' . 5gt;

u

V E P_v Z I C H T

GRAAMETira IN NEDERLAND

. VAN DER 'TLAATS.

I. De Triangulatie van Snellius.

II. W. J. Blaeu.

M ' ' ......... -

5;

I

^ ^ x WA. o. n., v/. VU17i^iUAlNO. ,*

i.ïx^ tXJXi cXi^s (tX'JXs èxV)lt;^ ègt;ix3 ?gt;

RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT

1971 4611

Stoomdrukkerij ,,de Industriequot;, J. van DRUTEJI — Utrecht.

1 S 8 9.

Sterrewac;-: • ,C o;. .enburg UTRECHT.

OVERZICHT VAN DE GRAADMETINGEN IN NEDERLAND

DOOR

Dr. J. D. van der Plaats.

Hoofdstuk I. De Triangulatie van Snellius.

Siiclluis mist als schrijver de onovertroffen klaarheid van Hicygcns, als rekenaar en uitgever de nauivkeiirigheid en zorgvuldigheid van LTuiolph van Cetden ; als waarnemer staat hij achter bij Tyge Brahe en Pieard; de waarde der verrekijkers en logarithmen heeft hij niet ingezien; in zijn historisch overzicht had hij moeten wijzen op Gevima Frisius.

Maar hij zvas de eerste, die de trigonometrische landmeetkunde in haroi geheelen omvang op grootcn schaal toepaste en dienstbaar maakte aan eene graadmeting. Zijne 'methode is nog de eenig juiste', alle theoretische moeielijkheden heeft hij overwonnen; de gebreken der uitvoering waren te zijner tijd haast onvermijdelijk. De uitkomsten zijner triangulatie zijn zoo goed als men maar kon verwachten en bleven twee eenwen lang onverbeterd. Groote fouten komen alleen in de Poolshoogten en het azimut voor.

Inhoud.

§ 1. Leven en werken. — 2. Eratosthenes Batavus. — 3. Musschenbroek. — 4. Basesnet. — 5. Primair net. — 6. Instrumenten en uitkomsten.— 7. Voorgangers. — 8. Gemma Frisius. — 9. Het problema van Snellius.

§ 1. Het Leven en de Werken van Snellius.

Willebrord Snel van Reien¹) werd in het najaar van

^gt;2

¹

) Eene autobiographic met portret van Snellius komt voor in M e u r-sius: Athenae Batavae, Leiden 1625 p. 119 et 297, alwaar ook platte gronden van Leiden en omstreken uit het jaar 1614.

Zie verder P. van Geer, Album der Natuur 1884 blz, 1 en 121, en over het geboortejaar en kinderental de lijkrede van Jachaeus (oratio obitum S n e 11 i i, p. 21, 19.)

4

15S0 tc Leiden geboren, waar zijn vader Rudolf hoogleeraar in de Wiskunde was. Hij studeerde aan de Leidsche Hoogeschool; Ludolph van Geulen noemt hem zijn leerling.¹) In het jaar 1G00 hield hij voordrachten over de sterrekunde van Ptolemaeus; daarop maakte hij twee lange reizen in het buitenland en leerde te Praag Tyge Brahe (f 24 Oct. 1601) en Kepler kennen. Na zijne terugkomst gaf hij weer colleges. Den 8 Febr. 1613 volgde hij zijn vader, die kort daarna stierf, op als gewoon hoogleeraar, met eene bezoldiging van f 400 's jaars. Zijn onderwijs was zeer beroemd.

Hij woonde op de Koepoortsgracht (thans Douzastraat bij de ruïne) en overleed 30 Oct. 1626 na eene langdurige ziekte.

Hij was 1 Aug. 1608 gehuwd met Maria de Lange, dochter van den Burgemeester van Schoonhoven, een rijk en aanzienlijk geslacht. Zij schonk hein achttien kinderen, van welke slechts drie hem overleefden en niet één beroemd is geworden.

Snellius werd als hoogleeraar opgevolgd door Jacob Golius, die reeds Professor in het Arabisch was. Deze kocht uit de nalatenschap van Snellius voor f 125 een quadrant (radius 7 voet) van Blaeu aan, hetwelk door de academie werd overgenomen, die daardoor in 1632, dat is veel vroeger dan eenige andere universiteit in Europa, in het bezit eener Sterrewacht kwam.²) Snellius zelf had een aantal waarnemingen over de komeet van 1618 verricht en eenige waarnemingen van Tyge Brahe, van Graaf Wilhelm IV van Hessen, e. a. berekend en uitgegeven.

Simon S t e v i n en van Geulen schreven bij voorkeur in het Nederlandsch; Snellius vertaalde hunne werken in het latijn en schreef zelf uitsluitend in deze taal.

Men heeft van hem eenige werken over zuivere wiskunde, die

¹

) In 1599 bezorgde hij aan Geulen de oplossing van het vraagstuk ,,een driehoek in een gegeven reden te verdeelen door een lijn, die dooreen gegeven punt gaat.quot; Arithmetische Fondamenten, vijlde deel, probl. 7.

Van de geschriften die ik in dit opstel aanhaal zijn sommigen zeldzaam. Allen zijn aanwezig op de Bibliotheek der Rijks Universiteit te Utrecht.

²

) F. Kaiser, Annalen der Sternwarte in Leiden, 18GS Bd. I. S. IV, LUI und LIV no. 1G.

hoewel zeer verdienstelijk, nimmer van groote beteekenis zijn geweest. Zijne merkwaardigste vinding op dit gebied was de pooldriehoek.

Hij is de ontdekker van de sinuswet der lichtbreking, die „hoeksteen der Optica (Tyndall).quot;

Onder zijne nalatenschap moeten zich minstens drie verhandelingen bevonden hebben: een leerboek der trigonometrie, een uitvoerig werk over het licht en eene verbeterde behandeling zijner graadmeting. Alleen het eerste boek is spoedig uitgegeven. De verbeteringen van de berekeningen en waarnemingen der graadmeting waren geschreven op den rand van een exemplaar der eerste editie.

Dit kwam eene eeuw later in handen van Musschen broek, den beroemden Utrechtschen natuurkundige, welke het werk nog eens verifieerde en in 1729 onder zijne verhandelingen¹} opnam.

§ 2. Eratosthenes Batavus De Terrac avilnius vera quantitatc,

(De Nederlandsche Eratosthenes; over de ware grootte van den omtrek der aarde) is de titel van Snellius' boek, dat in 1617 te Leiden door van Marsse gedrukt en bij va n Cols ter uitgegeven werd; klein 4o.

Het boek begint met een opdracht aan de Generale Staten. Dan komt een achtregelig lofdicht van zijn rechtsgeleerden ambtgenoot Petrus Cunaeus. Vervolgens eene lijst der geographische breedten van 18 plaatsen, waaruit afdoende blijkt, dat deze bepalingen toen nog één of meer minuten onzeker waren.

Liber I beslaat blz. 1 —11G. Het is grootendeels historisch. Wij vermelden er uit: caput 2 : de aarde is bolvormig en het middelpunt des heelals. eap. 3 : over geographische lengte en breedte, en over de poolshoogte eener plaats, cap. 4—20 : over de oude graadmetingen van Eratosthenes, Ptolemaeus, de arabieren enz. cap. 21 handelt over Fern el. Snellius trekt uit dit liber de slotsom (zie ook p. 211) dat geen dier oudere bepalingen eenig vertrouwen verdient, en ieder zal dit met hem eens zijn. Minder goed te keuren is, dat hij volkomen zwijgt over de trigonometrische landmeetkunde van zijne onmiddellijke voorgangers (zie § 8.)

•) P. van Musschen broek; Dissertationes physicae et geometricae. Leiden 1729 p. 357—420 ,,de magnitudine terrae.quot;

G

Liber II is opgedragen aan de baronnen Eras mus en Caspar van Sterren berg. Toen S n e II i u s in het voorjaar van 1G15 de metingen in den omtrek van Leiden volbracht had, overreedde hij deze beide jonge edellieden om, met hunnen gouverneur Joannes Philemon, als besluit hunner wiskundige studiën, hem in de «hondsdagenvacantiequot; te vergezellen op den tocht naar de meer verwijderde stations. Zij zijn S n e 11 i u s zeker in veel behulpzaam geweest, maar het blijkt niet of zij de kosten droegen of zelf waarnemingen verrichtten. S n e 11 i u s brengt hen in de opdracht en op p. 176 in hoogdravend latijn dank en lof.

Caput 1. Snellius stelt voorop, dat eene meting nutteloos zou zijn voor anderen, wanneer deze de lengtemaat niet nauwkeurig konden afleiden. Zijn standaard was de Rhijnlandsche Roede, a 12 voeten. Voor het gemak der berekening verdeelde Snellius (p. 157) in navolging van Stevin die roede echter tiendeelig, maar geheel onnoodig noemt hij de Vio deelen ook voeten en de Vioo ook duimen, hetgeen meer dan één lezer in den war heeft gebracht, p. 122 wordt de triangulatiemethode in enkele woorden beschreven. Dan volgt eene uitwijding over Leiden, met de woordsafleiding Lugodunum = duinzicht. Later geeft hij nog meer van zulke verhalen, o. a. p. 178 het beleg van Oudewater. Onderscheidene deelen van Snellius' boek schijnen ons langdradig, omslachtig en toch niet duidelijk toe, maar vergeleken met vele zijner tijdgenooten, b.v. R h e t i c u s en R i c c i o 1 u s is S n e 11 i u s een beknopten schrijver, p. 124, 194, 264 geeft Snellius eene slechte houtsnede, die ¹/₂₄ roede in natuurlijke grootte voorstelt, maar hij erkent, dat papier na het drukken niet gelijk van lengte blijft. Vervolgens drukt Snellius de lengte van 17 binnen- en buitenlandsche, toenmaals in gebruik zijnde, voeten uit in duizendste deelen van den Rhijn-landschen. Zoo heet de Amsterdamsche voet 904; de Londensche 968; de Parijsche 1055. Pi card vond in 1667 voor deze laatste 3oooo/₂₉ — 1034,5.

Cap. 2. Vergelijking des Rhijnlandschen Voets met oudere maten. Snellius komt met veel omhaal tot het besluit, dat de Rh. V. volkomen gelijk is aan de oude Romeinsche Voet. Als men niet op een paar centimeters ziet kan hij wel gelijk hebben.

Cap. 3, Vergelijking met de Romeinsche Stadiën.

Cap. 4. Vergelijking met een groot aantal ellen.

Cap. 5 Begint met een overzicht der gewichten, die vooral uit de zwaarte der munten worden afgeleid. Het Amsterdamsche ons zou gelijk zijn aan het oude Romeinsche. Sn el li us bepaalt daarop het verband tusschen den Rh. V. en het Amsterdamsche quot;ffi van 16 onsen. Hij neemt een geelkoperen cylinder, binnenwerks Vo voet middellijn en hoogte, en daarop een cylindrischen hals van Vio voet hoog en wijd. Uit de eenigzins verwarde opgaven blijkt dat de cylinder woog: ledig 5^⁵³/so ons; geheel gevuld met gedistilleerd water 152 ⁷/so, met regenwater 152³⁰/₈oi ^met welwater ISS¹⁰^¹ ons. Hieruit volgt voor het gewicht van één kubieken voet gedistilleerd water 62,79357* Amst. IS; regenwater 62,9751; welwater G3,4-488. Weet men dus het gewicht van een volumen water uitgedrukt in eene andere lengtemaat, dan is de verhouding van deze tot den Rh. V. daardoor bekend.

De laatst beschreven proeven geschiedden in Mei 1617. Thermometers en de uitzetting door warmte waren nog onbekend.

Wij zien, dat S n e 11 i u s grooten lof toekomt voor de moeite, die hij zich in dit opzicht heeft gegeven, en welke door niemand vóór hem is genomen. Maar toch weten wij de grootte van zijn Rh, V. niet met nauwkeurigheid. Vóór 1769 is in ons land aan de bewaring en vervaardiging der standaarden weinig zorg besteed, en in andere landen is men nog slorderiger geweest, b.v. in 1668 is de toise (= 6 parijsche voeten) 6 lijnen (— 14 m.M) korter ge-, maakt, en men rekende dit van zoo weinig belang, dat het alleen door eene losse opmerking van Picard bekend is geworden. ¹)

De oorspronkelijke Rh. Roede van S n e 11 i u s bestaat niet meer (Kaiser I.e.). De volgende beschouwing helpt ons eenigszins. In 1622 vond S n e 11 i u s voor den afstand 's Hage—Leidsche stadhuis 4118 R., en volgens zijne gegevens is de saaihal te Leiden 66,78 R van het stadhuis verwijderd in de richting zuid 14⁰56' oost, waaruit voor den afstand 's Hage—Saaihal 4092,7 R, terwijl K ray-en h off opgeeft 15402,9 meters alzoo 1 R = 3,7635 M., met eene onzekerheid die ik op ¹/iooo schat.

¹

Een sterretje wil hier en in de volgende bladzijden zeggen, dat Snellius door een druk, schrijf of rekenfout een ander, verkeerd, cijfer opgeeft.

') J. H. van S winden: Volmaakte maaten en gewigten, Aaisterdam 1802, I, blz. 411, 33, 56, G4, G5, 411, 412,

8

Was P i c a r d's toise gelijk de tegenwoordige 1,949036 M., dan zou de Rh. R. die hij vergeleek 3,7681 M. zijn geweest. Van Swinden betoogt, dat de Rh. R. van Lulofs (1752) — 3,76586 M. was; officieel is in Febr. 1808 vastgesteld 1 R = 3,76736.

Langs geheel anderen weg is ook van Swinden tot het besluit gekomen, dat de Roede ten tijde van S n e 11 i u s kleiner was dan in later tijd. Met ons cijfer 1 R = 3,7635 M. zou de cylinder van Snellius 3,0527 L. inhoud hebben en een kubieken Rh. Voet water van 15° in de lucht wegen 30,787 K.G., dus 1 Amst. ^lt;® van Snellius = 0,49028 K.G.

Van Swinden stelt 1 Amst. quot;ffi — 0,49409 K.G. «maar op dit stuk is vrij wat verwarringquot;; dit zou wijzen op eene roede — 3,7733 M. of wat waarschijnlijker is: de gevulde cylinder van Snellius was 0,5 m.M. te groot in wijdte en hoogte, d. i. zijn inhoud 23,8 c.Mameer dan bedoeld was. ¹)

Cap. 6—10, p. 156—207 bevatten het verhaal der eigenlijke graadmeting.

Cap. 6 beschrijft het dubbel ruitvormig basisnet tusschen Leiden en Soeterwoude, fig. 2, waarbij uit een basis t c van 87,05 R de zijde LS == 1092,33 R wordt afgeleid. De scherpste hoeken zijn niet gemeten; de uitkomst bleek later fout te wezen.

Snellius zegt, dat hij de uitkomsten in 2 decimalen geeft, ofschoon reeds de eerste onzeker is: eene overdreven cijferweelde, die de meeste geodeten nog niet kunnen ontberen.

Cap. 7 beschrijft het secundaire net (basesnet) L, S, W, V, H en de tweede basis, tusschen W en V. Hier, gelijk in de volgende capita, wordt elke driehoek of ruit, die trigonometrisch opgelost moet worden, in een afzonderlijk tproblemaquot; behandeld en zoo noodig afzonderlijk afgebeeld. De figuren zijn soms wanhopig slecht getee-kend: stations rechts en links, boven en onder, verwisseld; stompe hoeken scherp geteekend; dezelfde letter zonder noodzaak voor meer dan één punt gebruikt, enz. Bij Mussc henbroek is het niet veel beter gesteld; het heeft mij eenige malen moeite gekost om dat behoorlijk in orde te brengen.

') De cylinder van Snellius had een oppervlak van 11,82 d.M'². en een gewicht van 1,G263 Kg. De wanddikte kan dus hoogstens 1,7 m.M. bedragen hebben.

9

Cap. 8 beschrijft het primaire net, fig. 1, in 33 problemata. Hierbij een kaartje, waarop behalve de hoekpunten nog een aantal andere steden zijn aangeteekend. De driehoekszijden zijn niet getrokken en het geheel is onduidelijk en onnauwkeurig: b, v. A, H, R, W en B zijn door ée'ne rechte lijn verbonden. De letters zijn bij Snellius weer treurig: dikwijls is een station met de beginletter van den naam eener naburige stad aangeduid, b. v. Dordtrecht met R, Oudewater met M.

Er bestonden, zoo ver ik weet, nog geen bruikbare teekeningen van primair net en basesnet; de mijne heb ik nauwkeurig volgens de opgaven van Snellius geteekend, maar zijne letters heb ik door beter begrijpelijke moeten vervangen.

Bij probl, 1 spreekt Snellius over de vele moeielijkheden bij zijne meting ondervonden, over het centreeren, over de wensche-lijkheid om steeds alle hoeken van een driehoek te meten, enz. In probl. 4, 5 en 6 komen grove druk-, schrijf- en rekenfouten voor. Bij probl. 9 wordt de komst der Jonkers Sterren berg vermeld en worden de hoekmeetinstrumenten beschreven. Probl. ^c.)bis behandelt eene nieuwe basis lang 166 R, waaruit direct de tienmalen zoo groote afstand Om wordt afgeleid. De punten m (ontfoort) en w (oerden) hebben met het primaire net niets te maken; ook O had zonder bezwaar voor de graadmeting achterwege kunnen blijven en Z direct met G verbonden kunnen worden.

In § 5 behandelen wij al de problema's in bijzonderheden. De hoekvvaarnemingen zijn waarschijnlijk allen in den zomer van 1G15 en in de volgorde der problema's verricht. Oorspronkelijk waren nog meer hoekpunten in het net opgenomen: in de lijst der torens, p. 195, komt ook Gorinchem voor.

Cap. 9. Snellius had het azimut der driehoekszijde LH bepaald, waaruit die van AL en AB konden afgeleid worden. Te A, B en L zijn de poolshoogten bepaald. Snellius berekent nu het net, alsof alle punten in hetzelfde platte vlak liggen en alle meridianen evenwijdig loopen. Hij meent dat spherische trigonometrie hier onnoodig is, omdat boog 1° slechts '/aoooo ^van koorde 1° verschilt. Cassini, Mussch en broek en van Beeck Cal-k o e n hebben met dit onvoldoende argument genoegen genomen. In werkelijkheid bedraagt de convergentie der meridianen van A en

10

B 0^o22'. De loodlijn die Sn el li us uit B op den meridaan van A neerlaat, is geen parallel maar een groote cirkel en haar voet-punt ligt 22 R noordelijker dan B. ')

Cap. 10 behandelt het beroemde vraagstuk, dat tegenwoordig door de Duitschers naar Pothenot (zie § 9) wordt genoemd. S n e 11 i u s wijst er op, dat dit in Holland zeer vele toepassingen kan vinden om de l'gging eener plaats te bepalen, van waaruit drie zijner primaire punten te zien zijn.

S n e 11 i u s bepaalt van uit de reeds genoemde basis a e, tusschen L en S, fig. 2, de ligging van zes torens binnen Leiden, nl. Stadhuis, saaihal (later station van Krayenhoff), Hooglandsche kerk, Pieterskerk, Lieve Vrouwen kerk en Bibliotheek. Van S, H en P fig, 3, worden ook de onderlinge afstanden berekend; voorde andere torens worden alleen de hoeken aan de basis a e gegeven. Ik heb daaruit voor de saaihaal gevonden : afstand tot het stadhuis GG,78 R en de lijn Stadhuis-saaihal maakt een hoek G⁰ 46' oost met de lijn Stadhuis-Soeterwoude. Deze uitkomst is reeds op blz. 7 gebruikt. Snellius' berekeningen en opgaven vullen 1 0 problemata; in het elfde komt dan het beroemde vraagstuk, waaraan wij eene afzonderlijke § 9 zullen wijden. Prcbl. 12 behandelt de overbrenging van het azimut van O (Snellius' huis) naar S (tadhuis) zie fig. 3. «Hiermede zijn alzoo onze waarnemingen geëindigdquot; luiden de slotwoorden.

Over de volgende capita slechts enkele woorden.

Cap. 11 vergelijking der uitkomsten van vroegere graadmetingen met die van Snellius. Cap. 12 berekening van den omtrek, den diameter, den inhoud en het oppervlak der aarde in twintig! decimalen. Uitwijding over het getal n. Ludolph van Ceulen beiekende dit in 34 zekere decimalen; Snellius verzwijgt er 3 van.

Cap. 13 berekening van 1° lengte der parallellen op 0°—90° breedte, p. 21G wordt de naam van Copernicus, p. 217 en 170 het woord Sinus voor de eenige maal genoemd. Cap. 14 bepaling der afstanden van plaatsen die alleen in alleen in breedte verschillen.

i) Snellius kende dit onderscheid zeer wel, zie p. 236. Zoo ver ik weet was Maupertuis, Figure de la terre, Paris 1738, p. 93 de eerste die op dit verschil lette, en D e 1 a m b r e, Méthodes analytiques 1799 p. 59, 87 heeft deze zaak volledig uiteengezet.

11

Cap. 15 idem, die alleen in lengte (drukfout in den titel) verschillen. Uitwijding over Tyge Brahe, Keppleren anderen. Cap. 16 bepaling der geographische ligging eener plaats uit haar azimut en afstand tot eene andere. Voorbeelden hiervan uit S n e 11 i u s' triangulatie : van uit Leiden wordt het azimut gesteld voor 's Hage 52° 21' 44quot; W ; Oudewater 597° 48', Amsterdam 226° 49', Utrecht 277° 23'.

Bij grootere afstanden zou hiervoor spherische trigonometrie noodig zijn, zegt Snellius p. 242, en hij behandelt ook eenige soortgelijke vraagstukken op die laatste manier.

Cap. 17 Methode van Maurolycus om de lengte van 1° te bepalen uit de kimduiking van af een berg van bekende hoogte. Onzekerheid dezer methode wegens de refractie,

p. 263 finis, p. 2G4 Errata.

§ 3. De herziene Uitgave door Mttsschenbrock. (zie blz. 17 en 40.)

Eenigen tijd na de uitgave van zijn boek mat Snellius in den omtrek van Leiden, met zijne leerlingen en tot hun onderricht, eenige hoeken. Hij bemerkte toen, dat deze niet overeenstemden met de vroegere, en dat in zijn boek vele onjuiste hoeken en berekeningen voorkwamen. Hij mat daarom alle hoeken (alleen die van het primaire net; v. d. F.) opnieuw en zette de triangulatie zelfs voort tot Antwerpen en Mechelen. De verbeteringen schreef hij in een exemplaar der Eratosthenes batavus, en berekende alle driehoeken op nieuw met de vroeger gevonden afstand hl L = 4103,3 R als grondlijn. Hij was voornemens deze verbeterde editie in het licht te geven, toen in Januari 1622 een strenge vorst al het lage land om Leiden met een ijsvlakie bedekte. Van deze gunstige gelegenheid maakte Snellius gebruik om drie nieuwe bases te meten. Tevens nam hij in het basesnet Noordwijk op, en berekende met de nieuwe bases de afstanden LH en LH1. De eerste vond hij nu 15 R langer dan in 1615. Maar eensdeels werd hij afgeschrikt door de langwijligheid der berekeningen, andererzijds overviel hem eene ziekte, die in 1626 zijn dood ten gevolge had. En zoo bleef het verbeterde werk onuitgegeven liggen, totdat (zie § 1) het eene eeuw later in handen van M u s s ch e n b r o ek kwam. Van Mechelen en Antwerpen werden de hoekwaarnemingen niet teruggevonden.

12

De bovenstaande bijzonderheden zijn aan het voorbericht van M. ontleend. M. controleerde verder, met een quadrant voorzien van verrekijkers, een aantal der hoeken. Zijne wijze van leven stond hem niet toe om alle stations op nieuw te bezoeken, en hij hield dit ook voor onnoodig, omdat hij tot zijne bewondering vond, dat Snellius met het bloote oog vele hoeken geheel juist had afgezien en in andere zich slechts 1' of 2' vergist had. M. zegt niet uitdrukkelijk welke hoeken hij heeft nagemeten, en geeft ook niet de onmiddellijke uitkomsten zijner waarnemingen, maar alleen de op 180° vereffende hoeken. Poolshoogten of azimut heeft hij niet geverifieerd, ofschoon hij wist, dat de breedte van Alkmaar door Cassini 2' kleiner was gevonden dan door Snellius.

M. gaf eerst de meting zoo als die door Snellius zelf verbeterd en met de oude bases berekend was, en daarna de nieuwe bases en het primaire net volgens Snellius en hem zeiven. In het eerste deel worden de poolshoogten van Snellius gebruikt; in het tweede voor Alkmaar die van Cassini. De laatste berekening gaf 1° = 29514 R of met de verhouding van Pi card ■— 57033 toises, hetgeen slechts weinig van de uitkomsten der metingen van Cassini en Pi c a r d verschilde.

Alzoo was Snellius, die langen tijd als de auteur van eene zeer foutieve graad meting bekend had gestaan, gerechtvaardigd.

M. was tot zijne onderzoekingen geprikkeld door de opmerkingen ¹) der Fransche geleerden. Pi card had in 1G71 de uitkomst van Blaeu (zie Hoofdstuk II) voor veel beter dan die van Snellius verklaard, Cassini II²) had in 1697 de poolshoogten van 's Hage, Rotterdam en Alkmaar bepaald. In 1702 leverde hij eene critiek op het werk van Snellius en toonde aan dat daarin

*) De engelschman (Harriot f 1621) heeft reeds vele rekenfouten bij Snellius ontdekt. Zie volg. blz. noot ³) S. G3ö, Anmerkung von Zach. Ricciolus (Geographiae Reformatae ; Bologna 1661, p. 123—127 et 153 besprak het werk van Snellius, verwijt hem de onnauwkeurigheid der hoekmeetinstramenten en meent, dat de uitkomst wel Vso fout kon zijn Dit is alles juist, maar de meting van R zelf verdient nog minder vertrouwen.

-) In 1669 werd de italiaan Jean Dominique Cassini naar Parijs beroepen. Zijn zoon_; kleinzoon en achterkleinzoon volgden hem op

13

onderscheidene druk- en rekenfouten voorkomen, terwijl de afstanden door S n cl 1 i u s opgegeven niet overeenstemmen met de poolshoogten van C a s s i n i. In 1718 kwam hij op dit onderwerp nog eens terug en verklaarde: «la methode, que Snellius a employé «dans cette recherche est exacte, mais les erreurs qui se sont glis-sees dans ses observations ou bien dans le calcul et l'impression «rendent sa mesure incertaine.quot; Wij zijn het geheel met hem eens. Maar in 1748 moest Cassini III erkennen¹) dat de afstanden volgens de verbeterde meting van Snellius zoo juist zijn als men slechts verwachten kon, en dat de fouten alleen aan de poolshoogten zijn toe te schrijven.

Zoo gold na Musschenbroek, de meting van Snellius weder voor vertrouwbaar. ²) In 1798 verklaarde J. F. van B e e c k Calckoen, ³) die volgens Kaiser een voortreffelijk astronoom was, „da nun diese trigonometrischen Messungen des «Snellius von Musschenbroek verbessert, alle Prüfungen «aushalten, und ziemlicb genau befunden worden, so habe ich daraus «die geographische Ortsbestimmung der vorzüglichsten Stiidte «Hollands berechnet.quot; Ik betwijfel of Calckoen wel eenige «Prüfungquot; in het werk heeft gesteld. Hij had anders moeten vinden, dat in probl. 34 de afstand A Z — 2G240,3 R en in probl. 44 —

¹

als Directeuren der sterrewacht te Parijs. Men is gewoon om ze met een vorstelijk cijfer te onderscheiden,

Cassini II. Anciens Memoires de 1'Académie, tome 7 p, 560

Mémoires 1701, p. 176 (Histoire p. 96), —Mémoires 1702 p. 60 (H. p. 82.

