mag worden als de graphische voor- stelling van het koppel.

-ocr page 120-



		108

		§40. Vervanging van koppels in één vlak werkende. Wanneer twee koppels zoodanig op een lichaam werken, dat zij te zamen geen invloed hebben op de beweging van het lichaam, dan zegt men, dat die koppels elkander in evenwicht houden. Twee koppels, in hetzelfde vlak werkende en met wille- keurige armen, houden elkander in evenwicht, wanneer hun momenten even groot zijn, maar in teeken ver- schillen , en dus de algebraïsche som der momen- ten nul is. Laat KI en Qr eenheden de momenten zijn van twee op een lichaam werkende koppels (fig. 55), terwijl Kl= Qr\\s. Men verlenge de lijnen, waar- langs de krachten ÜTj en Qj Merken, totdat zij elkan- der snijden in A, en bepale door de parallelogram- constructie de hjn A C, die de ver- vangende #j van K_t en Q, voor- stelt. Men ver- lenge evenzoo de lijnen, waarlangs K_% en Q₂ wer- ken, en bepale de lijn BD, die de vervangende van K_ten Q₂ voorstelt. De lijnen AC en BD zqn even groot

-ocr page 121-

109

als gelijkstandige diagonalen van congruente parallelogrammen.
Het moment van B_l ten opzichte van het punt B is volgens
de momentenvergelijking: KIQr; dit moment is nul,
daar gegeven is Kl= Qr. De lijn, waarlangs i?₍ werkt, gaat
dus door B. Op dezelfde wijze toont men aan, dat de lijn,
waarlangs i?₂ werkt, door A gaat. Daar R_{ en i?, even
groot zijn, en langs dezelfde lijn A B in onderling tegen-
gestelde richtin-

-Fiff56

gen werken, hou-

den zij elkander
in evenwicht; dit
is dus ook het ge-
val met de koppels
K_x K_% en Q_t Q₂.
Uit het hier
bewezene volgt,
dat men een kop-
pelJT,Z₂(fig.56)
steeds mag ver-
vangen door een
in hetzelfde vlak
werkend koppel
Q_t Q₂, mits dit
laatste hetzelfde
moment heeft als
het eerste. Men
trekke toch door

^ i

de twee wille-
keurige punten A
en B van het
lichaam, twee on-
derling evenwij-
dige lijnen, wier
afstand r meters
bedraagt. Indien
langs die lijnen nog bovendien krachten gaan werken, en
wel op A de even groote krachten Q_x en Q₃ in onderling
tegengestelde richtingen, en op B de even groote krachten
Q₂ en Q_t in onderling tegengestelde richtingen, dan heeft
dit geen invloed op de beweging van het lichaam.

-ocr page 122-



		HO

		Hebben de krachten Q_t, Q_%, Q₃ en Q_k alle de grootte () dyn. eenheden, dan werken nu op het lichaam de drie koppels K, K₂, Q_x Q₂ en Q₃ Q_h, terwijl zijn beweging dezelfde is gebleven. Is bovendien Qr = KI, dan houden de koppels K_{ K₂ en Q₃ Q_k elkander in evenwicht, omdat de som hunner momenten nul is. Het koppel A\', K₂ is derhalve vervangen door het koppel Q_t Q₂, waarvan het moment gelijk is aan dat van K_l Kr,. Werken er verschillende koppels in eenzelfde vlak met momenten M. , M₂ enz., dan kan elk dier koppels ver- vangen worden door een ander, waarvan de krachten aan- grijpen in twee willekeurig gekozen punten A en B, en werken langs gegeven onderling evenwijdige lijnen. Is de afstand dier lijnen l meters, dan werken langs elk dier lijnen M M krachten, groot ^-, y² enz. dyn. eenheden. De in A en de in B aangrijpende resultanten der langs elke lijn werkende krachten, vormen dus een koppel, waarvan het moment is: M M₁ M ₂ ^enz- Indien derhalve eenige koppels in één vlak op een lichaam werken, dan is het moment van het vervangende koppel gelijk aan de som der momenten van de gegeven koppels. § 41. V ei\'vanging van koppels in onderling evenwijdige vlakken werkende. Alles wat hierboven bewezen is, geldt ook voor koppels in onderling evenwijdige vlakken werkende. Om dit aan te toonen behoeft men slechts te bewijzen, dat een koppel werkende in het vlak I, vervangen kan worden door een ander koppel met een even groot moment, werkende in een vlak II evenwijdig aan vlak /, zonder dat de beweging van het lichaam verandert. Zijn A\'j K₉ (fig. 57) de krachten van een koppel wer- kende in vlak /; trekt men ergens een loodlijn A B op de lijnen waarlangs die krachten werken, dan mogen de punten A en B als de aangrijpingspunten van K_t en K₂ worden beschouwd. Zij CD een lijn in vlak II gelijk en even-

-ocr page 123-

111

wijdig aan A B; indien nu nog bovendien in C de krachten
K₃ en K_i, in D de krachten K_s en K_e gaan werken,
alle even groot als A", langs lijnen loodrecht op CD in
onderling tegengestelde richtingen, dan houden die krachten

elkander in even-

wicht, en hebben
dus geen invloed
op de beweging
van het lichaam.
De krachten A", en
K. kunnen door
#i , de krachten
A\', en A₄ door R_tvervangen wor-
den Beide ver-
vangenden R_t en

FiffJZ


	A	f
I
K.
	O

"*&

R.<r

j grijpen aan
in het snijpunt E
der diagonalen
A D en B C van
het parallelogram
A B C D; zij zijn
gelijk, en werken
langs dezelfde lijn

Jk.

in onderling te-
gengestelde rich-
tingen; zij z\\jn dus met elkander in evenwicht. De krach-
ten K_s K_e vormen nu in vlak II een koppel, dat het ge-
geven koppel K_x h\\ in vlak I vervangt.

In elk der beide vlakken mag een willekeurig koppel ver-
vangen worden door een ander met hetzelfde moment; hier-
mede is derhalve geheel algemeen bewezen, dat een koppel
in eenig vlak werkende, steeds vervangen kan worden door
een ander, werkende in een vlak evenwijdig aan het zijne,
mits het moment hetzelfde blijft.

In verband met het in de vorige paragraaf bewezene
volgt hieruit nog:

Koppels werkende in evenwijdige vlakken kunnen steeds
worden vervangen door een koppel, welks moment gelijk is
aan de algebraïsche som van de momenten der gegeven

-ocr page 124-



		112

		koppels; als vlak van het vervangend koppel mag beschouwd worden elk willekeurig vlak evenwijdig aan de gegeven vlakken. Door de as van een koppel zijn bepaald de grootte van het moment en de stand van alle onderling evenwijdige vlakken loodrecht op de as. Hiermede is dus tevens het bewijs geleverd, dat de werking van een koppel geheel be- paald is door zijn as. § 42. Vervanging van koppels werkende in vlakken, die elkander snijden. Werken twee koppels met momenten M en M_x in vlakken die elkander snijden (fig 58), dan kunnen zij steeds vervangen worden door twee andere koppels K K_t en Q Q_k, waarvan de krachten werken op twee willekeurige punten A en B in de doorsnede der vlakken gelegen, en langs lijnen loodrecht op AB getrokken. Is de lijn AB l meters lang, dan is: K = j en Q = -4 dyn. eenheden. De krachten K en Q in A aangrijpende kunnen tot een resultante R worden samengesteld; de krachten K_t en Q_l in B aangrijpende tot een resultante i?,. De lijnen, die R en i?, voorstellen, zijn de diagonalen van twee paral- lelogrammen, die in evenwijdige vlakken liggen, en slechts verschillen door de onderling tegengestelde richtingen der gelijkstandige zijden. De resultanten R en 7Ü, zijn dus even groot, en werken langs onderling evenwijdige lijnen in onder- ling tegengestelde richtingen; zij vormen derhalve een koppel. Het moment van het vervangend koppel is Rl. Er zal aangetoond worden, dat als op de lijnen OM en 0 N, die de assen der gegeven koppels voorstellen, een parallelogram wordt beschreven, de diagonaal OL, waar- voor OM en ON de omliggende zijden zijn, in grootte en richting de as van het vervangend koppel voorstelt. De lijn OM stelle de as voor van het koppel KK_X ; zij staat dus loodrecht op vlak I en heeft de lengte KI meters; de lijn O N stelle de as voor van het koppel Q Q_t ; zij staat dus loodrecht op vlak II en heeft de lengte Ql meters.

-ocr page 125-

113

O M LN zijn gelijk-
vormig, want de
hoek tusschen de
lijnen OM en ON
is gelijk aan den
hoek tusschen de
vlakken I en II, en
bijgevolg ook aan
den hoek tusschen
de lijnen, waarlangs
de krachten K en
Q werken; de zij-
den om dien hoek
in het parallelogram
OMLN zijn l maal
zoo lang als de ge-
lijkstandige zijden
van het parallelo-
gram AC DE. De
diagonaal OL is
derhalve ook l maal
zoo lang als de ge-
lijkstandige diago-
naal A D; zij heeft
dus de grootte R l.
De hoeken, die de
diagonaal OL maakt
met de zijden OM
en ON, zijn gelijk
aan de hoeken, die
de diagonaal A D
maakt met de zijden
AE en A C, bijge-
volg gelijk aan de
hoeken, die het vlak
van het vervangend
koppel maakt met
de vlakken Jen II.
Hieruit volgt, dat

De twee parallelogrammen AC DE en

de lijn OL loodrecht staat

Dr. Julius, Mechanica.

op het vlak van

het vervangend

-ocr page 126-



		i-u

		koppel, dat zij dus niet alleen in grootte, maar ook in rich- ting de as van het vervangend koppel voorstelt. Eenig koppel, welks vlak loodrecht staat op deze lijn, en welks moment zooveel eenheden heeft als de lijn OL meters lang is, kan als het vervangende koppel der twee gegeven koppels be- schouwd worden. In het bovenstaande is bewezen, dat om van twee koppels op een lichaam welkende het vervangende koppel te vinden, men van dezelfde parallelogramconstructie mag gebruik maken, die vroeger is aangewend tot het vinden der resultante van twee krachten. Alle toepassingen uit die constructie ge- maakt ter bepaling van de resultante van een willekeurig aantal op een punt werkende krachten, kunnen dus ook dienen bij het bepalen van het vervangend koppel van een willekeurig aantal gegeven koppels. Laat bijv. een willekeurig aantal koppels met momenten il/,, M....M op een lichaam werken. Uit een willekeurig punt O richte men loodlijnen op de verschillende koppel- vlakken op, neme op iedere loodlijn van het punt 0 af een stuk, zooveel meters lang als het daarbij behoorende koppel momentseenheden heeft, en wel in die richting, van waar uit gezien liet koppel aan het koppelvlak een draaiing tracht te geven in den zin van den horlogewijzer. Die lijnen stellen dan de assen der koppels voor, en zijn M_t, il/., .... M meters lang. Men brenge nu door O drie onderling lood- rechte coördinaten assen. Men kan dan elke koppelas ont- binden langs de drie coördinatenassen. Maken de koppel- assen hoeken /.,, ,«,, e, . ... /., a, i> met de coördinaten- assen, dan zijn die ontbondenen M_l cos/.,, il/, cos ,«, , il/, cos v. .... M_H cos /., M_H cos k, M cos v_H. L)e ontbondenen langs elk der coördinatenassen hebben een resulteerende gelijk aan haar som, dus: M, = £ (M cos /.) M_v = Jf (M cos,«) M. = 2 (M cos t>). Voor de as van het vervangend koppel, vindt men hieruit de grootte: M = V~M?" lB^^r ~BT^Ii (34) terwijl de richting der as bepaald wordt uit de vergelijkingen: M, M M_:

-ocr page 127-



		115

		§ 43. Algemeene evenwichtsvergel ij kingen voor willekeurige krachten op een lichaam werken il e. Laat K_t, K₂___K (fig. 59) zijn uitwendige krachten, die in de punten P_lt P_t .. ..P_n van een lichaam aangrijpen, en werken langs lijnen, die ten opzichte van elkander wille- keurig gelegen zijn. Zij A een punt van het lichaam of een meetkundig punt daarbuiten, waarvan de afstanden tot

		de punten van het lichaam niet kunnen veranderen. De beweging van het lichaam zal geen wijziging ondergaan, indien nog bovendien in A gaan werken: de krachten K.\' en K_t", even groot als K_l, in onderling tegengestelde richtingen langs een lijn evenwijdig met die, waarlangs K_x werkt; de krachten K₂\' en AV\', even groot als A\'₂, in onderling tegengestelde richtingen langs een lijn even- wijdig met die, waarlangs K₂ werkt, enz. Elk der n gegeven krachten K is dan vervangen door drie krachten K, K\' en K". De kracht K" grijpt aan in het punt A, en heeft dezelfde richting als de onmiddellijk ge- 8*

-ocr page 128-



		H6

		geven kracht K; de twee andere K en K\' vormen te zamen een koppel. In het geheel verkrijgt men dus n krachten van bekende richting en grootte, met het gemeenschappelijk aangrijpingspunt A, en bovendien n koppels, welker mo- menten en assen uit de ligging van het willekeurig gekozen punt A en uit de gegeven krachten kunnen bepaald worden. De n krachten, in een punt A aangrijpende, kunnen tot een resultante R samengesteld worden. Van de n koppels kan men op de wijze in de vorige paragraaf uiteengezet, het vervangend koppel bepalen. Daar een koppel niet door een kracht kan vervangen worden, een koppel en een kracht elkander dus nooit in evenwicht kunnen houden, zoo kan er slechts dan evenwicht zijn, indien de vervangende kracht en het moment van het vervangend koppel elk afzonderlijk nul zijn. De algemeene evenwichtsvergelijkingen zijn dus: B = o (35) en M = o. (36) Elk dezer beide vergelijkingen sluit evenwel drie andere in zich. De algemeene uitdrukking toch voor de resultante van n in één punt aangrijpende krachten is: i G R = v BJ B/ RS , en de algemeene uitdrukking voor het moment van het vervangend koppel van n gegeven koppels is : I De onder de wortelteekens staande termen kunnen als kwadraten nooit negatief worden; E en M kunnen dus slechts dan nul zijn, als elk dier termen afzonderlijk nul is. De vergelijkingen (35) en (36) sluiten dus de volgende zes evenwichtsvergelijkingen in zich: E =o B^=o B_z =.o* (37) M_x = o M_y =o Mi = o (38) De in deze zes vergelijkingen voorkomende grootheden moeten nu nog in de gegevens worden uitgedrukt. Als zoodanig moeten beschouwd worden: 1° de grootten der krachten K_l ,... K_n ; 2° de hoeken a_i, \|3,, y_l-----a, [i_u, y_u, die de lijnen

-ocr page 129-



		117

		waarlangs de krachten werken, maken met de drie coör- dinatenassen ; 3° de coördinaten oc_l, y_i, z, . . . .x, y, z van de aan- grijpingspunten, dat zijn de afstanden dier punten tot de drie cöordinatenvlakken (lig 60). De in de vergelijkingen (37) voorkomende grootheden

		FigOO

		R, R\'y, R_s* zijn de ontbondenen langs de drie cöordinaten- assen van die kracht, welke de resultante der gegeven krachten zou zijn, indien deze laatste op het gemeenschappe- lijk aangrijpingspunt A werkten, elk langs de lijn even- wijdig aan die lijn, waarlangs de gegeven kracht werkt, en in denzelfden zin als de gegeven kracht. De grootheden i?, Ry, Rz* hebben dei-halve hier volkomen dezelfde betee- kenis als in § 29, namelijk: R_x = 2 (K cos «) R_v = 2 (K cos jS) R, = £ (K cos y) (39) De in vergelijking (38) voorkomende grootheden M._r, M_s, Mi beteekenen de momenten van drie koppels, wier koppelassen

-ocr page 130-



		118

		met de drie coördinatenassen samenvallen, en wier samen- stelling het vervangend koppel oplevert. Men bepaalt deze drie grootheden door de as van elk der n koppels langs de drie coördinatenassen te ontbinden, en de som te nemen van de ontbondenen langs elk der coördinatenassen. Men kan bewijzen, dat de getalwaarde van het koppelmoment M_x even groot is als de getalwaarde van de som der momenten van de oorspronkelijk gegeven krachten ten opzichte van de as A X; hetzelfde geldt dan voor de assen A Y en A Z. Om dit te bewijzen is het voldoende om aan te toonen, dat de bijdrage tot het koppelmoment M_x1 door een van de n koppels K_Y K_t\' geleverd, dezelfde getalwaarde heeft

		*Fig6l.*

		Fjx>sa£

		als het moment der oorspronkelijk gegeven overeenkomstige kracht ÜT, ten opzichte van de as AX. Daartoe ontbindt men elk der beide krachten K_l van het koppel (fig. 61) in drie krachten in de richting der coördi-

-ocr page 131-

119

natenassen. In plaats van het eene koppel ÜT, K_x\' verkrijgt
men dan drie koppels, waarvan de krachten zijn: A\', cosöj,
K_x cos (3, en K_x cos/j. De as van het koppel A\\ cosa,
staat loodrecht op de as AX, omdat deze laatste in het
koppelvlak ABP_} ligt; de as van dit koppel heeft geen
ontbondene langs de lijn A X, en het moment van dit kop-
pel levert dus geen bijdrage aan het moment M_x.

De beweging van het lichaam zal geen verandering onder-
gaan, indien er nog bovendien aan de uiteinden der lijn BD
(fig. 62) twee elkander in evenwicht houdende krachten
K₁ cos ₍i, , en aan de uiteinden der lijn B E twee elkander

K,cosy,

COSfl,

^s \'K,cosy,

icosy,

in evenwicht houdende krachten K_lcosy_l gaan werken.
In plaats van twee, heeft men dan vier koppels. De in de
punten A en D aangrijpende krachten K_x cos jïj vormen
een koppel, in welks vlak de as AX ligt; dit is ook het

-ocr page 132-

120

geval met de in de punten A en E aangrijpende krachten
K_t cos /_r

De assen dezer twee laatste koppels staan derhalve lood-
recht op AX, en de momenten dier koppels kunnen bij de
ontbinding geen bijdragen leveren aan het moment M_x.

Er blijven derhalve nog slechts de twee in tig. 63 aan-

Fig03

IQ cos y,

ic,a>s/i,

Ktoasy,

gegeven koppels over, wier koppelvlakken beide loodrecht
staan op AX, en wier assen dus langs de coördinatenas
AX vallen. De momenten dier koppels y_x K_x cos y₁ en
z_tK_t cos [S_t zijn derhalve de bijdragen, die het koppel
/f, K.\' aan het moment M.* levert. De as van het eerste
koppel is gericht van A naar X, die van het tweede van
X naar A. De bijdrage van liet eerste koppel aan het
moment M? is dus positief, die van het tweede koppel
negatief. De geheele bijdrage van het koppel K₁ K_t\' tot
het moment M_x is dus:

M = y_t A\', cos r_t »i A", cos (J,

(40)

-ocr page 133-

121

Volgens het in § 19 verklaarde is het moment van de
kracht K_t ten opzichte van eenige as, gelijk aan de som
der momenten van haar ontbindingskrachten K_t cos «j ,
K₁ cos jij, ÜTj cos;\', ten opzichte van dezelfde as.

De momenten dier drie ontbindingskrachten ten opzichte
van de as A X zijn volgens fig. 64:

y, ATj cos y_l z_{ K_ï cos jij en nul.

De som dier drie grootheden komt geheel overeen met de

Fig 6t


	>	Kcosy,
{	/	P,	--K,cc*
J	*K,COSf>,*	*/
	!r
/	X,

in vergelijking (40) gevonden waarde van M/; bijgevolg
heeft de bijdrage door het koppel K_l K₁\' geleverd tot het
moment M,_r dezelfde getalwaarde als het moment van de
oorspronkelijk gegeven, in liet punt P₁ aangrijpende kracht
K_t ten opzichte van de as A X.

\'t\\ jDe grootheid M_T kan dus beschouwd worden als de som
dei\' momenten van alle gegeven krachten een opzichte van
de as A X. Zij heeft de grootte:

M_x = 2.\' (i/ K cos y z K cos |3).

Daar de as AX geheel willekeurig genomen is, geldt dit

-ocr page 134-



		122 bewijs evenzoo voor de assen A Y en A Z. De momenten My en A[_: hebben dan de waarden: M_u = 2\' (z A cos « x A cos y). M, = 2 (x K cos jj y K cos «). De algemeene evenwichtsvergelijkingen zijn dus de vol- gende: 2(Acos «) = o (41) 2 (K cos ₍i) = o (42) 2 (A\' cos /) = o (43) 2 (y A\' cos y * K cos (i) = o (44) 2 (z A cos u x A cos /) = o (45) 2\' (x A cos ₍i // A cos u) = o (46) Daar het stel coördinatenassen geheel willekeurig is aan- genomen, zoo moet aan vergelijking (41) tot (46) nog vol- daan zijn als men willekeurige andere assen kiest. Die ver- gelijkingen in woorden uitgedrukt, luiden dan als volgt: Wanneer de op een absoluut vast lichaam werkende uitwendige krachten met elkander in evenwicht zijn, dan is de som der ontbindingskrachten in elke willekeurige richting, en de som der momenten van alle krachten ten opzichte van elke willekeurige as gelijk nul. Omgekeerd: Wanneer op een absoluut vast lichaam uitwendige krachten werken , wanneer de som der ontbindingskrachten in drie onderling loodrechte richtingen, en de som der momenten van alle krachten ten opzichte van drie onderling lood- rechte assen gelijk nul is, dan is dit in iedere richting en ten opzichte van elke as het geval, en dan zijn de krachten met elkander in evenwicht. Is aan de evenwichtsvergelijkingen (41) tot (46) niet vol- daan, dan kunnen de uitwendige krachten, die op verschil- lende punten van een lichaam werken, ia haar invloed op de beweging van het lichaam vervangen worden door een kracht en een koppel. Deze kracht hangt, wat grootte en richting betreft, niet af van de plaats van het punt A; van die plaats hangt wel af de grootte en lichting der as van het vervangend koppel.

-ocr page 135-



		123

		Het is mogelijk dat het moment van het vervangend koppel nul is; dan is genoemde kracht de vervangende van K_t ... K; is alleen de kracht nul, dan is het genoemde koppel het vervangend koppel van K_t . . . K. Het kan gebeuren dat het lichaam niet geheel vrij is in zijn beweging. Is bijv. één punt van het lichaam vast, dan is het voor het evenwicht niet noodig dat de vervangende kracht nul is, mits zij werkt langs een lijn gaande door het vaste punt. Neemt men toch het vaste punt aan als snijpunt der coördinatenassen, dan wordt aan de vergelijkingen (41), (42) en (43) steeds voldaan. Voor het evenwicht wordt dan alleen vereischt, dat voldaan zij aan de vergelijkingen (44) (45) en (46). Zijn in een lichaam twee punten P_t en /, vast, dan zijn alle punten vast op de lijn die I^J_i* en Q_t verbindt. Kiest men die vaste lijn als een der coördinatenassen, bijv. als de as AZ, dan is steeds aan de vergelijkingen (41) tot (45) voldaan, en voor het evenwicht wordt dan alleen ver- eischt, dat voldaan zij aan vergelijking (46). Het zou ook kunnen gebeuren, dat zich in het lichaam een vaste as bevond, zoodanig dat een beweging van het lichaam langs die as mogelijk bleef. Kiest men deze as dan als as AZ, dan wordt aan de vergelijkingen (41), (42), (44) en (45) steeds voldaan, en er wordt voor het even- wicht alleen vereischt, dat voldaan zij aan de vergelijkingen (43) en (46). Zijn eindelijk in een lichaam drie vaste punten, die niet op dezelfde rechte lijn zijn gelegen, dan is het lichaam altijd in even wichtstoestand, welke uitwendige krachten er ook op mogen werken.

		HOOFDSTUK VII. Werking der zwaartekracht. § 44. Vervangende van krachten langs onderling evenwijdige lijnen werkende. Indien eenige krachten op een lichaam werken, in dezelfde richting langs onderling evenwijdige lijnen, die niet in een

-ocr page 136-



		124

		zelfde vlak liggen, dan hebben zij een vervangende. "Werken bijv. drie zoodanige krachten K_l , K₂, K₃, dan hebben volgens § 38 K_l en K₂ een vervangende P. De lijn waar- langs P werkt is evenwijdig aan de lijnen waarlangs K_x en K₂, en dus ook aan de lijn waarlangs ÜT₃ werkt. PenK₃hebben dus ook een vervangende, die tevens de vervangende is van K_x, K₂ en K₃. Om van een willekeurig aantal krachten, werkende in dezelfde richting langs onderling evenwijdige lijnen, de ver-

		vangende te bepalen, kan men gebruik maken van de alge- meene evenwichtsvergelijkingen. Indien toch bij de gegeven krachten nog bovendien een kracht ging werken, even groot als de vervangende, langs de lijn waarlangs de vervangende werkt, maar in tegengestelde richting, dan zouden nu alle krachten met elkander in evenwicht zijn, en dus moeten voldoen aan de algemeene evenwichtsvergelijkingen. Zijn K_i .. . Ki, (fig. 65) de gegeven krachten en cc, (i, y de hoeken, die de lijnen waarlangs zij werken, maken met

-ocr page 137-



		125

		drie onderling loodrechte coördinatenassen ; zij verder K₀ de kracht, die de gegeven krachten in evenwicht houdt, en a₀, j?o, yo de hoeken, die de lijn waarlangs zij werkt, maakt met de drie assen, dan nemen de vergelijkingen (41), (42) en (43) der vorige paragraaf den volgenden vorm aan: cos « 2 (K) -f- K₀ cos a₀ = 0 cos {3 2 (K) Ko cos (? = 0 COS ;\' 2 (K) -(- K₀ cos y₀ = 0 of: cos « 2* K = K₀ cos u₀cos jï 2 K = K₀ cos (9₀cos / 2 K = K₀ cos ;. Telt men de kwadraten der drie laatste vergelijkingen bij elkander op, dan verkrijgt men: (cos ^%a -j- cos ²(i -\\- cos /)2¹(K) = K₀²* (cos ^J«₀ -j- cos ²jï₀ -\|" ^cos Vo) of: /C=^(AT)._f. Ter bepaling van de hoeken «, \|9,, / heeft men dan: cos a₀ = cos « cos \|3 = cos (J cos y = cos /. Hieruit volgt, dat de kracht K gelijk is aan de som der krachten K_l .. .K,, , dat zij werkt langs een lijn evenwijdig aan de lijnen, waarlangs de gegeven krachten werken, maar in tegengestelde richting. De vervangende, tegengesteld aan K₀, werkt dus in dezelfde richting als de gegeven krachten, en is eveneens gelijk aan haar som. De ligging der lijn. waarlangs de vervangende werkt, is bepaald als men eenig punt dier lijn kent; als aangrijpings- punt der vervangende kan elk op die lijn gelegen punt wor- den beschouwd. Noemt men de coördinaten van eenig punt dier lijn x, y., z, dan kan men deze vinden uit de even- wichtsvergelijkingen (44), (45), (46) der vorige paragraaf. Daar ook de kracht K hierbij in aanmerking komt, nemen deze vergelijkingen den vorm aan: [cos y 2 (Ky) -J- cos y₀ K₀ y] [cos ,i 2 {Kz) -f- cos [i₀ K z] = 0. [cos cc 2 (Kz) -\\- cos u₀ Kz,] [cos y 2 (Kx) -J- cosy₀ K₀x^\\ = 0. [cos (3 2 (Kx) -\\- cosj>\' K₀x,] [cos «2 (Ky) -\\- cos u K_ny₀] = 0.

-ocr page 138-



		126

		Hierin substitueerende de reeds gevonden waarden: cos « cos « cos jï = cos § cos y₀ = cos / cos y [2 (Ky) Ky^ cos (i [2\' (Kz) K z ] = 0 cos a \\z {Kz) K z₀] cos y [£ (Kx) K x] = 0 (48) cos (3 [2 (JSTtf) - K_nx₀] - cos « [2 (ÜTt,) - tf₀y] = 0 J Deze drie vergelijkingen zijn niet onderling onafhankelijk. Vermenigvuldigt men toch de eerste met cos«, de tweede met cos (3, en telt men ze bij elkander op, dan verkrijgt men de derde vergelijking. Er zijn dus, zooals reeds van te voren bekend was, oneindig veel punten x, y, z, die aan deze vergelijkingen voldoen. Het is voldoende een dier punten te bepalen, en dus voor de grootheden x, y en z₀een stel van waarden te vinden, die aan de vergelijkingen (48) voldoen. Nu komt elk der zes factoren tusschen haakjes tweemaal voor, en aan de vergelijkingen (48) wordt dus voldaan, wanneer men stelt: Z(Kx)- K_ox_o=0. Z {Ky) K_n y = 0. 2{Kz)- K_oz_o = 0. of x - <> ot. x _£^* Daar elk der coëfficiënten van de grootheden cos «, cos (i, cos y nul is, zoo wordt nog dan aan de vergelijkingen (48) voldaan, als de hoeken «, (i, y willekeurige andere waarden krijgen, dat is, als de krachten een willekeurige andere lichting krijgen, maar langs onderling evenwijdige lijnen in denzelfden zin blijven werken. Het hier gevonden punt P onderscheidt zich derhalve van alle andere punten, gelegen in de lijn waarlangs de kracht K werkt, daardoor, dat de lijn waarlangs de vervangende werkt, steeds door P blijft gaan, als men de lijnen waar- langs de gegeven krachten werken, orn de aangrijpingspunten

-ocr page 139-

127

dier krachten laat draaien, mits slechts die lijnen onderling
evenwijdig blijven, en de krachten haar oorspronkelijke grootten
behouden, of althans alle in dezelfde verhouding veranderen.
Om deze reden noemt men het door de vergelijkingen (49)
bepaalde punt het ^middelpunt van de langs onderling even-
wijdige lijnen werkende krachten."

§ 45. Algemeene v er gel ij kingen van het
zwaartepunt.

Indien een lichaam bestaat uit stoffelijke punten met de
massa\'s ?», , m₂ . . .m, dan werken er tengevolge van den
invloed der aarde krachten op, de gewichten der stoffelijke
punten, van m_tg, m₂g. . . mg dyn. eenheden. Heeft het
lichaam afmetingen, die klein zijn in vergelijking met de af-
metingen der aarde, dan mogen die krachten beschouwd wor-
den als te werken langs onderling evenwijdige lijnen. Zij
hebben dan een vervangende, het gewicht van het lichaam
genoemd, in verticale richting naar beneden werkende en
(m_l -\\-m₂ -|~ 4" ^m") 9 eenheden groot. Het middelpunt
van deze krachten heet het zwaartepunt van het lichaam.

Vervangt men in de vergelijkingen (49) der vorige para-
graaf K_l, K₂.. .K door »«,</, m₂g.. .mg, dan vindt men :

_ Z (mg x)
2, (mg)

_ £ (mg y)
2i (mg)

\'\',

__2Jmgz)

of daar g een standvastige factor is van teller en noemer

_ 2 (mx)

... _ ^ (*»y)
y< &

^Zo~ M

(50)

-ocr page 140-



		198

		Uit deze vergelijkingen blijkt, dat de ligging van het zwaartepunt onafhankelijk is van de grootte en richting der krachten, en dat zij alleen afhangt van de ligging der afzonderlijke stoffelijke punten, en van de wijze waarop de massa van het lichaam over de afzonderlijke punten is verdeeld. Voor het opsporen van het zwaartepunt geven zij den volgenden regel: Om den afstand van het zwaartepunt van een lichaam tot een vlak te vinden, vermenk/vuldige men het aantal massaeenheden van elk afzonderlijk stoffelijk punt met zijn afstand tot dit vlak, en deele de som van al deze producten door het aantal massaeenheden van het geheele lichaam. Schrijft men de vergelijkingen (50) onder den vorm: Mx X (mx) ) My₀ = 2{my) (51) Mz = 2 (mz), \' dan blijkt hieruit, dat men de som der producten, welke men verkrijgt als men het aantal massaeenheden van elk der punten vermenigvuldigt met zijn afstand tot eenig vlak, steeds mag vervangen door het product van het aantal massa- eenheden van het lichaam met den afstand van zijn zwaarte- punt tot hetzelfde vlak. Het voorgaande geldt niet slechts voor het geheele lichaam, maar ook voor elk willekeurig deel er van, daar zulk een deel op zichzelf ook een lichaam is. Men mag derhalve het geheele lichaam verdeelen in deelen, en de som der produc- ten van elk deel afkomstig, vervangen door het product van het aantal massaeenheden van dat deel met den afstand van zijn zwaartepunt tot het vlak. De vergelijkingen (50) en (51) gelden derhalve ook dan als m_t, m₂ . . . m niet meer de massa\'s der afzonderlijke punten, maar de massa\'s van geheele groepen van stoffelijke punten voorstellen, waarbij dan onder x_i,y_l, z_i enz. de afstanden der zwaartepunten van de overeenkomstige groepen tot de coördinatenvlakken moeten worden verstaan. Men kan zich voorstellen een geheel van stoffelijke punten die gelegen zijn op een oppervlak. Indien de massa op onderling gelijke oppervlaktedeelen. hoe klein ook genomen,

-ocr page 141-



		129

		overal dezelfde is, noemt men zulk een stelsel van stoffelijke punten een homogeen oppervlak. Evenzoo kan men zich voorstellen een geheel van stoffelijke punten, die gelegen zijn op een lijn Indien de massa op onderling gelijke lengtedeelen, hoe klein ook genomen, overal dezelfde is, noemt men zulk een stelsel van stoffelijke pun- ten een homogeene lijn. § 46. Zwaartepunten van meetkundige lichamen, vlakken, lijnen. Indien I het volume is van een homogeen lichaam en y de soortelijke massa van de stof waaruit het bestaat, dan is de massa van.het geheele lichaam: Verdeelt men het volume van het lichaam in deelen t,, », ... i, dan zijn evenzoo de massa\'s dier deelen: m_l = y », m₂ = y i₂ .. . m = y i. Vervangt men deze waarden van m_l, m₂ . .. m» in de vergelijkingen (50), dan vindt men voor de coördinaten van het zwaartepunt van een homogeen lichaam: £Jjix) _ Z(yiy) __ 2{yis) ^X"~ 2{yt) ^y"~ 2,(yi) ^Z°- Z(yi)\' of den gemeenschappelijken factor in teller en noemer weg- latende :

		Vo= ~~\\^{t$~~ of ook: Iy₀ = Z(iy) 2(iz)
		(52)


		Uit deze vergelijkingen blijkt, dat bij homogeene lichamen de ligging van het zwaartepunt geheel onafhankelijk is van de soortelijke massa der stof waaruit het lichaam bestaat, en dat zij alleen afhangt van den meetkundigen vorm van het Dr. Jülius, Meehanici. Q

-ocr page 142-



		130

		lichaam. Daarom is het geoorloofd te spreken van het zwaartepunt van een meetkundig lichaam. Evenals van het zwaartepunt van een meetkundig lichaam, kan men ook spreken van het zwaartepunt van een meet- kundig vlak en van een meetkundige lijn. Bovenstaande vergelijkingen kunnen onmiddellijk aangewend worden ter bepaling van het zwaartepunt van homogeene vlakken en lijnen ; slechts beteekent dan ; de massa respeo tievelijk op de vlakte* en op de lengteeenheid aanwezig. Bij de aanwending der vergelijkingen (52) ter bepaling van het zwaartepunt, wordt verondersteld, dat men het lichaam kan verdeelen in volumedeelen, waarvan de zwaarte- punten reeds bekend zijn. Is dit niet het geval, dan moeten de volumedeelen i_l . . . i oneindig klein genomen worden. De tellers en de noemers in die vergelijkingen zijn dan de sommen van een oneindig groot aantal oneindig kleine groot- heden, welker bedrag moet worden bepaald. De bepaling der coördinaten van het zwaartepunt kan somtijds op eenvoudiger wijze geschieden dan door de toe- passing der vergelijkingen (52). Dit is steeds dan het geval, indien het gelukt aan het stelsel van coördinatenassen een zoodanigen stand te geven, dat enkele coördinaten van het zwaartepunt nul worden. Kiest men de coördinatenassen zoodanig, dat x, y , z alle drie nul worden, dan ligt het zwaartepunt natuurlijk in het snijpunt dier assen. In dit geval moet voldaan zijn aan de vergelijkingen 2" (ix) = 0 ) 2 {iy) = 0 (53) 2 \\iz) = 0 ) Kiest men de coördinatenassen zoodanig, dat y₀ en z₀ nul worden, dan ligt het zwaartepunt op de as AX. Er moet dan voldaan zijn aan de vergelijkingen: 2, (i z) = 0 ^x Is eindelijk alleen z gelijk nul, clan ligt het zwaartepunt in het vlak A\' Y. Er moet dan voldaan zijn aan de ver- dng: Z(iz) = Q. (55)

-ocr page 143-



		131

		Kan men derhalve voor het stelsel van coördinatenassen achtereenvolgens verschillende standen vinden, zoodanig dat het zwaartepunt óf in een der coördinaten vlakken, óf in een dei^- coördinatenassen ligt, dan behoeft men om het zwaarte- punt te verkrijgen, slechts het snijpunt van drie zulke vlakken, of van twee zulke lijnen te bepalen. Deze methode kan met voordeel worden aangewend, ingeval het lichaam een bepaalden regelmatigen vorm heeft, daar men bij zulk een lichaam meestal dadelijk kan zien, hoe een vlak moet aangebracht worden, opdat aan de vergelij- king (55) ten opzichte van dit vlak voldaan zij. Noemt men de producten t, z_t ...iz_n kortheidshalve de momenten der volumedeelen ten opzichte van het vlak X Y, dan zegt die vergelijking, dat de som der momenten van de volumedeelen ten opzichte van het vlak XY nul moet zijn. In de twee volgende gevallen kan men al dadelijk aan- toonen, dat deze voorwaarde vervuld is; vooreerst als elk dier momenten afzonderlijk nul is, d. i. als de zwaartepunten der afzonderlijke deelen alle in het vlak XY liggen, en ten tweede, als het vlak XY het lichaam in twee symmetrische helften verdeelt. Evenzoo gaat een rechte lijn door het zwaartepunt van een vlak, wanneer de zwaartepunten der afzonderlijke deelen van dit vlak alle in die lijn liggen, of ook wanneer die lijn het vlak in twee symmetrische helften verdeelt. Hieruit volgt, dat bij alle regelmatige lichamen en vlakken het zwaartepunt in het middelpunt der figuur is gelegen. § 47. Bepaling van zwaartepunten van lijnen. Het zwaartepunt van een homogeene rechte lijn ligt in haar midden, omdat ten opzichte van elk door dit punt ge- bracht vlak aan de vergelijking (55) is voldaan. Het zwaartepunt van een gebroken lijn of van den omtrek eens veelhoeks kan derhalve dadelijk uit de vergely kingen (52) worden gevonden. Daarin zijn dan i_{ . . . i de lengten der zijden, en x_y y_l z_i . ..xyz de coördinaten van de mid- dens dier zijden. Het zwaartepunt van een willekeurige kromme lijn vindt men door deze te beschouwen als een gebroken lijn met 9*

-ocr page 144-

432

oneindig vele oneindig kleine zijden. Is de kromme lijn een
cirkelboog, dan behoeft slechts de afstand van het zwaarte-
punt tot het middelpunt van den cirkel bepaald te worden,
daar men reeds weet, dat het zwaartepunt moet liggen in
den straal CD (fig. 66), die den boog AB middendoor-

deelt. Ter bepaling van den afstand SC = x₀ dient de
eerste der vergelijkingen (52):

2 (ix)

waarin i_i___i« de lengten der oneindig kleine boogjes, en

x ....%u de afstanden daarvan tot de as CY voorstellen.
Uit de gelijkvormigheid der driehoeken abc en Cd E volgt:

waaruit men vindt:

koorde A B

^x" ⁼ ^r~MfT~ hoog AB\'
of, als de halve hoek ACB cp radialen is:

Sraav^^dn? ₍₅₆₎

⁰ Irtf qp

-ocr page 145-



		433

		7T Stelt men hierin qp = -x, dan verkrijgt men voor den afstand van het zwaartepunt van den halven cirkelomtrek tot het middelpunt: 2r 2-0= ------. 7T

		§ 48. Bepaling van zwaartepunten van vlakken. Het zwaartepunt van een driehoek ABC (fig. 67) ligt in de rechte lijn CD, die het midden der zijde AB met het tegenoverliggende hoekpunt C vereenigt, omdat de zwaartepunten van de oneindig smalle strookjes MN, PQ..., waarin de driehoek kan worden verdeeld door aan de zijde AB evenwijdig getrokken lijnen, alle in de lijn CD liggen. Om dezelfde reden ligt het zwaartepunt van den driehoek ook op de lijn AE, die het midden van de zijde BC met *Fig.07.*

		het tegenover liggende hoekpunt A verbindt. Het ligt dus in het snijpunt S der beide lijnen DC en AE. Uit de gelijkvormigheid van de driehoeken BDE en BAC volgt DE=)_iAC, en uit de gelijkvormigheid van de driehoeken DES en ACS volgt DS=\\CS = l CD. Hetzwaarte- punt van een driehoek ligt dus op de lijn, die het midden van een zijde met het tegenover liggende hoekpunt verbindt, en van die zijde af gerekend, op een derde van die hjn.

-ocr page 146-

434

Het zwaartepunt van een veelhoek kan uit de vergelijk
kingen (52) worden bepaald, door den veelhoek te venkelen
in driehoeken. Is de veelhoek een vierhoek, dan kan men
het zwaartepunt ook vinden, als men den vierhoek op twee

verschillende wijzen
Fig.es. door diagonalen in

twee driehoeken ver-
deelt. Verbindt men
telkens de zwaarte-
punten der beide
driehoeken door een
lijn, dan ligt het
zwaartepunt van den
vierhoek in het snij-
punt dier verbin-
dingslijnen.

Om het zwaarte-
punt te vinden van
een cirkelsector (fig.
68) met den straal r,
verdeelt men den hoek 2 <j radialen in oneindig kleine
deelen. Elk deel van den cirkelsector mag als een driehoek
beschouwd worden. Van al de driehoeken, w\'aarin de cirkel-
sector verdeeld is, liggen de zwaartepunten op den omtrek
van een cirkelboog met -| r tot straal Het zwaartepunt van
den cirkelsector valt dus samen met het zwaartepunt van
dien cirkelboog. Volgens vergelijking (56) bedraagt de af-
stand, waarop dit van het middelpunt is gelegen:

(57)

x =

Stelt\'men hierin <jp = ^, dan vindt men, dat het zwaarte*
punt van een halven cirkel op den afstand:

Xo =

van het middelpunt is verwijderd.

Verdeelt men den cirkelsector CA DB (fig. 69) door
de koorde AB in het segment ADB en den driehoek

-ocr page 147-

135

CAB, en noemt men de vlakteinhouden van sector,
segment en driehoek respectievelijk F₀, F_{ en F₂, dan kan
men het zwaartepunt van het segment bepalen uit de ver-
gelijking:

Fx = F_t x, F₂ ^

waaruit voor x, gevonden wordt:

F x F₀ x.

In deze vergelijking moeten de vroeger gevonden waarden

van x en x₂ wor-
den gesubstitueerd.
Het zwaartepunt
van het gebogen op-
pervlak eens cilinders
ligt in het midden
van zijn as.

Het zwaartepunt
van het gebogen op-
pervlak eens kegels
ligt op de as op een
derde van de hoogte
van het grondvlak
af gerekend.

Wordt een bol
\' door een cilinder
omhuld, en ^rengt _ men loodrecht" op de as des cilinders
twee oneindig dicht bij elkander gelegen vlakken, E^ en E₂(fig. 70) aan, dan snijden deze van den bol en den cilinder
oneindig dunne schijfjes af. De gebogen oppervlakken dier
schijfjes hebben hetzelfde zwaartepunt en dezelfde grootte.
Het gebogen oppervlak van het uit den bol gesneden schijfje

is namelijk :

}.. yt,

-- J

f 2 r cos (f . 7i. mn.

?t -

f . Sf /. f !

of daar m n cos qp = pq is:

f = \'2nr .pq.

Het zwaartepunt van het gebogen oppervlak van een bol

-ocr page 148-



		1.16

		vormige schijf of van een bolsegment valt dus samen met het zwaartepunt van het bijbehoorend cilindervlak, en ligt - Fig.70.

		dus in het midden der as. Van het gebogen oppervlak van een halven bol ligt het zwaartepunt derhalve op het midden van den straal. § 49. Bepaling van de zwaartepunten \'van lichamen. Het zwaartepunt van een driehoekige pyramide ABCD (fig. 71) ligt op de rechte lijn ED, die het zwaartepunt van het grondvlak ABC verbindt met den top D, omdat de zwaartepunten van de oneindig dunne lagen abc..., waarin de pyramide door vlakken evenwijdig aan het grondvlak kan worden verdeeld, alle in de lijn ED liggen. Om dezelfde reden moet het zwaartepunt der pyramide ook liggen op de lijn FA, die het zwaartepunt van den driehoek B CD ver- bindt met het tegenover liggend hoekpunt A. Het ligt der- halve in het snijpunt S der lijnen ED en FA. Uit de gelijkvormigheid der driehoeken GEF en G AD volgt, daar GF=\\ GD is, EF= \\AD; uit de gelijkvormigheid dei- driehoeken SEF en SAD volgt ES=ISD, dus ook

-ocr page 149-



		i;t7

		ES = \\ ED. Het zwaartepunt van een driehoekige pyramide ligt dus op de lijn, die het zwaartepunt van het grondvlak verbindt met den top, en wel van het grondvlak af gere- kend, op een vierde van die hjn. Een veelhoekige pyramide kan in driehoekige pyramiden worden verdeeld. Van alle driehoekige pyramiden liggen de zwaartepunten in een vlak op een vierde van de hoogte evenwijdig aan het grondvlak gebracht. Ook het zwaarte-

		punt van een veelhoekige pyramide ligt dus op de lijn, die het zwaartepunt van het grondvlak verbindt met den top, en op een vierde van die lijn van het grondvlak af gerekend. Een kegel kan worden beschouwd als een pyramide met oneindig veel zijvlakken; ook het zwaartepunt van een kegel ligt dus op de lijn, die het middelpunt van het grondvlak verbindt met den top, en op een vierde van de hoogte van het grondvlak af gerekend. Een bolsector kan worden beschouwd als samengesteld uit pyramiden, welker toppen in het middelpunt, en welker oneindig kleine grondvlakken in het oppervlak van den bol liggen. Is de straal van den bol r, dan liggen de zwaarte- punten van de pyramiden alle op het oppervlak van een

-ocr page 150-



		138

		bolsegment met den straal -\| r beschreven. Het zwaartepunt van den bolsector valt dus samen met het zwaartepunt van genoemd oppervlak. Is de hoogte van het bolvormig opper- vlak van den sector h, dan is de hoogte van het bol- segment \|/j. Het zwaartepunt van het gebogen oppervlak van een bolsegment ligt op het midden der hoogte. De af- stand van het zwaartepunt van den bolsector tot het middel- punt is derhalve: x₀ \\ r \| h. Stelt men hierin h = r, dan verkrijgt men voor den afstand van het zwaartepunt van een halven bol tot het middelpunt: x = \| r. Het zwaartepunt van een bolsegment kan wederom be- paald worden door den bolsector te verdeden in een bol- segment en een kegel, en daarna het moment van het geheel gelijk te stellen aan de som van de momenten der beide deelen. § 50. Regel van Guldin. Wanneer een vlakke figuur draait om een in haar vlak gelegen as YY_l (fig. 72), dan zal een punt op den af- stand x van de as gelegen bij een volledige omwenteling den weg 2 n x afleggen; het op den afstand x van de as gelegen oneindig kleine deel mn = X van een lijn AB in dat vlak, zal dus een deel van een kegeloppervlak beschrijven, waarvan de inhoud is Inxï. De inhoud van het door de geheele lijn AB met de lengte l meters beschreven opper- vlak F is de som van de inhouden door de afzonderlijke deelen beschreven, dus: F = 2 (2 n x A) = 2 Ti 2 (l x). Daar nu de som der momenten van de deelen gelijk is aan het moment van de geheele lijn of 2(\\x)= lx,,, zoo heeft men:

		F=2px_ul.
		(58)

-ocr page 151-

d39

De vlakteinhoud van een omwentelingsoppervlak is gelijk
aan de lengte van de beschrijvende lijn, vermenigviddigd
met den weg doorloopen door het zwaartepunt dier lijn.

Op soortgelijke wijze bepaalt men den inhoud van een

Fig.72.

Fif/73

omwentelingslichaam. Het oneindig kleine deeltje f (fig. 73)
beschrijft bij een geheele omwenteling een lichaam, waarvan
de inhoud 2 itx f is; de inhoud van het door de geheele
figuur F beschreven lichaam is:

I=Z(2nxf)=^l2iT2;(fx),
of daar £ (fx) = Fx is,

7= 2/ra: F.

(59)

De inhoud van een omwentelingslichaam is derhalve
gelijk aan den vlakteinhoud van de beschrijvende figuur,
vermenigvuldigd met den weg door haar zwaartepunt door-
hopen.

