-ocr page 1-

vi^

�oX§>5

VERZAMELING VAN VRAAGSTUKKEN

OP HET GEBIED VAN DE

ANALYTISCHE MEETKUNDE DER

DOOK

Dr. P. J. HOLLMAN.

EERSTE GEDEELTE

(de regte lijn, het platte vlak, de bol.)

■■�...

� ALKMAAR,

-
■

HBRMS. CO

m i■
�L^ \'.

1886. J&

■

-ocr page 2-





		P. oct, 1035

-ocr page 3-

fl\'/\'Mf . fatntJT.y»

U\'Vr)

VERZAMELING VAN VRAAGSTUKKEN

OP HET GEBIED VAN DE

ANALYTISCHE MEETKUNDE DER RUIMTE

DOOR

Dr. P. J. HOLLMAN.

EERSTE GEDEELTE

(de regte lijn, het platte vlak, de bol.)

ALKMAAR,

HER MS. COSTER & ZOON.

1886.

-ocr page 4-

-ocr page 5-



		VOORBERIGT.

		Nu en dan was de schrijver dezer regelen jonge lieden behulp- zaam bij hunne wiskundige studi�n; strekten deze zich zoo ver uit, dat er sprake was van het beoefenen der analytische meetkunde der ruimte, dan deed zich de behoefte aan geschikte voorbeelden gevoelen. Het is toch maar al te waar wat reeds Newton zegt in zijne arithmetica universalis: �in scientiis addiscendis prosunt exempla magis quam praecepta". � Op velerlei ander gebied der wiskunde bestaan verzamelingen van voorbeelden of vraagstukken, maar naar die op het gebied der analytische meetkunde der ruimte zocht de schrijver te vergeefs; hij vond er geene, noch in de hollandsche taal, noch in werken in het buitenland uitgegeven. Gaande weg rijpte daarom bij hem het denkbeeld aanteekening te houden van vraagstukken, die het meest geschikt zijn om het geleerde op dit gebied te onderhouden; het is toch niet voldoende dat men een zeker aantal formules in het hoofd heeft, men moet die ook op geschikte wijze weten te gebruiken, want van den weg, dien men inslaat om een vraagstuk op te lossen, hangt veel, ja meestal alles af. Naarmate het aantal vraagstukken toenam, werd ook de drang grooter anderen in het voordeel te laten deelen. Eindelijk besloot de 8. tot de uitgave, daarin welwillend de hand geboden door de heeren Coster alhier. Op hun aanraden zijn vraagstukken en oplossingen afzonderlijk gedrukt; het is toch maar al te waar dat gemakzucht den mensch drijft om het oog te slaan in de op- lossing, nog voordat hij zjjne krachten beproefd heeft, waardoor veel van het voordeel, dat het uitwerken van vraagstukken anders in den regel heeft, te loor gaat. Is de S. overtuigd dat het boekje zijne nuttige zijde kan hebben voor den leerling, hij hoopt dat het de goedkeuring moge weg- dragen van den leermeester, dat het dienen kan om hem van eene lastige taak te ontheffen. Voorloopig ziet het eerste gedeelte het licht dat, met het oog

		�

-ocr page 6-



		VOORREDE.
		IV

		op het examen voor middelbaar onderwijs, de leer behandelt van de regte lijn en het platte vlak, en waaraan eenige voorstellen _tbetreffende den bol, zijn toegevoegd. Maakt men de opmerking dat sommige vraagstukken als voor- beelden reeds in de meeste leerboeken gevonden worden, die handel- wijze laat zich verdedigen met de opmerking dat bij de oplossing de leer der determinanten is te hulp geroepen, eene leer die, hoe vruchtbaar in de gevolgen, op dit gebied in hollandsche boe- ken, voor zooverre den S. bekend is, nog te weinig toepassing heeft gevonden. De laatste vraagstukken zijn zonder de oplossingen vermeld. Voor den leermeester is dit niet van belang ontbloot, wijl hij nu zonder eenige moeite in staat is gesteld zich rekenschap te geven van de vorderingen zijner leerlingen, die, is het voorafgaande goed begrepen en degelijk verwerkt, met eenige inspanning de oplossingen zullen vinden. Van belang ook is het voor hem, die zonder leermeester zich dit schoone gedeelte der wiskunde tracht eigen te maken. Slaagt hij niet in het oplossen der hier gegeven vraagstukken, het is een bewijs dat hij nog niet genoeg bedreven is in de leerwijze der co�rdinaten, dat hem sommige zaken nog duister zijn, of dat hij niet naar willekeur de formules kan vinden of gebruiken die hij voor het bepaalde doel noodig heeft. Moge de uitgave iets bijdragen om den lust voor wiskundige studi�n in het land van Huijgens te onderhouden en te vermeer- deren.

-ocr page 7-



		VRAAGSTUKKEN.

		1. Wanneer drie onderling regthoekige assen 01, OY en OZ door een plat vlak respectievelijk in de punten Q, B en S gesneden worden, zoodat de lijnen QB, BS en SQ respectievelijk de doorgangen zijn van dit platte vlak met de vlakken der xy, der yz en der xz, dan hebben de hoe- ken QBO, BSO en SQO, of ook de hoeken BQO, SBO en QSO, de eigenschap dat het gedurig product hunner tangenten gelijk is aan de eenheid. Men vraagt het bewijs. 2. Bij een regthoekig co�rdinaten stelsel heeft tusschen de hoeken, die eene regte lijn met de assen maakt, de vol- gende betrekking plaats: cosx -\\- cos²(2 -\\- cosⁱy �* 1. Wat wordt er van die uitdrukking als het co�rdinaten stelsel scheef hoekig is? 3. Eene regte lijn in de ruimte is gegeven door de ver- gelijkingen : z = ay -f- bx c, z = a^xy-\\- b^lx -f- c¹ ; hoe berekent men uit deze hare projectien op elk der coor- dinaatvlakken? i. Onder welke voorwaarden zullen twee in de ruimte gegeven regte lijnen elkander snijden? 5. Bepaal de vergelijking eener regte lijn, die door twee gegeven punten x_ly₁z₁ en x₂y₂s_t gaat. . 6. Onder welke voorwaarden gaat eene lijn door drie ge- geven punten x₁y₁z_v x^y^z^ x_sy_iz_i? 7. Bepaal de vergelijkingen der regte lijn, die door een gegeven punt x_ly_lz₁ gaat en met twee der coordinaatassen de hoeken x en (3 maakt. 8. Twee lijnen, die loodregt op elkander staan, zijn ge-

-ocr page 8-



		6

		geven. In haar snijpunt wordt eene derde lijn getrokken, die loodregt staat op de eene en een gegeven hoek maakt met de andere; men vraagt naar de vergelijkingen dezer lijn. 9. Op eene regte lijn is een punt x₁y_te_l gegeven; men vraagt op dezelfde lijn het punt x₁p₂z_i te bepalen, dat op een gegeven afstand van het eerste is gelegen. 10. Op eene gegevene regte lijn wordt het gedeelte AB door het punt C gedeeld in verhouding van m : n; hoe drukt men de co�rdinaten van C uit in die van A en B? 11. De vergelijkingen van twee regte lijnen en de co�r- dinaten van een punt zijn gegeven; men vraagt naar de vergelijking der regte lijn, die door het gegeven punt gaat en met de gegeven regte lijnen gelijke hoeken maakt. 12. Drie gegeven lijnen kruissen elkander twee aan twee in de ruimte; men vraagt eene vierde lijn te bepalen, die twee der gegevene snijdt en evenwijdig loopt aan de derde. 13. Drie gegeven lijnen kruissen elkander twee aan twee in de ruimte; men vraagt de hoeken te bepalen, welke een vierde lijn, die twee der gegevene snijdt en evenwijdig loopt met de derde, met de gegevene lijnen maakt, en den afstand te berekenen, waarop zij van de derde verwijderd is. 14. De hellingen eener regte lijn op de assen van gegeven scheef hoekige co�rdinaten zijn gelijk; men vraagt den hoek te bepalen, dien gezegde lijn met de assen maakt. 15. Hoe weet men dat een gegeven lijn in een gegeven vlak ligt? 16. Men begeert de voorwaarde te vinden, waaraan vol- daan moet worden, zal eene lijn loodregt op een vlak staan. 17. Wanneer gegeven zijn de lengte der loodlijn, welke uit den oorsprong van regthoekige co�rdinaten op een vlak is nedergelaten, benevens de hoeken door die lijn met de assen gevormd, vraagt men naar de vergelijking van het vlak. 18. Geef nog de vergelijkingen der regte lijn aan, die door een gegeven punt gaat en loodregt staat op eene gegevene regte lijn. 19. De vergelijking en de lengte te vinden der lijn, die loodregt op twee gegeven lijnen staat.

-ocr page 9-



		7 20. Men vraagt de voorwaarden te bepalen, waaraan de rigtingshoeken van drie lijnen ten opzigte van onderling loodregte assen moeten voldoen, zullen die drie lijnen even- wijdig zijn aan een zelfde plat vlak. 21. Bepaal het snijpunt van drie gegeven vlakken in den vorm van een determinant. 22. Bepaal het vlak dat gaat door drie gegeven punten, die niet in dezelfde regte lijn liggen, hierbij gebruik makend van de leer der determinanten. 23. Zoek de vergelijking van een vlak dat door twee evenwijdige lijnen gaat. 24. En hoe* wordt de vergelijking van het vlak, wanneer de lijnen elkander snijden? 25. Zoek in den vorm van een determinant de vergelij- king van het vlak, dat door twee gegeven punten gaat en loodregt staat op een gegeven vlak. 26. Welke betrekkingen moeten er plaats vinden tusschen de constanten in de vergelijkingen van drie vlakken, opdat deze elkander langs het beloop eener regte lijn snijden? En hoe wordt de voorwaardensvergelijking, opdat de snijding volgens evenwijdige lijnen geschiede? 27. Zoek de vergelijking van een vlak, dat door een ge- geven punt en eene gegevene regte lijn gaat. 28. Welke is de vergelijking van het vlak, dat door twee gegeven punten gaat en evenwijdig loopt aan eene gegevene lijn? 29. Zoek den determinant, waardoor het vlak bepaald wordt, dat door een gegeven regte lijn gaat en loodregt staat op een gegeven vlak. 80. Welke wordt de determinant in het vorig vraagstuk bedoeld, wanneer het vlak evenwijdig zal loopen aan twee gegeven lijnen: x = mz-\\-p, y = ns -f- q; x = m¹s-{-pⁱ, y = n¹s-\\-q¹; en door een gegeven punt x₁y_is₁ gaan? 31. Men vraagt naar de vergelijking der regte lijn, welke evenwijdig loopt met twee gegeven vlakken en door een gegeven punt gaat.

-ocr page 10-



		8

		32. Bepaal het vlak dat loodregt staat op eene gegevene lijn x = mz - - P, V = m-\\-q; en door het punt x₁y₁z_l gaat. 33. De vergelijkingen eener regte lijn en de co�rdinaten van een punt zijn gegeven. Men vraagt naar de plaats aller regte lijnen, die door dat punt gaan en loodregt staan op de gegeven lijn. Hoe vindt men de vergelijkingen der regte lijn, welke door het gegeven punt gaande de eerstgenoemde lijn loodregt snijdt? Eindelijk verlangt men de lengte dier loodlijn te kennen. 34. Hoe bepaalt men den afstand van een punt tot een vlak, wanneer de coordinaatassen niet regthoekig op elk- ander staan? 35. De vergelijking te vinden der regte lijn, welker pun- ten alle op gelijke afstanden van de coordinaatvlakken zijn. 36. Men vraagt naar de vergelijking van een vlak, waar- van elk punt de eigenschap heeft dat zijne afstanden tot twee gegeven vlakken eene standvastige verhouding hebben. 37. Bereken den afstand van twee gegeven evenwijdige vlakken. 38. Wanneer S en S¹ de inhouden zijn van twee figuren in hetzelfde platte vlak gelegen, en S,, S¹,; S_y, S\\; S,, S\\ de projectien harer inhouden .op drie onderling regthoekige vlakken voorstellen, dan heeft men SS¹ = S.S¹. S,S\\ S,S\\; men vraagt naar het betoog. 39. Van een driehoek zijn de co�rdinaten der hoekpunten gegeven; men vraagt den inhoud van dien driehoek in den vorm van een determinant uit te drukken. 40. Wanneer x, (3 en y de hoeken zijn, welke een regte lijn L met hare projectien op drie onderling regthoekige vlakken maakt, 5 de afstand van den oorsprong der co�rdi- naten tot de lijn i, S,, 5j en 5₃ de afstanden van den oor- sprong tot de projectien van L op de coordinaatvlakken, dan is 52 = 5» Cos« -f- S� Cos* (3* 5* Cos y*; men vraagt het betoog.

-ocr page 11-



		9

		41. Wanneer twee vlakken A en B benevens een punt p gegeven zijn, en men brengt door p twee vlakken C en D, zoodat de lijn van doorsnede dezer laatsten de doorsnede van A en B snijdt, en voorts door de lijn van doorsnede van A en O en die van B en D een vlak F, benevens door de doorsnede van A en D en van B en C een vlak G, dan vraagt men naar de plaats der doorsneden van de vlakken F en G. 42. Er zijn gegeven drie lijnen a, & en c, die elkander in een punt snijden, benevens eene vierde lijn, die geen der anderen ontmoet. Door de lijn d worden twee vlakken D en D¹ gebragt; zij snijden elk voor zich de lijnen a, b en c in drie veranderlijke punten p�, p_t, p_c en p\\, p\\, p\\. Als men nu een vlak F brengt door de punten p_a, p_b en p\\; een ander vlak G door de punten p_a, p\\ en p_e; een derde vlak H eindelijk door p\\, p_h en p� dan vraagt men de punten van doorsnede der vlakken F, G en H te bepalen. 43. Zet men op de stralen, die uit een punt 0 naar ver- schillende punten van een gegeven vlak loopen, stukken uit omgekeerd evenredig met de lengten dier stralen, dan zullen de vlakken , loodregt op de uiteinden dier stukken gebragt, allen door een punt gaan. Men vraagt het betoog. 44. Bij een zeshoek, wiens zijden niet allen in hetzelfde vlak liggen, maar welks overstaande zijden twee aan twee gelijk zijn en evenwijdig loopen, liggen de punten, waarin de zijden midden door gedeeld worden in een plat vlak. Men vraagt het betoog. 45. Wanneer de overstaande zijden van een zesvlak ver- lengd wordende, elkander snijden volgens regte lijnen, die in een vlak liggen, dan ontmoeten de diagonalen van dat zesvlak elkander in een punt. Men vraagt het betoog. 46. Er zijn gegeven drie evenwijdige lijnen, die niet allen in hetzelfde vlak liggen; men zet op een dezer lijnen eene gegevene lengte AB uit, en neemt vervolgens op de tweede een willekeurig punt C, op de derde eindelijk een ander willekeurig punt D; hoe bewijst men dat de inhoud der pi- ramide ABCD immer dezelfde of constant zal zijn, welke

-ocr page 12-



		10

		ook de ligging der punten G en D moge wezen, onverschillig ook op welke lijn men AB heeft genomen? 47. Wanneer men door het midden van de ribben eener driehoekige piramide vlakken brengt, die loodregt staan op de overstaande ribben, dan snijden die zes vlakken elkander in een punt. Men vraagt naar het betoog. 48. Men vraagt te bewijzen dat, wanneer twee paren overstaande ribben van een tetraeder loodregt op elkander staan, zulks ook het geval met het derde paar is. 49. Wanneer de overstaande ribben van een tetraeder loodregt op elkander staan, snijden de vier hoogtelijnen elkander in een punt. Men vraagt wederom het betoog. 50. Wanneer de hoogtelijnen van een tetraeder elkander in een punt snijden, dan ontmoeten de gemeenschappelijke loodlijnen op de overstaande ribben elkander in datzelfde punt. Men vraagt het bewijs. 51. Te bewijzen dat, wanneer men in een tetraeder het midden der overstaande ribben door regte lijnen vereenigt, die lijnen elkander in een punt snijden, en in dat punt tevens midden door worden gedeeld. 52. Bewijs dat het zwaartepunt eener driehoekige pira- mide, het ontmoetingspunt harer hoogtelijnen en het punt, waarin de loodlijnen, die door de zwaartepunten der zijvlak- ken gaan, elkander snijden, in eene regte lijn liggen. 53. Wanneer de hoogtelijnen van een tetraeder elkander in een punt snijden, en men laat uit dat punt loodlijnen neder op de zes ribben, dan is voor dat punt de som dier loodlijnen een minimum. Waarom? 54. Wanneer de hoogtelijnen van een tetraeder elkander in een punt ontmoeten, liggen de uiteinden der gemeen- schappelijke loodlijnen op twee overstaande ribben nederge- laten, en het midden der ribben � in het geheel twaalf punten � op het oppervlak van een bol, welks middelpunt zamenvalt met het zwaartepunt van de driehoekige piramide. Men vraagt het betoog. 55. Van eene driehoekige piramide zijn de co�rdinaten der toppunten gegeven. Men vraagt hieruit den inhoud te bepalen.

-ocr page 13-



		11

		56. Wanneer men in een tetraeder ABCD door de ribben AB, AC en AD] die elkander in het hoekpunt A ontmoe- ten, en de punten B¹, C¹ en D¹, die de overstaande ribben midden door deelen, vlakken brengt, dan snijden deze elkander volgens eene regte lijn x, gaande door het hoekpunt A. Herhaalt men de bewerking met de andere hoekpunten B, C en D, dan verkrijgt men op die wijze nog drie andere lijnen /3, y en S. Deze vier lijnen, benevens de lijnen p, q en r, welke het midden D¹ en D¹¹, C¹ en C¹¹, B¹ en B¹¹der overstaande ribben verbinden, snijden elkander in een punt O. De drie vlakken, welke door het midden van drie aan elkander grenzende ribben, loodregt op de overstaande ribben gebragt worden, snijden elkander volgens het beloop eener regte lijn; en wijl men de bewerking voor elk der drie ove- rige hoekpunten kan herhalen, verkrijgt men vier regte lijnen, die elkander in een punt O¹ ontmoeten. De drie vlakken, welke door het midden van drie in het- zelfde vlak liggende ribben loodregt op de laatsten gebragt worden, snijden elkander volgens eene regte lijn; herhaalt men de bewerking voor de andere zijvlakken, dan verkrijgt men drie andere snijlijnen, welke allen door hetzelfde punt O¹¹ gaan. Eindelijk liggen de punten O, O¹ en O¹¹ in eene regte lijn, en deelt het punt O de lijn O¹0¹¹ middendoor. Men vraagt het betoog. 57. Beproef de lijnen x, (3, y en 5 benevens de lijnen p, q en r in het vorig vraagstuk vermeld, uit te drukken in eene functie der zes ribben van de driehoekige piramide. 58. Men kent de som der kwadraten van de afstanden van eenig punt p tot n gegeven punten. Hoe berekent men hieruit de meetkunstige plaats van het punt p? 59. De vergelijking van een bol en de co�rdinaten van een punt op zijn oppervlak zijn gegeven; bepaal de verge- lijking van het raakvlak aan dien bol in het gegeven punt, 60. Door eene gegevene lijn wordt een raakvlak aan een gegeven bol gebragt; men vraagt naar de co�rdinaten van het raakpunt.

-ocr page 14-



		12

		61. Aan een gegeven bol is een raakvlak gebragt, dat evenwijdig loopt met een gegeven vlak. Hoe bepaalt men de vergelijking van dat raakvlak? 62. Zoek een determinant, welke de vergelijking vanden bol uitdrukt, en waarbij gebruik gemaakt wordt van de ge- deeltelijke eerst afgeleide functien en den straal. 63. Zoek de vergelijking van den bol, die door vier ge- geven punten gaat. 64. Zoek de betrekking tusschen de afstanden van vijf punten: M{xyz), M₁(x_ly_ls₁), M₂(x₂y₂s₂), M₃(x₃y₃s~), -^4(^42/424) > alle op de oppervlakte van denzelfden bol ge- legen. 65. Men vraagt de punten te bepalen uit welke men gelijke raaklijnen kan trekken aan twee gegeven bollen, die elkander snijden. 66. Men vraagt de vergelijking te bepalen van den bol, die door drie gegeven punten gaat en een gegeven vlak aanraakt. 67. Men vraagt het vlak te bepalen, dat door een ge- geven lijn gaat en een gegeven bol volgens een gegeven cirkel snijdt. 68. De vergelijkingen van drie bollen zijn gegeven; men vraagt naar de meetkunstige plaats van het middelpunt eens vierden bols, die de drie gegevene aanraakt, benevens de meetkunstige plaats van elk der drie aanrakingspunten. 69. Twee gegeven punten A en B liggen buiten een ge- geven bol; hoe bepaalt men het punt G op den bol zoo, dat A0-\\-BC een minimum is? 70. Indien gegeven zijn de vergelijkingen van een bol en van eene regte lijn in de ruimte, begeert men de co�rdina- ten van een op die lijn gelegen punt te vinden, dat een gegeven afstand van het oppervlak des bols heeft. 71. Welk punt van een gegeven lijn heeft den kortsten afstand tot het oppervlak van een gegeven bol, en hoe groot is die afstand? 72. De vergelijkingen van de drie vlakken eens drievlak- kigen hoeks zijn gegeven; men vraagt naar de co�rdinaten

-ocr page 15-

van het middelpunt eens daarin sluitenden bols van gegeven
straal.

73. Zoek een determinant, die den straal van den bol om
een tetraeder beschreven uitdrukt in functie van drie aan
elkander grenzende ribben en de hoeken, die deze met elk-
ander maken.

74. Hetzelfde als in het vorig vraagstuk wordt gevraagd
voor den straal van den ingeschreven bol.

75. Twee platte vlakken en een bol snijden elkander in
dier voege, dat een gedeelte van de gemeene doorsnede der
vlakken, als koorde, binnen den bol valt. Indien men nu de
lengte dier koorde kent, en ook nog gegeven zijn de verge-
lijkingen der beide vlakken, ten opzigte van onderling regt-
hoekige coordinaatassen, wier oorsprong in het middelpunt
van den bol is genomen, begeert men daaruit den straal van
den bol te vinden.

76. Wanneer de vierkanten a,, a₂, a₃, a₄, a₅ en a₆der onderlinge afstanden van vier punten voldoen aan

0 11 11

1 0 a₃ a_% a₄

1 a₈ 0 a, a₅

1 a₂ aj 0 a₆

1 a₄ a₅ a₆ 0

= 0,

Men vraagt het

dan liggen die punten in een plat vla!

betoog.

77. Van een driehoek zijn gegeven de inhouden der pro-
jectien op elk der regthoekige coordinaatvlakken, uitgedrukt
in de co�rdinaten der hoekpunten. Men vraagt den inhoud
van dien driehoek te bepalen, en de vergelijking op te
maken van het vlak, waarin hij gelegen is.

78. Hoe lost men het vorig vraagstuk op, bijaldien van
den driehoek gegeven zijn de vergelijkingen van de projec-
tien der zijden?

79. De vergelijkingen te bepalen van de zijvlakken en
ribben van het regelmatige viervlak.

80. Hetzelfde voor het regelmatig achtvlak.

81. De vlakken, die door de ribben van een drievlakkigen

-ocr page 16-

hoek gaan, en loodregt staan op de overliggende zijden,
snijden elkander in eene regte lijn. Men vraagt hiervan het
betoog, gebruik makend van de vergelijkingen der zijvlakken
in den normaalvorm.

82. De zes vlakken, die de standhoeken der zijvlakken
van een tetraeder of viervlak midden door deelen, snijden
elkander in een punt. Bij het bewijs gebruik te maken van
de vergelijkingen der zijvlakken in den normaalvorm.

83. De vergelijking van het vlak, dat den tweevlakkigen
hoek, waarin de oorsprong van het co�rdinaten-stelsel ligt,
midden door deelt, is E_t � E₂=0, wanneer .�,=0 en
E₂ = 0 de vergelijkingen zijn der vlakken in den normaal-
vorm genomen. Het vlak dat den supplementshoek midden
door deelt, wordt aangewezen door E_x E_% = 0. Men vraagt
het betoog.

84. Welke beteekenis mag men hechten aan de vergelijkingen

� .E, E₁ E₃=0

E, - E_t E_a � 0

_Ei E_i � E_s=0,
wanneer E₁=0, E₂=0 en E₃ = 0 de vergelijkingen van
drie vlakken in den normaalvorm voorstellen\'?

85. Bewijs dat


0	1	1	1	1
1	0	*d_i2*	^13	d
1	*d_2t*	0	^2 3	d
1	<*»j	*d_3i*	0	d
1	rf₄i	*d_i2*	*<4 3**	0

waarin I de inhoud is van het viervlak of den tetraeder
M_t M₂ M₃ �f₄, en d het vierkant van de lengte der ribbe
uitdrukt, zoodat men in het algemeen heeft:

d_f, = {x, � x_q)* {y, � y_ty -f- (*, � s,)K

86. De hellingen eener regte lijn op gegeven scheefhoekige
«oordinaatvlakken zijn gelijk; men vraagt den hoek te be-
palen, dien de lijn met de coordinaatvlakken maakt.

87. Trekt men door een punt 0, gelegen in de zijde
ABC van een viervlak ABCD, lijnen O., 0» en O_c, even-

-ocr page 17-



		i

		15

		wijdig aan de ribben AD, BD en CD, tot zij de zijden DBC, DAG en DAB ontmoeten, dan is DA^ BB ~^ DC men vraagt naar het betoog. 88. Neemt men een punt 0 binnen een viervlak ABCD, en verlengt men de lijnen AO, BO, CO en DO tot zij in a, b, c en d de overstaande zijden ontmoeten, dan heeft men de betrekking Oa Ob _] _0c_ 0d^_ __ Aa Bb Cc Dd \' men vraagt wederom het betoog. 89. Bewijs dat elk vlak, gaande door het midden van twee overstaande ribben van een viervlak, dit laatste in twee gelijke deelen verdeelt. 90. Men vraagt een gegeven viervlak door een plat vlak zoodanig in twee segmenten te verdeelen, dat de zwaarte- punten dezer laatsten gelegen zijn op eene regte lijn, lood- regt op dat vlak. 91. Binnen een drievlakkigen hoek is een punt gegeven; men vraagt een plat vlak zoodanig door dat punt te brengen dat het gedeelte door den drievlakkigen hoek afgesneden gelijkvormig zij met een gegeven driehoek. 92. In de ruimte ligt eene regte lijn AB en buiten deze twee punten P en Q. Men begeert uit het punt P in eene regte lijn PC naar een punt C van de gegeven lijn te gaan, en uit dit punt C tot het ander gegeven punt Q, insgelijks in eene regte lijn, terug te keeren, zoodanig dat men den kortsten weg aflegt; bepaal het punt C. 93. Men begeert op eene regte lijn in de ruimte het punt te vinden, uit hetwelk twee punten in de ruimte onder den grootsten hoek gezien worden. 94. Bewijs dat het vierkant van het zijvlak tegenover den regten drievlakkigen hoek eener regthoekige driehoekige piramide gelijk is aan de som van de vierkanten der drie zijvlakken, welke om den regten drievlakkigen hoek staan. 95. Aantoonen dat het vierkant van een der zijvlakken

-ocr page 18-



		I

		16

		eener driehoekige piramide gelijk is aan de som van de vierkanten der drie andere zijvlakken, verminderd met de som der producten dezer drie andere zijvlakken, op alle mogelijke wijzen twee aan twee genomen, en elk dezer producten vermenigvuldigd met de cosinus van den stand- hoek der twee zijvlakken, die in dit product voorkomen. 96. Wanneer in de ruimte uit eenig punt P vier lijnen zoodanig getrokken zijn, dat geen drie dezer lijnen in het- zelfde vlak liggen, dan begeert men eene vergelijking op de zes onderscheidene hoeken te vinden, welke deze lijnen, twee aan twee genomen, met elkander maken. 97. Indien men door een willekeurig punt drie onderling loodregte vlakken brengt, die ieder in het bijzonder een gegeven bol snijden, zal de som der drie doorsneden eene standvastige grootheid zijn, hoe men overigens de rigting der vlakken gekozen hebbe. Men vraagt hiervan het bewijs. 98. Betoog dat in een tetraeder, welks hoogtelijnen elkander in hetzelfde punt ontmoeten, dit punt, het zwaarte- punt van den tetraeder en het middelpunt van den ingeschre- ven bol in eene regte lijn liggen. 99. Toon aan dat in den tetraeder in het voorgaand vraagstuk omschreven: 1°. de zwaartepunten der zijvlakken, 2°. de voetpunten der hoogtelijnen, 3°. de punten gelegen op die hoogtelijnen, op twee derden van den afstand tus- schen de toppen en het snijpunt der hoogtelijnen, in het geheel derhalve 12 punten, allen liggen op het oppervlak van denzelfden bol. 100. Zoek ook het bewijs dat het middelpunt van den bol in het laatste vraagstuk aangegeven ligt op het midden der lijn, die het snijpunt der hoogtelijnen vereenigt met het snijpunt der loodlijnen, op elk zijvlak uit het zwaartepunt dier zijvlakken opgerigt. De straal van dezen bol en de straal van dien om den tetraeder beschreven staan tot elkander als een tot drie.