Mémoires 1718 p. 247.

!) Cassini III. Mémoires de l'Académie, 1748 p. 132 (Histoire p. 109.)

²

) Ik vind in Mémorial topographique et militaire, rédigé au dépót général de la guerre, no. 3, Paris^ Nivose an XI (Dec. 1802) p. 64: quoique 1'opération de Snellius en 1616 ne soit pas parfaite, elle a néamoins servi de fondement aux travaux géographiques de son temps, C'est sur cette base qu'ont été construites les meilleures cartes publiées jusqu'ici sur les Provinces-Unies, p. 99. Une carte de la Nord-Hollai;de, trés détaillée, fut levée, aux frais des habitans, pour régler les canaux. Cette carte est bonne; elle est basée sur les opérations de Snellius. voir aussi p. 143, 169.

Ik weet niet welke kaarten hier bedoeld worden. Zie Hoofdstuk II.

³

)v. Beeck Calckoen: Allgemeine Ceographische Ephemeriden von Zach 1798, Ld 1 S. 637.

14

25862* R berekend is; dat de som der hoeken om Dordtrecht — 359⁰1S' is, enz. Hoe Calckoen gerekend heeft zegt hij niet, bij A en B stuitte hij toch op onzekerheden en het zeer foutieve azimut heett hij niet verbeterd. Zijn stukje bevat eenige belangrijke historische bijzonderheden over Blaeu (zie Hoofdstuk II) maar is overigens oppervlakkig.

Wij mogen niet verzuimen om onder degenen, die over de graad-meting van S n e 11 i u s hebben geschreven, nog Delambre te noemen, welke in zijne Histoire de 1' Astronomie moderne, II p. 92, daarvan een uitstekend overzicht geeft.

Musschenbroek heeft recht op onze erkentelijkheid, omdat hij de verbeteringen van Sncllius zeifin het licht gaf. Zijne eigene verificatie beantwoordt geenzins aan de eischen, die men in het begin der IS³Â® eeuw reeds stellen mocht. ^

Wij gaan nu over tot de details der meting van S n e 11 i u s.

§ 4. Het Basesnet bij Leiden.

Dit is afgebeeld in fig. 2. Het bestond in 1615 uit vijf, in 1622 uit zes stations. In 1622 zijn de vroeger bepaalde hoeken niet hermeten, maar M. schijnt geverifieerd te hebben: ^ L S V = 77° 10' 30quot; en nieuw gemeten L V S — 57° 28' 30 '.

Vijf bases zijn gemeten: n⁰ \ t c — 87,05 Rhijnl. Roeden; in het jaar 1615. n⁰ 2 tg — 348,1 R. in 1616. n⁰ 3 ^ 475,0 R. in Jan. 1622. n⁰ 4 ƒ ö = 250,0 R. op 3 Febr. 1622, en waarschijnlijk in de zelfde maand n» 5 k vi — 471,5 R. De eerste twee over het land; de laatste drie over het ijs (zie blz. li), allen met een landmetersketting. Uit t c werd eerst afgeleid a e — 326,43 R., welke uitkomst door S n e 11 i u s als juister beschouwd werd dan de on-middelijke meting, die een en andermaal 326,9 R. gaf. Deze meening is waarschijnlijk veroorzaakt door de omstandigheid, dat de lengte der zijde VV V berekend uit t c volkomen overeenstemde met die uit i g. In 1615 vond Snellius L S — 1092,33; S V = 921,91 ;

!) Musschenbroeks uitgave is ook niet vrij van fouten, p. 401 moet i e o — 39^oó5'40'' zijn, in plaats van 40quot; 2' 35quot;. Dit geheele probleem sluit niet. p. 379 moet ^ o a e — 90°0' en niet 90quot;^J6' heeten en Snellius wordt hier ten onrechte van rekenfouten beschuldigd.

15

i

W V — 1174,4 R. De bases van 1622 gaven daarentegen: L S = 1097,10; S V = 925,GO; W V - 1179,49 en N L=:2338 R. Het is mij niet duidelijk waardoor dit verschil van ¹/₂₀₀ is veroorzaakt. De temperatuur was bij de meting in 1G22 misschien 20° C lager, maar dit verklaart slechts ' 4000, en de oneffenheden van den grond hadden in 1615 eene te groote uitkomst moeten geven.

jeteekende basisruiten zijn de scherpe

tophoeken gemeten, ofschoon Snellius, p. 167, 170 181, zeer goed wist, dat deze eigenlijk van meer belang zijn dan de andere. De eindpunten der bases zijn niet vastgelegd en het is dus onnut om de hoeken aan de bases hier mede te deelen. Opmerking verdient, dat bij basis nquot; 1 de dubbele ruit voorkomt, die twee eeuwen later door Schwerd en Bessel opnieuw is ingevoerd, d was het kasteel Dousa zn d b loopt recht op Voorschoten aan, gelijk ƒ o op Delft en k in op Rijnsburg en Warmont gericht was. ¹)

In 1615 was L S de grondlijn der secundaire triangulatie. Mus-sc henbroek beschouwde basis no 3 als den grondslag zijner verificatie. Deze was drie malen gemeten, en gaf L N = 2338,22 terwijl no 5 direct 2338,00 opleverde. De afstand V S uit basis n⁰ 3 berekend was volkomen gelijk aan de directe uitkomst met basis n⁰ 4.

Wat de hoekpunten aangaat: L = stadhuis ; H = toren op de vischmarkt, W, V en N zijn waarschijnlijk de zelfde torens als die der „Meetkunstige Beschrijving; S heb ik niet kunnen identificeren. De hoeken, welke Snellius gemeten heeft, zijn :

Te zamen dus 15 hoeken.

direct gemeten I0⁰ 10 en als het verschil van telkens twee andere hoeken 15° 2'; 15° 8' en 15° 11'.

Stationsvergelijking te Leiden: V L H

¹

gemeten zijn of niet.

16

Driehoeksver gelijking •. L H N. Som der hoeken = 180' 0' (misschien door Mussc henbroek reeds vereffend.)

Zjdenvergclijkingen. ^x~) Voor de zijde L H berekent men met L S - 1097,10, uit drieh. L H N 4118,07; uit L S H 4120,8; uit L H W = 4120,9; uit L V H = 4122,5.

In 1615 verkoos S n e 11 i u s p. 167 de uitkomst van drieh. LH W boven die uit L S H, wegens de kleinheid van Z L H S, die bovendien niet gemeten was.

Driehoek L V H werd niet eens berekend.

De torens W en V waren niet geschikt om er hoeken te meten p. 162, en het secundaire net van 1615 liet dus veel te wenschen over. Dit zal wel de reden geweest zijn, waarom in 1622 ook Noordwijk werd opgenomen, en voor L H de uitkomst van driehoek L H N werd verkozen. Uit L N werd ook de afstand Leiden-

Haarlem afgeleid (p. 383, 409).

Snellius had beter gedaan met eene basis van ± 1000 R dwars tusschen L en H te meten, en daaruit rechtstreeks den afstand dezer primaire punten te bepalen door ééne ruit, waarvan alle hoeken afgezien konden worden. In den winter bood het terrein geene moeielijkheden aan, en aan de eindpunten dei basis signalen op te richten, zichtbaar uit H en L was toch ook niet onmogelijk. Ik schat de onzekerheid der afstand HL, volgens deze laatste wijze bepaald, op 1 Iv, terwijl zij volgens Snellius maniei wel 5 R bedragen zal hebben.

De ouders van Snellius waren afkomstig uit Oudewater, en zijne moeder was na haars mans dood daarheen terug gekeerd. Dit gaf hem aanleiding om ook nog eene basis lang 166 R tusschen O en m (ontfoort) te meten, waaruit door e'e'ne ruit, gelijkvormig aan dien tusschen L en N, de afstand O in — 1566,5 volgde.

De scherpe hoek van 8° te m werd niet gemeten. Met O en vi werden w (oerden) en G verbonden. De afstand OG zoo berekend was 2923,3 terwijl uit het primaire net 2934,6 of 2921.3 R was

afgeleid. Snellius erkent, dat de overeenkomst toevallig vrij

ö *

!) De Sinusregel van Krayenhoff, toegepast op den vierhoek H N L S om V, geeft als verschil van de sommen der log Sin. der reenter en linker basis hoeken 0,00018.

17

I

goed is. Deze tweede secundaire triangulatie diende misschien ook wel tot oefening der Jonkers van Sterrenberg.

§ 5. Het Primaire Net. (Fig. 1.)

Dit telt, m en iv niet medegerekend, 14 stations. Negen daarvan stemmen geloof ik ^ overeen met de gelijknamige punten van Krayenhoff. Twee, Z en O zijn door Kr. niet bezocht. De standplaatsen van S n e 11 i u s en Kr. waren: te Leiden, stadhuis en saaihal; te Amsterdam, Oudekerk en Westertoren te Alkmaar, St. Laurenskerk en Waagtoren. In de volgende lijst zijn alle gemeten hoeken gerangschikt naar de stations. In de 2^e kolom staat de hoek volgens E r a t. Batavus; in de 3° volgens de verbeterde meting; in de 4° volgens Musschenbroek, terwijl de uitkomst van Krayenhoff tusschen [] is vermeld De ge-heele graden zijn alleen in de 2^e kolom opgenomen.

.IJST DER GEMETEN HOEKEN GERANGSCHIKT NAAR DE STATIONS.

') Twee maanden geleden, toen mijne verhandeling reeds in het bezit van den Redacteur was, vernam ik, dat Musschenbroek niet de oorspronkelijke aanteekeningen -van Snellius tot zijne beschikking heeft gehad, maar slechts eene onvolledige eopie. Het oorspronkelijke bevindt zich in de Bïbliothéque Jtoyale te Brussel. Ik heb het ter inzage verzocht, maar nog niet ontvangen. Later hoop ik hierover meer mede te kunnen deelen. Thans vermeld ik alleen, dat de verloren gegane driehoeken van Bergen op Zoom tot. Mechelen (zie blz. 11) drie in getal waren, namelijk Breda, Bergen op Zoom, Antwerpen — Bergen op Zoom, Antwerpen, Hoogstraten — Hoogstraten, Antwerpen, Mechelen.

²) Cassini III 1. c. p. 130 vond in 1747 den toren van Bergen op Zoom ten gevolge van het beleg vernield.

Voor het azimut der zijde L H had SNELLIUS 52⁰2r44quot; gevonden (zie blz. 24), waaruit voor dat van de zijde L G volgt 44⁰49'4/₁₅ Om het azimut L Am te kennen, mat hij nog (p.I96) de hoek Am L G = 88⁰21'.

musschenbroek stelt in de beide deelen van zijne verhandeling, p. 395 et 419, het azimut L G = 45⁰31', zonder te zeggen waardoor deze verandering ontstaan is. Misschien had Snellius eene nieuwe azimut-bepaling verricht, die dan echter nog meer onjuist geweest is dan de eerste.

19

De 33 problemas, waarin dit net door Snellius wordt behandeld zijn :

Van eiken driehoek zijn de hoekpunten, waar een hoek is gemeten, cursief gedrukt; een cijfer achter een hoekpunt geeft aan, dat de zijde tegenover dat hoekpunt aan het problema van dat nummer is ontleend, b is de basis H L. B.v. problema n⁰ 13 behandelt den driehoek L U Am ; gemeten zijn Z Am L U en Z Am U L en uit probl. 7 is bekend de zijde L U. 21 van deze driehoeken worden gevormd door zijden van het primaire net; met de figuren der pro-blema's IX, 10, 1 1, 17, 20, 21, 27 tot 33 is dit niet het geval.

Als contróle-voorwaarden vinden wij voor de oorspronkelijke meting van het jaar 1615: Stations of horizon vergelijkingen.

Te Leiden: tour d'horison met de stralen gericht naar H, Hl, U, D, som der vier hoeken 360° 6'. Verder zijn zoowel direct gemeten als uit de som van twee andere hoeken te berekenen : Z Am L G = 88° 21' en 88° 26'. Z U L G = 37° 48' en 37° 49'; Z U L D quot; 63° 26' en 63° 37'; Z G L H = 97° 11' en 97° 16' of 97° 20'; Z Hl L U — 77° 50' en 77° 49'.

te Utrecht: Z L U Z = 116° 23' en 116° 24' of 116° 21'. te Gouda: Z D G L = 128° 22' en 128° 15'.

te Dordtrecht: tour d'horison : som van zes hoeken minus de zevende 359° 55'.

te Breda: Z B Br D = 90° 12' en 89° 23'!!

Totaal dus tzvaalf stationsvergelijkingen.

Drichoeksvergelijkingen'. Slechts bij tien der 21 driehoeken konden alle hoeken gemeten worden. Zij vormen de problemas 1, 2, 6, 7,

20

8, 9, 1G, 19, 25 en 26. De som der drie hoeken verschilde van 180° respectievelijk: — 1'; 1'; 4'; 2'; 4- 2'; — 2'; 2'; 2'; 1'; 4'.

Snellius, p. 171, hechtte aan deze contróle groote waarde, maar bij hem is volkomen van toepassing wat Cassini III (1. c. p. 124) zegt: „tel est le jeu des erreurs, que souvent l'accord de deux bases, „éloignées I'lme de l'autre ne prouve pas plus l'exactitude des mesures „mtermédiaires, que 1'observation des trois angles d'un triangle, dont „la somme est égale a 180°, prouve que les objets que Ton a observes de trois stations differentes soient les mêmes ; je ne parle „de ces accidens qu 'après les avoir éprouvés.quot;

Bij de groote afstanden, die Snellius met het bloote oog af moest zien, zal hij zich meermalen in de torens vergist hebben. Een voorbeeld geeft Musschenbroek p. 407. Deze toonde aan, dat Snellius van uit Utrecht niet op den stadhuistoren van Leiden heeft ingesteld, maar op eene andere die 20' zuidelijker lag en van uit Dordtrecht op een toren die 16' westelijker ligt. De beide fouten te zamen zijn op de som der drie hoeken van geringen invloed.

Zijdenvergelijkingen. Door negen zijden weg te nemen kan met uit het primaire net een keten maken. Snellius heeft dan ook negen zijden langs twee wegen berekend, namelijk

21

druk- of rekenfouten ingeslopen. Met de verbeterde hoek LHR — 90^ol 8' komt LR = G975,2.

Volgens Krayenhoff, en met onze verhouding 1 R = 3,7G35 M, is GR = 4893,2 R en D Br = G9S2,9 R.

De vereffening. Aan de stationsvergelijkingen heeft S n e 11 i u s niet gedacht, en Mussch en broek evenmin. Zij gebruiken de hoeken zoo als de onmiddellijke waarneming ze gaf. Uit ons overzicht blijkt, dat fouten van eenige minuten dikwijls zijn voorgekomen .

Zijn de drie hoeken van een driehoek allen gemeten, dan vereffent Snellius ze tot 180°, maar zonder de redenen op te geven, waarom hij nu één, dan twee hoeken, soms de kleinste, soms de grootste hoek wijzigt.

Van de uitkomsten voor de zijden neemt hij bij LO en DBr een gemiddelde; GR laat hij onbeslist; LR wordt niet gebruikt; voor LH1 neemt hij de kleinste uitkomst wegens de scherpheid van ^ LH 1 H in probl. 12; voor de overige zijden worden de uitkomsten der problemas 2, 7, 19 en 17 (?) verkozen.

Het net van Snellius telt 14 stations, op één waarvan (R) geene hoeken zijn gemeten; 12 éénzijdige en 22 wederkecrigc vizierstralen; en, na de stationsvereffening, 43 hoeken. Hieruit volgt: aantal driehoeksvergelijkingen 10; aantal zijdenvergelijkingen 9: zij zijn allen door Snellius opgemerkt.

De verbeterde meting van Snellius (1620) en die van M u s-schenbroek geven bij het vereffenen eenigzins andere vergelijkingen, maar het is overbodig om die hier uitvoerig te bespreken. Driehoeksvergelijkingen kan men uit de cijfers van M niet opstellen, omdat hij alleen de op 180° vereffende hoeken geeft. De zijdenvergelijkingen en stations vergelijkingen zijn bij M. niet beter dan bij Sn (zie blz. 13, 14.)

Er zijn bij S, en M. nog veel meer onregelmatigheden en vergis-; singen op te merken, dan ik hier terloops heb aangeduid. Ik zou hun net herberekend hebben, wanneer niet de hoeken op één station onderling zoo slecht overeenstemden.

Niettegenstaande de talrijke onnauwkeurigheden in de bewerking en uitgave, heeft Snellius door zijn Eratosthenes Batavus de afstanden der voornaamste hollandsche steden met eene nauwkeurigheid

22

bepaald, die alles wat vóór hem^op dit gebied was gedaan, verre overtreft. De meeste zijner driehoeken zijn goed gevormd ; eenige bezitten echter te scherpe hoeken, en van te velen is ééne hoek (dikwijls juist de kleinste) niet gemeten.

§ 6. Instrumenten. Astronomische Uitkomsten.

B 1 a e u (zie hoofdstuk II) heeft waarschijnlijk de instrumenten van Snellius, op diens eigen kosten, vervaardigd. Een bekwamer en zaakkundiger instrumentmaker was in Europa wel niet te vinden.

Geen van de werktuigen, welke voor de graadmeting hebben gediend, zijn bewaard gebleven (Kaiser). Mussc henbroek zegt er niets van. Snellius geeft wel teekeningen van de instrumenten der oude Grieken en van Fernel, maar niet van zijne eigene, en de beschrijving is zeer onvolledig.

Van de bases n^os 2, 3 en 4 (blz. 10) wordt uitdrukkelijk gezegd, dat zij met een landmetersketting ^ zijn gemeten, en voor de andere twee zal wel eveneens gehandeld zijn. Waarschijnlijk had Snellius een verdeelde ijzeren standaard-roede, maar ook deze is verloren gegaan (Kaiser 1. c, S. LIV). Het basis apparaat was dus wel zeer primitief, maar toch reeds een groote vooruitgang bij Fernel, die het aantal omdraaiingen van het wiel zijner koets telde, en bij de ouden, die de schreden telden.

Voor het meten der hoeken gebruikte Snellius eerst een , koperen quadrant van 2 /5 voet (69 c.M.) straal (p, 156). De limbus was rechtstreeks verdeeld in 3' en door transversalen kon 1' met zekerheid afgelezen worden. Vanaf het station Oudewater werd een halve cirkel van 8/2 voet (110 c.M.) middellijn gebruikt p. 177, over . welken niets naders wordt medegedeeld. Tot bepaling der poolshoogten diende een ijzeren quadrant met koper ingelegd, van 5¹2 voet (172,5 c.M.) straal. 1' besloeg dus bij deze instrumenten respectievelijk 0,32; 0,16 en 0,50 mM. Snellius heeft waarschijnlijk de fouten van zijne instrumenten niet bepaald. Wel zegt hij, p. • 170, dat het zeer lastig was om door de nauwe spleten der pinnulen

') S t e v i n, Wisconstighe Ghedachtenissen, 1605, 2^e stuk blz. 48 beschrijft zulk een ketting en verdeelde roede.

23

erre i (vizieren) goed op het midden der torens, die zelf geen licht geven, lige 1 te richten, en dat herhaalde instellingen niet op 1' sloten. S n e 11 i u s oek klaagt over den harden wind en de lastige standplaatsen boven op

de torens, maar vooral over de moeielijkheid om de verafgelegen punten te identificeren. De voortdurende groote bezwaren brachten hem dikwijls op het punt om zijne onderneming op te geven, maar iten het groote nut der zaak hield zijn moed staande. Hij kende den

mer invloed der excentrische standplaatsen, maar rekende wegens de

te vele andere fouten, het centreeren onnoodig.

Ik geloof niet, dat een zeer geoefend waarnemer van den tegen-ge- vvoordigen tijd, voorzien met dezelfde hulpmiddelen als S n e 11 i u s,

^egt beter werk zou leveren dan hij. Eenige hoeken zijn verwonderlijk

iten juist afgezien; grove fouten vinden hunne verklaring in vergissingen

en ten opzichte der torens. Krayenhoff kon van uit Utrecht

het Leidsche stadhuis niet met zekerheid bepalen, igd, Poolshoogten. Vergelijken wij de bepalingen van Snellius p.

de 197 met die van Cassini II in 1697 en de berekeningen van

had Krayenhoff, de beide laatste gereduceerd op de standplaatsen

e is van Snellius, die te A,L en B respectievelijk -|-j)5, 95 _en— 33

was R zuidelijker lagen dan de gelijknamige primaire driehoekspunten.

bij Snellius C a s s i 11 i II en III. Krayenhoff

aets Alkmaar 52^o40'30quot; 52⁰38'29quot;(—5quot;) 52⁰37'53quot;(2quot;)

Leiden (Snellius'huis) 52^u10'30quot; 52° 9'20quot;(4')

een Bergen op Zoom 51 29' 51⁰29'54quot;( 4) 51⁰29 4Gquot;(4') ibus ; De reeds aangebrachte reducties staan tusschen ().

met Cassini III vermeldt, dat de waarnemingen van zijn vader

een hoogstens op 10quot; na te vertrouwen zijn. De berekeningen van

wer Krayenhoff verschillen slechts 1quot; van de latere waarnemingen,

jten L u 1 o f s') heeft gegronde aanmerkingen gemaakt op de constanten,

/oet I waarmede Cassini zijne waarnemingen gereduceerd heeft. :tie- 1 Wij weten niet op welke wijze Snellius de poolshoogten be

dijk paalde. Van Leiden zegt hij, dat dit herhaaldelijk en op verschil-

, p. ^! lende wijze, gedaan was. 1' viel alzoo binnen de grenzen der nauw-ulen keurigheid, die hij onder de gunstigste omstandigheden bereiken

I ') Johan Lulofs: Natuur- en quot;Wiskundige Beschouwinge des Aard-

kloots. Leiden 1750, blz. 71, 72.

24

kon. Tyge Bra he en Hevelius brachten het met zeer groote instrumenten niet veel verder.

Het is dus begrijpelijk, dat S n e 11 i u s de amplitudo van zijn meridiaanboog 3', dat is 4 % te groot vond. Maar deze onzekerheid kon hem zeiven niet onbekend zijn, en hij had er op behooren te wijzen.

Veel grooter nog was de foul, die S n e 11 i u s moet begaan hebben bij de bepaling van het azimut Leiden—'s Hage, Op het balkon (dak) van zijn huis O, fig. 3 bepaalde hij het azimut van onderscheidene torens, o. a. van het Leidsche stadhuis 9⁰3' (N t O) en van 's Hage 53°!8'(west van het zuiden.) Daaruit berekent hij voor het azimut zijner primaire driehoekzijde LH 52⁰2r44quot;, terwijl uit de waarnemingen van Krayenhoff op de saaihal, gereduceerd tot het stadhuis 54°34' volgt. Snellius zegt niets over zijne quot;X methode, alleen dat hij zijn best deed om nauwkeurig te zijn. Ik weet van zijne kolossale vergissing geene verklaring te geven.

Snellius heeft alleen met platte trigonometrie gerekend (zie blz. 9.) Het ware ook geheel overbodig geweest als hij bij de berekening der driehoekzijden het spherisch exces enz. gebruikt had. Maar de convergentie der meridianen, die van A tot L en B respectievelijk 12' en 21'^ bedraagt, had hij in aanmerking mogen nemen. Voor de afstand AB en het azimut dezer lijn is gevonden door: Snellius in 1617: 34710,6 R en 11⁰26'2quot;

verbeterde meting (1620): 34626,2 R en ll^o6'20quot;

Snellius en Mussc henbroek: 34952,5 R en 10°51'57quot;, terwijl uit de waarnemingen van Krayenhoff **) volgt: 130440 M =• 34660 R en 14quot;4'.

Snellius vond in 1617 met zijne eigene poolshoogten voorde lengte van '1° tusschen A en L 28510 en tusschen A en B 28473 R.

De verbeterde meting met dezelfde poolshoogten 28488 en 28513 0 R.

Musschenbroek komt uit A en B tot 29514,23 R. ¹)

¹

) Voor de poolshoogte van B neemt Muss. 51⁰28'47quot;, dit had 54quot; of 56quot; moeten zijn.

De juiste lengte is 111250 M — 29560 R.—

Eratosthenes heeft 225 j. v. C. voor het eerst beproefd om de lengte van 1° te bepalen. Hij schatte den afstand en bepaalde ruw weg de poolshoogten. De eindpunten lagen 7° in breedte, en, wat E. niet wist, 3° in lengte van elkander. Ptolemaeus gebruikte later een grooten cirkel schuins op den meridiaan.

Maar S n e 11 i u s bepaalde geometrisch den afstand en verbond daaraan een onderzoek naar het azimut en de poolshoogten. Zoo kwam in 1615 de eerste graadmeting tot standj volgens die methode, waarvan men niet durft voorspellen, dat zij ooit door eene betere zal vervangen worden. Geen der drie bepalingen op zich zelf was nieuw, maar wel de te zamen voeging van allen.

De basismeting van S n e 11 i u s was het nauwkeurigste deel van zijn werk, de bepaling der poolshoogten de grootste bron van onzekerheid.

270 jaren zijn sedert verloopen. De thans bereikbare nauwkeurigheid is voor alle bepalingen duizend of honderd maal zoo groot, maar de rangorde der nauwkeurigheid is niet veranderd.

§ 7. Iets over de Trigonometrie en Astronomie vóór Snellins.

Hipparchus, die 150 j. v. C. op het eiland Rhodus leefde en observeerde, is de vader der sterrekunde en der trigonometrie. Van zijne werken is slechts weinig bewaard gebleven: men weet, dat hij eene koordentafel berekende en bekend was met de belangrijkste stellingen der platte en spherische trigonometrie.

Drie eeuwen later leefde te Alexandrie Klaudius Ptolemaeus, die in zijne „groote te zamenstelling der wiskundequot;, meestal Almagest genoemd, alles heeft bijeengebracht, wat zijne voorgangers en hij zeiven over trigonometrie en astronomie hadden ontdekt. Het is dikwijls niet duidelijk wat van Ptolemaeus zeiven is en wat hij van Hipparchus heeft overgenomen. Sommige critici hebben aan Pt. bijna alle oorspronkelijkheid ontzegd.

In het eerste boek van den Almagest vindt men eene volledige koordentafel, berekend in Vgieooo ste deelen van den straal, voor alle bogen met Va graad opklimmende. Verder blijkt daaruit, dat de grieksche astronomen alle platte driehoeken trigonometrisch wisten op te lossen : zij verdeelden ze daartoe in rechthoekige driehoeken

26

(zelfs S a e 11 i u s gebruikte nog deze onbeholpen manier), en rekenden steeds met zestigste deelen, die zij minuten, secunden, tertien enz. noemden, terwijl de geheelen graden heetten. Hunne rekenwijze is voor ons gevoel wanhopig langdradig. De koorden kwamen in de plaats van onze sinussen; de andere goniometrische functien waren hen onbekend.

De Almagest is tot in het begin der 17° eeuw het standaardwerk der astronomen gebleven. Snellius gaf er in het jaar 1G00 colleges over.

In de 15^e en 16° eeuw hebben Regiomontanus en Vieta de trigonometrie belangrijk vermeerderd; de formules verkregen hunnen tegenwoordigen eleganten vorm door Euler (1755).