Bovengenoemde stellingen worden y>de regel van Guldin"
genoemd; zij gelden niet alleen voor een volledige omwente-
ling, maar ook voor elk willekeurig deel er van; men moet
dan slechts den hoek 21 vervangen door den beschreven
hoek <jp.

-ocr page 152-

140

De inhoud van het lichaam beschreven bij de omwenteling
van den rechthoekigen driehoek ABC (fig. 74) om de aan
de rechthoekzijde A B evenwijdige as YY_t, kan uit verge-
lijking (59) gevonden worden; stelt men daarin:

W ^rh

en a?₀ = a-[-n, dan wordt:

(^a dⁿ

rh.

De zijde AC =1 beschrijft daarbij het oppervlak van een
afgeknotten kegel, welks vlakteinhoud uit vergelijking (58)

. T

wordt verkregen door daarin x₀ = a -f- te stellen, dus:

Stelt men in beide vergelijkingen a = o, dan verkrijgt
men voor den inhoud en voor het gebogen oppervlak van een
kegel, welks hoogte h, en welks grondvlak een cirkel is met
den straal r, de waarden:

irr^h

en F\' = nrl.

De inhoud van het lichaam beschreven bij de omwente-
ling van den halven cirkel ABD (fig. 75) om een as Y Y_t

-ocr page 153-



		141

		evenwijdig aan de middellijn AB, kan gevonden worden door in vergelijking (59) 7T T 4 V F = =r- en x₀ = a 4- te stellen, dus: 1 on /..(. {£)»* Het door den halven cirkelomtrek ABD beschreven opper-

		2r
		vlak vindt men door in vergelijking (58) l = nr en # = a -)- te stellen, dus :


		f-2(a H)_w»r

		Stelt men in deze beide vergelijkingen a = o, dan vindt men voor den inhoud en voor het oppervlak van een bol met den straal r beschreven, de waarden: l = $nr^s en F=knrⁱ.

-ocr page 154-



		142

		HOOFDSTUK VIII. Weerstanden van vaste steunpunten. § 51. Lichaam ondersteund in een punt. Stabiel, labiel en indifferent evenwicht. Het gewicht van een lichaam kan, welken stand het lichaam ook moge innemen, steeds beschouwd worden als een in het zwaartepunt aangrijpende en in verticale richting naar beneden werkende kracht. Opdat het gewicht van een lichaam door eenige andere kracht worde in evenwicht gehouden, moet die kracht in verticale richting naar boven werken en gelijk zijn aan het gewicht; haar aangrijpingspunt moet liggen in de verti- caal van het zwaartepunt. Aan deze drie voorwaarden vol- doet de door het gewicht G te voorschijn geroepen weerstand W van eenig vast punt O in de verticaal van het zwaarte- punt gelegen; deze weerstand toch is een kracht, die zoo groot is en in zoodanige richting werkt, dat elke beweging van het punt wordt belet. Is dus een der punten in de verticaal van het zwaartepunt gelegen een vast punt, dan is het lichaam in rust, mits er verder geen krachten op werken. Indien omgekeerd het in een punt O bevestigde lichaam in rust is, dan kan men hieruit de gevolgtrekking maken, dat de krachten G en W elkander in evenwicht houden, en dat dus het zwaartepunt ergens in de verticaal van het vaste punt moet gelegen zijn. Men heeft hierin een middel om de plaats van het zwaartepunt proefondervindelijk te bepalen. Hangt men namelijk het lichaam achtereenvolgens in twee verschillende punten op, en bepaalt men beide keeren de punten A_t B_x en A₂ B₂, waarin de verticaal van het ophangpunt het oppervlak van het lichaam snijdt, dan is het snijpunt van de beide verbindingslijnen A_t B_t en A_% B₂het gezochte zwaartepunt. Wordt het in het punt O bevestigde lichaam een weinig uit zijn evenwichtsstand gebracht, en daarna aan zich zelf overgelaten, dan zal het in het algemeen een draaiende beweging om het punt O aannemen. Al naarmate de draaiende beweging aanvankelijk een zoodanige is, dat het lichaam naar zijn vorigen evenwichtsstand terugkeert, of er

-ocr page 155-



		143 zich nog verder uit verwijdert, wordt de aanvankelijke even- wichtsstand stabiel of labiel genoemd. Indien het lichaam na elke kleine draaiing in rust blijft, dan noemt men den aanvankelijken evenwichtsstand indifferent. De evenwichtsstand is stabiel, indien het zwaartepunt be- neden het vaste punt en dus zoo laag mogelijk ligt; labiel, indien het zwaartepunt boven het vaste punt en dus zoo hoog mogelijk ligt; indifferent, indien het zwaartepunt met het vaste punt samenvalt. Bovenstaande beschouwingen gelden ook dan nog, als het lichaam bevestigd is aan een horizontale vaste as. Wanneer op een lichaam, dat in rust is en in een vast punt ondersteund wordt, twee of meer krachten werken, dan moeten deze krachten een vervangende hebben, werkende langs de lijn, die door het vaste punt gaat. Het komt dikwijls voor dat een lichaam een vaste steunas heeft en in rust is, terwijl er krachten op werken langs lijnen, alle gelegen in een vlak loodrecht op de steunas. Ook dan moeten die krachten een vervangende hebben, werkende langs de lijn, welke gaat door het snijpunt O van de steunas en het vlak waarin de krachten werken. In dit geval volgt uit de momenten vergelijking, dat de som der momenten van alle krachten ten opzichte van het punt O nul moet zijn. Een zoodanig lichaam, dat gewoonlijk den vorm heeft van een rechte of gebogen staaf, noemt men een hefboom. De lengte der loodlijn, uit O neergelaten op de lijn waarlangs eenige kracht werkt, heet de hefboomsarm dier kracht. § 52. Toepassing op het meten van gewichten. Het hoofdbestanddeel van een balans is een hefboom, waaraan men den naam juk geeft. Zij O (fig. 76) het snijpunt van de horizontale steunas met het daarop loodrecht staande vlak van teekening; kort- heidshalve zal het punt 0 het steunpunt worden genoemd. Zijn evenzoo A en B de snijpunten van de steunassen der schalen met het vlak der teekening, welke assen evenwijdig zijn aan de steunas van het juk; A en B zullen de ophang- punten genoemd worden. Zij verder D het in het vlak van

-ocr page 156-



		144

		teekening gelegen zwaartepunt van het juk; zij eindelijk de lengte der armen van het juk AC=BO=l meters, de afstand van het zwaartepunt tot het steunpunt 0 D = d meters, en de afstand van het steunpunt tot de lijn die Fiy.W.

		de ophangpunten verbindt OC = a meters. Belast men de schaal in A met een gewicht P, die in B met een gewicht Q = P -\\- p eenheden, dan zal het juk den nieuwen even- wichtsstand OA_lB_i innemen; de hoek, dien A_iB₁ met A B maakt, zij « radicalen. Uit de momentenvergelijking volgt, als O het gewicht van het juk is: {P p)OF P.OE (?X 01=0, of daar 0F=KFK0 en 0E=EK K0, (P p) (KFKO) P (EK KO) G . 01 = 0. Nu isKF= EK Icosa, KO asina en 01= dsina, dus (P -\|- p) (l cos « ot sin «) P (Icosa -\\- a sin «) Gd sin « = 0, f _t j l ot ^^ V^pj_rV)aj_rGd V_{pj_rQ_)aj_rGd-

-ocr page 157-



		145

		Den hoek « noemt men den doorslag; voor kleine hoeken mag tg a door « vervangen worden, en dan blijkt uit bovenstaande vergelijking, dat de grootte van o bij een be- paald overwicht^», afhangt van de lengten der armen, van de belasting P -j- Q, van den afstand a van het steunpunt tot de lijn die de ophangpunten verbindt, van het gewicht G van het juk, en van den afstand van het zwaartepunt van het juk tot het steunpunt. Naar de grootte van u bij een bepaald overwicht p, wordt de gevoeligheid van een balans beoordeeld. Stelt men in bovenstaande waarde van « a = o, dan verkrijgt men: *^a==péd-* Indien dus het steunpunt ligt in de lijn die de ophang- punten verbindt, dan is de gevoeligheid van de balans even- redig met de lengte der armen, en omgekeerd evenredig met het gewicht van het juk en den afstand van het zwaartepunt van het juk tot het steunpunt; zij is dan echter onafhanke- lijk van de belasting. Opdat de even wichtsstand van de balans stabiel zij, moet het zwaartepunt D beneden het steunpunt O gelegen zijn. De unster is een ongelijkarmige hefboom. Zij O (fig. 77) het steunpunt en S het zwaartepunt van de onbelaste unster. Zij A het ophangpunt van de tot het opnemen van de belasting bestemde schaal met het gewicht K, en B het ophangpunt van een gewicht P, dan zal de unster in denzelfden evenwichtsstand zijn, dien zij inneemt als K en P niet werken, indien voldaan is aan de verge- lijking: *Pa Kr = o.* Wordt de schaal belast met het gewicht Q, dan zal om de unster in denzelfden evenwichtsstand te doen blijven, het ophangpunt van het gewicht P moeten verschoven worden. Bedraagt de afstand B M van het nieuwe ophangpunt M tot het oorspronkelijke B x meters (fig. 78), dan heeft men: P (o af) {K Q) r = o. Dr. Julics, Mechanica, 10

-ocr page 158-

146

Trekt men de eerste vergelijking van de tweede af, dan
verkrijgt men:

Px Qr = o of Q = ~-

Uit deze vergelijking blijkt, dat men het onbekende ge-
wicht Q kan berekenen uit de gemeten lengte x. In den

Fuj7\\

ff\'
o

Fig.78

J9l

-SZ-

r
e

\\tl

regel wordt de lange arm van de unster van te voren ver-
deeld, en wordt bij ieder deelpunt de berekende getalwaarde

geplaatst.

Opdat de evenwichtsstand van de unster stabiel zij, moet
het zwaartepunt S beneden het steunpunt O liggen.

§ 53. Lichaam ondersteund in twee punten.

Indien twee punten A en B, in de verticaal van het
zwaartepunt van een in rust zijnd lichaam gelegen, vaste
punten zijn, dan kan de weerstand in elk dier punten te
voorschijn geroepen, in het algemeen niet worden bepaald.
Uit de ééne evenwichtsvergelijking voor dit geval volgt
toch alleen, dat de som der weerstanden door de beide

-ocr page 159-



		\'

		.\'"


		147

		vaste punten geboden, gelijk is aan het in verticale richting naar beneden werkende gewicht van het lichaam; zij geeft dus geen uitsluitsel omtrent de wijze, waarop de weerstand over de beide vaste punten is verdeeld. Door de wijze van ophangen te veranderen kan men het zoo inrichten, dat de weerstand van het punt A alleen, of die van het punt B alleen, evenwicht maakt met het gewicht G van het lichaam, of ook, dat de weerstand van één dier punten een willekeurige grootte heeft. Indien men bijv. aan het aanvankelijk slechts in het punt A bevestigde lichaam nog een gewicht Q hangt, dan is de in A te voorschijn geroepen weerstand gelijk aan Q -\\- G. Deze weerstand verandert niet als het punt B bevestigd, en daarna het gewicht Q weggenomen wordt. Bij deze wijze van bevestiging is de weerstand van A ver- ticaal naar boven gericht en heeft de grootte W_x = G -\\- Q, terwijl de weerstand van B verticaal naar beneden is ge- richt en de grootte heeft W₂ = Q. Indien het in rust zijnd lichaam bevestigd is in twee vaste punten A en B, welke niet in de verticaal van het zwaartepunt gelegen zijn, dan is de weerstand door elk der punten geboden, evenzoo onbepaald. De punten A en B moeten dan met het zwaartepunt van het lichaam in hetzelfde verticale vlak liggen. Voor het evenwicht wordt dan slechts vereischt, dat het snijpunt ^der lijnen, waarlangs de weer- standen W_l en W_tPiff-79 werken, in de verticaal van het zwaartepunt ligt, een voorwaarde, waaraan op oneindig veel verschillende wijzen kan worden voldaan. Deze onbepaaldheid heeft echter alleen be- trekking op de ontbin- dingskrachten X_{ en X₂ (fig. 79) der weer- standen langs de lijn AB, terwijl de ont- bindingskrachten Y_i en Y_t langs lijnen loodrecht op AB 40*

-ocr page 160-

148

steeds bepaalde waarden hebben, welke onafhankelijk zijn
van de bevestigingswijze en steeds berekend kunnen worden.
Ten opzichte toch van elk punt in het vlak van teekening
is de som der momenten van alle krachten gelijk nul. Kiest
men voor dit punt eerst B en dan A, dan verkrijgt men
de twee vergelijkingen:

F,/ Gb = 0 of

Y_x = Gj.
Y, = Gj.

Y_%1 = 0

Ter bepaling van de ontbindingskrachten X_{ en X_t heeft
men slechts één evenwichtsvergelijking, welke uitdrukt dat
langs elke lijn, dus ook langs A B, de som der ontbindings-
krachten gelijk nul is; bijgevolg heeft de som X, -|- X₂ een
bepaalde grootte gelijk aan die der ontbindingskracht langs
de lijn AB. De grootte van elk dezer krachten echter
hangt af van de wijze, waarop het lichaam is bevestigd.

De onbepaaldheid houdt op, zoodra de richting van den
weerstand in een der steunpunten bekend is. In dat geval
toch kent men het snijpunt van de lijn, waarlangs die

weerstand werkt, met

FiffSO

de verticaal van het

zwaartepunt, en dus
ook de richting van
den anderen weerstand.
Construeert men een
parallelogram, welks
diagonaal de kracht G
in tegengestelde rich-
ting genomen voor-
stelt, dan stellen de
om die diagonaal ge-
legen zijden de weer-
standen voor.

Dit geval doet zich
steeds dan voor, wan-
neer een lichaam in een
punt steunt tegen het
oppervlak van een ander lichaam. De weerstand is dan

-ocr page 161-

149 .^,\'^\'rr ï\'-jf.

steeds normaal op het gemeenschappelijk raakvlak in dat
punt.

Zoo is bijv. in fig. 80 de weerstand van het punt A steeds
loodrecht op de lijn AB. Ter bepaling der weerstanden
heeft men uit de momentenvergelijkingen ten opzichte van
B en van A:

W, . A B G . B C = 0 of W_y

G.ADW^AE^Q of W₂ = G^.

Indien het lichaam in elk der steunpunten op een hori-
zontaal vlak rust, dan is de richting van den weerstand in
elk der steunpunten verticaal.

Ter bepaling dier weerstanden heeft men (fig. 81):

W_t(u b)Qb = 0 ofW_l = G
GaW.₁(a-\\-b) = 0 of W₂ = G

a b
a

a V
Op gelijke wijze kunnen de weerstanden worden bepaald,

Fia.Hl

indien het op deze wijze in twee punten ondersteunde lichaam
bovendien nog met andere gewichten is belast.

-ocr page 162-

150

Maakt men (fig. 82) de momenten vergelijkingen op ten
opzichte van de punten B en A, dan verkrijgt men:

W^AB P.CB G.DBQ.EB^O
P.AC G.AD Q.AE-W_i.AB = 0,

AD AE

^G-AB ^Q

AC
AB

W₂ = P

Uit deze vergelijkingen kan men nagaan welk gedeelte

..ic,

Pi<j82

van den weerstand door elk der gewichten P, G en Q
wordt te voorschijn geroepen. Zij toonen aan, dat door elk
gewicht afzonderlijk een even groote weerstand wordt op-
gewekt alsof dat gewicht de eenige belasting ware.

§ 54. Lichaam ondersteund in drie punten.

Zijn drie niet in een rechte lijn gelegen punten van een
lichaam vaste punten, dan kunnen de weerstanden van die
punten slechts dan worden bepaald, wanneer de richtingen
dier weerstanden bekend zijn.

Is de richting van den weerstand in een der drie punten
gegeven, dan kan steeds ook de grootte van dien weerstand
worden bepaald. Stelt men toch de momentenvergelijking

-ocr page 163-



		151

		op ten opzichte van de lijn, die de twee andere vaste punten verbindt, dan komt in die vergelijking de grootte van den gezochten weerstand als eenige onbekende voor. Ook de ontbindingskrachten van de weerstanden in een richting loodrecht op het vlak door de vaste punten gebracht, hebben steeds bepaalde grootten, die op dezelfde wijze kunnen gevonden worden; de ontbindingskrachten in de richting van het vlak blijven daarbij onbepaald. Indien een lichaam in drie punten op een horizontaal steunvlak rust, dan is de richting van den weerstand in elk der punten verticaal. Om den weerstand V_x (fig. 83) van FUj.83.

		het steunpunt A te bepalen, stelt men de momentenveige- lijking op ten opzichte van de as B C: G.EFV.AD^O of V. = G . ¹ * AD Op dezelfde wijze worden de weerstanden F₂ en V₃ van B en C bepaald. Is de hefboomsarm E F gelijk nul, en snijdt dus de

-ocr page 164-



		152

		verticaal van het zwaartepunt de zijde B C van den drie- hoek ABC, dan is F, =0. Snijdt de verticaal van het zwaartepunt het ondersteuningsvlak in een punt Fj buiten den driehoek, dan wordt de momenten vergelijking: G . E. F. V, A D = 0 of V. = G . ^E\\^F\'. iiii i ^D F, wordt dan negatief, en het lichaam zal kantelen, tenzij het punt A een weerstand in verticale richting naar be- neden kan bieden. Voor het evenwicht wordt dus vereischt, dat de verticaal van het zwaartepunt het ondersteuningsvlak snijdt binnen den driehoek, waarvan de steunpunten de hoekpunten zijn. Valt dit snijpunt ergens in den omtrek van den driehoek, dan is de evenwichtsstand labiel; de geringste uitwijking naar dien kant zou het omslaan van het lichaam tengevolge hebben. Valt daarentegen het snijpunt binnen den driehoek, dan is het, teneinde het lichaam om één der zijden van den driehoek te doen kantelen, noodig, dat er op eenig punt van het lichaam een kracht werke, wier moment ten opzichte van die zijde aanvankelijk minstens even groot is als het moment van het gewicht G ten opzichte van die- zelfde zijde. In het laatste geval is dus de evenwichtsstand van het lichaam stabiel, en het moment van het gewicht G ten opzichte van de zijde, om welke men het lichaam wil doen kantelen, kan als maat voor de stabiliteit worden ge- nomen. Dit moment wordt daarom het stabiliteitsmoment van het lichaam ten opzichte van die zijde genoemd. §55. Lichaam steunend op een horizontaal vlak. Rust een lichaam met meer dan drie punten op een horizontaal steunvlak, dan is de verdeeling van den weer- stand over de steunpunten wederom onbepaald. Voor het evenwicht wordt slechts vereischt, dat het punt, waar de verticaal van het zwaartepunt het steunvlak snijdt, ligt binnen de ondersteuningsbasis, dat is, de door de buitenste steunpunten gebrachte veelhoek, binnen welken dus alle steunpunten gelegen zijn. Het moment van het gewicht ten opzichte van eenige z\\jde

-ocr page 165-



		153

		der ondersteuningsbasis wordt het stabiliteitsmoment van het lichaam ten opzichte van die zijde genoemd. Een lichaam, dat met een plat vlak rust op een horizontaal vlak, kan be- schouwd worden als een lichaam met oneindig veel steunpunten. Om een lichaam (fig. 84) om de zijde A te doen kantelen, moet op eenig punt van dat lichaam een kracht K werken, welker moment KI ten opzichte van A aanvankelijk minstens even groot moet zijn als het stabiliteitsmo- ment G x ten opzichte van A ; in dit geval toch gaat de lijn, waar- langs de vervangende van G en K werkt, door de zijde A, en de minste kracht is voldoende om liet lichaam in beweging te brengen. Gedurende het kantelen wordt het moment van het gewicht G ten opzichte van A voortdurend kleiner; het wordt nul op het oogenblik dat het zwaarte- punt S verticaal boven de zijde A ligt en dus zijn hoogsten stand be- reikt (fig. 86). Zonder dat het kan- telen ophoudt kan derhalve ook het moment van de kracht, die het kantelen veroorzaakt, allengs Firj.85. kleiner worden, en wel in dier voege, dat het steeds gelijk blijft aan het

		4		moment van G. Is dit het geval, dan zal ook gedurende de beweging de vervangende der krachten G en K steeds werken langs de lijn die door A gaat (fig. 85). De vervan- gende verricht bij deze beweging den arbeid nul; ook de som dei- arbeiden dooi^- A\' en G bij deze be- weging verricht is dus nul. Daar volgens fig. 86 de door het gewicht

		o G verrichte arbeid Gh is, vindt men den door de kracht K ver- richten arbeid 21 uit de vergelijking: 21 Gh = 0 of -21 = Gh. (60)

-ocr page 166-

154

Zoodra het lichaam den stand in fig. 86 heeft bereikt,
iis er verder geen kracht meer noodig om het geheel te doen

omvallen, daar zijn eigen ge-

wicht de beweging zal doen
voortduren.

Naar den arbeid benoodigd
tot het doen omkantelen van
een lichaam, wordt de dyna-

Fig.80


	1 / 1 *\' / s\'^*	n
	\\ 1	(A
		* c*

mische stabiliteit van het
lichaam beoordeeld. Volgens
vergelijking (60) is het aantal
eenheden van dien arbeid ge-
lijk aan het product van het
aantal gewichtseenheden van

het lichaam met het aantal
meters van den verticalen af-
stand, dien het zwaartepunt doorloopt, als het lichaam uit

zijn oorspronkelijken
/*iff87 evenwichtsstand in

den naastbijgelegen
labielen evenwichts»
stand wordt ge-
bracht.

Zijn van een recht-
hoekig parallelopipe-
dum (fig. 87) de
ribben a, b en c
meters lang, en is
de soortelijke massa
van de stof waaruit
het bestaat /, dan
is de massa van het
lichaam:

M= y abc kilogram,
en het gewicht:
G = gyabc eenheden.
Het stabiliteitsmoment ten opzichte van de ribbe A is:

, i
M= g y abc-~ eenheden.

-ocr page 167-



		455

		De verticale afstand, dien het zwaartepunt bij de kanteling doorloopt, is: De dynamische stabiliteit van het lichaam ten opzichte van de ribbe A is dus bepaald door den arbeid: %=g_rab_e\\ \\/(\|)² (\|)² - \|) eenheden. Bestaat het lichaam uit graniet, waarvan de soortelijke massa 2750 kilogram is, en is a = 0,8, b = 0,6 en C = 4 meter, dan is: 31 = 9,81 . 2750 . 0,8 . 0,6 {l/Ö,4² Ö^P 0,4 } = 1195eenh. Wil men dezen arbeid in kilogrammeters uitdrukken, dan moet bovenstaand getal door 9,81 gedeeld worden, 4195 of 21 = ~~_n ₀.~~ =132 kilogrammeters. y,oi Om dus dit granietblok om de ribbe A te doen kantelen is er een arbeid noodig, even groot als de arbeid benoodigd om een massa van 432 kilogram 4 meter hoog op te heffen. § 56. Weerstanden van twee lichamen, die elkander in één punt steunen. In § 53 is aangetoond, dat wanneer een lichaam in twee vaste punten ondersteund wordt, de weerstanden van de steunpunten niet kunnen bepaald worden, zoolang niet de wijze van bevestiging in minstens één van beide steunpunten bekend is. Dit laatste is nu het geval, indien twee lichamen P en Q (fig. 88) elk in een vast punt bevestigd zijn, en elkander iu een derde punt C wederkeerig steunen. Daar toch werking en terugwerking aan elkander gelijk zijn, is de kracht D, die Q in het punt C op P uitoefent en die de draaiing van P om het vaste punt A belet, gelijk en tegengesteld aan de kracht Z), , die P in het punt C op Q uitoefent en die de draaiing van Q om het vaste punt B

-ocr page 168-



		156

		belet. Men heeft dus ter bepaling van D en D_L twee onderling onafhankelijke vergelijkingen, de momentenverge- lijkingen ten opzichte van A en B, uit welke de grootten en de richtingen der krachten D en D_i kunnen gevonden *Füj.88*

		worden. Zijn de krachten J) en B_l bekend, dan kunnen de weerstanden W en W_l van de vaste punten A en B bepaald worden door middel van de in § 53 verklaarde en in fig. 88 aangegeven constructie. Voor het evenwicht wordt vereischt, dat de krachten D, Z),, G,G_t in hetzelfde vlak werken; de zwaartepunten S en S_t en de drie steunpunten A, B en C moeten der- halve in eenzelfde verticaal vlak liggen. De lijn waarlangs de kracht G werkt, snijdt derhalve de lijn AC, en het snijpunt E mag als het aangrijpingspunt van G beschouwd worden. Om dezelfde reden mag het snijpunt E. als het aangrijpingspunt van het gewicht G_{ worden aangenomen. Daar de vorm van elk der lichamen hier slechts voor zooverre in aanmerking komt, als de ligging van het zwaartepunt er door wordt bepaald, zoo kan die vorm voortaan buiten be-

-ocr page 169-



		157

		schouwing blijven; de lichamen mogen behandeld worden als vaste stangen, die in de vaste punten A en B beves- tigd zijn, die elkander in C steunen, en die in E en E_lmet de gewichten G en (?, belast zijn. Dit eenvoudiger geval is voorgesteld in fig. 89. Om de grootte en de richting van elk der krachten D en *Fig.89.*

		2), te kennen, is het voldoende de ontbindingskrachten in . horizontale en verticale richting te bepalen. Men verkrijgt deze ontbindingskrachten H, H_l, V, V_l door achtereen- volgens de momentenvergelijking op te stellen, eerst ten opzichte van A en dan ten opzichte van B. Deze verge- lijkingen zijn volgens fig. 90 en fig. 91. * Vb Hh Gc = 0* en Vb_t Hh_{ G_l c, = 0 of G c = M en (?, c, = M_x stellende, en in het oog hou- dende dat V_l = V en H_{ = H, Vb Hh = M Vb_x R\\ = Mi. De oplossing van deze vergelijkingen geeft voor de gezochte ontbindingskrachten:

-ocr page 170-

458

Tf- ^Mbi ^M\\^b

bh_t b_xh \'

_v_ Mh_t M, h

bh\\ b_th \'

De grootte van D, evenals die van D₁ is:


	Z) = Z), =	V H² V
De hoek, dien de lij n waarlangs D	en D_l werken,
Fig.90	*PUfQJ* 2\'
	P\'
<		^J-J
h S^ ^^r~~~~^->
	r< h,	>^	*Bi c,*
f	*B^^***

X		\\
		!)

maakt met een horizontale hjn, verkrijgt men uit de ver-

V
gehjkmg: tg « = -g-.

Is Mh, M. h = 0 of J^ = -J-, dan is V, en dus ook
¹ \' M_l ft,

tg a nul; de richting van D is dan horizontaal.

Is Mft, M_lh negatief, dan is V negatief; d. w. z. dat
in de figuur zoowel V als V_l in tegengestelde richting moet
worden genomen. Ook tg « is dan negatief, en de hoek a
is dan ook aan den anderen kant van de horizontale lijn
gelegen.

Is de kracht B bekend, dan kunnen de ontbindings-
krachten X en Y bepaald worden van den weerstand W
door het vaste punt A geboden. Men heeft toch:

X-H = 0 of 1=//

_Y V-G = 0 of Y=G V.

-ocr page 171-



		159

		Evenzoo vindt men voor de ontbindingskrachten X_l en F, van den weerstand door het vaste punt B geboden: X, = H en F, > ff, F. De horizontale ontbindingskrachten X en X, van die weerstanden zijn derhalve beide gelijk aan de horizontale ontbindingskracht van den weerstand D, terwijl de som dei- verticale ontbindingskrachten Y en F, gelijk is aan de som van de gewichten der beide stangen.

		§ 57. Brugbalans. De horizontale hefboom A B (fig. 92) is om het vaste punt O, de horizontale hefboom EZ is om het vaste punt Z *Fig92*

		*O R* ~E------

		, .ic,

		draaibaar. Zij zijn tevens door een verticale stang B .# zoo- danig met elkander verbonden, dat een draaiing van den eenen hefboom steeds een draaiing in tegengestelden zin van den anderen tengevolge heeft. Het gewicht van de drie stangen wordt verwaarloosd, of de invloed er van op de een of andere w\\jze opgeheven.

-ocr page 172-

160

"Wordt in A \\een gewicht P, en ergens op den hefboom
EZ, bijv. in F, een gewicht Q aangebracht, dan kan men
de voorwaarde vinden, waaronder de geheele hefboomtoestel
in evenwichtstoestand is.

Door de stang B E wordt op den hefboom A B in het
punt B een kracht K, op den hefboom EZ in het punt E
een kracht ÜT, uitgeoefend. Daar werking gelijk is aan
terugwerking, wordt omgekeerd door den hefboom A B een
kracht K in het punt B, en door den hefboom EZ een
kracht K_t in het punt E op de stang B E uitgeoefend.
Daar ook de stang EB in evenwichtstoestand is, zoo moeten
de krachten K en K_t even groot zijn en in onderling tegen-
gestelde richtingen werken langs de lijn die B en E ver-
bindt. Uit den e ven wichtstoe-

Fiff.93.

stand van de hefboomen AB en
EZ volgen de vergelijkingen:

Pa = KR en KL = Ql,

OrC

of na eleminatie van K:
Pa= Q-j-S.

(61)

Men kan ook het gewicht Q
ergens rechtstreeks aan den hef-
boom AB (fig. 03) doen werken,
en het punt C zoeken, waar het
gewicht Q zal moeten aangrijpen,
opdat er ook nu nog evenwicht
zij. Dit punt kan gevonden wor-
den uit de vergelijking:

Pa = Qr. (62)

Uit de vergelij kingen (61) en
(62) blijkt, dat het voor den evenwichtstoestand van den
hef boom toestel onverschillig is, of het gewicht Q aangrijpt
in F of in C, indien slechts voldaan is aan de voorwaarde:

i^B = ^r

r
~B\'

of -^ =

(63)

Wat voor het geheele gewicht Q waar is, geldt natuurlijk
ook voor een willekeurig deel er van. Wanneer men dus

-ocr page 173-



		161

		het gewicht Q bijv. in twee deelen q_t en q₂ verdeelt, en het eene deel in F, het andere in C laat aangrijpen, dan zal de uitwerking op den hefboomtoestel volkomen dezelfde zijn, alsof het geheele gewicht Q rechtstreeks in Caangreep. Een zoodanige verdeeling van het gewicht Q in twee deelen heeft werkelijk plaats, wanneer dit gewicht aan- gebracht wordt op een horizontalen balk DF (fig. 94), *Fig94.*

		3Z1

		Y 1

		welks eene uiteinde steunt in het punt F van den hefboom EZ, en welks andere uiteinde bevestigd is aan het uiteinde van een in het punt C opgehangen verticale stang CD. Het gewicht van den balk D F en dat van de stang CD wordt verwaarloosd, of de invloed er van op de een of andere wijze opgeheven. Waar ook het gewicht Q op den balk moge aangrijpen, het kan in zijn uitwerking worden vervangen door krachten q_l en q₂ aangrijpende in de steun- Dr. Julius, Mechanica. 11

-ocr page 174-

162

punten F en D, waarbij de grootten van q_t en q^ afhangen
van de plaats waar Q aangrijpt; steeds echter is q_t -\\-q₂ =Q.
Deze krachten q_x en q₂, aangrijpende in F en D , hebben
op den even wichtestand dezelfde uitwerking, alsof het ge-
wicht Q rechtstreeks in C werkte.

Ook in dit geval zal dus de hefboomtoestel in evenwichts-
toestand zijn als:

Pa = Qr of 0 = P-.
r

De hierboven beschreven hefboomtoestel heet de brug-

balans; voldoen de hefboomsarmen aan vergelijking (63) ,

dan is de evenwichtsstand der balans onafhankelijk van de

plaats, waar het gewicht Q op de horizontale brug DF

wordt aangebracht. Kent men de verhouding , dan kan

men het onbekende gewicht Q uit het bekende gewicht P

vinden. Gewoonlijk wordt de verhouding = 10 genomen.

§ 58. Balans van Roberval.

(fig. 95) zijn twee even lange, onderling

AO en A, 0,

Fig 95

evenwijdige stangen, in

de vaste punten O en O_tdraaibaar, en in de pun-
ten A en A_t bevestigd
aan een vast lichaam

CDAA
wijze, d

, , op zoodanige
stangen

ook in de punten A en
A_x draaibaar zijn. Indien
op het lichaam CDAA_teen koppel PI werkt,
dan zal dit koppel op de
beweging van het lichaam
geen invloed hebben. Men
kan toch dit koppel ver-
vangen door een ander,
waarvan de krachten aan-
grijpen in de punten A en A_t (fig. 96) en werken langs

-ocr page 175-

163

de lijnen AO en-4, O,. Daar iedere kracht langs die lijnen
werkende, door de weerstanden van de vaste punten O en

O, wordt in evenwicht

Fig96

gehouden, zoo zal het kop-

pel geen invloed hebben


	----------------1	1----------------
	* A

op de beweging van het
lichaam CD AA,.

Hierop berust de in-
richting van de balans
van Roberval (fig. 97).
De vier stangen AB,
A,B,, AA, \'en BB,
zijn zoodanig aan elkan-
der bevestigd, dat zij een
parallelogram vormen; de
stangen zijn in de ver-
bindingspunten draaibaar.

De stangen A B en A, B,
zijn in het midden bevestigd aan twee op dezelfde verticaal
gelegen vaste punten O en O, , en eveneens om die punten

Fig 97.

-i-------------i  ^D Ci-------1-------------1

f Pt

A-------------------------------2------------------------------_B

a)---------------------2--------------------U,

draaibaar. Aan de naar boven verlengde stangen AA, en
B B_t zijn de schalen bevestigd. Is de plaats van het zwaarte-

11*

-ocr page 176-



		164

		punt zoodanig gekozen, dat de onbelaste balans alleen bij horizontalen stand der stangen A B en A_t B_x in rust is, dan zal dit steeds zoo zijn, als de schalen met de even groote gewichten P en P_x zijn belast. De plaats waar de belasting op de schalen wordt aangebracht, heeft geen in- vloed op den evenwichtsstand. Men kan toch steeds de in verticale richting werkende kracht P, op een willekeurig punt der schaal aangrijpende, vervangen door een even groote kracht werkende langs de verticale stang A A_t en een koppel. Daar dit laatste volgens het boven verklaarde geen invloed heeft op den evenwichtsstand, zoo is de werking van P, in een willekeurig punt van de schaal aangrijpende, dezelfde als de werking van een even groot gewicht P, aangrijpende in eenig punt van de verticale stang A A_Y.

		HOOFDSTUK IX. Wryvingsweerstand. § 59. Wrij vin gscoëfficient. Indien een lichaam zich beweegt langs een horizontaal steunvlak, en er behalve de weerstand van het steunvlak alleen zijn gewicht G op werkt, dan leert de ervaring, dat de snelheid der beweging vermindert, en dat het lichaam na korter of langer tijdsverloop tot rust komt Om de bewegings- toestand van het lichaam onveranderd te doen blijven, is het noodig dat op het lichaam nog bovendien een kracht werkt; deze kracht moet een ontbondene hebben in de richting der beweging, waarvan de grootte van de omstan- digheden afhangt. Hieruit volgt, dat de weerstand T (fig. 98). dien het vlak aan het lichaam biedt, niet werkt langs de normaal op het vlak, maar ontbonden moet kunnen worden in twee krachten; is de eene ontbindingskracht N normaal op het vlak, dan moet de andere W in het vlak werken in een richting tegengesteld aan die der beweging, De grootte dezer laatste ontbindingskracht W kan bepaald worden door te onder-

-ocr page 177-

165

zoeken hoe groot de kracht K is, die in de lichting dei-
beweging op het lichaam moet werken om de beweging
eenparig te doen zijn. Men heeft bevonden, dat de ont-
bindingskracht W des te kleiner is, hoe gladder de langs

elkander bewegende op-
F(fj98 pervlakken zijn, en men

neemt daarom aan, dat
zy veroorzaakt wordt door
de kleine oneffenheden
dier oppervlakken, die
zelfs door de zorgvuldigste

\\m\\s\\m\\\\vv\\\\WW4\\\\\\^

polijsting niet geheel weg-

senomen kunnen worden.
De ontbindingskracht W
wordt de wrijvingsweer-
stand genoemd; de ont-
bindingskracht N zal voortaan de normale weerstand heeten,
terwijl de weerstand T door het vlak geboden, en waarvan
N en W de ontbindingskrachten zijn, duidelijkheidshalve
totale weerstand zal genoemd worden.

Steeds wanneer twee lichamen een druk op elkander
uitoefenen en zij zich langs elkander bewegen, treedt een
wrijvingsweerstand op, die in het aanrakingsoppervlak op
elk der beide lichamen werkt in een richting tegengesteld
aan die, waarin het zich beweegt. De ervaring leert, dat
bij twee bepaalde lichamen met zoo goed mogelijk gepolijste
oppervlakken de grootte van den wrijvingsweerstand ten
naastenbij evenredig is met de grootte van den normalen
druk, dien zij op elkander uitoefenen, of:

W=fN. (64)

Het standvastige getal, dat de verhouding^ aangeeft,

wordt de wrijvingxcoëfficient dier beide lichamen genoemd.
Kent men twee der in vergelijking (64) voorkomende groot-
heden, dan kan uit die vergelijking de derde worden bepaald.
Heeft bijv. een slede met een massa van 250 kilogram,
een eenparige beweging over een gladde horizontale ijsbaan,
terwijl er een trekkracht in horizontale richting op werkt,
dan is de normale druk 250.9,8 = 2450 dynamische

, -\'st> .. *>«l <V-»

-ocr page 178-



		166

		eenheden. Is uit proeven reeds bekend, dat in dit bijzonder geval de wrijvingscoëfficient f= 0,02 is, dan vindt men voor den wrijvings weerstand: W = 0,02 X 2450 = 49 eenheden. Heeft men omgekeerd, door rechtstreeksche meting de grootte van de vereischte trekkracht, en daarmede de grootte van den wrijvingsweerstand bepaald, en daarvoor 49 een- heden gevonden, dan zou de wrijvingscoëfficient in dit bij- zonder geval zijn:

		De proeven , die men genomen heeft om voor elk bijzonder geval de grootte van den wrijvingscoëfficient te bepalen, hebben het volgende geleerd: \\) De grootte van den wrijvingscoëfficient hangt grooten- deels af van de stof der beide wrijvende lichamen en van de hoedanigheid en den toestand der in aanraking zijnde oppervlakken. Bij harde lichamen kan door het aanwenden van geschikte smeermiddelen een aanzienlijke vermindering van den wrijvingscoëfficient verkregen worden. Hoe harder en gladder de wrijvende lichamen zijn, hoe zorgvuldiger zij gesmeerd worden, des te meer mag de wrijvingscoëfficient beschouwd worden als onafhankelijk van de stof waaruit de lichamen bestaan. 2) De snelheid van de beweging heeft invloed op de grootte van den wrijvingscoëfficient. Wordt de snelheid kleiner, dan neemt de wrijvingscoëfficient toe; hij bereikt zijn grootste waarde bij de snelheid nul; dat is, de wrijvings- coëfficient bij den overgang van rust in beweging is grooter dan de wrijvingscoëfficient bij beweging, en bij een langzame beweging is hij grooter dan bij een snelle. 3) De wrijvingscoëfficient hangt bovendien af van de wijze, waarop de druk over het vlak van aanraking is ver- dceld, dat is, van de grootte van den druk op de vlakte- eenheid. Bij zeer kleinen en bij zeer grooten druk op de vlakte-eenheid is de wrijvingscoëfficient grooter dan bij ge- middelden druk, en men mag aannemen, dat er voor twee bepaalde lichamen een bepaalde grootte van dezen druk is,

-ocr page 179-



		167

		bq welke de wrijvingscoëfficient onder overigens gelijke omstandigheden zijn kleinste waarde bereikt. 4) Gedurende de beweging worden voortdurend kleine deeltjes van de oppervlakken der wrijvende lichamen los- gescheurd. Dientengevolge ondergaat de toestand der wrijvende oppervlakken, de verdeeling van den druk, en derhalve ook in het algemeen de grootte van den wrijvings- coëfficient een aanhoudende verandering. Daar eensdeels de wijze waarop de verschillende omstandig- heden haar invloed doen gelden, onbekend en niet nauw- keurig te bepalen is; daar anderdeels deze omstandigheden zelve gedurende de wrijving veranderen, zoo kan er geen sprake zijn van onveranderlijk geldige, of zelfs van eeniger- mate nauwkeurig vast te stellen waarden der wrijvings- coëfficienten. Men moet zich dus vergenoegen met gemid- delde waarden, welke als ruwe benaderingen van de werkelijke waarden te beschouwen zijn, met grenswaarden, tusschen welke onder gewone omstandigheden de waarden der wrijvings- coëfficienten veranderen. § 60. W r ij v i n g s h o e k. De wrij vingsweerstand kan uit den aard dei\' zaak alleen een beweging verhinderen of een bestaande beweging ver- tragen, nooit een beweging voortbrengen. Op elk der beide wrijvende lichamen werkt de wrijvings- weerstand steeds in de richting tegengesteld aan die, waarin zich het lichaam of werkelijk beweegt, öf zonder het voor- handen zijn van den wrijvingsweerstand zou bewegen. Heeft de beweging werkelijk plaats, dan heeft de wrijvingsweer- stand steeds de grootte W = fN. Zijn daarentegen de lichamen in rust, en is een gedeelte van de kracht fN. reeds voldoende om het in beweging komen te verhinderen, dan komt slechts juist dat gedeelte werkelijk tot stand, en de wrijvingsweerstand is in dat geval kleiner dan fN. Streng genomen moet dus fN als de bovenste grenswaarde van de kracht W beschouwd worden, zoodat de werkelijke grootte van den wrijvingsweerstand moet voldoen aan de voorwaarde: W<^fN.

-ocr page 180-



		168

		Wanneer een lichaam geplaatst is op een vlak, dat met den horizon een hoek qp maakt, dan zou het steeds in be- weging komen, indien er geen wrijvingsweerstahd was. Het gewicht Q (fig. 99) van het lichaam kan toch worden ont- tfu/99

		bonden in de twee ontbindingskrachten Q sin qp en Q cos qp; de laatste Q cos qp roept een normalen weerstand N = Q cos qp van het vlak te voorschijn, en wordt door dezen in even- wicht gehouden; de eerste Q sin qp zou een beweging van het lichaam tengevolge hebben; de wrijvingsweerstand werkt deze beweging tegen. De werkelijke grootte van de kracht W hangt af van de grootte van den hoek qp; hierbij kunnen twee gevallen voorkomen. Is de hoek qp groot, en tengevolge daarvan Q sin qp grooter dan fN of fQcosqi, dan komt de beweging werkelijk tot stand, en dan is steeds: W = f Q cos qp. Is daarentegen de hoek qp klein, en tengevolge daarvan ^sinqp kleiner dan fQcosy, dan is een gedeelte van deze laatste kracht reeds voldoende om het tot stand komen der beweging te verhinderen, en de in werking komende wrjj- vingsweerstand heeft dan slechts de grootte: W = Q sin qp.

-ocr page 181-



		169

		Heeft de hoek qp een zoodanige grootte dat: Qsin <j> = fQcos q> of tg qp = f, (65) dan is deze hoek </j de grootste van alle hoeken, bij welke de wrij vingsweerstand nog voldoende is om de beweging te verhinderen. Deze hoek wordt de wrijvingshoek genoemd. Uit vergelijking (65) blijkt dat de wrijvingshoek de hoek is, waarvan de tangens gelijk is aan den wrijvingscoëfïicient. Men heeft hierin een middel om de grootte van den wrijvingscoëfficient door proefneming te bepalen. Men plaatst daartoe het lichaam op een hellend vlak, en laat den hellings- hoek allengs grooter worden, zoolang totdat het lichaam in beweging komt; de tangens van dezen hellingshoek is dan de wrijvingscoëfficient bij den overgang van rust in beweging. Om den wrijvingscoëfficient bij een bepaalde snelheid te vinden, moet men den hellingshoek een zoodanige grootte trachten te geven, dat het lichaam zich met de bepaalde snelheid eenparig langs het vlak beweegt; de tangens van den hellingshoek is dan de wrijvingscoëfficient bij die be- paalde snelheid. Hierbij moet nog het volgende in het oog gehouden wor- den. Indien het lichaam een eenparige beweging heeft, dan moeten de uitwendig op het lichaam werkende krachten elkander in evenwicht^-houden Deze krachten zijn het ge- wicht van het lichaam en de totale weerstand. Daar deze krachten om in evenwicht te zijn langs dezelfde lijn moeten werken, en de totale weerstand klaarblijkelijk moet aangrijpen in een punt binnen de ondersteuningsbasis gelegen, zoo moet ook de verticaal van het zwaartepunt het vlak snijden binnen de ondersteuningsbasis. Ligt het zwaartepunt zoo hoog of is de ondersteuningsbasis zoo klein, dat de verticaal van het zwaartepunt het vlak snijdt in een punt buiten de ondersteuningsbasis, dan zal het lichaam omkantelen. Voortaan zal steeds worden aangenomen, dat het eerste het geval is, en dus het lichaam in stabielen evenwichtstoestand is. In dit geval is de beweging van het lichaam, zooals later zal worden aangetoond, evenzoo alsof alle krachten aangrepen in het zwaartepunt. Indien een lichaam met het gewicht Q (fig. 100) een eenparige beweging heeft langs een horizontaal vlak, dan

-ocr page 182-

170

kan de grootte bepaald worden van de kracht, die daartoe
op het lichaam moet werken langs een lijn, welke den
hoek u maakt met de verticaal. De som der ontbindings-
krachten langs het vlak moet gelijk nul zijn; dus:

K sin « W = 0.

FUjlOO.

X-Q ICcosa.

ï-Ksin a

JU*

Daar het lichaam zich langs het vlak beweegt, is W= fN,
of daar: N=Q-\\-Kcosu

Ks\\n a fQ fKcos « = 0

sina f cos cc
Hierin f vervangende door tg<p, vindt men na herleiding:

sinqp

K*=Q

sin (« <p)\'

De grootte van K hangt af van de grootte van hoek «;
als ct= q> is, wordt K oneindig groot; de eenparige bewe\'
ging van het lichaam is dus slechts dan mogelijk als «
grooter is dan g>. K heeft de kleinste waarde als « = 90 4- <p
is, dat is, als de lijn waarlangs zij werkt een hoek cp gelijk
aan den wrijvingshoek maakt met het horizontale vlak. Zij
verkrijgt dan de waarde:

K = Q sin cp.

