J. W. LEM.

ANALYTISCHE THEORIE

DER

RUIMTEKROMMEN,

A. qu. 200

:*

AN A LYTISCHK THKOHlE

DER

RUIMTEKROMMEN.

ANALYTISCHE THEORIE

DER

RUIMTEKROMMEN.

P R O E F S C H RIF T

TER VERKRIJGING VAN DEN GRAAD VAN

DOCTOR IN DE WIS- EN NATUURKUNDE

AAN DE RTJKS-UNIVERSITETT TE LEIDEN,

OP GEZAG VAN DEN RECTOR-MAGNIFIOUS

D^R. H. A. LORENTZ,

HOOftLEKRAAK TN DK FACULTKIT DER WIS- BN NATUURKUNDE,

VOOR DE FACULTEIT TE VERDEDIGEN op Woensdag- 12O December llt;S99, des nainiddag's te 1 ut

DOOR

JACOB WOUTER LEM,

G-EBORICN TE LEIDEN.

.f^ Xvonw.

LEIDEN. - EDUARD IJDO. 1899.

jA A N MIJNE /VloEDER EN MIJNE (ZuSTER.

EEN WOORD VOORAF.

Bij de voltooiing van mijn proefschrift wensch ik U, Hoogleeraren in de Faculteit der Wis- en Natuurkunde, mijn dank te betuigen voor tiet onderwijs van U ontvangen, en voor de welwillendheid mij door velen Uwer zoo vaak betoond.

Dit geldt vooral U. Hooggeleerde vax Geer, Hooggeachte Promotor: Uwe aansporing tot de samenstelling van dit proefschrift en de hulp, zoowel daarbij als ook bij andere gelegenheden van U ondervonden, hebben mij ten zeerste aan U verplicht.

Ken bijzonder woord van dank ook aan IJ, Hooggeleerde Lorentz, voor den steun mij in vele gevallen verleend, vinde hier zijn plaats.

Ten slotte een enkel woord tot U, Hooggeachte de Loos. Toont Gij in het algemeen groote belangstelling voor Uwe oud-leerlingen, voor mij in het bijzonder zijt Gij een vriend geweest. Van het oogenhlik af, dat ik de Leidsche II. B. S. als leerling verliet lot op heden, niet het minst gedurende het laatste negental jaren, dat ik het voorrecht had als leeraar aan de inrichting. welke onder Uw bestuur staat, verbonden te zijn, heb ik voortdurend bewijzen van Uwe vriendschap ontvangen, hebt Gij mij mei raad en daad ter zijde gestaan. Ontvang daarvoor mijn hartelijken dank en houd U overtuigd van mijne oprechte genegenheid.

INHOUD.

Ulad/.

INLEIDING.............................. 1

HOOFDSTUK I.

De kromtogrootlieden........................... 7

HOOFDSTUK li.

Het rectiflceorond oppervlak........................23

HOOFDSTUK III.

liet Pooloppervlak............................ 42

HOOFDSTUK IV.

liet oppervlak dor raaklijnen........................02

HOOFDSTUK V.

Het oppervlak der binormalen........................ 69

HOOFDSTUK Vi.

Het oppervlak dor lioofdnorrmilen...................... 78

HOOFDSTUK VII.

De evoluten der ruimtekrommen.......................92

HOOFDSTUK VIII.

Bijzondere regelopper vlak kon, die met de ruimtekrommen in verband staan.......100

LITKRATUUK-OVEKZICHT...................'......127

STELLINGEN .............................139

1 N L E I D I N G.¹)

§ 1. Clairaut heeft het eerst in 1731 de kromtetheorie der ruimtekrommen tot een onderwerp van zijne onderzoekingen gemaakt; Monge moet echter de grondlegger dier theorie genoemd worden. In zijne verhandeling, die in 1771 gelezen en in 1785 gedrukt werd, heeft hij verschillende kromtegrootheden der ruimtekrommen besproken en de differentiaal vergelijking-van de evoluten der ruimtekrommen afgeleid. Eene kleine uitbreiding gaf Tinseau aan dit onderzoek in zijne verhandeling die in 1774 gelezen en in 1780 gedrukt werd.

Eene belangrijke uitbreiding word geleverd door Lanoret in zijne beide verhandelingen ; in de eerste verhandeling die in 1802 gelezen, in 1806 gedrukt werd, besprak hij de eigenschappen van het rectificeerend oppervlak en leidde de vergelijkingen der evoluten door opeenvolgende differentiaties af; in zijne tweede verhandeling besprak hij de uitbreiding van het vraagstuk der evoluten.

Brachten de eerstvolgende jaren niet veel nieuwe onderzoekingen, vermelding verdient de verhandeling van Jaoobi in 1835, waarin hij eenige eigenschappen afleidt van de meetkundige plaats der kromtemiddelpunten en tevens, meetkundig en analytisch, aantoont dat deze meetkundige plaats geen evolute is zooals trouwens reeds door Monge was opgemerkt, maar door anderen, o. a. Lagrange verkeerd was opgevat.

Indien wij nu de bijzondere onderzoekingen betreffende ruimtekrommen voorloopig buiten beschouwing laten, verdient het eerst vermelding de groote verhandeling van de Saint-Venant in 1844 gepubliceerd, waarin bijna alle belangrijke kromtegrootheden zijn afgeleid en uitgedrukt in de differentiaalquotiënten van de coördinaten en den boog. Deze verhandeling echter, hoe belangrijk ook, is moeilijk te overzien, terwijl het als een nadeel beschouwd kan worden dat meetkundige en analytische methoden door elkander gebruikt worden om de verschillende resultaten af te leiden. Spoedig hierop verkreeg de theorie der ruimtekrommen hare belangrijkste uitbreiding in de zoogenaamde formules van Fbenet of Serret. Deze formules welke de aangroeiingen van de richtingscosinussen van raaklijn, hoofd- en binormaal eener ruimtekromme uitdrukken in die richtingscosinussen zelf, zijn

') Zie voor historische aanteekeningen o. a. de Saint-Venant (1844) en Christensen (1883).

Voor meer volledige literatuur-opgaven wordt hier en later verwezen naar het hier achter geplaatste literatuur-overzicht.

1

2

door Fbenet in 1847 gevonden, maar eerst in 1862 gepubliceerd, nadat Sehret hem in 1851 liierin was voorgegaan.

Zooals later zal blijken bestaat tusschen beide formules een teekenverscliil, dat verband houdt met het teeken, dat aan een der kromtehoeken der ruimtekromme kan gegeven worden.

De verhandelingen van G-rünert in 1858 en 1864 brachten geen nieuwe methode; zij onderscheiden zich alleen door de zorgvuldige grensovergangen.

Anders is het echter gesteld met de onderzoekingen van Hoppe. De eerste onderzoekingen van Hoppe in die richting werden gepubliceerd in 1862 in Crelles Journal, latei-meer uitvoerig herhaald in het „Archiv fiir Mathematikquot; van 187B en volgende jaren en in 1880 in zijn „Lehrhuch der analytischen Geometrie'¹¹. Ook Aoust heeft in verschillende zijner verhandelingen eene analoge methode toegepast en ten slotte neergelegd in 1876 in zijne „Analyse infinitésimale des courhes dans l'espacequot;. Het karakter van deze onderzoekingen wordt door Hoppe aldus uitgedrukt: „Die Curventheorie lasst sich zerlegen in eine Theorie der inneren Beziehungen und eine Theorie der Dimensionen, deren erstere sich ohne Rücksicht auf letztere entwickelt und vollendet.quot; De innerlijke betrekkingen der ruimtekromme worden bij Hoppe bepaald door de specifieke vergelijking d. i. de betrekking die er bestaat tusschen kromtehoek en torsiehoek en welke hij meetkundig bepaalt door de torsielijn. Hoppe heeft aangetoond, dat het vraagstuk om van de specifieke vergelijking der ruimtekromme over te gaan tot de coördinaten van een willekeurig punt der ruimtekromme, kan teruggebracht worden tot eene lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde en tot drie quadraturen.

Ook Aoust heeft een dergelijken weg ingeslagen; hij bepaalt de kromme echter door twee elementaire vergelijkingen die de differentiaalquotiënten van boog en flexie ten opzichte der deviatie voorstellen als functies van die deviatie. Hij noemt deviatie en flexie wat Hoppe kromtehoek en torsiehoek noemt.

§ 2. Naast deze algemcene onderzoekingen verdienen nog bijzondere onderzoekingen vermelding. Wij bespreken in de eerste plaats die, welke betrekking hebben op het opsporen van ruimtekrommen welke aan bepaalde voorwaarden voldoen.

Nadat reeds Lanoret had aangetoond^.Qlat voor eene willekeurige schroeflijn de verhouding tusschen beide kromtestralen standvastig is, heeft Puiseux in 1842 het eerst analytisch bewezen, dat de kromme wier beide kromtestralen standvastig zijn eene cirkelvormige schroeflijn moet zijn, terwijl hij in 1851 met behulp derzelfde methode heeft aangetoond, dat de ruimtekromme voor welke de verhouding van beide kromtestralen standvastig is eene schroeflijn op een willekeurigen cylinder moet zijn. Sedert zijn beide stellingen, zoowel analytisch als meetkundig door Serret, Bertrand e. a. bewezen. Enneper heeft deze stellingen uitgebreid in 1866 door de ruimtekrommen op te sporen, bij welke de verhouding tusschen beide kromtestralen eene lineaire functie van den boog is. Deze zijn de geodetische lijnen van een kegel.

