NOUVELLE THÉORIE DE LACTION CAPILLAIRE, i vol. in-4, fig., i83i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i5 fr.

MÉCANIQUE

PAR S. D. POISSOIV,

Membre de 1Institut, du Bureau des Longitudes et de TUniversité de France; des Sociétés royales de Londres et dEdimbourg; desnbsp;Académies de Berlin , de Stockholm , de Saint-Pétersbourg , denbsp;Boston et de difFérentes villes dItalie ; de lUniversitd de Wilna ;nbsp;des Sociétés , astronomique de Londres, philoniatiques de Parisnbsp;et de Varsovie , et des Sciences et Arts dOrléans.

TOME PREMIER.

PARIS,

BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE,

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AVERTISSEMENT.

Cet ouvrage pouvant servir a 1enseigne-ment, jai du entrer souvent dans des détails minutieux, et suivre, pour lexpositiou desnbsp;matières, lordre Ie plus propre a en faciliternbsp;Fintelligence. Lordre que jai adopté est celuinbsp;que 1on suit maintenant dans les cours denbsp;Mécanique de FEcole Polytechnique. On sennbsp;forniera une idee precise, en parcourant lesnbsp;tables analytiques des matières qui précédentnbsp;les deux volumes- Je me suis aussi attaché anbsp;multiplier les exemples nécessaires pour éclair-cir les théories générales; ceux que j ai choi-sis ont été pris, surtout, dans TAstronomienbsp;et la Physique, et quelques-uns dans TAr-tillerie.

Sa destination principale est de servir din-troduction a uii Traité de Physique matlié-matique, dont la Nouvelle théorie de ïAction capillaire, que jai publiée il y a un an, est déja une partie ; les autres parties se com-

poseront des différens Mémoires que jai écrits, soit sur léquilibre et Ie mouvement des corpsnbsp;élastiques et des fluides , soit sur les fluidesnbsp;imponderables, et que je me propose de réunirnbsp;et de rendre aussi complets quil me seranbsp;donné de Ie faire.

On trouvera, a la fin du second volume, une addition relative a Fusage du principenbsp;des forces vives dans Ie calcul des machinesnbsp;en mouvement.

TABLE DES MATIÈRES

CONTENUES DANS LE PREMIER VOLUME,

INTRODUCTION.

Definitions de la maliere , des corps, de la masse, dun point matériel, et de la force ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11' i et a

Objet de la Mêcanique^ division de cette science en deux parties , la Slalique et la Dynamique, nbsp;nbsp;nbsp;11 3

Le point dapplication dune force se déterminera au moven de ses trois coordonnées, rectangulaires, ou polaires, n 4nbsp;Ce quon entend par des forces égales ; expression nuine'rlquenbsp;de 1intensite' dune force ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 5

La direction dune force se déterminera au moyen de tvols angles aigus ou obtus, lies entre eux par une e'quation, ou de deux angles indépendans lun de lautre ; conversion en parties du rayon, dun are exprime' en degre's, n® 6, 7 et 8nbsp;Expression du cosinus de langle de deux droites ; e'quation quinbsp;a lieu quand elles sont perpendiculaires 1une a lautre ;nbsp;transformation des coordonnées rectangulaires en coordonnées polaires,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 9

Projections dune ligne droite sur une autre droite, et dune aire plane sur un autre plan,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 10

Comment on déterminera les deux sens opposes de différentes forces parallèles,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n i t

Dans eet ouvrage, on emploiera exclusiveinent la méthode des infniment petits; principes fondamentaux de lanalyscnbsp;infinitésimale,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11 12

a..

TABLE DES MATIÈRES.

fonction ; definition et notation de linte'grale de'finie ; cette inte'grale est, en ge'néral, la somme des valeurs de la diffe'-rentielle ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 13

DifFeTentiation dune integrale, par rapport a une quantité regarde'e cotnme constante dans lintégration,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nquot; i4

Dans linfiniinent petit, Ie rapport de 1arc dune courbe a la corde est lunite'; ce qui perniet de conside'rer une courbenbsp;coniine un polygone duu nombre infini de cóte's infiniuientnbsp;petits,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° i6

De'finition de la tangente a une coui-be ; formules qui de'termi-nent sa direction ; élément difierentiel de la courbe; e'qua-tion du plan normal cosinus des angles que fait la perpendiculaire a un plan quelconque, avec des parallèles aux axes des coordonne'es,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 17

Expressions de langle de contingence et du rayon de cour-bure, nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 18

Equation du plan osculateur; formules relatives k la direction de la perpendiculaire éi ce plan, nbsp;nbsp;nbsp;n* ig

Equation du plan tangent a une surface courbe ; élément dif-férentiel de la surface ; formules relatives a la direction de la normale: on renvoie aun Mémoire inséré dans Ie 21' cahier du Journal de l École Polytechnique, pour ce qui con-cerne la courbure des surfaces ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 21

Regie pour déduire 1 une de 1 autre , les formules relatives a trois axes rectangulaires, par rapport a cbacun desquels toutnbsp;est semblable dans un problème,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 22

Conditions générales auxquelles doivent satisfaire les équa-tions qui renferment des quantités de différentes natures,

LITRE PREMIER.

STATIQUE,

CHAPITRE P*'. De la composition et de Véquilibre des forces applique'es a un même point, page 4^

Ce quon entend par la résultante dun nombre quelconque de forces applique'es a un même point; sa Yaleur, quandnbsp;toutes ces forces agissent suivant une même droite , nquot; 24nbsp;La re'sultante de deux forces égales qui comprennent un anglenbsp;de 120°, est e'gale a cbacune de ces forces, et divise langle ennbsp;deux parties e'gales,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 25

Valeur et direction de la re'sultante de deux forces qui font un angle quelconque; regie du parallélogramme des forces,

Construction géométrique pour de'terminer, en grandeur et en, direction, la re'sultante dun nombre quelconque de forces,

Composition de trois forces rectangulaires en une seule force, et de'composition de celle-ci en trois forces rectangulaires, n° 31nbsp;Calcul de la re'sultante dun nombre quelconque de forcesnbsp;donne'es; valeurs des angles qui de'terminent sa direction ;nbsp;expression de cette résultante en fonction des composantesnbsp;et des angles compris entre leurs directions, n°® 32 et 33nbsp;Proprie'té particulière de cette même résultante,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 34

Equation déquilibre dun point matérie! entièrement libre : on vérifie quen vertu de ces équations, cbacune des forcesnbsp;qui agissent sur ce point est égale et contraire a la résultante de toutes les autres,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 35

Equation de'quilibre dun point materiel, assujetti a demeurer sur une surface donnée; pression que supporte la surface ;nbsp;sens dans lequel elle sexerce,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n^' 36-et 37

ti nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

Equation déquilibre d'un point materiel assujetti a rester sur une courbe donnée ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 3R

Equation des vitesses virluelles , contenant les e'quations déquilibre relatives aux trois cas précédens^ nbsp;nbsp;nbsp;n® 39.

CHAPITRE II. De Véquilibre du levier, page 72

Déplacement du point dapplication dune force appliquée a un système de forme invariable ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 4i

Definition du moment cl une force par rapport d un point ; équilibre de deux forces appliquées a un levier; cette equation est indépendante de langle des deux dras du levier;nbsp;cas oü les deux forces données sont parallèles , n®* 42 et 43nbsp;Deux forces parallèles agissant en sens contraires , et non di-rectement opposées , ne sont pas réductibles a une seule; cenbsp;cpuple de forces peut être transformé dune infinite de ma-nières différentes, en un autre couple de forces irréductiblesnbsp;a une seule ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 44

Condition de'quilibre dun nombre quelcouque de forces appliquées a un levier , nbsp;nbsp;nbsp;ri® 45

Théorème relatif au moment de la résultante de deux forces j extension de ce théorème au cas dün nombre quelconquenbsp;de forces dirigées dans un même plan; quantité qui demeurenbsp;invariable, dans toutesles transformations de ce système denbsp;forces ; équation déquilibre de ces forces autour dun pointnbsp;fixe, situé dans leur plan,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n®quot; 46, 47 et 48

On vérifie que léquation des vitesses virtuelles a lieu dans lé-quilibre du levier, nbsp;nbsp;nbsp;n° 49

CHAPITRE III. De la composition et de Véquilibre des forces parallèlesjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P^g® 90

Demonstration directe de la composition de deux forces parallèles quon avait déduite, précédemment (n® 43), de celle des forces concourantes vers unmême point: on en conclut lanbsp;grandeur et Ie point dapplication de la résultante dunnbsp;nombre quelconque de ces forces,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n* 5o et 5i

Quand des forces parallèles tournent autour de leurs points dapplication respectifs, en restant toujours parallèles, leurnbsp;re'sultante tourne aussi autour de son point dapplication ;nbsp;definition du centre des forces parallèles} definition dunbsp;moment dune force par rapport a. un plan ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°' Sa et 53

Le moment de la re'sultante dun nombre quelconque de forces parallèles , par rapport a un plan , est e'gal a la somnie desnbsp;inomens de ces forces, par rapport a ce inenie plan; coornbsp;donnees du centre des forces parallèles, n' 54 j 55 et 56nbsp;Equation dequilibre dun systènie de forces parallèles, appli-que'es a un corps solide, soit que ce corps soit entièrementnbsp;fibre, ou quil soit retenu par un point ou par un axe fixe,

CHAPITREIV. Considerations générales sur les corps pesans et sur les centres de graoité,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o6

On considère la pesanteur comme une force constante, en grandeur et en direction , dans toute Ie'tendue dun mêmenbsp;corps,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° Sg

De'finition du poids et de la densité j e'quations qui existent entre le poids , la masse , le volume dun corps, et la grandeur de la gravite',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 6o

Definition du gramme^ rapport de son poids a celui dun même volume deau, a la temperature de la glace fondante ; densite's de Iair et du mercure ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 6i

Les poids servent de terme de comparaison aux autres forces ; ils fournissent la mesure la plus commode de la masse ,

De'finition du centre de gravité; regie pratique pour en de'-terrniner la position dans lintérieur dun corps solide, n° 63 Equations daprès lesquelles on calcule les coordonnees dunbsp;centre de gravite dun système de corps, dont les centresnbsp;de gravite' sont dèja counus; cas ou les masses des corpsnbsp;sont infiniment petites ; ce quon entend par les centresnbsp;de gravite dun volume , dune surface, et d une ligne ,

TABLE DES MATIÈRES.

Cas dune courbe plane ; applications au eerde, et aux trois sections coniques ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ii° 70 et 71

Equation de la cycloïde; e'noncé de ses diverses propriétés; coordonne'es du centre de gravité dun are quelconque denbsp;cette courbe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 72 et 78

Régie pour determiner laire dune surface de rc'volution, quand Ie centre de gravité de sa courbe génératrice estnbsp;connu sans aucun calcul,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 74

Application au centre de gravité dun triangle; determination de ce point, sans Ie secours du calcul intégral; comment on en déduit les centres de gravité du secteur etnbsp;du segment circulaires ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;76, 77 et 78

On iiidiqiie, comnie exemple, les centres de gravité des trois sections coniques ; on calcule complèteinent les deux coor-données du centre de gravité düne portion quelconque denbsp;Taire de la cycloïde,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11* 79 et 80

Centre de gravité de la zone dune surface de révolution ; application aux surfaces concave et convexe engendréesnbsp;par la cycloïde,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 8t et 82-

Régie pour determiner Ie volume dun solide de revolution , cjuand Ie centre de gravité de Taire ge'ne'ratrice est connunbsp;sans aucun calcul; extension de cette régie a dautres sortesnbsp;de corps ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;83 et 84

Determination du centre de gravité dune pyramide triangulaire, sans Ie secours du calcul intégral; comment on en déduit les centres de gravité dun secteur et dun segmentnbsp;spliériques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° Sn et 88

Centre de gravité dun corps symétrique autour dun axe, et, en particulier, dune portion dellipsoïde ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 8g

Centre de gravité dun solide de révolution, et, en particulier, des solides concave et convexe engendrés par la cycloïde,

Expressions diverses, en intégrales triples, des coordonnées du centre de gravité dun corps quelconque; application anbsp;une portion de sphère hétérogéne,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°® gi et ga

Élément différentiel dun volume exprimé au moyen des dif-férentielles des coordonnées polaires, nbsp;nbsp;nbsp;n g3

CHAPITRE AI. Calcul de Vattraction des corpSj

page 169

5 Iquot;. Formules relatives a un corps quelconque et d la sphere en particulier,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page i6g

Expressions générales en intégrales triples, des trois compo-santes rectangulaires de lattraction exercée par un corps sur un point inatériel,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° g4 et g5

Réduction de ces trois intégrales triples, aux différences par-tielles dune seule intégrale , nbsp;nbsp;nbsp;n° g6

Une difficulté qui a déja été signalée dans Ie calcul des coordon-nées du centre de gravité dun corps quelconque (n^gi) ,

conduit è examiner la constitution intinie des corps naturels. Definitions des atomes et des molécules; ce quon doit entendre par la densite' dun corps en un point quelconque ;nbsp;definition de Yinlervalle mojen des mole'cules au mêinenbsp;point; on explique comment les formules relatives auxnbsp;masses des corps, aux coordonnées des centres de gravite',nbsp;et aux attractions en raison inverse du carré des distances,nbsp;peuvent être appliquées , sans erreur sensible, aux corpsnbsp;naturels,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°* 97 et g8

Lattraction dun corps sur un point materiel trés éloigné, est k trés pen prés la même que si la masse entière de ce corpsnbsp;était reunie a son centre de gravite ; attraction mutuelle denbsp;deux sphères liomogènes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 99

Théorémes relatifs aux attractions des coi-ps sphériques, sur des points matériels extérieurs ou intérieurs, n°® 100 et 101nbsp;Démonstration directe de léquilibre dun point matériel, si-tué dans un espace terminé par une couclie sphérique, n 102

Transformation des formules générales du nquot; gS, principale-ment utile dans Ie cas oü Ie point attiré fait partie du corps attirant,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n io3

Application a 1ellipsoïde liomogène: les formules relatives a son attraction sur un point intérieur , se réduisent a des in-tégrales simples , calculables au moyen des tables des fonc-tions elliptiques; extension du tliéoréine du n° 102, a unenbsp;couche elliptique ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o'quot; 104 et io5

Les intégrales seffectuent sous foime finie, dans le cas de lellipsoïde de révolulion ; cas particulier dun ellipsoïdenbsp;trés peu applati ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 106

Tliéorème remarquable, au moyen duquel on fait dépendre lattraction dun ellipsoïde sur un point extérieur, de 1attrac-tion dun autre ellipsoïde sur un point intérieur: ce tlie'o-ïème est indépeudaut de la lol de lattraction en fonction denbsp;la distance; application au cas particulier de deux spbèresnbsp;concentriques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 107, io8 et 109.

CHAPITRE PL Du mouvement rectiligne et de la mesure des forces,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2o5

Remarque sur la mesure du temps; invariabilité du jour sidé-ral; sa durée comparée a celle du jour moyen, n 111 Definition de la vitesse dans Ie mouvement uniforme, et en-suite dans Wmouvement varie',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 112

Expression de la vitesse dans un mouvement quelconque; expression de 1espace parcouru dans un temps infininieiit petit, abstraction faite de la vitesse acquise ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 114

De'finition et e'quation du mouvement uniformément accéléré OU retardé ; la force qui Ie produit estune force constante;nbsp;ce mouvement est celui des corps pesans dans Ie vide; dansnbsp;un même lieu, laccélération est la même pour tous cesnbsp;corps ; sa grandeur a 1Observaloire de Paris ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 115

On démontre que les grandeurs des forces qui agissent succes-sivement sur un même point materiel, sont entre elles comme les vitesses infiniment petites quelles lai impri-ment dans un même temps infiniment petit,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 116

Quand il s'agit de forces constantes, leurs intensités sont entre elles comme les vitesses quelles produisent dans 1 unbsp;nité de temps; exemple du rapport des forces, conclu de celuinbsp;des vitesses observées ; exemple inverse du rapport des vinbsp;tesses , conclu de celui des forces ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 117

ïij nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

§ II. Mesures des forces, en ajant égard aux masses, page 221 Impropriete' de 1expression force dinertie,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;120

Ce quon doit entendre par des points luale'riels e'gaux en masse; deux forces qui agissent sur deux points différens ,nbsp;sont entre elles cornme leurs masses multipliées paries vi-tessesproduites par ces forces, dans un même instant, n 121nbsp;De'finition de la force molrice ; sa valeur dans un mouvementnbsp;quelconque; elle se change en unepression, quand Ie mouvement est de'truit,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;122

De Tidentite' du mouvement des corps pesans en chaque lieu de la terre, on conclut la proportionnalite' du poids a lanbsp;masse,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;128

Quand la force motrice est donne'e , on en deduit la force ac célératrice, en divisantpar la masse du mobile; on prend,nbsp;pour exemples, la re'sistance dun milieu, et un poidsnbsp;donné, applique successivement a des masses dilFérentes,

De'finitions de la quanliié de mouvement, et de la percussion OU impulsion; de'composition dune percussion en deuxnbsp;autres; application au coin,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 126

Condition de 1équivalence de deux percussions; principe de le'quilibre dans Ie cboc , daprès lequel deux corps dénue'snbsp;delasticité, qui vont è la rencontre 1un delautre, se re'-duisent au repos, quand les vitesses sont en raison inversenbsp;des masses,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 127

page 237

Equations différentielles du mouvement rectiligne ; linte'gra-tion nest possible, sous forme linie, que quand la force acce'lératrice est constante, ou donnée en fonction dnne-

seule des trois variables, Ie temps, la vitesse, 1 espace par couru,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 139

Mouvement vertical dun corps pesant dans un milieu resistant : lorsquil tombe dune grande bauteur, sa vitesse ap-proclie de plus en plus detre constante ; moyen de determiner Ie coejjicienl de la re'sistance, par 1observation du temps total de Télévationet de la chute successives du mobile,

Exemple de lusage des solutions particulieres dans les pro-blèines de dynamique, nbsp;nbsp;nbsp;i36

Mouvement dun corps attiré vers'un centre fixe, soit en raison directe de la distance , soit en raison inverse du carré de lanbsp;distance,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 187 et i38

Mouvement dun corps attiré vers deux centres fixes; cas oil ces deux centres sont ceux de la lune et de la terre; diminution de la vitesse dun projectile, produite par sa pesan-teur vers Ie corps doü il est parti, quand il est parvenu knbsp;une grande distance de ce corps, n® 189, i4o, i4'gt; 14^®*- *4^

CHAPITRE III. Du mouvement curviligne, page 263

La détermination du mouvement curviligne dun point ma-tériel se réduit a celle des inouvemens rectilignes de ses trois projections sur les axes des coordonnées ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n i44

Expression de la vitesse du mobile: sa direction est tangen te a la trajectoire; les vitesses des trois projections sont cenbsp;quon appelle les composantes de la vitesse du mobile ; lanbsp;composition et la decomposition des vitesses se font suivantnbsp;les mêines régies quela composition et la decomposition desnbsp;forces,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 145

Quelle que soit la variation de vitesse dun point matériel, en grandeur et en direction, pendant un temps infinimentnbsp;petit, il y a toujours une certaine direction pour laquelle

TABLE DES MATIÈRES.

laugmentation de vitesse est la plus grande, et perpendicu-lairement a laquelle les composantes de la vitesse ne sont ni augmentées, ni diminue'es,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 146

Eette direction de'termine'e est ce quon entend par la direction de la force qui agit sur un point mate'riel en mouvement ; en partant de cette definition, on de'montre que laccroissement de la composante de la vitesse süivantnbsp;une direction quelconque, pendant un instant, est uninbsp;quement du a la force qui agit suivant cette direction, et Ienbsp;même que si les autres forces nexistaient pas ,

Construction de la trajectoire par points , qui i-e'sulte du principe pre'cédent, et determination de la vitesse et de la position du mobile a chaque instant sur cette courhe, 11 148 Equations différentielles du mouvement curviligne, soit quandnbsp;lorigine des coordonne'es est fixe, soit quand elle est ennbsp;mouvement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°* 149 et i5o

Equations différentielles du mouvement dun point matcrielsur une surface ou sur une courbe donnée; expression de la forcenbsp;accélératrice suivantlatangente k la trajectoire,n i5i et iSa

Intégrales premières des equations différentielles du mouvement curviligne, qui ont lieu quand la force est constani-ment dirigée vers un centre fixe , nbsp;nbsp;nbsp;n i53

Principe des aires, coinpris dans ces intégrales, n® i54 et i55 Eléinens différentiels de 1aire et de la longueur dune courbe,nbsp;rapportés aux coordonne'es polaires ; composantes de la vitesse dun mobile relatives a ces coordonne'es ; définition denbsp;la vitesse angulaire,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11° i56

Intégvale première des équations du mouvement, qui donne dans un cas trés général, Ie carré de la vitesse du mobile, in-dépendamment de la courbe décrite ; cette vitesse est constante , quand Ie mobile, entièrement libre, ou oblige' de senbsp;mouvoir sur une surface ou sur une courbe donnée, nestnbsp;sollicité par aucune force accélératrice ; lintégrale a lieu

toutcs les fois que Ie mobile est soumis a des forces di-rigées vers des centres fixes et dont les intensités sont des fonctions de la distance a ces points,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°® et i58

Expression de la vitesse dun corps pesant sur une courbe quelconque, en fonction de la hauteur dont Ie mobile estnbsp;tombé ; consequences immédiates qui sen déduisent, n® i Sqnbsp;Propriété du mouvement dun point materiel a laquelle onnbsp;a donné Ie nom Ae principe de la moindre action, n i6onbsp;En vertu de ce principe, un point materiel oblige' de se mouvoirnbsp;sur une surface donnée, et qui nest sollicité par aucunenbsp;force accélératrice, décrit, en général, la ligne la plusnbsp;courte dun point a un autre; en formaat 1équatiou diffé-rentielle de la trajectoire, on prouve que cette ligne la plusnbsp;courte a partout son plan osculateur, normal a la surfacenbsp;donnée,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° ibi

t)ans Ie système de \emission, les lois ge'nérales de la réfrac-tion et de la réjiexion se déduisent facilement du principe de la moindre action,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 163, i63 et 164

Equations différentielles du mouvement dun rayon de lu-inière, a son passage dun milieu dans un autre ; consequences de ces equations relalivement a deux cas différens de reflexion , et a la refraction ; direction dun rayon qui anbsp;traversé deux surfaces parallèles ; phénomène de Ia dispersion ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n' i65, 166 et 167

La composition de la vitesse propve de la lumière avec celle de la terre , quiproduitle phénomène de Vaberration, na ce-pendant aucune influence appréciable sur la grandeur denbsp;la refraction ; dans Ie vide , la vitesse de la lumière , directenbsp;uu réfléchie, est la mème, soit quelle nous vienne du soled , des étoiles, ou des planètes; grandeur de cette vitesse ; diminution quelle a du éprouver en vertu de lanbsp;pesanteur des rayons lumineux vers Ie soleil,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 168

