A. qu. 200

—

PONDEKOMOTORISCHE KRACHTEN

IN HET

ELEKTROMAGNETISCH VEL D.

PONDEROMOTOEISCHE KRACHTEN

IN HET

ELEKTROMAGNETISCH VEL I).

PROEFSCHRIFT

TEK VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN

DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE,

AAN DE PJJKS-UN1 VERSIÏF.ri TE LEIDEN,

OP GEZAG VAN DEN RECTÜR-JIAGNIFICUS

Dr, A. C. VREE DE,

HOOGLEERAAR IN DE FACULTEIT DER LETTEREN EN WIJSBEGEERTE, VOOR DE FACULTEIT TE VERDEDIGEN

op den 20 Februari 1897, des uamiddags te drie ureu,

HERMAN VAN DER KAMP,

GEBOREN TE GRONINGEN.

MIDDELBURG, J. G. amp; W. ALTORFFER. 1897.

Bij de verschijniug van dit proefschrift is het mij eene aangename behoefte U, Hoogleeraren der Wis- en Natuurkundige faculteiten te Leiden en te Groningen, mijn dank te betuigen voor het van U ontvangen onderwijs.

Inzoi)derheid U, Hooggeleerde Lori ntz , zij mijn hartelijke dank gebracht voor de welwillende hulp eu de uuttige raadgeviugeu mij bij de voltooiing vau dit proefschrift verstrekt.

Ook gij, Hooggeleerde Heymans, hebt mij zeer aan U verplicht door Uw aangenaam en boeiend onderwijs, dat ik gedurende Uw verblijf te Leiden van U heb mogen genieten en waaraan ik steeds met genoegen zal blijven denken.

HOOFDSTUK I.

Tto vergelijkingen, die den toestand van het elektromagnetische veld bepalen.

Maxwell en zijn voorganger Fa.raday hebben getracht de verschijnselen op het gebied van de elektriciteit en hot magnetisme zonder de actio in distans der oude theorie te verklaren.

Men kan zich daartoe voorstellen, dat de ruimte, waarin de elektrische en magnetische verschijnselen zich vertoonen, behalve met de ponderabele stof, nog met eene elektrische vloeistof en eene stof, die men met een raderwerk kan vergelijken, gevuld is. Men denke zich deze drie stoffen in elk deel der ruimte tegelijk aanwezig; de laatstgenoemde is de zetel der elektrokinetische energie en dient ter verklaring van de werking van elektrische stroomen op elkaar.

Maxwell bespreekt deze voorstelling, die men zich van

2

het mechanisme der elektrische en magnetische verschijnselen kan vormen, in zijne verhandeling: „()n a dynamical theory of the electromagnetic field.quot; (Scient. Pap., I, p. 451). 0. Lodge heeft in zijn werk: „Modern Views on Ehctri-cityquot; een zeer uitgewerkt beeld der verschillende elektrische en magnetische verschijnselen gegeven.

Voor de mathematische behandeling gaat Maxwell uit van de vergelijkingen van Lagraxge, daar hij veronderstelt, dat deze voor het mechanisch systeem, waarmee men bij de elektromagnetische verschijnselen te doen heeft, gelden. Ook Boltzmann volgt dien weg in zijne: „ Vorlesun-gen über Maxwell's Theorie der Electricitdt mul des Lichtesquot; en beschrijft daarin tevens een mechanisch toestel, dat werkingen vertoont, analoog aan de inductiewerkingen tusschen twee stroomgeleiders.

Hij merkt hierbij op, dat het eleUromagneüsch veld, d. i. de ruimte, waarin de elektromagnetische verschijnselen plaats hebben, een systeem bevat, dat cyclisch is ten opzichte van de algemeene coördinaat in den zin van Lagrange, die de hoeveelheid elektriciteit voorstelt, die sedert een bepaald oogenblik door een zeker oppervlak is gestroomd; d. w. z. de energie van het systeem hangt niet af van deze hoeveelheid doorgestroomde elektriciteit, maar van de s t r o o m-sterkte; evenals bij eene wentelende beweging alleen do hoeksnelheid en niet de afgelegde honk de energie van het systeem bepaalt.

3

De elektrische vloeistof gedraagt zich als eene onsamen-drukbave, zoodat dus, als v en w de componenten van

den stroom voorstellen, in elk punt — 4- — 4- ü en

d x d j/ d z

bij oppervlakken van discontinuïteit de normale componente doorloopend is.

Dientengevolge kan een electrische stroom niet in het eindige eindigen, maar moet gesloten zijn.

Stellen wij de kinetische energie van het systeem door T, de algemeene coördinaten voor de elektrische vloeistof door //, die voor den stand der ponderabele massa's door x en hunne afgeleiden naar den tijd door // en x voor, dan

d T

is in de vergelijkingen van Lagrange de term =0,

d y

daar het systeem ten opzichte van y cyclisch is en T dus niet van y afhangt.

Wij zullen in dit eerste hoofdstuk op de wijze van Maxwell de vergelijkingen van het elektromagnetische veld met behulp van die van Lagrange opstellen en tevens de magnetisch induceerbare lichamen daarbij opnemen, daar het vervolgens ons doel is de ponderomotorische krachten, die in een magnetisch veld op deze lichamen werken, uit de vergelijkingen van Lagrange af te leiden, zooals Maxwell de inductie- en elektrodynamische werkingen heeft bepaald.

Wij zullen de krachten bepalen, die op een ellipsoïde van ijzer, geplaatst in een homogeen magnetisch veld, wor-

4

den uitgeoefend; de krachten op zwak magnetische, aniso-trope lichamen (kristallen) en op vloeistoffen; de vormverandering der oppervlakken dezer laatste zullen vervolgens worden beschouwd en eindelijk do deformatie's, die niag-iietische lichamen in een magnetisch veld ondervinden.

Deze laatste zullen worden teruggebracht tot krachten, die kunnen worden beschouwd als gevolgen van drukkingen, die in het magnetisch veld heerschen.

Ofschoon wij permanente magneten van onze beschouwingen zullen uitsluiten, en ons dus steeds zullen voorstellen, dat bet magnetisch veld door stroomen wordt teweeggebracht, kunnen toch vele uitkomsten ook op het geval van permanente magneten worden toegepast.

Waar in het vervolg het drie-assig coördinatenstelsel zal worden gebruikt, houden we ons aan den stand der coör-dinatenassen, zooals die vrij algemeen in navolging van Maxwell wordt aangenomen {EJedr. and Mrtgn. n⁰. 2Hj. Normalen op gesloten oppervlakken zullen hunne positirvc richting naar huiten hebben.

Bij de verschijnselen, die wij zullen beschouwen, zijn er tweeërlei vergelijkingen van Lagrange, nl.

X — iL — —

dt dx d x

Y = — -- —

dt dy d y

5

De eerste dezer beide vertegenwoordigt een geheele groep behoorende bij de verschillende coördinaten x der ponderabele massa's; de groep, door de tweede vertegenwoordigd, behoort bij de coördinaten y der elektrische vloeistof.

X en Y stellen de, aan de coördinaten x ex\ y beantwoordende, krachtcomponenten voor, d.w. z.: Wanneer aan de coördinaten virtueele verplaatsingen § x of S // worden gegeven, stelt X S ,r of Y § // den arbeid voor, die alle op het stelsel werkende krachten verrichten. Wij stellen ons voor, dat daarbij de „verbindingskrachtenquot; buiten beschouwing worden gelaten, daar deze, alle te zamen genomen, geen arbeid verrichten.

Men kan in vele gevallen aan de teekens X en Y of liever aan — X en — Y nog eene andere beteekenis hechten, en komt dan tot eene opvatting, die, hoewel zij zeer goed gemist kan worden, veelal tot eene gemakkelijke beschrijving der verschijnselen leidt.

Stel nl. dat bij de variatie S x zich slechts een bepaald gedeelte A van de ponderabele stof (b. v. een enkele ge-leiddraad) verplaatst, zoodat de grootheid X alleen uit krachten, die op dit deel werken, is opgebouwd. Men kan nu ook de aau de coördinaat x beantwoordende bewegingsvergelijking voor dat deel A van het stelsel afzonderlijk opstellen.

Hierbij moet men bedenken dat op dit deel, behalve de in X begrepen krachten, ook nog een deel der verbindiugs-

krachten werkt en dat, hoewel alle verbindingskrachten te zamen geen arbeid verrichten, dat gedeelte het wel kan doen.

Stellen wij nu door t § r den arbeid dezer verbindingskrachten voor, dan kunnen wij £ de aan de coördinaat x beantwoordende kracht noemen, die A van hot andere deel van het stelsel ondervindt, of korter de „kracht van het stelsel volgens de coördinaat x.quot; Is voorts ï,, de kinetische energie van het deel A (bijv. de energie van de zichtbare beweging van den geleiddraad), dan verkrijgen wij :

In alle gevallen dus, waarin het tweede lid verdwijnt (bijv. als de geleiddraad in rust is) wordt

X,

zoodat men — X de kracht van het stelsel kan noemen.

Stel dat het systeem van dien aard is, dat de volledige energie kan gesplitst worden in het deel T„ en een ander deel T/,, dat geheel onafhankelijk is van de beweging van A.

Dan heeft men iu 't geval dat A in rust is, de kracht-componente:

d d T,; __ d T,

dt d x d x

en dus voor de kracht van het systeem

d T

(Lr

. (1).

7

Wanneer zich nu het deel A beweegt is de bewegingsvergelijking

X- ^ ^ (T„ T₄)

cl t dx cl x

dus in het speciale geval, dat X = O is:

d_ dT„ _ d (T„ T_t) ₀

cl t cl X cl X

JDaar nu T;, thans dezelfde waarde heeft, als toen A in

d T

rust was, mogen wij hier in plaats van —- de door (1)

bepaalde waarde i' schrijven; de vergelijking gaat daardoor over in:

_t cl d ï„ d T₍,

dt cl x d

Dit is echter juist de bewegingsvergelijking van het deel A, voor 't geval dat daarop de kracht i' werkt.

Wij kunnen dus zeggen: Wanneer wij, om het deel A in rust te houden, een uitwendige kracht X behoeven, zal dit deel, als wij die kracht X niet laten werken, zich bewegen onder den invloed eener kracht — X.

De tweede der bewegingsvergelijkingen geeft tot dergelijke opmerkingen aanleiding.

Laat zich bij de variatie ? y alleen de electrische vloeistof in een deel der ruimte, bijv. in een enkelen geleider, verplaatsen, en laat ■/, de bij y behoorende kracht zijn, die op do electriciteit door het overige stelsel wordt uitgeoefend, dan is

8

Y _j_ . _ d dT^h ^ Tj d t d y d ij

waarin T_s de energie der elektrische vloeistof voorstelt.

Daar nu, zooals we straks zullen aantoonen, ï» -= 0 moet worden aangenomen, is dus altijd -/i — — Y.

Y is nu in lineaire geleiders samengesteld uit; a. de „electromotorisclie krachtquot; vau een daarin geplaatst galvanisch element.

h. den weerstand — /• /.

■/i is de elektromotorische kracht door het stelsel uitgeoefend (elektromotorische kracht der inductie). De som van alle drie is steeds 0.

In vele gevallen heeft men toestanden te beschouwen waarbij de ponderabele stof in rust is en de onzichtbare bewegingen stationnair zijn. De bewegingsvergelijkingen van Lagrange leeren ons dau de kracht X kennen, die op de coördinaat x moet werken om dien toestand te doen voortduren. Vindt men X = 0, dan wil dat zeggen dat het stelsel, aan zich zelf overgelaten, in dien toestand blijft, dat het

dus zonder uitwendige kracht X „in evenwichtquot; is. Is X

T

niet gelijk aan nul, dan is zij gelijk aan--=—, daar de term

ct cc

~-r, ingevolge den toestand van het systeem, mmZIs. De d t il cc

kracht $, door de overige deelen volgens de coördinaat x

dT

uitgeoefend, wordt dus nu —.

d x

9

Beschouwen wij voorloopig alleen lineaire gesloten stroom-geleiders, dan kunnen wij, wat de electriciteitsbeweging betreft, voor eiken daarvan met één coördinaat volstaan, nl. de hoeveelheid electrieiteit, die sedert zeker oogenblik door de doorsnede van den geleider is gestroomd. Hierbij nemen wij eene bepaalde richting in den geleider als de positieve aan.

T is eene homogene kwadratische functie van x en f/ en Maxwell toont in de eerste plaats aan, dat er geene producten van x en y onderling in T voorkomen en deze energie dus slechts uit termen met enkel x eu andere met enkel ij bestaat.

Kwamen in T termen met i: ij voor, dan rfT ^

zou — termen met // moeten bevatten en

d x

10

een verticale as, waarbij do windingen in horizontale vlakken liggen.

Een elektrische stroom kan door deze draden worden geleid in de richting der pijlen, die in nevenstaande figuur zijn geteekend; de draden, die den stroom toe- en afvoeren, zijn verticaal en liggen in elkanders verlengde. Aan den eersten hangt de klos, terwijl de afvoerdraad in een bakje met kwik eindigt.

Stellen wij ons nu voor, dat een elektrische stroom door dit toestel gaat, dan zou, volgens het boven gezegde, bij verandering der stroomsterkte eene wenteling om de verti-

d ï

cale as moeten plaats grijpen, wanneer termen met

d x

ij bevatte. Deze wenteling zou door middel van het spiegeltje P kunnen worden waargenomen. Zoodanige pondero-motorische werkingen zijn echter nog niet bespeurd.

De bekende ponderomotorische krachten, welke op stroom-geleidei's werken, hangen af van do stroomsterkte zelve, niet van hare veranderingen.

d T

De aanwezigheid van termen met x ij in —- zou in X

d x

een term eveneens met x ij opleveren; het bestaan van de daardoor voorgestelde ponderomotorische werking zou moeten blijken bij het omlcecren van den stroom; immers daardoor zal het teeken der kracht — X, die wij do kracht van het systeem noemen, veranderen en hiervan zal eene wijziging in den stand dor ponderabele massa's — welke stand

11

vóór hot omkeeren van den stroom standvastig moge zjju het gevolg zijn.

Uit het volgende zal de bedoeling duidelijker worden.

In nevenstaande figuur is het schema van een toestel, dat Maxweu,

voor dit onderzoek hoeft doen dienen, afgebeeld.

A is een elektromagneet met de magnetische as AA'. Hij kan om eene horizontale as BB', loodrecht op AA', wentelen binnen een ring, die zelf met stand vastige snelheid om eene verticale as gedraaid wordt. Zijn AA',

BB', CC' do drie hoofdtraagheidsassen en noemen we de traagheids- '''S- -•

momenten ten opzichte daarvan respectievelijk A, B en C, verder 4 den hoek tusschen CC' en de verticaal, cp het azimuth van BB en de grootheid, die den stand der elektrische vloeistof in den draad bepaalt, dan wordt, volgens Maxwell, de kinetische energie van het systeem voorgesteld door:

12

T = £ ^ A siu.- ö 13 öquot; -|- C i- cos.' ^ E (Ssin. ö -)- vL)quot;^

waarin E het traagheidsmoment der elektrische vloeistof zou kunnen worden genoemd; terwijl é. sin. S -\- ■■L de hoek-snelheid er van voorstelt; CÉ sin. ö is die van de doorsnede van den draad en -1 is die van de elektrische vloeistof ten opzichte van deze doorsnede.

