IETS OVEE ZAMENSTELLING VAN

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

UIT EENE AANGENOMEN

INTEGRAALVERGELIJKING.

DOOR,

D. BIERENS DE HAAN.

l'ilgcgcven door de Koninklijke Akadcmie van Wetenschappen (e Amslerdam,

AMSTERDAM, C. G. VAN DER POST. 1878.

__

IETS OVER ZAMENSTELLING VAN

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

UIT HENE AANGENOMEN

INTEGRAALVERGELIJKING.

DOOK

D. BIERENS DE HAAN.

L'ilgcgcvcn door dc Koninklijke Akatlemic van Wclcnschappcn le Amslcrdam,

—— i-o»

AMSTERDAM, C, (J. V A. IV 1) E II 1' O S T.

1878.

IETS OVER ZAMENSTELLINGr VAN

DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

UIT EENE AANGENOMEN

INTEGRA AL VERGELIJKING.

DOOB

D. BIERENS DE HAAN.

1. Onder de methoden tot behandeling van gewone differentiaalvergelijkingen met twee veranderlijken behoort ook eene reeds lang bekende, maar toch zeer merkwaardige, wanneer zij tot algemeene uitkomsten voert; die methode namelijk waarbij het geldt, uit eene aangenomen integraalvergelijking de overeenkomstige differentiaalvergelijkingen op te sporen.

In dit opstel zullen enkele zulke integralen worden behandeld, die bestaan uit het pro-dukt van machten van veelledige stelkundige uitdrukkingen.

2. Neem voor de integraal aan

(x ay-\- h)P (a; -f A,)ï = P...............(A).

Daaruit volgt

1 quot;h ^ay' , 1 y'

p--—-—-4- o --—-- — o

x -}- ay b x -j- ^ quot;f^- è,

of

[ip g)agt; {pa, q_a),y (pb, -j- ql)] a_tq)x^-{p q)aa^ {pab_l qa₁b)]y' = 0.

1

NATUÜBK. VJSRH. D RK KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII,

2 IETS OVEE ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAAL VERGELIJKINGEN

Vergelijkt men dit met de diilerentiaalvergelijking

(^1 a; -f By C) [A_tx B_ty C_t)y' = 0,.....

zoo is

^ = P 5- B=pa_t-\-(]a, C^pb^qb, A_t=ap a_tq, B_l={p-\-g)aa_i, C_l=pab_i qaj. Daaruit volgt

-1' ° - 7T7 - -7-'..........⁽¹⁾

dus zijn a en a_i de wortels der tweedemachtsvergelijking

Act* --[A_l B)u B_l = Q................(1«)

Verder is

aC—C_l = qb{a—a,), C_l — a^C^pb^a — a,), a A — A_l—q{a—a,), A,—a_lA = p{a — a,), a A—B p [a — a,), B — 0, .4 = (7(0 —a,);

waaruit volgt

A.—a. A aA—B a A—A, B—a. A ....

P = -^J-— = -, q = -¹ - -—.......(I⁶)

a—«, a—a, a—«, a—a,

^ a C—C_i aC—C_l ^ C,—aC C_l—aC a A—A1 B—a ,,4' ¹ A_i—a_l A a A—B

3. Deze oplossing gaat niet door, zoodra A = 0 wordt; alsdan is tevens

B, =0 en A_l B = 0...............(II)

Er blijven dus over

B — (a,—a)p, C={h_l—h)p, G_l—[ah_x—afyp.

Dus

aC—C. a.O—C. B

aC—(?! = b£ en a, C—C. = i, B; dus b— —-—, i, -=--— ;enp=-=-5;.(2)

SJ JJ d J —öl

wanneer men a en a, willekeurig aanneemt; of als men a en ^ willekeurig aanneemt,

aO—C, {JB^dp^O—@ \P quot;^i

-T,-I—P......1²quot;)

4. Evenzeer worden naar (l⁶) p en 7 onbepaald, als a, — a is; dan volgt uit (1°)

(A_t Bf - 4/*#,, of ook (A^Bf ^^{AB—A, B) , (III«)

UIT EENE AANGENOMEN INTEGKAALVEEGELIJKING. 3

De betrekkingen tusschen de coëfficiënten worden nu echter

A—p q, i5=(p 9)a, G^ph^qb, A_l^={p^-q)a, {p q)agt;, C^aC

B² BC

= Aa =B =.- — ; (III)

A A ^K '

waardoor aan de bovenstaande vergelijkingen wordt voldaan. Verder wordt

B Ah~~G C—A h. «-i- '-Hv «=1=57.............(³)

waarbij de b en b_i geheel willekeurig blijven.

5. De oplossing van N⁰. 3 houdt op geldig te zijn, zoodra ook

5=0;...................(IV)

maar naar de laatste der vergelijkingen (2«) wordt dan «, = a, en komt men dan tot het geval van Nquot;. 4.

Men houdt dan over

C — (J,—h)?, C_x=a [h_x--b)p-,

dus

C. C

--C- V ............(4)

terwijl hier de b en b_l onbepaald blijven; of als men b en p willekeurig aanneemt,

Ci C

P

6. Men neme vervolgens voor de integraalvergelijking aan

{x^% 'Zaxy by* Icx Ui/ e)V (ü² Sc,;» -j-e,)? =Pj . (B)

waaruit volgt

^ ^ d)y' Z(ogt; aty-\-c_i)-\-Z(a_ta} b_J2/ d_t)y'

»' . }ƒ 2ca; 2 ciy e ^? a² 2 b_iy¹ 2c,« 2d,p e_l ^{= 0}'

of

Pi*' «)«'!/ (J, 2aa₁)a!f _aby (c lt;i lt;;,)««

K acy \o)%xy -I- (2«^ b_xc) f {e_l 2cc₁)x {ae_i Icd^y ■\-ce_l} 9 {«' (2 « ajx'y -{- (5 2 a «,) xf a, by' -j- -1_ 2 _c) _x'

^ _ac_l a_xc)1xy {Za₁d bcy (e -f- 2cc,)» ^6 2«,% (7^}

,v' b {« «^S (2 ö J) y (« 2 _ai 5) a-yS _|_ ^ ^ ^ _J_

-f [ad, a_id bc^xtj (2W, bfy¹ (ac, -j- {be_i Udjy de }

9 V (2 6,)®^ (a, 5 Zabjxy^bby (2 «.c '

-HM. 0,^ «₁c)2xi/ {2^ J«?₁)/ (a_ie-f.2c^₁)_a: (V 2^₁)y4-^} ] =0.

1*

4 IEÏS OVEK ZAMENSTELLING VAN DIFEEEENÏIAALVERGELIJKCNGEN

Vergelijkt men deze uitkomst met de algemeene differentiaalvergelijking van denzelfden vorm

(Ax³ -fquot; 3 Oxy' -J- -Dy³ Ex* -f- HFxy -1- Gy* -j- Hx -)- Ky-\-L)-{-

(^i»⁸ Dy 4- 2/'gt;y -f Git/'² Ktf L^y'—O-,. (V)

zoo is

A=p q,

ZB = p(2a_l «) ?(2 « a,), SB, — j)(2 a ^ 6) 6,),

3C =p(ti, • Zaa,) 5(6 2«lt;/,), 3Ci — p(,a6_tZa^) ^(^6 ZabJ,

D = pab_t-\-qayb, I)_x —pbb_x-\-qhb_x,

£ = ;j (c -)- 2c,) £ (c, 2 c\ £, = /) (2 a e, ^) ? (2 ö, c ^,), F ~p(d_l ac^ a^c) q{d -[• ac^a^c), F_x — p{ad_x-{- a^-^hc^-^^ad^a^d-^-b^c),

G — •p{Zad_i -j- b^v) ^(2 G_l = p(Zbd_x -{-b^d) qiZb^d bd^j,

H~p{e_x 4- 2oc₁)4-5(e4- 2ec,), H^piaei 2c_ld) q{a_le Zcd_i),

K =gt; p {a e_x-\-1 c d^) q^e Zc_ld), — 2i(b ex Z d d^) -\- q (5,6 4quot; ZddJ),

L = pce₁-{-qc_le-, L_x—pde_x-\-qd_xe.

Hieruit volgt vooreerst

'6 B -{■ D\

^a *¹⁼⁼ ~ïT~' .............(⁵)

en vervolgens uit

³, (B—AJ = (a—a,) {q—p), '6 {G—BJ = (b—bj (q—p), | (Cj—£gt;) = (a bi—ax b) (q—p),

daar

a bi—ai b — h («—a^) —a [b— 61) = ij (a—a{) —öj [b—^j),

{B—Ai)b—Z[G-~Bi)a = Ci~D en (B-A^bi—ZiC-B^ai^Ci—D;

waarvan de som geeft, als men de waarde van « 4quot; invoert,

(C-WaB-MO em-PK..........,5.,

^T (B—A,)A ' ¹ '

en daaruit

^₁₌₌1 \W±J?lï__{{b il)}\ ₌ ^B^⁰ B-~AI)-{Ci-D)A-ZAI C

¹ 4 ( A ^ quot;f 2{B—Ai)A ' ¹ '

zoodat a en «i de wortels worden van de vergelijking

Bi (3 B—Ai) — {Ci—D) A-ZA-.C 2J«'-(354-^)« —- _b__Ai -^L-.- ..... (5^)

UIT EENE AANGENOMEN INTEGEAALVEKGELIJKING.

en b en li van de volgende

_D _ _o........^

Uit dezelfde vergelijkingen volgt verder

Ai—A ai A a—A-y

p = -, q =-

a—ai «—ai

waaruit }.............(5^).

3 Ai—B ^P~^q==ï^i

Van de acht waarden A, B, 0, D, Ai, B_l) Ci, D_h zijn er nu zes gebruikt; er blijven daar-tusscben dus nog twee betrekkingen over. Daartoe kan men Je volgende gebruiken. Vooreerst is

(b -f- bi)a—(abi -|- = (^a—^aï)tgt; en i^/j ^i) «i — (a bi -}- «iS) = — {^a—^aï)h i SCi D

dus, daar abi -\- aib = ——— is, geeft hun produkt

A/ A

{b -|- hiYaai—{ab₁ -|- a-yb)^ b_I)(a -}- (aix -j-ai6)² = — bbi[(a «1)'—4eaa{) na invoering der gevonden waarden

2 [{C-Bi) (3 £ AO ~ 2 {Ci -D)AY ^B^^B- ^Al)~^*r ^KCï~^B)A -

—(3C\ I))[ZB Ai)[[C~BI){:ÓB-\.Ai)—Z[Ci—D)A] ^(3 Ci D)^%(B—Ai) Di[(ZB Ai)(B—Ai)—üA[Bi[ZB-Ai)—iAiC—{Ci-~Ii)A)]=~Q.. . («).

Ten tweede geven de reeds gebruikte vergelijkingen

Ci-I) 3C! -f- 2)

abi~aih - (£—ii) en aib =* —^--

Verhef deze beide tot de tweede macht; dan geeft haar verschil

ID 3 CA³ \lOi-Dy.

