-ocr page 1-

** <jNa

ér ï -^! 3

»* f

-ocr page 2-



		v^wï 1^5 35"

-ocr page 3-







		;."£
		i*

-ocr page 4-



		\\

-ocr page 5-



		Vak 162

		LEERBOEK

		VLAKKE MEETKUNDE.

		DOOK

		J. VERSLÜYS.



		TE GRONINGEN BIJ J. B. WOLTERS, 1890.

-ocr page 6-



		Stoomdrukkerij van .1. B. Wolters.

-ocr page 7-



		VOORREDE.

		Het aantal leerboeken over vlakke meetkunde is ongetwijfeld vrij groot, en ik wil het niet vermeerderen, zonder dit te rechtvaardigen. In de eerste plaats zijn de axioma\'s, waarop de meetkunde berust, scherper aangewezen, dan men gewoon is dat te doen. Het moet inderdaad verwondering baren, dat men nog voortdurend, ook in Frankrijk en Duitschland, leerboeken ziet verschijnen, waarin niet de minste notitie genomen wordt van de beschouwingen over de grondslagen der meetkunde, zelfs wanneer die beschouwingen van beroemde mannen zijn. Nog al te vaak geeft men van de rechte lijn een bepaling, waarvan sinds lang aangetoond is, dat zij logisch geheel onjuist is. Een opgave van eenige verhandelingen over de grondslagen der meetkunde kan niet onbelangrijk zijn. Geometrische Untersuchungen zur Theorie der Parallellinien von N. Lobatschewsky. Berlin 1840. f 0,90. Dat werkje is in 1866 door J. Hoüel in \'t Fransch vertaald met den titel: Etudes géométriques sur la theorie des parallèles par Lobatschewsky, suivi d\'un extrait de la correspondance de Gauss et de Schumacher, Paris, Gauthier-Villars. 1866. 2 fr. 50 c. Die Gleichkeit und Aehnlichkeit der Figuren und die Aehnlichkeit derselben, von Dr. R. Baltzer. Dresden 1852. f 0,60. Essai critique sur les principes fondamentaux de la geometrie élémentaire, par J. Hoüel. Paris 1867. 2 fr. 50 c. Des methodes dans les sciences de raisonnement par J. M. C. Duhamel. Paris, Gauthier-Villars Premiere partie, 1865, et Deuxième partie, 1866. In de tweede plaats zijn de eigenschappen, die op onmeetbare grootheden betrekking hebben, met de vereischte juistheid behandeld. Daartoe was het noodig, een hoofdstuk op te nemen over grenzen en bewerkingen met onmeetbare getallen (§ 130136). In de derde plaats maak ik opmerkzaam op de methode der grenswaarden, die onder een elementairen vorm toegepast is bij de behandeling van den cirkel. In de vierde plaats heb ik uitvoeriger dan men bij ons gewoon is de werkstukken behandeld, door de mogelijkheid der constructies aan te toonen en de verschillende gevallen na te gaan, die zich kunnen voordoen. Zie § 70 en verder. Afgescheiden van den tekst zijn eenige historische aanteekeningen toegevoegd.

		April 1869.
		J. VERSLUYS.

-ocr page 8-



		IV

		BIJ DEN TWEEDEN DRUK. De tweede druk verschilt -weinig van den eersten. Intusschen heb ik eenige kleine verbeteringen aangebracht. In den eersten druk heb ik het een en ander gezegd over onmeet- bare getallen, dat in de rekenkunde tehuis behoort, maar in geen van de toen bestaande leerboeken gevonden werd. Ofschoon die zaken uit dit boek konden weggelaten worden na het verschijnen van mijn leerboek der rekenkunde, heb ik ze laten staan. De reden hiervan is, dat dit boek ook in handen komt van leerlingen, die een ander leerboek der rekenkunde gebruiken dan het genoemde. De definitie van hoek heb ik zoodanig veranderd, dat ze overeen- stemt met de bepalingen, die ik in mijn stereometie heb gegeven van ruimte- of tweevlakshoek, drievlakshoek, enz. October 1871. J. versluys. BIJ DEN DERDEN DRUK. In deze uitgave zijn op eenige plaatsen kleine wijzigingen of verbeteringen aangebracht. Groningen, Mei 1875. J. VEH8LUT8.

		BIJ DEN VIERDEN DRUK. Opnieuw zijn eenige kleine verbeteringen aangebracht. Groningen, Nov. 1876. j. versluys.

		BIJ DEN VIJFDEN DRUK. Eenige onnauwkeurigheden zijn hersteld en het woord inhoud is vervangen door het bij vlakke figuren meer gepaste woord opper/Jak. April 1878. J. versluys. BIJ DEN ZEVENDEN DRUK. Op enkele kleine verbeteringen na is deze herdruk gelijk aan den voorgaanden. Juni 1884. j. versluys. BIJ DEN ACHTSTEN DRUK. § 70 werd uitgebreid. Verder zijn slechts eenige geringe veran- deringen aangebracht. September 1890.

-ocr page 9-




		INLEIDING.


		SI. De ruimte strekt zich onafgebroken naar alle zijden uit, zonder ergens begrensd te zijn. Een naar alle zijden begrensd deel der onbegrensde ruimte noemt men een meetkundig lichaam. Men krijgt daarvan een voor- stelling als men een lichaam, zooals het in de natuur voorkomt, beschouwt ten aanzien der ruimte, die het inneemt, zonder te letten op de stof, waaruit het bestaat. In \'t vervolg zullen wij een meet- kundig lichaam kortweg een lichaam noemen. Waar twee deelen der ruimte bij elkaar komen, hebben zij een grens. Deze grens noemt men een vlak. De grenzen van vlakken noemt men lijnen. De grenzen van lij non noemt men punten. Een punt bezit geen uitgebreidheid, geen afmeting. Door de be- weging van een punt ontstaat een lijn. Als een ljjn zich beweegt, ontstaat in \'t algemeen een vlak. Als een vlak zich beweegt, ont- staat in \'t algemeen een lichaam. Een lijn kan dus ontstaan door éen beweging, een vlak door twee en een lichaam door drie. Daarom zegt men, dat een lijn éen afmeting heeft, een vlak twee en een lichaam drie. Van lichamen, lijnen en vlakken weten wij, dat zij onbepaald deelbaar zijn, dat hun deelen onafgebroken samenhangen en niet in aard verschillen. Een samenstel van punten, lijnen of vlakken noemt men figuur. De teekeningen, die men er van vervaardigt, heeten ook figuren.

-ocr page 10-



		6

		De wetenschap, die zich bezig houdt met de beschouwing van punten, lijnen, vlakken en lichamen, noemt men meetkunde. § 2. De eigenschappen van een meetkundig figuur noemt men in \'t algemeen stellingen of theorema\'s. Vijf van die eigen- schappen heeten grondwaarheden of axioma\'s; zij worden ons door aanschouwing geleerd. Behalve van deze vijf meet- kundige grondwaarheden, die later genoemd worden, zullen wij dikwijls gebruik maken van de volgende eigenschappen, die voor alle grootheden gelden en die wij reeds in de rekenkunde toege- past hebben. 1. Als twee grootheden gelijk zijn aan een derde, zijn ze ook onderling gelijk. 2. Als men bij twee gelijke grootheden optelt gelijke grootheden, zijn de sommen gelijk. 3. Als men van gelijke grootheden aftrekt gelijke, zijn de ver- schillen gelijk. 4. Als men bij gelijke grootheden optelt ongelijke, zijn de som- men ongelijk. 5. Als men van gelijke grootheden aftrekt ongelijke, zijn de verschillen ongelijk. 6. Grootheden, die gelijknamige veelvouden zijn van dezelfde grootheid, zijn onderling gelijk. 7. Grootheden, die gelijknamige evenmatige deelen zijn van dezelfde grootheid, zijn onderling gelijk. § 3. Alle andere eigenschappen worden uit de axioma\'s en uit elkaar door redeneering afgeleid. De redeneering, waaruit blijkt, dat een stelling waar is, noemt men het bewijs der stelling. Somtijds bewijst men de waarheid eener stelling door te laten zien, dat het ontkennen dier waarheid tot iets ongerijmde leidt. Men noemt het bewijs dan indirect en ook wel bewijs uit het ongerijmde. Handelt men niet op die wijze, dan heeft men een rechtstreeksch of direct bewijs. Bij elke stelling onderscheidt men het onderstelde en het gestelde. Het bewijs laat zien, dat de waarheid van het gestelde een gevolg is van het onderstelde en van andere eigenschappen. Als men van een stelling het onderstelde en het gestelde ver-

-ocr page 11-



		7

		wisselt, ontstaat een andere stelling, die men de omgekeerde van de eerste noemt. Al is een stelling waar, kan het toch gebeuren, dat de omgekeerde niet waar is.

		L IJ » E N. § 4. Als men van een meetkundig figuur een punt als onbe- weeglijk beschouwt, dan kan de figuur om dat punt draaien en dus verschillende standen aannemen. Beschouwt men twee punten van eene figuur als onbewegelijk, dan kan deze in \'t algemeen om die punten draaien, zoodat zij verschillende standen inneemt. Dat beweeglijk zijn van een figuur om een of twee van haar punten nemen wij als grondwaarheid aan. Dus is ons Eerste axioma: Een of twee punten zijn in H algemeen onvol- doende om den stand van een meetkundig figuur vast te stellen. § 5. Wij gebruiken in het eerste axioma de woorden: in \'t algemeen. De aanschouwing leert namelijk, dat er voor elke twee punten éen lijn bestaat, die zich naar twee kanten onbepaald ver kan uitstrekken, en waarvan geen enkel punt van plaats verandert, als men de lijn om die twee punten laat wentelen. Van zulk een lijn is dus de stand volkomen bepaald door twee harer punten. Tweede axioma. Door elke twee punten kan men altijd één en niet meer dan één lijn laten gaan, die zich naar twee kanten onbepaald ver kan uitstrekken, en waarvan geen enkel punt van plaats verandert, als men de lijn om die twee punten laat wentelen. Bepaling. Die lijn noemt men een rechte lijn. Het tweede axioma luidt nu kortweg: Door twee punten gaat altijd één rechte lijn, die zich naar twee kanten onbepaald ver kan uitstrekken. Uit het tweede axioma vloeit onmiddellijk het volgende voort. 1°. Twee rechte lijnen, die met twee punten samenvallen, moeten geheel samenvallen. Men drukt dit ook uit door te zeggen, dat twee rechte Innen

-ocr page 12-



		3

		langs elkaar passen. In dien zin kan men ook zeggen, dat de deelen van een zelfde rechte lijn langs elkaar passen. 2°. Een rechte lijn kan in elk harer uiteinden altijd op één wijze verlengd worden. § 6. Bepaling. Een lijn, die niet recht is, maar uit deelen bestaat, die recht zijn, noemt men een gebroken lijn. Bepaling. Een lijn, die niet recht is en ook niet uit deelen bestaat, die recht zijn, noemt men een kromme lijn. Laat men een gebroken of een kromme lijn wentelen om twee van hare punten, dan blijven slechts een bepaald aantal punten der lijn hun plaats behouden; alle andere punten veranderen van plaats gedurende de beweging. Door dezelfde twee punten kan men dus zooveel kromme lijnen denken als men wil, die in alles overeenkomen, behalve in de plaats, welke zij innemen. § 7. Men duidt een punt aan door een letter (hoofdletter), daarbij geplaatst. Een rechte lijn duidt men aan, door twee letters, bij twee van hare punten geplaatst, achter elkander op te noemen of naast elkaar te schrijven, bijv. AB. Ook een kromme lijn duidt men vaak aan door twee letters; als echter meer kromme lijnen door dezelfde twee punten gaan moet men meer punten aanwijzen om de verschillende kromme lijnen te onderscheiden. § 8. Als twee rechte lijnen gegeven zijn, kan men de eerste zóó laten bewegen, dat twee van hare punten, A en B, met de tweede lijn samenvallen. Daartoe laat men de eerste lijn zóó bewe- gen, dat A samenvalt met een punt der tweede lijn. Terwijl nu A onbeweeglijk blijft kan de eerste lijn om dat punt wentelen (zie eerste axioma). En blijkbaar kan men nu die lijn zóó plaatsen, dat B ergens in de tweede lijn valt. § 9. Bepaling. Men zegt, dat twee rechte lijnen AB en CD even lang of gelijk zijn, als men ze zóó kan plaatsen, dat haar uiteinden samen- vallen, bijv. C met A en D met B. Men zegt in dit geval, dat A even ver van B verwijderd is als C van D. Bepaling. Als twee rechte lijnen AB en CD gegeven zijn

-ocr page 13-



		9

		en men kan de tweede langs de eerste leggen, zóó, dat C in A en D tusschen A en B valt, dan zegt men, dat de lengte van AB grooter is dan de lengte van CD. In dit geval zegt men, dat A verder van B verwijderd is, dan C van D. Bepaling. Als twee rechte lijnen EF en FG zoodanig naast p. elkaar geplaatst zijn, dat zij één rechte lijn vormen of, zooals men het ook uitdrukt, in elkaars ver- lengde vallen, dan zegt men, dat de lengte van EG gelijk is aan de som der lengten van EP en FG. Volgens de bepaling der aftrekking is nu de lengte van FG het verschil der lengten van EG en EF. Waar wij in \'t vervolg spreken van een lijn, bedoelen wij een rechte.

		VLAKKEN. § 10. Derde axioma. Er bestaat een vlak, hetwelk de eigen- schap bezit, dat elke rechte lijn, die er twee punten mede gemeen heeft, er geheel in valt. Bepaling. Zulk een vlak noemt men een plat vlak. Evenals de rechte lijn, kan ook het platte vlak zich onbepaald ver uitstrekken. Bepaling. Een vlak, dat niet plat is en waarvan de deelen ook niet plat zijn, heet een gebogen vlak. § 11. Als één of meer lijnen een bepaald gedeelte van een plat vlak begrenzen, heeft men een gesloten figuur. De lijnen vormen den omtrek of de grenzen der figuur. Zulk een figuur bezit blijk- baar de volgende eigenschap.

-ocr page 14-



		10

		Een rechte lijn, die in het platte vlak getrokken is door een punt binnen de figuur, snijdt, als zij ver genoeg verlengd wordt, den omtrek minstens tweemaal. (Viekde axioma.) § 12. Een gegeven plat vlak kan door drie gegeven punten A, B en C gebracht worden. Daartoe beginnen wij het vlak te bewe- gen, totdat een zijner punten in A gekomen is. Daarna laat men het vlak om A bewegen, totdat een van zijn punten in B geko- men is. Terwijl nu twee punten van het vlak hun plaats behouden in A en B , kan men het vlak (volgens het eerste axioma) om die twee punten laten draaien. Door die draaiing zal het vlak, dat zich onbepaald ver kan uitstrekken, blijkbaar in zulk een stand kunnen gebracht worden, dat een zijner punten in C valt. § 13. Als twee platte vlakken samenvallen met drie punten, die niet in (en rechte lijn liggen, dan vallen zij geheel samen. Bewijs. Laat A, B en C de drie punten zijn, die tot de twee vlakken behooren, dan moeten wij aantoonen, dat een willekeurig ■pi<r, 4. punt D van het eerste vlak tevens een punt is van het tweede. De rechte lijn, die getrokken iB van A naar B, ligt in beide vlakken, omdat zij met elk twee punten ge- meen heeft. Om dezelfde reden liggen BC en CA in de twee vlakken. De drie lijnen be- grenzen een bepaald gedeelte van het eerste vlak. Neem een punt K binnen dat begrensde ge- deelte en trek een lijn, die door IC en D gaat. Als die lijn aan weerszijden ver genoeg verlengd is, zal zij, volgens het axioma van §11, de grens van het bepaalde gedeelte ontmoeten in min- stens twee punten, hier in E en F. Deze liggen in de twee platte vlakken, en daarom zal de rechte lijn KD, door E en F getrokken, geheel in de twee vlakken liggen. Het punt D behoort dus zoowel tot het tweede vlak als tot het eerste. Opmerking. Men drukt deze stelling ook uit, door te zeg- gen, dat twee platte vlakken langs elkaar passen. Evenzoo mag

-ocr page 15-



		11

		men zeggen, dat twee deelen van hetzelfde plat vlak op elkaar passen. § 14. Bepalingen. Een figuur, waarvan alle deelen in het- zelfde platte vlak liggen, noemt men een vlak figuur. Een figuur, waarvan niet alle deelen in één plat vlak liggen, heet een figuur in de ruimte. Dat gedeelte der meetkunde, waarin de vlakke figuren behandeld worden, noemt men vlakke meetkunde of planimetrie. Dat gedeelte der meetkunde, waarin de figuren in de ruimte behandeld worden, noemt men meetkunde in de ruimte of stereometrie. In het volgende zullen wij ons bezighouden met figuren, waar- van alle deelen in hetzelfde platte vlak liggen, zonder dat dit er telkens bij gezegd wordt. Waar van een vlak gesproken wordt, bedoelen wij een plat vlak.

		DE CIRKEL. § 15 Bepaling. Een cirkel is een gesloten kromme lijn, waarvan alle punten in een zelfde plat vlak liggen en even ver verwijderd zijn van een zelfde punt, eveneens in dat vlak gelegen. Bepaling. Dit punt heet het middelpunt van den cirkel. Bepaling. Een lijn, die van een punt der kromme getrokken wordt naar het middelpunt, noemt men een straal. p; 5 Volgens de eerste bepaling van deze § zijn alle xtralen van een cirkel even lang. MA = MB = MC. Als men een rechte lijn in een plat vlak laat draaien om een punt M van die lijn, dan zal een ander punt A van dezelfde lijn gedurende de bewe- ging een cirkel doorloopen. De afstand van het middelpunt tot een punt D binnen den cirkel is kleiner dan de straal.

-ocr page 16-



		12

		De afstand van het middelpunt tot een punt E buiten den cirkel is grooter dan de straal. Omgekeerd zal een punt binnen den cirkel liggen, als zijn afstand tot het middelpunt kleiner is dan de straal, en een punt zal buiten den cirkel liggen, als zijn afstand tot het middelpunt grooter is dan de straal.

		HOEKEN. § 16. Bepalingen. Als twee lijnen een punt gemeen hebben, zegt men, dat zij elkaar ontmoeten of s n ij den. Het gemeenschappelijk punt noemt men het ontmoetings- of snijpunt. Als men in een plat vlak uit een punt A twee lijnen AB en AC trekt, die aan den eenen kant begrensd zijn door het punt A, en die zich aan den anderen kant onbepaald ver uitstrekken, dan wordt het platte vlak door die lijnen in twee deelen verdeeld. Elk van die deelen noemt men een hoek. (Zie fig. 6.) pj_ g De lijnen, waardoor de hoek ge- vormd wordt, zijn de beenen van den hoek. Het ontmoetingspunt der lijnen is het hoekpunt. Men duidt een hoek aan door het opnoemen van de letter, die bij het hoekpunt staat, of door het opnoe- men van drie letters, waarvan de middelste het hoekpunt aanwijst, de eerste een punt in het eene been en de derde een punt in het andere been. Men schrijft (fig. 6) hoek BAC of i BAC. § 17. Een hoek ontstaat, als men van twee samenvallende rechte lijnen de eene laat draaien om een gemeenschappelijk punt van de twee lijnen. Men stelle zich voor, dat de twee lijnen in dat gemeenschappelijk punt begrensd zijn. § 18. Bepaling. Men zegt, dat twee hoeken even groot of

-ocr page 17-



		13

		gelijk zijn, als men ze zóó kan plaatsen, dat de eene hoek den anderen juist bedekt. Bepaling. Men zegt, dat een hoek grooter is dan een andere, als men dezen zóó kan plaatsen, dat hij met den eersten het hoek- punt en het eene been gemeen heeft, terwijl zijn ander been binnen den eersten hoek valt. Kan men dus L EFGr zóó plaatsen (flg. 7), dat FE valt langs Fig_ 7_ BA en FG langs BK, dan heet L ABC grooter dan L EFG. Bepaling. Zijn twee hoeken naast elkaar ge- plaatst , zooals L ABK en L KBC (flg. 7), dan heet L ABC de som van L ABK en L KBC. Opmerking. De grootte van een hoek hangt niet af van de lengte zijner beenen. § 19. Bepaling. Een hoek heet gestrekt, als zijn eene been het verlengde is van het andere been. Stelling. Alle gestrekte hoeken zyn even groot. Bewijs. Laat BAC en DEF de gestrekte hoeken zijn. Plaats Fig. 8. AB langs ED met het punt A in E, dan zal AC langs EF vallen, omdat een rechte lijn aan één kant maar op één wijze kan verlengd worden. De beenen van den eenen hoek val- len nu langs die van den anderen, en daarom zijn de hoeken gelijk (zie § IS). § 20. Bepalingen. Een hoek, die kleiner is dan een gestrekte heet uitspringend. Een hoek, die grooter is dan een gestrekte, noemt men inspringend. Twee hoeken heeten elkaars supplement, als zij samen een gestrekten hoek vormen. Als wij in \'t vervolg van een hoek spreken, zonder nadere bepa- ling, bedoelen wij een uitspringenden.

-ocr page 18-



		14 Uit de stelling der vorige § volgt, dat twee hoeken gelijk zijn, als hunne supplementen even groot zijn. § 21. Bepaling. Als twee hoeken een been gemeen hebben, Fig. 9. terwijl de andere beenen elkaars verlengde zijn, dan noemt men ze neven hoeken. In tig. 9 zijn dus BAC en CAD nevenhoeken. Uit deze bepaling volgt onmid- delijk , dat twee nevenhoeken elkaars supplement zijn. j 22. Bepaling. De helft van een gestrekt en hoek noemt men een rechten hoek. Stelling. Alle rechte hoeken zijn even groot. Bewijs. Ze zijn de helften van gestrekte hoeken, en omdat alle gestrekte hoeken even groot zijn, moeten ook hunne helften, dus de rechte hoeken, even groot zijn (zie §2,7). § 23. Bepalingen. Een hoek, die kleiner is dan een rechte, heet scherp. Een hoek, die grooter is dan een rechte en kleiner dan een ge- strekte, heet stomp. Scherpe en stompe hoeken noemt men geza- menlijk scheeve hoeken. Als twee lijnen een rechten hoek met elkaar vormen, zegt men, Fig. 10. dat zij rechthoekig of loodrecht op elkaar staan. Men noemt dan de eene lijn een lood lijn op de andere. Als dus in fig. 10 hoek CBA recht is, dan staan AB en BC of AB en DC recht- hoekig op elkaar, en AB is een loodlijn op DC. Men noemt B het voetpunt van de loodlijn. Hoek ABC is recht, dus de helft van een gestrekten hoek; daarom is L ABD ook de\'helft van een gestrekten hoek, dus ook recht. Twee hoeken heeten elkaars complement, als zij samen een rechten hoek vormen. Uit de stelling der vorige § volgt, dat twee hoeken gelijk zijn, als hun complementen even groot zijn.

-ocr page 19-



		15

		§ 24. Bepaling. Men noemt twee hoeken overstaande hoeken, als de beenen van den eenen de verlengden zijn van de beenen van den anderen. Als dus AC en DE rechte lijnen zijn (fig. 11), dan zijn ADB en CBE overstaande hoeken. Ook zijn ABE en CBD overstaande hoeken. Stelling. Twee overstaande hoeken zijn gelijk. Fig. 11. Bewijs. Nemen wij de over- staande hoeken ABD en EBC. Zij hebben beide tot supplement ABE, en daarom zijn ze gelijk. (Zie § 20 Gevolg). Gevolg. Als van de vier hoe- ken, die gevormd worden door de .snijding van twee rechte lijnen, één recht is, dan zijn de drie anderen ook recht. § 25. Stelling. Door een punt in een lijn kan niet meer dan één lijn getrokken worden, die rechte hoeken maakt met de eerste. p; i2. Bewijs. Als AB de lijn is, E het punt en CD een lijn, die door E zoodanig getrokken is, dat L CEB recht is, dan zijn vooreerst de drie andere hoeken, die er gevormd wor- den, recht. Verder zal elke andere lijn KL, die door E gaat, met AB scheeve hoeken vormen. Zoo zijn nl. L LEB en L AEE scherp, L AEL en L BEK stomp. CD is dus de eenige loodlijn. § 26. Bepalingen. Een graad is een hoek, die negentig maal in een rechten hoek begrepen is. Een minuut is een hoek, die zestig maal in een graad begrepen is. Een seconde is een hoek, die zestig maal in een minuut begrepen is. Stelling. Alle graden zijn even groot, alle minuten zijn even groot en evenzoo alle seconden.

-ocr page 20-



		16

		Bewijs. Het gestelde volgt, met behulp van de zevende eigen- schap in § 2, onmiddellijk uit de eigenschap, dat alle rechte hoeken even groot zijn. § 27. Als men de grootte van een hoek wil uitdrukken, vergelijkt men hem met een graad als eenheid. Men ziet dan, hoeveel graden in dien hoek begrepen zijn. Blijft er een gedeelte over, kleiner dan een graad, dan bepaalt men, hoeveel minuten in dat deel begrepen zijn. Als hier iets overblijft, kleiner dan een minuut, dan ziet men, hoeveel seconden in dat overblijvende begrepen zijn. Zoo gaat men verder met tienden, honderdsten, enz. van seconden. L A = 35° 17\' 23", 1. beteekent, dat _ A bevat: 35 graden, 17 minuten, 23 seconden en 1 tiende van een seconde.

		EVENWIJDIGE LIJNEN.

		§ 28. Bepalingen. Als twee rechte lijnen AB en CD door een derde KL gesneden worden, geeft men aan de hoeken, die daarbij ontstaan, de volgende namen: p-j,, ]3_ Overeenkomstige hoe- ken zijn elk paar hoeken, die de opening naar denzelfden kant gekeerd hebben: C DOL en L BMO, L BMK en L DOK, L KMA en L MOC, L AMO en l COL. Verwisselende binnen- hoeken zijn twee hoeken, die de opening tusschen de twee lijnen hebben, aan verschillenden kant der snij lijn (KL) liggen, en geen gemeenschappelijk hoek- punt hebben. L BMO en L COM, L DOM en L AMO. Verwisselende buitenhoeken zjjn twee hoeken, die de

-ocr page 21-



		17

		opening niet tusschen de twee lijnen hebben, aan verschillen- den kant der snijlijn liggen en geen gemeenschappelijk hoekpunt bezitten. L BMK en L COL, L DOL en : KMA. Binnenhoeken aan denzelfden kant der snijlijn zijn hoeken, die de opening tusschen de twee lijnen hebben en aan denzelfden kant der snijlijn liggen. L BMO en L DOM , L AMO en L COM. Buitenhoeken aan denzelfden kant der snijlijn zijn twee hoeken, die de opening niet tusschen de twee lijnen hebben en aan denzelfden kant der snijlijn liggen. L BMK en L DOL, L COL en L KMA. § 29. Stelling. Als ttree lijnen zóó door een derde gesneden u-orden, dat tuee overeenkomstige hoeken gelijk zijn, dan zullen die twee lijnen, hoe ver ook verlengd, elkaar niet ontmoeten. Bewijs. Zij L AFE = CGF. De hoeken AFE en BFG zijn gelijk als overstaande hoeken. Evenzoo L CGF = L HGD. Men heeft dus L AFE = L. CGF = Fj_ff. 14. L BFG = L HGD. Stellen wij ons nu voor, dat de figuur door- gesneden wordt volgens de lijn HE. Draaien wij vervolgens het bovenste gedeelte der figuur zóó, dat F in G en G in F valt, dan volgt uit de gelijkheid van L AFE en L HGD, dat FA langs GD valt. Uit de gelijkheid van L. CGF en L GFB volgt, dat GC langs FB valt. Het bovenste gedeelte der figuur valt nu geheel samen met het onderste. Sneden de twee lijnen elkaar dus aan den eenen kant van HE, dan moesten zij elkaar ook aan den anderen kant snijden. Maar dan hadden de twee lijnen twee punten gemeen, en zij zouden samenvallen. Dit is echter onmogelijk, omdat wij veronderstelden, dat de twee lijnen J. veksluys, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 2

-ocr page 22-



		18

		verschillend zijn, en dus ia het ook onmogelijk, dat de twee lijnen elkaar ergens snijden. Gevolgen. 1. Twee lijnen, die rechte hoeken maken met een derde, kunnen elkaar nooit ontmoeten. 2. Door een punt buiten een lijn kan niet meer dan één lijn getrokken worden, die rechthoekig staat op de a&rde. . f. § 30. Stellingen\'. Twee lijnen, door een derde gesneden, zul- len elkaar nooit ontmoeten bij elk der volgende onderstellingen. a. Als twee verwisselende binnenhoeken gelijk zijn. b. Als twee verwisselende buitenhoeken gelijk zijn. c. Als twee binnenhoekvn aan denzelfden kant der snijlijn samen een gestrekte» hoek bedragen. d. Als twee buitenhoeken aan denzelfden kant der snijlijn samen een gestrekten hoek bedragen. pj i_4- Bewijzen. "Wij zullen in elk der gevallen aantoonen, dat twee over- eenkomstige hoeken gelijk zijn, dan volgt hieruit, volgens de vorige §, dat de twee lijnen elkaar nooit ont- moeten (fig. 14). a. Zij L AFG = L DGF. Nu heeft men i_ CGH = L DGF, als overstaande hoeken. Verder is i AFG zz 1 CGH, omdat zij beide gelijk zijn aan L DGF. "Wij hebben dus bewezen , dat twee overeenkomstige hoe- ken AFG en CGH gelijk zijn. b. Zij L AFE L DGH. Men heeft L CGE z= l DGH, als overstaande hoeken, L AFE r: L CGF, omdat zij beide gelijk zijn aan L DGH. c. Zij L CGF -f L AFG ■=: een gestrekten hoek. Nu is ook L AFE L AFG zz. een gestrekten hoek, als nevenhoeken. Verder is L CGF = i AFE, omdat zij beide tot supplement hebben L AFG. d. Zij L CGH / AFE = 180° L CGH _ CGF = 180° L AFE = L CGF, omdat zij beide tot supplement hebben L CGH.

-ocr page 23-



		19

		§ 31. Bepaling. Twee lijnen, die in hetzelfde platte vlak lig- gen en, hoe ver ook verlengd, elkaar niet ontmoeten, heeten evenwijdig of parallel. Stelling. Als een lijn AB gegeven is en een punt C buiten die lijn, kan door C altijd een lijn gaan, die evenwijdig loopt met AB. Bewijs. Zij D een willekeurig punt van AB, dan kan men zich altijd een lijn CE denken, die zóó getrokken is, dat i DCE = L CDB. En uit deze gelijk- heid vloeit volgens de vorige stelling a voort, dat CE en AB evenwijdig zijn. Hiermee is het gestelde bewezen. Verder leert ons de aan- schouwing , dat elke andere lijn, die men door C trekt, niet evenwijdig is met AB, dus AB ergens snijdt. Deze eigenschap nomen wij zonder bewijs aan; dus hebben wij als Vijfde axioma: Door een punt buiten een lijn kan maar één lijn getrokken worden, die met de eerste evenwijdig is. Gevolgen. 1. Twee lijnen, die evenwijdig zijn met een derde, zijn ook onderling evenwijdig. 2. Als een lijn één van twee evenwijdige lijnen snijdt, dan snijdt zij ook de andere. § 32. Stelling. Als twee evenwijdige lijnen door een derde ge- sneden worden, zijn de overeenkomstige hoeken gelijk. Fig. 16. Bewijs. Laat AB en CD de evenwijdige lijnen zijn, dan moeten wij bewijzen: L GFD = L GLB. Daartoe onderstellen wij, dat die twee hoeken niet gelijk waren, dan zou men door F een lijn FK kunnen trekken, zoo dat £ GFK = L GLB. Maar dan zou, volgens § 29, FK evenwijdig zijn met LB, 2*

-ocr page 24-



		20

		terwijl volgens de onderstelling\' FD evenwijdig is met LB. Door hetzelfde punt F zouden dus "twee" -iijnen getrokken zijn, beide evenwijdig met LB, en dit is onmogelijk volgens het vorige axioma. Het is dus onmogelijk, dat L GFD en L OLB ongelijk zouden zijn. Opmerking. Deze stelling is de omgekeerde van die in § 29. § 33. Stellingen. Als twee evenwijdige lijnen door een derde gesneden worden, heeft men de volgende eigenschappen. a. Verwisselende binnenhoeken zijn gelijk. b. Verwisselende buitenhoeken zijn gelijk. c. De binnenhoeken aan denzelfden kant der snijlijn zijn elkaars supplement. d. De buitenhoeken aan denzelfden kant der snijlijn zijn elkaars supplement. Bewijzen. Volgens de vorige stelling zijn de overeenkomstige hoeken gelijk, en wij kunnen dus van die eigenschap gebruik j¹; j7, maken, om er de eigenschappen van deze § uit af te leiden. a. Om aan te toonen, dat L HCB z=. L CBF, merke men op, dat beide gelijk zijn aan L EBA, de eerste als overeenkomstige hoek van EBA, de tweede als overstaande hoek. b. De verwisselende buitenhoeken DCH en EBA zijn gelijk, omdat beide gelijk zijn aan L CBE. c. Om te bewijzen: L HCB L EBC rr 180% heeft men L HCB = L HCD 180°, als nevenhoeken; L HCD := L EBC, als overeenkomstige hoeken. L HCB L EBC =: 180°. d. Om te bewijzen: L DCH L EBA 180°, heeft men L DCH L HCB = 180°, als nevenhoeken; L HCB zz. L EBA, als overeenkomstige hoeken.

		L DCH L EBA = 180°. Opmerking. Deze eigenschappen zijn de omgekeerde van die in § 30. Gevolg van c. Als twee lijnen door een derde gesneden worden zóó, dat de som van twee binnenhoeken aan een zelfden kant der

		■\'

-ocr page 25-



		21

		snijlyn kleiner dan een gestrekte hoek is, zullen die twee lijnen elkaar ergens ontmoeten. § 34. Stellino. Zijn de beenen van een hoek etenwijdig met de beenen van een anderen, dan zijn die hoeken of gelijk of elkaar8 supplement.~~%fi,^. C~~\'«■- i» >~~"■">, .>■~~\'~~. J- t^v-u- n -~~\'t «~~/^j-^tl^~~ <!\'«.\'^Ul-~~\' \'v~~ «\'~~"\' <» \'~~\'. . Fig. 18. Bewijs. Als door het punt K t±~. ■ y twee lijnen AB en CD gaan, die -»<gpa^.j>i evenwijdig zijn met de beenen van .-,■,,.,,-■ i P, dan is K het hoekpunt van vier hoeken, waarvan de beenen evenwijdig zijn met die van i P. Verlengt men nu de lijn CD, tot zij een der beenen van L P snijdt in E, dan heeft men: / CfCB ~ _ CEF, als overeenkomstige hoeken; i P ~ L CEF, als overeenkomstige hoeken; dus i P = L CKB. Verder is L AKD L* CKB, als overstaande hoeken; dus L P = L AKD. Elk der hoeken AKC en BKD maakt een gestrekten hoek met L CKB, dus ook met L P. § 35. Stelling. Staan de beenen van een hoek loodrecht op de beenen van een anderen, dan zijn die hoeken bf gelijk bf elkaars supplement. Bewijs. Als door E twee lijnen AB en CD gaan, die loodrecht p-j i9_ op de beenen van i P staan, dan is E het hoekpunt van vier hoe- ken, wier beenen loodrecht staan op die van L P. Stellen wij ons voor, dat door E een lijn EG getrokken zij, evenwijdig met PC, dan is _ CEG recht, als verwisselende binnen- hoek van L PCE. Stellen wij ons evenzoo voor, dat EF evenwjjdig loopt met PB, dan is ook L AEF recht.

-ocr page 26-



		22

		Verder is, volgens de vorige stelling, L GE F = LP; L GEF = L AEC, omdat zij hetzelfde complement hebben. Dus is : 1\' L AEC en 1P * L* BED. De hoeken BEC en AED hebben ieder tot supplement L AEC of L P. Opmerking. De voorgaande eigenschappen komen meest ■ . allo, ofschoon in andere volgorde, voor in de Elementen van euclides. Deze beroemde schrjjver leefde te Alexandrië, ten tijde van Ptolemeus Lagus, omstreeks het jaar 272 vóór onze tijdrekening. Wat de vijf axioma\'s betreft: Het eerste vindt men bij DE morgan. Het tweede axioma komt vrij onduidelijk voor in Euclides. Bij denzelfden schrijver vindt men het derde axioma, ofschoon hij het evenmin als het tweede opgeeft als axioma. In plaats van liet vijfde axioma neemt Euclides als axioma aan de eigenschap, die voorkomt § 33, Gevolg. De pogingen van een groot aantal schrijvers, om een theorie der evenwijdige lijnen te geven, zonder daarbij een axioma aan te nemen, kuunen als mislukt beschouwd worden. Intus- schen zijn ten aanzien der evenwijdige lijnen belangrijke onderzoekingen gedaan door gauss (1831), bolyai (1S32) en LOBATSCHEWSKY (1840).

-ocr page 27-



		EENVOUDIGSTE EIGENSCHAPPEN DER DRIEHOEKEN. § 36. Bepalingen. De figuur, die ontstaat als men drie pun- ten, die niet in een rechte lijn liggen, twee aan twee vereenigt door rechte lijnen, noemt men een driehoek. De drie lijnen noemt men de z ij d e n van den driehoek. De hoeken, die de lijnen met elkaar maken, noemt men de hoeken van den driehoek. De punten noemt men de hoekpunten van den driehoek. Een hoek, die gevormd wordt door een der zijden en het ver- lengde van een andere zijde, noemt men een buitenhoek van -den driehoek. In plaats van het woord driehoek gebruikt men soms het teeken a Opmerking. Men duidt een driehoek aan door het opnoemen van de letters, die bij de hoekpunten geplaatst zijn, bijv. driehoek ABC (fig. 20). § 37. Stellikg. De hoeken van een driehoek bedragen samen «en gestrekten hoek. Bewijs. Als de zijde AB verlengd is, en als door B een lijn pj_ 20. ^E S^aa^i die evenwijdig loopt met AC, dan is L EBD = L A, als overeenkomstige hoeken, en L CBE = C, als verwisselende binnen- hoeken. De drie hoeken, die hun hoekpunt in B hebben, bedragen samen een gestrekten hoek ABD, en volgens het voorgaande zijn die hoeken gelijk aan die van den driehoek. Gevolgen. 1. Een buitenhoek van een driehoek is gelijk aan de som van de twee niet^aanliggende hoeken. L CBD = L A L C.

-ocr page 28-



		24

		2. In een driehoek kan niet meer dan één hoek recht of stomp zijn. 8. In een driehoek,■ waarvan één hoek recht is, zijn de twee andere elkaars complement. 4. Als twee hoeken van een driehoek gelijk zijn aan twee hoeken van een anderen driehoek, dan is de derde hoek van den eersten driehoek gelijk aan den derden hoek van den tweeden driehoek. § 38. Bepalingen. Een driehoek, waarvan één hoek stomp is, noemt men een stomphoekigen driehoek of een stompen driehoek. Een driehoek, waarvan één hoek recht is, noemt men een recht- hoekigen driehoek of een rechten driehoek. Een driehoek, waarvan alle hoeken scherp zijn, noemt men een scherphoekigen driehoek of een scherpen driehoek. In een rechten driehoek heet de zijde, die tegenover den rechten hoek staat, hypotenusa of schuine zijde. De twee andere zijden heeten rechthoekszij den. § 39. Stelling. Als in een driehoek twee zijden gelijk zijn, dan zijn de hoeken tegenover die zijden ook gelijk. Fig. 21. Onderstelde. AB = BC. Gestelde, l C zz l A. Bewijs. Stellen wij ons voor, dat de drie- hoek opgenomen en omgekeerd wordt en dat men hem zóó neerlegt, dat BC valt, waar eerst BA lag. Omdat BA = BC, valt C, waar eerst A lag, en A, waar eerst C lag. De hoek BCA valt dus, waar eerst L BAC lag, zoodat wij hebben L BCA = L BAC. § 40. Bepalingen. Een driehoek, waarvan twee zijden even ang zijn, noemt men een gelijkbeenigen driehoek. De gelijke zijden noemt men de beenen van den driehoek. De andere zijde heet de basis of grondlijn. De hoek tegenover de basis wordt top hoek genoemd, en zj,n hoekpunt het toppunt van den driehoek. Een driehoek, waarvan alle zijden even lang zijn, noemt men een gelijkzijdigen driehoek.

-ocr page 29-



		25

		Een driehoek, waarvan de drie zijden verschillen in lengte, noemt men ongeljjkzijdigen driehoek. De loodlijnen, die men uit de hoekpunten van een driehoek kan neerlaten op de overstaande zijden, noemt men de loodlijnen van den driehoek. De naam basis wordt ook dikwijls gegeven aan een der zijden van een willekeurigen driehoek, onverschillig welke zijde. De andere zijden noemt men dan opstaande zijden. De loodlijn, die men cp de basis kan neerlaten uit het overstaande hoekpunt, noemt men de hoogte van den driehoek. Opmerking. Na de voorgaande bepalingen gegeven te hebben, kunnen wij de eigenschap der vorige § ook aldus uitdrukken: In een gelijkbeenigen driehoek zijn de hoeken aan de basis even groot. Gevolgen. 1. In een gelijkbeenigen driehoek zijn de hoeken aan de basis scherp. 2. In een gelijkzijdigen driehoek zijn alle hoeken even groot. § 41. Stelling. Als in een driehoek twee zijden ongelijk zijn, dan is de hoek tegenover de grootste der twee zijden grooter dan de hoek tegenover de kleinste der twee zijden. pj 22. Onderstelde. AB > BC, Gestelde, l BCA >"B6-i\\.- Bewijs. Neem BD BC en trek HSgPf* CD, dan is driehoek BCD gelijkbeenig, Jw^sc ^waaru\'t volgt lil - ^BCD ⁼ ^L ^BDC- sfllll Omdat CD binnen den driehoek moet vallen, is altijd L BCA > _L BCD. In driehoek ACD is verder L BDC een buitenhoek en i, A een binnenhoek, zoodat volgens § 37, 1 L BDC > L A. L A is dus kleiner en i BCA grooter dan een hoek aan de basis in den gelijkbeenigen driehoek, waaruit volgt L BCA > L A. § 42. STELLINGEN. Als in een driehoek twee hoeken even groot

-ocr page 30-



		26

		zijn, dan zijn de zijden tegenover die hoeken even lang, en de drie- hoek is dus gelijkbeenig. Als in een driehoek twee hoeken ongelijk zijn, dan staat tegen- over den grootsten der twee hoeken de grootste zijde. Bewijs. Duiden wij twee hoeken van een driehoek aan door A en B, de zijden tegenover die hoeken door a en h, dan zijn ten aanzien van o en b drie onderstellingen mogelijk a=.b,a>b,a<b . . . . (1) Daaruit volgen, volgens de vorige eigenschappen, respectievelijk A = B, A > B, A < B ... (2) Weet men nu omgekeerd A B, dan kan niet zijn a > Ij, omdat dit ten gevolge heeft A > B. Men kan ook niet hebben a < b, want dan was A < B. Men weet dus, dat uit A B volgt a b. Weet men A > B, dan kan men niet hebben a =: b, omdat hieruit zou volgen A = B. Men kan ook niet hebben a < b, omdat alsdan A < B zou zijn. Uit A > B volgt dus a > b. Weet men, dat A < B, dan kan niet zijn a = b, omdat hieruit zou volgen Ar B. Men kan dan ook niet hebben a > b, omdat A > B daarvan het gevolg zou zijn. Uit A < B volgt dus a < b. Gevolgen. 1. In een rechthoekigen driehoek is de hypotenusa de grootste zijde. 2. In een stomphoekigen driehoek is de zijde tegenover den stom- pen hoek de grootste. 3. Een driehoek, waarvan alle hoeken even groot zijn, is gelijkzijdig. § 43. De stellingen der vorige § zijn de omgekeerden van die in § 39 en § 41. De bewijzen, die wij voor de omgekeerde stellin- gen gegeven hebben, zijn indirect. Bij de voorgaande manier van betoogen verdienen twee omstandigheden vooral onze aandacht. "Vooreerst zijn in de rij (1) alle mogelijke onderstellingen gemaakt. Ten tweede zijn de gevolgen (2), welke respectievelijk met die onderstellingen overeenkomen, alle verschillend en van dien aard, dat geen twee te gelijk kunnen waar zijn. Zoo dikwijls die twee omstandigheden bestaan bij eenige eigenschappen, kan men de

-ocr page 31-

omgekeerde eigenschappen volkomen op dezelfde wijze aantoonen
als in de vorige § is gedaan. Men kan dus in zulke gevallen, ook
zonder nader bewijs, zeker zijn van de waarheid der omgekeerde
stellingen. Als algemeene regel, dien wij dikwijls zullen toepassen,
geldt nu:

Als men in een reeks van eigenschappen alle onderstellingen heeft
genomen, die mogelijk zijn voor eene bepaalde zaak, en als die
onderstellingen geleid hebben tol gevolgen, die alle verschillend zijn
en van dien aard, dat geen twee te gelijk kunnen waar zijn, dan
zijn noodzakelijk de omgekeerde stellingen ook waar.