-C^,;

?- ?-T e* C-->

>-^-7 -\'-i-» *-T-*~ ^^->

/\'

l?\'

-ocr page 183-



		171

		Steeds wanneer een lichaam zich langs een vlak beweegt kan de totale weerstand ontbonden worden in den normalen weerstand N, en in den wrijvingsweerstand f N. Den hoek qp, dien de lijn waarlangs de totale weerstand werkt, maakt met de normaal, kan men vinden uit de vergelijking:

		Indien dus een lichaam zich beweegt langs een vlak, dan maakt de lijn, waarlangs de totale weerstand werkt, met de normaal een hoek <p gelijk aan den wrijvingshoek aan den kant van de normaal tegengesteld aan de richting der be- weging. § 61. Lichaam in twee punten ondersteund door vaste vlakken. Een lichaam dat in twee punten op vlakken steunt, heeft alleen dan een e ven wichtsstand, als de steunpunten en het zwaartepunt in hetzelfde verticale vlak gelegen zijn. Er wordt verder aangenomen, dat dit verticale vlak loodrecht staat op de horizontale doorsnede der twee steunvlakken, en dat de wrijvingscoëfficienten in de beide aanrakingspunten even groot zijn. Richt men in de aanrakingspunten A en B normalen op, en snijden deze elkander in een punt D van de verticaal door het zwaartepunt, dan is het lichaam in evenwichts- toestand, zelfs clan als de steunvlakken volkomen glad zijn. De grootten der normale weerstanden kunnen dan gevonden worden uit de bekende parallelogramconstructie. Ligt het snijpunt D (fig. 101) niet in de verticaal van het zwaartepunt, dan werken de wrijvingsvveerstanden mede om het lichaam in rust te houden. Om te bepalen in welke richting de wrijvings weerstand in elk der aan- rakingspunten werkt, kan men zich voorstellen, dat het lichaam in het punt D is opgehangen; uit de richting der draaiende beweging, alsdan dooi¹ het gewicht Q veroorzaakt, kan men de richtingen bepalen, in welke de aanrakings- plaatsen A en B langs de steunvlakken zouden glijden, indien er geen wrijvingsweerstanden waren. De wrijvings-

-ocr page 184-



		172

		weerstanden werken dan deze glijdende beweging tegen. In fig. 101 ligt het snijpunt D links van de verticaal door het zwaartepunt. Het in D opgehangen lichaam zou een draaiing in positieve richting krijgen, het punt A zou naar FifflOJ.

		boven, het punt B naar beneden glijden; in A werkt der- halve de wrijvingsweerstand naai\' beneden, in B naai\' boven. Om de grootte te bepalen, die de wrijvingscoëf\'ficient min- stens hebben moet, opdat het lichaam in dezen stand in rust blijve, beschrijft men op CD als middellijn een cirkel- omtrek. Het punt O, waar de verticaal van het zwaarle- punt dezen cirkelomtrek snijdt, is tevens het snijpunt van de lijnen, waarlangs de drie krachten, het gewicht Q en de

-ocr page 185-



		173

		twee totale weerstanden T en ï¹, op het lichaam werken. De hoeken <j), die de lijnen, waarlangs? de totale weerstanden T en T_x werken , maken met de overeenkomstige normalen A^r en N_t , en die aan elkander gelijk zijn, als op den/.elfden boog D G staande hoeken aan den omtrek, zijn de wrijvings- hoeken; de gezochte wrijvingscoëfficient is dus f= tg qp. Is de werkelijke wrijvingscoëfficient kleiner dan tgqp, dan ver- krijgt het lichaam een glijdende beweging. Is hij juist gelijk aan tgqp, dan bevindt het lichaam zich aan de grens van den evenwichtstoestand. De krachten T en T, kunnen dan bepaald worden, öf door de in fig. 101 aangegeven parallelogramconstructie, óf door de uit deze voortvloeiende evenredigheid: I": T, : Q = sin (90 «j <p): sin (90 « q>) : sin(« «,), waaruit men vindt: _TsssQ ~~cos^ y)~~ ₍₆₆₎ sin (« -j- öj) ^x \' _T_;.\'g~~"(\'-f)~~ \' (67) ¹ sin (« -f-«,) ^v \' De normale weerstanden N en N. kunnen gevonden worden door ontbinding van de totale weerstanden Ten T, ; men vindt daarvoor dan: N= Tcosy en N_t = ï⁷, cos qp. Is de werkelijke wrijvingscoëfficient grooter dan de voor tg qp gevonden waarde, dan komt in de aanrakingsplaatsen niet de geheele wrijvingsweerstand fN tot stand, maar slechts dat gedeelte, hetwelk noodig is om de beweging te verhinderen. De totale weerstanden T en T, hebben dus dezelfde grootte en richting als zij zouden gehad hebben, indien de werkelijke wrijvingscoëfficient slechts de waarde had, uit den boven gevonden hoek qo als wrijvingshoek voort- vloeiende. De grootte van T en T_t kan dus ook dan uit de vergelijkingen (66) en (67) gevonden worden. Is omgekeerd de wrijvingscoëfficient f = tgqp gegeven, en wordt de verticaal gezocht, waarin het zwaartepunt moet

-ocr page 186-


		\'

		174 liggen, opdat het lichaam zich aan de grens van den even- wichtstoestand bevinde, dan kan men het punt 0 van de gezochte verticaal leeren kennen door lijnen te trekken, die met de normalen den gegeven wrijvingshoek qp maken. Er is echter nog een tweede verticaal, die aan de vraag vol- doet. Wanneer men namelijk in elk der beide aanrakings- punten den hoek q> aan den anderen kant van de normaal uitzet, dan is het links van het punt D gelegen snijpunt eveneens een punt, welks verticaal de verlangde eigenschap bezit. Daar de vorm van het lichaam slechts in zooverre van invloed is op den evenwichtstoestand, als van dien vorm afhangt de ligging der aanrakingspunten en der verticaal van het zwaartepunt, zoo kan men het lichaam beschouwen als een rechte stang, welke samenvalt met de lijn, die de beide aanrakingspunten verbindt, en welker gewicht aan- grijpt in het snijpunt dier lijn met de verticaal van het zwaartepunt. Om de verhouding te bepalen van de stukken A E en BE (fig. 102), waarin het aangrijpingspunt E de stang AB moet verdeelen, opdat deze zich aan de grens van den even- wichtstoestand bevinde, heeft men uit de driehoeken AEO en BEO de vergelijkingen: O E sin (« q> ê) . , . . (I, -j-=, =-----;------~ = tg (« qp) cos t sin f A E cos (a qp) ⁶ ^v ^\' O E sin («. qp ) . . . . . ^g-g, == ~~^v \' \' \| \'~~ = tg (er, -f- qp) cos f -f- sin f, BE cos (a, -f-* qp) ^v * \' \' \' waarin f de hoek is, dien de stang AB maakt met den horizon. Deelt men de laatste vergelijking door de eerste, dan verkrijgt men: AE __tg («, -(- qp) cos * -\\- sin * BE tg (a qp) cos t sin t \' AE of als men het quotiënt -_ö-==« stelt, en teller en noemer D tl van het tweede lid door cos f deelt: * =* ~~<g(«, y) tg«~~ ₍₆₈₎ tg(« <?)tg* . \' - ff - ( Jt - , { (\' c . Cp ) - <j ./. - /e-\'üjtenl ~ £v> /a - <fh f -j f\' - 6?) ri-,i \' e. . fr) ^tM^ ( ^ ff ! \'t ~(rJ"-> \'t -J>" £ ______________________________

-ocr page 187-

175

Uit deze vergelijking kan de waarde van n of de ligging
van het aangrijpingspunt E bepaald worden, indien de hoek e,
dien de stang met den horizon maakt, gegeven is. Lost
men er tg i uit op, dan vindt men:

n tg (a-sp)--tg («, ») ₍₆₉₎

FUf.lOS.

,0-M lp

<c-9>\\

WW-

~*s*

waaruit de hellingshoek t kan worden gevonden als de ver-
houding n gegeven is.

Stelt men hierin u = 90° en «, =0, dan heeft men:

n f*

n cotg q> tg <p
~~ï n

(70)

tg* =

(4 n)f

 .

-ocr page 188-



		176

		Uit deze vergelijking kan de hoek worden bepaald, dien een op den horizontalen bodem staande en tegen een verti- calen wand steunende ladder minstens met den horizon moet maken om niet uit te glijden. Ligt het zwaartepunt van den ladder in het midden, dan wordt »=1, dus: *iP* tg » = rf-. Is bijv. =0,2, dan wordt: 1 0,04 ₀ tg f =-----k;-----= ".4 en t = 67 ,5. ° 0,4 Bij een hoek van 67°,5 met den horizon zou de ladder zich derhalve aan de grens van den evenwichtstoestand be- vinden. De waarde van n uit vergelijking (68) heeft blijkens fig. 102 betrekking op de grens, tot welke het aangrijpings- punt E naar rechts kan worden verschoven zonder dat de stang zal uitglijden. Vervangt men in deze vergelijking « (f door cc -\\- qp, en «j -(- qp door or, cp , dan ver- krijgt men: ^A3\\ = _n ^tg («i 9) g /7i\\ 5^"^_ ^M\' " tg(«-fqp)-tg_f \' "* Deze vergelijking heeft betrekking op het snijpunt O, (fig. 103), dat men verkrijgt als men in elke aanrakings- plaats den wrijvingshoek in de tegenovergestelde richting uitzet. Zij geeft de grens aan, tot welke het aangrijpings- punt E_t naai\' links kan worden verschoven zonder dat de stang zal uitglijden. Het tusschen de lijnen A O en A O, liggende gedeelte van het vlak der teekening is namelijk de meetkundige plaats van alle mogelijke lijnen, waarlangs de totale weerstand T kan werken; evenzoo is het tusschen de lijnen B O en B O, liggende gedeelte de meetkundige plaats van alle lijnen, waar- langs de totale weerstand T_t kan werken. Het in fig. 103 gestreepte gedeelte OO_t van het vlak der teekening, dat beide hoeken gemeen hebben, is dus het gebied, waarop het snijpunt van de lijnen waarlangs de drie krachten Q, T en T_t werken, steeds moet worden gezocht. Van den cirkel-

-ocr page 189-

177

omtrek CA DB kunnen derhalve slechts die punten, welke
binnen dien vlakte-inhoud liggen, snijpunten van genoemde
drie lijnen zijn. Trekt men dus verticalen door de eind-
punten O en O, van den binnen dien vlakte-inhoud liggen-

Fuf.103

den boog OO_l1 dan verkrijgt men de grenspunten Een E_lttot welke het aangrijpingspunt van Q naar den eenen en
naar den anderen kant langs de stang kan worden ver-
schoven, zonder dat deze zal uitglijden.

B*l* ^AE

Stelt men tb = m,
AB

dan is:

BE
AB

= 1 m en n

Substitueert men deze waarde voor n in vergelijking (68),
dan verkrijgt men:

_m= ^ K <f) ± tg«

tg («i f) tg (« 

Dr. JuLIÜS, Mechanica
C

-ocr page 190-





		178

		Handelt men eveneens met vergelijking (71), en stelt men dus: m, dan verkrijgt men: _m » (^tti ff) <g « ¹ tg(«, <»)) tg (« <?)\'* Isa (f = f, dan wordt m = 1, en is tevens «_t <p = t, dan wordt w, =0. Zijn beide voorwaarden vervuld, dan vallen de grenspunten E en E, met de eindpunten B en A der stang samen. In dit bijzonder geval kan dus elk wille- keurig punt der stang als aangrijpingspunt van het gewicht worden gekozen, zonder dat de stang zal uitglijden. Stelt men daarentegen in de twee voorgaande vergelij- kingen qp = 0, dan verkrijgt men: tg«, -4- tg f tg «i tg « dat is, als de steunvlakken volmaakt glad zijn, dan vallen de twee grenspunten E en E_t samen; in dit geval is er slechts één punt waar het gewicht Q kan aangrijpen zonder dat de stang zal uitglijden; namelijk dat punt, hetwelk met D in dezelfde verticaal ligt. § 62. Wrij v i ngscoëffi cien t en wr ij vingshoe k bij de beweging in gleuven. Wanneer een lichaam zich voortbeweegt in een horizon- tale wigvormige gleuf, gevormd door twee elkander volgens een horizontale lijn snijdende vlakken, dan zal in elk der beide vlakken van aanraking een wrijvingsweerstand worden te voorschijn geroepen, welke in een richting tegengesteld aan die der beweging, en dus in horizontale richting werkt. Is de beweging van het lichaam eenparig, dan moet er een kracht op werken, welker horizontale, in den zin der beweging gerichte ontbondene K gelijk is aan de som der beide wrijvingsweerstanden. De wrijvingsweerstand langs elk der steunvlakken is ge-

-ocr page 191-



		179

		lijk aan het product van den normalen druk met den wrijvingscoëfficient. Er wordt aangenomen dat de wrijvings- coëfficienten voor de beide steunvlakken even groot zijn, en dat de steunvlakken gelijke hoeken maken met de verticaal. De normale weerstanden N en N_t zijn dan even groot, want hun vervangende R moet de grootte Q hebben en in ver- ticale richting naar boven werken; de lijn, waarlangs zq

		werkt, deelt dus den hoek middendoor, gevormd door de lijnen, waarlangs N en JV, werken. Uit fig. 104 verkrijgt men derhalve de vergelijkingen:

		Q-flMia of N=^ ,\'. f- **K = fN=J_röQ,* ₍₇₂)** waarin 8 is de halve hoek der gleuf. Wanneer meerdere zoodanige gleuven, welke alle denzelfden hoek hebben, horizontaal en evenwijdig naast elkander lig- gen (fig. 105), en in elk dier gleuven een lichaam glijdt, dan is de kracht, die op elk lichaam moet werken om de beweging eenparig te doen zijn, volgens vergelijking (72) gelijk aan het gewicht van het lichaam vermenigvuldigd met 12*

		t

-ocr page 192-



		180

		f het quotiënt -\'---, Bijgevolg is ook, als alle lichamen tot een geheel vereenigil worden, de kracht, die op het geheel moet werken om de beweging eenparig te doen zijn, gelijk aan f het product van het geheele gewicht met het quotiënt ~~.\' »~~, sin o steeds in de veronderstelling, dat op alle aanrakingsplaatsen de wrijvingscoëfïicient dezelfde grootte heeft. Vergelijking (72) geldt dus ook voor het geval dat er meerdere gleuven naast elkander liggen. üe beweging over een horizontaal vlak kan beschouwd worden als een bijzonder geval van de beweging in gleuven, FiglOÖ

		wzm

		en wel in een zoodanige gleuf, wier hoek 180° bedraagt. Stelt men toch in vergelijking (72) 8 = 90°, dan verkrijgt men de vroeger gevonden , voor de beweging over een horizon- taal vlak geldende waarde KfQ. De werking van de gleuf bestaat dus in het vergrooten van den wiïjvingscoëfficient f in reden van f tot . , en het quotiënt: sin d \' A = fi O⁷³) sin d " ^v \' kan »de wrijvingscoëfficient voor de beweging in gleuven" genoemd worden. Zal een lichaam onder de werking van zijn gewicht in een hellende gleuf met eenparige beweging naar beneden glijden, dan moet de hellingshoek der gleuf, in plaats van den wrijvingshoek <p. de grootere hoek i/i zijn, welke hoek kan worden gevonden uit de vergelijking: tg ip = /i. Deze hoek kan om die reden »de wrijvingshoek voor de beweging in gleuven" genoemd worden.

-ocr page 193-



		181

		§ 63. Wrijving van tappen in tappannen. Twee op een vast lichaam werkende koppels houden elkan- der in evenwicht als hun momenten even groot zijn, maar in teeken verschillen. Als dus een lichaam om een as wentelt, en de uitwendige krachten die er op werken, samen twee koppels vormen met even groote maar tegen- gestelde momenten, dan heeft het lichaam een eenparig draaiende beweging. Omgekeerd, wanneer behalve een ge- geven koppel nog andere uitwendige krachten werken op een eenparig draaiend lichaam, dan moeten die andere krachten samen eveneens een koppel vormen, welks moment even groot is, als dat van het gegeven koppel, maar daar- van in teeken verschilt. Indien een lichaam met het gewicht Q om een horizontale as draait, en daarbij met een paar tappen op tappannen rust, dan moet, om de beweging een eenparig draaiende te doen zijn, op het lichaam voortdurend een koppel werken. Er wordt aangenomen, dat behalve dit koppel M en het ge- wicht Q, op het lichaam nog slechts werken de weerstanden, die de cilindrische tappannen aan de tappen bieden, en dat de tappen zonder klemmen, dus met eenige speelruimte hoe klein ook, in de tappannen draaien. De vervangende Tvan deze weerstanden moet dan met het gewicht Q een koppel vormen; zij moet dus even groot zijn als Q en verticaal naar boven werken. Hieruit kan het moment M bepaald worden van het koppel, dat de draaiende beweging eenparig doet blijven. De totale weerstand T kan steeds ontbonden worden in den normalen weerstand N en den langs de raaklijn aan den tap werkenden wrijvingsweerstand fN. Zooals vroeger is verklaard maakt, indien er werkelijk een glijden plaats grijpt, de lijn waarlangs de totale weerstand werkt met de normaal steeds een hoek gelijk aan den wrijvingshoek qp. De kracht T zal dus slechts dan verticaal naar boven kun- nen gericht zijn, als de straal OP van het punt P, waar de tap de tappan aanraakt, den wrijvingshoek <p maakt met de verticaal (fig. 106). De arm van het door de krachten Q en T gevormde koppel is dan O P sin <p, en het moment M van het drijvende koppel: M= QQsmcp. (74)

-ocr page 194-

182

Het product Qgtaaqi is de nauwkeurige uitdrukking voor
het moment van den wrijvingsweerstand van tappen. Meestal
is de wrijvingshoek qp zoo klein, dat men sin qp door tg <p
of den wrijvingscoëfficient f mag vervangen, te meer omdat
de waarde van f toch niet met volkomen juistheid bepaald
kan worden.

Vergelijking (74) verandert daardoor in:

M=Q_Qf.

(75)

Substitueert men in vergelijking (74) voor Q haar waarde

-, dan ziet men dat de waarde van M in vergelijking

COS qp

(75) slechts daarin van die in vergelijking (74) verschilt,

dat men in de laatste
Tig.iOó, N vervangt door Q,

dat men dus het onder-
scheid tusschen 2V en
Q verwaarloost; men
neemt daarbij dus aan,
dat de normale weer-
stand, dien de tappan
biedt aan den tap,
slechts weinig verschilt
van het gewicht der as.
Is dus de as nog met
een ander gewicht be-
last, en noemt men de
geheele belasting , het
gewicht der as daar-
onder begrepen, D, dan

heeft men meer algemeen voor het moment van den wrijvings-

weerstand van tappen:

M=fD_e.

(76)

Wanneer de tappan niet cilindervormig is, maar de ge-
daante heeft van een gleuf (fig. 407), dan vormt de ver-
vangende R van de in de aanrakingspunten A en B werkende
totale weerstanden T en ï¹, met de kracht D het koppel,
dat de draaiende beweging tegenwerkt, en door het drijvende

-ocr page 195-



		183

		koppel moet worden in evenwicht gehouden. Zooals uit de figuur blijkt is het moment van dit koppel: M=Dx. (77) Om de grootte van x te vinden kan men opmerken, dat de vijf punten A, O, P, B, C op den omtrek van een *FUf.107.*

		cirkel liggen. Noemt men den straal van dien cirkel r, dan heeft men: x = P E = r sin 2 qp, q = 2 r sin 5, of de hieruit voortvloeiende waarde van x: sin 2 qp ._.,. x = q ~~ö . %~~ (78) * 2 sin o ^v in vergelijking (77) substitueerende: ,, r. sin 2 cp 2 sin d Is de wrijvingshoek zeer klein, dan kan sin2qp vervangen

-ocr page 196-

184

worden door 2 sin qp of 2 tg <p = 2 f, waardoor men voor
het moment van genoemd koppel vindt:

M= -.^f-_xD_Q, (79)

sin d

= , stellende:

M=f_lDg. (80)

Uit deze vergelijking blijkt, dat de vergelijkingen (75) en
(76) voor de beweging in cilindervormige tappannen gevon-
den, ook gelden voor de beweging in gleufvormige tappannen,
mits men daarin den wrijvingscoëfficient f vervangt door ,,
den wrijvingscoëfficient bij de beweging in gleuven.

Daar ", steeds grooter is dan f, zoo is het moment van
het koppel, dat vereischt wordt om de draaiende beweging
eenparig te doen blijven, bij gleufvormige tappannen grooter
dan bij cilindervormige. Is bijv. 2 ö = 60° dus sin 5 = 4,
dan is f_t = 2 f.

§ 64. W rij vi ngsrollen.

Het is dikwijls gewenscht bij de draaiende beweging
van een rad, den wrijvingsweerstand, dien de tap van het
rad ondervindt, zoo klein mogelijk te doen zijn. Daartoe
kan men gebruik maken van zoogenaamde wrijvingsrollen.
De inrichting van den toestel kan op tweeërlei wijzen ge-
schieden. De eerste manier is voorgesteld in fig. 408. De
tap van het rad rust niet in een tappan maar op een wrij-
vingsrol 7, terwijl de wrijvingsrollen II en III een zijde-
lingsche afwijking van den tap beletten. De tap is tusschen
de wrijvingsrollen II en III met een kleine speelruimte
draaibaar, en zal dus bij zijn beweging slechts tegen een
dier wrijvingsrollen een druk uitoefenen. Draait de tap bijv.
in positieven zin, dan oefent hij een druk uit op de wrijvings-
rollen I en II, waardoor deze rollen in negatieven zin gaan
draaien, terwijl de wrijvingsrol III in rust blijft.

De vervangende T van de twee weerstanden T_t en T,
door de wrijvingsrollen I en // aan den tap geboden, vormt
met de kracht D, den druk van den tap, het koppel, dat
door het drijvende koppel in evenwicht gehouden moet wor-

-ocr page 197-



		185

		den. De lijn, waarlangs T, werkt, moet gaan door het aanrakingspunt A van den tap en de wrijvingsrol I, en door het aanrakingspunt C van den tap der wrijvingsrol I met haar tappan. Dit laatste punt C is daardoor bepaald, dat de lijn A C, waarlangs T_t werkt, een hoek q> moet maken met de normaal aan den kant tegengesteld aan de richting der beweging. Men heeft dus slechts op AB een cirkel- segment te beschrijven, dat den hoek qp bevat, en het snijpunt C te bepalen van den omtrek van dit segment met Fiff 108

		den omtrek van den tap. Op dezelfde wijze bepaalt men de lijn waarlangs T₂ werkt. Zooals uit de figuur blijkt, heeft het gezochte moment de grootte: M=T.ON. (81)

		Dit koppelmoment heeft dezelfde getalwaarde als het moment der kracht T ten opzichte van het punt O. Dit laatste is gelijk aan de som der momenten van de krachten T_t en 21, waarvan T de vervangende is, ten opzichte van hetzelfde

-ocr page 198-

486

punt O. Daar nu T, en T₂ beide q sin * tot hef boomsarm
hebben, heeft men :

M=(T_t T₂)osin*. (82)

Nu is T_x = Tcosf en T₂ = Ts\'mi; na substitutie van
deze waarden in vergelijking (8\'2), en daarbij T vervangende
door D = T, vindt men:

M = Dq sin t (cos * sin *). (83)

In driehoek ABC is:

R : r = sin qp : sin t of sin i = ^ sin qp.

Nu is e kleiner dan qp, en bij kleine wrijvingshoeken mag

men dus den factor cos*-|-^smf gelijk éénstellen; vervangt

men bovendien sin qp door tg qp of f, waardoor bij benadering

sin * = f

wordt, dan verkrijgt men:

M=f~D_Q. (84)

Vergelijkt men deze waarde met de in vergelijking (76)
bij de beweging in cilindervormige tappannen gevondene,
dan blijkt het, dat bij het gebruik van wrijvingsrollen het
moment van het drijvende koppel evenveel malen kleiner
wordt als de straal van de tappen der wrijvingsrollen in
den straal van die wrijvingsrollen zelve begrepen is.

De tweede wijze, waarop de wrijvingsrollen gebruikt wor-
den, is voorgesteld in lig. 109. Uit de figuur blijkt dat
het moment van het drijvende koppel is:

M = Dx. (85)

De arm x kan op dezelfde wijze als in fig. 107 worden
bepaald. Vervangt men in vergelijking (78) qp door *, dan
wordt:

sin 2 f

of na substitutie dezer waarde in vergelijking (85), en sin 2 *
door 2 sin t vervangende:


	_n. _n sin * * smo
	\'.	*r <" \' \' . \'*

/ St \'f &,

-ocr page 199-

187

waarin sin (, evenals hierboven, bij benadering gelijk gesteld

v
mag worden aan /-p-. Hierdoor verkrijgt men:

M =

Dq.

sin ö R
Uit deze vergelijking blijkt, dat het gebruik van op deze

wijze ingerichte wrijvingsrollen alleen dan voordeelig is,

f T

wanneer

\' -g- kleiner is dan één.

sin 8

Is bijv. 2 <5 = 60° dus sin 8 = ^ en -p = ^ dan wordt:

M=lfD o.

Het moment van het drijvende koppel bij deze inrichting
is dan slechts het vijfde gedeelte van het moment bij de
beweging in een cilindervormigen tappan vereischt.

§ 65. Wrij vingsbalans van Hirn.

De wrijvingsbalans van Hirn dient ter bepaling van wrij-
vingscoëfficienten bij de beweging van tappen in tappannen.

-ocr page 200-



		188

		Opdat het gewicht G van een belasten evenaar in even- wicht worde gehouden door den weerstand T van een draaienden tap, moet de lijn, waarlangs de kracht G werkt, gaan door het aanrakingspunt dier twee lichamen, en der- halve volgens § 63 gelegen zijn op den afstand q sin qp van het middelpunt van den tap (fig. 110). Indien de last symmetrisch over de beide uiteinden van den evenaar ver- deeld was, dan zou het zwaartepunt op de verticaal van het middelpunt van den tap gelegen zijn, en de som der momen- ten van alle gewichten ten opzichte van dat middelpunt zou nul zijn. Door toevoeging van een overwicht p aan den linkerkant, kan het zwaartepunt op den vereischten afstand

		q sin qp gebracht worden. Ten opzichte van het middelpunt is het moment van de vervangende G gelijk aan de som der momenten van alle gewichten; deze laatste nu is gelijk aan het moment van het overwicht p; zoodat men heeft

		*\\i*
		P pl= Gij sin qp of sinqp = -4-


		Heeft men de gewichten p en G door rechtstreeksche waarneming gevonden, dan kan uit deze vergelijking de wrijvingscoëfficient bij de beweging van tappen in cilinder- vormige tappannen worden bepaald. Wegens het geringe verschil tusschen sin q> en tg qp mag sin qp door f worden vervangen. Is bijv. q = 0,05 meter, l = 1 meter, G = 1000

-ocr page 201-



		189

		eenheden en p = 5 eenheden, dan vindt men voor den wrijvingscoëflicient de waarde: \' 1000 \' 0,05 \'*\'

		§ 66. Wr ij ving van een touw over een cilinder. Indien een volkomen buigzaam touw over een rond- draaienden cilinder geslagen, in rust gehouden wordt door de aan de uiteinden werkende krachten K en P (fig. 141), dan zal de evenwichtstoestand niet worden verstoord, indien op de een of andere wijze de buigzaamheid van het touw opgeheven en het touw in een vaste stang veranderd wordt. De op het touw werkende krachten moeten derhalve vol- doen aan de alge- meene evenwichts- vergelijkingen, even alsof het touw een vast lichaam was. Op het touw werken behalve de krachten K en P, nog in ieder punt de nor- male weerstand N van den draaienden cilinder en de daar- aan evenredige wrij- vingsweerstand f N. Volgens de algemeene even wichtsvoor- waarden moet de som der momenten van alle op het touw werkende krachten ten opzichte van het punt O gelijk nul zijn. Volgens de figuur is dus: Pr Kr Z(fNr) = o of K P = 2(fN) (86) Om in elk punt den normalen weerstand N en den daar- aan evenredigen wrijvingsweerstand fN te bepalen, verdeele men den door het touw omspannen boog in n gelijke deelen. Zij ab zulk een deel (fig. 112).

-ocr page 202-

190

Men kan zich voorstellen, dat het touw in de punten

a en b is doorgesneden; de

Fier. 112.

inwendige krachten, die aan
elk der doorgesneden einden
welkten en het stuk ab in
evenwichtstoestand hielden, kan
men kortheidshalve de span-
ningen van het touw in a
en in b noemen. De op het
stuk ab werkende spanningen
van het touw moeten dan
door de uitwendige krachten
S en S_t vervangen worden,
welke werken langs de raak-
lijnen aan den cirkel in a en b.

Indien er op het stuk ab geen wrijvingsweerstand werkte

zou S_t = S zijn, en

N ==» 2 8 sin

2«\'

Een benaderde waarde van den op het stuk ab werkenden
wrijvingsweerstand zal dus zijn:

AZV=2/"Ssin^-.

Hoe grooter men n neemt, des te kleiner zal de fout zijn,
die men daardoor begaat. Voor n gelijk oneindig groot
mag deze waarde als de juiste worden beschouwd, en neemt
men in aanmerking, dat voor zoo kleine hoeken de sinus
gelijk is aan den hoek, dan vindt men:

fN = S&.

De spanning 5, is dus met inachtneming van de wrijving:

f«

(< £)

8_t = S 8

Men verkrijgt derhalve de spanning in eenig punt van het
touw door de spanning in het voorafgaande punt met den

factor (l -f-\') te vermenigvuldigen. Gaat men uit van

-ocr page 203-



		191 de spanning P, dan moet men om .K" te verkrijgen, P n achtereenvolgende malen vermenigvuldigen met den factor fa 4 -, en men heeft dus: n * = /> (! £), (87) waarin n een oneindig groot getal is. Om voor dit geval de waarde van den factor (1 ) te bepalen, stelle men: o £)-i6 #r en ontwikkele de macht I 1 -\\- \'J\'^a volgens het binomium van Newton. Men heeft dan: (\\ ⁿ (JL. ~a\\ / \\² ,fe(g-\')ft-«) (/.)\', . ~r~ ~ \'2.3 \\ n / ~..... ! __ fjL (i _ £f\\ (i _ ₂ /_«) 1 1 -V^L ----H^------ ........ Stelt men hierin n = oo ,. dan verkrijgt men als grens- waarde: n

		waarin e = 2.71828 .. . het grondtal beteekent van het neperiaansche logarithmenstelsel. Men vindt dus:

-ocr page 204-



		192

		₁M= (l ^P * ^f"* en \\ n / ( \\ n / ) K=Pef^a. (88) Uit deze vergelijking blijkt, dat de verhouding van de krachten K en P alleen afhangt van « en f, en dat zij onafhankelijk is van den straal des cilinders. Op den draaienden cilinder werkt de wrijvingsweerstand in de richting tegengesteld aan die der draaiing. Om de draaiende beweging eenparig te doen blijven, moet op den cilinder een koppel werken, waarvan het moment is: M = rZ(fN), of volgens vergelijkingen (86) en (88): M=(KP)r = Pr{ef^ai). (89) De vergelijkingen (88) en (89) gelden voor elke wille- keurige snelheid der draaiende beweging; bijgevolg ook voor de snelheid nul, dat is voor het geval, dat de cilinder in rust is. Vergelijking (88) geeft dan de grenswaarde aan, welke de kracht K niet kan overschrijden, zonder het door den weerstand P tegengehouden touw over den in rust zijnden cilinder te doen heenglijden, en vergelijking (89) de grenswaarde, die het moment van een op den cilinder wer- kend koppel niet kan overschrijden zonder dezen een draaiende beweging te doen aannemen. Ingeval de draaiende beweging van den cilinder in de tegengestelde richting plaats grijpt, moet men in boven- staande vergelijkingen K en P verwisselen of wel -\|- f door f vervangen, daar de wrijvingsweerstand dan evenzoo op elk der beide lichamen in de tegengestelde richting werkt. Men kan derhalve aan vergelijking (88) den volgenden meer algemeenen vorm geven : K=Pe^±fu, (90) waarin het teeken -j- moet gebruikt worden, indien de wrij- vingsweerstand in de richting tegengesteld aan die van K, en het teeken , indien de wrijvingsweerstand in dezelfde lichting als de kracht K werkt.

-ocr page 205-

493

Is bijv. (fig. 113) de wrijvingscoëfficient van een hennep-
touw op een houten cilinder f = 0,4, is a = n radialen
en*P = 100 eenheden, dan is:

£"=100 . e °\'⁴ * ³\'¹⁴ = 100 . 3,51 = 351 eenheden.

Is de cilinder onbeweeglijk bevestigd,
en neemt de kracht K allengs toe, dan
zal het glijden van het touw en het
optrekken van het gewicht P beginnen
op het oogenblik dat de kracht grooter
wordt dan 351 eenheden.

Moet daarentegen de kracht K slechts
het glijden van het touw of het dalen
van het gewicht P beletten, dan is de
onderste grenswaarde van de daartoe
vereischte kracht:

FiffU3.

0,4 . 3,14 _ 100^
~ 3751

lf=100. e

= 28,5 eenheden.

Om het touw in rust te doen blijven mag derhalve de
kracht K niet grooter dan 351 en niet kleiner dan 28,5
eenheden zijn.

Neemt men in vergelijking (88) van beide leden de
neperiaansche logarithmen, dan verkrijgt men:

1 K

«= j h p>

lgK = lgP f*

waaruit de hoek a kan worden bepaald, als K en P ge-
geven zijn.

Is bijv. gegeven K= 500 eenheden, P = 1 eenheid en
f = 0,4, dan heeft men :

\\ O 914f5

a = -~~, la 500 = ~~ = 15,5365 radialen.
0,4 * 0,4

Opdat derhalve bij het in (ig. 114 voorgestelde geval de
aan het eene einde van het om een onbeweeglijken cilinder
gewonden touw werkende kracht P = 1 eenheid voldoende

Rr. Julius, Mechanica, 13

-ocr page 206-

194

zij om het neerdalen van het aan het andere einde hangende

gewicht ÜT=«JX)0 eenheden te

Fig 114.

beletten, moet de hoek, behoo-
rende bij den door het touw om-
spannen boog, minstens de grootte"
u = 15,5365 radialen hebben.
Moet in plaats hiervan het aantal
omwindingen n worden berekend,
dan heeft men:

a 15,5365

= 2,47.

n =

6,28

JC-1UO

De gevonden vergelijkingen

kunnen ook worden toegepast

ingeval de cilinder voorzien is van een gleuf, waarin zich

het touw bevindt (fig. 115). Men

Fiff-113. behoeft dan slechts f te vervangen door

den wrijvingscoëfficient bij de bewe-

ging in sleuven , = i-^-r, waardoor
° ⁿ ° \'\' sin o

vergelijking (90) overgaat in:

K = Pe ^mi

Was bijv. bij het in fig. 113 voor-
gestelde geval de cilinder voorzien van
een gleuf met den hoek 2 8 = 60", dan

zou men f moeten vervangen door -~s = -^=- = 0,8, en

sin () 0,5

als grenswaarden der kracht K zou men verkrijgen:

K = JV0 g ± °\'⁸ ³\'¹⁴ =- 1 ¹²³⁰ eenheden.

( 8,13 eenheden.

In dezelfde veronderstelling zou men bij het op fig. 114
betrekking hebbende voorbeeld voor « de waarde verkrijgen :

sin d, K , , _M

«-j-¹9\' -p "ö^t ^lg ^50C

7,768 radialen,

die slechts de helft is van de boven gevonden waarde.

-ocr page 207-

195

§ 67. Rem touw.

Een over een ronddraaienden cilinder geslagen, aan het
eene einde bevestigd, en aan het andere einde door een
kracht P gespannen touw kan dienen om de beweging van
den cilinder te remmen.

Zjj A (lig. 116) een cilinder; zij verder om een trommel,

//M//////\',/,,:,.;:/,f,,;,

I\'ig l/a

aan de as van den cilinder bevestigd, een touw geslagen,
waaraan een gewicht G hangt, dan zal dit gewicht een
versneld draaiende beweging van den cilinder veroorzaken,
en daarbij zou het gewicht G met een versnelde beweging
dalen. Wil men door een remtouw de beweging eenparig
houden, of als de cilinder in rust is, een voortduren van
den toestand van rust bewerken, dan moet het moment van
den aan den omtrek van den cilinder werkenden wrijvings-
weerstand K P even groot zijn als het moment van het
gewicht G, beide momenten genomen ten opzichte, van het
punt O. De evenwichtsvergelijking is dus:

Gr = (K P)B.

Substitueert men hierin de waarde van K

uit verge-

lijking (88), dan verkrijgt men:

_ö-p|(/-_l).

13*

-ocr page 208-



		196

		Wordt de kracht P aangebracht door middel van een hefboom, dan moet blijkens de figuur voldaan zijn aan de vergelijking: Pl=QL of Q = P~. Ld Deelt men deze vergelijking door de voorgaande, dan verkrijgt men: G L \' B \' fa e\' Is bijv. de door het remtouw omspannen boog het twee 2 derde van den geheelen omtrek, dan is a=-^-. 2 tt = / 1 r 1 4,19 radialen. Stelt men verder =0,2, j = ^r, -p = t> dan is: _Q_ 1_ 1 _1_______1 ö \'~ 20 \' 4 \' 0,2 .4.19 . ^=_ 104,8\' e \' 1 Bech\'oeg dus het gewicht G 1048 eenheden, dan zou aan het uiteinde van den hefboom een kracht Q = 10 een- heden moeten aangebracht worden. Van de twee krachten K en P is steeds diegene de grootste, welke de draaiing van den cilinder tegenwerkt. Om de voordeeligste werking te verkrijgen, moet dus de hefboom bevestigd worden aan dat uiteinde van het rem- touw, waaraan de voortgebrachte kracht in den zin van de draaiing werkt. In het bovenstaande voorbeeld is volgens vergelijking (88) de verhouding der krachten K en P: Indien dus de hefboom bevestigd was aan het andere sterker gespannen einde van het remtouw, dan zou onder overigens gelijke omstandigheden een 2,31 maal grooter kracht Q = 23,1 eenheden aan het uiteinde van den hef- boom moeten aangebracht worden.

-ocr page 209-



		197

		§ 68. Buigingsweerstanden bij kettingen en touwen. Indien aan een ronddraaienden tap (fig. 117) een belaste ring hangt, en de ring is in evenwichtstoestand, dan werken er twee krachten op: de belasting Q, die opgehangen is aan het punt B van een aan den ring bevestigde stang, en de totale weerstand T door den ronddraaienden tap aan den ring geboden. Daar een wer- kelijk glijden plaatsgrijpt, moet de lijn waarlangs T werkt, den wrijvings- hoek q> met de normaal maken. De aanraking tusschen tap en ring moet derhalve plaats hebben in een punt C, welks straal A C een hoek 9 maakt met de verticaal. De afstand van het middelpunt van den tap tot de verticaal van C is blijkens de figuur: t = q sin qp. Wanneer de ring in rust is, dan moet de verticaal van het punt B, waarin de belasting Q opgehangen is, eveneens op den afstand t van dat middelpunt verwijderd zijn. Daar 1 onafhankelijk is

		*I\'iff /IS*

		van de snelheid waarmede de tap ronddraait, zoo is de

-ocr page 210-

198

in de figuur voorgestelde stand van den ring ook dan nog
een evenwichtsstand als de ronddraaüngssnelheid zeer klein
of ook nul is.

Aan de beide uiteinden A en A_x van een horizontalen
gelijkarmigen hefboom (fig. 118) zijn tappen bevestigd. Er
wordt verondersteld dat aan elk dier tappen op de hier-
boven beschreven wijze een belaste ring is opgehangen, en
dat elke ring zich in dien evenwichtsstand bevindt, welke
aan een draaiing van den tap in negatieven zin beantwoordt.
Is de hefboom AOA_t in rust, dan moet voldaan zijn
aan de vergelijking:


	K L	a i-i a

K (a i) = L (a -f- *) of

Vermenigvuldigt men teller en noemer van deze breuk
met 1 -|, dan verkrijgt men:

¹ <-&

waarin voor e de gevonden waarde q sin qp moet worden
gesubstitueerd. In de veronderstelling echter, dat de groot-
lieden q en qp beide zeer klein zijn, kan de term ( ) in
teller en noemer verwaarloosd worden; bij benadering is dan:

£ = 1 2^.
L a

Vervangt men tevens sin (f door tg q>, waardoor * = f q
wordt, dan verkrijgt men :

*L=,i ifi. (91)

Deze vergelijking kan eveneens bij benadering als geldig
worden beschouwd, indien de krachten K en L werken

-ocr page 211-

199

aan de uiteinden van een ketting, over een om een spil
draaibare schijf geslagen (fig. 119). Ook dan nog geldt zij
als het aangrijpingspunt van K zich eenparig naar beneden,
en dus dat van L zich eenparig naar boven beweegt. Bij
de beweging toch van de ketting ontstaat aan den omtrek

der schijf een wrijvingsweerstand,

Fij 119

die aan de schijf een eenparig

ronddraaiende beweging mede-
deelt. In A, waar de ketting
van den rechtlijnigen in den ge-
bogen, en in A_t, waar de ketting
van den gebogen in den recht-
lijnigen vorm overgaat, heeft wrij-
ving plaats in de aanrakings-
plaatsen der schakels, en in beide
punten werkt die wrijving de
vormverandering van de ketting
tegen. Tengevolge daarvan is de
hefboomsarm van de kracht L
steeds iets grooter, die van de
kracht K steeds iets kleiner dan
zonder dezen wrijvingsweerstand
het geval zou zijn. De verande-
ring van de hefboomsarmen kan nu op dezelfde wijze
als in fig. 118 worden bepaald. Is dus a de straal van de
schijf vermeerderd met de halve dikte der ketting, S de
dikte van den schakel, dus ö = 2o, en wordt de wrijvings-
weerstand, dien de spil der schijf bij haar beweging in de
tappannen ondervindt, voorloopig buiten rekening gelaten,
dan is volgens vergelijking (91):

K=L-\\-f-L.

Is de kracht L het gewicht van een lichaam, dan wordt
zij kortheidshalve gewoonlijk de last genoemd.

Indien de schakels volkomen glad waren, dan zou K = L

moeten zijn. De grootheid f~L\'\\s dus het bedrag, waar-

mede de kracht moet worden vermeerderd, om behalve den

-ocr page 212-



		200

		last L nog den buigingsweerstand van de ketting te over- winnen. Deze buigingsweerstand heeft dus de grootte: B = f~L. (92) i Is bijv. het quotiënt = 0,1 en de wrijvingscoëfficient d =0,15, dan is de buigingsweerstand: £ = 0,15.0,1 L = 0,015 L. De buigingsweerstand heeft dus in dit geval dezelfde uit- werking, alsof de last met 1,5 percent vermeerderd wordt. Op soortgelijke wijze als bij een ketting de wrijving van de schakels onderling, doet bij touwen de wrijving tusschen de afzonderlijke strengen of draden een buigingsweerstand ontstaan, die op de in fig. 119 aangeduide wijze de ver- houding der hefboomsarmen van kracht en last wijzigt. De grootte van den buigingsweerstand bij touwen kan echter niet door berekening worden gevonden. Zij moet door recht- streeksche proeven worden bepaald, en hangt natuurlijk ge- heel af van de hoedanigheid van het touw. Volgens Red- tenbacher is de buigingsweerstand voor touwen evenredig met het kwadraat van de dikte der touwen, en bij benade- ring te bepalen uit de formule : £ = 13-^L, (93) waarin S meters de dikte van het touw, en a meters de straal van de schijf ia. Is bijv. de dikte van het touw 0,02 meter en de straal der schijf a = 0,1 meter, dan is de buigingsweerstand: O OQ²5 = 13^f;-L = 0,052L, 0,1 en zou dus dezelfde uitwerking hebben als een vermeerde- ring van den last met 5,2 percent.

-ocr page 213-

201

§ 69. Weerstandscoëfficient bij de draaiing van
schijven, veroorzaakt door kettingen of touwen.

Evenals de werking van den buigingsweerstand kan wor-
den beschouwd als te bestaan in een vermeerdering van den
last met een grootheid B, welker bepaling in de vorige

paragraaf is verklaard, zoo kan ook

Fiff IZO.

de werking van den wrijvingsweer-

stand, dien bij het ronddraaien der
schijf de tappen van de tappannen
ondervinden, beschouwd worden als
te bestaan in de vermeerdering van
den last met een zekere grootheid
W, die op de volgende wijze kan
worden gevonden.

Indien de ketting of het touw

volkomen buigzaam was, dan zou de

kracht K, behalve den last L, nog

slechts den wrij vingsweerstand der

tappen te overwinnen hebben. De

grootte van de kracht K, die noodig

is om den last L met eenparige beweging\' te doen stijgen

en daarbij de schijf te doen ronddraaien, kan (Qg. 120)

gevonden worden uit de vergelijking:

Ka La f (K L) r = o

of: t = - . L./ i V

Daar de grootheid f-

~ - 11 L*\' ^

in den regel zeer klein is, zqo kan

op dezelfde wijze als in de vorige paragraaf is verklaard,,,,.,
bovenstaande vergelijking bij benadering worden vervangen ot-tO^\'

door
Is

L \' \' a

d=^r de middellijn van den tap der schijf, dan is:

K = L f-L.

-ocr page 214-

202

Hierin is f~Lde gezochte grootheid W, dat is het be-

drag, dat men bij den last moet voegen, om de werking

van den wrijvingsweerstand der

Fiff

121

tappen te vervangen. Derhalve is:

W = f- L.

(94)

De vereenigde werking van den
buigingsweerstand en van den
wrijvingsweerstand kan nu in
rekening worden gebracht door de
twee gewichten B en W bij den
last L te voegen (fig. 121), en
dan de kracht K te bepalen,
even alsof de ketting of het touw
volkomen buigzaam en de tappen
der schijf volkomen glad waren.
Men heeft dus:

K = L -f B W. (95)

Substitueert men hierin de in de vergelijkingen (92) en
(94) gevonden waarden, dan is voor kettingen:

K=L(l f₁^<l f*) = _!*L. (96)

Hierin is de wrijvingscoëfficient der schakels , genoemd
om hem te onderscheiden van dien der tappen; bovendien
is het gewicht der schijf zelve verwaarloosd.

Substitueert men in vergelijking (95) de in de vergelij-
kingen (93) en (94) gevonden waarden, dan is voor touwen:

K - L (l 13 £ ffj -,. L. (97)

In de vergelijkingen (96) en (97) zijn de factoren tusschen
haakjes de getallen, waarmede men den last L moet ver-
menigvuldigen om de kracht K te verkrijgen.

Deze factoren worden weerstandscoëfficienten genoemd.
Voor kettingen is dus de weerstandscoëfficient:

-ocr page 215-



		203

		Is bijv. de dikte der schakels 5=0,01 meter, de straal der schijf a = 0,1 meter, de middellijn van de tappen der schijf d = 0,015 meter, en de wrijvingscoëfficient, zoowel van de schakels als van de tappen f=f_l =0,15, dan vindt men voor den weerstandscoëfïicient: ,-! 0,15 °^ 0,,5»^» 1,0375. De kracht K moet derhalve in dit geval 3,75 percent grooter zijn dan de last L. Voor touwen is de weerstandscoëfficient: a \' \' a Is bijv. de dikte van het touw 8 = 0,02 meter, de straal der schijf a = 0,08 meter, de middellijn van de tappen der schijf d = 0,024 meter en de wrijvingscoëfficient der tappen =0,15, dan is de weerstandscoëfficient: a-1 43 ^_2* ₅ 0,024 H 1 13 . _0Q8 U,15 . ₀₀₈ 1,11. De op te heffen last wordt derhalve in dit geval met 11 percent vermeerderd, dat is, tot het met eenparige be- weging doen opstijgen van een last van 100 eenheden, is een kracht van 111 eenheden noodig.

		HOOFDSTUK X. "Werktuigen. § 70. Nuttige en schadelijke weerstand. Het komt meermalen voor, dat op eenig punt P van een lichaam een uitwendige of ook wel een inwendige kracht L werkt, en dat het aangrijpingspunt P dier kracht L over een zekeren weg s in de richting tegengesteld aan die der kracht moet worden verplaatst. In dat geval wordt de kracht L gewoonlijk de weerstand genoemd, en men zegt

-ocr page 216-



		204

		dan, dat de weerstand L over den weg s moet worden overwonnen. Het eenvoudigste zou zijn daartoe een kracht K op liet punt P te laten werken langs de lijn, waarlangs de weer- stand werkt, en in een richting tegenovergesteld aan die van den weerstand. De kracht K zou aanvankelijk iets grooter moeten zijn dan L, maar zoodra het punt P een snelheid, hoe gering ook, heeft verkregen, is een kracht K gelijk aan L voldoende om de beweging verder eenparig te doen zijn. Voorlaan zal worden aangenomen, dat de kracht K reeds van den aanvang af slechts de grootte L behoeft te hebben. De kracht K noodig tot het overwinnen van een weer- stand L zal kortheidshalve voortaan de beweegkracht worden genoemd. In het zooeven behandelde geval moet dus de grootte der beweegkracht gelijk zijn aan die van den weerstand. Wordt de weerstand L over een weg s overwonnen, dan heeft hij een negatieven arbeid van Ls eenheden verricht; deze arbeid wordt de iceerstandsarbeid genoemd. De beweeg- kracht K verricht daarbij den positieven arbeid Ks een- heden, beweegkrachtsarbeid genoemd, die in grootte gelijk is aan den weerstandsarbeid. Intussclien laten de omstandigheden meestal niet toe de beweegkracht rechtstreeks op het lichaam te doen verken. Men maakt dan gebruik van toestellen, werktuigen genoemd. Op een door den aard van het werktuig bepaalde plaats Iaat men een zoodanige beweegkracht K aangrijpen, dat daar- door op een andere plaats van het werktuig een kracht wordt te voorschijn geroepen, aangrijpende in het punt P en gelijk en tegengesteld gericht aan den weerstand L. Dit heeft het voordeel, dat men aan de beweegkracht K de voor de omstandigheden meest geschikte grootte en richting kan geven. Aan het gebruik van een werktuig zijn echter ook nadee- len verbonden. Het lichaam, waarop de weerstand L werkt, beweegt zich langs de deelen van het werktuig, ofdedeelen van het werktuig bewegen zich langs elkander. In beide gevallen treden daarbij nog andere weerstanden, zooals wrijvings- en buigingsweerstanden op, die ook door de beweegkracht moeten overwonnen worden.

