\ gt;; \ -

-X

• • v •'TBBBPTquot;*v. ■ y\:r- '■ ; r^r. ■'| 'ATv.• 7%-quot;

BIJ DE BEOEFENING VAN DE

KENNIS DEK NAÏüüB,

TEN DIIO.N'STIO VAN

ONDERWIJZERS m AANKOMENDE ONDERWIJZERS.

TWEEDE DEEL, — TWEEDE DRUK.

NATUURKUNDE,

DOOR

Dquot;. J. J. LE ROY.

TE GKONINfiEN BIJ J. B. WOLTERS, 189ü.

RIJKSUNIVERSITEIT UTRECHT

1743 7454

Willst die Welt du khir erschauen , Hchaue ci-st, Aviis vor dir liegt.

Wie aus Stollen und aus Ivriiftcn Sieh ein Uau zasammcnfügt.

Lasz die Starrheit des Geword'ncn Kiiuden, was belebcnd treibt;

In dem Wechsel der Erscheinung Ahne das, was ewig blcibt.

Aus de/rt Dünkel eig'iu'ii Meinens Nie enlkeimt die frisehe Saat, lm Naclideiiken nnr erschwingt sieh Mensehengeist zur Schöpfertliat.

J. V. VON Sl'IIBl'l'EL.

STOOMIJRI KKEIIIJ TAN .7, R. WOLTERS.

VOORREDE VOOR HES TWEEDEN DRUK.

De herste dnik dezer Hondleiding heeft zijn ontstaan te danken gehad aan het imtiotiej ean nu wijlen De. m. salverua, destijds Inspecteur van het Middelhaar en vroeger van het Lager Onderwijs. Uit den aard zijner betrekking hekend geraakt met de behoeften van het onderwijs en van de onderwijzers en overtvit/d van de noodzakelijkheid van natuurkundig onderwijs, ook op de lagere scholen, besloot hij een leiddraad, te ontwerpen, die m aan de school en aan den onderwijzer goede diensten zou kunnen bewijzen. Het 'plan kwam tol uitvoering, en onder medewerking van den Heer Pr. h. wefers bettink en van den ondergeteekende zag hel werk het licht

De ontvangst, aan den gemeenschappenj ken arbeid der schrijvers te beurt gevallen, deed den Uitgever de hoop koesteren, dat eene nieuwe uitgave — waarbij rekening zou gehouden worden met de opgedane ervaring en onderscheidene gewaardeerde, wenken der gebruikers — geen nutteloos werk zou zijn. Daar echter de Heer Dr. wefers bettink zich nan de verdere medewerking onttrok, moest in diens plaats voorzien worden; en zoo ontstond de schikking, waarin ik, niet zonder aarzeling en alleen op dringend verlangen van 'en Uitgever, getreden ben, waarhij de bewerking van hef geheele hoek aan mij werd toevertrouwd.

De aard van het werk wordt voldoende omschreven in het „woord voorafquot;, waarmede Dr. salverda den eersten druk bij de gebruikers heeft ingeleid:

„In meer dan 'een opzicht wijkt hel van zijns gelijken af. —

lF?e er „stelselmatigequot; overzichten in zoeken mocht, zal zich teleurgesteld vinden. Naar volledigheid is in deze richting niet gestreefd. Wel klinkt het deftig, indien men op een acle-examen — om slechts een voorbeeld le noemen — de Orden der Insecten kan hooren opzeggen, des noods met een paar, op gelijke wijze van Indien gtleerde kenmerken erbij; maar de teleurstelling is hitier, indien dan nader blijkt, dal Bij noch Koolvlinder om er wederom maar een paar te noemen — immer van nabij hekeken zijn.

Om dit laatste om het zien door eigen oogen, om eigen verwerking van hetgeen zoo waargenomen wordt, is het te doen. Daartoe op te wekken, daarbij — zooveel noodig en nuttig — den weg te wijzen, is hel hoofddoel van dit boek.

Daarom verzoek ik dringend, dat de gebruiker, in zijn eigen belang, de

(jeleymheid tot gecstesgymnnstiek — „Kmft-übungquot; zou salzmann zeggen — niet versmade, die daarin, zoowel in den tekst als in de bijgevoegde vragen en opgaven, aangeboden wordt.

Hem, die hij de eerste inzage van het hoek den indruk krijgen mocht, dat ik te veel heh gegeven, antivoord ik: hel is daarmee als met eene verzameling vraagstukken en oefeningen, die het niemand in hel hoofd komen zal, alle te onthouden, maar van welker bewerking vaardigheid in het oplossen — d. i. in ons geval vaardigheid in de zoo noodige, maar ook zoo moeilijke kanst van waarnemen en, als van zelve, ook bekendheid met de. hoofdzaken van het vak, waartoe de eischen van elk in billijkheid en met zaakkennis afgenomen examen zich steeds zullen bepalen, — de vrucht is.quot;

Ook bi/ mijne bewerking der Natuurkunde heb ik het verkrijgen van degelijke kennis op den voorgrond gesteld. Xu is de Mechanica de onontbeerlijke grondslag voor grondige natuurkundige kennis. Daarom - m omdat ik dit gedeelte, naast de leer der warmte-verschijnselen, voor de Lagere school van het meeste belang acht — heh ik aan haar de grootste plaats toegekend.

Dat velen de waarde van kennis der natuur voor de school nog laag aanslaan, in hekend. Laten zij, die zoo oordeelen, eerst goed kennw maken met het vak; wellicht brengt deze kennismaking hen in eene andere stemming. Die het weten kunnen, zijn het er over eens, dat de kennis der natuur een opvoedingsmiddel is van hooge waarde, zoowel voor de zedelijke als voor de praclische ontwikkeling onzer jongens en meisjes.

„Maar van dit alles ' — zegt huxlev — ^neemt uw oud, gestereotypeerd opvoedingsstelsel geen notitie. Natuurkennis, de methode daarvan, de vraagstukken, de moeilijkheder. daarvan, zal ook de armste jongen gedurig op zijn levensweg ontmoeten; en niettemin voeden wij hem zóu op, dat hij bij zijne intrede in de maatschappij in dit alles even onwetend is als op den dag, waarop hij werd geboren. De heden-daagschc wereld is vol gelrokken kanonnen, en wij laten onze kinderen in den strijd des levens gaan, gewapend met schild en zwaard als een kampvechter uit de dagen der Romeinen.

tHet nageslacht zal schande van ons spreken, indien wij aan dezen betreurens-waardigen staat van zaken niet een einde doen komen. Neen! indien wijzelven nog slechts twintig jaren leven, krijgen wij hel met ons eigen geweten te kwaad.

,Ik ben innig overtuigd, dat de eenige weg tot verbetering deze is, dat de beginselen der natuurwetenschap worden gemaakt tot een integreerend deel van het Volksonderwijs.

.Maar U, als onderwijzers, moet ik op het hart drukken, dat boekenwijsheid alléén in natuurwetenschap waan is, en bedrog; — wat gij onderwijst, moet gij eerst weten — oj' gij zondt kwakzalvers moeten willen zijn; en werkelijke natuurkennis beduidt persoonlijke bekendheid met de feiten, mogen ze veel zijn of weinig.quot;

Devextek, Aug. 1890.

1 N H O U I).

Blz.

INLEIDING....................3_(}

LEER JlEM KRACHTEN. BEWEGING EN EVENWICHT.

VASTE LICHAMEN...............7_|40

VLOEISTOFFEN................H Q_1 ;}2

CA SS EN..................132—161

LEER DEK WARMTEVEHSGIUJNSELEN........... 104—224

LEER DER LICHTVERSCHIJNSELEN............ 224_250

LEER DER ELECTR1SCHE VERSCHIJNSELEN.......... 250_284

LEER DER GELUIDVERSCHIJNSELEN............285_290

ANTWOORDEN...................201_204

... . ■ , , ■;.'.

II.

N A T U U R K U N D K.

I N L E I D I N G,

1. Onze zinsgewaarwordingen zyn de grondslagen van onze natuurkennis.

Het ligt in den aard van den mensch, zijne gewaarwordingen toe te schrijven aan dingen, welker bestaan onafhankelijk is van zijne zinnen, van zijn verstand, van zjjne Rede, onafhankelijk van zyn persoonlijk (subjectief) bewustzijn. Dat onafhankelijk van onszelven (objectief) bestaande duiden wij aan als de „stoffelijke wereldquot; of kortweg als de stof of materie.

Terwijl w(j aldus onze gewaarwordingen toeschrijven aan de stoffelijke wereld, zeggen wij, dat deze laatste door ons wordt waargenomen.

2, De indrukken, die wij aan een zelfden invloed der stoffelijke wereld toeschrijven, nemen in ons bewustzijn verschillende vormen aan, al naar het eene of het andere zintuig er door wordt aangedaan.

Dit reeds brengt ons op de gedachte, dat do vormen, onder welke het bestaande tot ons bewustzijn komt, ons wel leeren, wat de stoffelijke wereld voor ons (subjectief) is, hoe zy ons toeschijnt; doch niet, wat en hoe zij „objectiefquot; is, d. i. onafhankelijk van ons gewaarwordingsvermogen.

Het geheel der vormen, onder welke de stoffelijke wereld zich aan ons openbaart, noemen wij de natuur.

15. Gaan wy den oorsprong van dat woord „natuurquot; na, dan vinden wy liet

verwant met een ander, waarin liet begrip worden of ontstaan ligt opge-

i*

4

sloten. En inderdaad is de natuur het gewordene, en dat gewordene liet wordende tevens, liet woord is kenschetsend voor het begrip, dat er mede wordt aangeduid; want aan de duurzaamheid, het altijd blijvende, eenor onafhankelijk van ons bestaande „stofquot; paart zich de veranderlijkheid der gedaante, waaronder wij ze in ons bewustzijn opnemen. Die veranderlijkheid bestaat in eene opeenvolging van vormen, en deze opeenvolging is de moeder van het begrip Tyd.

4. üe waarneming leert ons echter niet alleen het op verschillende, tijdstippen na elkander, maar ook het gelijktijdig naast elkander bestaande kennen. Dat naast elkander zijn voert ons tot het begrip Ruimte.

Stof, Ruimte en Tijd zijn de drie Grondbegrippen, die den geheelen inhoud der natuurkennis samenstellen.

5. Wanneer wij de veranderingen in de stoffelijke wereld, anders gezegd hare verschijnselen, waarnemen, dan staan wij nog slechts op den eersten trap der natuurkennis. Daarnaast toch openbaart zich bij elk denkend wezen eene als ingewortelde behoefte, tusschen die voorwerpen onzer waarneming eene onderlinge afhankelijkheid aan te nemen, —aan de verschijnselen oorzaken toe te kennen. Wij stellen ons immers niet tevreden niet de vraag: ,Wat gebeurt er; welke veranderingen of verschijnselen hebben er plaats?quot;; maar wij vragen verder: „Hoe komt het, dat die verschijnselen plaats hebben; waardoor ontstaan zij Vquot; Die vraag doet ieder op zijne wijze; doch bij allen uit zich in die vraag dezelfde onweerstaanbare drang naar het verborgene, het eeuwige heimwee der menschelyke Rede naar de kennis van het onbekende.

lt;). Hoe eenvoudig ons het begrip van oorzaak en gevolg bij oppervlakkige beschouwing wellicht moge schijnen, hij nader inzien blijkt in de wijze van opvatting eene onrustbarende spraakverwarring te bestaan. Dit gaat zelfs zoover, dat het woord „oorzaakquot; hij Aristoteles in 48, bij Plato in (54 verschillende beteekenissen zou voorkomen! Wel schijnt het dus, ter voorkoming van misverstand geraden, zich eenigermate rekenschap te geven van de beteekenis, die wij hebben te hechten aan onze vragen naar de „oorzakenquot; der verschijnselen.

7. De Grieksche geest vond bevrediging door mm de onbezielde stof, door middel der persoonsverbeelding, ziel en leven bij te zetten; en, zooals Schiller zegt:

5

,Wiiiir thans, naar de wyzen onzer dagen,

Dood, een vuurbol wentelt daar omhoog,

Mende Helios zijn gouden wagen

Oodlijk statig langs den hemelboog.quot; ')

Di' verpersoonlijkte natuur werd eéne grootschc mythe en de schepping in hare volheid des levens was voedsel, zoowel voor het dichterlyk gestemd gemoed als voor de naar waarheid dorstende Rede,

„Toen ge o Dichtkunst nog uw too ver plooien

Troostend om de kille waarheid bield.

Wist ge leven door 't heelal te strooien.

En 't ontzielde voelde zich bezield.quot; ')

S. De hedendaagsche opvatting der natuur, in hare tweeledige gedaante van oorzaak en gevolg, onderscheidt eveneens, doch op andere wijze, werking en gewrocht, /ij beschouwt tie gewrochte, of veroorzaakte natuur, die het voorwerp is onzer onmiddellijke waarneming, als liet geheel der vormen, waaronder het bestaande zich aan ons voordoet, — onbestendig, steeds veranderend, eindig van duur; en de werkende of veroorzakende natuur als den eeuwig werkzamen samenhang van bet bestaande, het verband van alle dingen, — een verband, nergens verbroken, oneindig van duur.

Dien samenhang, dat verband te leeren kennen, in de wijze hoe de verschijnselen onverbrekelijk samengekoppeld zijn, moet luit streven wezen der natuurwetenschap. Zoo blijft zij ervaringswetenschap, en de vraag naar de oor-zakelijkbeid lost zich op in de vraag naar de voorwaarden, aan welker vervulling het optreden van een verschijnsel noodzakelijk gebonden is.

De natuur wordt aldus voor ons een, zoowel in de Ruimte als in den Tijd, aaneengeschakeld geheel, waarin toeval buitengesloten, noodzakelijkheid wet is.

Aansluitende bij de drie grondbegrippen van Stof, Ruimte en Tijd, vatten wij die wet der noodzakelijkheid, volgens welke de voorwerpen onzer waarneming, de verschijnselen, samenhangen, in de volgende drie Grondstellingen samen:

1) Uit «ene van vneudenhiind afkomstige vertolking vim „Die Göttcr Griechenlandsquot;.

rn- iy ■■ - ■

(

(jrRONDSTELLINö DEB /kI.KSTANDIGIIKIH UF DER DUUKZAAMIIEID.

Aan de voorwerpen onzer waarneming ligt, hij alle afwisseling en veranderlijkheid, iels op zich zelf staands, iels ubjectiefs, len grondslag, dat oneindig is en noch vermeerdert, noch vermindert.

II.

GEONDSTKLLINO V^N HET NAAST ELKANDER ZJJN, OF DEK (IEMEENSCMAl'.

Alle gelijktijdig, iiatsist elkander, dus in de Hui 111(0 beslaande voorwerpen onzer waarneming vormen een samenhangend geheel, in zoover zij een wederkeerigen invloed op elkander oejenen.

III.

ÖBONDSTELLIN» VAN HET NA ELKANDER ZIJN, OF VAN DEN TOEREIKENDEN (I ROND.

De 1111 elkander bestaande, de in den Tijd elkander opvolgende voorwerpen onzer waarneming zijn zoodanig saamverbonden, dal elke verandering met noodzakelijkheid, volgens een bepaalden, zekeren regel, op het vooraj'gaande volgt.

De „éénheidquot; en liet „verbandquot; der natuur, waarnaar de onderzoeker vorscht, berust op deze drie Grondstellingen. Het vinden, het aaiiwyzen van dat verband heet „de natuur of de verschijnselen verklarenquot;.

1). De wetenschap ontleent hare grondbejrrippen aan het «lagelgksch leven. Wat (ichter hier de voorstelling aan helderheid te wenschen overlaat, wordt daar tot grootere helderheid gebracht, en wat in het dagelijksch spraakgebruik aan onbepaaldheid lijden mocht, ontvangt in de wetenschap meer bepaaldheid.

Aamnerkiny. Men kun van eene zaak cene voldoende voorstelling hebben om haar van andere zaken te onderscheiden (met een aan de Logica ontleenden term, heldere voorstelling geheeten), zonder zich nog rekenschap te kunnen geven van de bestanddeclen, waaruit zij bestaat (duidelijke of bepaalde voorstelling).

Een van die eenvoudige begrippen, die uit het dagelijksch leven in de wetenschap zijn overgegaan, is het begrip Beweging.

Tegenover het begrip beweging stelt het dagelijksch spraakgebruik het begrip rust. Wij dienen intusschen wel in het oog te houden, dat beide begrippen slechts eene betrekkelijke beteekenis bezitten.

Om te beoordeelen of' een lichaam al dan niet in beweging is, hebben wij punten van vergelijking noodig. Een passagier, die in de kajuit eener stoomboot dood op zijn gemak zijne sigaar zit te rooken, beweegt zich niet, wanneer hij alleen let op de voorwerpen zijner naaste omgeving: de wanden en de meubels der kajuit. Zoodra hij echter de voorwerpen aan tien oever, boomen en huizen, tot punten van vergelijking kiest, beweegt hij zich wél. Hij maakt dan deel uit van de boot en beweegt zich met deze „ten opzichte van den oeverquot;. Doch zelfs wanneer de boot stil lag, zou hij gezegd kunnen worden zich te bewegen, lettende op de zon of de andere lichamen des hemels.

Wanneer wij dus willen handelen over de beweging van een lichaam (of van een punt), moeten wij. om verwarring te voorkomen, vooraf bepalen, welke onze punten van vergelijking zijn. Die, onderling in rust verkeerende, punten van vergelijking vormen dan eene zoogenoemde omgeving of een stekel, ten opzichte waarvan de beweging van het beschouwde lichaam of punt beoordeeld wordt.

Vo Istrekte rust kennen wij niet.

10. Het begrip Beweging sluit de begrippen van Ruimte en Tijd in zich.

De doorloopen plaatsen liggen naast elkander in de Ruimte; en elk punt van het lichaam beschrijft bij zijne beweging eene hju.

Bepaling. De lijn, die een punt van een lichaam bij zijne beweging ten opzichte van zekere omgeving doorloopt, heet de baan van dit punt. Is de baan eene rechte lyn, dan heeft men met eene rechtlijnige; is zy eene kromme lijn, dan heeft men met eene kromlijnige beweging te doen.

8

A a n in. Wanneer het bij de besehouwing eener beweging van een lichaam onnuodig is, de

plaats van het eene lichaamsdeel te onderscheiden van die, welke een ander deel inneemt,

dan kan het geheele lichaam als een enkel stoffelijk pant beschoinvd worden.

Met het begrip eener lijn, evenzoo van eene doorloopen baan, verlnmlen wij het begrip Richtiny.

Bhtalino. De Rich line/ der beweging in een bepaald punt van de baan wordt, in 't algemeen, voorgesteld door de raaklijn in dat punt aan de baan.

In het bijzondere geval, dat de baan rechtlijnig i«, vallen de raaklijn en de baan te zamen.

Wanneer de lijn ad in fig. 1 de baan is, die een punt bij zijne beweging doorloopt, dan stellen de als pijlen geteekende raaklijnen /', /*', /'quot; en respectievelijk de richting der beweging voor in de punten a, /*, c en d.

De opeenvolgende punten der baan worden na elkander in den Tijd doorloopen.

Bepaling. Het in zeker tijdsverloop afgelegde gedeelte van de baan heet de daarin doorloopen wecjlenqtc of' kortaf wcy.

Daar een tijdsverloop, en evenzoo eene wcglengte, grooter of kleiner kan zijn, ontwikkelt zich uit de beschouwing van den doorloopen weg ten opzichte van het tijdsverloop het begrip Snelh c id.

Ook deze beide begrippen, richting en snelheid, hebben in het dagelijkscli spraakgebruik het burgerrecht; zij hebben echter in de natuurkundige leer dei-beweging eene scherper omschreven beteekenis.

11. De lijn cd) in fig. 1 kan doorloopen worden van a naar d, achtereen

volgens over de punten h en c; en ook van ^Flt5' '' d naar a over de punten c en h. Men zegt

/' dan, dat in het laatste geval de beweging in

^ tegengestelden zin plaats heeft als in het

eerste. Heeft de beweging plaats van n over h en c naar rf, dan wijst men den zin der quot;■/ jgt;quot; '^:,ewe^ⁿS iⁿ opeenvolgende punten a,

^x ft, c en rf aan door de raaklijnen van pijl

spitsen te voorzien, in voege als in fig. 1 geschied is. De tegengestelde zin wordt aangewezen door de spits in tegengestelden stand te teekenen.

A aquot; in. In plants van „richting on zin der beweijiny in nquot; is men ook wel gewoon te zeggen „richting en zin der snelheid in aquot;.

12. Lengte en Tijdsverloop zijn beide Grootheden. Zij kunnen namelijk door middel van getallen als hoeveelheden worden voorgesteld.

De natuurkundige verkrijgt die getallen door meting.

De hoeveelheid eener grootheid door meting bepalen bestaat in het onderzoek, hoeveel malen in de gegeven grootheid eene andere van dezelfde soort

O

begrepen is, \velllt;(' laatste grootheid dan den iniam draagt van mant ut' eenheid van hdcvealheid.

Alt;i urn. Wanneer een getnl een in zeker tijdsverloop iifgelegden weg moet voorstellen, kan ook de ~iii, waarin de beweging heeft plaats gehad, in het gelul worden uitgedrukt, door aan het getal de algebraïsche beteekeuis van positief of negatief toe te kennen. Is Ij (fig. 1) het uitgangspunt der beweging en stellen wij den van dit punt uit afgolegden weg bc door oen positief getal voor, dan wordt de in tegengestelden zin afgelegde weg lm door een negatief getal voorgesteld.

lij. Als Eenheid van Tijdsverloop zou men het tijdsverloop kunnen aannemen tusschen twee opeenvolgende doorgangen eener zelfde ster door het Zuiden, d. i. het tijdsverloop, waarin de aarde eene aswenteling volbrengt.

Bij het aannemen van deze éénheid gaat men uit van de onderstelling, dat alle geheele aswentelingen in onderling gelijke tijdsverloopen plaats hebben; evenzoo dat alle onderling gelijke gedeelten eener aswenteling in onderling gelijke tijdsverloopen geschieden.

liet genoemde tijdsverloop heet een sterredag. Het tijdsverloop tusschen twee opeenvolgende doorgangen der zon door het Zuiden heet een zonnedag.

Zijn de sterredagen onderling gelijk, dan zijn de zonnedagen het niet. Wil men dus een zonnedag als Éénheid van Tijdsverloop aannemen, dan moet hiervoor een gemiddelde uit de verschillende zonnedagen van een jaar, een zoogenoemde middelbare zonnedag') gekozen worden.

Aanm. De bewering, „dat alle geheele aswentelingen in onderling gelijke tijdsverloopen phuits hebben, enz.^v, wordt in het voorgaande eene onderstelling genoemd. Dit eiseht wellicht eenige toelichting, al ware quot;'t alleen om er den lezer niet „over hecn^,, te doen lezen. Allen zijn het met elkaar eens, die tijdsverloopen in de praktijk als gelijk te beschouwen; de wijze waarop deze manier van handelen gerechtvaardigd wordt, voldoet echter niet altijd aan de eischen der logica.

„Men tracht op de eene of andere manier te bewijzen dat de aarde een eenparige beweging om haar as heeft. En in zulk een bewijs ligt altijd een cirkelredeneering verscholen, zoolang men het meten van den tijd aan de draaiing der aarde om haar as wil ontleenen.

„Laat ik de aandacht er op vestigen, dat men nooit door redeneering een feit ot' het bestaan van een verschijnsel kan bewijzen. Dergelijke bewijzen kunnen alleen geleverd worden door waarneming en proefneming: door redeneering kan men slechts aantoonen dat het verschijnsel al of niet in overeenstemming is met gestelde hypothesen ....

.... „Onze tegenwoordige wijze van tijdmeten vindt haar rechtvaardiging alleen in de goede uitkomsten, welke zij ons bij het opbouwen der wetenschap oplevert. Zoodra aangetoond kan worden, dat een tijdmeting op anderen grondslag het mogelijk maakt een grooter aantal verschijnselen eenvoudig te verklaren, zoo moet men de vroegere tijdmeting haten varen.quot;quot;¹)

Dr. V. A. Julius,

I-1-. Als Eenheid van Lengte werd in het laatst der vorige eeuw aangenomen de lengte tusschen de middelpunten van de eindvlakken eener te Parijs in het Staats-Archief bewaarde staaf van platina, bij de temperatuur van 0° C.

¹

De belangstellende en in wiskunde bedreven lezer, die later in deze zaak — en in de grondslagen der Natuurkunde in quot;quot;t algemeen dieper mocht willen doordringen, leze de zeer belangrijke „Beschouwingen over de grondslagen der Natuurkunde^v, door Dr. I'. A. Julius, waai-aan het aangehaalde ontleend is.

10

Deze stiiiif' is bekend nis de , Meter der Archievenquot; (Mètre des Archives).

Aanvi. Meter, min welks ontwerping en uitvoering de grootste wis- en werktnig-

kumligen van hnn tijd hadden samengewerkt, werd — te gelijk met een cylinder van platina:

het standaard-Kilogram — den 4 Messidor van het jaar VU der Fransehe Republiek

(22 Juni 1790) door de „Commissie voor de maten en gewiehtenquot;¹¹ aan het vergaderde Wetgevend

Liehaam vertoond en vervolgens met plechtigheid naar het Staats-Archief overgebracht.

15. Een fjetiil, dat de uitkomst eener meting is, kan uit den aard der zaak slechts tot op zekere hoogte .juist zijn. Voor een goed gebruik van deze „onnauwkeurigequot; of „benaderdequot; getallen is het dus van belang do grenzen te kennen, tusschen welke hunne mogelijke fout gelegen is.

Reeds de maat zelve, die voor de meting gebezigd wordt, bevat eene fout, daar zij eene copie is van eene standaard-maat en dus niet gezegd kan worden van deze minder dan het kleinst denkbare bedrag te verschillen.

Op grond van het voorgaande kan aan twee door meting verkregen getallen niet met zekerheid volstrekte gelijkheid worden toegekend. Zulke getallen worden gelijk genoemd, waaneer hun verschil binnen de grenzen der mogelijke waarnemingsfout gelegen is.

lil. Ni uir verschijnselen van beweging behoeven wij niet te zoeken. Geven wij nu acht op de wijze, hoe een lichaam, of een punt, zich in den Tijd ten opzichte van eene bepaalde omgeving beweegt, dan blijkt, dat in 't algemeen in onderling gelijke tijdsverloopen, onderling ongelijke wegen worden afgelegd.

Bepaling. 1° Eene beweging, waarbij in onderling gelijke tijdsverloopen onderling ongelijke wegen doorloopen worden, heet veranderlijk. 2° Eene beweging, waarbij in onderling gelijke tijdsverloopen, hoe klein ook genomen, onderling gelijke wegen worden doorloopen, heet eenparig.

17. Wij komen nu terug op het in ^ 10 ingevoerde begrip Snelheid.

In liet dagelijksch leven beoordeelen wij de snelheid naar het tijdsverloop, waarin eene zekere weg, — of, omgekeerd, naar den weg, die in zeker tijdsverloop wordt afgelegd. In de natuurkunde doen wij niet anders.

Wij beginnen met het eenvoudigste geval: eene eenparige beweging.

Bepaling. 1° Is het tijdsverloop, waarin een even groote weg wordt afgelegd, bij de eene eenparige beweging gelijk aan dat bij eene andere, of' is de in een even groot tijdsverloop doorloopen weg bij de eene eenparige beweging gelijk aan die bij eene andere, dan heet beider snelheid onderling gelijk.

2quot; Is het tijdsverloop, waarin bij eenparige beweging, onderling gelijke wegen worden afgelegd, in het eene geval «-maal zoo klein als in het andere, — of

is de weg, die in een even groot tijdsverloop wordt afgelegd, in het eene geval, m-maal zoo groot als in het andere,

dan heet de snelheid in het eerste geval ra-maal zoo groot als in het andere geval.

Als Eenheid van snelheid, neemt men die snelheid aan, waarmede in de éénheid van tijdsverloop de éénheid van weglengte wordt afgelegd.

11

Volgens liet voorgaamle is eene ééuparige beweging ile snelheid ,standvastigquot;. (Kr. Wuuroin?)

is. Hij eene eenparige beweging worde in l éénheden van tijdsverloop een weg van « lengte-éénheden afgelegd. In do éénheid van tijdsverloop wordt dan een weg van ^ lengte-éénheden afgelegd.

Volgens de voorgaande Bepaling (3quot;) is de „snelheidquot; gelijk aan I, wanneer in een „tijdsverloopquot;, gelijk aan 1, eene weglengte, gelijk aan 1, wordt doorloopen, volgens (2°) zal de snelheid in het bovengestelde geval J maal zoo groot zijn;

ii. i. gelijk aan ^ éénheden van snelheid.

Het aantal éénheden van snelheid is dus gelijk aan het aantal lengteéénheden van den weg, die in de éénheid van tijdsverloop wordt doorloopen; of, het aantal éénheden van snelheid door v voorstellende:

s

^V ~ t

A nu in. 1° lit liet voorgaande laat zich verklaren, hoe men aan de „Hepalingquot; gekomen is, volgens welke de „8nelheic^^, de .^vegquot;' zon zijn, die in de eenheid van tijdsverloop wordt afgelegd. Dat deze Bepaling onjnist is, zal duidelijk zijn, wanneer men bedenkt, dat de begrippen „snelheid'quot; en „weg'quot; eenvoudige grondbegrippen zijn, die bniten elkanders spheer vallen. Eene snelheid is geen weg, zoo min als een weg eene snelheid is. De gewraakte Bepaling zon alleen als verkorte uitdrukking te verdedigen zijn, ware het niet, dat door die zueht naar kortheid eene hinderlijke begripsverwarring in de hand werd gewerkt.

2° Dat in de Leerboeken der Natnnr- en Werktuigkunde volgens ond gebruik de grootheden snelheid, weg en tijdsverloop respectievelijk door de letters v, s en t worden voorgesteld, vindt zijne verklaring hierin, dat zij de beginletters zijn der Latijnsche woorden vel oei tas (= snelheid), spatin m (= weglengte) en tempns (= tijd).

Volgens § 12 kan, in de vergelijking v = , s een negatief getal zijn, wanneer b.v. in fig. 1 de beweging langs de lijn ad in tegengestelden „zinquot; plaats heeft als de pijlen aanwijzen. Het gegeven quotient, en daarmede de er door voorgesteUe melhrid, kan dus eveneens eene negatieve waarde verkrijgen.

V r. Welke soort van afhankelijkheid bestaat er bij eene eenparige beweging

r tusschen de in zeker tijdsverloop doorloopen weg en dat tijdsverloop?

2° tusschen den in een zeker tijdsverloop doorloopen weg en de snelheid?

3° tusschen het tijdsverloop, waarin een zekere weg doorloopen wordt en de snelheid?

II). H^j eene veranderlijke beweging is de snelheid niet „standvastigquot; en kan zy zelfs op elk volgend oogenblik eene andere worden. Wanneer wij dus hier van de snelheid gedurende een zeker tijdsverloop spreken, kan slechts eene gemiddelde snelheid bedoeld worden.

Bepaling. Gemiddelde snelheid eener veranderlijke beweging „gedurende een zeker tijdsverloopquot;, zoo noemt men de snelheid, waarmede het betrokken lichaam zich eenparig zou moeten bewegen om in een even groot tijdsverloop een even groeten weg af te leggen.

Legt een punt, by eenparige beweging, in een tijdsverloop van t éénheden een weg van 8 lengte-éénheden af, dan bedraagt, volgens S 18, zijne snelheid éénheden.

Had hetzelfde punt dezen weff in een even groot tijdsverloop afgelegd b\j eene vernndcrlijkc, beweging, dan zou dit bedrag van ^ éénheden, volgens de vorige Bepaling, zijne „gemiddelde snelheidquot; gedurende het beschouwde tijdsverloop heeten.

20. De snelheid in een bepaald punt van de baan kan zoowel ten opzichte van hare grootte als van hare richting voorgesteld worden door eene rechte lijn, wanneer men deze namelijk eene lengte geeft, waarin eene vooraf aangenomen lengte-éénheid evenveel raaien begrepen is, als de éénheid van snelheid in de daar ter plaatse bestaande snelheid begrepen is.

ïJl. Langs het vlak eener tafel (P) — vgl. fig. 2 — beweegt zich een plankje (^), over welks oppervlak zich een punt [K), bijv. een knikker, beweegt.

(lesteld dat de beweging van R ten opzichte van de omgeving eveneens de beweging van Q ten opzichte van de tweede omgeving I' bekend is, dan kan ook de beweging van R ten opzichte van deze tweede omgeving I' gevonden worden.

Wij willen dit nagaan voor het bijzondere en eenvoudige geval, (fat

1° R in zeker tijdsverloop zich met eene eenparige, rechtlijnige beweging over het plankje (2 van A naar H verplaatst;

2° de verschillende punten der omgeving (J (het plankje) in hetzelfde

tij ds ve r 1 oo p zich met eene

eenparige, rechtlijnige beweging, langs onderling evenwijdige banen van den stand Q in den stand Q₃ verplaatsen, fn hetzelfde tijdsverloop, waarin R op het plankje Q van A in B komt, is het punt B van het plankje in D

gekomen, en heeft dus R zich op de tafel /' van A naar D verplaatst.

N.H. Wij laten voorloopig in ''t midden, ut' de verplaatsing van A naar I) langs de reehte

lijn AD of Ismgs eene andere lijn geschied is.

A en IJ zijn de beide eindpunten der diagonaal AD van het parallelogram ABDC. De zijden AB en AC stellen de wegen voor, die in een zelfde tijdsverloop respectievelijk worden afgelegd door li op het plankje (} en door een punt A van het plankje op de tafel P.

If!

Onderzoeken wij nu, of de verplaatsing, welke 7? op de tafel ondergaan heeft van A naar 1), al dan niet langs de diagonaal AI) heeft plaats gehad.

Stellen wij het tijdsverloop, waarin (J in den stand komt gelijk aan ^ van dat, waarin het in komt, en '/\j /gt;' in dat tijdsverloop in een punt E gekomen, waarvan wij nog niet, weten, of het al dan niet op de diagonaal AI)

gelegen is. Dan is: AC' = ^ X AG en CE = ' X CD' = ' X CD.

n n n

Hieruit volgt, dat in de AA ACE en ACD:

AC' ; AC = CE : CD.

Bovendien zijn de door bovengenoemde zijden ingesloten hoeken ACE en ACD onderling gelijk, daar CE // CD {Vr. AViuu-om?). Volgens eene meetkundige eigenschap (Kr. Welke?) vinden wij dus:

A ACE ~ A ACD,

waarin ligt opgesloten: L C AE = L CAD.

Deze hoeken kunnen niet anders gelijk zijn, dan wanneer AE en AD samenvallen.

Daar n een willekeurig gekozen getal voorstelde, geldt het gevondene voor elk tijdsverloop na het begin der beweging, zoodat R in eene rechtlijnige beweging ten opzichte van de tafel P verkeert.

Daar bovendien AE : AD =: AC : AC = I : n, is de beweging van H langs de diagonaal AD eene eenparige beweging.

Het punt R van het vorige geval bezat eene beweging ten opzichte van Q. terwijl de punten van Q eene beweging ten opzichte van I' hadden, waaruit eene bepaalde beweging van R ten opzichte van P voortvloeide. Deze laatste beweging heet de rcsulleerende, ook wel samengestelde beweging, terwijl de beide eerste de samenstellende bewegingen genoemd worden.

22, In het voorgaande hebben wij de eerste uit de laatste afgeleid, of, zooals het heet samengesteld.

Omgekeerd kan nu ook eene resulteerende beweging in twee andere o n I-I)nnden worden, d. i. kunnen twee bewegingen gezocht worden, waarvan de gegeven beweging de samengestelde is. Dit laatste komt dan neêr op bet con-strueeren van een parallelogram, bijv. ABDC, waarvan de diagonaal AD gegeven is.

Dit parallelogram draagt den naam van het parallelogram der bewegingen.

Vr. Op hoeveel «ijzen kun, ten gevolge van twee rechtlijnige, eenparige bewegingen, een

punt K van A in D komen ?

M. a. \v.; Op hoeveel wijzen kan de gegeven beweging in twee samenstellende bewegingen

ontbonden worden.

Vr. Op hoeveel wijzen kunnen de beide bewegingen 1° die van li van A naar 15, 2quot; die

van A van A nuar C, tot eene resulteerende beweging samengesteld worden?

ïi!{. In het geval van fig. 2 zij de snelheid, waarmede R /.ich ten opzichte van (J beweegt, gelijk aan r,; de snelheid, waarmede A zich ten opzichte van P beweegt, gelijk aan r₂; de snelheid, waarmede R zich ten opzichte van P beweegt, gelijk aan v₃. Men heeft dan:

t'j : v₂ : v₃ — AH : AC : AD,

14

zoodat, wanneer de „samenstellendequot; snelheden bekend /.ijn, de „samengesteldequot; of resulteerende snelheid gevonden kan worden. Het parallelogram ABCD wordt in deze beteekenis het parallelogram der snelheden genoemd.

Opgaven. 1. Eenc schijf, welker omtrek 5 M is, maakt 18 omwentelingen in I minmit. Met welke „gemiddelde snelheidquot; beweejjt zich een punt van den omtrek ?

N.B. In deze en volgende opgaven moet de centimeter als eenheid van lengte on de sccundc als éénheid van tijdsverloop aangenomen worden.

2. Langs de zijden van een driehoek, 6, 8 en 15 cM lang, beweegt zich een punt respectievelijk met eene snelheid van -t éénheden langs de eenc, van 2 x éénheden langs de tweede en van 3 x éénheden langs de derde zijde. In 3 secunden is de geheele omtrek doorloopen.

Hoe groot is de snelheid, waarmede elke zijde wordt doorloopen? Hoe groot is de gemiddelde snelheid, waarmede de omtrek doorloopen wordt?

3. Het plankje Q, van lig. 2 verplaatse zich over do tafel P van links naar rechts, in de richting van zijn langsten rand, met eene snelheid van 40 éénheden. Het punt li verplaatse zich onderwijl tusschen A en het naastliggende hoekpunt van den korten rand van het plankje, heen en weer, met eenc snelheid van 30 éénheden.

Construeer den weg, dien li, bij zijne heen- en weergangen over het plankje, ten opzichte van de tafel doorloopt; eii bereken, hoe vaak de korte rand, als R dien 3 maal heeft afgelegd , in den op de tafel doorloopen weg begrepen is.

4. Eene stoomboot beweegt zich stroomafwaarts in de richting van den stroom, met eene gemiddelde snelheid van n éénheden, licreken do grootte en construeer de richting der go-middelde snelheid, waarmede een bal zich ten opzichte van den (met de stroomiichting evenwijdig loopenden) oever verplaatst, tils hij dwars over het dek rolt met eenc gemiddelde snelheid van b éénheden.

5. De bij stil weder loodrecht op den bodem vallende rogendruppels schijnen, uit een spoorwegrijtuig gezien, schuins neder te vallen, wanneer do trein in beweging is. De dooide rechthoekige ruit zichtbare weg van een druppel snijdt oen driehoek van de ruit, welks horizontale en verticale rechthookszijdon respectievelijk fio cM en ri7 eM lang zijn; terwijl do waggon zich met eene snelheid van 1400 éénheden voortbeweegt. Hoe groot is de snelheid der nedervallende regendruppels, wanneer meu hunne bewoging, evenals die van hot rijtuig, gedurende don korten tijd der waarnoming, als ééuparig beschouwt?

24. Kent men van eene veranderlijke beweging slechts de „gemiddelde snelheidquot; gedurende een zeker tijdsverloop, dan kent men nog slechts onvolledig de wyze, waarop de beweging heeft plaats gehad; want in de eerste helft van het beschouwde tijdsverloop kan de afgelegde weg zeer goed een andere geweest z\jn dan in de tweede helft.

Nu zal de veranderlijke beweging van een punt beter en vollediger «ekend worden, naarmate de gemiddelde snelheid voor kortere opeenvolgende tijdsver-loopen wordt aangegeven; en zoo komen wij tot het invoeren eener waarde, waaraan een wiskundige den naam van grenswaarde of limiet geeft.

De grenswaarde of limiet, die wij in het geval van veranderlijke beweging invoeren, is de limiet, waartoe de bovengenoemde uitdrukking ^ nadert, wanneer t tot 0 nadert. Men schrijft dit aldus:

s

him. ^ , voor Lim. t — 0.

Bepaling. De yrensivnarde of limiet der „gemiddelde snelheidquot; gedurende een klein tijdsverloop, dat tot 0 nadert, heet de „snelheid op het tydstipquot;, dat aan dit kleine tijdsverloop onmiddellijk voorafgaat.

15

26. Wij willen nu een bijzonder geval van eene veranderlijke beweging' {Opg. Geel'do Hcpaling van zulk eene beweging.) aan een onderzoek onderwerpen, het geval namelyk, dat de sedert het begin der beweging doorloopen weg evenredig is aan de tweede macht van het tijdsverloop, waarin hy wordt afgelegd.

De weg, die in de eerste éénheid van tijdsverloop sedert het begin dér beweging wordt doorloopen, z\i byv. gelijk aan s, éénheden, en in t éénheden van tijdsverloop na het begin gelijk aan s,lt;², onverschillig welke waarde t moge

hebben: s = Sj#²...........(1)

Groeit dan het tijdsverloop met eene zekere hoeveelheid, byv. van 0 éénheden, aan, dan ondergaat ook de afgelegde weg eene zekere aangroeiing, bijv. van a éénheden, zoodat de vergelijking (1) overgaat in:

s (T = s, (lt; 0)¹,

waaruit volgt:

o- rr s, (lt; O)¹ — S, t* — 2s_llt;0.

De gemiddelde snelheid, gedurende het tijdsverloop van 0 éénheden is dan: fj s.O¹ 2.S|lt;0

X = -0quot;^quot; = *.0 2V.......(2)

Door nu 9 tot 0 te doen naderen, verkrijgen wij de „grenswaardequot; of „limietquot; der „gemiddelde snelheidquot; gedurende een zeer klein tijdsverloop, dat op een tijdstip, t éénheden na het begin der beweging, aanvangt.

Deze grenswaarde hebben wij genoemd: de „snelheid op dat tijdstipquot;, nl. / éénheden na het begin der beweging.

Stellen wij deze snelheid voor door vt, dan volgt uit (2):

vt — Lim. (s_t6 28(0, voor Lim, 0 = 0.

Deze Limiet is 28^, welke waarde bereikt wordt, wanneer 0 in 0 overgaat:

Ve = 2s₁i...........(3)

Bij eene beweging als de bedoelde, is dus de „snelheid op een zeker tijdstipquot; evenredig aan het, sedert het begin der beweging, daaraan voorafgegane tijdsverloop.

Aaum. Van de vergelijkingen (1) cn (3) is de eene het noodzakelijk uitvloeisel van de andere. In het bovenstaande is (3) nit (1) afgeleid. Even goed kan (1) uit (3) worden afgeleid. (O/*/. Beproef dit te doen).

2(i. Hij de beschouwde beweging was de „snelheid op verschillende tijdstippenquot;, volgens vergelijking (3), de volgende:

by het begin der beweging = 0,

na 1 éénheid van tijdsverloop = 2s,.......(4)

, 2 éénheden „ „ = 4«,,

„3 „ „ „ — 6«,, enz.

Hieruit blijkt, dat de snelheid in opeenvolgende, onderling gelijke tydsver-ioopen telkens met een gelyk bedrag vermeerdert.

Bkpauno. Eene beweging, welker snelheid in opeenvolgende, onderling gelijke tydsverloopen, hoe klein ook genomen, met onderling gelijke hoeveelheden toeneemt, heet eenparig versneld.

I(i

Brengen wij lt;le voorgaande Bepaling over op de vergelijkingen (1), (3) en (4), dan geraken wij tot de volgende eigenschappen:

P Bij eene eenparig versnelde hewecjiny zonder be yin snelheid is de of zeker tijdstip sedert hel h eg in der heiveginy doorloopen weg evenredig tian de tweede macht van het tusschen deze heide tijdstippen gelegen tijdsverloop.

2° Bij eene eenparig v er snelde beweging zonder h eginsnelheid is de „snelheid op een zeker tijdstip'''' evenredig aan het tusschen dit tijdstip en het begin der beweging gelegen tij dsv er loop.

3° Bij eene eenparig v er snelde bew eging zonder b eginsnelheid is het aantal éénheden der „snelheid na de éénheid van tijdsverloopquot; het dribbel van het aantal éénheden der weglengte, op dat tijdstip, sedert het begin der beweging afgelegd.

27, Vermeerdering van snelheid wordt in het gewone spraakgebruik aangeduid door het woord Versnelling.

Wij nemen ook dezen naam in de wetenschap over en geven aan het begrip, dat er door wordt voorgesteld, eene nauwkeuriger omschrijving.

Bepaling. 1° By eene eenparig versnelde beweging wordt de „versnellingquot; n-maal zoo groot genoemd, wanneer eene gelijke vermeerdering der snelheid plaats heeft in een w-maal zoo klein tijdsverloop, of wanneer in een gelijk tijdsverloop de vermeerdering der snelheid w-maal zoo groot is.

2° Éénheid, van versnelling is de versnelling, waardoor, in de éénheid van tijdsverloop, de snelheid met eene éénheid toeneemt. 3° De Richting der versnelling, bij eene rechtlijnige eenparig versnelde beweging, noemt men de richting, volgens welke het lichaam zich in den zin der beweging verplaatst.

Volgens de voorgaande Bepaling heeft de „versnellingquot; (a) der in 25 en 20 beschouwde „eenparig versneldequot; beweging de standvastige waarde van 2.'!, éénheden:

O = 2«!...........(5)

N.B. Tot hot voorstellen van do waarde der „ver8nelling^,,, bezigt men de letter a, als

beginletter van het Latijnsehe woord acceleratie (= versnelling).

Bij eene „eenparig versneldequot; beweging zonder beginsnelheid worden dus de „snelheid na de eerste éénheid van tijdsverloopquot; (v,) en de „versnellingquot; (quot;) door een gelijk getal éénheden voorgesteld:

n — ...........(6)

28. In § 21 zijn twee „eenparigequot; bewegingen tot eene enkele resulteerende beweging samengesteld. Het zal nu niet moeilijk vallen hetzelfde te doen met twee „eenparig versneldequot; bewegingen. Wij bedienen ons daartoe weder van fig. 2 en stellen ons voor, dat het punt li zich over het plankje (} verplaatst met eene eenparig versnelde beweging langs de lijn AB, terwijl het plankje zich over de tafel P verplaatst met eene eenparig versnelde beweging in de richting

17

AO. De irelieele redenoeriiig, die op biz. 12 vonr het geval der eenparige beweging gegeven is, kan nu herhaald worden, alleen met dit onderscheid, dat nu de doorloopen wegen AC' en AC, evenzoo CE en CD, zich verhouden als de tweede machten van de tijdsverloopeu, waarin /ij worden afgelegd, dus als 1 : ?i².

De uitkomst is, dat ook nu de resulteerende beweging plaats heeft langs de diagonaal AD van het parallelogram AliDC, en dat zij, evenals elk der samenstellende bewegingen, eene „eenparig versneldequot; beweging is.

Stelden in fig. 2 AC en 150 de wegen voor, die hij de samenstellende bewegingen respectievelijk in de eerste éénheid van tijdsverloop werden afgelegd, dan is AD de weg, dien het punt li in dat tijdsverloop ten opzichte van de tafel 1' aflegt en dan zouden, volgens vergelijking (5) de respectieve „versnellingenquot; dier bewegingen zich eveneens verhouden als AC : AH : Al), zoodat uit de gegeven samenstellende versnellingen de resulteerende versnelling kan gevonden worden.

In deze beteekenis heet het parallelogram ABDO het parallelogram der versnellingen.

20. Wij willen nu eene „eenparig versneldequot; beweging beschouwen van een zeker tijdstip af, waarop het bewegende punt of lichaam reeds eene zekere snelheid bezit, die wij de heginsnelheid willen noemen. Deze „beginsnelheidquot; op een zeker tijdstip zij = v, terwijl de snelheid op een tijdstip, t éénheden van tijdsverloop later (cimUnelheid) — vi zij. De in dat tijdsverloop ondergane vermeerdering der snelheid bedraagt dan vi — v éénheden, d. i. per éénheid van tijdsverloop

Vi — v

Uit deze vergelijking volgt:

Vt = V ■ dt,

waarin a weder de „versnellingquot; voorstelt.

Is de ,heginsnelheidquot; eener eenparig versnelde beweging op zeker tijdstip = ?;, de „versnellingquot; = «, dan is l éénheden van tijdsverloop later de „eindsnelheidquot;: vt = v ut. In geval de beschouwde eenparig versnelde beweging eenvoudig de voortzetting ware van eene voorafbestaande, welker snelheid, onder den invloed van dezelfde versnelling a van 0 tot v was aangegroeid, dan zou deze snelheid v bereikt z\ju ^ éénheden van tijdsverloop na het begin der beweging.

verloop na het begin der beweging bereikt zijn.

v ,, 1

In een tijdsverloop van éénheden bedraagt de afgelegde weg ,, a

CL u

salvkkda on i.K iiov, Naluurheuuis, 11. 2dc druk.