Rheticus (1576) berekende uitvoerige tafels der goniometrische lijnen, van 10quot; tot 10quot; in 14 juiste decimalen. Tafels van 1' tot 1' in zeven decimalen zijn in de tweede helft der 16° eeuw wel 50 malen uitgegeven, in het nederlandsch o. a. door van Geulen en S t e v i n. Het rekenen met deze tafels was echter nog altijd zeer omslachtig. Neper publiceerde in 1614 de eerste logarithmentafel; in 1620 verscheen daarvan eene nieuwe editie te Leiden. In 1617 publiceerde Briggs de gewone log. van 1 —1000; in 1624 die van 1—-20000 en 90000—110000; maar de log. vonden eerst rechten bijval, nadat Vlack te Gouda in 1628 en 1633 zijne groote log. trigon. tafels had uitgegeven (10 decim. en van 10quot; tot 10quot;), waarvan de tegenwoordige slechts naschrijvingen zijn. Snellius heeft van log. tafels geen gebruik gemaakt; ik vermoed dat hij die nieuwigheid wantrouwde en tevens meer decimalen voor de getallen wenschte, dan de tafels van Neper konden geven.

Wij kunnen Snellius wel vergeven, dat hij zich eenige malen verrekende, maar niet, dat hij in zijne werken zoo vele schrijf- en drukfouten liet staan. In dit opzicht steekt hij zeer ongunstig af bij van Geulen.

De herleving der praktische sterrekunde dateert van T y g e Brahe (geb. 1546), die in 1576 op kosten des Konings van Denemarken op het eiland Hwen eene sterrewacht „de uranienburgquot; bouwde, welke de tijd in aanmerking genomen, onze hedendaagsche observatoria in volledigheid en vruchtbaarheid overtrof. T y g e

27

viel 1597 in ongenade en kwam 1599 met zijne instrumenten te Praag, waar hij 24 Oct. 1G01 stierf. Onder zijne leerlingen noemen wij Blaeu, Kepler en Snellius.

De sterrewaarnemingen van Hipparchus en Ptolemaeus waren hoogstens op 10' nauwkeurig; die van Tyge op 1' a 2', terwijl ook veel grootere fouten voorkomen: in de azimuts de'r torens om Hwen tot 25'. De poolshoogte van den Uranienburg vond Tyge 55°54'30quot; tot 45quot; terwijl Picard 15' vond.

Zelfs H e v e 1 i u s, te Dantzig, die in de tweede helft der 17 eeuw op waardige wijze de rei der sterrekundigen afsloot, welke met het bloote oog waarnamen, kon niettegenstaande zijne uitstekende instrumenten en verbazende vaardigheid niet altijd voor 1'instaan. Auzout verklaarde in 1G64, dat er geen instrumenten bestonden om de poolshoogte op 1' nauwkeurig te bepalen. Kort daarna vonden hij en Picard de kruisdradenmicrometers uit. Maar zelfs B o u g u e r, die omstreeks 1740 zijne beroemde graadmeting in Peru verrichtte, was tevreden als de hoekwaarnemingen op 30quot; sloten.

De zoogen. Hollandsche verrekijker was omstreeks het jaar 1G00 uitgevonden en aan Snellius' zonder twijfel bekend. Deze kijker was voor meetinstrument ongeschikt, maar Snellius had hem bij de verkenning met groot voordeel kunnen gebruiken.

Wij zouden gaarne gezien hebben, dat Snellius met de zorgvuldigheid van Picard, zijne meetinstrumenten had onderzocht en gebruikt. Maar ook dan nog zou hij niet op 1' nauwkeurig hebben kunnen zijn. Snellius' metingen zijn niet beter maar ook niet slechter dan die van de voortreffelijkste zijner tijdge-nooten. —

Landmeters kenden de Grieken en Romeinen reeds. Heron van Alexandrie is onder hen de beroemste. Men vindt bij hem wel inhoudsberekeningen van stukken land uit de zijden en hoogten, maar niet uit de hoeken. Het meten dezer laatsten was trouwens veel minder nauwkeurig, en de trigonometrische berekening voor den landmeter van dien tijd afschrikwekkend omslachtig. Alleen rechte hoeken werden afgestoken.

Omstreeks het jaar 1G00 was de toepassing der trigonometrie op de landmeetkunde reeds een zeer gewone zaak. Simon

28

S t e v i n ') leerde ze aan Prins M a u r i t s, en door hen werd Ludolph van Geulen in 1600 tot lector of professor in de toegepaste wiskunde (landmeten enz.) benoemd, Geulen had in 159G van onderscheidene landmeetkundige vraagstukken trigonometrische oplossingen gegeven. ¹) Maar voor ons van nog meer belang, is hetgeen een andere landgenoot, 80 jaren vóór Snellius had geschreven.

§ 8. De Triangnlaiiemethode van Gcmma Frisius.

Rei nier Gemma werd in 1508 te Dokkum geboren. Hij studeerde te Leuven en werd aldaar hoogleeraar. Hij was een vriend van Mercator, den geograaf, en stond in hoogen gunst bij Karei V. Hij stierf in 1555. Zijn zoon Gornelius (1533 — 1577) was eveneens een beroemd wis- en sterrekundige.

Apianus die later Prof te Ingolstad werd, had in 1524 een beroemd werk over Cosinographie geschreven. Gemma gaf daarvan in 1529 eene vermeerderde editie, die later nog eamp;n groot aantal malen werd uitgegeven, te Antwerpen, Amsterdam en Parijs, in het latijn, nederlandsch en fransch. Gemma Frisius voegde aan zijne tweede bewerking, in 1533, een aanhangsel toe, dat ook inde volgende uitgaven voorkomt.

Daar ik dit werkje nimmer genoemd zag, ²) wil ik er de hoofdzaken uit mededeelcn. Het is, met de vele teekeningen, slechts 1G blz. groot.

De Nederlandsche titel luidt: Een boeexken secr nut endeprofitelijc allen geographiens, lecrende hoemen enige plaetsen beschrijven, ende het verschil oft distantie der sclvcr meten sal, wc lek te voren nnyt

¹

) L, van Geulen. Van den Circkel. Delf 1596, Gap. 18,19.

Zie ook verschillende werken over het landmeten van S e m s en Do u, uitgegeven omstreeks het jaar 1600.

²

) Later ingevoer/d: Ja toch wel, door E k a m a, Verhand. Kon. Ned. Instituut 1825, deel 7 blz. 252. Maar deze heeft het boekje niet goed gelezen en kende ook de nederlandsche uitgaven niet.

ghcsicn cn is gewest, gemaeckt bij Gemmam Frisinm. Zeven capit-telen. De opdracht is gedateerd Antwerpen 31 Jan. 1533, en gericht aan Thomasyne Bom belli, groot coopman ende mecenas der geleerden.

In capiitel '1 verklaart G e m m a wat hij onder „hoecken der ghelegentheyt'' (azimuts) verstaat. Dan beschrijft hij hoe men zelf een hoekmeetinstrument ¹) vervaardigt: een cirkel in geheele graden verdeeld en een „wijser met cleijnen pinnekens en gaetkens om daer deur te siene,quot; hetwelk „geset wordt na de vier hoecken der werelt met een scippers compasquot; (het magnetisch noorden lag toen in Nederland ongeveer 15quot; O.) „Wilt ghy nu een heel lantschap ,,beschrijven, so klimt op den hoochsten toren der stadt daer ghy „beghinnen wilt, en ondersuect de ghelegentheyt van allen omlig-ghenden plaetsen. Daer na reyst tot een ander stadt en doet daer ook also, totdat alle de plaetsen die ghy beschrijven wilt twee-mael in u gesichte comen, ende dat ghy van allen den steden twee linien der ghelegentheyt hebt.quot; Tot eenen exetnple neemt hij Brabant, en als waarnemingsstations Antwerpen en Brussel, van waaruit gemeten²) Gendt (100° en 151°), Lier (300° en 223^c), Mechelen (8° en 223quot;), Leuven (356° en 284°), Middelburg (120° en 147°) en Bergen op Zoom (IGCT en 189quot;.) Tot het in kaart brengen trekt men op het papier de meridiaan en de lijn Antwerpen Brussel in hare ware richting (25°) en beschrijft om beide stations een cirkel, waarna de vizierstralen en hunne snijpunten geteekend worden. Weet men nu de afstand van twee punten, b. v. Antwerpen tot Mechelen = 4 mijlen, dan is de afstand van alle plaatsen op de kaart uit te meten. „Ghebuert altemetquot; dat een plaats ligt op

¹

der elevatiehoeken te meten, h — 7^-7-ftt—7

Cot u — Cot u

Hij verwijst in dit tweede aanhangsel naar het eerste.

²

) Gemma wil niet „dat yemant meyne dat hij hier warachtige azimuts

stellen wil.quot; De opgegeven hoeken zijn dan ook meerendeels 20quot; è. 30° te groot.

30

de lijn Antw. Br., dan moet gij ze „derdewerf dweers van een ander plaetse aansien.quot; Later zegt Gemma nog: „Men soude hier vele mogen bringhen uut die tafelen van Sinus, maer dat hebbe ik alwillens achtergelaten, om dat te groot ende te hooge is voor den gemeynen man.quot;

Capittel 2. Constructie eener kaart als alle rechte distantien tot twee plaatsen bekend zijn.

Capittel 3. „Om te vinden de distantie van eenigher plaetsen die ghij sien meucht, hoeverre datse oock verschilt,quot; meet men een basis «, die met het gezochte punt een rechthoekigen driehoek vormt en meet in dezen driehoek nog eene lijn b evenwijdig aan de basis en op een afstand c van dezen. De gezochte afstand is dan

-—Of, capittel 4, gij meet den scherpen basisboek met een in-a—b

strument, waarop rechtstreeks de tangens is af te lezen.

Capittel 5. Meet een basis, en de hoeken van dezen met de lijnen naar verschillende plaatsen getrokken. Na constructie op een bekende schaal, is ook de onderlinge afstand dezer plaatsen op het papier uit te meten.

Capittel 6. In kaart brengen als bekend zijn de distantien en de azimuts (voerstraalniethode van Schols).

Capittel 7. Hoe men het „verschil der [geographische] lengden bekennen sal uuter differentien der breeden en de rechter distantien.quot; Dit geschiedt door het theorema van Pythagoras, bekend zijnde 1° breedte — 15 mijlen en een tafel van de lengtegraden.

Naschrift. Geheel nauwkeurig kunnen deze „carten int planequot; niet zijn: de lengten, afstanden of azimuts zullen eenige minuten fout zijn. „En die reden is dese, dat tgene dat spheerwijs is, niet en accordeert metten effenen..quot;

Mij dunkt dit geschrift hoogst merkwaardig: de theorie der triangulatie is er volledig in ontwikkeld; de berekening „met die tafelen van Sinusquot; (zie boven) zou voor Gemma geen bezwaar hebben gehad. Maar het blijkt niet, dat de methode door hem of een ander ernstig is toegepast. De uitgave van het jaar 1609 Amsterdam, die ik boven steeds citeerde, is geheel gelijk aan die van 1533.

De werken van Eratosthenes, Ptolemaeus en Gemma

31

;r || waren aan Sn el li us bekend. Zijne verdienste blijft, dat hij eene :r ; lt; triangulatie op grooten schaal uitvoerde en dienstig maakte aan eene ie ■ ; graadmeting. Nieuwe methoden of instrumenten heeft hij niet be- /

)r dacht, maar van de bestaande een goed gebruik gemaakt. Nieuw

is hierbij de bepaling van het azimut, maar juist op dit deel van n zijn werk is uit een theoretisch en experimenteel oogpunt veel aan

te merken. Voor het overige is de bereikte nauwkeurigheid niet :n grooter, maar ook niet geringer dan men mocht hopen.

:n

De trigonometrische vraagstukken, die Snellius bij zijne graad-meting had op te lossen, waren allen van de meest eenvoudige soort, ¹¹¹ en sedert Hipparchus onder het bereik van iederen wiskundige.

₁_ Slechts eene uitzondering zou men wellicht willen maken : het be

roemde problema, dat in het buitenland thans meestal naar P o t h e-n o t wordt genoemd. Met eenige geschiedkundige opmerkingen over dit vraagstuk zullen wij ons Hoofdstuk besluiten.

gt;P

§ 9. //lt;^ 'Problema van Hipparchus, zoogenaamd van Snellius.

Ie Ptolemaeus handelt in het vierde boek van den Almagest

(zie § 7) over de theorie der maan. Hij neemt aan, dat dit hemel-:n lichaam zich beweegt langs een cirkel {epicykel), welks middelpunt

.quot; K (fig. 4) zelf een tweeden grooteren cirkel (deferent) om het mid-

le delpunt der aarde D beschrijft. Uit drie maaneclipsen in 721 en 720

v. C. te Babyion waargenomen, berekent Ptolemaeus drie stan-equot; den A, B en G van de maan op den epicykel. Boog B A = 53°

:n 35' en boog A G = 90° 51'. Verder zijn bekend : A D B —

et 3° 24' en G D B — 0° 37'. Gevraagd: de verhouding des straals

van den epicykel (= ;-) tot die van den deferent (= K D) te n- 1 berekenen.

e- Ptolemaeus trekt de lijn B D, die den epicykel in E snijdt. Hij

ar maakt alleen van rechthoekige driehoeken gebruik, en laat daartoe

ot uit E en G de loodlijnen E Z, E H en G T neer. Wij noemen

n- de hoeken A KB = 2^a;AKG=2/3;BKG — 2^;A

3. DB=/;BDG=:5■. Eerst bepaalt Ptolemaeus de verhouding van A E, G E en A G tot D E, namelijk (overgebracht

ia i ui ons teekenschrift):

32

Z E = A E. Sin (« — p) = D E. Sin p;

H E = G E. Sin(r — 17) = D E. Sin q ;

A G ¹ = [A E — G E Sin (90° — /?)] ² 4- [G E. Sin ,9] ².

En hij weet, dat A G = 2 r Sin /3; daardoor is ook de verhouding van D E en G E tot r bepaald, en alzoo Z! G K E, terwijl Z!BKE = ^GKE-l-2r. Vervolgens is

BD = DE 2r Sin ^ B K E, en ten slotte

K D ² — B D X D E — r ². Uitkomst r — K D —^D-

Eene tweede berekening, uit drie eclipsen door Ptolemaeus zelf waargenomen, gaf met B A =110 21'; A G = 81 36'; Z A D B = 7° 42' en Z A D G = 1° 21': r = 5° 14' (als K D = GO graden of lengte eenheden.)

Deze berekeningen van Ptolemaeus zijn verrassend nauwkeurig, en worden door alle schrijvers ') over den Almagest vermeld, maar zijn door niemand zoo uitvoerig en nauwkeurig besproken als door Delajibre, dien zijne grondige kennis der oude talen en zijn lust tot lange berekeningen en analytische ontwikkelingen, daartoe bijzonder geschikt maakten.

Ofschoon Ptolemaeus het niet ronduit zegt, is het toch vrij zeker, dat hij zijne rekenwijze aan HlPPARCHUS had ontleend. Delambre heeft dit herhaaldelijk betoogd, en zijne argumenten schijnen mij voldoende toe: voor de bijzonderheden dienomtrent moet ik naar zijne werken ²) verwijzen.

Veronderstel dat iemand omstreeks het jaar 1600 aan de Neder-landsche geleerden als vraagstuk had opgegevan ; construeer' en bereken trigonometrisch een vierhoek, waarvan gegeven zijn de zijden

¹

) Almagest, edit. Halma, grieksch en fransch, met notes par Delambre, Paris 1813, p. 238, 247, 274. Notes p 33.

Delambre. Histoire de l'astronomie ancienne. Paris 1817, II p. 37, 44, 4G, 67, 147, 150, 155, 1C4, 177, 183, 557, 579. Idem. Astronomie moderne, Paris 1821, II p. 109.

38

a en b en de diagonaal tnsschen hunne uiteinden, benevens de hoeken, die de andere diagonaal met de zijden e en d maakt. Ervaren wiskundigen, zooals Gemma en van C c u 1 e n zouden de oplossing zonder twijfel spoedig gevonden hebben; mannen als Adr. Romanus en Stevin zouden het als een arbeid voor éénen dag hebben beschouwd. De constructie b. v. volgt gemakkelijk uit E u c 1 i d e s ¹), Beginselen, boek 3, voorstel 33. Maar er bestond geene aanleiding om onder de talrijke vraagstukken over den vierhoek juist dit als rekenoefening te kiezen. Ik heb het in eenige boeken uit dien tijd te vergeefs gezocht, maar daarin wel onderscheidene, m. i. moeielijker voorstellen gevonden. Voor de landmeters was ons problema te onnauwkeurig in de uitvoerig en te omslachtig bij de berekening.

Had S n e 11 i u s uit een zuiver wiskundig oogpunt dit vraagstuk behandeld, het zou tot zijn roem niets hebben bijgedragen. Maar het is zijne verdienste, dat hij de waarde ervan voor de geodesie heeft ingezien, en daarvan bij zijne eigene graadmeting gebruik maakte.

S n e 11 i u s was zonder twijfel met het 4^do boek van den Almagest nauwkeurig bekend, maar toch schijnt hij niet opgemerkt te hebben, dat zijn eigen problema met dat van Hipparchus zoo goed als identisch is.

Wij hebben blz. 10 reeds medegedeeld, hoe Snellius vanuit de basis a e (fig. 2) de ligging der torens (fig. 3) van het Stadhuis, S, de Pieterskerk, P, en de Hooglandsche Kerk, H, bepaalde. Daar de hoeken op deze torens zelf ± 30° waren, maar niet gemeten werden, kunnen de uitkomsten: F S = 52,0 Rhijnl. R.; S H = G2,G R. en P H = 110,9 R vrij onnauwkeurig zijn. De bijbehoorende figuur p. 200 schijnt eer het product van onbescheiden vliegen, dan eene houtsnede te wezen. Onze punten P S H noemt hij y, i, u, terwijl o de saaihal is. In problema 11 is eene nieuwe figuur, waarin _y, i, ii. hunne beteekenis behouden, terwijl o nu

!) Euclides leefde 300 j. v. C. te Alexandria, en schreef een leerboek over de beginselen der meetkunde, waarvan een groot deel onveranderd in de tegenwoordigen leerboeken is overgegaan. In het genoemde voorstel wordt geleerd, hoe men op een gegeven basis een cirkelsegment kan construeeren, dat een gegeven hoek bevat.

34

S n e 11 i u s huis voorstelt. In de volgende figuur is dit huis met ii aangeduid, Voeg hierbij nog eenige druk- en rekenfouten, en men zal begrijpen, dat ons na de eerste lezing niet alles duidelijk was Problema 1—10 behoorden in caput 6 te huis.

De titel van cap. 10 luidt: „Gegeven de onderlinge afstanden van drie plaatsen, hunne afstanden tot eene vierde plaats enkel door waarnemingen op deze laatste te bepalen.quot; En de titel van problema 11 : gegeven de zijden van drieheek y, i, u, enkel op het balcon van mijn huis, de afstand van dtt tot ieder dier drie punten te bepalen.quot; S n e 11 i u s had in zijn eigen huis O, fig. 3, de poolshoogte en het azimut van 's Hage en van S bepaald. Hij moest dus de afstand O S zoeken. Gemeten werden P O S = 32°57' en Z P O H = 64^o40'.

Uitgaande van deze gegevens vermeldt S n e 11 i u s eerst in enkele regels de constructie van dit vraagstuk, met twee cirkels om POS (middelpunt m) en om P O H (middelpunt «), waaruit volgt, dat er slechts eene oplossing mogelijk is. Over het onbepaalde geval spreekt hij niet. De berekening van S n e 11 i u s sluit zich bij deze constructie aan; m r en n t zijn loodlijnen op P S

F S

en P H. Dan is Z P m r — Z_ V O S en P ;« = ^ ^

2 Sin P O S.

P II

Evenzoo P n ~ ———„ ^ _TT . Nu is Z i'i P « = Z P O H 2 Sin P ü H.

— P O S — S P H, welke laatste hoek berekend wordt uit de zijden des driehoeks P S H. In driehoek m P v zijn nu gegeven twee zijden en den ingesloten hoek: te berekenen Z P « m en eindelijk P O = 2 P w. Sin F n in. O H volgt uit P H en de hoeken O P H en P O H; O S volgt uit P S en de hoeken S P O en POS.

Hierop berekent S n e 11 i u s zijn geval. Ik heb heb hem nagerekend en plaats mijne uitkomsten tusschen []. S n e 11 i u s vond achtereenvolgens:

ZS P H — 15⁰56' [16°3'] O P = 79,30 R [79,04] P m = 47,80 Pv [47,80] O H = 118,2 R [118,6] P n -- 61,35 R [61,35] O S = 96,2 R [95,58] ZP « — 40quot;50'40quot;, drukfout voor 40^o15'40quot;. [40^u6'25quot;] De berekening is dus volstrekt niet, gelijk die van Ptolemaeus,

35

merkwaardig om hare juistheid. Als S n e 11 i u s beproefd had om zijn problema op maat te teekenen, zou hij, evenals ik, terstond gestuit zijn op O S ) 2 P m.

Snellius wijst in den aanhef van caput 10 op het veelvuldige gebruik, dat men van zijn probleem kan maken, tot het bepalen van een punt, waaruit drie zijner primaire stations te zien zijn.

Op zijne methode van behandeling is niets aan te merken; zonder logarithmen is er geen kortere oplossing te vinden.

Toen men van Pi card geleerd had om door verrekijkers met kruisdaden hoeken te meten met eene vroeger onbereikbare nauwkeurigheid, werd de praktische geometrie meer algemeen toegepast en stuitte men weldra op ons vraagstuk.

In 1671 werd het behandeld door John Collins (1GS24— 1683), een boekverkooper te Oxford, aan wien het als „a choro-graphical problemquot; was opgegeven door Richard T o w n 1 e y ,,who has doubtless solved it him self in an other way.quot; Collins¹) onderscheidt 5 gevallen, naar gelang de drie gegeven punten A, B en C in eene rechte lijn liggen (3°); het te zoeken punt S in het verlengde van B C (l^e), in de zijde B C (2°), buiten den driehoek ABC (4^e) of binnen den driehoek (5° geval) ligt. Hij brengt één cirkel door A, B en S en trekt de lijn SC. D is het punt waar deze lijn den cirkel snijdt. Hij behandelt achtereenvolgens driehoek A B D (gegeven A B, B en A; bereken A D), driehoek A C D (geg. A C, A D en z! A; ber. C) en driehoek ACS (geg. A C, ,/ C en S; ber. A S en C S.) Bij de constructie maakt hij eerst driehoek A B D uit A D en de beide in S gemeten hoeken, en trekt dan de lijn G D. Mochten C en D te dicht bij elkander liggen, dan (6° geval) moet de cirkel door B, C, S ge-

¹

) J. Collins: Philosophical Transactions, 25 March 1671, vol. 6 p. 2093. Zie ook 1685, vol. 15 p. 1231. Op de laatste plaats wordt door een onbekende ook het vraagstuk der twee ontoegankelijke punten (probleem van Hansen) opgelost.

Wilhelm Schickhard, Prof. te Tübingen vermeldt in ean brief d.d. 6 Juni 1624 aan Kepler, dat hij op dit vraagstuk gestuit was en het met twee cirkels had opgelost (Epistolae ad Keppleram, ed. Hantsch, Leipzig 1718 p. 636.) Sch. vroeg aan K. om nadere inlichtingen. K. kende echter het werk van Snellius zeer goed.

3G

bruikt worden. Het onbepaalde geval noemt Collins niet.

In de zitting der Parijsche Académie des Sciences van 31 Dec. 1G92 werd het vraagstuk behandeld door Laurent Pothenot, ¹) die het noodig had gehad bij de vervaardiging eener kaart van de Eure rivier. Ofschoon Pothenot de opvolger was van den beroemden hoogleeraar in de wis- en natuurkunde Roberval, wiens balans tegenwoordig in alle winkels gebruikt wordt, vind ik overigens niets opgegeven, dat van zijne wetenschappelijke werkzaamheid getuigt, behalve dat hij C a s s i n i hielp bij de waarneming van twee eclipsen. Reeds vóór het jaar 1G99 werd hij ontzet van zijn lidmaatschap der Académie, omdat hij niets uitvoerde. Hij stierf in 1732.

Pothenot geeft van het vraagstuk alleen de bekende constructie met twee cirkels, maar niet de berekening. Wel noemt hij het onbepaalde geval, dat de vier punten in één cirkel liggen. Ook geeft hij de constructie met vier gegeven punten waartusschen men slechts twee afstanden kent.

In de 18® eeuw hebben onderscheidene beroemde wiskundigen zich met verschillende oplossingen van het vraagstuk bezig gehouden. Wij kunnen de bijzonderheden daarvan verder niet nagaan en noemen slechts Lambert, -) de L a 1 a n d e en D e 1 a m b r e, ²) K a s t-n e r ³) en van S w i n d e n. ⁴) Uit deze geschriften blijkt, dat in 1780 in Frankrijk het vraagstuk bijna vergeten was, en door D e-1 a m b r e opnieuw opgelost moest worden. Eerst later ontdekte deze de aanspraken van Hipparchus en S n e 11 i u s. L a m-

¹

') P o t h e n o t, Probléme de géométrie pratique; trouver la position d'un lieu, que Ton ne peut voir des principaux lieux d'oü Ton observe. Dit stukje is opgenomen in Mémoires de l'Institut. De oorspronkelijke editie is mij niet bekend, wel de herdrukken: Amsterdam 1723 p. 276 en Parijs 1730, tome 10 p. 221 — 224. Zie ook tome 2 p. 157 et 369.

²

) D e 1 a m b r e. Methodes Analytiques, 1799, p. 135; in C a g n o 1 i, Trigonometrie 1786 p. 467 en de blz. 33 geciteerde werken.

³

) Kastner; Geometrische Abhandlungen 1790, I (of Mathem. An-fangsgründe I, 3^te Abth.) S. 4, 406.

⁴

^B) Van S winden. Meetkunde, Amsterdam 1790 blz. 354. 2^e druk 1816 blz. 424. Met eene oplossing van hem zei ven uit 1772, en eene oudere van Y p e y, overeenkomende met die van Collins.

37

bert spreekt niet over den ontdekker ; K a s t n e r noemt op S. 40G Pothenot, maar verbeterde dit in zijne voorrede S. 4 en gaf hier S n e 11 i u s de eer. K a s t n e r hechtte aan dit vraagstuk groote waarde ; onderscheidene wiskundigen, o.a. O 1 b e r s oefenden zich daarin onder zijne leiding.

Van S winden verklaarde in 1816: „dit voorstel door S n e 1-I i u s uitgedacht en door hem werkelijk gebruikt, mogt wel den naam van het voorstel van Snellius dragen.quot;

Uit den aanvang der 19° eeuw vermelden wij Burckhardt, ¹) wiens oplossing eenigen tijd voor de beste werd gehouden, en Bess el, die er zich eerst in zijne bruidsdagen (Sept. 1812) mede amuseerde ²) en later met Kulenkampf nog eens op terug kwam. ³) Beide schrijvers spreken niet over den uitvinder van het vraagstuk; het heet eenvoudig «eine Aufgabe der practischen Geometriequot;.

Maar in 183G spreken Gauss en Schumacher⁴) steeds over „die Pothenotschen Aufgabe.quot; Gauss wees er op, dat de oplossing onmogelijk kan zijn: b. v. wanneer men bij een werkelijk geval één der gemeten richtingen omkeert (b. v. bij Snellius P O S •= 212⁰57' stelt.) Analytisch te werk gaande verkrijgt men bij vijf willekeurige gegevens toch een uitkomst.

Gauss verwonderde er zich over, dat niemand der talrijke schrijvers over het vraagstuk, had aangegeven hoe men uit de gegevens vooraf analytisch kon afleiden of de oplossing in teekening mogelijk is. Gauss hoopte, dat iemand over het vraagstuk eene doctordissertatie zou schrijven; ik geloof niet dat zijn wensch vervuld is.