Uit het optreden van den factor E in de formule voorde energie van dit systeem blijkt, dat Maxwell zich de elektrische vloeistof als eene massa heeft gedacht.

Volgens de vergelijking van Lagkanoe is nu de kracht, die bij 4 behoort:

© == B —— — ¹ (A — C) d)² sin. ö cos. 4 -J- E i; ^ cos. 0 ¹ dt- [ ' ' )

als y = CD sin. 0 -f- ■■L.

Stellen we ons nu voor, dat de beweging van het toestel

zich door de wrijving van de as B B' zoodanig heeft ge-

d-ó

regeld, dat ö constant blijft, dus =0, terwijl geen uitwen-

d t~

dige kracht © op het toestel wordt uitgeoefend, dan moet:

¹

/1 ^{E 7} sin. 4 =

(C — A)cp

Hierin is y afhankelijk van de stroomsterkte -X, zoodac, bij omkeering van den stroom, ö zou moeten veranderen. Door C — A klein te nemen wordt de invloed eener verandering der stroomsterkte groot.

13

Bij C zijn twee halfcirkelvormige stukkeu papier, het eene rood, hot andere groen, aangebracht, zoodat men bij de wenteling van liet toestel, al naar de waarde van (), een rooden ch'kel buiten en een groenen binnen zal zien, ot' omgekeerd. Eene verandering van f! zou zich dus gemakkelijk verraden. Zoodanige verandering is bij omkeering van den elektrischen stroom niet waargenomen.

Wij moeten dus aannemen, dat Je elektrische vloeistof geen merkbare massa heeft.

Had ze nl. eene merkbare massa en noemen we die van een vloeistofdeeltje m, dan zou de energie van dit deeltje worden voorgesteld door i/,, m (,/■ - j- //)'-, als :b de snelheid voorstelt van het deel van den geleiddraad, dat we beschouwen, en // die van de vloeistof ten opzichte van dat deel van den geleiddraad, waarbij ï -|- y als een vectorensom moet worden opgevat.

Er zouden dus termen met x y moeten ontstaan en de afwezigheid van deze, die proefondervindelijk is aangetoond, kunnen wij verklaren door de massa m der elektrische vloeistof gelijk nul aan te nemen.

Wij kunnen de kinetische energie thans in twee deelen splitsen: het eene, dat slechts termen met x bevat en het andere, dat slechts van y afhankelijk is. Wij noemen het eerste met Maxwell T_m, het andere T,; wij zouden ze kunnen onderscheiden door de namen ponderokinetische en c.lek-trokinetische energie.

14

Aangezien de massa dei' elektrische vloeistof als onmerkbaar klein moet worden aangenomen en dus de termen met y- niet met factoren die daarvan afhangen, zullen voorkomen, moeten we de energie, die van y- afhangt, aan andere bewegingen, nl. die van do derde der op pag. 1 genoemde stoffen, gebonden denken.

Daar wij ons voorloopig alleen met de deMrohinetische energie zullen bezig houden, zullen wij deze gemakshalve door ï voorstellen.

De waarde van deze grootheid zullen wij thans voor een gegeven stroomverdeeling in een elektromagnetisch veld berekenen.

In een veld met lineaire stroomen van de sterkten /| .... i„ wordt deze energie:

ï = i

waarin de coëtticienten L en M bepaald worden door do ligging en den vorm der stroomgeleiders, voor wier bepaling we de coördinaten x hebben gebruikt.

De beteekenis dezer coefficienten wenschen wij nader te onderzoeken. Daartoe nemen wij eerst een enkelen lineairen stroomgeleider met een stroom van de sterkte i. De waarde

van T wordt dan uitgedrukt door den enkelen term -i-Li³.

Stollen wij met Maxwell voor de uitwendige kracht E — r i waarin r den /veerstand voorstelt en E de elektromotorische

15

kracht van liet galvanisch element, dan geeft de vergelijking van Lagrange:

Y = E — r i = ^d- (L y),

dt. ^h

of

„ _T di . .dL . E = L / — 4- r i. dt dt '

Blijft do vorm van den geleider constant, dan is — 0,

d t

dus E = L -- r i.

dt ^

De uitwendiqe kracht bevat dus den term L —, zoodat de

dt'

kracht van het systeem, (de op pag. 7 en 8 besproken ■/,},

L — bedraagt. Dit is de elektromotorischo kracht van dt ⁰

den extra-stroom, die het gevolg is van de verandering der stroomsterkte. L draagt daarom den naam coëfficiënt van zelfinductie.

Nemen wij thans twee lineaire stroomgeleiders, dan is T = — L, -j- M 7, h -j- La i*²,

waarin de index 1 op den eenen, de index 2 op den anderen stroomgeleider betrekking heeft.

De bewegingsvergelijking der eloctriciteit in den eersten geleider wordt nu

o

^ ^ (L. M

16

Nemen wij aan, dat de vorm eu de betrekkelijke stand der stroomgeleiders standvastig worden gehouden, eveneens lt;, constant (zoo noodig door eene geschikte elektromotorische kracht in den eersten stroomgeleider), dan wordt:

Y, = M —²

d t

de kracht, die noodig is om constant te houden en dus — Yj de inductiewerking, in den eersten geleider door de verandering van i₂ uitgeoefend.

Voor de inductiewerking van den eersten op den tweeden stroom zal men evenzoo vinden:

M

dt

In beide gevallen heeft men dus met denzelfden coëfficiënt .M te maken, die daarom de coefficient van wcderkeerige inductie wordt genoemd.

Daar hij ook de elektrodynamische verschijnselen bepaalt, kan deze coefficient M worden berekend uit de wet van Ampère voor de elektrodynamische werking van lineaire stroomgeleiders op elkaar.

Uit deze wet leidt men af:

eeu integraal genomen over de beide stroomlijnen s en .s'.

De hoek tusschen de elementen d s en d s' is s en r hun afstand.

17

De sterkten der stroomen worden positief of negatief genomen al naarmate ze in de positieve ot' in de negatieve richting van a ofquot; s' loopen.

In liet geval van elektrische stroomen in de ruimte verdeden we deze in een oneindig groot aantal oneindig dunne stroombuizen, die, zooals vroeger reeds is opgemerkt, (je-slotm moeten zijn.

Noemen we de stroomsterkten in deze buizen: i,„

waarin nu n zeer groot is, dan is T eene homogene kwadratische functie der i's. Ten einde haar nader te bepalen, maken we gebruik van eene bekende eigenschap van homogene kwadratische functiën, volgens welke:

1 quot; =⁰⁰ rf T T — S 'I —.

— ₀ quot; 'n yr-

2 „ = ] d i_n

We weten:

dT . . .

= ift -quot;l^- Ml « i\ quot;Iquot; Ma?; ia ....

(I lu

Het tweede lid is de som van een oneindig groot aantal oneindig kleine grootheden; wegens de oneindig dunne buizen zijn namelijk de i's oneindig klein.

Veronderstellen wij, dat L„ i„ met i„ tot nul nadert (wat niet van zelf spreekt, daar L,₍ niet eindig blijft bij het kleiner worden der doorsnede van een stroomgeleider), dan mogen we dezen term ten opzichte van de som der overige verwaarloozen.

18

Ieder der overige termen kunnen wij op de zoo even aangegeven wijze berekenen, en vinden dan, als we de lijn door de zwaartepunten der doorsneden van de «''lt;■ stroombuis door s„ voorstellen:

. . fds.ds,, . rd.T^dx_l,-\-dy_}dy,_l^-dz _ids,_l

ml»/! ='] i----—---cos. f = ï j i ----—----»

waarin d dy_] en d z, de projecties van d s-, op do coördinatenassen zijn, evenals dx,,, dy_n en dz_n die van d s„.

f* d cc

Stellen wij i_l j----¹ — genomen over de stroombuis van

ij, waarin r telkens den afstand voorstelt van een bepaald lijnelement d s„ tot de verschillende elementen van de eerste stroombuis — door de letter Fj voor, eveneens /, j

/d zd z

-- door G, en Hj, dan wordt:

Mi n i_x — J (F, d x,, 4- G ; d y_n 11, d 2,,),

genomen over de stroombuis van i,,.

Noemen we ?, de stroomsterkte per eenheid van loodrechte doorsnede en d a de doorsnede der eerste stroombuis, dan kunnen we ook schrijven:

p l' ijd cc d Xj _ /quot; d co l dsj__iquot; u_x d t,

^_j _ j _ J——'

als l de cosinus van den hoek tusschen rt.s, en de agt;as, Uj de a-componente van ï, en /Zr, het volumenelement d u d Sj der buis voorstellen.

19

Evenzoo vindt men:

G, = H,= r.«^lL,

waarin en w, de //- en 5-componenfcen van voorstellen.

Van deze formules gebruik makende, vinden we voor

t . d T den term

d i_n '

_ f (F d x„ Q d y_n -)- H d z„),

genomen over den atroomgeleider van waarin nu:

h= co _{r 7}

1? V / ^

| -? enz.

of

n r quot; ^T

1=1--enz.

welke integralen wij over de yeheele ruimte, waar de elektrische strooming plaats grijpt, kunnen uitstrekken, ook de ruimte van de stroombuis zelf er onder begrepen, daar het bedrag dat deze tot die integraal bijdraagt oneindig klein is, zooals men gemakkelijk inziet.

F, Gr en H stemmen overeen met gravitatiepotentialen, als de dichtheden der aantrekkende massa «, v en w worden genoemd en over de ruimte der stroomen verdeeld zijn. Uit bekende eigenschappen dier potentialen weten we, dat ze, evenals hunne eerste afgeleiden naar de coördinaten, in alle punten doorloopend zijn. Men noemt F, G en H de componenten van den vectorpotentiaal Y.

20

Zij voldoen nog aan de vergelijking:

^ ^V:^H _{= 0}.

d x d y d s

Zetten wij thans onze berekening der energie T voort, dan vinden we:

. T C / u d t . j . v dr . ₁ w d-r .

f udr. ₇ , vdt . , , w d t . , \

^—-— 1,1 d x„ —-— i„ d ij„ — quot; *quot;],

over de stroombuis van i„.

Noemen wij de grootheden, die op deze buis betrekking hebben, u', dr' enz., dan wordt op eenvoudige wijze afgeleid dat:

. dT f fu d t it, , v d t ,7/1 iv d t , , A

i_n — = (-u' d t ---v' dr' ----tv' dr j,

d i„ J \ r r r J

genomen over de M^(le buis, waarbij we ons nu elk element dezer buis met alle elementen, waarin de strooming plaats heeft, gecombineerd moeten denken, ook met die van de buis zelf.

Wij vinden verder:

d T [u u' dr dr' v v' d r dr' w w' d r d r'

quot; = ai /

S i„ — I

» I W' 'I ti

run' 4- vv' 4- ivw' , , , = I - — dr dr ,

deze integralen zijn genomen over de ruimte met de elektrische stroomen en bevatten elke combinatie drdr' twee keer.

21

Volgens de eerste formule van pag. 17 wordt ten slotte :

1 Cuilt;! m' 4- ww' , , 1 /quot; „ , tt ^ i

T = ₂ | ——--— (Z Td-T' = — I 'yFu -|- Gry HwJ d t.

Deze laatste integraal zullen we voor ons doel in andere grootheden uitdrukken.

Uit bekende proeven blijkt, dat oen gesloten stroom van de sterkte i op een magneetpool dezelfde werking uitoefent als eene magnetische laag met het magnetische moment i per eenheid van oppervlak en die den stroomgeleider als randbegrenzing heeft, waarbij de positieve richting van de magnetisatie der laag en die van den stroom in den geleider op dezelfde wijze bij elkaar behooren, als de positieve ,ï-as en eene positieve draaiing in het «y-vlak.

Hieruit wordt afgeleid (Maxwell, II, Art. 422 pag. 41) dat de componenten /3, y der magnetische kracht Jö kunnen worden afgeleid uit die van den vectorpotentiaal en wel door middel van de betrekkingen:

d H (l G

dy ds '

dP _ dII

d z d x '

^ d x d y

Uit deze waarden van x, /3, y kan worden afgeleid, dat de oppervlakte-integraal van .0 over eenig oppervlak gelijk

22

is aan de lijnintegraal van V over do randbegrenzing van dat oppervlak.

Uit het gezegde volgt ook, dat de lijnintegraal van de magnetische kracht langs een gesloten lijn gelijk is aan 4 y X de hoeveelheid elektriciteit, die por tijdseenheid door een oppervlak stroomt, dat door deze lijn wordt begrensd.

Dit kan ook direkt uit de boven gegeven waarden van x, /3, 7 worden afgeleid:

d? _d (3 _ d-G _ (FF d- H _

dy dz dxdy dy- dz² dxdz

— _ ^d\^F _ i ^cl (^{dG (lli}] d y- d z- dx \dy dz J

en daar, zooals vroeger is opgemerkt,

(ÏF dG dH

dx dy dz '

vinden wij:

dy damp; _A„ .

— = — A F = 4 TT dy d z

zooals uit de bekondo eigenschappon van den gravitatie-potentiaal volgt.

Eveneens vindt men:

dx dy . d(3 d x .

----- =4 TT v, ----—— == 4 TT IV.

dz d x dx d y

Wij kunnen thans voor de energie schrijven:

23

8

1

(I T.

ïot nog toe had d r den vorm van een stroombuis-elementje. Men ziet echter gemakkelijk in, dat deze vorm willekeurig kan worden genomen, en wij zullen dus thans er onder verstaan een parallelepipedum met de ribben d

d y, d z.

Gaan wc de laatstgevonden integraal partieel integreeren, en bedenken we, dat JO on V in alle punten doorloopend zijn, dan wordt de integraal:

¹ n ■ (— -⁽I3] i r i „

8 ff,' I ' \d z dy) \dx dz) ^ \dij dx)\

daar de oppervlakte-integralen verdwijnen.

Dezen vorm van de integraal zullen wij in het bizonder gebruiken.

Daar het om de afleiding eener bekende uitkomst te doen was, hebben wij ter bekorting eenige beschouwingen achterwege gelaten, die bij eene strenge behandeling niet gemist zouden kunnen worden.

24

Stoffen, die de eigenschap bezitten magnetisch te worden, wanneer men ze in een elektromagnetisch veld brengt, hee-ten magnetisch inducecrbaar.

Wanneer men zulke media in den aether brengt, en daarbij de stroomen, die, naar wij veronderstellen zullen, het veld te weeg brengen, constant houdt, zal de waarde der elek-trokinetische energie anders zijn geworden, dan ze vóór hunne aanwezigheid was.

