(?1. /%.x:

Straal bu igi ngs-coëffieiënten

Astronomische Straal bu igi ng

l)( )Ull

W. CORNELIS

Luit. letquot; zee l^ü klasse

•s CRAVKXHAGK W. I'. VA.\ S'lquot;()( KI M \ ZOOX 1S97

BIBLIOTHEEK DER ! i R üKSU • 4iVERCiTEiquot;

i ! T o ir r- lj t

Straalbuigings-eoëffleiënten

EX

Astronomische Straalbuiging

DOOR

W. CORNELTS

Luit. Ier zee l^e klasse

•S GRAVENHAGE

W. P. VAN STOCKUM amp; ZOON 1S97

BIBLIOTHEEK DER RIJ KSU N i V E R 3! T E i T

U T R E '' !■! T.

Op het hoogste punt van een eilandje, omstreeks 159.43 M. — n.1. R

--— boveu het oppervlak der zee, wordt voor de schijnbare

40000 ¹¹ ' ^J

hoogte van een ster gevonden 0° 22' 34quot;.91. De verlengde lichtstraal zal dan, de kimduiking voor die hoogte van liet oog juist 0° 22'34quot;.91 bedragende, de kim raken, en wel op eeu afstand van 26'10quot;; m.a. w., op een afstand van 26'10quot; van den waarnemer en in tegengestelde richting van de ster zal de schijnbare hoogte op hetzelfde oogenblik 0° 0' 0quot; zijn.

Ziju verder barometer- en thermometerstanden gelijk aan de in BesseFs straalbuigingstafel als normaal aangenomene, dan vindt men voor de ware hoogte bij den waarnemer

0° 22' 34quot;.91 — 0° 30' 23quot;.3 = — 0° 7' 48quot;.39 en aan de kim

0° 0' 0quot; - 0° 34' 54quot;.1 = — 0° 34' 54quot;.1.

Het verschil in ware hoogte bedraagt alzoo 0° 27'5quot;.71, Inezeer overeenkomstig den afstand der twee punten het verschil in ware hoogte bijna een minuut kleiner moest /cijn.

Zuiver te werk gaande, moet ook nog in rekening worden gebracht het verschil in dichtheid der lucht op liet oppervlak der zee en bij den waarnemer. Onder normale omstandigheden zal de dichtheid bij toenemeude hoogte afnemen. Is dan de dichtheid aan de kim de normale, dan is die bij den waarnemer dus kleiner, zoodat we ook bij den waarnemer een kleinere waarde zouden moeten aannemen dan Behskl's tafel voor de middelbare straal-

4

buiging aangeeft. Dit maakt het kwaad evenwel nog erger, want een kleinere waarde doet de ware hoogte grooter worden, waardoor het verschil in ware hoogte nog meer te groot zou worden gevonden. Het kwaad wordt dus verergerd in plaats van weggenomen.

Uit het gekozen voorbeeld blijkt, dat er geen overeenstemming bestaat tusschen den straalbuigingscoëfficiënt, gebezigd bij de berekening van kimduiking en afstand tot de kim, en de tafel voor de middelbare straalbuiging van Bessel. De volgende bladzijden zullen een poging bevatten om daarin tot overeenstemming te geraken.

De oorzaak van de gevonden ongerijmdheid kan worden gezocht:

1quot;. In onnauwkeurigheden in de tafel van Bessel voor de middelbare straalbuiging;

2°. lu onnauwkeurigheid van de gebruikte waarde van den straalbuigingscoëfficiënt bij de berekening van kimduiking en afstand tot de kim;

3quot;. In mogelijke onjuistheid van de boven stilzwijgend aangenomen stelling, dat de astronomische straalbuiging bij gelijken topsafstand en gelijke dichtheid der lucht voor alle punten gelijk is.

Laten we beginnen met een poging om de oorzaak in slechts één dezer drie punten te zoeken.

Iquot;. Hoewel het mogelijk is aan de middelbare straalbuiging zoodanige waarden toe te kennen, dat ongerijmdheden als in het gekozen en in andere voorbeelden niet meer voorkomen , zoo stuiten we daarbij op het bezwaar, dat we genoodzaakt worden in de tafel van Bessel fouten aan te nemen, die de middelbare fouten van zijne waarnemingen verre overtreffen. *) Doordat we ons bij de tafels van alle waarnemers tot de aanneming van overeenkomstig groote fouten zouden zien genoodzaakt, is het vertrouwen in de deugdelijkheid der gedane waarnemingen reeds reden genoeg om niet uitsluitend in deze richting genezing te willen zoeken.

^,) De waarden, die men zou moeten aannemen, komen voor op hladz. 16 in de kolom voor K = 0.137.

2quot;. lu liet gekozen voorbeeld is voor de waarde van den straal-buigingscoëfficiënt de BEssEL'sche waarde gekozeu , nl. Ü.137. Hoezeer die coëfficiënt veranderlijk genoeg is, om het aannemen van een daarvan afwijkende waarde geoorloofd te maken , zoo zouden we ons genoodzaakt zieu, die waarde tot ruim 0.18 ¹) op te voeren om in het gekozeu voorbeeld tot overeenstemming te geraken , maar wederom komen we dan in strijd met de vele waarnemingen , waarin we fouten zouden moeten aannemen, aanmerkelijk grooter dan de middelbare.

Wel vermelden Bussel t) en van Kerkwijk §), dat in Engeland de waarde 0.20 gebruikelijk is, maar blijkbaar is men sedert dien daarvan teruggekomen; de werken van Wharton, Laughton en Clarke toch geven waarden, welke weinig of niet van de BEssEL'sche verschillen.