In 1844 heeft de Saint-Venant de vraag gesteld, of het regeloppervlak der hoofdnormalen van eene ruimtekromme dit ook voor eene tweede ruimtekromme kon zijn. Bertrand heeft in 1850 deze vraag beantwoord en aangetoond dat dit alleen mogelijk is, indien eene lineaire betrekking tusschen de krommingen (dat zijn de omgekeerde waarden der kromtestralen) der oorspronkelijke ruimtekromme bestaat. Ditzelfde vraagstuk is sedert op tal van

3

manieren behandeld, zoowel analytisch als meetkundig door Serret (1851), Curtis (1856), Mannheim (1872 en 1877). Dit vraagstuk is in 1879 uitgebreid door Hoppe, toen hij met behulp der door hem opgestelde vergelijkingen deze vraag beantwoordde ; Aan welke voorwaarden moet eene ruimtekromme s voldoen, opdat eene rechte lijn die vast verbonden is met haar assensysteem ook in andere gegeven vaste verbinding sta met het assensysteem van eene tweede ruimtekromme s₁.

Eene dergelijke uitbreiding werd ook door üemoulin in 1893 behandeld, maar niet in hare algemeenheid opgelost. De krommen van Behtrand treden nog voor den dag bij andere onderzoekingen, die in de volgende §§ zullen worden vermeld.

Andere onderzoekingen tot deze groep behoorend zijn die van Serret (1853): Voor welke ruimtekrommen is de lijn van sphaerische kromming of de meetkundige plaats der kromtemiddelpunten eene gegeven ruimtektrrmme; die van Molins in 1874 en 1892 om de ruimtekrommen te bepalen tusschen wier kromtestralen eene gegeven betrekking bestaat, in 1883 om de ruimtekrommen te bepalen, voor welke eene gegeven betrekking tusschen den kromtestraal en den straal van den kromtebol bestaat en in 1884 om de ruimtekrommen te bepalen, voor welke eene gegeven betrekking tusschen den torsiestraal en don straal van den kromtebol bestaat. Aoust heeft in 1874 het vraagstuk door Serret vroeger behandeld nog eens ter hand genomen en in 1877 de ruimtekromme bepaald, zoodanig dat hare lijn van sphaerische kromming congruent is met die ruimtekromme, waarvan zij zelf de lijn van sphaerische kromming is. Ook Hoppe heeft deze vraagstukken, nadat zij eens gesteld waren, behandeld. Ten slotte zij nog vermeld dat naar aanleiding van eene opmerking van Darboux onderzoekingen over de ruimtekrommen met standvastigen torsiestraal zijn ingesteld door Koenigs (1887), Lyon (1890), Fouohé (1890), Fabry (1892 en 1896), Molins (1893) en Cosserat (1895).

§ 3. In § 1 is reeds vermeld dat Monge, Lanoret en Jaoobi over bet vraagstuk der evoluten en dat der evolutoïden hadden geschreven. Sedert heeft Molins in 1843 ditzelfde vraagstuk behandeld, maar tevens de omkeering, dat der evolventen en evolventoïden. Ook Hoppe heeft in 1855 en 1858 dezelfde vraagstukken behandeld, terwijl Aoust in 1877 zijne onderzoekingen heeft uitgestrekt tot de evolventoïden van hoogere orde.

Men kan deze vraagstukken der evoluten enz. beschouwen als bijzondere gevallen van het meer algemeene vraagstuk- der regeloppervlakken, ontwikkelbaar of niet, die door de ruimtekromme kunnen gebracht worden en aan bepaalde voorwaarden kunnen voldoen. Hiertoe behoort liet cyclificeerend oppervlak door Molins in 1856 behandeld, en de uitbreiding die Ennepeh in 1867 hiervan gegeven heeft. Evenzoo de vraag welke rechte lijnen vast verbonden met de ruimtekromme een ontwikkelbaar regeloppervlak vormen. Hiermede heeft zich het eerst Appell in 1879 bezig gehouden met betrekking tot eene schroeflijn, daarna Cesaro eerst in 1883 en dan zoo algemeen mogelijk in 1892. Bij die gelegenheid vestigde hij de aandacht op eene nieuwe klasse van ruimtekrommen. Dit onderzoek word door Andrade in 1896 opnieuw gedaan, zonder vermelding van zijn voorganger.

§ 4. Om eene ruimtekromme analytisch voor te stellen, gebruikte men oorspronkelijk de projecties op twee der coördinatenvlakken, d. w. z. men beschouwde de ruimtekromme als

4

de doorsnijding van twee cylinders. Maakt men dit meer algemeen, dan komt men er toe om do ruimtekromme te beschouwen als de doorsnijding van twee willekeurige oppervlakken, zoodat zij analytisch bepaald wordt door twee betrekkingen tusschen de coördinaten van een punt der ruimtekromme.

Men kan echter ook de coördinaten beschouwen als functies van een wil lek eurigen parameter, en het is deze voorstelling die bij latere onderzoekingen over ruimtekrommen vaak is aangewend. De formules, in deze onderstelling afgeleid, hebben het voordeel van zoo algemeen mogelijk te zijn; tevens zijn zij volledig symmetrisch ten opzichte der drie coör-dinatenassen, terwijl zij ook bij de eerste voorstelling der ruimtekrommen kunnen aangewend worden. Niets belet toch een der coördinaten tot parameter te kiezen en dan met behulp der gegeven betrekkingen de differentiaalquotiënten der beide andere coördinaten en van den boog af te leiden en in de algemeene formules te substitueeren. Dikwijls kiest men bij de laatote ■ viiiorstelling der ruimtekrommen den boog als onafhankelijk veranderlijke; dan wordt echter de algemeenheid opgeofferd aan eene geringe vereenvoudiging dor uitdrukkingen.

Slechts zelden vindt men echter zuiver analytische onderzoekingen der ruimtekrommen; meestal heeft men getracht de ingewikkelde formules, die met de analytische behandeling verbonden zijn, te vermijden door het gebruik van meetkundige en trigonometrische beschouwingen. Zuiver meetkundig is de theorie der ruimtekrommen behandeld door Schell, terwijl ook Mannheim in zijne vele onderzoekingen die op ruimtekrommen betrekking hebben, gebruik maakt van meetkundige beschouwingen. Deze laatste berusten meestal op cinematischen grondslag. Van dit laatste hebben ook Darboux en zijne navolgers gebruik gemaakt voor hunne meer analytische behandeling der ruimtekrommen.

§ 5. Ik heb, uitgaande van de parametervoorstelling der ruimtekrommen, in het volgende getracht langs zuiver analytischen weg een overzicht te geven van de voornaamste grootheden en eigenschappen die op ruimtekrommen betrekking hebben: slechts enkele onder-deelen zijn niet behandeld, zoo als de osculeerende kegels, de sphaerische torsie en het vraagstuk der vlakevoluten en vlnkevolventen, terwijl ik het vraagstuk der bijzondere punten ook onbesproken heb gelaten '). Tevens heb ik bij de verschillende grootheden bijzondere zorg besteed aan de keuze van het teeken; ik geloof dat in dit opzicht zoowel de meetkundige als analytische behandeling der ruimtekrommen verbetering eischen.

In Hoofdstuk I zijn de uitdrukkingen voor de verschillende kromtegrootheden afgeleid en met behulp hiervan bewezen de stelling van Langhet, benevens de formules van Frenet of Serret.

In Hoofdstuk 11 zijn de verschillende uitdrukkingen afgeleid die betrekking hebben op het rectificeerend oppervlak en is de stand der keerlijn ten opzichte der ruimtekromme bepaald; in aansluiting hieraan worden dan de schroeflijnen op cylinder en kegel behandeld.

In Hoofdstuk III wordt het pooloppervlak besproken; hierbij komen dan ter sprake de beide ruimtekrommen die op dit oppervlak gelegen zijn, de lijn van sphaerische kromming

') Met betrekking tot de singulariteiten van eene ruimtekromme in een bepaald punt, kunnen zich acht verschillende gevallen voordoen. Deze zijn behandeld: analytisch door Spottiswoode (1851), Painvin (1869), Björling (1889), Meder (1896), ^Yö 1 ffing (1896) en meetkundig behalve door Scliell ook door Chomé (1898)

ö

en de meetkundige plaats der kromtemiddelpunten; in aansluiting hieraan worden eenige eigenschappen besproken van sphaerische krommen en van ruimtekrommen met standvastigen eersten kromtestraal.

In Hoofdstuk IV worden behandeld de evolventoïden en evolventen, die op het oppervlak der raaklijnen kunnen geconstrueerd worden.

In Hoofdstuk V heb ik eenige formules afgeleid die betrekking hebben op regel oppervlakken in de gedaante waarin ik ze in 't vervolg wenschte toe te passen; in ditzelfde Hoofdstuk is dit geschied voor het oppervlak der binormalen.

In Hoofdstuk VI zijn die formules toegepast op het oppervlak der hoofdnormalen; in aansluiting hieraan heb ik dan zoo algemeen mogelijk de vraag beantwoord, wanneer het hoofdnormalenoppervlak van eene ruimtekromme weder het hoofd- of het binormalenopper-vlak van eene tweede ruimtekromme is.

In Hoofdstuk VII worden de evoluten der ruimtekrommen behandeld; eerst worden de coordinate»-vnn een punt der evolute afgeleid als functies van grootheden, die op de gegeven ruimtekromme betrekking hebben en daarna eenige eigenschappon besproken.

In Hoofdstuk VHI heb ik eenige speciale onderzoekingen vereenigd die hoofdzakelijk betrekking hebben op ontwikkelbare regeloppervlakken, welke door de ruimtekromme gebracht worden en aan zekere voorwaarden voldoen.

Ten slotte heb ik hieraan toegevoegd een zoo volledig mogelijk overzicht der literatuur, die op het onderwerp betrekking heeft.

HOOFDSTUK 1.

De kromtegrootheclen.

§ 6. Om eene ruimtekromme analytisch te bepalen, zullen wij ons voorstellen dat de coördinaten van elk punt dier kromme lijn bij een vast rechthoekig coördinatenstelsel zijn gegeven als functies van eene vierde onafhankelijk veranderlijke grootheid. Bij verandering der waarde van deze grootheid zal het beschouwde punt zich langs de kromme bewegen. Wij zullen onderstellen dat de onafhankelijk veranderlijke t achtereenvolgens alle waarden doorloopt van — oo tot oo en de bewegingsrichting langs de kromme lijn, die hiermede overeenkomt, zal, waar noodig, met den naam van „de positieve richting langs de krommequot; bestempeld worden.