Wij zullen door middel van de vergelijkingen van Lagrange de ponderomotorische krachten, die op deze lichamen in een magnetisch veld worden uitgeoefend, kunnen berekenen.

Daartoe moeten wij de energie van het veld bepalen, wanneer zich deze media er in bevinden. Dit kan geschieden in aansluiting aan het in de vorige bladzijden medegedeelde. Het is nl. gebleken, dat men zulke induceerbare lichamen op eene bepaalde wijze in oneindig kleine cilindertjes, wier diameters oneindig klein ten opzichte hunner lengten zijn, kan verdeelen, die men ten opzichte van hunne werking naar buiten kan vervangen door solenoïdes. En wel moet de as van elke solenoïde evenwijdig aan de beschrijvende lijnen van den cilinder zijn, en moet in de solenoïde de stroomsterkte per lengte-eenheid van beschrijvende lijn x ,vgt; zjjn, als $ de magnetische kracht voorstelt, die in de ruimte van het cilindertje heerscht, als het door aether is

25

vcrvaugeu, en z eenc coustaute, die vau den aard der stof afhangt {magnetiseeringsconstante of susceptibiliteit).

De grootheid •/, Jö noemt men de magnetisatie; zij wordt gewoonlijk voorgesteld door de letter j.

Wij kennen aan de magnetisatie de richting toe, die wij aan de as van het cilindertje moeten geven, opdat het met eene solenoïde aequivalent zij, en wel die richting langs de as, die met de positieve .r-as samenvalt, indien de stroomen der solenoïde in richting met eene wenteling van O Y naar O Z overeenkomen.

Bij isotrope stoffen, zooals wij voorloopig alleen beschouwen, heeft de magnetisatie dezelfde of juist de tegengestelde richting als de boven omschreven magnetische kracht .n. quot;Wij zullen deze gevallen van elkander onderscheiden dooiden coëfficiënt x in het eerste geval positief en in liet tweede geval negatief te nemen.

Stellen we ons thans een magnetisch veld voor, veroorzaakt door één stroom van de sterkte i; één cilindertje van bovenbedoelde stof zij, met de lengte-richting evenwijdig aan de magnetische kracht, in zeker punt van het veld geplaatst. Overigens bevatte dit laatste alleen aether.

Wij moeten thans trachten de energie te berekenen, die in het cilindertje aanwezig is en die wij door T, zullen voorstellen. Wij zullen om dit te doen de energie T₂ van de geheele ruimte bepalen, en daarvan de energie To, die buiten het cilindertje aanwezig is, aftrekken.

26

De eerste zal gevonden worden door na te gaan wat er gebeurt, wanneer men, terwijl het cilindertje aanwezig is, den stroom i sluit.

Wat T, betreft, deze energie is krachtens onze onderstel-lins dezelfde, die men heeft wanneer de cilinder door de

o '

aequivalente solenoïde is vervangen, en kan worden gevonden, wanneer men van de totale energie T₂' in dit geval de energie T,' aftrekt, die dan in de cilindrische ruimte bestaat.

Beide deze grootheden kunnen met behulp van het voorgaande berekend worden, en men heeft dan:

Tj = T₂' — TV

en

T] = T₃ — T₃

dus

T, = T₃ - T₃' Tj'.

Bij de volgende berekeningen zullen we de dikte der laag, waarin de stroomen der solenoïde loopen, oneindig klein veronderstellen ten opzichte van de middellijn van den cilinder, zoodat men de geheele ruimte kan verdoelen in die, welke buiten en die, welke binnen de solenoïde ligt.

De magnetische kracht, die het gevolg is van den stroom i zullen we aanduiden door Sp (x, /3, y), die, welke het gevolg is van de solenoïde door Sp' (x¹, /3', y').

27

Berekening van IV.

Noemen wo do stroomsterkte in elke winding der sole-noïde j, dan ie;:

T»' = ~ L, i~ M ij -j- 2 Uf,

waarin L,, M en L₂ de bekende boteokenisson hebben. Volgens de wet van Ampère is:

Mi = i j j ds,ls' =

- iƒ ƒ amp; 'fa' _/(F^ a^ H dz'),

over de stroomlijn der solenoïde.

De beteekenis der grootheden is bekend; de accenten hebben betrekking op de solenoïde.

De laatste integraal kunnen we vervangen door de oppervlakte-integraal der magnetische kracht S} over een oppervlak, dat door de windingen der solenoïde wordt begrensd. Als het aantal windingen n en de doorsnede co is, dan kunnen we voor deze integraal schrijven: Qua, daar S} overal loodrecht op de doorsnede staat en over de ruimte der solenoïde ais constant mag worden beschouwd, zoodat we hebben:

Mi = S)nu, dus M ij = ■/. I u S)³, daar j

n

als l de lengte der solenoïde voorstelt.

28

Wij weten verder, dat;

Va L₃ f = ƒ (^' /3'quot; y'O d t.

Wij kunnen bewijzen, dat de waarde van:

J (a:'² /3'²-f yquot;-) d T,

genomen over de ruimte buiten de solenoïde, oneindig klein is ten opzichte van M ij en dus kan worden verwaarloosd.

Daartoe merken wij op, dat de solenoïde naar buiten werkt, zooals eene verdeeling van noord-magnetisme over het eene en van zuid-magnetisme over het andere cindvlak volgens de wet van Coulomk werken zou.

Noemen we de krachten door deze verdeelingen op de eenheid van noord-magnetisme in zeker punt uitgeoefend, ■Jp, en .^2, dan is:

x'- -f* /3'-' -f^- 7 ' = -^,9|^J quot;lquot; •'Ps² 4quot; 2 ,vgt;j cos. d

als i de hoek tusschen „ft, en „n., voorstelt.

Dus:

^ /3'² ^lt;2(^^ m

nu is:

_ f (li — J' Spf d T,

dus:

S K- /3'² ^)rfTlt;4/ Slfdr.

Nemen we de afmetingen van den cilinder eindig eu een eindige magnetische dichtheid, dan heeft \ „p/ d r eene eindige waarde. Laten we vervolgens alle afmetingen dei-ruimte, waarover deze integraal is genomen, in dezelfde

29

verhouding kleiner worden, zoodat de eindige cilinder overgaat in die met de doorsnede «, en de lengte l, en elk element (l t door een gelijkstandig kleiner element wordt vervangen, terwijl de magnetische dichtheid dezelfde blijft, dan blijft onveranderd, daar deze grootheid van de orde

3 ' quot;

is. Het ruimte-element cIt verkrijgt echter den factor jr, zoo-

3

dat de integraal van de orde wordt en dus kan worden verwaarloosd ten opzichte van de vroeger bepaalde, die van de orde cc is.

Het gedeelte van — L..,/², behoorende bij de ruimte der solenoïde, is ^ l u daar we S)' over deze ruimte als

8 77

constant mogen beschouwen.

Wij vinden dus voor de energie van het veld:

T,' = l L, x Z w ^3 _o¹ / w ^gt;'3. 2 8 tt

Berekening van Tj'.

Wanneer eene solenoïde met gt; windingen per lengteeenheid van de beschrijvende lijn doorloopen wordt door eene stroom j, bestaat dientengevolge in elk inwendig punt eene magnetische kracht // aan de as der solenoïde van de grootte ij)' = 4 tt v j. In ons geval wordt dit:

S?' = 4 77 x S},

en uit het omtrent het teeken van z gezegde volgt, dat, als z positief is, S}' dezelfde richting heeft als jS.

30

Dus is:

Ti' = ¹ l co VY = J ^(1 8^^)^ ^ luSp'*.

O /7 O TT O 77

Berekening van To.

Wij stellen ous voor, dat de stroom i gesloten wordt, terwijl het cilindertje der inagnetiseerbare stof op zijne plaats is. Was dit cilindertje er niet, dan zou

„ . _T d i

E —^ = L, —

¹ dt

zijn. Thans oefent het ontstaan van 't magnetisme eene inductiewerking uit, en wij mogen aannemen, dat, ook wat deze betreft, het cilindertje door de aequivalente soleuoïde, waarin dan ook j aangroeit, mag worden vervangen. Daaruit volgt:

,_r „ . _T di , ,_r dj

Y = E — gt;• Ï = L,--k M —

¹ dt ^ dt

voor de bewegingsvergelijking der elektriciteit in den stroom-geleider.

Daar deze Y de eenige uitwendige kracht is, die op het systeem werkt, is de aangroeiing der energie T, in den tijd d t:

f/T₂ = (E — r0 Mi^ dt =

dus:

T.. = —— 2 2

31

daar de integvatieconstante nul moet zijn, aangezien voor i en ^ beide nul, ook T₂ nu! is.

Ten slotte is

T, = T₃ — To' T,' = - ^ (1 4 r z) igt;-.

o /T

Wij kunnen deze uitkomst eenvoudiger schrijven, wanneer wij een nieuwen vector

j8 = (l 4₇rx)^,

of,

1 4 z

stellende,

%gt; = [£$)

invoeren. Dan is nl. de energie in het cilindertje

1 -

8 y

per ruimte-eenheid.

Den vector 28 noemt men de magnetische inductie, ij. den inductie-coefficient of de permeabiliteit.

35 is de magnetische kracht, die in de ruimte van het cilindertje heerscht, wanneer dit door de aequivalente sole-noïde is vervangen (33 = -t* )-

Hebben wij een magnetisch induceerbaar lichaam van willekeurigen vorm, dan verdeelen wij dit eerst in cilindertjes van bovengemelde gedaante met de beschrijvende lijnen evenwijdig aan de magnetisatie. Vervangen we alle op één na door de aequivalente solenoïdes, dan vinden we, evenals boven, voor de energievermeerdering binnen de ruimte van

32

dat ééne cilindertje dezelfde waarde — k Sp-l co. Dit kan

met ieder cilindertje geschieden, dus we mogen zeggen, dat de energie per volume-eenheid eener magnetisch induceer-bare stol - - 33 JÖ bedraagt. Hierin stelt dus Jö voor de

O 77

magnetische kracht, die in zeker punt heerscht, wanneer men het meergemelde cilindertje door aether vervangt en S de magnetische kracht in datzelfde punt, wanneer het cilindertje door de solenoïde wordt vervangen. Voor punten in den aether is = 1 en 3$ -= en gaat dus deze waarde over in de bekende ^ zoodat wij de waarde - 55

8 TT 8 77

algemeen mogen vaststellen.

Bij anisotrope stoffen zal de magnetisatie 3 niet samenvallen met de magnetische kracht Jn. Definieert men voor zoodanige stoffen de magnetische inductie 35 door de vectorver-gehjking

35 = i? 4₅r3,

dan kan men op de boven gevolgde wijze aantoonen, dat de energie per volume-eenbeid gevonden wordt door het produkt van de inductie met de componente der magnetische kracht in de richting der inductie door 8 te dee-len. (Scalaire deel van het vectoren-produkt).

Uit de vroeger (pag. 21) bepaalde waarden van «, /3, y volgt, dat

da, d (o d y

— _|_ - -|- —~ = U 5

dx ¹ d y ds

1

33

dus / $,,(1(7, oyer een gesloten oppervlak, is nul. Nu is 03 ook een niagnetisclie kracht nl: 33 — £ -U ty - S^gt; —4 tt jc j?, d. \v. z. de magnetische kracht, die heerscht, wanneer al de cilindertjes door de aequivalente soleuoïdes ziju vervangen. Nemen wij nu f 33,, d cr over een gesloten oppervlak. In de deelen van het oppervlak, die behooren tot do ruimte der stroombanen van de solenoïdes bestaat eene magnetische kracht die wel van die der overige ruimte zal verschillen; omdat echter het bedrag, dat ze voor de oppervlakte-integraal leveren oneindig klein is, daar de stroojnbanen oneindig dun zijn ten opzichte van de diameters der solenoïdes, kan men zich bepalen tot het overblijvende deel van hot oppervlak en slechts het bedrag, dat deze voor onze integraal opleveren in rekening brengen. Dan geldt de formule:

J 33„ d lt;7 O

over een gesloten oppervlak.

Hieruit volgt — -j- _ O, als «, c de compo-

dx cl jj ds

nonten van ^8 voorstellen.

Bij oppervlakken van discontinuïteit is:

1 = S), 2

m. a. w. de normale componente der inductie is doorloopend. De lijn-integraal der magnetische kracht is ook binnen

de ruimte der magnetisch induceerbare lichamen gelijk aan

3

I

34

4 77 maal de hoeveelheid elektriciteit, die per tijdseenheid door een oppervlak stroomt, dat de liju tot randbegreuzing heeft. Dus bij niet aanwezigheid van stroomen moet die waarde nul zijn.

Dit kan blijken door alle elementen der induceerbare stof door de meermalen genoemde solenoïdes te vervangen en de lijn-integraal der dan bestaande magnetische kracht 55 langs een gesloten lijn te nemeu. Door eeu oppervlak dat deze lijn tot rand heeft gaat nu overal waar het eene solenoïde-winding doorsnijdt eene zekere hoeveelheid electriciteit, en men kan aantoonen dat de totale per tijdseenheid doorstroo-mende hoeveelheid gelijk is aan de lijn-integraal der magnetisatie langs de beschouwde lijn.

Iedere winding der solenoïdes toch, die twee keer door het oppervlak wordt gesneden, levert voor de oppervlakte-integraal nul, daar de richting van den stroom bij de beide doorsnijdingen tegengesteld is. Alleen dus de windingen die slechts éénmaal worden gesneden leveren een bedrag voorde oppervlakte-integraal; dit zijn die, welke met de grenslijn van het oppervlak zijn geschakeld.

Socmen wij de lengte van een cilindertje waarvan de eindvlakken door de grenslijn worden gesneden dan geelt deze solenoïde voor de gezochte hoeveelheid electriciteit het bedrag 3 l^erio^^{0 van} ^ ^s'^;u^ ^⁰¹' grenslijn, dat

binnen deze solenoïde ligt en s de boek tusschen A en /, dan 1% X — l cos. s, dus wij kunnen het bovengenoemde be-

35

drag ook aldus schrijven: j / cos. s, waaruit wij zien, dat werkelijk de totale door het oppervlak stroomende hoeveelheid electriciteit te beschouwen is als de lijn-integraal van j langs de grenslijn, zoodat we hebben:

lijnintegraal 35 — lijnintegraal 4 r j,

(waarbij nog moet worden opgemerkt, dat blijkens hetgeen op pag. 25 omtrent het teeken van jc is gezegd en met inachtneming van de formules op pag. 22, klaarblijkelijk bovenstaande formule, ook wat het teeken betreft, juist is);

of lijnintegraal ,n lijnintegraal 4 - j lijnintegraal 4 - j, dus lijnintegraal S} - 0.