3^U. Ware de dichtheid van de lucht overal dezelfde, dan zoude, evenals bij een lens de invallende stralen sterker worden gebroken, naarmate ze verder van de as invallen, bij gelijken waren en dus ook bij gelijken schijnbaren topsafstand de straalbreking moeten toenemen naarmate de afstand van het middelpunt der aarde en dus de hoogte van het oog toeneemt. Neemt men aan, dat de straalbuiging evenredig is aan de dichtheid, en dat deze afneemt bij toenemende hoogte, dan is het maar de vraag, welke invloed bij stijging het sterkst werkt nl. toeneming der straalbuiging, doordat we meer met raudstralen te doen krijgen, of afneming daarvan door afneming dei dichtheid.

Hoezeer algemeen aangenomen wordt, dat de laatste invloed overwegend groot is, zoo blijft niettemin de andere invloed bestaan, en dus ook de mogelijkheid, dat deze, althans bij niet al te groote hoogten van het oog, overwegend is. Het is daarom ook niet overbodig, na te gaan in hoeverre hierin de oorzaak van het gemis aan overeenstemming tusschen straalbuigingscoëfficiënten en astronomische straalbuiging kan gelegen zijn.

Nemen we alzoo aan , dat zoowel straalbuigingstafel als-coëfficiënt

¹

Bij kleinere topsafetanden zelfs tot ().2o, zie bladz. 12.

f) Gradmessung in Ost-Preussen, bladz. 197.

§) Geodesie, óquot; druk, bladz. 411.

6

juist zijn, dan moeten we in liet gekozen voorbeeld aannemen, dat de ware hoogte aan de kim — 0° 34'ölquot;.! en die bij den waarnemer 26' 10quot; grooter, dus — 0° 8' 44quot;.1 bedraagt. De schijnbare hoogte 0° 22'34quot;.91 bedragende, zoude men voor de straal-buiging 0° 31' 19quot;.01 moeten aannemen, zoodat in weerwil van liet afnemen der dichtheid van de lucht de straalbuiging 55quot;.7 grooter zoude zijn op 159.43 M. boven zee dan aan de oppervlakte daarvan.

Op elke willekeurige hoogte boven zee kunnen we op overeenkomstige wijze de straalbuiging berekenen voor topsafstanden gelijk aan en kleiner dan het complement van de kimduiking, door nl. den lichtstraal te verlengen tot die het oppervlak der aarde snijdt. Berekent men dan den afstand in boog en daaruit de kromming van den lichtstraal tusschen het oog en dat snijpunt, dan vindt men eerst den schijnbaren topsafstaud op dat punt, daarna door toepassing van de middelbare straalbuiging bij dien topsafstand en den afstand in boog van snijpunt tot waarnemer den waren topsafstand bij deu waarnemer. Het verschil van schijnbaren en waren topsafstand bij den waarnemer geeft eindelijk de waarde voor de middelbare straalbuiging behooreude bij den schijnbaren topsafstaud eu de hoogte boven zee waarvan men is nitgegaan.

Op deze wijze te werk gaande, wordt de volgende tafel gevonden.

8

In de voorlaatste kolom zijn de straalbuigiugen gegeven be-hooreude bij die topsafstanden, waarbij de verlengde lichtstraal de kira juist raakt; die topsafstanden zelf zijn in de laatste kolom gegeven. Verder is bij de berekening 6377390 M. aangenomen voor de lengte van den kromtestraal; heeft deze een andere waarde, dan geldt bovenstaande tafel eveneens, waarbij alleen de waarden van de eerste kolom een kleine wijziging zoudeu moeten ondergaan.

Hoewel mogelijk op het eerste gezicht in die tafel geen ongerijmdheid valt op te merken, wordt het anders, wanneer de verschillen in straalbuiging bij opeenvolgende topsafstanden worden nagegaan. Die veranderingen hebben steeds vrij regelmatig plaats zoolang de topsafstanden noemenswaard kleiner zijn dan het complement van de waarde der kimdniking. Zoodra men evenwel die waarde nabij komt, neemt de straalbniging buitengewoon snel toe. Zoo neemt op 2500 M. hoogte de waarde van de straalbuiging nog sneller toe dan de topsafstand, wanneer deze grooter dan 88° 30' wordt; hetzelfde is het geval bij een hoogte van 2000 M. en 88° 40' topsafstand en bij 500 M. en 89° 20' topsafstand. Hetzelfde verschijnsel zoude zich bij iedere hoogte hebben voorgedaan, indien de straalbuiging berekend ware voor een topsafstand onbeduidend kleiner dan het complement van de waarde der kimdniking.

Een zoodanig sterke toeneming der straalbuiging is met geen der bestaande hypothesen omtrent den physischen toestand van den dampkring in overeenstemming te brengen, waarom het bovenstaande reeds voldoenden grond oplevert om althans niet uitsluitend in de veranderlijkheid van de waarden voor de middelbare straalbuiging met de hoogte van het oog boven zee, een middel te zoeken tot bereiking van overeenstemming.

Ons genoodzaakt ziende, de bestaande ongerijmdheid aan meer dan één oorzaak toe te schrijven, zullen we eerst onderzoeken of het mogelijk is, die ongerijmdheid weg te nemen door het aanbrengen van zoodanige correctiën aan straalbuigingstafels en -coëfficiënten beide, zóó, dat de verrichte waarnemingen niet te veel geweld behoeft aangedaan te worden. Zoo mogelijk moeten

9

we tlau liet tliaus nog algemeen aangenomen standpunt blijven vasthouden, dat de straalbuigiug onafhankelijk is van de hoogte van het oog boven zee. *) Eenvoudigheidshalve kunnen we nog als algetneenen regel aannemen, dat barometer- en thermomater-standen aan de oppervlakte overeenkomen met die in Bessiil's tafel voor de middelbare straalbuiging.