-ocr page 19-

OPLOSSINGEN DER VRAAGSTUKKEN.

1. Uit de regthoekige driehoeken OQB, ORS en OSQ
volgt terstond

OR
tang RSO = -^-; tang SRO =

" "

tang SQO = -2

OQ \' ^� ^T OS

daar nu blijkbaar

OQ Qi? OS , OR OS OQ

O�! ~ OS ~ 00 OQ ^ OR ^ OS

is, volgt uit de bovenstaande waarden onmiddelijk dat men
ook heeft:

tang QR O X tangRSOX tang SQ 0=1,
en tangRQOX tang SROX tang <?�O = 1.
2. Wij noemen de hoeken, diede coordinaatassen OX, OF
en OJ? met elkander maken a, a* en v, zoodat

hoek YOZ=x, ZOX=n, XOY=v,
is.
Uit den oorsprong trekken wij de lijn OD en stellen

hoek DOX=x, DOY=@, DOZ=y.
Op de lijn OD nemen wij, van den oorsprong af, eene
lengte OM gelijk aan de eenheid, en noemen de co�rdinaten
van het punt M x, y en z. Trekt men voorts uit M de lijn
MP evenwijdig met de as der Z, totdat zij in P het vlak
der XY ontmoet, en in dat laatste vlak de lijn PQ even-
wijdig aan de as der Y, totdat zij in Q de as der X ont-
moet, dan is

OQ = x, QP = y en PM = z.

-ocr page 20-



		18

		Projicieert men achtereenvolgens de regte lijn OM en de gebroken lijn OQPM op de regte lijn OD en de assen OX, OY en OZ, dan heeft men de volgende vier vergelij- kingen : � 1 x Cos x 4- y Cos (3 -f- z Cos y = 0, � Cos x -\\- x -\\- y Cos v 4- z Cos (j. = 0, � Cos (3 4- x Cos v-\\-y -\\- z Cos A = 0, � Cos y 4- x Cos y. 4- 2/ Cos >.-\\-z =0. Elimineert men nu de veranderlijken x, ?/ en 0, dan vindt men voor de verhouding, die bestaat tusschen de hoeken >., (/,. v. x, (3 en y 1 Cos x Cos \|@ Cos y

		Cos# 1 Cosv Cos [j.		= 0.

		Cos (3 Cos v 1 Cos A (7os y Cos /« Cos A 1 Men kan dien determinant ontwikkelen en zal dan vinden / Cosx Sin* 4- 2Cos (3 Cos y (Cos pCosv� Cos A) 4- ) 4- Cos(3 Sint* 4- 2 Cos y Cos x (Cos v Cos - Cos ft)* 4- ( 4- Cosy Sin* v* 2Cos x Cos (3 (Cos A Cosv - Cos v) = A², waarin A² = 1 - Cos* A - Cos n � Cos* v* 4- 2 Cos A Cos fiCosv, of 1 Cos v Cos a* A² = Cos v 1 Cos A Cos jt* Cos A 1 3. Daar de vergelijking der projectie blijkbaar ook de verge- lijking van het projicierend vlak is, zoo komt het er slechts op aan om de vergelijkingen der projicierende vlakken te vinden. En daar deze steeds evenwijdig loopen met een der coordinaatassen, zoo worden zij door eene vergelijking tus- schen twee co�rdinaten uitgedrukt. Elimineert men derhalve achtereenvolgens z, y en x tusschen de vergelijkingen der gegevene lijn, dan verkrijgt men voor de vergelijking der projectie OphetvlakJET: (a-a)y (b-b^x c-c =0; Op het vlak XZ: (a�a¹) z -f (ab-ab^l)x* 4- a^lc-acⁱ= 0; Ophetvlak YZ: (b�b¹)x-\\-(ab¹�a^lb)y-{-b^c�bcⁱ=0.

-ocr page 21-

4. Stellen wij de gegeven lijnen voor door

Ax By Cz D =0,1

A_lx B_ly-\\-C₁z-^T)_i =0;j "

A^lx Bhj C^lz Z)i = 0, |

(1)
(2)

A\\x B\\y C\\z D\\=0;\\ \'

dan zullen zij elkander snijden, wanneer de co�rdinaten van

het snijpunt voldoen aan (1) en (2). Elimineert men derhalve

x, y en z tusschen (1) en (2), dan erlangt men de voor-


waardensvergelijking:
	A	B	C	D
	*t	B,	c,	»,
	At	5\'	C\'	D\'
	^1	B\\	*c\\*	D\\

= 0.

Zijn echter de lijnen gegeven door de vergelijkingen:
x = az p\\ x^atg p¹ \\ .

y = bz q)^(�) y^Vz q^^\'¹

dan brengt men dit geval tot het voorgaande terug, door de

vergelijkingen aldus te schrijven:

� x -\\- O.y az -f- p = 0,
0.x � y -\\- bz q =0,

� x O.y a^lz p¹ = 0,
0.*� y -j- b^lz qi =0;


	en elimineert men nu a
	densvergelijking
		� 1 0 a p
		0�1 b q
		� 1 0 a¹ p^l
		0-1 1\' a¹

y en z, dan wordt de voorwaar-

0 a

1 �

0 a¹

1 �»

= 0.

P¹

q¹

de beide laatsten

Trekken wij do twee eerste regels van-

af, dan verkrijgen wij
10a p

0 1 ft q

0 0 a^l � a p¹ �p
0 0 b^l � b q^l � q

wat overeenkomt met

P¹ �P
a^x �a

p* �p
qt �q

� a

� b

= 0,

b^l

q^l � q
b^l �b

-ocr page 22-

dat tevens de co�rdinaat z van het snijpunt is. Brengt men
die waarde in (3) of (4) over, dan worden ook x en y bekend.
5. AVanneer men de vergelijking der te zoeken lijn voor-
stelt door

(1). . x = az p, (2). . y = bz-\\-q,

dan zijn a en p, b en q de onbekenden, welke men moet
bepalen uit de voorwaarde dat de lijn door de beide gegeven
punten gaat. Substitueert men achtereenvolgens de co�rdi-
naten der gegeven punten in (1) en (2), dan verkrijgt men
de voorwaardensvergelijkingen

(3) x₁=az_i p, (4) y₁=bz₁ q;

(5)

i � bs₂ q-

= az₂ p,

(6)

Uit deze kan men a en p, b en q bepalen en in (1) en
(2) overbrengen. Geschikter is het a en p tusschen (1), (3)
en (5), en b en q tusschen (2), (4) en (6) te elimineren,
wat geschieden kan door de determinanten

� 1

� z

� z.

� z

� *!

� z~

= 0.

(7)

= 0, (8)

Trekt men den tweeden regel van den eersten,
derden van den tweeden af, dan heeft men
x � x. z, � z 0

den

z
z,

.\'�

tC A

2 *2

= (x � x₁) (z₂ �z₁) � (x₁�x_i)(z₁�z) = 0,

\' X m

(9)

O, � *)

�AS vC| ^^

op overeenkomstige wijze vindt men uit (8)

y-_Vi= y*�y*{Zi � *), � � (10)
z₂ z_t

door welke vergelijkingen (9) en (10) de lijn geheel be-
paald is.

6. Bij de voorwaardensvergelijkingen (3), (4), (5) en (6) van
het vorig vraagstuk komen nog de volgende
x₃ =az₃ p, y₃ =bz₃ q,
zoodat a en p, b en q tusschen deze en (3), (4), (5) en (6)
moeten worden ge�limineerd, waartoe men heeft:

-ocr page 23-


	x_x � z_x � 1		*Vi � i � 1**
	�"j %2 1	= 0,	?/₂ � «2 � 1
waaruit de voorwaarden		2/3 � «3 � 1
	*X₂ X₃ 2_S*	i _en 2/1 � y» _ ^2�^1 ^2 2/2 y% ^z» ^zi*

= 0,

7. Noemen wij de vergelijkingen der regte lijn
x = as -\\- p, en y = bs -\\- q,
dan zijn a en p, b en g de onbekenden, welke wij uit de
gegevens van het vraagstuk moeten trachten te bepalen.
Daar de lijn door het punt x_l y_t s_t gaat, kunnen wij hare
vergelijkingen onder den volgenden vorm brengen:
(1) . . x � *, = a(z � z_t), (2) . . y � y_l � 6(« � e_t),
waarin nog slechts de onbekenden u en i voorkomen.
Zijn a, en (3 de hoeken, welke de lijn met twee der coordi-
naatassen maakt, dan wordt de derde hoek y uitgedrukt door
Cos y = ± V (1 � Cos* x � Cos* (3).
Maar de drie hoeken x, (3 en y voldoen aan de vergelij-
kingen

Cos x = �~~,.?,., =»~~ , Cos (3 =

Cosy =

Ha» �¹ 1) \'
waaruit door deeling

Cosx__ Cos (3__

Cosy \' Cosy
Deze waarden voor a en b overbrengende in (1) en (2),
komt er voor de vergelijkingen der gezochte lijn

Cos cc,. . Cos (3, .

of meer symmetrisch

x � x_t _ 2/ � 2/_t _ g � g_tCos x Cos (3 Cosy.\'

Wil men, ten slotte, p en q bepalen, dan moet men ge-
bruik maken van de vergelijkingen

Cosx , Cos (3 .

^xi ⁼ CosT^Si ^p ^en *-Bff7^#» *

-ocr page 24-



		22

		8. Noemen wij de vergelijkingen der lijnen, die loodregt op elkander staan, (1) x=az-\\-p, (2) y = bz q; (3) x = a¹z-\\-p¹ , (4) y^Wz q¹; dan zijn a en p, b en q, a¹ en p¹, b^x en q^l niet wille- keurig gegeven. Eerstens toch moeten zij voldoen aan de voorwaarde dat de lijnen elkander snijden; elimineert men x, y en z tusschen (1), (2), (3) en (4), dan verkrijgt men de daartoe noodige betrekking �_ p^l �p _q^l � q ,,, o> �o ~~ 6¹ � b\' \' � ^K?> welke dienen kan om een der grootheden a, o¹, b, b^l, p¹, p, 2¹ of g in functie der overigen uit te drukken. Maar de lijnen (1), (2) en (3), (4) moeten loodregt op elkander staan, hetwelk nog aanleiding geeft tot de verge- lijking aa¹ bb^l 1=0, . . (6) waardoor wederom een der grootheden, stel �¹, in functie van a, a¹ en b kan worden uitgedrukt. Heeft men q¹ uit (5) en b^l uit (6) overgebragt in (4), dan bevatten (1), (2), (3) en (4) nog 6 van elkander onaf- hankelijke grootheden. Noemt men het snijpunt der gegeven lijnen x_l y_l z_i dan heeft men ter bepaling van z_x uit (5) _ p!�p *pj�q* ¹ a¹ � a\' \' b¹ � b Uit (1) of (3) kan men vervolgens x₁, en uit (2) of (4) «/, berekenen, nadat men de gevonden waarde van z_t in die vergelijkingen heeft overgebragt. De lijn, welke gezocht wordt, moet gaan door het snijpunt der gegeven lijnen; hare vergelijkingen zijn derhalve van den vorm x � x₁=a¹¹(z � z_�), y � _iJl=ib¹¹(z � z₁), met de onbekenden a¹¹ en 6¹¹. Het komt er dus op aan die onbekenden in de verdere gegevens van het vraagstuk uit te drukken. De lijn, welke door het snijpunt x_t y₁ z_igaat, moet loodregt staan op eene der gegevene lijnen, op

-ocr page 25-



		23

		de eerste bijvoorbeeld, en dit geeft, zoo ais wij weten, aan- leiding tot de vergelijking: aa¹4 66" 1 = 0. (7). Maar zij moet een gegeven hoek maken met de andere, in casu de tweede lijn. Noem dien hoek x, dan wordt zijne waarde bepaald door Cos x* =-----------------j-----±----------t----------_t------ (8). V (a¹ ft\' l)j/(a¹¹ �^J1 1) Brengt men nu a¹¹ of 6¹¹ uit (7) over in (8), dan erlangt men eene vierkants-vergelijking ter bepaling van 6¹¹ ofa¹¹; heeft men zoo a¹¹ of 6¹¹ gevonden, dan volgt de andere b¹¹ of a¹¹ onmiddellijk uit (7), waarmede het vraagstuk opgelost is. De vierkantsvergelijking geeft aanleiding tot twee ver- schillende waarden, wat met den aard der zaak overeen- komt, want men kan de lijn zelve of haar verlengde be- schouwen; of ook de gegeven hoek kan scherp of stomp zijn; het nulpunt zijner telling ligt regts of links. 9. Wanneer de vergelijkingen der gegeven lijn worden voor- gesteld door x = az P en y = bz -{- q, dan moeten, wijl x_ly_iz_% op die lijn ligt, ook gelden de vergelijkingen (1) x_i = az₁ p en y₂=bz₂ q. (2) Laat de gegeven afstand der punten x_t y_x z_x en x₂ y₂ z₂gelijk aan B gesteld worden, dan heeft men, volgens een bekenden regel (, �«i)¹ (ttt -Vi�¹* (, �z_%)^=R\\* en hierin voor x₂ en y₂ de boven gevonden waarden over- brengende (x₁�az₁ �p)ⁱ (y₁�bz_i�_qy 4- (, � #,)» �3», uit welke vierkantsvergelijking z₂ gemakkelijk gevonden wordt. Ter bepaling van j>₂* en y_% dienen vervolgens (1) en (2). Dat men voor z₂ en bijgevolg voor <t_% en y₂ twee waarden vindt, is zeer natuurlijk, want het punt ie₂y_iz₂kan regts of links, wil men, hooger of lager dan x_l y_x z_xliggen.

-ocr page 26-



		24

		10. Noem de co�rdinaten van A x_x y_x z_x, die van B x_ty₂ s₂, dan vindt men voor de co�rdinaten xy% van C: __mx_J nx₁ _ _ my₂ -f- ny_t _ mx₂ ?», ffl-f« m -\\-n \' ⁼ m-\\-n Men verkrijgt deze waarden, bijvoorbeeld de laatste, uit het trapezium, welks evenwijdige zijden de co�rdinaten , en %_%* zijn, en waarin derhalve % een aan die zijden even- wijdige lijn is, die door het punt C gaat. Heeft men op eene regte lijn drie punten A_t, A_t en A₃welker co�rdinaten respectievelijk zijn x₁y₁x_i, x_iy_iz_i en a;₃ «/, 3, en wordt door B de afstand A_x A₂ zoodanig ver- deeld dat men heeft A_t B: B A₂ = m:n,* en door C de af- stand A₃ B in verhouding van A_% C: CB = p:q, dan kan men de co�rdinaten x y z van het punt C door die van A _x, A₂ en A₃ uitdrukken. Door herhaalde aanwending dezer formules vindt men dat de regte lijnen, welke het midden der tegenoverliggende ribben van een tetraeder verbinden, elkander in hetzelfde punt midden door deelen. De x co�rdinaat toch van het middelpunt der ribben x₁y_tx_i1 x_iy₁x₁ is Vs (j »j). die der tegenoverliggende ribben x₃ y_s x₃, x_k y_k %_K* is Vs (x₃ ^₄); bij gevolg is Aex co�rdinaat van het midden der lijn, welke beide punten ver- bindt, y₄ (x_t -\\-x₂ -\\-x₃ #₄). Overeenkomstige waarden verkrijgt men ook voor het midden van elke andere derge- lijke regte lijn. Is A_t A₂ A₃ A_k een viervlak, en deelt C_t de lijn A_t A_ren C₂ de lijn A₃ A_i in verhouding van A_t C₁: C, A₂= A₃ C_i: C₂ A_i = m:n, en evenzoo D₁ en Z>₂ de lijnen A_x A₃ en A_% A_k in verhou- ding van A_lD₁:D₁A₃=A₁D_i:D₁A_i=p:q, dan snijden de lijnen C₁ C_% en B_XD₂ elkander. Zijn nu de x co�rdinaten van de punten C,, C₂, D_t en D_t achtereenvolgens �,, S₂, �{ en %\\, dan vindt men p-\\- q m-\\-n \'

-ocr page 27-



		25 gevolgelijk snijden elkander de lijnen C, C₂ en D_v D₂ in het punt, welks co�rdinaten x, y en z, zijn: __mpx^ -f- npx₃ mqx^ nqx__x . (m 4- «) (p q) _ ^wP?/4 ^j mqy₂ ?tg,y_t(m n) (j? ?) __wpa, -f- wp^g -j- mqxj -f- wg^j (m n) (jj (?) 11. Laat ons de gegevene lijnen op regthoekige co�rdinaten voorstellen door \\Cosy(x�x_l) = Cosx(z�x₁)\|_ jCosy¹^�a;₁)=Cosi«¹(�«₂)\|. {Cosrly-y_t)=Cosf3(z-Xi)\\\' \\Cosy^l(y-y_i)=>Go8(3i(z-z₁)V en noemen wij x^l, y^x en Jt¹ de co�rdinaten van het ge- geven punt. Yoor de vergelijkingen der gezochte lijn schrijven wij Cosy^x ^x(x�x^x)=Cosx^x\' (x~z^l); Cosy¹ ^x(y-y^x) = Cos(3\' ^x(»-z^x), - waarin «^u, (3¹\' en y¹¹ zoodanig bepaald moeten worden dat voldaan wordt aan Cos y Cos y¹¹ -f- Cos /3 Cos /3¹¹ -f- Cos x Cos x^xx = ± (Cosy¹ Cosy^x > -f Cos /3^l Cos/3¹\' Cosx^x Cos x^x«). Elimineert men nu Cos x^xx en Cos (3^XX tusschen deze drie vergelijkingen, dan komt er Cos v (* � z¹) Cos (3 (y � y^x) -f- Cos x (x � x^x) = ± i Cos y¹ (* � *) -f- Cos /3¹ (y � y^x)* Cos a¹ (ar � z¹) \| , als gezochte meetkundige plaats der lijn. Die vergelijking stelt twee vlakken voor, namelijk: {Cos y � Cos y^l) (z � z^x) (Cos /3 � Cos (S^x) (y � y¹) (Cos * � Cos x¹) (x � x^x) = l), (Cosy-\|- Cosy¹) (* � z^x) -f-(Cos/3-f- cos 0^l) (y � y^x) (Cos x -f- Cosx^x) (x � x^x) = 0, welke loodregt op elkander staan. 12. De drie gegeven lijnen drukken wij uit door de vergelij- kingen. y = ax b . * = c^x ^f2 I � � � � 1) y = a^xx -\\-b^x , z = c^xx -\\-d^x; .... 2) y = a^xxx-\\-b^xx, z = c^xxx-\\-d^xx; . . . . 3) en de gezochte lijn door y = ax -f- B en * = ex -f- D, . . . . 4)

		K

-ocr page 28-



		26

		waardoor wij reeds te kennen geven, dat zij evenwijdig zal loopen aan 1), zoodat het er alleen op aan komt om B en D te bepalen uit de voorwaarde dat zij 2) en 3) zal snijden. Zullen 2) en 4) elkander werkelijk snijden, dan wordt dit, zooals bekend is, uitgedrukt door de voorwaarde B � b¹ D � d¹ _rs ----------i ⁼ ----------�~ > ⁵) a �a¹ c � c¹ gelijkerwijze vinden wij als voorwaarde dat 3) en 4) elkan- der snijden B � b¹¹ D � d¹¹ ₆v a� a¹¹ c � c¹¹\' \' Berekenen wij nu B en D uit 5) en 6), en brengen wij de zoo gevonden waarden over in 4), dan is daarmede het vraagstuk opgelost. Het kost nu ook weinig moeite om den afstand der snij- punten te bepalen; noemen wij de co�rdinaten van het snij- punt, waarin 2) en 4) elkander ontmoeten p, q en r; even zoo voor 3) en 4) p¹, q¹ en r¹, dan is B � b¹ D � d¹ B � b¹¹ D�d¹¹

		~~ a � a¹ c � c¹ \'* ~a�a¹¹ c � c¹¹ q � qi = a(p �p¹) en r � r¹ =c (p �p¹). Deze waarde in de bekende formule *R=v\\(P-Pⁱy (q-q¹)ⁱ (r-rⁱy\\* overbrengende, komt er ten slotte P«-6ii)(_ei-_Ci»)-(qi-gM)(di-dii) " � _{a -a»)(c -c¹¹)-(a -o»»)(c -c¹) ^K^ ^a ^c h 13. Om de drie gegevene en de vierde te zoeken lijn aan te duiden, maken wij gebruik van de vergelijkingen in het vorig vraagstuk voorop gezet. De hoeken waaronder de lijnen (2) en (3) door de lijn (4) gesneden worden, kan men onmidde- lijk berekenen uit de bekende formules ru * 1-\\-aa¹ -\\-cc¹ Cos <p =--------------------^!----------^!--------------j---------j-, V (1 o¹ c»; V (1 a¹ -f c¹ ) _n ^ _______1 gg\' \| cc¹ ■ en Cos ip¹ =--------------^!---------■----------j---------_r- V (1 a² c^J) V (1 -f- a¹« -f c«» ) Om den afstand te vinden, waarop de lijn (4) van de lijn

-ocr page 29-



		27

		(1) verwijderd is, brengen wij door den oorsprong een vlak loodregt op die beide lijnen; de vergelijking van dat vlak is dan x -f- ay -\\- es = 0. En noemen wij de co�rdinaten van de punten, waarin dit vlak door de lijnen (1) en (4) gesneden wordt, achtereen- volgens Imn en l¹ m¹ n¹, dan hebben wij, ter bepaling dier co�rdinaten, de volgende zes vergelijkingen: I ^am -\\- en = 0; m = al -\\- b; n =cl -{- d; I^I -\\-ctm¹ -f en¹ = 0; m¹=al^1J_rB; n^J=clⁱ D. Uit deze vindt men door aftrekking en herleiding de waarden van l � P , m � m¹ en n � n¹, en brengt men die over in de bekende formule r= y\\{i � i»)i (_m__wi)� 4-(_w__wi)2(₎ dan komt er, ten slotte _p .,(l c») (B-b)>-2ac (B-b) (fl-rf)-Ki q») (Z?-d)« B- ^--------------------i a> c»-------------------- in welke uitdrukking men de waarden van 5 en D, vroeger gevonden, nog moet overbrengen. 14. Noemt men den onbekenden hoek <p, dan worden in den determinant van het tweede vraagstuk a, fi en y door <p vervangen, dat is x = /3 = y = <p, zoodat men heeft 1 Cos Q Cos cp Cos cp Cos <p 1 Cos v Cos ft ___ Cos <p Cos v 1 Cos a COS <p COS fi COS A 1 Om den hoek <p mt deze vergelijking af te zonderen, deelen wij den eersten regel en de eerste kolom door Cos (p, waardoor de determinant, lettende op _Gosiq = tang ^%p-{-\\ _ywordt tang ²<p 4- 1 1 1 1 O -j- 1 1 Cos v Cos ia __₀O 1 Cos v 1 Cos A ~ O -f- 1 Cos p Cos A 1 of

-ocr page 30-

tang *<?> 1 1 1

O 1 Cos v Cos ft

O Cos f 1 Cos*

O Cos ft Cos A 1

1111
1 1 Cos v Cos ft
1 Cos v 1 Cos A
1 Cos ft Cos A 1

= 0.

De eerste term dezer vergelijking is A²tang^,<p, de
tweede � 16 Sin »Vi ^A <8�»*V»A* Sin*^l/_av; want wanneer
men den eersten regel van elk der drie volgende aftrekt,
komt er

1111

O C COSv-1 G08(l-1
OCosv-1 O Cos A-l

O Cosv�l Cos ft �1
Cosv�1 O Cos A�l
Cos ft-1 Cos A-l , O

O Cos,c*-1 Cos A-l O
= 2 (Cos A � 1) (Cos ft�l) (Cos v � 1) = � 2 (1 � Cos A)X
(1 � Cos ft) (1 � Cos v)= � 16 Sin ² Vs * Sin a¹/» /* Sin «Vs " >
omdat in het algemeen 1 � Cos \\p � 2 Sin »7» #.
�er bepaling van den hoek <p heeft men derhalve

tang <p =

4 Sm Vs ^A $fo Vs A*<S�h ^l/s "

15. Noemt men de vergelijkingen der regte lijn
A_lx-\\-B₁y C₁z D₁=0,
A₂x-\\-B_iy C_iz-\\-D₂=0,

dan heeft elk vlak, dat door die lijn gaat, in het algemeen

den vorm

A_iU₁s 5₁y C_I* i)₁) A_>U₁a> .B₁y C₁* D₁) �0;

opdat nu echter de lijn in het gegeven vlak
Ax-\\-By Cz D = 0

ligge, moet men a, en a₂ zoodanig bepalen, dat voldaan

worde aan de vergelijking

A, (A_tx B_xy C_tz D) A₂ (A₂x B₂y C₂z D_t)
= Ax By Cz D;

en daar deze vergelijking voor alle waarden van x, y en z

moet plaats vinden, heeft men ter bepaling van A, en A₂

de volgende vergelijkingen:

A, A_{ - - A₂ A₂ � A = O


s,	*J	�,	�	B	=	0
c,	*₂	c,	�	C	=	0
^7>.	A₂	D*	�	D	=	0

-ocr page 31-

Bepaalt men nu a, en A₂ uit twee dezer vergelijkingen,
dan moeten de gevonden waarden tevens aan de andere
vergelijkingen voldoen. Hieruit volgt reeds dat men voor-
waardensvergelijkingen moet kunnen vinden. En daartoe
komt men, als men den determinant van telkens drie der
vier vergelijkingen gelijk nul stelt.