Definition de la force centrifuge; determination de cette force inotrice, par la consideration de la vitesse normale de'-truite a chaque passage du mobile , dun éle'ment de sa tra-jectoire a lele'ment suivant ; langle de contingence e'tantnbsp;infiniment petit, ce passage ne produit aucune diminutionnbsp;dansla vitesse suivant la tangente; determination complétenbsp;en grandeur et en direction, de la pression exerce'e sur la tra-jectoire, en vertu de la force centrifuge et des forces don-nées qui agissent sur Ie mobile ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 169 et 170

Calcul des trois composantes de cette mème pression , daprès les e'quations différentlelles du mouvement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 171

Consequences que 1on déduit de la valeur de cette pression et desa direction, lorsque Ie mobile est assujetti a se mouvoirnbsp;sur une surface donne'e , et quand il est entièrement libre,

Determination de la force centrifuge, daprès la considctation du mouvement circulaire,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;174

Coinparaison de la force centrifuge dans Ie eerde , a la pesan-teur ; tension dun fil chargé dun poids, et tournant autour dun point fixe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 175

Diminution de la pesanteur , a léquateur et sur les différens parallèles , produite par la force centrifuge qui résulte de lanbsp;rotation de la terre ; variation totale de la pesanteur, due anbsp;cette cause et a 1applatissement du sphéroïde terrestre ,

CHAPITRE V. Exemples du mouvement d'un point materiel sur une courhe ou sur une surface donnée,

page 337

Definition du pendule simple; on fera voir par la suite quil y a toujours un pendule simple dont le mouvement est Ienbsp;mème, dans le vide ou dans lair , que celui dun pendulenbsp;donné,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n®179

Sur une courbe quelconque, les oscillations nbsp;nbsp;nbsp;infinimentnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pe-

Correction quil faut faire a la durée des oscillations tres pe-tites dun pendule simple, pour en conclure la dure'e de ses oscillations infiniment petites,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 184

Reduction en série du temps dune oscillation de,grandeur quelconque,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u° 185

Mouvement du pendule simple dans 1air,, lorsque la resistance est supposée proportionnelle a la vitesse : les amplitudes successives des oscillations trés petites, décroissent en progression géométrique; leur durée nest pas sensible-ment altérée par la resistance du milieu,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°® 186 et 187

Mouvement du pendule simple dans 1air, quand la résistance est supposée proportionnelle au carré de la vitesse ; loi dunbsp;décroissement des amplitudes successives; dans Ie cas desnbsp;petites oscillations, on démontre que la durée dune demi-oscillation ascendante est autant diminuée, que celle denbsp;loscillation descendante qui précède , a été augmentée,

Correction dans la longueur du pendule et dans la durée des petites oscillations, quon appelle la reduction au vide ^nbsp;augmentation quon doit faire subir a cette correction , anbsp;raison de létat de mouvement de lair,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11 tgt

En chaqne lieu de la tcrre, la mesure de la pesanieurest pro-povtionnelle a la longueur du pendule a secondes; valeurs de ces deux quantités a lObservatoire de Paris; les expénbsp;riences du pendule prouvent quen chaque lieu de sa surface,nbsp;l attraction de la terre est la mênie sur les matières de lanbsp;nature la plus différente,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 192

en fonctions de la latitude; retard dune horloge régle'e a Paris sur Ie temps sidedal, et ensuite transportée a léqua-teur,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;9^

Le temps de la chute dun point mate'riel pesant sur Ia cycloïde , est indépendant de 1éle'vation du point de depart au-dessus du point le plus bas, soit que le mouvement ait lieu dans le vide, ou quil ait lieu dans lair, r[uand on suppose la resistance proportionnelle a la vitesse,

Recherche de la brachjslochrone dans le vide ; formules relatives au cas OU la ligne de la plus vüe descente devrait être tracée sur une surface donnée; formules relatives au cas ou sanbsp;longueur serait donnée, qui serviront a re'soudre, dans lanbsp;suite, un autre problème de la même nature, n® 198, 199 ,

On trouve pour la brachystocrone proprement dite , le'qua-tion dune cycloïde situe'e dans un plan vertical , cas ou le point de depart et le point darrivée appartiennent a unenbsp;même verticale,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jjo 302

Equations diffe'rentielles du mouvement du pendule simple qui ne se meut pas dans un plan fixe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11 2o3

Formules différentielles relatives aux oscillations coniques du pendule simple dans le vide ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 204 et 2o5

Cas des petites oscillations ; cas ou le pendule de'crit unifor-mément la surface dun cóne droit a base circulaire; la courbe décrite par la projection horizontale du mobile, estnbsp;toujours une ellipse dont le centre est le point de suspension,

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE VI. Exemples du mouvement dun mobile entièreinent libre ^ nbsp;nbsp;nbsp;696

La trajectoire dun point materiel pesant dans Ie vide, est tine parabole ; amplitude du jet; vitesse en un point quelcon-que,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 208

La vitesse initiale étant donne'e, trouver sa direction, pour que Ie projectile atteigne un but donné courbe au-dela denbsp;laquelle Ie projectile ne peut arriver ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 209

Equations du mouvement dun projectile dans 1air ; construction, par points, de la trajectoire ; calculdu temps; expression de la vitesse en un point quelconque, n° 210,211 et2i2 Quand Ie mobile sest e'levé a une grande hauteur, son mouvement, en retombant, approche de plus en plus detrenbsp;vertical et uniforme ; determination de Yasj-mptote verticalenbsp;de la branche descendante,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 2i3

Lautre branche de la trajectoire a aussi une asymptote ; direction de cette droite, et sa distance au point de depart du mobile,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® ai4

Equation de la trajectoire, dans Ie cas dun petit angle de projection ; calcul de la portee horizontale et du temps dn trajet, daprès la grandeur de la vitesse initiale; difFérentesnbsp;valeurs de la portee et de la vitesse qui sont données patnbsp;lobservation; incertitude sur la grandeur du coefficient denbsp;la re'sistance; moyens de Ie determiner par lexpérience,

Equations fournies par les deux premières de ces lois, n® 218 Definition de quelques termes employés en Astronomie; duréenbsp;de 1année siderale et de lannée équinoxiale; grandeur denbsp;la précession annuelle des equinoxes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 219

Expressions des deux coordonnées polaires de la planète et du temps, en fonctions de Xanomalie excentrique , n° 220nbsp;Méthode pour réduire Ie rayon vecteur et Téquation du centre

b..

TABLE DES MATIÈRES.

en series ordonnées suivant les cosinus et les sinus des multiples du mojren mouvement, nbsp;nbsp;nbsp;n 221

Formules qui déterniinent en un point quelconque de lel-lipse décrite par une planète, la grandeur et la direction de sa vitesse ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 222

Position dune planète par rapport a un plan quelconque ; sa longitude et sa latitude, son ascension droite et sa décli-naison; obliquitè de 1e'cliptique ; sa diminution annuelle ;nbsp;grandeur et période de la nutation ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 223

On conclut des trois lois de Képler, que la force qui retientles planètes vers leurs orbites est constainment dirigée vers Ienbsp;centre du soleil; quelle varie pour cliaque planète, suivantnbsp;la raison inverse du carré de la distance a ce point; quanbsp;1unité de distance, la force accélératrice est la mèrnenbsp;pour toutes les planètes : ces lois sétendent aux coinètes etnbsp;aux mouvemens des satellites autour de leurs planètes res-pectives, et aux mouvemens relatifs des étoiles doubles,

n° 224, 225 et 226 Equations différentielles du mouvement dune planète dansnbsp;un milieu resistant: on compléte Ie nombre des constantesnbsp;arbitraires que doivent renfermer leurs intégrales trouvéesnbsp;précédemment, pour Ie cas oü 1on négligé la resistance,

Méthode de la variation des constantes arbitraires, pour 1iri-tégration des equations différentielles, nbsp;nbsp;nbsp;nquot;® 229 et 280

Application de cette méthode aux equations du mouvement dune planète ou dune comète dans un milieu résistant;nbsp;pourquoi la résistance de 1ét^er peut être appreciable dansnbsp;Ie mouvement dune comète et insensible dans Ie mouvementnbsp;dune planète ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 281,282 et 288

§ 111. Mouvement dun point materiel soumis a une force centrale , nbsp;nbsp;nbsp;Page 446

Equations du mouvement dun point matériel attiré vers un centre fixe, par une force donnée en fonction de la distancenbsp;a ce centre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 284

Cas OU la force est en raison inverse du carré' de la distance ; la trajectoire peut être alors une des trois sections coniques;nbsp;circonstances qui déterminent cliacune des trois courbes,

Examen spécial du mouvement parabolique ; en quoi consiste Ie problème astronomique de la determination complete denbsp;lorbite dune comète,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;® 23g et 240

Force motrice resultant de 1attraction mutuelle du soleil et dune planète ; invariabilité du pouvoir attractif,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11° 242

Force accélératrice dune planète dans son mouvement autour du soleil; correction quon doit faire a la troisième loi denbsp;Képler ; petitesse des masses des planètes par rapport i lanbsp;masse du soleil,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 243

Énoncé des dilférentes sortes de perturbations du mouvement elliptique des planètes, produites par leur attraction mu-tuelle : ces effets observes font coimaitre les masses des planètes perturbatrices, en prenant celle du soleil pour unite';nbsp;invariabilité des grands axes; Ie mouvement de la lune sac-célère de siècle en siècle,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;244

Autre moyen de déterminer les masses des planètes accoinpa-gnées de satellites, nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;245

Calcul des forces provenant de Faction du soleil et de la lune, pour soulever les eaux de la mer masse de la lune concluenbsp;du_^i/a, lunaire coraparé au Jlux solaire ; diminution de lanbsp;pesanteur a la surface de la terre, produite par Faction denbsp;la June,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n246 et 247

A la distance de la lune a la terre, la pesanteur terrestre est 4 trés peu pres égale a la force qui i'etient ce satellite dans sonnbsp;orbite,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;248

table des matières.

Determination de la masse de la terre; parallaxe du soleil j sa densite'; sa distance a la terre; determination exacte dunbsp;grand axe de 1orbite dune planète dont la masse est con-nue,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n* 24g et aSo

De'viation du fil a plomb produite par les attractions locales, nbsp;nbsp;nbsp;n^aSi

Balance de torsion, propre a mesurer les forces trés petites; experience de Cavendish; densité moyenne de la terre,

Slabilité de 1équilibre des mers, resultant de ce que cette densité est plus grande que celle de 1eau; accroissement des densités des couches de la terre, en allant de sa surface aunbsp;centre; inégalité du mouvement de la lune , due a la non-sphéricité de la terre; influence des attractions locales sur lanbsp;longueur du pendule a secondes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 254

Reduction au niveau des mers, de la longueur du pendule, observée a une elevation donnée,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 255

liyke troisième.

STATIQUE,

page 497

Remarque sur la compressibilité et Ie changement de forme du corps que lon va considérer,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 256

Transforination dun système de forces quelconques , appli-quées a un corps solide, en tiois groupes de forces, Ie premier compose de forces perpendiculaires a un plan donné, Ie deuxième, de forces parallèles et comprises dans ce plan, etnbsp;Ie troisième, de forces dirigées suivant une droite perpendi-

Equations nécessaires et suffisantes pour le'quilibre duu corps solide entièrement libre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11° 260

Ces equations sont encore nécessaires pour 1équllibre de tout autre système qui ne renferme aucun obstacle fixe,

Cas particuliers des forces parallèles et des forces qui sont toutes comprises dans un plan ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 262

Condition pour que des forces données aient une résultante unique ; equations de cette résultante ; sa gi-andeur et sa direction; dans tous les cas, les forces données peuvent senbsp;réduire a deux, dune infinite de nianières diiférentes ,

Transformation de léquation nbsp;nbsp;nbsp;déquilibrenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;relative a un axe

Charges des différens pieds dune table horizontale qui sup-porte un poids donné; a quoi tient 1indétermination appa-

Les forces étant représentées par des lignes droites, leurs nioniens sont représentés par des aires planes : Ie théorèuienbsp;du n 46, relatif au moment de la résultante de deux forces,nbsp;est alors une proposition de Géométrie dont on donne lanbsp;démonstration ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 371

Ce quon entend par Ie moment dun système de forces par rapport a un axe ; les momens dun même système par rapport a deux axes situe's dans Ie prolongement Ilin de lau-tre, sent e'gaux et de signe contraire; il en est de même anbsp;le'gard des momens par rapport a un même axe, de deuxnbsp;systernes de forces e'gales et contraires ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 278

Expressions des momens dun système de forces par rapport aux trois axes des coordonne'es positives de leurs points dap-plication; comment on determine les signes des termes denbsp;ces formules,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 274

Valeurs des cosinus des angles relatifs a la direction de la normale au plan qui contient une droite et un point donne',

Formules relatives aux projections dun système daires planes sur dilFérens plans; identité de ces formules et de celles quinbsp;répondent aux projections des lignes droites sur dautresnbsp;droites,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 276 et 277

Plan et grandeur de 1aire minima; propriété caracléristique de ce plan ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n®® 278, 279 et 280

Propriétés des momens, déduites de celles des aires planes; identite' de la composition des momens et de la compositionnbsp;des forces, resultant de celle des projections des aires planesnbsp;et des projections des lignes droites,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 281

Moment principal dun système de foi'ces ; nouvel énoneé des conditionsdèquilibre de ce système; conditions pour quenbsp;deux systèmes de forces soient équivalens,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 282

Variation du moment principal, produite par Ie de'placement du centre des momens; momens prmcipaux minima; comment on en de'duit la condition ne'cessaire et suffisante pournbsp;1existence dune re'sultante unique,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n®® 288 et 284

CHAPITRE III. Exemples de le'quilibre d'un corps flexible,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page 551

Dans Tétat déquilibre du polygone , il faut lt;^ue cliaque cóté soit tiré, suivant ses prolongemens , par des forcesnbsp;égales et contraires; equations nécessaires pour 1équilibrenbsp;des forces appliquées au polygone ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u° 2.85

Construction de la figure du polygone en équilibre; calcul des tensions de ses cótés; cas ou ses points extremes sont supposed fixes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 286 et 287

Les extensions des cótés du polygone soiit proportioiinelles aux tensions quils éprouvent,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 288

Quanii uu des noeuds du polygone est remplacé par un anneau, la force appliquée en ce point doit partager en deux partiesnbsp;égales langle des deux cótés adjacens,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 289

Condition relative aux directions des forces qui dolvent avoir lieu dans tous les systèmes de points matériels en équilibre,nbsp;et dont la précédente est un cas particulier,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 290

Équilibre dun polygone chargé de poids; pressions éprouvées par les points fixes auxquels il est attaché ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 291

Remarque analogue A felle du n° 270 , sur les tensions des cordons qui supportent un poids donné : quel que soit Ienbsp;nonibre de ces cordons, leurs tensions et les charges desnbsp;points fixes peuvent se déduire de la mesure des allonge-inens,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;293

Équations déquilibre dun fil pesant, dabord au noinbre de trois , et qui se réduisent ensuite a deux ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 298

Intégrales de ces équations sous forme finie; équation de la chainette,- expression de la tension en un point quel-conque,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;294

Calcul de la tension au nbsp;nbsp;nbsp;pointnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ienbsp;nbsp;nbsp;nbsp;plusnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bas,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et des chargesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;que

supportent les nbsp;nbsp;nbsp;deuxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;pointsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;suspension,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;29$

TABLE DES MATIÈRES.

Parmi toutes les courbes isopérim'etres, la chaiuette est celle qui a son centre de gravité Ie plus bas ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 296

Gas OU les forces verticales qui agissent sur les élémens du fil sont proportionnelles a leurs projections horizontales ; lanbsp;courbe de'quilibre est alors une parabole ; calcul de la tension au point Ie plus bas, et des charges des points extremes , qui peut être utile dans la construction des cheminsnbsp;de fer,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 297

Équations déquilibre dun fil sollicite' par des forces quelcon-ques, nbsp;nbsp;nbsp;n 298

Gas dun fil pesant suspendu vertlcalement a un point fixe et chargé dun poids a son extrémité inférieure ; calcul de sonnbsp;allongement total,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 299

Expression de la tension dans Ie cas géne'ral; la courbe est de'termine'e par deux équations différentielles secondes; va-leur du rayon de courbure daprès la direction de la tangente en chaque point,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 3oo

Application des formules précédentes au cas dun fil tendu sur la surface dun corps solide , par des forces appliquées a sesnbsp;extrémités, et qui sont les seules qui Ie sollicitent; la tensionnbsp;est la même dans toute sa longueur; dans son état déquilibre stable, Ie fil trace sur la surface la ligne la plus courtenbsp;dun point a un autre; la pression exercée en chacun desnbsp;points de la surface est en raison inverse du rayon de courbure de cette ligne, et proportionnelle a la tension,

Ges résultats sont modifies par Ie frottement du fil contre la surface du corps solide; calcul du frottement dun fil sur lanbsp;gorge dune poulie fixe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 3o3

On vérifie les six équations générales de 1équilibre du n° 261, dans Ie cas de 1équilibre dun fil flexible; usage de cesnbsp;equations pour déterminer les coordonnées des points extremes, quand ils sont libres, ou les pressions quils éprou-vent, lorsquils sont fixes et donnés de position,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 3o4

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xxvij

Condition pour quune verge soit élastique par flexion; diffe-rens efiets que ses parties e'prouvent lorsquon la e'cartée de sa position de'quilibre; de'finition de la lome élas~nbsp;tique,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 3o6

HypotLèses relatives aux forces qui résultent de lextension OU contraction des filets longitudinaux et de la grandeur denbsp;leur courbure ; valeur de la force totale de contraction dunnbsp;élément de la lame; valeur du moment délasticilé, n° 807nbsp;Dans la courbe élastique proprement dite , la tension est constante et ninflue pas sur la courbure de la lame ; équationnbsp;differentielle de cette courbe; conditions relatives a ses ex-trémités ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n' 3o8 et 3og

Cas oü la lame est horizontale, encastrée par un bout, et cbargée dun poids donné a son autre extrémité; ealcul denbsp;la flexion totale; comparaison de lextension et de la flexionnbsp;dune lame, qui peuvent être produites par un mèmenbsp;poids,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°3io

Cas oü la lame est un ressort vertical posé sur un plan horizontal, et chargé dun poids son extrémité supérieure: examen détaillé des différentes formes que ce ressort pourranbsp;prendre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 311 et 312

Ce quon entend par la force dun ressort; calcul de cette force daprès lextension ou daprès la flexion du ressort,nbsp;produites par un poids donné,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 3i3

Extension des résultats précédens au cas dune verge élastique, droite ou courbe , qui na pas été tordue sur elle-même; cenbsp;quon entend alors par Ie filet mojen; valeur du momentnbsp;délasticité,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°3i4

Formule qui donne la flexion diine verge droite, au moyen de la force de ce ressort; calcul de cette force dans différentesnbsp;bypothèses sur Ie contour de la section normale; comparaison de la force dun ressort creux a celle dun ressortnbsp;plein,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°3i5

ValeurdeladifFérentielledela tension en un point quelconque dune verge élastique dont tons les points sont sollicités parnbsp;des forces quelconques; une verge tirée, par une extréinite',nbsp;auginente de vol urne en mêine temps quelle sallonge, n®3i6nbsp;Equations géne'rales de léquilibre dune verge élastique, ennbsp;ayant égard a la torsion ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 3i 7

Le moment de la torsion est constant dans toute la longueur de la verge ; sa valeur, daprès les forces qui agissent a Tunenbsp;des extrémités,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 318

Iléduction des trois equations générales a une seule, quand le filet moyen est une courbe plano ; equations relatives auxnbsp;forces particulières qui agissent aux deux extrémités de lanbsp;verge,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 319

Cas de la verge uniformement pesante; détermination de sa figure ; calcul de sa flexion et des charges des points dappui,

Cas ofi la charge totale de la verge est ine'galeinent répartie entre ses diffe'rens points; formule de Lagrange, pour ex-primer en série de quantites périodiques les valeurs dunenbsp;fonction donne'e, dans une étendue aussi donne'e des valeursnbsp;de la variable,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;SaS

Démonstration de la formule pré;édeinment citée nbsp;nbsp;nbsp;(nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;323);nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;au-

page 654

Verification de ce principe dans le cas de deux forces appli-que'es a une moujle, un ireuil, une vis, un levier, 11® 329

points matériels , qui résalte du principe des vitesses vii'-tuelles ; cette equation na lieuque pour les mouvemens in-finiment petits, compatibles avec les conditions du systèiue, et dont les mouvemens contraires sont également possibles;nbsp;elle a deja été démontrée n Sg, dans Ie cas dun point materiel isolé ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n 33i

Notions relatives aux tensions et aux contractions qui ontlieu entre les liens physiques des points dun systeme en e'qui-libre; manière de représenter ces forces inte'rieures ; ma-nière de représenter les variations de distance des points dunbsp;système ; equation qui a lieu entre la variation totale et lesnbsp;variations partielles de chaque distance,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u®' 332 et 333

On fait voir que la proposition directe étant prouvée, la proposition inverse en est une conséquence immédiate , nquot; 336 Ce principe a aussi lieu dans léquilibre des fluides, ainsi quonnbsp;Ie fera voir par la suite; autre démonstration de ce principe,nbsp;fondée sur la consideration des moufles, n 33y, 338et33gnbsp;On peut déduire du principe des vitesses virtuelles les régiesnbsp;du parallélogramme des forces et de la composition desnbsp;forces parallèles ; comment on en conclut les équations dé-quilibre dun corps solide précéderament trouvées, nquot; 34onbsp;Transformation de 1éauation générale des vitesses virtuelles ;nbsp;régies pour en déduire toutes les équations déquilibre dunnbsp;système de points matériels, dont les liaisons sont expriméesnbsp;par des équations entre leurs coordonnées, n® 34i et 342nbsp;On déterminera , en inême temps, en grandeur et en direction,nbsp;les forces inte'rieures qui résultent de ces liaisons ; Ie principe des vitesses virtuelles est nécessaire pour faire con-naitre, relativement a deux ou plusieurs points lie's par unenbsp;menie équation, les rappörts de grandeur de ces forces,nbsp;dont la remarque du n 290 ne determine que les directions ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; n 343 et 344

Application des formules précédentes a Texemple du polygone. funiculaire ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 345

XXX nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

Propriété de maximum ou de minimum qui a lieu dans 1e'-quilibre dun système de points matériels soumis a leurs attractions ou repulsions mutuelles, en tbnctions des distances , et a dautresnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;forcesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;senablables, dirige'es versnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;des

Errata.