-ocr page 217-



		2t5

		Deze weerstanden, die optreden tengevolge van het gebruik van het werktuig, die veelal een nadeelige werking hebben op liet werktuig zelf, en die steeds maken dat de beweegkracht grooter moet zijn dan zonder die weerstanden noodig zou wezen, worden schadelijke weerstanden genoemd, in tegen- stelling van den nuttigen weerstand L, dien men beoogt door de beweegkracht te laten overwinnen. Daar de beweging van alle punten van het werktuig, en dus ook die van de aangrijpingspunten van K en L en van den schadelijken weerstand, wordt verondersteld eenparig te zijn, zoo heeft de vervangende dier drie krachten de grootte nul. De som der arbeiden door die drie krachten verricht, is dus ook nul, ofwel, de beweegkrachtsarbeid is even groot als de som van den nuttigen weerstandsarbeid en den schadelijken weerstandsarbeid, maar de eerste is positief, de beide laatsten zijn negatief. Het nuttig effect van een werktuig wordt gemeten door het quotiënt van den nuttigen weerstandsarbeid en den beweegkrachtsarbeid. In § 18 is opgemerkt, dat als op een punt P een kracht werkt, die een negatieven arbeid van A arbeidseenheden verricht, dit punt een arbeidsvermogen van plaats van A eenheden van arbeidsvermogen wint. Hoewel dit in het algemeen het geval is, doet zich iets bijzonders voor, indien die kracht een wrijvings- of buigings- weerstand is. Dan toch vermeerdert niet het arbeidsver- mogen van plaats, maar het moleculair arbeidsvermogen van beweging van het punt P. Dit moleculair arbeidsvermogen van beweging gaat ten deele over op de overige punten van het lichaam, het lichaam wordt warm. Intusschen geldt ook hierbij de wet van het behoud van arbeidsvermogen; het moleculair arbeidsvermogen van beweging door het lichaam gewonnen, en dat zich openbaart in temperatuurs- verhooging, is even groot als het arbeidsvermogen van plaats van A eenheden, dat het punt P had moeten winnen. Er kan derhalve geen wrijvings- of buigingsweerstand overwonnen worden, dan ten koste van arbeidsvermogen, dat in een onnutten vorm, in warmte, overgaat. Men zegt daarom, dat er arbeidsvermogen tot het overwinnen van den wiïjvingsweerstand is verbruikt. Dit arbeidsvermogen

-ocr page 218-



		206

		is natuurlijk afkomstig van het verlies aan arbeidsvermogen van plaats, dat het werktuig heeft ondergaan, doordien de beweegkracht positieven arbeid heeft verricht. Vandaar dat men ook wel zegt, dat tot het overwinnen van wrijvings- weerstand arbeid wordt vereischt. Bij de beweging van een tap in een tappan (§ 63) is de wrijvingsweerstand in een punt van den tap aangrijpende fD eenheden. Is v de lijnsnelheid van zoodanig punt, dan verricht de wrijvingsweerstand in elke seconde den nega- tieven arbeid 0!! eenheden, en in elke seconde wordt dus tot het overwinnen van den wrijvingsweerstand een arbeid van fDv eenheden vereischt. Is bijv. de druk D = 1000 eenheden en de wrijvings- coëfficient /\'= 0,08, dan is de wrijvingsweerstand: fD = 0,08 .1000 = 80 eenheden. Is verder de straal van den tap q = 0,075 meter en het aantal omwentelingen in de minuut n = 12, dan is de lijn- snelheid van een punt op den omtrek van den tap: w 12 p=27r_t.^==2. 8,44 . 0,075 . ~ = 0,0942 eenheden. 60 60 De in elke seconde voor het overwinnen van dien wrij- vingsweerstand vereischte arbeid is dus: A = 80 . 0,0942 = 7,536 eenheden. § 71. Arbeidssnelheid. Vang van Prony. Bij het gebruik van werktuigen is het dikwijls noodig te kunnen bepalen hoe groot de nuttige weerstandsarbeid is, die in de seconde wordt verricht. Dit heeft aanleiding ge- geven tot het invoeren van het begrip arbeidssnelheid. De arbeidssnelheid van een werktuig wordt evenredig gesteld aan den nuttigen weerstandsarbeid, die bij het ge- bruik van dat werktuig in de seconde wordt verricht. De eenheid van arbeidssnelheid is de arbeidssnelheid van een werktuig bij het gebruik waarvan, de nuttige weer- standsarbeid in elke seconde verricht, de negatieve eenheid van arbeid bedraagt.

-ocr page 219-



		207

		In de praktijk wordt een andere eenheid van arbeids- snelheid gebruikt, paardekracht genoemd. Een paardekracht is de arbeidssnelheid van een werktuig bij het gebruik waar- van, de nuttige weerstandsarbeid in elke seconde verricht 75 kilogramm. bedraagt. Fiffl22 _Deze eenheid is 75 g of 736 maal zoo groot als bovengenoemde eenheid. Wanneer de twee een- parig ronddraaiende assen A en B (fig. 122), deel uitmakende van een werktuig, door een paar getande raderen met eik- ander in verband staan, en A de drijvende, B de gedreven as is, dan zullen op de plaats C waar de tanden in elkander grijpen, twee onderling gelijke maar tegengesteld gerichte drukkrachten D en X), worden te voorschijn geroepen. De kracht D werkt op de as A als weerstand, de kracht D, werkt op de as B als beweegkracht. Indien de nuttige weerstand ergens op een punt van de as B aangrijpt, dan kan de in de seconde verrichte nuttige weerstandsarbeid slechts weinig in grootte verschillen van den in de seconde door Z), verrichten beweegkrachtsarbeid; deze laatste is gelijk aan den in de seconde door D ver- richten weerstandsarbeid. Om dus de arbeidssnelheid van het werktuig te vinden behoeft slechts deze laatste te worden bepaald. Men kan daartoe gebruik maken van de vang van Prony, een toestel die in fig. 123 in beginsel is voorgesteld, en wel op de volgende wijze: De as B wordt ontkoppeld, zoodat de tanden der raderen niet meer in elkander grijpen. De as A, waarop de weer- stand D nu niet meer werkt, verkrijgt dan een grooter omdraaiingssnelheid; het aantal omwentelingen in de minuut zal bijv. van n tot w, toenemen. Nu wordt de vang aan de as A bevestigd, en de schroeven worden aangedraaid tot dat het aantal omwentelingen in de minuut weer tot n is

-ocr page 220-



		208

		verminderd. Zoodra de vorige omdraaiingssnelheid is bereikt, verricht de wrijvingsweerstand van de vang op de as in elke seconde denzelfden weerstandsarbeid als vroeger de weer- stand D. Is W de aan den omtrek van de as A wer- kende wrijvingsweerstand en v de lijnsnelheid van een punt op den omtrek dier as, dan is de arbeidssnelheid van het werktuig: U= Wv eenheden. (98) De wrigvingsweerstand werkt ook op de vang en tracht deze in positieven zin te doen ronddraaien. Hij werkt op de vang even als een gewicht W zou doen, dat aan de vang was opgehangen op een afstand gelijk aan den straal r van *Firj 123*

		de as rechts van het middelpunt De grootte van W kan bepaald worden door aan de vang in C een gewicht P op te hangen, juist zoo groot als noodig is om de kracht Win evenwicht, en de vang in horizontalen stand zwevende te houden. Door toepassing van de momentenvergelijking heeft men dan: PJ= Wr of W = P--. » Substitueert men deze waarde van W in vergelijking (98) dan verkrijgt men : U=P(Lv). (99) De factor tusschen haakjes geeft de lijnsnelheid aan, die eenig punt op een cirkelomtrek met den straal l zou hebben,

-ocr page 221-



		209

		indien die cirkel aan de draaiende beweging van de as deel- nam. Noemt men deze snelheid V, dan verkrijgt men de eenvoudiger uitdrukking: U=P.V. (100) De gezochte arbeids^nelheid is dus gelijk aan het product van het gevonden gewicht P met de snelheid, die het op- hangpunt van P zou hebben, indien de vang aan de draaiende beweging van de as deelnam. Hierbij is verondersteld, dat het zwaartepunt van de on- belaste vang in de verticaal van het draaipunt ligt. Was dit niet het geval, lag het zwaartepunt bijv. ter linkerzijde van de draaiingsas, dan zou in vergelijking (100) in plaats van het gewicht P, een naar evenredigheid grooter gewicht in rekening moeten gebracht worden. Is bijv. het aantal omwentelingen in de minuut van de as A n = 75, en heeft men voor het aan den hef booms- arm l = 2,5 meter op te hangen gewicht /^J=1000 dyna- mische eenheden gevonden, dan is de snelheid V: 7=2^4 = 2. 3,14. 2,5.^ = 19,635 eenheden, 60 60 en volgens vergelijking (100) de arbeidssnelheid: U= 1000 . 19,635 = 19635 eenheden. Om de arbeidssnelheid in paardekrachten uit te drukken, behoeft men slechts boven\'gevonden getal door 736 te deelen, of: ü sas 26,7 paardekrachten. In plaats van de vang van Prony kan men ook van eén remtouw gebruik maken. Na ontkoppeling van de as B slaat men daartoe een remtouw over de as A of over een aan de as bevestigde schijf, en maakt de spanning van het touw zoo groot, dat de ronddraaiingssnelheid der as dezelfde grootte verkrijgt als voor de ontkoppeling. Om de arbeids- snelheid van het werktuig te vinden, behoeft men, zooals hierboven is verklaard, slechts den weerstandsarbeid te be- palen door den wrijvingsweerstand in de seconde verlicht. Noemt men de spanningen in de beide einden van het touw K en P, dan heeft de wrijvingsweerstand volgens verge- l)r. Julius, Mechanica. 14

-ocr page 222-

210

lijking (86) de grootte KP. Om de spanningen K en
P te bepalen, gaat men op de volgende wijze te werk.
Eerst bevestigt men het einde D van het touw (fig. 124)
aan een vast punt, en hangt men aan het einde Cgewichten

Fig124r

Fuj 125

\\WA\\\\\\\\\\\\V\\VW

totdat de as haar oorspronkelijke omdraaiingssnelheid heeft
verkregen. Dit gewicht is de gezochte spanning P. Daarna
herhaalt men de bewerking, maar nu wordt (fig. 125) het
einde C bevestigd, en het einde D met

Fiff 128

gewichten bezwaard. Dit gewicht is

de gezochte spanning K. Is nu v een-
heden de lijnsnelheid van een punt op
den omtrek der schijf, waaraan de
wrijvingsweerstand K P werkt, dan
is de gezochte arbeidssnelheid:

U = (K P) v eenheden.

Heeft men bijv. gevonden v = 3 een-
heden, P = 1000 en K= 2500 een-
^K\'^v heden, dan is de gezochte arbeidssnelheid :

U= (2500 1000) 3 = 4500 eenh. = 6,1 paardekrachten.

-ocr page 223-



		211

		§ 72. Hefboom. Elke toestel, waarop een beweegkracht aangebracht wordt, wier richting niet rechtstreeks tegengesteld is aan de rich- ting van den te overwinnen weerstand, wordt een werktuig genoemd. De werktuigen zijn öf enkelvoudige óf samen- gestelde; de samengestelde bestaan uit deelen die zelf werk- tuigen zijn. De meest verwijderde onderdeelen, die nog aan de boven gegeven bepaling voor een werktuig voldoen, worden enkelvoudige werktuigen genoemd. Alleen de enkel- voudige en enkele zeer eenvoudige samengestelde werktuigen zullen worden behandeld. Er zijn twee typen van enkel- voudige werktuigen: de hefboom en het hellend vlak. Elk werktuig is óf een hefboom, óf een hellend vlak, óf een verbinding van hefboomen en hellende vlakken. Een hefboom is een staaf om een vaste as draaibaar. De evenwichtsvoorwaarde, waaraan de op den hef boom werkende krachten moeten voldoen, is derhalve, dat de som der mo- menten van de krachten ten opzichte van die vaste as gelijk nul is. In den regel is de hefboom draaibaar om tappen, die door tappannen in on veranderlijken stand worden ge- houden. In elk bijzonder geval kan de weerstand, dien de tappan aan den tap biedt, en daarmede de wrijvingsweer- stand worden bepaald. Voorbeelden hiervan zijn reeds behan- deld bjj de wrijvingsbalans van Hirn en de vang van Prony. § 73. Katrollen en takels. De katrol bestaat uit een schijf aan een spil bevestigd; de spil is draaibaar in een paar tapgaten, die zich bevinden in een om de schijf aangebrachten beugel. Wordt de beugel aan een vast punt A bevestigd (fig. 127), en wordt om de schijf een touw geslagen, aan welks uiteinden krachten werken, dan wordt de katrol een vaste katrol genoemd. Is K de kracht en L de last, dan is volgens vergelijking (97): K = fi L. waarin ,u de weerstandscoëfficient is. De weg door het aangrijpingspunt van den last doorloopen is even groot als de weg door het aangrijpingspunt van de 14*

-ocr page 224-

212

kracht doorloopen; is die weg s meters, dan is de nuttige
weerstandsarbeid Al = Ls en de beweegkrachtsarbeid Ai = Ks;
het quotiënt p, waardoor het nuttig effect van de vaste
katrol wordt gemeten, is dus:

Ai Ls 1

A_t Ks

Verwaarloost men het gewicht van de katrol, dan is de
weerstand, geboden door het vaste ophangpunt, waaraan de
beugel bevestigd is:

Fiff.127.

* L = *(l i).

Is het eene einde

ViffJ18.

van het over de

schijf geslagen touw
aan een vast punt A
bevestigd (fig. 128),
grijpt de kracht aan
het andere einde
van het touw en
de last aan den beu-
gel aan, dan wordt
de katrol een losse
katrol genoemd. Is
de kracht K, dan
is de weerstand W,
dien het bevestigings-
punt aan het andere
einde van het touw

biedt, W= . Ver-

f*
waarloost men het

gewicht van de ka-
trol , dan is de last:

IrlKt fr

I-)E

(* ?>

L=K W=K

Legt het aangrijpingspunt van den last een weg s af, dan
legt het aangrijpingspunt van de kracht den weg 2s af.

-ocr page 225-



		213

		De nuttige weerstandsarbeid is dan Ls en de beweegkrachts- arbeid 2 Ks. Het quotiënt p, waardoor het nuttig effect bij de losse katrol wordt gemeten, is dus: Ls 1 /, , 1 \\ ^P = -2Ks⁼2V iJ- Een takel is een samenstel van losse en vaste katrollen. Als men bij den in fig. \'129 voorgestelden zoogenaamden machtstaket wederom het gewicht der katrollen verwaar- loost, dan vindt men achtereenvolgens: W =^-, K_t=K W =(l i). W₂=f, L* =iT₂ ^ = ^(l i)³. Is het aantal katrollen n. dan is in het algemeen: z-jr(i i)\'. Legt het aangrijpingspunt van den last L een weg s af, dan legt het aangrijpingspunt van de kracht af den weg 2" . s. Het quotiënt p, waardoor het nuttig effect bij den machtstakel gemeten wordt, is dus:

		Ls *f})\'***

	K.2s* ^N 2 Is bijv. voor den in fig. 129 voorgestelden takel de weer- standscoëfficient u = 1,2, dan is: Z,= 6,85X en p = 0,86. De nuttige weerstandsarbeid bedraagt dus 86 percent van den beweegkrachtsarbeid, terwijl de overige 14 percent voor het overwinnen van wrijvings- en buigingsweerstanden wordt vereischt. Vervangt men in de gevonden vergelijkingen u door H

-ocr page 226-

214

dan gelden zij voor een beweging van het werktuig in tegen-
gestelden zin. Men kan daaruit dan vinden, hoe groot de

J*igl30

Aitf 129

* fi*fd>

IJlJttlmlimm,

KrK(\' j&)

kracht K moet zijn om den last L met eenparige beweging
te doen dalen. Men heeft dan:

L = K (1 ,«)*.

-ocr page 227-

215

In het bovenstaande voorbeeld zou men dan vinden:

L = K{\\ l,2)^s = 10,65 K.

Bij den in fig. 130 voorgestelden takel is de spanning
in ieder deel van het touw het n^ie gedeelte van die in het
voorafgaande deel. Verwaarloost men het gewicht van de
blokken, en neemt men aan, dat de afstand der blokken
van elkander zoo groot is, dat men de deelen van het touw
als onderling evenwijdig mag beschouwen, dan is de kracht
op ieder blok gelijk aan de som der spanningen in die deelen
van het touw, welke met de schijven van dat blok in
rechtstreeksch verband staan. Men heeft dientengevolge:

^ = f f ^ ^ = f^ ^ " ⁴)\'

_of: _L ₌ 4.^i *4zii₄.
n* fii f*⁵fi*

Is het aantal schijven niet 4 maar n, dan heeft men
algemeen:

L = K

!*" 1

:" » fl»

Meestal zijn de in een blok behoorende schijven niet onder
elkander, maar naast elkander geplaatst (fig. 131). De
bovenstaande vergelijking verandert daarbij niet.

Legt het aangrijpingspunt van den last een weg s af,
dan legt het aangrijpingspunt van de kracht af den weg ns, ^ 
en het quotiënt p, waardoor het nuttig effect van den ge- * *.
wonen takel gemeten wordt, is derhalve:

__Ls _ 1 ft" 1

K.ns n \' iA,ⁿ ⁱi*ⁿ\'

Is de weerstandscoëfficient 1,2 en het aantal schijven 4,
dan vindt men:

£ = 2,59ür en ^ = 0,65.

In dit geval wordt dus 35 percent van den beweeg-
krachtsarbeid tot het overwinnen van wrijvings- en buigings-
weerstanden vereischt.

.\'

-ocr page 228-

216

Moet de last L met eenparige beweging dalen, dan heeft

Fiffl32

\'iiraii:i:r;:i,!<\' r,-: - -______

Fiff J31

auK-----=\'

11\'IC" \'-\'X f^=_B/\'"\'l ,

ll"-l

J.-K

\\ f" -/L

/t" \'_ju!

j-ii Vn ^J^/"

men in bovenstaande vergelijking slechts ,ü te vervangen

* 1

door , waardoor men verkrijgt:

-ocr page 229-

217


L =	= K	ft" " 1	i 1 " f"	uK	1 1	ft" (*
Is wederom	It SB	1,2 en L =	» = = 6,4	4, dan bK.	is:

Bij den in fig. 131 voorgestelden takel is de weerstand
geboden door het punt waaraan het bovenste blok hangt:

W=L K=K

u» \' 1

u" l /*"

Indien men het touw, waaraan dit blok hangt, niet aan
een vast punt bevestigt, maar om de schijf van een vaste
katrol slaat, en het andere einde aan het onderste blok
bevestigt, dan is de spanning in dit einde (fig. 132):

Deze spanning werkt op het onderste blok, en om dus
de beweging eenparig te doen zijn, moet bij den last

L = K -^J-_r-.--------- nog een last L. = K - ~~. ,~~---------j,

gevoegd worden. De geheele last is dan:

2,a" \',« 1 *V* \' "(t u-. /

Li.. = Li -\\- Li. = A . ------n----------n^-

2 Tl p» f 4 ---^n 1

Legt het aangrijpingspunt van 7/₂ een weg s af, dan legt
het aangrijpingspunt van K af den weg s . (2 w -\\- 1). Daar
toch de blokken door een over een vaste katrol geslagen
touw zijn verbonden, zal het bovenste blok een weg s meters
dalen, als het aangrijpingspunt van den last, en daarmede
het onderste blok, ee\'n weg s meters stijgt. De blokken
komen dus 2 s meters dichter bij elkander, en het touw om
n schijven loopende wordt over een lengte 2ws meters in-
gepalmd. Het aangrijpingspunt van de kracht K legt nu
een weg s meters af, omdat het bovenste blok s meters daalt,
en bovendien een weg 2ns meters door het inpalmen van

-ocr page 230-



		218 het touw, te zamen dus een weg (2w-f-l)s meters. Het quotiënt p, waardoor het nuttig effect bij dezen zooge- naamden spaanschen takel wordt gemeten, is: 1 2,u" ^l ^ 4 ^P *" 2» l \' /» * /«"** ¹ Is bijv. de in fig. 131 voorgestelde takel tot een spaan- schen takel ingericht, is dus fi = 1,2 en m = 4, dan vindt men: L₂ = 5,58 Zenp = 0,62. Er wordt dus 38 percent van den beweegkrachtsarbeid tot het overwinnen van\' wrijvings- en buigingsweerstanden vereischt. Moet de last met eenparige beweging dalen, dan moet weer u vervangen worden door , dus: I*

		_u» 1 ,. 9___u« ___u» 1 L_%=K^-------^~jr = fiK-f------^U ² 1 1 ^r 1 p Wederom ,u = 1,2 en n = 4 stellende: L₂ = 12,81 if. § 74. Hellend vlak. Om de voorwaarden te vinden, waaronder een lichaam zich langs een hellend vlak met eenparige beweging naar boven of naar beneden beweegt, ontbindt men alle op het lichaam werkende krachten in twee richtingen, de een lood- recht op het vlak, de ander daaraan evenwijdig. De som der ontbindingskrachten evenwijdig aan het vlak moet dan nul zijn. Hierbij wordt verondersteld, dat de krachten alle werken in het verticale vlak door de baan van het zwaarte- punt gebracht. Is « de hellingshoek, L de last, en werkt de kracht K langs een lijn evenwijdig aan het hellend vlak, dan is de

-ocr page 231-



		219

		normale weerstand van het vlak N = L cos «, en de wrijvings- weerstand fN = fL cos«. Heeft de last een eenparige beweging naar boven (fig. 433), dan verkrijgt men: K L sin a fL cos a = 0. *JUj 133.*

		Heeft de last een eenparige beweging naar beneden (fig. 134), dan verkrijgt men: K L sin « -f- f L cos « = 0. Piff 134. Jf\'Lcosa

		De voorwaarde voor de eenparige beweging wordt dus

-ocr page 232-



		220

		uitgedrukt door de voor beide gevallen geldende verge- lijking: v t i .e \\ _r sin (a ± <JP) ,ai\\a\\ K= L (sin « ± /cos a) = L-----^:=:lJ-^z (101) ^V \' \' COS (]P ^V waarin het teeken -\|- op het in fig. 133, het teeken op het in fig. 134 voorgestelde geval betrekking heeft. Deze vergelijking geeft tevens de grenswaarden aan, tusschen welke de grootte van de kracht K moet liggen, opdat een in rust zijnd lichaam onder haar werking noch naar den eenen, noch naar den anderen kant in beweging gerake. Is in geval van fig. 134 « <[ <JP dan wordt K negatief, FiffX3S.

		JYhLcosa, JTsirv cv

		dat wil zeggen, dan moet K naar beneden werken om de beweging van den last eenparig te doen zijn. Werkt de kracht K in horizontale richting, dan is de normale weerstand van het vlak N = L cos « -\\- K sin « en de wrijvingsweerstand fN = f(L cos a -f- ÜTsin «). Beweegt de last zich eenparig naar boven (fig. 135), dan is:

		K cos oc L sin « f(L cos « -)- K sin «) = 0.

-ocr page 233-

221

Beweegt zich de last eenparig naai^- beneden (fig. 136)
dan is:

K cos « L sin a -\\- f(Lcosa -)- K sin «) = 0.

_T sin « fcosa

of K = Li -----------j-7T-Ï

cos a -|- / sin a

Voor beide gevallen geldt dan de vergelijking:

, sina Z\'cos»
cos « -i- sin a

Fig 136
f-Looa cc Ksinxt

HiP

JTfïls

J>«

Zcoxa

Deelt men teller en noemer door cos «, dan wordt:

1 am-o v^

of den wrijvingscoëfficient vervangende door den tangens
van den wrijvingshoek:

K=Ltg(«±<p). (102)

Is a-J-qp = 90\', dan wordt in het door lig, 135 voor-
gestelde geval K = oo . Is dus de hellingshoek het com-
plement van den wrij vingshoek, en werkt K in horizontale
richting, dan kan de last zich onmogelijk met eenparige
beweging naar boven bewegen.

-ocr page 234-

222

Werkt de kracht K langs een lijn, die een hoek (J maakt
met het hellend vlak, dan is de normale weerstand van
het vlak N = L cos a -\\- K sin jï, en de wrijvingsweerstand
fN=f(Lcosu Ksm(i).

Men heeft dus wederom:

K cos |? ü sin a f(L cos « -\\- K sin (?) = 0.

tt t ^sm ^a  f ^cos ^acos |ï /"sin jï\'

voor fig. 137 en de

waarin de bovenste teekens gelden
onderste teekens voor fig. 138.

Fixr 137

Vervangt men in deze vergelijking f door tgqp, en ver-
menigvuldigt men teller en noemer met cos qp, dan ver-
krijgt men:

_ j. sin (« qp)
cos ((i ± 95)"

(103)

Stelt men hierin (3 = o en (S= «, dan blijkt het dat de
vergelijkingen (101) en (102) als bijzondere gevallen in
vergelijking (103) zijn bevat.

De vergelijking (103) kan ook gevonden worden door
gebruik te maken van de in § 60 gevonden eigenschap,

-ocr page 235-

223

dat indien er glijding plaats grijpt, de lijn waarlangs de
totale weerstand werkt, den hoek y maakt met de normaal

IHff

138

Y-Lcos a ITsüifi

lïsisifl.

aan den kant tegenovergesteld aan de richting der beweging.
De drie krachten K, L en T (fig. 139 en fig. 140) zijn

Kff.

139.

in evenwicht, en verhouden zich dus als de sinussen van
de tegenoverliggende hoeken, of

K: L = sin (« qi) : cos (j? ± <j>).

-ocr page 236-



		-2ÏA

		Uit vergelijking (103) blijkt, dat bij het in fig. 139 voorgestelde geval K = oo wordt als (5 = 90 <p ; dat is, als de lijn waarlangs K werkt, een hoek gelijk aan den wrijvingshoek maakt met het naai^- binnen gerichte deel der normaal. Is \|5 ^> 90 qp, dan geldt vergelijking (103) niet meer voor het in fig. 139 voorgestelde geval. Daar de ontbindingskracht K cos (l alsdan kleiner is dan fK sin /?, is een beweging van het lichaam naar boven niet mogelijk, en derhalve is de veronderstelling , waarvan bij de afleiding *TigHO*

		dier vergelijking is gebruik gemaakt, dat namelijk de wrij- vingsweerstand de grootte fN heeft, niet meer juist. Is de hellingshoek grooter dan de wrijvingshoek, en werkt op het lichaam alleen zijn gewicht L, dan zal daar L = mg is, de kracht L (sin « fcosa) aan het lichaam geven de versnelling: q = g (sin a f cos «). In de veronderstelling dat de wrijvingscoëfficient niet ver- andert, is de beweging van het lichaam eenparig versneld. Is de aanvangssnelheid nul, dan is de in t seconden afgelegde weg:

-ocr page 237-



		225

		Uit deze twee vergelijkingen kan, als de grootbeden t, 2 en « zijn waargenomen, de wrijvingscoëfïicient berekend worden. Legt bijv. een van stapel loopend schip langs een hellend vlak, dat een hoek van 4° 25\' maakt met den horizon, in 5,25 seconden een weg van 5,98 meters af, dan heeft men: 5,98 = ^-^-- of q = 0,434 eenheden, 0,434 = 9,81 (0,077 f. 0,997) of f= 0,033. Beweegt het lichaam zich tegen het hellend vlak op, dan werken de krachten L sin a en f L cos « beide de beweging *FUy.l\'fl*

		tegen; deze is derhalve eenparig vertraagd met de ver- traging: q = g (sin « -\|- /"cos «). Is t het aantal seconden, waarna de snelheid nul ge- worden is, dan is de in dien tijd afgelegde weg:

		l se, g ( sin « -\\- f cos « )-^-

		Ook uit deze vergelijking kan de wrijvingscoëfïicient be- paald worden, als de grootheden l, t en cc zijn waargenomen. Dr. Jui.ius, Mechanica. 15

-ocr page 238-



		226

		Heeft men bijv. waargenomen, flat een slede tegen een onder een hoek van 5^C45\' hellende ijsba\'an 24 meters in 20 seconden oploopt, voordat haar snelheid nu! geworden is, dan verkrijgt men: (\\ 20²0,1 f . 0,995) ~- of f= 0,02. Beweegt zich de last eenparig naar boven, en is de langs het hellend vlak afgelegde weg s (fig. 141), dan is de nuttige weerstandsarbeid Lssma en de beweegkrachts- arbeid Kscosft. Het quotiënt p, waardoor het nuttig effect bij een hellend vlak gemeten wordt, is dan: cos ((? -f- ff) sin « " ~~ sin (a -\\- <) cosj\'i\' § 75. De wig. Een wig is een driehoekig prisma. Een der standhoeken van de zijvlakken onderling is in den regel klein, en wordt de tophoek der wig genoemd. Het zijvlak tegenover den tophoek heet de rug der wig. Door middel van een wig kan een kracht K, op de rug aangebracht, de weerstanden L, normaal op\' de zijvlakken werkende, overwinnen. Er wordt aangenomen, dat de kracht K werkt langs een lijn, die loodrecht staat op de rug en die den tophoek 2 ö middendoordeelt (fig. 142) De normale druk L brengt langs elk der zijvlakken den wiijvingsweerstand fL voort. Daar de som der ont- bindingskrachten in elke richting gelijk nul moet zijn, heeft men: K 2 L sin ö 2 fL cos ö = 0. K 2 L (sin (i tg fjp cos ö). A =-----sin (<) -r- w). COS ff) ^v \' \' Indien de grootte moet bepaald worden van de kracht K, die op de wig moet werken, opdat de wig een eenparige beweging naar boven verkrijge, dan verandert in boven-

-ocr page 239-



		227

		staande vergelijking 9 in qp, waardoor men verkrijgt: K =-----sin (S ). cosqp ^s Heeft <5 de grootte van den wrijvingshoek, danisüT=o; PUfJiS.*

		is S kleiner dan q>, dan woi\'dt K negatief, en de kracht zal dus naar boven moeten werken om de beweging eenparig te doen zijn. § 76. Eenparige schroefbeweging. Wanneer een lichaam zich zoodanig beweegt, dat men zijn werkelijke beweging ontbinden kan in twee bewegingen, waarvan de eene is een eenparige draaiende beweging om een as met de hoeksnelheid 10 eenheden, en de andere een eenparige rechtlijnige beweging in de richting van die as met de snelheid c eenheden, dan heeft elk punt P van 15*

-ocr page 240-

228

dat lichaam een eenparige beweging langs een baan, die
men schroeflijn noemt. De beweging van het lichaam wordt
een eenparige schroefbeweging genoemd.

De beweging van eenig punt op den afstand tj van de as
gelegen, kan voor een willekeurig tijdsverloop worden ont-
bonden in twee bewegingen: een eenparige cirkelvormige

met de lijnsnelheid v = qu> langs

FUf. 143.

den omtrek van een cirkel lood-

recht staande op de as en waar-
van het middelpunt in de as
is gelegen, en een eenparige
rechtlijnige met de snelheid c in
de richting van de as. De snel-
heid n van het punt kan ont-
bonden worden in een ontbin-
dingssnelheid v in de richting
van de raaklijn aan dien cirkel,
en in een ontbindingssnelheid c
in de richting van de as (fig. 143).
Volbrengt het lichaam een om-
wenteling in t seconden, en legt
het in dien tijd een weg s meters
af in de richting van de as, dan
kunnen de ontbindingssnelheden
van het punt P gevonden worden
uit de vergelijkingen:

s
t

2jre

t \'

of c

s = et

2n() = Vt Of V =

Is het lichaam een verticale
cilinder, dan is:

c c s

tg a = - = = ^

(104)

als « de hoek is, dien de richting der snelheid u maakt met
den horizon. Daar « standvastig is, heeft de hoek, dien de
schroeflijn maakt met den horizon, een standvastige grootte.

-ocr page 241-



		229

		Voor eenig ander punt op den afstand <>, van de as ge- legen, heeft men op gelijke wijze: *^tg\' ⁼ ^⁼2TV** De afstand s, gedurende een omwenteling in de richting der as doorloopen, wordt de spoed van de schroeflijn ge- noemd. De schroeflijnen, door punten p op verschillende af- standen van de as gelegen doorloopen, hebben dus alle denzelfden spoed, maar de hoeken, die zij met den horizon maken, verschillen al naarmate haar afstanden tot de as. De schroef beweging van het lichaam is eenparig, als de draaiende en de rechtlijnige ontbindingsbewegingen elk afzonderlijk eenparig zijn. Daartoe wordt vereischt, dat de som der momenten van alle op het lichaam werkende krachten ten opzichte van de draaiingsas gelijk is aan nul, en dat de som der ontbindingskrachten in de richting der as gelijk is aan nul. § 77. Schroef met vlakken gang. Indien langs een schroeflijn om een cilinder een band wordt gewonden van zoodanigen vorm, dat de doorsnede van dien band met een vlak door de as gebracht, waar ook genomen, een rechthoek is, dan verkrijgt men een schroef met vlakken gang (fig. 144 en 145). In de veronderstelling dat de schroef door een vastliggende schroefmoer omsloten is, wordt gevraagd de grootte te bepalen van de kracht K, die in horizontale richting aan den hefboomsarm / moet werken, om de schroef eenparig naar boven te doen be- wegen, en daarbij den in de richting der as werkenden weerstand L te overwinnen. Op de schroef werken, behalve de last L en de kracht K, nog slechts de door de onbeweeglijke schroefmoer op haar uitgeoefende weerstanden, welke aangrijpen in de punten waar de schroef de schroefmoer aanraakt. Bij be- nadering mag worden aangenomen, dat deze aangrijpings- punten alle liggen op de gemiddelde schroeflijn met de straal _Q = ^B ^r (fig. 146).

-ocr page 242-

230

Is toch al in den aanvang de druk gelijkmatig over het
geheele schroefvlak verdeeld, dan zal de slijting der buitenste
deelen grooter zijn dan die der meer binnenwaarts gelegene,
omdat in eenzelfden tijd over een zeker vlaktedeel buiten-
waarts een grooter oppervlak heenglijdt dan over een even
groot vlaktedeel binnenwaarts. Bij het ongelijkmatig afslijten

van het oppervlak
FiqJVi zullen weldra de

binnenwaarts gele-
gen deelen een groo-
terdruk ondervinden
dan de buitenwaarts
gelegene. De blij-
vende drukverdee-
ling treedt dan in,
als de slijting overal
dezelfde is, en dit
\\* is het geval als de

v±\'

drukkingen op ver-

¹ schillende punten
van het schroefvlak
omgekeerd even-
redig zijn met de
snelheden waarmede
die punten zich be-
wegen. Een zeer
smal strookje met
den straal o -f- A be-
schreven, zal dan een
even grooten druk
ondervinden als een even smal strookje met den straal o A
beschreven, en voor de verdeeling van den druk is het dus
hetzelfde alsof de geheele druk wordt uitgeoefend op den
cirkel met den straal n.

De hoek, dien deze gemiddelde schroeflijn met den horizon
maakt, kan onmiddellijk uit vergelijking (104) worden be-
paald, en zal als gegeven worden aangenomen. In eenig
punt P van de gemiddelde schroeflijn wordt door de moer
aan de schroef een weerstand geboden, die ontbonden kan
woiden in den normalen weerstand N en den wrijvings-

-ocr page 243-



		\'231

		weerstand fN. De normale weerstand werkt langs de doorsnede van twee vlakken, het eene loodrecht op de ge- middelde schroeflijn, het andere een verticaal raakvlak aan den cilinder, waarop de gemiddelde schroeflijn ligt. Deze lijn maakt dus een hoek a met de verticale as der schroef. De wrijvingsweerstand fN werkt in de richting van de raaklijn aan de gemiddelde schroeflijn naar beneden, en maakt derhalve een hoek Fig /4J a met den horizon. Daar een werkelijk glijden plaats ;___ë____i heeft, zoo maakt de lijn, waarlangs de totale weer- stand W werkt, een hoek qp met de normaal, en dus een hoek d -f- qp met de verticaal. Hetzelfde geldt van de weerstanden in alle andere aanrakings- punten. Het moment van den weerstand W ten opzichte van de as der schroef verkrijgt men door zijn horizontale ontbindings- kracht W sin (a qp) met den hefboomsarm q (fig. 146) te vermenigvuldigen. Is de draaiende ontbin- fi dingsbeweging der schroef eenparig, dan moet de som der momenten ten opzichte van de draaiingsas gelijk nul zijn; men heeft dus: KI 2 [W_Q sin (« <p)] = 0. De verticale ontbindingskracht van W is W cos (et -j- qp). Is de rechtlijnige ontbindingsbeweging der schroef eenparig, dan moet de som der ontbindingskrachten in de richting der as gelijk nul zijn, en dus: L -- 2 [TTcos («. qp)] = 0.

-ocr page 244-

- &

232

7_t

In deze twee vergelijkingen kunnen de standvastige fac-
toren q sin (« -|- qp) en cos (a -|- qp) voor het somteeken
worden gebracht. Daardoor gaan deze vergelijkingen over in:

Kl=Qs\\n(a v)2;(W)
L= cos (« qp) Z(W).

Deelt men de eerste vergelijking door de tweede, dan
verkrijgt men:

KI = Lq tang (« qp). (105)

Legt het aangrijpingspunt van den nuttigen weerstand L
den weg s af, dan legt het aangrijpingspunt van de beweeg-
kracht den weg Inl af. Het quotiënt p, waardoor het
nuttig effect van de schroef met vlakken gang wordt ge-
meten, is dus:

K.lnl

P =

2 n q tg (« qp) \'

of daar volgens vergelijking (104) _ö-----= tang a

2 71 n

tg«

(106)

P =

tg (« <f)

Vervangt men in vergelijking (105) qp door qp, dan

verkiijgt men de even-

JFÏ&140.

wichtsvergelijking voor de
beweging in tegengestel-
den zin, waarbij dus de
schroef met eenparige be-
weging daalt. In dit ge-
val toch werkt de wrij-
vingsweerstand in tegen-
gestelden zin, en de lijn
waarlangs de weerstand
W werkt, maakt dus
den hoek a qp met
de verticaal. Voor dit
geval is:

W8UV(Z <p)

KI = Lq tg (« qp)

(107)
I I ,

u»*!»

-ocr page 245-



		de grootte van het moment der kracht, welke noodig is om te verhinderen, dat de schroef een versnelde beweging naar beneden verkrijgt. Is « = qp dan is KI = 0, dat is, als de hellingshoek der gemiddelde schroeflijn gelijk is aan den wrijvingshoek, dan is er geen kracht noodig om de naar beneden gerichte beweging der schroef eenparig te doen zijn, hoe groot ook de last L is. Is « kleiner dan qp, dan wordt KI negatief, dat is, om de benedenwaarts gerichte bewe- ging van de schroef eenparig te doen zijn, moet het moment van de kracht negatief zijn, moet de kracht dus werken in den zin der draaiing. De evenwichtsvergelijking voor de schroef met vlakken gang is dus: Kl= Ln tang (« ± qp) (108) waarin het bovenste teeken geldt voor de stijgende, het onderste voor de dalende beweging der schroef. De vergelijking (108) geldt ook dan wanneer de schroef in rust is, en geeft dus de grenswaarden aan, welke het moment der kracht niet kan overschrijden, zonder dat de in rust zijnde schroef naar den eenen of naar den anderen kant in beweging komt. Ook dan nog blijft vergelijking (108) geldig als de schroef vast is, en de krachten K en L op de beweeglijke schroef- moer werken. § 78. Schroef met scherpen gang. De schroef met scherpen gang (fig. 147) verschilt daarin van de schroef met vlakken gang. dat de doorsnede van den band om den cilinder langs de schroeflijn gewonden met een door de as gebracht vlak niet een rechthoek, maar een ge- lijkbeenige driehoek is (fig. 148). De kracht vereischt om de schroef met eenparige beweging te doen stijgen en daarbij den in de richting der schroefas naar beneden werkenden weerstand L te overwinnen, wordt bij benadering verkregen door in vergelijking (105) den wrijvingshoek qp te vervangen door i/i den wrijvingshoek voor gleuven. Dit kan op de volgende wijze worden aangetoond. Op de schroef werken behalve de krachten K en L nog

-ocr page 246-

234

in ieder punt de totale weerstand W, die ontbonden kan

worden in den normalen weerstand N en in den wrijvings-
vveerstand fN.

Zij P (iig. 149) een punt van de gemiddelde schroeflijn

FUj.l\',7.

en CB een der zijden van den gelijkbeenigen driehoek, die
de doorsnede is van den om den cilinder gewonden band
met het vlak van teekening, waarin

FUf 14S.

ook de schroefas ligt; de lijn BC

maakt den hoek S met de verticaal.

Brengt men door P een raakvlak
ZP Y aan den cilinder, waarop de ge-
middelde schroeflijn ligt, dan snijdt de
as PX de schroefas. De in het vlak
YZ gelegen 1 aaklijn li i?,, in P aan de
schroeflijn getrokken, maakt den hoek «
met de horizontale lijn P Y. De normaal
in P, die loodrecht staat op de raak-
lijn BR_t en op de lijn CB, is derhalve de doorsnede van

-ocr page 247-



		235

		twee vlakken, het vlak DPY, loodrecht staande op C5, en dat dus den hoek ii maakt met de horizontale lijn P X, en het vlak EPX, loodrecht staande op de raaklijn RR_l, en dat dus den hoek a maakt met de verticale lijn P Z.

		*Fuj /i&*

		Noemt men de hoeken, die de normaal PN maakt met de drie coördinatenassen, A, 11, <\', dan geeft de figuur de volgende betrekkingen aan: PN cos /. = PA = PD cos üi = PN sin p cos <> PNcos i* = PF = PEsmcc = PiVsin /. sin « PN cos i> FG = PE cos « 8= PN sin A cos « of cos /. = sin ,« cos 8 cos f* = sin ?. sin « cos f = sin ?- cos «.

-ocr page 248-

2.16

Brengt men de eerste twee vergelijkingen in het kwadraat
en neemt men de som cos ²A -)- sin ²A = 1, dan is:

cos u

sin ^%u cos \'ⁱS -|----.* = 1

sin ^a

sin ¹a cos *<J cos ²,u sin ²« cos ²d -|- cos ²<i = sin ²a
cos ²_|(i (1 sin ²« cos ²ö) = sin ²a (1 cos ²8)

sin « sin 5
cos u =

l/l sin ²a cos ²d\'

Hieruit kan men nu verder cos X en cos v vinden, en
men verkrijgt dan :

cos « cos 8 sin t sin 8

COS A = 

l/l sin ²« cos ²d~ V 1 sin ²« cos ²<>

cos « sin 8

cos e =

1/1 sin ²« cos ²8

Ontbindt men nu (fig. 150) N en fN langs de drie
coördinatenassen, dan verkrijgt men voor de sommen der
ontbindingskrachten:

langs de X-as N cos A

langs de F-as N cos ft fN cos «

langs de Z-as N ma v fNslna.

De evenwichtsvergelijkingen worden dan:

2\' [ N cos u /"JVcos oc~\\_Q Kl=Q

2[ Ncosv fNsma] L=0

of na substitutie der gevonden waarden voor cos u en cos v.

KI F sin« sin 8 . -\\ _ ,_r

-----= I = (- tg qp cos « I .£ A

? ^L l/l sin ²« cos ²(S J

_r [ cos a sin o , 1 _

^Z ⁼ L ~~7a 2~~ =F, ^ V ^Sln « ^

^u v/l sin \'a cos \'o ^J

Deelt men deze vergelijkingen op elkander, deelt men daarna

teller en noemer door cos « sin 8, en stelt men -¥-*L = tg ii»,

sin o

dan vindt men:

-ocr page 249-

f-f

ij~

\'237

tg«

tgy

KI v/4 sin \'^la cos ²ö

tg v tg «

l/l sin ²« cos ²ü"

Daar nu in den regel « zeer klein is en 3 weinig van
90° verschilt, zijn sin « en cos 8 beide klein, zoodat het

Fig tSO.

ZHeoa %

kwadraat van hun product mag verwaarloosd worden, waar-
door men verkrijgt:

^% 1tgcctgif)
of K l = L _Q tg (« y). (109)

Deze vergelijking is dezelfde als vergelijking (105), als

-ocr page 250-



		238

		men in deze laatste den wrijvingshoek q> vervangt door t/>, den wrijvingshoek bij gleuven. Alle gevolgtrekkingen uit vergelijking (105) gelden dus ook voor vergelijking (109). Het quotiënt p, waardoor het nuttig effect van de schroef met scherpen gang wordt gemeten, is dus: p-_t ~~,^tgl~~ _v (HO) Daar t/i grooter is dan qp, zoo is onder overigens gelijke omstandigheden het nuttig effect bij de schroef met scherpen gang steeds kleiner dan bij de schroef met vlakken gang. Deze laatste verdient dus de voorkeur, wanneer de schroef tot het voortbrengen van beweging moet worden aangewend. Vervangt men in vergelijking (109) ip door ift, dan is Kl= L o tg (« ip) het moment van de kracht, vereischt om een teruggaande beweging van de schroef met scherpen gang te verhinderen. Moet zulk een teruggaande beweging door den wrijvings- weerstand alleen reeds verhinderd worden, dan moet « ge- lijk of kleiner zijn dan ui. Bij een schroef met vlakken gang zou de teruggaande beweging reeds bij een kleineren hellingshoek « = qp plaats grijpen. Hieruit volgt, dat in die gevallen, waar men zekerheid moet hebben dat de schroef niet van zelf terugwijkt, dat is in die gevallen, waar de schroef als middel van bevesti- ging dient, bij gelijken hellingshoek de schroef met scherpen gang beter aan haar doel voldoet dan de schroef met vlakken gang. Vandaar dat houtschroeven steeds schroeven met scherpen gang zijn. § 79. Riem zonder eind. Ten slotte zal nog behandeld worden de riem zonder eind, ook wel drijfriem genoemd, een inrichting, waarvan zeer dikwijls gebruik wordt gemaakt om een kracht, op eenig deel van een werktuig aangrijpende, op een ander deel over te dragen. A en B (fig. 151) zijn twee cilinders of trommels om assen draaibaar, om welke trommels een riem zonder eind

-ocr page 251-



		t>:)9

		is aangebracht. Er wordt verondersteld dat op de as van den trommel A , de drijfas genoemd, krachten werken , die haar een eenparige draaiende beweging mededeelen. Op de as van den trommel B, de gedreven as, grijpt de nuttige weerstand L aan : er wordt gevraagd , hoe groot de spanning

		van den riem minstens zijn moet, opdat ook de gedreven as een eenparige draaiende beweging verkrijge, en de aan den hefboomsarm y werkende weerstand L overwonnen worde. Is het moment van den weerstand L zoo groot dat de gedreven as in rust blijft, dan zal bij het ronddraaien van de drijfas óf de riem door den trommel A worden medege- nomen en over den trommel B heenglijden, of de trommel A onder den in rust blij venden riem doordraaien. Een glijden heeft daarbij steeds plaats langs den omtrek van den kleinsten der beide trommels. Volgens vergelijking (86\\ toch is de wrijvingsweerstand W\'= P (e 1), als P is de spanning in dat deel van den riem , waarin die spanning het kleinst is, en « de hoek omspannen door den boog, waarlangs riem en trommel elkander aanraken. Die hoek, en dus de wrijvingsweerstand, is het kleinst aan den omtrek van den kleinsten trommel Is derhalve de trommel B het kleinst, dan zal de riem over dien trommel heenglijden. Is de trommel A het kleinst, dan zal die trommel onder den riem doordraaien zonder hem mede te nemen. Hierbij

-ocr page 252-



	\'240

	wordt verondersteld dat de wrijvingscoëfficienten voor beide trommels dezelfde zijn. Eerst wordt aangenomen dat de trommel B de kleinste is. Men kan zich voor-

		*Firj 152*
stellen, dat de weer- stand wordt voortge- bracht door een gewicht L. dat aan een om een cilinder met den straal q gewonden draad hangt, en bij het ronddraaien der as wordt opge- wonden. Is dit ge- wicht door een vast vlak ondersteund (fig. 152) en is de spanning aanvankelijk zoo klein, dat de met den trom- mel A rondloopende riem over den trommel B heenglijdt, dan moet volgens vergelijking (88) tusschen de spanningen K en P in de beide deelen van den riem de betrekking bestaan: K=Pe^fa. De aan den omtrek van den trommel B werkende wrijvings- weerstand is dan steeds: K P = P{/^U 1). (111) Laat men nu de spanning van den riem allengs grooter worden bijv. door drukkrachten, die de tappannen van de twee assen van elkander verwijderen dan zal omdat P grooter wordt, ook de wrijvingsweerstand P(e 1) grooter worden. Volgens vergelijking (89) blijft de as B in rust, zoolang het moment Pr (e 1) van den wrijvings- weerstand kleiner is dan het moment L (i van den weer- stand L. Eerst op het oogenblik dat: L_Q = Pr{ef" \\) (112) begint de as B te draaien, en wordt het gewicht L opgeheven.

-ocr page 253-

241

Zoodra de snelheid van eenig punt op den omtrek van den
trommel B gelijk geworden is aan de snelheid van eenig
punt van den riem, houdt het glijden op, en de draaiende
beweging van de gedreven as wordt eenparig.

Daar de wrijvingsweerstand steeds slechts voor zooverre
wordt te voorschijn geroepen, als noodig is om de beweging
van den riem ten opzichte van den trommel te beletten, zoo
zal bij liet nog grooter worden der spanning de wrijvings-
weerstand niet meer toenemen; en daar volgens vergelijking
(86) steeds W=KP is, zoo zal bij het verder toe-
nemen van de spanning, die vermeerdering zich gelijkelijk
over de beide einden van den riem verdeelen. Noemt men
K₀ en P₀ de uit de vergelijkingen (111) en (112) voort-

vloeiende waarden van K en P, dan heeft men


	en P =	P A.
	en K	fa , e\'
		*r f_a*

De waarden:

^mK^ⁿr-^r-_x <⁴¹⁴>

*- ^£v;7vr<⁴¹³⁾

zijn dus de onderste grenswaarden voor de spanningen, die
gedurende de beweging in de twee deelen van den riem
voorhanden moeten zijn. Komen de assen tot rust, dan
houdt het verschil in spanning op, en de riem is nu over
haar geheele lengte gelijkmatig gespannen. Voor de span-
ning die de riem dan heeft, mag bij benadering genomen
worden de rekenkundig middenevenredige van de grootste
en de kleinste spanning gedurende de beweging. Derhalve is:

_s_Ko P₀___ L (, e\'" 4-1 .,._

e\' 1
de onderste grenswaarde van de spanning, welke de riem
voor het begin der beweging moet hebben.