Nemen wij de lijnintegraal van X} langs den omtrek van een klein rechthoekje waarvan de langste zijden d l in de richting t // aan een oppervlak van discontinuïteit loopen, de ééne er binnen, de andere er huiten, terwijl de andere zijden ten opzichte van d I oneindig klein zijn, zoodat de hoeveelheid door het oppervlak van den rechthoek stroomende elektriciteit oneindig klein is ten opzichte van d I. Van de lijnintegraal van langs dezen omtrek moet dus hetzelfde gelden. Aan den anderen kant kan men voor deze lijnintegraal schrijven (£»/ ] — a) d /, als en £v2 de

componenten van S} ter weerszijden van het oppervlak voorstellen, volgens de richting t.

Hieruit volgt -Ö/1 = Qi 2, en daar dit van elke richting t

3G

in het grensvlak geldt, is de tangentieele compouente der maguetisclie kracht doorloopend. Noemen we deze i en S)_t2 aan weerszijden dan hebben wij dus o.

Aan het grensvlak van twee verschillende magnetisch ge-induceerdo isotropc stoffen, met en ,«.₂ totpermeubilitcitcn, vinden we voor de tangenten der hoeken tusschen de normaal en de inductie:

tyQ] . ' t⁽j^2--'

1 ft* ■gt;?« 2

daar Sgt;„\ — ^2 ^gt;«2 volgt hieruit;

tjQi

t CJ ^2

de tangentenwet voor de breking der krachtlijnen.

Eene mathematische stelling, die in het vervolg eenige malen zal worden toegepast, is de volgende:

Laten j en 2 twee vectoren zijn, voldoende aan de voorwaarden dat over de geheele ruimte:

d% _ dj$_y dj$_x _ d% _ cl% _ d% ₀

(l y dz dz dx dx dy

d 2^ . d 2 ,, d 2_- _q

d x d j d z bij grensvlakken: 3_U = 3_t(), 2« 1 = 2« 2, en in het oneindige

37

zoowel j als 2 anel genoog tot nul naderen om de oppervlakte-integraal over een boloppervlak in het oneindige, die bij de integratie te pas komt, te doen verdwijnen.

Dan is, over de geheele ruimte uitgestrekt:

,ƒ (3x 2,. % Sy 3,- 2.-) dxd ydz - 0.

Het bewijs verkrijgt men onmiddellijk door partiecle integratie der integraal.

Besehouwen wij cn j.- als afgeleiden naar de coör

dinaten eener functie -i, wat op grond der differentiaalvergelijkingen, waaraan j moet voldoen, mogelijk is, dan wordt onze integraal;

Ti, ^{' S) da.

De eerste is een ruimte-integraal, die verdwijnt wegens de vergelijking, waaraan S voldoet.

De oppervlakte-integraal over een oppervlak in het oneindige is wegens de gemaakte veronderstelling weggelaten. De oppervlakte-integraal over de grensvlakken kan ook aldus worden geschreven:

J (■■p_l — -i/o) 2„ i d lt;7,

daar i = 2)/ 2.

Wij kunnen echter ook nog aantoonen dat ■i, — \^₂ aan het grensvlak constant is. Nemen wij daartoe twee punter, tegenover elkaar ter weerszijden van liet grensoppervlak

38

gelegen en noemen de waarden die -Jj daar heeft ■l/_] en -Jj.-,. Nemen wij vervolgens twee op oneindig kleinen afstand van de vorige op dezelfde wijze liggende punten en noemen t de richting on d l de lengte der lijn, uit het eerste pun-tenpaar naar het laatste getrokken, dan zullen do waarden dor functie in de nieuwe punten zijn:

''P'i = 3t i d l en y * = -pn n en daar nu i = 'jt a is

= c.

Onze oppervlakte-integraal wordt dus:

C ₍ f 2„ i tl o-,

en dit is nul wegens de solenoïdalo verdoeling van S over do geheele ruimte.

Zoodat de stelling is bewezen.

HOOFDSTUK II.

P o ii (1 e r o in otorische werkingen in liet elektromagnetisch veW zonder deforniatie der ponderabele massa's.

Wij zullen onder ï thaus de geheele energie, dus ook het ponderokinetischc gedeelte, van het elektromagnetische veld verstaan.

De ruimte zij gevuld met aether en magnetisch induceer-bare stoffen, terwijl gegeven elektrische stroomen het veld te weeg brengen.

Wij veronderstellen, dat de ponderabele massa's in rust

zijn, zoodat de term ' in de vergelijking van Lagrange, d t d x

nul is en wij voor do algemeene uitwendige krachtcompo-nente vinden:

X - - ^T .

d x

40

Deze kracht moet worden aangewend om, bij het constant blijven der stroomen, het stelsel in rust te houden. Het systeem oefent dus een gelijke en tegengestelde kracht uit, _cl t

nl. , waaruit dus volgt, dat deze T doet toenemen en er d x'

slechts evenwicht zal zijn, wanneer T een maximum is; dan

. . rfT _n ^...... (ZT .

is nl. =0. Uij een minimum is ook — - ü, en is er

d x d x

dus ook evenwicht, dit is echter labiel, terwijl het in het eerste geval stabiel is.

Willen wij de kracht berekenen, die in een elektromagnetisch veld op een magnetisch geïnduceerd lichaam wordt uitgeoefend, dan berekenen wij § T, d. i. de aangroeiing van T, die ontstaat tengevolge van eene virtueelo verplaatsing d-en deelen de laatste op de eerste.

Wij zullen het lichaam voor het gemak ijzer noemen en aannemen, dat het isotroop is en dit bij de virtueele verplaatsing blijft.

Door deze verplaatsing ondergaan ^ en 33 over de gc-heele ruimte veranderingen. Daar de stroomen bij de verplaatsing constant worden gehouden, moet de lijnintegraal van de aangroeiing van langs elke gesloten lijn nul zijn. De aangroeiing van 3) is, evenals 35 zelf, solenoïdaal over de ruimte verdeeld.

Voor de berekening van S ( S) dr moeten wij de ruimte in 3 deelen verdoelen: 1quot;. die waar, zoowel vóór als na tie verplaatsing, aether is, 2quot;. die, waar zoowel vóór als

41

na de verplaatsing, ijzer is, en 3quot;. die, waar aether door ijzer, of omgekeerd, wordt vervangen.

Noemen wij deze ruimten respectievelijk I, II en III, dan kunnen wij in de eerste plaats opmerken, dat de variaties van S) en 05 in I en II oneindig klein zijn; wij zullen ze voorstellen door § Sp en § 55. In elk dezer ruimten moeten wij S f SpSè cl r berekenen, waarvoor wij met het oog op de betrekking, die tusscheu ,v) en 33 bestaat, kunnen schrijven : 2 / 35 § rZ t. Aangezien nu de componenten van § amp; kunnen worden beschouwd als de afgeleiden oener functie ^), die van dezelfde orde als § amp; is, moeten wij berekenen:

ff dip . tcIQ d$\ 2 [a-~ b--? c-_r]dxdij d z, .' \ ax aij dz/

genomen over de ruimte I en vervolgens over de ruimte II.

Door partieele integratie kan deze integraal veranderd worden in een ruimte-integraal, die ingevolge de bekende eigenschap van 33 nul is, en een oppervlakte-integraal over de beide grensvlakken der ruimten I en II, welke grensvlakken ieder afzonderlijk uit twee deelen bestaan, het eene, behoorende tot den eersten stand van liet lichaam, het andere tot den stand na de verplaatsing.

Noemen wij de waarden der functie 3 in twee punten der oppervlakken, die oorspronkelijk samenvielen, en thans respectievelijk aan den kant der ruimten I en II zijn ge-

logen, 3, en cl),, en bedenken wij, dat wij, met verwaarloo-zing van oneindig kleine grootheden van hoogere orde, 35,, in die punten als gelijk mogen beschouwen en tevens het oorspronkelijke oppervlak (in den stand vóór de verplaatsing), als integratie-oppervlak mogen nemen, dan vinden wij voor de integraal:

2 J 33,, (cp,, — $,) d (t.

Uit de voorwaarde, waaraan de lijnintegraal van de aangroeiing van .'ó moet voldoen, kunnen wij eene uitdrukking voor cpn — afleiden.

Daartoe beschouwen wij een gesloten lijn die door de drie ruimten gaat en bepalen de lijnintegraal der aangroeiing van S} daarlangs in de richting van

het in fig. 3 aangegeven pijltje.

In de figuur is verondersteld, dat in de ruimte III de aether in de plaats van het ijzer komt.

Met verwaarloozing van oneindig kleinen van hoogere orde kunnen wij in de punten op de lijnen

AB en C D, d. i. in punten van de ruimten III, als aangroeiing van beschouwen het verschil der waarden die deze grootheid vóór de verplaatsing terweerszijden van hot oppervlak in die punten heeft en die wij zullen aanduiden door Sp' (in den aether) en Jp (in het ijzer). Daar de tan-

43

gentiëele componcnto van .'ó aan het oppervlak van het ijzer doorloopend is, hebben wij bij het opmaken van dit verschil slechts de normale componenten in rekening te brengen. Men ziet nu gemakkelijk in, dat de integratie langs AD oplevert: Cpi₀—■ Or_A, die langs CB: 0t\_K — lt;pv._t. en die langs de beide overige lijntjes BA en DC: { (tyn — igt;«) d n }_IiA — | (S)'-,, — S}„) dn |_ü(, waarin dn den positief gerekenden afstand der beide oppervlakken voorstelt, terwijl de toegevoegde indices de punten aanwijzen, waarop do grootheden betrekking hebben.

Wij vinden dus, daar de som dezer grootheden nul moet zijn:

(amp;_D—$i,c)—{(S?'u—S?„)dn}_DC = (cpi_A- Qu»)—{($■„—

zoodat over het geheele oppervlak: cp, — gt;1,,- (£*„ — amp;„)dn een constante moet zijn.

Noemen wij deze constante — %, dan is dus 3_n — 3),

= % — (*?'quot; — ■*gt;») ^{d n}-

Hierin kunnen wij d n vervangen door — f cos. (f n).

Onder s zullen wij nl. verstaan de baan, die een punt van het oppervlak bij de virtueele verplaatsing doorloopt, dus per se eene positieve grootheid; dit is ook het geval met d n. Wordt bij de verplaatsing aether door ijzer vervangen, dan moet in onze redeneeriug do grootheid door

S},, — „v)',, vervangen worden. Dit is echter het geval wanneer de hoek (f n) scherp is, dus de cosinus er van positief,

44

zoodat dan d n — £ cos. (s n). Wij mogon dus in het algemeen zeggen:

= % (-0'« — $„) f cos, {s n).

Voeren wij de hier gevonden waarde voor — J), in onze integraal in, dan wordt deze:

2 f 35,, (£*'„ - S}„) s cos. {s n) d t -\-2 x _ f 33„ dlt;r = = 2 J 33,, (Jp'„ — s cos. (f n) d cr,

daar de tweede integraal nul is wegens de solenoïdale verdeeling van 33.

Nemen wij thans de variatie § / Jp 33 (Z t over ruimte III, dan ziet men gemakkelijk in, dat deze, met gelijksoortige verwaarloozingen als boven, wordt:

f s {%!) S) — S}'-) cos. (f n) d cr,

zoodat wij vinden voor S T:

-¹- f s (33 S} — 2 35„ S?_n 2 33,, $gt;'„ — fy'-) cos. (£ u) d lt;7.

8 TT

Dezen vorm kunnen wij nog transformeeren.

Wij kunnen voor de middelste twee termen van den vorm, die tusschen haken staat, schrijven;

2 23„ (Jn'„ — .n„) cos. (s n).

Uaar fy'_t — ,£gt;/ = () heeft men de vectorvergelijking: ƒ)' .— jpi - ,(h' in

c ¹¹ it quot; c lt;• ?

45

en dus, al de vectoren op de richting projecteerende:

(jy,, — cos. (s u) ~ y?.-,

zoodat 'ó ï wordt:

g^-.' -i l^ Q ^cos' (^f ■quot;■) - ² 55-J-VV-ws. (f v) - 2 35„ |//(r.

Veronderstellen wij nu, dat de virtueele verplaatsing van het lichaam bestaat in een verschuiving, dan is dus s voor alle punten van het oppervlak constant en kunnen wij direkt voor de kracht in de richting van 5 schrijven :

i-/|!35igt;cos.(f») — 2 55„,ö_f[ —J.n'- cos. (sn) — 2

Nu zullen wij aantoonen, dat

I [ 25 cos. {s v) 2 j)_£ [ (l cr

verdwijnt. Hiertoe kiezen wij de .r-as // aan f; clan gaat de uitdrukking over in;

. / j ^ ² cos. 1 2 quot; — 2 ^2) cos. 1 — 2 Srgt;_r jgt;_y cos. m - 2 cos. n^/s-

f I / (—amp;² ^:r -ó--²) 2 ƒ —2 y-

J hl x d ij d z \

[1 = {n./), m = (n y), n = (n z)],

waarin de laatste integraal over het ijzer moet worden uitgestrekt.

Uit de eigenschappen van S}_r, en S)_: volgt dat de vorm tusschen [ j verdwijnt.

46

Uitwerking geeft namelijk;

- 2Cf'- ''*-■)

\ d x d y d z

2 ^dSgt;-

dx (ly J dx dz

welke vorm nul is wegens het verdwijnen der vormen tus-schen de haken.

Onze integraal is dus werkelijk nul.

Er blijft derhalve van de kracht over:

f j 2 jjy',, — S}'- cos. (s n) j d tr,

en men kan deze zoo interpreteeren, dat de aether op een element d e in de richting £ een spanning

— [2 ,vy„ Sp' e — ty- cos. (f «)]

8 TT

per vlakte-eenheid op het ijzer uitoefent.

Door voor « en n de richting der ./-as te kiezen, vindt men hieruit, wanneer wij de gewone notatie voor de spanning gebruiken en de accenten bij de iVs weglaten:

X. _o¹ (2^ -Oquot;) - ^ s?/)

O TT o 77

evenzoo, door f de richting der x-as en n beurtelings die der y- en ^-as te geven:

Xy - - S}, S)», X~ = _ ^ ^y 4 J!quot; 4 57

47

Op dezelfde wijze wordt gevonden:

^Yquot; = O¹'

o 77

^z-- - g¹, %-),

_v i . .

V r -V A? JÖ-y ^

4 z- '

r, l - -

Y-- = Z_y = ₄ _ ^

== X_r = — .'n,- JÓJ- •

Deze zelfde spanningen vinden wij bij Maxwell (Electr. and Mayn., II, pag. 258).

Door de x-as met de richting van S) te laten samenvallen vinden wij:

v, = z.- =- - i- .ós

X,/ = Y,r = enz. 0,

zoodat wij ons dezen spanningstoestand kunnen voorstellen als te bestaan in eene spanning in de richting der krachtlijnen en een druk in do richtingen loodrecht op de krachtlijnen, beide gelijk aan -

8 77

Tot de bovengenoemde waarde der spauningen is men geraakt door beschouwing van eene cerschuiving. Op soort-

48

gelijke wijze kau men eene oneindig kleine iventeling behandelen en aantoonen, dat het koppel, dat hieruit wordt afgeleid, kan worden opgevat als uit dezelfde spanningen voort te vloeien, zooals mij door Prof. H. A. Lorentz is meegedeeld, aan wiens welwillende voorlichting ik ook bovenstaande beschouwingen dank.

