Gedurende den cursus 1866â67 belast met het onderwijs inde Mechanica van de Hoogere Burgerschool te Utrecht, volgde ik als leiddraad een geautographeerd dictaat, dat ik aan mijne leerlingen in handen gaf â na mijn vertrek iverd door mijn opvolger op dezelfde wijze gehandeld Op het einde van het vorig jaar was de voorraad der geautogranheerde exemplaren uitgeput, en hierdoor werd ik genoopt tot de uitgave van deze handleiding over te gaan, echter niet dan na veel aarzelens, daar ik niet de gelegenheid had gehad om mij zeiven door een langer gebruik van de meerdere of mindere doelmatigheid te overtuigen.

Bij deze uitgave is veel in het oorspronkelijke dictaat gewijzigd en een en ander toegevoegd, zonder dat echter het doel uit het oog 'is verloren namehjk alleen eene korte uiteenzetting te geven van de gronden der werk-tmgkunde, doch volstrekt geen volledig leerboek. Ik stel mij dan ook voor dat het gebruik van deze handleiding gepaard gaat met eene uitvoerige mondelinge toelichting van den docent, en eene opheldering van een en ander door tal van voorbeelden; aan het einde van de verschillende para-graphen zijn met kleine lettertjes eenige onderwerpen vermeld en enkele opmerkingen medegedeeld, welke tvellicht bij die bespreking kunnen behandeld worden. Wanneer op sommige plaatsen een voorbeeld eenigszins uitvoerig ts uitgewerkt, is zulks alleen geschied om aan te geven hoe men tn soortgelijke gevallen moet te werk gaan.

Het evenwicht en de beweging van vloeistoffen en gassen kunnen, naar mij voorkomt, geschikter hij het onderwijs in de natuurkunde behandeld worden waar door proeven de verschijnselen en wetten voor de leerlingen duidelijker kunnen worden gemaakt, dan zulks door min of meer abstracte mechanische beschouwingen mogelijk is; om deze reden heb ik die onderwerpen met opgenomen. Evenals deze behoor en toch verschillende andere hoofdstukken uit de physica, strikt genomen, tot de mechanica, maar zeker zou men zeer verkeerd doen ze hij het onderwijs aan de Hoogere Burgerscholen uit dit oogpunt te behandelen.

Indien dit werkje aan de Hoogere Burgerscholen gebruikt wordt, zal zeker teder docent op eenige onderwerpen stuiten, welke hij voor zijne leerlingen te moeilijk of van minder belang acht. Ik ten minste zou, wanneer dit onderwijs mij was opgedragen, in den regel de beschouwing over den tandvorm der raderen op pag. 23 (in den 2''quot;' druk weggelaten)

de berekening der resultante van krachten op pag. 75 (3''' druk pag. 84), de beweging van een lichaam door eene kracht of een koppel op pag. 164 (3''Â« druk pag. 172), wellicht ook de afdeeling over het arbeidsvermogen op pag. 140 (3''^f druk pag. 148), overslaan. Ik heb echter gemeend deze hoofdstukken toch te moeten opnemen, daar zij den leerling doen kennis maken met methoden of onderwerpen uit de leer der mechanica, welke bij eene verdere studie van dit vak van groot belang zijn; daarenboven kan dat, wat de eene docent niet geschikt acht voor zijn onderwijs, dooiden anderen, onder andere omstandigheden , wellicht met vrucht besproken worden. Ten einde echter ieder hierin vrij te laten, is er voor gezorgd dat het behoorlijke verband tusschen de verschillende afdeelingen niet verbroken wordt, zoo de boven vermelde onderwerpen worden overgeslagen.

Door het gebruik van een leerboek leert men er de gebreken van kennen en ziet door ondervinding , welke verbeteringen moeten worden aangebracht. Persoonlijk heb ik die ervaring niet opgedaan, en zeker zou ik niet tot de bewerking van den tweeden druk van âde Gronden der werktuigkunde''' zijn overgegaan, indien niet vele docenten aan H. B. scholen, welke dit leerboek gebruiken, mij op mijn verzoek met zeer groote bereidwilligheid hunne opmerkingen en de door hen tvenschelijk geachte wijzigingen hadden medegedeeld. Hartelijk zeg ik hun hiervoor dank. Zij zullen bespeuren dat op vele plaatsen van hunne raadgevingen en opmerkingen is partij getrokken.

De uitgave van den derden druk mijner â Gronden der werktuig-kundequot; gaf mij aanleiding enkele zaken, die mij minder juist voorkwamen , te wijzigen en aan de eerste afdeeling van het Tweede Hoofdstuk van de Leer der Krachten eenige uitbreiding te geven. Overigens zijn geene veranderingen aangebracht.

Afdeeling I. Werktuigen met niet-periodieke bewegingen en onmiddellijke aanraking der bewegende deelen..........24

Afdee ling II. Werktuigen met niet-periodieke beweging en een onbuigzaam verband van slaven tusschen de bewegende doelen . . . .32

Afdeeling IV. Werktuigen met periodieke beweging en onmiddellijke aanraking dor lichamen.............38

O-rond-lDegrippeii. aan de ervaring ontleend, aangaande de werking van kracliten op een punt en op een lichaam 51

b. Statische krachtseenheden. Krachtmeting volgens de statische methode . 60 C. Dynamische krachtsecnheden. Krachtmeting volgens de dynamische methode 62

Afdeeling I. Samenstelling van krachten in een plat vlak, waarvan de richtingen elkander in een punt snijden........64

b. Resultante van meer dan twee krachten werkende op een stoffelijk punt. 65 C. Resultante van krachten werkende in verschillende punten van een

b. Moment der resultante van twee elkander snijdende krachten . . .67 C. Moment der resultante van meerdere elkander snijdende klachten . . 68

A f d e e 1 i n g Vil. Berekening van de grootte en de plaats van de resultante van een stelsel van krachten..........84

a. Algemeene formules voor de plaats van het zwaartepunt van gelijkslachtige en ongelijkslachtige lichamen, vlakken en lijnen ... 92

quot;Voor-ro-aarden. van het even-wiclit vilt cle leer van de samenstelling der liracliten afgeleid.......104

Afdeeling II. Evenwicht van lichamen, die tegen elkander drukken zonder wrijving. Verschillende soorten van evenwicht. Stabiliteit . . . 107

a. Wijze, waarop in den toestand van evenwicht de drukking wordt uitgeoefend, zoo twee lichamen elkander in een punt raken . . . 107

b. Algemeene evenwichtsvoorwaarden van lichamen in meer punten ondersteund, en om eene vaste as of een vast punt beweeglijk. . . 109

d. Onderzoek van het evenwicht van een lichaam in drie, vier of meer punten ondersteund............111

e. Verschillende soorten van evenwicht van ondersteunde lichamen. Stabiliteit 113 Afdeeling III. Toepassing van de leer van het evenwicht van ondersteunde lichamen op eenige enkelvoudige werktuigen.....116

b. Evenwicht van een koord, dat gedeeltelijk op een gebogen oppervlak rust 123 Afdeeling V. Evenwicht van lichamen, die tegen elkander drukken met

c. Wijze, waarop de wrijving bij het evenwicht van lichamen wordt in rekening gebracht. Wrijving van cilindrische assen in pannen. Wrijving van een koord langs een cilinder........126

Afdeoling VI. Evenwichtsvoorwaarden van enkelvoudige werktuigen met inachtneming van de wrijving..........131

Afdeeling 111. Toepassing van de leer van het arbeidsvermogen bij de bepaling van het evenwicht van lichamen........154

Afdeeling I. Beweging van een punt onder de werking van krachten in het algemeen.............161

b. Normale krachten bij de beweging van een punt in eene cirkelvormige baan. Centrifugaalkracht...........165

a. Beweging van een lichaam ten gevolge van eene kracht door het zwaartepunt.............172

b. Bewoging van een lichaam ten gevolge van een koppel . . . .173 C. Beweging van een lichaam ten gevolge van eene kracht buiten het

b. Beweging van oen lichaam om eene vaste as door eene standvastige kracht 178 Afdeel ing V. Rollende en glijdende beweging van een cilinder over een

b. Beweging van een cilinder over een vlak zonder aanvangssnelheid . 184 c Beweging van een cilinder over een vlak met eene aanvankelijke snelheid 186

Stof {materie) is datgene, wat ruimte inneemt. Een begrensd deel van die ruimte noemt men lichaam.

Materieele of stoffelijke punten, of somtijds kortweg punten, noemt men in de werktuigkunde de deeltjes, die men verkrijgt zoo men zicli een lichaam tot in het oneindige verdeeld denkt. Een lichaam bestaat volgons die voorstolling uit een oneindig aantal materieele punten. Bij do beschouwing der lichamen kan men somtijds het verschil in toestand der materieele punten, waaruit hot bestaat, buiten rekening laten (b.v. ton gevolge der geringe afmetingen van het lichaam), en danJjgjL gpnscho lichaam beschouwen als een enkel punt, waarin al de stof, waaruit het lichaam bestaat, vereenigd is. Men noemt dit ook een materieel punt. Zoo men b.v. do beweging van oen voortgoschoten kogel in hot eenvoudigste geval beschouwt, kan men het bewegende lichaam als een materieel punt aanmerken; dit is echter niet meer geoorloofd zoo men die beweging in zijne bijzonderheden wil nagaan.

De plaats van een punt kan op verschillende wijzen bepaald worden: hetzij door zijne afstanden tot twee lijnen, welke met dat punt in hetzelfde vlak liggen, hetzij door zijn afstand tot een ander punt en dooide lichting der lijn, welke die beide punten verbindt, enz.

Eon punt is in hetveging, zoo het van plaats verandert, in rust, zoo het dezelfde plaats blijft innemen.

Daar do bewoging of de rust van een punt wordt bepaald met betrekking tot de lijnen, vlakken of punten, ten opzichte waarvan zij no plaats wordt aangegeven, noemt men die beweging of rust gemeenlijk het rekkelijk.

Indien de afstand van twee punten A en B, of de richting van de lijn A B verandert, kan men 6f A in rust beschouwen en B in beweging met betrekldng tot A, Ã³f B in rust on A in betrekkelijke beweging, Ã³f beiden in beweging met betrekking tot andere punten, lijnen of vlakken.

De ervaring leert dat een punt uit zich zelf niet van den toestand van rust in dien van beweging of omgekeerd, overgaat, en een bewegend punt, aan zichzelf overgelaten, steeds dezelfde beweging in eene rechte lijn behoudt.

Kracht noemt men de oorzaak, die een punt in beweging brengt of tracht te brengen, of waardoor eene bestaande beweging gewijzigd wordt.

Daar door zeer verschillende krachten gelijksoortige bewegingen kunnen ontstaan, zal het noodig zijn eerst de bewegingen op zich zeiven te beschouwen, onafhankelijk van de krachten, waardoor zij worden voortgebracht of gewijzigd.

quot;Wij behandelen dus eerst de bewegingen en daarna de krachten waardoor zij ontstaan.

VerscMUende soorten van beweging. â Bij do beweging van oen punt komen twee zaken in aanmerking: 1Â°. do gedaante van de baan, wolko het doorloopt, 2Â°. de weg, welken het hierop in bepaalde tijdsdeelen aflegt.

Naar de gedaante van de baan verdeelt men do bewegingen in rechtlijnige en kromlijnige.

Ten opzichte van de betrekking tusschen do afgelegde wegen en de daartoe gebruikte tijden, verdeelt men de bewegingen in eenparige en in veranderlijke. Deze laatste worden wederom verdeeld in eenparig veranderlijke en niet eenparig veranderlijke.

a. Eenparige beweging. â Eenparige beweging is zulk eene, waarbij het punt in gelijke tijden gelijke wegen aflegt, of wel waarbij de door-geloopen wegen evenredig zijn met de daartoe gebruikte tijden.

Snelheid is de sterkte of intensiteit der beweging; zij is te grooter, naarmate de weg in een bepaalden tijd afgelegd grooter is. Als maat er van wordt aangenomen de weg in de eenheid van tijd afgelegd, of wel de verhouding tusschen den weg en den tijd.

Kortheidshalve zegt men ook wel dat de snelheid gelijk is aan den weg in de eenheid van tijd afgelegd, of aan de verhouding tusschen weg en tijd.

Zoo een lichaam zich gedurende een tijd t (tempus) met eene snelheid v (velocitas) voortbeweegt, en daarbij een weg s (spatium) aflegt, (t en s

zijn in dezefde eenheden uitgedrukt als die, waarvan men zioli bij de bepaling van v bediend heeft), dan is:

Het is duidelijk dat hier en verder, waar de verhouding tussehen schijnbaar benoemde ongelijkslachtige grootheden voorkomt, deze in werkelijkheid onbenoemde getallen zijn, aanwijzende het aantal eenheden in elk der benoemde grootheden begrepen.

Slechts enkele bewegingen voldoen geheel aan de boven medegedeelde bepaling van eenparigheid. Bij vele echter gaat de evenredigheid tussehen tijd en doorgeloopen ruimte door, wanneer men de tijden niet te klein neemt; een persoon b.v., welke met een regelmatigen stap voortgaat, zal elke minuut een even grooten weg afleggen, hoewel de beweging gedurende een stap niet eenparig is. In plaats van de werkelijke beweging stelt men dan eene eenparige, zoodanig dat de weg, welken het punt hierdoor in zekeren tijd zou afleggen, gelijk is aan den werkelijk afgelegden weg. Deze beweging wordt gemiddelde beweging en hare snelheid gemiddelde snelheid genoemd. Op deze zijn ook de formules (I) toepasselijk. Van de formules (I) bedient men zich om de doorgeloopen ruimte en de snelheid bij eene eenparige beweging te bepalen, en ook om den tijd te meten.

b. quot;Veranderlijke beweging in het algemeen. â Veranderlijke beweging is zulk eone, waarbij de afgelegde weg niet evenredig is met don tijd.

De snelheid wordt bij deze beweging niet meer gemeten door den weg in de tijdseenheid afgelegd, daar gedurende dien tijd de snelheid voortdurend verandert. Men kan de snelheid bij de veranderlijke beweging aldus beschouwen. Zoo men den weg gedurende een kleinen tijd bepaalt, en hieruit door formule (I) de gemiddelde snelheid berekent, zal deze verschillend zijn van de werkelijke snelheid bij het begin van die tijdsruimte; dit verschil zal echter al kleiner en kleiner worden, zoo men de gemiddelde snelheid in een kleiner en kleiner tijdsverloop be-

paalt, en de verhouding â nadert hierbij meer en meer tot de werkelijke snelheid. De snelheid hij de veranderlijke beweging op een zeker

Men kan haar ook beschouwen als de snelheid van do eenparige beweging, die in richting en intensiteit met de veranderlijke beweging op dat oogenblik overeenstemt.

De snelheid, aldus bepaald, kan voortdurend toenemen, de beweging is dan versneld, neemt zij voortdurend af, dan is de hzweging vertraagd.

De beweging noemt men periodiek, indien telkens na een zelfde tijdsverloop de snelheid weer tot hetzelfde bedrag terugkeert, en gedurende dit tijdsverloop {periode) dezelfde veranderingen ondergaat.

Voorbeelden van versnelde beweging: een spoortrein, welke zijne beweging begint, een vallend lichaam; van vertraagde beweging: een over den grond voortrollende bal, een naar boven geworpen lichaam; van periodieke beweging; een slinger, de balans in een uurwerk, een zuiger op- en neergaande in den cilinder van eene stoommachine, golfbeweging van vloeistoH'en, beweging van geluidgevende lichamen, voortgaande beweging van een voetganger, een dravend paard enz.

c. Eenparig veranderlijke beweging. â De beweging is eenparig veranderlijk, zoo do snelheid in gelijke tijden met een zelfde bedrag verandert, of wel zoo de verandering in de snelheid evenredig is met den tijd, waarin zij plaats vindt.

De verandering, welke de snelheid bij de eenparig veranderlijke beweging in de eenheid van tijd ondergaat, of do verhouding tusschen de verandering in snÃ«lheid en den tijd, waarin die verandering plaats vindt, noemt men versnelling. Deze kan zijn positief {versnelde heicegmg) of negatief [vertraagde beweging)-, in dit laatste geval wordt zij somtijds vertraging genoemd.

Indien de snelheid op zeker oogenblik Vo is, en t tijdseenheden later v, dan is, zoo de versneUing door a (acceleratio) wordt voorgesteld;

waarbij a negatief of positief kan zijn. Neemt men a altijd positief, hetzij de beweging versneld, hetzij ze vertraagd is, dan is:

Om de ruimte to berekenen, die bij zulk eene beweging in een gegeven tijd t wordt doorgoloopen, verdoelen wij dezen laatsten in een

De weg in olk dier tijdsdoeltjos afgelegd is natuurlijk kleiner dan die, welke zou zijn afgelegd bij eene eenparige beweging met do grootste, en grooter dan die, welke zou zijn afgelegd bij eene eenparige beweging mot de kleinste der beide grenssnolheden; hij ligt dus:

, (m â 1) t\ t ( nt \ t nquot; Â» Â» I Vo -j- a --1 â Â» ( fo a â ¹ â

Do geheelo weg in don tijd t is dus begrepen tusschen: t , / . t\t.( . 2t\ t f {nâV)t\ t

De juiste uitdrukking voor den afgelegden weg moet nu voldoen aan de voorwaarde dat zij tusschen deze beide waarden in ligt, hoe groot n ook zij, en hieruit volgt dat zij gelijk Vo t-\- \ at² is, want neemt men aan dat zij iets grooter of kleiner is, dan kan men gemakkelijk n zoo groot nemen dat die aangenomen waarde niet tusschen de beide grenswaarden in ligt.

Is de aanvankelijke snelheid v₀ â 0, dan gaan de formules (II, III en IV) over in:

Hieruit kan nog worden afgeleid dat eene eenparig veranderlijke beweging zonder aanvangssnolheid eene zoodanige is, waarbij de afgelegde wegen evenredig zijn met de tweede machten der tijden of dor ver-kregene snelheden.

Uit de formules (II) en (III) blijkt dat men de snelheid en den afge-legden weg, bij eene eenparig versnelde beweging met zekere aanvangssnolheid, kan beschouwen als bestaande uit de som van twee snelheden of twee wegen, Ã©Ã©n van de eenparige beweging, waarvan de snelheid gelijk die aanvangssnolheid is, en Ã©Ã©n van de eenparig veranderlijke beweging met de aanvangssnolheid 0.

Indien eon punt eene eenparig vertraagde beweging bezit met eene aanvangssnolheid en eene vertraging a (positief genomen), dan zal na een' zekeren tijd T het punt in rust komen, welke tijd gevonden wordt door in (Ha) v gelijk 0 te stellen. Men heeft dan:

Met deze gevondene waarde van T kan door (lila) de afgelegde weg bepaald worden.

Een voorbeeld van eene eenparig versnelde beweging levert de val der lichamen (als materieole punten beschouwd) in hot luchtledige op. Do versnelling, welke bij deze beweging op een zelfde punt van do oppervlakte dor aarde, voor alle lichamen dezelfde is, is verschillend voor plaatsen op aarde, die verschillende breedte hebben, of op ongelijke hoogte boven het oppervlak van de zee liggen. Gemeenlijk stelt men die versnelling voor door g {gravitas). Zij is aan de zeeoppervlakte:

Een lichaam, dat in het luchtledige naar boven wordt geworpen heeft eene eenparig vertraagde beweging, waarbij de vertraging even groot is als do versnelling bij den vrijen val.

Gelijkheid dor aflegde wegen en verkregene snelheden bij opgeworpen en neervallende lichamen, op tijdstippen evenveel vÃ³Ã³r als na het oogenblik, waarop zij hunne grootste hoogte hebben bereikt.

Toename van den ouderlingen afstand van twee deeltjes die zeer kort na elkander hunne vallende beweging beginnen. Overgang van een samenhangenden waterstraal in fijne stofregen bij hooge watervallen. Toename van de dikte van een opgespoten waterstraal.

d. Wiet eenparig veranderlijke beweging. â Bij deze beweging verandert de snelheid in gelijke tijden niet met een zelfde bedrag. Do bepaling van versnelling, bij de eenparig veranderlijke beweging gegeven, geldt dus ook niet meer in dit geval, op gelijke wijze als de bepaling

van snelheid bij do oenparigo bewoging niet meer bij do veranderlijko beweging kon worden aangenomen. De versnelling toch verandert van

delde versnelling gedurende dien tijd t aangeeft. Neemt men dien tijd al kleiner en kleiner, dan nadert de gemiddelde versnelling al meer en moer tot de werkelijke versnelling bij het begin dier tijdsruimte; men kan dus zeggen dat de werkelijke versnelling hij eene niet eenparige beweging de grens is, waartoe ^^Vo al meer en meer nadert, zoo men t,

aanvangende bij het oogenblik waarvoor men de versnelling wenscht te moten, en dus ook vâv,,, onbepaaltlelijk laat afnemen.

Het opmaken der vergelijkingen voor den afgelegden weg en de ver-kregene snelheid vordert veel uitgebreider wiskundige kennis, dan hier ondersteld wordt. Bij benadering kan men ze echter vinden, zoo men, met een bepaald tijdstip en eene bepaalde snelheid beginnende, den tijd in een zeer groot aantal kleine deeltjes verdeelt, de bekende versnellingen voor het midden dier tijdsdeeltjes aanneemt als de gemiddelde versnellingen gedurende die tijdsdeeltjes, en hieruit de snelheden op het eind der deeltjes berekent. Neemt men die partiÃ«ele bewegingen als eenparig veranderlijk aan, zoo kan men de kleine afgelegde wegen berekenen; hunne som geeft dan den goheelen doorgeloopen weg.

Alle bewegingen die wij waarnemen zijn streng genomen niet eenparig veranderlijk; duidelijk treedt het karakter daarvan te voorschijn bij de beweging van lichamen in eene weerstandbicdende middenstof, b.v. van een lichaam vallende in de lucht of in water, van een voortgeschoten kogel enz. bij welke de weerstand volgens eene bepaalde wet met de snelheid verandert.

Onder de kromlijnige bewegingen beschouwen wij in do eerste plaats de cirkelvormige; deze kan even als de rechtlijnige eenparig of veranderlijk zijn, en door dezelfde formulen kunnen dan ook de betrekkingen tusschen den tijd, de doorgeloopen ruimte en do snelheid worden bepaald.

De snelheid wordt gemeten door de lengte van den boog, in lengte-eenheden uitgedrukt, welke het punt in de tijdseenheid aflegt. Men noemt deze lineaire snelheid.

Wij kunnen echter de snelheid nog op eene andere wijze uitdrukken, en wel door het aantal graden van den boog, welken het punt in do tijdseenheid beschrijft, of door den hook, welken in dien tijd de lijn doorloopt, die het bewegende punt met het middelpunt van den cirkel ver-eenigt. De snelheid, op deze wijze uitgedrukt, wordt hoeksnelheid genoemd.

Zij do straal van den cirkel, in don tijd t doorgoloopcn, r, do lineaire snelheid v on do hooksnelheid Â«, dan is;

Do hoeksnelheid wordt nog eenvoudiger bepaald, indien men als eenheid don boog aanneemt, waarvan de lengte gelijk is aan don straal;

Bij een lichaam, dat zich om eene vaste as beweegt, zijn op hetzelfde oogenblik do hooksnelhedon van al de punten dezelfde.

Bij eene willekeurig kromlijnige beweging vindt men de lineaire snelheid door do betrekking tusschen do lengte van don kromlijnigen weg en don tijd, waarin het punt dien weg hooft afgelegd, evenals zulks bij de rechtlijnige beweging is geloerd. De hoeksnelheid vindt men door te onderstellen dat liet punt mot de snolheid, die het bezit, zich bowoegt in oen cirkel, welke zoo na mogelijk met de werkelijke baan in dat punt overeenstemt, en door vervolgons de hoeksnelheid van het punt in dien cirkel bepalen.

Verband tusschen de lineaire- en hoeksnelheid van planeten in cirkelvormige banen volgens de derde wet van Keppler.

a. Lijn der wogen. â Zoo mon op eene rechte lijn, te beginnen bij een bepaald punt, stukken uitzet evenredig aan de tijden, die bij zekere beweging van oen bepaald tijdstip af verloopen zijn, en uit de aldus verkregene punten loodlijnon trekt, waarvan de lengten evenredig zijn met de ruimten in die tijden doorloopon, dan verkrijgt men dooide vereeniging van de eindpunten dier loodlijnon eene lijn (lyn der wegen), waaruit men de wetten dier beweging kan afleiden. Deze lijn is niet te verwarren met de baan van het bewegende punt.

Bij oono conparigo beweging is de doorgoloopon ruimte evenredig mot den tijd; de lijn der wegen is dan eene rechte, welke de lijn dei-tijden in zeker punt D snijdt (fig. 1).

De snelheid bij deze beweging is de verhouding van den doorgeloopen weg BC en den tijd PQ; zoo men nu in de figuur de eenheden van weg en tijd door lijnen van gelijke lengte voorstelt, is de verhouding van den weg en den tijd dezelfde als die van de lengte der lijnen BC en AC, derhalve BC

Zijn ook hierin do lijnen, die de eenheden van weg en van tijd voorstellen, aan elkander gelijk, dan vindt men de gemiddelde snelheid tus-schen twee tijdstippen P en Q door tusschen de punten A en B op de

lijn der wegen, welke met de tijdstippen P en Q overeenkomen, eene koorde te trekken; deze stelt dan de lijn der wegen van do gemiddelde beweging voor. De gemiddelde snelheid, gedurende den tijd PQ, is dan gelijk tang. BE'Q.

Neemt men het tijdperk PQ al kleiner en kleiner door Q dichter bij P te brengen, dan nadert de lijn AE' meer en meer tot de raaklijn, en de gemiddelde snelheid der beweging nadert, volgens het vroeger gezegde, meer en meer tot de werkelijke snelheid in A, tot eindelijk, als AE' werkelijk in de raaklijn volgons AE is overgegaan, de snelheid in A wordt voorgesteld door tang. AEQ. De rechte lijn AE stelt dan voor de lijn der wegen van die eenparige beweging, welke in A overeenstemt met do veranderlijke beweging door de kromme voorgesteld.

Bij eene periodieke beweging is de lijn der wegen eene kromme lijn, die uit eene opvolging van gelijke doelen bestaat, terwijl de lijn, die de overeenkomstige punten dier deelen vereenigt, eene rechte lijn is (fig. 3). Zoo het bewegende punt na gelijke tijdsruimten telkens weder denzelfden weg aflegt, b.v. bij den slinger, is die rechte lijn evenwijdig aan de lijn waarop de tijden zijn uitgezet; in de andere gevallen, b.v. bij de beweging van oen dravend paard, maken beide lijnen een hoek mot elkander.

Lijn der wogen van spoortreinen tusschen twee eindpunten met tusschenstations, gebruikt voor het bepalen der ontmoetingspunten.

Rij werktuigen waardoor bewegingen worden geregistreerd, b.v. bij registree-rendc thermometers, windmeters, barometers, getijmeters, enz. wordt gewoonlijk de lijn der wegen afgeteekend. Onderzoek van periodieke bewegingen, b.v. geluidstrillingen,

Meten van kleine tijdsruimten door de lijn der wegen van eene trillende stemvork op oen registroertoestel te doen af-teekenen.

b. Lijn der snelheden. â Zoo in plaats van de wegen in bepaalde tijden doorgeloopon, de snelheden op verschillende tijdstippen bekend zijn, kan men op gelijksoortige wijze als do lijn der wegen de lijn der snelheden construeeren. Men neme daartoe op eene rechte lijn wederom stukken evenredig met de tijden, en richtte in do aldus verkregen punten loodlijnen op evenredig met do op die oogenblikken verkregen snelheden. De eindpunten dier loodlijnen vereenigende, verkrijgt men de lijn der snelheden.

Hot is gemakkelijk in te zien, dat bij eene eenparige beweging die lijn eeno rechte AB wordt, evenwijdig aan de lijn PQ der tijden (fig. 4), terwijl do afstand AP = BQ de snelheid dier beweging voorstelt.

Bij eene eenparig veranderlijke beweging, wordt do lijn der snelheden insgelijks eene rechte,

Bij deze beweging is do verhouding tusschen de verandering der snelheid en den tijd, waarin

r a
Fig. 4.
, de versnelling. Zij w	ordt dus
ANquot;................. 1 1 1 \ 1 v. 1	f!
1 1 i 1 \ i \ i 1 i
P tt D
Fig. 6.
tijd en van snelheid voorstellen,

de versnelling a noemt: a â tang. BAG â tang. BDE. Bij de eenparig vertraagde beweging (fig. C) is hoek BDE stomp, dus a = tang. BDE negatief.

Bij eene willekeurig veranderlijke beweging wordt de lijn der snelheden eene kromme EF (fig. 7).

De gemiddelde versnelling bij deze beweging gedurende den tijd PQ wordt, volgens hetgeen op pag. 8 gezegd is, voorgesteld door do verhouding BC

tijdstip door P aangegeven wordt dan voorgesteld door tang. ADP, indien AD de raaklijn aan de kromme lijn in het punt A is.

Bij de periodieke beweging bestaat de lijn der snelheden (fig. 8) even als de lijn der wegen uit eene opeenvolging van gelijke stukken; de lijn, door de overeenkomstige punten getrokken, loopt dan echter altijd even-wijdig aan de lijn waarop de tijden _Fig. g. ^zijⁿ uitgezet.

de eenparige beweging is de doorgeloopen ruimte s = vt. Zij PQ (fig. 4) de tijd t, waarin met de snelheid v â AP do weg s wordt afgelegd, dan is:

Men kan dus bij de eenparige beweging de doorgeloopen ruimte door den inhoud van dezen rechthoek voorstellen.

Zoo men aanneemt dat de eenparig veranderlijke beweging, door fig. 5 of G voorgesteld, aanvangt bij het tijdstip door P aangegeven, dan is de lijn AP de aanvangssnelheid v₀, do lijn BQ de snelheid v₀-\-at na den

tijd lt;, terwijl die tijd voorgesteld wordt door de lijn PQ. In die figuren is dan: Inh. trapezium ABQP = {(AP BQ) PQ â { {2 Vo -\- at) t =. Vot { at². maar:

Bij de niet eenparig veranderlijke beweging, waarvan de lijn der snelheden voorgesteld wordt door fig. 9,

werd (pag. 8) eene benaderde waarde voor den afgelegden weg in een bepaalden tijd PT gevonden, door dezen in een groot getal kleine deeltjes PQ,

als eenc eenparig veranderlijke te beschouwen. De kleine wogen, bij die P 0, K eenparig veranderlijke bewegingen af- ^Fie- 9.

gelegd, worden dan in fig. 9 voorgesteld door de inhouden der trapezia ABQP, BCRQ enz. Do benaderde waarde van den afgelegden weg in den tijd PT is dan:

Als men do deeltjes, waarin de tijd verdeeld is, al kleiner en kleiner neemt, dan komt deze benaderde waarde steeds dichter bij de juiste waarde van den afgelegden weg; de som der inhouden van al de trapezia nadert, in diezelfde onderstelling, meer en meer tot den inhoud der kromlijnige figuur AETP, derhalve is de juiste waarde van den afgelegden weg:

a. Samenstelling van bewegingen in het algemeen. â Indien een punt zich verplaatst ten opzichte van eenige andere punten, lijnen of vlakken, en deze laatsten verplaatsen zich weder ten opzichte van een tweede stelsel van punten, lijnen of vlakken, dan kan men uit deze beide bewegingen de beweging van het punt ten opzichte van dat tweede stelsel afleiden. Zoo kan b.v. de beweging van een persoon op een voortzoilond schip met betrekking tot de aardoppervlakte afgeleid worden uit zijne beweging met betrekking tot het schip en de beweging

van dit laatste met betrekking tot den oever. Oneigenlijk zegt men dat zoodanig punt twee bewegingen heeft, hoewel het natuurlijk slechts Ã©Ã³ne bepaalde baan met betrekking tot het tweede stelsel van punten enz. beschrijft.

Do beide bewegingen: 1Â°. van het punt ten opzichte van het eerste stelsel van punten, lijnen of vlakken, 2Â°. van deze laatsten ten opzichte van het tweede stelsel, noemt men samenstellende bewegingen {componenten)] de beweging van het punt ten opzichte van dit tweede stelsel, die uit de samenstellende bewegingen kan worden afgeleid, noemt men samengestelde beweging {resulteerende beweging, resultante).

Het afleiden van de samengestelde beweging uit de samenstellende heet samenstellen van bewegingen; het omgekeerde heet ontbinden van bewegingen.

Daar elke samenstellende beweging wederom de samengestelde kan zijn van twee anderen, zoo kan men ook spreken van de resultante van drie, vier of meer bewegingen. Zoo beweegt zich b.v. een persoon op een schip met betrokking tot dat vaartuig, het vaartuig beweegt zich met betrekking tot den oever, de oever en de geheele aarde beweegt zich om de aardas, deze laatste beweegt zich om de zon, terwijl dit laatste lichaam wederom eene beweging heeft in de ruimte. Met betrekking tot het vaartuig, den oever, de aardas, de zon of de hemelruimte heeft dus de persoon een, twee, drie, vier of vijf bewegingen.

Stel dat het punt A (fig. 10) zich ten opzichte van het eerste stelsel zoo verplaatst, dat het hierdoor langs AB van A naar B zou zijn gekomen {betrekkelijke beweging), terwijl door de bewe-A--quot;' ging van het eerste stelsel, de lijn

verschillig langs welken weg, in A'B' komt {nevenbeweging), dan zal de werkelijke beweging van A ton opzichte der vaste punten zoodanig zijn geweest, dat het hierdoor in dien

tijd langs zekeren weg in B' komt. Indien de verplaatsing van het gt; ^ eerste stelsel, van dien aard was \ / geweest, dat alle deelen van A'B' / evenwijdig waren met do over-_______ ~â-^/ eenkomstige deelen van AB (flg.

uiteinde B' der diagonaal van het parallelogram, waarvan AB en AA' de zijden zijn {parallelogram van bewegingen).

Zulk eene beweging vindt plaats zoo de beide samenstellende bewegingen. rechtlijnig zijn; men kan dan aannemen dat eene van beide, AB of AA' (fig. 12), welke is onverschillig, afkomstig is van de beweging ten opzichte van het eerste stelsel van punten, en de andere AA' of AB, van de beweging van deze ten opzichte van het tweede stelsel. Wij zullen ons verder alleen bezig houden met het samenstellen van rechtlijnige bewegingen, en, in het midden latende waardoor zij ontstaan zijn, allen kortweg samenstellende of componenten noemen. Al dadelijk moet hier worden opgemerkt dat men ten onrechte zou meenen, dat de resulteeronde beweging van twee rechtlijnige samenstellende bewegingen AB en AA', altijd volgens de diagonaal AB' plaats grijpt; alleen in enkele gevallen Fig. -12.

geschiedt zulks; in de meeste gevallen komt het punt echter volgens eene kromme lijn van A naar B. (Zie pag. 18, d)

Indien gegeven was dat tengevolge van twee rechtlijnige bewegingen een punt van A naar B' (fig. 12) was gekomen, zou men kunnen vragen, welke de beide samenstellende bewegingen waren geweest. Dit vraagstuk (het ontbinden der bewegingen) wordt dan herleid tot het con-strueeren van een parallelogram, waarvan eene diagonaal gegeven is; hieraan kan dus op oneindig vele wijzen voldaan worden. De vraag wordt echter bepaald, zoo men, hetzij de richting van de beide samenstellende bewegingen, hetzij hunne grootte opgeeft, of wel de richting en grootte van eene van beiden, of eindelijk de richting van de eene en de grootte van de andere bepaalt; in het algemeen zoo men nog twee gegevens aan het vraagstuk toevoegt.

b. Samenstelling van eenparige bewegingen. âIndien de beide samenstellende bewogingen rechtlijnig en eenparig zijn, is de samengestelde ook rechtlijnig en eenparig.

Laten, om dit te bewijzen, AB en AD de wegen zijn in den tijd t afgelegd, dan komt het punt door de resulteerende beweging in dien tijd in C. Bepalen wij nu de plaats,

het zal nu gemakkelijk zijn te bewijzen, dat F altijd m de lijn AC zal liggen. Door de lijnen AJ?¹ on AC to trokken, waarvan wij nog niet weten of zij op elkander zullon vallen, verkrijgt men de beide driehoeken AEF en ABC, die gelijkvormig zijn, daar:

voor elke waarde van n, zoo is de baan van het bewegende punt rechtlijnig. Uit de gelijkvormige driehoeken ABC on AEF volgt verder:

tijden evenredig, derhalve is do resultoerende bewoging eenparig. Om do snelheid dezer bewegingen te vinden, oonstruÃ¶ere men oen

parallelogram, waarvan de zijden gelijk zijn aan de wegen PQ en PR, welke het punt in do eenheid van tijd door de samenstellende bewegingen zou afleggen, dan is PS de p. ^ weg door do rosulteerende beweging

in de tijdseenheid afgelegd, met andere woorden do resultoerende snelheid. Deze is dus in richting en grootte gelijk aan de diagonaal van het parallelogram {parallelogram der snelheden), waarvan de zijden in richting en grootte de samenstellende snelheden voorstellen. Noemen wij deze laatsten PQi=:t), PRzziVj, de rosulteerende snelheid PS = c en QPR â ^ QPS = ,6 en RPS = 7, dan is in PQS:

Gemakkelijk wordt hieruit afgeleid welke waarde c heeft, zoo de beide snelheden v en v_l dezelfde of tegengestelde richting hebben.

Dezo constructie en berekening geldt niet alleen voor de snelheden van eenparige bewegingen, doch ook voor de resultante van de snelheden der veranderlijke bewegingen, daar men, ora deze laatsten to bepalen, zich tocli bedient van de eenparige bewegingen, welke dezelfde snelheden bezitten als de veranderlijke op het oogennblik dat men deze beschouwt.

Het ontbinden van eene snelheid in twee andere kan, oven als het ontbinden van eene beweging in twee andere, op oneindig vele wijzen geschieden, en het vraagstuk wordt alleen bepaald zoo men nog twee gegevens toevoegt aan de gegevene snelheid, die ontbonden moet worden. Ter berekening van de samengestelde en de samenstellende snelheden bedient men zich van de formules (VII) en (VIII).

c. Samenstelling van eenparig veranderlijke bewegingen zonder aanvangssnelheid. â Zoo de beide bewegingen eenparig versneld zijn, terwijl de aanvangssnelheden gelijk zijn aan nul, wordt de resul-teerende beweging insgelijks rechtlijnig en eenparig versneld.

Even als bij de eenparige bewegingen (pag. 1G) volgt hieruit, dat de diagonaal AC de baan van het punt bij de resultecrende beweging voorstelt.

en dus do wegen evenredig zijn met de vierkanten der tijden, zoo is de beweging volgens AC ook eenparig versneld zonder aanvangssnelheid (pag. 7). Om de versnelling van deze bewoging te bepalen, maken wij gebruik van de eigenschap dat, bij de hier beschouwde eenparig versnelde bewegingen, de weg, in ''

de eerste tijdseenheid afgelegd, gelijk is aan do helft van do versnelling. Laten PQ en PR (fig, 10) die wegen zijn bij de samenstellende bewegingen, dan is PS de weg insgelijks in do eenheid van tijd afgelegd

bij do resulteerende beweging, met andere woorden, PS is dan de halve versnelling van die beweging. Verlengen wij PQ en PR zoodanig dat

PQ' = 2 PQ en PR' = 2 PR dan is PS' = 2 PS; de lijnen PQ', PR' en PS' stellen dan de versnellingen voor bij de bewegingen in die richtingen. De resulteerende versnelling wordt dus, in richting en grootte, voorgesteld door de diagonaal van het parallelogram {parallelogram der versnellingen), quot;waarvan de zijden, in richting en grootte, de versnellingen van de samenstellende bewegingen voorstellen.

Deze constructie en berekening geldt ook voor de versnellingen bij willekeurig veranderlijke bewegingen, daar men, om deze te vinden, toch altijd de eenparig veranderlijke bewegingen moet bepalen, welke op het gegeven oogenblik het meest met de veranderlijke bewegingen overeenstemmen.

Ten opzichte van de ontbinding der versnellingen geldt wederom hetzelfde, als bij de ontbinding der bewegingen en snelheden is opgemerkt.

eenparige is, de andere eene eenparig versnelde zonder aanvangssnelheid, â wordt de resulteorende beweging in het algemeen eene kromlijnige. Men kan, gebruik makende van het parallelogram dor bewegingen, oen willekeurig aantal punten van de baan construeoren.

Laat AB (fig. 17) de richting dor eenparig versnelde beweging zijn, waardoor, na verloop van de tijden t, 2t, 3lt;, U enz., het punt zou komen in D, E, F, B enz., zoodanig dat AE = 4 AD, AF = 9 AD, AB = 1G AD, enz.

Zij verder AC de richting der eenparige beweging, waardoor het punt na de tijden t, 2t, 3i, 4lt;, enz. komt in Gr, H, K, C enz., dan komt het door de resulteerende beweging in L, M, N, O enz. De baan, welke dan de kromme lijn is, door die punten gaande, is eene parabool. Om de snelheid in eenig punt N te bepalen, construeert men het parallelogram der snelheden NPQR, en vindt dan voor de resulteerende snelheid in richting en grootte de lijn NR, welke natuurlijk rakende moet zijn aan de kromme.

Indien beide bewegingen dezelfde richting hebben, heeft de resulteerende beweging diezelfde richting. Zij dan de snelheid der eenparige beweging de versnelling der eenparig versnelde^, dan is de resulteerende snelheid c na een tijd t gelijk aan Vo -\- p t₎ en de doorgeloopen ruimte s gelijk aan Vo Dit zijn volkomen dezelfde formules als bij de eenpa

rig versnelde beweging met eene aanvangssnelheid v₀; zulk eene beweging kan dus altijd beschouwd worden, als te zijn samengesteld uit eene eenparige met eene snelheid gelijk aan de aanvangssnelheid, en eene eenparig veranderlijke met dezelfde versnelling doch zonder aanvangssnelheid.

Indien men moet samenstellen eene eenparige beweging en eene eenparig versnelde met eene zekere aanvangssnelheid, zou men eveneens kunnen handelen als in hot vorige geval, door dan AD, AE, AF enz. niet gelijk te nemen aan ^ p tquot;¹ maar aan v₀

Men kan eehter dit geval geheel tot het vorige terugbrengen, dooide eenparig versnelde beweging te ontleden in eene eenparige en eene eenparig versnelde zonder aanvangssnelheid. Stelt men dan deze eenparige beweging met de gogevene eenparige beweging te zamen, dan verkrijgt men wederom eene eenparige beweging doch in eene andere richting, welke dan nu nog met de eenparig veranderlijke zonder aanvangssnelheid moet verbonden worden.

Op dezelfde wijze kan men de resulteerende beweging bepalen van twee eenparig veranderlijke met gegevene aanvangssnelheden, door elk van deze in eene eenparige en eene eenparig veranderlijke te ontbinden. Men verbindt dan weder de beide bewegingen van de eerste soort, en ook die van de tweede soort, zoodat men dan ten slotte weder eene eenparige en eene eenparig veranderlijke zonder aanvangssnelheid moet samenstellen.

Voor de berekening van de grootheden, welke bij deze samengestelde bewegingen voorkomen, is hot voordeelig om de samenstelling der be-

wegingen, die oen willekeurigen hoek met elkander maken, terug te brengen tot de samenstelling van bewegingen, welke loodrecht op elkander staan, en waarvan de eene eenparig is, de andere eenparig veranderlijk met eene bepaalde aanvangssnelheid.

Als voorbeeld hiervan beschouwen wij de beweging die een kogel, in eene schuine opwaartsche richting voortgeschoten, zou bezitten als do tegenstand der lucht niet bestond. Daar de tegenstand niet groot is, zoo de kogel geeno zeer aanzienlijke snelheid bezit, zullen de uitkomsten, in cle genoemde onderstelling verkregen, niet veel van de waarheid afwijken bij de beweging van bommen, waarvan de snolheid 150 of 160 meters niet te boven gaat.

Men mag nu aannemen dat de kogel twee bewegingen heeft, de eene welke hij zou bezitten indien hij zonder voortgeschoten te zijn uit den mond van hot geschut verticaal naar bonoden viel; die beweging is volgens pag. 7 eenparig veranderlijk zonder aanvangssnelheid; do andere welke hij zou bezitten zoo hij niet naar de aarde werd getrokken; die beweging is, zooals later zal geleerd worden, rechtlijnig en eenparig mot eene snelheid, gelijk aan die waarmede hij het geschut verlaat.

Zij de lijn AB (flg. 18), welke met de horizontale lijn een hoek a maakt, de richting on Vo de grootte van de snelheid van die eenparige beweging, terwijl de verticale lijn AC de richting voorstelt van cle eenparig veranderlijke beweging zonder aanvangssnelheid met eene versnelling g (pag. 7). De resulteerende beweging geschiedt dan volgens eeno parabool (pag. 19). Ten einde den vorm van die kromme lijn en de snelheid in eenig punt te bepalen, ontbinden wij de beweging volgons AB in eene horizontale volgens AD met eene snelheid Vo cos.Â« en eene verticale volgons AE met eene snelheid Vo sin. a.

Dezo laatste eenparigo beweging van A naar E gericlit, samengesteld met de eenparig veranderlijke volgens AC, geeft tot resultante (pag. 19) eene eenparig vertraagde opwaarts gerichte beweging met eeue aanvangs-snelheid v₀ sin. a en eene vertraging g.

Wij mogen dus beschouwen dat de kogel in twee bewegingen deelt, de bovengenoemde eenparig vertraagde in verticale, en eene eenparige met de snelheid Vo cos. a in horizontale richting. Stellen wij nu de wegen, door den kogel ten gevolge van elk der be wegingen afzonderlijk in een tijd t afgelegd, voor door x en y, dan bepalen deze grootheden tevens de afstanden waarop de kogel na verloop van dien tijd van de lijnen AD en AB verwijderd is; zij zijn gegeven door:

De snelheid vt in dit punt is de resultante van v_u cos. a en Vo sin. a â gt dus: vt~V (vo² cos.³ a -j- Vo² sin.² a â 2 Vo gt sin. Â« i/²1~) of: (vo²-{â g~ â2vogtsm..a) .... (XII).

De richting van de snelheid wordt bepaald door den hoek LEK, die zij maakt met do horizontale richting. Zij die hoek dan is

Bepaling van hot hoogste punt der baan. Symmetrie van do baan ten opzichte van dit punt. Worpsverheid. Betrekking tusschen worpsverheid en elevatiehoek. Grootte van den elevatiehoek zoo de kogelbaan door eon gegeven punt moet gaan. Schuin opgeschoten waterstraal.

e. Samenstelling van meer dan twee bewegingen. â Men kan de resulteerende van meer dan twee bewegingen opmaken, door eerst de resultante van twee er van te bepalen, deze wederom met eene derde samen te stellen enz. i Zoo is b.v. do resultante van de vier rechtlijnige bewegingen volgens AB,

welke in hetzelfde platte vlak liggen, en waardoor het bewegende punt in denzolfden tijd van A in B, C, D en E zou komen, ^{11 lg}'

Eveneens zou de resulteerende snelheid of versnelling van vier snelheden of versnellingen AB, AC, AD en AE eene snelheid of versnelling zijn, voorgesteld door AH. Zonder die parallelogrammen had men echter ook het punt H kunnen vinden, door uit A eerst te trokken de lijn AB, uit B de lijn BF â 11 AC, uit F de lijn FG = || AD en uit G de lijn GH=r||AE. De volgorde, waarin men die lijnen trekt, is onverschillig; men had kunnen beginnen met AD, vervolgens uit D de lijnDKsr H AB kunnen trekken, uit K de lijn KL ~ || AE en uit L de lijn LH= || AC.

Eveneens gaat men te werk bij bewegingen, wier richtingen niet in een zelfde vlak liggen. Bepalen wij do resultante van drie bewegingen, snelheden of versnellingen AB, AC en AD, niet in een zelfde plat vlak gelegen, dan is do resulteerende beweging zoodanig, dat het lichaam komt van A in F, of de resulteerende snelheid of versnelling is AF. Deze lijn AF is, zooals duidelijk blijkt, de diagonaal van het parallelo-

De werktuigen en hunne verdeeling. â Werktuigen zijn lichamen of samenstellen van lichamen, welke dienen om bewegingen over te brengen of te wijzigen.

Door een zaagmolen, b.v. -wordt de onregelmatig voortgaande beweging van de luchtdeeltjes, welke tegen de wieken stooten, omgezet in eene geregelde heen- en weergaande beweging der zaagramen, en in eene langzaam voortgaande beweging der balken; door een ander werktuig moet de vallende beweging van het water worden omgezet in de samengestelde bewegingen, die bij een weefgetouw voorkomen, enz.

De inrichting van een eenvoudig werktuig, waarvan er dikwijls verschillende in de grootere samengestelde werktuigen voorkomen, is bepaald door de twee bewegingen, die door dat werktuig in elkander moeten worden omgezet; naar aanleiding van deze kunnen wij ze dan ook in twee groepen verdeden:

A. die, bij welke de twee bewegingen, zoo de afmetingen der werk-tuigdeelen hiertegen geen beletsel opleveren, voortdurend in denzelfden zin kunnen voortgaan, niet periodiek zijn;

B. die, bij welke, of eene der beide bewegingen, of wel beide periodiek van richting veranderen.

Bij elk dier beide groepen kan het verband tusschen de beide lichamen, waarvan het eene zijne beweging op het andere moet overbrengen, gevormd zijn:

Volgens deze verdeeling zullen de voornaamste enkelvoudige werktuigen behandeld worden.

WEUKTU1GEN MET NIET-PERIODIEKE BEWEGINGEN EN ONMIDDELLIJKE AANRAKING DER BEWEGENDE DEELEN.

a. Schijven met wrijving, tandraderen. â Men bedient zich van deze werktuigdeelen, zoo men de ronddraaiende beweging om eeno as wil overbrengen op eene andere as, welke niet te ver van do eerste verwijderd is. Op beide assen bevestigt men dan deze schijven of raderen, die, Ã¶f tegen elkander drukkende eenvoudig door wrijving, Ã¶f door het in elkander grijpen dor tanden en tusschenruimten, genoodzaakt zijn elkanders beweging te volgen. Gewoonlijk verlangt men dat, zoo de beweging om de eene as eenparig is, dit dan ook het geval zij met do andere; wij zullen deze onderstolling ook aannemen.