§ 44. Stelling. De som van twee zijden eens driehoeks is

èüc.

Gestelde. AB BC > A-B-.

Bewijs. Als AB verlengd is, zóó
dat BD = BC, en als D met C
vereenigd is, dan heeft men AD =
AB -f- BC, en men moet slechts
aantoonen AD > AC.

grooter dan de derde zijde.
Wie. 23.

Uit BC = BD volgt:

L BDC = l BOD
L ACD > L BCD
L ACD > l BDC.
Dus volgens § 42 AD > AC.

§ 45. Stelling. Het verschil van twee zijden eens driehoeks is
kleiner dan de derde zijde.

Bewijs. Als a, b en c de drie zijden zijn, heeft men
a < b c,
b b.
ab < c.

§ 46. Stelling. De som van twee
zijden eens driehoeks is grooter dan de
som van twee lijnen, die éénpunt binnen
den driehoek verbinden met de uiteinden
der derde zijde.
Gestelde. AD BD < AC BC.

Bewijs.

Als AD verlengd is tot in E, dan is

-ocr page 32-



		2ö

		BD < DE BE, AD DE < AC EC._______ AD BD -f DE < DE BC AC. _______DE = DE. AD BD < BC AC.

		GELIJK- EN GELIJKVORMIGHEID DER DRIEHOEKEN. § 47. Bepaling. Twee driehoeken heeten gelijk en gel ij k- vormig, als de zijden en hoeken van den eenen driehoek gelijk zijn aan die van den anderen. Gelijk en gelijkvormig duidt men aan door cv. In de volgende paragrafen zullen wij zien, dat het in vele gevallen mogelijk is, om uit de gelijkheid van enkele der zijden en hoeken tot die der andere te besluiten. De gelijke zijden noemt men ook wel gelijkstandige zijden, en de hoekpunten der gelijke hoeken overeenkomstige hoek- punten. Bij het aanduiden van twee cy driehoeken ABC en DSP kiest men de volgorde der letters zóó, dat A overeenkomstig is met D, B met S en C met P. § 48. Stellino. Twee driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig, als twee zijden met den ingesloten hoek van den eenen driehoek gelijk zijn aan twee zijden met den ingesloten hoek van den anderen driehoek. Onderstelde AB = DE, BC = EF, L ABC z= L DEF. Gestelde. AC = DF, L CAB = L FDE, L ACB = L DFE. Bewijs. Omdat L B = L E, kan men den driehoek DEP zoo plaatsen, dat E in B valt, EF langs BC, ED langs BA. Omdat BC = EF, valt F in C, en uit ED ;= BA volgt, dat D in A valt. De driehoeken kunnen dus elkaar volkomen bedekken, zoodat wij hebben AC = DF, L A = L D, L C = L F.

-ocr page 33-



		29 § 49. Stelling. Twee driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig, ah zij een zijde en de twee aanliggende hoeken gelijk hebben. Onderstelde. AB = DE, L A t_ T>, L B = L E. Bewijs. Plaats driehoek DEF zóó, dat DE op AB valt en dat j?j 26. F ^aan denzelfden kant van AB komt als C. Omdat L D = L A, zal DF langs AC vallen. Omdat i E = L B, zal EF langs BC vallen. De twee driehoeken kun- nen elkaar dus volkomen bedekken, en daarom zijn zij tv. ", § 50. Stelling. Twee driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig, als zij een zijde, den overstaanden hoek en een aanliggenden hoek gelijk hebben. j: Bewijs. Yolgens § 37, 4 zullen de driehoeken, die twee hoeken gelijk hebben, ook den derden hoek gelijk hebben. Zij hebben dus hier een zijde en de twee aanliggende hoeken gelijk, en daarom zijn ze, volgens do vorige §, gelijk en gelijkvorniig. § 51. Stelling. Twee driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig, als de zijden van den eenen gelijk zijn aan die van den anderen. Onderstelde.\' AB\'= DE, AC = DF, BC = EF. Fisr. 27. Bewijs. Plaats ABC zóó, dat twee gelijke zijden AB en DE sa- menvallen en dat de hoekpunten C en F aan verschillenden kant van DE vallen. Stellen wij ons voor, dat door F en O de rechte lijn FG getrokken zij, dan volgt uit EF = EG L EFG = L EGF. Uit DF ■= DG volgt L MS& L DGF. L DFE = L DGE = (C.

-ocr page 34-



		30

		De driehoeken ABC en DEF hebben dus twee zijden en den ingesloten hoek gelijk, L C L DEF7 en zijn, volgens § 48, gelijk en gelijkvormig. ..V § 52. Stelling. Twee driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig, als zij twee zijden en een hoek over een dier zijden gelijk hebben, en als bovendien de hoeken, die in de twee driehoeken tegenover de andere zijde staan, gelijksoortig zijn, d. i. beide scherp, beide recht of beide stomp. Osdekstelde. AB r= DE, BC = EF, U = [D, L BCA en i F gelijksoortig. Bewijs. Dewijl AB =r DE, kan men driehoek DEF zóó plaat- sen, dat D in A en E in B valt. Als nu F en C aan denzelfden Fig. 28. kant van AB lig- gen , dan zal DF langs AC vallen. EF zal langs BC vallen of zij zal dit niet doen. In het eerste geval bedek- ken de driehoeken elkaar, en het gestelde is dan bewezen. Als daarentegen E F niet langs BC, maar bijv. in BK valt, heeft men EF =r BK :=: BC, en daaruit volgt [ BCK r: BKC. Deze zijn dus beide scherp en L ACB is dan stomp. Maar dan zijn L ACB en L AKB of L DFE en L AKB ongelijksoortig. Dit is echter onmogelijk, omdat de twee voorgaande hoeken vol- gens de onderstelling gelijksoortig zijn. Het is dus ook onmogelijk, dat EF ergens anders valt dan langs BC. Gevolgen. 1. Als twee driehoeken, die twee zijden en een hoek over een dier zijden gelijk hebben, niet gelijk en gelijkvormig zijn, dan zijn de hoeken tegenover de andere van die zijden elkaars supplement. 2. Twee driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig, als zij twee zijden en den hoek tegenover de grootste der twee zijden gelijk hebben. Men merke slechts op, dat de hoek tegenover de kleinste der

-ocr page 35-



		Al

		twee zijden noodzakelijk scherp is in elk der driehoeken; zoodat de twee hoeken tegenover het kleinste paar zijden gelijksoortig zijn. § 53. Uit de vijf vorige stellingen blijkt, dat in \'t algemeen drie gelijkheden noodig en voldoende zijn om te besluiten tot de gelijk- en gelijkvormigheid van twee driehoeken. Onder de drie is minstens één gelijkheid van zijden. Tevens is gebleken, dat gelijke zijden steeds tegenover gelijke hoeken staan. Men noemt de vijf voorgaande eigenschappen dikwijls de vijf gevallen van gelijk- en gelijkvormigheid der driehoeken. Uit die stellingen blijkt, dat een driehoek volkomen bepaald is (d. w. z. dat slechts één driehoek mogelijk is), zoodra bekend zijn: 1. Twee zijden en de ingesloten hoek. 2. Een zijde en de twee aanliggende hoeken. 3. Een zijde, die overstaande hoek en een aanliggende hoek. 4. De drie zijden. 5. Twee zijden en de hoek tegenover de grootste der twee zijden. § 54. Daar twee rechthoekige driehoeken altijd den rechten hoek gelijk hebben, zoo moeten nog twee gelijkheden daarenboven be- kend zijn om tot de gelijk- en gelijkvormigheid der driehoeken te kunnen besluiten. \'Wij hebben dus als bijzondere gevallen, dat twee rechthoekige driehoeken gelijk en gelijkvormig zijn, als zij gelijk hebben: 1. De twee rechthoekszijden, of 2. Een rechthoekszijde en de hypotenusa, of 3. Een rechthoekszijde en een der scherpe hoeken, of 4. De hypotenusa en een der scherpe hoeken. § 55. Past men de gevallen van gelijk- en gelijkvormigheid der driehoeken toe op gelijkbeenige driehoeken, dan ziet men, dat deze gelijk moeten hebben: 1. Een der boenen en den tophoek, of 2. De basis en een hoek aan de basis, of 3. De basis en de tophoek, of 4. Een been en een hoek aan de basis, of 5. De basis en een been. Daar de hoeken van een gelijkzljdigen a ieder 60° bevatten, zoo hebben twee gelijkzijdige driehoeken in elk geval de hoeken

-ocr page 36-



		32

		gelijk. Opdat dus twee gelijkzijdige driehoeken gelijk en gelijkvor- mig zijn is noodig en voldoende, dat een zijde van den eenen drie- hoek gelijk is aan een zijde van den anderen.

		TOEPASSINGEN VAN DE EENVOUDIGSTE EIGENSCHAP- PEN EN VAN DE GELIJK- EN GELIJKVOR- MIGHEID DER DRIEHOEKEN. § 56. Stelling. De lijn, die den tophoek van een gélijkbeenigen driehoek middendoor deelt, deelt de grondlijn rechthoekig middendoor. Onderstelde. AC ■=. BC, L ACD = l BCD. Gestelde. AD = BD, l CDA = . CDB. Fi". 29. Bewijs. De driehoeken ACD en BOD zijn ^, want men heeft AC = BC, CD = CD, L ACD = L BCD. De andere zijden en hoeken van ACD en BCD zijn daarom ook gelijk; dus AD = BD, L ADC = L BDC. Daar deze twee hoeken samen een gestrekten hoek vormen en even groot zijn, moet ieder recht zijn. Daar nu AD = BD, terwijl CD rechthoekig op AB staat, is het gestelde bewezen. § 57. Stelling. De lijn, die het toppunt van een gélijkbeenigen driehoek verbindt met het midden der basis, deelt den tophoek middendoor en staat loodrecht op de basis. Onderstelde. AC = BC, AD = BD. Gestelde. L ACD = L BCD, L ADC = L BDC. Bewijs. De driehoeken ACD en BCD hebben de zijden geljjk, en zijn dus gelijk en gelijkvormig. Hieruit volgt onmiddellijk het gestelde.

-ocr page 37-

§ 58. Stelling. De lijn, die door het toppunt van een gelijk-
beenigen driehoek gaat en rechthoekig op de basis staat, deelt den
tophoek en de basis middendoor.
Onderstelde. AC = BC, L ADC = L BDC = 90°.
Gestelde, l ACD = L BCD, AD = BD.

Fig. 30.

Bewijs. De driehoeken ACD en BCD zijn

rechthoekig, en hebben gelijke hypotenusa\'s AC
= BC, alsmede een gemeenschappelijke recht-
hoekszijde CD. Die twee driehoeken zijn dus gelijk
en gelijkvormig, en hieruit volgt AD = BD en
L ACD = L BCD.

§ 59. Stellingen. 1. Elk punt van de lijn ,
die AB rechthoekig middendoor deelt, ligt op gelijke
afstanden van A en B.
2. Elk punt buiten de lijn, die AB rechthoekig middendoor
deelt, ligt op ongelijke afstanden van A en B. Zie flg. 81.
Onderstelde. AC = BC, L ACD = L BCD 90°.
Gestelde. 1°. AD = BD, 2°. AE en BE zijn ongelijk.

Fig. 31.

Bewijzen. 1°. De driehoeken ACD

en BCD zijn rechthoekig en hebben
de rechthoekszijden gelijk, volgens het
onderstelde. Zij zijn dus gelijk en ge-
lijkvormig en hebben daarom de hypo-
tenusa\'s gelijk, AD = BD.

2°. Verbind D met B, dan ia vol-
gens het vorige AD rr BD. In drie-
hoek BDE is
BE < BD DE,
of BE < AD -(- DE,
of BE < AE.
§ 60. In de twee vorige stellingen hebben wij gesproken van
een punt in de lood lijn, die AB middendoor deelt, en van een
punt buiten de loodlijn. Dat zijn de eenige onderstellingen, die
men kan maken omtrent de ligging van een punt. Wij zijn daarbij
respectievelijk gekomen tot de gevolgen: gelijke afstanden van
A en van B en ongelijke afstanden. Deze twee gevolgen kun-
J. versluys, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 3

-ocr page 38-



		34

		nen niet te gelijk waar zijn, en volgens den algemeenen regel van § 43 zijn nu do omgekeerde van de twee stellingen noodzakelijk waar, dus: 1. Als een punt op gelijke afstanden van A en van B ligt, moet het liggen in de lijn, die AB rechthoekig middendoor deelt. 2. Als een punt op ongelijke afstanden van A. en van B ligt, moet het buiten de lijn liggen, die AB rechthoekig middendoor deelt. Ten overvloede zullen wij nog de bewijzen uit het ongerijmde, die ons tot den algemeenen regel in § 43 geleid hebben, toepassen op dezo twee stellingen, als bijzondere gevallen. Later wordt de algemeene regel gebruikt en het toepassen van het bewijs op de bijzondere gevallen, ofschoon overbodig, als eene nuttige oefening aan den leerling overgelaten. Bewijzen. 1. Als de afstanden van een punt tot A en B gelijk zijn, kan het niet buiten de loodlijn liggen, omdat alsdan de afstanden (volgens de vorige stelling 2°) ongelijk zouden zijn, terwijl /.ij volgens de onderstelling gelijk zijn. Het punt moet dus in de loodlijn liggen. 2. Als de afstanden van een punt tot A en B ongelijk zijn, kan het niet in de loodlijn liggen, omdat alsdan volgens de eerste stelling der vorige § de afstanden gelijk zouden zijn, terwijl zij volgens de onderstelling ongelijk zijn. Het punt moet dus buiten de loodlijn liggen. § 61. Het is gebleken, dat alle punten van de lijn, die AB rechthoekig middendoor deelt, evenver verwijderd zijn van A als van B en dat de punten der loodlijn de eenige zijn, die deze eigen- schap bezitten. Men vat die twee stellingen samen door te zeggen: De lijn, die AB rechthoekig middendoor deelt, is de meetkun- dige plaats der punten, die evenver van A als van B verwij- derd zijn. Bepaling. Men noemt een figuur een meetkundige plaats, als al hare punten aan een zelfde voorwaarde voldoen, terwjjl elk punt buiten de figuur die eigenschap niet bezit. Oin te laten zien, dat een kromme lijn of één of meer rechte lijnen een meetkundige plaats vormen, zijn dus altijd twee eigenschappen noodig.

-ocr page 39-



		35

		Opmerking. Volgens de vorige bepaling is de cirkel de meet- kundige plaats van alle punten die in een plat vlak liggen en op gegeven afstand verwijderd zijn van een punt in dat zelfde vlak. § 62. Door een punt buiten een lijn kan (volgens § 29, Qev. 2) niet meer dan ééne lijn getrokken worden, die loodrecht op de eerste staat, terwijl men verschuilende lijnen kan trekken, die scheeve hoeken maken met de eerste. Het punt, dat een schuine lijn met de eerste gemeen heeft, noemt men het voetpunt der schuine lijn. Als door een zelfde punt een loodlijn en verschillende schuine lijnen getrokken zijn, gelden de Stellingen. 1. De loodlijn is korter dan een der schuine lijnen. 2. Twee schuine lijnen, wier voetpunten even ver verwijderd zijn van het voetpunt der loodlijn, zijn even lang. 3. Een schuine lijn is langer, naarmate haar voetpunt verder van het voetpunt der loodlijn verwijderd is. Bewijzen. 1. Als OA een loodlijn is en OB eene schuine lijn, is dtiehoek OAB rechthoekig en de hypotenusa OB is langer dan de rechthoekszijde OA. 2. Als AB AC, zijn de drie- hoeken OAB en OAC gelijk en gelijk- vormig, omdat zij rechthoekig zijn en de rechthoekszijden gelijk hebben. De hypotenusa\'s OB en OC zijn dus gelijk. 3. Als AD > AB, is driehoek OBD stomp in B, omdat L OBA scherp is. V.n in een stomphoekigen driehoek is de zijde tegenover den stompen hoek de grootste, dus OD > OB. Liggen de voetpunten der schuine lijnen aan verschillenden kant van het voetpunt der loodlijn, zooals C en D, dan heeft men OD > OB, en omdat (volgens 2) OB = OC, OD > OC. Gevolg. Uit een punt buiten een lijn kunnen naar die lijn niet meer dan twee schuine lijnen getrokken worden die even lang zijn. Alle andere lijnen zijn langer of korter. Bepaling. De lengte der loodlijn noemt men den afstand van het punt tot de lyn. 3*

-ocr page 40-



		36

		§ 63. Stelling. Door een punt"\'buiten een lijn kan altijd één andere getrokken worden, die loodrecht op de eerste staat. Bewijs. Zij P het punt buiten de lijn AB. Dat er niet meer dan een loodlijn mogelijk is, hebben wij reeds in § 29, 2 gezien. Dat er altijd een is, blijkt uit het volgende. Stellen wij ons voor, Fie. 33. °-at door P een willekeurige lijn PA getrokken zij, dan is dit óf een lood- lijn öf eene schuine lijn. In het eer- ste geval is het gestelde bewezen. In het tweede geval is één der twee hoe- ken, bijv. PAB, scherp. Men kan zich dan verder voorstellen, dat in het punt P, aan denzelfden kant van PA, als waar de scherpe hoek ligt, een hoek APO geplaatst zij , die het complement is van L PAC; dan is L PAC L P = 90°; er blijft dus in den driehoek PAC voor L C nog 90° over; en hiermee is het gestelde bewezen. Gevolgen. 1. Als uit een punt buiten een lijn een sehuine lijn getrokken is naar de eerste, dan kan men altijd een tweede schuine lijn trekken, die even lang is als de schuine lijn, jvelke reeds ge- trokken is ^t^^J\'\'\' ^e~ \'^f* A^\'* - ("■{* " > «-- ^/\' riOKKen is.* f«,.U.( W.V!"\' \'■■ 2. Als uit P naar AB een lijn getrokken is, die kleiner is dan elke andere lij», die men uit P kan trekken, dan is de eerste de loodlijn. 3. Ah uit P naar een lijn twee schuine lijnen getrokken zijn, die even lang zijn, dan liggen hare voetpunten even ver van het voetpunt der loodlijn, die men uit P kan trekken. i. Als uit P naar een lijn twee schuine lijnen getrokken zijn, die verschillen in lengte, dan ligt het voetpunt der langste het verst van het voetpunt der loodlijn, die men uit P kan trekken. Opmerkingen. Men zegt van de loodlijn PC, dat zij uit P neergelaten is op AB. Als men een loodlijn trekt, waarvan het voetpunt gegeven is, dan zegt men, dat de loodlijn in dat punt opgericht wordt op de gegeven lijn. § 64. Stellingen. I. Elk punt van de lijn, die een hoek

-ocr page 41-



		37

		middendoor deelt, ligt op gelijke afstanden van de beenen van den hoek. 2. Elk punt binnen den hoek, maar buiten de lijn, die den hoek middendoor deelt, ligt op ongelijke afstanden van de beenen van den hoek. Onderstelde, l ABL rr L CBL. Gestelde. 1°. DE = DF; 2°. GA en GC zijn ongelijk. Bewijzen. 1. De rechthoekige driehoeken BDE en BDF heb- Fig. 34. ben de hypotenusa BD gemeen en een scherpen hoek gelijk, L DBE = L DBF; zij zijn dus gelijk en gelijkvormig. Daaruit volgt DE =: DF. 2. Zij LK de lijn, die door L gaat en rechthoekig op BC staat, en zij KG de lijn, welke het voetpunt van die loodlijn met G vereenigt. Nu is LA = LK en KG > CG. Verder is LK LG > CG.Vtg. ■ LK^CGL . of LA LG > CG, tK-t-LC->K\'(y! of AG > CG. § 65. Door toepassing van den algemeenen regel van § 43 ver- krijgt men, ten aanzien van de punten binnen een hoek, de Stellingen. 1. Als een punt op gelijke afstanden van de beenen van een hoek ligt, dan is het een punt van de lijn, die den hoek middendoor deelt. 2. Als een punt zich op ongelijke afstanden van de beenen van een hoek bevindt, ligt het buiten de lijn, die den hoek middendoor deelt. § 66. Stellino. Als twee driehoeken twee zijden gelijk hebben, en de ingesloten hoek bij den eersten driehoek grooter is dan die bij den tweeden, zoo is ook de derde zijde van den eersten driehoek grooter dan die van den tweeden. Onderstelde. AC = DF, AB = DE, l FDE > t A. Gestelde. EF > BC. Bewijs. Plaats driehoek ABC tegen driehoek DEF, zoo dat AB in DE valt en AC in DG. De ljjn, die L FDG middendoor deelt,

-ocr page 42-



		38

		valt binnen L FDE en ontmoet dus FE in een punt H. Als verder H vereenigd is met G, dan hebben de driehoeken FDH en GDH twee zijden en den in- gesloten hoek gelijk; zij zijn dus =v_:. Hieruit volgt FO GH. Verder is GH HE > GE, FH HE > BC,r\' C FE > BC. § 67. Noemen wij nu in twee driehoeken, die twee zijden gelijk hebben, de ingesloten hoeken A en D en de overstaande zijden a en d, dan ziet men volgens deze stelling, dat uit A > D volgt o > d, uit A < D volgt o < d, en uit A D volgt a z=. d, volgens § 48. Hiermede zijn ten aanzien van A on D alle mogelijke onderstel- lingen gemaakt, en deze hebben tot gevolgen geleid, die alle ver- schillend zijn en van dien aard, dat geen twee te gelijk kunnen waar zijn. De omgekeerde stellingen zijn dus (zie § 43) ook waar. Van de derde eigenschap is de omgekeerde reeds in § 51 bewezen. De omgekeerde van de twee andere gevallen kunnen wij samen- vatten in de Stelling: Als twee zijden van een driehoek yelijk zijn aan twee zijden van een anderen en de overige zijden zijn ongelijk, dan staat tegenover de grootere zijde een grootere hoek.

		WERKSTUKKEN. § 68. In dit hoofdstak worden eenige der eigenschappen, die tot dusver behandeld zijn, toegepast tot de samenstelling van figuren. Bepaling. De opgave, waarin gevraagd wordt een figuur samen te stellen, noemt men een werkstuk. Bepaling. Het samenstellen der figuur noemt men oonstrueeren. Bij ieder werkstuk wordt in een opmerking besproken, of het

-ocr page 43-



		39

		altijd mogelijk is een figuur te construeeren, dat aan de vereischten voldoet, en of er verschillende figuren kunnen zijn, die ieder aan -de gestelde voorwaarden voldoen. Even als de stellingen der meetkunde berusten op vier grond- waarheden of axioma\'s, zoo moet men bij het samenstellen der figuren eenige verrichtingen beschouwen als onmiddellijk uitvoerbaar. Het aantal van die bewerkingen is voor de vlakke meetkunde drie. Bepalino. Men geeft den naam postulaten aan de verrich- tingen , die men bij het samenstellen van een figuur als onmiddellijk uitvoerbaar beschouwt. § 69. Eerste postulaat. Een rechte lijn trekken, die twee gegeven punten tot uiteinden heeft. Tweede postulaat. Een gegeven lijn aan elk hater uiteinden verlengen. Derde postulaat. In een gegeven vlak een cirkel beschrijven, ivaarvan het middelpunt en de lengte der stralen gegeven zijn. § 70. Werkstuk. Een driehoek te construeeren, die drie gege- ven lijnen tot zijden heeft. Constructie. Laat a, b en e de drie gegeven lijnen zijn. Trek een lijn BC gelijk aan a. Beschrijf uit B als middelpunt met p. g c als straal een cirkelboog. Beschrijf uit C als middel- punt met b als straal een cir- kelboog. Als die twee cirkel- bogen elkaar snijden in A, behoeft men slechts A met B en met C te vereenigen door rechte lijnen om een drie- hoek ABC te verkrijgen , die a, b en c tot zijden heeft. Opmerking. Als twee driehoeken de drie zijden gelijk hebben, kunnen zij elkaar volkomen bedekken. Er zijn dus geen twee ver- schillende driehoeken mogelijk, die «, b en c tot zijden hebben. Uit de §§ 44 en 45 blijkt, dat geen enkele driehoek mogelijk is, die «, A en c tot zijden heeft, indien niet te gelijk a<b-\\-cena> cb (waarin c > of := b).

-ocr page 44-



		40

		In het volgende zullen wij laten zien, dat er een driehoek is, die aan \'t gestelde voldoet, zoodra de twee bovenstaande voor- waarden vervuld zijn. Daartoe moeten wij slechts aantoonen, dat de twee cirkels, die in de constructie voorkomen, een punt gemeen hebben, dat buiten BC en haar verlengde ligt. Als de eene cirkel °\' \' geheel buiten den ande- ren lag (zooals in fig. 37a) zou men hebben BC > BD CE of a > e b. Indien dus gegeven i& a < c b kan niet de eene cir- kel geheel buiten den anderen liggen.

		Fig. 376.		Als de eene cirkel ge-

		heel binnen den anderen lag (zooals in fig. 376) zou men hebben BC < BD CE of o < e b. Indien dus gegeven is a > c b kan niet de eene cirkel geheel binnen den anderen liggen. Maar als de eene cirkel niet geheel buiten en ook niet geheel binnen den anderen kan liggen, moeten ze minstens één punt gemeen hebben. Als dat punt op BC zelf lag, zouden we hebben a b -f- c, en dit strijdt tegen het onderstelde, dat a < i c. Dat punt kan dus niet liggen op BC zelf. Dat punt kan ook niet op het verlengde van BC liggen, want dan moest a c b zjjn, en dit strijdt tegen het onderstelde, dat a>c b.

-ocr page 45-



		41

		Aangezien du de twee cirkels een punt moeten gemeen hebben, en aangezien dit punt niet op BC of het verlengde kan liggen, moeten de cirkels minstens één punt gemeen hebben, dat buiten BC en haar verlengde ligt. Hiermede is het gestelde bewezen. Gevolgen. 1. Men kan altijd een gelijkzijdigen driehoek be- schrijven, die een willekeurige lijn tot zijde heeft. 2. Men kan altijd een driehoek beschrijven, die gelijk en gelijk- vormig is met een gegeven driehoek. § 71. "Werkstuk. Door een punt in een lijn een andere lijn te trekken, die met de eerste een hoek maakt, gelijk aan een gege- ven hoek. Constructie. Zij A het punt, dat in de lijn AB gegeven is, en P de gegeven hoek. Neem op de beenen van L P twee gelijke stukken PC en PD. Fig. 38. Neem op de lijn AB een stuk AE, gelijk aan PC, en beschrijf verder een driehoek AEF, die gelijk en gelijkvor- mig is met PCD, dan volgt uit de gelijk- en gelijkvor- migheid der driehoeken L A * i* P. Opmerking. Omdat de constructie van den driehoek AEF altijd mogelijk is (zie de vorige §, Gevolg 2) kan men door het punt A altjjd eene lijn trekken zóó, dat L BAF = [P, Door den driehoek aan den anderen kant van AB te laten vallen, verkrijgt men een tweede lijn, die aan het vereischte voldoet. Door verder het stuk AE aan den anderen kant van A te plaat- sen zou men twee lijnen vinden, die de verlengden der twee reeds gevonden lijnen zijn. Die twee lijnen maken slechts een enkele uit, als _ P recht is. § 72. Werkstuk. Als twee hoeken van een driehoek gegeven zijn vraagt men den derden te construeeren.

-ocr page 46-



		42

		Constructie. Laat P en Q de gegeven hoeken zijn. Neem een gestrekten hoek ABC. Maak L ABD =: L P en L CBE = L Q dan is L EBD de gevraagde, omdat hij met L P en Q samen een gestrekten hoek maakt. Opmerking. De constructie is mogelijk, als L P L Q < 180^;. § 78. "Werkstuk. Door een gegeven punt een lijn te trekken, evemvijdig met een gegeven lijn. Constructie. Zij A het punt en BC de lijn, die gegeven zijn. Trek door A een lijn, die BC ergens ontmoet, bijv. in D. Maak i DAH i ADC, dan loopt AH evenwijdig met BC, omdat de verwisselende binnenhoeken DAH en ADC gelijk zijn. Fig. 40.

		Opmerking. Dat er altijd een lijn is, die door A gaat en evenwijdig loopt met BC, blijkt uit de constructie, zooals wij reeds opmerkten in § 31. Dat er niet meer dan een lijn is, die aan \'t vereischte voldoet, hebben wij als axioma aangenomen. § 74. Werkstuk. Door een punt buiten een lijn een andere te trekken, die met de eerste een hoek maakt, gelijk aan een gegeven hoek. Constructie. Zij A het punt, BC de lijn en P de hoek. Wij moeten een lijn trekken, die aan twee voorwaarden voldoet: zij moet door A gaan en zij moet met BC een gegeven hoek maken. Laten wij voorloopig de eerste voorwaarde ter zijde, dan kunnen wij een willekeurig punt F in BC kiezen en volgens § 71 een lijn FE trekken, zoo dat _ CFE r iP, Trekt men nu, met behulp Tan § 73, een lijn AD, die evenwijdig loopt met EF, dan is

-ocr page 47-



		43 / i ADC = L EFG. De lijn AD voldoet dus aan de twee gestelde voorwaarden. Fig. 41. Opmerkimo. Door het punt F kan volgens § 71 nog een lijn getrokken worden, die met tB een hoek maakt, gelijk aan L P. De lijn, die door A moet getrokken worden, moet met BC een hoek maken, gelijk aan den hoek, dien elk der twee lijnen, welke wij door F getrokken hebben, met BC maakt. De lijn, die door A moet getrokken worden, moet dus evenwijdig loopen met een der twee lijnen door F. Er zijn dus twee lijnen, die aan \'t gevraagde voldoen. Indien hoek P recht is, is er volgens § 29 maar één lijn mogelijk, die aan \'t gevraagde voldoet. § 75. "Werkstuk. Een driehoek te beschrijven als twee zijden en de ingesloten hoek gegeven zijn. Constructie. Maak ea*i hoek A gelijk aan den gegeven hoek en neem op de beenen van A twee stukken, AB en AC, gelijk aan de twee gegeven zijden. Vereenigt men nu B met C, dan is ABC de gevraagde driehoek. Opmerking. De constructie kan altijd verricht worden en vol- gens § 53 zijn geen twee verschillende driehoeken mogelijk. § 76. Werkstuk. Een driehoek te beschrijven, als een zijde en twee aanliggende hoeken gegeven zijn. Constructie. Neem een lijn AB gelijk aan de gegeven zijde en trek volgens § 71 door A en door B ieder een lijn aan den- zelfden kant van AB, zoo dat L A en _ I! respectievelijk gelijk zijn aan de gegeven hoeken. Als de twee lijnen, die door A en B getrokken zijn, elkaar snijden in C, is ABC de begeerde driehoek. Opmerking. Het construeeren van twee hoeken, gelijk aan de gegeven hoeken, is volgens § 71 altijd mogelijk. De twee lijnen, die door A en B getrokken zijn aan denzelfden kant van AB, zullen elkaar ontmoeten, als de som der twee gegeven hoeken klei-

-ocr page 48-



		44

		ner is dan een gestrekte hoek (zie § 33, Gevolg). In dat geval is er dus een driehoek, die aan de gestelde voorwaarden voldoet. Dat er geen twee verschillende driehoeken mogelijk zijn, hebben wij in § 53 gezien. § 77. Werkstuk. Een driehoek te beschrijven, als een zijde ge- geven is, benevens de overstaande hoek en een aanliggende hoek. Constructie. Maak volgens § 72 een hoek, die gelijk is aan den derden hoek, dan heeft men een zijde van den driehoek en de twee aanliggende hoeken. De constructie is dus teruggebracht tot die van de vorige §. § 78. Werksruk. Een driehoek te beschrijven, als twee zijden en een hoek over een dier zijden gegeven zijn. Fig. 42. Constructie. Laat a en b de gegeven lijnen zijn en B de hoek, die tegenover b moet staan. Maak een hoek ABC gelijk aan L B, neem BC zz: ii en beschrijf uit C als mid- melpunt met b als straal een cirkelboog. Als deze het been BA snijdt in A, voldoet driehoek ABC aan de gestelde voor- waarden. Opmerking. Uit de constructie blijkt, dat het noodig en vol- doende is voor het bestaan van den gevraagden driehoek, dat de cirkel de lijn BA of haar verlengde aan den kant van A snijdt. Het snijden heeft plaats, als b grooter is dan de loodlijn CD, die men uit C op AB kan neerlaten, omdat D een punt binnen den cirkel is en een rechte lijn, die door zulk een punt gaat, den cir- kel noodzakelijk twee malen snijdt. Indien b kleiner is dan de loodlijn kan men uit C geen lijn trekken naar AB, die geljjk is aan b, omdat de loodlijn onder alle lijnen, die men trekken kan, de kortste is. Indien b gelijk is aan de loodlijn heeft men éen lijn, die uit C naar AB kan getrokken worden en gelijk is aan B. Om verder na te gaan hoeveel driehoeken aan het vereischte voldoen kunnen, als b grooter is dan de loodlijn of even groot, onderscheiden wij drie gevallen.

-ocr page 49-

1°. De gegeven hoek is scherp.

Als b gelijk is aan de loodlijn CD, voldoet BCD aan de gestelde
Fig. 43. voorwaarden, en die driehoek is de eenige.

Als b grooter is dan de loodlijn en kleiner
dan ii. dan liggen de voetpunten A en A,
der schuine lijnen, die men uit C kan trek-
ken , volgens § 63, 4, dichter bij D dan B
(zie fig. 42). De twee driehoeken BCA en
BCA, voldoen dan aan \'t vereischte.

Als h grooter is dan de loodlijn en grooter
dan o, liggen de voetpunten A en A, der schuine lijnen verder van
D dan I! (zie fig. 43). Alleen de driehoek ABC voldoet dan aan

het vereischte.

Fig. 44.


\\ v^^_	__c
ai---------------------------f t- -. tf	^v\\	!\'-■

2°. De gegeven hoek is stomp.

Fig. 45. Indien b gelijk is aan de loodlijn,

kan men uit C geen enkele lijn trek-
ken, die gelijk is aan b en die BA of
haar verlengde aan den kant van A
snijdt; er is dan geen driehoek mogelijk.
Indien b grooter is dan de loodlijn
en kleiner dan «, is het gevraagde
eveneens onmogelijk.

Indien b grooter is dan «, vallen de
voetpunten der twee schuine lijnen
aan weerszijden van B in A en A,.
De driehoek ABC is dan de eenige, die aan \'t gevraagde voldoet.

■

-ocr page 50-



		46

		3°. De gegeven hoek is recht. De loodlijn, die men uit C kan neerlaten, is CB. Zij is dus gelijk aan o. De zijde b moet grooter zjjn dan «, en men heeft dan één driehoek, die aan het gevraagde voldoet. § 79. Werkstuk. Een gegeven hoek middendoor te deelen. Constructie. Xeera op de beenen van den hoek twee gelijke Fig. 46. stukken AB en AC. Beschrijf uit B en C als middelpunten, met dezelfde lijn als straal, twee cirkelbogen, die elkaar in D snijden. Vereenig D met A, dan is L DAC r= L DAB, omdat de driehoeken ABD en ACD de zijden twee aan twee gelijk hebben en dus gelijk en gelijkvormig zijn. Opmerking. De twee cirkelbogen snijden elkaar, als men tot straal neemt een lijn, die grooter is dan de helft van de lijn, welke B met C vereenigt (zie § 70). De constructie is dus altijd mogelijk. Elke andere lijn dan AD verdeelt blijkbaar den hoek in twee ongelijke deelen. § 80. "Werkstuk. In een gegeten punt van een lijn een lood- lijn op die lijn op te richten. Constructie. Men beschouwe de gegeven lijn als de beenen van een gestrekten hoek, waarvan het gegeven punt hoekpunt is. Dit werkstuk is dan slechts een bijzonder geval van het vorige. § 81. Werkstuk. Een gegeven lijn middendoor te deelen. Fig. 47. Fig. 48. Constructie. Zij AB de gegeven lijn. Beschrijf uit A en B als middel- punten , met gelijke lijnen als stralen, cirkelbogen, die elkaar snijden aan den eenen kant van AB in C en aan den anderen kant in D, dan zijn C en D volgens § 60 pun- ten van de lijn, die AL rechthoekig middendoor deelt. CD is dus

-ocr page 51-



		47

		de lijn en het punt E, waarin zij Al! snijdt, deelt AB middendoor. Opmerking. De cirkelbogen snijden elkaar, als men den straal grooter neemt dan de helft van AB, waaruit volgt, dat de con- structie altijd kan toegepast worden. Elk ander punt dan E verdeelt AB in twee ongelijke deelen. Men kan § 60 ook aanwenden om aan denzelfden kant van AB (zie fis,\'. 48) twee punten te bepalen van de lijn, die AB rechthoekig middendoor deelt. § 82. Werkstuk. Uit een punt buiten een lijn een loodlijn op die lijn neer te laten. Constructie. Trek uit het punt C naar AB een willekeurige schuine lijn CD. Volgens § 63, 1 is er een tweede schuine lijn, Fig. 49. die even lang is als CD. Beschrijft men dus uit C als middelpunt met CD als straal een cirkel, dan zal deze AB ontmoeten in D en in een ander punt E. Omdat CD en CE even lang zijn, liggen D en E even ver van het voetpunt der loodlijn, die uit C kan neergelaten worden. De loodlijn deelt dus DE rechthoekig middendoor, en van deze deellijn kan men een punt F bepalen, waarna CF de begeerde loodlijn zal zijn. Opmerking. De constructie is altijd mogelijk, en dat er slechts ren loodlijn bestaat, is in § 29, 2 gebleken.

		DE EENVOUDIGSTE EIGENSCHAPPEN DER VEELHOEKEN. § 83. Bepalingen. De figuur, die ontstaat, als men van eenige punten het eerste verbindt met het tweede, het tweede met het derde, enz., en het laatste weer met het eerste, noemt men een veelhoek. Een lijn, die twee opeenvolgende punten verbindt, noemt men een \' z ij d e van den veelhoek.

-ocr page 52-



		48

		Een lijn, die twee niet opeenvolgende punten verbindt, noemt men een diagonaal. Een hoek, die gevormd wordt door twee opeenvolgende zijden, noemt men een hoek van den veelhoek. Een hoek, die gevormd wordt door een zijde en het verlengde van een naastliggende zijde, heet een buitenhoek van den veelhoek. De punten noemt men ook hoekpunten van den veelhoek. § 84. Een veelhoek heeft in ieder geval evenveel zijden als hoeken en hoekpunten. De veelhoeken worden, volgens het aantal zijden, verdeeld in driehoeken, vierhoeken, vijf hoeken, enz. Als het aantal zijden n is, Fig. 50. heeft men een n-hoek. De veelhoeken worden aangeduid door do letters, die bij hun hoekpunten ge- plaatst zijn, op te noemen in de volg- orde , waarin ze bij die punten staan, of door de letters in die volgorde naast elkaar te schrijven, bijv. (fig. 50) ABCDE of BCDEA of CDEAB, enz. De hoeken van een veelhoek kunnen voor een gedeelte inspringende hoeken zijn, zooals L B in fig. 50. Dit is blijkbaar nooit het geval bij een driehoek. § 85. Uit een hoekpunt van een n-hoek kan men n3 diagonalen trekken.

		Fig. 51.		Men kan namelijk uit een hoek-

		punt A diagonalen trekken naar alle hoekpunten, behalve naar het punt A zelve en naar de twee naastlig- gende hoekpunten, E en B. Het aan- tal hoekpunten, n, moet dus met 3 verminderd worden om het aantal der diagonalen te verkrijgen, die men uit éen hoekpunt kan trekken. Het aantal der diagonalen, die men in een n-hoek uit alle hoek- punten kan trekken , is

-ocr page 53-



		49

		Uit éen hoekpunt kan men n3 diagonalen trekken. Dat zou voor de «-hoekpunten n (n3) zijn ; maar dan zou elke diagonaal tweemaal geteld zijn (daar zij twee hoekpunten verbindt). Het aantal is dus de helft van \'t vorige produkt. Als men in een n-hoek uit éen hoekpunt alle diagonalen trekt, ontstaan n2 driehoeken. Om het aantal der driehoeken te bepalen merke men op, dat twee dier driehoeken ieder tot zijden hebben tu-ee zijden van den veelhoek en een diagonaal. De andere driehoeken hebben tot zijden twee diagonalen en éen zijde van den veelhoek. Verkeerden alle -driehoeken in dit geval, dan zou hun aantal n zijn. Dit aantal moet met twee verminderd worden, omdat er twee driehoeken zijn, die ieder onder hunne zijden niet éen, maar twee zijden van den veelhoek tellen. Opmerking. Als wij in \'t vervolg van een veelhoek spreken, wordt stilzwijgend ondersteld, dat de veelhoek geen inspringende hoeken heeft. § 86. Stelling. De som der hoeken van een a-hoek is n2 gestrekte hoeken. Trekt men uit éen hoekpunt alle diagonalen, dan ontstaan, volgens de vorige §, n2 driehoeken. De hoeken van die driehoeken zijn geza- menlijk gelijk aan de som der hoeken van den n-hoek. De som der hoe- ken is in eiken driehoek een gestrekte hoek en dus in alle driehoeken Fig. 52. samen n 2 gestrekte hoeken. § 87. Stelling. Een zijde van een veelhoek is kleiner dan de som der andere zijden. Gestelde. AB<BC CD-_r-DE-\|-EA. Bewijs. Trek de diagonalen AC en AD, dan is volgens § 44 AB <BC AC, AC <CD AD, ____________AD <DE EA,______________________ samen Xb AC AD < BC CD DE EA AC AD, of, als men uit elk der leden AC AD weglaat, AB < BC CD DE EA. J. versluys, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 4

-ocr page 54-

Opmerking. Men kan deze stelling ook uitdrukken, door te zeg-
gen: De rechte lijn, die twee punten verbindt, is korter dan een
gebroken lijn, die dezelfde twee punten vereenigt.