Thans willen wij het koppel berekenen dat op eene ijzeren ellipsoïde wordt uitgeoefend in een magnetisch veld dat in de door de ellipsoïde ingenomen ruimte als homogeen mag worden beschouwd.

Wij moeten daartoe beginnen met in ieder punt der ruimte de grootheden x, /3, r/, h en c te bepalen, nadat de ellipsoïde in het homogene veld is geplaatst, wanneer gegeven zijn 1quot;. de magnetische kracht die in ieder punt der ruimte bestond vóór de aanwezigheid der ellipsoïde, 2°. de permeabiliteit van het ijzer.

Noemen wij de eerste fy.j en noemen wij de magnetische kracht bij aanwezigheid der ellipsoïde -'Ó, dan is Jf? irrotationeel over de ruimte verdeeld, daar wij de stroomen die het veld te weeg brengen constant hebben gelaten en dus

thy __ dJS_{0 =} d {y₀ -f- y) _ d (amp; (3) ^ ^ d y d z d y d z

derhalve

d y dp _n

0. euz.

d y d z

49

Stel dus « = — ^{rZ V}, /3 ^ ₇ = _ 1^V.

dx' dy' rfs

De eigenschappen van V zijn:

Buiten het ijze^ moet A V — 0.

Binnen het ijzer is 35 — ^ -|- iS), en

da dh dc

dx d y d 'z ⁼ '

wat eveneens voert tot V - 0.

Verder moet V overal doorloopend zijn. Aan het grensvlak moet

55?/ 1 = 2 ,

waarin dc index 1 op het ijzer, 2 op den aether betrekking zal hebben.

Dus:

[A (vÓo 7! 1 -|— l) 7i 2 -|- S}}i 2 . . , . (1)

en daar ~ — S)„», jn,,,,, - ,fiw,

\dn/_] \d n J ₂

verkrijgen wij uit (1):

CrI),₁ ^{= igt;ü}quot;^(l~'^A

of

fdY\ fdY\ _{1 r} , , ^

~ ^ v/ JJ, ^ \dn J.quot; ^cö'^s' ^c0'^s'^{m n co}''quot; ⁽²⁾'

Wij zullen thans trachten de functie V te vinden, die aan dc gestelde voorwaarden voldoet en die ons moet dienen ter bepaling der grootheid Sgt;.

50

Men kan aantoon on dat V te verkrijgen is door differentiatie van een gravitatie-potentiaal XI, teweeggebracht door eene niet de dichtheid 1 over de ruimte dor ellipa-oïde verdeelde massa.

Wij beginnen dus eerst deze n te bepalen. Deze blijkt te zijn, als we de halve assen der ellipsoïde A, B en C noemen, voor punten binnen het oppervlak:

i _ _ v* _ ?!__

B^ a C²-fA quot; l i/(A₂ a)(B^ A)(^ a) '

en voor punten huiten het oppervlak:

₁ _ amp;___1:___?i—

___n A2 / B² A 02 A

O.,, = tt A B C d A --—5

l/'(A- A) (1gt; /.) (C- -f A)

als u de eenige positieve wortel der vergelijking;

_ ^³- y^{s g2} =1

A² -j- m B~ ?« G- u

is.

De juistheid dezer potentialen zal zijn aangetoond als wij bewijzen dat:

A 11;= — A tt (want de dichtheid is 1)

a n„ = o,

dat de il's en hare eerste differentiaalquotienten in alle punten doorloopend zijn en li,, in hot oneindige verdwijnt. Uit de bekende stolling, dat er slechts ééne functie bo-

51

staat, die aau deze voorwaarden voldoet, volgt dau, dat onze integralen deze functie voorstellen.

Daar aan het ijzer-oppervlak u = 0, is in die punten n, — fl„, du? o, is doorloopend. Daar in het oneindige a -- co, vallen daar de integratie-grenzen samen en is dus de integraal nul, dus Ll„ verdwijnt in het oneindige.

Kortheidshalve zullen wij in onze berekeningen de vol

gende notaties invoeren:

) f ________

^Jo (^A- gt;■) ^(A² A) (B- A) (C² A) ■

r_ ^__

^J0 (B³ -f A) 1/(A= A) (B- A) (C^ A)

A„ 2 A B C ^{1 dX}

C,, 2 77 ABC I -.' en-¹

i (C² A) '-'quot;(A- A) (B- A) (C^¹ A) rf A

A „ = 2 5r A B C 1

./ CA²

■i 4- A) l/( A= A) (Bⁱ A) (C- A) ovenzoo BV, en C'„.

Wij vinden dan :

deti da„

—:— = — A₀x, - = — A. ₀x. enz. d x cl x

en daar aan het oppervlak A₀ = A',, enz., zijn dus de eerste differentiaalquotienten van fl doorloopend.

Bij de berekening van is de term ^lt;Lfb' 'Lü ver-

dx du dx

dwenen, daar;

52

₁ x- r

dClg__7- A B O A³ u B^a -|- u _C^{3 n}__n

d u quot; l-'jA- u) (B² u) (C- -f m)

wegens de vergelijking waaraan n moet voldoen. Wij vinden verder:

d-CLi , ₀- = — A„ enz.

d x-

d²Â£1„ x dn 2 tt A B C ^,

dXquot; Aquot; —l^A- —|— /i) (B' —|— (ü

Daar nu:

1 1 1 \ d /.

\'j rr U3

\A² A ¹ B^! -j- A C³'^(A³-j-z«) (B²-|-m) (C²-|-?lt;j

2

= constante

i''(A² ■ j- /.I (B--:- /.) (C- A)

ⁱ⁸ 2

A n, — 2 T A B C x — — ¹ -■

Verder is:

( a? i y² «² )(iM_ 2a:

j (A² m)² (B²4-m)² (CH-M)² ]dx~ A⁸ m '

| xquot;- y² . g³ I dw _ 2y

i (A³ -f uf (B² uf (C² uf W/y ^— B² n '

lx² , y² z² ) du 2 g

( (A²4-m)² (B² ?7)² (C³ m)² uTs ^— C² « '

zooals uit de vergelijking voor volgt. Door vermenig-

uit deze 3 gelijkheden :

dus:

(A-' ^O (B³ tt) (C³ «) ^ (A⁵ M) (B-² «) (C² «)*

zoodat wij bewezen hebben, dat fi de gezochte gravitatie-potentiaal is cn over kunnen gaan tot de bepaling van V. Wij stellen daartoe buiten en binnen de ellipsoïde:

waarin A, B en C constanten zijn. Dan is V doorloopend,

dil dn dO. , , ..

daar ——, - en - net zijn.

d x d u d z

Verder voldoet V buiten en binnen aan de vergelijking van Laplace, zooals direkt door differentiatie blijkt.

Alleen aan do grensvoorwaarde moet dus nog worden voldaan. Men heeft:

cos. n

cos. n

cos. n

50

Men kan aantooncn dat V te verkrijgen is door differentiatie van een gravitatie-potentiaal XI, teweeggebracht door eene met de dichtheid 1 over de ruimte der ellipsoïde verdeelde massa.

Wij beginnen dus eerst deze D. te bepalen. Deze blijkt te zijn, als we do halve assen der ellipsoïde A, B en C

noemen, voor punten hinnen bet oppervlak:

-____ ?/⁸ _

. r A³ A B³-f A C³ f A

a- = T jd A - '

en voor punten huiten het oppervlak:

₁ _ a;- _ ïf__f:_

₄_r₇ A- A B⁵ A C^ A

n„ — TT A B C I (I A - ^===^-5===:—-

J„ l^'(A- a) (B- a) (C- -f- a) als « de eenige positieve wortel der vergelijking:

₀,2 ₇y2 ^2

__f__i___ⁱi__i—-— = i

A³ w B34-M C³-f M

is.

De juistheid dezer potentialen zal zijn aangetoond als wjj bewijzen dat:

A n, = — 4 tt (want de dichtheid is 1)

A n„ = 0,

dat de a's en hare eerste differentiaalquotienten in alle punten doorloopend zijn en Xl„ in het oneindige verdwijnt. Uit de bekende stelling, dat er slechts ééne functie be-

51

staat, die aan deze voorwaarden voldoet, volgt dan, dat onze integralen deze functie voorstellen.

Daar aan het ijzer-oppervlak u ~ 0, is in die punten fi; — fl„, due fi. is doorloopend. Daar in het oneindige a — co, vallen daar de integratie-grenzen samen en is dus de integraal nul, dus lt;l„ verdwijnt in het oneindige.

Kortheidshalve zullen wij in onze berekeningen de vol

gende notaties invoeren ;

A„ 2 - A B C ' ^dX

(A² -I -/.) ^l/(A- -p /.) (B- A)(C^ A)

d A

R, 2 57 A B C

'o (B³ A) '/(A³ A) (B- A) (C= A)

rZ A

t-A) 1/(A³ A) (B- A) (C² -t- A)

A'„ = 2 z- A B C j

■i (A² 4- A) A) (G= A)

evenzoo B'„ en C'„.

Wij vinden dan :

dili da_n

—— = — A₀x, ₇— = — A'„x, enz. d x d x

en daar aan het oppervlak A₀ = A'₀ enz., zijn dus de eerste differentiaalquotienten van li doorloopend.

Bij de berekening van quot;quot; is de term ^SLquot; ver-

dx du dx

dwenen, daar:

52

af ij- z-

dClg ___- ^ B 0 A? u B- u C² 11_^

't u l/(A² —}— ?lt;) (B~ -j^- ?/) (C- -|- H)

wegens de vergelijking waaraan u moet voldoen.

AVij vinden verder:

d- fli ,

- - = —A„, enz.

a x-

d- £!„ x du 2 A B C ^,

dx~ A'quot;quot; —1~ ti dx V(S? u) (B- —|— it) (C -

Daar nu:

1 1 , 1 \ d A

Tgt; igt;'

A² a B- -j- A ¹ C- A/ i--'(A³ -f- ?«) (B² -f- M) (C² -)- M)

2

= constante

■' (A² ■ r gt;■) (B' -i-/.) (C² /.)

^is 2

A fl; — 2 T A B C X _{ab C} = — ¹ '•

Verder is:

( x³ y* , amp; ] du_ 2 x

( (A² m)² (B² lt; (C!² «)² I ^— A² n '

ja;² y² z* j cZm _ 2ty

( (A² m)² (B² uf (C² nf ]dy~ B² u '

(a:² y² z* \ du 2 g

[ (A² m)² (B² m)² (C² m)² * dz ⁼ C² h '

zooals uit de vergelijking voor u volgt. Door vermenig-

53

vuldiging met / -. --

A—j— H ijquot; —{- It 0quot; —|— H uit deze 3 gelijkheden:

d u

2,

A.- 2i d x ¹ B³ u d gt;j ¹ C³ u d 2 2 2

! I-' (A² m) (B- M) (C³ M) I/ (A² w) (B³ M)(C² M)j

zoodat wij bewezen hebben, dat £1 de gczochte gravitatie-potentiaal is en over kunnen gaan tot de bepaling van V. Wij stellen daartoe buiten en binnen de ellipsoïde:

A^ B^m c^,/n

dx dy dz

waarin A, B en C constanten zijn. Dan is V doorloopend,

dll da d£l , _x ..

daar ——i — en —- net zijn.

dx dy d z

Verder voldoet V buiten en binnen aan de vergelijking van Laplace, zooals direkt door differentiatie blijkt.

Alleen aan de grensvoorwaarde moet dus nog worden voldaan. Men heeft:

54

waarin 1, m, n op de naar buiten getrokken normaal betrekking hebben.

Door substitutie van deze waarden in rergel. (2), pag. 49, yinden wij, dat V hieraan zal voldoen, wanneer aan 3 betrekkingen door de grootheden A, B en C wordt voldaan.

Wat de differentiaalquotienten van n betreft, hebben wij daarbij met de waarden aan het oppervlak te doen. Men vindt hiervoor gemakkelijk;

A o, _t d~ri_tt

j o = 4 t cos.~ 1 — A_u, - = 4 cos.- m — B„. d x- d y-

d²n„

, ■ == 4 t cos.- n C„. d s-

d-a_a , d² n„

4 3- cos. m cos. n, 4 - cos. 1 cos. n,

dijds dxdij

dr n„ .

₇ , =-- 4 ~ cos. \ cos. m. dx cis

dquot; Cli __ , d XI, _ d-rij

j o — ■^a-lt;' ) -~jr~n — -quot;o ) , „ - — - •

d X' d y d z

d- D-i _ dr CL, ^d-Cli dydz dsdx dxdy

Substitutie dezer waarden in de bovenbedoelde grensvoor-waarde voor V geeft, wanneer men bedenkt, dat cos.²1 -(- cos.- m -{- cos.² n = 1:

— A ] 4 -|- (/■x — 1) A₀ j cos. 1 — B [ 4 (,a — 1) B [ cos. m —

- C — 1)C„| cos.n - (1 — /*) (x₀ co.s.1 -)- /3₀ cos.m -|- 7,, cos.n),

55

waaruit wij utlcidon, dat V aan tie voorwaarden mal voldoen, wanneer:

— A J 4 ;7 (,a — 1) A„ , = (1 — iJt,) Xa, enz.

dus:

(,'-4 - 1) «o

4 TT -j- (,44 - 1) A,,

of, daar ^ — 1 = 4 z.

_ -aio

^ 1 -f- y, A„

(3o | B = l xB₀|

C =

\ y.(u₀

Nu wij dus de functie V hebbeu bepaald zijn alle grootheden van het veld bekend, die moeten dienen om do energie T te berekenen.

Wij vinden:

ir O Cf dV . ^ rfV dY\ Cf (IY \ .

= K— 2 U₀₇- /3_ö 7o ₇- )dr-2 p [x.,----!(/t

Jn \ d x cl y dz J j i\ dx /

WOh-quot;

56

De indices u on i hebben betrekking op de ruimte buiten en binnen het ijzer. K is de waarde:

, fa (x,r -f- (3o- 7»quot;) dr (j. _ ƒ i (xj (3/ y,;-) d r

die onafhankelijk is van den stand der ellipsoïde.

Noemen wij de vier overige termen achtereenvolgens 'hi h-, h en lt;,_t; deze kunnen alle worden herleid tot oppervlakte-integralen.