Bescliouwon wij eerst de schijven met wrijving. Do assen, welke zij in onderling verband brongen, zijn Ã¶f evenwijdige, of snijdende, Ã¨f kruisende lijnen; dit geeft aanleiding tot drie soorten van schijven. Men verlangt namelijk dat, om een behoorlijk medevoeren van de eene schijf

door do andere te verzekeren, en geene ongelijkmatige slij-â ' 1 ting te weeg te brengen, hare

kan in hot eerste geval alleen geschieden, zoo do schijven â¢' rechte cirkelvormige cilinders

bewegingsassen samenvallen, in het tweede geval (fig. 21), zoo beide afgeknotte kegels zijn, waarvan de assen eveneens met de bewegingsassen samenvallen, zoodat hunne toppen in het snijpunt der assen liggen; in hot derde geval (fig. 22) kan eene dor schijven een cilindrisch of kegelvormig oppervlak hebben; om aan do voorwaarde van aanraking volgens eene rechte lijn te voldoen, moet het oppervlak van de andere dan oene zoogenaamde hyper-boloÃ¯de zijn (een oppervlak te weeg ^ 'S- gebracht door de wenteling van eene

rechte lijn om eene kruisende lijn als as); in plaats van eeno cilindrische of kogelvormige cn eene hyperboloÃ¯dische schijf kunnen ook twee hyper-

boloÃ¯discho schijven gebruikt worden. Moor algemeen bedient men zich echter bij kruisende assen van twee paar kegelvormige schijven; trekt men namelijk eene lijn AB (fig. 23), welke do twee kruisende lijnon CA en BD snijdt, dan kan door een paar kegelvormige schijven eerst de bewoging van CA op AB, en door oen tweede paar van AB op BD overgebracht worden.

De betrekking tusschen de snelheden dor assen bij cilindrische en kegelvormige schijven kan gemakkelijk worden bepaald.

Brengen wij eeno doorsnede loodrecht op de as der cilinders, of door een zelfde punt dor aanrakingslij ii twee doorsneden loodrecht op de assen der kegels, dan worden beide paren gesneden volgens cirkels, die bij hunne wenteling voortdurend in aanraking zullen zijn. Bij eene voldoende wrijving, zal do eene schijf de andore geheel medevoeren, en de lengte van den boog, pig. 23.

door oen punt van den eenen cirkel afgelegd, zal dan altijd gelijk zijn aan do lengte van den boog, welken een punt van den anderen cirkel in dien-zelfden tijd aflegt, de schijven rollen over elkander; was do wrijving niet groot genoeg, dan zou, terwijl de eene schijf draait, de andore gedeeltelijk stil kunnen staan, zoodat do doorgeloopen bogen ongelijke longte zouden hebben; do schijven (jlijden dan gedeeltelijk over elkaar. Nemen wij nu het eerste geval aan, dat men altijd tracht te verwezenlijken, dan zullen beide cirkels, waarvan do stralen r en r' zijn, in de tijdseenheid gelijke bogen l afleggen; de hoeksnelheden zijn dan (zie pag. 9):

De hooksnelhoden zijn dus omgekeerd evenredig met de stralen der grondvlakken van de cilindrische schijven, of met de stralen der cirkelvormige doorsneden door een zelfde punt der aanrakingslijn bij de kegelvonnigo schijven.

Om genoegzame wrijving to verkrijgen maakt men de oppervlakken der schijven ruw, terwijl daarenboven meestal slechts eeno der assen een vasten stand hoeft, de andere daarentegen beweeglijk is, zoodat de hierop bevestigde schijf met meer of minder kracht tegen de andere kan aangedrukt worden. Do schijven met wrijving worden gebezigd als de kracht, noodig om de as rond te voeren, niet te groot is, of wanneer deze aan plotselinge sterke veranderingen onderhevig is; de toeneming der kracht, die andere werktuigen zou kunnen doen breken,

Moer in gebruik zijn de tandraderen, waarbij de tanden van het eene rad grijpen in de ruimten tusschen de tanden van het andere rad, en zoo door de drukking van de zijvlakken dier tanden de beweging overbrengen. Zij kunnen dezelfde bewegingen overbrengen als de schijven met wrijving, welke zij uit een theoretisch oogpunt altijd kunnen vervangen; men heeft dus ook cilindrische, kegelvormige en hyperboloÃ¯dische raderen, waarvan do laatste echter bijna nooit gebruikt worden. In een samenstel van raderen worden de grootere gemeenlijk alleen raderen, de kleinere rondsels genoemd. Zoo bij cilindrische raderen de tanden in het cilindervlak zijn aangebracht, heeten zij spoorraderen, zoo zij op het bovenvlak van den cilinder zijn geplaatst, noemt men ze kamraderen, de tanden zelve kammen. Om de sterkte dier kammen te vergrooten, worden zij dikwijls met hunne beide uiteinden in schijven bevestigd; men verkrijgt dan schijfloopen of lantaarns. Kegelvormige raderen worden ook kroonraderen genoemd. De tanden der in elkander grijpende raderen zijn gewoonlijk volgens eene rechte lijn met elkander in aanraking, enkele malen slechts in een enkel punt, b.v. bij een kamrad met schijfloop op elkander snijdende assen. In het eerste geval zijn de gebogen tandoppervlakken cilinders, waarvan de beschrijvende lijn evenwijdig is aan de onderling evenwijdige assen, of kogels, waarvan de toppen in het snijpunt der assen liggen.

De cirkelvormige doorsneden door een punt der aanrakingslijn van do cilindrische of kogelvormige schijven, waarvan de tandraderen de plaats innemen, en die dus dezelfde bewegingen als deze laatsten zouden overbrengen, heeten steekcirkels â¢, onder den straal van een rad verstaat men altijd dien van den steekcirkel.

De hoofdvoorwaarde, waaraan het aantal en de vorm der tanden moeten voldoen, is deze: dat bij do beweging der raderen de steekcirkels over elkander rollen, niet glijden, zoodat eene eenparige beweging om de eene as eene insgelijks eenparige beweging om de andere as ten gevolge heeft.

Om dit te bereiken moet, in de eerste plaats, het aantal tanden op beide raderen evenredig zijn met de omtrekken of de stralen dor steekcirkels; zoo toch, bij een bepaalden stand beginnende, het eene rad n tanden is voortgegaan, is dit ook het geval met het andere rad; daar nu ook de bogen, door een punt van elk der beide steekcirkels afgelegd, volgens de gestelde voorwaarde gelijk moeten zijn, moeten op gelijke bogen der steekcirkels evenveel tanden voorkomen, of wel het geheel aantal tanden evenredig zijn met de omtrekken of de stralen der steekcirkels; de afstanden tusschen het midden van twee opvolgende tanden op beide steekcirkels zijn dus gelijk. Het is verder duidelijk, dat de ruimte tusschen twee tanden van het eene rad groot genoeg moet zijn om een tand van het andere rad te bevatten; om het stooten der tanden te voorkomen, is het echter noodig dat die tusschenruimte, op den steekcirkel gemeten, zoo weinig mogelijk, ongeveer

¹/i0) grooter is dan do tanddikto. Do longto dor tandon is gomoonlijk zoo groot dat deze door den steekcirkel worden middon door gedeeld.

Opdat de overdraging der beweging zonder schokken plaats vinde, is het noodig dat hot aantal tanden en hunne lengte zoo groot is, dat zoodra door de bewoging der raderen de aanraking van een paar tanden ophoudt, er roods eene behoorlijke aanraking tusschon het volgende paar bestaat.

Gewoonlijk maakt men do tanden zoo, dat als een paar elkander in het midden aanraakt, bij het voorafgaande paar de aanraking juist ophoudt en bij het volgende paar de aanraking juist begint (flg. 24).

voorwaarde voldoen dat als het eene rad eone eenparige beweging heeft, aan het andero eveneens eene eenparige beweging wordt medegedeeld. Verlangt men verder dat het rad zoowel in do eene als in de andere richting de beweging kan overdragen, dan moeten de zijvlakken van

Indien de hooksnelhedon der beide assen zeer veel moeten verschillen, zou hot gebruik van Ã©Ã©n paar raderen bezwaren opleveren; men gebruikt dan samenstellen van in elkander grijpende raderen en rondsels op assen, die bij evenwijdigheid der beide eerste assen ook aan deze evenwijdig zijn, on tusschen deze worden gestold. Laten A en E de beide assen zijn, waarvan E veel sneller moet rond gaan dan A, dan bevestigt men op de onderling evenwijdige assen B, C en D raderen en rondsels, met elkander en met de raderen op A en E in contact,

C, D en E r, r,, r*, en dan zijn, daar de hoeksnelheden van het rad en het rondsel op dezelfde as gelijk zijn, volgens form. XIV:

hooksnolh. A : hooksnolh. B r= hocksnelh. B : hooksnolh. C hooksnolh. C ; hooksnolh. D =

daar hot aantal tanden op elk dor raderen T, Tj, T₂₎ T₃, t, t_l enz. evenredig is met do stralen, mag men ook schrijven:

T X Tj X To X T3 tXhXhXh Do rotatie om de assen A en E vindt in dezelfde richting plaats, indien het aantal roteerendc assen bij het samenstel van raderen (in dit geval vijf) oneven is; bij een even aantal assen draaien de uiterste in tegengestelde richting.

In plaats van raderen, waarvan de steekcirkels elkander uitwendig raken, kan men zich ook bedienen van raderen met inwendig rakende steekcirkels; de tanden moeten zich dan op den binnenomtrek dor raderen bevinden, maar ten opzichte van hun aantal, vorm on grootte geldt hetzelfde, wat bij de raderen met uitwendige raking is medegedeeld. De bewegingen van twee raderen met inwendige raking vinden in dezelfde richting plaats, terwijl zij bij twee uitwendig rakende radoren tegengesteld gericht zijn.

Raderen mot meerdere, onderling evenwijdige, verspringende tandrijon op dezelfde cilindrische of kegelvormige oppervlakte naast elkander, en de hieruit afgeleide raderen met schuine tandvlakten om het stooten bij den overgang van een tand tot een volgenden nog vollediger op te heffen. Raderen, waarbij niet de ge-heelo omtrek met tanden is voorzien, voor bewegingen met tusschenpoozen.

Samenstellen van gewone raderen en rondsels in uurwerken, windassen, kranen, molens enz.; van kegelvormige raderen met kruisende assen bij windmolens; van kamrad en schijlloop met snijdende assen, bij karnmolens, enz.

b. Rad met heugel. â Een heugel is eene getande staaf, waarinde tandon van oen rad grijpen. Dit werktuig wordt onmiddellijk uit het samenstel van twee raderen afgeleid, door de stralen van een van deze oneindig groot te nemen, waardoor dus de steekcirkcl cene rechte lijn wordt. Door deze inrichting wordt cene cirkelvormige beweging veranderd in eeno rechtlijnige, of omgekeerd. De eerste omzetting is hot meest in gebruik.

Is de hooksnelheid van het rad in doelen van den straal als eenheid w, de straal van don steekcirkcl r, dan is do rechtlijnige snelheid v van den heugel bepaald door:

1	1
R	r '
1	1
Ri^:	V
1	1
ÃV
1	1
R7^:	^: V

In plaats van een rad lean men een samenstel van raderen en rondsels gebruiken; gemeenlijk zijn zij zoo ingericht, dat de snelheid van het rad, dat in den heugel grijpt, veel kleiner is dan die van het eerste rad, dat in beweging wordt gebracht. Gebruik makende van form. J en XVI, bepaalt men gemakkelijk de verhouding tusschen de snelheid van den heugel en van de kruk, waardoor het eerste rad wordt rondgevoert.

De tanden op rad en heugel kunnen ook vervallen, door wrijving moeten dan do schijf en staaf elkander hare bewoging mededeelen.

Heugel en rad worden gebruikt bij de dommekracht, in de houtzaagmolens voor hot voortbewegen der sleden, waarop het hout bevestigd is, bij metaalschaafmachines bij het openen der rinketten of schuiven in sluisdeuren, bij het openen en sluiten der sluisdeuren zelve, waarbij dan de heugel beweeglijk aan de deur is verbonden; enz. Tot de schijven en heugel, die door wrijving hunne beweging overbrengen, zijn ook te rekenen do kleine draaiende schijljes, die gebruikt worden om de lengte van kromme lijnen te meten.

c. Schroef. â Zoo men het oppervlak van een rechten cirkelvormi-gen cilinder, waarvan grond- en bovenvlak loodrecht op de as staan.

volgens eene lijn evenwijdig aan de as doorsnijdt, en dit oppervlak afwikkelt (fig. 26), verkrijgt men een rechthoek, Verdoelt men nu i ie zijde van den rechthoek, volgens welke het cilindervlak is doorgesneden, in eenige gelijke doelen, trekt uit de deelpunten i^oodrecM op die zijde, welke de tegenovergestelde zijde in de punten L, 1, U en II snijden, trekt men vervolgens de lijnen BE, CF en DG, quot;i-kelt ten slotte den rechthoek weder op den cilinder, dan zuÃ¼er laatst getrokken lijnen aan elkander sluiten, en eene gebogene lyn ALBMCND vormen, die men schroeflijn noemt. Men kan zie schroeflijn denken voortgebracht te zijn door een punt, dat op Het oppervlak des cilinders twee bewegingen hoeft, eene rechtlijnige ^t ^een-parige snelheid evenwijdig aan de as, en eene cirkelvormige eveneens met eenparige snelheid evenwijdig aan een vlak loodrecht op lt;⁰ lt; Zoo men den rechthoek nog niet geheel op den cilinder heeft gewik

P^Tn.rLS' Ã¯sÃT f'^Ãkbquot;quot;ⁱ8Â»Â» Â«Â«ok een be-lt;le rechthoek oMriehoetTfÃ¯iM iTquot;quot;' '^lt;i7ⁱⁱ,¹ waarin

een platte rechthoekige of een soiL ^ â¢ V^{8 8}'^aat'' ^{dan wortlt} hierdoor De cilinder met dien schroefdraad ^{C rie ant0} schroefdraad gevormd.

gelijken spoed en vorm van cfen och n j ^{strale11 der} cilinders en moer, en kan daarin rondtredra â¢ if' ^{past do} ^rschroef in de teling met betrekkin^ tot df ^WOrf^{en; wordt} ^ eene volle omwen-ten ^zichte van d Â°^n^r evenwM f ^dan zal z* zich tevens,

taveeinTtaÃ¯fJS'- lt;'Â»Â»' 0Â« werktuig eeâe eirkel,..â¢^ ' moer of de Â«Se^n quot;ST^TJ⁰⁶? ^zquot;

de schreef ef de moer, de os vau deÂ» 2 ic h ^{J t0ndwe}Â»^teiinÂ« quot;Â» plaatsen, en zoo em_eekeeid deze laatste I â oisene richting ver-

lijk de moer of de schroef, volgens hare as bewogen, en omgekeerd, indien deze laatste beweging medegedeeld wordt, zal do wenteling van het andere deel daardoor te weeg gebracht worden.

De betrekking tusschen de grootte der rechtlijnige en de daarmede gepaard gaande cirkelvormige beweging kan aldus gevonden worden. Zij het punt, waarvan men de cirkelvormige beweging beschouwt, op een afstand R uit de as verwijderd, en h de spoed van de schroef, dan is, bij eene geheele revolutie, de verplaatsing in don cirkel 2 n- R, en in de richting van de as gelijk A, en, daar eene eenparigheid van de eene beweging ook die van de andere ten gevolge heeft, is dus:

Men gebruikt gemeenlijk de schroef, zoo de cirkelvormige beweging veel sneller moet geschieden dan de rechtlijnige; in voel gevallen zou men dan echter h zoo klein moeten maken, dat de schroefdraden door hunne geringe afmetingen niet de noodige sterkte bezaten. Men kan zich dan van de differentiaalschroef bedienen. Bij deze zijn op denzelfden cilinder twee stel schroefdraden aangebracht met gelijke richting doch verschillende spoed (flg. 28), die zich elk in eene moer bewegen, waarvan de eene vast, de andere in de richting van hare as beweeglijk

met schroofbeweging, enz. Schroeven met twee schroefgangen, 6Ã©ne rechts en Ã©Ã©ne links gewonden, ter bevestiging van staven, spoorwegwagens, en/,. Schroef bij stoomschepen.

d. Schroef zonder einde. â In plaats van den schroefdraad to laton vatton in do uitholling van de schroofnioor, kan men hom ook laten grijpen in de ruimten tussohen de tanden van een rad; bij elke wonteling van de schroef zal dan hot rad Ã©Ã©n tand voortgaan. Is dus do spoed dor schroef h, de straal van het rad r, dan staan de hoek-snelhedon van schroef en rad, amp;gt; on w', in de volgende verhouding;

Men vindt de schroef zonder einde o. a. bij de beweging van het roer van grooto schepen, bij draaibanken, boorbanken, bij vele physische en astronomische werktuigen om eene langzame beweging om eene as tot stand te brengen, bij toestellen waarbij een groot aantal wentelingen van eene as moet getold worden, enz.

WERKTUIGEN MET NIET-PERIODIEKE BEWEGING EN EEN ONBUIGZAAM VERBAND VAN STAVEN TUSSCHEN DE BEWEGENDE DEELEN.

a. Verbindingsstangen. â Deze eenvoudige werktuigdeolon bestaan uit rechte staven, aan welker uiteinden de twee lichamen, die elkander hunne bewegingen moeten mededeelen, beweeglijk verbonden zijn. Zij komen bij een groot aantal werktuigen voor, zoowol om rechtlijnige als om cirkelvormige bewegingen over te brengen. Do cirkelvormige wegen, welke in dit laatste geval door de beide uiteinden dor verbindingsstang worden afgelegd, moeten, indien de beweging steeds in dezelfde richting voort zal gaan, gelijke stralen hebben, en de lengte der verbindingsstang is dan gelijk aan den afstand dor middelpunten. Bij deze beweging doet zich nog de volgende bijzonderheid voor. Zoo de rich-.......âK_________________________- J-

ting der verbindingsstang AB (flg. 29) mot do lijn door de middelpunten samenvalt, zal eene beweging van A, in de richting naar C, eene bewoging van B zoowol naar D als naar D' ten gevolge kunnen hebben.

In B, en eveneens in B', is dus de richting der beweging onbepaald; men noemt die punten doode punten. Om toch de beweging van de as N

altijd in denzelfden zin te doen plaats vinden, worden de assen M en N dikwijls nog door eene tweede stang KL verbonden, zoodat de straal MK loodrecht op MC is; is dan de eene stang in een der doode punten, dan is de andere er zoover mogelijk van verwijderd.

b. Hefboom. â De hefboom is eene rechte of gebogene staaf, om eene as beweegbaar. Aan de uiteinden dier staaf zijn, gemeenlijk om assen beweeglijk, de lichamen bevestigd, die elkander in beweging moeten brengen. De rechte lijnen van het draaipunt tot aan de bevestigingspunten der lichamen heeten hefhoomsarmen; liggen deze beiden in eene rechte lijn, dan is de hefboom recht, maken zij een hoek, dan heet do hefboom gebroken. Bij den rechten hefboom kan het draaipunt of tusschen, of buiten de bevestigingspunten der beweeglijke lichamen liggen.

Deze bevestigingspunten beschrijven, natuurlijk altijd met gelijke heek-snelheden, cirkelbogen om het vaste draaipunt als middelpunt. Zoo do hefboomsarmen a en h zijn, en de lineaire snelheden der bevestigingspunten v,, en Vb, terwijl de hoeksnelheid w is, dan is:

Dikwijls worden samenstellen van verschillende hefboomen mot ver-bindingsstangen gebruikt, om bepaalde bewegingen tot stand te brengen.

Rechte hefboomen vindt men in de balans bij stoommachines, in de trede of' pedaal bij draaibanken enz., bij ophaalbruggen, bij den kniehefboom, bij verschillende physische werktuigen om kleine bewegingen te vergrooten, bij de gewone balans of weegschaal, bij de unster enz.; de gebroken hefboom vindt men bij de tuimelaars om de beweging naar schollen over te brengen, bij den koevoet, bij sommige briefwegers, enz.; samenstellen van hefboomen komen voor bij de brug-balans, de balans van Roberval, den verkleinaap enz.

c. Kruk. â Eene kruk dient om eene cirkelvormige beweging over te brengen. Zij bestaat uit eene rechte of gebogene stang met haar eene uiteinde loodrecht aan de as bevestigd, die rondgevoerd moet worden. Aan het andere uiteinde van de kruk wordt, gemeenlijk om een cilin-drischen tap beweeglijk, het lichaam verbonden, hetgeen de cirkelvormige beweging mededeelt. De afstand van het midden van dien tap tot de omwentelingsas heet knikarm.

Het is duidelijk dat do hoeksnelheden van het uiteinde der kruk en van de as of van een punt van het daaraan bevestigde lichaam, gelijk zijn; de lineaire snelheden zijn echter zeer verschillend, zij staan tot elkander in dezelfde reden als de lengte van den krukarm tot den straal van den cirkel, welken dat punt beschrijft.

De krukken komen voor bij een groot aantal werktuigen, die door de hand bewogen worden; de verbinding van kruk en stang wordt later behandeld.

WERKTUIGEN MET NIET-PERIODIEKE BEWEGING EN EEN BUIGZAAM VERBAND VAN KOORDEN OP KETTINGEN TUSSCHEN DE BEWEGENDE DEELEN.

a. Katrollon. â Eene katrol is eone schijf, door welker middelpunt eene as of spil is gestoken, die of aan de schijf is bevestigd en dan in tapgaten in een beugel draait, of wel aan den beugel is vastgemaakt, zoodat de katrol, of de katrolschijf, zooals zij ook genoemd wordt, zich om de spil beweegt. Op den buitenkant is eene groef die een koord of ketting kan bevatten, welke om de katrol geslagen wordt. De katrollen verdeelt men in twee soorten: 1Â°. de vaste katrollen, 2ⁿ. de losse katrollen, Bij de eerste soort behoudt de as of beugel waarom, of waarin do katrol draait een onveranderden stand, on de beweging wordt van het eene uiteinde van het koord met onveranderde snelheid overgebracht naar het andere uiteinde in eene richting, die of evenwijdig maar tegengesteld aan de eerste is, of daarmede een hoek maakt. De richtingen der beide bewegingen, door de richtingen der beide deelen van het koord aangegeven, liggen altijd in een zelfde vlak.

Wil men de beweging overbrengen in eene richting, welke die der eerste beweging kruist, dan moet men zich minstens van twee schijven bedienen (fig. 30), zoodat het koord tusschen die beiden met elke dor

gegeveno richtingen in een vlak ligt. Bij het overbrengen der beweging op grootore afstanden gebruikt men somtijds meer schijven om het koord te ondersteunen.

Bij de tweede soort, de losse katrol, is het koord ook om de katrolschijf geslagen, doch met zijn eene uiteinde F (fig. 31) aan een vast punt bevestigd, terwijl aan liet andere uiteinde E eene beweging wordt medegedeeld, en het lichaam, waarop de beweging moet worden overgedragen, aan een beugel om de as bij M is bevestigd.

Laten FA en EA de richtingen der koordon en M het middelpunt der schijf zijn in den oorspronkelijken stand, terwijl na eene kleine beweging aan het koord bij E die richtingen zijn EB en BF, en het middelpunt der schijf gekomen is in M'. De verplaatsing van het koord bij

E is dan gelijk aan hot verschil van de lengte van het koord tusschen de punten E en F rond de schijf in den eersten en in den tweedon stand geslagen, terwijl de verplaatsing van het lichaam aan don beugel gelijk is aan MM'.

Bij eene zeer kleine beweging mogen EA en EB, als even wij dig worden bescho u wd,

en eveneens FA on FB; de deelen van het koord, die in beide standen om de schijf zijn geslagen, zijn dan ook gelijk en eveneens de afstanden van de raakpunten van

met de schijf in den eersten stand, verminderd met de som der overeenkomstige grootheden in don tweeden stand, welk verschil overeenstemt mot EA -j- FA â (EB -j- FB). Trekt men BC en BI) loodrecht op EA en FA, dan is in de genoemde onderstelling EA â EB gelijk AC, en de bewoging van het koord bij E gelijk' 2 AC, terwijl de verplaatsing van de as der schijf gelijk AB is. Zij hoek FAE = 2 Â«, dan is:

en zoo men de snelheid van hot uiteinde E van het koord v, die van de as der katrol c noemt, wordt;

In den regel is dus de snelheid van de losso katrol geringer dan dio van het koord, en wel bij evenwijdige koorden, als 2 a gelijk 0 is, slechts de helft er van.

Men kan ook losso en vaste katrollen voreenigen tot zoogenaamde takels of takeltuigen, bij welke achtereenvolgens liet koord geslagen is om eene vasto en eene losse katrol (flg. 32). Al de vaste katrollen zijn dan met hare assen in Ã©Ã©n blok draaibaar, en vormen gezamenlijk hot zoogenaamde vaste blok, terwijl de losso katrollen, op gelijke wijze verbonden, te zamon het losse blok vormen. Men tracht do schijven zoo te plaatsen, dat zij de minste ruimte innemen, on de koorden zooveel mogelijk evenwijdig zijn. Daartoe worden do assen Ã³f evenwijdig onder elkander gestold, of wel men gebruikt eene gemeenschappelijke as.

Daar bij eene rijzing van het losse blok, elk der onderling evenwijdige koorden zooveel wordt ingekort als de verplaatsing van het blok

bedraagt, staat de beweging van het vrije uiteinde van het koord tot die van het losse blok, als het aantal van de evenwijdige koorden, die het losse blok dragen, tot de eenheid.

Katrollen en takels komen voor bij bijna alle toestellen voor het ophijschen van lasten, bij kranen, bij heitoestellen, op schepen voor het bewegen der zeilen enz. Spaansche takel, (lifl'erentiaaltakel.

b. Windas; kaapstander. â Het Â«Â«wdas is een horizontale cilinder, welke om een paar tappen, in de richting der as er aan bevestigd, in pannen kan ronddraaien, terwijl aan zijn omtrek een koord is vastgemaakt, dat bij die ronddraaiende beweging op- of afgewonden wordt; het vrije uiteinde van het koord verkrijgt dan eene rechtlijnige beweging. Is de cilinder in plaats van horizontaal, verticaal gesteld, dan draagt het werktuig den naam van kaapstander.

De cirkelvormige beweging kan op verschillende wijzen worden medegedeeld, door eene kruk, door spaken, welke door gaten in den cilinder worden gestoken, door een boom, welke door een paard wordt rondgevoerd, door een treerad, enz. Zoo de lengte van de kruk, van de spaak of van den boom, of de straal van het treerad R is, en de straal van den cilinder r, dan wordt gedurende eene omwenteling bij de cirkelvormige beweging een weg 2 tt R, bij de rechtlijnige beweging een weg 2 nr afgelegd. De snelheden van beide bewegingen staan dus tot elkander als R tot r.

Men kan de betrekking tusschen de snelheid van het windas en van het op- of afgewonden koord regelmatig doen veranderen, door den cilinder te

vervangen door een afgeknotten kegel, waarin eene groef is gesneden om het koord op te nemen (fig. 33).

Het windas wordt veelvuldig voor het hoHen van lasten gebruikt, bij kranen en bokken, bij toestellen om uit mijnputten lasten naar omhoog te bewegen, bij sommige heitoestellen en/,.; de kaap-Fig. 33. stander wordt meer voor hot verplaat

De snek in de uurwerken. Invloed van de verdikking van den cilinder door hot opgewonden koord. Differentiaal-windas.

c. Koord zonder einde. â Zoo de beweging moet worden overgebracht op eene as, die op een tamelijk grooten afstand verwijderd is van de as, waarvan de beweging uitgaat, bedient men zich van den riem of het koord zonder einde, hetgeen geslagen is over twee schijven, welke op die assen bevestigd zijn.

Hot koord moet do noodigo spanning bezitten om door de wrijving van de eene schijf te worden medegevoerd, en ook do andere schijf in beweging te brengen. Zoo men zich van een ketting bedient, zijn gewoonlijk op de schijven tanden of pennen aangebracht, welke in de schalmen van den ketting grijpen.

Liggen de schijven in Ã©Ã©n plat vlak, en moeten beide in dezelfde richting omweiitelen, dan moet elk dor beide deelen van den riem zonder

wegingen van de beide assen aan elkander tegengesteld, dan moeten de raakpunten van elk der twee deelen van den riem, die dan langs elkander loopen, aan verschillende kanten der schijven gelegen zijn (flg.

35). Zoo de beide schijven in twee elkander snijdende vlakken liggen, moet men door rollen of leischijven de richting der koorden van het eene vlak in. het andere overbrengen (fig. 30);

do plaats dier rollen wordt aldus bepaald. Zij CD do doorsnede van die twee vlakken, dan moet de eene rol zoo gesteld zijn, dat do beide koorden GH en KL elkander in een punt E van CD snijden, terwijl de rol zelve in het vlak van do beide lijnen GH en KL moet liggen; de plaats van de tweede rol bepaalt men op gelijksoortige wijze.

Het is duidelijk dat, zoo het koord niet over de schijven glijdt, de lineaire snelheden van al de deelen van het koord on van de omtrekken Flg. 36.

tier schijven gelijk zijn, en de hoeksnelhedon der assen dus omgekeerd evenredig zijn met de stralen van do schijven. Om do betrekkelijke snelheden dier assen te wijzigen, worden dikwijls verschillende schijven van ongelijke grootte naast elkander op die assen bevestigd; naarmate men den riem over do eene of andere schijf laat loopen, heeft men dus oene andere betrekking tusschen de snolheden dor assen. In plaats van meer cilindrische schijven kan men ook op elk der assen eene kogelvormige schijf stellen, waarlangs het koord of de riem kan geschoven worden.

Men kan den riem zonder einde ook gebruiken om eene voortgaande beweging' aan den riem en de daaraan bevestigde voorwerpen mede te deelen.

Oppervlak dor schijven bolvormig, zoo men plutte riemen, hol, zoo men koorden of kabels, van pennen voorzien, zoo men kettingen gebruikt. Verandering in de lengte en do spanning van koorden en pezen door vocht en droogte. Wijziging van de spanning door het meer of minder aanhalen van gespen, door verwijdering of nadering der assen, door het aandrukken van een spanschijfje.

Do riemen zonder eind komen in allo fabrieken voor, waar zij de beweging van eene rondwentelende hoofdas op de assen van verschillende werktuigen overbrengen, bij draaibanken enz.; door de metaalkabels van Hirn kan de beweging op meer dan lÃ¼OO meters worden overgebracht. Ter verplaatsing van lasten, wordt het koord zonder eind gebruikt bij hijschtoestellen, bij moddermolens, bij noria's, bij den transportkabel enz.

WERKTUIGEN MET PERIODIEKE BEWEGING EN ONMIDDELLIJKE AANRAKING DER BEWEGENDE LICHAMEN.

a. Getande raderen met afwisselende beweging. â Zoo twee raderen elkander uitwendig raken, hebben zij tegengestelde, bij inwendige raking, gelijk gerichte bewogingen. Zoo men dus oen rad beurtelings in in- en uitwendige aanraking brengt met een ander rad, verandert oene dor bewegingen periodiek van richting. Op verschillende wijzen is dit mogelijk: o. a. door op dezelfde as twee concentrieke raderen te plaatsen (flg. 37), het grootste gedeeltelijk inwendig, het kleinste gedeeltelijk uitwendig van tanden voorzien; de boog, waarop bij het eene rad de tanden voorkomen, is tusschen dezelfde stralen begrepen als de boog, waarop bij het andere rad de tanden zijn vervallen. Do andere as, op welke de beweging moet worden overgebracht, is midden tusschen de beide omtrekken der raderen geplaatst, en voorzien van een rondsel.

dat achtereenvolgons in beide raderen grijpen zal; wanneer dus de eene as eene beweging voortdurend in denzelfden zin heeft, is die van de andere as periodiek veranderlijk.

Door een heugel mot rondsel, op gelijksoortige wijze ingericht, kan men eene cirkelvormige bewoging in eene periodieke rechtlijnige veranderen, b. Excentrioken â Eene excentriek is een lichaam met gebogen

oppervlak, dat om eene as ronddraait, en hierdoor eene periodieke beweging mededeelt aan een ander lichaam, dat tegen dat oppervlak drukt, en in zijne beweging door stangen of vaste assen geleid wordt.

De meeste eenvoudige vorm is de cirkel-excentriek (fig. 38) on (fig. 39), bij welke de bewegingsas buiten hot middelpunt valt; het lichaam, waaraan deze excentriek hare beweging moet mededeelen, is of aan een ring bevestigd, die los om de excentriekschijf is geslagen (fig. 38), Ã¶f in een enkel punt tegen de excentriek aangedrukt (fig. 39).

In plaats van den cirkelvorm, kan men natuurlijk allerlei andere vormen aan de excentriekschijf gevon, en dus de aard der periodieke beweging zoo regelen, als men verlangt. Het lichaam rust dan in een enkel punt gewoonlijk met eene kleine rol tegen de op- Fig. 40.

pervlakte, of de excentriek bevindt zich binnen een rechthoekig raam (fig. 40), waarvan zij de beide evenwijdige zijden aanraakt; beurtelings tegen do eene en do andere zijde drukkende, veroorzaakt zij dus eene heen-en weergaande beweging.

Tot de excentrieken zijn ook te rekenen de insgelijks om eene as draaibare lichamen, gemeenlijk schijven, cilinders of kegels, waarvan hot oppervlak voorzien is van eene groef of uitstekende rand van

togon welke het lichaam, dat bewogen moet worden, met een knop of tand rust (flg. 41). Bij de wenteling van zulk eene gewijzigde excentriek, wordt ook het lichaam, dat in zijne beweging door vaste punten of stangen geleid wordt, heen en weer bewogen.

De excentriek wordt gebruikt voor de beweging van metaalscharen, van persen, van pompstangen enz. Het veelvuldigst en in de meest verschillende vormen komt zij echter voor bij de stoommachines, waar zij moet dienen om op de juiste oogen-blikkeu de toe- en afvoeropeningen voor den stoom te sluiten en te openen.

c. Cilinders met duimen â Op den omtrek van een rondwentelende!! cilinder zijn een of meer uitstekende tanden, duimen of vuisten genoemd, bevestigd, welke eene staaf voortbewogen, die Ã¶f onmiddellijk met haar uiteinde, of door eene zijdelings uitstekende nok tegen de gebogen vlakte van den duim rust. Wanneer de duim bij de wenteling van don cilinder de staaf verlaat, gaat deze door de kracht, welke haar tegen den duim aandrukte, gewoonlijk de zwaartekracht, wederom terug en wordt eenigen tijd later wederom door denzelfdon of een anderen duim geligt. Men verkrijgt aldus eene heen- en weergaande beweging. Omtrent don vorm van duimen en nokken gelden dezelfde regels als bij de tanden van heugel en rad.

Voorbeelden worden opgeleverd door de stampwerken voor het vergruizen der ertsen, door de zware smeehamers, staart-, front- en borsthamers enz.

WERKTUIGEN MET PERIODIEKE BEWEGING EN KEN ONBUIGZAAM VERBAND VAN STAVEN TUSSCHEN DE BEWEGENDE LICHAMEN.

a. Kruk en stang. â Aan het einde van eene kruk (ftg. 42) is door middel van eene spil, of van eene pon in eene gleuf, eene stang, trekstang of krukstang, verbonden, welke met haar andere uiteinde, in den regel ook door middel van eene spil, bevestigd is aan het voorwerp CD, dat eene heen-en weergaande beweging heeft. Bij elke rondwenteling van de kruk gaat dan het uiteinde 0 zooveel op en neer, als de dubbele lengte van den krukarm bedraagt.

Zoo de beweging uitgaat van de krukstang, komen bij die beweging even als bij die van twee krukken met eene verbindingsstang (pag. 33) twee doode punten P en Q voor, waarin het uiteinde B van den krukarm zich bevindt, zoo de kruk en de krukstang in eene rechte lijn liggen. Eene beweging van C in de lijn QD is dan niet mogelijk, tenzij kruk of krukstang samengedrukt of uitgerekt wordt. Eerst wanneer het uiteinde van dc kruk een weinig buiten die doode punten valt, kan de ronddraaiende beweging verder

voortgaan. Gewoonlijk komt nu, zonder bijzondere inrichtingen, het punt B voorbij P en Q, daar het, met zekere snelheid in die punten komende, ook zonder de werking van de krukstang, zijn weg nog over een klein deel zal vervolgen. Wil men echter hot gevaar, dat die doode punten opleveren, geheel opheffen, dan gebruikt men twee knikken loodrecht op elkander staande en beide aan eene afzonderlijke krukstang verbondon.

Zoo daar, waar men de kruk wil stellen, do as niet eindigt, moet deze op dat punt in den vorm van een elleboog gebogen zijn (Ã¼g. 43); de krukstang is dan met een ring aan de as bevestigd, die op dat punt als het ware twee krukken vormt, welke tegenover elkander op dezelfde spil bevestigd zijn. Men kan natuurlijk de as op verschillende punten van ellebogen voorzien, welke in verschillende vlakken kunnen liggen, en door hieraan krukstangen te bevestigen, kan men met dezelfde rotee-rende beweging verschillende heen- en weergaande bewegingen voortbrengen. _Fig 43

De beweging gaat uit van de krukstang en wordt door de kruk op de as overgebracht bij de meeste stoomwerktuigen, zoowel bij de gewone balansmachines, als bij de direct werkende, waarvan de locomotief, en de oscilleerende, waarvan veel bootmachines voorbeelden opleveren. Diezelfde overbrenging van beweging komt voor bij draaibanken met treden, bij draaiende slijpsteenen enz.

De beweging gaat omgekeerd van de as uit en wordt door de krukstang overgebracht bij de zaagramen in houtzaagmolens, bij de mechanische steenzagen, bij pompzuigers enz.

b. Krabbelraderen. â Do zijvlakken van de tanden der raderen zijn niet zooals bij do gewone tandraderen aan elkander gelijk, doch verschillend gevormd; het eene zijvlak staat ongeveer loodrecht op den omtrek van het rad, hot andere is met betrekking tot dien omtrek flauw gebogen (flg. 44). In de tusschenruim-ten vatten de uiteinden van twee stangen {krabbelaars of krabbers),

die als een haak of als een stooter gevormd zijn en door de hoen- en weergaande beweging van eon hof-boom, waaraan zij zijn verbonden,

beurtelings het rad een tand vooruit trekken of duwen. De ronddraaiende beweging, welke op deze wijze ontstaat, is altijd vrij langzaam.

Zij komen voor bij houtzaagmolens voor de langzaam voortgaande bewoging van het hout, bij boor- schaaf- en stootmachines voor de langzame verplaatsing van

liet boor- schaaf- of stootijzer, ook bij sommige electrische uurwerken en \v ijzer-tclegraphen, bij welke door zulk een krabbelrad do wijzer wordt voortbewogen, enz.

c. Parallelogram van Watt. â Het komt meermalen voor, o. a. bij de stoommachine, dat men eeno rechtlijnige heen- en weergaande beweging (van den zuigerslang) in cene insgelijks periodieke cirkelvormige beweging (van het balansuiteinde) wil veranderen; zulks kan geschieden door de op- en neergaande stang in hare beweging te leiden door rollen of leiders, en haar door middel van eeno koppelstang te verbinden aan het lichaam dat eeno cirkelvormige beweging heeft. In dit geval wordt echter altijd de op- en neergaande stang zijdelings gedrukt, en zoo men dien druk onschadelijk wil maken, moet de verbin-dingsstang vrij lang zijn, hetgeen b.v. bij de stoommachines zeer hinderlijk is door de groote ruimte, die men hiervoor behoeft, en de grootore afmetingen, die andere doelen daardoor verkrijgen moeten. Om dit bezwaar op te heffen, heeft Watt eeno inrichting aangegeven, het parallelogram van Watt, door welke onmiddellijk eene beweging volgens een cirkelboog wordt verkregen uit eene beweging volgens eene rechte lijn, of liever volgons eeno kromme, die zoo weinig van eene rechto verschilt, dat men de afwijking buiten rekening kan laten.

Beschrijven wij eerst eene meer eenvoudige wijziging van dat parallelogram. In flg. 45, zij AB do balans van de stoommachine, welke om

C draaien kan en aan haar uiteinde A door middel van eene spil de stang AD draagt; deze is op hare beurt wederom in D beweeglijk bevestigd aan do stang ED, welke ten slotte om het vaste punt E kan draaien. De lengte van ED is gelijk aan die van AC, en hare richting is in den gemiddelden stand evenwijdig aan die van AC.

Trekken wij door het midden F van AD, in zijn gemiddelden stand, eeno lijn Gil loodrecht op AC of ED, en beschouwen wij de beweging van F ten opzichte van die lijn. Bij de beweging van de balans uit den gemiddelden stand, beschrijven A en D cirkelbogen met gelijke stralen doch tegengestelde krommingen, waardoor hunne afstanden

tot do lijn OH, op zeor woinig na, evonvool zullen veranderen, hot punt F, midden tusschon A en D liggende, Â«d dus slechts zeer wnjg van OH afwijken, zoo ten minsto de boog, welken de balans beschuj ,

Aan het uiteinde M der balans, en in A midden tusschen C en M, zijn twee even lange stangen AD en MN aan spillen bevestigd, en do uiteinden van deze worden door eene koppelstang DN, welke oven lang als AM is, oveneens beweeglijk verbonden, zoodat het samenstel van stangen AMND in verschillende standen kan gebracht worden, doch altijd een parallelogram blijft vormen, liet hoekpunt D is door eene trÃ©kstang ED, gelijk aan AC of aan de helft van CM, nvt hot vaste punt E verbonden, hetwelk zoo gekozen is dat, in den gemiddelden stand der balans (deze is niet in de fig. goteekond), ED evenwijdig aan CM loopt.

De stangen CA, AD en DE vorkeoren nu iu hetzelfde geval als in fig. 45, en hot punt F, in fig. 4G midden tusschen A on D liggende, zal ook op zeer weinig na eene rechte lijn beschrijven. Dit geschiedt echter, zooals gemakkelijk is aan te toonen, eveneens met N, want trekt men in een willekeurigen stand van hot parallelogram do lijn CN, die altijd door F' zal gaan, dan is steeds CN' gelijk aan het dubbel van CF', de kromme lijn, door N' beschreven, is dus gelijkvormig aan de baan van F', en zal dus ook met groote benadering als eeno rechte lijn kunnen beschouwd worden. Bij do stoommachines is gewoonlijk aan N de stang voor den stooinzuiger, aan F die voor den zuiger van de luchtpomp bevestigd.

d. Ruit van Poaucollier. â Eone inrichting, even als het parallelogram van Watt, eenvoudig bestaande uit een samenstel van stangen, die zich om assen kunnen bewegen en waarmede, niet bij benadering, doch volkomen nauwkeurig, eene cirkelvormige in eene rechtlijnige beweging wordt omgezet, is in het jaar 1864 door Peaucellier bedacht. Aanvankelijk trok zijne uitvinding weinig de aandacht, doch later werd het hooge gewicht er van erkend.

Het beginsel, waarop de verandering van beweging door het samenstel van stangen van Peaucellier (gewoonlijk de ruit van Peaucellier genoemd) berust, is het volgende. Zij ADD'CDquot; een cirkelomtrek en EEquot; loodrecht op de middellijn AC getrokken (fig. 47). Men trekke verder uit het punt A in den cirkelomtrek lijnen AE, AE', AEquot; enz. welke dien omtrek in D, D', Dquot; enz. snijden, dan is, zoo verder de hulplijnen CD, CD', CDquot; enz. getrokken worden;

De producten der stukken, begrepen tusschen A en de snijpunten met den cirkelomtrek en de loodlijn, hebben dus eene standvastige waarde.

Gemakkelijk volgt hieruit dat, als men uit eenig punt A van een cirkelomtrek lijnen trekt, welke dien omtrek in D, D', Dquot; enz. snijden, en men neemt op die snijlijnen punten E, E', Equot; enz., zoodanig dat de producten AD X A-E) AD' X A-E', enz. eene zelfde waarde hebben, die punten

E E' Equot; enz. noodzakelijk in eene rechte lijn moeten liggen Die rechte lijn, welke in fig. 47 geheel buiten den cirkelomtrek valt, kan er

Ten einde nu volgens dit beginsel uit eene cirkelvormige beweging eene rechtlijnige te verkrijgen, moet men een beweeglijk samenstel van stangen zoodanig construeeren dat 1Â«. drie punten, wier onderlinge af-

standen gedurende de beweging voortdurend veranderen, altijd in eene rechte lijn zullen liggen, en 2Â°. het product van de afstanden van het tweede en het derde punt tot het eerste oene standvastige waarde heeft. Gooft men dan aan het tweede punt eene beweging in oen cirkelomtrek, die door het eerste punt gaat, dan is de beweging van het derde punt rechtlijnig.

Zulk een samenstel is de ruit van Peaucellier. Zij bestaat uit vier even lange stangen AB, BC, CD en DA (fig. 48 en 49) in A, B, C en D

om assen beweegbaar; deze vier stangen vormen dan in eiken stand eene ruit. Verder is een punt E, liggende op de lijn die door A en C gaat, met de beide andere hoekpunten van de ruit verbonden door twee stangen, die in B, D en E eveneens om assen beweegbaar zijn.

Welke nu ook de onderlinge stand der stangen is, altijd zullen de punten A, E en C op oene rechte lijn liggen. Beschouwen wij verder /\ ABE en BEC dan is, zoo wij in de beide figuren ^ BEC gelijk E stellen:

waarin het bovenste teeken voor fig. 48, het onderste voor fig. 49 geldt. Elimineert men hierin cos. E, dan vindt men, daar AB â BC is, na eene korte herleiding:

â¢waarin weder het bovenste toeken voor fig. 48, hot onderste voor fig. 49 geldig is.

In de laatste formule is het tweede lid eene standvastige grootheid, welke vormsverandering het stangenstelsel ook ondergaat, derhalve zal steeds het product der afstanden van A en C tot E standvastig zijn. Geeft men nu in de eerste plaats aan de as bij E een vasten stand en laat men vervolgens C of A een cirkelomtrek doorloopen, die door het punt E gaat, dan beschrijft het andere punt A of C eene rechte lijn. De eenvoudigste wijze om het punt C of A een cirkelomtrek te doen doorloopen, die door E gaat, is nog eene tweede vaste as aan te nemen, op gelijke afstanden van E en C of E on A gelogen, en een der beide punten C of A met eene stang beweeglijk aan die as te verbinden.

Het is duidelijk dat het beweeglijke punt slechts een deel van den cirkelomtrek kan doorloopon, en dat do grootte van dat deel bepaald wordt door de afmetingen der stangen; men kan dus alleen eeno hoenon weergaande cirkelvormige beweging in eene heen- en weergaande rechtlijnige en omgekeerd veranderen.

Het is niet noodig, dat, zooals Peaucellier oorspronkelijk heeft voorgesteld, do vier stangen AB, BC, CD en DA alle gelijk zijn; men zal hetzelfde doel bereiken zoo AB gelijk BC en CD gelijk AD is, en BE en DE zoo lang zijn dat E in de diagonaal AC is gelegen.

Door andore samenstellingen van stangen kan hetzelfde doel bereikt worden als met de ruit van Peaucellier. Zij zijn echter allo minder eenvoudig dan deze, behalve het systeem van Hart (fig. 50), bestaande

uit 4 stangen AD, AC, BD en BC, waarvan AC gelijk BD en AD gelijk BC is. Beschouwt men do punten E, F on G gelegen in eene wille-kourigo rechte lijn, evenwijdig aan DC getrokken, dan zal het product EF X EG in elkon stand dor stangen standvastig zijn; indien AD om eene vaste as bij E draaien kan, en F of O bewogen wordt langs een cirkelomtrek, die door E gaat, zal het andere punt O of F eene rechte lijn beschrijven.

Voor een juist inzicht in deze veranderingen van beweging zal een klein model van latjes of reepjes bordpapier, met spelden aan elkander bevestigd, goede diensten bewijzen.

Wij zullen alleen die inrichtingen behandelen, waarvan de werking eenvoudig uit de bewegingsleer kan verklaard worden, zonder dat het noodig is de daarbij werkende krachten te beschouwen; op de andere kan eerst later gewezen worden.

a. Schijven langs eene as verschuifbaar. â In vele gevallen, waarin men het verband tusschen twee lichamen spoedig wil herstol-len of afbreken, om zoodoende, als oen van beide zich beweegt, ook het

andero in beweging te brengen, of het weder te doen stil staan, bedient men zich van eene schijf met eeno hollo bus langs oone cilindrische as verschuifbaar (fig. 51); om do beide doelen in elkanders

roteorondo beweging to doen doelen, is op do as oeno uitstekende nok bevestigd, terwijl in de holle bus oeno gleuf is aangebracht, waarin dio nok juist past. Gewoonlijk is do sohijf van con uitgoholden kraag voorzien, waarin hot oeno uiteinde van een hefboom past, terwijl hot andero uiteinde van den hefboom kan hoon en weer bewogen worden, om zoo aan do schijf de noodigo verschuiving mode te doolon, zonder dat de gomeenschappelijko rotoerende beweging van as en schijf verbroken wordt.

Dit werktuigdeel komt voor bij de koppeling en ontkoppeling van twee doelen eener as, die in elkanders verlengde liggen; de schijf is dan op verschillende wijzen ingericht. Eene eerste vorm vindt men bij de koppeling met wrijving', op hot eeno deel van de as is dan oen holle kogel vast bevestigd, op hot andero doel is eeno kegelvormige schijf, welke in dien hollen kogel past, langs oeno gleuf verschuifbaar aangebracht; door nu deze laatste met kracht in den hollen kogel te duwen, of er haar uit te verwijderen, wordt het verband tusschen do beide deelen der as hersteld of afgebroken. Een tweede vorm is do koppeling met getande schijven (flg.