In Duitschland sprak men dus voor 50 jaren algemeen van „die Pothenotsche Aufgabequot;. In 1 842 meende onze landgenoot Verdam⁵) hiertegen op te moeten komen, en voor Snellius alle eer te

¹

!) Burckhard: Monatliche Correspondenz von Zach. 1801, IV S. 359. Zie ook M o 11 w e i d e, idem 1813, XXVII S. 5G6.

²

) B e s s el, idem 1813, XXVII S. 222. Briefwechsel mit O 1 b e r s, 1812, I S. 344.

³

) Bessel, Astronomische Nachrichten 1824, Bd 3 S. 193, 221.

⁴

) Briefwechsel, Bd. 3 S. 32, 40, 46, 48.

⁵

) Verdam, Grunert's Archiv der Mathematik 1842, Bd 2 S. 310.

38

kunnen eischen. Hij geeft echter niets daa eene aanhaling uit Kastner, en in het fransch eenige bijzonderheden over het werk van S n e 11 i u s, die bewijzen, dat hij het niet nauwkeurig had gelezen of nagerekend.

Wanneer het stukje van Verdam niet zoo onbeduidend ware geweest, maar de resultaten der historische nasporingen van Delambre en eene volledige bespreking van het geval van S n e 11 i u s had behelsd, ware wellicht de naam van Pothenot verdrongen. Thans schijnt deze onsterfelijk geworden te zijn en wordt voortdurend gebruikt ook door hen die beter weten, b. v. Jordan, Vermessungskunde 1877, I S. 314.

Wij behoeven ons niet te ergeren. Van Hipparchus en S n e 1 li u s zullen naam en werk onsterfelijk blijven ook zonder het problema.

Slotsom. Rechtvaardig zou het wezen om met Delambre van het problema van Hipparchus te spreken.

S n e 11 i u s gaf het eerst eene constructie en eene oplossing die aan alle eischen van zijn tijd voldeden.

Pothenot vond de constructie wellicht zelfstandig, maar lang na S n e 11 i u s en Collins, en op een tijd toen geen wiskundige in de oplossing bijzondere moeielijkheden zou gezien hebben.

Hoofdstuk II. Willem Jansz. Blaeu. 0

Willem Jansz. Blaeu, ook wel Janssonius ofCae-sius genoemd, werd in 1571 te Alkmaar geboren. Van 1594—1596 was hij werkzaam bij T y g e B r a h e. Daarna vestigde hij zich te Amsterdam, eerst op het Water (Damrak) later op de Bloemgracht, als boekdrukker enz. Zijne atlassen, globes en astronomische instrumenten waren wereldberoemd. Hij stierf in 1G38; in zijne zonen had hij waardige opvolgers. De Groote Atlas²) van

!) Wat men van Blaeu en zijne werken weet is bijeengebracht door P. J. H. Baud et, „Leven en werkenquot; van W. J. Blaeu. Prijsverhandeling uitgegeven door het Prov. Utr. Gen. 1871, en in eenige latere kleinere opstellen van den zelfden schrijver.

-) In deel I vindt men prachtige teekeningen der sterrewacht en instrumenten van T y g e B r a h e.

39

1GG4 is een werk, welks gelijke in de 19® eeuw niet verschenen is.

Van zijne graadmeting weten wij alleen iets door G. J. Vossius, welke in 1G60 mededeelde, dat Blaeu den afstand van den mond der Maas tot Texel daartoe rechtstreeks langs het strand opgemeten, en in Rhijnl. Roeden bepaald had. Van de uiteinden dezer lijn onderzocht hij de poolshoogten met een zenithsector van 14 voet (439 c.M.) straal en een boog van 12° (1' — 1,28 m.M.) De uitkomst voor de lengte van 1° moet prachtig geweest zijn. Pi card die in Aug. 1071 Blaeu bezocht, deelt mede, dat zij van de zijne nog geen 5 R. verschilde.

Pi card meende ten onrechte met, den graadmeter zelf te spreken; het moet de zoon Dr. Joh an Blaeu geweest zijn, die volgens Vossius voornemens was om het werk zijns Vaders uit te geven. Daartoe is het nooit gekomen. Of Blaeu zijne meting wantrouwde ^ omdat de uitkomst Vso grooter was dan die van S n e 11 i u s, of dat hij ze geheim hield ten einde er voor zijne kaarten van te profiteeren, weten wij niet. Plet is zelfs niet uitgemaakt of zijne graadmeting vóór dan na die van S n e 11 i u s is uitgevoerd.

Den 23 Febr. 1672 brandde de groote drukkerij af; de schade werd berekend op f 355000! Dr. Joan stierf in 1673. Het manuscript is waarschijnlijk verloren gegaan. Van Beeck Calc-koen¹) kon er eene eeuw later geen spoor van terug vinden.

De grondlijn van Blaeu is een der langste bases geweest, die ooit rechtstreeks gemeten zijn. De lengte moet omstreeks 32000 Rh. R. (120 KM.) bedragen hebben; wij weten niet hoe Blaeu gemeten heeft. Maar al had hij hierin het juiste getroffen, het verschil der poolshoogten zal toch wel 20quot; onzeker geweest zijn en de uitkomst daardoor minstens 160 R. Ook weten wij niet

¹

) Van Beeck Calckoen: Allgemeine Geographische Ephemeriden von Zach 1798, Bd. 1 S. 629. B a u d e t schijnt deze verhandeling niet gekend te hebben.

40

hoe het verschil in geogr. lengte der eindpunten is bepaald en in rekening gebracht. ¹)

Meer dan eene historische merkwaardigheid is de graadmeting van B 1 a e u dus niet.

!) Tusschen den vuurtoren van Kijkduin en de watermolen bij 's Gra-vezande is het verschil in breedte 58', dat in lengte 34' X.

Over de Nederlandse he Graadmetingen der 19^e eetivu in eene volgende aflevering.

NASCHRIFT.

De op blz. 17 vermelde aanteekeningen door Snellius zelf geschreven, heb ik thans ontvangen. Het is een gewoon exemplaar der Eratosthenes Batavus, in carton gebonden met rugtitel: Snellii Eratosthenes Batavns cum notis Mss Auctoris, na. 15493. De schrijver heeft op den rand een groot aantal correcties aangebracht, en op zeven plaatsen (p. 208, 222, 224, 228, 231, 233, 24'3) zijn te zamen 24 blz. geschreven schrift ingenaaid. Het is, zoover men weet, het eenige handschrift van Snellius, dat nog bestaat. Het boek is na Snellius dood verkocht (zie blz. 4.) In 1717 bevond het zich in een klooster der Minderbroeders te Leuven; later kwam het in bezit van C. van Bavière te Brussel, en uit diens bibliotheek werd het in 1817 gekocht door C. van H u 11 h e in, den beroemden bibliophile, wiens boekerij in 1837 door de Belgische Regeering voor frs. 315000 is aangekocht, en de kern der Bibliotheque Royale de Bruxelles vormt.

Liber 1 is bijna niet veranderd. Van liber II zijn cap. 1—7 en 10 geheel ongewijzigd gebleven. Van cap. 8 ontbreken p. 185—192, dat zijn probl. 18—30. In de rest van cap. 8 en in cap. 9 zijn een groot aantal letters, cijfers en woorden verbeterd, welke correcties, op kleinigheden na, overeenstemmen met hetgeen bij M u s-schenbroek, eerste deel (zie blz. 12) voorkomt.

Het belangrijkst is voor ons een nieuw eaput 11, zes blz. groot, nevens p. 208 ingenaaid, en evenals de rest in het latijn geschreven. Zie hier in het kort de inhoud:

In 1G15 bepaalde Snellius te Mechelen, in tegenwoordigheid

41

der Jonkers van Ster ren berg, den zenithafstand der sterren a Pegasi en Andromedae bij hunnen doorgang door den zuidelijken meridiaan, op 38⁰2' en 17⁰28'. Hierbij opgeteld de declinatie dezer sterren volgens T y g e B r a h e, j) nml. 13⁰3'Gquot; en 33⁰36'57quot; vindt Sn el li us voor de poolshoogte van Mechelen 51⁰5'6quot; en 51⁰4'57quot;, zoodat hij 51⁰5' voor de juiste waarde houdt. Maar de bedoelde^,declinaties moeten in den zomer van 1615 bedrap-en heb-

// -3,

ben 13^8' en 33⁰3/ï' V² zoodat de ware uitkomsten van S n e 11 i u s zijn 51° 10' en 51°^,'¹/2. ^X gt; - - j ^ y*

De werkelijke poolshoogte van Mechelen is 51^or45quot; en het verschil in breedte met B o Z 1677quot;; met Alkmaar 5773quot;.

Nog onnauwkeuriger zijn de (op blz. 17 reeds genoemde) driehoeken gemeten. Wij noemen Antwerpen An, Hoogstraten Ho, en Mechelen M. In de veronderstelling dat dit dezelfde punten zijn, als later Krayenhoff en Tranchot gebruikten, geven wij de juiste waarden der zijden en hoeken tusschen [ ].

Bekend was uit problema 26 de zijde B Br — 9414,7 [9400] Rhijnl. Roeden. In driehoek no. 1 mat Snellius ./ An = 56⁰17' [46^o30'] en Br — 40 13' [40'^,29'J, waaruit hij berekent B An — 7308,2 [8363].

In driehoek no 2 / An = 71⁰9'[65⁰4r] en / B = 58⁰7'[5S^P9'] ; berekend An Ho = 8015,3 [8551]. In no. 3 / An —114^o20 [114⁰23'] en Ho = 25^c45' [25⁰54']; berekend An M -- 5419,2 [5846]. Eindelijk in driehoek B An M uit twee zijden en den ingesloten hoek, berekend BM — 12713,1 [14209].

Voor het azimut van B Br had Snellius berekend 247^o57'30quot; [252^o30'10quot;], waaruit hij voor dat van BM afleidt 334⁰7'34quot; [345⁰3S'] en dus voor het verschil in breedte van B en M 11438,4 [13765], terwijl volgens caput 9 dat van Alkmaar en B 33978 [336i0] bedroeg.

!) Tyge Brahe (de nova stella anni 1572) vond deze declinaties voor het jaar 1G00 respectievelijk gelijk 13^a5' en 33°32' en stelt hunne jaarlijksche toename op 0',32 en 0',33. Snellius had alzoo 13⁰9'58quot; en 33⁰37'7quot; moeten aannemen, en dus tot de poolshoogten 51⁰11'58'' en 5l⁰5'7quot; moeten besluiten. De slorderigheid van Snellius bij berekeningen blijkt uit de omstandigheid, dat in zijn manuscript bijna alle getallen één of meermalen zijn doorgehaald en veranderd.

43

Uit deze laatste afstanden berekent S n e 11 i u s voor de lengte van één breedtegraad tusschen M en B, en M en A respectievelijk 28595 en 28533; met de werkelijke poolshoogten zou hij gevonden hebben 24555 en 28321 Rh. Roeden.

S n c 11 i u s deelt mede , dat wijlen Michael C o i g n e t ¹) voor de poolshoogte van Antwerpen 51°15' [5F13'¹/*] vond. Hij beschouwt dit als eene bevestiging van zijne meting.

In eene toevoeging op p. 238 verwijst Snellius naar „T^plvtfs B a t a v u squot;, een zijner andere werken, hetwelk in 1624 is verschenen. Het is daarom opmerkelijk, dat in ons manuscript nergens gewag wordt gemaakt van de drie nieuwe basismetingen, die reeds twee jaren vroeger door den schrijver waren uitgevoerd. Ook weet ik geene verklaring te vinden voor de enorme fouten, die bij het meten van sommige der bovengenoemde hoeken zijn begaan.

14 Febr. 1889.

v. D. P.

^ C o i g n e t stierf te Antwerpen den 24 Dec. 1G23, op 74 jarigen leeftijd. Zie Foppens, Bibiiotheca Belgica II p. 890.

I

GrRAAÜMETINGEN IN NEDERLAND.

I Snellius W15~1622.

Fig. 2.

Base sue t.

7//

OVERZICHT VAN DE GRAADMETINGEN IN NEDERLAND

DOOR

Dr. J. D. van der Plaats.

{Vervolg van blz. 42)

Hoofdstuk III. Krayenhoff.

Krayenhoff was geneesheer van zijn vak, militair van betrekking. Hij ontbeerde de opleiding en de rust, die tot groote wetenschappelijke werken noodig schijnt. Met hulpmiddelen ver beneden die van den tegenwoordigen tijd. met instrumenten in wier gebruik de ondervinding alleen hem onderrichtte, heeft hij te midden der politieke woelingen van het eerste decennium dezer eeuw, in verbazend korten tijd, eene triangulatie volbracht, die op waardige wijze de rij der werken met oude instrumenten en oude rekenwijzen afsluit.

Onoverdacht en mateloos was de bewondering, die hem eene halve eeuw lang in Nederland ten deel gevallen is-, onverdiend hard en niet onpartijdig de critiek, die sedert 25 jaren hem drukt. In het Buitenland heeft men op zijn werk bijna geen acht geslagen: de ongunstige voorstelling door GAUSS gegeven, heeft aldaar haar doel niet gemist.

Krayenhoff s triangulatie is waarschijnlijk ook thans nog voldoende voor de behoeften eener graadmeting; zij zou het zeker wel wezen, zoo hij de voorgenomen basismeting in Friesland had uitgevoerd. Hoogstens zoic men enkele driehoeken in het N. O. moeten hermeten.

De geodesisehe en astronomische waarnemingen van Krayeiihojj staan gelijk met de besten van hun tijd. Maar hij meende op ruimer schaal, dan men tegenwoordig zou toestaan, waarnemingen te mogen verwerpen en uitkiezen. Hij heeft van deze handelwijze volstrekt geen geheim gemaakt, maar had ze in het gedrukte werk uitvoeriger moeten toelichten.

Krayenhoff was de eerste, die een uitvoerig en nauwkeurig gemeten driehoekennet te vereffenen had. De methode der kl. Qn. bestond nog

7//

OVERZICHT VAN DE GRAADMETINGEN IN NEDERLAND

DOOR

Dr. J. D. van der Plaats.

{Vervolg van blz. 42)

Hoofdstuk III. Krayenhoff.

Krayenlwff was geneesheer van zijn vak, militair van betrekking. Hij ontbeerde de opleiding en de rust, die tot groote wetenschappelijke werken noodig schijnt. Met hulpmiddelen ver berieden die van den tegenwoordigen tijd, met instrumenten in wier gebruik de ondervinding alleen hem onderrichtte, heeft hij te midden der politieke woelingen van het eerste decennium dezer eeuw, in verbazend korten tijd, eene triangulatie volbracht, die op waardige wijze de rij der werken met oude instrumenten en oude rekenwijzen afsluit.

Onoverdacht en mateloos was de bewondering, die hem eene halve eeuw lang in Nederland ten deel gevallen is-, onverdiend hard en niet onpartijdig de critiek, die sedert 25 jaren hem drukt. In het Buitenland heeft men op zijn werk bijna geen acht geslagen: de ongunstige voorstelling door Gauss gegeven, heeft aldaar haar doel niet gemist.

Krayenhoff s triangulatie is waarschijnlijk ook thans nog voldoende voor de behoeften eener graadmeting; zij zou het zeker wel wezen, zoo hij de voorgenomen basismeting in Friesland had uitgevoerd. Hoogstens zou men enkele driehoeken in het N. O. moeten hermeten.

De geodesische en astronomische waarnemingen van Krayenhoff staan gelijk met de besten van hun tijd. Maar hij meende op ruimer schaal, dan men tegenwoordig zou toestaan, waarnemingen te mogen verwerpen en uitkiezen. Hij heeft van deze handelwijze volstrekt geen geheim gemaakt, maar had ze in het gedrukte werk uitvoeriger moeten toelichten.

Krayenhoff was de eerste, die een uitvoerig en nauwkeurig gemeten driehoekennet te vereffenen had. De methode der kl. Qu. bestond nog

2

niet, en hij kou slechts van cene vereffening op het praktische gevoel gebruik maken. Met juisten blik heef t hij de drie soorten vein voot -q ivaarden onderscheiden en tot htm recht gebracht.

Aan de zij denver gelijkingen gaf hijgden eleganten log. sin.vorm, , C/;A. {waarin zij nog gebruikt worden. Maar eene volledige te zamenstel-ling van al de voorwaarden en van de veranderingen, welke de hoeken hij de vereffening ondergingen, ontbreekt aan zijn werk. Daarom kon cene oppervlakkige lezing tot een veel te gunstig oordeel aanleiding geven.

Eene halve eeuw lang zijn noch het Précis historique, noch de manuscripten, naar behoor en gelezen.

Onverantwoordelijk is de wijze waarop de secundaire metingen van Krayenhoff zijn verwaarloosd. Zij zijn doorgaans van beter gehalte dan de 50 jaren later verschenen Meetkunstige Beschrijving.

Inhoud.

§ 12. Levensschets. — 13. Geschriften van Krayenhoff over zijne meting.— 14. Over de Geodesie en Astronomie in Nederland. Het net van Perny. Geschiedkundig overzicht der metingen van Krayenhoff.

§ 12. Levensschets. ^l)

Cornelis Rudolphus Theodorus Krayenhoff werd den 2^ⁿ Juni 1758 te Nijmegen geboren. Hij studeerde te Harderwijk in de medicijnen, vestigde zich in '1784 als geneesheer te Amsterdam en oefende dit vak gedurende elf jaren met veel succes uit. Hij schreef in dien tijd eenige wetenschappelijke verhandelingen over electriciteit: de eerste bliksemafleider in ons land werd door hem in 1782 op den Martinitoren te Doesburg geplaatst. Daarnevens

') Zijne Eigen-levensschets is opgenomen in den Recensent ook der Recensenten 1841, deel Mb blz. 46 — (56, en meer uitvoerig in een afzonderlijk werk: Levensbijzonderheden van den Luit. Gen. Baron Krayenhoff, door hem zeiven in schrift gesteld en op zijn verlangen in het licht gegeven door Prof. H. W. Tydeman. Nijmegen 1844. Een uittreksel uit dit laatste boek is de geïllustreerde en aangenaam geschreven Levensschets, door P. H. Craandijk in Eigen Haard 1888 eerste aflevering.

Zie ook: P. H. van der Weijde: Tijdschrift voor de Wis- en Natuurkunde, 1842 II blz. 50.

3 (2/r/J

bestudeerde hij de wiskunde en hare toepassingen op de waterbouwkunde en de versterkingskunst, twee vakken, waarin ook zijn vader heeft uitgemunt,

Krayenhofif was een vurig patriot en de „Keezendokterquot; moest in 1794 de stad verlaten. Hij begaf zich naar zijn academievriend generaal Daendels, wist Amsterdam voor zijne partij te veroveren en werd in '1795 benoemd tot Luitenant Kolonel Ingenieur, Directeur der Hollandsche Fortificatiën en Inspecteur Generaal der Rivieren. Gedurende 32 jaren wijdde hij zich ijverig aan den militairen dienst. Hij stond bij Koning Lodewijk Napoleon in hoogen gunst. Deze benoemde hem tot zijnen Aide de Camp, tot Directeur van het depót van Oorlog, tot Inspecteur der Artillerie en Genie enz; van 26 Mei 1809 — 3 Maart 1810 was hij Minister van Oorlog. Hij bood zijnen Koning aan om Amsterdam desnoods tegen den Franschen Keizer te verdedigen. Maar de Koning abdiceerde en Krayenhofif wilde daarop den dienst verlaten, doch zijn verzoek om ontslag werd driemaal geweigerd. „Den '13^den October 1811 had ik, ter „gelegenheid eener openbare audientie op het Paleis te Amsterdam „een zeer levendig onderhoud met Keizer Napoleon, die mij zeer „hevige berispingen toewierp, wegens mijn gehouden gedrag als „Minister van Oorlog. Ik gaf Zijne Majesteit met luide stem te „kennen, aan Haar geene verantwoording schuldig te zijn wegens „de wijze waarop ik mijnen Meester, den Koning van Holland, als „onafhankelijk Souverein gediend had. Tengevolge van deze rond-„heid werd ik, bij eene volgende audientie, den 20 October, op „eene minzame wijze aangesproken, en over vele belangrijke onderwerpen langdurig onderhouden. Den volgenden dag werd ik gelast „met den Keizer eene inspectie te doen en de middelen te verklaren, „die ik ter defensie van de hoofdstad zou hebben aangewend. Zijne „Majesteit scheen deswege zeer voldaan en noodigde mij op zijn „dejeuné binnen Naarden gehouden.quot;

Van Dec. 181 '1 —Mei 1812 was hij te Parijs en woonde er „de vergaderingen van het Instituut wegens de solide instructie, die hij daar genoot, steeds zonder verzuim bij, en bezocht dikwijls het Observatoriumquot;.

In 1808 was verschenen zijne Instructie voor de gcographische Ingenieurs, die tot motto voert: un observateur n'est tenu que de l'exactitude de ses mesures et non de leurs résultats.

4 (210 )

[

Dit moge genoeg zijn om den man te kenschetsen. Zijne werken op het gebied der Versterkingskunst en van den Waterstaat zijn algemeen bekend.

Van 5 Mei—18 Sept. 1825 maakte hij eene onderzoekingsreis naar onze W.-I. eilanden Ondertusschen waren malversatiën ontdekt, gepleegd door eenige officieren, welke onder zijne opperste leiding de vestingwerken langs de zuidelijke grenzen aanlegden. Krayenhoff werd gepensionneerd, voor het Hoog Militair Gerechtshof gedaagd, maar na een onderzoek dat vier jaren duurde, vrijgesproken. Hij huwde daarna voor de tweede maal en stierf „na een bijzonder gelukkigen en genoegelijken ouderdom, steeds in werkzaamheid doorgebrachtquot; den 24 November 1840 te Nijmegen. Het Fort Krayenhoff, gebouwd nabij de plaats waar eens zijn ouderlijk huis stond, „vereeuwigt zijn naam en is de rustplaats zijner asch.quot;

Krayenhoff bezat een rijke verzameling van natuur- en sterre-kundige instrumenten, en hij was steeds bereid om jongeren in deze wetenschappen voort te helpen. Van '1827—1833 hield hij talrijke voordrachten over natuurkunde en deed hij nog een aantal sterre-kundige waarnemingen.

Het is geene overdrijving te beweren, dat zonder van S win den, Krayenhoff en Moll het eerste vierendeel dezer eeuw eene licht-looze plek zou wezen in de geschiedenis der exacte natuurwetenschappen in Nederland.

§ 13. Geschriften van Krayenhoff zeiven over zijne Driehoeksmeting.

De gedrukte mededeelingen van Krayenhoff zijn in chronologische volgorde:

1°. Batavische Vermessung, Schreiben des Oberst-Lieutenant Krayenhoff an Freiherrn von Zach, herausgeber der Monatliche Correspondenz, Febr. 1804, Bd. IX, S 168, 264.

Van dezen brief, gedateerd Haag 30 Nov. 1803, is het Neder-landsche origineel later ook gedrukt in de Algem. Konst- en Letterbode van 10 April 1804 blz. 225—240.

Deze verhandeling geeft een overzicht van de eerste periode der geodesische werkzaamheden van Krayenhoff. In vier bijlagen

■) Voor het Fort Amsterdam op Curasao vond hij bij deze gelegenheid als ligging; 12^c6'32quot; NB en 74°49'15quot; WL. van Amsterdam.

5 ( 22/)

vindt men: de rondmetingen op tien stations (de latere n^os 39—41; 52—57 en 66*¹); de hoeken van dertien primaire driehoeken (n^os 54, 55, 57, 64, 65, 66, 78, 80—83, 93* en 94*); de geographische lengten en breedten van een aantal primaire en secundaire punten ²); de waarnemingen voor de breedte van den Domtoren en de Sterre-wacht te Utrecht op 25—28 Maart '1803, benevens een kaart van het net. De kaart in de Letterbode is wel op grooter schaal dan de Duitsche, maar veel onnauwkeuriger.

2°. Instructie voor de Geographische Ingenieurs bij het Depót Generaal van Oorlog van het Koningrijk Holland. Ontworpen door Generaal-Majoor Krayenhoff, Inspecteur enz. en door den Minister van Oorlog geapprobeerd 4 Maart '1808. 22 blz. fol., Bijlagen en Atlas.

In Frankrijk bestaat sedert 1690 le Depót-General de la Guerre, dat voor de topographic en de krijgsverrichtingen van dat land van buitengewone waarde is geweest. Koning Lodewijk richtte in navolging daarvan het Hollandsche Depót op, en benoemde Krayenhoff tot Directeur ervan. In de genoemde Instructie worden uitmuntende voorschriften aan de daaraan verbonden officieren gegeven. De eerste afdeeling behandelt in 8 Artt. de geodesische observatien: verkenning (met een sextant), basismeting, de Repetitiecirkel, Breedte-en Azimutwaarnemingen, secundaire triangulatie.

Als model worden in 3 bijlagen, te zamen 58 blz. fol., de geodesische waarnemingen op de stations Amsterdam en Hettenheuvel, met hunne berekening, volledig medegedeeld.

Bijlage I, 26 blz., bevat alle details der waarnemingen. Van elke serie is opgegeven: de aflezing der nonien na elke dubbele repetitie, de omstandigheden en de mate van vertrouwen, de barometerstand en de temperatuur. Bovendien van elk station eene teekening, de bepa-

¹

') Krayenhoff gebruikte in 1803 de stations no. 66* Westerland en no. 71^# Oude Schild, welke echter later met Robbezand niet verbonden konden worden en vervangen werden door Oosterland en Oosteinde. In de driehoeken 93* en 94* komt Westerland voor.

²

) Door eene onbescheidenheid van Prof. Hennert was reeds in de Monatl. Corr. Bd. 8 S. 501 iets over de meting van Krayenhoff medegedeeld en eene lijst van lengten en breedten gegeven. Deze lijst is veel uitvoeriger dan die van Krayenhoff zelf, maar is natuurlijk niet vertrouwbaar.

6 (121)

ling van dc hoogte boven den grond en de elementen voor het centreeren.

Bijlage II, 22 blz. geeft de zenithsafstanden der omliggende punten, ieder door 4 repetities bepaald en de volledige herleiding der hoeken tot het middelpunt, tot den horizon en tot de koorden. De tafels van Delambre, die voor deze herleidingen gebruikt werden, had Krayenhoff wel in zijne Instructie mogen overnemen.

Bijlage III, 10 blz. bevat breedte-, azimut- en tijdsbepalingen op den Hettenheuvel, maar zonder de definitieve berekening.

Bijlagen I en II zijn, voor zoover Amsterdam betreft, verkort overgenomen in het Précis Historique p. 17—29.

3°. Verzameling van Hy drographische en Topographi-sche Waarnemingen in Holland, door den Oud-Minister van Oorlog C. R. T. Krayenhoff. Amsterdam 1813. Opgedragen aan het Hollandsche Instituut van Wetenschappen 1 Juli 1813. Van dit werk bestaat eene Fransche vertaling, die naar het schijnt (Letterbode 'IB'iS b, blz. 374) door J. de Gelder is vervaardigd.

Het tweede gedeelte van dit werk, 55 blz. 8° bevat: de tafel der Hoofddriehoeken (hoekpunten, koordenhoeken, zijden in meters en azimuts, overeenstemmende met tableau III en IV van het Précis Historique, maar zonder de logarithmen en het spherisch exces); eenige aanmerkingen over de torens en signalen; eene alphabetische lijst van de breedten en lengten der primaire punten in 4 decimalen van secunden en eene dergelijke lijst met 1 decimaal van 171 plaatsen en dorpen langs de rivieren en de zee in Holland. Deze lijst van secundaire punten kan ook thans nog met voordeel gebruikt

worden. Krayenhoff heeft aangenomen: afplatting en op de

O

breedte van 52^o30' voor de lengte van 1 breedtegraad 111 241, 25 M. (lquot;r=30,90), voor i lengtegraad 07869,3 M. (1 quot;=18,85). Tegen-

1

woordig neemt men hiervoor waarden aan die respectievelijk —

ouuu

en —-— grooter zijn.