Ten einde nu te onderzoeken voor welke waarden voor den straalbuigingcoëffieiënt k (de verhouding van aardstraal tot den kromtestraal van den lichtstraal) en de middelbare straalbuigiug bij verschillende topsafstanden een gewenschte overeenstemming is te verkrijgen, zullen we het vraagstuk op de volgende algemeene wijze nagaan.

Zij in de figuur A de plaats van een waarnemer, die zich ter hoogte van het oppervlak der zee bevindt, welke waarnemer een ster S, die een schijnbaren topsafstand B A S = Z heeft, in de richting A S ziet.

Bij een oneindig kleine stijging, van A tot B, mogen we de verandering in dichtheid evenredig stellen aan de verandering in hoogte, dus wordt

A r X d 7quot; C d p = a X ^ b,

waarin p de dichtheid, d h het hoogteverschil A B en a een constante factor voorstelt. Neemt men verder aan , zooals nog algemeen gebruikelijk is, dat de straalbuiging evenredig met de dichtheid is, dan is

tïi=ii„tdR R Q

waarin R de straalbuiging voorstelt. Hierin dc gevonden waarde voor dp substitueerende, wordt

dR=^axRXflb

') Von Bauernfkind doet dit niet, maar de veranderingen met de hoogte van het oog zijn bij dezelfde dichtheid zoo onbeduidend, dat er alleen bij zeer groote topsafstanden en zeer groote hoogten van het oog rekening mede behoeft te worden gehouden.

10

1 ii driehoek ABC is A B — A. C cot ABC of d h = r X d 7¹ cot z,

als r deu kromtestraal en d ff den afstand in boog van A tot C voorstelt.

Deze waarde voor d li in die voor d R invoerende, wordt

d E. = —— X R cot z X ^cf

o

Deze waarde stelt nu het verschil in straalbuiging en dus ook het verschil in schijnbaren topsafstand voor in A en B, zoodat we ook hebben

z = z' — —¹ X ^ ^cot ^z d f o

of wanneer we de factor — = p stelleu:

o

z = z' — p 11 cot z d f.

Het verschil iu astronomische straalbuiging in de punten B eu C is gelijk aan de aardsche straalbuiging tusschen die punten = k X 'P *)) waardoor

R' = Rquot; — k X ^ f/¹ Doordat in C de ware topsafstand een bedrag d lt;p grooter is dan die in B, wordt nu

z' = zquot; — d 71 -|- k d (/i = zquot; — (1 — k) d lt;p Deze waarde van z' invoerende in de formule voor z, wordt z = zquot; — p R cot z d 'f — (1 — k) d rp. of zquot; — z = d z = 1 p R cot z (1 — k) { d '/1 Het verschil in straalbuiging in de punten A en C, hetwelk hierna door d R zal worden weergegeven, bedroeg

k d r/ — p R cot z d ff — d R,

zoodat we voor de verandering in straalbuiging bij verandering van topsafstand vinden

dR (k — p R cot z) d lt;■/ k — pRcotz

dz (1^— k-j-pR cot z) d 1/1 1 — k -f- p R cot z

In deze differentiaal-vergelijking komen twee waarden k en p voor, die uit waarnemingen moeten worden afgeleid. Een er van

quot;) Onder aardsche straalbuiging tusschen twee punten wordt hier en latei' verstaan het verschil in richting van de raaklijn aan den lichtstraal in die punten.

11

kiiunen we eliraineeren floor invoering van een iindere. Voor zeer

d R

kleine topsafstanden toch wordt zoowel als K cot z gelijk aan

d z

«, die hier de gewone beteekenis heeft.

Op deze wijze krijgen we dus

k — p X quot; ■.

u =---, waaruit

1 — k -|- p X ^M

Door substitutie in (1) van deze waarde voor p vinden we voor de waarde van k

A-(1 A)X ^

i---ii-fL,

₍i _A)X(i-~^?)

dE

waarin A de waarde voorstelt.

d z

Voor een bepaalde straalbuigiugstafel is a een constante (n.l. bij constante barometer- en thermometerstanden), terwijl zoowel A als R voor verschillende topsafstanden uit de tafel kan worden genomen, zoodat we alle gegevens bezitten ter berekening van k. De onderstaande tafel bevat de resultaten van deze berekening.

13

In deze tafel bevat de eerste kolom de topsafstanden; liet verschil van de bij die topsafstanden belioorende straalbuigingen is gebezigd ter berekening van k, die in de overige kolommen is gegeven. Voorloopig hebben we alleen te maken met de 3'^lc kolom ^ gemerkt B, welke de waarde van k bevat, berekend voor een waarde van « = 57quot;.7987 ¹) = 0.Öü028021fi uit de BEssEi/sche waarden voor de middelbare straalbuiging.

De gemiddelde waarde, die we zoodoende voor k vinden, is ongeveer 0.225, een aanmerkelijk grooter waarde dan bij eenige waterpassing is gevonden.

Verder neemt voor zeer groote topsafstanden die waarde opmerkelijk snel ai', hoewel zij tooh nog grooter blijft dan de meest gebruikelijke waarden. Met het afnemen der waarde voor k voor topsafstanden kleiner clan 75° behoeft daarentegen geen rekening te worden gehouden; zeer kleine fouten in de straalbuiging of in de verandering daarin bij verandering van z hebben een zoo grooten invloed op de waarde van k, dat het onraadzaam is aan die afneming beschouwingen vast te knoopen.

Ten einde te onderzoeken welke waarde voor k moet worden aangenomen om de daarmee samenhangende straalbuigingen zoo weinig mogelijk van de waargenomene te laten afwijken, kunnen we de straalbuiging berekenen , uitgaande van de waarde 0.000280210 voor u en diverse waarden voor k , b.v. 0.23 , 0.225 , 0.22 en 0.137.

