■£*. t?/. t _

E I N ]) li X A M E N S

DKR

HOOGEHE Bl IKiEliSCHOLI^N

I H ( gt; o ! H D i.

V-KUZAMELmii DEI* gt;S(\'11 h\'IITELM K E \\ |{A(iEN

.\\AN(ii:i.i:(ii) HOOK

Dr. V. A. JULIUS

VOOHTO UZKÏ DOOi:

Dr. J. D. VAN DER PLAATS.

VIJFDE, HERZIENE EN VERMEERDERDE DRUK.

■ f. HMI.KV\'ELl).

Oct

■

RIJKSUNIVERSITEIT UTRECHT

1405 6596

EINDEXAMENS

DER

HOOGERE BURGERSCHOLEN.

1805 — 3 801.

)

VERZAMELING DER SCHRIFTELIJKE VRAGEN,

AANGKLKüD DOOR

Dr. V. A. JULIUS,

VOOKTGltZKT DOOH

Dr. J. D. VAN DER PLAATS.

J. lll.l [JEVELD. -

dNKLP FiRSPUUK VAN II. C. A. THIKMK TK i\\^-IJ.M fOEN.

VOORBERICHT VA.N DE EERSTE EN TWEEDE UITGAVE.

Ik had deze verzameling volledig gewenscht. Het is mij evenwel niet gelukt de vragen van het eindexamen Limburg 1866 machtig te worden; zij schijnen door niemand bewaard te zijn.

Mijne pogingen om ook de vragen der Delftsche examens „Aquot; 1865—66 bijeen te brengen, hadden in den aanvang geen beteren uitslag. Slechts een klein deel van hetgeen ik verlangde, kwam mij in handen. Maar toen reeds het grootste gedeelte van deze verzameling ajgedrukt ivas, werd ik door de welwillendheid van den president der toenmalige commissies in staat gesteld aan te vullen, wat nog ontbrak. Men vindt die vragen daarom afzonderlijk geplaatst.

De stukken in 1865 — 67 ter verbetering of ter vertaling opgegeven, heb ik gemeend te kunnen tveglaten.

Ten slotte zijn nog toegevoegd de vragen van de eindexamens in de jaren 1874, 1875 en 1876.

Voor het geval dat leerlingen der hoogere burgerscholen in deze verzameling belang stellen, heb ik de vragen, die er zich toe lecnen, van antwoorden voorzien.

V. A, J.

VOORBERICHT VOOR DE DERDE UITGAVE.

JDe Heer Julius was verhinderd deze nieuwe uitgave gereed te maken. Ik heb die taak op mij genomen, en het werk voortgezet op dezelfde wijze, als het was aangelegd. Het geheel is zooveel mogelijk herzien.

Be vragen van 1874—1880 zijn bij de vroegere ingedeeld. De Delftsche examens blijven a/zonderli/k geplaatst, omdat zij eene afzonderlijke groep vormen.

In 1866 en 1867 gaf iedere Provinciale Commissie hare eigene vragen\', sedert 1868 worden jaarlijks door het Ministerie van Binnenlandsche Zaken aan eiken examinandus dezelfde vragen gedrukt ter hand gesteld.

Het is mij evenmin als den Heer Julius geluld, de vragen 1866 Limburg op te sporen. Zij ontbreken ook in het Verslag van dat Eindexamen in de Staatscourant van 2 en 3 December 1866.

Nu dit bock compleet is tot en met de Eindexamens van 1880, zal deze nieuwe druk voorzeker niet minder dan de vorige zijn weg vinden.

September 1880. J. D. v. d. P.

VOORBERICHT VOOR DEiV VIJFDEN DRUK.

Ue derde druk is verschenen in October 1884 en de Vierde in September 1888, terwijl in 1882, 1886 en 1890 Supplementen werden uitgegeven, die de vragen uit de jaren 1881/2, 1885/6, en 1889190 bevatten.

De Bepalingen betreffende -de eindexamens zijn in 1884 voor de eerste maal opgenomen.

De vijfde druk loopt over de jaren 1865 tot en met 1891, en is overigens geheel overeenkomstig den vierden druk.

Utrecht, September 1891.

BEPALINGEN BETREFFENDE DE EINDEXAMENS.

I. Wet tot Regeling van het Middelbaar Onderwijs, van 3 Mei 1863, (Staatsblad No. 50.)

Art. 17. Aan de hoogere burgerscholen met vijfjarigen cursus wordt onderwijs gegeven in:

a. de wiskunde;

b. de beginselen van de theoretische en toegepaste mechanica, van de kennis van werktuigen en van de technologie;

c. de natuurkunde en hare voornaamste toepassingen ;

d. de scheikunde en hare voornaamste toepassingen ;

e. de beginselen der delfstof-, aard-, plant- en dierkunde;

f. die der kosmographie;

g. de gronden van de gemeente-, provinciale en Staatsinrigting van Nederland;; li. staathuishoudkunde en de statistiek, inzonderheid van Nederland eu van

zijne koloniën en bezittingen in andere werelddeelen ; i. de aardrijkskunde ;

k. de geschiedenis ;

l. de nederlandsche taal en letterkunde;

m. de fransche taal en letterkunde;

n. de engelsche taal en letterkunde;

o. de hoogduitsche taal eu letterkunde;

p. de beginselen der haadelswetenschappen, daaronder die der warenkennis

en het boekhouden ;

q. het schoonschrijven ;

r. het hand- en regtlijnig teekenen ;

s. de gymnastiek.

Art. 55. Aan hen, die aan eene hoogere burgerschool met vijfjarigen cursus het onderwijs hebben bijgewoond, wordt eenmaal \'sjaars gelegenheid gegeven om ten gevolge van een examen een getuigschrift of een diploma te verkrijgen.

O

Tot die examens wordeu ook toegelaten zij, die het onderwijs aan die scholen niet hebben bijgewoond.

De examens worden in het openbaar gehouden.

Art. 57. De eindexamens voor de hoogere burgerscholen met vijfjarigen cursus worden afgenomen door comtnissien, jaarlijks te benoemen door Onzen Commissaris in iedere provincie, waar zoodanige scholen aanwezig zijn.

De leden genieten uit \'s Rijks schatkist vergoeding voor reis- en verblijfkosten, benevens vacatiegelden.

Het eindexamen voor de hoogere burgerscholen betreft de vakken, vermeld onder a~p en r van art. 17.

Art. CG. Wanneer een der in de voorgaande artikelen vermelde examens naar genoegen der commissie is afgelegd, wordt door haar aan den geëxamineerde een getuigschrift of een diploma afgegeven, volgens het model door Onzen Minister van Binnenlandsche Zaken vastgesteld.

Getuigschriften wordeu afgegeven voor goed volbrachte eindexamens der hoogere burgerscholen.

De getuigschriften worden kosteloos afgegeven.

Art. C7ö. De commissien, bedoeld in art. 57, zenden een verslag van hare werkzaamheden aan Onzen Commissaris in de provincie, en een afschrift aan den inspecteur of de inspecteurs met het toezicht op de hoogere burgerscholen belast.

II. ALGEMEEN REGLEMENT \') voor de eindexamens der hoogere burgerscholen, vastgesteld bij Kon.

Besluit van 10 Maart 1870 (Stbl. No. 49), gewijzigd bij Besluiten van 10 Maart 1883 (Stbl. No. 31) en 22 Maart 1885 (Stbl. No. 73).

Art. 1. De eindexamens der hoogere burgerscholen worden in de provinciën, waar openbare hoogere burgerscholen met vijfjarigen cursus aanwezig zijn, afgenomen bij het einde van den cursus, in den loop der maanden Junij, Julij en zoo noodig Augustus.

Art. 2. De Commissarissen des Konings benoemen de examen comtnissien vóór den l^sU\'quot; Mei en wijzen te gelijker tijd de gemeente aan, waar het examen zal worden gehouden.

Van die benoeming en aanwijzing doen zij aanstonds mededeeling aan den

\') In Mei 1868 gaf do Minister een „Voorschrift betrekkGlijk hot oindoxarnen der H. B. S.\'\', en in 1809 oen „Ontwerp van algemeen Keglementquot;. Hot K. B. van 10 Maart 1870 is bijna eensluidend met deze vroegere regelingen. De wijziging van 1883 betrof artt. 1, 2n, 6, ü/», 9, 19 en 216. In 1885 werd letter K van liet programma gewijzigd.

7

Minister van^Biniienlanrlsche Zaken en aan den inspecteur van het middelbaar onderwijs in de provincie.

Art. 3. De voorzitter[der commissie wordt door den Commissaris des Konings aangewezen.

De commissie benoemt een barer leden tot haren secretaris.

Art. 4. Het examen wordt schriftelijk en mondeling afgenomen.

De omvang der kennis, die in elk vak van de kandidaten kan worden gevorderd, is aangewezen in het als bijlage bij dit reglement gevoegde Programma.

Art. 5. Het schriftelijk examen heeft plaats aan de hoogere burgerscholen, het mondeling onderzoek \') in de gemeente, door den Commissaris des Konings krachtens artikel 3 aangewezen.

Art. 6. De voorzitters der commissien doen terstond na hunne benoeming, in eenige dagbladen naar hunne keuze, oproepingen plaatsen waarbij zij, die het eindexamen in de provincie wenschen af te leggen, worden verzocht zich schriftelijk bij hen aan te melden, met opgave van de school, aan welke zij onderwijs ontvangen, en, zoo zij geen leerlingen eener hoogere burgerschool zijn, met aanwijzing van de hoogere burgerschool, aan welke zij het schriftelijk examen wenschen af te leggen.

De voorzitters zenden vóór den 20^8ten Mei aan den inspecteur van het middelbaar onderwijs in de provincie eene lijst der kandidaten, met aanwijzing der school, aan welke elk hunner het schriftelijk examen zal afleggen.

Art. 7. Het schriftelijk examen omvat de volgende vakken :

\') Vóór 1883 had het examen in handteekenen plaats tegelijk met het mondeling onderzoek, en mochten beide te zamen vier dagen duren (zie art. 19).

8

B. natuurkundige wetenschappen (vak c, d, e en ƒ van art. 17 der wet)»

C. geschiedkundige, Staats- en handelswetenschappen (vak g, h, i, k ea p van art. 17 der wet) ;

D. taal en letterkunde (vak l, m, n ea o van art. 17 der wet);

E. hand- en regtlijnig teekenen (vak r van art. 17 der wet).

Een zelfde lid der commissie kan in verschillende sub-comraissien zitting hebben.

Voor ieder vak of onderdeel daarvan wordt één lid meer bepaald aangewezen als examinator, die zich belast met het nazien van het daarvoor gemaakte schriftelijk werk en het afnemen van het mondeling examen; een tweede lid om eveneens het schriftelijk werk na te zien en bij het mondeling examen tegenwoordig te zijn

De leden van elke sub-commissie treden onderling in overleg, zoowel aangaande den duur en de uitgebreidheid van het mondeling examen in alle tot de afdeeling behoorende vakken, ■ als omtrent de daarbij te volgen wijze van ondervragen en beoordeelen.

Art. 9. In dezelfde of in eene volgende bijeenkomst der commissie worden door de leden opgemaakte opgaven voor het schriftelijk werk in de onderscheidene vakken van het examen besproken en vastgesteld. Deze worden vóór den 20^8ten Mei, met de noodige toelichting, en voor zooveel de voorgestelde vraagstukken betreft, vergezeld van de oplossing, gezonden aan den inspecteur van het onderwijs in de provincie.

Art. 10. Het schriftelijk examen wordt ieder jaar door den Minister van Binnenlandsche Zaken, op voordracht van de inspecteurs van het middelbaar onderwijs, zoodanig geregeld, dat alle kandidaten op denzelfden dag het schriftelijk werk voor hetzelfde vak verrichten.

De dagen, waarop het schriftelijk examen plaats heeft, en de duur van elk examen worden door de inspecteurs medegedeeld aan de voorzitters der examen-commissien, aan de directeuren der hoogere burgerscholen, aan welke het schriftelijk werk wordt gemaakt, en aan de plaatselijke commissien, met het toezicht op die scholen belast.

De vooratters der examen-commissien geven daarvan kennis aan de kandidaten.

Art. 11. De inspecteurs doen, in eene daarvoor bestemde bijeenkomst, eene keus uit de hun door de voorzitters der examen-commissien toegezonden opgaven voor schriftelijk werk. Zij kunnen zich daarbij doen voorlichten door leden dier commissien of door leeraren der hoogere burgerscholen. Voor die vakken, waarin een opstel wordt gevorderd, zorgen zij, dat den kandidaten de keus tusschen verschillende onderwerpen wordt gelaten.

Deze opgaven worden, met de vereischte zorg voor geheimhouding, op Rijkskosten gedrukt.

Art, 12, De inspecteurs zenden aan de directeuren der hoogere burgerscho-

9

ien, aan welke het schriftelijk examen zal plaats hebben, eene lijst der kandidaten, die daaraan zullen deelnemen, alsmede in verzegelde pakketten de noodige exemplaren der in het voorgaande artikel vermelde gedrukte opgaven. Op die pakketten zijn uitgedrukt: het vak, tot hetwelk de opgaven behooren, de dag waarop zij moeten worden gebruikt, en de tijd, die voor het werk beschikbaar is gesteld.

De pakketten worden in tegenwoordigheid der kandidaten geopend bij den aanvang van het schriftelijk werk in elk vak.

Art. 13. De kandidaten maken het schriftelijk werk onder het toezigt van den directeur en de leeraren der hoogere burgerschool, met dien verstande, dat steeds in elk locaal, waar dit werk gemaakt wordt, of twee leeraren of de directeur en een leeraar tegenwoordig zijn.

Pauzeringen worden den kandidaten niet toegestaan, behalve bij het examen in het teekenen.

Het gebruik van boeken, met uitzondering van logarithmentafels, is verboden.

Kandidaten, die zich aan eenig bedrog bij het schriftelijk examen schuldig maken, worden niet verder tot het examen toegelaten. ^l)

Van ieder schriftelijk examen wordt door hen, die daarbij het toezigt hebben uitgeoefend, een proces-verbaal opgemaakt. Aan de directeuren worden de daarvoor noodige gedrukte exemplaren door of van wege den Minister van Binnen-landsche Zaken toegezonden.

Art. 14. lederen dag wordt het door de kandidaten gemaakte werk, met een exemplaar der gedrukte opgave en het proces-verbaal van het examen, door den directeur der school gezonden aan den voorzitter der examen-commissie, die het vervolgens toezendt aan het lid of de leden, meer bepaald met het examen in dat vak belast.

Art. 15. Na afloop van het geheele schriftelijk examen zenden de inspecteurs, door tusschenkomst van de voorzitters der commissien, aan ieder lid een volledig stel der opgaven voor het schriftelijk werk.

Art. 16. Indien een kandidaat door behoorlijk bewezen ongesteldheid of om andere wettige reden, ter beoordeeling van den voorzitter der commissie, verhinderd is om bij het schriftelijk examen in eenig vak tegenwoordig te zijn, dan wordt hem nog tijdens de mondelinge examens gelegenheid tot het maken van schriftelijk werk onder toezigt der commissie zelve gegeven. De opgaven voor zoodanig werk stelt de commissie vast, daarbij zorgende, dat deze niet dezelfde zijn als de aan de andere kandidaten voorgestelde, maar zooveel mogelijk van gelijken omvang en rooeielijkheid.

\') Bedrog pleegt ook hij, die aan een anderen kandidaat de middelen tot bedrog verschaft.

10

Art. 17. Een mondeling examen moet worden afgenomen in alle krachtens de wet tot het examen behoorende vakken, waarvoor geen schriftelijk werk is gemaakt. Voor die, waarin schriftelijk examen is afgelegd, beslist de commissie of dit al dan niet ook mondeling zal geschieden.

Art. 18. De commissie stelt den dag vast, waarop met het mondeling examen in de provincie een aanvang zal worden gemaakt. Het kan echter niet aanvangen dan na den geheelen afloop van het schriftelijk examen.

De regeling der mondelinge examens geschiedt door den voorzitter, met inachtneming van het in het volgende artikel voorgeschrevene.

Art. 19. Het mondeling examen loopt voor iederen kandidaat binnen drie dagen ten einde. De commissie beslist, hoeveel tijd voor het examen van iederen kandidaat in elk vak beschikbaar zal worden gesteld. Daarbij is te zorgen, dat de mondelinge examens in alle vakken te zamen voor iederen kandidaat niet langer duren dan drie uren daags.

Des avonds wordt geen mondeling examen gehouden.

Elke kandidaat wordt afzonderlijk ondervraagd.

Art. 20. De voorzitter geeft aan de kandidaten tijdig kennis van den tijd en de plaats, waar het mondeling examen zal worden afgenomen.

Hij noodigt de plaatselijke commissie van toezigt op het middelbaar onderwijs in de gemeente, waar die examens gehouden worden, ter bijwoning uit.

Art. 21. Voor de beslissing omtrent de toelating der kandidaten worden de vakken, waarover het examen zich uitstrekt, verdeeld in de vijf\' afdeelingen, die in art. 8 zijn aangewezen.

Onverminderd het bepaalde in de laatste twee alinea\'s van art, 8, nemen de leden der sub-commissien zooveel mogelijk kennis van het schriftelijk werk in alle tot hunne afdeeling behoorende vakken, en wonen zij zooveel mogelijk de mondelijke examens in al die vakken bij.

Art. 22. Het is aan de sub-commissieu geheel vrijgelaten, op welke wijze zij tot een oordeel over de kennis van de kandidaten in eenig vak of in elke der in art, 8 genoemde afdeelingen willen geraken. ¹)

Het eindoordeel over de kennis der kandidaten in elk dier afdeelingen wordt, na onderling overleg tusschen de leden der sub-commissie, uitgedrukt door een der cijfers van 1 tot 10, aan welke de volgende beteekenis is te hechten:

10, uitmuntend;

9, zeer goed ;

8, goed;

7, ruim voldoende;

Ö, voldoende ;

ö, even voldoende;

*) Dc Subcommissie E. kan b.v. hot oordeel van een deskundige over de teekeningen inroepen.

11

4. onvoklnenrle ;

3, gering;

2, slecht;

1, zeer slecht.

De aldus toegekende cijfers worden op daartoe bestemde tabellen ingevuld en maken den grondslag uit voor de beslissing der commissie omtrent den uitslag van het examen.

Art. 23. Is aan eenen kandidaat voor elke der vijf afdeelingen het cijfer 5 of\' hooger toegekend, dan wordt hem het getuigschrift wegens voldoend afgelegd examen uitgereikt.

Heeft hij voor eene of meer dier afdeelingen het cijfer 4 of lager verkregen, dan wordt door de commissie over zijne toelating beraadslaagd en, zoo noodig, bij meerderheid van stemmen beslist. Bij staking der stemmen is de kandidaat toegelaten.

Is uithoofde van het groote getal der kandidaten splitsing in op elkander volgende reeksen noodig, dau heeft de definitieve beslissing over allen eerst plaats na afloop van het examen der laatste reeks.

De uitslag wordt aan de kandidaten zoo spoedig mogelijk schriftelijk medegedeeld.

Art. 24. Zoowel de afgewezen kandidaten als zij. wier examen voldoende is geweest, ontvangen van de examen-cornmissien mededeeling van de hun voor iedere afdeeling en zoo mogelijk voor ieder vak toegekende cijfers.

III. PROGRAMMA, volgens art. 4 van het Algemeen Reglement. (Gewijzigd bij K. B. van 22 Maart 1885,

Stbl. No. 73.)

Daar het eindexamen der hoogere burgerscholen moet dienen om te onderzoeken, of de jongelieden, die zich daartoe aanmelden, niet vrucht den vijfjarigen cursus eener hoogere burgerschool hebben gevolgd, of een daarmede gelijkstaand onderricht hebben genoten, behoort bij dit onderzoek het hoofddoel der hoogere burgerschool, de vorming van ontwikkelde jongelieden, toegerust met de kundigheden, die de hedendaagsche maatschappij in elk beschaafd man eischt, op den voorgrond te staan. De kandidaten moeten dus bewijzen kunnen geven, dat zij door degelijke studie een voldoenden grondslag hebben gelegd voor de speciale voorbereiding tot elk bedrijf of ambt, en door veelzijdige oefening van het verstand in staat gesteld zijn om met oordeel partij te trekken van de ervaringen, die het praktische leven hun zal aanbieden.

Bij het examen is daarom meer te eischen van het verstand dan van het geheugen; het moet meer de strekking henben om te ontdekken, wat de kandi-

12

daten weten en tot welke mate van inzigt hunne studie heeft geleid, dan om de leemten op te zoeken, die in zaken van ondergeschikt belang hunne kennis verraadt. Een grondige en degelijke kennis van hoofdzaken kan ten aanzien van de wis- en natuurkundige wetenschappen, aardrijkskunde, wereldgeschiedenis, geschiedenis der letterkunde, staathuishoudkunde en staatsinrigtiug voldoende worden geacht. De grenzen, die voor elk dezer vakken behooren te worden gesteld, en de eischen, welke ten aanzien van de kennis der talen en van het teekenen als billijk mogen worden beschouwd, worden hieronder opgegeven.

A. De wiskunde.

In de relcmlcunde en gewone stelkunde behoort de kandidaat voldoende kennis en oefening te bezitten om met vaardigheid en oordeel de onderscheidene leerwijzen toe te passen op vraagstukken, die zonder zoogenaamde kunstgrepen kunnen worden opgelost. Hij behoort de door hem toegepaste leerwijze te kunnen verklaren en zijne berekening, wanneer slechts eene benadering mogelijk is of verlangd wordt, naar den vereischten graad van nauwkeurigheid te kunnen inrigten. Oefening in het gebruik van logarithmen wordt inzonderheid vereischt. De reken- en meetkundige reeksen, de beginselen van de leer der rekenkundige reeksen van hoogere orde, de onbepaalde en exponentiele vergelijkingen en het bi-nomium van Newton worden geacht nog tot de gewone stelkunde te behooren.

De in meetkunde gevorderde kennis strekt zich uit tot de inhoudsvindiug van de veelvlakkige ligchamen, van den cilinder, den kegel en den bol, de geometrische eigenschappen van den bolvormigen driehoek en de leerstukken van de meetkunde der ruimte en van het platte vak, die hieraan voorafgaan.

De kandidaat heeft het bewijs te leveren, dat hij een duidelijk begrip heeft van de eischen van een wiskundig betoog en van het onderlinge verband der onderscheidene leerstukken.

Eenige kennis van de harmonische snijding, de transversalen en de gelijk-vormigheidspunten strekt tot aanbeveling.

Tot de goniometrie en de trigonometrie worden geacht te behooren de oplossing van eenvoudige goniometrische vergelijkingen en de toepassing der vlakke trigonometrie op eenvoudige vraagstukken der werkdadige meetkunde.

De kennis der beschrijvende meetkunde behoort zich uit te strekken tot aan de gebogene oppervlakken.

B. De beginselen van de theoretische en toegepaste

mechanica, van de kennis van werktuigen en van de technologie.

Door theoretische eu toegepaste mechanica is te verstaan de kennis der wetten van evenwigt en beweging van vaste ligchamen, vloeistoffen eu gassen en van

13

hare toepassing op werktuigen. De kandidaat behoort de evenwigtsvergelijking te kunnen opmaken van de enkelvoudige eu van eenige zaraengestelde werktuigen (windas, takel, bok), met inachtneming der wrijving, eu het beginsel der virtuele snelheden te kunnen toepassen op het evenwigt van werktuigen zonder wrijving. Hij behoort bekend te zijn met de leer van de koppels, van het zwaartepunt en van de stabiliteit. De wetten der beweging van vaste ligchamen, hierboven vermeld, omvatten die der eenparig versnelde beweging, dealgemeene eigenschappen der kromlijnige beweging (middelpuntvliedingskracht), de wetten van den slinger, de beweging om eene vaste as, de botsing en de leer van het behoud van arbeidsvermogen. De leer van het evenwigt en de beweging van vloeistoffen en gassen bepaalt zich tot de wetten der drukking van vloeistoffen en gassen tegen de wanden der vaten, waarin zij besloten zijn, eu op ingedompelde ligchamen, en tot die van de uitstrooming door nauwe openingen.

Bij het examen in de kennis van werktuigen en de technologie behoort geëischt te worden, dat de kandidaat bekend zij met de voornaamste mechanische hulpmiddelen tot het overbrengen en veranderen van beweging, met enkele der voornaamste werktuigen, welke dienen om de beweegkracht van wind, water en stoom aan te wenden, alsmede met de wijze, waarop de mechanische eu scheikundige verwerking van enkele der meest voorkomende stoffen, zooals metalen, glas, aardewerk, vezelstoffen, wol, papier, vetten, zeep en lichtgas, geschiedt.

C. De natuurkunde en hare voornaamste toepassingen.

Dit examen omvat de proefondervindelijke natuurkunde en de belangrijkste toepassingen, die in het dagelijksch leven en de nijverheid voorkomen. De kandidaat behoort bekend te zijn met de voornaamste natuurkundige methoden, welke dienen tot het opsporen der natuurwetten en tot de bepaling der standvastige grootheden, en de wiskundige uitdrukking dier wetten te kunnen toepassen op eenvoudige vraagstukken.

Inzonderheid is gewigt te hechten aan een juist begrip van het verband der verschillende natuurkrachten, meer dan aan eene uitvoerige kennis van bijzonderheden. Zoo is van interferentie en polarisatie van licht en warmtestralen niet meer te vragen, dan voor eeu kort begrip van de undulatie-theorie en het betoog van de identiteit van licht- en warmtestralen noodig is.

D. De scheikunde en hare voornaamste toepassingen.

Het examen in scheikunde omvat de anorganische scheikunde en de hoofdpunten der organische. De kandidaten zijn vrij in de keuze tusschen de oude en nieuwe voorstellingswijze vüu scheikundige verbindingen.

14

Eenige praktische bedrevenheid in de qualitatieve ontleding van anorganische verbindingen strekt tot aanbeveling.

E. De beginselen van delfstof-, aard-, plant- en dierkunde.

Het examen in delfstof- en aardkunde omvat de voornaamste vormen der kristalstelsels, de algemeene kenmerken der mineralen, enkele der voor de aardkunde en nijverheid meest belangrijke delfstoffen; de hoofdtijdperken van de geschiedenis der aardkorst, hunne kenmerken vooral ten aanzien van de versteeningen, en de hoofdtrekken van de geologie van Nederland.

Het examen \\n plantkunde handelt hoofdzakelijk over de organographie en het stelsel van Linné, dat in dierkunde over het zamenstel der dieren en de kenmerken, waarop hunne verdeeling in hoofdvormen en klassen rust. Eenige kennis van het zamenstel en de levensverrigtingen van de onderscheidene deelen der plant en van de levensverrigtingen in het dierlijk ligchaam, alsmede eene meer uitgebreide door eigen aanschouwing verkregen kennis van eene of meer der natuurlijke plantenfarailien, of van eene of meer klassen uit het dierenrijk, strekken tot aanbeveling.

Bij het examen wordt zooveel mogelijk gebruikgemaakt van natuur-voorwerpen.

P. De beginselen der Icosmographie.

Het examen in de kosmographie strekt zich uit over de gedaante en de afmetingen der aarde, de wijze, waarop deze bepaald worden, de plaatsbepaling op hare oppervlakte en aan den hemel, de verschijnselen ontstaande door de asbeweging der aarde, door de beweging zoowel van de aarde als van de planeten om de zon, en door beweging der wachters ; de bewegingswetten en de algemeene aantrekkingskracht; eenige kennis van de kometen, alsmede van de vaste sterren, voor zooveel betreft de bepaling van haren afstand en hare eigen beweging, de nevelvlekkeu en den melkweg.

GK De gronden van de gemeente-, provinciale- en Staatsinrichting van Nederland.

Bij dit exatuen is hoofdzakelijk kennis te eischeu van de inrichting van het bestuur van het Rijk, de provinciën en gemeenle.n, zooals dit door de grondwet, de provinciale wet, de gemeentewet en eenige andere organieke wetten is geregeld, en van de onderlinge verhouding der onderscheidene staatsmagteu in Nederland, alsmede een kort overzigt van de zamenstelling van het bestuur in de koloniën en bezittingen van Nederland in andere werelddeelen.

15

H. De staathuishoudkunde en de statistiek, inzonder

heid van Nederland en van zijne koloniën en bezittingen in andere werelddeelm.

Het examen in staathuishoudkunde omvat de hoofdbeginselen der leer van de voortbrenging, de verdeeling, den omloop, de ruil en het verbruik der maatschappelijke goederen, van den invloed der Regeeriug op de volkswelvaart, van belastingen en van publieke schuld, van vrij verkeer en de beperking daarvan.

Het examen in de statistiek bepale zich tot hare hulpbronnen, inzonderheid voor de statistiek van Nederland, en tot een beknopt overzigt van den toestand van landbouw, nijverheid, handel en financien in ons vaderland en in Nederlandsch Indie; veel kennis van cijfers is niet daarbij te vorderen.

I. De aardrijkskunde.

Het wiskundig gedeelte der aardrijkskunde is reeds hiervóór bij de kosrao-graphie vermeld. Met natuurkundige aardrijksbeschrijving behoort de kennis van klimaten, zeestroomingen, heerschende winden, de verspreiding van plauteui dieren en menschenrassen over de oppervlakte der aarde verbonden te worden.

Het examen omvat verder een algemeen overzigt van de politische verdeeling der werelddeelen, de grenzen en de natuurlijke gesteldheid, de staatsregeling, de nijverheid, de handelsbetrekkingen der voornaamste Staten, vooral uitvoerig ten aanzien van Nederland en zijne koloniën en overzeesclie bezittingen.

K. De geschiedeuis.

Bij het examen in geschiedenis wordt eenige keunis der oude en middel-eeuwsche en meer uitgebreide kennis der nieuwe geschiedenis vereisoht. Het karakter van de hoofdtijdvakken en het kenmerkende van den toestand van de verschillende volkeren in elk tijdvak trede daarbij op den voorgrond.

Bij de kennis van de geschiedenis van Nederland, ook in betrekking tot andere Europeesche Staten, en van de regeeringsvormen, die in ons vaderland aan den tegen woord igen tijd zijn voorafgegaan, voege zich die van het ontstaan en van de ontwikkeling der Nederlandsche koloniën.

L. De Nederlandsche taal en letterkunde.

Zoowel bij het schriftelijk als bij het mondeling examen heeft de kandidaat te toonen, dat hij bij grondige kennis van de Nederlandsche taal en van hare spelling, spraakkunst en stijl, vaardigheid bezit om zich nauwkeurig en duidelijk in beschaafd nederlandsch uit te drukken.