{£,(31! —J,) —2A,C —(C, —i))A) =.(3ft Df —

(P—-^i) (³ -^i) (^1 — -ö)⁴\ ±ir' rn

-1 ........w-

6 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Nu is verder

F ~E_{l j j} G—F_x

- = «i — d chc—• aCi, -— adi — aid 4- b-, o — ici;

p~q p~q

en hieruit kan men d en d₁ oplossen

F-Fi G-Fi F-Ei G-Fi

(ai-a)d =-a--- -f- (5,-a«,)c-{h-a')c,, (cii-a) di =-«i---(-a\)ci.

p-q p-q p-q p-q

Substitueert men deze d en di in de waarde van Gi, zoo is

^c{(P ²9)(V-a«₁5₁) (2^ y)(W₁—a^a^₁) (2^ 5)(5^,—aaié)} =

= —Giia—a^ — ^—^'óCi ^{G 11} {(p 2^)^ (2p 9)4}; p—g p—q

of daar (/)-}-j)6 = 3—ZAaai) en (p^Jt-%q)abi-\-{%p-\-q)a_lb — §C\ is, als men de laatste der (5/) gebruikt,

c{(C ZB_x—ZAaa_l) ^ —-^{(C 2i5₁ - 2 ^ =

[— öj {A_x—D) — (i^— 2 Cj (ö - i^) 2 (lt;7 2 ^ — 2 4« a!)].

a — di

3(^i—S)

Evenzoo geeft de waarde voor E

c{A-_i-\-Aa_l — 2Aa)—Ci{Ai Aa—2Aa₁)= —(a — ajE;

en nu kan men c en Cj oplossen, daar

C 2B₁-2Aaa₁=^{(Al B) (A} quot; ^ quot;¹ ^ ^B)

Ai—13

i ^—tgt;i abx—a-J)

is, na substitutie der waarden gevonden voor - en -.

a—a\ a—a\

*c[{{A_l B){B₁-C)-{C₁~D)A}{QB{B_l-C) A{C-D_l)}-'dBCMi-BY]^ = ZiA₁~B)E[{{A_l B){B_l—C) — {Ci — D)A)b—C_l(Ai—B)a] -j- (^li — 2 A cti A a) [ { — Gi {Ai — -C) {F— Ei) 2 Ci} (-41 — E) | 2iG~Fi) [{Ai BUBi- C)-{Ci-I))A}], ,

^3ci[ mi B,(B₁—C)—{C₁—D)A} {6B{Bi-C) A (C-A)} -35^, - ^J^j]= j = 3 {Ai —B)E[ [{A₁ B){Bi—C)— {Ci —D)A}bi — Ci{Ai— £) «i] ' (Ai-2Aa Aai)[{-G₁{Ai — B) {F-Ei)2C₁]{Ai-B) 2{G-Fi){{AI B){BI~C)-{C₁-D)}A].

*

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 7

Substitueert men dit in de vergelijkingen voor d en dj, dan komt er, na invoering der

b—ój adi—aiè

waarden voor -, - en (i ii),

a — a — «x '

Sd (^i—^)[{(44--B)(-Bi—CJ-(C —D)^}{6^(5₁-C)-}-4C-i)₁)}-3-BC₁(^₁-S)*]== \ =mF~i:₁)a—(G—F₁)][{A₁ B){B₁—C)—{Ci~.D)A\{6B{B_l-C) A(C-D₁))- 1 —ZBC₁(A₁-B)'] 3E{A₁-B){C₁-D)[{{A₁ B)(B₁-C)-A{C₁-D)]a-Ci{A₁-B)] [[—G^—B^F-E^C^ -B^G-FJ ((4₁ B)(B₁-C)-(A-i')4} ] [ {{A₁—B—2B₁ iC)CÓB A₁) {C₁—Igt;)^A A₁)]a—\2Ai{G—B_l) A(C₁-B))], SdiiAi—B) [ {{Ai B){Bi— C)—{Ci—D)A) {C) A{C—D₁)) -SBC^-By]=/ ^[{F—E^—iG—Fi)) [(A B^Br-CytC-y-D^) { 0 —^3£6M^₁--Ö)²] 'iE(Ai-B) (C₁-i)j[ {{A_l-\-B){Bi-C)-A{C_l-D)}a^C^Ai-B)] \ [{—G₁{A₁—B) (F—E₁)ZC_l}{A₁~B) Z{G~F₁){(A₁ B){B₁-CHCi-JD)A}] [{{Ai—B—2^ 20) {ZB AJ ^-Dj (4 A A^ja-,— {^A^C-B^ A^-n)} ]. I

De beide overige vergelijkingen, die behalve de a en b, slechts de c en d bevatten,

G =* p {% a di h-ic) -{■ q {1 ai d b Ci)............(c)

en

Ei = p{2aci d) q{ZaiO di).............(^)

zijn dus wederom twee voorwaardensvergelijkingen.

Eindelijk volgt uit de waarden voor L en Li

I Ldi — L\ d

«i =- ................(5'1

p cd\ — Cid

1 L\c — Lc\

« =--7-- ;................(5*)

q cdi — cid

waarin de noemer gevonden wordt uit de volgende vergelijking.

_ —B

^9Q K-f^)==3[{{Ai B){BI-C)-{Ci-D)A} [%[G-Fi){{A^B-ZBi 2C)(3_B ^₁)

[Cx D) (4 A ^i)} ~1{F—Ei) [amp;B{Bi—C)-\-A{C—Di) ] —3 E(Ai—B){Ci—B)] iAi-B){-Gi{Ai-B)-\-{F-Ei)'iC₁}{{Ai-B-ZBi ZC){?,B Ai) (Ci-D){4,A Ai)\-J_r amp;BCi{F-Ei) {Ai-By] X [ {(^ 51 {Bi—C)-{Ci—D)A} [E{Ci—D) 2B{G—F_X) B i — Gi {Ai ~B) {F~ Ei) 2 Ci} {Ai—B)-]]

[» [{A B){Bi—C)—{Ci—D)A] (G -~Fi)[ZiA—SB) {Bi~C)A-~ {C Ci-D-Di)]— --^h~B)[~G_l{Ai—B) {F-Eü 2 Ci} [2Ai {C—Bi) A {Ci—D)] 3 C^Ai—Bf {2B{G Fj) E{Ci-D) j J x [2{(^i B]{Bi-C)-{Ci—D)A] {èE{Bi-C)-A{G-F_l)]-\- A{Ai-~B){—Gi (Ai—B) {F-Ei) 2C!)—3 C₁E{A_ï~~£y],

waarin Q = {(Ai-f.B){B₁~C)~(C_l—D)A){6B{Bi—C) A{C—D_l))~--iBOi{yU~BY is.

8 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFEEENTIAALVEKGELIJKINGEN

Er blijven dus nog vier voorwaardensvergelijkingen over,

■ö = ? ^ei ï ^e 2 ^4 ccj,.....................(e)

K=p{ae\ Zc^j) Zcjö!),..............(/)

JST—2(/)—j)(c^i—......................{g)

Ki= pbei qbie Addi....................(A).

7. Het vorige geldt niet, wanneer A = 0 is. Omdat in dat geval a -j- «i, bb^ ab^-^-aib eu è -f- 4niet oneindig mogen worden, is tegelijk

,4 = 0, 35 Ai = 0, A = 0, B 'i Ci — 0, Bx C = 0 . . . . (VI).

Omdat nu q — — p moet zijn, wordt het stel bruikbare vergelijkingen

3 J5 = (öj—a)p, G = {2(aJi—M) (^i^c—^^ci)]pgt; F\ — —h c)p,

8 C = (ii—b) p, II — {e₁—e) p, G₁ = (i cli—b^) p,

D={abi—ai b) p, K — {(«ej—a₁e)-)-2(ci₁—£^ = {(«^1—c^e)—%[cdi—c\d)]p,

E = (cj—c) p, L = (cei — Ci e) p, Ki = (5 Cj—ii e) p,

F = (^i—d) p, Ei= {2 (acj—ai c) (d—di)}p, Li = {dei—^i^ö) P-

Hieruit volgt vooreerst

iCa-D=--Z£b, HEa-F-Ei=gt;'óBc, 2Fa-G-F^Bd, ZHa-K-Hi = ZBeA 8 Cai-jD^ZBbi, iEai-F-E^ZBci, 2 Fui-G-F^ 'èBdi, ma^K-Hi^Be^ '

en daaruit wederom

Fi = (4 ci—bi c)p — {3C (i⁷quot; -f- Ei) — '2 Z) iJj; 4 («x—a)/3, Gi = {bdi—bid)p= {2,C{G Fi) —IDF): 4(^—a)p, ■ffi = {bei—bie)p — {3 C (isT //x) —2 D H): 4 (öi— 0)/?, K—Hi — 4i{cdi—Cid)p •=»gt; [E{G 4- i^) — F{F £i)j:4(«i—a)p, L — {c ei—ci e) p = {E{K Hi) — H [F ^)}: 4 [a—a) p,

Li = [de-y — dié)p — \E{K Hi)—II{G -f- i^)|;4(ai—a)p.

Als men nu in elk dezer zes vergelijkingen («j—a) p — S B substitueert, ontstaan er zes voorwaardensvergelijkingen. Derhalve blijven er slechts negen vergelijkingen over voor de bepaling van de elf onbekende grootheden; en het vraagstuk is derhalve onbepaald.

8. De uitkomsten van N⁰. 6 zijn evenzeer ongeldig, zoodra Ai — B is. Alsdan geeft J -}- ii

{C~Bi) B {Ci-L) A = 0 en p—q = »/, ^;

a—ai

dus omdat

(35 ^!)' {B-Ai}~8A{B₁ {'dB—Ai)—Êi —{Ci~D)A}

UIT EENE AANGENOMEN INÏEGEA AL VERGELIJKING, 9

in den regel niet verdwijnt, moet p — q zijn. Dit geeft dadelijk

— B, A = O, (\ = D, E₁ = F, F₁ = (?!, //i = K,_; .... (VU) zoodat aan de eerst gevonden voorwaardensvergelijking wordt voldaan. Men houdt nu over

A — Zp, = (c? «?!-(-2 aci 2 «ic)Zgt;₁ = 2èö₁^_gt;

^ (r — (2 a rfi 2 ^^ci 4quot; ^c)^gt; ^ (6 b₁ cl)p,

3C -j- 4lt;ü[€[i) p, H = (ö -|- -|- 4 c? C\}Pj j^i quot;f*quot; ^ quot;Iquot; 46? p,

D— (abi -f- «j 6)^, = (a «i ai e 3 CY/Ï3 Ci 2^, Li = (deirf, e)p.

^=3(0 0!)^, L = (cei ci e)p,

Vooreerst is

2Xgt;

(a—4 = (i ^i) a — (a h^ b) = (b ija — —,

2D

(quot;i— ^a) ^i) — (a /gt;i -{- ^a\ ft) == (6 ^i) quot;i — ~~7 !

/I

haar produkt geeft

•II) M?

[b -f- ^i)² a a\--- (l -}- ix) (a -|- aj) -j—= — bb-^ |(a -j- ai)^a — 4 aai|,

of, als men

6C 2 B Di

b -Y l\ — ——4a ai, a -|- aj ---, bbi — —

A AA

substitueert,

/3C _n \^a ZBDI'ÓC \ D¹ D_l „ i

(7—^2aa1] ^aai—^r['j-^2aa^ -j₂ jA^Bi-^aai^A)^ I

terwijl verder gt;.........(7)

6 C Di 2, B \

b bi=— — 4aai, bii = —, a 0!=--is. 1

A AA I

Bovendien is hier

1

P=.₂^J................. • (7quot;)

Dit geeft ons

2 F 2 G

— d -j- 2 (a Cj -j- ajc), —— = 2 (a^ -j- aj^) -}- [bc-i -f- bic), A A

waaruit volgt

F G

- 2 (a — cii) d == ~ 4 aj — 2 — -j- (6 — 4 a²) f 1 {^1 — 4. ^ ^ai) A. jl

F G

2 (a — ai)di = - 4 ^ — 2--\- [b — 4 a %) Cj (b\ — 4 ;

A A

NATÜUKK. VKKH. DHR KONINKI.. AKADEMIE. DEEL XVIII,

10 IETS OYEE ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN en hiermede geeft de waarde van Gi,

éGt AsF

—-(a-öj) = —(4-i,) -|--(aby-aih) -f- 4a a₁4-4lt;aVj₁)c₁-(i bi-bv 4a«iii-4!a₁^sJ)c.

O A d.

2 JU

Nu kan men uit deze en de vergelijking —— — c Ci de c en Cj oplossen,

A

2 E \

{(4—ij)² -}- I (a——quot;i^)} ^{c =} —ii) 4a(aii—aii)}

(^a—quot;i) — (■■' ''i—ai h) — ~ {/gt;—6,], I

-'.E !■••• ^

{(4—^i)² 4(a—= ——{*1(^—^1) 4gt;ai{a bi—aib) —

A.

Gi 4 F ^ ^ i .