Men verstaat dan door de lengte van een gebroken lijn de som
der lengten van de rechte lijnen, waaruit zij bestaat.

§ 88. Stelling. Als van twee gebroken lijnen die dezelfde uit-
einden A en D hebben , de eerste geen inspringende hoeken heeft
naar den kant van AD en geheel omsloten wordt door de tweede _ydan is de eerste korter dan de tweede.

Gestelde. AB BC CD < AM MN ND.

Y\\e. 53. Bewijs. "Verleng AB, tot zij de

tweede gebroken lijn ontmoet in

J""^^l

E, en BC, tot zij do tweede gebro-

ken lijn ontmoet in F, dan beeft

IL^-r-

men

AB BE <AM ME,
BC CP <BE EN NF,
CD <CF FD,

door samentelling AB BC CD < AM MN ND,

waarbij BE en CF uit elk der leden weggelaten zijn.

Opmerking. De stelling van § 46 is een bijzonder geval van de-
bovengenoemde.

§ 89. Stelling. Als een veelhoek zonder inspringende hoeken geheel
p- g₄ omsloten wordt door een anderen,

is de omtrek van den eersten klei-
ner dan die van den tweeden.

Bewijs. Verleng AB tot in H,

D\\ 0

BC tot in O, CD tot in P, DE

tot in Q on EA tot in R, dan
heeft men achtereenvolgens
AB BN<AR RF FN
BC CO<BN NG GO
CD DP<CO OH HI IP
DE EQ<DP PK KL LQ
EA AR<RM MQ QE

samen AB BC CD DE EA<FG GH HI IK KL LM MF_V

-ocr page 55-



		51

		waarbij uit de twee leden weggelaten zijn BN, CO, DP EQ en AR.

		PARALLELOGRAMMEN EN TRAPEZIUMS. § 90. Uit het voorgaande blijkt, dat de som der hoeken van eiken vierhoek twee gestrekte hoeken is en dat in eiken vierhoek twee diagonalen kunnen getrokken worden. Bepaling. Een vierhoek, wiens zijden twee aan twee evenwijdig loopen, heet een parallelogram. § 91. Stellingen. In een parallelogram zijn de overstaande hoeken gelijk, en omgekeerd: Als in een vierhoek de overstaande hoeken gelijk zijn, is hij een parallelogram. Fig. 55. Bewijs. Omdat AD en BC evenwij- dig zijn, heeft men L A L B = 180^Q. Eveneens L C i B = 180°.

		L A z= l C, omdat zij beide tot supplement hebben _ B. De hoeken B en D zijn gelijk, omdat zij beide tot supplement hebben i_ C of L A. Bewijs van het omgekeerde. L B = : D. LA L\'B = LC LV. Deze vier hoeken bedragen samen twee gestrekte hoeken, dus L A en \'_ 15 bedragen samen een gestrekten hoek. En hieruit volgt, dat AD en BC evenwijdig zijn. Op dezelfde wijze toont men aan, dat AB en DC parallel zijn. De zijden zijn dus twee aan twee evenwijdig, en de vierhoek heet volgens de vorige § een parallelogram. Gevolgen. 1. Als een hoek van een parallelogram scherp is, is de overstaande ook scherp, en de twee andere zijn stomp. 2. Als e\'en hoek van een parallelogram recht is, zijn alle hoeken recht. 4*

-ocr page 56-



		52

		Bepaling. Een parallelogram, waarvan alle hoeken recht zijn, heet een rechthoek. § 92. Stellingen. Van een parallelogram zijn de overstaande zijden even groot, en omgekeerd: Als de overstaande zijden van een vierhoek gelijk zijn, is hij een parallelogram. pj. jg Bewijs. Trek de diagonaal BD, dan ont- staan twee driehoeken, die een zijde gemeen hebben. Verder zijn L CDB en L ABD gelijk, als verwisselende binnenhoeken. Om dezelfde reden zijn L DBC en L ADB gelijk. De drie- hoeken BCD en DAB hebben dus eene zijde en twee hoeken gelijk en zijn daarom £». De zijden, welke in die driehoeken tegenover gelijke hoeken staan, zijn gelijk, zoodat wij hebben CD = AB en BC rz AD. Bewijs van het omgekeerde. Indien BC = AD en CD=:AB, hebben de driehoeken BCD en DAB de drie zijden gelijk en zijn dus 51. De hoeken CDB en ABD zijn dus gelyk, en daaruit volgt, dat AB en CD evenwijdig loopen. Uit de gelijkheid van DBC en ADB volgt, dat BC en AD parallel zijn. Gevolgen. 1. Als twee opeenvolgende zijden van een parallelogram even groot zijn, zijn alle zijden even groot. 2. Als twee evenwijdige lijnen gegeven zijn, en men laat uit ver- schillende punten der eene loodlijnen neer op de andere, dan zijn die loodlijnen even lang. Alle punten der eene lijn liggen dus op gelijke afstanden van de andere lijn. Bepalingen. Een parallelogram, waarvan alle zijden even lang zijn, noemt men een ruit. Een parallelogram, waarvan alle zijden even lang en alle hoeken recht zijn, noemt men een vierkant of kwadraat. Door den afstand van twee evenwijdige lijnen ver- staat men den afstand van een punt der eene lijn tot de andere. Een der zijden van een parallelogram noemt men soms basis. Den afstand van die zijde tot de overstaande noemt men dan de hoogte van het parallelogram. § 93. Stelling. Een vierhoek is een parallelogram, als Uree over- staande zijden gelijk en evenwijdig zijn.

-ocr page 57-



		53

		Onderstelde. ABz=CD, AB evenwijdig met CD. Bewijs. Daar reeds bekend is, dat AB evenwijdig is met CD, moeten wij nog slechts aan- toonen, dat BC evenwijdig is met AD. Trekken wij daartoe de diagonaal BD, dan volgt uit de evenwijdigheid van AB en CD, dat de ^verwisselende binnenhoeken C~~ftD~~- en ABS gelijk zijn. De driehoeken BCD en DAB hebben nu twee zijden en den ingesloten hoek gelijk en zijn dus £l. L DBC is dan gelijk aan £.BDA, en hieruit volgt, dat BC en AD parallel zijn. § 94. Stellingen. In elk parallelogram deelen de diagonalen elkaar middendoor, en omgekeerd: Een vierhoek, waarvan de dia- gonalen elkaar middendoor deelen, is een parallelogram.

		Fig. 58.		Gestelde. AO -=. OC,

		BO =: OD. LnaBS^KMI^HBSaf^l! Bewijs. Volgens § 92 heeft men AB CD; verder zijn de hoeken OAB en OCD gelijk, als verwisselende bin- nenhoeken; de hoeken OBA en ODC zijn ook gelijk als verwisselende binnenhoeken. De driehoeken OAB en OCD zijn dus 2». "Wij hebben dan BOz=OD, AO = OC. Bewijs van het omgekeerde. Men heeft volgens de onder- stelling AO = CO, BO s= DO. Bovendien zijn AOB en COD gelijk als overstaande hoeken. De driehoeken AOB en COD hebben dus twee zijden en den ingesloten hoek gelijk en zijn daarom £». Hieruit volgt iOABzz^OCD, zoodat AB en CD evenwijdig zjjn. Op dezelfde wijze kan men, door middel van de driehoeken AOD en BOC, aantoonen, dat AD en BC evenwijdig zijn. § 95. Stellingen. De diagonalen van een rechthoek zijn even lang, en omgekeerd: Als de diagonalen van een parallelogram wen lang zijn, is het een rechthoek.

-ocr page 58-



		54

		Bewijs. De rechthoekige driehoeken DAB en CBA hebben de PI g₉ rechthoekszijden gelijk. Zij zijn dus J5\|, zoodat men heeft ACrrBD. Bewijs van het omgekeerde. Indien AC =z BD, zijn de drie- hoeken ABC en BAD ~, omdat de zijden van den eenen gelijk zijn aan die van den anderen. Dus is l CBA rr L DAB, en deze hoeken bedragen samen een gestrekten hoek, als binnenhoeken aan den- zelfden kant der snijlijn. Elk dier hoeken is dus recht. § 96. Stellingen. De diagonalen van een ruit staan rechthoekig op elkaar, en omgekeerd: als de diagonalen van een parallelogram rechthoekig op elkaar staan, is het een ruit. Bewijs. Men heeft CD = CB, DE = EB, EC = EC. De driehoeken DEC en BEC zijn dus ~. Daaruit volgt L DEC = L BEC. Deze zijn dus beide recht. Bewijs van het omgekeerde. Men heeft DE = BE, iDEC = £BEC, CE = CE. De driehoeken DEC en BEC zijn weder ~. Hieruit volgt CD = BC en dus ook CD = BC = AB = AD, zoodat ABCD een ruit is. § 97. Bepalingen. Een vierhoek, waarvan twee zijden evenwijdig zijn en de twee andere niet, heet een trapezium. De niet evenwijdige zijden noemt men de beenen van het tra- pezium. Een trapezium, waarvan de beenen even lang zijn, noemt men een gelijk been ig trapezium. Een trapezium heet rechthoekig, als een der beenen rechte hoeken maakt met de evenwijdige zijden. Den afstand der evenwijdige zijden noemt men de hoogte van het trapezium.

-ocr page 59-

§ 98. Stellingen. Als een trapezium gelijkbeenig is, zijn de hoe-
ken aan een der evenwijdige zijden even groot, en omgekeerd: Als
in een trapezium de hoeken aan een der evenwijdige zijden gelijk
zijn, dan is het trapezium gelijkbeenig.

Bewijs. Trek DE evenwijdig met
BC, dan is BCDE een parallelogram.
Dus

BC = DE = AD.
Driehoek ADE is dus gelijkbeenig,
en daarom

£DAE = <lDEA.

L CBA = L DEA, omdat zij

Fig. 61.

overeenkomstige hoeken zijn.

Bewijs van het omgekeerde

L DAE = L CBE.
Trek weer DE evenwijdig met

CB, dan is L DEA = L CBA.

L DAE =: L CBA, volgens de onderstelling.
iDEAzziDAE.
Hieruit volgt DA=:DE, en in het parallelogram BCDE is
BC = DE,
dus DA. = BC.

§ 99. Stelling. Als een trapezium gelijkbeenig is, zijn de diago-
nalen even lang.

Bewijs. Zie fig. 61. Als AD = BC, heeft men volgens de

vorige §
Ook is

L DAB  L CBA.
AB = AB.

De driehoeken DAB en CBA heb-
hen dus twee zijdon en den ingesloten
hoek gelijk, en hieruit volgt DB=AC.

§ 100. Stellino. Als eenige even-
wijdige lijnen gelijke stukken afsnij-
den van éen andere lijn, dan zijn de
stukken, die zij van elke andere lijn
afsnijden, ook onderling gelijk.

Onderstelde. AB =: BC = CD.
AE, BF, CG en DH zijn evenwijdig.

Fig. 62.

Gestelde. EF = FO = GH.

-ocr page 60-



		56

		Bewijs. Trek Eb, Fe en Gd evenwijdig aan AD, dan is AB&E een parallelogram en dus Eè = AB evenzoo Fe = BC Qd = CD. Uit AB = BC = CD volgt nu Eè = Fe Grf. Verder zijn i EFi, i FGc en Gtüd gelijk, als overeenkomstige hoeken. Om dezelfde reden heeft men _L 6EF = cFG = d&H.. De driehoeken E//F, FcG en GtfH hebben nu een zijde en twee hoeken gelijk, zoodat zij £? zijn. Wij hebben dus: Gevolg. Als een zijde van een driehoek in gelijke stukken ver- deeld is, en men trekt door de deelpunten lijnen evenwijdig aan een andere zijde van den driehoek, dan verdeelen de evenwijdige lijnen de derde zijde van den driehoek in onderling gelijke stukken. § 101. Stelling. Als drie evenwijdige lijnen van een andere on- gelijke stukken afsnijden, dan snijden zij van elke andere lijn on- gelijke stukken af, zóo dat de ttvee grootste stukken tusschen dezelfde twee evenwijdige lijnen liggen. Onderstelde. AD, BE en CF zijn evenwijdig. AB > BC.

		Fig. 83.		Gestelde. DE > EF.

		Bewijs. Neem BPrrAB, dan ligt C tusschen B en P. Trek door P de lijn PQ evenwijdig met CF. Omdat C tusschen BE en PQ ligt, zal de geheele lijn FC tusschen die beide liggen. Het punt F, waarin CF de lijn DG ontmoet, ligt dus tusschen E en Q, en hieruit volgt EQ>EF, of DE > EF.

-ocr page 61-



		57 GELIJK- EN GELIJKVORMIGHEID DER VEELHOEKEN. § 102. Bepalingen. Twee veelhoeken lieeten gelijk en gelijk- vormig, ah zij door diagonalen kunnen verdeeld worden in drie- hoeken, die gelijk en gelijkvormig zijn en op dezelfde wijze aan elkaar sluiten. Zoo zijn ABCDEF en abcdef gelijk en gelijkvormig, indien, zie Fig. 64, A ABP~ A abf A BCF ~ a bef A CEF ~ A cef A CDE ~ a ede Twee overeenkomstige hoekpunten van een paar gelijk en gelijk- vormige driehoeken noemt men ook overeenkomstige hoek- punten van de gelijk en gelijkvormige veelhoeken. De zijden of diagonalen, die twee overeenkomstige hoekpunten verbinden, noemt men gelijks tandige zijden of gelij kstan- dige diagonalen. Fig. 64.

		Bij overeenkomstige hoekpunten heeft men gelijkstandige hoeken. Twee lijnen noemt men gelij ks t anili g, als zij twee paar gelijkstandige zijden in gelijke stukken verdeelen; terwijl de gelijke stukken van overeenkomstige hoekpunten af worden gerekend. § 103. Stelling. De gelijkstandige zijden, diagonalen en hoeken van twee gelijk en gelijkvormige veelhoeken zijn gelijk. Bewijs. Zie Fig. 64. Omdat de driehoeken ABF en abf gelijk en gelijkvormig zijn, kan men ze zoo plaatsen, dat zij elkaar bedekken.

-ocr page 62-



		58

		Maar dan zullen te gelijk samenvallen de driehoeken BCF en bef; verder ook A CEF en A cef, A CDE en A ede. De twee veelhoeken kunnen elkaar dus volkomen bedekken, zoodat de zijden, hoeken en diagonalen van den eenen gelijk zijn aan de overeenkomstige van den anderen. § 104. Uit het samenvallen der twee veelhoeken blijken nog de Stellingen: 1. Als twee veelhoeken gelijk en gelijkvormig zijn, dan zijn de driehoeken, waarin men den evnen kan verdeélen door diago- nalen, gelijk en gelijkvormig met de driehoeken, waarin men den anderen door gelijkstandige diagonalen kan verdeélen. 2. Twee gelijkstandige lijnen KL en kl verdeélen twee gelijk en gelijk- vormige veelhoeken in deelen, die twee aan twee gelijk en gelijkvormig zijn. Opmerking. Twee veelhoeken, die men zoo kan plaatsen, dat zij elkaar bedekken, zijn gelijk en gelijkvormig, omdat men ze door diagonalen in gelijk en gelijkvormige driehoeken kan verdeélen. § 105. Stelling. Twee veelhoeken zijn gelijk en gelijkvormig, als de zijden op een na van den eenen gelijk zijn aan de zijden op èen na van den anderen, terivijl die zijden in dezelfde orde op elkaar volgen in de twee veelhoeken, en de hoeken, die door de gelijke zijden gevormd worden, gelijk zijn. Onderstelde. AB = ab, BC = bc, CD =r cd, DE * de,* dB = L b, LC=zLc, LH = Ld. Bewijs. Leg den veelhoek abcde zóo, dat L b op L B valt, dan volgt uit AB aft, dat a in A valt, en uit BCzrèc volgt, dat c in C valt. Omdat LC^zic, valt cd langs CD, en daar deze twee lijnen even lang zijn, komt d in D te liggen. Uit de gelij k heid der hoe- ken D en d volgt, dat de langs DE valt, en uit DE =. de volgt verder, dat e in E valt. Al de hoekpunten van ahcde vallen dus in die van ABCDE. Deze twee veelhoeken ziin dus gelijk en gelijkvormig. § 106. STELLING. Twee veelhoeken ABCDE en abcde zijn gelijk en

-ocr page 63-



		69

		gelijkvormig, als de driehoeken ABC, ABE, ABD achtereenvolgens gelijk en gelijkvormig zijn met abc, abd, abe. Fig. 66.

		Bewijs. Men kan deze eigenschap aantoonen, door even als in de vorige § te laten zien, dat de twee veelhoeken elkaar bedekken kunnen, of ook op de volgende wijze. Vooreerst laten wij zien, dat de lijn DE gelijk is aan de. Men heeft nl. A ABE£± A abe, dus BE = be L ABE = L abe. Men heeft ook A ABD ^ A abd, dus BD = bd L ABD == L abd af L ABE * L abe* L EBD = L ebd. De driehoeken EBD en ebd hebben dus twee zijden en den inge- sloten hoek gelijk, zoodat zij gelijk en gelijkvormig zijn. Hieruit volgt DErrde. Op dezelfde wijze kan men aantoonen CD=cd, EC = ec. Do zijden en diagonalen van den eenen veelhoek zijn dus respectie- velijk gelijk aan die van den anderen. Verdeelt men dus den eenen veelhoek door diagonalen in driehoeken, dan zullen deze ^ zijn met de driehoeken, die in den anderen ontstaan door het trekken der overeenkomstige diagonalen; omdat de driehoeken twee aan twee de zijden gelijk hebben. § 107. Om het aantal gelijkheden te bepalen, die gegeven moeten

-ocr page 64-



		60

		zijn, zal men tot de gelijk- en gelijkvormigheid van twee veelhoeken kunnen besluiten, merke men op, dat hiertoe de gelijk- en gelijk- vormigheid van n2 driehoeken wordt vereiscbt. Om te besluiten, dat het eerste paar driehoeken £» is, zijn drie gelijk heden noodig. Voor elk der andere paren 2, dus (» 3)X2 = 2n 6 ____3^ 2» 3. ^ Ook in de vorige § was de gelijk- en gelijkvormigheid van n5 driehoeken gegeven, en wij hadden daar op dezelfde wijze 2» 3 gelijkheden van lijnen of hoeken. In § 105 waren gelijk in de beide veelhoeken, ra 1 zijden, n 2 hoeken. 2n 3. Opmerking. Telt men evenals hierboven in ieder bijzonder geval het aantal gelijkheden op, waaruit tot de gelijk- en gelijkvormig- heid van 2 ra-hoeken besloten is, dan bedraagt dit aantal telkens 2» 3, mits men hij dat optellen alleen gelijkheden neemt, die onderling onafhankelijk zijn. Zoo moet men het gelijk zijn van de n-hoeken des eenen veelhoeks aan die des anderen slechts als ra 1 gegevens aanmerken, daar uit de gelijkheid van ra 1 paren dier hoeken de gelijkheid van het n^e paar volgt. § 108. Werkstuk. Een veelhoek te beschrijven, die gelijk en ge- lijkvormig is met een gegeven veelhoek ABCDE. 1«. Constructie. Verdeel den gegeven veelhoek door diagonalen

		in driehoeken ABC, ACD, ADE. Beschrijf volgens ^ S; 70 een driehoek abc, die geli,k en gelijkvormig is met Alt\'. Construeer verder

-ocr page 65-



		61

		A acd zoo, dat hij ^ is met ACD, en A <de* zoo, dat hij 2» is met A ADE, dan is volgens § 102 de veelhoek abcde ~ ABCDE. 2». Constructie. Neem eene lijn ab gelijk aan AH. Maak L è = iB bc BC Lc = C cd = CD rfe = DE ■en vereenig e met a, dan is volgens § 105 de veelhoek abcde ^ ABCDE. 3^e. Constructie. Trek uit A en B alle diagonalen en construeer Fig. 68.

		achtereenvolgens a abc zoo, dat hij gelijk en gelijkvormig is met A ABC, A abd^ABD, A abe £» ABE. Vereenig daarna c met d en d met e, dan is volgens § 106 abcde ABCDE.

-ocr page 66-



		VERHOUDING.

		§ 109. Bei\'ali.MtK.n. Men zegt, dat twee grootheden onderling meetbaar zijn, als er een derde bestaat, die in elk der eerste een geheel aantal malen begrepen is. Men noemt de derde grootheid een gemeene maat der eerste twee. De helft of eonig ander evenmatig deel van een gemeene maat is op elk der twee grootheden een geheel aantal malen begrepen. Zulk een evenmatig deel is daarom weder een gemeene maat, en als twee grootheden dus een gemeene maat bezitten, dan hebben zij een onbepaald aantal andere. Onder al de gemeene maten is één de belangrijkste: de grootste gemeene maat. § 110. De grootste gemeene maat van twee onder- ling meetbare lijnen te vinden. Als AB en CD de twee lijnen zijn, zet men de kleinste, CD, Fig. 69.

		van A te beginnen, zoo dikwijls op de grootste uit, als mogelijk is, hier tweemaal. Het deel BE, dat overblijft en kleiner is dan CD, zet men zoo dikwijls als mogelijk is, hier eenmaal, op CD uit. Het overblijvende deel DF zet men, zoo dikwijls mogelijk, op BE uit, hier tweemaal. Het overschietende deel BG zet men op DF uit, en dit gaat juist tweemaal. Nu is achtereenvolgens DF = 2BG EB = 2DF BG = 5BG CD = BE DF = 7BG AB = 2CD EB = 19BG.

-ocr page 67-

BG ie zevenmaal in CD en negentienmaal in AB begrepen. BG is
dus een gemeene maat van A8 en CD; 19 : 7 is de verhouding
van deze twee lijnen.

De getallen, die aanwijzen, boe dikwijls de verschillende lijnen
achtereenvolgens uitgezet zijn, noemt men wijzer getallen.

De wijzergetallen, in de volgorde, waarin ze gevonden zijn,
tusschen accoladen geplaatst, vormen den betrekkingswijzer
van AB en CD.

12,1,2,2}

§ 111. De bewerking, die wij verricht hebben met AB en CD,
komt geheel overeen met de bewerking, die toegepast wordt, als
men den grootsten gemeenen deeler van twee getallen zoekt. En
daar de lijnen 7 en 19 malen BF zijn, hebben wij achtereenvolgens
dezelfde quotiënten verkregen, als wanneer wij de bewerking voor
het zoeken van den grootsten gemeenen deeler hadden toegepast
op 7 en 19, aldus:


7	19	o
	14
:".	7	1
		5
2	5	2
		4
i	2	2
			2

Deze overeenkomst bestaat telkens, als de twee lijnen onderling
meetbaar zijn, en daar men bij de bewerking met de twee getallen
eindelijk eene rest 0 verkrijgt, zoo zal men ook bij het afpassen
der onderling meetbare lijnen, ten laatste niets overhouden. Bestaat
er dus een gemeene maat van twee lijnen, dan vindt men, door het
achtereenvolgens afpassen der lijnen, een gemeene maat; en even als
de gemeene maat, die men bij de getallen vindt, de grootste is,
zoo vindt men ook de grootste gemeene maat der lijnen.

§ 112. Bepalingen. Twee grootheden, die geen gemeene maat
bezitten, noemt men onderling onmeetbaar. Past men op
twee zulke grootheden de bewerking toe, die wij op twee onderling

-ocr page 68-



		64

		meetbare lijnen hebben toegepast, dan zou de bewerking nooit ten Fig. 70. einde loopen, als men daarbij volko- men nauwkeurig kon te werk gaan. Dat er werkelijk onderling onmeet- bare lijnen zijn, blijkt uit de Stelling. De zijden en de diagonaal van een vierkant zijn onderling onmeetbaar. Bewijs. De zijde AB is kleiner dan de diagonaal AC en grooter dan de helft van AC. Men kan dus op AC een stuk AE nemen, gelijk aan AB, en er blijft een rest EC over, die kleiner is dan AB. Deze rest moet nu vergeleken worden met AB of met BC. Trekt men EF evenwijdig aan OB, dan is A CEF rechthoekig gelijk- beenig, omdat hij gehjkhoekig is met A COB. Neemt men dus in A CEP, even als in A ABfl gedaan is, FG gelijk aan EC,<lan zal de rest CO kleiner zijn dan EC. Uit de gelijk en gelijkvormig- heid van A ABF en A AJ?é volgt verder BF = EF = EC :=FG. Dus is BC gelijk aan tweemaal* EC, plus een rest GC kleiner dan EC. Het laatste kunnen wij geheel algemeen aldus uitdrukken: in eiken rechthoekigen gelijkbeenigen A is de rechthoekszijde gelijk aan twee maal het verschil tusschen haar en de hypotenusa, plug een rest, die kleiner is dan dat verschil. De zijde EC bevat dus tweemaal GC plus een rest, die kleiner is dan GC; en zoo vervolgens. Elke rest bevat dus tweemaal de vorige plus een nieuwe rest, zoodat de bewerking nooit ten einde loopt. En hiermee is, volgens de eigenschap aan het eind der vorige §, bewezen, dat AB en AC onderling onmeetbaar zijn. § 113. Bepaling. Men noemt de betrekking of verhouding van twee onderling onmeetbare lijnen een onmeetbare verhou- ding of onmeetbaar getal. Om later onmeetbare verhoudingen met elkaar te kunnen verge- lijken, moeten wij eerst vaststellen, wat men verstaat door de gelijkheid van twee onmeetbare verhoudingen. Stellen wij ons voor, dat van een paar onderling onmeetbare lijnen de eerste uit-

-ocr page 69-



		65

		gezet wordt op de tweede, zoo dikwijls, als dit mogelijk is, zoodat er een rest overblijft, kleiner dan de eerste lijn. Kernen wij een tiende der eerste lijn en zetten dit, zoo dikwijls als bet kan, op genoemde rest af. Er blijft weder een rest over, en hierop zetten wij het honderdste der eerste lijn af. Op deze wijze kan men voort- gaan met te zien, hoeveel duizendsten, tienduizendsten, enz. der eerste lijn begrepen zijn in de resten, die men achtereenvolgens verkrijgt. Deze bewerking kan voortgezet worden, zoo ver men wil; er blijft telkens een rest over. Neemt men een ander paar onderling onmeetbare lijnen, en vindt men door toepassing van dezelfde bewerking hetzelfde aantal ge- heelen, tienden, \'honderdsten, enz., hoe ver ook voortgezet, dan zegt men, dat de onmeetbare verhoudingen van de twee paren lijnen gelijk zijn (bepaling). Bepaling. Men zegt, dat de meetbare of onmeetbare verhouding van A en B grooter is dan de (meetbare of onmeetbare) verhou- ding van C en B, als A grooter is dan C. Bepaling. Door de som van de onmeetbare verhouding van A tol B en de (meetbare of onmeetbare) verhouding van C tot B ver- staat men de verhouding van A C tot B. Opmerkingen. 1. "Wat in deze § gezegd is van lijnen, geldt ook voor andere grootheden. 2. De bepalingen, die betrekking hebben op onmeetbare groothe- den, zijn zoo gekozen, dat ze ook doorgaan voor meetbare grootheden.

		EVENREDIGHEID VAN LIJNEN. § 114. Uit de gelijkheid van twee meetbare of twee onmeetbare verhoudingen ontstaat de evenredigheid. Stelling. Drie evenwijdige lijnen snijden van twee andere lijnen evenredige stukken af. Onderstelde. AD, BE en CF zijn evenwijdig. BC EF Gestelde. =:. AB DE J. versluys, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 5

-ocr page 70-



		66

		Bewijs. Hierbij onderscheiden wij twee getallen: BC en AB zijn onderling meetbaar of onderling onmeetbaar. ie. In het eerste geval bestaat er een lijn, die op AB en BC ieder een geheel aantal malen begrepen is. Zetten wij die lijn uit op AB en BC, dan worden deze in onderling gelijke stukken ver- deeld, b.v. AB in 4 en BC in 7, zoo- dat wij hebben BC_^7_ AB^- 4\' Trekt men nu door de uiteinden der stukken, waarin AB en BC verdeeld zijn, lijnen evenwijdig met AD, dan worden door die evenwijdige lijnen DE in 4 en EF in 7 stukken verdeeld. Volgen* § 100 zijn deze stukken gelijk, en dus EF _ 7 _ BC DË""T AB\' 2«. Als AB en BC onderling onmeet- baar zijn, zet men AB op BC uit, zoo dikwijls als dat kan; hier twee- maal. Het deel HC, dat overblijft,. is kleiner dan AB. Trekt men nu door G en H lijnen, evenwijdig met AD, dan is EIr=IK = DE, volgens § 100. En volgens § 101 is KP > DE. Men kan dus AB even veel maal afpas- sen op BC, als DE op EF. Neem nu een tiende van AB en zet dit zoo dik- wijls mogelijk op HC af, b.v. hier 4 maal. Trekt men nu door de doelpunten van HC lijnen evenwijdig met HK, dan wordt KF in 5 stukken verdeeld, waarvan vier even groot zijn, terwijl éen klei- ner is dan de andere. Omdat de gelijke deelen, die op HC afge- past zijn, ieder een tiende van AB zijn, zullen ook de gelijke deelen, die men op KF heeft, ieder tienmaal in DE begrepen zijn. Zooveel tienden van AB, als er dus in HC begrepen zijn, evenveel tienden van DE kan men op EF afpassen. Zoo kan men verder gaan met.

-ocr page 71-



	67

	honderdsten van AB en van DE, met duizendsten, enz. En daar men achtereenvolgens van AB en van DE hetzelfde aantal geheelen, tienden, honderdsten, enz. verkrijgt, zijn de onmeetbare verhou- dingen BC EF en AB DE gelijk, volgens de bepaling die in § 113 gegeven is van de gelijk- heid van twee onmeetbare verhoudingen. § 115. Uit de evenredigheid BC : AB zz EF : DE (zie fig. 72) volgt volgens een eigenschap der evenredigheden (BC AB):(EF DE) = AB:DE, of AC:DF = AB:DE, of AC : AB = DF : DE. Als in een driehoek ABC een lijn DE getrokken is evenwijdig met AB, toont men op dezelfde wijze aan, dat
		Fig. 73.
AD BE ----zz----en ------------RB ^DC ^EC SB AC _ BC , K» DC EC \' I of in woorden: Als men in een driehoek een lijn trekt, evenwijdig aan een zijde, dan ver- deelt die lijn de twee andere zijden in stukken, die evenredig zijn met elkaar en met de ge- heele zijden. § 116. Stellino. Als men in een driehoek ABC de lijn DE trekt evenwijdig aan AB, dan heeft men DE_DC_EC AB AC^-BC\' Bewijs. Dat de tweede en derde verhouding gelijk zijn, blijkt uit de vorige §. Om aan te toonen, dat de eerste en tweede ver- houding gelijk zijn, trekke men (zie fig. 74) DF evenwijdig met EB, dan is BEDF een parallelogram en daarom DE = FB. Omdat DF evenwijdig is met BC, heeft men, volgens de vorige §, 5*

-ocr page 72-


	FB AB	_DC ~AC
	DE	DC
	AB	^-AC

= ■, of, daar DE = FB,

§ 117. Stelling. Een lijn, die van ticee
zijden eens driehoeks stukken afsnijdt, even-
redig met die zijden, ioopt evenwijdig aan
de derde zijde.

Onderstelde. = -

AC^- BC\'
Gestelde. DE is evenwijdig met AB.

Bewijs Onderstel, dat DE niet evenwijdig is met AB, dan zal
ien door D eene lijn DF kunnen trekken, die wel evenwijdig is
Fig. 75. met AB. Maar dan is volgens § 115
_________ DC_FC

HUI AC~ BC\'

B En dit strijdt tegen de onderstelling, daar de

verhoudingen en niet gelijk kunnen zijn.
BC BC

§ 118. Stelling. De lijn, die een hoek van
een driehoek middendoor deelt, verdeelt de over-
staande zijde in twee stukken, die evenredig zijn met de aangrenzende
zijden.

Fig. 76. Onderstelde. L ACD = L DCB.

Gestelde. AD : BD = AC: BC.
Bewijs. Trek door B, evenwijdig met DC,
een lijn, die het verlengde van AC snijdt in E.
^^^^_. ^^^ Nu heeft men

I L ACD rs L E, als overeenkomstige hoeken.
I - DCB = L CBE, als verwisselende binnenhoeken.
E = /. CBE, omdat de eerste leden volgens
de onderstelling gelijk zijn. Uit de gelijkheid der hoeken E en CBE
volgt BC = CE.
Omdat DC evenwijdig is met BE, heeft men volgens § 115
AD:DB=:AC:CE, of
AD : DB = AC : BC.

-ocr page 73-

§ 119. Stelling. De lijn, die het supplement van den tophoek
eens driehoeks middendoor deelt, snijdt de basis in een punt, welks
afstanden tot de uiteinden der basis evenredig zijn met de aangren-
zende opstaande zijden.
Onderstelde, l BCF = l FCE.
Gestelde. AF : BF = AC : BC.

Fig. 77.

Bewijs. Trek BD evenwijdig

met FC, dan heeft men, even als
in de vorige §,

L ECF = L CDB
L BCF = L CBD

L CDB = L CBD.
Hieruit volgt BC = DC.
AF:BF = AC:U(5, of
AF : BF =: AC : BC.

Verder heeft men

WERKSTUKKEN.

§ 120. Werkstuk. Tot drie gegeven lijnen een vierde evenredige
te vinden, of, als drie lijnen M, P, N gegeven zijn, een vierde x
te vinden, zoo dat

P = N : x.

Fig. 78.

Constructie. Neem een wille-

keurigen hoek A, neem op de
beenen van dien hoek de stukken
AE = M,
AC = N,
AD=P.
Vereenig E met C en trek uit
D de lijn DB evenwijdig met EC,
dan is volgens § 115
AE:AD = AC:AB,
M:P = N:AB,
zoodat A 15 de gevraagde lijn is.

-ocr page 74-



		70

		Bijzonder geval. Als de lijnen P en N gelijk zijn, moet men een lijn x zoeken, zóó dat M: P = P: x. Men noemt x dan de derde evenredige tot M en P, en de vorige constructie gaat onveranderd door. Fig. 79. § 121. WERK8TÜK. Een gegeven lijn in stukken te verdeelen, die tot elkaar staan als eenige gegeten lijnen. Eerste construc- tie. Als men AB moet verdeelen in vier stuk- ken, die tot elkaar I staan als m, n, o, p, trekt men een lijn AF, die met AB een willekeurigen hoek vormt, en neemt AC = m CD = « DE = o EFz=p. Vereenig nu F met B, en trek EZ, DIJ en CX alle evenwijdig

		met FB, dan heeft men volgens § 114		*Ma «., <(e<.-o-<^!\', \'J.**


		AX : XIJ : UZ : ZB = AC : DC : DE : EF, AX:XIJ:IJZ:ZB = m :n : o : p, zoodat X, IJ en Z de verlangde doelpunten zijn. Fig. 80. Tweede constructie. Nadat, even als bij de eerste constructie, door A een willekeurige lijn AF getrok- ken ia, en daarop de lijnen m,n,o,p afgezet zijn; trekt men door B eene lijn BK evenwijdig met AF. Op BK zet men dezelfde lijnen in omgekeerde volgorde al:

-ocr page 75-



		71 OK = o, *m = n.* Yereenigt men nu F met B, E met G, D met H en C met I, dan volgt uit de gelijkheid en evenwijdigheid Tan BG en FE volgens § 93, dat EFBG een parallelogram is, en dus dat BF en GE even- wijdig zijn. Evenzoo zijn DH en Cl evenwijdig met FB, en uit de evenwij- digheid van al die lijnen volgt AX : XIJ : IJZ : ZB = AC : CD : DE : EF. § 122. Bij de tweede constructie der vorige § moet men het werkstuk van § 71 slechts éénmaal toepassen, hoe groot ook het aantal deelen zij, waarin AB moet verdeeld worden. Bij de eerste constructie der vorige § moet men hetzelfde werkstuk twee of meermalen toepassen, zoodra het aantal doelen, waarin AB moet verdeeld worden, drie of meer is. De tweede constructie is dus te verkiezen boven de eerste, als AB in meer dan twee deelen moet verdeeld worden. De beide constructies kunnen ook toegepast wor- den, om een lijn in ge- lijke deelen te ver deelen. In figuur 81 is de lijn AB volgens de tweede con- structie in vijf gelijke dee- len verdeeld. Indien een zeer kleine lijn AB gegeven is, en men vraagt andere lijnen te bepalen, die respectievelijk gelijk zijn aan ¹/_i, ^,/_i, ^a/_i, ⁴/_s van AB, dan kan men een der twee constructies toepassen, om AB in vijf gelijke deelen te verdeelen. De doelpunten vallen dan natuur- lijk zeer dicht bij elkaar, en de constructie is in de practijk niet met eenige nauwkeurigheid uit te voeren. Daarom verkiest men de volgende

-ocr page 76-

Constuctie. Trek door A een willekeurige lijn, en neem daarop

vijf gelijke stukken A.d = de =: eg = gh
r=AC. Vereenig C met B en trek dk, el,
gm, hp evenwijdig aan AB, dan is volgens
§ 116

CA : Cg : Ce: Cd : CA = hp: am :el:dk:AB,
of 1:2 : 8 : 4 : 5 ~ hp: gm : el: dk: AB;

Fig. 82.

el=>U AB,

gm = "/_i AB,
/*i> = \'/, AB.

GELIJKVORMIGHEID DER DRIEHOEKEN.

§ 123. Twee driehoeken, wier zjjden twee aan twee evenredig
zijn, noemt men gelijkvormig. (Dat er zulke driehoeken zijn,
blijkt uit de stelling van § 116).
Men duidt gelijkvormig aan door het teeken .-\\s.

Bepaling. De zijden,
waartusschen de gelijke
verhoudingen bestaan,
noemt men ge lij k-
standig.

Zoo noemt men de
driehoeken ABC en abc
gelijkvormig, indien
tusschen de zijden de
volgende evenredigheid bestaat

AB : ab = BC : bc = CA : ca.
AB is dan geljjkstandig met ab, BC met bc en CA met ca.
Bepalixo. De hoekpunten, waarin gelijkstandige zijden samen-
komen , noemt men overeenkomstige hoekpunten.

-ocr page 77-



		73

		§ 124. Uit de bepaling, die wij gegeven hebben van de gelijk- vormigheid van twee driehoeken, volgt onmiddellijk: 1. Een paar gelijke en gelijkvormige driehoeken is tevens gelijkvormig. 2. Elk paar gelijkzijdige driehoeken is gelijkvormig. 3. Als een driehoek p gelijkvormig is met q, zal een driehoek, die gelijk en gelijkvormig is met p, ook gelijkvormig zijn met q. 4. Twee driehoeken, die met een derden gelijkvormig zijn, zijn ook onderling gelijkvormig. Zijn nl. A cbc en £ a\'b\'c\' gelijkvormig met a ABC, dan is AB : ab = BC : bc = CA : ca en AB : a\'b\' = BC : b\'c\' = CA : c\'a\' Deze evenredigheden hebben de voorgaande termen gelijk, en daaruit volgt, dat de volgende termen weer een evenredigheid vormen: dus ab : a\'b\' := bc: b\'c\' ^ ca : c\'a\', zoodat a <*" ⁿ A a\'b\'c\' gelijkvormig zijn. Opmerking. Bij het opnoemen van twee gelijkvormige driehoeken ABC en PD3, kiest men de volgorde der letters zóo, dat A over- eenkomstig is met P, B met D en C met S. § 125. Stellino. Ttcee driehoeken zijn gelijkvormig, als de hoeken van den eenen gelijk zijn aan die van den anderen. Onderstelde, l A = l a, L B = L b\', i O = U. Fig. 84. Gestelde. AB : ab = BC : bc = CA : ca. Bewijs. Men kan drie- hoek abc zóo plaatsen, dat ab langs AB valt in AD, en dat ac langs AC valt in AE. Nu heeft men L ADE = L b =Z L B. De lijn DE is dus evenwijdig met BC, en hieruit volgt volgens § 115 en § 116 AB:AD = BC:DE = CA:EA, of AB: ab =BC: bc = CA:ca. Gevolgen. I. Daar uit de gelijkheid van twee paar hoeken van twee driehoeken de gelijkheid van het derde paar volgt, zoo kan men ook zeggen, dat twee driehoeken gelijkvormig zijn, als twee

-ocr page 78-



		74

		hoeken van den eenen gelijk zijn aan twee hoeken van den anderen. 2. Twee rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig, als zij een scherpen hoek gelijk hebben. 3. Ttvee gelijkbeenige driehoeken zijn gelijkvormig, als hun top- hoeken gelijk zijn, of als zij een hoek aan de basis gelijk hebben. Stelling. Twee driehoeken zijn gelijkvormig, als hun zijden twee aan twee evenwijdig zijn, of als hun zijden twee aan twee rechthoekig op elkaar staan. Bewijs. Laat A, B, C de hoeken zijn van den eenen driehoek en a, b, c die van den anderen. Volgens § 34 en § 35 zijn deze hoeken twee aan twee of gelijk of elkaars supplementen. Nu kan men de drie volgende onderstellingen maken: ie. k a = 180°, B b = 180°, C c = 180°. 2e. A = o, B b = 180\', C c = 180°. 3«. A = a, B n b en bijgevolg C := c. De eerste onderstelling is onmogelijk, omdat volgens haar de som der hoeken van de twee driehoeken drie gestrekte hoeken zou bedragen. De tweede onderstelling is onmogelijk, omdat volgens haar de som der hoeken van beide driehoeken meer dan twee gestrekte hoeken zou bedragen. De derde onderstelling is dus de eenig mogelijke, zoodat de hoe- ken van den eenen driehoek gelijk zijn aan die van den anderen, en daaruit volgt volgens de vorige stelling, dat de driehoeken ge- lijkvormig zijn. § 126. Stelling. Twee driehoeken zijn gelijkvormig, als zij een hoek gelijk hebben, en als bovendien de zijden om dien hoek evenredig zijn. Onderstelde. L A ■=. L a, AB : ab z= AC : ac. Gestelde. BC : bc = AB : ab = AC : ac. Bewijs. Plaats driehoek abc weer zóo, dat de gelijke hoeken a en A elkaar bedekken, en dat ab in AD en ac in AE valt. "Volgens het onderstelde is nu AB:AD = AC:AE, en uit deze evenredigheid volgt volgens § 117, dat DE evenwijdig loopt met BC, en dus volgens § 116 BC:DE = AB:AD = AC:AE, BC : bc = AB : ab = AC : ac.