De integratie van de differentiaal-vergelijking (1) is alleen dan volkomen te volbrengen, wanneer de noemer gelijk aan de eenheid wordt genomen, hetgeen geoorloofd is, zoolang de topsafstanden niet zeer nabij 90° komen. Daardoor wordt:

d E -f- p Jl cot z d z = k d z.

i ■ tc /1' ^cot ^{z z}gt;

Gebruik makende van den integreerenden Iaetor e-wordt als eerste resultaat gevonden

R X sin'' z = k /quot;sin ^ z d z...................(3)

p p — 1 . p — 2 1 . p — J

Nu is / sm zdz—-/sin zdz— sin zcosz

y p V p

¹

M. Kowalski. Recherches sur la refraction astronomique. p. 84.

14

(p — 1)(p—3) _r . p —4 p —1 . p—3 \ , p —1

= ---— —- %\\\ zd?.-----, ---sm t cos z---sin zcosz

P(P —2) -^/ P(P —2) p

Op deze wijze voortgaande vinden we, indien we p, die een waarde van omstreeks 800 verkrijgt, afronden tot een even geheel getal:

f_sin .....^5gt;lt;3gt;Ci (P-IHP—3).....^5:gt;lt;3^,in_Zco=:

J p(p — 2)(p — 4)... 4X 2 p(p-2)(p-4)...4X2^{X ZC Z}

(p—l)(p—3).....7X5_S/- - , (p —l)(p —3) . p-5

------------X^{Sin ZC0SZ}..........-7\ ⁸¹¹¹ zcosz

p(p —2)(P —4).. .6X4 ......... p(p—2)p —4)'

p — l .p~3 1 . p — \ .

sin z cos z--sin z cos z -)- C.

P (P — 2) p

De hier gevonden waarde invoerende in (3), daarbij den factor

van z buiten haken brengende, wordt

. p k (p—1) (p — 3)......5X3 ( 2 , ,

RXsm ' = -_p-X_(p_₂)(_p_4₎......4 X 2 | ⁷--^SlnzC0SZ- g- sm⁸ z cos z

2X4 . - 2X4Xlt;gt; • , 2X4X6....(P —8)(p—6) . p —5 -sin»zcosz-sin7zcosz......-_3X5_X7...._(p-_7)p-₅) ^{x Sl}quot; ^zcosz

sin ' ' z cos z. -j-C' | (4)

3 X 5 X 7.... (p — 5) (p—3) ' ' 3X5X7....(p-3)(p-1)

Voor '/. = o worden alle termen en dus ook C eu C' = o.

In deze vergelijking de waarde van z, uitgedrukt in den sinus invoerende, nl.:

z. = j |/(1 - sin = z) j j sin z | sin » z sin » z |sin 7. .....j ,

vallen alle in vergelijking (4) tusscheu aecoladen geplaatste termen weg, en blijven de machten van sin z boven p bestaan, zoodat we krijgen :

..... P k _w(p-i)(p-3)....5X3^2X4....(p-2)p . p-H

11 X ^{sln z} — X ;-Hw-/T-o --;-TTT-i—ÏT ^81,1 Z COS 7,4-

^ P (P — 2) (p — 4) .... 4 X 2 ( 3 X 5 .... (p — 1) (p-t- 1)

2x4----p (p 2) . p-f 3 j

3X5....(p l)(p 3) ^{S,n ZC0SZ} .......}' ^Waanquot;^t

R = ^k | sin z cos z -f, ^siquot;^{3 2 c}'^)s « 'r'i^T^tw J M ³ⁱquot;^{5 z cos} '•..........I

p(p l ⁿ (P ^)(P .1) (P 1) (p4-3) (p 5) j

k p .

Doordat X —~—r = « mag genomen worden (zie verg. (2)) . ]) p , 1

kan E nog eenvoudiger worden uitgedrukt in :

R = « sin z cos z j 1 P ±? sin * z ^ J sin • z ^siquot; ** ......I ^

| p 3 ¹ (p 3)(p4-o) (p-{-3) (p-f-o) (p-|- 7) ¹ p

Voor de berekening van de straalbuiging bij niet zeer kleine

topsafstanden is de reeks in vergelijking (5) niet sterk conver-

15

geerend. Voor topsafstanden kleiner dan 75° mogen we de reeks

. 3

p-t-3

waardoor de formule wordt;

« sin z cos z a sin z cos z \ . tg² z I ,_r. -r-s-=-J--=atgz { i - —Tö-i-rrrz }......^(t,)

. p 2 . , , , 1 ■ , ) P 3 -f- tg² z

i— „ sm² z cos'zH--—^sin²/- I

p 3 p 3

Voor topsafsta,nden van 75° tot 82° kunnen we nog de correctie-2 (p -[- 2)

term a X tg ^{5 z} X -toepassen ,die gevonden wordt

(p -|- 3)² (p -f 5)

door (6) van (5) af te trekken. We krijgen dan:

r— i-i ^tg2z i 2(p 2)tg'z j

^g i p 4- 3 lg' z (p -|- 3)² (p 5) | ......

welke formule aan die vau Lambekt ¹) herinnert, en die te gebruiken is voor topsafstanden van 0° tot 82°. Voor grootere topsafstanden mag de noemer van de differentiaal-vergelijking niet meer als constant worden beschouwd.

Doordat voor de berekening der straalbuigingen bij zeer groote topsafstanden geen der bovenstaande formules kunnen worden gebezigd , worden die het best berekend door met formule (6) of (7) de straalbuiging te berekenen voor eeu topsafstand, waarbij nog goede overeenstemming wordt verkregen raet de tafels, hetgeen voor waarden van k van 0.22 tot 0.23 nog tot 75° het geval is. Daarna kan dan met behulp der differentiaal-vergelijking de straalbuiging voor grootere topsafstanden worden gevonden, Welke wijze van werken met vertrouwen kan worden gevolgd, omdat er geen gevaar bestaat, dat daarbij door opeenhooping van Vele kleine foutjes ten slotte een groote fout zou kuunen ontstaan. Heeft men bv. voor een zekeren topsafstand een te groote waarde Voor de straalbuiging aangenomen, dan heeft de foui een zoo-danigen invloed in de differentiaal-vergelijking, dat de verandering in de straalbuiging te klein eu daardoor de straalbuiging bij den grooteren topsafstand minder te groot of zelfs iets te klein wordt gevonden.

o

¹

Les propriétés remarquables de la route de la lumière. 's-Gravcnhage 17;)⁽gt;.