— —— (a—aj —- (a b) — ;

óA A A j

en hiermede worden de vorige vergelijkingen voor d en di

4t Fa —— It G _r \

2 {(^i)² 4 («-ai) (« ^i-^i h)} {a-a^ d »---{^i)^a 4 ^)}

A

SE 4) 6r — [abx-ajj) {a-axYj -f {4a(a-lt;7₁) — (4-^)} (—— —(a^-aji)---—

gt;(7»)

2 _^Fa I

2 {(i-«i)^a i- 4(«-ff₁)(öè_l-a₁6j}(a-«j)fi?₁ =---- {(i-^i)² 4 (a-a₁)(aèi-,7₁ §)} — j

SJS ,40! 4^ _JS 20

— —(a^-aj^a-ö!) ii— {4a₁(a-a])—(6-5!)} {—(a-ö!)—(a4i-öi5)——(J-Jj)) .

Verder leveren de waarden van L en Li

2 Li c—L d L di —Li ci

6 — — - Ci — -, , , (7®)

A cd^—cid¹ A cd\~cxd

Derhalve blijven er over als voorwaardensvergelijkingen

L\ [c—q)—L{(1—di)

H =----:-,. ....................(«i)

c di — cid

„ L {a d_x—a_x d) — L_x[a c^—ax a) ^

K =----- A {odi ci d),........(ij)

cd\—~c-\ d

„ L[hdx—bxd) —Lx{bC\ c) . _?Y., , .

-:-;- ............(ei)

cdi~~ci d

UIT EENE AANGENOMEN INTEGEAALVERGELIJKING.

9. Eindelijk heeft men nog het geval te onderzoeken, dat de vergelijking (5^) twee gelijke wortels a = a_x heeft ; alsdan wordt de noemer in de waarden van p en q nul. Uit de waarde voor p—9, in de laatste der vergelijkingen (5/) gevonden, volgt dan

A_x = ,S.................(VIII)

Verder zullen alsdan de waarden der wortels b en der vergelijking (5«) mede nul tot noemer verkrijgen. Laat ons dus zien, wat de coëfficiënten ons geven bij onze onderstelling lt;*! = a.

*

A p q, ZBx ^ pb -\- qh_l [p q)^ oquot;,

Si? = 3 a q), 3 Cj = p a (ii 2 i) -f- 9 a (5 -|- 2 ij),

'èC — pl\ 9^ [P quot;tquot; -^i == (p Qjbbi,

D = (pii -{■ qi)a, Ei •— 2 a^pcj qc) {pd qdi],

E —p{c 2 Cj) 9 (cj -{- 2 c), Fi — [p q)a {d di) p h q ^0,

F — pd\ -{■ qd (/' -|- ï)« (c fj), Cri — p{%b di bi d) q[%bid h di),

G ~ p c bi qh c\ % a [p di q d), Hi a [p d -\- qe) % {p Cid qcd{),

H = p{ei Zcci) q{e Bccj), Ki —p[bei -j- Idd-j) 7{5₁e -|- Ýi),

K — ^[pcdi qcid) 4- a{pei qe), Zj ^pdei qdie.

L = pcei qcie.

Dadelijk verkrijgt men

« = - ' ...................(«)

en tevens

^ _{gt; l} AD „AD Ph = *Bi -ij- = (p q)(b bi Za')^A(b bi-\-Za')-,

waaruit volgt

, , , *Bi D ZB*

b 4- bi = —— 4.---—

A ^ B A*

Di

Omdat nog bbx = ~ is, worden b en 61 bepaald als wortels der vergelijking _ /-ZB² 3Bi D\ „ D,

^/?quot; quot; T quot; b]^A^=q...........(^8a)

Verder is

quot;-('-fjjéi; » »-(1-'.)^..........(«')

2*

IETS OVER ZA.MENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

terwijl de vergelijkingen voor C en C\ de voorwaardensvergelijkingen geven

3C=- A.Za-^^ .................(«,)

a BA

^ = - ^ - D-.....[b,)

en hiermede wordt voldaan aan de voorwaarde, die uit de vergelijking {b^d) zoude volgen,

(35 —8^{-Bi!3J5-^) —(Ci ~D)A-2A_lC\ = 0,

of naar (VIII},

r,ABB₁ — ?.A²(C_l-'D) — ^ABC = 0..........{a'j,)

Vervolgens is

G — 3-Fj %Eia — c{pbi 4a^a7 — 2gij) Ci{qb -j- 4öquot;p — 2/;M ;

verbindt men deze met de waarde van E, zoo komt er

(2^ -f- 5)(ö — 2^ ZJE-itt) — E{qb -f ■la²p — Zpb) \

'ó{/gt;—bi)pq {Za*—b—/)₁)2(5'^a—p*) \

/ ^ IAD *Bi\l BEA „rJAD HB'*\ ^BD _i „-1

-^- T][ ^G-*F. -H 2 -6^ — j- _A A]

IZBiD ZBD léB* AD AD

³A——r-^l n-r-B—^8a)i-T ^r-^ZB')

)m

E{p ij 4a⁹ ^ — 2 q ftj) — (p 2 §■) (6r — 2 2 -Ei a)

⁰¹ Z(lgt; — h\)2}q {la¹ — h — 2 (^² — p¹)

I , 2^1Z? 2j5²\/ _Ti , BE\\ rlAD „ 85²\ 4^

_A j( ö-2^/'₁ 2_!-£[i₁^—-6^1 —

JïlhD ZBD \ /4 B¹ ID „ \/25² ZÖ quot;Tquot;

Daaroj) geven T⁷quot; en 6rj

{h\p — bq) — pq{h — 61)] d —

„ .. ..r„ , . . (?;-?)(G-2^1 2E^a) E{-^{p-q) (b b_l){'p-qHbp-btf)]i

-S.Müp #[^ »)«--'J.

\A{1^— bq)—pq{b — h)\di =

_o . r,-, , . (/)-?)(G-2llt;\ 22;\a) _Jg{-4a^a(p-_g) (6

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAAL VERGELIJKING-. 13

of na herleiding,

r „ amp; B\D AL* 1 D\ U AD kB*], )

/35! 2) ZB¹\I „ ZBEa „ rdBi B 2B^!!\I6B₁ B 85²\ -IBfiBx 2Bij

i_rST-r^A^G-^2F^h^F (TV^)l-f^-T) ^T-^-)--7|

/ ₀ /a i?! n IBB \ UB* AD \ / 2 Bquot;~ Al)

3^-^——-A) ₂(—---3_5l)(_T --_35l)

^QB\B AB* \BB-\ 1 D\ 1 AB 42?²\ 1

[^2A —B— —gt;■ - ^-B) - l³ - t)⁴'quot;³ ^ 1

(3Bi B 2B²\/ 2i?^\ [j-ó/h B m\({SB_l 1) HB'\ ZBfiB, Ui\ ZBA

¹

'1 cdi—cid p cd-i — cid ^v

waarbij de vier voorwaardensvergelijkingen

²

H = pe₁ qe 2 Acci,..................(c₃)

³

K\—phexqbie2 Addv,................(/₃)

waar men ook voor de beide middelste stellen kan

K—Ha ==2^pcd-_i-\-qc_xd') — 2 Aacc^...........(^j)

K~Hi = [2p — q) c di{2 q ~p^d............{h^).

10. Zij de integraalvergelijking

0» oy b)P [x «,!/ 6,)« [x a_iy btY [x -j- a^t/ b_s)^s = P- . . (C)

dan is

p ^{1 ay}' q ^{5 a}'V' _r 1.1 _ ₀

« «^ 6 x atyb, a dii/ b, * a»y K '

⁴

%{pcd_x qc_xd) a{pc_x qé)............(c^)

⁵

L\ c — B d \. B d\ — Li cy

e ---T-7, «! --- , ;..........(S'--)

14 IETS OVEE ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN of

lgt;³ («. V ^fl'₎^aa «sZ ^i ⁶i ⁵gt;³

(quot;,^ «^8 H- ^a« ^è. «»^3 «3^. quot;8^)^ (0. quot;A «lV'^,2 ''2»3⁴l)/

(6, ij i, ^3 4,)« («, s₂ ^3 «2 ^Ai^éa 4- «s W ^1 ^ ^ès]

5( 1 4quot; f,^') [•'»⁸ (^a3 «2 «)®^a n 4quot; («3 'quot;S quot;3 « quot;tquot; ⁿ2 ^a) ^x y¹ 4quot; ^aW^S 4quot; (^8 ^

(«'a quot;ah ''s *3 4~ ^ös t « ''a quot; ''s) («2 quot;s«3 '^l ''s ^a3 «

(M8 ê_s6)iP 4- 4- ^a^^is)!/ /'2^36]

4quot;^r(' 4quot;^a2^') [^³ (^s quot;h ^{a a}i)^a2 H/ 'i' (quot;» ^ quot;1quot; quot;s ®i 4quot; « «i) a'jy' -|- 03 aaiy⁸ -j-(^s4quot;''''4quot;^i)*®^aquot;lquot; 4~(^6r8^ 4quot; ^ö'3 4quot; ^a^3 quot;h ⁰ 4- «1 is 4- ü\b)aiy 4quot; (''s ^a^^gt;i 4-«3ai6 4- «1 ^abs)y* 4quot; 4* C's 6 4quot; ^3 ^14quot; ^ ^1) ^ quot;1quot; (^a3 bbi -\- a 63 -(- (?! ^3 6) 1/ -)- is 6 61]

4-«(i -|-aj?/')[«³ 4- (quot; 4quot;⁰! ^ai)^y (« ^öi quot;^a8 4quot; quot;i ^2) 4quot;^a 4quot; ('-'4quot;^i4''s)^ii;84quot; 4-{«6i 4- a6g 4quot; «i^ 4- «1 ''ü «3^ 4' ('ih)®!/ {««1^3 4- « «3^1 4 «'s⁰!^) !/⁸ 4~ (6 4 b bn 4 ^2) amp; 4quot; ^2 4«i6Ö2 b\} y 4- h b\

Daar deze moet zijn van den vorm

[Ax* -\-§ Ba? //-{-(!gt; Cx y^% -C^^S 4 Exⁱ-\- iFxy 4- Gy* 4quot; Hx -\- Ky -f- L)dx 4* (•4itf⁸-j-3 Exii? ij4-3C^,i.i-i/²4-Diy^s4-^i^²4quot;^4(*iy²4ft'®K^j-\-L\)dy ~ 0,. (IX)

heeft men daartoe

A = jo 4- ? 4- »• 4

35 = p(a_i 4 ff₂4o₈) 4 4 a₈ 4«) 4 r-^, 4a 40.) 4«^ 4 «, 4^)»

3(7 — p (a_] (/g 4^at^ö3 4^fl,3'^:'s) quot;h ? «3 4^a3^ 4^ö3®) ^u4^as^|5!i4^aai) 4⁴(««_lt; 4«lt;'i4«,^ai)» D = /ja, ayij 4 4 ^{f a}3 ^{a a}i 4 ■^salt;Ii ^a3gt;

E = p (amp;, 4®3 4 ^3) 4 ? 4 ^ê3 44 gt;■ (^3 4 4- ⁶i) ⁴ (^é quot;h »

2^¹ == /) (a, by 4 quot;l ^3 4 4^a2^s 4 4 ^aS ''2) 4 1 '^a2 ig 4^a3 ^4^flt3''24^a3 ^4quot; ^3quot;lquot;^ö! ^3)4 -\-r(asb 4 ^asb_l 4 ^a ^3 4 ^M 4^ai quot;lquot;⁰! 4 ^4 ^ö ^³4 quot;i ^4 ^ai ^2 4 ^a2 ^4^lt;'3 ^sli G = pia^bg 4 quot;iCsb, 4 quot;z ets b,) 4 !/(^a2^a3^ 4 «3 ^a'^,8 4 «3^a ^3) 4''(^a3^ⁱi4-^a8«i^4^aaA)

4 «(quot; «1 ^2 4 ^{a a}2 ^1 4 ^ai H=- p(6l/^,34 ^1^3 4 ^s^'s) 4 5(^363 4 ^2^ 4^3^) 4 r(bsb 4^3''l4^l) 4 ^s(^^,l4^^34quot;^1^8)i K — ji (rti ij 63 4 quot;2^3 4 ^a3 ^1^2) 4 y{^aSibs b 4 quot;zb^b 4 ^abi^h) 4''(''s'-'^i4^abJ-\4^aibib)4

-}- S (il 6₂ 4 ^al ^ ^3 4 ^a2 ^ ^1))

L = pbi b^bg 4 ^r/ b^b^b r b^bbi 4 ^^1 ^2)

pa 4 «/«i 4 ^ra2 «^a3gt;

35,= pci{'Ti 4^ö!3 4 ^a3) 4 4 ^a84 ^a) 4* ^^a2 (^a3 4 ^a 4 ^ai) 4quot;^4a3 (^a 4 ^ai 4 ^a2)» SC, = pa(«1 «3 4 «i«3 4 ^a2^a8) 4 9«1 («2 ^a3 4 »3« 4 «sa) 4 »■ «3(«3 ^a quot;H as «1 4 ^0ai) -H

s 03 [a o.] 4 aag 4 ^lt;ï2)gt;

Dl = pa «ifl2^a3 4 y ^al ^a2^3 a 4 '■ ^a3 ^a3 ^{a a}l 4quot; ^ ^a3 ^{a a}l «s»

UIT EEKE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING.