-ocr page 79-



		75

		Gevolg. Twee rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormig, als hun rechthoekszijden evenredig zijn. § 127. Stelling. Twee driehoeken zijn gelijkvormig, als twee zijden van den eenen evenredig zijn met twee zijden van den anderen, als de hoeken, die tegenover het eenepaar zijden staan, gelijk zijn en als boven- dien de hoeken, tegenover het andere paar zijden, van dezelfde soort zijn. Onderstelde. AB : ab BC : bc, L A = i a, _ e en _ < zijn gelijksoortig. Bewijs. Neem AD z= ab en trek DE evenwijdig met BC, dan is driehoek ADE gelijkvormig met ABC, en het gestelde zal bewezen zijn, als wij aangetoond hebben, dat A ADE gelijk en gelijkvormig is met a abc. Omdat DE evenwijdig is met BC, hebben wij AB : AD z= BC : DE ; volgens het onderstelde is AB : ab = BC : bc. Van deze twee evenredigheden zijn de eerste drie termen gelijk, Pig. 85.

		dus ook DE zz bc. Bovendien AD := ab .

		L A = : o v . L AED en L c gelijksoortig. V*^ \' De driehoeken abc* en ADE zijn dus gg. volgens § 52. 5T* Gevolg. Twee rechthoekige driehoeken zijn gelijkvormigi_x_Jil\'s de hypotenusa\'s evenredig zijn met een paar rechthoekszijdfa/ ^ . _^> Opmerking. Terwijl drie gelijkheden noodig zijn, om tot dé gelijk- en gelijkvormigheid van twee driehoeken te besluiten, Wjiirt uit het vorige, dat twee gelijkheden voldpèqae zijn-,\' qjb fot de

-ocr page 80-



		76

		gelijkvormigheid te besluiten. Deze gelijkheden zijn öf evenredig- heden óf gelijkheden van hoeken. § 128. Stelling. Van twee gelijkvormige driehoeken zijn de hoe- ken twee aan twee gelijk. Onderstelde. AB : ab =z BC: bc = CA : ca (Fig. 85). Bewijs. Heem AD r= ab en trek DE evenwijdig aan BC, dan is driehoek ADE gelijkvormig met ABC, en wij moeten slechts aantoonen, dat ADE gelijk en gelijkvormig is met abc. Omdat DE evenwijdig loopt met BC, heeft men AB : AD z= BC : DE = CA: EA, en volgens de onderstelling AB : ab = BC : bc CA: ca. Daar AD sr ab, zijn de eerste drie termen van deze evenredig- heden gelijk, en dus ook de vierde. DE = 6c Evenzoo EA = ca. De driehoeken ADE en abc hebben de drie zijden gelijk, zoodat zij \|^ zijn. § 129. Stelling. In twee gelijkvormige driehoeken staan de lood- lijnen, die men op twee gelijkstandige zijden kan neerlaten uit de overstaande hoekpunten, tot elkaar als een paar gelijkstandige zijden. Gestelde. CD: c«fc= AC : ac. Bewijs. Ui de gelijk- vormigheid der drie- hoeken volgt Lki=.La. De rechthoekige drie- hoeken ACD en acd zijn dus gelijkvormig, zoo- dat CD : cd zs AC : ac.

		DE LIMIETEN EN DE BEWERKINGEN MET ONMEETBARE GETALLEN. § 130. Bepaling. Als een grootheid zoodanig verandert, dat het verschil tusschen haar en een standvastige grootheid zoo klein kan

-ocr page 81-

gemaakt worden als men wil, zonder ooit nul te worden, noemt
men de standvastige grootheid de limiet of de grens der
veranderlijke.

Zal dus een standvastige grootheid de limiet zij" ^viln ^een veran-
derlijke, dan is het noodig en voldoende, dat het verschil tusschen
die heide, voortdurend kleiner wordt en kleiner dan eenige te den-
ken grootheid. Het verschil zal echter nooit nul worden.

Voorbeeld. Als van de decimale breuk 0,33 .... het aantal
cijfers toeneemt, heeft zij tot limiet \'/, Men heeft nl. achtereen-
volgens

1 1 3 10 9 1

_T-0,8 =-

|-0,33 =

y 0,333 =


3	10 30	30 ~~ 30 \'
1	33 _ 100	99 . 1
3	100 " 300	300 " 300 \'
1	333 1000	999 1
3	1000 3000 enz. enz.	3000 3000 \'

Opmerking. Een veranderlijke grootheid zal tot een limiet na-
deren, als zij voortdurend grooter wordt, maar toch kleiner blijft
dan een bepaalde grootheid. Evenzoo zal een veranderlijke groot-
heid tot een limiet naderen, als zij steeds kleiner wordt, maar toch
grooter blijft dan een bepaalde grootheid.

§ 131. In § 113 is de verhouding van twee onderling onmeet-
bare grootheden een onmeetbaar getal genoemd. Het afpassen, waar-
van in dezelfde § gesproken wordt, levert achtereenvolgens geheelen,
tienden, honderdsten, enz. Hoever de bewerking ook voortgezet
worde, er blijft steeds een rest. Verkrijgt men

3,245671........,

dan zal volgens de bepaling, die van de ongelijkheid van meetbare
en onmeetbare getallen gegeven is, dat onmeetbaar getal grooter
zijn dan 3,24 en kleiner dan 3,25,

grooter dan 3,245 en kleiner dan 3,246,
grooter dan 3,2456 en kleiner dan 3,2457, enz.

Hetzelfde gebeurt in de rekenkunde, als men den vierkantswortel
zoekt uit een getal, dat geen volkomen vierkant is. De uitkomst

-ocr page 82-



		78

		der bewerking heet weder een onmeetbaar getal. Moet b.v. de vierkant3wortel bepaald worden uit 3, dan vindt men 1,732051...... Dit onmeetbaar getal is weer grooter dan 1,73 en kleiner dan 1,74, grooter dan 1,732 en kleiner dan 1,733, grooter dan 1,7320 en kleiner dan 1,7321, enz. Er zijn nog andere bewerkingen, waarvan de uitkomsten onmeet- bare getallen genoemd worden. Daarbij verkrijgt men in ieder geval twee rijen van getallen, zoo dat elk getal der eene rij grooter is dan het onmeetbare getal, en elk getal der andere rij kleiner. Van al die onmeetbare getallen geldt de opmerkelijke eigenschap, dat elk onmeetbaar getal kan beschouwd worden als de uitkomst der vergelijking van twee onderling onmeetbare lijnen (zie § 113). Om ons hiervan te overtuigen voor eenig onmeetbaar getal, nemen wij willekeurig een lijn A van bepaalde lengte en een onbepaalde rechte lijn. Op deze neemt men een stuk, dat A zoo dikwijls bevat, als de geheelen van het onmeetbare getal aanwijzen. Bij dat stuk voegt men zooveel tiende deelen van A, als het onmeetbare getal bevat. Evenzoo doet men met de honderdste deelen van het getal, enz. Wij hebben nu op de onbepaalde lijn een stuk van veranderlijke lengte: het eene uiteinde van dat stuk verandert niet van plaats, het andere uiteinde verwijdert zich steeds verder van het eerste. Na elke verplaatsing van het veranderlijke uiteinde kan men een punt aanwijzen, dat het veranderlijke uiteinde nooit bereiken zal. Bevat het onmeetbare getal 4 duizendste deelen, dan zal het be- wegende uiteinde nooit het punt bereiken, dat met 5 duizendste deelen zou overeenkomen. Maar het bewegende uiteinde, steeds voort- gaande in denzelfden zin, zonder dat het bepaald aangewezen punten bereiken kan, nadert noodzakelijk hoe langer hoe meer tot een bepaalden stand. Dezen stand kan het nooit bereiken, omdat het voortdurend moet bewegen; maar zijn afstand tot dien stand wordt ten laatste kleiner dan eenige grootheid. De afstand van het onbe- weeglijke uiteinde tot het punt, waartoe het bewegende uiteinde nadert, is dus een bepaalde lijn, en de afpassing van A op die

-ocr page 83-



		79

		bepaalde lijn zou ach toreen volgens evenveel geheelen, tiende deelen, honderdste deelen, enz. opleveren, als door het onmeetbare getal wordt aangewezen. § 132. Elk onmeetbaar getal kan beschouwd worden als de limiet van een veranderlijk getal. Nemen wij het onmeetbare getal e = 1,732051...... Het onmeetbare getal 1,73 is kleiner dan e, terwijl 1,74 grooter dan e is. Het verschil tusschen 1,73 en e is dus minder dan een honderdste. Vermeerdert men 1,73 met 2 duizendsten, dan verkrijgt men 1,732. Dit is weder kleiner dan e en verschilt van e minder dan een duizendste. Op dezelfde wijze heeft men 1,7320 < e, terwijl het verschil kleiner is dan éen tienduizendste. Het getal 1,73205 is kleiner dan e, en het verschil is kleiner dan éen honderdduizendste. Zoo voort- gaande zal het meetbare getal, dat wij laten aangroeien, ten laatste minder van e verschillen dan eenige aan te wijzen grootheid. § 133. De gewone bewerkingen der rekenkunde worden eerst slechts op meetbare getallen toegepast, en alloen voor meetbare getallen wordt hare beteekenis uiteengezet. Voor men nu die zelfde bewerkingen kan toepassen op onmeetbare getallen, moet eerst gezegd worden, welken zin men hecht aan die bewerkingen. Als voorbeeld zullen wij zeggen, wat men het product noemt van twee onmeetbare getallen. Volgens de vorige § kan elk der getallen beschouwd worden als de grens van een meetbaar getal, dat voortdurend aangroeit. Nemen wij nu het product van twee meetbare getallen, die weinig van de onmeetbare verschillen. Laten wij de meetbare getallen aangroeien, dan zal ook hun product toenemen. En als de twee meetbare factoren naderen tot twee onmeetbare getallen, dan zal ook hun product voortdurend naderen tot een zekere grens. Deze grens noemt men het meetbare of onmeetbare produkt van de twee onmeetbare getallen. Opmerking. Dat het produkt van de twee aangroeiende meet- bare getallen werkelijk tot de bepaalde grens nadert, kan men nader aantoonen, door het product voor te stellen door een rechte

-ocr page 84-



		80

		lijn, die steeds aangroeit, even als wij in § 131 gedaan hebben. § 134. Op dezelfde wijze verklaart men de andere bewerkingen met onmeetbare getallen. Moet men dus éen of achtereenvolgens meer bewerkingen toepassen op getallen, waaronder onmeetbare voorkomen, dan vervangt men alle onmeetbare getallen door meet- bare, die er zoo weinig van verschillen, als men wil, en met de meetbare getallen worden nu de bewerkingen uitgevoerd. Yervolgens laat men de meetbare getallen, die voor de onmeetbare in de plaats gesteld zijn, veranderen, zoo dat zij tot hun limieten (de onmeetbare getallen) naderen. De uitkomst der bewerkingen op de meetbare getallen nadert dan eveneens tot een zekere limiet. En deze limiet noemt men de meetbare of onmeetbare uitkomst van de bewerkingen met de gegeven getallen. § 135. Uit de verklaring, die wij gegeven hebben van de bewer- kingen met onmeetbare getallen, volgt, dat alle eigenschappen, die waar zijn voor meetbare getallen, ook voor onmeetbare getallen gelden. Voorbeelden. 1. Men mag de onmeetbare factoren van een pro- dukt verwisselen. Deze eigenschap is waar voor de meetbare factoren, waardoor men de onmeetbare vervangt. Men verkrijgt dus twee gelijke pro- dukten, hoe dicht deze ook komen bij de limieten, waartoe zij respectievelijk naderen. Deze limieten moeten derhalve gelijk zijn. 2. Het quotiënt van twee meetbare of onmeetbare getallen verandert niet, als beide door hetzelfde onmeetbare getal gedeeld worden. De eigenschap is waar voor de meetbare getallen, waardoor men de onmeetbare vervangt. Men verkrijgt dus twee gelijke quotiënten, hoe dicht de twee gelijke quotiënten ook bij hun grenzen komen. De grenzen zijn dus gelijk. Uit de laatste eigenschap volgt, dat de meetbare of onmeetbare verhouding van twee grootheden gelijk is aan het quotiënt der twee getallen, die de verhouding uitdrukken van de beide grootheden tot een willekeurige eenheid. Hieruit volgt dat de evenredigheid in § 126 AB_BC ab bc niet alleen waar is, als men ab als maat van AB en bc als maat

-ocr page 85-

van BC beschouwt, maar ook, als men de vier lijnen vervangt door
getallen, die hare verhouding uitdrukken tot een willekeurige eenheid.

3. Als in een evenredigheid twee der termen of alle vier onmeet-
bare getallen zijn, is het produkt der uiterste termen gelijk aan
dat der middelste.

Laat p, q, r en s de vier getallen zijn, zoodat


	9.	= . Hieruit 8
	«XtfXy	= «XjXy
	*x?xf	= »Xp;
	*X!Xy	= 1 X X -j-

= 2 X r.

Dus sXp = iXr.

Als men in de evenredigheid van § 123 de lijnen AB, ab, BC
en bc vervangt door getallen, die hare verhouding uitdrukken tot
een willekeurige eenheid, heeft men dus

AB X bc = BC X «*
Opmerking. Onderling onmeetbare meetkundige grootheden
zijn uitvoerig behandeld door euclides in het tiende boek
zijner Elementen der meetkunde. De ouden hebben echter het
begrip van getal niet uitgebreid tot onderling onmeetbare
grootheden. Eüclides zegt zelfs uitdrukkelijk: Onderling
onmeetbare grootheden staan niet tot elkaar als getallen."
De uitbreiding van het begrip van getal tot de verhouding
van onderling onmeetbare grootheden geschiedde in de 16e
eeuw. Van toen af werden al spoedig met groote lichtvaar-
digheid alle eigenschappen der meetbare getallen op onmeet-
bare toegepast, zonder dat men hiervan rekenschap gaf.
Uitvoerig worden de onmeetbare verhoudingen behandeld in de
Grondbeginsels der meetkunde door van swinden.

De vorige §§ zijn ontleend aan het uitmuntende werk van
duhamel: Des Methodes dans les sciences de raisonnement,
Paris. Zie verder omtrent de onmeetbare getallen mijn leer-
boek der rekenkunde, waarin ze uitvoerig behandeld worden.

J. versluys, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 6

-ocr page 86-



		*s-i*

		BETREKKINGEN TÜSSCHEN LIJNEN IN EEN DRIEHOEK. § 136. Bepalingen. Door de projectie van een punt op- een lijn verstaat men het voetpunt der loodljjn, die men uit dat punt kan neerlaten op de lijn. Als het punt in de lijn ligt, valt het samen met zijn projectie. Door de projectie van een lijn op een andere verstaat men pj §7_ het gedeelte van de laatste, dat begrepen is tusschen de projec- ties van de uiteinden der eerste. In fig. 87 is p de projectie van A op de lijn XIJ en qr is de projectie van BC op XIJ. In fig. 89 en in fig. 90 is CD de projectie van CA. op CB. § 137. In een reclithoekigen driehoek heeft men de Stellingen. 1. Elke rechthoekszijde is middelevenredig tusschen haar projectie op de hypotenusa en de hypotenusa. 2. De loodlijn, die men uit het hoekpunt van den rechten hoek op de schuine zijde kan neerlaten, is middelevenredig tusschen de twee stukken, waarin zij de schuine zijde verdeelt. Bewijzen. 1. De rechthoekige driehoeken ACD en ABC hebben \|.-j . 88. den scherpen hoek A gemeen , zoodat zij gelijkvormig zijn. Hieruit volgt AD: AC = AC:AB, of als de lijnen in getallen uitge- drukt zijn AC\' = AD X AB. 2. De hoeken DCB en A zijn ge>- lijk, omdat zij beide tot complement hebben _ ACD. De rechthoekige driehoeken ADC en CBD zijn dus- gelijkvormig en wij hebben AD:DC =r DC:DB, waaruit volgt / C/Bfi* = AD X DB. Opmerking. Het zal bij het volgende dikwijls gebeuren, dat wij,

-ocr page 87-



		83

		moeten spreken van het produkt der getallen, die de ver- houding uitdrukken van twee lijnen tot een zelfde eenheid. In plaats van die uitdrukking to gebruiken, zullen wij kortweg spreken van het produkt der lijnen. § 138. Stelling. De tweedemacht der hypotenusa van een rechthoekigen driehoek is gelijk aan de som der tweedemachten van de rechthoekszijden. Bewijs. Zie tig. 88. Men heeft volgens de vorige stelling AC^S = ADXAB, CB\' = DB X AB. Samen AC² BC² = (AD DB) X AB. AC² BC² = AB X A.B = AB². Opmerking. Deze eigenschap stelt ons in staat, een der zijden van een rechthoekigen driehoek te berekenen, als do twee andere zijden gegeven zijn. Opmerking. Gewoonlijk noemt men deze stelling het theorema van Pythagoras naar haren ontdekker, een Grieksch wijsgeer, die omstreeks 580 voor onze tijdrekening leefde. Een aantal bewijzen van genoemde stelling zijn door J. J. J. Hofman voreenigd in een afzonderlijk werkje, dat in het Nederlandsen vertaald is met den titel: De zevenen- veertigste propositie van Euclides met 35 bewijzen. § 139. Stelling. In een scheefhoekigen driehoek is het vier- kant van een zijde, die tegenover een scherpen hoek ligt, gelijk aan de som der vierkanten van de twee andere zijden, min twee- maal het produkt van de projectie van een dier zijden op de andere met die andere zijde. Pig. 89d. Fig. 89*.

		Gestelde. AB^! = BC² AC² 2BC X CD. Bewijs. Hierbij kunnen zich twee gevallen voordoen: de lijn 6*

-ocr page 88-



		84 BC is grooter dan de projectie van AC op BC, zoo als in tig. 89a\', of BC is kleiner dan de projectie van AC op BC, zoo als in fig. 894. In het eerste geval (fig. 89H) is in den rechthoekigen driehoek ABD AB² = BD² AD⁵......(1) Verder is BD r= BC CD, of in het vierkant gebracht BD² = BC² CD² 2BC . CD. In den rechthoekigen driehoek ACD heeft men AD² = AC² CD². Als men deze waarden van BD² en AD² overbrengt in het tweede lid van vergelijking (1), dan komt er AB² = BC² AC² 2BC . CD. In het tweede geval (fig. 806) kan men op dezelfde wijze handelen; alleen in plaats van BD =■ BC CD heeft men BD = CD BC; maar dit heeft geen invloed op de tweedemacht van BD. § 140. Stelling. In een stomphoekigen driehoek is het vierkant van de zijde tegenover den stompen hoek gelijk aan de som der vierkanten van de twee andere zijden, plus tweemaal het produkt van de projectie van een dier zijden op de andere met die andere. Gestelde. AB² = BC² -f AC² 2BC . CD. Bewijs. Omdat L ACB stomp is valt de loodljjn AD op het verlengde van BC. In den rechthoekigen driehoek ABD is AB² = BD² AD² .... (1) Fig. 90. Verder is BD = BC CD, of in het vierkant gebracht BD³ = BC² CD² 2BC . CD. In den rechthoekigen driehoek ACD is AD² = AC² CD². Als men deze waarden van BD² en AD² overbrengt in het tweede lid van vergelijking (1), komt er AB² =r BC² AC² 2BC . CD. § 141. In de drie voorgaande stellingen is gebleken, dat het vierkant van een zijde eens driehoeks gelijk is aan de som der vierkanten van de twee andere zijden, als de hoek tegenover de

-ocr page 89-



		85

		zijde recht is; het vierkant van die eene zijde is kleiner dan ge- noemde som, als de overstaande hoek scherp is, en het vierkant van de eene zijde is grooter dan die som, als de overstaande hoek stomp is. Door den regel van § 43 toe te passen zien wij, dat in een driehoek een hoek recht, scherp of stomp is, al naar het vierkant van de overstaande zijde gelijk is aan, kleiner dan of grooter dan de som der vierkanten van de twee andere zijden. Wil men nu zien of een driehoek rechthoekig, scherphoekig of stomphoekig is, dan merke men op, dat hij zulks zijn zal al naar de grootste zijner hoeken recht, scherp of stomp is en dat de grootste hoek van een driehoek tegenover de grootste zijde staat. Men moet dus het vierkant van de grootste zijde van een driehoek vergelijken met de som der vierkanten van de twee andere zijden om te zien of de de driehoek recht-, scherp- of stomphoekig is. § 142. Berekening der loodlijnen van een driehoek ABC uit zijne zijden. Zij in lig. 89a AD = h de lengte der lijn, die men berekenen wil, en laat a, b en c de lengten zijn der zijden, die tegenover de hoeken A, B en C staan. In den rechthoekigen driehoek ADC is h* = b¹ CD\'. In den driehoek ABC is volgens § 129 c\' = a\' - - i* 2a . CD. Hieruit leidt men at?».. « - & --o ■ C 0D= \' >-, 2a \' waardoor de eerste vergelijking wordt i» M («\' b\' -* tl ^ia\'^b\' - ("\' ^b\' - ^c\'>\'** ⁿ ° 4a ~ * 4a¹ Door ontbinding in factoren verkrijgt men hieruit __ (2ab a\' b* c\') (2ab a b°* e\') _h - 4^3 - [(q ft)\'-»;¹] [c\'-ja-b)¹] * 4a\'* _ (g o c) (a b c) (c a b) (c a b) ~ 4a"

-ocr page 90-



		86

		Om den teller verder te herleiden, stellen wij den halven omtrek van den driehoek voor door s; dus a b c =z 2s, dan is b c a ■=. 2s 2a := 2 (s o), a c b = 2s 2i zz 2 (s è), a -f é c = \'Is 2c = 2 (s c). Deze waarden overgebracht in de uitdrukking, die wij voor h* hebben gevonden, komt er, als men teller en noemer door 4 deelt, _ 4» (s a)(s b) (s c) - a~\' : 2 *h := -----\\/s* (s «) (s b) (s c).** Voor de loodlijn, die men op b kan neerlaten, vindt men evenzoo 2 \\ j t/s (s a) (s b) (s c). Voor de loodlijn op c vindt men 2 A == *-----v^^s ( °) (« ) (« ")* c Opmerking. Dezelfde berekening, die hier gemaakt is voor het geval, dat de loodlijn op het verlengde der basis valt, kan ook gemaakt worden in het geval, dat de loodlijn op de basis valt, zooals in fig. 896. De formulen, die men voor de lood lijnen vindt, zijn dan dezelfde als hierboven.

		GELIJKVORMIGHEID DER VEELHOEKEN. § 143. Bepaling. Twee veelhoeken noemt men gelijkvormig, als zij door diagonalen in een zelfde aantal gelijkvormige driehoeken kunnen verdeeld worden , die op dezelfde wijze aan elkaar sluiten. Voorbeeld. De zeshoeken ABCDEF en abcdef noemt men ge- lijkvormig, indien A BCD ev a bed, A ABD cv a abd, A ADE «v a ade en A AEF os A &ef- Bepalingen. De overeenkomstige hoekpunten van twee gelijk- vormige driehoeken noemt men ook overeenkomstige hoek- punten der veelhoeken.

-ocr page 91-



		87

		De zijden of diagonalen, die twee paar overeenkomstige hoek- punten verbinden, noemt men gelijkstandige zijden of gelijk- standige diagonalen. Fig. 91.

		Bij overeenkomstige hoekpunten heeft men gelijkstandige \'hoeken. Twee lijnen noemt men geljjkstandig, als zij twee paar gelijkstandige zijden in evenredige stukken verdeelen en als tevens -de overeenkomstige stukken bij de twee veelhoeken van overeen- komstige hoekpunten af gerekend worden. § 144. Stelling. De gelijkstandige hoeken van twee gelijkvor- mige veelhoeken zijn gelijk. (Zie fig. 91 of 92.) Bewijs. De hoeken F en zijn gelijk, omdat, volgens de onderstelling, de driehoeken AFE en af e gelijkvormig zijn. Om aan te toonen, dat de hoeken CDE en ede gelijk zijn, heeft men L CDB = L cdb, L BDA = L bda, L APE = Lade; samen L CDE = L ede. Op dezelfde wijze blijkt, dat de andere hoeken der veelhoeken twee aan twee gelijk zijn. § 145. Stelling. De gelijkstandige zijden van twee gelijkvor- mige veelhoeken vormen een aaneengeschakelde evenredigheid. Bewijs. Uit de gelijkvormigheid der driehoeken, waaruit de twee veelhoeken bestaan, heeft men (zie fig. 92) _BC_CD__DB J)B _ AB _ AD AD _ DE _ AE bc cd db \' db ab ad \' ad de ae \' AE _ EF _ AF ae ef af\'

-ocr page 92-

Uit deze vergelijkingen volgt

BC _ CD _ AB _ DE

bc cd \' \' ab \' \' de

E F

AF
af\'

§ 146. Stellino. Twee driehoeken zijn gelijkvormig, als zij tot
zijden hebben yelijkstandige zijden en diagonalen van twee gelijk-
vormige veelhoeken.
Gestelde. A CDE ~ a ede, a CEF cv a cef.

Bewijs. De driehoeken
CDE en ede zijn gelijkvor-
mig, omdat men volgens de
vorige stelling heeft
CD _ DE
cd de

É.CDE = ede.
Daar CDE en ede gelijk-
vormig zijn heeft men


	CE ce	_ DE de
	EF	DE 1e~\'
	CE ce	EF ^- ef

Volgens de vorige § heeft men

(1)

\' Uit de gelijkvormigheid van CDE en ede volgt ook

L DEC = L dec. Volgens § 144 heeft men
IDEF = Ldef.
L CEF = L cef.
De driehoeken CEF en cef hebben dus een hoek gelijk en de
zijden om dien hoek evenredig. (Zie vergelijking (1)). Die twee
driehoeken zijn dus gelijkvormig.

Gevolgen. 1. Als twee veelhoeken gelijkvormig zijn, dan zijn
de driehoeken, waarin men den eenen kan verdeelen door diago-
nalen, gelijkvormig met de driehoeken, waarin de andere door de
gelijkstandige diagonalen verdeeld wordt.

2. De gelijkstandige diagonalen van twee gelijkvormige veelhoeken
zijn evenn

-ocr page 93-



		§ 147. Stellino. Twee veelhoeken zijn gelijkvormig, als de zijden op éen na van den eenen evenredig zijn met de zijden op éen na van den anderen, als die zijden in dezelfde orde op elkaar volgen in de twee veelhoeken en als de hoeken, die door de evenredige zijden gevormd worden, gelijk zijn. AB BC DC DE EF Onderstelde. _r z= -7 = -=- = zz -, ab bc de de ef **LB = Lb, L BCD = L bed, L CDE = L ede, L DEP = L def.** Gestelde, a ABC cv a abc, £ ACD cv a acd, A ADE cv A ode, a AEF cv a «« Fig. 93.

		Bewijs. Daar L B = L b en AB : ab BC : bc, zijn de drie- hoeken ABC en abc gelijkvormig. Uit die gelijkvormigheid volgt AC _ BC _ CD ac bc cd L BCA = /_ bca. Afgetrokken van L BCD = l bed.

		L ACD = l acd.

		Fig. 94.		De driehoeken ACD en acd hebben dus een hoek gelijk en de zijden om dien hoek evenredig, zoodat zij gelijkvormig zijn. Op dezelfde wijze kan men voortgaan om de gelijkvor- migheid van de andere drie- hoeken aan te toonen.

-ocr page 94-

§ 148. Stelling. Twee veelhoeken ABCDE en abcde zijn gelijk-
vormig, als de driehoeken ABC, ABD, ABE respectievelijk gelijk-
vormig zijn met abc, abd, abe.

Bewijs. Uit de gelijkvormigheid der driehoeken volgt


	AB AC ab " ac	BC BD AD BE AE bc "" bd " \' ad be ae\'
	Verder ook	L ABC = L abc
		L ABD =: L abd. Door aftrekking

L CBD = L cbd.
De driehoeken CBD en cbd hebben dus een hoek gelijk en de
zijden om dien hoek evenredig, zoodat zij gelijkvormig zijn. Hier-
uit volgt

CD _ BC .. AB
cd bc ab\'

Op dezelfde wijze toont men aan

CE _ AB
ce ab\'

^CE CD . . ... ,.

---- n , en algemeen: de zijden en diagona-

Dus is r- :=

len van den eenen veelhoek zijn evenredig met die van den anderen.
Hieruit volgt weder, dat men de twee veelhoeken door diagonalen
kan verdeelen in driehoeken, die gelijkvormig zijn en op dezelfde
wijze aan elkaar sluiten.
§ 149. Stelling. Twee gelijkstandige lijnen verdeelen twee ge-
Y\\a 95. lijkstandige veelhoeken in

deelen, die twee aan twee
gelijkvormig zijn.

Bewijs. Als PQ gelijk-
stundig is met pq, heeft
men AP : PP = ap : pf
en CQ : QD = cq : qd.

Uit de eerste evenredig-
heid volgt
(AP PF): (ap j>f) = AP : ap.
k¥:af = AP : ap, of ook
AB : «6 = AP : ap.

-ocr page 95-



		91

		Uit de tweede evenredigheid volgt (CQ QD):(cq qd) = CQ: cq, CD: cd = CQ: cq, of ook AB : ab = CQ : cq. Wij hebben nu BC : bc z= AB : ab r: CQ : cq AP : ap en vol- gens de onderstelling tA = io, i.B = Lb, iC ie, zoodat de veelhoeken ABCQP en abcqp volgens § 147 gelijkvormig zijn. Op dezelfde wijze blijkt, dat DEFPQ en defpq gelijkvormig zijn. § 150. Stelling. De omtrekken van twee gelijkvormige veel- hoeken staan tot elkaar als een paar gelijkstandige zijden. Bewijs. Als ABCDE en abcde de veelhoeken zijn, heeft men AB : ab = BC : bc = CD : cd zr DE : de = EA : ea. Hieruit volgt, volgens een eigenschap der aaneengeschakelde evenredigheden, (AB BC CD DE EA) : (ab bc cd de ea) XB.ab. § 151. Volgens de bepaling in § 143 bestaat de gelijkvormigheid van twee n-hoeken in de gelijkvormigheid van (>i 2) driehoeken. "Voor de gelijkvormigheid van elk paar driehoeken zijn twee verge- lijkingen noodig; dus voor de gelijkvormigheid van twee u-hoeken (n 2) X 2 2n 4 vergelijkingen. Die vergelijkingen zijn even- redigheden of zij drukken de gelijkheid uit van hoeken. In § 147 is de gelijkheid gegeven van n 1 verhoudingen, en die wordt uitgedrukt door n 2 onafhankelijke vergelijkingen. Bovendien heeft men daar n 2 vergelijkingen tusschen hoeken. Samen 2n 4. In § 148 wordt de gelijkvormigheid van n 2 driehoeken onder- steld, en die staat weder gelijk met (n 2) X 2 ~ 2» 4 vergelijkingen. Op deze wijze blijkt in ieder bijzonder geval, dat het aantal ge- gevens, waaruit men tot de geljjkrormigheid van twee n-hoeken besluit, telkens 2n 4 is.

-ocr page 96-



		92

		WERKSTUKKEN.

		§ 152. Werkstuk. Op een gegeven lijn als zijde een driehoek te beschrijven, gelijkvormig met een gegeven driehoek, als bovendien bepaald is, met welke zijde van den gegeven driehoek de gegeven lijn gelijkstandig moet zijn. pj_g_ gg_ Constructie. Laat ABC de gegeven drie- hoek en ab de gegeven lijn zijn, die gelijk- standig moet zijn met AB. Trek de lijnen ac en bc zóó, dat L a LkenLb=LB, dan zijn ABC en abc gelijkvormig en ab is gelijkstandig met AB. § 153. Werkstuk. Op een gegeven lijn als zijde een veelhoek te beschrijven, gelijkvormig met een gegeven veelhoek, als bovendien bepaald is, met welke zijde van den gegeven veelhoek de gegeven lijn gelijkstandig moet zijn. Eerste constructie. Zie fig. 91. Laat ABCDEF de gegeven veelhoek zijn en ab de lijn, die gelijkstandig moet zijn met AB. Verdeel den gegeven veel- hoek door diagonalen in driehoeken en construeer met behulp van het vorige werkstuk achtereenvolgens & abd cvs A ABD, A bed t\\> £ BCD, A ade ^CN\' A ADE en A aef ev a AEF. Volgens de bepaling van de gelijkvormigheid der veelhoeken zijn abcdef en ABCDEF dan gelijkvormig, terwijl ab gelijkstandig is met AB. Tweede constructie. Zie fi₅\'. 94. Trek uit A en B de diago-

-ocr page 97-



		93

		nalen naar de andere hoekpunten C, D en E eenvolgens		Construeer achter-


		Fig. 94.		A abc cv a ABC, A abd cv A ABD en Aaie~ A ABE. Vereenig daarna c met d en d met e, dan zijn, volgens § 148, de veel- hoeken u//o Ie en ABC DE gelijkvormig, terwijl ab gelijkstandig is met AB.

-ocr page 98-



		VERGELIJKEN DER OPPERVLAKKEN VAN PARAL- LELOGRAMMEN EN DRIEHOEKEN. § 154. Bepalingen. 1. Het gedeelte van een plat vlak, dat door een gesloten figuur begrensd wordt, noemt men het opper- vlak der figuur. 2. Men zegt, dat twee figuren gelijke oppervlakken hebben of gelijk zijn, als men ze zó o kan plaatsen, dat ze elkaar be- dekken. Verder zullen wij de eigenschappen toepassen, die in § 2 genoemd zijn. 3. Het oppervlak van een figuur heet kleiner dan het oppervlak van een andere, als de eerste een gedeelte der tweede bedekken kan. Volgens de tweede bepaling hebben zulke driehoeken en in H algemeen zulke veelhoeken, die gelijk en gelijkvormig zijn, gelijke oppervlakken. § 155. Stelling. Twee parallelogrammen, die gelijke basis en p. ₉₇ gelijke hoogte hebben, zijn gelijk. Bewijs. Volgens de onderstelling kan men de parallelogrammen zóo plaatsen, dat zij de basis AB gemeen liebben en dat de zijden CD en EF, die in de twee parallelogrammen tegen- over de basis staan, op dezelfde rechte lijn CF liggen. Nu zijn de driehoeken CAE en DBF ~, omdat L CAE = L DBF, CA = DB en AE = BF.

-ocr page 99-



		95 CABF = CABF. Trek af CAE DBF, dan blijft ABFE = ABDC. § 156. Stelling. Elke driehoek is de helft van een parallelo- gram, dat met den driehoek gelijke basis en gelijke hoogte heeft. Bewijs. Als ABC de driehoek is, trekke men door twee zijner Fig. 98. hoekpunten, bijv. B en C, lijnen, die evenwjjdig loopen met de over- staande zijden en die elkaar snijden in een punt D. Nu is ABDC een parallelogram, dat met den driehoek de basis AB gemeen heeft en dat ook gelijke hoogte heeft met den driehoek. Daar verder ABC en DCB gelijk en gelijkvormig zijn, hebben zij gelijke oppervlakken, zoodat het oppervlak van ABC de helft is van het oppervlak van ABDC. Gevolgen. 1. Alle driehoeken, die gelijke basis en gelijke hoogte hebben, zijn gelijk. 2. Elke driehoek is de helft van een rechthoek, die met hem gelijke basis en gelijke hoogte heeft. § 157. Twee rechthoeken hebben volgens het voorgaande gelijke oppervlakken, als zij gelijke basis en gelijke hoogten hebben. Als de basis gelijk en de hoogten ongelijk zijn, hebben de twee recht- hoeken ongelijke oppervlakken, en die rechthoek, waarvan de hoogte het grootst is, heeft ook het grootste oppervlak. Stelling. Twee rechthoeken met gelijke basis staan tot elkaar als hunne hoogten. . Bewijs. Laat AB en EF de gelijke bases zijn. Ten aanzien der hoogten AD en EH moeten wij twee gevallen onderscheiden, nl. of zjj onderling meetbaar zijn dan wel onderling onmeetbaar. In het eerste geval passen wij een gemeene maat van AD en EH op die twee lijnen af. Dit gaat bijv. op AD vijf maal en op EH twee maal, zoodat wij hebben AD _ 5 EK 2 \'

-ocr page 100-

Uit de deelpunten van AD trekken wij lijnen evenwijdig aan AB
j,\'j ;jg_ en uit de deelpunten van EH lij-

nen evenwijdig aan EF. Daardoor
wordt de rechthoek ABCD ver-
deeld in vijf deelen en de rechthoek
EFGH in twee deelen. Al die dee-
len zijn rechthoeken met gelijke
bases en gelijke hoogten : dus ge-
lijke deelen. Men heeft alzoo
ABCD _ _5_
EFGH "" 2 \'
En als men deze vergelijking
beschouwt in verband met de voor-

gaande

ABCD

AD
EH\'

EFGH

In het tweede geval passen wij EH zoo dikwijls op AD at als
mogelijk is, hier eenmaal, terwijl er een stuk KD overbljjft, dat

Fig. 100.

kleiner is dan EH.

Trekken wij KL
evenwijdig met AB,
dan is

ABLK = EFGH en
KLCD < EFGH.

De rechthoek EFGH
kan dus eenmaal op
ABCD afgepast wor-
den , waarna een deel
KLCD overblijft, dat
kleiner is dan EFGH.
EH kan dus zoo vaak op AD afgepast worden als EFGH op ABCD.
Neem nu een tiende van EH en zet dit op DK uit, zoo dikwijls als
mogelijk is, hier vijfmaal, terwijl een stuk PD overblijft, dat klei-
ner is dan een tiende van EH. Trek vervolgens uit de deelpunten
van KD lijnen evenwijdig met AB, dan wordt KLCD in zes deelen
verdeeld. Vijf daarvan zijn even groot en gelijk aan een tiende

-ocr page 101-

van EFGH. Het andere deel PQCD is kleiner dan EFRS of een
tiende van EFGH, omdat PD < ES, terwijl PQ = EF. Het tiende
van EFGH kan dus op K LCD evenveel malen uitgezet worden,
als het tiende van EH op KD kan afgepast worden.

Evenzoo kan men verder gaan met honderdsten van EH en van
EFGH, met duizendsten, enz. En daar men achtereenvolgens van
EH en van EFGH hetzelfde aantal geheelen, tienden, honderdsten,
enz. verkrijgt, zijn de onmeetbare verhoudingen

ABCD

EH ^en EFGH

gelijk, volgens de bepaling, die in § 113 gegeven is van de gelijk-
heid van twee onmeetbare verhoudingen. Dus

ABCD

= =tt of

EFGH EH

AD
ABCD = ^ X EFGH.

Gevolgen. 1. Twee rechthoeken, die gelijke hoogten hebben,
zijn evenredig met de bases.

2. Twee parallelogrammen of twee driehoeken, die gelijke bases
hebben, zijn evenredig met hunne hoogten.

3. Twee parallelogrammen of twee driehoeken, die gelijke hoog-
ten hebben, zijn evenredig met hunne bases.

§ 158. Stelling. Twee rechthoeken zijn samengesteld evenredig
met hunne bases en hoogten.

Fig. 101.

Gestelde.

ABCD

AB AD
EF ^X EH\'

EFGH

versluys, Vlakke Meetkunde

8e druk.

-ocr page 102-



		9S

		IJk wijs. Neem een rechthoek IKLM, die met EFGH gelijke basis. en met ABCD gelijke hoogte heeft. "Volgens de vorige § is dan AR ABCD = ^ X IKLM IK. of ABCD = 4s X IKLM en IKLM = ^ X EFGH. hr hri Hieruit volgt ABCD = A\| _X IKLM = ±? X gg X EFGH of ABCD _ AB AD EFGH ~" ËF^XËH" . Gevolg. Twee driehoeken of twee parallelogrammen zijn samen- gesteld evenredig met hunne bases en hoogten.

		HET BEREKENEN DER OPPERVLAKKEN. § 159. Om de oppervlakken van vlakke figuren in getallen te kunnen uitdrukken, vergelijkt men die oppervlakken of de opper- vlakken van figuren, gelijk aan de eerste, met het oppervlak van een vlak figuur, dat men als eenheid beschouwt. Tot eenheid van die oppervlakken neemt men aan een vierkant, welks zijde een lengteëenheid is. Men zegt tot verkorting oppervlak van een rechthoek of rechthoek, in plaats van verhouding van den rechthoek tot de vlakteëenheid. Deze verkorte wijze van uitdrukken ge- Fig. 102. bruikt men bij alle figu- ren. Evenzoo zegt men hoogte, in plaats van verhouding der hoog- te tot de eenheid, die men als lengtemaat heeft aangenomen; enz. § 160. Als EFGH de vlakteëenheid voorstelt, zoodat E F = EH gelijk aan de eenheid der lengte is, terwijl ABCD een willekeurigen

-ocr page 103-

rechthoek voorstelt, dan is volgens § 158 ~~_EgQH~~ = jjXjp,

of in woorden: de verhouding van een rechthoek tot de eenheid der
vlaktemaat wordt verkregen, door de verhouding van de basis tot de
lengteëenheid te vermenigvuldigen met de verhouding van de hoogte
tot de lengteëenheid. jGebruikt men nu de verkorte uitdrukkingen
van de vorige §, dan heeft men, in plaats van het voorgaande, de

Stelling: Het oppervlak van een rechthoek is gelijk aan het
produkt van zijn basis en zijn hoogte.

Stellino. Het oppervlak van een vierkant is gelijk aan de tweede-
macht van een zijner zijden.

Daar verder elk parallelogram gelijk is aan een rechthoek, die
gelijke basis en gelijke hoogte heeft met het parallelogram, zoo
heeft men de

Stelling. Het oppervlak van een parallelogram is gelijk aan
het produkt van zijn basis en zijn hoogte.

Daar elke driehoek de helft is van een parallelogram, dat met
hem gelijke basis en gelijke hoogte heeft, zoo volgt uit het voor-
gaande de

Stelling : liet oppervlak van een driehoek is gelijk aan het halve
produkt van zijn basis en zijn hoogte.

§ 161. Berekening van het oppervlak eens driehoeks, als zijne
zijden gegevrn zijn, a, b en c.

In § 142 is voor de loodlijn op de zijde a gevonden

\\/s (s a)(s V) (s c).

Dit is de hoogte, als a de basis is, zoodat wij voor het opper-
\' Fig. 103. v\\&V. vinden: O z: «X!\'= V^s

(s a) (s b) (s c).