Daartoe integreeren wij lt;i en ia partieel, waarbij wij moeten bedenken dat de oppervlakte-integraal in het oneindige verdwijnt, omdat V daar verdwijnt, en de ruimte-inte-

. dx dB , dy graai eveneens, omdat--1- -\--=0.

d x d y d z

Bedenken wij, dat langs de normaal op het oppervlak dor ellipsoïde de positieve richting naar buiten wordt genomen, dan vinden wij voor de som der termen j, en U\

2 (1 — ,a) J V {%„ cos. 1 /3„ cos. m -]- cos. n) d t

genomen over het oppervlak der ellipsoïde. De partieele integratie der integralen 4 en /.₄ geeft: een oppervlakteintegraal in het oneindige, die evenals de vorige verdwijnt, eveneens twee ruimte-integralen, die verdwijnen daar A V - 0 en twee oppervlakte-integralen over het oppervlak der ellipsoïde die tot som hebben:

57

Wij vindon dus door sommatie:

8 !7 T = K (1 ^— i^). / V i^o cos. 1 (3₀ cos. m -|- y,, cos. n) d a. Substituoeren wij hioriu voor V do waarde:

zoouls die aan het oppervlak is, bedenken, dat

dn , da _n da

—- = — x A , gt; — = — y li,, en - — ,2 U_u

d x dy dz

(pag. 51) en dat:

J x cos. ld (T — ( y cos. m d 7 - J 2 cos. n d t v,

als v het volume der ellipsoïde voorstelt, en

f x cos. m d t ~ f x cos. 11-/7 / y cos. ld t — .f H ^cos- n d 7 I s cos. Idir = ( s cos. m d 7 0,

dan wordt ten slotte :

8 ~ T = K (1 - .a) A A„ /3„B B, _7oG C„) v

, f , A„ , m. . , K C„ \ — 11 1 — u) x₀~ Po- r_u- ■ v,

^; V quot; 1 _z A„ l y. B, ^/ 1 x C J '

*

door substitutie der vroeger gevonden waarden voor A, B en C (pag. 55).

Willen wij thans het koppel berekenen, dat op de ellipsoïde werkt, dan geven we haar eene virtueele draaiing S ^ beurtelings om elk der coördinaten-assen, telkens in den

58

positieven zin, d. w. z. in de richting eener draaiing van de pos. agt;as naar de pos. //-as, of van de pos. y-as naar de pos. s-as enz.

De S T die daarbij ontstaat kunnen wij ook bepalen door aan de magnetische kracht wentelingen — § 4 om de coördinaten-assen te geven.

Bedenken wij, dat bij zoo'n wenteling om de .c-as, § 7,, = = — pool) en S /3₀ = dan vinden wij:

8 . _S T = 2,1 - A n (^Ag. - V S ₍-

= ⁸quot;^l3'^r-{ 1 ,B. ^_ 1 aC,) ^{T S 5}'

. , , J ST .

dus, het koppel om de a-as — is:

' ¹¹ S !)

' (l y. B₀ ~ r 7C₀) ^V'

Evenzoo vindt men voor de koppels om de y- en de ^-as ■

^yoXquot;{ï ^G₀~iT^)^v'

en:

^ (r ^x₀ ~ i K bJ ^v-

JTemen wij aan, dat A B gt; C, dan ziet men aan de integralen A„, 11, en C„ direkt, dat A, lt;1 B„ C„ en daar,

59

zooals tevens gemakkelijk uit lt;lc sommatie dezer integralen blijkt,

A„ B_a C,, == 4 5r

is:

A 7? en — tt.

quot; 3 ^3

Tevens volgt uit de ongelijkheid der drie iutegralen dat: ^{1 1} ^ —

Ï VA₀ ^gt; l y- B ^gt; l xC₀'

wanneer ■/. positief is, zooals bij ijzer. Is ■/. negatief, maar blijven toch, zooals bij alle bekende diamagnetische lichamen voor alle waarden van A, B, C het geval is, de drie noemers positief, dan is het omgekeerd. Onze koppels hebben dus bij paramagnetische lichamen hetzelfde teeken als de produkten: /3,, y₀, — y„ x₀ en x., /3„, waaruit volgt, dat het koppel do langste as der ellipsoïde evenwijdig aan de magnetische kracht tracht te plaatsen.

Door te bedenken, dat —— = — (^ 1 — -——^^

1 ^ A₀ /.V 1 * A„ J

Meiner is dan - , ziet men trouwens aanstonds aan

1 * B,'

de voor 8 - T gevonden waarde, dat de energie in den stand der ellipsoïde, waarbij de langste as // evenwijdig aan ,vgt; loopt, grooter is dan in de standen, waarbij een der andere assen evenwijdig met sgt;„ is.

Is A zeer groot in vergelijking met B en C, dan nadert

60

A„ tot nul; zijn tevens B en C gelijk, dan naderen 1|, en C„ tot 2 TT.

Bij dozen languitgerekten vorm dus, met cirkelvormige doorsnede, verdwijnt het eerste der drie koppels en naderen de anderen tot:

— 2 TT -/Ty,, 0i_o v 2 tt jc /3₀ v

- en

1 2 s- y. 1 2 ff y.

Nemen wij de 5-as loodrecht op de magnetische kracht, dan is de eerste dezer twee uitdrukkingen md, en stelt de laatste de waarde vau het geheele koppel voor, dat op het ijzer werkt.

Bij vele proeven van Plückeii plaatste zich een stelsel van koperen en ijzeren staafjes steeds zóó, dat de ijzeren met hunne langste afmeting evenwijdig aan de magnetische kracht waren.

Daar men nu lange cilindervormige staafjes ten naaste bij als ellipsoïden kan beschouwen, vinden deze verschijnselen in de gevonden formules hunne verklaring.

Het bekende gedrag van diamagnetische stoffen, waarvoor ^ negatief, maar 1 -)- 4 ff z positief is, wordt op gelijke wijze uit de bovengenoemde formules afgeleid.

61

Bij ecno gegeven stroomvordecling moeten Sgt; en 5B voldoen aan de voorwaarden:

. d y cl (2 . da dl) dc _A

55 = ^ — ' =4 7rM, - -- - = O enz.,

d i/ d z dx dy dz

en aan grensvlakken Jót en 33,, doorloopend.

Gaau wij in het geheele veld (j. met een zelfde getal p vermenigvuldigen en laten do stroomverdeeling constant, dau zal dezelfde verdeeling van Jh aan de bovenstaande vergelijkingen voldoen, als de oorspronkelijke.

Dat 35„ doorloopend blijft, blijkt als volgt: Wij weten, dat in het oorspronkelijke veld 33„i •= ¥gt;„2, m. a. w.

j = ^2 ₂ en hieruit volgt direktfu.\ S),, 1 = p p* ix 2. Dat ook aan de andere voorwaarden door dezelfde verdeeling van S} wordt voldaan ziet men op het eerste gezicht.

Wanneer wij dus bijv. een stelsel elektrische stroomen geheel in een para- of diamagnetisch medium plaatsen, met de permeahiliteit ,a, dan is de magnetische kracht in ieder punt dezelfde als wanneer de stroomen zich in den

aether bevinden. Onze integraal / / dus ^-maal

8 77quot;

zoo groot als iu den aether, waarbij wij echter, strikt genomen, moeten veronderstellen, dat de permeabiliteit van de stof, waaruit de stroom geleiders bestaan, eveneens met is vermenigvuldigd, of, dat deze permeabiliteit zoo weinig ter zake doet, dat haar invloed kan worden verwaarloosd. Is dit het geval dan zullen dus ook de differentiaal-

62

quoticnten van T, m. a. w. de elektrodynamische en induetie-werkingen het ,'/.-voud zijn geworden van wat ze in den aether waren. In een dianuiynetisch medium zullen deze dus verzwakt, in een paramaynetisch versterkt worden.

Zoo even werd ondersteld dat in de geheéle ruimte de permeabiliteit veranderd werd. Wanneer wij bij het constant houden eener gegeven stroom verdeeling slechts een deel van den aether door een 'para- of diamagnetisch medium vervangen, dan wordt de energie T daardoor eveneens, in het eerste geval vermeerderd, in het tweede verminderd.

Het bewijs hiervoor outleenen wij met eenige wijziging aan de verhandeling van Ur. L. H. Siertsema : „ Over de onbestaanbaarheid van diamagnetische stoffen volgens Dühem, en eenige minimimeigenschappen in het magnetisch veld.quot; (Verh. K. Akad. v. Wet., deel V. No. 4).

Men kan nl. aantoonen dat, bij afwezigheid van permanente magneten en dus in het geval het magnetisch veld alleen door elektrische stroomen wordt teweeggebracht, de

integraal ï — ^ / /z S)- d r eene minimum-eigenschap bezit

8 TT '

ten opzichte van de waarden derzelfde integraal bij andere verdeelingcn van Jö over het veld, waarbij verondersteld is dat de stroomverdeeling dezelfde is gebleven en de nieuwe aan dezelfde voorwaarden voldoet als de oorspronkelijke, behalve aan die dat y, solenoïdaal verdeeld is.

Noemen wij de niet gevarieerde magnetische kracht S}₀

03

en Je vector, die er door de variatie aau wordt toegevoegd: Jp,, dan kunnen de componenten van Jp, worden beschouwd als de afgeleiden van een potentiaal (vergelijk pag. 48 en 49).

Voor het 8 ^-voad van de nieuwe T vinden wij dan:

J'p -I- JÖ:) - rfr = f (I t2^ I (iSpo ^gt;1 dr-hj tttyrdr.

De derde integraal van het tweedel id is^os/f/c/quot;. De minimum-eigenschap zal dus bestaan, indien J [j- S}_a S}_ï (It -- 0 is.

Dat dit laatste het geval is, volgt echter aanstonds uit de algemeene stelling, die wij op pp. BG—38 bewezen hebben. Immers, de vector ^ S}₀ is solenoïdaal, en de vector .v?, irrationeel verdeeld.

Thans kunnen wij overgaan tot het bewijs, dat de energie toeneemt door in het veld een paramnynetisch lichaam te brengen en afneemt door er eene dia Magnetisch in te plaatsen.

Wij noemen het lichaam A, en de magnetische kracht bij aanwezigheid van A in de ruimte, waar dit lichaam zich bevindt igt;„ die daar buiten terwijl diezelfde grootheden in het geval bet lichaam niet aanwezig is, zullen heeten S}'i en S)'_e.

Wij kunnen nu de volgende integralen beschouwen:

?= J_iS??dT J_e S?_e-dr.

Q= Ji 5gt;'r dT-\- f_e b'e² d t.

R = Ji (y. S}f dr-\- _tf_e d t.

S = _ f i ij. $'r dr-j- _t f_e d t.

Men ziet. clan gemakkelijk in, dat wij moeten bewijzen:

64

1 ?. voor 1, R Q.

2°. voor ,44 1, R Q.

Wij weten, dat P gt; Q volgens de minimum-eigenschap, want, wanneer het lichaam A er niet is, heeft Q op den werkelijken toestand betrekking en kan P worden beschouwd als cene gevarieerde waarde van (^). Eveneens R S, omdat, als het lichaam er reel is, R voor den werkelijken toestand geldt, en S kan worden opgevat als eene gevarieerde waarde. Wanneer nu 1 ziet men direkt, dat R P en daar

P gt; Q) is ^^us ^ gt; Q, q-^e- d-

Is ij. lt; 1 dan is S lt; Q en daar R lt; S is R lt; Q, q. e. d. Beschouwen wij nu eens een enkelen stroom en vergelijken mot elkaar het geval, dat deze zich in den aether bevindt, en dat behalve de aether een dia- of' paramagnetisch lichaam

aanwezig is. De energie wordt voorgesteld door — L /

gt; —

Daar i constant blijft en de energie vermeerdert of vermindert, moet deze toe- of afname plaats hebben in L. Hieruit volgt dus, dat de elektromotorische kracht van den

extrastroom L is toegenomen door de aanwezigheid van

d t

een paramagnetisch en afgenomen door de aanwezigheid van een diamagnetisch lichaam.

De ponderomotorische krachten, uitgeoefend op magnetisch induceerbare media, geplaatst in een ander magnetisch induceerbaar medium, zullen later, in verband met den inhoud van het laatste hoofdstuk, worden behandeld.

HOOFDSTUK III.

K r i s t a 11 e ii en vlocisto f 1quot; e u in een elektroniagnetisch veld.

Wanneer een anisotroop medium (kristalhm), waarvan de inductie-coëfficienten weinig van die van den aether verschillen, in den aether wordt geplaatst, kunnen wij de vermeerdering der energie, die hiervan het gevolg is, berekenen door de energie als eene quadratisehe functie van de magnetische kracht op te vatten en in de ruimte van het nieuwe medium de magnetische kracht in rekening te brengen, die er bestond, toen er nog alleen aether was.

A\el te verstaan moeten bij de berekening der energie de itt's voor den nieuwen toestand in rekening worden gebracht.

Het bewijs dezer stelling is aldus:

Bij anisotrope lichamen bestaan tusschen .v? en S de volgende betrekkingen:

5

66

a = jti.i « -j- //■1.2 (3 [Ai.s Vi

h — fts.-i x -{- fs-s s @ -{- ftz s 7)

C = iV-S.l « -j- ^3,2 /3 -j- ,'^3.3 y-

Hierin is f/,* i = y.\.2, 1^1.3=^3.1, ₍'-^/-2.3 y-3.2; deze coëfficiënten verschillen in ons geval weinig van ntd, terwijl lt;le andere drie [Xi 1, ,'/22 cn ,«3,3, weinig van een verschillen.

Deze coëfficiënten moeten worden beschouwd als physische constanten, die van den aard der stof af hangen en misschien ook van de magnetische kracht. ^ an deze laatste afhankelijkheid wordt intusschen afgezien.

Noemen wij de magnetische kracht vóór aanwezigheid van het medium ix en bij do aanwezigheid -Ö» -t~ -fr: dan is S)' in alle punten der ruimte een zeer kleine vector. Do componenten dezer grootheden onderscheiden wij door dezelfde indices. Stellen wij verder ^u = l i^/ii) /^2.2 = 1 quot;22, ^3= 1 _)_^₈₅ waarbij deze -/s dus weinig van nul verschillen, dan vinden wij voor de energie van hot veld bij aanwezigheid van het medium:

T = i- ( «') («0 «' i'ii ^12 /3» ^'13 7o)

8 TT. /

(/So -|- /3') (fit, -|- /3' |C4jo «0 gt;23 amp; quot;lquot; ^23 quot;/«) (7o -1- 7') (7» 7' ^13 ^23 ^ quot;33 ^ ^dr-

Hier moet geïntegreerd worden over de gehcelc ruimte: wij kunnen ons nl. voorstellen dat al het boven gezegde ook van den aether rondom het kristal geldt, mits men hier vi.i, ^1.2, enz. = 0 btelle.

G7

In de laatste vergelijking zijn produkten van grootheden, die weinig van nul verschillen, weggelaten. Doen wij dit ook bij de verdere uitwerking dan vinden wij:

Deze laatste integraal ia nul volgons de mathematische stelling van pp. 36—38: , /3„, y₀ zijn de componenten eener grootheid als 2, /3', y' die van eene grootheid als 3.

De overblijvende integraal is nu juist de energie, in hot geval in elk punt /3„, y₀ als componenten der magnetische kracht worden genomen, q. e. d.

Er zjjn 3 onderling loodrechte richtingen, waarin JiS en 53 samenvallen (vergelijk eene overeenkomstige stelling bij de deformatie van vaste lichamen: Kirchiioff, Mcchanik. X § 3).