E_l pci[hi -f- ^2 4- is) quot;lquot; ? ⁰\ (^2 quot;1quot; ^3 quot;1quot; ^ ) quot;Iquot; 'l'^ai {hs-\- b -f- 1gt;i) 4quot; ^aS quot;1quot; ^1 4quot; ■'i)t 27*^ = h -fquot; ^ai is^-!quot; quot;s h\ 4quot; 63 4^-a8^i4*^a3^3) 4quot; 'iquot;f*^ai^4-^3^24quot; quot;^24quot;quot;^3)4~'

4quot;?* 0^2 {Q$h 4- ets bi 4~ ^ ^3 -j^-^^14quot;4quot; 4quot; ^ ^3(^14- fthQ-^-ciih 4- 4* ^3^ 4quot; ^2^1)» G, = pa (ai a₃ ha 4-^ai^a3^24quot;^a2^a3^i) 4quot; '2'^Ji (4quot; 4quot; a^abi) ra^a^ihi 4quot; 4quot; ^aai^3) 4quot;

4quot;^fg (a«i63 4- aa^bi 4quot; ''i^a2^)gt;

H_i = /)a(amp;i63 4* 4quot; ^2^3) 4quot;2^ai{b^z 4quot; ^2^ quot;1quot; ^3^) 4quot; ^rai[bib -{- b^bi -|- bbi) sas[bbi 4quot;bbo 4quot; ^1^2) 1 K_i ■— pa{aib_sb_s 4- a2M3 «3M2) 4quot; Q^at 4quot; asM-MMs) 4quot;ra^azhbi ahihi inhih)4--|-S tlS (ö ^1 4quot; ^al ^ ^2 4quot; ^a2 b fti),

= p (ih\h%h$ 4- ^ 01 ^2 ^3^4quot;^ ^a2 ^3 ^ 4- ^s ^3 ^ b\ by.

Vooreerst volgt, dadelijk

• (9)

zoodat a,ai, (7₃, «s, de wortels zijn der vergelijking

4«⁴—(3 5 4-^i)a⁸4-(0 4-5i)3«^!l—(/J4-.iC7₁)« • Xgt;, == 0 Vervolgens is achtereenvolgens

3 B—Aa ~ p ( a -f- rt₂ -|- «3) 4quot; '/ {ⁿ2 4quot; ^asi) 4quot;(^a3 4quot; ^ai) 4quot; 'K⁰! 4quot; ^a2z)

—3 Ba -\-'dC = p (aia2 4quot; ^aiquot;2 n2^a3 4quot; Q*—^aai—^aas) 4quot; ? 4quot; ^{r a}s^ai « ^ai^a2) Aa'-3£a- 4quot; 3 Ca-D= p (aia_sa 4- «i«s« -{-quot;2 cis a -j- a³-ai a'—ag a'-aa a'-ai anctg) =

= p (a—ai) (a—au) (a—a_s) ;

derhalve

^tqs— S^ga» .j. 3g_(J_ 7; (a—«!) («—a_s) (a—a₃)

en evenzoo

Ja^U^ SCa!- /) Aaz'-S Bas' SCaa-D Aaa'-H /W S Ca.-TJ

(J 355 ----—--— if* - -- ^ - ___ ,

(^ai~^a) («1-03) («i-us) ' {ai-a) (a^-aj) (a2-a₃) ' (ö_g-a) (as-^i) (quot;3-aa)

Bij de beschouwing van ons twintigtal vergelijkingen, ziet men dat telkens, als men in het algemeen voor eene letter X stellende, Xa—Xi neemt, de p geëlimineerd wordt; evenzoo bij Xaj Xi, Xa₃—JSj, Xa_s—X^, worden de q, r, s geëlimineerd.

16 IETS OVEE ZAMENSTELLING VAN DIFFEEEN TI A AL V EEGELIJ KIN GEN Nu is

Za^,{Aa—A{)—§a[Ba—B_l)—S.{Ga— CJ = 3[^«³â€”-f 2-8)^-f-(2^-}-C)a— Cj]«= =q{a- O.) (ö₂ö₈-aa₂-aa3 a⁹) ^ («-«2) («sai-aaa-aai «²) .v (a-as)(aia₂-aa₁-aa₂ -f- a')» =(? gt;quot; -fquot; ^s) («—«1) («—as) (a—os) = (A—p) (a—aj) (a— as) (a--a₈) =

= A(a—aj) (a—a₂) (a—as) — Aa³ SBa²â€”3Ca—D,

met toepassing van de uitkomst (9^C). Evenzoo is

a^s(Ea—JEi)—1a(Fa — -/^i) [Ga—Gi) == q(a — aij(a2ffg — «a²â€”003 -J- a^b -j--f- r{(i—0%) («3»!—aa_s~aa\ a⁸)6 -j- i{a—«₃) (öia₂—aai—««2 quot;²Ji;

en dit geeft nu

_ 1 Eaⁱ—(E_l amp; 1'W (2^i Gjü—Gj v

3 Aci^— [Ai 2 23)ft² -}- (2 Si -|quot; O ^a— j

op dezelfde wijze vindt men I

\ (9^rf)

_ lJW-(£i-|-ai^?W (2^H- _h ^ I£a₂³-(Jgi 2i'gt;₂² (2-/^lt;i G)a_i-Gi (

¹ 3 yiöi⁸—'_gt;//i-l-22?)ö₁²-f-(2iïi-l-C)ai—Ci ² 3 y7»₂^s—{yJi-)-25)tf2²-j-{22ii-l-C)a₂-Ci 1 I E₀^—{E, 2jigt;3² (2^i g)^8—6-'i ³ 3 Aai-~{A₁ 2^)_ft3³ -f (2J5i C)as—C\

En hiermede zijn de twaalf grootheden a, «i, t-'s, «s, /'i lt;/, f» ⁶'i ^2» gevonden. Er blijven dus acht der twintig vergelijkingen, als voorwaardensvergelijkingen over. Deze zijn vooreerst de niet gebruikte

H = , ÜT , /^ = , = , K\ =, Lx —.......(a₄)

Maar bovendien moeten er nog twee bestaan tusschen de gebruikte grootheden E.b^G E^J' 1.Gi, Schrijven wij deze daartoe in den vorm

£ = Ó! r -1- s) f/) 5 «) i8(p ? 'O ''(ï ^{r S}''

ZF = li {p (»2 quot;s) gt;-(03 «) «(« 4)} ^2 [p (ai Oi) q (as «) lt;« quot;1)}

^(/gt;(01 Ö2) 9('''2 ^a) «'(a-Hi)} -M{9(⁰2-1quot; 03) «'(as öi) «(ai «2))»

G = b₁(pa,_io_s ra_sa 4^a qcsa saai) h_s{p qa^araa-i)-^

-^-b [q üiOs -(- /fsKi s ü\ %)gt;

Ei= l\{pci\ raz sa_s) i₂(pa -f- qct! si's) t's(fa 9^ai ^?,fl,2) ^rff2 -f «^s), 2E₁= b_l[p(t[a_i-\-a_z)-\-ra_i(a_%-\-a)-^sa_z[a-\-a_i]} i2{/gt;ö(«i ö2) 3^ai(^a,3-l-^fl) ^3('^:,i «)}

b_s\pa{a_l a.i)-\-qa_l{ai a)-\-ra_i[a-\-a_l)] l{qa_l{a_i ai) ra_i{a_s. a₎) sa_i{a_l a_i)),

öj = h{p r «) a«₂a3 «2 (/gt; ? «) ^aa^ 9 ^r)^aa^ ^ ^r

UIT EENE AANGENOMEN INTEGEAALVEEGELIJKING.

De eliminatie moet hier dus twee determinauten geven, beide gelijk nul. Vorm daartoe de matrix

Tel alle drie eerste kolommen op bij de vierde, dan wordt deze

§{P-r1^Jtr^rJr^s) —3A,

P (üVs öiös -jquot; aiiig) -j- q [a% a-^ayCi-^-azCis) -|- f (as n-\-a «i 4-aias) -}- .s (aa2-\-aa\-\-dia%) ~3C, 'è [paq a\Tciisa=.-3/71, pa{lt;i-i^ris,-\-ti-^aficixiauaa^-\-a^a^j ra^au^-|-aai-f-aifl₃) sa^'/ta^ -{-aa\ -j-^ai⁽'2) —■ '-Oy, ^P{^ai ^rt3 • ^as) -fquot; Zq (ajj «sH- «) 2^(03 a «i) -f- 2s{a -{-^i «2) —6B,

%p a (ai -f- «8 -j- «3) 4quot; («3 quot;fquot; quot;H ^ ^quot;a (^a8 quot;lquot; ^a quot;1~ quot;1) quot;h 2 s«3(a ^ai quot;h ^2) —GBi.

Vermenigvuldig de l^9tc, 2'^,e en 3^(,e kolom met a_u ö₂, a; tel dit alles op bij het produkt van a_s met de 8^de kolom; dan wordt deze

P («i ^a2 quot;s) ? (^a3 ^ o) gt;quot; (quot;3 a -f aj -j- s (« ^ai ^ai) =3J5,

3 (paiozas -f- qa^asa -j- ragaai saa! «■₂) =3 D,

P ^a (quot;i quot;g quot;3) 5 ^lh (^2 ^a3 ^ra2 («s -j- « -{- «1) 4quot; ^s quot;3 (quot; 4quot; ^ai 4quot; ^ff8^j —3Bi,

3 {paai quot;2 «3 4' ? ^ai ^a2 ^ai« ''«3«3««1 4quot; ⁴^3^a «i «2' ⁼quot; 2 [^(a₁^_s-j-cf₁a_s-f-a2a3) ^(ö₂c(3-f-a₂a4quot;^a3«) »'(rt3a-|-as(i₁4-««i) s(a«i4quot;^ac2 ^lt;;!i^,72M

2{pa((7ia₂-t-ai«3-i-'''2'⁷3) ?'^),l('^:'2^tt3-t-'^ir2^aH-^a3^a) ''02('^,'3« «3^1-|-0'J^,l)-f VC3(a0i «lt;^1!2H-^al⁽'^r2)} — 6 Ci.

Tel de l^9t0, 3^lt;le en 4^llu kolom bij het produkt van (—2) met de 2^lle kolom j deze wordt daardoor

NATÜÜEK. VKRH. DER KONINKX. AKADEMIE. DEEL XVIII.