10

Het examen iu letterkunde omvat de hoofdtrekkeu van de geschiedenis der Nederlandsehe letterkunde en de kennis van enkele van hare voornaamste voortbrengselen, meer bijzonder in de 17de, 18de en 19de eeuw.

M, N, O. De Fransche, Engelsche en Hooyduitsche taal en letterkunde.

Uit schriftelijke opstellen over eenig opgegeven onderwerp moet blijken, dat de kandidaat zich zonder grove fouten tegen de regelen der spraakkunst, van de Fransche, Engelsche en lloogduitsche taal bedienen kan. Bij het mondeling onderzoek mag geeischt worden, dat de kandidaat zich in de vreemde taal redelijk wete uit te drukken en van de toepassing der taalregels behoorlijk rekenschap wete te geven.

Het onderzoek in letterkunde bepale zich tot de hoofdtijdvakken der letterkundige geschiedenis en enkele der voornaamste voortbrengselen der letterkunde, inzonderheid van dat tijdvak, waarin do letterkunde bijzonder heeft gebloeid, en van den laatsten tijd.

P. De beginselen der handelswetenschappen, daaronder die der \'Warenkennis en het boekhouden.

De kandidaat behoort eenige kennis te toonen van de afkomst, bereidingswijze, soorten, hoofdkenmerken en de meest voorkomende vervalschingen van enkele handelswaren, belangrijk door de toepassing, die zij in het dagelijksch leven of in de nijverheid vinden.

In het dubbel of Italiaausch boekhouden behoort hij genoegzaam ervaren te zijn om eenige memoriaalposten in journaal over te kunnen brengen, en eene proefbalans en eene balans op te kunnen maken. Daarbij is eenige kennis te eischen van de voornaamste berekeningen, die bij het boekhouden te pas komen, en van handelspapier met de daaruit voortvloeiende verpligtingen.

R. Het hand- en rechtlijnig teekenen.

De candidaat moet vaardigiieid bezitten:

a. in het teekenen van eene niet te ingewikkelde vlakversiering naar plaat;

b. in het schetsen en schaduwen naar de natuur van eenvoudige voorwerpen en van een eenvoudig reliefornament; en

c. in het op verkleinde schaal projecteeren en zuiver iu teekeuing brengen

van een eenvoudig voorwerp.

Voor het schetsen en schaduwen, sub b bedoeld, zijn bij voorkeur gipsafgietsels naar goede beeldhouwwerken te gebruiken.

17

IV. VERSCHILLENDE BEPALINGEN.

1. Jongelieden uit elke provincie kunnen onvoorwaardelijk bij elke commissie voor de eindexamens der hoogere burgerscholen worden toegelaten.

2. De getuigschriften zijn vrij van zegelrecht.

Aanvankelijk (Minist. Besl. van 16 Juni 1805) vermeldde het getuigschrift den uitslag van het examen voor ieder vak afzonderlijk. Later is het volgende model vastgesteld:

Q-etuigscliri ft.

De Commissie van Examen, krachtens artt. 55 en 57 der Wet van den 2den jyjgj iggg (Staatsblad n⁰. 50), door den Commissaris des Konings iu de

provincie........... bij beschikking van den......... n⁰...... belast

met het afnemen der eind-examens voor de hoogere burgerscholen met vi/fjarigen

cursus in gemelde provincie voor het jaar....., heeft in hare zittingen van

den......... geëxamineerd......... geboren te........ den..........

en hem op grond van dat examen dit getuigschrift uitgereikt wegens voldoend afleggen van het eind-examen voor de hoogere burgerscholen met vi/f jarigen cursus.

Namens de Commissie: ₍j_en .....Voorzitter.

.....Secretaris.

De Commissaris des Konings in de provincie, waar het eindexamen is afgelegd, geeft op verzoek eene verklaring af\' ter vervanging van een vroeger uitgereikt maar in het ongereede geraakt getuigschrift. (Zie Wet M. O. Artt. 66 en 67^b).

3. De eindexamens der hoogere burgerscholen met vijfjarigen cursus in Nederlandsch Indië worden afgenomen met gelijke eischen en zooveel doenlijk volgens dezelfde regelen als voor die examens in Nederland zijn vastgesteld, en de getuigschriften van goed volbracht eindexamen in N. I. uitgereikt in 1870 en later, geven gelijke rechten als die uitgereikt in Nederland. Ook betreffende de toelating tot de eindexamens gelden in N. I. en Nederland dezelfde bepalingen.

(Wet van 21 Mei 1873, Staatsblad N». 56).

V. EENIGE STATISTIEKE OPGAVEN.

Er bestaan in Nederland 61 Hoogere Burgerscholen, waarvan;

met vijfjarigen cursus: 11 Rijks, 24 Gemeentelijke en 1 Bijzondere; » vierjarigen » - » 1 »

» driejarigen » 10 » 14

In Nederlandsch Indië bestaan de H.B.S. met vijfjarigen cursus te Batavia, opgericht in (1807), Samarang (1877) en Soerabaya (1875).

AANTAL KANDIDATEN VOOR HET EINDEXAMEN.

..

A. Stelkunde.

Tijd ¹): 3 uren.

1866. Zuid-Holland.

l^8le Ploeg.

1. Het getal 1150 wordt in een ander getalstelsel uitgedrukt door 950. Welk is het grondtal van dat getalstelsel? Antw. 11.

2. Herleid tot de eenvoudigste gedaante;

V (6_ VS 1/3) V(6 — V8 -1/3).

Antw. 2 1/^6.

3. Welke waarde heeft x in de vergelijking:

2 — lO¹\'¹ = 10®. Antw. De waarde nul.

2^le Ploeg.

1. Een kapitaal groot /quot;3000 staat gedurende 6 jaren tegen 4^ ten honderd \'s jaars interest op interest; bovendien wordt aan het einde van ieder jaar f200 bij de hoofdsom gevoegd. Men vraagt naar het bedrag van kapitaal en interest aan het einde van het 6^lla jaar. Antw. f 5250,16.

2. Bepaal de waarden van X in de vergelijking:

X — VX 4

X V X ~ X² — X_

Antw. V Xz= 2, VX=—l, VX=:^l ^~ ⁷, V X=— ⁷

3. Herleid: [/7—4 j/lT- 7 -f 4 V 3;

en 1/a² -f 2xVa²â€”x*.

Antw. — 2 1X3; x 4- j/quot;«² — x².

3\'¹quot; Ploeg.

1. Uit een vat met 360 kan alcohol wordt eene zekere hoeveelheid uitgetapt en vervangen door water. Daarna worden er evenveel kannen uitgetapt als den eersten keer en nog 84 kan, en het vat weder aangevuld met water. Indien nu juist zooveel alcohol als water in het vat aanwezig is, hoeveel kannen werden er dan den eersten keer uitgetapt? Anhv. 60 kan.

2. Welke waarde van x voldoet aan de vergelijking:

1/ (25 — x) 1/(1-1- x) =)/ {2x -1- 86).

Anhv. x = 0 en x — 7,

\') Deze en volgende tijdsopgaven hebben alleen betrekking op de jaren 1877 tot 1891.

20

3. Herleid tot de eenvoudigste gedaante:

v-^^xv~~^-

Anlw. —\\\'^r (3i0!.

b⁰ * b^ac*

1866. Gelderland.

l⁵\'quot; Ploeg\'.

1. Zoek de waarde van x uit:

i0^log- ^ = 16. A)itw. x — 4.

2. Los de volgende vergelijkingen op:

I/ (a;² aji/ — 10) 1 = « 1 y

x² \'dxy -j-l . „ .

en -!-^{u r} =x-\\rⁱ2y - 1.

x-\\-y

. , . o 1517 26

Anhv. x = o. y = 2-, x = y = —

2\'^le Ploeg.

1. Zoek de waarde van X in de vergelijking:

/• YJ- n\'⁰^ (^\'h !)

⁽ ^ ^L)_ =0,01.

{X l)³

Antw. X = 9 of X = 99.

2. Los de volgende vergelijking op:

(X²-f6JÏ-4 K3)² 3(JC^a 6X) —2(6K3 —1) = 0. Antw. Xz=z —3±(1 -\\-y3)K2; X— — 1 1/3; JC =-5 — KB.

1867. Zuid-Holland. r^ie Ploeg.

2 3 1 ,

fig* X ¹

-i ,

[/quot; cr⁴

Anhv.

a⁸pj-a⁷\'

2. Welk kapitaal zal men gedurende 10 jaren tegen 4⁰/o interest op interest moeten uitzetten, opdat er, wanneer men er jaarlijks f 1000 afneemt, niets overhlijve?

Anhv. /\'8110,90.

21

3. x te bepalen uit a^te — h = a?*.

Anhv.

2 log. a

3\'¹\' Ploeg.

1. Deel 12 door 3 — l³-^ 3.

_Aniw. ⁹ (³ f³)^³.

2. Iemand is over zes jaren schuldig f 3750. Hij wil deze schuld terstond afdoen, mits kortende 4⁰/o \'s jaars interest op interest. Hoeveel moet hij betalen?

Aniw. /• 2963,68.

3. Welke waarde heeft x in de vergelijking:

_\\/₂ = s\' -

Anhv. x= — f ± l ^ en dus x——0,56142

en x= — 2,43858.

3\'^,e Ploeg.

1. Te deelen 1/5-f- \\V 3 door 1/5 — 3.

_Antw 674-5(3 5|K3)(l/5 ^3) 3]/5i^ \'J

2. De bevolking van zekere stad bedraagt thans 80000 inwoners ; als men rekent, dat zij sedert 20 jaren jaarlijks 3^ is toegenomen, hoe groot was toen de bevolking?

Antw. 41522 inwoners.

3. Welke waarde heeft x in de vergelijking:

2 loq. x x \' = 15.

— 1 rh [/\' 1 loq. 15 Anhv. x=\\0 \' = 2,98647 of 0,003348.

4^lt;quot;^! Ploeg^-.

1. Herleid de uitdrukking;

K (15 - 1/ 6 — 6 1/ 2) — 1/ (15 4- ]/ 6 -f- 6 1/ 2).

■ Anhv. ]/quot;6 2l/3.

2. Eene bevolking van 15000 zielen is na een tijdsverloop van 10 jaren tot 32000 toegenomen. Hoeveel pet. is de jaarlijksche toeneming geweest?

Anhv. 7,9 pot. bijna.

3. Welke waarde heeft x in de vergelijking;

log. {x ^v)

(10⁴a?)

5 loc/, x

(10⁴«)

AlltlV, X-TTTO TTTT ï ^ — 1 J

= 1,

22

1867. Noord-Holland.

I\'¹⁶ Ploeg.

1. Herleid de volgende uitdrukkingen;

(a -f x)~ »\\y {a V (« -|- a)^- ^ lK (a — x)~ %;

K (_ V—l)-, _

y₍10_6K — 3)±l/quot;(42 6 1/ — 3).___

±^-1/^1)1/2; 2 l/l3rh 2(6-^^3):

2. Bepaal de waarde van x uit:

ax^ — bx~ v =V c.

c2 ab ±: (c 4 ah)

Antw. x—-^--.

3. Welke is de rekenkundige reeks van vier termen, wier verschil a is en wier termen fc tot product hebben?

Antw. Noemt men de termen der reeks x, x ft, x 2o en x 3a, dan is __

X= — ^^a — |ft²Â±:^ «⁴ b.

2\'\'quot; Ploeg.

1 Herleid de volgende uitdrukkingen:

\\a-³^(2a²V a)-i]l;

]/\'(« ab — 2a V b):

V (7 — 2 ]/TI)±: 1/(13

1

Antw. a⁴lgt;2ⁱ⁰ ft¹³; Va — Vab-, ^20 ± 2 (6 — 1/11).

2 Zoek de vier waarden van x, welke voldoen aan de vergelijking:

(_X _ 3)4 _ s (^2 _ _

Antw. x—l, x — 5, x = \'d — 1, £c = 3 —1^-1.

3. Als men eene partij goed voor /\'1000 koopt en op denzelfden dag voor f 1200 verkoopt, hoeveel pet. \'sjaars heeft men dan gewonnen: als de helft van den verkoopprijs over 3, en de andere helft over 6 maanden betaald wordt? Antw. 54,36 pet, bijna.

1867. Zeeland.

28

5. 7°

Antw. ₈

2. Herleid ;

^p^Tzhl/ ii sVirf: Antw. 5 ^ 2 ; — ^ —6.

3, Op te lossen de vergelijking:

]/\' 12-f » ]/ .«—3 = 1^ 33 - 2x. Antw. x = 4.

1867. Utrecht.

1. Als bij het begin van ieder jaar, gedurende 28 jaren, /\'25 tegen 4 ⁰/₀ interest op interest wordt uitgezet, vraagt men het geheele bedrag der uitgezette sommen aan het einde der 28 jaren, met het bewijs voor de gezegde formules.

Antw.

2. Bepaal de waarde van x uit:

Antw. x = 1,27497.

3. Vereenvoudig:

(2a.\' Kquot; x ⁷) X V (2xiyx~^l) X V {2x^{3x²\\^^a)}.

Antw. 2x\\/\' 2 . 3¹². a.

1867. Overijsel.

Bepaal de waarde van x uit de vergelijking: ^(Jog.x-iy ₌ x_ Antiv. x — 100 \\ x = \\/\\0.

1867. Groningen.

lquot;^e Ploeg.

1. Iemand heeft eene partij goederen contant ingekocht tegen/\'2500, en verkoopt ze, op voorwaarde van de helft der koopsom over 6 en de andere helft over 12 maanden te betalen. Hoe hoog moet hij den verkoopprijs stellen om 20 ⁰/ in het jaar te winnen ?

Antw. Z¹2869,56 ^B.

2. Bereken het aantal termen eener meetkunstige reeks, als de

28

som = 166,6, de eerste term — 90 en de reden ~ is (het naastbijko-mende geheele getal). Anhv. 4.

24

3. Herleid tot hare algemeene gedaante de vergelijking;

aj 1 l y —x V(i x²) — ya—x²)-Anhv. x^s 2x\'\' -t- Sa?⁰ — 5.r⁴ 2a;³ dx² 4x — 0.

4. Los de onbekenden op uit;

X² -j- 2y² = 22-, X — z = — 3-, y x-— 8. A 4 O O c 1 23

Aniw. x= 2, ?/ = 3, x. = 5 ; x = —, y = ^,x = ~.

3 \'quot; Ploeg.

1. A. is aan B f 5000 schuldig, te betalen na drie jaren. B. biedt A. aan, dat zoo A. hem / 4300 contant geeft, bij hem voldoen zal. Als A. 6 ⁰/₀ interest in het jaar van zijn geld kan maken, welke wijze van betalen is dan voor A. het voordeeligst en hoeveel verschil maakt het ?

Anhv. De eerste; aan het einde der drie jaren is het verschil / 121,37.

2. Bereken het aantal termen eener meetkunstige reeks, waarvan

de eerste term = 90, de laatste = 0,0000080284 en de reden 44

85

is (het naastbijkomende geheele getal.) Anhv. 10.

3. Herleid tot hare algemeene gedaante de vergelijking:

x— 1_ _ 1 ]/ — 2^

V (1 x²) V (\\ — x²) \'

Antw. x^s — % x¹ -\\- 1$ x^a -\\- x* -\\- 16 a;³ -f- 8x = 0.

4. Los de onbekenden op uit:

3x² — y² = 3-, x -\\- x ==■ 1 •, x -\\- y — x.

Antw. a: = 2, ?/ == 3, ï = 5 ; x = 26, y= — 45, x = — 19.

1867. Limburg.

1, _a;2__2/2_|__a. _2/=;0)3₇₅

ajs — ^2 — (pj — y)=i 0,125.

Antw. x — 0,125; y — 0,375 en == 0,625.

2. ^ x^ y = \\2\\ x -\\- y = 4i§S.

Antiv. a; = 343, y~\\2b\\ a? = 125, ?/= 343. x-\\- 1 x-\\-2

x-j-2 x/^-\'ó

3. 3125 X 15625 =0,2 Antw. x = 3-, x = csz] x— — oo

4. Y~x VTT~X=^rT 7quot;

Antw. x =

5 ^ x im_x -f- 2m

X/\' x-\\-3n x-\\- n

Antiv. x = i ^mn \\

\\m—nj

25

2 2.2

_fi 3 2 2 8^3 a ■

quot;• .1 T—q--ö---• Antw. x~-~

A- v ^{0 6} ^ \\ 3 3 ^X 3 ^X

7. Bewijs de formule van het binominm van Newton voor het geval, dal de exponent positief en een geheel getal is.

8. Bepaal de som der vierkanten van de getallen 1, 2, 3 n

Antw. (^{2 u}±21

6

9. Bepaal de som der oneindige reeks;

¹ |2 1 ³ 1 2 3 1

7 yiT \'Ys quot;tT quot;Y» Töquot; quot;tT ^enzquot; {I^)eri^ot\'^{e c}\'^er cijfers 1, 2, 3). Antw.

10. Bepaal met behulp van hetgeen u aangaande de eigenschappen der tweedemachtsvergelijkingen bekend is, de wortels der twee vergelijkingen:

x² — 714 a; -f- 78105 — 0

x^ — UAx— 78165 = 0,

waarvan de eerste wortels gelijk zijn; de tweede wortels zijn eveneens gelijk maar van omgekeerd teeken. Antw. 579, 135; 579, — 135.

1868.

1. De waarde van x te bepalen uit de vergelijking:

amp; (x 4- V 2) — IK (£C — 1/ 2) = K 2.

Antw. « = 1/2; x = — V 2.

2. Welke is na verloop van n jaren de waarde van een kapitaal k, dat tegen p ten honderd, interest op interest, wordt uitgezet en na verloop van elk jaar met eene som a wordt verminderd?

| (_{1 I}y. p,. _!!££] 1C5±,

0 3. Twee lichamen vertrekken uit twee punten A en B, welker

afstand = tl is, en bewegen zich met eenparige snelheid elkander tegemoet. Vertrekt het eerste n seconden vroeger dan het tweede, dan ontmoeten zij elkander op het midden tusschen A en B; vertrekken beide op hetzelfde oogenblik, dan zijn zij na t seconden\'nog op een afstand = h van elkander verwijderd In hoeveel tijd zou elk der beide lichamen den geheelen weg A B afleggen ?

Beredeneer de verkregen uitkomst.

Antw. A in n -f ^ t -f V sec.;

26

_{B in} (_i_j t* sec.

1869.

1. Welke waarden van x en ij voldoen aan de vergelijkingen:

(x—?/)² -\\-(?c — y) — IQ-, V{x I) V 0/ 2) = 7.

1325 3089

Ajitw, x — 15, y •—• w |(j0 » U 196 *

2. Welke geheele positieve waarden van x en y voldoen aan de vergelijking:

öx 1% = 106.

Aniw. x — 2, y = 8; as =14, y = 3.

3. Aan iemand, die zijn huis wil verkoopen, worden drie aanbiedingen gedaan. A biedt /quot;48000, te betalen over 12 jaren; B wil gedurende 12 jaren aan het eind van ieder jaar f 3200 betalen; C biedt /quot;10000 contant en aan het einde van elk der 7 eerste jaren/quot;3400. Wie doet het voordeeligste bod, als men den interest van het geld op 4 ⁰/₀ stele?

Anhv. Op het oogenblik van aanbieding is het bod van A waard /quot;29980,66; dat van B /quot; 30032,24; dat van C /quot;80400,97.

1870.

1. Welke waarden van x en y voldoen aan de vergelijkingen: 17 7 V{x y) _ \' 10» . _ _ ₁

YW iï » ^- !/)quot;\' ^{J y} \'

Anhv. x = l, y — 3\\ » = (—i)², y = ®-

2. Twee koeriers A en B vertrekken op denzelfden tijd uit de steden P en Q elkander tegemoet. Aan het ontmoetingspunt gekomen heeft A 30 kilometers meer afgelegd dan B en heeft hij nog 2f uur noodig om te Q, te komen, terwijl B nog 13| uur noodig zou hebben om P te bereiken. Men vraagt den afstand van P en Q,, alsmede de snelheid waarmede de koeriers gereisd hebben.

Aniw. De afstand van P tot Q, is 78 kilom.; A legt 9 kilora. per uur af, B 4.

3. Een kapitaal groot /\'5000 is uitgezet tegen 5 ten honderd\'sjaars, interest van interest. Aan het einde van elk jaar wordt er nog / 200 bijgevoegd; men vraagt wanneer het kapitaal zal verdubbeld zijn?

Anhv. Na 9 jaar en bijna ééne maand.

1871.

1. De waarden van x te vinden, welke voldoen aan de vergelijking;

%• ^x ₌ 2,

Anhv. »= 1,1463; » = 0,00000871967.

27

2. De drie kleinste op elkander volgende positieve getallen te vinden, van welke het kleinste door 7, liet volgende door 9 en het grootste door 13 deelbaar is. Anhv. 791, 792, 793.

3. De Maatschappij van gemeente-crediet levert aan de gemeenten kapitalen, waarvoor deze 68 jaar lang 5 ⁰/o interest moeten betalen om zoodoende tevens het kapitaal te delgen. Indien nu de Maatschappij hare gelden tegen 4| ⁰/o kan verkrijgen en hare administratie-kosten ^ quot;\'/o \'sjaars van die opgenomen gelden bedragen, hoeveel zal dan na die 68 jaar hare winst ten honderd bedragen ? Anhv. 93,03,

1873.

1. De waarden van X en ij te vinden, die voldoen aan de vergelijkingen:

x\'^J = tf en x* = //².

/3^ /3\\³

Antw. x — ü,y — O-, x— l, y = l; x—[^j y ⁼ \\2}

2. Van twee cirkels bevinden zich de middelpunten elk op een der beenen van een rechten hoek. Zij bewegen zich naar het hoekpunt toe met snelheden, de een van p, de ander van p\' meter in de seconde. De stralen der cirkels zijn r en r\' meter; de afstanden der middelpunten tot het hoekpunt zijn op een gegeven oogenblik a en a\' meter; na hoeveel seconden zullen de cirkels elkander uitwendig aanraken?

Antw. n/\'f a\'quot;\'- I/ (p\' fquot;) O\' \'\'T -(«\'p «i/)^F _gec

\'P P

3. Iemand zet een kapitaal van f 100000 tegen 5 ⁰/₀ uit en voegt aan het einde van elk jaar de rente verminderd met f 3000 bij het kapitaal. Na hoeveel jaren zal op die wijze het kapitaal töt f 150000 aangegroeid zijn? Anhv. Na 16 jaren en 4^ maand.

1873.

1. De waarden van x en ij te bepalen in de vergelijkingen:

_x ;j_Jr\\f¹E±IL_{= x}- y\' ₌ 353.

\\ x — y x —y ^J

Antw. x = Y\\, y = S-, x—H, y = — 8.

2. Eene roeiboot kan eene rivier over een afstand van 3| kilometer op- en weder afvaren in den tijd van 1quot; 40\'quot;. Indien de snelheid van den stroom 2 kilometer per uur is, vraagt men de snelheid van de boot in stil water te bepalen. Anhv, 5 kilom. per uur.

3. Een vader belooft zijn zoon hem bij het begin van elk jaar a (/\' 100) te zullen geven zonder kapitaal of rente in te vorderen, mits de geheele schuld hem na het overlijden van den vader bij zijn erfdeel worde in rekening gebracht. Indien nu jaarlijks 4 ⁰/₀ samengestelden interest gerekend wordt en de zoon bij den dood des vaders in \'t geheel A (1100,60quot;) schuldig is, vraagt men, hoeveel jaren na die overeenkomst de vader overleden is?

28

Avitv, Wanneer de waarde der breuk

log. (A -f- 25«) — log. 25a log. 1,04

ligt tusschen de geheele getallen x en x -\\- 1, dan zal de vader sterven na den aanvang van het a?\'^le jaar en vóór den aanvang van het x ]^8te jaar; en wel aan het einde der maand van liet x\'^x\' jaar, zoo

f=¹² [ï(W^T--²⁵]\'

Wil het vraagstuk op te lossen zijn, zoo moet

— ^ --25 lt; 1 zijn

a (1,04)® — 1 = ^J

Stelt men «=ƒ\'100 en 4 =/\'IIOO.GO⁵, zoo is x — 9 en y=12; de vader sterft dus aan het einde van het 9\'^le jaar, vóór den aanvang van het tiende.

1874.

1. Los x en y op uit de vergelijkingen:

_aVx yy _₁₁ (\\2{2xA-y)-^a

log. xy (x y)

en (x ?/) = \\y 10.

Antiv. Indien a niet gelijk 1 is: x—\\, y = Q-, x = — 9, ?/= 19.

2. Een wijnhandelaar heeft van een zeker soort wijn slechts vaten van 155 liter inhoud; een andere wijnhandelaar heeft van dezelfde soort slechts vaten van 84 liter inhoud. De eerste is aan den tweeden 587 liter schuldig. Hoeveel vaten moet de eerste geven aan en krijgen van den tweeden, als de schuld in wijn zal vereffend worden en geen vat raag opengeslagen worden.

Antw. De eerste handelaar moet geven 13 vaten en ontvangen 17 vaten,

3. Een vader laat zijn zoon een vermogen na van /\'20000, dat tegen 5 ten honderd wordt uitgezet. Deze gebruikt jaarlijks voor zijn onderhoud f 1445,75. Na hoeveel tijd zal het kapitaal met den interest verbruikt zijn ? Antw. Na ruim 24 jaar.

1875.

1. De waarden van x, y en x te vinden uit de vergelijkingen:

x -\\-y -\\- z=: 41, x² -\\- y² -\\- x* = 725, xx, = 168.

Antw. 3? — 24, ?/ = 10, x = 7; x = 7, y =10, « = 24 ; .r = 5 25,9 j/ — 1, y — 31, * = 5 — 25,9 \\

x = b — 25,9 ]/ —■ 1, ?/ = 31, « = 5 4- 25,9 —

29

2, In een der lioekpimten van een gelijkzijdigen driehoek, waarvan de zijde 10 meter bedraagt, bevinden zich twee lichamen, die zich in dezelfde richting met snelheden van 5 en 4 meter in de seconde langs den omtrek bewegen. Na hoeveel tijd zal voor de eerste maal het eerste lichaam in het tweede hoekpunt en te gelijker tijd het tweede lichaam in het derde hoekpunt gekomen zijn ? Antw. Na 20 seconden,

3. Eene grootheid a wordt in twee deelen verdeeld, zoodanig dat de som der vierkanten van de deelen gelijk is aan tweemaal het verschil der vierkanten. Het grootste der verkregen deelen wordt weder op dezelfde wijze verdeeld, en zoo gaat men voort tot in het oneindige. Bepaal de som van al de grootste deelen, die men aldus verkregen heeft.

Antw, Indien a positief is, is de gevraagde som a |/^ 3.

1870.

1. Bepaal de waarden van x en ij uit de vergelijkingen:

xV y u V x = 2640 enxV x yV y = 2728.

Antw. De reëele waarden van x en y zijn : x = 100, y — 144 ; X — 144, y = 100.

2. Drie personen, P, Q en i?, hebben te zamen een werk aangenomen. Wordt F gedurende 4 dagen door Q en R geholpen, dan kan hij het overige van het werk in 3 dagen voltooien ; helpen P en R samen Q gedurende 3 dagen, dan kan deze de rest in 7 dagen afwerken; werken allen te zamen 5 dagen aan het werk, dan kan R de rest in 1-^ dag afmaken. In hoeveel dagen kan ieder alleen het werk voltooien ?

Antiv. F kan het werk alleen volbrengen in 12 dagen, Q in 1G dagen, R in 24 dagen.

3. Van eene rekenkundige reeks van 20 termen is de eerste term 10 en de laatste 50 ; van eene andere reeks van 9 termen is de eerste 6 en de laatste 34. Hoeveel termen moet men in die beide reeksen tusschen elke twee opeenvolgende termen interpoleereu, opdat na die interpolatie de som van al de termen in beide reeksen even groot zij?

Anhv. In de eerste reeks termen; in de tweede 24-f-57 p

termen.

1877.

1. Welke waarden van x voldoen aan de vergelijking:

_12, 11 _11 _i _i

2a rc ^¥ — 2a ^s x —\'da ^{3 3} = 0.

Antw. -f-a; ± 1,3554a ;± 1,3554a — 1.

2. Iemand vertrekt \'s morgens 5 uren uit A naar B. Wanneer hij de helft van den weg heeft afgelegd, passeert hem de spoortrein, die te 8^U 20^m uit A vertrokken is; één uur later ontmoet hij den trein, te 9^U SOquot;¹ van B naar A vertrokken. Indien de afstand tusschen A en B 40 kilometer bedraagt, vraagt men de snelheid van den spoortrein en van den wandelaar te bepalen.

Anhv. De snelheid van den spoortrein is 30, die van den wandelaar 5 kilometer per uur.

30

3. Iemand wil zorgen, dat van 1 Jan. 1878 tot en met 1 Jan. 1890 aan eene Vereeniging ieder jaar /\'250 wordt uitbetaald; hij stort te dien einde van 1 Jan. 1853 tot en met l Jan. 1870 jaarlijks eene zelfde som. Hoeveel moet deze bedragen, als de interest tegen 4 ⁰/₀ berekend wordt? Anhv. ƒ74.,

1878.

1. Bepaal de waarden van x en ?/, die voldoen aan de vergelijkingen :

VJöcï y) x ~V{x yY\' ⁽\'^X\' ^y^~^V

7 1

Antw.x— 1 ewy = 3 ot x=-^eny —-g. Zie 1870.

2. Er worden drie kapitalen geleend; het eerste, groot / 18000 tegen 3| ⁰/₀ interest \'s jaars, het tweede, groot / 17500 tegen 4 ⁰/₀ interest \'s jaars en het derde, groot /\'1(3000 tegen 5 ⁰/₀ interest \'s jaars. Hoeveel geheele jaren- zal men eik dier kapitalen moeten behouden, opdat deze respectievelijk met de daarvan betaalde rente vermeerderd, dezelfde som opleveren. (Geen samengestelde interest.)

Ardw. Na 26, 23 en 22 jaren bedraagt de som voor elk /quot;33600.