Do vergelijkingen der kromme lijn komen dus in den vorm:

y = z = fA^t).........(1)

Differentiaties naar t zullen aangeduid worden door accenten, zoodat

dx ,, d'²x

^X=dt' *=^^equot;^z-

De lengte van een deel der kromme lijn, gerekend van af een. vast punt der kromme, in de positieve richting langs de kromme zal aangeduid worden dooi^- s; in onze notatie is dus

, . ds „ d'²s

^S ~ d t ' ^S ~dt'gt; ^enZ-

Wat betreft deze grootheid s zullen wij veelvuldig gebruik maken van de bekende formule:

s'²= xquot;² y'² zquot;².............(2)

en van die welke door differentiatie naar t hieruit volgen :

s' squot; = x'xquot; y'yquot; -*1- z' zquot; j

x'x'quot; y'y'quot; z'z'quot; x'quot;² yquot;² zquot;'² enz. \

(3)

8

§ 7. Behalve het vaste coördinatenstelsel kan men zich nog een bewegelijk rechthoekig coördinatenstelsel denken dat met de ruimtekromme in verband staat en dat gevormd wordt door raaklijn, hoofdnormaal en binormaal in elk punt der ruimtekromme. Noemen wij a._{ h_l c_x, a.₂ h., c.,, «3 /gt;₃ Cg de cosinussen der hoeken die raaklijn, hoofd- en binormaal resp. met A'-, en Z-AS maken, dan bestaan tusschen deze 9 grootheden de bekende betrekkingen ;

«i ^hi «i

A = j «2 b.₂ c₂

I ^a3 ^3 ^C3

en

waarin Ma_A voorstelt den onderdeterminant van A, behoorende bij het element a_x enz.

Fnnn (4) is gegrond op de onderstelling dat het bewegelijke coördinatenstelsel door verplaatsing in de ruimte kan samenvallen met het vaste coördinatenstelsel. Om eene bepaalde voorstelling te hebben, denken wij ons dat van dit laatste de X-as naar do achterzijde , de F-as naar rechts en de Z-ns naar boven is gericht.

In deze § zullen wij achtereenvolgens de richtingscosinussen van raaklijn, hoofd- en binormaal bepalen. Hierbij zullen wij deze lijnen zoo definiëeren dat wij, zonder gebruik te maken van meetkundige beschouwingen, zooals veelal geschiedt, hare richtingscosinussen ook wat het teeken betreft, ondubbelzinnig kunnen bepalen.

Wij vinden dan tevens gelegenheid eenige platte vlakken te vermelden, die met de kromme in verband staan en hunne vergelijkingen op te stellen.

Baaklijn is de grensstand van de rechte lijn, die een punt (x, j/, z) der kromme met het in positieve richting volgende punt der kromme verbindt, zoodat dus de positieve richting van de raaklijn samenvalt mot de positieve richting langs de kromme.

Uit deze definitie volgen terstond de formules :

«,| = x' : s'; amp;₁ = ij' : s'; = 0' : s'

Normaalvlak is het platte vlak door het punt («, y, s) loodrecht op de raaklijn gebracht. De vergelijking van het normaalvlak is dus :

■) x' (v — y) y' (Z — z) z'= 0..........(7)

Hier en later zullen £, 'J, ? voorstellen de loopende coördinaten en x, //, z die van een punt der ruimtekromme.

Kromtevlak is de grensstand van het platte vlak dat door drie opeenvolgende punten der ruimtekromme gaat.

Do vergelijking van een vlak door het punt (x, 1/, z) is :

A (? -x) B(v- y ) a(Z~z) = 0

Om uit te drukken dat dit vlak het kromtevlak is en dus ook door de beide volgende punten der kromme moet gaan, moet men volgens eene bekende redeneering hier nog de

9

beide vergelijkingen aan toevoegen, welke verkregen worden door deze vergelijking tweemaal naar t te differentiëeren, dus:

Ax' By' fo' = 0 Axquot; Byquot; Czquot; = 0

Elimineert men dan A, B en C uit deze 3 vergelijkingen, zoo vindt men de vergelijking van het kromtevlak in de gedaante ;

1 ? — a: n — y Z — z x' y' Z'

xquot; yquot; zquot;

Hoofdnormaal is de snijlijn van normaalvlak en kromtevlak. Indien men nu echter uit (7) en (8) de richtingscosinussen rt.₂ bepalen, ondervindt men eene moeilijkheid bij

het bepalen van het teeken. Om dit te vermijden, moeten wij nog nader aangeven, hoe wij de positieve richting der hoofdnormaal zullen bepalen.

Kromtevlak en normaalvlak in het punt (x, y, z) der kromme, benevens het normaal-vlak in het volgende punt, snijden elkander in een punt der hoofdnormaal. Wij denken ons de hoofdnormaal getrokken van het punt der kromme naar bedoeld snijpunt.

Om dat snijpunt te bepalen, moeten wij bij de vergelijkingen (7) en (8) nog die voegen, welke verkregen wordt door (7) naar t te differentiëeren, waarbij echter in het oog gehouden moet worden, dat §, ^, '( dan geen loopende coördinaten zijn, maar de coördinaten van bedoeld snijpunt.

Die derde vergelijking wordt:

(£ - x) xquot; (»-lt;/) yquot; (?-*) = s'².

Uit deze 3 vergelijkingen volgt terstond ;

en 2 andere vergelijkingen die men hieruit kan afleiden door cyclische permutatie der grootheden die respectievelijk op X-, Y-, Z-as betrekking hebben.

Men kan den teller van den gevonden vorm schrijven in de gedaante :

en den noemer in de gedaante: ¹) zoodat wij ten slotte verkrijgen :

¹

Zie voor de notatie o. a. H. D ö 1 p ; Die Determinanten.

10

De noemer is de som van 3 quadraten en dus zeker positief. De richtingscosinussen van liet positieve deel der hoofdnormaal zijn nu evenredig met s'xquot; — squot;x' enz., zoodat zij bepaald worden door:

waarbij de wortel in den noemer positief moet genomen worden.

Men kan den vorm onder het wortelteeken nog herleiden tot:

s'*{xquot;* t/quot;² zquot;²) squot;²{x'² ij'* e'²) — 2s'squot; {x'xquot; y'tjquot; z'zquot;) = s'² {xquot;² y'quot;² zquot;² — squot;²)

en dus gaat (10) over in :

De binormaal is de loodlijn op het kromtevlak; hierin ligt opgesloten dat zij loodrecht staat op twee opeenvolgende elementen der ruimtekromme; hare positieve richting zullen wij bepalen door de voorwaarde, dat voldaan moet zijn aan (4).

Ter bepaling van «g, i₃, c₃ maken wij dan gebruik van (5). Dan is:

sy{xquot;² yquot;² zquot;²â€”squot;²)

zoodat wij voor de richtingscosinussen der binormaal verkrijgen:

liectificeerend vlak is het vlak door het punt der ruimtekromme loodrecht op de hoofdnormaal gebracht.

Uit (11) vinden wij voor de vergelijking van het rectificeerend vlak :

11

Bij het onderwerp dat ons bezighoudt, zullen wij sproken van l^st6n, 2^de11 of 3^dcn kromte-hoek, al naarmate wij het oog hebben op raaklijn, hoofd- of binormaal. Hierbij moet opgemerkt worden dat ik ter wille van de notatie, de gewone beteekenis aan den 2^dei1 en 3^den kromtehoek gegeven, verwisseld heb.

De grenswaarden van de verhoudingen dier oneindig kleine hoeken tot de aangroeiing der onafhankelijk veranderlijke zullen wij respectievelijk voorstellen door en Ö3'.

Indien de richtingscosinussen van eene lijn zijn «, 6, c, waarbij a, h, en c functies zijn van eene onafhankelijk veranderlijke t en indien haar kromtehoek Ö is, dan geldt de formule

Ö2 ₌ {daf -1- {dhf (ffc)²...........(14)

Deze formule kan aldus worden afgeleid: '')

Noem de richtingscosinussen van eene lijn «, ft, c, van eene tweede lijn ft', c' en den hoek tusschen beide lijnen 4, dan is

cos ^ = a a' ft ft' -t- c c'.

Indien nu de lijnen («, ft, c) en («', ft', c') opeenvolgende standen van dezelfde lijn zijn, dan is ^fJ oneindig klein, zoodat men cos ^f! kan vervangen door 1 — | ^'², waarbij de ontwikkeling wordt voortgezet tot en met oneindig kleinen van de 2^de orde. Maar dan moet men ook stellen:

a' = « da ^ d-a

en 2 soortgelijke uitdrukkingen voor ft' en c', evenzoo met behoud der oneindig kleinen van de 2^de orde.

Bovenstaande uitdrukking geeft dan:

1 — -^² = a {a da fyPa) ft(ft rfft |rf²ft) c(c dc ^d-c).

Nu is

«2 /,2 _C2 _{= 1 en} a'2 b'2 _c'2 ₌ J

maar de laatste betrekking levert met behoud der oneindig kleinen van de 2^dl! orde 2 (« da ft db c dc) {ad'² a hd- ft cd² c) -t- J {da)'² (f/ft)² -f- {dc)'² | = 0

of: (« da h dh c dc) ^{ad² a hcT² ft erf'² c) = — ^ | {da)² -f- (r/ft)² {dc)'² |

Hiermede vindt men nu:

1—|^ = 1—^j(rfa)² (rfft)2 (rf_c)²|

of: h² = (da)² (rfft)² (rfc)².