Wordt in de tweede plaats aangenomen, dat de trom-
rael A de kleinste is (fig. 153), dan zal bij te geringe
spanning van den riem de trommel A onder den riem door-
draaien zonder hem mede te nemen. Tusschen de span-
ningen K en P bestaat alsdan de betrekking:

K=*P»f^at

Dr. Julius, Mechanica. \\Q

-ocr page 254-



		242

		en eerst dan als de spanning zoozeer is vergroot, dat L_Q = Pr(ef^ui l), zal de riem door den trommel worden medegenomen, en zal de last L worden opgewonden. Deze vergelijking verschilt slechts daarin met vergelijking (112) dat « vervangen is door a_t. Die vergelijking en de daaruit afgeleide vergelijkingen zijn dus algemeen geldig, mits men voor « steeds den kleinsten der beide hoeken neemt. Is de weerstand L niet rechtstreeks gegeven, maar in Fig 133.

		plaats daarvan de arbeidssnelheid en de ronddraaiingssnel- heid van de as B, dan kan men de gegeven arbeidssnelheid gelijkstellen aan de berekende. Is bijv. n het aantal omwentelingen in de minuut en N het aantal paardekrachten van de arbeidssnelheid, dan heeft men : L . 2 no £: = N. 736. Het hieruit berekende moment van den weerstand: iVT.60.736

		n . 2rr moet dan in vergelijking (115) gesubstitueerd worden.

-ocr page 255-



		243

		Is bijv. JV=2, w = 80, r = 0,4, u = n, en f = 0,28, dan wordt het moment van den weerstand: _ 2.60.736 ,_ ^Zg= ~~80.2.3,14~~ ⁼¹⁷⁵\'⁸- Door substitutie van deze waarde in vergelijking (145), verkrijgt men als benedenste grenswaarde van de vereischte gemiddelde spanning: 475 8 e⁰\'²⁸"³\'¹^! ^S = TO ~~[o,28.3,14_,~~ - ⁵³¹\'⁴⁵ ^ee"^heden- Volgens de vergelijkingen (113) en (414) zijn dan ge- durende de beweging de spanningen in de twee deelen van den riem: ^P = fwI^T) ⁼ ³¹¹\'^70eenheden- ^=o^4^) = ⁷⁵¹\'^20eenhed-- ef^a i 2 Daar ,X_ = 1 4- ö-------- is, wordt de waarde van /« A /« A e\' 1 e\' 1 S kleiner wanneer f grooter wordt. Daar de gespannen riem de assen tegen de tappannen drukt, waardoor de wrijvingsweerstand vergroot wordt, zoo is het voordeelig de spanning zoo klein mogelijk te maken. Men kan daartoe van gleuven gebruik maken. Brengt men namelijk langs den omtrek der schijven gleuven aan,\' en vervangt men den vlakken riem door een rond koord, dan verkrijgt men de waarden der in dit geval vereischte spanningen door in bovenstaande vergelijkingen den wrijvingscoëfficient f te ver- f vangen door , = t»* , den wrijvingscoëfficient voor gleuven.

		16*

-ocr page 256-



		DERDE AFDEELING. DYNAMICA OF LEKR DER BEWEGING VAN EEN NIET IN EVEN- WICHTSTOESTAND VERKEEREND ABSOLUUT VAST LICHAAM.

		HOOFDSTUK XI. Algemeene stellingen. ^ 80. Werking van de inwendige krachten. Als op twee stoffelijke punten , deel uitmakende van een vast lichaam, twee krachten K en K_l
		*Füj 15\'f*
		wei ken langs de lijn AB die de pun-

		ten verbindt, als bovendien K en TT, even groot en onderling tegen- gesteld gericht zijn, dan is de som van de arbeiden door deze krachten bij elke willekeurige voortgaande beweging verricht gelijk nul. Zij toch A_x B_t (fig. 454) de lijn die de punten in hun nieuwen stand verbindt, dan is A_l B_{ evenwijdig aan A B. De kracht K heeft den arbeid Ks, de kracht K. den arbeid -\\- K_{ s verricht. De som dier arbeiden is nul. Hetzelfde geldt voor een zoo- danige beweging van het lichaam, waarbij de lijn AB om een harer uiteinden draait. Bij deze draaiing toch verricht de in het vaste punt A (fig. 455) aangrijpende kracht K arbeid nul, wegens de onbeweeglijkheid van haar aan-

-ocr page 257-



		245

		grijpingspunt, en de in het punt B aangrijpende kracht K_tverricht den arbeid nul, omdat de lijn waarlangs zij werkt, steeds loodrecht staat op de baan door B doorloopen. Welke ook de beweging zij van een lichaam, men kan haar steeds voor een willekeurig tijdsverloop ontbinden in een voortgaande beweging en in een draaiende beweging om het punt A. Het is klaarblijkelijk dat de arbeid, door een kracht ver- richt bij de werkelijke

		beweging van haar aan- grijpingspunt, gelijk is aan de som der arbeiden door die kracht verricht bij de ontbindingsbewegingen van haar aangrijpings- punt. Daar nu voor elk der beide ontbindingsbe- wegingen de som der ar- beiden door K en K. verricht gelijk is aan nul, zoo is dit ook het geval voor de werkelijke. dus voor elke willekeurige be- weging van het lichaam. Ook dan nog geldt deze stelling, indien gedurende de beweging de krachten K en K_t van grootte veranderen. In dit geval toch kan de geheele duur der beweging verdeeld worden in deelen die zoo klein zijn, dat gedurende zulk een tijddeel de krachten als standvastig mogen beschouwd worden. Voor elk afzonderlijk tijddeel is de stelling reeds bewezen; zij moet derhalve ook gelden voor de som van alle tijddeelen, d. i. voor den geheelen duur der beweging. Volgens de wet van werking en terugweiking zijn de in een stelsel van stoffelijke punten wei-kende inwendige krachten twee aan twee even groot en onderling tegengesteld gericht. Daar tevens, zooals in § 36 is verklaard, bij een absoluut vast lichaam deze inwendige krachten steeds die grootte

-ocr page 258-



		246

		hebben , welke noodig is om de punten op onveranderde af- standen te houden, zoo volgt uit de boven bewezen stelling, dat bij een absoluut vast lichaam de som der arbeiden door de inwendige krachten verricht steeds nul is, hoe ook de beweging van het lichaam moge zijn, en hoe ook de inwen- dige krachten gedurende de beweging mogen veranderen. § 81. Behoud van arbeidsvermogen. Wanneer op eenig stoffelijk punt P van een absoluut vast lichaam een uitwendige kracht K werkt, dan zal de be- weging van dat punt in het algemeen verschillen van die, welke het volkomen vrije punt onder de werking van de kracht K zou verkrijgen. Het eene stoffelijk punt toch kan niet in beweging worden gebracht, zonder dat de overige punten eveneens in beweging geraken, en een verandering in zijn bewegingstoestand is in het algemeen onafscheidelijk verbonden met veranderingen in de bewegingstoestanden der overige punten. De kracht die op het punt P blijkens zijn beweging werkt, is dus de resultante van de kracht K en van de inwendige krachten, die den afstand van P tot de overige punten onveranderd houden. Het optreden van uitwendige krachten heeft derhalve steeds het in werking komen van inwendige krachten ten gevolge, wier grootten van de uitwendige krachten afhangen. Kent men K, de resultante der uitwendige op P aan- grijpende krachten, en , de resultante der inwendige * krachten t, , »₂, i₃ . . . . door de overige punten van het lichaam op P uitgeoefend, dan kan de beweging van P worden be- paald met behulp van de in § 18 voor een enkel stoffelijk punt bewezen stelling omtrent het behoud van arbeidsvermogen. Noemt men \'H den door de kracht K, en il den door de kracht I gedurende de beweging verrichten arbeid, is het arbeidsvermogen van beweging van het punt P bij het begin, en -= dat aan het einde der beweging, dan is volgens vergelijking (15): m v\'¹ me¹ _a, . "2-------_r-« a.

-ocr page 259-



		247

		Stelt men deze vergelijking op voor elk der andere punten van het lichaam, en telt men de gevonden vergelijkingen bij elkander op, dan verkrijgt men: (^)- ^) = () 2;(«). In deze vergelijking beteekent 2\' (a) de som der arbeiden door alle inwendige krachten verricht, welke som volgens de in de vorige paragraaf bewezen stelling steeds nul is. Men heeft dus: 2 (£)-2 (^m <?) = (»). (116) De grootheid 2 (31) beteekent de som der arbeiden door- de gegeven uitwendige krachten K verricht, de grootheid (Mg fL\\* jr J de som van het arbeidsvermogen van beweging van alle afzonderlijke punten bij het begin, .2" l- I de som van het arbeidsvermogen van beweging van alle af- zonderlijke punten aan het einde der beweging. Uit boven- staande vergelijking blijkt dus, dat de vroeger voor het stoffelijk punt gevonden wet van het behoud van arbeids- vermogen ook geldt voor een absoluut vast lichaam. Indien de uitwendige op een lichaam werkende krachten den arbeid A eenheden verricht hebben, en het arbeids- vermogen van plaats van het lichaam dus met A eenheden is verminderd, dan is het arbeidsvermogen van beweging van het lichaam met A eenheden toegenomen. § 82. Beginsel der virtueele verplaatsingen. De som der arbeiden door de inwendige krachten ver- richt, is zooals boven is aangetoond steeds nul. Werken dus op de punten waaruit een lichaam bestaat, alleen in- wendige krachten, dan is bij elke mogelijke beweging de vermeerdering van het arbeidsvermogen van beweging van het lichaam gelijk nul. Gaat nu op dit lichaam een stel uit- wendige krachten werken, die in evenwicht zijn, dan verandert daardoor de beweging van het lichaam niet. Ook dan nog

-ocr page 260-



		248

		is de vermeerdering van het arbeidsvermogen van beweging van het lichaam gelijk nul, en dus ook volgens vergelijking (116) de som der arbeiden door de uitwendige krachten verricht. Men kan bewijzen, dat in het algemeen elk stel uit- wendige krachten vervangen kan worden door een kracht R en door een koppel M, werkende in een vlak loodrecht op de lijn, waarlangs R werkt. In bijzondere gevallen kan óf het moment van M, of de grootte van R nul zijn; zijn beide nul. dan zijn de krachten met elkander in evenwicht. Wanneer nu het lichaam gedraaid wordt om de lijn, waar- langs R werkt, en dus om de koppelas, dan kan de som der arbeiden door de uitwendige krachten verricht, niet nul wezen, tenzij het moment van M nul is; wanneer het lichaam verschoven wordt langs de koppelas, dan kan de som der arbeiden niet nul zijn, tenzij de grootte van R nul is. Indien derhalve op een lichaam een stel uitwendige krachten weiken, en indien bij elke mogelijke verplaatsing de som van de arbeiden door de uitwendige krachten ver- richt nul is, dan zijn die krachten met elkander in even- wicht. De toepassing van de wet van het behoud van arbeids- vermogen op het bijzonder geval dat de uitwendige krachten in evenwicht zijn, voert dus tot de volgende algemeene stelling: Wanneer de op een absoluut vast lichaam werkende uitwendige krachten in evenwicht zijn, dan is bij elke mogelijke beweging van het lichaam de som der arbeiden door de uitwendige krachten bij een oneindig kleine verplaat- sing der aangrijpingspunten verricht gelijk nul. En omgekeerd: Wanneer voor elke mogelijke beweging deze voorwaarde is vervuld, dan zijn de uitwendige krachten in evenwicht. De toevoeging »bij een oneindig kleine verplaatsing der aangrijpingspunten" is noodig, omdat in het algemeen bij de beweging van het lichaam, de stand der lijnen, waar- langs de krachten werken, verandert ten opzichte van het lichaam. Deze stelling wordt het »beginsel der virtueele verplaat- singen" genoemd.

-ocr page 261-



		249

		Bij een voortgaande beweging van het lichaam, wordt de som der arbeiden door de uitwendige krachten bij een oneindig kleine verplaatsing harer aangrijpingspunten ver- richt, verkregen door den afgelegden weg te vermenigvuldigen met de som der ontbindingskrachten in de richting der beweging. Bij een draaiing van het lichaam verkrijgt men deze volgens § 19 door den oneindig kleinen draaiingshoek te vermenigvuldigen met de som der momenten van alle krachten ten opzichte van de draaiingsas. Daar beide som- men nul moeten zijn, zoo blijkt dat men de twee in § 43 gevonden evenwichtsvergelijkingen onmiddellijk uit het be- ginsel der virtueele verplaatsingen kan afleiden. § 83. Beginsel van d\'Alembert. Indien een lichaam in beweging is, dan is de op eenig punt blijkens zijn beweging werkende kracht Q, de resul- tante van de gegeven uitwendige kracht K en de onbe- kende inwendige kracht I, welke van het verband van dit punt met de overige punten van het lichaam afhangt. Is m de massa en q de deviatieversnelling van het punt, dan is steeds Q = mq. Indien op het punt nog bovendien ging werken een kracht Q\' even groot als Q, maar in tegen- gestelde richting, dan zouden de krachten Q\', K en / in evenwicht zijn. Hetzelfde heeft plaats in elk der andere punten van het lichaam. Daar het stelsel inwendige krach- ten I op zich zelf in evenwicht is, zoo zullen ook de krach- ten K en Q\' in evenwicht zijn. Wanneer dus op elk punt van een lichaam een kracht Q\' gaat werken, even groot als de kracht die op dat punt blijkens zijn beweging werkt, maar in tegengestelde rich- ting, dan zullen de krachten Q\' en de uitwendige krach- ten K in evenwicht zijn. Deze stelling wordt het beginsel van d\'Alembert genoemd. De algemeene evenwichtsvergelijkingen kunnen derhalve worden toegepast om de onbekende krachten mq, en daar- mede de onbekende deviatieversnellingen der afzonderlijke stoffelijke punten te bepalen. Evenals de wet van het behoud van arbeidsvermogen in den bijzonderen vorm van het beginsel der virtueele ver-

-ocr page 262-



		250

		plaatsingen kan worden gebruikt om de evenwichtsverge- lijkingen af te leiden uit de wetten der bewegingsleer, zoo kunnen omgekeerd door middel van het hier gevonden be- ginsel van d\'Alf.mbert, de wetten der bewegingsleer wor- den teruggebracht tot de reeds in de vorige afdeeling ge- vonden even wichtsvergelijkingen.

		HOOFDSTUK XII. Senparige draaiende beweging van een lichaam om een vaste as. § 84. Arbeidsvermogen van beweging van een ronddraaiend lichaam. Traagheidsmoment. Het arbeidsvermogen van beweging van een lichaam is gelijk aan de som der grootheden die het arbeidsvermogen van beweging van elk der punten voorstellen. Is m de massa en v de snelheid van eenig punt, dan is het arbeids- vermogen van beweging van het lichaam: Is de beweging van het lichaam een voortgaande, dan is de snelheid van alle punten even groot; v kan dan voor het somteeken gebracht worden, of: Wanneer de beweging van het lichaam in een draaiing om een as 0 bestaat, en o> de hoeksnelheid is, dan is de lijnsnelheid van een punt, dat zich op den afstand o van de as bevindt: *V = 0(0.* Stelt men deze waarde van v in bovenstaande uitdrukking van het arbeidsvermogen van beweging, dan verkrijgt men:

-ocr page 263-



		251

		of daar w voor alle punten dezelfde waarde heeft: A -^- £y mg¹). De uitdrukking Z(mo²) beteekent de som der producten van alle afzonderlijke massadeelen van het lichaam met de .vierkanten van hun afstanden tot de as. De waarde er van is de maat van wat men noemt het traagheidsmoment van het lichaam ten opzichte van die as. Stelt men het traagheidsmoment van het lichaam ten opzichte van de as 0 voor door T₀, dan is dus: *T₀ = Z (mf).* Voor het arbeidsvermogen van beweging van een lichaam, dat met een hoeksnelheid w draait om de as 0, vindt men dan : A = ££-, (117) Om de wet van het behoud van arbeidsvermogen bij de draaiende beweging van een lichaam te kunnen toepassen, moet eerst het traagheidsmoment van het lichaam ten op- zichte van de draaiingsas worden berekend. § 85. Traagheidsmoment, gereduceerde massa, traagheid.s straal. Indien de afzonderlijke massadeelen van het lichaam alle op denzelfden afstand van de draaiingsas O liggen, dan kan in de uitdrukking voor het traagheidsmoment de standvastige grootheid o voor het somteeken gebracht worden, waardoor men verkrijgt: T₀ = 2(m_Qⁱ) = i>ⁱ2:(m). of, de geheele massa van het lichaam ,u noemende: T₀=u»\\ (118) Het traagheidsmoment van een ring of hollen cilinder met oneindig kleine wanddikte ten opzichte van zijn meet- kundige as, is dus gelijk aan het product van zijn massa en het vierkant van zijn straal.

-ocr page 264-



		\'252

		Het traagheidsmoment van een willekeurig lichaam kan als gevonden worden beschouwd, zoodra de massa f* bekend is, die een ring met den gegeven straal q zou moeten heb- ben, opdat zijn traagheidsmoment gelijk zij aan dat van het gegeven lichaam. Deze massa u noemt men de op den straal q gereduceerde massa van het lichaam. De grootte der gereduceerde massa hangt af van de grootte van den aangenomen straal n. Daar het product ,ay² als traagheids- moment van het lichaam een bepaald, standvastig getal is, zoo komt met elke waarde van o een bepaalde waarde van ii overeen. Die waarde van o, voor welke de gereduceerde massa ,n gelijk is aan de werkelijke massa van het lichaam, wordt de traagheidsstraal van het lichaam genoemd. Stelt men o = 1 dan wordt T₀ = u; het traagheidsmoment stelt dus de op den straal één meter gereduceerde massa van het lichaam voor. Cilinder. Indien een cirkel met den straal R gelijkmatig met massa is bedekt, en / de massa op de vlakte-eenheid is, dan is de geheele massa van den cirkel: M=yuR-. (119) Verdeelt men den cirkel in concentrische ringen met de oneindig kleine wanddikte A, dan is de massa m van zulk een ring met den straal x: en zijn traagheidsmoment ten opzichte van de as O volgens vergelijking (118): mx¹ = 2 7! yx¹ A. Het traagheidsmoment van den cirkel is gelijk aan de som der traagheidsmomenten van alle afzonderlijke ringen, en dus: = R T = 1ny Zx^s &. (120) r = o* In deze vergelijkingen drukt het somteeken uit, dat voor

-ocr page 265-

253

x achtereenvolgens waarden a\'.= A, a- = 2 A , x = 3 A tot
^=K A gesubstitueerd, en daarna alle op deze wijze ver-
kregen producten a:³A bij elkander opgeteld moeten worden.
Om deze som te bepalen kan men zich voorstellen, dat
een vierhoekige pyramide ABC (fig. "156). wier grondvlak

A B een vierkant met de zijde R,

Fujl50

en wier hoogte eveneens R is,

in lagen met de oneindig kleine
dikte A verdeeld is door vlakken
evenwijdig aan het grondvlak.

Volgens de vergelijkingen van
het zwaartepunt is het moment
van den inhoud I der pyramide
ten opzichte van een vlak even-
wijdig aan het grondvlak door
den top C gebracht, gelijk aan
de som der momenten van de
afzonderlijke lagen, en dus:

Ix₀ = X (ix).

Substitueert men hierin de waarden :

x_u - R en i = x\'¹ A ,

dan vindt men:

X 11 Dj |

X = O

Stelt men deze waarde in vergelijking (120"), dan wordt:

T₀ = y 7i

(121)

of na substitutie van de in vergelijking (119) gevonden
waarde ynR^ M:

MR²

(122)

-ocr page 266-



		254

		De op den straal <j gereduceerde massa van den cirkel vindt men door gelijkstelling der beide uitdrukkingen : , MR¹ Stelt men in deze vergelijking o = R, dan verkrijgt men voor de op den straal R gereduceerde massa van den cirkel de waarde: M Stelt men ,u = M, dan verkrijgt men voor den traagheids- straal van den cirkel: R o = -. V-I Bovenstaande vergelijkingen gelden niet slechts voor een cirkel, maar ook voor een oneindig dunne cirkelvormige schijf; slechts beteekent dan y de massa in de cubieke eenheid. Ook voor een cilinder met de willekeurige hoogte h gelden deze vergelijkingen. Verdeelt men toch den cilinder door vlakken evenwijdig aan het grondvlak in schijfjes met de oneindig kleine dikte A, dan is de massa van zulk een mR^% schijfje m = y n R"¹ A en het traagheidsmoment ^r = A. Het traagheidsmoment van den cilinder is dus: _ynR* ynR\'h of daar de massa is M = yn R²h _T MR* ^la 2 \' Om hel traagheidsmoment te bepalen van een hollen cilinder, welks binnenste straal r, en welks buitenste straal R is, moet men hem beschouwen als het verschil van twee cilinders, en derhalve het traagheidsmoment van den binnen- sten ontbrekenden cilinder van dat des geheelen cilinders

-ocr page 267-

\'255

aftrekken. Volgens vergelijking (119) is het verschil dei-
massa\'s of de massa van den hollen cilinder :

M=yn(R² r²).

Voor het traagheidsmoment vindt men volgens verge-
lijking (121):

r.= yn2---\'

Deelt men deze vergelijking door de voorgaande, dan wordt:

Rechte stang en rechthoekige plaat.

Wanneer een massa gelijkmatig is verdeeld over een

rechte lijn, in dier

Fi<jJ37

voege dat elkelengte-

eenheid de massa /
bevat, dan is de
massa van de lijn
AB(üg. 157), wier
lengte l metei\'s is:

M = /l.

Verdeelt men de
lijn in oneindig kleine
stukken A, dan is
de massa m van
zulk een deeltje:

m y X

en het traagheidsmoment ten opzichte van de as OO_t van
een deeltje op den afstand x dier as gelegen:
mx^l = yXx²,

of \'X vervangende door

sin «

mx² = ^ x\'¹ A.

sin«

Het traagheidsmoment van de stang AB is gelijk aan

-ocr page 268-

256

de som der traagheidsmomenten van alle oneindig kleine
deeltjes, en dus:

x = R
ï^,= J£(x^% A). (122)

*=s li
De uitdrukking £ (x² A) beteeken t. dat men de lijn B C = R

X O

moet verdeelen in de oneindig kleine deelen A, en de som
moet nemen van alle producten aj*A, die men verkrijgt, als

men aan x achtereenvolgens de waarden A , 2A___«A = R

geeft. Om de waarde van deze som te bepalen, kan men
opmerken, dat zij den inhoud voorstelt van de pyramide in
fig. 156, of ook het moment van den in dezelfde figuur
voorkomenden driehoek ABC, welke de projectie der pyra-
mide is. Men heeft dus:

X = E n]

v(*>A) «

X O ^ö

of daar R = l sin u is:

1 (x² A) = ^v ^/ .

X = O

Substitueert men deze waarde in vergelijking (122), dan
wordt:

_ _;(7sina)^2
J° ^/l 3

of daar yl=M is

_To=M(l*^ ₍₁₂₃₎

De traagheidsstraal der stang heeft de waarde

W \' ^l

en de op den straal R= Jsina, of de op het eindpunt B
gereduceerde massa is:

-ocr page 269-



		257

		Staat de stang loodrecht op de as OO_t, dan is sin « = 1, en bovenstaande vergelijkingen gaan over in: To_Tj¥£- ?= -U.- (124) terwijl de op het eindpunt der stang gereduceerde massa ook in dit geval een derde van de werkelijke massa bedraagt. Bovenstaande vergelijkingen gelden niet alleen voor een lijn, maar ook voor een oneindig smalle vlakke strook; slechts beteekent dan y de massa op de vlakte-eenheid. Op soortgelijke wijze als hierboven voor den cilinder is ge- schied. kan aangetoond worden, dat de drie laatste ver- gelijkingen ook gelden voor een rechthoekige plaat met willekeurige breedte, wier eene zijde langs de as ligt. Bij de bepaling van traagheidsmomenten kan dikwijls met vrucht gebruik gemaakt worden van de twee volgende stellingen: 1°. Het traagheidsmoment van een lichaam ten opzichte van een willekeurige as O O, is gelijk aan het traagheidsmoment ten opzichte van een door het zwaartepunt gaande as evenwijdig aan O O, , ver- meerderd met het product van de massa van het lichaam en het vierkant van den afstand der beide assen ; 2°. Het traagheidsmoment van een vlakke oneindig dunne plaat ten opzichte van een as, die in het punt O loodrecht staal op de plaat, is gelijk aan de som der traagheidsmomenten van die plaat ten opzichte van twee in de plaat gelegen onderling loodrechte assen, die elkander in het punt O snijden. Zij, om de eerste stelling te bewijzen, O (fig. 158) een as loodrecht staande op het vlak van teekening, S een aan O evenwijdige as gaande door het zwaartepunt van het lichaam. Volgens de figuur is: T₀ = £ (m o²) en T_s = 2\' (mr²). Nu is: r¹ = x² -\|- 2² en _?² =(a±x)² z¹ = aⁱ x² zⁱ±<2ax = rⁱ a¹±<2ax of T₀ = 2 (mr²) a² 2 (m) ± 2a 2 (inx). I)r. Jui.irs, ilechanicn. 17

-ocr page 270-

258

Van de drie termen in het tweede lid is de eerste T_s,

de tweede is Ma²,
^Fie¹⁵⁸ als M de massa van

het lichaam is, en
de derde is nul,
omdat volgens de
vergelijkingen van
het zwaartepunt
2 (mx) = o is. Het
traagheidsmoment
ten opzichte van de
as O is dus:

T₀ = T, Ma².

(125)

Om de tweede stelling te bewijzen zij O (fig. 159) een as
loodrecht staande op het vlak van teekening, in welk vlak

FUj 159

de oneindig dunne plaat en de twee onderling loodrechte
assen OX en OZ gelegen zijn. Volgens de figuur is:

T₀ = £(m_Q²) T_x = i («*») T_z 2 (mx*),
of daar q² = #² -j- «²

r.-r. r.. (ïaej

Uit eenige voorbeelden zal blijken hoe deze stellingen

kunnen dienen tot het vinden van traagheidsmomenten.

Volgens vergelijking (124) is het traagheidsmoment van

-ocr page 271-

\'259

een rechthoekige plaat ten opzichte van de as OÖ, (lig. 160):

T -^Mli

J-o ₃ 

Het traagheidsmoment van die plaat ten opzichte van de
aan 0 0, evenwijdige as XX_t door\' het zwaartepunt S
gaande, is dan volgens vergelijking (125):

T_T=T_nMa* =

Ml* Ml* Ml*

12 \'

Evenzoo is het traagheidsmoment ten opzichte van de as
ZZ. (tig. 161):

rp Mb*^

^lz~ 12 "

Het traagheidsmoment ten opzichte van de as S, die in

het zwaartepunt loodrecht op de plaat staat, is dus volgens
vergelijking (126):

M Md*

T,= T_x T_e = ^-(l* b*)=^-.

Op soortgelijke wijze als vroeger kan men aantoonen, dat
deze vergelijking ook geldt voor het traagheidsmoment van
een rechthoekig parallelopipedum ten opzichte van een as

17*

-ocr page 272-

260

gaande door het zwaartepunt en loodrecht staande op de
twee zijvlakken, wier zijden l en b, of wier diagonaal d is.
Volgens vergelijking (122) is het traagheidsmoment van
de oneindig dunne cirkelvormige schijf ten opzichte van de
as O (fig. 162) :

_T _MR*

Daar klaarblijkelijk T_c= T_z is, vindt men uit verge-
lijking (126) voor het traagheidsmoment van een cirkel-
vormige schijf ten opzichte van een middellijn :

MR*

T, = -i- T of T_r ==

Om het traagheidsmoment van een cilinder ten opzichte

van een middellijn 00_t van het

Fig. 163

boven vlak (fig. 163) te vinden,

verdeelt men den cilinder door
vlakken evenwijdig aan het boven-
vlak in schijfjes met de oneindig
kleine dikte A. Is m = y tt R* A
de massa van zulk een schijfje,
dan is het tmagheidsmoment ten
opzichte van de middellijn XX_t :

mR²__yn R* ^

~4~ 4" \'

Is y de afstand van het schijfje
tot de as 0 0_{, dan is volgens vergelijking (125) zijn
traagheidsmoment ten opzichte van de as 00, :

yniï* A

^f^-------\\-ynR*ylt\\.

Voor het traagheidsmoment van den cilinder ten opzichte
van de as 0 0, verkrijgt men dan:

T =

>nR* *~*

/\'

^(A) _/7ri?2^(y2-A)
.\'/= o

of T_n

-ocr page 273-



		261

		Voert men in deze vergelijking de massa M = ynS^%h in, dan wordt: «r _3t(3R ih) ²° "TT § 86. Eenparig draaiende beweging. Indien een lichaam een eenparig draaiende beweging heeft om een vaste as, dan volbrengt elk punt een eenparige cirkelvormige beweging, en op elk punt werkt dus de cen- tripetaalkracht. De krachten Q\', die volgens het beginsel van d\'Alemdert in evenwicht zijn met de uitwendige krach-

		*mm^epsvia-mur^Kz*

		**mu>\'pcasa.\'miD!/***

		ten waartoe ook de weerstanden behooren, waardoor de draaiingsas in on veranderlijken stand wordt gehouden zijn dus even groot als de centripetaalkrachten, maar werken in tegengestelde richting. Is w de hoeksnelheid van het lichaam, dan heeft de centripetaalkracht, werkende op een stoffelijk punt met de massa m en op den afstand g van de as gelegen, de grootte myoj² en de richting van den straal naar binnen. De kracht Q\' is even groot en werkt in de richting van den straal naar buiten. Als aangrijpingspunt dier kracht kan ook beschouwd worden het punt A (fig. 164), waarin de lijn, waarlangs zij werkt, de as snijdt.

-ocr page 274-



		262

		Om de werking der gezamenlijke krachten Q\' te bepalen, kan men een rechthoekig coördinatenstelsel OX YZ aan- brengen, in dier voege dat het zwaartepunt S van het lichaam in het vlak OYZ ligt, en de draaiingsas langs de as OX valt. Ontbindt men de kracht moto² op de in de figuur aangegeven wijze in de krachten ma>²y en mm²z, en handelt men op dezelfde wijze met de op de overige punten van het lichaam werkende krachten Q\', dan verkrijgt men twee groepen van krachten, wier aangrijpingspunten alle in de tlraaiingsas OX liggen; de eene groep bestaat uit krachten, werkende langs lijnen evenwijdig aan de as 0 Y, de andere _Fl63 uit krachten, wer- kende langs lijnen evenwijdig aan de as OZ. Met deze krach- ten kan men nu op dezelfde wijze te werk gaan als in § A3 bij het afleiden der al- genieene even-

		**ni my***		wichtsvergeljj kin-

		gen is geschied. Men kan de kracht mtohj (fig. 165) vervangen door een kracht aangrijpende in het punt 0 en een koppel, welks moment mw\'-yx is, en welks koppelas met de .Z-as samenvalt. Evenzoo kan men de kracht mui²z ver- vangen door een kracht aangrijpende in O en een koppel, welks moment mto²zx is, en welks koppelas met de Y-bs samenvalt. Handelt men op gelijke wijze met de overige krichten Q\'. dan verkrijgt men twee groepen van krachten en twee groepen van koppels. Elk der beide groepen van krachten heeft een resultante gelijk aan de som der krach- ten, elk der beide groepen van koppels een vervangend koppel, welks moment gelijk is aan de som der momenten. In het geheel zijn er dus twee krachten en twee koppels. De grootte en richting der krachten en der koppelassen zijn in fig. 166 aangegeven.

-ocr page 275-

\'203

De twee in het punt O aangrijpende krachten R_y en R_zhebben een resultante, wier richting bepaald is door de
vergelijking:

mz)

te t ^

2i (mij)

Is M de massa van het lichaam, dan is volgens de leer

van het zwaarte-

J-\\g /GG

punt 2i (mz) = Mz₀en 2\'(mi/)= My₀;
bijgevolg is:

tg . = ^-.

Hieruit blijkt, dat
de hoek f gelijk is
aan hoek S 0 Y in
fig. 164; derhalve
gaat de lijn, \\vaar-
langs de kracht R
werkt, door het
zwaartepunt S van
het lichaam, en mag
het zwaartepunt als
aangrijpingspunt der
kracht R worden

ff-uW\'Jl

beschouwd. Voor de grootte van R vindt men:

R = V R* R/ = M^ Vy* *.»,

of daar volgens figuur 164 Vy^l -\\-z₀ⁱ = q₀ is:

R = M_Qow¹. (127)

Op gelijke wijze kan het moment van het vervangend
koppel worden bepaald.

Als men volgens de in § 42 gevonden regels de twee.
koppels voorstelt door hun assen, en deze assen:

©? = co² 2\' (mzx) (128) en SU?, = w^J 2 (myx) (129)

samenstelt, dan heeft de as van het vervangend koppel de

grootte: SJR = V %R_U² WT

-ocr page 276-



		264

		De as van liet vervangend koppel ligt in het vlak YZi en staat dus loodrecht op de draaiingsas van het lichaam; de hoek, dien zij met de as OY maakt, kan op dezelfde wijze als hoek f gevonden worden. Men kan dus de krachten Q\' vervangen door een kracht R en een koppel 59J. De kracht E heeft de grootte, die de centripetaalkracht zou hebben, indien de massa van het lichaam in het zwaartepunt S vereenigd was; zij werkt langs dezelfde lijn als deze, maar in tegengestelde richting. De as van het koppel staat loodrecht op de draaiingsas; haar grootte hangt af van de twee sommen 2(mzx) en 2{myx), dat is. van de wijze, waarop de massa over het lichaam is verdeeld. § 87. Vrij e assen. De krachten Q\', en dus ook de kracht R en het koppel S)ï in de vorige paragraaf gevonden, zijn op elk oogenblik in evenwicht met de uitwendige krachten. Werken er op het lichaam geen andere uitwendige krachten als de weerstanden, die de draaiingsas in een on veranderlijken stand houden, dan kunnen die weerstanden vervangen worden door een kracht even groot als B, maar in tegengestelde richting- werkende, en door een koppel, waarvan het moment even groot is als 5J?, maar het tegengestelde teeken heeft. In het bijzondere geval, dat B en 93? beide nul zijn, en dat dus de krachten Q\' met elkander in evenwicht zijn, wordt de draaiingsas van het lichaam een vrije as genoemd. In dit geval zijn er geen weerstanden noodig, om de draaiingsas in haar stand te houden; die as zou ook dan niet van stand veranderen, indien het lichaam vrij in de ruimte zweefde. Opdat de draaiingsas OX (fig. 164) een vrije as zij, moet voldaan zijn aan de twee volgende voorwaarden: fl=0 (130) 3)J₌0. (131) Stelt men in vergelijking (130) voor B de waarde in vergelijking (127) gevonden, dan wordt: Moo<"\'¹ = 0 of _Co = 0. De draaiingsas kan dus slechts dan een vrije as zijn, als zij door het zwaartepunt van het lichaam gaat.

-ocr page 277-



		265

		Daar ?0ï = V SD?/ -f- SS)?/ is, sluit vergelijking (134) twee andere vergelijkingen in zich, namelijk: S0? = O en 59?,= O, welke na substitutie der waarden uit de vergelijkingen (\'128) en (129) overgaan in : £(mzx) = 0 (132) en £ (myx) = 0. (133) Aan deze twee voorwaarden is bijv. voldaan, als de massa van het lichaam Fuj 107 ten opzichte van het vlak YZ symmetrisch is verdeeld, in dier voege, dat tegen- over eenig massa- deeltje m (fig.167) op den afstand -f- x van dit vlak gelegen, zich steeds een ander even groot massa- deeltje op den afstand x be- vindt. De bij- dragen toch door deze twee massa- deeltjes aan de som £ (tnzx) ge- leverd, zijn dan m.z.{-\\- x) en m.z.(x) en heffen elkander dus op; terwijl de bijdragen door hen aan de som 2,\' (myx) geleverd m.y.(-\\-x) en «.//.(x) zijn, en elkander dus eveneens opheffen. Hetzelfde geldt van de bijdragen, die de overige massadeeltjes paarsgewijze aan elk dier sommen leveren. Bij elk homogeen lichaam, dat den vorm heeft van een recht prisma, is de lijn, die de zwaartepunten der eindvlakken verbindt, steeds een vrije as. Evenzoo is bij een lichaam, dat den vorm heeft van een oneindig dunne vlakke plaat, de door het zwaartepunt S gaande loodlijn op het vlak der

-ocr page 278-

26fi

plaat steeds een vrije as, daar in dit geval de factor x in
alle termen der sommen .2" (myx) en .2\' (tnzx) nul is.

Nog in een and*

geval blijkt het dadelijk, dat aan
genoemde twee

Fij. WO.

voorwaarden is
voldaan, namelijk
wanneer de massa
van het lichaam
ten opzichte van
elk der beide vlak-
ken YXenZX
symmetrisch is
verdeeld.

Is toch de
massa van het
lichaam symme-
trisch verdeeld
ten opzichte van
het vlak YX
(fig. 168), dan ligt tegenover elk massadeeltje m, dat aan

-ocr page 279-

2fi7

het eerste lid der vergelijking (132) de bijdrage m.x.(-\\- z)
levert, een ander dat aan die som de even groote nega-
tieve bijdrage m.x.( z) levert; en is de massa van het
lichaam tevens symmetrisch verdeeld ten opzichte van het
vlak ZX (fig. 169), dan ligt tegenover elk massadeeltje,
dat aan het eerste lid der vergelijking (133) de bijdrage
m.x.{-\\- y) levert, steeds een ander, dat aan die som de
even groote negatieve bijdrage m.x.( y) levert. Hieruit
volgt bijv. dat bij een homogeen omwentelingslichaam de
omwentelingsas steeds een vrije as is.

Door middel van hoogere wiskunde kan worden aange-
toond, dat er in elk willekeurig lichaam steeds drie vrije
assen zijn, die in het zwaartepunt loodrecht op elkander
staan. In elk lichaam kan dus een rechthoekig coördinaten-
stelsel zoodanig worden aangebracht, dat elk der coördinaten-
assen een vrije as is.

§ 88. Samengestelde conische slinger.

De samengestelde conische slinger bestaat in zijn een-

voudigsten vorm uit
twee stoffelijke punten

ï-

verbonden door een

vaste rechte stang,
welker gewicht ver-
waarloosd wordt; deze
stang, die aan de
draaiende beweging van
een vaste verticale as
deelneemt, is in een
punt O van de as zoo-
danig bevestigd, dat
zij in een verticaal

m,r}m\'

vlak om dit punt draai-

baar is.

Om den hoek « (lig.
170) te bepalen, dien

m,ff

de stang met de as

maakt bij een gegeven
hoeksnelheid w, kan men wederom gebruik maken van het

-ocr page 280-

2«8

beginsel van d\'Alemdert. De uitwendige op de stang
werkende krachten moeten in evenwicht zijn met de krach-
ten Q\'. De uitwendige krachten zijn de gewichten der
.stoffelijke punten mg en m_tg; de krachten Q\' zijn de op
de stoffelijke punten blijkens hun beweging werkende cen-
tripetaalkrachten mrw¹ en ?»,»", co\'², in tegengestelde richting
genomen. Daar het punt 0 een vast punt is, en de stang
alleen draaibaar is in een verticaal vlak, verkrijgt men als
eenige evenwichtsvergelijking:

mrw^lh -\\- mgr -f- m_t r, w¹h_l m_l gr_x = 0.

Stelt men in deze vergelijking r = Jsin «, h=lcoscc,

fLcosa.

Jtfï»Ü^o* <--------4

r. = l_t sin a, h_t = l_t cos «, en lost men daarna cos « op,

dan vindt men:

g m. I. ml

cos « =

w² »tj /,² -f- mJ^a

Als w,J, ml is, dat is, als het zwaartepunt samenvalt
met het draaipunt O, dan wordt cos « = 0, en dus a = 90°.
In dit geval neemt de stang den horizontalen stand aan.

Bestaat de conische slinger uit een rechte stang, die ineen
harer uiteinden O aan de verticale draaiingsas is opgehangen

-ocr page 281-



		269

		(fig. 171), dan vindt men voor de vervangende R van de krachten Q\' : R = 2ï(mxuj²) = w² 2 (w). Hierin kan 2 (mx) worden vervangen door het product van de geheele massa der stang M met den afstand van haar zwaartepunt S tot de draaiingsas; derhalve is: , . L sin a ,.ni\\ R = o>²M ~=----. (134) Om het aangrijpingspunt A van R te vinden, kan men gebruik maken van de momenten vergelijking: R. OB^Ufmxoo^), cc of na substitutie van OB = O A cos a en z =----- tg« *Ui²* R . A O . cos « =-----2 (mx²). tg" Stelt men hierin voor R do in vergelijking (134) gevon- den waarde, en voor 2 (mx²), het traagheidsmoment der stang ten opzichte van de verticale draaiingsas, de in ver- fH L sin u gelijking (123) gevonden waarde T =------^-----j dan wordt: , ,,Lsin« . «o* ML² sin²« m²M s . O A . cos a = ----- . -------₅------, 2 tg« 3 of OA=$L. Volgens fig. 172 verkrijgt men dus voor den hoek, dien de stang maakt met de verticale as, de vergelijking: ,. Lslna , _T , L sin a _AM _s----- w* . * L cos « Mg-----_s-----= O, of cos a = 4 ^-j. ¹ Lm Valt het ophangpunt niet samen met het uiteinde der stang, maar verdeelt het haar lengte in de twee deelen l

-ocr page 282-

270

en L met de massa\'s m en M, dan verkrijgt men op gelijke
wijze uit fig. 4 73:

Figl73

l sin a , « , , £ sin« ,

m 5 o»*. I Icosu -\\-mg

Z> sin cc

. ,, Z< sin a , _ ,,

i¥-----=----- <u² . § L cos cc ü^f

= 0,

ML ml

= ll

o,¹ \' AfL² mi¹"*

HOOFDSTUK XIII.

Veranderlijk draaiende beweging van een lichaam om een vaste aa.

§ 89. Hoekversnelling.

Een lichaam heeft een eenparig versneld draaiende be-
weging als het in onderling gelijke tijdsverloopen, hoe klein
ook genomen, onderling gelijke vermeerderingen van de
hoeksnelheid krijgt.

-ocr page 283-



		271 De hoekvei\'snelling van een lichaam niet eenparig ver- sneld draaiende beweging wordt evenredig gesteld met de vermeerdering van de hoeksnelheid per seconde. Als eenheid van hoekversnelling wordt aangenomen de hoekvei\'snelling van een lichaam met eenparig versneld draaiende beweging, welks hoeksnelheid in een seconde met de hoeksnelheidseenheid toeneemt. Neemt de hoeksnelheid in t seconden met « eenheden toe, dan is het aantal eenheden der hoekvei\'snelling t, als: « Heeft een lichaam een hoekvei\'snelling f, dan doorloopt eenig op den afstand n van de draaiingsas gelegen stoffelijk punt een cirkelomtrek met den straal (>, en wel met een eenparig versnelde beweging; de lijnsnelheid van dit punt neemt in elke seconde met q f eenheden toe. De kracht, die op het punt blijkens zijn beweging werkt, kan dus ontbonden worden in de centripetaalkracht mom* en in een langs de raaklijn in den zin der beweging wer- kende kracht nijt, tangentieele kracht genoemd. Bij de niet-eenparig versneld draaiende beweging ver- andert de hoekvei\'snelling van oogenblik tot oogenblik. Ver- deelt men echter den geheelen duur der beweging in on- eindig kleine deelen, dan kan de beweging gedurende zulk een tijdsverloop als eenparig versneld draaiend worden be- schouwd. Ook dan kan dus de kracht, die op het punt blijkens zijn beweging werkt, ontbonden worden in de cen- tripetaalkracht en in de tangentieele kracht. Volgens het beginsel van d\'Alembert moeten de krachten Q\' met de uitwendige krachten in evenwicht zijn. Blijkens het hierboven aangetoonde kan elke kracht Q\' ontbonden worden in een kracht m o o»², even groot als de centripetaal- kracht, maar in tegengestelde richting werkende, en in een kracht mgt, werkende langs de raakliju in den zin tegen- gesteld aan dien der beweging. De eerste ontbindingskracht werkt langs een lijn die de draaiingsas snijdt. Is deze een vaste as, dan is de eenige evenwichtsvergelijking die, welke uitdrukt dat de som der momenten ten opzichte van de draaiingsas nul is. Noemt men kortheidshalve het moment van een der uitwendige krachten m, dan heeft men:

-ocr page 284-



		272

		*2\' (m) 2 (m o e. q) =* O,** of daar e een gemeenschappelijke factor is: i2 (rap²) = 2 {ra). De hoekversnelling op eenig oogenblik is dus: waarin S9J = £ (tn) de som is der momenten van de uit- wendige krachten, en T=J£(mo²) het traagheidsmoment van het lichaam, beide ten opzichte van de draaiingsas. § 90. Het vliegwiel. Wanneer een as ronddraait onder de werking van twee krachten K en W, waarvan de eerste het veranderlijk mo- ment SOï* heeft, en in den zin der draaiing als beweegkracht werkt, terwijl de laatste het veranderlijk moment 3J?« heeft, *en de draaiing als weerstand tegen werkt, dan is volgens vergelijking (135) de hoekversnelling op eenig oogenblik: Al naarmate het verschil SR/ 5Jiw> op dit oogenblik een positieve of een negatieve waarde heeft, neemt de hoek- snelheid der as toe of af. Indien de veranderlijkheid der beide momenten periodiek is, dat is, indien na afloop van een bepaalde periode steeds dezelfde waarden in dezelfde volgorde terugkeeren, dan zal de hoeksnelheid der as in elk dier perioden met hetzelfde bedrag toe- of afnemen. Deze verandering zal nul zijn in het bijzondere geval, dat de som der arbeiden door beweeg- kracht en weerstand in elke periode verricht, gelijk nul is. Opdat dus na afloop van elke periode dezelfde bewegings- toestanden in dezelfde volgorde terugkeeren, moet de in elke periode door den weerstand verrichte arbeid dezelfde grootte hebben als de door de beweegkracht verrichte arbeid, maar daarvan in teeken verschillen. Bestaat in zulk geval de periode uit twee tijdperken, zoo-

-ocr page 285-



		273

		danig dat in het eerste het moment van de beweegkracht, in het tweede het moment van den weerstand het grootst is, dan zal de hoeksnelheid in het eerste tijdperk voort- durend toenemen, en in het tweede evenveel afnemen. De hoeksnelheid bereikt haar grootste waarde op het oogenblik dat het toenemen ophoudt en het afnemen begint; zij be- reikt haar kleinste waarde op het oogenblik dat het afnemen ophoudt en het toenemen begint. Terwijl de hoeksnelheid van haar kleinste waarde 10 tot haar grootste waarde Si o* overgaat, vermeerdert het arbeidsvermogen van beweging, en volgens de wet van het behoud van arbeidsvermogen is die vermeerdering in getalwaarde gelijk aan de som van de arbeiden gedurende dien tijd door de krachten K en W verricht. Is dus \'21* de in dit tijdperk door de beweeg- kracht K verrichte positieve arbeid, en 2J_W de absolute waarde van den door den weerstand W verrichten nega- tieven arbeid, dan is: TSV- Tw¹ .. _M _/Juax -2----------2~ ⁼ ** "~ ^a*- (^1:<6) Het eerste lid dezer vergelijking kan men schrijven onder den vorm:
		\'


		Si -f- "> / s T-s-----(Si co);

	\'2 , . , i Si -\\- (o & , stelt men kortheidshalve-----~-----= O en --------= n, jen 2 Si co lost men daarna T uit de vergelijking op, dan vindt men^: T=^(n_t lij). (137) De grootheid 0 is de rekenkundig middenevenredige tus- schen de grootste en de kleinste hoeksnelheid; zij kan de gemiddelde hoeksnelheid genoemd worden; het getal n geeft aan het hoeveelste gedeelte van deze gemiddelde hoeksnelheid het grootste verschil in hoeksnelheid bedraagt. De verge- lijking (137) geeft derhalve aan hoe groot het traagheids- inoment der as minstens zijn moet om te maken, dat de schommelingen der hoeksnelheid een zeker gedeelte van de gemiddelde hoeksnelheid niet te boven gaan. Dr. Julius, Mec/imiicu. 18

-ocr page 286-



		*"1L\\*

		Indien het traagheidsmoment der as de vereischte grootte niet heeft, kan men het ontbrekende aanvullen door een andere massa aan de as te verbinden. Deze toegevoegde massa zal een des te grooter bijdrage aan het traagheids- moment leveren, naarmate zij verder van de draaiingsas verwijderd is. Het is derhalve voordeelig de aan de as te bevestigen massa den vorm te geven van een ring met groote middellijn. Deze wordt dan vliegwiel genoemd. De vergelijking (137) kan ook worden aangewend om de massa van het vliegwiel te berekenen als het getal n gegeven is, zooals uit het volgende voorbeeld blijken zal.