1«

Voor u = 0.00028021 fi geeft formule (2);

voor k = 0.23 p = 819.796 quot; k — 0.225 p = 801.952 quot; k = 0.22 p= 784.109 quot; k = 0.137 p = 487.909 Met deze waarden voor p geeft nu formule (6) bij een tops-afstand van 75°:

voor k = 0.23 R = 212.quot;12 quot; k 0.225 E - 212.04 // k = 0.22 11 = 211.96 '/ k 0.137 R == 209.29 en volgens Bessel E = 212.1 Met deze gegevens is de onderstaande tafel berekend.

17

18

de ongerijmdheid in het in den aanhef genoemde en alle andere overeenkomstige voorbeelden te doen verdwijnen. Eerst voor tops-afstanden boven 88° 30' toch worden de verschillen van eenige beteekenis, terwijl voor die topsafstanden , waar ze eenigszins beduidend worden , aan Bessel slechts enkele waarnemingen ten dienste stonden.

Hoe aantrekkelijk het evenwel ook moge zijn, op die wijze alle oorzaken tot ongerijmdheid weg te nemen, zoo moeten we toch daarvan afzien, omdat het te zeer in strijd met rechtstreeksche waarnemingen zoude zijn, voor k een waarde van 0.23 i\ 0.22 aan te nemen. Wel is waar kunnen we k nog wel kleiner nemen zonder nog tot de aanneming van groote correctiën in de tafel voor de middelbare straalbuiging genoodzaakt te zijn, maar de straalbuigingen voor topsafstanden tusschen 75° en 85°, die zich nog op groote nauwkeurigheid en overeenstemming kunnen beroemen, geven zonder uitzondering de waarde van k tusschen

15)

0.2(5 en 0.22, zoodat we daarvan zonder gegronde redenen niet mogen afstappen.

Uit liet vorenstaande volgt dus, dat liet niet mogelijk is tot overeenstemming te komen door liet aanbrengen van kleine cor-rectiën in straalbuigingstafels en — coëfficiënten, zoodat we genoodzaakt zijn aan te nemen, dat de straalbuiging ook onder geheel normale omstandigheden afhankelijk is, niet alleen van den topsafstand der ster en de dichtheid der lucht, maar evenzeer van de plaats van den waarnemer, en wel in het bizonder van de hoogte boven zee of boven het omringende terrein.

Zoolang niet opzettelijke waarnemingen zijn gedaan, blijft het bezwaarlijk den invloed van de hoogte van het oog met juistheid na te gaan; voorloopig weten we alleen met zekerheid , dat die invloed bestaat, zoodat de hiervoren aangenomen stelling, dat bij stijging de straalbuiging evenredig aan de dichtheid afneemt, moet worden prijsgegeven.

In de volgende regelen zal een poging gewaagd worden om door aanneming van een afwijkende gesteldheid der onderste luchtlagen ten opzichte van de hooger gelegene, tot voldoende overeenstemming te geraken. Doordat de hoofdbedoeling is de richting aan te geven, waarin een oplossing kan worden gezocht, is het van ondergeschikt belang of de aangenomen getalwaarden de juiste zijn.

Waar een ieder met toeneming der hoogte een min of meer

retrelmatiü'e afnemins? der waarde van k zou verwachten , kan het niet

0 0«-'

anders dan verwondering wekken, dat bij de waterpassing van Java geen afneming is kunnen worden opgemerkt zoolang de hoogten 1700 M niet overtreffen, terwijl een betrekkelijk sterke afneming boven die grens is opgemerkt ¹) Een zoodanige afliankelijklieid van de hoogte boven zee is alleen te verklaren uit een betrekkelijk langzame afneming der dichtheid in de onderste, en een betrekkelijk

¹

Uit 115 bepalingen werd voor k een waarde van 0.1374 afgeleid; voor elke 100 M boven de 1700 scheen die waarde met een bedrag van 0.0012 ol' nagenoeg met 1 pCt. van die waarde af te nemen. Zie: „Xotiz über die Triangulation von Java von J. A. C. Oudemansquot;, Auszug aus den Verhandlungen der Con-ferenz der internationalen Erdmessung in Florenz 1891 bladz. 13,

20

snelle afueiuing in tie bovenste lagen van een 1700 M hooge luchtkolom, terwijl mogelijk in de hooger gelegen lageu een meer regelmatige afneming plaats heeft. In overeenstemming daarmede moet op hoogten van omstreeks 1700 M de temperatuurafneming gering zijn in vergelijking met de lager gelegen luchtlagen. Nu heeft een betrekkelijk snelle afneming van temperatuur plaats bij stijgende of dalende luehtstroomingen beneden de hoogte waarop de wolkenvorming of -oplossing plaats heeft, en daar de wolkeu-vorming gewoonlijk op 1400 a 1500 M begint, moet van 0 tot 1Ö00 M een betrekkelijk snelle, daarboven een minder snelle af-neiuiug plaats hebben. In overeenstemming daarmede mag men op hoogten van 1500 a, 1700 M een betrekkelijk groote waarde van k verwachten ten opzichte van de lager gelegen luchtlagen.