IS IEÏS OVEK ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

3 r = 3 r,

/'(«aas -j- —-Za! a₃) -1- j (a₂a -f-ös 's—2a3«) -|- r aiÖ3)-}-«(««a-{quot;^öi^fl!2—^ai) ^

- S C- S ^J~quot;quot; '■ _m 3 C- —

^ai ^as quot;a²'

3 »quot;quot;2 = 3 ?• a_s,

^(«3«8 4quot; -j- — 2a₈a)-|-»'ff2(o8^a ^i-|-^lt;,i'^i!8)quot;l~f s(^'''a-|-lt;''af8—

= SCi—8(A—?■) ^ p (2 ag——^/g —^i) -j- y (2 (*2 —ö —öjj) -}- 2^ (rt: -j- A's -j- s (2 ag—0 —^1) =

= 3 «₈ (A ~2r) — 3B 3r ^3B A\

A

pa (!ia₃-—a_s—ai) qai[V. a_s~ a -eg) -}- 2 ra_si(a «g «i) ^{# ö}8 (2 as —a —öj) ==

SB Ai

= 3 ^2 (_iA_i — 2 ^ quot;[* 3 ?*(7_a-^-,

Vermenigvuldig nog de 2^dc, 3^Je, 4^Jli kolommen met — 2«j, a,, a, en tel alles op bij het produkt van a, met de eerste kolom, dan wordt deze

P (^ai—2ag-f-^a8)quot;}quot;? (—2a2-}-a3-f-a) -l-rfai-j-as-j-a) -j-ó(ai—2a₃-\-a) = 3 It—3 (A — /),

A

3raaia_s

AaJ

p («rtj —laa^ -^octi) r/(—2«] o₂-t-«iig-f «iquot;) ■j-'''(quot;2''H-«s^_s-i-ö26[) «(«s⁰!—2a3 (i-f-«3'')^:=

= 3 Zj'I —3a2 (^i —^

o ÏJl

3 r a 02 (ïs = 2 r

Pi—«I'?» —«2^3) ?(—^a2''3—^aa2 2aa3) aaj aa₃) -j-«( 2''a j—»i«2—«quot;2)—

o _r, ⁶ ^1 J ^S-® /■ 1 _1_ \ I ^9r

--Ó C — — - (J, 1) — ,

('₂ - A a?, Aa₃

^a(-a₁(?2 2((in^,3-a2^,i!3) ^!?^ai(-^a2'⁷s-''«2-i-2aa₃) -\-9jra2⁽a\a},-\-aai-\-aa^} -i-6a₈(2tJö₁-r/ia2-aa2)~

= _ 3 ^ .....2 .) 3 . -^±^.

Aa„ A

Nn is reeds alles tot fl₂ en r teruggebracht. Ter vereenvoudiging trekke men nog a._t mnal de 2^,'^u kolom van de J^8te af, dan wordt deze eindelijk

B — a^A,

■— C 0% D,

-02^1)

lh

— Cy ^aa quot;tquot; j a.

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING.

. n \ i / Ti D[il -)-?■) 3(^i IrT)-, I -n ^ li4-Ai\ —«2 (-4—2r)-}-a_a[5 —r ^ j—C-\--—---- =Ö8(4-S-l-^j -j-r-^— j-J-

A

wanneer men do vergelijking (9«) toepast.

Om nu onze determinanten te verkrijgen, neme men de vier eerste regels en stelle daarboven telkens den ö¹quot;¹¹ en den (j^(1ci1 ; dan vermenigvuldige men met a₃^! oin de breuken te verdrijven; eindelijk telle men

X den 2^1,611 regel bij den 3^den en 5'^!en regel,

— «o x den 2^llen regel bij den 4j^lt;l011,

/ S/i ^,\ , ,

en -\c/₉- x den 2^lt;Jen regel bij den l^3,equot;;

en lierhale dezelfde bewerking bij de tweede deterrainante. Op die wijze verkrijgt men

20 IEÏS O VEE ZAMENSTELLING VAN DIFPEKENTIAAL VERGELIJKINGEN

waarbij ter wille van de duidelijkheid de regels door komma's en de kolommen door vertikaie lijnen zijn gescheiden, en verder ter herleiding der eerste gebruik is gemaakt van de herleiding

A(^-4i'^, 2),

waarvoor weder van (9quot;) is gebruik gemaakt.

De determinanten (ó₄) eu (o₄) bevatten nu slechts de a₃ en r, die later door middel van substitutie uit (9'^,,) en (9®) verdwijnen.

11. Deze oplossing gaat niet door, wanneer .4 ■= 0 is. Tengevolge van de vergelijkingen (9) moet dan ook

85 -f = 0, C .Bi = 0, /gt; 3 Cj = 0, «J = 0

zijn; men kan dus A\, I?i, en D_l als afhankelijke betrekkingen beschouwen.

Gebruikt men dan de onderstelling /L — Q — p q r s om de s overal te elimi-neeren, zoo behoudt men

3£ — p {a_s — e) J («s — «i) r (a₈ — fls).

SC —p{ü3— a) (si -1- az) ? («s — «O (« 4-02) »quot; (^as — as) (« «i)»

Zgt; = p (c(₈ — a) «i aj -j- 5 («s — a₁)aa2 -{-/{as — ag) a ai,

HP p{{Cs—^a) {^1 ''s) (^8—^)(öl ^s)} !?{(^a3-Ol) {^8 ^l) ( ' -f- ^2)}

f — 03) {h -|- bi) -|- (is ~ I's) (a -1- «1)))

(? = p{(a₈—a) (ajbn anh) -f- (h—^)ai quot;n] lt;K(^a3—^öi)(^a^ ^ö2^) {h- (gt;i)^a •

-\-r{(v_s — «g) («li «x i) (^8 — ^Js!) ^{0 a}\] »

H — ptyz—h) {hi 4- 1%) -f q {Is—ii)(i ^2) »'(^s — ^i)gt;

K = p{{Ls — 1) (öjb_a -f r/gi';i)-f- («s — «)^'3M 9 I'^7s^ ^^2}

-f-gt;'{(^8— i_s) 4* (quot;s —¹⁷a) ^'^1})

L == (i_s — I hi ig -)- (j {is — ^i) b i^ quot;1quot; {^3 — ^2) ^ ^1»

Ei = p \ {els— osh) ■— («3— a) {i\ -f ''2) } ? { (quot;1 ^3quot;—^ash) — (quot;'s— ^a\) {b ^2) } -|- r { {azls— «i 1%) — (as — lt;72) h) } •,

ZFi=^ p {{r!ls-asi}{ai-\- a* -(«8-«) («1^2 « A)} 5 {('quot;'l ^J3-»s^l) {^aJr^az)—(ö3-öi)(«fe quot;2'')} '' { («2 h — ^2) i^{a ff}i) — (^f'³â€” ^³) (^{ö tjl 01} '

Gj =•• ]i {als as 01 «2 -j- g («1^3 — «s li)^aa!S quot;!quot; ^r (quot;a ^3 — «3£gt;3) a «i,

ÜIÏ EENE AANGENOMEN INÏEGKAALVERGELIJKING, 21

S-\~P{{.^ah—^a8^(ⁱi h] — («s — a)Sii2} q ((^is — as61)(5 -J-fy») — (a_s—«1)^2}

-|- r {(a₃ 5₈ — 03 h%) (b 4- ^i) — («s^- «2) ^ ^1} j K₁ — p{abs — a_ab){aib₃ ag^) 7(^63 —a_sb₁){abi -j- «_aij r (^is— Ogia) (0^! «1⁴)» Li — p(abs— a_sb)bib2 -^q^axbs — bb% -j- r («363 —a_sb₃)b 6\,

Hieruit volgt

Ea—Ex —p{a_a — «) (éi Z»3 -|- ^) 9 {(«s — ^ai) (^ ^a) « — abi— ax bs «3 61}

gt;■} («3-quot;s) ^l) «^3 — ^a^2-«2^8 ^as M'

Z{Fa—Fi) — p(as — a) (a ^ -j- a J₂ ^ai ^ ^aa ^1 ^ai ^ ^a2 ^)

-f J {(«3 — «i)(«S 2«J2 «3^) (« cn) (abs — aii - a^Js-1-03 0!)} '^r{{.^ai — «2)(ai -|- SaJj -{- a-ib) -t-(a -f- flri)((7i3 — «^2 — ⁰2^3 «3^2)})

Ga—Gi === ;j(a3-a)(aai';₃ -{-ciaj^ -|--|-^a{(«3-a₁) [ab^a^'i) -p(ii b^-abi-aibz ■[-

ra[{a_s — (/^{abi -}- aji) (ais — ab_z — 0263 -}- 03^2)«ij i

en verder

{Ea — ^i) a — 2 [Fa — Fi) ■— p («3 — a) (abi — aib — a^b — aib^ — «2ii) —

— 1 {(^as—^1) (0^2 ^a2Ó) -f- «2(ais — ab\—«iJs-l- «3^1) } —

— r {(«3 — «i)(a^i ^a\b) «1 [a is — abi — «2 53 ■ as ^2) }gt; {[Ea —Ei)a —2 [Fa—a [Ga — Gi) = p («3 — «) [a^%b — aa-ib ■— a a^b (i\ «2'^) ^

= ^^(as — a) [ai — a) («i — a).

Maar ook is

3 [Ba— C) /gt;(«3 — «) [a — «a —ai) —qai (as —ai) — ^ ai (as — «3),

(Ba—CjSa -j- D —^(as—a)(a¹ — —«3« -j- aia^)',

zoodat men tot de beide uitkomsten geraakt

'dBa* — 3 Ca D

(10)

{a_s — a) (a₂ — a) [ai — a)

en

_ ^Ealt;gt;~ ^^Fi G]a - öi

quot;quot; 3Ba³~-'óCa JD

Wegens de symetrie van onze vergelijkingen is het duidelijk, dat men hieruit ij, ia, bs verkrijgt door a te veranderen in ai,(r₂,a_s; evenzoo y, r en s door in den teller van p dezelfde verandering te brengen, en dan voor den noemer te schrijven (as ai) {a₂—(a—«1), («3—«3) (aj — 0.3''(a—a₃), ^3—a_s) (ai—a₃) (« ■—«3). Er blijft nu slechts over, om de a te bepalen. Daartoe heeft men

8 [B a C) = p (alt;f— a) (a aj -j- 03) -|- q (as —aj) (a₂ l a) -|- t (a_s —(1%) (ai -|- 2 a),

22 IETS OVEE ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIA AL VERGELIJKINGEN

Ka——p{a_%—a) 'ayb^b 4-aji-j)-}quot;ah\bi)-j-{a^—a₁)aM₃-|-(a/)8-a(5₁-aid₃-|-«8Si)(ai2-ffl2^)}

^r {(«s ~«i)aWi (ai_s— «ós—«a^s as^) («^

pb\lji^h (ög (x) (j b hqici hi ti ^ — (X\ /^3 öïg ^1) quot;f* t h l)\{o, ^3— amp; *

waardoor vervolgens

(JEb—^1) o B, 2 b =ƒ? (^3—a) (61 -|- ig — —^1) (^2—lï)-\-üh^—alji—^1^34~^8^1} -fquot;

/{(os — as){b_x~h) 4- ahs—abt — a^b_s 4- o₈ 6₂} , ^ Ft^ 3 a -[- C) 6 == («g — a) {ab^ -|- a 1^3 -|- ctj ^^ -|- as^i •— (t ^)-jquot;

(?{(«3—ÖJ] (^aia— «?') (a ag)(a5s—^a^i—quot;1 ^s ^s^i)}-j-j- -Gg) (2 lt;X — Cl -f-^!« «l) (^' ^3—^ ^2-^2 ^8 quot;iquot; ^8 ^3) } !

derhalve

— { [Ea — .Ei) — 65^} a {2 {Fa — Fi) — [Ba -|- C) 3 bj p (as— a) («i bz «2 ''i)

quot;I^- lt;? { (®8 — ^l) ^a^0 quot;H ^ai (^a ^3 — ^a — ^al ^'3 quot;fquot; quot;8^1)} -j-*1quot; { (^3 — a%)(ih\ CLi^cihz — ahg'—asb^j;

en eindelijk

(Ka—iTi) -j-| ((Fa—F})—GFbja—f2(Fa—Fi)—(Ba-1-0)36) \b — p(a_a—a)aii^₃-|quot; quot;fquot; '/ a 1)2 (ab$ a a\h§ a^b-ï) -|- ?'ci by(a b$ — a — a^ 1)$ üq hg) == (La — -^1) v»

of rangschikkende naar b

'6(B a C) //— ^{(Fa — FJ ZBaïb¹ {(Fa -FJa (Ka—K_x.} b—(L a —ij)« =--= 0, dat is volgens (10«)

8(-Ba C)\Ea³ — (F₁ 2 F) a^a (2/'¹l 0)«—ffi}⁸—

—2 {(/lt;'« —FJ 3 Ba] (3 Ba⁷— 3 Ca D] {j5V—(tfj 2 i'¹) a² (2 F_x-\-G)a~ G_xf {{Ea- E_x)a—(Ka-K_x])(ZBa?—ZCa DY {(Ea³- (^ 2 ^a² (2 /^ G) «—(5,} (La — I^a (3 Ba¹â€” 3 Ca ZJ)³ = (),..................(10^A)

eene tiendemachtsvergelijking vcor a.