Zooals uit de afleiding blijkt, stellen in (14) «, ft en c de volledige uitdrukkingen voor de richtingscosinussen voor. In sommige gevallen is het echter eenvoudiger alleen gebruik te

1) Zie o. a. Leroy. Analyse appliquée a la Geometrie des trois dimensions.

maken van de verhoudingsgetallen voor bedoelde cosinussen, maar dan moet (14) eene transformatie ondergaan.

Zij dus

a : p = 6 : 5 = c : r = 1:)/ (p² j² 4- r²)

waarbij de wortelvorm overal hetzelfde teeken behoudt.

Men vindt dan:

da = (F* f ^²) X dj) — p Qcfy) -t- qdq rdr)

(^2 _|_ ^2 _|_ _r'l) |

en 2 soortgelijke uitdrukkingen voor dh en de.

Door in 't quadraat te brengen, op te tellen en te herleiden, vindt men :

₂ 2² r²) j {dp)² ((fy)² {dr)-1 — {pdp qdq rdr)²

{p² q² r²)²

Deze formules zullen wij toepassen ter berekening van 0/, 0.₂', en ^₃'.

A. wordt gevonden door toepassing van (14) in den vorm:

ö'² = a'² W²

Hierin is volgens (6)

en dus

of volgens de herleiding in § 7

V² = x (^£Pquot;² !/quot;² «quot;² — ^squot;²)

en dus

0/ = x y{xquot;² yquot;² zquot;² - squot;²) .

In deze formule zullen wij aan den wortelvorm het teeken geven in overeenstemming met de gewoonte om den eersten kromtehoek steeds positief te nemen.

13

B. ó.₂' wordt gevonden door toepassing van (15) in den vorm:

\ p q r

II p' l' r'

op

{P¹ f ^²)² waarin wij moeten substitueeren volgens (11):

s x

P =

en evenzoo:

s' tj z' ₎ s x

squot; yquot; zquot; ¹ en rp' — r'p —s'

ju m in i

s iy z | .

Verder is volgens vroegere herleiding:

pi ql _r2 = s'2 (a;quot;2 yquot;'i ^quot;2 _ ,,quot;2)

zoodat wij vinden :

s'(^quot;² y'quot;¹ ^quot;² - Squot;²)

Waar noodig zullen wij 4.₂' steeds positief nemen.

O. wordt gevonden door toepassing van (16) in den vorm:

'³ (p² lt;2²-H'²)² waarin wij volgens (12) moeten substitueeren:

Evenals onder B vinden wij nu:

14

en evenzoo:

x y z xquot; yquot; zquot; xquot;'yquot;'zquot;'

De noemer is steeds positief als ontstaan uit de som van 3 quadraten; indien wij nu ^ steeds als eene positieve grootheid wilden beschouwen, zouden wij in den teller een of — teeken moeten plaatsen, al naar het teeken van den determinant; eenvoudiger is in elk geval eenzelfde teeken te gebruiken, maar dan wordt het teeken van den 3^lt;len kromtehoek afhankelijk van dat van den determinant in den teller; wij hebben hier het — teeken gekozen om in overeenstemming te blijven met de formules van Serbet '), terwijl het teeken ons tot de formules van Fbenet voert²). Aan dit laatste o.a. door de Saint-Venant gedaan, geven Catalan ³) en Darboux ⁴) de voorkeur.

§ 9. Het ligt voor de hand te trachten de ingewikkelde uitdrukking (17) voor 4,/ tot eene meer eenvoudige te herleiden. Terwijl wij die herleiding hier geven, vinden wij tevens gelegenheid het bewijs van het theorema van Lanoret te leveren.

Stellen wij den vorm onder het wortelteeken in de uitdrukking voor 0₂' ter bekorting A, dan is:

\\x' y' z' s'

A ==H xquot; yquot; zquot; squot;

11 xquot;'y'quot;zquot;'squot;'

Nu is:

¹

F. P r e n e t. (1847)

²

J. A. Serret ('1851)

³

E. Catalan. (1877)

⁴

G. D a r b o u x. Legons sur la théorie générale des surfaces. 4^it!n'e partie p. 428.

15

Dit is het „theorema van Lanceetquot;.

Tevens volgt nog uit bovenstaande herleiding, dat men A in den vorm kan brengen:

Hiermede kan men dus schrijven:

16

Eene andere afleiding van het theorema van Lanoret moge hier haar plaats vinden, omdat wij daardoor in de gelegenheid zijn eene herleidingsmethode aan te geven, die nog meer gebruikt zal worden.

Gemakkelijk vindt men dat:

i ..quot;2 i I t lt;

x - ij - ■ z - — g | x IJ

7 xquot; tlquot;

Hiermede wordt:

of daar;

(_Xquot;2 yquot;2 zquot;2__ _squot;y_

Wij vinden dus dezelfde uitdrukking voor A als bij de eerste afleiding; hieruit volgt dan op dezelfde wijze het gevraagde theorema.

Hoewel langs indirecten weg het bewijs van deze stelling eenvoudiger kan geleverd worden, heb ik gemeend dit directe bewijs niet achterwege te moeten laten.

In de formule van Lancret komen l^ste en 3^de kromtehoek op dezelfde wijze voor, terwijl de 2^de kromtehoek (ook wel totale kromtehoek genoemd) eene afzonderlijke plaats inneemt. Raaklijn en binormaal, waarvoor l^ste en 3^d0 kromtehoek gelden, bezitten ten opzichte van elkander eene wederkeerige eigenschap, die de hoofdnormaal mist. De binormaal staat namelijk loodrecht op 2 opeenvolgende raaklijnen en de raaklijn loodrecht op 2 opeenvolgende binormalen, zooals met de straks af te leiden formules gemakkelijk kan worden aangetoond.

§ 10. Wij zullen een kromtestraal definiëeren als de verhouding van boogelement en kromtehoek; het is duidelijk dat wij dan kunnen stellen :

Met behulp der afgeleide formules kunnen wij deze kromtestralen uitdrukken als functies van de differentiaal-quotiënten der coördinaten; veel toepassing zullen deze uitdrukkingen

17

echter niet vinden. Hierbij kan opgemerkt worden dat het theorema van Lancret (19) bij invoering der kromtestralen na deeling door s'² overgaat in :

~ = 1 ~............(22)

Pz- Piquot; Ps

de vorm waarin de stelling gewoonlijk wordt opgegeven, terwijl (19) de vorm is, waarin de . stelling door LANCiiET zelf is afgeleid. ■').

Zooals uit (21) blijkt hebben deze kromtestralen de beteekenis van lijnen.

Echter staat alleen p, in een direct eenvoudig verband tot de kromme; hij is namelijk de straal van den cirkel die eene aanraking van de orde met tie gegeven kromme bezit d. w. z. door 3 opeenvolgende punten der kromme gaat.

Noemen wij den straal van dien cirkel p., en de coördinaten van het middelpunt X, F, Z, dan is, omdat dit punt in hot kromtevlak moet gelegen zijn volgens (8):

\X — x Y—ij Z-z\

x' y' ' z' |=0

n ' u n

\ X ij z \

Verder is inftten wij de reeds meer gebruikte redeneering (§ 7) toepassen:

(x-xf (y-# zf

{X — x)x' (F — ij)y' (^— z)z' = O (X — x)xquot; (F — y)/yquot; (Z— z)zquot; = ,s''²

Het blijkt dat de l⁸'⁰, 3^l,e en 4^do vergelijking identiek zijn met de vergelijkingen in § 7 gebruikt om het snijpunt te bepalen van het kromtevlak met 2 opeenvolgende normaalvlakken, zoodat dit snijpunt identiek is met het gezochte middelpunt. Wij kunnen dan echter terstond (9) gebruiken in de gedaante:

_ / I S X

X — X =S ; ,, ,,

s' z' |² I

iquot; yquot; I i ..quot;2 i ..quot;2 i 2quot;2 _^quot;2

^{Pi —} (^² i/quot;² zquot;*-8quot;*f ^X (Is'V I quot;h s'Y t *quot;zquot; | j ,,.quot;2 _;l en dus:

s'² s'

^Pi ~ y(xquot;² yquot;* zquot;² - squot;²) ^— 1/

welke uitdrukking met (21) overeenstemt.

Deze cirkel draagt den naam van kromtecirkel, en het middelpunt dat door (23) bepaald wordt, den naam van kromtemiddelpunt.

i) Zie o. a. L an or et: (1802); de Saint-Venant (1844).

3

18

§ 11. Uit het theorema van Lancret volgt dat de totale kromtehoek alleen nul kan worden, indien de beide andere kromtehoeken gelijktijdig nul zijn.

1°. Zij (5/ = 0 voor alle waarden van i.

Dan is dus:

_a!quot;2₄._2/quot;2 ^quot;2__squot;2 ₌ 0 of volgens de herleiding op blz. 14:

I II

x y z

fi' n .ii

x y z

elk punt der kromme.

Hieruit volgt in verband met de eerste opmerking van deze § dat de totale kromtehoek alleen bij eene rechte lijn in elk punt 0 kan zijn,

2o. Zij 0g' = 0, 0/ ^ 0 voor alle waarden van t, dan volgt uit (18) als voorwaarde voor dit geval:

x y z xquot; yquot; zquot; xquot;'y'quot;z'quot;

\ X '\ l \ ~ •

Deze differentiaal-vergelijking kan men met behulp van den factor x :! 1 mtegreeren.

Men vindt dan:

x' zquot; — xquot; z' = C{x'yquot; — xquot;tj'),

of door 2'^Ie integratie na deeling door x'^L\

(\ x' -'r G^y' z' — 0

en dus na !3^de integratie:

x C.2 y Cy z — ('^

vlak. In het geval van van t hebben wij dus te doen met eene vlakke kromme. ^

¹

Pit resultaat had ook afgeleid kunnen worden uit de algemeene theorie van deze differentiaalvergelijkingen.