		Berekening van het vliegwiel voor een krukas. Er zal worden aangenomen dat de beweegkracht K voort- durend in verticale richting aan het uiteinde van een kruk- arm werkt, een standvastige grootte heeft, bij het neergaan naar be- neden, en bij het opgaan naar boven werkt; verder dat de stand- vastige weerstand W werkt aan een koord, dat om de krukas wordt opgewonden. Volgens fig. 174 heeft het moment van den weerstand de standvastige grootte Wr; het moment van de beweegkracht daarentegen verandert met den stand van den krukarm, en wel in dier voege, dat na een halve omwenteling van de kruk steeds dezelfde waarden periodiek terug- keeren. Terwijl de kruk uit den stand OA in den stand O C over- gaat, verricht de kracht AT den arbeid -f- K. A C of -\\- K.\'ür; de kracht W verricht daarbij den arbeid W .nr. Opdat de beweging periodiek zij, moet derhalve voldaan zijn aan de vergelijking:

		Jf.2r= W.nr of K = ^ W.		(138)

-ocr page 287-

\'275

Om den stand OB van de kruk te vinden, bij welken
de hoek versnelling nul is, moet men de momenten van
kracht en weerstand aan elkander gelijk stellen; volgens
lig. 174 heeft men dan:

Kr cos u == Wr.

Substitueert men hierin de in vergelijking (138) voor K
gevonden waarde, dan verkrijgt men:

0,8807 nidialen. (139)

cos a = - == 0,6366 of «

Gedurende den overgang van de kruk uit den stand OB

in den stand OD (fig. 175)

Fig. /7J

is het moment van de kracht

voortdurend grooter dan dat
van den weerstand: gedu-
rende den overgang uit den
stand OD in den stand O E
daarentegen heeft het om-
gekeerde plaats. De hoek-
versnelling is derhalve posi-
tief zoolang het uiteinde van
den knikarm den boog B D,
negatief zoolang het den
boog D E doorloopt. De hoek-
snelheid verkrijgt dus haar
kleinste waarde u>, als de

kruk den stand OB, haar grootste waarde ii, als de kruk

den stand OD inneemt.

De grootheid 21/. uit vergelijking 136 beteekent den

arbeid, die door de kracht K wordt verricht gedurende

den overgang van de kruk uit den stand OB in den stand

OD, dus:

21* = K. BD= K.\'lr sin «= ^TF.2rsin«.

Het aangrijpingspunt van den weerstand W legt daarbij
den boog BD af; derhalve is:

2l_w= W.2r«.

18*

-ocr page 288-



		276

		Substitueert men deze waarden in vergelijking (137), dan verkrijgt men: T= f Wr (tt sin « 2«), of als men voor « de in vergelijking (139) gevonden waarde

		stelt: Tr= 0,661 . . Wr.
		*IY-* Is M de massa, R de straal van het vliegwiel, en is het traagheidsmoment der as zelf klein genoeg ten op- zichte van het traagheidsmoment van het vliegwiel om ver- waarloosd te mogen worden, dan is T ME², en men vindt voor de massa van het vliegwiel: M = 0,661 j^ . Wr. Indien bijv. de schommelingen van de hoeksnelheid het dertigste gedeelte van de gemiddelde hoeksnelheid niet mogen te boven gaan, dan is m = 30; volbrengt de as 60 om- wentelingen in de minuut, dan is de gemiddelde hoeksneU heid 9 = 2 ir. Is verder de lengte van den knikarm r = 0,3 meter, de straal van het vliegwiel 2?= 1,5 meter, en de op den straal r gereduceerde weerstand PF=1000 stat. eenheden = 1000 g. dyn. eenheden, dan vindt men voor de massa van het vliegwiel: 30 M = 0,661 ~~.. _ - ...~~ 1000 . g. 0,3 = 657 kilogram. (1,5 . 2tt)² ° ^c § 91. Samengestelde slinger. Elk lichaam draaibaar om een horizontalen niet door het zwaartepunt gaande as heet een samengestelde slinger. De draaiingsas wordt de ophangas genoemd. Indien de loodlijn OS (lig. 176) uit het zwaartepunt op de ophangas O neergelaten r meters lang is, dan is op het oogenblik dat deze loodlijn den hoek « maakt met de verti- caal, de hoekversnelling e van den samengestelden slinger volgens vergelijking (135): Mgrs\\a cc

-ocr page 289-

277

waarin M de massa en T het traagheidsmoment van het
lichaam ten opzichte van de draaiingsas 0 beteekent.

Om den slin-

FLgl76

gertijd van den

FUfl77

samengestelden
slinger te vinden
kan men delengte
l bepalen van een

enkelvoudigen
slinger, die bij
denzelfden elon-
gatiehoek a steeds
dezelfde hoekver-
snelling heeft als
de samengestelde
slinger. Deze twee
slingers hebben
dan klaarblijkelijk
denzelfden slin-
gertijd.
Bij een elongatiehoek a (fig. 477) heeft een enkelvoudige
slinger met de massa m en de lengte l de hoek versnelling:

mglsin a__</sin«

* ~~ ~ ml¹ T~\'

Door gelijkstelling van de gevonden waarden der hoek-
versnellingen vindt men:

T₀

(140)

Mr\'

en dus volgens vergelijking (30) voor den slingertijd van
den samengestelden slinger: ,

Mgr

Het punt I, dat men verkrijgt als men de lijn OS ver-
lengt en daarop van de as O af de lengte l uitzet, wordt
het slingerpunt van den samengestelden slinger genoemd ;
de lijn door het slingerpunt I evenwijdig aan de ophangas
getrokken heet de slingeras.

/ :

.\' ) -. f

1 /

-ocr page 290-



		\'278

		Van alle punten van het lichaam zijn de op de slingeras gelegene de eenige, welker beweging niet wordt gewijzigd door het verband met de overige punten; elk punt op de slingeras volbrengt zijn slingeringen evenzoo alsof het een enkelvoudige slinger ware. § 92. Reversieslinger. Wanneer men den in fig. 178 voorgestelden samen- gestelden slinger omkeert en aan de slingeras I ophangt, zoodat nu deze de nieuwe ophangas wordt, dan verkrijgt men den in fig. 179 voorgestelden slinger, welks nieuwe

		/\'iy/7<? Fiff.170

		slingeras men op de in de vorige paragraaf verklaarde wijze kan bepalen. De lengte l_t van den enkelvoudigen slinger, welke zijn slingeringen in denzelfden tijd volbrengt als de nieuwe slinger, vindt men uit vergelijking (140), als men daarin r door l r, en het traagheidsmoment T_a door het traagheids- moment T; ten opzichte van de nieuwe ophangas vervangt. Men heeft dus: Ti ^l\' ⁼ M(lr)"

-ocr page 291-



		279

		Is T, het traagheidsmoment ten opzichte van de as door het zwaartepunt evenwijdig aan de ophangas getrokken, dan is volgens vergelijking (125): en dus: ^-Tn^r \'-^r- ⁽¹⁴¹⁾ Vervangt men evenzoo in vergelijking (140) T₀ door zijn waarde T = T,-\\-Mr², dan verkrijgt men: ^l==Mr ^r ofM(lr)^^. (442) Deze waarde van M (l r) in vergelijking (141) stel- lende, vindt men : l_t =1 Hieruit volgt, dat bij eiken slinger de ophangas met de slingeras kan worden verwisseld, zonder dat daardoor de slingertijd verandert. Hierin heeft men tevens een middel om proefondervindelijk de lengte te bepalen van een enkelvoudigen slinger met bepaalden slingertijd. Als men namelijk den slingertijd van den aan de as O opgehangen slinger waarneemt, en daarna door proefneming de beneden het zwaartepunt gelegen as I opzoekt, welke als ophangas moet worden gekozen om wederom denzelfden slingertijd te verkrijgen, dan is de afstand 01 dei" beide assen de gezochte lengte. Een tot dit doel ingerichte slinger wordt reversieslinger genoemd. Bij het gebruik van den reversieslinger moet in het oog gehouden worden, dat er onder het zwaartepunt, behalve de slingeras I nog een tweede as O, is, die als ophangas ge- kozen, eveneens denzelfden slingertijd oplevert; het is die as, die ten opzichte van het zwaartepunt symmetrisch tegen- over de oorspronkelijke ophangas is gelegen. Volgens ver- gelijking (142) toch hangt bij een en hetzelfde lichaam / slechts af van r, en moet dus wederom dezelfde waarde aannemen, indien de op den afstand r beneden het zwaartepunt

-ocr page 292-



		280

		gelegen as als ophangas wordt gekozen. In een bijzonder geval valt de slingeras met de as O, samen, namelijk als l r = r is, of volgens vergelijking (142): Mr²=T_s, (143) lat is, als de afstand van het zwaartepunt tot de ophangas gelijk is aan den traagheidsstraal van het lichaam ten op- zichte van de door het zwaartepunt gaande as. Voor een dunne, aan een harer uiteinden opgehangen stang met de lengte L is bijv. volgens vergelijking (124) T = ^ML\\ en dus: ^l~ \\ML -^1j-* De slingertijd zal derhalve dezelfde blijven als men als ophangas kiest de lijn , die op twee derde der lengte even- wijdig aan de ophangas wordt getrokken. Bij het gebruik der stang als reversieslinger moet men er op letten deze slingeras niet te verwisselen met de as door het onderste uiteinde der stang getrokken, welke als ophangas gekozen natuurlijk denzelfden slingertijd zou opleveren. De traag- heidsstraal q ten opzichte van de door het zwaartepunt gaande as wordt gevonden uit de vergelijking: ,, , _m ML² . L 12 ^12 Wordt de op dezen afstand boven het zwaartepunt gelegen as als ophangas gekozen, dan ligt de slingeras op denzelfden afstand beneden het zwaartepunt. Uit de vergelijkingen (140) en (142) blijkt, dat men een der traagheidsmomenten T₀ of T moet kennen om de ligging van de slingeras te bepalen. Omgekeerd kunnen deze vergelijkingen ook dienen om het traagheidsmoment te vinden. Daartoe behoeft men slechts door waarneming de lengte te bepalen van den enkelvoudigen slinger met gelijken slingertijd; is bovendien de afstand r van het zwaartepunt tot de ophangas bekend, dan kan men de traagheids- momenten berekenen uit de vergelijkingen : T₀ = Mrl (144) en T_s = Mr(l-r) (145)

-ocr page 293-



		\'28\'!

		Deze handelwijze kan met voordeel worden toegepast in al die gevallen, waarin wegens onregelmatigheid van vorm of van massaverdeeling het berekenen van het traagheids- moment groote moeilijkheden zou opleveren. Volgens vergelijking (145) heeft het product der twee grootheden r en ! r de standvastige waarde: r(l-r>§-»«. terwijl haar som de van r afhangende waarde l heeft. De som der beide factoren van een getal is het kleinst als de twee factoren aan elkander gelijk zijn. Hieruit volgt dat de vergelijking (143), of onder een andere gedaante de ver- gelijking : r = q = l r tevens de voorwaarde bevat, waaronder de slingertijd van een bepaald lichaam het kleinst is.

		HOOFDSTUK XIV. Willekeurige beweging van een lichaam. § 93. Arbeidsvermogen van een lichaam. De beweging van een lichaam kan voor elk oneindig klein tijdsverloop ontbonden worden in een draaiende beweging om een as door het zwaartepunt gaande en een voortgaande beweging; de hoeksnelheid der eerste ontbindingsbeweging zij co, de snelheid der tweede zij w. Er wordt gevraagd het arbeidsvermogen van beweging van het lichaam te be- palen. Men brengt daartoe door het zwaartepunt van het lichaam drie onderling loodrechte coördinatenassen, waarvan de eene SX met de draaiingsas samenvalt, en de tweede SZ zoo- danig wordt gekozen, dat de richting van de snelheid u even- wijdig is aan het vlak XZ ; daarna bepaalt men het arbeids- vermogen van beweging van een punt met de massa m en op den afstand q van de draaiingsas gelegen. De snelheid

-ocr page 294-

282

van dit punt kan ontbonden

worden in top (fig.
u (fig. 181).

180) en
De ont-

bindingssnelheid wp kan
wederom ontbonden wor-
den in m o cos d = wy
en wo sin 3 = wsy de
ontbindingssnelheid m in
m cos <* en u sin r<.

De ontbindingssnelheden
van het punt (fig. 182)
zijn dus: m cos a in de
richtingSX, wz inde
richting SY. en

u sin a -\\- wy
in de richting SZ. De wer-
kelijke snelheid v kan der-
halve gevonden worden uit
de vergelijking:

v\'¹ ssa (m cos a)² -\\- (u sin « -j- t»y)² -f- (wï)¹,

of daar u² cos²a -|* ^m2 ^s\'ⁿ³

v² = w² -)- w²p² -)- 2wsin « . toi/.
Fig 181


	*Usginct*
	.	>	>w
^»
8			f
		A	V

>«t)-

Het arbeidsvermogen van beweging van het punt is -jy ,

tra\'

en die van het geheele lichaam X

2 \'

-ocr page 295-

28:!

Daar u, <o en « voor alle punten dezelfde waarden hebben,
vindt men:

₂ (ü^?) = «£ ^(_W) \'J 2-(_>W..\') «« sin « *(my).

XZ is gelegen is
Z(my) = o. Noemt
men J£ (m) de ge-

Daar het zwaartepunt in het vlak

J-ïg/82


	*\'t.*		U 4	*jsüux, _toz*
/				2	^
	s		m	%	10 f T
/		JD	%	)	V.

heele massa van het
lichaam il/, , en
2(m n²) het traag-
heidsmoment ten op-
zichte van de door

het zwaartepunt
gaande draaiings-
as T«, dan is het
arbeidsvermogen van
beweging van het
geheele lichaam:

Mu\'- 2>*

«« 2 2"

De term is

het arbeidsvermogen van beweging ten gevolge van de

voortgaande,
bindingsbeweging

dat ten gevolge van de draaiende ont-

ran het lichaam. Bovenstaande verge-

lijking zegt dus:.

Men vindt het arbeidsvermogen van beweging van een
lichaam door zijn beweging te ontbinden in een voort-
gaande en een draaiende om een door het zwaartepunt
gaande as, het arbeidsvermogen van beweging te bepalen
dat het lichaam heeft, ten gevolge van elk dier ontbindings-
bewegingen, en de som dier grootheden te nemen.

Als voorbeeld diene het volgende:

Indien een cilinder met den straal r over een horizontaal
vlak rolt, dan kan zijn beweging voor een willekeurig tijds-
verloop ontbonden worden in een voortgaande met de snel-
heid u (fig. 183) en een ronddraaiende om zijn as met de

-ocr page 296-

284

hoeksnelheid w. Een punt op den omtrek van den cilinder

heeft bij de laatste ontbindings-

Fïff/83

beweging de lijnsnelheid rm.

De werkelijke snelheid van
het punt, waar de cilinder het
vlak aanraakt is nul, anders zou
de beweging geen zuiver rollende
zijn. Hieruit volgt dat

u = rco ot w = .
r

Het arbeidsvermogen van be-
weging van den cilinder is der-
halve :

ï\',

de op den omtrek van den cilinder gereduceerde

Voor

.ï>

is vroeger gevonden de waarde -jr-, dus:

massa,

3.W

\'2

Rolt een cilinder onder de werking der zwaartekracht
FüjMtor.

langs een hellend vlak naar beneden (fig. 184), dan is vol-
gens de wet van het behoud van arbeidsvermogen:

-ocr page 297-

285

3Mv² 3 Mc²

= JfyA.

of v = V\'c¹ <2gQh).

Is de aanvangssnelheid nul, dan wordt de eindsnelheid:

v=\\/2g($h),

dus even groot als die van een lichaam, dat van de hoogte
-^h vrij valt.

§ 94. Beweging van het zwaartepunt.

De algemeene vergelijkingen voor het zwaartepunt (51)
celden voor eiken stand van het lichaam. Indien een lichaam

zich beweegt veranderen de


	j	*\'ÜTlSd*
/	> JC	«
	./	*trv ^>0*
/	<&a	s
	/ \'"
y /	0

coördinaten zoowel van de
afzonderlijke punten als van
het zwaartepunt. Op ieder
oogenblik echter is het pro-
duct van de geheele massa
met den afstand van het
zwaartepunt tot het vaste
vlak YZ gelijk aan de som
der producten, die men ver-
krijgt als men elk massa-
deeltje vermenigvuldigt met
zijn afstand tot ditzelfde
vlak, of volgens fig. 185:

Mx₀ = Z(mx) (146)

Indien men de snelheden

der afzonderlijke punten op
de in de figuur aangeduide
wijze ontbindt, dan zal gedurende het eerstvolgende oneindig
kleine tijddeel r de grootheid x in x -f- vt, en de grootheid
x₀ in x₀-\\-v₀t overgaan. De algemeene vergelijking (146)
geldt ook voor het einde van dit tijddeel, bijgevolg is:

M (x₀ v₀ r) = X [m{x v r)]
of Mx₀ -\\- Mv t = ± (mx) r 2(mv).

T {&*

-ocr page 298-



		i>86 Trekt me» hiervan de vergelijking (146) af, en laat men den gemeenschappelijken factor r weg, dan verkrijgt men: Mv₀ = 2 (mv). (147) Op elk oogenblik is het product van de geheele massa en de ontbindingssnelheid van het zwaartepunt in eenige richting gelijk aan de som van de producten der massa\'s van alle afzonderlijke punten en hun ontbindingssnelheden in diezelfde Helding. Dezelfde stelling geldt ook voor de versnellingen. Is p de ontbindingsversnelling van de massa m, en p₀ de ontbindings- versnelling van het zwaartepunt, beide in de richting OX, dan zal gedurende het oneindig kleine tijddeel r de groot- heid v in v-\\-pr, en de grootheid v₀ in v₀ -\\- p₀ r over- gaan. Vergelijking (147) geldt ook voor het einde van dit tijddeel; bijgevolg is: M (v₀ p₀ r) = 2 [m (v p r)] of Mv₀ -f- Mp<> t = {mv) -\\- t 2. (mp). Ti\'ekt men hiervan de vergelijking (147) af, en laat men den gemeenschappelijken factor r weg, dan verkrijgt men: Mp₀ = 2 (mp). (148) Op elk oogenblik is het product van de geheele massa en de ontbindingsversnelling van het zwaartepunt in eenige richting gelijk aan de som van de producten der massa\'s van alle afzonderlijke punten en hun ontbindingsversnel- lingen in diezelfde richting. Met behulp van deze stelling kan de ontbindingsversnelling p₀ van het zwaartepunt in de richting OX berekend wor- den, indien op het lichaam willekeurige uitwendige krachten K werken. De producten mp stellen namelijk in grootte en richting de ontbondenen voor van de krachten Q, die blijkens hun beweging op de punten werken. De ontbon- denen van de krachten Q\' werken in tegengestelde richting. Ontbindt men de uitwendige krachten K langs drie onder- ling loodrechte asiïchtingen, en stelt men de ontbindings- krachten in de richting OX door X voor, dan verkrijgt men volgens het beginsel van d\'Alembert. de vergelijking: 2(X)- £(mp)==0

-ocr page 299-





		287 of volgens vergelijking (148): Mp₀ = 2 (X). De ontbindingsversnelling van het zwaartepunt in de richting OX is dus : ^l" M Men zou dezelfde ontbindingsversnelling gevonden hebben voor een enkel stoffelijk punt met de massa M, waarop alle krachten K werkten langs lijnen evenwijdig aan die, waarlangs zij werkelijk werken. Dit is niet slechts waar voor de richting OX, maar ook voor de richtingen 0 Y en OZ, en derhalve voor elke willekeurige richting. Het zwaartepunt van een lichaam beweegt zich evenzoo alsof de geheele massa er in vereenigd was en alsof alle krachten er op werkten langs lijnen evenwijdig aan die, waarlangs zij werkelijk werken. Deze stelling geldt, evenals het beginsel van d\'Alembert, niet slechts voor absoluut vaste lichamen, maar geheel alge- meen voor elk willekeurig stelsel stoffelijke punten. § 95. Beweging van een v r ij lichaam. Zooals in § 43 is aangetoond, kunnen de op een lichaam werkende uitwendige krachten steeds vervangen worden dooi\' een kracht in het zwaartepunt aangrijpende en een koppel. In verband met het in de vorige paragraaf bewezene, kan dus steeds de versnelling van het zwaartepunt gevonden worden; zij is namelijk: R waarin R de vervangende kracht, en M de geheele massa van het lichaam beteekent. Daar de krachten van een koppel geen invloed hebben op de beweging van het zwaartepunt, zoo zal de werking van een koppel bestaan in een draaiing van het lichaam om het zwaartepunt. De algemeene oplossing van dit geval is te moeilijk om

-ocr page 300-



		288

		in dit leerboek behandeld te worden. Er zal dus een een- voudiger geval worden aangenomen; er zal namelijk worden verondersteld, dat de lijn door het zwaartepunt van het lichaam gaande en loodrecht staande op het koppelvlak een vrije as is. Daar bij de bepaling van de ontbindingsbeweging, die het gevolg is van het op het lichaam werkende koppel, de overige ontbindingsbewegingen niet in aanmerking komen, zoo kan men aannemen dat het zwaartepunt van het lichaam in rust is. Stelt men zich voor dat de vrije as, die lood- recht staat op het koppelvlak, door weerstanden in een on- veranderlijken stand wordt gehouden, dan krijgt het lichaam om die as een versneld draaiende beweging met de ver- snelling: waarin ?0ï het koppelmoment en T het traagheidsmoment ten opzichte van de draaiingsas beteekent. Men kan nu bewijzen dat de weerstanden, die de as in onveranderlijken stand houden, nul zijn. Zijn de weerstanden nul, dan zijn de krachten van het koppel de eenige uitwendige krachten, en moeten volgens het beginsel van D\'ALEMBERT met de krachten Q\' in even- wicht zijn; en omgekeerd, zijn die krachten in evenwicht, dan zijn de weerstanden nul. De krachten Q\' kunnen ontbonden worden in krachten even groot als de centripetaalkrachten maar in tegengestelde richting werkende, en in de tangentieele krachten, werkende in den zin tegengesteld aan dien der beweging. Daar de draaiingsas een vrije as is, zijn zooals in § 87 is aangetoond de eerste ontbindingskrachten met elkander in evenwicht, en er moet dus slechts bewezen worden, dat de tangentieele ontbindingskrachten van Q\' met de krachten van het koppel in evenwicht zijn Daartoe brenge men door het zwaartepunt S drie onder- ling loodrechte coördinatenassen zoodanig aan, dat de as SX met de draaiingsas samenvalt (fig. 186 en 187). Zij vOï het moment van het koppel, en mtg (fig. 186) een der tangentieele ontbindingskrachten; ontbindt men deze

-ocr page 301-

289

laatste op de in de figuur aangegeven wijze in de twee
krachten mtQ cos « = mty en mtQ sin « = mts, dan blijkt

dat aan de zes even-

Fipl86.

wichtsvergelijkingen is vol-
daan. In de richting der
as SX zijn geen ont-
bindingskrachten ; de som
der ontbindingskrachten
in de richting S Y is
X (mtz) = f 2.\' (wz), die
in de richting <SZ is
2 {mty) = é 2\' (wy), en
daar het zwaartepunt zoo-
wel in het vlak XZ als
in het vlak X Y ligt, is:

ü(my) = 0 en 2\'{mz\')  0.

ten opzichte van de assen

De sommen der momenten

SX, SY en SZ zijn:

en 2{mtzx)
en t2\'(mzx).

Daar volgens vergelijking (135) t = ^:W is, is de som der

momenten ten opzichte van
de as SX gelijk nul. Daar
verder de as een vrije as
is, heeft men:

2(myx) = 0 en 2{mzx) = 0,

zoodat ook de sommen der
momenten ten opzichte van
de assen S Y en SZ gelijk
nul zijn.

Daar aan de zes evenwichts-
vergelijkingen voldaan is, zijn
er geen weerstanden noodig
om de as in onveranderlijken
stand te houden, en heeft
dus de ontbindingsbeweging op bovengenoemde wijze plaats.

Dr. Julius, Mechanica. 19

-ocr page 302-



		290

		§ 96. Rollende beNveging langs een hellend vlak. Indien er geen wrijvings weerstand voorhanden was, dan zou een lichaam, dat op een hellend vlak is geplaatst en zich aanvankelijk in rust bevond, een voortgaande beweging verkrijgen, en de aanrakingsplaats zou daarbij langs het hellend vlak glijden. De wrijvingsweerstand werkt dit glijden tegen, en veroorzaakt tevens een draaiende beweging. Is de wrijvingsweerstand groot genoeg om het glijden van de aanrakingsplaats geheel te beletten, dan krijgt het lichaam een rollende beweging. Om te onderzoeken of de beweging een zuiver rollende, of wel een onvolkomen, met glijden verbonden rollende is, kan men zich voorstellen, dat om het lichaam een draad is gewikkeld, die langs het hellend vlak uitgestrekt en aan eenig punt bevestigd is, en die het lichaam dwingt een rollende beweging te volbrengen. Vergelijkt men dan de spanning F in dien draad met den wrijvingsweerstand, die bij het glijden van het lichaam zou ontstaan, en blijkt het dat deze wrijvings weerstand niet kleiner is dan genoemde Fig-.188.

		kracht F, dan zal ook zonder het voorhanden zijn van den draad de beweging van het lichaam een rollende zijn. Op het rollende lichaam (flg. 188) werken drie krachten,

-ocr page 303-



		291

		namelijk het gewicht Mg, de normale weerstand N en de kracht F. Van deze drie klachten werkt alleen F langs een lijn, die niet door het zwaartepunt gaat; de draaiing om het zwaartepunt geschiedt derhalve met de hoekversnelling: Fr -¹ s In deze vergelijking beteekent T_s het traagheidsmoment ten opzichte van de door het zwaartepunt gaande, loodrecht op de baan gerichte as, die verondersteld wordt een vrije as te zijn. De lijnversnelling van eenig punt op den omtrek is: Fr²P = rt -_T-. Stelt ii de op den omtrek van den rollenden cirkel ge- reduceerde massa voor, dan is T, = iir², en derhalve: jP== of F=fip. (149) Zooals vroeger is aangetoond, heeft bij de rollende bewe- ging elk punt op den omtrek, tengevolge van de draaiende ontbindingsbeweging, een lijnsnelheid, die steeds gelijk is aan de snelheid der voortgaande ontbindingsbeweging; derhalve zijn ook de versnellingen der ontbindingsbewegingen aan elkander gehjk. Hieruit volgt dat de versnelling van het zwaartepunt eveneens de grootte p heeft. Volgens § 94 is die versnelling: __Mgsxna F ^p~ M Substitueert men hierin de hierboven gevonden waarde van F, dan verkrijgt men: Mg smet ..... P = Tf 7" ⁽¹⁵⁰⁾ De som der ontbindingskrachten in de richting normaal op het vlak is nul, dus: .A7" Mg cos « = 0 of N = Mg cos a. 19*

-ocr page 304-



		292

		Is f de wrijvingscoëfficient, dan heeft bij een werkelijk glijden de wrijvingsweerstand de grootte fN. Is /"iVgrooter dan F, dan komt van de kracht fN slechts een gedeelte tot stand, en wel een gedeelte dat gelijk is aan F. Is daarentegen fN kleiner dan F, dan zou er een glijden plaats grijpen, indien er geen draad voorhanden was. In het grensgeval is fN = F of volgens vergelijking (149): f Mg cos « = up. Substitueert men hierin de voor p gevonden waarde, dan verkrijgt men: , m Mg sin « f Mg cos « = ~~V_/,~~ of g«-(i f)A Uit deze vergelijking kan de hoek bepaald worden, dien het hellend vlak hoogstens met den horizon mag maken, opdat de beweging tengevolge van den wrijvingsweerstand een rollende zij. Zij geeft tevens de grens aan, tot welke, zonder het voorhanden zijn van den draad, de vergelijking (150) geldig blijft. M Is het lichaam een cilinder, dan is =2, en dus geeft I tga:=3f de grootste helling van het vlak aan, waarbij de cilinder nog rolt. Zoolang de hellingshoek deze waarde niet overschrijdt, is volgens vergelijking (150) de versnelling: p = $gsma.

-ocr page 305-



		VIEEDE AFDEELING.

		STATICA VAN VEERKRACHTIGE LICHAMEN OF LEER VAN HET EVENWICHT VAN KRACHTEN OP EEN VEERKRACHTIG LICHAAM WERKENDE.

		HOOFDSTUK XV. Verlenging en verkorting van een prismatische stang. § 97. Elasticiteit. In de twee vorige afdeelingen werden de lichamen als absoluut vast beschouwd; er werd aangenomen: 4°. dat de kleinste deelen in rust zijn op hun gemiddelde plaatsen, 2°. dat de afstanden der deelen onveranderlijk zijn. Voortaan zal van deze laatste vereenvoudiging worden afgezien, en zal onder een elastisch lichaam worden verstaan, een stelsel van punten, die in rust zijn op hun gemiddelde plaatsen, en die door hun onderlinge werking op die plaatsen gehouden worden. Wanneer geen uitwendige krachten werken, en dus het lichaam in rust is of een eenparige rechtlijnige beweging heeft, dan is de resultante van de inwendige krachten op eenig deeltje P werkende steeds nul. De stand, dien P dan inneemt ten opzichte van de overige punten, zal de nulstand genoemd worden. Gaan op het lichaam uitwendige krachten werken, dan zullen in het algemeen de afstanden der deeltjes onderling veranderen. Blijkens de ervaring zal dan de resultante der inwendige krachten op P werkende, gericht zijn langs de lijn, die de plaats van P verbindt met den nulstand; ter- wijl de grootte dier resultante evenredig is met den afstand van P tot den nulstand. Houden de uitwendige krachten

-ocr page 306-



		294

		op te werken, dan keeren de deelen in den nulstand terug. Dit geldt evenwel slechts zoolang de afstand der deeltjes tot den nulstand zeer klein blijft; wanneer die afstand een zekere grens overschrijdt, dan keeren de deeltjes na het ophouden der uitwendige krachten niet meer tot den nul- stand terug. Alle verschijnselen, die samenhangen met de uitwijking der deeltjes uit den nulstand, behooren tot de leer der elasticiteit. Indien op een lichaam uitwendige krachten werken, dan bevinden, zooals reeds boven is opgemerkt, de deeltjes zich niet in den nulstand; door het optreden van die uitwendige krachten ondergaan dus vorm en afmetingen van het lichaam een verandering. Om de voorwaarden te kennen, waar- onder de uitwendige krachten in evenwicht zijn, moet in ieder bijzonder geval de door de uitwendige krachten teweeg- gebrachte vormverandering worden bepaald, en moet tevens onderzocht worden of bij de stof, waaruit het lichaam bestaat, de inwendige krachten de grootte kunnen hebben, beant- woordende aan de uitwijking der deeltjes uit den nulstand. De wetten, volgens welke bij verschillende stoffen de in- wendige krachten met de uitwijking der deeltjes uit den nulstand veranderen, moeten daartoe vooraf proefondervinde- lijk worden bepaald. De in de tweede afdeeling gevonden algemeene evenwichtsvergelijkingen blijven overigens ook voor de elastische lichamen geldig. Heeft toch een lichaam ten- gevolge van uitwendige krachten een vormverandering onder- gaan, dan zal de evenwichtstoestand niet worden gestoord als het met behoud van die vormverandering in een abso- luut vast lichaam veranderd wordt. Voor de uitwendige krachten , die het lichaam in dezen evenwichtstoestand houden, gelden derhalve dezelfde vergelijkingen, die bij absoluut vaste lichamen van gelijken vorm zouden moeten aangewend worden. Hetzelfde geldt ook voor de inwendige krachten. Stelt men zich voor dat het lichaam door een willekeurige snede in twee deelen wordt verdeeld, en dat aan de snij vlakte op elk der deelen uitwendige krachten gaan werken, welke den vorigen evenwichtstoestand herstellen, die krachten derhalve, welke vroeger als inwendige krachten werkten, dan geldt nu voor elk dei^- beide deelen wat vroeger voor het geheel

-ocr page 307-



		\'295

		gold. Door herhaling van deze handelwijze kunnen de in elk punt van het elastisch lichaam werkende inwendige krachten woi\'den onderzocht. De kennis van de wetten der elasticiteit is derhalve voldoende om de statica der elastische lichamen terug te brengen tot de statica der absoluut vaste lichamen. § 98. Elasticiteitsmodulus. Een stang worde in verticalen stand geplaatst en aan het boveneinde bevestigd; onder aan de stang worde een massa gehangen, welks gewicht voortaan de belasting zal worden genoemd. Om de inwendige krachten te bepalen, die in eenige horizontale laag werkzaam zijn, stelt men zich voor dat de stang is doorgesneden, en dat aan de doorsnede uitwendige krachten gaan werken, die met de overige krachten evenwicht maken. Indien men het gewicht van het afgesneden stuk der stang verwaarloost, dan is de ver- vangende der op de doorsnede werkende krachten even groot als de belasting en verticaal naar boven gericht. Zij P een punt en V een om P heen gelegen deel dei- doorsnede, zij verder Q de vervangende van de op V wer- kende krachten, dan hangt het quotiënt -^ in het algemeen af van de grootte van V. Laat men F tot nul naderen, dan nadert -^L- tot een bepaalde grenswaarde S, die men de spanning der stang in P noemt. Is de stang prismatisch en de belasting gelijkmatig verdeeld, dan is de spanning in alle punten dei" doorsnede en, bij verwaarloozing van het gewicht der stang, tevens in alle punten der stang even groot. Indien men verschillende prismatische stangen aan het boveneinde bevestigd, van onderen belast, en de verlengingen waarneemt die zij daardoor ondergaan, dan verkrijgt men de volgende resultaten: 1) Zoolang de spanning van de stang een bepaalde grens, de zoogenaamde elasticiteitsgrens (§ 99), niet overschrijdt, is de verlenging evenredig met de be- lasting, en krijgt de stang bij het wegnemen der belasting haar oorspronkelijke lengte terug.

-ocr page 308-



		296

		Daar spanningen, welke deze grens overschrijden, in de practijk niet mogen voorkomen, zoo mag de evenredigheid van belasting en verlenging als algemeen geldig worden beschouwd. 2) De verlenging der stang is evenredig met haar oor- spronkelijke lengte. De spanning is over de geheele lengte der stang dezelfde, en ook de verlengingen der afzonderlijke deelen zijn derhalve evenredig met hun oorspronkelijke lengten. 3) De verlenging is omgekeerd evenredig met de door- snede der stang. De belasting wordt verondersteld gelijkmatig verdeeld te zijn. Een stang, wier doorsnede n vlakte-eenheden bevat, kan beschouwd worden als te bestaan uit n stangen, elk met een doorsnede van één vlakte-eenheid; elk dier stangen draagt het n^Ae gedeelte van de belasting en ondergaat der- halve het n\'^]e gedeelte van de verlenging, die de geheele belasting daaraan zou teweegbrengen. 4) De verlenging hangt af van de stof waaruit de stang bestaat. Indien men onder aan een stang met de lengte L meters en de doorsnede F vierkante meters een belasting van Q dynamische eenheden aanbrengt, dan is de verlenging: l=:fLQ meters. (151) De coëfficiënt f beteekent de verlenging van een stang van één meter lengte en één vierkanten meter doorsnede, aan welker onderste uiteinde een belasting van één dyn. eenheid is aangebracht. De coëfficiënt f hangt dus alleen af van de stof waaruit de stang bestaat. In plaats van dezen coëfficiënt voert men gewoonlijk in den coëfficiënt: welke de elasticiteitsmodulus der stof wordt genoemd. Vergelijking (151) gaat daardoor over in:

-ocr page 309-



		297

		Stelt men hierin X = L en F\\, dan wordt E=Q; dat is: de elasticiteitsmodulus van een stof geeft aan het aantal dynamische eenheden van de belasting, die noodig zou zijn om een stang dier stof met een doorsnede van één vierkanten meter tot haar dubbele lengte uit te rekken, steeds in de veronderstelling, dat ook bij zoo groote span- ningen de verlenging evenredig bleef met de belasting. In het CGS-stelsel geeft de elasticiteitsmodulus van een stof aan het aantal dynamen van de belasting, die noodig zou zijn om een stang dier stof met één vierkanten centi- meter doorsnede tot haar dubbele lengte uit te rekken. In het CGS-stelsel is dus de elasticiteitsmodulus 10 maal zoo gi\'oot als de hierboven aangegevene. De verlenging van een smeedijzeren stang met een door- snede van één vierkanten meter en belast met één dyn. 1 eenheid bedraagt ~~._fl. ê~~nrncf- van de oorspronkelijke lengte. De elasticiteitsmodulus van smeedijzer is derhalve 196,2.10⁹. In het CGS-stelsel zou hij 196.2.101 o zijn. Is omgekeerd bekend dat de elasticiteitsmodulus van smeed- ijzer 196,2.10⁹ bedraagt, dan vindt men voor de verlenging van een stang van 2 meters lengte en 400 vierkante milli- meters doorsnede, en belast met een massa van 3000 kilogram, waarvan het gewicht dus 29430 dyn. eenheden bedraagt: , 29430.2 . _AAA_ ¹ = 4.10-M96.2.10* " °-°⁰⁰⁷⁵ ^mete,\'- Indien men de aan het begin dezer paragraaf vermelde proef omkeert, en de van onderen bevestigde stang aan haar boveneinde belast, dan zal deze belasting een verkorting van de stang teweegbrengen. Hierbij is gebleken, dat ter be- paling der verkortingen dezelfde vergelijkingen gelden, vol- gens welke de verlengingen moesten berekend worden, en dat voor alle stoffen de elasticiteitsmodulus bij samendrukking even groot is als die bij uitrekking. § 99. Elasticiteits- en vastheidsgrens. Indien de spanning van de stang een bepaalde grens overschrijdt, dan ontstaat een verlenging, die bij het weg-

-ocr page 310-



		298

		nemen van de belasting slechts gedeeltelijk weer verdwijnt. Wordt de spanning nog grooter, dan bereikt zij ten slotte een tweede grenswaarde, bij welke de stang breekt. De grenswaarde S, die de belasting eener stang met een doorsnede van één vierkanten meter niet kan overschrijden, zonder een blijvende verlenging teweeg te brengen, wordt de elasticiteitsgrens der stof genoemd. Zooals reeds in de vorige paragraaf werd opgemerkt, is deze waarde tevens de grens tot welke vergelijking (15\'2) nog geldig blijft. De waarde ,u, welke de belasting eener stang met één vierkanten meter doorsnede niet kan overschrijden zonder dat de stang breekt, wordt de vastheidsgrens der stof ge- noemd. Een smeedijzeren stang met één vierkanten meter door- snede ondergaat een blijvende verlenging als haar belasting meer dan 14,7.10⁷, en breekt als haar belasting meer dan 39.4O⁷ dyn. eenheden bedraagt. Indien de elasticiteitsgrens S en de vastheidsgrens ,u van de stof uit proeven bekend zijn, dan is het gewicht P, waarmede een uit die stof vervaardigde stang met een door- snede van F viei\'kante meters hoogstens belast kan worden zonder een blijvende verlenging te ondergaan. P = S.F dyn. eenheden (153) en de belasting Q, die voldoende zou zijn om de stang dadelijk te doen breken: Q = ft .Fdyn. eenheden. De waarde van P uit vergelijking (153) is tevens de uiterste grenswaarde, waartoe bij eenig gebouw de belasting van een zoodanige stang kan worden opgevoerd zonder de* veiligheid van het gebouw in gevaar te brengen. De in de vorige paragraaf als voorbeeld gekozen smeed* ijzeren stang met een doorsnede van 400 vierkante milli- meters, zou hoogstens met P = 14,7.10⁷.4.10^-!l = 58800 dyn. eenheden kunnen worden belast zonder de elasticiteits- grens te overschrijden. Om de stang dadelijk te doen breken zou een belasting Q = 39.10U.10\'⁴ = 156000 dyn. een- heden noodig zijn. Ter berekening van de teweeggebrachte

-ocr page 311-



		299

		verlenging mag vergelijking (152) slechts worden gebruikt, zoolang de belasting niet meer dan 58800 dyn. eenheden bedraagt. Daar het in de practijk doorgaans niet mogelijk is van te voren op alle omstandigheden acht te geven, die mettertijd een vermeerdering van de spanning of een ver- mindering van het weerstandsvermogen tengevolge kunnen hebben, zoo is men gewoon in plaats van S een kleinere waarde al naarmate van den verlangden graad van zekerheid slechts de waarde g- , ^ . . . . als geoorloofde grens van de belasting per vierkanten meter der doorsnede aan te nemen. Om het draagvermogen te berekenen van een stang, die in de richting harer lengte wordt samengedrukt, moet men op soortgelijke wijze te werk gaan. De elasticiteitsgrens en de vastheidsgrens moeten door afzonderlijke proeven worden bepaald, daar zij in het algemeen verschillen van de bij de uitrekking gevonden waarden.

		HOOFDSTUK XVI. Buiging. § 100. Spanningen in gebogen balken. Als men van een horizontalen prismatischen balk het eene uiteinde bevestigt, en het andere vrije uiteinde belast, dan zal deze belasting een buiging van den balk teweegbrengen; de oorspronkelijk rechte balk wordt gebogen; de bolle kant is daarbij naar boven gericht (fig. 189). Beschouwt men den balk als een bundel evenwijdige onverbreekbaar aan elkander bevestigde lagen, dan worden bij de buiging de bovenste lagen langer, de onderste korter. Tusschen de bovenste en de onderste laag moet zich dus ergens een laag AB bevinden, die noch langer noch korter wordt; deze laag wordt de neutrale laag genoemd. De verlengingen van de bovenste en de verkortingen van de onderste lagen zijn grooter, naarmate de lagen verder van de neutrale laag verwijderd zijn. Men mag aannemen,

-ocr page 312-

300

dat de afzonderlijke doorsneden van den balk, welke vóór
de buiging loodrecht stonden op de rechtlijnige as, ook na
de buiging bij benadering haar vlakken vorm en haar lood-

rechten stand op de

Fin 189.

nu kromlijnige as be-

houden hebben. De
twee zeer dicht bij
elkander gelegen door-
sneden E F en CD,
die oorspronkelijk even-
wijdig waren, zullen
nu een hoek met
elkander maken. De
tusschen deze twee
doorsneden gelegen
deelen der afzonder-
lij ke lagen hadden
vóór de buiging alle
de lengte MN. Brengt
men dus door het punt
M een vlak GH,
evenwijdig aan de door-
snede EF, dan geven
de tusschen de vlakken CD en GH liggende stukken de
lengteveranderingen dier deelen aan. Noemt men de af-
standen van de bovenste laag en van de laag LQ tot de
neutrale laag respectievelijk w en u, dan is volgens fig. 189:

PQ
GC

PM
GM

Hieruit volgt, dat de lengteveranderingen van de tusschen
twee doorsneden gelegen deelen der afzonderlijke lagen zich
verhouden als de afstanden dier lagen tot de neutrale laag,
en daar ook de spanningen evenredig zijn met de lengte-
veranderingen, zoo verhouden de spanningen in de punten
E en L zich als hun afstanden tot de neutrale laag.

Noemt men dus s de spanning in het punt L (fig. 190)
en S de spanning in het punt E, dan is:

s
S

of 8 = 8 - .
w

(154)

-ocr page 313-



		301

		In alle punten van de doorsnede E F, welke op denzelfden afstand u van de neutrale laag gelegen zijn, is de spanning s even groot. Is in alle punten van een oppervlak de spanning even groot, dan verkrijgt men de vervangende van alle op dit oppervlak werkende krachten door de spanning te vermenigvuldigen met het aantal vierkante meters van het oppervlak. Verdeelt men dus de doorsnede EF van den balk door lijnen evenwijdig aan de neutrale laag in

		*Fig.190.*
		*Fiff.191.*


		oneindig smalle strooken, en is f (fig. 191) de vlakte-inhoud van de strook op den afstand u van de neutrale laag gelegen, dan is de vervangende van de op die strook werkende krachten: s.f=S - f. w Indien men den balk snijdt door een vlak, dat in het punt N loodrecht staat op de neutrale laag, en daarna onderzoekt welke krachten aan de scheidingsvlakte moeten werken om den even wichtstoestand van het stuk BN (fig. 192) te herstellen, dan bevindt men, dat vooreerst aan het af- gesneden eind van elke laag een kracht moet werken in de lengterichting dier laag, welke de boven gevonden grootte sf = S f heeft. In de veronderstelling dat de doorbui- ging zeer gering is, kunnen de lijnen waarlangs deze krach- ten werken als horizontaal worden beschouwd. Bovendien

-ocr page 314-



		302

		moet in de doorsnede nog een kracht V verticaal naar boven werken, omdat genoemde horizontale krachten alleen niet voldoende zouden zijn om de verticaal naar beneden wer- kende kracht K in evenwicht te houden. Wegens de ver- onderstelde geringe buiging mag men aannemen, dat de scheidingsvlakte verticaal is, en dat dus de kracht V langs dit vlak werkende, een verschuiving van het stuk BN belet. Daar F en K de eenige verticaal gerichte krachten

		s&f*

		zijn, die op het stuk BN werken, zoo volgt uit de alge- meene evenwichtsvergelijking: V=K. De eenige horizontaal gelichte krachten, die op het stuk BN werken zijn bovengenoemde krachten sf; boven de neutrale laag werken zij van rechts naar links, onder de neutrale laag van links naar rechts. De som dier krachten moet gelijk nul zijn, dus: *(£«r)-o,

-ocr page 315-

303

of, als men den gemeenschappelijken factor van alle onder

het somteeken staande termen weglaat :

£ (f_u) = 0. (155)

Uit deze vergelijking blijkt, dat de som der momenten
van alle volumedeelen dei" doorsnede ten opzichte van de in
de neutrale laag liggende horizontale lijn NN, welke de
neutrale as wordt genoemd, gelijk nul is. Deze som kan
vervangen worden door het product van den vlakte-inhoud
der geheele doorsnede met den afstand van haai^- zwaarte-
punt tot genoemde as, en daar dit product gelijk nul is,
zoo moet het zwaartepunt der doorsnede in de neutrale as
liggen. Door de vergelijking (155) wordt dus de ligging
der neutrale laag bepaald; zij drukt uit dat de neutrale
laag die laag is, welke door de zwaartepunten van alle
doorsneden gaat. De algemeene evenwichtsvoorwaarden ver-
eischen bovendien nog, dat de som der momenten van alle
op het stuk BN werkende krachten ten opzichte van een
willekeurige as, bijv. ten opzichte van de in fig. 192 lood-
recht op het vlak der teekening staande neutrale as N N_t ,
gelijk nul is. Het moment van de kracht K is positief,
de momenten van alle krachten sf zijn negatief. Daar verder

het moment van de kracht sf de grootte - u = fu²

w w

heeft, zoo is als de lijn NB x meters lang is:

of den standvast

en factor voor het somteeken brengende:

^2(fu²) = Kx. (156)

In deze vergelijking beteekent 2 (fu²) de som der pro-
ducten van de afzonderlijke volumedeelen der doorsnede met
de vierkanten van hun afstanden tot de neutrale as. Het
traagheidsmoment dier doorsnede ten opzichte van de neutrale
as zou zijn:

T=Z(yfu²) = yi;(fu²).

-ocr page 316-



		304

		Stelt men y = 1, en noemt men deze waarde van T t, dan is: X = Z (f_u)* het traagheidsmoment der doorsnede ten opzichte van de neutrale as, indien zich op iederen vierkanten meter der doorsnede een massa van één kilogram bevindt. Vergelijking (156) gaat daardoor over in: t = Kx. (157) Indien op het stuk BN behalve de kracht K nog andere krachten in verticale richting werken, dan moet Kx ver- vangen worden door de som der momenten van al die krachten ten opzichte van de neutrale as der doorsnede. Stelt men deze som door 3)ï voor, dan verkrijgt vergelij* king (157) den meer algemeenen Vorm: Ï==«W of S = ~m. (158) tv X In deze vergelijking beteekent S de spanning in een punt der doorsnede op den afstand w van de neutrale laag ge- legen. Is iv, zooals hier zal worden aangenomen, de afstand van die laag, welke het verst van de neutrale laag ver- wijderd is, dan is S tevens de grootste spanning, die in de geheele doorsnede voorkomt Uit vergelijking (158) kan men derhalve de grootste spanning in eenige doorsnede berekenen, zoodra de groot- heden w, £ en $)ï gegeven zijn. § 101. Traagheidsmom enten der doorsneden. Om de traagheidsmomenten £ der doorsneden te ver- krijgen , behoeft men slechts in de in § 85 gevonden waarden van T den factor y = 1 te stellen. Is de doorsnede een rechthoek, waarvan de hoogte h en de breedte b is, dan is het traagheidsmoment ten opzichte van een as door het zwaartepunt evenwijdig aan de lijn met de lengte b getrokken:

-ocr page 317-

305

De in lig. 193 voorgestelde doorsnede kan beschouwd
worden als het verschil van twee rechthoeken met hoogten
H en h, en breedten B en b ; derhalve is:

BH³12

bh³12\'

£ ₌

Dezelfde uitdrukking geldt ook voor de in fig. 194 voor-
gestelde doorsnede. Op soortgelijke wijze kunnen de traag-

Fiffl9i.

heidsmomenten bepaald worden van andere doorsneden, die
tot den grondvorm van den rechthoek kunnen worden terug-
gebracht , zoodra zij symmetrisch
zijn ten opzichte van de door
het zwaartepunt gaande hori-
|:^ zontale as.