^ eronderstellen wij een homogeen kristal te hebben, zoodat deze richtingen in alle punten van het kristal dezelfde zjjn en nemen wij de coördinaatassen in deze richtingen, de permeabiliteiten volgens de assen y.^, y_Jin [/,. noemende, dan wordt, in het geval van een oorspronkelijk homogeen magnetisch veld (a, /3, 7), de energie die toekomt aan de ruimte van het anisotrope lichaam, voorgesteld door:

OS

g C'Ar quot;h P¹./ /3² 7quot;) )

als v liet volume van het kristal is.

De componenten van het koppel, dat op het kristal werkt, zullen evenals vroeger (pag. 57) worden gevonden door aan de magnetische kracht eene virtueele wenteling Stf om do coördinaten-assen te geven en de § T, die hiervan het gevolg is, door te deelen.

Geheel op dezelfde wijze ala op pag. 57 vindt men dan voor de koppels om de assen:

^ / \ P r.

4 TT

^v / \

₄ _ (,«■= — r

^V {fX r — ft If) Cl, (2.

Als gt; y-; gt; y-.-, zij ii het eerste en liet derde koppel positief, terwijl het tweede negatiet is. Daaruit volgt dat het resulteerende koppel het kristal zoodanig tracht te plaatsen, dat de as met de grootste y. evenwijdig aan de magnetische kracht is. Door berekening van de energie in dien stand ziet men tevens gemakkelijk, dat deze een maximum is en dus het evenwicht stabiel.

Is eene andere hoofdrichting evenwijdig met de magnetische kracht, dan is er ook evenwicht, maar dit is labiel.

Ecu isoti'oop maguctisch induceerbaar lichaam met do permeabiliteit ,«/, geplaatst in eone vloeistof met de permeabiliteit (beide weinig van 1 verschillend) gedraagt zich als een lichaam met de permeabiliteit ,ui— geplaatst in den aether (analogie met de wet van Archimedes).

Grevcn wij namelijk het lichaam eene virtueele verplaatsing en verstaan onder £ den weg, die daarbij door een punt van het oppervlak wordt doorloopen, dan vindt men gemakkelijk door toepassing van de in het begin van dit hoofdstuk bewezen stelling:

genomen over het oppervlak van het induceerbarc lichaam.

Het valt aanstonds in het oog, dat deze waarde van § T overeenkomt met die, welke men zou verkrijgen bij dezelfde virtueele verplaatsing van een induceerbaar lichaam met de permeabiliteit (.a, — p^), geplaatst in den aether. De krachten zullen dus ook in beide gevallen overeenstemmen.

Quincke heeft proeven gedaan ter vergelijking der magnetische constanten van verschillende vloeistoffen en gassen. (Wied. Ann. Bd. 24 pag. 347 en Bd. 34 pag. 401).

Hij bracht de vloeistof in 2 communiceerende buizen, waarvan de eene tusschen de polen van een sterken magneet werd geplaatst en de andere buiten het veld.

70

Wij noemen de doorsnede dei- buis en do magnetische kracht aan het vloeistofoppervlak in het eerste been: ca, en jp,, die in het tweede been cc₂ en Sp₂ en onderscheiden ook andere gelijksoortige grootheden in de twee beenen door de indices 1 en 2. Wij nemen do s-as vertikaal naar beneden en geven het oppervlak der vloeistof in het eerste been eene virtu-eele verplaatsing §S). Noemen wij de dichtheid der vloeistof s en duiden door r/ de versnelling der zwaartekracht aan, dan is de door de zwaartekracht bij deze virtueele

verplaatsing verrichte arbeid (s₃ — 3_:)sgai_l^3_]. De aan-i

I (j. .vv- (l t wordt:

C/A/ - ftvjs ^ '*-2 1

waarin en de penneabiliteiten van het gas en do vloeistof voorstellen en co₁ § 5, = «₂ § s₂, zooals men gemakkelijk inziet.

Deze waarde van § T vindt men door te bedenken, dat in het eerste been een volume-element «,§5, van de vloeistof wordt vervangen door een evengroot volume-element van het gas; in het tweede been heeft liet omgekeerde plaats.

In den toestand van evenwicht moet nu, volgens pag. 8, de arbeid der uitwendige krachten bij de beschouwde virtueele verplaatsing gelijk zijn aan —• § T, zoodat wij hebben:

71

(% - ^)l -t*!^{3 C,,}l ^ ^1

('J,j - [^v)^ ^2quot; ^3 ^ ^2 )

waaruit volgt:

O, — .O, -tv² (,'■''

Deze formule stelt ons in staat, de proeven van Quincke te verklaren.

Door de laatste vergelijking' aldus te schrijven :

1 ^S(J^Jr g-^Cs—i«»)i -ft*

zien wij, dat het is, alsof' de hydrostatische druk per eenheid van doorsnede dor vloeistofkolom wordt vermeerderd

met — {faj — ,cir) $f. 8 77

Bij de proeven van Quincke mocht men ~ 0 stellen, dus:

Deze formule doet zien, dat de verplaatsing van het vloei-stofoppervlak onafhankelijk is van de richting van .'p! ten opzichte van dit oppervlak. Bij de proeven met paramag-netische vloeistoffen was y-,j en werd dus S] j dc

vloeistof steeg dus in het been tusschen de magneetpolen hooger dan in het andere.

72

Plaatsen we eone vloeistofmassa in een magnetisch veld op de wijze als bij de bekende proeven van Plückek, dan kunnen we uit de vergelijkingen van Lagrange den vorm van het oppervlak afleiden.

Nemen wij de ^-as vertikaal naar beueden en geven de doelen van het vloeistofoppervlak virtueele verplaatsingen § z, dan moeten deze voldoen aan de voorwaarde:

I ^ z d x d n = 0,

welke integraal over do horizontale projectie van het oppervlak moet worden genomen.

Op gelijke wijze als in het vorige geval vinden wij voor de evenwichtsvoorwaarde:

In verband met de vorige formule volgt hieruit:

(ltquot;j — y-r) $)- ----- constant,

dus:

(,% — pc„) ,^IÓ²

C

zoodat dus do vloeistof zich ophoopt waar het grootst is, als [t.,j — [j._c negatief is, en omgekeerd, als posi/irfis,

zal ze zich ophoopen.'waar £ hot kleinst is.

73

Dc vloeistof staat nl. het hoogst, waar s de grootste myn-tieve waarde heeft.

quot;VVjj zien, dat de formule (a), die wij voor de prooven van Quincke hebben afgeleid, in (/j) is begrepen. In den grond der zaak is het ook dezelfde quaestie.

üe in dit en het vorige hoofdstuk bedoelde proeven van Plücker vindt men in l'oc/g. Aim., Bd. 72, 73, 74, 75, 70, 77, 82, 83, 84, 86, 91, 110.

HOOFDSTUK IV.

Deformatie van magnetiscli iuduceerbare liclianien in een magnetisch veld.

(Kirchhoff, Wied. Ann., Bd. XXIV, pag. 52).

Dc deformaties van magnetisch induceerbare lichamen in een magnetisch veld werden door Kirchhoff bepaald; en het bleek hem dat zij kunnen worden opgevat als voort te vloeien uit hypothetische drukkingen, die in die lichamen bestaan, wanneer ze zich in zoo n veld bevinden. Men kan zich dit voorstellen als eene werking van het medium, dat de drager der elektrokinetische energie is, op de ponderabele stof.

Langs den tot nu toe gevolgden weg willen wij thans ook deze deformaties en de grootte der hypothetische drukkingen afleiden.

Daartoe bepalen wij dc toename der energie T, die het

75

gevolg is van zeor kleine verplaatsingen der deeltjes uit den oorspronkelijken stand. Hieruit worden do krachten afgeleid, die op de deeltjes werken en deze vervolgens teruggebracht tot spanningen en drukkingen.

Noemen wij de te beschouwen stof gemakshalve ijzer en nemen aan, dat dit vóór de deformatie isotrnop is, dan gelden in een punt (r, y, z) de betrekkingen:

a = {Ji 6 = |CC /3, c = jM. 7,

als /-6 de permeabiliteit voorstelt.

Na de deformatie zal het ijzer ani*otroo[gt; zijn geworden, zooals wij althans in het algemeen moeten aannemen.

Stel dan:

(i = 11 si -|— [J. j n /3 -j- [y, y,

Jgt; - ^t/,2\ ^ y-ii P quot;f^- 7i c = filt;_t] x ,'-4.₃₂ /3 -f- 7,

waarin de ^'s physische constanten voorstellen, die door de deformatie en den aard der stof worden bepaald.

Tevens is ----- ,ci,₂₁, ft_l;j = ^₃₁, = ,w₃₃, zooals reeds in het vorige hoofdstuk is opgemerkt. Deze 6 grootheden zijn, evenals i-t,,,—,a₂₂ — y, en — y, als zeer klein ten opzichte van y tc beschouwen, daar ze afhankelijk zijn van de zeer kleine deformaties en met deze verdwijnen.

Wij zullen deze grootheden uitdrukken in die, welke de deformatie bepalen.

76

Dciarcoe beginnen wij met de beschouwing van oen ge-deformeerd volume-clement.

Wij veronderstellen, dat de 3 richtingen, waarin de magnetische inductie en de magnetische kracht met elkander samenvallen, dezelfde zijn als die der drie hoofddilataties, dit moeten wij, bij eeuo aanvankelijk isotropo stof, om redenen van symmetrie, aannemen. Noemen wij de hoofddilataties, die wij zeer klein veronderstellen, a,, a₃ en ; nemen wij eene magnetische kracht in de richting van en veronderstellen, dat de inductie een zekeren hoek 0 met de magnetische kracht maakte, dan zou om redenen van symmetrie, een zelfde inductie moeten optreden symmetrisch met de vorige ten opzichte der richting van Ai gelegen. Wegens deze absurditeit zullen wij moeten aannemen, dat de inductie met do richting van a, samenvalt; dat dus aj on evenzoo a₂ en a.j do richtingen zjjn, waarin de inductie en de magnetische kracht met elkander samenvallen.

Do onderstelling ligt verder voor de hand dat, bij zeer kleine waardon van Aj, A^, A₃, de ponneabiliteiton van hot gedeformeerde volume-element Uniaire functiën dier dilataties zijn. Daar vorder, wegens de isotropic, de permeabiliteit in de richting van Aj op dezelfde wijze van a₂ en Ag moet afhangen, kunnen wij voor die permeabiliteit schrijven ■, (/. A, -|- y, (Ao A_s) of : /«■ !/,' (A, A₂ Ag) [/.quot; A _l, waarin en eindige physische constanten zjjn, die van den aard der stof afhangen. Soortgelijke waarden vinden w j

77

voor fie permeabiliteiten in do richtingen van /.₂ en

Nemen wij nu de coördinaten-assen evenwijdig aan de richtingen der hoofddilataties, voorzien de grootheden met betrekking tot dit stelsel genomen, vau den index s en noemen de coördinaten .s,, s₂ en 5₃, dan worden de formules voor de componenten der inductie;

Thans transformeeren wij deze formules op willekeurige coördinaten-assen (,*■, y, j-) ; /,, w,, gt;i|, zullen de richtingscosinussen van de as van s, met betrekking tot de assen van x, 1/ cn z voorstellen, /3, m,, n₃, /_s, ?/(„, n_x hebben eene analoge beteekenis.

Op bekende wijze worden dan de volgende formules afgeleid, waarin u, v en w de componenten der verplaatsing van een ijzerdeeltje voorstellen en de grootheden zonder indices op het nieuwe coördinatenstelsel betrekking hebben: ci_s = ^ ^ _j- m_] 3 -j-n^ \ a — ?, a, -|- h b_s -[- ^ c, \

/3,, Lx m₂ (3 -j- «j 7, (II). h — m, n, 4. m₃ b_s 4- m* c,. (II F).

/.-■quot; ^ '3 ^ ⁿh /3 «3 r

? t--/, —I— /o —|— /g ? - l ^ / ■ I -S' J —j— /0 Ao ^2 —j— /g Ag ,So

w = Wj 4quot; »'2 4quot; ^mS ^W' — ^nlI '■! •^Sl ^m2 ■'•2 ^S2 'quot;3 ^3 ^SS ir — 11, U_s 4- «₃ Wj 4- W, = M) A, S, 4 ⁿ2 ^2 ^S2 ^W3 ^3 ^SS daar men mag stellen 11 - gt;._x s, euz.

78

Verder is:

du du ds_l dn ds₂ du ds^ dx fZs, d x d s„ dx r?s_:i d x

l\-\ -h '2quot; ^2 'squot; ^3 5

ds

en /, enz.;

dx

evenzoo:

Itt 1 quot; Aj —j— 7}ln~ Ao —]— ///ii'~ A.1 j

«.J² A, W-2^{2 A}2 4- »₃^S A_s .

Op gelijke wijze vindt men: 1

)W.J W, A, -)- ⁿ2 ^2 quot;l- ««s M_s A₃

«1 A, lln /3 A2 -|- M₃ Z₃ A₃

(rT^ !/ ;■) ' ^,M| 'quot;² ^² ^ ^,quot;^{3 A3}

Krachtens (I) en (III) is nu:

^a ~ [ A⁴ quot;fquot; '^J- Pm —|— '-i -)- ^3) -|- !^J' Aj j -|- '2 I l^J' !*' (^1 ^2 -f- •'-:;) A; j /3, -jquot; '3 [ ^ V- (^1 '-i As) i'-iquot; A₃ j 7.,.

Dit moet nu, wanneer we met bcliulp van (II) , /3, en p, in /3, y uitdrukken, overgaan in:

79

(VI).

a = « /7._]2 (3 /04₎₃ r ;

h — ^21 ^ H— ^2.quot; @ quot;l^- /quot;^23 z''

C = iJ! -f- ^32 /3 i«S3 7 )

Door (lczo voorwaavden worden de coëfficiënten _lu_u , /ci₁₂, enz. bepaald. Met inachtneming van (IV) en (V) vindt men:

Wij zullen onder u, v, iv oneindig kleine, hetzij werhelijlce of virlueele, verplaatsingen der ijzerdeeltjes verstaan en willen vooreerst met elkaar vergelijken — I ¥gt; V d ~i zooals

8 77

deze waarde is, indien (wat men zich denken kan) bij constante stroomen de ijzerdeeltjes op de oorspronkelijke plaatsen blijven en het ijzer dus isotroop blijft, met de waarde van ^ J' 33 JÓ d r na de verplaatsingen u, v, tv. Wij noe

men het verschil S

8 - '

80

ITiorbij kunnen wij nu eeno scherpe afscheiding van ijzer en aether aannemen en dan handelen als vroeger (pag. 39 enz.)-Ter vereenvoudiging van do berekeningen kan men echter een kunstgreep van Kirchhoff bezigen, bestaande in de onderstelling dat het ijzer geleidelijk in aether overgaat, dus geleidelijk 1 en //' en y.' 0 worden.