19

Indien 0/ of ög' nul zijn voor slechts enkele waarden van t, leveren de waarden waarvoor flit het geval is de buigpunten der kromme op.

Wij kunnen toch met Monge twee soorten van buigpunten onderscheiden namelijk de „points d'intiexion simplequot; waar alleen de 3'^le kromtehoek nul is en de „points d'inllexion double¹' waar de l^8,e kromtehoek nul is. ')

§ 12. Wij zullen thans berekenen de differentiaal-quotiënten der gevonden richtingscosinussen en vinden op die wijze de formules van Sebret. Dit behoeft alleen te geschieden voor de grootheden die betrekking hebben op de X-as, terwijl voor de overige coördinaten-assen het resultaat gevonden wordt door eene permutatie der grootheden.

1°. Uit (6) volgt door differentiatie;

]/ (a;quot;² yquot;² z'quot;¹ - squot;²)

s'²^ I squot;xquot; I s' ' ^x «'J/(«quot;² 'j'quot;² «quot;² - squot;²)

en dus:

a₁'=^'x«2 ^enz.....

'2°. Uit (11) volgt door differentiatie en herleiding:

/ «S X n in , n ./// . .ju j' 'n\

•s x ~\~y lf -\-z Z —6 -S j

_g'2(_a,quot;2 _yquot;2 ₀quot;2__squot;²)|

S S

0 _Xquot;2 ,/'2 _zquot;2__squot;2 (_Xquot;2 ,jquot;2 _Zquot;2 _ ,,quot;2) _xquot;_xquot;' _y'yquot; _zquot;_zquot;' _ _squot; _Squot;

s'²(xquot;² I/'quot;² zquot;² - squot;²)%

S S X

0 s^,xquot;-squot;x'\

x'x'quot; t/'/quot; z'z'quot; — s' siquot;' 'xquot;x'quot; yquot;i/quot; zquot;z'quot; — squot;squot;' s'x'quot; — squot;'x' \

squot;² (xquot;² yquot;² -L- -quot;2

xquot;² yquot;² zquot;'

{x yquot;² zquot;² — ,squot;²) xquot;xquot;' yquot;yquot;' zquot; z'quot; —squot;s

s'²(_Xquot;² 4- yquot;² zquot;² — squot;2)i

¹

Monge: (1771) of Monge. Applications de l'Analyse a la Géométrie.

'20

(27)

x' )/(^quot;¹ |/quot;² ^quot;²-squot;²) 7 ^x ----------------Tquot;.....

s'V'² «/quot;² z'quot;³ — squot;²^

= — 0.3' X a₃ — V X enz

3°. Uit (12) volgt door differentiatie en herleiding .

itn. \v Z i li n m 1 n Hl 1 11 m '1 quot;\ 1'/ ^ squot;²) K,, quot; — s (a: X y y z z — .s s )r» ,

!/ « I

₈'2(_a.quot;2 _?/quot;2 ^quot;2__squot;2₎i

0

0 a-quot;² yquot;² zquot;² — .S'quot;² lizquot; — yquot; z'

x'x'quot; y'y'quot; z'z'quot; — s' xquot;.rquot;' r/'y'quot; zquot;z'quot; — squot; .s'quot; y'z'quot; — yquot;'z'

ji'*(xquot;² y'quot;² zquot;² — squot;²)S

IL\ It, III I'

- v y

'X y* z- XX

x'xquot; y'yquot; z'zquot; xquot;'¹ //quot;quot; zquot;- yzquot; — yquot; z' x'x'quot; 'i/y'quot; z'z'quot; xquot;x'quot; 4- yquot;y'quot; zquot;z'quot; y'z'quot; — y'quot;z'

^(a:quot;² yquot;² 2quot;²â€”,squot;²)i

z z .quot;2

»'» (xquot;² yquot;² «quot;² - squot;²)l s'² (zquot;² yquot;² -

§ 13. Volledigheidshalve geven wij hier de gewone afleiding van deze belangrijke formules.

Wij maken gebruik van de betrekkingen welke tusschen de 9 richtingscosinussen bestaan, namelijk:

terwijl elke term in dezen determinant gelijk is aan den bij behoorenden minor. Bovendien nemen wij als bewezen aan:

a_A' = 0/ X «2 enz. (26) en 6^' = \/ {c(₃quot;² /;_;jquot;² C3'²).

Door differentiatie der 6 eerste betrekkingen verkrijgen wij o. a.:

¹

A , quot;Iquot; ^2^2 ^2^2 ^=:=: ®

²

«3«2' ⁶3^amp;2' ^C3^C2' = — («2^a3' «W)

³

hjl).}' 4- 0^2 — — Óf

ig' : 6,₂ = 03': _C.₂ =ê₃':l of:

= 6_a' X «2 enz. Hiermede worden de formules (A):

quot;tquot; quot;1^2' ⁼⁼ — ^l' ' 'l'/¹-/ quot;tquot; h'2p2 quot;lquot; ^C2^C2' — ^ ! «3«2 quot;lquot; ^3^2' quot;tquot; ^C3^C2 ~ ^—' ^3'

«2' = — quot; «sV

Bij de afleiding van (28) uit (B) hadden wij ook kunnen stellen «./ = — x f'., enz, en zouden dan in plaats van (27) gevonden hebben ff₂'= — «3 enz. cl. z. de formules van Feenet.

In verband met de opmerking in § 8 en de afleiding in § 12 blijkt het verschil tusschen de formules van Sebket en Fbenet in verband te staan met het verschillend teeken dat aan den 3^den kromtehoek kan gegeven worden.

Om aan dit verschil eene meetkundige beteekenis te geven, zullen wij den afstand berekenen van een punt der kromme tot het kromtevlak door het onmiddellijk daaraan voorafgaande punt.

Hiertoe brengen wij de vergelijking van het kromtevlak (8) in den vorm:

\x y z

a₃ f - ■ 63 ^ c₃ C = I x' y' z'

\ xquot;yquot;zquot;

De afstand van het punt (?, v,, 4') tot dit vlak is dus:

xyz

x' y' z' ! : s' 1/ (xquot;² yquot;'¹ z'quot;² - squot;gt; xquot;yquot;zquot; ;

Van het onmiddellijk volgende punt der kromme zijn de coördinaten :

x x' dt ■

£ = -r

en dus wordt de gevraagde afstand omdat volgens (12):

a^x' 4- h₃y' c₃z' = 0, a_dxquot; h^yquot; c%zquot; = 0

22

■ ■ / / / I

1 X'jz

L = aquot; //quot; zquot; \ dP : s' l/^'quot;¹ yquot;² 2quot;² — squot;²) =

⁵ I xquot;'ljquot;'zquot;' I

= _ rfiS,

Hieruit volgt dat indien de 3²'^e kromtehoek positief is, de binormaal en het volgend element der kromme aan verschillenden kant van het kromtevlak gelegen zijn en indien negatief aan denzelfden kant.

Hadden wij echter voor den 3^don kromtehoek het teeken gekozen dat tot de formules van Fbenet voert, dan zon de conclusie juist andersom zijn wat trouwens reeds door Fhenet zelf is opgemerkt. Daeboux (loc. cit.) spreekt dit verschil uit met behulp der begrippen van rechtsche en linksche winding; evenzoo Raffy. '')

§ 14. Wij hebben in elk punt van een ié» ........ I ..........................beschouwen drie ouderling-

loodrechte lijnen, benevens de vlakken door die lijnen twee aan twee gebracht.

Beschouwen wij nu die lijnen en vlakken voor do verschillende punten der kromme, dan vormen die lijnen en vlakken in hun opeenvolgendé standen regeloppervlakken, ont-wikkelbaar of schoei, die in nauw verband staan met de kromme.

Ue rectificeerende vlakken omhullen een ontwikkelbaar oppervlak: het rectifi'ceerend oppervlak. De beschrijvende lijnen van dit oppervlak zijn de rectificeerende lijnen, dat zijn de snijlijnen van elke 2 opeenvolgende rectificeerende vlakken. Elke 2 opeenvolgende rectificeerende lijnen snijden elkander in een punt dat behoort tot de keerlijn van het rectificeerend oppervlak, welk punt ook bepaald kan worden als het snijpunt van 3 opeenvolgende rectificeerende vlakken.

De normaalvlakken omhullen een ontwikkelbaar oppervlak: het pooloppervlak (surface polaire). De beschrijvende lijnen van dit oppervlak zijn de poollijnen (axe polaire), dat zijn de snijlijnen van elke 2 opeenvolgende normaalvlakken. Elke 2 opeenvolgende poollijnen snijden elkander in een punt, dat tot de keerlijn van het pooloppervlak behoort, welk punt men ook kan beschouwen als het snijpunt van 3 opeenvolgende normaalvlakken. Deze keerlijn draagt den naam van lijn van xphaerische kromming.

De kromtevlukken omhullen eeu ontwikkelbaar oppervlak, het oppervlak der raaklijnen, (surface des tangentes), dat de gegeven kromme tot keerlijn heeft.

Daar 2 opeenvolgende binormalen elkander niet snijden, vormen de opeenvolgende binormalen een scheel regeloppervlak: het oppervlak der binormalen.

Eveneens vormen de hoofdnormalen een scheel regeloppervlak: het oppervlak der hoofdnormalen.

De raaklijnen vormen een ontwikkelbaar regeloppervlak, waarvoor de ruimtekromme keerlijn is en dat dus samenvalt met het oppervlak door de kromtevlakken omhuld.

¹

Zie ook: Kneser (1894), Weyr (1894), Stan de (1895), Raffy en d'Ocagne (1896).

²

L, Rat'fy. Lecjons sur les applications géométriques de l'analyse, Paris 1897.

HOOFDSTUK II.

Het rectificeer end oppervlak.

§ 15. De vergelijking van liet reotifioeerencl vlak is gevonden in den vorm:

Om hieruit de vergelijkingen der rectificeerende lijn d. i. do snijlijn van 2 opeenvolgende roetificeerende vlakken af te leiden, moeten wij deze vergelijking combineeren met die, welke er door differentiatie naar t uit voortvloeit.