De voorwaarde dat eene regte lijn in een vlak ligt, wordt
derhalve door de vier volgende vergelijkingen uitgedrukt:


	4,	.4, 4
	Bi	i?₂ B
	IK	*I)_i D*
	*B_t*	*B₂ B*
	c,	*c₂ c*
	*>i	*B₂ D*


	A	*A₂ A*
	#1	*B₂ B*
	c,	*C₂ C*
	^1	*A₂ A*
	c,	*C₂ C*
	D>	**D D***

= o,

= 0,

= 0;

in het geheel derhalve door twee van elkander onafhanke-
lijke vergelijkingen, daar de beide anderen in de eersten
liggen opgesloten.

16. Veronderstellen wij dat de lijn

x� p y � q _ s � r . . . . (1)
a ~~ b c

loodregt staat op het vlak

Ax By-\\-Cs D=*0. .... (2)
Wanneer wij uit den oorsprong der co�rdinaten eene lijn
evenwijdig met (1) trekken, dan zijn blijkbaar hare verge-
lijkingen

x y __ z

a b c

En wanneer wij door het punt I dezer laatste lijn, welks
co�rdinaten door a, & en c worden aangegeven, een vlak
brengen evenwijdig met (2), dan is de vergelijking van
dat vlak

Ax By Cz = Aa-\\-Bb Cc = I)K . . . (3)
Stellen wij 01 = u, en laat *, (3 en y de hellingen zijn
der lijn 01 op de drie assen der co�rdinaten. Noemen wij
nog de afstanden der punten L, M en N, waarin het vlak
(3) de coordinaatassen snijdt, tot den oorsprong l, m en n>
dan is

-ocr page 32-


		l:	\' A ⁼
		m
	Daar nu	n :	D¹ C ~
	u	=	l Cos a, =
is	, heeft men

Aa Bb Cc

A \'

Aa Bb Cc

4a .B� -f Cc

4w _ _n Bu Cu ,_A.

Cosotz= � , cos [3 = -p_T, Cos r = p-, � � � � W

Projecteren wij voorts de lijn u achtereenvolgens op de

-drie coordinaatassen, en doen wij hetzelfde met den omtrek

gevormd door de co�rdinaten a, b en c van haar uiteinde I_t

dan verkrijgen wij de drie vergelijkingen

u Cosx = a-\\-b Cosv c Cosp,

u Cos /3 = a Cos v -\\- b c Cos A ,

u Cosy = a Gosyt. b Cos >.-\\- c;

welke, op (4) lettende, worden

Au²

-jyT =a-\\-bCosv-\\-c Cos &,

Bu²

-=�- = a\'Cos v -\\- b -f- c Cos A , . . . (5)

■j� = a Cos [/. -\\- b Cos A, 4- c.

Vermenigvuldigen wij deze drie gelijkheden respectievelijk
met a, b en c, en nemen wij de som, dan komt er voor de
gevraagde voorwaarde

«» _ q\' 4- o* 4- c² 4- 26c Cos A 4- 2ac Cos n 2ab Cos v
�» Aa Bb 4- Cc

_ a 6 Cos i/-f o Cos ft
~ I

a Cos v -\\-b-\\- c Cos A.

a Cos (t 4" � Cos A 4" ^c

^� C

17. Noem de lengte der loodlijn P, en de gegeven hoeken»,

-ocr page 33-



		31

		/S en y; deze vier grootheden kan men beschouwen als de poolco�rdinaten van het voetpunt der loodljin, zoodat de regthoekige co�rdinaten voor dat punt worden x_l=PCosx, y₁=PCosfi, z_l=PC)sy; en de vergelijkingen der loodlijn x Cos y = z Cos x; y Cos y = z Cos /3. Maar de vergelijking van het vlak, dat loodregt staat op de laatstgenoemde lijn en tevens gaat door het punt»,?/ _lz_l, is x Cos x -f- y Cos (2 -\\- z Cos y = x_t Cos x-\\-y_x Cos /3 -}- z_i Cos y; brengt men hierin de waarden van x₁, y_l en 2, over, in het oog houdende dat Cos² x -\\- Cos² (3 -}■■ Cos² y=\\ is, dan komt er voor de vergelijking van het vlak .r Cos x -\\-y Cos fi -{- z Cos y = P. 18. Om het vraagstuk op te lossen, zoekt men de vergelij- kingen van twee vlakken, waarin de regte lijn moet liggen. Zij bevindt zich toch zoo wel in het vlak, hetwelk door de gegevene lijn en het gegeven punt gelegd wordt, als in het vlak dat loodregt staat op de gegevene lijn en door dit punt gaat. Zijn nu m = mz -{-p en y = nz 3 de vergelijkingen der gegevene regte lijn en x_iy_iz_l de co�r- dinaten van het punt, dan heeft men voor de vergelijkingen der regte lijn m {x � xj n (y � y_t) (z � z_l) = 0 en x y z 1 ^X* ^Vl ^Zl ¹ =0 m » l 0 p q 0 1 19. Wij stellen voor de vergelijkingen der gegeven lijnen x = m z-\\-p, y = n z-\\-q; 1) x = mⁱz-\\-p¹, y = n¹z-\\-q¹. 2) De gezochte lijn moet loodregt staan op het vlak, waar- aan de beide gegeven lijnen evenwijdig loopen, en uit die voorwaarde vindt men onmiddelijk de hoeken met de coor- dinaatassen. Want de vergelijking van het vlak, dat de

-ocr page 34-


eerste der andere, is	beide j	ijnen	bevat en evenwi	jdig loopt met de
	X P m	y z 1 q 0 1 n 1 0	= 0,
welken determinant	m¹ , mer	n¹ 1 0 i ook aldus	kan schrijven
	*x y z* m n 1	__^	p q 0 m n 1	= 0.
	*m¹ n¹*	1		m¹ w¹ 1

Noemt men de hoeken, welke de gezochte lijn met de
X-, Y- en Z-as maakt, x, @ en y, dan worden zij bepaald
door de vergelijkingen

Cos x

n � n¹

y \\(m � m¹)² (ⁿ � ^¹)^� (wm�^j �1»\'«)^!|

m � w¹j/ )(m � m¹)² -f- (w � n¹)² -f- (wj�¹ � m¹n)²\\

Cos (3 =

»%

m\'w

Cosy =

K \\(m � m¹)² (n � m¹)² -f- (mn¹ � m¹^)²!

De gevonden formulen laten nog eenige herleidingen toe,
want men kan m en m¹, » en n¹ uitdrukken in de hoeken,
welke beide gegeven lijnen met de assen maken. Noemen
wij a, ft, v de hoeken, welke de eerste, A¹, ^ en v¹ die,
welke de andere lijn met de X-, Y- en Z-as insluiten,
dan is

__Cos n .

Cos v \'
Cos p\'

CosA
Cos7 ^!

COS A^J

m =

m¹ =

n¹ =

i »

Cos?\'

Cosv

en dus ook

V )(m � m¹)² (n � n¹)² (»«»\' � w\'w)²) =

- V j(Cosa CoS/t*¹ � CosA¹ Cos/t*)² (Cos/t* Cosv¹

Cos v Cosv¹

� Cosv Cosp¹)¹ (CosA Cosv* � CosA¹ Cosv)²j

De uitdrukking onder het wortelteeken is gelijk aan de
sinus van den hoek, dien de gegeven lijnen met elkander

-ocr page 35-

maken. Noemen wij dien hoek (g, g¹), dan worden de for-

mulen voor x, (3 en y:

CoshCosv¹�Cos^Cosv � CospCosv*�CosvCosp¹;

Cosx=----------

Sin(g, g^l)

Cos A Cos p¹Cos y =------

s 13= -

Sinig, g*}

Cos V Cos ft

Sin (g, g¹)

Alen is nu in staat gesteld de vergelijkingen der beide
vlakken te bepalen, welke elk door een der gegevene lijnen
gaat en de gezochte lijn bevat. Die vergelijkingen te zamen
genomen geven dan de gezochte lijn aan. Het stuk dezer
laatste, dat tusschen de gegevene lijnen begrepen is en lood-
regt op beiden staat, of de afstand der gegeven lijnen, is
blijkbaar gelijk aan den afstand van eenig punt der eene
regte lijn en het vlak, dat door de andere, evenwijdig aan
de eerste gelegd is. Noemt men den afstand der beide lijnen
d en de co�rdinaten van een punt der tweede x, y en z,
dan is


X	!/	s
m	n	1	�
m¹	n¹	1


P	8	0
m	u	1
m^x	n^l	1

d =

V \\{m � m¹)² (n � n¹)² -\\- (mn¹ �mⁱn)ⁱ\\\'
waarbij men oplette aan den wortel het teeken te geven,
dat cl positief maakt.

Daar voorts x = m¹s-\\-pⁱ en y = n^�z-\\-q^l is, wordt
de waarde van d

m¹ z-\\-pⁱ

i¹ e q¹n
n¹

m
m¹

m^l n\'

V \\{m � m¹)² -j- (n � «¹)² (mn¹�m¹n)²\\\'
Maar de eerste der beide determinanten van den teller
kan men splitsen in


	p qi*	0
	m n	1
	m¹ n¹	1

m¹ z n¹ z z

m
m¹

De eerste dezer determinanten wordt gelijk nul, wijl de
eerste en derde regel, op den factor z na, aan elkander
gelijk zijn. De waarde van d wordt ten slotte uitgedrukt door

-ocr page 36-


p¹ q¹ 0 m n 1 m¹ n¹ 1	�	p q 0 m n 1 w¹ n¹ 1

V \\ (m� w¹)² (ⁿ � ⁿⁱ)² (mn¹ �m¹n)ⁱ\\

^ {p � p¹) (n � n¹) � (g � g\') (ro � w\') _

1/ j(>n � m¹)² -f- (m � n¹)² (mn¹ �m^ln)^% j\'
In de gevondene uitdrukking geeft men aan den wortel
het teeken, waardoor cl, als absolute grootheid, positief wordt.
De gevonden afstand cl is ook de kortste weg om van de
eene naar de andere lijn te gaan. Om dit aan te toonen,
noemen wij de co�rdinaten van eenig punt der eerste lijn
x y z, die van eenig punt der tweede x₁y₁s_i, en dan
hebben wij, lettende op 1) en 2),

p = x � m z; q �y � n z;

p¹=x₁�m¹z₁ ; q¹ =«/,�n¹z₁.

waardoor de waarde van cl wordt

__(x�x_l)(n � n¹) � (y�y_l)(m � m¹)-\\-(mn¹ � m¹n)(s�z_l)

V | {m � m¹)² (n � n¹)¹ (mn¹� mhi)¹ j
of, wegens 3),

cl = (x � x_t) Cos x -f- (y � y_t) Cos /3 (e � z,) Cosy.
Duidt men nu door r den afstand aan der punten x y z
en x_t y_l z_l) voorts door u, Cp en \\p de hoeken, welke r
respectivelijk met de X-, Y- en ^-assen maakt, dan is

x � x_t =r Cos cc; y � y_t =r Cos p; z � z_x = r Cos tp;
en brengt men deze waarden in de uitdrukking voor cl over,
dan heeft men

cl = r (Cos x Cos u -\\- Cos (3 Cos <p -\\- Cos y Cos ^).
De factor van r in deze uitdrukking kan men Cos 6 noe-
men, wanneer met 6 de hoek bedoeld wordt, dien r en cl
insluiten; bij gevolg is

d = r Cosd,
en derhalve cl altijd kleiner dan r, wijl r met eene echte
breuk, Cos �, moet vermenigvuldigd worden, om gelijk aan
cl te worden.

20. Indien A, p, v de rigtingshoeken van het vlak zijn, dat
is de hoeken van de normaal op het vlak met de assen,

-ocr page 37-

*i i #1, y_t die der eerste, x_i, (3_t, y₂ die der tweede en
*s>\'0₃, y_s die der derde lijn, zoo zal de voorwaardens-
vergelijking worden verkregen door eliminatie van A, ,c* en v
uit de drie vergelijkingen

Cos a Cos <*, -f Cos (K. Cos /3, -f- Cos v Cos r i =0,
Cos A Cos *₂ -f- Cs jtt Cos /3₂ -f- "Cos v Cos y₂ = O,
Cos A Cos x₃ -f" C°^s l* C°^s 0s C^ v Cos y_s = 0.
Men ziet onmiddelijk dat de voorwaarde is
Cos x_l Cos /3, Cos y,
Cos «j Cos /3₂ Cos y₂ = 0.
Cos ix₃ Cos /3₃ Cos y_%21. Noem de gegeven vlakken:

Ax By Cz D = 0,
A*x B*y -\\-C^lz -i-D¹ = 0, 1)

A"x J5¹ *y C\' »s 4- -D¹ > = 0.
Snijden de vlakken elkander in een punt, dan voldoen de
co�rdinaten van dat punt aan elk der vergelijkingen 1); het
komt er dus slechts op aan om x, y en z te bepalen uit
1). Elimineert men y en z, dan erlangt men de volgende
vergelijking in x

Ax -\\-D B C \\
A*x -i-D¹ B* C\' =0.
A"x\\-D" B¹¹ C¹¹ I
Het eerste lid dezer vergelijking is de som van twee de-
terminanten; bijgevolg laat zij zich herleiden tot


Ax	B	C	D	B	C
*A^lx*	J?i	c¹	*D^l*	B>	c¹
*A"x*	J3¹»	c¹¹	D"	B"	c¹¹

= 0,

of tot x (A Bi C¹») (D B^l C¹»);

de co�rdinaten van het punt van doorsnede zijn derhalve

z = -

(^S�C¹¹)\' \'"

(AB^C¹¹)\' ~~ (^^iC¹¹)

Snijden de vlakken elkander volgens evenwijdige lijnen,
dan zijn x, y en z oneindig en bijgevolg (AB¹C¹¹) = 0₁terwijl de andere determinanten (DB^lc¹¹), (AD¹C^il) en
(AB¹D¹¹) eene eindige van nul verschillende waarde be-
houden. Heeft echter de snijding volgens eene enkele lijn

-ocr page 38-

plaats, dan blijven de co�rdinaten van het snijpunt onbe-
paald en zijn de vier determinanten {AB^lC¹¹), {DB^C¹¹),
(AD^C¹*) en (AB^D") gelijk aan nul.
22. Zij de vergelijking van het vlak

1) ax-\\-by-\\-cs l = Q;

noem de gegeven punten x₁y₁z_l, x_iy_iz_i en x_sy_iz_i , dan
moeten zij voldoen aan de vergelijkingen

aa>i -\\-bfti C2, 1 = 0,

2) ax₂ -\\-by₂ cz₂ 1 = 0,

by_s cz₃ l = 0.

ax.

Uit deze vergelijkingen kan men o, b en c bepalen, en
in 1) overbrengen, waardoor de vergelijking van het
gevraagde vlak gevonden is. Maar men kan ook a, b en c
tusschen 1) en 2) elimineren. Zullen die vier vergelijkingen
met elkander bestaanbaar zijn, dan moet de determinant
verdwijnen; men heeft alzoo


X	y	z	1
*1	Vi	ar,	1
x₂	*U-i*	~2	1
x_a	y_a	~3	1

= 0.

Deze vergelijking geeft het verband aan, dat tusschen de
co�rdinaten x, y en z van eenig punt van het vlak bestaat,
is derhalve de vergelijking van het gezochte vlak.

Men kan den determinant volgens de elementen van den
eersten regel ontwikkelen, waardoor de vergelijking van het
vlak den volgenden algemeenen vorm verkrijgt:

^xiUi 1

^X1 Ui 1
«3 Ui 1

1
1
1

I Ui ^zi

x_ly_i z_l

=0.

� V

Voor de waarden van a, b en c vinden wij de volgende
uitdrukkingen


*^xi U\\ ^z\\*				x_x z_x	1	*XiUi²,*
*^X1 Ui ^Z1*	; b =	x₂z_% 1	�	*XiUi^zi*
Xa .Va ²3		x₃z₃ 1		*^xiUi^z7i*
i Ui 1		*i i/i ^z\\
x₂ y₂ 1	*	*®1 Ui ^Z1*	�
*Xi !h* !			X$	U₃z₃

Ui ^si !
Vi^zi l

z, 1

-ocr page 39-



		37

		In de vergelijking 3) ligt ook de voorwaarde opgesloten, waaraan vier gegeven punten xyz, x₁y_lz₁, x₂y₂z₂, x_sy₃z₃moeten voldoen, zullen zij allen in hetzelfde vlak liggen. 23. Laat ons aannemen dat de evenwijdige lijnen, van welke de eerste door een punt M₁ of x_x y_i s₁, de tweede door een punt M_i of x₂ ?/₂ z_% gaat, met de assen der co�rdinaten de hoeken x, (3 en y maken. Zijn de assen regthoekig, dan wordt een tweede punt M¹ van de eerste evenwijdige lijn bepaald door de co�rdinaten x¹ = x_t -\\- p Cosx, V¹ �Vi P Cos (3, z¹ =z_t -{- p Cosy, als men den afstand M_t M¹ der punten M_l en M¹ door p aanduidt. De vergelijking van het vlak, dat gaat door de drie punten M!, i�₂ en M¹, is lx y 2 1 �, \\h », ₌₀. 1 x^ y₂ z^ 1 x_t -\\- p Cos x y_x-\\-p Cos (2 z_t -\\- p Cos y men kan haar nog vereenvoudigen, wanneer men den tweeden regel van den vierden aftrekt en door p deelt; daardoor komt er voor de vergelijking van het gevraagde vlak: 1 x y z 1 i V-t* ^zx _=0< 1 x₂ y_t z₂ 0 Cos x Cos (3 C 7 24. Noem x₀, y₀ en z₀ de co�rdinaten van het snijpunt M₀der beide lijnen, en laten x, /3, y; >, /3¹, y¹ de hoeken voorstellen, welke de lijnen met regthoekige coordinaatassen maken. De co�rdinaten x₀ -\\- p Cosx, y_Q -\\- p Cos/S, z° -\\- p Cosy* zijn die van een ander punt M der eerste regte lijn, waarbij de afstand M₀ M == p is; evenzoo vindt men voor een ander punt M^l der tweede lijn de co�rdinaten x_Q p¹ Cos x¹ ; y₀ /3¹ Cos/3¹; z₀ p¹ Cosy¹; wanneer men den afstand M₀ M¹ door p^l uitdrukt.

-ocr page 40-

Het vlak dat door de punten M₀, M en M^l gaat, heeft
tot vergelijking

1 x

1 Xo_

1 x₀ -)- P GOS x

1 x₀ -\\- p¹ Cosx¹

ito

=0.

z₀ -f p COS y

s₀ p¹ ^Cosy^l

y₀ -\\-p Cos (3
v/o P» Cos/31

Door eene gelijksoortige herleiding als in het vorig vraag-
stuk vindt men voor het gezochte vlak:
1 x y z

1 ^xo Ho ^zo __q

O Cos» Cos (3 Cos y

O Cos x* Cos /3¹ Cos y¹ .
25. Wij noemen de co�rdinaten der gegeven punten x_l y_t z_ten x₂ y₂ z₂,
en

Ax -{-Bij Cz-\\-D = 0
de vergelijking van het gegeven vlak.

Is nu A*x B^ly C\'s D¹ =0

de vergelijking van het gezochte vlak, dan heeft men ter
bepaling van de onbekenden A¹, B¹, C¹ de drie volgende
vergelijkingen

A*x_x -\\-BHj_x -f- C¹z_i -fZ>\' =0,
Ai*_t B*y_a C*z_a D* � 0, 3)
A^A B*B &C = 0.

De vergelijkingen 2) en 3) kunnen alleen dan te zamen
bestaan, als hare determinant gelijk nul wordt; dientenge-
volge is de vergelijking van het gezochte vlak:
x y z 1

x, y, z, 1

^xi V% ^z% 1
A B C 0

26. Laat de vlakken voorgesteld worden door de vergelij-
kingen

»,* &! ^ c₁«4-i-=o,

a₂z-\\-b₂y-\\-c_%x l = 0,
«₃ * ^&s V c, « 1 = 0.

Daar elk vlak, dat de lijn van doorsnede van het eerste

-ocr page 41-

en tweede vlak bevat, teruggebragt kan worden tot den
vorm

«i * *i V-\\-c_l a: l A(a, z b₂y-\\-c₂x l) = Q, 2)
moet ook het derde vlak zulk een vorm kunnen hebben,
omdat de snijlijn ook in dit vlak gelegen is; met andere
woorden, men moet A zoodanig kunnen bepalen, dat de
komende vergelijking met 2) identiek wordt. Brengen wij
2) tot den vorm

dan komt er

^ai «iV ., . &i &_a ^A__ft . c, c₂*_ , .

waaruit

(a,�a_a)A=(a,�«,); (�,�ft,)A=»(�,� ft,); (c₈�c_a)A«=(c,�c,)

of a eliminerende

(a₃ � a₂)(b₃ � &,) � (a₃� a,)(&_s� &_a).= 0,
(a₃�a₂) (e,�c,)� (a, � a,) (c₃ � c₂) = O,

aan welke beide vergelijkingen voldaan moet worden, zullen

de drie vlakken elkander langs dezelfde lijn snijden.
De vergelijkingen van de lijnen van doorsnede der drie

vlakken vindt men, bijaldien men achtereenvolgens y en x

tusschen de vergelijkingen der vlakken elimineert; zij zijn
| (a, b₂�a₂ &,)« (c, b₂ �c₂ b_t)x-\\-(b₂ �b₁) = 0;\'i
l (a, c₂�a₂c₁)z (c₁ b₂ �c₂ b_t)y (c₂ �c_t) = 0. J

i (a, c₈ � a₃ e,) z (c, &₃ � c₃ &,) ^ (c_i � c,) = 0. �
l (a₂ b, � a₃ b₂) z -f (c₂ b₃ � c₃ b₂) x (b₃ � b₂) = 0;}
i («2 c₃ � a₃ c₂) z (c, 6, � c₃ 6_a) ?/ (c, � c,) = 0. J
De voorwaarde dat deze drie lijnen evenwijdig loopen,
wordt uitgedrukt door


c_xb₂	� c₂ �, _ c, b₃	� c₃ ftj _ Cj &₃� c₃ 6₂
a₁b_i	�a₂b_l \' a, b₃	� a₃ &, ~ a_a b₃ � a₃b₂\'
c, b₂	� c₂ &, _ e, �₃	� C3&1 C₂ �_s � C₃ �₂
a_lCi	� «jC, «,C,	� a₃c₁ a₂b₃�a₃b₂

of, na herleiding,

Cl (&1«3 � M») � ^CJ (Ms � &««!> ^C3 (Ml � Ml) = O»

-ocr page 42-



		40

		Deze voorwaarde, determinant zoo men wil, moet vervuld zijn, zullen de vlakken elkander langs het beloop van even- wijdige lijnen snijden. 27. Noem x_x, y_x en z_x de co�rdinaten van het gegeven punt en laat x = mz^J_rp, y = nz-\\-q de vergelijkingen der gegeven lijn voorstellen. Wordt nu Ax By-\\- Cz D = 0 1) als de vergelijking van het gezochte vlak aangenomen, dan erlangt men ter bepaling van A, B, C en D de volgende vergelijkingen A_l By_l Ca_l D � 0,* Am Bn -f C =0, Ap Bq -f Z> = 0; en daar zij te gelijker tijd met 1) moeten bestaan, zoo is de vergelijking van het gezochte vlak x y z 1 ^xi Vi i 1 ₌₀ m n* 1 0 p q 0 1 Men kan dit vraagstuk ook aldus oplossen: stel dat de vergelijkingen der regte lijn zijn ax-\\-by cz-\\-d = 0, a¹ x b¹ y c¹ z d=0,* 1) en de co�rdinaten van het gegeven punt x_xy_x z_x. Elk vlak, dat de lijn 1) bevat, laat zich voorstellen door ax-\\-by c« r?-f A(ffl\'j b^l y c¹ z d¹) =0. 2) Daar dit vlak ook door het punt x_x y_x s, moet gaan, moeten de co�rdinaten van dat punt aan 2) voldoen, zoodat ax_x -\\-by_x cz_x -f- d-\\- A(a\' x_x -\\-b¹y_x -4-c¹ z_x -\\-d¹) = 0; elimineert men nu den factor A, dan komt er voor het ge- vraagde vlak ax -\\-by -\\-cz -j- d _ a¹ x -\\-b^x y -j- c\' z -\\- d^lax_x-\\-by_x-\\-cz_x-\\-d ~ a^l x_x -f- &¹ y_x -\\- c¹ z_x -\\- d¹ 28. Noem de co�rdinaten der gegeven punten x_x y_x z_x en ®2 Vi ^S1 ^en l^aat

-ocr page 43-



		41

		x = mz -\\-p en y = n z -f- q de gegeven lijn voorstellen. Is nu Ax By Cz D = 0 1) de vergelijking van het gezochte vlak, dan hangen de con- stanten A, B, G en D af van de volgende vergelijkingen: Ax, By₁ Cz_i D = 0, Ax_i By₁ Cz₂ D = 0, 2) A m B n C = 0; en men heeft uit 1) en 2) voor de vergelijking van het ge- zochte vlak x y z 1 ^xi Vi ². ! ₌₀oo_% y₂ z_% 1 m n 1 0 29. Zij Ax By Cz D = 0 de vergelijking van het gegeven vlak, en laat ons door x = m z -\\- p, y = n z -\\- q de gegeven lijn aanduiden. Noemt men de vergelijking van het te zoeken vlak Ax B^ly C s D¹ =0, � (1) dan bestaan, krachtens de voorwaarden van het vraagstuk, tusschen de constanten A^l, B¹, C^x en D^l, de volgende vergelijkingen: Aim B^ln Ci =0, 4\'\|) fl\' q Z>¹ =0, 4\' A-\\-BB C^l C* �0, waaruit men A^l, B^l en C^l in D\' en de bekenden kan uit- drukken; brengt men die waarden in (1) over, dan vervalt ook D¹, waardoor het vraagstuk is opgelost. Men verkrijgt dus voor de vergelijking van het gezochte vlak: x y z 1 m n 1 0 p q 0 1 ~~^U* A B C 0

-ocr page 44-



		42

		30. Is wederom Ax-\\-By-\\- Cz-\\-D = Q 1) de vergelijking van het te zoeken vlak, dan worden de constanten A, 3, C en D gevonden uit ■41 By_t Cz₁ D = 0, A m -f- B n* C = 0, Am^l-\\-Bn^l C = 0, waaruit in verbinding met 1) voor het gezochte vlak voortvloeit x y z 1 *�i ^i i ^! =0.** m «10 m¹ n¹ 1 0 31. Zij A_x By Cz D=0 de vergelijking van het eene, A¹ z B\' y C« 2 -D¹ =0, die van het andere vlak, en laten de co�rdinaten van het gegeven punt worden voorgesteld door x_t y_t z_v Daar nu de regte lijn door dat punt gaat, zoo hebben hare vergelijkingen den vorm x � x₁=m(z � z_i)₎ y � y₁=n(z � z_l); terwijl ter\'bepaling van m en n de vergelijkingen Am-\\-Bn C=0 en A¹ m B¹ n C¹ = 0 dienen. En daar de gezochte lijn evenwijdig moet loopen aan de doorsnede der vlakken, is tevens het volgend vraagstuk opgelost: de vergelijking te vinden eener regte lijn, welke door een gegeven punt gaat en evenwijdig loopt aan eene ge- gevene lijn. Want elke der beide vergelijkingen der gegevene lijn stelt een vlak voor, waarmede de gezochte lijn evenwijdig moet loopen. Eene andere wijze van oplossen bestaat hierin dat men de lijn, welke door het gegeven punt gaat, voorstelt door x � x₁=^m(z � 2j) en y � y_x=n(z � z^,