§ 162. Stelling. Het oppervlak
van een trapezium is gelijk aan de
italve som der evenwijdige zijden,
vermenigvuldigd met de hoogte.

Bewijs. Noemen wij de hoogte
van het trapezium h, dan is
AF = CE = h.

-ocr page 104-



		100

		ABC =CEX,^lAB = 4X! AB, ACD = AF X i CD = h X i CD. Samen ABCD = iX! (AB CD).~ § 163. Om het oppervlak van een willekourigen veelhoek te berekenen, kan men hem, evenals wij bij het trapezium gedaan hebben, door diagonalen in driehoeken verdeelen en de oppervlak- ken van die driehoeken berekenen. De som der oppervlakken van de driehoeken levert het oppervlak van don veelhoek op. Men kan ook den veelhoek in andere deelen verdeelen, die men af/.oiiderlijk kan berekenen. Zoo is een verdeeling, die dikwijls toegepast wordr, de volgende: Fi\'. 101. Vereenig twee hoekpunten L en C door de diagonaal LC, en laat uit de andere hoekpun- ten loodlijnen neer op LC. Daardoor wordt de veelhoek verdeeld in rechthoekige drie- hoeken en rechthoekige trape- ziums. De oppervlakken van deze deelen kan men bereke- nen, als de lengten der lood- lijnen en der deelen, waarin CL door hare voetpunten verdeeld wordt, bekend zijn.

		£«, VERGELIJKEN VAN OPPERVLAKKEN. \' \'* , ■■.-«.■\'c■(L, § 164. Stelling. De oppervlakken van twee driehoeken, die een hoek gelijk hebben, staan tot elkaar als de produkttn der zijden om dien hoek. Onderstelde, l A =: La. Gestelde. ABC : abc =z AB X AC : ab X <"« Bewijs. Nemen wij AB en ab als bases aan, dan zijn CD en cd de hoogten. Volgens het gevolg der stelling van § 158 heeft men

-ocr page 105-

101

Fiff. 105.

ABC

abc

AB PC

ab^X de\'

Daar L K ~ i», zijn de
rechthoekige driehoeken ACD
en ocd gelijkvormig, zoodat
PC _ AC

de ac\'

ABC

abc

_ AB AC _ AB X AC
ab ac ab X ac \'

Men heeft nu

ABC : abc = AB X AC : ab X ac.
§ 165. Stelling. De oppervlakhen van twee gelijkvormige drie-
hoeken staan tot elkaar als de tweedemachlen van een paar gelijk-
standiye zijden.

Fig. 106. Bewijs. Neem een

paar gelijkstandige
zijden AB en ab ala
bases aan.

Vooreerst is

ABC
abc

AB CP

ab ^X ed\'

En daar ACP

acd tv zijn,

Door substitutie in de

AB\'

AB AB
ab ^X ab

vorige vergelijking

abc \'

\' ab\'

§ 166. Stelling. Twee gelijkvormige veelhoeken staan tot elkaar
als de vierkanten van twee gelijkstandige zijden.

Bewijs. Verdeel de twee veelhoeken door gelijkstandige diagonalen
Pig. 107.

-ocr page 106-



		102

		in gelijkvormige driehoeken, dan heeft men volgens de vorige stelling ABC : abc = AB\': ab\', ACD : acd = CD: cd\',* ADE : ade = DE\' : de\', AEF : aef = EF\' : ef\'. Uit de gelijkvormigheid der veelhoeken volgt AB : ai = CD : cd = DE : de = EF : ef; dus ook AB\': ab\' = CD\': cd\' = DE\' : de\' = EF\' : ef. De vier evenredigheden, die wij hierboven opgeschreven hebben, hebben dus de tweede redens gelijk, waaruit volgt ABC : ahc ACD : acd = ADE : ade = AEF : aef = AB\': ab\'. (ABC ACD ADE AEF) :(abc acd ade aef) ~ AB\'-.ab\'. ABCDEF : abcdef AB: ab\'.* ij 167. In § 138 is bewezen, dat de som der tweedemachten van de rechthoekszjjden van een rechthoekigen driehoek gelijk is aan de tweedemacht der hypotenusa. Daar nu die tweedemachten de oppervlakken voorstellen van vierkanten , die ieder een der zijden van den driehoek tot zijden hebben, zoo kan men het theo- rema van Pythagoras ook aldus uitdrukken: Het vierkant, beschreven op de hypotenusa van een rechthoekigen driehoek, is gelijk aan de som der vierkanten, beschreven op de rechthoekszvjden. § 168. Stelling. Als men drie gelijkvormige veelhoeken beschrijft, die de zijden van een rechthoekigen driehoek tot gelijkstandige zijden hebben, dan is de veelhoek, op de schuine zijde beschreven, gelijk aan de som der twee andere veelhoeken. Bewijs. Laat a en b de lengten der rechthoekszjjden voorstellen en c die van de schuine zijde, terwijl P, Q en R de oppervlakken zijn van de gelijkvormige veelhoeken, die a, b m c tot gelijkstan- dige zijden hebben. Volgens § 166 is nu P : Q : R * a\':b\':c\'.* Volgens een eigenschap der evenredigheden (P Q): E = (a* b\'): c\'. In § 138 is bewezen a\' -\\-b\' rs c\', zoodat de derde en vierde term van de voorgaande evenredigheid gelijk zij». Hieruit volgt, dat ook de eerste en tweede term gelijk zijn, dus P Q = R.

		"

-ocr page 107-



		103

		WERKSTUKKEN. § 169. "Werkstuk. Als een veelhoek gegeven is, een anderen te beschrijven, die een zijde minder heeft en die gelijk is aan een ge- geven veelhoek. Constructie. Zij ABCDE de gegeven veelhoek. Trek een dia- gonaal BD, die van den veelhoek een driehoek BCD afsnijdt. Trek door het toppunt C van dien driehoek een lijn CF evenwijdig aan Fig. 108. ^B, dan zullen alle driehoeken, die DB tot basis hebben en die hun top- punt in CF hebben, gelijk zijn. De veelhoek verandert dus niet van opper- vlak, als men er den driehoek BCD afneemt en een anderen driehoek bij- voegt, die BD tot basis en een punt van CF tot toppunt heeft. En om na dat bijvoegen een veelhoek te ver- krijgen, die één zijde minder heeft dan de gegevene, moet men slechts tot toppunt van den bij te voegen driehoek kiezen: het snijpunt F van het verlengde van AB met de lijn CF. Gevolg. Boor deze constructie meermalen toe te passen, kan men eiken veelhoek veranderen in een driehoek. § 170. Werkstuk. Een vierkant te beschrijven, gelijk aan de som van twee gegeven vierkanten. Constructie. Beschrijf een rechthoekigen driehoek, die eene zijde van elk der gegeven vierkanten tot rechthoekszijden heeft. Volgens § 167 zal dan een vierkant, dat de hypotenusa tot zijde heeft, gelijk zijn aan de som der twee gegeven vierkanten. Opmerkingen. 1. Om een vierkant te beschrijven, gelijk aan het verschil van twee gegeven vierkanten, behoeft men slechts de zijde van het grootste vierkant tot hypotenusa aan te nemen en de zijde van het andere vierkant tot eene rechthoekszij de. De andere rechthoekszij de is dan de zijde van \'t gevraagde vierkant. 2. Dezelfde constructie kan men volgens de eigenschap van § 168 toepassen om een veelhoek te construeeren, die gelijkvormig is

-ocr page 108-



		104

		met twee onderling gelijkvormige veelhoeken en gelijk aan hun som of hun verschil. § 171. Werkstuk. Indien een lijn als eenheid gegeven is, lijnen te construeeren gelijk aan \\/2, \\/3, y\'ö, \\/6, enz. Constructie. Beschrijf een rechthoekigen a > wiens rechthoeks- z ij den ieder gelijk zijn aan de eenheid, dan is de tweedemacht der hypotenusa l\' l\' = 2, en de hypotenusa zelf \\/ 2. Beschrijf vervolgens een rechthoekigen a > die \\f 2 en 1 tot rechthoekszjjden heeft, dan is het vierkant der hypotenusa van dien A rysp i* = 3, en de hypotenusa dus y\' 3. Door als rechthoekszjjden te nemen 2 en 1 vindt men tot schuine zijde \\/5. Met behulp van t/5 en 1 vindt men \\/6, en zoo kan men voortgaan.

-ocr page 109-



		DB EENVOUDIGSTE EIGENSCHAPPEN VAN DEN CIRKEL.

		§ 172. "Wij hebben in § 15 gezegd wat een cirkel is en daar ook de eigenschap vermeld, dat alle stralen van een cirkel eren Fig. 109. lang zijn. Bepalingen. Een gedeelte van een cirkel noemt men een cirkel- boog, bijv. EGF (fig. 109). Elke lijn, die twee punten van een cirkel verbindt, noemt men een koorde, bijv. EF. Een koorde, die door het middel- punt van den cirkel gaat, heet een middellijn, bijv. AB. Stelling. Alle middellijnen van een cirkel .zijn even lang. Bewijs. Uit de vorige bepaling blijkt, dat elke middellijn de som is van twee stralen, en daar alle stralen even lang zijn, zoo zijn ook alle middellijnen even lang. § 173. Stelling. Elke middellijn verdeelt den cirkel in twee deelen, die elkaar bedekken kunnen. Bewijs. Als men de figuur omvouwt volgens een middellijn, zal een straal, die aan den eenen kant dier middellijn ligt, vallen langs een straal, die aan den anderen kant der middellijn ligt en een gelijken hoek met haar maakt. Omdat de twee stralen even lang zijn, vallen hun uiteinden samen; dus een punt van het eene gedeelte der kromme Fig. 110. lijn valt samen met een punt van het andere gedeelte. Dit zelfde geldt voor alle punten, zoodat na het omvouwen der figuur de twee dee- len van den cirkel elkaar bedekken. § 174. Stelling. De middellijn is grooter dan eeniye andere koorde, die niet door \'t middelpunt gaat.

-ocr page 110-



		106

		Bewijs. Zij CD een koorde, die niet door \'t middelpunt M gaat, dan vormt die koorde met de stralen MC en MD een driehoek. Hierin is MC MD > CD, en daar elke middellijn gelijk is aan tweemaal een straal, zoo is ook de middellijn OP > CD. § 175. STELLING. Door drie punten, die niet in een rechte lijn liggen, kan altijd een cirkel gaan. Bewijs. Om de waarheid van deze stelling aan te toonen, moeten wij laten zien, dat er altijd een punt P kan gevonden worden, even ver van de drie punten gelegen. Neemt men toch zulk een punt tot middelpunt aan van een cirkel, die tot straal heeft den afstand van P tot een der drie gegeven punten, dan gaat die cirkel door de drie punten. Fig. 111. Laat nu A, B en C de drie gegeven punten zijn. Daar het middelpunt van den cirkel even ver van A als van B moet verwijderd zijn, ligt het volgens § 60 in de lijn DE, die AB rechthoekig midden- door deelt. Daar het middel- punt even ver van B als van C moet liggen, moet het een punt zijn van de lijn FG, die BC rechthoekig midden- door deelt. Zal er dus een punt zijn, dat aan het vereischte voldoet, dan moet zulks het snijpunt zijn van DE en van FG. Daar men heeft EDF < EDB en GFD < GEB ÊDF -f- GFD < 180% zoo zullen DE en EG (volgens § 33 Gevolg) elkaar ontmooton. Dat ontmoetingspunt ligt even ver van A als van B en even ver van B als van C, dus op gelijke afstanden van A, B en C. Opmerkingen. 1. Als de drie punten A, B en C in eene rechte lijn liggen , kunnen de lijnen, die AB en BC rechthoekig middendoor deelen, elkaar nooit ontmoeten; er is dus geen cirkel mogelijk, die door drie punten gaat, welke in éen rechte lijn liggen;

-ocr page 111-



		107

		of met andere woorden: Een cirkel kan geen drie punten met een rechte lijn gemeen hebben. 2. Daar slechts één cirkel mogelijk is, die door drie gegeven punten gaat, zoo kan men zeggen: Een cirkel is door drie van zijn punten bepaald. 3. Door twee punten A en B kan men zooveel cirkels laten gaan als men wil. Daartoe moet men slechts tot middelpunt nemen een willekeurig punt van de lijn, die AB rechthoekig middendoor deelt, en tot straal den afstand van E tot A. Gevolg. Als twee cirkels drie punten gemeen hebben, bedekken zij elkaar volkomen. § 176. Stelling. Als twee cirkels met gelijke stralen beschreven zijn, kunnen zij zóo geplaatst worden, dal zij elkaar bedekken. Bewijs. Plaats den eenen cirkel zóo, dat zijn middelpunt samen- valt met het middelpunt van den anderen cirkel. Uit de eigenschap, dat alle stralen van den eenen cirkel gelijk zijn aan die van den anderen, volgt nu onmiddelijk, dat elk punt van den eenen cirkel samenvalt met een punt van den anderen. Bepaling. Cirkels, die met gelijke stralen beschreven zijn, noemt men gelijke cirkels. Opmerking. Even als men cirkels op elkaar kan plaatsen, die met gelijke stralen beschreven zijn, zoo kan men ook deelen van denzelfden cirkel op elkaar plaatsen. § 177. Stelling. Als twee gelijke cirkels zóo geplaatst worden, dat zij twee punten gemeen hebben en dat de middelpunten vallen aan denzelfden kant der lijn, die de gemeenschappelijke punten verbindt, dan zullen de kromme lijnen geheel langs elkaar vallen. Bewijs. Plaats den cirkel CDE zóo, dat C in A en D in B valt en dat het middelpunt N aan denzelfden kant van AB valt, als waar het middelpunt M ligt. Daar men nu heeft AB :zz CD, BM = DN en AM = CN, zoo zijn de driehoeken ABM en CDN gelnk en

-ocr page 112-



		1US

		gelijkvormig. Het punt N valt dus in M, zoodat de cirkels volgens de vorige stelling geheel samenvallen. § 178. Bepalingen. In denzelfden cirkel of in cirkels, die met gelijke stralen beschreven zijn, noemt men twee bogen gelijk, als ze zóo geplaatst kunnen worden, dat zij elkaar volkomen be- dekken. BC = B\'C\'. Fjtr, Hg. Men zegt, dat een boog kleiner is dan een andere, als de eerste een gedeelte van den tweeden kan be- dekken. Om twee bogen , AB en B\'C\', van gelijke cirkels samen te tellen, plaatst men den eenen, B\'C\', naast den anderen, in BC, zoodat zij een uiteinde B gemeen hebben. Men noemt dan AC de som van AB en B\'C\'. AC = AB BC, AC =: AB -f- B\'C\'. Een hoek, wiens hoekpunt in het middelpunt van een cirkel ligt, heet een middel punts hoek. Men zegt, dat een middelpuntshoek staat op den boog, die tusschen zijn beenen begrepen is. Bij eiken cirkelboog heeft men een middelpuntshoek en een koorde. Bij eiken middelpuntshoek heeft men een cirkelboog, die binnen den hoek ligt, en een koorde, welke dien boog onderspant. Bij elke koorde heeft men een uitspringenden en een inspringen- den middelpuntshoek, wiens beenen door de uiteinden van die koorde gaan, en twee cirkelbogen, welke beide door die koorde worden onderspannen. Tusschen een cirkelboog, de overeenkomstige koorde en den overeenkomstigen middelpuntshoek bestaan betrekkingen, die wij in de zes volgende paragrafen zullen behandelen. § 179. Stelling. Als bij denzelfden cirkel of bij gelijke cirkels twee hoeken aan \'t middelpunt gelijk zijn, dan volgt daaruit, dat de koorden gelijk zijn, en omgekeerd.

-ocr page 113-



		109

		Bewijs. Zij volgens de onderstelling c AMB = L CND. Verder is AM = CN, BM = DN. De driehoeken ABM en CDN zijn £y:., zoodat AB = CD. Fig. 114.

		Bewijs van het omgekeerde. Indien bekend is AB r= CD, dan weet men, dat de drie zijden van A ABM gelijk zijn aan die van A CDN. Deze zijn dus ££, zoodat L AMB = L CND. § 180. Stelling. Als bij gelijke cirkels of bij denzelfden cirkel twee hoeken aan \'t middelpunt gelijk zijn, dan volgt daaruit, dat de bogen gelijk zijn, en omgekeerd. Bewijs. Plaatst men den eenen hoek zóo, dat hij den anderen bedekt, dan volgt uit de gelijkheid der stralen, dat ook de bogen samenvallen. Bewijs van het omgekeerde. Als de bogen gelijk zijn, kan men ze zóo plaatsen, dat zij samenvallen. Volgens § 177 vallen dan de middelpunten samen en bijgevolg ook de middelpuntshoeken. Gevolg. De lijn, die een middelpuntshoek middendoor deelt, zal ook den boog middendoor deelen, waarop die hoek staat. § 181. Stelling. Als bij denzelfden cirkel of bij gelijke cirkels twee koorden gelijk zijn, dan volgt daaruit, dat de bogen, waarin elke koorde een cirkel verdeelt, gelijk zijn, en omgekeerd. Bewijs. Als twee koorden gelijk zijn, zijn volgens § 170 de middelpuntshoeken gelijk, en hieruit volgt, volgens de vorige §, dat de bogen gelijk zijn.

-ocr page 114-



		110

		Bewijs van het omgekeerde. Als twee bogen gelijk zijn, dan kan men ze zóo plaatsen, dat zij samenvallen; maar dan vallen ook de koorden samen. Opmerking. Daar elke koorde de twee bogen onderspant, waarin zij den cirkel verdeelt, zoo mag men uit de gelijkheid van twee koorden alleen besluiten tot de gelijkheid van twee bogen, wanneer deze beide grooter of beide kleiner zijn dan de helft van den cirkel, of wanneer zij juist de helft zijn van den cirkel. § 182. Stelling. Als bij denzelfden cirkel of bij gelijke cirkels twee uitspringende middelpuntshoeken ongelijk zijn, behoort bij den grootsten hoek de grootste koorde, en omgekeerd. Bewijs. Als L AMB > £.CND, dan hebben de driehoeken AMB Fig. 115.

		en CND twee zijden gelijk (AM = CN, BM zz DN), terwijl de ingesloten hoek bij den eersten grooter is dan bij den tweeden. Hieruit volgt, volgens § 66, AB > CD. Bewijs van het omgekeerde. Als AB > CD, zijn twee zijden van A AMB gelijk aan twee zijden van A CND, terwijl de derde zij van den eersten driehoek grooter is dan de derde zij van den tweeden driehoek. Hieruit volgt, volgens § 67, /1AMB > LCND. § 183. Stelling. Als bij denzelfden cirkel of bij gelijke cirkels twee uitspringende middelpuntshoeken ongelijk zijn, behoort bij den grootsten hoek de grootste boog, en omgekeerd. Bewijs. Men kan den kleinsten hoek zóo plaatsen, dat hij een ge- deelte van den anderen bedekt, en dan zal tevens de boog, die bij den kleinsten boek behoort, een gedeelte van den anderen boog bedekken. "

-ocr page 115-



		111

		Bewijs van het omgekeerde. Plaats den kleinsten boog zóo, dat hij een gedeelte van den anderen bedekt, dan zal te gelijk de hoek, die bij den kleinsten boog behoort, een gedeelte van den anderen hoek bedekken. § 184. Stelling. Als bij denzelfden cirkel of bij gelijke cirkels twee bogen, beide kleiner dan een halve cirkel, ongelijk zijn, dan behoort bij den grootsten boog de grootste koorde, en omgekeerd. Bewijs. Bij den grootsten der twee bogen behoort volgens de vorige § de grootste der twee middelpuntshoeken en bij den groot- sten der twee hoeken behoort volgens § 182 de grootste der twee koorden. Dus behoort ook bij den grootsten der twee bogen de grootste der twee koorden. Bewijs van het omgekeerde. Bij de grootste der twee koor- den behoort volgens § 182 de grootste der twee middelpuntshoeken en bij den grootsten der twee middelpuntshoeken behoort volgens de vorige § de grootste der twee bogen. Dus moet ook bij de grootste der twee koorden de grootste der twee bogen behooren. Opmerking. Uit AC > BD volgt, volgens het voorgaande, boog AFC > boog BED. Fig. 116.

		Als men boog AFC van den geheelen cirkel afneemt blijft er minder over, dan wanneer men boog BED van den geheelen cirkel afneemt. Uit AC > BD volgt dus boog AHC < boog BGD. Eveneens volgt uit boog AHC < boog BGD. AC > BD.

-ocr page 116-



		112

		Men heeft dus in woorden: Als bij denzelfden cirkel of bij gelijke cirkels twee bogen, beide grooter dan een halve cirkel, ongelijk zijn, dan behoort bij den grootsten der twee bogen de kleinste der twee koorden, en omgekeerd. § 185. Stelling. De middellijn, die rechthoekig op een koorde staat, deelt de koorde middendoor en de twee bogen, die de koorde onderspant. pj ii7. Bewijs. Zij AB de koorde en CD de middellijn, die rechthoekig op AB staat. Vereenig het middelpunt met A en met B, dan ia A AMB gelijkbeeaig en de lijn, die door het toppunt M van dien driehoek rechthoekig op de basis getrokken wordt, deelt volgens § 58 de basis middendoor. Daar nu C een punt is van de lijn, die AB rechthoekig middendoor deelt, zoo is koorde CA zz koorde CB, en dus boog CA ;= boog CB. Evenzoo heeft men koorde DA koorde DB, waaruit volgt boog DA =: boog DB. § 186. De lijn CD voldoet volgens het bovenstaande aan vijf voorwaarden. 1°. Zij gaat door het middelpunt van den cirkel. 2°. Zij staat rechthoekig op AB. 3°. Zij gaat door het midden van AB. 4°. Zg deelt boog ACB middendoor. 5°. Zij deelt boog ADGrtniddendoor. Twee van deze voorwaarden zijn voldoende om CD te bepalen, en elke lijn, die aan twee der genoemde voorwaarden voldoet, zal ook aan de drie andere voldoen. Gevolg. De meetkundige plaats der middelpunten van alle koor- den, die evenwijdig loopen met een gegeven lijn, is de middellijn, welke rechthoekig op de gegeven lijn staat.

		i

-ocr page 117-



		113

		ONDERLINGE LIGGING VAN EEN CIRKEL EN EEN RECHTE LIJN. § 187. Volgens het axioma van § 11 zal een rechte lijn, die door een punt binnen een cirkel getrokken wordt, de kromme minstens tweemaal snijden. Dat er niet meer dan twee snijpunten kunnen zijn, is in de eerste opmerking van § 175 gebleken. Bepaling. Een rechte lijn, die met den cirkel twee \'punten gemeen heeft, noemt men een snij lijn. Fig. 118. Stellen wij ons voor, dat zulk een snijlijn AB om een van haar snijpunten A draait, zóo, dat het andere snijpunt tot A nadert. Dit nndere snijpunt komt dan achter- eenvolgens in B, C, D, E. De bewegende lijn kan daardoor in zulk een stand gebracht worden, dat de twee snijpunten samenval- len in A. Bepalingen. Een raak lijn ontstaat, als een snijlijn zoodanig om een van haar snijpunten be- wogen wordt, dat haar beide snijpunten samenvallen in één punt. Dit punt noemt men het raakpunt. Opmerking. Men drukt dit samenvallen van twee snijpunten

		Fig. 119.		ook uit door te zeggen, dat


		een raaklijn twee opeenvolgende punten met den cirkel gemeen heeft. § 188. Stelling. Een raak- lijn staat rechthoekig op den straal van het raakpunt. Bewijs. Zij AC een snijlijn, die door draaiing om A over- gaat in de raaklijn AF. De driehoek AMB is gelijkbeenig, en zijn buitenhoek J. versluys, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 8

-ocr page 118-



		114

		/.MBC = 180° iMBA, iMBC = 180= (90° jiAMB), L MBC = 90° \\ L AMB. Op dozelfde wijze is iMDE = 90° iL AMD, L MGH = 90° L AMG. Of in woorden: Een snijlijn maakt met den straal van een harer snijpunten een hoek, die gelijk is aan 90^J plus de helft van den \'hoek, dien de stralen van de twee snijpunten met elkaar maken. Deze eigenschap gaat door, hoe dicht de twee snijpunten ook bij elkaar komen. Vallen de twee snijpunten samen, dan vallen ook de twee stralen samen: deze maken dus een hoek van 0\' met elkaar, zoodat wij hebben L MAF = 90^; 0° = 90°. Gevolgen. 1. Door elk punt van een cirkel kan êen en niet meer dan éen raaklijn gaan. 2. Een lijn, die rechthoekig staat op het uiteinde van een straal, is een raaklijn.

		Fig. 120.		Opmerking. Men kan ook zeg-


		gen, dat een raaklijn ontstaat, als een snijlijn AC draait om een van haar punten A buiten den cirkel, tot haar twee snijpunten samen- vallen in F. Men kan daarbij, even als vroeger, aantoonen, dat de lijn AF rechthoekig staat op den straal van het raakpunt. Opmerking. De voorgaande beschouwing der raaklijnen is in de 17e eeuw langzamerhand ontwikkeld door fermat, HUYGENS, NEWTON en LEIBNITZ. § 189. Stellingen. 1. De afstand van het middelpunt tan een cirkel tot een snijlijn is kleiner dan de straal. 2. De afstand van het middelpunt van een cirkel tot een raak- lijn is gelijk aan den straal. 3. De afstand van het middelpunt tot een rechte lijn, die geen enkel punt met den cirkel gemeen heeft, is grooter dan de straal.

-ocr page 119-



		115

		Bewijzen. 1. De stralen van de twee snijpunten zijn even lang en maken dus scheeve hoeken met de snijlijn. En daar de loodlijn, uit het middelpunt op de snijlijn neergelaten, kleiner is dan een der schuine lijnen, zoo is die loodlijn kleiner dan de straal. i. De raaklijn staat volgens de vorige § rechthoekig op den straal van het raakpunt, zoodat die straal de afstand van het middelpunt tot de raaklijn is. 3. Als een rechte lijn geen enkel punt met den cirkel gemeen heeft, liggen al haar punten buiten de kromme. Zooals wij reeds in § 15 gezien hebben, is de afstand van alle punten der rechte tot het middelpunt grooter dan de straal. Dus is ook de loodlijn, die een punt der rechte Ijjn met het middelpunt vereenigt, grooter dan de straal. § 190. In de vorige § hebben wij alle standen genomen, die een rechte lijn ten aanzien van een cirkel kan innemen, en daarbij zijn wij gekomen tot gevolgtrekkingen, die verschillend zijn en van dien aard, dat geen twee te gelijk kunnen waar zijn. Wij hebben dus met toepassing van den algemeenen regel van £ 43 de volgende Stellingen. 1. Als de afstand van het middelpunt van een cirkel tot een rechte lijn kleiner is dan de straal, dan is de rechte lijn een snijlijn. 2. Als de afstand van het middelpunt tot een rechte lijn gelijk is aan den straal, dan is die rechte lijn een raaklijn. 3. Als de afstand van het middelpunt tot een rechte lijn grooter is dan de straal, dan heeft de rechte geen enkel punt met den cir- Fig. 121. kei gemeen. § 191. Stelling. In denzelf- den cirkel of in gelijke cirkels liggen gelijke koorden even ver van het middelpunt, en omge- keerd : twee koorden, die op ge- lijke afstanden van het middelpunt liggen, zijn gelijk. Bewijs. De loodlijnen, die men uit het middelpunt op de koorden neerlaat, deelen de koorden raid- 5*

-ocr page 120-

116

dendoor. Uit de gelijkheid der koorden volgt das ook BE = DF.
Na hebben wij in de rechthoekige driehoeken MBE en MD F, als

wjj MB z= MD door r voorstellen, if-ivfW ï (*■<"<\'-\'} ;■

c.L

ME¹ = >■\' - BE\', q-_uMF\' = r* DF\'.
Daar nu BE en DF gelijk zijn, zijn de tweede leden der vorige
vergelijkingen gelijk; dus ook de eerste

ME¹ = MF² en
ME = MF.
Omgekeerd volgt uit ME = MF of ME\' = MF", dat de tweede
leden gelijk zijn; dus BE¹ r: DF\' en

BE = DF.
§ 192. Stelling, In denzelfden cirkel of in gelijke cirkels ligt
van tuee ongelijke koorden de kleinste het verst van \'t middelpunt,
en omgekeerd.

Bewijs. Wij hebben, even als in de vorige §,

Fig. 122. MF\' = t* DF\' en

ME¹ = f*  BE¹.
Indien nu CD < AB, dan is ook

DF < BE.
Het tweede lid der eerste vergelijking is
grooter dan het tweede lid der tweede ver-
gelijking; dus ook

MF\' > ME¹ en
MF < ME.
Omgekeerd volgt uit MF > ME of MF\' > ME\'
_r\' _ MF\' < r* ME\' en dus
DF\' < BE\' of
DF < BE.

ONDERLINGE LIGGING VAN TWEE CIRKELS.

§ 193. Volgens § 175 kunnen twee cirkels geen drie punten ge-
meen hebben, zonder geheel samen te vallen, terwijl uit de derde

-ocr page 121-



		117

		opmerking van die § blijkt, dat twee cirkels twee punten kunnen ge- meen hebben. Men zegt dan, dat de twee cirkels elkaar s n ij d e n in die twee gemeenschappelijke punten. Men noemt deze snijpunten. Cirkels, die een zelfde middelpunt hebben, heeten concen- trisch. Als de stralen van twee concentrische cirkels even lang zijn, vallen de kromme lijnen geheel samen, zoo als in § 176 gebleken is. Als de stralen verschillend zijn, kunnen de kromme lijnen geen enkel punt gemeen hebben. § 194. Stelling. Als twee cirkels elkaar snijden, staat de lijn, 123. die de twee middelpun- ten verbindt, rechthoekig op de lijn, die de twee snijpunten vereenigt. Bewijs. Het middel- punt M ligt op gelijke afstanden van A en B. Hetzelfde geldt voor P. De lijn door M en P is dus de lijn, die AB rechthoekig middendoor deelt. § 195. Als twee cirkels twee punten A en B gemeen hebben, Fig. 124. dan kan men den eenen zoodanig om een dier snijpunten laten bewe- gen , dat het andere snijpunt tot A nadert. Dit andere snijpunt komt dan achtereenvol- gens in C en D en zal eindelijk met A samen- vallen. Bepalingen. Als de snijpunten van twee cirkels samenvallen, zegt men, dat de cirkels elkaar raken. Het punt, waarin de snijpunten samenvallen, noemt men het raakpunt der twee cirkels.

-ocr page 122-



		116

		Fig. 125. Indien de cirkels buiten elkaar vallen, zooala in fig. 124, zegt men, dat zij elkaar uitwendig raken. Indien bij het samenvallen der snij- punten de eene cirkel binnen den an- deren ligt, zegt men, dat de cirkels elkaar inwendig raken. § 196. Stellen wij ons voor, dat in tig. 124 een lijn getrokken wordt door de snijpunten der twee cirkels. Die lijn is een snijlijn der beide cirkels; zij ligt eerst in den stand AB, daarna in AC en AD. \'Wanneer de snijpunten der twee cirkels samenvallen, dan vallen tevens samen de twee snijpunten van de rechte lijn met den eenen cirkel en do twee snijpunten van dezelfde rechte lijn met den anderen cirkel. De snijlijn van de twee cirkels wordt dan een raaklijn van de beide cirkels. "Wij hebben dus de STELLINO: Als twee cirkels elkaar raken, hebben zij in hun raakpunt een gemeenschappelijke raaklijn. § 197. Stellino. Als twee cirkels elkaar raken, liggen hun middelpunten en het raakpunt in i\'en rechte lijn. Pi~ ].;g Bewijs. Als de cirkels, die M en N tot middelpunt hebben, elkaar raken, heb- ben zij volgens de vorige stelling in hun raakpunt A een gemeenschappelijke raaklijn CD. Op deze lijn staan AM en AN beide rechthoekig, zoodat de hoek MAN gestrekt is en M, A en N in éon rechte lijn liggen. Op dezelfde wijze toont men het gestelde aan voor twee cirkels, die elkaar inwendig raken. § 198. Stellingen^-. 1. Als van twee cirkels de eene geheel buiten den anderen ligt, is de afstand van hun middelpunten grooter dan dn som van hun stralen.

-ocr page 123-



		119

		2. Als twee cirkels elkaar uitwendig raken, is de afstand der middelpunten gelijk aan de som der stralen. 3. Als twee cirkels elkaar snijden, is de afstand der middel- punten kleiner dan de som en grooter dan \'t verschil der stralen. 4. Als twee cirkels elkaar inwendig raken, is de afstand der middelpunten gelijk aan H verschil der stralen. 5. Ah de eene cirkel geheel binnen den anderen ligt, is de afstand der middelpunten kleiner dan H verschil der stralen. Bewijzen. 1. Men heeft in fig. 127 MP = MA AB BP, MP > MA BP, waarbij MP de afstand der middelpunten is, MA een straal van den eenen cirkel en BP een straal van den anderen cirkel. 2. Als de twee cirkels elkaar uitwendig raken, lig- gen het raakpunt en de twee middelpunten in dezelfde rechte lijn. Dus is in fig. 128 MP = MA AP, waarbij MP weder de afstand dor middelpunten is, terwijl MA en AP stralen zijn van de twee cirkels. 3. Als de twee cirkels elkaar snijden, vormt de lijn, die de middelpunten vereenigt, een driehoek met de twee stralen van een der snijpunten A. In dien a MAP heeft men MP < MA AP en MP > MA - AP.

-ocr page 124-



		120

		Fig. 130. 4. Als de twee cirkels elkaar inwen- dig raken, liggen de middelpunten M en F in éen rechte lijn met het raak- punt A. Men heeft dus MP = MA PA, of in woorden: de afstand der middel- punten is gelijk aan het verschil der stralen.

		Fig. 131. 5. Men heeft in fig. 131 MP = MB PB, MP = MB-PA AB, MP < MB PA, of in woorden: de afstand der mid- delpunten is kleiner dan het verschil der stralen.

		§ 199. Door toepassing van den algemeenen regel in § 43 heb- ben wij onmiddelljjk de omgekeerde Stellisgen: 1. Als de afstand der middelpunten van twee cir- kels grooter is dan de som der beide stralen, zoo liyt de eeue cirkel geheel buiten den anderen. 2. Als de afstand der middelpunten gelijk is aan de som der stralen, dan raken de cirkels elkaar uitwendig. 3. Als de afstand der middelpunten kleiner is dan de som en grooter dan V verschil der stralen, zoo snijden de cirkels elkaar. 4. Als de afstand der middelpunten gelijk is aan H verschil der stralen, dan raken de cirkels elkaar inwendig. 5. Als de afstand der middelpunten kleiner is dan V verschil der stralen, zoo ligt de eene cirkel geheel binnen den anderen.

-ocr page 125-



		121

		OVER HET METEN VAN HOEKEN DOOR MIDDEL VAN CIRKELBOGEN. § 200. Stellino. In denzelfden cirkel of in gelijke cirkels is de verhouding van twee middelpuntshoeken gelijk aan de verhouding der bogen, die tusschen de beenen der hoeken begrepen zijn. Bewijs. Hierbij onderscheiden wij twee gevallen: de bogen zijn onderling meetbaar of ze zijn onderling onmeetbaar. 1°. Als de bogen AB en CD onderling meetbaar zijn, bestaat er een derde boog, die op de eerste twee een geheel aantal malen begrepen is. Zetten wij dien derden boog op AB en CD uit, dan wor- den deze in gelijke stukken verdeeld, bijv. AB in drie en CD in zes, en wij hebben boog AB __ 3 boog CD -~" ~6~" Trekken wij nu naar de doelpunten van AB en CD stralen, dai. worden de middelpuntshoeken in evenveel deelen verdeeld als de bogen, en al die deelen zijn volgens § 179 gelijk. Wij hebben dus ook L AMB _ 3 _ boog AB L CND "" 1T "⁼ boog CD\' 2°. Als de bogen onderling onmeetbaar zijn, kan men geheel op dezelfde wijze handelen als in het tweede geval van § 114 of in het tweede geval van § 157. § 201. In § 27 is gezegd, dat men tot het meten van hoeken gewoonlijk als eenheid aanneemt een hoekgraad of een negen- tigste gedeelte van een rechten hoek. Om bogen van denzelfden cirkel of van gelijke cirkels te meten, neemt men gewoonlijk als eenheid aan het driehonderdzestigste ge- deelte van de geheele kromme of het negentigste gedeelte van een

-ocr page 126-



		122

		vierde deel van den cirkel. Die eenheid noemt men een booggraad. Een zestigste van een booggraad noemt men een minuut en een zestigste van een minuut een seconde. Als door het middelpunt van een cirkel twee lijnen rechthoekig op elkaar getrokken worden, verkrijgt men vier middelpuntshoeken, die alle recht, dus onderling gelijk zijn. Dezelfde lijnen verdeden derhalve ook den cirkel in vier gelijke deelen, zoodat met een rechten middelpuntshoek overeenkomt een vierde gedeelte van den cirkel. Verdeelt men zulk een gedeelte der kromme lijn in negentig gelijke deelen, dan is elk dier deelen een booggraad. Vereenigt men alle deelpunten van den boog met het middelpunt, dan wordt de rechte hoek aan \'t middelpunt in negentig gelijke deelen ver- deeld, en elk dier deelen is een hoekgraad. Met een hoekgraad aan \'t middelpunt komt dus overeen een booggraad. Als een bijzonder geval van de stelling der vorige § hebben wij nu: de verhouding van een middelpuntshoek tot een hoekgraad is gelijk aan de verhouding van den boog, die tusschen de beenen van den eersten hoek ligt, tot een booggraad. De middelpuntshoek en de boog, die tusschen zijn beenen ligt, worden dus door dezelfde getallen uitgedrukt. Men drukt deze eigenschap uit, door bij verkorting te zeggen: Een middelpuntshoek is gelijk aan den boog, die tusschen zijne beenen begrepen is. "Wij zullen in het volgende dikwijls de oneigenlijke uitdrukking gebruiken, dat een hoek en een cirkelboog gelijk zijn. Dat betee- ken t dan telkens, dat zij door dezelfde getallen worden uitgedrukt, als men tot eenheid der hoeken aanneemt een driehonderdzestigste gedeelte van vier rechte hoeken en tot eenheid der cirkelbogen een driehonderdzestigste gedeelte van den cirkelomtrek. § 202. Bepalingen. Een hoek, wiens hoekpunt in den omtrek van een cirkel ligt en wiens beenen koorden zijn, noemt men een omtrekshoek. Men zegt, dat zulk een hoek staat op den boog, die tusschen zijn beenen begrepen is. De figuur, die gevormd wordt door een cirkelboog en de koorde,

-ocr page 127-



		123

		welke zijne uiteinden vereenigt, noemt men een cirkelsegment. De figuur, die gevormd wordt door een cirkelboog en de stralen van zijne uiteinden, heet een cirkelsector. De helft van een cirkelomtrek met de middellijn, die zijn uit- einden verbindt, vormt dus te gelijk een cirkelsegment en een cirkelsector. Een cirkelsector, wiens boog een vierde gedeelte van de kromme is en wiens middelpuntshoek dus recht is, noemt men een cirkel- quadrant. Men duidt een cirkelsegment aan door het opnoemen van drie letters, waarvan twee bij de uiteinden van den boog staan en een Fi>. 133. bij een ander punt van den boog. ■ Men duidt een cirkelsector aan door het opnoemen van drie of vier letters, waarvan een bij het middelpunt van den cirkel staat en twee bij de uiteinden van zijn boog. De vierde letter dient om een ander punt van den boog aan te wijzen. Zoo heeft men in fig. 133 twee cirkelsegmenten ACB en AGB; FMEG en FCEM zijn cirkelsectoren. § 203. STELLINO. Een omtrekshoek is gelijk aan de helft van den boor/, waarop hij staat. Bewijs. Hierbij zijn drie gevallen te onderscheiden. Vooreerst kan het middelpunt van den cirkel in een der beenen van den hoek liggen; ten tweede kan het middelpunt binnen den hoek liggen; ten derde kan het middelpunt buiten den hoek liggen. 1°. Vereenig het middelpunt M met het punt B van het been, dat niet door \'t middelpunt gaat. Nu is A BCM gelijk- beenig en zijn buitenhoek AMB = L B : C L AMB 2 L C. Hoek C is de helft van L AMB, en daar L AMB =z boog AB is, zoo is L C ook de helft van boog AB.

-ocr page 128-

124

2°. Trek uit het hoekpunt B de middel-
lijn BE, dan heeft men volgens het eerste
geval

LA.BE = /, boog AE,
L EBC = \'/\'₈ boog EC.

Vie. 135.

L ABC =

boog AC.

3°. Trek weer uit; het hoekpunt^\'B de
middel lijn BD, dan heeft men volgens het
eerste geval

L DBC = /« boog DC,

af L DBA ■/. boog DA.

L ABC = »/i boog AC.

Üevolg. Bi; denzelfden cirkel of bij gelijke cirkels zijn twee
omtrekshoeken gelijk, als de bogen, waarop zij staan, gelijk zijn;
en omgekeerd.

§ 204. De stelling der vorige § gaat door, hoe dicht de twee
punten ook bij elkaar komen, waarin een been van den hoek den
cirkel ontmoet. Laat men dus een der beenen om het hoekpunt
draaien, tot het bewegende been twee opeenvolgende punten met
den cirkel gemeen heeft, dan blijft de stelling doorgaan, zoodat de
hoek, die gevormd wordt door een raaklijn aan een cirkel en een
koorde, die door \'t raakpunt gaat, gelijk is aan de helft van den
boog, die binnen den hoek ligt.

jij ₁₃y_ Opmerking. Men kan dit bijzondere

geval der stelling van de vorige § ook
aldus bewijzen:

Zij BA een raaklijn en BD een mid-
dellijn, dan is boog BCD = 180° en
L ABD 90°.

Dus LXBD = V, boog BCD,

af L CBD =: ■/., boog CD.

L ABC =s 7_S boog BEC.

-ocr page 129-



		125

		Fig. 138. § 205. Men zegt van een omtrekshoek ABC, dat hij in het cirkelsegment ACB staat. Stelling. Alle hoeken, die in een zelfde cirkelsegment staan, zijn gelijk. Bewijs. De hoeken ACB, ADB en AEB zijn onderling gelijk, omdat ieder gelijk is aan de helft van den boog AB. Als een bijzonder geval van deze eigen-

		Fig. 149.		schap hebben wij, dat alle hoeken, die in

		een halven cirkel staan, zooals ABC en ADC (fig. 139), gelijk zijn aan de helft van den halven cirkel, dus gelijk aan 90 . Alle hoeken, die in een halven cirkel staan, zijn dus recht. § 206. Stellihg. Als twee evenwijdige lijnen een cirkel snijden, dan zijn de twee bogen, die tusschen de evenwijdige lijnen liggen, gelijk, en omgekeerd. (Zie fig. 140.) Bewijs. Laat AB en CD evenwijdige lijnen zijn. Trek BC, dan volgt uit de evenwijdigheid der lijnen, dat de verwisselende binnenhoeken gelijk zijn. L ABC = L BCD. Fig. 140. Deze zijn omtrekshooken, die op de bogen AC en BD staan, en volgens het Gevolg van § 203 zijn nu ook de bogen AC en BD gelijk. Bewijs van het omgekeerde. Indien men weet, dat de bogen AC en BD gelijk zijn, volgt hier- uit (volgens § 203, Gevolg), dat de hoeken ABC en BCD gelijk zijn. En uit de gelijkheid van deze hoe- ken volgt verder, dat AB en CD evenwijdig zijn.