Men vindt dan:

De rectificeerende lijn wordt dus bepaald door de vergelijkingen (13) en (29).

Noemen wij de richtingscosinussen der rectificeerende lijn /, w, n dan volgt uit beide vergelijkingen;

m

s y — s y s z — s z

/ /// n/' / / m /// /

s y — s y s z — s z

of volgens de herleiding van § 8 B en (17):

n

. . (30)

'24

§ 16. De rectificeerende lijn staat loodrecht op '2 opeenvolgende hoofdnormalen, omdat zij gelegen is in 2 opeenvolgende rectificeerende vlakken; ook analytisch kan men dit gemakkelijk aantoonen, door de richtingscosinnssen te bepalen van de lijn, die loodrecht staat op '2 opeenvolgende hoofdnormalen.

De voorwaarde dat de lijn (7, m, n) loodrecht staat op '2 opeenvolgende hoofdnormalen wordt uitgedrukt door de vergelijkingen :

li₂ 4- mb., nc.2 = 0\ la.,' mb.,' nc.^ = 0.

Deze vergelijkingen gaan met behulp van (10) en de formules in § 12, '2°. over in:

welke vergelijkingen overeenstemmen met die welke in de vorige § ter bepaling van do rectificeerende lijn zijn afgeleid.

§ 17. De grootheden m, n voldoen aan eene belangrijke betrekking, die het eerst door Lancbet gevonden is.

Tn § 9 is reeds gevonden:

Hiermede kan (30) geschreven worden:

x y z

xquot; yquot; zquot; / ' fff ' /ff

ió'-^x X 2 — ,/ ^ f/ , , //ö

8' s'(*''² ,'/quot;'² «quot;²- 8quot;²) s')/(agt;quot;² «/quot;²-Mquot;^a-squot;²)

of: . 10-2 — — enz, . .

Door in het quadraat te verheffen en op te tellen volgt hieruit opnieuw het theorema van Lancret.

§ 18. Uit de gevonden uitdrukkingen voor /, m en n zullen wij berekenen de hoeken, die de rectificeerende lijn maakt met de assen van het bewegelijke coördinatenstelsel. Volledigheidshalve toonen wij aan dat de hoek met de hoofdnormaal \ tt is.

De cos. van dien hoek is:

__l__| ^s' |x

s'²V(«quot;² //quot;- — Squot;²)^ i ^s ^ I

Hieruit volgt dat de hoek met de hoofdnormaal

Zij verder de hoek tusschen de rectificeerende lijn en de raaklijn 3C en de hoek tusschen de rectificeerende lijn en de hinormaal I, dan is:

cos K == lci_A rnbi wc,! =

x y z xquot; yquot; zquot; xquot;'yquot;' zquot;

s^,V(^^,2 ^^,2 ^^,2—squot;²)

COS I = l CU

---¹----iXïlü'V'lx

s'²V(^quot;² yquot;² «quot;²quot;squot;²)^ ^

^quot;2 _2!quot;2__squot;2 ■ squot;²) xquot;x^,quot; yquot;y'quot; zquot;zquot;'—squot;squot;

™quot;2

26

dïi

Deze uitdrukking zullen wij gebruiken ter berekening van -j-- of Jf'.

,xyz s xquot; yquot; zquot; squot; \ _ _n x'quot; y'quot; z'quot; s'quot; ^— xquot;quot;yquot;quot;zquot;quot;squot;quot;

___D__

s'd₂'²(xquot;² ijquot;* zquot;²-squot;²)l

i

27

§ 19. Ter berekening van den hoek tusschen 2 opeenvolgende rectificeerende lijnen maken wij gebruik van (15) waarin wij moeten substitueeren volgens (30):

Vorder is: ¹)

Pi' ~~ P I — ^Zquot;^Squot; i X D enz. en dus :

Hiermede vinden wij , indien wij de grens van den hoek tusschen 2 opeenvolgende rectificeerende lijnen gedeeld door dt, V noemen:

_r2 _. s'v² ,r- 0quot;² - xquot;²) x D²

s'⁴^'⁴ («quot;² //quot;² zquot;quot;- — squot;²)⁴

§ 20. De uitkomst der berekening in § 19 leert ons dat de verandering, welke de hoek tusschen raaklijn en rectificeerende lijn bij overgang tot het volgende punt der kromme ondergaat, gelijk is aan den hoek tusschen de beide correspondeerende rectificeerende lijnen. Ontwikkelt men dus het rectifioeerend oppervlak in een plat vlak, dan vallen elke twee opeenvolgende raaklijnen na die ontwikkeling in elkanders verlengde d. w. z. de kromme lijn gaat bij die ontwikkeling over in eene rechte lijn.

Tot dezelfde conclusie komt men ook door op te merken, dat in elk punt der ruimtekromme het kromtevlak der kromme loodrecht staat op het raakvlak aan het rectificeerend oppervlak in het beschouwde punt (d. i. het rectificeerend vlak der kromme); de ruimtekromme is dus eene geodetische lijn op het rectificeerend oppervlak d. w. z. zij gaat bij ontwikkeling hiervan over in eene rechte lijn.

Het is naar aanleiding van deze eigenschap dat Lancuet in zijne reeds aangehaalde verhandeling aan het oppervlak dat wij nu besproken den naam van rectificeerend oppervlak gegeven heeft.

¹

E, Baltzer. Theorie und Anwendung der Determinanten, 2quot; Aufl; § 6, 2.

28

§ 21. Langs twee wegen kunnen wij berekenen de coördinaten van een punt der keerlijn van het reotiliceerend oppervlak. Wij kunnen liet namelijk beschouwen als het snijpunt van drie opeenvolgende rectificeerende vlakken, of als het snijpunt van twee opeenvolgende rectiflceerende lijnen.

De vergelijking van het rectificeerend vlak is volgens (13);

Moet men nu het snijpunt bepalen van dit vlak met de beide rectificeerende vlakken in de beide volgende punten der kromme, dan moet men deze vergelijking combineeren met die, welke er door tweemaal naar ( te differentiëeren uit voortvloeien. Dan zijn echter $, y, £ niet meer loopende coördinaten, maar de coördinaten van bedoeld snijpunt.

Bij bovenstaande vergelijking moeten dus nog gevoegd worden:

Hieruit volgt:

De eerste determinant kan herleid worden tot:

29

Maar wij kunnen ook het snijpunt bepalen van twee opeenvolgende rectificeerencle lijnen. Volgens (30) zijn de vergelijkingen der rectificeerende lijn:

Hieraan moeten toegevoegd worden de vergelijkingen der volgende rectificeerende lijn, welke, wanneer wij v, ? de coördinaten van het snijpunt noemen, de volgende betrekkingen opleveren:

Stellen wij de gemeenschappelijke waarden der 3 eerste vormen A en der B laatste vormen /-4, zoodat dan A en ft, voorloopig nog onbekende, functies van t zijn, dan gaan do 3 laatste vergelijkingen na substitutie uit de 3 eerste over in:

y ^z

■ ij. x squot; yquot; zquot; =0 enz.

is y z i

De determinant van het laatste stelsel vergelijkingen, is na oplossing volgens de elementen der l⁸'^c kolom, afgezien van het teeken:

volgens de herleidingsformules in § 19.

Deze vergelijkingen zijn dus van elkander afhankelijk, een gevolg van de omstandigheid dat twee opeenvolgende rectificeerende lijnen elkander snijden.

30

Vermenigvuldigen wij de drie vergelijkingen resp. met y', z' en tellen op, dan vinden wij:

Vermenigvuldigen wij deze vier vergelijkingen resp. met: en tellen op dan vinden wij:

A x D xquot;- y'

xquot;* yquot;*

D

Met behulp van deze waarde voor A vinden wij dezelfde waarden voor § — x enz. als in (37).

Noemen wij den afstand van een punt der ruimtekromme tot het correspondeerende punt der keerlijn van het reotificeerend oppervlak L, dan volgt door vergelijkiijg van (30) en (37):

_ s'0₂' {xquot;'¹ //quot;² *quot;2 - squot;²)² D

Door gebruik te maken van de formules (35), (16) en (33) kan deze uitdrukking geschreven worden in den vorm:

_r s' sin 3C

_r .............(385)

Opgemerkt moet worden dat D, L en K' hetzelfde teeken hebben.

§ 22, Nu wij eenmaal de coördinaten van een punt der keerlijn van het reotificeerend oppervlak gevonden hebben, kunnen wij de belangrijkste kromtegrootheden dier lijn bepalen.

Hiertoe beginnen wij met do differentiaalquotiënten dier coördinaten naar t te bepalen, namelijk £', j/ en waaruit wij door in het quadraat te verheffen en op te tellen het element er' dier keerlijn vinden.

Uit (37) volgt door differentiatie:

X

31

squot;²) x D' ^{1 s} ——- x

Indien wij de beide eerste termen onder den gemeensclmppelijken noemer D brengen, wordt de teller:

Hiermede wordt:

Hieruit volgt door in het quadraat te verheffen en op te tellen in verband met (17):

t' = ± s'6₂' («quot;² yquot;'² zquot;* — squot;²) x E........(40«)

waarin het of — teeken moet genomen worden al naarmate E positief of negatief is, Indien wij nagaan hoe E ontstaan is, dan vinden wij terstond:

32

Dit wordt bij gebruikmaking van (16), (38), (35) en (38b):

1 fs'sin² JfT [LsinJt]' , ._n .

' = TÖT ^xL^i^Jquot;linTr........^

waarmede de uitdrukking gevonden is, zooals zij o. a. bij de Saint-Venant (loc. cit.) voorkomt.