-ocr page 45-



		43

		en opmerkt dat de rigtingscoefficienten m en n gelijk moeten. �n aan die der gegevene lijn. 32. Zal het vlak door het gegeven punt gaan, dan kan men het voorstellen door A(x � x₁)-\\-B(y � y₁) C(z � z₁) = 0;* en daar dit vlak loodregt op de gegeven lijn moet staan, heeft men de voorwaarden A:B: C= m:n:l; derhalve is _m(x � x₁) n{y � y_i)-\\-(z � s₁)=Q de vergelijking van het gezochte vlak. 33. Laat de gegevene lijn bepaald worden door de vergelijkingen c(x � xⁱ) = a(z � s¹), c(y � y) = b(z � z¹),* . . (1) en noem de co�rdinaten van het punt #, y_x z₁, dan zal de lijn die door dat punt gaat zijn van den vorm *c»(«�,) �a»(«�«1)1 e\'fr �y,) � »"¹ (�i);. (2)** en wijl zij loodregt op (1) moet staan heeft men, de hoeken der coordinatenassen A, ^ en v noemende, de voorwaar- densvergelijking aa¹ -4-&&¹ -f cc¹ (cft> c»&) Cos {ca^x* c»a) Cosp (6o> Va) Cos v = 0. (3) Elimineert men nu de quoti�nten a¹ : c¹ en 6\' : c¹ tus- schen (2) en (3), dan komt er (a -4- c Cos jtt b Cos v) (x � x,) (b c Cos A -4- a Cos v) (y � y₁) (c bCos>. aCos()(z � z₁)=0, (4) welke vergelijking de gezochte plaats aanwijst en, van den eersten graad zijnde, een plat vlak te kennen geeft. Bij regthoekige co�rdinaten gaat de gevonden vergelijking over in a{x � x_i) b(2i � y_l)-\\-c(z � z,) = 0.* 5) Voor het tweede gedeelte van het vraagstuk merken wij op dat de lijn, die door het punt x_x y_x s_i gaat en de ge- geven lijn loodregt snijdt, noodwendig in het vlak (4) of(5) moet liggen; het punt waar die beide lijnen elkander ont- moeten is dus ook het punt van doorsnede van (1) en (5). Noemen wij, bij regthoekige co�rdinaten, dit punt x₂ y_% z_2tdan hebben wij de vergelijkingen

-ocr page 46-



		44

		c(ar, � x^l) = a(z_i �e¹), c(y₂ � y^l) = b(z₂ � z¹); a{x₂�x_l) b{y₂ � y,)-f c(«, �2,) = O, waaruit gemakkelijk gevonden wordt _ ac (z_l �s¹)-\\-ab(y₁�y¹) � {b* c») (ar,� a>») 6C (g, �Z) ab (X, � Xt)* � (Ql _Cl) (y, � yl) *_ . ,6c (y, � y¹) «c («i � «\') �(«² &\') (g_t � \') Brengt men, ten slotte, deze waarden over in (8, �,)( � »,) = (ar, � ,)( � 2,); (« � i)(y�2/i)=(y₂� i)(�«i),** dat is in de vergelijkingen der lijn, die door de punten x_ly_l z_l en x₂y₂z₂ gaat, dan erlangt men de vergelijkingen der lijn, die aan de voorwaarden in het vraagstuk vermeld voldoet. Men zou ook op deze wijze kunnen redeneren: daar de gevraagde lijn zoowel in het vlak (5) ligt als in het vlak dat de gegevene lijn en het gegeven punt bevat, is zij de doorsnede beider vlakken en bijgevolg worden hare verge- lijkingen a{x � «,) b (y �y,) c(s � z_t) =0; a(z �z^l) � c(x �x^l) b(z �z^l) � c(y �y^l) _ _ a (z_t � z^l) � c (ar, � «i) b (, � z^l) � c* (y, � y^l) \' De lengte eindelijk der loodlijn, dat is de afstand der punten x_t y_t z_t en ar, y₂ z₂ wordt uitgedrukt door *V I (, � ,)» (y₂ � y,)¹ (#, � s,)¹!;* brengt men hierin de boven gevonden waarden voor ar,�a?,, «/,�y, en z₂�z_t over, dan komt er, na eenige herleiding, stellende ter bekorting \\a(z_l �zⁱ) � c(x_l � xi) J* =A, \\b(z₁�zi)-c(y_i�yi)^=B, \\a{y_l-yⁱ)-b{x_i-x^)^ = C, voor de lengte der loodlijn I /jl b c

-ocr page 47-

34. Noem de co�rdinaten van het gegeven punt P x¹jf¹z¹;z^
Ax By Cz D = 0 1)

de vergelijking van het vlak; laat p de loodlijn voorstellen
uit het punt P op het vlak nedergelaten. Die loodlijn maakt
met de coordinaatassen hoeken, aangegeven door x, (3 en y.
Brengt men door het punt P een vlak, evenwijdig aan 1),
dan is zijne vergelijking

Ax By Cz = Jx^l Byⁱ Cz¹. 2).

De vlakken 1) en 2) snijden de assen der co�rdinaten op
afstanden, die respectievelijk worden aangewezen door

& = �

D D

a = �

Ax* -fgy»-|- CS\',

Ax* 4-By* Cz*

en a¹ =

Ax* fly\' Cz¹

c\' =

Hierna is het duidelijk dat men heeft:
^ = («i � o) Cbs« =-------^!------j�^!-------^!� Cos x, of

_Ax* gy, Cs\' -4-.D

Cos (3, en

p = (b¹ �b) Oos(S =

_Axi By* C*¹ -P

Cos-/,

2> = (c¹ �c) Cosy =
waaruit

Cosj3 =

Cosx

Ax\'^-By¹-^ W D\'
Cp

Axi Byi Cz^D\'

^C0S ⁷ � Axi fiyi Oct D\'

Zooals men weet en zooals wij vroeger hebben aangetoond,
bestaat er tusschen de hoeken der coordinaatassen en die
eener willekeurige lijn de volgende betrekking:
1 Cos x Cos /3 Cos y

Cos x j Cos -j Cos y.

= 0.

Cos (3 Cos v 1 Cos \'a
Cos y Cos /x. Cos A 1
Brengen wij hierin de waarden van Cosx, Cosj3en Cosy,
boven gevonden over,, dan komt er

-ocr page 48-

1
Ap

Ax* Byi CxA D Ax^l Byi Cz* D Axi By^l Cx^l D

1 Cos v Cos p

Axi Byi Cx-i D
_______Bp

Cos v
Cos (t

Cos�*

Ax^l By^l Cx,i D
Gp

Cos*.

Axi-\\-By^l-{-Czi D

Vermenigvuldigen wij den eersten regel en de eerste ko-

Ax¹ By^l Cz^l D

dan wordt de determi-

lom met

nant eenvoudiger; men heeft

(Ax¹ Byi C2¹ Dy

P¹A
B

1
Cosv

COS |64

= 0,

Cos v Cos ,«-

1 COsA

cosa l
0 A B C
A 1 Cosv Cos/a
B Cosv 1 Cosh
C Cosfi CosA 1

of
(A x^l B y^l Cz^l -f D)* A^a ₌ _
P*

.3)

zijnde

Cos ^%t* � Cos ⁱv - - 2 Cos A Cos pCosv,

1 Cos v Cos &
Cos v 1 Cos A

Cos ft Cos A 1
De vergelijking 3) geeft ten slotte voor de waarde van p

(Ax¹ Byi Cs\' -P) A

P =

j A^J Sin ^JA 2 B C {Cos p Cos v

Cos>)

(- B* Sin *[i 2AC(Cos vCosx� Cosp)
-}- C² Sin H 2AB(Cos A Cos ia� Cos v)\\
Wil men den afstand van den oorsprong O tot het vlak
1) kennen, dan moet men x¹ =y^l = z^l =0 stellen; men
verkrijgt daardoor

-ocr page 49-



		47 wanneer men ter bekorting de uitdrukking onder het wortelteeken in 4) gelijk H stelt. 35. Het vlak 1) van het vorig vraagstuk wordt het vlak y z, dat als vergelijking heeft x = 0, wanneer B = C = D = 0 zijn. In dat geval herleidt zich de formule 3) aldaar tot 2 A oc^{waaruit p = %� ¹ Sm ^* De afstanden p, q, r van het punt x^l y^l z¹ tot de drie coordinaatvlakken x = 0, y = 0 en z = 0, worden derhalve uitgedrukt door

		A»¹. � Ay^l . � . A*

	P jou» » > 2 cv», � ! ^r

	Sin a Sin &\' Sin v En daar die afstanden, volgens de gegevens van het vraag- stuk aan elkander gelijk moeten zijn, heeft men de ver- houdingen x^x y¹ z¹ Sin A Sin ft Sin v Die vergelijkingen geven de plaats aan van alle punten, die op gelijke afstanden van de coordinaatvlakken gelegen zijn. Uit haren vorm besluit men dat zij eene regte lijn daarstellen. Zij gelden voor alle kwadranten of ook voor de drievlakkige hoeken OX\'YZ, OXY^lZ, OXYZ¹, wanneer men behoorlijk acht geeft op de teekens der sinussen. 36. Schrijft men de vergelijking van een vlak in den normaalvorm x Cos x -4- y Cos $ -4- 8. Cosy � d = 0, dan wordt zijn afstand A. tot eenig punt cc₁ y_l z_l uitge- drukt door /\\ = ±(x_l Cosx-\\-y_t Cos (3 -4-3, Cosy � d), onder dien verstande dat men het onderste of � teeken gebruikt, als het punt x_t y_i z_t met het aanvangspunt der co�rdinaten aan dezelfde zijde van het vlak liggen.

-ocr page 50-



		48

		Wij noemen de co�rdinaten van een willekeurig punt in het te zoeken vlak xyz, en E₁ =0, E₂ � 0 de vergelij- kingen der gegeven vlakken in den normaalvorm. Substi- tueert men de co�rdinaten xyz in E_x, dan verkrijgt men den negatieven afstand �a_t van het punt xyz tot het vlak E_i = 0; en brengt men die co�rdinaten in het vlak E₂over, dan wordt daardoor de negatieve afstand � a₂ van het punt xyz tot het vlak E₂=0 bekend. Maar de ver- houding a_t : a₂ moet voor alle punten constant gelijk m zijn; van daar moeten de co�rdinaten van elk punt van het gezochte vlak voldoen aan de vergelijking: derhalve is E_t � m E₂ = 0 de vergelijking van het ge- zochte vlak. Zijn de vergelijkingen der bekende vlakken niet in den normaalvorm gegeven, maar voorgesteld door E^A^ B^ C^ D^ en E₂ == A ₂ x -f- B₂ y C₂ z D₂, dan is ^a* "" y(A\\ B\\ c\\)^; ^a> =* F�f %TqT, wanneer wij aan de wortelgrootheid het teeken geven, dat � ■Di �-Dj

		V(J\\ B\\ Cl) V{A\\ B\\ C\\) positief maakt. Men komt dan tot de vergelijking:

		*-tL l__mf*

	a₂ \' E₂ V A\\ B\\ G\\ of Ey � m pE₂=0, wanneer men de grootheid onder het wortelteeken kortheidshalve = ¹/p neemt. Het gevonden vlak E_x � mE₂ � 0 gaat, zooals de ver- gelijking leert, door de snijlijn der vlakken E_t = 0 en E₂ = 0 en deelt den hellingshoek zoo, dat

-ocr page 51-



	49

	Sin$ , a, ~-----= �� = m Sm e � a_% is, wanneer door t en e de hoeken worden aangeduid, die het gevonden vlak met de vlakken E_i en i?₂ vormt, waarbij men het teeken moet nemen dat a_t :a₂ positief maakt. Is m = 1, dan deelt het vlak E_t � E₂ = 0 den hoek der vlakken E_l = 0 en E_t = 0 midden door. En deelen vlakken de hoeken, welke de vlakken van een drievlakkigen hoek met elkander maken, de standhoeken, midden door, dan snijden die vlakken elkander in een regte lijn. 37. Laat bij regthoekige co�rdinaten de vergelijkingen der evenwijdige vlakken worden voorgesteld door ax-\\-by-\\-cz-\\-d = Q; a x -f- b y o z d^l = 0; nemen wij vervolgens een punt x_xy₁ z_x in het eerste vlak en trekken uit dat punt de loodlijn k op het tweede vlak, dan is ₇, ₌^a ^xi ^bUi c^i cl\\ V {ai o² c) \' maar x_ly_lz_i* ligt in het eerste vlak en bijgevolg is ax_t -\\-by_x -f- c z_t = � d, en derhalve d\' � d V (a² o¹ c²)\' Men verkrijgt dezelfde uitdrukking, wanneer men bedenkt dat de loodlijn k¹, uit den oorsprong op het eerste vlak nedergelaten, gevonden wordt uit .,_______ d_______ V (a² �² c²) \' die op het tweede vlak nedergelaten uit

	k" =	d»


j/(a² �² c²) en blijkbaar het verschil of k¹\'�k\', dat is d¹ � d j/(a² o» c²) den afstand k der vlakken beteekent. Hebben de gegeven vergelijkingen den vorm {x � x_t) Cos et - - (y � y_t) Cos (3 {z � 2,) Cos y � 0, (a; � aj_a) Cos * («/ �«/,,) Cos 0 -f (s � 2,) Cos y = 0, 4

-ocr page 52-



		50

		waarbij x_x y_x z_x een punt in het eerste, x₂y₂z₂ een punt in het tweede vlak verbeelden, dan vinden wij, daar Cos²* 4- Cos²p Cos²? = 1 is, k== ±\\ (x₂ � #j) Cos x -f- («/₂ � ?/i) Cos (3 4- (2_a � «J Cosy \|. Nu zijn x₂�x_x, 2/₂�?/, en «, � 2, de projectien op de assen van de lijn, die de beide punten verbindt, en (x₂ � x_t) Cos et, (y₂ � y_t) Cos P en (z₂ � z,) Cosy zijn blijkbaar de projectien dezer projectien op eenige lijn, lood- regt op beide vlakken; neemt men derhalve in elk der beide evenwijdige vlakken een willekeurig punt p,p^x�,* projec teert men de lijn p¹ p¹\' op drie willekeurige loodregt op elkander staande lijnen, en projecteert men andermaal de verkregen projectien a_l, a₂, a₃ op eenige loodlijn op de vlakken, dan is de som dezer laatste projectien standvastig en gelijk aan den afstand der vlakken, waar overigens de punten p¹ enj)¹¹ in de evenwijdige vlakken ook genomen zijn. 38. Laat het platte vlak met de drie onderling regthoekige projectievlakken de hoeken »., u, en u, maken, dan is vol- gens eene bekende stelling S, = SCosa,, S_v = SCosu_v, S,= S Cosu,, S¹.^S¹C08a_m, S\\=S¹Cosu, en S\\ = S¹Cosa,. Nemen wij de som van de producten dezer gelijkheden, dan komt er S.S¹,4- S,S\\ 4- S.SK = SS¹ (Cos²u, Cos²a>� 4- Cos²u,), maar Cos²!», Cos²u_y -f Cos²u, = 1, derhalve **s. s\\ 4- s, s\\ s.sⁱ, = ssⁱ,** zoodat hierdoor de stelling bewezen is. Stelt men S = S^ldan heeft men Zij nog A de regthoekige projectie van een vlakken veel- hoek S op eenig vlak E; voorts A^l, A¹¹* en A¹ >" de regt- hoekige projectien van S op drie onderling regthoekige vlakken en J5\', B¹¹, B^lil de regthoekige projectien van A^%, A^li en A¹¹¹ op het vlak E, dan is A=Bⁱ -f5¹¹ .B¹".

-ocr page 53-



		51

		Laat u de hoek zijn, dien het vlak van den veelhoek S met het vlak E maakt, voorts «,, x_t en x_s de hoeken, die het vlak van den veelhoek en fi_u p₂, /3₃ de hoeken, die het vlak E met de drie onderling loodregte vlakken maakt, dan is A = SCosi�; A = SCosx₁; A"=S Cosx₂; A^lil =S Cos«₃;* ook is B¹ = SCosx_l CosP_l; B¹¹ = SCosx_i Cos^_i; B¹¹¹ = SCosx_s OosP_a, en bijgevolg fi¹ B¹\' B¹»» = (tas! Cos/3, Cos«₂ Cos/S₂ Cos«₃ Cos/3 ₃) S, maar Cos», Cos/3, -j- Cos«₂ Cos(3₂ -\\- Cosx₃ Cos(3_x =Cosu,* bijgevolg B¹ B¹ > B\'«« � S Cosu = A. 39. Veronderstellen wij in de eerste plaats dat het hoekpunt A van den driehoek A B C in den oorsprong der co�rdinaten ligt, en laten x_x, y_x, z_t; x₂, y₂, z₂ de co�rdinaten der beide andere hoekpunten B en C zijn. Wanneer wij het oppervlak van den driehoek S noemen en door o en c de zijden AC en AB tegenover de hoekpunten B en C aan- duiden, dan hebben wij terstond 4S\'=6^S c² Sin² A=b^% c² � o² c² Cos²^ ,

		^of 4S² =		c² 6c Cos.4

		6 c Cos^ �² Wij gaan bovendien uit van de veronderstelling dat de coor- dinaatassen regthoekig op elkander staan, en noemen wij de hoeken, welke de zijden AB en AC met die assen maken «, , /3,, y, en x₂, (3_ti en y_T, dan hebben wij x₁=cCosx₁, 2/,=cCos/3,, 2j=cCosr, ; x_i=bCosx₁, y_i=bCos@_i, z^^^bCosy^] en daar Cos -4 = Cos <«, Cos x₂ -\\- Cos /3, Cos /3₂ ^^os ^i ^^os ^2 is, komt er, wanneer men met b c vermenigvuldigt en de boven gevonden waarden substitueert, o c Cos A = x_xx_i-\\-y₁y_i-\\- z_x z_t.

-ocr page 54-



		52

		Blijkbaar is bovendien c* = x\\ -f y\\ z\\ en 6² = «f -f y\\ 2²; brengt men deze waarden in den boven gevonden determi- nant over, dan heeft men *4s= ^x\\ y\\ z\\ x₁x₂ y₁y₂-{-z₁z₂ ,^** x₁w₁-\\_ry_ly_i-{-z₁z₁ x\\ y\\ z\\ In het voorbijgaan zij hier opgemerkt dat deze determi- nant de som is van de vierkanten der drie determinanten begrepen in den determinant x_x y₁ z_x i X^ 2/j �j welke de dubbele projectien van den inhoud des driehoeks op de coordinatenvlakken voorstellen. Laat ons, in de tweede plaats, den oorsprong der co�r- dinaten overbrengen naar een willekeurig punt der ruimte met de co�rdinaten � x, � y en � %>, en stellen wij de nieuwe co�rdinaten der hoekpunten B en C door x¹,y^l,z¹; x¹¹, y¹¹ en z¹¹ voor. De co�rdinaten van het punt A zijn ten opzigte van den nieuwen oorsprong x, y en z. Als wij dit doen, hebben wij de betrekkingen x_x=x^l �x; y₁=y¹ �y, z₁=-zⁱ � z; *x₂=x¹¹ �x; y₂=zy" �y; z_i=z^li�z,* waaruit wij verder afleiden ^\\ y\\ z\\={x\'-x)^-\\-{y¹-yy {^-^= =(x* y* z) (xi² y>²-}-zi²)-2(xxi yyi zzt); x\\ y\\ zl=[xi >� xy-\\-(yi* i� yy-\\-(z^ ��) = ={^xi-\\-yⁱ s¹) {^¹¹ * y^l \' ⁱ z¹«²)�2(xx^ll^-yy^ll zz¹ »); #i� y₁2/i 2i22=(-\'^;1 -) (^xl* ■ -aH-Cy¹�y) (y\'\'� y) (zⁱ-z)(z¹¹-z) = � (a;2-\|-2/^s 2²) (¹a!¹¹ y¹y¹¹ 2¹^¹!)- � (aw¹ -4�2/2/* ¹-\\-zz¹\')�(aM^ yy¹-}-.?,?¹).** Stellen wij kortheidshalve «^a ^² s² =l> x¹z¹¹ y¹y¹¹ z¹s^ll�\'p, *\' 2/¹ «^l2 =w, xx^il-\\-yy^lt zz^lt mq, _xii yii^._zit ma,n, xx¹-\\-yy¹-{-zz¹ =r,

-ocr page 55-

dan hebben wij

^x\\^Jr¹A ^z\\ � l m�2 r,

X\\X_% y_xyi-\\rZxZ%=l V � ^ci � ^r-
Brengen wij deze waarden in (1) over, dan komt er

4 5* =

l -\\-m � 2r l-\\-p � q � T

l P�1�f l-\\-n � 2 q

1 r q

0 l-\\- m � 2r l-\\- p�q�r
O l p�q�T l -\\-n � 2 q
of, wanneer men den eersten regel bij de beide volgende
voegt,

1 r

4 S¹ � 1 l m � r
1 l p-q

l-\\-p � r
l-\\-n � q

10 0 0

l 1 r q

r 1 l-\\-m � r l -f- p � f

5 1 J p � <? � ■ � n � #

Vermenigvuldigen wij, in dezen laatsten determinant, de
tweede kolom met �l, en voegen wij vervolgens de som
der beide eerste kolommen bij elke der beide volgende,
dan hebben wij


	10 11
	l 1 r q	, , . _
	r 1 m p
	q 1 p n


	0 1 1	1
	1 l r	Q.
	1 r in	P
	1 q p	n

4S» =

Wanneer men ten slotte l, m, n, p, q en r door hare
waarden vervangt, verkrijgt men

0 1 1 1

1 ccⁱ-_r-y¹ ^^� xx^l-{-yy^l-\\-zz^l

2 2 2

1 xx¹-\\-yy¹-\\-zz¹ x¹ -\\-y^l -\\-z^x

xx^Xi-\\-yy\'¹¹-\\-zs¹¹x¹x^il-\\-y¹ y^ll-\\-z* *»»

2 11

¹¹ 2/¹¹ *¹¹

1 xx¹¹-\\-yy¹¹-\\-zz¹¹ »* «" //¹ y^il z¹ z^tl

-ocr page 56-

Men kan gemakkelijk aantoonen dat deze determinant
het product is van

1 U U U U

0 lx y z

Oh\' ?/i z¹

0 1 a¹¹ y*¹ z¹¹

0 10 0 0

A =

,10a; y z

, A = -

1 0 x^l y¹ *>
1 0 x^y^g"

40. Om deze stelling te betoogen veronderstellen wij dat de
regte lijn L gegeven is door de vergelijkingen

x = az -\\-p; y = bz-\\-q. (1)

De afstand van eenig punt x₁ y_x z_x tot die lijn wordt op
de volgende wijze bepaald. Wij brengen door dat punt
x_x y_x z_x een vlak loodregt op de lijn (1), en bekomen voor
de vergelijking van dat vlak

a(x � o;,) -\\-b(y- y_t) B � s_t =0. (2)

Om den afstand van x_x y_xz_x tot de lijn (1) te vinden,
moet men de co�rdinaten can het punt van doorsnede van
het vlak (2) en de lijn (1) opzoeken, en die overbrengen in
de algemeene vergelijking

Afstand = y({x-x_x) (y- y_x)² (*� z_x)²); (3)

men vindt dan, na eenige herleiding, voor het vierkant
van dien afstand de uitdrukking:

(x_x�az_x�p)² (y_x � bz_x � q)² {a(y_x �q)�b(x_x �p)\\^%

a^s &² -f- 1 \'

Stellen wij in deze uitdrukking x_x =0,«/, =0en,s, =0,
dat is, met andere woorden, veronderstellen wij dat het
punt x_x y₁ z_t in den oorsprong ligt, dan bekomen wij

S* ₌P² Q² (^bP � "g)\'
a* ft¹ 1

Het kost weinig moeite om de andere afstanden 5,, 5_a

en S₃ op soortgelijke wijze te bepalen. De vergelijking x =

az-\\-p van de lijn (1) geeft hare projectie op het xz vlak

te kennen, en de lijn, die loodregt staat op die projectie,

wordt aangewezen door x = �~_a z, wanneer zij door den

oorsprong gaat. Bepaalt men uit de laatste vergelijkingen de

waarden van x en z, dan heeft men

-ocr page 57-



		55

		_ p __�ap *^X ~~ a» l ^; ^�"�M^T\'** waaruit voor S₂ de waarde voortvloeit van Op het yz vlak is de projectie der lijn (1) y = bz-\\-q, en de lijn, die door den oorsprong loodregt op deze laatste staat y = � ys, zoodat wij voor S₃ vinden De projectie op het"a;«/ vlak, of � . «a�� ^a a \' a wordt gevonden door s te elimineren tusschen de vergelij- kingen (1); gaat men op soortgelijke wijze als boven te werk, dan vindt men * 2 � (aq � bp)² Noemen wij de hoeken, die de lijn L met de co�rdinaat- assen maakt, x_i , (3_t en y_l, dan is O»\'"!-~~«. � !~~? Oto\'^-~~at y. i~~� maar <, =90 � y; /3, = 90 � 0 en y, =90 � , derhalve Cos >«_t=&n »y� ~~_0>^, ₁~~;ofook i -^ V�i-^rp� r dat is Oto\'y-~~fl. jiln~~\' Op soortgelijke wijze vindt men Vermenigvuldigt men ten slotte $j² met Cos ²x, dan komt er ~~_a⁽? 7>⁶ i~~^; ^voor Vmaai ^Cos ^ ^vindt ^men ~~o» ^\'»~~ zpp en het product van S₃² en Cos^y geeft ~~_a , * ,~~ ; maakt