-ocr page 130-



		126

		Opmerking. De voorgaande eigenschap gaat door, hoe dicht de twee snijpunten van een der snijlijnen bij elkaar liggen, en du» ook wanneer zulk een snij lij n twee opeenvolgende punten met den cirkel gemeen heeft, of m. a. w. als zij in een raaklijn overgaat. Wij hebben dus als een bijzonder geval der vorige stelling: Als een raaklijn en een snijhjn evenwijdig loopen, zijn de bogen, die tusschen de twee lijnen liggen, gelijk, en omgekeerd. § 207. Stelling. Een hoek, wiens hoekpunt binnen den cirkel Fig. 141. ligt, is gelijk aan de halve som van twee bogen, waarvan de eene tusschen de beenen van den hoek en de andere tusschen de verlengden der beenen ligt. Gestelde. L CAB rz \'/» boog BC ■ - \'/, boog DB. Bewijs. Trek DC, dan is de buiten- hoek BAC van A DAC gelijk aan de som der hoeken C en D. Deze beide zijn omtrekshoeken, zoodat C C = V, boog DE, LD = \'/, boog BC.______________ Samen l BAC = \'/s boog ^BC V, boog DE. § 208. Stellino. Een hoek, wiens hoekpunt buiten den cirkel ligt en wiens beenen den cirkel snijden, is gelijk aan het halve verschil der bogen, die tusschen de beenen van den hoek liggen. Fij». 142. Gestelde. L A = \'/j boog BC \'/, boog DE. Bewijs. Trek CD, dan is BDC een buitenhoek van A ACD. Dus is L A LO = BDC, L A = L BDC L C. BDC en C zijn omtrekshoeken waarbij L BDC = \'/, boog BC, af / C = \'/. boog BE, blijft L A. = \'/, boog BC \'/₅ boog DE.

-ocr page 131-



		127

		Opmekki.no. De voorgaande ttelling en het bewijs gaan door, als een der snijlijnen of beide in raaklijnen overgaan. § 209. Stelling. De meetkundige plaats der toppunten van alle driehoeken, die een gegeven lijn tot basis hebben, die een tophoek van gegeven grootte hebben en wier toppunten aan een zelfden kant der basis liggen, is een cirkelboog. Bewijs. Zij AB de basis en C een punt, zoodat : ACB gelijk is aan den gegeven hoek, dan is ABC een driehoek, die aan \'t ver- eischte voldoet en C een punt der meetkundige plaats. Laat men Fig. 143. nu een cirkel gaan door A, B en C, dan is voor ieder ander punt van den cirkelboog ACB L AÜB * L* ACB. Elk punt van dien boog is dus het toppunt van een A , die AB tot basis heeft en wiens tophoek de vereisehte grootte heeft. Alle punten van den cirkelboog be- lmoren dus tot de meetkundige plaats, en het gestelde zal be- wezen zijn, als wij laten zien, dat elk punt buiten den boog en aan denzelfden kant van AB, als waar C ligt, niet aan het vereisehte voldoet. Voor een punt E binnen het segment ACB is L AEB = \'/, boog AB \'/, boog CD, L AEB > V_s boog AB, of i AEB > L C, zoodat E niet aan het vereisehte voldoet. Voor een punt F buiten het segment heeft men LW = »/i ^boo9 ^AB 7s ^boo9 ^GH> L F < \'/i ^boo9 AB, of LF < C, zoodat F niet aan het vereisehte voldoet. Opmerking. Voor de meetkundige plaats der toppunten van alle driehoeken, die aan dezelfde voorwaarden voldoen, maar aan den anderen kant van AB liggen, vindt men een cirkelboog, die

-ocr page 132-



		128

		aan den anderen kant van AB ligt, dan waar C ligt. Vouwt men de figuur om volgens de lijn AB, dan vallen de meetkundige plaatsen samen. Indien de gegeven hoek recht is, vindt men voor de meetkun- dige plaats aan den eenen kant der hasis een halven cirkel, die de basis tot middellijn heeft. "Voor de meetkundige plaats aan den anderen kant van de basis vindt men ook een halven cirkel, die de basis tot middellijn heeft. Die twee halve cirkels vormen samen een cirkel, zoodat: de meetkundige plaats der toppunten van alle rechthoekige driehoeken, die een gegeven lijn tot basis hebben, is een cirkelomtrek, die de gegeven lijn tot middellijn heeft.

		WERKSTUKKEN. § 210. Werkstuk. Een cirkel te beschrijven, die door drie gegeven punten gaat. Uit de stelling van § 175 blijkt, dat men, door tweemaal het werkstuk van § 81 toe te passen, het middelpunt van den gevraag- den cirkel vindt. Te gelijk is de straal van den cirkel bepaald. In de opmerkingen van § 175 is tevens gebleken, dat het werk- stuk onmogelijk is, als de drie gegeven punten in eene rechte lijn liggen, en dat er altijd éen cirkel kan beschreven worden, als de drie punten niet in eene rechte lijn liggen. § 211. Werkstuk. Een gegeven cirkelboog middendoor te deélen. _Fi ₁₄₄ Eerste constructie. Vereenig de uiteinden A en B van den boog met het middelpunt en deel L ACB midden- door. Als de deel lijn van den hoek den boog snijdt in D, dan volgt uit de ge- lijkheid der hoeken aan \'t middelpunt ACD en BCD, dat de bogen AD en BD gelijk zijn. Tweede constructie. Maak een omtrekshoek van den cirkel,

-ocr page 133-



		129

		zoo dat die hoek op den gegeven boog staat. Deel dien hoek mid- dendoor, dan zal (volgens § 203, Gevolg) de lijn, die den omtreks- hoek middendoor deelt, ook den boog middendoor deelen. Derde constructie. Deel de koorde, die den boog onderspant, rechthoekig middendoor, dan zal, volgens § 185, de lijn, die de koorde middendoor deelt, ook den boog middendoor deelen. Bepaling. De rechte lijn, die het midden van een cirkelboog vereenigt met het midden van zijn koorde, noemt men de p ij 1 van het cirkelsegment.

		§ 212. "Werkstuk. Fig. 145.		Door een gegeven punt van een cirkel een raaklijn aan de kromme te trekken.


		Constructie. Vereenig het gegeven punt A met het middelpunt M. Trek door A een lijn Al!, die rechthoekig staat op AM, dan is, volgens § 188, AB een raaklijn. In die zelfde § is gebleken, dat er niet meer dan éen raaklijn mogelijk is in hetzelfde punt A. § 213. "Werkstuk. Door een gegeven punt buiten een cirkel een raaklijn aan die kromme te trekken. Zij A het gegeven punt. Veronderstellen wij, dat het werkstuk opgelost is en dat AB raakt in B. Vereenigen wij M met B en A, dan is L B recht en het punt B ligt daarom op den omtrek van Fig. 146. den cirkel, die MA tot middellijn heeft. Dat zelfde punt ligt ook op den omtrek van den gegeven cirkel. "Wij hebben dus de vol- gende Constructie: Vereenig A met M en beschrijf op AM als middel- lijn een cirkel, die den gegeven cirkel snijdt in B. Trek daarna een lijn door A en B. AB is dan een raaklijn, omdat L B in een halven cirkel staat en dus recht is. J. versluys, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 9

-ocr page 134-



		130

		Opmerking. Daar M binnen en A buiten den gegeven cirkel ligt, zal een cirkel, door M en A getrokken, den gegeven cirkel tweemaal snijden, in B en in C; zdodat er altijd twee raakhjnen zijn en nooit meer. Gevolg. Daar de rechthoekige driehoeken ABM en ACM ^ctfzijn, zoo zijn AB en AC even lang. § 214. "Werkstuk. Een gemeenschappelijke raaklijn te trekken aan twee gegeven cirkels. 1°. Stellen wij ons voor, dat het werkstuk opgelost is en dat AB een gemeenschappelijke raaklijn is, zoodat de twee cirkels aan denzelfden kant van AB liggen. (Zie figuur 147.) Trekken wij nu Yis. 147. ^ae stralen MA en NB, dan zijn _ A en i B recht. Trekken wij ook NC evenwijdig aan AB, dan is L C recht, zoodat NC een raaklijn is aan den cirkel, die M tot middelpunt en MC tot straal heeft. Daar ABNC een rechthoek is, heeft men AC BN en dus MC rs MA CA r= MA NB gelijk het verschil der twee stralen. Men heeft nu de volgende Constructie: Beschrijf uit M als middelpunt met het verschil der stralen van de gegeven cirkels tot straal een hulpcirkel: trek uit N een raaklijn NC aan dien hulpcirkel; trek door N en C de lijn MA, en evenwijdig met die lijn NB; vereenig daarna A met B. Omdat MC gelijk is aan \'t verschil der stralen, zijn AC en BN gelijk; bovendien zijn deze lijnen evenwijdig, zoodat ABNC een parallelograni is. En daar L C recht is, is ABNC een rechthoek. De hoeken A en B zijn dus recht, zoodat AB raakt in A en in B. 2°. Zij AB een gemeenschappelijke raaklijn, zoodat de twee cirkels aan verschillenden kant van AB liggen. Trekken wij de stralen MA en NB, dan zijn L A en L B recht. (Zie figuur 148.) Trekken wij NC evenwijdig met BA, dan is ook C recht, zoodat NC een raaklijn is aan den cirkel, die M tot middelpunt en MC

-ocr page 135-



		131

		Fig. 14«. tot straal heeft. Daar ABNC \'een rechthoek is, zijn BN en AC gelijk; dus MC = MA AC = MA. BN (de som der twee stralen). Wij heb- ben nu do volgende Constructie. Beschrijf uit M als middelpunt, met de som der stralen van de twee gegeven cirkels tot straal, een cirkel; trek uit N een raaklijn NC aan dien cirkel; trek door M en C de lijn MA; trek NB even- wijdig met MA en vereenig A met B. Daar MC gelijk is aan do som der stralen van de gegeven cirkels, zijn AC en BN gelijk. Dowijl deze lijnen bovendien evenwijdig loopen, is ABNC oen parallologram, en daar L C recht is, is ABNC een rechthoek. De hoeken A on B zijn recht, zoodat AB raakt in A en in B. OPMERKING. De constructie in het eerste geval is onmogelijk, als N binnen den hulpcirkel ligt; dus als de afstand van N tot M kleiner is dan \'t verschil der stralen van de gegeven cirkels of als (zie § 199, 5) een der gegeven cirkels geheel binnen don ande- ren ligt. Als N juist op den hulpcirkel ligt, kan door N een raaklijn aan den hulpcirkel worden getrokken. Men vindt dus éen gemeenschappelijke raaklijn in het eerste geval, als de afstand der middelpunten van de gegeven cirkels gelijk is aan \'t verschil der stralen of als (zie § 199, 4) de gegeven cirkels inwendig raken. Als N buiten den hulpcirkel ligt, kan men door N twee raak- lijnen aan den hulpcirkel trekken. Men vindt dus ook twee gemeen- schappelijke mak lijnen, als de afstand der middelpunten grooter is dan \'t verschil der stralen; dus als de gegeven cirkels elkaar snij- den, als zij uitwendig raken en ook als de eene geheel buiten den anderen ligt. De constructie in het tweede geval is onmogelijk, als N binnen 9*

-ocr page 136-



		132

		den hulpcirkel ligt; dus als de afstand van N tot M kleiner is dan de som der stralen. Men vindt dus ook geen enkele gemeenschap- pelijke raaklijn in het tweede geval, als de eene cirkel hinnen den anderen valt, als zij inwendig raken of als zij elkaar snijden. Als N in het tweede geval op den omtrek van den hulpcirkel ligt, vindt men éen raaklijn door X aan den hulpcirkel. Men vindt dus ook éen gemeenschappelijke raaklijn, als de gegeven cirkels uitwendig raken. Als K buiten den hulpcirkel ligt, zijn er twee raaklijnen aan den hulpcirkel; dus ook twee gemeenschappelijke raaklijnen. De gegeven cirkels vallen dan geheel buiten elkaar. Vatten wij alles samen, wat op de twee gevallen betrekking heeft, dan blijkt, dat men vindt a. Als de twee gegeven cirkels buiten elkaar liggen, vier ge- meenschappelijke raaklijnen. b. Als de cirkels elkaar uitwendig raken, drie. c. Als de cirkels elkaar snijden, twee. d. Als de cirkels inwendig raken, éen. e. Als de eene cirkel geheel binnen den anderen valt, geen ge- meenschappelijke raaklijn. § 215. Werkstuk. Op een gegeven lijn als koorde een cirkel- segment te beschrijven, dat een gegeven hoek bevat. Pig 149. Constructie. Zjj AB de gegeven koorde en P de gege- ven hoek. De hoek, dien de raaklijn in B maakt met BA, is gelijk aan de helft van den boog, die tusschen de beenen van dien hoek ligt, dus ook gelijk aan den hoek, dien het cirkelsegment moet bevatten, dat is L P. Maak dus L ABE = i.P, dan moet BE aan den cirkel raken in het punt B. Bicht men in B een lood lijn BM op de raaklijn op, dan moet het middelpunt in die loodlijn liggen. Het middelpunt moet ook in de

-ocr page 137-



		133

		lijn DC liggen, die AB rechthoekig middendoor deelt, zoodat het snijpunt M der twee loodlijnen het middelpunt van den gevraagden cirkel is. MB zz. MA is de straal van dien cirkel, zoodat de con- structie nu onmiddellijk uitvoerbaar is. Opmerking. Door L P aan den anderen kant van AB te plaat- sen verkrijgt men een tweede cirkelsegment, dat alleen in stand van het eerste verschilt.

		EVENREDIGE LIJNEN BIJ DEN CIRKEL. § 216. Stelling. De loodlijn, die men uit een punt van een cirkelomtrek kan neerlaten op een middellijn, is middelevenredig tusschen de twee stukken, waarin zij de middellijn verdeelt. Bewijs. Zij C het punt, waaruit de loodlijn CD neergelaten is op de middellijn AB. Vereenig C met A en met B, dan is de hoek ACB recht, omdat hij in een halven cirkel staat. Volgens een eigenschap van den rechthoekigen driehoek is dus AD : CD CD : DB. § 217. Stelling. Als men uit een punt van een cirkelomtrek een middellijn en een andere koorde trekt, is deze middelevenredig tusschen de middellijn en hare projectie op de middellijn. Bewijs. Als AB de middellijn is en AC de andere koorde, vereenigt men C met B en laat men uit C de loodlijn CD neer. Dan is a ACB rechthoekig, zoodat AC middelevenredig is tusschen AB en AD. § 218. Stelling. Als men uit een zelfde punt van een cirkel- omtrek een middellijn trekt en verschillende andere koorden, dan zijn de vierkanten van al die koorden evenredig met hare projecties op de middellijn. Gestelde. AB\': AC\': AD¹ = AE: AF : AG.

-ocr page 138-



		184

		Fig. 151. Bewijs. Volgens de vorige stelling heeft men AB\' = AE XAH, AC» = AF XAH, AD» = AG X AH. Hieruit volgt AB¹ : AC\': AD¹ = AE X AH : AF X AH : AG X AH of AB¹ : AC\' : AD\' =: AE : AF : AG. § 219. Stelling. Als twee koorden elkaar binnen den cirkel snijden, is het produkt der stukken van de eene koorde gelijk aan \'t produkt der stukken van de andere koorde. Fig. 152. Gestelde. AE X BE = CE X DE. Bewijs. Vereenig B met C en A met D, dan heeft men L A = L C = \'/, boog BD, L D = L B =r V» boog AC. De driehoeken ADE en BCE zijn dus cv, zoodat AE:CE = DE: BE, of AE X BB = CE X DE. § 220. Stellino. Als men door een punt buiten een cirkel twee snijlijnen trekt, worden van elk. dezer lijnen, van haar gemeen- schappelijk punt af gerekend, door den cirkel twee stukken afge- sneden, zóo dat het produkt der stukken van de eene snijlijn gelijk is aan het produkt der stukken van de andere. Gestelde. AB X AC = AD X AE.

		Fig. 153.		Bewijs. Vereenig B met E

		en C met D, dan heeft men C C = L E = V_f boog BD. Bovendien hebben de driehoe- ken ADC en ABE den hoek BAD gemeen, zoodat zij cv zijn. Hier- uit volgt AB:AD = AE:AC, AB X AC = AD X AE.

-ocr page 139-



		135

		Gevolg. Deze stelling en haar bewijs gaan door, als een der snijlijnen in een raaklijn overgaat; dus als men door een punt buiten een cirkel een raaklijn en een snijlijn trekt, is de raaklijn middelevenredig tusschen de stukken der snijlijn.

		WERKSTUKKEN. § 221. Werkstuk. De meetkundig middelevenredige tusschen twee gegeven lijnen te construeeren. Fig. 154. Eerste constructie. Plaats naast elkaar op dezelfde lijn twee stukken AD en DB, respectievelijk gelijk aan de twee gegeven lijnen. Beschrijf op AB als middellijn een halven cirkel en richt in het punt D, waar de twee lijnen bij elkaar komen, de loodlijn DC op, dan is deze, volgens § 216, middel- evenredig tusschen AD en DB. Tweede constructie. Plaats de kleinste der twee gegeven lijnen in AD op de grootste AB; beschrijf op AB als middellijn een hal- ven cirkel; richt de loodlijn DC op en vereenig C met A , dan is AC, volgens § 217, middelevenredig tusschen AD en AB. Gevolg. Met behulp van deze constructie kan men elk paral- lelogram en eiken driehoek veranderen in een vierkant van gelijk oppervlak. § 222. Werkstuk, Een veelhoek te beschrijven, die gelijk is aan een veelhoek P en gelijkvormig met een veelhoek Q. Constructie. Noemen wij den gevraagden veelhoek X; zij q «en zijde van den veelhoek Q en x de zijde van X, die gelijk- standig is met q. Volgens § 166 heeft men

		«f, daar X gelijk moet zijn aan P, P x¹\'

-ocr page 140-



		136

		*Verander nu Q en P in twee vierkanten a\'* en b\', dan is** _^1 JL -t ^a g 6\' ** \' ° b x ■ Construeer nu een vierde evenredige tot «, b en q, dan heeft men x. Beschrijf op x als zijde een veelhoek, die gelijkvormig is met Q, zóo dat x gelijkstandig is met q, dan heeft men X. § 223. Werkstuk. Twee rechte lijnen te construeeren, als men hare som en haar produkt kent. Zij BC de gegeven som en A een rechte lijn, wier vierkant gelijk is aan \'t gegeven produkt. Veronderstellen wij , dat het vraagstuk opgelost zij en dat BF en FC de gevraagde lijnen zijn. Fig. 155. Als men op BC als middellijn een halven cirkel beschrijft, zal de loodlijn FE middel- evenredig zijn tusschen BF en FC, en bij- gevolg gelijk aan A. De lijn, door E even- wijdig met BC getrokken, zal dus van de loodlijn in B een stuk BD afsnijden, dat gelijk is aan A. Uit het voorgaande vloeit voort de volgende Constructie: Beschrijf op de som BC als middellijn een halven cirkel; richt in B een loodlijn BO op, gelijk aan A; trek DEE\' evenwijdig met BC en laat uit E en E\' de loodhjnen EF en E\'F\' neer. De\'^twoe gevraagde lijnen zijn BF en FC, of, wat op het- zelfde neerkomt, BF\' en F\'C. Opmerking. Uit het bovenstaande blijkt, dat er niet meer dan éen oplossing is. De constructie is mogelijk, als de evenwijdige lijn, die door D getrokken wordt, een punt met den cirkel gemeen heeft; dus als A niet grooter is dan de straal van den cirkel, of m. a . w. als A niet grooter is dan de helft der gegeven som., _K/-. ^ Gevolg. In de vierkantsvergelijking \' r ² , ¹ -».- 1 i ^K- *x¹ mx n\' =* 0 \'( ₃ ~i \' stelt m, de som der wortels voor en »\' het produkt. Het werkstuk van deze § leert dus de wortels construeeren van bovenstaande vergelijking.** § 244. Werkstuk. Twee rechte lijnen te construeeren, ahornen *haar verschil en haar produkt kent.*

-ocr page 141-

137

Zij EF het gegeven verschil en A de rechte lijn, wier vierkant
gelijk is aan \'t gegeven produkt. Veronderstellen wij, dat het
vraagstuk opgelost zij en dat DE en DF de gevraagde lijnen
zijn. De raaklijn, uit D aan den cirkel getrokken, die EF tot
middellijn heeft, zal middelevenredig zijn tusschen DE en DF en
bijgevolg gelijk aan A. En daar die raaklijn rechthoekig staat op
de middellijn BC, die gelijk is aan \'t gegeven verschil, zoo heeft
men de volgende

Fie. 156. Constructie: Neem op de beenen van een

rechten hoek een stuk BO, gelijk aan de
helft van \'t gegeven verschil, en BD rz A;
beschrijf uit O als middelpunt, met OB als
straal, een cirkel; trek vervolgens door D
en 0 een lijn, die den cirkel snijdt in E en
F, dan zijn DE en DF de gevraagde lijnen.
Opmerking. De constructie is altijd moge-
lijk en er is maar éen oplossing.
Gevolg. In de vierkantsvergelijking

a;* tnx n\' := 0
stelt m het verschil der volstrekte waarden van de wortels voor
en ii\' het produkt van die waarden. Het voorgaande werkstuk
leert dus de wortels construeeren van de bovenstaande verge-
lijking.

§ 225. "Werkstuk. Een lijn te bepalen, zöo dat de verhouding
van haar tweedemacht tot de tweedemacht van een gegeven lijn A

gelijk is aan de verhouding van twee
gegeven lijnen B en C.

Constructie. Neem DE gelijk aan B
en EF gelijk aan C; beschrijf op DF als
middellijn een halven cirkel. Richt nu do
loodlijn EG op en trek lijnen door G en
D en door G en F, dan is

GD\' = DE X DF,
GF\' == FE X DF, dus

Fig. 157.

GD\'

_ DE _ _B_

GF* FE C "

-ocr page 142-

138

Neem GH gelijk aan de gegeven lijn A en trek HK evenwijdig
met FD, dan is

GK _ GD

Dus

GH GF\'

GK\'
GH\'

GK¹

GD¹

B
C

GF\' A\'

zoodat GK de begeerde lijn is.

Gevolgen. 1. Als in plaats van de twee lijnen B en C gegeven
waren twee getallen, kon men twee lijnen bepalen, die tot elkaar
staan als die getallen, zoodat men de voorgaande constructie ook
kan toepassen, als de verhouding der tweedemachten door twee
getallen wordt aangewezen.

2. Daar de oppervlakten van twee gelijkvormige veelhoeken tot
elkaar staan als de tweedemachten van twee gclijkstandige zijden,
zoo leert de voorgaande constructie ons ook: de zijde van een
veelhoek te vinden, die gelijkvormig is met een gegeven veelhoek,
zoo dat de oppervlakten der Uree veelhoeken tot elkaar staan als
twee gegeven lijnen of getallen.

Fig. 158.

§ 226. Werkstuk. In-

dien een lijn ah eenheid
gegeven is, andere lijnen
te construeeren, wier leng-
ten worden uitgedrukt door
\\/ 2, \\/ 3, \\/ 5, enz.

Constructie. Beschrijf
een halven cirkel en plaats
daarin Ali 1; laat uit B
de loodlijn BG neer en neem GH = HK KL = LM r= AG,
dan^heeft men, volgens § 218,

AB\': AC²: AD¹: AE\' : AF\' = AG : AH : AK : AL : AM,
1 : AC\': AD\': AE\' : AF\' =: 1:2:3:4:5.
De eerste termen van de twee leden zjjn gelijk; dus ook
AC\' 2 of AS = y/ 2,
AD\' = 3 of AD = y/ 3, enz.
§ 227. Bepali.no. Als een lijn zoodanig in twee deelen verdeeld
is, dat het vierkant van \'t grootste stuk gelijk is aan \'t produkt

-ocr page 143-



		189

		van de geheele lijn met het kleinste stuk, dan zegt men, dat de lijn in de uiterste en middelste reden verdeeld is. Werkstuk. Een gegeven lijn in de uiterste en middelste reden te verdeelen. Pij, i;,9. Constructie. Zij AB de gegeven lijn. Richt in haar eene uiteinde, B, eene loodlijn BC op, gelijk aan de helft der gegeven lijn. Beschrijf uit C als middelpunt, met CB als straal, een cirkel. (Deze zal AB raken.) Trek de lijn AC, die den cirkel snijdt in D, en neem AF AD, dan is F het gevraagde deelpunt. Bewijs. Verleng AC tot in E, dan heeft men, omdat AB een raaklijn is, AB : AB = AB : AD. Volgens een eigenschap der evenredigheden (AE AB): (AB AD) = AB : AD. Daar DE = 2BC = AB, hoeft men AE AB = AE DE = AD AF. Ook is AB AD = AB AF = BF, zoodat de voor- gaande evenredigheid wordt AF : BF = AB : AF, waaruit volgt AF* = BF X AB. Berekening van de stukken eener lijn, die in de uiterste en mid- delste reden verdeeld is. Zij AB zz o, dan is BC = j- a, en volgeus het theorema van Pythagoras vindt men hieruit AC = j a v⁷ 5. Af CD \\ a.__________ AD > « (^ 5 1). BF = AB AF = a J- a (y/ 5 1) = !_c a (b _v\' 5).

-ocr page 144-



		140

		VEELHOEKEN, BESCHREVEN IN OF OM EEN CIRKEL. § 228. Bepalixgen. Als de hoekpunten van een veelhoek in een cirkelomtrek liggen, zegt men, dat de veelhoek in den cirkel beschreven is en dat de cirkel om den veelhoek beschreven is. Als al de zijden van een veelhoek raken aan een cirkel, zegt men, dat de veelhoek om den cirkel beschreven is en dat de cirkel in den veelhoek beschreven is. § 229. Stelling. Om en in eiken driehoek kan een cirkel be- schreven worden. Bewijs. Daar de drie hoekpunten van een driehoek niet in éen rechte lijn liggen, zoo is het eerste gedeelte der stelling reeds in § 175 bewezen. Als er binnen den driehoek een cirkel ligt, die raakt aan de zijden des driehoeks, dan is de afstand van het middelpunt van den cirkel tot de zijden des driehoeks gelijk aan den straal des cirkels. De af- standen van het middelpunt tot de zijden des driehoeks zijn dus gelijk. Fis 160. Het middelpunt moet daarom lig- gen in de lijnen, die twee hoeken B en C van den driehoek midden- door deelen. Omgekeerd zal het snijpunt M van die twee doellijnen op gelijke afstanden van de drie zijden liggen en dus het middel- punt zijn van een cirkel, die de drie zijden aanraakt. Daar de twee genoemde deel lijnen elkaar slechts in één punt kunnen snijden, is er niet meer dan éen cirkel mogelijk, die binnen een driehoek ligt en de zijden van dezen aanraakt. Daar L ABC L ACB < 180", is ook L MBC L MCB < 180", zoodat de lijnen, die twee hoeken van een driehoek middendoor deelen, elkaar (volgens § 33, Gevolg) moeten snijden. Hieruit volgt, dat er altijd éen cirkel is, die binnen den driehoek ligt en de zijden van den driehoek aanraakt.

-ocr page 145-

141

§ 230. Den straal van den omgeschreven cirkel eens driehoeks te

berekenen, als de drie zijden gege-
ven zijn.

Zij BC = a, CA = b, AB = c
en noemen wij den straal r. Trek
door hetzelfde hoekpunt A de lood-
lijn AE en de middellijn AD en
vereenig B met D. Die A ABD
staat in een halven cirkel en is
dus rechthoekig. Verder is

L C = L D = i boog AB.
De rechthoekige driehoeken ACE
en ADB zijn dus cv.

Daaruit volgt

AC : AE = AD : AB,

i:AE

2r: c,

bc = 2rX AE,

vermenigvuldigd met

a 2X i <*,

abc = ir X O,
waarbij O het oppervlak van dien driehoek voorstelt. Men heelt dus
abc _ abc

\' \' 10 4 y/ s (s «) (s 6) (s c)\'
§ 231. Den straal van den cirkel te berekenen, die de zijden
van den driehoek aanraakt en binnen den driehoek ligt, als de
zijden van den driehoek gegeven zijn.

Men heeft (zie fig. 160) MD = ME = MF = r.
A BCM = i BC X DM = \\ a X »\',
A CAM = i CA X FM = } b X r,
A ABM -^ABXEM = |cX\'\'.
A ABC = i (o b c) X r = s X \'^--
O = s X r.

O . V ^s (^s °) (^s b) (^s ^c

§ 232. Behalve de cirkel, die de zijden van een driehoek aan-
raakt en binnen den driehoek ligt, zijn er ook cirkels, die de
zijden aanraken en buiten den driehoek liggen. Den eersten noemt
men meer bepaald den ingeschreven cirkel en de andere, ter onder-
scheiding, aangeschreven cirkels.

-ocr page 146-



		142

		Deelt men namelijk twee buitenhoeken A en C van den driehoek middendoor, dan is L F AC : FCA < 180% zoodat de twee deellijnen elkaar noodzakelijk snijden in een punt F. Dit punt ligt op gelijke afstanden van de zijden des driehoeks en is dus het middelpunt van een cirkel, die aan de zijden raakt en buiten den driehoek ligt, dus van een aangeschreven cirkel. Fig. 162.

		Door de buitenhoeken A en B middendoor te deelen, vindt men een aangeschreven cirkel, die G tot middelpunt heeft. Door de buitenhoeken IJ on C middendoor te deelen, vindt men een aange- schreven cirkel, die E tot middelpunt heeft. Zoo vindt men in \'t geheel drie aangeschreven cirkels. § 233. De stralen der aangeschreven cirkels te berekenen, als d zijden van den driehoek gegeven zijn.

-ocr page 147-

143

Zij EK zr EO = EP = K, en merken wij op, dat
A ABC = A EAB A ECA A EBC.
Verder A EAB = }ABXEK= }cXR,
A ECA = i CA X EP = J i X Ri
A EBC = 1BC X EO = } a X R_:A ABC = } (c b a) X Ri
O = (s a) R!

¹ s a
Op dezelfde wijze vindt men

FS = R. -

b
O

GQ = R, =

Verband tusschen de stralen der in- en aangeschreven cirkela.
Uit de voorgaande formulen vindt men


	1» ¹ 1 ¹ 1 * - ^g~^a 1 ^s_	6 , 8 C
	R, \' R₃ \' R₃ 0 \' 0	¹ 0 ^_
		3s (a 4- 6 c)
		0
	_rf 1 . 1 . 1 _ __ 1 R, ^T Rj R_s ~~ 0 ~~ r \'
	2». r X B, X R₅ X R_s = -~ X 7^"	0 0
	^x ₈ _ 6 ^A « _ c
		A -o o - ^Us\'

of _V^/»\'XK,XR₂XK₃ = O.

§ 234. Daar een cirkel door drie zijner punten volkomen be-
paald is, zal het in \'t algemeen onmogelijk zijn, een cirkel te
beschrijven, die door vier willekeurige punten gaat. Slechts in
bijzondere gevallen kan men dus een cirkel beschrijven om een
vierhoek, vijf hoek, enz.

Daar een cirkel door drie zijner raakljjiien bepaald is, geldt het-
zelfde voor de ingeschreven cirkels.

-ocr page 148-



		144 / Fig. 163. Stellino. Als een vierkant in een cirkel beschreven is, is de som van twee overstaande hoeken gelijk aan een gestrekten hoek. Bewijs. Men heeft L A = \\ boog BCD L C = j boog DAB_________ L A L C = i cirkelomtrek. U iC= 180°. Evenzoo vindt men L B -f L D = 180°. Stelling. Als een vierhoek niet in een cirkel is beschreven, d. i. als een cirkel, die door drie zijner hoekpunten gaat, niet door het vierde gaat, dan is de som van twee overstaande hoeken verschillend van een gestrekten hoek. Bewijs. Als een cirkel beschreven wordt door C, D en A, dan zal het vierde hoekpunt buiten dien cirkel vallen, zooals in fig. 164a, of binnen dien cirkel, zooals in fig. 164&. Fig. 164a. Fig. 1646.

		In het eerste geval heeft men (zie fig. 164a) L A L DCE = 180°, dus LX L DCB > 180°, waaruit volgt L D L B < 180°. In het tweede geval heeft men (zie fig. 164&) L A L DCE = 180°, dus L A ■ L DCB < 180°, waaruit verder volgt Ll> L ABC > 180°. § 235. Passen wij nu den algemeenen regel van § 43 toe, dan blijkt, dat de omgekeerde stellingen van de vorige ook waar zijn; dus

-ocr page 149-



		145

		1°. Als de som van twee overstaande hoeken eens vierhoek» gelijk is aan een gestrekten hoek, kan om dien vierhoek een cirkel beschre- ven worden. 2°. Als de som van twee overstaande hoeken eens vierhoeks ver- schillend is van een gestrekten hoek, kan om dien vierhoek geen cirkel beschreven worden. Fig. 165. § 236. Stelling. Als een vierhoek om een cirkel beschreven is, zijn de sommen der overstaande notUen even groot. Bewijs. Volgens § 213, Gevolg, heeft men AE = AH BE = BF CG = CF DG DH samen AB CD z= BC DA. Stelling. De sommen der overstaande zijden van een vierhoek zijn verschillend, als de vierhoek niet om een cirkel kan beschreven morden, d. i. als een cirkel, die drie zijden aanraakt, niet tevens de vierde aanraakt. Bewijs. Zij ABCD de vier- hoek, waarvan drie zijden DA, AB en BC door een cirkel aan- geraakt worden. Er kan even- wijdig met CD een lijn KL ge- trokken worden, die wel aan den cirkel raakt. Volgens de voorgaande stelling heeft men dan AB -f- KL = AK BL. Ook is DC < DK CL KL. En dus AB DC \'< AD BC, waarmee het gestelde bewezen is. Evenzoo wanneer de vierde zijde niet, zooals CD, geheel buiten den cirkel ligt, maar den cirkel snijdt. J. verslüys, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 10

-ocr page 150-



		146

		§ 237. Door toepassing van § 43 blijkt, dat de omgekeerde van de twee vorige stellingen waar zijn; dus 1°. Als de sommen der overstaande zijden van een vierhoek gelijk zijn, kan in dien vierhoek een cirkel beschreven ivorden. 2°. Als de sommen der overstaande zijden van een vierhoek onge- lijk zijn, kan in dien vierhoek geen cirkel beschreven worden. § 238. Stelling. Als een vierhoek in een cirkel kan beschreven worden, is het produkt der diagonalen gelijk aan de som der pro- dukten van de overstaande zijden. Fig. 167. Bewijs. Trek DE zóo, dat L ADE = L BDC. Daar L DAE = L DBC = \\ boog CD, hebben de driehoeken DAE en DBC twee hoeken gelijk; zij zijn dus cv, zoodat DA:AE = DB: BC, of DA X BC = AE X DB. Door bij elk der gelijke hoeken ADE en BDC op te tellen L BDE, vindt men L ADB = L EDC. Ook is / ABD = L ECD = * boog AD. De driehoeken ABD en ECD hebben dus twee hoeken gelijk, zoodat zij cv zijn. Hieruit volgt AB:BD = EC:CD, of ABXCD = BDXEC; opgeteld bij ___________DA X BC = BD X AE.________ AB X CD DA X BC = BD X (AE EC). AB X CD DA X BC = BD X AC. Opmerking. De vorige stelling wordt het theorema van Ptolemeus genaamd, naar een Grieksch meet- en sterrenkundige, die haar heeft toegepast op het berekenen der koorden van hoeken aan \'t middelpunt vun 0° tot lso .

-ocr page 151-



		147

		REGELMATIGE VEELHOEKEN. § 239. Bepaling. Een veelhoek, waarvan alle zijden en alle hoeken gelijk zijn, noem men een regelmatigen veelhoek. 8tellingen. Als een cirkelomtrek in een willekeurig aantal ge- lijke cirkelboyen verdeeld is, dan vormen de koorden van die bogen een regelmatigen ingeschreven veelhoek, en de raaklijnen, in de deelpunten aan den cirkel getrokken, vormen een regelmatigen om- geschreven veelhoek. Bewijs. 1°. Als de bogen AB, BC, CD enz. gelijk zijn, dan V\\e.* 1H8. ^zÜⁿ hunne koorden ook gelijk , zoodat de zijden van den veelhoek, die in den cirkel beschreven is, gelijk zijn. Verder is L ABC =: i boog AD J boog DC L BCD = i boog AD } boog BA. Daar de bogen BA en DC volgens de onderstelling gelijk zijn, zijn ook de hoe- ken ABC en BCD gelijk. Op dezelfde wijze toont men aan, dat de andere hoeken van den ingeschreven veelhoek gelijk zijn. Deze heeft bovendien de zijden gelijk en is dus regelmatig. 2°. Om aan te toonen, dat de omgeschreven veelhoek regelmatig is, merke men vooreerst op, dat de driehoeken EAB, FBC, GCD, enz. gelijkbeenig zijn, omdat de twee raaklijnen, die men uit een punt buiten een cirkel naar dien cirkel kan trekken, gelijk zijn. Bovendien zijn al die gelijkbeenigo driehoeken £^, daar men heeft AB = BC = CD = enz. L E AB = L EBA =: > boog AB = L FBC = L FCB = } boog BC = enz. Uit de gelijk- en gelijkvormigheid van die driehoeken volgt: 1°. dat de hoeken van den veelhoek E, F, G, enz. gelijk zijn; 2°. dat de zijden EF, FG, enz., ieder gelijk aan twee beenen van de gelijkbeenige driehoeken, onderling gelijk zijn. Opmerkingen. 1. Als men een cirkelboog in gelijke deelen ver- deelt, dan blijkt op dezelfde wijze, dat de koorden van die deelen een gebroken lijn vormen, die uit onderling gelijke rechte lijnen 10*

-ocr page 152-



		148

		bestaat, welke twee aan twee gelijke hoeken met elkaar maken. Die ingeschreven gebroken lijn noemt men regelmatig. Even- eens vormen de raaklijnen in de doelpunten van den cirkelboog een regelmatige omgeschreven gebroken lijn. 2. Als de zijden van een veelhoek, die in een cirkel beschreven is, gelijk zijn, dan zijn de bogen, die door de zijden onderspannen worden, ook gelijk, en de veelhoek is dus regelmatig. § 240. Stelling. Om en in eiken regelmatigen veelhoek kan een cirkel beschreven worden. Bewijs. Om aan te toonen, dat om den regelmatigen veelhoek ABCDEF een cirkel kan beschreven worden, zullen wij bewijzen, Y\\ igg dat een cirkel, die door drie opeenvolgende hoekpunten A, B en C gaat, door alle andere gaat. Zij M het middelpunt van den cirkel, die door A, B en C gaat, dan heeft men MA = MB = MC. Daar ook AB BC, zijn MAB en MBC *». Dus zijn L MBA en i MBC onderling gelijk en derhalve ieder gelijk aan de helft van een hoek van den veelhoek. Nu is L MCB, die gelijk is aan MBC, ook gelijk aan de helft van oen hoek van den veelhoek, en bijgevolg ook L MCD. Dus is 1MCD = £MCB, MC = MC, CD = CB; zoodat de driehoeken MCB en MCD ~ zijn. MBC is gelijkbeenig; dus ook MCD. Daar MD =z MC, zal de cirkel, die door A, B en C gaat, ook door D gaan. "Verder kan men geheel op dezelfde wijze aantoonen, dat MDE ~ is met MCD, MEP met MDE en MFA met MEF. Men heeft dus MD = ME = MF, zoodat de punten D, E en F op den omtrek van den cirkel liggen, die door A, B en C gaat.

-ocr page 153-



		149

		2°. Laat men uit M loodlijnen neer op A8, BC, CD, enz., dan volgt uit de gelijk- en gelijkvormigheid van de driehoeken MAB, MBC, MCD, enz., dat al die loodlijnen gelijk zijn: MG = MH = MI = MK = ML = MN. Beschrijft men dus uit M als middelpunt met MG als straal een cirkel, dan raakt deze aan al de zijden van den veelhoek. Opmerking. De cirkels, die men om en in een regelmatigen veelhoek beschrijven kan, zijn geljjkmiddelpuntig. § 241. Bepalingen. Het gemeenschappelijk middelpunt van de cirkels, die om en in een regelmatigen veelhoek kunnen beschreven worden, noemt men het middelpunt van den veelhoek. Den straal van den omschreven cirkel noemt men den straal van den veelhoek. Den straal van den ingeschreven cirkel noemt men het apothema van den veelhoek. De hoeken van den veelhoek noemt men polygoonshoeken. Een driehoek, die gevormd wordt door een zijde van den veel- hoek en de stralen van hare uiteinden, noemt men een middel- pantsdriehoek. Volgens de vorige § zijn alle middelpuntsdrie- hoeken gelijkbeenig en onderling ~. Een tophoek van zulk een gelijkbeenigen driehoek noemt men een middelpuntshoek van den veelhoek. Volgens de vorige § zjjn alle middelpuntshoeken van denzelfden veelhoek gelijk, en voor een n-hoek dus gelijk aan ------. § 242. Stelling. Twee regelmatige veelhoeken van hetzelfde aantal zijden zijn gelijkvormig. Bewijs. Daar de grootte der hoeken van een regelmatigen veel- hoek alleen afhangt van \'t aantal zijden, zoo zijn de hoeken van twee regelmatige veelhoeken van \'t zelfde aantal zijden gelijk. Bovendien zijn de zijden van den eenen veelhoek evenredig met die van den anderen, zoodat de twee veelhoeken volgens § 147 gelijkvormig zijn. Stelling. De zijden van twee regelmatige veelhoeken van het- zelfde aantal zijden staan tot elkaar als de stralen of de apothema\'s der veelhoeken.

-ocr page 154-

150

Fig. 170.

Bewijs. Bij twee regel-
matige «-hoeken beeft men

360°

LAMB = Lamb

De gelijkbeenige driehoe-
ken AMB en amb zijn dus
c\\s, zoodat
AB : ab AM : am r: MG: mg.
Gevolgen. 1. De omtrekken van twee. regelmatige veelhoeken
van \'t zelfde aantal zijden staan tot elkaar als hunne stralen of
als hunne apothema\'s. (Zie § 150.)