Bij niet symmetrische door-
sneden moet eerst de ligging
van het zwaartepunt worden
bepaald. Voor de in fig. 195
Ia, voorgestelde doorsnede heeft
men ter bepaling van de af-
\\ standen x_t en x₂, waarop de
zwaartepunten S_t en £₂ van
S verwijderd zijn, de verge-

lijkingen:

en x_l-\\-x_i=^-1i,

b_t A, x_l = b₂ h_t x₂

Dr. Julius, Mechanica.

-ocr page 318-

306

waaruit men vindt:

_r . ft»M*.4A) _x _ ft.M». V

¹ " 2 (6, A, 6₂ A_a)~ ² 2 (i, A, 6₂ A₂)"

Voor de traagheidsmomenten X_t en ï₂ van de afzonder-
lijke rechthoeken ten opzichte van de horizontale door het
zwaartepunt S der geheele doorsnede gaande as heeft men dan :

b h ³T "iⁿi 4-b h tr ²

bh³

12 \' "" "\' ~\' ~" *» ~~ 12

waarna het traagheidsmoment der geheele doorsnede bepaald
kan worden uit de vergelijking:

Het traagheidsmoment van een cirkelvormige dooi\'snede
ten opzichte van haar middellijn is:

* i

of, als D de middellijn van den cirkel is:

2 = ^- d59)

JPigJOO.

De in fig. 196 voorge-
stelde ringvormige doorsnede
kan beschouwd worden als
het verschil van twee cirkels
met de middellijnen D en d.
Haar traagheidsmoment is
derhalve:

_t_n{D*d*)

§ 102. Berekening van de grootste spanning.

Uit vergelijking (157) blijkt dat de grootste in een door-
snede voorkomende spanning voor verschillende doorsneden
een verschillende waarde heeft; de spanning S toch hangt
of van het moment der kracht K; zij is het grootst in die

-ocr page 319-

307

doorsnede, welke het verst van het aangrijpingspunt dei-
kracht K verwijderd is, dus in die, welke met de bevesti-
gingsplaats samenvalt. Stelt men x = l, dan wordt:

^SZ = Kl, (160)

waarin nu S de grootste in den geheelen balk voorkomende
spanning beteekent.

Is de doorsnede van den balk een rechthoek (fig. 197),

Fyr.

197

S*-

bh*
12"

dan is w = = en

Stelt men deze waarden in

bovenstaande vergelijking, dan verkrijgt men:

^Sbh* VI «f <? ^6Kl

(16-1)

Is bijv. iT=1250 dyn. eenheden, J=0,8, 6 = 0,02
en h = 0,1 meter, dan verkrijgt men voor de grootste
spanning in den balk de waarde:

6.1250.0,8
0,02.0,1²

= 3.10⁷ dyn. eenheden.

Deze waarde moet steeds kleiner zijn dan de practisch
geoorloofde spanning voor de stof waaruit de balk bestaat.
Omgekeerd kan uit vergelijking (161) de grootste waarde
bepaald worden die de kracht K kan hebben, zonder dat
de practisch geoorloofde spanning wordt overschreden. Is
bijv. als practisch geoorloofde spanning van smeedijzer ge-
geven £ = 6.10⁷dyn. eenheden, dan vindt men dat bijeen

20*

-ocr page 320-



		308

		balk van bovengenoemde afmetingen de grootste waarde der kracht K 2500 dyn. eenheden is. Zijn de kracht K en de grootte der geoorloofde spanning gegeven, dan kunnen uit vergelijking (100) de afmetingen berekend worden, die de doorsnede minstens hebben moet. Heeft de balk een cirkel- FUt.198 vorrhige doorsnede (fig. 198), f d ^/k dan is tv , en volgens

		waaruit de middellijn cl van den cilindervormigen balk kan worden berekend. Stelt men bijv. I = \\ ,5 d. K= 10000 dyn. eenheden, en de in de practijk geoorloofde spanning voor gietijzer 3.10⁷ dj^Tn. eenheden, dan verkrijgt men:

		^ _X/A8.K »/ 48Tl0000" nmi/ _t^d " V § . « ⁼ V 3TÏÖ7T 3714 = °\'⁰⁷¹⁴ ^meterS- Op deze wijze moet de middellijn van een tap berekend worden, indien men zekerheidshalve aanneemt, dal de weer- stand van de tappan in het uiteinde van de tap aangrijpt, iets wat bij een minder zorgvuldige bewerking van de tap- pan kan voorkomen. De grootste spanning in een balk, die aan de uiteinden ondersteund en in eenig punt A met een gewicht Q belast is (fig. 199), kan evenzoo uit vergelijking (160) berekend worden. Wordt toch het stuk AB_t in een vasten wand besloten, en daarna de belasting Q weggenomen, dan be- vindt het stuk AB zich in denzelfden toestand als de balk AB in fig. 197; slechts met dat onderscheid, dat nu de kracht K naar boven werkt. In vergelijking (1G0) betee- kent vooi^- dit geval K den weerstand van het eene steun- punt, en l den afstand van dit steunpunt tot het aangrijpings-

-ocr page 321-

300

punt der belasting. Daar K(7, /) = Ql_{ is, vindt men

K =

dus:

l h \'

8_»_ Q«,

Daar KI = K_ll_i is, komt men tot dezelfde vergelijking,
als men de grootste spanning in het stuk A B, zoekt.

Is de belasting van een in zijn beide uiteinden ondersteun-

199

den balk gelijkmatig over zijn lengte L verdeeld, en is p de
belasting van de lengte-eenheid, dan is K =-^~ de weer-
stand van elk der beide steunpunten, en px de belasting
van het stuk BM=x (fig. 200). Stelt men zich voor

FUy.200

Kl£t

3? *

dat het deel AM in een vasten wand besloten is, dan kan
het buiten dien wand uitstekende deel BM beschouwd
worden als een balk, waarop twee krachten werken, namelijk

-ocr page 322-



		310

		de naar boven werkende kracht K, en de naar beneden werkende kracht px, aangrijpende in het zwaartepunt van BM. De in de doorsnede M teweeggebrachte spanningen hangen af van het verschil der momenten dier twee krach* ten. In de algemeene vergelijking (158) heeft dus $R de waarde: «0? - Kx - vx i=P^Lx £^ De grootste spanning in een doorsnede op den afstand x van een der beide uiteinden, vindt men dus uit de verge- lijking: Het product van de twee stukken x en L x is het grootst als x L x =- -=- is. De grootste in den ge- heelen balk voorkomende spanning wordt dus in het midden van den balk gevonden, en kan bepaald worden uit de ver- gelijking : w 8 \' Het eigen gewicht van een prismatischen balk is een gelijkmatig over de lengte van den balk verdeelde belasting. Is y de soortelijke massa van de stof waaruit de balk be- staat, dan is gy het gewicht van een cubieken meter; is F het aantal vierkante meters van de doorsnede, dan is het gewicht van een stuk van één meter lengte: p = gyF. De grootste spanning door het eigen gewicht van den balk teweeggebracht, verkrijgt men dus uit de vergelijking: S ^ _ gyFL* ~io 8 " Heeft de balk de gedaante van een parallelopipedum met de hoogte h en de breedte b, dan neemt deze vergelijking den vorm aan: Sbh¹ gybhL .* _T 4 S h ---\'8~\' ^0ÏL^Zg--T"L\'*

-ocr page 323-

311

De lengte, waarbij de balk nog in staat is zijn eigen
gewicht te dragen, wordt dus bepaald eensdeels door het

quotiënt , dat afhangt van de stof waaruit de balk bestaat,

anderdeels door het quotiënt -*- van zijn hoogte en lengte.

Voor smeedijzer is y = 7700; neemt men voor de ge-
oorloofde spanning S=6.10⁷, dan verkrijgt men als
grootste lengte voor een balk, welks hoogte het honderdste
deel der lengte is:

^L ⁼ imr\' wo ïoö = ¹⁵<⁹ ^meters-

Heeft de balk een doorsnede van den in fig. 193 voor-

. . a. BH³bh³ H

gestelden vorm, dan is A =-------j^a------\' ^w ⁼ ir \'

F=BH bh. Zijn grootste lengte kan dan bepaald
worden uit de vergelijking:

_QBH³ bh³ ,_B ... L²

S-----g-g=-----= gy{BHbh)-g-,

3g S H ⁱ bh

of: L =

y L BH

¹ bh

h h

Stelt men bijv. -^- = ^- = 0,9 dan verkrijgt men:
4 8 H

h xr- - -r . 1,81.
3ff y L

De holle balk mag derhalve onder overigens gelijke om-
standigheden een 1,81 maal zoo groote lengte hebben als
de massieve.

§ 103. Elastische lijn.

De kromme lijn AB (fig. 189), die de kromming van
de neutrale laag aangeeft, wordt de elastische lijn genoemd.
Het oneindig kleine stuk MN van deze lijn kan beschouwd

-ocr page 324-



		312

		worden als een cirkelboog, welks middelpunt 0 het snijpunt is van de twee normalen CD en EF, en welks straal o = ON de kromtestraal in dat punt van de elastische lijn wordt genoemd. Uit de gelijkvormigheid der driehoeken. CGM en MN O volgt de evenredigheid: CG _MG MN ON\' CG is de verlenging van MN in de laag waarin de spanning is S; indien de verlenging MN bedroeg, en dit stuk dus tot de dubbele lengte werd uitgerekt, dan zou de spanning E bedragen. Daar nu de verlengingen evenredig C C S\' ziin met de spanningen is ,_.. = ^: stelt men weer MG = W ^r ° MN E en ON g, dan is dus: A== ^w ₀f 1L~JL En 10 Q Cf Dooi^- substitutie van deze waarde van in de algemeene w vergelijking (158) verkrijgt men: ET ff ^^=?9?. (162) Q Uit deze vergelijking vindt men voor den kromtestraal van het oneindig kleine stuk MN der elastische lijn AB (fig. 201): ₌ E$_ Et ^e_: 3R "~ K(lx)\' In de vergelijking: a/Ar c ^MN MN = Qq> of op = - Q mag wegens de veronderstelde geringe doorbuiging de boog MN vervangen worden door zijn horizontale projectie MP=* A ; substitueert men daarin bovendien de voor q gevonden waarde, dan wordt: *, ₌ <<-L. ₍₁₆₃₎**

-ocr page 325-

313

Verdeelt men de horizontale projectie AQ = x van den
boog MN in oneindig kleine deelen A, en geeft men in
bovenstaande vergelijking aan x achtereenvolgens alle waar-
den A, 2 A, 3 A enz., dan verkrijgt men door sommatie
van alle op deze wijze voor de bijbehoorende oneindig kleine
hoeken gevonden uitdrukkingen, de vergelijking:

K(l x)&\'
El

(<jp) = ^[

Het eerste lid dier vergelijking stelt den hoek w voor,
j?Uf.2cn

dien de kromtestraal OM met de verticaal, of de elastische

lijn in het punt M met den horizon maakt. De grootheid ._tT<

ti i,

in het tweede lid is bij den veronderstelden prismatischen

vorm van den balk een gemeenschappelijke factor van alle

termen onder het somteeken.

Men heeft dus:

\'^ü ⁼ \'M ^2:[Q-^X) ^A] ~ El j/^)*( *)] (164)

-ocr page 326-

314

-£(^to~t-} ⁽⁴⁶⁵⁾

Stelt men in deze vergelijking x = l, dan verkrijgt men
voor den hoek «, dien de elastische lijn aan haar uiteinde B
met den horizon maakt:

KI*

WEI\'

In den oneindig kleinen rechthoekigen driehoek MNP
is de verticale rechthoekszijde PN = i = A tg u>, of daar
wegens de veronderstelde geringe doorbuiging tg m door a>
mag worden vervangen:

₍ = 10 . A.

Substitueert men hierin voor w de in vergelijking (165)
gevonden waarde, dan verkrijgt men:

= Ei(^h-^h <ⁱ⁶⁶>

Verdeelt men wederom de horizontale projectie A Q van
kromme AM in oneindig kleine deelen, dan kan men de
bij elk deel behoorende verticale projectie van het overeen-
komstige stuk der kromme vinden, door in bovenstaande
vergelijking de bijbehoorende waarde van x te substitueeren;
door sommatie van alle op deze wijze gevonden uitdrukkingen
verkrijgt men:

^^W== ^[^\'(*^A)-^(*^2A)]- (167)

Het eei\'ste lid dier vergelijking stelt de som der verticale

projecties voor van alle stukken der kromme AM, en is dus

x^ x^

gelijk y (fig. 202); verder is 2\' (r A) = en 2(x² A) = -^;

2 3

hieruit volgt:

K (& x*\\
^!f~Et\\2 6 /\'

Voor x = l wordt y = e; de doorbuiging e van het uit-
einde B is dus:

KP
⁶~ 3 Et\'

-ocr page 327-

315

Indien de belasting gelijkmatig over den balk is verdeeld,
dan moet in vergelijking (162) het moment $)ï = K (l x)
vervangen worden door het moment:

SJJÏ =*_P(1 X) ^ = |(P 2te X>).

In plaats van de vergelijkingen (163) en (164) verkrijgt
men dan de twee volgende:

¹ ⁼Óf ⁽\'¹"~ ^2te *²)^A ^en

VEl [^hjS(^A) - ²^(* ^A) *<»* ^A) ]

ftff.202

p,(l-x)

Voor de hoeken cu en «, vindt men hieruit:

^w-afe(*"~^feï "3) ^en ^a - W

In plaats van de vergelijkingen (166) en (167), verkrijgt
men in dat geval de twee volgende:

* («) - y - jJj-[p -2" (* ^A) w (*² a) 12- (^3 _A)],

welke voor de doorbuigingen y en S in de punten M en B
de waarden geven:

-JL-.1¹~<2EZ\\

¹ x¹ lx^s . a?*\\

~3~ 12/

j^⁴

Z =

-ocr page 328-



		VIJFDE AFDEELING.

		DYNAMICA DER ELASTISCHE LICHAMEN.

		HOOFDSTUK XVII. De theorie der botsing. § 104. Rechte centrale stoot. Indien op het oogenblik dat twee lichamen tegen elkander botsen, de in het aanrakingspunt normaal op het raakvlak EE_l staande lijn X N_t door de beide zwaartepunten A en B gaat (lig. 203), dan noemt men den stoot een centralen. in tegenstelling met Fici- 203. den excentrischen stoot, bij welken genoemde normaal door geen, of slechts door een van beide zwaartepunten gaat. Bewegen de beide lichamen zich boven- dien in de richting dier normaal, dan wordt de stoot tevens een rechte stoot ge- noemd, in tegenstelling met den scheeven stoot, bij welken geen, of slechts een van beide bewegingsrichtingen normaal op het raakvlak is. Vóór den stoot had elk der beide lichamen een rechtlijnige eenparige beweging; op het oogenblik echter, dat de voorste massa m met de snelheid v ingehaald wordt door de achterste

-ocr page 329-

MATHEMATISCH INSTiTUUT

DER RIÜÖÖNSVE^iïEIT Tc UTRECHT

massa M met de grootere snelheid V, beginnen de twee
lichamen op elkander in te werken; op de aanrakingsplaats
ontstaan drukkrachten, door welke de bewegingen der
lichamen gewijzigd worden. Volgens de wet van werking
en terugwerking is de op de massa m werkende druk Z),
even groot als de op de massa M werkende druk D, maar
daaraan tegengesteld gericht. Op de massa m werkt de
druk ), in de i-ichting der beweging, en geeft aan die
massa een versnelling; op de massa M werkt de druk D
in de richting tegengesteld aan die dei\' beweging, en geeft
aan die massa een vertraging.

Volgens § 94 beweegt het zwaartepunt AB der massa m

zich evenzoo als een enkel

stoffelijk punt zou doen,
dat de massa m had en
waarop de druk werkte.
Indien derhalve op eenig
oogenblik de druk de
grootte 1) heeft verkregen
(Tig, 204), dan is de ver-
snelling van het zwaarte-
punt Ji der massa m:

Fig. 20$.

Om dezelfde reden is op dat oogenblik de vertraging van
het zwaartepunt A der massa M:

P =

M\'

Hoe ook de druk moge veranderen gedurende den tijd,
dat de beide lichamen met elkander in aanraking blijven,
het quotiënt der snelheidsveranderingen is voor elk tijds-
verloop:

JL = M.
P~ m\'

en de snelheidsveranderingen zijn dus omgekeerd evenredig
met de massa\'s.

Noemt men c de snelheid, die het zwaartepunt B der

-ocr page 330-



		318

		massa m op eenig tijdstip gedurende het verloop of aan het einde der botsing bereikt heeft, dan is cv de vermeerde- ring der snelheid die B tot op dit tijdstip heeft verkregen; en noemt men C de snelheid, die het zwaartepunt A dei- massa M op ditzelfde tijdstip heeft bereikt, dan \\s V C het bedrag waarmede de snelheid van A tot op hetzelfde tijdstip is verminderd. Het quotiënt dier snelheidsverande- ringen is dus:

		Brengt men deze vergelijking onder den vorm: me MC = mv M V, (169) dan kan zij ook rechtstreeks uit de beweging van het ge- meenschappelijk zwaartepunt worden afgeleid. Volgens § 94 moet het gemeenschappelijk zwaartepunt van het door de twee lichamen gevormde stelsel zich evenzoo bewegen, alsof de geheele massa er in vereenigd was, en alle krachten er op aangrepen. De versnelling van het gemeenschappelijk zwaartepunt is in dit geval gelijk nul, omdat er geen uitwendige krachten zijn, en de inwendige krachten, waartoe ook de beide drukkrachten D en Z), be- hooren, twee aan twee even groot en onderling tegengesteld gericht zijn. Hieruit volgt dat de snelheid van dit zwaarte- punt op het tijdstip, waarop vergelijking (168) betrekking heeft, nog even groot moet zijn als voor de botsing. Noemt men u de snelheid, waarmede het gemeenschappelijk zwaarte- punt zich vóór den stoot bewoog, dan is dus volgens ver- gelijking (147) het product: (m M)u = mv MV = mc AIC (170) een standvastige grootheid, welke gedurende de botsing niet verandert. Vergelijking (169) drukt dus uit, dat de snel- heid van het gemeenschappelijk zwaartepunt door de botsing geen verandering ondergaat. Om de snelheidsveranderingen van de zwaartepunten A en B der massa\'s M en m te bepalen, kan men opmerken dat de snelheden F en v, zooals uit vergelijking (170) blijkt, gelijktijdig tot w, de snelheid van het gemeenschappelijk

-ocr page 331-



		319

		zwaartepunt, naderen. Op het oogenblik dat beide gelijk w zijn, is hun gemeenschappelijke snelheid dus: MV-\\-mv ,..,. M -\\-v \'- De snelheid van het zwaartepunt A is derhalve verminderd _met: ^-^ru=^-_w(V-,), (172) en de snelheid van het zwaartepunt B is vermeerderd met: ïT5<^F-\')- ⁽¹⁷³⁾ Indien men derhalve den geheelen duur van den stoot in twee deelen t_x en t₂ verdeelt, en het eerste deel t_x rekent tot op het oogenblik, waarop de snelheden der zwaarte- punten A en B aan elkander gelijk worden, dan kan de snelheidsverandering van elk dier beide zwaartepunten gedu- rende dit tijddeel steeds bepaald worden. De snelheids- veranderingen gedurende het tweede tijddeel t₂ daarentegen hangen af van de intensiteit van den stoot en van de phy- sische eigenschappen der beide lichamen; in het algemeen kunnen zij slechts bij benadering worden bepaald. Noemt men de eindsnelheden aan het einde van het tijd- deel t₂, dus aan het einde van de botsing, C en c, dan is u 6\' de snelheidsvermindering van het zwaartepunt A, en e M de snelheidsvermeerdering van het zwaartepunt B, beide gedurende het tijddeel t₂. De uit vergelijking (168) voortvloeiende stelling »de snelheidsveranderingen zijn om- gekeerd evenredig met de massa\'s", geldt ook voor elk der beide tijddeelen t_t en t₂ afzonderlijk; derhalve is: J^T_£ ₌ » = X=±. (174) c u M u v Uit de gelijkheid van het eerste en het derde quotiënt volgt de vergelijking: *~~u-C~~ ₌* c-u V u u v

		waarin t, de zoogenaamde restitutie-coëfficiënt, de nog on-

-ocr page 332-



		320

		bekende getalwaarde beteekent, welke de verhouding aan- geeft van de in de tijddeelen t₂ en t_t teweeggebrachte snelheidsveranderingen. Voor de in het tijddeel t₂ teweeg- gebrachte snelheidsveranderingen verkrijgt men derhalve: u C=t(V u) (176) c u = t {u v) (177) Telt men deze op bij de gedurende het tijddeel t_v teweeg- gebraehte, in de vergelijkingen (172) en (173) gevonden snelheidsveranderingen, dan vindt men voor de geheele door den stoot teweeggebrachte snelheidsveranderingen: V-C = {\\ >)-_M^m_m{V-v), (178) _c_ ₌ ₍l _f)^_w?(r_), (179) waaruit de eindsnelheden C en c berekend kunnen worden, zoodra de coëfficiënt t bekend is. § 105. Bepaling van den restitutiecoëfficient f- Gedurende het eerste tijddeel t_t komen de zwaartepunten A en B dichter bij elkander, en beide lichamen worden op de aanrakingsplaats samengedrukt. Deze samendrukking roept inwendige krachten te voorschijn, welke volgens bepaalde wetten samenhangen met de grootte der samendrukking De krachten D en D_t in de aanrakingsplaats te voorschijn geroepen, doorloopen gedurende het voortschrijden van de samendrukking een reeks velschillende waarden. De kracht D werkt op het lichaam met de massa M als uitwendige kracht en verricht negatieven arbeid; de getalwaarde van dien arbeid is gelijk aan die van het arbeidsvermogen van beweging door de massa M verloren. Evenzoo is de getal- waarde van den positieven arbeid door de kracht D_t ver- richt, gelijk aan die van het arbeidsvermogen van beweging door de massa m gewonnen. Veerkrachtige stoot. Het einde van het tijddeel t_{ , of het tijdstip waarop de twee zwaartepunten het dichtst tot elkander genaderd zijn,

-ocr page 333-



		321

		is tevens het oogenblik waarop de samendrukking het grootst is; na dit tijdstip zetten zich beide lichamen gedurende het tijddeel t₂ weder uit Indien men aanneemt, dat beide lichamen hierbij volkomen hun vorige gedaante terugkrijgen, dan moeten de krachten D en Z), achtereenvolgens juist dezelfde waarden, maar in omgekeerde volgorde doorloopen, en dus een even grooten arbeid verrichten als in het tijd- deel t₁. Ook het arbeidsvermogen van beweging, hetwelk de massa M verliest, en dat, hetwelk de massa mwint, moeten derhalve in het tijddeel t_% even groot zijn als de overeen- komstige grootheden in het tijddeel t_{. De snelheid van het zwaartepunt A, die in het tijddeel t, met V «afnam, zal dus in liet tijddeel t₂ nog eens met Vu verminderen; en de snelheid van het zwaartepunt B, die in het tijddeel t, met u v toenam, zal in het tijddeel t₂ nog eens met uv vermeerderen. Volgens vergelijking (175) is in dit geval de coëflicient .\' gelijk 1, en de algemeene vergelij- kingen (178) en (179) gaan dan over in: In dit geval noemt men den stoot een volkomen veer- krachtigen stoot. Onveerkrachtige stoot. Indien de lichamen, na hun grootste samendrukking te hebben ondergaan, niet meer van vorm veranderen, dan zullen zij geen druk meer op elkander uitoefenen ; zij zullen nu verder een eenparige beweging hebben met de gemeen- schappelijke snelheid u. In dit geval is de coëfficiënt t gelijk nul, en de algemeene vergelijkingen (178) en (179) gaan over in: ^C = 1t/t (Vv)(im Cv=* * (Fg)(183) M - - m ^v ^/v *M-\\- m ^K* *^Jy \'* Men noemt dan den stoot een volkomen onveerkrachtigen stoot. Uit het voorgaande blijkt, dat de waarde van den coëflicient i verandert tusschen de grenzen nul en één; de ervaring leert Dr. Julius, Mechanica. 21

-ocr page 334-



		322

		dat hij des te meer tot nul nadert, hoe grooter het verschil in snelheid Vv, en hoe kleiner de elasticiteitsgrens der lichamen is; dat hij daarentegen des te meer tot één nadert, hoe kleiner het verschil in snelheid Vv, en hoe grooter de elasticileitsgrens der lichamen is. Bij de bepaling van den coëfficiënt . komt derhalve niet alleen de physische hoe- danigheid van elk der lichamen, maar ook de grootte van het verschil in snelheid V v in aanmerking. Ook bij lichamen met groote elasticiteitsgrens kan t tot nul naderen, indien slechts het verschil in snelheid Vv zeer groot is; en ook bij lichamen met kleine elasticiteitsgrens kan t tot één naderen, indien slechts het verschil Vv een zeer geringe grootte heeft. Bij de botsing verliezen in het algemeen de lichamen arbeids- vermogen van beweging, zonder dat hun arbeidsvermogen van plaats toeneemt; ook hierbij gaat, evenals bij tegen elkander wrijvende lichamen, het verloren arbeidsvermogen van be- weging in een anderen vorm, hoofdzakelijk in warmte over. Men bepaalt dit verlies 55 door het arbeidsvermogen van beweging -)g- , dat de twee massa\'s gezamenlijk na den stoot bezitten, af te trekken van het arbeidsvermogen M V\'¹ \| »»» . . .. ,, . . . ,, van beweging -f" _ , dat zij voor den stoot hadden. Men heeft dus: , (MV^X , me\\ /MC¹* . «c²\\ ^B"( 2 8 )-( 2 -2-)\' of als men de uit de vergelijkingen (178) en (179) voort- vloeiende waarden voor C en c substitueert: 2 (M m) Uit deze vergelijking blijkt dat het verlies bij den vol- komen veerkrachtigen stoot nul is, omdat in dit geval t = 1 wordt. Bij den volkomen onveerkrachtigen stoot daarentegen is t = 0, en het door den stoot veroorzaakte verlies aan arbeidsvermogen van beweging is dus:

		M -\\- m 2 ^v \'

-ocr page 335-



		323

		§ 106. On veerkrachtige stoot. De in de twee vorige paragrafen gevonden vergelijkingen gelden ook voor het geval dat de snelheid van de massa m nul of negatief is, d. w. z. dat de massa m in rust is of zich beweegt in de richting naar de massa M toe. Indien een massa M met de snelheid V botst tegen een in rust zijnde massa m, en d? omstandigheden van dien aard zijn, dat de vergelijkingen voor den onveerkrachtigen stoot mogen toegepast worden, dan verkrijgt men volgens vergelijking (171) voor de snelheid u, waarmede beide lichamen zich na den stoot verder bewegen: MV *M -\\- m\'* Het door den stoot veroorzaakte verlies aan arbeidsver- mogen van beweging heeft volgens vergelijking (180) de grootte: Vóór den stoot was het arbeidsvermogen van beweging MV¹ ^ Dit arbeidsvermogen wordt als het ware in twee deelen verdeeld; het eene deel 03 wordt besteed deels tot blijvende vormveranderingen, deels tot het opwekken van u²geluids- en warmtetiïllingen. Het andere deel (M -\\- m) -jy- heeft de grootte : .-nP\\yqFïr ⁽¹⁸²⁾ en is het nog overgebleven arbeidsvermogen van beweging, dat de massa\'s M en m na den stoot, tengevolge van hun snelheid hebben. Indien onmiddellijk na den stoot de verdere voortschrij- dende beweging der massa\'s werdt belemmerd, indien er bijv. een weerstand W (fig. 205)\'op gaat werken, dan verricht de weerstand W negatieven arbeid, waarbij ook het overgebleven arbeidsvermogen van beweging 3t verloren gaat. De weg\' s, dien de beide lichamen in de richting 21

-ocr page 336-

324

tegengesteld aan die van den weerstand W afleggen, voor
dat hun snelheid nul is geworden, kan volgens de wet van
het behoud van arbeidsvermogen gevonden worden uit de
vergelijking:

MV² M

=sr- xA-----= Wa. (183)

2 M-\\-m ^v ^;

Van het oorspronkelijk voorhanden arbeidsvermogen van be-

M V² ,

weging = zal een des te grooter gedeelte voor dit doel be-

schikbaar blijven, naarmate het quotiënt ~~ .~~

grooter is.

In alle gevallen dus, waar men het na den stoot over-
gebleven arbeidsvermogen van beweging wil aanwenden

tot het overwin-

Fiff205

nen van nuttigen

weerstand zoo-
als bijv. bij het
inheien van palen,
bij het indrijven
van een wig, van
een spijkerenz.
is het voordeelig
de verhouding van
ff», de in rust
zijnde, tot M, de
voortdrijvende massa zoo klein mogelijk te maken.

Voert men in plaats van de dynamische eenheden van
arbeidsvermogen en van kracht de statische in, dan. ver-
anderen de vergelijkingen (181), (182) en (183) in:

;8 =

MV²

stat. eenheden.

M -\\- m

31 =

stat. eenheden.

2<7
MV²

= Ws.

*2g \' M -\\- m

-ocr page 337-



		325

		Noemt men H de met de snelheid V overeenkomende valhoogte, dan verkrijgt men: 93 = MH -J^.---- en ?v MH * = Ws. Uit deze laatste vergelijking kan men den weerstand W in statische krachtseenheden vinden, die over een bepaalden weg s wordt overwonnen, zoodra deze laatste bekend is. Wanneer bijv. een hamer met een massa M= 4,5 kilogram en met de snelheid V 5,6 eenheden botst tegen een spijker met een massa van 0,1 kilogram, dan verdeelt zich het voor den stoot aanwezige arbeidsvermogen van beweging: -^^Fi = MH = 1,5 . \|\'gg = 2,4 stat. eenheden in de twee deelen: 0 4 \'25 = 2,4 . ~~. \' .~~ = 0,45 stat. eenheden en 4,5 0,4 4 5 Dï = 2,4 ~~... .\' .~~ = 2,25 stat. eenheden. 4,5 -\\- 0,4 Het eerste deel, een arbeidsvermogen van 0,45 stat. een- heden, wordt verbruikt tot het vervormen van den kop des spijkers en tot het voortbrengen van geluids- en \\varmte- trillingen; de rest van 2,25 stat. eenheden dient tot het overwinnen van den weerstand W, die het indringen van den spijker tegenwerkt. Had men waargenomen, dat de diepte waartoe de spijker indringt 8 = 0,005 meter bedraagt, dan vindt men de gemiddelde grootte van den weerstand uit de vergelijking: W. 0,005 = 2,25 of TT =450 stat. krachtseenheden. "Was de massa van den spijker 0,5 kilogram geweest, dan zou het verlies aan arbeidsvermogen 2» = \\ . 2,4 = 0,6 een- heden, en het nuttig gebruikte slechts 4,8 eenheden be- dragen hebben. Heeft de stoot plaats in de richting van de zwaartekracht, zooals bijv. bij het inheien van een paal (fig. 200), dan wordt ook de na den stoot door het gewicht verrichte arbeid yil-\\-m)s tot het overwinnen van den weerstand W

-ocr page 338-

326

gebruikt, en deze weerstand kan dan gevonden worden uit
de vergelijking:

MH. -_irr~-------U (M m)a = Ws.

Stelt men bijv. Jlf = 1200 kil., m = 800 kil., F=7eenh.

7²(dus H = q~cTQ ⁼ 2>*> meter) en s = 0,045 meter, dan

heeft men :

1900

20ÖÖ ^20ü° * °\'⁰⁴⁵ "" ^W  °\'⁰⁴⁵ ^ofW= 42000 stat. krachtseenheden.

In de veronderstelling dat de stoot volkomen
onveerkrachtig is, zou van het arbeidsver-
mogen van beweging MH = 3000 stat. een-
heden. dat voor den stoot voorhanden was,
het vier tiende gedeelte of \\ 200 eenheden
tot het vervormen van het boveneinde der
paal, en de rest, 1800 eenheden, tot het
inheien van de paal gebruikt worden.

Terwijl in de beide vorige gevallen van
het geheele arbeidsvermogen van beweging
slechts het deel DC nuttig werd aangewend,
en het voor de voortschrijdende beweging
verloren gaande deel 33 een nadeelige wer-
king uitoefende, zijn er andere gevallen,
waarbij omgekeerd juist het bij den stoot
verloren gaande arbeidsvermogen van bewe-
ging nuttig wordt gebruikt, en de over-
blijvende rest ï)i een schadelijke werking
heeft. In al die gevallen, waar men zich
ten doel stelt door de werking van den
stoot aan het in rust zijnde lichaam een
blijvende vormverandering mede te deelen,

1200.

2,5

FiffZOO.

feL,


	\'	A£

\'v\'

is het voordeelig de verhouding -=y van de

in rust zijnde tot de bewegende massa zoo
groot mogelijk te maken.
Indien men bqv. door hamerslagen het uitstekende einde

-ocr page 339-

327

van een klinkbout (Qg. 207) wil vastklinken, dan wordt
van het arbeidsvermogen van beweging van den hamer voor
de vormverandering van den bout slechts dat gedeelte 33
gebruikt, dat bij den stoot verloren gaat, terwijl de over-

blijvende rest 2H een in dit geval

207.

volstrekt niet beoogde geineen-

Ptff

schappelijke beweging dei^- beide
massa\'s na den stoot teweeg-
brengt, en derhalve niets bijdraagt
tot het overwinnen van nuttigen
._M e* ) 77^ I weerstand. Brengt men in dit
\'"* ^v( \' geval een andere massa m, met

massa m in aanraking, dan

heeft de in rust zijnde massa de
grootte m -J- m., en daardoor
verkrijgt 23, en dus het nuttig
gebruikte deel van het arbeidsvermogen een grooter waarde.

Op gelijke wijze vindt men,
dat bij den stoot van een stoom-
hamer tegen een op het aam-

i
i

beeld liggend gloeiend stuk ijzer,
dat gedeelte van het arbeids-

vermogen van beweging van den
hamer, dat tot vormverandering
van het ijzer wordt gebruikt,
des te grooter wordt, naarmate
de massa van het aambeeld
grooter is in verhouding tot de
massa van den hamer (fig. 208).
Is bijv. de massa van den hamer
M = 8000 kil. en zijn snelheid
V= 7 eenh. (overeenkomende met
de valhoogte H = 2,5 meter), dan
is vóór den stoot het arbeidsver-
mogen van beweging van den hamer

MV²

~- = MH = 8000 . 2,5 =

= 20000 stat. eenheden. Is ver-
der de massa van het aambeeld met het daarop liggend

-ocr page 340-



		328

		stuk ijzer m = 56000 kilogram, dan wordt van het geheele arbeidsvermogen van beweging het deel: 23 = 20000. ^>^ =17500 stat. eenheden 04000 tot bet vervormen van het gloeiend ijzer, dus nuttig aan- gewend, terwijl de rest: dl = 20000 . j*,⁰_n⁰_A°_ft = 2500 stat. eenheden 64000 tot het inheien van het aambeeld, tot het doen schudden van de fondamenten van het gebouw enz., dus op nadeelige wijze wordt gebruikt.

		§ 107. Veerkrachtige stoot, Hoe kleiner het verschil in snelheid der beide lichamen vóór den stoot is, des te meer is het geoorloofd de uit de vei\'gelijkingen (180) en (181) voortvloeiende waarden: _n \\_r 1m(V v) , \'IMiV v) C \\ , r . en c = v - - t,).------\'- M m \' M-\\- m als werkelijke grootten der snelheden na tien stoot te be- schouwen, vooral indien voor beide lichamen de elasticiteitsgrens groot is, zooals bijv. voor caoutchouc, ivoor, gehard staal, enz. Is M = m, dan wordt C = v en o = V, d. i. in dit geval verwisselen de beide lichamen van snelheid, in dier voege, dat na den stoot elk der beide lichamen de snelheid heeft, die het andere vóór den stoot had. Is bovendien v negatief, d. i. bewegen de beide lichamen zich naar elkander toe, dan beweegt zich na den stoot elk der beide lichamen in de lichting tegengesteld aan die, waarin het zich vóór den stoot bewoog, en met de snelheid die het andere lichaam vóór den stoot had. In het bijzondere geval dat v 0 is, gaan bovenstaande M vergelijkingen , als men kortheidshalve =n stelt, over in : C, = -"--J V en _C,=_J^L F. ¹ «4-1 \' n -\\-1

-ocr page 341-



	329

	M Indien het in rust zijnd lichaam met de massa m = - " n onmiddellijk na den stoot met de daardoor verkregen snel- heid Cj op zijn beurt botst tegen een in rust zijnd lichaam, welks massa in dezelfde verhouding tot de zijne staat en dus de grootte heeft, dan zal dit derde lichaam na den n stoot de snelheid:

		/ 2n y


² n -\\- \\ \' \\ n -\\- hebben. Indien op gelijke wijze het derde lichaam tegen een vierde, het vierde tegen een vijfde botst enz. en de 1 verhouding der achtereenvolgende massa\'s steeds blijft, dan zal na den ^»-^den stoot, het laatste lichaam de snelheid verkrijgen: Voor n = 1, wordt C, = 0 en c_p= V; d. i. indien een veerkrachtige bal met de snelheid V botst tegen het eene uiteinde van een rij ballen, welke alle dezelfde massa hebben als de eerstgenoemde, dan zal de bal aan het andere uiteinde de snelheid V verkrijgen, terwijl de overige ballen alle in rust blijven. Is n = 0, dan wordt C_i = F en c, = 0, d. i. indien een veerkrachtige bal botst tegen een oneindig groote in rust zijnde massa of tegen een vaste wand, dan zal de bal na den stoot een snelheid hebben even groot als zijn aan- vankelijke snelheid maai\' in tegengestelde richting, terwijl de in rust zijnde massa in rust blijft. § 408. Botsing van rondwentelende lichamen. Ballistische slinger. Twee lichamen P en Q met de massa\'s M en m draaien om twee onderling evenwijdige vaste assen en botsen tegen elkander. Er wordt aangenomen, dat de stoot een rechte

-ocr page 342-

330

is, d. i. op het oogenblik der botsing bewegen zich de beide

stootpunten in de richting loodrecht op het raakvlak (fig. 209).

Op de aanrakingsplaats zullen drukkrachten D en 2),

ontstaan, die even groot zijn, maar in onderling tegen-
gestelde richtingen werken. De hoekvertraging van P is

H = ^ , de hoek versnelling van

Füj209

Q is h = , waarin A en a de

afstanden zijn van het stootpunt
tot de draaiingsassen, en T en t
de traagheidsmomenten van P en
Q ten opzichte van de draaiings-
assen.

Noemt men $9? en in de op
het stootpunt gereduceerde massa\'s

van P en Q, dan is SÜJ = -p

en m = c . Substitueert men de

hieruit voortvloeiende waarden van
T en t in de uitdrukkingen voor
H en ft, dan vindt men:

-*-D,

J#=

en aft

35?

AH is de lijnvertraging van het stootpunt van P, ah
de lijn versnelling van het stootpunt van Q; de snelheids-
veranderingen van de stootpunten zijn dus omgekeerd even-
redig met de op die punten gereduceerde massa\'s van Pen Q.
Vergelijkt men deze uitkomst met vergelijking (168), dan
blijkt het, dat die vergelijking ook in dit geval geldt, mits
men onder V, v, C en c verstaat de snelheden der stoot-
punten, en M en m, de massa\'s der lichamen, vervangt
door 9)ï en in de op de stootpunten gereduceerde massa\'s
van P en Q. Onder dit voorbehoud gelden dus alle uit
vergelijking (168) voor bijzondere gevallen afgeleide ver-
gelijkingen ook voor de botsing van ronddraaiende lichamen.

Zoo zou bijv. in de veronderstelling dat de stoot onveer-

-ocr page 343-



		331

		krachtig is, volgens vergelijking (181) het verlies aan arbeidsvermogen van beweging bij den stoot van een duimas tegen een fronthamer, zijn: 2 \'SJR m\' als ?PJ de op het stootpunt gereduceerde massa van de duimas en m de op het stootpunt gereduceerde massa van den hamer is. De uit vergelijking (181) gemaakte gevolg - trekking, dat het verlies aan arbeidsvermogen van beweging des te kleiner wordt hoe grooter de verhouding is van de bewegende tot de in rust zijnde massa, geldt derhalve ook in dit geval; hieruit wordt het duidelijk, waarom het voor- deelig is het traagheidsmoment van de duimas door toe- voeging van een vliegwiel te vergrooten. De algemeene vergelijkingen kunnen evenzeer worden aangewend, indien slechts een der beide lichamen, bijv. Q om een vaste as draait; de vergelijkingen worden dan: y _c=(l \')ni(rt.) M-\\-m ^e~^v------mt^ \' Stelt men hierin v = 0 en is de stoot onveerkrachtig, waardoor ook t = 0 wordt, dan verkrijgt men: C=c= JfJ . (184) M -f- m Uit deze vergelijking kan men de beweging berekenen, die een in rust hangende slinger Q met de massa m vol- brengt, wanneer hij door den stoot van een lichaam P met de massa M uit zijn evenwichtsetand wordt gebracht (fig. 210). De snelheid c is de aanvangssnelheid, waarmede het stootpunt N zijn beweging langs den boog NN_t begint, en het arbeidsvermogen van beweging van den slinger heeft m c^ dus bij het begin der beweging de grootte -=r- . Is « de 38 hoek, dien de slinger doorloopt voordat de snelheid nul wordt, en r de afstand van het zwaartepunt S tot de draaiingsas,

-ocr page 344-

3:$\'2

dan is volgens de wet van het behoud van arbeidsvermogen:

-= = mgr (1 cos «)

-v

2 gr (1 cos cc).

Substitueert men deze waarde van c in vergelijking (184)
en lost men daarna V op. dan verkrijgt men:

^V=^Ei

.1/

~\\/ ^ ~ 9r (i~ cos a). (185)

Van deze vergelijking kan men gebruik maken om de

snelheid V van

Fig-210.

een kanonskogel

te berekenen, als

men den elon-

gatiehoek heeft

waargenomen,

door den stoot

van den kogel

tegen den slinger

teweeggebracht.

AV,

Een slinger tot

dat doel ingericht

heet een ballis-

tische slinger.

De op het stootpunt gereduceerde massa lil kan eveneens

door waarneming worden bepaald. Laat men den slinger

kleine slingeringen volbrengen, en meet men den slingertijd r,

dan is vooreerst de lengte van den enkelvoudigen slinger,

ffr²die denzelfden slingertijd heeft l = ₂ . Vervangt men

verder in vergelijking? (140) 1=  het traagheidsmoment

ïflt

van den slinger ten opzichte van de ophangas door zijn
waarde T₀-=n\\a², en lost men m op, dan vindt men

mrl

Door substitutie van deze waarde van in in

vergelijking (185) verkrijgt men:

-ocr page 345-



		333

		Vindt men bijv. r = 1,57 seconden, dan is l = 2,45 meters ; is verder r = 2 m., a = / = 2,45 m. (dus =1,225), 191 -=j = 400 en « = 20 , dan verkrijgt inen voor de snelheid van den kanonskogel V = 557,67 eenheden.

		§ 409. Ontploffingen. De snelheid u van het gemeenschappelijk zwaartepunt der beide lichamen wordt door den stoot niet veranderd. Is dus vóór den stoot die snelheid nul, dan zal zij ook na den stoot nog nul zijn. Volgens vergelijking (174) heeft men in dit geval: Om V . *=n==-_v<* (¹⁸⁶) d. ï. zoowel vóór als na den stoot hebben de snelheden onderling tegengestelde richtingen, en zijn zij omgekeerd evenredig met de massa\'s. Deze vergelijking geldt ook dan nog, als de snelheden F en f beide nul zijn en de snelheden C en c door een ontploffing worden teweeggebracht. Is in dit geval een van beide snelheden bekend, dan kan de andere uit bovenstaande vergelijking berekend worden. Zoo kan bijv. bij het afvuren van een kanon (fig. 211) de snelheid c, waarmede het kanon terugloopt, berekend worden, als men de snelheid C van den kogel en de ver- houding der twee massa\'s kent. m Is bijv. C= 400 eenheden ent» = 200 M, dan is c = qjtjt = 2 eenheden. De hoeveelheden arbeidsvermogen van beweging van kogel en kanon ^ en ^ verhouden zich als 200 : 1. Van het geheele door de ontploffing

-ocr page 346-

334

voortgebrachte arbeidsvermogen van beweging gaat dus

-_7rr- op het kanon, en .^ op den kogel over.
201 ^r 201 ^r

Ftff 211

<G3

->c

na.

, die bij de ontploffing een scheiding van de
lichaam teweegbrengen, moeten als inwendige
krachten beschouwd worden. Werken er
bovendien nog uitwendige krachten, dan
zullen deze in het algemeen de snelheid
van het zwaartepunt wijzigen; de ont-
ploffing zelve heeft op die snelheid geen
invloed.

Indien bijv. een verticaal naar beneden
vallende bom in twee helften springt, in
dier voege dat de bovenste helft naar
boven, en de onderste helft naar beneden
wordt geslingerd (fig. 212), dan zou het
zwaartepunt zijn beweging met de ver-
snelling g voortzetten; en eerst op het
oogenblik dat de onderste helft tegen den
grond stoot, dat derhalve een nieuwe
kracht, de weerstand van den vasten
bodem, optreedt, ondergaat de versnelling
een verandering. In de veronderstelling
dat de bodem on veerkrachtig is, gaat de
versnelling van het zwaartepunt sprongs-

W wijze van

De krachten
deelen van het

Fig-212.
------S

VZL

*2mg

ma .
9 >ⁿo-i=^ over.

Hm~ ~ * \'" 2m

Hetzelfde geldt voor de beweging van het zwaartepunt,
indien de bom een parabolische baan doorloopt, en gedurende

-ocr page 347-



		335

		zijn beweging in een aantal stukken springt. Door de ont- plofïing zelve verandert de baan van het zwaartepunt niet. Op het oogenblik echter, dat het eerste stuk tegen den vasten bodem stoot, gaat het zwaartepunt uit de oorspronke- lijke in een nieuwe parabolische baan over, en telkens bij het neervallen van een stuk ontstaat in de baan een hoek. Bij een aan een vaste draaiingsas opgehangen slinger is de versnelling van het stootpunt dezelfde als die van een stoffelijk punt, welks massa gelijk is aan de op het stoot- punt gereduceerde massa vanden slinger. Vergelijking (186) kan derhalve ook gebruikt worden ingeval het ontploffende lichaam bestaat uit een aan een vaste draaiingsas opgehangen stelsel van twee massa\'s M en m, indien men in die ver- gelijking de massa m, welke na de ontploffing nog als slinger met de draaiingsas vereenigd blijft, door de op het stootpunt gereduceerde massa m vervangt. De snelheid C, die de massa M bij de ontploffing verkrijgt, is dan : ^C=M^C-

		Dit geeft een tweede middel aan de hand om de snel- heid van een kanonskogel door den ballistischen slinger te meten. Men kan namelijk het kanon zelf als slinger op- hangen, en door meting van de bij het afvuren teweeg-

		trebrachte afwijking « de snelheid C van den kanonskogel bepalen (fig. 213). Stelt men in bovenstaande vergelijking

-ocr page 348-



		336

		de in de vorige paragraaf gevonden waarde van c, dan verkrijgt men: n Hl * /o ^m ia \\ ^c==w V ^^gr{i~^cosa)- waarin m en m betrekking hebben op de massa van het geheele uit slinger en kanon bestaande lichaam. Is bijv. weer = 1,225, -_1[r = 400, a = 2,45 meters, r =2 meters en a = 20°, dan vindt men: 0 = 555,95 eenheden.

-ocr page 349-



		ZESDE AFDEELING. STATICA DER VLOEIBARE LICHAMEN.