8 en remontant, Mm, lisez Mm et mnd 02,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Qjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;angle AMB, liseznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;AMA*quot;

2-3^, nbsp;nbsp;nbsp;6,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lisez T

6, i35 metres, Ztses 145 mètres 524,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;14,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;trois, lisez quatre

565, nbsp;nbsp;nbsp;2nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en remontant, nnnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anirepoint, /«ez nn autre point M'

601, nbsp;nbsp;nbsp;16, cesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deux, liseznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;deux

623, nbsp;nbsp;nbsp;5nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en remontant, -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lisez -

Mota. Les fames des pages 478, 479 et 623, ont etc corrigees dans le pins Brand nombrc des cxemplaircs.

DE MÉCANIQUE

INTRODUCTION.

Les corps sont des portions de matière limitées en tous sens, et qui ont, par conséquent, xinejbrme etnbsp;un volume determines. On appelle masse dun corps,nbsp;la quantité de matière dont il est compose.

Un point inaienêt est un corps infiniment petit dans toutes ses dimensions; en sorte que la longueur . '»4ax\nbsp;de toute ligne comprise dans son intérieur, est infi-niment petite, cest-a-dire, moindre que toute Ion-

corps de dimensions finies, comme un assemblage dune infinite de points matériels, et sa masse commenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

2. Un corps est en mouvement, lorsque ce corps OU ses parties occupent successi vement différens lieuxnbsp;dans lespace. Mais ïespace étant infini et par toutnbsp;identique, nous ne pouvons juger de létat de mouvement OU de iepos dun corps, quen Ie comparant a dautres corps ou a nous-mêmes; et, pour

Tons les corps sonl mobiles; inais la matière ne se ment jamais spontanément; car il ny aurait pas denbsp;raison pour qu un point materiel se dirigeat plutótnbsp;dun cóte' que de lautrej et, en efFet, si nousconside'-rons un corps a linstant ou il passe de 1état de reposnbsp;a létat de mouvement, nous reconnaissons toujoursnbsp;que ce changement est dü a Faction d une causenbsp;étrangère ou sans laquelle nous conceyons que cenbsp;corps pouriait dailieurs exister.

On donne, en general, le nom de force a la cause quelconque qui met un corps en mouvement, ou seu-lement qui tend a le mouvoir, lorsque son effet estnbsp;suspendu ou empêché par une autre cause.

5. Lorsque plusieurs forces sont appliquees a la fois a un même corps, elles se modifient reciproque-ment, en vertu de la liaison qui existe entre ses parties, et qui les empeche de prendre le mouvementnbsp;que tend a imprimer a chacune delles, la force a laquelle elle est soumise. Il peut même arnver que cesnbsp;forces se detruisent complelement, de sorte que lenbsp;corps ne prenne aucun mouvement : on appelle équi-libre cet état particulier dun mobile, qui reste ennbsp;repos quoiquil soit solllcité par plusieurs forces, ounbsp;aulrement, on dit que ces forces se font équilibre.

La Mecanique est la science qui traite de Iequilibre et du mouvement des corps. La partie dont le but est,nbsp;en ge'néral, de de'couvrir les conditions de Ie'quilibre,nbsp;se nomme Statique. On appelle Djnamique Iautrenbsp;partie, qui a pour objet de determiner le mouvement

que prend uu mobile, quand les forces qiii Ini sont appliquees ne se font pas equilibre.

Les géoraètres étant parvenus, comme on le verra dans la suite, a reduire toutes les questions de mouvement a de simples problemes dequilibre, il seraitnbsp;naturel dexposer dabord la Statique entiere et en-suite la Dynamique; mais, pour faciliter Iintelligencenbsp;des matieres, il a paru preferable, dans 1enseigne-^nbsp;ment, de soccuper de la partie la pins simple de lanbsp;Dynamique, avant de considerer les questions générales de réqulllbre. Cest cet ordre que je suivi'ai dansnbsp;cet ouvrage,

4. 11 y aura trois choses a considerer dans une force agissant sur un point materiel : la position denbsp;ce point, lintensité de la force et sa direction, cesl-a-dire, Iespace rectlligne quelle tend a faire parcou-rir a son point dapplication. Toutefois, on ne doitnbsp;pas confondre un point matérie! avec ce quon ap-pelle un point en Géométrie, oil ce mot désigne Iex-trémilé dune liune, ou 1intersection de deux lignesnbsp;qui se coupent; Iespace que parcourt un point ma-tériel nestpasnon plus une ligne privée de deux dimensions; mais ce corps étant infiniment petit ennbsp;tons sens, et la largeur et lepaisseur de Iespace quenbsp;la force tend a lui faire décrire, étant aussl infiniment petites, on détermlnera sa position et la direction de cette force, de la mème manière que Ton determine la position dun point et la direction dunenbsp;drolte en Géométrie.

Alnsi, dabord, la po.sition dans 1e.space, dii point dapplication dune force, se détermlnera, en general,

au moyen de ses trois coordonne'es paralièles aux intersections de trois plans rectangulaires; ce qui, comme on sait, ne laissera aucune indecision, quandnbsp;on aura égard, en même temps, au signe et a la grandeur de chaque coordonnée. Quelquefois aussi, nousnbsp;emplolerons les coordonnées polaires, savoir : Ienbsp;rayon vecteur du point donné, ou sa distance a leurnbsp;origine. Tangle que fait ce rayon avecune droite fixenbsp;menée par cette origine, et Tangle compris entre Ienbsp;plan de ces deux droites et un plan fixe passant parnbsp;la seconde.

5. Les forces ne peuvent se mesurer quen prenant pour unité une force convenue, et enexprimant parnbsp;des nombres les rapports des autres forces a cettenbsp;unité; ce qui exige que Ton définisse, dune manièrenbsp;precise, ce que Ton doit entendre par une force égalenbsp;a une autre, et par une force double, triple, quadruple ,... dune autre, indépendamment de la nature particuliere de ces diverses causes de mouvement.

Deux forces sont égales lorsquétant appliquées en sens contraire Tune de Tautre, a un même pointnbsp;matériel ou a deux points Hés par une droite qui nenbsp;peut changer de longueur, elles se font équilibre.

Si, après avoir reconnu que deux forces sont égales, on les applique dans la même direction a un mêmenbsp;point, on aura une foice double; si Ton réunit ainsinbsp;trois forces égales, on aura une force triple; si Tonnbsp;en réirait quatre, on aura une force quadmple; etnbsp;ainsi de suite.

Lors done que nous dirons quune force, appliquée a un point matériel, est un certain multiple dune

autre force, il faudra entendre que la premiere peut ètre regardée comme formée dun certain nombre denbsp;forces reconnues egales a la seconde, et agissant dansnbsp;une même direction. Cest de cette manière que lesnbsp;forces deviennent, quelle que soit leur nature particuliere, des quantités mesurables que Ton peut ex-primer par des nombres, comme toutes les autresnbsp;sortes de quantités, en les rapportant a une unite denbsp;leur espèce. On peut aussi représenler leurS intensitésnbsp;par des lignes proportionnelles a ces nombres, que lonnbsp;porte sur leurs directions, a partir du point oü ellesnbsp;sont appliquëes; ce qui a lavantage de simplifier lé-noncé des théorèmes.

6. Les points dapplication des forces et leurs intensités étant ainsi determines, il ne nous reste plus qu a nous occuper de leurs directions.

Soit M ( fig. 1''°), Ie point dapplication duné force; représentons sa direction par la droite MD, denbsp;manière que cette force tende a faire avancer Ienbsp;point M, de M vers D; par Ie point M menons troisnbsp;axes rectangulaires MA, MB, MC, qui seront, en gé-néral, parallèles aux axes des coordonnées, et dirigésnbsp;dans Ie sens des coordonnées positives; désignons parnbsp;a, , 5^, les angles aigus ou obtus que la direction MDnbsp;fait avec ces axes, de sorte quon ait

AMD = a, BMD = ^, CMD = 7.;

je dis que cette direction sera complètement déter-mmee quand ces trois angles seront donnés.

En effet, en ayant seulement égard aux deux angles a et ê, il faudra que la ligne MD se trouve a Ia

fois sur deux cones droits, dont Ie sonimet cominuo est au point M, et qui ont pour axes les droites MAnbsp;et MB. II faudra done que a et C soient tels, quenbsp;ces deux cones puissent se couper; ce qui aura lieunbsp;alors suivant deux arètes situées dans un mêrae plannbsp;perpendiculaire au plan AMB, et qui feront, avecnbsp;1axe MC, deux angles supplémens lun de lautre.nbsp;La droite MD pourra done encore avoir deux positions dilFérentes; mais Tangle y étant aussi donné,nbsp;on saura s11 est aigu ou obtus, et Ton pourra choisirnbsp;entre ces deux positions celle qui convient a la direction de la force.

Cette construction montre, en outre, que les angles a, y, ne peuvent pas être pris tous les troisau hasard. 11 existe effectivement entre les cosinus desnbsp;angles quune même droite MD fait avec trois axesnbsp;rectangulaires, une equation

que Ton dëmonlre en prenant sur la droite MD, a partir du point M, une ligne e'gale a Tunite', et formant un parallele'pipède rectangle, dont cette lignenbsp;soit la diagonale, et qui ait ses trois cóte's adjacensnbsp;sur les trois axes MA, MB, MC. Ces trois cótës se-ront les cosinus des angles a, y; et la somme denbsp;leurs carrës devaat être égale au carré de la diagonale, daprès une thëorème connu, il en rësultera Të-quation quon vient dëcrire.

7. On adoptera, dans ce Traité, la division de la circonfërence en 36o°, du degrë en 60 minutes et denbsp;la minute en 60 secondes. La lettre ,t sera constam-

nient employee a representer la demi-drconference, dont le rayon estegal a lunite; de sorte que Ton aura

Le quart de la circonference repond a Tangle droit ou a Tangle de 524000quot;; il sensuit que la longueurnbsp;de Tare correspondant a un angle dun nombre quel-conque n de secondes, sera le quatrieme terme dunenbsp;proportion, dont les trois premiers seront ^ vr, n etnbsp;324000quot;. En designant cette longueur par quot;ar, il en resit Itera

Dans les calculs numeriques, ce sont ies arcs ainsi calcules quon devra employer a la place des anglesnbsp;qui ne seront pas compris sous les signes trigonome-triques sin, cos, tang.

Pour quon puisse, au moyen des angles a, C, y , representer la direction dune force dans toutes lesnbsp;positions possibles autour de son point dapplication,nbsp;il faudra et il sulEra quils se'tendent depuis zero jus-qua 180° inclusivement. Si, par exemple, Taxe MGnbsp;est au-dessus du plan des deux autres axes MA et MB,nbsp;Tangle y devra être plus petit ou plus grand que go°,nbsp;selon que la droite MD sera situee au-dessus ou au-dessous de ce plan; il sera zéro quand la directionnbsp;MD coincidera avec MC, et egal a 180° quand MDnbsp;coincidera avec le prolongement MC' de MC, Les cosinus de d, Q, y, pourront done être positifs ou né-

En general, si nous considérons Ie prolongement MD' de la droite quelconque MD, il est evident quenbsp;les angles quil fait avec les trois axes sont supplémensnbsp;de a, ë, y. En faisautdone

doü il suit que les directions de deux forces qui agis-sent en sens contiaire sur un mêrae point M , Tune suivant MD, 1autre suivant MD', se distinguerontnbsp;Tune de lautre par les signes des cosinus des anglesnbsp;qui leur correspondent.

8. Au lieu des trois angles a, y, lies entre eux par 1 equation (i), on pourra n employer que deuxnbsp;angles inde'pendans Tun de lautre, pour determinernbsp;la direction dune force.

En effet, soit ME la projection de MD sur Ie plan AMB; appelons S' Tangle que fait cette projectionnbsp;avec Taxa MA, de sorte quon ait

Eorsque eet angle S sera donné, il fei-a connailre la position du plan CME, et Tangle y achèvera en-suite de determiner celle de la droite MD comprisenbsp;dans ce plan. II faudra que Tangle S soit compté,nbsp;a parllr de MA, dans un sens convenu, et quilnbsp;puisse sétendre depuis zéro jusqua SGo; Tanglenbsp;y ne sétendra toujours que depuis zéro jusqu a 180°.

La projection sur le plan AMB de la diagonale du parallélépipède précédemment indiqué ( n 6)nbsp;sera le cosinus de Tangle DME, ou égale a sin y.nbsp;Si Ton projette de nouveau cette projection surnbsp;Taxe MA, cette seconde projection se déduii'a denbsp;la première , en la multipliant par cos tT; elle coin-cidera, dailleurs, avec la projection de la diagonalenbsp;du parallélépipède sur ce même axe MA, et sera,nbsp;conséquemment, égale a cos st; par consequent,nbsp;on auranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

et ces deux formules serviront a transformer les equations oü Ton aura fait usage des angles a, ê,nbsp;y, en dautres ou Ton nemploiera plus que y et cT.nbsp;On vérifie immédiatement quelles satisfont a Téqua-tion (i).

g. II existe une autre équation qui comprend , comme cas particulier, cette équation (i), et quinbsp;nous sera souvent utile.

Pour la former, soient x, j, z, les coordonnées dun point quelconque M ( fig. 2 ) rapportées auxnbsp;trois axes rectangulaires Ox, O7, Oz. Appelons rnbsp;son rayon vecteur OM, et a, C, y, les angles ai-gus OU obtus que fait ce rayon avec les trois axes,nbsp;de sorte quon ait, par exemple,

SoitM' un autre point, et designons par j', 2'^ r', a'. Of, y\ ses coordonnees, son rajon vecteur etnbsp;les angles relatifs a cette droite; nous aurons aussi

= (x' xY {y yY nbsp;nbsp;nbsp; ^)*

la premieie valeur de «* est la même chose que = /» r' 2 (xx'-i~YY' Hquot; jnbsp;en la comparant a la seconde, on en concluranbsp;rr' cos g = xx' jyquot;' zz';

INTRODUCTION, cos g cos a cos a! -f- cos ^ cos cos y cos y';nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(2)

Lorsque les deux droites OM et OM^ coincident, les angles a', ê', y', sont les mèmes que a., ë, y, etnbsp;cette formule se réduit a Iequatlon (i). Quand cesnbsp;deux droites sont perpendiculaires Tune a Iautre ,nbsp;on a £ = go°, et par consequent

En mettant dans les valeurs de x, j, z, celles de cos ct et cos ë, quon a trouvees dans le numéro précédent, on aura

formules dans lesquelles les trois variables r, y, e^' sont les trois coordonnées polaires du point M, tellesnbsp;quelles ont été délinies dans le n° 4, et qui serviront,nbsp;par consequent, a transformer les coordonnées rec-tangulaires en coordonnées polaires.

10. La consideration des projections dont on sest servi dans le n° 8, sera souvent employée dans cetnbsp;ouvrage; il convient done dexposer ici leurs premiers principes.

La projection dune droite sur une autre droite est la partie de celle-ci qui est comprise entre les pieds desnbsp;perpendiculaires abalssées des deux extrémités de lanbsp;droite projetée. Ainsi, les dilférences x'x, yy,

^z, des coordonnées extremes sont les projectionsde la droite MM'sur les axes desXfy, z; et,daprès la premiere valeur de la somme des carrés des projections dune méme droite siir trois axes rectangulaircs

est égale au carré de cette droite. Si la droite proje-tée et celle sur laquelle on la projette sont dans un même plan, la projection est égale et parallèle a lanbsp;base dun triangle rectangle, dont la droite projetéenbsp;est lhjpoténuse; en sorte que si lon désigne par lnbsp;la longueur de cette droite, par X celle de sa projection, et par i Tangle de ces deux droites, on a

La projection dune surface plane sur un autre plan, est la partie de ce plan terminée par la projection du contour de la surface projetée, cest-a-dire,nbsp;par la courbe que forment les pieds des perpendiculairesnbsp;abaissées de tous les points de ce contour. Or, Téqua-tion précédentesubsiste encore, si Ton j met a la placenbsp;de l Taire de la surface projetée, et au lieu de A Tairenbsp;de sa projection; i étant alors Tinclinaison dun plannbsp;sur Tautre, pour laquelle on peut aussi prendrenbsp;Tangle compris entre les perpendiculaires a ces deuxnbsp;plans.

En effet, décomposons Taire de la surface projetée en élémens dune largeur infiniment petite et perpendiculaires a Tintersection de son plan et de celuinbsp;sur lequel on la projette, la projection de chaquenbsp;élément sera égale a eet élément multiplié par Ienbsp;cosinus de leur inclinaison mutuelle; par conséquent,nbsp;cette inclinaison étant la même et égale a i pour tousnbsp;les élémens, la somrae de leurs projections, ou A,nbsp;sera égale a leur somme, ou a Taire totale l multi-pliée par cos i; ce quil sagissait de prouver. On con-clut de la que Ie carré de Taire dune surface plane

est égal a la somme des carrés de ses piojections sur trois plans rectangulaires, en prenant pour Iincllnai-son sur cLaque plan Tangle que fait la normale a lanbsp;surface donnee avec les perpendiculaires a ce plan,nbsp;et ay ant égard a Téquation (i).

IÏ. Lorsque dans une question, on considérera un systeme de forces parallèles, on pourra supposer quenbsp;Tun des trois axes rectangulaires MA, MB, MC,nbsp;(fig. iquot;), leur est aussi parallèle. Alors deux desnbsp;trois angles a, S, y, les deux derniers, parexemple,nbsp;seront droits pour toutes ces forces; et Téquation (i)nbsp;se réduira a

De cette manière, la direction de chaque force se-rait fixée, en disant quelle fait avec Taxe MA un angle nul ou un angle de 180; mais dans ce cas particulier, il sera plus simple de déterminer cette direction par le signe de la force, en regardant cominenbsp;positives les forces qui agissent dans un sens, etnbsp;comme négatives celles qui agissent dans le sensnbsp;opposé.

Au reste, le cas des forces parallèles sera le seul oii nous consldérerons des forces positives et des forcesnbsp;negatives; dans tons les autres cas, les quantilés quinbsp;représenteront les grandeurs des forces, dans le cal-cul, seront positives, etla variation de signe ne tom-bera que sur les cosinus des angles que leurs directions font avec des axes fixes.

mvnaires, et des de'tails suffisans sur la determination des grandeurs et des directions des forces; mais, dans eet ouvrage, jemploierai exclusivement ia methode des irifiniment petits ; cest pourquoi il est nécessaire de rappeler, dans cette introduction, les principes de lAnalyse infinitésimale, et parmi les formules qui sen déduisent Ie plus immédiatement,nbsp;celles dont nous pourrons avoir besoin par la suite.

Un hifiniment petit est une grandeur moindre que toute grandeur donnée de la même nature.

On est conduit nécessairement a Tidée des infini-ment petits, lorsque Ton considère les variations successives dune grandeur soumise a la loi de conti-nuité. Ainsi, Ie temps cioit par des degrés moindresnbsp;quaucun intervalle quon puisse assigner, quelquenbsp;petit quil soit. Les espaces parcourus par les diffé-rens points dun corps, croissent aussi par des infini-inent petits; car chaque point ne peut aller dunenbsp;position a une autre, sans traverser toutes les positions intermédiaires; et lon ne saurait assigner au-cune distance, aussi petite que lon voudra , entrenbsp;deux positions successives. Les infiniment petits ontnbsp;done une existence réelle, et ne sont pas seulementnbsp;un moyen dinvestigation imagine par les géomètres.

ment petites ont entre elles des rapports quelcon-ques, dont la determination est un objet essentiel de lAnalyse infinitésimale.

Si « et ^ sont des infiniment petits, et que Ie rapport de h a a soit au.ssi infiniment petit, b est ce

quon appelle un inliniment petit du second ordre. Par exemple, la corde dun arc de cercle étant supposes infininaent petite, le sinus verse du même arcnbsp;est un infiniment petit du second ordre, puisque lenbsp;rapport du sinus verse a la corde est tonjours lenbsp;même que celui de la corde au diametre, etdevient,nbsp;par consequent, infiniment petit en même temps quenbsp;le second rapport.

De même, b etant déja un infiniment petit du second ordre , si Ton suppose que le rapport de c a inbsp;soit infiniment petit du premier ordre, on apellera cnbsp;un infiniment petit du troisieme ordre; et ainsi denbsp;suite.

II suit de la quun produit compose dun nombre n de facteurs infiniment petits du premier ordre, devranbsp;étre rangé dans la classe des infiniment petits denbsp;1ordre n.

Laire dune surface infiniment petite dans toutes ses dimensions est au moins un infiniment petitnbsp;du second ordre; car elle est moindr,e que le carrénbsp;de la droite la plus longue quon puisse mener dunnbsp;point a un autre de son contour, laquelle droite estnbsp;infiniment petite , par hypothese. On verra de mêmenbsp;quun volume dont toutes les dimensions sont infiniment petites , est au moins un infiniment petit dunbsp;troisieme ordre, puisquil est moindre que le cubenbsp;de la plus longue droite menée dun point a un autrenbsp;de sa superficie.

Cela posé, le principe fondamental de 1Analyse infinitesimale consiste en ce que deux quantilesnbsp;finies, qui ne different Imie de Iautre que dun

infiniment petit, doivent être regardées comme égales, puisquon ne saurait assigaer entre elles au-cune inégalité , aussi petite que lon youdra.

II en sera de mênje a le'gard de deux quantités infiniment petites du premier ordre, dont la difference est infiniment petite du second ordre, et,nbsp;généralement, a légard de deux infiniment petitsnbsp;dun ordre quelconque, qui ne différent lun denbsp;lautre que dun infiniment petit dun ordre supérieur : on les considérera comme des quantités ri-goureusement égales, et leur rapport, comme égal anbsp;lunité.

On énonce encore ces principes dune autre ma-nière, en disant quil est permis de négliger dans un calcul, sans crainte daltérer aucunement les résul-tats, soit les infiniment petits ajoutés a des quantitésnbsp;finies, soit les quantités infiniment petites dun ordrenbsp;quelconque, ajoutées a des quantités dun ordre inférieur.

i3. La différentielle dx dune variable indépen-dante x, est laccroissement infiniment petit quon attiibue a cette variable; la différentielle dj dunenbsp;fonction de a?, est laccroissement correspondantnbsp;de cette fonction, réduit au raême ordre de grandeurnbsp;que celui de la variable indépendante, par la suppression des infiniment petits dun ordre supérieur;nbsp;doii il iésulte que cette différentielle dj est toujoursnbsp;de la forme X(£r; X étant une autre function de x.nbsp;Pour quelques valeurs particulières de x, il peutnbsp;arriver que Ie coefficient différentiel X devienne in-fini, ce qui rendra la différentielle ILdx indéterminée;

Soient Jcc une fonction donnee de x, c une constante arbitraire , et Fx -\-c lintégrale compléte ou indéfinie de fxdx. Soient encore a et h deux cons-tantes données. En determinant la constante c denbsp;manière que cette integrale soit nulle ou commencenbsp;quand x=^o, et faisant ensuite x-=.b, Ie i'ésultatnbsp;Fb Fa sera ce quon appelle lintégrale définie,nbsp;prise depuis x a jusqua x = b. Je la désignerai

f xdx, suivant la notation trés commode que Fourier a proposée; et jécrirai, en consequence,

Si lon donne successi vemen t a x une infinilé de valeurs, croissantes depuis a jusqua b par des differences infiniment petites, et que lon prenne cesnbsp;differences égales ou inégales, pour les valeursnbsp;de dx, il est facile de faire voir que la somme denbsp;toutes les valeurs de la différenlielle fxdx sera égalenbsp;a lintégrale définie Fb Fa.