18

De in de beschouwde t éénheden werkelijk afgelegde weg (s) bedraagt dus: ^ 2vat aV _ ^ _wa,_{iruit volgt;}

2« 2a

.s = h- aP.........(8)

N.B. De vergelijkingen (7) („vergelijking dor verkregen snelheidquot;) en (8) („vergelijking dnr dourloopen wegenquot;) zijn de beide grond-vergelijkingen der „eenparig versneldequot; beweging. De «enu is een noodzakelijk uitvloeisel van de andere. In bet bovenstaande is (8) uit (7) alge-leid; even goed kan (7) nit (8) worden afgeleid. (Oyjr/, Heproef dat).

;{0. Bet'Aling. 1° Eene beweging, welker snelheid in opeenvolgende onderling gelijke tijdsverloopen, hoe klein ook genomen, met onderling gelijke bedragen vermindert, heet eenparig vertraagd. 2° De „vertragingquot; in een zeker tijilsverloop wordt bij zulk eene beweging evenredig gesteld aan de vermindering der snelheid, of, bij gelijke vermindering der snelheid, omgekeerd evenredig aan het tijdsverloop, waarin zij heeft plaats gehad. 3^U Éénheid van vertraging is zoodanige vertraging, waardoor de snelheid in de éénheid van tijdsverloop met eene éénheid afneemt.

4^U De Richting der vertraging bij eene rechtlijnige eenparig vertraagde beweging wordt aangewezen door de lijn, volgens welke het lichaam zich beweegt, in tegengestelden „zinquot; van deze beweging.

;{i. Is bij eene „eenparig vertraagdequot; beweging de snelheid op een zeker tijdstip (beginsnelheid) = v, en een tijdsverloop van t éénheden later = vi, dan is de in dat tijdsverloop ondergane vermindering van snelheid = v — vi, d. i. per

éénheid van tijdsverloop: ^~ - éénheden, zoodat (volgens bovenstaande Bepaling 2° en ;?⁰) de vertraging # = ' ^ ' éénheden, waaruit volgt:

Vt = v — wt,..........00

Stellen wij de „beginsnelheidquot; op zeker tijdstip voor door v, de vertraging in de éénheid van tijdsverloop door x, dan vinden wij voor den weg (*), die in een tijdsverloop van t éénheden na het genoemde tijdstip wordt afgelegd:

s = vt — .........

Deze vergelijking (10) laat zich als volgt afleiden:

Wij stellen ons het tijdsverloop van t éénheden in 10 onderling gelijke deelen verdeeld voor, gedurende elk van welke de beweging eenparig blijft; terwijl de snelheid bij het begin van elk nieuw tiende-deel met een sprong verandert en dan de waarde krijgt, die zij hebben zou, wanneer .le beweging van 't begin af eenparig vergheld ware geweest.

/1 \ 1 In de 1ste i ^ n is dan de snelheid = de weg = '» gt;' ^

1 / 1 \ ¹ , , v 2de „ „ „ „ , cc X jo 'y ^;

li»

in de 3fle ^ is dan de snelheid = irx ^ lt;; de weg^^v — ar X ^ ^ ^ i\

quot; » ^0(1(; quot; » « » =»- , » = (w — a: ^x —■ lt;) lt;;

» » ^10lle - » quot; - «X_]0 lt;; , , = - x x ^ t \ i.

De geheele doorloopen weg (s) is dan de som v.ui 10 termen eener rekenkundige reeks, dus:

9

quot; quot;-*^x io 7 ïö '⁼

2 xjo *'• = lt;quot;- 2 ₂x

Was liet gegeven tijdsverloop, in plaats van in 10, in 100 onderling gelijke deelen verdeeld, dan wus de snelheid nog wel met sprongen veranderd, doch de overeenkomst met eene werkelijk eenparig versnelde beweging grooter geworden. Voor den afgelegden weg zou dan gevonden zijn:

1 , l „ , .

s — vt — ^ ^ 2 X lÖÖ^^^{1S eene wn,lir,}'^e' 'li⁰'¹quot;

ter bij vt — ^ xf gelegen dan de vorige.

Daar wij de verdeeling van het tijdsverloop t in onze gedachten zoover kunnen voortzetten als wij willen, kunnen wij de overeenkomst der onderstelde beweging met eene eenparig versnelde zoo groot maken en daarmede het verschil tnsschen den afgelegden weg s en de waarde vt—zoo klein maken, als wij verlangen, zoodat wij, voor het geval dat de beweging werkelijk eene eenparig versnelde is, kunnen stellen:

s =: vt — ⁱl'i^t'.

Ojjff. Beproef, uitgaande van de vergelijking vi = n at, volgens dezelfde redeneering

aan te toonen, dat bij eene eenparig versnelde beweging s — itt '/tOl-.

'{'i. Voordat wij van de „vergelijkingen der bewegingenquot; afstappen, willen wij die der doorloopen wegen en der snelheden van eene eenparig veranderlijke beweging nog eens uit een bijzonder oogpunt beschouwen en onderling vergelijken.

In de vergelijkingen (8) en (10)

« = ?)lt; ⁱl_i!alⁱ en s = vt — ⁱl₂xt-vinden wij dezelfde termen; alleen het teeken van den tweeden term verschilt.

Wilden wij aan de uitdrukking vt, op zich zelve beschouwd, eene beteekenis toekennen, dan zou zij beschouwd kunnen worden als de weg, die bij eene „eenparigequot; beweging, met eene snelheid van v éénheden, in t éénheden van tijdsverloop wordt afgelegd.

En wilden wij aan de uitdrukking 'j^at' of 'l^xtquot; eene beteekenis toekennen, dan zou zij beschouwd kunnen worden als de weg, die bij eene „eenparig versneldequot; beweging zonder beginsnelheid, met eene versnelling van n (of a?) éénheden, in t éénheden van tijdsverloop wordt afgelegd.

De door de geheele uitdrukking voorgestelde weg is dan dezelfde als die eener

2*

• • ' : • • '• - _r-y ■'........._....

'20

resulteeremle beweging, ontstaan doordien liet bewegende punt deelgenomen heeft aan twee samenstellende bewegingen, eene „eenparigequot; en eene „eenparig versneldequot;, beide bewegingen in het eerste geval in gelijken, in het tweede geval in tegengestelden zin gericht, zooals door het negatieve teeken (vlt;rh 121 wordt uitgedrukt.

In dien zin opgevat, kan de „vertragingquot; cc in vergelijking (10) als eene negatieve „versnellingquot; worden beschouwd en door de letter a worden voorgesteld.

Beproef nu zelf in de vergelijkingen (7) en (9): v/ = igt; -h nl en iv = » — xt, liet

tweede lid terng te brengen tot de uitdmkking ecner resulteerende snelheid van twee sninen-

stellende snelheden.

i{'{. In de voorgaande paragrafen hebben wij van de groote groep van verschijnselen, die onder het begrip beweging vallen, eenige bepaalde gevallen iu onze gedachten geconstrueerd, deze in 't bijzonder in hunne verhouding tot Ruimte en Tijd beschouwd en hen zoodanig in hunne bestanddeelen ontleed, dat zij tot hoeveelheden werden teruggebracht. Tusschen deze hoeveelheden bestond een zeker verband van wiskundige afhankelijkheid, zoodat het in den vorm eener „vergelijkingquot; kon worden uitgedrukt.

Het in eene vergelijking uitgedrukte verband, m. a. w. de in eene vergelijking uitgedrukte onderlinge afhankelijkheid tusschen de hoeveelheden, die de ontleding van een verschijnsel oplevert, noemt men eene wet van dat verschijnsel. Zoo kunnen de in het voorgaande ontwikkelde „vergelijkingen der bewegingenquot; de ivettcn der eenparige en der eenparig veranderlijke beweging genoemd worden.

Wij willen nu nagaan, of de werkelijke wereld der verschijnselen voorbeelden oplevert van de voorgaande, in onze gedachte gestelde, bijzondere gevallen van beweging.

Wordt een steen nabij het oppervlak der aarde uit de hand losgelaten, dan neemt hij eene beweging aan ten opzichte van de, door de punten der aardoppervlakte gevormde, omgeving. De steen nadert dan namelijk het oppervlak der aarde, aan welk algemeen bekend bewegingsverschijnsel men den naam van vallen geeft.

Met een ijzeren kogel gebeurt hetzelfde. Een luchtballon, die losgelaten wordt, beweegt zich echter naar boven.

De ruimte, te midden waarvan de genoemde voorwerpen zich bewegen, ia niet ledig, maar gevuld met lucht. Nu bestaan er werktuigen, waarmede men uit eene afgesloten ruimte de lucht, zoo niet geheel, dan toch bijna geheel kan verwijderen. Wordt de luchtballon in zulk eene zoogenoemd „luchtledigequot; ruimte losgelaten, dan stügt hij niet, maar valt evenals de steen en de ijzeren kogel.

Er is geen voorbeeld bekend van een lichaam, dat, in eene luchtledige ruimte losgelaten zijnde, omhoog stijgt.

:S5. Slaan wij acht op den vorm der baan, die de punten van een in de lucht vallend voorwerp doorloopen, dan brengt reeds eene oppervlakkige waarneming aanzienlijke verschillen aan het licht, al naar men b|jv. een watje of

21

een muntsfcnk laut Viillen. In 't algenieen zal de hiuin kromlijnig zijn; doch liet valt niet te miskennen, dat zij, in het geval van het muntstuk meer tot de rechte lijn nadert dan bij het watje.

In de luchtledige ruimte vallen deze verschillen weg en valt de baan met eene rechte lijn samen.

Ook wanneer wij het vallen van het watje en van het muntstuk vergelijken ten opzichte van het tydsverloop, waarin eene zekere valhoogte wordt doorloo-pen, neemt men een aanzienlijk verschil waar. In het geval van het watje is dit tijdsverloop aanzienlijk grooter dan bij het muntstuk. Doch ook dit verschil verdwijnt, wanneer de valbeweging in de luchtledige ruimte geschiedt: eene voor beide gelijke valhoogte wordt dan in een zelfde tijdsverloop afgelegd.

Terwyl dus de waarneming van het vallen in de lucht oogenschijnlijk vele onregelmatigheden oplevert, verdwijnen deze, zoodra wij het verschijnsel onder eenvoudiger omstandigheden, nl. in de luchtledige ruimte, aan een onderzoek onderwerpen.

Vr. In welke drio üpzicliten hebben wij zoogenoemde onregelmatigheden waargenomen?

Wat in het dagelyksch spraakgebruik verstaan wordt onder de uitdrukking, dat het eene lichaam zwaarder is dan het andere, moge voor 't oogenblik als voldoende bekend ondersteld worden.

Een stuk kurk is bij geleken kubieken inhoud, m. a. w. bij gelijk volumen, zwaarder dan een stuk lood. Vallen beide in de lucht, dan nadert, indien ook beider vorm gelijk is, de beweging van het stuk lood meer tot de beweging in de luchtledige ruimte dan die van het stuk kurk. Dat de vorm niet onverschillig is, blykt hieruit, dat de beweging van het stuk lood, wanneer dit den vorm van een kogel heeft, meer tot de beweging in de luchtledige ruimte zal naderen, dan wanneer het, bij gelijk volumen, den vorm van eene plaat heeft.

Het onderzoek heeft geleerd, dat, wanneer het vallende lichaam een zwaar voorwerp is, met een betrekkelijk klein oppervlak, de beweging in de lucht zeer weinig verschilt van die in eene luchtledige ruimte, althans wanneer de valhoogte tot slechts een paar Meters beperkt blijft.

Zulk een zwaar voorwerp is het metalen cylindertje van het in fig. 3 afgebeelde toestelletje, dat den naam van „pasloodquot; of „schietloodquot; draagt. I Iet cylindertje is opgehangen aan een buigzamen draad, die van boven onbeweeglijk aan een standaard bevestigd is. De gespannen draad geeft de richting aan, volgens welke de punten van het cylindertje zich onder het vallen bewegen. Aan deze richting geeft men den naam van „de verticaal (d. i. ,topquot;]ijn, daar zij naar het boven ons hoofd gelegen „toppuntquot; of Zenith des Hemels gericht is) van de plaats van waarneming.

Vergelijkt men de hoeken, die de gespannen draad maakt met twee willekeurig gekozen lijnen op het platte oppervlak eener stilstaande vloeistof, bijv. water of kwik, dan blijken deze hoeken onderling gel\jk te zijn. De verticaal staat, m. a. w loodrecht op dat vlak.

Men overtuigt zich hiervan gemakkelijk door de proef met het paslood boven water of kwik te nemen. (vgl. fig. 3).

Hoe ook de stand van den waarnemer ten opzichte van den boven de vloei-

• • ■

stof liiiiilt;f(!ndeii (Inuul /.ij, liet spiegelbeeld vim den gespiuiuen draad valt steeds in het verlengde van den draad zelven, daar beide kunnen bedekt worden door een draad vau een tweede paslood, dat de waarnemer tusschen liet eersteen zijn oog houdt.

Nu wordt in de leer van het licht bewezen, dat het spiegelbeeld eener rechte lijn, bij eiken stand van den waarnemer, alleen dan in het verlengde der l\jn zal vallen, wanneer deze loodrecht staat op het spiegelend oppervlak.

Een oppervlak, waarop de verticaal loodrecht staat, heet, in verband met het voorgaande, waterpas of, daar het evenwydig is aan bet vlak van den horizon der plaats, horizontaal.

!f7. In het voorgaande ligt, volgens § 33, eene wet opgesloten, daar wij tusschen zekere grootheden, nl. de beschouwde hoeken, eene bepaalde standvastige betrekking, namelijk die van gelijkheid, hebben aangewezen. De ,metingquot; zelve is de „proefondervindelijkequot; bewijsvoering.

EERSTE WET VAN DEN „VEIJENquot; VAI;. ')

Elh lichaam valt volgens eene rechte lijn, loodrecht op het oppervlak eener -stilstaande vloeistof.

Terwijl eene kleine hoeveelheid water een plat eene groote uitgestrektheid, zooals den Oceaan, gebogen en wel ten naaste bij bolvormig, blijkens metingen, die de bepaling van den vorm der aarde ten doel hebben.

Dat een klein wateroppervlak zich als een phit vlak voordoet, ligt aan de onvolmaaktheid onzer herkenningsmiddelen, daar de aardstraal zooveel (luizende malen grooter is dan de afmetingen van het beschouwde oppervlak, dat de geringe kromming van het laatste door geen meetwerktuig kan worden aangetoond.

Daar de verticalen der verschillende plaatsen op aarde elkander wel niet volkomen, maar toch ongeveer in het middelpunt der aarde snijden — wij zullen later hierop nader terugkomen — wordt de „Eerste Wet van den vrijen valquot; alleen bij wijze van benadering in den volgenden vorm gebracht:

Elk lichaam valt volgens eene rechte lijn, die, voldoende verlengd, door het middelpunt der aarde gaat.

!{8. Eene andere betrekking van gelykheid hebben wij in t; 35 reeds aangeduid, ten opzichte van het tijdsverloop, waarin verschillende lichamen eene zekere valhoogte doorloopen. Zij is de zoogenoemde

23

TWEEDE WET VAN DEN -VRIJEN VAL.

Hij (iclijkc valhooyte is hel lijdsverloop tusschen hel begin en hel einde van den vlt;il voor alle lichamen yeiijk.

Om te omlerzoeken in welk verlmml de viiltijd en de duariu doorloopen

weg tot elkander staan, kan men

secunde langs de

100

schrijfstift gaan. Stellen wij ons verder voor, dat ile verticaal 0 voorbij de schrijfstift gaat, op het oogenblik dat het lichaam begint te vallen. De schrijfstift zal dan '/ton sec. later de verticaal 1 treffen; nog '/on ^sec- later no. 2, enz. De punten, waarin de opvolgende verticalen getroffen worden, zijn respectievelijk A, B, (', D, E, enz. Meet men nu de respectieve afstanden Ml), (je, Dd,, Ec, van deze punten tot de horizontale lijn .ry, dan leert men de, in de opvolgende tijdsverloopen van '^nn ^sec'lt; afgelegde wegen kennen. Wordt de proef niet den toestel van Morin genomen, dan vindt men, dat de genoemde afstanden, d. i. de doorloopen wegen, evenredig zijn aan de tweede machten der sedert het begin der beweging voorafgegane tijdsverloopen.

De horizontale verschuiving van het papier wordt in dezen toestel verkregen door het om een cylinder te wikkelen, die eene eenparige beweging heeft om eene verticale as. Het gewicht S levert de beweegkracht, die den cylinder aan-

24

. ■gt;

vunkelyk eene versnelde beweging geei't. Do gelijktijdig hiemiede, doch in sterkere mate, aangroeiende weêrstand der lucht tegen de eveneens in beweging

gebrachte molen wiekjes P, P' regelt na een zekeren tijd de beweging zoodanig, dat zij eenparig wordt.

\V

Eerst dan is het tijdstip daar om met de proef te beginnen, Het vallende voorwerp wordt bij een kleinen omvang zeer zwaar gemaakt, zoodat bij de gegeven valhoogte, de val niet merkbaar van den „vryenquot; val, in eene luchtledige ruimte, verschilt.

De toestel van Morin levert dus de proefondervinde-lyke uitkomst, die vervat is in de

DERDE WET VAN DEN „VRIJENquot; VAL.

De weg, dien een vallend lichaam op zeker tijdstip na het begin van zijn val heeft doorloop en, is evenredig aan de tweede macht van het tussehen beide tijdstippen gelegen tijdsverloop.

40. Brengen wij het voorgaande in verband met §§ 25 en 26, dan is de vrije val een voorbeeld van eene eenparig versnelde beweging.

Een noodzakelyk uitvloeisel van de laatstgenoemde „Wetquot; is dus de volgende

VIERDE WET VAN DEN „VRIJENquot; VAL.

De snelheid van een vallend lichaam, op zeker tijdstip na het begin van zijn val, is evenredig aan het tussehen heide tijdstippen gelegen tijdsverloop.

41. Daar de valbeweging eene eenparig versnelde beweging is, moet, volgens § 27, de „snelheidquot; van een vallend lichaam „aan het einde der eerste secundequot; van zijn val eens zooveel eenheden bevatten als de in die eerste secunde doorloopen „wegquot;, en evenveel éénheden als de „versnellingquot; bedraagt.

Nauwkeurige meting heeft geleerd, dat de „versnellingquot; van een vrij vallend lichaam op verschillende plaatsen op aarde verschillend is en dat zy, de secunde als éénheid van tijdsverloop en den centimeter als éénheid van lengte aannemende, te Amsterdam 981,3 éénheden bedraagt.

N.B. De versnelling van den vrijen val wordt aangeduid dour hot teeken 7, de beginletter van het woord fjravitns (=. zwaarte):

f/ — 981,8.

Vr. Hoeveel bedraagt de door een vrij vallend lichaam in de eerste seeunde van zijn val afgelegde weg?

Vr. Door welk getal zal de versnelling van den vrijen val worden voorgesteld, wanneer Gij in Uw stelsel van eenheden den eM vervangt door den M. ?

Vr. Hoe verhouden zieh de door een vrij vallend lichaam in opeenvolgende secunden doorloopen wegen ?

43. Voorloopig zij hier medegedeeld, dat, terwijl wij in den „vrijenquot; val van een lichaam een voorbeeld hebben van eene eenparig versnelde beweging, het stijgen van een verticaal omhoog geworpen lichaam, wanneer wij weder den tegenstand der lucht buiten rekening laten, een voorbeeld eener

eenpiirig vertraagde beweging is, voldoende aan de in 5? 31 gegeven vergelijking s = vl — De „vertragingquot; dezer beweging bedraagt evenveel een-heden als de „versnellingquot; van den vryen val, zoodat x — g, terwijl vdebeginsnel-heid voorstelt, waarmede het stijgende lichaam zijne beweging naar boven begint.

])e wetten van tien vrijen val schijnen ons thans zeer eenvoudig. Voordat echter de proefneming op het vraagstuk was toegepast, vormde men zich omtrent het verschijnsel van het vallen zeer setieeve voorstellingen. De tijdgenooten van Galilei droegen bijv. nog do van Arisloteles ul'-komstige leer voor, dat oen tienmaal zoo zwaar lichaam in een zelfde tijdsverloop een tienmaal zoo grooten weg doorliep. Galilei had de goede gedachte het vraagstuk aan de beslissing van het experiment te onderworpen en bewees door het laten vallen van voorwerpen van den scheeven toren van Pisa, ten aansehouwe van zijne collegaVhoogleeraren aan de universiteit aldaar, dat men tot dien tijd in grove dwaling verkeerd bad. De ontdekking der „Galileïsche valwettenquot; had plaats omstreeks 1590.

Opgaven. I. Hoi groot is de versnelling, wanneer een voorwerp, 20 secunden na het begin zijner eenparig versnelde beweging, een weg van 2400 M heeft afgelegd?

2. Een lichaam heelt 8 secunden na het begin zijner eenparig versnelde beweging eene snelheid van 2000 e'euheden. Hoe groot is de weg, dien het iu deze 8 sec. heeft afgelegd?

.3. Hoe lang heeft de „vrijequot; val van een lichaam geduurd, wanneer het eene hoogte van 78,4 M heeft doorloopen en met welke snelheid eindigt het? (lt;/ .= »80).

4. Een „vrijquot; vallend lichaam heeft in een zeker punt A zijner baan eene snelheid van 4!I0Ü, in een lager gelegen punt li eene vnn 7840 eenheden. Hoe ver liggen de beide punten van elkander? (7 = 980). \

T). Een lichaam begint met eene snelheid van 5000 eenheden zijne eenparig vertraagde beweging, waarvan de vertraging 1000 e'e'nhcden bedraagt. Hoe gruot is zijne snelheid na 4 secunden en welken weg heeft het in dit tijdsverloop afgelegd ?

6. Een voorwerp wordt verticaal omhoog geworpen met eene beginsnelheid van 2940 eenheden. Hoe lang blijft het stijgen? Hue hoog stijgt het? Hoeveel tijd gebruikt het om weer terug te vallen ? (V; = 980).

4!{. In de voorgaande paragrafen hebben wij ons beziggehouden niet bewegingsverschijnselen. Daarmede niet tevreden, trachten wij die verschijnselen tot hunne oorzaken terug te brengen en vragen, waaraan wij ze hebben too te schrijven. Die pogingen om de verschijnselen tot hunne oorzaken terug te brengen, nemen wij eiken dag, dikwijls in zeer naïeve vermen, in het gewone leven waar, waar men uitgaat van de stelling: „dat niets van zelf gebeurtquot;. Die pogingen ontmoeten wij ook in de natuurwetenschap van de vroegste tyden af. „Voor den natuurkundige,quot; zeide Ckcro '), „is er niets verschrikkeiijkers dan de bewering, dat er iets zon gebeuren zonder oorzaak.quot;

Op welk standpunt staat nu te dezen opzichte de hedendaagsche wetenschap? Bij onze ontleding van het begrip „bewegingquot; hebben wij eene ontwikkeling gegeven van de begrippen „snelheidquot;, „richtingquot; en „zinquot;. Zijn de „snelheidquot;, de „richting' en de „zinquot; eener beweging op een gegeven tijdstip bekend, dan weten wij van die beweging alles, wat w^j er op dat tijdstip van weten kunnen. In dat geval wordt gezegd, dat wij den toestand der hewcyiny op het gegeven tijdstip kennen.

Verandering van don „toestand der bewegingquot; beteekent dan verandering van snelheid of van riciiting, één van beide of in verbinding met elkaar.

1) 10(j—4;! v. C.

26

Zulk etⁱti(3 , venuuleriiig vau toestaadquot; wordt in de hodeudiiagsche bewegingsleer toegeschreven iian oen invloed, door een of' meer andere stofileelen op het bewegende stotdeel uitgeoefend, een denkbeeld, in zijn meest algemeeneu vorm uitgeilrukt in de zoogenoemde Grondstelling der Gemeenschap, die in de Inleiding vermeld is.

Ondervindt een stoffel ij k punt zoodanigen invloed, dan drukt men dat uit door te zeggen, dat er „eene kracht op dat punt werktquot;.

De werking eener kracht onderstelt dus minstens twee stofileelen: één, dat den invloed ondervindt, en één, van 't wolk de invloed uitgaat.

Wij kunnen nu hot boven uitgesproken beginsel in don volgenden vorm breugon:

Grondbeginsel der Traag uk id of der Inertie.

Indien er verandering in den toestand der beweging van een punt /ilaal* heeft, 'tzij in Richting of in Snelheid, dan werkt er cene kracht op dat punt.

A nu ui. Do «•«tenschn]i heult liet woord „krachtquot; aan de dagolijkselie laai ontleend en de spicr„krachtquot; van het menschelijk lichaam als een beeld aangenomen, waavondei' de wei'k-dadige oorzaken der bewegingsverschijnselen worden voorgesteld.

Zegt men in het dagelijksch loven, dat een voorwerp in beweging is geraakt door do spierkrachtquot; bijv. van den arm, dan ligt in de samenstelling van dit woord opgesloten, dat do invloed, dien het voorwerp ondervindt (m. a. w. de kracht, die er op werkt) wordt toegeschreven aan een ander voorwerp, in dit geval de spieren van don arm. 1 it hetgeen vooraf is gegaan, blijkt, dat men in de natnnrknnde dezelfde beschouwingswijze volgt. Vraagt men, waarom men deze beschouwing en geen andore volgt, dan luidt het antwoord; omdat tot heden onze redonoeringeu alleen langs dezen weg bruikbare uitkomsten opleveren, — uitkomsten, die met de werkelijkheid in overeenstemming zijn.

Dat eene andere beschouwingswijze onmogelijk zou zijn, is daarmede geenszins bewezen.

44. In do stelling, die in het zoogenoemde Beginsel der Traagheid ligt uit-godrnkt, hebben wy te doen met een „hypothetisch oordoelquot;, d. i. een oordeel, dat aan eene zekere voorwaarde gebonden is. Zulke oordeelen zijn TJ uit tie „Stellingenquot; der Meetkunde voldoende bekend.

Maken wij, met verandering van den bevestigenden zin in een ontkennenden, de voorwaarde tot het afhankelijk gestelde en bet tegendeel van het afhankelijk gestelde tot voorwaarde, dan ontstaat door deze zoogenoemde contrapositie of „tegenstellingquot; de nieuwe Stelling:

Indien er op een stoffelijk punt geen kracht iccrkt, dan zal er geen verandering in den toestand zijno beweging, 'tzij ten opzichte van Richting of van Snelheid, plaats hebben.

Is de eerste Stelling waar, dan moet de tweede óók waar zijn.

Beredeneer waarom.

4rgt;. Uit onze tweede stelling kan nogmaals eene nieuwe stelling ontstaan door zoogenoemde conversie, of „omkeeringquot; — U uit de Wiskunde genoegzaam bekend —, waarbij het afhankelijk gestelde tot voorwaarde en de voorwaarde bet afhankelijk gestelde wordt:

Indien er in den toestand der beweging van een stoffelijk punt, 'tzij ten opzichte van Richting of van Snelheid, geen verandering plaats heeft, dan werkt er op dat pant geen kracht.

27

l)(! Wiuirheiil van dit _BoiMgeke(^jnl()quot;' lilt;rt in de wanrlieid der voorpriiiinde stolliiiff niet noodzakelijk opgesloten.

Aanrn, De waarlioid, uitgedrukt in de stelling; „Indien twee parullelogi'ammen gelijke buses en gelijke hoogten hebben, dun hebben zij gelijke oppervlakkenslnit volstrekt niet de wuurlioid in zich vim hot oingekeerde: „Indien van twee piirallelognnnmen de oppervlakken gelijk zijn, dan hebben zij gelijke bases en gelijke hoogten.quot;

Wij staan dus voor de vraag, of de laatstgenoemde stelling al dan niet waarheid inhoudt.

Voor zoover in de oudheid het begrip „krachtquot; ontwikkeld was, ging men van liet denkbeeld uit, dat ook een voorwerp, dat in den toestand van eene eenparige beweging was, onder een zekeren invloed verkeerde, in. a. w., dat er eene kracht op werkte: het voorwerp veranderde van plaats —zoo redeneerde men —, dus moest daarvoor eene oorzaak aanwezig zijn. 15ij hen, als bij ons. werd de toestandsverandering aan eene oorzaak toegeschreven; doch terwijl wij onder toestandsverandering alleen verandering in Snelheid en in Richting begrijpen, voegden zij daarbij nog verandering van Plaats. De Ouden handelden van hun standpunt in 't minst niet ongerijmd. Eerst van achteren (achteraf) kan blijken, dat onze nieuwere beschouwing de voorkeur verdient, omdat de uit haar afgeleide gevolgtrekkingen beter in overeenstemming zijn met de uitkomsten der waarneming. De Italiaansche wijsgeer Galilei gaf tot die nieuwere beschouwingswijze den eersten aanstoot; onze landgenoot ('Irrisliaan heeft

haar het eerst nauwkeurig geformuleerd.

De vraag naar de waarheid onzer stelling blijft intusschen óók bij de nieuwere beschouwingswijze van kracht en het, alweder door latere uitkomsten gerechtvaardigde, antwoord luidt, dat de stelling waarheid kan, doch niet noodzakelijk behoeft te behelzen, daar het denkbaar is. dat hot bewegende punt onder twee ol meer invloeden (krachten) staat, die elkanders uitwerksel te niet doen. Daarom wijzigen wij de stelling aldus;

Indien in den _Thewegings toestandquot; v(in een stoffelijk punt, ' t z Ij ten opzichte der Richting of der Snelheid, geen verandering plaats heeft,

dan is het also! er geen kracht op dat punt werkt;

of:

dnn blijkt dal er eene kracht op dat punt werkt.

Evenzoo:

Indien een stoffelijk punt in den toestand ran rust verkeert, d.an blijkt niet dat er (dan is het alsof er geen) kracht op dat punt w e r k t.

•tO. Om aan te duiden, dut er twee of meer krachten op een punt werken, die elkanders werking opheffen, bezigt men de uitdrukking, dat deze krachten „met elkander evenwicht maken ; en dat het punt onder haar invloed in den „toestand van evenwichtquot; verkeert.

J-7. Evenals aan de beweging zelve worden ook aan eene kracht de eigenschappen van Richting en ffaegrootheid toegekend.

28

Hki'M.inh. 1quot; De „Richting eener kniclitquot; is ile riditinp der versnelling of der vertraging, die aan liare werking moet worden toegeschreven. 2quot; Wanneer, bij eene niet eenparige rechtlijnige beweging, de versnellingen of vertragingen in onderling gelyke tydsverloopen, hoe klein ook genomen, onderling gelijk zijn, dan heet de „Grootte der krachtquot; niet te veranderen.

By verandering der versnelling of vertraging wordt, onder overigens gelijke omstandigheden, de Grootte (k'r kracht evenredig aan de versnelling of vertraging gesteld.

Volgens het in deze Bepaling aangenomen spraakgebruik kan dus eene rechtlijnige, eenparig versnelde (of vertraagde) beweging beschouwd worden als het uitwerksel eener, ten opzichte van Richting en Grootte standvastige kracht.

8. Uit het voorgaande volgt, dat eene kracht, evenals eene „snelheidquot; en eene „versnellingquot;, naar richting en grootte door eene lijn kan worden voorgesteld. Het eene uiteinde van zulk eene lijn stelt het punt voor, dat den invloed der kracht ondervindt: „aangrijpingspuntquot;; de richting der lijn is tevens de richting der kracht en de lengte der lijn kan eene voorstelling van de grootte der kracht geven, wanneer gegeven is, welke lengte aan de éénheid van kracht beantwoordt.

Zoolang wij ons in de voorgaande paragrafen bezighielden met de bewegingsverschijnselen, voelden wij vasten grond onder de voeten. Met het ontwerpen van eene leer der hrachten hebben w\j ons op het gebied der onderstellingen of hypothesen begeven. Willen deze meer zijn dan het wilde spel dei-verbeelding en op den naam van wetenschappelijke hypothesen aanspraak maken, dan moeten zij een geordend geheel vormen, zoodanig, dat, door wiskundige redeneering, gevolgtrekkingen uit haar kunnen worden afgeleid, die in overeenstemming z\jn met hetgeen de waarneming ons leert. Slaagt men er in, aldus eene min of meer omvattende groep van verschijnselen langs den weg der redeneering uit haar af te leiden, dan vormt het uitgedachte stelsel van hypothesen met zyne logische gevolgtrekkingen eene zoogenoemde Theorie van die verschijnselen.

Het gedeelte der Natuurkunde, dat zich het ontwerpen van zoodanige theorieën ten doel stelt, draagt den naam van mathematische Natuurkunde; terwijl de ex perimenteele of „proefondervindelijkequot; Natuurkunde langs den weg van waarneming en proefneming tot algemeene wetten en uitkomsten tracht op te klimmen.

A a ii in. Alen late zich door den nmim „mathcmatische^v, natuurkunde niet verleiden tot de gun sell verkeerde meening, alsof de mathesis of wiskunde alleen dezen tak der natuurkunde tot instrument diende; de experimenteele natuurkunde eiseht van hare beoefenaars niet meer, maar ook niet minder wiskundige kennis dan de zoogenoemd mathematische.

50. Onder de theorieën in de natuurkundige wetenschap is de Theorie der bewegingsverschijnselen, ook wel Theoretische Meclumica geheeten, de best ontwikkelde.

20

Het uitgangspunt der Theoretische Mechanica is het Grondhrginsel der Traagheid, in den boven ontwikkelden zin, dien Huygens er aan gegeven heelt.

Eene tweede hypothetische Grondstelling, eveneens door onzen Huygens, op liet voetspoor van Galilei's onderzoekingen geformuleerd, is liet zoogenoemde

Grondbeginsel van de Onafhankelijkheid oer Uit we uks el en.

De beweging, die een ■punt, waarop eene of meer krachten werken, aanneemt, is de „samengesteldequot; van l^u de beweging die het (mogelijkerwijze) reeds bezit en 2° de hcweging(en), die het zou aannemen ten gevolge van elk der w er ken de krachten, indien elk van deze op het in rust ver keer ende p u n t werkte.

Wy willen dit grondbeginsel nader toelichten en splitsen het daartoe in twee onderdeelen.

I'¹ Het punt O (lig. 6) hebbe op een zeker tijdstip eene „eenparigequot; beweging

in de richting van den pijl OX, terwijl op datzelfde oogenblik eene kracht op het punt begint te werken, die, indien zij alleen op het in rust verkeerende punt werkte, er eene „eenparig versneldequot; beweging aan zou mededee-len volgens de lijn OY, zoodanig dat in opvolgende onderling gelijket\jdsverloopen(lt;) respectievelijk de wegen O/y,, //,//.,, zouden worden afgelegd. Indien Oa?, = x_lx._i — de wegen zijn, die by de onderstelde eenparige beweging zouden worden afgelegd in dezelfde tijdsverloo-pen (lt;), waarin bij de pasgenoemde eenparig versnelde beweging respectievelijk de wegen O)/,, VxUi 1 IJi.'h worden afgelegd, dan vinden wij de beweging van liet punt door de beide bewe-

gingen volgens de figuur samen te stellen tot de beweging langs de kromme lijn OZ, waarvan Oï, , z^z.,, z_iz₃ achtereenvolgens elk in een tijdsverloop t worden afgelegd.

2° Indien, als invloed van twee punten P en Q (fig. 7), respectievelijk twee krachten werken op een punt A, dan is het uitwerksel gelijk aan dat eener kracht R, die, naar richting en grootte, wordt voorgesteld door de diagonaa l AD van het parallelogram, welks om de diagonaal liggende zijden AB en AC' respectievelijk de krachten P en Q voorstellen, die van de gelijknamige punten uitgaan.

Deze Stelling is hekend als de Stelling van het Parallelogram van krachten.

De twee krachten P en ^ heeten de composanten; de kracht K de resultante. De krachten I' en Q heeten te zijn „samengesteldquot; tot de kracht R.

51. Twee composanten kunnen slechts op eene wijze tot eene resultante worden samengesteld.

Omgekeerd echter kan eene zelfde resultante het resultaat zyn van een onbeperkt aantal stelsels van composanten.

O[Kj. Miiiik dit met uenc tockoiiing tliiklclijk.

33

De Tweede Wet van Kepjder zegt nu, dat, indien do planeet in een zeker tijdsverloop van 0 in 11 komt, on in oen even groot tijdsverloop van 11 in 1, de oppervlakken der fignren (IAII en IIAI eveneens onderling gelijk zijn.

Nog dient hier, om onjuiste voorstellingen te voorkomen, te worden bijgevoegd, dat de elliptisclie banen, die de planeten bescbrijven, geenszins zoo uitgerekt zijn als die der figuur. Inderdaad zijn zij, in de juiste verhoudingen goteekend, te imuwernood van cirkels to onderscheiden. Zoo staan bijv. de kortste on de langste afstand tusschen de aarde en de zon (AC en AD) tot elkaar als 59 : 61.

'gt; . Passen wij nu op de planeten-beweging het in den zin van Hiiygens ontwikkelde Grondbeginsel der Traagheid toe, dan moet eene planeet, dewijl hare beweging „kromlijnigquot; en ,veranderlijkquot; is, voortdurend onderworpen /.ijn aan de werking eener kracht, d. i. aan den invloed van een of meer andere stoffelijke punten, waardoor de richting en de grootte harer snelheid aanhoudend gewijzigd worden.

De richting van de snelheid der planeet in hei punt A van hare baan (fig. ⁽J) wordt voorgesteld door de raaklijn AC; hare snelheid in A zij zoodanig, dat zij

in zeker tijdsverloop t in 0 zou komen, indien, van het oogenblik af dat zij in A is, haar bewegingstoestand niet meer veranderde, m. a. w. indien er van dat oogenblik af geen kracht meer op werkte. Stellen wij, dat echter in werkelijkheid de planeet in / \ \ datzelfde tijdsverloop l in het punt B van

y hare baan kome. De lijn ('H noemen wij

• i nu de af wijkhui, die de planeet in het tijdsverloop t ondergaan heeft, ten gevolge van den op haar uitgeoefenden invloed. Nu leert eene op Keppler's Tweede Wet toegepaste wiskundige beschouwing, dat de richting der lijn CB, die de „afwijkingquot; voorstelt, meer en meer nadert tot eene zekere grens richting, voorgesteld door de lijn A/, die de planeet met het middelpunt der zon verbindt, wanneer men het beschouwde tijdsverloop tot 0 laat naderen. Men drukt dit uit door te zeggen, dat de „richting van de afwijkingquot; eener planeet in een zeker punt (A) van hare baan wordt voorgesteld door de verbindingslijn van dit punt met het middelpunt der zon (AZ), Het denkbeeld ligt nu voor de hand, de „afwijkingquot; toe te schrijven aan een invloed, eene „krachtquot;, die van de zon (Z) uitgaat, en die steeds gericht is volgens de lijn, die planeet en middelpunt der zon verbindt, in den zin van A naar Z.

Deze gedachte rijpte het eerst in den geest van den grooten Engelschen wijsgeer Isaac Newton, die, aldus voortbouwende op de door Galilei en Huygcn* gelegde grondslagen, aan de leer der krachten eene toepassing gaf, in grootsch-hei;i alle andere overtreffende.

igt;i). Volgens de voorgaande beschouwing is de planeet met de zon als 't ware door een onzichtbaren hand verbonden, waaraan, van de zon uit, getrokken wordt; vandaar de beeldspraak, dat de zon eene aantrekking op de planeet uitoefent. Uit Keppler's Wetten wordt, door middel van hef instrument der Wiskunde, de richting dezer aantrekkende kracht afgeleid.

SAI.VKIIDA en t.i; nov. Natuurkennis, II. 2e druk.

34

Beschouwt men iilzoo de ,afwijkingquot; der planeet, in een klein tot nnl naderend tijdsverloop nadat zij in A is, als den weg, die in dat tijdsverloop onder den invloed eener standvastige, door de zon uitgeoefende aantrekkingskracht doorloo-pen is, dan is deze weg met eene „eenparig versneldequot; beweging doorloopen. De versnelling dezer beweging nadert, by het kleiner nemen van het beschouwde tijdsverloop tot eene grenswaarde, die de „versnelling der afwijking in het punt A der baanquot; geheeten wordt.

Daar volgens de beschouwingswijze van Huygens de „grootte eener krachtquot; naar de door haar veroorzaakte „versnellingquot; beoordeeld moet worden, komt het dus aan op het vergelijken van de „versnelling der afwijkingquot; in verschillende punten der baan, indien men wil beoordeelen, of de door de zon op de planeet uitgeoefende aantrekkingskracht in alle punten van de baan even groot is. De oplossing van het vraagstuk l eeft geleerd, dat

de door de zon op de planeet uitgeoejende aantrekkingskracht omgekeerd evenredig is aan de tweede macht, va.n den afstand tus-schen de planeet en het middelpunt der zon.

56. Wij kunnen het voorgaande aldus samenvatten:

Uit de tivee gegevens, dat een voorwerp 1° eene elliptische haan doorloopt, en

2° haar zoodanig doorloopt, dat het door een voers traal (die het bewegende iioonoerp met een der brandpunten verhindt) beschreven oppervlak evenredig is aan het daaraan bestede tijdsverloop,

vloeit met noodzak el ij k heid vo o r t :

1quot; dat het voorwerp onderworpen is nan de werking eener kracht, die naar het genoemde brandpunt gericht is,

2° dat deze kracht omgekeerd evenredig is aan de tweede macht van den afstand, tusschen voorwerp en brandpunt.

Aan Newton komt de eer toe, deze gevolgtrekking het eerst gemaakt en met wiskundige bewijzen gestaafd te hebben.

Aanm. Newton leverde tevens het wiskundige betoog, dat, wanneer men omgekeerd onderstelde, dat op een eenmaal in bewoging vorkeerend voorwerp eene kraeht werkte -standvastig van het voorwerp naar een zelfde vast punt gericht en veranderende omgekeerd evenredig aan de tweede macht van den afstand 'tusschen dit vaste punt en het voorwerp —, de door het voorwerp doorloopen baan noodzakelijk eene kegelsnede moet zijn, in welker „brandpunt'quot; zich het vaste punt bevindt.

De ellips is eene der drie bestaande „kegelsneden'quot; en wel die, welke ontstaat, wanneer de platte doorsnede van den kegel rondom door den kegel „man ter' gaat.

N.B. De cirkel is hiervan slechts een bijzonder geval, ontstaande wanneer de doorsnede loodrecht op de as des kegels staat.

57. Evenals de planeten zich bewegen ten opzichte van de zon, zoo bewegen zich de vier zoogenoemde wachters, satellieten of manen van Jupiter ten opzichte van dezen. Newton leidde uit de waarnemingen af, dat ook zij zich bewegen, alsof zij door de planeet werden aangetrokken met eene kracht, omgekeerd evenredig aan de tweede macht van den afstand tusschen de maan en het middelpunt der planeet. Hetzelfde geldt voor de manen der overige planeten, ook voor de maan onzer Aarde.

35

Nadenkende over het verschijnsel van de gewone „valquot;beweging, vroeg Newton zich af, of de kracht, die dit algemeen bekende verschijnsel veroorzaakt, ook dezelfde kracht zou kunnen zijn, die aan de Maan hare baan rondom de Aarde voorschrijft.

De „versnellingquot; der valbeweging aan het oppervlak der aarde, ten opzichte V(in de door het 'middelpunt dev cinrde cu de vnslc stevrcn (/evorinde oouyevviyj, kan bepaald worden. Ts nu de kracht, die de, op 60 aardstralen van het middelpunt der Aarde verwijderde. Maan in hare baan houdt, dezelfde als die, welke het vallen van een voorwerp teweegbrengt, doch omgekeerd evenredig aan de tweede macht van den afstand tot het middelpunt der Aarde, dan moet die kracht dus 3600 maal zoo klein zijn als aan het oppervlak der Aarde en de „versnellingquot; moet op dien afstand eveneens 3600 maal zoo klein zijn. inderdaad vertegenwoordigt dit 3(500 maal zoo kleine bedrag de aan den invloed der Aarde toegeschreven „versnellingquot; van de „afwijkingquot; der Maan, ten opzichte van de straks genoemde, door het middelpunt der Aarde en de vaste sterren gevormde omgeving.

Aatnn. Men letto wel, dut in het voorgiuuule de beide bewegingen, welker „vorsnellingen'quot; vergeleken werden, beschouwd moesten worden ten opzichte van de-el/de punten van vergelijking, m. ii. w. van eenc zelfde omgeving. Het is de omgeving (A), die gevormd wordt door liet middelpunt der Aarde en de vaste sterren. De punten van vergelijking, m. a. w. de omgeving (15), tequot; opziehte van welke men gewoon is de beweging van een vallend voorwerp te beoordeelen, wordt gevormd door de punten der anrdoji/iervlakle. De laatstgenoemde omgeving 15 beweegt zieb eeliter ten opzichte van de omgeving A (in 24 uren beschrijft elk punt der aardoppervlakte ten opzichte van de omgeving A een cirkel (dagelijksche „aswente-liug ), en dat maakt, dat de beweging van een vallend voorwerp, dus ook zijne „versnel-lingquot;, ten opzichte van 1! eeue andere is dan ten opzichte van A.

Is ten opzichte van B de beweging van een voorwerp en hare „versnellingquot; (= g) bekend, en is de beweging van 15 ten opziehte van A bekend, dan kan ook de beweging en hare „versnelling (i= G; ten opzichte van de omgeving A uit de genoemde gegevens worden afgeleid.

58. De door den invloed der aarde veroorzaakte „afwijkingquot; der maan kan dus als een „vallenquot; van de maan naar de aarde beschouwd worden. Evenzoo kan de door de zon veroorzaakte „afwijkingquot; der planeten als een vallen naar de zon beschouwd worden.

Is, ten opzichte van de door het middelpunt der aarde en de vaste sterren gevormde omgeving, de „versnellingquot; van een vallend lichaam, op den afstand van 1 aardstraal van het middelpunt der aarde gelijk aan G, dan is zy in 't al-

gemeen op een afstand van n aardstralen gelijk aan —V

rr

Is de „versnellingquot; van de „afwijkingquot; (val) der lichamen, b\jv. der planeten, naar de Zon hieraan gelijk? Newton onderwierp, in eenigszins anderen vorm, ook deze vraag aan een onderzoek, volgens hetwelk de door de zon aan een voorwerp medegedeelde „versnellingquot; a maal ') zoo groot is als die, welke de aarde op denzelfden afstand er aan zou mededeelen.

I) In de opvolgende uitgaven van Neivluns hoofdwerk („Wiskundige Grondslagen der Natuurlijke Wijsbegeertequot;) worden aan a verschillende waarden toegekend, overeenkomstig de mate van nauwkeurigheid, die de metingen van het tijdstip bereikt hadden. In de eerste uitgave (Londen, 1087) vind ik n =; 28700, in eeue Amsterdamsche uitgave van 1723; n — 227r)l2.

3*

36

Do (gt;[) een voorwerp uitgeoefende iiiintrekking hangt ilns, 1)1 ykens liet voor-gaamle, van nog iets anders at'dan van zijn afstand tot liet aantrekkende voorwerp. Dat andere zocht Newton in het aantrekkende voorwerp zelf', zooals hlykt uit zyne omschrijving van het verschijnsel, dat namelijk de hoeveelheid stof der zon u maal zoo groot is als de hoeveelheid stof der narde. De uitdrukking „hoeveelheid stofquot; is tegenwoordig verdrongen door het woord massa.

Volgens uitkomsten van den nieuweren tyd is de massa der Zon ongeveer 322500 maal die der Aarde.

N.B. Men vcnvarrc het begrip ninssn niet met (j rooi Ie (volumen). De Zon is bijv. 1280000

mmil zoo „grootquot; als de; Aarde.

De uitspraak, dat de massa van een voorwerp A w-manl zoo groot is als die van een voorwerp B, is, volgens de voorgaande ontwikkeling, niets anders dan een andere vorm voor de uitdrukking, dat een zelfde in beweging verkeerend voorwerp of stoffelijk punt onder den invloed van A eene „afwijkingquot; zon ondervinden, welker ,versnellingquot; n-maal zoo groot is als veroorzaakt zou worden door het op denzelfden afstand geplaatste voorwerp B.

Bki'alino. 1quot; De ma*sa van elk lichaam in 't by zonder is eene, van plaats en tyd onafhankelijke, onveranderlijke grootheid. 2^U De massa van een stoffelijk punt A is, bij een gegeven afstand, evenredig aan de „versnellingquot; der „afwijkingquot;, die een stoffelijk punt onder zijn invloed zou ondervinden in de richting van de lijn, die A met Q verbindt.

Daar volgens de Bepaling van § 47, (3^U) de „versnellingquot; van B in de richting 15A evenredig is aan de in die richting op B werkende „krachtquot;, ligt in het onder 2quot; gestelde opgesloten, dat de aantrekkende kracht, die op een geueven afstand op een stoffelijk punt (i werkt, onder den invloed van een stoffelijk punt A, evenredig is aan de massa van A.