3. Iemand bepaalt in zijn testament, dat zijne erfgenamen aan A moeten uitbetalen: na verloop van één jaar /1600, na verloop van twee jaren /quot;800, na verloop van drie jaren/\'400, enz., ieder volgend jaar de helft van het bedrag van het vorige. De erfgenamen stellen aan A voor, hem aanstonds ƒ 1500 te betalen, /quot;500 over een half jaar en anderhalf jaar na deze laatste uitbetaling nog/ 1066. Indien de interest tegen 4⁰/₀ wordt gerekend en A waarschijnlijk nog 20 jaar heeft te leven, moet hij dan dit aanbod aannemen of niet ?

Antw. Ja ; want over 20 jaren bedraagt het aanbod, hoofdsom met samengesteiden interest, ƒ 6519,77 en de erflating slechts /\'6463,14,

1879.

1. De waarden van x en y te vinden, welke voldoen aan de vergelijkingen :

2a;³ -j- xy 3?/² = 13; 3a3² — 2xy -f- /y² = 9.

3

Aniw. x — 2,y = l \\ x = — 2,y= — l •, x = ^V2,y — — - V 2;

x — — I- V 2, y = ^ V 2.

2. Iemand zet gedurende a jaren, telkens aan het begin van elk jaar, 2) gulden op samengesteiden interest tegen t ten honderd. Welke som kan hij gedurende de volgende b jaren, telkens aan het begin van ieder jaar terug ontvangen, tot hij niets meer te ontvangen heeft ?

Die som te berekenen voor het geval, dat p = /\'2000, a — 5, 6 = 6 en if = 4 is.

Anhv. Stel 1 -j- = k, dan is de som — pk¹\' of /\'2171,14.

1 (JU li — l

31

3. quot;Van de rekenkundige reeks 5, 9, 13, 17 enz. de eerste drie opeenvolgende termen te vinden, die respectievelijk door 3, 5 en 7 deelbaar zijn. Anhv. 321, 325, 329,

1880.

1. Bepaal de waarden van x, y en z, die voldoen aan de vergelijkingen

log. Qx - z? _a3x — y

2x-\\-\'óij — z ^ ⁵\' ]/ a \'quot;^J ~^{= a}

5² (^to ^ — 6 X 5 ^ quot; ^{_ 2} 5 = 0.

Voor welke waarde van a wordt het vraagstuk onbepaald?

Anhv. x—1, y = 2, z — \'d of x = ^, y — 2£, z = Onbepaald voor a = 1.

2. Het getal 30 zoodanig in drie deelen te verdeelen dat, wanneer men bet eerste met 7, bet tweede met 19 en bet derde met 38 vermenigvuldigt, de som dezer producten 745 zij. Atitw. 6, 11 en 13.

3. A is aan B f 10000 scbuldig, die hij over een jaar moet betalen. Hij doet de schuld af op eene andere wijze, namelijk f 1000 terstond en vervolgens jaarlijks gedurende zes jaren telkens eene gelijke som. Hoe groot is die som, als de interest 4 ten honderd bedraagt. Anhv. f\' 1644.

1881.

1. Bepaal de waarden van x en y, die voldoen aan de vergelijkingen:

x-\\-y-\\-V{x -f- y) = 2, x⁸ -j-y³ = 19.

Anhv. x—\'è, 2|, 1| of —2.

«/ = - 2, li, 21 of 3.

2. -Een zilversmid beeft zilver van 980, 770 en 630 deelen fijn. Zoo hij 30 hectogram zilver van 840 deelen fijn moet hebben, hoeveel hectogrammen moet hij dan van elke soort nemen ?

3. Iemand zet 1 Jan. 1880, 1 Jan. 1881 ... tot en met 1 Jan. 1890 telkens eene zelfde som f x op samengestelden interest, om daardoor van 1 Jan. 1900 tot en met 1 Jan. 1910 eene jaarlijksche lijfrente van /\' a te kunnen trekken.

Als de jaarlijksche rente = p, ⁰/o gerekend wordt, bepaal dan x.

( 100 V⁰

Anhv. ;r — -{-p) \' ^^erë^e^j\'^? 1877 en 1879.

1882.

1. Bepaal de waarden van x, y en x, die voldoen aan de vergelijkingen: x -\\- y x = x²-\\-y²-\\-z* = 12h, xx — 168.

Anhv. « = 24 of 7; 10; x=7 of 24. Zie 1875.

32

2. Drie rekenkundige reeksen hebben te zamen 60 termen, waarvan de som 561^- is. A.ls van de eerste reeks de eerste term 2 en de laatste 5, van de tweede reeks de eerste term 1 en de laatste 23, en van de derde reeks de eerste term 3 en de laatste 18 is, hoe groot is dan het aantal termen van elk der drie reeksen?

Antw. 13, 15 en 32, of 16, 29 en 15.

3. Iemand bezit /\' 50000. Na twee jaren erft hij nog /\' 20000. Na hoeveel jaren kan hij f 90000 rijk zijn, als hij jaarlijks f 2500 gebruikt voor zijn onderhoud? Rentevoet 4⁰/o-

Antw. Na bijna 39 jaren.

1883.

1. Iemand neemt op 1 Januari 1883 eene hypotheek van f 20000, Hij moet daarvoor bij den aanvang van elk volgend jaar, te beginnen met 1 Januari 1884, eene vaste som terugbetalen, waardoor na 25 jaren de schuld, met inbegrip van de rente afgelost is. Als hij evenwel na 15 stortingen zijne dan nog overblijvende schuld in één termijn wil aflossen, hoeveel moet hij dan nog betalen?

De rente wordt tegen 4^ ⁰/o berekend.

Anhv. Na 15 stortingen van f 1364,40 moet op 1 Januari 1899 nog f 11284 in eens worden betaald.

2. Van een rechthoekigen driehoek is de rechthoekzijde AC = 30 M., de schuine zijde BC = 50 M. In A bevindt zich een punt, dat met eene snelheid van 3 M. per seconde; in B een punt dat met eene snelheid van 5 M.; en in C een punt, dat met eene snelheid van 2^ M. per seconde langs den omtrek in de richting ABC wordt voortbewogen. Deze punten beginnen hunne beweging op hetzelfde oogenblik.

Na hoeveel tijd zullen zij tegelijk in A zijn?

Anhv. Voor de eerste maal na 280 seconden en vervolgens om de 480 seconden.

1884.

1. Twee op elkander volgende getallen te vinden, die tusschen 300 en 400 liggen, en waarvan het kleinste door 13 en het grootste dooi.\' 16 deelbaar is. Anhv. 351 en 352.

2. Ontbind in factoren:

2£C² — \'dx-\\-xV2 7.

Anhv. {x — 3 V2) {2x — 3 — V2).

1885.

1. De waarden van x en y te bepalen uit de vergelijkingen :

£C³ — xhj — xij² /y³ — x — y ~ 2480 en x — y = $■

Anhv. £c = 20; ?/ = 11.

2. Twee personen, A en B, vertrekken op hetzelfde oogenblik uit twee plaatsen, M. en N, elkaar tegemoet. Toen zij elkander ont-

33

moetten had A 15 K.M. meer afgelegd dan B. Als A lt; uren na de ontmoeting in N, en B 9 uren na de ontmoeting in M aankomt, hoe groot is dan de afstand van M en N ?

Antw. Afstand = 75 K.M. Snelheid A = 74 K.M.; snelheid B = 5 K.M per uur.

1886.

1. Bereken x in de volgende vergelijking:

(a x) ^:r -f- 6 (a — x ) ^:1\' = 5 («²â€”x²)

7 13

Antw. x = ₇ra of x = a.

9 14

2. A, B en O handelen Do inleg van B is de vierkantswortel van dien van A, terwijl C tweemaal de meetkunstige middenevenredige tusschen de kapitalen van A en B inlegt. Zij winnen driemaal den wortel uit hun inleg en daardoor bedragen kapitaal en winst /quot;990. Hoeveel heeft elk ingelegd?

Antw. A = /\'625; B—f25; C = f2ö0.

1887.

1. X en /ƒ up te lossen uit de volgende vergelijkingen:

x* — y^a — 7 aj -|_ 7 ,y = o en xy = 2.

Antiv. x = ±2,y = ±\\ ■, x = ± \\ ,y = ±2-, x = ij = ± l/quot;2.

2. Een spoortrein krijgt 1 uur na zijn vertrek een ongeluk, waardoor hij 1 uur wordt opgehouden. Hij zet de reis voort met | der vroegere snelheid en komt 3 uur te laat op de plaats der bestemming. Was het ongeluk voorgevallen, nadat 50 K.M. meer waren afgelegd, dan zou de trein 1-|- uur te laat zijn aangekomen. Hoe lang is de weg?

Antw. 100 K.M. De oorspronkelijke snelheid was 25 K.M, per uur.

1888.

1. De som van de uiterste termen eener meetkunstige reeks van 3 termen is 25; het gedurig product der 3 termen 1000, Bepaal hieruit die reeks. Antw. 5; 10 en 20.

2. Twee kooplieden hebben goed verkocht, de eene 3 M. minder dan de andere; zij hebben samen /\'35 ontvangen. Als ik uw waar voor den prijs van de mijne had verkocht, zegt de een, zon ik /24 ontvangen hebben. De ander antwoordt hierop: en als ik uw waar tegen den prijs van de mijne had verkocht, zou ik /\'12,50 ontvangen hebben. Hoeveel M. heeft ieder verkocht ?

Antw. 15 en 18 M. of 5 en 8 AI.

34

1889.

1. Bereken x en y uit de volgende vergelijkingen:

xV ij = aA/ 2/²= 1312.

Antw. y = 4 en x= ± 18 of y = 36 en x — ± f.

2, Twee lichamen A en B gaan elkander tegemoet uit twee plaatsen P en Q, die Ö000 Meter van elkander verwijderd zijn. A vertrekt uit P 12 minuten later dan B uit Q,, en de ontmoeting heeft plaats op de helft van den weg. A legt in 2 minuten 15 Meter meer af dan B. Wordt gevraagd naar de snelheid per minuut van A en B.

Antw. De snelheid van A = ^ (-f- 3 |/^ 1209) Meter; die van B = (— 3 [X 1209) Meter.

1890.

1. De waarden van X en y te bepalen uit:

a _ W \\! ^x ~ ■\' = ^en a;² ï/² = 168f

^x ^ ^ v x y x y ^rj

Antw. a? = 12| en y = 3|.

2. Van eene meetkundige evenredigheid is de som der termen 21 de som hunner tweede machten 125 en het product van al de termen 576. Welke is die evenredigheid ?

Antw. 3 : 4 = 6:8.

1891.

1 Bepaal de waarden van x, die voldoen aan de vergelijking

^rox^{2 l0!l}- ^x — 47»^{109 x} — 30 = 0.

Antw. x = 10 of 0,1.

2. Van eene meetkunstige reeks is de som der eerste twee termen = 18, die der laatste twee = 288 en de som der termen = 378. Welke is die reeks ?

Antw. 6, 12, 24, 48, 96, 192.

B. Goniometrie en Trigonometrie.

Tijd 3 uren.

1866. Zuid-Holland.

I^squot;\' Ploeg.

Zie Meetkunde, vraag 2.

S\'¹ Ploeg.

1. Wanneer twee punten C ea D met eene verticale hoogte AB in

een\'zelfde vlak liggen en men gemeten heeft / 25^ü18\'25^//, / ACB = 32quot;10^/15^//, DC= 126\'quot;,28, hoe hoog is dan AB? [B, C eü D liggen in hetzelfde horizontale vlak).

Antw. 24,087 meter of 240,487 meter, naarmate C en D aan

weerszijden van AB liggen, of beide aan denzelfden kant van AB.

i

35

3^de Ploeg.

1. Van een rechthoekigen driehoek is de omtrek 15 palmen en een der hoeken 64ⁿ12^/35^//. Men vraagt de zijden dezes driehoeks te berekenen. Antiv. 2,79; 5,78; 6,42.

1866. G-elderland.

l⁸quot;¹ Ploeg.

1. Als gegeven is ïaug. u = p en Tang. b = vraagt men te vinden

ïang. («-f- b), en de uitkomst te verklaren uit de betrekking, die blijkens de gegevens tusschen de bogen a en h bestaat.

Antw. ïang. (a-\\- b)~ oo.

2. Van een trapezium ABCD zijn gegeven eene der evenwijdige zijden AB = 172,30 el, de opstaande zijden AD = 110,48 el, benevens de hoeken ^0= 34⁰17^/49^//,3 en BAC= 22quot;38^/ll^//,4₎ die de diagonalen met de zijde AB maken. Men vraagt de beide diagonalen te berekenen.

Antw. Dit vraagstuk laat twee oplossingen toe: AC — 131,523 el, BD = 89,835 el, en J.C = 285,412 el, /?£gt;== 194,947 el.

3^lle Ploeg.

1. Wanneer gegeven is Tang. 18° = 5 (5—2 \\/ 5), vraagt men

O

daaruit Cosec. 342° te berekenen. Antiv. — (1 v/ 5).

2. Men vraagt de hoogte van eenen toren te berekenen, als gegeven is dat de hoeken, waaronder de spits gezien wordt uit twee punten, die met den voet des torens in een rechte, horizontale lijn liggen, respectievelijk 48⁰17^/15^//,2 en 69quot;53^/46^//,4 zijn, terwijl de onderlinge afstand der genoemde twee punten 10,39 el bedraagt.

Antw. 13,035 el of 31,199 el, naarmate de punten aan weerszijden van den toren liggen of aan denzelfden kant.

1867. Zuid-Holland.

lquot;⁶ Ploeg.

1. Van een vierhoek ABCD wordt gegeven:

AB = 1,25; BC= 0,75; GD = 2,00; _//£=110^o15^/; ^/C—IO^IO\', Vraag AD. Antw. 0,87.

2. De formule te vinden voor het herleiden van een hoek tot den horizon. 3^lt;le Ploeg.

1. Van twee bogen, die tot elkander staan als 3 tot 5, zijn de sinussen tot elkaar als 2 tot 3. Welke zijn die bogen?

Antw. 33ⁿ24\'32^//,4 en 55^o40^/54^//.

2. Den afstand te berekenen van twee ontoegankelijke punten P en Q, als gegeven is de lijn AB==76,9, de hoeken uit A naar P en

3G

^ = 40ⁿ15^/30^// en 25⁰16^/25^// en die van B naar P en lt;3= 19⁰25\'40^// en b§quot;20\'\'6üquot;. Antw. 36,882.

31« pioeg.

1. Van een regelmatigen vijfhoek is elke zijde = 1 meter; men vraagt den inhoud Anhv. 1,725 vierk. meter.

2. Welke waarde heeft x in de vergelijking:

tg. x coUj. x = 3 sec. x ?

Anüv. 19⁰28^/16^//,4; 160^o31^/43\'\'^/,6; enz.

3. Van een driehoek zijn gegeven de lengten der lijnen, die den tophoek in vier gelijke deelen verdeelen = 17,8; 13,25 en 12,8. Men vraagt de zijden van den driehoek te berekenen.

Antw. 15,73; 40,81; 48,20.

4\'^lc Ploeg.

1. Welke waarde heeft x in de uitdrukking:

sin. x -f- cos. x = sec. x Anhv. x — 0°, x = 45⁰, « = 180quot;, 33 = 225°, « = 360quot;, enz.

2. Van een ruit is de scherpe hoek = 40\'^gt;25^/ en de inhoud 65 [~J ellen. Hoe lang zijn de diagonalen? Antw. 18,793 el en 0,918 el.

1867. Noord-Holland.

I^s18 Ploeg.

Bereken de elementen van een driehoek, wiens basis wiens tophoek a en wiens inhoud I gegeven is.

S¹quot; Ploeg.

Bereken de hoeken eens driehoeks, wiens zijden 2,845; 5,614 en 6,819 meters lang zijn.

Anhv. 18°42\'44quot;; 50quot;10^/41^//,4; lll⁰6^/34^//,8.

1867. Zeeland.

Indien de opstaande zijden van een driehoek te zamen 12,6378 palmen bedragen en de hoeken aan de basis 74quot;15^/32^//en 23quot;41^/12^//zijn, vraagt men de beide andere zijden van den driehoek te berekenen.

Antw. 3,7215 en 8,9163 palmen.

1867. Utrecht.

1. Twee zijden eens driehoeks zijn 25 duim en 22 duim, en de ingesloten hoek is 2maal zoo groot als de hoek, die over eerstgenoemde zijde staat. Bereken lt;le andere elementen des driehoeks.

Anhv. De boeken zijn: 39quot;50^/2.^r)^//; 46quot;43^/ll^//,7; 93quot;26^/23^//,4; de derde zijde is 34,28 duim.

a T-i •• i sin. 33° sm. 3^J , _r. , ,

2. Bewus dat--r-r—^--r- = tanq. 18°, als bewezen aan-

^J cos. 33quot; cos. 3°

nemende de formules vonr sin. (rt i b) en cos. (rtit/;).

37

3. Van een driehoek zijn gegeven tie iioogte — h, de basis — b en de tophoek = x. Druk de beide andere zijden in deze gegevens uit.

Antrr 2M r.oty X i h \\/ -f- 4/j/j cotxj. x — 4//²

y/ ■ _

1867. Overijsel.

1. De vergelijkingen \'è sin, xb cos. x ~ 1 op te lossen.

Aiitiv. a; = lllquot;5^/19^//)4; SlO\'öO\'lD\'^; enz.

2. De vergelijking a cos.².» -f- fc slt;m. a;cos. x c sin. \'²x — cl op te lossen.

Ant,,. ^ = 1 F= ^d—a—c) ± (,.-_c)|/y 4(,i-₀) (.-rf)!

2 L (a—c)² -1- 6² J

_ ¹ r,.„„ . («—^c) (2(/—a-c) t ^ lX^² 4 {d-a) (c-101 - ₂ ocj yeos. - _ia__cy _b* J

3. Van een driehoek is gegeven a = 13,47 el, b = 9,77 el, de loodlijn p, die uit A op a is neergelaten = 6,4097 el. Bereken c, A, B en G, Antiv. c = 8,846 e\\A = 92\'^,33^/55^//,2 ; B = 46quot;26^/4^//,7 ; C = 41°.

1867. Q-roningen.

lquot;^te Ploeg.

1. Bewijs uit een figuur de formule voor sinus [u -f- b).

2. Gegeven zijnde tany. 45quot; = 1 en tang. 30quot; = J \\/ 3, dan vraagt men de tangens van 7^o30^/.

Antw. 2]/ 2 1/3 —(2 K 3).

3. Van een driehoek ABC is de zijde AB — 32 cm. en de overstaande hoek C == 62quot;l6^/\'; men vraagt de middellijn van den omgeschreven cirkel. Antw. 18,08 cm.

3^l10 Ploeg.

1. Bewijs uit eene figuur de formule voor cosinus {a-\\-b).

2. Gegeven de sinus-versus 60° = | en de sinus versus 45quot; = 1 — ■ï V 2 ; gevraagd de tangens van 52quot;30^/.

Antw. (2 - 1/quot; 3) (1 2 |/ 2 1/3).

3. In een hal ven cirkel is een vierhoek beschreven. Wanneer de zijde BG—32, de middellijn van den cirkel ^1D = 42, CD = 5 en de hoek C = 136\'^J14^/ is, dan vraagt men naar de diagonaal BD en den inhoud van het vlak.

Antw. In dit vraagstuk is klaarblijkelijk eene fout ingeslopen ; er zijn te veel gegevens en zij zijn met elkander in strijd.

38

1867. Limburg.

1. Construeer en los trigonometrisch op een driehoek, waarvan bekend zijn de basis a, de tophoek A en de som der opstaande zijden.

2. Construeer en los trigonometrisch op een driehoek, waarvan twee hoeken en i? en de som der drie zijden = 2s gegeven zijn.

3. Bewijs dat tang. A tang. B -f tang. C == tang. A tang. B tang. G is, wanneer de hoeken A, B en 0 te zamen 180quot; bevatten.

1868.

1. De zijde c te berekenen van een driehoek, waarvan gegeven is

a = 78,246; 6 = 35,928; C= 47quot;12^/35quot;..

Antw. c = 59,949.

2. Bewijs dat

2 Bg. [tg = --^=:= ^⁰⁰fJ i^s\'\'ⁿ — %)•

3. De waarde van (p te bepalen uit;

2

sin. (f -|- cos. lt;? \'(/• f cotci. (p = —r—.

sm. 2 lt;f

Anhv. (p = 0, (p — 90°, lt;p = 135°, = 315°, enz.

1869.

1. Welke waarden van «p voldoen aan de vergelijkiug;

sin. [a lt;f) sin. (a — lt;p) 2 sin. a = co tg.

Anhv. lt;p — 180°; lt;p = bq. F sin. = ^—!-quot;1.

L 2 sm. aJ

2. Van een driehoek ABC zijn gegeven ^1.0= 57,28 meter, AG = 50,06 meter, 50 = 32,74 meter; uit G is eene lijn getrokken naar de overstaande zijde, zoodat zij met de zijde AC een hoek maakt gelijk aan hoek A; men vraagt de lengte der stukken, waarin AB door die lijn verdeeld wordt. Antw. 30,443 en 26,837 meter.

1870.

1. Bewijs de formule :

tang. {a b) tang. } (a — b) -

cos. a cos. b\'

2. Van een driehoek ABC zijn gegeven de zijde ^.5=13 m., BG=15 m., .40=14 m.; men vraagt de lengte der lijn BD, die den hoek B middendoor deelt, benevens den hoek BDA, dien zij met de zijde AG maakt, te berekenen.

Antw. BD = 12,093 m.; hoek BDA = 82^o52^/30^//.

¹⁸⁷¹.

1. Om twee schijven is een koord gespannen; indien de stralen der schijven 1,357 en 0,452 meter zijn en de afstand der middelpunten 3,965 meter bedraagt, hoe lang is dan het koord ?

Antw. 13,8206 meter.

39

2. Op een heuvel, van waar men in het dal een toren kan zien, staat een gebouw. Meet men aan den voet van het gebouw op den heuvel den hoek, dien de verticaal maakt met de lijn, welke van daar getrokken wordt naar den voet van den toren, dan is die gelijk 70quot; 10\', terwijl van daar de hoogte van den toren gezien wordt onder een hoek van 4quot;50^/. Plaatst men zich op het gebouw 20 meter hooger, dan is de hoek, dien de verticaal maakt met de lijn, welke naar den voet van den toren getrokken wordt, gelijk Hoe hoog is de toren ?

Antiv. 187,461 Meter.

1872.

1. De waarden van (p te vinden, die voldoen aan de vergelijking:

sec. lt;p — sin. lt;p -f cos. lt;p.

Antiv. cp = 0quot;, = 45°, lt;jp—180, = 225°, enz. Zie blz. 36.

2. Van een vierhoek ABGD is gegeven de zijde AB = 1045,9. Verder zijn gemeten de hoeken, die de diagonaal A O met de zijden AB en AD maakt, te weten hoek CAB = 5S^o20^/ en hoek CAD — 37°, en de hoeken, die de diagonaal BD met de zijden A B en BC maakt, te weten hoek DBA—b\'S\'SW en hoek DBC — 4ÓA5\'. Men vraagt de zijde CD te berekenen. Antiv. (72) = 2632,362.

1873.

1. Op een der beenen van een hoek «, op een afstand a van liet hoekpunt, is een punt gelegen; uit dit punt wordt eene loodlijn op het andere been neergelaten, uit den voet dier loodlijn weer eene loodlijn op het eerste been, en zoo vervolgens tot in het oneindige. Men vraagt de som van al die loodlijnen te berekenen.

a sin. a

Anhv, --.

1 — cos. a

2. Voor een standbeeld van h — 8,77 meter hoogte moet een voetstuk gemaakt worden, zoodat een beschouwer, wiens oog zich op eene hoogte van b = 1,57 meter boven den grond bevindt, op een afstand a, = 14 meter het standbeeld benevens het voetstuk onder een hoek van 38° ziet. Hoe hoog moet het voetstuk zijn ?

Antw. 6,413 meter.

1874.

1. Voor welke hoeken is de cosinus-versus het dubbel van den sinus-versus ?

Antw. Voor de hoeken 36⁰52^/ll^//,6; 270° ; 396⁰52^/ll^//,6; enz.

2. Van een trapezium is eene der evenwijdige zijden 237,34 meter, de beide daaraan liggende hoeken zijn 117⁰36^/8^// en 135⁰29^/12^//; de hoogte bedraagt 87,05 meter. Men vraagt den inhoud te berekenen.

Antiv. De inhoud is 26495,1 vierk. meter.

40

1875.

1. De vergelijking;

tang. y — sin. lt;f = a tang. lt;f sin. lt;p

op te lossen.

Antw. ^ — ^(,0. v= 180⁰, lt;^= 360° enz.; vervolgens y = boog

sin. — -—;—-) en wel 1 a²J

als 0 lt;; « lt;; 1 Hgt lt;p iu het l^stl! kwadrant;

ills a gt; 1 ligt (f in liet 2\'^le kwadrant;

als 0 gt; a gt; — 1 ligt y in het 4^du kwadrant;

als nc — 1 ligt (p in het Squot;¹⁰ kwadrant.

i. Uit den top van een toren, die 60 meter boven het oppervlak der^ zee ligt, ziet men twee schepen. De lijn, uit den top naar het eene schip getrokken, maakt met het horizontale vlak, dat door den top gaat, een hoek van en de lijn, die naar het andere schip getrok

ken wordt, maakt met dat vlak een hoek van 9^o16^/40^//. Beide lijnen vormen samen een hoek van 51°13^/10^// Hoe ver zijn de schepen van elkander verwijderd? Antw 294,3 meter.

1876.

1. In een gelijkbeenigen driehoek wordt een cirkel beschreven, en aan dien cirkel eene raaklijn getrokken, evenwijdig met de basis. In den gelijkbeenigen driehoek, die hierdoor ontstaat, wordt weer een cirkel beschreven, en zoo gaat men voort tot in het oneindige. Bepaal de som der inhouden van al die cirkels, als de tophoek van den driehoek «en de opstaande zijde a is.

Antw. —g—. sm,a cos.

_ 2. Wanneer van een gelijkbeenig trapezium gegeven zijn ééne der niet evenwijdige zijden c=13, de grootste hoek, dien deze met eene diagonaal maakt y = 59⁰29^/23^//,l eu die diagonaal b—15, dan vraagt men de evenwijdige zijden eu de hoekeu van het trapezium te berekenen.

Antw. De evenwijdige zijden zijn 4 en 14; de hoeken G7⁰22^/48,5 eu 112⁰37^/ll^//,5.

1877.

1. De waarden van x te vinden, die voldoen aan de vergelijking:

(cos. a [/ — 1. sin. a)² = cos. x -f \\S — ï. sin. x.

Antw. x=2a, x=2a-]- 360quot;, enz.

2. De zijden van een driehoek zijn 18, 14 en 15 meter. Hoe lang is de lijn, die het hoekpunt van den kleinsten hoek verbindt met het middelpunt van den ingeschreven cirkel? Anttv. 8,945 meter.

1878.

1. Bereken de deeleu van een boog van 45quot;, welker tangenten staan

als 2 tot 3. Antw. IS^\'ö⁷\', en 26⁰33^/54^//, cl. x. Bcj. tg. ^ en Bg. tg.-±.

2. Van eeu vierhoek ABCD, die in D een inspringenden hoek heeft.

41

zijn gegeven de zijden AB = 809,54 meter, BC = 751,62 meteren de inwendige diagonaal 710=: 518,14 nieter, benevens de hoeken, welke deze diagonaal met de zijden BA en DC maakt, namelijk /_ ADB — a = 116quot;44^/24^// en CDB — p = 137quot;i;-}^/46\'\'^/ Men vraagt de andere diagonaal AC te berekenen Antw. 578,33 meter.

1879.

1. In een gegeven vierkant is een ander vierkant zoodanig geplaatst, dat de hoekpunten van het laatste in de zijden van het eerste gelegen zijn

Als de inhoud van het ingeschreven vierkant | is van den inhoud van het gegeven vierkant, dan vraagt men naar den hoek tusschen de zijden van het grootste en die van liet kleiuste vierkant. Antw. 15quot;

2. Van een driehoek ABC zijn gegeven de zijde AB = 2§,2i, de lijn CD, uit het overstaande hoekpunt C naar het midden dier zijde getrokken = 22,68 en de straal van den omgeschreven cirkel = 15,46 centimeter. Hoe groot is de inhoud van dien driehoek.

Antw. 274,54 vierkante centimeter.

1880.

1. De waarden van x te vinden, die voldoen aan de vergelijking:

/Y)o ^ \'y

Tang. (45quot; -j- x). cotcj. (45 - x) — ^ ^ 2 x ^{= 2}\'

Antw. Cotq. = 0 of\' -f- ^ dus x = 90quot;, 270° of iB\'^ö\'öquot; en

igs\'^ev⁷.

2. Van een vierhoek ABCD zijn gegeven; AB — BC — 0,T5-_t Cl) = 2-, /_B XWXh\' en C=70quot;IÜ^/. Bereken de zijde AD.

Antw. 0,86596. Zie blz. 35.

1881.

1. Bepaal de waarden van x, die voldoen aan de vergelijking:

cos. x cos. \'2 x -\\- cos. 3 x = 0.

Antw. x — Bcj. {Cos. =. ± ^ Y 2) = 45quot; n. 90° en x = By. (Cos. — — -£) = 120quot; -j- u. 360° of 240quot; -j- n. 360° waarin jï — 0 of een willekeurig geheel getal.

2. De zijden van een driehoek zijn 562,44 M., 611, 82 M. en 407,94 M. Hoe groot is de straal van den ingeschreven cirkel, en hoe groot zijn de hoeken van den driehoek, die gevormd wordt door de vereeniging der raakpunten? Antw. 140,9 M.; SB\'^l\'SO\'\', 51quot;50^/ en 69^!gt;48^/30^//.

1883.

1. Bepaal de waarden van y, die voldoen aan de vergelijking:

lmkj. tf cotg. lt;f -)- sec lt;p cosec = |- l/3.

Antw. (p — Bg [tg = V^r 3) of — Bg [tg = \\ ]/ 3), dus = 30quot; of = 60quot;.

4:2

2. Van een driehoek zijn gegeven de zijden a = 130 M., b = 262 M. en c = 289 M. Men vraagt den inhoud te berekenen van het segment, dat door de grootste zijde wordt afgesneden van den omgeschreven cirkel. Antw. 328 A.

1883.

1. Welke waarden van x voldoen aan de vergelijking;

sec², l x-\\- cosec². aj = 16 cotg x?

Antw, # = 15quot;, 75°, 195° en 225quot;.

2. Van een driehoek zijn de zijden 13, 14 en 15 cM. lang. Uit het tegenover de kleinste zijde gelegen hoekpunt als middelpunt, is een cirkelboog beschreven, die den driehoek in twee deelen van gelijken inhoud verdeelt. Hoe groot is de straal van dien cirkelboog?