-ocr page 58-



		56

		men de sommen dezer producten op, dan heeft men *P² g² («g � M²a �» l** welke de waarde is boven voor S² gevonden. Voor de vergelijking der lijn L had men ook kunnen schrijven or�x₀ _ y� y₀ ₌ z � �₀_-Cos Ut \' Cos /3, ~\' Cosy₁ \' dan zou men voor den afstand S van een punt x₁y₁s₁ tot de lijn gevonden hebben ^=[Cos(3₁(z-z₀)-Cos\'y_l<y-y₀)^ [Cosy_t(x_i-x₀)- -Cosxiz^z^ iCosxfyi-yJ-Cosp^Xt-x,)],* of ook S\' =(x₀-_Xly (y₀-_y^ _{Zf>-_Ziy- -[(x₀-x₁)Cosx₁^_r(y₀-y_l)Cos(3₁-\\-(2₀-z_i)Cos^₁}ⁱ, waaruit wederom het overige gemakkelijk voortvloeit, als men maar de betrekkingen tusschen «, /3, y, en ,, (3_l* en 7j niet uit het oog verliest. 41. Om hiertoe te geraken nemen wij het vlak A als vlak der icz, het vlak B als vlak der yz en een willekeurig vlak voor dat der x y � de doorsnede der vlakken A en B wordt hierdoor de as der z. Voorts stellen wij de co�rdi- naten van het gegeven punt met betrekking tot het aange- nomen co�rdinatenstelsel gelijk x₁y_�x_i. Noemen wij nu de veranderlijke punten, waarin de vlakken C en D de assen snijden, respectievelijk p\\, p\\, p\\ en p¹} p^x}, p¹} en stel- len wij, O het aanvangspunt der co�rdinaten verbeeldende, Op\\ = x^x; Op\\ =//i; Op\\ »«\'; Opl=x";* Ojp¹,¹�y", dan wordt de vergelijking van het vlak C: � 4- �- _}_ _1 = i van het vlak D: � ^� -I------= 1; maar wijl deze vlakken door het punt p moeten gaan, heeft men tevens

-ocr page 59-



		57

		if p �f=...(D;\|h ^ 5=¹(²)- De vergelijking van het vlak F, gaande door de punten p\\, p¹} en p\\ en die van het vlak G, waarin zich de pun- ten p¹.¹, p\\ en p\\ bevinden, zijn p jir K-i-WiJr Jr �i-¹ <⁴>\' Trekken wij nu de vergelijkingen (2) en (4) respectievelijk van (1) en (3) af, dan komt er waaruit door het elimineren van---------gevonden wordt x¹ x^x\' ■�■ ^y- -o, welke vergelijking de gezochte plaats aangeeft en een vlak voorstelt, dat de as der z of de doorsnede van A en B bevat. Dat vlak blijft onveranderd, wanneer het punt p andere plaatsen inneemt, onder voorwaarde dat de verhou- ding van y_l tot x_x dezelfde blijft, dat is, met andere woor" den, onder voorwaarde dat het punt p zich beweegt in het vlak dat de as der s bevat. 42. Wij nemen als coordinatenassen de gegeven lijnen a, b en c, en hare doorsnede O als oorsprong van telling; voorts stellen wij de veranderlijke grootheden Op_a = x¹, Op_h � y^x, Op_e = s^l; Opl^x¹¹, Opl=y^il, Op) =«»i. Op de ge- geven regte lijn nemen wij twee willekeurige punten x_t y₁s₁en x_t y₂ «j; dan wordt de vergelijking van het vlak D fr §T "fr = 1, van het vlak D» ~ V� _\|_ * ₌ i. x¹¹ \' y¹i \' s^X� Maar wijl de lijn d, derhalve ook de punten x₁ y_t s, en asj y_t z₂ in deze vlakken liggen, hebben wij nog de ver- gelijkingen

-ocr page 60-



		58

		»> ?/\' ₂\' ¹ � � ⁽¹⁾ P Y^x «» ~~ \' " ⁽ ^} Nog is de vergelijking van het vlak F ^ -f 2- 1- = 1 . . . (5) x¹ y¹ \' z¹¹ ^v \' van het vlak 0 -^ ^� 4- ^ = 1 . . . (6) van het vlak i� °L- IL �-=]... (7) x¹¹ \' y¹ \' z¹ ^w Trekken wij nu de vergelijkingen (3) van (1), (4) van (2), en (6) en (7) van (5) af, dan komt er *(^-^H ^-^^ Gi -^)^2=o\' �⁽⁹⁾ ^-^>=(^-^>(io);(^-^>=(^-^>ai)** Elimineren wij, ten slotte, (±-^ en (^ --L) tusschen (8), (9) en (10) en tusschen (8), (9) en (11), dan verdwijnt ook ( �-----�) i ^en ^W� verkrijgen (2/i ^zi � Vi ^zi) * 0₂ Vi � «i V») * -»0; *(! e₂ � «j s,) y («, «/₂ � .r₂ «/j) « = 0,** als vergelijkingen der gezochte plaats. Uit haar blijkt dat zij eene regte lijn is, die door den oorsprong gaat; deze lijn blijft onveranderd, al brengt men ook verandering in de ligging der lijn d, altijd onder voorwaarde dat de verhoudingen ^xi ^z\\ � ^1 ^zi Vx ^z% ~Vi ^z\\ ^xi Vt � ^xi y₂\' %V\\ � «�^a dezelfde blijven. Geschiedt dit laatste, dan liggen de punten x₁ y_t z₁* en #₂ y₂ z₂ in een bepaald vlak, dat door den oor- sprong gaat; van daar ondergaat de gevonden plaats ook geene verandering, wanneer de lijn d zich beweegt op een vlak, dat door den oorsprong der co�rdinaten gaat.

-ocr page 61-

43. Om het betoog dier stelling te leveren beginnen wij met
de lengten der stralen op te maken. "Wij nemen aan dat
het punt 0 het nulpunt is van onderling regthoekige co�r-
dinaten, en schrijven in die veronderstelling voor de verge-
lijking van het gegeven vlak

Aa By Cz=l,
voor de vergelijkingen van een der stralen x = az; y = bz,

In het punt, waar de straal het vlak snijdt, moeten in
de gestelde vergelijkingen x, y en z dezelfde waarden be-
komen ; brengt men x = a z en y = bz in de eerste over,
dan vindt men reeds terstond

z =

Aa-\\- Bb C\'

en verder * = -.----~~._,,,�~~ ; y = -;----~~, _p , , -=~~,,

Aa-\\-Bb-{-C^,u Aa-\\-Bb-\\-0

waaruit voor den afstand van O tot het vlak volgt

k v* -r v t * ) _Aaj_rBbj_rc
De lengte van het stuk op den aangenomen straal uitge-
zet, wordt derhalve uitgedrukt door
_p Aa Bb C
\' V (<*» i² 1)\'
waarin P een willekeurig getal beduidt.

Door het uiteinde van het stuk moet nu een vlak lood-
regt op den straal gebragt worden; dit vereischt de kennis
der co�rdinaten m¹, y¹ en z¹ van dat punt. Men vindt x¹uit de vergelijking

K(a² &² l) , Aa Bb C ₌ a ,

Aa Bb C j/(a² �² l) Aa Bb c\'\'* \'

waaruit

a (A a -f B b C) .

a² 6² l

op soortgelijke wijze bekomt men voor y¹ en x¹ de uit-
drukkingen

i(i_fl 56 C), P(Aa Bb C)

\' a* b* l \' a» -f �² 1 \'

-ocr page 62-



		60

		De vergelijking van het vlak loodregt op * = oj;; y = bz, dat tevens gaat door het punt \' y¹ \', is ax by v =P(^a 56 0. Maar voor elk ander vlak, dat loodregt staat op een willekeurigen straal x=a^lx; y = b^xz of x=a¹¹x; y=b¹¹x, en aan de voorwaarde in het vraagstuk vermeld voldoet, vindt men, denzelfden weg bewandelende, de vergelijkingen _ai_x _j_ji_y z = P(Aa¹ J9&¹ -f G) a"x b"y -z = P(Aa^il Bb" C) enz. enz. Maakt men het snijpunt dezer vlakken op, dan vindt men _X==PA; y = PB; s = PC, onafhankelijk van de waarden a, b, o¹, b\\ enz., welke den eenen straal van den anderen onderscheiden; derhalve, enz. 44. Wij duiden den zeshoek aan door de letters M_l,M_i) M₃, M_K, M₅ en M₆ respectievelijk bij elk der hoeken geplaatst, denken ons dat het punt M_t ligt in den oorsprong van onderling regthoekige co�rdinaten en dat het punt M_% in de as der x valt. Dan zijn de co�rdinaten van het punt itf, 0; 0; 0. � » M₃ x₃; y_t; x_s; � � M₄ x_i ; y₄ ; x_i; » » ^_S «u � ^x� ; ?/₄; « » » -^e ^4 � «»; 2/4 � 2/3; ^4 � �* Voorts zijn de co�rdinaten van het midden van M_t M₂ ^lf_t ce_t; 0; O; » ., » ^ M_t y, (, «,); Vi y»; V> ^x3- » » � M₃M_iV�(^a:3 ^a:4);ViCr.-hu);Vi(» »4); » » *» -^4 -^5 4 � Vl ^2 5 2/4 > ^4-** » » n ^rM_e^xi�¹/2(^x2 ^a:3);2/4-V�2/3;^4-V2s; » h » ^e^i Va (^a,4-3);¹/₂ (2/4-J/₃); Va (4 -«)� Zoo als men weet, liggen vier punten in een plat vlak, wanneer de determinant hunner co�rdinaten gelijk nul is. Laat ons zien of dit met de vier eerste punten het geval is; schrijven wij den determinant op:

-ocr page 63-



		61

		V, o 01 V, (, ,) Va y» Va , i V» (�� .) 7» (* «)* *7. (. �) i \'* ^ � V, \' ₂ y* _t i en trekken wij den eersten regel van den tweeden af, dan komt er Va », O 0 1 Va ₃ Va 2/₃ Va s O VaK 4) Va(ya y₄) \'/«(� J * \' "t �V>«j y* -4 1** of in dezen nogmaals den tweeden regel van den derden aftrekkende, heeft men Va «=2 0 0 1 V, ₃ 7, 2/3 Va a O , Va y« Va ** 1 « �Vaa Vt 4 ^! en eindelijk, van twee malen den derden regel den vierden aftrekkende, Va x₂ O 0 1 li ^xi li 11% Il* a V₂ «4 Va J/4 Va « 1 V_a », O 0 1 In den laatsten determinant zijn de eerste en de vierde regel aan elkander gelijk; de determinant is derhalve = O_ren de vier genoemde punten liggen in een plat vlak. Maar in datzelfde vlak liggen ook de punten, die wij tot heden buiten rekening lieten. Stelt men toch de co�rdinaten van een dezer laatsten in de plaats van eenig ander punt, dan zal men op dezelfde wijze betoogen dat de determinant gelijk nul wordt, derhalve, enz. 45. Om die stelling op de gemakkelijkste wijze aan te toonen, maken wij gebruik van een scheef hoekig co�rdinatenstelsel; wij denken ons een der hoeken van het zesvlak in den oorsprong, en nemen aan dat drie der zijvlakken zamen- vallen met de coordinaatvlakken. Het grondvlak van het zesvlak valt dan zamen met het xy vlak en kan aange. wezen worden door de letters OP QR; duiden wij het

		�

-ocr page 64-



		62

		bovenvlak nog aan door de letters O¹ P^l Q^l B^l, dan zijn de diagonalen O Q¹ en O¹ Q, PR¹ en P¹ R. Dezes vlakken, waaronder het zesvlak is zamengesteld, zijn dan l^,te vlak _X = Q, 2^de � y = 0, 3^d\' � -0, ₍₁₎* 4^de � a* 6y c* l=0, \' 5^de � o, x i, y c, s 1 = 0, 6^d\' � a₂ * �₂ _y -f c₂ * 1 = 0. De doorsnede van het eerste en vierde vlak heeft tot vergelijkingen x = 0 ; by ex 1 = 0 ;......(2) voor de doorsnede van het tweede en vijfde vlak vindt men _y = o ; o, x -f- c, * 1 = 0 , .... (3) voor die van het derde en zesde vlak * = 0; a_a* 6_ay l = 0......(4) Maar die doorsneden of regte lijnen moeten volgens de opgave van het vraagstuk in een en hetzelfde platte vlak gelegen zijn. Noemen wij de vergelijking van dit vlak Ax-\\-By C* 1 = 0,......(5) dan volgt uit de voorwaarde dat (2) in dit vlak ligt C=c en B = b, dat (3) in (5) ligt C= c, en A = a,, dat (4) in (5) ligt, eindelijk, B = b_t ; A = a_t, en de vergelijking (5) wordt, door het overbrengen dezer waarden, a_lx-\\-by-\\-cx-\\-1 = 0, terwijl bovendien a₂=a₁; b₂ = b en c_l =c is, waardoor de vergelijkingen van het vierde, vijfde en zesde vlak worden a x-\\-b y -\\- c x-\|-l=.0, a_lx-\\-b₁y c «-j-1 � 0, a_tx-\\-b «/ Cj* 1=0. Het komt er nu nog slechts op aan om de vergelijkingen ■der diagonalen op te maken en de snijpunten te bepalen.

-ocr page 65-

De diagonaal O Q^l gaat door den oorsprong en het punt Qⁱof het snijpunt der vlakken 4, 5 en 6, welks co�rdinaten zh\'n


a	b	1
«i	&i	1
«j	b	1
a	b	c
a_l	&,	c
a₁	b	^c»


a	1	c
0,	1	c
a,	1	*^ci*
a	b	c
*^ai*	b,	c
*^ai*	b	e*


1	b	c
1	&,	c
1	b	°1
a	b	c
a_t	K	c
«i	h	*^cl*

z =

y =

de vergelijkingen van O Q^l worden derhalve

(6)

z; y =

b_t �b

a � a

Het punt O¹ ontstaat door de snijding van het eerste,
tweede en zesde vlak, waardoor de co�rdinaten van dat
punt worden

x = O; y = 0; s =

voor de co�rdinaten van het punt Q, geboren uit de snijding
van het derde, vierde en vijfde vlak, vindt men

b � b,

y =

ab₁ � a_t b ^:

ab_t

a_lb

lijn, die door de punten O¹ en Q

De vergelijkingen der
gaat, zijn derhalve

cJb � &,) b�b.

c_i(a₁-a)_x a.�a _(?)ab_t�a_tb \' ab_��a_tb

a_tb\'

ab_t�a_tb a�,

Om die vergelijkingen van PR* op te maken, bedenke
men dat P gevormd wordt door de snijding van het eerste-,
derde en vijfde vlak, zoo dat de co�rdinaten van P worden

x = 0; y = � y; z = 0,

terwijl die van B¹, ontstaan door de snijding van het tweede,
vierde en zesde vlak, zijn

c � c,

y = 0; z =

Voor PB¹ vindt men derhalve

-ocr page 66-



		64

		Er blijft over de vergelijkingen van P¹ E op te sporen ; deze diagonaal gaat door het punt P¹, waarin de vlakken een, vijf en zes elkander snijden, zoodat de co�rdinaten van dat punt worden _ � _ c � c₂ __ b� b_t * � u; y� _biCi__bc; ^s�_biC2 � _bc\'< maar de diagonaal gaat ook door het punt B, ontstaan uit de snijding der vlakken twee, drie en vier; de co�rdinaten van dat punt zijn derhalve x = � � _; y = 0; z = 0, Cv waardoor de vergelijkingen van P¹ R worden b. c� �bc 1 c � c. ^x = -hr�r^r ^z------\\ V = r----r¹ � � . (9) a(& � �j) *a\' " b�b_i* Zoekt men nu de co�rdinaten van het snijpunt van twee diagonalen, uit (6), (7), (8) en (9) willekeurig genomen, dan zal men immer dezelfde waarden bekomen, zoo dat het aan geen twijfel meer onderhevig is of de vier genoemde diago- nalen snijden elkander in een punt. 46. Het bewijs dezer stelling vloeit voort uit de volgende overwegingen. Door de lijn, waarop de lengte A B is uit- gezet en de tweede der drie evenwijdige lijnen kan men een vlak brengen. In dat vlak ligt de driehoek ABC, welks inhoud gelijk is aan AB vermenigvuldigd met den halven afstand der evenwijdige lijnen. En die afstand ver- andert niet, waar men het punt C ook neme, juist wijl de lijnen evenwijdig loopen. De inhoud van den driehoek is derhalve standvastig. Maar de inhoud der piramide is even- zeer constant, omdat hij gevonden wordt door het verme- nigvuldigen van den inhoud des driehoeks ABC met een derde der hoogte, en die hoogte is de afstand der derde evenwijdige lijn tot het vlak, waarin de beide andere liggen. Waar zich het punt D in die derde lijn ook moge bevin- den, het zal steeds op den zelfden afstand van het vlak der beide andere lijnen gelegen zijn. En deze redenering blijft dezelfde, al verwisselt men ook de eene der evenwijdige lijnen met eene der overigen. In plaats van de derde lijn

-ocr page 67-



		65

		kan men ook een vlak nemen, waarop zich het punt C of D of de lijn AB bevindt, mits dit evenwijdig loopt met het vlak, waarin zich de beide andere evenwijdige lijnen bevinden. 47. Wij beschouwen de piramide in verband met een regt- hoekig co�rdinatenstelsel, denken ons dat een harer hoek- punten in den oorsprong ligt en nemen aan dat haar grond- vlak zamenvalt met het x y vlak, terwijl een der\' ribben langs de x as gelegen is. Noemen wij de piramide O ABC dan bevindt zich het punt 0 in den oorsprong en de ribbe OA valt zamen met de x as. De co�rdinaten van het punt A zijn dan x = x_t, y = 0, z = 0. De co�rdinaten van het punt B, dat in het xy vlak ligt, noemen wij x = x₂, y = y₂, s = 0. Eindelijk mogen x = x₃, y = y₃ en z = z₈de co�rdinaten van het punt C voorstellen. Het vlak, dat door ¹l₂0A of door het punt gaat, welks co�rdinaten zijn x=¹/_ix₁, y = 0, z = 0 en loodregt staat op de overstaande ribbe B C, wordt voorgesteld door (x₃ � x₂) (x�ⁱ/₂ x_t) {y₃ � y₂)y-\\-zz₃ = 0. Voor het vlak dat gaat door \' /,B C en loodregt staat op OA vindt men Voor het vlak door Va 0 B gaande, loodregt op AC, heeft men (₃- i)(«� ¹U^xi)-\\-Vz (y� V�^ ^s =°- Gaat het vlak door ¹/₂AC, loodregt op OB, dan wordt zijne vergelijking y y-, � V» 2/_a y» ₂ ( � V» (^xt »))�0. Staat het vlak loodregt op AB en gaat het tevens door ¹/₂OC,* dan herleidt zich zijne vergelijking tot V Vt � Va y» V» (^x2 � i) (� Va ^x_s) = 0- En gaat het door ¹/₂AB, loodregt op OC, dan heeft men «s («� V»(«i i)) y_s(y� ¹/i2/j) «2₃ = °- Eenmaal de vergelijkingen der zes vlakken gevonden, kan men het snijpunt van drie hunner bepalen; daartoe heeft men de waarden van x, y* en z te zoeken uit drie dier vergelijkingen. Men zal vinden 5

-ocr page 68-



		66

		x= Vi (ajj a?₃); y = l%y» rt* (i �»«); _s ₌ ^3y%(^xi � ^xt) ViUi(y* �y₃�^x2(a>i �* g_a)) *2z₃* Brengt men deze waarden van x, y en z over in eene der andere drie vergelijkingen, dan zal men bevinden dat zij telkens identiek worden. Hieruit vloeit voort dat de zes vlakken elkander snijden in het punt, welks co�rdinaten uitgedrukt worden door de zoo even gevonden waarden van x, y en z. 48. Laat ons den tetraeder aanduiden door de letters A, B, C en D, met dien verstande dat ABD het grondvlak en C den top aanwijst. Stellen wij nog DA = a, DB = b, DC = c, BC=a^l, AC=b¹, AB = c¹, den hoek, waar- onder de lijnen DA en B C elkander snijden gelijk x, den hoek (DB, CA) = (Z en den hoek (D C, AB) = y. Projec- teren wij voorts de gebroken lijn CDAB op de ribbe CB, dan verkrijgen wij de vergelijking CDCosDCB DA Cosx ABCosABC=BC, of cCosDCB a Cosx c¹ Cos A B C=a^l, of ook a Cosx = a^l �cCosDCB � c¹ Cos ABC, welke met 2 a¹ vermenigvuldigd geeft 2aa¹Cosx = 2a,i¹�2ca¹CosDCB � 2c¹aiCosABC. . (1) Maar uit de driehoeken D B C en ABC volgt b=cⁱ a¹ �2ca¹CosDCB,* b^ =c>^� 0¹* � 2 c¹ a^lCos ABC, en bijgevolg a»² �2ca^xCosDCB = b\'ⁱ � c\\ a¹ * � 2 c\'o¹ Cos ^ J? C = &i * � c¹ \\ Brengt men deze waarden in (1) over, dan komt er 2aa» Cos« = �¹ -j-o»² � c² � c¹*.

-ocr page 69-



		67

		Op gelijksoortige wijze of ook door besluit uit analogie heeft men nog 2 &&■ Cos(3 = c² c^,J � a² � a¹, 2cc¹Cosr = aⁱ* «<* ��² � &>². Trekt men de drie laatst gevonden vergelijkingen bij elk- ander, dan volgt er aa¹ Cosx-j-bb¹ Cosfi cc¹ Cosy = 0, waaruit wij besluiten dat van de drie hoeken x, (3 en y minstens eene scherp en eene stomp is, en dat, zijn twee hoeken regt, noodwendig ook de derde regt zal zijn. 49. Wijl, volgens de voorwaarde van het vraagstuk, de over- staande ribben loodregt op elkander staan, kan men door de opstaande ribben der piramide vlakken brengen loodregt op de overstaande ribben. Die vlakken snijden elkander noodwendig volgens de hoogtelijn. En omdat elk der zij- vlakken van de driehoekige piramide als grondvlak kan worden aangenomen, verkrijgt men in het geheel, doof dezelfde bewerking te herhalen, vier hoogt/ lijnen A¹, B¹, C* en D¹. Duiden wij de piramide aan door de letters A, #, C en D, dan zal de hoogtelijn A¹, uit A op het grond- vlak BCD nedergelaten, in hetzelfde vlak liggen als de hoogtelijn D¹ uit D op ABC gevallen. Die lijnen, welke natuurlijk niet evenwijdig loopen, snijden derhalve elkander in een punt. Wat wij hier aantoonden voor de hoogtelijnen A¹ en D¹ geldt ook voor de hoogtelijnen A¹ en C^l, A^l en B¹, B¹ en C¹, C^l en D¹; maar de hoogtelijn A* kan de lijnen B¹, C¹ en D¹, die niet in hetzelfde vlak liggen, niet tegelijkertijd snijden, tenzij dit plaats vinde in het eene punt, dat de vlakken met elkander gemeen hebben; der- halve, enz. Het omgekeerde dezer stelling, of: de over- staande ribben der driehoekige piramide staan loodregt op elkander, wanneer de hoogtelijnen elkander in een punt ontmoeten, is even gemakkelijk aan te toonen. Men kan de eerste stelling nog langs een anderen, zuiver analytischen weg betoogen. Daartoe beschouwen wij de drie- hoekige piramide in verband met een regthoekig co�rdinaten-

-ocr page 70-



		68

		stelsel, en duiden de hoekpunten aan door de letters M₁Jij, M₃ en M_x. Het hoekpunt ifj plaatsen wij in den oorsprong, het hoekpunt M_% in de as der x, het hoekpunt M₃ in het vlak der xy; de co�rdinaten van het punt Jf, zijn dan allen nul, die van M₂ zijn x_i, 0 en 0; die van M_a zijn x₃, y₃ en 0, van Jf₄ zijn x₃, y_A en z₄. Natuurlijk heeft M₃ met lf₄ dezelfde x, wijl de ribbe Jf₃ Jf₄ loodregt staat op de ribbe M₁ Jf₂. De vergelijking van het vlak, dat gaat door de punten if,, if₂ en Jf₃, of van het vlak J0 7, is z = 0, terwijl de loodlijn of hoogtelijn, uit M_xnedergelaten op M_t M^ M_s tot vergelijkingen heeft x = x₃; y=y_K. Maken wij de vergelijking voor het vlak M₁M_iM_i op, dan vinden wij s₄ y � y^z =* °; en voor de vergelijkingen der loodlijn, uit M₃ op M_t ilf₂ M_xnedergelaten * = ₃; y�yz = � ^z-^iz-* y* Het vlak M_t M₃ M_A geeft aanleiding tot de vergelijking y% ^z* * � ^xz ^zk v -I- ^x% (2/4 � y_s) ^z = o; voor de loodlijn uit M₂ op M₁ M₃ M₄ nedergelaten hebben wij z; y = �

	² **^x₃(y�y₃)* 2/4�2/3** Het vlak M₂M₃ M_A, eindelijk, wordt bepaald door y» ** * K ^z�^xs^zd y* (^x₃ �^xi) (2/4�2/3) * -^2/324= o> en de loodlijn uit M₁ op dat vlak nedergelaten door 2/l #4 ^i x ==----------^�--------r- z: y =----------� z. K � ^xiHVi � 2/3) Vi�Vi Maar volgens de veronderstelling staan de overstaande ribben loodregt op elkander. Van de ribbe M₁ M₃ bijvoorb- is de vergelijking y = ls-x; ^x» de ribbe over M_t M₃, of M_t M_i, wordt bepaald door «, �^xa *IJk*

-ocr page 71-



		69

		en, omdat die ribben loodregt op elkander staan, vloeijen uit genoemde vergelijkingen voort: �? _ _JL±_. *y3 ^xi ^xi* Dezelfde betrekking vindt men uit de voorwaarde dat M_x M₃ en M₁ Jf₄ loodregt op elkander staan. Neemt men deze betrekking in aanmerking en zoekt men het snijpunt van twee willekeurige hoogtelijnen, dan zal men, welke dezer lijnen men ook beschouwe, voor x, y en z steeds dezelfde waarden vinden, ten blijke dat die hoogtelijnen elkander in een en hetzelfde punt ontmoeten. De co�rdi- naten van dat punt zijn «4 50. Uit een vorig vraagstuk hebben wij gezien dat de over- staande ribben van een tetraeder regthoekig op elkander staan, wanneer de hoogtelijnen allen hetzelfde snijpunt gemeen hebben. Dientengevolge kunnen wij door elk der ribben een vlak, loodregt op de overstaande ribbe brengen. Wij nemen hier weder onze toevlugt tot een regthoekig co�rdinatenstelsel en wijzen de driehoekige piramide op dezelfde wijze aan als in het vorig vraagstuk. Brengen wij nu een vlak loodregt op de ribbe M_t M_%, zoo dat het tevens door de overstaande ribbe M₃ M_x gaat, dan ligt de gemeen- schappelijke loodlijn op de ribben if, M₂ en M₃ M._k in dat vlak. De vergelijking van dat vlak, dat hier evenwijdig loopt met het y z vlak is x = x_s. Brengen wij nog een vlak loodregt op de ribbe M₃ Jf₄, onder voorwaarde dat het tevens door de ribbe M, M_i zal gaan, dan bevat ook dit vlak de gemeenschappelijke loodlijn. De vergelijking van dit laatste vlak, dat de x as bevat en loodregt staat op M₃M_i^is (l/i � V₃) V ^si ^z = 0. De gemeenschappelijke loodlijn wordt derhalve aangewezen door de vergelijkingen ==^a;3; (y* �* 2/3) v ₄ � °- � � � � 0) Op soortgelijke wijze berekent men de gemeenschappelijke loodlijn van elk paar overstaande ribben. De ribbe M^ M₃bijv. heeft tot vergelijking

-ocr page 72-



		70

		en de overstaande ribbe M₂ M_k wordt aangewezen door

		Voor de vergelijking derhalve van het vlak, dat de lijn M₁ M₃ bevat en loodregt staat op M₂ M_A vindt men: «»(»* � ^x,)x »y_i9 ^!eiZt* ^xt(^x_i�^x»)�^42/3=0» � (²) en voor de vergelijking van het vlak dat if₂ M_x* bevat en loodregt staat op M, M₃ z_lx_ix-^z_ly_sy^-(x_a(x₂�x_t)�y_iy_t)z�x_ix_tz_i = 0. . . (3) Beide laatste vergelijkingen te zamen genomen wijzen de gemeenschappelijke loodlijn op M_t M₃ en M_i M_t aan. Lossen wij x, y en z uit de vergelijkingen (1), (2) en (3) op, dan vinden wij *� -�_a;_y-y₄; _Bmmtd�±=�A_t......(4)* � ^zi benevens de voorwaardensvergelijking x₃ (x₂�x₃) = y₄ y₃. De waarden dezer co�rdinaten zijn dezelfde als die voor het snijpunt der hoogtelijnen in het vorig vraagstuk gevon- den, en de voorwaardensvergelijking geeft te kennen dat de ribben M, M₃ en M₂ M_t loodregt op elkander staan, zooals het behoort volgens de veronderstelling, waarvan wij uit- gingen. Berekent men eindelijk nog de derde gemeenschappelijke loodlijn op de ribben M₂ M₃ en M_l Jf₄ en zoekt men het snijpunt met de overigen, dan vindt men voor x, y en z de waarden (4) terug, waardoor de stelling bewezen is. 51. Wij beschouwen den tetraeder in verband met een regt- hoekig co�rdinatenstelsel, plaatsen een zijner hoeken in den oorsprong en laten een der ribben langs de as der x vallen. Dan zijn de co�rdinaten van het punt M₀ 0, 0, 0, � � M_t x_t , 0, 0, ,, » ^Mi ^X2, Vl, 0> )> i) -�3 ^x3 > y%> *f

-ocr page 73-

De co�rdinaten van het midden der ribbe M₀ M₁ zijn

�"-Vi*if 2/ = ⁽⁾; 2 = 0;
die van het midden der overstaande ribbe M_% M₃

en de vergelijkingen der lijn, welke deze punten vereenigt,

^2 ^3

� V,*i-

(1)

_y» y»

?-«.