§ 23. Met behulp der in § 22 gevonden uitdrukkingen zullen wij bepalen do richtingscosinussen van raaklijn, hoofd- en binormaal der keerlijn van het rectificeerend oppervlak. 1°. Richtingscosinussen van de raaklijn: as.j, p.,,

Door toepassing van (6) vinden wij:

i s' ij' z' ¹

= e' ; cr' = squot; tjquot; zquot; \ : s' (J₂' (a;quot;² (/quot;²

I /n m m

I s ,'/ « 1

De raaklijn aan de keerlijn van het rectificeerend oppervlak en de rectificeerende lijn hebben dus dezelfde of tegengestelde richting, al naarmate E positief of negatief is. 2°. Richtingscosinussen van de hoofdnormaal: /^2) quot;/i-Volgens (10) is:

n yn

' |2 | y

quot;T i l'^ll

Nu is volgens § 22: % — ± l en dus = (Z uquot; l' cr').

Hiermede wordt:

waar het of — teeken wordt genomen, al naarmate E positief of negatief is.

De noemer wordt dus:

(r'²J/[z'² m'- w'²J — ir'² Jf' (volgens § 19)

waarin het of — teeken moet genomen worden, al naarmate 3f' (en dus ook D) positief of negatief is.

Hiermede vinden wij:

«2 —

of — teeken moet genomen worden, al naarmate E en D gelijk of ongelijk

waarin het

teeken bezitten.

Wij zullen nu berekenen l'.

Volgens de notatie van § 19 is: l = p ^ (pquot;¹ q¹ r²) en dus:

q (p'q —pq') r jp'r — pr') (p² -h q² r²)l

— X

_s' (^quot;2 _yquot;'l ^quot;2 _ ,.quot;2)

s' x' | . i s' x' x'quot; ij' y'quot; z' zquot;' - s' s'quot; | squot;xquot; j I squot; xquot;xquot;' yquot;yquot;' zquot;zquot;' — squot;squot;'

- squot; Oquot;² //quot;² «quot;² - squot;²) — s' {xquot;xquot;' //quot;//quot;' 2quot;«quot;' - squot;squot;')

Vergelijken wij deze uitdrukking met die in § 12, dan zien wij dat de vorm tusschen | | kan geschreven worden: s'² (a;quot;²yquot;²-t-2:quot;²â€”squot;²)'! X ; dus is:

—- x «o' of volgons (35):

no _n^tfgt;l\£ quot;

„ r

I. = ------ X «2 ^enz-

Hiermede vinden wij ten slotte:

^{2 _} quot; ó'

waarbij wij het of — teeken moeten gebruiken al naarmate E en D gelijk of ongelijk teeken bezitten.

Uit de uitdrukkingen voor x₂ enz. volgt dat a₂ -l- /3₂ b₂ y₂ c.₂ — 0 in overeenstemming hiermede, dat de hoofdnormaal van de keerlijn van het rectificeerend oppervlak gelegen is in het rectificeerend vlak.

¹

De uitkomsten in deze § ^ook (-U)J vinden wij bij Catalan (loc. cit.) echter zonder de onderscheiding der

²

verschillende gevallen met betrekking tot het teeken.

34

3quot;. Richtingscosinussen van de binormaal ;3_a) y₃. Volgens (12) is;

—

De noemer is dezelfde als onder 2°. en dus = crquot;² J[' waarbij het moet genomen worden, al naarmate D positief of negatief is.

De teller wordt met de notatie van § 19, volgens (39):

waarbij het ■— of teeken moet genomen worden, al naarmate 1) positief of negatief is.

Afgezien vanquot;de richting loopt dus de binormaal van cle keerlijn van het rectificeerend oppervlak evenwijdig met de hoofdnprmaal der kromme in overeenstemming met het meetkundige theorema, dat het kromtevlak van die keerlijn is het rectificeerend vlak der ruimtekromme.

§ 24. Vatten wij de gevonden resultaten nog eens samen in het volgende schema.

Hierbij moet nog opgemerkt worden dat (ilk van deze vier gevallen gesplitst kan worden in twee ondergevallen; immers indien ^'₃ \ 0 dan is 21 scherp en indien ^'₃ 0 dan is Jf stomp. (Zie (32) en (33)).

De onderlinge stand der verschillende lijnen blijkt uit de figuren (zie pag. 35); hierbij is ondersteld dat een gedeelte van het rectificeerend oppervlak is neergeslagen in het rectificeerend vlak van het beschouwde punt der ruimtekromme, welke dus zelf eene rechte lijn is geworden. Tevens zijn dan in die figuur aangewezen: de raaklijn (R), hoofdnormaal (H), binormaal (B) in het beschouwde punt C der ruimtekromme en de correspondeerende grootheden (R₁, Hj, in het correspondeerende punt C₁ der keerlijn van het rectificeerend oppervlak.

36

§ 25. Bepalen wij den l^sten en 3^den kronitelioek f/ en f₃' der keerlijn van het recti-ficeerend oppervlak.

Volgens (16) is:

v = 1 |/(r² wquot;² r² - ^quot;²) = i, v

(T G quot;

Hierin moet liet of — teeken worden genomen, al naarmate D (en dus ook Jlquot;) positief of negatief is.

Deze uitkomst was te verwachten want de l^ste kromtehoek der keerlijn is de hoek tusschen twee opeenvolgende rectificeerende lijnen.

Ter berekening van s₃' maken wij gebruik van (18), dus is:

amp;' ./ y' ]

s o S '

wr n |

t V, ^

^c3 — ₍₇'(r2 )*quot;2 r²-lt;'-quot;²)

De noemer is volgens vroegere herleidingen:

Equot; D² s^,2(V'² yquot;² zquot;² - squot;²) ^— s' 0₂' E(a;quot;² yquot;² 0quot;² - squot;²)

waarin het of — teeken moet genomen worden, al naarmate E positief of negatief is. De teller wordt, afgezien van het teeken, met de notaties van § 19:

yjE qE rE

p'Ej pE' c/E ryE' -/''E rE'

pquot;E 2p'R' pEquot; (^quot;E ■ ■ 29'E' (/Equot; /'E 2r'E' »^-E'

of indien wij de minoren van D invoeren:

De eerste determinant is volgens de theorie der geadjungeerde determinanten — s' D². Wanneer wij van den 2^den determinant er een maken van de 4^lt;l0 orde door eene eerste rij 0, 0,0, — 1 en een rechterkolom:

j .r y z — 1, — 1 xquot; yquot; zquot;

¹ 1 nn nn 1 . mn

'X y z

37

bij te voegen en daarna met D vermenigvuldigen, vinden wij 0 tot product, dus wordt de teller afgezien van het teeken s' E³ D² en:

s' E³ D'²

£'₃= g' E³ D²: y — T

waarbij het — of teeken moet genomen worden, al naarmate E positief of negatief is. Afgezien van het teeken had dit resultaat ook afgeleid kunnen worden uit de in do vorige § gevonden uitkomst, dat de binormalen der keerlijn evenwijdig zijn aan de hoofdnormalen der ruimtekromme. Wat het toeken betreft is aan de formules van Sekket voldaan.

§ 26. Bepalen wij ten slotte de vergelijkingen der rectificeerende lijn van de keerlijn van het rectiflceerend oppervlak, de „rectificeerende lijn van de 2^de orde.quot; Wij beginnen met de richtingsgrootheden dier lijn; hiertoe berekenen wij eerst volgens (30):

Deze uitdrukkingen hebben wij in de vorige §§ reeds leeren berekenen; gemakkelijk vindt men hieruit dat de richtingsgrootheden der rectificeerende lijn van de 2^lle orde evenredig zijn met:

D X 1 Vfn

,1 X

óp{xquot;* yquot;* zquot;* - squot;²)

In verband met (37) volgen hieruit de vergelijkingen der rectificeerende lijn van de '2^lle orde indien wij de loopende coördinaten voorstellen door X,Y, Z;

en 2 dergelijke vergelijkingen voor de beide andere coördinatenassen.

Hieraan wordt voldaan door een punt welks coördinaten voldoen aan:

Dit is een punt van de hoofdnormaal der ruimtekromme en de afstand van dit punt tot het punt der ruimtekromme is:

]/ (X-^ tY-^ tZ- z)

38

De reotificeerende lijn van de '2^de orde snijdt dus de hoofdnormaal in een bepaald punt. dat wij in een der volgende lioofdstukken nog eens zullen ontmoeten. Het blijkt dat dit punt altijd gelegen is op het positieve deel der hoofd normaal.

Wij kunnen deze uitkomst nog nader in verband brengen met de § § 23, 24 en 25. Daalde binormaal der keerlijn evenwijdig is aan de hoofdnormaal der kromme, en de raaklijn aan de keerlijn die hoofdnormaal snijdt, gaat het rectifioeerend vlak der keerlijn door de hoofdnormaal der kromme en moet dus de reotificeerende lijn van de 2^d8 orde die hoofd-normaal snijden.

Noemen wij den hoek tusschen de rectifioeerende lijn van de I^s'⁰ orde en die van de 2^de orde Jf j, dan is volgens (32) en (33) :

cos 3L = — —en sin Jf , = —

f₂ f₂ '

Hieruit volgt in verband met § 25 dat If, scherp of stomp is, naarmate E positief of negatief is ; dus is JC,! scherp in de gevallen T en ITT, stomp in de gevallen IT en IV. Graan wij nu na hoe in elk der 8 geteekende gevallen de rectificeerende lijn van de 2^de orde loopt, dan zien wij in, dat het snijpunt met de hoofdnormaal aan de voorzijde gelegen is. ')

§ 27. Met behulp der uitdrukkingen, die in verband met het rectifioeerend oppervlak zijn afgeleid, kunnen wij eenige ruimtekrommen bepalen die aan zekere voorwaarden voldoen.