Toen gebleken was, dat de aantrekkingskracht der Aarde, die een steen doet vallen, ook op de maan werkte, moest Newton wel tot de gevolgtrekking komen, dat de aarde dan ook eene aantrekking zal uitoefenen op alle lichamen in de ruimte, en wel meer of minder naar gelang van hun afstand van haar middelpunt; en dat dus ook de zon niet aan dien invloed kan ontkomen. De aarde moest dus niet alleen naar de zon „afwijkenquot; (vallen), maar de zon moest ook naar de aarde „afwijkenquot;. De „versnellingquot; van de „afwijkingquot; der zon naar de aarde is echter zooveel malen kleiner dan de „versnellingquot; van de „afwijkingquot; der aarde naar de zon, dat de eerste zelfs langen tijd aan de waarneming ontsnapte. Latere waarneming heeft echter aan 't licht gebracht, dat inderdaad beide lichamen, zoowel de zon als de planeet, eene ellips beschrijven om een gemeenschappelijk brandpunt, dat nog binnen het lichaam der zon gelegen is. L)e door beide hemellichamen beschreven ellipsen hebben denzelfden vorm; doch hare assen verschillen evenzeer als de afstanden van het gemeenschappelijk brandpunt tot de middelpunten van zon en aarde.

„Toen men er zoo hevig over twistte, of het de zon dan wel de aarde was, die stilstond, hadden dus beide partijen ongelijk.quot;

37

Door deze beschouwingen geraakte Newton tot de onderstelling, dat elke twee lichamen ot'stoffelijke punten, waar ook in de ruimte geplaatst, de neiging bezitten om elkander te mideren, alsof zij elkander wederkeerig „aantrokkenquot;.

Deze door de aarde op de voorwerpen uitgeoefende aantrekking is dan de oorzaak, diit wij de voorwerpen zwaar noemen. Zij is, volgens Newton, slechts een byzonder geval van eene algemeen werkende kracht, die tusschen elke twee stofdeelen werkzaam is en daarom nlgemeene (Kintreklcincislrdchl geheeten wordt. De voorgaande beschouwingen kunnen samengevat worden in het volgende

O KOND BEGINSEL DHK ALÖHMEENU AANTREKKING.

Twee. s to ff elij kc p u.nten A an li verkrjgen onder lt; l kander s invloed elk eene versnelde heweginc/ voli/ens de lijn, die hen met elk-andcr verbindt, li naar A en A naar li.

Op een zelfde tijdstip zijn beider vertineliiuf/en onu/ekeerd, evenredig aan hunne massa's,

d. i. indien de massa van A M-iiiiiid zoo groot is als die van I?, dan verkrijgt H eene versnelling, die n-niaal zoo groot is als die van A;

terwijl op twee verschillende tijdstippen elks versnelling in H hij-zonder omgekeerd evenredig is aan de tweedr macht van den afstand, waarop het zich van het andere he vin dl.

Ojkj. llorhaal nog eens du twee vroeger behandelde „Grondbeginselsquot;.

(50. De massa's, die in het voorgaande met elkander zijn vergeleken, waren de massa s van hemellichamen. Op deze is de geheele afleiding van het begrip massa gegrond. Later zullen wij zien, dat wij voor het vergelijken van de massa's van aardsche voorwerpen niet de door haar veroorzaakte versnellingen van een ander lichaam meten, eenvoudig omdat dit practisch onuitvoerbaar zou zijn; maar dat wij haar kunnen vergelijken niet behulp van een instrument, dat U bekend is onder den naam van balans.

Als Eenheid van massa kan dienen de cylinder van platina, die met den standaard-Meter te Parijs bewaard wordt en den naam draagt van Kilogram.

01. In de Bepaling van Jj 47, is onder 3° de Grootte eener op een stottelijk punt werkende Kracht onder overigens gelijke omstandigheden evenredig gesteld aan de versnelling of vertraging.

Aan welke beschouwing hebben wij ons nu te houden, indien in het geval van twee bewegende punten A en B, welker versnelling of vertraging dezelfde is, de „overige omstandighedenquot; in zoover ongelijk zijn, dat A eene «-maal zoo groote massa bezit als B? De uitkomst heeft geleerd, dat de leer der krachten tot juiste gevolgtrekkingen leidt, als men zich houdt aan de voorstelling, dat het mededeelen van eene zelfde versnelling aan eene n-maal grootere massa eene n-maal grootere kracht vereischt.

Bepaling. De bij eene zelfde versnelling of vertraging op een punt werkende kracht is evenredig aan zijne massa.

\'r. Op elk vim twee punten A en B, welker tnnssii's onderling gelijk zijn, werkt eene standviistige kracht, ten gevolge wiiarvim A eene versnelling van n, I! eene versnelling van h verkrijgt. Hoe verhouden zich de krachten?

38

Vr. Op olk vim twee punten A en 15, welker miissii's respectievelijk gelijk zijn nan in, en »i,, werkt eene standvastige kracht, ten gevolge waarvan beide punten eene zelfde versnelling van n verkrijgen. Hoe verhouden zich de krachten tot elkander?

Vr. Op elk van twee punten, A en B, welker massa's respectievelijk gelijk zijn aan m, en «ij, werkt eene standvastige kracht, ten gevolge waarvan A ccne versnelling van n, 15 eene van b verkrijgt. In welke verhouding staan do klachten tot elkander?

Als Eenheid van kracht kan nu de kracht aangenomen worden, die aan do Eenheid van massa do Eenheid van versnelling mededeelt.

(»2. Als de kracht, die aan de Eenheid van ,massaquot; de Eenheid van „versnellingquot; mededeelt, gelijk is aan 1, dan is de kracht V, die aan eene massa van m éénheden eene versnelling van n éénheden mededeelt (volgens de Bepi). van hlz. 28, 3° en blz. 37) gelijk aan ma:

V = ma.

03. In § 58 is medegedeeld, dat de massa der Zon 322500 maal zoo groot is als die der Aarde. De „versnellingquot; der „afwijkingquot;, die de Zon aan de Aarde mededeelt, is dan ook 322500 maal zoo groot als die, welke de Aarde aan de Zon mededeelt. De op de Zon werkende kracht, die aan deze 322500 maal zoo groote massa eene 322500 maal zoo kleine versnelling mededeelt, is dus gelijk aan de o]) de Aarde werkende kracht, die aan déze 322500 maal zoo kléine massa eene 322500 maal zoo gróóte versnelling mededeelt.

In 't algemeen volgt dus uit de combinatie der in ^01 gegeven Bepaling met het in ^ 59 gestelde Grondbeginsel, dat de kracht, die wegens den invloed van een punt A op een punt B werkt, van gelijke grootte en tegengestelde richting is als de kracht, die tegelijkertijd onder den invloed van B op A werkt. Newton drukte deze Stelling uit in de volgende bewoordingen:

Elke Actie (werking eener kracht) (jaat gepaard met eene tegengesteld gerichte en even groote Reactio (weder- of terugwerking).

Opqavcu. 1. Hoe hoog zal oen verticaal omhoog gcschotcn kogel stijgen, wanneer hij met eene snelheid van 3920 de tromp van het geweer verlaat? cj = 980.

N.H. Hier on in de volgende Opgaven worden alle weerstanden buiten rekening gelaten.

2. Een afgeschoten kogel, die verticaal omhoog geschoten wordt, stijgt 78,4 M. Met welke beginsnelheid heeft hij het geweer verlaten ?

3. In een pnnt grijpen twee krachten P en Q aan, elk 60 groot, terwijl de lijnen, volgens welke zij gericht zijn, een hoek van GO⁰ met elkander maken. Welken hoek maakt de richting hunner resultante li met die van elke composante en hoe groot is de resultante?

4. Een kogel, verticaal omhoog geschoten, stijgt tot eene hoogte van 51,5 M boven den beganen grond, waar de tromp van het geweer 1,5 M. boven is.

Tot welke hoogte zal hij stijgen, wanneer de hoek, dien de loop van het geweer met den horizontalen bodem maakt (—de ,,ele\atie^hoek) G0^o is?

Wanneer de kogel weder in het horizontale vlak van de tromp teruggekeerd is, hoe ver is hij dan van de tromp af (m. a. w. hoe groot is zijne „schootsverheid^,,)?

Na hoe groot tijdsverloop is de kogel weder tot het horizontale vlak der tromp teruggekeerd?

5. Hoe groot is de standvastige kracht, die een lichaam van 500 eenheden van massa, in 5 eenheden van tijdsverloop een weg van 100 lengte-eenheden doet doorloopen?

6. Eene standvastige kracht deelt aan een lichaam van 10 KG. eene „versnellingquot;quot;' mede van 20. Welke versnelling zal diezelfde kracht mededeelen aan een lichaam van 4 K.G.?

7. Ecne kracht P deelt min oen lichaam van 20 KG. cene versnelling mede van 25; eene kracht (l aan een lichaam van 15 KG. eene versnelling van 50. Hoe verhouden zich de beide krachten ?

8. Als een kogel van 25 (J. hot geweer verlaat mot eene snelheid van 30000, welke snelheid wordt dan aan het geweer modegedoeld, wanneer zijne massa 4 KG. bedraagt?

GALILEO GALILEI.

„Groote mannen zijn zij, dio nienwe denkbeelden ontwikkeld en dwalingen uitgeroeid hebben. Zij zeiven hebben het gezag hunner voorgangers niet geëerbiedigd en zij eischen niet, dat men jegens hen anders handde. Als wij nu, op onze beurt, ons niet aan hun gezag onderwerpen, komen wij daarom volstrekt niet in tegenspraak met den eerbied en de bewondering, welke wij koesteren voor de groote mannen , die onze voorgangers waren.^,,, Cl. Bernard.

Na in liet voorgaande de grondslagen, waarop wij moeten voortbouwen, gelegd te hebben, willen wij eenige oogenblikken stilstaan en achter ons zien.

Wij verplaatsen ons naar het Italië der 15de en Hide eeuw, toenmaals het brandpunt der geheele beschaafde wereld. Een nieuw tijdperk in de geschiedenis der beschaving was aangebroken; een tijdperk van vernieuwd leven, van hervorming en wedergeboorte. Lung had de menschelijke geest aan banden gelegen, totdat hij, machtiger geworden dan zijne kluisters, de vleugelen uitsloeg en in nieuwe scheppingen der kunst zijne vrijmaking verkondigde.

Italië, het land der renaissance bij uitnemendheid, doorleefde deze wedergeboorte niet enkel op het gebied der kunst, maar ook op dat van het wijsgeerig denken. Het was de terugkeer tot de Natuur, de eenige bron, waaruit op den duur bezieling geput kan worden, zoowel door den kunstenaar als door den wijsgeer, die vorscht naar het verband der dingen.

Het vast geloof aan de onfeilbaarheid der vaderen begon te wankelen, toen eenmaal de wysgeerige twijfel in den geest der onderzoekers ontwaakt was. Die twijfel drong hen tot zien uit eigen oogen en tot het scheppen der experimen-teele of proefondervindelijke methode, die het gezag der menschen onderwerpt aan het gezag van het experiment en aan het gezag der natuurwetten.

De kiemen van het vernieuwde leven waren allerwegen aanwezig en wachtten slechts oi) den bevruchtenden invloed eener krachtige persoonlijkheid om tot ontwikkeling te geraken. Zoo ooit, dan was er nu behoefte aan de groote mannen, die hun stempel hebben gedrukt op Italië's gouden eeuw van kunsten en wetenschappen.

„Op een en denzelfden gedenkwaardigen dag, dat een der schitterendste sterren aan den hemel der kunst onderging, verrees eene andere ster boven den gezichteinder, die met niet minder glans haar licht over de wereld zou verspreiden.quot; Het was namelyk op deu 18den Februari 1564, dat te Rome Michel

40

Angela Bmnaroüi dt* oogen sloot en Galileo Galilei tu Pisa liet eerste levenslicht iuiuschouwde.

Galilei's, vader, Vincenzo Galilei, was een Klorentijnscli edelman, die, toen Galileo geboren werd, tijdelyk verblijf hield te Pisa. 11 ijk gezegend met stoffelijke middelen was Vincenzo niet; doch een meer dan gewone aanleg en een onafhankelijke geest waren de kostelijke schatten, die Galileo van zijn vader ten erfdeel ontving.

De gelukkige wijze, waarop de zoon zijn voortreffelijken aanleg ontwikkelde, was beslissend voor zijne toekomst; zijn vader bestemde hem voor de studie der geneeskunde, in die dagen de meest winstgevende der wetenschappen. Den 5den November 1581 begon Galileo zijne studiën aan de Hoogeschool te Pisa. Meer dan door de studie der Geneeskunde, voelde hij zich echter aangetrokken dooide Wis- en Natuurkunde, waaraan hij weldra al zijne krachten wijdde.

De natuurkundige wetenschap van die dagen zag er, vergeleken bij tie tegenwoordige, zeer vreemd uit; minder nog om haar inhoud dan om de methode, die bij hare beoefening gevolgd werd.

Drie eeuwen vóór onze jaartelling had de Grieksche wijsgeer Aristoteles van Stagira (384—322 v. C.), de beroemdste van Pinto's leerlingen, aan de wetenschappen dier dagen een vasten vorm gegeven en in talrijke geschriften een geordend, stelselmatig overzicht ontworpen van de menschelijke kennis van zijn tijd. Achttien eeuwen later leverden diezelfde geschriften aan de beroemdste Hoogescholen de stof voor het onderwijs in de wetenschap der natuur. Het scheen, alsof buiten Aristoteles geen waarheid bestond en of al, wat met hem in strijd kwam, onwaar en uit den Booze was.

Het duurde niet lang, of de onafhankelijke geest van den jongen edelman kwam in verzet tegen dat halsstarrig vasthouden aan een verouderd standpunt, tegen dien eeredienst der doode letter. De banier van het zelfstandig onderzoek werd ontplooid en menige voor onaantastbare waarheid gehouden stelling van den grooten Stugiriet werd aangevallen en verworpen.

Dat maakte den toorn gaande der vertegenwoordigers van het oude, die meenden, tegen zulke „neuswijsheidquot; luide hunne waarschuwende stem te moeten verheffen en niet schenen te bevroeden,

„Dut twee werelden botsten door beider nabijheid,

Dat bet stramme behoud met vooruitgang hier slaags was,

Dat hun roehlend geluid was de domper der vrijheid

Eu de stem van den jongling het krieken eens daags was.quot; ')

Reeds spoedig zou Galilei dun ook ondervinden, dat de rechten der traditie niet straffeloos geschonden worden. Toen namelijk zijn vader zich tot Ferdinand, (irootlicrtog van Toscane, wendde om voor zijn veelbelovenden zoon eene der bestaande studiebeurzen te vragen, wisten tegenstanders te bewerken, dat het verzoek werd afgeslagen. Dat mankte, dat Galilei, na een vierjarig verblijf te l'isa, naar liet ouderlijke imis te Florence terugkeerde, zonder zijne akade-mische studiën voltooid te hebben. Mij zette echter zijne studiën met zoo goed gevolg voort, dat hij weldra de aandacht trok van verscheidene tijdgenooten van

1) l'it „Klokkotoimirquot;' van JJcn Oude win den Bern.

41

iiaiini, waaronder de Markies del Manie, die hem „den Arcliimedes van zijn tijdquot; noemde. Wat meer zegt, del Monlc wist te bewerken, dat (Inlilci in 1589 naar l'isa terugkeerde, niet als student, maar als Hoogleeraar in de Wiskunde, op een jaarlijksch inkomen van (Jü kronen, zegge 180 gulden. Zijne benoeming was eene voorloopige voor den tyd van drie jaar.

Gedurende dit tweede verblijf te Pisa, deed Galilei van den scheeven toren zijne proeven over den val der lichamen en bewees proefondervindelijk de naar hem genoemde Galileïsche rnbvetten, die in strijd waren met de leer van Arislo-tele*, dat de door den val verkregen snelheid van een lichaam afhankelijk zou zijn van zijn gewicht.

Aristoteles zou voor Galilei's bewijzen het hoofd gebogen hebben; de apostelen van den grooten man, wier autoriteitsgeloof onvereenigbaar was met elke vrije gedachte, niet alzoo. Met scheele blikken en erbarmelijke drogredenen werden de koene onderzoekingen van den jeugdigen ambtsbroeder door Pisa's geleerden bejegend, en ijverig werd gezocht naar eene gelegenheid, om den gevaarlijken nieuwlichter het veld te doen ruimen. Galilei liet het zoover niet komen; ziende, dat zyne positie onhoudbaar was, nam hij, vóórdat zijne driejaren ten einde waren, zyn ontslag en ging ten tweeden male naar Florence terug.

Weder op voorspraak van del Monte, trok de vrijmachtige, onafhankelijke Republiek Venetië zich zijner aan, en den 7den December 1502 aanvaardde Galilei het Hoogleeraarsambt aan de Hoogeschool te Padua. Hier leeraarde hij vrijelijk z\jne nieuwe denkbeelden over de beweging in 't algemeen en de door hem ontdekte wetten der valbeweging en der slingerbeweging in 't bijzonder. Hier kon hij ook in vrijheid de volle werkzaamheid van zijn machtig genie ontwikkelen, zoodat zijn roem zich heinde en ver verbreidde.

Vooral nadat Galilei bericht gekregen had van de Hollandsche uitvinding der verrekykers en hij er in geslaagd was een voor sterrekundige doeleinden ge-schikten kijker samen te stellen, volgde de eene belangrijke ontdekking op de andere, belangrijk, omdat er nieuwe denkbeelden aan verbonden waren, de kiemen eener nieuwe wetenschap.

„Feiten zijn op zich zeiven noch groot, noch klein. Eene groote ontdekking is elk feit, dat bij zyne verschijning in de wetenschap heldere denkbeelden met zich brengt, welker licht tal van nevelen verdrijft en nieuwe wegen wijst. Een groot ontdekker is dus hij, die door zijne ontdekkingen aan nieuwe en vruchtbare denkbeelden het aanzijn geeft.quot; ') Zulk een ontdekker was Galilei, die met zijne opzienbarende ontdekkingen oude altaren afbrak en nieuwe opbouwde.

De oppervlakte der maan bleek bergen te bezitten; de melkweg loste zich op in sterren; meer dan 501) nieuwe sterren werden alleen in het sterrenbeeld Orion ontdekt; de Plejaden (het Zevengesternte) zagen haar 7-tal tot liG aangegroeid; de planeten werden in het gezichtsveld van den kijker schijven, terwijl de vaste sterren stippen bleven; Jupiter bleek vergezeld te worden door vier trawanten (manen), die door den ontdekker, zijn vorstel ij ken vriend Cosmus /I van Toscane ter eere, de Mediceïsche sterren geheeten werden.

Dat alles schudde niet alleen de heerscheude leer, als zou er aan het uit-

I) Claude Bernard.

42

spansel niets nieuws meer te ontdekken zijn, op hare grondvesten, maar bevestigde Galilei in zijne reeds vroeger door hem aan Keppler medegedeelde overtuiging, dat het wereldstelsel van Coppemicus het ware was. De behoudsmannen van die dagen schenen echter liever met Aristoleles te dwalen dan met Galilei de waarheid in de oogen te zien. Onder de dragers der wetenschap waren er zelfs, die hardnekkig weigerden, ook maar door een telescoop te kyken, omdat

zij van te voren vast overtuigd waren, met dit werktuig geen verschijnselen te kunnen waarnemen, waarvan Ari* to teles in al zijne geschriften geen woord gerept had. Anderen maakten de tegenwerping, dat het waargenomene gezichtsbedrog was, voortvloeiende uit den aard van de inrichting der kijkers.

Naar aanleiding van al dien tegenstand schreef Galilei aan zijn vriend Keppler: ,Bekommeren wij ons niet om den smaad van den grooten hoop; want ook giganten, laat staan pygmaeën, strijden tegen Jupiter vergeefs. Jupiter staat aan den hemel, hoe ook de sycophanten hem aanblaffen. ... Wat te doen? Zullen wij het met Demócritus of met Heraclitus houden? Ik houd het voor het beste, mijn Keppler, dat wij om de buitengewone domheid van het gepeupel lachen. Wat zegt gy wel van de eerste philosophen dezer faculteit, aan wie ik duizendmaal mijne ontdekkingen heb willen toonen; doch die, met de trage halsstar-

43

riirlieid eener verzadigde slang, noch planeten, noch maan, noch kijker ooit hebben willen zien?

.... Deze soort van menschen gelooven. dat wijsbegeerte een boek is, zoo iets als de Aeneïde of de Odyssee, en dat men do waarheid niet in de wereldruimte, niet in de natuur moet zoeken, maar (ik gebruik hunne eigen woorden) in de vergelijking der teksten! Wat zoudt gij luidkeels gelachen hebben, wanneer gij gehoord hadt, wat de eerste philosooph der faculteit te Pisa, in tegenwoordigheid van den Groothertog, zoo al tegen mij in 't midden bracht, toen hij zich inspande om, nu eens met logische bewijsgronden, dan weer met magische bezweringen, de nieuwe planeten van den hemel weg te disputeerenquot;....

Tn spijt van alle tegenkanting steeg de roem van Galilei zoo hoog, dat zijne gehoorzalen te Padua de toehoorders niet konden bevatten. Uit verschillende landen kwamen studenten zijne lessen volgen en verscheidene vorstelijke personen schaarden zich onder zijne leerlingen.

Die waardeering had hare schaduwzijde; want zij veroorzaakte eene overlading met ambtsbezigheden, die den natuurvorscher, meer dan hem lief was, hinderde in de voortzetting zijner studiën.

Zoo werd het verlangen gewekt naar een rustiger werkkring en werden wenschen geuit, aan welke Cosmus 11 van Toscane een willig oor leende. Den 12den Juli 1G10 werd het besluit geteekend, waarbij Galilei benoemd werd tot eersten philosooph en eersten wiskunstenaar van den Groothertog en van de Hoogeschool te Pisa, op een jaarlijksch inkomen van 1000 Flerentijnsche kronen, en zonder eenige verplichting om èf te Pisa te wonen, öf voordrachten te houden.

Aldus verliet Galilei de Hoogeschool, aan welke hij, 18 jaren geleden, toen zyn verblijf te Pisa onmogelijk was geworden, vriendelijk ontvangen en ondersteund was, — verliet verscheidene edele vrienden en trok naar de Toscaansche residentie aan tie bekoorlijke oevers der Arno, waar hem, weliswaar, aanvankelijk veel eer bewezen werd, doch waar later haat, ijverzucht, bekrompenheid, afgunst en dweperij in zusterlijke eendracht aan zijn verderf arbeidden.

Galilei achtte het voor de verspreiding zijner denkbeelden zeer wenschel\jk, de hooge geestelijkheid te Rome, door eigen aanschouwing, nader bekend te maken met zijne ontdekkingen. Met dit doel vinden wij hem in 1011 in de eeuwige stad, waar hij aan kardinalen en geleerden de door zijne kijkers waar te nemen verschijnselen liet zien. Eene commissie van vier geleerden, daartoe door den kardinaal Bellarmin uitgenoodigd, verklaarde, dat „de nieuwe sterrenkundige ontdekkingen van een voortretfelyk wiskunstenaar,quot; — merkwaardig genoeg, wordt de naam van Galilei niet genoemd — ,die zij zoo lang ontkend, ja, waarmede zij zelfs den spot gedreven hadden, gebleken waren juist te zijn.quot;

De Kardinaal del Monte schreef aan Cosmus II: „GalileVs ontdekkingen zijn aan alle geleerden dezer stad gebleken even gegrond en waar als bewonderenswaardig te zijn. Leefden wü nog in de oude Romeinsche republiek, dan geloof ik zeker, dat men hem eene eerezuil op het Kapitool zou opgericht hebben.quot;

Galilei's wetenschappelijke triomf scheen volkomen te zijn. Het is echter opmerkenswaard, dat, te midden van dien luisterrijken bijval, zijn naam het eerst genoemd wordt in de stukken der congregatie van het Heilig Officium.

44

Het was een memorandum om na te zien, of' in zeker proces Cremnnini, een IToogleeraar te l'adua, Gnlilci ook genociml werd. De bedoeling der vraag list in 't duister; doch in verband met latere gebeurtenissen is het vermoeden niet gewaagd, dat reeds toen de Inquisitie haar man in 't oog hield.

(in li lei, door zooveel bijval bemoedigd, ging intusschen op den ingeslagen weg voort en waagde het eindelijk zelfs, zich openlijk als een voorstander der Ooppernicaansche leer van de dubbele beweging der aarde te verklaren. En ook l.'ierin vond bij bijval, zelfs in de kringen der hoogste geestelijkheid, die, zoolang de Bijbel buiten den str\jd bleef, het wetenschappelijk onderzoek in geenen deele zoo vijandig gezind was, als wel eens, ten onrechte, gemeend wordt. ') Toen bij echter de onvoorzichtigheid beging, in een open brief aan zijn vriend en leerling Cnstelli ook uit den bijbel en uit de kerkvaders te bewijzen, dat de leer van de dubbele beweging der aarde gerechtvaardigd was, barstte'het onweder los. De strafpredikatie van den Dominicaan Cnccini in de kerk S. Maria Novella te Florence, naar aanleiding van Hand. 1: 11: „Gij Galiléscle mannen! wat staat tjij, en ziet op naar den hemel?quot; was het sein tot den aanval. Dit geschiedde op den 4den Advent 1()14.

De storm groeide aan, zelfs onrustbarend genoeg om Gnlilci te doen besluiten, in December 1615 weder naar Rome te gaan, zich hier te verantwoorden en zijne vijanden te verslaan. De ontvangst, die den beroemden geleerde ten deel viel, mocht weder schitterend genoemd worden. Men stelde er eene eer in hem te hooren, en in de aanzienlijkste kringen hield hij voordrachten over den bouw van het heelal, die zijn roem nog deden stijgen.

Zijne vijanden, en onder hen in de eerste plaats vele leden van de invloedrijke orde der Jezuieten, rustten echter niet en de Inquisitie werkte in stilte aan zijn val. Met welk gevolg zij werkte, doet het volgende document zien, gedateerd van den 2r)sten Februari 1616:

„De zeer doorluchtige heer Kardinaal Mellinus heeft den Eerwaarden heer Assessor en Commissaris van het Heilig Officium kennis gegeven, dat — gehoord het oordeel der Paters over de beweringen van Galilei, in 't bijzonder deze, dat de zon bet middelpunt der wereld is en zich niet van hare plaats beweegt; dat echter de aarde, en wel ook nog dagelijks, zich beweegt — zijne Heiligheid aan den zeer Doorluchtigen heer Kardinaal Bellnrmin bevolen heeft, den genoemden heer Gnlilci voor zich te roepen en hem te vermanen, die meening te laten varen; in geval hij mocht weigeren te gehoorzamen, moest de Pater Commissaris, in tegenwoordigheid van notaris en getuigen hem hot bevel mededeelen, dat bij zich geheel en al moest onthouden, eene zoodanige leer en meening te onderwijzen, te verdedigen of te bespreken; wanneer hij zich daar niet bij nederlegde, dan moest hij gekerkerd worden.quot;

De in dit document genoemde vermaning was reeds voldoende: Galilei onderwierp zich aan de vermaning van den Kardinaal. Daarna werd hem hei, besluit medegedeeld van do Congregatie van den Index ¹), waarbij

¹

Index lihrorum j/rohihitorum, d. i. lijst van verboden boeken, waarvan de lezing, wegens daarin vervatte kettersche beschouwingen, van wege de kerk verboden is.

45

liet werk Vim Gojijicrnicuii over de bewegingen der hemellichiimen niet verboden, niaar alleen geschorst werd, tot tijd en wijle daarin de noodige „verbeteringenquot; zouden zijn aangebracht.

Die verbeteringen — aangebracht door den Kardinaal Gaetani — betroffen plaatsen, waar eene poging gedaan werd om overeenstemming tusschen het nieuwe stelsel en den bijbel aan te wij/,en.

Eene volkomen zegepraal hadden Pater Caccini en zijn aanhang dus niet behaald; want de Heilige Congregatie verklaarde de nieuwe leer niet voor strijdig met het geloof en kettersch, maar had alleen uitgemaakt, dat zij niet met de Heilige Schrift overeenstemde en dus alleen ingang mocht vinden als nuttige wiskundige hypothese, weshalve zij alleen die boeken verbood, waarin beweerd werd, dat de leer van Coppernicus niet in tegenspraak was met den Bijbel.

De door Galilei betoonde volgzaamheid tegenover de kerk vond bare belooning in eene geschreven verklaring, dat hij van Home scheidde met een goeden naam, en dat den geleerde ook niet het minste te verwijten was. Hü keerde naar Toscane terug en sleet de eerstvolgende jaren op de villa Segni buiten Florence. Zestien jaren later zou h\j zich ten tweeden male voor de rechtbank des geloofs te verantwoorden hebben.

In 1629 had h\j namelijk een werk voltooid, dat den storm weder in alle heftigheid boven zyn hoofd deed losbarsten.

Galilei was in 1024 den nieuwen Paus Urbanm VIII, zijn voormaligen vriend Kardinaal Barberini, persoonlijk zijne gelukwenschen gaan aanbieden. Met hooge onderscheiding werd hij ontvangen en met gunstbewijzen overladen; en, hoewel hy er niet in slaagde het besluit van 1010 te doen intrekken, kreey hy den indruk, dat het met de handhaving er van niet zoo nauw genomen zou worden. Dat gaf hem moed tot het schrijven van zijn „Dialoog over de heide helangrijksle wereldstelsels, dal van Ptolonieus en van Cojiperninusquot;.

Twee oude vrienden en leerlingen van Galilei, Salvia li en Sagredo, leenden hunne namen aah twee der drie samensprekers, Salviali is de leeraar, die inzicht geeft in de leer van Coppernieus; Sagredo is de geletterde leek, een verstandig, onpartijdig man, die zich wil onderrichten. De vertegenwoordiger van het stelsel van I'tolomeus, en tevens de drager der Aristotelische denkbeelden, draagt den minder vleienden naam van Simplieius. Hoewel de bespreking der zaak aan het slot tot geen afdoend resultaat leidt, is het overwicht van de redeneeringen van den Coppernicaan over die van Simplicius duidelijk genoeg.

Galilei wist in 1630 iu Rome zelf, onder eenige voorwaarden, toestemming voor het afdrukken te verkrijgen. De toestemming gold Rome; doch wegens onvoorziene omstandigheden werd het werk, mede met toestemming der autoriteiten, in Florence gedrukt, waar het in het begin van 1032 in het licht verscheen.

Nog in den herfst van hetzelfde jaar kwam daarop uit Rome een bevel, gedateerd van den Isten October 1032, dat Galilei nog in den loop der maand te Rome moest verschijnen.

Nauwelijks hersteld van eene zware oogziekte, die maanden geduurd had, ook overigens lichamelijk lijdende, hoog op jaren, moest Galilei nu, midden door de pest, die iu Italië woedde en zeer strenge quarantaine-maatregelen

46

noodzakelijk maakte, naar Rome reizen om rekenschap af te leggen voor de toenmaals meest gevreesde rechtbank. De doctoren verzochten uitstel, wat hun, niet zonder moeite, verleend werd tot het volgende voorjaar. Den 13den Februari 1633 kwam hij, hoewel nog zwak, behouden te Rome aan, werd door den Toscaanschen gezant Niccolini hartelijk ontvangen en in diens gezantschapshótel gehuisvest.

De grijze geleerde onderging den 12den April 1633 het eerste verhoor voor de rechtbank der IiKpiisitie. De tegen hem ingebrachte aanklacht luidde, dat hij zich schuldig gemaakt had aan overtreding van het in 1(516 ontvangen bevel, volgens 'twelk hij over de Coppernicaansche leer niet mocht redetwisten, haar zelfs ook niet bespreken mocht.

De beschuldigde trok de juistheid der aanklacht in twijfel en trachtte aan te toonen, dat hem alleen verboden was aan de Coppernicaansche leer vast te houden en haar te verdedigen. Het mocht niet baten: hot archief van het ITeilig Officium bevatte het geschreven protocol van den 26sten Februari 1616, waarin duidelijk te lezen stond, dat ook het bespreken der dwaalleer aan (lalilei verboden was.

Indien het waar is, dat ditzelfde protocol een vervalscht en ondergeschoven stuk was — zooals in den nieuwsten tijd meer dan waarschijnlijk is gemaakt —, dan maakte dit de zaak voor den beschuldigde voorzeker niet beter. (lalilei deed echter al wat in zijn vermogen was om zijne rechters gunstig te stemmen en wist hen zoover voor zich te winnen, dat hem niet de gewone gevangenis, maar eene goede, uit drie kamers bestaande woning bij den fiscaal van het Heilig Officium als verblijf werd aangewezen.

Gemis aan beweging in de vrije lucht en de spanning, waarin de oude man verkeerde, zullen wel de oorzaak geweest zijn, dat hij opnieuw ziek werd. Zoodra hij zich voldoende hersteld gevoelde, verzocht bij zelf, voor z^jne rechters eene verklaring te mogen afleggen. Dit werd hem toegestaan, en den 20sten April verscheen h\j voor de tweede maal voor zijne rechters. Het doet pijnlijk aan. den beroemden geleerde hier de vernederende verklaring te hooren afleggen, dat hij diep berouw had over hetgeen h\j gedaan had, ter bezegeling waarvan hij voorstelde een aanhangsel aan zijn werk toe te voegen, waarin hij de „ten gunste der valsche en verdoemde Coppernicaansche meening aangevoerde gronden krachtig zou weerleggenquot;.

Na zooveel deemoed en onderworpenheid ontving by verlof in het gezantschapshótel terug te koeren.

Den 20sten Juni verscheen Galilei voor de laatste maal en werd. onder bedreiging van pijniging opnieuw naar zijne waarachtige overtuiging gevraagd. Nogmaals moest de groote man zich in het stof vernederen en, zijne wetenschappelijke overtuiging verloochenende, in diepen ootmoed de genade z\jner rechters inroepen.

De uitspraak had plaats den 22sten .luni 1633.

In de kerk van het Dominicanen-klooster St. Maria sopra la Minerva werd den beschuldigde, ten overstaan van zijne rechters en eene groote vergadering van kardinalen en prelaten, zijn vonnis voorgelezen. Het slot luidde aldus: „zoo bevelen wij, dat de ,Dialoog van Galileo Galilei bij openbare verordening ver-

47

boden worde; U echter veroordeelen wij tot de fonneele gevangenis hij dit Heilig Officium, voor een door ons te bepalen tijd, en w[j leggen n de heilzame boete op, in de drie volgende jaren, eenmaal per week de zeven boetpsalmen op te '/eggen, ons voorbehoudende de genoemde straften en boeten te verminderen, te wijzigen, geheel of gedeeltelijk op te heften.quot;

Eerbiedig nedergeknield, werd daarop door den grijsaard een plechtig afzwe-ringsformuller, voor al de aanwezigen, uitgesproken en onderteekend.

Zoo werd de man, die een menschenleven had gewijd aan de bevordering der waarheid, vernederd voor de wereld, vernederd voor zich zeiven.

De geschiedenis der wetenschap wijst hare mannen aan, die niet geschroomd hebben als bloedgetuigen voor de waarheid, die zij verkondigden, op te treden. Tot de zoodanigen behoorde Galilei niet. Eene martelaarskroon heeft hij nooit begeerd; toch heeft hij foltering genoeg doorstaan, de foltering van een vrijen geest door de boeien van den geloofsdwang.

De wetenschap heeft bij zijne toegevendheid gewonnen. Had toch Galilei zijne overtuiging met zijn dood bezegeld, dan ware de wereld geen erfgenaam geworden van zyn onsterfclijken „Dialoog over twee nieuwe wetenschappenquot;.

Na de plechtigheid der afzwering werd Galilei in het gebouw van het Heilig Officium teruggebracht, en nu achtte Paus Urhanus VUT het oogenblik gekomen , het woord genade over hem uit te spreken. 11 ij kwam niet in de gevangenis der Inquisitie, maar werd gehuisvest in eene villa nab\j Rome, waar hy eene beperkte vrijheid genoot. Nog in December 1633 werd zijne gevangenschap te Rome veranderd in eene gevangenschap op de liefelijk gelegen villa Arcetri nabij Florence. '

Hier arbeidde Galilei aan het werk, dat alleen reeds zijn naam onsterfelijk gemaakt zou hebben, namelijk zijn bovengenoemden Dialoog, die, zooals de schrijver in de Voorrede zegt, „eene volkomen nieuwe wetenschap behandelt over een onderwerp, dat zoo oud is als de wereld, de beweging namelijk, waarover de wijsgeer en vele dikke boeken hebben geschreven, doch waarvan do belangrijkste bijzonderheden hun onbekend zijn geblevenquot;.

fn dit boek worden de grondslagen van eene nieuwe leer der beweging ontwikkeld, zooals die tot op onzen tijd door de natuurkundigen wordt voorgedragen.

Het werk werd te Amsterdam bij de Klzeviers tor perse gelegd en was in 1038 afgedrukt. Kort te voren was Galilei weder door eene oogaandoening aangetast, die ten gevolge had, dat hij zijne laatste levensdagen in blindheid moest slijten. Eindelijk was ook voor hem het uur van sclieiden daar. Het donker zijner laatste dagen werd eenigszins verhelderd door zijne twee geliefde leerlingen Viriani en Torricelli, die hun grooten meester trouw bleven tot het einde. In tegenwoordigheid van deze getrouwen ontsliep liij den 8sten Januari 1642, zijne zaak aan het wereldgericht ter beslissing overlatende.

Wat Galilei gewenscht had, te rusten bij zijne vaderen in de oude familiegroeve der kerk Santa Croce, werd niet vereenigbaar geacht met den eerbied, aan de kerk verschuldigd. Zonder luister, in allen eenvoud, werd zijn gebeente in eene bijkapel bijgezet.

De eer der kerk was gered, het verzet gefnuikt en de triomf der geestelijke rechters scheen volkomen.

— ^ • ^r- ^ , , . . . , , _{r ;} ......... .... . . . — _v .. ₍ , . . - . •

48

„Docli eens zon de tong vim hot nakroost hen richten,

Niet eeuwig de zwakke verwonneling zwichten En 't eedle, geplet door verdrukkende macht,

Werd haast door 't geweten der toekomst herdacht.quot; ')

Bij Gnlilei, als bij Coppernicus, wits liet eiitdi» van het leven de aanvang der onsterfelijkheid; beiden hebben voortgestreden ook na hun dood, en hunne zegepraal is volkomen geweest.

In 1737 werden de overblijfselen van den grooten man, met grooten luister en onder deelneming van eene talrijke schaar van Italie's geleerden, in de kerk Santé Or.ice zelve, het Pantheon van Toscane's groote mannen, bijgezet. Een kostbaar inausolenni nam hem op, waartoe de noodige gelden voor een groot deel nagelaten waren door Viviani, „den laatsten leerling van Galileiquot;, zooals onder vele zijner naamteekeningen te lezen staat. En in 1835 waren ook de boeken, waarin de dubbele beweging der aarde geleerd werd, van den Index der verboden boeken verdwenen.

Wonderlijke speling van het lot! Het sterfjaar van Galilei was het geboortejaar vati Isaac Newton, wiens geniale gevolgtrekkingen uit de Ooppernicaansche leer den grondslag vormden der wiskundige sterrenkunde, de schitterendste overwinning van den menschelijken geest op het uitgestrekte veld van het natuuronderzoek.

0 H RI S T1 A A N H U Y GEN S.

„Groote mannen zijn fakkels, die van afstand tot afstand lichten om den gang der wetcnsclnip te leiden.quot; Clnude Dermrd.

Chrwtiaan Huygrns werd geboren te 's Gravenhage, den 14den April 1020. ^{1 1}

Zoo ooit van iemand kon gezegd worden, dat de omstandigheden hem gunstig waren, dan was het van hem. Hij zag het levenslicht in de vrije Republiek der vereenigde Gewesten, waar Descartes in hetzelfde jaar 1G29 een veilig tehuis kwam zoeken; in de Republiek, die reeds langer dan eene halve eeuw streed voor vrijheid van denken en die ook aan een Galilei en een Deseartes toestond hunne gedachten vrijelijk aan de drukpers toe te vertrouwen. Daarbij was hij de kleinzoon en naamdrager van een anderen Chris liaan, die als secretaris van Prins Willem 1 de Republiek gediend had en de zoon van Constantijn, den ge-vierden dichter en secretaris van drie stadhouders: Frederik Hendrik, Willem II en Willem ///; eindelijk de een weinig jongere broeder van een anderen Constantijn, die zijn vader opvolgde als secretaris van Willem III.

Christiaan Huygens handhaafde met eer de traditiën van zijn doorluchtig geslacht, dat den naam van Nederland op het gebied van staatsmanskunst, van letteren en wetenschap zoo schitterend ophield. Christiaan Huygens neemt echter in zijn geslacht van staatslieden eene geheel bijzondere plaats in. Staatkunde is nooit

1) 1 ii: un Msol on S('lliJ)l)eek'^gt;, duur Dm Oude vnn dwi licrq.

49

in zijn smaak gevallen; hij had er zelfs een afkeer van. „Daar ik my weinig aangetrokken gevoel tot, dat politiek gezeur, queule eanzoni politieke, zooals Pater Paolo het noemde, en ik er weinig mede op heb,quot; zoo schreef hij in 1693 aan aan Leibnitz, „houd ik mij buiten aanraking met alles was haar betreft, en het doet mij zelfs pijnlijk aan, dat een geest als de uwe er tijd aan besteedt.quot;

Onze Huygem gevoelde zich meer aangetrokken tot de studie der wis- en natuurkunde, waarvoor hij reeds vroeg grooten aanleg toonde. In 1644 gaf zijn vader hem een leermeester in de wiskunde en hij maakte het zoo goed, dat de vader in zijn dagboek opteekende: „hij begon de mathematique te leeren met zonderling succes: niet alleen alles ligt begrijpende en onthoudende, maar zelfs dagelijks allerhande konstige dingen inventeerende, tot een iegelijks verwon-deringe.quot;

In 1645 werd Huygens student in de Hechten nan de Leidsche Hoogeschool, vanwaar hij in het volgende jaar vertrok naar de door Frederik Flendrik gestichte Doorluchtige School te Breda, waarvan zijn vader een der Curatoren was. Waarschijnlijk heeft hij hier onder de leiding van den Hoogleeraar Van Schooien meer tgd trewijd aan wiskundige onderzoekingen dan aan de rechtsgeleerde studie, waarvoor hij bestemd was. Op 17-jarigen leeftijd schreef hij hier reeds eene verhandeling over de wet, volgens welke de door een vallend lichaam doorloopen weg verandert met den tijd. Descartes laat zich over dit geschrift in een zijner brieven aldus uit: „Eenigen tijd geleden zond de hoogleeraar Van Schooien mij een geschritt van den tweeden zoon van den Heer van Ziiylichem, betreffende eene wiskundige oplossing, waarnaar hij gezocht had; en hoewel hij niet geheel en al geslaagd was, had hij de zaak toch op zoodanige w ij ze aangevat, dat dit my de zekerheid geeft, dat hij in deze wetenschap eenmaal zal uitblinken.quot;

In 1649 1 teerde de twintigjarige Hu/jyens naar 's Gravenhage terug en maakte nog in hetzelfde jaar eene gezantschapsreis naar Holstein en Denemarken mede. Het was de eerste en de laatste maal, dat bij in staatkundige betrekking werkzaam was. Van nu af wydde hij zich geheel aan zijne geliefkoosde studie der Wis- en Werktuigkunde, Natuur- en Sterrenkunde.

Te midden van zijne wiskundige onderzoekingen legde Huygens zich toe op het slijpen van glazen voor verrekijkers en hij bracht het hierin tot eene groote hoogte. Met behulp van zulk een door hemzelven gemaakten kijker deed bij in 1655 eene soortgelijke ontdekking als Galilei, toen deze in 1610 de trawanten van Jupiter vond.

Huygens deelde zij tie vondst aan de geleerde wereld mede in den vorm van het letterraadsel:

Admovcrc oculis distantia sidera, nostris vvvvvvv cce rr h n h q x, dat hij nog in hetzelfde jaar, door omzetting der letters, aldus oploste:

Saturno luna sua eircumdueitur sexdecim diebus hom quatuor, d. i. Saturnus heett eene maan, die in zestien dagen en vier uren om hem rondloopt. Het was, naar haar afstand van de planeten, de (ide van de acht manen van Saturnus, die wij tegenwoordig kennen.

Weldra zou deze sterrenkundige ontdekking door eene nieuwe, merkwaardiger ontdekking gevolgd worden.

(!(dilei had in 1610 door zijn telescoop waargenomen, dat de planeet Saturnus

salvekda on le Roy, Natuurkennis, 11. 2e druk. 4

50

zich als eene driedeelige ster voordeed, een schijfje met nog een lichaampje aan weerszijden, naar hy meende door eene kleine tusschenruimte van de planeet gescheiden. Die lichaampjes verdwenen en kwamen weer terug. Gdlilci deelde zijne ontdekking mede in den vorm van het letterraadsel:

S m ais mr mi Imepoeta levnipvnemvg ttnvir as, waarvan de oplossing is:

Allissimum Planetam tergeminum observavi, d. i. ik heb de verst verwijderde ') planeet als drievoudig waargenomen.

De verklaring van het verschijnsel werd het eerst gevonden door Huygens, die haar in 1C5G, eveneens in den vorm van het onderstaande letterraadsel, mededeelde:

aaaaaaa ccccc d eecee g h iiiiiii Uil mm nnnnnnnnn oooo pp q rr s ttllt uuuuu, waarvan hij nog in hetzelfde jaar de volgende oplossing gaf:

IJ Men kende toen, bclmlve de Aarde, nog slechts vijl' planeten, in volgorde naar hare afstanden van de zou: Mcrcurius, Venus, Mars, Jupiter on Saturnus.

51

Annulo cingitur, tenui, plano, nusquam cohaerente, ad eclipticam inclinato, tl. i.: zij in omgeven van een dunnen, platten ring, (Zie er nergens mede samenhangt en eene helling op dc aardbaan heeft.

Na een kort intermezzo van rechtsgeleerde studie, ten einde in Frankrijk den graad van Doctor in de rechten te verwerven, bracht hy de wereld opnieuw in verbazing door de toepassing van den slinger op de uurwerken, een denkbeeld, waarmede Galilei zich gedurende zijne blindheid in zijne laatste levensjaren reeds had bezig gehouden en dat nu door Huygens, onafhankelijk van Galilei, tot uitvoering werd gebracht. Toen Galilei de eigenschappen van den slinger had ontdekt, lag liet voor de hand dezen als tijdmeter te gebruiken. Galilei deed dat ook en zijn voorbeeld werd door alle astronomen gevolgd. Doch een slinger houdt na korter of langer tijd op met schommelen; men moest hem derhalve telkens opnieuw in beweging brengen en men deed dit met de hand. Bij eenigszins langdurige sterrenkundige waarnemingen was zelfs een bijzonder persoon daarmede belast. Nu was men er reeds vóór Huygens op bedacht geweest, deze taak aan eene werktuiglijke inrichting op te dragen en Galilei meende zelfs de zaak opgelost te hebben. Hij bood in Maart 163(5 zijn geheim aan onze Staten-Generaal aan en werd daarvoor by voorbaat met eene gouden keten vereerd. Toch had de zaak geen goed gevolg en het bleef aan Huygens voorbehouden eene practisch bruikbare oplossing van liet vraagstuk te geven. Door zijne vinding werden de bestaande onregelmatig loopende, onbruikbare klokken in regelmatig loopende, bruikbare werktuigen veranderd. In December 1(556 kwam het eerste model van zijne slinger-uurwerken gereed en in 161)8 werd in den toren te Scheveningen bet gebrekkige toren-uurwerk voor 'teerst door een slingeruurwerk vervangen. Nog in hetzelfde jaar voorzag de Haagsche klokkenmaker Samuel Cosier ook den Dom te Utrecht van een slinger-uurwerk „voor 350 gulden, vrije reis- en verblijfkosten en eene „vereeringquot; aan zijne huisvrouwquot;. Eerlang waren ook al de zalen van het paleis van Lode wijk XIV van slingeruurwerken voorzien.

Het klassieke, eerst in 1673 verschenen werk: „het Slinger-uurwerkquot;, dat aan Lodewijk XIV werd opgedragen, bevat de wiskundige grondbeginselen, waarop de inrichting van het slinger-uurwerk berust en bevat de voortzetting van Galilei's beschouwingen over de leer der beweging en de grondslagen van eene leer der krachten.

Daar liet begrip „krachtquot; zich nog niet zuiver had ontwikkeld, had Galilei zich tot de studie der eenparig versnelde beweging, zuiver uit het oogpunt van bewegingsverschijnsel, moeten bepalen. IIü Kwam niet op het denkbeeld, in de op elk lichaam uitgeoefende aantrekking, of wat men in liet gewone leven het gewicht van het lichaam noemt, de kracht te zien, die er voortdurend, zoowel in den toestand van rust als van beweging, op werkt.

Huygens was de eerste, die eene rechtlijnige, eenparig versnelde beweging als het uitwerksel beschouwde eener naar richting en grootte standvastige kracht; en hij kwam daartoe door liet door hem gestelde „Grondbeginsel van dc onafhankelijkheid der uitwerkselenquot; (vgl. blz. 2!)) Hij hem betrof dit Grondbeginsel evenwel nog niet de onafhankelijkheid der uitwerkselen van twee krachten, maar alleen de onafhankelijkheid van liet uitwerksel der op een lichaam

52

uitgeoefende aantrekking (gewicht) van de eenparige beweging, die liet moge-lykerwijze reeds heeft.

Tn 1660 vinden wij Hayijens weder in Parijs, te midden van een kring van uitstekende geleerden, en in 161)1 ging hij van hier naar Londen, waar hij werd opgenomen in den kring der geleerden, die deel uitmaakten van de in het vorige jaar opgerichte Koninklijke Maatschappij van. Wetenschappen {Royal Society), waarvan hij in 16G3 medelid werd.