De co�rdinaten van het midden der ribbe M₁ M₂ zijn

* � Va (^xi *j);y=Vi^;«^aB0;

die van het midden der overstaande ribbe ilf₀ M₃

*� Vi*»; y � ¹/»y»\'> ^z = */%*».

en de vergelijkingen der lijn, welke deze punten vereenigt r

(«■

* - 7»*i�^:

/� ^3

(2)

* - Va y,-*Vr-*»<* -\'/,*,)�

De co�rdinaten van het midden der ribbe 3f₀ -M"₂

zijn

die van liet midden der overstaande ribbe II, Jf,
en de vergelijkingen der lijn, welke deze punten vereenigt,

*i «3 �

/* *« �

(8)

_V*�Vi

\'/» 2/i =

Lossen wij *, y en z uit (1) en (2) op, dan vinden wij
voor de co�rdinaten van het snijpunt van (1) en (2)

~___ ^x\\-\\-^xl-T ^x3

« _ Vi V»

z =

Maar die co�rdinaten voldoen ook aan de vergelijking (3),
waardoor het niet twijfelachtig is of zij drukken het snij-

-ocr page 74-



		72

		punt uit der lijnen (1), (2) en (3), zoodat het eerste ge- deelte der stelling betoogd is. Dat door het gevonden punt elk der gegeven lijnen in twee gelijke deelen verdeeld wordt, blijkt terstond, wanneer men volgens de bekende formule v\\{x-xi) (_;y__z/i)² (^_₂i)²\| den afstand bepaalt van dat punt tot het midden der ribbe. Voor den afstand van het gevonden pi�nt tot het midden der ribbe M₀ M_t, welks co�rdinaten zijn x=^l/₁x_l; y = 0, z = 0, komt er en berekent men den afstand van dat punt tot het midden der overstaande ribbe M₂ M_a, welks co�rdinaten zijn oo= 7» (» $). y=¹/_i(yi y»)> -^x\\%«i> dan er- langt men v [ (=fe ^^\'^=^±My (=i,y}, welke uitdrukkingen in volstrekte waarde overeenkomen; zij leveren een verschil in teeken op, maar dat is zooals het behoort, wanneer men de lengte der lijnen van het gevonden punt afrekent. Is de eene positief, dan moet de andere, wijl zij in tegenovergestelde rigting loopt, negatief zijn. Past men die rekening op de andere lijnen toe, dan komt men tot gelijksoortige uitkomst. Maakt men gebruik van scheef hoekige co�rdinaten, dan wordt de oplossing nog iets eenvoudiger. Wij plaatsen in dit geval wederom een der hoeken van den tetraeder in den oorsprong van het co�rdinatenstelsel, en laten drie ribben zamenvallen met de assen der x, der y en der z. Dan worden de co�rdinaten van het punt M₀ x = 0 ; y = 0 ; z = 0 ; � M_l x = x_t ; y = 0; 2=0; � � M_% x = 0; y = y_%; s = 0; � � M₃ s = 0; y = 0; «.,.

-ocr page 75-



		73

		Voor de co�rdinaten van het midden van M^ M, vinden wij x=^l/_ix_l; y = 0; 2 = 0; voor die van het midden van M₂ M₃ x = 0; y=¹/_iy_i; *� Vj»s, zoodat de vergelijkingen (1) in dat geval worden

		voor de vergelijkingen (2), die de lijn uitdrukken, welke de punten vereenigt, aangewezen door de co�rdinaten ^x = 7ii ! ?/= 7₂.</₂; 2 = �; .t = �; y = 0;* z=i/₂z₃; vinden wij ?y-\'/₂//₂= -«■** 3 De lijn, welke het midden der beide nog overige ribben vereenigt, wordt uitgedrukt door de vergelijkingen ^3 3 want zij gaat door de punten, welker co�rdinaten zijn x = 0; y = »/, Ui ; ^=0 ; Berekent men de snijpunten der gevonden lijnen, dan vindt men, hoe men die ook twee aan twee vereenige, telkens voor de co�rdinaten van het snijpunt �71; y = ¹/_iy_i;* «�74**, ten blijke dat bedoelde lijnen elkander in dat punt snijden. Dat het punt de lijnen in twee gelijke deelen verdeelt, zal blijken, wanneer men de rekening opmaakt, zooais wij boven voor regthoekige co�rdinaten deden; alleen zij men indachtig dat de algemeene formule voor den afstand van twee punten, bij scheef hoekige co�rdinaten eenige verande-

-ocr page 76-



		74

		ring ondergaat. Zij wordt in dit laatste geval, wanneer wij den afstand \'S noemen »== (, �e) (_?y, �y)* (2, �z)* 2(//, � y) («, �0) Cos y z 2(«, �x) (z j �z) Cos xz-\\-2(x_l �x) (g, �y) Cos xy. 52. Op dezelfde wijze als in een vorig vraagstuk, beschouwen wij wederom de driehoekige piramide in verband met een regthoekig co�rdinatenstelsel, en duiden, gelijk daar, de hoekpunten aan door de letters M₁, M₂, M₃ en M^, Het hoekpunt M_x plaatsen wij wederom in den oorsprong, het hoekpunt M_% in de as der x, het hoekpunt M₃ in het vlak der xy, zoodat de co�rdinaten van M_t alle nul zijn; die van M₂ worden x = x₂; y = 0; z = 0; voor M_% is x � x₃; V � V») ^ = 0; voor M₄ eindelijk is x = x₃; y^=y^\', z = z_i. Zullen de hoogtelijnen elkander in een punt ont- moeten , dan moeten de overstaande ribben loodregt op ^elkander staan; dit is natuurlijk ook het geval met M₃ M_k, die loodregt staat op M_t M_% en van daar hebben M₃ en M_xdezelfde x. Uit bovengenoemd vraagstuk is reeds gebleken dat de co�rdinaten van het snijpunt der hoogtelijnen worden uitge- drukt door x = x₃; y �y₄; =,~~?« fr» ~~~ gij. Het zwaartepunt eener driehoekige piramide is gelegen op de lijn, die het zwaartepunt van het grondvlak met den top vereenigt. Wij moeten derhalve in de eerste plaats het zwaartepunt van het grondvlak of van den driehoek M_t M₂ M₃* bepalen. Gelijk men weet vindt men het zwaar- tepunt van een driehoek, bijaldien men twee zijner hoek- punten met het midden der overstaande zijden vereenigt; die vereenigingslijnen ontmoeten elkander in het zwaarte- punt van den driehoek. De vergelijking der lijn, die van M₂ naar het midden van M_t M₃ loopt, is ^!/_vy» (�»). voor de vergelijking der lijn uit M₃ naar het midden van M_i M₂ getrokken, heeft men

-ocr page 77-



		75

		₌ Vz (^x Va ^xi> x₃ /j x₂ Lost men uit deze vergelijkingen de waarden van x en y op, dan vindt men voor de co�rdinaten van het zwaarte- punt der basis M_t M₂ M_a � �\'/»(! s); 2/=V3«/s; * �o- De lijn, die dit zwaartepunt met den top M^ vereenigt, en waarop het zwaartepunt der driehoekige piramide ligt, heeft tot vergelijkingen

		*( � ₄)*

		(1)
		y-y_i==Ul----^lIlll(_Z-z^).


		Om het zwaartepunt zelf te vinden, moeten wij eene tweede lijn, waarop het ligt, zoeken; het snijpunt dier lijnen zal het ons aan de hand doen. In de driehoekige piramide mogen wij ook het zijvlak M_l M_a l/₄ als basis en M₂ als top beschouwen. Om het zwaartepunt van M, M₃ iW₄op te maken, trekken wij uit M_x eene lijn naar het mid- den van M₁ M_s en vinden voor bare vergelijkingen ^x � ^lU ^x* t* \\ x � x~= -³-------^�-5. (z � «.); desgelijks trekken wij eene lijn uit M₃ naar het midden van M, ilf₄, waarvoor wij vinden /j «4 \'S ^4 Lossen wij uit deze vergelijkingen x, y en s op, dan vinden wij voor de co�rdinaten van het zwaartepunt van M_l M_s M, x=/₃x₃; y* � v, (y» vd; «=¹/₃^₄; de lijn, welke dit punt met den top M₂ vereenigt, wordt voorgesteld door

-ocr page 78-

_ ___ la ^xa_____®a />___ 1 / ? \\ ■

x₃ = ��----- [? � I, z_t) , ■ ■

(2)

y-»/, Cv. y_t)- ^-±^-(*- \'/, *«)�

/j ^s4

Ook op deze lijn ligt het zwaartepunt der piramide. Be-
paalt men x, y en z uit (1) en (2), dan komt er voor de
co�rdinaten van het zwaartepunt

^x=^tU{x_i 2x_t)\\ ?/=¹/₄ (2/3 2/4): «-¹\'***-

De loodlijn uit het zwaartepunt van den driehoek M₁M₂M₃op diens vlak, het xy vlak, opgerigt, heeft tot vergelij-
kingen

»■- \'\'s (*j ^3); Z/= V₃ 2/a-
De vergelijking van het zijvlak if, M₃ Jf₄ is

2/_s2^-^2_i2/ ^;,;3 (2/4 � 2/.i) * = ° >
en de loodlijn, uit het zwaartepunt van den driehoek M_lM₃M_i

op dat vlak, geeft aanleiding tot de vergelijkingen

³ ³ ^3 (2/4�2/3)

y~V,(y, if4)-ir-V^(ir~^,,»^l,«⁾\'

#4 #3

De co�rdinaten van de snijpunten der laatstgenoemde
loodlijnen zijn

x= «/, (�, -,); y= \'la va; *- V, *₄ --⁴-^=^-⁾- (3)

Hadden wij het derde zijvlak M₂ M₃ M_k in onze rekening
betrokken, dan waren wij tot dezelfde uitkomsten geraakt.

Het valt nu gemakkelijk aan te toonen dat de drie ge-
vonden punten in eene regte lijn liggen. De lijn, die door
het zwaartepunt en het snijpunt der hoogtelijnen, beiden
boven gevonden, gaat, heeft tot vergelijkingen

⁴⁴ z

u _ 9* \\9a___? \\L

\'4 "4

brengt men in deze vergelijkingen de waarden (3) over,

-ocr page 79-



		77 dan worden zij identiek, met andere woorden, de waarden (3) voldoen aan deze vergelijkingen, ten blijke dat ook het punt (3) zich op de gevonden regte lijn bevindt, waarmede het bewijs geleverd is. 53. Wanneer de hoogtelijnen van een tetraeder elkander in een punt snijden, staan de overstaande ribben loodregt op elkander. De lijn, welke loodregt staat op twee oyerstaande ribben, gaat in dit geval door het punt, waar de hoogte- lijnen elkander snijden, zooals in een vorig vraagstuk ge- bleken is. Maar die lijn is de kortste weg om van eene ribbe tot de overstaande te gaan; de som dier drie lijnen zal derhalve een minimum zijn. Maar de som dier lijnen is tevens de dubbele som der loodlijnen, uit het punt, waarde hoogtelijnen elkander snijden, op elk der ribben neder- gelaten, derhalve, enz. 54. Om het bewijs voor deze stelling op te maken duiden wij de piramide wederom aan door de letters M, , M₂, M₃ en M_i. Het hoekpunt M_l komt in den oorsprong der regthoe- kige co�rdinaten te liggen, het hoekpunt M_% valt in de as der x, zoodat zijne co�rdinaten zijn x₂, O, 0. Het hoek- punt M₃ ligt in het vlak der xy, met de co�rdinaten x₃, y₃, 0. Bij het hoekpunt M_i eindelijk behooren de co�r- dinaten x₃,. y_k en 0₄. Wij beginnen met. het zwaartepunt der piramide te be- palen. Daartoe is het in de eerste plaats noodig het zwaar- tepunt van het grondvlak te berekenen. En aangezien het grondvlak een driehoek M_t M₂ M₃ is, ligt het zwaartepunt in het punt, waarin de lijnen, die uit de hoekpunten naar het midden der overstaande zijden getrokken worden, elk- ander ontmoeten. De lijn, die uit M_t naar het midden van M₂ M₃ getrokken wordt, heeft tot vergelijkingen y = �^2_ x ; s = 0. 2 I 3 De lijn, welke uit M₃ naar het midden van M₁ M₂ gaat, wordt voorgesteld door *y (2-,) ^₌₍₎* *2,� »_a**

-ocr page 80-



		78

		Voor de lijn uit M₂ naar het midden van M_x M₃ getrokken komt er y. (x� #�) *_t.* y _ »3_V---------21 . z = 0. ^x3 � * x₂Uit deze vergelijkingen vindt men voor de co�rdinaten x_x, «/, en ^j van het zwaartepunt «i³⁸¹/» (» »); ?y_] = ^1,3 2/₃; «i�o. Trekt men uit het zwaartepunt x₁y₁z₁* van het grond- vlak eene lijn naar den top M_i van den tetraeder, dan ligt het zwaartepunt der piramide op een vierde dier lijn van het grondvlak gerekend. De co�rdinaten van het zwaartepunt der piramide x₀ y₀ ,\\₀ zijn derhalve _2x₃ x₂, _y₄ y₃. _# «.i/ - gelijk men vindt door eene bekende rekening, waarvan wij in een ander vraagstuk het voorbeeld gegeven hebben. Nu de co�rdinaten van het zwaartepunt gevonden zijn, valt het gemakkelijk de afstanden in het vraagstuk genoemd te berekenen, volgens de bekende formule, afstand = V ( (», � xtf (y� � _Vi) {z_a � z_b) ) . Doen wij dit voor den afstand van het zwaartepunt der piramide tot het midden der ribben M₂ M₃ en M_t M₂, dan vinden wij respectievelijk *[/{{?)\' (!)\' ft,** Die uitdrukkingen zijn volkomen gelijk aan elkander wanneer men in aanmerking neemt dat de overstaande ribben der piramide loodregt op elkander staan, waaruit de voorwaardensvergelij king V_k 9» = x₃ (» � ,) voortvloeit. Berekent men den afstand van het zwaartepunt tot het midden van een der opstaande ribben, bijvoorbeeld M_l M₄,

-ocr page 81-



		79

		dan erlangt men, in aanmerking nemende dat de co�rdi- naten van dat midden zijn ¹/_ix₃, ¹l_iy_i en ¹l_i z₄ , ^K)76 -----T6----- Iel\' ■ welke uitdrukking met de vorige overeenkomt. Voor de afstanden van het zwaartepunt tot het midden der overige ribben zal men gelijke formules vinden. Even zoo voor de afstanden van het zwaartepunt tot den voet der loodlijnen in het vraagstuk genoemd. Wij willen dit althans voor eene loodlijn aantoonen. De lijn, die loodregt staat op de ribben M^ M₂ en M₃ 3f₄ _fwordt aangewezen door de vergelijkingen «-■»; (y_i�y₃)y-\\-2_i% = o,* de ribbe M, M₂ of de x as door de vergelijkingen y«0, * �0, zoodat het snijpunt dezer lijnen wordt uitgedrukt door ^x = ^x₃, y=»0, * = °> en de afstand van dit punt tot het zwaartepunt der pira- mide is � ((_a-2₃)² 0/4 y3)² ± ²1 ^V \\ 16 j \' welke uitdrukking van de vroeger gevondene in geen enkel opzigt afwijkt. 55. Noem de toppunten der piramide M₁ (^x_ltyn x_t), M_t(^x�. y». »), M_t (₃, y₃, z_t)* en M_t (₄, y_t, ₄); zij I de inhoud, � de inhoud van het zijvlak of den driehoek M₂ M₃ M_x en M_l H de hoogte of de lengte der loodlijn uit Mj op het zijvlak M_% M₃ M_k nedergelaten, dan heeft men, zooals uit de lagere meetkunde bekend is 3I=SXM_iH. Zoeken wij, in de eerste plaats, den inhoud S van den driehoek M₂ M₃ M_t. De vergelijking van het vlak dat door de punten M₂, M₃ en M_i van het zijvlak gaat is begrepen in den determinant

-ocr page 82-


1	X	y	z
1	x₂	Vi	z
1	*3	y»	z
1	*4	y*	*

Ontwikkelt men dezen, dan komt er


1 y_% %₂		X J�n -4-ft		1 x₂ y₂
1 V» ^zs	�y	1 x_s %_z	*	1 «3 2/3	-
1 2/₄ «4		*1 x_k* ₄*		1 a?4 2/4

■"� Z/2 *J

«j y% *₃

X, W. *.

= 0,

waarvoor wij kortheidshalve schrijven

Ax By Cz D = 0..........(1)

In deze vergelijking zijn A, B, C op het teeken nagelijk
aan den dubbelen inhoud der projectien van den driehoek
M_% M_sM_i op elk der co�rdinaten vlakken YOZ, XOZ en
XOY. Tweemaal den inhoud van M₂ M_s M_i of 2 8 zal
derhalve � zoo als reeds in een vorig vraagstuk geleerd
is � gelijk zijn aan V {A* -\\-B² -}- C²)- Maar de afstand
Mj H van het punt M₁ tot (1) is

M_t H =

Ax_l By, Cg_t JP _ Ax_t By_l Ce_l J>
K (^» �² C») 2 8

M_t HX2S = 6I=Ax₁ By_t Cs_t D,

dat is

x₃

v-i

= 6 1.

Als assen der co�rdinaten nemen wij de ribben AB,
AC en AD en stellen de lengte AB = a, AO=b,AD=c_ydan zijn de co�rdinaten der punten B¹¹, C¹¹ en D¹¹, die
deze ribben midden door deelen,

«1 = V«o» V\\ =°. ^zi =0; x₂ = 0, «/₂ �7,6, 2₂ = 0;

*3=°» ^8=0, *, �V&,

en de co�rdinaten van B¹, C¹ en D¹, die de ribben C D_rBD en BC midden door deelen

%i � 0, #₄ � V»⁶> *4 = 7»^CJ *5 = 7*«» 2/₅=0, «5 � \'Aft

«. � Vi«i y* = ^lIJ>> «e = o.

-ocr page 83-



		81

		Maken wij nu de vergelijkingen op der vlakken, die dooi- de coordinaatassen en de punten B¹, C¹ en D¹ gaan, dan vinden wij ^__j/_. _�___�_. J(__�_ /,\\ a b \' a c \' b c Daar nu elk dezer vergelijkingen uit de beide anderen kan worden afgeleid, zullen de waarden der co�rdinaten uit twee harer bepaald, ook aan de derde voldoen. Hieruit volgt dat de doorsnede van twee der vlakken in het derde ligt en derhalve de drie vlakken elkander volgens dezelfde lijn ontmoeten. Die lijn is geheel bepaald door twee der vergelijkingen (1). De vergelijkingen der drie vlakken, welke respectievelijk door de punten B, C, D¹ �; B, D, C>" en C, D, B* > gaan, zijn 7 T T"¹\' rT7"¹\'7 rt^-1\'» en aan haar wordt voldaan, wanneer men x = \'/₄a, y=^!/₄� en z= ¹/_tc neemt. Maar die waarden voldoen ook aan de vergelijkingen (1); van daar snijden de vlakken ABB¹, ACC¹, ADD, BCD¹¹, BDC¹ en CDB" elkander in het punt O, welks co�rdinaten zijn x= \'/₄a, y = V₄6_?�=i/₄e, waardoor aan het tweede gedeelte der vraag voldaan is. Noemt men, gelijk wij vroeger deden, de hoeken die de coordinatenassen met elkander maken, A, & en v, dan zijn de vergelijkingen der zes vlakken, die door het midden der ribben gaan en loodregt op de overstaande ribben staan (x � »l\\a) Cosp -f (y � y_tb) Cos>. 4- s = 0 , (* � V₂a) Co&v � - y (* � »/»^c) CosA = 0 , oo (y � Vjft) Cosv (z - >/»c) �w/a = o, [bCosv � a) x-\\-(b � aCosv) y (bCosK� aCosp) (z�</₂c) = 0, (cCosp�a)x-\\- (cCosX� aCosv) (/y� ¹/_ib) (c � aCosft) z = 0, (cCow � bCo&v) (x � »/₄a) 4" (cCos�.� b)_y-\\-(c � bCos)z = 0.* Door geringe omvorming worden deze vergelijkingen x Cos (t-\\-y Cos -\\-% = ¹1 z {b Cos -\\-a Cos ia) . ... (3) x Cosv -\|-y 4"* Cosh= V� (cCjsa4-« Cosv) .... (4) a; 4"2/Coj v4-* Cosjtt= V» (cCo-SjCt-j-o Cosv) .\' . (5) 6

-ocr page 84-



		82 b(xCosv y-\\-zCos.)-a(x-\\-yCosv-\\-zCosft)=\' / ^(bCos^-aCosfi)* (6) c(xCosit-\\-yCos)-\\-x)-a(x-\\-yCosv zCosp)=^ll_ib(cCos).-aCosv)(7) c(xCosi* yCos).-{-z)-b(xCosv-{-y zCos).)= \'-l^c Cos p-b Cosv) (8) Nu is het gemakkelijk in te zien dat vergelijking (6) het gevolg is van de vergelijkingen (4) en (5); (7) het gevolg van (3) en (5); (8) het gevolg van (3) en (4) en ook van (6) en (7). Van daar snijden de vlakken (4), (5) en (6); (3), (5) en (7); (3), (4) en (8); en (6), (7), (8) elkander volgens eene regte lijn, terwijl alle zes vlakken door het punt gaan, waarin drie, bijvoorb. de vlakken (3), (4) en (5) elkander snijden. Door dit punt O¹ gaan derhalve ook de vier genoemde regte lijnen, zoodat aan het derde gedeelte der vraag voldaan is. De co�rdinaten van het punt O¹ kan men afleiden uit de vergelijkingen (3), (4) en (5); men zal vinden c (Cos/* � CoshCosv) -\\- b(Cosv� Cos)Cosp)-\\-a(2Cos)CospCosv� Cos/�C 2 (1 �Cosⁱ\\ � Cos¹ iji. � Cosⁱv -4- 2 Cos. C�sjtCosu c (Cos �CosfiCosv) ft \'2CosA CospCosv� Cos¹).�Cos²v)-\\- a (Cosv�CosM 2 (] � Cos¹) � Cos¹!, � Cosv 2 Cos* Cosp Cosv) " c (2 CoskCosf* Cosv � Cos U � Cos² g) ft( Cos-A � CospCosv) -\\-a(Cos[t� Cos). 2 (1 � Ow»A � Cos²p � ~Cosv* 2CosXCosfi Cosv) " Om het vierde gedeelte der vraag te beantwoorden, merken wij op dat de vergelijkingen der zes vlakken, welke door het midden der ribben gaan en loodregt op haar staan, den vorm hebben van x Cost,-\\-y Cosh-\\-z=* �/jC .... (9) x Cosv-\\-y-\\-z Cos) = >/,� .... (10) x-\\-y Cosv -\\-z Cosp = ^ll₂a .... (11) b(xCosv-\\-y-^-zCos).)�a(x-\\-yCosv-{-zCosp)=¹/_i(bⁱ-a²), (12) c(xCos(i-\\-yCos& z) � a(x-\\-yCosv zCos()=¹/₂(cⁱ�a²), (13) c{xCosfi* -\\-yCosX-f- z)�b(xCosv-\\-y zCos))=¹/₂(c²�ft²). (14) Uit de inzage dezer vergelijkingen blijkt dat (12) het ge- volg is van (10) en (11); (13) het gevolg van (9) en (11); (14) het gevolg van (9) en (IC) als ook van (12) en (13). Hieruit vloeit voort dat de vlakken (10), (11) en (12); (9),

-ocr page 85-



		83

		(11) en (13); (9), (10) en (14); eindelijk (12), (13) en (14) elkander volgens eene regte lijn snijden, en dat alle zes vlakken door het punt gaan, waarin drie hunner, bijvoorb. (9), (10) en (11) elkander snijden. Maar in dat punt O¹¹snijden elkander ook de vier genoemde lijnen, derhalve enz. Lost men x, y en * uit de vergelijkingen (9), (10) en (11) op, dan vindt men _ c(Cos-ACosv� Cos-p)-\\-b(Cie^C08fi�Cosv)-\\-a{l�Co�-²a) ^² " 2 (1 � Cos²A � Cos(t* � Cosv* -f 2CosWos-fiCosv) \' _ c(Cos(iCosv�CosX) -\\- b(1 �Cosⁱ(i)-\\-a(Cos>.Cosfi�Cosv) ^Vi ~ 2(1 � C�8^lK � C08fi � C08V 2 C0S^C06flC0iv) \' _ c(l � Cos v) -\\- b(Cos/i Cosv�CosAJ-f-a(Cos>.Cosv�Gosft) ^%i~ 2 (\\ � Cos, � C�sti � Cosv* -j- 2 Co8hCo8nCosv)~ Vergelijkt men de uitdrukkingen, die wij voor de co�rdi- naten j y_t* , en ^x_if/₂z₂* gevonden hebben, dan blijkt dat ar, a?₂ = i/,aj y_x -\\- y_i = »/»&; z₁ z₃ = \'/₂c zijn, en wijl, naar het vroeger berekende, x=¹/_ia, y=l,fi* en = ^J/4^C zijn, zoo volgt hieruit dat ook »= ⁱ/_i(^x₁-\\-^x_i); 11= 7 2 (ll\\* �/₂); ^ssa V» (i «₂) zijn, waaruit wij mogen besluiten dat O het punt is, waarin de lijn O_l O_ti midden door gedeeld wordt. 57. Behouden wij de co�rdinaten van het vorig vraagstuk, en duiden wij dezelfde lijnen door dezelfde letters aan, dan hebben wij voor de vierkanten der ribben A in = n»; A C = b¹; A* Z>2=c^a; BC* =a² 6* -2abCosv; �D= c�² c> � 2acCosfi; CD² = b -f e* � 2 bc Cosh. (15) Voor de lijn x vonden wij de vergelijkingen y 2,0-2 b c \' a c terwijl het zijvlak tegenover hoek A wordt uitgedrukt door abc Lost men uit deze vergelijkingen x, y en % op, dan vindt men voor de co�rdinaten van het punt, waarin de lijn « het zijvlak snijdt,