2000 ^

4°. Précis Historique des operations géodésiques et astro-nomiques faites en Hollande, pour servir de base a la topographic de eet état, exécutées par le Lieutenant-Général Krayenhoff. Ie Edition. La Haye 1815. XVI et 17G pages 4° en een kaart

7 (Z2 s)

op schaal 84: 100 000000. De schrijver had door den onrust der tijden, die hem naar de grensvestingen riep, geen behoorlijk toezicht op den druk kunnen houden, zoodat er vele drukfouten bleven staan. De eerste uitgave geschiedde volgens besluit van het Holl. Inst. v. W. In 1827 veroorloofde de Koning eene tweede uitgave, op kosten van den staat. Deze uitgave is vermeerderd met het rapport van D el a m b r e en met tableau V: de geographische ligging, de coördinaten en de azimuts der primaire punten volgens eene nieuwe

berekening, steunende op de breedte- en azimutwaarnemingen te

\

Amsterdam van Krayenhoff zelf, en met de afplatting ^— Deze

nieuwe berekeningen zijn verricht door zes genieofficieren.

Deze nieuwe Editie zal ik steeds aanhalen. Zij bevat XXX en 202 pages. Geheel vrij van druk- schrijf- en rekenfouten is zij niet.

Het Précis Historique bestaat uit: 1°. het voorbericht van den tweeden druk, onderteekend Nijmegen 18 Maart 1 827. 2°, het voorbericht van den eersten druk, door G. V rol ik, secretaris van het Instituut. 3°. het Rapport van van Swinden, en dat van D e 1 a m b r e 4°. Het eigenlijke Précis, onderteekend Paris, le 1 Mai 1812. Dit bevat p. 1—13, een historisch overzicht van de aanleiding tot de triangulatie en van de uitvoering van het werk.

Vervolgens p. 13—46 bespreekt Krayenhoff de zeven afdeelin-gen der manuscripten, die hij te Parijs deponeerde; hij verklaart hunne inrichting en licht deze met voorbeelden toe. De breedte-en azimutbepalingen te Amsterdam en te jever worden uitvoerig behandeld. Aan het slot maakt Krayenhoff eene eervolle vermelding van de personen, die hem bij de berekening en uitvoering hadden geholpen, nl. Jacob de Gelder, de ingenier van D el en en de zes officieren S e e g e r, de beide heeren Hooff, van Schelle, van der Merwede en Laurillard.¹)

Delambre heeft van dit Précis getuigd „qu' il est redigé avec une telle méthode et tellement circonstancié, qu' il ne fallait pas d' autre renseignement, pour se faire une idéé juste de tout 1c travail.quot;

') Nog meer personen hebben aan het werk deelgenomen, o. a. de oudmajoor Huguenin, die Krayenhoff in 1803 bij de metingen behulpzaam was.

8 (Z 2/-J )

Dc rest van het werk bestaat uit vijf tableaux.

N⁰. I, p. 48—79, Observations bevat de spherische hoeken¹) van het primaire net (reeds herleid tot den horizon en tot het centrum), zooals zij uit de waarnemingen volgen; de reductie tot koordenhoeken en het verschil der rondmetingen met 360°.

N⁰. II, p. 80—'114, Tableau primitif des triangles geeft van elk der 163 primaire driehoeken²) de koordenhoeken volgens tableau I, hun sluitfout (erreitr), de op '180° vereffende koordenhoeken, de log. sin. dezer laatste, de log. van de zijden {distances) der driehoeken en de lengten dier zijden in millimeters. Met deze zijden worden bedoeld: de koorden gereduceerd tot het oppervlak der zee (zie § 17).

De berekening der zijden geschiedde langs verschillende serieën van driehoeken, die op de oorspronkelijke kaart door gekleurde lijnen') zijn aangegeven. Wanneer eene zijde langs twee verschillende wegen berekend is, vermeldt Krayenhoff het verschil der uitkomsten in eene noot. Vergeten zijn hierbij de gemeenschappelijke zijden der driehoeken 13 en 14; 20 en 21 ; 137 en 144.

N⁰. III, p. 115—148, Tableau définitif des triangles, is het resultaat der vereffening van tableau II. Het bevat van eiken driehoek de spherische hoeken, het spherisch exces van iederen hoek (d. i. het verschil tusschen den spherisclien hoek en den koordenhoek), de koordenhoeken (angles rectüignes), de log. sin. dezer laatste, de log. der zijden (koorden gereduceerd tot het oppervlak der zee) en de zijden zelf in millimeters. Aan den voet der bladzijden wordt opgegeven hoeveel de lengte van elke zijde door de vereffening gewijzigd is.

In tableaux I, II en III zijn de hoeken in duizendsten van secunden en de log. in zeven decimalen berekend.

¹

') Vergeten zijn één hoek te Haarlem (voor driehoek n⁰. 6é), en één hoek te Pilsum (voor n⁰. 145). Daarentegen zijn wel opgegeven twee hoeken te Neuenhaus (station nⁿ. 63*) welke plaats in het driehoekennet niet voorkomt.

²

) Benevens driehoek n⁰. 31* (s' Hage Observatorium, Rotterdam en

9 ( ZZ f)

Behalve n^os. 1—163 en 31*, die ook in tableau II voorkomen, vindt men in III nog de driehoeken 79* en 156* van welke in I slechts ee'n hoek is gegeven, en nos. 135*, 143* en 143**, van welke geen enkelen hoek daarin voorkomt. Eenige toelichting ware hier niet overbodig geweest.¹)

N⁰. IV, p. 149 —174, Table alphahctique der breedten en lengten (oostelijk van Parijs) van alle primaire punten, berekend in vier decimalen van secunden, uitgaande van Delambre's resultaten

voor Duinkerken (p. 33) en met de afplatting en den aequator-

straal 6375737 M. (uitkomsten der internationale commissie te Parijs in 1799) Tome 3 van Base du systeme métrique, waarin Delambre aantoont dat het beter is om voor deze constanten 1

g en 6376523 M. aan te nemen, was te laat (Nov. 1810) verschenen dan dat Krayenhofif er nog gebruik van had kunnen maken.

Het tweede deel van dit tableau geeft voor elk primair punt de azimuts der omliggende stations.

N⁰. V, p. 175—202: Breedten en lengten ('ten opzichte van Amsterdam) der primaire punten in twee decimalen van secunden, de coördinaten (in palmen) ten opzichte van den meridiaan van Amsterdam en van den perpendiculair op 51° 30'. Daarna de azimuts als boven, maar in drie decimalen van secunden; vergeten zijn Varel

1

en Wangeroge. Dit tableau is berekend met de afplatting

en den aequatorstraal 6376950,4 M., en steunt op de breedte van Amsterdam en het azimut van Utrecht, zooals Krayenhoff zelf deze bepaald had.—

¹

vindt men alleen de hoek Sleen-Onstwedde-ter Apel, die bij de vereffening 22quot;,782 grooter is gemaakt.

Deze met een * onderscheiden driehoeken behooren niet tot het eigenlijke primaire net, en zijn alleen ten behoeve der topographie opgenomen. Wij zullen ze bij de volgende beschouwingen achterwege laten. Driehoeken met één gemeten hoek had Krayenhoff ook nog kunnen vormen aan de stations n^os- 38, 41, 57, 80, 84, 85. 92, 93, 95, 101 en 102.

10 (2 2/' j

Het Précis Historiquc is het laatste en belangrijkste geschrift'), dat Krayenhoff over zijne triangulatie in het licht gegeven heeft.

De beroemde Fransche graadmeting is door Delambre in zijn Base du Système Metrique (S tomes, Paris 1806, '1807, 1810) beschreven met eene uitvoerigheid zoo groot als nimmer voor of na hem is gedaan. Deze wijdloopigheid maakt zulk een werk bijna onleesbaar en is zeer onaangenaam voor hen, die alleen een overzicht van de methode en uitkomsten wenschen. Maar voor iemand, die van de meting eene studie wil maken, is het van onschatbare waarde, dat alle details der waarnemingen geboekt staan en dat alle formules en berekeningen volledig afgeleid zijn.

Krayenhoff zegt over de theorie zeer weinig; daarom is zijn werk alleen goed te begrijpen voor wie Delambre's geschriften kent. Maar ook de waarnemingen zijn door onzen landgenoot veel minder uitvoerig medegedeeld, en dit gemis is moeielijker te verhelpen.

Wij zouden gaarne in het P. H. gevonden hebben; Ie. eene nadere beschrijving der instrumenten en een onderzoek naar hunne nauwkeurigheid; 2e. eene beschrijving van de stations, de standplaatsen en hunne hoogten boven den grond en boven de zee; 3e. de uitkomst van elke serie van hoekwaarnemingen met opgave van de waarnemers, van de omstandigheden en van de redenen waarom zij later al of niet verworpen is; 4e. lijsten: van de sluitfouten der rondmetingen, der driehoeken, der log. sin. van de basisboeken der polygonen; van de absolute en betrekkelijke verschillen der uitkomsten langs twee wegen voor ée'ne zijde gevonden en van de verandering die elke hoek bij de vereffening onderging; 5e. eene beschbu-wing over de vereffening van den zuiderzee-vijfhoek; 6e. de waarden der breedte en lengtebogen tusschen 51quot; en 53^o50' van 10 tot 10'. Zonder deze lijst zijn de geographische plaatsberekeningen ongenietbaar.

Onderscheidene van deze lijsten kan de lezer zelf te zamen stellen, no. 1, 2 en 3 echter niet; no. 3 zou den omvang van het boek verdubbeld hebben. Mogen wij Krayenhoff hard vallen, dat hij dat alles uit zijn boek heeft weggelaten? Eigenlijk niet. Wees men

') Het is opmerkelijk, dat Cohen Stuart, Kaiser e. a. de werken hier onder 1°, 2^C en 3° beschreven geheel ignoreeren.

ii (zzy)

hem op het voorbeeld van Delambre, hij kon antwoorden, dat deze geleerde juist de eerste was die hem voor de wijze van bewerking van het P. H. lof toezwaaide. Ook de Nederlandsche beooordeelaars of besprekers hebben niet op uitvoeriger mededee-lingen aangedrongen. Is alzoo het P. H. onvolledig, dan moet men dit minder aan Krayenhoff dan aan zijne tijdgenooten wijten. In hunne oogen was het reeds eene ongewone verdienste, dat iemand details eener triangulatie bekend maakte. Onderscheidene belangrijke metingen uit de eerste dertig jaren dezer eeuw zijn nimmer gepubliceerd, hetzij de regeering dit tegenhield, hetzij er iets aan haperde en de auteur er niet recht mede gereed kon komen of zich niet aan de critiek der openbaarheid durfde wagen. Dit is het geval geweest met alle triangulaties, welke aan die van Krayenhoff aansluiten: Tranchot, Epailly, Erzey, Gauss.

Vrees voor het bekend worden van de details zijner meting, bestond bij Krayenhoff zeker niet. Als fransch officier was hij verplicht om een volledig afschrift zijner waarnemingen bij het Dépót de la guerre de France te deponeeren. Een tweede afschrift (copie collationnée de tous ses régistres d'operations et de calcul) gaf hij aan de Eerste klasse van het Kon. Instituut (thans Akademie van Wetenschappen) te Amsterdam. En den lO¹¹¹⁵quot; Nov. 1839 schonk de grijze generaal aan de Bibliotheek der Leidsche Hoogeschool het origineele Handschrift van zijne metingen. ^ Dit Leidsche exemplaar is het meest authentieke, het volledigste en het gemakkelijkst te verkrijgen. Het bestaat uit 9 deelen kl. octavo geodesische en 2 dln. kl. 8° astronomische waarnemingen. Verder: 2 dln. folio, bevattende de herleiding der hoeken tot het centrum, den horizon en de koorden; 1 dl. folio met de berekening der tableaux II en III; 1 dl. folio met de berekening der geographische l'gging ^van alle primaire punten (geschreven door de Gelder); 1 dl. folio berekening der breedte- en azimutwaarnemingen en 2 dln. folio bevattende de secundaire metingen met den sextant en den repetitiecirkel. Deze laatste twee deelen zijn in het Nederlandsch

') Zie Algem. Konst en Letterbode 1839^, blz. 433 en de bijlagen der „Levensbijzonderheden.quot; Het bibliotheeknummer dezer handschriften is Codex nquot;. 24.1.

geschreven en dragen den titel: Verzameling van Rondmctingen gedaan in Holland op 251 standplaatsen.

Het belangrijkste zijn de eerstgenoemde 9 deeltjes registers van de metingen. Zij zijn in het Fransch geschreven op gedrukte formulieren, die in chronologische orde te zamen zijn gevoegd, ieder jaar met een doorloopend folionummer, en de serieën, op elk station met eigen volgnummers. De jaargangen 1807, 1810 en 1811 bestaan ieder uit twee banden; die van 1808 zijn bij 1807 b ingebonden.

Als voorbeeld geven wij fol. 1 van 1803. Het niet gecursiveerde is gedrukt. De formulieren zijn ingericht voor 24 repetities, maar hun aantal klimt soms tot 30.

De formulieren zijn aan den achterkant onbeschreven, behalve dat bij elk station tegenover serie 1 de platte grond der standplaats (meestal een torenomgang) is ge-teekend en de gegevens voor het centreeren zijn opgegeven; tegenover serie 2 is een „luchtige teekeningquot; van den toren geplaatst met de hoogten van standplaats en spits boven den grond; tegenover serie 3 vindt men de zenithsafstanden der omliggende stations, bepaald door 2 of 4 repetities.

Ik geloof niet, dat dit de aanteekeningen zijn die Krayenhoff op de stations zelf en gedurende de waarnemingen gemaakt heeft. Dan zouden ze in het Nederlandsch gesteld zijn, de barometer- en thermometerstanden vermelden (zie blz. 221) en de Observations zouden niet zoo dikwijls luiden; Comme la précédente. Ook zullen de hier boven genoemde teekeningen wel oorspronkelijk op eigen bladen geschreven zijn. Aan jaargang 1802 ontbreken de waarnemingen op 5 stations Nos. 27, 29, 30, 31, 36, die later op nieuw bezocht zijn. Ook vele andere kleinigheden bevestigen dat vermoeden. Waarschijnlijk zijn de oorspronkelijke aanteekeningen ¹) eerst later,

') Waar of deze gebleven zijn? Onder de papieren van den generaal en

13 (ay)

misschien pas in 1811, door Krayenhoff vertaald. Deze vertaling is, op de genoemde bekortingen na, zeer getrouw geweest, en zoowel de slechte als de goede waarnemingen zijn opgenomen, ook zulke, die ieder als volkomen mislukt moest beschouwen en door Krayenhoff zelf terstond verworpen werden.

Ofschoon de Leidsche Bibliotheek deze manuscripten met alle gewenschte voorkomendheid ten gebruike geeft, zijn ze slechts door zeer weinige personen geraadpleegd. Cohen Stuart was in 1861 de eerste, die er eene studie van maakte,

Van groot belang zijn ook de twee laatstgenoemde foliodeelen. Op de meeste primaire stations werden door Krayenhoff secundaire metingen verricht. De eene kijker van den repetitiecirkel werd op een vast punt gericht en met den anderen kijker werden achtereenvolgens alle torens enz. van den omtrek opgenomen. Eén rondme-ting heeft meermalen betrekking op 100 tot 400 punten. Vele daarvan zijn op vrij onbepaalde wijze aangeduid, b. v. kloeke spits niet veraf — fraai geconfigureerde toren, 3 uren ver — enz.

Een belangrijk aantal, en daaronder juist de voornaamste dorpen en steden, zijn echter op ondubbelzinnige wijze aangeduid. Op elk station schijnt men in den regel slechts éénmaal deze rondmeting uitgevoerd te hebben. De nauwkeurigheid wordt door Krayenhoff (Précis p. 46) op minstens 20quot; a 30quot; geschat, en ik geloof dat zij in den regel grooter is. Daar in de rondmeting ook de primaire stations zijn opgenomen, kan men de ligging van een toren, die twee of meermalen ingesneden is, gemakkelijk berekenen. Zoo vond ik voor de lijn Leiden-Saaihal, tot Delft N. K., de lengte 18375 M. (log = 4,20423) en het azimut¹) 29^o24'30quot;; voor Zutphen tot Deventer 12777 (log = 4,10643) en 1G7⁰29'2quot;.

De nevensgaande staat geeft een overzicht van het aantal dezer metingen. Op 17 primaire stations (nos. 1 —12, 15, 64, 72, 87 en 100) zijn geen zulke waarnemingen verricht, op de overige 86 stations wel en op 11 in twee verschillende jaren. Verder zijn bezocht: in

dus thans nog in het bezit van zijne familie? Of zijn zij gedeponeerd in de Archieven van het Ministerie van Oorlog ? Dit laatste bezit zeker de berekeningen van tableau V.

') Daaruit volgt voor het azimut van Delft gezien uit de Sterrewacht te Leiden: 28⁰7'3^,,, terwijl Becker (Annalen II, S. 210) 27^o6'57quot;,50 vond.

(Z1

1801 Middelharnis, Goedereede, Arnhem en 's Hage observatorium; in 1803 Felix Meritis en Westerland; in 1805 Soest; in 1810 Gieten. De 300 folios bevatten zeker meer dan 10000 hoeken en het aantal secundaire punten, dat drie of meermalen is ingesneden, schat ik op minstens 500. 4

PRIMAIRE STATIONS.

Numero's

1

5 , 16, 17, 23, 34, 87.

18 ; 13, 14; 16—19; 21—24; 27—32; 35, 36.

13 | 39, 40, 41, 46, 47;.52—58; 65.

16 i 20, 25, 26, 33, 34, 37, 38, 42, 43, 44; 47-50; 59, 70.

22 44, 45, 49,50,51; 60-63; 65—71; 73—75; 77, 79_; 84.

13 | 76, 78; 80-83; 85, 86; 88—92.

10 j 93—99; 101, 102, 103.

97 !

In de Meetkunstige Beschrijving, blz. 7 noot, wordt over dit deel van Krayenhoff's werk gezegd: „Men heeft echter van deze metingen voor het vervolg geen nut kunnen trekken, daar in de registers de verschillende voorwerpen op eene te onbepaalde wijze zijn aangeduidquot;.. Een wonderlijk oppervlakkig en voorbarig oordeel! Uit de metingen van Krayenhoff is met betrekkelijk geringe moeite de ligging van een groot aantal punten met veel meer zekerheid af te leiden dan uit de fraaie tabellen der M. B. Aan de auteurs van dit laatste werk zal toch wel niet onbekend geweest zijn, dat die fraaiheid slechts een papieren kind is van een verwarden hoop meerendeels slechte waarnemingen.

Behalve de bovengenoemde rondmetingen met den repetitiecirkel, bevatten deze registers nog waarnemingen met den sextant op 157 standplaatsen, die te zamen 283 folios innemen. Verreweg het grootste deel hiervan is door Krayenhoff zelf in de jaren 1798— 1803 gemeten de folios 330 tot 400 behelzen waarnemingen met

') Namelijk van 18 Sept.—8 Dec. 1798 op 25 stations. In 1799 Maart 2, April 15, Mei 8, Juni 38, Juli 16, Aug. 2, tezamen 81 stations. In 1800 Febr. 3, Maart 2, April 9, Juli 2, Sept. 6, Oct. 1, te zamen 23 stations. De gegevens voor het centreeren zijn niet medegedeeld. De waarnemingen op zich zelf zijn ook meermalen tot 2' fout.

15 (Z*¹)

den sextant door den heer Fokker van Juli 1803 tot October 1804 in Zeeland gedaan. Deze sextantvvaarnemingen waren als verkenning voor Krayenhoff van groote waarde, maar zijn thans onnut wegens hunne geringe nauwkeurigheid.

De waarnemingen met den repetitiecirkel zijn geheel ongereduceerd¹) maar de gegevens voor het centreeren zijn overal vermeld. De standpunten waren doorgaans dezelfden als die voor de primaire hoekmetingen. Worden de waarnemingen gecentreerd, en daarna, hetzij op het praktische gevoel hetzij volgens de methode der kleinste quadraten, vereffend, dan zullen zij, totdat de nieuwe metingen van Prof. Schols voltooid zijn, den meest vertrouwbaren grondslag vormen voor de ligging der belangrijkste secundaire punten in ons vaderland.

§ 14. Over dc Geodesie en Astronomie in Nederland.

Tot rechte waardeering van Krayenhoff's onderneming, moeten wij een blik slaan op den toestand der astronomie en der geodesie in Nederland.

Wij hebben reeds vermeld (§ 1), dat in 1632 te Leiden, boven het Akademiegebouw, eene sterreivacht verrees. Maar gedurende twee eeuwen heeft zij voor de wetenschap bijna niets opgeleverd. De enkele kundige mannen, Lulofs en Calckoen, liet men het aan hulpmiddelen ontbreken, en op de tijden, dat de Regeering meer vrijgevig was, stonden aan het hoofd der sterrewacht onbekwame personen, die voor reusachtige sommen geld, totaal ongeschikte werktuigen en inrichtingen aanschaften. Toen de achtienjarige Frederik Kaiser in 182G te Leiden kwam, heeft hij elf jaren werkeloos moeten doorbrengen aangezien alle ruimte in het observatorium werd ingenomen door den beruchten reuzenteleskoop van Rienks, die door Ekama als een volmaakt werktuig was geroemd, omdat het mahoniehout, koper en staal zoo fraai van uiterlijk waren.

Kaiser maakte zich beroemd door waarnemingen over de komeet van H alley, die hij op de vliering van zijn eigen huis moest volbrengen.

In 1837 werd het observatorium eenigzins in orde gebracht en in 1861 zag Kaiser zijne onvermoeide werkzaamheid bekroond door

') Waarschijnlijk hebben zij loch wel dienst gedaan voor de berekening der geographische ligging van de secundaire punten in de geschriften 1 en 3 genoemd.

16

de voltooiing der nieuwe sterrewacht, de schoonste onder alle inrichtingen voor wetenschappelijk onderzoek, die ons land bezit.

In 1868 verscheen Band I van de „Annalen der Sternwarte in Leidenquot; welks inleiding eene uitvoerige geschiedenis van de sterre-kunde te Leiden behelst. In 1869 Band II, die uitsluitend gewijd is aan astronomische waarnemingen ten dienste der Europeesche Graadmeting. In 1872, zeer kort na Kaiser's dood, Band III, met zijne beroemde onderzoekingen over Airy's micrometer en over den physischen toestand van Mars. Ook de IV^e, tot nog toe laatste Band (1875) bevat waarnemingen onder zijne leiding aangevangen. Voor de geodesie zijn verder van belang onderscheidene lengtebepalingen, in den laatsten tijd te Leiden uitgevoerd.

Te Utrecht ¹) was in 1642 de Smeetoren (thans afgebroken, hij stond op den wal tegenover het sterrebosch) tot observatorium aangewezen. In 1680 werd dit wat opgeknapt, maar eerst na 1815 door Moll op eenigzins beteren voet gebracht. Van 1853—55 werd op het bolwerk Sonnenburgh eene nieuwe sterrewacht gebouwd: de eerste bruikbare inrichting van die soort in ons land. De student H. W. Schoeder van der Kolk bepaalde er in 1857/58 de breedte, maar daarna bleef zij weder vele jaren lang bijna onbenuttigd.

Ten tijde van Krayenhoff was te Utreeht de oude professor Hennert (1733—1813), een vruchtbaar schrijver, een verdienstelijk wiskundige maar geen waarnemer.

In de halve eeuw van Lulofs tot Kaiser was de eenigebeoefenaar der praktische sterrekunde J. F. Keyser (1766—1823, de oom en pleegvader van Frederik Kaiser), een privaatonderwijzer te Amsterdam.²) Uit zijne eigen geringe middelen verschafte hij zich, wat aan de akademiën ontbrak: bruikbare kijkers en uurwerken, en verrichtte daarmede wat aan de hoogescholen werd verzuimd.

Toen Krayenhoff optrad was van geene enkele plaats hier te lande de ligging bekend, en de sterrekundigen aan onze hoogescholen waren niet bekwaam om den genieofficier hierin te helpen.

') N. van der Monde, Beschrijving van Utrecht 1846, deel 3 blz. 328. Dodt van Flensburg. Geschiedkundig Archief 1843, II blz. 295.

^J) Levensbeschrijving door G. Moll in K. en Letterbode Juni 1824, blz. 354, 371, In 1802 bepaalde hij de lengte van Amsterdam, die vóór dien tijd nog 7¹/, minuut onzeker was,

17 (?3.gt;}

Door Stevin, Sncllius en Huygens was Nederland's roem op het gebied der exacte natuurwetenschappen ten top gestegen. In de volgende eeuw konden 'sGravesande en Muss ch enbroek, voor zoover de proefondervindelijke natuurkunde betreft, dien luister handhaven. Van 1095 tot 1705 bezat de Groninger Hoogeschool in Jean Bernoulli een van de grootste wiskundigen van zijn tijd. Hij werd echter verdacht van socianisme en nam de wijk naar zijn vaderstad Basel, waar hij tot 1748 werkzaam is gebleven. Hij was gezind om naar Leiden of Utrecht terug te keeren, maar men weigerde hem het reisgeld. Waren hij en zijn zoon Daniel (1700 — 1782) voor Nederland behouden gebleven, dan zou de wiskunde hier ook in de 18^e eeuw zijn blijven bloeien. De liefhebberij voor dit vak toch was onder alle standen zeer groot, maar zij moest zich bepalen tot de beginselen en het oppervlakkige, want bruikbaar onderwijs in de hoogere wiskunde werd vele jaren lang alleen door Hennert gegeven.

Toen J. H. van Swinden (1746—1823) te Leiden studeerde werd aldaar geen onderwijs in de wis- en sterrekunde gegeven. Van Swinden, de keurige en nauwkeurige, onvermoeide maar niet diepzinnige geleerde, was van I7G7 —1785 hoogleeraar in de wis-en natuurkunde te Franeker en daarna te Amsterdam, waar hij weldra de meest gevierde man van zijn tijd werd. Van Nov. 1798 tot Aug. 1799 bracht hij te Parijs door als lid van de internationale Commission des poids et mesures. Van Swinden berekende in dien tijd de geheele graadmeting van Me chain et Delambre, en bracht de eindverslagen over dit groote werk uit. Hij was dus, theoretisch ten minste, geheel vertrouwd met alles wat triangulatie betrof. Van hem ontving Krayenhoff aanmoediging, raad en inlichtingen. Voor het wiskundig gedeelte van zijn werk vond Krayenhoff verder steun bij Jacob de Geldcr(17C5—1848.) ^

') Levensschets van de Gelder, door Verdam in de Konst en Letterbode Dec. 1848 blz. 344, 355, 386.