„Op het laatst van 1665 ontving Hwjycm eene uitnoodiging, die ten gevolge had, dat hij voor verscheidene jaren zijn vaderland verliet en zich voor goed te Parijs vestigde.

,Reeds sedert 1638 bestond er te Parijs een gezelschap tot gemeenschappelijke beoefening der wis- en natuurkundige wetenschappen. In 1665, na den vrede der Pyreneeën, besloot Colbert, de groote minister van een koning, dien zijne vleiers „den grootenquot; noemden, kunsten en wetenschappen aan te moedigen en te bevorderen, en hij stelde daartoe in de eerste plaats aan Lodewijk XIV voor, de voornaamste geleerden, die de wis- en natuurkundige wetenschappen beoefenden, in één lichaam te vereenigen. In het volgende jaar. 1660, kwam dit lichaam tot stand, aanvankelijk zonder bijzonderen naam, slechts aangeduid met dien van Vassemhlce qui se tient a la BihUothcque du Roy (de vergadering, die in de Bibliotheek van den koning gehouden wordt), weldra echter onderscheiden als VAcademie royale des sciences de Paris (de koninklijke akademie van wetenschappen te Parijs). De nog levende wiskundige leden van het zoo even genoemde gezelschap vormden de eerste kern der Akademie. Er werden aanvankeiyk zeven leden benoemd, en een dier eerste leden was onze Huygens, voor wien Colbert vertrekken in de Koninklijke Bibliotheek ter bewoning beschikbaar stelde.

„Dat Huygens de uitnoodiging ontving om deel te nemen aan het nieuw opgerichte wetenschappelijke lichaam, kan niet verwonderen. Er was op dit oogenblik niemand in Europa, die op het gebied der wis- en natuurkundige wetenschappen eene grootere beroemdheid had dan hij. Galilei en Descartes hadden het tooneel hunner werkzaamheid verlaten, de ster van Newton begon pas boven den horizon te rijzen; de 20-jarige Leibnitz verliet juist de hooge-school. Tusschen de namen van die groote mannen, elk op zich zelf de vertegenwoordiger van den toestand der beschaving en verlichting der natie, waartoe hij behoorde, plaatst zich de naam van den Nederlander Christiaan Huygens, toen in de volle kracht van den mannelijken leeftijd, den facile princeps (onbetwist de eerste) onder z\jne tijdgenooten, dien een zijner toekomstige medeleden Vincomparable (den onvergelijkelijkequot;) noemde.quot; ')

In 1674 deed eene nieuwe nuttige uitvinding van Huygens hare intrede in de wereld, als 't ware eene aanvulling van zijne uitvinding der slinger-uurwerken. De horlogemaker Thuret te Parijs, maakte namelijk op zijne aanwijzing het eerste horloge, welks regelmatige gang verzekerd werd door eene aan eene spiraalveer verbonden „onrustquot;, eene inrichting, die tot in onzen tijd gehandhaafd is gebleven.

1) Prof. 1'. Uniting.

Tn 1(181 keerde Haygcns naar zijn vaderland terug en bracht het overige gedeelte van zijn leven door op Hofwijek

Ziekte en zwaarmoedigheid, waarschijnlijk het gevolg van te groote inspanning en overspanning, waren de aanleiding tot zijn vertrek uit Parijs, misschien versterkt door het beginnen van de vervolgingen tegen de Protestanten. Huygens was althans sterk anti-katholiek in zijne godsdienstige gevoelens, en toen in l()85 het Edict van Nantes werd herroepen, verbrak hij alle betrekkingen met Frankrijk, ook met zijne oude medeleden der akademie van wetenschappen. Na dien t\jd hield hij alleen met de Koninklijke Maatschappij te Londen briefwisseling en zond van zijne stukken in de Verhandelingen van het Engelscbe genootschap niet eens overdrukken naar Parijs.

In 1680 bezocht hij nogmaals Engeland niet het doel Newton te ontmoeten, wiens klassiek werk kort te voren in t licht verschenen was. Beide mannen koesterden de grootste bewondering voor elkanders genie. Huygens werd door Newton bij voorkeur ,summus Hugeniusquot;: de verheven Huygens genoemd, en door hem „voor den welsprekendsten schrijver onder de nieuwere wiskunstenaars en voor den nitnemendsten navolger der Griekenquot; gehouden.

De verheven Huygens had in eene zaak den niet minder verheven Newton tot mededinger. Beiden hadden namelijk eene wiskundige theorie der lichtverschijnselen ontworpen en waren daarbij van geheel verschillende grondbeginselen uitgegaan. Hoewel de verklaringen van Huygens vollediger waren dan die van Newton, was het gezag van dezen zoo groot, dat niemand aan de juistheid van zijne uitspraken scheen te durven twijfelen, daar het anders onverklaarbaar is, dat de theorie van Huygens niet met groote ingenomenheid door de natuurkundigen van zijn tijd ontvangen werd.

„Men kan zich nog begrijpen,quot; zegt Poggendorff, „dat Newton en zijne tijdgenooten de verdiensten van Huygens op dit punt miskend hebben. Maar wat zich moeilijk laat begrijpen, is, dat het latere geslacht deze onbillijkheid heeft voortgezet, dat er gedurende meer dan eene eeuw niemand gevonden is, die zich de moeite gegeven heeft, de theorie van Huygens door en door te be-studeeren en met die van Newton te vergelijken. Dat is eene vlek in de geschiedenis der Natuurkunde en een schitterend bewijs van den noodlottigen invloed, dien een groote geest kan uitoefenen op de geslachten, die na hem komen, wanneer zijn „gezagquot; zoover gaat, dat het alle onpartijdig onderzoek in den weg staat.quot;

Ongeveer in denzelfden tijd, dat Hum/ens'¹ Theorie van het licht ontstond, hield hij zich ook bezig met zijne verhandeling over de oorzaak der zwaarte, waarin voor 't eerst gewag wordt gemaakt van de afplatting der aarde aan de polen. Waarnemingen aan slingers op verschillende punten der aarde luidden geleerd, dat dezelfde slinger niet overal op dezelfde wijze slingerde, dat bijv. een slinger aan den evenaar langzamer slingerde dan op hoogeren breedtegraad. Huygens kon deze verschijnselen verklaren door onder meer aan te nemen, dat de verticaal niet overal naar het middelpunt der aarde gericht is, een gevolg van iets, dat wel eene paradox geleek, dat namelijk de Aarde geen bol was en dat hare meridianen ellipsen waren met den afgeplatten kant aan de polen. Door berekening leidde hij af, dat de verhouding van tien straal der aarde naar den

54

578 '

eveiiiuir en dien naar lt;le pool wiis. In de eerste helft der 18de eeuw

577

werd door reclitstreeksche jgraadinetiugenquot; bewezen, dat het door Hnygens ontwikkelde denkbeeld der alplatting juist was en dat deze iiojjr aanzienlijk grooter was dan Hui/yens uit zijne berekeningen had afgeleid.

, Den '24sten Mei 1(394 schreef Hnygens aan Leibnitz, dat liij wederom ongesteld was geweest en sedert dien tijd een onregelmatigen en tusschenpoozenden pols had. Echter ging hij nog steeds met zijne werkzaamheden voort. Doch allengs begreep hy, dat hij zich tot den dood moest voorbereiden, en hij schreel eigenhandig een uitvoerig testament. Vier maanden later, den Bsten Juji 1695, ontsliep hij.quot;

Onderscheidene vaderlandsche geleerden, waaronder vooral de Leidsche Hoogleeraar 's Gravesande, hebben zorg gedragen, dat hetgeen Hnygens gewerkt heeft, voor het nageslacht bewaard bleef, terwijl nog in onze dagen door de „Hollandsche Maatschappij van Wetenschappenquot; te Haarlem eene uitgave van de ,Volledige Werken van Christiaan Hnygensquot; wordt voorbereid, waarvan dit jaar (1888) het prachtig uitgevoerde Eerste Deel, Briefwisseling bevattende, verschenen is. „In die werken,quot; zegt zijn levensbeschrijver Prof. llarting, ,weerspiegelt zich zyn geest. Het is die van een groot man, wiens naam met eerbied, in éénen adem met dien van Galilei en van Newton, zal genoemd worden, zoolang de natuurwetenschap zelve in eere gehouden wordt.quot;

18 A AC NEWTON.

„Oroote mannen zijn min ot' meer kinderen van linn tijd en kunnen slechts op bepaalde tijden verschijnen, in dien zin, dat er eene noodzakelijke en logische volgorde bestaat in de opeenvolging der wetenschappelijke ontdekkingen.^,, Claude Bernard.

Galilei's sterfjaar, 1642, was het geboortejaar van Newton.

Isaac Newton werd geboren te Woolsthorpe in Lincolnshire en verloor reeds kort na zijne geboorte zijn vader. Toen zijne moeder hertrouwde, werd hij op 3-jarigen leeftijd aan de zorgen zijner grootmoeder toevertrouwd, die hem eerst naar de dorpsschool en, toen hij 12 jaar oud was, naar Grantham zond om Lat\jn te leeren. Hier was hij, zooals hij zelf vertelt, in den beginne zeer onoplettend en een der laatsten van zijne klasse. Dat duurde, totdat een zijner medescholieren, de eerste van de klasse, hem op een goeden dag een pak slaag had toegediend, voor hem de aanleiding tot eene wraakoefening, waarbij hij zich zelf de plaats van zijn vijand veroverde.

Toen nu Newloris moeder opnieuw weduwe werd, kwam zij te Woolsthorpe terug en nam haar oudsten zoon tot zich om haar in hare zaken behulpzaam te zijn. Zij ervoer echter spoedig, dat Tsanc meer aanleg bezat voor studie en overpeinzing dan voor het koopen en verkoopen van granen en groenten.

Op raad van oen oom werd Newton nu naar Cambridge gezonden, waar hij zich in korten tijd door zijne groote bekwaamheden in wiskundige zaken onderscheidde, en waar hij reeds in 16t)9 benoemd werd tot opvolger van zijn leermeester Barrow als Hoogleeraar in de Wiskunde. Spoedig deed h\j zich als een uitstekend leermeester kennen, die nieuwe banen opende en door zijne voor zyne leerlingen bestemde „Algemeene Rekenkundequot; zijn naam vestigde.

Op natuurkundig gebied wijdde Newton zijne aandacht aan de verschijnselen van het licht. Hij ontdekte de ontleding van het witte zonlicht door middel van een prisma en gat eene verklaring van de verschillende kleuren der door hetzelfde zonlicht beschenen voorwerpen.

Het hoofdwerk van Newton, dat het meest tot zijn roem heeft bijgedragen en hem onsterfelijk heeft gemaakt, is echter het werk over de „Wiskundige Grondslagen der natuurlijke wijsbegeertequot;. Door dit werk wordt de op waarneming gegrondveste leer van Coppcrnicus het noodzakelijk uitvloeisel eener wiskundige theorie van het wereldstelsel.

De lezing van Huygens' verhandeling over ,het slingeruurwerkquot; bracht Newton

op het denkbeeld de beweging der maan aan de berekening te

onderwerpen, ten einde de kracht, waardoor de afwijking der maan van hare baan wordt veroorzaakt, te vergelijken met de kracht, die de aarde op de maan zou uitoefenen, indien z\] zich aan de oppervlakte der aarde bevond* Uit deze vergelijking wilde Newton

van den afstand tusschen de maan en het middelpunt der aarde, waaruit dan zou volgen, dat de zwaarte, d. i. de kracht, die een voorwerp aan het oppervlak der aarde doet vallen, dezelfde kracht is als die, welke aan de maan hare baan voorschrijft.

Isaac newton. De uitkomst van Newton's be

rekening was, dat de zwaartekracht, indien zij omgekeerd evenredig aan het vierkant van den afstand veranderde, op den afstand der maan een zesde meer was dan de kracht, die de maan in hare baan hield.

Het verschil was zoo groot, dat Newton voorloopig zijn denkbeeld liet varen, als zouden de kracht, die aan de maan hare baan voorschrijft, en de kracht, die een steen op aarde doet vallen, identiek zyn. Zoo stonden de zaken in 1670.

In 1(582 werden door Picard de uitkomsten van nieuwe metingen medegedeeld,

volgens welke de straal der aarde ^ grooter was dan tot dusver was aangenomen.

Newton kwam nu op zijn oude denkbeeld terug, herhaalde zijne berekeningen en — de overeenstemming was volkomen.

De vreugde over deze schoone zegepraal, zoo lang en zoo geduldig verbeid, bracht, naar men zegt, den schrijver der ,Grondbeginselenquot; in zulk een zenuwachtig gespannen toestand, dat hij niet in staat was, zijne berekeningen te veriftëeren en de zorg daarvan aan een vriend moest toevertrouwen.

„Toen eens een vriend aan Newton vroeg, hoe hij tot zulke enorme resultaten en tot zoo vele resultaten gekomen was, antwoordde hij: „ik houd mijn onderwerp steeds voor den geest en ik wachtquot; — het is of een kind spreekt — „tot de eerste schemeringen, die langzaam en by gedeelten komen opdagen, zich veranderen in volle en volkomene helderheid.quot;

„Newton wachtte.

„En aan Bentley schreef hij: „dat, zoo hij iets goeds geleverd had, dit het gevolg was van arbeiden en van een langzaam denken.quot;

„Het is bekend, dat hij soms dagen in eenzaamheid verkeerde, en dan eten en drinken en slapen en alles vergat.quot; ')

Den 26 April ll386 werd het handschrift der „Wiskundige Grondslagenquot; aan de Koninklijke Maatschappij van Wetenschappen aangeboden. In 11587 verscheen het in druk.

De geestdrift, die dit boek bij de geleerden wekte, was algemeen. Die geestdrift gaf nog jaren daarna aan Voltaire (1694—1778) de volgende regels in de pen:

„Gü Geesten, lichtend met het vuur des Allerhoogsten,

Vertrouwden, die Zijn raad uit eigen mond moogt oogsten,

Bekent g\j, die Zijn troon met uwe vleuglen dekt.

Dat Newton's grootheid niet der englen afgunst wekt?quot; ¹)

Het klassieke werk der „Wiskundige Grondslagenquot; bracht den schrijver niet enkel roem, maar ook stoffelijk voordeel aan. In 1688 werd hij verkozen tot vertegenwoordiger der Hoogeschool in het Parlement, eene waardigheid, die hij tot 1705 bekleedde, in al welken tijd men zegt, dat hij slechts éénmaal gesproken heeft, namelijk — om den pedel te verzoeken een raam te sluiten. Eene zekere verlegenheid, die hem altijd eigen is geweest, schijnt hem voor het publieke leven minder geschikt gemaakt te hebben.

Tn 1695 werd hij Inspecteur, in 1699 Directeur der Munt. In deze laatste betrekking genoot hij een jaarlijksch inkomen van 15000 gulden, dezelfde man, die in 1672, bij zijne benoeming tot lid van de Koninklijke Societeit te Londen, zich genoodzaakt zag vrijstelling te vragen van de wekelijksche contributie van één shilling, zegge 60 cents, die ieder lid te betalen had.

¹

De van vriendonhand afkomstige vertaling der volgende verzen:

„Confidents du Trbs-Ilaut, substances utornelles, Qui brulez de ses feux, qui eouvrez de vos ailes Le tröne on votre maitre est assis parmi vous, Parlez! du grand Newton n'etiez-vous point jaloux ?^v,

57

Newton stierl den 20 Maart 1727. Hij wml bijgezet te luidilen van Engeland's groote mannen in de oude Westminster-Abdij. In 17:51 richtte zyne familie hem een prachtig mausoleum op, in welks opschrift van hem getuigd wordt, „dat de stervelingen zich geluk mogen wenschen, dut zulk een sieraad van het men-schelijk geslacht geleefd heeft.quot;

Newton zelf achtte hetgeen hij bekend gemaakt had luttel, vergeleken bij het vele, dat nog te kennen overbleef. Hij zeide, „dat hij niet meer dan een kind was, bezig met op liet strand steentjes in te zamelen, terwijl de onmetelijke oceaan der waarheid nog ondoorzocht zich voor hem uitstrekte.quot;

Anuni. Van de drie Gruiidstellingen der Inleiding (blz. 0) drukt de Eerste de verliondin^ uit van de stay tot de verschijnselen-, de Tweede de verhouding ol' het verband der (jelijktijdiif bestaande rerschijnselen; de Derde de \'erhonding ol' het verband der (nwnrohicnde verschijnselen. Dat verband der verschijnselen, dat bepaald zijn van het eene door het andere, dat invloed hebben van het eene op het andere verschijnsel kunnen wij ons niet denken zonder de tus-schenkomst van iets, wat wij kracht noemen.

Volgens de in het bovenstaande gegeven ontwikkeling van eene leer der krachten, beschouwen wij een lichaam niet alleen als eene grootheid of uitgebreidheid de zuiver wiskundige of mathematische beschouwing), en als iets, dat zich kan bewegen de mechanische beschouwing), maar ook als den zetel van krachten. Dat begrip kracht valt echter buiten den kring der zinnelijke aanschouwing, die wel de uitwerkselen der kracht, doch niet de kracht zelve kent. Eene als het ware tastbare voorstelling van eene kracht, zooals de wiskunde die van de lichaamsuitgebreidheid en de mechanica van de bewegingen des lichaams geeft, kan ni?t gevormd worden. ..Terwijl alzoo de kracht de oorsprong der mechanische wereld of, zooals Leibnitz zich vaak uitdrukt, de ^fons mechanismiquot;quot; oorsprong van het mechanisme is, blijft deze oorsprong voor het oog verborgen, dat alleen do zinnelijk waarneembare dingen aanschouwt. Hoe ver ik ook de stof tut in hare kleinste deeltjes onder-zoeke, nergens vind ik binnen den kring der zichtbare wereld het punt, waar ik tegenover de kracht zelve kom te staan, zoodat ik zeggen kan: hier is do oorsprong der verschijnselen, hier is kracht! waar ik de kracht even aanschouwelijk waarneem als den cirkel, of de slingerbeweging. Het begrip kracht is dus een verstandsbegrip, dat de natuurkunde vordert, doch niet bewijzen kan; zoodat de natuurkunde moet verklaren: ik ben hulpeloos, wanneer ik het begrip kracht niet ter verklaring mag gebruiken, doch ik kan op mijne wijze niet aantoo-nen, dat zij bestaat en nog minder, waarin zij bes;taat.^{v, l})

Het begrip Kracht valt dus buiten de spheer der ervarinij, die ons alleen leert dat iets is, doch niet dat het met noodwendigheid zoo zijn moet. Het is dus een begrip van zuiver verstandelijken oorsprong en als zoodanig een uitvloeisel van het louter loqisch (Jrondbeginsel, dat de behoefte uitdrukt van den menschelijken geest om zijne voorstellingen met noodzakelijkheid uit andere voorstellingen of begrippen te doen voortvloeien. Aan dit Grondheginsel, waarop onze redeneerimjen steunen, heeft Leibnitz den naam gegeven van het „Grondbeginsel der genoegzame reden'quot; of „van den toereikenden grond'''', onder welken naam de Derde Grondstelling in de Inleiding blz. G) is opgenomen. Ik heb dezen naam verkozen boven dien van het „Grondbeginsel van Oorzaak en Gcwrochf, omdat ik meen, dat in de hedendaagsche Natuurkunde minder gezocht wordt naar datgene, waardoor de objectieve werkelijkheid van eenig ding met noodzakelijkheid afhangt van een ander hiervan verschillend ding, dan wel naar de voorstelling, uit welke met noodwendigheid eene andere gegeven voorstelling voortvloeit. Terwijl toch, in de wereld van hetgeen werkelijk onafhankelijk van onszelven is of bestaat, de wijze van ontstaan van het eene uit het ander wordt aangeduid onder de benaming van oorzaak en gewrocht, wordt in de wereld der gedachten die wijze van ontstaan of voortbrenging aangeduid als reden of grond en gevolg.

I) Kuno Fiseher.

58

(»4. Ren stuk koper kan in kleinere doelen verdeeld worden. Ret/,elfde kan gezegd worden van elk ander voorwerp, onverschillig uit welke zelfstandigheid het mag bestaan, lioe ver kan die verdeeling worden voortgezet?

In de hedendaagsche natuurkunde gaat men uit van het denkbeeld, dat er,

niet a Urm in de praktijk, maar ook in beginsel, voor elke zelfstandigheid, waaruit de lichamen bestaan, eene grens is, buiten welke de verdeeling niet zon kunnen worden voortgezet. Volgens deze voorstelling is dus niet elke willekeurig kleine hoeveelheid van eene zelfstandigheid bestaanbaar, maar is er voor elk een kleinste deeltje, welks bestaan nog mogelyk is.

Het kleinste bestaanbare deeltje eener zelfstandigheid heet eene molecule¹).

Do sclieikunde leert, dat vele zelfstandigheden samengesteld zijn, dat wil zeggen uit bestand-declen bestaan , die als zoodanig onherkenbaar zijn en eerst door kunstbewerkingen „geseheiden¹quot;'

en daardoor herkenbaar gemaakt kunnen worden. Zulk eene samengestelde zelfstandigheid is bijv.

vermiljoen, welks bestanddeelen : kwik en zwavel volkomen onherkenbaar zij!». Maakt men ze door „scheiding⁰ wel herkenbaar, dan houdt daarentegen het vermiljoen op vermiljoen te zijn. liet kleinste deeltje, m. a. w. de „molecule^,^ vermiljoen bestaat dus zelf weer uit deeltjes van onderling verschillende zelfstandigheden. De kleinste in eenige molecule voorkomende hoeveelheid van zulk een bestanddeel, dat zelf niet meer in onderling verschillende stoffen splitsbaar is, heet een atoom ').

Men stelt zich verder voor, dat de moleculen door tusschenrnimten gescheiden zijn, die voor vergrooting en verkleining vatbaar zijn. ,

Eveneens stelt men zich voor, dat de atomen in de molecule gescheiden zijn door voor vergrooting en verkleining vatbare tusschenrnimten. Daardoor wordt dus het volumen eener molecule als veranderlijk voorgesteld: doch deze verandering wordt als zeer klein beschouwd, vergeleken bij de verandering, die het volumen van het lichaam kan ondergaan door de vergrooting of verkleining van de tusschenrnimten tnsschen de moleculen.

Tn het vervolg zal het volumen eener molecule als onveranderlijk aangenomen worden en zullen de moleculen beschouwd worden als stoffelijke punten, op welke krachten werken.

(i.j. De uit de ervaring blykende eigenschappen van de nitzetbaarheid en de samendrukbaarheid der lichamen wordt, volgens het voorgaande,

verklaard uit eene vergrooting en uit eene verkleining der tusschen de moleculen aanwezige tusschenruimten.

Het onderstelde bestaan dier tusschenruimten (poriën) maakt den inhoud uit van de hypothetische eigenschap van de zoogenoemde poreusheid der lichamen.

lt;i(). Newton's Grondbeginsel der „algemeene aantrekkingquot; is niet toereikend tot het verklaren van verschijnselen, die het gevolg zijn van krachten, werkende tusschen stoffelijke punten, die, zooals de moleculen van een lichaam, op zeer kleine afstanden van elkaar liggen.

Op hoedanige wijze in dit geval de werking der kracht van den afstand afhangt, is niet uitgemaakt. Alleen houdt men vast aan het Beginsel, dat de Actie gelijk is aan de Reactie en aan het Beginsel van het Parallelogram van Krachten, terwijl men aanneemt, dat de tusschen de moleculen werkzame gt;

¹

Afolécula is liet verkleinwoord van het Latijnsche woord moles, dat „klomp'^,, beteekent.

krachten aantreklcemle kracliten /ijii, behalve bij zoogenoemde aanraking, bijv. bij de ,botsingquot; van twee lichamen (of punten), in welk geval de aantrekkende krachten in afstootende krachten overgaan.

(gt;7. Elk lichaam kan volgens het voorgaande beschouwd worden als een ,stelselquot; van bij elkander behoorende stoil'elijke punten. Beschouwt men eene groep van lichamen als een bij elkander behoorend geheel, dan heeft men evenzoo oen „stelselquot; van lichamen. Huygens is de eerste geweest, die in zijne wiskundige beschouwingen een lichaam als een stelsel in bovengenoemden zin behandelde.

Elke kracht werkt tusschen twee lichamen ol gedeelten van lichamen. He-schouwt men een enkel lichaam ol' een ,stelselquot; van lichamen, dan worden de krachten, werkende tusschen lichamen, die wél en lichamen, die niet tot dit ,stelselquot; behooren, uitwendige krachten genoemd; terwijl de krachten, die tusschen de verschillende deelen van het stelsel zelf werken, inwendige krachten heeten.

lt;gt;S. Wanneer de stoffelijke punten van een lichaam onder den invloed der ,inwendigequot; krachten in evenwicht zijn, zal dit evenwicht verbroken worden, zoodra op een of meer dier punten eene „uitwendigequot; kracht begint te werken. De afstanden tusschen de stoffelijke punten onderling, dus ook de afmetingen van het lichaam, worden daardoor gewijzigd. Door de verandering der afstanden tusschen de punten van het lichaam verandert mede de wederkeerige invloed, dien deze op elkander uitoefenen; — een en ander zoo lang, totdat het nieuwe stelsel van „inwendigequot; krachten evenwicht maakt met de aangewende „uitwendigequot; kracht.

De nieuwe evenwichtsstancl der stoffelijke punten wordt onmiddellijk weder verstoord, wanneer de „uitwendigequot; kracht ophoudt te werken; en de oorspronkelijke afstanden tusschen de stoffelijke punten onderling, dus ook de oorspronkelijke afmetingen van het lichaam, worden hersteld.

De gezamenlijke invloed der „inwendigequot; krachten, die aan een lichaam zijm' oorspronkelijke afmetingen hergeeft, nadat de storende „uitwendigequot; kracht heeft opgehouden te werken, heet de veerkracht of elasticiteit.

Daarom dragen de „inwendigequot; krachten, die in een lichaam werkzaam zijn, ook wel den naam van elastische reacties.

A num. Ken lichmim herneemt iilleon dun volkomen zijne vorige afmetingen, wanneer de verandering zijner afmetingen eene zekere grens, de elnsticiteiisgrens, niet heeft overschreden. Deze grens is bij het eene lichaam eerder bereikt dan bij het nndere, zoodat men minder cn meer veerkrachtige lichamen onderscheidt.

N.B. Het is lang gebruikelijk geweest, de uilzei haar/ieid, de samendrukhaarhckl, de poreusheid, de veerkracht als zoogenoemde algemeen e eigenschappen der lichamen aan te duiden.

(gt;'.gt;. Hoewel de onderlinge verplaatsingen der stoffelijke punten van een lichaam, onder den invloed eener zelfde „uitwendigequot; kracht, bij het eene lichaam grooter, bij het andere kleiner zijn, zijn zij in do meeste gevallen uiterst klein, zoo klein, dat zij in onze beschouwingen over den bewogingstoestand der betrokken lichu-men zonder nadeel verwaarloosd mogen worden. Een lichaam, bij hetwelk de

60

iifstiiiuUni tusschen zij no moleculen volstrekt on verarulerluk waren, zou een /.oogenoeuid absoluut vast lichaam zijn.

In ile eerstvolgende zullen wij de te beschouwen lichamen als zoodanig behaudeleu.

Het stoffelijk punt van een lichaam, waarop eene uitwendige kracht werkt, iieet het nangrijpingspunt dezer kracht.

70. Uit het in § 59 (hlz. 37) medegedeelde Derde Grondbeginsel der Theoretische Mechanica kan worden afgeleid — de afleiding zelve behoort hier niet tehuis —, dut in den bewegingstoestand van een lichaam, als een geheel beschouwd, niets verandert, tvnnneer twee onderling gelijke krachten in twee verschillende punten van een lichaam aangrijpen, werkende volgens dezelfde rechte lijn, doch in tegengestelden zin.

Wanneer bijv. op het in tig. 10 voorgestelde lichaam eene uitwendige kracht

P werkt, aangrijpende in A, en eene uitwendige kracht P', aangrijpende in B, terwijl l' = P , dan maken beide krachten met elkander evenwicht.

X

A

P'.

tquot;' ¹ A'! n)/;. Wns het liclmiim vervormbaar, diiu zouden de gegeven krachten, al is 't geen bcwc-___________—quot; gingseffect van het geheele lieliaum, toch dit uitwerksel hebben, dat het lichaam vervormd werd.

71. Gesteld dat op het in Hg. 10 voorgestelde lichaam drie onderling gelijke krachten werken: P, P en P'. De krachten P' en Pquot; maken, volgens § 52, met elkander evenwicht, zoodat het uitwerksel der drie krachten gelijk is aan dat van P, wanneer deze alleen werkt.

Doch ook de krachten P en P' maken, volgens § 70, met elkander evenwicht, zoodat, uit dit oogpunt beschouwd, het uitwerksel der drie krachten ook gelijk is aan dat van Pquot;, wanneer déze alleen werkt.

Hieruit volgt, dat het uitwerksel van P, aangrijpende in A, gelijk is aan dat der aan haar gelijke kracht Pquot;. aangrijpende in 13, wat wij aldus kunnen uitdrukken:

Het aangrijpingspunt eener op een lichaam werkende kracht kan verplaatst worden op de lijn, volgens welke de kracht, gericht is, zonder iets in hel uitwerksel te veranderen.

72. Op het punt A van een lichaam (vgl. tig. 11) werkt de uitwendige kracht P, volgens de lijn AP, van A naar P; op een ander punt B werkt de uitwendige kracht Q, volgens de lijn lin, van B naar Q. De lijnen AP en BQ liggen in hetzelfde platte vlak en snijden elkander in het binnen het lichaam gelegen punt C.

Volgens § 71 kunnen wij, zonder in het bewegings-uitwerksel iets te veranderen, de kracht P vervangen door de aan haar gelijke en volgens dezelfde lijn gerichte kracht p, aangrijpende in C; de kracht Q door de aan haar gelijke en volgens dezelfde lijn gerichte kracht q, eveneens aangrijpende in C.

Volgens § 50 worden tie krachten p en q samengesteld tot de resultante II. Wij kunnen dus, zonder in den bewegingstoestand van het lichaam iets te

()1

¹ en Q ook vervangen door eene enkele kracht R, aangrijpende in C, of' in een willekeurig punt van de lijn CR.

De uitkomst verandert niet, wanneer het snijpunt 0 van CP en CQ buiten het lichaam gelegen is.

73. In het geval van fig. 11 is de kracht R, aangrypende in C het resultaat van de werking der krachten p en f/; zij heeft dus aanspraak op den naam van resultante der krachten p en '/.

Werken, in plaats van de krachten p en 7, de krachten 1' en Q, dan bljjft wel de/jewegnwqrstoestand van het lichaam onveranderd, doch er treden door liet verplaatsen der aangrijpingspunten andere inwendige krachten in het spel, en het resultaat van P en Q is in sommige opzichten een ander dan dat van ]gt; en 7. Daarom duiden w^j de betrekking van de kracht R tot de krachten 1' en Q met een afzonderlijken naam aan, en noemen R niet de „resultantequot;, maar de congerente van P en Q, eene kracht, die, alleen wat de beweging van hel lichaam betreft, de krachten P en Q vervangen kan.

A11 n in. In de meeste leer- en handboeken wordt ook de hier als coiKjc.rcnie aangednide

kracht met den naam van ₎,reslIltante^,, aangeduid.

74. Wij willen nu het geval beschouwen, dat twee evenwijdig en in den-zelfden zin gerichte krachten P en (i (vgl. fig. VJi) op een lichaam werken.

De krachten P en Q worden naar richting en grootte voorgesteld door de lijnen ac en bil.

Laten wij voorts in de punten a en h respectievelijk de onderling gelijke, volgens dezelfde lijn, doch in tegengestelden zin werkende krachten S en S

aangrijpen, dan zal hierdoor in den bewegingstoesland van het lichaam niets veranderen.

Het stelsel der vier krachten 1', Q, S en S' heelt dus, ten opzichte van de beweging, hetzelfde uitwerksel als het stelsel der twee krachten P en (i.

Wanneer de kracht S naar grootte en richting wordt voorgesteld door de lijn ae, worden de beide in het punt a aangrijpende krachten l' en S „samengesteldquot; tot de resultante V, naar grootte en richting voorgesteld door de lijn ah. Zoo worden de krachten (i en S', respectievelijk voorgesteld door de lijnen Ixl en bf, samengesteld tot de resultante W, voorgesteld door de lijn bg.

Alweder zonder iets in den bewegingstoestand te veranderen, kan de kracht V vervangen worden door eene, die in het punt k aangrijpt, voorgesteld door

62

de lijn rnk, mits mk = ah; en de kracht W door eene, die in ^aangrijpt, voorgesteld door de lijn kq, mits kq — bg.

De kracht V, aangrijpende in k, kan, zonder iets in den bewegingstoestand te veranderen, vervangen worden door de twee in k aangrijpende krachten: T, voorgesteld door kl (= en // ne) en X, voorgesteld door kn (= en / ac). Zoo kan ook de in k aangrijpende kracht W vervangen worden door de twee in k aangrijpende krachten: T, voorgesteld door kp en // hf) en V, voorgesteld door ko {= en / bd).

Daar kl — kp, is de resultante der krachten T en T' gelijk aan 0, zoodat ten slotte de krachten X en Y, beide aangrijpende in k en naar grootte en richting respectievelijk gelijk aan P en Q, ten opzichte van de beweging van het lichaam hetzelfde uitwerken als de krachten P en Q. aangrijpende in a en b.

De resultante van de krachten X en Y is gelijk aan hare som en werkt in denzelfden zin volgens dezelfde lijn.

Zij kan, zonder iets in den bewegingstoestand te veranderen, vervangen worden door eene aan haar gelijke en in denzelfden zin gerichte kracht II, aangrijpende in het op de lijn kr gelegen punt r.

De in het punt r aangrijpende kracht R is dus de „congerentequot; van do in a en h aangrijpende krachten P en Q. Uit de figuur blijkt:

R = P Q.

De congercnte van twee evenwijdig en in demelfden zin gerichte krachten is gelijk aan hare som; zij is evenwijdig aan deze en in gelijken zin gericht.

Wij willen nu onderzoeken, hoe het punt r op de verbindingslijn van a en h, ten opzichte van laatstgenoemde aangrijpingspunten, is gelegen.

Uit de gelijkvonuigheid der driehoeken kmn en kar volgt:

mn: ar — kn : kr,

of daar mn = oq,

oq: ar — kn: kr'..........(1).

Uit de gelijkvormigheid der driehoeken koq en krh volgt;

oq :rh — ko:kr..........(2).

De buitentermen van (1) en (2) gelijk zijnde, vormen beider binnentermen de evenredigheid

rb: ar — kn : ko,

waaruit; rö: ar = P : Q.

De afstanden der aangrijpingspunten a en h van twee evenwijdig en in gelijken zin gerichte krachten tot het, oji hunne verbindingslijn gelegen, aangrijpingspunt der congercnte, zijn omgekeerd evenredig aan de in de eerstgenoemde punten a en h aangrijpende krachten.

75. Zijn de krachten P en Q (vgl. fig. 13), respectievelijk in de punten a en b aangrijpende, onderling evenwijdig doch in tegengestelden zin gericht, dan is de congerente 11 evenwijdig aan en in den zin van de grootste der beide krachten P en Q gericht en gelijk aan haar verschil;

R — P — Q, voor P gt; Q.

Ten opzichte van de ligging van het op de verbindingslijn der punten a en /gt; gelegen aangrijpingspunt r der congerente geldt hetzelfde als in het vorige geval;

hr; ar — P ; tj.

63

Bewijs: Denken wij ons eene kracht R', aangrijpende in r, evenwijdig en in

denzelfden zin gericht als Q, en zoodanig van grootte, dat a het aangrijpingspunt zij harer congerente {— R' lt;i). Wij vinden dan, volgens § 74:

ha : ar = R : Q . . . . (R De werking dezer congerente, dus ook de wei-kim/ der heide krachten R en (i, wordt opgeheven door eene kracht P R Q, aangrijpende in a en in tegengestelden zin gericht als de genoemde congerente.

Er is dus evenwicht onder de gezamenlijke werking van R', 1' en Dan kan ook van P en gezegd worden, dat zij te zamen de werking van R opheffen. Dat doet óók eene kracht R, die gelijk is aan R, in hetzelfde punt r aangrijpt, doch tegengesteld gericht is; zoodat ile invloed van R gelijk is aan dien van P en (i. Bijgevolg is R de congerente van P en Q.

Uit R = R en P — R' 4- Q of R = P — (i,

volgt: R-P—Q.

R' = P — lt; j zijnde, volgt uit (1):

ha : ar = (l¹ — (i): (._t),

waaruit: {ba ar): (P — (J (j) = ar ; lt; gt;,

dus: hr: ar = i': Q,

wat te bewyzen was.

7(i. Uit het voorgaande volgt, dat een stelsel van twee gelijke, onderling evenwijdig en tegengesteld gerichte krachten geen congerente heeft, d. i. niet door eene enkele kracht kan vervangen worden.

Aan een stelsel van twee zoodanige krachten geeft men den naam van koppel.

Een koppel doet het lichaam, waarop het werkt, om zich zelf draaien, zonder er eene voortgaande beweging aan te geven. Het draaien houdt slechts op, zoodra, ten gevolge van deze beweging, de richting der beide krachten samenvalt met die van de verbindingslijn harer beide aangrijpings-

_l4 punten, in welk geval de beide

krachten elkanders werking opheffen.

77. In fig. 14 zijn a en h de aangrijpingspunten van het koppel van krachten Pi en Pu. Tn den bewegingstoestand van het lichaam zal niets veranderen, wanneer er nog eenige krachten op werken, die elkanders werking opheffen, bijv. de krachten Pm, Piv, Pv en Pvi, ieder gelijk aan Pi, evenwijdig gericht met Pi en twee aan twee tegengesteld gericht; terwijl de afstand a'b

lU

harer aangrypiagspunten gelyk zij aan ah. Pi en Piv kuimen vervangen worden door hare congerente Pi (—2 Pi), aangrijpende in c, liet midden van nh. Zoo kunnen ook Pu en Pv: vervangen worden door hare congerente Ru 2 Pi), eveneens aangrijpende in c, het midden van hei. liet geheel is nu teruggebracht tot de werking der krachten lli, Rn, Pv en Pm, van welke ili en Rn elkanders werking opheffen. Er blijft dus nog over het koppel van krachten Pv en Pm, welks werking gelyk is aan die van het koppel Pr en Pn.

Ken koppel van krachten kan evenwijdig aan zichzelf verschoven morden, zonder dat de he wegingstoestand van het lichaam, waarop het werkt, zal veranderen.

78. In de voorgaande beschouwingen hebben wij ons de lijnen, volgens welke de krachten werkten, in een plat vlak voorgesteld. Wij willen ons nu voorstellen, dat op een lichaam (vgl. fig. 15) twee krachten, P en Q, werken, Fig, |_S aangrijpende in A en li en gericht volgens

l*A niet in hetzelfde platte vlak gelegen l\jnen. Zij

I Al' bijv. AP in het vlak, achter het vlak

/ van het papier gelegen. Wij laten nu in B

/ ' ~~f- ,, nog twee andere krachten, Pi en Pu, aangry-

j \ pen, onderling en aan P gelijk, onderling

j \ tegengesteld gericht en evenwijdig aan P ge-

⁷¹ hl-—___-\___gt; ^r'^c^^ Daar Pi en Pu elkanders werking op-

M J ¹¹ heffen, verandert hierdoor in den bewegings-

\ / \ y toestand van het lichaam niets. Het uitwerksel

^{x van el1} 'i dus gelijk aan dat van P, Q,

\ Pi en Pu. De krachten P en Pu vormen te

^ q zanien een „koppelquot;; de beide in B aangrij-

fn* pende krachten Q en Pi hebben eene resultante

1{., gelegen in het vlak door BQ en BPi, Het uitwerksel der twee in verschillende vlakken werkende krachten F en is dus gelijk aan de gezamenlijke werking van een koppel (P en Pu) en eene kracht (11). Het eerste geeft aan het lichaam eene om zichzelf draaiende, de laatste eene voortgaande beweging. Wij zouden, verder gaande, het aantal werkende krachten van twee tot drie en meer kunnen uitbreiden. Het onderzoek der verschillende gevallen, die hierbij kunnen voorkomen, behoort tot de Theoretische Mechanica. Eene der uitkomsten van dat onderzoek is deze:

Wanneer een stelsel van uitwendige krachten op een lichaam werkt, kunnen zich, wanneer wij alleen letten op den bewegingstoestand van het lichaam in zijn geheel, drie gevallen voordoen:

1°. Alle uitwendige krachten kunnen vervangen worden door eene congerente kracht;

2°. Alle uitwendige krachten kunnen vervangen worden door één conge-rent koppel;

3°. Alle uitwendige krachten kunnen vervangen worden door ééne kracht en één koppel.

7!). Op de punten a en h van een lichaam (vgl. lig. 1(1) werken respectievelijk de onderling evenwijdig en in gelijken zin gerichte krachten P en welker congerente It aangrijpt in c.

■ . IW,. —■

65

Wü hebben uu volgens § 74:

be : ac = P : Q..........(1).

Wanneer in dezelfde punten a en b respectievelijk de onderling evenwijdig en in gelijken zin gerichte krachten P en lt; gt;' aangrijpen, dan zal het op de verbindingslijn van a en h gelegen aangrijpingspunt lt;■' van de congerente dezer krachten bepaald worden door de evenredigheid:

be : ac ~ \^y : Q'.....(2).

Is in de vergelijkingen (1) en (2)

p __ p- _en Q _ Q'^

dan volgt hieruit, dat de punten c en c een en hetzelfde punt der lijn nb zijn.

De lijn, volgen» welke de congerente van twee onderling evenwijdig en in gelijken zin op een lichaam werkende krachten gericht is, hlijfl door een zelfde punt gaan, wanneer deze krachten, onderling evenwijdig gericht blijvende en zonder van grootte oj aangrijpingspunten te veranderen, tc zamen eene gelijke verandering van richting ten opzichte van de punten van het lichaam ondergaan.

liet in de voorgaande stelling bedoelde punt (r) draagt den naam van middelpunt van evenwijdige krachten.

13e in het voorgaande voor twee krachten ontwikkelde stelling kan bewezen worden ook te gelden voor een stelsel van meer dan twee, in een plat vlak werkende, onderling evenwijdig en in gelijken zin gerichte, krachten.

Evenzoo kan bewezen worden, dat ook een willekeurig aantal onderling evenwijdig gerichte krachten in de ruimte een „middelpuntquot; hebben.

-SO. Elk stoffelijk punt, dat vrij en aan zichzelf overgelaten is, neemt, volgens de Wetten van den «vrijen valquot;, eene verticaal naar heneden gerichte, eenparig versnelde beweging aan, waarvan de «versnellingquot; (g) eene voor verschillende plaatsen op aarde verschillende, doch voor elke in quot;t bijzonder standvastige grootheid is (vgl. § 41, blz. 24). Is de massa van zulk een punt gelijk aan m éénheden, dan beweegt het zich, ten opzichte van de door de punten der aardoppervlakte gevormde omgeving, onder den invloed eener kracht van mg éénheden (vgl. § (32, blz. 38).

, Deze kracht, een gevolg van de door de aarde uitgeoefende „aantrekkingskrachtquot;, draagt den naam van zwaartekracht.

Aanm. Men lette er wel op, dat hier onderscheid wordt gemsiakt tusschen de nnntrek-hingskracht der aarde en de zwaartekracht.

0/)(j. Herlees de Aanm. van blz. 35.

De aaritrekkingskracht der aarde veroorzaakt de „versnelling''quot;' van het stoffelijk punt ten opzichte van de omgeving A (middelpunt der aarde en vaste sterren);

de zwaartekracht is de oorzaak der „versnelling'^,, van het pnnt ten opzichte van de omgeving H (punten der aardoppervlakte).

Elk der stoffelijke punten, waaruit een lichaam bestaat, zou, indien het vrij en aan zichzelf overgelaten ware, met eene voor alle dezelfde ,versnellingquot;, eene verticaal naar beneden gerichte, eenparig versnelde beweging aannemen. Het salvebda en i.K Rov, Natuurkennis, II. 2di! druk. 5

66

lichaam is dus ouderworpen aan de werking van een stelsel onderling evenwijdig en in denzelfden zin (verticaal naar beneden) gerichte krachten.

De congerente van al deze krachten is gelijk aan hare som en heet het Gewicht van het lichaam.

81. Eene verandering'in den stand van het lichaam heeft, indien de overige omstandigheden dezelfde blijven, geen verandering ten gevolge in de grootte, de aangrijpingspunten of de volstrekte richting der samenstellende krachten; alleen de richting dezer laatste ten op/ichte van de punten van het lichaam verandert, en wel voor alle evenveel in denzelfden zin. De congerente der ,zwaartekrachtquot; (Gewicht) blijft dus, volgens § 79, in eiken stand van het lichaam door een zelfde punt, het „middelpunt van evenwijdige krachtenquot;, gaan.

In het geval, dat de op een lichaam werkende, onderling evenwijdig en in gelijken zin gerichte krachten, de samenstellende krachten van het „gewichtquot; zijn, draagt het „middelpunt dezer evenwijdige krachtenquot; den naam van zwaartepunt.

Indien de „massa'squot; der punten van een lichaam respectievelijk gelijk zijn aan m,, m-i, rn_i, enz., dan is de op elk van hen werkende „zwaartekrachtquot; respectievelijk gelijk aan m_xg, , enz. De congerente van al deze krachten of het „Gewichtquot; (— P) van het lichaam is dan gelijk aan

vi_{q m^g m^g, enz. = (m, -t- - - wi₃, enz.) g,

of, indien de totale massa van het lichaam

m, - • m₃, enz. — m,

jP = mg.

N.B. V(ondas) = Gewicht.

Annm. Volgons bovenstaande vergelijking is het Gewicht van een lichaam samengesteld even-

redig aan zijne massa en de door de zwaartekracht veroorzaakte versnelling.

Wij kunnen nu voortaan bij onze beschouwingen over de werking der „zwaartekrachtquot; het groot aantal op de verschillende deelen van een lichaam werkende krachten, zonder in den bewegingstoestand van het lichaam in zijn geheel verandering te brengen, vervangen denken door eéne enkele kracht: het Gewicht, verticaal naar beneden gericht en aangrijpende in het „zwaartepuntquot; van het lichaam.

82. Onderstellen w\j een lichaam, dat uit n onderling gelijke, op onderling gelijke afstanden en in eene rechte lijn gelegen stoffelijke punten bestaat. Op dit lichaam werkt de zwaartekracht, d. i. een stelsel van n onderling gelijke, evenwijdig en in denzelfden zin gerichte krachten. Het „middelpunt van evenwijdige krachtenquot;, m. a. w. het „zwaartepuntquot;, moet samenvallen met het midden der lyn.

Opg. Beredeneer dat.

8!{. Onderstellen wij nu een lichaam, dat weder uit onderling gelyke en op onderling gelijke afstanden gelegen punten bestaat (homogeen lichaam)en laten de punten nu het platte oppervlak van een driehoek vormen. Het zwaartepunt van dezen driehoek moet samenvallen met het snijpunt der lynen, die de hoekpunten met het midden der overstaande zijden verbinden („ zwaartelijnenquot;).

Bewijs: Wij kunnen den driehoek beschouwen als te bestaan uit rechtlijnige

(37

-s-v.v ^ .■ ^..■■■.quot;/»N'' ■■quot;*'.quot;

rijen vsiu punten (DE, F(t, enz.), evenwydi^ aan eenc der zijden, t^iv. AB.

Elke dezer lijnen heeft, volgens § 82, haar zwaartepunt in het midden der lijn, zoodat hierdoor het stelsel der in de verschillende punten van den driehoek aangrijpende krachten teruggebracht kan worden tot een stelsel van „congerentequot; krachten aangrijpende in de genoemde, alle in de lijn ('O gelegen, zwaartepunten (O = het midden van Ali).

Dit laatste stelsel van evenwijdige krachten heeft weder zijne congerente (het Gewiclit van den driehoek), aangrijpende in het „middelpuntquot; dezer krachten, lt;1. i. het zwaartepunt van den driehoek, dat noodzakelijk ergens op de lijn (!0 moet gelegen zijn.

Den driehoek beschouwende als te bestaan uit zware lijnen, evenwijdig aan de zijde A( , kan op dezelldc wijze betoogd worden, dat het zwaartepunt van den driehoek ook gelegen moet zgn op de lijn AP (P - het midden van BC), zoodat liet zwaartepunt van den driehoek samenvalt met liet snijpunt Z der beide lijnen GO en AP.

I r. Wat loert de Meetkunde omtrent de verhouding tusselien ZO en CO?

Het zwaartepunt van een cirkel valt samen met zijn middelpunt.

84. Op soortgelijke wijze kan ook het zwaartepunt eener homogene driezijdige pyrainide ABOT (fig. 18) bepaald worden. Daartoe wordt de pyramide beschouwd als te bestaan uit driehoekige lagen van stoffelijke punten of zware driehoeken (ABC, DEK) evenwijdig aan een der zijvlakken, bijv. ABO. Het zwaartepunt van A ABC valt samen met het punt G van de lijn Alv (GK = J AK en K = het midden van BC); dat van A DEI¹ valt samen met het punt N (NE — J DL en L = het midden van EP). De Meetkunde leert, dat Nquot;, evenals de zwaartepunten van de overige driehoeken van ABCT, gelegen is in de lijn TG.