2. De oppervlakken van twee regelmatige veelhoeken van \'t zelfde
Fisr 171 aantal zijden staan tot elkaar als de

vierkanten van hunne apothema\'s. (Zie
§ 166.)

§ 243. Stellikg. Het oppervlak
van een veelhoek om een cirkel be-
schreven is gelijk aan den omtrek,
vermenigvuldigd met den halven straal
van den ingeschreven cirkel.

Bewijs. Noemen wij den straal
van den cirkel li, dan is
MG = MH = MI = MK R.
A MAB = J E X AB.

A MBC =
AMCD =
A MD E =
A MEA =

R X BC.
B X CD.
B X DE.
B X KA.

veelhoek ABCDE zz J- R (AB BC enz.),
veelhoek ABCDE = } R X omtrek.

Samen

-ocr page 155-



		151

		WERKSTUKKEN EN BEREKENINGEN. § 244. Werkstuk. Een vierkant in een cirkel te beschrijven. Fig. 172. Constructie. Trek twee middel- lijnen AC en BD rechthoekig op elkaar en vereenig A met B, B met C, C met D en D met A, dan volgt uit de gelijk- en gelijkvormigheid van de rechthoekige driehoeken OAB, OBC, OCD en ODA: AB = BC = CD = DA. ABCD is dus een vierkant. (Zie § 239, Opmerking 2.) Berekening. Zij R de straal van den cirkel, dan ia in den rechthoekigen driehoek OAB: AB\' = OA^a -f- OB* = 2R\'. AB = R a/2. Werkstukken. Door de bogen AB, BC, CD en DA midden- door te deelen, verkrijgt men volgens § 239 de hoekpunten van een regelmatigen achthoek. Door de bogen middendoor te deelen, die door de zijden van een regelmatigen achthoek onderspannen worden, kan men een regel- matigen zestienhoek in den cirkel beschrijven. Fig. 173. Zoo voortgaande kan men dus in een cirkel achtereenvolgens regelma- tige veelhoeken beschrijven van 4, s, 16, 32, 64, .... en, in \'t algemeen, van 2» zijden. § 245. Werkstuk. In een cirkel een regelmatigen zeshoek te beschreven. Onderstellen wij, dat ABCDEF een regelmatige zeshoek zij, in een cirkel beschreven. De middelpuntshoek A.M 1! !s dan gelijk aan - r= 60°. De driehoek AMB is dus gohjkzij- b

-ocr page 156-



		152

		dig, zoodat AB AM, of in woorden: de zijde van den zeshoek is gelijk aan den straal van den cirkel. Om den zeshoek te construeeren, moet men dus den straal als koorde in den cirkel uitzetten. Werkstukken. Door drie niet opeenvolgende hoekpunten van den regel matigen zeshoek te vereenigen, verkrijgt men een regél- matigen driehoek, in den cirkel beschreven: ACE bijv. Door de bogen middendoor te deelen, die door de zijden van den zeshoek onderspannen worden, verkrijgt men de hoekpunten van een regelmatigen ingeschreven twaalfhoek. Op die wijze kan men voortgaan, zoodat men in een cirkel regelmatige veelhoeken kan beschrijven van 3, 6, 12, 24, ... en, in \'t algemeen, van 2" X 3 zijden. Berekening van de zijde des ingeschreven regelmatigen drie- hoeks. Daar boog EF = boog FA zz boog AB = 60°, zoo is boog BAB = 180° rs een halven cirkelomtrek. De lijn, die door B en E gaat, is dus een middellijn. De A ABE is derhalve rechthoekig en AB =r B, BE = 2B. AE* = BE¹ AB¹AE\' = 4R\' E¹ = 3R\' AE = R </3. § 246. \'Werkstuk. In een gegeven cirkel een regelmatigen tien- hoek te beschrijven. Zij AB de zijde van een regelmatigen tienhoek, in den cirkel Fig. 174. beschreven, dan is de middelpuntshoek AOB = ^f = 36°- lOAB = ¹⁸⁰⁰-⁸⁶° = 72°. Deelt men l A middendoor door de lijn AC, dan is L BAC = L OAC = 36°. L ACB = 180° L B L CAB = 180° 72° 36° = 72°. Daar de hoeken B en ACB ieder 72° bevatten, is A ABC gelijk- beenig of AC = AB.

-ocr page 157-



		153

		Daar de hoeken O en OAC ieder 36" bevatten, is & OCA gelijk- beenig of AC = OC. Dewijl L OAB middendoor gedeeld is, beeft men in \\ OAB OA: AB = OC : CB. OB: OC = OC: CB. OC¹ = OB X CB. De straal OB is dus door het punt C in de uiterste en middelste reden verdeeld, zoodat OC het grootste stuk is. En daar OC =: AB, zoo is de zijde van den ingeschreven regelmatigen tienhoek gelijk aan H grootste stuk van den in de uiterste en middelste reden verdeelden straal. Om dus een regelmatigen tienhoek in een cirkel te beschrijven, moet men den straal van den cirkel in de uiterste en middelste reden verdeelen en het grootste stuk als koorde in den cirkel uit- zetten. Berekening. Volgens de berekening in § 227 heeft men onmid- dellijk AB = OC = i R ( 1 v\'ö). § 247. Werkstuk. Een regelmatigen vijfhoek in een cirkel te beschrijven. Constructie. Verdeel den omtrek van den cirkel volgens de vorige § in tien gelijke deelen en ver-
		Fig. 175.
		eenig de deelpunten om het andere, dan verkrijgt men een vijfhoek, wiens zijden ieder \'/s gedeelte van den cirkel- omtrek onderspannen en die dus regel- matig is. Berekening van de zijde des ingeschre- ven regelmatigen vijfhoeks. Zjj AB = BC = OG de zijde des inge- schreven regelmatigen tienhoeks, dan is AC die van den vijfhoek. Daar OB den hoek AOC middendoor deelt, staat OB rechthoekig op het midden der basis AC van den gelijkbeenigen A AOC. En daar a ABO gelijkbeenig is, deelt de loodlijn AP de basis BG middendoor; dus PB = PG. BG is gelijk aan \'t kleinste stuk

-ocr page 158-

154

van den in de uiterste en middelste reden verdeelden straal;
dus (zie § 227)

Bö = i R (3 s/b).

BP = } R (3 v/5).

AB = l R ( 1 \\/5).

AP² = AB\'

BP¹ = -g- (10-2 v/5).

AP = - \\/(10 2 v/5).
4

~2~

AC = 2AP ==

v/(10 2 v/5)-

Werkstukken. Als men de bogen middendoor deelt, die door
de zijden van een regelmatigen tienhoek onderspannen worden,
vindt men de hoekpunten van den regelmatigen ingeschreven twin-
tighoek. Zoo kan men voortgaan om den ingeschreven regelmatigen
veertighoek enz. te construeeren, zoodat men in een cirkel regel-
matige veelhoeken kan beschrijven van 5, 10, 20, 40, 80, ... en
in \'t algemeen van 2» X 5 zijden.

§ 248. Werkstuk. Een regelmatigen vijftienhoek in een cirkel
te beschrijven.

Fig. 176.

Wij moeten _T\'₅ gedeelte van den cirkel-

omtrek bepalen, en daar ^ J- fy,
zoo moet men slechts ,\'. en ,■ gedeelte
van den cirkelomtrek van elkaar aftrek-
ken. Als dus AB de zijde van den
regelmatigen zeshoek en AC de zijde
van den tienhoek is, zal BC de zijde
van den regelmatigen ingeschreven vijf-
tienhoek zijn.

Berekening. Trek de middellijn AD en vereenig B en C met
D, dan heeft men

AB = R, AD = 2R,
AC = i R ( 1 v/5).
Verder is

BD¹ = AD\' AB* = 4R\' R\' = 3R*,
BD = R v/3.

-ocr page 159-



		155

		Ook is » CD\' AD² - AC\' = 4R\' -51 (6 2 _s/b) ~ (10 2 v/5). 4 4 CD = -\|- _v\'(10 2 v/5). Nu zijn van den vierhoek ACBD de diagonalen bekend en drie zijden: AD, BD en AC. "Volgens het theorema van Ptolemeus is AC X CD = AC X DB DA X BC. R X ~ (10 2 \\/5) = ~ (- 1 \\/5) . R y/H 2R . BC, waaruit men vindt BC = ^(\\/l0 2 v/5 v/3 v/15)- 4 Werkstukken. Met behulp van den vijftienhoek kan men in denzelfden cirkel een regelmatigen dertighoek beschrijven, enz., zoodat men in een cirkel regelmatige veelhoeken kan beschrijven van 15, 30, 60, ... en, in \'t algemeen, van 2n X 15 zijden. § 249. Als men in de hoekpunten van een regelmatigen inge- schreven veelhoek raaklijnen aan den cirkel trekt, ontstaat daar- door een omgeschreven veelhoek, die volgens de stelling van § 239 regelmatig is. Als men dus een regelmatigen veelhoek van een bepaald aantal zijden in een cirkel kan beschrijven, dan kan men een regelmatigen veelhoek van hetzelfde aantal zijden om dien cirkel beschrijven. Opmerking. De regelmatige veelhoeken, waarvan tot dus- verre gesproken is, zijn niet de eenige, die men in een cir- kel kan beschrijven. Gauss heeft in 1796 ontdekt, dat men, met behulp van passer en liniaal, een cirkelomtrek in n ge- lijke deelen kan verdeelen, als n ondeelbaar is en als tevens n 1 een macht van 2 is. Als n ondeelbaar is en n 1 niet een macht van 2, kan men, alleen met behulp van passer en liniaal, den cirkelomtrek niet in n gelijke deelen verdeelen. Zoo bestaat er geen constructie voor den 7-hoek, maar wel voor den 17-hoek, 257-hoek, 65537-hoek. Met behulp der bovengenoemde veelhoeken kan men weer andere beschrijven, wier aantal zijden deelbaar is. Even als

		\'

-ocr page 160-



		156

		een constructie voor den 15-hoek afgeleid is uit die voor 6-hoek en 1 O-hoek, kan men den 51-hoek construeeren met behulp van H-hoek en 17-hoek. Men heeft nl. 1 5 _ 2 3 17 ~ 51\' De volgende 37 getallen duiden de aantallen zijden aan van de regelmatige veelhoeken, die minder dan 300 zijden hebben en die men in een cirkel kan beschrijven: 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, 102, 120, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257, 272. § 250. Bij de volgende berekeningen duiden wij den straal van een cirkel aan door r; de zijden van een regelmatigen veelhoek, in dien cirkel beschreven, door er; de zijden van den regelmatigen veelhoek van evenveel zijden, om dien cirkel beschreven, door A, en de zijde van den regelmatigen veelhoek, die in den cirkel be- schreven is en het dubbel aantal zijden heeft, door b. Als de straal van een cirkel bekend is en de zijde van een ingeschreven regelmatigen veelhoek, de zijde te berekenen van den regelmatigen ingeschreven veelhoek van het dubbel aantal zijden. Fig. 176a. Zij AB = a, AC = 6. Men heeft MA = MC = r en CE = \'Ir. De koorde AC is middelevenredig tusschen CE en CD = CM DM; dus b¹ = 2r {r DM) = r(2r 2DM). In den rechthoekigen /\\ MAD is DM* = AM\' AD» r\' -J a\\ *DM = V(^r\' i* «) = i W** * «)* Hierdoor wordt />\' ₌ \'ir\' r Vïr\' a\' b <^(2r* r \\^/4r* a\'). Deze formule noemt men gewoonlijk de formule voor het dubbel aantal zijden. § 251. Als men de lengte der zijde van een regelmatigen inge- schreven u-hoek kent, dan kan men, door herhaalde toepassing

-ocr page 161-



		157

		van de voorgaande formule, achtereenvolgens de zijden en bijgevolg de omtrekken, berekenen van een regelmatigen ingeschreven veel- hoek van \'in, in, Hn, .... zijden. Als de straal van een cirkel 1 is, vindt men voor de zijde van het ingeschreven vierkant \\/2. Voor de zijde van den ingeschreven regelmatigen 8-hoek vindt men W - ■v/2). De zijde van den 1 G-hoek is _v/J2--_v/(2-(-v^/2)J. De zijde van den 32-hoek is V^P-/( 2 V (2 ^2)1 ] Als r =z 1 is, is ook de zijde van den ingeschreven regelmatigen 6-hoek 1. Voor de zijde van den 12-hoek vindt men, met behulp der formule voor het dubbel aantal zijden, V(2 - ^3). Hieruit vindt men voor de zijde van den ingeschreven 24-hoek V j 2 - V (2 V 3) j Voor de zijde van den 48-hoek vindt men ^[2-^(2 4-^(2 ^3)1]. § 252. Als de straal van een cirkel en de zijde van een inge- schreven regelmatigen veelhoek gegeven zijn, de zijde van den omge- schreven regelmatigen veelhoek van hetzelfde aantal zijden te bere- kenen. Fig. 177. Als de = A en DE =z a, heeft men rfE = i A, EG = i a. De rechthoekige driehoeken MGE en M Kr/ hebben den scherpen hoek KMG gemeen, zoodat zij e\\s zijn. Daarom is MG : GE = ME : Erf, of MG: i a = r: i A. A - ^A - MG" In den rechthoekigen A MGE is MG = ^(ME¹ - GE\') = y/lf» -è a\').

-ocr page 162-



		158

		Door deze waarde yoor MG in de plaats te stellen, komt er _ ar __ 2ar * y/* (,> _ x a¹) "" y/ (4)^J «»)" Met behulp van deze formule vindt men voor de zijde van den omgeschreven regelmatigen 6-hoek, als r =z a = 1 is, 2 2 7Ï = T^

		DE METHODE DER LIMIETEN. § 253. Stelling. Als eenige veranderlijke grootheden ieder tot een bepaalde limiet naderen, dan heeft hare som tot limiet de som der limieten, waartoe de verschillende grootheden naderen, of m.a.w. als X nadert tot A, IJ tot B, Z tot C, dan nadert X IJ Z tot A B C. Bewijs. "Wij moeten slechts laten zien, dat het verschil tus- schen A B C en X IJ Z ten laatste kleiner wordt dan eenige te denken grootheid. Wij kunnen stellen X rz A x, waarin x positief of negatief is en tot 0 nadert. Evenzoo IJ = B y, waarin y tot 0 nadert, en Z = C z, waarin z tot 0 nadert. Door optelling der drie voorgaande vergelij- kingen vindt men X IJ Z = A B C aj y 2. x-\\-y-\\-z drukt het verschil uit tusschen A B C en X IJ Z. Elk der grootheden x, y en z nadert tot 0; hare som wordt dus ten laatste kleiner dan eenige te denken grootheid, of m. a. w. X IJ Z heeft tot limiet A B C. Opmerking. De eigenschap gaat door, als éen of meer der grootheden negatief zijn, en ook voor het verschil van twee grootheden.

-ocr page 163-



		159

		§ 254. Stelling. Als twee veranderlijke grootheden ieder tot een bepaalde limiet naderen, dan zal haar produkt tot limiet heb- hen het produkt der limieten van de twee factoren, of: als X tot limiet heeft A en IJ heeft tot limiet B, dan zal XIJ tot limiet hebben AB. Bewijs. Stellen wij, even als in de vorige §, X = A x, IJ = B y, waarin x en y tot 0 naderen, dan heeft men XIJ = AB Ay Bx xy. Omdat // tot 0 nadert, zal ook Ky tot 0 naderen. Evenzoo Bx en xy. De som van Xy, Bx en xy heeft daarom ook tot limiet 0, zoodat het verschil tusschen XIJ en AB ten laatste kleiner wordt dan eenige te denken grootheid, of m. a. w. XIJ heeft tot limiet AB. Opmekking. Op dezelfde wijze toont men deze eigenschap aan voor drie of meer factoren. § 255. Stelling. De limiet van \'t quotiënt van twee verander- lijke grootheden is gelijk aan \'t quotiënt van de limieten, waartoe deeltal en deeler naderen, of als X tot limiet heeft A en IJ heeft tot limiet B, dan zal X : IJ naderen tot A : B. Bewijs. Wij stellen, even als vroeger, X ~ A x en IJ = B y, dan is IJ _ A x X - B y IJ A en wij moeten aantoonen, dat het verschil tusschen -^p- en -=- tot 0 nadert. Men heeft X _A_ _ A x___A_ _ Bx Xy IJ B ^_= B -r- y B " (B -f- y) B\' Van de laatste breuk nadert de teller tot 0, terwijl de noemer tot limiet heeft B\'. Maar als de teller van een breuk tot grens heeft 0, terwijl de noemer niet tot 0 nadert, dan nadert ook de breuk zelve tot 0, zoodat het gestelde bewezen is. Bijzonder geval. Als X tot limiet heeft A, zal tot limiet A hebben 1. :

-ocr page 164-



		160

		§ 256. Als de overeenkomstige waarden van twee veranderlijke grootheden steeds gelijk zijn en de eene grootheid nadert tot een limiet, dan zal de andere grootheid blijkbaar tot dezelfde limiet naderen. De twee veranderlijke grootheden kunnen de twee leden eener vergelijking zijn. Bestaat er een vergelijking tusschen eenige veranderlijke groot- heden , waarbij deze verbonden zijn door optelling, aftrekking, \'vermenigvuldiging of deeling, en naderen de veranderlijke groot- heden tot bepaalde limieten, dan zal, volgens de voorgaande opmer- king en de eigenschappen der drie voorgaande §§, hetzelfde verband bestaan tusschen de limieten, waartoe de veranderlijke grootheden naderen. Als het moeilijk is, het verband op te sporen tusschen eenige grootheden, geraakt men dikwijls tot dat verband, door die groot- heden te beschouwen als de limieten van andere, meer eenvoudige. Vindt men een betrekking tusschen deze, dan gaat de vergelijking, die de betrekking aanwijst, ook door voor de grootheden, die de limieten zijn der meer eenvoudige. (Zie § 264, waar wij het opper- vlak van een cirkel beschouwen als de limiet, waartoe het opper- vlak van een ingeschreven regelmatigen veelhoek nadert, wanneer het aantal zijner zijden voortdurend aangroeit.) Wanneer men het verband tusschen twee of meer grootheden opspoort, door ze te beschouwen als de limieten van andere groot- heden, gebruikt men de methode der limieten.

		OVER DE LENGTE VAN DEN CIRKELOMTREK. § 257. Wij hebben vroeger gezegd, dat twee rechte lijnen gelijk of even lang genoemd worden, als zij elkaar kunnen bedekken. Wanneer de eerste rechte slechts een gedeelte van de tweede kan bedekken, dan zegt men, dat de tweede langer is dan de eerste. Op dezelfde wijze kan men een gebroken lijn met een rechte ver- gelijken, door de deelen, waaruit de gebroken lijn bestaat, naast elkander af te passen op de rechte. Maar men kan niet op dezelfde

-ocr page 165-



		161

		wijze handelen bij kromme lijnen in \'t algemeen; deze kunnen slechts in bijzondere gevallen op elkaar worden gelegd , zooals wij hebben gezien bij cirkelbogen, die met gelijke stralen zijn beschre- ven. Cirkelbogen van verschillenden straal, alsmede cirkelbogen en rechte lijnen kunnen nooit op elkaar worden gelegd. Om nu ook de laatste met elkaar te kunnen vergelijken ten opzichte van hunne lengte, geven wij de volgende definitie: De lengte van een cirkelboog is de limiet, waartoe een regelmatige gebroken lijn nadert, die met hare hoekpunten in den cirkelboog ligt, als het aantal deelen der gebroken lijn aanhoudend verdubbeld wordt. Maar om deze definitie te mogen geven, moeten wij in de eerste plaats bewijzen, dat er zulk een limiet bestaat, en in de tweede plaats, dat er slechts êen limiet mogelijk is. 1°. Zij acf een cirkelboog, waarin de gebroken lijn abcdef be- schreven is. Kiest men nieuwe punten S, T, U, V, W van den Cirkelboog en vervangt men de eerstgenoemde gebroken lijn Jf\' «SiTcUrfVeW/^-, dan is elke lijn zooals ab vervangen door twee andere, aS en Sb. De gebroken lijn, die in den cirkelboog besehre- Fig. 178.

		ven is, is dus grooter geworden, en zal steeds grooter worden, als het aantal punten in den cirkelboog toeneemt. Hoe groot het J. versluys, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 11

-ocr page 166-



		162

		aantal punten ook genomen worde, de ingeschreven gebroken lijn blijft kleiner dan een andere gebroken lijn aABCDEF/^-, die haar geheel omsluit (zie § 83). De ingeschreven gebroken lijn wordt dus hij het vermeerderen der hoekpunten steeds grooter, maar blijft kleiner dan «ABCDEF/^-; zij nadert daarom tot een bepaalde limiet (zie § 130, Opmerking). Opmerking. De omgeschreven gebroken lijn ABCDEF is gelijk aan de omgeschreven gebrokon lijn, die ontstaat, als men raak- 1 ij in\'ii trekt ina, b, c, d, e en f. De laatste omsluit elke inge- schreven gebroken lijn en is dus grooter dan een ingeschreven gebroken lijn. Een omgeschreven lijn, zoo als ABCDEF, is grooter dan elke ingeschreven lijn. 2°. Men merke vooreerst op, dat de lengten der gebroken lijnen abcdef en ABCDEF, wier deelen twee aan twee parallel zijn, tot elkaar staan als Ms en MS. Wanneer het aantal hoekpunten der gebroken lijnen grooter wordt, nadert het verschil MS M« = sS < aS hoe langer hoe meer tot 0, omdat aS ten laatste kleiner wordt dan eenige te denken lijn. De verhouding van MS en Ms nadert dus tot 1 en de verhouding der gebroken lijnen eveneens, of\' m. a. w.: de gebroken lijnen naderen tot dezelfde limiet Xu zullen wij aantoonon, dat alle gebroken lijnen, die in den cirkelboog beschreven zijn, tot dezelfde limiet naderen, door te laten zien, dat er onmogelijk twee verschillende limieten kunnen zijn. Waren namelijk in den cirkelboog twee gebroken lijnen be- schreven, waarvan de eerste tot limiet heeft K en de tweede K -f- k, dan zouden de omgeschreven gebroken lijnen, wier deelen twee aan twee evenwijdig zijn met die der ingeschreven lijnen, tot dezelfde limieten naderen. Men kan het aantal hoekpunten der eerste omge- schreven gebroken lijn zóo groot nemen, dat zij minder dan J k verschilt van hare limiet K en dus kleiner is dan K \\ h. Even- eens zou men het aantal hoekpunten der tweede ingeschreven ge- broken lijn zóo groot kunnen nemen, dat zij minder van hare limiet _yK -\\- k, verschilde dan J K en dus grooter was dan K -f k J k ~ K -J- 5 k. Wij zouden alzoo hebben een omgeschreven gebroken lijn < K -\\- $ k, en een ingeschreven gebroken lijn > K -\|- J k.

-ocr page 167-



		163

		De eerste dier lijnen zou kleiner zijn dan de tweede, en dat ia onmogelijk (zie Opmerking, 1). Kr zijn dus geen twee verschillende limieten mogelijk. § 258. Ten aanzien van de regelmatige in- en omgeschreven lijnen, die, even als hierboven, tusschen dezelfde twee stralen, Ma en Mf, liggen, maken wij nog de volgende Opmerkingen : 1. Bjj het vermeerderen der hoekpunten worden de ingeschreven gebroken lijnen steeds langer, en zulk een lijn is daarom korter dan de limiet, waartoe de ingeschreven gebroken lijn nadert, of m. a. w.: een ingeschreven gebroken lijn is korter dan de cirkelboog. 2. Zoo veel te meer is de koorde, die den boog onderspant, kleiner dan de boog. 3. Een omgeschreven gebroken lijn is langer dan een ingeschre- ven gebroken lijn. Dit blijft waar, hoe groot ook het aantal hoek- punten der ingeschreven lijn genomen worde en dus ook wanneer deze tot hare limiet nadert, of m. a. w.: een omgeschreven gebro- ken lijn is langer dan de cirkelboog. 4. Al wat hierboven gezegd is van een cirkelboog, gaat door voor den geheelen cirkelomtrek. Door de lengte van den cirkel verstaat men dus de limiet, waartoe de omtrek van een ingeschre- ven regelmatigen veelhoek nadert, als het aantal zijner hoekpunten voortdurend grooter wordt. § 259. Stelling. De lengten van twee cirkels staan tot elkaar als hunne stralen. Bewijs. Moet de verhouding bepaald worden van de lengten L en l van twee cirkels, dan stelt men zich eerst voor, dat in die cirkels regelmatige veelhoeken beschreven zijn van hetzelfde aan- tal zijden. Deze zijn gelijkvormig en hunne lengten Nen» staan tot elkaar als de stralen der omgeschreven cirkels R en r (zie § 242); dus N _ R n r \' Laat men nu het aantal zijden der twee regelmatige veelhoeken al grooter en grooter worden, dan blijft het tweede lid van boven- staande vergelijking onveranderd; het deeltal in het eerste lid nadert 11*

-ocr page 168-



		164

		tot L en de deeler tot l. En daar de limiet van een quotiënt gelijk is aan de limiet van deeltal, gedeeld door de limiet van deeler, zoo is N _ lim. N _ L _ R^ n \' lim. n l r \' waardoor het gestelde bewezen is. § 260. 1. Als men in twee cirkelbogen, wier middelpuntshoeken gelijk zijn, regelmatige gebroken lijnen van \'t zelfde aantal hoek- punten beschrijft, dan zijn die gebroken lijnen °.v en hare lengten staan tot elkaar als de stralen der cirkelbogen. Daardoor kan op de twee cirkelbogen dezelfde redeneering toegepast worden, die hier- boven voor twee cirkelomtrekken gevolgd is. Twee cirkelbogen, wier middelpuntshoeken gelijk zijn, staan dus tot elkaar als hunne stralen. 2. Uit de vorige eigenschap en de eigenschap, dat twee cirkel- bogen, die met gelijke stralen beschreven zijn, tot elkaar staan als hun middelpuntshoeken, volgt, dat twee cirkelbogen, wier stralen en wier middelpuntshoeken ongelijk zijn, samengesteld evenredig zijn met hunne stralen en hunne middelpuntshoeken. L R 3. Uit de vergelijking ---- volgt / r -^~- ----, of in woorden: R r De verhouding van een cirkelomtrek tot zijn straal is een stand- vastig getal. Dat getal wordt gewoonlijk voorgesteld door 2tt, zoo- dat voor eiken cirkel L = 2tR. Opmerkingen. Het teeken iz is de Grieksche letter p, de eerste van een woord, dat omtrek beteekent. Het getal - is onmeetbaar; dit is in 1761 bewezen door lambert. Later heeft leoendre aangetoond, dat de tweede- macht van - ook onmeetbaar is. Ofschoon men - zoo nauwkeurig kan bepalen als men wil, is het niet mogelijk om, met behulp van een eindig aantal rechte lijnen en cirkels, een rechte lijn te construeeren, die zoo lang is als een gegeven cirkelomtrek. Dat dit onmogelijk is, werd in 1882 bewezen door Prof. lindemann.

-ocr page 169-



		165

		§ 261. Benadering van het getal ir. Als de straal van een cir- kel 1 is, stelt re zijn halven omtrek voor. Beschrijft men in en om dien cirkel regelmatige veelhoeken, zoo is de halve omtrek van den cirkel grooter dan de halve omtrek van den ingeschreven veelhoek en kleiner dan die van den omgeschreven veelhoek, rr ligt dus tuBschen de getallen, die de halve omtrekken van de twee veel- hoeken voorstellen. In zooveel decimalen als de halve omtrekken der veelhoeken met elkander overeenkomen, in evenveel decimalen komen zij met ir overeen. Voor den ingeschreven regelmatigen 6- hoek vindt men 3, voor den omgeschreven 3,46 ..., dus minder dan 4, zoodat n tusschen 3 en 4 ligt. Met behulp der vroeger ontwikkelde formules vindt men voor de halve omtrekken Aantal Omgeschreven Ingeschreven zijden. veelhoek. veelhoek. 12 3,21540 3,10582 24 3,15967 3,13262 48 3,14609 3,13935 96 3,14272 3,14103 192 3,14188 3,14145 Al deze halve omtrekken zijn onmeetbare getallen. De getallen der tweede kolom zijn alle grooter dan de halve omtrekken, maar zóo, dat zij minder dan een honderdduizendste te groot zijn. De getallen der derde kolom zijn alle te klein, maar zóo, dat zij minder dan een honderdduizendste verschillen van de omtrekken der ingeschreven veelhoeken. Uit de halve omtrekken der 12-hoeken blijkt, dat w ligt tusschen 3,21540 en 3,10582. Uit de halve omtrekken der 24-hoeken blijkt, dat n ligt tusschen 3,15967, 3,13262, enz. Uit de 24-hoeken blijkt dus, dat de geheelen en de eerste deci- maal van Tc zijn 3,1. Uit de 96-hoeken blijkt, dat de geheelen en twee decimalen van ir zijn 3,14.

-ocr page 170-



		166

		Uit de 192-hoeken blijkt, dat men tot in drie decimalen nauw- keurig heeft - =z 3,141. Deze benadering kan men voortzetten om zooveel decimalen van ir te berekenen als men wil. Voortgaande zou men vinden tc = 3,14159265358979323846___ Bij berekeningen heeft men dikwijls noodig = 0,31830988618379067153.. .. log. » = 0,49714987269413385435___ § 262. Door middel van kettingbreuken vindt men 22 it ~ -=-, \'°* \'ⁿ ^wee decimalen nauwkeurig, Jt ttz,* tot in vier decimalen nauwkeurig, 355 it , tot in zes decimalen nauwkeurig. 119 Opmerking. Het getal n is het eerst met eenige nauw- keurigheid bepaald door archimedes , die te Syracuse leefde, 287212 v. C. Hij berekende de omtrekken van een om- en een ingeschreven regelmatigen 96-hoek en vond daardoor, dat n tusschen 3f en 3\|; ligt. De eerste van deze waarden, of 22:7, wordt gewoonlijk de verhouding van Archi- medes genoemd. Onze landgenoot metiüs bepaalde omstreeks het jaar 1550 de verhouding 355 : 113, die men gewoonlijk de verhouding van Metius noemt. Onze landgenoot ludolph van ceülen zette de benade- ring veel verder voort (1586) en berekende door herhaalde worteltrekkingen het getal n eerst tot in 20 en later tot in 32 decimalen nauwkeurig. Naar hem wordt jt dikwijls het Ludolphiaansche getal genoemd. In den laatsten tijd heeft men, met bebulp der hoogere algebra, de benadering veel verder voortgezet en tt zelfs tot in 530 decimalen berekend.

-ocr page 171-

167

§ 263. Volgens het voorgaande kan men den omtrek vati een
«irkel berekenen, als men zijn straal kent. Volgens een vroeger
bewezen eigenschap staat een cirkelboog tot den geheelen omtrek,
als het aantal graden van den middelpuntshoek, die op den boog
staat, tot 360, of ook als het aantal booggraden van den boog tot
360. Als dus de straal van een cirkel gegeven is en een middel-
puntshoek, dan kan men eerst den geheelen cirkelomtrek berekenen
en daarna den boog, die tusschen de beenen van den hoek ligt.
Men heeft, als n het aantal graden van een boog voorstelt en /
zijn lengte,

360 ^ 180

Indien de lengte van een cirkelboog gegeven is en de straal van
den cirkel, dan kan men de lengte van den geheelen cirkelomtrek
berekenen en daarna ook het aantal graden van den boog. Men
heeft dan

2Rn:l zz 360 :n, of
180/

Rir \'

Voorbeeld. Het aantal graden te berekenen van een cirkelboog,
die even lang is als de straal.

R X 180° _ 180^c

= 57" 17\' 44", 80 ...

Rit

HET OPPERVLAK VAN DEN CIRKEL EN VAN DEELEN
VAN DEN CIRKEL.

§ 264. Wij hebben reeds gezien, hoe de oppervlakken van ver-
schillende rechtlijnige figuren vergeleken worden. In dit hoofdstuk
zullen wij het vergelijken der oppervlakken van kromlijnige figuren
onderling en met rechtlijnige terugbrengen tot het vergelijken van
rechtlijnige figuren met elkaar.

Beschouwen wij een cirkelsector MAHB met de in- en omge-
schreven veelhoeken MACDEB en Macdeb. De ingeschreven veel-

-ocr page 172-



		168

		hoek bedekt een gedeelte van den cirkelsector en is dus kleiner dan deze. De omgeschreven veelhoek wordt gedeeltelijk door den sector bedekt en is dus grooter dan deze. De cirkelBector is der- halve grooter dan de ingeschreven en kleiner dan de omgeschreven veelhoek, en dit blijft waar, als men het aantal deelen der gebro- ken lijnen ACDEB en acdeb voortdurend laat aangroeien. Daarbij wordt de ingeschreven veelhoek steeds grooter en de omgeschreven steeds kleiner. Voor het oppervlak O van veelhoek MACDEB vindt men, als AC := CD zz DE = EB is, de lengte "B- der ingeschre- Fig. 179.

		ven gebroken lijn vermenigvuldigd met de helft van het apothema MP = a. Dus O = \\ «XL Wordt het aantal deelen der gebroken lijn steeds grooter, dan vindt men lim. O = Hm. (JoX^L) = lim. ± o X l>m. L = \\ R X boog AB. Evenzoo is het oppervlak o van den omgeschreven veelhoek gelijk aan de lengte l der omgeschreven gebroken lijn, vermenigvuldigd met den halven straal o = i R X l- Wordt het aantal deelen der omgeschreven gebroken lijn steeds grooter, dan heeft men lim. o lim. (J R X 0 = i ^R X 1\'m. I = i R X boog AB.

-ocr page 173-



		169

		De oppervlakken der in- en omgeschreven veelhoeken naderen dus tot een gemeenschappelijke grens (i R X boog AB), en het verschil van die oppervlakken kan dus zoo klein gemaakt worden, als men wil. Maar dan kan ook het verschil van het oppervlak des sectors met een der veelhoeken, bijv. met den ingeschreven veel- hoek , zoo klein gemaakt worden, als men wil, of m. a. w.: Men kan het oppervlak van een cirkelsector beschouwen als de grens van het oppervlak des ingeschreven veelhoeks, of als de grens van het oppervlak des omgeschreven veelhoeks. Evenzoo kan men het oppervlak van een cirkel beschouwen als de grens van het oppervlak van een ingeschreven regelmatigen veelhoek of van een omgeschreven regelmatigen veelhoek. Uit de voorgaande beschouwingen blijkt tevens de waarheid der Stellingen. 1. Het oppervlak van een cirkelsector is gelijk aan de lengte van zijn boog, vermenigvuldigd met den halven straal. 2. Het oppervlak van den cirkel is gelijk aan zijn omtrek, ver- menigvuldigd met den halven straal. § 265. Stellino. Het oppervlak van een cirkel is gelijk aan tt , vermenigvuldigd met het vierkant van den straal. Gestelde. OrR\'Xn. Bewijs. Volgens de voorgaande stelling is OrjRX omtrek. Volgens een vroeger bewezen stelling is omtrek 2R X * i dus 0= lRX2BXi = R\'X^ § 266. Stelling. De oppervlakken van twee cirkels staan tot elkaar als de vierkanten hunner stralen. Bewijs. Als O en o de oppervlakken van twee cirkels zijn, R en /■ bun stralen, dan heeft men O r R¹ X " en o = i\' X i waaruit volgt O : o = R= : r\'. § 267. Stellingen. 1. De oppervlakken van twee sectoren van denzelfden cirkel staan tot elkaar als hun bogen of als hun middel- puntshoeken. 2. De oppervlakken van twee sectoren, die gelijke middelpunts- hoeken hebben, staan tot elkaar als de vierkanten hunner stralen.

-ocr page 174-



		170

		Bewijzen. Laat O en o de oppervlakken van twee cirkelsecto- ren voorstellen, K en r hunne stralen, L en l hunne bogen, dan heeft men volgens § 264 -2- - AyI In het eerste geval zijn R en r gelijk, zoodat men heeft _°_ ^L o - l ^! en daar nu de verhouding van L en / gelijk is aan de verhouding der middelpuntshoeken, zoo is de eerste stelling bewezen. In het tweede geval kan men, volgens § 259, voor de verhouding van L en l in de plaats stellen de verhouding van Ben r; dus 0_RL_RR_R\' o r ^X l ~~ r ^X r ~~ r¹ \' § 268. Het oppervlak van een cirkelsegment te berekenen. AU het segment kleiner is dan een halve cirkel, zooals het segment CGD in tig. 110, dan is het gelijk aan \'t verschil van een cirkel- sector MCGD en een driehoek MCD. Als het segment grooter is dan een halve cirkel, zoo als het segment CED in flg. 110, dan is het gelijk aan de som van een cirkelsector MCED en een driehoek MCD. Het oppervlak van den sector kan men berekenen, als men den boog kent en den straal. Om het oppervlak des driehoeks te bere- kenen moet men, behalve den straal, nog de koorde van den boog kennen. Om dus het segment te berekenen moet men den straal kennen, den boog van \'t segment, en de koorde van dien boog.

-ocr page 175-



		VRAAGSTUKKEN.

		§ 15§ 28. 1. Van een cirkel is de straal 3 cM., terwijl een punt 25 mM. van het middelpunt verwijderd is. Zal dat punt binnen of buiten den cirkel liggen? 2. Bereken het supplement van een hoek, die gelijk is aan 25° 37\' 21". 3. Bereken het complement van denzelfden hoek. 4. Van een hoek is het complement 31" 27\'; hoe groot is zijn supplement ? 5. Van een hoek is het supplement 100\' 12\'; hoe groot is zijn complement ? 6. Hoeveel bedraagt het verschil tusschen het supplement en het complement van een hoek? 7. Welken hoek maken de lijnen met elkaar, die een hoek en zijn supplement middendoor deelen ? 8. "Welken hoek maken de lijnen met elkaar, die een hoek en zijn complement middendoor deelen? , " \' 9. Van de vier hoeken, die ontstaan door snijding van twee lijnen, is er éen gelijk aan 42° 17\'8". Bereken de andere hoeken. § 36-§ 47. 10. Kunnen de hoeken van een driehoek zijn 37°, 50° en 48°? 11. Twee hoeken van een driehoek zijn 50" en 72°. Hoe groot is de derde hoek ?

-ocr page 176-



		172

		12. Van driehoek ABC is : A = 52% iB = 48\'. Hoe groot is een buitenhoek bij het hoekpunt C? 13. Van een driehoek ABC is een buitenhoek bij C 94% terwijl L A 50" bevat. Hoe groot is L B ? 14. Van een driehoek is een binnenhoek 37° 12\' en een buiten- hoek 84" 25\'. Hoe groot zijn de andere binnen- en buitenhoeken ? 15. Bereken de hoeken van een gelijkzijdigen driehoek. 16. Van een gelijkbeenigen driehoek is de tophoek 75^c. Hoe groot zijn de hoeken aan de basis? 17. Van een rechthoekigen driehoek is een der scherpe hoeken 37° 15\' 12". Hoe groot is de andere scherpe hoek? 18. Van een driehoek is L A r= 30° en L B = 70^D. Welke hoeken maken met elkaar de lijnen, die /. A en L B middendoor deelen ? 19. Kunnen de zijden van een driehoek zijn 15 cM., 7 cM. en 6 cM. ? Of kunnen ze zijn 7 cM., 10 cM. en 3 cM. ? 20. Bewijs, dat de lijn, die den nevenhoek van den tophoek van een gelijkbeenigen driehoek middendoor deelt, evenwijdig loopt met de basis. 21. Bewijs, dat de som der supplementen van de hoeken van een driehoek twee gestrekte hoeken bedraagt. 22. Bewijs, dat de som der complementen van de hoeken van een scherphoekigen driehoek eon rechten hoek bedraagt. <■ A ft - 23. Als men een punt binnen een driehoek vereenigt met de hoekpunten, is de som der drie vereenigingslijnen kleiner dan de omtrek van den driehoek en grooter dan de halve omtrek. Bewijs die twee eigenschappen. 24. Hoe groot is een hoek van een driehoek, als hij gelijk is aan de som der twee andere hoeken. 25. Een driehoek is rechthoekig, als de lijn, die een zijner hoekpunten met het midden der overstaande zijde verbindt, gelijk is aan de helft van die zijde. Bewijs dit. 26. Een hoek van een driehoek is stomp, als de lijn, die zijn hoekpunt verbindt met het midden der overstaande zijde, kleiner is dan de helft dier zijde. Bewijs dit.

-ocr page 177-



		173

		§ 47-§ 68. 27. De loodlijnen, die men uit de uiteinden der basis van een gelijkbeenigen driehoek kan neerlaten op de overstaande zijden, zijn gelijk. 28. De loodlijnen, die men uit de uiteinden eener zijde van een driehoek neerlaat op de lijn, die het midden dier zijde met het overstaande hoekpunt verbindt, zijn even lang. 29. Een driehoek is gelijkbeenig, als de loodlijnen, die men uit twee hoekpunten op de overstaande zijden kan neerlaten, even lang zijn. Bewijs dit. /^Wmi-wv»*-m.T 30. Een driehoek is gelijkzijdig, als zijn drie loodlijnen even lang zijn. Bewijs dit. 31. Twee gelijkzijdige driehoeken zijn gelijk en gelijkvormig, als de hoogte van den eenen driehoek gelijk is aan die van den anderen. 32. De lijn, die een hoekpunt van een driehoek verbindt met het midden der overstaande zijde, is kleiner dan de halve som der twee andere zijden. 33. De lijnen, die de hoekpunten van een driehoek verbinden met.de middens der overstaande zijden, zijn samen kleiner dan de omtrek van den driehoek. 34. Als men uit het midden eener zijde van een driehoek lijnen trekt, evenwijdig aan de andere zijden van dien driehoek, dan ontstaan twee driehoeken, die gelijk en gelijkvormig zijn. 35. Als men door de hoekpunten van een driehoek lijnen trekt, evenwijdig met de overstaande zijden, en die lijnen verlengt tot zij elkaar snijden, dan ontstaan drie driehoeken, die gelijk- en gelijk- vormig zijn met den gegeven driehoek. 36. De lijnen, die de hoeken aan de basis van een gelijkbeeni- gen driehoek middendoor deelen, zijn even lang. 37. De lijnen, die de uiteinden der basis van een gelijkbeenigen driehoek verbinden met de middens der overstaande zijden, zijn even lang. 38. Bewijs, dat de drie lijnen, die de zijden van een driehoek rechthoekig middendoor deelen, door éen punt gaan.