De Gelder was privaatonderwijzer en verkeerde in vrij kommerlijke omstandigheden tot dat hij in 1819 hoogleeraar te Leiden werd. In 1803 werd hij bij de triangulatie van Krayenhoff aangesteld; in 1804 beklaagde hij zich bij de Regeering over de slechte uitbetaling van zijne bezoldiging en werd daarop ontslagen, maar in 1811 weder tot berekenaar benoemd. Het is moeielijk om uit te maken welk aandeel hij aan het werk van K ray en hoff

18 (zïtl I

Het zou van groot belang geweest zijn als Krayenhof zich eenigcn tijd bij Delambre in alle praktische details had kunnen bekwamen, maar hij kon het land niet verlaten en moest door eigen oefening de noodige vaardigheid verwerven. Want niemand hier te lande was met geodesische werkzaamheden vertrouwd. Sedert Snellius was in Nederland eigenlijk geen primaire triangulatie uitgevoerd. De verificatie van Musschenbroek stond beneden zijn tijd. Cassini III had wel een groot deel van België maar slechts enkele punten in Noord-Braband en Zeeland trigonometrisch bepaald ²)

heeft gehad. Verdam beweert: „dat in 1801 de zwarigheden van weten-schappelijken aard voor Krayenhoff onoverkomelijk waren, dat de triangulatie zonder de Gelder mislukt zou zijn en dat, ware de Gelder niet ontslagen, het werk reeds in 1804 voltooid had kunnen wezen.quot; Dit alles is zeer overdreven, ja onjuist. De Gelder had in 1801 een paar kleine verhandelingen over geodetische onderwerpen in het licht gegeven, die wel van weing beteekenis zijn, maar op grond waarvan wij wel mogen aannemen, dat hij toen beter dan Krayenhoff op de hoogte van de theorie was. Maar van Swinden en de werken van Delambre verschaften Krayenhoff toch nog betere inlichtingen. De Gelder week in het begin van Delambre's voorschriften af, en kwam daardoor tot minder juiste uitkomsten, gelijk hem door Zach terecht verweten is.

De Gelder schijnt zich meermalen over Krayenhoff beklaagd te hebben, maar wij moeten niet vergeten, dat hij met zeer vele menschen overhoop lag, b. v. met van Swinden en Schrüder, welke laatste hem zelfs van kwade trouw en onwaarheid moest beschuldigen.

De Gelder heeft Krayenhoff in 1802 bij de studie der werken van Delambre geholpen en was in datzelfde jaar zijn medewerker bij de metingen. Maar dit was niet genoeg om den wensch te rechtvaardigen, dat zijn naam nevens dien van Krayenhoff op den titel van het Précis zou staan. Krayenhoff heeft De Gelder herhaaldelijk (1803, 1812, 1839) met roem als zijn voornaamsten medewerker genoemd. Was dit te weinig?

De Gelder was een vaardig en ijverig rekenaar, maar voor geodesische berekeningen is meer geduld en oplettendheid dan talent noodig. De Gelder had op eene andere wijze zijn naam aan het groote werk kunnen verbinden, ' namelijk door er in 1827 de nieuw ontdekte methode der kl. Q. op toe te passen. Maar van eene poging daartoe heb ik niets kunnen vinden.

') Op deze metingen berust de groote kaart der Gostenrijksche Nederlanden samengesteld door Ferraris, die wel fraai uitgevoerd maar over het algemeen weinig vertrouwbaar was. Zie Mémoires de l'Acad. de Belgique 1843 t 16 en Bulletins Nov. 1856 p. 436

19 (iSS

Een behoorlijke kaart van Noord-Nederland bestond niet. Het wetgevend lichaam benoemde den Augustus 1798 eene commissie om daarin te voorzien. Deze wendde zich tot Krayenhoff, en men kwam overeen om uit een groot aantal Provinciale en Gemeentelijke kaarten e'én geheel samen te stellen op den schaal 1: 115200. Den 10lt;lon October 1798 werd Krayenhoff uitdrukkelijk hiermede belast. Maar de zaak bleek onmogelijk te zijn: de verschillende materialen sloten volstrekt niet.

Toen sloeg Krayenhoff zelf de hand aan het werk. In 1799 mat hij met een sextant een groot aantal hoeken op de voornaamste torens van Holland, Friesland, Groningen, Drenthe en langs de Zuiderzee. In Febr. 1800 mat hij over het ijs tusschen Monnikendam en Marken met een ketting een basis van 1500 Rh. Roeden (5650 M.) en leidde daaruit voor den afstand Amsterdam—Haarlem 4457,9 Rh. R. af.') In den zomer van 1800 bepaalde hij te Urk door zonswaarnemingen het azimut van Enkhuizen, Staveren, Lemmer en Kampen.

Met die nieuwe materialen vlotte de samenstelling der algemeene kaart beter. Maar in Nov. 1800 raadpleegde Krayenhoff van Swinden. Deze verklaarde hem de graadmeting van Delambre en Krayenhoff bemerkte daardoor hoe gebrekkig zijn eigen werk nog was. Met veel moeite wist hij de commissie bovengenoemd over te halen om hem tot eene meer nauwkeurige triangulatie te machtigen. Van Swinden had te Parijs op kosten van het Gouvernement een repetitiecirkel laten maken; deze werd thans ter beschikking van Krayenhoff gesteld. Hij had het instrument nimmer gezien, maar door vlijtige oefening was hij er weldra geheel mede vertrouwd, en in 1801 mat hij 21 driehoeken, die te Zierikzee aansloten bij het net van Perny. Den volgenden winter, bij de berekening, bleek echter het net van Perny onvertrouwbaar te wezen; daarom besloot Krayenhoff om ook dit te verwerpen en van de waarnemingen van Delambre te Duinkerken uit te gaan.

J. Perny de Villeneuve (geb, 17G5) was als sterrekundige

') Later, bij de definitieve triangulatie, vond Krayenhoff voor dezen afstand 16789_;3 M. = 4456,5 Rh. R., dus 1,4 roeden minder en niet 4 voeten gelijk Précis p. 3 staat. Over deze basis- en azimutmetingen is in de Leidsche manuscripten niets te vinden.

20 (23/1)

verbonden aan het observatorium te Parijs. In 1795 mat hij, op last der Fransche Regeering, van Duinkerken tot Zierikzee 22 driehoeken. In Aug. 179G deelde hij aan het Bataafsche Bewind het register zijner waarnemingen mede, en stelde voor om die op hunne kosten voort te zetten tot Texel. Dit aanbod werd van de hand gewezen, en men heeft later van Perny nooit meer iets over deze zaak vernomen. Daar in geen enkel Nederlandsch of Belgisch werk iets over zijne metingen medegedeeld is, bespreken wij ze hier wat nader. Zijn net telt:

22 hoekpunten (behalve Goes en Lier op de kaart aangegeven. Herenthals is niet identisch met Krayenhoff).

22 driehoeken (15 daarvan stemmen overeen met Krayenhoff nos. 3 —15; 18 en 19.)

G6 gemeten hoeken en 44 wederkeerige vizierstralen.

De 22 driehoeksvergelijkingen zijn prachtig; 17 sluiten op minder dan 1quot;, cn allen op minder dan 1quot;,5. De tour d'horizon te Assenede is 3G0^o0'3quot;,5. Maar hoe staat het met de zijdenvergelijkingen? De drie veelhoeken om Assenede, Hulst en Goes geven respectievelijk

_£ 233

een middelbare fout voor iederen hoek van — — . = 3 ,3;

,(4 69,4

718 „ 9f)8 _ „ ^

— 7 ,() en — 13 ,5. Over de beteekenis van e cn u

zie § 16.

De waarnemingen van Perny zijn dus minder nauwkeurig dan men van een leerling van Delambre mogt verwachten. Maar onder de triangulaties van de tweede helft der 18® eeuw maken zij toch altijd nog een goed figuur.

Uit nevensgaande tafel ^ ziet men dat het verschil met Krayenhoff bij één hoek tot 10quot;,5 klimt, maar in den regel beneden 5quot; blijft. Het verschil met de nieuwe triangulatie van Belgie (door Nerenburger in 1858 en volgende jaren) is nog geringer.

Krayenhoff kwam tot een veel ongunstiger oordeel. Plet valt terstond op, dat één driehoek (Hulst, Goes, Middelburg) niet gemeten is, maar men kan uit de omliggende driehoeken zijne zijden bere-

') Gedeeltelijk overgenomen uit Zach: Allgem. Geogr. Ephemeriden, 1799, Bd. 4 S. XXXII.

22 (zU j

kenen. Uit die zijden volgen hoeken, door welke de tour d' horizon te Goes meer dan 1' en die te Hulst 11quot; fout wordt. Met de hoeken zooals de tours d' horizon die vereischen, volgt daarentegen voor den afstand Hulst-Middelburg eene lengte, die 8 M. van de eerste berekening verschilt. Krayenhoff veronderstelde, geloof ik, dat Perny den genoemden driehoek met opzet verzweeg, en de overige hoeken zooveel flatteerde tot dat de driehoeksvergelijkingen prachtig sloten. Perny schijnt eiken hoek slechts eenmaal gemeten te hebben.

Hoe dit zijn moge: eene fransche Commissie had het werk van Perny goedgekeurd¹) Lalande en Zach roemden het; eerst Krayenhoff ontdekte de onregelmatigheden.

Nederland bezat dus op het gebied der hoogere geodesie niets dat bruikbaar was; alles moest nog gedaan worden. Gelukkig was Krayenhoff een man van meer dan gewone energie. Noch zijne aanvankelijke teleurstellingen, noch zijne overige drukke bezigheden als officier-ingenieur brachten zijn voornemen aan het wankelen.

In Mei 1802 begaf hij zich, met de Gelder, op weg. De eerste twee maanden was het weder ongunstig (harden wind,) maar de volgende drie werkte alles mede, zoodat in dezen zomer 31 stations bezocht en 39 driehoeken gemeten werden.

In Maart 1803 werd te Utrecht met den repetitiecirkel de breedte bepaald; in 1801 en 1802 was dit reeds te 's Hage gedaan. Onderscheidene sterrekundige waarnemingen (sterbedekkingen, eclipsen) werden verricht, maar zij waren voor de vaststelling der geographische lengte niet voldoende.

In Juni 1803 hervatte Krayenhoff de hoekmetingen te Haarlem, thans vergezeld door den oud-majoor der mineurs Huguenin, terwijl de Gelder te huis de berekeningen voortzette. In dit jaar werd het noodig om op sommige punten signalen te plaatsen, te Kijkduin, op de kerk te Harderwijk, te Lemelerberg, Imbosch en bij het Loo²). De laatste drie zijn eerst in 1805 en 1807 als

') Del ambre deelt mede (Précis p. XXII) dat deze Commissie toch eigenlijk het werk van Perny niet vertrouwde, maar er geen fout in kon vinden. Zoo weinig dacht men toen aan zijdenvergelijkingen.

^J) De signalen te Harikerberg en Hettenheuvel zijn opgericht in 1805, die te Uelsen en Robbezand in 1807.

23

standplaatsen gebruikt, maar Krayenhoff was blijkbaar op eene goede voortzetting bedacht.

De triangulatie was voor Krayenhoff minder een opdracht dan een vergunning: hij mocht ze uitvoeren, maar slechts in den tijd, die van den gewonen dienst voor het leger en den waterstaat overbleef. En daar deze dienst in den Napoleontischen tijd geen sinecure was, bleef er in 1804, 1806 en 1809 voor de metingen volstrekt geen tijd over. In 1808 werd alleen Utrecht op nieuw bezocht, maar in 1805 kon Krayenhoff drie maanden en in 1807 vijf maanden aan zijn werk besteden. Toen volgde eene lange pauze. Op 6 April 1810 vinden wij hem weder te Leiden en in die zelfde maand werden ook Gouda, Dordtrecht en 's Hage opnieuw¹) bezocht en driehoek n⁰. 31* gemeten. Den 22 Mei begonnen de metingen op het kasteel Ballum en den 14(ieii Oct. 1810 eindigden zij te Holwierda. Geheel Nederland, met uitzondering van Limburg, was met een driehoekennet overspannen.

Voor deze waarnemingen van 1810 en 1811 werd een kleinere repetitiecirkel gebruikt. ²) Moeten wij hieraan alleen de geringere nauwkeurigheid dezer waarnemingen toeschrijven, of was Krayenhoff's vaardigheid door de lange rust en door de bange dagen, die hij als minister had doorleefd, verminderd?

Den 31 Jan. 1811 ontving Krayenhoff aanschrijving om zijne triangulatie voort te zetten over Oost-Friesland, totdat zij aansloot bij de hannoveraansche driehoeksmeting van Epailly. Eene vroegere aansluiting met deze was driehoek n⁰. 92.

Den 24^eu Juni was Krayenhoff te Leer, den 10 Aug. te Westerstede, het laatste station. Hij bracht vervolgens een geruimen

') Ik weet niet wat de reden van die herhalingen is geweest. De waarnemingen van Juni 1802 geschiedden (gelijk uit de manuscripten der secundaire metingen blijkt) op de zelfde standpunten, en waren niet slechter dan die van 1810. De waarnemingen van Leiden in driehoek n⁰. 43 zijn in 1810 geheel mislukt en moesten door die van 15 Juni 1802 vervangen worden (Précis p. 89; Registers 1810, fol. 21*) In het Précis is ^ Leiden in n⁰. 54 slechts 0quot;.130 en Utrecht in n⁰. 57, 0quot;,459 kleiner aangenomen, dan uit de waarnemingen van 1802 (zie de Verhandeling op blz. 220 genoemd) was afgeleid.

^!) Het is niet zeker of Krayenhoff in 1810 in Zuid-holland den grooten of den kleinen repetitiecirkel gebruikt heeft. Er was ruimte genoeg voor den grooten maar mogelijk wilde hij zich op bekend terrein oefenen in het gebruik van den kleinen.

24 (Z^oj

tijd te Jevcr door, ten einde in het kasteel aldaar de breedte en het azimut van Varel te bepalen. Den V¹¹â„¢ September waren ook deze waarnemingen afgeloopen. Op de terugreis mat hij nog enkele hoeken te Midwolde en Uithuizermeden, en het groote werk was verricht. De laatste waarneming is van 13 Sept. 1811 te 2 ure.

De Gelder en anderen waren ondertusschen met de berekeningen bezig. Ook Krayenhóff zelf hielp hieraan mede zoo dikwijls hij een uur vrij had.

In het laatst van 1811 werd Krayenhóff door Napoleon naar Parijs geroepen om zitting te nemen in het Comité van Fortificatiën, hetgeen hem echter zoo weinig drukte gaf, dat hij de manuscripten zijner waarnemingen en berekeningen kon ordenen en overschrijven, en daarbij het Précis Historique opstellen.

Den llden Mei 1812 was hij in Nederland terug; „dadelijk aanvaardde hij zijne rivier-werkzaamheden en bemoeide zich wijders met niets anders.quot; In het voorjaar van 1813 schreef hij de Topogra-phische waarnemingen (zie blz, 222) en in 1815 werd het Précis gedrukt. Maar Krayenhóff beschouwde zijne geodesische studiën als afgeloopen. 24 Nov. 1813 werd hij weder Gouverneur van Amsterdam en den 20 Sept. 1814 begonnen zijne werkzaamheden voor den aanleg eener rij van vestingen langs de zuidelijke frontieren van Belgie, welke 12 jaren lang bijna al zijn tijd in beslag namen en hem ten slotte veel verdriet veroorzaakten.

Zelden of nooit is eene triangulatie van den eersten rang onder zoo ongunstige omstandigheden uitgevoerd als door Krayenhóff. Het zou voor de geodesie van Nederland zeker veel beter geweest zijn, als hij minder overhoopt met werkzaamheden ware geweest. Hieraan zal ook wel toegeschreven moeten worden, dat de secundaire metingen onvoltooid en grootendeels ongebruikt bleven liggen en Nederland aldus verstoken is van de eer om het eerste land zijn, waar eene nauwkeurige secundaire triangulatie bestond. Maar er behoorde reeds ongewone werkkracht toe om de primaire waarnemingen, hoe dikwijls ook afgebroken, telkens weder op te nemen, in afwachting, dat een nieuwe order hem naar de militaire bureaux terug riep. ¹)

¹

) In de Levensbijzonderheden, blz. 5G vertelt Krayenhóff zelf uit het

In dc „Levensbijzonderhedenquot; vindt men bijna geen opmerkingen over het geodesische werk. Toch zal het ook Krayenhoff wel niet aan allerlei tegenspoeden en onaangenaamheden ontbroken hebben. ¹)

Eene eigenlijke verkenning schijnt aan de metingen niet vooraf gegaan te zijn, maar door de reizen en sextantwaarncmingen van 1799 was Krayenhoff met het terrein nauwkeurig bekend geworden. Slechts enkele malen werden stations bezocht, die later voor de voortzetting ongeschikt bleken te zijn, ²) nl. in 1803 Westerland (zie blz. 221,) en in 1807 Neuenhaus, dat door Uelsen is vervangen. Nu en dan zijn ook hoeken gemeten, die later overbodig bleken; zoo werd van uit Leeuwarden en Dokkum op Holwerd en Nes (Ameland) gericht.

De volgende lijst geeft een overzicht van de geodesische werkzaamheden, voorzoover die in de registers (blz. 228) zijn beschreven. Onder het aantal serieën zijn ook medegeteld die voor de later verworpen hoeken en die betreffende de kimduiking te Middelburg en Loo verricht.

Tweemalen bezocht zijn: in 1803 en 1807: n⁰. 55 (in het laatste jaar 2 hoeken), nⁿ. 56 (2 hoeken) en n⁰. G5 (2 hoeken); in 1805 en 1807: n⁰. 59 (2 hoeken); in 1807 en 1810: nⁿ. 79 (2 hoeken) en n⁰. 84 (2 hoeken); in 1810 en 1811 n⁰. 89 (2 hoeken) en n⁰. 91 (3 hoeken) benevens in 1802 en 1810: n⁰. 28 (een hoek voor driehoek n⁰. 31*.)

jaar 1806: In de afgesnipperde oogenblikken, als de koning hem niet noodig had, werkte hij in de kamer der aides de camp aan de berekening der

geodesische en astronomische waarnemingen..... Zijne goede orde en zeer

gemakkelijke wijze om zaken te behandelen, voorkwamen zoowel de wanorde, als de moedeloosheid, welke zoovele bezigheden wellicht zouden hebben kunnen verwekken.

') Geodeten uit dien tijd waren daartegen gehard. Epailly campeerde aan den voet zijner signalen en leefde van de jacht. Welk een verschil met Gauss, die steeds over slechte reisgelegenheid, slecht logies en slechte madeira klaagde!

^J) In dit opzicht staat Krayenhoff boven Gauss. Het primaire net van den laatste telt 38 stations, 54 driehoeken en 85 richtingen, waarvan respectievelijk 12, 28 en 35 onbruikbaar of onnoodig bleken te zijn.

Verder weten wij uit de verhandeling van het jaar 1804 (zie blz. 2^0) en uit de registers der secundaire metingen, dat in 1801 reeds de stations n^. 16, 17, 23, 34-, en 37 en in 1802 behalve de genoemde ook nⁿ. 27, 29, 30, 31 en 36 zijn bezocht. Uit de kaart van 1804 zou volgen, dat in 1803 bovendien op de stations n°^s. 20, 25, 33, 34, 37, 38, 42, 43, 47, 48, 5⁽.) en 60, 67, 68, 69 en 71* gemeten is, maar de secundaire metingen bevestigen dit vermoeden alleen voor n⁰. 47.

/

27 (itj)

Dc stations zijn bezocht in de tijdsorde: 35, 32, 21, 16, 13, 23, 24, 19, 18, 14, 12, 6, 1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 7, 11, 10, 15, 17, 22, 28, — 39, 40, 41, 52, 53, 65, 66quot;, 55, 56, 57, 54, 58,46.- 42, 47, 59, 48, 43, 37, 33, 20, 25, 34, 26, 28. — 44, 50,49,45,51, 61, 62, 64, 63*, 63, 84,-60; 70, 69, 68, 72, 56, 55, 66, 65, 71, 73, 77, 79, 74, 67, 75, 59. — 36. — 30, 31, 29, 27,* 28, 78, 76, 81, 79, 80, 82, 83, ter Apel, 87; Gieten, 84, 88, 92, 89, 85, 86, 91, 90. — 95, 96, 94, 93, 98. 99, 101,97, 102, 103, 100,91 en 89.

Meer bijzonderheden over de wijze waarop de triangulatie van Krayenhoff tot stand kwam, heb ik niet kunnen vinden. Zijn werk is voor ons land van onschatbare waarde geweest, en er zullen nog vele jaren moeten verloopen, vóór het door eene betere driehoeksmeting is vervangen. Als het eerste voorbeeld eener nauwkeurige en behoorlijk vereffende triangulatie van een geheel land, zal het ten alle tijde eene geschiedkundige merkwaardigheid blijven.

Dc aanleiding tot Krayenhoff's werk was de behoefte aan eene goede kaart van Nederland. Die kaart is ook werkelijk tot stand gekomen, en werd te harer tijd zeer geroemd. Ook de latere voortbrengselen van onze beroemde Topographische Inrichting ('zie dit Tijdschrift 1886 blz. 1,) zooals de stafkaart, strookkaart, waterstaats-kaart, rivierkaart, steunen op de triangulatie van Krayenhoff. Evenzoo de talrijke opnemingen der zeekusten door officieren onzer Marine uitgevoerd. In dit opzicht heeft Krayenhoff zijn doel volkomen bereikt. Maar zijn andere hoogere wensch is eene illusie gebleven. Hij had gehoopt eene bijdrage te leveren tot dc kennis van de gedaante der aarde, en door zijne waarnemingen een verband te brengen tusschen de driehoeksketen van Delambre en latere metingen in Noord-Duitschland (Précis, p. 4, 5). Maar tot dat doel is zijn werk nimmer ¹) benuttigd: wij gelooven ten onrechte.

De met opzet overdreven ongunstige voorstelling, die Gauss in 1826 van Krayenhoff's hoekmetingen gaf, heeft Schmidt, Airy.

') Generaal Muffling berekende den afstand van Duinkerken tot Seeberg uit 48 driehoeken, waaronder 19 van Krayenhoff zouden geweest zijn. Zie Astronomische Nachriehten 1823, Bd. 2 S. 33, en dit Tijdschrift, 1889 bladz. 163.

{Het vervolg, de lijst der stations en de kaart van het net in de §e Aflevering).

Bess el, Clarke e. a. teruggehouden om ze bij hunne berekeningen van de grootte en gedaante der aarde te gebruiken. Daarbij kwam, dat de metingen van Jever tot Hamburg door Gauss verricht, nimmer gepubliceerd zijn, en Jever dus een eindstation bleef.

Wel werd door het net van Krayenhoff de meridiaan van Delambre met 2° 32' verlengd, maar de voortzetting over het kanaal tot aan de Schotsche eilanden bedroeg ten slotte nog 7° meer, en was in alle opzichten verkieselijker.

Over hetgeen na Krayenhoff in Nederland op het gebied der hoogere geodesie is tot stand gekomen, spreken wij later uitvoerig.

OVERZICHT VAN DE GRAADMETINGEN IN NEDERLAND

DOÜU

Dr. J. D. van der Plaats.

(Vervolg Dan blz. 243)

Inhoud.

§ 15. Over de triangulatiëu in het buitenland vóór Krayenhoff. — 16. Statistiek van het net van Krayenhoff. — 17. Instrumenten en waarnemingsmethoden. — IS. Astronomische uitkomsten. — 19. De berekening. — 20. De vereffening. — 21. Geschriften en critieken over Krayenhoff. — 22. De veroordeeling door Cohen Stuart en Kaiser. — 23. Slotsom. — 24. Trian-gulatiën, die steunen op het net van Krayenhoff.

§ 15. Over de Triangnlati'én in het Buitenland vóór Krayenhoff.

Gemma Frisius had in 1533 het geniale denkbeeld uitgesproken om door hoekmetingen de betrekkelijke ligging der hoofdpunten van een land te bepalen. De landmeters hadden reeds geruimen tijd van deze methode gebruik gemaakt, toen Snellius ze op grooten schaal toepaste. Snellius benuttigde de triangulatie tot eene graadmeting, d. w. z. hij bepaalde poolshoogten en azimut. Ook vereffende hij empirisch driehoeks- en zijdenvergelijkingen. Zijne waarnemingen bezitten de nauwkeurigheid, die in zijn tijd bereikbaar was; deze bedroeg ongeveer: voor de bases 1/2000; voor de hoeken der driehoeken 2'; voor de poolshoogten 1'.

De eerstvolgende stap verrichtte Picard. Hij voorzag den quadrant met verrekijkers en deze met kruisdraden. Zijne uitkomst voor de lengte van 1° bleef geruimen tijd geldig; „par un bonheur qu'il méritait son dégré était juste a 1/4000 pres (Delambre)quot;.

Maar nauwelijks was op deze wijze de grootte der aarde vrij goed bepaald, of men begon te disputeeren over hare gedaante. Deze questie werd beslist door de metingen der Fransche commissiën in Lapland en Peru. Terzelfder tijd (1739/40) volbracht Lacaille eene tijnschriiir kadaster 1889. 17

30 (2 id*)

graadmeting van Duinkerken tot Perpignan (8^o20 10 boog.) Delambre, welke deze laatste meting zorgvuldig heeft bestudeerd, beschouwt ze als de beste, die vóór 1780 is verricht. Lacaille was trouwens een uitstekend waarnemer, alle toenmalige hulpmidden stonden hem ten dienste; zijne driehoeken betroffen punten, waar vroeger reeds een of twee malen gemeten was. Zijne uitkomsten geven dus den maatstaf van hetgeen in het midden der vorige eeuw bereikbaar was. Welnu: de sluitfouten van 14 rondmetingen verschillen van — 77 tot 28quot;, en zijn gemiddeld 33quot;; die van 129 driehoeken zijn te zamen 1G98quot;,5 of gemiddeld 13quot;,2 en variëeren van — 41quot; tot 43'. De bases werden gemeten met 4 ijzeren staven van 5 meters lengte en later nagemeten door Bouguer en Lemonnier met houten latten van 8—14 meters. De verschillende bedroegen tot 1/15000. Men mat tot 1 KM per uur, maar verzuimde ook bijna alle voorzorgen, die tegenwoordig voor onvermijdelijk gerekend worden.

Een nieuw tijdperk begint met het jaar 1787. De Engelsche generaal Roy begon in dat jaar de primaire triangulatie van het Britsche Rijk, die eerst in 1858 onder Clarke en James is voltooid. De eerste metingen dienden tot verbinding van Dover en Fairlight met de Fransche kust, en terzelfder tijd maten Cassini, Méchain et Legendre een reeks driehoeken van Duinkerken tot over het kanaal, om zoo een geodesisch verband tusschen de observatoria van Greenwich en Parijs te brengen.

Deze meting van 1787, ofschoon van geringen omvang, was uiterst gewichtig in de gevolgen, wat instrumenten en rekenwijzen betreft.

Roy had door Ramsden een theodoliet laten vervaardigen, die tot 1858 in Engeland gebruikt is. Het was een reusachtig instrument van 1 M. middellijn, 100 K.G. zwaar, dat op een eigen wagen vervoerd moest worden. De aflezing geschiedde door 4 mikroskopen, welke echter zeer dikwijls ontregeld waren en veel getob gaven. De verdeelingsfoutcn waren voor dien tijd ongehoord klein; ééne waarneming was slechts it 2quot; onzeker. De reïteratiemethode werd beproefd, maar als te tijdroovend verworpen. Roy mat zijne bases met een zorgvuldig gecalibreerden stalen ketting.

Geheel anders waren de werktuigen der fransche geleerden. Borda had, voortbouwend op een denkbeeld van Tobias Mayer, den repetitie cirkel uitgevonden, en het eerste instrument van deze

31 flSJ j

soort werd door Cassini cn Lcgendre gebruikt. Het voldeed uitnemend. Méchain had evenveel tijd noodig voor ééne waarneming met zijn quadrant van 80 c.M. radius, als zij voor éene serie van 20 repetities. De quadranten, wier excentriciteit, verdcelingsfouten en asymmetrischen bouw allicht ecne onzekerheid van 10quot; overlieten, zijn sedert dan ook voor geodesische waarnemingen niet meer gebruikt.

De grootere nauwkeurigheid der waarnemingen had recht op meer verfijnde rekenwijzen. De fransche geleerden begonnen het spherisch exces in hunne berekeningen op te nemen en Legendre ontdekte zijn beroemd theorema.