Er blijven hier, behalve de oorspronkelijke waarden

A = 0, ^ == —3 2?, =_lt;?, 3 Oj = — A A = 0, .... (a.)

nog de twee voorwaardensvergelijkingen

-0quot;=, #1-,............. {6₅)

UIT EENE AANGENOMEN INTEGEAALVEEGELIJKING.

die nog niet gebruikt zijn. Er moet echter nog eene worden opgespoord, die men op de volgende wijze vindt.

H £b p(b_a — i) (/gt;] hu — ty q (63 — b^j b^ -\- r (A₈ — 6₂) ij,

L — (II—Fb)b = p(i₈ — b) — M —amp;') = p(i₈ —J)(6i —i).

Derhalve

(Sl^a² -3 6 a -Ö)(i3—i) (/'2—b) {by-1) = [Eb¹â€”—«)(®j—®) (^ai—^a)gt; • (quot;g)

waarin nu de gevonden waarden van de a en b te substitueeren zijn.

12. Evenmin geldt de oplossing van § 10, als a = ai is. quot;Volgens de vergelijkingen (10) en (iOquot;) is dan ook b — ij, q=p, zoodat men heeft

A — %(] -[■ r -f- i-,

SB = 2 q (ai -j- aj a_s) r (2 «] -f- as) •* ^ai ^a2)'

3C = 2 9(a₁a₂ «IOs 'W«s) ^,,(^ai² ^^aj) -f- «(quot;i² H ürtaaj),

7) = 2 ^ai ff_a as -j* ^r »i' ^fl3 -j- saj¹' aj,

E = 2 (j (ij -j- ^s) -|- ''(2 ii -I- is) «(2 ij -j- io),

2/^ = 2g (aj i₂ ^ai''''8 a3ij a2''3 as^i «8^3) 2r(as^i-F «1^3 01^1) 2s(ajii-f-a₁i2-l-a.2ii), G — 2 lt;/(aj ajj is -|- aj «s ^2 - au as ij) »quot; (2 cijcig ij -j- «j² i₃) -}- «(2 öj 03 ii -j- ^), H ~ Zq (ij i2 -J- ij is -{- ^'2 ^s) ^r ^2 ^j²] s (2 ij /'2 -f- ^'j²).

^K= 2 j («j /»2 ig -j- «2 /'s /(2 ajijis as/.'i³) -(2 «i Aj -j- 02 ij⁸),

Z/ = 2 lt;/ ij i2 is H- r ij² is -j- « ij³/^,

^1= 2 (} Ct j r (7 o 4quot; '«3,

3/?j~ 2 q aj (aj -j- «2 -j- «s) -r ^ «2(2 aj -}quot; ^s) -fquot; ^ai)gt;

8 Cj 2^a₁(aj02 ajag -j- «3 «g) ;'ö2(2aiOs ^flj²) • 2.9 ag (2 «j aa^ai^s)gt;

■öj-quot; %qa-f azas -fquot; '^,lt;^:'j²Ã¶2«s - j- .va^azcig,

lj= 25aj(i] i2 i₃) -f- ras(2ij -j- ig^ ,9ö₈ (2/), b₂),

2 /'j = 2 j «j (aj is -|- aj ig -j- «j ''j ^ö2 «3 ^'1 quot;s ^ quot;1- 2 r (a₃ ij -fquot; ^ai h «1 ^i)4~

-5 ag (a^j i| aj/gt;2 -|- aji]),

Gj— 2 (j ö) (flj ö₂ ig -j- ai rtsi₂ -{- «gffg ij) -}- r Oj (2 (IJ «sij quot;1- flj² is) 4quot; «a3(2aj «2^1 «l' /7j;~ % q ai (b-L iv ij i₈ 4. /^2 ig) -f- r rt₂(^i₁ ig 4- /'j²) 4quot; «^(Ziji® 4 ^)²)?

-ffj— 2lt;7«](«ji₂i₃ 4. a₂ijig 4. agiji^) -f- ra^(2CÏJiiig -j- «3 V) ■^lt;ias(2ajiji2 4quot; «3^i²)» 1/1— Zqa-ibi «gig 4- r a₂ii²ig s ög ij³i₂.

Men leidt nu achtereenvolgens af

24 IETS OVEE ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN 3 B A\ 3 [O -jquot;

---= 2 ai -Jquot; ^2 quot;tquot; ^3» j = öj Qai a -j- 2 ai cis quot;h agas,

A A

D 3(7i 8 10,« a

■-2-— ^ai ^aa «1 «s «aiöjas» ~ •= a, «aas J

das

SB Ai 3(0 Bi)

--- —2a! =03 a_s, ---— au² = 2 a (a_t a₈)

A JL

D -f- 3 Ci Di

~ ^a\ (^ö2 «s) ^ ^ui (^as«s)) —: — «3 03.

/L A ai

Substitueert men de a% -|- 03 en lt;73 as uit de beide uiterste in de beide middelste vergelijkingen, zoo is

3^ai⁴—2(3 5 AW-t- 3(C Bjaf—Di = O, )

2^.«!*—(35 /ijja!⁸ (Z» SCOai —2Xgt;₁ = 0; I.....¹ '

twee vergelijkingen, die beide kunnen dienen ter bepaling van «i. Men kan ze echter door eliminatie telkens herleiden, en verkrijgt dan

{•ÓB Ai) ai^s - 6 (C 4- £1) aiquot; 3(1) 3 Ci'i «1—4 A = O,

é^aj³ —3(3 5 ^i)ai⁸ G{C Bi)ai—{D SCJ O,

{8A{C Bi)-{3B Ai)'} 3a/ {(3 i? (£7-j- ö,) _ (D 3 ^ 2 -4}6 ai

1(iAD₁ — {3B A_l){D 3Ci) = 0, '

{16 4Zgt;~ (35 ^)(Z) 3(?!)] a₁^a {(C 5i) (Zgt; 3CO— (3B A^Di] 6 «i ' 24 (C Bi) Di — 3 (Zgt; 3 Cif = O j

\{\«AD-VB Ai){D-\_r3Ci)] {{3B A{){C Bi)~[D 3CI)2A]~- _x ~3 {8 4[C Bi) - (3 B Aif I ((C {-B^ (5 3 Cj) — (3 5 4i) 3 A) ]6 a! == ~[27 {8yi(C 7ii)_(35 ii)^!!) {.S((7 AiA —(5-t-3C!)^^{^}]_

— (16 // 5— (35 Ai) (5 3 C¹!)] (16 A Di — (32? (5 3 C¹!)] |,

[27 {8 A (0 B₁)—(3 5 Arf} (8 (C Bi) A- (5 3 ti)²} —

■— {16 // 5 — (3 i? /ii) (5 3 C¹!)} (16 z/ 5! - (3 5 (5 3 ) J«i = = [6{((7 5₁)(5 3Ci)-(35—4₁)25f {16(35 Ai) (5 36,)} -

— 18 {(3 .0 Ai) (C Z?!) - (5 3 CO 2 4} (8 (C 5i)5! - (5 3 Ci)²} |. /

Beide laatste vergelijkingen geven nu de «!, en daarenboven, na deeling, eene betrekking, die er noodzakelijk tusschen de coëfficiënten bestaan moet. Heeten die vergelijkingen P ai ----- Q, i'i oj = Qi. zoo moet zijn

P Qi~FiQ..................(«„)

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING.

quot;Voor de a₂ heeft men hier nog

A V—(3 B (C B_x) 3 ai— [D 3 C₁)a₂ D₁ = 0, . . (11«)

en dezelfde geldt voor «3; terwijl ook de beide vergelijkingen (11) voor ai aan de (liquot;) voldoen, zoo als behoorde, want deze geven daarvan de twee, thans dubbelen, wortel. Verder is

6 5 — 3 Aai = 2 ^ (— dj 3 a₃ -j- 2 lt;13) -j- r -(- 2 a₈) -f- s (aj -f- 2 öj),

3 A Oi³ — 65a₁-^-3C = 25^, (aj² — «i «2 — ^ai ^a3 quot;h ^u2 ^as) j

dus

5 _ 3 g.............₍₁₁^

2 («i —«a) («1 —«3)

Nog is

3JB—Aa_z — 2^(0! a_s) 4-?• (2«! — a₂ ag) -f-Zsa!,

Ja₂² — 3 7ia₂ -|- S C = 2 ijr aj a₃ gt;■ (a!² -{-2a₃a₁ — 2 a₃«j a₂⁸ — «a «3) « «i²Â» A ag⁸ — 3 B a₂² 3 Ca^ — D — r {a^ «₂ 2 aj «3 —• 3 «j -|- a₂⁸ — a₂² «3 — 03) == = r (a₂ «3) («! —a₂)²,

waaruit

ja₂⁸—35a₂² 3(7a₂—i) , Aa^—SBci^ SGa^ — D

r=—-f---₀-; terwijl evenzoo i ^—^L---. . (11«)

(a₂ — a₃){a₁ — a_a)² (a₃ — a_a) (a j — 03)2

Nu moet nog de 62 gezocht worden; daartoe heeft men

— A₁~r(a₁ — a₂) «(aj — a_s),

3 Büi 3 Ui ~ r(ai a₃) (3 a₂ -}quot;^a3) quot;Iquot; ^s(^ai — ^a3) (2 «i -j- «2)1 3 Cci!—3 Ci -= r («! — a₂)(a^ -f 2«3^) -j- s(«! — a₃)(V 2 aaa^,

Edi Ui — r(ai a^) (2 amp;i ^3) «(aj a₃) (2 ij ^2)1 Foi I'i -=r{ai — a₂) (a^bi -|- — ^a3) (^2^1 4quot; ^ai^i)»

ö (aj — a₂) (2 «! a3 a₁²/;g) «(«j —. 03) (2 a_a ^ b₂);

waaruit nu wordt afgeleid

(Ecn-Ei)ai-{Fay-F₁) =r («!—a_a) (a^Ji—«3^) -f s («j—03) (a^j—a^) ==r {a\~a2)h{^ai-^a-i)

«(«!—«3)^1 («i—^

[Aai — Ai)3ai — 3 (5 aj — B{) = (/-)-«) (a! — a_a)(a₁ — a₈),

en dus, na deeling,

b 1 -gai² —(-£?! ^«1 ^1 _ai/. ¹ 3 ^ai²â€”(^-J-B)»!-1-j?!............^V '

4

NAIÜÜRK. VKRH. DEE KONINKX, AKADBMIE, DEEL XVIII,

26 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFEKENTIAALVEKGELIJKINGEN Evenzeer nog

{FOi— FJ (Gaj— GJ = r (aj— a₂) (aj²b₁ — a₁a_sl_l) sfa— a₈) (aj^aij— öj a^by), 3 (Saj — aj — (C aj — C^) = ?• (aj — o₂) — aj aj) s (ei! — a₃) (aj² — aj a₂),

en dus, als men deze op elkander deelt,

j ^ 1 -Fax² — C^i (r) «! ^Gi

.Baj²-{By 6)^ C₁............⁽ '

Beide waarden voor by leveren nog als voorwaardensvergelijking

BEa^-iBi:_i BF £₁E CE)a_l^s s

{BFy -}- BiEI-\-BIF-y- C Ey CF-j- Ci-Ejaj²â€”(C₁£₁ C₁i^?,-f-5₁i^;,1H-CjP₁)a₁4-G/'\=1 = APaf— {AFx AG A_lF BF)a₁* j '^{( 61}

[AG_l A_lF_l A_lG BFi BG BF)a₁*-[A₁G_l BG_l B_lF B_xG)a_l B₁GT_L)

waaruit nu door eene der vergelijkingen (11) tot (li⁴) de üy moet worden geëlimineerd. Voor 1/% heeft men weder

1 EaJ - (^ 2 FW (a ^ G) «₂- Gj ³ Z AaJ-{A_l ïB)_af (?_lB₁ C)az—C_l^,......¹ '

waaruit de wordt afgeleid door a_% te vervangen door ö₃. Deze fl₂ en moeten dan later worden geëlimineerd.