Bij sterk stijgende en dalende luehtstroomingen zal, zoolang geen wolkenvorming of -opslorping plaats heeft, de temperatuur voor omstreeks elke honderd meter 1° C dalen, dus is

dh

d t = —- •

100

Stelt b den barometerstand (uitgedrukt in 751.84 m.M. als eenheid) voor, dan is

j ^_ 0.76 X soortelijk gewicht van kwik _N , 273

soortelijk gewicht van lucht bij 0° C en 0.70 M. bar. ^ 273 t ^ ''

= - 0.0001251566 X g—_t X b X dh = - X 1gt; X lt;J 1' («)

Stelt verder p de dichtheid (uitgedrukt in die bij 751.84 m.M. en 9°.3 C als eenheid) voor, dan is

— _ 0.0001251566 X X 'j X ^ h ^bX(lh

273 1 ¹ 100(273 t)

= (-0.03416774 0.01) dh (9)

Indien een lichtstraal gebroken wordt op de grens van twee luchtlagen, waarvan de onderste een dichtheid q , de bovenste eene o' heeft, dan is

sin z': sinz = 1 -j- cp : 1 -|- cp', waarin c een constante. Hieruit sin z' — sin z : sin z' = c (p — p') : 1 -{- c p

2 sin i (z' ■— z) cos J- (z' -f- z) ; sin z' = c (p — p') ; 1 -]- c p.

Yoor z' = z -|- d z en p' = p — dp, gaat de vergelijking over in :

21

z' — z = d z = ⁰ ^ quot; X tg z

1 —|— C

Voor 751.84 m.M. barometer- en 9.⁰3 C thermometerstand is p = 1 eu c = « = 0.000280216, waardoor

d z = d E = X d P

1-f a ■

Eveuzoo is;

d 11 = k X d T¹ =--^ X tg z X d h,

waardoor

~ ~ X d p — ^k X tg z X d h , 1 -f-a r

waaruit

k (1 -1- a) d h /-I a\

d o = ---^X .......(^iU)

a r

u

Uit (9) en (10) volgt nu:

k(l-f-«) dh 0.02416774 X b ,

--^L ' X —=-^— X d h ,

« r 273 t

waaruit eindelijk:

Ü.02416774 X uXr X h 0.02416774 X 0.000280216 X 6377390 ^ _b_

^k::= (1 _a) X (273 J- t) 1.000280216 ^X 273-f t

⁴³¹⁷⁶⁷ X b....................(11)

273 4-1

Bij constante temperatuur wordt:

, 0.034-16774 ^, ^

d o = d b =-----X o X d n,

273 -ft

in welk gevai we door verbinding met (10) vinden :

0.03416774 X 0.000280216 X 6377390 b 61 0421 ,

k = — -----------------------X------=-X n . . . vli)

1.000280216 273 -L t 273 t

Ue door de formules (11) en (12) gegeven waarden voor k kunnen we ouder normale omstandigheden gevoegelijk als de grenswaarden van k aannemen. Voor een grootere waarde dan (12) geeft, is het noodig, dat met toeneming van de hoogte ook de temperatuur toeneemt, wat alleen onder bizondere omstandigheden het geval zal zijn. Aan den anderen kant is het om tot een kleinere waarde te geraken dan (11) geeft, noodig een zoo

snelle daling' der temperatuur bij toenemende hoogte aan te nemen, dat daardoor een labiele evenwichtstoestand in den dampkring geboren wordt, hetgeen eveneens tot de abnormale toestanden moet worden gerekend, al moge die toestand ook minder zeldzaam zijn.

Voor b = 1 (751.84 m.M.) en t = 9°.3 C worden de grenswaarden 0.2163 en 0.1529. Voor b = 0.8 en t == 0 (omstreeks 1800 M. hoogte) worden ze 0.1789 en 0.1265.

De uit gelijktijdige wederkeerige waarnemingen afgeleide waarden voor k zijn, althans wat de lagere luchtlagen betreft, aanmerkelijk kleiner dan die door formule (11) worden gegeven, zoodat er bij dag over het algemeen een labiele toestand schijnt te heerschen. Doordat de astronomische straalbuiging als reg^l uit nachtelijke waarnemingen wordt afgeleid, en uit van liur tot uur gedane wederkeerige waarnemingen een sterke afneming van k in de eerste uren van den dag is gebleken , is er reden voor onze beschouwingen een grootere waarde aan te nemen.

Nemen we voorloopig een constante waarde voor k aan voor hoogten van 0 tot 1700 M., dan kunnen we voor verschillende topsafstanden den lichtstraal in zijn benedenloop volgen, waarbij zoowel de. topsafstanden als de waarden der astronomische straalbuiging kleiner worden, de laatste met een bedrag gelijk aan de aardsche straalbuiging — de eerste met een bedrag

(1 — k) X 9¹- Zoodoende kunnen we uit Bessel's tafel voor de middelbare straalbuiging een dergelijke tafel voor een hoogte van 1700 M. afleiden, terwijl formule (10) ons daarbij in staat stelt de verandering in dichtheid der lucht, en daarmede de nieuwe constante voor die straalbuiging = «' te berekenen. Met de vroeger gevonden formule

k =

kunnen we dan opnieuw de waarde van k berekenen, als we daarin u door «' vervangen, en A en R aan de afgeleide straal-buigingstafel ontleenen. Om deze berekende k te laten overeenstemmen met de te voren willekeurig aangenomene, moeten we

voor niet zeer groote topsafstanden voor k een waarde aauuemeu van 0.186. In omgekeerden zin te werk gaande, kunnen we nu deze waarde voor k van 0 tot 1700 M. aannemen, en met behulp van de formules (10) en (2) de waarden van «' en p beretenen, om eindelijk met formule (6) of (7) en de differentiaal formule (1) een volledige tafel voor de middelbare straalbuiging op 1700 M. hoogte saam te stellen.

Op die wijze vinden we :

k = 0.186,

a' = 0.0002306206 = 47quot;.5689,

p = 805.520 ,

terwijl onderstaande tafel de straalbuiging geeft.