En effet, en négligeant les infiniment petits dun ordre supérieur au premier, on a, daprèsla défini-tion de la différentielle,

et que loa prenne successivement, pour x et dx, les couples de valeurs a et cT,, a cT, etnbsp;et el's, . . .h cT^ et (, il en résultera

Lorsque la fonction fx deviendra infinie entre les deux limites a et A, cette demonstration nauranbsp;plus lieu, et Ie théorème sera en défaut. Dans ce casnbsp;dexception, que nous ne rencontrerons pas dans lanbsp;suite, lintégrale définie na plus aucun rapport avecnbsp;la somme des valems de la dlfférentielle , et elle peutnbsp;même être negative, lorsque toutes ces valeurs sontnbsp;positives, ou positive, quand elles sont toutes negatives. Pour faire reparaitre Ie théorème, il faut alorsnbsp;cmpêcher que/ir ne devienne infinie entre xa etnbsp;rA, en faisant passer la variable x de Tune a lautrenbsp;de ces limites, par une série de valeurs imagi-naires (^).

(¦*') Voyez, sur cc po int, Ie Journal de l Ecole Poljtechniq i8' cahier, page 35,o.

Le théorème précédent sétend sans difficulté aux intégrales multiples. Ainsi, par exemple, si j{x,j)nbsp;est une function donnée de deux variables indépen-dantes x el j, que Ton donne successivement a cesnbsp;variables des séries de valeurs croissantes par des differences infiniment petites; et que Ton prenne en mêmenbsp;temps pour dx, les differences entre les valeurs con-sécutives de x, et pour dj, celles des valeurs con-sécutives de jy la somme de toutes les valeurs denbsp;f{x, j)dxdj, sera lintégralenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;f (x, j) dxdj, prise

14. liOrsque la fonction fx renfermera une quantile a considérée comme une constante dans Tinté-

même une fonction de a. II j a des questions dans lesquelles cette intégrale nétant pas connue sousnbsp;forme flnie, on aura besoln, néanraoins, de determiner sa différentielle par rapport a a. Or, cettenbsp;opératlon présentera deux cas dlfférens, selou quenbsp;les limites a et b seront indépendantes de a., ounbsp;quelles en dépendront dune manière quelconque.

Dans le premier cas, il suffira de dlfférentier par rapport a a .sous le signe f; en sorte que Tonnbsp;aura

En effet, daprcs le tbéorème du numéro piécé-dent, le premier membre de cette equation est le coefficient différentiel par rapport a a de la somme

des valeurs de fxdx , comprises depuis x a jus-qua x = b', tandis que son second membre est la somme des valeurs, entre les mêraes limites, du coefficient différentiel de fxdx relatif a a; et il est évidentnbsp;que ces deux sommes sont identiques.

la limite b devient b-\-^da, pour cette raison, la somme des valeurs de/xfZr, ou lintégrale J' fxdxnbsp;se trouve augmentée de la valeur de fxdx qui ré-

dct, ce qui diminue cette integrale de la valeur de Jx ,nbsp;correspondante a x a et dx ^ da, ou de

des deux limites a et b, produite par celle de a, lintégrale se trouvera augmentée de la différentielle

et son coefficient différentiel par rapport a a, de ce coefficient de da. Par conséquent, en 1ajoutantnbsp;au second membre de Téquation précédente, onnbsp;aura

'¦. j fxdx

Quand a nentrera pas dans fx , que cette quan-tité sera Tune des deux limites b o\x a, et que ces deux limites ne dépendront pas Tune de lautre,nbsp;eette expression se réduira a

Des remarques semblables sappliqueront aux inté-grales multiples , dont les coefficiens différentiels par rapport a une quantité quon a dabord regardéenbsp;comme constante, sobtiendront aussi en diffe'ren-tiant sous les signes d'intégration , et en ajoutant aunbsp;résultat des termes dépendans des variations desnbsp;limites, quand elles dépendront de cette quantiténbsp;de venue variable.

i5. Le calcul intégral fournit des regies pour dé-lerminer exactement ou par approximation, les valours numériques des intégrales définies, simples ou multiples; en sorte quun problème est censénbsp;résolu, lorsquon est parvenu a exprimer les incon-nues par des intégrales de cette nature. On dit alorsnbsp;que le problème est réduit aux quadratures, pareenbsp;que, dune part, une intégrale multiple nest autrenbsp;chose quune intégrale simple plusieurs fois répétée,

TRAITÉ DE MÉCANIQÜE. dune courbe plane, dans laquelle x et jx sont lesnbsp;coordonne'es dun point quelconque, et a et è lesnbsp;abscisses des points extremes.

Parmi les dilFérentes formules dont on fait usage pour calculer les valeurs approchées de cette integrale

Supposons que les differences cT,, cT», cTj, etc., ne sont pas infiniment petites, inais seulement trés pe-titesj prenons-les égales, et représentons par tTleurnbsp;grandeur commune. Nous aurons,daprèsle théorèmenbsp;de Taylor,

F (a 2J') =r(a J') y/(a lt;?) i ^^f{a lt;^) etc., F (a -j- 3J') =F (a 2^) -\-^f{a -f-2J)-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2.lt;t) -j- etc.,

i étant un nombre entier ou zéro, et les caractéristi-qiies 2 indiquant des sommes qui s etendeul aux n

valeurs de i compi'ises depuis i=o jusqua i:=.ni. Eq prenant successivement fx et f x, f'x et Jx, etc.,nbsp;au lieu de Fu: etfx, on aura de même

Cela posé, si Ton veut négliger les puissances de lt;' supérieures au carré dans la valeur de FZ» Fa, onnbsp;pourra prendre, dapres les dernièi-es équations,

iSy (a ;) = -J S- (J'b -fa), pour les valeurs de ses deux derniers teimes. Sa valeur entière deviendra done

valeurs de fx varieront moins rapidement entre les limites a et b. Le plus souvent on pourra négliger lenbsp;terme dépendant de S^', la formule ne renfermeranbsp;alors que des valeurs de fx qui pourront être don-nées en nombres, sans que la forme de cette fonctionnbsp;soit connue.

sidère les courbes comme des polygones dun nombre infini de cóte's infiniment petits. Cela suppose que lanbsp;corde dun are infiniment petit est égale a eet are, ounbsp;que Ie rapport de leurs longueurs peut être pris pournbsp;Iunité; cest efFectivement ce que lon peut démon-trer de la manière suivante.

Soit Mmm'M' (Gg. 3)un are de courbe infiniment petit; tirons les cordes Mm, mml, m!W, et prolon-geons la troisième, jusqua ce quelle rencontre Ie pro-longement MT de la première, en un point K. Larcnbsp;mm' est plus grand que la corde mm', et moindre quenbsp;la ligne brisée mKm'; il suffira done de prouver quenbsp;cette ligne et cette corde, infiniment petites, ne different que dun infiniment petit dun ordre supérieur,nbsp;et que lon peut prendre Ie rapport de lune a lautrenbsp;pour lunité : cela sera vrai, a fortiori, a légard denbsp;larc mm' et de sa corde.

Or, sil ny a dans létendue de Fare Mmm'M' aucun point singulier oü la direction de la courbe changenbsp;brusquement, les cordes qui vont dun de ses pointsnbsp;a un autre comprendront des angles infiniment peunbsp;différens de deux droits. Langle TKM', supplémentnbsp;de MKM', sera done infiniment petit; je Ie désignerainbsp;par cT ; et en faisant, en outre,

on aura, dans Ie triangle mKm', léquallon -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- aaè cos cT,

(« by nbsp;nbsp;nbsp;(a by

pour le carré du rapport de la corde mm' a la ligne brisee mKm'. On a dailleurs

rY-

\a -j- b) ^ ce qui prouve que le coefficient de sin* | cT ne peutnbsp;pas devenir infini, puisquil est toujours moindrenbsp;que Iunite. En negligeant Iinfiniment petit du second ordre, on aura done Iunite pour le rapport denbsp;c k a b ; ce quil sagissait de demontrer.

17. Une courbe étant considérée comme un poly-gone infinitesimal, les tangentes seront les prolonge-mens de ses cotes infiniment petits; au point M, ou le cote est Min, la tangente sera la droite indefinienbsp;T'M/nT.

Si Ton designe par x, j, z, les trois coordonnees rectangulaires du point M, celles du point m serontnbsp;X dx, j -f- dy, z dz. En appelant ds lélémentnbsp;de la courbe, eest-a-dire, son cote Mm, les difFeren-tielles dx, dj, dz, seront ses projections sur les axesnbsp;des X, j, z; par consequent, si Ton represente parnbsp;les trois angles que fait la direction de lanbsp;droite MT avec des paralleles a ces axes, menees parnbsp;le point M, on aura

En prenant, sur la courbe que Ton considère, un point fixe C, et supposant que s soit larc CM compténbsp;de cette origine, eet are pourra être la variable indé-pendante, dont x,y, z, seront des fonctions donnéesnbsp;par les equations de la courbe. Dans ce cas, ds seranbsp;positif; mais dx, dj, dz, et par suite cos ot, cos C,nbsp;cos y, pourront être positifs ou négatifs. Les anglesnbsp;ct,amp;, y, se iapporteront toujoursau prolongementnbsp;7?zT du cóté Mm, ou a la partie MmT de la tangente;nbsp;les angles relatifs a 1autre partie MT' seront les sup-

La diiection de la tangente au point M étant dê-terminée par les equations (i), on en peut conclure réquation du plannormal en ce même point; inais onnbsp;obtient directeraent cette equation par la consideration suivante.

x', j', z', designant les coordonnees courantes. Lequa-tion de la sphere du même rayon, qui a son centie an point m, se de'duira de celle-la, en y niettantnbsp;X ^dx ,J dj, z-\-dz, a la place de x, j, z; ennbsp;retranchant ces equations Tune de Iautre, et negli-geant les intiniment petits du second oidre, ilnbsp;vient

equatioa qui appartiendra a Iintersection des deux surfaces spheriques. Comme elle est Tequation dunnbsp;plan dont x', y', z', sont les coordonnees courantes,nbsp;ce sera celle du plan de cette courbe, et, par consequent , Iequation demandée du plan normal, puis-que les deux spheres se coupent suivant un cerclenbsp;perpendiculaire a la droite TT' qui passe par leursnbsp;centres M et m.

represente Iequation dun plan mené par le point dont les coordonnees sont x, y, z, et perpendiculaire a la droite dont la direction est déterminée parnbsp;les angles a, y, il faudra quelle saccorde avec lanbsp;précédente; ce qui exigera quon ait

h étant un facteur indéterminé. En vertu de iéqua-tion (1} du n° 6, on en conclura dailleurs

ce qui fait connaitre la valeur de h, abstraction faite du sigue. Ou aura ensuite

ce qui coincide avec les formules connues daprès lesquelles on determine la direction de la perpendi-

culaire a un plan donné. Le signe de /^ reste indéter-miné, paree que les angles a , y, peuvent se rap-porter a Tune ou a Tautre des parties de cette droite qui sont situées des deux cótés du plan.

i8. On SLT^T^e]\Q angle de contingence langle infi-niment petit compris entre deux tangentes consécu-tives. Ainsi Mnz et mm' (fig, 4)» étant deux cótés ¦frv-y' consécutifs de la courbe, eet angle, au point M, estnbsp;le supplément de Mm/ra', ou Tangle l^mt, sous le-quel la tangente MmT est coupée par la tangentenbsp;suivante mm't. Je le représenterai par cT; en suppo-santque les angles cJL,,Q,y, se rapportent toujours a lanbsp;direction de MT, et désignant par a!,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y', ee quils

deviennent relativement a la direetion de mt, on aura,^ en vertu de Téqualion (2) du n° g,

cos a'=:cosa i/. cos o. ^ c?*.cos a etc., cos ' =cos^-f-fi^.cos^ jd^.cosê etc.,nbsp;cos y' = cosy-f- d.cos y-{- 7 d. cos y etc.

Or, si Ton substitue ces valeurs dans celles de sin cT, et quon ait égard a Téquation

cos a d. cos a-f-cos ^ . cos ^ cos c/. cos )/ = o,

on voit que les quautités finies et les infiniment pe-tits du premier ordre se détruisent; en sorte quen négligeant les infiniment pelits des ordres supérieurs

laquelle sera aussi la valeur de cT®, a cause que Iarc infiniment petit cT est egal a son sinus.

Les different idles de cos a, cosë, cosy, se dedui-ront des formules (i) du numéro précédent. En ne spécifiant pas la variable indépendante, on aura

d. cos ë = nbsp;nbsp;nbsp;{dxd^jdjd*x) ^ {dzd'jdjd^z),

c?. cos y = {dxd^zdzd^x) nbsp;nbsp;nbsp;{djdzdzdy); ¦'

leurs, on trouve, après quelques reductions, que lcxpression de sin* S' on de S', peut se mettre sousnbsp;la forme

Le eerde osculateur est celui qui a deux cótés con-sécutifs comniuns avec la courbe. Au point M, ce eerde est done celui qui passe par les trois pointsnbsp;M, m, m', dont le centre se trouve a lintersection Onbsp;des deux perpendiculaires clevées sur les milieux denbsp;Mm et mrd dans le plan de ces deux élémens consé-cutifs, et qui a pour rayon la droite MO. Si ces deuxnbsp;éle'mens sont supposes e'gaux, cette droite diviseranbsp;Tangle Minin' en deux parties e'gales : nous feronsnbsp;cette hypothese sans craindre dalterer la valeur denbsp;MO; car il est aisé de voir que le rapport numériquenbsp;des deux cótés infiniment petlts Mm et mm' ninfluénbsp;que dune quantilé infiniment petite sur la grandeurnbsp;de ce rayon qui est, par conséquent, la même, soitnbsp;quon prenne ces deux cótés consécutifs égaux, ounbsp;quils soient inégaux.

La longueur des cótés Mm étant ds, et en représentant par p celle de mO, la projection de p sur M/JZ sera ^ ds; en sorte que Ton aura

et puisque eet angle MmO est la moitié du supplément de S ou égal a i TT tcT, il en re'sultegt;;pnbsp;izis=psinicr = :tpj',nbsp;en prenant Vare a la place de son sinus.

Cela ctant, si le rajon de courbure p était connu dune autre manière, on auraitnbsp;pour la valeur de Tangle de conlingence; et recipro-quement, dapres la valeur prëcédente de cT®, cellenbsp;de sera

P=-----7.

19. Pour achever de connaitre la nature intlme de la courbe au point quelconque M, il faut encore determiner son plan osculateur, cest-a-dire le plan desnbsp;deux cotes consecutifs M/u et mm'.

x', y, z', étant les coordonnées courantes. A cause quil doit aussi passer par les points in et in', les difleren-tielles première et seconde de cette equation, savoir :

Ac?a?'-|- 'Bd*y-\- Ct/z'= o, devront être satisfaites comme Tequation mèine, èn

y faisant x-. aura

Adx H- ïidj Uz o,

Alt;i*x-f-Hh Cfi?z= o.

Les valeurs de A, B, C, qui remplissent ces deux conditions sont, comme il est alse de le verifier,

D étant un facteur indéterminé. Eu les substituant dans réquation du plan osculateur, et supprimant cenbsp;facteur commun a tous ses termes^ elle devient

Si lon appelle A, r, les angles que fait la normale au plan osculateur, avec des parallèles aux axes des X, y, z, menées par Ie point M, on aura, daprèsnbsp;les equations (2) du n 17 ,

On déterminera aussi Tangle infiniment petit com-pris entre deux normales consécutives, et qui sera Tangle de deux plans osculateurs consécutifs, commenbsp;on a determine tout a Theure Tangle de deux tan-gentes. En le désignant par £, on aura, par un calculnbsp;semblable a celui du numéro précédent,

iiormaux consécutifs; ce qui fournit le moyen de determiner ses coordonnees daprès les equations de ces trois plans, qui sont maintenant connues.

Celle du plan consecutif sen deduira en y mettant ccdx, Jdf, z-\-dz, au lieu de x, y, z; parnbsp;consequent, la differentielle de Tequation du premiernbsp;de ces deux plans, prise par rapport a x,y, z, savoir:

{x' x) (dxdy djd^x) = {z' z) (djd'^zdzdy) ds'^dj, {yJ) (djd?-x dxdy) ¦= (z'z) [dxd^z dzd^x) ds^dx;

en designant, pour abreger, par p la même expression que dans le n° 18. On aura de même

dou il résulte que la quantité p est la distance du point 0 au point M, ou Ie rayon de courbure MO,nbsp;comme on Ie savait déja.

2 i. Les formules des cinq numéros précédens renferment tout ce qui est relatif a la direction et a la courbui'e dune ligne quelconque, plane ou a doublenbsp;courbure. Relativement a une surface quelconque,nbsp;on a aussi a considérer la courbure et la direction denbsp;son plan tangent; quant a sa courbure, je renverrainbsp;au Mémoire que jai iriséré sur ce sujet dans Ie 21® cahier du Journal de lEcole Polytechnique, et je nenbsp;moccuperai ici que de ce qui concerne Ie plan tangentnbsp;et la normale.

En un point M, dont les coordonnées sont x,j,z, léquation du plan tangent peut être représentée par

x',j', z', étant les coordonnées courantes. Ce plan devra aussi passer partout autre pointM'de la surface,nbsp;infiniment voisin de M; il faudra done quon satis-fasse a cette équation, au moyen de x'~x~\-dx,nbsp;y =f dy , z' = zdz, ou a sa diflérentielle relative a x',j', z', en y mettant x,j,z, a la placenbsp;de ces variables. Par conséquent, on aura

P q designant des fonctions connues de x, p, z. Le'quation pre'ce'dente devient done

t comme elle doit subsister pour toutes les directions de la droite MM', eest-a-dire , pour tous les rapportsnbsp;quon peut établir entre dx et dj, i\ faudra egalernbsp;séparément a zéro les coefficiens de ces dilFérentielles;nbsp;dou il résultera

Je tire de la les valeurs de A et B, je les substitue dans léquation du plan tangent, et je supprime Ienbsp;facteur commun C; il vient

Si a, b, c, sont les angles que fait la normale au point M, avec les prolongemens des coordonnées x,nbsp;7, z, on aura, daprès les equations (2) du n i '7 ,

Le radical sera positif ou négatif dans ces trois formules, selon que la parlie de la normale quon voudra considérer fera un angle c aigu ou obtus

En appelant co Télément de la surlace dont la projection sur Ie plan des Jc et j- est dccdj, on aura

selon que c sera aigu on obtus; car eet élément infi-niment petit en tous sens, est compris dans Ie plan tangent dont linclinaison sur Ie plan des oc et y estnbsp;Tangle c ou son supplément; et Ie théorème du n° i onbsp;convient également a la projection dune surfacenbsp;plane infiniment petite. Daprès cela on aura

Téquation de la surface que Ton considère; en la dif-férentiant successivement par rapport a x et a on aura

Je tire de la les valeurs de p et et je les substitue dans Téquation du plan tangent qui prend la forme

^,cosb=Y^,cosc = y^^,

22. Je placerai ici une remarque qui sera ulile pour verifier ou déduire les unes des autres les formules analogues qui i'épondent a différens axes.

Supposons que dans une question tout soit sem-blable a légard des trois axes des coordonnées x, y, z. Si Ton a une e'quation X=o, relative a laxenbsp;des X, il en existera une semblable Y==o, qui ré-pondra a laxe desj', et une troisiènie Z=o, relativenbsp;a laxe des z; et ces deux autres equations Y = onbsp;et Z = o, se dëduiront de X = o , par de simplesnbsp;changemens de lettres. Or, void comment ces permutations devront sefFectuer.

On mettra dans X toutes les quantitës relatives a laxe des x, 'a \a place des quantités analogues quinbsp;rëpondent a Taxe des j, puis celles-ci a la place denbsp;celles qui répondent a Taxe des z, et, enfin , cesnbsp;dernières quantités a la place des premières, qui ré-pondaient a laxe des x. Par cette permutationnbsp;tounuinte, on déduira Z de X; par une secondenbsp;permutation de la même nature, effecluée sur Z ,nbsp;OU obtiendra Y; et par une troisième permutationnbsp;tournante, effectuée sur Y, on retrouverait X.

Sil sagit, par exemple, des equations (3) du n° 19, dont la première répond a laxe des x, lanbsp;seconde a laxe des j-, et la troisième a iaxe des z ,nbsp;jécrirai sur une même ligne, mais en deux parties,nbsp;les coordonnées x, z, et les angles A, |W, v, qui

leur correspondent respectivement; puls, sur une seconde ligne, je disposerai ces six quantités , aussi en deux parties, et dans un ordre difFe'rent, de sortenbsp;quon ait

Cela fait, je remplacerai dans la première equation (3), cliacune des quantile's de la ligne supérieure par la quantité correspondante de la ligne inférieure ; par cette permutation, h ne changera pas, et lon obtiendra la troisième équation (3). Je met-trai de nouveau, dans celle-ci, les quantités de la lignenbsp;inférieuie a la place de celles qui leur correspondentnbsp;dans la ligne supérieure; ce qui donnera la secondenbsp;équation (3); et en opérant de même sur cette équation , on retrouvera la première équation (3), dounbsp;Ton est parti.

Chacune de ces opérations revient a un changement daxes des coordonnées, dans lequel on fait dabord tourner les axes des x et des j dans leurnbsp;plan , de manière que laxe des x positives viennenbsp;tomber sur laxe des j positives, puis celui-ci surnbsp;laxe des x négatives; et oü lon fait tourner ensuitenbsp;eet axe desj^ positives, ainsi déplacé, et laxe des znbsp;positives, de manière que Ie premier vienne tombernbsp;sur laxe des z positives, puis celui-ei sur laxe pri-mitif des x positives; en sorte que, finalement,nbsp;chaque axe des coordonnées positives ait pris la placenbsp;dun autre axe des coordonnées positives. Cest pournbsp;cela que les equations relatives aux trois axes des

coordonnées se dëduisent rune de Iautre par de simples permutations de lettres, et sans aucun changement de signe; ce qui naurait pas lieu si Ton ne per-mutait pas simuitanement les trois coordonnées et les quantités qui sy rapportent de la manière qnonnbsp;vient dindiquer.