Verder heeft men nog als voorwaardensvergelijkingen

#=, #=, L=, //,=, K^, L_x*=.........(c₆)

13. Eindelijk kan nog a = a₁ (dus ook h = b₁ en p =■ g) en tegelijk «3 = 03 (dus ook i₃ = i₂ en s = r) zijn; in dat geval heeft men

A—2{q r), i4₁=2g'ö₁ 2r(?₂,

32?= 2 (/(a! 2 a₂) 2r(2 «x «'a)» SBy—Zqai («! 2«₂^ 2rö₂(2«₁ (?₂), SC— 2 q (17^ 2«₁(7₂) -f 2 r («j²-}- 2(7!^), 3C₁==2 gr/j (^^ 2fl!₁(7₂) 2rö₂f(?₁² SajOjj), 2?= 2 9 (Tj -f 2r(7₁²ff₂, 2 ^ «j²^² 4quot; ^

J?= 2 9 (ftj 2 i₂) 2r(2 ^ ''a)) ^=2 2 i₂) -j- 2r(7₂(2 ftj 4-

2F=4j(ö'₁?gt;₂ ff₂i₁ a₂^₂) 4r((7₂6₁ a₁i₂ a₁5₁), 2F₁=4^a₁(«₁/^,'₃ iv₂amp;₁ ff₂i₂; 4fö₂(«₂ii fi'₁5₂ «₁^₁), G=25(2aiö₂''₂ f?₂²i₁)4-2r(2a₁(3₂';₁ a₁²^₂'l, G^r1=25rt₁(2a₁a₂5₂4quot;^rt2²Ã¶i)-H2/(3!₂(2a₁a₂^₁-j-a₁²i₂), H=Zq (2 ^2 V) 2r(2 ^ i₂ V)» Hy—^qay (2 amp;₁6₂ 6₂²) 2ra₂(2amp;₁amp;₂ 6^), ^=29(ö₁i')₂^{2 2f}'2^l^?'2) ^2,'(^2ö,l^?'lⁱ2 ^£'2ⁱi²)gt; K_l^^a_l{a₁h^ 2a₂h_lh_i)-\-lra_i{'la_xh_lh₂- a^), 2; = 2 ^ /'₂² ^ ''2' 2/j =2 y 6₂² »'fl'₂ Jj² amp;₂.

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING. 27

Alsnu is

3 B -j- = (aj -f aj) 4i (? 4quot; 3 ((7-1- = 2 (^ -|- r) (aj² -j- éaj atj -{- a^³},

dus

35 ^ 3(^ 5!) (SB-Mi)⁸ «ⁱ a₂= _2A . ^fli^a2=—^ -----(«)

derhalve zijn a₁ eu a₂ de wortels van de vergelijking

8A*cc*—iA{Z13 Ajct ^ZUC BJ — CiB Jrf} =0.....(12)

Verder is

L L L

Iqh^ Zrbi, E—— =(i₁ i_a)2(9 r) —{b_x b^A, E—7^_r(^i ^2)==24₁i_a((^ r)—

OjOg OjOij Ojftg

zoodat Ajj) en (b_x -f- S₂) de wortels worden van de vergelijkingen ^^a = -( E- ^L

^wl⁰3

of ^2 («! — HA {b_x b^ 4- i ^(ii «_a) — Z = 0 en »

^(ii i₂)³ —2 ^ ^(6i-i- i₂)² {AU—E*)^ 5₂) - (Zf.E — Z) == 0 j ' ' * ' (^12a)

Nog moeten q en r worden bepaald.

/L On-A-i —— öi

9 = -r» gt;• = -\...........(12«)

2(«₂—«i) 3(«2-quot;l)

Hier komen voor als voorwaardensvergelijkiugen, behalve de niet gebruikte,

D ZE , G—) K=, 3 Ci i?! ■■=, E]^ 2 ~, G₁ =, =, K-^ —, L-^ ■=, . (a₇)

nog twee andere, die men aldus vindt,

3^—3^₁=4(?--r)(a₂-0₁), 3(C—5₁)=2(7—r)(a₂²â€”-a^), 3Igt;—3C₁=4(?-/)(a₁-a₂)a₁a_a; waaruit

^ t 3(^ 50 (35 ^)8

^_I^=_ï{a ai) = -_Tr-, ^n; = ^al^Ö2=--1--

naar de vorige vergelijkingen (a).

14i. Op dergelijke wijze kan men ook differentiaalvergelijkingen der tweede orde opsporen, die eene gegeven integraalvergelijking zouden hebben.

4.»

28 IETS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFEEENTIAALVERGELIJKINGEN Stel deze bijv. als in § 2

b)P {x diy bji = P;............(A)

dan is achtereenvolgens

Vi* aiy h)^ «2/') ay a\y') = 0,

(/^gt; ?)(l aiy')(l ay') -Vpix aiy ^J\-h)(iyquot; q{x ay tya-Lyquot; — 0,

of

-I- (^a »i)r «Oiy²} {pah-³r 1^ (pa qa₁)x {p q)aa₁y)f'lt;=0. Deze moet nu den vorm hebben

.1 By' CP {D Ex Fy)yquot; = 0;..........(X)

en daartoe moet zijn

A = p q, D — pal^-ifr qu^,

B ^ ,p -1- _f) (« aj), E = pa qa^

C = (p q)aa_l, =F = (p q)aa₁.

Hieruit leidt men af

B C ^Lé*

a-j-ü!—0«!=—- dus a en aj de wortels van Au² — Ba-^C — O-, . {

XX Jl.

verder

E—Au-l Aa—E

p =-q=.............(13«)

a — ai a — di

Nu blijft er alleen D over ter bepaling van de h en het vraagstuk is dus onbepaald. Men vindt echter korter

_ E—A^ , . Aa — E, Ea—C, . C—Ea.

D —--ⁱaN -s;-4^=--^.....(13⁴)

a—ffj a-^dj a — nj a — «j

15. Deze oplossing gaat niet door, als a — Men heeft dan

A=~p q, D — a{pb_l qb),

(p q) 2 a, E — {p q) a,

C •= {p q) a², -= F — {p q) a*.

Dus

E B %C

quot;-A-Taquot; B'............⁽¹¹⁾

UIÏ EENE AANGENOMEN INTEGRAAL VERGELIJKING. 29

waaruit

B*

ZE=B, ^ = —................(a.)

als voorwaarden.

Maar D moet nu alleen p, q, en leveren, zoodat de onbepaaldheid van het vraagstuk in het oog springt. Maar nu wordt ook (X)

53 1

— £/ lt;V^a (l) ^B_X C_y)/'^0,........(XI)

eene volkomen difl'erentiaal van de eerste integraalvergelijking

^cy/ (^ ^Jr\^By — P-........(Xfl)

16. Neem verder als integraalvergelijking

i^ Zaxy byt Zcic-J- 2^ e)P = P . (3)

van § 6; en differentieer deze tweemaal,

Ka^aiy h_xy²' -}- -j- -f- {(« -f. «y -j- c) -j- (aA' Sy -|- d)y'j -|- ?{«^a 2 2 c® 3 e) [ia; ej) («j x-\- b^j d^y'| =. 0,

² (Z' f) {« «1 ^ Cl) (aja; -I- Aj y -f- ^i) 1/'] | (« -j- a y -|- c) (a a; 51/ d)y'} 4. /gt; (a²-}- 2 !/²-l-2 «»/' (Ö J ,'/) y («^ J

$(^ 2«^y ij/a 2₀^-|-2% ^){l-l-a₁y'-l-(«₁-l-i₁/)/ (^._t.4.J₁3_/ ö!₁)_3/quot;J,

of

[³ (p 9)^ {(p^ai ?^a) (? lt;?) (^{a a}i)}² {('^i ?^) (p lt;/) aunj} y^z-j- {(p^i ?lt;■} (p i)(c Cj)} 2« ((pc?! {(,?) (/J -j- -|- a₁c)}3y -f

1- 2 «) (P lt;?) 21; C!) ] -j- ƒ I {(jya ? ^ai) (Z' lt;?) (« «1)} 2 a;² -j-

{(i^, ?)^SJaai (P ?)(²a«i-fi öi)}2«y-f- {(paamp;₁-}-r_/ia₁i)-j-(p-i-?)(a^₁-rö₁4)}2/

-f- (2 (» ac! -}- § «j c) -j- (/? -f 5) (acj -f- aj e -[- lt;/ -J_ ^j)} 2 ^ -|-

^'²l {(/^,5 ?^amp;I) (P 2)2'««I}«² {(^ai5 ^₁;-l-(pf2)(a5₁ -a₁amp;)}2.«y-l-3(p-(-(;)M₁^a4. I (/) i cj-(-_? éi c) (p-}-_?) (a ^ aj rQ} 2 a! [(;; 5^ ₉ ^ r/j ^-I-^ j 2^

{(iP^iei 9 -f

{^(««1 2«iS) -J- _? (aji 2«^)}^ -j- (p 9)^1^

«quot;i -f -j- 5(2«! c-f-f/i)) a;²-j- 'a^j ici ^ai^) 9(«i^-|-^*^, «^i)) 2«y-f- {?(2i^i $(2^-}- 6ii) }/ 4- [p(_aei 2^^) 9(aje 2cdi)} « -l-{p(^bei-h2ddi) 9itgt;ie 2dd₁)},y-l-(/jJe₁-l-qd₁e)] = 0.

30 IETS OVER ZAMENSTELLINGr VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

Ouze differentiaalvergelijking moet dus den vorm hebben

(y-f Ö3_iy² 2//3«-t-2 Zy' J

/a(^₁^ ZF^y 3 G^y* ZH_lx ZK^y J^) .(XIII)

y'^Jx³-^ Bx²y -\- Cay² Igt;y^s-\- Ex^-j- 2 Fay -{-Gy²-^ Hx-\-Ky-\-L) = O jj

Vooreerst heeft men in dit geval de voorwaardensvergelijkingen

E\~Blt; Fi=C, G\=D. II]==F,Ki—G, X₁=A^r, ^a=-(3^-)-ƒ3), Hlt;£=E-\-K§.. (ö₉)

Uit het voorgaande leidt men verder af

3 -4 — ig = 2(p — (/){lt;*— ai)gt; lt;r₈ = (p—?)(4—ój), öjj—C=(p — q){ab₁—a_lb). Maar

4(3—«j) —a(i—b^ — abi— i^j, b_x(a — «j)—^(5—^) —aftj — a_lb, , . (a)

dns

(3 A — ^3) b - 2 {B—G₃) a =-• 2 (ög- (?), (3 ^ — ^₈) 2 (5 — Ö3)= 2 (Ö — Cj;

ÜIT EENE AANGENOMEN INTEGEAALVEEGELIJKING. 31

waarvan de som geeft

(SA-1'\) [b bJ-ïiGt-C) = 2 (i? - G_amp;) {a aj = (£ - G₃)^~^a ;

■^3

dus

i . t 4)-Es (^a—O (-S ^— ö's) (-^ ^s) . -i / i .

