V,

'

■

. '

- f . ■ ■

v,. , ; v •'

-■

mm

.

Uitgegeven door de Centrale Commissie voor de Statistiek.

y.

Sterftetafels voor Nederland,

BliWERKT DOOK

Dr. A. J. VANquot; PESO tl.

Hoogleeraar te Amsterdam, lid dor Centrale Commissie voor de Statistiek.

Tables de mortalité pour le Royaume des Pays-Bas,

CONSTRUITUS PAK

JI. Ie l»r. A 1. V V\ PESCII,

Professeur a 1'Univorsitó d'Amstordam, Membie de lu Commission Centnilo do Statistique.

's G R A V E N H A G E ,

VAN WEELDEN amp; MINGELEN. 1897.

V O O 11 B E R T C II T.

Ingevolge een verzoek van Zijne Excellentie den Minister van Binnenlandsche Zaken, waaraan de Commissie met ingenomenheid voldoet, worden de hier volgende Sterftetafels voor Nederland over het tijdvak 1880-—1890, in opdraeht van dit Departement bewerkt door het lid der Centrale Commissie voor de Statistiek, den Hoogleeraar Dr. A. J. van Pesch, opgenomen in de volgreeks de.' Commissie: „Bijdragen tot do Statistiek van Nederland.quot;

Eene afzonderlijke uitgave waarvan de inleiding in de Pransehe taal is gesteld, ziet tevens het licht; in verband daarmede is ook bij de hoofden der tabellen eene Pransehe vertaling gevoegd.

's Guavenhage, Maart 1897.

Namens de Centrale Commissie voor de Statistiek, W. A. VAN VERSCI1UER.

Voorzitter.

C. A. VERRIJN STUART,

Scciotnris.

I IsT H O TJ XD.

Biz.

Voorbericht......................^

Inleiding . ..................... 9

Eerste Hoofdstuk. Overzicht der geheele bewerking........14

Tweede Hoofdstuk. Controle der grondeijfers...........23

Derde Hoofdstuk. Afleiding van de waarsehijnlijkste waarde der sterftekansen als elke leeftijd op zich zelf beschouwd wordt . 28 Vierde Hoofdstuk. Onderlinge vergelijking der sterftekansen van opeenvolgende leeftijden . . ..........37

T -A- 13 E Ij XJ IB HST.

Tabel Iff. Uitkomsten van twee volkstellingen benevens de geboorten in

het tusschengelegen tijdvak. Mannen.........n

Tabel \h. Dito. Vrouwen............. . . m

Tabel II'/. Overledenen gerangschikt naar leeftijd en geboortejaar. Mannen, iv

Tabel Hè. Dito. Vrouwen.................vin

Tabel lila. Vergelijkende uitkomsten der volkstelling op 31 December

1889 en der berekening. Mannen . . .......xn

Tabel 1116. Dito. Vrouwen............. • ■ • • xiii

Tabel IVquot;. Sterftekansen. Mannen , . ....... . xiv

Tabel IV6. Dito. Vrouwen..... .... ... xxv

Tabel Va. Sterftekansen der eerste jaren. Mannen..........xxxvi

Tabel Vi. Dito. Vrouwen..... . ..........xxxvu

Tabel Vla. Sterftekansen. Uitkomsten van do combinatie der AInnmn. . xxxvm

Tabel Vlb. Dito. Vrouwen............... . . xi;

Tabel VIIrlt;. Sterftetafel Gebeele bevolking, Mannen .... XLH

Tabel VII/). dito dito Vrouwen. . • . . . . xliii

Tabel VTIIf/. Mannentafel der twintig steden, over het tijdvak 1880- 1890. xnv

Tabel VIII/' Vrouwentafel „ „ „ n r - » « ^XLV-

STEBFTETAfELS VOOR NEDERLAND

A F (J i; I, li 1II UIT DE ff AABNEMINOUN

OVER HET

txctjd'vjl.is: isso isso,

DOOR

Dn. A. J. VAN P E S C H,

HOOGLEERAAR TE AMSTERDAM,

I N L E T 1) T N il

De sterftetufels, die hierbij den lezers worden aangeboden, zijn afgeleid uit de volkstellingen van 31 December 1879 en 31 December 1889 en uit de opgaven van don Burgerlijken Stand van liet tusschen gelegen tijdvak. Zoowel de methode, volgens welke zij zijn samengesteld, als de vorm waarin de uitkomsten worden gepubliceerd, zijn geheel gelijk aan die der in 1885 uitgegeven tafels over de vorige tienjarige periode 31 December 1869/79, maar verschillen in allerlei opzichten van alle vroeger gegeven tafels. De grootere nauwkeurigheid dor statistieke opgaven en de verbeterde inrichting van deze eischten reeds lang dat een goed in elkaar sluitend systeem van berekeningen werd uitgedacht, waarbij de regels der waarschijnlijkheidsrekening naar behooren op de vervaardiging van sterftetafels werden toegepast. Tk heb dit bij do vorige tienjarige periode gedaan en toen een en ander nauwkeurig toegelicht, zoodat daaromtrent des noods naar de vroegere uiteenzetting kon worden verwezen. Maar nu de tafels door de Centrale Commissie voor de Statistiek worden uitgegeven, is het wenschelijk geacht de goheele afleiding nog eens aan te geven, omdat op deze wijze ook bij volgende perioden naar de vroegere uitgave der Centrale Commissie voor de Statistiek zelve zal kunnen worden verwezen.

Ofschoon bij de nieuwe methode do wiskunde, met name de Waarschijnlijkheidsrekening, een veel grooter rol vervult dan dit vroeger het goval was, zal men, door hetgeen aangewezen wordt in deze Inleiding en liet Overzicht der bewerking, niet veol moeite hebben de redeneeringen te volgen en een goed gezicht te krijgen op de afleiding in haar geheel. Daartoe heb ik in de verklaring der bewerking zorgvuldig vermeden teekenschrift te gebruiken waar dit niet noodig is, en zelfs de fraaie en niet ingewikkelde voorstelling van Dr. Zeuner weggelaten, daar ik die niet volstrekt noodig had. De lezers, die wel eens werken van Dr. Knapp, Dr. Becker e. a. ingezien bobben en daarbij behalve een aantal integralen, ook grootheden aantroffen, voorgesteld door letters, die door vijf andere letters als satellieten omgeven zijn, waarvan elk wijst op eene bijzondere omstandigheid de eerste grootheid betreffende, zullen hier dergelijke volkomen onbruikbare vormen niet vinden.

Het is toch niet noodig zulke vreemde samenstellingen te gebruiken, waar men eigenlijk alleen te doen heeft met do verhouding

d

T

dat is de verhouding tusschen het aantal levenden van een bepaalden leeftijd en liet getal dergenen, die in den loop van een jaar uit deze overlijden (1).

(1) Men noemt deze verhouding de sterftekans en deze naam is daaraan reeds vroeg gegeven. In later tijd heeft men bedacht, dat het tijdsverloop van één kalenderjaar, dat hij deze verhouding voorkomt, niet geheel bij den naam past en dat er sprake kan zijn van eene kans, waarbij niet zulk een willekeurig tijds-

— 10 —

Hut is waar, dat do statistieke opgaven er vroeger niet toe leidden otn deze ver-houding juist op te schrijven, daar men wel groepen levenden verkreeg, maar dezen ten eerste niet allen denzelfden ouderdom hadden, en daarenboven de dooden uit deze groepen van levenden niet bekend waren. Dr. Knapp komt de groote verdienste toe, dit duidelijk uitgemaakt en gehoor verkregen te hebben. Maar hiervoor is de wiskunstige omslag, dien hij begonnen is in te voeren, volstrekt niet noodig geweest. Ten bewijze hiervan motfo strekken, dat ik in mijn stukje: „Iets over iS7ef/V«lt;a/etequot;, hetgeen in 1866 uitkwam en dus gepubliceerd is vóór hot bekende werk van Dr. Knapp „ Ueber die Ermitllm(j der Sterblichkeitquot;, dezelfde onderscheiding gemaakt en de verbetering aangewezen heb, die in de statistieke opgaven aan te brengen was, terwijl daarbij geen wiskunstige beschouwingen to pas zijn gekomen. Ik bedoel de verandering in de sterfte-opgaven, zoodat niet meer alleen de leeftijd van den overledene, maar ook het geboortejaar opgegeven wordt. Deze wijziging, die, volgens eene der aangenomen resolutiën van het 7^dl! Statistisch Congres, in 1809 in den Haag gehouden, noodzakelijk geacht werd, is sedert dien tijd in Nederland ingevoerd, zoodat ons land er met voldoening op kan wijzen, dat hier de noodzakelijkheid van deze belangrijke verbetering het eerst is aangewezen, en zij ook hier het eerst is ingevoerd. Door deze wijziging heeft men een gezonden grondslag verkregen, terwijl tegelijkertijd de middelen gevonden zijn, om beter dan vroeger tot eene controle te komen der cijfers, waarmede men moet werken.

Het is n. 1. stellig van belang de theorie der sterfte-statistiek te volmaken, maar van nog meer gewicht is het do opgaven dor statistiek met oordeel te gebruiken, hetgeen niet altijd het geval is geweest. Er is tot uu toe bijna geen sprake geweest van cent; behoorlijke controle der cijfers, om na te gaan, welke nauwkeurigheid in de uitkomsten kan bereikt worden. Evenmin heeft men onderzocht, welke de invloed is van het gebruiken van statistische opgaven, die niet bepaald voorstelden hetgeen de theorie eischte, en dientengevolge is dan eens op te hoogen toon eene verbetering der statistiek gevraagd, maar zijn ook dikwijls blijkbaar onjuiste opgaven gebruikt, alsof zij volkomen betrouwbaar waren. Ik heb deze gebreken vermeden en in de eerste plaats getracht eene doorloopende controle op de cijfers te verkrijgen, om af te leiden wat ze kunnen geven. Verder heb ik niet geaarzeld opgaven te gebruiken, hoewel zij niet voorstelden wat eigenlijk gewenscht was; ik deed dit echter alleen dan, wanneer ik door opzettelijk onderzoek tot het besluit kon geraken, dat do fout die daardoor kan worden gemaakt, stellig veel kleiner was dan de graad van nauwkeurigheid, dien men ook met de juiste opgaven kan bereiken.

En eindelijk heb ik bij de berekening aan de Waarschijnlijkheids-rekening haar recht-

verloop voorkomt. Noemt men 5 het aantal dooilen van bepaalden leeftijd, dat uit een onbepaald groote groep levondou in het eerste n¹¹quot; deel van een jaar valt, dan zal, wanneer n hoe langer hoe grooter wordt,

limiet n . $

ï

zijn, hetgoon men tegenwoordig tau.r instantané de mor tali té heet. Dit begrip is bij verschillende onderzoekingen van groot belang; maar bij hot opmaken van stedtetafels heeft het geen zin van deze uitdrukking te willen uitgaan. Eene sterftetafel — of als men wil eene levenstafel — geeft toch aan hoevelen van b. v. 100 000 pasgeborenen er elk volgend jaar nog in leven zjjn, en om zulk eene tafel saam te stellen is niet anders noodig dan op eiken leeftijd te weten welk procent dezer levenden binnen één jaar zal overlijden, en dus juist do verhouding, die in deu tekst genoemd wordt.

— 11 —

matig aiindcol gegeven. Hierdoor zal de lezing misschien wat bemoeielijkt worden; liet ia echter meer dan tijd dat dit gebeurde, daar d(gt;zo rekening als geschapen schijnt om bij de sterftotafcls dienst te doen, en liet alleen te wijten ia aaa het weinige vertrouwen in de grondcijfers gesteld, dat menig statisticus, zelfs als hij wiskunstenaar was, wel bjj zijne afleidingen de kansrekening noemde, maar die volstrekt niet durfde toepassen.

Reeds lang zijn er van regeeringswege hier te lande sterftetafels uitgegeven en heeft Mr. M. M. von Baumiiaukr, in leven lieforendaris hij Binnenlandsche Znken, zich daaromtrent verdienstelijk gemaakt. Zijne eerste tafels zijn verschenen in 1856 en zijn afgeleid uit de periode 1840/51 onder den titel: „Bevalkingstafels, twaalfjarige Staten der geboorte- en sterfgevallen; Levens- en Sterflewet voor het Koningrijk der Nederlandenquot;. Do periode van UcaaJf jaren hij deze tafels gekozen had ten doel den invloed der cholerajaren 1848 en 1849 eenigszins te neutraliseoren.

Deze uitgaaf bevat een overgroot aantal sterftetafels (meer dan 250); voor het Rijk; voor de 87 gemeenten, die vroeger als steden bekend waren, gezamenlijk; voor de overige gemeenten bij elkaar gevoegd; verder voor iedere provincie met dezelfde onderscheidingen en nog afzonderlijk \'oor elk der 17 grootere steden, en al deze tafels voor mannen en vrouwen afzonderlijk en voor beido geslachten vereenigd. Daarbij komt het grooter deel der tafels voor in vier bewerkingen; oene volgens de methode van IIallet, een naar dezelfde methode, maar met ceno verbetering der dooden daar later aan gegeven, eene met behulp van volkstelling en doodenopgaaf, dus volgens de Wargen-^w'sche methode, en nog eene waarbij diezelfde methode gebruikt is, maar mot eene verbetering voor de eerste levensjaren. Het samenstellen van al deze tafels is een kolossaal werk geweest; een weinig kritiek zou den arbeid die voor elke tafel vorricht is zeer vereenvoudigd hebben, en het aantal tafels, dat nu bepaald afschrikkend gewerkt heeft, tot een veel kleiner bedrag hebben doen dalen.

Na do volkstelling van 31 December 1859 zijn door den heer vox Baumhauer nieuwe tafels bewerkt over het tienjarig tijdvak van 1850/50, welke in den 14^cn en 15^en jaargang van het Statistisch Jaarboelc van het Koningrijk der Nederlanden zijn opgenomen. Het aantal tafels is daar werkelijk veel minder geworden; men vindt or van beide geslachten tafels voor het gohecle Rijk, voor elk dor 17 grootere steden en voor iedere provincie afzonderlijk, en daarenboven voor de groep der vier provinciën waarde sterfte betrekkelijk hot grootst geweest is, en voor de overige zeven provinciën. Daarbij komen er ook nog tafels van gehuwden in voor. Bij deze tafels is enkel de Wargen-im'sche methode toegepast.

De werkkracht van den heer von Baumhauer was verwonderlijk, en de methoden, die hij volgde met hier en daar door hemzelf aangebrachte verbeteringen, quot;konden do vergelijking met hetgeen in denzelfden tijd in andere landen verricht is, zeer goed doorstaan. Moge het waar zijn, dat hij door te veel te hebben willen geven eenige statistici van de leer der sterfte heeft afgeschrikt, andere zijn door zijn voorbeeld opgewekt om het belangrijk vraagstuk der sterfte in Nederland tot een onderwerp van zorgvuldige studie te maken en de wijze aan te geven, waardoor het kan worden opgelost.

Nadat op 1 December 1869 de vijfde tienjarige volkstelling gehouden was, zijn

— 12 —

■wederom sterftetafels opgemaakt met behulp der uitkomsten over de periode 1860/69, en wel onder leiding van Jhr. Mr. G. de Bosch Kemper, in den aanvang alleen voor de geheele bevolking van Nederland, gescheiden naar de geslachten, en volgens de vroegere methode. In 1878 zijn evenwel ten gevolge van overwegingen van praktisehen aard, en na overleg met deu toenmaligen adviseur voor Verzekeringswezen Dr. P. J. Stamkart, nog twe3 sterftetafels opgemaakt voor mannen en vrouwen, getrokken uit de gezamenlijke opgaven der 17 grootere steden van ons land. Deze zijn wederom onder leiding van den heer de Bosch Kejiper opgemaakt, maar nu volgens eene door mij ontwikkelde methode, die in beginsel overeenkomt met de later door mij gevolgde handelwijze, maar dit nu slechts bij benadering kon doen, daar eerst na 1870 en de leeftijden èn do geboortejaren dor overledenen opgegeven zijn. Daarna zijn de tafels van de geheele bevolking ook nog eens met behulp der verbeterde methode bewerkt en deze tafels benevens de vooornaamste tafels, die vroeger door den heer von Bauw-iiauer afgeleid waren, komen allo voor in de „ Bijdragen tot de A.hjemeene Statistiek van Nederland; Sterftetafelen over 1840—51, 1850—59 en 1860—69quot;, uitgegeven door het Departement van Binnenlandsche Zaken in 1878.

Na 1880 was de Afdeeling Statistiek aan hot Ministerie van Binnenlandsche Zaken opgeheven, en bestond er derhalve gevaar, dat juist nu gedurende eene tienjarige periode de belangrijke verbetenng in de opgaven der dooden in werking was geweest, geen sterftetafels over deze periode zouden worden opgemaakt. Ik heb mij daarop tot de Regeering gewend met verzoek nijj de noodige bescheiden (ook die over de 20 grootere steden van ons land) ten gebruike te geven, en zijn mij deze daarop al spoedig verstrekt. Daarop heb ik de nieuwe straks genoemde methode verder volmaakt en met behulp van deze, zes sterftetafels afgeleid over do periode 1870/80, nl. voor de geheele bevolking, voor de 20 grootere steden en voor de „Overige bevolkingquot; telkens voor mannen en voor vrouwen afzonderlijk. Die tafels zijn uitgegeven door de Vereeniying voor Statistiek en komen voor in de „Bijdragen van het Statistisch Instituut quot; voor 1885.

Niet enkel de methode van afleiding, maar ook de vorm der publicatie is hierbij een geheel andere geworden en zijn de uitkomsten zoo gegeven, dat, indien op deze wijze wordt voortgegaan, de resultaten van opvolgende perioden behoorlijk met elkaar in verband te brengen zijn, zoodat na nog eenige tienjarige perioden men werkelijk de sterfte- en levenskansen van achtereenvolgende generatiën zal kunnen bepalen en vergelijken. Tot nu toe was dit niet mogelijk en kon men alleen tafels opmaken over gelijktijdig lerenden, die dus uit zeer verschillende generatiën stammen.

Het belangrijkste vraagstuk, waarvan de opvolgende volkstellingen en de gegevens van den Burgerlijken Stand het antwoord zullen kunnen geven, nl. of de levenskracht der natie in haar geheel op deu duur gewijzigd wordt en toe- of afneemt, zal door de nieuwe wijze van publiceeren op den duur kunnen worden beantwoord.

Eene afzonderlijke uiteenzetting dezer nieuwe methode is hier niet noodig daar, zoo als reeds opgemerkt is, bij de nu vervaardigde tafels over de periode 1880/89 geheel dezelfde methode is gevolgd en deze in do opeenvolgende hoofdstukken van dit werk uitvoerig zal worden behandeld. Het eenig onderscheid met de vorige tienjarige periode is daarin gelegen dat toen zes en nu slechts twee tafels worden gegeven nl. van mannen en vrouwen betreffende de geheele bevolking van Nederland. Het is toch bij de vorige

afleiding gebleken, dat het aantal verhuizingen van en naar du groote steden zoo sterk is, dat er geen sprake kan zijn om uit de tafels der 20 grootere steden op den duur tot de kennis te kunnen komen der afsterving van een bepaalde generatie van personen. Daarom zijn ditmaal de tafels der 20 grootere steden niet op dezelfde wijze bewerkt en dien tengevolge ook de tafels der „Overige Bevolkingquot; vervallen. De tafels der twintig grootere steden zijn trouwens reeds in 1892 volgens een eenvoudige methode door mij afgeleid en uitgegeven. Zij zijn aan het eind van dit werk opgenomen.

Dit korte overzicht van hetgeen in ons land voor het onderzoek dor algemeene sterfte- en levenskansen verricht is, wijst aan, dat na den krachtigen stoot, door Mr. von Bauiiiiaueb aan dit onderzoek gegeven, het vraagstuk vrij spoedig in behoorlijken vorm is gebracht. Men moge hot betreuren, dat do perioden 1840—69 niet met de volgende geheel verbonden kunnen worden, ook omdat do verbetering in de opgaven der overledenen — waarvoor Mr. von Baumhauer trouwens sterk geijverd heeft — toen nog niet was opgenomen en or dus dertig jaren verloren zijn; maar men mag niet vergeten, dat dertig jaren nog slechts een deel vormen van een menschonleoftijd en dat het hier een vraagstuk betreft, waarbij een monschenleeftijd eigenlijk de tijdseenheid is. Zoo beschouwd zijn dertig jaren nog niet te veel, als na dien tijd het vraagstuk, dat men wil beantwoorden, volkomen juist gesteld is (1).

Do laatste opmerking leidt er toe; om op het groote belang te wijzen, dat de nu samengestelde tafels door de Centrale, Commissie voor de Statistiek worden uitgegeven. Bij onderwerpen, ■waarbij, zooals straks gezegd is, een menschenleven do tijdseenheid is, is een esprit de suite noodig, die op geene andere wijze bereikt kim worden, dan wanneer eene regeoringscommissie de zaak ter harte neemt.

Amsterdam, 1897.

A J. VAN PE8CH.

(1) Het was eerst mijn voornemen — ook naar aanleiding van eone opmerking, door de Centrale Commissie voor de Statistiek gemaakt — om aan de volgende hoofdstukken er een toe te voegen, waarbij voorde twintigjarige periode 18TO;!JO reeds een begin gemaakt, werd niet de tafels voor dezelfde generatie van personen. Hij liet uitwerken evenwel bleek het mij, dat zelfs voor eene proeve deze periode nog te kort was, daar men niet van de geboorten van een enkel kalenderjaar moot uitgaan, maar eenige (bijv. vijf) jaren bij elkaar moet nemen, en dan komt men nu slechts tot aan den vijftienjarigen leeftijd. De reden hiervan is dat de door mij in Hoofdstuk 111 afgeleide stelling: dat elk kalenderjaar zijn eigen sterftekansen heeft, zeer sterk geldt bij de eerste levensjaren, en dat dus juist bij het eerste gedeelte der tafels een sterk storende invloed optreedt.

E E R S T E 11 O O F D S T U K.

Overzicht der bewerking.

§ i-

Hot was Hallby die het eerst uit behoorlijk ingerichte waarnemingen afleidde, dat de sterfte zeer regelmatig naar den leeftijd verloopt Zijne beschouwingen over dit onderwerp komen voor in de „Philosophical Transactionsquot; voor de jaren 1693 en 1694 en hebben tot grondslag de opgaven der dooden van eiken leeftijd der stad Breslau gedurende het tijdperk 1687 tot 1691.

De methode, volgens welke Halley zijne tafel heeft afgeleid, kan alleen dan juiste uitkomsten geven, wanneer eone stationnaire bevolking ondersteld wordt, waarbij eene sterftetafel geheel gelijk loopt met eene bevolkingstafel; het is dan ook duidelijk zijne bedoeling geweest met zijne tafel zoowel eene sterfte- als eene bevolkingstafel te geven. Bij zulk een stationnairen toestand blijft het aantal geboorten (gemiddeld) elk jaar hetzelfde, hebben er geen verhuizingen plaats en is de sterfte ook elk jaar even groot en (gemiddeld) gelijk aan het aantal geboorten.

Halley heeft duidelijk uitgesproken, dat zulk een toestand (ten minste gedurende een menschenleeftijd) moot bestaan hebben om te kunnen handelen, zooals hij deed, en geeft de redenen op waarom hij meent, dat bij de bevolking van Breslau aan deze eischen voldaan is geworden. Zijne navolgers hebben dit zeer dikwijls niet ingezien en de Halley'¹ sche methode is gedurende meer dan 150 jaren toegepast, alsof zij in alle gevallen te gebruiken ware. Terwijl deze geleerde dus den eersten stoot beeft gegeven om tot de kennis dor sterfte te geraken, heeft zijne methode meer kwaad dan goed gedaan.

quot;Wanneer men namelijk do Halley'fichc methode toepast op eene niet stationnaire bevolking, krijgt men steeds eene zeer grootc afwijking van de waarheid en bij toenemende bevolking steeds veel te groote sterfte. Hieraan is bet voor een groot deel toe te schrijven, dat do in vorige tijden opgemaakte sterftctafels voor de goheele bevolking van eene stad of van een land eone zooveel meer ongunstige levenskans schenen te geven, dan die van bepaalde groepen van personen of van particuliere Maatschappijen. De eersten werden steeds afgeleid met behulp der methode van Halley, terwijl de bijzondere tafels alleen door werkelijk gedane waarnemingen konden gevonden worden. Onze landgenoot quot;Willem Kersseboom heeft van deze bijzondere tafels do eerste samengesteld uit de resultaten verkregen bij een 50 000-tal hjfrentetrekkenden; vandaar dat zijne tafel van levenskracht zooveel grooter levenskans geeft dan alle tafels volgons de Hallci/sohc methode opgemaakt.

Op zichzelf was voor die grootere levenskans een reden te bedenken, daar men voor de bijzondere tafels uitgezochte personen heeft, die of tot do meer gezonden, óf tot

do ineor gegoeden behoorden, terwijl bij de algemoene tafels zieken en gezonden, armen en rijken te zamen genomen werden. I)U geeft ook werkelijk verscliil, dat echter aanmerkelijk vergroot werd door de fouten der slecht toegepaste Hallei/snAxG methode. Daardoor is er over het verschil van de sterfte der verschillende klassen een scheef oordeel ontstaan, dat zeer algemeen verbreid is en zelfs nu nog bij zaakkucdigen onbewust dikwijls tot slechte coneliisiëii voert.

In het midden der voorgaande eeuw is door Wargenïin de juiste methode, om voor groote steden of eene geheele landstreek tot de kennis der afsterving te geraken, aangegeven en gevolgd. Op aansporing van de Koninkl. Academie van Weienschappen in Zweden werd in dit land, van 1749 af, ieder jaar het aantal dooden van eiken ouderdom geteld, terwijl om de drie jaren „Standstabellenquot; werden ingevuld, waarin alle levenden, gescheiden naar ouderdom en geslacht, werden opgegeven. Zooals AVauge.stin opmerkt, kon uit deze opgaven de sterftekans bij eiken leeftijd gevonden worden, door de verhouding van het aantal levenden tot dat dor dooden van bepaalden ouderdom op te maken en daaruit op eenvoudige wijze eene stert'tetafel worden gevormd, d. i. eene tafel, waarbij uit een zeker aantal geborenen, bijv. 100 000, aangegeven wordt, hoeveel van deze er elk volgend jaar nog in loven zullen zijn. Dit is door WaröenïIN niet alleen opgemerkt, maar ook uitgevoerd.

Deze methode die liet juiste beginsel bevat om algemeene sterftetafels te construeeren, heeft niet spoedig burgerrecht verkregen, wijl men daarvoor niet alleen noodig had de kennis van het aantal overledenen van eiken leeftijd, maar ook die van het aantal levenden van iederen ouderdom, terwijl men voor de Hallei/scho methode kon volstaan niet de kennis der dooden. Dit mag natuurlijk genoemd worden in een tijd, waarin men de mogelijkheid van algemeene volkstellingen nog niet bevroedde. Minder natuurlijk is het echter dat zelfs groote statistici voortgegaan zijn mot volgens de J[alley\c\\e methode te werken, toen reeds verscheidene algemeene volkstellingen met goed gevolg hadden plaats gehad, en bijna onbegrijpelijk mag liet genoemd worden, dat do door quot;Wakgentik als zoo natuurlijk aangegeven methode zoo verloren was gegaan, ten minste op het vasteland, dat deze door Moser in zijne „Gesetze des Lehensdauersquot; op uieuvv gevonden moest worden

Do Waryentin'achc methode bestaat dus daarin, dat men voor eiken leeftijd opmaakt de sterftekans

d

T

door voor l te nemen het aantal levenden van bepaalden leeftijd, dat de volkstelling heeft opgeleverd, en voor d de dooden, die uit do opgaven van den Burgerlijken Stand volgen in het jaar, waarin do volkstelling gehouden is.

Onderzoekt men de eigenlijke beteekenis van de op deze wijze gevonden getallen, zoo blijkt spoedig, dat de brenk slechts bij benadering de sterftekans van den genoemden leeftijd kan geven. Wat den noemer betreft die hot aantal levenden voorstelt heeft men te doen mot een groep van personen, die onderling bijna een jaar in leeftijd kunnen verschillen; indien het b. v. de twintigjarigen voorstellen, zoo zijn zij tusschen 20 en 21 jaar oud.

Het is derhalve een groep van personen wier sterftekans grooter moet zijn dan die van een twintigjarige en kleiner dan die van personen die een jaar ouder zijn. Indien do volkstelling op 31 December heeft plaats gegrepen —en deze datum wordt tegenwoordig gewoonlijk gekozen •— zoo zullen de personen van zulk een groep allen in hetzelfde kalenderjaar geboren zijn, of: allen hetzelfde geboortejaar hebben. Op deze wijze worden de groepen, die in den noemer voorkomen, dus het best gekarakteriseerd.

Wat den teller betreft, valt spoedig in te zien, dat de twintigjarige dooden (om bij hetzelfde voorbeeld te blijven) uit het jaar dat op de volkstelling volgt, niet allen uit de groep der levenden stammen, die door den noemer aangegeven zjjn. Er zullen toch in het jaar, dat op de volkstelling volgt, personen overleden zijn, die bjj de volkstelling nog slechts 19 jaar oud waren en in den loop van een jaar eerst 20 jaar oud zijn geworden en kort daarna overleden. Daarentegen zijn er personen, die op liet oogenblik dor volkstelling twintig jaar waren, in den loop van een jaar eerst jarig geweest en daarna gestorven, zoodat zij onder de dooden van 21 jaar worden opgegeven.

De opgegeven 20 jarige dooden behooren dus niet allen tot de groep, die in den noemer voorkomt en dit is hot hoofdgebrek in de Wargeniin'sc.hc methode, zooals die vóór 1870 is toegepast. Opdat do methode eene toekomst zal hebben, moot dit theoretisch gebrek weggenomen worden, en dit kan enkel geschieden door eene wijziging in de opgaven der dooden, die dan ook hoeft plaats gegrepen.

Nu is door Dr. Knapp (en iets vroeger door mij) voorgesteld de dooden niet enkel naar den leeftijd maar daarenboven naar het geboortejaar te ordenen. Is dit geschied, zoo stelt hij voor, op de volgende wijze tot eene sterftetafel te komen. Men gaat uit van het aantal geboorten in een zeker kalenderjaar en vermindert dit mot de som der dooden, die uit deze óf in ditzelfde óf in het volgende kalenderjaar op nMZ-jarigen leeftijd overlijden. Daardoor verkrijgt men het aantal, dat den vollen leeftijd van één jaar bereikt. Vermindert men dit getal met de éénjarige dooden, afkomstig uit hetzelfde geboortejaar en die óf in liet volgende óf in het daaraanvolgende kalenderjaar voorkomen, zoo komt mon tot het aantal levenden, dat den vollen leeftijd van twee jaren bereikt. Men kan op dezelfde wijze voortgaan en de methode is theoretisch geheel juist.

Men heeft wel is waar de opmerking gemaakt dat, behalve bij lagere leeftijden, door de verhuizingen deze rekening geheel onbetrouwbaar zou worden, doch deze opmerking, die door Dr. Knapp zelf niet voldoende weerlegd schijnt, is geheel onjuist, daar men bij deze methode zeer goed de uitkomsten der volkstollingen kan gebruiken. Immers, wanneer men gevonden heeft dat er, bijv. op 31 December 1870, volgens de volkstelling 2-1 401 twintigjarige mannen in eene bepaalde landstreek aanwezig waren, zijn dezen allen in 1850 geboren. Wanneer men dus dit getal vermeerdert met de dooden die in het jaar 1870 ook uit het geboortejaar 1850 gevallen zijn, verkrijgt men een aantal van degenen, die uit de generatie van 1850 den leeftijd van 20 jaren bereikt hebbeu. Wordt dit getal nu weder verminderd met de dooden die in 1870 en 1871 op 20 jarigen leeftijd overlijden en 1850 tot geboortejaar hebben, zoo verkrijgt men het aantal 21-jarigen van diezelfde generatie, en kan de sterftekans van een 20-jarigo opgeschreven worden. De invloed der verhuizingen kan dus voor het overgroote deel geëlimineerd worden.

Het is dus niet om de verhuizingen, dat ik de methode van Dr. Knapp niet heb gevolgd, maar wel omdat op deze wijze de dooden, waardoor de sterftekansen bepaald

wordon, telkens uit twee kalenderjaren stammen en niijno onderzoekingen tot liet stellig resultaat voeren, dat elk kalenderjaar zijne eigen sterftekansen medebrengt (en dit niet enkel voor de epidemiejaren, waarbij dit verschijnsel reeds lang bekend is). Daardoor heeft de methode, door Dr. Knapp aangegeven, groote bezwaren bij het combineeren der uitkomsten en belemmert het vinden der meest waarschijnlijke waarde der sterftekansen.

Hiermede is de reden verklaard, waarom, hoewel hetzelfde vragende als ür. Knapp, n. 1. eene wijziging in de opgaaf der dooden, ik die wijziging enkel heb dienstbaar gemaakt om de methode vau Wargentin te volmaken, door den teller der breuk die eene sterftekans moet geven in overeenstemming te brengen met don noemer.

§ 3.

Gaan wij nog eens terug tot de uitdrukking

(l

~T

die de sterftekans op bepaalde leeftijden aangeeft. Neemt men nu voor l bijv. hot aantal 20-jarigen van de vollvstolling van 31 December 1869, dan zal voor d het getal dooden moeten genomen worden, dat uit deze 20-jarigen in een jaar overleden is. Dit kan gebeuren, indien de dooden zoowel volgens den leeftijd als naar hot geboortejaar opgegeven zijn, daar men slechts voor d te nemen heeft de dooden van hot jaar 1870 die 1850 tot geboortejaar hadden. Zelfs zou alleen dus do opgave van het geboortejaar voldoende zijn. Het overblijvende bezwaar, dat de groep van personen die men de twintig-jarigen noemt niet allen denzelfden leeftijd hebben, kan opgeheven worden door een bepaald onderzoek naar do eigenlijke betcekenis van het quotient. Het ligt voor de hand aan te nomen, dat dit quotient ongeveer de sterftekans zal aangeven bij den leeftijd van 20^/2 jaar en het opzettelijk onderzoek zal (in bet derde Hoofdstuk) aantoonen dat, behalve voor de eerste levensjaren, op deze wijze de sterftekans voor dien gemiddelden leeftijd met dezelfde nauwkeurigheid gevonden wordt als op de theoretisch geheel juiste wijze. Vandaar dat deze wijze, om do sterftekans op te maken, gevolgd is; echter niet bij de eerste levensjaren, waarvoor de andere methode to verkiezen is, — die dan ook reeds vóór i)r. Kna.pp werd aangewend; — alleen nam men toen eene onderstelling aan voor de verdeeling der dooden naar de geboortejaren.

Do levenden komen dus bij mijne methode in groepen voor, zooals zij op een zeker oogenblik aanwezig waren; de dooden zijn in bepaalde perioden (één kalenderjaar) uit deze levenden gevallen. Ook hierbij zjju dus de dooden te rangschikken naar het geboortejaar en ik stelde indertijd voor dit te doen. Het was evenwol niet do eenige reden waarom ik dit wenschelijk achtte, daar ik met de nieuwe opgave der dooden een middel van controle wensehte te verkrijgen en wel door met do uitkomsten dor ééne volkstelling en de in dien tijd gestorvenen en geborenen, het aantal levendon op het

tijdstip der tweede volkstelling te berekenen.

Dat dit mogelijk is blijkt het bost uit de wijze waarop men de berekening maakt. Zoo men bijv. het aantal 20-jarige mannen neemt, door de volkstelling aangegeven op 31 December 1869, (dus allen geboren in 1850) en dit getal vermindert met allen die

3

— 18 —

in het jaar 1870 uit dezen overleden zijn, verkrijgt men de 21-jarigen die op 31 December 1870 aanwezig waren. Vermindert mon dit getal met do in 1871 uit deze overledenen, dus ook uit het geboortejaar 1850, zoo verkrijgt enen hot aantal 22-jarigen op 31 December 1871, Zoo voortgaande komt men door berekening tot het aantal 30-jarigen op 31 December 1879, welk cijfer nu vergeleken kan worden met dc 30-jarigen die de volkstelling op dien datum heeft opgeleverd. Aldus kan men een oordeel vellen over de uitkomsten der volkstellingen en dus ook besluiten in hoever de sterftekansen, die men afleidt, te vertrouwen zijn.

Op mijn voorstel is deze methode in 1878 toegepast bij liet afleiden der sterfte-tafels voor do 17 grootste steden van Nederland en kort daarop voor de sterftetafels der geheele bevolking afgeleid uit het tijdvak 1860/70. Toen kon de berekening evenwel slechts ten naasten bij geschieden, daar de dooden nog niet naar het geboortejaar werden opgegeven en men dus niet met zekerheid kon aanduiden, hoevelen er uit elke groep, bijvoorbeeld uit die der 20-jarige levenden, in het volgend jaar overleden waren. Bjj de berekening in 1878 is daarom voor liet aantal dooden, dat bij de 20jarige levenden behoort, de halve som genomen der op 20- en 21-jarigen leeftijd gestorvenen.

Dit aantal kon echter na 1870, toen de wijziging in de opgaven van den Burgerlijken Stand in Nederland is ingevoerd, volkomen juist gegeven worden en ie zoowel bij de sterftetafels over 1870/80 als bij de hiervolgende — om bij het aangehaalde voorbeeld te blijven — gevonden uit de dooden, die in het jaar 1870 of op 20 óf op 21-jarigen leeftijd gestorven zijn , maar 1850 tot geboortejaar hadden. De uitkomsten der vergelijking tusschen de getelde en do berekende bevolking waren zoowel in de periode 1870/80 als nu zeer gunstig, wat betreft de nauwkeurigheid waarmede de sterftekansen kunnen opgeschreven worden. Natuurlijk kwam voor geen enkelen leeftijd het aantal getelde personen met dat der berekenden overeen, daar de verhuizingen, die in die tien jaren hadden plaats geluid, niet in de berekening waren opgenomen, hetgeen onmogelijk was, daar bjj verandering van woonplaats do loeftijden niet worden opgegeven. De verschillen waren ecliter tot aan den 90-jarigen leeftijd zoo klein, dat, zelfs wanneer men deze geheel aan fouten in de volkstelling toeschreef, de sterftekansen toch tot in tienduizendste deelen konden berekend worden, eene nauwkeurigheid, dio volstrekt voldoende is tegenover de waarde, die men aan de sterftekansen mag toekennen. Wat er van de verhuizingen bekend is, toonde daarenboven voldingend aan, dat liet grootste doel dezer verschillen aan deze toegeschreven moesten worden; do gevonden verschillen zijn dan ook over de tien jaren verdeeld, alsof zij door regelmatig verhuizen ontstaan zijn. De controle-rekening leerde verder, dat boven den leeftijd van 90 jaar uit de volkstellingen en do opgaven van den Burgerlijken Stand in Nederland nog geen sterftekansen kunnen opgemaakt worden, dio eenige waarde hebben.

Door de contróle-rekoning weet men nu teu eerste welk vertrouwen do cijfers verdienen, terwijl verder ook het aantal levenden van eiken leeftijd op 31 December van ieder jaar bekend is; dit laatste heeft ten gevolge dat men de sterftekansen, anders dan vroeger gedaan werd kon opmaken.

Tot nu toe nam men n. 1. hier te lande het aantal dooden op bepaalden leeftijd overleden in de periode die men beschouwt, en deelde dit door 10 malen het middencijfer der levenden, dat de volkstellingen, aan het begin en het einde der periode gehouden,

— 19 —

opleverden; hierbij ouderrtteldo men dus dat hot aantal levenden van bepaalden leeftijd, bijvoorbeeld de 2Ü-jarigen , in elk volgend jaar regelmatig veranderde. Bij de nieuwe mothode heeft men werkelijk afgeleid hoeveel 20 jarigon nog loefden op den lUston December van elk der tien jaren en de som hiervan is het juiste getal der 20-jarige levenden, die in do periode aan de waarneming onderworpen ziju geweest, en waaruit in elk dezer jaren het aantal dooden bekend is. Do in 1878 verkregen uitkomsten wezen er reeds op, dat de zoo verkregen getallen van levenden nog al verschilden met liet tienvoud van de halve som der levenden van bepaalde leeftijden uit de twee volkstellingen, en het daarom eenc groote verbetering was op deze wijze te handelen.

Sinds de dooden ook naar het geboortejaar opgegeven worden , kan men evenwel nog verder gaan, daar nn niet alleen voor elk kalenderjaar het aantal levenden bekend is , dat in het begin van dit jaar aanwezig kan worden geacht, maar ook liet juiste getal overledenen dat in elk jaar uit deze levenden sterft. Men kan dus voor eiken leeftijd tien waarden voor de sterftekansen opschrijven, n.1. een voor elk der kalenderjaren en daaruit tot de meest waarschijnlijke besluiten ; iets wat ook nog in een ander opzicht van groot belang is.

De tien verschillende sterftekansen op deze wijze voor eiken leeftijd verkregen en die onderling nog al sterk uiteenloopen, niettegenstaande het aantal observation zeer groot is, wijzen met beslistheid aan, dat elk kalenderjaar een eigen sterftekans heeft gehad. Dit laat zich vooruit verklaren door de verschillende soorten van ziekten die niet ieder jaar evenveel voorkomen, terwijl ook zelfs ziekten, voortkomende uit organische gebreken, door de gesteldheid van hot weder in hot eene jaar veel meer tot ontwikkeling kunnen komen dan in het andere. Ts dit zoo, dan moetan ook de uitkomsten in verschillende jaren verkregen, niet eenvoudig bij elkaar gevoegd worden, en het was ook niet goed de nom der dooden in de tien jaren te doelen door de som der levenden van denzelfden leeftijd, zooals men dit tot nu toe deed. Men zal uit liet vervolg zien, dat do beste uitkomst verkregen wordt, wanneer de sterftekans voor elk kalenderjaar opgemaakt, en het gemiddelde dezer uitkomsten genomen wordt.

Van deze gemiddeldn sterftekansen kan de middelbare fout op de gewone wijze naar do leer der waarschijnlijkheid gevonden worden, zooals dan ook voor elk tiental waarnemingen gedaan is. Deze middelbare fouten vallen grooter uit, dan wanneer men die berekent, door de waarnemingen, van bijv. al de 20 jarigen, als één geheel te beschouwen. Dit is natuurlijk eene reden te meer om de waarnemingen voor elk jaar afzonderlijk to houden daar men anders niet alleen minder juiste uitkomsten verkrijgt, maar daaraan zelfs eene grootere nauwkeurigheid toekent, dan de meer juiste verdienen.

§ 4.

De sterftekansen, die voor elk kalenderjaar berekend zijn om daaruit tot het gemiddelde te geraken, worden hier ook voor elk dezer jaren gepubliceerd. Hot eerste voordeel daarvan is, dat men do verschillende uitkomsten, in elke tienjarige periode verkregen, zeer gemakkelijk kan combineeren. Bij elke volgende volkstelling is het nu mogelijk de uitkomsten van twee of meer tienjarige perioden zoodanig te combineeren dat men de gemiddelde sterftekansen krijgt uit meer dan tien kalenderjaren. Er is evenwel een

— 20 —

veel belangrijker reden, die mij tot flen nu gebruikten vorm van publicatie genoopt heeft, en deze is dat do sterftetafels, zooals zij uit eene tienjarige periode wordon afgeleid, zeer waarschijnlijk niet geven wat men zich eigenlijk onder eene dergelijke tafel voorstelt en eerst door de nieuw gekozen wijze van publicatie op den duur uitge-gemaakt zal kunnen worden wat daarvan is en of de vitaliteit van de opvolgende generation al of niet gewijzigd .vordt. Plet volgende moge een en ander verduidelijken.

Eeno sterftetafel gaat uit van een zeker getul (gewoonlijk 100 000) pasgeborenen en wijst aan hoeveel vim dezen elk volgend jaar nog overblijven; inen meent er dus de afsterving van eene geheele generatie uit te zien. Zooals evenwel de tafels uit de uitkomsten van eene tienjarige periode opgemaakt kunnen worden, kan men niet zeggen dat gegeven wordt hetgeen men van eene sterftetafel zou verlangen. De sterftekans toch van een twintigjarige zooals deze in do hier volgende tafels voorkomt, is afgeleid uit de groepen van personen, die tusschen 1880 en 1890 den leeftijd van 20 jaar bereikt hebben en die dus tusschen 1860 en 1870 geboren zijn. Daarentegen is de sterftekans van een bijv. zestigjarige gevonden uit de groep van personen, die tusschen 1880 en 1890 zestig jaar oud zijn geworden en wier geboortejaar dus tusschen 1820 en 1830 ligt. Op dezelfde wijze kan men dit van elke sterftekans aangeven, en blijken dus de uitkomsten tot zeer verschillende generation te behooren, zoodat de tegenwoordige sterftetafels, tafels zijn van gelijktijdig levenden, maar niet van eene bepaalde generatie.

Indien de sterftewet voor do opvolgende generation dezelfde blijft, zoo geven de tegenwoordige tafels deze wet naar behooren aim; maar wanneer de vitaliteit van de geheele natie voor- of achteruitgaat, zoo zullen de tafels uit eene opvolgende tieiijarige periode afgeleid, slechts een verwrongen beeld van do werkelijkheid geven. In dit geval zullen de opvolgende tafels wel op zulk eene verandering heenwijzen, maar deze niet behoorlijk doen kennen.

Geheel anders wordt dit bij den thans gekozen vorm om de uitkomsten aan te geven, daar nu langzamerhand de sterfte van elk opvolgend geslacht geheel voor den dag zal komen. Om bij deze en de voorgaande tafels te blijven, die nu reeds een tijdsverloop van 20 jaren omvatten, vult gemakkelijk op te merken, dat b. v. de SO^-jarigen, die over 1870 geobserveerd zijn, tot dezelfde generatie behooren, als de 31 ^-jarigen van 1871, de 32¹/2-jⁱmg^ei1 van 1872, tot aan de 49¹/₂-jarigen van 1889 (1), en van elk dezer groepen staan de sterftekansen opgegeven. Op dezelfde wijze met publi-ceeren voortgaande, zal men (wel is waar eerst langzamerhand) de sterftekansen van eene zelfde generatie of groep van generation bij elkaar krijgen en zoo ten slotte oordeelen, of de tafels van gelijktijdig levenden geven wat men meent. Is dit zoo niet, dan zal tegelijk de vraag beslist zjjn, of do levenskracht der bevolking van eene bepaalde landstreek in haar geheel voor- of achteruit is gegaan, en er zal geen ander middel zijn om dit hoogst belangrijke vraagstuk op te lossen. Hieruit blijkt wol het groote gewicht van den nieuwen vorm, waarin de uitkomsten medegedeeld worden.

¹

Hierom moest oi^onlijk het nmitnl levenden van 30,\ jaar op 1 Januari 1870, verminderd met het aantal dooden in dat jaar, juist het aantal 3lA-jarigen geven op 1 Januari 1871. Dat dit niet geheel uit-konit in de Tabellen, ligt aan don invloed der verhuizingen.

— 21 -

§ 5.

Volgens het voorgaande ki'ijgt men voor elke sterftekans tien waarden, waarvan de gemiddelde moet worden afgeleid, terwijl ook de middelbare en waarschijnlijke fout kan gevonden worden. De sterftekansen, die men zoo berekent, zijn evenwel niet die van personen, die een aantul volle jaren doorleefd hebben, maar, zooals de opschriften der Tabellen IV aanwijzen, voor een lO'/j-jarige, 11 ^-jarige, enz.

Men zou kunnen vragen of dit geen gebrek is, daar men de sterftekansen der geheele jaren gebruiken moet om daarmede de sterftetafel samen te stellen. Uit het volgende zal blijken, dat dit. niet het geval is, daar de gevonden cijfers toch nog gewijzigd zouden moeten worden, al stelden zij sterftekansen voor op geheele jaren.

Bij beschouwing der gemiddelde sterftekansen zal men reeds con vrij regelmatig verloop opmerken. Dat deze nog hier en daar kleine onregelmatigheden vertoonen, kan alleen te wijten zijn aan toevallige fouten, en op grond hiervan zal, door onderlinge vergelijking der uitkomsten van do opvolgende leeftijden, nog eene betere waarde voor elke sterftekans te berekenen zijn. Teneinde dit in het lichtte stellen moge de volgende beschouwing der graphische methode dienen, die wel niet door mij gevolgd is, maar het duidelijkst inzicht geeft dat er nog wijziging noodig is.

quot;Wanneer men de uitkomsten in teekening brengt door de jaren als abscissen en de sterftekansen als ordinaten uit te zetten kan men eene kromme hjn brengen door de uiteinden der ordinaten. Deze lijn zou geheel regelmatig gekromd zijn, als al de uitkomsten volstrekt juist en hot aantal kalenderjaren benevens de observation talrijk genoeg waren. Het zal evenwel blijken dat de Ijju niet regelmatig gekromd is, maar kleine afwijkingen vertoont die aan overgebleven fouten te wijten moeten zijn. De regelmatig gekromde lijn, die men zou wenschen te verkrijgen, zal zich echter weinig verwijderen van deze punter, en daar het volstrekt onwaarschijnlijk is dat de fouten, die in de verschillende sterftekansen overgebleven zijn, alle to klein of alle te groot zijn geweest, zal de kromme lijn zoo getrokken moeten worden dat do punten voor een deel aan de eene en voor eon deel aan de andere zijde komen te liggen.

Construeert men do lijn aldus dan geeft zij nog meer waarschijnlijke uitkomsten. Dit was eene methode die vroeger met vrucht gebruikt werd; het valt echter niot te ontkennen dat er iets willekeurigs bjj overblijft, daar de een de kromme lijn iets anders zal trekken dan de ander. Deze kromme lijn geeft evenwel duidelijk aan, dat de tot nu toe verkregen uitkomsten nog gewijzigd moeten worden, en dat do meest waarschijnlijke sterftekans voor een bepaalden leeftijd (bjjv. voor een 30-jarige) ook nog afhangt van de resultaten die men voor lagere en voor hoogere leeftijden gevonden heeft. Ton einde de meest waarschijnlijke waarde te bepalen, heb ik de volgende methode uitgedacht, die geheel op de loer der waarschijnlijkheid berust en geen willekeur toelaat.

Wat de aard der kromme lijn in haar geheel ook moge zijn, een klein deel ervan zal steeds met geheel voldoende nauwkeurigheid kunnen worden voorgesteld door eene algebraïsche kromme van zekeren graad. Denkt men zich zulk eene kromme lijn bijv. door vier punten getrokken, waarvan er twee het punt voorafgaan dat men verbeteren wil, en twee datzelfde punt volgen, (hot wordt dan eene kromme van den derden graad), zoo zal men met deze eene nieuwe waarde kunnen berekenen voor de sterftekans, die

door hot iniildelsto punt aangegeven wordt eu dio onafhankelijk is van de eerst gevonden waarde. Daar van elk der sterftekansen do middelbare fouten bekend zijn, zal ook van de nieuwe waarde, die voor do middelste sturfteknns gevonden is, de middelbare fout betekend kunnen worden. Men krijgt dus twee verschillende waarden, elk met haar eigen middelbare fout, waarna dan, geheel volgons do gewone regols, de eindwaarde met de daarbij behoorende middelbare fout bekend wordt.

Het is waar dat eone kromme lijn van den derden graad, gebracht door de vier punten van do volkomen juist geteekende kromme, niet geheel zal passen op het tussehengelegen stuk. De afwijking evenwel is slechts eene kleine grootheid van de vierde orde; maar een proef op do door de graphische methode verkregen kromme, uit de waarnemingen van de vorige tienjarige periode, heeft geleerd, dat de kleine grootheden, die men zoodoende verwaarloost, niet vóór de zesde decimaal van invloed zouden kunnen zijn. Ware dit niet het geval geweest, dau zou men een kromme lijn van den vijfden graad gebracht moeten hebben door do drie voorgaande en de drie volgende punten en verder handelen op aangewezen manier. Het kiezen van het aantal punten geschiedt dus niet willekeurig, daar men kan onderzoeken, door hoeveel punten van de geheel nauwkeurig geteekende kromme do algebraïsche kromme moet gaan. opdat de grootste afwijking die men in het midden verkrijgt, zoo klein worde, dat men haar zonder aarzelen mag verwaarloozen.

Op deze wijze zijn do meest waarschijnlijke sterftekansen voor elk dor leeftijden lO'/z, 1172 jaren, enz. bepaald, terwijl ten slotte daaruit do sterftekansen op do volle jaren zijn gevonden, door nog eens eene kromme lijn to denken door vier opvolgende punten en daaruit het middelste punt af te leiden.

Voor do corsto levensjaren moest do behandeling oen weinig anders ingericht worden en zijn do sterftekansen tot aan hot zesde levensjaar dadelijk voor do volle levensjaren gevonden, door na to gaan hoevelen der jaarlijks geborenen telkens hun volgendon verjaardag bereikt hebben. Uit de daaruit verkregen sterftekansen is ook de gemiddelde opgemaakt, en de zoo verkregen cijfers zijn niet nader gewijzigd. Dit was uiet wel mogelijk, maar hot aantal waarnemingen is hier zoo groot, dat er minder sprake behoefde te zijn van eene verdere nauwkeurigheid.

Voor de jaren boven 90 zijn de sterftekansen niet opgemaakt. De controle van do cijfers dor levenden toonde aan, dat geene berekening, die eenig vertrouwen verdiende, boven dezen leeftijd meer gemaakt kon worden. Ten einde do storftotafols met den dood van al de levenden te doen eindigen, zijn voor do leeftijden tusschen 90 en 100, getallen als sterftekansen gekozen, die eene reeks dor tweede orde opleveren. Doch dit zijn natuurlijk cijfers, die tegenover de voorafgaande geheel in de lucht hangen en op bijzondere wijze (tusschen haakjes) zijn aangegeven.

Nadat de sterftekansen vastgesteld waren, is, mot bohulp van deze, op de gewone wijze de sterftetafel berekend, waardoor aangegeven wordt hoeveion van 100 000 ge-borenon er na ieder jaar nog in levon zijn. En hiermede was hot werk voltooid.

In do volgende Hoofdstukken zullen nu de hier besproken punten uitvoerig worden nagegaan.

TWEEDE II O O F ü S T U K.

Controle der grondcyfers.

§ i-

AIh grondcijfers voor de volgende berekeningen hebben gediend de uitkomsten der volkstellingen van 31 December 187!) en 31 December 1889 en de opgaven van geboorten en sterfgevallen in het tusscheugelegon tijdvak. Men vindt deze cijfers, wat de geheele bevolking betreft, in de door de llegeering uitgegeven uitkomsten der volkstellingen, en in de Statistische Bescheiden. In de tabellen 1 en II worden zij hierachter opgegeven voor de Mannen en Vrouwen afzonderlijk.

De levenden zijn gerangschikt naar liet geboortejaar, de dooden naar ouderdom en geboortejaar, zoodat in de tabellen II hij eiken ouderdom twee getallen dooden voorkomen, waarvan het bovenste steeds de dooden aangeeft, afkomstig uit het geboortejaar dat het dichtst bij ons ligt. Zoo stellen, bijv. volgens tabel Ila mannen, (zie biz. IV), de twee getallen 235 en 21G die bjj 5-jarigen oudeulom als de dooden van 1888 opgegeven worden, te zameu deze dooden voor. Daarvan beteekent nu het eerste getal 235 het aantal hetwelk daarvan in 1883 geboren was en het tweede (216) de vijfjarige dooden, die 1882 tot geboortejaar hadden.

Men heeft nu, zooals in het vorige hoofdstuk vermeld is, uit do levenden, zooals deze op 31 December 1879 naar den leeftijd gegroepeerd waren, afgeleid wat de toestand der bevolking moest zijn op 31 December 1889, om deze uitkomsten te vergelijken met hetgeen de volkstelling, op dien datum gehouden, zelve heeft opgeleverd Van de op 31 December 1879 verkregen levenden, die nu groep voor groep eenzelfde kalenderjaar tot geboortejaar hebben, zijn daartoe do dooden afgetrokken, die in 1880 uit elk dezer groepen gevallen zijn en dus ook hetzelfde geboortejaar hadden ; hierdoor zou men tot de kennis der levenden van telkens een jaar hoogeren leeftijd op 31 December 1880 gekomen zijn, indien er geen verhuizingen hadden plaats gehad. Van do zoo verkregen nieuwe groepen zijn weer de dooden afgetrokken die in 1881 uit deze overleden zijn en dus uit hetzelfde geboortejaar afstammen, waardoor men de levenden op 31 December 1881 verkreeg. Op deze wijze voortgaande komt men tot do bevolking, naar den leeftijd verdeeld, zooals die op 31 December 1889 zou geweest zijn indien er geen-fouten in de opgaven waren en geen verhuizingen hadden plaats gehad. Dat er fouten moeten geweest zijn, spreekt van zelf eu bleek ook reeds uit deze becijfering, daar het bij hooger dan 90-jarigen leeftijd telkens voorkwam dat men niet genoeg levenden overhield om er het getal dooden van een volgend jaar af te trekken, terwijl het toch niet te verwachten is dat op zulke hooge leeftijden het aantal verhuizingen naar het buitenland nog belangrijk kan zijn.

— 24

Do aldus verkregen getallen voor 31 December 1889 wijzen do levenden nan van 10 of meer jaren oud, omdat men begonnen is met de O-jarigen op 31 December 1879. Tiet was niet morielijk deze rekening te completeeren en zoo tot de overige levenden te komen. Daartoe moest men uitgaan van de geboorten in elk der jaren van liet tienjarig tijdvak en de volgende weg ingeslagen worden. Het gehoelo aantal geborenen in het jaar 1880 werd ten eerste verminderd met diegenen, die hiervan in hetzelfde jaar 1880 stierven en dus 1880 tot geboortejaar hadden Men kreeg daardoor het aantal O-jarigen op 31 December 1880. Wanneer men deze vermindert met liet'aantal dat er in 1881 uit overlijdt (dus de dooden van 0 en 1 jaar die 1880 tot geboortejaar hadden), komt men tot liet aantal l-jarigen op 31 December 1881, en zoo voortgaande tot de 9-jarigen op December 1889. Men heeft op dezelfde wijze gehandeld met het aantal geborenen in elk dor jaren 1880 tot 1889. Hiermede is de berekening der levenden op 31 December 1889 geheel gecompleteerd.

Na deze becijfering zijn de aldus verkregen uitkomsten vergeleken met die van de volkstelling van 31 December 1889, waardoor men kon oordeelen over de betrekkelijke waarde der cijfers. Do verkregen resultaten komen voor in de tabellen lila en III 6, biz. XII en XIII, waar voor de mannen zoowel als voor de vrouwen van eiken leeftijd de uitkomsten der volkstelling en die der berekening naast elkaar gesteld zijn: men kan daarachter de verschillen der beide uitkomsten vinden.

Deze verschillen, dan eens positief, dan weer negatief, zijn hier en daar vrij groot, maar kunnen onmogelijk uitsluitend te wijten zijn aan gemaakte fouten, daar bij de berekende volkstelling geen verhuiziugen naar en van het buitenland ondersteld zijn. Op de leeftijden tusscben 3 en 43 jaren, maar vooral tusscben 18 en 34 vindt men, bij de mannen en ook in mindere mate bij de vrouwen, dat do berekening voortdurend te groote getallen oplevert, hetgeen ook het geval moet zijn, wanneer de emigraties op die leeftijden de immigraties overtreffen. Dat dit in Nederland zoo is, knn men daaruit opmaken, dat het bijna uitsluitend zijne koloniën voorziet van ingenieurs, officieren, onderwijzers, ambtenaren bij Binnen-landsch Bestuur enz. Gedeeltelijk voorziet ons land de koloniën ook van soldaten. Hierdoor is het verschijnsel voor de mannen verklaard. Ook voor de vrouwelijke bevolking is hetzelfde te verwachten, daar onder anderen een groot aantal der bovengenoemde personen gehuwd naar Indië vertrekken.

Wanneer men al de verschillen, die hetzelfde teeken hebben, bijeenvoegt en de uitkomsten van elkaar aftrekt, krijgt men het verschil tusscben de emigraties en de immigraties voor Nederland gedurende de tienjarige periode. Daardoor is ten minste eenige controle mogelijk. De berekening zou geheel sluiten voor de mannelijke bevolking, als het aantal emigraties dat der immigraties met 42 411 overtroffen had. Volgens de statistieke opgaven hebben zij die wol overtroffen, doch slechts met 21 003. Dit laatste cjjfer is evenwel weinig te vertrouwen, daar het opteekenen der verhuizingen ook nu nog niet altijd met de noodige zorg geschiedt. Als bewijs hoeveel daaraan ontbreekt moge dienen, dat in de periode 1870—'80 het opgegeven aantal van alle personen, die uit Nederland naar Nederlandsch-Indië vertrokken, nog bleef beneden het getal soldaten, die volgens vertrouwbare offieieele bescheiden in dezelfde periode naar Indië gezonden zijn. Het is dan ook vrij natuurlijk dat velen, die naar Indiö vertrekken en als het ware in hun eigen land blijven, niet die stappen zullen doen, die zij bij een vertrek naar het buitenland niet zouden verzuimen Voor de statistiek is dit te betreuren,

doch hieraan zal vooreerst niet veel veranderd kunnen worden. Toch moet men hot wenschehjk oordeelen dat de verhuizingen worden opgegeven met bijvoeging van de geboortejaren der personen die zich verplaatsen.

Hoewel de verschillen veel te groot zijn om enkel aan fouten te kunnen worden toegeschreven, zijn ze toch zoo gering, dat de fout die in de sterftekansen daardoor ontstaan kan stellig veel kleiner is dan de fouten die deze sterftekansen uit andere oorzaken aankleven. Ook wanneer de verschillen alleen aan fouten waren toe te schrijven, zou bijv. de sterftekans voor een dertigjarige tocb nog tot op een procent na nauwkeurig kunnen worden opgegeven, dus met een fout van nog minder dan eene eenheid in de vierde decimaal. Dit is eene zeer kleine waarde, als men bedenkt, dat de middelbare fout uit de combinatie der 10 sterftekansen ongeveer driemaal zoo groot is. En deze laatste fout zal nog langen tijd te vreezen blijven. Op andere leeftijden vindt men dergelijke resultaten, zoo dat de uitkomsten der volkstellingen, ten minste in Nederland, nauwkeurig genoeg zijn, om er behoorlijke sterftetafels mede samen te stellen.

ïen einde de cijfers der levenden op de meest regelmatige wijze te gebruiken, hoeft men gehandeld alsof de verschillen, die de berekening en de telling opleverden, enkel aan de verhuizingen waren toe te schrijven en deze daarenboven in de tienjarige periode regelmatig hadden plaats gehad. In werkelijkheid wordt aan beide onderstellingen niet geheel voldaan, maar toch zijn zij eene benadering tot de waarheid. Hierdoor worden de fouten daarenboven over 10 levensjaren verdeeld en dientengevolge haar invloed zeer verkleind. Voor geheel regelmatige berekening is zelfs gehandeld, alsof zij die in den loop van een jaar verhuisden, dit juist deden in het midden ervan zoodat zij gedurende een halfjaar zijn waargenomen, hoewel dit niet het geringste verschil in de cijfers bracht. Alleen komt door het in rekening brengen der verhuizingen niet meer uit, dat de levenden op 31 December van oenig jaar, verminderd met de dooden precies do levenden van een jaar hoogeren leeftjjd op den volgenden 31 December voorstellen.

De aldus berekende getallen voor de levenden van iedereu leeftijd op den 31^st(!n December van elk der jaren 1879 tot 1889 komen voor in de Tabellen IVa en IV6.

§ 2.

Vóór wij tot de behandeling van andere cijfers overgaan, moet nog het volgende opgemerkt worden. Daar de volkstellingen in ons land om de tien jaar gehouden worden, zal men uit de voorgaande berekening niet kunnen afleiden, of het hier nog plaats vindt, dat do leeftijden slechts ongeveer nauwkeurig worden opgegeven en door velen hun leeftijd op 40, 50, 60, 70 jaren enz. wordt gesteld, (dus op rondo cijfers) wanneer zij in werkelijkheid een jaar ouder, of nog een jaar jonger zjjn. Dit zal niet uit de contrólerekening blijken, daar uit de 50-jarige levenden van 31 December 1879 afgeleid worden de 60-jarige levenden van 31 December 1889, en wanneer beide getallen eens evenveel te groot bleken te zijn, zou de controle schijnbaar een zeer sluitende uitkomst geven. Zijn beide te groot, het eene echter meer dan liet andere, zoo komt slechts liet verschil als fout voor den dag. Daarom heeft men vroeger wel voorgesteld om de volkstellingen niet om de tien jaren te houden. Dit zou van belang kunnen geacht worden, indien de fout werkelijk gemaakt werd, doch wanneer de leeftijden nauwkeurig genoog

— 26 —

■werden opgegeven, bestaat er geen reden voor eeno dergelijke verandering. Dat deze onnauwkeurigheid in Nederland niet meer bestaat, kan met voldoende zekerheid op de volgende wijze worden uitgemaakt.

Gaat men n, l. do uitkomsten na der volkstelling van 31 December 1S89 (zie Tabellen 111« en 1116), dan vindt men, zoowel bij de mannen als bjj de vrouwen, verschillonde aantallen levenden bij eiken leeftijd en wel in het algemeen afdalende cijfers (dat ook natuurlijk is) naarmate de leeftijd hooger wordt. Daarop zijn echter uitzonderingen, en bij deze volkstelling vindt men bij de mannen 18-maal een grooter aantal levenden bij een naastvolgenden leeftijd. Bij de vrouwen is dit 19 malen het geval. Wanneer nu de leeftijd bij voorkeur op een rond getal wordt opgegeven, moest dit verspringen van lager op hooger, bij voorkeur op ronde leeftijden plaats hebben. Doch dit is niet het geval; bij de mannen komt dit verspringen op ronde leeftijden slechts tweemaal voor, n. 1. op den leeftijd van 10 en 30 jaren, en bij de vrouwen 8 maal, op den leeftijd van 10, 30 en 40 jaren, dus zeer nabij even dikwijls als dit volgens de leer der waarschijnlijkheid mag gebeuren. Daarenboven komt het na 50 jaar niet voor, terwijl men meer bepaald op hoogeren ouderdom kon verwachten, dat de te groote getallen op de ronde jaren voor den dag zouden komen. Er is integendeel na 40 jaren geen spoor voor zulk een verschijnsel te ontdokken.

Opmerkelijk is het, dat zoowel voor de mannelijke als vrouwelijke bevolking in 10 gevallen van de 18 dit verspringen van lager op hooger aantal levenden gescliiedt bij dezelfde groepen als bij de vorige volkstelling een feit, dat in verband met dezelfde waarneming in 1879, wijst op bijzondere doodsoorzaken in de geboortejaren der jongere leeftijdsgroepen, die bij het verspringen betrokken zijn.

Op bovenstaande zeer eenvoudige wijze, waarop ik in het bijzonder do aandacht vestig, kan dus onderzocht worden, in hoever men de opgaven van den leeftijd kan vertrouwen. Volgons de verkregen uitkomsten is uitgemaakt, dat bij de volkstelling in Nederland de ouderdom juist genoeg wordt opgegeven om geen sporen te vinden van deze onnauwkeurigheid.

§ 3.

Bij do voorgaande berekening van de eene volkstelling uit de andere zijn reeds de dooden van eiken leeftijd (of liever van elk geboortejaar) gebruikt, die in ieder der jaren 1880 tot 1889 gevallen zijn, en is ondersteld dat deze getallen geheel juist zijn. Ook dit punt moet opzettelijk besproken, maar kan spoedig afgedaan worden.

Het is toch bekend met hoeveel zorg de opgaven van den Burgerlijken Stand gehouden worden, zoodat de kans dat hierbij fouten voorkomen, zooveel kleiner is dan bij de volkstellingen. Het opteekenen der dooden, die ongeveer 500 per dag bedragen in het geheele Kijk, geschiedt daarenboven door geheel bevoegde personen, terwijl bjj de volkstelling op één dag ruim 4 000 000 personen moeten nagegaan worden en de meesten die de staten invullen met dit werk zeer weinig vertrouwd zijn. Bedenkt men daarbij het gewicht van ieder sterfgeval voor het gezin waarin dit voorvalt en al de formaliteiten die dan moeten plaats grijpen, zoo geloof ik, dat het aan geen twijfel onderhevig is, dat in de sterfteopgaven bijna geen fouten kunnen voorkomen.

Ook het verschijnsel van een te groot aantal dooden op ronde leeftijden kan dus

- '21 —

in Nederland niet meer verwiiclit worden. Als hot voorkomt, zou dit weder op lioogen leeftijd moeten zijn. Het volgende staatje toont aan dat hiervan dan ook niots bespeurd wordt gedurende de periode 31 December 1879 tot 1889.

Doodkn ovek dk periode 31 December 1879/1889.

Men zou uit deze beide staatjes eer opmaken dat hot aantal dooden op do ronde leeftijden 50, 60, 70, 80 en 90 wat te klein is, dan het omgekeerde. Voor een fout in dezen zin is evenwel geen enkele reden aan te voeren.

DERDE II O O F D S T U K.

Afleiding der waarschijulijkste waarden der sterftekansen, wanneer elke leeftijd op zich zelf beschouwd wordt.

§ i.

Door do nu gevolgde wijze van berekening zijn voor de levenden van eiken ouderdom tieu groepen en daarboven de doodon, uit elk dezer groepen atkomstig, bekend. Men kan dus tien verschillende waarden voor elke sterftekans vindon dio in de Tayellen IVa en IVb opgenomen zijn, terwijl men ook, zooals vroeger alleen gedaan werd, eene sterftekans kan verkrijgen, die uit de deeling van de som der levendon op de som der dooden voortvloeit. Deze laatste is in de Tabellen IV tusschen haakjes opgegeven.

Vóór en aleer na to gaan hoe de uitkomsten gecombineerd moeten worden, zal eerst onderzocht worden welke eigenlijk do leeftijd is waarvoor de sterftekans door

de deeling gevonden wordt.

Beschouwt men bijv. de groepen waarboven staat: SOVj-jarigen, dan bedoelt men daarbij allo personen die op den eersten dag van de daarvoor vermelde jaartallen tusschen 30 en 31 jaren oud waren. Wanneer nu de sterftekansen voor de 30-en 31-jarigen onderling zeer weinig afwijken, spreekt het bijna van zelf, dat men door de deeling ongeveer de sterftekans zal vindon van den BO'/VJarige. Het moet echter afzonderlijk onderzocht worden mot welke nauwkeurigheid men dit resultaat mag opschrijven, daar dit van groot belang is voor hot vervolg der bewerkingen, die men nog op de zoo te vinden sterftekansen moet toepassen. Kan men namelijk aantoonen dat door de deeling de sterftekans voor het midden der beide jaren met eene zoodanige nauwkeurigheid verkregen wordt, dat de fout hierbij te vreezen slechts een zeer klein deel bedraagt van d 3 te wachten toevallige fouten, dan is de methode om met deze groepen te werken geheel

gerechtvaardigd en zijn de uitkomsten als even juist te boschouwen , als wanneer zij verkregen waren uit groepen van personen die allen op hetzelfde tijdstip SO'/z jaren oud geweest zijn.

Voor dit onderzoek zullen wij de groep der BO'^-jarigen verdeeld denken in een aantal kleinere groepen, waarvan de eerste omvat allen, die 30 jaren en één dag, de tweede die 30 jaren en 2 dagen oud zijn, enz. Wordt nu in nevenstaande figuur het eerste tijddeel door de lijn A A' en het ge-heele jaar door AE voorgesteld; is verder de inhoud AC CA' een maat voor het aantal levenden van 30 jaren en 1 dag, en AA F 3 zet men de andere levenden op dezelfde wijze uit, dan zal.

— 29 —

wanneer men de onderverdeelingen zoo groot neemt, dat de lijntjes C C', enz. in eene continue lijn C E 1) overgaan, de inhoud van de figuur A B 1) C de maat zijn voor het aantal levenden der groep. Daarbij zal D C eene rechte of' kromme lijn zijn en elke ordinaat dezer kromme (zooala bjjv. E F) aangeven, hoeveel levenden er zijn op een tus-schengelegen leeftijd. Is E F op het midden getrokken, dan stelt deze lijn, in verhouding tot C A, het aantal BO^-jarigen voor.

Teekent men in dezelfde figuur en op geheel dezelfde wijze de levenden die uit de groep der 30-jarigen na een jaar overblijven, dan verkrijgt men eene lijn ö H, zoodat dan A 13 HG de overblijvende levenden vooratelt. Dan is evenwel de inhoud GHDC de maat voor het aantal dooden uit de 30-jarige levenden en liet quotient van de doodcn en de levenden wordt uitgedrukt door de verhouding van de inhouden der figuren G H DC en A B D C.

Wanneer nu C D en evenzoo G II rechte lijnen zijn, dan zijn de beide figuren trapezia en is de verhouding tusschen de inhouden dezelfde als die tusschen do lijnen EK en E F, als men EF juist op het midden tusschen AC en BD getrokken heeft. Maar daar E F en K F evenredig zijn aan de levenden op 30¹/2 jaar en die welke op 3172 j^aal' overblijven, zal de deeling in dit geval volkomen juist de sterftekans voor een 30¹/2-jarige opleveren.

Is C D geen rechte lijn, dan is G H dit ook niet en gaat het voorgaande niet door. Doch wanneer de sterftekansen voor het begin en het einde van een jaar weinig uiteen-loopen, zal de inhoud van G H D C zeer weinig verschillen van A B x E K. En daar in dit geval A C en B D ook onderling weinig verschillen, zal ook A B x E F op weinig na den inhoud der figuur A B D C voorstellen, zoodat dan toch liet quotient zeer weinig zal afwijken van de sterftekans op het midden des jaar».

Yoor de eerste levensjaren gaat de stelling niet door. Voor het eerste levensjaar is B D ongeveer het viervijfde part van A C, en dan behoeft do kromme lijn C D slechts weinig gebogen te zijn om zeer verkeerde uitkomsten op te leveren. Voor het vijfde levensjaar is 13 D slechts ongeveer negen-en-negentig honderdste dealen van A C, en zal dus de deeling reeds bijzonder weinig van de sterftekans op het midden des jaars kunnen afwijken.

Bij de voorgaande redeneering ziet men evenwel niet duidelijk hoeveel do afwijking van de waarheid wel bedragen kan. Daarenboven wordt er ook niet bjj in aanmerking genomen, dat de geboorten niet regelmatig over het jaar verdeeld zijn, waardoor de kromme lijn C D nog eene bijzondere bocht verkrijgen kan. Daarom is de zaak nog op de volgende wijze nagegaan.

Wij zullen het aantal levenden die op 31 December van eenig jaar tot een bepaalde groep behooren (bijv. tot die der 30'/^jarig⁰quot;) ^nu8' quot;ader verdoelen, en elke maand op 30 dagen stellende, noemen :

«o de personen ouder dan 30 jaren en jonger dan 30 jaren en 1 maand. «! personen ouder dan 30 jaren en 1 maand en jonger dan 30 jaren en 2 maanden.

a_u personen ouder dan 30 jaren 11 maanden en jonger dan 31 jaren. Neemt men verder de sterftekansen:

— 30 —

van 30 jaren.

„ 30 jaren en I maand.

„ 30 jaren en 2 maanden.

k -t~ 11 S „ „ „ ,30 jaren en 11 maanden.

Met dezo notatie zal het aantal dooden in een jaar, uit do geheolo groep voorgesteld worden door

a₀ {k -f- a 3) dj (fc | S) 4- ^2 quot;I^- 1 S) -f-..... a_n (k S).

Het quotient van dit getal door do levenden van do groep, zijnde:

«o quot;i -f- «2 .........quot;n

geeft:

do {k -f- S) (ïj (k J S) -f-.....-f- ffjj (k - t- §)

a₀ - f- cc^ -f- £lt;2 quot;■• ~fquot; f'ii»

Wanneer nu dit quotient juist A; -t- 6 5 werd, zou men de sterftekans op het

midden des jaars verkrijgen. Door ff, =r =:.....— te nemen, is dit al

dadelijk liet geval.

De getallen n₁, a_2} enz. zijn echter niet gelijk, maar zullen na het vijfde levensjaar genoegzaam evenredig gesteld kunnen worden mot de geboorten in December, November on October tot Januari. Deze getallen nemende zooals de geboorten van 1840 tot 1850 in de verschillende maanden opgegeven zijn, komt er niet t-f-6 S maar /c-l- 6,1 §.

Volgens do geboorten naar de verschillende maanden in de periode 1850 tot 1860 komt er k 6,07 S.

Hieruit blijkt, dat het quotient onzer groepen wel niet de sterftekansen voor den middenleeftijd aangeeft, maar dit doet voor een leeftijd die slechts enkele (drie) dagen van deze verschilt. Deze afwijking verder nagaande komt men spoedig tot het resultaat dat, wanneer men den middenleeftijd rekent, de fout hoogstens 1 o/o zal bedragen van hot verschil tusschen twee opvolgende sterftekansen. Van den vijfjarigen leeftijd af bedraagt deze fout nog minder dan 1 ⁰/o van de middelbare fout, die in de sterftekansen uit anderen hoofde overblijft en maakt dus van deze fout slechts een klein deel uit.

Daarmede is uitgemaakt dat men volkomen recht heeft de quotienten te beschouwen als de sterftekansen voor het middentijdvak, wanneer zjj slechts geacht kunnen worden in den loop van een jaar geregeld te veranderen. Alleen voor de eerste levensjaren is dit niet geoorloofd, omdat de sterftekansen dan in oen enkel jaar groote verandering ondergaan, en daarenboven de waarden a_x, enz. niet evenredig aan de geboorten in de maanden December, November enz. mogen gesteld worden.

Voor de eerste jaren zijn dan ook de sterftekansen op andere wijze afgeleid. Mon hoeft het aantal geboorten genomen in oen kalenderjaar bijv. 1880, en dit verminderd mot allen, die uit deze geboorten óf in 1880 of in 1881 beneden het jaar gestorven zijn. Het verschil is weder verminderd met hen, die in 1881 on 1882 beneden do twee jaar overleden zijn (en die 1880 tot geboortejaar hadden). Zoo is men voortgegaan, ook voor de andere kalenderjaren. Op deze wijze verkreeg₄men groepen levenden, die elk in den loop van hetzelfde jaar een vol aantal levensjaren bereikt hadden (jarig geweest

zijn). Tovons is hot aantal dooden bekend, dat uit elk dezer groepen gekomen is vóór zjj hun volgenden verjaardag bereikt hadden

Men krijgt voor de eerste levensjaren door de deelingen dezer getallen do sterftekansen voor do geheele jaren. De aldus afgeleide getallen komen voor in de Tubellen V« en \b. Men zal bij vergelijking opmerken, dat do nuljarigen van liet geboortejaar 1880, verminderd met do dooden beneden het jaar, ook hier niet juist het aantal éénjarigen van hetzelfde geboortejaar opleveren, terwijl dit toch volgens de gemaakte redeneering het geval moest zijn. Maar ook bjj deze becijfering zijn do uitkomsten te pas gebracht, die de vergelijking tusselien do berekende bevolking met die der volkstelling op 31 December 1889 aangaf. Do verschillen, die men kreeg, zijn verdeeld, alsof deze door geregelde verhuizing ontstaan waren.

Tot aan de sterftekans van den 5-jarigen leeftijd is dezo wijze van berekening gevolgd. liet zou op zicli zelf niet bepaald noodig geweest zijn zoover te gaan, wanneer niet voor de meest waarschijnlijko sterftekansen ook die der voorafgaande jaren moesten worden gebruikt.

Q O

s

Nadat nu behoorlijk is vastgesteld, voor welke leeftijden do groepen levenden en de daaruit gevallen dooden gerekend mogen worden, moeten wij onderzoeken op welke wijze de getallen gebruikt moeten worden.

Wanneer men de uitkomsten der deelingen van de levenden op de dooden in de Tabellen IV nagaat, zal het aanstonds opvallen dat de tien onderscheiden waarden dio men aldus voor do sterftekans van oen bepaalden leeftijd verkrijgt, onderling sterk ver-schillon. Moet men dit daaraan toeschrijven dat het aantal levenden van elke groep te klein geweest is en dus rekenen dat men uitkomsten had kunnen verwachten, die beter met elkaar overeenstemden, wanneer slechts een grooter getal levenden onderzocht waren?

Deze vraag moet ontkennend beantwoord worden, want anders zou men, indien men bjjv. al de levenden tusschen de 30 en 35 jaar voor elk der kalenderjaren 1880 tot 1889 bij elkaar voegt en die op de daaruit gevallen dooden deelt, grooter overeenstemming moeten krijgen; het eenvoudig bezien der cijfers geeft de overtuiging dat dit niet het geval zal zijn. Eveneens is het vroeger gebleken (bij de bewerking der sterfte-tafels van 1870—1880), dat de verschillen der 10 jaren onderling zelfs nog grooter zijn bij do geheele bevolking dan bij die der 20 groote steden, ofschoon het aantal levenden bij do geheele bevolking viermaal grooter en bij de jonge leeftijden groot genoeg was ( 50 000) om geheel gelijke uitkomsten te verwachten.

Ook is do volgende beschouwing hieromtrent van belang te achten. Wanneer de tien onderscheiden quotienten alleen verschilden, omdat in elke groep nog niet al de eonstitutiën behoorlijk voorkwamen, dan zouden de verschillen anders moeten loopen dan zij nu doen. Wanneer bijv. de sterftekans voor de 30-jarigen in 1881 het grootst was geweest (omdat deze groep b. v. uit minder sterke personen bestond), dan zou hieruit moeten volgen dat voor do 31-jarigen do sterftekans in 1882 het grootst werd; evenzoo voor de 32-jarigen in 1883 enz.; want dit zijn steeds groepen van personen met gemiddeld dezelfde constitutie. Men vindt echter geen spoor van dit verschijnsel. Wanneer men de beide tafels onderling vergelijkt en voor elk kalenderjaar de sterftekansen nagaat.

blijkt het spoedig dat er slechts aan écne verklaring te denkon valt, nl. daaraan, dat elk kalenderjaar zijn eigene doodsoorzaken en dus zijn eigene sterftekansen hoeft, Dir wist men reeds lang van de jaren waarin epidemiön geheerscht hebben, doch ik geloof dat de hier gegeven cijfers, evenals die voor do periode 1870/80 uitdrukkelijk aanduiden, dat dit ook voor andere tijden het geval is.

Ten einde dit belangrijk resultaat buiten twijfel te stellen, is onderzocht hoeveel malen elk kalenderjaar ecne uitkomst heeft gegeven, grooter dan de gemiddelde uit de 10. Hier volgen de uitkomsten.

Leeftijden 0—50.

Aantal keeren van de 50, dat de sterftekans grooter is dan de gemiddelde.

Kalenderjaar. Goh. bevolk. M. Geli. bevolk Vr.

1880 ..........................34 43

1881 ..........................30 26

1882 ..........................17 24

1883 ..........................34 38

1884 ..........................33 35

1885 ..........................31 33

1886 ..........................34 26

1887 ..........................10 9

1888 ..........................9 5

1889 ..........................13 10

Leeftijden 50—90.

Aantal keeren van de 41, dat do sterftekans meer is dan de gemiddelde.

Kalenderjaar. Geli. bevolk. M. Geli. bevolk. Vr.

1880 ..........................27 32

1881 ..........................29 33

1882 ..........................24 10

1883 ..........................27 30

1884 ..........................8 13

1885 ..........................15 26

1886 ..........................17 12

1887 ..........................11 15

1888 ..........................29 8

1889 ............, 13 9

Leeftijden 0—90.

Aantal malen van de 91, dat de sterftekans in een kalenderjaar meer

is dan het gemiddelde.

Kalenderjaar, Geh. bevolk. M. Goh. bevolk. Vr.

1880 ..........................61 75

188 1.............59 59

1882 ..........................41 34

— 33 —

Kalenderjaar. (Joh. bevolking M. Cleh. bevolk. Vr.

1883 .............G1 68

1884 ..........................41 48

1885 ..........................46 59

1886 ..........................51 38

1887 ..........................21 24

1888 . .......................38 13

1889 ..........................26 19

De leeftijden van 0—50 en van 50—90 zijn afzonderlijk opgegeven om te doen zien of er hierdoor nog verschil ontstaan kan.

Het resultaat is, dat de invloed van het kalenderjaar overal duidelijk voor den dag komt zoowel bij de mannen als bij de vrouwen en van 0—50 als van 50—90 jaren. Het ongunstigste jaar is 1880, daarop volgen 1883 en 1881. Daarentegen zijn 1887, 1889, 1888 en 1882 ongetwijfeld jaren van zeer kleine sterfte. Het jaar 1888, overigens zoo uitermate gunstig, was voor mannen van hoogeren leeftijd blijkbaar ongunstig. Voor de periode 1870/80 is de uitkomst nog sprekender geweest en is gebleken dat ook do sterfte onkel in do grootere steden tot dezelfde resultaten voerde.

Hiermede is dus stellig uitgemaakt dat elk jaar (voor iederca leeftijd) zijn eigen sterftekans beeft en men alleen dan van eene gemiddelde sterftekans kan spreken, wanneer de uitkomsten van een behoorlijk aantal jaren gecombineerd worden.

In het midden latoiule of eene combinatie uit slechts een tiental kalenderjaren behoorlijke uitkomsten kan opleveren, staat het echter vast, dat dc combinatie moet plaats grijpen met inachtneming van do daareven gevonden uitkomst. Waaneer hot aantal levenden in elk kalenderjaar even groot is, zou de vroeger gevolgde wijze (deoling der som van alle dooden door de som van allo levenden) nog do beste uitkomst blijven geven. Doch wanneer het aantal levenden voor elk kalenderjaar ongelijk is, zal men niet meer zoo mogen handelen. Op de volgende wijze kan worden nagegaan hoe do moest waarschijnlijke waarde uit de tien verschillende opgaven gevonden wordt.

Indien men voor een bepaalden (b. v. 30-jarigen) leeftijd in elk der tien kalenderjaren een nantal personen geobserveerd heeft, die in aantal door de getallen /j, /j, ^ enz. worden voorgesteld en de getallen overledenen in de genoemde jaren (/j, enz.

geweest zijn, zoo leert de waarschijnlijkheidsrekening dat als elk kalenderjaar een eigen invloed op de doodsoorzaken heeft de meest waarschijnlijke sterftekans zal worden voorgesteld door

d. (L d.

Pl ■ 7 • , - -P3 • 7 -^^enz-

_^lJ_'2__3__

Pi Ih Ps ^enz-

waarin p getallen zijn die van twee coëfficiënten en van liet aantal der observation afhangen, en wel zoo dat

1 1

Pl --'rT 5 V2 — O ' ^e'¹¹⁵'

f «² f-

zijn zal. De constante a is dan de middelbare fout dio in de sterftekans van elk kalenderjaar nog zou overblijven als men die vinden kon uit een onbepaald groot aantal

5

— 34 —

3 .

waarnemingen, terwijl — liet vierkant der middelbare fout voorstelt, die ontstaat doordat het aantal waarnemingen niet onbeperkt groot is. Indien de grootheid ot. nul was, zoo geeft de formule dat de som der dooden gedeeld zou moeten worden door de som (lei-levenden.

De waarde ot, bestaat echter duidelijk wel, hoewel zij vooralsnog niet tegenover de tweede constante /3 te bepalen is. liij do samenstelling dor sterftetafels over 1870/80, waarbij de afleiding der stedentafels op dezelfde wijze geschied is als die der geheele

bevolking, geeft de vergelijking dezer uitkomsten aan, dat bij do geheele bevolking de

p

waarde ot!¹ eenige malen grooter is dan j (bij de leeftijden van ongeveer vijftig jaren) Bedenkt men dat daarenboven do aantallen levenden van eenzelfde leeftijdsgroep in de tien kalenderjaren niet groote verschillen vertoonen, zoo volgt daaruit dat de getallen 2J hier bijna gelijk zullen worden en het gevolg is dat, met groote benadering, de beste uitkomst kan voorgesteld worden door

1 I lt;7. (L, d. „ \

tö 11 ■ C ^onz- • ■ ^ t!

en deze formule is dan ook gebruikt.

/3

Wanneer hot aantal observation in elk kalenderjaar gering is, zal de term sterk vergroot worden en heeft dit ten gevolge dat ook in dat geval de som der dooden genomen moet worden en deze gedeeld door de som der levenden. Hetzelfde resultaat komt te voorschijn, als het aantal observation in elk kalenderjaar even groot is.

Vroeger was er groot verschil van gevoelen over de kwestie hoe de uitkomsten van verschillende kalenderjaren moesten gecombineerd worden, er waren zelfs drie onderscheiden wijzen bekend die elk hare voorstanders hadden. Door do bovenstaande formule is de kwestie voor goed uitgemaakt, nu slechts eerst is vastgesteld dat elk kalenderjaar als 't ware zijn eigen sterftekansen heeft.

De beide uiterste gevallen waartoe de algemeene formule aanleiding geeft kunnen ook zeer goed op zichzelf afgeleid worden. Heeft elk kalenderjaar zoo weinig observation, dat de quotiënten van dooden en levenden van elk dezer jaren allerlei onmogelijke uitkomsten geven, zoo zal ieder dadelijk inzien dat nog de minst slechte uitkomst verkregen wordt door alles te zamen als eene enkele observatie te beschouwen en daardoor komt men er toe om de som der dooden te deelen door die der levenden. Heeft men daarentegen voor elk kalenderjaar wel verschillende maar telkens groote aantallen observatiën, zoodat door deeling van dooden en levenden van elk jaar de sterftekans van dit jaar reeds met groote nauwkeurigheid te voorschijn komt, zoo is spoedig in te zien, dat het gemiddelde der sterftekansen van elk der kalenderjaren de beste uitkomst zal geven. Het is er dan mede als in gevallen waarin men met verschillende seriën waarnemingen to doen heeft, waarbij de waarnemingen van elke serie onderling slechts kleine afwijkingen vertoonen, maar de verschillende seriën meer verschillen, hetgeen dan daaraan toe te schryven zal zijn dat bij elke serie een bepaalde constante fout zich heeft doen gelden. Neemt men dan de gemiddelde van alle uitkomsten, zoo zal de constante fout in do serie, waarin toevallig een veel grooter aantal waarnemingen gedaan is, te veel invloed hebben en zal

— 35 —

de beste uitkomst voor den dag komen door eerst het gemiddelde van elke serie op te maken, eu daarna het gemiddelde der zoo gevonden waarden.

Van de middenwaarde der tien sterftekansen is op de gewone wijze de middelbare fout opgemaakt en zijn deze ook in de Tabellen IV en V opgegeven. De waarde dezer fout is bij n waarnemingen

2 i)¹ quot; (« - 1)

en dus bij tien waarnemingen

V

— 36 —

Gchcele bevolking. Mannen en vrouwen.

Getelde afwijkingen.

Men ziet dat deze uitkomsten vrij goed met dio der fbutenwet overeenstemmen en schijnbaar zelfs beter dan de resultaten van 1870—80. Goed beschouwd was echter geen groote overeenkomst te verwachten, daar juist omdat elk kalenderjaar als oorzaak van afwijking te beschouwen is, en er slechts tien kalenderjaren zijn, het niet aangaat te handelen, alsof er van een zeer groot getal waarnemingen sprake is. Voor een klein getal is de overeenstemming tusschen de telling en de berekening echter niet zoo goed als de uitkomsten van 1870—80, daar bij een kleiner getal waarnemingen de getelde fouten in juist tegenovergestelden zin van die der berekening moesten afwijken.

De middelbare fouten, die bij elk dor uitkomsten vermeld staan, zijn veel grooter dan het geval zou zijn, wanneer men de som der levenden moest deelen op de som der dooden, en dus niet op de afwijkingen der verschillende kalenderjaren behoefde te rekenen. Dit maakt de voorgaande beschouwingen van des te grooter gewicht, daar er uit blijkt dat men, niet geheel juist redeneerende, een uitkomst krijgt, waaraan eeno veel grootere fout kan kleven dan men wel meende.

Behalve do op de juiste wijze verkregen sterftekansen, zijn ook op de tabellen de niet zoo juiste getalleu opgeschreven, die men verkrijgt door de som der levenden op de som der dooden te deelen. Deze uitkomsten zijn tusschen haakjes opgegeven en verschillen zeer weinig van de op betere wijze gezochte waarden; dit vindt daarin zijne oorzaak, dat het aantal levenden van de onderscheiden kalenderjaren geen groote verschillen vertoont. Do betere methode geeft dus in ons geval niet zooveel andere uitkomsten, maar zij toont duidelijk aan, wat er is van de nauwkeurigheid die men aan deze uitkomsten mag toeschrijven.

In een volgend Hoofdstuk zal nu nog worden nagegaan iioe de verkregen gemiddelde sterftekansen, wanneer men ze ten opzichte van elkander beschouwt, nog gewijzigd moeten worden om de meest waarschijnlijke waarden te verkrijgen.

VIERDE II O O P D S T U K.

Resultaten \aii de onderlinge vergelijking der sterftekansen van

opvolgende leeftijden.

De tot hiertoe verkregen resultaten geven de beste waarden der sterftekansen, als men deze oj) zich zelf beschouwt en ze niet met elkaar in verbinding brengt. Doch bedenkt men dat de opvolgende leeftijden sterftewaarden moeten vertooneu, die onderling regelmatig verloopen, dan zullen met het oog daarop, de verkregen cijfers nog gewijzigd moeten worden. Wanneer men de sterftekansen voor eiken leeftijd als ordinaten bij de leeftijden als abseissen uitzet, krijgt men punten en zoo men door deze een kromme lijn trekt, zal die over het geheel reeds een regelmatig beloop hebben, maar toch van punt tot punt kleine bochten vertoouen, evenals dit het geval zou zijn wanneer in de sterftekansen kleine foutjes overgebleven waren.

Daar nu bij geheel verschillende waarnemingen hetzelfde hoofdbeloop voor den dag komt, maar de kleine bochtjes op verschillende wijze voorkomen en deze kleiner worden naarmate men betere waarnemingen heeft, mag men zo werkelijk aan kleine fouten toeschrijven, die nu door onderlinge vergelijking voor den dag komen. Daaruit volgt, dat met het voorgaande nog niet de meest waarschijnlijke waarden verkregen zijn.

Men heeft dit reeds lang bedacht, en, bij bijzondere tafels vooral, middelen aangewend om de meer juiste cijfers te bepalen. Dit is gedaan door graphische afronding en door berekening. Onder graphische afronding verstaat men het werkelijk teekenen van een kromme lijn, die zoo weinig mogelijk van de punten afwijkt en toch een regelmatig beloop heeft. Voor de berekening bedacht men velerlei formulen die waarden opleveren voor de sterftekansen ook in verband met de voorafgaande en volgende. Deze formulen zijn alle empirische en niet van willekeur vrij te pleiten, hoewel aan die van Woolhouse eene juiste gedachte ten grondslag ligt. De afronding met behulp der sterfte-formulen van Makeham rust werkelijk op wetenschappehjken grondslag, maar natuurlijk alleen voor die leeftijden, waarvoor deze sterftevvet als geldig mag beschouwd worden. De graphische afronding geeft fraaie resultaten en is te verkiezen boven do empirische formulen; evenwel is het trekken van eene kromme lijn, die maar ongeveer door eenige punten moet gaan, een werk, waarbij steeds eene kleine willekeur overblijft.

Geen der bekende methoden neemt do waarschijnlijkheid in acht der quot;reeds verkregen uitkomsten. Daar in ons geval werkelijk de middelbare fouten van elk der verkregen sterftekansen bekend zijn, heb ik naar eene methode gezocht, die met deze middelbare fouten rekening houdt en waarbij mou tot de meest waarschijnlijke waarden kan besluiten, door eene berekening die wel eene benadering is, maar waarbij niets willekeurigs geschiedt.

— 38 —

Ofschoon reeds een paar malen van afronding gesproken is, moet het volgende dus niet als eene afronding beschouwd worden. Het is een middel om op volkomen juiste wijze een stap nader tot do waarheid te komen.

Wat er ook van den aard der sterftekromine moge

— 39 —

Maar hetgeen nu in liet tweede lid staat, verkrijgt men ook, wanneer men in de vergelijking (1) voor a; = O Q = rt substitueert; men heeft dus in het eerste lid de waarde van P Q — w verkregen, zijnde deze

_M, - P Q ₌ ⁴ foi • quot;-'-O — (^2 ^w-g)......₍₈₎

6

en hiermede is aangewezen hoe P Q van do twee voorafgaande en de twee volgende waarden afhangt, wanneer liet slechts juist is, dat Pquot; P Pa een gedeelte is van een kromme van don derden graad.

Is de kromme lijn, die door de punten gaat, van den vierden graad en dus de vergelijking

?/rrA-)-Ba;-t-Car² Da:^s-t-E.r'',

dan zal do uitdrukking der vergelijking (8) niet meer juist P Q voorstellen, doch dan verkrijgt men

P Q — ⁴ (^'l K-—|) — (gt;2 r-a) _ 2 E /t⁴ 6

Derhalve zal het verschil tusschen P Q en de uitdrukking volgens (S) eene kleine grootheid der vierde orde voorstellen; en men zal nog afzonderlijk moeten zoeken, met welke nauwkeurigheid men handelt, wanneer men toch van de vergelijking (8) gebruik wil maken.

Ingeval de vergelijking niet nauwkeurig genoeg is, kan men P Q laten afhangen van drie volgende en drie voorgaande waarden en dit gedeelte der kromme door een lijn van don vijfden graad voorstellen. Om dan do waarde van P Q af te leiden kan men op dezelfde wijze redoneeren als daareven. Boter nog is het den volgenden weg in to slaan, die eerst nog eens voor het voorgaande geval zal worden opgeschreven.

Is de kromme lijn van den derden graad, dan vormen de termen eene reeks der dorde orde en derhalve zijn de vierde verschillen nul. Daarom zal er tusschen P Q = w, do twee voorafgaande on de twee volgende termen, de betrekking bestaan

M)_2 — 4 W—\ -f- 6 — 4 iv\ M'3 = 0

en daaruit

4 (tc\ -f- ï^—i) — (ws -|- k—2)

_w==---

dat geheel overeenkomt met den reeds op andere wijze gevonden vorm.

Denkt men nu dat door de punten P'quot; Pquot; P P^ eene kromme lijn van den vijfden graad getrokken is, dan zullen do opvolgende termen eene rekenkunstige reeks der vijfde orde vormen, en daar dan de zesde verschillen nul moeten zijn, zal men verkrijgen (wanneer men nog Pquot;^/ Q'quot; —; «lt;'—3 on Py — Q3 «'a stelt)

W—s — 6 W—2 4-15 u'—1 — 20 w 15 iv\_ — 6 ws 4- tvs — 0

waaruit afgeleid wordt

16 (wi -f- ?lt;!_i) — 6 (wst w - 2) -f- Os w-s) ^W =-20 ~.....^

Ingeval deze betrekking niet juist is, omdat de kromme lijn van nog hoogeren graad dan de vijfde is, zal de voorgaande formule de waarde van P Q geven, met inachtneming eener kleine grootheid van de zesde orde.

— 40 -

Wanneer ook deze benadering niet voldoende is, zou men P Q kunnen doen afhangen van do vier voorafgaande eu volgende waarden en zal men op dezelfde wjjze de formule afleiden.

Met behulp van een dezer formules (8), (9) of eene die men verder kan afleiden, zal nu voor elke sterftekans nog eene nieuwe waarde gevonden kunnen worden met behulp der voorafgaande en volgende sterftekansen. Welke der formules zal men daartoe nemen? Natuurlijk die welke PQ met geheel voldoende nauwkeurigheid doet kennen, terwijl men verder, wanneer aan dezen eiscli voldaan is, de meer eenvoudige formule zal kiezen boven do meer samengestelde.

§ 2,

Om de nauwkeurigheid dezer formules te beoordeelen, zou men den aard dor kromme (in ons geval der sterftekromme) geheel moeten kennen en dan, bij voorkeur op de plaats, waar de kromme lijn het onregelmatigst verloopt, nagaan hoe nauwkeurig oen bekende ordinaat met behulp onzer formules uit de voorafgaande en volgende voor den dag komt. Üit is natuurlijk liet hoste middel tor vergelijking. Men behoeft daartoe evenwel de kromme zelf niet volstrekt nauwkeurig te kennen; het is voldoende eene kromme te hebben van bijna hetzelfde beloop en daarop de proef te verrichten.

Nu is hot hoofdbeloop der sterftekanskromme uit vorige waarnemingen wel bekend. In hot bijzonder kon hier gebruik gemaakt worden van de vroeger op groote schaal geteekende kromme der sterftekansen, die zoo na mogelijk sluit aan de waarnemingen van de periode 18G0 tot 1870, Op deze kromme is do proef genomen bij het deel dat hot minst regelmatig verloopt, en zeer scherp is geconstateerd dat zelfs daar de afwijkingen der formule (8) van de juiste waarde kleiner waren dan eene eenheid in do vijfde decimaal, zoodat de meest eenvoudige van onze formules, namelijk (8), volkomen voldoende mocht heeten, en dus over de gehoele kromme deze formule als volstrekt nauwkeurig mag beschouwd worden. Derhalve is voor do verdere berekening steeds van (8) gebruik gemaakt, en voor elke sterftekans w nog eene tweede waarde w' berekend, die gevonden wordt uit;

„„/_ ⁴ («n -i) — (quot;'2 M-a)

^U — ë ......

waar w\ en w-i de twee naastvolgende en iV—\ en w.^o de twee voorgaande sterftekansen zijn.

Deze tweede waarde is evenmin juist als do eerste, niet omdat de formule niet volkomen goed is, want deze geeft de waarde met geheel voldoende benadering, maar omdat wi, tv*, w i en w—z zelve ook met fouten aangedaan zijn. Van deze nieuwe waarde kan men ook do middelbare fout bepalen, want zoo Si, Si, S—i en 5 de middelbare fouten zijn van wi, w-z, w-i en w—2, dan verkrijgt men, volgens de leer der waarschijnlijkheid, dat de middelbare fout in de nieuwe waarde zal zijn:

les; 16§ s ;

quot;se ......(¹⁰⁾

_ 41 —

(Dit volgt uit do stelling dat uls ?lt; — A x -f- B y en do middelbare fout van x en y bedraagt /3 en y, de middelbare fout van het resultaat gevonden wordt te zijn:

|/A2 Qi B2 y²quot;.)

Op deze wijze zijn tui twee waarden bekend voor dezelfde sterftcskans. Men kan deze beide nu nog combineeren op do behoorlijke wijze, daar de gewichten van elk dezer waarnemingen omgekeerd evenredig zijn aan de vierkanten der middelbare fouten en deze dus bekend zijn.

Men vindt, weder naar de gewone regels der waarschijnlijkheid, voor het resultaat dezer combinatie

^ = §- s'² ......⁽¹¹⁾

terwijl de middelbare fout Squot; van deze waarde zal zijn

_-11.........(12)

r(S^J- §'^J)

Voor elk der levensjaren tot 88¹/2 i⁸ volgens de afgeleide formule eene

tweede waarde der sterftekans berekend met hare middelbare fout, en zijn daarna de twee gevonden waarden volgens do formule (11) gecombineerd en de eind-waarde bepaald. De middelbare fout van dezo is uit (12) gevonden.

De uitkomsten dezer berekeningen komen van elk der beide sterftetafels voor in de tabellen VI op do bladzijden (XXVIII tot XLl). Men vindt in do opschriften voldoende aanwijzing over de boteekenis van elk der kolommen. De zoo verkregen eindwaarden vertoonen een regelmatig beloop, hoewel dit lang niet zoo vloeiende getalion zjjii als die welke door de graphischo methode verkregen zouden zijn. Zij behooren echter ook niet met deze vergeleken te worden, daar onze methode niet ten doel heeft de cjjfers af te ronden, maar wel om tot de meest waarschijnlijke sterftekansen te komen. Op zichzelf behoeft de formule (8) niet tot afronding te leiden, daar, bijv. wanneer eene waarde te klein is terwijl de twee volgende en de beide voorgaande sterftekansen alle te groot zijn, het zeer goed mogelijk is, dat de tweede waarde volgens (8) veel te klein wordt en de eindwaarde nog lager komt dan de eerste.

Het regelmatig beloop dat iiier gevonden wordt is meer een bowijs vooi de juistheid der grondcijfors, en daarom wijs ik er hier in hot bijzonder op.

§ 3.

Nadat deze eindwaarden vastgesteld waren bleef nog een stap te doen ovei, namelijk de sterftekansen te bepalen voor de geheele levensjaren. Dit is gedaan met behulp van hetzelfde beginsel, waarop de voorgaande berekening gebaseerd is, nl. dat het beloop der sterftekromme voor oen klein deel weinig afwijkt van eene-algebraïsche kromme van don derden graad. Denkt men weder de vergelijking der kromme lijn

y A -f - B a^- C a:² 4- D x³ en wil men onderzoeken hoe de sterftekans voor een bepaalden leeftijd, bijv. iiO jaicn, afhangt van die der vier naastbijgelegen waarden (nl. die voor 28¹/2₎ 29•i0^,/2 ^cu 311/2 jaren\ zoo kan dit als volgt nagegaan worden. Zoo weder 30 jaren door a wordt

voorgesteld, é™ jaar door h en dus een halfjaar door ^ h en do sterftekansen op 28^,/2, 29¹/2, SO¹^ en ai¹^ jaren genoemd worden f_3, v-1, yi, en vj, dan zullen de volgende vier vergelijkingen gelden:

Dl — A H (a i h) C (« 4- i A)² ü(a^- I A)³ D3 — A li (a -- li) -f- C {ci jp /t)^ -f- IJ [ei — /t)³ «_i — A H- B (« — i A) C (a — l h)² - - ü (« — i h)³ v—-2 ~ A IJ (« — l h) -t- c (a — ^ //)² - D (a — I hf

Uit deze vergelijkingen komt door optelling:

vi -f- ®_i -• 2 A 4- 2 B a 2 C («² | /t²) 2 D (a³ -t- J a /»²)

»3 4- ®-2 -- 2 A -t- 2 B a - - 2 C (a² I A²) -4- 2 D (a³ 4- a h²)

En wanneer nu het negenvoud dor voorlaatste vergelijking verminderd wordt mot do laatste, 011 men dit verschil door 16 deelt, komt er

9 (_gl 4- - (*. 4- _{A ]W( 0a2 D} „3

i O

Daarin is het tweede lid weder juist hetgeen de oorspronkelijke vergelijking wordt, als men x — a substitueert. Derhalve zal

9 (wi 4-»-i) — (fa 4-»—2) /■₁o\ ---Ï6~-------------^¹³)

de sterftekansen voor de geheole jaren opleveren, als v_l eu v₂ die dor uaastvolgendeu op de halve jaren, en y_₁ en y_₂ die der naastvoorgaanden voorstellen. Zij is gebruikt voor elk der levensjaren (gt; tot 88, en do resultaten komen voor in do laatste kolommen der tabellen VI.

Voor de eerste leeftijden konden de sterftekansen niet op deze wijze worden afgeleid, omdat men niet bij 0 kan beginnen, wanneer men eene waarde bepaalt ook in verband met do voorafgaande. Al was deze reden niet afdoende, dan zou men toch voor het begin der tafel anders moeten handelen, daar, zooals vroeger besproken werd, het niet geoorloofd is om als sterftekans voor den leeftijd van een halfjarige het quotient te nemen der dooden en der levenden van 0 tot 1 jaar. Voor de leeftijden 0 tot 5 jaren zijn do sterftekansen gevonden zooals dit in het derde hoofdstuk besproken is. Do voor deze sterftekansen gevonden gemiddelde waarden (zij komen voor op biz. XXVI on XXVII, Tabel Vrt en Yb), die uit den aard der zaak op een nog veel grooter aantal waarnemingen berusten dan die voor do hoogere leeftijden, waren reeds sterftekansen voor geheele levensjaren en zijn ook verder onveranderd gelaten.

Voor de hooge leeftijden kon men door formule (8) ook niet verder komen dan tot de 88 jarige leeftijden. Dit was van weinig belang, daar de sterftekans voor hooger dan 90 jarigen leeftijd toch niet meer uit de gegevens kon worden afgeleid. Voor do leeftijden van 88 tot 90 is het midden genomen tusschen de gemiddelde waarden, terwijl verder als sterftekansen tusschen 90 en 100 jaren de termen opgeschreven zijn van eene rekenkunstige reeks der tweede orde, die bij dezen 90 jarigen leeftijd begint met de

— 43 —

dan nog bekende waarde, terwijl bij 100 jaren de sterftekans gelijk aan do eenheid gesteld is. Het stuk der tafels tusschen 90 en 100 jaren heeft dus niet de minste theoretische waarde en is er dan ook op eene kenbare wijze bijgevoegd door de cijfers der sterftekansen tusschen haakjes te stellen.

§ 4.

De sterftetafels zijn daarna op de gewone wijze uit de sterftekansen afgeleid. Van 100000 levend geborenen is, met behulp der sterftekans voor een nuljarige, berekend, hoevele dooden er in het eerste jaar vallen; dit getal van de 100000 afgetrokken, geeft de overblijvende levenden op 1 jaar. Van dit getal 1 jarigen is weder, met behulp der sterftekans van dien leeftijd, nagegaan hoevele dooden erin het tweedejaar vallen, en deze van de 1 jarigen afgetrokken, verkrijgt men de levenden op tweejarigen leeftijd. Men gaat op dezelfde wijze voort tot allen gestorven zijn.

De sterftetafels vindt men (blz. XLII en XLIII) en wel:

de Mannentafel der geheele bevolking in Tabel Vila.

en de Vrouwentafel in Tabel VIK.

De twee bijgevoegde platen bevatten de lijnen der sterftekansen, zooals deze uit de geheele bevolking voor den dag zijn gekomen.

Het regelmatige verloop der lijnen, ook over de leeftijden waar de grootste variatie in de sterftekansen gevonden wordt, kan zeker aangemerkt worden als te pleiten voor de betrouwbaarheid der grondcijfers en de toepasselijkheid dor hier gevolgde methode.

TABELLEN.

(Tables.)

II

Tubol I((. Mannen.

[llowmes.)

Uitkomsten van twee volkstellmgeiii benevens de geboorten in het tusschen geleyen tijdvak.

Ill

Tabel Ih, Vrouwen.

{Femines.)

Uitkomsten wan twee volkstellingen, benevens de tieboorten in het

tussclicn gelegen tijdvak.

IV

Tabel 11«. Mannen, {Hommes.)

Overledenen gerangschikt naar leeftijd en geboortejaar.

(Zccès c/aascs par aye et par année de naissance.)

24

V

Tabel Ilrt. Mannen. Vervolg.

(Hommes, kuite.)

49

VI

Tabel 11« .Manneu. Vervolg.

(Hommes. Suite.)

Overledenen yerangschikt naar leeftijd en geboortejaar.

{Dtlcès classes par aye et par annce de naissance.)