-ocr page 178-



		174

		39. Bewijs, dat de drie lijnen, die de hoeken van een driehoek middendoor deelen, door éen punt gaan. 40. De som der loodlijnen, die men uit een punt der basis van een gelijkbeenigen driehoek kan neerlaten op de heenen, is gelijk aan de loodlijn, uit een uiteinde der basis neergelaten op de over- staande zijde. Bewijs dit. 41. Als een hoek van een rechthoekigen driehoek 30 bevat, is de zijde tegenover dien hoek de helft der hypotenusa. Bewijs dit. § 68§ 83. 42. Construeer driehoeken, wier zijden respectievelijk zijn: 24, 3 en 5 cM.; 24, 27 en 30 mM.; 2, 3 en 5 cM.; 18, 21 en 40 mM. 43. Construeer een gelijkzijdigen driehoek, wiens zijden 3 cM. lang zijn. 44. Construeer een driehoek, als een zijde gegeven is en als gij weet, dat de aanliggende hoeken 45° en 60° zijn. 45. Construeer een rechthoekigen driehoek, als een rechthoeks- zijde en de schuine zijde gegeven zijn. 46. Construeer een gelijkzijdigen driehoek, als zijn hoogte ge- geven is. 47. Verdeel een hoek in vier gelijke deelen. 48. Verdeel een rechten hoek in drie gelijke deelen. Opmerking. De constructie: een willekeurigen hoek in drie gelijke deelen te verdeelen, kan niet verricht worden met behulp der postulaten in de planimetrie. De Grieksche meetkundigen hebben verschillende kromme lijnen uitgedacht om de vraag te beantwoorden Latere wiskundigen hebben afzonderlijke werktuigen vervaardigd om een willekeurigen hoek in drie gelijke deelen te verdeelen. Evenmin kan men met de gewone hulpmiddelen: passer en liniaal, een willekeurigen hoek in 5, 6, 7, 9 enz. gelijke deelen verdeelen. De verdeeling kan alleen uitgevoerd worden, als het aantal deelen 2° is.

-ocr page 179-



		175

		49. Een punt te vinden, dat op gelijke afstanden ligt van drie gegeven lijnen. 50. Een punt te vinden, dat op gelijke afstanden ligt van drie gegeven punten. 51. In een gegeven lijn een punt te bepalen, dat op gelijke afstanden ligt van twee gegeven punten. 52. Construeer een gelijkbeenigen driehoek, als zijn basis en zijn hoogte gegeven zijn. 53. Construeer de hoeken aan de basis van een gelijkbeenigen driehoek, als zijn tophoek gegeven is. 54. Construeer een driehoek, als zijn hoogte en zijn opstaande zijden gegeven zijn. 55. In een gegeven lijn een punt te bepalen, dat op gelijke afstanden ligt van twee andere gegeven lijnen. 56. Construeer een gelijkbeenigen rechthoekigen driehoek, als zijn hoogte gegeven is. 57. Een driehoek te beschrijven, waarvan gegeven zijn: een hoek, een aanliggende zijde en de som der twee andere zijden (zie flg. 23). § 83§ 109. 58. Hoeveel diagonalen kan men trekken uit éen hoekpunt van een vijt\'tienhoek ? . - £ .- . i . 59. In hoeveel driehoeken wordt een twaalfhoek verdeeld door de diagonalen, die men uit éen hoekpunt kan trekken? ■»? : IQ 60. Hoeveel diagonalen kan men trekken in een tienhoek ?tt/to~}] o< 61. Bereken de som der hoeken van een vierhoek. 62. Hoeveel bedraagt de som der hoeken van een vgftienhoek?>?^#«;\'-0 63. Van een vijf hoek zijn vier der hoeken 137° 12\', 48°, 62° en 162° 15\'. Hoe groot is de andere hoek? 64. Van een zeshoek staan de hoeken tot elkaar als 2, 3, 5, 6, 7, 1. Bereken elk der hoeken. ■?>> * * &~ --?f >- {lo-tf-fa 65. Aan hoeveel gestrekte hoeken is de som der supplementen van de hoeken eens tienhoeks gelijk? 66. Hoeveel bedraagt die som bij een «-hoek?

-ocr page 180-



		176

		67. Als een diagonaal twee hoeken van een vierhoeK middendoor deelt, staat zij rechthoekig op het midden der andere diagonaal. 68. Bewijs het omgekeerde der vorige stelling. 69. Wat is het omgekeerde van de stelling 36 ? (Hier wordt naar de stelling gevraagd en niet naar een bewijs. Twee bewijzen van het omgekeerde der stelling in 36 vindt men in mijn werkje: Methoden bij het oplossen van meetkundige vraagstukken.) 70. Door een gegeven punt een lijn te trekken, waarvan twee evenwijdige lijnen een stuk van gegeven lengte afsnijden. 71. Verdeel een gegeven rechte lijn in drie gelijke deelen. 72. Hoeveel zijden heeft een veelhoek, als de som zijner hoeken zeven gestrekte hoeken is? ■ i \\ . 73. Construeer een ruit, als hare diagonalen gegeven zijn. 74. Beschrijf een parallelogram, waarvan een zijde en de diago- nalen gegeven zijn. 75. In een scheefhoekig parallelogram is die diagonaal de lang- ste, welke de hoekpunten der scherpe hoeken verbindt. 76. De stukken, waarin de diagonalen van een gelijkbeenig trapezium elkaar verdeelen, vormen met de zijden van het trape- zium vier driehoeken. Twee daarvan zijn gelijkbeenig en de twee andere zijn gelijk en gelijkvormig. 77. Het verschil tusschen de evenwijdige zijden van een trape- zium is grooter dan het verschil tusschen de twee beenen. 78. Beschrijf een trapezium, als zijn vier zijden gegeven zijn. 79. Van een lijn, die men door het snijpunt der diagonalen van een parallelogram trekt, worden door dat snijpunt en twee even- wijdige zijden gelijke stukken afgesneden. 80. Verdeel een gegeven rechte lijn in vijf gelijke deelen. 81. De loodlijnen, die men uit de uiteinden der basis van een gelijkbeenig trapezium kan neerlaten op de beenen van het trape- zium, zijn even lang. 82. Bewijs ook het omgekeerde van de vorige stelling. 83. Twee trapeziums zijn gelijk en gelijkvormig, als de even- wijdige zijden van het eene gelijk zijn aan die van het andere en als tevens de beenen van het eene gelijk zijn aan die van bet andere.

-ocr page 181-



		177

		84. Een ruit wordt door hare diagonalen in vier driehoeken verdeeld, die gelijk en gelijkvormig zijn. 85. De lijn, die de middens der evenwijdige zijden van een gelijkbeenig trapezium vereenigt, staat loodrecht op de evenwijdige zijden. 86. In een vierkant ABCD wordt door A een lijn getrokken, die BC in E en CD in F snijdt. Een loodhjn uit D op AE neer- gelaten, snijdt BC in G en AB in H. Bewijs AE =: DH en AF = DG. 87. In een vierkant ABCD is P een punt in AB en Q een punt in CD. Een lijn, die rechthoekig op PQ staat, snijdt BC in R en AD in S. Bewijs Ja»\' PQ = RS. 88. Een vierkant te beschrijven, welks zijden achtereenvolgens door vier gegeven punten gaan. (Een oplossing van dit vraagstuk vindt men op bl. 73 van den eersten jaargang van mijn Tijdschrift voor de Beginselen der Wiskunde.) 89. Een lijn, die door het snijpunt der diagonalen van een parallelogram getrokken wordt, verdeelt het parallelogram in twee trapeziums, die gelijk en gelijkvormig zijn. § 114§ 123. 90. Van een lijn worden door drie evenwijdige lijnen twee stuk- ken afgesneden, 7 en 9 eenheden lang. Het grootste stuk, dat de drie evenwijdige lijnen van een andere lijn afsnijden, is 11 eenheden; hoe lang is het kleinste stuk, dat van die zelfde lijn afgesneden wordt ? 91. Twee zijden van een driehoek zijn lang 11 en 15. Door een lijn evenwijdig aan de derde zjjde wordt de eerste verdeeld in twee stukken, lang 4 en 7. In welke stukken wordt de tweede zijde verdeeld ? 92. Een zijde van een driehoek is lang 10. Evenwijdig aan die zijde wordt een lijn getrokken, die een zijde van den driehoek verdeelt in twee stukken, 5 en 7. Hoe lang is de evenwijdige lijn? 93. Van een trapezium zijn de evenwijdige zijden 13 en 15. Hoe lang is de lijn, die de beenen middendoor deelt? j. VBESLUYS, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 12

-ocr page 182-



		178

		94. Als men do punten vereenigt, die de zijden van een drie- hoek middendoor deelen, ontstaan vier driehoeken, die gelijk en gelijkvormig zijn. Bewijs dit. 95. Als men de zijden van een willekeurigen vierhoek midden- door deelt en de doelpunten der opeenvolgende zijden vereenigt, ontstaat een parallelogram. Bewijs dit. 96. Welke soort van parallelogram ontstaat, als men in plaats van een willekeurigen vierhoek neemt een vierkant, een ruit, een rechthoek, een parallelogram? 97. Bewijs het omgekeerde der stelling van § 118. 98. Van een driehoek zijn de zijden 15, 16 en 17 cM. Bereken de stukken, waarin elke zijde verdeeld wordt door de lijn, die den overstaanden hoek middendoor deelt. 99. Construeer twee rechte lijnen, als hare som en hare ver- houding gegeven zijn. 100. Construeer een driehoek, waarvan gegeven zijn de stukken, waarin de basis verdeeld wordt door de lijn, die den tophoek middendoor deelt, benevens een der opstaande zijden. § 123§ 130. 101. Een trapezium wordt door zijn diagonalen in vier driehoe- ken verdeeld, waarvan twee gelijkvormig zijn. 102. Van een driehoek zijn de zijden 7, 11 en 13; van een tweeden driehoek, die gelijkvormig is mét den eersten, is de groot- ste zijde 30. Bereken de andere zijden van dezen driehoek. 103. Als het kleinste der beenen van een rechthoekig trapezium middelevenredig is tusschen de evenwijdige zijden, dan staan de diagonalen rechthoekig op elkaar. 104. Bewijs het omgekeerde der vorige stelling. 105. Twee loodlijnen van een driehoek maken een evenredigheid met de zijden, waarop zij neergelaten zijn. Bewijs dit. 106. Van een driehoek zijn de zijden 8, 11 en 13; van een drie-

-ocr page 183-



		179

		hoek, die met den eerstgenoemden gelijkvormig ia, is de omtrek 72. Bereken de zijden van den laatsten driehoek. 107. Kunnen de loodlijnen van een driehoek zijn 1, 2 en 3 cM. ? 108. In twee gelijkvormige driehoeken zijn de loodlijnen evenredig. 109. Twee driehoeken zijn gelijkvormig, als de loodlijnen van den eenen evenredig zijn met die van den anderen. 110. Van een driehoek zijn de loodlijnen 7, 8 en 9 ; van een gelijkvormigen driehoek is de loodlijn op de grootste zijde 14. Bereken de twee onbekende loodlijnen van dezen driehoek. 111. In een parallelogram is de afstand van het grootste paar evenwijdige zijden kleiner dan de afstand van het andere paar evenwijdige zijden. Bewijs dit. § 136§ 143. 112. "Van een rechthoekigen driehoek is de schuine zijde 15 cM. en de eene rechthoekszijde 13 cM. Bereken de stukken, waarin de hypotenusa verdeeld wordt door de loodlijn. 113. Bereken ook van den driehoek in het vorige vraagstuk de loodlijn en de andere rechthoekszijde. 114. De schuine zijde van een rechthoekigen driehoek wordt door de loodlijn verdeeld in twee stukken, lang 8 en 15 cM. Bereken de rechthoekszijden in honderdsten van millimeters nauw- keurig. 115. Van een rechthoekigen driehoek zijn de rechthoekszijden 7 en 8. Bereken de hypotenusa in drie decimalen nauwkeurig. 116. Van een rechthoekigen driehoek is de eene rechthoekszijde 10 en de schuine zijde 15. Bereken de andere rechthoekszijde in duizendste deelen nauwkeurig. 117. Bereken de loodlijn van den vorigen driehoek in honderd- ste deelen nauwkeurig. 118. Van een driehoek zijn de zijden 8, 9 en 10 cM. Bereken de projectie van de grootste zijde op de kleinste. 119. Twee zijden van een driehoek zijn 11 en 13 cM., en de projectie van de eerste op de tweede is 5 cM. Hoe lang is de derde zijde, in tienden van millimeters nauwkeurig? 12*

-ocr page 184-



		180

		120. Als a, b en c de zijden van een driehoek voorstellen, vraagt men in elk der volgende gevallen te berekenen, of de drie- hoek rechthoekig, scherphoekig dan wel stomphoekig is; a ~ 5, b rz 7, c r= 9; a = 10, b = 8, c = 6; a z= 13, 6 = 14, c = 15; a =: 15, è = 20, c = 25; o = 13, 6 = 17, c = 20. 121. Bereken de loodlijnen van een driehoek, als zijn zijden zijn 13, 14 en 15 cM. 122. Van een gelijkbeenigen driehoek is de basis 7 en de hoogte 6. Bereken de opstaande zijden in twee decimalen nauwkeurig. 123. De diagonalen van een ruit zijn 5 en 14 cM. Bereken de zijde tot in millimeters nauwkeurig. 124. Van een gelijkzijdigen driehoek de hoogte te bepalen, als de zjjde o is. o * 125. Bepaal de iijde van een gelijkzijdigen driehoek, als zijn hoogte 6 is. Jl"» j 126. Bereken, in twee decimalen nauwkeurig, de hoogte van een trapezium, als zijn evenwijdige zijden 9 en 12 cM. zijn en de beenen 12 en 13 cM. § 143-§ 154. 127. Twee veelhoeken zijn gelijkvormig, als de hoeken op éen na van den eenen gelijk zijn aan de hoeken op éen na van den anderen, als de zijden op twee na van den eenen evenredig zijn met de zijden op twee na van den anderen, en als bovendien de gelijke hoeken en de evenredige zijden in de twee veelhoeken in dezelfde volgorde voorkomen. BewijsVdü. 128. Twee parallelogrammen zijn gelijkvormig, als twee zijden en de diagonaal, die in hetzelfde hoekpunt samenkomen, in het eene parallelogram evenredig zijn met de overeenkomstige lijnen in het andere. Bewijs dit. 129. Bewijs, dat in twee gelijkvormige veelhoeken een paar ge- lijkstandige lijnen evenredig is met een paar gelijkstandige zijden.

-ocr page 185-

181

130. Twee ruiten zijn gelijkvormig, als zij een hoek gelijk hebben.

131. Wanneer zijn twee rechthoeken gelijkvormig?

132. Twee trapeziums zijn gelijkvormig, als de zijden van het
eene evenredig zijn met die van het andere.

133. Als men een willekeurig punt P vereenigt met de hoek-
punten van een veelhoek ABCDE en op de vereenigingslijnen pun-
ten A,, B,, C,, 1>, , E, neemt, zóo dat

PA, _ J^B, _ PCl _ PD, _ PE,
PAT TB PC PD PE \'

dan zijn de veelhoeken ABCDE en A, B, C, D, E, gelijkvormig.

§ 154§ 169.

134. Verander een parallelogram in een rechthoek van hetzelfde
oppervlak.

135. Verander een scherphoe
gen van gelijk oppervlak. Doe
driehoek.

yift

iftdfc

driehoek in een rechthoeki-
lfde met een stomphoekigen

136.

Door een punt H van

de diagonaal AC van een paral-
lelogram worden (zie fig. 180)
lijnen getrokken, evenwijdig met
de zijden van het parallelogram.
Bewijs, dat de parallelogrammen
BEHK en DFHG gelijk zijn.

137. Van twee parallelogram-
men , die gelijke oppervlakten
hebben, staan de bases tot elkaar als 4 tot 5. Bepaal de verhou-
ding der hoogten.

138. Twee driehoeken hebben gelijke oppervlakken. De basis
en de hoogte van den eenen zijn 10 en 12 cM. De hoogte van den
anderen is 15 cM.; bereken zijn basis.

139. Een vierhoek wordt door zijn diagonalen in vier driehoeken
verdeeld, wier oppervlakken een evenredigheid vormen.

140. Elke ruit is de helft van een rechthoek, wiens zijden
gelijk zijn aan de diagonalen der ruit.

-ocr page 186-



		182

		141. Twee driehoeken hebben gelijke oppervlakken, als zij twee zijden gelijk hebben, terwijl de ingesloten hoeken el kaars supple- menten zijn. 142. Als x de zijde voorstelt van een gelijkzjjdigen driehoek, waaraan is dan het oppervlak gelijk ? , - .. 143. Van een gelijkzjjdigen driehoek is het oppervlak 15; bere- ken zijn zijde, tot in twee decimalen nauwkeurig. 144. Bereken, tot in honderdste deelen nauwkeurig, de zijde van een gelijkzjjdigen driehoek, die even groot is als een driehoek, waarvan de zijden 17, 20 en 23 zijn. 145. Van een ruit zijn de diagonalen 7 en 11 cM. Bereken haar oppervlak. 146. Een parallelogram is een ruit, als de afstand van het cene paar evenwjjdige zijden gelijk is aan den afstand van het andere paar. 147. Bereken het oppervlak van een vierhoek, als zijn diago- nalen rechthoekig op elkaar steun en 12 en 21 cM. lang zijn. 148. Een rechthoek is de helft van een anderen, wiens zijden de diagonalen der vierkanten zijn, die men op twee aanliggende zijden van den eersten rechthoek kan beschrijven. 149. De driehoek, die gevormd wordt door een der beenen van een trapezium, en de lijnen, die zijn uiteinden verbinden met het midden van \'t andere been, is de helft van het trapezium. Bewijs dit. 150. De vierkanten, die men kan beschrij ven op de schuine zijde en de rechthoekszijden van een rechthoekigen driehoek, zijn evenredig met de schuine zijde en de projecties op deze van de rechthoekszijden. 151. Bereken het oppervlak van een trapezium, als de evenwij- dige zijden 7 en 9 zijn en de opstaande zijden 4 en 5; in drie decimalen nauwkeurig. 152. Het oppervlak van een trapezium is gelijk aan een der opstaande zijden, vermenigvuldigd met de loodlijn, op die zijde neergelaten uit het midden der overstaande zijde. 153. Bereken het oppervlak van den veelhoek in lig. 104, als gegeven zijn: LN = 3, NO = OP = PE = RS = 2, SV = 3, VZ = 21, ZC = 2i, MN = 5, OK = 6, PP = 7, SE = 7*, ZD = 9, AR 8, BV = 7.

-ocr page 187-



		18a

		Fig. 104. 154. Beschrijf een vierkant, dat gelijk is aan de som van drie gegeven vierkanten. 155. Beschrijf een vierkant, dat de helft is van een gege- ven vierkant. 156. Beschrijf een vierkant, dat gelijk is aan een derde gedeelte van een gegeven vierkant. 157. Verdeel een driehoek in vier gelijke deelen, door lijnen te trekken uit één hoekpunt. 158. Verdeel een driehoek in twee gelijke deelen, door een lijn te trekken uit een gegeven punt in een der zijden. 159. Een trapezium wordt middendoor gedeeld door de lijn, die de evenwijdige zijden middendoor deelt. Bewijs dit. 160. Verdeel een driehoek in vier gelijke deelen, door lijnen te trekken uit een punt in een der zijden. § 172§ 187. . ₍ 161. Bepaal het middelpunt van een gegeven cirkel. 162. Met een gegeven lijn als straal een cirkel te beschrijven, die door twee gegeven punten gaat. 163. Bepaal de grootste en de kleinste lijn, die men uit een gegeven punt naar eenig punt van een cirkel kan trekken. 164. De kleinste koorde, die men door een punt binnen een cirkel kan trekken, wordt in dat punt middendoor gedeeld. 165. Bepaal de meetkundige plaats der toppunten van alle drie- hoeken, die een gegeven basis hebben en waarvan de lijn, die het toppunt met het midden der basis vereenigt, een gegeven lengte bezit. 166. Als twee gelijke koorden van een cirkel elkaar snijden, zijn de stukken der eene koorde gelijk aan die der andere. 167. Door een punt A buiten een cirkel, wiens middelpunt O is, trekt men een snijlijn ACD, waarvan het deel AC, dat buiten

-ocr page 188-



		184

		den cirkel ligt, gelijk is aan den straal. Bovendien wordt de mid- dellijn AOB getrokken. Bewijs, dat L COA het derde gedeelte is van L DOB. 168. De stralen, die een koorde in drie gelijke deelen verdeelen, verdeden den kleinsten boog, die door de koorde onderspannen wordt, in drie deelen, waarvan het middelste verschilt van de twee andere. Bewijs dat. 169. Door een punt, dat binnen een cirkel gegeven is, een koorde te trekken, die in dat punt middendoor gedeeld wordt. § 187§ 193. 170. Bepaal de meetkundige plaats der middelpunten van de cirkels, die een gegeven lijn in een gegeven punt raken. 171. Beschrijf een cirkel, die een gegeven lijn in een gegeven punt aanraakt en door een gegeven punt gaat. 172. Bepaal de meetkundige plaats der middelpunten van de cirkels, die een gegeven lijn aanraken en een straal van gegeven lengte hebben. 173. Bepaal de meetkundige plaats der middelpunten van alle koorden van een cirkel, die een gegeven lengte hebben. 174. Beschrijf een cirkel, die door een gegeven punt gaat, een gegeven lijn aanraakt en een straal van gegeven lengte heeft. 175. In een cirkel, wiens middellijn IL centimeters is, heeft men een koorde getrokken van 5 centimeters. Bereken den afstand van het middelpunt tot die koorde, in millimeters nauwkeurig. 176. Bepaal de kleinste lijn, die een punt van een cirkel ver- bindt met een punt van een rechte lijn, die den cirkel niet snijdt. 177. Beschrijf een cirkel, waarvan de straal gegeven is, en die twee gegeven rechte lijnen aanraakt. § 193§ 200. 178. Yan twee snijdende cirkels is de afstand der middelpunten 11, en zijn de stralen 5 en 7. Bereken de gemeenschappelijke koorde in 2 decimalen nauwkeurig.

-ocr page 189-



		185

		179. Er zijn twee cirkels gegeven, die elkaar niet snijden. Men vraagt de kortste en ook de langste lijn te bepalen, die een punt van den eenen cirkel met een punt van den anderen kan verbinden. 180. Bepaal de meetkundige plaats der middelpunten van alle cirkels, die een gegeven cirkel in een gegeven punt aanraken. 181. Beschrijf den cirkel, die een gegeven cirkel in een gegeven punt raakt en door een ander gegeven punt gaat. 182. Bepaal de meetkundige plaats der middelpunten van de cirkels, die een straal van gegeven lengte hebben en een gegeven cirkel aanraken. 183. Beschrijf een cirkel, die een gegeven lijn en een gegeven cirkel aanraakt en een straal van gegeven lengte heeft. 184. Beschrijf een cirkel, die twee gegeven cirkels aanraakt en een straal van gegeven lengte heeft. 185. Een cirkel rolt langs de buitenzijde van een anderen, wiens straal tweemaal zoo groot is. Bepaal de meetkundige plaats van het middelpunt van den rollenden cirkel. 186. Indien de afstand der middelpunten van twee cirkels aan- geduid wordt door a, hunne stralen door B en r, vraagt men den onderlingen stand der cirkels te bepalen in elk der volgende gsvallen: a = 17, R = 9, > = 8. a=14,R = 7,r = 5. a = 3, R = 7, r = 5. a = 4, R = 8, / = 4. a = 2, R = 7, ;■ = 6. a = 5, R = 5, » 5. 187. Van twee cirkels, die elkaar snijden, is de afstand der middelpunten 20 centimeter, terwijl de straten 11 en 13 centimeters zijn. Bereken den afstand van do snijpunten der twee cirkels, tot in tienden van millimeters nauwkeurig, /jj, £ : / ) § 206§ 216. 188. Hoe groot is een middelpuntshoek van een cirkel, als de boog, waarop de hoek staat, ^s/₈ is van den cirkelomtrek? 189. Hoe groot is de omtrekslioek, die op denzelfden boog staat?

-ocr page 190-



		188

		190. Bewijs, dat de hoek ABC in fig. 181 gelijk is aan de helft van den boog AGBFD. 191. Hoeveel graden moet de boog \'jjyjM^F^PjfiaB ^van ^<!inl cirkelsegment bevatten, opdat É^KH^^Ö^\'A1 ^een \'^lll(!\'^<i die \'ⁿ ⁽\'^at segment staat, IIH BI scherp of stomp /.ij \'.- jyW^&frffllrSJRÉ 192. Aan welken boog is hoek BAC gelijk, als BA een raaklijn is (zie fig. 182)? 193. Als twee evenwijdige raaklijnen aan een zelfden cirkel getrokken zijn, wordt de omtrek van dien cirkel door de raakpunten in twee gelijke deelen verdeeld. 194. Als van een zeshoek, wiens hoekpunten in den omtrek van een cirkel liggen, de eerste zijde evenwijdig loopt met de vierde en de tweede met de vijfde, dan zal ook de derde zijde even- wijdig loopen met de zesde. 195. Bepaal de meetkundige plaats der punten, die de koorden van een cirkel middendoor deelen, welke door éen zelfde punt van den cirkelomtrek gaan. 196. Evenzoo als dat punt binnen of buiten den cirkel ligt. 197. Een driehoek te beschrijven, als de basis, de tophoek en de hoogte gegeven zijn. 198. De hoek, die gevormd wordt door twee raaklijnen, welke men uit een punt buiten den cirkel aan dien cirkel kan trekken, bevat 50" 20\'. Hoeveel graden bevat elk der deelen, waarin de cirkel door de raakpunten verdeeld wordt ? 199. Verdeel een cirkelboog in vier gelijke deelen. 200. Aan een gegeven cirkel een raaklijn te trekken, die even- wijdig loopt met een gegeven lijn. 201. Aan een gegeven cirkel een raaklijn te trekken, die recht- hoekig staat op een gegeven lijn.

-ocr page 191-



		1ST

		202. Aan een gegeven cirkel een raak lijn te trekken, die een hoek van 60 graden maakt met een gegeven lijn. 203. Een driehoek te beschrijven, als gegeven zijn de basis en de loodlijnen, die men uit de uiteinden der basis op de overstaande zijden kan neerlaten. 204. Een rechte lijn te beschrijven, die door een gegeven punt gaat, en waarvan een gegeven cirkel een koorde van gegeven lengte afsnijdt. 205. Een rechte lijn te beschrijven, die raakt aan een gegeven cirkel en waarvan door een anderen gegeven cirkel een koorde van bepaalde lengte wordt afgesneden. 206. Een rechte lijn te beschrijven, waarvan twee gegeven cirkels koorden van gegeven lengten afsnijden. § 216§ 228. 207. Construeer een vierkant, dat gelijk oppervlak heeft met een gegeven rechthoek. 208. Construeer een vierkant, dat gelijk oppervlak heeft met een gegeven driehoek. 209. Als in fig. 153 gegeven zijn AD = 7, DE=z9, AB:=7,2, vraagt men te berekenen BC en AF tot in 3 decimalen. 210. Als p en q gegeven lijnen voorstellen, vraagt men een lijn x te construeeren zoo dat x = V(P°\' M 2q°)- 211. Een cirkel te beschrijven, die door twee gegeven punten gaat en een gegeven rechte lijn aanraakt. 212. Als een lijn van 9 centimeters in de uiterste en middelste reden verdeeld wordt, vraagt men de twee stukken te berekenen in honderdsten van millimeters nauwkeurig. 213. Construeer een vierkant, dat evenveel oppervlak heeft, als een gegeven trapezium. 214. Construeer een rechthoek, waarvan de zijden tot elkaar staan als \\/2 : \\/;(, indien de diagonaal gegeven is. 215. Als AB en CD elkaar snijden in P, volgt uit PAXPBz: PCX PD, dat A, B, C en D op den omtrek van een zelfden cirkel liggen.

-ocr page 192-



		188

		216. Als een driehoek met een hoek van 60" gegeven is, vraagt men een gelijkzijdigen driehoek te construeeren, die gelijk opper- vlak heeft. 217. Verander een willekeurigen driehoek in een gelijkzijdigen. 218. Als AE in tig. 159 in de uiterste en middelste reden ver- deeld wordt, is het grootste stuk gelijk aan AB. Bewijs dit. § 228§ 239. 219. Om elk gelijkbeenig trapezium kan een cirkel beschreven worden. Bewijs dit. 220. Als een trapezium in een cirkel beschreven is, is het ge- lijkbeenig. Bewijs dit. 221. Kan men een cirkel beschrijven om een parallelogram, om een ruit of om een rechthoek ? 222. Kan een cirkel beschreven worden in een scheefhoekig bngelijkzijdig parallelogram, in een ruit of in een rechthoek? 223. Van een driehoek zijn de zijden 7, 8 en 9; bereken de stralen van de in- en omgeschreven cirkels, tot in drie decimalen nauwkeurig. 224. Bereken de stralen der aangeschreven cirkels van denzelfden driehoek, met dezelfde nauwkeurigheid. 225. Als de diagonalen van een vierhoek, waarom men een cirkel kan beschrijven, rechthoekig op elkaar staan, is het opper- vlak van den vierhoek gelijk aan de halve som van do produkten der overstaande zijden. 226. Bereken den straal van den cirkel, die kan beschreven worden in een ruit, wier diagonalen 6 en 8 centimeter zijn. § 239§ 253. 227. Een veelhoek is regelmatig, als men in en om hem concen- trische cirkels kan beschrijven. 228. Is een veelhoek regelmatig, als hij in een cirkel beschreven is en zijn hoeken onderling gelijk zijn?

-ocr page 193-



		139

		229. Bereken de zijde van den ingeschreven regelmatigen twin- tighoek, als a de straal is. 230. Bereken de zijde van den omgeschreven regelmatigen vijf- hoek, als de straal 1 is. 231. Bereken den omtrek van den ingeschreven 32-hoek in twee decimalen nauwkeurig, als de straal 7 is. 232. Als B den straal voorstelt en A een zijde van een omge- schreven regelmatigen veelhoek, vraagt men een formule te bepalen voor de zijde van den ingeschreven regelmatigen veelhoek van het- zelfde aantal zijden. 233. Waaraan is de zijde van een regelmatigen veelhoek gelijk, als p zijn straal en q zijn apothema voorstelt? 234. Op een gegeven lijn als zijde een regelmatigen achthoek te beschrijven. 235. Bereken het oppervlak van een regelmatigen twaalf hoek, als zijn apothema 12 is, in twee decimalen nauwkeurig. 236. De diagonalen van een regelmatigen vijfhoek verdeelen elkaar in de uiterste en middelste reden, zoo dat hun grootste stuk gelijk is aan de zijde van den veelhoek. 237. Op een gegeven lijn als zijde een regelmatigen vijfhoek te beschrijven. § 259§ 264. 238. Van een cirkel is de middellijn 12; bereken den omtrek in 3 decimalen nauwkeurig. 239. Van een cirkel is de straal 5 centimeters; bereken den omtrek tot in millimeters nauwkeurig. 240. Van een cirkel is de omtrek 88; bereken den straal tot op een honderdste nauwkeurig. 241. De omtrek van een cirkel is 742; bereken den straal in twee decimalen nauwkeurig. 242. Hoe groot is een boog van 36 , als de straal 106 is? (In twee decimalen nauwkeurig.) 243. Hoeveel graden, minuten en seconden bevat een cirkelboog van 9 centimeters, als de straal 7 centimeters is?

-ocr page 194-



		190 § 264§ 268. 244. Hoe lang is de middellijn van een cirkel, als zijn omtrek en zijn oppervlak door hetzelfde getal worden voorgesteld? 245. Als de straal van een cirkel 7,2 is, vraagt men het opper- vlak in drie decimalen nauwkeurig. 246. Als een cirkelboog van 32 graden 5 centimeters lang is, hoe lang is dan zijn straal, in honderdsten van millimeters nauwkeurig. 247. Bereken het oppervlak van een cirkelsector, als zijn straal 7 is en zijn middelpuntshoek 25\', tot in 2 decimalen nauwkeurig. 248. Van een cirkelsector is de omtrek 25 en de middelpunts- hoek 36°. Bereken den straal in 2 decimalen. 249. Bereken het oppervlak van een cirkelsegment, welks koorde gelijk is aan den straal R. 250. Bereken het oppervlak van een cirkelsegment, welks koorde gelijk is aan de zijde van den ingeschreven regelmatigen vijfhoek.

		GEMENGDE VRAAGSTUKKEN. 251. In een gegeven driehoek een vierkant te beschrijven. 252. Een cirkel te beschrijven, die door een gegeven punt gaat en twee gegeven lijnen aanraakt. 253. De produkten der loodlijnen, die men uit een punt van een cirkel kan neerlaten op de overstaande zijden van een inge- schreven vierhoek, zijn gelijk. 254. Als twee evenwijdige lijnen door een derde gesneden wor- den, loopen de lijnen, die twee overeenkomstige hoeken middendoor deelen, evenwijdig. 255. Een cirkel te beschrijven, die een anderen cirkel in een gegeven punt aanraakt en bovendien raakt aan een gegeven rechte lijn. 256. De lijnen, die twee hoekpunten van een driehoek verbinden met de middens der overstaande zijden, verdeelen elkaar in stuk- ken, die tot elkaar staan als 1 tot 2.

-ocr page 195-



		19!

		257. De lijnen, die de drie hoekpunten van een driehoek ver- binden met de middens der overstaande zijden, gaan door éen punt. 258. In een gegeven cirkelsegment een vierkant te beschrijven. 259. Als een rechte lijn en twee punten daar buiten gegeven zijn, vraagt men in die lijn een ander punt te bepalen, zoo, dat de som van zijn afstanden tot de twee gegeven punten zoo klein mogelijk zij. 260. Yerdeel een gegeven cirkel in drie gelijke deelen door concentrische cirkels. 261. Verdeel een driehoek in vijf gelijke deelen, door lijnen te trekken, evenwijdig aan een der zijden. 262. De som der vierkanten van twee lijnen, die een willekeurig punt verbinden met twee overstaande hoekpunten van een recht- hoek, is gelijk aan de som der tweedemachten van de lijnen, die hetzelfde punt met de andere hoekpunten verbinden. Bewijs dit. 263. De lijnen, die de middens der overstaande zijden van een vierhoek vereenigen, deelen elkaar middendoor. Bewijs dit. 264. Beschrijf een driehoek, als gegeven zijn: de basis, de tophoek, en de opstaande zijden. 265. In een driehoek ABC een lijn DE te trekken, die even- wijdig loopt met AP., zoodat DE gelijk is aan AD. 266. In een driehoek ABC een lijn DE te trekken, zoo dat DE = AD BE. 267. Construeer een driehoek, waarvan de omtrek en twee hoeken gegeven zijn. 268. Twee concentrische cirkels gegeven zijnde, uit een punt in den omtrek van den grootsten cirkel een koorde te trekken, die door den kleinsten cirkel in drie gelijke deelen verdeeld wordt. 269. Door een gegeven punt een rechte lijn te trekken, zóo, dat de som der afstanden van twee andere gegeven punten tot die rechte lijn een gegeven grootte heeft, kleiner dan de afstand der twee punten en dat de twee punten aan weerszijden van die lijn liggen. 270. Beschrijf een driehoek, waarvan gegeven zijn de basis, de tophoek en het verschil der opstaande zijden.

-ocr page 196-



		192

		271. Beschrijf een vierhoek, waarvan gegeven zijn de diagonalen, de lijn, die de middens van een paar overstaande zijden verbindt, en twee aanliggende zijden. 272. Het vierkant der lijn, die het toppunt van een gelijkbee- nigen driehoek verbindt met een punt der basis, is gelijk aan het vierkant van een opstaande zijde, verminderd met het produkt der stukken, waarin de basis door genoemd punt verdeeld wordt. 273. De som der loodlijnen, die men uit een punt binnen een gelijkzijdigen driehoek kan neerlaten op de zijden, is gelijk aan de hoogte van den driehoek. 274. De loodlijnen van een driehoek deelen de hoeken midden- door van den driehoek, die ontstaat, als men de voetpunten der loodlijnen van den eersten driehoek twee aan twee vereenigt. 275. Construeer een driehoek, als de voetpunten van zijn drie loodlijnen gegeven zijn. 276. Construeer een rechthoek, die gelijk is aan een gegeven vierkant, en wiens omtrek door een gegeven rechte lijn wordt voorgesteld. 277. Construeer twee lijnen, als haar verschil en hare verhou- ding gegeven zijn. 278. Als alle zijden van een vierhoek even lang zijn, is hij een ruit of een vierkant. Bewijs dit. 279. De meetkundige plaats der middelpunten van de ingeschreven cirkels van alle driehoeken, die in een zelfde cirkelsegment staan, is een cirkelboog. Bewijs dit. 280. Beschrijf een driehoek, waarvan gegeven zijn een zijde en de stralen van den in- den omgeschreven cirkel. 281. Een cirkel en een rechte lijn gegeven zijnde, vraagt men een andere rechte lijn te construeeren, zóo dat de cirkel er een koorde van gegeven lengte afsnijdt en dat het gedeelte tusschen den cirkel en de gegeven rechte lijn een bepaalde lengte heeft. 282. Twee cirkels gegeven zijnde, een rechte lijn te construeeren, zóo dat de eene cirkel er een koorde van gegeven lengte afsnijdt, terwijl het stuk, dat tusschen de twee cirkels ligt, ook een be- paalde lengte heeft. 283. Door de uiteinden van een gegeven koorde van een cirkel

-ocr page 197-



		VJ-.i

		twee andere onderling evenwijdige koorden te trekken, wier gom gegeven is. 284. Het oppervlak van een rechthoek in 25 vierkante centi- meters en zijn omtrek 21 centimeters. Bereken de zijden in twee decimalen nauwkeurig. 285. Van een cirkelsector, wiens oppervlak gelijk is aan twee- maal het vierkant van den straal, vraagt men den boog te berekenen tot in tienden van sekonden. 286. Bepaal de meetkundige plaats der middens van alle rechte lijnen, die men uit een gegeven punt kan trekken naar de ver- schillende punten van een gegeven rechte lijn. 287. Beschrijf een cirkel, die raakt aan de stralen en den boog van een gegeven cirkelsector. 288. Als twee koorden van een cirkel elkaar rechthoekig snijden, is de som der tweedemachten van de deelen der koorden gelijk aan het vierkant der middellijn. Bewijs dit. 289. Twee cirkels hebben stralen van 7 en 4 centimeters, terwijl de afstand tusschen de twee middelpunten 13 centimeter is. Bereken de lengte van een uitwendige gemeenschappelijke raaklijn, gemeten tusschen de twee raakpunten. (In tienden van millimeters nauw- keurig). Evenzoo voor een inwendige gemeenschappelijke raaklijn. 290. Bereken bij dezelfde cirkels den afstand van een der mid- delpunten tot het snijpunt der twee uitwendige gemeenschappelijke raaklijnen. Bereken ook den afstand van het snijpunt der twee inwendige raaklijnen tot de twee middelpunten. 291. Beschrijf op de hypotenusa van een rechthoekigen driehoek een halven cirkel, die door \'t hoekpunt van den rechten hoek gaat; beschrijf ook halve cirkels op de rechthoekszijden naar de buiten- zijde van den driehoek; dan ontstaan twee figuren in den vorm van halve manen. Bewijs, dat de som der oppervlakken van die twee figuren gelijk is aan het oppervlak van den driehoek. 292. Als een cirkel rolt langs de binnenzijde van een anderen, wiens straal tweemaal zoo groot is, dan beschrijft een punt van den eersten cirkelomtrek een rechte lijn. Bewijs dit. Opmerking. Daar het middelpunt van de bewegende kromme lijn een cirkelomtrek doorloopt, terwijl een van hare punten J. versluys, Vlakke Meetkunde. 8e druk. 13

-ocr page 198-



		194

		een rechte lijn beschrijft, zoo kan de voorgaande eigenschap toegepast worden, om een cirkelvormige beweging te ver- anderen in een rechtlijnig heen- en weergaande. 293. In een driehoek is een vierkant beschreven. De zijde van den driehoek, langs welke een zijde van \'t vierkant valt, is 33 centimeters, en de lood lijn op die zijde van den driehoek neerge- laten is 27 centimeters. Bereken de zijde van het vierkant. 294. De som der tweedemachten van de diagonalen van een parallelogram is gelijk aan de som der tweedemachten van de zijden. 295. De lijn, die de middens der diagonalen van een trapezium verbindt, is gelijk aan \'t halve verschil der evenwijdige zijden. 296. Als men uit het toppunt van een driehoek een loodlijn neerlaat op de basis, wordt deze in twee deelen verdeeld, zóo dat het verschil dier deelen staat tot het verschil der opstaande zijden, als de som der opstaande zijden tot de basis. 297. Een punt doorloopt een rechte lijn, als het zich zoo be- weegt, dat het verschil der vierkanten van de afstanden van dat punt tot twee gegeven punten niet verandert. (Opgelost in Methoden, § 58). 298. Beschrijf een vierhoek, waarvan gegeven zijn een diagonaal, de lijnen, die de middens van elk paar overstaande zijden verbin- den, en twee aanliggende zijden. (Opgelost in Methoden, § 60) 299. De meetkundige plaats der middelpunten van de cirkels, die de omtrekken van twee gegeven cirkels middendoor deelen, is een rechte lijn. 300. Beschrijf een cirkel, die de omtrekken van drie gegeven cirkels middendoor deelt.

-ocr page 199-



		INHOUD.

		Blz. Inloiding.................... 5 Lijnen.................... 7 Vlakken.................... 9 De cirkel................... 11 Hoeken.................... 12 Evenwijdige lijnen................ 16 Eenvoudigste eigenschappen van den driehoek...... 23 Gelijk- en gelijkvormigheid der driehoeken....... 28 Toepassingen van de eenvoudigste eigenschappen van de gelijk- en gelijkvormigheid der driehoeken . \'....... 32 "Werkstukken.................. 38 De eenvoudigste eigenschappen der veelhoeken...... 47 Parallelogram en trapezium............. 51

		Gelijk- en gelijkvormigheid der veelhoeken....... 57 Verhouding................... 62 Evenredigheid van lijnen.............. 65 Werkstukken.................. 69 Gelijkvormigheid der driehoeken........... 72 De limieten en de bewerkingen met onmeetbare getallen. . . 76 Betrekkingen tusschen lijnen in een driehoek...... 82

-ocr page 200-



		Blz. Gelijkvormigheid der veelhoeken...........86 Werkstukken............. ... 92

		Vergelijken der oppervlakken van parallelogramiiieu en drie- hoeken ................... 94 Het berekenen der oppervlakken........... 98 Vergelijken van oppervlakken............ 10U Werkstukken................. 103

		De eenvoudige eigenschappen van den cirkel...... 105 Onderlinge ligging van een cirkel en een rechte lijn. . . . 113 Onderlinge ligging van twee cirkels......... 116 Over het meten van hoeken door middel van cirkelbogen . . 121 Werkstukken................. 128 Evenredige lijnen bij den cirkel........... 133 Werkstukken................. 135 Veelhoeken beschreven in of om een cirkel....... 140 Regelmatige veelhoeken.............. 147 Werkstukken en berekeningen........... 151 De methode der limieten.............. 158 Over de lengte van den cirkelomtrek......... 160 Het oppervlak van den cirkel en van deelen van den cirkel . 167

		Vraagstukken............. ... 171 Gemengde vraagstukken..............190