-E^rrrjj-■ 'quot;quot;j¹

zoodat 6 en ij de wortels zijn der vergelijking

(ZA-FJEJp*— { - C) (V-G₃)(A /'g)} E₃/9 JJ = 0. . (15)

\\'ij gebruikten reeds

A -f- J'q

„ ³ = (a 4- ö,);

2E₃ ^V

bovendien is

- = i» -f- i»! -|- 4 a aj,

waaruit volgt, naar de bovengevonden waarde van 6 -j- ij,

¹ ^ £3 ^ '7 ZE₃(:U~F_s)

zoodat a en Oj de wortels zijn van

2E₃(3A~F₃) a*~{A F₃) [ÜA—F₃)« f {ZAG₃ B{A~F₃)-ZE₃{G₂-C)) = 0.. (15«) Uit de waarden voor A en E₃ leidt men dan af

A — Eo «1 E,a — A _p _ -_ _».............₍₁₅₄₎

a—aj a—Oj

Tusschen de coëfficiënten A, B, C, D, 0%, E_s, F₃ en G^, die ons gediend hebben voor de betrekkingen (15). (I5^a), (15⁴), moeten nu nog twee voonvaardensvergelijkingen bestaan. Vooreerst vindt men, door substitutie van (a -(- aj), aa! en (jh_l.

IiC-'s)i e MMM, quot;^SA '''^[{iK_vo_rC) {n-a,,\ A ■^{v^}•^,

Nog geven de identische vergelijkingen (a), na vermenigvuldiging met (/gt;—q),

a^B—G₃) ^-[0^ — 0 = 1^ A~F₃) en ^ (£_(?₃) f G₂ — C) = ^ (3 ^ ;

32 IEÏS OVER ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVERGELIJKINGEN

vermenigvuldigt men ze, en voert men de waarden van aa^ a-\- «j en b b₁ in, zoo komt er, na vermenigvuldiging met 2 E_s (3 A—1¹\),

[B{A-F_S)—Z E₃ (G₂- C) ZJ G₃} [D- 0.^ (3 A-F^) (// /'3) C) (3 J— ^3) (G₂—C)2 = Si 7; (3 ^ — Fzf .....-.............(é₁₀)

Om nu de volgende coëfficiënten te bepalen, vindt men

pd-^r qd_x = E—Z(paci-\- q^c), qd pd₁ = K_s — (? ï)(aci «ac); waaruit

(P²â€”q²)d ^pE—K^q ac^q* pq— 2p²) a_lc{q²â€”pq).

?^a)^i P^K3— ^e1 ac^pq—y^) -f a_xc{Zq^— p q — p^).\ ........^^]1'

Men heeft hiermede

{p~q) [F—ipbc-t qh_xc)\ == {f — q*j(«f/j a₁(l) = {K_ip—JEq)a {Ep—Ktfjay ^aci{p — 9) {— (^^ ï) ^ai} «i^c(^—tf) {(^ ^5)« — ?«i}gt;

en

F~~^{V Eqia}^^E(J^P [p J—pa^z—(2 ^ ï)a a^ c {tlbx—qaf-^p lq)^).

Maar ook is

^8'=^ci(^P ?) c(p 29),

derhalve

F— --^g'?)^a K-^P-^K-i4)^a\ — a^a)-f c5(Ji — a^).

p — q

Uit beide laatste vergelijkingen kan men c en ^ oplossen.

[(gp ?)g(V«i⁸)-(y gg)p(6-«^a)]g'=(2p 9)[/^?'-^(ir8Pquot;^J''^?)^^quot;^Z3lt;?)gl]-(^^a)p»₃,

[(2y 9)?(^-«₁^a)-(y 29)K^^a)]^i=(amp;i-«i⁸)^^-(g 2?)[^-⁽^^Pquot;^p^quot;^ir3?)gl]-i⁽

En nu eenmaal e en gevonden zijn, heeft men uit (b), omdat p q = E\ is,

—^2—lt;!!Cj(2p 9)—«1C9quot;], lt;?!='—acxp—aic(p 25)'l|. . (lö^rf) EJ- p — q -^J -Cs¹- P — q )

UIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVEEGELIJKING.

Behalve de coëfficiënten E, F, //₃, üTg, die ons gediend hebben, blijven er nog G en K% over als voorwaardensvergelijkingen,

G = [üp qfi— p-\-q)ad_l-\-^[)-\-^ri)a_ld-\-E^[bOi-\-h]G). . , (f/9)

Ten slotte geven de coëfficiënten — ZE_icc_l—pe_l^[-qe en L — clpei-\- (h'ie

1(^8—%E₃cci)(l — £ IL — {L₃ — ZEzCc^cli

e=-------, e_l -------. . . . (153)

(j (l —- d-^ p (l-~— d-^

Eindelijk houdt men nog als voorwaardensvergelijkingen over

H —gt; K =, /73 == ..............(t!g)

die nog nergens gebruikt werden.

17. Deze oplossing geldt nu wederom niet in het geval, dat F₃ 'ó A is.

Maar dan is 'óA —F_a ~ 2(« — öj) (p — q). Dus is of a = «j, otp — q', omdat de eene gelijkheid de andere niet ten gevolge heeft.

Stel dus vooreerst «j = a; dan wordt

A = q) a, öjj = « (p i») (^ 3)« -H bi),

B — p b qh_l [p -{■ q) 2a², K₂ = %a{p(l₁^_rqd)-\-[p-\-q) {a{(li-\-cï)^J^Lo^hic], C = a{ph-\-qb_l) (;; -\-q) a {h-\- ij), = « (p ^ j e) (;; q) (c d_x o₁ d),

D — {p q) bb_x, E₃ =p-\- q,

E — 2 a (p c₁ q c) -[• p d q d-L, G_s = p b₁q b -{-(p q) 2 cfi,

F ^pbc_l qb₁c-]_r (/, q) a [d ^), H₃ = pc₁ q c [p q)[c cj,

G == pid-y -f qb^l {p q) {bd_l brf), K₃ —p^-^ qd (p q) (c c{)a,

H — a[p e_l qe) -\- 2 {p^d -\-qcdj), L_s = pe₁q e (p q) 2 cc₁.

K = pbo₁ qb_le {p q)2dd₁,

L —pde-y qd} e,

Vooreerst is

^Es,

Daarna heeft men

—= (P 3) ^i). dus 5 ^ = ^C ; en 6^»! = NATÜUBK. VKKH. DEIl KONINKL. AKADEMIE. DEEL XVIII.

(16)

34 IETS OVEK ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVEK6ELIJKINGEN derhalve zijn b en de wortels der vergelijking

9E/3* — (C ...........(16^a)

Omdat

^ ^ Q_Q £

² = • ï) (i — ^i) ist wordt p — q — ^ ^maar ^ ^ = ^3;

dns

......lt;¹⁶''

waarbij de twee voorwaardensvergelijkingen

^ ƒ 4_i (? G%\ , ^ £ ^ ö₃ = (;j ?) (4«³ 6 ^) = E'a |,........(«10)

B—G_% = {p — ci\[h — h^ — ^G dus A{B—G₂)=E_i(C—G^).. . {b_w)

Verder is

a ifa - 2 i/30 Jï=2 (M -H 9^) /^ '/ =^:: l²Z' ?) ² ^'

G = {2p (iïbch ip Zqjhdi

en

waaruit volgt

G — {i_lK_s—iH₃a E)b = {p-\-2q){b₁ — b)d = [^ q⁾j {b₁—b)d —

_ J-U_A_^*] 4r {^C- Gz-'iAib-b,)] d,

2 a l b —b_ir ² ^3

G—{ZK₃—2H₃a E)b_l={Zp q){b-~b₁) d^ \^ P]i^b'~ ^öi) lt;h^s

-U^{sA c}-^t) ⁽ⁱ-^iiK=4^l(;-^{ffs 8} ^ '

om de d en d₁ te bepalen. En nu kan men aldus voortgaan.

_{e (}. == —1— {^-(pd. gd)}, pc₁ qc = ^{^-(pd qd₁)} }

(p q)a

ÜIT EENE AANGENOMEN INTEGRAALVERGELIJKING.

dus

(ƒ; — q)c = (^3 — {pd} qd)] — — [E {pd q ^)} ==

= ^2 {²^3P —^^S C^ ——

(16^rf)

{p — l) ^ \E— {.I'd 9^i)} —quot; p {-^s — {pd\ ?^)}

= - 2£_3? (p —^[^j—(/; 2?)^]},

waaruit c en ^ volgt. Men behoudt hierbij de twee voorwaardensvergelijkingen

K₂=..............

Eindelijk is

pe\ 9« = - {^i —(P 9) Mi «a«O}^ P^de\ qd^e — L,

dus

q G {d — d]) — ^^1 ^— -S3 (^^1 Oj— Jj)

CL

(l

P ^e\[d — ^1) — L — ~ {Jyj — E§ {cd} -|- Cid)]-,

waarbij nog als voorwaarden overblijven de vergelijkingen

ö»

36 IETS OVEE ZAMENSTELLING VAN DIFFERENTIAALVEliGELIJKINGEN Vooreerst hebben wij de voonvaardensvergelijkiugen

G%~ C, Jj^ — By (rj = B, K§ = E)..........(^öii)

en dan dadelijk

r-lh...................(quot;)

Vervolgens is

C—ZBa^Zpb^a—aJ—lZpaaf, C—SBa_l amp;Ezaa^ ^ipb^a-a-ï).. (17«) Derhalve

2(C—J^!3aö₁^s) = —«i), dus ook 2(6'—'6 B E^aa-^jh ^'AD^a—a^).

Door hare substitutie in C geeft deze

4 C («—«i) (C- 3 jB «! 6 a af) = éa(C— 3B_ai-i-6E₃a af)* ü £₃1) a₁ {a — «j)², of, daar

2 A , / /4 \

3 ^ = Ja (« «i), a = dus a — a₁ = 2 — — «i ,

Ji_a \^£3 /

door eliminatie van a

ZC ^j—a^C — SB^ IZAaf—GEsaf) =

— i^~--a_iyC--3Ba_l nA_af—6E₃a_l^s)ⁱ 91)E₃o₁i^y~a₁^ , . . . . (17«)

eene zevende machtsvergelijking om te vinden, die echter in eene zesde machtsvergelijking

2 AC*

overgaat, wegens het verdwijnen der termen —-—.

M₃

Daaruit volgt dan

................W)

e₃

terwijl de h en h_l nu door middel van (17^tt) kunnen worden Vervolgens is

2 F— K* , ² ^

2F—^(a^!-f a^d), dus «r/₁ «i^=2-- en —

UIT EENE AANGENOMEN INTEGEAALVERGELIJKINGt.

dus

(aJ—ab^d^^iZMF—KM—Ga), {a.b—a/^)^₁=r~_r{ö«!—3h_l{IP—K^)j. . (ir^rf)

óE^ 3^3

Maar ook is?

tKc,— 'óF , a/?8

2 A'jj — 3 A¹ =/gt;(Jö!-f-ije) dus öd ^c —2-^- en e c^-g-^*;

das

(/; _ _{bl) 0}^Jl {_bll^_._A{z _Klt;1 „ 3 } _{1 {6} _ ^ _ A. _i 2 _Za_ 3 „ _èlZ?3},. ₍17^)

O 7^3 O /V3

met de voorwaardensvergelijkingen

E = , —.................(in)

Verder

U—ZMtcc. , 2Z/

2 - = lt;gt; -j- gj en — — -j- ,

dus

(rf—⁽h)^e~Ti {(-^3 3£gcci)lt;?—-£}, (lt;quot;/— ^i)^ei — —(^s — 2■®3^cCi^i} .(17/)

^yi3 '%

met de voorwaardensvergelijking H

19. Het aangevoerde moge volstaan. Er bleek daaruit wederom, dat eene kleine verandering in de integraal-vergelijking eene grootere in de differentiaalvergelijking ten gevolge kan hebben, evenzeer als dit verschijnsel ook omgekeerd plaats heeft.

OIBUUKT BIJ DB ËOKVEll- KHÜBEU- BAKELS