Het zwaartepu n t der pyramide moet dus gelegen zijn in de lijn TG.

Wordt de pyramide beschouwd als te bestaan uit zware driehoeken evenwijdig aan BOT, dan wordt op dezelfde wijs beredeneerd, dat het zwaartepunt der pyramide gelegen moet zijn in de lyn AM (Mlv = | TK en K = het midden van BC). De Meetkunde leert, dat de beide lijnen TG en AM elkander snijden in het punt Z, zoodanig dat ZG = { TG.

Niet alleen voor de beschouwde driezijdige, maar voor elke pyramide, geldt de in 't voorgaande gevonden uitkomst: '■waariepunt eener pyramide is gelegen op de lijn, die hel „zwaartepuntquot;

_

68

der basis viel den top der pyramide vereeniyt, en wel op één vierde van die lijn, van de basis a f gerekend.

Hetzelfde geldt ook voor een kegel.

Het zwaartepunt van een homogenen cylinder valt samen met het midden van de cylinderas.

Het zwaartepunt van een homogeen parallelopipedum valt samen met het midden der verbindingslijn van de snijpunten der diagonalen in grond- en bovenvlak.

A num. Niet altijd valt hot „nwaai'topuntquot; van een licliamn met een der punten vim het

lichaam samen. Van een homogenen, overal even dikken ring valt bijv. het „zwaartepnntquot;

samen met het middelpunt van den ring.

85. De werking der zwaartekracht op een lichaam kan door de werking van eene of meer andere krachten opgeheven worden. Er is dan evenwicht. In dat geval is de congerente der tegenwerkende krachten noodzakelijk: verticaal naar boven gericht, gelijk aan het Gewicht en grijpt aan in het „zwaartepuntquot; of in een punt, dat in de verticaal van het zwaartepunt is gelegen (vgl. ij 70).

Die„tegenwerkende krachten wekt men op, wanneer men bijv. het lichaam , ondersteuntquot;.

8lt;». Een stottelijk punt, dat alleen aan den invloed der zwaartekracht onderworpen is, verkeert op een horizontaal weerstandbiedend oppervlak in den toestand van evenwicht. Het loodrecht op het ondersteuningsvlak gerichte „Gewichtquot; wordt opgeheven door eene in hetzelfde punt aangrijpende, loodrecht op hetzelfde vlak, doch naar boven, gerichte kracht: de congerente der „reactiequot;-krachten van het ondersteuningsvlak.

Beweegt zich een stoffelijk punt langs een horizontaal vlak, dan onderstelt deze beweging de werking öf eener in dit vlak gerichte kracht, of van eene ten opzichte van dit vlak schuin gerichte kracht, omdat deze vervangen gedacht kan worden door (ontbonden kan worden in) twee andere krachten, waarvan de eene in het vlak, de andere loodrecht ten opzichte van het vlak gericht is, welke laatste door de reactiekrachten van het vlak werkeloos gemaakt wordt.

87. Ook een lichaam kan in evenwicht zijn, door slechts e'en zijner punten te „ondersteunenquot; en zoodoende als het ware vast te leggen. Dit is byv. het

geval met het in fig. 1!) voorgestelde lichaam, waarvan de punt der spits toe-loopende stift het „vaste puntquot; is, het aangrijpingspunt der van het ondersteuningsvlak uitgaande weerstandbiedende „reactie'-kracht, die de zwaartekracht tegenwerkt en haar uitwerksel opheft. Dat aangrijpingspunt moet, om het evenwicht mogelijk te maken, 1° gelegen zijn in de richting van het „Gewichtquot; (m. a. w. in de verticaal van het zwaartepunt), 2° gelyk aan bot Gewicht van het lichaam, doch in tegengestelden zin gericht zijn. De werking eener kracht wordt opgeheven, wanneer zich ergens in hare richting een vast punt bevindt.

no

Van een lichaam kunnen door ondersteuning ook twee of meer, in eene rechte lijn gelegen punten „vasfgelegd zijn, zoodat men nu in plaats vim een steunpunt eene steun I ij 11 of steun as heeft; bijv. wanneer het lichaam gesteund wordt door eene prismatische stift, waarvan eene der ribben tot steanlijn dient.

In het eerste geval is er evenwicht, wanneer het „zwaartepuntquot; gelegen is in de verticaal van het „vaste puntquot;; in het tweede geval, wanneer het zwaartepunt gelegen is in het verticale vlak, dat door de „vaste asquot; gaat.

HS. li ij een als boven ondersteund lichaam, dat overigens aan den invloed van geen andere kracht dan de zwaartekracht onderworpen is, kunnen zich drie verschillende gevallen van evenwicht voordoen.

Fig. 20.

Het zwaartepunt kan namelijk

1° in de verticaal (verticaal vlak), die door het vaste punt (vaste as) gaat en wel

beneden het vaste punt, dus zoo laag mogelijk gelegen zijn (fig. 20): (.:/ \ 2° in de verticaal (verticaal vlak),

door het vaste punt (vaste as) gaande, en wel boven het vaste punt, dus zoo hoog mogelijk gelegen zijn (fig- 21);

3° met het vaste punt (vaste as) samenvallen (fig. 22).

Wanneer door ondersteuning in een punt of eene as één of meer der punten van een lichaam zijn „vasfgelegd, dan is wel de voortgaande beweging van het lichaam onmogelijk gemaakt: doch blijft nog eene draaiende beweging mogelijk, waarbij de overige punten van het lichaam kromlijnige banen om het vaste punt of de vaste as beschrijven.

70

Wordt nu het, liehiuim een weinig uit zijn evenwichtsstand gebracht, en (iiiarna zonder snelheid aan zichzelf overgelaten, dan zal het in het eerste en tweede geval inderdaad eene beweging aannemen,

want het in S' aangrijpende ,Gewichtquot; kan nu vervangen gedacht worden door twee krachten, waarvan de eene naar het vaste punt (as) gericht is en dus wordt opgeheven, en de andere loodrecht op de vorige gericht is, d. i. raaklijn aan boog SS' in het punt S', zijnde de richting der beweging op het oogenblik, dat S' zijne draaiing begint.

In liet eerste geval zal nu het lichaam naar zijn vorigen evenwichtsstand terugkeeren en het naar boven verplaatste zwaartepunt wordt weder naar beneden terugverplaatst; in het tweede geval zal bet lichaam den evenwichtsstand van het vorige geval aannemen,

want daar het zwaartepunt zoo boog mogelijk gelegen was, heeft de verplaatsing het doen dalen, in welke daling het volharden zal, totdat het den laagst mogelijken stand heeft ingenomen.

In het derde geval zal het lichaam geene beweging aannemen en ook in zijn nieuwen stand in evenwicht blijven.

Daarom heet het evenwicht in het eerste geval vast (= stabiel); in bet tweede geval wankelbaar (= labiel); in het derde geval onverschillig

(= indijj'erent).

ILt dalen van het „zwaartepuntquot; is een kenmerk tan alle door de zwaartekracht veroorzaakte bewegingen,

8J). liet voorgaande geeft eene methode aan de hand voor de practische

bepaling van het zwaartepunt eens li-chaams. Zij bijv. te bepalen het zwaartepunt van het in lig. 23 voorgestelde plankje. Het wordt in het punt a aan een draad opgehangen. Zoodra het plankje in evenwicht hangt, bevindt zich het zwaartepunt in de verticaal (ac), waarin het op-hangpunt gelegen is. Daarna wordt het in het punt h opgehangen en zoodra het in evenAvicht is, zal het zwaartepunt weêr gelegen zijn in de verticaal (hd) van het ophangpunt. Het snijpunt van beide lijnen ac en hd is het gezochte zwaartepunt.

t)0. De waarneming leert, dat lichamen van den vorm van een recht prisma (of een rechten cylinder), met hun grondvlak op een horizontaal oppervlak staande, onder den invloed der zwaartekracht steeds in evenwicht verkeeren.

Het op een horizontaal vlak QK in rust (evenwicht) staand rechthoekig paral-lelopipedum (balk) DH (fig. 24) is een voorbeeld van zulk een lichaam, waarvan verscheidene niet in eene rechte lijn gelegen punten (de punten van het grondvlak ABCD) in aanraking zijn met het horizontale vlak QE. Zij het parallelopi-pedum homogeen, dan valt het zwaartepunt 'A samen met het midden der lyn EF. liet lichaam in de richting der pijlen latende draaien, om de ribbe AB als

¹ ■ : • - 7^7. ¹¹ ^ -^77—- .....................

71

,vaste asquot;, rijst liet zwaartepunt aanvankelijk en heeft, wanneer liet in Z (in het verticale vlak tier as Ali) gekomen is, zijne grootste hoogte boven ijlt bereikt. Het lichaam verkeert in dezen stand in labiel evenwicht. Wordt de draaiing in denzelfden zin nog verder voortgezet, dan daalt het zwaartepunt weder.

Wordt het lichaam zonder snelheid aan zichzelf overgelaten, vóórdat 'Ji

zoo hoog mogelijk gelegen is,

dan doet de congerente der zwaartekracht (P) het zwaartepunt weder dalen, wat alleen mogelijk is door eeno terugkanteling in den ouden stand.

Wordt het lichaam zonder snelheid aan zichzelf overgelaten, nadat Z zoo hoog mogelijk gelegen was, terwijl het dus reeds weder aan het ily' dalen was, dan gaat het voort met dalen en het lichaam kantelt om.

In het eerste geval viel het voetpunt der verticaal aan den binnenkant, in het tweede geval aan den buitenkant van A15.

Ook AD, CD en HG kunnen als vaste assen dienst doen en voor elk van deze geldt dezelfde beschouwing.

Omkantelen doet het lichaam dus alleen dan, wanneer het voetpunt der verticaal van het zwaartepunt buiten het grondvlak A BCD valt.

De Theoretische Mechanica leert, dat het voorgaande een bijzonder geval is van de algemeene stelling;

Een lichaam kantelt om, ivanneer de verticaal van zijn „zwaartepuntquot; buiten zijn ,steunvlakquot; valt.

N.15. Onder steun vlak verstaat men in het voorgaande den grootst mogelijken veellioeli met enkel uitspringende hoeken, die door de rechtlijnige verbinding der buitenste steunpunten gevormd kan worden.

Rust bijv. eene tafel op drie pooten, die elk in een punt eindigen, dan is het „steunvl^lk'^,, der tafel dc driehoek, die door de verbinding der genoemde punten ontstaat.

91- Het parallelopipedum van fig. 21 had den grens-stand tusschen terug-kantelen en omkantelen bereikt, wanneer de lijn ZM (loodrecht op de as A15) den hoek ZMZ doorloopen had. Hij eene lagere ligging van het zwaartepunt Z wordt deze hoek grooter, zoodat het lichaam dan eene grootere kanteling kan ondergaan, alvorens geheel om te kantelen.

By het samenstellen van lichamen, aan welker omkantelen gevaar is verbonden, is het dus raadzaam het zwaartepunt zoo laag mogelijk te doen liggen.

7-2

Dat ook bij een groot steunvlak de kanteling van een lichaam langer dan bij een klein steunvlak kan voortgezet worden, vóórdat de verticaal van het zwaartepunt buiten dit vlak valt, dus vóórdat het lichaam omkantelt, is gemakkelijk in te zien.

Wij komen spoedig hierop nader terug.

Hij sommige lichamen, die op een horizontaal vlak liggen, heeft de kanteling geen staging olquot; daling van het zwaartepunt ten gevolge. In dat geval verkeeren bijv. een homogene bol en een op zijn zijvlak liggende homogene kegel.

Ojjf/. Toon aan, dut bij kanteling van den kegel zijn zwaartepunt even hoog boven het

horizontale vlak blijft.

Zulke lichamen verkeeren dus eveneens in onverschillig (= indifferent) evenwicht.

Htaat in 't algemeen een lichaam in rust (d. i. in evenwicht) op een horizontaal vlak, dan zijn er punten van dat lichaam met punten van het ondersteu-ningsvlak (steunpunten) in aanraking. Van deze laatste gaan dus krachten uit, die in de ondersteunde punten van het lichaam aangrijpen en eene congerente hebben, die de werking der zwaartekracht op het lichaam opheft. De richting dezer congerente moet weder samenvallen met die der zwaartekracht, aan haar gelijk en in tegengestelden zin gericht zijn.

Volgens het Grondbeginsel, dat elke Actie gelegen is aan eene even groote Reaetie, moeten in het gegeven voorbeeld in de steunpunten van het ondersteunings vlak krachten aangrijpen, die van de daarmede in aanraking zijnde punten van het lichaam uitgaan, en welker verticaal naar beneden gerichte congerente eveneens aangrijpt in een punt der verticaal van het zwaartepunt en gelijk is aan het Gewicht van het lichaam. Deze congerente vormt de door het lichaam op het ondersteuningsvlak uitgeoefende „drnkking^,\

Het voorgaande is een bijzonder geval van de algemeene stelling:

Alle op een ondersteund lichaam werkende krachten, welker congerente

1° binnen het steunvlak valt en

2° loodrecht op het steunvlak gericht is, worden door de reactie-krachten

van het steunvlak opgeheven.

Is aan de eerste voorwaarde niet

voldaan, dan „kanteltquot; het lichaam en is aan de tweede niet voldaan, dan „glydtquot;' het langs het steunvlak; want de kracht P (vgl. fig. 25) kan ontbonden worden in eene kracht R (ZC J_ DE), die opgeheven wordt door de reactie van het steunvlak, en eene kracht Q {ZB ll DE), die het lichaam in hare richting langs het steunvlak doet glijden.

94. Zij DF (hg. 25) de gemeenschappelijke doorsnede van het vlak van het papier en een horizontaal vlak, dan is DE die van het vlak van het papier en een zoogenoemd hellend vlak. Is DE de lengte (/) dan heet EF de hoogte (h) van het -hellend vlakquot;.

73

Op hei hellend vlak zij een lichaam geplaatst, welks zwaartepunt in Z ligt. i)e verticiial naar beneden gerichte kracht 1* /.ij het (rewicht van het lichaam.

1' kan vervangen gedacht worden door twee krachten:

Tl, werkende volgens ZC DE, dus opgeheven door de reactiekrachten van het steunvlak, en

werkende volgens ZB//DE, die dus het lichaam langs het hellend vlak naar beneden doet glijden.

Door toepassing van het parallelogram van krachten AOZH wordt gevonden:

P:Q:R = ZA:ZB:ZO.

Vergelijking van AA ZAB en EDF geelt:

ZA : ZB = El): EP, of P : Q = l : h.

Waaruit: P.

Om het afglijden te beletten met behulp van eenc kracht evenwijdig aan DE gericht, moet deze dus gelijk aan Q doch in tegengestelden zin gericht zijn, zoodat, indien geen andere krachten in het spel zijn, een lichaam, welks Gewicht = 1', op het hellend vlak in evenwicht gehouden wordt door eene

kracht = P.

95. Volgens ^ 87 wordt de werking van eene kracht op een lichaam opgeheven, wanneer zich een vnst jmnt van het lichaam bevindt in (Je lijn, volgens welke de kracht gericht is.

Is er een vast punt aanwezig, buiten de lijn gelegen, volgens welke de op het lichaam werkende kracht gericht is, dan wordt eene beweging van het aangrijpingspunt der kracht opgewekt, die als een begin van draaiing van het

lichaam beschouwd kan worden. welke draaiing in de in fig. 2G voorgestelde gevallen positief, in de gevallen van fig. 27 negatief zal zijn.

N.B. Positief heet de draaiing, wanneer zij geschiedt in den zin van de beweging dei-wijzers over de wijzerplaat; negatief, wanneer zij in tegengestelden zin geschiedt.

Stellen wij, dat op het punt h (fig, 28) de krachten 1' en Q werken, welker resultante wordt voorgesteld door R. Trekken wij uit een willekeurig punt a der resultante de lijnen ae (// Q) en af (,// 1'), dan stellen de lijnen bc, bf en ba, naar richting en betrekkelijke grootte, respectievelijk de krachten P, Qen B voor:

P : («ij: li: ~ bc: bf: ba. =: nf: ae: ba.

74

Trekken w\j voorts uit n de lijn ac loodrecht op P en ad loodrecht op (i, dan volgt nit de figuur: A ace^ A ndf,

waaruit: af: ae — ad: ac of I': (,) = ad : ac.

Hij gevolg: 1' v oczzQ X ad.

Hel aantal kracldsccnhcdcn een er up een punt h werkende kracht F, vermeny/-

vuldigd mei het aantal lengte-écnJieden eener uit een zeker punt a op de richting der kracht getrokken loodlijn ac, geeft een gelijk product ah het aantal krachIh-cénheden eener (iji het punt b werkende kracht Q, vermenigvuldigd met het aantal lengte-éénheden der uit het punt a o]i de richting dezer kracht getrokken loodlijn ad, wanneer het punt a zich bevindt in de richting der resultante It van de krachten P en ij.

De voorgaande stelling blijft geldig ook wanneer het punt a gelegen is op het verlengde van ah, buiten den hoek chd.

Ojtf). Toon dat aan.

Ligt het punt a (tig. 20) buiten dc richting der resultante, dan zijn de twee (in de vorige stelling genoemde) producten onderling ongelijk.

Om dit te bewijzen, behoeven wij eene „Hulpstellingquot;, die wij vooraf willen afleiden:

Gesteld dat in het punt h (fig. 2!gt;) de twee krachten 1' en Q aangrijpen, die K tut resultante hebben.

Zij de kracht S = U, doch in tegengestelden zin gericht; dan heft zij de werking van H, dus eveneens de werking van 1' en Q op, zoodat de drie krachten S, 1' en Q evenwicht maken. Dan kan ook gezegd worden, dat 1' de werking van S en Q opheft. Zij voorts de kracht T = 1', doch in tegengestelden zin gericht; dan kan T beschouwd worden als de resultante van S en Q.

Het punt a ligt in dc richting der resultante T, terwijl de lijnen nc en nlt;t respectievelijk lood-l-'ig 30. recht staan op S en Q. Volgens de stelling der vorige § is nu ;

S X ac r= Q X ad.

Bij gevolg: lv X tc = Q x nel.

Met behulp van deze „Hulpstellingquot; bewijzen wij de nan het begin der ^ gegeven stelling aldus:

In het punt b grijpen de krachten P en Q aan, die do kracht li tot resultante hebben. P wordt ontbonden in

'I (lt; Q) ⁰¹¹ in tegengestelden zin van ij werkende, en p gericht volgens de verbindingslijn van b en het buiten de richting der resultante li gelegen punt a.

Volgens onze Hulpstelling hebben wij:

\' y ac — q y ad.........(1).

75

Iv is de resultante van P en Q of van /lt;, f/ en (J. Daar */ en Q in tefjen-gestelden zin gericlit zijn, kunnen zij vervanjjen worden door eene resultante Q '1) werkende in den zin van Q. II kan dan beschouwd worden als de resultante van de twee krachten p en — (/.

Passen wij op deze drie krachten opnieuw de Hulpstelling toe, dan vinden wij: I?, y ae~ (Q — q) X ad — x nd~ q X ad,

en in verband met (1):

li y ac — ii X ad - P X ac of I' x ac —f- li x ae — x ad zoodat: Q y ad gt; P x ac,

wat te bewijzen was.

De stelling geldt ook wanneer het punt a niet tusschen, maar buiten de beenen van L IV;Q ligt.

Oprj- Tuon dat aan.

97. Omgekeerd volgt uit de gelijkheid der genoemde producten, dat liet punt a in de resultante; uit de gegeven ongelijkheid der producten, dat liet punt a buiten de resultante moet liggen.

Opt]. Toon dat aan.

518. De werking van de resultante U, of, wat op hetzelfde neerkomt, de invloed der composanten P en Q kan worden opgeheven door de aanwezigheid van een „vastquot; punt, gelegen op de lijn, volgens welke li werkt. Denken wü ons dus het bovengenoemde punt a „vast'quot;, dan kan de kracht li geene beweging veroorzaken. Nu trachten de kracht P en de kracht Q, bij aanwezigheid van het „vastequot; punt a, elk voor zich, zonder medewerking der andere, aan het lichaam een begin van draaiing mede te deelen, de eerste in negatieven, de tweede iu positieven zin. De aanwezigheid van het vaste punt helt beider werking op, zoodat de krachten P en Q gezegd kunnen worden evenwicht te maken met de krachten, die door den invloed van het vaste punt of de vaste as op het lichaam werken.

Daar nu het punt «, volgens bovenstaande, op de resultante zal liggen, wanneer voldaan is aan de vergelijking 1' X ac = X ad, kunnen wij ook zeggen, dat twee krachten P en Q, die, in een zelfde punt eens lichaams aangrijpende, elke voor zich daaraan eene draaiende beweging, in onderling tegengestelden zin, zouden mededeelen, het lichaam in evenwicht houden, zoodra voldaan is aan de voorwaarde P y ac — X ad, waarin I' en (j de in krachtséénheden uitgedrukte krachten, ac en ad de iu lengte-éénheden uitgedrukte loodlijnen voorstellen, uit het vaste punt of draaipunt op de richting dier krachten neergelaten.

Grjjpen (ie krachten P en Q in twee verschillende punten van het lichaam aan, terwijl de l\jnen, volgens welke zij gericht zijn, in een plat vlak liggen, dan geldt, volgens § 72, dezelfde uitkomst.

In het geval van fig. 28, waarin op het beschouwde lichaam twee krachten, P en Q, werken, terwijl zich op de lijn der congerente li een „vastquot; punt a bevindt, om hetwelk het lichaam kan draaien, hebben wij de evenwichts-voorwaarde uitgedrukt gevonden door de vergelijking

P y ac — Q X ad.

77

Wordt KZ (= MN) door verlaffinir van het zwaartepunt/ kleiner, dan wordt MF

arooter, en daarmede wordt in ver eel. (I) ook grooter.

MN '

Hoe. layer hel zwaartepunt lif/t, /loc yrooter de kracht moet zijn om hel lichaam te doen omkantelen.

Wordt MF grooter, door aan het lichaam een grooter stennvlak te gsven,

MF

dan wordt ook grooter, en daarmede wordt in verg. (!) ook weder Q grooter.

Hoe grooter hel stennvlak van hel lichaam is, hoe grooter de kracht Q moet zijn om het te, doen omkantelen.

Naarmate nu de kracht Q grooter moet zijn om het lichaam te doen omkantelen, wordt het lichaam gezegd vaster te slaan, of m. a. w. eene (jrootere ■t t a h i l i t e i t te hezitten.

Ken lichaam staal des te raster (hezit eene des te grootere slahili teil), naarmate zijn ^zwaartepuntquot; lager ligt en zijn „sleunvlakquot; grooter is.

Ojjfiaveii. 1. Hoeveel knichtséenlieden is de kracht lv groot, die evenwielit maakt met twee evenwijdig en in dcnzelfden zin gerichte krachten 1' en Q, welker respectieve aangrij-pingspnnton A en B 28 cM. van elkaar verwijderd zijn, wanneer P= 15 on = 20 eenheden /an kracht? Hoe ver ligt het aangrijpingspunt van K van dat van P?

2. Hoe groot is de kracht U, die evenwicht maakt met twee evenwijdig en in tegengestelden zin gerichte krachten 1' en Q, welker respectieve aangrijpingspunten A en li 20 cM. van olkaar verwijderd zijn, wanneer V = i8 en Q — 27 krachtse'enheden? Hoe ver ligt het aangrijpingspunt van U ((') van 15?

.*{. Construeer het zwaartepunt van den omtrek eens driehoeks, welks zijden zich verhouden als 2:3:4.

4. Aan de uiteinden van een stok van 2 KG. hangen twee lichamen, respectievelijk van 8 KG. en 10 KG. Indien de stok 18 dM. lang en overal even dik is, waar moet hij dan door den schouder ondersteund worden om in evenwicht te zijn?

5. Waar ligt het zwaartepunt van een homogenen halven cirkel?

6. Ken lichaam van 1000 eenheden van massa ligt op een plat vlak, dat met een horizontaal vlak een hoek van 30' maakt. Hoe groot moet de evenwijdig aan de helling gerichte kracht zijn, die belet, dat het lichaam naar beneden glijdt? ƒ/ = 1)80.

N. H. Helling en lichaam worden volkomen glad ondersteld en ook alle overige weerstanden verwaarloosd.

7. Op een hellend vlak, welks hoogst gelegen uiteinde 30 lengte-eenheden boven den grond ligt, en dat 50 lengte-eenheden lang is, ligt een lichaam van 100 eenheden van massa. Hoe groot moet de evenwijdig aan de helling van het vlak gerichte kracht zijn, om met de zwaartekracht evenwicht te maken. Hoe groot is de drukking, die het lichaam op het vlak uitoefent ?

8. Een hellend vlak, dat 21,6 M. lang is, maakt een hoek van 30° met een horizontaal vlak. Onder den invloed der zwaartekracht glijdt een lichaam in 3 sec. van het hoogst gelegen naar het laagst gelegen punt van dit Vlak. Hoeveel bedraagt zijne versnelling? Welke is in dit geval de waarde van // ?

9. Een kubus wordt op een hellend vlak geplaatst met de laagst gelegen ribbe loodrecht op de richting van de helling. Wanneer nu het afglijden verhinderd wordt, welke is dan de grootste helling, die men aan het hellend vlak kan geven, zonder dat de kubus omkantelt?

78

„De beste methode is het hooicl en de ervaring des onderwijzers.^

Alvorens verder te gaan, een enkel woord over de omzetting van het in dit boek voorgedragen stukje wetenschap in leerstof voor de school.

De begeerte naar schoolonderwijs in kennis der natnnr is van oudere dagteekening dan van heden of gisteren, Comenius¹), de verdienstelijke opvoedkundige en onderwijskundige, wiens

geschriften nog heden ten dage met vrucht door den onderwijzer gelezen worden, drong reeds sterk aan op natuurkundig onderwijs, ook aan jonge kinderen. Dat zijne roepstem zoo lang onverhoord is gebleven, is een gevolg van onkunde; doch óók en vooral van dat taaie, trage, uit zeer erschillende beweegredenen voortspruitende, en dikwerf tot fanatisme overslaande, vasthouden aan den ouden sleur, waarmede de grootste mannen te kampen hebben gehad bij de verspreiding van de meest tastbare, doch nieuwe, waarheden.

Misschien is er nog iets, dat de invoering van natuurkundig onderwijs lang heeft tegengehouden. het is namelijk, dat het veel ver^t van en in den onderwijzer. Wil deze zijn eenvoudig natuurkundig onderwijs met vrucht geven en zijne eenvoudige leerstof goed behcerschen, dan behoort zijne kennis, meer dan in de meeste andere vakken van onderwijs, ver boven die eenvoudige leerstof te staan. Om bij de leerlingen heldere voorstellingen te kunnen wekken, moet de onderwijzer in het bezit zijn van duidelijke, bepaalde, voorstellingen (vgl. blz. 7), wat hij slechts kan bereiken door zijne stof tot op zekere hoogte wetenschappelijk te verwerken.

liet, niet eens zeldzame, verwijt, als zou wetenschappelijkheid, dat is het bezit van degelijke, goed geordende kennis, het geven van een elementair, eenvoudig onderwijs in den weg staan, is eene zoo evidente ongerijmdheid, dat het met een beleefd stilzwijgen kan worden beantwoord. Schrijver is bij het opstellen dezer Handleiding van het tegengestelde beginsel uitgegaan. Ik weet, dat velen mijne in de voorgaande §§ gevolgde wijze van behandeling het tegendeel van gemakkelijk zullen vinden; doch ik weet óók, dat geen gezonde natuurkennis bestaanbaar is zonder een juist inzicht in de voornaamste waarheden der Mechanica. Zij is de hoeksteen van het geheele gebouw der natuurwetenschap; terwijl de geestes-gymnastiek , die aan hare beoefening verbonden is, het denkvermogen staalt en den blik verruimt.

Uw onderwijs in de school moet echter aansluiten aan de in het kind aanwezige begrippen en voorstellingen; dat onderwijs moet in de eerste plaats aanschouwelijk en daardoor bevattelijk zijn.

„Uw onderwijs zij aan schouw el ijk'quot;. Dat predikte ook Comenius. En behartigenswaard is, wat hij er aan toevoegt; „Men oefene eerst de zinnen, dan het geheugen, daarna liet verstand. Voorts leere men niet alleen begrijpen, maar ook wat begrepen is in woorden uit te spreken.^,,

Stof, Huimte en Tijd zijn in het voorgaande voorgesteld als de drie Grondbegrippen van alle natuurkennis. De kiemen dezer noodzakelijke Grondbegrippen zijn reeds vroegtijdig in den geest van het kind ontwikkeld. Het kind weet immers concrete „voorwerpeirquot;' te onderscheiden. Het onderscheidt ook verschil van „afmetingquot;, waarvan het duidelijk blijk geeft, door, reeds vroeg, het grootste stuk van iets dat hem aanstaat, zichzelf toe te eigenen. Voorts heeft het kind ook begrip van „tijdsverloopquot;quot;, in zoover het den kortoren of langeren duur van het een of ander met de maat van zijn geduld of ongeduld afmeet.

Door zijn eigen bewegingsvermogen, gevoegd bij de aanschouwing van hetgeen rondom hem gebeurt, zijn voorts de begrippen van „stilstaanquot; en niet-stilstaan, van „plaatsquot;¹'' en „verandering van plaatsquot;quot;, reeds vroegtijdig ontwikkeld.

De begrippen „snelheid'quot; en „richtingquot;quot; volgen spoedig. Het kind zal IT zeggen, dat van twee voorwerpen het eene dezen, het andere „dien kant uitgingquot;quot;: dat het eene „gauwquot;quot; of „hardquot;quot;, het andere „zachtjesquot;quot; of „langzaam'quot; ging.

Zelfs van de begrippen „versnelling'quot; en „vertragingquot;'quot;' zijn de kiemen reeds vroegtijdig voor-

¹

Geb. 1502 te Ivomnn bij Briinn; gest. 1071 te Amsterdam.

79

handen. Het kind weet 11 mede te deelen, dat zijn tol eerst „hardquot;, dan langzamer en langzamer gaat en eindelijk met draaien ophoudt.

De telkens terugkeerende vraag „Waarom van het kind en „Hoe komt dit of dat?quot; wijst op het bestaan van een begrip van oorzakelijkheid, zij liet ook in hoogst naieven vorm. Langzamerhand raakt ook het kind zich bewust, dat het gebeuren van het een of ander afhankelijk is van een samengaan met bepaalde omstandigheden. Al hoort men uit den mond van den knaap ook de verzekering, dat een door hem aangericht onheil „vanzelf zoo gekomen isquot;, in zijn binnenste vindt hij het eene „vanzelfquot; sprekende zaak, dat een kopje niet „vanzelfquot; breekt.

Lichaamsoefening, van welken aard ook, bewust of onbewust, wekt bij het kind het bewustzijn op van „krachtquot;, en spelende en stoeiende leert het in de uitwerkselen van een duw of een stoot een maatstaf kennen, waarnaar hij zijne meerdere of mindere „sterktequot; ot' „krachtquot; beoordeelt.

Het kind brengt dus bij zijne komst op school een zeker budget mede; en het is voor l^r van groot belang, TT met den inhoud van dat budget vertrouwd te maken.

Het kind heeft zijne eigen terminologie. „Snelheidquot; en „bewegingquot; zijn voor velen onbekende woorden; iets „gaatquot; „hardquot; of „gauw¹¹ of met „va^rtquot;. De onderwijzer gebruike bij zijn spreken diezelfde kinderlijke uitdrukkingen en gewenne de leerlingen langzamerhand aan het bezigen van andere termen naast die, welke tot dusver zijn eigendom waren.

En wat het naar zijn aard afgetrokken begrip „krachtquot; betreft, de onderwijzer verpersoonlijke slechts dit begrip en stelle er een persoon met spierkracht voor in de plaats.

Dit alles zijn algemeene opmerkingen.

De groote vraag is echter, hoe de leerstof te verdeelen en op welke wijze haar tc behandelen. Er zullen ook hier vele wegen zijn, die naar Rome leiden, en „Eines schickt sich nicht für Allequot;. „De beste methode is het hoofd en de ervaring des onderwijzers.quot; Als leerstof mogen de volgende onderwerpen ter bespreking worden aanbevolen.

Werking der zwaartekracht: Het vallen van verschillende voorwerpen, als een muntstuk en een stukje papier. Een stukje papier valt met den kant of met het plat naar beneden gekeerd. Een stukje papier wordt hoven op een muntstuk gelegd en het laatste in horizontalen stand losgelaten, zoo dat n u beide voorwerpen te ge 1 ij k den grond bereiken. Vallende regendruppels en s n ee u w-vlokken. Houten rollen onder aan de schoo 1 kaarten orn de kaart tc spannen. Schietlood en waterpas, liet stro om en van water naar beneden.

N.Ii. De begrippen verticaal en horizontaal — ook zoo noodig, zelfs bij elementair teekenonderwijs — kunnen reeds vroeg ontwikkeld worden en mogen om de veelvuldige toepassing ook gerust bij hun naam genoemd worden.

Evenwicht onder de werkinrj der zwaartekracht: Balance eren van een stok op den vinger. Een liniaal aan een spijker. Eene flesch op zijn bodem en het onderste boven geplaatst. Voetstuk ken van lampen. Eene trapleer. De stand van den mensch en van de viervoetige dieren. Stelten loop en. Waggelende gang van ganzen en eenden. Pyramid en van Egypte. Eene tafel op drie en op vier poo-ten. Een hoog geladen wagen. Een wagen met ver van eens taande wielen.

N.H. Wil men hierbij met name van het zwaartepunt spreken, dan vermijde men zorgvuldig elke poging, om eene eenigszins wetenschappelijke definitie te geven; men houde zich zuiver aan eene aan de praktijk ontleende omschrijving.

Parallelogram van krachten, waarvan de naam gerustelijk achterwege kan blijven, doch waarvan de volgende toepassingen kunnen besproken worden:

T w e e personen a a n e e n z e I I'd e v o o r w e r p t r e k k e n d e o f d u w e n d e, e v (; n „h a r dquot; of de een „harderquot; dun de ander. Het schuin neder vallen der regendruppels bij wind. Een wagen op rails gaat langzamer vooruit, naarmate er in schuinere richting aan getrokken wordt. De wind in de zeilen van een schip en tegen een vlieger.

Beqinsel der Traagheid: Een hardrijder op schaatsen rijdt nog een eind zijn

80

doel voorbij. Een trein in volle vaart kan niet plotseling stoppen. Water vloeit over den rand der kom, als deze plotseling op zijde wordt getrokken. Met seh nd den van appels van den boom. liet spatten van inkt nit de pen. Het springen uit een wagen onder het rijden.

101. Elk lichaam, dat, onder den invloed der zwaartekracht, om eene horizontale as kan draaien, heet een slim/er.

Een koperen kogeltje, opgehangen aan een zeer lichten, huigzamen draad, welks boveneinde onbeweeglijk bevestigd is, vormt een zeer eenvoudig voorbeeld van een slinger (draadslinger).

Ligt het zwaartepunt in de verticaal, die door liet „ophangpnntquot; ƒ gaat (vgl. fig. 32), dan verkeert onze slinger in den toestand van stabiel evenwicht. Uit dezen even wichtsstand, fc, gebracht, en daarna zonder snelheid aan zichzelven overgelaten, stelt het kogeltje zich in beweging en tracht zjjn eersten stand te hernemen. De proel leert intusschen, dat het kogeltje, van a in r teruggekomen, hier niet tot stilstand komt, maar zijne beweging voortzet, om, na tot h gestegen te /\jn, opnieuw terug te vallen, daarna nogmaals te stijgen tot in of nabij a, enz. Ware er geen tegenstandbiedende lucht, noch eenige andere weerstand-luedende kracht werkzaam, dan zou deze heen- en weergaande beweging,

eenmaal onder den invloed der zwaartekracht begonnen, geen einde nemen. In de werkelijkheid is er echter altijd eene, zij 't ook kleine, weerstand-biedende kracht werkzaam, ten gevolge waarvan de doorloopen wegen gaandeweg kleiner worden en het kogeltje eindelyk in zijn eersten evenwichtsstand fc tot rust komt.

Bepaling. 1° De overgang van den eenen uitersten stand («) in den anderen (h), 'tzy heen-of' weergang, heet eene slingering. 2° Het tijdsverloop, waarin eene slingering volbracht wordt, heet de slin-gertijd.

3° De lyn, die het zwaartepunt met het ophangpunt verbindt (of de loodlijn uit het zwaartepunt op de „asquot; van draaiing), doorloopt gedurende elke slingering een hoek, die den naam van amplitude der slingering of slingerwijdte draagt.

102. Wü laten onzen slinger slingeren, door hem een weinig uit zijn evenwichtsstand te brengen en daarna zonder snelheid aan zichzelven over te laten. Daarbij zorgen wij slechts, dat de „slingerwijdtequot; binnen een zeker klein bedrag, bijv. 3 beperkt blijft.

Met behulp van een uurwerk wordt nu bepaald, hoeveel „slingeringenquot; in een zeker tijdsverloop, bijv. van 1 minuut, plaats hebben. Aan lief einde daarvan zal de „slingerwijdtequot; zijn afgenomen en men bepaalt nu nog eens, hoeveel

81

slingeringen van deze kleinere en nog steeds kleiner wordende „slingerwijdtequot; in 1 minuut plaats hebben. Hoe vaak men de proef ook herhaalt, eene vergelijking van de beide verkregen waarden geeft als benaderde uitkomst, dat aan een gelijk tijdsverloop altijd een gelijk aantal slingeringen beantwoordt, zoodat de amplitude of sliugerwijdte hierop van geen invloed is.

EERSTE SLINGKliWKT.

Zoo lang de „slingerwijdtequot; heneden een zeker klein bedrag hlijfl, is de „«linger tijdquot;, onder overigens gelijke o m s I a n d i. g hilt;l t; n, vnn hare grootte onafhankelijk.

IO:{. Vervangt men het kleine koperen kogeltje door een van eene andere zelfstandigheid, bijv. lood, ijzer, ivoor, terwijl de lengte van den draad onveranderd blijft, dan zal men waarnemen, dat de slingertijd voor al deze slingers gelijk is.

Hetzelfde geldt van alle slingers van eiken wil leken rigen vorm, mits zij slechts meetkundig gelijk en gelijkvormig zijn.

TWEEDE SLINGERWIT.

De slingeringen ran homogene slingers, die meetkundig gelijk en gelijkvormig zijn, doch uit verschillende hestanddeelen beslaan, bezitten, onder overigens gelijke omstandigheden, gelijken nHuif e r t ij d.

104. De voorgaande door proefneming gevonden slingerwetten, die op eiken slinger van toepassing zijn, kunnen ook wiskundig worden afgeleid uit de beginselen, die wij aan de leer der krachten ten grondslag hebben gelegd, lüj deze wiskundige oplossing van het vraagstuk gaat men, van het eenvoudige tot het meer samengestelde opklimmende, als eenvoudigst geval van een draadslinger uit, welks kogeltje uit een enkel stofdeel bestaat, waarop de zwaartekracht werkt, terwijl de invloed dezer laatste op de deelen van den draad verwaarloosd wordt.

Men stelt zich dus een denkbeeldigen slinger voor, die in de Natuurkunde inderdaad den naam van idealen (ook van ma thema tischen en van enkelvoudigen) slinger draagt, van welks deelen slechts het onderste stoffelijke punt den invloed der zwaartekracht ondervindt; een slinger dus, bestaande uit één enkel stoffelijk deel, waarop de zwaartekracht werkt, hangende aan een volkomen buigzamen, onrekbaren draad zonder gewicht.

Elke andere slinger, die in de werkelijkheid gebruikt wordt, heet een phy-sische of samengestelde slinger.

Hepalino. Bij een enkelvoudigen slinger verstaat men onder slingerlengte den afstand tusschen het ,zwarequot; stoffelijke punt en het ophangpuni (of de ophang-as).

Van zulk een denkbeeldigen slinger is volgens de wiskundige afleiding de slingertijd, voor alle kleine amplituden, slechts van twee factoren afhankelijk, namelijk van de slingerlengte en van de versnellhig onder dm invloed der zwaartekracht, volgens de vergelijking;

l

salveuda c.n i.e uov, Natuurkennis, II. 2de druk. 6

82

waarin I den slingertyd voorstelt, tt de bekende verhouding tusschen omtrek en middellijn eens cirkels, l de slingerlengte en (j de versnelling, die het stoftelijk punt zou verkregen, wanneer het op de plaats, waar het slingert, vrij viel.

De afleiding zelve dezer vergelijking laten wy hier achterwege.

105. De slinger, die in een uurwerk dienst doet, is eeu samengestelde slinger. Wiinneer de zwaartekracht slechts op één enkel van zijne stoffelijke punten werkte, byv. op een punt met het midden der staaf samenvallende, dan zou zijn slingertyd, volgens de vergelijking van § 104, bepaald zijn, door den afstand van dit punt tot het ophangpunt. Werkte echter de zwaartekracht enkel en alleen op een hooger gelegen punt, dan zou, door de vermindering der „lengtequot;(/), de slingertijd kleiner, en werkte zij eenig en alleen op een lager gelegen punt, dan zou de slingertijd grooter zijn. Nu werkt echter de zwaartekracht op alle drie punten te gelijk, terwijl geen van deze de andere kan voorbijsnellen of er bij kan achterblijven, en het gevolg zal zijn, dat de beweging van het eerstgenoemde punt door het hooger gelegene versneld en door het lager gelegene vertraagd zal worden. In 't algemeen: de beweging van elk punt van een samen-gestelden slinger wordt versneld door de aanwezigheid der hooger gelegen punten en vertraagd door de aanwezigheid der lager gelegen punten. Het is dus begrijpelijk, dat er onder de vele boven en onder elkaar gelegen stoffelijke punten van een samengestelden slinger altijd één bepaald punt zal zijn, dat door de bovengelegen punten evenveel versneld als het door de ondergelegen punten vertraagd wordt, en waarvan dus de beweging zoodanig is, als ware het, los van alle overige punten, door een draad zonder gewicht met het ophangpunt verhonden. De afstand van dit punt tot het ophangpunt is dus de lengte van den enkelvoudigen slinger, die zijne slingeringen in denzelfden tijd volbrengt als de beschouwde samengestelde slinger.

Het bovenbedoelde punt van den samengestelden slinger draagt den naam van middel-punt van slingering of' slingerpunl.

Eene as, door het „slingerpuntquot; gaande en evenwijdig aan de ophangas, draagt den naam van slingeras.

Het „slingerpuntquot; van een samengestelden slinger heeft eene merkwaardige eigenschap. Draait men den slinger het onderste boven, hem ophangende aan de slingeras, dan wordt het ophangpunt (ophangas) van zoo even „slingerpuntquot; (slingeras), m. a. w, de „slingertijdquot; is in den nieuwen stand onveranderd gebleven.

Een voor dit doel ingerichte slinger heet reversie-slinger (reversie — omkeering).

Verstaat men nu onder „lengte van den samengestelden slingerquot; den afstand tusschen „ophangquot;- en „slingerpuntquot; (d. i. de lengte van den enkelvoudigen slinger met gelijken slingertijd), dan geldt de voor den enkelvoudigen slinger

gevonden vergelijking ook voor den samengestelden.

DERDE SLINOERWKT.

De „slingertijdquot; is evenredig aan den vierkantswortel uit de „s liny er leng t e'\

VIERDE SIiINÖERWET.

De slingertijd is omgekeerd, evenredig aan den vierkantswortel

B3

uit de door de zwaartekracht veroorzaakte versnelling op de plaats van waarneming.

urn. Nu men eenmaal van de geldigheid der „slingerformulequot; /, — ti K '

verzekerd is, kan zij omgekeerd dienst doen om, met, belmlp van een slinger, de waarde van g te bepalen.

Lost men nl. 7 uit de gegeven vergelijking op, dan vindt men:

7t² l

Langs dezen weg is voor g gevonden,

te Amsterdam 981,2 te Parijs 980,9.

107. Volgens het Newton'sche Grondbeginsel der „algemeene aantrekkingquot; (1)1/.. 157) is de wederkeerig uitgeoefende „aantrekkingskrachtquot;, tusschen de Aarde en een voorwerp er buiten, samengesteld evenredig aan beider massa's en omgekeerd evenredig aan de tweede macht van den afstand tusschen dat voorwerp en het middelpunt der Aarde.

De door de Aarde op een slingerend punt uitgeoefende „aantrekkingskrachtquot; moet dienvolgens van de pool naar den evenaar afnemen; daar, wegens de afplatting der Aarde, plaatsen in de nabijheid der pool dichterbij het middelpunt gelegen zijn dan plaatsen aan den evenaar. Dienovereenkomstig zou de „slinger-tijdquot; van denzelfden slinger van de pool naar den evenaar moeten toenemen. Inderdaad hebben de slingerwaarnemingen geleerd, dat dit het geval is.

Toch stemt de door middel va7i den slinger waargenomen verandering van g niet overeen met de berekende, welke, zonder meer, de Newtmische hypothese op grond van de verandering in den middelpuntsafstand doet verwachten; en het verschil is te groot, dan dat men het aan de onnauwkeurigheid der waarnemingen zou kunnen toeschreven.

De reden hiervan is, dat de waargenomen en de berekende versnelling teu opzichte van verschillende punten van vergelijking, m. a. w. van eene verschillende „omgevingquot;, gelden: de waargenomen versnelling ten opzichte vim de punten der aardoppervlakte; de berekende ten opzichte van het middelpunt der Aarde en de vaste sterren. Had nu slechts de door de aardoppervlakte gevormde omgeving geen beweging ten opzichte van die andere omgeving, dan kwam de zaak op hetzelfde neêr; terwijl nü de uitkomst der waarneming en die der berekening, om onderling vergelijkbaar te zijn, vooraf tot eene zelfde omgeving herleid moeten worden. Zoodra men dit doet, wordt de overeenstemming tusschen waarneming en berekening volkomen.

Opg. Herlees de Aanmerking bij § 57, bi/-. 35.

108. Onder de belangrijke vraagstukken der Mechanica behoort het volgende:

Ten opzichte van eene zekere „omgevingquot; A werkt eene kracht op een punt, dal deel uitmaakt van eene tweede „omgeving'''' li.

De „omgevingquot; li bezit ten opzichte van de „omgevingquot; A eene eenparige, draaiende beweging om zekere as.

Wordt gevraagd: Welke kracht werkt ten opzichte van d( „omgevingquot; li op het gegeven punt ?

fi*

84

De oplossing van ilit vraagstuk die wij hier achterwege laten leidt tot de volgende uitkomst:

Voeg b\j de gegeven kracht eene op hetzelfde punt werkende tweede kracht, die volgens de loodlijn uit dit punt op de omwentelingsas en van deze naar liet punt toe gericht is, en die gelijk is aan éénheden, waarin m, v en r

respectieveUjk voorstellen het aantal éénheden der massa en der snelheid van

het gegeven punt en van zvjn afstand tot de omwentelingsas; —alles beschouwd

ten opzichte van de .omgevingquot; B.

Terwijl het aldus geoorloofd is, zich de zaken zóó voor te stellen, alsof er

twee krachten op het punt werkten, vergete men niet, dat de ingevoerde kracht 2

van ^vquot;^, éénheden niet werkelijk bestaat en slechts een hulpmiddel, eene soort

r

van kunstgreep is, om de uitkomst der herleiding van de eene omgeving tot de andere op eenvoudige wyze voor te stellen.

Bkpamno. Met is aan de in het voorgaande genoemde denkbeeldige kracht

van ^m' éénheden, dat men den naam van „middelpuntvlie-

r

den dequot; kracht geeft.

109. De „omgevingquot; A der vorige S worde gevormd door het middelpunt der Aarde en de vaste sterren; de „omgevingquot; B door de punten der aardoppervlakte.

Op een punt aan de oppervlakte der Aarde werke, ten opzichte van A, de door de Aarde uitgeoefende aantrekkingskracht, die eene „versnellingquot; veroorzaakt gelijk aan G.

Het beschouwde punt deelt in de beweging van B ten opzichte van A en doorloopt met eene eenparige beweging, in een tijdsverloop van 24 uren, een cirkel.

Welke zal nu de versnelling (;/) zyn, veroorzaakt door de kracht, die op het beschouwde punt werkt ten opzichte van B?

Bevindt zich het punt aan den Evenaar — vgl. fig. —, dan vindt men volgens S 108, indien m /ijne massa, v zijne snelheid ten opzichte van h en r y- den straal der Aarde voorstelt:

___r, mv* . _m

mg — mAj —

r

want de middelpuntvliedende kracht (KA) is volgens dezelfde lijn doch in tegengestelden zin gericht als de aantrekkingskracht (KM), j 'A'\) de omwentelingsduur gelijk aan l

éénheden, dan is de snelheid

2nr ..

v ~ , waaruit:

L

_47r^Jr

?• ~ ï' '

Deze waarde in (I) overbrengende:

4 T:'^lmr ï¹

47:ⁱ/'

t¹

grootte der kracht voorstelt, werkende op de éénheid van massa.

Do door (j voorgestelde „versnellingquot; is die, welke wij in de voorgaande §§ beschouwd hebben als liet resultaat der zioaartckracht.

Do (in lig. -33) op het punt 0 werkende zwaartekracht (CD) is dus de resultante

van de aantrekkingskracht (CM) en de middelpuntvliedende kracht (Cl'¹).