52); op beide asdeelon bevinden zich dan schijven, welke op do voorvlakken voorzien zijn van tanden van zoodanigen vorm, dat die van do eeno schijf geheel in do tusschenrnimten van do andore sohijf passen. Zoo wederom do eene schijf aan do as is Fig. 52.

bevestigd, de andere langs hot andore asdeel kan verschuiven, wordt hierdoor, bij Ã³Ã³ne bewegingsrichting der assen, oeno zeer sterke verbinding van beide tot stand gebracht, die weder gemakkelijk kan verbroken worden. In do

eene vasto schijf wordt dan door een dwarsarm loodrecht op de as vervangen, de beweegbare schijf door een beweegbaren klauw, insgelijks uit oen dwarsarm bestaande, die aan elk uiteinde een tand draagt; door verschuiving van dien klauw kan men zijn tanden aan weers-^F'^g' ⁵³' zijden tegen den dwarsarm doen

Op dergelijke wijze kan men ook de verbinding van eene as en een daarop geplaatst rad herstellen en opheffen, zoo men bij de voorgaande inrichtingen het eene asdeel vervangt door een rad los op de andere as gestoken.

Zulk eene verschuifbare schijf bewijst ook hare diensten, zoo men de verbinding van twee evenwijdige of snijdende assen door raderen wil opheffen of herstellen. Het eene der beide in elkander grijpende raderen is dan langs eene nok op de as verschuifbaar, en zoo men het zooveel verplaatst, dat zijne tanden niet meer in de tusschenruimten van het andere rad vallen, houdt de verbinding der raderen op. Heeft men meerdere raderen op de assen, dan kan men zoo beurtelings het eene of het andere paar op elkander laten werken.

b. Pal en palrad. â De pal is een klein staafje gemakkelijk om eene as beweegbaar, hetwelk vallen kan tusschen de tanden van een zoogenaamd palrad, waarvan de tanden op ongeveer gelijke wijze zijn gevormd als bij de krabbelraderen. Bij eene beweging van dit palrad in Ã©Ã©ne richting, zal de pal eenvoudig langs de schuine tandvlakken heen-glijden zonder de beweging te storen; de tegengestelde beweging van het palrad wordt echter door den pal verhinderd, tenzij deze ter zijde geduwd of verbrijzeld wordt. Men kan dus de pallen en palraderen gebruiken, of om de beweging van eene as in Ã©Ã©ne richting te beletten, of om de beweging van eene as over te brengen op eene andere, die in haar verlengde is gelegen, of om de beweging van eene as over te brengen op oen rad, dat op die as geplaatst is. In het eene geval moet dan de pal aan een vast punt bevestigd zijn, in het andere aan de as of het rad, dat men wil laten mededraaien. In plaats van een enkelen pal wordt somtijds een boogje met inwendige tanden gebruikt, die in de tusschenruimten van het palrad grijpen; men heeft dan, als het ware, meerdere gemeenschappelijke pallen, waardoor dus de stevigheid wordt vergroot.

Als een ge wijzigden vorm van den pal en het palrad kan men het echappement voor de regeling van den gang der uurwerken beschouwen. In de plaats van het palrad treedt dan het echappementsrad of schakelrad, hetwelk met de andere raderen van het uurwerk in verband staat, en dus ook met deze door het gewicht of de gespannen voer wordt rondgevoerd; ge-

woonlijk heeft het schakolrad de grootste snolheid. Waren al de raderen geheel vrij in hunne bewegingen, dan zouden zij door die drijfkracht met groote snelheid worden rondgedraaid, de wijzers zouden zich eveneens zeer snel in de rondte bewegen, en na eenige minuten, of zelfs na korter tijd, zou het uurwerk zijn afgeloopen. Dit geschiedt nu niet, omdat het schakelrad periodiek in zijne beweging wordt togengohoudon door een heen en weer schommelend stuk, met een pal te vergelijken, dat zich telkens tusschen de tanden van het rad plaatst. Bij elke schommeling van dat stuk kan het schakelrad Ã©Ã©n tand voortgaan; zoo dus die schommelingen altijd worden volbracht in gelijke tijden, waarvan de duur door de constructie van het uurwerk bepaald wordt, zal de gemiddelde beweging van het echappementsrad langzaam en eenparig ziji^ en dus de behoorlijke geregelde gang van het uurwerk zijn verzekerd.

Do heen- en weergaande beweging van het stuk, dat periodiek het schakel rad tegenhoudt, wordt verkregen door een slinger, of door eene spiraalveer met balans, de onrust geheeten, en de hoofdvoorwaarde, waaraan de vorm van dat stuk moet voldoen, is dat de druk, die daarop bij het ingrijpen tusschen de tanden van hot schakelrad wordt uitgeoefend, geen nadecligen invloed heeft op den gelijken duur der schommelingen, doch aan slinger of balans een kleinen stoot mededeelt, waardoor deze, niettegenstaande de wrijving en den tegenstand van de lucht, hunne periodieke bewegingen blijven voortzetten. De verschillende echappementen, bij welke men naar dit doel heeft gestreefd, zijn:

1Â°, het terugwerkend echappement met lepels, in de oudere uurwerken voorkomende, doch nu bijna geheel in onbruik ;

2Â°. het ankerechappement, bij de slingeruurwerken en ook bij horloges aangewend;

3Â°. het cilinderechappement, vooral in horloges van geringe dikte in gebruik;

4Â°. het vrije echappement, dat alleen in de chronometers, bij welke men eene groote nauwkeurigheid verlangt, wordt aangetroffen.

c. Verbinding van schijven met wrijving. â Daar deze alleen hare bewegingen overbrengen bij een voldoenden druk togen elkander, is het voor die overbrenging eenvoudig noodig, de schijf op de beweeglijke as (pag. 25) behoorlijk tegen de andere aan te drukken; zoo men dien druk opheft, zijn de assen vrij van elkander.

d. Verbinding van assen door een koord zonder einde. â Dit kan voornamelijk, op twee wijzen geschieden, liet koord kan zoo lang zijn, dat het te los over de schijven hangt om door deze in hare bewoging te worden medegenomen, de assen staan dan uiet in verband; wordt echter oen klein rolletje tegen dat koord gedrukt en zoo de spanning vergroot, dan zullen zich dadelijk schijf en koord gemeenschappelijk bewegen, en dus het verband tusschen de assen hersteld zijn.

Men kan ook naast de schijf, waarover in do gewone omstandigheden het koord is geslagen, eene tweede even groote losse schijf plaatsen, die volkomen vrij van de as draaien kan; schuift men nu door eene vork den riem op de losse schijf, dan houdt, zonder dat de spanning van het koord veranderd wordt, de gemeenschappelijke beweging der beide assen op, terwijl deze hersteld wordt bij liet terugbrengen van het koord op de vaste schijf. In plaats van eene losse en eene vaste schijf, kan men zich ook van eene schijf bedienen, die door een der vroeger (pag. 47) aangegeven hulpmiddelen aan de as verbonden, en ook van deze losgemaakt kan worden.

anONDBEQUIPPEX AAN DE ERVARING ONTLEEND AANGAANDE DE WERKING VAN KRACHTEN OP EEN PUNT EN OP EEN LICHAAM.

Op de beschouwing van de bewegingen in liet algemeen laten wij die van de krachten volgen, waardoor zij worden teweeggebracht.

Reeds vroeger (pag. 2) is eene bepaling van kracht gegeven, welke op een daar tor plaatse medegedeeld beginsel berustte. Herhalen wij deze bepaling en ook dit beginsel.

a. l^8t(J Grondbeginsel. Bepaiiugeu. â Een stoffelijk punt kan niet uit zich zelf van don toestand van rust in dien van beweging overgaan, en eenmaal in beweging zijnde, zal hot, zoo er geene werking op wordt uitgeoefend, steeds in dezelfde richting met dezelfde snolheid voortgaan; zijne beweging is dus rechtlijnig en eenparig. De eigenschap van de stof, welke in deze woorden wordt uitgedrukt, noemt men traagheid of inertie.

Do waarheid van het bovenvermelde beginsel kan niet door redeneering uit zoogenaamde axioma's of door eene onmiddellijke proef worden bevestigd, daar hot moeielijk zoo niet onmogelijk is, oen stoffelijk punt aan elke werking te onttrekken. Al do gevolgtrekkingen, welke men van dit beginsel hoeft afgeleid, heeft men echter steeds bevestigd gevonden; wij mogen dus op deze grondstelling, als wel bewezen, verder voortbouwen.

Om in clou toestand van rust of beweging van een materieel punt verandering te doen ontstaan, is eone oorzaak noodig. Kracht is die oorzaak, welke een materieel punt in beweging brengt, of tracht te brengen, of zijn bewegingstocstand wijzigt, of tracht te wijzigen. Zoo op oen punt geene krachten werken, is het derhalve in rust, of in eenparige rechtlijnige beweging.

De beweging of do wijziging in de reeds bestaande beweging zal, hoe gering de kracht ook zij, altijd ontstaan, zoo op het punt geene andere krachten de eerste tegenwerken.

De richting van eene kracht is de richting van de lijn, volgens welke zich een punt zou bewegen, hetwelk, aanvankelijk in rust zijnde, aan de werking van die kracht werd onderworpen. Indien op een punt eenige krachten werken, zoodat zij, zonder dat een beletsel aanwezig is, geen invloed uitoefenen op den toestand van rust of beweging van het punt, dan houden die krachten elkander in evenwicht, of is het punt in evenwicht onder hare werkingen. Zoo al de krachten, op een punt werkende, elkander in evenwicht houden, moet dus het punt of in rust, of in eenparige rechtlijnige beweging zijn.

Zoo op een rustend punt twee krachten werken, welke aan elkander volkomen gelijk zijn in grootte, doch juist tegengesteld in richting, houden zij elkander in evenwicht, want alle gronden die men zou kunnen aanvoeren om te bewijzen dat het punt zich in eene bepaalde richting zal bewegen, kan men ook bij omkeering aanvoeren om te betoo-gen dat het punt in tegengestelde richting voort zal gaan. Uit het hierna te vermelden 3^de grondbeginsel volgt dat twee gelijke en tegengestelde krachten, op een bewegend punt werkende, elkander eveneens in evenwicht houden.

b. 2^(le Grondbeginsel. â Indien op een punt A eene kracht werkt, gaat deze altijd uit van een ander punt B, op een zekeren afstand van A gelegen: te gelijker tijd zal B ook onderworpen zijn aan eene werking, die van het punt A uitgaat. Deze krachten {werking en terugwerking, actie en reactie) zijn gelijk aan elkander, zijn gericht volgens de rechte lijn AB, en zijn aan elkander tegengesteld. Zij hee-ten aantrekkend, zoo zij den afstand der punten A en B trachten te verminderen, afstootend, zoo zij dien trachten te vergrooten.

Het duidelijkst kan de beteekenis van dit grondbeginsel worden ingezien bij de krachten, welke werken tusschen punten op groeten afstand van elkander gelegen, b.v. de algemeene aantrekkingskracht, de magneetkracht en de electriciteit. Zoo zal elk deeltje van de aarde een deeltje van de maan met volkomen dezelfde kracht aantrekken, als het zelf door het deeltje van de maan wordt aangetrokken, waaruit volgt dat de geheele aarde eene even groote kracht op de maan uitoefent als

do maan op de aardo. Eveneens trekken de aarde en de overige planeten de zon met hetzelfde vermogen aan, als dat â waarmede zij dooide zon aangetrokken worden. Volkomen hetzelfde geldt voor do aantrekking van ongelijknamigo en voor do afstooting van gelijknamige clectrische of magnetische deeltjes.

Eene werking tusschen deeltjes op zeer goringen afstand vindt b.v. plaats indien eene stang met haar uiteinde in een enkel punt togen een ander lichaam wordt gedrukt. Door do nadering van de deeltjes dier beide voorwerpen tot elkander ontstaat tusschen hen eene afstooting, die op het lichaam en do staaf met hetzelfde vermogen werkt. De afstootonde kracht, op het deeltje van het lichaam uitgeoefend, openbaart zich als eene drukking uitgaande van de staaf, en de afstootonde kracht op het uiteinde van de staaf werkende is de weerstand, die door het lichaam wordt geboden. De werking is dezelfde als of zich tusschen het einde der staaf en het lichaam eene spiraalveer bevindt, die door de drukking van de staaf wordt samengedrukt, en zoowel op het lichaam als op de staaf hare kracht uitoefent.

Do onjuiste voorstelling dat, waar tusschen twee lichamen, als stoffelijke punten beschouwd, aantrekking of afstooting bestaat, de kracht door het grootore lichaam, Ã³f alleen, Ã³f met eene veel grootere intensiteit dan door hot kleinere wordt uitgeoefend, vindt hare verklaring hierin, dat indien gelijke krachten werken op lichamen van verschillend gewicht, aan het zwaardere (zooals later zal blijken) eene geringere beweging-wordt medegedeeld dan aan het lichtere, zoodat als het verschil in gewicht zeer groot is, bij eone aanzienlijke verplaatsing van het lichtere voorwerp, do bewoging van het zwaardere niet is waar te nomen; b.v., zoo een lichaam op de aarde valt, schijnt de aarde zelve zich volstrekt niet te verplaatsen.

De overeenkomst tusschen de waarnemingen en de theorieÃ«n, welke uit dit 2^dl! grondbeginsel worden afgeleid, voornamelijk in do sterrekunde en in de natuurkunde, bevestigen het ten volle.

c. 3^de Grondbeginsel. â Zoo eene kracht werkt op een punt, zal de uitwerking van die kracht, op zich zelve be-sohouwd, geheel onafhankelijk zijn van don toestand van rust of beweging, waarin het punt verkeert, en van de overige krachten, die er op workon.

De betoekenis van dit grondbeginsel is niet dat do beweging van eon punt, waarop eone kracht werkt, volkomen dezelfde is of dit punt aanvankelijk in rust of in beweging verkeert, en of er nog andere krachten op werken, neen, de bewoging zal in die gevallen eene gansch andere kunnen zijn; dooh dit grondbeginsel loert dat de beweging, welke een punt aanneemt of tracht aan te nemen, zoo er eene of meerdere krachten op werken, gevonden wordt door do resultante to bepalen van do bewegingen, die het reeds bezit en verkrijgen zou door elke der krach-

Er is bijna niets in do werktuigkunde, hetgeen niet gegrond is op deze 3^(le grondstelling, en de volkomen overeenstemming tussehen do uitkomsten der tlieoretische werktuigkunde en datgene, wat wij in de natuur waarnemen, stolt haar boven elke bedenking.

Volgens do algemeen aangenomene voorstolling bestaat oen lichaam uit een groot aantal kleine deeltjes, moleculen, welke men ton gevolge van hunne geringe afmetingen als stoffelijke punten kan beschouwen.

Tusschon die moleculen werken aantrekkende en afstootende krachten, welke van do onderlinge afstanden der deeltjes afhankelijk zijn, en die, zoo het lichaam in rust verkeert, elkander in evenwicht houden. Zoodra do onderlinge stand der deeltjes, bij eene vervorming van het lichaam, verandert, worden ook de krachten gewijzigd en er ontstaat een nieuwe evenwichtstoestand.

Indien op het doeltje A van een lichaam eene kracht K werkt, zal deze do plaats van A met betrekking tot do aangrenzende moleculen zooveel veranderen, tot de krachten, welke die deeltjes ten gevolge van de verplaatsing op A uitoefenen, met de kracht K evenwicht maken. Tevens zal dan, daar werking gelijk tegenwerking is, volgons hot 2^degrondbeginsel, het deeltje A met hetzelfde vermogen op de omringende moleculen terugwerken. De kracht K, die aanvankelijk op A werkte, wordt dus op de naburige doeltjes overgedragen en van deze, wederom door kleine moleculaire verplaatsingen, al vorder en verder in hot lichaam voortgeplant. Daar omtrent de krachten, tusschon do moleculen werkende, weinig of niets bekend is, is het niet mogelijk juist te bepalen hoe die voortplanting geschiedt; gelukkig is echter do vervorming bij vaste lichamen zoo gering, dat men die kleine verplaatsingen buiten rekening kan laten, en het lichaam als onvorvormbaar mag aannemen, in welk geval de wijze, waarop de kracht wordt voortgeplant, gemakkelijk is aan te geven.

Men denke zich eene rechte, zeer dunne, niet vervormbare staaf, aan welker beide uiteinden gelijke doch tegengestelde krachten in de richting dier staaf werken, dan zullen zij daaraan geene beweging medo-deelen en dus, even als in het geval van een stoffelijk punt, elkander in evenwicht houden. Dit evenwicht zal nog behouden blijven zoo die staaf oen deel vormt van oen grooter lichaam (fig. 54).

Onderstellen wij, na dit voorop gesteld te hebben, dat in het punt A van een lichaam (fig. 54) eene kracht K werkt, en beschouwen wij in het verlengde van de richting dier kracht oen punt B, waarop wij volgens de lijn

AB tweo krachten K' on Kquot; laten werken in grootte gelijk aan K, doch in richting aan elkander tegengesteld, dan zal, daar zij elkander in evenwicht houden, door de toevoeging dier beide krachten niets in den toestand van rust of beweging van het lichaam veranderd zijn. Doch volgens het zoo even medegedeelde houden de krachten K in A en Kquot; in B elkander eveneens in evenwicht, en kunnen dus zonder eenige verandering van de beweging gezamenlijk worden weggenomen; in plaats van de oorspronkelijke kracht K in A blijft dus nu, zonder dat iets in den toestand van rust of beweging van hot lichaam is gewijzigd, de kracht K' in B over, die in richting en grootte gelijk aan K is.

De punten A en B, waar de krachten werken, heeten aangrijpingspunten-, het bovenstaande leert dus: indien eene kracht werkt op een onvervormbaar lichaam, mag het aangrijpingspunt verplaatst worden naar eenig punt der lijn, waarin die kracht werkt, zonder dat hierdoor eenige invloed op de werking dier kracht zal uitgeoefend worden.

Zoo niet uitdrukkelijk liet tegendeel wordt vermeld, zullen wij de lichamen altijd als niet vervormbaar beschouwen.

Do kracht op een materieel punt werkende blijft in sommige gevallen onveranderd, onverschillig of dit punt vrij is, of deel uitmaakt v.in een lichaam, o. a. bij de algemeene aantrekkingskracht; in andere gevallen, o. a. bij de magnetische eu electrische krachten, wordt zij gewijzigd zoo hel materieele punt door andere materieele punten omgeven wordt. Hiermede in verband slaat de kenmerkende eigenschap van de algemeene aantrekkingskracht, van niet gewijzigd te worden door hot plaatsen van een derde lichaam tusschen de beide lichamen, die op elkander aantrekkingskracht uitoefenen.

a. Aard der beweging. â Onderstel dat eene standvastige kracht gedurende eenigen tijd op oen punt werkt, dat reeds eene beweging heeft in de richting dier kracht, welke verandering zal die beweging dan ondergaan'? Het is duidelijk dat niet de richting, doch alleen de snelheid en de in een bepaalden tijd afgelegde ruimte zullen gewijzigd worden.

Verdeelen wij den tijd, gedurende welken de kracht werkt, in een zeker aantal gelijke deelen lt;, en onderstellen wij dat de snelheden bij het begin van elk tijdsdeel gelijk zijn aan fj, v_s enz., terwijl de ruimten, in die tijden afgelegd, zijn Sj, s.,, s_a, enz. Ten gevolge van de kracht wordt dan in die tijdsdeelen de snelheid vermeerderd met â Vj, v_:i â v₂, enz. Hield de kracht achtereenvolgens op te werken bij het begin van de eerste, tweede of derde periode, dan zou in elk dier tijdsdeeltjes de afgelegde weg gelijk zijn aan Vi t, v* t, v_st- ten gevolge van de kracht wordt dus in die tijdsdeelen de doorgeloopen ruimte vermeerderd met s_l â v_l t, Sr, â Vn t, S3 â v_s t, enz.

Volgens het 3^de grondbeginsel (pag. 53) moeten die veranderingen gelijk zijn, dus:

v_i â v_lâv₃ â v;_lâv_i â v-_i=: enz., en â Vit=z 8% â v_at~s₃ â v₃t= enz.,

hoe klein de tijdsdeeltjes t ook worden genomen. Het is te bewijzen dat aan de tweede voorwaarde wordt voldaan, zoo aan de eerste voldaan is, en aan deze laatste wordt alleen voldaan door eene eenparig veranderlijke beweging.

Hieruit volgt: dat eene standvastige kracht, welke voortdurend, in dezelfde richting werkt op een vrij punt, dat reeds eene beweging in die richting bezit, de snelheid van dat punt in gelijke tijdsdeelen steeds met een zelfde bedrag zal veranderen, met andere -woorden, aan dat punt eene eenparig veranderlijke beweging zal mededeelen. Was het punt, toon de kracht begon te werken, in rust, dan is de beweging natuurlijk eveneens eenparig versneld. Had het toen reeds eene snelheid, in eene andere richting als de kracht, dan is de werkelijke beweging (3^de Grondbeginsel) de resulteerende van eene eenparige beweging met de aanvankelijke snelheid, en van eene eenparig versnelde tengevolge van de werking der kracht. Deze resulteerende beweging vindt plaats in eene parabool (pag. 18).

versnelling van eene eenparig veranderlijke beweging is afhankelijk; 1Â°. van de grootte der kracht, 2Â°. van de hoeveelheid stof, welke het stoffelijk punt, of het lichaam (als stoffelijk punt beschouwd) bevat.

Ten einde de aard van deze afhankelijkheid nader te bepalen, is het noodig te weten in welke maat men versnellingen, krachten en massa's uitdrukt.

De versnelling van elke willekeurige beweging (zie de achter dit werkje geplaatste verbetering van pag. 12) kan teruggebracht worden tot de versnelling van eene eenparig versnelde beweging, en deze (de toeneming der snelheid per tijdseenheid) is eene lengte, die op dezelfde wijze als andere lengteuitgebreidheden kan gemeten worden.

Voor de onderlinge vergelijking van krachten is het noodig eerst te weten wanneer wij twee krachten gelijk zullen noemen, en daar wij in dit leerboek de krachten alleen als oorzaak van beweging beschouwen, moet die gelijkheid uit de beweging worden opgemaakt. Zoo even is gevonden dat de voortdurende werking van eene onveranderlijke kracht aan een materieel punt, dat aanvankelijk in rust verkeerde, eene eenparig versnelde beweging mededeelt, bij welke beweging, hoe ook de doorgrloopen ruimte en de snelheid moge veranderen, de versnelling standvastig is, en het ligt nu voor de hand die krachten gelijk te noemen, die aan een zelfde stoffelijk punt gelijke versnellingen geven. Voegt men p van die gelijke krachten in dezelfde richting te samen, dan verkrijgt men eene p maal grootere kracht.

Ter beoordeeling van de grootte der massa's is hot eveneens noodig te weten, welke massa's of hoeveelheden stof wij als gelijk zullen aannemen. De beantwoording van die vraag hangt af van het standpunt, waarop men zich stelt. Men kan hoeveelheden stof gelijk noemen die eene gelijke ruimte innemen, die even groot gewicht hebben, die gelijke chemische werkingen volbrengen, b.v. zich met gelijke hoeveelheden zuurstof verbinden, die gelijke magnetische werking uitoefenen, enz. Indien do hoeveelheden stof, die men vergelijken wil, van dezelfde soort

zijn, is hot gewoonlijk onverschillig van welk kontoekon men zich daarbij bedient, maar zijn zij van verschillende soort, dan verkrijgt men geheel andere uitkomsten naarmate men de vergelijking op do eene of andore wijze verricht. In de werktuigkunde, zooals zij in dit leerboek wordt behandeld, beschouwen wij de stof alleen in zooverre zij door krachten in beweging kan worden gebracht; in de beweging moet dus ook het kenmerk voor do gelijkheid of ongelijkheid van massa's worden gezocht, en in verband mot hetgeen over het meton van krachten is gezegd, is het natuurlijk dat wij twee massa's gelijk zullen noemen, die door de werking van eene zelfde kracht gelijke vorsnellingGii verkrijgen.

Uit deze bepalingen on uit de opgegevene grondbeginsels worden de vier volgende eigenschappen afgeleid.

1Â°. Gelijke krachten geven aan gelijke massa's gelijke versnellingen. (Bepaling van massa).

2Â°. Ongelijke krachten geven aan gelijke massa's versnellingen, ivelke met die krachten evenredig zijn.

Onderstellen wij, om deze tweede eigenschap te bewijzen, dat de kleine kracht q op de te beschouwen krachten K en K' een geheel aantal malen n en p begrepen is, zoodat K = Â« X lt;h K' â P X ÃS en laat elk dier krachten q aan het materiÃ¶ele punt eene eenparig versnelde beweging met eene zekere versnelling j mededeelen. Om nu de versnelling te bepalen, die door n of p van die krachten, alle in dezelfde richting werkende, aan dit materiÃ¶ele punt wordt medegedeeld, moot men (3^{lc grondbeginsel) de resultante van die gedeeltelijke versnellingen zoeken, welke in dit geval gelijk is aan hare som. De kracht K of Â« X ? geeft dus eene versnelling n Xi of a, do kracht K' of p X 1 geeft eene versnelling p XJ of

gesteld worden, welke ons leert dat, welke kracht ook op een materiÃ«el punt moge werken, de verhouding van kracht en versnelling bij eene zelfde massa altijd dezelfde is. In het geval dat K en K' onderling onmeetbaar zijn, kan men de evenredigheid van krachten en versnellingen bewijzen voor onderling meetbare krachten, die minder dan eenigo te geven grootheid van K of K' verschillen, en hieruit afleiden dat zij ook voor de onderling onmeetbare krachten moet gelden.

3Â°. Krachten, tvelke aan ongelijke massa's gelijke versnellingen mededeelen, zijn met die massa's evenredig.

zijn aan n q en pq, waarin n on p gohoelo getalion zijn, cn verdoelen wij de massa m, waarop de kracht K werkt, in n gelijke doelen d, do massa m', waarop de kracht K' werkt, in p gelijke dooien d'. Zoo wij nu in plaats van de gohoelo kracht K op do gohoelo massa te laten werken, elk van hare n doelen q laten werken op elk van de n deelen d van de massa m, dan is do uitwerking geheel dezelfde; met andere woorden; do versnolling, door do kracht K aan do massa m medegedeeld, is evon groot als do versnelling, door de kracht q, of

wordt modogedeold, en daar do versnellingen van m en m' door de krachten K en K' gelijk ondersteld zijn, zoo zijn ook do versnellingen van do gedeeltelijke massa's d en d' door do gedeeltelijke krachten q aan elkander gelijk, waaruit (volgons do bepaling van massa) volgt dat d gelijk d' is, dus:

K â Â« X SS K' =ip X 'Â« = nXd, ^m' =P X d, of: K:K' âm:Â»Â»'.......(XXIII).

Het betoog dezer evonrodighoid, zoo K en K' onmeetbaar zijn, kan op dezelfde wijze gegeven worden als bij do vorige eigenschap is aangeduid.

4Â°. Krachten, welke aan ongelijke massa's ongelijke versnellingen geven, zijn samengesteld evenredig met die massa's en versnellingen.

Noemen wij do krachten K en K', de massa's rn en w', do versnellingen a en en nomen wij nog eeno derde kracht Kquot; aan, zoo groot) dat zij aan do massa m eeno versnelling a' zou mededoelon, dan volgt uit de betrekking tusschen K on Kquot;:

K: Kquot; â a : a', . . (volgens de 2^Jc eigenschap) en uit de betrekking tusschen Kquot; en K':

Na vermenigvuldiging der beide evenredigheden term voor term, en na doeling van do eerste roden door Kquot;, verkrijgt mon:

Do gevondene betrekkingen tusschen krachten, massa's en versnellingen gelden voor allo soorten van krachten, dus ook voor die, waarmede do lichamen, als materiÃ«ele punten beschouwd, naar de aardo worden getrokken. De ervaring heeft nu geleerd, dat door deze aantrekkingskrachten aan alle lichamen op eenzelfde punt der aardoppervlakte eene

gelijke versnelling g wordt medegedeeld; men kan er derhalve onmiddellijk de 3^de eigenschap op toepassen. Stellen wij in plaats van K en K' de krachten met welke twee verschillende lichamen naar de aarde worden getrokken (hunne gewichten), en noemen wij die G en Gr', laten verder nt en m' de massa's zijn dezer lichamen, die men als materiÃ«ele punten beschouwt, dan is:

Nu bepaald is wanneer wij twee krachten gelijk zullen noemen, is het gemakkelijk aan te geven hoe de krachten zullen gemeten worden. Men neemt dan eene zekere kracht als eenheid aan en zoekt hoeveel van die eenheden, op een materieel punt in eene zelfde richting werkende, daaraan eene versmelling mededeelen gelijk aan die, welke aan hetzelfde materieele punt door de te meten kracht wordt gegeven. Op tweeÃ«rlei wijzen kan dit geschieden: 1Â°. kan men op een materieel punt gelijktijdig do te meten kracht en tegengesteld daaraan eenige krachtseenheden laten werken; zoo het aantal van deze laatsten zoo groot wordt genomen, dat zij gezamenlijk aan dat punt dezelfde versnelling zouden mededeelen als het door de te moten kracht alleen verkrijgt, blijft het punt in rust. Deze methode van krachtmeting heet de statische-, 2Â°. kan men werkelijk de versnellingen meten, die door de krachtseenhoid en de te meten kracht wordt medegedeeld aan materieele punten, waarvan de massa's bekend zijn; met behulp van verg. XXIV kan men dan de verhouding der kracht tot de eenheid vinden. Deze methode heet de dynamische. In verband mot deze beide handelwijzen heeft men ook twee verschillende krachtseenheden, de statische en dynamische ingevoerd.

b. Statische krachtseenheden. Krachtmeting volgens de statische methode. â De statische krachtseenheid is de kracht, waarmede een kubiek palm zuiver water, bij de temperatuur van zijne grootste dichtheid, door de aantrekking der aarde op een bepaald punt der aardoppervlakte, b.v. te Parijs, of te Amsterdam, verticaal naar beneden wordt getrokken. Die kraehtseenheid wordt oen kilogram of pond genoemd. Aan het gebruik dier kraehtseenheid is een bezwaar verbon-

den; zul zij toch aan de eerste eisch van eene eenheid voldoen, overal gelijke waarde te hebben, dan moet ook door iedereen, die er zich van wil bedienen, de werking der zwaartekracht op volkomen hetzelfde punt der aardoppervlakte worden gebruikt, geschiedt dit niet, dan zijn die eenheden ongelijk; maar zelfs al wordt dit algemeen gedaan, dan kan nog die eenheid misschien na verloop van tijd verandoren, als door de eene of andere oorzaak de werking der zwaartekracht op het aangenomen punt wijziging ondergaat. De fouten, die hierdoor kunnen worden veroorzaakt, zijn wel niet groot, en in den regel voor de praktijk van weinig belang, maar zij maken toch deze eenheid ongeschikt als absolute eenheid te worden aangenomen.

De werktuigen, waarvan men zich bij de krachtmeting volgens de statische methode bedient, heeten dynamometers. Gewoonlijk wordt door deze werktuigen de kracht, die gemeten moet worden, niet onmiddellijk met de genoemde krachtseenheid vergeleken, maar met do veerkracht, die bij de vervorming van een lichaam wordt opgeroepen. De betrekking tusschen deze laatste kracht en de eenheid van krachten moet dan echter bekend zijn. Het invoeren van de veerkracht levert groote voordeelen op, niet alleen worden hierdoor de dynamometers eenvoudiger, maar daar do veerkracht van oen lichaam alleen afhangt van de aard van dat lichaam en zijne temperatuur, zal de aanwijzing van oen veer-dynamometer onafhankelijk zijn van de plaats op aarde, waar hij gebruikt wordt en van de intensiteit der zwaartekracht op dat punt.

Vcer-dynamometers met spiraalveeren, of met rechte of gebogen voerende stalen platen, o. a. de dynamometer van Morin; torsiebalansen voor het meten van kleine krachten o. a. bij electrische en magnetische onderzoekingen, en ook bij den toestel van Cavendish voor het meten van de aantrekkingskracht der lichamen; ge-wichts-dynamometers gevormd door velschillend geconstrueerde hefboomen, waarop gewichten werken; dynamometers met bifilaire ophanging, welke voor diergelijke doeleinden als de torsiebalansen gebruikt worden, doch afhankelijk zijn van de intensiteit der zwaartekracht.

Indien men zich van de statische krachtseenheid bedient, leidt men gewoonlijk daarvan ook de eenheid af, waarmede men do massa's moet, en kiest daarvoor de massa, aan welke door die krachtsoenheid in de tijdseenheid eeno versnelling van een meter wordt gegeven. Do betrokking tusschen de massa van deze eenheid en die van een kubiek palm zuiver water bij zijne grootste dichtheid, of van een kilogram, is gemakkelijk op te maken. Brengen wij namelijk beiden op dat punt der aardoppervlakte, dat men voor de bepaling dor krachtseenheid heeft uitgekozen, en laten wij op de kubiek palm zuiver water eenvoudig de zwaartekracht werken, dan is de grootte van deze kracht juist gelijk aan de aangenomen krachtseenheid; zij deelt aan hot kilogram de versnelling der zwaartekracht g voor dat punt mede. Deze zelfde kracht deelt daarentegen aan do massa-eenheid de versnelling van 1 meter mode, derhalve zal, volgens form. XXIV, die massa-eenheid g maal grooter zijn dan

dc massa van 1 kilogram, cn hot aantal massa-eonhedon m van een lichaam g maal kleiner zijn dan zijn gewicht P in kilogrammen uitgedrukt, of:

Dezelfde bezwaren, die tegon do statische krachtseenhoid zijn aangevoerd, gelden ook voor deze eenheid van massa; zij verandert mot de g van het punt der aarde, hetwelk voor die bepalingen is aangenomen.

c. Dynamische krachtseenheden. Krachtmeting volgens de dynamische methode. â De oenheid van kracht, volgons deze handelwijze bepaald, hangt af van de eenheid van massa, die hierbij wordt aangenomen; deze laatste is eenvoudig do massa begrepen in eon kubiek palm zuiver water bij zijne grootste dichtheid, of, daar do massa's evenredig zijn met de gewichten (form. XXV), de massa van een kilogram. Hot aantal kilogrammen, dat een lichaam woegt, stelt dus tevens het aantal massa-eenhoden voor, dat het bevat. De dynamische krachtseenheid is dan de kracht, die aan de eenheid van massa, per secundo, eene versnelling van een motor geeft. Men ziet dat men bij deze eenheden, die het eerst door Gauss in de wetenschap zijn ingevoerd, volkomen onafhankelijk is van mogelijk veranderlijke grootheden, zooals de aantrekkingskracht der aarde; met recht kan men ze dus, in plaats van dynamische, absolute eenheden noemen. Hoewel zij uit een theoretisch oogpunt te verkiezen zijn boven de statische eenheden, zijn zij in de praktijk minder dan deze in gebruik.

De absolute eenheid van massa (een kilogram) is, blijkens hot boven medegedeelde (pag. 61), g maal kleiner dan die, welke aan de statische krachtseenheid is ontleend, en daar in beide stelsels de krachtseenheden aan de massa-eenhoden gelijke versnellingen van een meter medodee-len, is ook de absolute krachtseenheid g maal kleiner dan do statische krachtseenheid.

De inrichting der werktuigen om volgens de dynamische methode de krachten te moten is gewoonlijk zoodanig, dat men een lichaam onder de werking der te meten kracht om eene vaste as laat schommelen; uit don schommeltijd leidt men dan, zooals later zal geloerd worden, de versnelling af.

Het is duidelijk dat van welke methode van krachtmeting men zich bedient, de uitkomsten dier meting altijd naar goedvinden in dynamische of statische krachtseenheden, waarvan de onderlinge betrekking bekend is, kunnen worden uitgedrukt.

Do betrokking tusschen kracht, massa en versnelling wordt in beide stelsels vrij eenvoudig voorgesteld. Schrijven wij form. XXIV aldus:

dan zal, als a' gelijk eon meter en m' gelijk do eenheid van massa gesteld wordt, K' de krachtseonhoid moeten zijn; do formule wordt dan eenvoudig

waarin K, a en m het aantal kraehts-, lengte- en massa-eenheden voorstellen, die in de kracht, versnelling en massa zijn begrepen. Van welk der beide stolsels van eenheden men zich bedient, is hierbij onverschillig.

Even als alle meetbare grootheden, kunnen ook de krachten door lijnen van bepaalde grootte worden voorgesteld, indien men slechts een lijntje van bepaalde lengte aanneemt, om de eenheid van kracht aan te duiden; eene jp maal grootere kracht geeft men dan door eene p maal langere lijn aan. Zoo men die lijn daarenboven in de richting trekt, volgens welke de kracht werkt, kan men er te gelijkertijd Ã©n de grootte Ã©n de richting der kracht door aanduiden. Van deze voorstelling wordt menigvuldig gebruik gemaakt.

Tot opheldering van de betrekkingen tusschen krachten, massa's en versnellingen kan men zich bedienen van den valtoestel van Atwood, bestaande uil eene vaste katrolschijf, waarover een koord is geslagen, dat aan zijne uiteinden gewichten draagt; zoo deze ongelijk zijn, geraken koord en gewichten in eene eenparig versnelde beweging, waarbij de versnelling afhangt van do beide gewichten, het koord en de katrolschijf. Laat men deze beide laatsten builen rekening, dan kan uit hel medegedeelde gemakkelijk de versnelling worden opgemaakt; de invloed, die door de katrol, welke geene voortgaande maar eene ronddraaiende beweging heeft, wordt uitgeoefend, kan eerst later worden behandeld.

Zoo op een stoffelijk punt of een licliaam twee of meer krachten werken, verkrijgt dit eene beweging, welke in den regel ook door eeno enkele kracht zou kunnen worden teweeggebracht. Deze kracht heet samengestelde of resultante, de krachten, wier plaats zij kan innemen, heeten samenstellende of componenten. De bewerking, waardoor men uit de samenstellende krachten de samengestelde bepaalt, wordt samenstellen, de tegengestelde bewerking ontbinden van krachten genoemd.

samenstelling van krachten in een plat vlak, waarvan de richtingen elkander in een punt snijden.

a. Resultante van twee krachten, werkende op een stoffelijk punt. â Elke der krachten K en K', op het stoffelijke punt P werkende (fig 55), geeft voor zich alleen aan dat punt eene rechtlijnige eenparig

ji versnelde beweging zonder aan-vangssnelheid, en, volgens het 3^de grondbeginsel, is de werkelijke beweging van P de resultante der bewegingen, door K en K' medegedeeld. De resul-tcerende beweging is (zie pag.

snelde zonder aanvangssnelheid, en hare versnelling is gelijk aan PC, de diagonaal van het parallelogram PACE, waarvan de zijden PA en PB gelijk zijn aan de versnellingen, door de krachten K en K' te weeg gebracht; de resulteerende beweging kan derhalve door eene kracht {de

resultante) volgens de richting PC worden veroorzaakt. Nomen wij nu de lijnen PK en PK' zoo groot, dat zij de krachten K en K' voorstellen, en beschrijven wij het parallelogram PKRK', dan moot daar;

het hoekpunt R in het verlengde van PC vallen. (Zie samonstolling van eenparige bewegingen pag. 15).

De resultante, welke aan het materiÃ«ele punt P de versnelling PC mededeelt, heeft tot die versnelling dezelfde verhouding als do krachten PK of PK' tot hare versnellingen PA of PB, en daar do lijn PR aan deze voorwaarde voldoet, stelt PR in grootte do resultante van PK en PK' voor. De resultante van twee krachten wordt dus, in richting en grootte, voorgesteld door de diagonaal van het parallelogram, waarvan de zijden de samenstellende krachten voorstellen, en welke het parallelogram der krachten wordt genoemd. Zoo men _^K'PK = Â«, ^/KPR â (3 on ^K'PR = y stelt, beeft men ter bepaling van de grootte en richting van R (zie pag. 1G):

R = l/(K³-f K'² 2KK'cos. a) . . . (XXV11I) on: K: sin. y â K'; sin. ft =]{: sin. a . . . (XXIX).

b. Resultante van meer dan twee krachten werkende op een stoffelijk punt. â Zoo men de resultante moet bepalen van meer dan twee krachten, op een punt werkende, zoeke men eerst die van twee der krachten, verbinde vervolgens deze resultante mot eeno dorde kracht enz., evenals bij het bepalen van de resultante van meer dan twee bewegingen, snellieden of versnellingen (pag. 21).

De figuur 19, en de daarbij gevoegde beschouwingen gelden geheel voor het samenstellen van krachten, indien AB, AC, AD en AE de componenten voorstellen, en AH de resultante van die krachten is. Zoo do krachten in een plat vlak liggen, behoeft men dus ook niet al de parallelogrammon te construeeren, maar kan de resultante AH vinden door de gebroken lijn ADKLH (iig. 19).

c. Resultante van krachten werkende in verschillende punten van een lichaam, doch waarvan de richtingen elkander in een punt snijden. â Zoo do krachten K en K' in do punten A en B op het lichaam Q (fig. 5G) werken, kunnen, volgons pag. 55, de aangrijpingspunten worden overgebracht naar het punt C, waar de richtingen dier beide krachten elkander snijden, dat wil zoggen; in plaats van aan te nemen dat de werkingen der krachten uitgaan van do deeltjes A en B, en van daar vorder in het lichaam worden voortgeplant, mogen wij ook onderstellen dat K en K' beide werken op het deeltje C, dat vast aan het lichaam is verbonden, en do gezamenlijke werking van uit dit punt op het lichaam wordt ovorgebracht. Do gezamenlijke werking is nu dezelfde als die van de resultante R, volgens a bepaald.

Hieruit volgt dat de resultante van twee krachten, die in een plat vlak in verschillende punten van een lichaam werken, gevonden wordt door

hare richtingen te verlengen, de aangrijpingspunten naar het gemeen-_r, schappelijke snijpunt over te hren-

grijpingspunt der resultante kan dan in een willekeurig punt van de diagonaal van het parallelogram worden aangenomen.

Ook zonder de richtingen der krachten te verlengen, kan men de grootte der resultante en de hoeken, die zij met de krachten maakt, bepalen, door gebruik te maken van de formules (XXVIII) on (XXIX), waarin a, /3 en 7 de hoeken tusschen de lijnen voorstellen, die door eenig ^F|S- punt b.v. A of B evenwijdig aan

de richtingen der krachten en der resultante zijn getrokken. De grootte der resultante en de hoek, dien zij met elk der componenten maakt, is dan geheel onafhankelijk van de plaats van het snijpunt C.

Indien op een lichaam meer dan twee krachten in een plat vlak werken, waarvan de richtingen alle door een zelfde punt gaan, is volgens het voorgaande eveneens door verplaatsing van de aangrijpingspunten de resultante te vinden.

Somtijds kan men bij de samenstelling van krachten gemakkelijk tot zijn doel geraken, door ze eerst in gegevene richtingen te ontbinden en deze ontbondenen verder samen te stellen. Een voorbeeld hiervan wordt later gegeven in de 7^de Afdeeling van dit Hoofdstuk.

a. Bepalingen. â Het product van eene kracht en den afstand van oen bepaald punt tot de richting van die kracht wordt het moment van die kracht ten opzichte van dat punt genoemd; die afstand heet de arm van het moment.

Ter bepaling van de juiste waarde der momenten is het noodig ook op hunne teekens te letten. Indien men, hetgeen willekeurig is, het moment van K ten opzichte van P (ftg. 57) positief noemt, moet men, zoo het punt aan de andere zijde van de kracht ligt, of wel de kracht in tegengestelde richting werkt (fig. 58 en 59), het moment negatief noemen, terwijl, zoo tegelijkertijd het punt aan de andere zijde ligt en de kracht in tegengestelde richting werkt (fig. GO), men het tegengestelde heeft der beide vorige gevallen, en het moment derhalve wederom positief is.

gemakkelijk van elkander te kunnen onderscheiden, stollen wij ons de loodlijnen uit p als staven voor, welke om P kunnen draaien door de werking van de krachten K; men ziet dan dat in de twee gevallen, waarbij het moment positief is, die draaiing plaats heeft in do richting van de wijzers van een horloge, terwijl in de gevallen der negatieve momenten de draaiing in tegengestelden zin geschiedt. Wij noemen dus een moment positief, zoo zijn arm eene draaiing zou verkrijgen in de richting van de wijzers van een uurwerk of van de dagelijksche beweging van den hemel, als men naar het Zuiden ziet, negatief, zoo die draaiing in tegengestelden zin zou plaats hebben. Deze voorstelling is algemeen aangenomen; men had echter ook de momenten juist omgekeerd kunnen benoemen.

b. Moment der resultante van twee elkander snijdende krachten. â De som der momenten van A twee elkander snijdende krachten ten opzichte van een punt, naar tvillekeur in het vlak dier krachten aangenomen, is gelijk aan het moment der resultante van die krachten met betrekking tot datzelfde punt.

Laten om dit te bewijzen AB en AC (fig. Gl) de krachten zijn, waarvan AD de resultante is, en zij P het punt, ten opzichte waarvan de momenten genomen worden, dan moet, in de onderstelling dat pe,

en pd, en beschouwen wij de driehoeken pab, pac en pad, welke alle op de gemeenschappelijke basis pa staan, en waarvan bk, cl en dm de hoogten zijn. Trekken wij verder bn evenwijdig aan al, dan volgt uit de gelijke en gelijkvormige driehoeken alc en bnd:

Na vermenigvuldiging mot 2 verkrijgt men dan de vergelijking, dio te bewijzen was.

Gemakkelijk is uit de figuur aan te toonen dat, indien een der momenten negatief is, het ook mot het negatieve teeken in de formulo (XXX) zal voorkomen, zoodat het moment der resultante gelijk is aan de algebraÃ¯sche som van de momenten der componenten.

c. Moment der resultante van meerdere elkander snijdende krachten. â Indien meer dan twee krachten te gelijker tijd op een jmnt werken, is de som van hare momenten ten opzichte van eenig punt insgelijks gelijk aan het moment van hare resultante.

Zij b.v. R de resultante der krachten A, B, C en D (flg. 62), welke men gevonden heeft door eerst do resultante E der krachten A en B, vervolgens de resultante F van E en C en ten laatste de resultante R van F on D te bepalen, dan is ten opzichte van eenig punt P:

Evenmin als bij de samenstelling van krachten, waarvan de richtingen door een zelfde punt gaan, is het in deze beschouwingen noodig dat de krachten A, B, C en D, op een lichaam werkende, een zelfde aangrijpingspunt hebben, mits slechts de verlengden van hunne richtingen door oen zelfde punt gaan. Het is echter volkomen onverschillig waar dit punt ligt en welke hoeken de krachten onderling maken.

Uit de bewezene eigenschap volgt onmiddellijk: de som van de momenten der samenstellende krachten is gelijk nul ten opzichte van een punt der resultante. Men kan zich hiervan bedienen om de plaats van do resultante van eenige krachten te bepalen.

a. Besultante van twee krachten in dezelfde richting werkende. â Indien in de punten A on B van een lichaam (flg. 63) twee krachten K en K' werken, die een zekeren hoek met elkander maken, dan gelden voor hare resultante de form. XXVIII __________

en XXIX, hoe klein de hoek ook wezen moge, dien zij met elkander maken en waar het snijpunt der krachten gelegen zij (pag. CG). Deze formules zullen dus ook nog doorgaan, zoo de hoek van de richtingen der krachten, die in A en B werken, nul wordt, of de krachten evenwijdig zijn. Dan wordt in deze formules Â«;= 0, en zij gaan over in: R = V (K² -)- K'² 2 KK') = K -f- K' . . (XXXII) en: K : sin.y mK': sin. fi~U: sin. 0,

De waarden y = 180Â° en ^ â180Â°, welke ook aan de evenredigheid voldoen, zijn niet te gebruiken, daar bij de wijze, waarop wij de hoeken Â«, (9 en 7 gerekend hebben, en y niet grooter dan a kunnen zijn.

De resultante is dus gelijk aan de som der krachten en loopt evenwijdig aan elke van deze. Hare plaats wordt bepaald door de eigenschap dat de som der momenten van de krachten ten opzichte van eenig punt der resultante nul moet zijn; deze eigenschap geldt toch, volgons de opmerking op pag. 08, waar het snijpunt der krachten ook gelegen zij en hoe groot de hoek tusschen hare richtingen zij. Wanneer men op de teekens der momenten let, is derhalve;

De afstanden der resultante tot de krachten zijn omgekeerd evenredig mot elke dier krachten.

twee krachten K en K', die evenwijdig doch in tegengestelde richting op een lichaam werken (fig. G4), ontbindt men de grootste K in twee andere onderling evenwijdige krachten, waarvan do eene door B gaat en gelijk quot;jrig, 04.

punt C, -waarvan do afstand tot A volgens (XXXIY) bepaald wordt door; (K â K') X CA = K' X BA.

Daar de kraehten, in B werkende, elkander opheffen, is K â K' de resultante der tegengestelde krachten K en K'. De plaats van het punt C, waar die resultante werkt, kan nog op eene andere wijze dan door do bovenstaande vergelijking bepaald worden; telt men namelijk bij de beide leden der vergelijking do grootheid K' X CA op, dan verkrijgt men:

Do resultante van twee evenwijdige kraehten, die in tegengestelde richting op een lichaam werken, is dus gelijk aan het verschil der krachten, in de richting van de grootste kracht, en op zoodanigen afstand buiten deze gelegen, dat haro afstanden tot elke der krachten omgekeerd evenredig zijn met die krachten.

Men geraakt tot dezelfde uitkomsten, zoo men in form. (XXVIII) a gelijk 180Â° stelt, en do stelling uit de leer der momenten toepast.

Noemt men do evenwijdige krachten in de eene richting positief, in do tegengestelde negatief, dan is in het algemeen de resultante van twee evenwijdige krachten gelijk aan hare algebraÃ¯sche som.

o. Resultante van meerdere evenwijdige krachten. â Zoomen do resultante bepaalt van een grooter aantal evenwijdige krachten, door eerst twee er van samen te stellen, de gevondene resultante met de dorde kracht to verbinden enz., dan vindt men gemakkelijk dat die resultante gelijk is aan de algebraÃ¯sche som der krachten; hare plaats wordt bepaald volgens de leer der momenten, door gebruik te maken, hetzij van de eigenschap dat de som van de momenten der krachten ten opzichte van een punt der resultante nul is, hetzij van die, welke leert dat het moment der resultante in het algemeen gelijk is aan de som van do momenten der samenstellende krachten.