23. Voici encore une observation générale, par laquelle je terminerai cette introduction.

Les équations que nous aurons a considérer renfer-meront des nombres abstraits, tels que Ie nombre tt, les logarithmes, les lignes trigonométriques,etc.;ellesnbsp;contiendront, en outre, dautres quantités de diversesnbsp;natures, qui y seront aussi représentées par des nombres exprimant leurs rapports a des unités choisies ar-bitrairement, pourvu que chaque unité soit la mémenbsp;pour toutes les quantités diine méme espèce. Or, ennbsp;changeant la grandeur dune ou de plusieurs unités,nbsp;les nombres qui expriment les quantités correspon-dantes, varleront en raison inverse de cette grandeur;nbsp;et,malgréce changement, tout-a-fait arbitraire, lesnbsp;équations qui les renferment devront encore subsister.nbsp;II faudra, pour cela, que leur forme remplisse cer-taines conditions, faciles a verifier dans chaque casnbsp;particulier, et quon appelle, dans lacception la plusnbsp;étendue, les conditions de Vhoinogénéité des quantités. Toute équation qui ny satisfera pas sera, parnbsp;cela seul. Inexacte, et devra être rejetée.

hl',.

f,f,... désignant des forces, 1,1',.des lignes,... m, m',.,. des masses, t, if,.,, des temps. Si lon re-présente par n, n', nquot;, vlquot;, des nombres abstraits, etnbsp;que lon diminue a la fois lunité de force dans Ie rapport de un a ra, lunité lineaire dans Ie rapport denbsp;un a ra', lunité de masse dans Ie rapport de un a raquot;,nbsp;lunité de temps dans ie rapport de un a ra'quot;, lesnbsp;nombres/, ,... l,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/ra',... t, t',... devien-

gt;. ., et léquation (ra) devra encore avoir lieu , cest-a-dire, quon devra encore avoir

quels que soient ra, ra', rf. Si réquation(ra) ren-fermait des surfaces s, s',... et des volumes v, v',... leurs dimensions devraient être rapportées a la mêmenbsp;unite que les lignes l,V,..., et ces quantites s, s'...

v',... deviendraient consequemment ra'®^, ra'V',... ra'V, ra'®(/',... par le changement de cette unite'.

Lequatiou du n° i8, qui donne la valeur de f, sa-tisfalt evidemment a cette condition; car elle ne ren-ferme que des lignes finies ou infiniment petites p, ds, doc, dy, dz, d^oc, dy, dz; et quand on changenbsp;Iunite lineaire et quon multiplie, comme on vientnbsp;de le dire, chacune de ces lignes par un mêmenbsp;nombre ra', ce nombre disparait et Iequation nestnbsp;pas changee. Celle du même numéro, dou depend lanbsp;valeur de cT*, satisfait egalement a la condition denbsp;rhomogénéité, en observant que cT* est un nombrenbsp;abstraitqui ne change pas, non plus que cette valeur,,nbsp;avec la grandeur de Iunite lineaire.

II sera impossible que Iequation (a) ne renferme quune seule quantite dune même espèce; lors-quelle en coatiendra deux, par exemple deux forcesnbsp;J et f, et quon la resoudra par rapport a Tunenbsp;delles, ce qui douuera

il faudra, pour Iliomogeneite des quantite's, que J soit facteur a tous les termes de la nouvelle function F,nbsp;ou, autrement dit, il faudra quon ait

N étant un facteur qui ne contiendra aucune quan-tité de la nature de et ', et ne variera plus avec Iunite de force.

Quelquefois le principe de lhomogénéité des quan-tltés paraitra navoir pas lieu, paree quon aura pris pour unite de force Tune des forces que Ton consi-dère dans la question, ou blen pour unite lineairenbsp;la distance de deux des points materiels dont on soe-cupe, ou blen pour unite de masse celle de Iun desnbsp;corps du problème, etc. Mais, alors, si 1on changenbsp;arbitralrement ces unites, et que la force, la ligne,nbsp;la masse, le temps, quon avait dabord pris pour unites, soient maintenant exprimes par lt;p. A, 0, lesnbsp;autres quanlites de ces ditferentes natures qui entrent

* vi 7'7quot;'

et qui devra maintenant satisfaire a la condition de lhomogénéité : F, indique ici une fonction qui se dé-duira, dans chaque cas, de la fonction donnée F.

'V\\W\W'gt;'VVNgt;VV\'V\\^V\'VVV\\\/W\gt;VVgt;WX'W\'\AA'W^AA*VVWV\A'WWV^/VWW«VVgt;'VV\V\\'V\A'VV\lt;VVWV^VV\'WV

LITRE PREMIER.

STATiaUE,

PREMIÈRE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

24. Lorsquun point materiel est soumis a Taction simultanée de plusieurs forces qui ne se font pas équi-iibre, il se ment suivant une direction déterminee,nbsp;et Ton peut attribuer Ie mouvement quil prend anbsp;une force unique agissaut suivant cette direction,nbsp;Cette force est ce quon appelle Ia résultante desnbsp;forces qui ont mis Ie mobile en mouvement, et celles-ci sont nommées les composantes de la première. Ap-pliquée en sens contraire de sa direction, la re'sultantenbsp;fait èquilibre aux composantes, puisquelle tend a im-primer au mobile un mouvement égal et contrairenbsp;a celui quil recevrait de Taction simultanée des composantes, et quil nj a pas de raison, par conséquent,nbsp;pour quil se meuve plutót dun cóté que de Tautre.

même droite, et agissent dans Ie même sens, il suit de la notion que nous avons donnée de la mesurenbsp;des forces fn 5), que Ia résultante sera égale a leurnbsp;somme. Si Ie mobile est sollicité par deux forces di-rectement contraires, on décomposera la plus grandenbsp;en deux autres, dont Tune, égale a la plus petite,nbsp;sera détruite par celle-ci, et dont lautre, égale anbsp;lexcès de la plus grande sur la plus petite, sera lanbsp;résultante. On conclut de ces deux propositions quenbsp;sil y a un nombre quelconque de composantes, di-rigées, en partie suivant une droite, et en partienbsp;suivant son prolongement, la résultante sera égale a lanbsp;somme de celles qui agissent dans un même sens,nbsp;moins Ia somme de celles qui agissent en sens contraire,nbsp;et quelle agira dans Ie sens de la plus grande somme.nbsp;Quand les deux sommes seront égales, la résultantenbsp;sera nulle, et les forces données se feront équilibre.

25. II y a un autre cas dans lequel on détermine aussi trés aisément la grandeur et la direction de lanbsp;résultante.

Soient MA, MB, MC (fig. 5), les directions de trois forces égales appliquées au point M j supposons cesnbsp;forces comprises dans un même plan, et les trois angles AMB, BMC, CMA, égaux entre eux, ou chacunnbsp;a 120°; Ie point M demeurera en équilibre j car il nynbsp;aurait pas de raison pour quil sortit du plan des troisnbsp;forces, ni pour quil se mit en mouvement plutótnbsp;dans lun que dans lautre de ces trois angles. Chacunenbsp;des trois forces sera done égale et contraire a la résultante des deux autres. Or, si lon prend sur les directions MA et MB de deux dentre elles des ligncs

egales MG et MH, pour representer leurs intensile's, et quon achève Ie losange GMHK, la diagonale MKnbsp;tombera sur Ie prolongement MD de MC; langle MGKnbsp;sera de 60°, comxne chacun des deux autres angles dunbsp;même triangle, qui sera equilateral; on aura donenbsp;MK = MG; par conséquent la diagonale MK du losange construit sur les deux forces MG et MH repré-sente, en grandeur et en direction, la résultante denbsp;, ces deux forces.

Cette proposition est comprise dans une autre que nous allons dabord démontrer dans Ie cas de deux forces égales, dont les directions font unangle quelconque,nbsp;et que nous étendrons ensuite a des forces inégales.

26. La résultante de deux forces égales coupe tou-jours en deux parties égales Tangle compris entre leurs directions; car il nj aurait pas de raison pour quellenbsp;se rapprochat davantage de Tune de ces deux forces,nbsp;ni pour que sa direction sécartat de leur plan plutótnbsp;dun cóté que de Tautre; sa direction est done connue,nbsp;et nous naurons que sa grandeur a déterminer.

Soient, pour y parvenir, MA et MB (fig. 6) les directions des composantes dont la valeur communenbsp;sera représeutée par P. Soient aussi Tangle AMB,nbsp;et MD la direction de la résultante, de sorte quonnbsp;ait AMD=BMD =x. Son intensité ne peut dépendrenbsp;que des quantités P et o?; en la désignant done par R,nbsp;nous aurons

R=/(P,x).

Dans cette equation, R et P sont les seules quantités dont Texpression numérique varie avec Tunité denbsp;lorce; dapiès Ie principe de Thomogénéité des quan-

Pour cela, je mène arbitrairement par Ie point M les quatre lignes MA', MA'', MB', MBquot;; je suppose lesnbsp;qualre angles A'MA, Aquot;MA, B'MB, Bquot;MB, égauxentrenbsp;eux, et je repre'sente chacun deux par z. Je decompose la force P dirigee suivant MA, en deux foicesnbsp;égales dirigées suivant MA' et MAquot;, cest-a-dire quenbsp;je regarde la force P comme la résultante de deuxnbsp;forces égales dont la valeur est inconnue et qui agis-sent suivant MA' et MAquot;; en désignanl cette valeurnbsp;par Q, jaurai

car il doit exister entre les quantités P, Q, la mème relation quentre les quantités R, P, o:. Je décompósenbsp;de même la foice P dirigée suivant MB, en deuxnbsp;forces Q, dirigées suivant MB' et MBquot;; de cette ma-nière, les deux forces P se trouvent remplacées parnbsp;les quatre forces Q; par conséquent, la résultante denbsp;celles-ci devra coïncider, en grandeur et en direction, avec la force R, résultante des deux foices P.

Or, en appelant Q' la résultante des deux forces Q, dirigées suivant MA' et MB', et observant quenbsp;A'MD = B'MD = a^z, cette force Q' sera dirigéenbsp;suivant MD, et Ton aura

Q'~Qlt;p

De même, la résultante des deux autres forces Q sera encore dirigée suivant MD, puisque cette droitenbsp;coupe aussi langlenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en deux parties égales; et

Qquot; déslgnant cette seconde résultante. Les deux forces Q' et Qquot; étant dirigées suivant la même droite MD,nbsp;leur résultante, qui est aussi celle desquatre forces Q,nbsp;sera done égale a leur somme; par conséquent, onnbsp;doit avoir

et en substituant cette valeur de R et celles de Q' et Qquot; dans léquation précédente, et supprimant Ie facteur Q commun a tous les termes, il vient

Cest cette équation qui nous reste a résoudre pour en déduire lexpression de (pjc.

Or, je dis que cette expression de la fonctiou (px est la seule qui satisfasse a lëquation (i), et que denbsp;plus, dans la question qui nous occupe, la constantenbsp;a est lunité j en sorte que lon a

Cela est évident quand x~0', car alors les directions des deux forces P coincident, et la résultante R est égale a aP, ce qui suppose lt;px 2. Admet-tons quil y ait une autre valeur a de x, pournbsp;laquelle on ait aussi (pa = 2 cos a; je dis que léquation (2) subsistera également pour toutes les va-^leurs 2«, 3a, 4^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ a,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, de x, et

En effet, si léquation (2) se vérifie pour les trois angles X, z, x z, de manière quon ait

elle aura encore lieu pour un quatrième angle x car, en vertu de léquation (i), on aura alors

il sensuit quelle subsiste pour a:=: sa-, ajant lieu pour x = ci et x=:3ot, elle subsistera pour a?=3a;nbsp;et, eu continant de même, on verra quelle aura lieunbsp;pour oc = ma,.

et de la on conclura que léquation (2) aura encore lieu pour jc = ^ ë; car en faisant x =¦ z ~ ë, le-quation (i) deviendra

((P I ^)* = 2 cos ^ ^ 2 , (p i é = 2 cos i ^; et, en continuant ainsi, léquation (2) sera démon-tree pour x nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cest-a-dire, pour toutes les va-

Or, les nombres m et n étant aussi grands quon voudra, et pouvant même devenlr infinis, on peulnbsp;faire croitre ces valeurs de x par degrés infinimentnbsp;petits.La formule (3) comprend done toutes les valeursnbsp;possibles de Tangle x, et Téquation (2) est complè-tement démontrée, si toutefois elle est vraie pournbsp;une valeur particuliere x = a , différente de zéro.nbsp;Mais, daprès Ie tbéorème du nquot; 25, la résultante Rnbsp;est égale a P, dans Ie cas de x 60 ; on a donenbsp;t.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4

done léquation (2) a lieu pour x = 6o, et conse-quemment pour toules les valeurs de x.

Si done la résultante R et les deux composantes P sont réprésentées, comme dans Ie n° sS, par desnbsp;droites prises sur leurs directions respectives, a par-tir de leur point dapplication, la force R sera Ienbsp;double de la projection de P sur sa direction, ounbsp;égale a la diagonale du losange construit sur lesnbsp;deux forces P.

Soient maintenant deux forces inégales P et Q, appliquées au point M ( fig. 7 ) suivant les directionsnbsp;MA et MRj représentons leurs inteusités par lesnbsp;lignes MG et MH, prises sur leurs directions, etnbsp;aebevons Ie parallélogramme MGKH : il y aura deuxnbsp;cas a considérer, Ie premier oii 1angle AMB sera dioit,nbsp;Ie second oü il sera aigu ou obtus.

Dans Ie premier cas, tirons les deux diagonales MK et GH qui se coupent au point L; par les pointsnbsp;G et H, menons les parallèles GN et HO a ML, quinbsp;rencontrent en N et 0 la parallèle a GH, menée parnbsp;Ie point M. Le point L est Ie milieu de MK et denbsp;GH; et comme, dans un rectangle, les deux diagonales sont égales, il sensuit quon a

done des losanges; par consequent, daprès la proposition précédente, la force MG pourra être regardée conime la résultante des deux forces MN et ML, etnbsp;la force MH comme la résultante de MO et ML.nbsp;Done, en substituant aux deux forces données leursnbsp;composantes, nous aurons, au lieu de MH et MG ,nbsp;les deux forces MN et MO, qui se détruisent, puis-quelles sont égales et contraires, et les deux forcesnbsp;ml, qui sajoutent et donnent une résultante repré-sentée en grandeur et en direction par la diagonale MK.

Dans Ie second cas, menous par les points G et H (fig. 8) les perpendiculaires GE et HF a la diagonale MK, et les parallèles GN et HO a cette mêmenbsp;droite; par Ie point M, menons aussi la perpendiculaire NMO a cette droite MK. IjCS deux parallélo-graranies GEMN et HFMO seront des rectangles quinbsp;auront leurs cótés MN et MO égaux, comme étantnbsp;les hauteurs des deux triangles égaux GMK et HMK.nbsp;Daprès ie premier cas, on pourra remplacer les forcesnbsp;mg et MH par leurs composantes reclangulaires MEnbsp;et MN , MF et MO; au lieu des deux forces données,nbsp;On aura done les deux forces MN et MO, qui se dé-truiront, comme étant égales et contiaires, et lesnbsp;deux forces ME et MF de même direction, qui sa-jouteront et donneront, a cause de ME = FK, uocnbsp;resultante représentée en grandeur et en directionnbsp;par la diagonale MK.

Concluons done que la résultante de deux forces quelconques, appliquées en un même point et repié-sentées par des lignes prises sur leurs directions a

partir de ce point, est repre'sentée, en grandeur el en direction, par la diagonale du parallelogram menbsp;construit sur les deux forces donne'es.

29. Voici les consequences qui se dëduisent Ie plus immédiatement de ce théorème.

On Yoit dabord que toutes les questions quon peut proposer sur la composition de deux forces ennbsp;une seule et sur la decomposition dune force en deuxnbsp;autres, sont ramenées a la resolution dun triangle.nbsp;En effet, les grandeurs de la re'sultante et des deuxnbsp;composantes sont représentées par les tiois cótésnbsp;MK, MG, GK, du triangle MGK; et les trois anglesnbsp;de ce triangle sont ceux que fait la resultante avecnbsp;chacune des composantes et Ie supplement de Tanglenbsp;compris entre les deux composantes. II sensuit donenbsp;que trois de ces six choses, les trois forces et les troisnbsp;angles compris entre leurs directions, étant données,nbsp;on trouvera les trois autres en résolvant Ie tiianglenbsp;MGK; ce qui suppose une force au moins au nom-bre des donnëes. Par example, soient P et Q lesnbsp;valeurs des deux composantes, et m Tangle compi'isnbsp;entre leurs directions ; on demande leur rësultante Rnbsp;et Tangle oc quelle fait avec la force P. On auranbsp;dabord Tëquation

pour determiner la valeur de R j et celle de x se dé-duira de cette proportion .-

pliquées en un mênie point M (fig. 9), suivant les directions MA, MB, MC, il faut que chacune de cesnbsp;forces soit égale et directement opposée a la résultante des deux autres; et comnie cette résultante estnbsp;comprise dans Ie plan de ces deux forces, il sensuitnbsp;dabord que les trois forces données doivent aussinbsp;être dans un inême plan. Soit MD Ie prolongementnbsp;de MC; la résultante de P et Q sera dirigée suivantnbsp;Md, et si on la représente par R, on aura R = S.nbsp;Dailleurs, en comparant la force R a chacune de sesnbsp;composantes, on a, daprès ce quon vient de dire,

ce qui montre que quand trois forces sont en équi-libre autour dun même point, la grandeur de cha-cune delles peut être représentée par Ie sinus de ^angle compris entre les dii'ections des deux autres.

Du point 0, pris sur la direction de la résultante If OU sur son prolongement, jabaisse des perpen-diculaires OE et OF sur les directions des composantes P et Q; on aura

en sorte que les composantes sont en raison inverse des perpendiculaires abaissées sur leurs directions,nbsp;dun point quelcotique appartenant a la direction denbsp;la résultante. Réciproquement, si les composantesnbsp;P et Q sont en raison inverse des perpendiculairesnbsp;OE et OF, abaissées sur leurs directions, dun pointnbsp;0 pris dans leur plan, ce point appartiendra a lanbsp;direction de la résultante; car, en divisant par MOnbsp;les deux derniers termes de la dernière proportion,nbsp;on obtient la précédente, qui détermine cette direction.

5o. La résultante de deux forces étant connue, il est aisé den déduire celle dun nombre quelconquenbsp;de forces appliquées a un même point et situées ounbsp;non situées dans un même plan. On prendra dabordnbsp;la résultante de deux de ces forces; ensuite, on com-posera cette résultante avec une troisième force, cenbsp;qui donnera une seconde ré.sultante, que lon com-posera de même avec une quatrième force; et lonnbsp;continuera de même jusqua ce quon aitépuisé toutesnbsp;les forces données. Dans cette construction, il est aisénbsp;de volr que si les grandeurs de toutes les forces sontnbsp;représentées par les cótés dune portion de polygone,nbsp;parallèles a leurs directions et tracés dans Ie sens denbsp;leurs actions, la résultante sera représentée, en gran-

deur et en direction, par la drolfe qui joindra les deux exfiëniités de cette ligne brisée et fermera Ienbsp;polygone. liordre dans lequel les cótés parallèles auxnbsp;forces se succéderont sera indifférent. Quand Ie polygone se fermera de lui-méme, la résultante seranbsp;nulle, et les forces données se feront équilibre.

11 suit de la que quand les forces données sont au nombre de trois, non situées dans un même plan,nbsp;leur résultante est, en grandeur et en direction, lanbsp;diagonale du parallélépipède dont ces trois forces sontnbsp;les cótés adjacens.

3 i. On peut effectuer dune manière plus simple cette reduction dun nombre quelconque de forces anbsp;une seule, en considérant dabord Ie cas particuliernbsp;de trois forces rectangulaires, auquel on ramène en-suite Ie cas général.

Soient X, Y, Z, les trois composantes, R leur résultante, a, h, e, les angles quelle fait avec X, Y, Z. Daprès ce quon vient de voir, R est la diagonalenbsp;du parallélépipède dont X, Y, Z, sont les trois cótés adjacens j or, ce parallélépipède étant rectangle,nbsp;11 sensuit quon aura

n sensuit aussi que si 1on joint lextrémité de la diagonale R a celles des trois cótés X, Y, Z, on for-mera trois triangles rectangles, dont R sera 1hypo-ténuse commune; doü lon conclura

Lorsque les coniposantes X, Y, Z, seront don-iiées, léquation (a) fera connaitre la valeur de la résultante, et les equations (b) en détermineront lanbsp;direction au moyen des trois anglesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c ; si, au

contraire, la force R est donnée, et quil sagisse de la decomposer en trois forces rectangulaires X, Y,nbsp;Z, qui fassent avec elle des angles donnés a, b, c,nbsp;les valeurs des forces demandées seront immédia-tement déterminées par les equations (b).

Si Tune des composantes, la force Z par exemple, est nulle, R nest plus la résultante que des deuxnbsp;forces X et Y; elle est comprise dans leur plan, etnbsp;sa direction depend seulement des deux angles a et b.nbsp;Ces angles et la valeur de R sont alors determinesnbsp;par les équations

Ba. Supposons actuellement que M (lig. iquot;) soit Ie point dapplication dun nombre quelconque denbsp;forces données. Représentons ces forces par P, P',nbsp;Pquot;, etc.; et, pour fixer les idees, supposons que lanbsp;droite MD soit la direction de la force P. Les directions des autres forces sont inutiles a indiquer dansnbsp;la figure. Soient a, è, y, les angles que fait la direction MD avec les trois axes rectangulaires MA, MB,nbsp;MC, menés arbitrairement par Ie point M. Dé.signonsnbsp;de même par è', y', les angles que fait la force P'

avec ces mêmes axes; par af, êquot;, y , ceux qui répondent a la force Pquot;; etc. Tous ces anglesnbsp;sont donnés et doivent sétendre depuis zéro jus-qua i8o° (n° y), afin que les forces P, P', Pquot;, etc.,nbsp;paissent avoir toutes les positions possibles autournbsp;du point M.

Décomposons chacune de ces forces en trois autres di-rige'es suivant les axes MA, MB, MC. Les composantes de la force P seront P cos a, P cos , P cos -y; cellesnbsp;de la force P' seront P'cosa', P'cosê', P^ cos^; etc.;nbsp;et ces composantes agiront suivant les axes ou suivant leurs prolongemens, selon quelles seront positives OU negatives. Par exemple, la direction MDnbsp;tombant, ainsi que laxe MC, au-dessus du plannbsp;AMB des deux autres axes, la composante P cos ynbsp;de la force P tend a élever Ie point M, cest-a-direnbsp;quelle agit suivant MC; et, dans ce cas, P cos ynbsp;est une quantité positive, puisquon a y go.nbsp;Au contraire, si cette direction MD tombait au-dessous du plan AMB, on aurait y go°; la composante P cos^ serait negative, et, en même temps,nbsp;elle tendrait a abaisser Ie point M, cest-a-dire quellenbsp;agirait suivant Ie prolongement de MC. En ayantnbsp;done égard aux signes des composantes , on voit,nbsp;daprès ce quon a dit dans Ie n° 24, que toutesnbsp;les forces dirigées suivant un même axe et son prolongement se réduisent a une seule, égale a leurnbsp;somme.