-ocr page 86-



		84

		x=¹/_ia; y=^ll₃b; x=/₃c;* wijl nu de lijn x door den oorsprong gaat, wordt het vier- kant harer lengte uitgedrukt door x* = i/₉ (a* b* c* 2 ab Co&v -\\-2ac Cos/t 2 bc Cos.),* dat is, lettende op (15), x* = i/₀ \| 3 (JB² -f- ^C* AD)* � (BC» -BD² CD)* j. Verwisselen wij nu het punt A achtereenvolgend met B, C en B, dan komt er (3 = ¹/₉* J3(.4B² BC² BD)-(AC* AD* CD)\\ , ^2 = >/₉ J3(BC²4-^C² CZ>²)-(^B² 4-BZ»² 4-./B²) \| , 5² = >/, j 3 (BB² CD* -f- JB²)-(BC² -j- A B² ^ C²) j. Door deze formules zijn de lijnen «, /3, y en � in functie der ribben uitgedrukt; tellen wij haar by elkander, dan komt de betrekking x P y> W=l₉\\AB AC* AD°~ BC* BD* CD\\. (16) Schrijven wij voor de co�rdinaten der punten B\' �, C¹ >, B¹¹, B¹, C¹ en B¹ de waarden in het vorig vraagstuk gevonden, dan is BⁱBⁱ^=p=^ll_k{a-\\-b-\\-c-2abCo8v-2acCo^-\\-2bcC>s>.)_> C» C\' »²=(/²=¹/₄(a^� �² c²-2t�Co6v42acCo6_lt4-26cO;s>.), B»B^Il2=r²=V4(«² 6² c² 2a6Co6v-2ac6\'ac_/CA_2�cC^A), waaruit, lettende op (15), volgt pt = i/₄ (^4C² 4- ^LB² 4- BC² 4 BB² � ^1B² � CD), qt = »/₄ (^17i² ^-D² #<?² C^² - ^\'² - BB²), r² = >/₄ (^B² 4 AC -f BB²4- CB² - ^B² - BC²), zoodat nu ook de lijnen p, q en r in functie der ribben zijn uitgedrukt; door optelling vindt men de betrekking pi 4 ₂»4. _ri _ i/₄ (^fl� -\|_ AC* -4B² 4- BC BD* CD)_yof in verband met (16) 9 (x* 4 (3* y² 4 S²) = 16 (p² r/² 4 r).* 58. Wij bepalen ons tot de aanname van drie gegeven punten omdat dezelfde rekening voor elk willekeurig aantal door- gaat. Laat dan x_l y_l z_l, x₂ y₂ z₂ en x₃ y₃ z₃ de bekende co�rdinaten dezer punten voorstellen; noem de som van de kwadraten der drie afstanden van deze punten tot het punt

-ocr page 87-



		85

		p q², en de co�rdinaten van dit punt x, yenz, dan hebben wij (-^)² (2/-«/s)² («-^)² \' waaruit door ontwikkeling volgt O O �* V, I? y? � A vl ² ■! 2/² ^²-?²l=o, als meetkunstige plaats van het gezochte punt; zij is de oppervlakte van een bol. 59. Noem de co�rdinaten van het gegeven punt x¹ y^l s¹, en zij de vergelijking van den bol (x � y {y �* 0)* (* � y)» = r».....(1) De vergelijkingen van de regte lijn, die het middelpunt van den bol met het gegeven punt x¹ y¹ z^x vereenigt, worden (xi�)* (tf�yj^i�y) {t�x); (yt�(3) {c-y)=(zi -y) (u-0), wanneer men de loopende co�rdinaten door t, u en v aan- wijst. Hieruit vindt men voor de vergelijking van het vlak, dat door het punt a;» y¹ z¹ gaat, en op de laatste lijn lood- regt staat, (\' � ) (t�x¹) -f (y¹ -(3) (u�y¹) (z¹� 7) (v -») = 0. (2) Maar het punt x¹ y^l z¹* ligt op den bol en van daar heeft men krachtens (1) (x¹ � y* -4-0/¹ � /3)² (2\' � y)^� = r². (3) Telt men (2) en (3) bij elkander, dan komt er (_Xi _«)(_«) 4. (yi �(3) (u�(3)* (\'� y) (v�y) = r\\* (4) als vergelijking van het gezochte raakvlak. Ligt het middelpunt van den bol in den oorsprong der co�rdinaten, dan is x = (3 = ? = 0, waardoor (1) over- gaat in _xi _\|_y» -4-22 ==/�», en (4) in x¹ t -f- y^x « ^gl v = r². 60. Veronderstellen wij dat het middelpunt van den gegeven bol in den oorsprong van een regthoekig co�rdinatenstelsel ligt, dan is zijne vergelijking

-ocr page 88-



		86

		x¹ 2/² s² = r.......(J) terwijl, krachtens het vorig vraagstuk, het raakvlak van het te zoeken punt l in n* wordt uitgedrukt door lx -f- my -4- nz = r².......(2) Noemen wij de vergelijkingen der gegeven lijn x = a x P ^en V = b&-\\- q, . . . . (3) dan wordt de voorwaarde dat die lijn ligt in het raakvlak (2) gevonden in de vergelijkingen la m .& n =» O,......(4) lp -\\-mq � r^l = U; . ... . . (5) maar het punt Imn ligt op den bol, daarom moet l* _m* 4-n² =r²......(6) wezen. Uit (4) en (5) vindt men gemakkelijk pn-4-ar² , nq-\\-br* ,-v m = � �-r-■-------; l = � --�,� f � � � (0 po � a q qa � b p en deze waarden in (6) overbrengende, komt er (nq briy /pn ar\\ _n»._rl> . ₍₈₎ \\qa�bp } \\pb � aq / uit welke vierkantsvergelijking n gemakkelijk\'bepaald wordt; die waarde in (7) overbrengende worden ook l en m bekend. Uit (8) ziet men dat er in het algemeen twee waarden voor n en derhalve ook voor m en l gevonden worden. Er liggen dus op het oppervlak van den bol twee punten, die aan het vraagstuk voldoen. De verklaring hiervan ligt voor de hand; brengt men toch een willekeurig vlak door de gegeven lijn en laat men het om die lijn wentelen, tot dat het den bol raakt, dan kan die wenteling regtsom en linksom geschieden, hetwelk twee verschillende raakpunten oplevert. Mogt echter het raakpunt zelf een punt zijn der gegeven lijn, dan levert de vergelijking (8) voor n slechts eene waarde, zoodat de beide punten zamenvallen. 61. Is R de straal van den bol, en zijn x, y en * de loopende co�rdinaten, dan wordt bij regthoekige assen de vergelij- king van een vlak, dat den bol in het punt x_ly_lz₁ aan- raakt xx_t yy_l-\\-zz₁�R¹ =0.......(1)

-ocr page 89-



		87 Laat de vergelijking van het gegeven vlak, waarmede het raakvlak evenwijdig zal loopen, in den normaalvorm worden voorgesteld door x Cosx -\\- y Cos(3 -f- z Cosy � p = 0, dan drukt men uit dat dit vlak een raakvlak wordt aan den bol, wanneer men het vereenzelvigt met (1), zoo dat men verkrijgt *_�i_ ^ _^i_ ₌ ^z\\* ₌.- �l �** Cosx ~\' Cos(3 ~ \' Cosy p \' neemt men hieruit de waarden van x_x, y_x en z_t, die men overbrengt in x\\ y\\ z\\-R=Q,* te kennen gevende dat het punt x_xy_xz_x op den bol ligt, dan ziet men dat p² = R¹ of p = R is, en de vergelij- king van het raakvlak aan den bol, evenwijdig met een gegeven vlak wordt x Cosx -\\- y Cos/3 z Cosy ± R = 0, waaruit tevens blijkt dat er twee raakvlakken evenwijdig aan een gegeven vlak bestaan. 62. Wij noemen de co�rdinaten van het middelpunt van den bol a, b en c, zijn straal R, en x, y, z de co�rdinaten van een willekeurig punt van het oppervlak; dan zal de verge- lijking van dien bol op scheef hoekige co�rdinaten uitgedrukt worden door f(x, y, z)=(x � a>ⁱ (y - b) * (z�c) * -\\-2(y-b) (z�c)Cos* 2 {z�c) (x�a) Cosft 2(z�a) (y�b) Cosv � E* = 0, waaruit men voor de gedeeltelijke eerst afgeleide functien vindt f\\ = 2 (x�a) 2(y�b) Cosv 2(z�c) Cosp, f\\=2 (x�a) Cosv 2 (y�b) 2 (z�c) Cos., f\\ = 2 (x�a) Cos/i 2 (y�b) Cos. 2 (z�c), en waardoor de vergelijking van den bol den volgenden vorm aanneemt (x- a)f \\ (y- b)f\\ (z- c)f\\ � 2 R* = 0.

-ocr page 90-



		88

		Dientengevolge hebben wij tusschen de veranderlijken 2 (a � x), 2(b� y) en 2 (c� z) de volgende vier vergelij- kingen 4 B* 2 (a-x)f\\ 2 (b�y)f\\ 2 (c�)�». �0, /� \\ -f 2 (a�z) 2 (&�?/) Cosv 2 (c�-s) �»a» =0, /�\'� 2(a�_x)Cosv 2(b�«/) 2 (c�2)CosA = 0, � �■. 2 f«�x) Cosfi-\\- 2 (b�y)* CosA -f- 2 (c�2) = 0. Elimineert men die veranderlijken, dan komt de deter- minant 4�* *f\\* *f\\* *f\\* f\\ 1 Cosv Cos/i ₀ f\\ Cosv 1 CosA ^� " \' f\\ Cos/i Cos.* 1 waarmede aan de vraag voldaan is. 63. Bij regthoekige co�rdinaten zal de vergelijking van den bol kunnen worden voorgesteld door z² 2/²-f-2² 2az 2ty-f 2cz-fd = 0. . . . 1) De vier gegeven punten zullen op het oppervlak van dien bol liggen, als hunne co�rdinaten ^x_ti/i ^en ^xiV» ^z%> x_s y₃ z₃ en x₄ y_k z₄ aan de vergelijking 1) voldoen. Men heeft bijgevolg de vier vergelijkingen � V\\* � 2ax_t* 2by, 2c», d = 0, xl y\\ z\\ 2ax_i 2by₁ 2czi cl = 0, ₂₎ ^xl y\\ ^z\\ 4- Sa^s <%₃ 4- 2cz_s -f d = o, \' ^8,2 y\\ i 2«x₄ 2by\\* 2cs₄ d = 0 ; uit deze kan men de waarden van a, b, c en d bepalen en die overbrengen in 1), waardoor het vraagstuk opge- lost is. In de vergelijkingen 1) en 2) klimmen de onbekenden 2a, 2b, 2c en d slechts tot den eersten graad op; geen dier vergelijkingen kan derhalve met eenige andere in strijd zijn, en men kan 2a, 2b, 2c en d tusschen 1) en 2) on-

-ocr page 91-

middelijk elimineren, door in aanmerking te nemen dat de
determinant gelijk nul moet wezen. Daardoor wordt 1)

y»
y*

A y\\ ^z\\
*l yl *l

= 0

64. De co�rdinaten der vijf punten moeten voldoen aan de
vergelijking 1) van het vorig vraagstuk; zij geven derhalve
aanleiding tot den determinant 3), welken men onder de
beide volgende vormen kan daarstellen:

-ocr page 92-

/-*.

^-.

■*

^-v

-~s

d
II

6JD

?�

J3
*3

�<

m fcT

«Ni

\'S

-1

s> a>

«f

�<

i
A.

�H

■#

s s

C
03

\'l\'

Is*

�

��■

i f

�.

es <M �

M*f

:^3

�\'l *�

<\\>

<>>

¹�\'

7\'

o f

13
T3

⁼ 1

M MfN MM MM «�*

=S* 5S* S5 53> 5&>

:n met

X
8

M M"-

M«f

8 S

\'-.

�»
a

r�t

H 4*

03
O

1\'

1 1

n *

�

1
5fe

1 1

S
o

�^ N-------

-.-.

�^

0J M
CM CO

<-<

^.h

1 1

-i->

,8,

8 8

*-<

«t

^>^ X^\'

�> 5^

�T;

N N

<N Cl

"Tl*

CM
1

�

^ "5
1 1

n *

8 H*

fcf

�f

CM CM

1 i

r ?

1 1

O
T3

L L

ts.
.9

el «�

M*f"

�l

» st

i*j iNj tv( !-( h}

\'S

M M M

f~*- ^~^ *^v

o
^1

M M^

C^«

M*f

-■

8 8

S* 5^

�".

�>

�*5

1 1

4- -1

s s

4-J

« «^

M*f

M M

s s

| |

\'S�

>*, N

03
O

03
.O

H N «t _M

*^S ^-~N ^*S i"^

:sj

03
O

-|3

M H

:rp
�

-ocr page 93-

(»-*,)« (y-y_xY (*�*,)» � JT�, = a²,

(�i-».>*-Kr,-r.)^, (*, -*.)�� JMr*-c>,

(«, _.r_i)= (_2/l__2/4)2₍^ _ .₄)_�= j^ ₌ _rf�|

(x,-x )* (y₄-y )> (*₄-* ^Jf^\'-e»;

vervolgens

(�^₂�^)² (2/₂-2/₄)² (^--%)² - ^! = *²>

(X_S�X Y (y*-y y iZt�Z Y=MJl � 0»,

Uu�^,)² (y4-//₁)^� (-%--,)² = ^, = ?-²,

,)» (* -y,)² (* -z^ = M M_�=s\\

(^x₁-\'_i)¹ (y_i-!/₃)ⁱ (z_l-z_sy=M₁M_:i=s^;

en brengen wij deze waarden in de voorgaande vergelijking
over, dan hebben wij voor de gezochte betrekking


0	a»	S*	/3²	e^J
o¹	0	&»	5²	7²
s*	&»	0	c²	**
0*	6»	c²	0	cP
t*	r²	«�	tf²	0

= 0.

65. Laat de vergelijkingen der gegeven bollen worden
voorgesteld door

S = x² ,y² x² 2 ax 2 6y 2 e» d = 0 ;

(1)

S, =x² y² :r² 2a,a> 26,y 2c₁* d₁ =0.

Trekt men die vergelijkingen van elkander af, dan komt er
2 (a � a^ x 2 (b � bj y 2 (c � c_t) x -\\- d � d_t =0, (2)
welke vergelijking voldoet aan alle punten, die de bollen
met elkander gemeen hebben. In het voorbijgaan zij hier
opgemerkt dat het vlak (2) loodregt staat op de lijn, die
de middelpunten der bollen of de punten (a, b, c) en
(otj, b_t, c,) met elkander vereenigt; die lijn toch heeft tot
vergelijkingen

x � V b x -j- c

&, �b

c. � c

-ocr page 94-



		92

		waaruit terstond blijkt dat zij loodicgt staat op (2). Elk punt in het vlak (2) voldoet nu aan de eigenschap in het vraagstuk bedoeld. Laat, om dit aan te toonen, ^3,2 2/² 2² 2yz Cosyz -\\- 2xz Cosxz -f- 2xy Cosxy -f- -f 2ax -f- 2by 2cz d = � de algemeene vergelijking van den bol zijn; het eerste lid kan men ook brengen onder den vorm {x-»y (y-(2>* (z-y)* 2 (y-fr (-y) Cost/z -f- 2 (-«) (s-y) (7osa;5r 2 0-«) (j/-/3) Cosxy-B². . . (3) Als nu a, y, z de co�rdinaten zijn van een �willekeurig punt M in de ruimte, MT een tangens of raaklijn uit het punt M aan den bol getrokken, en C het middelpunt van den bol met de co�rdinaten x. (3 en y, dan stelt de uit- drukking (3) de grootheid CM¹�R* voor, welke laatste gelijk is aan M T², wijl de driehoek CMT regthoekig is. Hieruit volgt dat het eerste lid der vergelijking van den bol, waarin x, y en z de co�rdinaten van een willekeurig punt M der ruimte aanduiden, gelijk is aan het vierkant der raaklijn, uit het punt M aan den bol getrokken, onder voorwaarde echter dat de co�ffici�nten van de tweede magten der veranderlijken tot de eenheid herleid zijn. Trekken wij nu uit een willekeurig punt A der ruimte raaklijnen aan de bollen (1), dan worden de vierkanten dier raaklijnen voorgesteld door maar volgens de gegevens van het vraagstuk moet AT = A Tj zijn, waaruit S=S₁ of S � S₁=0, zijnde juist de vergelijking van het vlak (2); derhalve, enz. De vergelijking (2) of <S � S_t = 0 wordt de vergelijking van het radicale vlak of het grondvlak genaamd. Men kan het vraagstuk algemeener maken en vragen wat er gebeurt bijaldien drie of vier bollen elkander snijden. Laat hiertoe S, S_t, S₂ en S₃ de eerste leden voorstellen der vergelij- kingen van vier bollen O, O_t, 0₂ en 0₃, laat ons aan- nemen dat de, co�ffici�nten van de vierkanten der verander- lijken tot de eenheid herleid zijn, en beschouwen wij in de eerste plaats drie der bollen:

-ocr page 95-



		93

		De bollen 0_t en 0₂ hebben het grondvlak: »?₂�<S, =0; � � O, en O � � � S � S₂ = O; » n O en O, � � � S_l � S = 0. Elk dezer vergelijkingen is het gevolg der beide anderen; derhalve snijden de grondvlakken van drie bollen elkander volgens de lijn, welker vergelijking is O ^Ma Oj ^= o₂. Men kan deze lijn de radicale as der drie bollen noemen; zij staat loodregt op het vlak dat door de middelpunten der bollen gaat en is de meetkunstige plaats der punten uit welke men gelijke raaklijnen aan de drie Dollen kan trekken. Beschouwen wij, ten slotte, de vier bollen S, S_t, S₂ en S₃, dan zijn de radicale assen dezer bollen, drie aan drie genomen voor (S_lt S₂, S₃) : S₁=S₁=S₃; � (S₂, S₃, S ) : S₂ = S₃ = S ; � (S₃, S , �,) : S₃ = S = 5, ; jj (o » o j i «2) \'S = o, = o₂. Deze vier regte lijnen gaan blijkbaar door het punt O = Oj ^= 0₂ =^ O3 � Die assen der vier bollen ontmoeten elkander derhalve in een punt; de raaklijnen uit dat punt aan de vier bollen getrokken zijn gelijk. 66. Voor de vergelijking van den bol op regthoekige co�r- dinaten kan men schrijven (x -a)² (z/ � b) (z �* c)2 = r⁴;.....1) de co�rdinaten van het middelpunt a, b en c benevens de straal r van den bol zijn de onbekenden, die moeten worden gevonden uit de voorwaarde dat de bol gaat door drie gegeven punten p qr, p¹ q¹ r¹ en p^li q¹¹ r¹¹, en een gegeven vlak Ax-\\-By-{-Cz-\\-l=Q aanraakt. Daar nu de gegeven punten op het oppervlak van den bol moeten liggen, zullen hunne co�rdinaten aan 1) voldoen, waardoor men de volgende drie vergelijkingen erlangt

-ocr page 96-

(P � «)² (? � by (r �c)^a=r*, ... 2)
(p* � a)² (V � �)²-i-(r\' � c)^�=rrⁱ, ... 3)
(p¹¹ � a)² -Hg¹¹� �)^a -j-O"¹¹ � c)²=r². ... 4)
Trekt men 2) van 3), daarop 2) van 4) en eindelijk 3)
van 4) af, dan erlangt men drie vergelijkingen, waarin de
onbekenden a, b en c slechts in de eerste magt voorkomen.
Door het invoeren van hulpgrootheden laten zich die ver-
gelijkingen gemakkelijk herleiden tot den vorm
ace -\\-b(3 -\\-cy 5 =0,

a«, -j-6/3, -\\-cr, -j-S\'

= 0,
«=0,

a<*₂ 6/3₂ -\\-cy_i

waaruit voor de onbekenden a, b en c gevonden wordt


	5	/3 r
	3\'	0i y.
	3\'	ft y,


	# 5	y
	*, S\'	?1
	*, §>\'	?%
	* /3	7
	«1 ft	?i
	*₂ 0,	*y-i*

(«3\'r»)
>ftr_s)

(«ftr�j

/3 y
ft Yx
ft y₂

/3 S

. ft 3\'

1 ft ^5>1/3 7

t ft y,

I ft Pi

₌ («/3,?¹¹) _
" («ft y,)

Om den straal r te bepalen hebben wij, volgens eene
bekende formule,

Aa Bb Cc 1 .

r =

V U² B* C²)
want het achterste lid dezer vergelijking drukt de lengte
uit der loodlijn, die uit het middelpunt abc van den bol
op het gegeven vlak kan worden nedergelaten, en die lood-
lijn is blijkbaar de straal van den bol. Brengt men der-
halve in 5) de gevondene waarden van a, b en c over,
dan is ook de straal in gegeven grootheden uitgedrukt.

67. Zij de vergelijking van den gegeven bol op regthoekige
co�rdinaten

-ocr page 97-



		95

		(ar» � a)² (y¹ � b)² (z¹ � c)² = r² :.......1) laat de gegeven lijn met de as der x zamenvallen, dan wordt de vergelijking van het gevraagde vlak Ay Zmm O,..............2) waarin alleen A de onbekende is, die wij moeten trachten te vinden. Het vlak 2) moet den bol 1) volgens een gegeven cirkel snijden; het komt er dus op aan de vergelijking van dien cirkel in het vlak 2) te bepalen. Daartoe hebben wij, vol- gens bekende regels x\' = x Cos <p � y Cos 6 Sin <p, y* = x Sin (p y Cos � Cos (p, . . . 3) z\' =■ y Sin $, waarin <p de hoek is, welken het spoor van het snijdend vlak op het x y vlak met 0 X maakt, en de hoek � de helling aangeeft van het snijdend vlak op het X Y vlak. De eerste of de hoek <p is nul, want het vlak gaat door de X as; de hoek � wordt bepaald door 1 A Cos 6 = �n-Ti ~~, ,n~~ of Sin 6 =

		Brengen wij de waarden 3) in 1) over, dan komt er, na eenige vervorming en in acht nemend dat <p = 0 is, (x � a)² (y � {b Cos 6 c Sin 6) )* = r² � c² � 6* �² Cos² 6 2bcSin�Cosd c Sin² �.* Deze is de vergelijking van een cirkel, terwijl blijkbaar het tweede lid den straal diens cirkels voorstelt. Maar het vlak moet den bol volgens een gegeven cirkel snijden; noemen wij den straal van dezen laatsten R, dan heeft men, ter bepaling van 6, de vergelijking _r% � c² � b² b² Cos² 6 2 b c Sin � Cos � c²Sin²6 = E². In deze laatste de boven gevonden waarden van Cos � en Sm6 overbrengende, komt er, na eenige verdere herleiding A I ^2bc A I r²-R²-c²_ waaruit A gemakkelijk bepaald en zoo het vlak 2) geheel bekend wordt. Snijdt een vlak den bol volgens een gegeven cirkel, dan

-ocr page 98-



		96

		is de afstand van het middelpunt des bols tot het cirkel- vlak gelijk aan V (R² � r²), wanneer R den straal van den bol, r dien van den cirkel voorstelt. Beschrijft men nu met den straal V (R²�r²) een bol, concentrisch met den gegevenen, dan zal elk vlak, dat raakvlak is aan dezen kleineren bol, den grooteren volgens het beloop van een cirkel met den straal r snijden. Hierdoor wordt het vraag- stuk terug gebragt tot een vorig, het opzoeken namelijk van de co�rdinaten van het raakpunt als door een gegeven lijn een raakvlak aan een gegeven bol (hier met den straal V(R²�r²)) gebragt wordt. 68. Wij nemen het middelpunt van een der gegeven bollen als oorsprong van een regthoekig co�rdinatenstelsel en het vlak, dat door de middelpunten der bollen gaat, als vlak der xy aan; dan zijn de vergelijkingen der gegeven bollen x* -\|_ 2/* _\|_ gi =_r\\ : (x - ,)» (_?/ - (31)* -f z = r²; ......1) (_x-x_ty (y-(3₃)i _S2=rl;* voor den te zoeken bol schrijven wij ( - )² (y - P)² (z -r)² = r².....2) zoo dat a₂, /3₂, «₃, /3₃, r_x, r₂ en r₃ bekende, x. \|3, y en r onbekende grootheden aanduiden. Voorts nemen wij aan dat 2) de gegeven bollen uit- wendig aanraakt; dit geeft aanleiding tot de volgende ver- gelijkingen «² 0² 7² = (r r.y,...........3) (_₂)2 (/3-/3₂>* ^ = (r r₂)>, ... 4) («-3)a (/3-/3₃)M-y² = (r r3)ⁱ- ... 5) Trekken wij 4) en 5) van 3) af, dan verkrijgen wij 2/3_J/3 2«_J = /3« «» r}� r§ 2 (r, � r_a)r; . . 6) 2/3,/3 2_J = /3» «t r} � r\\ 2{r_t�r_t)r; . . 7) tusschen 6) en 7) kunnen wij dan r elimineren, hetwelk aanleiding geeft tot de uitdrukking 2^^^2x_ix-(3l-_xl-r² r²^J 2x_ix-^²-x\\-r\\ r² _g)r_l�r_i r_i�r₃

-ocr page 99-



		97

		Deze vergelijking is ten opzigte van x en (3 van den eersten graad; zij wijst derhalve een plat vlak aan, dat op het vlak der xy regthoekig staat. En daar aan 8) voldaan wordt door 2/3₂0 2«₂« � (3\\ � xi�_r\\ r\\=Q, en door 2 (3_S(3 2 x₃x � /3\| � x\\ � r\\ r\\ = 0, \' " \'^;stelt 8) de lijn van doorsnede der beide vlakken 9) daar. Elimineren wij vervolgens r tusschen een der vergelij- kingen 3), 4) en 5), en tusschen 6) of 7), dan bekomen wij eene vergelijking in x, (3 en y, welke van den tweeden graad is; elimineren wij daarop /3 tusschen de laatst be- paalde en 8), dan komt er eene vergelijking tusschen x en y, welke eveneens van den tweeden graad is. Deze laatste vergelijking tusschen x en y is die eener cilindervlakte van den tweeden graad, en alle middelpunten x /3 y van den bol 2) liggen op die cilindervlakte en op het vlak 8); de meetkunstige plaats van al die middelpunten is derhalve de lijn van doorsnede van dat cilindervlak en het platte vlak 8), bijgevolg is die meetkunstige plaats eene lijn van eenerlei kromming, behoorende tot de kegelsneden. Noemen wij, ten anderen, het aanrakingspunt van bol 2) en het eerste der kogelvlakten 1) tuv, dan hebben wij t* M* t\'² �r\\,.............10) en (t � ») (u* � j3)² -f (v � y)² = r^J . . . 11) Tellen wij nu 3) en 10) bij elkander, en verminderen die som met 11), dan komt er x t /3 u -f- y v = r_x {r -f r_t),.......12) en brengen wij in deze vergelijking de waarden van r_i en r r_t uit 3) en 10) over, dan hebben wij, na eene ligte herleiding \\xu � (3t) (xv � yty* -f (/3v � yu) = 0,* welke vergelijking alleen mogelijk is in geval men heeft xu � (3t = 0; xv � yt = 0 en (3v � yu = Q, . . 13) waaruit blijkt dat het aanrakingspunt tuv met de middel- punten der beide bollen in eene regte lijn ligt, waaraan trouwens niet te twijfelen viel. Uit 12) en 13) verkrijgen wij, met behulp van 10) 7

-ocr page 100-

r, ^; r, r,

Brengen wij deze waarden in 6) en 7) over, en elimi-
neren daarop r, dan komt er

1*2 &l - (r, - r,)>j j /3₂w *,* - r, (r, - r,) J =
= K /3l-(?-i-^)²! l/M «i< �M»-» � r.)l � 14)

In deze vergelijking ontbreekt v, en zij is ten opzigte
van t en u van den eersten graad; zij geeft derhalve een
plat vlak aan, dat loodregt staat op het vlak t u of het
centraal vlak der gegeven bollen. De doorsnede van 14) met
de eerste der vergelijkingen 1) is de meetkunstige plaats
der punten van aanraking; zij stelt een cirkel voor. Voor
de aanrakingspunten van 2) met den tweeden en derden
der gegeven bollen 1) vindt men soortgelijke uitdrukkingen.