Bij de evenwijdige krachten bepaalt men somtijds de momenten ten opzichte van eene lijn evenwijdig aan de richting dier krachten; mon verstaat daaronder de producten van de grootte der krachten en haro afstanden tot die lijn. Het is duidelijk dat die momenten volkomen gelijk zijn aan de momenten ten opzichte van een punt in die lijn, zoodat zij dezelfde eigenschappen bezitten als deze laatsten.

d. Middelpunt van evenwijdige krachten. â Bepalen wij de resultante van de evenwijdige krachten, K, Kj, Kn en K3 in do punten A, B, C en D van een lichaam werkende (fig. G5).

Do resultante K Kj van K en Kj snijdt dan de lijn BF, die loodrecht op K getrokken is, in eon punt E zoodat;

Hot punt G, waar die resultante AB snijdt, wordt bepaald door: BO : AG =r EB: EF,

en ten slotte snijdt de resultante van K -f Kj K₂ en van K;,, of van al do krachten de lijn DH in eon punt M zoodat:

Hieruit blijkt dat de plaats van dit punt M alleen afhangt van de grootte der krachten on do plaats der aangrijpingspunten, zij zal dus niet veranderen zoo men, met behoud van de grootte en de aangrijpingspunten der krachten, de richtingen van deze allo verandert, zoodat

Mon noemt dit punt M het middelpunt der evenwijdige krachten, die in A, B, C en D werken, en kan hot bepalen Ã³f als hot punt der resultante', dat onveranderd blijft, zoo men de richting van al de evenwijdige krachten evenveel verandert mot behoud van hare grootte en aangrijpingspunten, Ã³f als hot snijpunt van do resultanten van al do stelsels van evenwijdige krachten, die verschillend zijn in richting, doch golij co aangrijpingspunten hebben, en bij welko de krachten in hetzelfde aangrijpingspunt gelijk zijn. , , .

Deze laatste eigenschap geeft, ter bepaling van do plaats van hot middelpunt der evenwijdige krachten, ecno andere methode dan de boven aangegevene constructie aan de hand. Brengen wij door do aangrijpingspunten A, B, C en D de krachten evenwijdig aan de lijn XX naar willekeur getrokken, dan wordt de plaats der resultante PQ bepaald^ c ooi.

zoo AO, BR, CS, DT en LN loodrecht op XX' zijn getrokken, de afstand LN van PQ tot XX' wordt hierdoor bekend.

Veranderen wij de richting der krachten, en maken haar alle evenwijdig aan de lijn YY', eveneens naar willekeur genomen, dan wordt de afstand L'N' van de resultante P'Q' tot YY' op gelijke wijze als LN bepaald. Het doorsnijdingsplint M van de bekende lijnen PQ en P'Q' is dan het middelpunt der evenwijdige krachten.

Yoor do berekening is het meestal het eenvoudigste, XX' en YY' loodrecht op elkander te nemen.

a. Bepalingen. â Zoo twee gelijke, evenwijdige doch tegengestelde krachten K in de punten A on B op een lichaam werken (fig. GG), dan moet de resultante gaan door eon punt C buiten de krachten, zoodat:

resultante zou moeten werken, onbestaanbaar. De resultante bestaat dus ook niet, met andere woorden, er bestaat geene kracht, die dezelfde uitwerking heeft als de beide krachten K te zamen, hetgeen overigens ook duidelijk is, daar eene kracht eene rechtlijnige, do beide krachten gezamenlijk daarentegen eene ronddraaiende beweging mededeolen. Zulk een stelsel van twee gelijke en evenwijdige doch tegengestelde krachten heet een koppel] de afstand der krachten wordt de arm, het product van eene der krachten en den arm moment van het koppel genoemd. Zoo de draaiing, welke het koppel aan het lichaam tracht te geven, in de richting van de wijzers van een uurwerk plaats vindt, noemt men het koppel en zijn moment positief, in het tegengestelde geval negatief. Het moment is ook gelijk aan de algebraÃ¯sche som der momenten van de beide krachten ten opzichte van een willekeurig punt in het vlak van het koppel.

ta. Evenwicht van twee koppels in een vlak. â Twee koppels, welke gelijke doch tegengestelde momenten hebben, en in een zelfde vlak liggen, houden elkander in evenwicht.

Laten, om dit te bewijzen, do gelijke krachten K en K' (fig. G7) een koppel vormen, waarvan AB de arm is, en de gelijke krachten P en P'

Bepalen wij nu eerst door het parallelogram van krachten de resultante EL van de krachten K en P, welke worden voorgesteld door do lijnen EF en EH, en ook de resultante MO van de krachten K' en P', die door de lijnen MQ en MN worden aangegeven; daar de krachten K en K' en eveneens P en P'

gelijk en evenwijdig doch tegengesteld gericht zijn, zijn de res ixltanten EL en MO, ook gelijk en evenwijdig, doch tegengesteld. De beide krachten EL en MO kunnen dus of een koppel vormen, Ã³f, zoo zij in elkanders verlengde liggen, elkander opheffen. Dat dit laatste het geval is, kunnen wij gemakkelijk aantoonen, door te bewijzen dat de kracht EL door hot punt M moet gaan. Trekken wij namelijk uit M loodlijnen op EP en EH, dan zijn deze gelijk aan BA en DC, en de som dor momenten ten opzichte van M is:

welke uitdrukking volgens de onderstelling gelijk nul is; de resultante EL van K en P gaat derhalve door M.

Indien dus in een vlak eenige koppels liggen, waarvan de krachten verschillen in richting en grootte, doch waarvan de momenten en draaiingsrichtingen dezelfde zijn, zoo kunnen zij elk in het bijzonder door eenzelfde koppel met een gelijk doch tegengesteld moment, in dat vlak liggende, in evenwicht worden gehouden. Hieruit volgt onmiddellijk dat koppels met gelijke momenten, in een zelfde vlak werkende, aan elkander gelijk zijn; met andere woorden: zonder dat zijne uitwerking veranderd wordt, kan een koppel in zijn vlak verplaatst worden, en van arm en kracht veranderen, mits slechts zijn moment hetzelfde blijft.

c. Evenwicht van twee koppels in evenwijdige vlakken. â Twee koppels, welke in evenwijdige vlakken liggen en gelijke doch tegengestelde momenten hebben, houden elkander in evenwicht.

Laten K en K' het eene, P en P' het andere koppel vormen (fig. G8). Herleiden wij deze tot andere koppels (Q, Q') en (R, R'), welke gelijke krachten en dus ook gelijke armen bezitten, en verplaatsen wij zc in hunne vlakken, zoodat de armen evenwijdig worden, dan moet de resultante der

Zoo in eenigo werken, kan elk

tegengesteld moment, in een vlak evenwijdig aan do andere vlakken, in evenwicht worden gehouden. Kopppels in evenwijdige vlakken, met gelijke momenten, zijn dus gelijk; mot andere woorden, een koppel kan, zonder dat zijne werking verandert, naar een evenwijdig vlak verplaatst worden, zoo slechts zijn moment hetzelfde blijft.

Een koppel wordt derhalve volkomen bepaald door zijn momo: t en door do richting van hot vlak, waarin hot ligt, of ook door de lijn, welke loodrecht op het vlak is opgericht; die lijn heet do as van het koppel.

Om, evenals bij de krachten, in Ã³Ã©ne lijn al de gegevens te vereenigen, waardoor oen koppel bepaald wordt, kan men, bij een willekeurig punt dor as aanvangende, oen stuk daarop uitzetten, hetwelk met het moment evenredig is. Ten einde door die lijn ook do richting te bepalen, waarin hot koppel eene draaiing tracht teweeg te brengen, onderstelt men dat een koppel, waarvan het moment positief is aangenomen, evenwijdig aan zichzelf naar het aangenomen aanvangspunt van die as is overgebracht, hetgeen altijd kan geschieden zonder do werking van hot koppel te veranderen; uit het eenc deel van de as, hot positieve gedeelte genoemd, ziet men dan het koppel eene draaiing volbrengen in de richting van de wijzers van een uurwerk, uit het andere deel, het negatieve gedeelte van de as, ziet men daarentegen de beweging-in tegengestelden zin plaats grijpen. Is nu het koppol positief, dan zet men zijn moment op het positieve dool dor as uit, is hot negatief, dan wordt het moment op hot negatieve deel aangegeven. In hot vervolg zullen wij een koppel eenvoudig aanduiden door zijn moment en zijne as.

vier golijko krachten Q, Q', li en E' bepaald worden. Trekken wij de

lijnen AD, AC, BD en BC, dan is ABCD een parallelogram, en dus AE = ED en BE r= EC.

Do resultante der gelijke krachten Q en K is gelijk 2 Q en werkt in E, de resultante van Q' on R' is ook 2Q en werkt eveneens in E, doch in eenc richting tegengesteld aan dio der vorige resultante. Deze krachten 2Q heffen elkander op, en de beide koppels maken ovenwicht.

evenwijdige vlakken koppels met gelijke momenten van deze door een zelfde koppel, met gelijk doch

vlakken. â Om twee koppels samen te stellen, waarvan de momenten K X ^{a en} P X ^ zijn, en die in hetzelfde, of in twee evenwijdige vlakken zijn gelegen, brenge men ze eerst, zoo noodig, over naar een zelfde vlak,

worden, en verplaatst ze totdat de armen op elkander vallen, dan vormen de resultanten der vier krachten, die twee aan twee op elkander (flg. 69), of in elkanders verlengde liggen (fig. 70), (naarmate de momenten gelijke of tegengestelde teekens heb-

v_xA
a	V

	K'
	Fig 69.

De resultante van tivee koppels, in hetzelfde of in evenwijdige vlakken, is dus een ander koppel, waar-

van het moment gelijk is aan de algebraÃ¯sche som der momenten van de samenstellende koppels. De resultante van meer dan twee koppels, in hetzelfde vlak, of in evenwijdige vlakken, is oveneens oen nieuw koppel, waarvan het moment gelijk is aan de algebraÃ¯sche som der momenten van de samenstellende koppels, zooals duidelijk blijkt als men eerst de resultante van twee er van bepaalt, deze met een derde verbindt, enz.

o. Samenstelling van koppels in elkander sniidende vlakken gelegen. â De koppels, welke gelegen zijn in twee vakken XB en YB (tig. 71), herleidt men eerst tot gelijke krachten K; indien de momenten dier koppels N en Q zijn, worden hunne armen dan en

Men verschuift de herleide koppels in hunne vlakken zoo, dat eene kracht K' van het eene koppel en eene kracht F', welke gelijk doch tegengesteld aan K' is, van het andere koppel langs de gemeenschappelijke doorsnede BD dor vlakken vallen; de armen BA en BC staan dan loodrecht op do doorsnede BD, en vormen dus den standhoek der beide

aan elkander evenwijdig doch tegengesteld zijnde, een nieuw koppel vormen, waarvan do arm AC cn hot moment K X AC is. Zoo de stand-hoek ABC gelijk a is, vindt men:

Het moment M = K X AC van het resulteerend koppel is dan: M â V (N² Q² â 2 N X Q cos. a).

Trekken wij uit punten E cn F van de lijnen AB en CB loodlijnen op de vlakken XB en YB in de richting van de assen der koppels, en zetten wij, van het snijpunt II af, stukken HL en HG uit, welke de momenten N en Q der koppels voorstellen (pag. 74); construeeren wij verder het parallelogram GBLO, en trekken de diagonaal HO, dan liggen de lijnen HL, HG, HO, BE en BF alle in een vlak, dat loodrecht op BD staat. De hoek LHG is 180 â a en dus:

de hoeken OHO en ACB zijn dus gelijk, en daar HG loodrecht op BC is, zal HO loodrecht op AC staan.

Do lijn HO in oen vlak liggende, dat loodrecht op BD staat, staat ook loodrecht op cle lijnen AK en CP, welke evenwijdig zijn aan BD; zij staat derhalve loodrecht, zoowel op do krachten K en P, als op don arm AC, en dus ook op liet vlak van het resulteerende koppel, waarvan het de as zal voorstellen. Zoo even is aangetoond dat HO ook gelijk is aan het moment van hot resulteerende koppel, en indien men dit, evenals de samenstellende koppels, positief noemt, dan is, zooals uit de figuur volgt, van H afgerekend, HO de positieve richting van de as. Uit dit alles blijkt dat het moment en de as van het resulteerende koppel in grootte en richting worden voorgesteld door de diagonaal HO van het parallelogram, waarvan de zijden HG en HL, in richting en grootte de momenten en assen der samenstellende koppels voorstellen.

Zoo men dus de koppels aangeeft door hunne assen, waarop in de behoorlijke richting de momenten zijn uitgezet, kan men ze op dezelfde wijze samenstellen als krachten, in con vlak werkende, waarvan de richting en grootte door lijnen zijn voorgesteld. Indien de hoek van de assen van twee koppels Â« is, en de momenten der koppels N en Q zijn, dan wordt hot moment M van hot resulteerende koppel bepaald door:

terwijl do hoeken (3 en 7, welke zijne as met de beide andere assen maakt, gevonden worden uit:

Bij het samenstellen van meerdere koppels gaat men eveneens te werk als bij hot samenstellen van meerdere krachten, die op een punt werken.

f Samenstelling van krachten en koppels. â Zoo mon eene kracht en een koppel moet samenstellen, welke in 0011 zelfde vlak liggen (fig. 72), dan herleidt men dit koppel, waarvan do kracht Q cn do

dat eene van zijne krachten in P in het verlengde van de gegevene kracht valt; deze beide krachten, in P werkende, heffen dan elkander op, en er blijft alleen eene kracht K in P' over. Do resultante van eene kracht K en een koppel (Q, u) is dus eene andere kracht, golijk en

Heeft men meerdere koppels en krachten in ecu vlak samen te stellen, dan zoekt mon eerst de resultante van al de krachten, vervolgens stelt men al de koppels samen, en zoekt daarna de resultante van de resultoerende kracht en het resulteerende koppel.

eene andere kracht, gelijk en evenwijdig aan de eerste, dit komt dan neder op eene verplaatsing der kracht, evenwijdig aan zichzelve, onder toevoeging van een koppel. Om dit koppel te bepalen, handelt men aldus. Zij K de kracht (fig- 73), in P werkende, welke wij naar P' willen verplaatsen, mon neme dan in P' twee krachten aan, gelijk en evenwijdig aan K, doch aan elkander tegengesteld, -waardoor blijkbaar niets in den toestand van rust of beweging veranderd wordt. Eene van deze vormt dan met de oorspronkelijke kracht het gevraagde koppel, dat tot arm heeft den af-^Fig' ' ' stand, waarop de kracht verplaatst is; de

Hetzelfde, wat hier gezegd is mot betrekking tot do samenstelling van eone kracht en eon koppel in eenzelfde vlak, geldt natuurlijk ook voor hot geval, dat het vlak van het koppel evenwijdig is aan de kracht, daar men dan (pag. 74) het koppel evenwijdig aan zichzelf kan verplaatsen, totdat zijn vlak door do kracht gaat. De as van het koppel staat in dit geval altijd loodrecht op de kracht.

Zoo de kracht het vlak van het koppel snijdt, en dus niet loodrecht staat op do as van het koppel, kunnen zij niet tot eone enkele kracht worden samengesteld. Verplaatst men het koppel in zijn vlak zoo, dat eeno van zijne krachten door het snijpunt van het vlak met de gegevene kracht gaat, dan kan men van deze twee elkander snijdende krachten de resultante bepalen, welke do andere kracht van hot koppel zal kruisen. De kracht en het koppel zijn dan samengesteld tot twee kruisende krachten. Daar hot vlak van hot koppel evenwijdig aan zichzelf kan verplaatst worden, en de krachten, dio hot koppel vormen, door verandering van don arm kunnen gewijzigd worden, is hot duidelijk dat oene kracht en eon koppel, waarvan het vlak door die kracht gesneden wordt, door een oneindig aantal verschillende stelsels van twee kruisende krachten kunnen worden vervangen. In den regel is het echter eenvoudiger kracht en koppel afzonderlijk te behouden.

Elk stelsel van twee kruisende krachten kan omgekeerd vervangen worden door eone kracht en oen koppel, waarvan de as niet loodrecht staat op die kracht.

Het geval, dat de krachten alle door een zelfde punt zijn gericht, is behandeld bij de samenstelling der krachten in een punt werkende. Zoo de krachten elkander echter in verschillende punten snijden, en wellicht voor een deel evenwijdig zijn, kan men zich voor de samenstelling van eeno der beide volgende handelwijzen bedienen.

Men stelt eerst twee dor krachten samen, verbindt do resultante met eeno derde kracht enz. Hot kan gebeuren, dat men hierbij alleen elkander snijdende krachten, of evenwijdige krachten, die geen koppel vormen, moot samenstellen, zoodat men ten slotte voor het geheele stol-stel eone resultante verkrijgt; het kan echter ook gebeuren, dat bij de samenstelling twee gelijke doch tegengestelde krachten voorkomen, welke oen koppel vormen; volgons hot medegedeelde op pag. 77, wordt dit met de nog overige krachten verbonden, en ook in dit geval zal in hot algemeen hot stelsel van krachten tot eeno resultante herleid worden. Doet zich evenwel de bijzonderheid voor, dat de resultante van al dc

krachten op Ã©Ã³no na, mot de laatste kracht een koppel vormt, dan zal het stelsel van krachten geene eigenlijke resultante hebben, maar in zijne werking kunnen vervangen worden door dat koppel.

De tweede handelwijze, die men bij deze samenstelling volgen kan, is, dat men al de krachten door middel van koppels (pag. 78) naar een zelfde aangrijpingspunt overbrengt. Men bepaalt dan de resultante van al die verplaatste krachten, en ook het resulteerende koppel van al de toegevoegde koppels, zoodat men ten slotte al de oorspronkelijke krachten heeft herleid tot eene kracht en een koppel, welke in een plat vlak liggen. In het algemeen kunnen deze beiden tot eene kracht worden samengesteld, welke dan de resultante van het stelsel is, indien echter de resultante van al de verplaatste krachten gelijk nul is, zal men alleen het koppel overhouden, hetwelk dezelfde werking als hot stelsel van krachten zal hebben. Is het moment van hot resulteerende koppel nul, doch de resultante der krachten niet, dan is de eindresultante van het stelsel gericht door het punt, waarheen men al de krachten verplaatst heeft.

Op gelijksoortige wijze als op pag. 08 toont men nog voor deze krachten aan, dat do som van hare momenten gelijk is aan liet moment van do resultante; zoo het stelsel van krachten door een koppel kan vervangen worden, is de som van de momenten van al de krachten gelijk aan de som van de momenten van de beide krachten van het koppel, of aan het moment van het koppel zelf.

De richtingen van krachten, welke op een lichaam werken en niet in een plat vlak zijn gelegen, kunnen of elkander in een punt snijden, of aan elkander evenwijdig zijn, of wel elkander kruisen.

a. Besultante van krachten, welke elkander in een punt snijden. â Men brengt de aangrijpingspunten der krachten over naar het gemeenschappelijke snijpunt, en stelt ze dan op soortgelijke wijze samen als meerdere krachten, die in een plat vlak liggen (pag, 05), door eerst twee er van samen te stellen, de gevondene resultante met eene derde kracht te verbinden enz. Door eene dergelijke beschouwing als op pag. 22 is medegedeeld, kan men de constructie der hierbij voorkomende parallelogrammen ontgaan.

In plaats van eerst twee krachten samen te stellen en hate resultante met eene derde te verbinden, kan men dadelijk de resultante van drie krachten bepalen door de diagonaal van het parallclopipedum (pa-rallelopipedum der krachten) (flg. 74), waarin de drie krachten de ribben aan een hoekpunt vormen: P is dan de resultante van K en K', en

de diagonaal R die van P en Kquot; of van K, K' en Kquot;. Deze constructie is volkomen dezelfde als voor de resultante van drie versnellingen (pag. 22).

Evenals in het voorgaande geval, wordt deze bepaald door eerst de resultante van twee krachten te bepalen, deze met Fig. 74.

eene dorde te verbinden enz. Hieruit blijkt dat, zoo men do kracht in de eene richting als positief, in do tegengestelde richting als negatief aanneemt, de grootte dor resultante gelijk is aan do algebraÃ¯sche som der krachten. Hare plaats kan volgens do medegedeelde handelwijze ook worden opgemaakt; gemakkelijker geschiedt hot echter als men gebruik maakt van eene kleine uitbreiding, welke men aan de vroeger medegedeelde loer der mo-menten kan geven. Laten K en K' twee evenwijdige krachten zijn, waarvan R, gelijk K -|- K',

vlak evenwijdig aan die krachten, AD, BE en CF loodrecht op XY, en AH loodrecht op AD in het vlak ADEB, dan is, indien de momenten ten opzichte van A genomen worden:

Noemen wij het product van eene kracht en haren afstand tot oen evenwijdig vlak het moment van de kracht, ten opzichte van dat vlak, dan is de beteekenis van de formule XXXIX, dat de som der momenten

van twee evenwijdige krachten, ten opzichte van een vlak, gelijk is aan het moment van de resultante, ten opzichte van datzelfde vlak. Gemakkelijk toont men aan dat deze eigenschap ook doorgaat voor een groo-ter aantal krachten, en dat in het algemeen de som der momenten van een stelsel van evenwijdige krachten, ten opzichte van een vlak, gelijk is aan het moment van de resultante ten opzichte van datzelfde vlak.

Gebruikt men deze stolling ter bepaling van den afstand, waarop de resultante van eonigo bekende evenwijdige krachten verwijderd is vaneen daaraan evenwijdig vlak P, dan komt in de vergelijking, welke men ten gevolge van dio stelling kan nederschrijven, als eenige onbekende de afstand van de resultante tot hot aangenomen vlak voor; deze kan berekend worden, en indien men nu een vlak bepaalt, evenwijdig aan het aangenomen vlak en op den gevondenen afstand daarvan verwijderd, dan moet de resultante in dit vlak liggen. Door de momenten van de samenstellende krachten en van de resultante te bepalen ten opzichte van een tweede vlak, ook evenwijdig aan die krachten, hetwelk hot eerste vlak snijdt, vindt men een tweede vlak Q, waarin insgelijks do resultante moot liggen; deze zal dus gelegen zijn in de doorsnijdingslij n van P en Q.

c. Middelpunt van evenwijdige krachten.â Op gelijke wijze als de evenwijdige krachten in oen plat vlak, hebben ook de evenwijdige krachten in do ruimte, welke in bepaalde aangrijpingspunten werken, oen middelpunt. Door cene constructio, volkomen gelijk aan die, welke op pag. 69 is medegedeeld, wordt do aanwezigheid van dit punt aangetoond, en zijne plaats bepaald. Beter geschiedt dit echter, door zijne afstanden van drie elkander snijdende vlakken te berekenen; het middelpunt dor evenwijdige krachten beschouwt men dan als het snijpunt van de beide resultanten, wolke het

Laten YZ, XZ en XY (fig. 76) de drie bekende vlakken zijn, tot welke de afstanden van hot middelpunt der evenwijdige krachten moeten bepaald worden, en onderstel dat die krachten, waarvan de grootte wordt voorgesteld door K, K', Kquot;, enz., in A, A', Aquot;, enz. aangrijpen. Men brengt dan eerst door die aangrijpingspunten de krachten alle evenwijdig aan OZ, en berekent, door de momenten ten opzichte van do vlakken YZ on XZ, den afstand van de resultante en dus ook van hot middelpunt M, dat in de richting van die resultante moet liggen, tot aan die beide vlakken. Brengt men vervolgens door do aangrijpingspunten de krachten allo evenwijdig aan OX, dan kan men op gelijksoortige wijze den afstand van hot punt M tot hot vlak XY berekenen. De drie afstanden van hot middelpunt dor evenwijdige krachten tot drie elkander snijdende vlakken zijn dus bekend, en de plaats van hot gezochte middelpunt is gevonden.

De formules, die men liij deze berekening gebruikt, zijn hoogst eenvoudig. Noemen wij do afstanden van het punt A tot do vlakken YZ, XZ en XY: x, y on z₎ eveneens do afstanden van A', Aquot;, enz., tot die vlakken x', )/, xquot;, yquot;, zquot;, enz., terwijl de afstanden van het middelpunt M tot die vlakken y_l on Â«j gesteld worden, dan volgt, als li de resultante der krachten is, uit do eigenschap der momenten ton opzichte van hot vlak YZ :

waarin de momenten Ka; enz., volgens do vroeger opgogevone wijze (pag. GG), met het behoorlijke toeken voorzien zijn. Stelt men do algebraÃ¯sche som dor momenten, in het tweede lid van do vergelijking, voor door S (K x), en evonoons de algebraÃ¯sche som dor krachten, waaraan de resultante R gelijk is, door 2(K), dan gaat de vergelijking over in:

Dergelijke formules verkrijgt men ook, zoo men de vergelijkingen voor de momenten ten opzichte van de vlakken XZ en YZ opmaakt, en vindt dus voor do afstanden van het middelpunt der evenwijdige krach-ton tot elk der drie vlakken;

Gewoonlijk worden voor de eenvoudigheid de drie vlakken YZ, XZ en XY loodrecht op elkander gestold.

In dit algemoono geval van evenwijdige krachten ligt natuurlijk het meer bijzondere, dat al do krachten on dus ook al de aangrijpingspunten in een plat vlak gelegen zijn, opgesloten. Neemt men dat platte vlak voor hot vlak XY aan, dan is, voor al de aangrijpingspunten, z gelijk 0, on de drie vergelijkingen (XL) worden tot de beide eerste herleid,

die roods op pag. 71 zijn. modogodeold, on waarin dan x en y afstanden tot twoe lijnon in hot vlak der krachten voorstellen.

d. De resultante van elkander kruisende krachten. â Door toevoeging van koppels brengt men olko der kruisende krachten over naar oen zelfde aangrijpingspunt (pag. 78). Het stelsel der kruisende krachten wordt dan herleid tot een stolsel van krachten, die in hot-zolfde punt aangrijpen, en een stelsel van koppels; deze beide stelsels kunnen worden samengesteld tot eene kracht en een koppel. Alleen in hot geval, dat de kracht in het vlak van het koppel ligt, of de as van hot koppel loodrecht staat op de kracht, kunnen beide tot CÃ©ne kracht worden samengesteld, en hebben dus de kruisende krachten eene resultante; gewoonlijk zal echter de as van het koppel niet loodrecht staan op do kracht, on deze het vlak van het koppel snijden; men kan dan kracht en koppel vervangen door een stelsel van twee kruisende krachten (pag. 79). In den regel zal het echter wenschelijk zijn, kracht en koppel onveranderd te behouden.

Daar het punt, waarheen men de krachten door middel van do koppels verplaatst, naar willekeur kan worden gekozen, zijn er een oneindig aantal stelsels van eene kracht en een koppel, of van twee kruisende krachten, die dezelfde uitwerking op een lichaam hebben, als een stelsel van kruisende krachten.

BEREKENING VAN DE GROOTTE EN DE PLAATS VAN DE RESULTANTE VAN EEN STELSEL VAN KRACHTEN.

Hoewel in hot voorgaande alles is medegedeeld, wat voor do bepaling van de resultante van eenigo krachten noodig is, zullen wij hier nog de handelwijzen vermelden, die gewoonlijk gevolgd worden bij de berekening van de plaats en grootte van de kracht of de krachten, die een stelsel van een groot aantal krachten kunnen vervangen.

a. Resultante van krachten in een plat vlak. â De plaats van do aangrijpingspunten P, P', Pquot;, onz. (fig. 77) dor krachten K, K', Kquot;, enz. bepalen wij door hunne afstanden tot de twee onderling loodrechte lijnen, of assen XX' en YY', en noemen den afstand van P tot YY', welke evenwijdig aan XX' is, a;, den afstand tot XX', welke evenwijdig aan YY' is, y] do overeenkomstige afstanden van P', Pquot;, enz. noemt men x', ?/', xquot;, yquot;, enz. Om de afstanden aan de beide zijden der assen van elkander te onderscheiden, noemen wij den afstand x positief, zoo het punt aan die zijde van OY ligt, waar zich OX bevindt, en den afstand y positief, zoo het punt aan denzelfden kant van OX ligt, als OY; de waarden van x en y noemen wij negatief, zoo het

punt aan do zijden van OY' of OX' ligt. De lijnen OX en OY worden dan ook do positiovo doelen, OX' en OY', de negatieve deelen dei-assen genoemd.

Do richtingen dor krachten worden bepaald door do hoeken, welke zij met do lijn OX maken; om verwarring te voorkomen, worden altijd die hoekon gerekend van do richting der kracht af, in den zin, waarin zich do wijzers van een horlogo verplaatsen, tot het positieve deel van de as OX. Dezo hoeken Â«, Â«', aquot;, enz. kunnen liggen tusschon 0Â° en 360Â°.

voor Kquot;, xquot; negatief, yquot; negatief, Â«quot; gt; 270Â° en 300Â°,

Indien wij nu de resultante moeten berekenen van een groot aantal krachten, waarvan de grootte, do richtingen en de aangrijpingspunten op deze wijze bepaald zijn, beginnen wij mot elke van haar te ontbinden in twee andere krachten, oene K* evenwijdig aan OX en eeno K_y evenwijdig aan OY (fig. 78). Do ontbondono krachten worden in de vier verschillende richtingen, welke de krachten kunnen hebben, voorgesteld door PA, P'A', Pquot;Aquot;, Pquot;A'quot;, PB, P'B', Pquot;Bquot; en P'quot;B'quot;. Dit de rechthoeken blijkt, dat voor elke dor vier waarden van Â«, de ontbondeno evenwijdig aan OX, of K* in grootte gelijk is aan K cos. Â«, K' cos. a', enz., on eveneens de ontbondeno evenwijdig aan OY, of K_v in grootte wordt voorgesteld door K sin. a, K' sin. a', enz. Maar niet alleen de grootte,

enz., of K sin. a, enz. voorgesteld. Wij noemen namelijk de krachten, evenwijdig aan OX en OY, positief, zoo zij volgens het positieve deel van de assen OX en OY, van O af gerekend, gericht zijn, negatief daarentegen, zoo zij eene tegengestelde richting hebben. Beschouwen wij nu de figuur 78, dan zien wij dat:

voor Â« ^gt;0Â° en 90Â°, K cos. a positief, K sin. a positief, voor a' 90Â° en lt; 180Â°, K' cos. a' negatief, K' sin. a' positief, voor Â«quot; gt;â 180Â° en 270Â°, Kquot; cos. aquot; negatief, Kquot; sin. aquot; negatief, voor a'quot; gt;â 270Â° en 300Â°, K'quot; cos. aquot; positief en K'quot; sin. a'quot; negatief.

Hieruit blijkt dat werkelijk altijd door K cos. Â«, K' cos. a', enz., of K sin. a, K' sin. enz. ook de richting der ontbondene juist wordt aangegeven.

In plaats van n krachten K, K', enz., in willekeurige richtingen werkende, hebben wij nu: 1Â°. n krachten Kcos.Â«, K'cos. a', enz. evenwijdig aan de lijn OX en op afstanden y, ?/, enz. daarvan verwijderd; 2Â°. n krachten K sin.Â«, K' sin. a', enz., evenwijdig aan de lijn OY en op afstanden x, x', enz. daarvan verwijderd.

terwijl haar afstand ijo tot de lijn XO volgens do leer der momenten (pag. 70) gevonden wordt door:

De resultante R van X en Y is dan do resultante van al de krachten K, K', enz. Do richtingen van X en Y snijden elkander in oen punt, dat op afstanden Xo en gt;jo van OY en OX verwijderd is; de resultante R gaat natuurlijk door dit punt en wordt gegeven door:

Wij beschouwen deze uitdrukking altijd als positief, daar zij alleen de grootte van de resultante bepaalt. Hare richting vindt men door den hoek A, welken zij met de lijn OX maakt; deze wordt gevonden uit:

Do plaats der resultante is bepaald door de voorwaarde dat zij moet gaan door liet punt, dat op de gevondene afstanden y₀ on Xo van OX en OY is verwijderd. Men kan haar echter ook bepalen door do loodlijn, die uit O op do resultante is nedergelaten. Deze maakt mot do lijn OX een hoek A -|- 00Â°, en hare lengte l wordt gegeven door:

Indien X en Y en dus ook R gelijk nul zijn, zonder dat het moment der resultante l R ten opzichte van den oorsprong gelijk nul is, volgt hieruit dat de krachten K, K', enz. kunnen vervangen worden door een koppel, waarvan het moment wordt voorgesteld door:

Zijn al do krachten K, K', enz. onderling evenwijdig, dan kan men de berekening vereenvoudigen, door eene der assen XX', of YY' even-

wijdig aan de richting van die krachten te nemen; Â« wordt dan 0Â°, of 90Â°, en do formules gaan over Ã¯n de reeds bekende formules, waardoor de grootte van de resultante en haar afstand tot eene evenwijdige lijn wordt bepaald.

b. Resultante van krachten in de ruimte. â De handelwijze, gevolgd ter bepaling van de resultante van krachten in een plat vlak, kan uitgebreid worden voor het geval, dat do krachten op een lichaam in willekeurige richtingen werken. Ter bepaling van de aangrijpingspunten en de richtingen der krachten, neemt men (fig. 79) drie onder-

ling loodrechte vlakken (coÃ¶rdinaten-vlakken) aan, die elkander volgens drie onderling loodrechte lijnen XX', YY' en ZZ' {coÃ¶rdinaten-assen) snijden. Do doelen OX, OY en OZ van deze assen worden de positieve deelen, OX', OY' en OZ' de negatieve doelen genoemd.

Do afstanden PA, PB, PC van hot aangrijpingspunt P van de kracht K tot de drio vlakken YOZ, ZOX en YOX, evenwijdig aan de assen

OX, OY en OZ, noemt men x, y en z, en men stelt ze positief, zoo zij zich aan de zijde van de positieve deelen, negatief, zoo zij zich aan de zijde van do negatieve deelen der assen bevinden. De richting der kracht K wordt bepaald door de hoeken, welke zij maakt met de lijnen PXquot;, PYquot; en PZquot;, evenwijdig aan de positieve deelen der assen getrokken. Deze hoeken Â«, /3 en â¢/ liggen altijd tusschcn 0Â° en 180Â°, en tus-schen hen bestaat do betrekking:

Ontbinden wij de kracht K volgons de drie onderling loodrechte richtingen PXquot;, PYquot; en PZquot;, dan zijn (fig. 80) PD, PE en PF de ontbon-denen, welke berekend kunnen worden uit de driehoeken PKD, PKE en PKF, die rechthoekig zijn in D, E en F.

Eene beschouwing, overeenstem m ende met die, welke bij de krachten in een plat vlak is medegedeeld (pag. 8G), doet zien dat deze uitdrukkingen in allo gevallen de grootte en richting dor ontbondeneu doen kennen.

leid tot drie stelsels van krachten evenwijdig aan de assen OX, OY en OZ, en het is gemakkelijk de grootte en richting van do resultante van elk dier stelsels, alsmede hare afstanden tot twee der vlakken OXY, OXZ en OYZ volgens de leer der momenten (pag. 82) te bepalen.

De krachten in do ruimte zijn alzoo teruggebracht tot drie krachten, evenwijdig aan OX, OY en OZ, die elkander in het algemeen zullen kruisen, en dus (pag. 84) door middel van koppels moeten worden verplaatst naar een zelfde aangrijpingspunt, b.v. het snijpunt O der assen, om ze nog verder te kunnen samenstellen. Het is nu niet moeilijk de grootte van de resulteerende kracht en hot resulteerende koppel langs dezen weg te vinden.

te stellen en vervolgens de partieele resultanten door koppels naar het punt O over te brengen, kan men ook den omgekeerden weg volgen, namelijk eerst al do ontbondenon door koppels naar O verplaatsen en dan de resultante van de krachten en koppels berekenen. In het kort doelen wij de uitkomsten mede, tot welke men aldus geraakt.

nen zijn van eene der gegevene krachten, welke naar de assen OX, OY en OZ moeten worden overgebracht.

Vangen wij aan met de kracht K^^Kcos. a. Deze wordt eerst verplaatst naar het punt C, liggende in hot vlak XOY in de loodlijn uit P op dat vlak nedergelaten, en wol door toevoeging van het koppel K 2 cos. a, dat OY tot as heeft; vervolgens brengt men deze kracht van C over naar de as OX met behulp van hot koppel, waarvan het moment in grootte en richting gelijk is aan â K y cos. Â«, en dat OZ tot as heeft.

Op gelijke wijze wordt Ky of K cos. /3 overgebracht, eerst naar C mot het koppel â K z cos. ,6, dat OX tot as heeft, en vervolgens naaide lijn OY mot het koppel K x cos. /9, dat OZ tot as heeft. De kracht K₂ â K cos. y wordt eerst naar A verplaatst met hot koppel âKxcos. y, dat OY tot as heeft, en van daar naar OZ met het koppel K y cos. y, waarvan OX de as is. In plaats van de kracht K heeft men dan 3 krachten:

De koppels met dezelfde as hebben tot resultante een koppel, waarvan het moment gelijk is aan de som van de momenten der samenstellende koppels. De zes koppels worden dus tot do drie volgende herleid;

K z cos. Â« â K x cos. y met OY tot as, en Kx cos. Â§ â K y cos. a met OZ tot as.

Deze uitdrukkingen gelden voor positieve en negatieve waarden van x, y en z, en voor waarden van a, en y kleiner of grooter dan 90Â°, zooals eene beschouwing der verschillende gevallen doet zien.

Na elko der oorspronkelijke krachten herleid te hebben tot drio krachten volgens de drie assen, en tot drie koppels, waarvan de assen ook mot de drie coÃ¶rdinatenassen samenvallen, kunnen wij deze verder samenstellon. In do eerste plaats de krachten; hare gedeeltelijke resultanten zijn;

welke onderling loodrecht zijn, zoodat de grootte van de eindresultante gevonden wordt door:

door welke waarden de hoekon A, B en C volkomen bepaald worden, daar zij gelegen zijn tusschen 0Â° en 180Â°.

In do tweede plaats stollen wij do koppels samen, en wel eerst die, welke eene zelfde as hebben, waardoor men do volgende momenten van de resulteoronde koppels verkrijgt;

T = 2 (K ? cos. a â Kx cos. y) met OY tot as en II ~ 2 (K x cos. (? â K y cos. a) met OZ tot as.

M = I/ {(2 (Ky cos. 7 âKs cos. (i) )² -f- (2 (K^cos. a â Ka;cos. y ))^!! (2 (K x cos. |3 â KÂ»/ cos. a ) )³} . . . . (XLVIII).

Do hoeken D, E en F, welke de as van dit resulteerendo koppel met de assen OX, OY en OZ maakt, worden bepaald door:

Al de oorspronkelijke krachten K, K', enz. zijn dus herleid tot eeno kracht E, bepaald door (XLVI) en (XLVII), en een koppel M, bepaald door (XLVIII) en (XLIX). Daar echter dit koppel en die kracht in het algemeen niet in een vlak liggen, is eeno herleiding van beide tot eeno kracht in het algemeen niet mogelijk; men kan ze echter terugbrengen tot twee elkander kruisende krachten (zie pag. 79).

Zoo de la-achten alle onderling evenwijdig zijn, kan men de coÃ¶rdi-natenvlakken XOZ en YOZ evenwijdig aan hare richting aannemen; de hoeken a en fi worden dan recht, en hoek y wordt nul. Do vergelijkingen (XLVI) en (XLVII) geven dan dadelijk de bekende waarden voor de grootte en richting dor resultante, terwijl men door de koppels S en T de afstanden kan bepalen, waarop zij van de vlakken XOZ en YOZ verwijderd is, op volkomen gelijke wijze als door de vergelijkingen, die men uit do momenten der krachten ten opzichte van die vlakken kan afleiden (pag. 82).

Het is duidelijk dat men de methode, bij de berekening van de resultante enz. van krachten in de ruimte aangegeven, ook kan volgen zoo de krachten in een plat vlak liggen. Mon verkrijgt dan eone resultante gaande door het punt O, in grootte en richting bepaald door (XLI), (XLII) en (XLIII), benevens een koppel, waarvan het moment gegeven wordt door:

a. Algemeene formules voor de plaats van het zwaartepunt van gelykslachtige en ongelijkslachtige lichamen, vlakken en lijnen. â Wij donken ons ieder lichaam als bestaande uit een groot aantal deeltjes; op elk van deze werkt de zwaartekracht in eene ver-ticaio richting naar het midden der aarde, en zoo het lichaam niet te groot is, kunnen wij die richtingen als onderling evenwijdig aannemen.

Do resultante van al die krachten wordt het gewicht van het lichaam genoemd, en het middelpunt dier evenwijdige krachten heet zwaartepunt.

Zoo men den stand van het lichaam mot betrekking tot de richting dei-zwaartekracht verandert, waardoor ook de richting der evenwijdige aantrekkende krachten met betrekking tot dat lichaam wordt gewijzigd, zal de resultante dier krachten altijd door het zwaartepunt gaan. Dit punt is dus het aangrijpingspunt van die resultante, in -welken stand het lichaam zich ook bovinde. Om het te bepalen, moeten wij do formules (XL) voor hot middelpunt der evenwijdige krachten toepassen, door voor K de grootte der zwaartekracht, die op elk doel werkt, voor Â£ (K) het geheele gewicht van hot lichaam, en voor x, y en z de afstanden van de aangrijpingspunten der zwaartekrachten K tot drie onderling loodrechte vlakken te stollen.

Hot middelpunt der evenwijdige krachten verandert niet (zie form. XL), indien dezo krachten allen in dezelfde verhouding vergroot of verkleind worden; daar nu de gewichten van de doelen van oen lichaam altijd evenredig zijn mot de massa's dier deelon (form. XXV), verandert hot zwaartepunt van een lichaam niet bij cene verplaatsing over het aardoppervlak, waardoor de grootte der zwaartekracht en dus het gewicht wordt gewijzigd, ja liet middelpunt van elk stolsel van evenwijdige krachten, waarvan do intensiteiten evenredig zijn met de massa's der deeltjes waarop zij werken, valt altijd met het zwaartepunt samen; om deze reden wordt hot zwaartepunt ook wel het massa-middelpunt genoemd.

Hebben de deelen, waarin men zich het lichaam verdeeld denkt, eindige afmetingen, dan is K het gewicht van elk dier deelen, en x, y en z zijn do coÃ¶rdinaten van de aangrijpingspunten der gewichten, met andere woorden, van de zwaartepunten van die deelon, welke zwaartepunten men dus eerst langs een anderen weg moet bepalen. Neemt men de deelen oneindig klein, zoo vallen hunne zwaartepunten met de middelpunten dier deelon samen; do waarden van x, y on z kan men dan voor elke oneindig kleine kracht K onmiddellijk aangeven, maar men ontmoet in dit geval het groote bezwaar, dat in de formules (XL) de uitdrukkingen 2(Ka;), 2(Ky) en 2 (K z) sommen van een oneindig aantal grootheden voorstellen. Voor wij or toe overgaan de bezwaren, aan beide handelwijzen verbonden, in verschillende gevallen op te lossen, zullen wij eerst aan do formules voor het zwaartepunt eonige â wijzigingen aanbrengen.

Ten opzichte van de verdeeling der stof in de lichamen kunnen dezo in twee groepen gescheiden worden, die, waarbij in gelijke volumina overal evenveel massa of lioovoellioid stof aanwezig is, welke door de zwaartekracht met een zelfde vermogen naar tie aarde wordt getrokken {gelijkslachtige of homogene lichamen), en die, waarbij in gelijke volumina ongelijke massa's ofhoovoellieden stof aanwezig zijn, welke dan ook met een verscliillend vermogen naar de aarde worden getrokken (ongelijkslacldige of dishonwgene lichamen. Beschouwen wij eerst do homogene lichamen.

Bij deze bestaat er eene eenvoudige betrekking tusschen de ruimte, of het volume van een deel, en hot gewicht van dat deel. Zij namelijk het volume v in kubieke palmen en het gewicht K in kilogrammen uitgedrukt, dan is, als d de diolitheid of het specifiek gewicht is:

Stellen wij deze waarde vÃ³Ã³r K in de vergelijkingen (XL), dan gaan zij over in;

Daar bij al de termen, waaruit de sommen in bovenstaande uitdrukkingen bestaan, d eene zelfde waarde heeft, zoo kunnen wij deze aldus schrijven:

waarin V = 2 (Â«) de som der volumina van al de deelen van het lichaam, of het volume van het geheele lichaam voorstelt. Door vermenigvuldiging met V worden deze vergelijkingen:

De producten V a?,, V ii/j , V 2,, v x, vy en vs van de volumina van het geheele lichaam, of van een zijner deelen, met de afstanden van hunne respectieve zwaartepunten tot elk der drie onderling loodrechte vlakken, worden de momenten van dat lichaam of die deelen ten opzichte van die vlakken genoemd. De formules (LI) leeren dus: dat hij gelijkslachtige lichamen het moment van het geheel gelijk is aan de som van de momenten der deelen ten opzichte van eenig vlak, eene eigenschap, van welke wij bij de bepaling der zwaartepunten voortdurend gebruik zullen maken, en welke onafhankelijk is van de grootte der deelen, waarin hot lichaam verdeeld is.

In sommige gevallen kunnen de waarden van Xi, yi of ^ uit (L) gemakkelijk bepaald worden, zoo namelijk 2 {v x), 2 {v y) of 2 (v z) gelijk is aan nul. Dit vindt plaats, zoo in 2 {v x) b.v. de waarden van x in al de termen gelijk 0 is, mot andere woorden, zoo al de zwaartepunten der deelen in het vlak YOZ zijn gelegen; de waarde van x_l z=z 0, welke hieruit wordt afgeleid, loert dat dan ook het zwaartepunt van het geheel in dat vlak ligt, en daar de stand van het vlak YOZ

nfiar willekeur kan worden aangenomen, volgt hieruit dat, als de zwaartepunten van al de deelen van een lichaam in een plat vlak liggen, ook het zwaartepunt van het geheel in datzelfde platte vlak zal gelegen zijn.

Liggen de zwaartepunten van al de deelen te gelijkertijd in twee platte vlakken, of in de lijn van doorsnede, dan ligt ook het zwaartepunt van het geheel in die lijn.

Op nog eene andere wijze kan S (o x) gelijk nul worden, wanneer die uitdrukking namelijk bestaat uit de som. van een gelijk aantal positieve en negatieve grootheden, welke twee aan twee aan elkander gelijk zijn. Dit zal o. a. plaats vinden, zoo de deelen van hot lichaam symmetriek ten opzichte van het vlak YOZ gelegen zijn, want voor elk deel met een volume v aan de eene zijde van dat vlak gelogen, voor welke x b.v. positief is, vindt men dan een ander deel met een zelfde volume, waarvan het zwaartepunt op denzelfden afstand x aan de andere zijde van het vlak ligt; voor dit deel is x en ook vx negatief. Daar wederom het vlak YOZ naar willekeur kan genomen worden, volgt hieruit in het algemeen, dat, als een lichaam door een plat vlak in twee gelijke en gelijkvormige deelen verdeeld wordt, ivelke symmetriek ten opzichte van dat vlak liggen, het zwaartepunt van het geheele lichaam in dat vlak moet liggen. Kan een lichaam door twee of drie platte vlakken in zulke gelijke en gelijkvormige deelen worden verdeeld, die op symmetrieke wijze ten opzichte van dio vlakken liggen, dan zal ook het zwaartepunt van dat lichaam in do doorsnijdingslijn van de twee, of in het snijpunt van de drie vlakken liggen.

Is een lichaam niet gelijkslachtig, doch kan het iu gelijkslachtige doelen verdeeld worden, wier volumina v, v', enz., en wier dichtheden of specifieke gewichten d, d', enz. zijn, dan kunnen wij uit de formules (XL) de volgende afleiden:

.t, {vd -(- v'd' -(- enz.) â vdx -j- v'd'x' -f- enz. ijy {vd v'd' -j- enz.) vdij v'd'y' -(- enz. z_l {vd -f- v'd' -f- enz.) =: vdz -j- v'd'z' -(- enz.

Zoo men dus in plaats van de volumina, de producten van deze met hunne dichtheden, of wol hunne gewichten stelt, en men het product van het gewicht en den afstand van het zwaartepunt tot een vlak, het moment van dit gewicht noemt, zoo is in dit geval het moment van het gewicht van het geheele lichaam ten opzichte van eenig vlak gelijk aan de som van de momenten van de gewichten der onderling ongelijkslachtige deelen; of wel daar v d, v' d', enz. evenredig zijn met do massa's m, m', enz., is het moment van de massa van hel geheele lichaam ten opzichte van eenig vlak gelijk aan de som der momenten van de massa's der samenstellende deelen. Deze stelling is van toepassing zoowel op de gelijkslachtige als op de ongelijkslachtige lichamen.

Indien men zich voorstelt dat eene der afmetingen van een lichaam al geringer en geringer wordt, nadert het lichaam meer en meer tot eene aaneenschakeling van stoffelijke punten, welke allo in een vlak liggen, hetzij plat, hetzij gebogen; het zwaartepunt van het lichaam gaat dan over in het zwaartepunt van het vlak. Zoo ook eene der afmetingen van dit vlak al meer en meer afneemt, nadert het vlak tot eene aaneenschakeling van stoffelijke punten, welke alle in eene lijn zijn gelegen; het zwaartepunt van het vlak gaat dan over in het zwaartepunt van eene lijn.

Ter bepaling van de zwaartepunten van vlakken en lijnen, kunnen wij ons dus van dezelfde formules bedienen als die, welke wij bij de zwaartepunten dor lichamen hebben gebruikt, men heeft dan slechts voor d niet de dichtheid of het gewicht van de kubieke eenheid, maar het gewicht van de vlakte-eenheid, of van de lengte-eenheid te stellen. Zoo de lijnen in een plat vlak zijn gelegen, of het vlak, waarvan men het zwaartepunt moet bepalen, zelf plat is, kan men dit als het vlak YOX aannemen; al de waarden van z worden dan nul, daarmede ook de waarde van z_l, en het gevraagde zwaartepunt ligt dus ook in dat vlak. De momenten v x, v y, Y x_l, V y_l ten opzichte van de vlakken YOZ en ZOX gaan in dit geval over in de momenten ten opzichte van de lijnen OY en OX.