Verlengen we nu den lichtstraal voor verschillende topsafstanden, totdat deze het oppervlak der aarde snijdt, dan kunnen we zeo-doende de middelbare straalbuiging aan de oppervlakte vinden. Yoor eenige topsafstanden zijn de resultaten in de tweede kolom van onderstaande tafel gegeven, waarbij voor k een standvastige waarde van 0.186 is aangenomen.

2-1

Ter vergelijkiug zijn in de derde kolom de BussEi/sche waarden eveneens opgenomen. Voor topsafstanden kleiner dan 87° is de overeenstemming volkomen, terwijl voor grootere topsafstanden de verscliillen onbeduidend mogen genoemd worden in vergelijking met de op bladz. 18 gegeven waarden.

De verschillen zouden nog kleiner gevonden zijn, wanneer we k tot op nog grootere hoogte constant hadden aangenomen, maar daartegenover zoude het nadeel hebben gestaan, dat dan de waarde van k te veel buiten de door de formules (11) en (12) gegeven grenswaarden valt.

Indien we k tot 1700 M niet geheel constant, maar op kleine hoogten kleiner aannemen dan op grootere hoogten, dan heeft dit ook merkbaren invloed op de straalbuiging, althans bij zeer groote topsafstanden, omdat een lichtstraal een langeren weg moet afleggen om van 0 tot op b.v. 100 meter hoogte te komen dan van 100 tot 200 M.

Nemen we b.v. k = 0.188 van 1700 tot 200 M en — 0.171 beneden 200 M, waarbij de gemiddelde waarde 0.186 blijft, dan vinden we voor de straalbuiging de waarden, die in de vierde kolom van bovenstaande tafel zijn opgenomen. De verschillen met de voorgaande kolom zijn nu tot bescheidene waarden teruggebracht (maximum 13quot;), welk resultaat wij ook, mogelijk zelfs nog beter, met andere combinaties zouden hebben kunnen verkrijgen, b.v. k

= 0.189 boven, cu 0.174 beneden ^40 M, oi' wel k — 0.190 boven en 0.173 beneden 400 M.

Welke waarden we aan k op verschillende hoogten moeten toekennen , is niet uit te maken zoolang de waarden voor de middelbare straalbuiging ook bij zeer groote topsafstandeu niet met meer zekerheid bekend zijn; eeu gevolgtrekking kunnen we daarentegen wel met vrij groote zekerheid maken, n.l. dat k voor de onderste luchtlagen een kleinere waarde moet hebben dan voor de hoogere (beneden 1700 M), vooral wanneer we bedenken, dat andere waarnemers bij zeer groote topsafstandeu vrij belangrijk kleinere waarden dan de BEssEi/sche hebben gevonden.

De vijfde kolom van bovenstaande tafel bevat de waarde van dc middelbare straalbuiging op 200 M hoogte, als overigens de physische toestand der lucht is zooals voor de vierde kolom is aangenomen, n.l. k = Ü.1S8 van 1700 tot 200 M en = 0.171 beneden 200 M, terwijl aan de oppervlakte thermometer- en barometerstanden overeenkomen met de Bessel'scIic normaal waarden.

Berekenen we eindelijk nog met behulp van formule (10) de dichtheid op 200 M hoogte voor k = 0.171, dan vinden we q' = 0.980857, u' — 0.000274852. Ware de verhouding van de straalbuiging op 200 M hoogte tot die op 0 M gelijk aan de verhouding der dichtheden , dan zoude de straalbuiging zijn, zooals in de laatste kolom van de laatste tafel is aangegeven. De verschillen der laatste en voorlaatste kolommen zijn voor topsafstandeu boven 89° merkbaar, eu nabij 90° zijn ze groot genoeg om de verwachting te wettigen, dat het bestaan er van aan waarnemingen kan worden getoetst. Ongelukkig zijn de plaatsen, waar nauwkeurige straalbuigingswaarnemingeu zijn verricht (Greenwich, Koningsbergen , Pulkowa, Kasan), zoodanig gelegen, dat bij zeer groote topsafstandeu de lichtstraal over een groote uitgestrektheid dicht langs de oppervlakte der aarde loopt. Om den invloed van de hoogte boven de oppervlakte uit waarnemingen af te kunnen leiden, zoude het daarom zeer gewenscht zijn, dat wij konden beschikken over waarnemingen op plaatsen aanmerkelijk hooger gelegen dan het omliggende terrein b.v. op den Eiffeltoren, indien deze niet te veel trilt, of wel op een steile berghelling, in welk geval de lichtstraal slechts over een geringen afstand nabij de oppervlakte is gelegen.

26

Uit het voorgaande volgt dus, dat, om ougerijmdheden iii voorbeelden als het in den aanhef genoemde te voorkomen, wij genoodzaakt zijn :

1°. In de Bessel'scIic tafel voor de middelbare straalbuiging veranderingen aan te brengen, waardoor we waarden als in de vierde kolom op bladz. 24 krijgen.

2quot; Den coëfficiënt der aardsche straalbuiging grooter en wel ongeveer =0.171 tot hoogten van 200 en = 0.188 op hoogten van 200—1700 M. te nemen.

3quot; Bij toeneming van de hoogte van het oog de straalbuiging niet te laten afnemen evenredig aan de dichtheid der lucht, doch bij zeer groote topamp;afstanden in merkbaar minder snelle mate, zoodat zelfs toeneming mogelijk is (zie de voorlaatste kolom bij een topsafstand van 90°).

1° De verschillen van de straalbuiging volgens genoemde vierde kolom met de BEssEi/sche waarden zijn zoo klein, dat die tot geen hoofdbreken aanleiding behoeven te geven. De waarden uit die vierde kolom worden hier ook geenszins onfeilbaar genoemd; andere waarden voor k zouden die kolom met eenigszins andere waarden gevuld hebben.