In 1792 begon de graadmeting van Me'chain et Delambre. Wegens hare groote lengte, de zorgvuldigheid en nauwkeurigheid der uitvoering en berekening en de volledigheid waarmede zij is gepubliceerd, zal dit werk ten allen tijde een historisch gedenkstuk blijven. Het staat ongeveer evenveel boven de meting van Lacaille als deze boven die van Snellius. Men mag betwijfelen of een zoo belangrijke vooruitgang voor de derde maal mogelijk zal wezen.

Delambre mat twee bases: één bij Perpignan van 1170G,4 M, lengte en één bij Melun (10 uren zuid van Parijs) 11832,4 M. lang. Het basisapparaat was uitgedacht door Borda. De vier meetstaven bestonden uit een onveranderlijk materiaal, namelijk platina. Men plaatste ze op een kleinen afstand vóór elkander omdat bij alle vroegere metingen de achterste staaf door het aanleggen der volgende een weinig terug gestooten werd. Er werd voor het eerst zorgvuldig rekening gehouden met de temperatuur, de uitzetting en de helling der staven. De eindpunten der bases werden duurzaam vastgelegd. Daar elke basis slechts ééns gemeten is, weet men niet heel goed welke nauwkeurigheid bereikt is. Delambre schat ze op 1/200 000ste.

Voor alle hoekmetingen, zoowel geodesische als astronomische, werd van repetitiecirkels gebruik gemaakt. De nauwkeurigheid bedroeg omstreeks 1quot;, dat is nog iets beter dan Roy met den grooten theodoliet. De azimuts rekent Delambre op minstens Gquot; nauwkeurig, Voor het herleiden der hoeken tot den horizon cn tot de koorden gaf Delambre geschikte tafels. Ten opzichte van het centreeren nam hij eene zorgvuldigheid in acht, welke die der vroegere waarnemers verre overtrof. Hij verbond aan de graadmeting een trigonometrisch nivellement en reduceerde alle zijden tot het oppervlak der zee.

In 1799 waren dc waarnemingen voltooid. De Internationale Commissie (rapporteur Van Swinden, zie blz. 233) onderwierp het geheel aan een vrij zorgvuldig onderzoek. Zij nam als vasten regel aan om voor eiken hoek het rekenkunstig gemiddelde te nemen van alle serieën, zonder cenige voorkeur toe te laten, en de sluitfout van een driehoek gelijkelijk over de drie hoeken te verdeelen. Slechts voor drie hoeken (te Forêt, Vouzon en Cullan), moest zij om bijzondere redenen hiervan afwijken.

De Commissie berekende uit de waarnemingen, die Delambre en Me'chain haar mededeelden: voor den afstand der parallellen van Duinkerken en Montjouy 551584,72 toises; voor het verschil in breedte 9^o40'25quot;,GS en voor de gemiddelde breedte 46⁰11'58quot;. Zij combineerde deze waarden met de uitkomsten van Bouguer in Peru, en kwam zoo tot de afplatting P= 1/334 en het vierdedeel van een meridiaan Q = 5130740/. Dc Commissie besloot dus omdenmeter = 0,513074/ = 443,290 Parijschc lijnen te maken.

Deze uitkomsten mogen echter alleen als voorloopige beschouwd w,orden. De Commissie had niet den tijd gehad om alle astronomische waarnemingen nauwkeurig te berekenen. Ook had Méchain een groot aantal serieën verzwegen welke eerst na zijn dood aan Delambre bekend werden. Daartoe behoorden de breedte bepalingen te Barcelona, welke tot Montjouy gereduceerd 3quot;,24 grootere poolshoogte gaven, dan de waarnemingen te Montjouy zelf. Delambre nam het gemiddelde. Volgens hem is het verschil in breedte 9^C40 22quot;,62, de

O O

gemiddelde breedte 46⁰11'5Gquot;,27 en de afstand der parallellen 551583,6/. Daaruit volgt Q = 5132100 — 320604 P -1- 4383333P² toises. Voor de bepaling van P maakte ook Delambre van de Peruaansche graadmeting gebruik, maar hij berekende ze eerst opnieuw, en kwam zoo tot P = 0,00324 en Q = 5131111,1/. De meter had dus 443,328 p. I. lang moeten zijn ¹). Dit zijn de ware uitlcomsten der Fransche graadmeting. Uit de voortzetting der meting tot Greenwich en Formentera verkreeg Delambre natuurlijk weder andere uitkomsten, n.1. Q —- 10000000 X 443,32 /./., maar hij kon niet weten.

!) Delambre verklaart (Base du système métrique III, 103): „pour ne parditre pas affecter une précision a laquelle nous ne pouvons encore prétendre, j'avais proposé ö, la commission de sen tenir au nombre rond de 44-3,3 lignes.quot;

33 (z6')

dat dc afstand tot Formentera 130 M. tc klein berekend was. Dit is eerst in 1836 door Puissant bemerkt.

Krayenhoff gebruikte (zie blz. 225) voor dc berekening van tableau IV de uitkomsten van Van Swinden, voor tableau V de afplatting van Puissant na verbetering van een kleine fout daarin.

Van de nieuwere berekeningen over de grootte en gedaante der aarde zijn vooral die van Bessel (1837 en 1841) en Clarke (1856, 1858, 1860, 1863, 1866 en 1880) belangrijk. De eerste gebruikte 10 graadmetingen, te zamen 50^o34 24quot; lang. Zijne laatste uitkomsten (gepubliceerd Astronomische Nachrichten 1841, Bd 19 S. 116) zijn in Duitschland algemeen aangenomen, en men heeft talrijke tafels daarnaar vervaardigd. Ook Cohen Stuart, Kaiser en Schols hebben daarvan gebruik gemaakt.

Clarke kon over veel betere gegevens dan Bessel beschikken. Hij verwierp de Hannoveraansche en Deensche metingen als onnauwkeurig, de Oostpruisische en Zweedsche als tc klein. Zoo bleven er 6 breedte-graadmetingen over, te zamen 78⁰58' lang, benevens de 10^o28' lange parallel van Engelsch Indic. Zijne laatste berekening is gepubliceerd in een afzonderlijk werk: Geodesy. Oxford 1880. Een omwentelingsellipsoïde is bepaald door twee gegevens. Noemen wij

a — b

a — aequatorstraal; h — halve as der aarde; p ~ ——— ; c^L — lp—/²,

dan is op de breedte B de kromtestraal van den meridiaan =: a (1 — c-) _ 8

X (1 — cquot;- Sin² B) ² en de straal van den parallelcirkel — a (1 -- c-

Sin² B) Cos B. Hieruit volgt');({ — \ n. a (1 — \ p t's¹ P' s¹^/³) en verder vind ik dat op de gemiddelde breedte B

xquot; breedte =a{\ — \p p- -f- 35 p') bgxquot;

-}- a (— -I p /j p*) Sin xquot;. Cos 2 B

-t- a (4- H /² irl f) Sin 2 xquot;. Cos 4 B a (—- quot;2 Z³) Sin 3 xquot;. Cos 6 B 1quot; lengte = a. bg 1quot; [ (1 i ^ 4- tj P' rb Z³) Cos B (— i/ — h p- — ri» /³) Cos 3 B ( A P¹ t'A f) Cos 5 B (— p*) Cos 7 B]

De termen met /³ zijn reeds onmerkbaar klein.

De vijf bovengenoemde berekeningen geven dus:

■) Men ontwikkele de gebroken macht in een reeks, vervangt Sin B door Cos; Cosu B door Cos. der veelvouden van B, en eindelijk e door p. Voor

34

De uitkomsten van Clarke zijn zonder twijfel de meest juiste, en er is geen enkele reden waarom men vooral voor de tropische gewesten aan de constanten van Bessel zou blijven vasthouden. Maar voor een bepaalde landstreek is het geheel onzeker, welke waarden van 1quot; breedte en lengte men moet aannemen. De geoide (d. w. z. het zeeoppervlak, voortgezet onder het vaste land) toch is volstrekt geen regelmatige ellipsoïde. Legendre, Delambre en Laplace hebben nadrukkelijk verklaard, dat de poolshoogten en azimuts onregelmatigheden vertoonen, die grooter zijn dan de waarnemingsfouten.

de eerste vergelijking moet men bovendien integreeren van B — {. xquot; tot B -4- !r.rquot;.

Deze formules met p zijn wel zoo gemakkelijk als de gewone met cquot;-. Men bemerkt aanstonds: 1° dat Krayenhoff in Topographische waarnemingen blz. 63 de term Cos 4 B met het verkeerde teeken gebruikt heeft; 2° dat Listing in GOttingische Nachrichten 1873 s. 49 geheel onjuiste cijfers geeft en 3° dat bij Bessel de coëfficiënten van Cos 4 B en Cos 6 B iout zijn. De laatste fout is in 1876 reeds door Jordan aangegeven : „der falsche Coefficient von 4B, welcher sehr schadlich ist, kan nur durch sehr weitgreifende Nach-rechnung gefunden werden.quot; Het schijnt wel, dat men in alle werken over geodesie en aanverwante onderwerpen rekenfouten kan opsporen en niet zelden betreffen deze hoofdzaken. Ik heb dan ook geen onbepaald vertrouwen op de geographische coördinaten van Krayenhoff noch op de oudere tafels berekend met de Besselsche constanten.

35

Dc latere onderzoekers zijn allen tot dezelfde slotsom gekomen. Tegenwoordig is het doel der hoogere geodesie niet meer om dc ellipsoïde te vinden, die het best aan de waarnemingen voldoet, maar om de verschillen te zoeken tusschen de geoïde en eene ellipsoïde. Voor dit doel kan het vrij onverschillig wezen, welke afmetingen men aan die vergelijkingsellipsoïde geeft. Doch het is opmerkelijk, dat men in plaats van ronde getallen te gebruiken, nog altijd de constanten van Bessel met hun sleep van vier onnutte decimalen ') ten grondslag legt.

Krayenhoff heeft zooveel mogelijk Delambre nagevolgd. Hij kon werkelijk niet beter doen. Wat instrumenten aangaat, kon de keus niet moeilijk zijn. Een groote theodoliet, als die van Roy, kon op de meeste zijner stations niet opgesteld worden. Daarbij was Ramsden wel een geniaal kunstenaar, maar een slecht leverancier, die soms tien jaren en langer op zijn werk liet wachten, gelijk Cassini had ondervonden. Een repetitiecirkel daarentegen lag ter beschikking van Krayenhoff (zie blz. 235). Dit instrument was minstens even nauwkeurig als de reuzentheodoliet en veel gemakkelijker in de behandeling.

Bij de reductie der astronomische en geodesische waarnemingen heeft Krayenhoff zich strikt aan de voorschriften en tafels van Delambre gehouden. Maar bij de vereffening moest hij zijn eigen weg zoeken, want Delambre heeft alleen¹) op driehoeksvergelijkingen gelet. Krayenhoff vond eene vereffeningsmethode uit, zoo volledig en elegant, dat alleen de methode der kl. Ou. iets beters kon geven. Dit is niet

¹

) Delambre en Méchain hebben ieder op vier plaatsen den tour d'horizon gemeten. Die te Parijs en te Montjouy zijn zeer onzeker. Van de overige zes geeft de volgende lijst: het nummer en de naam van het station, het aantal hoeken ( ); de sluitfout der directe meting en die na de vereffening.

3G (iM '

zijn geringste verdienste, maar men heeft ze tot nog toe niet op den voorgrond geplaatst.

Men mocht van Krayenhoff niet eischen of hopen, dat zijne waarnemingen eene grootere nauwkeurigheid zouden bezitten dan twee zulke uitnemende waarnemers, als Delambre en vooral Méchain waren, verkregen hadden. Ter wille van de vergelijking zullen wij dus nagaan welke nauwkeurigheid bij de fransche graadmeting is bereikt, maar daar men hierover bij Jordan e. a. slechts onvolledige of onjuiste opgaven vindt, moeten wij in eenige bijzonderheden treden.

De keten van Duinkerken tot Montjouy telt 115 driehoeken. N^os. 1 — 89 zijn door Delambre gemeten (daaronder hebben drie en twintig (de n⁰⁹. 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 15, 16, 22, 34,37,40,46,50,51, 57, 59, 60, 61, 62, 67 en 68) één geconcludeerden hoek; acht (n^os. 19, 20, 21, 29, 32, 33, 45 en 63) zijn overtollig en twee (n^os. 23, 58) zijn onzeker. Wij laten dus 33 driehoeken (waarvan alleen n^os. 15, 16 en 57 tot de primaire behooren) weg, en houden 56 over. In de 26 primaire driehoeken van Méchain (n^os. 90 —115) zijn alle hoeken gemeten. De volgende lijst geeft een overzicht van de sluitfouten;

_r som (sluitfouten) ² . De middelbare fout van één hoek = y 3 x aantal drieh— ^

37

_ , , , 184,9382 „ 74,7053

Delambre = |/ —-^gg— ⁼ 1 .05; bij Méchain — [/ —^— ⁼ O ,98

259,6435

Te zamen 1/ -— — 1 .03. Wij hadden dus recht om boven

voor de nauwkeurigheid der hoekmetingen omstreeks 1quot; aan te nemen.

Het verschil tusschen Delambre en Méchain ^l) is gering, en men zou dus verwachten, dat de beide helften dezer meting in nauwkeurigheid ongeveer gelijk staan. Maar in de laatste jaren is onder leiding van Perrier de geheele meridiaan op nieuw gemeten. Over de uitkomsten is reeds medegedeeld (Comptes Rendus de 1'Académie, 1889, t. 108 p. 125) dat de uitkomsten van Méchain verrassend nauwkeurig zijn (de verschillen met de nieuwe meting bedragen nog niet 1/100 000), terwijl die van Delambre 1/14000 in positieven en 1/22000 in negatieven zin afwijken. Wij besluiten hieruit:

1° dat de nauwkeurigheid eener triangulatie met zekerheid alleen is te beoordeelen als men ze vergelijken kan met latere waarnemingen van ontwijfelbaar grootere juistheid. Voor het net van Krayenhoff bestaan dezulke nog niet.

2° dat een verstandige keuze tusschen de verschillende waarnemingen derzelfde grootheid een veel beter resultaat kan geven dan het strenge mathematische gemiddelde.

§ 16. Statistiek van het Net van Krayenhoff.

Wij laten bij de volgende beschouwingen buiten rekening: de sta-

') Er is nog dit verschil, dat Delambre met de grootst mogelijke eerlijkheid al zijne waarnemingen mededeelde, terwijl Méchain een belangrijk aantal verzweeg. Delambre was niet bepaald afkeerig van uitkiezen (ofschoon hij zich geschikt heeft naar de strenge regels der Commissie). „Mais quel que soit le parti que Ton préfère il me semble qu'on doit tont publier.quot; — „Quand il s'agit d'observations qu'on n'a pas l'occasion de répéter k volonté l'astro-nome, qui est chargé d'une mission publique, doit au gouvernement qui l'a employé et è, tous les savans qui liront son ouvrage, le compte le plus scrupuleux de tout ce qu'il a observé. II peut avoir son advis et en exposer les raisons, mais il doit par une publication entière mettre ses lecteurs portée^- de tirer de son travail toutes les conséquences aux quelles ce travail peut conduire.quot;

In Nederland schijnt men over dat uitvoerig publiceeren wel eens anders gedacht te hebben.

38

tions 's llagc observatorium (n⁰. 27*), Neuenhaus (nⁿ. G3*), Gieten en Ter Apel, benevens de driehoeken n^os. 31*, 70*, 135*, 143*, 143** en 156* (zie blz. 224, 241.)

Wij beschouwen de hoeken van tableau I met de aanvulling van blz. 224, noot ^ als grondslag, en verbeteren ^ daarom:

in tableau II: de hoek Zutphen in driehoek nquot;. 87 met — 0quot;,375; de hoeken Ballum in nⁿ. 120 met 3quot;,497, in n⁰. 121 met — 5quot;,397, in n^ft. 127 met 2quot;,344;

in tableau III het spherisch exces van hoek Antwerpen in n⁰. 15 met — 0quot;,019.

Stations. Het net telt 111 stations. Krayenhoff heeft daarvoor zooveel mogelijk torens van kerken, kasteden enz. uitgezocht. Als standplaatsen dienden twee of meer punten van den omgang; de spits was het „point de mire.quot; Te Duinkerken, Rotterdam, Bent-heim en Leeuwarden werd op den toren een signaalmast geplaatst; te Harderwijk en Strakholt bovendien eene stelling voor het instrument. Op Vlieland was de vuurbaak, op den Biesselt (een heuvel 2 K.M. oost van het spoorstation Mook) de molen het richtpunt. Tegenwoordig geeft men aan signalen op den vasten grond de voorkeur boven torens, omdat zij een vaster standplaats opleveren en de gegevens voor het centreeren met meer zekerheid te verkrijgen zijn. Torens daarentegen zijn hooger dan signalen, van blijvender aard en dus geschikter voor latere aansluitingen; ook kunnen zij niet licht ongemerkt verplaatst worden.

Enkele malen waren signalen voor Krayenhoff echter onvermijdelijk (zie blz. 238), namelijk te Kijkduin en op de heuvels: Imbosch, Harikerberg, Hettenheuvel, Lemelerberg en Uelsen. Het waren eenvoudige driehoekige pyramiden, wier centrum door een zwaren steen in den bodem werd vastgelegd. De repetitiecirkel stond daarnevens op den grond. Op de Veluwe, een uur ten westen van het

') Kleine druk- en rekenfouten zijn er zeker nog onderscheidene meer. Ik bemerkte er o. a. in tabl. II n⁰. 92; in tabl. III n^os. 1,59,69,129.

Cohen Stuart ontdekte door vergelijking van de manuscripten met tableau I, dat in dit laatste verbeterd moeten worden; hoek Ballum in driehoek n⁰.121 met — 2quot;,000; hoeken Midwolde in n⁰. 148 met 4- 0quot;,221, in n⁰. 149 met — 0quot;,119; hoeken Leer in n⁰. 148 met 0quot;,958 in n⁰. 149 met — 0'',958. Ik heb deze laatste verbeteringen niet opgenomen.

Loo ¹) nabij de boerenwoning het Eerdgat genaamd, moest echter een stellaadje van 28 M. hoog gebouwd worden, en boven op dat wankele gevaarte werden op windstille dagen de hoeken tusschen de omliggende punten gemeten. Eene bijzondere merkwaardigheid was het signaal Robbezand, bestaande uit een zwaren paal, omhuld met manden en stroobossen, terwijl daarnevens een paalwoning voor het instrument was opgericht. Nooit te voren, en zoo ver ik weet, ook nooit daarna, heeft men midden in een vier meters diepe zee een driehoekspunt geconstrueerd. ²)

De lijst der stations vindt men op blz. 306 tegenover de kaart. Acht daarvan waren alleen richtpunten, geen standpunten. Bovendien zijn één hoek te Lommei en één hoek te Urk niet gemeten ³). In het geheel zijn dus 13 hoeken van het net geconcludeerd en 473 gemeten.

51 Stations zijn centrale punten, d. w. z. aan alle zijden door hoeken van het net omringd, 55 stations liggen aan de buitenzijde van het net en 5 omringen de zuiderzee. Hieruit volgt⁴), dat het net 1G2 driehoeken moet tellen.

Cohen Stuart heeft de hoeken verdeeld in drie soorten: a, de hoeken gemeten in 1802 —1808. c, de hoeken in 1810 te Leiden, Gouda, Dordrecht en 's Gravenhage gemeten (zie blz. 239). b, de overige hoeken in de jaren 1810 en 1811 gemeten (zie blz. 241, 242).

¹

') Krayenhoff noemt dit station: Observatorium op de Veluwe. Voor de kortheid heb ik het Loo geheeten.

²

) Krayenhoff zegt, dat hij met den sextant in de hand, de zerk waardoor dit punt wordt bewaard, zonder moeite kon terug vinden.

³

^:!) De reden voor Lommei is vermeld in Précis p. 86. Te Urk was de toren van Harderwijk, die zich tegen de duinen der veluwe projecteerde, niet zichtbaar.

⁴

'*) Men denke zich een net, waarvan de zijden elkander niet snijden, geprojecteerd op een plat vlak. Laat n het aantal hoekpunten zijn, waarvan x centrale punten, ij punten aan den omtrek van het net en s punten aan den omtrek van één ledige polygoon. Dan is de som der hoeken gelegen aan de punten der eerste soort — 180°. 2.v, die aan de punten der tweede soort 180° (ij—2); die aan de punten der laatste soort 180° (s 2), te zamen 180° (2.r -t- ij -(--s) = 180^c (2«—ij—z). Bij het net van Krayenhoff is « — lil; ij = 55 ■, z =: 5, dus 162 driehoeken. — Zie ook dit Tijdschrift 1889, blz. 133.

40 ( i ^

De hoeken a zijn belangrijk nauwkeuriger dan b. Er behooren

Stations: tot a 72

Hoeken: „ 344

Driehoeken: „ ^3' „ gt;3quot; „ 0 ; „ 10 „ 12 /fgt;/ ¹ Jy

Rondmetingen. Om ieder der centrale punten ligt een veelhoek, het aantal stralen van dezen bedraagt: 4 te Assenede en te Strakholt; 5 op 21 stations; 6 op 18, 7 op 6, 8 op 2 stations en 9 teLemeler-berg en te Groningen. Bovendien heeft Krayenhoff op 22 stations te zamen 33 hoeken gemeten, die niet tot het net behooren en alleen dienden om aldaar den tour d' horizon vol te maken.¹) De sluit-fouten dezer 73 rondmetingen met 419 hoeken zijn:

Positief Negatief

Aantal Som per Station Aantal Som per Station

20 15quot;,947 0quot;,797 7 3 ,826 0 ,547 2 1,137 0 ,5G8'-) 1 2,197 2,197 30 23 ,107 0 ,770 totaal voor 73 rondmetingen 71quot;,370 ot per rondmeting 0quot;,978.

Van de sluitfouten liggen 47 tusschen 0quot; en 1,quot; 14 tusschen 1quot; en 2quot;, 10 tusschen 2quot; en 3quot;. Embden is 3quot;,251. Naarden 3quot;,501.

Hoeken. Van de 480 hoeken der 162 driehoeken zijn negen kleiner dan 30°, n.1. in de driehoeken n² 41, 155, 10, 15,83, 141, 145, 139 en 91. Twee hiervan (in n^os 15 en 141) hebben een nadeeligen invloed op de voortloopende berekening der zijden; de overige zeven zijn onschadelijk. De kleinste hoek (in n⁰ 41) is 23⁰57'.

Zijden. Het net telt 273 zijden, waarvan 21 éénzijdig gemeten zijn. Zij snijden elkander nergens, 55 liggen aan de buitenzijde van het net, 5 omsluiten de zuiderzee; 213 behooren tot twee driehoeken.

¹

') Bovendien heeft Krayenhoff op sommige stations ook de som van twee hoeken gemeten, en b.v. te Brielle ter controle gebruikt. Maar wij hebben ze in onze statistiek niet opgenomen.

²

delde genomen van twee waarnemingen uit de jaren 1802 en 1810, die respectievelijk 43⁰58'9quot;,275 en 2quot;,533 gaven.

(z^)

Ook hieruit volgt dat er 1G2 driehoeken moeten wezen. De beide kortste zijden (in drieh. n⁰³ 53 en 79) zijn 9,G23 K.M. lang. De langste zijde (in n⁰ 15) is 50,721 K.M. Daarop volgt, in n⁰ 87 een zijde van 45,885 K.M. Nog vier andere zijden, in n⁰³16, 21, 49 en 103, zijn langer dan 40 K.M. Verder heeft men:

Lengten Buitenzijden Binnenzijden 9,623 K.M. 2 —

10—19 „ 14 38

20—29 „ 28 120

15 50

30—39 ,, 40—40 „ —

50,721 „ 1

te zamen 1504 K.M. Gemiddeld per zijde 25,07

Driehoeken. De 102 driehoeken zijn genummerd 2 —163; no. 1 is de noordelijkste driehoek van Delambre, door Krayenhofif als uitgangspunt gebruikt. 51 Dezer driehoeken hebben geen hoekpunten aan de buitenzijde van het net; 49 hebben één buitenhoekpunt; 4G hebben twee buitenhoekpunten (hiervan 8 zonder en 38 met ééne buitenzijde); 1G hebben drie buitenhoekpunten (hiervan 10 met éen en G met twee buitenzijden.)

De grootte der driehoeken beoordeelt men het gemakkelijkst naar hun spherisch exces. Dit bedraagt bij de berekeningen van Krayenhofif 1quot; voor een oppervlak van 19G,57 K.M². De kleinste driehoek, n⁰. 53, heeft een spherisch exces van 0quot;,265; de grootste, n⁰ 86, van 3quot;, 142. De driehoeken n^os 16, 28, 49 en 87 hebben ieder een sph. exces van 2quot;,6.

43 (V^

den, 18 in Duitschland, 15 in België en Frankrijk. Van de driehoeken liggen in:

Nederland: 109 geheel, 16 met twee hoekpunten, 12 metéén hoekpunt. Duitschland: 15 „ G „ „ 9 „ „

België en Fr.; 10 ,, G ,, „ 7 „ „

Van de 78 Nederlandsche stations behooren 54 tot a; 14 tot b; 4 tot c; 2 tot ab. 4 zijn niet bezocht. Van de 109 Nederlandsche driehoeken behooren G8 tot a; 19 tot b; 10 tot ab; 12 tot a c. Van de 1G bovenvermeld: 12 tot a; 4 tot b. Van de 12: tota 10; tot b 2.

De Nederlandsche stations strekken zich uit van Aardenburg tot Borkum en Onstwedde, over eene breedte van 2⁰18'54quot; en eene lengte van 3^o35'50quot;, terwijl de gemiddelde breedte is 52⁰25'52quot; (3'20quot; benoorden Amsterdam) en de gemiddelde lengte 2⁰54'49quot; Oost van Parijs (7'40quot; Oost van Utrecht). ¹)

Algemeene vorm van het net. Uit al het bovenstaande volgt reeds, dat het net van Krayenhoff uitnemend gevormd is, zoo goed als geen enkel net van deze uitgebreidheid uit vroeger tijd, en slechts zeer weinige uit de laatste jaren. De driehoeken zijn in alle provinciën ongeveer even groot en de zijden hebben de meest geschikte lengte voor eene primaire triangulatie, die tevens tot grondslag eener secundaire moet dienen. Langere zijden zijn in Nederland ook niet te verkrijgen. De zijden snijden elkander nergens, diagonalen ontbreken, maar de 51 veelhoeken geven genoegzame contróle.

Het zwakste deel zijn de driehoeken n^os 2—10; in het bijzonder zijn n^os 3, 4 en 5 ongunstig van vorm. Krayenhoff zelf verklaart, dat hij deze keten gaarne anders hadde ingericht, maar „de omstandigheden van het terrein gedoogden geene andere schikking.quot; Eenige kruisingen ter controle waren hier zeer gewenscht; nog beter zou het geweest zijn als Krayenhoff ook de stations Kemmel, Kortrijk en Mont l'Enclus had bezocht. Maar zijn bijzonder doel was de topographic van de Noordelijke Nederlanden: secundaire waarnemingen zijn op de stations nquot;³ 1—12 niet gedaan, en zijne choro-topo-graphische kaart gaat slechts tot Brugge. De keten van Duinkerken

') De breedten van Krayenhoff zijn nauwkeurig op 1quot; a 2quot;. De lengte van Duinkerken, door K.r. op 2'23quot; aangenomen, is 5quot;,5 minder.