Bepalen wij nu volgens de voorgaande regels de zwaartepunten van eenige lijnen, vlakken en lichamen.

b. Zwaartepunten van lijnen. â Rechte lijn. Daar de zwaartepunten van al de stoffelijke punten, waaruit zij is samengesteld, in die lijn liggen, ligt ook haar zwaartepunt zelf er in, en daar een plat vlak, loodrecht door het midden der lijn gebracht, haar in twee symmetrieke doelen verdeelt, moet het zwaartepunt van eene rechte lijn in het midden der lijn liggen.

Om het zwaartepunt van een samenstel van rechte lijnen, of van eene gebroken lijn te bepalen, maakt men gebruik van do eigenschap, dat het moment van het geheel gelijk is ajin de som van de momenten der deelen.

Cirkelboog. Het zwaartepunt ligt in hot vlak van den boog, en ook in een vlak, dat, door liet middelpunt van den boog gaande, hem in twee gelijke doelen verdeelt, daar deze symmotrick ten opzichte van dat vlak liggen. Het zwaartepunt is dus in de doorsnede dier beide vlakken, of in de lijn OC (fig. 82) gelegen.

Om de plaats van het punt in die lijn te vinden, onderstellen wij den boog in zulk een groot aantal deeltjes verdeeld, dat wij elk van deze als een recht lijntje kunnen aanmerken. Zij DE een dier deelen, waarvan het zwaartepunt in het midden E van DE ligt, dan is zijn moment ten opzichte van OX gelijk aan DE X FH. Trokken wij verder FO on EL evenwijdig aan OX, dan zijn de driehoeken OFH en EDL

gelijkvormig, daar hunne zijden loodrecht op elkander staan, en dus is: OF : DE =: FH : LE of OF X LE = DE X FH,

Voor een ander deeltje PQ is eveneens het moment r X TV, en de som van de momenten der doelen wordt dus r X koorde AB. Zoo Z het zwaartepunt van den cirkelboog is, is het moment van den gehee-len boog gelijk aan boog AB X ZO, en volgens form. (L) wordt dan:

waarin boog AB in deelen van den straal als eenheid is uitgedrukt, of, zoo boogAB gelijk 2Â» graden wordt gesteld:

c. Zwaartepunten van vlakken. â Parallelogram. Het zwaartepunt ligt in het vlak van het parallelogram, en ook in de beide vlakken, die loodrecht op het vlak van het parallelogram door de twee diagonalen zijn gebracht, daar zij hot parallelogram in twee symmotrieko deelen verdeden. Het zwaartepunt ligt dus in liet snijpunt van de diagonalen, of van do lijnon, die de middelpunten van twee overstaande zijden vereenigen. Ditzelfde geldt natuurlijk voor een ruit, rechthoek en vierkant.

Driehoek. Verdeden wij den driehoek ABC (fig. 83) door een aantal lijnen, evenwijdig aan eene der zijden, b.v. AB, in een groot aantal

Naar mate de evenwijdige lijnen grooter in aantal zijn, zullen de trapeziums al meer en meer tot parallelogrammen naderen, waarvan de zwaartepunten alle iu de lijn CD liggen, en daar wij de afwijkingen der trapeziums van parallelogrammen beneden elke gegevene waarde kunnen doen dalen, mogen wij besluiten dat het zwaartepunt van den gehoelen driehoek in de lijn CD ligt. Om dezelfde reden ligt hot zwaartepunt in de lijn AE, dio do zijde BC midden door doelt, on dus is hot snijpunt Z van AE on CD het gezochte zwaartepunt. De lijn BP, naar het midden van AC getrokken, gaat natuurlijk ook door hot zwaartepunt, en het is gemakkelijk aan te toonen dat ZD^ri^CD, ZE âi/^AE on ZV = '/u HF is, terwijl, zoo CH en ZK loodrecht op AB staan, ook ZKini/₃CH is. De afstand van hot zwaartepunt tot elke der drio zijden is dus gelijk aan een dorde van den afstand van het overstaande hoekpunt tot die zijde.

Daar elke veelhoek in driehoeken kan verdoold worden, waarvan de zwaartepunten op do boven beschreven wijze kunnen worden bepaald, kan men, ter bepaling van het zwaartepunt van oen veelhoek, gebruik maken van de eigenschap, dat het moment van het geheel, ten opzichte van eeno lijn, gelijk is aan de som van do momenten der doelen ten opzichte van diezelfde lijn.

Cirkelsector. Verdoelen wij den sector ABC (fig. 84) in sectoren, die insgelijks C tot middelpunt hebben, en op zulke kleine bogen staan, dat hunne afwijkingen van een driehoek kleiner zijn dan elke gegeveno grootheid. De zwaartepunten van al die doelen liggen dan op een afstand van C, die minder dan elke gegeveno grootheid van -'/s^r verschilt, en dus op een cirkelboog DE, die r tot straal hoeft.

halve in het midden van het boogje m n, dat door de stralen C p en C q van DE wordt afgesneden, en daar de grootte en ook het gewicht van den sector C p q evenredig is met do grootte van m n, zal do resul-teerende werking dor zwaartekracht in het minst niet worden veranderd, indien men zich voorstelt dat het geheele gewicht van den sector regelmatig langs den omtrek van boog DE verdeeld is. Het zwaartepunt Z van don sector is dus hetzelfde als dat van boog DE, en als hoek ABC gelijk 2 lt;jgt; graden is, is:

Cirkelsegment. Zoo men een cirkelsector door de koorde verdeelt in een driehoek en een segment, is ten opzichte van eene lijn door het middelpunt evenwijdig aan de koorde getrokken:

Moment sect. â Moment drieli. -f- Moment segm. of: Moment segm. = Moment sect.quot; â Moment drieh.,

Oppervlak van een cilinder of prisma met evenwijdige grond- en bovenvlakken. Het oppervlak wordt door platte vlakken, evenwijdig aan het grondvlak, in eon zeer groot aantal doelen van geringe hoogte verdeeld, de zwaartepunten van die gedeeltelijke oppervlakkon zijn dan alle op zeer kleine afstanden verwijderd van de zwaartepunten der om-

trekken van hunne grond- en bovenvlakken, en zoo wij het aantal clee-len groot genoeg, en dus de dikte van elk hunner klein genoeg onderstellen, kunnen wij die afstanden verminderen tot waarden kleiner dan elk gegeven bedrag. De zwaartepunten van de omtrokken der evenwijdige doorsneden liggen, zooals duidelijk is, in de rechte lijn, die de zwaartepunten van de omtrekken van grond- en bovenvlak van het ge-heele lichaam vereenigt, waaruit volgt dat het zwaartepunt van hot ge-hoele oppervlak ook in die lijn moet liggen, en wel juist in het midden, daar een plat vlak, door dat punt evenwijdig aan het grondvlak gebracht, het oppervlak in twee gelijke en gelijkvormige symmetriek gelegen deelen verdeelt.

Men kan hot zwaartepunt van het prisma-oppervlak ook vinden, door het zwaartepunt en don inhoud van elk der parallelogram men te bepalen, en hierop de vergelijkingen L toe te passen.

Oppervlakken van eene reyehnatiye piramide, en een rechten cirkel-vormigen kegel. Elk vlak door eene opstaande ribbe en de as van eene regelmatige piramide gebracht, verdeelt het oppervlak in twee symme-trieke deelen; het zwaartepunt van het oppervlak moet dus in de as liggen. De zwaartepunten van al de driehoekige zijvlakken liggen in een plat vlak, evenwijdig aan hot grondvlak op een afstand van den top gelijk aan ²/₃ van do hoogte; het zwaartepunt van het geheele oppervlak ligt dus in de doorsnede van dat vlak en de as.

In en om eiken rechten cirkelvortnigen kegel kan men eene regelmatige piramide beschrijven, welke bij vermeerdering van het aantal zijvlakken al minder en minder van elkander en van den kegel zullen verschillen. Volgens hetgeen zoo oven bewezen is, liggen do zwaartepunten van al die piramiden in een zelfde punt, en wel in de as op een afstand van don top gelijk ²/3 ^van hoogte; het zwaartepunt van liet kegeloppervlak ligt dus ook in dat punt.

Oppervlak van eene bolvormige schijf. Het zwaartepunt van dit oppervlak ligt in de as; om zijn afstand tot hot grond- of bovenvlak te bepalen, verdeelt men de schijf door evenwijdige vlakken, op onderling gelijke afstanden, in oen groot aantal kleinere, welke, daar hare hoogten gelijk zijn, ook gelijke oppervlakken hebben. Door het aantal van die deelen onbepaald te vergrooten en dus de dikte van elk onbepaald te verkleinen, kunnen wij de afstanden van do zwaartepunten dor ge-deeltolijke opporvlakjes tot de middelpunten der doorsneden tot een bedrag minder dan elke gogovene waarde verminderen, en wij mogen dan aannemen dat de zwaartepunten van die gebogen oppervlakken met die middelpunten samenvallen, en dus op gelijke afstanden van elkander zijn verwijderd.

Ten gevolge van de gelijke grootte dor gedeeltelijke oppervlakken zijn ook hunne gewichten, die in de opvolgende zwaartepunten aangrijpen, even groot, en do resulteerendo werking van do zwaartekracht

op het bolvormige oppervlak van do geheelo schijf is dezelfde als do resulteerende werking van diezelfde kracht gelijkmatig langs de as verdeeld. Het zwaartepunt van hot ronde oppervlak ligt dus op do halvo hoogte in de as. Hetzelfde geldt voor het rondo oppervlak van oen bolvormig segment.

Onder de oppervlakken van cilinders, prisma's, kegels, piramiden, bolvormige schijven en segmenten, waarvan do zwaartepunten door do boven vermelde methoden bepaald worden, zijn niet begrepen de platte vlakken, die het grond- of bovenvlak vormen. Eekent men ook deze tot het oppervlak, dan moet men er de zwaartepunten afzonderlijk van bepalen, en vervolgens do stolling toepassen, dat het moment van het geheelo lichaam gelijk is aan de som van do momenten der doelen.

Door gebruik te maken van deze stelling, kunnen wij ook hot zwaartepunt bepalen van het oppervlak van elk lichaam, dat door platte vlakken begrensd is, daar do zwaartepunten der zijvlakken volgens het op pag. 98 medegedeelde gevonden worden.

d. Zwaartepunten van lichamen. â Prisma en cilinder met evenwijdige grond- en bovenvlakken. Op volkomen gelijksoortige wijze te werk gaande als bij de bepaling van de zwaartepunten van de oppervlakken van een cilinder of een prisma, vindt men dat de zwaartepunten van allo prisma's en cilinders met evenwijdige grond- en bovenvlakken gelogen zijn in het midden van de lijn, die de zwaartepunten van hot grond- en bovenvlak (niet van hunne omtrekken maar van hunne inhouden) vereonigt.

Driehoekige piramide. Verdoelen wij de piramide DABC (fig. 85) door vlakken, evenwijdig aan jj

hot grondvlak, iu een zeer groot aantal afgeknotte piramiden van zoor kleine dikte, dan liggen do zwaartepunten van die doelen weder op zeer kleine afstanden van do zwaartepunten dor grond-en bovenvlakken, welke zich allo bevinden in de lijn DF uit den top naar het zwaartepunt van het grondvlak getrokken.

Door het aantal deelen meer en meer te ver-grooten, kunnen wij aantoonen dat hot zwaartepunt van hot geheelo lichaam in die lijn DF is gelogen. Beschouwt men een der zijvlak-

ken ADC als grondvlak, zoo verkrijgt men eene tweede lijn BE, die insgelijks het zwaartepunt van de piramide bevat; dit ligt dus in het snijpunt Z van DF en BE, Trekt men de lijn FE, dan is, daar: BK : FK = DK : EK = 3 :1,

Het zwaartepunt van eene driehoekige piramide ligt dus in de lijn, die den top met het zwaartepunt van het grondvlak vereenigt, en wel op Yt van die lijn van het grondvlak afgerekend.

Daar elk lichaam, door platte vlakken begrensd, in driehoekige piramiden kan verdeeld worden, kan men hot zwaartepunt van elk lichaam bepalen, door hot moment van het geheel, ten opzichte van een plat vlak, gelijk te stellen aan de som van do momenten dor doelen.

Veelhoekige piramide, kegel. Bij eene veelhoekige piramide ligt, om dezelfde reden als bij de driehoekige, hot zwaartepunt in de lijn, die uit den top naar het zwaartepunt van hot grondvlak is getrokken. Verdeden wij verder de veelhoekige piramide door vlakken door den top in driehoekige, dan liggen de zwaartepunten van deze deelon alle in een vlak op Ã¯/.j van do hoogte evenwijdig aan het grondvlak gebracht. Hot zwaartepunt van het geheel ligt dan in de doorsnede van dat vlak en die lijn, en dus, even als bij do driehoekige piramide, in de lijn, uit den top naar hot zwaartepunt van hot grondvlak getrokken, op ^ van hare lengte van dat grondvlak afgerekend. Hetzelfde geldt voor eiken kogel.

aantal driehoekjes, waarvan de toppen in het middelpunt van don sector liggen, kan do kegelvormige sector (fig. 8G) bij benadering beschouwd worden als eene verzameling van zeer veel piramiden, waarvan de toppen in het middelpunt liggen, en de grondvlakkon rakend aan het bolvormige oppervlak zijn. Het zwaartepunt van elk dier deelon ligt dan op een afstand van hot middelpunt, gelijk aan 'â % van den straal r, zoodat zij alle gelegen zijn op het oppervlak van hot bolvormige segment EKF, dat ³/₄ r tot straal heeft. Door nu den kegolvormigen bolvormigen sector te verdoelen in een grootor en grootor aantal bolvormige sectoren, kan men aantoonen, dat de zwaartepunten dier dooien minder dan elke ge-gevene grootheid van het zoo even vermelde oppervlak verwijderd zijn. Verder is do inhoud van elk der kleine deelen A m n evenredig met liet doel ]j q, dat door haar oppervlak van het bolvormige oppervlak EKF is afgesneden. Do werking van do zwaartekracht op don gelieolen sector is dus dezelfde als die op liet oppervlak EKF, zoo hot gewicht van den sector gelijkmatig hierover verdeeld is, of wel, hot zwaartepunt van den sector valt samen met het zwaartepunt Z van hot oppervlak van het bolvormige segment EKF. Zij DL do hoogte van het segment BDC gelijk h, en KO die van hot segment EKF, dan is;

Bolvormig segment. Door dit lichaam te beschouwen als het verschil van oen kegolvormigen bolvormigen sector en oen rechten cirkolvormi-gen kogel, van welke twee lichamen de zwaartepunten en de inhouden bekend zijn, kan men, door gebruik te maken van do oigonschap, dat het moment van hot geheel gelijk is aan do som van de momenten der dooien, liet zwaartepunt van een bolvormig segment bepalen.

Do resulteoronde werking van de zwaartekracht op een driehoek of eene driehoekige piramide is dezelfde als de resulteoronde werking op een stolsel van drie of vier gewichten, olk gelijk aan een derde of een vierde van het gewicht van den driehoek of van de piramide, in de drie of vier hoekpunten aangrijpende. De bepaling van het zwaartepunt van een veelhoek of van een lichaam, door platte vlakken begrensd, kan dus worden teruggebracht tot de bepaling van het zwaartepunt van een stelsel van gewichten, die in de verschillende hoekpunten werken.

Zwaartepunt van eene niet homogene lijn, waarvan de dichtheid in de verschillende punten toeneemt met de quot;l³¹quot;! of macht van den afstand tot het begin van de lijn, afgeleid uit de plaats van het zwaartepunt in een driehoek en eene driehoekige piramide. Toepassing van de loer der zwaartepunten op meetkundige vraagstukken. Regels van Guldin ter bepaling van het oppervlak en den inhoud van omwentelingslichamen en van het zwaartepunt van lijnen en platte vlakken.

VOORWAARDEN VAN HET EVENWICHT UIT DE LEER VAN DE SAMENSTELLING DER KRACHTEN AFGELEID.

ALGEMEENE EVENWICHTSVOORWAARDEN VOOR EEN STELSEL VAN KRACHTEN OP EEN PUNT OF EEN LICHAAM WERKENDE.

De bepaling (pag. 52) van het evenwicht van een punt kan uitgebreid worden voor liet evenwicht der lichamen. Een lichaam is in evenwicht onder de werking van eenige krachten, zoo deze, zonder dat oen beletsel aanwezig is, geen invloed uitoefenen op den toestand van rust of van beweging.

In het voorgaande hoofdstuk is aangetoond dat een stelsel van krachten, op een punt of een lichaam werkende, altijd kan vervangen worden door eene kracht, of door een koppel, of wel door beide te samen; indien de krachten van dat stelsel elkander in evenwicht houden, is het noodig dat; zootvel de resulteerende kracht, als het moment van het residteerende koppel gelijk nul is.

Onderstellen wij, om dit te bewijzen, dat het lichaam oorspronkelijk in rust was, en er behalve de krachten, waarvan wij hot evenwicht willen nagaan, geen andere op het lichaam werkten, dan zal, zoo dit stelsel door eene enkele kracht kan vervangen worden, deze noodzakelijk in den toestand van rust verandering moeten brengen, daar zich, volgens de onderstelling, geen beletsel hiertegen verzet (pag. 52). Konden al de krachten vervangen worden door een koppel, dan heeft men evenmin evenwicht, want brengt men in het lichaam een vast punt aan, hetwelk natuurlijk den evenwichtstoestand van hot oorspronkelijk in rust verkeerend lichaam niet zal verstoren, dan kan men, door het

koppel te verplaatsen, eene van de twee krachten door dat vaste punt laten gaan; die kracht kan dan geene werking uitoefenen, maar de andere zal het lichaam om dat vaste punt doen draaien. Onderstellen wij ten slotte dat de krachten kunnen herleid worden tot eene kracht en een koppel, dan mag, zonder het evenwicht te verbreken, in de richting van de kracht een vast punt worden aangenomen; door verplaatsing van het koppel kan men eene van zijne beide krachten door datzelfde punt laten gaan, do andere zal dan, evenals in hot vorige geval, het lichaam doen draaien.

Daar de werking, welke eene kracht op een punt uitoefent, onafhankelijk is van do beweging van dat punt, en van het al of niet aanwezig zijn van andere krachten (3^dc grondbeginsel, pag. 53), zoo geldon deze evenwichtsvoorwaardon voor een stelsel van krachten ook, als het lichaam in beweging is en er nog meerdere krachten op werken.

Bij het evenwicht kan men drie verschillende soorten onderscheiden naarmate, bij eene zeer kleine verplaatsing van het lichaam uit don evenwichtsstand, de krachten, die er op werken, het wederom in dien stand terugvoeren, of hot lichaam in dien tweedon stand in rust laten, of wel hot al verder en verder van don eersten evenwichtstoestand t verwijderen. In het eerste geval noemt men het evenwicht standvas

tig, stabiel, in hot tweede geval onverschillig, indifferent, in het laatste geval onstandvastig, tvankelbaar, labiel. De beschouwing van de beweging, door do krachten aan het lichaam na die kleine verplaatsing medegedeeld, kan ons altijd doen zien welke soort van evenwicht aan-f wezig is.

Wil men onderzoeken of eenige krachten elkander in evenwicht houden, dan moet men derhalve op eene der wijzen, in hot Derde Hoofdstuk vermeld, de resulteerende kracht en het moment van het resulteerende koppel bepalen, en zien of beido gelijk nul zijn. Het is dikwijls voordeelig, bij deze samenstelling de krachten eerst in twee of drie standvastige richtingen te ontbinden, en ze dus te herleiden tot twee of drie groepen van onderling evenwijdige krachten, die, elk voor zich, aan de eischen van het evenwicht moeten voldoen.

Het evenwicht van krachten in een plat vlak, en van evenwijdige krachten in de ruimte, kan, zonder dat men de resultante opmaakt, ook onderzocht worden door de momenten der krachten. Is toch de resultante en het resulteerende koppel nul, dan zal ook de som der momenten van al de krachten, ten opzichte van een punt, eene lijn, of een vlak, nul moeten zijn; men behoeft dus slechts te zien of aan die voorwaarde voldaan wordt. Daar het mogelijk is, dat de som der momenten gelijk nul wordt, zonder dat de resultante nul is, indien deze namelijk gaat door het punt, samenvalt met de lijn, of ligt in hot vlak, ten opzichte van welke de momenten zijn genomen, zoo is het noodig, dat men de waarde van die som onderzoekt ten opzichte

van meerdere punten, lijnon of vlakken, van welke men -weet dat zij onmogelijk alle dien bijzondoren stand met betrekking tot de resultante kunnen hebben.

Indien cenige niet geheel bekende krachten elkander in evenwicht houden, zal men uit de vergelijkingen voor het evenwicht eenige van de onbekende grootheden, waardoor die krachten bepaald worden, kunnen berekenen, natuurlijk evenveel als het aantal onafhankelijke vergelijkingen bedraagt.

Houden eenige krachten elkander niet in evenwicht, dan kan men dit in het algemeen horstellen door toevoeging van eene kracht en een koppel, die gelijk doch tegengesteld aan de resulteerende kracht en het resulteerende koppel zijn. Voor do berekening van beide is het hot eenvoudigste, de richting en grootte als onbekenden in de vergelijkingen voor het evenwicht op te nemen, en zo daaruit op te lossen.

Uit de vergelijkingen XLI en XI.IV volgen, voor het evenwicht in een plat vlak, de 3 vergelijkingen: X = 0, Y = 0 en M=r0; uit XLVI en XLV1II op gelijksoortige wijze voor het evenwicht in de ruimte, de 0 vergelijkingen: X â 0, Y = 0, Z = 0, S = 0, T â 0 en U 0.

Zoo de stelsels van krachten aan bijzondere voorwaarden voldoen, b.v. dat alle krachten door een zelfde punt zijn gericht, alle onderling evenwijdig zijn enz., kan men die voorwaarden in de vergelijkingen voor het evenwicht overbrengen; eenige daarvan zullen dan Ã³f identiek, Ã³f onderling afhankelijk worden, zoodat het aantal onafhankelijke vergelijkingen in dat geval tot minder dan 3 of C zal worden teruggebracht; bij krachten in een plat vlak, die door een zelfde punt gaan, of onderling evenwijdig zijn, bedraagt het aantal dan twee, bij krachten, die in de ruimte door een zelfde punt gaan, of onderling evenwijdig zijn, is het aantal drie.

Zoo krachten in een plat vlak elkander niet in evenwicht houden, kan men, door toevoeging van eene kracht, ot' van een koppel het evenwicht herstellen daar in dat geval aan 3 vergelijkingen moet voldaan worden, kan men 3 grootheden berekenen, waardoor die kracht of dat koppel bepaald wordt.

Om het verbroken evenwicht van krachten in de ruimte te herstellen, kan men eene kracht en een koppel toevoegen, die uit zes vergelijkingen kunnen bepaald worden. Men kan dan voor de kracht een aangrijpingspunt naar willekeur kiezen, en de grootte, benevens twee van de hoeken, welke de kracht met de assen maakt, als onbekenden aannemen; ter bepaling van het koppel neemt men het moment en twee van do hoeken, welke do as van het koppel met do coÃ¶rdinaten-assen maakt, als onbekenden aan.

Deze beschouwingen golden voor allo soorten van krachten, welken oorsprong zij ook hebben. Eene bepaalde soort willen wij echter nog nader beschouwen, namelijk de drukkingon, welke op een lichaam door een ander worden uitgeoefend; deze krachten leveren de bijzonderheid op, dat zij, bij een zelfden stand der lichamen ten opzichte van elkander, kleine vervormingen uitgezonderd, geeno standvastige grootte, en ook in bepaalde gevallen, geeno standvastige richting hebben, maar dat deze afhangen van de overige krachten, welke op het lichaam werken en met die drukkingen evenwicht maken.

EVENWICHT VAN LICHAMEN, DIE TEGEN ELKANDER DRUKKEN ZONDER WRIJVING. VERSCHILLENDE SOORTEN VAN EVENWICHT. STABILITEIT.

a. Wijze, waarop in den toestand van evenwicht de drukking wordt uitgeoefend, zoo twee lichamen elkander iu een piint raken. â Laten P en Q (fig. 87) twee lichamen zijn, die tegen elkander drukken, en beschouwen wij do deeltjes, welke daar, waar de druk wordt uitgeoefend, in en nabij de oppervlakken van beide liggen. Zoo de afstand tnsschon do deeltjes van P en Q klein genoog is, zullen deze op elkander krachten uitoefenen, en wel in hot algemeen afstoo-tingen, dio bij vermindering van den afstand toenemen. Deze afstootin-gon noemt men drukkingen, door do beide lichamen op elkander uitgeoefend, en volgons hot 2^d,: grondbeginsel van werking en terugwerking (pag. 52) zijn zij onderling gelijk doch togengostold gericht. Eene eigenlijke aanraking van de oppervlakken der beide lichamen vindt dan geen plaats, maar hunne onderlinge afstanden zijn, op hot oogenblik dat de afstootonde krachten beginnen te werken, zoo gering, dat wij ze in bijna alle beschouwingen gelijk nul kunnen stellen, on van aanraking mogen sproken.

Onder do werking van do krachten K, Kj, enz., welke do lichamen P en Q (fig. 87) togen elkander drukken, zal deze aanraking nooit in een enkel punt plaats vinden,

want onderstollon wij dat zulks het geval was op hot oogenblik dat de krachten K,

dan zullen deze de lichamen moer tot elkander doen naderen en moor doeltjes nabij hot oorspronkelijke aanrakingspunt met elkander in aanraking brengen; tevens zullen do lichamen daar tor plaatse een weinig vervormd worden, en in stede van een raakpunt ontstaat een raak vlakje, dat echter in den regel zoo kloin is, dat het als een onkel punt mag worden beschouwd. Ook die kleine vervorming zullen wij, zooals reeds op pag. 55 is medegedeeld, buiten rekening laten.

Hot is nu gemakkelijk na te gaan, welke de voorwaarden zijn voor het evenwicht van de lichamen P en Q (fig. 88), die onder do werking van eonigo krachten, in een punt A, waar zij het gemeenschappelijk raakvlak BC bezitten, tegen elkander gedrukt worden. Wij onderstellen

vlakken zoo volmaakt glad zijn, dat de kleinste kracht, behalve de drukking, welke in de richting van het raakvlak op P of Q werkt, aan dat lichaam dadelijk eene beweging mededeelt, met andere woorden, dat er tusschen beide oppervlakken volstrekt geeno wrijving bestaat. Hoewel zich dit geval in de werkelijkheid nooit voordoet, zijn er toch verschillende lichamen, hoog gepolijste harde metalen en gosteen-

ten, bij welke die wrijving uiterst gering is; wij nemen dus een grensgeval aan, waartoe genoemde lichamen naderen.

Elk der beide lichamen moot nu in evenwicht zijn onder de werking van do drukking, door hot andere lichaam daarop uitgeoefend, on de overige krachten die er op werken, en dit is alleen mogelijk zoo de resultante van die overige krachten gelijk en tegengesteld aan dio drukking is; de resultante zal dus door het raakpunt moeten gaan onverder loodrecht op het raakvlak staan, daar men haar anders zou kunnen ontbinden in eene kracht loodrecht op het raakvlak en eene evenwijdig aan dat vlak, welke laatst ontbondene, volgens de onderstelling, aan het lichaam P eene beweging zou mededeelen in strijd met don aangenomen toestand van rust. Eindelijk moeten de beide resultanten der krachten, die behalve de drukkingon op P en Q werken, aan elkander gelijk en tegengesteld zijn, daar anders beide lichamen, indien men aanneemt dat ze in A aan elkander verbonden waren, gezamenlijk zouden worden voortbewogen, hetgeen ook in strijd is mot don onderstelden evenwichtstoestand.

Voegen wij alles to zamen, dan is voor het evenwicht noodig, dat de resultanten van de krachten, die, behalve de drukkingen in A, op P of Q werken, aan elkander gelijk en tegengesteld zijn, dat zij gericht zijn door het raakpunt, en loodrecht staan op het raakvlak; de drukkingen zullen dan gelijk en tegengesteld aan die resultanten zijn.

Had een dor lichamen, b.v. Q, een vasten stand, dan is voor het evenwicht alleen noodig dat de resultante der krachten op P in het raakpunt loodrecht op het gemeenschappelijke raakvlak staat. De werking van F op het vaste lichaam of het steunvlak wordt dan meer in het bijzonder drukking, de werking van het vaste lichaam op P, tegen-drukking of reactie genoemd.

ta. Algemeene evenwichtsvoorwaarden van lichamen in meer punten ondersteund, en om eene vaste as of een vast punt beweeglijk. â Indien oen lichaam mot een enkel punt op een vlak steunt, zal de togendrukking normaal op dit vlak staan, en alleen in deze richting de beweging van het lichaam verhinderen; over hot steun-vlak zelf zal het lichaam zich vrij kunnen verplaatsen.

Indien door oen punt van het lichaam eene vaste as gebracht is, (b.v. eene cilindrische pen, waarom het zich zonder speling kan bewegen) en het door krachten tegen die as wordt gedrukt, zal door de as eene tegondrukking worden uitgeoefend in eene richting loodrecht daarop of in een vlak loodrecht op de as gelegen. De kracht, waardoor de cilindrische pon en de daarmede concentrische holte togen elkander worden gedrukt, moet toch in den toestand van evenwicht loodrecht op het gemeenschappelijke raakvlak staan, en dit zal altijd geschieden, zoo zij door een punt van de cilinderas loodrecht daarop gericht is. De tegondrukking heeft dan eene tegengestelde richting. Het lichaam zal zich in dit geval, behalve om de as, alleen langs do as kunnen verplaatsen.

Indien een lichaam zoodanig aan een ander lichaam is bevestigd dat het zich om een vast punt kan bewegen, b.v. eene stang hangende met oen zuiver afgedraaiden bol in eene even groote bolvormige holte, en het wordt door krachten tegen dat vaste punt aangedrukt, dan zal dit eene tegondrukking kunnen uitoefenon in alle richtingen, die door dit punt gaan. Eene kracht toch, in welke richting ook, gaande door het middelpunt dor concentrische bolopporvlakkon, waarvan hot eene zich binnen het andore beweegt, zal altijd loodrecht staan op het gemeenschappelijke raakvlak in het steunpunt, en dit is voor het evenwicht voldoende.

Do vraag is nu: welke zullen de tegendrukkingen zijn door do steun-vlakkon, vaste asson of vaste punten uitgeoefend, wanneer op het lichaam, waarbij zij voorkomen, krachten werken. De onderzoekingen hebben hieromtrent geleerd dat deze tegendrukkingen, waarvan do richtingen volgens het bovenstaande geheel of gedeeltelij k worden bepaald, zulk eene grootte of richting zullen aannemen dat zij, indien hot mogelij k is, mot de overige krachten evenwicht maken. In sommige gevallen bestaat er slechts Ã©Ã©n stelsel van tegendrukkingen, dat aan deze voorwaarde voldoet, in andere gevallen daarentegen meer, en dan zal hot van den physischon toestand van het lichaam, de stounvlakken enz. afhangen, welke tegendrukkingen zullen worden opgeroepen. Dit is o. a. hot geval zoo oen lichaam met een cilindrisch oppervlak volgens eene rechte beschrijvende lijn tegen een steunvlak wordt gedrukt door eene kracht, die in een punt der beschrijvende lijn loodrecht op het raakvlak staat, of zoo een lichaam met een plat vlak door eene kracht loodrecht op dat vlak wordt gedrukt tegen een insgelijks plat steunvlak. Een oneindig aantal stelsels van tegendrukkingen, langs de steunlijn of over het steunvlak verdoold, kunnen dan met die krachten evenwicht

maken. Dezelfde onbepaaldheid heeft men zoo in een lichaam, waarop eene kracht werkt, drie vaste punten voorkomen. Men kan dan een oneindig aantal stelsels van drie elkander snijdende krachten aangeven, welke door die drie punten gaan en waarvan de resultante gelijk en tegengesteld is aan de kracht, die op het lichaam wei kt.

Daar de drukkingen, door het lichaam op do steunvlakken enz. uitgeoefend, gelijk en tegengesteld aan do tegendrukkingen zijn, zal de resultante dier drukkingen in den evenwichtstoestand gelijk zijn aan de resultante der krachten, die verder op het lichaam werken. Om die drukkingen te bepalen moet men dus trachten de resultante der overige krachten te ontbinden in andere, waarvan de richtingen overeenkomen met die, welke de drukkingen in de verschillende gevallen kunnen hebben. Men moet hierbij bedacht zijn dat de drukking volgens de normaal op een steunvlak uitgeoefend, eene nadering tot dat vlak, geene verwijdering moet trachten te veroorzaken.

Toepassing van de leei- van het evenwicht van een lichaam, beweegbaar om eene vaste as of con vast punt, op de proefondervindelyke bepaling van de plaats van het zwaartepunt.

c. Onderzoek van het evenwicht van een lichaam in twee punten ondersteund. â Onderstellen wij het bijzondere ge\al at de lichamen P en Q (fig. 89) zich in A en C om vaste punten kunnen

bewegen, en verder in een punt B beweeglijk aan elkander verbonden zijn, terwijl de krachten R en R' op die lichamen werken, dan is de vraag- zullen die lichamen in evenwicht kunnen zijn, en welke zijn dan de drukkingen in A, B en C. Onderstellen wij dat in B de druk en tegendruk wordt uitgeoefend volgens de nog onbekende richting Ei, die met AB den onbekenden hoek a maakt, en zij gegeven: / ABC =/3, AB ~l en BC â l', dan kan men gemakkelijk de grootte van den hoek Â« en van den druk D in B berekenen. De resultante van de drukking D, door P op Q uitgeoefend, en van R' moet door C gaan, dus is ten

opzichte van C de som der momenten van D en R' nul, eveneens is de som der momenten van den druk D, door Q op P uitgeoefend, en van R, ten opzichte van A, gelijk nul. Men heeft dus:

Hierin komen slechts twee onbekenden a en D voor, welke uit do beide vergelijkingen kunnen worden opgelost.

Op dergelijke wijze gaat men te werk, zoo de lichamen Q' en S of de lichamen, waartegen P en Q rusten, wederom door assen aan andere verbonden zijn.

Men kan somtijds de ondersteuning volgens rechte lijnen terugbrengen tot de ondersteuning in enkele punten, zoo namelijk het lichaam symmetriek is ten opzichte van een plat vlak, dat loodrecht staat cp do steunlijnen of op de vaste assen, die in het lichaam voorkomen, en in dit vlak ook gelegen zijn al do krachten, die op het lichaam werken; in dit vlak liggen dan ook al de resultanten van de tegendruk-kingen. Beschouwt men nu de doorsnede van het lichaam met dit vlak, dan kan men op do daarin liggende krachten enz. toepassen al wat boven is medegedeeld met betrekking tot de ondersteuning in gewone steunpunten en in vaste punten. Bij het onderzoek van de krachten in verschillende bouwconstructiÃ«n kan hiervan worden gebruik gemaakt.

De berekening van de tegendrukking geschiedt in al de vermelde gevallen hot gemakkelijkst, door ten opzichte van een der steunpunten de momenten te bepalen van al de krachten, en van de tegendrukkin-gen in het andere steunpunt. De som van die grootheden moet dan gelijk nul zijn.

De reactiÃ«n in twee steunpunten zijn onbepaald, zoo deze punten in de resultante van de krachten liggen, en de normalen op de steunvlakken met de resultante samenvallen. Gemakkelijk zijn zij echtei^- te berekenen, zoo de verhouding bekend is tussclien de tegendrukkingen in de beide steunpunten, bij eeue zeer kleine verplaatsing van bet lichaam in de richting van de resultante.

Toepassing van de evenwichtsvoorwaarden voor twee of meer lichamen door vaste punten verbonden, bij den kniehefboom, bij de ijzeren en houten kap- en brugconstructicn, enz.

d. Onderzoek van het evenwicht van een lichaam in drie, vier of meer punten ondersteund. â Zoo hot lichaam in drie punten eenvoudig op steunvlakken rust, moet, voor hot evenwicht, het stolsel van krachten, dat behalve de drukkingen op hot lichaam werkt, herleid kunnen worden tot drie krachten volgens de drie normalen. Zoo het stelsel kan vervangen worden door eene resultante R, moeten, een enkel geval uitgezonderd, minstens twee dor normalen in een plat vlak liggen, en de resultante R moet door hot snijpunt van de dorde normaal met dit vlak gericht zijn, of wel in hot geval dat de derde normaal evenwijdig aan dit vlak is, eveneens aan dat vlak evenwijdig loopen.

eersten in een vlak liggen, dat door de derde normaal in D wordt gesneden, en zij R de resultante van de krachten op het ondersteunde lichaam. Men ontbindt dan R volgens DG en DE, en de kracht volgons DE wederom in twee krachten volgens EA en EB; men verkrijgt zoo de drukkingen en tegendrukkingen in de steunpunten. De kracht R moot aan de voorwaarde voldoen van hot lichaam tot de steunvlakken te doen naderen, en dus ont-bondenen opleveren, die van D naar C, en van E naar A

en B gericht zijn. Iliertco zal zij het vlak, dat door A, B en C kan gebracht worden, moeten snijden binnen den driehoek, waarvan A, B en C de drie hoekpunten zijn. Die driehoek wordt ondersteuningsdriehoek genoemd. Zoo de drie normalen onderling evenwijdig zijn, moet R ook evenwijdig aan die lijnen gericht zijn. De drukkingen in elk steunpunt bepaalt men dan door de momenten ten opzichte van een vlak door de andere normalen.

Van de onder,steuning van een lichaam in vier punten zullen wij alleen het geval behandelen, dat de normalen elkander in een punt snijden, of onderling evenwijdig loopen. De resultante R van do krachten op het lichaam moet dan ook door het snijpunt zijn gericht, of evenwijdig zijn aan de vier normalen; de drukkingen in do steunpunten A, B, C en 1) vindt men wederom door R te ontbinden in de vier bekende richtingen. Een oneindig groot aantal verschillende stelsels van tegondrukkiugen kan dan verkregen worden, want op een oneindig groot aantal wijzen kan men R ontbinden in twee krachten, waarvan de eene ligt in het vlak, door de normalen van A en B, de andere in het vlak, door de normalen in de steunpunten C en D gebracht, en door elk van deze wederom te ontbinden volgens de normalen, verkrijgt men zooveel stelsels van drukkingen en reactiÃ«n als men verkiest, welke alle aan de even wichtsvoor waarden zullen voldoen. Dat echter, bij een bepaald lichaam en bij bepaalde steunvlakken, niet al die verschillende stelsels van reactiÃ«n kunnen voorkomen, is gemakkelijk aan te toonen. Onderstel dat het lichaam zulk een stand heeft, en in drie der steunpunten A, B en C zulke vervormingen heeft ondergaan, dat bij de drie reactiÃ«n, in die punten opgeroepen, nog eene reactie van bepaalde grootte, volgens de normaal van het

vierde steunpunt D, moet gevoegd worden, om met do resultante dor krachten evenwicht te maken, dan is de stand van hot lichaam hierdoor volkomen bepaald, en het zou zoor toevallig zijn, dat de nadering van hot lichaam tot het vierde steunvlak zoo groot was, dat de reactie in D de waarde had, die voor het evenwicht vereischt wordt. Het stelsel, waartoe do onderstelde tegendrukkingcn in A, 1! en C behooren, is dus in het algemeen niet bestaanbaar. Er is echter altijd Ã©Ã³n stelsel, hetwelk in overeenstemming is met den aard der lichamen, en dit zal dan ook in den evenwichtsstand opgeroepen worden.

Opdat de ontboiidonen van R volgens de vier normalen, wederom hot lichaam tot dc steunvlakken doen naderen, moet R gelegen zijn binnen don grootsten veelvlakkigon hoek of de grootste prismatische ruimte, die do normalen tot ribben heeft. Liggen de vier steunpunten in eon plat vlak, dan moot R dit vlak snijden binnen den grootsten drie- of vierhoek, waarvan de 'steunpunten de hoekpunten vormen.

Dergelijke beschouwingen als bij de ondersteuning in vier punten, gelden ook zoo liet lichaam in vijf of meer punten ondersteund is, on dus ook zoo liet lichaam met een plat vlak op een ander plat vlak rust.

Liggen do steunpunten in een plat vlak, dan moet de resultante wederom dit vlak snijden binnen den grootsten veelhoek, ondersteuningsveelhoek, welke die steunpunten tot hoekpunten hooft.

Toepassing van tic verschillende gevallen van ondersteuning op lichamen, waarop de zwaartekracht werkt.

e. Verdcniliende soorten van evenwicht van ondersteunde lichamen. Stabiiiteit. â Het onderzoek omtrent den aard van het evenwicht (pag. 105) komt dikwijls voor bij lichamen, die ondersteund zijn, of tegen elkander drukken. Wij zullen hier hot verschil tusschon de drie soorten van evenwicht alleen nagaan, indien, hotgeon moestal hot geval is, op het lichaam, behalve de tegendrukkingen, alleen de zwaartekracht werkt. Wij zullen daartoe onderstellen, dat aan de lichamen kleine bewogingen zijn gegeven om de steunpunten, de stounlijnen, de vaste punten of de vaste assen, en nagaan of de krachten, die er op werken, de lichamen weer in hun eersten stand zullen terug brengen (standvastig, stabiel ovenwicht), of ze in dien nieuwen stand zullen laten (onverschillig, indifferent evenwicht), of wel zo al meer on moor van den eersten evenwichtsstand zullen verwijderen (onstandvastig, labiel evenwicht).

a. Het lichaam hangt aan een vast punt of aan eene horizontale vaste as. In den onderstelden evenwichtstoestand gaat do verticaal van het zwaartepunt door hot vaste punt of door de as. Alleen de zwaartekracht kan dan, bij eene standverandering van hot lichaam, daaraan oenigo beweging mededeolon, daar de drukkingen, door hot punt of de as uitgoofend, geene beweging om dit punt of die as kunnen veroorzaken. Ligt hot zwaartepunt ouder de as (fig. 91), dan zal bij cenc kleine standveran-

grijpende, zal het lichaam weer naar zijn eersten stand terugvoeren; het evenwicht is dan standvastig. Ligt het zwaartepunt in de as (flg. 92), dan zal, bij eene beweging van het lichaam, het zwaartepunt niet verplaatst worden, en het lichaam blijft in dien nieuwen stand in rust; het evenwicht is onverschillig. Ligt het zwaartepunt boven de as (fig. 93), dan zal het bij eene kleine verplaatsing van het lichaam dalen, en dooide zwaartekracht in die dalende bewoging voortgaan; het evenwicht is onstandvastig.

h. Het lichaam rust met drie of meer punten, niet in eene rechte lijn gelegen, op een horizontaal vlak. Do verticaal van het zwaartepunt valt dan binnen het onderstouningsvlak; kantelt mon het lichaam een weinig om eene der zijden van den ondersteuningsvoelhoek, dan zal het, in dien nieuwen stand, volgens eene rechte lijn op het horizontale vlak steunen. De reaction, hierdoor te weeg gebracht, zullen natuurlijk tot de beweging ooi die lijn niets afdoen; men behoeft dus ook slechts de beweging door de zwaartekracht na te gaan. Zoo de verticaal van het zwaartepunt niet juist in eene der zijden van den ondersteuningsveelhoek valt, doch daar binnen, zal het lichaam na de medegedeelde kleine beweging weer door de zwaartekracht in zijn eersten stand worden teruggebracht. Hot evenwicht is dus stabiel.

Daar de zwaartekracht het zwaartepunt verticaal naar beneden tracht te bewogen, is hot duidelijk dat men hot onderscheid tusschen de drie soorten van evenwicht, in de behandelde gevallen van ondersteuning, ook aldus kan aangeven. Het evenwicht is stabiel, zoo hij eene beweging of kanteling van het lichaam het zwaartepunt rijst, indifferent, zoo het zwaartepunt dan op dezelfde hoogte blijft, â labiel, zoo het bij die beweging daalt; in het eerste geval toch zal de zwaartekracht het lichaam terugbowegen, in het tweede geval er geene beweging aan kunnen mededoelen, in hot laatste goval de dalende beweging van het zwaartepunt doen voortgaan.

lichamen, die door vaste punten of assen aan elkander en aan vaststaande lichamen verbonden zijn; b.v. eene staaf, die met twee evenwijdige assen rust op twee andere staven, die elk wederom door eene as evenwijdig aan de vorigen aan een onbeweeglijk lichaam zijn verbonden.

Zoo een lichaam in moer dan twee punten, die niet in eene rechte lijn liggen, of volgens een plat vlak ondersteund is, en hierbij in standvastig evenwicht verkeert, kan dit evenwicht behouden blijven, ook al voegt men bij de krachten, die op het lichaam werken, eene nieuwe kracht, welke het evenwicht tracht te verbreken. Men noemt deze eigenschap stabiliteit; zij is van gewicht bij alle bouwconstructiÃ«n. Wij willen hier alleen een en ander aangeven voor het geval, dat een lichaam, waarop alleen de zwaartekracht werkt, met een plat vlak op een horizontaal vlak rust.

rustende lichaam, mot oen verticaal vlak door het zwaartepunt loodrecht op de ribbe A gebracht; het gewicht van het lichaam zij P, zijn zwaartepunt Z, dan zal, opdat de kracht K in staat zij het om de zijde A te doen kantelen, de resultante R van P en K buiten het steun vlak moeten vallen. Gaat die resultante juist door de ribbe A, dan is het lichaam op het punt van omgeworpen te worden. Daar de som van de momenten der krachten, ten opzichte van een punt der resultante, gelijk moet zijn aan nul, zoo is in dit geval, als AF loodrecht op K staat;

Hoe grooter AE X P des te grooter zal ook de kracht moeten zijn, die voor het omkantelen wordt gevorderd. Men kan dus dit product als maat van de stabiliteit beschouwen, en noemt het stabiliteitsmoment. Het is onafhankelijk van de hoogte van hot zwaartepunt, doch verandert met de ribbe, om welke het lichaam kantelt. Gewoonlijk bedoelt men met het stabiliteitsmoment van een lichaam, de kleinste waarde, die het voor eene der ribben van het steunvlak bezit.

Men kan ook nog eono andere maat voor de stabiliteit aangeven. Zoo werkelijk de krachten toereikend zijn om het lichaam to doen kantelen, zal, als het lichaam op hot punt is van om to vallen, hot zwaartepunt in Z' in de verticaal van hot punt A liggen. Hot is daarbij naar omhoog bewogen, en de rijzing bedraagt Z'A â ZE; stelt men AE gelijk ZE gelijk h, dan wordt zij voorgesteld door:

Om het lichaam zijn evenwichtstoestand te doon verlaten, moet het go-wicht P, dat in het zwaartepunt werkt, tot deze hoogte geheven worden ; hoe grooter die hoogte en ook dat gewicht is, des te grooter is do stabiliteit. Men noemt daarom het product van gewicht en rijzing, of:

TOEPASSINO VAN DE LEER VAN HET EVENWICHT VAN ONDERSTEUNDE LICHAMEN OP EENIGE ENKELVOUDIGE WERKTUIGEN.

De enkelvoudige werktuigen, welke wij vroeger (Bewegingsleer 2^deHoofdstuk) alleen beschouwd hebben met betrokking tot do wijzigingen, welke zij in do beweging brengen, zullen wij nu beschouwen met betrekking tot de krachten, welke er op werken.

Mot het oog op het doel, dat men zich mot die werktuigen voorstelt, kan men gemeenlijk eene of meer der krachten van do andere onderscheiden, als bepaald dienende om aan het werktuig de verlangde beweging mede to deelen; deze heeten dan gewoonlijk kortweg krachten, terwijl do anderen beschouwd kunnen worden als dio beweging tegen te werken, zoodat haren weerstand moot overwonnen worden; men heet zo lasten.

Daar in den regel de verschillende lasten en krachten elkander in evenwicht houden, zullen wij de theorie van enkele van die werktuigen voor dezen toestand ontwikkelen.

a. Hefboom. Balans. â De hefboom bestaat, zooals op pag. 33 is medegedeeld, uit eene rechte of gebogene staaf, gewoonlijk om eene vaste as of een vast punt beweeglijk, somtijds ook in een punt of volgens eene rechte lijn op een vlak rustende. In don regel liggen de krachten in een plat vlak, waarin ook de reactie van het steunvlak ligt. Wij kunnen dus volstaan met de krachten in dit vlak te beschouwen, en de doorsnede van de steunlijn als een steunpunt, de doorsnede van de vaste as als eon vast punt aan te nemen.

De evenwichtstoestand wordt bij eene ondersteuning in een vast punt bereikt, zoo de resultante van de krachten door dit punt gericht is, of

als do som van do momenten dor krachten ton opziohto van dit punt gelijk nul is; bij oono gewone ondersteuning moet dan bovendien de resultante volgens de normaal in hot steunpunt gericht zijn, daar anders do hefboom langs het steunvlak zou glijden.

Gewoonlijk komen bij den hefboom behalve zijn gewicht, in het zwaartepunt aangrijpend, twee krachten voor: do kracht on de last. Ten opzichte van do plaats van kracht en last mot betrekking tot het draaipunt, onderscheidt men drie soorten van hefboomen; die van de eerste soort, bij welko het draaipunt ligt tusschen kracht en last, die van de tweede soort, bij welke de last ligt tusschen draaipunt en kracht, die van de derde soort, bij welke de kracht tusschen draaipunt en last ligt. In al die gevallen moet, zoo het gewicht van den hefboom buiten rekening blijft, de som der momenten van kracht en last ten opzichte van het draaipunt gelijk nul zijn. Somtijds noemt men niet do lijnen, die het draaipunt met de aangrijpingspunten van kracht en last verbinden (pag. 33), maar de loodlijnen, uit het draaipunt op do richtingen van kracht en last nedergolaten, de hefboomsarmen, en in dit geval zijn, afgezien van de teokens dor momenten, de producten van kracht en last mot hunne hefboomsarmen aan elkander gelijk.