A. Voor welke ruimtekrommen is de verhouding tusschen l^stel1 en 3^den kromtehoek constant ? ¹)

Uit (34) volgt dat voor deze krommen Jl' constant is en dus JC' — 0 wat volgens (35) wordt uitgedrukt door:

' ü' ^z' ^s' |

D

xquot;quot;yquot;quot;zquot;quot; s'

Deze vergelijking levert bij integratie op:

C,s = C3y -\- (J^Z C_rj..........(44)

Nemen wij nu het vlak bepaald door:

C₂ ir Cg y C₄ 0 C_B = 0 tot nieuw X O Y-vlak, dan kunnen wij (44) met verandering van constanten brengen in de

z = s cos m.............(45)

Deze vergelijking drukt de karakteristieke eigenschap van eene willekeurige schroeflijn

¹

B e r t r a n d (1848), P u i s e u x (1851).

39

uit; do Z-as loopt evenwijdig aan de beschrijvende lijnen van een cylinder vlak, waarop die schroeflijn getrokken is en deze schroeflijn maakt met die beschrijvende lijnen een hoek Eene eenvoudige meetkundige beschouwing voert ons tot hetzelfde resultaat.

Immers indien K' = 0, loopen de rectificeerende lijnen evenwijdig hetgeen ook uit (38) of (41) volgt; het rectificeerend oppervlak is een cylindervlak, en de ruimtekromme is eene geodetische lijn op dat cylindervlak d. i. eene schroeflijn.

Omgekeerd kunnen wij aantoonen, dat voor eene willekeurige schroeflijn de verhouding tusschen l^stlt;m en 3^den kromtehoek constant is.

Wij kiezen de Z-as evenwijdig aan de beschrijvende lijnen van het cylindervlak, dan wordt de schroeflijn uitgedrukt door de voorwaarde:

z' — s' cos ot, [x constant en scherp)

Maar s'² = a?'² y'² zquot;^2, dus xquot;¹ yquot;¹ = s'² sin² u

Hiermede vinden wij:

zquot; = squot; cos «

x'xquot; y'yquot; = s' squot; sin² of squot;² =

■' ^J s'² sin⁴ «

Hiermede is:

_xquot;2 -1_ yquot;* Zquot;1 _ _Squot;2 ₌ xquot;'l yquot;-'. _squot;2 _cos2 ^ _ _squot;2 ₌ Xquot;1 yquot;1 _ _squot;2 _sin2 ^ ₌

{x'xquot; y'yquot;)'¹ _ (x'yquot; — .rquot;//')² s'² sin² s'² sin² a

Hiermede is volgens (21) en (16):

_ ,₂ _ x'yquot; — xquot;y' s'³ sin a, _ (a?'² yquot;¹)^ 1 p₀

^ ^S ' s'siniz x'yquot; — xquot;y' x'yquot;—xquot;y' ^ sin² x sin²Â«'

De uitdrukking die wij p_n genoemd hebben en waarbij de bedoeling is, dat zij steeds positief moet genomen worden, stelt den kromtestraal voor van de rechte doorsnede van het cylindervlak, waarop de schroeflijn getrokken is. Hiermede is dus eene bekende eigenschap van eene willekeurige schroeflijn bewezen. '')

Tevens weten wij ook dat:

x y — x y \ /

quot;i = ± • ( of — al naarmate xy — x y / of \ 0).

Ook is: z'quot; — s'quot;cosix

x'x'quot; y'y'quot; ,xquot;² yquot;² = s' s'quot; sin² x squot;² sin² x of

s' s'quot; sin² x — x'x'quot; — y'y'quot; — tt'quot;¹ yquot;² — squot;² sin² x — —\

s quot; sm^ x

¹

Schell (loc. cit.) Cap. VI. § 13. VII.

40

Hiermede wordt:

en dus is volgens (18):

, , cos« „ „„.,^.(x'yquot; — xquot;y')'¹ (x'yquot; ~ xquot; y') cos x

•' - ~^{Xgt;J ~^{x y)} ■ ^_ ■■quot;quot;quot;

s - sm- x

(J.,': 6.^ = tg x (— of al naarmate x'yquot; xquot;y of \ 0)

derhalve is deze verhouding constant.

B. Voor welke ruimtekromme zijn l^ste en 3^lt;,e kromtestraal constant?¹) De verhouding is dan ook constant dus is het eene schroeflijn. De voorwaarden van het vraagstuk worden nu uitgedrukt door:

en :

«quot;²: y [xquot;* //quot;'² .ïquot;² - s'quot;²) = ₉

waarin p en x constanten zijn.

Evenals onder A volgt nu uit de eerste vergelijking met behulp van de tweede:

, = _±x 1

r — 111 lil 'O

x y — x y sm² ^

... . *0%!!

Deze vergelijking integreeren wij door te stellen Ij : x'= p, dan is:

en dus:

^X G _ . P _ .___

P sin'²Â« ]/ (1 y) - )7 (a?'² yquot;')

Deze vergelijking levert na tweede integratie:

p'¹ sin⁴ x = (x ■ - G)² (y C^²

d. i. de vergelijking van een cirkel.

De rechte doorsnede van het cylindervlak waarop de schroeflijn getrokken is, is een cirkel d. w. z. de ruimtekromme is eene cirkelvormige schroeflijn.

¹

Puiseux (1842) en Bert rand (loc. cit.)

41

O. Voor welke krommen is de verhouding tussohen 3^d6n en l^Bt(gt;n kromtehoek eene lineaire functie van den boog s?

De voorwaarde van het vraagstuk wordt uitgedrukt door:

^₃' ; ö,!' = q s h of

d ( K \

Ti\T;) = 9*-

Uit (34) en (35) volgt:

«! / V \__

■ dt U'/~ (a;quot;² n'quot;¹ z'quot;¹ - squot;²)l

derhalve wordt de voorwaarde:

D = g {xquot;? if'quot;'- z'quot;¹ - squot;²)t

Hieruit volgt: E = 0 of

volgens (40«) r' =0

d. w. z. het rectificeerend oppervlak is een kegelvlak en de gevraagde ruimtekrommen zijn de geodetische lijnen van een kegelvlak. ⁱ)

¹

E n n e p e r (1866) en (1881.)

HOOFDSTUK III.

Het pooloppe r v Lak.

§ 28. De vergelijking van het normaalvlak is gevonden in den vorm:

{$—x)x' y)y' {X—z)z' =0......... . (7)

Om hieruit de vergelijkingen der poollijn, d. i. de snijlijn van 2 opeenvolgende normaal-vlakken af te leiden, moeten wij deze vergelijking verbinden met die welke er door differentiatie naar t uit voortvloeit. Men vindt dan;

(s — x) xquot; 4- iyi — y) yquot; {* — z) zquot; = squot;*........(46)

De poollijn wordt dus bepaald door de vergelijkingen (7) en (4()).

Noemen wij de richtingseosinussen der poollijn f\ lt;/, h, dan volgt uit beide vergelijkingen:

____L__=_i._=_h._=_;__1_ (47)

y'z' I | z' x' i v i T .quot;2 _aquot;2\.....v*'}

yquot;zquot; | 1 zquot;xquot;

Door vergelijking met (12) volgt hieruit dat de poollijn evenwijdig is met de binormaal. Bepalen wij het snijpunt van de poollijn met het kromtevlak. Hiertoe moeten wij (7) en (40) verbinden met (8). Wij vinden: (zie § 7):

X — Pf X «2 ^enZ-

Dit snijpunt is het kromtemiddelpunt in welk punt dus de poollijn loodrecht op het kromtevlak staat.

§ 29. Wij kunnen een punt van de keerlijn van het pooloppervlak beschouwen als het snijpunt van drie opeenvolgende normaalvlakken. Het wordt dus bepaald door het stelsel vergelijkingen:

(| — x) x' (yi — y)y' (? — «) = 0........(7)

(? — x) xquot; (y — y) yquot; (£quot; — ^) 0quot; = s'² ......(46)

(5 - x) x'quot; (^ - ?/) y'quot; (C - «) = 3 s' squot;......(48)

43

(49)

uit welke vergelijkingen voor de coördinaten van het punt der keerlijn volgt:

Maar behalve als snijpiint van drie opeenvolgende normaalvlakken (of als snijpunt van twee opeenvolgende poollijnen) kan dit punt ook beschouwd worden als het middelpunt van het bolvlak, dat met de ruimtekromme eene aanraking van de 3^de orde bezit, zooals uit de volgende afleiding blijkt.

Zijn toch de coördinaten van het middelpunt van dit bolvlak £, ? en de straal van den bol E, dan wordt de voorwaarde dat dit bolvlak door vier opeenvolgende punten der kromme moet gaan, uitgedrukt door:

(£ - x)² (•-, - yf (C - zf = R² . (£ — x)x' (? — 2) 2' =0 •

(| — x) xquot; {yi — y) ijquot; (£ — 2) zquot; = s'² . (5 - x)x'quot; („ - y)y'quot; (? - z) zquot; = 3_SV'

Uit de overeenstemming der gevonden vergelijkingen blijkt de juistheid van de genoemde stelling.

De keerlijn van het pooloppervlak is dus tevens de meetkundige plaats van de middelpunten der bolvlakken, die met de ruimtekromme eene aanraking van de 3^de orde bezitten en draagt in verband hiermede ook wel den naam van „lijn van sphaerische kromming

§ 30. De grootheden | — ■£, enz, in (49) voorkomende, zijn de projecties van den straal van den kromtebol op de coördinaten-assen. Om dien straal te bepalen zou men volgens (50) die uitdrukkingen in het quadraat moeten verheffen en optellen.

Zeer eenvoudig geschiedt deze herleiding door toepassing van eene methode die ook in andere gevallen goede hulp verleent. Wij zullen namelijk den straal van den kromtebol projecteeren op de assen van het bewegelijke coördinatenstelsel dus op raaklijn, hoofdnormaal en binormaal.

a. Projectie op de raaklijn: (volgens (6)).

Derhalve: de straal van den kromtebol is in het normaalvlak gelegen. h. Projectie op de hoofd normaal: (volgens (11))-