De cette manière, les forces donnéesP, P^ P^^ etc., seront remplacées par trois forces rectangulaires; etnbsp;en désignant celles-ci par X, Y, Z, on aura

Les valeurs de X, Y, Z, pourront étre positives ou negatives, et leurs signes feront connaitre Ie sens denbsp;leur action. Si la force X est positive, ce.st quellenbsp;agit suivant laxe MA ou dans Ie sens des compo-santes Pcosa, P'cosa', etc., qui sont positives - sinbsp;elle est negative, il en faut conclure quelle agit suivant Ie prolongement de MA ou dans Ie sens des coin-posantes negatives; et de même pour les forces Y et Z.

Cela posé, soit R la résultante des forces données P, P', Pquot;, etc., OU des trois forces X, Y, Z; soientnbsp;aussi a,b,c, les angles que sa direction inconnue faitnbsp;avec les axes MA, MB, MC. Les valeurs de R, a,nbsp;b, c, seront données par les equations (a) etnbsp;dans lesquelles on mettra les formules (c) a la placenbsp;de X, Y, Z. Les angles a, b, c, pourront ètre aigusnbsp;ou obtus; a cause que la force R doit toujours ètrenbsp;une quantité positive, les signes de leurs cosinus seront les mêmes que ceux des quantités X, Y, Z, ennbsp;vertu des e'quations (b). De cette manière, la force Rnbsp;seia complètement déterminée en grandeur et en direction.

53. La grandeur de la résultante R ne saurait dé-pendre de la direction arbitraire des axes MA, MB, MC ; elle depend seulement de la grandeur des forcesnbsp;données et des angles coinpris entre leurs directions;nbsp;et, en effet, on en peut trouver une expression quinbsp;ne contienne que ces quantités.

Póur cela, dësignons par PMP', PMPquot;, P'MPquot;, etc., les angles compris entre les directions des forces Pnbsp;et P', P et Pquot;, P' et Pquot;, etc. Daprès 1équation (2)nbsp;du n® g, nous aurons

cos PMP' = cos a cos a' -{- cos ë cos C' -!- cos y cos y', cos PMPquot;= cos fit cos fitquot; cos ë cos ëquot;-i~ cos y cos yquot;,nbsp;COsP'MP'sr: cos fit'cos fitquot;-f-COS ë'cos ëquot;-f-cos ^'cos yquot;,nbsp;etc.

cos a -f- cos* ë -f- cos® y z= i, cos at' -f- cos®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos* y' = I ,

et, cela étant, si lon ajoute les carrés des formules (c), et quon ait égard a léquation (a), il vient

R* = P* 4- F® 4- Pquot;® 4- etc.

34. On dédult aussi des equations (b) et (c) uue propriété de la résultante, qui nous sera utile dansnbsp;un des numéros suivans.

Dans uiTe direction quelconque, je mène par Ie point M une droite, dont jappelle 0 lautre extré-mité. Soient b, k, les angles AMO, BMO, CMO,nbsp;que cette droite fait avec les trois axes MA, MB,nbsp;MC. Désignons par RMO, PMO, P'MO, etc,, les an-

gles compiis entre cette même droite MO et les directions des forces R, P, P', Pquot;, etc.; on aura, comme tout a lheure,

cos RMO = cos g- cos a -j- cos Ji cos b -f- cos k cos c, cos PMO = cos g cos OL -j- cos h cos amp; -f- cos k cos y,nbsp;cos P'MO = cos g cos a'-|- cos h cos Q'-\- cos k cos y',nbsp;etc.

et, en vertu des formules suivantes, si Ton ajoute les equations (c) après les avoir niultipliées, la première par cos g, la deuxième par cos b, la troi-sième par cos k, il en résultera

ce qui montre dèja que la composante de la résultante R, suivant une direction quelconque MO, est égale a la somme des composantes de P, P', Pquot;, etc.,nbsp;suivant cette même direction.

Cela posé, je projette la droite MO sur les directions des forces R, P, P', Pquot;, etc.; jappelle r, p, p', pquot;, etc., ses projections, de sorte quon ait

en considérant chacune des quantités r, p, p', pquot;, etc., comme positive on comme négatlve, se-lon que la projection quelle représente tombe sur

la direction même de la force ou sur son prolon-gement. Si done on multiplie par MO lequation pre'cédente, on aura

35. Pour que les forces P, P', Pquot;, etc., soient en équilibre, il suffit que leur résultante R soit nulle,nbsp;et cette condition est nécessaire si leur point dap-pllcatioii M est entièrement libre; mais Péquationnbsp;R = o, ou

ne peut avoir lieu, a moins quon nait séparément X=:o, Y=:o, Z = o,nbsp;cest-a-dire, en vertu des equations (c),

Telles sont done les équations déquilihre dun point matériel quon suppose entièrement libre.nbsp;Pans eet état, chacune des forces qui Ie sollicitentnbsp;doit étre égale et directement contraire a ia résultante de toutes les au tres; cest, en effet, ce quil estnbsp;aise de verifier.

Soit R' la résultante des forces P', Pquot;, etc. Appe-lons al, h', c', les angles qu elle fait avec les axes Ma, MB, MC, et faisons, pour abréger.

X' R' cos a', Y' R' cos b', Z' R' cos c', et j)ar consequent, en vertu des equations d equilibre,nbsp;P cos a = R' cos a',

En ajoutant ces equations, après avoir élevé leurs deux membres au carré, on a

on aura done P = dbR'; mais comme ces forces doi-vent être toutes deux des quantités positives, il faut prendre P = R'. Les equations précédentes devien-nent alors

par conséquent, les angles x, C,y, sont supplémens de a', b', c', et répondent a une force dont la direction est Ie prolongement de la force R' ( n° 7).nbsp;II sensuit done que la force P est égale et directe-ment opposée a la résultante R' de toutes les autresnbsp;forces P', Pquot;, etc.; ce quil sagissait de vérifier.

56. Si Ie point M, auquel sont appliquées les forces P, P', Pquot;, etc., est assujetti a raster sur unenbsp;surface donnée, il ne sera plus nécessaire, pour lé-quilibre, que leur résultante soit nulle; il suftiranbsp;quelle soit normale a la surface, puisqualors ellenbsp;ne pourra faire glisser Ie point M dans aucun sensnbsp;sur cette surface; et, de plus, cette condition seranbsp;nécessaire; car si elle nétait pas remplie, la résultante se décomposerait en deux forces. Tune normalenbsp;a la surface et qui serait détruite, lautre tangentc etnbsp;que rien nempêcherait de faire glisser Ie mobile. Onnbsp;naurait done qua chercher, dans chaque cas, la direction de la résultante des forces P, P', Pquot;, etc., etnbsp;a examiner si elle est perpendiculaire a la surfacenbsp;donnée, pour say oir si 1éqnilibre existera; mais ilnbsp;vaut mieux, comme nous venons de Ie faire pour unnbsp;point libre, exprimer les conditions de léquilibre parnbsp;des equations entre les données de la question.

Or, la composante normale de chacune des forcesqui agissent sur Ie point M est détruite par larésistance denbsp;la surface ; par conséquent, cette résislance équivautnbsp;a une force égale et contraire a la totalilé des forcesnbsp;détruites. On concoit done que I on peut faire abstraction de la surface donnée , et considérer Ie pointnbsp;matérie! comme entièrement libre, pourvu que 1onnbsp;joigne aux forces données P, P', Pquot;, etc., une nouvelle force de grandeur inconnue et perpendiculairenbsp;a cette surface.

Soient done N cette force, et A, ^, v, les angles que sa direction fait ayec les axes MA, MB, MC; cha-tune des equations déquilibre quon vient de trouver

sera augmentée dun nouveau terme, de sorte quau-lieu des equations (e), on aura

NcosA Pcostt-j-P'cosa' Pquot;cosaquot;-f-etc. =o, I N cos^H- Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ P' cos ê' -4- Pquot; cos ^quot;-4- etc.=o, gt; ()

Je désigne par x ,f, z, les trois coordonnées de M rapportées a des axes parallèles a MA, MB, MC , etnbsp;par L = o léquation de la surface donnée; la direction de la force N étant, par hypothese, celie de lanbsp;normale au point M, on aura, daprès les equations (5)nbsp;du n» 21,

v=±[a)' (f) 0T-

Le signe de V sera inconnu, paree quon ne sait pas davance suivant quelle partie de la normale doit étrenbsp;dirigée la force N; mais V disparait lorsquon éli-mine N entre les equations () ; et si Pon a e'gardnbsp;aux formules (c) , on trouve

pour les deux equations nécessaires et sulFisantes de 1équilibre dun point materiel assujetti a demeurernbsp;sur une surface donnée.,

57. Si la position de ce point sur cette surface Pest pas conaue, les équations {§), jointes a léqua-

*iou donnée L = o, serviront a determiner les coor-^ donne'es des diflerens points de cette surface, oü Ienbsp;mobile pourra demeurer en e'quilibre. Lorsque sanbsp;position sera donne'e, on aura seulement a verifier sinbsp;les coordonnées sc, j, z, des points d'application desnbsp;forces données satisfontaux equations (g). Mais, dansnbsp;Ce cas, on aura des equations plus simples en faisantnbsp;coïnciderTun des axesMA, MB, MC, Ie premier, parnbsp;exemple, avec lune des deux parties de la normale;nbsp;dou il résultera

cos A = ± I , cos fjt. = o , cos )) = o ; ce qui change les equations () en celles-ci :nbsp;i N P cos a P' cos a' Vquot; cos a,quot; -f- etc. = O,nbsp;P COS ^ 4- P' cos é' 4- Pquot; COS êquot; etc. =: o,nbsp;P cos ^ P' cos y' Pquot; cos y 4 etc. = o.

Ces deux dernières equations font voir, ce qui est dailleurs évident, que dans Ie plan tangent a la surface donnée, les composantes des forces appliquéesnbsp;au mobile doivent se faire équilibre , comme si cettenbsp;surface nexistait pas.

La resistance N, que la surface oppose aux forces P, P', Pquot;, etc., est égale et contraire a lapression quellenbsp;en éprouve. Ea vertu des équations (), cette pression , dans létat déquilibre, est la résultante mèmenbsp;de ces forces. Dans la pratique , il en faudra calculernbsp;la grandeur au mojen de lequation (a) , pour savoirnbsp;si la surface est capable de la supporter. Si Ie mobilenbsp;est seulement posé sur cette surface, qui sera cellenbsp;dun corps solide, il faudra, de plus, que Ie sens denbsp;cette pression soit tel quelle appuie Ie mobile sufnbsp;ï,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5

En effet, supposons, pour fixer les idees, que Ia partie de la normale avec laquelle on a fait coïncidernbsp;iaxe MA, soit la partie située dans la concavité denbsp;la surface. On saura si les angles donnés a, a', aquot;, etc,,nbsp;sont aigus ou obtus; et Ie signe de la somme X desnbsp;composantes dirige'es suivant cette droite sera connu.nbsp;La quantité N devant être positive, il faudra, dansnbsp;léquation dont il s'agit, cest-a-dire ,

prendre Ie signe ou Ie signe - - devant N, selon que la somme X sera positive ou negative. Dans Ienbsp;premier cas, on aura cos A = i , et la pressionnbsp;contraire a N sera dirigée suivant MA; dans Ie second cas, on aura cosA= i, et la pression agiranbsp;suivant Ie prolongement de cette partie déterminéenbsp;de la normale.

38. Lorsque Ie point materiel M sur lequel agissent les forces P, P', Pquot;, etc., sera assujetti a rester surnbsp;deux surfaces données ou sur leur courbe dintersec-tion, il suffira, pour lequilibre, que la résultantenbsp;de toutes ces forces puisse se decomposer en deuxnbsp;foi'ces perpendiculaires aux surfaces données, et quinbsp;seront détruites par leurs resistances. En joignantnbsp;done aux forces P, P^ etc., deux forces nor-

niales a ces surfaces, raais inconnues en grandeur, On pourra faire abstraction des surfaces, et considé-rer Ie mobile comme entièrement libre.

N et N' étant done ces nouvelles forces; x, fz, v, les angles qui de'terminent la direction de N par rapport aux axes MA, MB, MC, et A', fz', v', ceux quinbsp;déterniinent de menie la direction de N'j les equations (e) deviendront

N cos/LZ N'cos ju'-f- P cos P'cos ê'-f- etc.= O, gt; (k) N cos r -j-N'cos /P cos ^-f-P'cos j/'Hh etc,=o.'

Dailleurs, en representant par jc, j, z, les coor-données du point M rapportées a des axes parallèles a MA, MB, MC, et par L = o et L' = o, les equations des deux surfaces données, les valeurs de cos A,nbsp;cos./A, cos V, seront les mêmes que precédemment,nbsp;et celles de cos A', cos fz', cos v', sen déduiront en ynbsp;changeant L en L'. Si Pon substitue ces valeurs dansnbsp;les trois equations (h), et quon élimine ensulte N etnbsp;N' entre elles, on aura lequation déqullibre a la-quelle devront satlsfaire les forces données P, P',nbsp;Pquot;, etc.; OU bien, si la position du mobile nest pasnbsp;donnée sur Pintersection des deux surfaces, cettenbsp;equation déquillbre, et les equations L=o et L'=:o,nbsp;détermineront ses trois coordonnées a:, j, z.

Quand la position du mobile est donnée sur la courbe ou il doit rester, on obtient immédiatementnbsp;1équation déquilibre des forces P, P', Pquot;, etc., ennbsp;prenant les axes MB et MC, auxquels répondent lésnbsp;angles fz,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C', etc. ,v,y, y', etc., dans Ie plan des

normales aux deux surfaces données. Le troisième axe MA tombe alors sur la tangente a leur courbenbsp;dintersection; il est done perpendiculaire aux forcesnbsp;normales N et N'; en sorte que lon a A = 90,nbsp;A' = 90°, et, en vertu de la première equation (h),

Cette equation expiime que la somme des compo-santes de P, P', Pquot;, etc., tangentes a linlersection des deux surfaces données , est égale a zéro; ce qui est,nbsp;en effet, la condition pour que le point M ne puissenbsp;pas glisser sur cette courbe. Après sêtre assuré qu ellenbsp;est reraplie, on déterminera les valeurs des forces Nnbsp;et N', et le sens dans lequel elles agissent, au mojennbsp;des deux dernières equations (/i). Si lon prend en-suite des forces égales et contraires a N et N', et quonnbsp;les réduise a une seule par la regie du parallélo-gramme des forces, celle-ci sera la résultante desnbsp;forces P, P', Pquot;, etc., et fera connaitre la pressionnbsp;exercée sur la courbe donnée, a laquelle elle seranbsp;perpendiculaire.

3g. Par ce qui précède, on voit que quand le mobile est astreint a demeurer sur une courbe donnée, il nj a quune équation déquilibre; quil y en anbsp;deux lorsquil peut se mouvoir sur une surface donnée , et trois lorsquil est entièrement libre; en sortenbsp;que le nombre de ces équations augmente, commenbsp;cela doit être effectivement, a mesure que les mou-vemens possibles du mobile sont moins limités. Cesnbsp;diverses equations peuvent être renfermées dans une

seule formule , qui deviendra, par la suite, 1équa-tion générale de léquillbie, applicable a un système quelconque de points matériels.'

Pour obteriir cette formule, supposons que Ie mobile soit transporté dun point M, quil occupe dans sa position déquilibre, en un autre point 0 infini-ment voisin de M, et tel que ce déplacement soitnbsp;compatible avec la condition a laquelle Ie mobile estnbsp;assujetti, sil nest pas entièrement libre. Désignousnbsp;par r, p, p', pquot;, etc., les projections de la droite in-finiment petite MO sur les directions des forces R,nbsp;P, P', Pquot;, etc., dans la première position du mobile;nbsp;et considérons chacune de ces projections commenbsp;une quantité positive ou négative, selon quellenbsp;tombe sur la direction même de la force a laquellenbsp;elle répond, ou sur son prolongement. Si I on suppose que la force R soit la résultante des forces P,nbsp;P', Pquot;, etc., Ie produit Rr sera toujours nul dans Ienbsp;cas de réquilibre : il sera nul pour un point matérielnbsp;entièrement libre, paree qualors la résultante R devranbsp;ètre égale a zéro; il Ie sera encore pour un point assujetti a demeurer sur une surface ou sur une courbenbsp;donnée, paree que, dune part, la force R devra êtrenbsp;dirigée suivant la normale, et que, dun autre cóté ,nbsp;la droite infiniment petite MO appartiendra au plannbsp;tangent ou a la tangente, ce qui rendra nulle sa projection r sur la direction R. Daprès léquation {d),nbsp;quon a démontrée précédemment, et qui a égale-ment lieu quand la droite MO est infiniment petite ,nbsp;on aura done

toutes les fois que les forces P, P', Pquot;, etc., se fe-ront équilibre. Réciproquement, Tequilibre existera quand cette equation aura lieu pour tons les déplace-mens possibles dun point materiel entièrement libre,nbsp;OU astreint a rester sur une surface ou sur une courbenbsp;donnée.

On appelle vitesse virtuelle dun point materiel en équilibre toute droite infiniment petite, telle quenbsp;MO, quon peut lui faire décrire, en observant lesnbsp;conditions auxquelles il peut être assujetti; et Ienbsp;principe déquilibre contenu dans léquation quonnbsp;vient décrire, sur lequel nous reviendrons par lanbsp;suite, se nomme Ie principe des vitesses virtuelles.nbsp;En lappliquant successivement a un point materielnbsp;entièrement libre, assujetti a rester sur une surface,nbsp;astreint a demeurer sur une courbe, on retrouveranbsp;saus difficulté les equations déquilibre que nousnbsp;avons précédemment obtenues. Chacune des equations (e) se déduira de la formule (i), en prenantnbsp;pour MO Ie déplaceraent de M sur lun des axesnbsp;MA, MB, MC; on obtiendra les équatious déquilibre qui ont lieu dans Ie cas dun point assujettinbsp;a rester sur une surface donnée, en considérant sesnbsp;déplacemens suivant deux axes ti'acés dans Ie plannbsp;tangent; et la formule (i) fournit immédiatementnbsp;léquation déquilibre dun point astreint a resternbsp;sur une courbe donnée, en prenant pour MO lé-lément de cette courbe, et pour p, p', pquot;, etc.,nbsp;les projections de eet élément sur les directionsnbsp;des forces P, P', Pquot;, etc. Les angles que ces directions font avec la tangente a la courbe étant a,,

en supprimant Ie facteur MO commun a tous les termes de léquation (i), il en résultera

(V\'MVVXAA'\'VV\VVgt;Wgt;iVV\iWV\/V^XV\ VV\'WVVV^'VV^'VWVXVWWV'^^lt;V^W^'VV\lV\^lVV^¦W^^^'\V^'VV^VV^/VV\A/WV\^

CHAPITRE II.

40. On considérera ici un levier comme une ligne droite Ou courbe ECF (fig. 10) inextensible, et denbsp;forme invariable, qui ne peut que tourner, dans unnbsp;plan, autour dun de ses points C suppose fixe, quenbsp;ion appelle Ie point dappui du levier. Ordinaire-ment il n j a que deux forces qui soient applique'esnbsp;a cette machine, et dont Tune a pour objet de tenirnbsp;lautre en équilibre; la première sappelle Ia puissance, et la seconde la resistance. Mals, pour plus denbsp;génèralité, nous supposerons quun nombre quel-conque de forces dirigèes dans Ie plan du levier agis-sent en différens points de cette ligne; et il sagira denbsp;trouver les conditions de leur équilibre.

Je ne me propose pas, dans eet ouvrage, dappli-quer aux diverses machines les lois de iéquilibre qui y seront exposées. Pour ce qui regarde les machinesnbsp;simples, je renverrai aux Traités élémentaires denbsp;Statique ; mais la loi de léquilibre dans Ie leviernbsp;étant un principe de la Mécanique, il est nécessairenbsp;de nous en occuper; et Ton va montier comment cenbsp;principe est lié a celui de la composition des forcesnbsp;qui agissent sur un point isolé.

4i- Lorsque plusieurs forces sont appliquées a un corps quon suppose de forme invaiiable, on peut

transporter Ie point dapplication de chacune de ces forces en un autre point du corps pris sur sa direction OU sur son prolongement. Si une force donnée Pnbsp;agit, par exemple, a Textrémité E du levier, suivant lanbsp;droite AE, et que M soit un autre point appartenantnbsp;a cette direction, quon suppose lie au levier dunenbsp;nianière invariable, il est permis de remplacer lanbsp;force P par une autre force de même intensité, agis-sant au point M suivant la droite MA. En effet, onnbsp;peut dabord appliquer au point M deux forces égalesnbsp;entre elles, agissant en sens contraires. Tune suivantnbsp;MA, 1 autre suivant son prolongement MA'; si, denbsp;plus, on suppose que chacune de ces forces soit egalenbsp;a P, celle qui agit suivant MA' de'truira Ia force Pnbsp;appliquée au point E suivant EA, puisque ces deuxnbsp;forces ëgales agissent en sens contraires aux extrémi-tës de la droite ME, de longueur invariable, par hypothese ; il ne resteia done plus que la force P agissant au point M dans la direction MA, et par laquellenbsp;la force donnée P, qui agissait au point E, se trou-vera remplacéê.

Les forces agissent souvent sur les corps quelles mettent en mouvement ou quelles tendent a mou-voir, soit en les tirant par Ie moven dun fil quinbsp;leur est attaché, soit en les poussant par Ie moyennbsp;dune barre appuyée contre leur surface. Ce fil ounbsp;cette barre sétend ou se contracte plus ou rooins;nbsp;eest quand ils ont cessé de sallonger ou de se rac-courcir quon les considère comme des lignes inva-i'iables qui représentent la direction de chaque force,nbsp;dont 1 action est la même alors que si olie sexer-

caitimniédiatement aux points de la surface du mobile OU ces lignes viennent aboutir. TJn levier nesl pas non plus, comme on Ie suppose ici, une lignenbsp;de forme invariable; cest une barre qui flécbit unnbsp;tant soit peu, et sétend ou se contracte aussi dunenbsp;petite quantité, en raison des forces qui y sont ap-pliquées. La forme quil dolt prendre serait trés difficile a determiner davance j mais cest quand il ynbsp;est parvenu quon le considere comme invariable,nbsp;et cest a cette figure, trés peu différente de sa formenbsp;naturelle, que se rapporteront les conditions dequi-libre quil sagit de trouver.