Dn gewone balans bestaat uit een hefboom van de eerste soort, juk genaamd, welke aan beide zijden op gelijke afstanden van hot steunpunt, in twee ophang punten de schalen draagt. Daar deze zich vrij om do ophangpunten kunnen bewogen, zullen de verticalen, getrokken door do zwaartepunten van do schalen mot inbegrip van de daarop geplaatste voorworpen, noodzakelijk door do ophangpunten moeten gaan. Zij S (fig. 95)

hot steunpunt, Z het zwaartepunt van hot juk, B het cone, C het andere ophangpunt, die, zooals in don regel hot geval is, in den onbolasten stand zonder schalen, mot S in oono rechte horizontale lijn liggen; Z ligt clan in do verticaal van S en wol, voor hot standvastig evenwicht (pag. 114), daaronder. Rij even zware on gelijk belaste schalen blijft liet juk in dien stand, doch inden bij een der gewichten een overwichtje

wordt gevoegd, slaat do balans naar de zijde van liet grootste gewicht door, de lijn BC verkrijgt den stand B'C', en het zwaartepunt Z komt in Z'; de hook B'SB wordt de doorslag genoemd, en naarmate deze grooter is bij een zelfde overwiehtje, is de balans gevoeliger.

Zij, tor bepaling van dien doorslag, het gewicht van het juk G, het gewicht van do schaal met de belasting in B gelijk P, in C gelijk P -\- q, de lengte der armen SB of SC zij /, en de afstand SZ gelijk d. De som der momenten van G, P en P 2 ten opzichte van S moet dan gelijk nul zijn, derhalve:

Hefboomen van ile soort komen voor bij do unsters, briefwegers, scharen, nijptangen, enz.; hefboomen van de soort, bij de fronthamers, bij ophaalbruggen, kruiwagens, roeiriemen, enz.; hefboomen van de soort, bij de treden of pedalen van draaibanken, bij de armen van rnenscheu en dieren, enz.

Afwijking van de medegedeelde theorie der balans, zoo de lijn door de steunpunten beneden het ophangpunt ligt. Ongelijke lengte der armen. Dubbele weging, weging van Borda. Brugbalans. Balans van Roberval.

b. Windas. Kaapstander. â Do last werkt bij hot windas aan het uiteinde van het koord, de kracht gewoonlijk aan het einde van

gen last en kracht in vlakken, loodrecht op do cilinderas. Om de voorwaarde voor het evenwicht op te maken, verplaatst men, zoo noodig, den last L, in A werkende (fig. !)(!), evenwijdig aan zich zeiven, naar het snijpunt B van de lijn AB, die evenwijdig is aan de cilinderas, niet het vlak, waarin de kracht K werkt, en wel door middel van een koppel, waarvan de arm gelijk AB is. Door dit koppel zoo te verplaatsen, dat zijn vlak door de cilinderas gaat, en hot dan te herleiden tot een ander koppel, waarvan de arm FG gelijk is aan den afstand van de beide pannen, waarin de tappen rusten, vervangt men hot door twee gelijke doch tegengestelde krachten P en P', welke door de steunpunten loodrecht op de cilinderas gericht zijn; deze zullen, zonder den evenwichtstoestand te veranderen, de tappen tegen de pannen drukken.

Voor het evenwicht van kracht en last, welke nu in een vlak werken, is het voldoende dat de resultante in C door de as gaat, zoodat weder, even als bij den hefboom, do som der momenten van K en L ten opzichte van C gelijk nul moot zijn. Om den druk in de beide pannen te bepalen, ontbindt men do resultante R in twee evenwijdige krachten Q en Q' door de punten F en G, en stelt ze daar samen met de krachten P en P' tot de drukkingen D on D', welke ongelijk zijn in grootte en richting. Het gewicht van het windas, in een punt van de omwentelingsas aangrijpende, zal alleen op de drukkingen D en D' doch niet op het evenwicht invloed hebben.

c. Samenstel van raderen. â Bij een samenstel van cilindrische raderen en rondsels (pag. 27) drukken de tanden tegen elkander langs eene lijn, in het raakpunt der steekcirkols loodrecht op het vlak der raderen gericht. Zij fig. 97 de doorsnede van de raderen met dit vlak, dat ook de kracht en don last bevat, die aan de uiterste raderen werken.

kingen op do tanden van het rad en op de tanden van het rondsel, en bij de uiterste, oene drukking tegen de tanden en de kracht K of de last L. Ontbinden wij de gelijke drukkingen op de tandon van een rad en van het daarin grijpende rondsel in eeno richting volgens do verbindingslijnen der middelpunten, en in eeno richting loodrecht daarop, dan zullen do ontbondenen volgens de verbindingslijnen door de tegen-drukkingen der vaste assen worden opgeheven; wij hebben dus alleen do andere ontbondenen verder te beschouwen; noemen wij zo D, D,, Dj, enz. Stellen wij verder do stralen dor raderen R,, Ro, enz., die van do rondsels op B, C, D, enz., r, r,, r₂, enz. en de loodrechte afstanden van K en L tot E en A, l en l', dan verkrijgt men voor het evenwicht van elk der raderen, even als bij het windas en bij don hefboom, do volgende voorwaarden:

Bcti'ekking tusschen kracht en lust bij kogptvormigo raderen, en bij raderen, die op een heugel werken. Raderen rnet inwendige raking.

d. HoLlend vlak. â Men geeft in do werktuigkunde dozen naam aan een plat vlak, dat onder zekeren hoek met betrekking tot den horizon holt, on waarlangs men lasten optrekt of laat afglijden. Het lichaam, do last, rust gemeenlijk met een plat vlak op hot hellende vlak, zoodat in don evenwichtsstand do resultante van al do krachten loodrecht op dat vlak moet staan, en voor de stabiliteit binnen het stounvlak moet vallen. Als men al de krachten ontbindt in richtingen evenwijdig aan, en loodrecht op het hollende vlak, zal dus de resultante van het eerste stelsel gelijk nul moeten zijn.

In hot gewoonlijk voorkomende geval, dat al de krachten evenwijdig zijn aan het standvlak van den tweevlakkigen hoek, dien het hellende vlak met don horizon maakt, zijn al de ontbondenen volgens het hellende vlak onderling evenwijdig, en zoo de hoek van elk der krachten met het hellende vlak Â«, sq, enz. is, moet voor het evenwicht

Lichaam, waarop de zwaartekracht werkt, in evenwicht gehouden door eene kracht evenwijdig aan hot hellende vlak of aan den horizon. Samenstel van twee [hellende vlakken, waarop lichamen rusten, die door een koord, over eene katrolschijf loopende, verbonden zijn. Theorie van de schroef, afgeleid uit die van het hellende vlak, in verband met de wijze, waarop de schroef ontstaat (p. '29).

Een volkomen buigzaam koord zal zich altijd zoo stellen, dat zijne richting in eenig punt overeenstemt met die van do resultante der krachten, welke in dat punt werken. Zoo zal in A (fig. 98) de resultante van de krachten, welke daar op het koord BA werken, volgons do raaklijn AD moeten gericht zijn. Indien in A geen uitwendige krachten aanwezig zijn, zal de kracht S worden uitgeoefend door do naburigo deeltjes van het andere stuk AC van het ^Flg'

koord (pag. 54), zoodat als dit bij A werd doorgesneden, de werking van S geheel zou ophouden. Daar actie gelijk is aan reactie, zal in A op het stuk AC eveneens eene kracht S volgons AD' moeten werken, welke van AB uitgaat. Doze gelijke en tegengestelde krachten noemt men de spanning van het koord in dat punt.

a. Evenwicat van een koord, dat in twee punten is opgehangen. â Zij ABCDE (fig. 99) een buigzaam koord zonder gewicht.

dat in A en E is bevestigd, en waarop in B, C en D de krachten K,, K₃ en K_:j werken, welke mot A en E in een plat vlak liggen. Do reaction van do steunpunten A en E, die volgons BA en DE moeten gericht zijn, stollen wij gelijk aan P en Q, do spanningen in AB, BC, CD en DE, S, S₂ en S3. Do gebroken lijn, volgens welke het koord door die krachten gespannen wordt, heet koorden-veelhoek.

In elk der punten B, C en D werken clan drie krachten, de kracht buiten het koord en de beide spanningen van de deelen van het koord, welke in dat punt samenkomen; in C b.v. werken Kg en de spanningen S, en So van C naar B en van C naar D. Deze drie krachten moeten elkander in evenwicht houden, of de resultante van S| en S3 moet gelijk en tegengesteld aan K₂ zijn. Is dus eene der spanningen, b.v. S,, en de kracht K₂ bekend, dan kunnen hieruit de richting en grootte van S₃berekend worden. Op nog eene andere wijze kan men die beide grootheden uit S] en K₃ bepalen; de spanning 83, die in de richting van D naar C werkt, moet namelijk ook gelijk zijn aan de resultante van Si en Kg.

Volgens eene dezer handelwijzen vindt men in den koorden-veelhoek ABODE de spanningen en de richtingen der zijden, zoo de krachten Kj, Ko, K3 en eene der spanningen in grootte en richting bekend zijn. Uit die spanning en de kracht, die in hetzelfde punt werkt, bepaalt men dan de spanning van het daarnaast gelegen gedeelte van het koord, hieruit, in verband met de volgende kracht, eene derde spanning, enz. De spanningen van de beide uiterste deelen BA en DE zijn gelijk aan de reaction P en Q van de ophangpunten.

Uit de eigenschap, dat eene der spanningen in een punt gelijk is aan de resultante van de kracht en de andere spanning, volgt dadelijk dat:

Zoo men de krachten en spanningen alle ontbindt in twee onderling loodrechte richtingen, b.v. volgens eene horizontale en eene verticale lijn, zal dus de horizontaal ontbondene van de spanning in eenig punt gelijk zijn aan de som van de horizontaal ontbondenen van al de krachten, die aan de eene zijde van dat punt op het koord werken, zoo men de reactie van het steunpunt ook onder die krachten opneemt; ditzelfde geldt voor de verticaal ontbondenen.

Op deze wijze bepaalt men het gemakkelijkst den vorm van den koorden-veelhoek en de spanningen, want zij S (H) en 2 (V) de som van de horizontaal en verticaal ontbondenen der krachten aan de eene zijde van een punt van den veelhoek, dan worden de spanning S aan de andere zijde van dat punt, en de hoek a, welken het koord daar met den horizon vormt, bepaald door:

Heeft oen koord, waarvan men overigens het gewicht mag verwaar-loozen, alleen in enkele punten voorwerpen te dragen, waarop de zwaartekracht in verticale richting werkt, b.v. bij hangbruggen, waar door middel van verticale hangers, de brug door een kabel wordt gedragen, dan is de horizontaal ontbondene van de spanning in alle punten dezelfde, en gelijk aan die van de reactie in elk dor ophangpunten; alleen de verticaal ontbondene verandert. Daar de verticaal ontbondene van de reactie in het ophangpunt van onder naar boven is gericht, en de overige krachten van boven naar beneden werken, is de verticale spanning, en dus ook do geheele spanning, in de ophangpunten het grootste, in het laagste deel van het koord het kleinste. Indien het koord daar horizontaal is, is de verticaal ontbondene van de spanning in dat laagste punt gelijk nul.

Zoo een homogeen volkomen buigzaam koord alleen aan de werking van zijn gewicht is overgelaten, zal het eene kromme lijn (kettinglijn) vormen. Wij kunnen ons dan voorstellen dat het koord in een zeer groot aantal deeltjes is verdeeld, en dat op elk van deze zijn gewicht en de spanningen der aangrenzende deeltjes werken. De vorm van de kettinglijn kan dus afgeleid worden uit die van de gebroken lijn, volgons welke het koord in het vorige geval gespannen was; eveneens zal de horizontaal ontbondene van de spanning overal dezelfde waarde hebben, en gelijk zijn aan de totale spanning in het onderste punt, waar de raaklijn horizontaal is, terwijl de verticaal ontbondene voor hooger gelegen punten toeneemt, en in eenig punt gelijk is aan het gewicht van het koord, tusschen dat punt en het onderste punt begrepen.

Vorm van den koorden-veelhoek bij hangbruggen, zoo de belasting gelijkmatig over een horizontaal vlak verdeeld is.

Indien bij eene gewone kettinglijn de ophangpunten in eene horizontale lijn liggen, de afstand van het laagste punt tot die lijn, of de pijl, p is, de lengte van het koord tusschen ophangpunt en laagste punt gelijk l en het gewicht van de lengte-eenheid van het koord gelijk a is, dan is de horizontale spanning in het

onderste punt gelijk ââ, of zoo p zeer klein is, bij benadering ^ . Kettinglijn met het minimum van spanning per eenheid van doorsnede. Gespannen telegraafdraden.

b. Evenwicht van een koord, dat gedeeltelijk op een gebogen oppervlak rust. â Het koord zal in den evenwichtstoestand drukkingen, en het oppervlak tegendrukkingen uitoefenen, welke alle normaal op het oppervlak gericht zullen zijn. Onderstel dat 'een koord ABEF zonder gewicht (flg. 100), aan welks uiteinden krachten K en K' werken, met een deel BCDE rust op een cirkelvormigcn cilinder, en wel

lilein, dat wij de normale drukkingen in al de punten van CD even groot mogen aannemen, dan is de resultante van die krachten gericht volgons den straal MCr, welke CD midden door deelt, en hot gedeelte CD van het koord is in evenwicht onder do werking van de spanningen S en S', volgens de raaklijnon in C en D en van de tegendrukking volgens MG; of wel deze tegendrukking moet gelijk en tegongosteld zijn aan de resultante van S en S', en daar hoek CGM gelijk hoek DOM is, moot S gelijk S' zijn. Ditzelfde geldt voor al de deeltjes van het koord; de spanningen zijn dus overal gelijk, en daar zij in B en E evenwicht maken met do krachten K en K', moeten deze ook gelijk zijn aan elkander en aan de spanning.

Zoo de lijn, volgons welke het koord op oen oppervlak rust, geen cirkel is, maar eene andere kromme lijn, kan men deze beschouwen als samengesteld te zijn uit een oneindig aantal aan elkander sluitende cirkelboogjes van verschillende krommingen; bij geen van deze verandert de spanning, en dus zijn weder in den evenwichtstoestand do krachten aan de uiteinden van hot koord aan elkander gelijk, en ook gelijk aan de spanning, die in het gohecle koord heerscht.

Indien het lichaam, waartegen het koord drukt, zich kan verplaatsen, zooals hot geval is bij eene schijf of een ring, waarop eone kracht werkt, en welke langs het koord kan glijden, dan zal ook aan dezelfde voorwaarde voor het evenwicht moeten voldaan worden; do ring of schijf zal zich dan zoo plaatsen, dat de spanningen van het koord aan beide zijden even groot zijn en evenwicht maken met de kracht, die op schijf of ring werkt; de richting van deze kracht zal daartoe den hoek, welken de koorden vormen, midden door moeten deelen.

EVENWICHT VAN LICHAMEN, DIE TEGEN ELKANDER DRUKKEN MET WRIJVING. SLEPENDE WRIJVING. ROLLENDE WRIJVING.

a. Wetten van de slepende wrijving. â Op pag. 108 hebben wij aangenomen dat, als twee lichamen tegen elkander drukken, eene kracht in de richting van het raakvlak altijd beweging zal mededeelcn. Dit is alleen waar zoo de lichamen volmaakt glad zijn; zijn zij echter, zooals altijd in meerdere of mindere mate het geval is, ruw, dan moeten zij

bij het glijden over elkander vervormd worden; hierdoor ontstaat een tegenstand, wrijviny ook wel slepende tvrijviny genoemd, welke bij die beweging moet overwonnen worden. Daar de wrijving eeno weerstandbie-dende kracht is, kan zij geene beweging voortbrengen, en hangt haar bedrag, tot eene zekere grens, af van do kracht, die men aanwendt om haar te overwinnen. Eene bepaalde waarde, afhankelijk van den aard en den toestand der lichamen, kan zij echter niet overschrijden, en het is deze grenswaarde, welke de grootte der wrijving van die lichamen wordt genoemd. De kracht in de richting van liet raakvlak, in staat oin de lichaineii over elkander te doen voortglijden, moet dus minstens gelijk zijn aan die waarde;

Uit proeven is gebleken, dat men in do gewone gevallen mag aannemen, dat de grootte van die wrijving evenredig is met do normale drukking, doch tevens afhankelijk van de soort der lichamen en den aard dor oppervlakken, en bij bewegende lichamen onafhankelijk van de snelheid der beweging. Zij is tevens, als de lichamen eenmaal in beweging zijn, kleiner dan wanneer deze uit don toestand van rust in dien van beweging moeten gebracht worden; in hot eerste geval wordt zij wrijving der heweyiny, in liet laatste wrijving der rust genoemd.

ta, WL*ijviagsc0Jifl,JLeaD, wrg vingsujaK. â Uit de evenredigheid van de normale drukking K en de wrijving W volgt dat;

waarin f eene grootheid is, die alleen van de natuur der wrijvende oppervlakken afhangt, en de wrijvingscoÃ«fficiÃ«nt wordt genoemd; zij stelt de verhouding voor van do grootte der wrijving en de grootte der normale drukking.

Zoo op een lichaam, dat tegen een ander drukt, krachten werken, waarvan do resultante door hot steunpunt gaat, zal dit lichaam, zoo geene wrijving aanwezig is, langs het steunvlak voortglijden, zoodra de richting van de resultante een hoek, hoe klein ook, met de normaal vormt. Indien er wrijving tusschen de oppervlakken bestaat, zal die beweging niet altijd ontstaan. Zij a de hoek, welken de resultante R van de krachten op het lichaam P (fig. 101) mot de normaal maakt, dan zal do ontbondene van R volgens de normaal R cos. a, de ontbondene in hot raakvlak R sin x zijn. Do grootste waarde, welke de wrijving bij deze richting van de kracht kan bereiken, is Æ R cos. a, en er zal dus eerst beweging ontstaan zoo :

Het is gemakkelijk in te zien, dat u. ook gelijk is aan de helling ten opzichte van den horizon van een plat vlak, indien een daarop geplaatst lichaam, waarop alleen de zwaartekracht werkt, op het punt is van naar beneden to glijden, of wel zich met eene eenparige snelheid voortbeweegt. De waarde van a in het eerste geval is de wrijvingshoek dor rust, in het tweede geval de wrijvingshoek der beweging.

De waarde van den wrijvingscoÃ«ffloiÃ«nt voo? bepaalde stoffen is van allerlei omstandigheden, aard der oppervlakken, temperatuur, enz. afhankelijk; het is dus niet mogelijk juiste waarden voor deze grootheid op te geven, en wij moeten ons vergenoegen met de opgave van de grenswaarden binnon welke de coÃ«fficiÃ«nt gewoonlijk valt. De grootste waarde kan dan voor de wrijving in rust worden aangenomen.

Metaal op metaal. 0,10 tot 0,30 5Â°, 7 tot 16Â°, 7 0,01 tot 0,10 0⁰,6tot5⁰,7

Metaal op hout. . 0,10 Â» 0,G0 5⁰,7 Â» 31Â°,0 0,02 Â» 0,10 1⁰,1 Â» 5^C,7

Hout op hout. . . 0,10 Â» 0,70 5Â°,7 Â» 35^o,0 0,03 Â» 0,10 1⁰,7 Â» 5Â°,7

c. Wijze, waarop de wrijving bij het evenwicht van lichamen wordt in rekening gebracht. Wrijving van cilindrische assen in pannen. Wrijving van een koord langs een cilinder. â

Onder de evenwiohtsvoorwaarden van lichamen, die tegen elkander drukken, met inachtneming van de wrijving, verstaat men gewoonlijk de voorwaarden, waaraan do krachten moeten voldoen, als de beweging juist op het punt is van te beginnen, of als de krachten aan het lichaam eene eenparige beweging mededeelen. Men moet dan natuurlijk weten, welke de richting is van de beweging, daar de wrijving hieraan juist tegengesteld is. Bepaalt men de resultante der krachten eerst zoo, dat de eenparige beweging in den oenen zin zal plaats vinden, daarna zoo, dat die beweging juist in tegengestelde richting zal geschieden, dan zal voor alle waarden van de resultante, tusschen die beide grenzen gelegen, het lichaam in rust blijven.

Op tweeÃ«rlei wijzen kan men die evenwichtsvoorwaarden opmaken; in de eerste plaats door de normale drukking in de steunvlakken te

bepalen, en dan die drukking, vermenigvuldigd met den wrijvingscoÃ«fficiÃ«nt, als eene nieuwe kracht, do wrijving, in hare behoorlijke richting bij de overige krachten te voegen. Men moet hierbij voorzichtig te werk gaan, en niet, zooals wel eens eens geschiedt, de normale drukking eenvoudig bepalen uit de evenwichtsvoorwaarden zonder de wrijving, daar zij door die wrijving dikwijls veranderd wordt. In de tweede plaats kan men do resultante der krachten, die behalve de wrijving op het lichaam werken, laten voldoen aan den oisch, van met de normaal den wrijvingshoek te vormen, en zoodanige richting te hebben, dat er de verlangde eenparige beweging door wordt voortgebracht. Voor een paar bijzondere gevallen willen wij, op eene dezer wijzen, den invloed van de wrijving nagaan.

Een lichaam is met eene cilindrische as in eene holle, nauwsluitende cilindrische pan beweegbaai-, m. a. w. hot lichaam is om eene vaste as draaibaar. Onderstellen wij dat de resultante der krachten ligt in een vlak, dat loodrecht op de vaste as is gebracht, en zij fig. 102 de doorsnede van het lichaam met dit vlak, dan moet do resultante R, als do beweging zal beginnen, de cilindrische as tegen de pan aandrukken in eene richting BA, welke met de normaal AM don wrijvingshoek BAM gelijk u. vormt;

de loodrechte afstand van het middelpunt tot de resultante is dan, als de straal van de as r is:

Indien de afstand tot het middelpunt aan deze vergelijking voldoet, zal altijd, welke ook de richting der resultante is, de hoek, welken zij met de normaal vormt, gelijk (x zijn. Do resultante moet dus rakend zijn aan eenig punt van den cirkel, wrijvingscirkel genoemd, die concentriek met de loodrechte doorsnede van de as is, en tot straal heeft;

Hoe kleiner r is, des te dichter zal de resultante bij do vaste as liggen, des te kleiner is de invloed van de wrijving.

Zoo de bewoging van het lichaam niet volgens het pijltje p, maar volgens het pijltje p' moet plaats vinden, zal de resultante R', aan do andere zijde van M, volgens B'A' moeten werken.

Deze beschouwingen gelden ook, zoo zich liet lichaam met een bol binnen een hollen bol kan bewegen.

Een tweede geval, waarbij wij de wrijving willen bepalen, is dat van een koord, hetwelk over een cilinder is geslagen. Zonder wrijving zijn al de spanningen en de krachten aan de uiteinden van hot koord aan elkander gelijk; is er wrijving, dan bestaat die gelijkheid niet meer.

volgens welken het koord in aanraking is met den cilinder (fig. 103), in een zeer groot aantal p gelijke deeltjes verdeeld is, en zij CD een dier deeltjes, dan zullen de spanningen S on S', bij C en D, door de wrijving over het zeer kleine oppervlak slechts weinig verschillen, en wel te minder hoc grooter p is. Nemen wij ze beide gelijk S aan, K' dan is de resultante van dio twee ^₀₃ spanningen, op zeer weinig na,

gelijk aan de normale drukking N, in CD op den cilinder uitgeoefend. Zoo boog ACB gelijk Â«,

uitdrukking stolt met groote benadering hot zeer kleine versclÃ¼l voor tusschen de spanningen bij C en D, en wanneer de beweging in de richting van de kracht K' zal plaats vindon, moet

zijn. Daar â uiterst klein is, mag weder bij benadering de boog voor zijn sinus geschreven worden, zoodat:

Deze benaderde waarde zal al minder en minder van de juiste ver. schillen, naarmate p grooter is, en er mede samenvallen, zoo j) gelijk oo

berekenen, ontwikkelt men de uitdrukking eerst volgens het binomium van Newton, en stelt dan p oneindig groot. Het blijkt dan dat:

waarin e (2,718...) de basis van het Neperiaansche logarithmenstelsel is. De waarde van a wordt uitgedrukt in deelen van den straal als eenheid. Voor kleine waarden van Â« wordt, zooals uit de formule blijkt, K' reeds veel grooter dan K; neemt men / gelijk ^ll_s, dan is voor

Tengevolge van dit groote verschil, dat tusschen de klachten aan de beide uiteinden moet bestaan, indien het koord langs het oppervlak glijdt, zal, als de cilinder om eene as draaien kan, het koord er bijna nooit langs glijden, maar den cilinder doen rondwentelen, daar hiertoe gewoonlijk een veel geringer verschil tusschen K en K' wordt vereischt.

Zoo ecne cilindrische as met hel eene vlakke uiteinde, dat loodrecht op de as staat, rust tegen een plat vlak, zal de grootte van de wrijving over het steunvlak al'hangen van den druk in de verschillende punten; is deze druk gelijkmatig verdeeld over het raakvlak, dan is de werking van de wrijving gelijk aan die van eene kracht 5 f P aan den omtrek van het cirkelvormige aanrakingsoppervlak, in welke uitdrukking Æ den wrijvingscoÃ«fficiÃ«nt, P den totalen druk voorstelt. Voordeel, het uiteinde van de, as of het steunvlak bolvormig te maken, zoodat zij elkander alleen in het midden raken.

Gebruik van rollen om eene as beweegbaar, niet van vaste cilinders, bij richtingsveranderingen van koorden.

De stramheid of niet volkomen buigzaamheid der koorden openbaart zich, bij de beweging van een koord langs een cilinder, door het niet behoorlijk aansluiten van dat koord langs het oppervlak, Haren invloed bepaalt men bij benadering, door te beschouwen dat de kracht, welke overwonnen moet worden (gewoonlijk de last), niet werkt aan den omtrek van den cilinder, maar op een afstand van het middelpunt, gelijk aan den straal vermeerderd met eene lengte, welke, in centimeters uitgedrukt, gelijk is aan b d', als d gelijk is aan de middellijn van het koord insgelgks in centimeters, en b eene grootheid voorstelt, die niet afhangt van den

straal des cilinders, en van de grootte van den last, doch alleen van den aard van het koord. quot;Voor gewone touwen is b ongeveer 0.15.

d. Rollende wrijving. â Wanneer een cilinder over een plat vlak voortrolt, en de cilinder en het vlak volmaakt hard zijn, zal de aanraking slechts volgens eene lijn plaats vinden, daar echter altijd vlak en cilinder door den druk vervormd worden, zullen zij elkander volgens een vlak raken. Zij fig. 104 de doorsnede van het steun vlak en den cilinder

met een plat vlak loodrecht op de cilinder-as, dan stelt het lijntje AB de doorsnede van het gemeenschappelijk aanrakingsvlak voor, en om den cilinder te doen rollen, moet de resultante van al de krachten buiten AB vallen ; zoo zij juist door A of B gaat, is de cilinder op het punt van de rollende beweging in de eene of andere richting te beginnen.

Onderstellen wij dat, zooals gewoonlijk hot geval Fig. 104. is, de resultante van al de

krachten door de as van den cilinder, of door hot middelpunt M van den cirkel gericht is, en ontbinden wij haar in twee krachten, loodrecht op het platte vlak DMC en evenwijdig daaraan, dan zal, als K de ont-bondene van deze laatste evenwijdig aan het steunvlak, en P de normale druk is:

moeten zijn. De lijn AD verschilt zoo weinig van den straal r, dat wij haar daaraan gelijk mogen stollen. Het lijntje AC is, zooals de ervaring heeft geleerd, bij benadering onafhankelijk van don straal van den cilinder, doch alleen afhankelijk van den aard van den cilinder en van hot platte vlak, waar langs deze voortrolt; noemen wij haar s, de coÃ«fficiÃ«nt van de rollende wrijving, dan is:

Uit proeven blijkt dat op goed bestrate wogen, s ongeveer 0,007 meter, op spoorwegen, bij de gewone afmetingen dor wielen, â gelijk 0,002 is.

Helling der wegen, bij welke de wielen door hun eigen gewicht naar beneden rollen. De omstandigheden, waarbij de wielen of glijden, of rollen, of gedeeltelijk glijden en rollen, worden later behandeld.

EVENWICHTSVOORWAARDEN VAN ENKELVOUDIGE WERKTUIGEN MET INACHTNEMING VAN DE WRIJVING.

a. Hellend vlak. â Onderstellen wij dat op liet lichaam, hetwelk op het hellende vlak rust (fig. 105), behalve zijn gewicht P nog andere krachten werken, waarvan de resultante K ligt in een verticaal vlak, dat door het zwaartepunt gaat en loodrecht op hot hellende vlak staat, terwijl voldaan is aan de voorwaarde voor de stabiliteit. Zij a de standhoek van hot hellende vlak en den horizon, ft do hook van K met het hellende vlak.

De evenwichtsvoorwaarden zullen wij dan bepalen op de bolde wijzen, welke (p. 12G) zijn medegedeeld.

1Â°. De wrijving wordt als eene afzonderlijke kracht in rekening gebracht. Men ontbindt P en K elk in twee krachten, eone evenwijdig aan het hellende vlak, eone loodrecht daarop, dan is de normale druk N gelijk aan de resultante der beide ontbondenen P cos. a en K sin. ft, dus: N = P cos. a â K sin. ft.

en zoo het lichaam op het punt is van naar boven getrokken te worden, is zij langs het hellende vlak van boven naar beneden gericht. Door een koppel kunnen wij haar overbrengen naar hot snijpunt E van P en K, en daar dit koppel het lichaam alleen kan doen omkantelen, hetgeen volgens do stabilitoitsvoorwaardo niet geschiedt, kunnen wij het verder buiten rekening laten.

Op eenzelfde punt E van het lichaam werken dus drie krachten, evenwijdig aan het hellende vlak:

waarvan de beide laatsten tegengesteld zijn aan de eerste; verder nog eene kracht loodrecht op het hellende vlak;

Voert men den wrijvingshoek in, door f â tg. Â» te stellen, dan wordt, na vermenigvuldiging met cos. p;

Moet K zoo groot zijn, dat zij juist in staat is het naar beneden glijden te beletten, of dit met eene eenparige snelheid te doen geschieden, dan vindt men hare waarde, door in (LXIX) en (LXX) f door â Æ, en u door â f* te vervangen;

v â p ^s'ⁿ- Â« â Æ^Ã¼0S-^a __ p sin, (a â p) _ (LXXI). cos. â Æ sin. (9 cos. ((3 -f- ft)

Voor a=ft, is K gelijk 0; het lichaam blijft dan uit zich zelf in rust, of glijdt met eene eenparige snelheid naar beneden.

2Â°. De wrijving wordt in rekening gebracht, door te bepalen dat de resultante van al de krachten, behalve de wrijving, met de normaal een hoek vormt gelijk aan den wrijvingshoek. Zoo het lichaam op liet punt is van naar boven bewogen te worden, moet de resultante van K en P volgens R (fig. 105) gericht zijn; is het op het punt van naar beneden te glijden, dan moet de resultante volgens R' vallen; R en R' maken beide met de normaal den wrijvingshoek f*. In het eerste geval is de hoek van R en K gelijk {! 90Â° â h ^{van K 011} P) Â«quot;fN ^irlhet tweede geval wordt de hoek van R' en K, fl -jquot; quot;fquot;^vai1 Â® ⁶¹¹P, Â« â ft.

Passen wij nu de formule (XXIX) toe, welke de betrekking aangeeft tusschen de krachten en de hoeken van de krachten met de resultante, dan is, voor eene beweging naar boven;

Zoo K tusschen de beide waarden van de formules (LXX) en (LXXI) in ligt, blijft het lichaam in rust.

Indien eeue staaf, met gewichten bezwaard, zoodanig op twee hellende vlakken rust (fig. 10G), dat het verticale vlak door de staaf ge-

bracht tevens het standvlak is van de beide hollende vlakken, en de staaf op het punt is zich bij A naar boven, bij B naar beneden te bewegen, dan zullen de krachten, waarmede de staaf in die punten tegen de hellende vlakken drukt, gericht moeten zijn volgens DA en DB, welke met de normalen AN en BN' de wrijvingshoeken vormen. De resultante van het gewicht van de staaf en van de gewichten, welke er aan hangen, moet dan volgens DA en DB kunnen ontbonden worden, en dus door D volgens DR gericht zijn.

Was de staaf op het punt zich in tegengestelde richting te bewegen, dan moeten de drukkingen volgens DA en D'B gericht zijn, en do resultante van de gewichten, die op de staaf werken, volgens D'R'.

Valt de richting van de resultante tusschen DR en D'R', of ligt het zwaartepunt van de staaf met de belasting tusschen C en C', dan blijft de staaf in rust.

Bepaling van den wrijvingshoek door de helling van een vlak, waarlangs een lichaam op het punt is van naar beneden te glijden. Evenwicht van twee lichamen, door een koord over eene schijf verbonden, op twee vlakken met tegengesteld gerichte hellingen. Evenwicht van eene ladder, rustende op een horizontaal vlak en tegen een verticalen muur. Spanning van het koord tusschen de sporten van eene dubbele ladder, van boven door eene horizontale as verbonden, en op een horizontaal vlak rustend.

twee blokken M en N sluit, zal eene kracht, loodrecht op den rug AB van do wig, de beide blokken van elkander trachten te verwijderen. Wij onderstellen dat een verticaal vlak, door don scherpen kant van de wig gebracht, het geheel in twee volkomen symmetricke deelen verdeelt, en dat de blokken op hellende vlakken ruston. Wanneer de kracht K op het punt is den tegenstand der blokken en de wrijving te overwinnen, zal de drukking Q van do wig tegen het blok M met de normaal DS den wrijvingshoek vormen. Do resultante R van de kracht Q en het gewicht P van het blok moet dan juist in staat zijn, dit lichaam tegen de holling HG op te bewegen, en dus met de normaal TV wederom don wrijvingshoek vormen. Uit deze voorwaarden bepaalt men gemakkelijk de waarde van K; want, daar al do hoeken tussehen de verschillende krachten en resultanten bekend zijn, berekent men, door formule XXIX, uit P en de hoeken van P en Q met R, de drukking Q, en uit Q en de hoeken, welke Q met K en met de symmetrieke drukking op N vormt, de grootte van K.

Voor de stabiliteit is het noodig dat de resultante R door een punt van het steunvlak GH gaat, anders zal het blok M omkantelen. Kent men het punt D, waar de drukking wordt uitgeoefend, dan is het onderzoek naar de stabiliteit hoogst eenvoudig, maar daar de verdeeling' van den druk over het vlak EF onbekend is, kent men de plaats van het aangrijpingspunt D van de resultante niet; men weet echter dat het tussehen E en P zal vallen; bepaalt men dus de plaatsen van het snijpunt T, zoo Q door E en ook zoo zij door P gericht is, en vindt men in die beide grensgevallen de stabiliteit verzekerd, dan heeft men nimmer omkantelen te vreezen.

voorwerpen; eene geringe kracht, op den rug van de wig werkende, zal dan zeer groote drukkingen op de van elkander te scheiden deelen uitoefenen. Laten b.v. M on N twee stukken zijn van een houtblok, dat door de wig gespleten moet worden, dan zal bij het indringen van de wig, zoo haar tophoek 2Â« en de wrijvingshoek p is, de drukking Q volgens DQ bepaald worden door:

quot;Wanneer de hellingen van de vlakken, waarop de blokken M en N rusten, grooter zijn dan de wrijvingshoeken, zullen M en N door hun gewicht drukkingen op de vlakken van de wig uitoefenen en deze naar buiten kunnen drijven; ditzelfde kan geschieden door de drukkingen der deelen van een voorwerp, dat door de wig wordt gespleten.

Het is duidelijk dat, om deze beweging aan de wig mede te deelen, de richting van de drukking op het zijvlak AC van de wig met de normaal DS een hoek moet vormen minstens gelijk aan don wrijvingshoek u, en in het quadrant ADS moet gelegen zijn. De kracht K, loodrecht op den rug van de wig, welke hot uitdrijven van de wig door die drukkingen D op de zijvlakken kan beletten, moet dan minstens gelijk zijn aan;

Zoo dus de halve tophoek a gelijk is aan den wrijvingshoek zal or geen gevaar bestaan dat de wig door drukkingen tegen de zijvlakken, hoo groot ook, zal worden uitgedreven, terwijl, zoo a kleiner dan u is, er behalve die drukkingen nog eene kracht tegengesteld aan K (fig. 107) noodig is om de wig uit het te splijten voorwerp te trekken.

Wig gebruikt voor het uitoefenen vau groote zijdelingsche drukkingen, bij persen enz. Gewelven.

c. Katrollen. Takels. â (Zie pag. 34). De resultante van de beide krachten K en L, die op eene vaste katrol werken, moet, zoo de bewoging eenparig is volgens de richting van K (fig. 108 en 109), do as in een punt D snijden, zoodat hoek MDC gelijk u. is (pag. 127).

In flg. 109, waarin de richtingen van kracht en last onderling evenwijdig zijn gesteld, is:

en is dus gelijk en tegengesteld aan de resultante van de twee krachten, welke aan de beide uiteinden van het koord werken. Eene van deze krachten wordt gewoonlijk te weeg gebracht door de reactie van het

voortbrengt, P de kracht aan het andere uiteinde van het koord uitgeoefend, dan moet tusschen K en P -wederom dezelfde betrekking bestaan, als tusschen de gelijksoortige grootheden K en L bij de vaste katrol, en de last L zal dan gelijk en tegengesteld aan de resultante van K en P zijn. De richting, waarin de last L werkt, zoo zij door de kracht K wordt voortbewogen, zal niet, zooals onjuist in fig. 110 is aangegeven, door het middelpunt van de as gaan, maar op een afstand r sin. [j. van dat punt naar de zijde van K.

Is de hoek tusschen de beide deelen van het koord 2 a, dan is, zie weder formule (XXIX):

Eene verandering in de grootte van den hoek tusschen de koorden verandert bij de vaste katrol alleen do wrijving een weinig, doch wijzigt bij de losse katrol, ook zonder wrijving, in veel sterkere mate de be-

trekking tusschen K en L; L is bij gelijke waarde van K het grootste, zoo de koorden onderling evenwijdig zijn.

Bij den takel (fig. Ill), Avaarvcin wij de evenwichtsvoorwaarde zullen nagaan, onderstellen wij dat al de schijven even groot en de koorden evenwijdig zijn. De schijven D, E en F zijn bevestigd aan het vaste, de schijven A, B en G aan het losse blok, dat de last draagt. Laten de spanningen der koorden, van het bevestigingspunt G af, gelijk zijn aan S, Si, Sj, S3, S4, S₆, S₆, dan is:

De last L wordt door de spanningen van de C evenwijdige koorden gedragen, dus is:

Deze formule gaat ook door, zoo het koord, in plaats van bij Gr aan een vast punt bevestigd te zijn, aldaar over eene katrol aan het vaste blok is geslagen, en vastgehecht is aan het losse blok. Het getal n stelt dan altijd het aantal van do koorden voor, die tusschen het vaste en het losse blok gespannen zijn.

Bij don takel, waarvan men zich gewoonlijk bedient (pag. 3G), zijn do koorden niet volkomen evenwijdig, en ook de schijven niet gelijk van grootte. Men kan echter met voldoende benadering form. (LXXVI1I) gebruiken, zoo men, in de waarde van m, voor R en r de gemiddelden van de verschillende stralen neemt.

Brengt men do wrijving niet in rekening dan is, zoo het losse blok aan n koordon hangt:

Bij den differentiaaltakel (fig. 112), bestaat het vaste blok uit twee aan elkander bevestigde schijven, waarvan de stralen weinig verschillen, en welke zich om eene gemeenschappelijke as kunnen bewegen; het losse blok bestaat uit eene schijf, waarvan de straal gelijk is aan het gemiddelde van de stralen der beide andere. Do omtrekken van de schijven zijn van pennen of groeven voorzien, om te beletten dat de ketting zonder eind, welke om de schijven is geslagen, er langs glijdt. Bij de beweging van den ketting in de richting van K, wordt hij bij

B op-, bij D afgewonden, en bij eene geheele wenteling van het bovenste paar schijven rijst de last zooveel, als het halve verschil van de omtrekken van beide bedraagt.

Zij, bij eene eenparige beweging van den last naar omhoog, do spanning van liet koord bij A gelijk S, van het stuk BE gelijk Sj, van het stuk DF gelijk S₃. Verder zij MA â R, MD = M'Er=R₃, en de straal van den wrijvingscirkel (pag. 127) p â r sin. p, dan is:

Gemakkelijk toont men aan dat, zoo er geene kracht bij A werkt, de last niet zal dalen als:

De invloed van de dikte d van het koord en van zijne stramheid (pag. 129) wordt, bij de verschillende katrollen en takels, en ook bij het windas, den kaapstander, enz,, te gelijk met do wrijving in rekening gebracht, zoo men voor m de volgende waarde stelt:

waarin d do middellijn van het koord is. Zijn al de afmetingen in centimeters gegeven, dan is voor gewone touwen h = 0,15.

Het evenwicht van het windas en den kaapstander met wrijving kan op volkomen gelijksoortige wijze bepaald worden, als het evenwicht bij eene vaste katrol.

a. Bepaling van arbeid. â Voor liet volbrengen van arbeid is het noodig dat eene kracht, op een materieel punt werkende, daaraan eene beweging mededeelt; ontbindt men deze kracht in twee andere, eene volgens de richting van den weg, eene loodrecht daarop, dan zal deze laatste op de beweging en den verrichten arbeid geen invloed uitoefenen, en mm neemt eenvoudig het product van de eerste ontbondene en den afgeleiden weg als maat van den volbrachten arbeid aan. Men noemt dit product zelf ook wel kortweg arbeid.

De arbeid is positief, zoo de beweging in de richting van de ontbondene plaats vindt; men kan in dit geval de kracht als bewegende kracht beschouwen, cn dus aan den positieven arbeid don naam geven van arbeid van eene bewegende kracht. Indien de beweging tegengesteld is aan de ontbondene, is de arbeid negatief; de kracht kan dan als eene wederstandbiedende beschouwd worden, en de negatieve arbeid dus ook arbeid van eene weerstandbiedende kracht of kortweg iveerstandsarheid worden genoemd. Zoo b.v. een man, aan eene lijn of een touw trekkende, eene schuit voortbeweegt, volbrengt hij een positieven arbeid; tracht hij echter aan het touw trekkende eene voortgaande schuit tot rust te brengen, dan is zijn arbeid negatief. Een ander voorbeeld van negatieven en positieve:! arbeid wordt opgeleverd door een heiblok, dat door een werktuig of door menschen opgetrokken wordt: bij dit optrekken zal do arbeid van de kracht, die op het touw wordt uitgeoefend, positief zijn, daarentegen zal het heiblok, waarop de zwaartekracht werkt, in tegengestelde richting van die kracht naar omhoog bewogen worden; die kracht (hot gewicht van het heiblok) zal dus volgens de

gegeveno bepaling ook arbeid volbrengen, doch doze is negatief. Wordt ten slotte liet heiblok losgelaten en valt het neder, dan is de arbeid van zijn gewicht positief. Als derde voorbeeld beschouwen wij een horloge; zoo dit opgewonden wordt, zal hij, die zulks doet, door de kracht, waarmede hij den sleutel ronddraait een positieven arbeid volbrengen; gelijktijdig hiermede wordt de veer in liet horlogo, in eene richting tegengesteld aan de veerkracht, opgewonden of gespannen; de arbeid van die veerkracht is dan negatief. Zoo nu, na het opwinden, het horloge gaat, zal de veer zich ontspannen en de wijzers voortdrijven, waarbij de arbeid der veerkracht positief is. Uit een en ander blijkt dat het positief of negatief zijn van den arbeid volstrekt niet in verband staat tot het meer of minder nuttige daarvan, maar alleen oen meetkundig begrip is, afhankelijk van de onderlinge richtingen van

Het is in veel gevallen verkieselijk den arbeid op eene andere wijze dan door het product van den weg en de ontbondene van de kracht uit te drukken. Zij de beweging rechtlijnig, en de afgelegde weg in

kracht K voortdurend evenwijdig aan MK blijft, welke lijn met MB den hoek a maakt. De ontbondene in de richting van den weg is dan MC of K cos. a dus de arbeid:

of het product van de kracht en de projectie van den weg op de richting van de kracht. Bij een positieven arbeid is de beweging in de projectie gelijk gericht met, bij een negatieven arbeid tegengesteld aan de kracht.

Vindt de beweging plaats volgens de gebroken lijn MBCD (ftg. 114), terwijl do kracht altijd evenwijdig is aan MK, bewoging langs elk der ge-

deoltelijke wegen MB, BC en CD, en wederom is de totale arbeid gelijk aan hot product van K en de projectie ME van den geheelen weg MBCD op MK.

Deze betrekking gaat door, uit hoeveel deelen de gebroken lijn ook moge bestaan, en dus ook, zoo de weg eene kromme lijn is, b.v. BCDE (fig. 115). Bij de beweging

in de richting van het pijl-tje C, is de arbeid van de kracht K, welke evenwijdig aan MK is, positief over den weg BCD, en wel gelijk aan K X EG, daarentegen negatief over den weg DB, en gelijk aan â K X Ã¶ll; de totale ar- ^Fig-

De arbeid wordt derhalve, hij eene standvastige kracht, alleen bepaald door de beide eindpunten der afgelegde baan niet door hare verdere gedaante, en is gelijk aan het product van die kracht en de projectie van den afgelegden weg op de richting dier kracht. Keert hel punt weer terug tot de plaats, waar het zijne beweging begon, dan is gedurende die periode de volbrachte arbeid nul.

Indien do richting of de grootte van de kracht verandert, bepaalt men den totalen arbeid, door de deelen van den arbeid gedurende de perioden dat de kracht standvastig bleef bij elkander te voegen. Is de kracht steeds normaal op do bewegingsrichting, dan is haar arbeid nul. Bij beweging van lichamen langs elkander zonder wrijving, wordt door de drukkingen geen arbeid volbracht.

Bij zoogenaamde centraln of midddpuntskrachlen, aantrekkende of afstoolende krachten, die door een punt in alle richtingen worden uitgeoefend, en waarvan de grootte alleen afliangt van den afstand tot het aantrekkende of afstootende middelpunt, zal de arbeid, langs welken weg de beweging ook geschiedt, alleen afhangen van de afstanden d en d\ waarop hot punt bij hot begin en hot einde van zijne beweging van het aantrekkingscentrum verwijderd is; hij is dus gelijk aan den arbeid, welke door de centrale kracht volbracht wordt, indien het deeltje op eene lijn door het middelpunt een weg allegt, waarvan de eindpunten op die afstanden d en d' van het middelpunt verwijderd zijn. De natuurkrachten zijn waarschijnlijk alle centrale krachten, b.v. de aantrekkingskracht van de aarde en van andere hemellichamen, de electrische en magnetische krachten, de moleculaire krachten bij de veerkracht, scheikundige aantrekking, enz.

b. Arbeid van de resultante van krachten. â Ontbinden wij de krachten, welke op een punt werken, en ook hare resultante, in twee richtingen, eene volgens de lijn, waarin zich hot punt beweegt, de andere

loodrecht daarop, dan is do resultante, of de algebraÃ¯sche som, van al de ontbondenen der krachten volgens de bewegingsrichting gelijk aan de ontbondene van de resultante volgens diezelfde lijn, waaruit onmiddellijk volgt, dat de arbeid van de resultante gelijk is aan de algebraÃ¯sche som van den arbeid der samenstellende krachten.

c. Arbeid van krachten op een lichaam werkende. â Een punt, dat met andere stoffelijke punten tot een lichaam verbonden is, bevindt zich altijd onder de werking van krachten, welke van die punten uitgaan. Men noemt deze krachten, waarvan de grootte bij eene verandering in den afstand der deeltjes gewijzigd wordt, inwendige, in tegenstelling van de uitwendige krachten, welke van buiten af op het lichaam werken. Elk deeltje, dat tot een lichaam behoort en waarop krachten werken, ontvangt dus zijne beweging door de resultante van de uiten inwendige krachten, waaraan het onderworpen is. De arbeid a van die resultante is dan gelijk aan de som van den arbeid u dor uitwendige, en den arbeid i der inwendige krachten. Voegt men den arbeid van de krachten op al de onderling verbonden deeltjes bij elkander, en noemt men de som van den arbeid van al de krachten 2 (a), van de uitwendige krachten 2 (Â«), van de inwendige krachten 2 (Â«), dan is;

De waarde van 2 (i) is dikwijls gemakkelijk te bepalen. De inwendige krachten komen namelijk altijd paarsgewijze voor (pag. 54); bij eene kracht van het punt A op het punt B behoort steeds eene andere, gelijk en tegengesteld aan de eerste, welke door B op A wordt uitgeoefend (2^dli Grondbeginsel pag. 52). Wanneer die punten zich zoo bewegen, dat hun onderlinge afstand, en dus ook de grootte der krachten, onveranderd blijft, is de arbeid van de eene kracht juist gelijk en tegengesteld aan die van de andere, en hunne som is gelijk nul. Geschiedt dit met al de stelsels van punten in het lichaam, dan is de geheele waarde van 2 (Â«) gelijk nul, of:

De som van den arbeid der uitwendige krachten zal dus gelijk zijn aan de som van den arbeid van al de krachten, wanneer het lichaam gedurende die periode niet vervormd wordt, of alleen eene vervorming ondergaat, bij welke de deeltjes op dezelfde onderlinge afstanden blijven, cn alleen in andere richtingen ten opzichte van elkander komen, hetgeen b.v. het geval is bij eene reeks van achter elkander geplaatste deeltjes, die een volkomen onrekbaar buigzaam koord vormen.

Daar in den regel de vervorming van een lichaam, waarop krachten werken, zeer gering is (pag. 54), is ook de arbeid der inwendige krachten zeer gering; wij zullen dan ook in dit opzicht de lichamen als niet vervormbaar beschouwen en den arbeid der inwendige krachten buiten rekening laten.

beschouwingen aangaande de beweging van een lichaam speelt het product van de massa van hot lichaam on do twcodo macht van zijne snelheid eene grooto rol, men heeft het daarom afzonderlijk benoemd, en het den naam van levende kracht gegeven ').