47r²r

De versnelling ^ der middelpuntvliedende kracht kan berekend worden, wanneer bekend is;

2rtr — 4000.000.000 cM. (omtrek der Aarde);

lt; — 24 X 60 X 60 secunden sterretijd — 8G164 secunden middelbare tyd.

, 47: V 2 Ti. 4000.000.000

Wy hebben dan ₍₁ = =3,368.

Aan den evenaar werken de „aantrekkingskrachtquot; en de „middeipuntviieilonde krachtquot; volgens dezelfde richting en in tegengestelden zin en dus wordt '! op 0° breedte met dit volle bedrag verminderd:

(7_n = 6 — 3,368.

Do waarneming leert, dat g_n — 978,07, zoodat, daar 3,368=: _i x 1)78,07 is,

de middelpuntvliedende kracht aan den evenaar ' , = .i, van do zwaartekracht,

289 17*

ilus ook zeer ten naaste bij van do aantrekkingskracht is. Hieruit kan men het gevolg trekken, dat, indien de aswenteling der Aarde 17 maal zoo snel geschiedde, de zwaartekracht aan den evenaar ongeveer gelijk 0 zon zijn.

Aan de pool is de middelpuntvliedende kracht = 0, en bij gevolg (j — G.

V r. Waarom?

Op andere breedtegraden is de waarde van g grooter, naarmate de plaats van waarnoming op hoogeren breedtegraad ligt.

Daar tie „zwaartekrachtquot; de resultante is van de „aantrekkingskrachtquot; en de , middelpuntvliodende krachtquot;, gaat tusschen den evenaar en de polen de lijn volgons welke zij gericht is (d. i, do verticaal eener plaats) niet door het middelpunt der aarde, daar op al deze plaatsen de middelpuntvliedende en de aantrekkingskracht niet volgens dezelfde lijn gericht z\jn. De hoek, dien do verticaal maakt met de lijn

naar het middelpunt der aarde bedraagt op 45° breedte 11' 46'.

/ij in lig. 34 s op 45° breedte gelegen, SM' de verticaal der plaats,M het middelpunt der Antde, dun is i MsM'(5)= ll'-Hiquot;.

Daar de verticaal (.sM') loodrecht gericht is op de oppervlakte eener stilstaande vloeistof, kan do vorm dor wentelende aarde ook geen zuivere bolvorm zijn, zooals mogelijk ware indien de aarde stilstond. Wel is niet de geheele Aarde eeno vloeibare massa; maar vooreerst is het de vraag of er niet oen tijd geweest is, dat zij in vloeibaren toestand verkeerde, en ten andere is ook een vast lichaam niet volstrekt onvervormbaar te noemen. Zoo kan dus do Aarde, juist ten gevolge van hare aswenteling, hare van den bolvorm aiwij-kende gedaante hebben verkregen, waarbij zij dan noodzakelijk van pool tot pool eon weinig moest worden afgeplat. Ook deze afplatting (in ligunr 'M duidelijkheidshalve

87

Eene inrichting, als hierboven beschreven is, dnuigt den naam van échappement.

111. De leer der krachten vindt eene belangrijke toepassing in de werktuigen.

Tot de eenvoudigste werktuigen behoort de hefboom.

Een hefboom is elke staaf, die om een vast punt (vaste as) kan draaien. Hij het gebruik van den hefboom wordt eene beweging van het eene lichaam, door zyne tusschenkomst, op een ander lichaam overgebracht.

Gewoonlijk werken dus by het gebruik van den hefboom, behalve zyn Gewicht en de door het steunpunt (steunas) uitgeoefende tegendrukking, nog twee andere krachten op dit lichaam, waarvan de eene dient, om aan het werktuig, en zoodoende aan een ander lichaam, de verlangde beweging mede te deelen; terwijl de andere kracht deze beweging tegenwerkt. Aan de eerste geeft men den naam van Mctchl, aan de laatste dien van Last.

Mnchipunt, zoo heet het aangrijpingspunt van de „machtquot;; Inslpvnl dat van den „lastquot;; steunpunt (steunns) het vaste punt, waarom de hefboom kan draaien.

Wy willen hier alleen onderzoeken, aan welke voorwaarde moet voldaan zijn, willen „Machtquot; en „Lastquot; den hefboom in evenwicht houden. Daarbij onder-Fig. 36, stellen wij, dat de hefboom aan geen buiging

A, onderhevig is, en wij laten het Gewicht van

den hefboom buiten rekening.

Indien de lijnen, volgens welke Macht en Last gericht zijn, in een zelfde plat vlak gelegen zijn, dan moet (vgl. lig. :!6) voor het bestaan van het evenwicht, volgens §98, voldaan zijn aan de vergelijking M X si =: L X sa,

waaruit onmiddellijk volgt:

M : L = sa : sh.

Wij willen in 't vervolg de loodlijnen *h en sa respectievelijk tie „hefbooms-armenquot; van de Macht en van den Last noemen.

De hefboom is onder de gestelde voorwaarden dus in evenwicht:

wanneer Macht en Last omgekeerd evenredig zijn aan de „armenquot;' waaraan zij werken.

11«. Een werktuig van zeer uitgestrekt gebruik, waarin de hefboom eeue toepassing vindt, is de balans (vgl. fig. :57).

De hefboom draagt in het geval van de balans den naam van juk.

Het juk kan draaien om eene horizontale as.

De aangrijpingspunten van Macht en Last zijn hier de ophangpunten lt;/ en b der schalen; zij liggen met het punt c der horizontale as in eene rechte lijn en wel zoodanig dat ac = bc.

Voorts is het juk zoo gemaakt, dat de verbindingslijn der ophangpunten ab horizontaal gericht is, wanneer het juk, onder den invloed der zwaartekracht aan zichzelf overgelaten, den toestand van stabiel evenwicht heeft aangenomen. Het zwaartepunt z ligt dan in eene door de steunas gaande verticaal, en wel onder de as.

88

De horizontale stand van nh wordt aangewezen door het samenvallen van de

alsdan verticaal gerichte naald met het nulpunt van den graadboog.

N.B. Hij de moeste Avinkclbalunsen Mordt de horizontale stand aange-uezen, doordien dan de boven op het juk bevestigde naald (de „toiig'quot;) in het „hui8je^,, staat.

Laat men in dezen stand in de beide ophangpunten a en h twee onderling gelijke, verticaal naar beneden gerichte krachten 1' aangrijpen, dan blijft de balans in ^ haar toestand van stabiel even-

quot; wicht volharden en de horizontale

De lijn toch, volgens welke de congerente werkt, gaat door het midden van do lijn ab, welk midden c een vast punt is, dat de werking dor kracht opheft.

Laat men echter in de punten a en h twee onderling ongelijke, verticaal naar beneden gerichte krachten P en Q (= I' ylt;) aangrijpen, dan verandert tic stand van het juk.

Wij denken de kracht Q vervangen door de krachten P en p.

De l\jn, volgens welke de congerente der beide krachten P werkt, zal weder door het vaste punt c gaan en de werking dezer kracht worden opgeheven. Er blijven dus nog twee krachten over, die aan het juk eene beweging trachten mede te deelen, nl. het Gewicht G van het juk, dat in z aangrijpt, en de kracht /gt;, die in h aangrijpt. De lijn, volgens welke de congerente C dezer twee krachten werkt, snijdt de lijn bz, bijv. in d, zoodat ditmaal geen vast punt op deze lijn gevonden wordt en de congerente C aan het juk eene draaiende beweging in positieven zin moet mededeelen.

De balans komt in een nieuwen evenwichtsstand tot rust, iii welken het aangrijpingspunt d in de door het steunpunt c gaande verticaal komt te liggen, zoodat ah een hoek maakt met het horizontale vlak.

Aan dezen hoek geeft men den naam van .doorslagquot;.

N.ll. Naarmate deze „doorslagquot; (hoek), voor een zelfde overgewicht aan het eene ophang-punt grooter is, heet de balans ^eKoelirjerquot;.

De „gevoeligheidquot; wordt uitgedrukt in eene breuk, waarvan de noemer het draagvermogen, d. i. de grootste belasting voorstelt, die aan elke schaal mag gegeven worden, en de teller hel kleinste overwicht, dat bij de maximum-belasting der schalen nog een zichtbaren doorslag.

0,005

bijv. van '/s geeft. Kene gevoeligheid van

beteekent dus eene gevoeligheid, waarbij ecu overgewicht van 5 milligram, bij eene maximumbelasting van 1000 Gram nog een merkbaren doorslag geeft.

n:{. Pij het gebruik van de balans als meetwerktuig worden de verticaal naar beneden gerichte krachten der vorige § vertegenwoordigd door de „Gewichtenquot; van twee lichamen, die in do ophangpunten aangrijpen. Blijft, bij belasting van de beide ophangpunten, de naald op hot nulpunt staan, dus de

80

Igu ah haar horizontalen .stand hamlhaven, dan oordeelt men, dat de „Gewichtenquot; der beide aanhangende lichamen onderling gelijk zijn; neemt ile lijn tilj, en ilu.s ook de naald, een anderen stand aan, dan oordeelt men, dat de heide Gewichten onderling ongelijk zijn.

Mc.t (lc balans beoordeelt men. of op eene zelfde /i laats op aarde de r, Gewichtenquot; van twee lichamen onderling gelijk of onqelijk zijn.

Gesteld, dat de halans heeft aangetoond, dat te I'arijs het (iewichtvan zeker lichaam gelijk is aan dat van den koperen cylinder, waaraan men den naam van Kilogram geeft, dan zal de balans aantoonen, dat ook te Amsterdam de Gewichten van die twee zelfde lichamen onderling gelijk zijn. Dat echter ellss Gewicht in 't bijzonder, d. i. de congerente der daarop werkende zwaartekracht, te Amsterdam een ander is dan te Parijs, daarvan leert de balans niets.

Gelijkheid van Gewicht op eene zelfde plaats op aarde sluit in zich (jelijkhcid aan massa, volgens de wijze, waarop wij dit begrip ontwikkeld hebben.

Aangezien nu de „massaquot; van een lichaam eene van tijd en plaats onafhan-kelyke, onveranderlijke grootheid is, kan de „massaquot; van een lichaam, niet behulp van de balans, gemeten worden door te bepalen, hoeveel aangenomen eenheden van massa evenveel luegen (gelijk „Gewichtquot; hebben) als de massa van het genoemde lichaam.

Heeft men op deze wijze de „massaquot;, in éénheden uitgedrukt, gevonden, dan vindt men het „Gewichtquot;, in éénheden van kracht uitgedrukt, door, volgens de formule P — mg, het eerste getal niet de waarde, die g op de plaats van waarneming heeft, te vermenigvuldigen.

De kennis van de juiste waarde van het Gewicht, als congerente der zwaartekracht, kan voor wetenschappelijke vraagstukken van groot belang zijn. In den

ito

handel Viin het dagelijksch leven echter, komt het alleen aan op kennis van de massa. Men heet te koopen bij liet gewicht; doch in werkelijkheid koopt men — en te recht — bij de massa.

Het eerste woord wordt in het dagelijksch leven voor het laatste gebezigd.

N.B. Den invloed, dien de lucht bij het „wegen^v', d. i. bij het zoeken der massa van een lichaam, uitoefent, bespreken wij later.

Aanm. 'Pot de rechtstreeksche meting van het „Ge■^vi(•ht^,,, (dat volgens onze beschouwingen eene „krachV isj zou men zich van een veer-dynamometer (— krachtmeter) kunnen bedienen, waarvan wij voorbeelden kennen in de zoogenoemde „tamilv•scale^,, en in den brielVoger van den in fig. 39 voorgestelden vorm. Daarbij worden nl. gelijke uitrekkingen van de veer aan de werking van gelijke krachten toegeschreven. Daar echter zulk een werktuig of grof van maaksel en daardoor weinig gevoelig is, of, indien het fijn bewerkt is, zijne aanwijzingen vegens de gewijzigde veerkracht mettertijd verandert, kan men er zich niet van bedienen in al die gevallen , waar het op groote nauwkeurigheid aankomt.

Indien in den handel inderdaad bij het „Gewicht'''' gekocht en verkocht werd, en de „dynamo-Ineter'^l, de balans vervangen had, dan behoorden de prijzen op verschillende plaatsen omgekeerd evenredig te zijn aan de grootte der zwaartekracht, of aan de waarde van lt;7. Bij een zelfde prijzen-tarief toch zou men zich op die wijze belangrijk kunnen bevoordeelen — of bcnadeelen.

Gesteld bijv., dat men te Lima in Peru bij het „gewicht'quot; 1000 kilogram goud koopt, tegen /quot; 1760 het kilogram. Naar Amsterdam overgebracht, zou deze hoeveelheid goud naar het „gewiclitquot; 981,24

1000 X — 1002,97 kilogram bedragen (de waarde van g te Lima 978,34, te Amsterdam

981,24 bedragende). Dus zou men, door te Amsterdam tegen denzelfden prijs te verkoopen, reeds een door niets gewettigd voordeel van ca 2,97 K.G. goud, d. i. van ca f 5227 genieten.

Vr. Waarom is, voor de gewone wijze van wegen, de balans onbruikbaar, 1° wan-nee • haar zwaartepunt boven het steunpunt ligt; 2° wanneer de armen van het juk niet even lang; 3° wanneer zij niet even zwaar zijn?

Vr. Hoe verklaart Gij, met behulp van fig. 37, dat de gevoeligheid der balans grootcr is, naarmate de armen van het juk 1° langer; 2° naarmate zij lichter zijn; 3° naarmate het zwaartepunt dichter onder het steunpunt ligt? (Vgl. ook de Aanm. aan het slot van § 112).

Aan7n. In het dagelijksch leven wordt, om aan te duiden, dat het juk horizontaal staat en de „gewogen'''' massa's dus gelijk zijn, veelal gezegd, dat de balans „in evenwicht'quot; is. Dat deze uitdrukking onjuist is, zal uit het voorgaande voldoende duidelijk zijn. Ook in schuinen stand kan de balans „in cvemvirhf zijn; alleen zijn dan de beide massa's niet onderling gelijk.

114. De onderlinge aantrekking van twee lichamen is, volgens het iVctoion'sche (Grondbeginsel, afhankelijk van hun onderlingen afstand. Dit op de Aarde toegepast, moet de door haar op een lichaam uitgeoefende „aantrekkingskrachtquot;, dus ook (j, minder zijn naarmate het zich op grootere hoogte boven hare oppervlakte bevindt. Dat dit inderdaad het geval is, werd door von Jolly te Miinchen door middel van eene zeer gevoelige balans rechtstreeks aangetoond. Hij plaatste de balans (vgl. fig. 40) op eene tafel, 5', M. boven den vloer van het laboratorium. In den bodem der balanskast en in de tafel waren onder de schalen openingen, waardoor draden staken, van boven aan de schalen bevestigd en aan bun ondereinde zelve schalen dragende. De afstand tusschen de bovenste en do onderste schalen bedroeg 5,29 M.

Nn werd eerst op elke der bovenste schalen een lichaam (gewicht) geplaatst, zoodanig dat het juk den horizontalen evenwichtsstand innam. Vervolgens werd een der beide gewichten van de bovenste in do daaronder hangende schaal

91

overgebracht, wat ten gevolge had, dat het Juk naar den kant van laatstgenoeuide

schaal ging overhellen, waaruit bykt, dat de werking der zwaartekracht was toegenomen.

Uit de waarnemingen werd afgeleid, dat van een Kilogram het „Gewichtquot; met het Gewicht van 1,5099 mG. verminderde, wanneer het 5,29 M. hooger geplaatst werd.

De herekening volgens de wet der algemeene aantrekking geeft, wanneer de straal der Aarde voor München gelijk aan 6365722 M. genomen wordt, eene vermindering gelijk aan het „Gewichtquot; van 1,662 mG.

Ojjff. Voer deze borekcning uit.

115. Ook met eene onnauwkeurige, doch gevoelige balans kan de massa van een voorwerp met groote juistheid bepaald worden, liet voorwerp (A) wordt daartoe op de eene schaal gelegd en op de andere schaal plaatst men zooveel „ballastquot; (= tarra) (B), bijv. zand of iets anders, totdat liet juk den horizontalen even-wichtsstand heelt aangenomen. Daarna wordt A vervangen door voorwerpen ((!), waarvan de massa bekend is, door gewichten namelijk, totdat de vorige evenwichts-stand hersteld is. Alsdan zal de totale massa van C gelijk zijn aan de gezochte massa van het voorwerp A.

Deze wijze van „wegingquot;, omslachtiger dan de gewone, heet de „methode der dubbele wegingquot;, ook wel de methode van Borda.

Aanm. Voor «egingen, waarbij het op zeer grooto nauwkeurigheid aankomt, maakt men altijd gebruik van do methode der ..dubbele wegingquot;, hetzij van de bovengenoemde „ballastquot;-oi tarra-methode van Sorda of, nog liever, van de door Simon Stevin aangegeven methode der „omleggingquot;. Bij deze laatste methode wordt het te wegen voorwerp op de gew one wijze eerst iu de eene, daarna in de andere schaal gewogen. Indien dan de gevonden massa's respeetievelijk gelijk zijn aan a en aan li, dan zal de werkelijke massa gelijk zijn aan nh.

Opg. Toon dit nader aan.

Illt;gt;. Na het in de vorige behandelde overzicht van de voornaamste waarheden der Mechanica, ten opzichte van de vaste lichamen, willen wij nader terugkomen op het in 5? 12, blz. 8, gezegde over meten en maten, waardoor de getalwaarden verkregen worden, die in het voorgaande herhaaldelijk aan wiskundige bewerkingen onderworpen werden.

Volgens § 12 bestaat het meten van eene grootheid in het onderzoek, hoeveel malen eene andere grootheid van dezelfde soort, als éénheid genomen, in de eerste begrepen is. De uitkomst der meting is dus een getal, dat de numerieke waarde of getalwaarde der gemeten grootheid genoemd kan worden.

Voor het bepalen der numerieke waarde van grootheden rara vtrscMMmt/c soor£, heeft men dus „éénhedenquot; of maten, gelijk het óók heet, van verschillende soort noodig.

92

Zoo iiioüI de ócnheitl ol „maatquot;, waarmede de iiumeriuke waarde van het oppervlak, l)\iv. eens rechthoeks, bepaald wordt, zelve ook een zeker oppervlak /.ijii; en de maat, waarmede de numerieke waarde van de lengte eener l\jii bepaald wordt, moet zelve eene zekere lengte zijn.

Tot maat voor het meten van oppervlakken hebben op verschillende tyiien en verschillende plaatsen oppervlakken van verschillende grootte gediend. Voorbeelden zijn: een Amsterdamschemorc/en, een Blooitch (lemct, een Drcnt.sch muddc, enz.

Evenzoo hebben zeer uiteenloopende lengten tot maten voor liet meten van lengten gediend. Voorbeelden zijn: de Amstcrdamschc el, de Gooische roede, de Maslenhroelesche schacht, enz.

117. De Meetkunde leert, dat het oppervlak van een Rechthoek samengesteld evenredig is aan zijne ,beidequot; zijden. Indien dus een Rechthoek van éene (Ionische roede lang en éene Gooische roede breed gelijk is aan 0,00152 Amsler-damsche morgen, dan zal een Rechthoek van a Gooische roeden lang en h Gooische roeden breed gelijk zijn aan 0,00152 X quot;ft Amsterdamsche morgen.

Terwijl dus de „numerieke waardenquot; van de zijden des Rechthoeks, gemelcn in Gooische roeden, respectievelijk gelijk z\jn aan a en /gt;, zal de „numerieke waardequot; van het oppervlak des Rechthoeks, gemeten in Amsterdnmschc morgen, gelijk zijn aan 0,00152 X of', dit oppervlak, in Amsterdamsche morgen gemeten, voorstellende door de numerieke waarde r;

r = 0,00152 X lt;dgt;.

118. Het eerste lid van de vergelüking der vorige § bevat één getal, r, voorstellende de „numerieke waardequot; van een oppervlak.

liet tweede lid bevat drie getallen, waarvan twee (« en h) de „numerieke waardequot; eener lengte voorstellen, terwijl het derde (0,00152) een coëfficiënt is.

De grootheden, welker numerieke waarden in de beide leden worden voorgesteld, zijn dus van verschillende soort; en toch bestaat er tusschen deze grootheden van verschilleiide soort (het oppervlak eens rechthoeks en zijne zijden) eene zekere betrekking, die door bovenstaande algebraïsche vergelijking ol' „formulequot; vertolkt wordt.

De éénheid, oi maat, die voor het meten van het oppervlak gebezigd werd, is de Amsterdamsche morgen; die welke voor bet meten der lengten gebruikt werd, de Gooische roede.

Tusschen deze twee soorten van éénheden of malen hesiaal hoegenaamd geen nntnurlijk verband.

Wij hadden echter éénheden of maten kunnen bezigen, tusschen welke, hoewel van verschillende soort, wél een zeker verband, eene zekere afhankelijkheid, bestaat.

Wij hadden bijv. tot maas, waarmede het oppervlak gemeten wordt, het oppervlak van een Rechthoek van 1 Gooische roede lang en 1 Gooische roede breed kunnen bezigen, m. a. w. eene vierkante Gooische roede, liet getal r van het eerste lid onzer vergelijking zou dan de „numerieke waardequot; van het oppervlak, in vierkante Gooische roeden uitgedrukt, voorstellen, en de vergelijking zou worden :

r ~ ah.

Wij zien, dat de algebraïsche vergelijking, die het verband van afhankelijk-

on

lieid tiissclien het oppervlak des liee.litlioeks en zijne zijden uitdrukt, nu eon-voudiger is geworden: de coefficient der vorige vergelijking is er uit verdwenen ; liij is namelijk gelijk aan 1 geworden.

119. Evenals in de Meetkunde, vinden wij in de Natuurkunde betrekkingen tusschen grootheden van verschillende soort.

Zoo zyn bijv. eene snelheid, eene weglcnyle, en een tijdsverloop grootheden van zeer verschillende soort, tusschen welke niettemin in sommige gevallen eene zekere betrekking kun bestaan. In het geval toch van eene eenparige beweging is de snelheid evenredig aan den afgelegden weg en omgekeerd evenredig aan liet tijdsverloop, waarin de weg is afgelegd.

Willen wij nu dit verband in eene vergelijking uitdrukken, dan kunnen wij, bij bet vaststellen van de numerieke waarde der verschillende grootheden, twee wegen inslaan:

wij kunnen de éénheden of maten, waarin de numerieke waarde van de verschillend geaarde grootheden wordt uitgedrukt, zoodanig kiezen, dat er tusschen ben hoegenaamd geen natuurlijk verband bestaat, of

wij kunnen ze zoodanig kiezen, dat er tusschen haar eene zekere aflianke-I ijk beid bestaat.

lgt;e laatste weg verdient de voorkeur; want de vergelijking wordt er, door bet wegvallen van anders onvermijdelijke coëfficiënten, eenvoudiger door.

Gesteld dat bij eene eenparige beweging een weg van % cM. in 8 secunden wordt algelegd en dat de „numerieke waardequot; van de snelheid eener eenparige beweging, met welke in I secunde 1 l'arijsche voet wordt afgelegd, gelijk zij aan 1, dan zal de snelheid (/') in het gegeven geval, daar 1 l^irijscbe voet - :ü,rgt; cM., worden uitgedrukt door de vergelijking:

1 _v„ 96 32,5 ^X 8 '

of in 't algemeen, de numerieke waarde van den algelegden weg s en die van bet tijdsverloop — l zijnde:

^V ~ 32,5 ^X t quot;

Wordt echter voor de snelheid, welker „numerieke waardequot; — I , de.snelheid aangenomen van eene eenparige beweging, waarbij in I sec. een weg van I ri\I. wordt afgelegd, dan verandert de vergelijking van zoo even in:

s

V— .

t

Men stelsel van éénheden of maten, die zoodanig gekozen zijn. dat in de belangrijkste vergelijkingen of formules de boven aangeduide coëfficiënten gelijk aan 1 worden, heet eeu stelsel van absolute (volstrekte) éénbeden of maten.

120. Een bekend voorbeeld van een absoluut maatstelsel is hef metrieke stelsel, zoo genoemd omdat de verschillend geaarde maten voor lengten, oppervlakken, inhouden en zelfs massa's alle gegrond zijn op de éénheid van lengte, den Meter.

Tallei/mnd deed in ITi'd aan de Assemblée constituante het voorstel tot het invoeren van één stelsel van „maten en gewichtenquot;. Daarop volgde eene uitnoo-

04

dicing aan cle _r Academic van wetenschappenquot; te Parijs om zicli met liet ontwerpen daarvan te belasten en nog in hetzelfde jaar werd door dit geleerde lichaam uitgemaakt, dat de decimale of tiendeelige indeeling de doelmatigste was.

In 1701 werd van de drie éénheden, die als grondslag voor het stelsel in aanmerking konden komen (de lengte van de secunde-slinger op 45° breedte, een kwadrant ol vierde gedeelte van den omtrek des evenaars en een kwadrant van een meridiaan) het kwadrant van een meridiaan boven de andere verkozen. Dienovereenkomstig werd nog in hetzelfde jaar door de Nationale Vergadering besloten.

Van 1702—1708 had de meting plaats van den meridiaanboog tusschen Duinkerken en Montjony bij Barcelona. Deze boog strekt zich ter weerszijden van den 45sten breedtegraad uit, waardoor de onnauwkeurig bekende afplatting der aarde slechts een geringen invloed op het resultaat kon hebben.

Na afloop van ai deze voorbereidende werkzaamheden noodigde de Kranscbe regeering in 1708 de bevriende mogendheden uit om deskundigen naar l'arys af te vaardigen, aan wier oordeel het tot stand gebrachte werk der commissie zou onderworpen worden. De Bataafsche Republiek vaardigde af den Hoogleeraar aan het Amsterdamsche Athenaeum J. H. van Swindeti en //. Aeneae, een bekend leeraar der wiskunde uit die dagen, later Inspecteur voor de uitvoering der nieuwe wet op de maten en gewichten.

, Van Swinden was voor de Pransche leden der commissie een oud bekende, al hadden zy hem nooit aanschouwd. Eene bekroonde prijsvraag, zijne vele onderzoekingen op natuurkundig en meteorologisch gebied, die meerendeels in Kransche tijdschriften waren bekend gemaakt, hadden hem reeds den bijnaam van ,1e savant Hollandaisquot; bezorgd. Zyn persoonlijke omgang schijnt dien goeden dunk verhoogd te hebben, terwijl ook zijn uitgebreide kennis hoogetijk werd gewaardeerd; dit getuigt althans de belangrijke rol, welke hij in de genoemde commissie vervulde.

,Hier kwam vooral ook zijne kennis van de Pransche taal en de gemakkelijkheid, waarmede hy zich daarin schriftelijk en mondeling uitdrukte, uitnemend te pas. Aan de gewichtigste beraadslagingen en onderzoekingen nam hjj deel. Ook de hollandsche nauwkeurigheid kwam hierbij op toevallige wijze tegenover fransche zorgeloosheid aan het licht. Want toen men na afloop van de zittingen der commissie een proces-verbaal van het verhandelde in de verschillende bijeenkomsten wilde samenstellen, bleek, dat men verzuimd had hiertoe de noodige aanteekeningen te houden. Gelukkig redde Van Swinden de commissie uit hare verlegenheid; voor zich zeiven had hij gedurende elke zitting eenige aanteekeningen gemaakt, en met gretigheid werden deze nu gebruikt om het verlangde verslag saam te stellen en op deze wijze het verzuimde te herstellen. Toen de commissie met haar arbeid gereed was, werd Van Swinden tot algemeen rapporteur benoemd; als zoodanig bracht hij eerst verslag uit aan het Instituut van kunsten en wetenschappen, later ook aan het Wetgevend Lichaam. Deze verslagen werden door de Franschen, die in dit opzicht anders waarlijk niet gemakkelijk oordeelen, ,un modèle de la perfection dans l'art d'expliquer leurs travaux, de les faire comprendre méme aux personnes qui n'ont point spéciale-ment cultivé les sciencesquot; — genoemd. Zoo nam hij aan al de werkzaamheden

on

der commissie een ijverig deel. Met Delamhre en Legendre hield liij zich bezig met het berekenen der driehoeken, waartoe de noodige gegevens door den eerstgenoemde bij zijne groote graadmeting over geheel Frankrijk waren geleverd; met zyn ouden mededinger ') Coulomb nam hij de noodige proeven voor het vaststellen van het Kilogramme; kortom aan elke atdeeling van liet veel omvattend onderzoek werd door hem een werkzaam aandeel genomen. In betrekkelijk korten tijd werd deze groote arbeid voltooid; want reeds in het volgend jaar is het eindverslag uitgebracht, ingevolge waarvan het nieuwe stelsel werd gevestigd,quot; '-)

„Vereerd met de vriendschap en het vertrouwen van al, wat in l'Vankrijk door wetenschap uitstekend was, hooggeschat door allen, die hem ontmoet hadden, keerde Van Swinden, overladen met eer en lol', in 1790 in het Vaderland terug.''

Drie jaren later verscheen van de hand van Van Swinden de „Verhandeling over volmaakte maaten en gewigtenquot;¹), waarin een voortreffelijk overzicht van het geheele stelsel, zijne historische ontwikkeling en de voorbereidende werkzaamheden tot de vaststelling zijner „basisquot; gegeven wordt.

Die basis ontving den naam van Mèlre [Meier), welks lengte bepaald werd

op iqqqqqqqquot; gedeelte van het kwadrant van den gemeten meridiaan.

Er werd nu van den Meter een standaard-Meter van platina gemaakt, die, tegelijk met een standaard-Kilogram van platina, den 4 Messidor van het jaar Vil der Fransche republiek (22 Juni 1799) door de Oommissie voor de maten en gewichten, met den beroemden Laplace aan het hoofd, aan het vergaderde Wetgevend Lichaam vertoond en vervolgens door haar in liet Staats-Archief nedergelegd werd. Daarnaar dragen deze beide „Standaardsquot; (étalons) den naam van Mrlre den Archives en Kilogramme des Archives.

Het „Gewichtquot; dat dit cylindervormig Kilogram, in eene luchtledige ruimte, te l'arijs, bezit, werd als de éénheid van gewicht aangenomen.

„13e afgevaardigden kregen ieder voor hunne Regeering mede een (onvernist) geelkoperen kilogram en een ijzeren meter, beide met den stempel der Oommissie van Maten en Gewichten voorzien. Maar ook ieder der afgevaardigden ontving een kilogram, en een meter, voor zich.

„Den 20 Augustus 1799 werden Meter en Kilogram aan het Uitvoerend Bewind der Bataafsche Republiek overgegeven. De omstandigheden hielden echter nog geruimen tijd de invoering van het nieuwe stelsel van maten en gewichten tegen. Eerst na de troonsbeklimming van koning Willem I werd, in IHIC), de wet afgekondigd (Stbl. No. 84), waarbij uiterlijk met 1 Januari 1820 over de geheele uitgestrektheid van het Rijk het Nieuwe Stelsel van Maten en Gewichten werd ingevoerd. Verder werden bij Besluit van 29 Maart 1817 (Stbl. No, 15) de „namenquot; vastgesteld „der nieuwe maten en gewigten en van derzelver veelvouden en onderdedenquot; en werden, bij artikel I van het Besluit van ti

¹

In 2 deelen. Amsterdam 1802,

9G

Maart 1819 (Stbl. No. 8), ,tot eerste algemeene standaards of prototypeu van de Nederlandsche Maten en Gewigten aangenomen de door de Bataafsclie gedeputeerden aangebodene en sedert onder de 1ste Klasse van het Koninklijk Neder-landsch Institnut berustende ijzeren mètre en koperen kilogramme.quot;

„ Deze standaards hebben gediend om de secundaire standaards te vervaardigen ten behoeve van het IJkwezen, den Waarborg enz., welke secundaire standaards door al de provinciën des Rijks verspreid z\ju geworden.quot; ')

Do „Mètre ties Archivesquot; is cene stunt' van 1 Al. Uiiig, 25 mM. breed en 4 mM. dik. De sil'stand tnssehen de beide eindvlakken dezer staaf, bij eene temperatuur van 0^C C., vertegenwoordigt de als nieuwe éénheid aangenomen lengte.

Zulk eene standaard-mnat, waarvan de lengte tusschen de eindvlakken begrepen is (e'talon ii bonts) is niet zeer geschikt om tot vergelijking met kopieën gebruikt te worden, daar de eindvlakken bij elke vergelijking door het hiertoe dienende werktuig worden aangeraakt en aldus kunnen afslijten. Daarom heeft men de voorkeur gegeven aan eeu étalon a traits, d. i, een standaard, op welken de lengte der éénheid tusschen twee dicht bij de uiteinden gegraveerde streepjes begrepen is. Wordt deze gebruikt om gemaakte kopieën mede te vergelijken, dan heeft de vergelijking door middel van vergrootglazen zoodanig plaats, dat eene aanraking van den standaard vermeden wordt.

Door cene internationale commissie voor de Maten cn Gewichten, in 1872 te Parijs vergaderd, werd dan ook besloten een nieuwen standaard van den Meter te doen maken, en wel met streepjes; terwijl bovendien, daar platina gebleken was te zacht te zijn, als metaal, waarvan de standaard gemaakt zou worden, eene legeering werd aangenomen, bestaande uit % platina en Ui % iridium.

„M en had namelijk eene zelfstandigheid noodig, welker samenstelling en moleculaire bouw zoo min mogelijk onderhevig waren aan verandering ten opzichte van vorm en afmetingen , onder den invloed van lucht, water, vuur of scheikundige stotfen of wel van mechanische krachten. Zij moest hard eu veerkrachtig en toch niet moeilijk te bewerken zijn. Tevens moest zij volkomen homogeen zijn, zoodat al de standaards, wat hun materieel betrof, zoo na mogelijk aan elkaar gelijk waren. Bovendien was het wenschelijk, dat de door temperatuur-veranderingen veroorzaakte wijzigingen zoo klein mogelijk zouden zijn.

„Platina, dat onder de zuivere motalen het best voor het doel geschikt was, had het nadeel van te zacht te zijn. Met cene zekere hoeveelheid iridium versmolten, voldeed liet echter aan al de gestelde vereischten voor een standaard-meter en -kilogram. Platina-iridium is uiterst hard en onbuigzaam en bezit eene groote veerkracht, zoowel als cohaesie, of weerstandsvermogen tegen

breken. Daarbij is het met diamant gemakkelijk te bekrassen, eu is het gebleken, dat strepen, op g

een afstand van mM. van elkaar, met behulp van een mikroskoop er in gekrast, volkomen

regelmatig zijn, zelfs bij eene vergrooting van 300 tot 600 maal.quot;

Daar voorts de oude standaard, wegens zijne geringe dikte, al te buigzaam was, werd een

nieuwe vorm gekozen, die aan dit gebrek in veel mindere mate leed. Volgens de onderzoekingen van 'J'resca biedt eene staaf van den vorm van lig. 41 den grootstcn weerstand aan buiging, waarom deze vorm voor den nieuwen standaard werd aangenomen. Fig. 41 geeft de doorsnede van dezen étalon a traits op de natuurlijke grootte. Zijne lengte bedraagt 102 cM. en elk streepje is op 1 cM. afstand van het uiteinde aangebracht, zoodanig dat hun onderlinge afstand bij eene temperatuur van 0° (,'. zoo na mogelijk gelijk is aan de lengte

van den Mètre des Archives. De streepjes zijn ingesneden op de met nh aangeduide oppervlakte.

Tegelijkertijd werd ook van het Kilogram een nieuwe platina-iridium standaard gemaakt.

1) Dr. ./. A. C. Oudemans, in: „Verslagen eu Mededeelingen der Koninklijke Akademie van Wetenschappen, Afdeeliug Natuurkunde, 3de Reeks, Deel 111, I8S7.

97

In 187.^r) teekenden de vertegenwoordigers van zeventien verschillende landen; Frankrijk, Dnitschland, Oostenrijk en Hongarije, Zwitserland, België, Denemarken, Zweden en Noorwegen, Spanje, Portugal, Italië, Turkije, Rusland, de Vereenigde Staten, Brazilië, de Argcntijnsehe liepubliek, l'eru en Venezuela, te 1 ^Jarijs eene overeenkomst om op gemeenschappelijke kosten een „Internationaal bureau voor maten en gewiehtenquot; op te richten als eene blijvende internationale stichting voor verschillende met de maten en gewichten in verband staande wetenschappelijke onderzoekingen en tot bevordering van het invoeren van hot metrieke stelsel, dat daarna op de hoogte van St. Cloud bij Parijs tot stand is gekomen. De gouvernementen van drie eveneens vertegenwoordigde landen; Groot-Brittanje, Nederland en Griekenland, weigerden deelneming. Zij wilden namelijk alleen in de kosten bijdragen, indien het doel van de stichting beperkt bloei'tot hot veriCieeren van de nieuwe standaards en de zorgen voor de gemaakte prototypen. Het gebouw bestaat uit verscheidene lokalen voor waarneming, welker wanden hol zijn en door het inpompen van water op verschillende temperaturen onder en boven 0' gebracht kunnen worden, terwijl het daglicht slechts door eene opening van boven kan binnentreden. Daarnaast bevindt zich een natuurkundig laboratorium om de noodige met het onderworp in verband staande onderzoekingen te verrichten.

121. Ook in de Natuurkunde is, vooral na de groote vlucht, die de ontwikkeling van de leer der electriciteit in de laatste jaren heeft genomen, de behoefte aan een absoluut-maatstelsel gebleken, lieeds in 18(31 werd door de „British Associationquot;, om in deze behoefte te voorzien, een stelsel van éénheden voorgesteld, dat in 1881 op het internationaal congres voor electriciteit te Parijs nogmaals een onderwerp van bespreking is geweest en toen in hoofdzaak dooide voornaamste vertegenwoordigers der wetenschap uit alle deelen der wereld is aangenomen.

In overeenstemming met de grondgedachte, dat Stof, Ruimte en Tyd den geheelen inhoud der Natuurkunde en ids het ware hare drie grondbegrippen uitmaken, is aan elk dezer begrippen eene éénheid ontleend voor het meten van grootheden, die respectievelijk binnen den kring vim een dezer begrippen vallen.

Zoo zijn er dan drie Grondcénheden aangenomen, waaruit de éénheden voor de iindere in de Natuurkunde voorkomende grootheden kunnen worden afgeleid.

fn onze voorgaande beschouwingen hebben wjj bij voorbeeld reeds de éénheid van kracht afgeleid uit de eenheid van massa en de éénheid van versnelling; de laatstgenoemde éénheid uit de éénheid van tijdsverloop en de éénheid van snelheid; terwijl wij ten slotte deze laatste hebben afgeleid uit de éénheid van tijdsverloop en de éénheid van lengte.

Wij hebben dus in het voorgaande reeds eene keuze gedaan omtrent den aard der grootheden, die wij als grondéénheden wenschen te gebruiken. Deze zyn namelijk eene Eenheid van Lengte, eene Eenheid van Tijdsverloop en eene Eenheid van Massa.

De door het congres van 1881 aangenomen éénheden, waaraan ook wij ons in het vervolg zullen houden, zijn de volgende:

1. Cteond-iSénheduh.

1. Éénheid van Lengte.

De ('enlvmelcr, d. i. het 100ste gedeelte der lengte van Archivesquot; hij de temperatuur van 0°.

SAi.VKitiiA en i.k uov, Naluurkeiiuis, II. 2e druk.

7

08

2. Eenheid Viin Tydsverloop.

De Senundn, dat is , ' - — van den gemiddelden zoiinedau'.

24 x 60 X (50

3. Eénlieid van Massa.

Het drain, dat is het 1000ste gedeelte der massa van het „Kilogranmie des Archivesquot;.

IT. Afgeleide éiSnhephn.

Eenheid van Snelheid.

1)(gt; Tachoon, dat is de snelheid van een punt, dat niet eenparige beweging in de éénheid van tijdsverloop (1 sec.) de éénheid van weglengte (1 cM.) aflegt.

Éénheid van Versnelling (Vertraging).

De Taclml (bradist), dat is de versnelling (vertraging) van een punt met eenparig versnelde (vertraagde) beweging, welks snelheid in de éénheid van tydsverloop (1 sec.) met de éénheid van snelheid vermeerdert (vermindert).

Éénheid van Kracht.

De Dyne, dat is de kracht, die aan een lichaam, dat de éénheid van massa (1 G.) bezit, de éénheid van versnelling mededeelt.

De voor andere grootheden ingevoerde éénheden zullen in het volgende, Inj de bijzondere beschouwing dier grootheden, worden medegedeeld.

Daar het beschreven stelsel van éénheden den Centimeter, liet Gram en de Secunde tot grondslag heelt, is het bekend als het Centimeter-Grani-Öecnnde-stelsel of C.G.S.-stelsel.

Het kan voorkomen, dat eene afgeleide O.G.S.-éénheid voor de praktijk veel te klein of te groot is. In zulk een geval leidt men uit de (J.G.S.-éénheid eene secundaire of hulp-éénheid af, door haar met 10quot; te vermenigvuldigen of door 10quot; te deelen, waarbij dan de exponent n naar de behoefte geregeld wordt, terwijl deze tweede éénheid door een afzonderlijken naam wordt aangeduid.

N.15. De in liet voorgaande aangenomen éénheid van kracht (cfy/Hc) is op een bewcginfjs-Q^nci gegrond en draagt den naam van dynamische eenheid van kracht.

In liet dagelijkseh leven wordt de grootte eener kracht veelal uitgedrukt in „Kilogrammel^^ Met „eene kracht van 1 Kilogram^,, wordt dan eene kracht bedoeld, gelijk aan het „Gewicht^,, van 1 Kilogram of de kracht, waarmede de Aarde een Kilogram aantrekt. Om deze zoogenoemde statische eenheid te herleiden tot de dynamische van het C.G.S.-stelsel bedenke men, dat l* — nu/, zoodat „eene kracht van 1 Kilogram eene kracht voorstelt van 1000 (j dynes, en in 't algemeen „eene kracht van a Gram'quot; gelijk is aan eene kracht van ar/ dynes.

122. Is de massa van een lichaam over het geheele lichaam gelijkmatig verdeeld, d. i. hebben onderling gelijke volumen-deelen van het lichaam ook onderling gelijke massa's, dan heet zulk een lichaam homogeen.

Wanneer van twee homogene lichamen, die onderling gelyke volumina hebben, de massa van het eene grooter is dan die van het andere, dan heet het eerste eene grootere dichtheid te bezitten dan het laatste.

99

Bkpalinu. 1° Is l)ij gelyk volumen de massa van een lichaam n-maal zoo groot als die van een ander, dan heet de dichtheid van het eerste n-maal zoo groot als die van het laatste; is by gelyke massa het volumen van het eerste n-maal zoo klein, dan heet eveneens de dichtheid van het eerste n-maal zoo groot.

2quot; De Éénheid van dichtheid is de dichtheid, waarbij in de éénheid van volumen (1 cM.⁸) de éénheid van massa (1 G.) gelijkmatig verdeeld is.

Wanneer d de dichtheid, m de massa, v het volumen van een lichaam voorstellen, elk in éénheden van hunne soort uitgedrukt („numerieke waardequot;), dan volgt uit de gegeven Bepaling:

d(ensitas) — .

v

By niet homogene lichamen zou in de voorgaande vergelijking d do „(/emid-delde dichtheidquot; voorstellen.

123. Indien het standaard-Kilogram (Kilogramme des Archives) volkomen aan de bedoeling der ontwerpers beantwoordde, moest de massa van dezen cylinder van platina gelijk zijn aan die van I dM.³ zuiver water by 4° C., dat is de temperatuur, bij welke water zijne grootste dichtheid bezit. Bij de bewerking werd echter eene toenmaals moeilijk te vermijden fout gemaakt, ten gevolge waarvan de massa van het standaard-Kilogram in werkelijkheid een weinig

minder is dan de bedoelde. Bij gevolg is de massa van ^ dM.³ of van de

C.G.S.-volumen-éénheid water iets meer dan die van ^qqq KG., d. i. de O.G.S.-éénheid van massa.

Volgens nauwkeurige metingen van den nieuweren tijd bedraagt de massa van 1 cM.³ zuiver water by 4° C. 1,000013 Gram.

Bepaling. De soortelijke massa eener stof noemt men de massa van eene volumen-éénheid (1 cM.³) dier stof.

Is de gemiddelde dichtheid van een „lichaamquot; gelijk aan a, dan is volgens

de vergelijking van S 122: a — . Het quotient van het tweede lid stelt tevens

v

voor, hoeveel massa-éénheden de éénheid van volumen (1 cM.³) bevat, m. a. w. (volgens voorgaande Bepaling) de „soortelijke massaquot; van de „stofquot;, uit welke het lichaam bestaat. Hieruit volgt, dat de numerieke waarde der „gemiddelde dichtheidquot; van een „lichaamquot; gelijk is aan die van de „soortelijke massaquot; der „stofquot;, waaruit zulk een lichaam bestaat.

De „soortelijke massaquot; van water bij eene temperatuur van 4° (1. bedraagt dus 1,000013 Gram.

134. Een lichaam A, welks massa = via, beweegt zich langs eene rechte lijn met eene snelheid Va.

Ken tweede lichaam B, welks massa — nu, beweegt zich in denzelfden zin langs dezelfde lijn met eene snelheid ■— vi (gt; ?•„).

B zal A inhalen on van het oogenblik al, dat er aanraking tusschen de beide lichamen plaats heeft, zal de snelheid van A vermeerderen, die van B

100

-

ver mi n il er e n. Uit de versnelling, die de beweging van A ondervindt, blijkt, dat op A, onder den invloed van B, eene kracht werkt; eveneens uit de vertraging, die de beweging van B ondervindt, dat op B eene kracht werkt, onder den invloed van A. Daarbij komt, dat de vorm van beide Hchame.'i wordt gewijzigd.

Het boven beschreven verschijnsel bestempelt men met den naam van botsing.

A a 7i ?n. /Ijn de op A on op 15 werkende kruehten (drukkingen) gericht volgens de lijn, die de zAvaartepunten van beide lichamen verbindt (= centrale botsing), dan wordt alleen in do voortgaande beweging wijziging gebracht, tenvijl anders bovendien eene drauiendo beweging zal worden opgewekt. Alleen het geval van centrale botsing willen wij in het volgende beschouwen.

Volgens het „Beginsel van Actie en Keactiequot; is de Kracht (—]gt;), die op zeker tjjdstip onder den invloed van 15 op A werkt, gelijk aan die, welke op dat tijdstip onder den invloed van B op A werkt. De eerste bewerke op dat tijdstip eene versnelling der beweging van A—a; de tweede eene vertraging der beweging van 15 ~ 6.

Volgens Jj t)2 is dan:

ji — 'in„ii en ■p — mib, waaruit:

ninn — nuh, en

a: h — mh: m,,...........(1)

Al verandert nu ook met elk volgend tijdstip de aan A en B respectievelijk medegedeelde versnelling en vertraging en dus de op A en Igt; werkende kracht, zoo blijft toch de in vergelijking (1) uitgedrukte betrekking geldig gedurende het geheele tijdsverloop, dat de botsing duurt.

De op zeker tijdstip na hel begin der hotsiny veroorzaakte ver meer deriny der meiheid. van A en vermindering der meiheid. van II zijn dus mmiekeerd evenredig aan de massa?* van A en li.

Is dus op een zeker tijdstip gedurende de botsing de snelheid van A aangegroeid tot v'„, die van B verminderd tot v'/,, dan geldt de volgende betrekking:

{v',i — v»): (w — v't) = vu : m,,.......(2)

Wij willen nu twee gevallen onderzoeken:

1° het geval, dat de botsende lichamen beide volkomen onveerkrachtig zijn; 2quot; het geval, dat de botsende lichamen beide volkomen veerkrachtig zijn. l^ü De met de botsing gepaard gaande vormverandering gaat zoo lang voort, totdat beide lichamen dezelfde snelheid verkregen hebben; met deze gemeenschappelijke snelheid gaan zij dan samen als één geheel verder, zonder dat door het herstellen van den oorspronkelyken vorm nieuwe krachten in het spel komen. Zij de gemeenschappelijke eindsnelheid rz w, dan verandert de in vergelijking (2) aangegeven betrekking in de volgende:

(vab — v,,): {vi — Vat,) = mj : w„; waaruit:

{vnh — v,)mu — [vh — v,,/,) mi, waaruit na herleiding volgt:

Vurn» vmh /.gt;\

Val — ...........

Vh, Hib

2° in het geval, dat beide liehanien volkomen veerkrachtig zi,jn, knnneii wij

101

twee perioden luinneineii: do eerste, fredureude welke heider vorm gewijzigd wordt; de tweede, gedurende welke beider vorm volkomen hersteld wordt.

Ann het einde der eerste periode is beider gemeenschappeljjke snelheid gegeven door de bovenstaande vergelijking (:{).

Gedurende de tweede periode hebben de veranderingen van vorm en van snelheid op dezelfde wijze, doch in tegengestelden zin, plaats als gedurende de eerste periode; zoodat de op verschillende tijdstippen der tweede periode op de lichamen werkende krachten en de veroorzaakte versnelling van A en vertraging van H gelijk zijn aan die van de overeenkomstig gelegen tijdstippen der eerste periode.

lu de tweede periode, als in de eerste, wint A dan aan snelheid Vui — t',, en verliest B aan snelheid vt — Vat.

De eindsnelheid van A {=.r) wordt dus 2v„6 — tv,, » » » B (=//) „ _B 2 v„i — vt.

I )oor substitutie van de in vergelijking (3) gevonden waarde van v„t, vindt men:

Vam/, 2 vmi - ■ Vami, ., _x

« = -----; ..............(4)

m„ mb

mm 2 ItlaVa. - VlaVb

en '/ ~ - -------------- ot

ma mtj

mm 2 maVn vt via -\- mh | ^ mh_

ma

Is y\ een lichaam, welks massa zeer groot is ten opzichte van die van B, terwijl het bovendien vast-, dus stilstaat, dan wordt in vergel. (5) m,, r- co en Va — 0, waardoor de vergelijking verandert in:

mhVh Vb n

ij ~ — ot

co y ~\- ^mh

oo

y = — vb, hetgeen beteekent, dat het lichaam M, na de botsing, eene beweging aanneemt, in tegengestelden zin gericht als de beweging, die het vóór de botsing had, doch met dezelfde snelheid.

I 125. In hot dagclijksch leven zijn tal van ,,^verktuigen^,, in gebruik, die of niets anders dun herboomen zijn, of waarvan de hefboom een belangrijk bestanddeel uitmaakt.

In de balans hebt Gij een hefboom leeren kennen, welks ,,steunI)unt^,, tussehen „macllt'^,,- en „lastp^lnt^,,, in ligt. /00 is het ook bij eene schaar, welk werktuig niets anders is dan eene verbinding van twee hefboomen met een gemeenselnippelijk steunpunt; terwijl het lastpunt ergens in het „blad^ en het machtpunt in het „oog^v, der schaar gelegen is.

Hij an dole hefboomen ligt eeliter het lastpunt, en bij nog andere het maehtpiint, tussehen de beide andere punten in. Naar deze onderlinge ligging der drie genoemde punten worden de hefboomen respectievelijk „van de 1ste, 2de en 3de soorf genoemd.

Liggen, zooals bij hefboomen van de 1ste soort, de aangrijpingspunten der krachten aan weerszijden van het steunpunt, dan spreekt men ook van een tweearmigen hefboom; liggen zij, zooals bij hefboomen van de 2de en 3de soort aan denzelfden kant van het steunpunt, dan spreekt men van een eenarmigen hefboom.

Vr. Tot welke soort van hefboomen rekent (lij een roeiriem, den trapper van naaimachine of draaibank, een apothekers-h a k m e s, een koevoet, een kruiwagen, een

II o t e n k r a k e r, eene suiker tang?

103

iJ : (A — 1)) — {l)a — .ra) : .ra ut'

1): (A — I)) = (inquot; — nquot;) : nquot;₉ ... mquot; — nquot;

waaruit s D = A , ..............(3)

m ^{v 7}

fl⁰ cd, iruit hot stcunpmit d.

Do laachten, die dozen horboom in cvenwiclit houden, zijn: n. dt; liraoht l), aangrijpouclo in a üii afkomstig van A, die; don liofboom con begin van nogatiovo draaiing mododoolt, on h. de kracht K, aangrijpende hi c on afkomstig van C', dio den hefboom een begin van positieve draaiing mededeelt.

1)(! arm n'd van 1) zij gelijk

1' ii » 'w.

Er zal ovcmviL'lit zijn, indien voldaan is aan de vergolijking:

F' x m' = I) X n' of

F' = D .............(4)

m

waaruit, door (3) in (4) over te brengen:

n' viquot; — nquot;

F' = A _r X ...........(5)

m m

J)aar do ondorling onbeweeglijk verbonden aangrijpingspunten h eu //, respootiovolijk van do onderling tegengesteld gcriehte kraehten K' en IC, in ovemvielit gedacht worden, moeten deze kracliten onderling gelijk zijn:

Om dezelfde reden hebben wij

F = F'.

Brengen wij jm in onze vergelijking (1) de in (2) en (5) gevonden waarden over, dan ontstaat de vergelijking:

. urn' mquot; — nquot; . nnquot;

(J = A _/T X -f-A _7/-_#, of

m L m m l

A \ urn'(mquot; — n^f,s\ ,1

^ = 7/7 ........, ⁿⁿ .........' t) j

m l L in J

Nn is de brugbalans zoodanig gemaakt, dat

c'K ; //K = rd : n'd, of

m : u = m': h',

7/2 H

waaruit: — ..............(7)

m' n' • • ■ ........\ j

AVurdt (7) in («i) uvergebraeht, dan ontstaat, na herleiding, de vergelijking:

^A /..............

Voorts is het werktuig zoodanig gemaakt, dat //IC = ' ^lv of n — ' /,

10 10

zoodat liet voor de weging gebezigde gewicht sleehts van do massa van den te wegen last

behoeft te bezitten. Om deze reden wordt de brngbalans ook wel decimaal balans genoemd.

Uit do vergelijking ''R) is de waarde ?/', d. i. de arm van den last op de brug geheel verdwenen, waaruit blijkt, dat deze geen invloed heeft op de betrekking tusschen de Maoht (J en den Last A. Jic.t is dus onrerschillig, waar ergens de last ujt de brurj geplaatst worde.

Ten slotte zij nog opgemerkt, dat de in het voorgaande gegeven vergelijking c'K : l/K cd: n'd oen belangrijk voordeel voor het gebruik der brngbalans medebrengt.

Zij de verhouding ,^A a.

O K

Daalt b' dan een mM., zoo daalt c a mM. In dat geval zal ook h een mM. en c a niM. dalen. I'it het laatste A-olgt, dut a', dus ook a, weder slechts een mM. zal dalen. De punten der brug h en a dalen dus beide evenveel. 1 it de aangenomen gelijkheid van verhoudingen volgt dus, dat alle punten der brug evenveel dalen of rijzon en deze dus bij hare beweging aan ziehzelve evenwijdig blijft.

104

137. In lig. 41 is ccne cirkel rondo schijf voorgesteld, die om eene door haar middelpunt gaande as kan draaien, en aan den beugel E kan opgehangen worden. Zulk eene schijl' draagt den naam van katrol. In den rand der schijf bevindt zich eene gleuf,

waarin een touw of eene ketting kan worden opgenomen.

Is de katrol aan haar beugel opgehangen, zooals in lig.

45, dan zullen de krachten A en /gt;, die aan de beide einden van het toinv werken, elkanders werking opheffen,

wanneer zij onderling gelijk zijn, daar de schijf niets anders is dan eene tweearmigc hefboom, waarvan de lastarm gelijk is aan den machtarm.

Vr. In welk verband staan de hefboomsarmen der katrol tot den cirkelomtrek der schijf?

Wordt de katrol juist andersom opgehangen (lig. 4()), zoodat de haak van haar beugel dient om een

105

I as. In lig. 10 is een windas voorgesteld, beslaande uit een rad, una man de kracht l⁾, en eene spil, waaraan de kracht ii werkt.

De toestel zal in evenwicht zijn, wanneer voldaan is aan de voorwaarde:

Dc vincht I' (in de last (i zijn omgekeerd eveurediij aan dc middellijnen ran rad en sjiil.

op ij. Beredeneer dit.

Fig. 49. Fig. 50.

Staat de spil van het windas overeind, dan heeft men een kaapstander (vgl. lig. 50).

Bij samengestelde werktuigen en machinerieën dient dikwijls de beweging van een rad om aan een ander eveneens eene ronddraaiende beweging te geven. Zijn de beide raderen op eenigen afstand van elkander gelegen, dan verbindt men ze dooier een touw om heen te slaan, waarvan de einden aan elkaar gelascht zijn („touw zonder eindquot;) of door middel van een riem zonder eind, „drijfriem¹'' geheeten.

Liggen de raderen dicht bijeen, dan bedient men zich voor hetzelfde doel van getande raderen, waarvan de tanden van het eene rad in de tusschen de tanden gelegen insnijdingen van het andere rad grijpen, en omgekeerd. Daartoe hebben tanden en insnijdingen van beide in elkaar grijpende raderen dezelfde afmetingen en zijn zij op dezelfde; afstanden van elkaar gelegen, zoodat het aantal

tanden of insnijdingen van twee zulke raderen evenredig is aan hunne otntrekken (of middellijnen, of stralen). Dc wijdte der insnijding wordt een weinig grooter genomen dan de breedte van een tand en de tanden voorts zoo geregeld,

dat, als er twee elkander juist in het midden aanraken, de aanraking van het vorige paar juist ophoudt en die van het volgende paar juist begint.

Wil men bij het gebruik van tandraderen, dat het tweede rad eene veel snellere ronddraaiende beweging zal aannemen dan het eerste, dan laat men dc tanden van het eerste niet regelrecht in

T

loo

die. vjiii hot tweede grijpen, mutir in de tanden van een aan zijne as bevestigd kleiner rad, dat den naam van „rundsoP¹ draagt.

Voorbeelden van '/ulke raderen mot ,,rondsel.s^v, vindt men in elk horloge (vgl. lig. 51).

Onderstelt men den straal van een der twee in elkander grijpende raderen oneindig groot, m. a. w. gaat de getande cirkelomtrek van het eene rad in eene getande rechte lijn over, dan wordt de ronddraaiende beweging van dit tweede rad eene rechtlijnige, heen en weergaande beweging. Zulk eene getande staaf heet heugel, en wordt o. a. toegepast in de zoogenoemde dominekracUt (vgl. lig. 52).

Met het opsporen der even wichtsvoor waarden bij deze .samengestelde werktuigen behoeven wij ons niet bezig te houden_# Ook het hellend vlak (()/gt;ƒ/. Herlees § 93, blz. 72) vindt in eenige bekende werktuigen zijne toepassing.

Zoo kan bijv. eene wig beschouwd word ei als een samenstel van twee hellende vlakken, die de bases naar elkaar gekeerd hebben; terwijl eene schroef opgevat kan worden als een hellend vlak, dat om een cylinder gewonden is.]

129. Volyens § 44 zou een op een horizontaal vlak geplaatst lichaam, eenmaal in beweging zijnde, ook in beweging blijven, indien het aan den invloed van geen enkele kracht onderworpen was. Had dus een paard aan een wagen eenmaal eene zekere snelheid medegedeeld, dan zou de wagen, zonder dat het paard nog langer behoefde te trekken, met de eenmaal verkregen snelheid blijven voortgaan — indien er namelijk geen andere krachton in het spel waren. Nu weten wij, dat de wagen niet „uit zich zelfquot; met de eenmaal verkregen snelheid blijft voortgaan, zoodra het paard ophoudt te trekken, waaruit dan, in verband met onze leer der krachten, moet volgen, dat er gedurende de beweging van den wagen eene kracht optreedt, die zijne beweging tegenwerkt. Heeft de beweging over een horizontaal vlak plaats, dan moet de tegenwerkende kracht noodzakelijk of horizontaal en in tegengestelden zin als de beweging zelve gericht zijn, öf z\j moet de horizontale „ontbondenequot; der opgewekte kracht zijn.

Dat er nu zulk eene, de beweging tegenwerkende, kracht wordt opgewekt, waardoor het paard den wagen moet blijven trekken, waardoor een voortge-schoven lichaam weer tot rust komt, waardoor een boek op het hellend vlak van een lessenaar blijft liggen, — dat alles moet toegeschreven worden aan de oneffenheden van het steunvlak en van de oppervlakte van het lichaam.

De hoogten en laagten van steunvlak en lichaamsoppervlak sluiten eenigszins in elkaar, zoodat er bij voortduring eenige kracht moet aangewend worden om liet lichaam over die kleine hellende vlakjes te trekken, of de hoogten te verschuiven, om te buigen of af te scheuren. Steunvlak en lichaamsoppervlak bieden dus in dit opzicht een zekeren weerstand tegen de beweging, die in de Natuurkunde met den naam van Wrijving wordt aangeduid.

_

107

Om de „wrijviiiirquot; te vormiiuloren wordon do clkiimlor luiniaki'inlc oppervlakken „gesmeerdquot;, waarhij de diepten worden aangevuld. Smeermiddelen /.ijn: vet, (die, potlood, zeep, water.

I.'{0. Ligt een blok zandsteen plat op den grond, dan is het, veel moeilijker voort te bewegen dan wanneer het op twee houten rollen ligt.

Zoo zou men ook een wagen zonder wielen alleen met groote krachtsinspanning kunnen voortbewegen.

Houdt men het wiel van een wagen door een remschoen tegen, zoodat liet niet meer kan draaien maar alleen glijden, dan vermindert de snelheid van beweging terstond.

Op grond hiervan onderscheidt men twee soorten van wrijving: eene slepende en eene rollende wrijving, van welke de laatste, wanneer de overige omstandigheden gelijk zijn, verreweg geringer is dan de eerste.

131. De grootte der wrijving, d. i. der aan de beweging tegengesteld gerichte, weerstandbiedende kracht, hancjl af van den aard der elkander aanreikende lichamen en van de gesteldheid hunner oppervlakken.

De wrijving verschilt bijv. al naar metaal op metaal, hout op metaal of hout op hout glijdt; en in het laatste geval maakt het weer verschil, of de vezels der beide houtstukken aan elkander evenwijdig of onderling loodrecht gericht zijn.

In 't algemeen is de wrijving tusschen gelijksoortige lichamen grooter dan tusschen ongelijksoortige, wat zich aldus laat verklaren, dat in het laatste geval de onetfenheden, die bij lichamen van verschillenden aard verschillen, minder goed in elkander passen.

Hoe „zwaarderquot; het op een steunvlak gelegen lichaam is, hoe dieper de hoogten en laagten in elkander zullen sluiten en hoe grooter dientengevolge de wrijving zal zijn.

De wrijvings-weerstand is evenredig aan de drukking, die de lichamen legen elkander uitoefenen.

Stellen wij nu de door een lichaam loodrecht op zijn steunvlak uitgeoefende drukking („normalequot; drukking) voor door eene kracht P, de wrij vings-weerstand door eene kracht I'¹, dan bestaat er, zoolang de overige omstandigheden gelijk blijven, tusschen deze beide grootheden eene standvastige verhouding:

,/i ]lgt;

i 1 — ƒ

Aan deze verhouding geeft men den naam van w r ij v i n gs-coëff'i ei en t.

lt;gt;/gt;ƒ/. 1. Hoe groot moet de horizontmil gerichte kracht zijn, dit' de beweging van een lichaam van 100 K.G. gaunde houdt op een horizontaal oppervlak, indien de wrij vin gs-coëfficiënt (ƒ) = 0,32?

2. Voor een spoorweg is de wrijvings-coëfticient = Hoe groot is dan de horizontaal

gerichte kracht, die de beweging van een trein van 300 000 K.G. tegenwerkt?

De kennis der wrijvings-eoëfficienten is van veel belang voor de mannen van de praktijk, die zich dan ook van tafels bedienen, waarin de talrijke bepalingen van den wrijvings-coëfficient van verschillende lichamen vereenigd zijn.

is een lichaam eenmaal in beweging, dan is de wry vings-weerstand aanmerkelijk geringer dan wanneer het lichaam uit den toestand van rust in dien van

beweging' overgaat. Vandaar dat men onderscheid maakt tussclien eene wry ving der „rustquot; en eene wrijving der „bewegingquot;, en de tafels dikwijls twee „wryvings-coefficientenquot; geven: een grootsten, die beantwoordt aan tie „wrijving der rnstquot; en een kleinsten, die beantwoordt aan de snelste beweging, by welke de wrijving is gemeten.

Ondergaat de „snelheidquot; der beweging geen groote veranderingen, dan kan als bij benadering juist gesteld worden: De snelheid heeft geen invloed op de (/rootte vnn den wrijvings-weerstand.

Bij aanzienlijke vermeerdering der snelheid echter neemt de wryvings-weerstand merkbaar af.

Na het voorgaande wordt het ook begrijpelijk, dat de wrijvings-weerstand aangroeit met het aantal aanrakingspunten der over elkander wrijvende oppervlakken.

Plaatst men daarentegen een en hetzelfde lichaam, bijv. een blok zandsteen, eerst op den smallen, daarna op den breeden kant, dan blijft de wrijving even groot. In het eerste geval is namelijk het aantal aanrakingspunten wel kleiner, doch de last, die op elk aanrakingspunt drukt, ook evenredig grooter dan in het tweede geval.

Het voorgaande geldt intusschen alleen onder deze voorwaarde, dat het lichaam niet op een scherpen kant geplaatst wordt, zoodat deze in den bodem zinkt en daardoor eene wryving aan de zijvlakken ontstaat. Hierin ligt bijv. tie ondoelmatigheid van smalle wielen op een weeken bodem.

Opa. I. Wanneer een blok met een zijner zijvlukken in aanraking is met een verticalen wand, en de \\ rijvings-coëfticient gelijk aan 0 is, dan zal geen loodrecht op den wand gerichte drukking tegen het blok in staat zijn te beletten, dat het valt. Verklaar waarom.

2. Wanneer in het voorgaande geval de coefficient van de „wrijving der riist^v' gelijk 0,6 is, en het blok heeft eene massa van 10 K.G., hoe groot moet dan de tegen het blok uitgeoefende drukking zijn om het in ,^118^'' te honden?

132. Zyn de elkaar aanrakende oppervlakken van twee lichamen zeer „gladquot;, bijv. doordien zij fijn gepolijst zyn, dan kan eene andere soort van tegenstand tegen de beweging worden opgewekt, ontstaande uit de „aantrekkende krachtquot;, die zich in vele gevallen openbaart tusschen de deeltjes van twee verschillende lichamen, wanneer zij zich op uiterst kleinen afstand van elkaar bevinden. Plaatst men bijv. twee goed gepolijste stukken spiegelglas op elkaar, dan laten zy zich niet zonder eenige moeite vaneenscheiden.

Aan de aantrekkingskracht, die zich tusschen de in elkanders onmiddellijke nabijheid zijnde deeltjes van verschillende lichamen openbaart, geeft men den naam van adhaesie.

Op de „adhaesiequot; berust het schryven met krijt, potlood en inkt; liet plakken, lijmen en soldeeren.

Kr. Welke adhaesie is sterker, die tusschen krijt en bord of die tusschen potlood en papierï

133. Den onderlingen samenhang der deeltjes van een zelfde lichaam verklaart men, zooals reeds vroeger is medegedeeld, uit de werking eener tusschen de deeltjes uitgeoefende aantrekkende kracht. Is de samenhang verbroken en houdt men de deelen eenvoudig tegen elkaar, dan hechten zy zich niet weder aaneen. Maakt men echter de gescheiden deelen van het lichaam

109

vooraf door verwarming week en drukt men ze krachtig tegen elkander, dan kan de samenhang weder hersteld worden. Voorbeelden zijn: het aaneenhechten van de stukken eener gebroken pyp lak; het „wellenquot; van ijzer; liet verbinden van twee stukken lood, alleen door drukking.

Aan de aantrekkingskracht, die den samenhang der deeltjes van een zelfde lichaam bewerkt, geeft men in de Natuurkunde den naam van cohaesie.

Oplt;/. 1. Kene 1,5 M. lange, cylindervormige staal' vsin 1 KG. wordt op 3 dM. afstand van hot eene uiteinde ondersteund door eene horizontale as, loodrecht gericht op de meetkundige as der staaf. Hoe groot is de massa, die, aan hot kortste uiteinde der staaf opgehangen, de meetkundige as dor staaf horizontaal gericht doet blijven?

2. Een voorwerp wordt gewogen mot behulp van eene ongelijkarmige balans. Weegt men het in schaal A, terwijl het „gewicht^v, zich in schaal 15 bevindt, dan hoeft dit laatste, bij horizontalen even wichtsstand van liet juk, eene massa van 2'),824 O. Weegt men het voorwerp in schaal 15, terwijl hot ,^0^^011^'' zich in schaal A bevindt, dan hooft dit eene massa van 25,878 O. Wat is do ware massa van het voorworp?

De spil van oen kaapstander hoeft eene middellijn van 4 dM. Hoe groot moet de macht zijn, die aan do handspaak op 12 dM. van de as der spil aangrijpt, om evenwicht te maken met oen last van 400 KG.? (zonder wrijving).

4. Hoe lang is de secunde-slinger, wanneer de door do zwaartekraclit veroorzaakte versnelling gelijk is aan 980,62?

5. Hoe verhouden zich de waarden van (j voor twee; plaatsen, waar dezelfde slinger respectievelijk a en b slingeringen per minuut maakt?

0. Hoeveel zal een secunde-slinger, die te Amsterdam nauwkeurig gaat, aan den evenanr in 24 uren achterloopon ?

Aan don evenaar g = 078,103.

7. Zij de hoek, dien hot hellend vlak mot hot horizontale vlak maakt, gelijk 30 en daarbij do grootste hoek, waarbij een zeker voorwerp niet naar beneden glijdt. Hoe groot is de wrijvings-coëfficiont (/)?

8. Wanneer een jongen en een man, die anderhalf nuud zoo sterk is als de jongen, aan een 2'/., M. langen stok oen last moeten dragen en wel zoo, dat naar evenredigheid van beider krachten evenveel gevergd wordt, waar moet do last dan opgehangen worden?

Voor Uwe school kunnen de volgende onderwerpen in aanmerking komen om met de leerlingen besproken te worden.

Hefboom: Breekijzer. Spade. Pompzwengel. Notenkraker. Nijptang. Schaar. Tang. Kruiwagen. Wipplank. Roeispaan. Deurklink.

Boor. Stemsleutel. Draaier van een slijpsteen ol draaiorgel. Koffiemolen. Katrol. Takel. Windas. Kaapstander.

Hellend vlak: Ladder. Trap. Opril van een lt;1 ij k. Balken, waarlangs kisten en vaten op- en afgeladen worden.

Wig om hout te splijten. Spie. Ploegschaar. Snede van den beitel. Kurkentrekker, die als schroefvormig gewonden wig gemakkelijk in de kurk dringt en b\i het omhoogtrekken, wegens de w r ij v i n g, de kurk mede neemt.

Wrijving: Loopen op ijs en loepen op een grintweg. Het strooien van zand of asch als het „gladquot; is. liet beklimmen van eene hoogte, onmogelijk zonder wrijving. Uem toestel len. liet vastzitten van spijkers. Wielen aan de wagens.

no

Cohaesie: Hard. Week. Broos. Taai. Rekbaar. Plet baar. Smeedbaar. Huig baar.

Adhaesie: Plakken. Lijmen. Metselen. Schrijven met krijt en 1)0tlood. Aan bet glas hangende waterdruppels.

Slinger: Toepassing op het uurwerk. Door het verschuiven der scbyf wonlt de gang gewyzigd.

1H4. Üe lichamen, waarmede wij ons in het voorgaande bezig gehouden hebben, hadden alle een eigen vorm, onafhankelijk van de omgeving.

Wij hebben bij de meeste onzer beschouwingen, die hen tot onderwerp hadden, ondersteld, dat de onderlinge afstanden hunner deeltjes steeds onveranderd bleven.

Aan zulke lichamen geeft men den naam van vaste lichamen.

Een vast lichaam, van welks deeltjes de onderlinge afstanden steeds onveranderd blijven, is een denkbeeldig lichaam. Ook van een stuk ijzer kan, zooals wy weten, de vorm gewijzigd worden.

Bovendien zijn alle zoogenoemd vaste lichamen samendrukbaar.

Eene hoeveelheid water — tenzij eene zeer kleine hoeveelheid als bijv. een regendruppel — heeft geen eigen vorm, onafhankelijk van de omgeving. Wil zij één samenhangend geheel vormen, dan moet zij in een vat bijeengehouden worden. Dan vormt dit water een lichaam, dat begrensd wordt, vooreerst door een bovenst, zoogenoemd vrij oppervlak: voor het grootste gedeelte een plat en wel horizontaal gericht vlak, dat met de lucht in aanraking is; en overigens door een oppervlak, welks vorm bepaald wordt door de wanden van bet vat, waarmede het in aanraking is.

Dat het vrije oppervlak van water een horizontaal vlak is, d. i. loodrecht op de verticaal staat, is reeds in ij 36 proefondervindelijk aangetoond. Hier moge er nog bijgevoegd worden, dat ook dan, wanneer de vorm van het vat zoodanig is, dat men evengoed van twee onderling gemeenschap hebbende (communicee-rende) vaten kan spreken, de gescheiden deelen van het vrye oppervlak in een zelfde horizontaal vlak gelegen zijn.

Fig. 55.

Ill

Dit vindt bij het „nivelleerenquot; of waterpassen zijne toepassing in het zoogenoemde „fleschjes-waterpiisquot; (vgl. fig. 55). Het snijpunt der heide deellijnen van C ligt met de oppervlakken van A en B in eene horizontale lijn ef.

Lichamen zooals water noemt men vloeistof-lichamen.

Eene in alle opzichten juiste omschrijving of' bepaling van het begrip „vloeistofquot; is niet zoo gemakkelijk als de algemeene bekendheid van het begrip zon doen vermoeden. Ook zonder ons echter te verdiepen in de moeilijkheden, die hier aan wetenschappelijke gestrengheid verbonden zijn, kunnen wij ons, zonder gevaar voor misverstand, beroepen op de alledaagsche voorstelling, die men aan het begrip vloeistof verbindt.

135. Kost de v o r m-verandering van een vast lichaam meer of minder groote krachtsinspanning, dit is bij eene vloeistof zoo weinig het geval, dat wij bij onze volgende beschouwingen den weerstand van een vloeibaar lichaam tegen verandering van vorm, hij gelijk blijvend volumen, kunnen verwaarloozen, zonder met de uitkomsten der waarneming in tegenspraak te komen.

Anders is het, wanneer daarbij het volumen kleiner wordt. Langen tijd zijn de natuurkundigen in het onzekere geweest, of water al dan niet samendrukbaar zou zyn. Dat omtrent dit punt zoo lang twijfel mogelijk was, is hieraan toe te schrijven, dat met zeer groote krachtsinspanning slechts eene uiterst geringe vermeerdering van volumen kan teweeggebracht worden. Tegenwoordig bestaan er toestellen, waarmede de samendrukbaarheid van water onwederlegbaar bewezen wordt.

Houdt de uitwendige kracht op met werken, dan herneemt het samengedrukte water zijn oorspronkelijk volumen.

]Vater is volkomen veer krachtig.

De vloeistoffen, die het onderwerp der volgende SS zullen uitmaken, zijn denkbeeldige vloeistoffen, in zoover wij den door haar geboden weerstand tegen verandering van vorm gelijk nul stellen.

De eene vloeistof nadert dezen idealen toestand meer dan de andere, water bijv. meer dan stroop; en dus zullen de uitkomsten der waarneming beter overeenstemmen met de uitkomsten der beschouwingen, waaraan de genoemde onderstelling ten grondslag ligt, naarmate de gebezigde vloeistof minder van de gestelde voorwaarde afwijkt.

Terwijl wij nu onderstellen, dat de vloeistofdeelen langs elkander glijden, zonder weerstand te ondervinden, hoede men zich voor de misvatting, alsof ook by het vaneenscheiden dezer deelen geen weerstand zou moeten overwonnen worden. Integendeel vertegenwoordigen de inwendige krachten, die zich tegen eene scheiding, eene verwijdering der deelen van elkander, verzetten, een vrij aanzienlijk bedrag, zij het ook minder dan bij een stuk ijzer of' andere „vastequot; lichamen.

I!{7. Een lampeglas A (vgl. fig. 56) met glad afgeslepen onderrand, kan door eene vlakke schijf B afgesloten worden; terwijl men door een in zijn midden bevestigden draad kan beletten, dat zij van het glas afvalt. Dompelt men het door de schijf' afgesloten glas onder water, dan kan men den draad

loslate»; de schijf blij ft, tegen liet glas aangedrukt, en wel onverschillig in welken stand men dit houde.

Deze waarneming leert,, dat onder den invloed van de vloeistof, die met de

schijl in aanraking is, tegen de oppervlakte der schijt' krachten werken, die den invloed der op haar werkende zwaartekracht neutraliseeren.

De congerente van de, onder den invloed der vloeistofdeeltjes, op een wand of gedeelte van een wand uitgeoefende krachten, noemt men de daarop uitgeoefende drukking.

i;{8. Daar eene „drukkingquot; eene kracht is, wordt zij gemeton met de éénheid van kracht, de dyne van het C.G.S.-stelsel.

In het dagelijksch leven wordt eene drukking veelal uitgedrukt in Kilogrammen, die gemakkelijk tot dynes te herleiden z\jn, wannéér wij bedenken (vgl. de Aanm. van § 121), dat, volgens de vergelijking V~my, de drukking van een Kilogram heteekent; eene kracht van 1000 X 981 dynes.

Bki'Ai.ing. De „drukkingquot; op een plat vlak heet gelijkmatig, wanneer de drukkingen, die op onderling gelijke oppervlakte-deelen, hoe klein ook genomen, worden uitgeoefend, onderling gelijk zijn, zoowel ten opzichte van grootte als van richting.

Is de numerieke waarde van het gedrukte oppervlak — .s¹, van de daarop uitgeoefende drukking — P, en is de drukking gelijkmatig, dan is de numerieke

P

waarde (/)) der op de éénheid van oppervlakte uitgeoefende drukking :

s

1'

IJuPAMNfj. Is de drukking niet gelijkmatig, dan noemt men de waarde

ft

van de vorige vergelijking de gemiddelde drukking per finheid van oppervlakte.

F

De waarde als „gemiddelde drukkingquot; hangt af van de grootte en de

plaats van het beschouwde gedeelte van het oppervlak, waarop de drukking wordt uitgeoefend.

189. Wanneer s de numerieke waarde (het aantal oppervlakte-éénheden) voorstelt van een klein om een punt A gelegen gedeelte van een platten wand,

en men laat het binnen de gesloten lijn gelegen oppervlak, te gelyk met haar

|gt;

omtrek, tot 0 naderen, dan kan aangetoond worden, dat de waarde tot

113

eeue bepaalde grenswaarde of' limiet nadert. Wordt deze grenswaarde voorgesteld Fig. 57. door p, dan is:

p z= Li in. ' , voor Lim. ,s = ü.

s

, Kleine, tot nul naderende deelen heeten in de wis-

j kunde elementen, en zoo noemen wij het kleine om liet punt A gelegen oppervlakte-deel een oppervlakte-element.

Bepai.ing. De grenswaarde (p) van de „gemiddelde

drukkingquot; ^ ^ per éénheid van oppervlakte, op het beschouwde

oppervlakte-element uitgeoefend, heet de dr ut king per éénheid van oppervlakte in het punt A.

140. In § 137 is proefondervindelijk gebleken, dat de met de glasplaat in aanraking zijnde vloeistof inderdaad eeue drukking uitoefent. Van den oorsprong dezer drukking geeft men zich aldus rekenschap:

De vloeistof is volkomen veerkrachtig. Zoodra nu een gedeelte van een vloeistof-lichaam samengedrukt wordt, wordt het evenwicht der inwendige krachten verbroken en er komen nieuwe inwendige krachten in liet spel, welker uiting Gij vroeger als werking der „veerkrachtquot; hebt leeren kennen. De door het saamgedrukte vloeistof-gedeelte ontwikkelde veerkracht tracht niet alleen het lichaam, waarvan de samendrukking uitgaat, af te stoeten, maar drukt op zijne beurt, terwijl het zijn vorig volumen tracht te hernemen, de aangrenzende vloeistof-gedeelten samen; deze drukken op hunne beurt weer daaraan grenzende gedeelten samen en zoo wonlt de sarnendrnkkiny door de geh.eele vloeistof-mami voortgeplant.

De saamgedrukte, doch overigens in evenwicht verkeerende vloeistof is voor een gedeelte in aanraking met de wanden van een vat, en daar ook deze vloeistof-gedeelten hun volumen trachten te hernemen of m. a. w. veerkracht ontwikkelen, trachten zij het wandgedeelte, waarmede zy in aanraking zijn, af te stooten, en deze op den wand uitgeoefende kracht is de door dezen ondervonden drukking.

Nu oefent eeue vloeistof in gewone omstandigheden altijd drukkingen uit, al ware het alleen hierdoor, dat de onder den invloed der zwaartekracht staande vloeistoflagen de daaronder gelegen lagen samendrukken.

Aanm. liet, bovenste „vrijequot; vloeistol-ojipcivlak ondervindt ultijd eenc drukking vim do duinpkringslucht, zooals later nader zal worden aangetoond. Ook deze bewerkt reeds op zicli zelve eene samoïidrukking van het vloeistot-liehaiini.

Het Beginsel van de voortplanting der drukkingen in eene vloeistof-massa, afkomstig van Pascal, kan beschouwd worden als de grondslag van de even-wichtsleer der vloeistoffen. Op eene nauwkeuriger omschrijving van het Beginsel komen wij weldra terug.

141. Minnen in een vloeistof-lichaam, welks doelen in evenwicht zijn,

kunnen wij ons een rondom begrensd gedeelte denken, dat te midden van liet

overige gedeelte, volgens de onderstelling, in evenwicht is. Op de deeltjes van

dit rondom ingesloten vloeistof-gedeelte werken in- en uitwendige krachten. Met

de inwendige bedoelen wij dan den invloed, dien de stoffelijke punten van de salvehda en lis uov, Natuurkewiis, 11. 2e druk. s

114

ingesloten vloeistof op elkander uitoefenen (veerkracht of elusticiteit); met de uitwendige, 1° de werking der zwaartekracht op hare deeltjes, 2° de drukkingen, die de oppervlakte van het beschouwde ingesloten gedeelte der vloeistof ondervindt van de omringende stoffelijke punten.

Dat de ouder 2'' genoemde drukkingen loodrecht {normaal, gelijk men ook zegt) gericht moeten z\jii op de oppervlakte-elementen, waarop zij werken, volgt hieruit, dat, wanneer zulk eene drukking schuin gericht was, zij eene in het oppervlakte-element gelegen onthondene zou hebben, die de beweeglijke vloeistof-deelen aan de oppervlakte van het element zou doen voortglijden, — hetgeen strijdt tegen de onderstelling van bestaand evenwicht.

Eene wiskundige beschouwing, waarvan hier alleen de uitkomst moge medegedeeld worden, leert, dat er voor eene volkomen, d. i. denkbeeldige vloeistof, in den zin van § 136, eene bepaalde betrekking bestaat tusschen de drukkingen per éénheid van oppervlakte, in twee punten der oppervlakte van het ingesloten gedeelte uitgeoefend. Daar wij dit gedeelte naar willekeur kunnen begrenzen, kunnen wij dus de betrekking bepalen tusschen de drukkingen per éénheid vim oppervlakte in twee willekeurige punten van een in evenwicht verkeerend vloeistof-lichaam.

De bedoelde betrekking is uitgedrukt in de volgende

GRONDSTELLING.

In een vloeintof-lichaam, welks deeltjes in evenwicht zijn, neemt de in een zeker punt per éénheid van oppervlakte uitgeoefende drukking met de diepte toe; en het verschil der drukkingen per éénheid van oppervlakte, in twee punten van zulk een vloeistof-lichaam, is gelijk a.an het ^Gewichtquot; van een rechten cylinder dezer vloeistof, die de éénheid van oppervlakte tot grondvlak en den verticalen afstand tusschen de twee beschouwde pnnten tot hoogte heeft.

De richting der vloeistof-drukking op een zeker oppervlakte-element valt samen met de loodlijn op dat oppervlak.

Deze Grondstelling geldt ook ten opzichte van de drukking, die de vloeistofdeeltjes in twee verschillende punten op den wand van het vat uitoefenen.

Deze stelling mag terecht de Grondstelling van de Evenwichtsleer der vloeistoffen heeten, omdat uit haar verscheidene andere stellingen kunnen worden afgeleid.

14-2. Beschouwen wij nu de punten a en h van het in fig. 58 rondom inge-j'ig, r_l8_ sloten gedeelte van het vloeistoflichaam, dan wijzen

de pijltjes de richting aan van de in elk dezer punten uitgeoefende drukking (loodrecht op de door het punt. getrokken raaklijn).

De verticale afstand cd der punten a en ft hebbe eene numerieke waarde gelijk aan h; die der in a per éénheid van oppervlakte uitgeoefende drukking zij gelijk aan p, die in h gelijk aan p'. De soortelijke massa der vloeisli)! zij gelijk aan m. Dan wordt de genoemde Grondstelling aldus in beeld gebracht:

p'}p; p'—p — hmg.........(1)

115

Stellen wij de numerieke waarde van tie oppervlakte der onderling gelijke elementen, binnen welke de punten lt;i en h gelegen zijn, gelijk aan «, en vermenigvuldigen wij hiermede de beide leden van vergelijking (1), dan vinden wij

1gt;H — pa — nhmg.

Het verschil der druklingm, op twee onderling gelijke oppervlakte-elementen erner in evenwicht zijnde vloeistof uitgeoefend, is gelijk aan het „Gewichtquot; van een rechten cylinder dezer vloeistof, welks ba*U gelijk is aan het oppervlakte-element en welk* hoogte gelijk is aan den verticalen afstand tn.sschcn heide elementen.

Zooals reeds is aangeduid, liggen in de Grondstelling der vorige S verscheidene gevolgtrekkingen opgesloten, waarvan eenige op eenvoudige w\js aan de waarneming en liet experiment getoetst kunnen worden.

1° Draait in fig. HS het oppervlakte-element in a om dit punt, dan verandert wel de ridding (loodrecht op het element), maar niet de grootte der drukking.

De grootte der op een oppervlakte-element uitgeoefende drukking is onafhankelijk van hare richting.

Zoo leert bijv. de proef met het lampeglas (vgl. fijr. 5G), dat het onverschillig is, ot het glas recht of schuin gehouden wordt.

'2° Zijn twee onderling gelijke oppervlakte-elementen binnen een in evenwicht verkeerend vloeistof-lichaam in eene zelfde horizontale laag gelegen, dan is hun verticale afstand gelijk aan 0 en dus ook het verschil in drukking gelijk aan 0.

Twee onderling gelijke oppervlakte-elementen, die in een in evenwicht verkeerend vloeistof-lichaam in een zelfde horizontaal vlak gelegen zijn, ondervind en onderling (lelijke dr a kk ing en.

Omgekeerd moeten twee onderling gelijke oppervlakte-elementen in een zelfde horizontaal vlak gelegen zijn, wanneer zij onderling gelijke drukkingen ondervinden.

In ilit geval toch moet ps — jgt;'« en bij gevolg shmg — 0 zijn, wat alleen dan mogelijk is, wanneer h — 0.

3^U Daar alle onderlinlt;r gelijke oppervlakte-elementen, die in een zelfde horizontaal vlak gelegen zijn, onderling gelijke drukkingen ondervinden, is de drukking door de deelen van een in evenwicht verkeerend vloeistof-lichaam op een in haar gelegen horizontaal vlak uitgeoefend, „gelijkmatigquot; (vgl. de Bep. van § 138), m. a. w.:

In een horizontaal vlak is de drukking evenredig aan de grootte van het gedrukte oppervlak.

Denkeu wij ons de geheele ruimte van het rondom gesloten vat van fig. 59 lüg. 59. door een vloeistof-lichaam ingenomen. Op drie plaat-

| sen zij een gedeelte van den wand verplaatsbaar,

^A^\_» namelijk in A , B en C, waar de afsluiting door

zoogenoemde zuigers bewerkt is. Op elk dezer zuigers | worde, door middel van gewichten, eene drukking

-.....................uitgeoefend, zoodanig, dat de deelen van het vloei-

stof-lichaam in evenwicht zijn.

____________Zij de oppervlakte van A gelijk aan a, de daarop

uitgeoefende drukking /),• de oppervlakte van ƒ?gelijk aan b, de daarop uitgeoefende drukking gelijk aan p. Zijn de vloeistofdeelen in

8*

evenwicht, dan oefenen deze dus tegen de ondervlakte van j1 eveneens eene drukking uit, gelyk aan p, en tegen B eene gelijk aan p'.

Liggen beide oppervlakken, A en B, in een zeilde horizontaal vlak, dan moet, terwijl de vloeistofdeelen in evenwicht zyn, de uitgeoefende drukking evenredig zyn aan de grootte van het gedrukte oppervlak:

p : p' — a : h.

De vau buiten op de zuigers A en B uitgeoefende drukkingen, moeten dus, om met elkander evenwicht te maken, eveneens evenredig z\jn aan de oppervlakten der zuigers, waarop zij werken.

De drukking, door de in evenwicht zijnde vloeistof-deelen tegen de oppervlakte-éénheid van den zuiger C uitgeoefend, zal grooler zijn dan by de zuigers A en B; en het verschil zal, volgens onze Grondstelling, gelyk zijn aan het „Gewichtquot; van een rechten cylinder dezer vloeistof, die de oppervlakte-éénheid tot grondvlak en den verticalen afstand tusschen beide zuiger-oppervlakken tot hoogte heeft.

Ts dit verschil (het Gewicht van zulk een vloeistof-cylinder) zeer klein ten opzichte van de geheele uitgeoefende drukking, dan kan het zonder groote fout verwaarloosd worden, en dan wordt met de genoemde beperking waar, wat reeds in de 17de eeuw door Pascal proefondervindelijk werd aangetoond en naar hem den naam draagt van de

WET VAN l'ASCATi.

„Indien een vat, dat vol water en aan alle zijden gesloten is, twee openingen heeft, waarvan de eene honderd maal zoo groot is als de andere en die elk door een volkom en passenden zuiger zijn gesloten, dan zal één man, die tegen den kleinen zuiger drukt, gelijk staan met de kracht van honderd mannen, die tegen den honderdmaal zoo grooten zuiger drukken, en hij zal de kracht van negen en negentig van hen over winnen. Welke grootte-verhouding er tusschen deze openingen hesta, indien de krachten, die op deze zuigers ia er ken, zich verhouden als de oppervlakten der openingen, zullen zij met elkander evenwicht maken.quot;')

4° hi S 142 hebben wy in de vergelyking

p's — ps ~ shmg

uitgedrukt, hoe groot het verschil is der drukkingen, die uitgeoefend worden op twee onderling gelijke oppervlakte-elementen van een vloeistof-lichaam, welks deelen in evenwicht zyn; terwijl wij in Gevolg 2quot; van deze ^ gevonden hebben, dat in zulk een vloeistof-lichaam de drukking in eene horizontale laag evenredig is aan het gedrukte oppervlak. IJrengen wij deze stellingen met elkander in verband, dan moet het verschil der drukkingen, uitgeoefend op den platten, horizontalen bodem van een vat en op eene even groote oppervlakte van het vrye oppervlak van het vloeistof-lichaam, gelijk zijn aan het Gewicht van een rechten cylinder dezer vloeistof, die den bodem van het vat tot grondvlak en den verticalen afstand tusschen bodem en vrij vloeistof-oppervlak tot hoogte heeft.

1) Pascal. Traite de fequilibrc des liqueurs. Puris 1063.

117

De totale drukking, die de bodem ondervindt, is dun gelijk aan liet zooeven genoemde Gewicht, vermeerderd met de drukking der dampkringslucht op eene oppervlakte van het vrije oppervlak, even groot als die des bodems.

De door de vloeistofdeelen op den bodem van het vat uitgeoefende drukking is dus onutlmnkelyk van de volstrekte hoeveelheid vloeistof', eene uitspraak, die eenigszins wonderspreukig klinkt en daardoor bekend staat als de

IIYDHOSTATISCIIE ') PARADOX.

Dc (Irukkiny op den bodem hdrnjt alleen af van de grootte van hel h o d cm o pperv lak en de hoogte van den vloeixto (spiegel er hoven.

In fig. (30 kunnen de glazen 15 en C, in de plaats van het glas A, op hetzelfde door een drievoet gesteunde onderstuk D geplaatst worden, waarvan de

losse bodem door middel van een draad tegen den onderrand van het glas gedrukt wordt. Wordt er water in het glas gegoten, dan zal, zoodra het eene bepaalde hoogte bereikt heeft, de bodem worden neergedrukt eu het water wegvloeien. De waterhoogte, waarbij dit geschiedt, is dezelfde, onverschillig welk van de drie glazen A, B en C men bezigt, zoodat de drukking op den bodem gelijk is, zoodra slechts, als in het beschouwde geval, liet bodemoppervlak en de hoogte van den waterspiegel boven den bodem gelijk zijn.

5° Beschouwen wij van een vloeistof-lichaam , welks deelen in evenwicht zijn, een rondom ingesloten gedeelte van willekeurigen vorm. Dit gedeelte is onderworpen 1° aan de werking der zwaartekracht, welker congerente zijn Gewicht is, en 2° aan de drukkingen, die de omringende vloeistof-deelen op de verschillende elementen van hare oppervlakte uitoefenen. Daar er evenwicht is, moeten de onder 2° genoemde drukkingen eene congerente hebben, gelijk aan het Gewicht, doch tegengesteld gericht. Zij moet dus eene verticale, van beneden naar boven gerichte kracht zijn, aangrijpende ergens in de verticaal van het zwaartepunt en gelijk aan het Gewicht van het beschouwde ingesloten gedeelte der vloeistof. Wanneer wij ons nu dit gedeelte vloeistof vervangen denken door een voorwerp van welken aard ook, dat volkomen denzelfden vorm bezit en denzelfden stand inneemt, dan zullen de drukkingen, door de vloeistofdeelen op zijne oppervlakte uitgeoefend, dezelfde blijven en bijgevolg dezelfde congerente behouden.

Uit deze door Simon Stevin gevonden beschouwing volgt de reeds door Archimedes proefondervindelijk gevonden en naar hom genoemde

1) Hydrostatica — Leer vim het cvcnwicht der vloeistoffen.

118

WET VAN AlUMIlMHDIiS.

I)i drukkitif/eti, welke de de cl en van een vlo eiutoj-lichdam op de oppervlakte-elemenlen ran een daarin ondergedompeld lichaam uil-oefenen, hebben eene verticaal naar hoven gerichte congerente, die gelijk is nan het Gewicht der door het lichaam verplaatste vloeistof en in de verticaal van het zwaartepunt der verplaatste vloeistof a an g rij p t.

AdJiin. Wordt de verplaatste vloeistof uls homogeen beschouwd, clan valt haar „zwaartepuntquot;'^, samen met het zwaartepunt van liet meetkundig liohaam, dat naar grootte on vorm er aan gelijk is, dus ook naar grootte en vorm gelijk is aan het ondergedompelde lichaam.

Aan deze congerente geeft men den naam van stuwkracht.

Proeibmlervindelijk kan ile wet van Archimedes aldus bewezen worden, met behulp van de zoogenoemde „hydrostatische balansquot;.

Aan het eene ophangpunt eener balans (vgl. tig. 61) zijn een cylindervormig emmertje en een massief metalen cylindertje opgehangen, welk laatste zoo nauwkeurig mogelijk denzelfden kubieken inhoud als het emmertje bezit. De aan het andere ophangpunt hangende belasting wordt zoodanig geregeld, dat het juk den horizontalen evenwichtsstand aanneemt, zoodat de door de zwaartekracht veroorzaakte Gewichten van beide belastingen gelijk zijn.

Daarna plaatst men onder het massieve cylindertje een glas, met vloeistof gevuld, en wel zoodanig, dat . het cylindertje, b\j horizontalen stand van het juk, geheel ondergedompeld is. Wordt nu, volgens de wet van Archimedes, eene zoogenoemde „stwwquot;kracht op het cylindertje uitgeoefend, dan kan de horizontale stand van het juk alleen gehandhaafd blijven door aan het ophangpunt 0 eene nieuwe belasting toe te voegen, die gelijk is aan de opgewekte stuwkracht. Inderdaad moet daartoe het emmertje volkomen gevuld worden ^ met dezelfde vloeistof als die, waarin de onderdompeling plaats heeft, zoodat de opgewekte stuwkracht, zooals de wet van Archimedes ook aangeeft, gelijk blijkt te zijn aan het Gewicht van een volumen vloeistof, even groot als het volumen van het ondergedompelde lichaam, m. a. w. gelijk aan het volumen der door dit lichaam verplaatste vloeistof.

Aanm. De wet van Archimedes wordt wel eens aldus geformuleerd: Een onderf/edomj/eUI lichaam ondergaat een Gewichtsverlies _f dat cjelijk is aan het Gewicht ran het verplaatste water.

Dat deze uitdrukking alleen kortheidshalve, bij wijze van spreken, kan worden toegelaten, is duidelijk, wanneer men bedenkt, dat er van een Gewichtsverlies bij onderdompeling nooit sprake kan zijn. De werking der zwaartekracht op een voorwerp, waarvan het Gewicht de congerente is, is toch te eenenmale onafhankelijk van het al of niet ondergedompeld zijn van dat voorwerp.

l-t-l-. De communiceerende vaten van fig. (52 bevatten twee verschillende vloeistoffen, bijv. water en kwik, welker scheidingsvlak wordt aangewezen door

119

de horizontale Hjn CD. De gelieele vloeistof-massa verkeert iu den toestand van j,. , evenwicht. De kwiklaag AH ii^t in hetzelfde iiorizontale

vlak als de kwiklaag CD, Dus is de drukking (jgt;) op de éénheid van oppervlakte in AH gelijk aan die [p) in CD. Zy voorts de soortelijke massa van het kwik gelijk aan m, die van water gelijk aan m', de hoogte HII =. h, de hoogte CF = h'. Dan is p — hmlt;/ en p — limy. Hieruit volgt hmy — li mg of

hm — Km,

waaruit h: li — m : m.

De hoogten der heide vloeistofIcolommm hoven het horizontale sclwidingnvlak verhouden zich omgekeerd al-s hare soortelijke mansa's,

145. V an de in § 143 vernielde Wet van Pascal werd door den Engelschen ingenieur Hramah eene belangrijke toepassing gemaakt in de naar hem genoemde hydraulische pers.