Het oppervlak, waar de grootheden deze waarden verkrijgen, zullen wij het grensvlak noemen. De laag, waarin de overgang plaats grijpt en die wij grenslaag zullen noemen, kan men oneindig dun veronderstellen en zoo tot de wei-

kelijkheid komen.

Verstaan wij onder ? 33 en S de variaties van 35 en S? in een vast punt der ruimte, dan is;

§ (35 £) = 33 S Ö S 33 . . . (VII).

Ter berekening van § 33 merken wij op, dat voor de verplaatsingen :

. . (VIII).

Na tie verplaatsingen worden de componenten van 33:

(IX).

81

Door a, is hier aangeduid, dat, afgezien van het aniso-troop worden, de in een bepaald punt der ruimte anders wordt daar, tengevolge der verplaatsingen, eene andere stof' in dat punt komt;. Wegens dezo omstandigheid (die zich alleen in de grenslaag voordoet) moet men schrijven:

fdp dft d !/,\ = ^ — u — 4- v w 1,

\ cl x d y d s /

daar zich in het punt (V, y, s) na de verplaatsing het ijzer-deeltje bevindt, dat vóór de verplaatsing de coördinaten x — «, y — s — w had. Bovendien zijn «, /3, y niet gebleven, wat zij eerst waren en heeft men dan te stellen;

oi_l = a -j- S cd, /Sj = /3 -j- § /3, = ^ _|- § y.

Het verdient nog opmerking dat men, wat de coëfficiënten en [jJ' betreft, geen rekening behoeft te houden mot de omstandigheid dat in een vast punt der ruimte door de verplaatsing eene stof met andere eigenschappen gekomen is; immers, [jJ en (j.quot; zijn reeds met grootheden vermenigvuldigd, die van dezelfde orde zijn als v en w.

Substitueert men de gevonden waarden in (IX) en trekt er de oorspronkelijke waarde van a af, dan komt er, met verwaar-loozing van grootheden van de tweede orde:

6

82

Eveneens S h en S c.

Voor bet scala ire prodnkt § 35 van (VII) vindt men nn:

/ cl ÜL , dj [£ , d ft \ \ v i \ 1 c - - (u _ ^ « .,« A

^^Cr, ^)

Voogt men hierbij:

35 3^ = ^ («§« /35/3 7^7),

dan wordt (VU) '•

,, fd w d v\ ^ f d w\

—J/3 (/VA ,a'_;/J-/

Klaarblijkelijk hebben wij hier alleen over de door het ijzer ingenomen ruimte te integreereu.

De laatste der integralen gaat door partieele integratie over in een oppervlakte-integraal die nul is, daar en y,quot; aan het oppervlak nul zijn, en in de ruimte-integraal:

i'

84

Wij kunnen de voor d, f 35 £ d t gevonden waarde schrijven in den vorm:

( (A 4quot; 15¹⁷ quot;H ^ u') d t,

wanneer wij stellen:

1 d (W „ o

A = ———(«- p- r ) -

8 57 d x

Thans, nu de waarde der kinetische energie onderzocht is, kan men de bewegingsvergelijkingen van Laörange gebruiken om de deformaties te bepalen, die het ijzer in wei-

kelijkheid ondergaat.

Stellen wij ons te dien einde voor, dat een stuk ijzer in een constant magnetisch veld geplaatst is (teweeggebracht door standvastige elektrische stroomen) en dat er een stationaire toestand ontstaan is, waarin zekere verplaatsingen n, w, tv bestaan. De uitwendige krachten, die in dezen toestand

85

werken (en als zoodanig zjjn thans de elastische krachten te beschouwen) moeten dan bij eene oneindig kleine vir-tueele verplaatsing een arbeid verrichten, die gelijk is aan — § ï (pag. 8).

De oneindig kleine virtueele verplaatsingen kunnen wij bepalen door de veranderingen §5 w die de reeds bestaande /■, rv ondergaan. Uit de stelling, dat de energie

! (A « -j- B r 4- C gt;r) lt;1 t

meer bedraagt dan wanneer de deeltjes van het ijzer zich niet verplaatst hadden, volgt:

— § T — _ /' (A § h-f B 3 y C § iv) d r.

Dit moet de arbeid der uitwendige krachten zijn.

Door nu van het op pag. 4—8 omtrent de kracht van het stelsel meegedeelde gebruik te maken, kunnen wij ook zeggen, dat

/ (A § n B S ?; C § w) cl r

de arbeid is van de krachten die het systeem, d. i. de drager der elektrokinetische energie in het elektromagnetisch veld, op het ijzer uitoefent en die met de elastische krachten evenwicht moeten maken.

Wij zullen nu een systeem van krachten zoeken, dat dien

86

arbeid levert en gemakshalve zeggen, dat deze iti liet magnetisch veld in het ijzer worden opgewekt.

Hoe dat stelsel moet zijn, weten wij reeds ten deele. Immers, wij weten reeds, welke spanningen de omringende aether uitoefent (pag. 47) en hebben nu nog verder krachten aan te wijzen, die met de spanningen in den aether te zamen den bovengeuoemden arbeid verrichten.

Wij stellen nu vooreerst dat op een volume-element de krachten A d r, E lt;1 t, Q d r werken en beproeven of men deze uit inwendige drukkingen kan afleiden. Noemen wij van vlakte-elementen loodrecht op de agt;, y- en .j-as de drukcomponenten per eenheid van oppervlak resp. A_r, li,., Cj.; A„, B,,, C„; A_;, B., C., dan moet, wanneer deze drukkingen werkelijk de krachten A d t, B d t, Cc/t zullen opleveren

zijn; het is dus de vraag, of men voor A_r) enz. zoodanige waarden kan aangeven dat aan deze vergelijkingen voldaan wordt. Inderdaad is dit mogelijk en zelfs op meer dan ééne wijze. Men kan nl. stellen;

87

A.C = g - ( — 2 ,C4 -j- .Z- -|- g _ (,C4 -)- ,'-4 ) (^² p^J -{- 7²) Pj-x

B,, = ¹ (- 2 ,« .cquot;) /3- ^ (^² /3^a 7³) P.y

O 77 O 77

^C-- = ₀- (-2 y. y') 7-³ i (y y-') (^² 7³)

ö 77 O 77

(XIII).

( —2 ,'-4 yquot;) /3 7 P-i

C.,- = At = — {— 2 y -|- .tiquot;) 7 ^ -j- P.,-j ■S -

- 2 -j- y,'' J Jd p -j- Py,

waarbij de grootheden P moeten voldoen aan de betrekkingen ; 'I P.r,- (l P '.r -/ P., ,

0 enz.,

(? J

maar overigens onbepaald blijven. De overige termen in (XIII) voldoen nl. reeds aan de vergelijkingen van A, B, C.

_T lui- ^ A.r (I Ay d Az Immers door berekening van — — ----

d x d y d z

vinden wij de gegeven waarde van A, daar

d {fi x'²) d' ,c4 x 0) d {ft x y)-] 1 ^ c?(«²-l-/3²-j-7²) dx di/ d z J 8 tt ' d x

d {(/. x] d {,u, j3) d {,u. y) d x d y dz

1 d x 1 f d x d (3 d -/\

r— ,lt;*7 .--, 'gt;'V ) =

4 ff ^ s 4 - \ d .v d x d xj

88

en

lt;1 x (I ft d x (I y_ ^

d y d x d z d x

De vergelijkingen (XIII) geven dus werkelijk de druh-Icingen die men in het ijzer kan aannemen ter verklaring der krachten, die op een volume-element van het ijzer in het magnetisch veld worden uitgeoefend.

Deze waarden gaan nu voor /z. = 1, ,a' — [/.quot; = 0, dus aan het grensvlak, over in de spanningen (met het tegengestelde teeken) die wij op pag. 47 in den aether hebbec gevonden, mits wij de grootheden P O nemen.

Aan het oppervlak vinden wij bijv.:

Deze drukkingen komen echter, voor P.™- = Pr// = enz. = 0 op hetzelfde neer als de spanningen op pag. 47.

Het stelsel (XIII), met weglating van de grootheden P,

80

vormt dus met de vroeger gevonden spanningen in den aether een systeem van krachten, die de verschijnseien van het ijzer in het magnetisch veld kunnen verklaren.

Door de a-as evenwijdig aan de magnetische kracht te nemen wordt:

2 //■quot;) .'p'³ {;/. [/-') , gquot; '

— {[* yJ) Sgt;² , 15, = c_(/ = As a Ay = 15., - 0,

zoodat wij de gevonden drukkingen kunnen beschouwen als te bestaan in een normale drukking

₈ _ p') z³' y²)

per eenheid van oppervlak, die op vlakte-elementen van elke richting gelijkelijk werkt, en eene spanning

langs do krachtlijnen.

Voegen wij hierbij do elasticiteitskrachten, die worden afgeleid uit drukkingen met de componenten (Kibchhoff) ;

90

^x—^2K(Ë ^ai) ^Y' = -^2K(^ ^ei

r, (dlV . \

^z-- = -^2K U-j ^e-ⁱ;

Y^Z^-K^ fquot; VfZ 0 dy

iv du d x d z

v v rr f^{d 11} i ^

Xy = = — Iv — —

y d ^x

d ii , rf w . _Tr , , ,. ,,

waanu A--1- en Iv cn B de lilasticitcuswii-

d x d y d z

atanten zijn, dan worden de evenwichtsvoorwaardon voor punten in liet ijzer, als wij eventueele uitwendige krachten door X, Y en Z voorstellen:

-yr _ d (A.,- X.) d (Ay Xy) (A; -j- X;)

r/.'- ' lt;/ƒ/ d^..... '

Y — ^^l ^ ^ ^ i ^ ^ ^

dr ^ -• ^ '

d y

_ ^JCx 4- Z,_r) d (C„ Zy) rZ (Cs z_g) da; d y (Z a

Stellen X, Y en Z de coniponenten van andere uitwendige drukkingen op het oppervlak voor, dan blijven voor punten aldaar de gewone evenwichtsvoorwaarden gelden:

X,, = X, Y„=Y, Z,, Z.

STELLINGEN.

i.

Terecht zegt Mach [Die Mechanik in Hirer Entiv. hist-krit. clargestellt, pag. 438); «Die LagranyescJie Mechanik ist eine grossartige Leistung in Bezug auf die Oekonomie des Denk ens.quot;

II.

De studie van het meclianisch model van Boltzmann (Vor-lesungen über Maxwell's Theorie der Electricitat mul des Lichtes I) is aan te bevelen aan hen, die zich met de theorie van Maxwell vertrouwd wenschen te maken.

III.

//This view which regards all potential energy as really kinetic has the advantage of keeping before us the idea that it is one of the objects of Physical science to explain natural

plienomena by means of the properties of matter in motion. When we have clone this we have got a complete physical explanation of any phenomenon and any further explanation must be rather metaphysical than physical. It is not so however when we explain the phenomenon as due to changes in the potential energy of the system ; for potential energy cannot be said, in the strict sense of the therm, to explain anything. It does little more than emhody the results of experiments in a form suitable for mathematical investigations?'

(J. J. Thomson. Applications of Dynamics to Physics and Chemistry, pag. 15.)

IV.

De argumenten van Dr. Biiesteii voor zijne theorie van de zon zijn niet afdoende.

V.

De verplaatsing der Fraunhofersche strepen kan niet uit de theorie van Brester worden verklaard.

VI.

De definitie van een integraal als som van een oneindig groot aantal oneindig kleine grootheden is te verkiezen boven die van het omgekeerde van een ditferentiaalquotient.

VII.

De studie van liet Riemannschie vlak is zeer bevorderlijk voorde kennis van den aard van vele belangrijke functies

VIII.

Het populariseeren der weteuschap is in liet belang der wetenschap.

IX.

Het bewijs voor de bekende stelling omtrent de minimum deviatielioek der lichtstralen bij den gang door een prisma, dat men vindt in : Lom me l . LeJirbuch der Experimentulphysik pag. 506 , is te verkiezen boven dat in : Wült/meu , LehrhucJi der ExperimmtalpJujsik II 1883 , pag. 93.

X.

Bij het begin der bol-driehoeksmeting dient vooraf de stelling , dat een rechthoekige boldriehoek met beide rechthoekszijden kleiner dan 90° , ook de schuine zijde kleiner dan 90° heeft, meetkundig te worden bewezen. In: J. Versluijs, Bol-driehoeksmeting met vraagstukken, 1890, pp. 3 en 8, wordt eerst de formule cos. c — cos. a cos. b algemeen bewezen en daarbij stilzwijgend van bovengenoemde stelling gebruik gemaakt, terwijl later deze formule dient als bewijs voor de bedoelde stelling. Dit is onlogisch.

XI.

Bij liet elementaire onderwijs in de wiskunde moet veel tijd worden besteed aan de leer der evenredigheden en hare eigenschappen moeten zooveel mogelijk worden toegepast.

Bewijzen als op pag. 139 van het Handhoek der olakke driehoeksmeting van J Versluijs dienen in bovenbedoelden zin gewijzigd te worden

XII.

Het gezicht is niet voldoende om onze kennis van de ruimte van drie afmetingen te verklaren.

XIII.

De hypothese van Rieul is in staat onze ruimtevoorstelling te verklaren. (Vergelijk: Dr. G. Heymans , Die Gesetze und Elements d'is wissensehaftliehen DhiJcjis , 1 pag. 235 enz).

XIV.

Het causale denken kan door de hypothese van Hamilton

worden verklaard.

(Vergelijk: Dr. G. Heymans , ibid. II, pag. 373 enz).

XV.

Voor de toelating tot Gymnasium en Hoogere Burgerschool behoort een minimum leeftijd van 13 jaar te worden vastgesteld.

XVI.

Onder de eisclien van het toelatingsexamen tot de academie voor de Wis- en Natuurkundige faculteit behooren de kennis-van de beginselen der Natuur- en Scheikunde te worden opgenomen.

H. VAN DEE KAMP.

PONDEROMOTORISCHE KRACHTEN

IN 11 KT

ELEKTROMAGNETISCH VELD.

V E R 13 E T E RIN G.

Klaarblijkelijk is op pag. 55 uit de formules (3) de factor x foutievelijk weggelaten.

Zij moeten dus zijn:

-r- x, y.,,

A = euz.

1 /- K,

Dientengevolge wordt op pag. 57 regel 6 v. o. veranderd in:

K (1 - „) (*.« j^ r^-) v e--

De koppels op pag. 58 worden:

Z /Sj 7„ {--- --TT V ^eriz-

VI 4quot; Bo 1 ^ O,,/

en die op pag. 60:

— 2 /.³ ^ v 2 tt /.² (3., v

---gh------•

1 1

Hieruit blijkt, dat de koppels evenredig zijn met x², zoodat er geen verschil bestaat tusschen het gedrag van diamagnetische en dat van parainagnetisclie ellipsoïden in een homogeen magnetisch veld geplaatst.

Daar bij de bekende diamagnetische lichamen z echter zeer klein is, zal men in de meeste gevallen (jeen koppel waarnemen.

De laatste drie regels van pag. 60 kunnen vervallen.