42. Supposons quune seconde force Q agisse a Iautre extrémité F du levier, suivant la droite FB,nbsp;et que les deux directions EA et FB soient comprises dans le plan ou le levier peut tourner; cesnbsp;deux droites, ou leurs prolongemens, viendront senbsp;couper en un certain point M, que Ton pourranbsp;prendre, daprés ce quon vient de prouver, pournbsp;le point dapplication commun a P et Q. Cela étant,nbsp;par la regie du parallelogramme des foi'ces on dé-terminera la résultante de ces deux forces, de la-quelle M sera aussi le point dapplication. Or, pournbsp;quelle soit detruite et que le levier demeure ennbsp;e'quillbre, il sera nécessaire que sa direction viennenbsp;passer par le point dappui C; et cela suffira, puis-quen y transportant cette résultante, elle sera dé-truite par la résistance de ce point fixe. Daprès cenbsp;quon a vu dans le 11° 29, si Ton abaisse du pointnbsp;C des perpendiculaires CG et CH sur les directionsnbsp;des forces P et Q, on aura done, dans le cas de

et, réciproquement, Tequilibre existera quand cette proportion aura lieu. Par conséquent, en appelantnbsp;p et ^ les perpendiculaires CG et CH, 1 equationnbsp;déquüibre sera

Pp = Q^.

On appelle moment dune force par rapport a un point, Ie produit de cette force par la perpendiculaire abaissée de ce point sur sa direction. Ainsi,nbsp;la condition déquilibre dans Ie levier consiste ennbsp;ce que les momens de la puissance et de la resistance,nbsp;pi'is par rapport au point dappui, sont égaux; cesnbsp;deux forces tendant dailleurs a faire tourner Ienbsp;levier en sens opposes.

Si lon suppose les droites CG et CH liées inva-riablement au levier, on pourra prendre G et H pour les points dapplication des forces P et Q , etnbsp;remplacer Ie levier de figure quelconque ECF parnbsp;Ie levier coudé GCH (fig. ii). Les perpendiculairesnbsp;CG et CH sappellent les bras de levier, de la puissance et de la i'ésistance. La condition de léquilibrenbsp;ne depend pas de la grandeur de Tangle GCH; etnbsp;cest aussi ce que Ton peut voir a priori.

En eff'et, si du point C et dun rayon CH on décrit Tarc de eerde HH', quon Ie suppose lié invariable-ment au levier, et quon applique au point H' deuxnbsp;forces égales a Q, agissant en sens contraires, sui-vant les parties H'B^ et H'Bquot; de la tangente en cenbsp;point, il est évident que la force Qgt; dirigée sui-

vant sera dëtruite par la force Q dirigée suivant HB; car ces deux forces tendent a faire tourner Ienbsp;système en des sens opposes, et il ny aurait pas denbsp;raison pour quil obéit plu tót a Tune qua lautre. Lanbsp;seconde de ces deux forces se trouvera done rem-piacée par la force Q dirigée suivant H'B', et Tangle GCH sera change dans Tangle GCH', plus grandnbsp;OU plus petit, sans que Téquilibre soit trouble.

Par ce changement, Tangle des deux bras du le-vier poun'a devenir 180 ou zéro; alors Ie levier sera droit j la puissance et la résistance seront des forcesnbsp;parallèles dirigées dans Ie même sens ou en sensnbsp;contraires; et, pour Téquilibre, il faudra toujoursnbsp;que leurs intensités soient en raison inverse des longueurs de leurs bras de levier.

45. Si Ton appelle R la résultante des deux forces P et Q concourantes au point M (fig. 10), et 7?z Tanglenbsp;AMB compris entre leurs directions, on aura (n° ag)

et la valeur de R fora connaitre la charge que Ie point dappui C aura a supporter dans Tétat déqui-libre. Appliquée en ce point, la force R aura pournbsp;dhection la droite CD, prolongement de MC. La figure 10 suppose Ie point C situé entre les pointsnbsp;dapplication E et F de la puissance et de la xésis-tance. Le contraire a lieu dans la figure la; mais lesnbsp;raisonnemens qiTon vient de faire sappliquent a cesnbsp;deux cas : ils different Tun de Tautre en ce que, dansnbsp;le premier cas, les forces P et Q agissent de deuxnbsp;cótés différens du levier, et Tangle AMB est aigu, au

Les trois points E, F, C, restant les mêmes, si le point de concours M des trois forces P, Q, R, se'-loigne a Tinfini, ces forces deviendront paralleles.nbsp;Dans le cas de la figure lO, Tangle in devient alorsnbsp;infiniment petit; on a cosra = 1, et consequemment

Dans le second cas, cest le supplement de Tangle m qui devient infiniment petit ; on a done cos 7ra = . I, et

en supposant P lt; Q. Par consequent, la resultante de deux forces paralleles est égale a leur somme ounbsp;a leur difference, selon que ces forces agissent dansnbsp;le rnême sens ou en sens opposes; et quand leursnbsp;directions sont contraires, la résultante agit dans lenbsp;Sens de la plus grande. Dans ces deux cas, les com-posantes P et Q sont en raison inverse de leurs distances CG et CH a la résultante.

Cela étant, si Ton mène une perpendiculaire commune aux trois forces paralleles, et quon appelle a la partie GH de cette droite (fig. i3 et i4) comprise entre les deux composantes P et Q, et a? la distance CH de la résultante R a la composante Qnbsp;quon suppose la plus grande, on aura

et, par conséquent, ce qui fera connaitre la position de la résultante,nbsp;dont la valeur sera en méme temps Q ± P.

44* Lorsque les'forces P et Q agissent en sens contraires, et quelles different tres peu Tune de lautre, leur résultante, toujoxirs dirigée dans Ie sens de lanbsp;plus grande, se trouvera située a xxne tres grandenbsp;distance des forces données. Mais quand elles seiontnbsp;rigoureusement égales, cette distance deviendra in-finie; ce qui signifie que deux forces égales, paral-lèles et agissant en sens opposés, ne peuvent ètrenbsp;remplacées par une seule force; et, en effet, il nynbsp;aurait aucune raison pour que cette force uniquenbsp;agit plutót dans un sens que dans lautre.

Deux semblables forces agissant aux extrémités dune droite GH (fig. i5), feront tourner cette lignenbsp;autour de son milieu K; eftet qui, évidemment, nenbsp;saurait ètre produit par faction dune seule force. Onnbsp;peut les remplacer dune infinité de manières diffé-rentes par deux autres forces qui tombent dans Ienbsp;méme cas; car on ne changera rien a leur action ennbsp;appliquant, par exemple, aux points G et H, suivantnbsp;les prolongemens GE et HF de la droite GH, desnbsp;forces égales et de grandeur quelconque; or, la résultante des forces dirigées suivant GA et GE, et celle

des forces dirigées suivant HB et HF, seront encore des forces égales, parallèles et dirigées en sens opposes , suivant des droites GC et HD, et ces résul-tautes remplaceroat les forces primitives qui agissaientnbsp;suivant GA et HB. Si Ton appelle P la grandeur com-niune de ces deux forces, et a leur distance mutuelle,nbsp;1une et lautre de ces deux quantités changeront parnbsp;1opération que nous indiquons; mais leur produit aPnbsp;demeurera constant, ainsi quou Ie prouvera tout anbsp;lheure.

45. Au reste, ce cas particulier est Ie seul dans le-quel un système dun nombre quelconque de forces P, P4 P% etc., comprises dans un même plan et agis-sant sur des points matériels lies entre eux dune ma-nière invariable, ne puisse pas se réduire a une seulenbsp;force. En efFet, soit que les deux forces P etP' con-courent en un point, ou quelles soient parallèles, onnbsp;les réduira a une seule force Q, par la regie du parallelogram me des forces, ou par celle du numéronbsp;précédent. On réduira de même a une seule force Q',nbsp;cette première résultante Q et P''; puis a une seulenbsp;force Qquot;, la seconde résultante Q' etPquot;'; et ainsi denbsp;suite, jusqua ce quon ait réduittoutes les forces don-oées a deux seulement, qui se réduiront elles-mémesnbsp;a une seule force R, a moins quelles ne tombentnbsp;dans Ie cas dexception dont il sagit.

Dans Ie cas général, cette force R est la iésultante des forces données P, P', P', etc.; et si lon joint auxnbsp;composantes une force R' égale et contraire a R, jl jnbsp;aura équilibre dans Ie système. La grandeur de R etnbsp;sa position dans Ie plan des forces données ne dé-

pendra nullement de lordre dans leqiiel on aura pris ces forces dans les re'ductions successives quon vientnbsp;dindiquer; car, en changeant eet ordre, si Ton par-venait a une force S différente de R en grandeur oiinbsp;en direction, il faudrait que Tune de ces deux forcesnbsp;prise en sens contraire fit équilibre a 1 autre j ce quinbsp;serail impossible.

Pour 1équilibre des forces P, P', P', etc., quand elles seront appliquées a un levier situé dans leurnbsp;plan, il faudra dabord quelles se réduisent a unenbsp;seule force; car si elles se réduisaient a deux forcesnbsp;parallèles S et S' non réductibles a une seule, et quenbsp;S' fut la plus rapprochée du point dappui, on pour-rait decomposer S' en deux forces Q et Q', parallèlesnbsp;et agissant dans Ie même sens, dont la première serail directement opposée a S et la seconde passeraitnbsp;par Ie point dappui : ces deux composantes seraientnbsp;Tune et lautre moindres que S' ou S, la force Q' serailnbsp;détruite, et il ne resterait quune force S Q, quinbsp;ferait tourner Ie levier dans Ie sens de S. Les forcesnbsp;données étant réduites a une force unique R, il faudra , en outre, pour léquilibre du levier, que celtenbsp;force vienne passer par son point dappui. Cette condition sexprimera par une equation, au raoyen dunbsp;théorème que nous allons de'monlrer.

46. Considerons dabord deux forces seulement et leur résultante. Le moment de cette résultante, parnbsp;rapport a un point situé dans le plan des trois forces,nbsp;sera egal a la somme ou a la difference des momens desnbsp;deux composantes par rapport au même point: a la difnbsp;fêrence, quand le centre des momens est situé dans

1angle des composantes, ou, dans son oppose, au sommet; a ia somme, quand ce point est hors de cesnbsp;deux angles.

En effet, soient P et P' ces deux forces, MA et MA' (fig. i6 et 17) leurs directions, Q leur résultantenbsp;agissant suivant MB , C Ie centre des momens, p, p',nbsp;9, les perpendiculaires Ca, Ca', CZgt;, abaissées dunbsp;point C sur la direction de P, P', Q. Déconiposons cha-cune de ces trois forces en deux autres, dirigées suivant la droite MC et suivant la perpendiculaire KMK'nbsp;a cette droite; et considérons les composantes perpendiculaires. On a évidemment

en désignant par c la longueur de la droite MC; done la composante de Q suivant MR sera égale a De

a MC seront ~ et Elles agissent en sens contraire , quand la ligne MC traverse langle AMA' (fig. 16), et dans Ie même sens, quand eJle tombenbsp;hors de eet angle. Or, la somme de ces composantes,nbsp;dans Ie second cas, et lexcès de la plus grande sur lanbsp;plus petite, dans Ie premier, doit reproduire la composante de Q, puisque Q est la résultante de P et P';nbsp;en supposant la composante de P plus grande quenbsp;celle de P', et supprimant Ie diviseur commun onnbsp;aura done

Q9 = Pp ± P'p';

Si lon imagine que Ie point C soit fixe et que les perpendiculaires Ca, Ca', Cb, forment un système invariable, les forces P, P', Q, qui peuvent être cen-sées agir aux extrémités a, a', h, de ces droites, nenbsp;pourront produire qnun mouvement de rotation au-tour du centre des momens. Or, linspection de la fi-guiC 17, a laquelle re'pond Ie signe supérieur dansnbsp;1éguation précédente, laontre que quand Ie point Cnbsp;tombe hors de Tangle AMB, et de son oppose aunbsp;somniet, les trols forces P, P', Q, tendent a faire tour-ner leurs points dapplication dans Ie même sens au-tour du point C; au contraire, lorsque ce point tombenbsp;dans Tun de ces deux angles, la figure 16, qui ré-pond au signe inférieur, fait voir que les forces P etnbsp;P' tendent a faire tourner les points a et a' en sens opposes ; et Ton voit aussi que, dans ce cas, la résultante Q tend a faire tourner son point dapplicationnbsp;dans Ie méme sens que la composante qui a Ie plusnbsp;grand moment. Daprès cette remarque, Ie théo-rème quon vient de démontrer revient a dire quenbsp;Ie moment de la résultante de deux forces est égalnbsp;a Ia somme ou a la difference des momens de cesnbsp;deux forces, selon que les composantes tendent anbsp;faire tourner leurs points dapplication dans Ie mêmenbsp;sens ou en sens opposes autour du centre des momens , et que la résultante tend a faire tournernbsp;dans Ie sens de la composante qui a Ie plus grandnbsp;moment.

Ce tbéorème ayant lieu pour des forces dont les directions font un angle quelconque, doit encore sub-sister lorsquelles deviennent parallèles; cest efïecti-

vement une consequence facile a déduire de la composition des forces de ce genre (n 43).

47 Lavantage de ce dernier énoncé est de pouvoir fa-cilement se'tendre a un nombre quelconque de forces P, P', P', etc., dirigées dans un même plan. En regardant Ie centre des momens comrae un point fixe,nbsp;autour duquel les forces tendent a faire tourner Ienbsp;système de leurs points dapplication, He's entre euxnbsp;dune nianière invariable, Ie moment de la résultantenbsp;est égal a la somme des momens des forces qui tendent a faire tourner dans Ie même sens quelle, moinsnbsp;la somme des momens des forces qui tendent a fairenbsp;tourner en sens contraire.

Pour fixer les idees, supposons que les trois premières forces P, P', Pquot;, tendent a faire tourner dans un même sens, et toutes les autres dans un sensnbsp;oppose. Reprenons la série de reductions du n° 45.nbsp;Soient Q, la résultante deP et P', et Q' celle de Q et Pquot;,nbsp;OU de P, P', Pquot;. Soient aussi p, p', pquot;, q, q', les per-pendiculaires abaissées du centre des momens sur lesnbsp;directions de P, P', Pquot;, Q, Q'; nous aurons, daprèsnbsp;ce quon vient de voir,

qq = Vp py, q'9' = qq Py,

= Vp -j- py 4- py.

De même, si Pon désigne par la résultante de toutes les autres forces P®, P', etc.; par q^ la pei-pendicu-laire abaissée du centre des momens sur sa direction;nbsp;par y, etc., les perpendiculaires abaissées du

6..

Or, la résultante R de toutes les forces données sera celle des deux forces Q' et ; si, done, on représentenbsp;par r la perpendiculaire abaissée du centre des mo-mens sur la direction de R, et si lon considère quenbsp;ces forces Q' et tendent a faire tourner en sens opposes, on aura

selon que Q'q' sera plus grand ou nioindre que Q^q^. Dans Ie premier cas, la force R tendra a faire tournernbsp;dans Ie mèrne sens que la force Q', et, conséquem-ment, dans Ie même sens que les trois forces P, P', Pquot;.nbsp;Nous supposerons que ce soit ce premier cas qui aitnbsp;lieu; et en substituant pour Q'q' et leurs valeurs,nbsp;nous aurons alors

En supposant que Ie centre des inomens soit Ie point dappui du levier auquel les forces P, P', P', etc.,nbsp;sont appliquées, il faudra, pour lequilibre de ce levier, quon ait

Pp 4- py y py ^ py ~ p-p- etc.

puisque, dans ce cas, ces forces doivent avoir une iésultante qui doit passer par Ie point dappui (n° 45),nbsp;et pour laquelle on a done r=:o.

48. On peut rendre léquation (j) plus générale, en supposant que par des decompositions et recompositions des forces P, P', Pquot;, etc., on les ait tiansfor-mées en dautres forces S, S', Squot;, etc., dont lensemblenbsp;soit équivalent aux foices données. En désignant parnbsp;s, s', squot;, etc., les perpendiculaires abaissées du centrenbsp;des momens sur les directions de S, S', S', etc., onnbsp;trouvera, par Ie même raisonnement que dans Ienbsp;numéro précédent,

équation dans laquelie on devra prendre avec Ie signe -f-, les momens des forces S, S', S% etc., quinbsp;tendent a faire tourner dans Ie même sens que P, P', Pquot;jnbsp;et avec Ie signe , les momens de celles qui tendentnbsp;a faire tourner dans Ie même sens que P'quot;, P'^', etc.

Le cas particulier oü les forces P, P', Pquot;, etc., sont irréductibles a une seule, est compiis dans cette der-nière équation. Soient alors S et S' deux forces égales,nbsp;parallèles et non directement opposées; etappelons hnbsp;leur distance mutuelle. Si le centre des momens estnbsp;sifué entre leurs directions, on aura s-\-s'ellesnbsp;tendront a faire tourner dans le même sens autour denbsp;ce point; on donnera done le même signe a leurs rao-mens, et il en résultera

Si, au contraire, le centre des momens nést pas com-pris entre S et S', et quon suppose nbsp;nbsp;nbsp;on aura

Son second membre se composant de quantite's qui sont toutes données, il en résulte que si les valeursnbsp;de S et A viennent a changer, leur produit demeureranbsp;constant, ainsi quon lavait déja dit plus haut.

On conclut aussi de cette dernière equation que, quand sou second membre est nul, les forces donnéesnbsp;ne peuvent pas tomber dans Ie cas dexception oiinbsp;elles sont irréductibles a une seule; il sensuit donenbsp;que léquation (2) exprime a la fois que les forcesnbsp;P, P', Pquot;, etc., ont une résultante unique, et quenbsp;cette résultante passe par Ie centre des momens; parnbsp;conséquent, el Ie est léquation nécessaire et suffjsantenbsp;pour léquilibre du levier, dont ce centre est Ie pointnbsp;dappui. La résultante R que 1on obliendra par lanbsp;série de reductions du n° 45 ? exprimera la chargenbsp;quil aura a supporter; quand elle sera mille, lesnbsp;forces P, P', Pquot;, etc., se feront équilibre dans leurnbsp;plan sans Ie secours de ce point fixe.

49. La condition de léquilibre dans Ie levier peut aussi sexprimer par une équation analogue a la formule (ï) du n° 3g.

Soient, par exemple, M, M', Mquot; (fig. 18), les points dapplication des trois forces P, P', Pquot;, qui agis-sent sur Ie levier ECF, suivant des directions MA, M'A',nbsp;comprises dans son plan. Faisons tourner infi-

niment peu ce Ie vier autour de son point d'appui C, desorte que M, M', Mquot;, viennent en m, m', iri'. Da-près la definition du n* Sp, les arcs infiniment petitsnbsp;Mm, M!m', Mquot;mquot;, que lon peut prendre pour desnbsp;lignes droites, seront les vitesses virtuelles des pointsnbsp;dapplication M, M', Mquot;, des trois forces que lon con-sidère. Jabaisse de in, m', mquot;, des perpendiculairesnbsp;ina, rn'a', irfa', sur les droites MA, M'A', Mquot;Aquot;, ounbsp;sur leurs prolongemens j Ma sera la piojection de Mmnbsp;sur la direction même de la force P, qui tend a fairenbsp;tourner Ie levier dans Ie sens de la rotation qui a eunbsp;iieu; M'a' et M'aquot; seront les projections de M'm'etnbsp;M^mquot; sur les prolongemens des deux autres forcesnbsp;P' et Pquot;, qui tendent a Ie faire tourner dans Ie sensnbsp;oppose. Pour cette raison, je considère la premièrenbsp;de ces projections comme une quantité positive, etnbsp;les deux autres comme des quantités negatives. Jenbsp;représenterai ces trois quantités par 'Zër, lt;w',

Cela posé, en vertu du principe des vitesses virtuelles, ia somme des forces données multipliées res-pectivement par les projections ainsi définies des vitesses virtuelles de leurs points dapplication, est nulle dans Ie cas de léquilibre, et léciproquement léqul-libre a lieu quand cette somme est zéro; en soitenbsp;que léquation déquilibre du levier est

Plt;^-l-PW'-t-PVquot; = o; (4)

et, en effet, il est aisé de vérifier qiielle coincide avec celle que lon a déduite de la considération desnbsp;momens.

laires CG, CG', CG% abaissées du point C sur les directions des forces P, P', Pquot;; par c, c', c, les distances CM, CM', CMquot;, de leurs points dapplication au point C;nbsp;et par y, y', yquot;, les vitesses virtuelles M^n, M'm',

Larc infiniment petit M/u se confondant avec sa tangente, les triangles Mma et CMG ont leurs cótés perpendiculaires lun a lautre, et sont semblables; onnbsp;a done

en observant que lt;w' et sont, par hypothese, des quantités negatives. De plus, la forme du levier étantnbsp;supposée invariable, les trois arcs Mm, M'm', M'W',nbsp;déciits en même temps, répondent a un même angle;nbsp;et en les divisant par leurs rayons respectifs CM,nbsp;CM', CMquot;, on aura trois rapports égaux. En dêsi-gnant par ö la grandeur commune de ces rapports,nbsp;on aura done

= p0.

Or, si lon substitue ces valeurs dans Tequation (4) gt; et quon supprime ensuite Ie facteur ö commun a tousnbsp;sestermes, elle deviendra

Pp_py_py = o;

ce qui est effectivement léquation de'quilibre du le-vier que nous considérons. Rëciproquement, si Ton inulliplie cette dernière equation par 8, elle se chan-gera dans lëquation (4).

Le raisonnement serait évidemment Ie même, quels que fussent le nombre des forces données P, P',nbsp;Pquot;, etc., et le sens dans lequel elles tendent a fairenbsp;lourner le levier.

lt;W%'VVVW\WVV^^VVWVVV^^'W''''^'''VWW^lVVWV^lVV^'W^lVV^lWW^lVVV^(WWV^'W\'WX\W'V\AV^^/VV^'VV^'VVgt;^Vgt;

CHAPITRE III.

5o. La composition des forces parallèles se déduit, ainsi quon la vu précëdeniment (n®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;regie

du parallélogramme des forces, en considérant les forces données comme des forces dont Ie point denbsp;concours est a linfini; mals en sappuyant toujoursnbsp;sur cette regie, on peut aussi obtenir Ia résultante denbsp;deux forces parallèles par un autre mojen quil estnbsp;bon de connaitre.