Beschouwen wij een materiÃ«el punt, dat eene rechtlijnige beweging bezit, onder de werking van eene kracht K in do richting van de beweging; de massa van het materiÃ«ele punt zij m, zijne snelheid op een bepaald tijdstip en eenigen tijd t later v, dan is de versnelling a (form. XXVil) gegeven door:

Het laatste lid stelt het halve verschil voor van de lovende kracht bij het einde en het begin van de beweging, en dus is bij eene rechtlijnige beweging de volbrachte arbeid van eene kracht gelijk aan de helft van de daardoor veroorzaakte aanwinst in levende kracht.

Deze zelfde eigenschap gaat door, zoo do richting van de kracht niet samenvalt met de richting van de aanvangssnelheid, en dus de beweging parabolisch is (pag. 57). Zij MK (lig. 11G) de richting van de standvastige kracht K, MA de richting van de aanvankelijke snelheid tgt;â, m de massa van het punt en a zijne versnelling in do richting van de kracht, dan is de snelheid u, welke aan hot punt in B na een tijd t door de kracht K is medegedeeld,

Verder heeft het punt nog eene snelheid Vo volgons BD, evenwijdig aan MA., en dus is (pag. 17) de

') Door enkele schrijvers wordt het halve product vaÂ» de massa en de tweede macht van /ijue snelheid levende kracht genoemd.

werkelijke snelheid v de resulteerende van v_a cn u. Zoo de hoek van MK en MA, of BC en BD gelijk a is, wordt (form. VII);

De halve aanwinst in levende kracht is derhalve wederom gelijk aan den volbrachten arbeid. Wanneer de kracht in tegengestelde richting van de beweging werkt, en dus eene weerstandbiedende kracht is, is haar arbeid negatief; do levende kracht zal dan niet toe- maar afnemen, en het blijkt uit de medegedeelde formules, na omkeering van do tee-kens, dat de helft van het verlies gelijk is aan de grootte van den weerstandsarbeid; zoo men aan den arbeid 011 de aanwinst in levende kracht hunne behoorlijke teekens geeft, geldt ook in dit geval de formule (LXXXIV).

Men kan aantoonen dat deze betrekking juist blijft, wanneer de kracht voortdurend in richting of grootte verandert. Op eene dergelijke wijze, als bij de berekening van den weg bij eene veranderlijke beweging (pag. 8 en 13), bepaalt men eene benaderde waarde van den arbeid en van de halve toename in levende kracht, door den tijd in een groot aantal n deeltjes te verdoelen, en gedurende elk van deze de kracht standvastig te onderstellen. Deze beide benaderde waarden, welke aan elkander gelijk blijven, hoe groot n ook is, naderen onbepaald tot de juiste waarden, zoo n grooter en grooter wordt; de juiste waardon zijn derhalve ook aan elkander gelijk. Voor elke beweging van een punt onder de werking van krachten geldt dus do formule:

Indien op een lichaam of een samenstel van lichamen krachten werken, geldt voor elk van de materiÃ«ele punten, waaruit het samenstel van lichamen bestaat, do medegedeelde betrekking; neemt men nu do som van do winst in levende kracht en van den arbeid voor al de punten, en stelt men den volbrachten arbeid, 2 (A), gelijk aan de algebraÃ¯sche som, 2 (m), van den arbeid der uitwendige krachten vermeerderd met de algebraÃ¯sche som, 2 (Â«'), van den arbeid der inwendige krachten, dan is:

waarin het somteeken betrekking heeft op al de materiÃ«ele punten, waarop krachten werken. De waarden van A, u en i kunnen in deze uitdrukking zoowel positief als negatief zijn. Zoo het samenstel zijn vorm behoudt gedurende de periode, waarin de arbeid 2 (A) volbracht wordt, is 2 (Â«') gelijk nul, en dus:

Heeft de levende kracht van eon lichaam of van oen samenstel van lichamen op twee verschillende oogenblikken dezelfde waarde, dan is tusschen die beide tijdstippen:

Dit geval doet zich voor bij werktuigen, welke in eene eenparige of eene periodieke bewoging verkeeren; voortdurend, of wel na bepaalde perioden, is dan de som van don arbeid der verschillende krachten gelijk nul. Men kan deze krachten wederom verdeelcn in beweogkrachton, zooals do spanning van don stoom, het gewicht van neerstortend water, de kracht van menschen en dieren enz., en in weerstandskrachten, zooals het gewicht van lasten, welke opgeheven moeten worden, de tegenstand van lichamen, die vervormd moeten worden, de wrijving enz. De arbeid van de eerste is positief, van de tweede negatief, en opdat hun som gelijk nul zij, moet, als men do tee kens niet in aanmerking noemt:

Arbeid der in- en uitwendige krachten bij werktuigen, waarmede lichamen vervormd worden, zooals ptelmachines, schaafbanken, weefgetouwen, enz.

Arbeid van de beweegkrachten en van de weerstandskrachten bij rijtuigen, spoortreinen, vaartuigen, enz., in de verschillende toestanden van beweging. Vang- en remtoes tellen.

Toepassing van den arbeid der centrale krachten op de bepaling van de snelheid van de aarde in verschillende punten van hare baan om de zon.

e. Ã¼enuoid van arbeid. Paardekracat. â Als eenheid wordt die arbeid aangenomen, bij ivelken de verplaatsing in de richting van de kracht gelijk is aan de eenheid van lengte, en de kracht gelijk is aan

de eenheid van kracht. In den regel gebruikt men daarbij den meter en de statische krachtseenheid (pag. GO) van een kilogram, en noemt dan do arbeidseenheid kilogrammeter; in andere landen worden somtijds andere eenheden gekozen, b.v. hot pond voor do krachten, de voet voor do lengten, waaruit het voetpond als arbeidseenheid wordt afgeleid. Men kan in die beide gevallen de arbeidseenheid ook bepalen als den arbeid van eone bewegende kracht, die oen kilogram of een pond met eene eenparige snelheid een meter of een voet hoog oplicht.

Hoewel de begrippen van arbeid en van tijd van elkander onafhankelijk zijn, kan men ze evenwel te zamen verbinden; uit die vereeniging ontstaat eene nieuwe grootheid, die men dikwijls gebruikt om de werking van stoom- en andere werktuigen te meten, namelijk de paardekracht, welke de uitwerking van eene kracht voorstelt, waardoor per secunde een arbeid van 75 kiloyrammeters tvordt verricht.

Men meet den arbeid van werktuigen, waarbij de beweegkracht eene as, war kas, rondvoert, die op hare beurt de beweging op de andere werktuigdeelen overbrengt, het eenvoudigst door de vany van Pimnj en de andere in beginsel hiermede overeenstemmende vavyd'ninnotueters^ bij welke de kracht aan den omtrek van de as, bij den normalen gang van het werktuig, wordt gemeten. Het product van die kracht en den weg, door een punt van den omtrek der as in een bepaalden tijd afgelegd, is dan gelijk aan den arbeid van de kracht aan den omtrek van de werkas.

Bij stoommachines teekent de indicator van ll'uii op eene papierstrook eene kromlijnige figuur, Ã¼iayraw, waarvan de hoogte der verscliillcnde punten boven eene rechte lijn de stooinspanning op de verschillende oogenblikken voorstelt; de afstanden dier punten, evenwijdig aan dezelfde rechte lijn gemeten, zijn evenredig met den weg, welken de zuiger tusschen die beide spanningen heeft afgelegd. De inhoud van die figuur is dan onmiddellijk evenredig met den arbeid door de spanning van den stoom uitgeoefend.

a. Bepaling van arbeidsvermogen. â Arbeidsvermogen is het vermogen, dat een lichaam bezit om bij zijne beweging weerstandsarbeid te verrichten. Zijne grootte wordt uitgedrukt door den arbeid, die door liet lichaam volbracht kan worden, en dus ook in arbeidseenheden. Het kan in twee verschillende vormen voorkomen als arbeidsvermogen van beweging en als arbeidsvermogen van plaats.

b. Arbeidavermogen van beweging. â Onderstellen wij dat op een materieel punt, hetwelk met eene eenparige snelheid voortgaat, in eenig punt van do baan eene kracht wordt uitgeoefend, tegengesteld aan de bewegingsrichting, dan zal het aangrijpingspunt van die kracht verplaatst worden, en een weerstandsarbeid worden volbracht, zooals b.v. het geval is indien een voortgeschoten kogel een zoogenaamden balistischen slinger treft; dat punt bezit dus ten gevolge van zijne be-

weging arbeidsvermogen, hetwelk in dit geval arbeidsvermogen van be-weging of somtijds actuÃ«ele energie wordt genoemd.

De beweging wordt gedurende dien arbeid vertraagd, en zal eindelijk, zoo de kracht lang genoog werkt, geheel ophouden. Do grootte van den weerstandsarbeid, welke volbracht is wanneer de snelheid geheel is uitgeput, of het geheele arbeidsvermogen van beweging is, form. (LXXXIV), gelijk aan de helft van de levende kracht, welke het punt aanvankelijk bezat, en indien de snelheid niet gelijk nul is geworden, maar alleen is verminderd, wordt het verlies van arbeidsvermogen van beweging voorgesteld door hot halve verlies van levende kracht dus:

Zoo de massa van g kilogrammen als eenheid wordt aangenomen (pag. Cl), en v in meters is uitgedrukt, geeft de getallenwaarde van het laatste lid het aantal kilogrammeters, waarmede het arbeidsvermogen van beweging verminderd is.

Indien eene kracht werkt in de richting der beweging, zal de snelheid grooter worden en het arbeidsvermogen van beweging toenemen. In form. (LXXXVIII) wordt dan het tweede lid negatief en na omkeering der teekens kan men haar aldus schrijven:

c. Arbeidsvermogen van plaats. â Onderstellen wij dat een materieel punt zoo geplaatst is, dat het zich ton govulge van eeno kracht bewegen kan, b.v. ton gevolge van de zwaartekracht, indien het buiten het middelpunt van de aarde ligt, dan zullen, zoo alleen die kracht werkt, de snelheid en het arbeidsvermogen van bewoging toenemen. Laat men echter eene tweede kracht, gelijk en tegengesteld aan de eerste, op het punt aangrijpen, dan blijft de beweging eenparig, hot arbeidsvermogen van beweging verandert niet, maar er wordt toch weerstandsarbeid volbracht, daar hot aangrijpingspunt van de tweede kracht tegengesteld aan de richting van die kracht verplaatst wordt; een dalend gewicht, dat door oen koord over eene schijf een ander gelijk gewicht optrekt, is hiervan een voorbeeld. Het materiÃ«ele punt bezit dus ook in dit geval arbeidsvermogen onder een anderen vorm dan onder is aangegeven, men noemt het arbeidsvermogen van plaats of potentiÃ«elc energie.

Behalve de weerstandsarbeid wordt in het zoo even onderstelde geval ook een positieve arbeid volbracht, en wel door de bewegende kracht, die op het punt werkt; deze arbeid zal, zoo men niet op het toeken let, in grootte aan den weerstandsarbeid gelijk zijn.

Indien hot materiÃ«ele punt zich in de richting der bewegende kracht zoover bewogen heeft als mogelijk is, zal zijn arbeidsvermogen van plaats geheel vernietigd zijn. Uit een en ander volgt dat het totale arbeidsvermogen van plaats, gemeten door den weerstandsarbeid, die zon-

der verandering van snelheid kan volbracht worden, gelijk is aan den gehee-len positieven arbeid, wolken de bewegende kracht op het punt werkende kan volbrengen. Zoo zal het totale arbeidsvermogen van een lichaam, buiten het middelpunt der aarde gelegen, dat door dat middelpunt wordt aangetrokken, gelijk zijn aan den arbeid van de aantrekkingskracht gedurende de beweging van het lichaam van de plaats, die het eerst innam, tot in het middelpunt der aarde; aldaar zal het lichaam geen arbeidsvermogen van plaats met betrekking tot die aantrekkingskracht meer bezitten.

Is de weg, waarover het punt verplaatst wordt in de richting dei-bewegende kracht, niet zoo groot dat zijn geheele arbeidsvermogen is uitgeput, dan zal dit toch verminderd zijn, en het is gemakkelijk in te zien dat dan aan de onderstaande vergelijking voldaan wordt;

Deze betrekking evenals die, welke in form. (LXXXVIII) is uitgedrukt, blijft bestaan zoo men in plaats van een materieel punt een lichaam of een samenstel van lichamen beschouwt, waarvan al de samenstellende deelen in dezelfde omstandigheden verkeeren als het materiÃ«ele punt, dat wij beschouwden.

Nederdalend gewicht voor het bewegen van uurwerken. Gewicht van het water in de cellen als drijfkracht bij de bovenslag-raderen, gespannen veercn in horloges. Magnetische of electrische deeltjes, die worden aangetrokken en bij hunne beweging dichter bij het aantrekkingscentrum komen.

De grootte van het geheele arbeidsvermogen van plaats van een lichaam, met betrekking tot eenige kracht, is dikwijls 7.eer moeilijk a priori te bepalen, daar men in vele gevallen niet weet, hoe de kracht met den afstand verandert, b.v. bij moleculaire krachten; het kan dan proefondervindelijk bepaald worden uit don weerstandsarbeid, die verricht kan worden.

d. Behoud van arbeidsvermogen. â Wij onderstelden, onder b en c, dat een lichaam of een samenstel van lichamen arbeid verrichtte alleen ten gevolge van zijn arbeidsvermogen onder een der beide opgenoemde vormen, terwijl het arbeidsvermogen onder den anderen vorm onveranderd bleef. Gemakkelijk kan men echter verder gaan, en den arbeid bepalen, die verricht wordt, zoo het arbeidsvermogen onder beide vormen verandert; wij maken daartoe gebruik van form. (LXXXVI), welke leert dat de verrichte arbeid gelijk is aan de halve aanwinst in levende kracht. Ver-deelen wij de krachten in bewegende en weerstandbiedende, dan kunnen wij den totalen arbeid gelijk stellen aan den arbeid der bewegende krachten verminderd met dien der weerstandskrachten, en de formule gaat over in:

of wel, zoo men de beide termen van het eerste lid der vergelijking vervangt door uitdrukkingen, welke daaraan volgens form. (LXXXVIII) en (LXXXIX) gelijk zijn:

Vorl. v. arbeidsverm. v. pl. -(- verl.v. arbeidsverm.v. bew. = Volbr.weorst. arb.

Voegen wij de beide vormen van arbeidsvermogen te zamen, en noemen wij hunne som eenvoudig arbeidsvermogen, dan is:

Hot aandeel, dat door de beide vormen van arbeidsvermogen in dit verlies wordt gedragen, kan alle waarden hebben en is afhankelijk van de grootte der weerstandbiedende krachten. In do uitdrukking -J S (m I)Â»² â m v~) kan do waarde {in Vo- â gt;Â» v~) voor een of meer der samenstellende deelon negatief, en voor deze dus (zie pag. 149) het arbeidsvermogen van beweging vermeerderd in stede van verminderd zijn; dit doet aan do juistheid dor forinule niets af. Ja het geheele verlies van arbeidsvermogen van bewoging zou negatief kunnen zijn en grooter dan hot verlies van arbeidsvermogen van plaats, waardoor liet eerste lid van (XC) negatief wordt. Dit zou bewijzen, dat wat men in het tweede lid als weerstandsarbeid had beschouwd, in werkelijkheid een positieve arbeid van beweegkrachten was.

Uit de wijze, waarop wij tot form. (XC) zijn gekomen, blijkt dat bij hot opmaken van de uitdrukkingen, welke er in voorkomen, het arbeidsvermogen van plaats moet bepaald worden ton opzichte van al de bewegende krachten, en de volbrachte weerstandsarbeid ten opzichte van al de weerstandbiedende krachten, zoowel van die, welke van buiten af op het stelsel werken, als van die, welke door de doelen van het stelsel op elkander worden uitgeoefend, zooals b.v. do wrijving, terwijl men het verloren arbeidsvermogen van beweging moet berekenen door de som van het arbeidsvermogen van beweging, hetwelk al de deelon van het stelsel bezitten bij het begin van de periode, die men beschouwt, to verminderen met de som van do overeenkomstige grootheden bij het einde van die periode. Zoo zal men b.v. bij het bepalen van den arbeid volbracht door een heiblok of een zwaren hamer, die aan do voorwerpen, waarop zij neervallen, krachtige trillingen mededeelen, ook in de beschouwing moeton opnemen don grond en de overige lichamen, waarin die trillingen worden voortgeplant, daar hunne levende kracht door die trillende beweging wordt veranderd.

Evenals bij de vroeger behandelde bewegingswetten moeten wij ook aannemen dat de lichamen, die in het stelsel voorkomen, niet vervormbaar zijn, of zoo zij in werkelijkheid vervormd worden, moet men de kracht, die zich tegen die vervorming verzet, als weerstand, en den arbeid voor die vervorming noodig als weerstandsarbeid in rekening brengen.

Gaan wij ter toelichting de betrekking na tusschen den arbeid en het arbeidsvermogen bij een waterrad, dat een windas rondvoert, waardoor oen last uit eene mijnschacht wordt naar omhoog bewogen. Wij kunnen in dit stelsel opnemen: 1Â°. de hoeveelheid water, welke bij het

volbrengen van den arbeid van liet hooger gelegen niveau op het rad stort, en op een lager niveau afvloeit, 2Â°. hot rad mot windas en koord, 3Â°. don last, welke gelicht wordt. Hot gewicht van het water is dan de bewegende kracht, en het verloren arbeidsvermogen van plaats is golijk aan het product van dat gewicht en het hoogteverschil tusschon de beide waterspiegels; de weerstandskrachten bestaan in de wrijving en het gewicht van den last, en haren arbeid vindt men door de grootte van de wrijving tusschon de verschillende deelen met den weg van het aangrijpingspunt dier kracht, en het gewicht van don last met zij no verticale verheffing te vermenigvuldigen. Het verlies van arbeidsvermogen van beweging wordt bepaald door de halve levende kracht van het aanstroomendo water, van hot rad, van het windas en van don last bij het begin van de tijdsruimte, waarin de arbeid volbracht wordt, te verminderen met do overeenkomstige grootheden bij het einde van dien tijd. Het kan gebeuren dat het verlies in levende kracht van enkele der samenstellende deolon of van het geheel negatief is; dit doet echter niets ter zake, indien men, bij het opmaken van het verschil, slechts op do teekons let.

Bij de bepaling van den arbeid, welke door oen stelsel verricht wordt, is het niet noodig al do lichamen, welke door de krachten van dat stelsel in beweging geraken, in de beschouwing op te nemen, indien mon slechts behoorlijk do krachten in rekening brengt, welke door die lichamen op de overige deelen van hot samenstel worden uitgeoefend. Zoo kan men in het medegedeelde voorbeeld de beweging van don last buiten beschouwing laten en hot stelsel beperken tot liet water en hot rad mot windas on koord; men moot dan echter bij de behandeling van hot vraagstuk eene trekkende kracht aan het uiteinde van dat koord, golijk aan do spanning daarvan, invoeren, Onder den weerstands-arbeid wordt dan ook de arbeid van die kracht opgenomen; de lovende kracht van den last komt in dit geval niet meer onmiddellijk in do uitdrukking van hot arbeidsvermogen van bewoging voor. Men moet er evenwel op letton dat, zoo de beweging van den last niet eenparig is, de spanning van hot koord niet gelijk is aan het gewicht van don last.

Do volbrachte weerstandsarbeid, welke in do formule (XC) voorkomt, kan in verschillende gevallen nog op eene andore wijze beschouwd worden. Zoo toch de weerstandbiedende krachten aantrokkingen of afstootingen zijn, waarvan do intensiteit alleen afhangt van den ouderlingen afstand der lichamen, zooals de algemeene aantrekkingskracht, of do magnetische en electrische aantrekking en afstooting, zal, bij eene verplaatsing van het materiÃ«ele punt tegengesteld aan de richting dei-kracht, zijn arbeidsvermogen van plaats mot betrekking tot die kracht vergroot worden, daar het punt, wanneer hot zich onder de werking van do kracht over denzefden weg terugbeweegt, een weerstand sarbeid kan volbrengen. Het is tevens duidelijk dat, zoo de snelheid dor be-

wegende deelen niet verandert, do grootte van het gewonnen arbeidsvermogen van plaats gelijk is aan don volbrachten weerstandsarbeid.

Voor krachten tot do genoemde kategorie behoorende mag dus for-nmle (XC) aldus gewijzigd worden:

Hieruit volgt, dat bij do onderlinge verplaatsingen van een samenstel van lichamen of werktuigen, bij welke alleen do bovengenoemde krachten voorkomen, het arbeidsvermogen van het ecne deel zal toenemen, van het andere deel zal afnemen, doch ten slotte de som van hot arbeidsvermogen van al de doelen te zamen standvastig zal blijven.

Dit belangrijke gevolg van do medegedeelde mechanische beginselen heeft eene veel grootere bcteekenis verkregen, sedert men uit de waarnemingen heeft afgeleid dat het ook geldig is, waar andere krachten dan do bovengenoemde in het spel zijn; dit is geheel in overeenstemming mot do algemeen aangenomen beschouwingswijze aangaande de verschillende natuurverschijnsels, namelijk dat deze alle gevolgen zijn van verplaatsingen of bewegingen veroorzaakt door aantrekkende of af-stootende krachten, die Ã³f, zooals wij bij de algemecne aantrekkingskracht, de electriciteit en hot magnetisme onderstellen, alleen bepaald worden door de op elkander werkende lichamen en hunne onderlinge afstanden, of eene eonigszins daarvan afwijkende wet volgen, die evenwel insgelijks tot het bovenvermelde gevolg leidt. Wij mogen dus als resultaat van waarneming en theoretische beschouwing met eene bijna aan zekerheid grenzende waarschijnlijkheid besluiten, dat in een stelsel van lichamen, ivelke ook de veranderingen zijn, die het ondergaat, mits slechts alle lichamen, tot welke het in betrekking staat, in het stelsel zijn opgenomen, het eenmaal voorhanden zijnde arbeidsvermogen standvastig zal blijven. Dit beginsel wordt het behoud van arbeidsvermogen genoemd.

Beschouwen wij de beteekenis van dit beginsel in het dikwijls voorkomende geval van een zich mot wrijving bewegend werktuig. Wordt hierbij de wrijving alleen beschouwd als eene weerstand biedende kracht, dan zal wel volgons form. (XC) het verlies van arbeidsvermogen gelijk zijn aan den volbrachten weerstandsarbeid, maar het deel van dien weerstandsarbeid, noodig om de wrijving to overwinnen, mag dan geenszins als een winst van arbeidsvermogen worden aangemerkt; eene zekere hoeveelheid arbeidsvermogen is dan onherroepelijk verloren go-gaan. Bezien wij evenwel de zaak nader, dan blijkt het dat de over elkander wrijvende lichamen warmer zijn geworden, en dat de aldus opgewekte warmtehoeveelheid toeneemt met den weerstandsarbeid, bij het overwinnen van do wrijving volbracht. Bedenken wij verder dat de warmte ook een vorm van arbeidsvermogen is, getuige de stoommachines, dan trekken wij al dadelijk hot besluit, dat althans een deel van

liet arbeidsvermogen, dat noodig is geweest om den tegenstand der wrijving te overwinnen, in een anderen vorm is teruggewonnen. Volbrengt men eindelijk nauwkeurige proefnemingen, zoowel ter bepaling van de warmte door de wrijving opgewekt, als ook omgekeerd ter bepaling van den arbeid, welke door eene zekere warmtehoeveelhoid kan volbracht worden, dan blijkt dat, zoo bij de wrijving geene afslijting en geene andere werkingen, doch alleen opwekking van warmte plaats vindt, deze warmte eene winst van arbeidsvermogen voorstelt, volkomen gelijk aan het verlies dat men door de wrijving meende geleden te hebben.

Do toepassing van het beginsel van liet behoud van arbeidsvermogen levert het groote voordeel op, dat men uit den aanvangs- en eindtoestand van een samenstel van lichamen of van werktuigen onmiddellijk betrekkingen kan afleiden tusschen de krachten, de snelheid der deelen en den volbrachten arbeid, zonder dat het noodig is te weten, op welke wijze de bewegingen door de krachten veranderd zijn, of arbeid verricht is; hieromtrent leert het medegedeelde beginsel ons niets.

Onmogelijkheid vun het perpetuum mobile, afgeleid uit form. (LXXXVI). Neiging van het arbeidsvermogen van plaats om in arbeidsvermogen van beweging over te gaan.

TOEPASSISG VAN DE LEER VAN HET ARBEIDSVERMOGEN BIJ I)E BEPALING VAN HET EVENWICHT VAN LICHAMEN.

a. Beginsel der virtueele snelheden. â Zoo een samenstel van lichamen in evenwicht is onder de werking van eenige krachten, en aan het geheel eene beweging wordt medegedeeld, waardoor de samenstellende deelen verplaatsingen ondergaan, welke door de verschillende verbindingen worden toegelaten, en tevens zoo klein zijn, dat do krach-ton niet veranderd worden, moet die beweging eenparig zijn. De lovende kracht van het stelsel verandert niet, en volgens form. (LXXXVI) moet in dit geval de som van den volbrachten arbeid gelijk nul zijn. Daalde arbeid der inwendige krachten bij deze verplaatsing altijd gelijk nul is, behoeft men alleen don arbeid der uitwendige krachten in rekening te brengen.

Men kan ook de juistheid van het omgekeerde van deze stolling aan-toonen, hetwelk leert dat een stelsel van lichamen in evenwicht zal zijn, wanneer de geheele arbeid nul is, welke volbracht wordt bij de kleine verplaatsingen van de verschillende deelen, zoo deze verplaatsingen niet in strijd zijn met de wijze waarop de lichamen onderling verbonden zijn.

De projection van de zeer kleine verplaatsingen van de aangrijpingspunten der krachten op de richtingen der krachten worden gemeenlijk

virtueele verplaatsingen of snelheden genoemd, en de beide medegedeelde stellingen luiden dan aldus: zuo in een stelsel van lichamen evenwicht bestaat, is de som van de producten der krachten en de virtueele verplaatsingen nul, en zoo die som nul is, is het stelsel in evenwicht.

Bij de bepaling van do ovenwichtsvoorwaarden, kan dit grondbeginsel der virtueele snelheden uitgebreiden dienst bewijzen. Onderstel dat men b.v. bij een werktuig, uit eon groot aantal doelen samengesteld, moot nagaan, welke last of weerstand er mede overwonnen kan worden. Gebruik makende van hetgeen in liet Vierde Hoofdstuk is medegedeeld, zou men dan al de krachten moeten bepalen, die van het eene deel van het werktuig op het andere worden overgebracht, en zoo ten slotte de grootte van den last vinden; bedient men zich echter van het beginsel dor virtueele snelheden, dan meet men eenvoudig de verplaatsingen, welke de aangrijpingspunten van den last en de krachten bij eene zeer kleine beweging van het werktuig ondergaan, en berekent dan hieruit, zonder zich vorder met de samenstelling van hot werktuig in te laten, den last, zoo do krachten gegeven zijn.

Daar dikwijls aan do doelen van een samenstel van lichamen verschillende kleine verplaatsingen in onderscheidene richtingen kunnen worden medegedeeld, kan men ze altijd zoo kiezen, dat door de vergelijkingen, welke men er uit afleidt, al de onbekende grootheden worden bepaald, die in de evonwichtsvoorwaarden voorkomen.

b. Toepassing van het beginsel der virtueele snelheden tai,i de bepaling van het evenwicht van eenige werktuigen. â a. Bascule of hrugbalans. Deze balans (fig. 117), welke dient voor hot

wegen van groote voorwerpen, bestaat uit een samenstel van drie hef-boomen: AC, DE en FH. Bij A wordt de schaal mot de gewichten opgehangen, bij S is het steunpunt van don hefboom AC, wolko door stangen BD en CF beweeglijk verbonden is aan de hefboomen DE en FH; DE, do brug, waarop de goederen geplaatst worden, steunt in B op den hefboom FH, die een steunpunt in H heeft.

Ton einde de betrekking te bepalen tusschen Q, het gewicht der goederen, en P, het gewicht in de schaal, als do balans in evenwicht is.

geven wij den hefboom AC eeno zeer kleine beweging om S, waardoor A en P zullen dalen, D, F en Q zullen rijzen. Zij de daling van P gelijk a;, de rijzing van Q gelijk //, dan is volgens hot beginsel der virtueele snelheden:

Een eerste eisch, waaraan voldaan moet worden, is dat P onafhankelijk zij van de plaats der goederen op de brug, waaruit volgt, dat bij eene bepaalde daling x, de rijzing y van alle deelen van de brug, en dus ook van D en E, even groot moet zijn; DE blijft dan evenwijdig aan zich zelve. Nu is:

Bij de constructie van de balans, zorgt men dat voldaan wordt aan de evenredigheid (XCI); het gewicht Q van de voorworpen wordt dan

h. Koord zonder eind. (Zie pag. 30). Onderstel dat aan de beide schijven, waarover het koord is geslagen, concentriek twee cilinders bevestigd zijn, aan de omtrekken waarvan eene kracht K en een last L werken; de stralen van do schijf en van den cilinder, waaraan K werkt, zijn R en r, de stralen van de andere schijf en den anderen cilinder R' on r'. Geven wij aan de schijven eeno kleine wenteling, dan zullen de lineaire verplaatsingen s van twee punten aan de omtrekken van beide schijven even groot moeten zijn, wanneer ten minste het koord niet langs de schijven glijdt De verplaatsingen van de aangrijpingspunten van kracht en last zijn dan r r'

Deze betrekking is, zoo men de wrijving van de assen in de pannen buiten rekening laat, onafhankelijk van de spanningen van het koord; opdat het koord echter, zoo als wij onderstelden, niet langs de schijven

glijde, moeten die spanningen eene bepaalde waarde overschrijden. Zij S de spanning van hot deel van hot koord, dat door de schijf, waaraan de kracht werkt, wordt opgewonden, S' de spanning van het andere deel, dan moet, volgons de loer der momenten, of ook volgons het beginsel der virtueele snelheden, toegepast op de cone helft van het stelsel:

Hoe grooter a is, des te kleiner kan S' genomen worden; in fig, 35, waar de koorden elkander kruisen, zal dus, bij overigens gelijke omstandigheden, S' geringer kunnen zijn dan in fig. 34, Zoo men de wrijving van de assen in de pannen in rekening brengt, zal K niet meer onafhankelijk zijn van de spanningen,

c. Spaatische takel met windas. Een gewoon takeltuig, waarvan het vaste blok is bevestigd aan het eene einde van een koord, dat over eene vaste schijf loopt,

en met zijn andere uiteinde bevestigd is aan het losse blok, heet een Spaansche takel. In flg. 118 hebben wij ondersteld dat het koord, waaraan de kracht moet werken, wordt opgewonden op een windas,

dat door een handvat, werkende op een rondsel B en een rad C, wordt rondbe-wogen. Zij de lengte van hot handvat gelijk l, de straal van het rondsel r, van het rad R, van den cilinder, waarop hot koord wordt gewonden, R', en laat liet aantal evenwijdige koorden tusschen het vaste en het losse blok n (in de figuur drie) zijn. Geven wij aan het werktuig eene kleine beweging, waardoor de last L naar omhoog wordt getrokken, en wel Fig, 118.

dan zal door middel van het koord, dat over de schijf F loopencle, D met E verbindt, E gedaald en D gerezen zijn, en zullen beide een weg â¢i p hebben afgelegd. Daar tusschen D en E m koorden gespannen zijn, zal (pag. 3G) een punt van liet koord, dat van het blok E naar het windas gaat, met betrekking tot E over een afstand np zijn voortbewogen, en daar E zelf in die richting reeds den weg ), p hoeft afgelegd, is de geheele beweging van het koord np -f -i P, terwijl de last i p rijst. Dit gedeelte n p ), p van het koord moet op den cilinder van het windas worden opgewonden, en hierbij moot het uiteinde A van het handvat, waaraan de kracht K loodrecht werkt, een zekeren boog s doorloopen. Uit het medegedeelde omtrent de betrekkingen tusschen de bewegingen bij raderen en bij een windas (pag. 25 en 30) volgt:

Bij eene zeer kleine waarde van p en s, mogen wij s als een recht lijntje aanmerken, en volgens het beginsel der virtueele snelheden is dan:

d. Schroef. Onderstellen wij dat eene schroef met rechthoekigen draad, waarop in de richting van de as een last L werkt, in eene vaste moer kan worden rondgedraaid door twee tegengestelde krachten elk gelijk

K, welke, in een vlak loodrecht op de as, op gelijke afstanden l van die as verwijderd zijn. Deze twee krachten vormen dan een koppel, waarvan de arm 2 Z, do kracht K is. De schroef zal met den onderkant van den schroefdraad tegen de moer gedrukt worden, en onderstellen wij dat die drukkingen zoo worden uitgeoefend, dat do resultanten er van verdeeld zijn langs de schroeflijn, die gelegen is in het onderste schroefvlak, midden tusschen de beide lijnen, welke dat vlak begrenzen, dan zal het voor de wrijving hetzelfde zijn, als of de geheele drukking in een of twee punten van die lijn werd uitgeoefend. Do straal van den cilinder, waarop die gemiddelde schroeflijn ligt, zij r, de spoed /t, de hollingshoek a.

Bepalen wij nu de grootte van den normalen druk, en trachten wij daartoe al de krachten over te brengen naar de gemiddelde schroeflijn DCB, waarin die druk werkt. Voor de bewegende krachten { K is dit zeer eenvoudig; zij vormen toch gezamenlijk een koppel dat K l tot moment

heeft en dit kan vervangen worden door een ander, waarvan de krachten rakende zijn aan den cilinder, waarop de gemiddelde schroeflijn ligt, terwijl eene van die krachten door oen punt B dier lijn gaat (fig. 119);

J- h tot arm heeft, naar liet punt D der schroeflijn over. Daar het moment van dit laatste koppel klein is, en de drukking slechts weinig zal veranderen, kunnen wij het verder buiten beschouwing laten; wij hebben dus nu het koppel dor beweegkrachten ^ K teruggebracht tot twee krachten, loodrecht op de as, die in B en D hare aangrijpingspunten hebben. Ontbinden wij ze in twee richtingen, eene rakende aan de schroeflijn en eene loodrecht er op, dan verkrijgt men twee normale drukkingen N, gegeven door:

Do last L wordt ook gemakkelijk naar een punt der gemiddelde schroeflijn overgebracht, door hem te ontbinden in twee gelijke en evenwijdige krachten | L, door B on D gaande, en zoo men deze verder ontbindt, verkrijgt men voor de normale drukking N':

De geheele normale druk in de beide punten is dus N -j- N', en de wrijving in B en D is;

Ondorstollon wij dat aan do schroef eeno zeer kleine verplaatsing wordt medegedeeld iu do richting der beweegkrachten, en zij de lengte van den cirkelboog, welken het punt B der schroeflijn doorloopt, in de richting van de kracht, gelijk sr, dan is de weg, door de aangrijpingspunten van elk der krachten { K afgelegd, l s, de rijzing van den last

Zoo men de schroef in tegengestelden zin wil laten ronddraaien, waardoor L volgens zijne eigene richting verplaatst wordt, zal K eene waarde moeten hebben, welke men vindt, door in de voorgaande formules het teeken van ^ om te keoren, dus:

Zoo lang a u. is, moet K in dezelfde richting werken, als in het vorige geval; die kracht zal dan beletten dat de schroef door do werking van L eene versnelde beweging verkrijgt; is a gelijk y., dan blijft, zonder het aanwenden van eenige kracht, de last, hoe groot hij ook zij, altijd in evenwicht; is a kleiner dan Â«, hetgeen bijna altijd het geval is, dan moet behalve de last nog eene kracht in de richting van de verplaatsing werken, om de schroef terug te doen draaien.

Vergelijking van de schroef met de wig. Onderscheid tusschen schroeven voor de bevestiging en voor de beweging van voorwerpen. Invloed van stooten en trillingen op het terugdraaien der schroeven.

EENIOE OEVALLEX VAN BEWEOINO VAN 5IATERIEELE PUNTEN EN LICHAMEN ONDER DE WERKING VAN KRACHTEN.

a. Beweging door eene standvastige kracht. â Wanneer eono standvastige kracht op een materieel punt werkt, en do aanvankelijke snelheid Ã¶f gelijk nul is, of niet de richting van de kracht samenvalt, is de beweging rechtlijnig en eenparig veranderlijk (pag. 57); maakt de aanvankelijke snelheid een hoek met de richting van de kracht, dan vindt de beweging plaats in eene parabool (pag. 57). De wetten van beide bewegingen zijn vroeger (pag. 5 en volg. cn pag. 18 en volg.) behandeld.

b. Beweging door eene veranderlijke kracht. â Wanneer do kracht, die op het punt werkt, voortdurend verandert, verandert ook de versnelling, welke zij mededeelt, docli daar de uitwerking van eene kracht onafhankelijk is van de beweging, welke liet punt bezit (3'^,egrondbeginsel pag. 53), zal de versnelling op eenig oogonblik altijd worden voorgesteld door het quotient van de grootte dor kracht op dat oogenblik en de massa; het volgende oogenblik heeft de versnelling in het algemeen eene andere waarde, zoodat do beweging niet eenparig veranderlijk is. Men kan er eene benaderde voorstelling van verkrijgen, dooiden tijd in een groot aantal gelijke doeltjes te verdoelen, en te onderstellen dat gedurende elk van deze de kracht standvastig is; door sommatie kan men dan benaderde waardon voor den afgelogden weg en de snelheid bekomen. Laat men het aantal deeltjes onbepaald toe-

nemen, dan zullen deze waarden onbepaald tot de juiste naderen. Somtijds kan men de bezwaren, aan deze handelwijze verbonden, ontgaan door gebruik te maken van de betrekking tusschen levende kracht en arbeid, en dus de snelheid bepalen, die bereikt wordt, nadat een zeker deel van den weg is afgelegd; de betrekking tusschen de snelheid en den tijd, of don weg en den tijd wordt hierdoor echter niet gevonden.

Het hier medegedeelde geldt altijd, welke ook de krachten zijn (waarvan dan de resultante in rekening wordt gebracht), die op het punt werken; even als bij de bepaling van de evenwiehtsvoorwaarden van krachten, willen wij echter eenige gevallen afzonderlijk behandelen, bij welke de krachten geheel of gedeeltelijk door drukkingen of door spanningen van koorden worden te weeg gebracht.

BEWEQINO VAN EEN PUNT, DAT DOOR EEN OPPERVLAK OF EEN KOORD GEDWONGEN WORDT EENE RECHTE OF CIRKELVORMIGE BAAN TE BESCHRIJVEN.

Zoo een punt bij zijne beweging drukt tegen een oppervlak, of bevestigd is aan een koord, werkt er op dat punt behalve de overige krachten nog eenc tegendrukking van het vlak, of eene trekkende kracht van het koord, en men moet deze met de overige krachten samenstellen, om uit de resultante do beweging van het punt op te maken.

Men zou zeer verkeerd handelen, zoo men do reactie van het vlak of do spanning van hot koord altijd gelijk stelde aan de waarden, welke deze grootheden bezitten in den toestand van rust. In het algemeen toch zullen zij daarvan verschillen, en telkens moet eerst bepaald worden hoe groot do reactie of de spanning is bij do bijzondere bewoging, die men beschouwt.

Neemt men den vorm van de baan als geheel bekend aan, en wil men alleen de snelheid in eenig punt, of den tijd, waarin een deel van don weg doorloopon wordt, bepalen, dan behoeft men de normale krachten niet in rekening te brengen, daar haar arbeid altijd nul is, en de levende kracht of de snelheid er niet door veranderd wordt (pag. 143). Zoo men de wrijving verwaarloost, moot men dus in dit geval eenvoudig de krachten ontbinden in de richting van den weg en loodrecht daarop, en alleen de eerste ontbondene in de verdere berekening opnemen. Wordt de wrijving niet verwaarloosd, dan moeten natuurlijk de normale krachten, waardoor zij bepaald wordt, bekend zijn.

a. Beweging van een punt langs een plat vlak â Wij onderstellen dat op het punt, hetwelk zich in eene rechte lijn langs hot vlak beweegt, behalve de tegendrukking van hot vlak, eono standvastige

kracht K werkt, welke door de samenstelling van verscliillendo andere kan verkregen zijn. De resultante van K en van die tegendrukking moot in dit goval voortdurend gericht zijn volgens do lijn, waarin do beweging plaats vindt; en wanneer men K en de tegendrukking ontbindt volgons de bewegingsrichting en loodrecht daarop, moet derhalve, even als in den toestand van rust, de normaal ontbondcne van de reactie gelijk en tegengesteld zijn aan de normaal ontbondcne van do kracht, welke op het punt werkt. Zoo er geone wrijving bestaat tusschen het bewegende punt on het vlak, oefent dit laatste geen tegenstand uit in de richting van de beweging; zoo er echter wol wrijving aanwezig is, zal de tegenstand in do richting van do beweging gelijk zijn aan do gewone waarde van do wrijving (normale druk vermenigvuldigd met den wrijvingscoÃ«fficiÃ«nt). Bij de beweging van een punt onder de werking van krachten, die elkander niet in ovenwicht houden, wordt dus de tegendrukking, met of zonder wrijving, evonzoo berekend als in den evenwichtstoestand. Uit hot bovenstaande blijkt dat do resultante van de reactie en van K, waardoor tie beweging bepaald wordt, gelijk is aan de ontbondcne van K volgens hot vlak verminderd mot de wrijving.

Passen wij deze beschouwing toe op de beweging van twee materiÃ«ele punten, welke door een koord, over eene schijf loopend, aan elkander verbonden zijn, en zich mot wrijving over twee hellende vlakken kunnen bewegen (lig. 120); behalve de reactie van de vlakken en de spanning

van het koord, werkt alleen de zwaartekracht op do beide deeltjes, terwijl de wrijving van do as van het schijfje, waarover het koord loopt, buiten rekening wordt gelaten. Zij CDE = a, ^ CED = het gewicht van

De beweging kan op verscliillendo wijzen bepaald worden; wij zullen het doen: 1Â°. door eenvoudig al de krachten te beschouwen, die op elk punt werken, en uit hare resultante de beweging van. dat punt af te leiden, 2Â°. door hot beginsel van levende kracht cn arbeid op het geheele samenstel toe te passen.

1Â°. Op elk der beide materiÃ«ele punten werken de zwaartekracht, do reactie van het vlak met wrijving en de spanning van het koord, welke bij de punten A en B dezelfde waarde zal hebben, daar de beweging van

het schijfje bij C buiten rekening wordt gelaten. Zij die spanning S, dan is, zoo A naar beneden daalt, de resultante van de krachten, die op dat deeltje werken, gericht volgens de richting van het koord en bepaald door:

de resultante, eveneens volgens de richting van het koord, van de krachten, die op B werken, is, zoo B opgetrokken wordt:

De versnelling van de massa's m en m' wordt hierdoor onmiddellijk bepaald volgens form. (XXVII), en daar de beide punten door een onreli-baar koord verbonden zijn, moeten de beide versnellingen eene zelfde waarde a hebben, dus is:

Ct = âYâ. {p sin. a â w' sin. a' â f{p cos. a -\-p' cos.Â«') ] â¢ (XCV) V P \ /

Uit deze waarde van de versnelling blijkt dat de beweging eene eenparig veranderlijke is; de snelheid en de afgelegde weg kunnen derhalve volgens de bekende formules gevonden werden.

Wij hebben ondersteld dat A naar beneden, B naar omiioog bewogen wordt; opdat deze beweging geschiede, zonder dat eene aanvankelijke snelheid is medegedeeld, moet de gevondene waarde van a positief zijn. Was zij negatief, dan blijkt het dat de onderstelling onjuist was: men zou daaruit echter niet mogen besluiten dat de beweging in tegengestelden zin zal plaats vinden, daar de richting, welke voor de tegenstandbiedende kracht van de wrijving op p en p' is aangenomen, niet overeenstemt met die, welke zij bij eene tegengestelde beweging zal hebben. Wil men nagaan of de bewoging in tegengestelde richting zal plaats vinden, dan moet men voor deze bewegingsrichting wederom de versnelling bepalen. Is zij positief, dan heeft men werkelijk eene beweging in dien zin, is zij wederom negatief, dan blijkt dat ook deze tweede onderstelling onjuist is, en dus de beide materiÃ«ele punten uit zich zelve niet in beweging zullen geraken.

2Â°. Passen wij het beginsel van levende kracht en arbeid toe, en onderstellen wij dat, terwijl de materiÃ«ele punten in A' en B' eene be-

kende snelheid bezitten, deze snelheid in A en B gelijk v is geworden. Zij de lengte van A'A of B'B gelijk s, dan is:

vquot; â Vo³ ~ âjr~T\P ^s'ⁿ- ^a âp' ^siⁿ- ^a' â f {P ^cos*^a ^rp'^{cosgt; a}')) (XCVI).

Indien v_ri de bekende aanvangssnelheid is, wordt door deze formule de snelheid in elk punt van de baan gevonden, en daar de kracht standvastig, en dus do beweging eenparig veranderlijk is, kan men door de vroeger medegedeelde formules ook de overige grootheden bepalen, welke bij de beweging voorkomen.

Het is duidelijk dat (XCV) en (XCVI) tot dezelfde uitkomsten leiden; bij het opmaken van de laatste formule hoeft men echter de bepaling van do spanning ontgaan, daar deze, als inwendige kracht van het stelsel, niet in do uitdrukking voor den volbrachten arbeid voorkomt.

Had men de wrijving van do as van het schijfje in rekening willen brengen, dan had men de spanningen bij A en B ongelijk moeten nemen, en de betrekking tusschen beide volgens (LXXIV) moeten bepalen.

Bij deze berekening is buiten beschouwing gelaten de levende kracht en het gewicht van het koord, en de lovende kracht van het draaiende schijfje. De beide eerste grootheden worden gemakkelijk in de formule voor de lovende kracht en arbeid opgenomen; don invloed van de levende kracht van het schijfje zullen wij eerst later kunnen bepalen.

Snelheid, welke matei'iÃ«ele punten bereiken, /.00 zij van gelijke hoogten langs verschilleiule hellingen, zonder wrijving, alleen tengevolge van de zwaartekracht nederdalen. Tijd voor hel dooiioopen van verschillende koorden van een verticalen cirkel, die in het hoogste punt van dien cirkel samenkomen, alleen tengevolge van de zwaartekracht, zonder wrijving.

Drukking van een materieel punt op een horizontaal vlak, dat met eene veranderlijke snelheid verticaal naar hoven of naar beneden wordt bewogen.

b. Normale krachten bij de beweging van een punt in eene cirkelvormige baan. Centrifugaalkracht. â Indien een punt langs eene kromlijnige (derhalve ook langs eouo cirkelvormige) baan voort-

gaat, moot er voortdurend oono kracht op werken, daar anders de beweging rechtlijnig zou zijn (pag. 51). Zoo deze beweging eenparig is, en dus do levende kracht van het punt onveranderd blijlt, moet de arbeid van die kracht nul zijn, en zij zelve dus steeds loodrecht op de baan zijn gericht. Zij kan worden teweeg gebracht door de spanning van een koord, waaraan liet punt bevestigd is, door de tegendrukking van oen lichaam, waarlangs het punt voortgaat, door de aantrekkingskracht van eenig ander punt, enz. Hare grootte wordt, bij eene eenparige beweging in een cirkel, aldus bepaald.

Zij MA (fig. 121) de cirkel, langs welken het punt zich in de richting van het pijltje beweegt; de straal van dien cirkel zij r, do massa van liet bewegende punt m, de standvastige lineaire snelheid gelijk v. In oen zeer kleinen tijd t beschrijft het punt den boog AC, indien echter in dien tijd geene kracht op de massa had gewerkt, zou deze zich volgens de raaklijn AF hebben bewogen, en een weg hebben afgelegd, even groot als boog AC; naarmate de tijd l kleiner wordt genomen, zal het eind-^ punt van dien weg minder ver

snijdt, en daar t zoo klein kan genomen worden, als men verkiest, mag men aannemen dat werkelijk AB den afgelegden weg voorstelt in de onderstelling dat van A af hot punt zich geheel vrij bewoog. De beweging langs den cirkelboog AC kunnen wij nu samengesteld denkon uit twee bewegingen, eene met eenparige snelheid langs AB, en eene van B naar C (pag. 14); deze laatste beweging wordt door de normale kracht teweeg gebracht. Daar deze kracht, gedurende de ge-heele bewoging, dezelfde waarde blijft behouden, moet de samenstellende beweging volgens BC eenparig versneld zijn, en uit de grootte van don weg in verband met den tijd kan men de versnelling, en hieruit wederom do grootte van de normale kracht afleiden.

In de onderstelling dat AC zeer klein is, zal, als CD evenwijdig aan AB is getrokken, AD gelijk BC mogen gesteld worden, en daar tevens de boog AC door de koorde AC mag vervangen worden, is in den recht-hoekigen driehoek ACE;

De versnelling a van de normale kracht is dan, daar de aanvankelijke snelheid volgons de normaal in A gelijk nul is, volgons formule (III):

Deze kracht, welke het bewegende punt verhindert zich van het middelpunt te verwijderen, noemt men middelpuntzoekende of centripe-taal-kracht] gelijktijdig mot haar ontstaat daarenboven, daar actie gelijk reactie is, eene tweede kracht, welke door het bewegende punt of op het koord, Ã¨f tegen het vlak, of op het aantrekkende punt wordt uitgeoefend; zij is natuurlijk gelijk en tegengesteld aan N, en daar zij het punt van het middelpunt tracht te verwijderen, noemt men haar middelpuntvliedende of centri/ugaal-kracht.

Het is duidelijk dat, zoo de beweging veranderlijk is, do normale kracht toch door form. (XCVIII) wordt voorgesteld, indien v daarin do snelheid voorstelt, welke het punt bezit op het oogenblik, waarvoor de normaio kracht bepaald wordt; daar t zoo klein genomen wordt als men verkiest, zal namelijk het verschil tusschen AB en v t minder dan elke gegevene grootheid kunnen bedragen. De gevondene uitdrukking voorN is tevens toepasselijk op eene kromlijnige niet cirkelvormige beweging, wanneer r daarin den straal van den cirkel voorstelt, die in het punt van de baan, waar men N wil bepalen, het naast met die baan overeenstemt.