Antw. 9,517 cM.

3. Van een driehoek ABC zijn gegeven:

/_ A = öO^O^Oquot;; /_ B =: de inhoud = 100 M².

Bereken de zijde, die tegenover den derden hoek ligt. 15,17 M.

1884.

1. Welke waarden van x voldoen aan de vergelijking:

/ . 1 \\ _n 2 8171. 2 X

sin. x tanq. x A--] \\/ o — z—;-rr—?

^ •\' sec. x.\' 1 - cos. 2 x

Antw. 60quot;. 90quot;, 120quot;, 240quot;, 270quot;, 300°.

2. Van een scheefhoekigen driehoek is gegeven: eene zijde a = 17,46, eene zijde i = 23,87 en de ingesloten hoek C = 65quot;23\'\'20quot;. Vrage de lengte der lijn, die in dien driehoek den gegeven hoek C middendoor deelt. Antw, 16,97.

3. Als van een driehoek ABC gegeven is:

cos². A -f- cos². B cos². C= 1,

dan is een dier hoeken recht. Bewijs dit.

1885.

1. Bepaal de waarde van in de vergelijking;

(sin. 1 a -f- cos. l «)² -|- sin. 2 « -f- cos. « = 0.

Antw, 135°, 180°, 270quot;, 315quot;.

2. Van een ABC zijn de zijde AB = 30, de zijde .60= 37 cM. en de hoek ^$0= 47quot;12^/40^//, Op AC als basis wordt eene gelijk-beenige driehoek ADC beschreven, die evenveel inhoud heeft als A ABC. Bereken l_ ADC.

Antw. 50quot;4^/30^//.

3. Als « y = 180quot; is, dan is

sin. ²Â« sin ^aP sin. ²y = 2 (1 cos. a cos. p cos. y).

Men vraagt het bewijs.

43

1886.

1. Van een vierhoek ABCD is gegeven: AB—l,2b\\ BC—--0,15; CD = 2-, LB=\\l0^o\\b\' en /_ Bereken AD.

Antw. Dit vraagstuk werd ook opgegeven in 1880 en in 1867, Zuid-Holland I^s10 Ploeg. De uitkomst is 0,86596.

2. De waarden van x te vinden, welke voldoen aan de vergelijking: 6 sin 2 x ö = 3 {tg. x -f- cotg. x).

Antw. Sin.Zx—\'^, of x = 20°54^/l8^//,6 of 69⁰5^/41^//,4 of 180°

grooter dan een van deze twee hoeken.

8. Te bewijzen dat de inhoud eens driehoeks gelijk is aan r² eot. ^ A cot. I B cot. I C, waarbij r de straal des ingeschreven cirkels en A, B en C de hoeken des driehoeks voorstellen.

1887.

1. Bepaal x uit de vergelijking:

sin. x sin. 2x -f- sin. 3x sin. ix == O.

Antw. Sin, x = 0, of cos x = 0, of cos. x — | (— lij/ 5), dus x = 7i.^lt;d0quot; of 72° of 144°.

2. Van een driehoek zijn gegeven de opstaande zijden 834,75 en 698,23 en de lijn die den tophoek middendoor deelt 725,83. Bereken de hoeken en de basis van den driehoek.

Antw. Tophoek = 34⁰41^/33^//; hoeken aan de basis: 88\'^gt;34^/l^// en 56\'^gt;44^/25^//. De basis 475,26.

3. Van een driehoek ABC is gegeven:

sin.² A sin.² B — sin.² (J.

Bewijs dat C recht is. Vergelijk 1884 en 1885.

888.

1. Van een driehoek is de basis 49 en zijn de twee opstaande zijden 40 en 21 M. lang. De langste opstaande zijde wordt door den top verlengd, en de alzoo ontstaande buitenhoek middendoor gedeeld. Welke is de lengte dezer deellijn tot aan het snijpunt met de verlengde basis, hoe lang het verlengde der basis en welken hoek vormen deze beide lijnen ?

Antw, De deellijn 68,898 M.; het verlengde der basis 54,158 M. De hoek 14⁰3^/57^/\'\'.

2. Bereken x uit: tang, x — sin. x = tang. x, sin x.

Antw. Zie 1875. ,^ = 0quot; of 180quot;.

3. Bewijs dat tang. a tang. b -f- tang. c = lanrj. a. tang, b. tang. c is, als ^ rt Z ^ quot;f- Z ^c — \' ^0quot; is.

Antw. Zie 1867, Limburg.

44

1889.

1. as op te lossen uit de vergelijking:

(sin, 2x — ^)² — {sin. x — cos. x)² — ^ cos. 2x.

Anhv. Sin. x=± \\ {— 1 rh K 5), eu aj = 18° of 54°.

2. Van een rechthoekigen driehoek ABC, rechthoekig in C, is gegeven de omtrek = 8,704 d.M. en = Hoe lang is elke zijde?

Antw. AB = 1,5506; AC =1,2839; BC = 0,8695 d.M.

3. Te bewijzen: r — 4 R sin. i, A sin j, B sin. \\ C, indien r en li de stralen van den in- en omgeschreven cirkel zijn en A, B en C de hoeken van een driehoek.

1890.

1. Ondersteld „/ A 4- Z B = 90quot;.

. , ,, cos. 2B — cos, 2A Bewijs: tang. A — tang. B =-:——--.

2. Van een vierhoek ABCD zijn gegeven de overstaande zijden AB = 30, CD = 11, _/ A = 45°, /,B = 56quot;8^/, / G = 116quot;50^/.

Bereken de diagonaal AC.

Anhv, — cota. ACB = coüi, (A -4- B) -f- ——. ^ — ———- • ^J ^ ^{v 1} \' ¹ 30 sm, B son, (A B)\'

/ ACB = 94quot;34^/43^// en AC = 24,99.

3. Bepaal « uit:

tang. « colang, « = 3 sec. «.

Antw, sin. «= ^, dus «= 19quot;28^/16^//,4; I60^o31^/43^//,6 enz. Zie blz. 36.

1891.

1. Bepaal de waarden van x, die voldoen aan do vergelijking:

sin. xsin. öx = |/ 3 cos. 2x.

Anhv. cos. 2a; = 0, dus « = 45quot;, 135quot;, 225°, 315°; of sin. 3« = 11/quot;3, dus x — 20quot;, 40quot;, 140quot;, 160°, 260quot;, 280°.

2. Bewijs dat in eiken driehoek, waarvan de hoeken A, B en C en de overstaande zijden a, b en c zijn:

(a amp;) sin. \\C — c cos. |(A — B).

3. Van een driehoek ABC zijn gegeven: AC = 98, BC = 205 en de ingesloten hoek C = 69quot;54^/24^//. Men vraagt naar den straal van den omgeschreven cirkel.

Antw. 103,541.

C. Meetkunde.

Tijd 3 uren.

1866, Zuid-Holland.

lquot;⁸ Ploeg.

1. Hoeveel graden bevat de hoek eens sectors, wiens inhoud gelijk is aan het vierkant op den straal? Antw. 114⁰35^/29^//,612494.

2. Van een kegel is het gebogen oppervlak 926,534, het grondvlak 29S,407 vierk. palm. Hoe groot is de tophoekquot;? Antw. 37⁰34^/33^//,9.

3. In een afgeknotten kegel, waarvan de straal des grondvlaks 72, en die van het bovenvlak r is, wordt een bol beschreven. Hoe groot is de inhoud diens bols?

Antxv. Alleen wanneer de afstand van grond- en bovenvlak gelijk is aan 2V Tlr zal het mogelijk zijn een bol in dien afgeknotten Uegel

4 3 8

te beschrijven. De inhoud van den bol is dan ,-r.

2\'^,e Ploeg.

1. Van een driehoek zijn de drie zijden «, b en c gegeven. Men vraagt den straal van den omgeschreven cirkel te berekenen.

Anhv. Stelt I den inhoud van een driehoek voor, zoo is de

gevraagde straal -jj.

2. Van een metaal, welks soortelijk gewicht s is, wordt een holle kogel vervaardigd, die in het water zweeft. Zoo de middellijn buiten-zijds d is, en de kogel van binnen luchtledig wordt ondersteld, vraagt men de dikte van het metaal.

Anhv.

3\'^le Ploeg.

1. In een driehoek, wiens zijden zijn a, b en c, is een rechthoek beschreven, waarvan eone zijde in de zijde a van den driehoek is gelegen en wiens omtrek is d. Men vraagt de zijden en den inhoud van dien rechthoek te berekenen.

2 ___

Anhv. Stel J. (ct-f- b-\\-c) — s en ■ ■ [/ s (s — a) (* — b) {s — c) =h

dan is de zijde, welke langs de zijde a van den driehoek valt:

2h — d a h — a 2\'

en de andere

d — 2a h h — a \' 2\'

Aan de volgende voorwaarden zal intnsschen moeten voldaan zijn:

46

1°. Zoowel a² -|- b* — c² als fl² — ft² -j- c² moet grooter zijn dan nul (geen hoek aan de zijde a mag stomp zijn);

2°. Wanneer h gt; a is, moet d lt; 2h en gt; 2a gegeven zijn; wanneer h lt; a is, moet d gt; 2h en lt; 2a gegeven zijn; wanneer h = a is, moet d — 2a gegeven zijn.

Is h = a, zoo laat het vraagstuk een onbeperkt aantal oplossingen toe.

2. In een rechten kegel, waarvan de schuine zijde a palmen en de straal van het grondvlak b palmen bedraagt, is een bol beschreven. Men vraagt het oppervlak van het bolvormig segment, dat boven den rakenden cirkel is gelegen.

. . 2nb²(a — b)²

Antw. -, , ,, .

a {a -f- b)

1866. Gelderland.

l⁸quot; Ploeg.

1. Van eene regelmatige vierhoekige piramide is de opstaande ribbe V 3 en de ribbe van het grondvlak 2 el; men vraagt hieruit den standhoek van het grondvlak met elk der opstaande zijvlakken te berekenen. Antw. 45quot;.

2. Van twee elkander snijdende bollen zijn de stralen 5 en 8 duim; als nu de afstand der middelpunten 7,8 duim is, hoe groot is dan het gemeenschappelijk deel van beide bollen?

Antw. De inhoud van het gemeenschappelijke dubbele segment is 68,363 n kub. duim.

3. In een rechten cirkelvormigen kegel heeft men een bol beschreven, die het grondvlak en het ronde oppervlak van den kegel raakt. Men begeert den inhoud van een tweeden bol te vinden, die den eersten bol en het ronde oppervlak van den kegel raakt, als gegeven zijn de straal van het grondvlak 12 en de schuine zijde 15 duim.

Antw. „ n kub. duim.

Jloi

4. Eene driehoekige piramide, waarvan gegeven zijn de ribben van het grondvlak a, b en c, wil men in drie gelijke deelen verdeelen door twee vlakken, die beide door den top en door het midden van de ribbe a gaan; men vraagt de deelen te berekenen, waarin de ribben b of c door die vlakken verdeeld worden.

Antw. Het eene vlak zal de ribbe b snijden in het punt dat van

2

het snijpunt der ribben a enb, b verwijderd is; evenzoo zal het andere

O

vlak de ribbe c snijden.

3^de Ploeg.

1. Van een cirkelsector is gegeven de omtrek a duim en de inhoud b² vierkante duim. Bereken hieruit den straal en druk den boog in duimen en in graden uit.

Na de oplossing 20 voor a en 24 voor b² te substitueeren.

47

I

, , _] . a±]/ a² —löft² rtTlX a² — löfe²

Antw. i)e straal is------duim; de boog-------

■j . a² -8fc^2;Fal/^ a^a—I66² 180 ,

duim, en---graden.

Na substitutie: de straal 6 of 4 duim, de boog 8 of 12 dui.u,

240 ,540 en -of- graden.

n jr ^amp;

2. Zoek de oppervlakte en den inhoud van een cubus, die met een der zijvlakken in bet grondvlak en met de hoekpunten van het overstaande vlak in het ronde oppervlak van een kegel ligt, waarvan gegeven is de sohuine zijde 9 en de straal van het grondvlak 3 duim.

Antw. Oppervl. = 48 vierk. duim ; inhoud = 16 2 kub. duim.

3. Van eene afgeknotte regelmatige vierhoekige piramide is de ribbe van het grondvlak 48, die van het bovenvlak 3 en de opstaande ribbe 33,75 duim. Men vraagt de inhouden van de beide gelijkvormige afgeknotte piramiden, waarin de gegevene verdeeld kan worden door een vlak evenwijdig aan grond- en bovenvlak.

Antiv. 9072 kub. duim en 141,75 kub. duim.

4. Van een bol, wiens straal R gegeven is, heeft men een bolvormig segment afgesneden, wiens pijl h is. Druk in deze gegevens de hoogte uit van een kegel, die op het grondvlak van dit segment staat en daarmede dezelfde oppervlakte heeft.

_Ant_w. _h Y

1867. Zuid-Holland.

l^Bt9 Ploeg.

1. In een bolvormig segment is een kegel beschreven ; men vraagt de verhouding tusschen de ronde oppervlakken dezer twee lichamen.

Antw, Is li de straal van den bol, h de pijl van het segment, zoo

is oppervl. bolv. segm. — V zii—h X ⁰PP^ervl- ^keg^eI

2. Eene formule te vinden ter bepaling van den inhoud van eene bolvormige schijf, uitgedrukt in de stralen van het grond- en bovenvlak en de hoogte.

Aniiv. Zijn r en r\' de stralen van grond- en bovenvlak, is h de hoogte der schijf, zoo is haar inhoud

^[/*² 3{r² »-^/2)].

3lt;ie pioeg.

1. De formule te vinden voor het oppervlak van eene bolvormige schijf, als de stralen van het grond- en bovenvlak zijn R en r en de hoogte = h. Antw. n ]/ 4/j²/-^a (//,² R² — r²)².

2. De straal van een ingeschreven cirkel in een regelmatigen tien-hoek, uit te drukken in den straal van den omgeschreven cirkel.

1

48

Anhv. Is r de straal van den ingeschreven, R die van den omgeschreven cirkel, zoo is r = ^ j/ lO-f- ^ K5.

3\'¹quot; Ploeg.

Den straal te berekenen van een bol, die in een gegeven bolvormigen sector kan beschreven worden.

Anhv. Is Tl. de straal, h de pijl van den sector, zoo is de gevraagde

quot;trial ^ ^ n

\' {li~hY

4\'¹⁰ Ploeg.

1. Wanneer men niet eene gegeven lijn r als straal een cirkelsector wil beschrijven, die evenveel inhoud heeft als een gegeven cirkel, die R tot straal heeft, hoeveel graden bevat dan de boog van dien sector?

R²

Anhv. — 360 graden.

2. Den inhoud te berekenen van een afgeknotten kegel, als de straal van het grondvlak het dubbel is van zijne hoogte en de schuine zijde niet het grondvlak een hoek maakt van 45quot;.

Anhv. Is h de hoogte van dien afgeknotten kegel, zoo is de 7

inhoud — h*n.

1867. Noord-Holland.

I^st0 Ploeg.

1. Een vierkant te construeeren, wanneer de som van de zijden en van de diagonaal gegeven is. \'

2. Van een regehnatigen tienhoek laat men om zijn 2\'¹quot; diagonaal (dat is de koorde, die van den omgeschreven cirkel een hoog van 108° onderspant) het kleinste gedeelte omwentelen. Men vraagt naar den inhoud van het omwentelingslichaam, als de zijde van den tieuluek gegeven is.

Antw. Zij a de gegeven zijde, dan is de inhoud .-r a^a ———— 3\'^le Ploeg.

1. Een gelijkbeenigen driehoek te construeeren, wiens hoogte en omtrek gegeven zijn.

2. Een rechthoekig trapezium, waarvan de evenwijdige zijden a en 2a zijn, en welks hoogte h, is, wentelt om zijne schuine zijde; men vraagt naar den inhoud van liet omwentelingslichaam.

, , 7.t a²h*

Anhv. —• =.

3 1/ rlt;³ //²

49

1867. Zeeland.

1. In een gelijkzijdigen driehoek, wiens zijde a is, heeft men een vierkant beschreven. Men vraagt den inhond van dit vierkant te berekenen. Antw. a² (21 — 6 3).

2. In een bol van den straal r is een kegel beschreven, die denzelfden inhoud hoeft als het segment, dat aan het grondvlak van den kegel grenst. Welke hoogte heeft het segment ?

7-1X17

Antw. -f-r.

1867. Utrecht.

1. Bepaal de hoogte van het bolv. segra. behoorende tot den bolv. sector, waarvan het geheele opp. — a² is, als de straal des bols = R is.

, , 2a² .-t R* — 1/ ^7^quot; 4tt a² R² - a*

Amw. -p—n-

bn R

2. Met het hoekpunt A van een regelmatigen tetraëder jj^j)

middelpunt en de ribbe AB tot straal, is een bol beschreven. Bereken den inhond des bolv. driehoeks BCD als de ribbe des tetraëders 2 palm is, en de te berekenen hoeken slechts tot in minuten benaderd worden.

Antw. vierk, palm.

3. Bewijs, dat de inhoud eener afgeknotte piramide gelijk is aan een zesde der hoogte vermenigvuldigd met de som van grondvlak, bovenvlak en 4maal de doorsnede der piramide met een vlak, dat evenwijdig is met het grondvlak, in het midden der hoogte. Als bekend wordt aangenomen de inhoud eenor piramide uitgedrukt in basis en hoogte.

1867. Overijsel.

1. Drie rechte lijnen snijden elkander onder de scherpe hoeken «, /5 en y. Een stuk van de eerste lijn, van gegeven lengte w, wordt op de tweede geprojecteerd, deze projectie op de derde lijn, de tweede projectie op de eerste lijn enz. tot in het oneindige. Hoe groot is de som der lijn m en van al hare projectiën ?

14- cos. ct 4- cos. « cos.

Antw. tn. —;-----

1 — cos. « cos. p cos. y

2. Wanneer de zijde des regelmatigen twaalfhoeks als eenheid genomen wordt, begeert men daarin den inhoud uit te drukken,

Antw. 6 -f- 3 )/ 3.

3. Wanneer van eene afgeknotte piramide gegeven is het grondvlak = 100 Q palm, het bovenvlak = 10 fj palm en de hoogte = 6 palm, vraagt men de verhouding van de inhouden der deelen te vinden, waarin dit lichaam verdeeld wordt door een vlak, dat op twee palm afstands van het grondvlak, evenwijdig aan het grondvlak, gebracht wordt

Antw. De inhouden verhonden zich als 61 tot 50.

4

50

4. Bereken den inhoud van het lichaam, voortgebracht door de omwenteling van een cirkelsegment om eene middellijn, die door het uiteinde van den boog gaat, wanneer gegeven is, dat de koorde van het segment de zijde is van den ingeschreven regelmatigen driehoek.

3

Antw. Zij r de straal van den cirkel, zoo is de gevraagde inhoud — nr^a.

1867. Groningen.

I⁵¹⁶ Ploeg.

1. Van een rechthoekigen driehoek ABC is de rechthoekszijde

= 20 en de rechthoekszijde BC = 15 Ned. duim Men vraagt den afstand van den hoek C tot het middelpunt van den ingeschreven cirkel. Anke. 5 ]/ 5 duim.

2. Men heeft van kneedbare stof een afgeknot driehoekig prisma, waarvan de zijden van het grondvlak 13, 14 en 15 Ned. duim zijn, terwijl de ribben loodrecht op het grondvlak staande, 27, 36 en 48 Ned. duim zijn. Wanneer men deze stof wil vervormen tot een regelmatig octaëdrum, hoe groot is dan de as? Antw. 26,52 duim.

3. Een driehoek, wiens zijden 26, 28 en 30 Ned. duim zijn, wentelt men om eene as evenwijdig aan en op een afstand van 8 Ned. duim van de langste zijde. Hoe groot is dan de inhoud van het door omwenteling ontstane ringvormige lichaam\'? Antw. 10393,6^ kub. duim,,

3\'¹⁰ Ploeg.

1. Om en in een rechthoekigen driehoek, wiens rechthoekszijden 12 en 16 duim zijn, is een cirkel beschreven: men vraagt naar den afstand der middelpunten van deze cirkels. Antio. [X 20 duim.

2. Ecu cirkelsegment, waarvan de projectie van den boog op eene as 6 duim is, terwijl de uiteinden der koorde 14 en 21 duim van genoemde as verwijderd zijn, wordt om dien as gewenteld; men vraagt den inhoud, welke door die omwenteling ontstaat.

Antw. Is R de straal van den cirkel; sin /3 = terwijl 3

u Jl

wordt uitgedrukt in graden, dan is de gevraagde inhoud:

4 it R* ^iL² 17,5 [/85 -3 1/ 4 R* — 85 \\

]/ 85 180V ^K )

—-^J/ i Rquot; — 85 (l7,5]/quot;85 —}/ —Böj.

ï 3, Uit een bol, wiens straal — a is, heeft men een cirkelvormigen bolvonnigen sector gesneden, waarvan de tophoek = 60quot; is. Hoe groot zullen lt;le ribben van een tetraëdrum zijn, welks inhoud gelijk is aan dien van den bovengenoemden sector?

Antw. 2jt (2 V 2 — V 6).

51

1867. Limburg.

1. Bewijs dat, waaneer een rechte liju loodrecht op een vlak staat, de projectie van die lijn op een ander vlak loodrecht op de snijlijn der twee vlakken staat.

2. Bepaal den kortsten afstand van twee rechte lijnen, welke elkander kruisen.

3. Van eene driehoekige piramide hebben de opstaande zijvlakken elk een tophoek vau 60°. Indien nu de opstaande ribben 1, 2 en 3 palm lang zijn, vraagt men den inhoud dezer piramide te berekenen.

Aniw. ^ 2 kub. palm.

4. Bewijs, dat twee driehoekige piramiden van gelijke basis en gelijke hoogte gelijken inhoud hebben.

5. Wanneer van een kegel de hoogte h en de schuine zijde s gegeven zijn, hoeveel graden bevat dan de hoek van den cirkelsector, die door de ontwikkeling van het ronde oppervlak ontstaat?

6. Te bewijzen dat de inhoud van het lichaam, dat voortgebracht wordt door de omwenteling van een driehoek om een zijner zijden, gevonden wordt door den inhoud dezes driehoeks te vermenigvuldigen met het één derde van den omtrek des cirkels, die door het zich bewegende toppunt doorloopen wordt.

7. Van een bol, wiens straal R gegeven is, wil men een bolvormig segment afsnijden, welks rond oppervlak gelijk is aan den inhoud van een grooten cirkel des bols. Hoe groot moet de straal van het grondvlak van dit bolvormig segment zijn 7 Antw.

1868.

1. Op een holle cilindervormige buis rust een bol; de hoogte van het ingezonken segment is gelijk aan den halven straal r der cirkelvormige opening. Men vraagt den inhoud te bepalen van het ingezonken, alsmede van het boven de buis uitstekende segment.

13

Anttu. De inhoud van het ingezonken segment is -r^Tcr³; de inhoud

4:0

7

vau het boven de buis uitstekende segment is 7rjt?^,a.

O

2. Den inhoud te berekenen van een kubus, beschreven in een rechten cirkelvormigen kegel, zoodat de hoekpunten van het bovenvlak liggen in het oppervlak des kegels; en het grondvlak van den kubus, in het grondvlak des kegels. De straal van het grondvlak des kegels is = E, de hoogte — H.

8 R^a TP

Antw. ^2 P -f- JT y 2)³\' Gelderland, 2\'\'quot; Ploeg.

52

1869.

1. De lijn te construeeren, wier lengte is aangewezen door de formule x — ^/b (ab cd), waarin a, b, c en d gegeven lijnen voorstellen.

2. Binnen een regelmatig achtvlak ligt een cilinder zoodanig, dat de omtrekken van grond- en bovenvlak de zijvlakken van den octaëder raken in hun zwaartepunten. Als de ribbe van het achtvlak n is, hoe groot is dan de inhoud van den cilinder?

Antw. jra⁸.

3 Hoe ver moet het oog van het middelpunt eens bols verwijderd zijn om —de gedeelte van de oppervlakte des bols te kunnen overzien ?

• 71V

Antiv. Is r de straal van den bol, zoo is de gevraagde afstand

n—2

¹⁸⁷9-

1. Een driehoek middendoor te deelen door eene lijn, die door een gegeven punt van eene der zijden gaat.

2. Den inhoud te berekenen van de stukken, waarin een bol, welks straal R is, verdeeld wordt door een cilinder, welks as door het middelpunt van den bol gaat en die een straal r heeft.

Antw De inhoud van het stuk, door het cilinderoppervlak uit den

4 4 £ .

bol gesneden, is —n R³ — {ll²â€”r²y ■, de inhoud van het overige

4 ³-

gedeelte van den bol — — r²)².

3. De verhouding te vinden tusschen de inhouden der beide omwentelingslichamen, die worden voortgebracht door een zelfde rechthoekig trapezium, wanneer het beurtelings om eene der twee niet evenwijdige zijden wentelt.

Antiv. De inhoud van het lichaam is omgekeerd evenredig aan de lengte der zijde, door de wenteling waarom het ontstaan is.

1871.

1. Een gegeven cirkel door concentrische cirkels in zeven gelijke deelen te verdeelen.

2. In een bol is een kegelvormig gat, zoodanig, dat de top van den kegel in het oppervlak van den bol ligt, terwijl de as door het middelpunt van den bol gaat. Als nu de inhoud van het overblijvende gedeelte driemaal grooter is dan die van de in den bol gemaakte opening, hoe groot is dan de straal van het grondvlak van den kegel?

Antw. Is R de straal van den bol, dan is de gevraagde straal

— 3 \\/12. »Driemaal grooter danquot;, lees: driemaal zoo groot dan-

3. Bereken den inhoud van een regelmatig twintigvlak, welks ribbe

• , , 5(3 1/ 5) ₈ « is. Antw. —-—-- a³.

53

1873.

1. Een vierhoek te construeeren, als gegeven zijn drie zijden en de hoeken aan de vierde zijde.

2. Een kegel is met zijn top in een der hoekpunten van een gegeven kubus geplaatst, terwijl de omtrek van zijn grondvlak door het midden gaat van de drie ribben, die in het tegenovergestelde hoekpunt van den kubus samenkomen. Men vraagt den inhoud van dien kegel te bepalen, als de ribbe van den kubus gegeven is.

Antw. Zij a de ribbe van den kubus, zoo is de gevraagde inhoud

\'6. Uit een punt F, gelegen op het verlengde van de middellijn AB van een halven cirkel, is eene lijn getrokken, die den halven cirkel in een punt C raakt. Indien nu Ali = 2u en boog iyC=60^o is, vraagt men het oppervlak en den inhoud te berekenen van het lichaam, dat ontstaat door de wenteling van de figuur ACP om de lijn AF.

9 tjc ct^ 3

Antw. Het gevraagde oppervlak is - ; de inhoud —jt«³.

Z Ij

1873.

1. Indien men uit een der hoekpunten van een parallelogram lijnen trekt naar de middelpunten van de twee zijden, die den tegenoverge-stelden hoek insluiten, en de beide middelpunten door eene rechte lijn vereenigt, dan vraagt men de verhoudiug van de inhouden van den driehoek, door die drie lijnen gevormd, en van het geheele parallelogram te bepalen. Antw. jj.

O

2. Aan twee cirkels, die elkander uitwendig raken en waarvan de stralen R en r gegeven zijn, is eene gemeenschappelijke raaklijn getrokken. Bereken den inhoud van het lichaam, dat ontstaat door de figuur, welke begrensd wordt door de raaklijn en de cirkelbogen, begrepen tusschen hunne raakpunten met de rechte lijn en hun gemeenschappelijk raakpunt, te laten omwentelen om de lijn, die de middelpunten vereenigt.

1874.

1 Op eene gegeven lijn als hypothenusa is een rechthoekige driehoek geconstrueerd, welks zijden eene gedurige meetkundige evenredigheid vormen. Men vraagt eene uitdrukking te vinden voor eene der recht-hoekszijden en naar aanleiding van deze den driehoek te construeeren.

Antw. Als a de lengte der gegeven lijn voorstelt, zijn de recht-

54

2. Een regelmatig viervlak en achtvlak hebben gelijke oppervlakken. Welke is de verhouding van hunne inhouden ?

Antw Het achtvlak heeft een ]/ 2 maal zoo grooten inhoud dan het viervlak.

3. In en om een gelijkzijdigen driehoek zijn cirkels beschreven. De figuur wentelt om de middellijn, die door een der hoekpunten gaat. Men vraagt den inhoud der verschillende deelen te berekenen, waaruit het omwentelingslichaam is samengesteld, als men den straal des grootsten cirkels K noemt?

15 23

Antw. De gevraagde inhoudt n zijn : - n R³, R³ en jr R^a.

1875.

1. Van een gelijkbeenig trapezium, waarin een cirkel kan beschreven worden, zijn de evenwijdige zijden a en b gegeven. Men vraagt:

a. dit trapezium en den ingeschreven cirkel te construeeren, benevens den vierhoek, die de raakpunten des cirkels tot hoekpunten heeft;

b. den inhoud van dezen vierhoek uit. te drukken in «en b;

c. een gelijkzijdigen driehoek te construeeren, die denzelfden inhoud heeft als laatstgenoemde vierhoek.

Anito. De inhoud van den vierhoek is —^lt;^-—r V ah.

a-\\-b

2. Als een regelmatige vijfhoek, beschreven in een cirkel, welks straal 1 meter is, om eene middellijn wentelt, die door een zijner hoekpunten gaat, vraagt men het oppervlak en den inhoud te bepalen van het omwentelingslichaam, dat hierdoor ontstaat.

Antw. Het oppervlak is 10,28 vierk. meter; de inhoud 2,7725 kub. meter.

3. Een bol rust in een rechten kegel, welks as loodrecht staat terwijl de top naar beneden is gekeerd. Het grondvlak van den kegel is gelijk aan het oppervlak van den bol; de inhoud van den kegel is 2\\ {p) maal grooter dan de inhoud van den bol, die 16 [q) kub. decin, is. Bereken den afstand van het middelpunt van den bol tot den top van den kegel.

Antw. De afstand is j-\\/quot; p²-j-4 6 g = 2,5³ decim.

Met -!gt;[) maal grooter danquot; wordt hier bedoeld; p maal zoo groot dan.

1876.