44 (trij

tot Middelburg mat hij alleen om voorloopig te kunnen steunen op de waarnemingen van Delambre. In Nov. 1803 had Krayenhofif nog het vaste voornemen om zelf in Friesland van Jacobi tot L. Vrouwen Parochie in driehoek nquot; 121 een basis van 10 K.M. te meten, maar de omstandigheden hebben dit ten eenenmale verhinderd. In de jaren 1807 en 1810 stond de raadsman van Koning Lodewijk op een te slechten voet met de Fransche Regeering om haar basis-apparaat ter leen te kunnen vragen.

Maar overigens is het net op Nederlandsch grondgebied voortreffelijk ingericht. De acht niet bezochte stations liggen aan de buitenzijde van het net. Alleen Biesselt en Borkum hadden een weinig tot de nauwkeurigheid kunnen bijdragen.

Voorwaarden. Het driehoekennet van Krayenhoff telt p — 103 stations plus = 8, waar niet gemeten is; r — 252 wederkeerige richtingen en r' = 21 eenzijdige richtingen; h — 473 hoeken (benevens 33 om op 22 punten den tour d' horizon aan te vullen). Er zijn dus in het geheel II—2 {p—2) =■ 255 voorwaarden.

De h — 473 hoeken van het net bevatten 51 rondmetingen, behalve de 22 bovengenoemd, r—p 1 = 150 is het aantal driehoeks- of veelhoeksvergelijkingen. Er zijn 149 driehoeken (n^os 31 en 107 mede gerekend), waarin alle hoeken gemeten zijn, en de zuider-zee-vijfhoek, welks hoeken uit de omliggende driehoeken af te leiden zijn.

r r'—2 (/ -1- /gt;') 3 = 54 zijdenvergelijkingen. Er zijn 51 veelhoeken, die ieder met den sinusregel van Krayenhoff éene zijdenvergelijking geven. De overige drie liggen verborgen bij den zuider-zee-vijfhoek. De zijde Urk-Lemmer is uit Naarden-Utrecht te berekenen, zoowel oostelijk als westelijk omgaande. In het Précis Historique tableau II zijn dan ook 52 zijden langs twee wegen berekend (zie blz. 224).

Een vijfhoek is bepaald door 7 gegevens: van de zuiderzee zijn alle hoeken en alle zijden bekend, dus drie voorwaarden, n.1. ééne veelhoeksvergelijking en twee zijdenvergelijkingen. Berekent men hoek Harderwijk-Urk-Enkhuizen uit de driehoeken n^0H. 97, 98, 99, 100 en 84, dan is de som der vijf hoeken volgens tableau I = 539⁰59'58quot;,934; het spherisch exces (berekend met den kromtestraal volgens Krayenhoff) = Üquot;,6G1 en de sluitfout alzoo — 7 quot;,727.

45 [ ^/3 )

Uit vier hoeken en drie der zijden kan men de beide andere zijden berekenen. Zie nader § 20.

Toen Krayenhofï zijn Précis Historique schreef, was Gauss nauwelijks met zijne publicaties over de methode der kleinste qua-draten begonnen. Het ligt voor de hand, dat Krayenhofïquot; van deze geen gebruik heeft gemaakt, Wel is het vreemd, dat noch de Gelder, Verdam ¹) en Kaiser, noch Delprat, van Kerkwijk en van der Star deze methode op de metingen van Krayenhoff hebben toegepast. Dit is het eerst gedaan door Cohen Stuart in 1862.

Men kan de middelbare font van één hoek afleiden, zoowel uit de sluitfouten der rondmetincren al? uit die der driehoeken en ook

o

met den sinusregel van Krayenhoff uit ieder der 51 veelhoeken. Is t de sluitfout van één rondmeting, bestaande uit a hoeken, dan

is de m. f. van iederen hoek = V —. Is d de sluitfout van één ^J a

driehoek, dan is de ui. f. van ieder der drie hoeken — ^'²-

Is f het verschil der log. sin. van de linker en rechter basisboeken eens veelhoeks en fi de wortel uit de som van de qaadraten der verschillen van die log. sin. voor 1quot;, dan is de in. f. van één der

basisboeken = — (^z'^e biz. 23G).

Heeft men n rondmetingen, driehoeken ot veelhoeken, dan is de m. f. van één hoek, afgeleid uit:

de sluitfouten der n rondmetingen — m, = ^ ( —. Som — 1

^{amp; 1} a )

de sluitfouten der n driehoeken = m,₂ — I/

Csw ^^0m ^0

/1 s² \

den sinusregel met «veelhoeken = m . = K I -. Som -r 1

^ö quot; \u U²J

¹

) Verdam heeft in zijn Methode der kleinste Quadraten, Groningen 1850 blz. 206—214 uitvoerig weergegeven wat Gauss over de veelhoeken om Leeuwarden en Drachten had gezegd, maar over de rest van het net niet gesproken.

²

Tijdschrift Kadaster 1889. 18

4-G (z?*/)

Colien Stuart ¹) vindt op deze wijze voor het net van Krayenboff de volgende waarden:

Ik hecht aan de m. f. volgens de methode der kl. qu. berekend, niet de groote waarde, die zeer vele astronomen en geodeten er aan toeschrijven.

Zoodra het aantal voorwaarden klein is, heeft de in. f. volstrekt quot;•een beteekenis meer: één enkele groote sluitfout maakt al de andere

o ⁰

tot schand. B. v. voor de hoeken a b wordt m₂ = 1 quot;,572 als men driehoek n⁰. 121 weglaat, en m., = 0quot;,975 zonder den veelhoek om Gouda.

Voor de hoeken a en b is het aantal voorwaarden vrij groot, en de verhouding hunner m. f. leert, dat de hoeken b veel minder nauwkeuriger zijn dan a. Krayenhoff had dit zelf (Précis p. XXIX, 12,30) reeds opgemerkt. De omstandigheid, dat m, lt; m., lt; m.,, is ook bij de triangulatien van den nieuwsten tijd een zeer gewoon verschijnsel.

') C. S. heeft hierbij de correcties, op blz. 266, noot ') vermeid, opgenomen, en voor m₂ het spherisch exces nieuw berekend. Driehoek no. 31, die hij medetelt, heb ik weggelaten. De m. f. voor c, a b en a C heeft C. S. in zijne verhandeling niet medegedeeld.

-) In dit deel der tafel beteekent a' het aantal hoeken, dat voor de berekening van m₃ in aanmerking komt. Dit is grooter dan het aantal basis-hoeken, want voor de veelhoeken om de stations n^os 22, 23, 36, 60, 68, 69 en 74 heeft C. S. telkens twee hoeken b of C verworpen en berekend uit de omliggende hoeken a. In de veelhoeken om n⁰³ 25, 59 en 66 moest één basisboek en in die om n⁰³ 18, 34 en 89 moesten twee basisboeken geconcludeerd worden.

quot; CV')

% 17. Insiruincnten en waarnemingsinethodcn.

Krayenhofif heeft voor zijne primaire driehoeksmetingen, na het jaar 1800, uitsluitend gebruikt gemaakt van den repetitiecirkel volgens Borda. Van 1801—1808 gebruikte hij een exemplaar van dit instrument, dat door van Swinden uit Parijs was medegebracht (zie blz. 235.) In 1803 schreef hij:

„Wij [n.l. Krayenhoff en de Gelder] bedienden ons van eenen zeer uitmuntenden gewerkten repetitiecirkel van Borda, door Lenoir [vervaardigd], hebbende 16 fransche duimen [== 433 m.M.] middenlijn binnen den verdeelden rand; en namen na eenige weinige proeven, daadlijk de methode aan_; om tegelijk elk éénen der kijkers te behandelen, ten einde van het juist pointeeren der voorwerpen volkomen zeker te zijn, en de misslagen te ontgaan, welken niet zeldzaam voorvallen op zwakke en dreunende torenzolderingen, wanneer men zich namelijk, vooral bij het meten van groote hoeken, ten einde door de kijkers beurtelings te kunnen zien, van plaats veranderen moet. Bij deze voorzorge voegden wij nog eene andere, te weten om bij de herhaling van elke hoekmeting telkens van voorwerpen te verwisselen, waardoor men beoogde het verschil te middelen, dat uit de onderscheidene wijze van de voorwerpen te zien, welligt zou ontstaan kunnen.quot;

Dergelijke uitmuntende voorschriften geeft Krayenhoff ook in zijne Instructie voor de geographische Ingenieurs. Delambrc en Méchain observeerden in den regel alleen.

Op de meeste torens van de jaren 1810 en 1811 was geen ruimte genoeg voor dezen grooten cirkel en gebruikte Krayenhofif een kleineren, van 10 duim (271 m.M.) middellijn, vervaardigd door Bellet een der medewerkers van Delambre. De kijkers van dit nieuwe instrument waren veel korter en de kruisdraden bezaten een zeer hinderlijke parallaxis. Hieraan, en aan de laterale refractie, schrijft Kr. de geringere nauwkeurigheid der waarnemingen b toe (zie blz. 239).

Voor de breedtebepalingen te Amsterdam en te Jever bediende Kr. zich van een derden cirkel, middellijn 14 duim = 379 m.M., dien hij op eigen kosten door Lenoir had laten vervaardigen en die voortreffelijke niveaux bezat.

De repetitiecirkels bestonden uit een verdeelden cirkel en twee kijkers, de een B boven, de ander O onder den verdeelden rand. Men bracht den cirkel in het vlak gaande door het standpunt en de beide lichtstralen komende van de voorwerpen p en q. Nu wordt

4S (Z/^j

B op 0° gesteld en vastgezet; de cirkel gedraaid tot dat B op p gericht en daarna O op lt;7 gericht. De cirkel wordt nu weder gedraaid tot O op / gericht is en dan B losgemaakt en gedraaid tot hij Op q ingesteld is. Aan B zijn vier alhidaden met nonien verbonden; deze nu aflezende vindt men het dubbele bedrag van den hoek tusschen p en q. Zoo gaat men voort; na elke evene repetitie worden de nonien afgelezen (zie blz. 228). Bij de breedte bepalingen wordt de cirkel verticaal gesteld en in de plaats van kijker O komt een niveau. B wordt op 0° gebracht en door draaien van den cirkel op de ster gericht. Dan wordt het niveau horizontaal gesteld, vastgeklemd en de cirkel 180^c in azimuth omgedraaid. De kijker B wijst nu naar de andere zijde van het zenith; men maakt B los, richt hem weder op de ster en leest de nonien af: deze geven den dubbelen zenithafstand.

Krayenhoff zegt niets over de inrichting zijner cirkels en ik weet niet waar of zij gebleven zijn ¹) en of zij nog bestaan. Waarschijnlijk kwamen zij geheel overeen met die der fransche graadmeters. De twee van Delambre hadden 43 en 35 c.M. middellijn en waren centesimaal verdeeld in 0,1 gr. Ieder der vier nonien gaf direct 0,01 gr. — 32quot;,4 en bij schatting 8quot;. Eén der cirkels van Méchain was sexagesimaal verdeeld in 10 , met nonius op 30'. Die van Krayenhoff had waarschijnlijk nonien op 20quot;, want zijne aflezingen zijn bijna altijd op 5quot; afgerond. De groote cirkel van Delambre had kijkers met een brandpuntsafstand 21,2 duim = 574 m.M.; bij zijn kleinen cirkel waren de kruisdraden aanvankelijk ook slecht geplaatst, maar hij wist dit bezwaar te overwinnen (Precis p. XXIII; Base du S. M. II p. 228, 260, 272; I p. 114).

Op standplaatsen zoo weinig stevig, dat zij voor de tegenwoordige theodolieten onbruikbaar zijn, kon men met deze repetitiecirkels nog behoorlijke waarnemingen doen. Ook met de luchtsgesteld-heid nam men het zoo nauw niet als tegenwoordig. Schreiber, de Directeur der Preussische Landesaufnahme heeft verklaard, dat met

') „Krayenhoff bezat de volledigste verzameling van werktuigen tot het doen van natuurkundige proeven en waarnemingen van geheel ons vaderland. Een groot deel er van heeft hij omstreeks één jaar voor zijnen dood te Amsterdam publiek doen verkoopenquot; (v. d. Weijde).

49 ( Z/7 )

dc tegenwoordige werktuigen meer dan 1500 instellingen (die met het aflezen der mikroskopen ieder slechts ee'n minuut tijd kosten), slechts in zeer gunstige jaren mogelijk zijn. (Z. f. V. 1879, s. 105). Krayenhoff bracht het per jaar tot 8000 repetities en meer. Eén serie van gemiddeld ^0 repetities was binnen het uur afgeloopen. Den 4^den Aug. 1811 werden te Westerstede van 's ochtends 7¹/., tot 's avonds G ure, 15 serieen gemeten. Niet zelden echter moest een serie na weinige repetities wegens de invallende duisternis, de regen, de heirook (deze was vooral hinderlijk te Oldeholtpade) enz. worden gestaakt. Zulke serieën deelt Kr. in zijne manuscripten even goed mede als andere, goed geslaagde, ofschoon hun bij het samenstellen van tableau I natuurlijk geen stemrecht gegeven kon worden.

Krayenhoff begon altijd met kijker B op 0° te stellen. Hij heeft dus niet getracht om door reïtereeren de verdeelingsfouten te elimi-neeren. Delambre deed dit wel bij de breedtebepalingen.

Krayenhoff heeft waarschijnlijk steeds alle vier nonien afgelezen, ofschoon de afzonderlijke aflezingen nergens vermeld worden. Het schijnt, dat de tusschenaflezingen even nauwkeurig werden verricht als de laatste (zie Breda, serie 1), maar zij werden alleen gebruikt om de regelmatigheid der meting te kunnen beoordeelen. Voor de definitieve uitkomst werd alleen de laatste aflezing door het aantal repetities gedeeld (zie blz. 228).

Welke nauwkeurigheid kon men met deze cirkels bereiken ? Volgens Delambre bedroegen de verdeelingsfouten (voor de vier nonien te zamen ?) omstreeks 12quot;, en de nauwkeurigheid der aflezing 3quot;. De fout van het instellen op een ster bedroeg wel 2quot;, en op een toren of signaal zeker even veel. Nemen wij eene serie van 20 repetities, dan is de m. f. der instellingen 2quot; ^ 40 = 13quot;. Dit gecombineerd met de verdeelings- en afleesfouten geeft voor het verschil der eerste en laatste aflezing een m. f. van V (12² 2 X 3² 160) = 18quot;, of de vi. f. der einduitkomst 0quot;,9 •). In de

') Deze berekening wijkt een weinig af van die, welke Bessel (Astron. Nachr. 1834, Bd. 11 s. 269) in een analoog geval opstelde. In dezelfde verhandeling heeft Bessel er de aandacht op gevestigd, dat men ook de tusschenaflezingen bij de repetitiemethode kan benuttigen. Maar tevens blijkt

ÓO {l/Sj

jaren 1802—180S werden voor eiken hoek gemiddeld bijna drie serieen gemeten en in 1810 en 1811 omstreeks vijf serieen. Er blijven, na aftrek der te verwerpen serieën, voor de metingen a niet veel meer dan twee per hoek over, dus de nauwkeurigheid van het gemiddelde omstreeks — 0quot;,6. Hierbij komen nog de fouten, buiten het instrument. De torens waren niet altijd geschikt voor scherpe instellingen de spitsen helden dikwijls over en vooral de schijngestalten door ongelijke verlichting moeten zeer hinderlijk geweest zijn. Deze laatste bezwaren vallen bijna ¹) geheel weg, wanneer lampen of heliotropen de richtpunten zijn. Maar er moeten nog meer oorzaken van fouten wezen, anders zou men met de tegenwoordige hulpmiddelen gemakkelijk eene veel grootere nauwkeurigheid dan 0quot;,5 kunnen bereiken, en toch is deze slechts bij uitzondering overtroffen ²).

Vooreerst kan het instrument tot constante fouten aanleiding geven. Struve e. a. hebben bij hunne ïepetltictheodolieten het zooge-

¹

) Gauss (Briefwcchsel mit Schumacher II, s. 30) ondervond, dat ook een heliotroop schijngestalten kan vertoonen; en Bessel verkoos voor afstanden beneden 30 k 40 K.M. signalen boven heliotropen (Gradmessung in Ostpreus-sen, s. 66).

²

) Het Wesernet, in 1886 en 1887 gemeten door de Preussische Landes-aufnahme, telt 38 drie- en veelhoeken, en de m. f. van één hoek uit hunne sluitfouten berekend is 0quot;.49. Bij twee driehoeken is de sluitfout grooter dan 2quot;. Onderzoekt men enkel de waarnemingen op één station verricht, dan is de m. f. veel kleiner, en zoodra zulk een net bij andere aangesloten moet worden, waren de correcties, die de hoeken ondergingen, veel grooter dan 0quot;,5. Vergelijk ook Jordan-Steppes I, s. 134—137. Zoodra de hoeken tot driehoeken verbonden worden, vertoonen zich fouten, die te voren niet opgemerkt werden, en door de „polygonanschlussquot; komen er weder nieuwe fouten bij.

51 (twj

naamde glijden opgemerkt, waardoor dc uitkomsten te klein moeten worden. Naar de meening van Bessel behoeft een goed vervaardigd instrument dit gebrek niet te bezitten. Gauss ondervond het in de laatste jaren zijner meting, toen het instrument wat uitgesleten was. Of de repetitieezr^/j deze constante fout ook bezaten, valt moeielijk uit te maken. Bij de waarnemingen van Delambre (zie biz. 2G4), is de constante fout uit de sluitfouten der driehoeken afgeleid — üquot;,13; bij Mechain = 0quot;,36, bij Krayenhoff — 0quot;,001 en bij Krayenhoff uit de rondmetingen -t- 0quot;,0G. Het is dus niet waarschijnlijk, dat bij de cirkels van den laatste de hoeken met deze glijdingsfout behept waren. Het bezit van twee kijkers belioedt voor onderscheidene fouten, waaraan theodolieten wel onderhevig kunnen zijn, en die door de bewegelijkheid van den pijler, den limbus enz. veroorzaakt worden.

Een bron van fouten, onafhankelijk van het instrument, is de zij-delingsche straalbreking. Over dit onderwerp wordt zeer ongelijk geoordeeld. Gauss was in 1825, na zijne metingen in O. Friesland, volkomen overtuigd van het bestaan der laterale refractie. Struve heeft ze in 1829 willen berekenen, Jordan heeft haar bestaan krachtig verdedigd. Daarentegen steekt Schreiber er den draak mede, en beschouwt ze alleen als een uitvlucht en zondenbok voor slechte waarnemers. Perrier bemerkte er niets van bij zijne vizierstralen van 270 K.M.

Er kan dunkt mij geen redelijken twijfel aan wezen, of zijdeling-sche lichtbreking bestaat. Een verschillende dichtheid (drukking en temperatuur) der lucht in horizontalen zin komt gewoonlijk voor. Geheel locale onregelmatigheden door schoorsteenen, zandvlakten enz. kunnen de afwijking zeer groot maken. De beelden van torens ver-toonen volgens Delambre meermalen de wonderlijkste verschuivingen. Baeyer bemerkte belangrijke zijdelingsche afwijkingen van heliotropenlicht. Hiertegen kan men zeggen; ik observeer alleen als de luchtsgesteldheid gunstig is, en als de beelden rustig en scherp zijn, zal er ook wel geen laterale refractie wezen; of: dc afwijkingen vallen even dikwijls in den eenen als in den anderen zin uit en verdwijnen dus uit het gemiddelde. M. i. verdiende de zijdelingsche straalbreking een veel nauwkeuriger en uitvoeriger studie, dan haar tot nog toe ten deel is gevallen. Maar het onderzoek naar

52

verborgen fouten is moeielijk, tijdroovend, weinig loonend en daarom wordt er in de meeste wetenschappen weinig aan gedaan.

Het N.O. van ons land geeft tot laterale refractie in het bijzonder veel aanleiding: Gauss en ook onze ingenieurs te Uithuizermeeden hebben het ondervonden. Nu geeft men dikwijls aan Struve de eer, dat hij het eerst op de laterale refractie gewezen heeft, ofschoon ik uit zijne waarnemingen die met den besten wil niet kan afleiden. Daarom is het noodig nog eens duidelijk te zeggen, dat Krayenhoff zeer beslist het bestaan er van heeft aangenomen (Précis p. 12, 30) en er — m. i. niet ten onrechte — een deel der fouten van zijne waarnemingen b aan toeschreef. Delambre had geen bepaald oordeel over deze zaak uitgesproken (Base I p. 106, 159).

Een belangrijk en vaak zeer moeielijk deel der geodesische waarnemingen, is het centrceren. Delambre was de eerste, die hierbij naar eene groote nauwkeurigheid streefde. De handelwijze van Krayenhoff blijkt uit het voorbeeld in de Instructie en in Pre'cis p. 18 et 21. Hij bepaalde de afmetingen van den torenomgang en nam het midden daarvan als het centrum aan. Maar in vele gevallen lag de torenspits niet verticaal boven dit centrum, en reeds in 1803 klaagt Krayenhoff dat dit een zeer merkbare bron van fouten is. De repetitiecirkel was echter geen geschikt instrument om deze overhelling der spits in richting en grootte te bepalen en ik heb niet kunnen vinden, dat Kr. er ooit eene correctie voor aangebracht heeft. Toen de theodoliet in gebruik kwam, ging dit beter; de tegenwoordige methode (quot;meten van een kleine basis buiten den toren) is geloof ik het eerst door Schumacher (1817) toegepast (Briefwechsel mit Gauss I 13G, 14(), II 2⁽J), en ook door Gauss en Bessel gebruikt. Hoe groot de fouten bij Kray. waren kan ik niet beoordeelen; Gauss vermoedde te Jever één meter! maar omdat de geheele excentriciteit in dit station slechts 3 Meters bedroeg, is een zoo groote fout ondenkbaar. Volgens Cohen Stuart heeft Kr. bij de centreeringsberekeningen dikwijls kleine rekenfouten begaan (zie blz. 260 noot).

Een kleine bron van fouten, eigenaardig aan den repetitiecirkel, wordt door Krayenhoff niet vermeld. De onderste kijker van dit instrument is excentrisch bevestigd, bij den cirkel van Mechain 20 ijmeri — iö in M. rechts van de as. Is deze kijker gericht op het

53 (llt;91)

linker voorwerp en dit a K.M. verwijderd, dan zal de hoek 9quot;,3/a te groot gevonden worden, en is de kijker op het rechter voorwerp gericht, Dquot;, 3/a' te klein. Na een even aantal repetities is de

In den regel zal hij alzoo zeer klein

geweest zijn, voor den hoek Amsterdam in driehoek no. 64, b.v. 0 ', 13. Deze excentriciteit heeft geen invloed op de sluitfoutcn der rondmetingen en der driehoeken, maar wel is zij zeer merkbaar in de zijdenvergelijkingen.

Voor de azimutbepalingen volgde Krayenhoff tot 1810 de methode van Delambre: meten van den hoek tusschen een toren en de zon. Deze scheeve hoek werd tot den horizon herleid; het azimut der zon volgde uit het tijdstip der waarneming. Zeer nauwkeurig was deze methode niet en zij veronderstelt groote vaardigheid bij den waarnemer en nauwkeurige kennis van de straalbreking. Kray. heeft een groot aantal van deze waarnemingen gedaan, o. a. op den Hettenheuvel, maar ze ten slotte allen verworpen. Te Amsterdam en te Jever gebruikte hij een grooten kijker, draaibaar om een horizontale as; deze wordt gericht op het aardsche voorwerp, dan hooger gericht en de tijd bepaald, waarop de zon door de verticaal van dat voorwerp gaat. Deze methode, door Kr. zelf uitgedacht, is goed gevonden, maar staat toch verre ten achter bij de tegenwoordige handelwijzen, (afkomstig van Roy) waarbij men op de sterren (meestal de poolster) richt. Maar de kijkers van Kr. waren te zwak om bij dag de poolster te kunnen zien, en bij nacht zou een lamp op het aardsche voorwerp noodig geweest zijn. Ook was de plaats der poolster 4^s en die der zon slechts 0^S,67 onzeker.

I³ fout in den waarnemingstijd geeft met de zon reeds 10quot; fout in het azimut, en dus is het niet te verwonderen, dat de waarnemingen van Krayenhoff onderling een enkele maal 30quot; tot 60quot; afwijken.

§18. Astronomische Uitkomsten van Krayenhoff. Nauwkeurigheid der hedendaagsehe Waarnemingen.

Vóór Méchain et Delambre mat men de poolshoogte (breedte) met behulp van groote quadranten en reusachtige sectors. De Fransche

54 (^)

astronomen voerden den repetitiecirkel in, welke een tijd lang op het vaste land van Europa zeer in aanzien was, maar in Engeland nimmer bijval gevonden heeft. In Engeland gebruikte men den zenith-sector van Ramsden, welk instrument als het wonder van zijn tijd is geroemd. Toen door Reichenbach te München, Repsold te Hamburg, e. a. de kunst om nauwkeurige randverdeelingen te maken tot een groote hoogte was gebracht, werd de repetitiecirkel ook op het vaste land vervangen door het universaalinstrument en den meridiaancirkel.

In het eerste vierendeel dezer eeuw was de poolshoogte der beroemdste observatoria nog één of meer seconden onzeker ¹). Zoo werd voor de breedte van Greenwich — „une des plus sures que 1'on connaisse dans 1'univers entierquot; — in 1810 ol^o28 40quot; aangenomen en thans heet zij 38quot;,3. Parijs heette in 1810: 48^o50 14quot;; thans 11quot;,5. Voor Göttingen vond Gauss in 1820 51^o3r50quot;,0 en in 1828 47quot;,85; thans 48quot;,43. Zelfs Königsberg, waar de groote Bessel waarnam, is niet onveranderd gebleven: in 1815 heet het, dat men met 54^o42'50quot;,0 „gewiss ist nicht ¹/₄quot; zu irrenquot;, in 1820 vindt dezelfde onovertroffen nauwkeurige waarnemer 50quot;,7.

In Nederland heeft men bijna 100 jaren lang geteerd op de bepalingen van Cassini. In 1801 vond Triesnecker ²) doorberekening van de beste toen bekende waarnemingen voor de breedte en lengte, te Leiden, obs. br. 52^o8'30quot;, thans 9'27quot;; lengte 2⁰B'14quot;, thans 8 50quot;, voor die te Utrecht, domtoren br. 52⁰5'4r, thans 28quot;; lengte 2^C44 23quot;, thans 47'3quot;.

In 1803 bewees Krayenhoff door zijne bepaling, dat de breedte van het observatorium te Utrecht 18quot; kleiner was dan men toen aannam. Zie ook blz. 232.

Krayenhoff ging aanvankelijk uit van de breedte van Duinkerken en het azimut te Watten, beide in 179G en 1793 door Delambre bepaald. Tableau IV van het Précis berust op deze twee gegevens. Hij beschouwde zijn eigen bepalingen oorspronkelijk alleen als con-

') Door Zach is dit uitvoerig en bij herhaling aangetoond, o. a. : Monat-liche Correspondenz ISOi, Bd 9 s. 270—285 en Correspondance Astronomi-que 1823 t. 8 p. 32 en t. 11 p. 30.

■) Allg. Geographische Ephemeriden, 1803, Bd 11 s. 658. Zie ook Mo-natl. Corr. 1803, 8, s. 503, 352.

55 (zlt;r3 ]

trólemiddel voor de nauwkeurigheid der triangulatie, Zij waren vrij talrijk, maar slechts weinige er van zijn tot ons gekomen. In het Précis worden de waarnemingen te Amsterdam en te Jever uitvoerig beschreven. In de verhandeling van het jaar 1803 vermeldt Krayen-hoff de uitkomst voor 's Gravenhage observatorium (later Paleis van den Kroonprins) en de vier serieën te Utrecht. Hij heeft bij bijna al deze bepalingen den zenithsafstand van de poolster in bovenste of onderste culminatie genieten. De uitkomsten van Delambre en Krayenhoff waren:

56 (Zcwj