2° Voor k een waarde aan te nemen aanmerkelijk grooter dan 0.137 wordt minder bezwaarlijk als men bedenkt, dat de Bessel'scIic waarden voor de middelbare straalbuiging nagenoeg zonder uitzondering zijn afgeleid uit waarnemingen op tijdstippen waarop door alle waarnemers een veel grootere waarde voor k wordt aangenomen dan op tijdstippen, waarop men gewoon is waterpas-waarneiningeu te doen.

Dat bij stijging iu het eerst toeneming in plaats van afneming van de waarde van k plaats heeft, blijkt ook eenigszins uit het volgende. Over het algemeen zijn kleine waarden voor k gevonden bij de nivelleeringen in Oost-Pruisen*), waar zoowel wegens hei weinig golvende van het terrein als door de lage opstelling der instrumenten de lichtstraal over het grootste deel zeer nabij de

*,* NiveHements- und Höhenbestimmungen der Punkte crstcr und zweitor Ord-nung ausgeflihrt von dem Bureau der Landes-Triangulation. Erster Band. Berlin 1870, bladz. 133.

Gradmessung in Ost-Preussen bladz. 63.

27

oppervlakte moest vallen. Daarentegen wordt in Nederland, waar door de hooge opstelling der instrumenten in weerwil van het zeer vlakke terrein de lichtstraal reeds meer van de oppervlakte verwijderd blijft, voor k een gemiddelde waarde gevonden, die reeds aanmerkelijk grooter is dan de genoemde Pruisische.

Zelfs von Bauerkfeind schijnt geneigd te zijn op gerii.ge hoogten een kleine waarde voor k aan te 7iemen.¹j

Tegen aanneming van de bovengenoemde waarden van 0.171 en 0.188 voor k behoeft dus ook geen overwegend bezwaar te bestaan, al spreekt liet van zelf, dat nauwkeurige waarnemingen op dit gebied wijzigingen in die waarden noodzakelijk zullen maken.

3° Tegen de laatste wijziging, nl. aanneming van betrekkelijk grootere waarden voor de straalbuiging bij toeneming der hoogte van het oog, zal na al het vorenstaande ook wel geen bezwaar meer bestaan.

De ongerijmdheid in voorbeelden als het in den aanhef genoemde kunnen we dus hiermede als opgelost beschouwen.

De grondslag van de hierboven aangegeven denkbeelden wordt gevormd door het feit, dat de uit waarnemingen afgeleide waarden der straalbuiging voor topsafstanden van 65° tot 85° ons noodzaakten voor k een waarde van ü.22 a 0.23 aan te nemen. Deze grondslag zoude vervallen zijn, indien we voor de middelbare straalbuiging zoodanige gewijzigde waarden hadden aangenomen, dat de daaruit afgeleide waarden van k een gelijkmatige kleinere waarde zouden zijn nabij gekomen. Wel is waar is het mogelijk zoodanige waarden voor de straalbuiging aan te nemen zonder nog buitensporig van de Besset,'sche waarden af te wijken , maar die afwijkingen zouden niet tot de allergrootste topsafstanden beperkt blijven; ook voor topsafstanden van 75° tot 85°, waarbij de nauwkeurigheid der waarnemingen weinig te wenschen overlaat, zouden we fouten, moeten aannemen, die de waarnemingsfouten overtreffen.

Ten overvloede zijn nog uit de waarnemingen van anderen de

¹

Ergebnisse aus Bcobachtungen der terrestrisclicn Refraction. Zweilc Mitlheilunquot;; 1883 bladz. 4'j.

2S

waarden voor k berekend, welke eveneens in de tafel op bladz. 11 zijn opgenomen. Ue kolom G bevat de waarden voor k berekend uit de straalbuigingstafel van Gyldkn *), de kolom K bevat de waarden afgeleid uit de tafel van Kowalsky f). Ten einde de laatste, die afgeleid zijn uit een tafel voor 0° C en 760 ra.M barometerhoogte, te kunnen vergelijken, zijn in de kolom B' de overeenkomstige waarden opgenomen afgeleid uit de Besset,'sclie waarden der straalbuiging voor die barometer- en thermometer-standen.

L it alle kolommen zouden we dezelfde gevolgtrekkingen kunnen maken, als we hiervoor uit kolom B hebben gedaan, waardoor de gevolgde gedachtengang meer gerechtvaardigd wordt.

Opvallend is de zeer sterke afneming bij zeer groote topsafstanden in kolom K, zoodat, als we de straalbuigingstafel van Kowalsky als uitgangspunt hadden gekozen, wij het verschil der waarde voor k op kleine eu op grootere hoogte veel grooter hadden moeten aannemen dan hierboven is noodiggebleken. Dit is in overeenstemming met den vorm van de oppervlakte der aarde bij het observatorium te Kasan §) , waardoor bij zeer groote topsafstanden de lichtstraal over een zeer groeten afstand dicht langs dat oppervlak loopt.

') H. Gvldkn. Untersuchung über die Constitution der Atmosphiire und die Strahlenbrechung in derselben. Erste Abtbcilung 1866 bladz. 81.

t) M. Kowalsky. Recherches sur la refraction astronomique 1878 p. 165. g) id. p. Kil.

Door W. L'. VAX STOCK I'M en ZOON tc V draven liagc is mede uitgegeven;

Jhr. L M. A VOU SCHMID. De prrmam'iidquot; inrichting van

de stelling van Amstenlain . t' 0.70

Antwoord aan lt;le kritiek op: He permanente inrichting lt;ier stelling van Amsterdam. . - ü.5ü

_ _vKen hetromvUaar Rechterquot;?

Nogmaals de stelling van Amsterdam.......- O.-tO

— — Wacht fort en voor de stelling

van Amsterdam......- O.öO