1. Beschrijf in een gegeven vierkant, welks zijde a is, een gelijk-beenigen driehoek, welks inhoud een vierde gedeelte van dien van het vierkant bedraagt, zoodanig, dat de top van den driehoek ligt in een der hoekpunten van het vierkant en dat de uiteinden der basis van den driehoek in de zijden van het vierkant gelegen zijn. Laat deze constructie op berekening gegrond zijn.

55

2. Op de zijde van een gelijkzljdigen driehoek als middellijn wordt een halven cirkel beschreven. Men vraagt naar den inhoud van het omwentelingslichaam, dat ontstaat door het gedeelte van den driehoek, dat buiten den halven cirkel ligt, om de middellijn te laten wentelen.

Antw. Is a de zijde van den gelijkzijdigen drieiioek, dan is de

5

gevraagde inhoud n a³.

3. Van een biconvex lensvormig lichaam i.s de dikte 5 centim. en zijn de stralen van de bolvormige oppervlakken, die het begrenzen, 55 en 37,5 centim. Men vraagt den inbond van het lichaam te berekenen.

Antw. 1714,79 kub, centim.

1877.

1. Construeer een gelijkzijdigen driehoek, die evenveel inhoud beeft als een gegeven trapezium.

2. In een bol is een regelmatig tetraëder beschreven, welks ribbe a is. Men vraagt den inhoud te berekenen van de beide segmenten, waarin de bol verdeeld wordt door een vlak, samenvallende met een der zijvlakken van het tetraëder.

5 7

Antw. a^BV ü en TrrprJt a^a V 6-54 21b

8. Twee kegels liggen binnen een bol ; zij hebben denzelfden top, en de beschrijvende lijnen van den eenen zijn de verlengden van die des anderen ; de omtrekken der grondvlakken liggen op het oppervlak van den bol. De straal van den bol is 29 centim., de afstand van de grondvlakken der beide kegels bedraagt 41 centim., en de afstand van den gemeenschappelijken top tot het middelpunt des bols 1 centim. Men vraagt den inhoud van het omwentelingslichaam, dat door de beide kegel/lakken en door het oppervlak van den bol begrensd wordt.

Antw. 22973f .t kub. centim.

1878.

1. Bewijs dat de diagonalen van een regelmatigen vijfhoek elkander in de uiterste en middelste reden verdeden, en dat het grootste stuk gelijk is aan de zijde van den vijfhoek. Construeer met behulp van deze eigenschap een regelmatigen vijfhoek, welks zijde gegeven is.

2. Van een kubus wordt een driehoekige piramide afgesneden, waarvan de top gelegen is in een der hoekpunten van den kubus en de opstaande ribben met die van den kubus samenvallen. Indien die opstaande ribben alle gelijk zijn, vraagt men naar de hoogte der piramide en naar de plaats waar haar grondvlak de ribben van den kubus snijdt, als de inhoud der piramide een zesde bedraagt van dien van den kubus.

Antw. Noemt men de ribbe van den kubus a. dan is de hoogte

der piramide ^ 3, en haar grondvlak gaat door de drie hoekpunten van den kubus om den top.

56

3. Op liet oppervlak van een bol zijn een groote en een kleine cirkel getrokken, die elkander raken en welker vlakken een hoek van 30^u met elkander maken.

Hoe groot zijn het ronde oppervlak en de inhoud van het gedeelte van den bol, tusschen die beide vlakken begrepen, indien het oppervlak van den bol als eenheid van vlaktemaat en de inhoud van den bol als eenheid van inhoudsmaat worden aangenomen ?

Antw. Het oppervlak —; de inhoud

1879.

1. Uit een punt D van de zijde AB van een driehoek ABC is eene lijn DE getrokken, evenwijdig met AC. Uit B eene lijn te trekken, die AC in G en DE in F snijdt, zoodat de driehoeken DBF en BGC denzelfden inhoud hebben.

2. Van een lichaam is het grondvlak een rechthoek; de opstaande zijvlakken, die door de langste zijden van liet grondvlak gaan, maken met dit laatste hoeken van 30°, terwijl de beide andere zijvlakken, gaande door de kortste zijden van den rechthoek, met het grondvlak hoeken van 60quot; maken. Men vraagt den inhoud van het lichaam, als de zijden van het grondvlak a en ^ zijn,

Antw, Als a de langste zijde is, — b¹ (a —^ 3.

3. Uit een punt C, gelegen op het verlengde van de middellijn AB eens halven cirkels, is eene lijn getrokken, die den halven cirkel in D raakt. Als nu de straal van den cirkel MA = r en de lijn MC = a gegeven is, vraagt men de inhouden te berekenen van de lichamen voortgebracht door de wenteling der figuren CDB en CDA om de lijn CB.

I T* 1

Antic. 77 n— (ci r)² en - x — (ct — r)².

ó Ct ó ct

1880.

1. Van een gelijkbeenigen driehoek is gegeven de hoogte h en de straal van den ingeschreven cirkel r. Men vraagt door berekening en door constructie de basis en de opstaande zijden van den driehoek te vinden

Antw.

f It f If De basis = 2r \\/ -—-ijp de opstaande zijde = (/lt; — gt;•) -

¹

Van een kubus wordt door een vlak, dat loodrecht staat op een der diagonalen, eene driehoekige piramide afgesneden. Men vraagt de verhouding te bepalen tusschen de stukken, waarin de diagonaal door dat vlak wordt verdeeld, wanneer het oppervlak der piramide deel van dat van den kubus is.

Antw. 1 tot — \\ -\\- V (18 -f 6 1/ 3).

57

van dien des ingeschreven bols. Men vraagt de verhouding te berekenen, 1°. tusschen den inhoud van den afgeknotten kegel en dien van den ingeschreven bol; 2quot;. tusschen de segmenten, waarin de bol door den raakcirkel verdeeld wordt.

Antw. l^ü. 2^Ü. Zie 18G6 Zuid-Holland, l^Blc Ploeg.

1881.

1. Aan twee elkander in C uitwendig rakende cirkels, welker stralen \'da eu a zijn, trekt men eeue raaklijn, die de beide cirkels respectievelijk raakt in A en B. Bepaal den inhoud van den driehoek, die ontstaat, als C met A en B vereenigd wordt.

Antw. - d\' V 3.

Een bol rust op een horizontaal vlak; in de verticaal, die door het middelpunt gaat, bevindt zich een lichtgevend punt. Hoe groot is de afstand van dit punt tot het middelpunt van den bol, als het verlichte gedeelte van het bolvormig oppervlak even groot is als de schaduw, die de bol op het horizontale vlak werpt?

Antw. r ^5-|-17^, als r = de straal van den bol,

3. Van een gelijkbeenig trapezium is elke hoek aan eene der evenwijdige zijden 45quot;, de kleinste der evenwijdige zijden = a, en elke der opstaande zijden = b.

Bepaal de verhouding van de inhouden der omwentelingslichamen, die beschreven worden, als men achtereenvolgens dit trapezium wentelt om de kleinste der evenwijdige zijden, om de grootste der evenwijdige zijden en om eene der opstaande zijden.

Na de oplossing a — b te stellen.

\'óct^

Antw. 3 a 2 6 1/ 2 tot H a -t- ö K 2 tot 3 a I/ 2 2 b -\\—^ Als a — b wordt de verhouding: 3 -f- 2 2 tot 3 -j- 1^ 2 tot 5 -j- 3 2.

1882.

1. Wanneer men uit het hoekpunt B van den driehoek ABC eene lijn trekt, die de zijde AC in D ontmoet, zoodanig dat ABD gelijk is aan ^ C, vraagt men de stralen te berekenen van de cirkels, die in en u)ii de driehoeken ABD en BDC kunnen beschreven worden. De zijden van den driehoek ABC zijn a, b en c.

Antw. Als 1 voorstelt de inhoud van den driehoek ABC, dan zijn

^ C Cl

de stralen voor driehoek ABD; -—7—;—. en -—y en voor driehoek

a 0 c b 4/

² 1 b —^{c a}quot;^{2 c}

BCD: ——- —-— en

a -\\- b — c b Al

2. Van eene regelmatige vijfzijdige piramide is eene zijde van het

58

grondvlak = a. Men weet tevens, dat, als de opstaande zijvlakken om de ribben van het grondvlak worden neergeslagen, tot zij in het vlak, waarop het grondvlak rust, komen te liggen, de opstaande ribben in het verlengde der zijden, van den vijfhoek zullen komen. Men vraagt den inhoud dezer piramide.

Antw. a^a{5 -]-2 V 5).

8. Twee raaklijnen aan een cirkel, waarvan de straal r is, ontmoeten elkander onder een hoek van 60quot;. De figuur, ingesloten door de twee raaklijnen en den kleinsten boog des cirkels tusschen de twee raakpunten begrepen, wentelt ora de middellijn des cirkels, die door een der raakpunten gaat. Men vraagt den inhoud van het lichaam, dat door deze wenteling ontstaat.

Antw. ~nr³.

Li

1883.

1. Een gelijkbeenig trapezium in twee deelen van gelijken inhoud te verdeelen door eene lijn, die evenwijdig is met eene diagonaal.

2. Om een rechten cirkelkegel, waarvan de hoogte h en de straal van het grondvlak r is, is een bol beschreven. Beide lichamen worden gesneden door ee.i plat vlak, evenwijdig met het grondvlak van den kegel, zoodat de inhouden van de cirkels, volgens vvelke de bol en de kegel worden .gesneden, zich verhouden als n tot 1. Op welken afstand van den top moet het snijvlak aangebracht worden?

h? -4- r²

Antw. Op den afstand h. ,, ,——=-.

h¹ n r

3. De top van een rechten cirkelkegel, waarvan de schuine zijde 4, de hoogte 3 is, valt samen met het middelpunt van een bol. Hoe groot moet de straal van dezen bol zijn, opdat de inhoud van het deel van den bol, dat buiten den kegel ligt, gelijk zij aan tweemaal het deel van den kegel, dat buiten den bol ligt ?

Anho. 252 = 2,105.

1884.

1. Eene koorde snijdt de middellijn eens cirkels onder een hoek van 45°. Men vraagt te bewijzen, dat de som van de vierkanten der stukken, waarin de koorde door het snijpunt verdeeld wordt, gelijk is aan tweemaal het vierkant van den straal.

2. De straal van een bol is in de uiterste en middelste reden verdeeld ; het grootste stuk ligt aan het middelpunt. Door het deelpunt is een vlak gebracht, loodrecht op dien straal. In het grootste bol-segment, hetwelk dit vlak van den bol afsnijdt, is eene regelmatige vierzijdige piramide beschreven, waarvan de top ligt in het oppervlak van het bolsegment en het grondvlak in het loodrechte vlak. Bepaal van deze piramide den inhoud en het geheele oppervlak.

59

Antw. Als r de straal van den bol is : Inhoud = r^a en oppervlak = r² (— 1 K 5) -f- r² K (10 -f 2 1/quot; 5).

3. Op den bodem van een hollen cilinder, wiens hoogte gelijk is aan den straal van het grondvlak, is een halve bol geplaatst, wiens benedenvlak juist den bodem van den cilinder bedekt. De overgebleven ruimte is voor de helft met water gevuld. Hoe hoog staat het water boven het grondvlak des cilinders?

Anttc. Als r de straal is, ^ hoog.

1885.

1. Gevraagd een driehoek te construeeren, als gegeven zijn : de lijn, die den tophoek middendoordeelt; de lijn, die den top met het midden der basis vereenigt, en het stuk van de basis, dat tusschen de uiteinden dezer gegeven lijnen ligt.

2. Van een rechten cirkelvormigcn kegel met een tophoek van 60° is de straal van het grondvlak gegeven. In dezen kegel een cilinder te beschrijven, waarvan de inhoud gelijk is aan den inhoud van den bol, die in den overblijvenden kegel kan beschreven worden.

4

Antxo. De hoogte van den cilinder moet van die des kegels zijn.

O 1

3. Van een cubus wordt door vlakken, welke loodrecht zijn op de diagonalen, aan elk der hoekpunten een even groot stuk afgesneden en wel zoodanig, dat het oppervlak van het overblijvende lichaam 5/6 deel van het oppervlak van den cubus is. Hoe groot is de inhoud van het overblijvende lichaam, wanneer de inhoud van den cubus als eenheid wordt aangenomen ?

Antw. 0,8833.

1886.

1. Op AB als middellijn is een halve cirkel beschreven; twee willekeurige koorden AD en BC snijden elkander in P. Te bewijzen: AB² = AD X AP -f- BC X BP.

2. Aan de uiteinden A en B van een cirkelboog ACB zijn raaklijnen getrokken, die elkaar snijden in D. De punten A en B zijn met het middelpunt M van den boog ACB vereenigd, de hoek M is 45° en MA = r. De figuur MADB wentelt om MA als «s Bepaal de inhouden der lichamen die ontstaan door de wenteling van den driehoek AMB, van het cirkelsegment ACB en van de figuur ADBC.

Antw. r⁸; i (3 — 2 V 2);t r³; i (10 - 7 1/ 2) jr r³. b b o

3. In het grondvlak van eene regelmatige vierzijdige piramide, waarvan elke ribbe a is, heeft men een cirkel beschreven; op dezen cirkel is een rechte cilinder beschreven, welks cilindervlak de opstaande ribben snijdt. In het vierkant waarvan deze snijpunten de hoekpunten zijn, heeft men eveneens een cirkel beschreven. Men vraagt den inhoud

60

te bepalen van den afgeknotten kegel, waarvan deze cirkels het gronden bovenvlak zijn.

Antw. (— 1 2]/ 2) na³.

1887.

1. In en om zeker trapezium, waarvan de evenwijdige zijden a en h lang zijn, kan een cirkel worden beschreven.

Bewijs dat de middellijn vau den ingeschreven cirkel = 1/ ab is.

2. Wanneer men in een halven cirkel twee gelijke cirkels trekt, die elkander, den boog van den halven cirkel en de middellijn raken, en in het overblijvende deel, dat door de drie cirkels wordt begrensd, nog een cirkel trekt, die de drie cirkels raakt, vraagt men de verhouding te berekenen van den straal van dien laatsten cirkel en dien der gelijke cirkels.

Antw. 2 — |/ 2 tot 1.

3. Een driehoek ABC, rechthoekig in C, wordt door eene lijn CD, die den rechten hoek middendoor deelt in twee driehoeken ACD en BCD verdeeld. Door het punt C wordt in het vlak van den driehoek eene lijn loodrecht op CD getrokken. Als de driehoek om de laatste lijn wentelt, bepaal dan de verhouding van de inhouden der twee lichamen door de driehoeken ACD en BCD beschreven. De rechthoekszijden zijn a en Lgt; lang.

Antw. a³ -|- \'óa²b tot 3ab² b³.

1888.

1. Construeer een driehoek, waarvan de hoeken zich verhouden als 1, 2 en 3, met een oppervlak gelijk aan dat van een gelijkzijdigen driehoek met eene zijde a.

Antiv. De driehoek is rechthoekig en zijne hypothenusa ~a]/ 2.

2. In een driehoek zijn 3 lijnen getrokken die den tophoek in 4 gelijke deelen verdeelen ; als de basis daardoor zoodanig verdeeld wordt dat de op elkander volgende deelen tot elkander in reden staan als de getallen 2, 1, 1, 2, hoe groot is dan de tophoek ?

Antw. 120°.

3. Op het bovenvlak van een afgeknotten kegel staat een cilinder met hetzelfde grondvlak als het bovenvlak van den afgeknotten kegel. De hoogte van den cilinder is gelijk aan de hoogte van den afgeknotten kegel; de straal van het bovenvlak is = r; de inhouden der lichamen staan tot elkander als p : q. Hoe groot is de straal van het grondvlak van den afgeknotten kegel ?

Antw. ~ 1 ~ ]/ 12 pq —3p²j.

61

1889.

1. In een gegeven cirkel, die M tot middelpunt heeft, is AB eene middellijn en C een gegeven punt, op de middellijn gelegen tusschen A en M. Door het punt C is eene lijn CD getrokken loodrecht op AB. Men vraagt door het punt A eene koorde AE te trekken, die de loodlijn CD snijdt in een punt F zoodanig, dat het stuk FE eene gegeven lengte h heeft. AM = r en AC = a.

Anho. De driehoeken ADF en ADE ziin geliikvormig. AE = iö l/ 2ra-\\-\\h².

2 ABCD is een parallelogram. De cirkel, die door de hoekpunten A, B en D gaat, snijdt de diagonaal AC of haar verlengde in E. Bewijs dat

AB* AD* =ACX AE.

3. Van eene regelmatige, vierhoekige piramide is elke ribbe vau het grondvlak 10 d.M. en de hoogte 12 d.M. Op welken afstand van den top moet een vlak, evenwijdig aan hel grondvlak, gebracht worden, opdat in de overblijvende afgeknotte piramide een bol kunne beschreven worden; en welke is de verhouding tusschen de inhouden van dien bol en de afgeknotte piramide?

Antw. 51. d.M.; 18 jr : 133.

1890.

1. in driehoek ABC, rechthoekig in C, trekt men de lijn CD loodrecht op AB. Te bewijzen, dat het oppervlak van den ingeschreven cirkel van driehoek ABC gelijk is aan de som van de oppervlakken der ingeschreven cirkels van de driehoeken ACD en BCD.

2. Een rechthoekigen driehoek te construeeren, waarvan de omtrek en het oppervlak gegeven zijn.

3. Van een rechten cirkelvormigen kegel is de straal van het grondvlak r en de schuine zijde .s\\ Op welken afstand vau den top in de schuine zijde moet deze kegel gesneden worden door een vlak, evenwijdig aan de basis, opdat de totale oppervlakken van elk der deelen, waarin de kegel wordt verdeeld, gelijk zijn.

Den gevraagden afstand na berekening te construeeren.

Antw. Op den afstand ^ \'^S\'.

1891.

1. Door de hoekpunten van een gelijkbeenigen driehoek ABC gaat een cirkel. Uit den top C is eene lijn getrokken, die den cirkel in D en de basis in E snijdt. Bewijs dat eene opstaande zijde des driehoeks middenevenredig is tusschen CD en CE.

2. Een driehoek te construeeren als gegeven zijn de tophoek en de hoogte, terwijl de stukken, waarin de basis door de hoogtelijn verdeeld wordt, zich verhouden als twee gegeven lijnen.

3. Op de as van een kegel, waarvan de hoogte gelijk is aan de

62

middellijn van het grondvlak, is als middellijn een bol beschreven. Men vraagt hoe groot het stuk van den bol is, dat buiten den kegel ligt, en hoe groot de stukken zijn, waarin het vlak van de doorsnede van kegel- en boloppervlak den bol verdeelt.

Antio. Als I de inhoud van den bol voorstelt, dan ligt ^ I buiten den kegel en zijn de bedoelde stukken I en I.

D. Beschrijvende Meetkunde.

Tijd 3 uren.

1866. Zuid-Holland.

l⁸\'⁸ Ploeg-.

1. Door een gegeven punt eene lijn te trekken, die gegeven hoeken met de projectie-vlakken maakt.

2. Door een gegeven lijn een vlak te brengen, dat met een gegeven vlak een gegeven hoek maakt.

3. De projectiën eener regeltnatige vierhoekige piramide te constru-eeren, die met een der zijvlakken op het horizontale vlak ligt, en waarvan grondvlak en hoogte gegeven zijn.

S\'¹quot; Ploeg.

1. De doorsnede te bepalen van twee vlakken, waarvan noch de horizontale, noch de vertikale doorgangen elkander in het vlak van teekening snijden.

2. Door een gegeven punt een vlak te brengen, dat gegeven hoeken met de projectie-vlakken maakt.

3. Een kubus te projecteeren, die met een der ribben in het horizontale vlak ligt, terwijl de aangrenzende rib ben hoeken van 45° met het vertikale vlak maken.

3\'\'^c Ploeg.

1. Van elk van twee vlakken vallen de doorgangan in elkanders verlengde: bovendien gaan de vier doorgangen door eenzelfde punt van de as. Men vraagt de gemeene doorsnede te bepalen.

2. Door eene lijn evenwijdig met een vlak, een vlak te brengen, hetwelk met dat vlak een gegeven hoek maakt.

3. Van een rechthoekig parallelepipedum, dat op een gegeven hellend vlak rust, is de horizontale projectie van een der ribben van het grondvlak en de ware lengte van de ribben, die aan deze grenzen, gegeven.

Men vraagt de horizontale en verticale projectiën van het parallelepipedum.

63

1866. Gelderland.

l^ste Ploeg.

1. Van twee vlakken zijn de horizontale doorgangen evenwijdig aan elkander, en van een derde zijn de beide doorgangen evenwijdig aan de as; men vraagt het punt van doorsnijding dezer drie vlakken te construeeren.

2. Van twee lijnen, die elkander snijden, is de eerste evenwijdig aan het horizontale en de tweede evenwijdig aan het verticale vlak: men vraagt de hoeken te vinden, waaronder deze lijnen elkander snijden.

3. Eene driehoekige piramide rust met een zijvlak op het horizontale vlak. Men vraagt de projectiën van dit lichaam te bepalen, zoo het om eene lijn, in het horizontale vlak liggende en door een der hoekpunten gaande, opwaarts wordt bewogen, totdat het grondvlak een gegeven hoek met het horizontale vlak maakt.

2 ^le Ploeg.

1. Construeer de gemeene doorsnede van twee vlakken, die zoodanig gegeven zijn, dat van ieder de beide doorgangen in elkanders verlengde vallen. Bepaal ook de projectie dier doorsnede op het tweede verticale vlak (derde projectie vlak).

2. Eene lijn loopt evenwijdig aan een hellend vlak; men vraagt door de lijn een vlak te brengen, loodrecht op het gegeven vlak.

3. In een gegeven hellend vlak ligt een vijfhoek, waarvan twee hoekpunten in het eerste, één hoekpunt in het ticeede en de twee laatste in het vierde quadrant vallen. Zoo de horizontale projectie diens veelhoeks gegeven is, vraagt men vooreerst de verticale te bepalen, en daarna de figuur om den horizontalen doorgang des vlaks op het horizontale vlak neer te slaan.

1866. Zuid-Holland.

I^s10 Ploeg.

1. Het punt te bepalen, waarin eene gegeven lijn een gegeven vlak ontmoet

2. In de as van projectie het punt te vinden, dat even ver verwijderd is van elk van twee gegeven punten.

3. Den hoek te bepalen, dien eene gegeven lijn maakt met een gegeven vlak.

4. Op het horizontale vlak van projectie is eene driehoekige piramide geplaatst. De piramide wordt gesneden door een vlak, dat loodrecht is op het horizontale en een hoek van 45quot; maakt met het vertica\'e vlak van projectie. Men vraagt de verticale projectie der doorsnede te construeeren.

3\'quot; Ploeg.

1. In een gegeven lijn de punten te bepalen, die even ver van de beide vlakken van projectie verwijderd zijn.

2. Het punt van de as van projectie te bepalen, dat even ver verwijderd is van elk van twee elkander snijdende vlakken.

64

3. Door eene gegeven lijn een vlak te brengen, dat loodrecht is op een gegeven vlak.

4. Op een vlak, dat evenwijdig is aan de as van projectie, is een cubus geplaatst. Een der hoekpunten van het grondvlak van den cubus ligt in den horizontalen doorgang van het vlak, terwijl een der ribben een hoek van 30° vormt met den doorgang. Men vraagt de verticale projectie van den cubus te bepalen.

3\'¹quot; Ploeg.

1. Den hoek te bepalen, welken twee lijnen met elkander maken.

2 Twee vlakken hebben denzelfden verticalen doorgang. Men vraagt te bepalen den standhoek van den tweevlakkigen hoek, dien deze vlakken met elkander vormen.

3. De lijn te bepalen, die in een gegeven vlak ligt en loodrecht is op eene lijn, mede in het vlak gelegen.

4, Een rechthoekig parallelepipednm is zoodanig geplaatst, dat slechts één zijner ribben met het horizontale en een ander met het verticale vlak van projectie samenvalt. De projectiën van dit lichaam te construeeren.

4^Ile Ploeg.

1. Den hoek te bepalen, welken de doorgangen van een vlak met elkander maken.

2. In een vlak, dat evenwijdig is aan de as van projectie, ligt een driehoek. Men vraagt te bepalen het middelpunt van den cirkel, die om den driehoek kan beschreven worden.

3. Het snijpunt te bepalen van drie vlakken, waarvan één loodrecht is op het horizontale, het tweede loodrecht is op het verticale vlak van projectie, terwijl het derde evenwijdig is aan de as van projectie.

4 Van een regelmatig achtvlak ligt een der hoekpunten in het horizontale vlak van projectie, de diagonaal, welke in dat hoekpunt uitloopt, is loodrecht op dat vlak. Men vraagt de projectiën te bepalen van de doorsnede van dat lichaam met een vlak, dat evenwijdig is aar^ de as van projectie.

1867. Noord-Holland.

l³¹⁰ Ploeg.

1. Door eene lijn, die evenwijdig is met de as, een vlak te brengen» dat met het horizontale een gegeven hoek maakt.

2. De projectiën van een rechthoekig parallelepipednm, dat met zijn grondvlak op het horizontale vlak staat, te bepalen ten opzichte van een vlak, dat met het horizontale een hoek maakt van 45°.

2 ^lB Ploeg.

1. De gemeene doorsnede van twee vlakken te construeeren, als alle doorgangen door één punt van de as gaan.

65

2. De projectiën van eene regelmatige vierzijdige piramide, die met haar grondvlak rust op het horizontale vlak en wier hoogte gegeven is, te bepalen ten opzichte van een vlak, dat met het horizontale den hoek van 60° maakt.

1867. Zeeland.

Een rechthoekig parallelopipedum staat met een zijner zijvlakken op het horizontale vlak. Men wenscht het te snijden door eenquot; willekeurig vlak en de doorsnede op beide projectievlakken neer te slaan.

1867. Utrecht.

1. Gegeven zijn een punt in den 2\'^lon en een punt in den 3\'¹⁰quot; hoek van projectie. Bepaal eene lijn, wier punten op gelijken afstand van de beide vlakken van projectie en van de gegeven punten liggen.

2. Gegeven zijn een punt in den l⁸¹quot;quot;, een punt in den 2\'¹quot;quot; en een punt in den 3^lt;l0quot; hoek van projectie, benevens een willekeurig vlak. Bepaal in dit vlak een punt, dat op gelijken afstand van de gegeven punten ligt.

3. Van een rechthoek zijn gegeven de heide projectiën van eéne zijde, benevens de horizontale projectie van eene aangrenzende zijde. Construeer de beide projectiën des rechthoeks.

1867. Overijssel.

1. Door een gegeven punt een vlak te brengen, evenwijdig aan twee gegeven kruisende lijnen.

2. Den afstand te construeeren van een gegeven punt tot het vlak, dat door drie gegeven punten gaat. Het eerste aan te nemen in het 4\'¹⁰ quadrant — onder het horizontale, vöór het verticale vlak — de drie overige in het 2\'^le quadrant — boven het horizontale, achter het verticale vlak.

3. Een vijfhoek ligt in het horizontale vlak, en wordt om een zijner diagonalen gewenteld, totdat zijn vlak een gegeven hoek met het horizontale vlak maakt. Men verlangt de projectiën der figuur in dezen nieuwen stand te construeeren.

4. Van de vier hoekpunten eener driehoekige piramide ligt één in het horizontale vlak, één boven het horizontale vlak en vóór het verticale, en de beide overige boven het horizontale en achter het verticale vlak. Men vraagt de figuur van doorsnede dier piramide met het verticale vlak te bepalen.

1867. Groningen.

Jsle ploeg-,

¹

Eene gegeven lijn te projecteeren op een gegeven vlak, en op een ander vlak, dat loodrecht op het eerste staat.

66

wijdige ribben gegeven zijn, met een gegeven vlak, en de ware gedaante van de doorsnede te vinden.

3. De 3 vlakke hoeken van een drievlakkigen hoek gegeven zijnde, vraagt men de projectie van de 3^d0 ribbe op het tegenover gelegen zijvlak te vinden, alsmede de 3 standhoeken.

3¹⁶ Ploeg.

1. Den hoek te bepalen, dien een gegeven lijn met een gegeven vlak maakt.

2. De doorsnede te bepalen van een gegeven driehoekige piramide (door hare hoekpunten bepaald) met eene gegeven vlak, en de ware gedaante dier doorsnede.

3. Twee zijvlakken en de ingesloten standhoek van een drievlakkigen hoek bekend zijnde, vraagt men daaruit den 3^llen standhoek en den 3\'¹⁰quot; vlakken hoek te vinden.

3\'¹quot; Ploeg.

1. De doorsnede te bepalen van twee vlakken, waarvan het eene gegeven is en het andere loodrecht staat op eene gegeven lijn.

2. Den standhoek van twee gegeven vlakken te bepalen.

8. Een zijvlak en de twee aanliggende standhoeken van een drievlakkigen hoek gegeven zijnde, vraagt men den 3\'^len standhoek te vinden.

1867. Limburg,

1. Van een drievlakkigen hoek gegeven zijnde twee zijvlakken met een standhoek over een dezer zijvlakken, vraagt men het derde zijvlak en de beide overige standhoeken te construeeren.

2. Gegeven de doorgangen van een vlak, benevens de horizontale projectie van een der zijden van een regelmatigen zeshoek in dat vlak gelegen. Men vraagt de beide projectiën van den zeshoek te construeeren.

3. De doorsnede te bepalen van een willekeurig plat vlak met eene regelmatige vijfhoekige piramide, wier grondvlak met eene der zijden in het horizontale vlak ligt en met dit vlak een hoek van 30° maakt, en van welke tevens de hoogte gegeven is.

4. De projectiën te vinden van eene regelmatige zeshoekige piramide, die met een der zijvlakken op het horizontale vlak ligt.

1868.

1. Den hoek te construeeren van een willekeurig gegeven vlak met een vlak, dat door de as gaat.

2. Gegeven zijn een lijn en een punt daar buiten. Projecteer den gelijkbeenigen driehoek, waarvan het gegeven punt de top is, de basis in de gegevene lijn ligt, en waarvan de opstaande zijden gelijk zijn aan § maal de hoogte des driehoeks.

3. De verticale projectie te vinden van eene lijn, waarvan de horizontale projectie gegeven is, en waarvan bekend is, dat zij iu een gegeven punt loodrecht staat op eene gegevene lijn.

67

1869.

1. Door een gegeven punt in een gegeven vlak eene lijn te trekken, die in dat vlak ligt en een gegeven hoek maakt met het horizontale vlak.

2. In een gegeven vlak een punt aan te wijzen, dat op gelijken afstand verwijderd is van drie buiten dat vlak gelegen punten.