69. Gebruik makende van regthoekige co�rdinaten zij de
vergelijking van den bol

«² </² ^² =Bⁱ,........1)

als wanneer de oorsprong met het middelpunt van den bol
zamenvalt. Noem de gegeven punten x₁y₁z₁, x₂y_iz_i.
Het is aan geen twijfel onderhevig dat het te zoeken punt
C moet liggen in het vlak dat door de punten x_t y_lz₁ en
x₂y₂z₂ en door den oorsprong gaat. Zij de vergelijking
van dat vlak

Ax By Cz=*0,.......2)

waardoor reeds te kennen gegeven wordt dat het door den
oorsprong gaat; maar het moet tevens de gegeven punten
in zich opnemen, dat aanleiding geeft tot de vergelijkingen

Ax_A By_i -\\-Cz₁ =0,........3)

A_Xi By₂ Cz₂=0........4)

Elimineert men A, B en C tusschen 2), 3) en 4), dan
heeft men

= o,

- o,

�

z₂

� y

*2 Vi

-ocr page 101-



		99

		waarvoor wij ook schrijven kunnen «(�i^-y^i^ ^^iJil-0.....5) Maar het punt ligt in de doorsnede van den bol 1) en het vlak 5); die doorsnede is natuurlijk een cirkel. Om dien cirkel in ware ligging te kennen, moeten wij zijne vergelij- king opzoeken ten opzigte van regthoekige assen in het vlak van doorsnede 2) of 5); hiertoe zijn twee dingen noodig, eerstens de hoek <J>, welken het spoor van het snijdend vlak op het vlak X Y met O X maakt; ten anderen de hoek 6, welke de helling aangeeft van het snijdend vlak op hetzelfde vlak X Y. De vergelijking van het spoor is Ax-\\-By = 0 of x(y_xz^ � y{x_lzJwmQ, waaruit tang 0 = � _- = �~� v > B (x, z₂)* terwijl volgens bekende regels 6 bepaald wordt uit fw =________9._______=______(i Vt]_________ ^_ V\' (A B* &) y\\(y~_yz^ -(₁₂)ⁱ (i^)^,l\' Na <p en 6* gevonden te hebben, maakt men gebruik van de gewone formulen voor het veranderen van co�rdinaten: x = x\' Cos <p � y > Cox � Sin (p, y = xⁱ Sin <p -f- y^l Cos 6 Cos <p, z = yi Sin�. Brengt men deze waarden voor x, y en z over in 1), dan erlangt men de vergelijking van den cirkel, ten opzigte van regthoekige co�rdinaten in het vlak van doorsnede. In dat vlak liggen ook de punten A en B, welker co�rdinaten men vindt door gebruik te maken van de laatst gegevene herleidingsformule. Het voorstel is hierdoor herleid tot het volgende: twee gegeven punten A en B liggen beide buiten een gegeven cirkel; men vraagt het punt C aan den omtrek zoo te bepalen dat A C-\\- B C een minimum wordt. Uit de lagere meetkunde weet men dat tot het minimum zijn van A C-\\- B C vereischt wordt dat de lijnen A CenBC met de raaklijn in C gelijke hoeken maken. Dan toch zullen zij den kortsten weg opleveren van A door een punt dier raaklijn naar B; en daar de cirkel slechts dit punt C met

-ocr page 102-

100

de lijn gemeen heeft, en overigens uit den aard van het
vraagstuk aan gene zijde daarvan ligt ten aanzien van
A en B, is dit dan tevens de gevraagde kortste weg.

Laat dan, bij onderling regthoekige co�rdinaten het mid-
delpunt van den cirkel in den oorsprong vallen, dan is
zijne vergelijking

x* y* =RK

Noemen wij de co�rdinaten van het punt A x =p, y = q,
die van het punt B x = r, y = 0, waarmede aan de alge-
meenheid niet te kort wordt gedaan; voor de co�rdinaten
van het te zoeken punt C mogen x_l en y_x gelden. Dan is
de vergelijking der raaklijn aan den cirkel in het punta:,^

^xxi UVi =Rⁱ;
de vergelijking der lijn A C, welke gaat door het punt pq
en het raakpunt ar, y_t is

die der lijn BC, gaande door rO en x_ly_l,

y � �^� (x� r).

�\' x_t �r

De lijn A C maakt derhalve met de raaklijn een hoek _rwelks tangens is

I ±i_

want x*-\\-y\\=R*.

1 _ Ut ~g X -¹ ~~^PVi ^JrqXi\'

*\\ � P Vi
Evenzoo maakt de lijn B C met de raaklijn een hoek,

waarvan de tangens wordt uitgedrukt door

^x\\ � ^r V\\ _ -B* � ^r ^x .

x_t � r ^A y_xen daar die hoeken aan elkander gelijk moeten zijn,
heeft men

.R² �qy_x �px_t _ B² �rx

� mix 2*i "~ �ry~
waaruit, na herleiding,

-ocr page 103-



		101

		(P � r) y_x � q , q r =* 0 ; maar uit de vergelijking van den cirkel volgt x_l = V(R²�y\\); brengt men deze waarde in de vorige vergelijking over, dan heeft men, na herleiding, 2qr(p-r) g» (r² - &) "^T(p-r)² ₂² »» ^ (j> � r)² �² \' "waaruit y_t gemakkelijk wordt afgeleid. Men vindt daarop x_y uit de gelijkheid x\\ -\\-y² = R². 70. Nemen wij den oorsprong der onderling regthoekige co�rdinaten in het middelpunt van den bol, die alzoo tot vergelijking heeft x² y²-\\-z² = R²;.......1) laten voorts, ten opzigte van dezelfde coordinatenassen x = az -\\-b en y = cz d . . . . 2) de gegevene vergelijkingen der lijn in de ruimte zijn; indien dan de co�rdinaten van het gevraagde punt door p, q en r voorgesteld worden, is, daar dit punt op de lijn 2) ligt, p = ar -\\- b en q = cr-j- d.....3) Laten wij nu eene lijn door het middelpunt van den bol, dat is door den oorsprong, en het punt pqr gaan, dan zijn de vergelijkingen dezer lijn x= � z eny=�z, ......4) r r maar deze lijn snijdt het oppervlak van den bol, en, zoo wij de co�rdinaten van dat snijpunt p¹ q¹ r¹ noemen, hebben wij, volgens 1) en 4) P¹ q^1% r¹* = R²-,* ^¹⁼� r¹ en g» = -�r¹, uit welke vergelijkingen gemakkelijk gevonden wordt: i ₌ ff-R ____. , _ ,______qR . r^x = ------------------........�) ^- f(p² q² r²) De afstand der punten pqr en p¹ q r^l* is tevens de afstand tusschen het eerstgenoemde punt en het oppervlak van den bol; dien gegeven afstand D noemende, is derhalve D= y�ip�p^ iq-q^ ir � r^H,

-ocr page 104-



		102

		of, na substitutie der waarden -5) en behoorlijke herleiding, Uit deze vergelijking hebben wij dadelijk p² qⁱ rⁱ = (D±B);* door hierin voor p en q de waarden 3) te stellen, komt er verder (ar �)² (er d)* -f r² = (D ± i�)², of na herleiding en oplossing der vierkantsvergelijking _�.{al₎J_rcd)±V\$a^ cⁱ \$ (D R^ad-bc^-W d)* \| Brengt men de waarden van r in de vergelijkingen 3) over, dan wordt bci b-acd±a ^j(a² c² l) (Z)±^)²-(ad-&c)²-(&² d²)( ^P~ a² c² l en ₌ da d-acb±c* ^j(q²-{-c² l) (D±Ry-(ad-bc)-(b* d>)\\ ^q a² c² 1 zoodat nu de co�rdinaten van het begeerde punt gevonden zijn. Gaat de gegeven lijn door het middelpunt van den bol, dat is, door den oorsprong, dan wordt 6 = 0 en d = 0,* waardoor de co�rdinaten van het gezochte punt zijn _ a(D±E) _ c(D±B) _ D R ^P~~ V(a c* Y)\' ^q ^±V(a°- c* iy ^r~* ^±j/(rt² c² l)\' 71. Trekt men uit het middelpunt van den bol eene lijn loodregt op de gegeven lijn, dan is de afstand van het middelpunt des bols tot het punt, waar de loodlijn de ge- geven lijn snijdt, korter dan eenige andere lijn uit het mid- delpunt van den bol tot eenig ander punt der gegevene lijn getrokken. En is de loodlijn de kortste, dan is het verschil tusschen de loodlijn en den straal van den bol kleiner dan dat tusschen dezen laatsten en eenige andere lijn uit het middelpunt van den bol tot de gegeven lijn getrokken; het komt er dus in de eerste plaats op aan dat snijpunt te vinden. Zij daartoe x = a z -f- b en y ^ c z -\\- d . . . 1) de vergelijking der gegevene lijn, en laat het middelpunt

-ocr page 105-



		103

		van den bol tot oorsprong der onderling regthoekige co�rdi- naten aangenomen zijn, zoodat *& y³ z* = &......2)* de vergelijking van den bol is. Brengen wij door den oorsprong een vlak, loodregt op 1), zoo heeft dit vlak, volgens bekende regels, tot vergelijking z-\\- ax-\\-cy = 0......3) Is voorts pqr het snijpunt van 1) en 3), dan hebben wij p = ar-\\-b; q = cr-\\-d; r-\\-ap-\\-cq = 0, waaruit voor p, q en r gevonden wordt (<? !) b-acd (q^g l)d�acb , _� (ab-\\-cd) ^P~ «²-fc² l \' ^q~ a² c²-f] \' ^r=~ «³ c² l De afstand van het punt pqr tot den oorsprong wordt uitgedrukt door V (p* q³ >\'²) > in welke uitdrukking de gevondene waarden voor p, q en r moeten worden overge- bragt. Voor de som van de vierkanten der tellers van p, q en r vinden wij (c² -f l)² b �* 2 a c (c² 1) b d «² c² cl* -f a² c² �² � 2 a c (a² 1) b d -f- («² l)² rf² a² b² 2 a c b d c² d² of optellende (c² l)�²(a²-(-c² l)�2a�cd(a² c² l) (a² l)d²(a² c² l). De som van de vierkanten der tellers is derhalve deel- baar door a² c² -f- 1; den afstand van het punt pqr tot den oorsprong D noemende, hebben wij ₌ (c² -f 1) 6² � 2 abcd -f- (a² 1) d²a² e» -f 1 Om den afstand van het gevonden punt tot het opper- vlak van den bol te vinden, hebben wij de gevondene waarde van D slechts te verminderen met den straal R van den bol. Stilzwijgend wordt verondersteld dat de ge- geven lijn buiten den bol ligt, snijdt zij hem, dan vervalt het vraagstuk. 72. Zijn de vergelijkingen der vlakken in den normaalvorm gegeven, bijvoorbeeld E_x = 0, E₂ = 0 en E₃ = 0, en valt het oorsprongspunt der co�rdinaten binnen den drievlakkigen hoek, dan is de vergelijking van het vlak, dat den hoek

-ocr page 106-



		104

		der vlakken ^=0 en E_% =0 midden door deelt, E₁�E_i=0; in dit laatste vlak bevindt zich het middelpunt van den bol, maar het ligt ook in het vlak E_i � E₃ = 0 en in het vlak E₂�E₃=0, bijgevolg in de lijn, welke de door- snede dier vlakken is. En deze lijn bevat de middelpunten van alle bollen, welke in den drievlakkigen hoek sluiten. Is de straal van een dezer bollen =i� gegeven, dan heeft men in die lijn slechts het punt op te zoeken, dat op den afstand R van een der vlakken des drievlakkigen hoeks gelegen is. Wij zullen een anderen weg inslaan; da gegevene verge- lijkingen der vlakken noemen wij A x B y C z-\\-D =0, J_lx B₁y-[-C_lz-\\-D_l=0, .... 1) A₂x B₂y C_iz-\\-D₂ = 0_>en schrijven voor de te vinden vergelijking van den bol (x�pY (y � _qy (z � r)» = R, waarin R gegeven is en p, q* en r de onbekenden zijn. Maar het punt p q r ligt op den afstand R van elk der vlakken 1), zoodat Ap Bq Cr D 4lg gl� gl?±gl = jf _Pn �i�±JLd±S!>L±J>i �r V{A\\ B\\ C\\) is, uit welke vergelijkingen de onbekenden p, q en r ge- makkelijk bepaald worden. Om dit op de geschiktste wijze te verrigten, stellen wij ter bekorting: ^A ^B m. * ^D

		V(A» B»-\\-C») \' V{A B* C) VW & CF) A PfAf gffC) �* «n ^enz- en verkrijgen zoo doende de drie vergelijkingen ft y-\\-b q-\\-c r-\\-d �R = 0, ^ai P-\\-^i Q 4"^ci ^r ^i �i? = 0, ^t P -\\- b_t q -{- c_t r -\\- d₂ � R = 0, waaruit

-ocr page 107-

105

R � d
R � d_tR � d,

b
h

_((R-d)b_lc_i)

P =

�

(aft, e,)

a
a,

c
c,

d O c»)

(a(R

GU il �

q � -

(«Mi)

# �d
R � d_%

«1

a
ff»

_r ₌ («&i (R-d,))
(a o, c₂)

c
Cl

c₂

Voor ieder der drie wortelgrootheden kan het dubbele
teeken gesteld worden; door deze teekens naar welgevallen
te combineren, komen er dus acht verschillende vergelij-
kingen voor den begeerden bol. Deze vergelijkingen be-
hooren blijkbaar tot de acht verschillende bollen, die, allen
denzelfden straal hebbende, kunnen geplaatst worden in de
acht drievlakkige hoeken, waarin de drie gegeven vlakken
de onbepaalde ruimte verdeelen.

73. Neem den top der driehoekige piramide als oorsprong en
de aan elkander grenzende ribben a, b en c als assen van
het co�rdinatenstelsel. Noem voorts den straal van den om-
geschreven bol R, en de hoeken tusschen de co�rdinaat-
assen A, fi en v. Een der stralen van den bol loopt uit het
middelpunt van dezen naar den top der piramide of den
oorsprong van het aangenomen co�rdinatenstelsel. Maakt die
straal met de assen de hoeken «, (3 en y, dan vindt men
voor zijne projectien op de assen

-J.-i M Cos*; -j � B Cos/3; -j = R Cosy.

-ocr page 108-

106

Brengt men nu in den determinant in het tweede vraag-
stuk gevonden de waarden van Cosx, Cos /3 en Cosy, uit
bovenstaande gelijkheden voortvloeiende, over, dan wordt
die betrekking

c
2R

COS/A

Cos*.

a
2R

Cosv

= O,

-� Cosv

2R
c

lijn

Cos/i Cosx 1
en de eerste kolom elk met 2R verme-

of, de eerste
nigvuldigende,


a	b	c
1	Cos v	Cos/i
Cos v	1	Cosx
Cos/i	Cosx	]

4J?²a

- o,

waaruit gemakkelijk afgeleid wordt

b
Cos v

1
CosX

Cos v
Cos/i

c
Cos/i
Cosx

4i�⁴ Aⁱ ⁼

b
c

zooals men weet is

A* = 1 � COS*X � �9-sV

Cos*v -f- 2 CosX Cosii Cosv,


1	Cos v	Cosp
Cos v	1	Cosx
Cosfi	Cosx	1

A² =

dat is

^ J = #m^sA* Sin*v � (Cosp Cosv � Cosx)*
= {Sin ft Sin v -\\- Cos/a Cosv � CosX) X
X {CosX � Cos/i Cosv -\\- Sin/i Sinv)
= [Cos (fi � v) � Cosx] [Cosx � Cos {f* -}- v) ];

maar Cos {ia�v) � CosX = 2 Sin�±J^ZZLsin ~~^v -L~~ \'

-ocr page 109-

107

Cos), � Cos (u, v) = 2 Sin ^A ft ±-^v ftn g --

derhalve

v A�p

«Sm:

A² � 4 Sm ^A~^r^~¹"" «n ^~^ry~^A Sin

A u u 16

Nog heeft men de betrekking

wanneer V het volumen of den inhoud voorstelt van den
tetraeder, welks drie aan elkander grenzende ribben gelijk
aan de eenheid genomen worden. De reden hiervan op te
sporen mogen wij aan den lezer overlaten.

74. Behouden wij het co�rdinatenstelsel van het vorig vraag-
stuk , en noemen wij de co�rdinaten van het middelpunt des
ingeschreven bols x¹ y¹ z¹, dan moeten de afstanden van
dit middelpunt tot aan de coordinaatvlakken allen gelijk
aan r, den straal van den bol, zijn. Wij hebben derhalve
naar aanleiding van het 34"^e vraagstuk

_r = A_«l ₌ Ajfl ₌ A*¹Sin). Sin ia Sinv

Bovendien wordt het vierde zijvlak

uitgedrukt door

... (1)
van den tetraeder

. . . (S)

] = 0.

a ^ b

Er is dus niets anders noodig dan in form. (3) van het
33** vraagstuk A, B, 0 en D te vervangen door��_,-----

Cv O C

1, p door r, en x¹

y* en z¹ door hare waarden

r Sin). rSinfi rSinv

, \\ \' ^uit W g^enomen\' ^om ^terston<i te ge-

raken tot de vergelijking

0 -T

a
J_

1\' Cosv Cos[a

)■-

f Sin X , Sinfi

Sinv
c

(2)

■ Cosv 1 Cos).

Cos(a Cos). 1

-ocr page 110-

108

die de waarde van den straal des ingeschreven bols op-
levert.

Het tweede lid van den verkregen determinant kan nog
vereenvoudigd worden; daartoe vermenigvuldigt men de
drie laatste kolommen en de drie laatste regels respectie-

velijk met a, b en c, en buiten de lijnen met

1 w 1

a.b.c \'^a.b.c\'

op dat de waarde dezelfde zal blijven. Hierdoor neemt de
determinant den volgenden vorm aan:

0 1 1

ac Cosfi

bc Cos *.

c²

i a² ab Cobv

a* !>*,■■>- 1 abCosv b²

1 ac Cosf4, bc Cos*.
waardoor blijkbaar wordt dat het tweede lid van (2) gelijk
is aan het vierkant van den dubbelen inhoud van het vierde
zijvlak S, gedeeld door a² b¹ c². Dien ten gevolge heeft men


Sin* a		Sin At b
A r	=	Sin * a

_AV_

4S²

Sin v

a^b^c*

Sin [*.

Sin v

abc

Deze formule geeft de stralen van twee bollen, die de
vier zijvlakken van den tetraeder aanraken; hunne middel-
punten bevinden zich op de lijn

x y z

Sin*. Sin (i
Maar bovendien zijn er nog
het vraagstuk voldoen, dat is

Sin v

zes andere bollen, die aan
de vier zijvlakken van de

driehoekige piramide aanraken; men vindt hunne stralen
door achtereenvolgens het teeken van Sin*., Sinp en Sinv
te veranderen:

abc¹

abc\'

2S
abc\'

A _=i. Sin ft, . Sin v Sin*.

c
Sin*.

a
Sin ft

a
Sin p

A � \'Sinv .
r¹¹ c "¹"

A __ Sin*. ,

~ ~~b~ ~
Sin v ■

� � 11

-ocr page 111-



		109

		Deze bollen hebben twee aan twee hunne middelpunten op de lijnen: _ g ₌ y ₌ f Sin A sin f& Sin v x y z Sin x Sin i Sinv\' x y __ z Sinh Sin fi* Sin v 75. Laat het oppervlak van den bol, tot vergelijking hebbende »* 4- y² s² � -B²,.......1) gesneden worden door eene regte lijn, welker vergelij- kingen zijn x = a z-\\-b en y = cz-\\-d; . . . . 2) noemen wij dan de co�rdinaten van het eene snijpunt p q r, die van het andere p¹ q¹ r¹, en laat k de lengte voorstellen van het deel dier lijn, dat als koorde binnen den bol valt, zoo hebben wij dadelijk k = (p�p¹)² -i-iq � q¹)² -{-(r � r¹)².* � � 3) Dewijl nu de punten pqr en p¹q¹r¹ op de lijn 2) liggen, is p =ar -\\-b en q � cr -\\-d . . . 4) p^=ar¹-\\-b en q¹=cr¹-\\-d . . . 5) waaruit door aftrekking volgt (p�pi) = ct(r � r¹); (q� qi) = c(r� r¹), door substitutie van welke waarden 3) overgaat in fc* = (_aa 4-_C2-f l)(r � ry.....6) Maar de punten pqr* en p¹ q¹ r¹ liggen op het oppervlak van den bol 1); dus hebben wij mede P² <?² ^² =i?S 2 2 2 � p¹ 5¹ 4-r¹ = E², of door substitutie der waarden 4) en 5) (ar &)> (cr -\\-d)² r² = B², (ar¹ &)^� (cr¹ d)² rⁱ² «=J2», dat is, na herleiding,

-ocr page 112-



		110

		2(ab cd) _b d-R> ₌ "^ra¹ c² l "^r a² c⁵-t-l \' i 2(a6 cd) ft» d»-.g» ^a² c* l ^ a² c² l hieruit blijkt dat r en r¹ de wortels eener zelfde vier kants - vergelijking zijn, en dat dus, volgens de eigenschappen der vierkantsvergeliikingen o² , e² 1 en. fel _!_ rfi __ 7?2 zal zijn. Daar nu altijd Ojf � y � \\ 2 ^� /y j_ ^1)2___4. y y * is, vinden wij door substitutie en herleiding (r - rn* =⁴ l^g> (^ffl> g\' l)-(«rf-/;c)² -(6² rf»)j ^v ^; (a² c² l)² en dus volgens 6) __ 4 j-B² (q² c» -4- 1) � (q d � &c)²�(&* d²) j ~ o» c» 1 \' zonderen wij hieruit eindelijk Rⁱ af, dan vinden wij ai_Mv_�jfc» Mz±fll±Jl±g, .... 7) ^/4 ^ qⁱ c^I l \' V door welke formule de straal van den bol 1) gevonden wordt uit de wetenschap dat zijn oppervlak uit de lijn 2) eene koorde ter lengte k afsnijdt. Ter oplossing van het voorgestelde vraagstuk, behoeven wij dus blijkbaar niets anders te doen dan de formule 7) toe te passen op het geval dat de lijn 2) de doorsnede der beide gegevene vlakken is. Laat hunne vergelijkingen zijn A x B y C z-\\-D = 0 en A\' x B^y C¹ z D¹ = 0, dan vinden wij, door beurtelings y en x tusschen deze vergelijkingen te elimineren, voor de vergelijkingen van de projectien hunner gemeene doorsnede {AB¹ �A¹B)x � {BCi�Bi C)z � {BD^l � B^lD) = 0, UB¹ � A^lB)y �(CA^l � C¹ A)z (A D^l � A^l D) = 0;

-ocr page 113-



		111 stellen wij dus ter bekorting BC¹ � B¹C = x; CAi � C^lA=(3; AB<- A^B = y^ ₈₎ dan worden de vergelijkingen van de genoemde doorsnede x , ff¹ ff #1 7 7 7 7 zoodat wij slechts in 7) zullen moeten substitueren <* , k¹ ff � , «i a = � ; o = � ; c = J_ en a = � � 7 7 7 7 om ter oplossing van ons vraagstuk te vinden - f* � /_y /ff_y j nemen wij echter in aanmerking dat volgens 8) xx^l* -f ff ff¹ 7 7¹ =0 is, waaruit volgt as¹ 4- ff/3¹ _ y> ----------5--------- \' dan verkrijgen wij, ter bepaling van den gevraagden straal, de zeer regelmatige formule i?i � i/ Ml ^l �\' 7¹ o^ * - /«* -^5q:-^y. � � � 9) Uit 9) volgt nu ook nog dat 2 2 2 x¹ /3¹ H-y¹

		«� -}-ff2 _\|__y2 het vierkant voorstelt van de loodlijn, uit den oorsprong op de gemeene doorsnede der gegeven vlakken vallende.

-ocr page 114-

/ ....-.■� ■

Bij deselfde Uitgevers is,verschenen:

■■■�,..

- ■

.. ...

i -.■:.\'■■■■ ■■

BOEKE, (Dr. J. D.), Stoechiometrische Vraagstukken,

■
ten gebruike bij het onderwijs in de scheikunde,

3^C druk...............f 0.75

-------, Gids bij het aanleeren der Scheikunde.¹ . - 0.35

HOLLMAN, (Dr. P. J.), Wiskundige schets der Levens-
verzekering .............- 3.�

-�-------�, Levensverzekering, eens ieders pligt! . - 0.10

LACROIX, (S. F.), Beginselen der Meetkunde. Dl. I.
Meetkunde van het platte vlak. Eigenschappen
der lijnen en vlakken, 7° druk, bewerkt door
Dr. D. Biebens de Haan. ... ./. ... - 3.�

--------------, Idem. Dl. II. Meetkunde van de ruimte.

Eigenschappen der vlakken en lichamen, 6^C druk,

bewerkt door Dr. D. Bierens de Haan.....- 2.�

SPEIJER, (J. S.), Tafel van de gewone.of briggiaansche
logarithmen van 1 tot 101000, met eene ver-
klaring van het gebruik der logarithmen bij het

koopmansrekenen, 2^C druk ........ - 1.�

�� \'\\

.:�■■-■

\' .\'.■■-

- . \'

-
■ \' ■ . . . ■ k ■ \'.

_____

\'^: