DOOR

Mr won

HOOGTKLIJNEN.

DOOR

M. C. VAN DOORN,

Luitenant ter zee l quot; klasse,

belast met het onderwijs in de Stuurmanskunst aan het Kon. Tnst. voor de

Marine te Willemsoord.

Met 24 figuren en een Kaartnet met Schaal.

RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT

1976 5019

HELUEU.

C. DE BOER Jk 1890.

W /8

I Igt;T ü O TJ ID.

Biz.

Voorbericht................. 1

HOOFDSTUK I.

Aardsche projectien.............3

HOOFDSTUK II.

Benaderde plaatsen.............12

HOOFDSTUK III.

Hoogtelijnen................30

HOOFDSTUK IV.

Hoogtekrommen..............37

HOOFDSTUK V.

Bepaling van de standplaats door snijding van hoogtelijnen 50

Plaatsverandering tusschen de waarnemingen.....57

Het verbeteren der uitkomst voor de waarschijnlijke fout in het behoud tusschen de waarnemingen . . . G4

Oplossing door construction..........05

Invloed van fouten in de gegevens........71

O o

Berekening van een middagbestek volgens de gewone

O O O O

methode, en volgens de methode met behulp van hoogtelijnen .................78

SCHEMA'S.

Breedte en lengte der benaderde plaats......90

Plaatsbepaling door twee hoogten........92

VRAAGSTUKKEN TOT OEFENING........96

VOORBERICHT.

Met dit werkje heb ik getracht eene handleiding te geven voor de kennis en de toepassing der méthoden van plaatsbepaling op zee, die op het gebruik van hoogtelijnen berusten. Het practische nut van eene dergelijke opvatting van het vraagstuk wordt, sedert de SrM.viMt-methode is bekend geworden, meer en meer gevoeld en aan den Franschen zeeofficier M.vkcq-Saint-Hilaire komt de eer toe, aan het vraagstuk in die richting de meest algemeene oplossing te hebben gegeven. In het verdienstelijk werk »La nouvelle navigation astronomiquequot; van Yvon Yillahceait en Aved de Mao.vac vinden wij deze oplossing behandeld en het moet zeker daaraan worden toegeschreven, dat zij bij ons onder de oneigentlijke benaming van methode Vii.larceau vrij algemeen bekend is geworden.

Het doel, dat ik mij voornamelijk voor oogen gesteld heb, is een eenigszins afgerond geheel te geven voor hen, die de stuurmanskunst reeds hebben beoefend en van deze nieuwe wijze van werken wenschen gebruik te maken. Met voordacht maak ik van deze laatste uitdrukking gebruik, want men bedenke wel, dat zelfs bij de strengste wiskundige oplossing van het vraagstuk der plaatsbepaling de resultaten onzeker blijven, wanneer de omstandigheden zoo ongunstig zijn, dat onvermijde-

lijke waarnemingsfouten gevoelig op de uitkomst werken. Hot gebruik van hoogtelynen geeft echter liet groote voordeel, dat juist die invloed zoo gemakkelijk te zien is. Steeds laeb ik getracht de zaken zoo eenvoudig mogelijk uit de figuren duidelijk te maken en daar naar mijn oordeel de vr.ordeeion der methode het meest op den voorgrond treden bij oplossingen door constructie, zijn deze eenigszins meer uitvoerig behandeld dan gewoonlijk gedaan wordt. Worden doze construction prijs gegeven, dan gaat een groot voordeel, namelijk de aanschouwelijke bo-oordoeling der uitkomsten, verloren.

Willkmsooiu), 1 Mei 1889.

M. C. van Doorn.

f

f

/j -N

$ L *

.tb

HOOFDSTUK I,

Aardsehe projectiën.

Wanneer de hoogte van een hemellicht is gemeten en dooiden tijdmeter de tijd Greenwich op het oogenblik dier waarneming hekend is. dan kan op eene aardglobe een cirkelomtrek worden beschreven, waarop de plaats van den waarnemer moet gelegen zijn. Zij namelijk in figunr 1 het punt S, de plaats aan de hemelsche spheer. waar het hemellicht op bet oogenblik der hoogtemeting zich be-Fig. i. vindt, en denken

wij ons aan die spheer, een cirkel, waarvanS het middelpunt en de bevonden topsaf-stand TS de boogvormige straal is, dan zullen op den • Q omtrek van dien cirkel de toppunten zijn gelegen van alle plaatsen op aarde, waarop -M- het oogenblik, dat het hemellicht zich in S bevindt, een topsafstand TS zal worden waargenomen. Oeze plaatsen op aarde zijn gelegen op den cirkelomtrek tt'tquot;, die op het oppervlak ontstaat, wanneer alle punten van den cirkel TT'T'' door rechte lijnen met het middelpunt M der aarde worden ver-

4

eenigd. Derhalve is de op deze wijze geprojecteerde cirkel tt'tquot; de meetkunstige plaats op aarde, waarop de waarnemer ziek moet bevinden. Elke hoogtemeting geeft zulk een cirkel op aarde, en wanneer slechts het middelpunt bekend is, kan met een krommen passer zulk eene meetkunstige plaats op eene aardglobe beschreven worden. Voor straal neme men dan tusschen de passerpunten een boog van een grooten cirkel der aardglobe, die evenveel graden, minuten enz. bevat, als de bevonden topsafstand bedraagt. Klaarblijkelijk is dit middelpunt het snijpunt s dat op het aardoppervlak ontstaat, wanneer het punt S door eene rechte lijn SM met het middelpunt der aarde wordt vereenigd. Dit snijpunt s wordt de aardsche projectie van het hemellicht genoemd.

Verandert het hemellicht niet van declinatie, dan volgt het tengevolge der dagelijksche beweging des hemels een parallel van den aardbol, terwijl bij declinatieverandering de denkbeeldige afgelegde weg eene spiraalvormige kromme wordt. De cirkels op aarde, waarvan s het middelpunt is, worden gelijke-hoogtecirkels of hoogte-parallellen genoemd. Laatstgenoemde benaming verdient de voorkeur, omdat de kleine cirkels aan de hemelsche spheer, die het toppunt tot pool hebben, ook wel gelijke-hoogtecirkels genoemd worden. De ligging van de aardsche projectie van een hemellicht wordt even als elk ander punt op aarde bepaald door aardsche breedte en aardsche lengte, en wanneer voortaan kortheidshalve gesproken wordt van aardsche breedte of lengte van een hemellicht, worden daarmede de aardsche breedte of lengte van de aardsche projectie bedoeld. Uit de figuur nu blijkt dadelijk, dat de aardsche breedte ot de boog sq gelijk is aan de declinatie van het hemellicht op het oogenblik der waarneming. Stelt verder pg den meridiaan van Greenwich voor, dan is ook de boog gq de aardsche lengte. Aan de spheer wordt die lengte gemeten door den boog GQ, zoodat de aardsche lengte gelijk is aan den uurhoek van het hemellicht ten opzichte van den meridiaan van Greenwich. Die uurhoek of de tijd Greenwich van het hemellicht op het oogenblik der waarneming kan altijd met behulp van den tijdmeter worden gevonden, zoodat door eene hoogtemeting met daarbij behoorende tijdmeteraanwijzing de cirkel, waarop de waarnemer zich bevinden moet, volkomen bepaald is. Nemen wij nu de aardsche lengte altijd

Westelijk, dan is in het algemeen: Aardsche lengte in tijd = Tijd Greenwich van het hemellicht en wanneer het de zon geldt: Anrdsche lengte in tijd = Ware tijd Greenwich.

Deze ware tijd Greenwich wordt gevonden door op de aanwijzing van den tijdmeter den stand tot middelbaren tijd Greenwich toe te passen, waarna door toepassing van de tijdvereffening de ware tijd Greenwich wordt gevonden. Daar echter de wijzerplaat van een tijdmeter slechts in 12 uren verdeeld is, verkeert men dan nog in onzekerheid of de aldus verkregen tijd Greenwich geldt voor na 12^u 's nachts of voor na 12^u 's middags. Deze twijfel wordt echter dadelijk opgeheven door niet behulp van de gegiste lengte en den gegisten tijd a/b na te gaan, hoe groot do Westelijke uurhoek voor Greenwich ongeveer zijn moet. Heeft uien bijvoorbeeld eene waarneming gedaan des morgens te 8^U op 90° W.l^e bij eene tijdmeteraanwijzing — 10^u 14^m, terwijl de stand van den tijdmeter 4^U (-[-) bedraagt, dan is:

Aauw. tijdm.. . . = 10^u 14^m Gegiste tijd a/b. = 8^U's morg.

Stand.......= 4quot; Oquot;¹ (-)-) W.l^e in tijd. . . = ii^u

Midd. tijd Greenw. = 14^u 14^m Gegiste tijd Gr. = 14^u - 2^u'snam.

De westelijke uurhoek van de zon is dus, op liet oogenblik der waarneming, te Greenwich ongeveer 2quot;. derhalve moet de aardsche

O⁷ o

lengte van de zon ook ongeveer dit bedrag bezitten. In dit geval moet dus de tijd Greenwich, die de tijdmeter geeft, met 12^u worden verminderd. Had men zich daarentegen op 90° 0.1° bevonden, dan is:

Gegiste tijd a/b = 8^U 's morg.

0.1^C in tijd = 6^U

Gegiste tijd Gr. = 2quot; 's morg.

of Westelijke uurhoek zon te Greenwich = aardsche lengte zon in tijd = 14quot; ongeveer.

Voorbeeld. Den 10^en Januari 1888 des morgens ongeveer te

O o

11^u 30^m is op 22° 30' geg. W.l^e eene waarneming gedaan op het oogenblik, dat de tijdmeter 3quot; 12^m 24^s aanwijst. Indien de tijdmeter 2^U 16^m 12⁵ vóór is op den middelbaren tijd Greenwich, vraagt men de aardsche breedte en lengte van de zon voor dat oogenblik?

Aanw. tijdm.....= 3gt;^ll 2^2 !^s Gegiste tijd a b — 1 l^u30^ra 's morg.

Stand.........=2^u]()^m12^s(—) Wl^u in tijd . . =: l^u30^m

Midd. tijd Greenw . . =z0^u50^m12³ Gegiste tijd Gr. =: 13quot; O^m = l^u van 10 Jan.

Tijdvereffening. . . . = 7ⁿⁱ40^s(—) 10 Jan. te O^u m.t. Gr.

Ware tijd Greenw. . . ~0^u48^ngt;32^s ^ I !i^l'^v.......— 7^,quot;o9quot;,l aftr. m.t.

Aardsclie lengte int yd — 0^u48^n,32³ Viiand. in 56 . . . .--0_^9 (-1-)

10 Jan. te 0^u56^m m.t.

Gr. Tijdv. . . = 7^m40^s,0

10 Jan. te 0^U m. t. Gr. © Z. deel. . . . = 21° 59' 55''

Verand. in 56^m............= 21quot;{—)

10 Jan. te 0^U 5G^m m.t. Gr. 0 Z. deel. = 21° 59 34quot;

Aardsclie breedte...........=21° 59'34quot; Z.

Daar Aardsclie lengte = Tijd Greenw. van liet hemelliclit is, kunnen wij niet behulp van de bekende formule:

\V^C. uurh. © -[- H. O. © = \V^e. nurh. * -j^- l»• quot;• *, ook gemakkelijk de aardsclie lengte van elk ander hemelliclit vinden. In de formule wordt dan de W^e. nurh. ©, de \V^e. uurh. ® te Greenwich, terwijl de R. O. © voor dat oogenblik wordt genomen.

Ilct eerste lid der vergelijking stelt dan de E. O. van den meridiaan van Greenwich voor en deze verminderd met de K. 0. van de ster,

geeft den Westelijken uurhoek van de ster te Greenwich of de aardsclie lengte. Dikwijls is het dan gemakkelijk de middelbare zon te gebruiken, waarvan de 11. O. onder het hoofd »Sidereal timequot; in den nautical almanac wordt gevonden. In den almanak van Büijs vindt men haar onder het hoofd »Sterretijd op den middelbaren middagquot;. Was bij voorbeeld in bovenstaand voorbeeld de aardsclie breedte en lengte van Spica gevraagd, dan vinden wij in den zeemansalmanak:

10 Jan. 18S8 Z. deel. Spica = 10° 34' 28quot; » » R. O. Spica = 13^u 19^m l()^s,9.

Aanw. Tijdm..... - 3^u12^m24^s,0 10 Jan. te 0quot; m.t. Gr.

Stand........= 2^ulG^m12^s,0(—) R. O. midd.© . . = 19^u17ⁿⁱ48^s,5

Midd. tijd Greenw. . ~ 0^u5G^m12^s,0 Verand. in

R. O. midd. ©. . . . = 19^u17^n,57^s,7 5G^m==9^s,8G X 0,93 = 9^S,2

R. ü. merid. van Gr. = 20quot;14^m 9quot;,7 10 Jan. 0^U 5Gquot;¹ m.t. Gr.

R. 0. Spica.....= 13^u]9^mlG',9 R. O. midd. © . . . = 19^u17^m57%7

W^e. uurh. Spica te Gr. = G^u54^m52^s,8

Aardsche lengte Spica = üquot;54^lll52^s,8 Aardsclie br. Spica -- 10° 34' 28quot; Zuid.

7

Het gebruik van de middelbare zon geeft bekorting omdat men dan geene tijdvereflening behoeft toe te passen.

Fig. 2. Denken wii ons nu

P

alle punten en denkbeeldige lijnen aan de hemelscbe spbeer op dezelfde wijze als nu geschied is op het bolvormig oppervlak der aarde geprojecteerd, dan verkrijgen wij daarop eene gelijkvormige voorstelling van alle bolvormige figuren, die wij aan de spbeer voor onze berekeningen gebruiken. Bepalen wij ons voorloopig tot den pooldriehoek en stelt bijv. m figuur 2 T de plaats van den waarnemer op aarde voor, S de aardsche projectie van het hemellicht en P de aardsche pool, dan is driehoek P T S dezelfde driehoek als de pooldriehoek aan de •éf- spbeer en de cirkel, die uit S met den boogvormigen straal T S

wordt beschreven, de hoogteparallel en wel voor een waarnemer die uit een punt T een topsafstand S T verkreeg, op het oogenblik dat de aardsche projectie van het hemellicht het punt S is. Door dit overbrengen op het oppervlak der aarde kunnen wij nu de bogen, hoeken en punten, die wij voor onze berekeningen gebruiken, in direct verband beschouwen met onze werkelijke standplaats op aarde, waardoor dikwijls meer aanschouwelijk zal blijken welke eigenaardigheden zich bij de oplossingen der vraagstukken voor de plaatsbepaling kunnen voordoen. Zoo zien wij bijvoorbeeld dadelijk uit figuur 2 dat de breedteberekening uit den pooldriehoek met de gegevens topsafstand, uurhoek en declinatie, twee uitkomsten T en T' moet geven en dat voor liet punt T de breedte kleiner is dan de gelijknamige declinatie. Evenzoo dat de berekening van den uurhoek met de gegevens breedte, topsafstand en declinatie twee uitkomsten «v moet geven, omdat de breedteparallel de hoogteparallel in twee

punten T' en Tquot; snijdt. De eene uitkomst geeft een Oosteliike, de andere een Westelijke uurhoek, doch overigens zijn zij aan elkander gelijk omdat beide driehoeken PT'8 en PTquot;S door de gelijkheid der

i

zijdeu gelijk en gelijkvormig zijn. Ook zien wij nu meer gemakkelijk hoe het hemellicht zich ten opzichte van den waarnemer verplaatst, terwijl liet ook een belangrijk voordeel mag genoemd worden, dat wjj nu de gegiste plaats in verband met de hoogteparallel, dat is in verband met de meetkunstige plaats waarop het schip zich bevinden moet, kunnen beschouwen. In het volgende hoofdstuk zal dit nader worden aangetoond.

Ten einde onze bedoeling duidelijker te maken zullen wij het gebruik van aardsche projectiën op eenige bekende vraagstukken der stuurmanskunst toepassen en daarvoor beginnen met de herleiding eener hoogte tot een ander toppunt.

Zij in figuur 3 a de plaats op aarde van een waarnemer, die een topsafstand S a heeft waargenomen en die zich daarna met een koers K naar een punt c verplaatst; de afgelegde verheid a c = V

en de peiling van het hemellicht of hoek Z T S = T stellende, zal / cal) =r T — K zijn. Nu verlangt de waar-h nemer te weten hoe groot de topsafstand van S op het oogenblik der hoogtemeting in het punt c zou zijn waargenomen en het is duidelijk dat deze topsafstand in de figuur voorgesteld wordt door den boog S b, die gevonden wordt door den boog S a te verlengen en uit S als middelpunt een cirkel te beschrijven gaande door het punt c. De correctie C, die dan op den topsafstand S a of op de gemeten hoogte moet toegepast worden, wordt dan voorgesteld door het boogje a b, en het driehoekje abc als plat en rechthoekig in b beschouwende is:

ab ~ ac cos. cab.

of C = V cos. (T—K).

Wij zien nu dadelijk, dat het gebruik van bovenstaande formule slechts nauwkeurig blijft voor zulke kleine verplaatsingen van den waarnemer, dat het driehoekje abc nog als plat mag beschouwd worden. Peilt de waarnemer het hemellicht dwars op zijn koers, zooals in het punt d, dan geeft de formule C = o en het is dui-

O

(lelijk dat ilit alleen waar blijft, zoolang liet stukje, dat op de raaklijn of de koerslijn wordt afgelegd, nog als samenvallend met de hoogteparallel der eerste meting mag beschouwd worden. Evenzoo blijkt gemakkelijk uit de figuur dat de afgelegde verheid in grootte rechtstreeks op den topsafstand of de hoogte overgaat, wanneer koers en peiling samenvallen, of wel het hemellicht recht vooruit of recht achteruit gepeild wordt. Brengt de koers den waarnemer dichter bij 8, dan zou op de tweede plaats de topsafstand kleiner zijn bevonden, dan op de eerste en mitsdien de hoogte grooter zijn gemeten, terwijl bij verwijdering van 8 het omgekeerde het geval zou zijn. Van daar de practische regel voor de hoogteherleiding tot een ander toppunt:

Hemellicht voorlijker dan dwars. . . C ( ). » achterlijker » »...(' (—).

» dwars...........C = o.

» recht vooruit.......C = -(- V.

» » achteruit ...... C = — V.

Een ander vraagstuk, dat zeer geschikt is om met behulp van aardsche projectiën te worden beschouwd, is het verbeteren der tijdmeterlengte voor eene fout in de breedte, en wel omdat dan eene aanschouwelijke voorstelling wordt verkregen van de verschillende gevallen, waarin Oost of West wordt verkregen. Zij namelijk S fig. 4 weder de aardsche projectie van de zon, waaruit als middelpont eene hoogteparallel niet een topsafstand KT is beschreven, Elt; gt; de aardsche equator en P de noordpool der aarde, dan zal voor alle waarnemers, die zich op deze hoogteparallel bevinden, de breedte gelijknamig zijn met de declinatie. De verplaatsing van S tengevolge der dagelijksche beweging geschiedt in de richting van het pijltje; derhalve is het voor alle waarnemers op den halven cirkel lyiTf. voormiddag, terwijl het voor waarnemers op de andere helft-van den cirkel, die de zon reeds in den meridiaan hebben gehad, achtermiddag is. In de punten T en T₂ wordt de zon in den eersten verticaal gezien; in de punten T, en T.. in den meridiaan. Wij weten dat de beide eerste punten het geval opleveren, dat eene fout in breedte geen invloed op de lengte uitoefent, doch de figuur toont aan, dat dit slechts binnen zekere grenzen doorgaat, want de fout

10

iu breedte mag niet' grooter worden dan liet stuk, dat de rakende meridiaan nog als samenvallend met de lioogteparallel mag beschouwd Fig. ], worden. Een waarnemer nu in

p een punt t, gelegen tussclien T

en T], zal wanneer hij zijn uurhoek voor eene grootere breedte berekent, den uurhoek uit driehoek Pt'S oplossen en dus het punt t', dat is eene Oostelijker standplaats vinden, terwijl verder uit de figuur blijkt, dat in de opvolgende quadranten eene hoogere breedte beurtelings West en Oost zal geven. Klaarblijkelijk hangt het teelten van AP direct van het azimuth af, en

zal de lijn, die loodrecht op de azhnuthale richting van het hemellicht wordt getrokken, en dus de plaatselijke richting van de hoogteparallel aangeeft, altijd bepalen of hoogere breedte Oost dan wel West geeft.

Beschouwen wij nu de formule, waarnaar Tafel XXXII van 15 rouwe it berekend is, namelijk:

- AP = iin- niAbof - AP = (A-B)Ab.

/tg. 1' sin. r J en schrijven wij deze onder de gedaante:

cos. P tg b — tg. d

AP =

sm.

dan is voor het oogenblik dat de zon zich in den eersten verticaal bevindt, dus voor het punt T of T₂,

cos. P = of cos. P tg. b — tg. d = O....., (!)•

tg. I)

Voor de opvolgende punten t tusschen T door Tj tot To is P altijd kleiner en Ij altijd grooter dan in vergelijking (1), derhalve ook cos. P tg. b altijd grooter dan tg. d, dus A—B altijd positief. Daarentegen is tusschen T door T₃ tot T^, A—B altijd negatief want tg. b wordt nabij T en T₂ dadelijk kleiner dan in vergelijking (1),

11

terwijl cos. P begint met nagenoeg niet te veranderen. Daarna wordt b lt; d dus cos. P tg. b lt; tg. d en misdien A—B negatief. De figuur in verband met de formule beschouwd, geeft dus als regel:

A — B positief hoogere breedte geeft gt; ^v0quot;^rmiddag^{s 0ost}-

' namiddags West.

A-B negatief » » » | voormiddags West.

' namiddags Oost.

Teekent men eene dergelijke figuur voor Zuiderbreedte, dan ziet men gemakkelijk in, dat ook dan dezelfde regel doorgaat. Zijn breedte en declinatie ongelijknamig, dan komt de zon b jveu den horizon niet in den eersten verticaal; AP kan dan nimmer = o wórden, hetgeen de formule ook aangeeft doordien ze door de verandering van het teeken der declinatie overgaat in - AP = (A B) A b.

Trekken wij nu in de figuur den equator als de lijn E'Q' dan verkeeren alle plaatsen, die daarboven gelegen zijn, in het bedoelde geval, en aanstonds blijkt uit de figuur, dat des voormiddags hoogere breedte altijd Oost en des namiddags altijd West moet geven.

HOOFDSTUK II.

Benaderde plaatsen.

Nu wij gezien hebben dat ééne hoogtemeting slechts een cirkel op aarde geeft, waarop de waarnemer zich bevinden moet, is het ook duidelijk, dat in het algemeen ééne hoogtemeting onvoldoende is voor absolute plaatsbepaling. Hiervan is uitgezonderd het geheel theoretische geval, dat liet hemellicht juist in top staat, want dan valt de aardsche projectie van het hemellicht samen met de plaats van den waarnemer. Eerst wanneer meer dan ééne hoogte wordt gemeten, kan door snijding der hoogteparallellen plaatsbepaling worden verkregen. Eene hoogtemeting stelt ons echter in staat het gegist bestek te verbeteren of de ware plaats, die op de gevonden hoogteparallel moet gelegen zijn, te benaderen. Zij namelijk in hg.

5 t de gegiste plaats van den waarnemer, S de aardsche projectie van liet hemellicht op het oogenblik dat een topsafstand ST is waargenomen, zoodat de ware plaats op den omtrek van den cirkel ST moet gelegen zijn. Trekken wij nu de breedteparallel van het punt t, dan zal het snijpunt T met de hoogteparallel de benaderde plaats zijn, die de berekening der tijdmeterlengte geeft. Immers daarvoor berekenen wij uit driehoek PT8 den uurhoek SPT met de gegevens declinatie, hoogte en gegiste breedte, en deze uurhoek toegepast op de aardsche

lengte van het hemellicht geeft de bedoelde lengte.

13

Trekken wij nu den meridiaan van de lt;ret;i.ste plaats t, dan zal het snijpunt T' de benaderde plaats zijn, die verkregen wordt door de breedteberekening uit den pooldriehoek PT'S, waarvan de declinatie, de hoogte en de gegiste uurhoek SPT' zijn gegeven.

Eene derde benaderde plaats is het snijpunt Tquot; van Maucq-Saixt-Hilaire, dat verkregen wordt door de gegiste plaats t door een grootcirkelboog met de aardsche projectie S te vereenigen. Dit is het punt, dat door Villarceaü in 7A\\\c ■»Nouvelle navigation astrono-miquequot; »Le point le plus rapprochéquot; wordt genoemd, omdat het van alle punten der hoogteparallel het dichtst bij de gegiste plaats ligt. Zoolang dus die gegiste plaats de eenige aanwijzer is voor de ware, wordt door Tquot; als benaderde of verbeterde plaats aan te nemen op de meest rationeele wijze benaderd. Het punt Tquot; luistert als 't ware het best naar de eenige aanwijzing. Terwijl men zich nu bij de twee eerstgenoemde benaderingsmethoden uitsluitend ten doel stelt om of alleen de lengte of alleen de breedte te benaderen, tracht men bij de laatste methode zoowel de lengte als de breedte gelijktijdig te benaderen. De beide eerste maken slechts van een gedeelte dei-aanwijzing gebruik, want slechts eene der coördinaten van de gegiste plaats wordt • als gegeven ingevoerd; de laatste gebruikt de aanwijzing geheel, want zoowel de lengte als de breedte der gegiste plaats zijn noodig om de benaderde plaats Tquot; te vinden. Zoowel voor de tijdnieterlengte als voor de hier bedoelde breedtebepaling is men aan zekere omstandigheden gebonden; voor de eene is een azimuth van omstreeks 90° voordeelig, voor de andere een azimuth van omstreeks 0° of 180°, zoodat wat voor de eene gunstig is, ongunstig wordt voor de andere. Naarmate voor deze methoden de omstandigheden ongunstiger worden, zal ook de kans op benadering geringer worden en begint men zelfs gevaar te loopen, dat het vraagstuk geene oplossing meer geeft. Voor een punt t' bijvoorbeeld, waarvan de breedteparallel geene snijding meer geeft met de hoogteparallel, zal de berekening der tijdmeterlengte een onbestaanbaar geval opleveren. Daarentegen geeft de berekening dei-benaderde plaats volgens Maucq,-Saixt-Hilaire altijd oplossing, terwijl het van het azimuth bij de hoogtewaarneming zal afhangen of de lengte dan wel de breedte de meeste kans heeft van benaderd

14

te zijn. Uitgezonderd hot geval dat geene benadering meer kan verkregen worden, omdat de gegiste plaats juist op de lioogteparallel valt, mag aangenomen worden, dat voor toepassing in de practijk Ma uq-Saim'-Hii.a ihe altijd benadering geeft. Ivans op geen benadering kan alleen ontstaan, wanneer de mislt;nssinlt;ï zoo groot en de

o o o o

straal der boogteparallel zoo klein is, dat de gegiste plaats haar karakter als aanwijzer begint te verliezen. En dit zal nimmer voorkomen zoo lang nog mag worden aangenomen dat het gedeelte der hoogteparallel, waarop de benaderde en de ware plaats zijn gelegen, nog als rechte lijn verloopt. Dan toch zal de benaderde plaats altijd dichter bij de onbekende ware plaats moeten gelegen zijn dan de gegiste, zoodat ook daarom de aldus benaderde plaats het dichtst hij liggende punt kan genoemd worden. Echter is het juister en leidt het tot beter begrip der zaak om de ligging het dichtst hij den aanwijzer voorop te stellen. De grootcirkelboog van de gegiste plaats naar de aardsche projectie van het hemellicht geeft de azimuthale richting van het hemellicht uit de gegiste plaats aan, zoodat die richting ook wel het gegist azimuth wordt genoemd.

'schouwen wij thans de betrekkelijke waarden der drie methoden eenigs-zins nader:

Zij fig. G T de ware plaats van het schip, MX een gedeelte der hoogteparallel, dat zoo klein is, dat het nog als eene rechte lijn mag beschouwd worden, terwijl wij verder ook aannemen, dat het gedeelte der aardoppervlakte, dat wij voor onze beschon-winu'en noodiy hebben,

o o ⁷

nog een plat vlak blijft, waarop richtingen door

15

rechte lijnen kunnen aangegeven worden. Do lijn /Z' loodrecht op MN geeft dan de richting van het azimuth, de lijn l'T die van den meridiaan van T aan. Voorts stellen wij / Z'TP'of het gegist azimuth = a en de misgissing — a.

Beschrijven wij nu uit T als middelpunt een cirkel met de misgissing a als straal, dan ontstaat de gegiste-plaatscirkel, die dooide lijnen MN en ZZ' in vier qnadranten verdeeld wordt. Beginnen wij nu met voor do gegiste plaats hot punt A aan te nemen, dan geeft de tijdmetorlengteberekening het punt t, Saixt-1 Iilaire het punt v en de hreedteberekening het punt b. Beschouwen wij nu achtereenvolgens de vier quadranten links omgaande, dan zien wij: l^e. Quadrant. Sai.vt-Hil.uhk geeft altijd beter benadering dan tijd-meterlengte en altijd benadering, die de tijdmeter-lengte van B tot C niet meer geeft. 2^C. » Tijdmeterlengte geeft beter benadering tot aan punt D. Van D tot E geeft S.vi.vt-Hil.urio weer boter benadering.

3quot;. » Saint-Hilaire geeft altijd beter benadering. De tijdmeterlengte geeft geene benadering van F tot G. 4^e. » Tijdmeterlengte geeft beter benadering van G tot H. Van H tot K weder Sai.vt-Hil.vire.

Hieruit blijkt, dat de twee sectoren, waarin de tijdmeterlengte beter benadering geeft, kleiner zijn dan die, waarin Saixt-Hilaiue betere benadering geeft, terwijl bovendien zich gevallen voordoen, waarin de tijdmeterlengte geene benadering geeft. Daar nu de betrekkelijke ligging van de gegiste plaats ten opzichte van de ware geheel onbekend is, volgt uit het bovenstaande, dat do Saixt-hilaiiie-methode betere kansen van benadering geeft dan de tijd-meterlengte-methode. Construeert men dergelijke figuren voor azi-muthen, die kleiner ziju, dan zullen de sectoren, waarin de tijd-meterlengte beter benadering geeft, steeds kleiner worden, totdat bij een azimuth van 0° of 180° de Je tijdmeterlengte in het geheel geene benadering meer g'eeft. Daarentegen zullen voor grootere azimuthen die sectoren wel grooter worden en dus de kansen voor de tijdmeterlengte wel verbeteren, maar eerst bij een azimuth van 90° worden de kansen voor beide methoden gelijk. Dergelijke figu-

1(3

ren geven dus eene aanschouwelijke voorstelling van de kansen van benadering, die de verschillende methoden voor een bepaald azimuth geven. Op dezelfde wijze kunnen ook gemakkelijk de sectoren, waarin breedteberekening voordeelig zou zijn, worden geconstrueerd. Men vindt dan op dezelfde wijze, dat de kansen van benadering altijd beter zijn voor Saint-Hilaiue en eerst gelijk worden aan die der breedteberekening, wanneer het azimuth 0° of 180° wordt. Wij kunnen nu ook de grootte van de gemiddelde fout, die elke methode geeft, gemakkelijk vinden. In fig. 7 zal, wanneer de gegiste plaats in het punt A valt, de grootste fout Tt = a cosec. a door de tijdmeter-lengteberekening worden gemaakt, terwijl in het punt B die fout = 0 is. Voor een punt A' dat /3° van A ligt, zal die fout zijn: Tt' = Tc cosec. a = a cosec. a cos. /?.

Nemen wij nu /3 van A af rechts omgaande telkens 1° grooter, dan verkrijgen wij voor de fouten der tijdmeterlengte tusschen de maximum fout en de fout = o de serie: a cosec.«, a cosec. a cos. 1°, a cosec. a cos. 2° enz. en derhalve voor de gemiddelde fout ft

van eene enkele uitkomst ft

In dezelfde figuur stelt Tb de grootste fout voor, die voor eenzelfde misgissing en azimuth de breedteberekening kan geven, terwijl die fout 90° verder in het punt C — o zal zijn. Alsnu vinden wij voor de maximumfout:

Tb = BT sec. z = a sec. y.

en voor een punt B', dat weder /?⁰ van B ligt.

17

Th' ii= TM sec. z =: a sec.« cos. /3

De gemiddelde fout der enkele uitkomst fb noemende ■wordt dus weder:

„ 1 -f- cos. 1° -j- cos. 2° 4-.....cos. 89°

lb = a sec. y. —!-¹-——

De maximumfont, die Saixt-Hilaire kan geven, is natuurlijk = a, en voor een willekeurig punt D = a cos. /?, zoodat liet geene nadere toelichting behoeft, dat deze voor bedoelde gemiddelde fout geeft:

„ _ 1 cos. 1° -(- cos. 2³ -|-.....cos. 89°

^tv - ^a ........ ......... 90

Voor de gemiddelde fouten vinden wij dus de verhouding:

fv : ft : fb = 1 : cosec. z : sec. z.

De methode der benaderde plaats volgens Saixt-Hilaire bezit dus de kleinste gemiddelde fout en heeft dus als benaderingsmethode de grootste waarde. Nu zien wij uit fig. 6:

Av - Av.

At — Av cosec. x Ab = Av sec. y.

waaruit blijkt dat ook de afstanden der drie benaderde plaatsen tot de gegiste plaats zich verhouden als de gemiddelde fouten en derhalve de waarde van elke methode geheel bepaald wordt door den afstand tot de gegiste plaats. Denken wij ons nu in plaats van de hier gebruikte platte, de bolvormige figuren, dan blijft ook de benaderde plaats volgens Saint-Hii.aire op den kleinsten afstand van de gegiste plaats, en moet deze dus evenzeer de beste kansen op benadering geven.

Daar volgens de waarschijnlijkheidsleer de gewichten van benaderde uitkomsten omgekeerd evenredig zijn met de quad raten dei-gemiddelde fouten dier uitkomsten, zijn de gewichten van onze drie uitkomsten:

Voor Saint-Hilaire : .... 1

» Tijdmeterlengte: . . . -5— = sin. ~x

cosec. -x

» Breedteberekening; . . -------- - = cos. quot;x.

sec.~y

Laten wij thans nagaan wat het resultaat zal zijn, wanneer wij de uitkomsten Tijdmeterlengte en Breedteberekening tot ééne uit-

18

komst combineeren, en daarvoor beide volgens hun gewicht in rekening brengen. Om de uitkomsten b en t in grootte figuurlijk voor te stellen, kunnen wij natuurlijk een willekeurig punt op de lijn MN aannemen.

Nemen wij voor het gemak het punt v, dan worden de twee bedoelde uitkomsten in grootte voorgesteld door vt en — vb (fig. G). Vermenigvuldigen wij verder iedere uitkomst met haar gewicht en deelen wij de som dier producten door de som der gewichten, dan is:

. vtsin².x — vbcos^s.a Meest waarschijnlijke uitkomst =

sin³, se cos³, a — Av cotg. y. sin³.« — Av tang.« cos³, a = 0.

Hieruit blijkt dus, dat het punt v als uitkomst verkregen wordt en bijgevolg dat de uitkomst Saixt-Hilairk wordt verkregen, wanneer de twee uitkomsten tijdmeterlengte en breedteberekening ieder volgens hun gewicht in rekening worden gebracht. Strikt genomen, mogen de kansen van benadering voor Saixt-Hilaire en tijdmeterlengte eerst gelijk beschouwd worden, wanneer de waarnemer zich op 0° breedte bevindt en ook de declinatie van het hemellicht = 0 is. Dan toch wordt de breedteparallel een grootcirkelboog, en geven beide methoden hetzelfde snijpunt^

De ligging van de verbeterde stand-

oo o

plaats volgens Saint-Hilaire, die wij voortaan kortheidshalve de benaderde plaats zullen noemen, kan op de navolgende wijze worden berekend. Zij fig. 8 t de gegiste standplaats en S de aardsche projectie van de zon op het oogenblik dat een topsaf-stand = ST is waargenomen. Alsdan is in drieh. PtS:

Pt = 90° — gegiste breedte = 90° — b. / SPt = uurh. voor de plaats t — P.

I'S — 90° — declinatie — 90° — d. Dexc uurhoek voor de gegiste plaats t wordt gevonden door op den middelbaren tijd Greenwich op het oogenblik der waarneming de tiidveretfening en de gegiste lengte

o o . j o o ~ ~

in tijd toe te passen. Men verkrijgt dan den gegisten waren tijd aan

19

boord, of den nnrliock van de ware zon op de gegiste plaats. Is een ander hemelliclit dan de zon waargenomen, dan lean daarvan do nnr-lioek voor de gegiste plaats worden gevonden met de bekende formule: © W^u. nurh. R. O. © =: * VV^C. uurh. -)- K. 0. * Men behoeft dan den middelbaren tijd niet door toepassing der tijdvereffening tot waren tijd te herleiden, indien men slechts de rechte opklimming van de middelbare zon gebruikt, die onder het hoofd »Sidereal timequot; op biz. II van elke maand in den nautical almanac wordt gevonden.

Alsnu kan uic drieb. PtS de topsafstand St —: n. die de gegiste topsafstand wordt genoemd, worden berekend als volgt:

cos. St 11= cos. PS cos. Pt -j- sin. I'S sin. Pt cos. SPt.

cos. n = sin. b sin. d -[- cos. b cos. d cos. P.

^C0S' ^ = sin. b 4- cos. b cotg. d cos. P.

sin. d ^ ⁰

Stollende cotg. d cos. P = tano-, © dan wordt:

O O i

cos. n • i , , , sin. b cos. © 4- cos. h sin p

——- = sm. b h— cos. b tang. v —

sm. d cos. cp

sin. (b -f ü) . ,

cos. n = -—-—— sm. d.

cos. tp

Dit is do gewone bekende formule voor de hoogteborekening, en waarbij moet worden acht gegeven op de teekens: zijn breedte en declinatie ongelijknamig dan geeft men d het negatieve toeken, terwijl ook cos. P negatief wordt, wanneer i' grootor dan G nnr is. Het eenio-o verschil dat de teekons kunnen aanbrengen is, dat tp

o O ⁷ r

positief of negatief moet genomen worden dus b -j- p of b —• ip. Vindt men tang. (p negatief dan kan ook in plaats van © negatief te nemen, de stompe waarde van lt;p of 180° — tp worden gebruikt, waardoor dezelfde uitkomst zal verkregen worden. Noemen wij nu den topsafstand, die door waarneming gevonden is, n' dan is;

Tt = n — n' = p.

Dit verschil in topsafstand, dat ook het verschil is in de waargenomen en do berekende hoogte, zullen wij voortaan hot hoogtererschü noemen.

Voor de berekening van den hoek PtS = t, dien wij vroeger hot go-gist azimuth hebben genoemd, laten wij uit S een loodrechten boog SA op Pt neder, alsdan is in don bolvorniigen rechth. drioh. SAP: tang. AP = tang. SP cos. SPA r= cotg. d cos. 1' =r tang. tp derhalve:

20

AV — f en At = Pt — Al' = 90° — (b lt;p)

Voorts is in de bolv. reclitli. driehoeken: APS en AtS:

tang. AS = siu. AP tang. SI'A =: sin. At tang. StA.

of; sin. lt;p tang. 1' = cos. (b p) tang. t.

dus cotg.t = 9} _cot p

sin.9

Omtrent de teekens valt op te merken, dat cos. (1) ?) negatief wordt, wanneer b -j- o grooter dan 90° wordt, dat sin. lt;p negatief wordt, wanneer o negatief is en cotg. P neg. wordt, wanneer P grooter dan 6quot; is; cotg. t kan dus positief of negatief worden. In liet laatste geval neemt men de stompe waarde 180°—t.

Alsnu is in drieli. PTt bekend:

Tt p Pt — 90°—b ^ PtT - t

zoodat daaruit Pï of bet complement der breedte van de benaderde plaats en TPt of bet lengteverschil tnsschen de benaderde en de gegiste plaats kan worden gevonden. Die berekening kan echter veel vereenvoudigd worden door het hoogteverschil p te beschouwen als een stukje van een loxodroom, waarvan het berekende azimuth t de koershoek is. Daar p eene kleine waarde voorstelt is dit voor de practijk altijd geoorloofd. Men leidt dus de ligging van de benaderde plaats af uit die der gegiste plaats met behulp der gewone koers- en verheidsrekening voor eene verheid = p en een koershoek = t. Di' streektafel in graden (Tafel VI^A, Brouwer 2^e ed.) is daarvoor zeer gemakkelijk, terwijl de A 1 het gemakkelijkst gevonden wordt, door de afwijking te vermenigvuldigen met den nat. secans van de gegiste breedte. (Tafel IVquot;, Brouwer 2^C ed.). Ten einde zich niet met den koers waarin T van t ligt te vergissen, verdient het aanbeveling een figuurtje te teekenen, zoodra men den gegisten tops-afstand en het azimuth heeft berekend.

Is dan de berekende topsafstand kleiner dan de waargenomen, dan ligt de gegiste plaats binnen de hoogteparallel en moet de koers van t naar T van het hemellicht afgaande worden genomen, dus juist tegengesteld aan het berekende azimuth. Is de berekende topsafstand grooter dan de waargenomen, zoodat de gegiste plaats

21

buiten de hoogteparallel valt. dan moet de koers evenals het azimuth worden genomen, dus alsof naar het hemellicht toe werd gestuurd. Dit maakt voor het opzoeken in de streektafel geen verschil; men neemt voor t altijd de scherpe waarde in volle graden en zoekt voor eene verheid p de verand. breedte en de afwijking, die vermenigvuldigd met sec. b dadelijk de verand. lengte geeft. Als hulpmiddel om vergissingen te voorkomen, kan nog dienen, dat het hoogteverschil p = n—n' negatief zijnde, ook het azimuth tegengesteld moet worden genomen om den koers van t naar T te verkrijgen.

'Ten einde te doen zien, dat geen fout van beteeekenis wordt gemaakt, wanneer het hoogteverschil p als een stukje van een loxo-droom wordt beschouwd, zullen we de breedte van de benaderde plaats, die wij b' zullen noemen en / TPt of het lengteverschil = /^ 1 tusschen de benaderde en de gegiste plaats ook direct uit drieh. PTt berekenen. Wanneer dan daarbij de vereenvoudigingen worden toegepast, die voor kleine hoeken geoorloofd zijn, komt men geheel terug op de loxodromische oplossing. Wij hebben namelijk: cos. PT = cos. Tt cos. Pt -(- sin. Tt sin. Pt cos. PtT sin. b' = cos. p sin. b sin. p cos. b cos. t

sin. b . , , , , ,

- = sin. b -|- tang. p cos. b cos. t

cos. p

stellende tang. p cos. t tang. cc'

sin. b' ■ , i i . /

- ~ sm. I) -|- cos. b tang. o

cos. p

. . , sin. (b lt;p')

sin. 1) = - , - cos p.

cos. tp

Nu is tang. lt;p' altijd kleiner dan tang. p dus 0(1' en daar p reeds eene kleine waarde voorstelt, mogen we dus zoowel cos. p als cos. p' = 1 stellen. Alsdan wordt:

sin. b' = sin. (b -)- p')

of; b' = b ?

to' stelt dus ten naastenbij de veranderde breedte voor tusschen de gegiste plaats en de benaderde plaats eu daar co' wordt gevonden door de formule:

tang. co' = tang. ji cos. t of: lt;p' tang. 1quot; = p cos. t tang. 1quot; of: lt;p' = ]gt; cos. t.

kunnen wij dus ook de veranderde breedte lt;p' uit de streekta

22

vinden, door voor een koershoek = liet gegiste azimuth t en eene verlieid p de veranderde breedte op te zoeken.

Voor de berekening van ^ 1 tussclien de gegiste en de benaderde plaats geeft ons driehoek PTt:

sin. Tt: sin. TPt = sin. PT : sin. 1'tT.

of: sin. p : sin. ^ 1 =: cos. b': sin. t.

, . , , sin. p sin. t

dns sin. /\ 1 =---t-———.

cos. Ij

Ook deze formule kunnen wij, omdat 1 en p kleine waarden

voorstellen, aldus schrijven:

, . .p sin. t sin. 1quot;

A 1 sin. 1quot;=: ¹

cos. b'

of ^ 1 cos. b' = p sin. t.

Beschouwen wij dus weder p als verheid en t als gestnurden koers, dan wordt 1 cos. b' de afwijking, die weder in de streek-tafel kan opgezocht worden, en die door vermenigvuldiging met sec. b' of door middel van taf. VII van Brouwer tot /\ 1 kan herleid worden. Hieruit blijkt, dat, wanneer men bij de rechtstreek-sche berekening der breedte en lengte van de benaderde plaats de vereenvoudiging, die voor kleine bogen geoorloofd is, toepast, eigenlijk de uitkomst berekend wordt, alsof Tt een stukje van een loxodroom voorsteTD

Is nu het waargenomen hemellicht de zon, dan is dus de loop der bewerking als volgt:

Herleid de aanwijzing van den tijdmeter door toepassing van stand tot middelb. tijd Greenw. op het oogenblik der waarneming'.

Herleid daarmede de declinatie en tijdvereffening tot het oogenblik der waarneming.

Herleid den middelb. tijd Greenw. door toepassing der verbeterde tijdvereffening tot waren tijd Greenw., waarop de gegiste leno-te in tijd toegepast wordt om den gegisten waren tijd a. b te vinden-Voor de verdere berekening gebruikt men den Oostelijken of Westelijken uurhoek altijd kleiner dan 12 uur.

Herleid de gemeten hoogte tot ware middelpuntshoogte.

Bereken den gegisten topsafstand en het gegiste azimuth.

Bereken de breedte en lengte der benaderde plaats niet koersen verb, rekening uit de gemste plaats.

i

27

Lüe reclitstreeksclie berekening van de ligging der benaderde plaats, zonder koers- en verbeid-rekening, geschiedt bet eenvoudigst niet behulp der Neperiaansche analogieën. Noemen wij namelijk het complement van de gegiste breedte a den gegisten uurhoeki', en het complement van de declinatie A) dan is in den bolv. driehoek PtS: '

tang. i (S 1) = ?»i-- -|1_ cotg. ! 1gt;.

lang. HS — t) = cotg. ! P.

Hieruit kan de hoek S worden opgelost en vervolgens uit drieh. PST (T de benaderde plaats) de hoeken SPT en STP op dezelfde wijze worden gevonden. Noemende namelijk hoek S P T, of den uurhoek van de benaderde plaats P', hoek S T P of het azimuth voor de benaderde plaats T, en den waargenomen topsafstand S T weder n', dan is:

tang.KT F) = ^ cotg. i S

tang. UT- 1') = cotg. a S.

De breedte der benaderde plaats of 90° — P T = b' wordt verder gevonden door de formule:

,, sin. S sin. n'

cos. b = -v—m-.

sm. 1

Deze oplossing is streng nauwkeurig en heeft het voordeel, dat ook werkelijk het azimuth voor de benaderde plaats zelf wordt berekend. De berekening is wel eenigszins langwijliger dan do reeds opgegeven oplossing, doch de kans op vergissingen is gering, omdat men voor P' altijd eene waarde verkrijgen moet, die weinig van den gegisten uurhoek P verschilt. Zijn breedte en declinatie ongelijknamig, dan moet A ⁼ ''O⁰ -j- d worden genomen en ook zal niet licht de hoek t voor hoek S worden genomen, wanneer men slechts bedenkt, dat even als bij het grootcirkelzeilen de hoek S de hoek van afvaart is voor een grootcirkeltrek van de aardsche projectie van het hemellicht naar de gegiste standplaats.

Als voorbeeld zullen wij het navolgende vraagstuk volgens beide metboden oplossenTJ

28

to

c8 d

tc

'CD

'CO

O O ^ O

è

HOOFDSTUK III.

Hoogtelijnen.

Behalve dat één hoogte ons in staat stelt de gegiste standplaats te verbeteren, m. a. \v. de ware plaats te henaderen, geeft zij ons tevens een lijn op aarde, waarop zich liet schip bevinden moet. Deze lijn is een gedeelte der hoogteparallel omstreeks de gegiste standplaats, doch daar zulke cirkelbogen in de wassende kaart overgaan als kromme lijnen, waarvan de constructie minder eenvoudig is, brengt men koorden of raaklijnen in kaart, die hoogtelijnen worden genoemd. Men neemt dan aan, dat op zulk eene hoogtelijn de ware plaats van het schip moet gelegen zijn, doch daarvoor moet zij ook nagenoeg samenvallen met de kromme en dus de ware plaats van het schip niet te ver van het raakpunt of van het middelpunt der koorde zijn gelegen. Dit nagenoeg samenvallen van hoogtelijn en kromme zal men des te eerder mogen aannemen, naarmate de hoogteparallel minder sterk gekromd is; van daar, dat groote tops-afstanden voordeelig voor het gebruik van hoogtelijnen zijn. Op het gebruik en het nut der hoogtelijnen voor de practijk werd het eerst de aandacht gevestigd door den Amerikaanschen gezagvoerder Sumner. Deze bevond zich in den winter van 1837 met zijn schip onder de lersche kust, en had sedert het passeeren van den meridiaan van 21 W.l^e. geene observatiën voor plaatsbepaling kunnen verkrijgen. De bestemming was Greenock en in den nacht van 17 December volgens gegist bestek nog 10 g. m. van Tuscar-licht staande, werd met ZO. wind en dik ruw weder ONO. sturende, zoo hoolt;gt;quot; mogelijk aan den wind gehouden. Met den d;ilt;gt;' was not!' niets

0 0«-' o o o

in 't zicht, het weder stormachtig en eerst des morgens te 10quot;

31

30^m kon eene goede zonshoogte worden gemeten. De daarmede be-

o o o

rekende tijdmeterlengte gaf 15' Oostelijker dan de gegiste, doch aangezien ongeveer 135 g. m. waren afgelegd zonder behoorlijke plaatsbepaling, verdiende de gegiste breedte, die voor de berekening was gebruikt, weinig vertrouwen. Daarom berekende hij met dezelfde hoogte en declinatie nog tweemaal de lengte, waarbij de breedte beurtelings 10' Noorderlijker en Zuidelijker dan de eerstgebruikte genomen werd. De drie aldus berekende punten werden op de kaart afgezet, waaruit bleek, dat ze juist op eene rechte lijn waren gelegen, waarvan de richting ONO. dicht langs het lichtschip van Small viel. Aanstonds zag hij in, dat die lijn een gedeelte der hoogteparallel moest zijn, waarop liet schip zich bevinden moest; daardoor kon hij veilig den koers OXO., waarmede die lijn gevolgd werd, behouden en Sumneii had de zelfvoldoening van reeds binnen het uur het practische nut zijner beschouwingen te ondervinden, toen ook werkelijk het lichtschip van Small vooruit in 't zicht kwam.

Door de breedte slechts 10' te laten veranderen gebruikte Sumner zulk een klein gedeelte van de hoogteparallel, dat de kromming niet merkbaar was op de kaart, vooral ook, omdat op die breedte in den winter de waargenomen topsafttand groot moet zijn geweest. Eigenlijk toch waren het twee koorden van de kromme, die in de wassende kaart de hoogteparallel voorstelt, en dus loxo-dromen tusschen de drie benaderde plaatsen, die de berekening van de tijdmeterlengte voor drie verschillende breedten geeft. Aannemende nu, dat die koorden nog als samenvallend met de kromme mogen beschouwd worden, zal men hetzelfde mogen aannemen van de raaklijn aan de kromme, gaande door het middelste der drie gebruikte punten, en het is dan ook deze raaklijn, die wel voor hoogtelijn wordt genomen. Die raaklijn staat namelijk loodrecht op de azimuthale richting in het raakpunt en berekent men dus met de tijdraeterlengte het azimuth met dezelfde gegevens, dan zal de lijn, gaande door de plaats die de tijdmeterlengteberekening geeft en loodrecht getrokken op de berekende azimuthale richting van het hemellicht, de gevraagde hoogtelijn zijn. De vraag is slechts, aan welken eisch moet eene raaklijn aan de kromme in de eerste plaats voldoen, zal ze als hoogtelijn mogen gebruikt worden; deze is, dat

32

het gebruikte raakpunt de beste kanseu moet opleveren van dicht bij de ware plaats te zijn gelegen, en zooals wij bi] de behandeling der benaderde plaatsen hebben gezien, zijn die kansen het beste voor de benaderde plaats van Makcq-Saixt-Hilvire. Bovendien behoort bij de berekening van deze benaderde plaats die van het azimuth, zoodat ecne hoogtelijn volgens Saint-Hilaire onmiddellijk na het berekenen van de ligging der benaderde plaats in kaart kan gebracht worden. Men behoeft daarvoor slechts een rechte lijn te trekken, gaande door de benaderde plaats, loodrecht op de azimu-thale richting van het hemellicht. Strikt genomen begaat men eene

o o o

kleine fout door het azimuth van de gegiste plaats gelijk aan dat van de benaderde plaats te nemen, want de grootcirkelboog, waarop die beide plaatsen liggen, snijdt eiken opvolgenden meridiaan onder verschillende hoeken. Maar wij hebben ook gezien dat geene fout van beteekenis wordt gemaakt, wanneer het grootcirkelboogje tus-schen die beide plaatsen als een loxodroom wordt aangenomen, en dan mag ook het azimuth als onveranderd worden beschouwd.

Verlangt men in plaats van eene raaklijn eene koorde van Sum-nkr als hoogtelijn te gebruiken, dan kan men de gegiste breedte bij de tijdmeterlengteberekening meermalen laten veranderen en op die wijze een aantal punten der hoogteparallel, en daarmee een gebroken lijn in kaart brengen, die zeer nauwkeurig de meetkunstige plaats van het schip voorstelt. Echter is deze berekening vrij lang-wijlig, want elke tijdmeterlengte moet worden berekend, omdat voor het hier genoemde doel geen gebruik mag worden gemaakt van de

O o o O O

tafels zooals XXXII van Broüwkr, waarin de verandering in lengte voor 1' misgissing in breedte wordt gevonden. Berekent men namelijk met deze tafels de lengten voor eenige verschillende breedten, dan zal men altijd vinden, dat de verkregen punten op één rechte lijn zijn gelegen, en wel, omdat men verschillende punten van eene raaklijn aan de kromme berekent. Genoemde tafels zijn namelijk berekend naar de formule:

TH I tg. 1) tg. d I ,.

— dP= ,--.⁰ „ db.

(tg. 1' sin. 1' 1

Voert men in deze formule het azimuth in door de waarden:

33

. „ cos. li .

sin. 1 =------r sin. T on

cos. d

cos. b tg. T

Trekken wy nu (fig. 9) door bet punt T van eene hoogteparallel eene raaklijn en nemen wij bet stukje TT' van die raaklijn zoo klein, dat bet nog als samenvallend met den cirkel mag beschouwd worden, dan zal het driehoekje TAT', dat gevormd wordt door de parallel van T en den meridiaan van T' te trekken, als plat en rechthoekig in A mogen beschouwd worden. Alsdan is:

AT = AT' tg. TT'A = AT' cotg. PT'S

o o

of afw. — ^ b cotg. T

bijgevolg: A 1 = «tw. sec. I) =^-5^

Dezelfde formule dus als hierboven gevonden en waaruit blijkt, dat tafel XXXII van Biiouwer ons verschillende punten van de raaklijn TT' doet vinden, maar geen punten van de hoogteparallel zelf, waardoor wij koorden in kaart zouden kunnen brengen. Eigenlijk doet deze tafel ons verschillende punten vinden van een loxodroom, waarvan de koershoek is. Tevens blijkt hieruit, dat tafel

XXXII slechts nauwkeurig blijft voor een beperkt aantal minuten mississinsx in breedte. Wordt die mismssing te groot, dan

O O ~ ~ ~

zal vooral bij een azimuth, dat 0° of 180° nadert, het gevonden punt der raaklijn belangrijk van den cirkelboog kunnen afwij-wijken. Heeft men den uurhoek voor de tijdmeterlengte of een ge-gisten topsafstand voor eene benaderde plaats berekend, dan kan tafel XXXII ook dienen om op gemakkelijke wijze het azimuth te vin-

3

34

elf NV.

den. Wij hebben namelijk cotg. T = ^ of voor A b = 1' is

cotg. T = ^ 1 cos. b. Hierin is /\ 1 — A 13 uit bedoelde tafel en dat met behulp van tafel VIII van Brouwer tot afw. lierleid, geeft onmiddellijk de nat. cotg. van het azimuth. Tafel IV^A Brouwer 2^e editie geeft de natuurlijke cotangenten en mitsdien onmiddellijk het azimuth. Hierbij zij men indachtig dat tafel IV^A voor een straal = 100000 is gegeven zoodat de gevonden afwijking nog met dit getal moet vermenigvuldigd worden. Omtrent de scherpe ot stompe waarde van T die men aldus vindt, kan nimmer twijfel bestaan, indien men slechts bedenkt dat de stompe waarde moet genomen worden, wanneer het hemellicht rijzende is en den eersten verticaal reeds gepasseerd is, of wanneer het dalende den eersten verticaal nog niet bereikt heeft. Is de declinatie grooter dan de gelijknamige breedte, zoodat het hemellicht niet in den eersten verticaal komt, dan moet altijd de scherpe waarde van T worden genomen. Overigens geldt weer de bekende regel voor de benoeming van het azimuth, namelijk gelijknamig met de breedte en geteld naar het Oosten of Westen al naar gelang het hemellicht rijzend of dalend is.

Voorbeeld 1. Op 40° N.br., terwijl de zons N.declinatie = 15° is, vindt men voor den zons Oostelijken uurh. 8^U 32^m. Men vraagt het azimuth ?

In tafel XXXII voor P — 3^u32^m en b — 40° .... A = 0.632 » » » » » » » » d ~ 15° . .. . B — 0.335

A—B = 0.297 = 0.227 afw. nat. cotg. T = 22700. T - 77⁰12' Azimuth. N. 102° 48'0.

De stompe waarde van T moet genomen worden omdat blijkens taf. XXIV van Brouwer, waarin de uurhoek gevonden wordt voor het oogenblik dat het azimuth = 90° is, de zon den eersten verticaal reeds gepasseerd is.

2. Op 20° Z.br., terwijl de zons N.decl. 12° bedraagt, vindt men voor den zons Westelijken uurh. 2^U44. Men vraagt het azimuth ?

35

In tafel XXXII voor P = 2^u44^m en 1) — 20° .... A = 0.419 « » » » » » » » (1= 12° .... H — 0.324

A -j-15 = 0.743=0.(5984 afw. nat. cotg. T = (59840. T — 55° 4' Azimuth . . ./. 124° 50' W.

De stompe waarde van T moet genomen worden omdat br. en deel. ongelijknamig zijn, en liet hemellicht dus beneden den horizon den l^en verticaal passeert.

3. Op 10° N.br., terwijl de zons X.decl. 22° bedraagt, vindt men voor den zons oostelijken uurh. 4^u20^m. Men vraagt het azimuth? In tafel XXXII voor Pz= 4^u20^men b= 10° . . . A = 0.082 » » » » » » » » d = 22° . .. B = 0.44G

A—B = 0.3G4(-) = 0.300 afw. nat. cotg. T — 30000. T = 70° 12' Azimuth .... N.70° 12 0

De scherpe waarde van T moet genomen worden, omdat de gelijknamige declinatie grooter is dan de breedte, en het azimuth dus altijd kleiner dan 90° moet zijn.

In plaats van de hier gevolgde redeneering kan ook de navolgende regel worden gebruikt:

Is A—B positief' of A-j-B genomen dan is T stomp. Is A—B negatief of—A—B genomen dan is T scherp.

Dit volgt uit de formule: — AP— ! !v — ( A b of

I tg. P sin. P )

— AP — (X—B) Al), waarnaar de tafel berekend is. Is de vorm tusschen haakjes positief dan wordt AP dus ook afw, = nat. cotg. T negatief en bijgevolg T gt; 90°. Het omgekeerde heeft plaats wanneer de vorm tusschen haakjes negatief wordt.

Het practische nut van eene hoogtelijn treedt vooral op den voorgrond, wanneer het schip zich nabij de kust of gevaren bevindt. Wij zagen reeds bij het aangehaalde voorbeeld van Sumner hoe de hoogtelijn kan gebruikt worden om met goede kans van veilig varen eenig punt van do kust aan te loopen, zonder dat die kust in 't zicht of de afstand tot die kust bekend behoeft te zijn. Daar-

36

voor behoeft echter het punt dat men wil aauloopen niet juist op de lioogtelijn te zijn gelegen. Stel bijv. dat A B hg. 10 de hoogtelijn is die een waarnemer door eene hoogtemeting op de kaart heeft

kunnen afzetten en dat C de bestemmingsplaats is. Trekt van nu uit 0 eene lijn evenwijdig aan AB, dan is het duidelijk, dat men na de hoogtemeting slechts een koers en verheid behoeft te maken, waardoor men op de lijn C D komt en dat dan de richting der hoogtelijn den koers aangeeft, waarmede het punt O kan aangeloopen worden.

In sommige gevallen kan door het lood worden uitgemaakt op welk punt van de hoogtelijn het scliip zich bevinden moet, terwijl in de nabijheid van gevaren het raadplegen der hoogtelyn dikwijls beslissen kan, hoe het best kan gehandeld worden.

Hoewel wij nu hebben aangenomen, dan in het algemeen de hoogtelijnen mogen beschouwd worden als samenvallend met de kromme lijnen, die in de wassende kaart de hoogteparallellen voorstellen, zoo zal het bij sterke kromming toch kunnen voorkomen, dat de hoogtelijnen spoedig van de krommen afwijken en dus niet nauwkeurig genoeg de meetkunstige plaats van liet scbip voorstellen. De algemeene kromming zal bij groote topsafstanden het geringst zijn, maar de hoogteparallellen gaan in de wassende kaart als lijnen van veranderlijke kromming over, en het bruikbare der hoogtelijn zal dus ook afhangen van de plaats, waar de waarnemer zich op de hoogteparallel bevindt. Ten einde dus meer volledig te kunnen nagaan welke gevallen gunstig of ongunstig zijn voor het gebruik van hoogtelijnen, dienen wij de hoogteparallellen in de wassende kaart eenigszins nader te beschouwen.

HOOFDSTUK IV.

Hoogtekrommen.

¹ De kromme lijnen, die ontstaan, wanneer hoogteparallellen van den bol worden overgebracht in de wassende kaart, worden hoogte-krommen genoemd. Hierbij kunnen zich drie gevallen voordoen;

1. dat de pool buiten de hoogteparallel valt of; d-j-n 90°

2. dat de hoogteparallel door de pool gaat of: d-j-n — 90°

3. dat de pool binnen do hoogteparallel valt of: d-)-n 90° ; n is de topsafstand, d de declinatie van het waargenomen hemellicht.

Beginnende met het eerste geval zoo eenvoudig mogelijk te stellen, door d = o te nemen, dan bevindt zich de aardsche projectie van het hemellicht in den equator en het vlak van de hoogteparallel zal loodrecht staan op het vlak van den equator. De hoogteparallel wordt dus in de wassende kaart uitgerekt in de richting der meridianen en wel evenveel boven den equator als daar beneden. Wij verkrijgen dan eene gesloten kromme, waarvan de gedaante eenige overeenkomst vertoont met de ellips (fig. 11). Deze figuur is symmetrisch ten opzichte van twee assen; de groote as — 2 a valt samen niet den meridiaan van het middelpunt en de kleine as = 2 1) met den equator. Klaarblijkelijk is dan;

a - ¥13 b

en daar de halve kleine as evenveel equator-minuten bevat als de topsafstand n is ook:

a = VB n.

38

de pool slechts buiten de hoogteparallel valt, de kromme gesloten blijven en symmetrisch zijn ten opzichte van den meridiaan van S.. Trekken wij nu op den bol twee meridianen PA en PB, die de hoogteparallel aan weerszijden raken, dan zullen diezelfde meridianen in de wassende kaart de kromme aan weerskanten raken en do rechte lijn A'B , die de beide raakpunten vereenigt, zal de parallel Al i van den bol voorstellen. Deze kromme nu zal ook symmetrisch zijn t. o. van de lijn A'B'. Het gedeelte van de hoogteparallel op den bol boven de parallel AB zal namelijk juist zooveel meer worden uitgerelvt als liet gedeelte beneden de parallel, dat beide deelen in de wassende kaart gelijk en gelijkvormig worden. Ligt namelijk het punt M op eene breedte p dan is in de kaart:

M'S' — VB lt;p = nep. log. tg. (4.quot;i⁰ -j- ©) =: nep. loo-, i/ ^ ^sj^rL' ^

1 — sm. tp

40

n , , cos. d cos. (90° •—n) , cos. d 4-sin.n

ot: a=-J nep.log. --— i nep. lo^.---—;— : -

cos. cl — cos. (90° — n) - ^{1 0} cos. d — sin. n

sin. n

1 -f- j

cos. d

^ sin. ii

cos.d

De reclit. bolv. drieli. PBS] geeft ons weder;

sin. BSj = sin. PS] sin. SjPU of: sin. n =: cos. d sin. SF.

. r,T-i sin.n

sin. bi =:----

cos.d

En daar de boog SF evenveel equatonninuten bevat als M'B' = b van de kaart, is dus ook

. sin.n

sin. b =-_ï

cos.d

Door substitutie wordt dus:

a = i nep. log. ^ = i nep. log. tg.² (45° i h)

of: a = nep. log. tg. (45° -f- i b) = VB b.

Dezelfde verhouding dus, die wij tussclien de groote en kleine as vonden, voor het geval dat de declinatie gelijk nul was. Hieruit volgt de eigenschap der gesloten hoogtekroninien: Alle hoogtekrom-men, die ontstaan uit lioogteparallellcn, die een zelfde paar meridianen raken, zijn gelijk en gelijkvormig. Hoe hoog of wij ons zulk een rakenden cirkel in fig. 11 ook opgeschoven denken en hoe klein of dientengevolge de straal ook wordt, de projectie in de wassende kaart verandert niet en heeft voor elk stel meridianen eene bepaalde standvastige grootte.

Nu wij gezien hebben, dat het middelpunt der kromme de projectie is van het punt M der bolvormige figuur, is het ook duidelijk, dat het punt Sj geen middelpunt blijft, wanneer het in de wassende kaart wordt overgebracht. Wel komt het dan op den meridiaan CS' te liggen, maar op lagere breedte dan het middelpunt der kromme. Wij vonden namelijk voor de breedte (p van het punt M:

sin. d

sin. p =-.

cos. n

41

waaruit ook blijkt, dat ü altijd grooter dan d, dat is grooter dan de aardsclie breedte van het hemellicht moet zijn.

In het tweede geval, dat de hoogteparallel door de pool gaat, zullen de twee meridianen, die ieder op 90° afstand van den meridiaan van Si worden getrokken, de hoogteparallel in de pool raken. De pool ligt in de wassende kaart op oneindigen afstand, zoodat de hoogtekromme moet bestaan uit twee oneindig voortloopende

takken, die naar de pool gericht zijn, en de twee genoemde meridianen steeds blijven naderen. Deze meridianen zijn in dit geval asymptoten aan de hoogte-kromm een het huig-punt D' der twee takken zal op den afstand VB (d—n) van den equator zijn gelegen. (Fig. 12).

In het derde geval eindelijk, dat de pool binnen de hoogteparallel valt, zal de kromme eveneens bestaan uit twee symmetrische takken ten opzichte van den meridiaan, die door de aardsclie projectie van het hemellicht gaat. De geheele kromme neemt dan echter de gedaante aan eener golflijn, waarvan wij ons op de volgende wijze eene voorstelling kunnen maken. (Fig. 13). In de bolvormige figuur stelt de cirkel CADB de hoogteparallel voor en het vlak PAB het meri-diaanvlak, dat loodrecht staat op het meridiaanvlak van Trekken

42

beoosten als 180° bewesten den meridiaan PD en kan dus in de wassende kaart zoowel in Cj als in Co worden geplaatst; beide punten op 180° afstand van den meridiaan CD' en op gelijken afstand van den equator = VB {180° — (d n). | Hadden wij het ge-

43

deelte ACB van de hoogteparallcl in de wassende kaart overgebracht, en daarbij den meridiaan PCE als middelsten meridiaan genomen, dan zonden wij eene kromme lijn hebben verkregen, zooals door de gestippelde lijn in de figuur der wassende kaart is aangegeven. Door echter het punt C naar Ci en naar C₂ over te brengen, hebben wij de twee symmetrische helften der gestippelde kromme lijn omgeslagen en wordt eene golflijn CiA'D'B'Co verkregen met twee keerpunten A' en B', waar de kromming tegengesteld wordt. Van deze kromme kunnen we weder de lijnen A'B' en CD'de assen noemen, en de as A'B', die nu voor alle krommen van deze gedaante de constante waarde van 180 equatorgradeu heeft, verdeelt eiken tak der golflijn weder in twee deelen, die symmetrisch, doch tegengesteld gekromd zijn. Daarvoor moeten we dus weer bewijzen, dat M' het middelpunt der kromme of;

M'Q' = i (C'Q' D'Q') — i f YB (180° _ d — n) VB (d — n) | is. Noemende daarvoor de breedte van 't punt M weder v. dan is:

M'Q' = YB tp — nep. log. tg. (45° -|- J ®) = nep. log. ^s'.ⁿ' ^

1 — sin. tp

Nu is de bolvormige driehoek PASj in P rechthoekig en bijgevolg: cos. ASi = cos. AP cos. PSj of cos. N = sin. lt;p sin. d

cos. n sin. co = ——-sm. d

en dus door substitutie:

_AT,_A, , , sin. d-f cos. n

M * ) = V nep. log. -—=—-

sin. d — cos. n

en deze vorm op dezelfde wijze ontwikkelende als bij het eerste geval, wordt weder:

M'Q' = i {YB (180° - d — n) YB (d — n)).

Het punt M' is dus weder middelpunt en voor de lengte der halve as CD' vinden wij weder:

M'C' = i C D': i(C'Q' — D'Q') = J {YB(180°_d—n)—YB (d—n) | ■ Eene nadere beschouwing van de as, die evenwijdig loopt aan den equator, doet ons zien, dat het azimuth van het hemellicht, wanneer dit van Noord of Zuid tot 00° geteld wordt, altijd het grootste bedrag heeft op die punten, waar die as de hoogtekrommen snijdt. Yalt de pool buiten de hoogteparallel, zoodat de gesloten

44

kromme ontstaat, dan ïijn die punten de raakpunten der meridianen, en bijgevolg is in die punten het azimuth = 90°. Valt echter de pool binnen de hoogteparallel, zoodat de golflijn verkregen wordt, dan kunnen uit de pool geen rakende meridianen getrokken worden, maar zal het azimuth het grootste bedrag verkrijgen op die punten van den cirkel, waar de uurhoek = 6^U is, dat is in de punten A en B van het derde geval. De pooldriehoek geeft ons namelijk

• m _ COS, d . t»

sm. 1 = —-sin. P

sin. n

en daar voor eene bepaalde hoogteparallel d en n standvastig zijn, verkrijgt T hare grootste waarde voor P = 6^U.

Beide soorten van hoogtekrommen worden dus symmetrisch verdeeld door de parallel, gaande door de pnnten der kromme, waar het azimuth van het hemellicht de grootste waarde bereikt.

Nemen wij nu den equator der wassende kaart als abcissen-as, en den meridiaan van het middelpunt der kromme als ordinaten-as aan, dan blijkt uit de beschouwing onzer figuren dadelijk, dat voor een willekeurig punt der kromme, liggende op eene breedte lt;p', de coördinaten zijn:

x =: P

y = VB lt;p' = nep. log. tg. (45° -}- -i o').

De pooldriehoek geeft ons weer de betrekking tusschen P, tp', d en n, zoodat we de gegevens bezitten om eene vergelijking samen te stellen, waarin de veranderlijken x en y met de constanten d en n voorkomen.

Dit zoude dan de vergelijking der hoogtekronnne opleveren. De waarde van y doet echter zien, dat we dan een transcendenta-len vorm verkrijgen en voor ons doel is de elementaire behandeling der kromme, die hier is gegeven, ruim voldoende. Het algemeene denkbeeld toch, dat we nu hebben gekreffen van de drie hoofdvor-

O O

men, die de kromme in drie verschillende gevallen kan aannemen, heeft reeds doen zien, dat de grootste kromming bij de Noordelijkste of Zuidelijkste punten der krommen wordt gevonden. Voor een waarnemer, die zich nabij deze punten op de kromme bevindt, zal x of de uurhoek van het hemellicht klein zijn, waaruit volgt, dat een kleine uurhoek eene ongunstige omstandigheid kan zijn voor het ge-

45

bruik van hoogtelijnen, die men als samenvallend met de kromme wensclit te beschouwen. Voorts zien we in fig. ^ dat voor een zelfde hemellicht, wanneer dus d standvastig is, de gesloten hoogte-

' O ' O O

kromme eene meer en meer uitgerekte gedaante zal verkrijgen, naarmate de topsafstand grooter is waargenomen. Zoowel de kleine als de groote as groeien dan aan, maar de vergrooting der laatste

O O ¹ O O

geschiedt veel sneller dan die der eerste. Daarom zijn ook verschillende gesloten hoogtekrommen niet gelijkvormig. Is bijv. d =: 0 en n dicht bij 90°, dan zal de kromme nagenoeg met een meridiaan der kaart samenvallen, en dus de rechte lijn beginnen te naderen. Is daarentegen bij d — 0, n zeer klein, dan zal de kromme zeer weinig van den cirkelvorm afwijken, zoodat op lage breedten van die eigenschap kan gebruik gemaakt worden, om in plaats van hoogtelijnen cirkels in kaart te brengen als meetkunstige plaatsen van den waarnemer. Denken wij ons nu de rakende meridianen aan zulk eene kleine hoogteparallel getrokken, dan zullen ook op hoogere breedten van alle hoogteparallellen, die tusschen deze meridianen zijn begrepen, de projectiën in de wassende kaart dezelfde kromme opleveren, die nagenoeg den cirkelvorm heeft. Deze behooren echter bij kleinere topsafstanden naarmate de declinatie van het hemellicht grooter wordt en de waarnemer zich dus op hoogere breedte bevinden moet om nog kleine topsafstanden te kunnen waarnemen. Op hooge breedte zal men dus ook nog van dien cirkelvorm partij kunnen trekken, doch de topsafstanden moeten dan kleiner worden waargenomen, dan op lage breedte, hetgeen alleen mogelijk is bij hemellichten, waarvan de declinatie weinig met de gelijknamige breedte verschilt.

Willen wij nu om de eigenschappen der hoogtekrommen meer volledig na te gaan, de kromming dier lijnen nader beschouwen, dan kan dit geschieden met behulp der kromtestraal. De waarde van de kromtestraal wordt gevonden als volst:

O o

Zij het zeer kleine boogje 00' =: d s een element van de hoogtekromme (fig. 14); OT en 0 T' raaklijnen aan de punten O en 0', die de abcissen-as onder de hoeken a en a' snijden; c' het middelpunt van kromming en CO' = C'0' = r de kromtestraal, dan zal het element 00' samenvallen met het cirkelboogje 00' dat uit

40

C' als middelpunt met CO als straal wordt beschreven. De kleine verandering in de richting der raaklijnen is dan a —• a' = d a = ^ OC'O.

Voor elke kromtestraal is nu: 00' r=; OC d a

d s

of r

i! a

Voorts is in het rechthoekig driehoekje 00'0quot;: (d s)^s = (d x)² (d y)²

d s = (1 1 (iZ)²

d y

j . is gdijk aan de tangens van denhoek, dien de raaklijn aan het element met de abcissen-as maakt. Dezen hoek T noemende is: d s = d x i/\ _j_ to-.s t.

1 O

d s = d x sec. T..............(2)

Daar eene raaklijn aan de hoogteparallel loodrecht staat op de azimnthale richting van het hemellicht, is die hoek T gelijk aan het azimuth van het hemellicht en geeft ons den pooldriehoek TPS:

sin. n: cos. d = sin. P: sin. T

I _n . • sin. n . _rp

oi, daar r = x is: sm. x =:-_ï sin. i,

cos. d

differentiëerende voor x en T veranderlijk:

, sin. n , _rp

cos. x d x ==-_T cos. i d i.

cos. d

47

Deze waarde in (2) gesubstitueerd:

i _ sin. n , _r|1

d s — - Y3 ^ ^ ?

cos. d cos. r

of, daar d T = d a is, wordt vergelijking (1):

__ d s _ sin. n

d a cos. d cos. P '

Met deze formule kan voor iedere waarde van P, dat is voor

iedere waarde van de abcis x de kromtestraal worden berekend. In

de waarde -^ quot; -r. i^s straal der aarde = 1 aangenomen,

cos. d cos. Jr

Willen we dus de grootte van r in equatorminuten uitdrukken, dan moet die waarde met Wij vinden dan voor r:

r = -—-f¹'¹¹ ,, 3437.75 equatorminuten.

cos. d cos. J

We zien dat voor P = 90°, cos. P = 0 en mitsdien r oneindig groot wordt, hetgeen wil zeggen, dat dan de kromme in dat punt als eene rechte lijn verloopt. Dit beeft plaats bij de keerpunten A' en B' van de golflijn, waar P = G^u is.

Bij de gesloten kromme beeft P de grootste waarde aan de uiteinden der kleine as, zoodat daar de kromming bet geringst zal zijn.

Voor P = 0^of cos. P = 1 beeft r de kleinste waarde, zoodat de grootste kromming wordt gevonden bij de Noordelijkste punten der kromme.

Laten we alleen n grooter worden, dan neemt ook r toe, zoodat in 't algemeen groote topsafstanden minder gekromde lijnen zullen geven.

Laten we alleen d grooter worden, dan wordt cos. d kleiner en dus r ook grooter, zoodat, al bet overige gelijk blijvende, een bemellicbt met groote declinatie eene minder gekromde lijn geeft. Wij zien dit bij de golflijn. Nadert tocb bet bemellicbt de pool, dan zullen de Noordelijkste en Zuidelijkste punten der golflijn dicb-ter bij elkander komen, en wordt de declinatie eindelijk 90°, dan wordt r weder oneindig groot en de kromme gaat in eene recbtlij-nige parallel over.

48

Is lt;1 = 0 of bevindt zicli het hemellicht in den equator, dan wordt:

_ sin.n cos. P

voor het punt, waar dan de kromme den equator snijdt, wordt P = n, dus :

r = tang. n.

en voor P = 0, dan is aan de uiteinden der groote as:

r = sin. n.

Hieruit volgt, dat bij aangroeiende waarden van n de kromming aan de uiteinden der kleine as afneemt in reden van de tangens en dus veel sneller dan aan de uiteinden der grocte as, waar de kromming afneemt in reden van den sinus van denzelfden hoek. Dit verschil in aangroeiing zal het meest merkbaar zijn bij groote tops-afstanden, want de sinus van een hoek dicht bij 90° verandert langzaam, de tangens snel. Naarmate dus van een hemellicht grootere topsaf-standen worden waargenomen, zullen de hoogtekrommen eene meer

O ⁷ O

uitgerekte gedaante verkrijgen en niet aan elkander gelijkvormig blijven. Daar bij kleine topsafstanden tang. n en sin. n slechts weinig van elkander zullen verschillen, bewijst ons de formule ook, dat de hoogtekromme dan nagenoeg de gedaante van een cirkel aanneemt. Wordt eindelijk in de formule r = ^sin' ^ nr=90^o, dan wordt

cos.P

de gelijke-hoogtecirkel een meridiaan en P zal dus op alle punten van die lijn = 90° zijn. Daardoor wordt cos. P = 0 en r oneindig groot, dus de kromme eene rechte lijn in de wassende kaart.

Wij zien dus dat voor eene bepaalde hoogtekromme de mate van kromming in eenig punt geheel bepaald wordt door den uurhoek en het geringste zal zijn, wanneer deze zijn grootste waarde verkrijgt.

Omtrent groote topsafstanden zij nog het navolgende opgemerkt. Wil men door twee hoogten van een hemellicht met kleine declinatie, bijv. de zon, de plaats van het schip bepalen, dan zal men op hooge breedte gemakkelijker dan op lage breedte twee groote topsafstanden kunnen waarnemen met een behoorlijk verschil in azimuth. Zulk een hemellicht bereikt op lage breedte eene groote hoogte en daarom zal dikwijls een der topsafstanden klein moeten worden

49

waargenomen om nog een belioorlijk verschil in azimuth met do andere waarneming te verkrijgen. Kleine topsafstanden zijn minder geschikt voor het gebruik van hoogtelijnen, zoodat men zich daarvoor op hoogs breedte in gunstiger omstandigheden bevindt dan op lage breedteTT

4

HOOFDSTUK V.

- Bepaling van de standplaats door snijding van hoogtelijnen.

Daar eene hoogtemeting slechts eene cirkel op aarde geeft, waarop de waarnemer zich bevinden moet, zal in het algemeen eerst plaatsbepaling worden verkregen, wanneer door het meten van meer dan eene hoogte snijding dier cirkels ontstaat. Bepalen wij ons voor-loopig tot twee hoogten van de zon. Zij S fig. 15 de aardsche projectie van dit hemellicht bij de eerste, S' die projectie bij de tweede hoogtemeting. Beschrijven wij dan uit die punten cirkels op het aardoppervlak met de waargenomen topsafstanden als stralen, dan zal de plaats van den waarnemer zoowel het snijpunt T als het snijpunt Tj kunnen zijn. Uit de twee standplaatsen wordt op de oogenblikken der waarneming de zon verschillend gepeild; derhalve beslist het azimuth welke van de twee uitkomsten moet genomen worden. De ligging van zulk een snijpunt wordt geheel bepaald door de aardsche projectiën van het hemellicht en door de gemeten hoogten en daar die aardsche projectiën weder volkomen bepaald zijn door de declinatie en den tijd Greenwich op de oogenblikken der waarneming, is het duidelijk dat eene fout in den tijd Greenwich door de tijdmeters geene verandering brengt in de betrekkelijke ligging der punten S en S', maar slechts eene Oostelijke of Westelijke verplaatsing der geheele figuur kan veroorzaken. Eene fout der tijdmeters gaat dus altijd rechtstreeks over op de lengte der uitkomst en heeft geen invloed op de breedte. De declinatie

51

^F|s- ¹⁵- mogen wij aanne

men als nauwkeurig bekend, docli in de gemeten hoogten

o o

mogen fouten verwacht worden. Daarom is het voor eene plaatsbepaling door twee hoogtemetingen een eerste vereischte dat de snijdingshoek der hoogteparallellen gunstig, d. i. ongeveer 90° is, want dan zullen fouten in de topsafstanden de geringste verplaatsing van het snijpunt veroorzaken. De snijdingshoek nu is gelijk aan het verschil in azimuth bij de twee hoogtemetingen, zoodat zoo mogelijk altijd voor een behoorlijk verschil in azimuth moet worden gezorgd. Eene ongunstige snijding geeft veel kans op eenc zwakke plaatsbepaling, doch kan nog eene goede lengte- of breedtebepaling opleveren, wanneer eene der hoogten dicht bij den eersten verticaal of dicht bij den meridiaan is gemeten. Dit blijkt dadelijk uit den stand der hoogtelijnen, zooals wij later voor verschillende gevallen zullen nagaan.

Het snijpunt der hoogteparallellen kan uit een stelsel bolvormige driehoeken worden gevonden. Wij vervallen dan geheel in de zoogenaamde rechtstreeksche oplossing van liet vraagstuk der Plaatsbepaling door twee hoogtemetingen, die vrij omslachtig is en in de practijk zelden gebruikt wordt. Bij de nieuwere methoden nu tracht men die oplossing te vereenvoudigen door in plaats van het snij-punt der hoogteparallellen zelf het snijpunt te nemen van de raaklijnen, die wij als hoogtelijnen in de wassende kaart leerden kennen. De raakpunten moeten dan zoo dicht hij de ware plaatsen zijn gelegen, dat die raaklijnen nog als samenvallend met de hoogte-krommen kunnen beschouwd worden en dus geen verschil in uilkomst kan verkregen worden, dat voor de practijk van beteekenis is. Zooals wij reeds gezien hebben, geven de benaderde plaatsen van Marc(J St. Hilaire de meeste kans van aan de hier genoemde voor-

52

waarde der raakpunten te voldoen, zoodat wij deze voor de oplossing: van het vraagstuk zullen gebruiken.

O O c?

^'S- ^1C- Stelt dus in fig. IGliet

punt t de gegiste plaats in de wassende kaart voor, terwijl de lijnen t A en t B de azimuthale richtingen van de zon uit de gegiste standplaats bij de eerste en tweede hoogtemeting en A en B de twee benaderde plaatsen voorstellen, dan zijn de lijnen AT en BT, die door de punten A en B loodrecht op bedoelde azimuthlijnen worden getrokken, de hoogtelijnen, waarvan het snijpunt T wordt gevraagd. Noemen wij nu de hoogteverschillen of de verschillen tusschen de berekende en waargenomen topsafstanden, die in de figuur door At en Bt worden voorgesteld, p en p' en het verschil in azimuth of de hoek AtB, a dan is in drieh. ACt: tC = p sec. oc

derhalve: BC = p' — tC = p' —^ p sec. a

dus BT ~ BC cotg. a = (p' — p sec. a) cotg. a. De ligging van T kan nu uit de bekende ligging van het punt B worden afgeleid door gewone koers en verheidrekening. B wordt dan de afgevaren plaats en BT de verheid afgelegd in een koers loodrecht op de bekende richting tB. Voor controle kan ook AT worden berekend en op dezelfde wijze de ligging van T uit de bekende ligging van A worden afgeleid. Voor die berekening zouden wij vinden : lu drieh. tÜB: tl) = p' sec. oc

derhalve: AD = p' sec. x — p

dus: AT = AD cotg. a = (p' sec. a — p) cotg. a. Voor deze berekening verdient het aanbeveling een figuurtje te teekenen, ten einde zich niet met de teekens of koersen te vergis-

⁷ o

sen. Heeft men eene streektafel van graad tot graad, zooals tafel

O O quot;

VI^A in Beouwer's tafelen 2® ed., dan geschiedt de berekening zeer

⁷ o o

gemakkelijk door de formule de gedaante te geven;

AT sin. a —p' — p cos. a.

53

Zoekt men nu in die streektafel voor een koers = a⁰ de veranderde breedte voor eene verheid = p, dan heeft men de waarde p cos. a en zoekt men dan in dezelfde kolom de verheid voor eene afwijking = p' — p cos. z dan heeft men onmiddellijk AT. Ook met behulp van Tafel IV^V (2^e ed.), gevende de natuurlijke secanten en tangenten, kan deze oplossing zeer gemakkelijk geschieden.

De ligging van het snijpunt T wordt eenigszins gemakkelijker gevonden, indien men de eerste benaderde plaats A als gegiste plaats bij de tweede waarneming aanneemt. Men berekent dan voor de tweede hoogte den topsafstand en het azimuth voor het punt A, en het gevonden hoogteverschil AE = pquot; geeft dan voor tweede benaderde plaats het punt E. Alsdan geeft drieh. AET:

pquot; = AT sin. z,

zoodat men slechts voor een koershoek = y. en eene afwijking = pquot; de verheid in de streektafel behoeft op te zoeken om onmiddellijk AT te vinden. In den regel zal deze wijze van oplossing geen verschil opleveren met de vorige, want de punten t en A liggen zoo dicht bij elkander, dat het verschil in azimuth voor die twee punten van geen beteekenis i.s en zeker geen verschil zal veroorzaken in den stand der hoogtelijnen, waarvan wij slechts kleine gedeelten gebruiken.

Wat de meerdere of mindere nauwkeurigheid van de eene wijze van oplossing boven de andere betreft, valt op te merken, dat in het algemeen het gebruik van hoogtelijnen de geringste fout zal veroorzaken, wanneer de misgissing klein is. Daar nu de eerste benaderde plaats A altijd dichter bij de ware plaats moet liggen dan de oorspronkelijke gegiste plaats t, zou de laatste de voorkeur verdienen. Wij zien echter uit het hier gegeven voorbeeld, dat de benaderde plaats B dichter bij de ware plaats T ligt dan E, hetgeen dus weer in het voordeel is van de eerste oplossingswijze. Dit kan echter even goed plaats grijpen met E en zelfs in meer gevallen dan met B, omdat E reeds door eene benaderde plaats is gevonden. Daarom zouden wij altijd aan de tweede wijze, die bovendien eenvoudiger is, de voorkeur geven.

5G

Blijkens het figuurtje is nu:

AT = (p' sec. x — p) cotg. y. I3T = (p sec. x — p') cotg. a of: AT sin. x zr: p' — p cos. x BT sin. z — p — p' cos. a,

terwijl a in volle graden = 31° is.

De streektafel geeft ons clan:

AT sin. a = 13',3 — 11',2 =2',1 en BT sin. a = 13',0 — 11',5 = 1',5

en: AT = 4' BT = 3'.

Voorts is Je koers van A naar TN. ()4⁰0. -j- 90° =; N. 154° O = Z. 2()^o0.

van B naar TN. 32⁰0.— 90°=........N. 58° W.

In 20° koersli. geeft 4' verh. 3',6 verancl. br. en 1',8 afw. r—2' verand. l^c.

Z.br. A = 28° 35',7 AV.l^e. A = 12° 4',3 verand. Z. = 3',6 verand. 0.= 2'

Z.br. T = 28° 39',3 W.KT = 12⁰ 2^,,3.

In 58° koershoek geeft 3' verh. 1',Ö verand. br. en 2',5 afw. =z 2 ',9 A '''•

Z.br. B = 28° 41',2 W.l^c. B = 11° 59',1 verand. X. = 1',G verand. W. = 2 ,9

Z.br. T = 28° 39^,,G \V.1^C. T = 12° 2'.

Lossen wij nu het vraagstuk op de tweede manier op, namelijk door A als de gegiste plaats bij de tweede hoogtemeting aan te nemen, dan verkrijgen wij:

Z.br. A = 28° 35',7 W.K A = 12° 4',3 in tijd = 0quot;48quot;gt;17^s,2.

Ware tijd Gr.. . = 11»28quot;'] 2^S,1 Geg.W.lquot;. in tijd = 0^U48^U117^S,2

Geg. ware t. a. b. — 10^u39¹quot;54^s,9 Geg. O^c. P.....= lquot;20^lquot; 5^S,1

1 cos. P =:9.972928...................Icotg. =0.438434

1 cotg. d= 1.0237(37(—) 1 sin. =8.974296

¹

tg. e 0.996G95 (—)

⁰ p=84° 144Gquot;(—) 1 sec. =0.9988891 cosec. =0.002194(—) b=28⁰3542quot;

b ?)=55⁰39' 4quot;(—)lsin. =9.9167791 cos. =9.751457

Icos.n =9.8899641 cotg.t=0.192085(—) u =39⁰5T5quot; t=l 17⁰17' n'=39⁰7'27quot; Azim =Z. 147^o17'0.

pquot;= 2'12quot; » =N. 32^o43'0. Koers van A naar E Z. 33° W.

57

Het verschil in azimuth a. is weder :il⁰ en daar AT sin. a — ])quot; — 2',2 is, vinden wij dus voor AT nagenoeg dezelfde waarde als door de eerste wijze van oplossing verkregen werd.

PLAATSVEHANDKRING TUSSC11KN U1S WAAUNK.MINGEX.

Verandert liet schip tusschen de waarnemingen van plaats, dan zou men de eerste gemeten hoogte kunnen herleiden tot de tweede waarnemingsplaats met behulp der bekende formule C = v cos. (T—Iv). Het vraagstuk wordt dan geheel teruggebracht tot het behandelde, namelijk alsof beide hoogten op de tweede waarnemingsplaats waren gemeten. Op deze wijze zou met de becijfering moeten gewacht worden tot het behoud in het tijdsverloop tusschen de waarnemingen bekend is. Dit is echter niet noodig, want de berekening met eene herleide eerste hoogte zou voor de tweede waarnemingsplaats hetzelfde hoogteverschil p geven als men met de oorspronkelijke eerste hoogte voor de eerste gegiste plaats zou vinden. Zij namelijk t fig. 17 weder de gegiste plaats op bet oogenblik dei-eerste hoogtemeting, terwijl men zich tusschen de waarnemingen van t naar t' verplaatst, dan zal, aannemende dat het azimuth voor de betrekkelijk dicht bij elkander liggende punten t en t' voor hetzelfde oogenblik niet noemenswaardig verschilt, voor de plaats t' de berekende topsafstand een bedrag = AC grooter worden gevonden.

Herleiden wij nu den eersten waargenomen topsafstand tot de plaats t' door de formule C = v cos. (T — K) dan wordt deze hetzelfde bedrag grooter, want in de figuur is:

A'C — AA' cos. AA'C = tt' cos. (NA'C — NA'A) = v cos. (T—K).

Het hoogteverschil p verandert dus door de herleiding niet, waarbij zij opgemerkt, dat ook bij het gebruik van bovenstaande formule het azimuth voor de punten t en t' voor hetzelfde oogenblik als onveranderd beschouwd wordt.

Hieruit volgt dus dat de benaderde plaats A', die men voor de tweede gegiste plaats met de herleide hoogte berekent, hetzelfde

58

ten opzichte van t' als A ten opziclite van t ligt, zoodat we op de ligging van A slechts de gemaakte koers- en verheid behoeven toe te passen om de ligging van A' te verkrijgen. Men berekent vervolgens A'T weder op de aangegeven wijze met behulp van p en p' of met behulp van pquot;, al naar gelang men het hoogteverschil voor de tweede waarneming voor het punt t' of voor het punt A' heeft berekend. Op die wijze heeft men de eerste hoogtelijn zooveel

heid bedraagt.

Lossen wij bijvoorbeeld het reeds gegeven vraagstuk op voor het geval, dat het schip zich tusschen de waarnemingen 3 mijl om de XNW. had verplaatst.

Het eerste gedeelte der berekening, tot de ligging der eerste benaderde plaats A is verkregen, ondergaat dan geene verandering, en verder zullen wij de oplossingswijze volgen, waarbij A'als gegiste plaats op het oogenblik der 2° waarneming wordt aangenomen.

Beginnende dus met het behoud. tusschen de waarnemingen op de ligging van A toe te passen, dan hebben wij;

60

kleiner zou zijn gevonden dan in het punt A, want met de koers NNW nadert men het hemellicht en dat daarbij T uit de formule C = v cos. (T—Kj het azimuth hij de 2^e hoogtemeting voorstelt.

Wij vinden Azimuth hij de 2^e hoogte X. 32^° O Koers van A naar A' N. 22-J⁰ W.

T — K = 55°.

derhalve: C = 12' cos. 55° = 6',8 ; 6' 48quot;

Wij vonden: berekende topsafstand voor A =39° 515quot;

C = 6'48quot;

berekende topsafstand voor A' = 38⁰58'27quot;

De berekening op bladz. 59 gaf 38⁰58'35quot; zoodat geen verschil van beteekenis wordt verkregen.

Men kan dus het vraagstuk ook oplossen door beide topsaf-standen te berekenen voor de eerste waarnemingsplaats en daarna den tweeden berekenden topsafstand te herleiden tot de 2^D waarnemingsplaats om het tweede hoogteverschil voor de laatste plaats te vinden. Deze manier zou bijvoorbeeld kunnen gevolgd worden, wanneer men bij bestendig weder, zooals in de passaten, nagenoeg zeker is van eene tweede zonshoogte op een bepaald oogenblik te kunnen meten. Heeft men dan de eerste hoogte gemeten, en daarmede de ligging-der eerste benaderde plaats verkregen, dan berekent men vervolgens den topsafstand en het azimuth voor diezelfde, of voor de gevonden benaderde plaats, maar nu voor eene latere aanwijzing van het oh-servatie-horologe, die men geschikt acht voor de tweede waarneming.

Zoodra nu het behoud tusschen de waarnemingen bekend is, herleidt men dezen vooruitberekenden topsafstand tot de tweede waarnemingsplaats en zorgt dat de tweede hoogte op het oogenblik van bedoelde aanwijzing wordt genieten. Het hoogteverschil voor de tweede waarnemingsplaats is dan dadelijk bekend, zoodat men op die wijze reeds zeer spoedig na de tweede waarneming de uitkomst verkrijgen kan. De kans op vergissingen bij dergelijke herleidingen is uiterst gering, want men behoeft slechts in het oog te houden, dat wanneer de zon wordt genaderd ook de topsafstand kleiner wordt en omgekeerd. In de practijk is het een voordeel, wanneer de becijfering vooruit en dus zonder overhaasting kan geschieden.

'i

I Het vlausuteuex der ititkosist voor de waarschijnlijke fout i\

HET BEHOUD TUSSCHEN DE AVAAIiXEMINGEX.

Wanneer wij verschil vinden tusschen den waargenomen en den berekenden topsafstand dan is dit natuurlijk een gevolg van de fout in liet gegist bestek. Immers ware die fout nul en de gegiste plaats ook de ware, dan zou ook dit hoogteverschil gelijk nul moeten zijn. Stel nu dat men des morgens te 8¹¹ bij de eerste hoogtemeting een hoogteverschil A t heeft gevonden (Fig. 18) en dat dit verschil

geheele etmaal gemaakt wordt, het hoogteverschil in een tijdsverloop van 20 uur evenzeer regelmatig van nul tot eene waarde gelijk At zijn aangegroeid. Wordt de tweede hoogte nu twee uur later dan de eerste gemeten, terwijl het schip zich tusschen de waarnemingen een bedrag tt' verplaatst heeft, dan zou, voor de tweede waarnemingsplaats, het te 8^U gevonden hoogteverschil ook eene aangroeiing voor twee uur hebben ondergaan. Immers de fout in liet gegist bestek is dan ook een evenredig gedeelte voor 2 uur grooter geworden. In plaats dus van op de tweede waarnemingsplaats liet eerste hoogteverschil gelijk At te nemen, kan de meest waarschijnlijke waarde daarvan worden gevonden door de evenredigheid :

65

20^u : 22^u — At : x.

Wil men dit in rekening brengen en vindt men bijv. voor x eene waarde gelijk Aquot;t', dan is bet duidelijk, dat nu Aquot;T' do verplaatste boogtelijn wordt en niet T maar T' als de meest waar-schi)nlijke plaats op bet oogenblik der tweede waarneming moet worden aangenomen. Op dezelfde wijze zou men de meest waar-scliijnlijke boogteTerscbillen voor bet oogenblik van middag kunnen berekenen door de evenredigheden:

20« : At = 24» ; x 22« : Bt' = 24» : x'

Beschouwt men dan t' als de gegiste plaats op den middag, dan heeft men, door de ligging van bet snijpunt T voor deze hoogteverschillen te berekenen, reeds een middagbestek, dat in geval van geen middagsbreedte de beste kansen van waarschijnlijkheid bezit. Men bedenke hierbij, dat op deze wijze eigenlijk hetzelfde gehandeld wordt als bij het verbeteren der tijdmeterlengte voor de fout in de breedte, die men op den middag vindt. Ook dan wordt die fout in breedte regelmatig over het geheele etmaal verdeeld en een evenredig gedeelte genomen voor het verbeteren van de tijdmeterlengte. Echter zal deze wijze van handelen het meest aanbeveling verdienen bij regelmatige bestekken met geringe koersveranderingen en weinig afwisselende omstandigheden.

Het is duidelijk dat men aldus de uitkomst verbetert voor do waarschijnlijke fout in het behoud tusschen de waarnemingen, want ware dit behoud volkomen juist, dan zou ook de fout in het gegist bestek op de tweede waarnemingsplaats even groot zijn als op de eerste en mitsdien ook het eerste hoogteverschil niet zijn veranderd.¹

Oplossing doou constructie.

De oplossing van het vraagstuk wordt veel eenvoudiger, wanneer na het berekenen der hoogteverschillen en azimuthen, de ligging van het, snijpunt der hoogtelijnen door constructie bepaald wordt.

Men vermijdt dan de herhaalde koers- en verheidrekeningen, die het vraagstuk vrij omslachtig maken, terwijl bovendien de constructie eene aanschouwelijke voorstelling van het vraagstuk geeft, waardoor

(3G

de kans op vergissingen met teekens of richtingen uiterst gering wordt. Ook blijkt dan dadelijk of de plaatsbepaling door eene gunstige snijding der lioogtelijnen verkregen is, en in hoeverre zij dus, hetzij als lengte- hetzij als breedtebepaling, het meeste vertrouwen verdient. Gebruikt men voor de oplossing eene gewone zeekaart, namelijk de wassende kaart, dan behoeft men de tweede gegiste standplaats t' (tig. 18) slechts op lengte en breedte op de kaart te plaatsen. Van dat punt worden de hoogteverschillen p en p' in de vereischte azimuthale richtingen afgezet, en door de dan verkregen punten de loodlijnen op die richtingen getrokken, waardoor de twee hoogtelijnen met hun snijpunt worden ■verkregen. De ligging van dit snijpunt wordt dan verder door afpassing bepaald. Verlangt men de uitkomst voor de waarschijnlijke fout in het behoud tusscheu de waarnemingen te verbeteren, dan berekent men op de aangewezen wijze de meest waarschijnlijke waarde van p op de tweede waarnemingsplaats, door de veranderingen van p evenredig met den verloopen tijd te stellen. Men zij hierbij indachtig, dat de hoogteverschillen op de kaart moeten afgepast worden met de breedteminuten der wassende kaart voor de gemiddelde breedte, waarop men zich bevindt, want men verkrijgt de topsafstanden in minuten van een grooten cirkel of in kwartmijlen, waarvoor de staande rand der wassende kaart voor iedere breedte de maat geeft. Het gebruik van de kaart zelf geeft het voordeel, dat men reeds na de eerste observatie de in kaart gebrachte hoogtelijn in verband met nabijliggende kusten of gevaren kan beschouwen, maar voor eene eenigszins nauwkeurige oplossing van het vraagstuk is de schaal dikwijls te klein. Bovendien is de kaart aan boord niet altijd onder ieders bereik, zoodat meestal van constructieoplossingen zonder kaart wordt gebruikt gemaakt. Dit kan op de navolgende wijze gemakkelijk geschieden. Door een willekeurig punt t (tig. 19), dat men als de tweede gegiste plaats aanneemt, trekt men eene rechte lijn NZ als meridiaan en verdeelt deze in een aantal gelijke deeltjes, die dan de grootten der breedteminuten voorstellen voor de breedte, waarop men zich bevindt. Met deze breedteminuten worden de hoogteverschillen tA en tB in de vereischte richtingen met een

o ~

graadboog afgezet, en vervolgens de hoogtelijnen getrokken, waar-

G7

door het snijpunt T wordt verkregen. Het l)reedteverschil van T met t kan dadelijk met dezelfde breedteminuten worden afgepast, doch voor het lengteverschil dier twee punten dienen wij te weten, hoeveel equatorminuten de loodrechte afstand van het punt T t o Tquot; den meridiaan NZ bevat. Daar wij nu weten, dat onze breedteminuten vergroote equatorminuten zijn en wel vergroot in reden van den secans der breedte, behoeven wij slechts af te passen hoeveel breedteminuten het punt T van den meridiaan NZ liii't en het gevonden getal te

~ o o

vermenigvuldigen met den secans der breedte, waarop men zich bevindt.

Het product geeft dan het gevraagde aantal equatorminuten of het lengteverschil tusschen t en T.

Voor 60° breedte hebben wij bijvoorbeeld: nat. sec. G0^o =; 2, dus: 1 breedtemin. — 1 equatormin. X 2 = 2 equatormin.

10 » — 20 » enz.

Heeft men geen tafel voor de nat. sec., dan lean ook tafel IX van Beodwer, waarin de vergrootende breedten worden gevonden, voor deze herleiding van breedte- tot equatorminuten worden gebruikt.

Men vindt namelijk aldaar onder aan de kolommen de gemiddelde verschillen voor 0,1 minuut en vermenigvuldigt men zulk een verschil met 10, dan verkrijgt men de grootte van 1 breedteminuut voor de middelbreedte van de kolom, uitgedrukt in equatorminuten. Die gemiddelde verschillen zijn dan ook niets anders dan de natuurlijke secanten van de middelbreedte der kolom, waaronder zij geplaatst zijn. Tafel IX doet tevens zien, dat zelfs op hooge breedte het aangroeien der breedteminuten zoo langzaam plaats heeft, dat geen merkbare fout wordt gemaakt door voor de constructie eene gemiddelde grootte der breedteminuut aan te nemen.

Het afpassen der gevraagde breedte en lengte zal natuurlijk

(38

nog vlugger en gemakkelijker kunnen geschieden met behulp van eene schaal, waarop de betrekkelijke grootte van de breedte en de lengteminuten der wassende kaart voor iedere breedte- wordt aangegeven. Het kaartnet met schaal, dat daarvoor door den Luitenant ter zee 2quot; klasse G. L. Goedhart in het «Marinebladquot;, n⁰. 7, 3^C jaargang, aan de hand wordt gedaan, is vooral zeer practisch en geeft ongetwijfeld de meest eenvoudige, duidelijke en gemakkelijke oplossing van het vraagstuk. Op karton of bordpapier geplakt, zooals het bij dit werk is gevoegd, kan het jaren lang voor construc-tiën dienen en voor practisch gebruik aan boord veel gemak opleveren.

De schaal is op de navolgende wijze ingericht. De lijn a b is in gelijke deelen verdeeld, die de grootte der equatorminuten voorstellen. In het punt b is eene loodlijn op a b opgericht en de schuine lijnen, die in het punt a convergeeren, maken de hoeken met a b, die door de cijfers langs de loodlijn worden aangegeven. Elke schuine lijn wordt weder in gelijke deelen verdeeld door de loodlijnen, die uit alle deelpunten van a b worden opgericht. Daar nu op zulk eene schuine lijn één verdeeling gelijk is aan de equator-minuut vermenigvuldigd met den secans van den hoek, dien zulk eene schuine lijn met a b maakt, geeft iedere schuine lijn de grootte der breedteminuten voor de breedte, die gelijk is aan het aantal graden, waarmede de schuine lijn is gemerkt. Men heeft dus eene constante equator- of lengteminuut terwijl voor het afpassen, de breedteminuten die men noodig heeft, dadelijk kunnen gevonden worden.

Het kaartnet bevat eene in graden verdeelde kompasroos om het afpassen van richtingen zonder graadboog meer gemakkelijk te maken. Voorts stellen de rechte evenwijdige lijnen meridianen voor, die om de drie minuut zijn getrokken en dienen om breedtever-schillen gemakkelijk in de goede richting af te passen. Neemt men nu het middelpunt der kompasroos als de gegiste plaats aan, dan kunnen de hoogteverschillen p en p' gemakkelijk met fijne potloodlijnen in de vereischte richtingen worden afgezet. Vervolgens trekt men op de bekende wijze de hoogtelijnen, en het bieedte- en lengte-verschil van het snijpunt met de gegiste plaats of hot middelpunt der roos kan nu gemakkelijk met behulp van de schaal

worden afgepast. Voor het afpassen van p en p' gebruikt men de breedteminuten van de breedte waarop men zich bevindt, terwijl er op gelet dient te worden dat p en p' naar het hemellicht toe moeten afgezet worden, wanneer de gegiste topsafstand grooter is dan de waargenomen en omgekeerd van het hemellicht af wanneer de eerste kleiner is. Verandert men tusschen de waarnemingen van plaats, dan neemt men het middelpunt der roos beurtelings als eerste, als tweede en als gegiste standplaats op den middag aan. Het kaartnet geeft dan eerst de benaderde plaats, die de eerste hoogtemeting geeft, met de daarbij behoorende hoogtelijn. Heeft men daarna door de tweede hoogtemeting het tweede hoogteverschil van het middelpunt der roos kunnen afzetten en de tweede hoogtelijn kunnen trekken, dan zal het snijpunt met de eerste hoogtelijn de plaats van het schip bij de tweede waarneming geven, en wel t. O. van het middelpunt der roos, dat nu de tweede gegiste plaats is geworden. Immers, wij hebben gezien, dat (de fout in het behoud tusschen de waarnemingen buiten rekening latende) de tweede gegiste plaats voor de eerste hoogtemeting een zelfde hoogteverschil en azimuth zou geven. Het is duidelijk dat het gevonden snijpunt nu ook de ware plaats op den middag zal voorstellen, wanneer het middelpunt der roos als gegiste plaats op den middag wordt aangenomen. Desverkiezende kan men weder de meest waarschijnlijke waarden van p en p' op den middag berekenen, door het bedrag der hoogteverschillen evenredig aan de verloopen tijden sedert het laatst gebeterd bestek te stellen. Men heeft dan als 't ware reeds een middagsbestek gereed, dat nog maar alleen behoeft gecontroleerd te worden door de middagsbreedte. Deze geeft natuurlijk nog eene parallel als hoogtelijn en snijden de drie hoogtelijnen elkander niet in een punt, dan neemt men voor de lengte op den middag het snijpunt met de hoogtelijn, die de beste lengtebepaler is. Verder geeft de richting en afstand van het middelpunt der roos tot het aangenomen snijpunt onmiddellijk de richting en kracht van den stroom gedurende het etmaal. Ook kan het gebeterd behoud in het etmaal gemakkelijk met dit kaartnet worden afgepast. Daarvoor zet men van het middelpunt der roos de veranderde lengte gedurende het etmaal af en van het verkregen punt de veranderde breedte, af-

70

gepast op de schaal. Het alsdan verkregen punt wordt door eene rechte lijn met het middelpunt der roos vereenigd en de snijding van die lijn met den kompasrand geeft onmiddellijk den koers van het gebeterd behoud. De verheid of de afstand der bedoelde punten kan weder met breedteminuten van de schaal worden afgepast. Daar de ruimte op het kaartnet daarvoor te beperkt kan zijn, kan men de verand. lengte en de verand. breedte van het etmaal ook door 4 deelen, en dan op dezelfde wijze afzetten, waardoor de verheid dadelijk in geographische mijlen wordt gevonden. Voor zeer groote behouden zijn quadranten van het kompas in de vier hoeken van het kaartnet geplaatst, waarvan de bestemming nu wel duidelijk zal zijn.

Trekt men door het middelpunt der kompasroos eene parallel, dan zal het snijpunt dier lijn met de hoogtelijn de betrekkelijke ligging geven van het punt, dat de tijdmeterlengteberekening zou geven. Tevens kan dan gemakkelijk worden afgepast hoewel Oost of West eene hoogere breedte zal geven.

O O

Het kaartnet met schaal is dus niet alleen gemakkelijk voor eene vlugge en nauwkeurige oplossing door constructie, maar geeft ons ook zonder berekening reeds korten tijd na de middagshoogte nagenoeg het geheele middagbestek.

O o o ~

Het behoeft geen nadere toelichting dat de oplossing van het vraagstuk geene verandering ondergaat, wanneer meer dan twee hoogten zijn gemeten of wanneer andere hemellichten dan de zon hetzij gelijk of ongelijktijdig zijn waargenomen. De berekening bepaalt zich altijd tot hoogteverschillen en azimuthen voor eene gegiste plaats, en uit de min of meer gunstige snijding der hoogtelijnen kan de waarde der plaatsbepaling worden beoordeeld. Bij meer dan twee hoogten verkrijgt men bovendien controle door het al of niet dicht bij elkander vallen der snijpunten van de hoogtelijnen, terwijl in verband met gunstige snijdingen de meest waarschijnlijke standplaats gemakkelijk kan worden gekozen. De oplossingsmethode heeft het voordeel van zoo algemeen mogelijk te zijn, want zij voorziet in alle gevallen, die zich bij het vraagstuk der plaatsbepaling door meer dan eene hoogtemeting kunnen voordoen.

Heeft men het tweede hoogteverschil berekend voor de plaats A', die men verkrijgt door op de eerste benaderde plaats A de gemaakte

71

koers en verheid tussclien de waarnemingen toe te passen, dan kan men weder het middelpunt der kompasroos voor het punt A' nemen. Voor dit punt is dan het eerste hoogteverschil — 0, zoodat men de eerste hoogtelijn evenwijdig aan zich zelve naar het middelpunt der kompasroos moet ver-plaatsen. Het tweede hoogteverschil en de tweede hoogtelijn worden dan weder op de gewone wijze van A' afgezet, en het snijpunt dier laatste hoogtelijn met de verplaatste geeft de plaats van het schip ten opzichte van het punt A'.

Invloed van fouten in de gegevens.

De fouten, die in de gegevens kunnen verwacht worden, zijn;

Fouten in de gemeten hoogten.

Fouten in den stand van den tijdmeter.

In het algemeen zullen fouten in de hoogten den meesten invloed op het resultaat uitoefenen, wanneer de hoogtelijnen elkander ongunstig snijden. Dit heeft plaats wanneer het verschil in azimuth bij de hoogtelijnen te klein of te groot is. (dicht bij 0° of 180°). Een verschil in azimuth van 00° geeft loodrechte snijding, en foutieve hoogtelijnen zullen dan de geringste verplaatsing van het snijpunt veroorzaken. Daar eene fout in hoogte eene hoogteparallel geeft, die met een foutieven topsafstand beschreven is, kunnen wij den invloed voor verschillende gevallen gemakkelijk nagaan, door de maximum-fouten aan weerszijden van een willekeurig punt der hoogtelijn in de richting van het azimuth af te zetten, waarvoor weer de breedteminuten moeten genomen worden van de wassende kaart voor de breedte, waarop men zich bevindt. De lijnen, die door de verkregen punten evenwijdig aan de hoogtelijn worden getrokken, geven dan de grenzen aan, waarbinnen de ware hoogtelijn moet gelegen zijn. Trekt men deze grenslijnen voor beide hoogtelijnen, zooals in tig. 20 door gestippelde lijnen is gedaan, dan ontstaat eene ruit a b c d, waarbinnen de ware plaats moet gelegen zijn, wanneer we de fout der tijdmeters voorloopig buiten beschouwing laten.

Bij den stand der hoogtelijnen, zooals in fig. 20, blijkt nu dadelijk dat de maximumfout, die in de breedte kan gemaakt worden, kleiner is dan de maximumfout, die in Oostelijke of Westelijke

72

richting kan gemiuikt worden, zoodat de plaat sbepalinquot;^- de meeste waarde als breedtebepaling- bezit. Eene nadere beschouwing der figuur doet zien dat dit een gevolg is van den stand der hoogtelijn AB, die blijkbaar bij eene hoogte behoort, die met een klein azimuth (dicht bij 0°

^of' l⁸⁰⁰) is gemeten. Ware die hoogte m den meridiaan gemeten, dan zou de aangenomen fout in loogte rechtstreeks op de breedte overgaan, even als het geval is bij eene middagsbreedte. De maximumfout, die dan in Oostelijke of Westelijke richting kan gemaakt worden, zal kleiner zijn naarmate de andere hoogte dichter bij den eersten verticaal is gemeten Tot zoo lang is zij echter altijd grooter dan de fout in de* hoogte. Is eene hoogte in den meridiaan en eene hoogte in den eersten verticaal gemeten, dan heeft de plaatsbepaling voor breedte en lengte gelijke waarde en dit zal bij loodrechte snijding der hoogtelijnen altijd het geval blijven, onverschillig bij welk azimuth de hoogten zijn gemeten; echter kunnen in het laatste geval de fouten in hoogten vergroot overgaan, zooals blijkt nit fig. 21, geteekend voor beide azimuthen = 45° en waarinia b de maximumfout voorstelt, die in

de breedte kan gemaakt worden. Men boude dus slechts in het oog dat hoogtelijnen, behoorende bij een klein azimuth, de richting der breedteparallellen naderen en mitsdien goede hreedtehepalers zijn, terwijl hoogtelijnen, die bij hoogten behooren, die dicht bij den eersten verticaal zijn gemeten, do richtino-

_ , O

der meridianen naderen en bijgevolg goede lengtebepalers zijn. Met voordacht werd gesproken over eene fout m Oostelijke of Westelijke richting, omdat de figuur deze

73

1

fout laat zien en niet de fout in lengte, die voor eene zelfde hoogte-fout grooter wordt, naarmate men zich op hoogere breedte bevindt. Het spreekt echter van zelve, dat voor de beoordeeling der waarde van de plaatsbepaling in den eenen of anderen zin alleen de absolute fout, die in eene der beide richtingen kan gemaakt worden, in aanmerking komt.

^Verkeert men tusschen de keerkringen in het geval dat de zonsdeclinatie weinig met de gelijknamige breedte verschilt, dan wordt het moeielijk twee zonshoogten met een behoorlijk verschil in azimuth te nieten. De zon beweegt zich dan nagenoeg den ge-

O O O O

heelen dag nabij den eersten verticaal en eerst omstreeks het oogen-blik van doorgang zal het azimuth snel veranderen. Kort voor den doorgang bevindt de zon zich dicht bij het Oosten, kort na den doorgang dicht bij het Westen. De eenige manier om dan r.og een behoorlijk verschil in azimuth te verkrijgen, is, dat men eene hoogte kort voor en eene hoogte kort na den doorgang meet. Deze waarneming is echter niet gemakkelijk, want de zon bereikt eene groote hoogte in den meridiaan en door de snelle verandering van het azimuth moet telkens boven een ander punt van de kim worden gemeten. De omstandigheden zijn dan ook ongunstig voor alle methoden om door zonshoogten de breedte te bepalen, terwijl goede lengtebepalers gemakkelijk te verkrijgen zijn. Op lage breedte, zooals tusschen de keerkringen, mag echter worden aangenomen, dat voor topsafstanden kleiner dan 10° de hoogtekrommen in de wassende kaart nagenoeg den cirkelvorm verkrijgen, zoodat deze cirkels als de hoogtekrommen zelf in plaats van de hoogtelijnen gemakke-

lt;f f e

4

74

lijk in kaart kunnen gebracht worden. Men meet dan kort voor en kort na den doorgang snel achtereen eene serie zonshoogten. Stelt dan de lijn a b, fig. 22, de parallel van de wassende kaart voor op eene breedte gelijk aan de declinatie van de zon op het oogenblik der waarnemingen, dan neemt men een willekeurig punt c aan voor de aardsche projectie van de zon op het oogenblik der eerste hoogtemeting. Uit dat punt beschrijft men dan een cirkelboog met den waargenomen topsafstand als straal. De minuten voor het afpassen van den topsafstand kunnen dan weder van de schaal voor de breedteminuten worden genomen. Op dezelfde wijze beschrijft men cirkelbogen met de waargenomen topsafstanden uit de aardsche projectiën d, e, f, enz., die bij de volgende hoogtemetingen behooren en uit de snijdingen der cirkelbogen kan dan door afpassing dikwijls de breedte vrij nauwkeurig worden benaderd. De afstanden c d, d e, e f, enz. zijn de tijdsverloopen tusschen de waarnemingen tot boog herleid, en afgepast met de equatorminuten en onderdeden van dezelfde schaal. Voor de lengte past men het lengteverschil van het aangenomen snijpunt met een der punten c, d af, en past dit verschil toe op de aardsche lengte van die aardsche projectie, welke men genomen heeft. Deze wijze van oplossing laat dadelijk zien of de gemeten hoogten veel of weinig-goede breedtebepalers hebben opgeleverd, en in hoeverre dus de breedtebepaling vertrouwen verdient.

Desverkiezende kan men de constructie op kleine schaal ruw weg verrichten, de twee beste hoogten uitzoeken en vervolgens het vraagstuk op de gewone wijze door gedeeltelijke berekening en constructie oplossen. Men verkeert dan echter in minder gunstige omstandigheden voor het gebruik van hoogtelijnen, want bij kleine topsafstanden zijn de hoogtekrommen sterk gekromd. De navolgende oplossing van »Navigationslehrerquot; Prkuss te Elsfleth zou dan de voorkeur verdienen.

Zij namelijk S (fig. 23) de aardsche projectie van de zon bij de eerste hoogtemeting vóór den doorgang en S' de aardsche projectie bij de tweede hoogtemeting na den doorgang, dan bevat S S' evenveel equatorminuten als het verschil der aardsche lengten van de zon bij de eerste en tweede waarneming. Dit verschil is dus gelijk

75

N

y

/

y

aan dat tusschen de twee tijden Greenwich, dat is gelijk aan liet tijdsverloop V tusschen de waarnemingen. De declinatieverandering buiten rekening latende, is SB — S'B' = VIW, terwijl, indien wij den meridiaan van het snijpunt A trekken, SC = 1' den Oostelijken uurhoek bij de eerste waarneming en S'C = P' den Westelijken uurhoek bij de tweede waarneming voorstelt; beide uurhoeken uitgedrukt in equatorminuten. Noemende de waargenomen topsafstanden N en N' en de stralen SA =: r en S'A =: r', dan is:

SA = r =r SD =: Vo (BI) — BF) — Vs {VB (d N) - VB (d — N) j SA = r' = S'G = V₃ (B'CI — B'H)=Vs {VB(d N') — VB (d - N') j

Men vindt dan AC uitgedrukt in equatorminuten, en dit, gevoegd bij de vergrootende breedte van de declinatie der zon, geeft

76

T

Eene fout in den stand van den tijdmeter geeft voor alle aard-sehe projectiën van het hemellicht dezelfde fout in de aardsche lengte. Mitsdien brengt dat geene verandering in de betrekkelijke ligging onderling van de middelpunten der hoogteparallellen, maar zal eene Oostelijke of Westelijke verplaatsing der geheele figuur worden veroorzaakt. Het verkregen snijpunt der hoogtelijnen kan dus zooveel Oostelijker of Westelijker zijn gelegen als de maximum-fout bedraagt, die men tengevolge der onvolkomenheid van de tijdmeters wil aannemen. Op de breedte der uitkomst heeft dus die fout geen invloed. Dit is ook natuurlijk, want het vraagstuk dei-plaatsbepaling door twee hoogtemetingen geeft eigenlijk tot uitkomst de breedte en den uurhoek of den tijd aan boord, en op dit laatste alleen wordt de foutieve tijd Greenwich, dien de tijdmeter geeft, toegepast. Nemen wij nu voor de fouten in hoogten en voor de fout in lengte, die de tijdmeter geven kan, maximumwaarden zoowel in positieven als in negatieven zin aan, dan kan gemakkelijk op de kaart eene figuur worden geconstrueerd, waardoor de grenzen bepaald worden, waarbinnen hoogstwaarschijnlijk de plaats van het schip moet gelegen zijn. De maxiniumfouten in hoogte geven

dan, zooals vroeger reeds verklaard is, de ruit a b c d als grens-figuur. De geheele ruit kan echter zooveel Oostelijker of Westelijker liggen als de maximumfout in lengte door de tijdmeters bedraagt, en wanneer wij dus dat bedrag aan weerszij--A- den van de hoekpun-

■ ^ ten a,b,c en d in Ooste-'. lijke en Westelijke -V richting afzetten, ver

krijgen wij een zeshoek d e f g h k, waarbinnen de ruit blijft als

zij het aangenomen bedrag in die richtingen verschoven wordt. De zeshoek geeft dus de grenzen aan, waarbinnen de plaats van het schip volgens alle mogelijke kansrekeningen moet gelegen zijn en de beschouwing dier figuur kan bijdragen om veilig varen zooveel mogelijk te verzekeren. Stel bijvoorbeeld, dat bij A gevaren zijn gelegen en dat men uit d een koers dB heeft afgezet, waarmede men vrijloopt, dan is het duidelijk, dat op welke plaats men zich ook binnen den zeshoek mocht bevinden, die koers nog verder van het gevaar zou leiden en dus in alle opzichten verantwoord is.

Heeft men meer dan twee hoogten gemeten, dan zullen de waarnemingsfouten, gevoegd bij de kleine fouten, die het gevolg kunnen zijn van het gebruik van hoogtelijnen, gemakkelijk kunnen veroorzaken, dat meerdere snijpunten ontstaan. Heeft men n hoogten gemeten, dan zal het grootste getal snijpunten, dat verkregen

kan worden, voorgesteld worden door ⁿ —11.. Deze snijpunten

zullen in het algemeen een veelhoek vormen, en wanneer aan alle hoogtelijnen hetzelfde gewicht mocht toegekend worden, zou de meest waarschijnlijke plaats worden aangegeven door het punt, dat zoodanig gelegen is, dat de som der vierkanten van de afstanden tot de hoogtelijnen een minimum is. Eene algemeene oplossing van het vraagstuk om de meest waarschijnlijke plaats te vinden voor het geval dat meer dan twee hoogtelijnen elkander niet in een punt snijden, werd reeds in 1877 door den heer A. Bertot, oud-officier der Fransche Marine, gegeven. Daar echter in de practijk de gewichten van verschillende hoogtelijnen wel nimmer als gelijk zullen aangenomen mogen worden, vooral omdat men bij meer dan twee hoogtemetingen meestal in nachtelijke waarnemingen vervalt, handelt men het veiligst en gemakkelijkst, als men de meest waarschijnlijke plaats in verband met de beste snijdingen der hoogtelijnen, die het meeste vertrouwen verdienen, door schatting bepaalt.

78

Ten slotte geven wij hier nog een voorbeeld van een volledig middagbestek, zooals dit voor gewone gevallen in zee bijna dagelijks voorkomt, uitgecijferd volgens beide methoden. Daarbij worden eenige aanwijzingen en opmerkingen gegeven opdat het tevens zon kunnen dienen als leiddraad bij het practisch bestekcijferen. Hieraan wordt dikwijls de behoefte gevoeld door hen, die de stuurmanskunst hoofdzakelijk theoretisch hebben beoefend en daardoor nog minder vertrouwd zijn met de hulpmiddelen, die voor vlug en handig cijferen in de practijk kunnen toegepast worden. Ook het verband tusschen de verschillende wijzen zal daardoor beter in het oog vallen.

Den 13^en April 1889 des middags te 12^u bevindt men zich op 38° 43',8 N.br. en 18° 12' W.l^e. In de opvolgende wachten is gezeild:

AM. ZtW.......7 mijl.

PV. ZZW.......8 »

EW. ZtW. ; W.....8 »

HW. Z.³/40......G »

DW. Zt0³/₄0...... 8 »

VM. Zt0³/₄0...... 7 »

Op de DW. tc 7quot; 30^m is met het oog 17 voet boven water waargenomen:

Aanwijzing tijdmeter =: 4« 1 óm 22^s © h =: 23° 30'.

Zon gepeild volgens standaardkompas N. 105^o0. Stand tijdm. tot m. t. Gr. voor dat oogenblik 4quot; 29^m 2⁸,4 (-j-) dag. gang = 2^S,8 (—).

Op den VM. te ll^u is waargenomen:

Aanwijzing tijdmeter = 7quot; 45^m 24^s © h = 00° 15' 30quot;

terwijl de gemeten onderrandsmiddagshoogte 63° 40' 30quot; bedraagt.

Men vraagt het middagsbestek op den 14™ April?

1. Berekening van de Tijdmeterlengte en de miswijzing van het standaardkompas. Daarvoor moet de gegiste breedte te 7quot; 30^m bekend zijn, zoodat begonnen wordt met de gestuurde koersen en verheden die volgens het journaal van den middag op 13 April tot den volgenden morgen 7^U 30^In zijn gemaakt, naar het plat te koppelen. Men berekent tevens de gegist bekomen lengte te 7quot; 30^m omdat deze gewoonlijk wordt ingevuld op het Tijdmeterlengte briefje,

79

dat 's morgens wordt ingeleverd. Voor de berekening der miswijzing van het kompas kan men gebruik maken van de Azimnth-tafelen van Labrosse, waaruit bij bekende breedte, declinatie en uurhoek liet azimuth voldoende nauwkeurig voor dc practijk kan worden gevonden. De berekening geschiedt echter ook gemakkelijk door de sinus-formule:

_m sin. P cos. d

sm. I = -=-

cos. n.

mits men acht geve op de gevallen, waarin T scherp of stomp moet worden genomen.

VERANDER D.

Koers, j Str. | Verh. ^ j ^ j „ I ^

137,8 12,9 27,0 12,9

137,8yi4,1^0,102 = tg. K

Afgev. N.br. = 38° 43',8 VB = 2524,13 Afgev. W.l^c = 18^o12',0 Ver and. Z = 2° 17',8 Verand. W. = 17',7

Bekom. N.)n^-. — 36° 2G',0 VB = 2350,21 Bekom. W.l. = 18⁰29',7

v = 173,92 tg. K = 0,102 A 1= 17', 7 Aanw. tijdm. = 4quot;15^m22³,0 14 Apr. te 0^U

Stand......= 4quot;29^m 2^s,4(-[-) m. t.Gr.©Nd. =9^o34'51quot;,0 inlquot;.. 53quot;,8 (-]-)

m.t.Grecnw.= 8'^I44™21³,4 verand.in3quot;,27 =__2'55quot;,0

= 8,quot;73 = -3quot;, 27 verb, deel.....= 9^o31'56quot;,0

A = 80^o28'4quot;.

Gem.©h = 23^o30'

k — 4' Gquot; (—) 14 Apr. te 0«

Sch. © h = 23⁰25'54quot; m. t. Gr. Tijdv. =: Oquot;¹!!⁵^ in 1quot;.. 0^S.63 (—)

^ = 2 14^( ) verand.in3^,1.27 — 2^S,1

P j ^verb, l'iidv. = O¹quot;^⁸,!) (aftr.midd. t.)

h = 23 39'47quot;

80

2 1 sin. i P = 9.490038 Berek. Azim. = N. 95^o40'0

1 sin. iP =9.745019 Gep. » =N.105^o O'O

ⁱP = 2^u15^m 6³ -

quot; ^ Miswijzing = 9^o20'(—)W.

P = 4»30^,»12s ^{0 v} ^

Ware t. a. b. = 7^u29^m48^s (T moet stomp worden geno-Tijdv. = 0^U 0^,quot;13^s,6 men, omdat volgens tafel XXIV Midd. t. a. b. = 7^U30'quot; ls6 ^van Brouwer de zon den eersten Midd. t. Gr. = 8^u44^m24^s,4 ^{verticaal reeds} gepasseerd is.)

W.l^e in tijd = l^u14^m22^s,8 W.l^e = 18⁰35'42quot;

Ten einde later, wanneer de middagsbreedte bekend is, deze lengte voor de misgissing in breedte te kunnen verbeteren, zoekt men den invloed dier misgissing in taf. XXXII van Brouwer. Men vindt alsdan 10' Noord geeft r,2 Oost, hetgeen ook op liet Tijd-meterlengtebriefje genoteerd wordt.

Heeft men zooals bier bet azimuth tegelijk met de tijdmeterlengte berekend, dan kan de invloed der misgissing in breedte ook gemakkelijk worden berekend zonder tafel XXXII met behulp dei-formule: (zie bladz. 33)

A P =-^ I^J of voor Ab = l

cos. b tg. T

A 1 = sec. b cotg. T.

Wij zouden alsdan hebben gevonden:

1 sec. b =; 0.094448 1 cotg. T =: 8.996624

IA 1 = 9.091072 A 1 = 0.123 of: 10' Noord geeft 1',23 Oost.

81

Deze manier is zeer gemakkelijk, want daar wij 1 sec. b reeds voor de tijdmeterlengteberekening hebben gebruikt, beboeft men slecbts één logaritbme op te zoeken om bet gevraagde onmiddellijk nauwkeurig te vinden. Bij tafel XXXII moet op bet gezicht meestal twee maal geïnterpoleerd worden. Men vindt dus daarmede het sevraagde niet veel vlugger en in den regel minder nauwken-

O O O O O

rig. Omtrent de vraag of hoogere breedte Oost of West geeft kan bij deze berekening niet licht twijfel bestaan, wanneer men zooals bijvoorbeeld in dit geval aldus redeneert: De zon wordt ongeveer O.-oZ gepeild. De hoogtelijn, waarop het schip zich bevindt, heeft dus eene richting N..U)., en een Noordelijker punt van die lijn ligt op eene meer Oostelijke lengte. Derhalve Noord geeft Oost.

Een azimuth volgens Labuossk of eene verbeterde peiling is voor deze wijze van berekenen reeds voldoende nauwkeurig.

Verder zij nog opgemerkt dat het hoogteverschil p, dat voor de berekening der benaderde plaats volgens St. Hilaire wordt gebruikt, ook uit de nu berekende tijdmeterlengte en het azimuth kan worden afgeleid. Beschouwen wij namelijk het kleine driehoekje tTTquot; (fig. 5) als plat en rechthoekig in Tquot;, dan kan men zich gemakkelijk overtuigen uit de figuur dat altijd:

p = tT sin. azim. is,

onverschillig of de gegiste plaats binnen of buiten de hoogteparallel ligt. tT is gelijk aan het lengteverschil tusschen de gegiste en de tijdmeterlengte vermenigvuldigd met den cosinus van de gegiste breedte, en wij zouden dus hier vinden:

Tijdm. lengte. .. = 18° 35' 42quot;

Gegiste lengte.. = 18° 29' 42quot;

Verschil.......= 6'

Nat.cos.geg.br. = 0,8

o o

tT = 4',8 Nat. sin. azim. .. 0,995

p — 4',77

2. Berekening der huitenmüIdagsbreedte. Daarvoor moet de

li

82

eerste hoogte (in dit geval die van de tiidmeterlengte) tot de 2^e waarneruingsplaats worden herleid met de bekende formule C := V cos. (T—K).

Van 7^u30^m tot 11quot; is gemaakt: ZtO.^O. mijlofN. 160° 0.25'.

Wij hebben derhalve: Ber. Azim. bij l^e h = T = N. 90° 0.

K = N. 160° 0.

T—K = 04°

dus c = 25' cos. 04° = 11' (-{-).

8:(

1 cos. (N—K) = 9.840095 1 cos. Q = 9.927170

1 sin. lir. = 9.707265 N.br. = :}5⁰48'48quot;

Verbet, voor deel. verand. = 2'16quot;

N.br. =35⁰51' 4quot;

Dit is dan de breedte op bet oogenblik dat de tweede hoogte is genieten. Voor het bestekbriefje moet echter die breedte tot den middag herleid worden, om voor het geval dat men geene middagsbreedte heeft kunnen verkrijgen daarmede een gebeterd bestek te kunnen opmaken. Wij hebben dus: Van 11quot; tot 12^u is behouden Zt().¹/₄0. 7', hetgeen 0',0 A br.geeft. Derhalve:

Jjuitenmiddagsbr. te liquot; =: 35⁰51' 4quot; N.

A Z. = 6'36quot;

Huitenmiddagsbr. te 12^u = 35⁰44'28quot; N.

Het spreekt van zelve dat in de verandering Zuid van 11quot; tot 12quot; ook weder misgissing kan bestaan. Men zou ook hiervoor eene verbetering kunnen aanbrengen door de fout in de gegiste breedte, die men te 11quot; vindt, regelmatig over het gebeele etmaal te verdeden. Bijvoorbeeld:

Gegistebr. tell^u = 36⁰ 2',5

Buitenmidd. br. » » = 35⁰51',1

Misgissing in 23quot;— 11',4 » 1quot;= 0',5 Wij zijn dus per uur gemiddeld 0,5 breedteminuut Zuidelijker opgegaan, dan het gegiste bestek aangeeft. Dit in rekening brengende van 11quot; tot 12quot; wordt:

Benaderde buitenmidd. br. te 12quot; — 35⁰44'. Laatstgenoemde verbetering wordt in de practijk nagenoeg nimmer in rekening gebracht, doch de gevallen kunnen zich voordoen, dat men hiermede rekening moet houden.

¹

Berekening van het gegist bestek op den middag en vooruit-herehening van eene gegiste middagshoogte. Gewoonlijk wordt in zee tegen 11 quot;30quot;' het behoud van den VM. opgemaakt of bij gelijkmatige

.

85

Uit ilcze berekening blijkt tevens dat eene grootere hoogte een kleinere waarde voor b dus eene Zuidelijker breedte moet geven.

4. Berekening van het gebeterd bestek. Is men met de voorafgaande berekeningen te 12^u gereed, dan kan ook het gebeterd bestek, zoodra de middagsboogte bekend is, spoedig worden opgemaakt. In ons voorbeeld is:

Gemeten O middagshoogte — 63^o40'30quot;

Gegiste O » = 63⁰28'33quot;

Misgissing in breedte = 11'57quot;

O O

Gegist bekomen N.br. = 35⁰55'54quot;

Middagsbreedte = 35⁰43'57quot; Noord.

De misgissing moet van de gegiste breedte worden afgetrokken omdat we reeds gezien hebben, dat eene grootere hoogte eene Zuidelijker breedte geeft. Alsnu kan de tijdmeterlengte van 's morgens voor de misgissing in breedte worden verbeterd. Daarvoor

O O o

wordt weer aangenomen dat de gevonden fout in breedte regelmatig in bet gebeele etmaal gemaakt is, en de fout in de gegiste

O O O ⁷ O O

breedte op het oogenblik der tijdmeterlengte wordt dus gevonden door de evenredigheid: 24^u : 19quot;,5 = 12' : x

x = 9',7.

De ware breedte was dus op het oogenblik der Tijdmeterleugte-waanipming 9',7 Zuidelijker en daar wij toen vonden 10' Noord geeft r,2 Oost geeft dus 9',7 Zuid 1',2 West. De Tijdmeterlengte te 7^u30^m verbeterd voor misgissing in breedte wordt dus:

18⁰35'42quot; W. ri2quot; W. = 18⁰3G'54quot;.

Hierop toegepast de A 1 van 7^u30^m tot 12quot; zijnde 18⁰29',7 — 18⁰1G',1 = 13',6 Oost geeft voor de tijdmeterlengte op den middag:

18⁰36'54quot; — 13'36quot; = 18⁰23'18quot; West.

Wij hebben derhalve:

Afgev. N.br. = 38⁰43',8 VB = 2524,13 afgev. W.l». — 18⁰12' Middags N.br. = 35⁰44' A'B = 2298,24 Tijdm. W.l^e. = 18-³23'18quot;

AZ.= 2⁰59',8 V = 225,89 AW= 1118quot;

86

te ^K = 22sl5 = quot;-^{05 K} ='/lt;»quot;•

In 74 str. geeft 170'.8 /\ 1).... 180' verh. = 45mijl.

Gebeterde koers en verh. Z¹/₄\\^r. 45 mijl.

De richting en kracht van den stroom kan desverlangd op de bekende wijze worden berekend.

Om in de practijk het gebeterd bestek vlug te kunnen inleveren, handelt men dikwijls als volgt: Zoodra de middagshoogte en dus ook de misgissing in breedte bekend is, past men die misgissing toe op de A br. van het gegist bestek en verkrijgt dan de A, br. van het verbeterd bestek. Heeft men nu van te voren den nat. cos. opgezocht van de middelbr., dan vermenigvuldigt men deze met de A 1 van het gebeterd bestek en verkrijgt dan de afwijking. Deze gedeeld door de A b geeft onmiddellijk tang. X, en de streektafel de verheid. Deze manier geeft ook het voordeel, dat de verheid nauwkeuriger wordt gevonden wanneer de koers dicht bij Oost of West mocht vallen.

Omtrent de tijdm. lengte op den middag valt nog op te merken, dat deze nog aangedaan blijft met de fout ia lengte, die van 7quot;;30quot;' tot 12^u kan gemaakt zijn. Men zou haar op dezelfde wijze kunnen verbeteren als bij de buitenmiddagsbreedte is aangegeven, namelijk door de gevonden fout in lengte te 7quot;SOquot;', weder te beschouwen alsof ze regelmatig in de 24^u gemaakt wordt, doch ook deze verbetering wordt in de practijk hoogst zelden noodig geacht.

87

Bkiuskenino voi.r.ens St. Hii.aire.

1. Berekenincj van de benaderde plaats te V^u ~)0^m en van de miswijzing van het standaardkompas. Wij vonden voor de gegiste plaats te 7^u3fl^m ware © li = 23° 39' 47quot;, X.br. = :!G⁰2Ü' \Vl^e. = 18⁰29',7, in tijd = l^u13quot;'58^s,8

88

Cw ^

ci m

c3 zt

ci

S O

CU _J_J 05 .2

^ to

90

Dit is volgens St. Hit.aire de plaats van het schip te 11quot;. Het be-lioud van ll^u tot 12quot; geeft 6',G A hr. Znid en 3' A, 1 Oost, zoodat volgens deze berekening de plaatsvan het schip op den middag zou zijn; Nbr. = 35⁰44',7 W.l^c. = 18⁰23',().

De aldus gevonden lengte behoeft op den middag niet meer verbeterd te worden, zoodat het gebeterd bestek vlugger kan opgemaakt worden. Bovendien is de kans op nauwkeurigheid grooter, want de tijdmeterlengte op den middag volgens de eerste methode bezit eene misgissingfout, die van 7quot;30^m af loopt, terwijl voor deze lengte die fout slechts voor het tijdsverloop na ll^u kan gemaakt zijn. Ook zal in den regel de aldus gevonden breedte weinig van de middagsbreedte verschillen, zoodat in de meeste gevallen, vooral wanneer de tweede hoogte niet ver van den middag gemeten is, liet geheele bestek reeds te 12quot; gereed kan zijn. De middagshoogte kan dan meer als controle waarneming worden gemeten. Voor het geval dat dit werkelijk een groot verschil in breedte zou opleveren, kan het gebeterde bestek nog eens met de middagsbreedte berekend worden, dat dan altijd toch nog vlugger geschieden kan dan volgens de oude methode. Verder zij nog opgemerkt, dat bij meer tijdmeters, bijv. drie, de berekening van het snijpunt der hoogtelijnen of van de plaats van het schip niet afzonderlijk voor eiken tijdmeter behoeft te geschieden. Wij hebben toch reeds gezien, dat eene fout in de tijdmeters slechts eene Oostelijke of Westelijke verplaat-sinoquot; van het snijpunt kan veroorzaken. Heeft men dus uit de gelijktijdige aanwijzingen der drie tijdmeters op het oogenblik der waarneming drie tijden Greenw. opgemaakt, dan blijkt daaruit hoeveel meer Oost of West de twee tijdmeters geven, die niet voor de berekening zijn gebruikt en kan de lengte volgens eiken tijdmeter op het bestekbriefje worden ingevuld.

Het opmaken van het bestek wordt natuurlijk nog eenvoudi-cer, wanneer do constriictie-metliode met behulp van het hierbij gevoegde kaartnet wordt toegepast op de wijze, zooals vroeger is aangegeven.

SCHEMA'S.

Breedte en lengte der benaderde plaats.

t. GEGISTE PLAATS. A. BENADERDE PLAATS.

A. Door Zonshoogte.

Aanw. tijdm. =...... Tc 0quot; m. t. Gr. O deel. ......Tijdvereff. =

Stand.

Midd. tijd Gr.

Tijd vereffening.

Ware tijd Gr. —......

Geg. lengte iu tijd —......

Geg. ware tijd a. b. =......

Geg. uurli. — P =......Icos. =...........leogt. =.

d =:......leotg. =......Isin. =......

¹ tg- P =......

(p =......1 sec. =......1 cosec. =.

Geg. breedte =......

. . Isin. =.....

b-|-p=......Isin. =......Icos. —......

1 cos. n =:......1 cotg.t ;......

Gegiste topsafst. = n :...... t =:......

Waargen. » = n' =......Azim. =......

I loogteverschil =11 — n' = p ......koers van t naar A =...

In.....koersh. geeft.....verb, (p).....verand. br. en.....afw. =. . . . verand. lengte.

Breedte t =......l^engte t =......

Verand. =z......Verand. =......

Breedte A =......Lengte A —......

Het azimuth is gelijknamig met de breedte en wordt naar liet Oosten of Westen geteld al naar gelang liet hemellicht rijzend of dalend is.

Zijn breedte eu declinatie ongelijknamig, dan moet d negatief worden genomen. Hierdoor Avordt e en ook cotg. t door cosec. (p negatief en moet dus voor t de stompe waarde worden genomen.

Zijn breedte en declinatie gelijknamig dan kan p gt; G^u worden. Alsdan wordt cos. P, cotg. P en cosec. lt;p negatief. Mitsdien cogt. t

93

de teekeus enz. valt hetzelfde op te merken als bij

Plaatsbepaling door twee hoogten.

A. Twee zonshoogten met plaatsverandering tusschen de waarnemingen, Oplossing geheel door berekening.

t. 1° GEGISTE AVAARNEMINGSPLAATS.

A. BENADERDE PLAATS DOOR l^u HOOGTEMETING.

A'. ■2quot; GEGISTE WAARNEMINGSPLAATS, VERKREGEN

DOOU TOEPASSING VAN PLAATSVERANDERING OP A.

T. PLAATS VAN HET SCHIP (SNIJPUNT DER HOOGTELIJNEN).

94

Aanw. tijdm.bij 1''lioogte =......TcOquot; m. t. (ir. Q deel. ~.......ïijdvcrcff. —... ,

Stand » »» « —............Verand. ... . Verand. —....

Midd. tijd Gr. » =...... © deel.bijl⁰hoogte =:... .Tijdv. bijlquot;hoogte:=....

Tijdvereftquot;. bij » » =......

Ware tijd Gr. « « =......

Lengtegeg. plaatstin tijd =......

Gegiste ware t. a. b. =......

» nurh. bij 1 quot;hoogte =r......1 cos. r=........ 1 (;otg. ~. . . .

Q deel. « » » =......lcotg.= . . . .1 sin. =....

Gem. l^ehoogte =............i_t 3

_............Or ' J 1 •

Sch. O lioogte =......Geg. br. punt t ....

Straalb. —............li ^ 1 sin. ==.... 1 cos. — . .

loc. 0 h ............1 cos. n =.... 1 cotg. t. —....

p -J m —............n =... . t —.. ..

■© h =:............n' =r... . Azimuth 3=....

n' =...... 1^e hoogteverschil, n— n' — jgt; =.... koers van t naar A —... .

In.... koershoek geeft.... verh. (p).. .. verand. br. en.... af\v. ;=.... verand. lengte.

Breedte t =......Lengte t =......

Verand. =......Verand. =......

Breedte A —......Lengte A =......

Tusschen de ■\vaarnerainn;en verand.=z......Verand. =......

Breedte A' —......LengteA'=.

Aanw. tijdm. bij quot;2quot; hoogte =......TeOm.t.Gr. 0 deel. =.......Tijdvereff. —.. ,

Stand » « n —............Verand. =:.... Verand.—...

Midd. tijd Gr.» » » —......0 deel. bij 2° hoogte —. .. . Tijdv. bij 2°hoogte ...

Tijdvereff. » » » =......

Ware tijd Gr. lt;• » » —......

Lengte geg. plaats A' in tijd —......

Gegiste ware tijd a. b. —......

« uurh. bij 2''hoogte —......Icos. =......... Icotg. =......

0 deel. » » » —......1 cotg. =.... 1. sin. =:......

1 t⁰quot;. (0 —....

Gem. 2^,: hoogte =............⁰ ' _ 1 „„„ __,

^a __tp = .... 1 sec. —......1 eosec. —......

.........Geg. br.puut A' =.. ..

Sch.j0^ hoogte z=............b ü^TTlsin. =......Icos. =......

Straalb. =......

- , --1 cos. 11 =......1 cotyr-1 =......

loc. © h. =............_{n =}...... quot; _t=......

p l m. —............n' =......Azimuth bij 2^e h —...

O h —...... 2°hoogteverschil,n—11' — p' —...... „ , l^eh = ...

ⁿ ..........Verschil — «=...

A'T sin. a = p' A'T ^...

koers van A' naar T loodrecht op l^c azim.

In...koersh. (A' naar T) geeft. .. verh. (A'T) . .. verand. br. en ... afw. —......I.

Breedte A' —......Lengte A' —......

Verand. ...... Verand. —......

Breedte T =......Lengte T —......

Bovenstaande sclicina geeft de eenvoudigste oplossing door berekening. Bij de oplossing gedeeltelijlv door constructie met behulp van het kaartnet met schaal, neemt men voor het punt A het middelpunt der kompasroos, en trekt daardoor de l^e hoogtelijn loodrecht op het l^e azimuth. Het punt, waardoor de 2^e hoogtelijn moet vetrokken worden, verkriiquot;'t men door het '2* hoogteverschil p in

O quot;C

de vereischte richting van A' af te zetten. Het verschil in ligging tusschen het snijpunt T der hoogtelijnen en het punt A' wordt vervolgens met behulp der schaal afgepast.

Oplossing door gedeeltelijke constructie.

t. l^c GEGISTE WAARNEMINGSPLAATS.

t'. 2« 11 ii VERKREGEN T500R

TOEPASSING DER PLAATSVERANDERING OP t.

A. 1quot;. BENADERDE PLAATS.

B. 2«. „ „

T. PLAATS VAN HET SCHIP (SNIJPUNT DER HOOGTELIJNEN).

De berekening van het eerste hoogteverschil p en de koers van t naar A geschiedt als in het vorige schema. Voor het tweede hoogteverschil p' en den koers van t' naar B moet de gegiste breedte en lengte van het punt t' worden gebruikt.

De berekening bepaalt zich tot de hoogteverschillen en azimu-then. Voor de verdere oplossing door constructie neemt men voor het punt t' het middelpunt der kompasroos, zet van daar de hoogteverschillen in de vereischte richtingen af en trekt de hoogtelijnen. Het verschil in ligging der punten t' en T wordt met behulp der schaal afgepast.

B. Twee verschillende hemellichten.

Do berekening der hoogteverschillen voor de maan, eene ster of eene planeet kan geschieden volgens de schema's, die voor do berekening der ligging van do benaderde plaats zijn gegeven. Het

96

snijpunt der hoogtelijnen kan dan verder op dezelfde wijze worden gevonden als voor de zon is opgegeven.

Meet men de hoogten van twee of meer hemellichten kort achter elkander, dan kan voor alle hoogten dezelfde gegiste plaats worden gebruikt. Deze gegiste plaats wordt dan weder liet middelpunt der kompasroos, en het verschil in ligging met het snijpunt der hoogtelijnen wordt weder het gemakkelijkst door afpassing gevonden.

VRAAGSTUKKEN TOT OEFENING.

1, Den 3^en Februari 18.... op 3!'⁰ 17' gegiste N.br. en 35° 12' seaiste W.l⁰. is met het ooy; 15 voet boven water des namicl-

O O O

Jags ongeveer te 2^U 30quot;' waargenomen:

Aanwijzing tijdmeter r= 5^U 40^m 38^s O h. =: 25° 48'

Indien de stand van den tijdmeter tot midd. tijd Greenwich op dat oogenblik 0^U 52^m 30' (—) bedraagt, vraagt men de breedte en lengte der benaderde plaats ?

Men vindt in den almanac:

3 Febr.te 0quot; midd. t. Gr. © Z. deel. = 16⁰35'34quot;verand.in 1quot;..44quot;,0 (—) » » » » » » Tijdvereff. =14^m2^s,2 » » » 0quot;,27 (-|-) (Aftrekken van midd. tijd.)

Antwoord. N.br. — 30^o22',n W.l^c = 85⁰6',5.

'Z. Den 22^cquot; Maart 18... op 52^o30' gegiste N.br. en 5⁰41' gegiste 0.1°. is met het oog lii voet boven water des avonds ongeveer !• uur waargenomen:

Aanwijzing tijdmeter = ()^ll14^m20^s Gem. hoogte Sirius = 14⁰51 ' Indien op dat oogenblik de stand van den tijdmeter tot midd. tijd Greenw. 2^u21^m40^s (-f~) bedraagt, vraagt men de breedte en lengte der benaderde plaats ?

Men vindt in den almanac:

22 Maart te 0quot; midd. tijd. Gr. R. ü. midd. 0 — Ü^u0^m42^s,9G R. O. Sirius = (j^u40¹quot;15^s,2.

Z. deel. » = l()^o34'0quot;

N.br. — 52^o10^,,r) 0.1^e = r.⁰;!2',l

OS

Den 0 April 18 ... . op 49⁰quot;2G' gegiste X.br. en lS^o40' gegiste W.l^e is met liet oog 15 voet boven water des avonds ongeveer te 10^u30^m waargenomen:

Aanwijzing tijdmeter = 0^U40^,I14¹ ([ li =: 42° 52'

Indien op dat oogenblik de stand van den tijdmeter tot midd. tijd Greenw. 2^ulⁿⁱ56^s(-l-) bedraagt, vraagt men de breedte en lengte der benaderde plaats?

Men vindt in den almanac:

9 Apr. te 0^U midd. t. Gr. R. 0. midd. © = l^ull^m40quot;,9

» » ll^u » » » » » (J =:8^u33^m58^s,05verand.in l(t^m..21^s,()35 » » ll^u » » » (J N. deel. = 20^o29'0quot;,8 » » » 51^s,3(3 (—) » » 0quot; » » » Om. = 15'24quot;,G ([ E. II. V. = 5Ü'27quot;,3 » » 12quot; » » » Om. —15'31quot;,3 CE.H.V. = 56'51quot;,9.

Antwoord. X.br. = 49⁰28',9 W.l^e = 18° 35',1

¹

Men vindt in den almanac:

10 Jan. te 0quot; midd. t. Gr. R. O. midd. © = 19^u20^m47^s,61 » » » » » 1». O. Satumus = 9ⁿ2G^m44^s,02

11 » » » » » li. O. » — 9^u26^m28^a,35

10 » » » » » N. deel. » =: 1G⁰12' 1quot;,G

11 » » » » » N. deel. » = 1G⁰13'25quot;,8

E. H. V. Satnrnns = 1quot;.

Antwoord, N.br. = 45⁰14' W.l^e = 25^o10',8.

00

5. Den 25^cn Aug. 18 . .. op 12⁰52' gegiste Z.br. en 82⁰37' gegiste ().l^c. is met liet oog 14 voet boven water des namiddags ongeveer te 3^u30^m waargenomen:

o o

Aanwijzing tijdmeter - llⁿ40^n,24⁸ © h = 33⁰15'

Indien de stand van den tijdmeter op dat oogenblik l^a40^m52^s (—) bedraagt, vraagt men de breedte en lengte der benaderde plaats?

Men vindt in den almanac:

25 Aug. te Omidd. t. Gr. O N.decl.=10^o37'0quot;,9 verand. in 1quot;... 52quot; (—) Tijdvereff'.= » » l^u...0',68(—)

(Aftrekken van midd. tijd).

AnUvoonJ. Z.br. = 12⁰47',y — 82° 2()',8.

(i. Den l^cn April 18 ... . op 34⁰32' gegiste Z.br. en 00^o45' gegiste 0.1^e is des voormiddags ongeveer te 8^U, met het oog 12 voet boven water waargenomen:

Aanwijzing tijdm. — 3quot;14^m2S^s © li =: 20^o54'l 0quot;.

Ruim 2 uur later, nadat bet schip zich sedert deze waarneming om de OZO. 3 mijl verplaatst heeft, wordt waargenomen: Aanwijzing tijdm. = .quot;)^u3S^ra30^s © h = 44^o34^,20quot;.

Indien de stand van den tijdmeter tot midd. tijd Greenw. 0quot;45^m32^s( ) bedraagt, vraagt men de breedte en lengte der tweede waarnemingsplaats ?

Men vindt in den almanac:

1 Apr.teOquot; midd.t. Gr. © X.decl. =4⁰4:l^,4(iquot;,() verand.inlu..57quot;,8 (-]-) » » » » » » Tijdvereff. — 3^,quot;quot;)0⁵.1 (gt; » » 0⁸.75 (—)

(Aftrekken van midd. tijd).

Antwoord. Z.br. = 34^o20',9 0.1^C = (50^o37',8.

De oplossing volgens Lobatto en Hazewinkel met inachtneming der declinatie-verandering tusschen de waarnemingen voor de breedte geeft:

Z.br. = 34^o20',7 01^c = 60o38',3.

100

7. Den 23^en Januari 18 ... op 40^o10' gegiste N.br. en 42⁰45' gegiste W.l^c is des namiddags ongeveer te l^u met liet oog 4 meter boven water (kimd. = S'33quot;) waargenomen:

Aanwijzing tijdm. = 6^u22ⁿⁱ43^s O li = 29⁰25'

Ongeveer 2^:,/₄ uur later, nadat het schip zich sedert deze waarneming om de ZOtZ. 31 mijl heeft verplaatst, wordt waargenomen: Aanwijzing tijdm. = 9^,110^m12³ O li r= 11° 50'

Indien de stand van den tijdmeter tot midd, tijd Greenw. 2gt;i29i'i33^s,5 (—) bedraagt, vraagt men de breedte en lengte dei-tweede waarnemingsplaats ?

Men vindt in den almanac:

23 Jan. te 0^U midd. t. Gr. O Z.decl. —10^o19'32quot; verand.in 1quot;..35quot;,7 (—) » » » » » » TijdveretF. = 12¹¹¹12%2 » » »0^s,G2 (-|~) (Aftrekken van midd. tijd).

Antwoord. N.br. = 39⁰43',7 W.l^e = 42⁰15',7.

De oplossing volgens Lobatto en Hazewinkel, de breedte verbeterd voor de declinatie-verandering tusschen de waarnemingen, geeft:

N.br. -- 39⁰43',G W.P 42⁰18',3.

101

Antwoord. Z.br. = 27⁰58',6 W.l^e. = 32⁰41',3.

De oplossing volgens Lohatto en Hazewinkel, de breedte verbeterd voor de declinatie-verandering tusschen de waarnemingen, geeft:

Z.br. = 27⁰57',9 W.lquot;. — 32⁰44'₎3.

(►. Den 3^en April 18 ... op 28^o30' gegiste Z.br. en ll^o50^/ gegiste W.l^e. is des voormiddags ongeveer te 8^u30^m, met het oog 17

O O o ' O

voet boven water, waargenomen:

Aanwijzing tijdm. = 4^u15^m40^s 0 li = 30^o2'40quot;. liuim 2 nur later:

Aanwijzing tijdm. =i (j^u20^,,l14³ O b = 50^o41'20quot;.

Indien de tijdmeter 5^ull^nll()^a na is op den midd. tijd Greenw. vraagt men de breedte en lengte V

Men vindt in den almanac:

3 Apr. te 0^U midd. t. Gr. O N.decl. = 5⁰24'58quot;,3verand.iiil^u.57quot;,4L)(-j-). » » » » » » Tgdvereff. = 3^,lll7^S,5 » » » 0^S,749(—) (Aftrekken van midd. tijd).

Antwoord. Z.br. = 28⁰39',7 W .l^e = 12⁰2',1.

De oplossing volgens Lobatto en Hazewinkel, de breedte verbeterd voor de declinatie-verandering tusschen de waarnemingen, geeft:

Z.br. = 28⁰39' W.l^e = 12^o0',8.

10. Den 10^en Februari 18 . .. op 52^o10' gegiste N.br. en 22^o30' gegiste W.l^c. is des morgens ongeveer te 9^u15^m door waar-

O O O O

neming verkregen:

Aanwijzing tijdm. =: 8^u54^m10⁹ zons ware middelp.t'shoogte

— 14⁰29' en ruim 2quot; later, nadat het schip zich sedert deze waarneming om de ZZW. 3 mijl heeft verplaatst:

Aanwijzing tijdm. = 10^u55^m12^s zons ware middelpt.'shoogte

— 22⁰53'18quot;. Indien de stand van den tijdmeter 2^U5^,quot;20⁸ (-)-) bedraagt, vraagt men de breedte en lengte van de tweede waarnemingsplaats V

102

Men vindt in den almanac:

10 Feb. te 0quot; midd. t. Gr. O Z. deel. = 14⁰21'4quot; verand. in lⁿ..49quot; (—) » » » » » » » Tgdvereff. = 14^w27³,l » » » 0^s. (Aftrekken van midd. tijd).

Antwoord: Nbr. - 52⁰5',6 W.l^e. = 22⁰32',1.

De oplossing volgens Lobatto en Hazkwinkel, de breedte verbeterd voor de declinatie-verandering tussclien de waarnemino-en,

O O ⁷

geeft;

N.br. = 52⁰5',5 AV.l^e. = 22⁰36^/5.

11. Den 16™ Juli 18... op 52⁰25' gegiste N.br. en 5° gegiste 0.1. is met liet oog 17 voet boven water des avonds ongeveer te 8^u45^m geliiktijdig gemeten:

Aamv. tijdm. = 5^u30ⁿⁱ3^s h — 15^o34'20quot; middelpimtshoogte Jupiter = 18^o54^,40quot;.

Indien de stand van den tijdmeter 2^u56ⁱⁿ29^s (-]-) bedraagt, vraagt men de breedte en lengte der waarnemingsplaats?

Men vindt in den almanac:

1G Jnlite 0^umidd. t. Gr. R.0. midd. zon = 7^u38ⁿ'18³,2 » » » » » » » (J \ m. == IG'Squot;,! J E. H. V. = 58'48quot;,5 » » » 12^u » » » C -i m. = 16'10quot;,3 » = 59'14quot;,8 » » » 8^U » » » (J R.O.=: 17^u22ⁿⁱ5⁸,l verand. in 10^m..25⁸,099 » » » » » » » (£ Z. deel.=20^o15'26quot;,2 » » » 1quot;.G (—) » » » 0quot; » » » R.O.Jupiter= 15^u2^m 9⁸,8Z.decl. =rl6⁰12'55quot; 17 » » » » » » R.O.Jupiter= 15^u2^mll^s,0 » =1G⁰13'IGquot;,2 E. H. V. Jupiter= 1 quot;,8.

Antwoord. N.br. = 52⁰35' 0.1^e. = 5⁰9',7.

De reclitstreeksclie oplossing geeft:

N.br. = 52035',4 0.1quot;. = 5⁰8',5

¹

'³^-t*-~~£. -

s -

c/^T -

t

-

-if. a =

= è -

4 CP -i.

J. (Pgt; ~

u^y£;

r. i/ -

7~quot;-

-

o£~yamp; .

/3~_ ^/è.

-v-

y^^=

*-c = j^-⁷ _

/■ c rf'=

=

--

⁰^-£^-— -t

:

y.

/3?

/S₌

r- ^tr. ^

« _

/ ~

_ ^-'- lt;x.-

/1

a. =

c J?'

é~ ^ =

,(P^

«v^X (J J

^Aquot;/1_ ^ 2^ ^

^ c

/

x^:-

^__'____

-

S 7

«^r -

v. =

■^4 5 ^ --

i^A...

^ -

^ j cT^ =.

=

/3~_

T:

Se- ~

ys^~

^z:

(P =

-1 (P=

zs~

I/ =_ 7quot; r

*£lt;///■ x

7^

___ ^

lt;- ,

fy ~ J ** - eigt;**' ^rr^/^/' _

__' 4 ^

4 s

6^ - ^ =-

^CL -

/r^ =

- -

i G³ = -t O^:

Y:_ •quot; --• ^

ïn^ryè- ~

tr c_

7quot; - 7~;

^ , Ut :

•X