3. Te construeeren den hoek, dien een naar willekeur gegeven vlak maakt met een vlak, dat loodrecht op de as staat, en de doorgangen van het vlak, dat dezen hoek middendoor deelt.

1870.

1 Door een gegeven punt een vlak te brengen, evenwijdig met de as en met eene gegevene de as kruisende lijn.

2. Gegeven zijn; een hellend vlak en de drie hoekpunten van een daarbuiten gelegen driehoek. Men vraagt den afstand te construeeren van het zwaartepunt des driehoeks tot het gegeven vlak.

3. Op een gegeven vlak zijn in twee verschillende gegeven punten loodlijnen opgericiit in tegenovergestelde richtingen en van gegevene lengten. Men vraagt het punt te bepalen, waarin de lijn, die de uiteinden dezer loodlijnen vereenigt, het gegeven vlak snijdt.

1871.

1. Van drie punten liggen twee beneden en éön boven het horizontale vlak. Construeer het middelpunt van den cirkel, welke door die punten gaat.

2. Door een in de ruimte gegeven punt een vlak te brengen, dat loodrecht staat op twee elkander snijdende vlakken.

3. Wanneer de doorgang van een hellend vlak met een der pro-jectievlakken, en de werkelijke hoek van dien doorgang met den tweeden doorgang gegeven zijn, vraagt men den onbekenden doorgang te construeeren.

1872.

1. Den hoek te bepalen, onder welken twee gegeven lijnen elkander kruisen.

2. Van een vierkant, dat gelegen is in een gegeven vlak, zijn twee tegenovergestelde hoekpunten gegeven, te weten het eene in den horizontalen, het andere in den verticalen doorgang. ïeeken de projectiën van dat vierkant.

3. Door een gegeven punt een vlak te brengen, loodrecht op een gegeven vlak en evenwijdig met eene gegeven lijn, die de as rechthoekig kruist.

1873.

1. Door een gegeven punt buiten eene gegevene lijn, eene lijn te trokken, die met die gegeven lijn een gegeven hoek maakt.

68

2. Gegeven zijnde de doorgangen van een vlak en de projectiën van drie punten, buiten dat vlak gelegen, vraagt men de projectiën van een punt, dat in het vlak is gelegen en van de drie gegeven punten even ver is verwijderd,

3. Door een gegfven punt eene lijn te trekken, die eene gegeven lijn rechthoekig kruist en op een bepaalden afstand er van verwijderd blijft.

1874.

1. Van eene lijn, die de as van projectie snijdt, is gegeven eene der projectiën en de hoek, dien de lijn nu t de as maakt. Men vraagt de andere projectie van de lijn te vinden.

2. Do projectiën te bepalen van eene lijn van gegeven lengte, die in een gegeven punt loodrecht staat op eene lijn in het horizontale vlak, en met haar ander uiteinde in een gegeven vlak ligt.

3. Wanneer twee kruisende lijnen gegeven zijn, vraagt men door een gegeven punt, buiten die lijnen, eene lijn te trekken, die evenwijdig loopt aan het vlak, dat met de gegeven lijnen evenwijdig is, en den hoek dier lijnen middendoor deelt.

1875.

1. In een gegeven lijn een punt te vinden, dat even ver van het horizontaal projectievlak als van een gegeven hellend vlak verwijderd is.

2. Twee elkander kruisende lijnen en een vlak zijn gegeven. Men vraagt eene lijn te trekken, die loodrecht staat op het gegeven vlak en de beide kruisende lijnen snijdt.

3. In een gegeven vlak een punt te vinden, dat van twee buiten dat vlak gegeven punten op gegeven afstanden gelegen is.

1876.

1. In de as van projectie een punt te bepalen, dat gelijken afstand heeft van twee gegeven elkander snijdende vlakken.

2. Een gegeven ongelijkzijdige driehoek, waarvan de basis niet evenwijdig loopt aan de as van projectie, ligt in het horizontale vlak van projectie. Hij wordt gewenteld om zijne basis, totdat do loodlijn, die uit den top op die basis is neergelaten, evenwijdig loopt aan een vlak dat, de beide projectievlakken snijdende, evenwijdig loopt met de as van projectie. Men vraagt de projectien van den driehoek in dien stand te construeeren.

3. Door een gegeven punt eener gegeven lijn eene lijn te trekken, loodrecht op de gegeven lijn en evenwijdig aan een gegeven vlak.

1877.

1. De projectiën te bepalen van eene lijn, die door een gegeven punt gaat, en twee elkander kruisende lijnen snijdt.

2. In een gegeven vlak het punt te bepalen, waarvoor de som der

69

afstanden tot twee gegeven punten, buiten dat vlak en aan denzelfden kant daarvan gelegen, zoo klein mogelijk is.

3. Gegeven zijnde twee vlakken en een punt, vraagt men: 1°. door dit punt een vlak te brengen, loodrecht op de gegeven vlakken; 2°. in dit vlak een punt te bepalen, dat op gegeven gelijke afstanden van deze beide vlakken verwijderd is.

1878.

1. Door een gegeven punt een vlak te brengen, evenwijdig aan eene gegeven lijn en op een gegeven afstand van die lijn.

2. Door het snijpunt van twee gegeven lijnen eene lijn te trekken, die met beide lijnen gelijke hoeken maakt en eene andere gegeven lijn snijdt.

3. Gegeven zijnde de drie hoekpunten van het grondvlak eener driezijdige piramide, waarvan de opstaande ribben gelijk zijn, benevens de hoogte der piramide, vraagt men de projectiën van den top te bepalen.

1879.

1. Het vlak te oonstrueeren, dat door eene gegeven lyn gaat en met het horizontale projectievlak een hoek vormt, gelijk aan den hoek, dien de lijn met het derde projectievlak maakt.

2. De projectiën te vinden van eene lijn, die evenwijdig loopt aan het derde vlak, met het horizontale vlak een gegeven hoek maakt, en op twee gegeven lijnen van willekeurigen stand rust.

3. Door de doorsneden van twee gegeven vlakken een vlak te brengen, dat met het eene vlak een driemaal zoo grooten hoek maakt als met het andere, indien een van de gegeven vlakken evenwijdig is met de as van projectie.

1880.

1. Men vraagt eene lijn te construeeren, die in een gegeven vlak ligt en eene gegeven lijn rechthoekig snijdt.

2. Een gegeven driehoek ligt in het horizontale vlak van projectie en wordt om een harer zijden gewenteld, totdat het tegenoverstaande hoekpunt in een gegeven vlak ligt. Bepaal de projectiën van dit punt.

3. Door een gegeven punt in een gegeven vlak eene lijn te trekken, die in dit vlak is gelegen en waarvan door twee gegeven evenwijdige vlakken een stuk wordt afgesneden van gegeven lengte.

1881.

1. Eene lijn evenwijdig met de as en een punt daarbuiten zijn gegeven. Construeer een vlak, dat op een gegeven afstand ligt van het punt en door de lijn gaat.

2. In het verticale vlak is eene lijn gegeven, die een hoek van 45quot; met de as maakt; in het horizontale vlak ligt eene lijn, die een hoek

70

van 30° met de as maakt. Men vraagt eene lijn te constrneeren, die deze beide lijnen snijdt entevens evenwijdig is aan twee gegeven vlakken.

3. In een gegeven vlak eene lijn te trekken, die evenwijdig loopt aan een ander gegeven vlak en op een gegeven afstand daarvan verwijderd is.

1882.

1. Van twee gelijkbeenige driehoeken zijn gegeven de projectiën der uiteinden van de basis. Men weet tevens, dat deze driehoeken een gemeenschappelijken top hebben, die in het verticale vlak ligt. Men vraagt dezen top te bepalen.

2. Gegeven eene lijn en een punt buiten die lijn. De projectiën te constrneeren van het vierkant, waarvan de eene diagonaal met de gegeven lijn samenvalt en waarvan het gegeven punt een hoekpunt is.

3. Men vraagt in een gegeven vlak eene lijn te construeeren, die op een gegeven afstand ligt van, en evenwijdig is aan eene gegeven lijn, evenwijdig met dat vlak loopende.

1883.

1. Het grondvlak van eene willekeurige driezijdige piramide ligt in een vlak, dat een hoek van 30quot; maakt met het horizontale vlak en waarvan de horizontale doorgang een hoek van 60° maakt met de as. De hoogte van de piramide is gegeven en het voetpunt van de hoogtelijn is het zwaartepunt van het grondvlak.

Teeken do projecties van die piramide.

2. Er zijn gegeven een vlak en twee punten, A en B, buiten dat vlak. Bepaal de projecties van eene lijn, die in dat vlak ligt en waarvan alle punten even ver van A als van B verwijderd zijn.

3. Door een gegeven punt, buiten eene gegeven lijn, eene lijn te trekken, die de gegeven lijn onder een gegeven hoek snijdt.

1884.

1. Een vlak te brengen door twee lijnen, die denzelfden verticalen doorgang hebben en waarvan de eene evenwijdig loopt met het horizontale vlak; neem in het vlak, waarnaar gevraagd is, een punt aan en trek door dat punt eene lijn, die evenwijdig loopt met het verticale vlak.

2. Uit een gegeven punt in de as van projectie eene lijn te trekken, die een gegeven hoek met die as vormt en tevens een gegeven hoek met het horizontale vlak maakt.

3. Breng een vlak door twee lijnen, die elkander in de as snijden.

1885.

1. Door een punt eene lijn te trekken, die twee elkander kruisende lijnen rechthoekig kruist.

2. In de as van projectie een punt te bepalen, waarvan de afstanden tot twee elkander snijdende vlakken zich verhouden als l : 2.

71

3. Van een rechthoekig parallelopipedutn zijn gegeven de horizontale projecties van drie in één hoekpunt samenkomende ribben, benevens de verticale projectie van ééne dier ribben, Construeer het parallelopipedum.

1886.

1. In een gegeven vlak een punt te vinden dat even ver verwijderd is van de beide projectievlakken en tevens op een gegeven afstand van de as van projectie is gelegen.

2. Door een gegeven punt eener lijn cene lijn te trekken loodrecht op de gegeven lijn en evenwijdig aan een gegeven vlak.

3. Door een gegeven punt eene lijn te trekken die twee gegeven elkander kruisende lijnen snijdt; een der gegeven lijnen moet evenwijdig aan de as genomen worden, de andere de as loodrecht kruisen.

1887.

1. Gegeven een vlak, eene lijn in dat vlak en een punt buiten dat vlak. Men vraagt door dat punt eene lijn te trekken, die met de gegeven lijn een hoek van 45° maakt.

2. In de doorsnede van twee vlakken een punt te vinden dat op een bepaalden afstand van de as van projectie is verwijderd.

NB. De doorgangen van beide vlakken gaan door eenzelfde punt van de as.

3. Van een gelijkzijdigen driehoek zijn gegeven: de standhoek van zijn vlak met het horizontale projectievak, de projecties van een hoekpunt en de projecties en lengte eener aan dit hoekpunt uitkomende zijde. Men vraagt de projecties van dien driehoek te teekenen.

1888.

1. Twee elkander snijdende vlakken V en W zijn gegeven. Men vraagt in eene gegeven lijn AB een punt te bepalen, dat op gelijke afstanden van beide vlakken verwijderd is.

2. Van een gelijkzijdigen driehoek de projection te construceren, als gegeven zijn: van eene zijde de eerste projectie en van het vlak, waarin de driehoek ligt, de beide doorgangen.

3. Van twee elkander kruisende lijnen is de eene evenwijdig met het horizontale, de andere met het verticale projectie vlak. Gevraagd de kortste lijn te eonstrueeren, die een punt van de eene lijn verbindt met een punt van de andere lijn.

1889.

1. In een gegeven vlak een punt te vinden, dat op gelijken afstand verwijderd is van drie in de ruimte gegeven punten.

2. Door een gegeven punt eene lijn te trekken, evenwijdig met een gegeven vlak en een gegeven hoek met het horizontale vlak makende.

72

3. De rneetkuudige plaats te bepalen der punten, welke op gelijken afstand liggen van twee elkander snijdende lijnen.

NB. Van deze vraagstukken moesten er ieder jaar twee gemaakt worden.

1890.

1. Van een gelijkbeeuig trapezium ABCD zijn gegeven de projecties van eene der evenwijdige zijden AB en de projecties van het hoekpunt C. Te construeeren de projecties van het vierde hoekpunt.

2. Van twee elkander snijdende lijnen ligt de eene in het horizontale, de andere in het verticale projectie vlak. Op eene derde lijn een punt te bepalen, dat op gelijke afstanden ligt van die twee lijnen,

1891.

1. Uit een punt van het verticale vlak is eene lijn getrokken, die de as loodrecht kruist en met het verticale vlak een hoek van 45quot; maakt. Men vraagt uit dit punt eene lijn te trekken, die een hoek van 30quot; vormt met de gegeven lijn en evenwijdig is aan een gegeven vlak.

2 Door een gegeven punt eene lijn te trekken die eene gegeven lijn. rechthoekig kruist en evenwijdig aan een gegeven vlak is.

E. Beschrijvende Meetkunde en lieclitlijnig\'

Teekenen.

1867. Utrecht,

Construeer de projectie eener driehoekige piramide lt; onder de

volgende gegevens: het grondvlak BCD ligt in het horizontale vlak; BC =11 duim, CD = 12 duim, BD = ligt; duim, AB = 14 duim, AC = 15 duim, AD = 16 duim; BC is loodrecht op de as en de afstand van A tot het verticale vlak = 12 duim. Leg door de as een vlak, dat een hoek van 30quot; maakt met het horizontale vlak, projecteer de gemeene doorsnede van dit vlak met de piramide en sla deze doorsnede om de as, op het verticale vlak neer.

1868,

Projecteer eene regelmatige vijfhoekige piramide, met haar grondvlak staande op het horizontale vlak, en waarvan gegeven zijn:

de lengte van de zijde van het grondvlak = 7 centimeters, de lengte der opstaande ribben . . . = 14 » Ter bepaling van den stand der piramide zijn bij voorkeur de volgende gegevens te bezigen:

de afstand van het middelpunt van het grondvlak tot de as =: 11 centimeters.

de afstand van een der hoekpunten van het grondvlak tot de as = 5,5 centimeters.

Projecteer voorts de geraeene doorsnede van de piramide met een vlak, dat door de as gaat en een hoek van 30° maakt met het horizontale vlak, en ontwikkel het oppervlak der scheef afgeknotte piramide.

1869.

Eene regelmatige achtzijdige piramide, waarvan de zijde des grond-vlaks 2 decimeter en de hoogte 5 decimeter is, ligt met een harer zijvlakken op het horizontale vlak, in diervoege, dat de top 3,5 decimeter vóór het verticale vlak ligt, en de loodlijn, uit den top neergelaten op de zijde van het grondvlak, welke in het horizontale vlak ligt, evenwijdig is met de as van projectie.

Construeer op der ware grootte de projectiën dier piramide en die van hare doorsnede met een horizontaal vlak, dat door het middelpunt van het achthoekig grondvlak gaat, en ontwikkel het gedeelte van het oppervlak, dat hoven dit snijvlak ligt.

1870.

De heide projectiën te construeeren van een regelmatig twaalfvlak, rustende met een der zijvlakken op het horizontale vlak, zoodanig dat een der zijden van het grondvlak loodrecht staat op de as.

De straal van den omgeschreven cirkel van het grondvlak is 5 centim.; de afstand van het middelpunt tot de as is naar willekeur aan te nemen.

1871.

Teekeu de projectiën van een kubus van 8 centim. ribbe, waarvan «ene der inwendige diagonalen loodrecht staat op het horizontale vlak,

1872.

Van een regelmatig achtvlak, welks ribbe 8 centim. is, staat eene diagonaal loodrecht op het horizontale vlak. Het midden van deze diagonaal ligt één decimeter boven het horizontale en 9 centimeter vóór het verticale vlak. De twee verticale diagonaalvlakken maken met het verticale vlak hoeken van 45°.

Men vraagt de projectiën te construeeren van dat achtvlak, nadat het 45quot; gewenteld is om de lijn, die in het horizontale vlak door de projectie van de verticale diagonaal gaat en loodrecht staat op het verticale vlak.

1873.

Een kubus van 1,5 decimeter ribbe staat op het horizontale vlak, met eene opstaande ribbe in het verticale. De beide ribben van het grondvlak, die in de as van projectie samenkomen, maken met deze hoeken van 30quot; en 60°. De kubus wordt om de laatstbedoelde ribbe een hoek van 15° naar beneden gewenteld. Men vraagt in dien nieuwen stand zijne projectiën te bepalen.

74

F. Rechtlijnig- teekenen.

Tijd: in 1883, 1884 en 1885, 3 uren. In de overige jaren onhepaald. 1867. Groningen.

1. De uit- en inwendige raaklijnen aan twee gegeven cirkels te cou-strueeren.

2. De vier cirkels te beschrijven, die de drie zijden van een gegeven stomphoekigen driehoek of hare verlengden raken.

1874.

Een regelmatige vijfhoek (zijde = 0,02 meter) ligt in een gegeven hellend vlak met éèm zijde evenwijdig aan den eersten of horizontalen doorgang, op een afstand daarvan van 0,05 meter, in het eerste kwadrant. Men vraagt de projectie van dezen vijfhoek te eonstrueeren op een vlak, loodrecht op de as van projectie, en het zijdelingsch oppervlak van het afgeknot prisma te ontwikkelen, dat do beide vijfhoeken tot eindvlakken heeft.

1875.

Construeer een driehoek, die een hoek van 36° heeft, terwijl de zijden om dien hoek 10 en 8 centimeier lang zijn. Beschrijf den cirkel, die de zijden inwendig aanraakt, en de drie cirkels, die twee zijden inwendig en de derde uitwendig raken, en trek de lijnen, die de middenpunten der drie laatste cirkels verbinden.

» De zijden des driehoeks en de cirkels moeten worden doorgetrokken, de hulplijnen gestippeld, en de drie laatste in het vraagstuk genoemde lijnen uit streepjes en stippen samengesteld.

1876.

Eene regelmatige zeshoekige piramide is geplaatst op het horizontale vlak van projectie. Do hoogte bedraagt 10 centim, de zijde van het grondvlak 4 centim. Deze piramide wordt gesneden door een vlak, dat loodrecht staat op het verticale en een hoek van 30° maakt met het horizontale vlak van projectie, terwijl de horizontale doorgang van dit vlak 5 centim. van het middenpunt van het grondvlak der piramide verwijderd is. Men vraagt de projectiën en de ware gedaante van deze doorsnede te bepalen.

1877.

Trek drie cirkels, die elkander twee aan twee uitwendig raken en welker stralen zijn 6, 3|- en 2 centimeter

Construeer aan elk paar cirkels de uitwendige raaklijnen en verleng deze tot zij do lijn der middenpunten snijden.

Er ontstaan alzoo drie verschillende snijpunten. Vereenig de vvvee uiterste punten door eene rechte lijn,

(De cirkels moeten worden doorgetrokken, de hulpconstructiën gestippeld; de raaklijnen worden doorgetrokken, de andere rechte lijnen mot streepjes en stippen afwisselend.)

1878.

Het grondvlak van een prisma, dat samenvalt met het horizontale vlak van projectie, is een regelmatige vijfhoek, waarvan de zijde 3 centimeter bedraagt, terwijl de opstaande ribben, die 1 decimeter lang zijn, evenwijdig zijn met het verticale vlak en hoeken van (30quot; met het horizontale vlak maken. Dit prisma wordt gesneden door een vlak, dat loodrecht op het verticale vlak staat eu een hoek van 30° maakt mot het horizontale, eu waarvan de horizontale doorgang 5| centimeter van het middenpunt van den vijfhoek verwijderd is. Men vraagt:

1quot;. de projectiën der doorsnede te construeeren ;

2quot;. de doorsnede in hare ware gedaante te construeeren;

3quot;. dat gedeelte van het zijdelingsch oppervlak van hot prisma te ontwikkelen, dat zich tusschen het horizontale vlak eu het snijdend vlak bevindt.

1879.

Beschrijf een driehoek ABC, waarvan de zijden AB = 10, AC = 1L en BC — 9 centimeter zijn, en vereenig het punt D, op het verlengde van AB gelegen en op een afstand van 3,5 centimeter van B verwijderd, met het midden E der zijde AC, welke lijn de zijde BC snijdt in F.

Beschrijf vervolgens iu driehoek ADE en om de driehoeken ABC, ADE, BDF en CEF cirkels, dan zullen de vier laatste elkander in één punt F snijden. Laat uit F loodlijnen neer op de zijdeu van driehoek ABC en op de lijn DE, en trek de rechte lijn, welke de voetpunten vereenigt.

Alle lijnen moeten geirokkon worden, behalve de hulpconstructiën en de loodlijnen, die worden gestippeld, en de lijn, welke de voetpunten verbindt, die gestippeld en gestreept moet worden.

1880.

Construeer de drie aangeschreven cirkels van eeu gegeven driehoek, waarvan do basis 10 centimeter is en de hoeken aan de basis 36° en 60quot; zijn. Vereenig de raakpunten, die op do verlengden van twee zijden en op denzelfden cirkel liggen, twee aan twee. Deze lijnen vormen een driehoek, waarvan de hoekpunten vereenigd worden met de naastbij gelegen hoekpunten van den eersten driehoek Verleng de laatste lijnen tot zij elkander snijden.

De zijden van den gegeven driehoek en de cirkels moeten gelrokken worden; de drie laatstgemelde lijnen gestippeld en gestreept; de overige gestippeld.

76

1881.

Construeer een cirkel met een straal van 10 eM. Neem hierop een boog, waarvan de koorde 12 cM. bedraagt. Construeer door de uiteinden van dien boog een tweeden cirkel, die den eersten rechthoekig snijdt. Trek de lijn, die de middelpunten verbindt. Teeken om het uiterste snijpunt van deze middellijn met den grootsten cirkel, waarvan de straal 9 cM. bedraagt, en om het andere snijpunt van de middellijn met den grootsten cirkel, een waarvan de straal 3 cM. is. Construeer de uitwendige en de inwendige gemeenschappelijke raaklijnen aan de beide laatstgeteekende cirkels.

De twee eerste cirkels en de raaklijnen moeten voluit getrokken worden, de twee laatste cirkels en de middellijn afwisselend pimten ■en strepen, de hulpconstructiên gestippeld.

1882.

Teeken een cirkel met een straal van G cM., en beschrijf in dien cirkel een regelraatigen vijfhoek. Trek uit de uiteinden eener zijde en uit het tegenover die zijde gelegen hoekpunt als middenpunten drie cirkels met de halve zijden van den vijfhoek als stralen; construeer de raaklijnen aan de cirkels, die eikander niet raken, alsmede den cirkel, die de drie cirkels aanraakt.

De zijden van den vijfhoek, de cirkels en twee der raaklijnen moeten voluit getrokken worden, de beide andere raaklijnen afwisselend punten en strepen, de hulpconstructiên gestippeld.

1883.

Teeken een hoek van GO⁰. Bepaal op het eene been, te rekenen van het hoekpunt A, de stukken AB = 8 cM. en AC = 20 cM.; op het andere been de stukken AD — 11 cM. en AE — 18 cM. Vereenig C met D, B met E, Het snijpunt van de lijnen CD en BE zij E. Beschrijf om de driehoeken ADC, ABE, DEE en BEC cirkels. Construeer een vijfden cirkel, gaande door de middelpunten van de cirkels, die om de drie eerstgenoemde driehoeken beschreven zijn.

De lijnen AC, AE, benevens de eerste vier cirkels moeten voluit getrokken worden; de lijnen CD en BE afwisselend met punten en strepen-, de vijfde cirkel gestreept; de hulpconstructies gestippeld

1884.

Een cirkel met een straal van 7 cM. is gegeven. Beschrijf in en om dien cirkel vijf cirkels, die elkander, twee aan twee, en den gegeven cirkel aanraken.

De gegeven cirkel en de gevraagde cirkels moeten getrokken worden; de lijnen, die den gegeven cirkel in 5 gelijke sectoren verdeden, moeten gestippeld en gestreept, de overige hulplijnen gestippeld worden.

1885.

Trek eene lijn AB, lang 5 cM., verleng AB met een stuk BC = ü cM.

77

Beschrijf 2 cirkels met stralen van 4 en 10 cM., die beide door A en B gaan en waarvan de middelpunten beide aan denzelfden kant der lijn AB liggen, en een cirkel met eeu straal van 7 cM., ook door A en B gaande, maar waarvan het middelpunt aan den anderen kant der lijn AB ligt. Trek uit C de raaklijnen aan elk der cirkels, en trek eindelijk-door de raakpunten den cirkel, die C tot middelpunt heeft.

De drie gegeven cirkels, de zes raaklijnen en de lijn AB moeten (jetrokken worden ; de lijn BC en de laatste cirkel afwisselend gestreept en gestippeld, terwijl de overige lijnen, voor de constructie benoodigd, gestippeld behooren te worden.

1886.

Projecteer eene regelmatige vierhoekige piramide, met het grondvlak staande op het horizontale vlak, waarvan gegeven zijn :

De afstand van het hoekpunt van het grondvlak dat het dichtst bij de as ligt, tot de as 30 cM.;

De hoek, welke eene der zijden van het grondvlak met de as maakt, GOquot;;

De zijden van het grondvlak 60 cM.;

De hoogte der piramide 120 cM.

Projecteer vervolgens de doorsnede van deze piramide met een vlak dat loodrecht op het verticale vlak staat en met het horizontale vlak een hoek van 45° vormt en bepaal de ware gedaante dier doorsnede.

Te teekenen op eene schaal van ^ der ware grootte.

1887. Zonder teekening niet duidelijk te maken.

1888.

Een regelmatig vijfhoekig prisma, waarvan de ribben van het grondvlak = 3,5 cM. en de opstaande ribben — 7 cM. zijn, wordt gesneden door een vlak, dat door eene der ribben van het grondvlak en door het midden van de overstaande opstaande ribbe gebracht is. Construeer de projectiën van eeu der twee deelen, als dit met het vlak van doorsnede op het horizontale projectie-vlak rust. Geen der zijden van het vlak van doorsnede staat loodrecht op de as van projectie.

1889.

Eene regelmatige afgeknotte piramide staat met het grondvlak ABODE op het horizontale vlak, terwij! de ribbe AB rechthoekig op de as van projectie staat. B is het naar de as gekeerde uiteinde van die ribbe. Dit lichaam wordt gevonden [lees: gesneden| door eeu vlak, gaande dooide ribbe DE en dat een hoek van 30quot; met het grondvlak vormt.

Men vraagt de projecties en de ware grootte van de doorsnede te construeeren, benevens de projecties van het boven het snijvlak gelegen deel der afgeknotte piramide te bepalen; wanneer dit om den horizontalen doorgang van het snijvlak gewenteld is, tot het met een zijvlak op het horizontale vlak ligt,

78

Gegevens: de straal van den omgeschreven cirkel van het grondvlak is 5 cM., terwijl de opstaande ribben ieder 65 mM. lang zijn en hoeken van 60quot; met het grondvlak vormen.

1890.

Men vraagt tc teekenen de drie projecties van een regelmatig octaëder, bepaald als volgt:

De horizontale projectie eener hoofddiagonaal snijdt de horizontale as van projectie op 15 cM. afstand van de verticale as van projectie, en de verticale as van prnjectic op 18 cM. onder de horizontale as van projectie.

Het eene der eindpunten dezer hoofddiagonaal, dus een hoekpunt van het lichaam, ligt in het horizontale vlak van projectie op 4 cM. vóór het verticale vlak van projectie.

Genoemde hoofddiagonaal zelve maakt een hoek van 45° met het horizontale vlak van projectie.

ïwee ribben des lichaams, zijden van het loodrecht op genoemde hoofddiagonaal staande diagonaalvlak, zijn evenwijdig aan het horizontale vlak van projectie.

De ribbe van het octaëder is 10 cM.

De twee assen benevens de zichtbare ribben in de drie projecties worden voluit en vrij krachtig getrokken.

De onzichtbare ribben insgelijks voluit, doch zeer fijn.

De horizontale projectie der boven omschreven hoofddiagonaal moet worden gestreept in eene dunne lijn. De verticale en de derde projectie van die diagonaal behoeven niet te worden geteekend.

De nevcnconstructies in eene dunne lijn, afwisselend punten en strepen.

Slechts ééne projecteerende lijn en een projecteerende cirkel behoeven te worden geteekend en wel fijn gestippeld.

De figuur kan juist besloten worden in een rechthoek, welks breedte 32 en welks hoogte 28 cM. is. De verticale as ligt 2 cM. rechts van het midden, indien het derde projectievlak rechts van het lichaam is gedacht. De horizontale as ligt 4 cM. boven het midden.

1891.

Op een vlak evenwijdig aan de horizontale as van projectie, en welks horizontale doorgang 14 cM. onder die as en welks verticale doorgang 6 cM boven die as is gelegen, ligt met een zijner zijvlakken een oubus Een hoekpunt van genoemd zijvlak ligt in den horizontalen doorgang van het vlak en op een afstand van 18 cM. verwijderd van het derde projectievlak. Eene der ribben van genoemd zijvlak maakt een hoek van 15° met den horizontalen doorgang van het vlak. De ribbe van den cubus is 10 cM. lang. Nadat deze cubus is geteekend, denke men er acht driezijdige pyramides van afgesneden door vlakken, gaande door het midden van elke ribbe van den cubus. Zoodoende ontstaat een lichaam begrensd door 6 vierkanten en 8 gelijkzijdige driehoeken — een bekende kristalvorm —. Men vraagt de drie projecties van dit lichaam te teekenen.

De assen en de in de drie projecties zichtbare ribben van het lichaam

79

worden voluit en vrij zwaar geteekend. De doorgangen van het vlak, voorzoover zij niet bedekt worden, insgelijks voluit en vrij zwaar. De onzichtbare ribben van het lichaam worden voluit getrokken, doch zeer fijn; de hulpconstructies gestreept. Slechts édne projecteerende lijn en één projecteerende cirkel moeten worden geteekend en deze beide fijn gestippeld.

De geheele figuur kan besloten worden in een rechthoek, hoog 40 cM. en breed 48 cM, Men neme het papier echter grooter. Het snijpunt van de horizontale en verticale assen ligt juist in het midden van den rechthoek.

G. H a n d t e e k e ii e 11.

Tijd: Ieder yedeclte 3 uren.

Eerste gedeelte. De modellen bij de gemaakte teekeningen te doen toekomen aan den Voorzitter der Examencommissie.

1883.