De hydraulische pers bestaat in hoofdzaak uit twee communiceerende buizen van zeer verschillende middellijn, die elk door een zuiger zyn afgesloten, waarvan dus de eene een veel grooter oppervlak bezit dan de andere. De toestel is geheel met water gevuld.

Wanneer nu de eene zuiger h in buis B (vgl. fig. 63) een 4 maal zoo groot oppervlak bezit als de zuiger a in de buis A en de kleine zuiger ontvangt eene benedenwaarts gerichte drukking van d dynes, dan zal deze drukking, volgens het beginsel van Pascal, door het geheele vloeistof-lichaam met onveranderde

sterkte worden voortgeplant, en elk opper-vlaktedeel van h, dat even groot is als het oppervlak van a, zal eene bovenwaarts gerichte drukking van d dynes ondervinden. Wil er nu evenwicht bestaan, dan moet dus op den zuiger /lt; eene naar beneden gerichte drukking van 4 X dynes worden uitgeoefend. Bedraagt de op den zuiger h naar beneden uitgeoefende drukking een weinig minder, dan zal deze zuiger aan de tegen zijne ondervlakte uitgeoefende kracht gehoorzamen en stijgen.

Zoo geeft dan deze inrichting een middel aan de hand om met eene kleine kracht eene aanzienlijke kracht te overwinnen.

in fig. ()4 vindt (i\j eene in bijzonderheden uitgewerkte schets eener hydraulische pers, die gebruikt kan worden om verschillende zaken, o. a. hooi, tusschen de metalen plaat C van de perskolf H en liet ijzeren bovenstuk D samen te persen.

rk' beide commmucoerenrle buizen zijn de cylinders Cr en A, Do cylinder (! slant met zijn ondereinde in oen met water govnlden bak MM: dour hot nauwe boveneinde steekt oen goed sluitende cylindorvormige massieve zuiger, (lonijielnar geheeten. De „dompelaar*quot; kan met behulp van den hefboom IIK op en neer bewogen worden. Door een zijkanaal e staat (/ in verbinding

120

quot; ----^: gt; n —

met Jen .^K'iVcylincler A, in welken, tussehen een lederen ring dd, een cylindervormige metalen /.niger /i, yiersiu//geheeton, zicli op en neer kan bewegen.

Wordt di' dompelaar (/lt;) omhoog bewogen, dan wordt de ruimte in 0' grootor en, evenals bij

Fig. ()4,

eene gewone pomp, wordt mi, zooals men liet wel uitdrukt, water uit den vergaarbak .1/ in de pompbuis Cl opgezogen. Deze is daartoe, evenals de pompbuis eener gewone kcukenpom]), van onderen bij G van eene „hartklepquot; voorzien, die wel het water van buiten naar binnen, doch niet omgekeerd toelaat. Wordt nu de dompelaar b weer naar beneden bewogen, dan slnit zieh de „hartklepquot;, zoodat het water geen anderen uitweg heeft dan het zijkanaal e, waarlangs het in den persoylinder A komt. Daar deze eehter vol water is, kan eene nieuwe hoeveelheid alleen dan worden opgenomen, wanneer de perskolf zieh naar boven beweegt, wat dan ook, ten gevolge van do in Cr' uitgeoefende drukking, geschiedt.

Hij de volgende opwaartsche beweging van 4, zou het water, door de drukking van B, weer naar G terugstroomen, indien dit niet belet werd door eene afsluiting bij ü, die zoodanig is ingericht, dat zij het water wel van G naar A, doch niet in omgekeerde richting laat stroomen. Bij elke volgende benedenwaartsche beweging van den dompelaar wordt dus eene nieuwe hoeveelheid water in A geperst, zoodat deze telkens een weinig hooger rijst en zoodoende de tusschen C en D geplaatste voorwerpen samenperst.

Om te voorkomen, dat de pers schade lijdt door de samenpersing te ver te willen voortzetten, is eene veiligheidsklep m aangebracht, zijnde een kegelvormige afsluiter, die door het water kan worden opgelicht en die neergedrukt wordt door het Gewicht y/, werkende aan den hefboom nr.

14(). Volgens het Beginsel van de voortplanting der drukking in alle richtingen oefent eene vloeistof niet iilleen drukking uit tegen den bodem, maar ook tegen de zijwanden van het vat, waarin zij zich bevindt.

I it het in 1H medegedeelde volgt, dat de zijwaartsche drukking

in eenig punt van den wand grooter is, naarmate dit punt lager onder den vloeistof-spiegel ligt.

121

Door eune wiskuiulige berekening — die liier niet op hare plaats zou zijn — leert men de grootte dezer zij waar tsche drukking op een bepaald gedeelte vun den wand uitgeoefend, kennen. Zoo biykt b\jv., dat de congerente der druk-kingen, uitgeoefend tegen een vlak gedeelte van den zijwand, gelijk is aan bet Gewicht van eene vloeistofzuil, welker grondvlak gelijk is aan bet beschouwde gedeelte van den zijwand en welker hoogte gelijk is aan den afstand tussclien den vloeistofspiegel en het zwaartepunt van het gedrukte gedeelte, natuurlijk weder vermeerderd met de door tie dampkringslucht uitgeoefende drukking.

Hoe dus de stand van den beschouwden vlakken wand moge zijn, de totale drukking, die hij ondervindt, wordt berekend, door dien wand horizontaal geplaatst te denken, op de hoogte van zijn zwaartepunt.

Het aangrijpingspunt dezer congerente ligt echter lager dan het bovengenoemde zwaartepunt en draagt den naam van „middelpunt van drukkingquot; of pers p u n t.

Fr. Op welke hoogte zal nu bij eene uit atzonderlijke duigen bestaande tob met het meeste voordeel de onderste hoepel gelegd vorden?

Afgezien van de luchtdrukking is, voor welk vat ook, de congerente van alle drukkingen, door eene vloeistof uitgeoefend op de gezamenlijke wanden (zijwanden en bodem) van het vat, dat haar inhoudt, eene verticaal van boven naar beneden gerichte kracht, die gelijk is aan het Gewicht der ge-lieele vloeistof-massa.

1.117« Daar de gezamenlijke zijwaartsche drukkingen eener vloeistof tegen den wand vun liet vat eene verticaal geriehte congerente hebben, ztilleti zij nimmer tot eene zijwaartsche verplaut-sing van het ^at uunleiding kunnen geven. ordt echter een gedeelte van den zijwand w eggenomen en daarmede een gedeelte der bestaande drukkingen opgeheven, dan is de bestaande evenwichtstoestand verstoord en de congerente der drukkingen, die op het tegenovergelegen gedeelte, van den wand worden uitgeoefend, deelt aan het vat eene zijwaartsche beweging mede.

Indien bijv. het oylindervovmige met water gevulde vat van tig. 6.5 aan draden D is opgehangen p.. _r „j, ^en de cylinderas is verticaal (of het pennetje C horizontaal) gericht,

zoolang de afvloeipijp li gesloten is, dan zal het vat een schuinen D stand aannemen. zoodra de pijp geopend wordt en het water cr vrij

• , uitstroomt. Het ondereinde A verplaatst zich dan namelijk niuir links,

in tegenovergestelden zin waarin het water uitstroomt.

Stond hetzelfde vat op eene in een bak met water drijvende kurk, dan zou alles in rust blijven, zoolang de pijp I! gesloten was, terwijl het openen der pijp ten gevolge zon hebben, dat de kurk met het vat zich in beweging stelden in tegengestelden zin van de uitstrooining van het water.

1-1-S. Op de eene schaal eener balans staat een vat met water (vgl. tig. 66); het juk der balans heeft den horizontalen evenwichts-stand. Aan een urm van den naast de balans staanden standaard S is een massieve cylinder P bevestigd, die in het water kan ondergedompeld worden. Dientengevolge stijgt hot water in hot vat van a tot h en de drukking op den bodem van het vat, dus ook op de schaal, wordt grooter. Het gevolg is, dat de schaal daalt.

Stond echter de standaard óók op de schaal, met deze dus een samenhangend geheel vormend, dan zou de door het water op den cylinder uitgeoefende stuwkracht, eveneens door de schaal worden ondervonden en daar deze verticaal naar boven gerichte stuwkracht gelijk is aan de ver-

122

meerdering tier verticiiiil nuiir beneden geriehte budenidrnkking, zou de sclma! lliuir stand blijven liandlniven, onverschilUg oi'de eyliiïder ondergedompeld was of niet.

0juj. Toon aan, dat de opgewekte stuwkracht gelijk is aan de vermeerdering der bodem-

drnkking.

Volgens liet Beginsel van Actie en Reactie zullen van oen ondergedompeld lichaam krachten uitgaan , werkende op de omringende vloeistof, gelijk aan de krachten, die, van de vloeistof uitgaande, op het lichaam werken , — doch in tegengestelden zin gericht. Terwijl dus op een lichasim do „8tu^vknlcht'^,, werkt als do verticaal naar boven gerichte congerento dor door de vloeistof op hot lichaam uitgeoefende drukking, zal hot lichaam op de vloeistof eono tegondrukking uitoefenen, welker congerente gelijk aan do „stuw-^1011^'', doch verticaal naar benoden go-richt is.

De onderdompeling van don cylinder veroorzaakt dus drukkingen op de vloeistof, welker aan do stuwkracht gelijk zijnde congerente verticaal naar beneden is gericht en dus de schaal doet dalen.]

149. 1° Wanneer de op een ondergedompeld lichaam uitgeoefende „stuw-knichtquot; gelijk is aan liet Gewicht van het lichaam, dan bestaat demogelijkheid, dat het (vgl. § 52) te midden van het vloeistof-lichaam in rust blijft.

2° Ts het Gewicht van het lichaam grooter dan de er op uitgeoefende stuwkracht, dan beweegt het zich in den zin der grootste kracht: het valt namelijk, of, zooals het in dit geval heet, liet zinkt.

3quot; Is het Gewicht van het lichaam kleiner dan de er op uitgeoefende stuwkracht, dan stijgt het omhoog.

In het laatste geval komt het lichaam in een nieuwen even wichtsstand tot rust, waarbij een gedeelte van het lichaam boven de vloeistof aitsteekt. Laten wij den invloed der lucht op het schijnbare Gewicht van het boven de vloeistof uitstekende gedeelte buiten beschouwing, dan is in dezen evenwichtsstand het Gewicht der verplaatste vloeistof (= de stuwkracht) weder gelijk aan het Gewicht van het geheele lichaam. Het lichaam heet nu in den evenwichtsstand te drijven.

In het eerste der drie bovenstaande gevallen (zwevend lichaam) is de „gemiddelde dichtheidquot; van het lichaam gelijk aan—, in het tweede geval is zij groo-ter —, in het derde geval kleiner dan de dichtheid van het vloeistof-lichaam.

Oj'(]. Zet dit nader uiteen.

De op een lichaam uitgeoefende stuwkracht grijpt aan in de verticaal van het zwaartepunt van het meetkundig lichaam van dezelfde afmetingen, vorm en stand; het Gewicht grijpt aan in het werkelijke zwaartepunt van het lichaam zelf. Is nu het lichaam homogeen, dan vallen beide zwaartepunten samen en het ondergedompelde lichaam kan , wanneer zijn Gewicht gelijk is aan de stuwkracht, in eiken stand in rust verkeeren. Is het lichaam echter niet homogeen, dan behoeven de beide üwaartepunten niet samen te vallen en het lichaam zal te midden van de vloeistof slechts

12:?

in dien stand in rust (evenwicht) verkeeren, wusirbij de beide zwaurtcpuiiten in dezelfde verticaal gelegen zijn.

150. Zij te bepalen de „soortelijke massaquot; (a) — vgl. ij 12.5, hl/,. 99 — van de stot, waaruit zeker vast lichaam A bestaat.

Daar a = ^mquot;,...........(1)

Va

indien via en tv, respectievelijk de numerieke waarden van de massa en het volumen van A voorstellen, zoo behoeven slechts deze waarden proetondervin-delijk bepaald te worden om tot de beantwoording der gestelde vraag te geraken.

Nu kan m„ regelrecht door ,wegingquot; met de balans bepaald worden; terwijl Ou langs een omweg en met behulp van de hydrostatische balans gevonden kan worden. Daartoe worde A onder aan tie schaal gehangen en de andere schaal zoodanig belast, dat het juk den horizontalen evenwichtsstand aanneemt.

Daarna worde A in water ondergedompeld en in de overeenkomstige schaal zooveel gewicht bijgevoegd, dat de horizontale evenwichtsstand van het juk gehandhaafd blijft. De massa van het bijgevoegde gewicht z\j gelijk aan m.

Het Gewicht van de massa tri is dan gelijk aan de door het water uitge-oeteude stuwkracht, die op haar beurt gelijk is aan het Gewicht van het verplaatste water. Daar dit laatste een volumen (va) heeft gelijk aan dat van A, is «le stuwkracht gelijk aan Vamu-y {rriw rr de soortelijke massa van het water), zoodat wy hebben;

mij r: vm„-(j, waaruit

igt;quot;= ............(2)

niw

Door substitutie in (1) krijgen wij

_ m„ _ m„

m' m ïfllü

Daar de temperatuur van het water van invloed is op zijne soortelijke massa (viw), moet zij bij dit proefondervindelyk onderzoek nauwkeurig worden bepaald.

Volgens de nauwkeurigste bepalingen van de soortelijke massa van water bij verschillende temperaturen, beantwoordt aan eene

temperatuur van de soortelijke massa

0° ............ 0,999884

1° ............ 0,999941

2° ............ 0,999982

2,85°............ 1,000000

3° ............1,00(1004

4° ............ 1,000013

5° ............ 1,000003

5,15°............ 1,000000

!3⁰ ............ 0,999983

7' ............ 0,99994(3

10° ............ 0,999760

20° ............ 0,998272

50° ............ 0,98821

100° ............ 0,95866.

124

De numerieke waarde van de „dichtheidquot; eener water-massa is, volgens § 123, hieraan gelijk.

N.H. IIoc de soortelijke massa (dichtheid) van water bepaald wordt, zal later nader uiteengezet worden.

151. Zij te bepalen de „soortelijke massaquot; van eene vloeistof, bijv. van olie. Wü bezigen daartoe weder de balans, als hydrostatische balans ingericht,

en hangen onder de eene schaal een willekeurig zwaar voorwerp, bijv. eene met kwik bezwaarde glazen peer, waarvan het volumen = v. De andere schaal wordt zoodanig belast, dat het juk den horizontalen evenwichtsstand aanneemt. Het voorwerp worde nu in water ondergedompeld en de belasting van de schaal er boven zoodanig vermeerderd, dat de horizontale evenwichtsstand van het juk gehandhaald blijft. Indien de belasting met eene massa gelijk aan m' vermeerderd is, dan is de numerieke waarde der opgewekte stuwkracht — m'ff, volgens tie wet van Archimedes, tevens de numerieke waarde van het Gewicht van het verplaatste volumen (r) water. Zij de „soortelijke massaquot; van het gebezigde water dan is het Grewicht van v volumen-éénheden water gelijk aan rm,

zoodat wij hebben:

rm „■(/ — mg...........(1)

Daarna worde het aan de schaal hangende voorwerp in de gegeven olie ondergedompeld , in welk geval de belasting der schaal mquot; éénheden van massa meer moet bedragen dan zonder indompeling, om den horizontalen evenwichtsstand van het juk te handhaven. De opgewekte stuwkracht is dus in dit geval = mg, weder tevens de waarde van liet Gewicht der verplaatste vloeistof, ditmaal een volumen (tgt;) olie. Zij de „soortelijke massaquot; der olie = mo, dan is het Gewicht van n volumen-éénheden olie gelijk aan »»(„lt;/, zoodat wij hebben;

vm_ag — mg...........(2)

De beide leden van vergelijking (2) deelende door de overeenkomstige leden van (I), vinden wij:

w₀ _ui'

mw m '

.. m'

waaruit: w₀ — , imgt;.

m

152. Behalve van de „soortelijke massaquot; eener stot en de „dichtheidquot; van een lichaam, spreekt men ook nog van het soortelijk gewicht van een lichaam.

Bki'aung. 1° Het volstrekte (= absolute) soortelijk Gewicht van een lichaam is het gemiddelde Gewicht van de éénheid van volumen van dit lichaam.

2° Het betrekkelijke soortelijk Gewicht (liever „soortelijk gewichts-he trek kingquot;) van een lichaam is het getal dat aanwijst, hoeveel maal het Gewicht van een zeker volumen zuiver water bij 4° begrepen is in het Gewicht van een even groot volumen van het lichaam, op dezelfde plaats; m. a. w. (daar P = mg): hoeveel maal de massa van een zeker volumen zuiver water

125

by 4° begrepen is in de massa van een even groot volumen van liet lichaam.

OfKj. Toon ami, dat hot absolute soortelijk Gewicht van een lichaam samengesteld evenredig is aan nijne „dichtheidquot; en aan de waaide van lt;/ op de plaats van waarneming.

Het absoluut soortelijk Gewicht van eene water-massa is te Amsterdam

1,000013 X 981,3 dynes.

Vr. Hoe beredeneert fïij dit?

Is de soortelijke massa van het lood, waiiruit een lichaam bestaat, gelijk* aan a, dan is het „betrekkelijke soortelijk gewicht.quot; van dit lichaam gelijk aan

quot; ^X 1,000013quot;

Kr. Hoe beredeneert Gij dit?

Vr. Wat is de reden, dat de numerieke waarde van de „soortelijke massuquot; niet volkomen gelijk is aan liet „betrekkelijk soortelijk gewiebt'quot;?

I.irgt;»t* Er bestaan drijvende toestelletjes, waarmede eene wel niet zeer nauwkeurige, maar voor vele doeleinden van bet dagelijkseh leven voldoende bepaling van de „soortelijke massJ^^, eener stof kan geschieden. Men noemt deze toestelletjes areometers.

De areometer van Nicholson (vgl. lig. G7), voor het bepalen van de „soortelijke massaquot;quot; van vaste stoffen, is een holle koperen cylinder C, van onder en van boven in een spitsen kegel uitloopende; voorts van onder voorzien van een bakje 1) en van boven van eene stift 15, die een sehaaltje A draagt. Op de stift B is ter hoogte van 15 een streepje gevijld.

Wil men nu de „soortelijke massaquot;, bijv. van lood, bepalen, dan plaatst men een stukje lood boven op liet schaaltje en voegt er zooveel belasting bij, dat de areometer tot aan de streep bij H in het water gedompeld is.

Hot stukje lood wordt weggenomen en in zijne plaats eene belasting van a Gram gelegd, zoodanig dat de areometer veder tot het streepje in de vloeistof is gedompeld. Dan is de massa van het stukje loud eveneens gelijk aan a Gram De belasting van n Gram wordt nu van het schaaltje afgenomen; het stukje lood onder in het bakje geplaatst en aan het schaaltje eene belasting van /gt; Gram toegevoegd , zoodanig dat de areometer weder tot het streepje ingedompeld is.

liet Gewicht van deze b Gram is nu gelijk aan de „stuwkraehtquot;, gelijk aan het Gewicht van het door het stukje, lood verplaatste water, welks massa dus eveneens h Gram bedraagt.

liet stukje lood heeft eene massa van n Gram; een even groot volumen water eene massa van lgt; Gram. De soortelijke massa van het lood is dus gelijk aan

ⁿ n . bram.

h

154. De areometer van Fahrenheit, voor de bepaling van de „soortelijke massa^v' eener vloeistof, is niets anders dan een gewijzigde areometer van Nicholson : in plaats van een koperen is hot een glazen toestelletje en het metalen bakje of mandje is vervangen door een met kwik bezwaard peervormig stuk glas, waardoor aan het toestelletje de stabiele evenwichtsstand verzekerd wordt.

Wil men mot dozen areometer do „soortelijke massaquot;' bijv. van olie bepalen, dan moot men beginnen met do massa van den areometer zeiven te kennen. Deze zij gelijk aan a Gram.

Om den areometer tot aan hot streepje in water te doen zinken, moot op het schaaltje eene belasting van in Gram gelogd worden, liet Gewicht van don areometer en de genoemde belasting te zamen bedraagt dus (a -i- m)(j dynes. Dit Gewieht is gelijk aan de door het water ontwikkelde stuwkracht, dus gelijk aan het Gewieht van het door den areometer verplaatste water.

121)

Dompelt men daarnii don areoraeter in de olie, dan zal de belasting van m Gram door cene andere van » Gram moeten vervangen worden om te maken, dat hij weder lot het streepje is ingedompeld, liet Gewicht der verplaatste olie bedraagt dan (a tijij dynes.

De massa van liet verplaatste water bedroog a in Gram, die van een even groot volumen

olie ri -)■ u Gram; de „soortelijke massaquot; der olie is dus gelijk aan quot; quot; Gram.

n gt;n

155. Bij de areometers van yicholson en van Fahrenheit worden de massa's van twee gelijke volumina gemeten en hieruit de gezochte „soortelijke massaquot; afgeleid. Zulke areometers worden daarom areometers van standvastig volumen genoemd.

Doelmatiger in het gebruik is een areometer naast welks cylindriscli bovengedeelte eene sehaal-verdecling is geplaatst, die vohiraina aanwijst en wel zoodanig, dat, wanneer het gedeelte van den areometer onder de streep, waarbij 100 staat, 100 maal een zeker volumen groot is, het gedeelte onder de streep, waarbij 12') staat, 125 maal dat volumen groot is.

Het cijfer 100 wijst de plaats aan, tot waar de areometer in zuiver water inzinkt. Het Gewicht van 100 maal een zeker volumen (gelijk aan de door het water uitgeoefende „stuwkrachtquot;) is dus gelijk aan liet Gewicht van den gelieelen areometer.

Wanneer nu de areometer in eene andere vloeistof bijv. tot 125 inzinkt, dan is het Gewicht van 125 maal hetzelfde volumen van deze vloeistof eveneens gelijk aan het Gewicht van den areometer, lilj gevolg is het Gewicht van 125 volnmeu-deelen dezer vloeistof gelijk aan dat van 100 van deze volumen-deelen water; dus ook de massa van 125 volumen-deelen der vloeistof gelijk aan de massa van 100 dezer volumen-deelen water. Bij gelijke massa's van twee hoeveelheden vloeistof zijn deze soortelijke massaquot;s omgekeerd evenredig aan hare volumina. Hieruit volgt;

Soort, massa van vloeistof A ; Soort, massa van water =100; 125

.... 100 Soort, massa van vloeistof A ~

125

Dmir het gebruik van deze areometers berust op de verplaatsing van gelijke massa's, waarvan dus ook de Gewichten gelijk zijn, geeft men er den uanm aan van areometers van standvastig Gewicht.

In het hierboven beschreven voorbeeld van zulk ecu areometer werd het verplaatste volumen gemeten, om welke reden de aldus ingerichte areometers ook den naam van volumeters dragen.

I5lt;gt;. In liet dugclijksch leven maakt men nu en dan van areometers gebruik, niet zoozeer om de soortelijke massa van eene stof of de dichtheid van oen lichaam to loeren kennen, dan wel om, in geval de vloeistof een mengsol van verschillende bestanddeelen is, over de deugdolijkheid der samenstelling een oordeel te kunnen vellen. Daar do samenstellende doelen van hot mengsel in don regol eene vorschillonde soortelijke massa bozitten, heeft toch hot procentisch aandeel van elk dier bcstunddeolon invloed op de soortelijke massa van het mengsel. Zulke veelvuldig voorkomende mengsels zijn molk en iilcoholische vloeistoffen als jenever en brandewijn, voor welker booordeeling do als melkwegers en alcolometers bekende aroometers dienst doen.

lo7. De soortelijke massa bij 0° is van

127

158. Bevindt, zich ergens in den wand (zijwand of bodem) van een met vloeistof' gevuld vat eene kleine opening, dan stroomt de vloeistof er uit, de opening verlatende met eene snelheid („uitstroomingssnelheidquot;), die ^rooter is naarmate de uitstroomingsopening lager onder den vloeistofspiegel ligt.

Het onderzoek van Tonicelli — waarvan hier alleen de uitkomst moge medegedeeld worden — naar de uitstroomingssnelheid, leidde tot de volgende

WET VAN TOHRICKU,!.

De uitxtr o o mitig x snelheid is y el ijk min lt;1 c snelheid, die een vrij vallend, lichaam verkregen zou hehhen op het tijdstip, dut het sedert het begin zijner beweging eene ral hoog te had d nor loopen gelijk aan den verticalen afstand tussrhen de ui tst r onmin g sop ening en den waterspiegel.

In deze wet ligt opgesloten, dat de uitstroomingssnelheid alleen van den verticalen afgt;tand der opening onder den waterspiegel en niet van den aard der vloeistof afhangt.

In vergelijking gebracht en de „uitstroomingssnelheidquot; voorstellende door r, krijgen wy dus:

r= K 2gh,

waarin g de door de zwaartekracht veroorzaakte ,versnellingquot; en h den verticalen afstand tusschen uitstroomingsopening en vloeistofspiegel voorstelt.

Wanneer van de buis van fig. 68 het korte been B eene voldoende lengte bezat, zouden — vgl. § 1^4 — de beide vloeistofspiegels in een zelfde horizontaal vlak gelegen zijn. Was de vloeistofspiegel in het rechter been bij A gelegen, dan zou hij in het linker been zich op de hoogte van A bevinden. Nu het been I! zooveel korter is, wordt zijne opening eene uitstroomingsopening en volgens de wet van Torricelli zou de in dit geval verticaal naar boven uitstroomende ₆₈. straal zich tot de hoogte van den vloeistofspiegel A moeten

verheffen. Dit geschiedt echter niet en wel in de eerste quot;li¹ plaats omdat de wet van Torricelli alleen dan geldig is, IJ-A wanneer de afmeting der opening slechts klein is ten opzichte van ile afmetingen van het vat, terwijl in ons geval de doorsnede der opening gelijk is aan de geheele doorsnede der buis zelve.

Doch ook, wanneer wij de uitstroomingsopening klein maken, door het glazen been af te sluiten met eene doorboorde kurk, zal de straal, hoewel nu hooger reikende, niet ten volle de hoogte van den vloeistofspiegel in A bereiken, wat verklaard wordt door den weerstand der lucht en den belemmerenden invloed der terugvallende vloeistofdeeltjes, dien de opstijgende waterdeeltjes hebben te overwinnen.

Op het in fig. 08 uitgedrukte beginsel van het opspuiten van een waterstraal, berust de inrichting van sommige fonteinen, bestaande uit twee communiceerende vaten: een kort been met eene nauwe opening uitmondende boven een bekken, en een lang been, dat in een op een zolder ol eene andere verhevenheid geplaatsten vergaarbak met water uitloopt.

128

159. De deeltjes (moleculen) eener vloeistof, zoowel als die van een vast lichaam, worden ondersteld een wederkeerigen invloed op elkander uit te oefenen, die in eene aantrekkende werking bestaat. Door deze onderstelde aantrekkingskrachten, de zoogenoemde cohaesie, wordt de meerdere of mindere samenhang tussclien de deeltjes onderling verklaard. De aldus onderstelde, tusschen de moleculen werkzame («moleculairequot;) aantrekkingskracht werkt slechts op zeer kleine afstanden. Uit proefnemingen is langs wiskundigen weg afgeleid, dat deze

werking zich niet verder zou uitstrekken dan over een afstand van ca. -oqq qqqquot;

K _t ^

of cM. Worde de numerieke waarde van dezen afstand voorgesteld door d,

dan zyn de deeltjes, waarvan eene gegeven molecule A de moleculaire aantrekking ondervindt, gelegen binnen het oppervlak van een bol, waarvan de molecule m het middelpunt inneemt en welks straal gelijk is aan lt;1. Men noemt dezen bol de spheer (= bol) van aantrekking ten opzichte van rn. Tevens is hü de «spheer van aantrekkingquot; binnen welke de molecule m zelve hare werking om de omringende uitoefent.

Ligt de «spheer van werkingquot; geheel binnen het vloeistof-lichaam, zooals ten opzichte van de molecule m in Hg. 69 het geval is, dan liggen de aantrekkende deeltjes der homogene vloeistof volkomen symmetriek rondom m en tegenover elke kracht op deze in één zin uitgeoefend, staat eene gelijke in dezelfde richting, doch tegengestelden zin werkende kracht, zoodat alle op m werkende moleculaire krachten met elkander evenwicht maken en eene resultante gelijk aan 0 hebben.

Anders is het gesteld met eene molecule m', die op een afstand, kleiner dan de straal der spheer van aantrekking, van den vloeistofspiegel ligt, zoodat de

spheer niet geheel met vloeistof ge-

₁₅ vuld is. Alleen die krachten maken nu met elkander evenwicht, welke uitgaan van punten gelegen binnen het tusschen ah en cd begrepen gedeelte der spheer, indien namelijk het segment eed gelijk is aan het ontbre-

kende segment boven den vloeistofspiegel. De aantrekkingskrachten, die van de binnen het segment eed gelegen punten uitgaan, hebben echter eene loodrecht op den spiegel gerichte resultante, waardoor m' naar beneden getrokken wordt.

In het geval, dat de molecule mquot; in de oppervlakte van den vloeistofspiegel ligt, zal deze resultante hare grootst mogelijke waarde bereikt hebben

TJit het voorgaande blijkt, dat alle moleculen van de vloeistoflaag, tusschen het vrye vloeistof-oppervlak en een hieraan evenwydig en op een afstand lt;1 (straal der spheer van werking) er onder (naar binnen) gelegen vlak, onder den invloed staan eener loodrecht op de oppervlakte gerichte kracht, die haar naar binnen trekt.

Deze laag zal dus op de er door omhulde vloeistof, als ware zij een gespannen veerkrachtig vlies, rondom (ook daar waar de vloeistof door den wand van een vat begrensd wordt) eene binnenwaarts gerichte drukking uitoefenen, waaraan men den naam van oppervlakte-spanning goeft.

12!)

Is liet vrije vloeistot-oppervlak, in stede van plat, een bol oppervlak (vgl-tig. 70), dan is het gedeelte der aantrekkingsspheer ede, welker moleculaire aantrekking niet wordt o])gelieven, grooter dan wanneer de oppervlakte nh j'i _7Ü plat ware (een raakvlak aan liet

hoogste punt). Hij gevolg is de „op-'■ quot; - pervlakte-sjianningquot; van een bol

oppervlak grooter dan die van een plat oppervlak.

By een hol oppervlak daarentegen is het gedeelte ede van de

aantrekkingsspheer, welker moleculaire aantrekking niet wordt opgeheven, kleiner dan wanneer het oppervlak plat ware.

Hoe kleiner de krominingsstraal der oppervlakte (ih is, m. a. w. hoe sterker de kromming is, hoe grooter het werkzame deel cdc der aantrekkingsspheer zal uitvallen, wanneer het oppervlak bol, en hoe kleiner het zal uitvallen, wanneer het oppervlak hol is.

Dc „oppervlakte-spanning is du# bij een hol oppervlak yrouter, bij een hol oppervlak kleiner, naarmate de krommingsstraal van dit oppervlak kleiner is.

Is de invloed van andere krachten buitengesloten, dan moet de drukking van dit als 't ware veerkrachtige, gespannen omhulsel teweegbrengen, dat de vloeistofmassa een vorm aanneemt, waarbij haar oppervlak zoo klein mogelijk is. Deze vorm is de bolvorm.

Eene vloeistof-massa, onttrokken aan de werking der zwaartekracht, bijv. door haar te brengen te midden van een vloeistof-mengsel van dezelfde soortelijke massa als z\j zelve, zal dus, tengevolge van de „oppervlakte-spanningquot;, den bolvorm aannemen.

Uij eiken anderen vorm dan den bolvorm is de kromming op de eene plaats eene andere dan op eene andere plaats, zoodat de oppervlakte-spanning eerst dan overal gelyk zal zjjn, de vloeibare kern van rondom even sterk gedrukt zal worden, wanneer de vorm-verandering in den bolvorm haar einde heeft bereikt.

H)0. Trekt men eene glasstaaf, na indompeling in water, uit de vloeistof terug, dan bl;jft er een weinig water, wellicht een druppel, aan kleven. Dc adhaesie tusschen de glas- en de waterdeeltjes overtreft dus de cohaesie tusschen de waterdeeltjes onderling.

Ojjff. Herlees §§ 132, 133, blz. 108.

Had men de glasstaaf in kwik gedompeld, dan ware er geen vloeistof aan bl\jven kleven. De cohaesie tusschen de kwikdeeltjes onderling overtreft dus de adhaesie tusschen de glas- en de kwikdeeltjes.

Wü willen voor een paar gevallen nagaan, welken invloed de adhaesie heelt op het aan een vasten wand grenzende gedeelte van een vloeistof-oppervlak.

In fig. 71 zij CD het verticale grensvlak van een vasten wand; AI5 het horizontale vrije oppervlak eener vloeistof.

Het vloeistofdeeltje A staat onder den invloed van de moleculaire aantrekking 1quot; der nabüzünde vloeistofdeeltjes, 2° der nabij/,ijnde deeltjes van den vasten wand. De spheer der door de vloeistof uitgeoefende aantrekking is slechts voor

SALYEiiDA on LE itov, Ntiluurkcwiis, li. 2de druk. y

130

een vierde gedeelte niet vloeistof gevuld, zoodat de resultante der hierdoor op A uitgeoefende aantrekking gericht is volgens de lijn Al', in den zin van A naar 1'. (De lijn Al' deelt den rechten hoek BAD midden door). Stellen wy deze

loor den vasten wand uitgeoefende drnkking z\jn twee kwadranten met vaste stof gevuld, in elk van welke de aantrekkingskrachten kunnen worden samengesteld tot eene resultante Q, gericht volgens de lijn AQ, in den zin van A naar Q. (De lijn AQ deelt weder den rechten hoek midden door). Elke kracht J¹ Q heeft eene verticale ontbondene, de eene gericht volgens AC, in den zin van A naar C, de andere volgens AD, in den zin van A naar D, en eene horizontale ontbondene, gericht volgens AF, in den zin van A naar F, Elke dezer ontbondenen is gel\jk ' aan J Ci \/ 2.

Ojilt;i, Toon dit aan (X.Igt;. De rechte hoeken worden door midden jredceld).

De beide verticale ontbondenen heffen elkanders werking op (Kr. Waarom?); de beide horizontale ontbondenen worden samengesteld tot eene resultante, gelijk aan hare som, dus gelijk aan Ql/ 2, en gericht volgens AF, in den zin van A naar F.

De resultante F heeft eveneens eene verticale en eene horizontale ontbondene, de eerste gericht volgens AD, in den zin van A naar D; de laatste gericht volgens AB in den zin van A naar B en beide gelijk aan J I⁵ K 2.

De moleculaire krachten zijn hiermede teruggebraclit tot eene kracht gelijk aan Q|/2, gericht volgens AF,

eene kracht gelijk aan i P 1/ 2, gericht volgens AB,

eene kracht gelijk aan iPl/2, gericht volgens AD.

1quot; in het geval dat Q 1/2 = J F K 2, is het dus alsof het vloeistofdeeltje A, behalve aan zijn Gewicht vermeerderd met de luchtdrukking, nog onderworpen was aan eene eveneens verticaal naar beneden gerichte kracht { P V 2.

Bij den horizontalen stand van het vrije vloeistof-oppervlak blijft nu het vloeistofdeeltje A op zijne plaats, daar de ondervonden drukking, of aantrekking naar binnen, loodrecht op het oppervlak gericht is.

2° In het geval dat Q ^ 2 gt; \ P I/ 2, blijft nog eene

kracht bestaan, gelijk aan Q 2 — J P 2, gericht volgens AF, in den zin van A naar P.

Deze wordt met de verticaal gerichte kracht J P V 2 samengesteld tot eene resultante, die ditmaal . — - schuin gericht is en wel volgens eene lijn van A door den vasten wand verloopende. Het vloeistof-deeltje A kan nu niet zijn stand behouden; liet stelt

zich in beweging eu andere volgen, — een en ander

9*

132

2. Dicht bij den bodem bevindt zicli in den zijwand van een vut eene opening, die dooi eene kurk van 2 eM.² oppervlakte is afgesloten. Hoe groot is de tegen deze stop uitgeoefende drukking, indien de waterspiegel zich fl dM. boven bet middelpunt der sto]) bevindt?

Hoe groot zou de drukking zijn, indien het vat met olie gevuld was, welker soortelijke massa = 0,85 G.

3. Hoe groot is de stuwkracht, waarmede eeu in water ondergedompeld stuk dennenhout van 3 dM.³ omhoog gedreven wordt? Soortelijke massa van dennenhout = (),G O.

Hoe groot zou de stuwkracht zijn, indien het ondergedompeld was in olie mei eene soortelijke massa van 0,85 O.?

4. Ken stuk lood, met de balans gewogen, weegt 8 dynes. Hoe groot zou het door de balans aangegeven Gewicht zijn, indien het voorwerp bij de weging in water ondergedompeld was?

5. Een drijvend lichaam, welks volumen 36 cM.^;i bedraagt, steekt voor '/a ^Vil11 lt;1'' volumen boven het water uit. Hereken het Gewicht van dit lichaam (g = 981,3).

fi. Welk gedeelte van het volumen van een stuk ijs steekt boven water uit ? (soortelijke massa van ijs = 0,92 G.).

7. Tot hoe diep zal eene regelmatige pyramido, die I M. hoog is, in olie inzinken, wanneer haar top, eu hoe diep, wanneer hare basis naar boven is gekeerd?

Soortelijke massa der pyramide = 0,75 G. Soortelijke massa der olie = 0,95 G.

8. In water drijft een kurken kubus van 55,2 G., die van onderen een loodeu kubus draagt, met ribben van 2 cM. De kurk steekt voor % van haar volumen boven het water uit. Bereken de soortelijke massa der kurk.

De soortelijke massa van lood = 11,35 G.

9. Met behulp van een areometer van Nicholson moet de soortelijke massa van een diamant bepaald worden. De diamant is op het schaaltje geplaatst en zooveel belasting er bij gevoegd, dat de areometer tot het streepje is ingezonken. Na verwijdering van den diamant moet 1,2 0. in zijne plaats gelegd worden om te maken, dat de areometer tot het streepje ingedompeld blijft. Deze worden ook weer verwijderd, de diamant onder in het mandje geplaatst en 0,34 Gram in liet schaaltje gelegd opdat de areometer nog tot het streepje ingedompeld blijve. liereken hieruit de „soortelijke massaquot; van diamant.

10. Ken volumeter voor zware vloeistoffen is in eene zekere vloeistof ingedompeld tot de streep waarbij het cijfer 80 geplaatst is. Wat is de „soortelijke massaquot; dezer vloeistof?

In de school kunt Gij met Uwe leerlingen de volgende onderwerpen bespreken.

Stand van hel op/iervlaki Horizontale stand van een v 1 oe i s t o f-oppe r v 1 a k. Sc h n i n e stand van een water-oppervlak, als de wind er tegen blaast.

Communiceerende vaten: Thee- en koffiekannen. Waterleidingen. Springbronnen. Vloek tofdrukkimj: Waterdruk tegen sluisdeuren en dijken. Glooiing der dijken aan den waterkant. Hydraulische of waterpers. Lek van een schip, waardoor het water met kracht naar binnen geperst wordt,

Wel van Archimedes: In het water kan men een groot er en lust dragen dan er buiten. Olie drijft op water. Duikers bezwaren zich met gewichten. Zwemgordels. Us drijft op water. 1.1 zer zinkt in water. Melkweger.

Adlmesie en capillaire verschijnselen: Schilderen. Vergulden. Lakken. Spiegels worden gefoelicd. De olie trekt in de lampekous. De inkt in de pen. Vloeipapier. „Gelijmdquot; papier. Vochtige muren. Klemmende deuren.

162. Eene van een stevigen bodem voorziene cylindrische buis van dik glas wordt van boven afgesloten door een nauwsluitenden zuiger, die zich niet weinig wrijving in de buis kan bewegen. Toch ondervindt de hand b\j het indrukken van den zuiger een weerstand, die grooter wordt naarmate men den zuiger verder in de buis drukt. Eindolyk, nog vóórdat deze den bodem der buis bereikt

133

lieeft, is de weerstand zoo groot geworden, dat hij met onze spierkracht evenwicht maakt.

Deze waurneming brengt ons tot liet besluit, dat de schijnbaar ledige holte der buis een stoffelyk iets bevat, van welks deeltjes de tegeu-drukking op den zuiger uitgaat.

Het kan gebeuren, dat, onder de poging om den Kiiiger tot den bodem te doen naderen, de wand der buis op eene ot andere minder stevige plaats bezwijkt, onverschillig waar de zwakke plaats gelegen moge zijn.

Hieruit bljjkt, ibxt het ingesloten lichaam niet idleen op de ondervlakte van den zuiger, maar op elk ander gedeelte van den wand der buis eene drukking uitoefent, waaruit volgt, dat het tie geheele ruimte van de buis vult. De vorm en het volumen van dat lichaam zijn dan gelijk aan die van het vat, waarin het zich bevindt,

Eene verkleining van het volumen van het ingesloten lichaam heeft, volgens het voorgaande, ten gevolge, dat de daardoor uitgeoefende drukking op de wanden van het vat toeneemt. Wordt daarna de uitwendige drukking op den zuiger weder verminderd, dan wijkt de zuiger terug en neemt een nieuwen evenwichtsstand aan, waaruit volgt, dat eene volgende vergrooting van het volumen van het ingesloten lichaam eene vermindering van de daardoor uitgeoefende drukking ten gevolge heeft. Houdt de hand op met drukken, dan heeft de zuiger zijn oorspronkelijken staml en het ingesloten lichaam zijn oorspronkelijk volumen hernomen.

Het hier beschouwde lichaam heeft — zooals nog nader zal blijken — andere eigenschappen dan de vroeger behandelde vaste lichamen en vloeistoffen. Wij noemen het een gasvormig lichaam.

Het gasvormig lichaam, dat het voorwerp van onze proefneming uitmaakte, bestond uit lucht, die, vóór de afsluiting van de buis, deel uitmaakte van den dampkring.

Wij weten dus nu van de stof zooveel, dat z\j in drie verschillende toestanden: den vasten, den vloeibaren en den gasvormigen kan voorkomen. Aan deze toestanden geeft men den naam van a ggr e g ati e-toestanden, dat zooveel als j/roepemngw-toestanden beteekent, omdat men — zooals later nader uiteengezet zal worden — het verschil tusschen deze toestanden toeschrijft aan eene verschillende groepeering, en een verschillend gedrag, der samenstellende deelen: de moleculen.

!()!{. Is uit de vorige proef gebleken, dat het in de buis opgesloten gasvormig lichaam eene drukking tegen den wand uitoefent, die toeneemt, naarmate z\jn volumen weder grooter wordt, — w^j willen nu onderzoeken, of dat lichaam niet reeds eene drukking op den wand van het vat uitoefent, nog vóórdat de hand op den zuiger drukt en aldus het volumen van het lichaam verkleint.

Wij gebruiken daartoe, in plaats van eene buis met stevigen wand, een vat met slappen wand, bijv. eene dierlijke blaas. Zulk eene blaas kan lucht bevatten

134

en toch ingedeukt zijn, \viiiirb\j de vnuig rijst, of in zulk een geval het ingesloten gasvormig lichaam wel eene drukltiug tegen den buigzamen wand uitoefent ?

De ingedeukte blaas wordt, goed afgesloten, zoodat er niets uit of in kan, op de plaat eener luchtpomp geplaatst en vervolgens met eene glazen stolp overdekt ')

Wij hebben nu met twee ingesloten gasvormige lichamen te doen, een (A) binnen de blaas en een (li), om deze heen, binnen de stolp besloten.

Oefent nu het gasvormig lichaam (A) in de blaas eene drukking uit tegen den binnenwand der blaas, dan moeten wij wel aannemen, dat het haar omringende gasvormig lichaam (B) eene even groote drukking tegen haar buitenwand uitoefent, daar de blaas in den toestand van evenwicht verkeert.

De gebezigde luchtpomp is zoodanig ingericht, dat de ruimte, waarin zich het gasvormig lichaam IJ bevindt, vergroot kan worden, zonder dat er iets in of uit gaat.

Vergrooten wij nu die ruimte door een enkelen zuigerslag, dan zien wij de blaas onmiddellijk zwellen.

Met ile onderstelling, dat het gasvormig lichaam A geen drukking uitoefende tegen den wand tier ingedrukte blaas, zou het moeilijk zijn, van het verschijnsel rekenschap te geven. Nemen wij echter het bestaan eener drukking aan en houden wij daarbij vast aan het uit de proef van § 162 afgeleide beginsel, dat de door een ingesloten gasvormig lichaam uitgeoefende drukking grooter wordt, wanneer zijn volumen afneemt en omgekeerd kleiner, wanneer zijn volumen grooter wordt, dan ligt eene redelijke en eenvoudige verklaring voor de hand.

Wij hebben dan nog slechts aan te nemen, dat het gasvormig lichaam 1? zich over de aangeboden grootere ruimte verbreidt, zoodat zijn volumen gel ij k blijft aan dat der beschikbare ruimte van het vat.

De blaas was in evenwicht onder de beide drukkingen der gasvormige lichamen A en B, respectievelijk tegen den binnen- en den buitenwand uitgeoefend. Vergrooting van het volumen van B doet de drukking tegen den buitenwand verminderen en het evenwicht is verbroken; de drukking tegen den binnenwand iieeft nu de overhand en de blaast zwelt. Het zwellen der blaas sluit in zich, dat het volumen van het lichaam A grooter en de daardoor uitgeoefende drukking tegen den binnenwand der blaas gaandeweg kleiner wordt. De laatstgenoemde drukking nadert dus meer en meer tot die op den buitenwand en er ontstaat een nieuwe toestand van evenwicht.

De voorgaande beschouwing is in overeenstemming met alles, wat waarneming en proefneming ons van de gasvormige lichamen leeren. Daarom gaan wij bij onze volgende beschouwingen uit van de Grondstelling:

Een in een vat opgesloten gasvormig lichaam vult steeds de gc-heelt' beschikbare ruimte cn oefent te allen tijde op alle punten van den vaat wand eene drukking u it.

hJ-l. De drukking, die een gasvormig lichaam tegen den wand van een vat uitoefent, werd vroeger vergeleken met de werking eener «gespannenquot; veer,

1) Wanneer men deze proef doet, wordt de onderrand der stolp altijd met wat kaarsvet of reuzel aangestreken om de afsluiting, zooals het heet, „liiclitdichtquot; (— hermetisch) te maken.

135

ouder welker invloed een voorwerp, dat hare „ontspanningquot; belet, eene drukking ondervindt.

Hoewel de natuurkmuligen deze voorstelling van tie oorzaak der drukking door eene andere — waarover later meer vervangen hebben, is toch de vroeger er voor gebezigde uitdrukking „.spanningquot; bewaard gebleven.

Wanneer wij nu in het volgende het begrip spanning als eene „grootheidquot; invoeren, zullen wij ons daarbij houden aan de

Ukpalinu. 1° De spanning van een gasvormig lichaam is evenredig aan de op de éénheid van oppervlakte uitgeoefende drukking.

2° Een gasvormig lichaam bezit de „éénheid van spanningquot;, ais het op do éénheid van oppervlakte (l cM.²) van een vlakken wand de éénheid van drukking (1 dyne) uitoefent.

Is de numerieke waarde der op I cM.² uitgeoefende drukking gelijk aan lt;i, dan is die der spanning dus eveneens gelijk aan a.

105. Onder de gasvormige lichamen is er één — het grootste, dat wij op aarde kennen —, dat, zonder in een vat opgesloten te zijn, toch bijeen blyft. Dit lichaam is de dampkring der aarde. Dat dit gasvormig lichaam zich hierin van alle andere gasvormige lichamen — die uit den aard der zaak van betrekkelijk kleine afmetingen zijn — onderscheidt, laat zich verklaren uit de werking dor zwaartekracht, aan welker invloed de gasdeeltjes zoo goed als alle andore stofdeeltjes onderworpen zijn.

Hij de proef met de zwellende blaas van § 1(33 ziet men, zoolang de pomp nog niet gewerkt heeft, door het eenvoudig afsluiten of oplichten van de stolp geeu de minste verandering ontstaan in den evenwichtstoestand der blaas.

Wij maken hieruit de gevolgtrekking, dat de „spanningquot; van het afgesloten gasvormig lichaam gelijk is aan die der vrije buitenlucht op het tijdstip, dat deze er van werd afgesloten.

De grootte der door den dampkring op eene gegeven oppervlakte uitgeoefende drukking bepaalt men op de volgende wijs.

Eene aan haar eene einde gesloten glazen buis van ongeveer 1 M. lang wordt geheel met kwik gevuld. Daarna wordt de opening met den vinger afgesloten en de buis omgekeerd; terwijl het met den vinger gesloten einde onder het, in een afzonderlijk bakje aanwezige, kwik gedompeld wordt. Neemt men nu den vinger weg, dan daalt het kwik in de buis een paar decimeters en blijft op eene hoogte van ongeveer 7(} cM. (soms iets meer, soms iets minder) boven den kwikspiegel van het bakje staan (vgl. fig. 77).

Daar het kwik in de buis en dat in het bakje één samenhangend vloeistof-lichaam is, dat in den toestand van evenwicht verkeert, moeten onderling gelijke oppervlakte-doelen, die in dezelfde horizontale laag cd