Uit de wijze, waarop N berekend is, blijkt dat deze grootheid de resultante voorstelt van al de normale krachten, welke op het punt werken, en waardoor dit genoodzaakt wordt de voorgeschrevone baan te door-loopen; wanneer er dus, behalve de spanning van het koord enz.,

nog andere krachten op werken, zal de spanning, de druk van het vlak of de aantrekking van hot middelpunt grooter of kleiner dan N zijn.

Passen wij deze beschouwingen toe op de beweging van een stoffelijk punt, dat zich onder de werking van de zwaartekracht langs den binnenomtrek van eene verticale cirkelvormige goot beweegt. Zij het gewicht van het bewegende punt p,

de snelheid in liet laagste punt A gelijk c, welke grootheid wij bekend onderstellen.

Bepalen wij uit deze gegevens den bewegingstoestand in eenig punt B, als boog AB gelijk Â« is. Zoo het stoffelijke deeltje langs boog AB naar omhoog is gestegen, zal zijne snelheid kleiner zijn geworden, daar door de zwaartekracht een negatieve arbeid is verricht, welke de levende kracht heeft verminderd. De grootte van dien arbeid is, zoo BE loodrecht op MA staat, â p X AE, en wanneer de snelheid in B gelijk v is geworden, is:

Opdat het punt werkelijk tot B stijge, moet v bestaanbaar, en dus c³ gt; lt;/ r (2 â 2 cos. a)

Zij wordt teweeg gebracht door de tegendrukking D van de binnenvlakte der cirkelvormige goot, en door de normaal ontbondene van het gewicht jÂ». Deze normaal ontbondene is p cos. Â«, en werkt tegengesteld aan de tegendrukking van het vlak, derhalve is in B:

Deze tegendrukking is positief gerekend van den omtrek naar het middelpunt, en daar in eene aan de binnenzijde geopende goot alleen in die positieve richting de reactie kan worden uitgeoefend, moet D steeds positief zijn, of:

Onderzoek naar den aard der beweging bij verschillende waarden van c, wanneer het punt of in de onderste helft van de baan zal heen- en weer bewegen, of in- een punt van de bovenste helft den cirkel volgens eene rakende parabool zal verlaten, of wel zich voortdurend binnen den geheelen cirkelomtrek zal voortbewegen.

Beweging van een materieel punt tengevolge van de zwaartekracht langs don buitenomtrek vau een cirkelvormigen cilinder met horizontale as.

Snelheid van een met een slinger voortgeworpen steen. Hellende stand van men-schen en dieren, welke met groots snelheid eene kromlijnige baan doorloopen. Verhooging van de buitenste rails bij krommingen in eene spoorbaan.

Grootte van de aantrekkingskracht door de zon op de aarde en de overige planeten, en door do aarde op de maan uitgeoefend, in de onderstelling dat de verschillende loopbanen cirkelvormig zijn.

Zwaartekracht op aarde gelijk aan de resultante van aantrekkingskracht en middelpuntvliedende kracht. Omwentelingssnelheid der aarde, waarbij lichamen van de aarde zouden worden weggeslingerd. Alleiding van de derde wet quot;van Ivep-pler in de onderstelling van cirkelvormige planetenbanen.

c. Slinger. Trillende beweging. â Bij liet bepalen van de beweging van een punt langs den omtrok van een cirkel, hebben quot;wij den tijd, die noodig was om een zeker gedeelte van de baan af te leggen, geheel buiten beschouwing gelaten. Deze kan dan ook in het behandelde voorbeeld niet volgens de regels der lagere wiskunde bepaald worden, daar de beweging niet eenparig veranderlijk is ten gevolge van de voortdurende verandering, welke de bewegende kracht (de ontbondene van hot gewicht volgens de raaklijn) ondergaat. In de onderstelling, dat de beweging zich alleen uitstrekt over een zeer kleinen boog, rechts en links van het laagste punt, is hot echter mogelijk eene benaderde waarde te vinden voor den tijd, waarin die beweging volbracht wordt.

Onderstellen wij dat het matcriÃ«ele punt (fig. 123) door een volkomen onrekbaar buigzaam koord, zonder gewicht, verbonden is aan het vaste punt A, en dat er behalve de spanning van het koord alleen do zwaartekracht op werkt, dan stelt dit samenstel een enkelvoudigen slinger voor. In den toestand van rust zal zich het materiÃ«cle punt bevinden in B, in de verticaal onder het ophangpunt; wordt het uit dien stand gebracht in II, terwijl het koord voortdurend gespannon blijft,

de zwaartekracht weder naar B bewegen, en aldaar met eene zekere snelheid aankomende, rechts van B voortgaan en stijgen tot hot punt H'. Uit do betrekking tusschen levende kracht en arbeid volgt onmiddellijk dat, als do beweging bij II zonder aanvangssnelheid is begonnen, het punt H', waar de snelheid wederom is uitgeput, in dezelfde horizontale lijn met 11 zal liggen, zoodat BH' gelijk BH is. Van H' keert het punt wederom terug tot 11, cn het zal aldus voortdurend heen en weer slingeren.

Do spanning van het koord wordt bij die bewoging evenzoo bepaald als in het boven (pag. 1G7) behandelde voorbeeld; wij zullen ons daarmede dan ook niet bezig houden, maar alleen in de onderstelling dat hoek HAH' {amplitude van den slinger) zeer klein is, de betrekking

opmaken tusschen den tijd en den afgelegden weg. Wij hebben hiertoe alleen te letton op de ontbondene van de zwaartekracht in de richting der beweging (pag. 162).

Beschouwen wij een willekeurigen stand AC van het slingerkoord, welke met de verticaal den hook CAB gelijk x vormt, en stellen wij de lengte van den slinger AB gelijk l, hot gewicht van het materiÃ«ele punt gelijk p, dan is de ontbondene van die kracht volgens de raaklijn p sin. x of, zoo x zeer klein is, bij benadering p x. Daar boog CB gelijk lx is, is de bewegende kracht in eenig punt van de baan, bij de aan-genomene benadering, rechtstreeks evenredig mot de lengte van den boog tusschen C en het laagste punt. Wij onderstellen hier on in het vervolg dat x en do andere bogen, die hot bewegende punt doorloopt, alle in declen van den straal als eenheid zijn gegeven, dus in dezelfde eenheden uitgedrukt zijn als de goniometrische lijnen.

Uit het beginsel van levende kracht en arbeid volgt, op dezelfde wijze als op pag. 168, voor de lineaire snolheid v in het punt 0:

vquot; = 2gl (cos. x â cos. Â«) = 4 / sin. ^ (Â« -(- a:) sin. -jr (a â x),

Bij benadering zou men uit deze waarde van de snelheid den tijd kunnen bepalen, waarin het punt zijne beweging volbrengt, door don weg in een groot aantal gelijke deeltjes te vordeelen on, bij de beweging langs elk van deze, de snelheid standvastig aan te nemen. Door sommatie van al die kleine tijden verkrijgt men dan eene benaderde waarde voor den tijd, noodig om den goheelen boog te doorloopen. Men kan echter, door gebruik to maken van oene graphische voorstelling, de juiste waarde van den tijd berekenen in do onderstelling dat de snelheid door formule (CU) wordt gegeven. Zotten wij daartoe op eene rechte lijn (fig. 124), rechts en links van een punt B, stukken uit,

gelijk aan de bogen, waarop het heen en weer gaande punt zich van de verticaal verwijdert, zoodat HB en H'B gelijk I a, CB gelijk l x is (B, H, H' en C stemmen dan in deze figuur overeen met de gelijk-

benoemde punten in %. 123). Beschrijven wij verder op HU' als middellijn een halven cirJcel, eu trekken wij CD loodrecht op HH', dan is:

Nemen wij, rechts on links van D, gelijke kleine bogen DE en DF, en laten wij uit E on F loodlijnen EO en FK neder, dan stellen G en K twee punten voor in do baan van hot slingerende punt, die op een zeer geringen afstand van elkander liggen, en men mag dan inetgroote benadering aannemon dat de boog, voorgesteld door GK, doorloopen wordt met eene eenparige snolheid v, gelijk aan die, welke het punt werkelijk in D bezit; do tijd 6, waarin dit geschiedt, wordt voorgesteld door:

Door de lijn EL evenwijdig aan HH' te trekken, verkrijgt men een driehoek EFL, welke gelijkvormig is met driehoek BDC, en waarin:

Door do som te nemou van al de op deze wijze bepaalde tijden, welke het punt gebruikt om do doelen van den weg HC af to leggen, vindt men voor don tijd t, waarin HC doorloopen wordt, de benaderde uitdrukking :

Hierin stelt 2 (EF) de som voor van al de koorden tusschen de punten, welke op zeer goringo onderlinge afstanden in boog HD zijn aangenomen. Deze benaderde waarde nadert onbepaald tot do juiste, als die koorden kleiner en kloiner worden; gelijktijdig nadert dan 2 (EF) onbepaald tot de lengte van boog HD, en dus is volkomen nauwkeurig:

Do tijd T voor de goheele beweging van H naar H' vindt men door voor boog HD den halven cirkel te stellen, dan wordt:

Zoo men do beweging van H naar H' als eene geheele slingering beschouwt, noemt men de gevondene waarde T den slingertijd; somtijds wordt evenwel de beweging van H naar H' en weder terug naar H eene slingering genoemd, in wolk geval de slingertijd eene dubbel zoo groote waarde verkrijgt. Uit de formule (C1V) blijkt, dat, zoo de snelheid door form. (CII) kan worden voorgesteld, hetgeen bij kleine amplituden het geval is, de slingertijd onafhankelijk is van de grootte dier amplitude; die eigenschap wordt hot isochronisme van den slinger genoemd.

De gevondene betrekkingen gelden natuurlijk voor elke beweging, waarbij de bewegende kracht, rechts en links van eenig punt, evenredig is met do afstanden tot dat punt, zooals bij de trillende beweging van staven, snaren, van de deeltjes der lichamen, die geluid, licht of warmte voortplanten enz.

Gebruik van den slinger voor het meten van don tijd bij slingeruurwerken. Bepaling van de intensiteit dor zwaartekracht op verschillende punten der aardoppervlakte. Lengte van den secundeslingor als oenheid van lengte.

a. Beweging van een lichaam ten gevolge van eene kracht door hot zwaartepunt. â Denkon wij het goheele lichaam verdeeld in n deeltjes van gelijke massa ?Â«, en onderstellen wij dat op al die deeltjes krachten K werken, gelijk in grootte en evenwijdig aan elkander, dan zullen die deeltjes, zoo zij oorspronkelijk in rust waren, met

en dus ten opzichte van elkander in denzelfden stand blijven, en geene wenteling welke ook volbrengen. Het is duidelijk dat de resultante van al die evenwijdige krachten gelijk zal zijn aan hare som n K, cn dat zij door het zwaartepunt, of liet massamiddelpunt van het lichaam (pag. 92) zal gericht zijn; daar de massa van het geheele lichaam nm is, zal

welke het zwaartepunt zou verkrijgen, zoo daarin de geheele massa vereenigd was en in dat punt do resultante der krachten werkte.

Bij omkcoring volgt hier dus uit dat, als op een lichaam, dat in rust is, eene kracht in het zwaartepunt werkt, aan al de deeltjes van dit lichaam eene volkomen gelijke en gelijk gerichte versnelling zal worden medegedeeld, welke dezelfde waarde heeft als de versnelling, die de geheele massa van hot lichaam zou verkrijgen, zoo zij in het zwaartepunt vereenigd was. Was het lichaam oorspronkelijk niet in rust, dan vindt men de beweging van de deeltjes, door de aanvankelijke snelheid met die, welke zij door de kracht ontvangen, samen te stollen.

ta. Beweging van een lichaam ten gevolge van een koppel. â Onderstellen wij dat het geheele lichaam aanvankelijk in rust is, on dat men de beweging wil bepalen, die er hot eerste oogenblik aan wordt medegedeeld. Wij zullen daartoe, evon als bij het geval onder a, niet uitgaan van een bepaald koppel en de beweging nagaan, die er door wordt teweeg gebracht, maar omgekeerd uitgaan van eene bepaalde beweging en de grootte en richting van het koppel opmaken, dat voor die beweging noodig is.

Verdoelen wij het geheele lichaam in doeltjes van gelijke massa m, en nemen wij aan dat op elk dier goÃ¯soloerde deeltjes zulk eene kracht werkt, dat zij allo hunne beweging beginnen met gelijke hookversnelliu-gen q in cirkels, waarvan de middelpunten liggen in AB (fig. 125) en waarvan de vlakken loodrecht staan op die lijn,

welke door het zwaartepunt Z is getrokken; door al die krachten te zamen zal dan het geheele lichaam zijne wentelende beweging om AB aanvangen.

Beschouwen wij een deeltje P, op een afstand PQ gelijk r van de as A13 verwijderd; do lineaire versnelling, welke er aan medegedeeld moet worden, is )â¢ 5, en do kracht, rakende aan den cirkel of loodrecht op PQ, welke haar te weeg brengt, is;

Dergelijke waarden verkrijgt men voor de krachten op de andore deeltjes van hot lichaam. Om ze gemakkelijk samen te stellen, worden zij alle overgebracht naar het zwaartepunt Z, en ontbonden in twee richtingen in de vlakken CD en El¹, die loodrecht op elkander door AB zijn gebracht. Zoo wordt b.v. do kracht K in P eerst verplaatst naar het punt Q door het koppel, dat m r~ q tot moment heeft, vervolgens ontbonden in de krachten Kx gelijk Qll en Ky gelijk QG, welke loodrecht op AB in de vlakken CD en EF liggen, terwijl ten slotte die krachten K* en Ky door koppels (K*. QZ) en (Ky, QZ) naar Z worden overgebracht. De grootte dezer krachten kan op do volgende wijze worden uitgedrukt; op de vlakken CD en EF laat men uit P loodlijnen PM en PN nedor, dan ontstaat een rechthoek QMPN; daar deze gelijkvormig is met rechthoek QGLH, volgt er uit:

Handelt men op dezelfde wijze met de krachten in de overige punten, en voogt men de overeenkomstige krachten en koppels bijeen, dan verkrijgt men;

De raassa's m zijn evenredig met de gewichten der deeltjes, derhalve zijn 2 (m X PM) en S (m X PN) evenredig met de sommen van de producten van die gewichten en de afstanden der deeltjes tot de vlakken CD en EF, en daar het zwaartepunt van het lichaam in die vlakken ligt, zijn die sommen en dus ook de krachten 2 (Kr) en 2 (Ky) gelijk nul (form. LI). Van al do krachten blijven dus slechts twee koppels over, een met q 2 iju r~) tot moment en AB tot as, en een, door samenstelling van de koppels onder 4Â°. en 5Â°. verkregen, waarvan de as loodrecht op AB staat; voegt men ook deze twee koppels bijeen, dan verkrijgt men ten slotte Ã©Ã©n koppel, waarvan de as in het algemeen een hoek met AB maakt. Alleen in enkele gevallen, 0. a. als het lichaam symmetriek is ten opzichte van twee vlakken loodrecht op elkander door AB, of ten opzichte van een vlak loodrecht op AB gebracht, is het koppel, door samenstelling van 4 en 5 verkregen, gelijk nul, en valt dus de as van het resulteerende koppel met AB samen.

Do bepaling van het koppel, dat deze wentelende beweging veroorzaakt, wordt eenigszins gewijzigd, indien het lichaam reeds ecne beweging om eene as door het zwaartepunt bezit. Liet mon dan op de doeltjes alleen krachten werken, rakende aan de cirkelvormige banen.

dan zouden zij zich door de middelpuntvliedende kracht van hot middelpunt verwijderen. Om dit te verhinderen, moeten dus op al do deeltjes nog krachten werken, gelijk en tegengesteld aan do middelpuntvliedende krachten, en van deze moet ook de resultante bepaald worden. Vrij gemakkelijk toont men aan dat al die normale krachten te zamen een koppel vormen, waarvan de as loodrecht op de omwontolingsas staat, en voegt men dit bij het koppel, dat ontstaan is uit de krachten m r q, dan verkrijgt men ten slotte een koppol, waarvan de as een hoek mot de omwontelingsas maakt.

Bij de beweging verandert in het algemeen van oogonblik tot oogen-blik de snelheid der deeltjes en dus ook de middelpuntvliedende kracht; wil men de rotatie voortdurend om dezelfde as doen plaats grijpen, dan moet derhalve van oogonblik tot oogonblik hot resulteerende koppel dor krachten veranderen. Geschiedt zulks niet, maar blijven die krachten standvastig, dan zal de richting van do omwentelingsas, met betrekking tot de doelen van hot lichaam, voortdurend veranderen.

Uit het voorgaande blijkt, dat voor do wentelende bewoging van een lichaam om eene lijn door het zwaartepunt, altijd een koppol voldoende is, waarvan het moment en de as kan berekend worden. De vraag is nu echter: zal elk koppol altijd zulk oene beweging veroorzaken. Streng kunnen wij hier niet bewijzen dat zulks werkelijk immer het geval zal zijn; uit het volgende laat het zich echter eenigermato afleiden. Eene eenvoudige rechtlijnige beweging van het geheele lichaam kan door een koppel niet worden veroorzaakt, dit volgt uit het medegedeelde onder a. Dat een koppel ook geene draaiende beweging om eono lijn buiten het zwaartepunt kan veroorzaken is eveneens gemakkelijk to betoogen. Indien toch do lijn AB (fig. 125) niet door het zwaartepunt was gericht, zouden in de uitdrukkingen voor de krachten 2 (K_r) en 2 (K,_;), onder 1Â°. en 2Â°. pag. 174 vermeld, onmogelijk X (m X I'M) en 2 [m X PN) gelijktijdig nul kunnen zijn; voor de draaiing om eono lijn, die niet door het zwaartepunt gaat, is dus een koppel en eene kracht door een punt van die lijn noodig.

Indien wij nu mogen aannemen dat het lichaam geene andere beweging kan hebben dan, of oene waarbij al zijne punten zich in rechtlijnige evenwijdige banen verplaatsen, Ã³f eene wentelende beweging om eene lijn buiten hot zwaartepunt, Ã¶f eene wentelende beweging om eene lijn door het zwaartepunt, zal een koppel zonder daaraan toegevoegde kracht noodzakelijk de laatste beweging moeten veroorzaken.

Wij besluiten dus dat het lichaam onder de werking van een standvastig koppel wentelen zal om eene as door het zwaartepunt, welke as, ten gevolge van de middelpuntvliedende krachten telkens door andere punten van hot lichaam zal gericht zijn. Alleen in enkele gevallen zal haar stand niet veranderen, o. a. als het lichaam symmetriek is ten opzichte van een vlak door, of loodrecht op do as van het koppel ge-

bracht, daar dan het koppel van de normale krachten nul is. Het zwaartepunt zolf wordt door het kopj^el niet verplaatst.

c. Beweging van een lichaam ten gevolge van eene kracht buiten het zwaartepunt. Beweging van het zwaartepunt. â

Door verplaatsing van de kracht, kan men haar herleiden tot eene kracht door het zwaartepunt en een koppel; de beweging van het lichaam kan men zich dan voorstellen samengesteld te zijn uit twee doelen, het eene deel ten gevolge van de kracht door het zwaartepunt, die al de punten van het lichaam in onderling evenwijdige richtingen doet voortgaan, met eene versnelling gelijk aan die, welke de kracht aan de geheele massa zou geven, als deze in het zwaartepunt vereenigd was, het andore deel ten gevolge van hot koppel, waardoor het lichaam wentelt om eene as door het zwaartepunt, welke as voortdurend van stand verandert.

Hieruit leiden wij het belangrijke gevolg af, dat het zwaartepunt van een lichaam, waarop krachten werken, zich zoo sal bewegen, alsof de krachten naar het zwaartepunt verplaatst waren, en de geheele massa daar was vereenigd.

Zoo ceu zich bewegend lichaam uiteen springt, zonder dat er uitwendige krachten op werken, zal de beweging van het zwaartepunt hierdoor niet veranderen, daalde resultante der inwendige krachten bij de explosie nul is.

Beweging van hot zwaartepunt van stelsels van hemellichamen, b.v. aarde en maan om de zon, zon en planeten en stelsels van dubbele of veelvoudige sterren in de ruimte.

a. Traagheidsmoment. â Bij de bepaling van do versnelling en de snelheid, door eone kracht aan een rondwentelend lichaam medegedeeld, moet men, zooals uit de formules zal blijken, de som kennen der producten van de massa's van al de materiÃ«ele punten van het lichaam en de tweede machten van hunne afstanden tot de omwente-lingsas. Men noemt die som het traagheidsmoment van liet lichaam ten opzichte van die as, en zoo de massa's der samenstellende deelen m, m₁, m₃, enz., hunne afstanden tot do as r, r₁, r₃, enz. zijn, kan men het traagheidsmoment T voorstellen door:

Voordat wij de beweging van een lichaam om eene vaste as bepalen, zullen wij de waarde van dit traagheidsmoment voor eenige lichamen opgeven.

Er bestaan geene handelwijzen, aan de lagere wiskunde ontleend, waardoor deze grootheid voor elk willekeurig lichaam kan bepaald worden; zij kan echter voor eenige lichamen berekend worden met behulp van

Voor oene rechte lijn van de lengte /, langs welke do massa eenparig is verdeeld, is ten opzichte van oene as loodrecht door het midden:

Men kan tot doze waarde geraken door eone regelmatige vierhoekige piramide te construeeren, waarvan de top ligt in het midden van do gogovene lijn, en waarvan de basis, loodrecht door hot uiteinde der lijn gebracht, een vierkant is, welks zijden gelijk zijn aan i l. Gemakkelijk toont men aan dat do inhoud van die piramide evenredig-is met het halve traagheidsraoment.

Voor een rechten cirkelvormig en cilinder, waarvan het grondvlak R tot straal hooft, is ten opzichte van do as:

Zoo hot traaghoidsmomont van een lichaam ten opzichte van eeno as door het zwaartepunt gegeven is, kan _r/

hieruit gemakkelijk het moment ten opzichte van eeno andere as, evenwijdig aan de eerste, worden afgeleid.

as door liet zwaartepunt, A de doorsnede van eene daaraan evenwijdige as, beide met een vlak loodrecht op die assen. Zij verder P oen der samenstellende materiÃ¶ole punten, waarvan de massa door m wordt voorgesteld,

tot de assen Z en A worden aangegeven door PZ gelijk r en PA gelijk q, dan zijn de traagheidsmomon-ten T; ten opzichte van Z, en Tâ ten opzichte van A:

Trekt men PB loodrecht op AZ, en stolt men ZB = y, AZ â a, tor-wijl y positief wordt genomen als B beneden ZC ligt, negatief, als B er boven ligt, dan is :

Hierin is Â£(Â»Â») gelijk aan. do massa M van liet geheole lichaam, en daar m evenredig is met hot gewicht der deelen, is 2 (m y) evenredig mot do som van do producten van de gewichten der doelen en hunne afstanden tot een vlak door Z loodrecht op ZA gebracht. Daar het zwaartepunt in dit vlak ligt, is die som (form. LI) gelijk nul; derhalve wordt:

Zoo men nog in aanmerking neemt dat het traagheidsmoment van een lichaam, ten opzichte van eene as, gelijk is aan de som van do traagheidsmomenten der deelen waaruit het bestaat, ton opzichte van diezelfde as, kan men door de medegedeelde formules de traagheids-momenten van verschillende lichamen berekenen.

Zoo bepaalt men b.v. het traagheidsmoment van een homogenen rechten cirkelvormigen cilinder, welke volgens een concentrieken rechten cirkolvormigon cilinder is uitgehold, ten opzichte van zijne as aldus. Laat h de hoogte voorstellen, R en r de stralen van de grondvlakken der beide cilinders, en S de massa per eenheid van volume, dan is het traagheidsmoment van den cilinder, zoo hij niet uitgehold was:

Het is dikwijls in de berekeningen gemakkelijk de massa M' in te voeren, die, op een afstand d van de omwentelingsas gelegen, hetzelfde traagheidsmoment als een gegeven lichaam ton opzichte van die as bezit. Men noemt die waarde van M', welke bepaald wordt door:

b. Beweging van een lichaam om eene vaste as door eene standvastige kracht. â Jlen zou de versnelling van de versclÃ¼llonde deeltjes op eene zelfde wijze kunnen bepalen als bij de beweging van

een vrij lichaam (pag. 173); hot is editor eenvoudiger zich hierbij te bedienen van de betrekking tussohen levende kracht en arbeid.

Onderstellen wij dat liet lichaam, hetwelk zich niet langs maar alleen om de as kan bewegen, aanvankelijk in rust is, en onder de werking van standvastige krachten na een tijd t eene hoeksnelheid w verkrijgt, dan is do lineaire snelheid van een deeltje, op een afstand r uit do as, r m, zijne levende kracht m r² m~. Voegen wij de overeenkomstige waarden van de levende kracht van al de deeltjes, die in hot lichaam voorkomen, bijoen, dan is de levende kracht van het geheel:

Bij de bepaling van don arbeid, welke in den tijd t volbracht wordt, hebben wij alleen te letton op de uitwendige krachten, daar door de tegendrukkingen van de omwontelingsas geen arbeid volbracht wordt. Herleiden wij nu deze uitwendige krachten, zoo noodig, tot twee andere, waarvan de eene P (fig. 127) de as snijdt, de andere Q haar kruist of er evenwijdig aan is, en nemen wij het aangrijpingspunt van P in het snijpunt A van die kracht mot do as, van Q in hot snijpunt C van de kracht Q mot BC,

welke lijn loodrecht staat zoowol op do as als op do richting van Cj. Do arbeid van P is dan gelijk nul, on ten einde gemakkelijk do grootte van den door Q verrichten arbeid te bepalen,

wij dig aan AB en rakende aan den cirkel BC is, in twoo richtingen, do eeno K rakende aan don cirkel, de andere loodrecht op het vlak van don cirkel (in flg. 127 is de richting van Q onjuist geteekend). Door de laatste ontbondone wordt geen arbeid volbracht, daar zij loodrecht staat op don weg, zoodat teii slotto do arbeid van al do krachten herleid wordt tot die van de kracht K, welke op een afstand BC, gelijk l, do omwontelingsas loodrccht kruist. Daar K voortdurend rakend is aan don cirkel, welke door het aangrijpingspunt wordt beschreven, is do arbeid, bij eene hoekvorplaatsing a, of eene lineaire verplaatsing lÂ« van C, bepaald door:

Deze vergelijking, waardoor de betrekking wordt aangegeven tusschen de hoekverplaatsing en de verkregene hoeksnelheld, heeft geheel den-zelfden vorm als de formule (pag. G):

waardoor de betrekking wordt aangegeven tusschen do lineaire verplaatsing en de lineaire snelheid bij eene eenparig veranderlijke beweging. Wij mogen dus besluiten dat de roteerende beweging van een lichaam om eene vaste as, ten gevolge van eene standvastige kracht, eenparig veranderlijk is, en zoo wij de hoekversnelling q noemen, volgt uit analogie der beide formules;

Zoo men het product K l het moment van de kracht ten opzichte van de omwentelingsas noemt, leert deze formule dat de hoekversnelling gelijk is aan het moment van de bewegende kracht gedeeld door het traagheidsmoment, boide ten opzichte van de omwentelingsas genomen.

Bij het bepalen van de beweging van een lichaam om eene vaste as, kan men zich nu bedienen van formule (CXIU) of van formule (CXIV).

Berekenen wij, als toepassing van de hier medegedeelde stellingen, den invloed, welke door de schijf, waarover in fig. 120 het koord is geslagen, op de beweging van de materiÃ«ele punten bij A en B wordt uitgeoefend. In de uitdrukkingen voor de krachten R en R' (pag. 104) moeten dan de spanningen der beide doelen van het koord ongelijk gesteld worden, b.v. S bij A, S' bij B, daar door hun verschil het schijfje moot worden rondgevoerd. Men verkrijgt dan voor do versnelling a der beide punten:

Op het schijfje, waarvan de straal r is, werken nu de krachten Sen S' in tegengestelde richting, zoodat. het moment der bewegende kracht (S â S') r is. De lineaire versnelling van een punt van den omtrek is

Zoo men zich bediend had van de betrekking tiisschen levende kracht en arbeid (pag. 1C5), had men in do formule bij de halve aanwinst in

Als tweede toepassing bepalen wij de bewegingen van een lichaam, dat zich vrij om eene horizontale as kan bewegen en, even als een enkelvoudige slinger, rechts en links van zijn evenwichtstoestand kleine schommelingen maakt. Daar zulk een lichaam als het ware bestaat uit een samenstel van slingerende punten, wordt het een samengestelde slinger genoemd.

Zij fig. 128 de doorsnede van het lichaam met een verticaal vlak door het zwaartepunt Z, en nemen wij aan dat hierin A de as voorstelt; verder zij p het gewicht, T het traagheidsmoment ten opzichte van de as A, en AZ gelijk d, J dan is de hoekversnelling, welke aan den slinger, bij eene uitwijking x van AZ uit den verticalen stand, door de P'K-ontbondene p sin. x van het gewicht wordt medegedeeld, volgens formule (CXIV):

Bij een enkelvoudigen slinger, waarvan do lengte l is, zou bij eene uitwijking x, de hoekversnelling zijn:

Indien deze beide waarden van g voor alle waarden van x aan elkander gelijk waren, zou de samengestelde slinger zich op volkomen dezelfde wijze bewegen, als de enkelvoudige, hiertoe behoeft slechts:

te zijn. Deze waarde van l wordt de lengte van den samengestelden slinger genoemd. Neemt men in de lijn AZ, van de as A af, een stuk AS gelijk aan die lengte, dan zal dit punt zich op volkomen dezelfde wijze bewegen, alsof de golieelc massa er in vereenigd was. Men noemt dit punt het slinger punt.

Indien men den slinger omkeert, en do as door zijn slingerpunt laat gaan, zou de lengte l' van den slinger in dezen stand gegeven zijn door:

waarin T' het traagheids moment ten opzichte van de as door S voorstelt. Zij T. het traagheidsmoment ten opzichte van eene as door het zwaartepunt, evenwijdig aan de assen door A en S gebracht, dan is (form. CIX):

Zoo men den slinger, in plaats van om eene as door het ophang punt, om eene daaraan evenwijdige as door het slingerpunt laat schommelen, zal zijne lengte, en dus ook de slinger tijd, niet veranderen. Van deze eigenschap wordt bij den reversie-slinger gebruik gemaakt om het slingerpunt, en hieruit de lengte van don slinger, proefondervindelijk te bepalen.

Vliegwiel voor het regelen van do beweging van werktuigen, waarop de krachten niet veranderlijk vermogen werken.

Bij de beweging van oen lichaam om eene vaste as ondergaat deze verschillende drukkingen; men kan ze bepalen door na te gaan, welke krachten op elk punt moeten werken, om het de beweging te geven, welke dat punt bezit (pag. 173) j zoo men de resultante daarvan bepaalt, en deze vergelijkt met de uitwendige krachten, die op het-lichaam werken, kan men de krachten bepalen, Ã¼ie door de as moeten uitgeoefend worden; de drukkingen, welke de as ondergaat, zijn daaraan gelijk en tegengesteld.

Wij onderstollon dat een homogene rechte cirkelvormige cilinder mot eone beschrijvende lijn rust op een plat vlak en zich loodrecht op do richting van die lijn ovor het vlak beweegt; in het algemeen zal hij dan tevens om zijne as wentelen, en de beweging kan beschouwd worden als te zijn samengesteld uit twee andere, eene, waarbij al de deelen met gelijke snelheid voortgaan in richtingen evenwijdig aan hot vlak, eene tweede, waarbij het lichaam, zonder dat zijne as verplaatst wordt, om dio lijn wentelt. Rust de cilinder aanvankelijk in A op het vlak (tig. 129), en komt na eenigen tijd het punt B in aanraking met het vlak in B', dan zijn de verplaatsingen van al do deelen van den cilinder, ton gevolge van de eerste beweging,

gelijk AB', en de verplaatsing van een punt aan don omtrok door de tweede bewoging is go- ^

snelheid van de laatste beweging nul is, en dus de cilinder steeds volgens dezelfde beschrijvende lijn mot hot vlak in aanraking blijft, glijdt hij zonder te rollen; in het geval dat do snelheid, evenwijdig aan hot vlak, gelijk is aan de snelheid van een punt aan den omtrek ten gevolge van de wentelende beweging, en dus AB' gelijk boog AB is, rolt de cilinder zonder te (/lijden; in de andere gevallen, als AB' niet gelijk boog AB is, rolt en glijdt de cilinder cjedeeltelijk.

Gaan wij de krachten na, welke noodig zijn om elke der beide bewegingen, (evenwijdig aan het vlak en om de as) te weeg te brengen. liet is duidelijk dat, zoo alleen eene kracht, evenwijdig aan het steunvlak, door hot midden van do as en loodrecht daarop, op don cilinder werkt, en er dus geone wrijving bestaat, geene ronddraaiende beweging kan ontstaan (pag. 172), maar al do deelen in dezelfde richting zullen voortgaan met eene versnelling, die uit de grootte van de kracht en van de massa van het lichaam op do gewone wijze wordt afgeleid.

Om te bepalen door welke krachten de draaiende beweging om de as wordt veroorzaakt, verdoelen wij den cilinder in oen groot aantal golijko deeltjes, en berekenen wij de kracht, die op elk van deze moet werken, om er do behoorlijke cirkelvormige beweging aan mode te doelen;door

samenstelling vindt, men clan de gezochte krachten. Zij fig. 129 eene doorsnede van den cilinder met een vlak loodrecht op de as, en be-schomven wij twee deeltjes P en P' in dezelfde middellijn, op gelijke afstanden r van het middelpunt C verwijderd. Indien do hoekversnel-ling gelijk q is, is de lineaire versnelling van beide r q, en zoo de massa van elk deeltje door m wordt voorgesteld, moeten in P en 1quot; krachten werken, loodrecht op PP', elk gelijk aan m r q; deze vormen te zamen een koppel, dat 2 m r- q tot moment heeft. Rolmlve dit koppel, moeten op P en P' krachten werken, waardoor zij verhinderd worden zich van het middelpunt hunner cirkelvormige banen te verwijderen (pag. 105); die krachten werken van P en P' naar C, en daar zij aan elkander gelijk en tegengesteld zijn, is hare resultante gelijk nul. Men behoudt dus alleen voor elk paar overeenkomstige punten een koppel met 2 m rquot; q tot moment, of voor elk punt eon koppel, waarvan het moment m r² q is. Stelt men de koppels voor al de deelen van het lichaam samen, dan komt men tot hot besluit, dat de eenparig versnelde ronddraaiende beweging van den cilinder om zijne as met eene hoekver-snelling q wordt veroorzaakt door een koppel, waarvan het moment Ij gegeven is door:

b. Beweging van een cilinder over een vlak zonder aanvangs-snelheid. â Onderstellen wij dat de resultante van al do krachten, welke op den cilinder werken mot inbegrip van het gewicht van dat lichaam doch behalve do wrijving, eene kracht K is (fig. 130), die in het zwaartepunt loodrecht op de as staat, en met de loodlijn op het vlak, waarover do beweging plaats vindt, een hook Â« vormt; noemen wij verder de wrijving, die in de aanrakingslijn van vlak en cilinder tegengesteld aan de beweging-werkt, F.

Ontbinden wij K in twee krachten, K sin. Â« en K cos.Â«, evenwijdig aan en loodrecht op het vlak AB; verplaatsen wij verder F door middel van een koppel naar het zwaartepunt, dan werkt daar eene kracht K sin. a â F evenwijdig aan AB, terwijl daarenboven oen koppel, het wrijvingskoppel, dat FR (R de straal van den cilinder) tot moment en

de as van don cilinder tot as heeft, dit lichaam tracht te doen draaien. De cilinder zal dus geheel of gedeeltelijk rollen, en het hangt van de grootte van F af, welke beweging er aan wordt medegedeeld.

In het eerste oogenblik, als K begint te werken en het lichaam nog volstrekt niet verplaatst is, is de tegenstandbiedende kracht van de wrijving in de richting der beweging gelijk nul; zeer korten tijd daarna, als de deeltjes van don cilinder en van het vlak bij do aanrakingslijn een weinig tot elkander zijn genaderd, hoeft die wrijving eeno geringe waarde verkregen, en bij eene toenemende nadering wordt zij spoedig grooter. Is zij gelijk geworden aan het product van den normalen druk en den wrijvingscoÃ«fficiÃ«nt, dan kan zij niet moer toenemen, en zoo K sin. % aanzienlijker is dan die tegenstandbiedende kracht, zal de cilinder, gedeeltelijk glijdend, gedeeltelijk rollend door het koppel van de wrijving, zijne beweging beginnen; was echter, voordat do tegenstand tot dit bedrag is gestegen, het koppel FE reeds in staat om den cilinder te doen rollen zonder glijden, dan zal, zoodra die kleinere waarde van F bereikt is, de beweging, welke dan eene zuiver rollende is, oen aanvang nemen.

Hot is gemakkelijk den aard der beweging volgons deze beginselen te bepalen. In de eerste plaats merken wij op dat, zoowel de glijdende bewoging of de voortgaande bewoging van do as, als de draaiende beweging om do as, eenparig versneld zullen zijn, daar de krachten standvastig blijven; verder moet, bij het rollen zonder glijden, de snolheid van de as des cilinders gelijk zijn aan die van een punt in don omtrek ten gevolge van do draaiende beweging. Stellen wij do versnelling van do eerste beweging Â«, de hoekversnolling van de tweede 3, dan is, na een tijd do snelheid van de as a t, de snelheid van een punt aan den omtrok, door de wenteling om de as, ^ R lt;; derhalve moet bij de rollende beweging:

zijn. Verder heeft men, zoo M de massa des cilinders, L het moment van het wrijvingskoppel is:

Opdat nu werkelijk de cilinder alleen rolle, moet, als f de wrijvingscoÃ«fficiÃ«nt is:

Wordt aan deze voorwaarde niet voldaan, dan zal F gelijk f K cos. a zijn, en de cilinder glijden en rollen; de versnellingen van de voortgaande beweging der as en van de draaiende beweging om de as worden dan bepaald door:

Zoo, zonder de overige krachten, waaruit K samengesteld is, te veranderen, hot gewicht van den cilinder grootor wordt, zal bij eene beweging over een horizontaal vlak a kloiner worden, en het gewicht altijd zoo groot kunnen genomen worden dat alleen eene rollende beweging plaats vindt.

c. Beweging van een cilinder over een vlak met eene aanvankelijke snelheid. â Zij, terwijl do kracht op dezelfde wijze werkt als in het voorgaande geval, do aanvankelijke snelheid van de as, evenwijdig aan het vlak, gelijk v, do aanvankelijke hoeksnolheid Â«, beide in de richting van de pijltjes (fig. 131), dan zal, als v gelijk Â«R

is en dus de cilinder rolt, dit rollen onder de werking van de kracht voortduren, of in een gedeeltelijk glijden overgaan, al naarmate tong.Â«, even als in het voorgaande geval, kleiner of grooter dan 3 f is. Is echter v grooter dan wR, glijdt dus de cilinder gedeeltelijk, dan zal wellicht na eenigen tijd, door de werking van de kracht en het wrijvingskoppel, de snolheid van de as gelijk worden aan die van een punt van den omtrek, en dus de cilinder verder alleen rollen. Stel dat zulks geschiedt na den tijd t₎ en laten weder de versnellingen zijn a en q₎ dan moet in dit geval:

3 f Kcos. a â K sin. a Indien de waarde van t uit deze formule positief en eindig is, zal

dus werkelijk na eenigen tijd liet glijden van den cilinder ophemelen, en dit lichaam verder alleen rollen; is t daarentegen oneindig groot of negatief, dan blijft de cilinder voortdurend gelijktijdig rollen en glijden. Wanneer w R grooter dan v is, zal, zooals uit den aard der beweging volgt, do wrijving niet tegengesteld zijn aan, doch gelijk gericht zijn met de snelheid v, Bij de berekening van den tijd t, na verloop waarvan het glijden ophoudt, bedient men zich in dit geval van form. (CXVIII), na f K cos.Â« met het tegengestelde teeken voorzien te hebben. Bij positieve waarde van K, zal dan t altijd eene positieve eindige grootheid zijn, en dus op een bepaald tijdstip de beweging eene zuiver rollende worden.

Al deze beschouwingen gelden niet alleen voor cilinders, maar ook voor andere omwentelings-lichamen, waarvan de achtereenvolgende punten van aanraking met hot vlak ook in een cirkel liggen: T is dan natuurlijk niet meer iMR-, maar hot traagheidsmoment van het omwentelingslichaam ten opzichte van zij no as.

Beweging van een cilinder langs een hellend vlak. Beweging van billard- en kegelballon. Beweging van rijtuigen over wogen met zeer geringe wrijving b.v, over het ijs. Invloed van het gewicht dei' locomotieven op horizontale en hollende wegen. Invloed van do wrijving der assen in de pannen en van de rollende wrijving bij het rollen of glijden van wielen. Wielen met grooto en kleine stralen.

a. Botsing in het algemeen. â Zoo twee lichamen zich met verschillende snelheden volgens eene zelfde lijn bewegen, kunnen zij elkander ontmoeten; zij zullen dan drukkingen op elkander uitoefenen, elkander vervormen en hunne snelheden wijzigen; zij hotsen dan tegen elkander. Ten einde hunne bewegingen na te gaan, moeten wij de vervormingen der lichamen in de beschouwingen opnemen.

Laten M en m de massa's der lichamen zijn, V en w hunne snelheden, en onderstellen wij dat M met de grootere snelheid V de massa m achterhaalt, dan zullen zij drukkingen op elkander uitoefenen, waardoor de snelheden van M en m veranderd worden. Zoo de drukkingen plaats vinden volgens de lijn, die de zwaartepunten der lichamen verbindt, zullen alleen do voortgaande bewegingen veranderd worden (pag. 172), terwijl, zoo de drukkingen buiten de lijn der zwaartepunten worden uitgeoefend, tevens draaiende bewegingen aan de lichamen worden medegedeeld (pag. 17C). Wij zullen onderstellen dat het eerste geval, de zoogenaamde amtraio botsing, plaats vindt.

Hoewel de krachten, welke de lichamen op elkander uitoefenen, gedurende de botsing elk oogenblik veranderen, zullen op een zelfde

oogenblik do kracht, die de massa M in hare beweging vertraagt, en dio, welke m versnelt, aan elkander gelijk en tegengesteld zijn. Zij op een zeker oogenblik die kracht gelijk K, de vertraging van M gelijk p en de versnelling van m gelijk q, dan is:

Daar deze evenredigheid gedurende het geheele tijdsverloop van de botsing geldt, zijn de vermindering in snelheid, welke M tot op een zeker oogenblik heeft ondergaan, en de overeenkomstige vermeerdering in snelheid van m omgekeerd evenredig met do massa's. Zoo derhalve op zeker tijdstip gedurende de botsing de snelheid van M gelijk U, die van m gelijk u is geworden, moet altijd:

De tijd, gedurende welken de beide botsende lichamen met elkander in aanraking zijn, kan in het algemeen in twee deelen gesplitst worden. In de eerste periode wordt de grootste van de beide snelheden verminderd, de kleinste vermeerderd, de lichamen vervormen elkander al meer en meer en de afstand tusschen twee punten van beide lichamen, welke in eene lijn evenwijdig aan de bewegingsrichting liggen, neemt steeds af; deze periode duurt voort, tot de snelheid van beide lichamen dezelfde is geworden.

Zijn de lichamen volkomen onveerkrachtig, dan hernemen zij hun vorm. niet weder, doch gaan met de gemeenschappelijke snelheid gezamenlijk voort. Zijn de lichamen echter veerkrachtig, dan hernomen zij na die eerste periode geheel of ten deele hun vorm, en blijven gedurende eene tweede periode op elkander werken; de vermeerdering en vermindering van de snelheden gaat dan nog voort, zoo lang de zich van elkander verwijderende lichamen in onderlinge aanraking zijn. Van de meerdere of mindere veerkracht zal het afhangen, hoe groot in dit tweede tijdperk van de botsing de verandering in snelheid is.

Van de verschillende gevallen, die zich kunnen voordoen, willen wij alleen twee grensgevallen nader beschouwen, namelijk de botsing van volkomen onveerkrachtige en die van volkomen veerkrachtige lichamen.

b. Botsing van volkomen onveerkrachtige lichamen. â Daar de snelheid van zulke lichamen na de eerste periode niet verandert, wordt de eindsnelheid onmiddellijk uit (CXIX) afgeleid. Zij die gemeenschappelijke snelheid c, dan moet:

Bij doze botsing is eon doel der levende kracht verloren gegaan cl oor den weerstandsarbeid bij de vervorming van beide lichamen. Dit verlies in levende kracht, of de volbrachte weerstandsarbeid is:

Zoo de snelheid v van de massa m, waartegen de andere massa aanbotst, gelijk nul is, worden de oorspronkelijke lovende kracht L vÃ³Ã³r den stoot, do verloren lovende kracht A, en de levende kracht L' na den stoot gegeven door:

Zoo men den stoot der lichamen wil aanwenden om zo te vervormen, moet A en dus ook m met betrekking tot II -f- m zoo groot mogelijk, of wel M met betrekking tot m zoo klein mogelijk zijn; wil men daarentegen den stoot gebruiken, om met de overgeblevene levende kracht L' het lichaam m voort te bewogen, dan moet M met betrokking tot m zoo groot mogelijk zijn.

Hamers voor het smeden en vervormen van metalen, en hamers voor liet indrijven van spijkers, palen enz. Gebruik van groole aambeelden. Heiblokken.

e. Botsing van volkomen veerkrachtige lichamen. â Wij onderstellen dat de beide botsende lichamen elkander in het eerste oogenblik van de botsing slechts in Ã©Ã©n punt raken, hetgeen b.v. het geval is met twee bollen, een bol en oen plat vlak enz. Na het eerste tijdperk van den stoot, hebben M en m eene gemeenschappelijke snelheid c verkregen, bepaald door form. (CXX); daarna herstellen zij zich wederom van hunne vervorming en hernemen hun oorspronkelijken vorm. Indien de lichamen gedurende die tweede periode voortdurend met elkander in aanraking blijven, en de wijze, waarop zij hun eersten vorm terugwinnen, juist tegengesteld is aan die, waarop zij dezen verloren hebben, zullen do krachten, welke do botsende lichamen op elkander uitoefenen, in de beide perioden volkomen aan elkander gelijk zijn, en do veranderingen in snelheid dus ook in die twee perioden een zelfde bedrag hebben. In hot algemeen mag men met groote benade-

ring aannemen, dat bij volkomen veerkrachtige lichamen aan deze voorwaarden voldaan wordt.

Het verlies in snelheid van do massa M en do winst in snelheid van de massa m in do eerste periode zijn;

derhalve zijn na do tweede periode, als de botsing geheel is afgoloopen, do eindsnelheden U van de massa M en u van de massa m:

Uit de berekening blijkt dat de som van de levende kracht van beide lichamen, voor en na den stoot, dezelfde waarde hoeft; er is dan ook geen arbeid bij dien stoot verricht.

Too te voegen op pag. 12 regel H v. b. achter de woorden âaan de kromme lijn in het punt A is.quot; do volgende zin:

Deze versnelling der willekeurig veranderlijke beweging is dus gelijk aan de versnelling der eenparig veranderlijke beweging, waarvan de lijn der snelheden wordt voorgesteld door de lijn DA. Die eenparig veranderlijke beweging stemt op het tijdstip, door P aangegeven, zoo na mogelijk met de willekeurig veranderlijke beweging overeen.

Dr. F. van Cappclle, Latijnsclie Grammatica voor allo klassen der Nederlandscho GymnasiÃ«n. 4Â° voel verbeterde en vermeerderde druk. gr. 8Â°......../ 3)â

glnnonden, voornamelijk ton gobruike bij de Latijnsclie Grammatica van denzolfden schrijver. Postform. ...Â» 1,25 Dr. P. Uiibner, Griekscho oefeningen voor eerstbcginnen-dcn. Vrij bewerkt door Dr. F. van Cappulle, Rector to Dootinchom, en Dr. A. Halbeestadt, Leeraar tc Leeuwarden. 4^C verbeterde druk. Postform.......Â» 1,90

L. Herrig, PremiÃ¨res lectures franpaises. Fransch leesboek voor do lagere klassen der Iloogero Burgerscholen enz.

Voor Nederland bewerkt door ,1. H. Meijeu, Officier do rinstrnction publique enz. 3 druk. roy. 8Â° .... Â» 1,25 Dr. F. W. C. Kreeke, Beginselen der Algemeene Natuurkundige Aardrijkskunde. Met 4 Kaarten on 20 Houtsnee-platen. gr. 8Â°. â 9^C verbeterde en vermeerderde druk. Â» 1,25 _____________________- Handboek dor Algemeene Natuurkundige Aardrijkskunde. Mot 5 Kaarten en Houtgravuren.

Prof. C. A. ,f. A. Ondemans, Eerste beginselen der Plantenkunde. Mot 424 Figuren in den tokst. 3Â® druk. Postf. Â» 2,50

Hugo de Vries, roy. 8Â°. Met vele Figuren. â 2quot; verbeterde en vermeerderde druk.........Â» 4,

_______Idem 2^C deel. Vormleer en Rangschikking, door Prof. C. A. ,T. A. Oudemans, roy. 8Â°.

vervaardigen, van microscopische praeparaten uit hot Plantenrijk, voor Eerstboginnonden bewerkt door Prof.

F. J. van Pescli, Beknopte Handleiding tot de kennis van den Nederlandschon Landbouw. Met een Voorwoord van C. J. M. Jongkindt Cootncic. Met pl. m. 150 Figuren. roy. 8¹⁾..............* ^0

J. M. Rcinders, Cours graduÃ³ et mÃ©thodique de thÃ¨mes, mis en rapport avoc les rÃ©gies oontinuer dans la nouvelle gramm. fran^. a l'usage des NÃ©erlandais. 2Â® Ed. Postf. Â» 1,