Te teekenen een eenvoudigen kop naar ■Julien of Bargue,

1884 en 1885.

Te teekenen een eenvoudigen kop naar een iu de verzameling der school aanwezig voorbeeld.

Tweede gedeelte. Bij de gemaakte teekeningen aan den Voorzitter der Examencommissie over te leggen eene teekening van de groep, waarnaar is gewerkt, in horizontale en in verticale projectie, op de halve grootte. (1883 en 1884).

1888.

Te teekenen eene groep lichamen, samengesteld als volgt:

Op eene tafel worde een kubus zoodanig geplaatst, dat twee der zijvlakken benevens het bovenvlak voor den teekenaar zichtbaar zijn. Op dezen kubus plaatse men eene driezijdige piramide zoodanig, dat ééne der punten van het grondvlak uitsteke vöór het meest verlichte zijvlak van den kubus Naast deze twee lichamen worde op de tafel een cylinder zoodanig geplaatst, dat de slagschaduw van eerstgenoemden gedeeltelijk op den cylinder valle. De schaduw zij eenigszins verlicht door reflexliehl.

(De kubus kan worden vervangen door een parallelopipedum, de piramide door een drie- of vierzijdig prisma, en de cylinder door een kegel.)

I8⁸⁴.

Te teekenen eene groep lichamen, samengesteld als volgt:

Op eene tafel worde een kegel naast een kubus geplaatst, zoodanig dat op de verlichte zijde van den kubus de slagschaduw van den kegel

80

valt. Op den kubus ligt een 5-zijdig prisma op eene der opstaande zijden; behalve twee of drie der zijden van dit prisma, is ook het grondvlak voor den teekenaar zichtbaar.

1885.

Eene teekening te leveren naar een niet al te samengesteld, maar ook niet te eenvoudig, ornament (pleisterafgietsel).

De vormen moeten flink, en het relief mag niet te vlak zijn, opdat uit de teekening kunne blijken of de candidaat in staat is, verkortingen waar te nemen en in teekening te brengen.

De juiste schets is hoofdzaak; de schaduwen zijn op eenvoudige wijze aan te geven, zoo, dat alle deelen nagenoeg evenveel zijn bewerkt.

Het model dient — wat relief en moeielijkheid der reproductie aangaat — te zijn in den geest der twee Romeinsche rosetten uit de Delftsche collectie (serie A, Nos. 27 en 28).

Het verdient aanbeveling, het model — wanneer eene regelmatige verdeeling daarvan de grondvorm is — zoo te plaatsen, dat geen der candidaten dien grondvorm in onverkorten stand zie.

1886.

Eene teekening te maken naar een der volgende modellen:

Acanthusblad, Serie B, No. 49 ^ i n .•

Romeinsche roset, serie A, No. 27 | ^{Delfeche collectie}-

Bladvorm, No. 31 of No. 52 ) ,, ,.

Roset, No. 16 of No. 25 j collectie Klijsen

of een daarmede in moeilijkheid overeenkomend model, te nemen uit de verzameling in de school aanwezig.

De hoofd verdeeling en vormen moeten goed zijn weergegeven, de schaduwbehandeling liefst eenvoudig te houden.

Wanneer het aantal candidaten te groot is om alle naar een model te laten werken, kunnen verschillende modellen worden gebruikt.

1887.

Eene teekening te maken naar een der volgende modellen uit de Delftsche verzameling:

Romeinsche roset, Serie A. No. 28; Romeinsche Eierlijst, Serie A. No. 19; twee appelen met bladen (natuurafgietsel) Serie C. No 58; of, wanneer deze afgietsels niet aan de school aanwezig zijn, naar een weinig samengesteld stil leven, bestaande uit eene eenvoudige kan of vaas, waarbij een paar boekwerken zijn gelegd, naar een stoel in hellenden stand of een bibliotheektrapje.

De hoofdverdeelingen en voornaamste vormen moeten goed zijn wêer-gegeven, de schaduwbehandeling liefst eenvoudig te houden.

Wanneer het aantal candidaten te groot is om alle naar één model te laten werken, kunnen verschillende modellen worden gebruikt.

81

1888.

De teekenleeraar kieze uit de aan de school aanwezige collectie een of meer ornamentmodellen van gelijke moeilijkheid. Bij dio keuze neme hij vooral modellen met een krachtig relief, opdat de perspectivische gedaante daarvan voor de leerlingen merkbaar verschille naar gelang van den stand dien zij innemen met betrekking tot dit model.

De behandeling der schaduwen zij eenvoudig.

1889 en 1890.

Uit de verzameling gipsmodellen der school kieze men een of meer modellen naar gelang van het aantal candidaten. Het model zij eenvoudig van vorm, symmetrisch en zonder veel détails. Het relief zij eenvoudig, doch krachtig. Do sehaduwgedeelten moeten eenigszins verlicht zijn door reflex-licht.

In de teekening, naar het gegeven model te vervaardigen, moeten vooral de hoofdvormen juist zijn weergegeven; de schaduwbehandeling zij eenvoudig.

1891.

Uit de verzameling gipsmodellen der school kieze men een of meer modellen naar gelang van het aantal candidaten. Het model zij eenvoudig van vorm, symmetrisch en zonder veel détails. Het relief zij eenvoudig, doch krachtig. De sehaduwgedeelten moeten eenigszins verlicht zijn door retlex-licht.

In de teekeningen, naar het gegeven model te vervaardigen, moeten vooral de hoofdvormen juist zijn weergegeven; de schaduwbehandeling zij eenvoudig. In de wijze van bewerken is den candidaat do keuze geheel vrijgelaten.

H. Werktuigkunde en Kennis van Werktnigen.

Tijd 3 itren.

1866. Zuid-Holland.

l^ste Ploeg.

1. Hoe kan men de resultante van twee krachten Pen Q uitdrukken in functie van F en Q, en omgekeerd elke der composanten in functie van de resultante?

2. Bepaal het zwaartepunt van eene bolvormige schijf (voor een\' segment i_s* = i. f ■)

Anhv. Is q de straal van het grondvlak, p de straal van het bovenvlak der schijf, zoo is de afstand van het zwaartepunt tot het middenpunt van den bol:

6

82

3 (7² P²)[(2 B² j)²)^^a—p² (2 7i⁾³ ry²) VR* —rj² ]

4\' ((jf² p^a)³ 3 ii^a (g²-f-p²) — q^p²

3. Een lichaam wordt met eene aanvaugsnellieid van 100 el verticaal in de hoogte geworpen en verkrijgt na 4 seconden eene nieuwe snelheid van 50 el. Hoe hoog was het toen gestegen? Hoe hoog zal het nog stijgen ? In hoeveel tijd komt het beneden ?

Antw. Aan het einde der 4 sec. was het lichaam 321,504 el gestegen; daarna stijgt het nog 625,051 el, en komt vervolgens in 13,89 seconden beneden.

Ploeg.

1. Geef een overzicht van de theorie van het hellend vlak; 1quot;. wat betreft do voorwaarden van evenwicht, zoowel zonder als met inachtneming der wrijving; 2°, met het oog op den val langs dat vlak.

2. Welke zijn de valwetten? Hoe bewijst men die, en welke gevolgen kan men uit de formules afleiden?

3. In een stoomwerktuig van hoogen druk heeft de stoom eene spanning van 5 atm., de cylinder eene middellijn van 7 palm ; de slag is 15 palm en de zuiger doet 80 slagen per minuut; hoe groot is de verrichte arbeid?

Antw. Elke minuut wordt door den stoom een arbeid van 238G655 kilogrammeters verricht, waarvan 477331 kgm. dienen tot het overwinnen van de drukking der lucht. Er blijven dus over 4241 paardekracht.

3\'^le Ploeg-.

1. Welke is de voorwaarde van evenwicht voor een stel krachten, die in verschillende vlakken op een lichaam werken.

2. Een lichaam wordt in verticale richting opgeworpen met eene snelheid c; na t sec. wordt het eene nieuwe snelheid medegedeeld c\'; men vraagt de grootste hoogte, die het lichaam bereiken zal in den tijd, welken het in beweging is geweest.

Anttv. Is (j de versnelling van de zwaartekracht, zoo is de gevraagde

hoogte - c\'t.

%

3. Hoeveel kracht is noodig om een lichaam van 300 kilogr. op eene helling van 30° in evenwicht te houden en hoeveel om het er tegen op te trekken? (/\'= 0,3)

Antw. De kleinste kracht, die het lichaam in evenwicht kan houden, is 72,057 KG.; de kracht, die het lichaam tegen de helling optrekt, is grooter dan 227,943 KG.

4. Beschrijf oen of ander samengesteld werktuig.

1866. Gelderland.

I^s10 Ploeg.

1. Op eene staaf zonder gewicht werken, op onderling gelijke afstanden van 4 palm, zes evenwijdige krachten, respectievelijk groot 8, 10,

83

12, 20, 17 en 7 pond, terwijl de 1quot;, 3quot; en 5quot; kracht eene richting hebben tegengesteld aan die van de 2quot;, 4quot; en 6quot;. Men vraagt richting, grootte en aangrijpingspunt der resultante te bepalen.

Ardw. Deze krachten hebben geene resultante; zij geven een rosul-teerend koppel, waarvan het moment 52 (pond X palm) is.

2. Op een hellend vlak, makende eenen hoek a met den horizon, is een lichaam, wegende P pond, geplaatst. In hoeveel tijd zal het van eene hoogte h hoven den horizon beneden komen, zoo de wrijving van het lifhaam over het hellend vlak in rekening gebracht, en de wrijvingsl.\'iek genoemd wordt?

Anhv. Wanneer y de versnelling der zwaartekracht en /i lt;« is,

dan is de gevraagde tijd / = \\/-----

\' (j. sin u (sin a — Uj fi cos u)

3. Verklaar de inrichting der Bascule of Brugbalans.

2^,quot;^, Ploeg\'.

1, Aan de uiteinden eener homogene cylindrische staaf, van welke de lengte l, de straal der doorsnede r en het soortelijk gewicht d is, zijn twee homogene bollen bevestigd, wier middelpunten op de as des cylinders liggen. De stralen dier bollen zijn II en 11\' en hunne soortelijke gewichten D en D\'; men vraagt de plaats van het zwaartepunt, ten opzichte van het midden der staaf, te berekenen.

De berekening toe te passen op het geval, dat:

l = 1,852 el; r== 0,007 el; d = 1,M.

R — 0,048 el; /^ = 0,065 el.

£=19,26; D\' = 10,47.

Anlw. Wanneer R\'* //ji?\'gt; 7i^gt;3 7^/2ligt het zwaartepunt tusschen het, midden der staaf en den bol, waarvan de straal is R\'; wanneer R\'^s D\' (^R\' -(- 7,j lt; It³ I) (^ R ligt het tusschen het

midden der staaf en den bol, waarvan de straal is R. De afstand van het zwaartepunt tot het midden der staaf is de volstrekte waarde van de uitdrukking

R\'* IJ\' [R\' R* D^R ^

7?\'³ jy R^:i 1) -f r* ld 4

Voor de gegeven waarden der verschillende grootheden wordt deze afstand 0,14 el; het zwaartepunt ligt tusschen het midden der staaf en den bol, waarvan de straal 0,005 el is.

2. Op twee hellende vlakken, die tegen elkander zijn geplaatst, en met den horizon de hoeken a en /? maken, rusten twee lichamen P en Q, die verbonden zijn door een koord, welke over een katrolschijf bij het vereenigingspunt der vlakken loopt. Zoo de wrijving, het gewicht van de koord en de massa der katrolschijf buiten rekening

84

gelaten worden, vraagt men de lengte van den weg te vinden, dien het stelsel der lichamen in l secunden zal doorloopen.

De berekening uit te voeren, voor het geval dat:

« = 31⁰48/3; P— 875 pond; ,_ ,

= 53⁰14^/,5 ; ()=328 pond; ^— \'

Antiv. Is (j de vorsuelling der zwaartekracht, dan is de gevraagde-weg gelijk aan de volstrekte waarde van de uitdrukking

1 Qsin p—Psinu _l2

2 Q 1\' ^fl ■

Voor de gegeven waarden der verschillen lo grootheden wordt deze weg 12,9\'! 1 nieter.

3. Verklaar de inrichting van een kraan, en bepaal de verhouding van macht en last bij een dergelijk werktuig. (De wrijving, enz. wordt buiten rekening gelaten).

1867. Zuid-Holland.

l^8le Ploeg.

1. Aan het uiteinde A van een hefboom der eerste soort AB, die den vorm heeft van een rechthoekig parallelopipedum en 6 meters lang-, 2 centimeters hoog en 3 centimeters breed is, hangt een gewicht vau 200 kilo. Het steunpunt C ligt op een afstand AC =1,5 meter van het uiteinde A. Aan het uiteinde B werkt eene kracht verticaal naai beneden. Hoe groot moet deze kracht zijn, als de toestel in evenwicht is ? De hefboom is van ijzer, het soort, gewicht van ijzer bedraagt 7,8.

AntlO. Wanneer de toestel in horizontalen stand in evenwicht is, werkt aan B eene kracht van 57,307 KG.

2. Hoe bewijst men, dat de resultante van twee evenwijdige krachten, die in denzelfden zin werken, gelijk is aan de som der krachten \'f

3. Een lichaam wordt met eene eenparige snelheid van G meters in de seconde in beweging gebracht. Na 35 seconden verlaat een tweede lichaam hetzelfde punt. De beweging van dit lichaam geschiedt volgons dezelfde lijn, in dezelfde richting, en is eenparig versneld ; de versnelling bedraagt 3 meters. Na hoeveel tijd zal het tweede lichaam het eerste inhalen ? Antio. Na 14 seconden.

gde ploeg.

1. Een cylinder wordt door een vlak, dat evenwijdig is aan het grondvlak, verdeeld in twee deelen van gelijken inhoud. De bovenste helft is van ijzer; de onderste van lood. Hoe hoog ligt het zwaartepunt van den geheelen cylinder boven het grondvlak ? De hoogte van den cylinder is gelijk aan 4 meters; soort. gew. ijzer = 7,8; soort, gevv. lood = 11,2. Antio 1,821 meter.

2. Te bewijzen, dat de algebraïsche som der momenten van twee krachten, die op hetzelfde punt doch in verschillende richting werken, met betrekking tot een punt barer resultante gelijk nul is.

3. Een lichaam beweegt zich met eene eenparige snelheid van 20

85

meters in de seconde; op een gegeven tijdstip gaat die beweging over in eene eenparig vertraagde, de vertraging bedraagt 1 meter in de seconde. Hoeveel tijd na genoemd tijdstip zal het lichaam in rust gekomen zijn, en hoe groot is de afstand, dien het dan nog doorloopen heeft ?

Antio- Na 20 seconden zal het lichaam in rust zijn ; daarin zal het afgelegd hebben een weg van 200 meters,

3^J0 Ploeg.

1. Tegen het eene uiteinde van een cylindervormigen stok, die 3 meters lang en 2 centimeters dik is, is een looden kogel bevestigd, waarvan de middellijn gelijk 4 centimeters is; tegen het andere uiteinde van den stok is een ijzeren kogel bevestigd, wiens middellijn gelijk 8 centimeters is. Men vraagt den afstand van het zwaartepunt van den geheelen toestel tot een der uiteinden van den stok te bepalen. Soort, gew. houtsoort = 0,6 ; ijzer = 7,8 ; lood = 11,1,

Antio. Do afstand van het zwaartepunt tot het uiteinde van den stok, waaraan de ijzeren kogel bevestigd is, is 0,023 meter.

2. Van eene wig is de hoogte gelijk aan tweemaal de breedte. Loodrecht op het bovenvlak der wig wordt eene drukking uitgeoefend van 100 kilo. Men vraagt de drukking loodrecht op de zijvlakken te berekenen. Antio. 206,155 KG.

3. Eene buis, wier as een hoek van 30° maakt met het horizontale vlak, heeft eene lengte van 100 meters. In de bovenopening van de buis wordt een bal geplaatst en daarna aan zich zelf overgelaten. Na hoeveel tijd en met welke snelheid zal de bal de benedenopening bereiken ?

Antio. Na 6,4 sec., met eene snelheid van 31,324 meters.

4. Korte beschrijving van een samengesteld werktuig, met eene schetsteekening.

4\'¹⁰ Ploeg.

1. Op een gelijkzijdigen cylinder is een kegel geplaatst; het grondvlak van den kegel bedekt het bovenvlak van den cylinder volkomen. De cylinder is van ijzer, de kegel van hout. Indien nu de hoogte, 6n van den cylinder, én van den kegel gelijk 5,2 meters is, vraagt men den afstand te vinden van het zwaartepunt van het geheele lichaam tot het grondvlak van den cylinder. Soort. gew. ijzer = 8. Soort. gew. hout=l. Antic. 2,756 meters.

2. Een hefboom van de tweede soort is in evenwicht onder de werking van twee in verschillende richting werkende krachten. Hoe vindt men de betrekking tusschen de grootte dezer krachten, en waarop steunt de aangewezen handelwijze ?

3. Twee lichamen zijn op een afstand van 500 meters van elkander verwijderd. Op hetzelfde tijdstip beginnen zij zich naar elkander toe te bewegen, het eene lichaam met eene eenparige snelheid van 5 meters in de seconde, het tweede met eene eenparig versnelde beweging, waarbij de versnelling gelijk 2 meters is. Na hoeveel tijd en op welk punt zullen de lichamen elkaar ontmoeten ?

Antio. De lichamen ontmoeten elkander na 20 seconden; het lichaam

86

dat eene eenparige beweging heeft, is 100 meters van zijn uitgangspunt verwijderd.

4. Korte beschrijving van een samengesteld werktuig, met schets-teekening.

1867. Noord-Holland.

I⁸¹⁰ Ploeg¹.

1. Een lichaam, dat F kilogram weegt, ligt op een volkomen glad hellend vlak en wordt daar in evenwicht gehouden, doordien er 3

krachten op werken, elk in \'t bijzonder — — P. Welken hoek maakt

O

dit vlak met het horizontale, als eene dor krachten horizontaal, de tweede in eene richting tegenovergesteld aan die van \'t gewicht, en de derde loodrecht op het hellend vlak werkt?

■ Antw. 26quot;33^/54^//,2. De kracht, die loodrecht op het hellend vlak werkt, kan ook gemist worden.

2. Een lichaam, dat 02,75 kilogram weegt, ligt op een vlak, dat een hoek van 45quot; maakt met den horizon. Hoe groot is de kracht, die een hoek van 50quot; met den horizon makende, het lichaam in evenwicht houdt ? (wrijvingscoëff. — 0,35).

Antw. De kleinste kracht, die het lichaam in evenwicht houdt, is 29,860 kilogram.

3. Een steen valt van eene hoogte; hoeveel later zal hij worden ingehaald door een anderen, die hem, nadat hij gedurende 5 seconden gevallen is, met eene snelheid van 60 meters wordt achternageworpen ?

Antw. De steen zal na 16,21 sec. worden ingehaald.

4. Geef eene beschrijving van een stoomwerktuig van hooge drukking.

gJe p]_oeg_f

1. Eene kracht van 500 kilo werkt onder een hoek van 70quot; tegen een volkomen glad hellend vlak. Hoe groot is de normale drukking en welken hoek zal het hellend vlak met het horizontale moeten maken, als men wil dat er evenwicht is ?

Antw. In deze opgave is waarschijnlijk hij vergissing iets weggelaten ; zooals zij daar staat, is zij niet te begrijpen.

2. Een lichaam, dat 100 kilo weegt, wordt met gelijkmatige snelheid tegen een hellend vlak opgetrokken, dat een hoek van 30quot; maakt met den horizon. Hoe groot zal de daartoe vereischte kracht zijn, als zij horizontaal werkt en 0,2 de wrijvingscoëfficient is ?

Antw. Wanneer de kracht is 87,S82 kilo, zal het lichaam eene eenmaal verkregen snelheid behouden.

3. Twee punten liggen op een afstand van 50 meters boven elkander. Na hoeveel tijd zal een lichaam, dat uit het laagste punt valt, door een ander ingehaald worden, dat 1 seconde van te voren viel uit het hoogste punt \'t Antw, Na bijna 4,6 sec.

87

4. Geef in korte trekken de beschrijving van een of ander samengesteld werktuig.

1867. Zeeland.

1. Een lichaam is samengesteld uit een rechten cylinder, wiens straal r gegeven is, en uit een halven bol, die hetzelfde grondvlak heeft als de cylinder. Welke hoogte moet de cylinder hebben, opdat het zwaartepunt van het geheele lichaam in het middelpunt van het

gemeenschappelijk grondvlak gelegen zij? Antiv, — r j/ 2.

2. Een secundeslinger van de lengte l, wordt door warmte 0,012 l langer, Hoevele slingeringen maakt die slinger daags minder ?

Antw. Wordt de lengte l in meters uitgedrukt, dan is het gevraagde

512

I/ i

3. Een lichaam, waarvan het gewicht F ponden bedraagt, wordt op een hellend vlak gelegd. In het zwaartepunt van het lichaam wordt eene kracht P\' aangebracht, opwaarts in de richting van de lengte van het hellend vlak, en zoodanig, dat de minste vergrooting van de kracht eene beweging opwaarts ten gevolge zou hebben. Hoe groot moet de helling a van het hellend vlak wezen, opdat 1quot; = P worde, wanneer de wrijvingscoëfficient /\' is ?

1867. Utrecht.

1. Door middel van welke werktuigen kan men eene ronddraaiende beweging veranderen in eene heen en weer gaande ?

2. Bepaal de plaats, de snelheid en de richting der beweging van een kogel, die met eene aanvangssnelheid c onder een hoek x niet den horizon is voortgeschoten, t seconden na het verlaten van het kanon, en bereken den tijd na welken en den afstand waarop de kogel den grond bereikt. De hoogte van het kanon boven den grond wordt gelijk 0 aangenomen ; de versnelling van de zwaartekracht is y.

Antw. Na t sec. bevindt de kogel zich op een afstand ct sin x —

Ci

boven den grond; do afstand van de verticaal, waarop zich de kogel bevindt, tot het uitgangspunt van den kogel is cl cos X\', de snelheid is dan V c^a — 2 egt sin x -|- g²t² ; de richting der beweging maakt een

88

3. Men vraagt het zwaartepunt te bepalen van een bolvormig segment, dat li tot hoogte heeft, terwijl de straal van den bol v is, gebruik makende van de formules voor het zwaartepunt van den kogel, en van het gebogen oppervlak van een bolvormig segment.

Antw. De afstand van het zwaartepunt tot het middenpunt van den

bol is 4-^^)!.

4 3«; — h

4. Men vraagt de betrekking te ontwikkelen tusschen kracht en last bij een takeltuig, bestaande uit een vast blok van n -\\- \\ en een los blok van n onderling gelijke katrollen, waarbij het begin van het koord aan het losso blok is bevestigd. Do wrijving, doch niet de stramheid en dikte van het koord, moet worden in rekening gebracht.

1867. Overijsel.

1. Waar ligt het zwaartepunt van een rechten cirkelvormigen cylinder, die aan eene zijde concentrisch is uitgeboord, wanneer de straal van het grondvlak is 2, die van het cylindrisch gat 1,2, de hoogte des cylinders 8 en de diepte der uitholling 3 palm is?

Antio. Het zwaartepunt ligt op do gemeenschappelijke as des cylinders, op een afstand van 3,61 palm van het grondvlak.

2. Op een hellend vlak, makende met den horizon den hoek «, is een lichaam geplaatst, wegende G pond. Bereken de kracht K, die, werkende onder een hoek /? met de richting der zwaartekracht, het lichaam tegen het vlak zal kunnen opsleepen, zoo de wrijvingshoek /i genoemd

sin (« /t) ^

wordt. Antw. K = . _/0—--r G.

sin [ft — « — fi)

3. Een lichaam wordt met eene snelheid van 49 el per sec. verticaal opgeworpen. 4 sec. later wordt een tweede lichaam met een snelheid van 39,2 el per sec. evenzoo opgeworpen. Na hoeveel tijd zullen zij elkander ontmoeten, en op welke hoogte\'.\' (De versnelling der zwaartekracht g — 9,8 el.) Antw. Zij ontmoeten elkander 4 sec. nadat het tweede lichaam is opgeworpen, op eene hoogte van 78,4 el.

4. Een lichaam, wegende 100 pond, rust op een hellend vlak, welks hellingshoek 25quot; bedraagt. Hoe groot moet de kracht zijn, werkende evenwijdig aan de helling, die na 3 seconden aan dit lichaam eene snelheid van 20 el zal meedeelen ? (Wrijvingscoëfficient = 0,36; (y = 9,8 et). Antw, 142,910 pond.

1867. Groningen.

I^st0 Ploeg.

1. Zoek de resultante van 3 krachten, die in hetzelfde vlak werken, en bepaal de ligging van haar aangrijpingspunt, als gegeven is de grootte der krachten = Pi, Pi en 1\\.

Hare verlengde richtingen snijden de lijn OX, zoodat Obi = hi, Obgt; = ki, Oba=h.

De hoeken zijn: aibiX= «i, a2l)iX = ca, a^haX— «3.

89

2. Eene katrol heeft een straal van a (= 3) palm, de spil een straal van h (== 1) duim. Aan liet eene einde van het touw hangt een gewicht van P{= 1) kilogram; aan het andere een van Q kilogram. De wrij-vingscoëfficient van de spil in de pan is =tang_iec(— 0,4), Gevraagd de grootste en kleinste waarde van Q, die met P evenwicht maakt.

Anüv. Verwaarloost men het gewicht van de katrol, dan is de kleinste

, „ a — h sin fi „ , , _i a-\\~b sin. ^ „

waarde van Q: ———;-P. en do grootste -;—_;—— P.

a ^ sin /I a — b sin. /u

Voor de gegeven getallenwaarden: 0,970 en 1,025 kilogram.

3. Bij een toestel van Atwood bevindt zich een gewicht van 4 ons op 3,9 el hoogte boven den grond; het andere van 38 lood is beneden. In hoeveel tijd zal het grootere gewicht, het kleine optrekkende, den afstand tot den grond doorvallen, en met welke snelheid komt het daar aan ? Hoeveel elpond arbeidsvermogen van plaats is er dan verloren gegaan ? (g = 9,8).

Anhv. In 5i sec. bereikt het grootere gewicht den grond en wel met eene snelheid van 1,4 el; er is dan 0,078 elpond arbeidsvermogen van plaats verloren gegaan.

3¹⁰ Ploeg.

1. In twee vlakken, wier standhoek = ^ is, werken twee koppels. De krachten zijn 1\\ en la, de hefboomsarmen «i en (U. Bereken het resulteerend koppel.

2. Een hefboom heeft twee armen van a en h {— 3 en 7) palm. Zijne spil heeft c (= 3) duim middellijn, en rust in eene cylindervormige pan. Aan den langsten arm werkt eene kracht van P (= 3) kilogr., aan den anderen eene van Q kilogr. De wrijvingscoëfficient van de spil in de pan is = tang /t (= 0,4). Men vraagt de grootste en kleinste waarde van Q, die met P evenwicht maakt.

Anttv. Verwaarloost men het gewicht van den hefboom, zoo is de

... , h — c sin fi j, i . . b c sin n kleinste waarde van Q: —;-;-J ; de grootste -;-P.

« i- c sin fi a — c sin n

Voor de gegeven getallenwaarden; 6,642 en 7,386 kilogram.

3. Een blok van 2gt; = 320 glijdt naar beneden langs eene helling van (i = 30quot;. De wrijvingscoëfficient van beweging is = tang ,« = 0,12. Bereken de versnelling en den tijd, waarin liet blok de 200 el lange helling doorloopt [g = 9,8).

Antw. De versnelling is 3,882 meter; in 10,15 sec. wordt de helling doorloopen. p is willekeurig.

1867. Limburg.

1. Een lichaam wordt schuin naar boven geworpen in eene richting, die met de verticaal een hoek «=125° maakt, en met eene snelheid van u — 24,4 meter.

a. In weiken tijd t zal het lichaam het punt bereiken, dat 86,1 meter lager ligt dan het uitgangspunt?

90

h. Welken afstand zal het lichaam in dien tijd in horizontale richting afleggen ?

c. Welke snelheid zal het lichaam op dat oogenblik hebben, en welke is de richting dier snelheid ?

d. Na hoeveel seconden heeft het lichaam de grootste hoogte bereikt, en hoever bevindt het zich op dat oogenblik in verticale en horizontale richting van het aanvangspunt verwijderd ?

Atitw. a. In 5,85 sec.; b. 116,926 meter; c. de snelheid is 47,802 meter, en hare richting maakt met den horizon een hoek van 65° 17\'; d. na 1,43 sec.; de verticale afstand is 9,981, de horizontale 28,509 meter.

2. Wanneer bij een vliegwiel de druk in eene der tappannen D — 10000 kilo en do wrijvingscoöfllcient f = 0,08 bedraagt, hoe groot is dan de wrijving? Wanneer verder de tapstraal (J — 0,075 meter, en het getal omwentelingen per minuut n = G bedraagt, hoeveel arbeid moet er dan per seconde verricht worden, om deze wrijving te overwinnen ?

Antio. De wrijving in dien tap is 797,452 KG.; de gevraagde arbeid 37,579 KGM.

3. Een lichaam, dat P kilo weegt, ligt op een hellend vlak, waarvan de hellingshoek « is. Hoe groot is de kracht k, die op het punt is het lichaam naar boven te doen glijden, wanneer zij in het zwaartepunt aangrijpt, en met den horizon den hoek $ maakt?

Atiiw. Verwaarloost men de wrijving, dan is k — —^ —r P.

⁰ cos {[t — «)

4. ïwee veerkrachtige bollen, de een van 20 kilo, de ander van 32 kilo, botsen met snelheden van 15 meter en 8 meter in tegenovergestelde richting centraal tegen elkander; hoe groot zijn de snelheden na de botsing\',\' Antw. 13en 9₁³._r meter.

1868.

1. Eene rechte horizontale staaf rust met een cylindrischen tap in eene pan. Het zwaartepunt der staaf is 4 decimeters, de uiteinden der staaf zijn 2 en 6 decimeters van het middelpunt des taps verwijderd. De straal van deu tap is 0,3 decimeter, het gewicht der staaf 4 kilogram, de wrijvingscoëfficient 0,21. Men vraagt, hoeveel kilogram aan den kortsten arm moet worden opgehangen, om evenwicht te maken met 25 kilogram aan het uiteinde van den langsten arm ?

Antw. Het kleinste gewicht, waarmede men evenwicht kan maken, is 79,050 kilogr. ; het grootste waarbij nog evenwicht bestaat 86,563 kilogr.

2. Welke snelheid deelt eene kracht van 30 kilogram aan een lichaam mede, dat 600 kilogram weegt, wanneer de kracht 10 seconden werkt? Welken afstand heeft het lichaam na verloop van dien tijd afgelegd? Hoeveel arbeidsvermogen is er in het lichaam opgehoopt, ea indien de kracht na tien seconden ophoudt te werken en vervangen wordt door een weerstand van 12 kilogram, hoe lang blijft het lichaam dan nog in beweging en welken weg legt het af?

Antw. Na 10 seconden heeft hot lichaam eene snelheid van 4,906

91

meter; liet heeft dan afgelegd een weg van 24,53 meter, en bezit een arbeidsvermogen van 785,9 KGM. Komt het dan onder de inwerking van een weerstand van 12 kilogram, zoo blijft het nog gedurende 25 sec. in beweging, en legt nog af (31,325 meter.

1869.

1. Een last, wegende P kilogram, moet tot eene hoogte van h meter worden opgeheven. Men kan daartoe gebruik maken of van eene vaste katrol, bi\' van een hellend vlak. Van de katrol heeft de schijf een straal van 1 decimeter, de nagel of spil een straal van 1 centimeter ; de wrijvingscoëfficient is Ü,3G. Het hellend vlak maakt met den grond een hoek van 30quot;; bij het glijden van den last over dit vlak is de wrijvings-hoek 9°. Men onderstelt verder, dat bij het sleepen van den last het touw evenwijdig met het vlak is.

Men vraagt de grootte van den in beide gevallen te verrichten arbeid te bepalen.

Anlw. Bij gebruik van de katrol is de arbeid 1,07 Ph KGM.; bij gebruik van het hellend vlak 1,27 Ph KGM.

2. Eene locomotief doorloopt een boog. waarvan de straal 100 meter is. Haar zwaartepunt ligt 1,6 meter boven de spoorstaven. De buitenkanten der spoorstaven hebben een afstand van 1,5 meter. Bij welke snelheid zou de locomotief door de middenpuntvliedingskracht naar buiten omkantelen? Hoeveel moet de spoorstaaf, die aan den buitenkant der bocht ligt, hooger gelegd worden dan de binnenste, opdat bij eene snelheid van 3 meter de resultante van zwaartekracht en middenpuntvliedingskracht loodrecht zij op het vlak, dat door de bovenkanten der spoorstaven kan gebracht worden, zoodat de flenzen niet zijdelings tegen de spoorstaven gedrukt worden ?

Antiv. Bij eene snelheid grooter dan 21,446 meter zou de locomotief omkantelen. Bij eene snelheid van 3 meter zal, opdat de spoorstaven geene zijdelingsche drukking ondervinden, de buitenste spoorstaaf 0,014 meter hooger moeten liggen dan de binnenste.

3. Een heiblok van 600 kilogram heeft eene valhoogte van 1,2 meter, slaat op een heipaal, die 420 kilogram weegt, en drijft dezen in de laatste 20 slagen 0,015 meter dieper in den grond. In de onderstelling, 1°. dat de weerstand van den bodem daarbij standvastig is, 2°. dat heiblok en paal harde, niet veerkrachtige lichamen zijn, worden gevraagd : a) het draagvermogen des paals; b) het arbeidsvermogen bij é(5n slag verbruikt en de nuttige arbeid daardoor verkregen.

Aniw. a. 564700 kilogram ; h. het verbruikte arbeidsvermogen bij iederen slag is 720 KGM ; de nuttige arbeid 423,5 KGM.

1870.

1. Een looden halve bol is tegen een der eindvlakken van een kurken cylinder bevestigd. De stralen van bol en cylinder zijn gelijk. Het soortelijk gewicht van lood is 11,35, dat van kurk 0,24.

92

Welke is de grootste verhouding tusschen lengte en straal van den ■cylinder, die nog kan voorkomen, wanneer het lichaam, nedergelegd zijnde, zich weder zal oprichten ?

Antio. De verhouding moet kleiner zijn dan 4,8(527 tot 1.

2. Op een lichaam van 10000 kilogram, dat zich op een horizontalen weg bevindt, werkt gedurende 2,5 minuut eene kracht van 200 kilogram. In de onderstelling, dat de aanvangssnelheid 5 meter en de wrijvingscoëfficient 0,01 is, vraagt men ;

a. de snelheid na 2,5 minuut;

b. den weg in dien tijd afgelegd ;

c. het arbeidsvermogen alsdan in het lichaam opgehoopt;

d. den weg, dien het nog zou kunnen atloggeii, als na den tijd van 2,5 minuut de kracht ophoudt te werken.

Antw. a. 19,7 meter; h. 1852,5 meter; c. 198005 kilogrammeter; d. 1980,05 meter.

1871.

1. Een ijzeren staaf, lang 12 decimeter, heeft den vorm van een afgeknotten kegel, welks eindvlakken stralen van 4 en van 2 centimeter hebben. Het soortelijk gewicht van het ijzer is 7,0. Aan het dikke einde hangt een gewicht van 200 kilogram, en op 5 decimeter afstand van dit uiteinde is het middelpunt van een tap, welks straal 2 centimeter is. Men vraagt naar de grenswaarden der kracht, welke, aan het dunne uiteinde aangebracht, dezen hefboom in evenwicht kan houden, wanneer de wrijvingscoëfficient van tap en pan = 0,08 is.

Antw. 143,107 en 144,794 kilogram.

2. Welken hoek moet de as van een mortier met den horizon maken, opdat het projectiel, dat den mond met eene snelheid s verlaat, op een horizontalen afstand l neerkome ?

Antw, Is (j de versnelling van de zwaartekracht, dan is de gevraagde

1872.

1. Eene kraan is op de volgende wijze ingericht; De last L hangt aan een takel van twee blokken, elk met twee schijven. Het koord van den takel is aan het bovenste blok vastgemaakt en loopt van den takel naar eene spil, welker straal = 0,37 meter is. Op deze spil is een getand rad bevestigd van 60 tanden, grijpende in een rondsel van 0 tanden, op welks as een tweede getand rad is geplaatst van 30 tanden, werkende op een rondsel van 0 tanden. Op de as van dit rondsel is de kruk bevestigd, waarop de kracht werkt; de lengte van den krukarm is 0,55 meter. Men vraagt de verhouding van kracht en last in geval van evenwicht te bepalen.

(De inrichting door een figuur duidelijk te maken.)

Antw. Stelt men de kracht door K, den last door L voor, zoo is K 37 L ~ 13200quot;

93

2. Een materieel punt valt langs een hellend vlak over eene lengte l = 7,8 meter. Van dit vlak gaat het punt, zonder snelheid te verliezen, op een horizontaal vlak over. De hellingshoek van het hellend vlak is 35°. De wrijving, die het punt op het hellend vlak ondergaat, is gegeven door den wrijvingshoek fi = 7quot;; de wrijving op het horizontale vlak door den wrijvingscoëfficient /\' =: 0,3. Men vraagt, welken weg het punt op het horizontale vlak zal afleggen, en hoe lang het daarop in beweging zal blijven.

Ant\'W. Waar er gezegd wordt, dat het punt zonder snelheid te verliezen op het horizontale vlak overgaat, wordt waarschijnlijk bedoeld, dat het zijne snelheid in horizoi.tale richting behoudt. De weg dien liet punt dan op het horizontale vlak aflegt is 8,252 nieter; de gevraagde tijd 2,37 sec. {Julius). ^l)

1873.

1. Tegen een vertikalen muur staat op een horizontaal vlak eene ladder, waarvan het zwaartepunt, van onderen af gerekend, op J van de lengte L ligt. Welke is do kleinste hoek, dien de ladder met het horizontale vlak kan maken zonder uit te glijden? De wrijvingscoëfficient f en het gewicht G van de ladder worden bekend ondersteld.

2. Op een heipaal, die 800 kilogram weegt, valt een blok, zwaar 1200 kilogram, nadat het tot eene hoogte van 2,5 meter opgetrokken was. Indien bekend is, dat de paal door don stoot 0,045 meter daalt, wenscht men hieruit den gemiddelden weerstand van den grond te berekenen, alsmede welk deel van den verrichten arbeid hier nuttig gebruikt wordt. De stoot wordt als volkomen onelastisch beschouwd,

Antw. De gemiddelde weerstand is 40000 kilogram; ^ van den

O

verrichten arbeid wordt nuttig gebruikt. Zie 1869, no. 3.

1874.

1. In een houten kegel is eene uitholling gemaakt, die den vorm heeft van eenen rechten cirkelvormigen cylinder, wiens grondvlak en as met die van den kegel samenvallen, en die met lood wordt gevuld. Welke kracht moet men in het zwaartepunt van het lichaam loodrecht op de as laten aangrijpen om het te doen kantelen, als het op een horizontaal vlak staat.

De straal van het grondvlak van den kegel is H, die van den cylinder r, de hoogte van den kegel h, die van den cylinder ^ h, het soortelijk gewicht van hout s, dat van lood s\'.

gt;) Ik heb in 1872 onder „zonder snelheid te verliezenquot; verstaan: „zonder dat zijn arbeidsvermogen van beweging verandert.quot; Het komt mij nog voor, dat dit wel de bedoeling zal geweest zijn. De weg is dan 12,298 nieter; de tijd 2,892 sec. In ieder geval behelzen de genoemde woorden, letterlijk opgevat, eene onmogelijkheid.

(v. d. P.).

94

Antw. Zijn li en r uitgedrukt in decimeters, dan moet de gevraagde kracht grooter zijn dan (2 R²â€” 3/\'²) s 2/quot;² s\'J kilogr.

2. Een hellend vlak maakt met den horizon een hoek a = 4quot;30^/. quot;Wanneer een lichaam, dat tegen die helling wordt opgetrokken, nadat de kracht ophoudt te werken nog 5 meter in 3 seconden ufiegt, voordat zijne snelheid uitgeput is, bereken dan den wrijvingscoëlficient en de snelheid, die het lichaam heeft, ééne seconde voor het stilhoudt.

Antw. De wrijviugs-coëfficient is 0,03489; de gevraagde snelheid

meter.

3. Eene stang is met het eene uiteinde door een scharnier aan eene verticale as verbonden . en draagt aan het andere uiteinde een zwaren bol. Hoeveel omwentelingen om de verticale as moet de toestel in lt;;éne seconde maken, opdat de stang een hoek van 30quot; met die as vorme? Het gewicht van de stang worde verwaarloosd; de afstand van het scharnier tot het midden van den bol bedraagt 6 decimeter.

Antw. 0,0910 omwenteling in de seconde.

1875.

1. Eene schroef, waarvan de spoed 1,5 centimeter en de straal 3 centimeter is, wordt bezwaard met een last van 1000 kilogram; indien de wrijvingscoëfficient 0,15 is, vraagt men:

a. welke horizontaal werkende kracht op een afstand van 3 decimeter, gerekend van het midden der schroef, moet werken aan de stang, die door den schroefkop gestoken is, om op het punt te zijn den last omhoog te brengen?

b. hoe groot die kracht, zou moeten zijn om te beletten, dat de last de schroef naar beneden doet gaan.

Antw. a. 23,335 kilogram; b. er is geene kracht noodig om de schroef het naar beneden gaan te beletten; wil men, dat zij naar beneden gaat, zoo is daartoe eene kracht noodig grooter dan 6,959 kilogr.

2. Een verticaal vliegwiel, bestaande hoofdzakelijk uit een cylinder-vormigen dunnen ring, waarvan het gewicht P en de straal li is, maakt n omwentelingen in de seconde. Men vraagt:

a. hoe groot is het arbeidsvermogen van het vliegwiel?

b. na hoeveel omwentelingen zal dit arbeidsvermogen door do tap-wr ij ving zijn uitgeput, indien de tapstraal r en do wrijvingscoëfficient f is.

C. in hoeveel seconden zal het vliegwiel door de tapwrijving tot stilstand komen ?

Gegeven P = 100 kilogram, R. = 0,4 meter, n — 2_t r — 0,015 en /\'—0,05.

2 Ti² n² R² P 1007K0 wc \\r

An/it\'. a........ — 128,(o2 KGM.;

9

95

_ „2 »2 T/l I f2

b......JprJ\'-^ = 273,56 omwentelingen;

c.....hcnWVl -]■ !* _seconfj_engt;

gr f

1876.

1. Aan het grondvlak van een rechten cirkelvormigen cylinder is een halve bol van dezelfde stof zoodanig bevestigd, dat de middenpunten van grondvlak en bol samenvallen. Uit het aldus samengestelde lichaam is uit de andere zijde weggeboord een gedeelte, gelijkvormig met het geheel, en zoodanig dat de as der holte samenvalt met die van den cylinder. Men wil nu, dat het lichaam, met het bolvormig gedeelte op een horizontaal vlak rustende, in onverschillig evenwicht zij. Hoe groot moet de hoogte van den cylinder genomen worden, indien de straal van den cylinder en van den halven bol R bedraagt en de afmetingen van het geheele lichaam het dubbel bedragen van die der holte?

Antiv. 0,813 R.

2. Een stoffelijk punt met een gewicht van 5 kilogram beweegt zich, tegen de werking der zwaartekracht in, van beneden naar boven langs den binnenomtrek van een cirkel, die in een verticaal vlak geplaatst is, en heeft in het punt van zijne baan, dat in do horizontale middellijn gelegen is, eene snelheid van 40 meter. Welke drukking zal het in het bovenste punt van den cirkel in de richting van den straal op de baan uitoefenen, wanneer de straal van den cirkel insgelijks 40 meter bedraagt en men y, de versnelling der zwaartekracht, eeuvoudigheidshalve op JG meter stelt? En op welken afstand van de verticale middellijn van den cirkel zal het zich bewegende punt het horizontale vlak ontmoeten, dat 100 meter beneden het middelpunt van den cirkel gelegen is, indien het stoffelijk punt zich van liet bovenste punt der baan af verder vrij kan bewegen.

AntlO. Het lichaam zal in het hoogste punt op de baan een drukking uitoefenen van 5 kilogram. De gevraagde afstand is 149,67 meter.

1877.

1. Een balk van 200 kilogram rust met één zijner uiteinden opeen horizontaal, met het andere op een hellend vlak, waarvan de heliings-hoek 45quot; bedraagt. Men vraagt, welken hoek de balk met het horizontale vlak moet maken om in evenwicht te zijn, en iioe groot de drukkingen zijn, die op beide vlakken worden uitgeoefend, als f = 0,325

Antw, Als de balk over zijn geheele lengte even dik en van dezelfde stof is, moet de hoek = 29quot;7^/ wezen, de drukking tegen het horizontale vlak = 122,10 kilogr,, en die tegen het hellend vlak 83,14 kilogr

2. Een looden kogel bevindt zich in eene buis, welker as een hoek c« met het horizontale vlak maakt en die zich eenparig beweegt om eene verticale as, welke door het onderste punt der buis gaat. Hoe groot moot de duur eener geheele omwenteling zijn, opdat de kogel,

96

1878.

1. Uit eene cirkelvormige schijf, welker middellijn 16 decimeter bedraagt, moet eene kleinere schijf worden gestoken, welke eene middellijn van 8 decimeter heeft. Hoe ver moot het middenpunt van het cirkelvormig grensvlak van de laatstbedoelde schijf verwijderd zijn van dat van eerstgenoemde, opdat het zwaartepunt van het overblijvende gedeelte juist in den omtrek van de kleinere schijf ligge ? Antw. 3 decimeter.

2. Een lichaam van 260000 kilogram ontmoet met eene snelheid van 8 meter een ander lichaam, dat zich in tegenovergestelde richting beweegt en een gewicht van 200000 kilogram heeft. Dit laatste had gedurende 10 seconden vóór de botsing een wrijvingsweerstand van 5000 kilogram te overwinnen, en zijne snelheid bedroeg vóór die 10 seconden 8,95 meter. Hoe groot is de levendige kracht, die bij do botsing dier lichamen verloren gaat, indien zij als volkomen on veerkrachtig worden beschouwd en de versnelling der zwaartekracht op 9,8 meter gesteld wordt.

Antw. Als men onder levendige kracht verstaat het halve produkt van de massa en het kwadraat der snelheid, dan is het verlies 1212600 kilogrammeter.

1879.

1. Een rechte kegel, waarvan de straal van het grondvlak 2 decimeter en de hoogte 16 decimeter is, rust met zijn grondvlak op een hellend vlak. Als deze kegel op het punt is fcn van om te vallen, èn van naar beneden te glijden, vraagt men den hellingshoek en den wrij-vingscoëfficient.

Antw, De hellingshoek = 26quot;34^/; de wrijv. coëff. —

2. Op een horizontaal vlak is een lichaam van Q, = 100 kilogram geplaatst. Dit lichaam wordt voortgetrokken door eene kracht K —- 100 kilogram, welker richting met den horizon een hoek a — 60° maakt. Als de wrijvingscoëfficient /■=:0,1 is, vraagt men:

a. Welke snelheid het lichaam hebben zal, if = 5 seconden nadat de kracht begon te werken ?

b. Welken weg het in dien tijd zal doorloopen hebben ?

c. Als op het einde der 5\'^le seconde de kracht ophoudt te werken, hoe lang de beweging dan nog zal duren ?

cl. Welken weg het lichaam dan nog zal afleggen?

Men stelle ^ = 10 meter.

Antw. a. 24,33 meter. b. 60,825 met. c. 24,33 second, cl. 296 met.

97

1880.

1. Van een cirkelsegment bedraagt de koorde 4 centimeter, terwijl de boog 50° bevat. Op welken afstand van het middenpunt is het zwaartepunt gelegen? Antw. 4,216 centimeter.

2. Een bol wordt van een punt, a meter vöór een verticalen muur en b meter boven den horizontalen bodem gelegen, opgeworpen met eene snelheid c en onder een hoek n met den horizon, in een vlak loodrecht staande op den muur. Waar, onder welken hoek en met welke snelheid zal hij den muur treffen ? Waar zal hij den bodem bereiken, als bol en muur beide volkomen veerkrachtig zijn ?

Antto. De bol treft den muur op eene hoogte boven den bodem = Cl Cl^

b 4- a tq « — i ^—, onder een hoek met den verticaal naar beneden

c³ cos* a

waarvan de cotn = 2 tq ci — „ ^a, met eene Snelheid = ^{J J} C COS² cc \'

c²-\\-—z-4--2 aqtq ((■ . Hij komt op den bodem

C COS¹ « a J j J I

c² sin es cos « , i A 2c sin « 4- 2amp; ,, ,

---\\-ccosti \\ /---a, voor den muur.

9 V g

1881.

1. Aan den top en aau een punt van den omtrek van het grondvlak van een gelijkzijdigen kegel zijn de uiteinden bevestigd van een koord, dat tweemaal zoo lang is als de schuine zijde van dien kegel. Als de kegel aan dat koord zoodanig wordt opgehangen, dat het ophangpunt juist het midden van het koord is, vraagt men : welken hoek de as des kegels met den horizon zal maken, en hoe groot de spanningen der beide deelen van het koord zijn?

Antu\\ De hoek is Bq {tg = — 1^ 3) = 83° 0\' 15quot;.

O

De spanningen zijn 0,524 en 0,629 van het gewicht des kegels.

2. Een zwaar stoffelijk punt kan slingeren aan een onrekbaren draad, welks lengte één meter is en welks massa verwaarloosd mag worden. Het stoffelijk punt wordt met den draad 90quot; uit zijn stand van evenwicht gebracht en daarna losgelaten, terwijl men het tegelijk eene aanvangsnelheid van 4 meter in de richting van do raaklijn van den te beschrijven boog mededeelt.

Men vraagt: 1quot;. naar de snelheid, die het stoffelijk punt zal hebben, als de slinger door de verticaal gaat ; 2°. tot welk eene hoogte boven zijne laagste plaats het stoffelijk punt aan den anderen kant der verticaal zal stijgen; 8°. hoe groot de kracht is, waardoor de draad gespannen wordt op het oogeublik, dat het punt door zijn evenwichtsstand gaat, zoo men het gewicht van het punt = 0,1 kilogram stelt. De versnelling der zwaartekracht worde = 10 meter genomen.

Antw. 1quot;. Y 26 meter. 2quot;, 1,3 meter. 3°. 0,36 kilogram.

7

98

1882.

1. Van een windas is de straal der spil 30 c.M., die van de tappen 3 cM. en die van het rad 1 M. Om de spil is een touw geslagen van 2 cM. dikte, en daaraan hangt een last van 1000 KG., terwijl het windas zelf 100 K.G. weegt. Men vraagt:

a. de grenswaarden der kracht te bepalen, welke aan den omtrek van het rad in de richting der raaklijn moet werken om met dien last evenwicht te maken;

b. aan te toonen, dat voor het opheffen van den last met eenparige beweging bedoelde kracht niet standvastig kan zijn.

De wrijvings-coëff\'icient wordt — 0,08 gesteld.

Antio. Als de kracht verticaal naar beneden werkt, zijn hare grenswaarden 313,39 en 306,62 KG.; als zij verticaal naar boven werkt, 311,89 en 308,10 KG.

2. Een spoortrein van 100 000 KG. gewicht, zich voortbewegende met eene snelheid van 12 M., ontmoet eene helling van l^ü Daarboven. Wanneer op hetzelfde oogenblik de machine ophoudt te werken en de trein, door den weerstand, na een weg van 300 M. te hebben afgelegd, tot rust komt, hoe groot is dan de wrijvingscoëfficient ? (lt;/ — 10 M. te nemen.) Alltw. 0,00655.

1883.

1. Een lichaam, zwaar 1000 KG., heeft eene begin-snelheid van 100 M. en legt langs een horizontaal vlak een weg van 500 M. af. De wrijvingscoëfficient is

Vervolgens botst het lichaam tegen een ander van 100 KG. gewicht, dat ligt aan den voet van een hellend vlak, waarvan de hellingshoek 30quot; bedraagt, en waarvan de doorsnede met het horizontale vlak lood-. recht is op de richting der beweging van dit lichaam. Beide lichamen worden als volkomen veerkrachtig beschouwd.

Tot welke hoogte zal het tweede lichaam tegen de helling oploopeu ? De wrijvingscoëfficient is ook nu ■£.

Antw. Als het tweede lichaam op het hellend vlak overgaat, zonder aan arbeidsvermogen van beweging te verliezen, zal het eene hoogte van 443 M. bereiken.

2. Een lichaam wordt zoodanig op een hellend vlak geplaatst, dat het er afglijdt en eene versnelling van 2 M. verkrijgt.

Op een ander bellend vlak geplaatst, waarvan de helling 12 graden bedraagt, blijft het nog juist in evenwicht.

De wrijvingscoëfficient is voor beide vlakken dezelfde.

Hoe groot is de helling van het eerste vlak ?

Antw. Als g — 10 M., 23\'^J1G^/,

1884.

1. Een ladder van 150 K.G. gewicht, wier zwaartepunt van het ondereinde ligt, staat onder een hoek van 30° met den grond tegen een muur.

99

a. Indien ondersteld wordt, dat er geene wrijving is, vraagt men de horizontale kracht, die men tegen het ondereinde moet aanbrengen om het uitglijden te beletten.

h. Hoe groot zou die kracht moeten zijn, als er alleen wrijving met den grond was, terwijl daarvan de wrijvingscoëfficient gegeven is = 0,5 7 Antw. a. 50 V 3 K.G. b. 50 ]/quot; 3 — 75 K.G.

2. Drie volkomen gelijke cylinders, die ieder P K.G. wegen, zijn zoodanig geplaatst, dat zij elkander raken. De eerste rust op een horizontaal vlak en raakt een hellend vlak; de tweede rust op het hellend vlak en raakt den eersten; de derde rust op den eersten en tweeden. De assen dezer cylinders kruisen de richting van het hellend vlak rechthoekig. Hoe groot moet de kracht zijn, die deze cylinders zal kunnen tegenhouden, als de richting dier kracht door de middelpunten van de eerstgenoemde cylinders gaat en de hellingshoek van het hellend vlak « is? — (Er wordt ondersteld, dat er geene wrijving is en dat zoowel de vlakken als do cylinders volkomen hard zijn.)

Antw, Wanneer « gt; 30quot; is, zou de derde cylinder niet meer tegen den tweeden rusten en van den eersten afrollen; wanneer 80quot; gt; « gt; lO\'^S\'SG\'⁷ moet de kracht zijn — V 3. P [cos « — sec « sin a l/\' 31; wanneer « lt; lO\'^S\'SGquot; wordt de tweede cylinder door den derden tegen de helling opgeduwd, en zijn twee tegengestelde krachten noodig, ééne — } P V 3 [4 ces « — 3 sec «] voor den eersten cylinder en de andere = J P [— \'J sin « -|- cos « V 3| voor den tweeden cylinder.

1885.

1. Eene homogene ijzeren plaat van den vorm van een parallelogram moet door drie werklieden gedragen worden, zoodanig dat iedereen evenveel draagt. Eén der werklieden grijpt de plaat aan een hoekpunt. Aan welke punten van den omtrek moeten nu de beide andere werklieden de plaat vasthouden?

Aniw. In de middenpunten der zijden tegenover dat hoekpunt.

2. Een lichaam wordt aan \'t boveneind van een hellend vlak losgelaten en glijdt naar beneden. Op \'t midden van het hellend vlak wordt door een stoot zijn snelheid plotseling vermeerderd met 3,4 M. Aan het ondereind van het hellend vlak gekomen, zet het tengevolge der verkregen snelheid en onder do werking der zwaartekracht zijne beweging voort, totdat het na drie seconden den horizontalen grond bereikt. Nu wordt gevraagd te berekenen:

a. den duur der beweging;

b. hoever het ondereind van het hellend vlak boven den grond is,^-

c. in welk punt het lichaam den grond bereikt;

cl. de eindsnelheid;

e. het arbeidsvermogen van beweging, dat het lichaam aan het eind van zijne baan bezit (uitgedrukt in dynamische eenheden).

Gegeven zijn :

lengte van het hellend vlak 8,2 M.;

100

hoogte van het hellend vlak 1,S M.;

gewicht van het lichaam 205 KG.;

g = 9,8 M.;

wrijvingscoëfficient Antw. a, 9,7 sec,; b. 47,4 M. ; c. 14,6 M. voorbij het hellend vlak ; d. 30,9 M,; e. 977750 000000 Erg (C² GSquot;²),

1886.

1. Een lichaam van 49 KG. valt uit een punt A, dat 17G,4 M. boven den bodem is gelegen. Na 3 seconden laat men op dat lichaam gedurende 2 seconden eene horizontale kracht van 10 KG. werken. Na hoeveel tijd, met welke snelheid en op welken afstand van de vertikaal van A zal het lichaam den bodem bereiken? g—Q,8 M.

Antw. Na 6 sec.; met bijna 59 M. snelheid en op 8 M. afstand.

2, In een ijzeren cilinder (soortelijk gewicht 7,8) wordt eene kegelvormige holte geboord, zoodanig dat de as des kegels samenvalt met die des cilinders, de straal van het grondvlak de helft is van dien des cilinders en de hoogte eveneens gelijk aan de helft van de hoogte des cilinders. Deze holte wordt gevuld met eene stof, wier soortelijk gewicht 12 is. Indien nu de hoogte van den cilinder 000 mM. bedraagt, waar ligt dan het zwaartepunt van het nieuwe lichaam ?

Antw. In de as en 295 mM. boven het grondvlak.

1887.

1. Een zware staaf AB is in een verticaal vlak draaibaar om eene gladde horizontale as, die zich aan het uiteinde A bevindt; aan het uiteinde B is een koord bevestigd, dat, gaande over eene gladde pen C, loodrecht boven A, een gewicht P draagt. Welken hoek met de verticaal maakt de staaf in den stand van evenwicht?

Stel AB = 2a, AC = b, het gewicht van de homogene, overal even dikke staaf =G.

2. Tegen een hellend vlak wordt een lichaam, waarvan het gewicht G is, opgetrokken door een gewicht 2 G, dat verticaal daalt. Nadat beide een weg C doorloopeu hebben, breekt het koord. Zoo nu na dien tijd het lichaam op het hellend vlak nóg een weg C aflegt eer het begint te dalen, hoe groot is dan de helling van het vlak.

NB. De wrijving te verwaarloozen.

Antiv. \\ (hellingshoek 30°).

1888.

1. ïwee hellende vlakken staan met de hoogte tegen elkander, de helling van het eene is 10quot;, die van het andere 0quot;. Op het eerste ligt een last van 500 kilo; hoe groot is de last die op het andere hellend vlak moet liggen, opdat er evenwicht zij, als de beide lasten

101

verbonden zijn door een volkomen buigzaam touw, dat over een katrol loopt, op heit hoogste punt der helling geplaatst. De wrijvingscoëfficient op de hellingen is de wrijving der katrol op hare as wordt

verwaarloosd.

Antw. Tusschen 897 en 770 KG.

2. Een homogene, over zijne geheele lengte even dikke balk rust met het eene eind op een horizontaal vlak, met het andere eind tegen een hellend vlak, dat met het horizontale een hoek van 00° maakt. Men vraagt den kleinsten hoek te vinden, dien de balk met het horizontale vlak maken kan, om in evenwicht te zijn.

Op het hellend vlak is geen wrijving; de wrijvingscoëfficient op het horizontale vlak is 3.

Antw. 49⁰6^/ of Bg. {tang — % Y 3).

1889.

1. Een halve bol van marmer is tegen het grondvlak van een houten kegel zoodanig bevestigd, dat het middelpunt van den bol en het middelpunt van het grondvlak des kegels samenvallen, terwijl de straal van den bol en van het grondvlak des kegels gelijk zijn. Het specifiek gewicht van marmer is 2,5 en van dit hout Hoe groot moet de hoogte des kegels zijn, opdat het zwaartepunt van het geheele lichaam in het gemeenschappelijk cirkelvlak valle? De straal van den bol wordt als gegeven beschouwd.

Antw. h — rV 10.

2. Uit het hoogste punt van een hellend vlak, waarvan de hellings-hoek 45° is, wordt in horizontale richting in een vertikaal vlak, dat loodrecht op het hellend vlak staat, een stoffelijk punt voortgeworpen met eene aanvangsnelheid van 10 M. per sec. Het punt en het vlak worden als volkomen veerkrachtig bij botsing aangemerkt. Als de tweede botsing van het punt op het vlak plaats heeft in het laagste punt van het vlak, vraagt men, hoe lang het vlak is. Men stelle g gelijk 10 M. per sec.

Antw. 60 2 meters.

1890.