		HOOFDSTUK XVIII. Evenwiehtstoestand van een vloeibaar lichaam onder de werking van uitwendige drukkrachten. § 110. Onderscheid tusschen vaste en vloeibare lichamen. In tegenstelling met de vaste lichamen, bij welke de inwendige krachten elke vormverandering en elke verandering der afmetingen tegenwerken, noemt men vloeibare lichamen de zoodanige, bij welke de inwendige krachten alleen een vermindering van de afstanden der deelen onderling tegen- werken. Bij vloeibare lichamen worden wel is waar ook dan inwendige krachten te voorschijn geroepen, wanneer tengevolge van uitwendige krachten de afstanden der deelen onderling grooter zouden worden; maar aangezien dit slechts onder bepaalde omstandigheden plaats grijpt en bovendien de dan in werking komende inwendige krachten steeds klein zijn, zoo zal dit geval niet verder worden behandeld. Aan- gezien ook de afstandsvermindering der deelen zeer klein is en niet verder in aanmerking behoeft te komen, zal dus worden aangenomen, dat bij een vloeibaar lichaam alleen zoodanige inwendige krachten optreden, die een vermindering van de afstanden der deelen onderling beletten. De uitwendige krachten, die op het oppervlak van een vloeibaar lichaam werken, kunnen derhalve alleen dan in evenwicht zijn, indien zij naar binnen zijn gericht. Deze naar binnen gerichte krachten zullen drukkrachten genoemd worden. Dr. Julius, Mechanica. 22

-ocr page 350-



		338

		Een verder onderscheid tusschen vaste en vloeibare lichamen bestaat daarin, dat de wrijvingsweerstand bij een in rust zijnd vloeibaar lichaam steeds nul is. Dit heeft de volgende beteekenis. Indien vaste lichamen zich langs elkander be- wegen, dan ontstaan op de aanrakingsplaatsen krachten, die de beweging van elk der lichamen ten opzichte van het andere tegenwerken; dit is evenzeer het geval bij de be- weging van vloeibare lichamen of van de deelen daarvan langs elkander of langs vaste lichamen. Terwijl echter bij vaste lichamen in rust op de aanrakingsplaatsen ook krach- ten in werking komen die een beweging kunnen verhinderen, welke zonder het voorhanden zijn dier krachten tot stand zou komen, is dit bij vloeibare lichamen niet het geval. Elke kracht op een vloeistofdeeltje welkende, zal dit deeltje in beweging brengen, indien deze beweging mogelijk is. zonder den afstand van dit deeltje tot andere deeltjes te verminderen. Hieruit volgt dat een vloeibaar lichaam alleen dan in evenwichtstoestand kan zijn, als de algomeene evenwichts- vergelijkingen niet alleen voor het vloeibaar lichaam in zijn geheel gelden, maai\' ook voor alle afzonderlijke deelen. Een vloeibaar lichaam moet dus beschouwd worden als een stelsel van oneindig kleine vaste lichamen op zoodanige wijze ver- bonden, dat hun afstanden onderling niet kunnen ver- minderd worden. Nog volgt hieruit dat elk vloeistofdeeltje, dat in aanraking is met den wand, daarvan een druk moet ondervinden in een richting loodrecht op den wand naar binnen. §111. Drukkrachten werkende op een v 1 o e i- baar lichaam. De evenwichtsvoorwaarden voor krachten op een vloeibaar lichaam werkende, zijn dezelfde als die, welke vroeger ge- vonden zijn voor krachten op een vast lichaam werkende. De evenwichtstoestand toch van een vloeibaar lichaam wordt niet gestoord, indien het geheele vloeibare lichaam, of een willekeurig deel er van vast wordt. Stelt men zich voor dat eenig deel van een vloeibaar lichaam, waarop uitwendige krachten werken die in even-

-ocr page 351-

339

wicht zijn , door een willekeurig gekozen vlak wordt afge-
sneden, en dat de inwendige krachten vroeger op het over-
gebleven gedeelte werkende, vervangen worden door uit-
wendige krachten ; dan moeten ook nu de uitwendige krachten
aan de algemeene evenwichtsvergelijkingen voldoen, en men
kan dus uit die vergelijkingen de genoemde inwendige
krachten bepalen. De uitwendige krachten, die de inwendige
op het seheidingsvlak werkende vervangen, kunnen volgens
het in de vorige paragraaf behandelde, slechts zijn druk-
krachten, in elk punt loodrecht op het scheidingsvlak gericht
en naar binnen werkende. Deze krachten hebben in het
algemeen op verschillende plaatsen een verschillende grootte;
dat wil zeggen, als f de vlakte-inhoud van een oneindig
klein deel, en pf de som van de op dit deel werkende
drukkrachten is (waarin dus p den druk per vierkanten
meter beteekent), dan zal de waarde van ;; op verschillende
plaatsen verschillend kunnen zijn; de wet, volgens welke de
grootte van p verandert met de plaats van het vlakte-deel,
hangt af van de uitwendige krachten, die op het vloeibaar
lichaam werken. In het bijzonder geval, dat de uitwendige
krachten alleen bestaan in drukkrachten, die op het opper-
vlak van het vloeibaar lichaam werken, kan men bewijzen
dat p een waarde heeft, die onafhankelijk is van de plaats

en den stand van het vlakte-

2/é

Fig

element, en derhalve overal

in het vloeibaar lichaam
dezelfde is.

Beschouwt men toch van
het in fig. 214 voorgestelde
vloeibaar lichaam eenig
cilindervormig of prismatisch
gedeelte ubcd, welks eind-
vlakken door de vlakte-ele-
menten ab = , en cd = f._xworden gevormd, dan be-
vindt zich dit gedeelte in
denzelfden toestand als een
cilindervormige of prisma-
tische stang (fig. 215), ingesloten door vaste wanden, en
slechts in de richting van haar lengte zonder wrijving ver-

22*

-ocr page 352-

340

schuifbaar, terwijl de op de eindvlakken f_x en f₂ werkende
drukkrachten p_t f_t en p₂ f₂ in evenwicht zijn. Als eenige
evenwichtsvergelijking heeft men dan :

>, , C0S«, =p₂ f₂ COS«₂,

waarin u_x en a₂ de hoeken zijn, welke de normalen op de

eindvlakken maken met
de lengterichting der
stang. Is f de door-

Fig215.

snede der stang, dan is

f_x cos a, = f₂ cos a_% = .
waaruit volgt:

Pi = Pi-
De druk per vier-

kanten meter is dus

op beide eindvlakken

even groot. Daar het-

zelfde bewijs ook geldt

voor een cilindervormig

of prismatisch gedeelte , welks eene eindvlak deel uitmaakt van

het oppervlak der vloeistof, zoo verkrijgt men de volgende wet:

Indien de op een vloeibaar lichaam werkende uitwendige

krachten in evenwicht zijn, en uitsluitend bestaan in druk-

krachten, dan is de druk per vierkanten meter, zoowel aan

het oppervlak als binnen in het vloeibaar lichaam, op alle

plaatsen en in alle richtingen even groot.

§ 112. Evenwicht van krachten werkende op

een vloeibaar lichaam geheel besloten

in een vat met vaste wanden en

beweegbare zuigers.

Door middel van een beweegbaren cilindervormigen zuiger
wordt ergens op het oppervlak van een aan alle kanten dooi\'
vaste wanden ingesloten vloeibaar lichaam een druk p per
vierkanten meter uitgeoefend. Wordt het gewicht van het
vloeibaar lichaam verwaarloosd, dan zullen ook op alle andere
pnnten de vaste wanden op zijn oppervlak een even grooten
druk p per vierkanten meter uitoefenen, welke druk overal
loodrecht op de wanden en naar binnen gericht is. Om-

-ocr page 353-

341

gekeerd zal het vloeibaar lichaam op elk punt van den wand
een druk p per vierkanten meter uitoefenen, eveneens lood-
recht op den wand, maar naar buiten gericht. Is F het

aantal vierkante meters
Füt.216. van het eindvlak des

zuigers (fig. 216), en
Kde uitwendige kracht,
die op den zuiger werkt
in de richting van de
as, dan is de druk
per vierkanten meter:

p=^. (187)

Wordt een gedeelte
van den vasten wand
door een anderen be-
weegbaren cilindervor-
migen zuiger met een
eindvlak van F. vierkante meters vervangen, dan zal het
vloeibaar lichaam op dien zuiger een druk pF_i uitoefenen,
en die tweede zuiger zal alleen dan in rust zijn, als er een
uitwendige kracht ÜT, = pF_i in de richting van de as naar
binnen op werkt. Men heeft dus:

(188)

F\'

De krachten K_l en K verhouden zich dus als de door-
sneden der zuigers. Brengt men een willekeurig vlak door
het inwendige van het vloeibaar lichaam, dan oefenen de
twee door het vlak gescheiden deelen normale drukkrachten
op elkander uit, die eveneens de grootte p per vierkanten
meter hebben.

De vergelijkingen (187) en (188) gelden nog dan als de
eindvlakken niet zijn platte vlakken loodrecht op de as,
maar een willekeurige gedaante hebben, mits men onder F
en F_t verstaat de doorsneden van de buizen, waarin de
zuigers zich bewegen. Ontbindt men toch den op eenig
oneindig klein deeltje e van het eindvlak werkenden druk
pt (fig. 217) in de richting van de as der buis en in een

-ocr page 354-



		342

		richting loodrecht daarop, dan blijkt het dat de ontbindings- kracht pi cos a = p& in grootte en richting geheel over- eenkomt met den druk, dien A, de projectie van e op de doorsnede F_t der buis, zou ondervinden; daar hetzelfde geldt voor elk der overige vlakte-elementen zoo heeft de vervan- gende dier ontbindingskrachten in de richting van de as der buis dezelfde grootte en richting, alsof de doorsnede F₁zelve het drukvlak was; die vervangende is derhalve geheel onafhankelijk van FUf.217. de gedaante, welke men aan het eind- vlakgeeft, Deontbin- dingskrachten p £ vormen te zamen een stelsel krachten langs evenwijdige lijnen in dezelfde richting werkende. Omdat de afzonder- lijke krachten boven- dien evenredig zijn met de vlakte-ele- menten waarop zij weiken, werkt de vervangende langs een lijn door het zwaartepunt van F_t gaande. Daar de zuiger is opgesloten in een cilindervormige buis, zoo kan hij slechts in ééne richting, in de richting van de as der buis zich bewegen. Slechts de ontbondenen van de drukkrachten in deze richting hebben derhalve invloed op den even wichtstoestand van den zuiger ; kan men dus eenig gedeelte van het gebogen oppervlak verdeelen in elementen, zoodanig dat de ontbondenen van de drukkrachten op die elementen, twee aan twee even groot zijn, maar in onder- ling tegengestelde richtingen werken, dan kunnen alle op dat gedeelte werkende drukkrachten buiten beschouwing blijven, daar zij op den even wichtstoestand van den zuiger geen invloed uitoefenen. Dit is bijv. het geval met de twee vlaktedeelen ab en cd in fig. 217, welke een gemeenschappe- lijke projectie mn hebben.

-ocr page 355-



		343

		Vat men het woord projectie in ruimeren zin op, in dier voege dat daar, waar de projecties van een aantal vlakte- elementen op elkander vallen, zij beschouwd worden als positieve en negatieve grootheden, en haai\' som dus is óf nul, óf de projectie van een dier elementen al naarmate haar aantal is even of oneven, dan verkrijgt men de meer algemeene stelling : Welken vorm een in een buis beweegbare zuiger ook moge hebben, de druk dien het vloeibaar lichaam in de asrichting der buis tegen den zuiger uitoefent, hangt alleen af van de projectie van het gedrukte oppervlak op eenig vlak loodrecht op de as der buis, en heeft dezelfde grootte, die hij zou hebben, indien genoemde projectie het drukvlak was. Beschouwt men eenig deel van den binnenwand van het vat als eindvlak van een zuiger, die slechts in één bepaalde asrichting beweegbaar is, dan kan bovenstaande stelling toegepast worden om de ontbondene in genoemde willekeurige richting te vinden van den druk, dien het vloeibaar lichaam tegen dat deel van den wand uitoefent. Geheel hetzelfde geldt ook voor de ontbondene van den druk tegen den buitenwand van een in een vloeistof ondergedompeld lichaam. Herhaalt men deze handelwijze voor drie onderling loodrechte richtingen, dan vindt men dat de drukkrachten, die het vloeibaar lichaam op dat deel van den wand uitoefent, kunnen vervangen worden door drie krachten, werkende langs drie onderling loodrechte lijnen. Deze lijnen snijden elkander in het algemeen niet in één punt, en de krachten hebben dus slechts in bijzondere gevallen een vervangende. § 113. Hydraulische pers. Twee cilinders (fig. 218) door een buis verbonden zijn met vloeistof gevuld en door beweegbare zuigers gesloten. Verwaarloost men wederom het gewicht van het vloeibaar lichaam, dan zullen de uitwendige krachten in evenwicht zijn, indien op alle plaatsen van het vloeibaar lichaam de druk p per vierkanten meter even groot is. "Wordt deze druk teweeggebracht door de twee in de asrichting der zuigers werkende krachten K en W, en neemt men aan

-ocr page 356-

344

dat tusschen zuigers en cilinders geen wrijvingsweerstanden
werken, dan is:

ttD²

K p j- en W -

waarin d en D de middellijnen zijn van de doorsneden der
zuigers. Men heeft dus:

K ~ d²\'

Deze vergelijkingen gelden ook dan nog als elk der beide
zuigers een eenparig voortgaande beweging heeft, bijv., als

de kracht K den

-Fur.218.

kleinen zuiger naar

beneden drijft, waar-
door tevens de groote
zuiger naar boven
bewogen en de op
dezen als weerstand
werkende kracht W
overwonnen wordt.
Is bijv. D = 20 d,
dan is W = 400 K,
en een op den klei-
nen zuiger werkende
krachtif=100een-
heden zou voldoende
zijn om een druk W\'== 40000 eenheden op den grooten
zuiger te overwinnen.

Om een waterdichte sluiting van de zuigers in de cilinders
te verkrijgen, kan men gebruik maken van een lederen
ring (lig. \'219), die zoodanig is omgebogen, dat de vloei-
stof zelve het buitenste deel tegen den wand van den cilinder,
en het binnenste deel tegen den zuiger aandrukt. Bij de
beweging van de zuigers ontstaat op iedcren vierkanten meter
van het aanrakingsvlak een wrijvingsweerstand fp eenheden.
Bij den grooten zuiger is het aanrakingsvlak een cilinder-
mantel, welks hoogte H en welks middellijn D meters is;
het oppervlak is dus nDH vierkante meters. De wrijvings-
weerstand heeft derhalve de grootte fpnDII, en heeft

-ocr page 357-



		345

		dezelfde richting als de weerstand W. De krachten op den grooten zuiger werkende moeten dus voldoen aan de ver- gelijking:

		W fpnDH-^-* = 0,
		4

		pj of, als men het quotiënt -^s door m voorstelt: W = p n D¹ (0,25 fm). Bij den kleinen zuiger werkt de wrijving-sweei\'stand in de

		richting tegengesteld aan die van de kracht K. De krachten op dien zuiger werkende moeten dus voldoen aan de ver- gelijking: K= p n d² (0,25 «,),

		waarin m. = -= is. ¹ d Uit deze twee vergelijkingen vindt men voor de verhou- ding der krachten W en K: W ₌₌ Z)¹ 0,25 fm K d¹ \' 0/25 f m,\' Daar in den grooten cilinder evenveel water binnentreedt als er uit den kleinen wordt weggedrukt, zoo zijn de in de seconde afgelegde wegen F en t omgekeerd evenredig met

-ocr page 358-



		346

		de doorsneden der zuigers, dus y^. Voor het quotiënt n waardoor het nuttig effect bij dit werktuig wordt bepaald, vindt men dus: ^WV₌W d² _ 0,25 fm \'~ Kv ~~ ⁼ K \' D- ~~ 0,25 fm_x\' Stelt men bijv. /"= 0,2, n = W, =0,2 en I) = 20d, dan is W = 280,655 K en n= 0,724. Een op den kleinen zuiger werkende kracht K = iOO eenheden zou voldoende zijn om een op den grooten zuiger werkenden druk TF= 28965,5 eenheden als weerstand te overwinnen, en de nuttige weerstandsarbeid zou 72,4 percent van den be- weegkrachtsarbeid bedragen.

		HOOFDSTUK XIX. Werking der zwaartekracht op vloeibare lichamen. § 114. Druk tegen platte vlakken. Bij het ontbreken van wrijvingsweerstand, kan een deeltje aan het vrije oppervlak 7an een vloeibaar lichaam alleen in rust zijn, wanneer de resultante van alle er op werkende\' krachten, loodrecht gericht is op het oppervlak. Is dus de zwaartekracht de eenige uitwendige kracht die op de deeltjes in het vrije oppervlak gelegen werkt, dan moet dit opper- vlak overal loodrecht staan op de verticaal, en derhalve een horizontaal plat vlak wezen. Wei ken er krachten op, welker richtingen van punt tot punt veranderen, dan moet het vrije oppervlak een gebogen vlak zijn, dat in ieder punt loodrecht staat op de richting der op dat punt werkende kracht. De evenwichtstoestand van een vloeibaar lichaam, waarop de zwaartekracht werkt, wordt niet gestoord, indien eenig deel er van vast wordt. Laat dit deel de gedaante hebben van een van onderen schuin afgesneden, oneindig dunne prismatische zuil, welker bovenvlak een gedeelte is van den

-ocr page 359-



		347

		horizontalen vloeistofspiegel. Uit de algemeene evenwichts- vergelijkingen volgt onder anderen, dat de som der ont- bondenen van de op de zuil werkende krachten in verticale richting gelijk nul moet zijn (fig. 220). Daar de druk- krachten, die de omringende

		vloeistof, dan is het gewicht der zuil gy t\\z. Noemt men verder den druk per vierkanten meter op het grondvlak der zuil p, dan is de druk op het vlakte-element i. p t; de rich- ting van dien druk maakt met de verticaal een even grooten hoek «, als het grondvlak met den horizon. De verticaal naar boven werkende ontbondene van dien druk is dus pcos« of, daar <cos«=Ais, pt\\.* Stelt men deze krachten aan elkander gelijk, dan verkrijgt men: pt\\ =gybz of p = gyz. De normale druk op het vlakte-element i is derhalve: pt =gyiz. De druk op een vlakte-element i is gelijk aan het ge- wicht van een vloeistof zuil, die het gedrukte deel tot grondvlak, en zijn afstand tot den vloeistof spiegel tot hoogte heeft. Beschouwt men f als een gedeelte van een vasten wand, die het vloeibaar lichaam in twee deelen scheidt, dan zal de even wichtstoestand van het eene deel niet worden gestoord, als men het andere deel wegneemt; hieruit volgt, dat boven- staande regel ook dan nog kan dienen ter bepaling van den druk op het vlakte-element f, indien zooals in fig. 224 boven dit deeltje volstrekt geen vloeistof aanwezig is.

-ocr page 360-

348

Daar de drukkrachten, door het vloeibaar lichaam op de
vlakte-elementen van het platte vlak AB uilgeoefend, alle
werken langs lijnen die loodrecht op dat vlak staan en dus
onderling evenwijdig zijn, zoo is haar vervangende gelijk
aan haar som; derhalve:

Volgens de leer van

Siff.221

het zwaartepunt mag

men X {t z) vervangen
door het product van
het geheele drukvlak
AB = F met den
afstand z₀ van zijn
zwaartepunt S tot den
vloeistofspiegel; men
heeft dus:

D = _r/Fz₀. (189)

De druk van een

vloeibaar lichaam op

eenig deel van een plat vlak is gelijk aan het gewicht van

een vloeistof zuil, welke dit deel

Ficr222

tot grondvlak en den afstand

van diens zwaartepunt tot den

vloeistofspiegel tot hoogte heeft.

Wordt door een zuiger een

kracht K uitgeoefend op het

vrije oppervlak J (fig. 222)

van een in een vat besloten

vloeibaar lichaam, dan is de

druk per vierkanten meter op

den vloeistofspiegel p = -j-<

De druk op eenig deel van den
vlakken wand, kan op dezelfde
wijze als in het vorige geval
bepaald worden; daartoe be-
hoeft men zich slechts voor te
stellen, dat de zuiger vervangen is door een vloeistof-

-ocr page 361-

349

laag, die denzelfden druk uitoefent. De hoogte h welke
deze laag zou moeten hebben, kan gevonden worden uit de
vergelijking:

g/Jh = K of

gyJ 9/

In dit geval is de druk op het platte vlak AB = F:

D = g_yF{z₀ h).

Ook dan nog geldt deze vergelijking, indien de druk op
den vloeistofspiegel niet door een zuiger, maar rechtstreeks
door den dampkring wordt uitgeoefend. Is de barometer-
stand H meters, is /_i de massa van een cubieken meter
kwik, en J vierkante meters de grootte van het vrije opper-
vlak, dan is :

K = gy_xJH gyJh,

§115. Middelpunt van drukking.

Om het snijpunt 1 van de lijn waarlangs de druk D werkt
en den vlakken zijwand, het zoogenaamde middelpunt van

drukking, te vinden, moet men

JPig223.

het moment der vervangende

D ten opzichte van eenige as
gelijk stellen aan de som der
momenten van alle op de af-
zonderlijke vlakte-elernenten t

Dr.

werkende drukkrachten gytz

ten opzichte van diezelfde as.
Kiest men als as de lijn 00_Y(fig. 223), langs welke de
vloeistofspiegel den zijwand aan-
raakt, en is 011 meters lang,
dan is:

Dl=Z(_gy(Zy),

welke na substitutie van de in vergelijking (189) gevonden
waarde van D, voor l geeft:

, 2 (gytzy)

9/Fzo \'

-ocr page 362-

350

Hierin is z₀ = y₀ cos « en z= y cos «; voor den afstand l,
waarop het middelpunt van drukking I van de horizontale
lijn OO_t verwijderd is, vindt men dus:

zilt!

Fy₀ 

Beschouwt men den zijwand als een oneindig dunne plaat,
en stelt men zich voor, dat deze plaat om de horizontale as
0 0, slingeringen volbrengt, dan blijkt uit vergelijking (140), .\'
dat l gelijk is aan den afstand van de slingeras dier plaat
tot de draaiingsas. Noemt men evenals vroeger het traag-
heidsmoment der plaat ten opzichte van de as 00, £, dan is:

§ 116. Druk tegen gebogen zijvlakken.

Op gelijke wijze als dit in § 112 is gedaan, kan ook
hier worden aangetoond, dat de drukkrachten op de on-
eindig kleine deeltjes van het gebogen vlak in bet algemeen

niet door een enkele kracht
Foj.224h. kunnen vervangen worden.

~ Ontbindt men den op het
deeltje * werkenden druk
gyez langs drie onderling
loodrechte assen, waarvan
de een verticaal, en de twee
andere horizontaal gericht
zijn, dan vindt men. dat de
verticale ontbondene gyzt\\
(fig. 224) gelijk is aan het
gewicht van een verticale
vloeistofzuil, van onderen
door het vlakte-deeltje zelve, van boven door den vloeistof-
spiegel begrensd.

Deze kracht werkt verticaal naar boven of verticaal naar
beneden, al naarmate de druk gytz schuin naar boven of
schuin naar beneden is gericht. In het algemeen hebben
al deze verticale krachten een verticale vervangende z gelijk

-ocr page 363-



		351

		aan haar algebraïsche som. In het bijzondere geval dat deze som nul is, kunnen die krachten bij uitzondering door een koppel vervangen worden. De ontbindingskracht in horizontale richting g/z<s is ge- lijk aan den druk, dien de projectie a van e op het vlak loodrecht op die richting zou ondergaan. De vervangende X van al deze ontbindingsklachten is gelijk aan haai^- alge- braïsche som, en dus even groot als de druk dien de ge- heele projectie A C van den gebogen wand op dat vlak zou ondergaan. Op gelijke wijze kan de vervangende Y van de ontbindingskrachten in de richting loodrecht op het vlak der teekening worden bepaald. § 117. Opwaartsche druk. Bevindt zich een vloeibaar lichaam in een vat en be- schouwt men den geheelen er mede in aanraking zijnden wand als drukvlak, dan is zoowel X = o als Y o, omdat de projectie van het drukvlak op elk willekeurig gekozen verticaal vlak nul is (lig. 225). De vervangende van de op alle deeltjes van het drukvlak werkende krachten is derhalve *Bxj.223.* Fiy 226.

		in dit geval een verticale kracht Z, die tevens de vervangende is van de verticale ontbondenen dier krachten. Beschouwt men de verticale ontbondenen der drukkingen op de boven elkander gelegen vlakte-elementen m en n, dan blijkt het

-ocr page 364-



		352

		dat de ontbondene van den druk op m grooter is dan die van den druk op n. Het verschil is gelijk aan het gewicht van de vloeistofzuil tn l verminderd met dat van de vloeistof- zuil nl, en dus gelijk aan het gewicht van de vloeistof- zuil mn. De vervangende Z is derhalve gelijk aan de som der gewichten der afzonderlijke verticale vloeistofzuilen, of aan het gewicht van het vloeibaar lichaam ABC, en de lijn waarlangs zij werkt, gaat door het zwaartepunt S van dat lichaam. Indien alle krachten in tegengestelde richtingen werkten, dan zou dit ook met de vervangende het geval zijn. De vervangende van de drukkingen, die de wanden van het vat op het vloeibaar licbaam uitoefenen, is derhalve een kracht, die verticaal naar boven werkt langs een lijn gaande door het zwaartepunt S van het vloeibaar lichaam; zij is even groot als het gewicht van het lichaam, en maakt hier- mede evenwicht. Is het vat door de vloeistof omringd (Qg. 226), dan kan men op dezelfde wijze aantoonen dat de vervangende van de drukkrachten door de vloeistof op de wanddeelen van het vat uitgeoefend, een verticaal naar boven gerichte kracht is, welker grootte gelijk is aan het gewicht der verplaatste vloeistof, en welke werkt langs een lijn gaande door het zwaartepunt S van de ruimte ABC.

		Ftj.227.		Deze verticaal naar boven werkende

		vervangende wordt de opwaartsche druk genoemd. Ook indien, zooals in fig. 227, een geheel gesloten oppervlak aan alle kanten door vloeistof is omringd is de projectie van het drukvlak op een willekeurig verticaal vlak nul; de vervangende van alle drukkrachten is derhalve ook in dit geval gelijk aan den opwaartschen druk. Stelt men zich toch voor, dat de onder- gedompelde ruimte in oneindig dunne verticale zuilen is verdeeld, dan is voor elk dier zuilen de opwaartsche druk gelijk aan het gewicht van de door haar verplaatste vloeistof; de geheele opwaartsche druk is derhalve

-ocr page 365-



		353

		gelijk aan het gewicht van de door de geheele ruimte ver- plaatste vloeistof. Is J de inhoud van de ondergedompelde ruimte en y de massa van een cubieken meter der vloeistof, dan is de opwaartsche druk: Z = gyJ. Deze kracht hangt uitsluitend af van de grootte der ruimte, zij is onafhankelijk van hetgeen zich binnen deze ruimte be- vindt; wordt de ondergedompelde ruimte bijv. ingenomen door een vast lichaam, dan hangt de opwaartsche druk niet af van het gewicht des lichaams of van de plaats van zijn zwaartepunt. Geheel algemeen geldt dus de volgende wet: Op elk in een vloeistof gedompeld lichaam werkt langs de lijn, die door het zwaartepunt van de ingedompelde ruimte gaat, een opwaartsche druk, even groot als het gewicht van de verplaatste vloeistof. Deze wet wordt de wet van Auchimedes genoemd. Is J de inhoud en y_t de massa van een cubieken meter van het ondergedompelde lichaam, dan is zijn gewicht G = g/₁J; de opwaartsche druk A dien het ondervindt is even groot als het gewicht van de verplaatste vloeistof, dus A = gyJ. Het quotiënt s dier twee gewichten: A g/J y is onafhankelijk van de keuze der gewichtseenheid en der inhoudseenheid, en wordt als maat beschouwd voor de dichtheid van het ondergedompelde lichaam ten opzichte van de vloeistof. § 118. Stabiliteit van drijvende lichamen. Metacentrum. Is de dichtheid van een lichaam ten opzichte van een vloeistof kleiner dan één, dan zal het lichaam op die vloeistof drijven, en daarbij een gewicht vloeistof verplaatsen even groot als zijn eigen gewicht. Voor het evenwicht der op het lichaam werkende krachten wordt bovendien vereischt, dat het zwaartepunt J van de ondergedompelde ruimte en het zwaartepunt S van het lichaam in dezelfde verticaal l)r. Juuus, Mechanica. 23

-ocr page 366-



		354

		liggen (fig. 228). De lijn ZU, welke in dien evenwichts- stand door de beide zwaartepunten gaat, wordt de drijfas, en het vlak WOX, dat met den waterspiegel samenvalt, het drijfvlak van het lichaam genoemd. Om de stabiliteit van den evenwichtstoestand te onder- zoeken, moet men zich voorstellen dat de drijfas in een stand wordt gebracht, die met haar verticalen evenwichts- stand een zeer kleinen hoek qp maakt, en daarna het moment 901 berekenen van het koppel, dat vereischt zou worden om het lichaam in dien stand te houden. Hierbij zal worden verondersteld, dat het lichaam een eenvoudigen vorm heeft, namelijk dien van een prisma, welks lengterichting loodrecht

		staat op het verticale draaiingsvlak en dus horizontaal is; bovendien wordt aangenomen dat de drijfas de doorsnede symmetrisch middendoordeelt. Heeft het prisma een lengte van één meter, dan is het aantal cubieke meters van zijn inhoud even groot als het aantal vierkante meters der door- snede: ditzelfde geldt ook voor deelen van het lichaam. De krachten, door welke het lichaam in zijn nieuwen evenwichtsstand wordt gehouden (fig. 229) zijn: ten eerste het gewicht G van het lichaam, ten tweede de nieuwe opwaartsche druk A_{, die volgens het bovenstaande even groot is als G, en ten derde de krachten die het koppel met het moment ?Dï vormen. Volgens fig. 229 heeft de arm van het koppel gevormd door de krachten G en A_t

-ocr page 367-



		355

		de grootte u sin qp, als w is de afstand van het zwaartepunt S tot het punt M, het snijpunt van de lijn, waarlangs de nieuwe opwaartsche druk werkt, met de drijfas. Wegens de veronderstelde kleinheid van den hoek y mag u sin qp door u qp vervangen worden. De momenten der koppels *Fuj.220* m

		moeten even groot zqn, maar in teeken verschillen; men heeft dus: ffi=Gucf. (190) De nieuwe opwaartsche druk A_i (fig. 230) kan beschouwd worden als de vervangende van drie krachten; namelijk van den oorspronkelijken opwaartschen druk A, van den nieuwen opwaartschen druk a, veroorzaakt door het indompelen van het deel OXX_l, en van den opwaartschen druk a,, dien het oorspronkelijk ondergedompelde, maar thans boven den waterspiegel uitstekende deel WOW_l ondervond, en die dus nu in tegengestelde richting moet worden genomen. Daar A_x = O = A is, moet ook a = a, zijn. De nieuw ondergedompelde ruimte moet dus even groot zijn als de ruimte, die aan den anderen kant boven den waterspiegel is opgeheven. Bij den veronderstelden symmetrischen vorm van het lichaam volgt hieruit, dat de doorsneden dier ruim- ten twee driehoekige vlakken zijn, wier gemeenschappelijke 23*

-ocr page 368-



		356

		top met het punt 0, het snijpunt van de drijfas met het drijfvlak, samenvalt. Elk dier vlakken kan beschouwd worden als een gelijkbeenige driehoek met de basis \\b(f en de hoogte \\-b; derhalve is: a a_t = \\gr \\b<f- \\b = yyb²<p. Het zwaartepunt van elk der beide driehoeken ligt op den afstand £ . ~ b = ^ b van den top; de krachten a en a_lvormen dus een koppel met den arm %b, en het moment: _m = a.$b = &₉yb<p.* (191) Ten opzichte van elk punt der doorsnede, en dus ook ten opzichte van het punt J moet het moment van de ver- Fiff230

		vangende A_{ gelijk zijn aan de som van de momenten dier drie krachten; daar het moment der kracht A ten opzichte van het punt J nul is, zoo heeft men: A_x x = in. Is F het gedeelte van de doorsnede dat beneden den waterspiegel is gelegen, dan is F ook de inhoud van de geheele ondergedompelde ruimte, en dus A_t =AgyF; is verder h de afstand der punten S en J, dan is x = JM. sin qp = (u -f- h) qp. Men verkrijgt dan : g/F(u -i- h)cp = m.

-ocr page 369-

357

Substitueert men deze waarde van m in vergelijking (191),
en lost men u op, dan is:

(192)

u=_u^-h.

Uit deze vergelijking blijkt, dat W onafhankelijk is van
den hoek qp, zoolang namelijk deze hoek klein is.

Bij kleine schommelingen van het drijvend lichaam zal
dus de lijn, waarlangs de opwaartsche druk werkt, steeds
door hetzelfde punt M van de drijfas gaan. Dit punt wordt
het metacentrum van het drijvende lichaam genoemd.

Uit vergelijking (190) blijkt, dat het moment 9)? even-
redig is met u. De stabiliteit van het drijvende lichaam is
derhalve des te grooter, hoe hooger het metacentrum boven
het zwaartepunt ligt; het evenwicht is stabiel als u positief
is. Volgens vergelijking (192) is aan deze voorwaarde steeds
voldaan als h negatief is; m. a. w. ligt het zwaartepunt
van een drijvend lichaam beneden het zwaartepunt van het
verplaatste vloeibare lichaam, dan is het evenwicht steeds
stabiel. Het evenwicht is labiel als u negatief is, indifferent

b³ .
als u gelijk nul of h = ^p ^1S-

De diepte z (fig. 231), waartoe een homogeen parallelo-


		Fig 231. b
	n: X	M f r s_r--------------. i i»r--------- *----------f
	=r-^-i==.
	r~ . r=^
l5=ï35==	=S5?ï
jggS	-^_\' \'	₌c==-=-, j- -=_t~--=---_	EPS!
__^rd£^3sr-	I^^^^^^pS^f^T
ü^ffll	^s^lPJiÏE

pipedum, welks dichtheid ten opzichte van water s is en

-ocr page 370-



		358

		welks lengte, hoogte en breedte respectievelijk één, « en i meters zijn. in water inzinkt, vindt men door het gewicht G = gsyab gelijk te stellen aan den opwaartschen druk A = gyzb; dus: gsyab = gy zb of z as. De doorsnede van de ingedompelde ruimte heeft den inhoud : F= zb = sab, en de afstand van de zwaartepunten S en J is: , a z a .. . Substitueert men deze waarden in vergelijking (192), dan vindt men voor de hoogte van het metacentrum boven het zwaartepunt: b³ a ,. . a Vb\'¹ _a ,, _N1 Stelt men in bovenstaande vergelijking u = 0, dan vindt men voor de waarde van de verhouding , bij welke de ° a grens van de stabiliteit wordt bereikt: - = i 6s(l s). a ^v

-ocr page 371-

ZEVENDE AFDEELING.

DYNAMICA DER VLOEIBARE LICHAMEN.

HOOFDSTUK XX.
Uitvloeiing van water.

§ 119. Uitvloeiingssnelheid.

Opdat een watermassa onder de werking der zwaartekracht
in rust blijve, wordt vereischt, dat alle punten van het
vrije oppervlak in hetzelfde horizontale vlak liggen. Indien
twee vaten, waarin de waterspiegels op verschillende hoogten

liggen, door een hori-
Fiq.232. zontale buis verbon-

den zijn (fig. 232),

dan werken op de beide
uiteinden van de water-

!.....

zuil in die buis on-

1~~

gelijke drukkrachten

g y fJi. en gy fh. Door
het verschil dier twee

i
i

lis

krachten verkrijgt de

oorspronkelijk in rust

\' : v I |

zijnde waterzuil een ver-

snelde beweging, wier
aanvankelijke versnel -
ling gevonden wordt door liet verschil in druk gyf(Hh)
te deelen door de massa der waterzuil. Bij de beweging van de
waterzuil in de horizontale verbindingsbuis treden voortdurend
aan het vooreinde der buis waterdeeltjes naar buiten, terwijl
aan het achtereinde een even groote hoeveelheid water naar

-ocr page 372-



		:mo

		binnen treedt. Dien tengevolge daalt de hoogste en rijst de laagste der twee waterspiegels. In de veronderstelling echter, dat de doorsnede f zeer klein is in vergelijking met die der beide vaten, mogen de hoogten H en h gedurende het uit- vloeien als standvastig worden beschouwd. In dit geval mag men aannemen, dat niettegenstaande een gedeelte van het water, in de buis en in den omtrek van haar uiteinden, in beweging is, de drukkrachten op de uiteinden der waterzuil de grootte behouden, die zij hadden toen het water in rust was, en dat dus de kracht g yf{H h) gedurende de uit- vloeiing niet verandert. Heeft de uitvloeiingssnelheid, d. i. de snelheid van de waterzuil in de buis, op eenig oogenblik de grootte v een- heden, dan is de in het naastvolgende tijddeeltje r afgelegde weg or en de gedurende dat tijddeeltje door de kracht ver- richte arbeid : %=g_yf{Hh)vT. (193) Daar het water als onsamendrukbaar mag worden be- schouwd, en dus de som van de arbeiden door de inwen- dige krachten verricht steeds nul is, zoo mag men aannemen, dat het arbeidsvermogen van plaats met bovenstaand bedrag afneemt en liet arbeidsvermogen van beweging met een ge- lijk bedrag toeneemt. Daar waar het water in de horizontale buis treedt, gaan aanhoudend waterdeeltjes uit den toestand van rust in be- weging over, en verkrijgen dus arbeidsvermogen van be- weging. Het volume van het water, dat gedurende het tijddeeltje r in de buis treedt is i = fvr, zijn massa m = y f o i. Op die plaats wordt derhalve gedurende het tijddeeltje r het arbeidsvermogen van beweging vermeer- derd met: !?£ = _rfv-. (194) Het gedurende den tijd t verloren arbeidsvermogen van plaats kan beschouwd worden te zijn omgezet in een ver- meerdering van het arbeidsvermogen van beweging, vooreerst van het reeds in beweging zijnde water, ten tweede van het water dat in de buis treedt en vóór dien tqd in rust

-ocr page 373-



		361

		was. Dit laatste deel is des te grooter, hoe grooter de uit- vloeiingssnelheid v reeds geworden is; het kan echter nooit grooter worden dan het geheele bedrag. De grootste waarde van de uitvloeiingssnelheid v is dus die, waarbij al het ver- loren arbeidsvermogen van plaats omgezet wordt in arbeids- vermogen van beweging van de deeltjes aan het begin dei- buis, welke voor dien tijd in rust waren. Door gelijkstelling van de voor g en 31 gevonden waarden, verkrijgt men dus voor deze grens der uitvloeiingssnelheid de vergelijking: yfvr^V^-=g_yf(H h)vr of v = i/2g(H h). (195) De aanvankelijk versnelde beweging van de waterdeeltjes in de buis gaat allengs in een eenparige beweging over; de snelheid dier eenparige beweging is gelijk aan de snelheid, die een lichaam zou verkrijgen, indien het vrij viel van een hoogte Hh gelijk aan den verticalen afstand der water- spiegels. Vervangt men in bovenstaande vergelijkingen H en h P p door haar waarden en , waarin P en p de druk- *gy 9Y* kingen per vierkanten meter op de uiteinden der horizontale water/uil zijn, dan vindt men In dezen vorm kan de vergelijking aangewend worden om de uitvloeiingssnelheid te bepalen, indien nog bovendien in elk dei\' beide vaten op den waterspiegel een zekere druk werkt; P en p beteekenen dan den werkelijken druk per vierkanten meter op de uiteinden der waterzuil. Ook ver- gelijking (195) kan voor dit laatste geval als geldig worden beschouwd, mits men onder H en h verstaat de hoogten, die de waterspiegels boven de uiteinden der waterzuil zouden moeten hebben, om de werkelijk daarop uitgeoefende druk- kingen voort te brengen. Vergelijking (195) geldt ook voor het in fig. 233 voor- gestelde geval, waarbij de uitvloeiingsopening zich niet in

-ocr page 374-

362

den verticalen zijwand, maar in den horizontalen bodem
bevindt. Noemt men het verschil in hoogte z, dan ver-
krijgt men de eenvoudiger
^F&²³³ uitdrukking:

v=Vlgz. (196)

Gedurende het tijddeeltje r
vloeit uit de opening een
waterzuil met de lengte v r,
de doorsnede f, en dus met
het volume f v r. Het volume
van het water in het vat
zal gedurende dit tijddeeltje r
met dezelfde grootheid ver-
minderen. Is F de vlakte-
inhoud van den waterspiegel,
dan is de snelheid w, waar-

! f*,

de waterspiegel in het vat daalt:
Fw x = fvr of w

mede

f
F

(197)

Heeft het vat een prismatische of cilindervormige ge-
daante, dan mag men aannemen, dat de beneden den water-
spiegel gelegen deeltjes eveneens met de snelheid w dalen.
Uit bovenstaande vergelijking blijkt, dat de snelheid waar-
mede de waterdeeltjes zich bewegen, voordat zij uitvloeien,
slechts dan mag worden verwaarloosd, indien zooals vroeger

is verondersteld de verhouding -W zeer klein is.

Is aan deze

voorwaarde niet voldaan, dan moet de in vergelijking (194)

voor de vermeerdering van het

aangenomen waarde

arbeidsvermogen van beweging, vervangen worden door:

_ mw¹__mv_ /. _ p\\

~2 2" V JPr

mv
~~2

Indien men in vergelijking (193) de massa van het in
den lijd r uitvloeiende water yfvr door m en het verschil
in hoogten H h door z vervangt, dan vindt men dat

-ocr page 375-

363

het verlies aan arbeidsvermogen van plaats mgz bedraagt.
Door gelijkstelling der twee waarden, verkrijgt men:

mv¹ /. f*\\ .

mw\'
~2

mgz =

i-C

De hoogte 2 kan hierbij onveranderlijk worden gehouden
door boven in het vat evenveel water te doen toevloeien
als er van onderen uitstroomt.

§ 120. Hoeveelheid uitstroomend water.

Zijn alle punten van de uitvloeiingsopening even ver be-
neden den waterspiegel gelegen, en is dus de uitvloeiings-
snelheid v op alle punten even groot, dan is het volume
van het in elke seconde uitvloeiende water gelijk aan den
inhoud van een prisma, welks doorsnede gelijk is aan de
uitvloeiingsopening, en welks lengte v meters bedraagt.
Indien daarentegen de verschillende punten der opening niet
even ver beneden den waterspiegel liggen, dan moet de
opening in oneindig smalle strookjes worden verdeeld, en
het volume water bepaald worden, dat door elk dier strookjes
uitvloeit; door optelling van de aldus gevonden volumes
verkrijgt men dan het geheele volume.

In het punt P (lig. 234) is de uitvloeiingssnelheid volgens
vergelijking (196) v = I\'\'2j2, en door een op deze hoogte

Fig236

Ftg:23i. Fuj235

M A K

gelegen horizontaal strookje met de breedte b en de oneindig

-ocr page 376-



		364

		kleine hoogte X (fig. 235), vloeit in een seconde het volume water bXv. Het geheele volume bedraagt dus I 2 (bXv). Is de uitvloeiingsopening een rechthoek, dan is b een ge- meenschappelijke factor van alle termen onder het somteeken en dus: I=b2(vX). (198) Om de waarde der som 2 [v X) te bepalen, kan men op de in fig. 236 aangegeven wijze de betrekking tus- schen v en z graphisch voorstellen door middel van een kromme lijn AEF. (Deze lijn is een parabool, welks top A in den waterspiegel ligt). Uit de figuur blijkt dat 2 (v X) wordt voorgesteld door den inhoud van de vlakke figuur BEFD, welke gelijk is aan den inhoud van den rechthoek ADFN, verminderd met den inhoud van den rechthoek ABEM en met den inhoud van de vlakke fipuur MEFN. Daar deze laatste gelijk is aan 2 (z A), zoo is: 2 (v X) = CH ch 2 (z A). Om de som 2(z A) te vinden, moet men z vervangen door haar waarde x, waardoor men verkrijgt: 2(,A)= _^A) = _(___ir)₎ of na substitutie van de waarden C¹ ==1gH en c^% = 2</A: 2(zA) = ^(CH-ch). Men vindt dus: 2(i>/l)= f (Off ch). Substitueert men deze waarde in vergelijking (198), dan vindt men voor het volume water, dat in elke seconde uitvloeit: I=$b(CH ch) = \|6(H VH~hV~K)\\^/~W. Voor h = o, wordt:

		I=\\bHV^yH.

-ocr page 377-

365

Uit deze vergelijking blijkt, dat bij een overlaat het
volume uitvloeiend water even groot is alsof alle water-
deeltjes dezelfde uitvloeiingssnelheid ^ \\ 2f/H hadden.

§ 121. Ui t vloeiingstijd.

Indien uit de opening f in den horizontalen bodem van
een cilindervormig of prismatisch vat

Jty:237:

(fig. 237) het water met de snelheid

v = V2gz uitvloeit, terwijl van boven
geen toevoer plaats grijpt, dan ver-
mindert het volume water in het vat
in elke seconde metfv; dientengevolge
daalt de waterspiegel, en wel volgens
vergelijking (197) met de snelheid:

-V *(*£>

Uit deze vergelijking blijkt dat de beweging eenparig ver-
traagd is. Indien een punt met eenparig vertraagde bewe-
ging een vertraging p heeft, dan zal het op een afstand z
van het eindpunt der beweging gekomen een snelheid Vlpz
hebben; de tijd waarin het dien afstand z zal afleggen is

dan t = y -. Stelt men hierin p = <7 ^, dan verkrijgt

men voor den tijd, na welken de waterspiegel den bodem

van het vat bereikt:

Fiff.238.

_rJ[~ï~._


*	1
WÊSSg*	4 . _i_ _ 1	- .___
\'S:- \'\'^:\'.\'-\' ^-r^~~=^r=	1
js.- _j^ -=1" -^-_	co
		C\'
jSsjfK^^ri»^^^^	__l_ _
fSlSËpf?^!		f^KT^E»!
^SÉ§3	*sd	SjjÜ

^v 9 f¹

en voor den tijd in welken
de waterspiegel van de hoogte
H tot h daalt:

133

fcv^-O

Op soortgelijke wijze kan
de tijd worden berekend, waarin bij de in lig. 238 voor-

-ocr page 378-



		366

		gestelde vaten de waterspiegel in het eene vat zoover daalt en die in het andere vat zoover rijst, dat zij in hetzelfde horizontale vlak liggen. De uit vloeiingssnelheid heeft de grootte: v=V2g(x z),* en de snelheid van den dalenden waterspiegel is derhalve: Het water dat uit het eene vat vloeit, komt in het andere vat waaruit volgt: F § x = Fz of x = _s z. ö Door substitutie van deze waarde vindt men:

		*v/\|>£0 f)> De dalende waterspiegel heeft dus een eenparig vertraagde beweging met de vertraging: \'-\'£(\' >* De tijd tot het afleggen van den weg z benoodigd is: t= \\/2f= y/2* F% * V _p V g -p{F %y Uit de vergelijking: (z x) = z(i ^) = h, vindt men: h Deze waarde van z in bovenstaande vergelijking substi- tueerende, vindt men:

-ocr page 379-



		367 Is F zoo groot dat het quotiënt ^ gelijk nul mag wor- den gesteld, dan verkrijgt men voor den tijd, waarin het kleinste vat volloopt:

		**-3. \\/h* f V 9\'**
		t


		§ 122. Snel heidscoëfficien t, contractie- coëfficiënt, uitvloei ingscoëfficient. Bij de afleiding van de algemeene vergelijkingen der uit- vloeiing zijn veronderstellingen gemaakt, welke slechts bij benadering met de werkelijkheid overeenkomen. Om uit- komsten te geven die met de waarneming overeenstemmen, moeten de vergelijkingen correcties ondergaan. Voor de theoretische uitvloeiingssnelheid is gevonden v= V Igh, als h de drukhoogte is, en als de uitvloeiingsopening f klein is in vergelijking met de doorsnede F van het vat. De werke- lijke uitvloeiingssnelheid is steeds kleiner dan de theoretische, en wordt verkregen door deze laatste te vermenigvuldigen met een zekeren coëfficiënt qt, de snelheidscoëfficient ge- noemd, welke steeds kleiner is dan één. De werkelijke uitvloeiingssnelheid is derhalve: v = qp V\\gh. Bij de theoretische bepaling van de hoeveelheid uitstroo- mend water werd de uitvloeiingsopening als doorsnede van den waterstraal aangenomen. Ook dit is in den regel niet juist, daar de uitvloeiende straal zich meestal samentrekt, en op eenigen afstand van de opening een kleinere door- snede heeft. Tengevolge van die contractie verkrijgt men de doorsnede van den straal door de uitvloeiingsopening te vermenigvuldigen met een zekeren coëfficiënt «, die kleiner is dan één, en contractie coëfficiënt genoemd wordt. Bevindt zich de opening in den horizontalen bodem, dan verkrijgt men dus het werkelijk volume van het in een seconde uit- stroomend water, als men de doorsnede af vermenigvuldigt met de snelheid qp V %gh, of:

		M = (« . f) (qp V 2gh) = («.ff) tfV <Lgh).

-ocr page 380-




		368

		Het product: « . cp = fl wordt de uitvloeiingscoëfïïcient genoemd, omdat men daar- mede het theoretisch volume van het uitstroomend water moet vermenigvuldigen, om het werkelijk volume te ver- krijgen. Een zoogenaamde «volkomen contractie" heeft plaats bij de uitvloeiing uit een opening in een vlakken dunnen wand, wanneer tevens de wijdte der opening klein is in vergelijking met haar afstand tot den naasten zijwand en met de drukhoogte. Hij een volkomen contractie van den waterstraal is de con- tractiecoëfficient gemiddeld « = 0,64 en de snelheidscoëffi- cient ip = 0,97; bijgevolg is de uitvloeiingscoëfïicient: u = 0,64 . 0,97 = 0,62. Bij een cirkelvormige opening met de middellijn D is de kleinste doorsnede van den straal ongeveer op den afstand 0,5 D van de opening gelegen, en heeft zij een middellijn 0,8 D. Is in dit geval de opening voorzien van een korte buis, die ongeveer den vorm heeft van den gecontraheerden waterstraal, dan is « = 1 en qp = 0,97. >

K.cos a.