Soient P et Q les deux composantes, agissant aux points E et F de la droite inflexible EF, suivant lesnbsp;directions parallèles EA et FB, dans Ie même sensnbsp;(fig. ig), OU en sens opposes (fig. 20). On ne chan-gera rien a ce sjstème de forces, en appHquant aux ex-ti'émités de cette droite des forces egales, dirigees ennbsp;sens contraire Tune de Iautre, suivant ses prolon-gemens EC et FD, et dont la grandeur commune seranbsp;représentée par S. Je prends la résultante des forcesnbsp;P et S appliquées au point E, qui sera une force P'nbsp;agissant suivant une droite EA' comprise dans Tanglenbsp;AEG; de même la résultante des forces Q et S, quinbsp;agissent au point F, sera une force Q' dirigée suivant une droite FB', comprise dans Tangle BFD; etnbsp;si Ton excepte le cas du n 44 gt; oil les forces données

1* et Q soat egales et agissent eu sens oppose's, Jes deux droites EA' et FB' ne seront pas parallèles. Parnbsp;conséquent, en supposant leur point dintersection Knbsp;lié iuvariablement a la droite EF, il sera permis denbsp;Ie prendre pour Ie point dapplication commun auxnbsp;deux forces P' et Q' (n° 4i)- Par ce point K, je niènenbsp;les droites ET' et KH', parallèles a la droite EF et anbsp;la direction des forces P et Q, puis je decompose clia-cune des forces P' et Q' suivant ces parallèles : il estnbsp;évident quon retrouvera de cette manière les com-posantes S et P, dirigées suivant KE' et KH, et lesnbsp;composantes S et Q, dirigées suivant KF' et KHnbsp;(fig. ig), OU suivant KF' et KIP (fig. 20). Nous au-rons done les quatre mêmes forces quauparavant,nbsp;mais appliquées toutes quatre a un méme point K.nbsp;En supprimant les deux forces S, il restera les deuxnbsp;forces P et Q, dirigées suivant la méme droite KH,nbsp;dans Ie cas de la figure ig, ou suivant cette droite KHnbsp;et son prolongement KH', dans Ie cas de la figure 20,nbsp;qui suppose que Q est la plus grande des deux forcesnbsp;données. Done, la résultante de ces deux forces leurnbsp;sera parallèle; et en la déslgnant par R, nous au-rons

Pour determiner Ie point O, oü sa direction viendra couper la droite EF ou son prolongement, je sup-poserai que E' et F' soient les intersections des lignesnbsp;AE et BF avec la droite ET'; les deux quadrilatères

EE'KO et FF'KO seront des parallëlogrammes; et si Ton prend leurs diagotiales KE et KF pour représen-ter les résultantes P' et Q', on aura

ce qui fera connaitre la position du point O, quon pourra prendre pour Ie point dapplication de Ia résultante R.

les signes supérieurs se rapportant a la figure 19, et les signes inférieurs a la figure 20; en ayant égard anbsp;la valeur précédente de R, on aura done, dans lesnbsp;deux cas,

ce qui montre que chacune des trois forces P, Q, R, est proportionnelle a la distance comprise entre lesnbsp;points dapplication des deux autres.

Cette proportion, et, par suite, la position du point 0, sont indépendantes de Tangle sous lequelnbsp;les directions des forces données sont coupées parnbsp;la ligae EF , qui peut être une droite quelconquenbsp;aboutissant par ses extrémités a ces deux directions.

culté, toutes les questions qui peuvent se présenter sur la composition de deux forces parallèles en une seule et sur la decomposition dune force ennbsp;deux autres qui lui soient parallèles. Nous nentre-rous dans aucun détail a ce sujet; et nous ne re-viendrons pas non plus sur Ie cas particulier desnbsp;forces égales et non directement opposées, que nousnbsp;avons exclu de la demonstration précédente, et quinbsp;a été sufGsamment examiné dans Ie n° 44-

Je vais actuellement considérer un nombre quel-conque de forces parallèles, dont une partie agit dans un sens et lautre partie dans Ie sens oppose,nbsp;qui sont situées ou non situées dans un même plan,nbsp;et appliquées a des points lie's eiitre eux dune ma-nière invariable, par exeraple, a différens pointsnbsp;dun corps solide.

En composant deux de ces forces en une seule, puis celle-ci et une troisième encore en une seule,nbsp;ct ainsi de suite, on parviendra a déterminer lanbsp;grandeur et la position dans 1espace de la résultante de toutes les forces données, a molns que lesnbsp;deux dernières forces quon aura a considérer nenbsp;bombent dans Ie cas dexception du nquot; 44* Cette résultante sera évidemment parallèle a la directionnbsp;commune des composantes; de plus, elle sera égalenbsp;a Ia somme de celles qui aglssent dans un mêmenbsp;sens, moins la somme de celles qui aglssent ennbsp;sens contraire, et elle agira dans Ie sens de la plusnbsp;grande somme. Si done on regarde les unes commenbsp;des quantités positives, et les autres cemme desnbsp;^uautités negatives ( n 11); quon les représente

Sa. Si les forces données viennent a tourner au-tour de leurs points dapplicatiou sans cesser dêtre parallèles, leur résultante tournera aussi aulour dunnbsp;des points de sa direction; car son point dapplica-tion, ququot;on trouve en composant successivement lesnbsp;forces données, comme on vient de Iindiquer, nenbsp;dépend en aucune manière de la direction communenbsp;de ces forces, et reste, conséquemment, le mêmenbsp;quand cette direction vient a changer.

Ainsl, parexemple, supposons que les foices données soient au nombre de trois, P, P', Pquot;, dirigées suivant les droites MA, M'A', M^A* (fig. ai). Soltnbsp;dabord NB la direction de la résultante de P et P',nbsp;qui sera égale a P -f-P'; soit ensulte N'B' la direction de la résultante de P -f- P' et Pquot;; cette der-nière force P étant supposée, dans la figure, agis-sante en sens contraire de P et P', et plus grandenbsp;que P P'. Concevons maintenant que les troisnbsp;forces P, P', Pquot;, tournent autour des points M, M',nbsp;Mquot;, en conservant leur parallélisme et le sens relatifnbsp;de leurs actions. Soient Ma, Ma', Waquot;, leurs nou-velles directions. Dans ce nouvel état, la résultantenbsp;des forces P et P' rencontrera la droite MM' au mêmenbsp;point N quauparavant, puisque la position de cenbsp;point ne dépend que du rapport des composantes,nbsp;et nullement de Tangle que la droite MM' fait avecnbsp;leurs directions (nquot; 5o); elle sera présentement di-

ïigée suivant la droite N6 parallèle a Ma et Wa, encore egale a P -j- Par la mème raison, lanbsp;résultante de P P' et P'' rencontrera Ie prolon-gement de la droite MM' au même point N' quau-paravant, et sera dirigée suivant une droite N'^' parallèle a Né; par conséquent, les trois forces P,nbsp;i*', Pquot;, tournant autour de leurs points dapplicationnbsp;M, M', Mquot;, leur résultante tournera aussi autournbsp;d un méme point N'.

55. Nous appellerons centre des forces paraUeles Ie point dans lequel viennent se couper toutes lesnbsp;direetions successives de la résultante, quand sesnbsp;composantes tournent autour de leurs points dapplication, quon suppose invariables.

On verra par la suite conibien Ie centre des forces parallèles est important a considérer, surtout dansnbsp;les questions relatives a léquilibre et au mouvementnbsp;des corps pesans. On peut déja observer que si unnbsp;corps solide est solllcité par des forces parallèlesnbsp;quelconques, que lon determine Ie centre de cesnbsp;forces, et quon Ie suppose fixe, léquillbre aura lieunbsp;dans toutes les positions que !e corps pourra prendre autour de ce point, pourvu que les forees don-uées restent toujours parallèles et appllquées auxnbsp;uiêmes points de ce corps; car alors leur résultantenbsp;passera constamment par Ie point fixe, ce qui suffitnbsp;pour quelle soit détruite.

Les coordonnées du centre des forees parallèles, rapportées a trois axes rectangulaires, dependent,nbsp;comme on va Ie voir, des produits de ces forees mul-tipllées par les coordonnées de leurs points dapplica-

tion. A cause que ces produits se présentent dans un grand nombre de cas, on leur a donné un nom particulier ; on appelle moment dune force par rapport anbsp;un plan, Ie produit de cette force et de sa distance anbsp;ce plan. Ainsi, P ëtant lintensité dune force appli-quée en un point dont les coordonnées sont x, j, z,nbsp;les produits Pz, PjTj seront ses momens par rapport aux plans des x etj-, des x et z, des jr et z. Lesnbsp;momens de cette espèce nont rien de commun, ennbsp;ge'ne'ral, avec les momens par rapport a un pointnbsp;quon a définis dans Ie n° 42- Ceux-ci dependent denbsp;la direction de la force, et sont inde'pendans de sonnbsp;point d'application; les momens par rapport a unnbsp;plan dependent, au contraire, de la position dunbsp;point dapplication de la force, et sont indépendansnbsp;de sa direction. On ne fait usage des derniers quenbsp;dans Ie cas des forces parallèles; en sorte quils peu-vent être des quantités positives ou negatives, a raison du signe de la force et des coordonnées du pointnbsp;ou elle est appllquée.

54. Soient M, M', M, etc. ( fig. 22), les points dapplication des forces parallèles P, P', Pquot;, etc.,nbsp;dont il sera inutile dindiquer les directions. Menonsnbsp;arbitrairement trois axes rectangulaires Ox, Oj, Oz,nbsp;qui seront ceux des coordonnées; désignons par x,nbsp;j-, z, les coordonnées de M; par x', j'^ z', celles denbsp;M'; par x, jquot;, zquot;, celles de Mquot;, etc.; et supposonsnbsp;que toutes ces coordonnées et ces forces sont desnbsp;quantités données qui peuvent être positives ou né-gatives. Soient encore Q, Q', Qquot;, etc., les projectionsnbsp;des points M , M', M, etc., sur Ie plan des x et y ,

La résultante P -f- P' des deux forces P et P' reu-contrera en un point N la droite MM' ou son prolon-gement, selon que ces deux forces seront de même signe ou de signe contraire; mais dans les deuxnbsp;cas on aura

Soit K la projection de N sur Ie plan des x et^. Par Ie point M, menons la parallèle MGH a la droitenbsp;QRQ', qui rencontre les droites NK et M'Q' auxnbsp;points G et H, de sorte quon ait

A cette equation, jajoule 1équation identique (P P')GK = P.MQ P'.HQ';nbsp;ce qui donne

trera en un point N' la droite NMquot; ou son prolon-gement, selon que ces deux forces auront Ie mêwe signe OU des signes contraires; et si K' est la projection de N' sur Ie plan des jc et j-, on trouvera,nbsp;comme dans Ie cas precedent,

On continuera de même jusqua ce quon ait épuisé toutes les forces données P, P', Pquot;, etc.; el si R estnbsp;leur résultante totale, on aura finalement

La figure 22 suppose que tons les points M, M', Mquot;, etc., N, N', etc., sont situés dun même cóté dunbsp;plan des J? et j-, ou que leurs ordonnées parallèles anbsp;laxe des z sont toutes de même signe; mais il estnbsp;aisé de voir que si Tequation précédente est vraienbsp;dans ce cas, elle Ie sera encore lorsque ces ordonnéesnbsp;seront en partie positives et en partie négatives. Ennbsp;effet, transportons Ie plan des jc etj-, parallèlement anbsp;lui-même, a une distance quelconque h de sa position primitive. Par rapport a ce nouveau plan,nbsp;soient Z, Z', Zquot;, etc., les coordonnées de M, M',nbsp;Mquot;, etc., et Z. celle du centre des forces parallèles,nbsp;de sorte quon ait

Z,=z,h, Z=zZ'=z'Tl, Z' zquot;h, etc.; si 1on retranche de 1équation précédente léquation

equation dans laquelle les ordonnées Z, Z', 7J', etc., peuvent être positives ou ne'gatives.

On volt done que, dans tons les cas, Ie moment de la resultante dun nombre quelconque de forcesnbsp;parallèles par rapport a un plan choisi arbitraire-ment, est e'gal a la somme des momens de ces forcesnbsp;par rapport au même plan.

55. En prenant successivement les momens par ïapport aux trois plans des coordonnées, on aura,nbsp;daprès les notations précédentes,

Rj:?, = Tjc 4- nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- etc., \

les trois coordonnées du centre des forces parallèles seront complètement déterminées. En raenant par cenbsp;point une droite parallèle aux forces données, dansnbsp;Ie sens indiqué par Ie signe de R, on aura la direction de la résultante. Cesquatre équations renferme-ront, de la manière la plus générale, la théorie desnbsp;forces parallèles.

La somme des momens des forces P, P', P^',etc., est égale a zéro, par rapport a tout plan passant par Ie

centre des forces parallèles; car, en prenant ce plan pour celui des x et j, il faudra quon ait z, = o,nbsp;et, consequemment,

Dans Ie cas particulier oii P, P', Pquot;, etc., se ré-duisent a deux forces égales, agissant en sens oppose, leur somme R est égale a zéro; ce qui rend infiniesnbsp;les valeurs de .r,, jquot;,, z,. Le centre des forces parallèles est done alors situé a Iinfini, ou plutót ce centrenbsp;nexiste pas, non plus que la résultante.

56. Lorsque tous les points dapplication M, M', Mquot;, etc., des forces données sont situés dans unnbsp;même plan, il est évident, par la nature du centrenbsp;des forces parallèles (n® Ss), que ce point, sil existe,nbsp;devra aussi se trouver dans ce plan; cest aussi cenbsp;que 1on peut conclure des équations (i) et (2).

axquot;bjquot;-]r c,

Je substitue ces valeurs de z, z', zquot;, etc., dans la troi-sième equation (i); il vient

Rz. = (?x F'x' P V' -j- etc.) a (Pj -}- Py Fquot;jquot; etc.) bnbsp;-f- (P-j-F-f-Pquot;_j-etc.)c.

tiou (2), on peut remplacer par Ba:,, Bj ,, B, les coefficiens de n, c; et en supprimant ensuite Ienbsp;lacteur commun R, on a

Ce qui raontre que Ie centre des foices parallèles ap-partient au plan des points M, M', Mquot;, etc.

Lorsque tous ces points sont sur une même ligne drolte, ce centre sj trouve également; et il suffit denbsp;la première des equations (i) pour determiner sa position, en prenant cette droite pour laxe desa?. Si, denbsp;plus, les forces P, P', Pquot;, etc., sont perpendiculairesnbsp;a cette droite, les raomens que nous considérons ac-tuellement se confondent avec les raomens par rapport a un point, qui est ici lorigine 0 des abscisses x,nbsp;et la première equation (i) coincide avec léqua-tion (i) du n 47* H est aisé de voir, en effet, quenbsp;parmi les forces donnéesP, P', Pquot;, etc., celles qui teii-dent a faire tourner autour du point 0 dans Ie mêmenbsp;sens que la résultante R, sont toutes les forces qui ontnbsp;Ie même signe que leurs distances x, x', xquot;, etc., a cenbsp;point, et que celles qui tendent a faire tourner dansnbsp;Ie sens oppose sont les forces qui ont un signe contraire a celui de ces mêmes distances; par consequent, les momens des premières sajoutent, etnbsp;eeux des dernières se retranchent, conformément anbsp;1 énonc^ du numéro cité.

^7. Les équations déquilibre des forces parallèles P, P', etc., se déduisent aisément de Ia théorienbsp;quon vient dexposer.

faut, pour rdquiJibre, quen séparant Tune de ces forces, par exemple la force P, toutes les autres aientnbsp;Tine résultante qui soit égale et directement opposéenbsp;a P. Soit done R' la résultante des forces P', Pquot;, etc,;nbsp;puisque les forces P et R' sont égales et dirigées ennbsp;sens contraires, elles doivent être égales et de si-gnes différens, ou, autrement dit, on doit avoirnbsp;P R'^ = o. Mais R^ est la sonime des coraposantesnbsp;P', Pquot;, etc.; il en résulte done, pour la premièrenbsp;équation déquilibre,

P F pquot;,

Pour exprimer, en outre, que les forces P et R' sont directement opposées, soient a, C, y,les troisnbsp;coordonnées du centre des forces parallèles P',nbsp;Pquot;, etc., de manière quon ait

Ce centre étant Ie point dapplication de leur résultante R', il sera nécessaire quil se trouve sur la direction de la force P, pour que R' soit directement opposée a cette force, ou, ce qui revient au même,nbsp;ce centre et Ie point dapplication M de la force Pnbsp;doivent être sur une même parallèle a la directionnbsp;commune des forces données. Si done on prend,nbsp;pour plus de simplicité, Ie plan des x et j- perpendiculaire a cette direction, il faudra que ces deuxnbsp;points soient situés sur une même perpendiculaire anbsp;ce plan; ils auront alors la même projection sur cc

plan par conséquent, leurs coordonnées seront les inêmes parallèlement aux axes des a? et de sortenbsp;que lon aura

Je substitue done a? et a la place de a et ê dans les deux premières equations précédentes, et, a causenbsp;de R' = P, il vient

equations qui signifient que la somme des mornens de toutes les forces P, P', Pquot;, est nulle, etc., par rapportnbsp;aux plans des ar et z, et des j- et z, parallèles a leurnbsp;direction.

Ainsi, léquilibre de ces forces exige que les equations (a) et'(è) aient lieu en même temps. Récipro-quement, quand ces trois equations sont satisfaites, léquilibre existe; car si lon considère la iésultantenbsp;R' de toutes ces forces moins une, on aura, en vertunbsp;de ces équations,

en sorte que cette résultante sera égale et directe-ment opposée a la force P, quon avait omise. II nest pas nécessaire, pour cela, que les deux plans parnbsp;rapport auxquels la somme des mornens des forcesnbsp;données est zéro , soient perpcndiculaires Tun a

lautre; il suffit quils soient parallèles a Ia direction de ces forces; et lon peut aussi sassurer facilementnbsp;que si cettc condition est remplie par rapport a deuxnbsp;plans parallèles a cette direction, elle Ie sera égale-ment par rapport a tous les autres.

Concluons done que pour rèquilibre dun système de forces parallèles, appliquées a un corps solide en-tièrement libre, il est nécessaire et il suffit,

2°. Que la somme de leurs momens soit nulle par rapport a deux plans qnelconques parallèles a leurnbsp;direction commune. Quand toiites les forces serontnbsp;comprises dans un même plan, cette seconde condition sera déja remplie par rapport a ce plan, etnbsp;il suffira quelle Ie soit, en outre, par rapport a unnbsp;autre plan.

58. Si Tun des points de ce corps solide est suppose fixe, il suffira, pour léquilibre des forces parallèles,nbsp;que la somme de leurs momens soit nulle par rapport a deux plans passant par ce point et parallèlesnbsp;a leur direction, et il ne sera plus nécessaire quenbsp;leur résultante soit égale a zéro; car alors les distances de cette résultante a ces deux plans serontnbsp;nulles; elle coïncidera done avec leur intersection,nbsp;et sera détruite par la resistance du point fixe.

Lorsque ce point sera Ie centre des forces parallèles, Ia somme des momens sera zéro par rapport a toils les plans passant par ce point; par conséquent, les forces données se feront équilibre, quellenbsp;que soit leur direction commune; ce que nous sa-vions déja (n 55).

Si Ie corps solide est retenu par un axe fixe, au-tour duquel il ait seulement Ia liberté de tourner, il suffira, pour Tequilibre des forces parallèles ap-pliquées en ses différens points^ que la somme denbsp;leurs momens soit égale a zéro, par rapport au plannbsp;ïttené par eet axe parallèlement a leur direction ;nbsp;car leur résultante tombant alors dans ce plan, ellenbsp;y rencontrera laxe fixe, et sera détruite par sa résis-tance. Lorsque laxe fixe est lui-même parallèle auxnbsp;forces données, Ie plan dont il sagit est indéterminé;nbsp;la condition déquilibre sévanouit par conséquent;nbsp;ce qui doit être, puisque des foices qui sont toutesnbsp;parallèles a un axe fixe ne peuvent faire tourner unnbsp;corps solide autour de cette droite, de sorte que,nbsp;dans ce cas, léquilibre a lieu indépendainment denbsp;leurs intensités et de leurs distances a eet axe.

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CHAPITRE IV.

COWSIDÉRATIOIVS GEIVÉUALES SUR LES CORPS PESAIVS ET SUR LES CENTRES DE GRAVITE.

5q. On appelle indifFeremment pesanteur ou gra~ vité, la force qui précipite les corps vers la surfacenbsp;de la terre aussitót quils ne sont plus soutenus. Sonnbsp;action sexerce sur tous les points matériels, dansnbsp;des directions perpendiculaires a cette surface, onnbsp;suivant des lignes verticales. Les directions prolon-gées de la pesanteur en différens lieux de la terrenbsp;convergent done vers son centre, a cause de sa formenbsp;a peu prés sphéiique; mais en ayant égard a lanbsp;grandeur du rayon terrestre, relativement aux dimensions des corps que Ton considere ordinaire-ment, on peut supposer, sans erreur sensible, lanbsp;pesanteur parallèle a elle-même dans toute Ie'ten-due dun même corps.

Lobservation a prouve que Iintensite de cette force varie a la surface de la terre avec la latitude,nbsp;et que sur une même verticale elle varie aussi avecnbsp;Iele'vation au-dessus de cette surface; mais 11 fautnbsp;que les changemens de hauteur et de latitude soientnbsp;tres considerables pour que ces variations devien-nent sensibles, et elles ne le sont nullement dansnbsp;fetendue dun corps de dimensions ordinaires,

6o. On conclut de la que la résultante des forces parallèles, en nombre inlini, qul agissent sur tous

les points dun corps pesant, est indépendante de sa forme; cette résultante est ce quon appel) e Ienbsp;poids du corps. Dans les corps homogènes, Ie poidsnbsp;est évidemment proportionnel au volume; mals unenbsp;experience journalière nous montre que les corps denbsp;nature différente nont pas Ie même poids sous Ienbsp;niême volume; ce qui peut provenir de ce quenbsp;1attraction de la terre, qui est la cause principalenbsp;de la pesanteur, comme on Ie verra par la suite,nbsp;dépend de la nature des points matériels sur lesquelsnbsp;elle agit, ou bien, de ce que les corps hétérogènesnbsp;renferment, sous des volumes égaux, des quantitésnbsp;differentes de points matériels également pesans.nbsp;Nous expiiquerous, dans un autre chapitre, comment on a conclu, du mouvement observe des corpsnbsp;pesans, que cest Ie second de ces deux cas qui anbsp;lieu dans Ia nature.

II en résulte que Ie poids dun corps quelconque est en raison composée de sa masse et de lintensiténbsp;de la pesanteur dans Ie lieu oü il est situé. Ainsi,nbsp;en appelant P ce poids, M la masse, et g la mesurenbsp;de la gravité, on a

Cette quantité g, indépendante de la nature particuliere de chaque corps, est, comme on volt, Ie poids de celui dont on prend arbitrairement la massenbsp;pour unité. On verra par la suite comment sa valeurnbsp;a été déterminée en différens points de la terre,nbsp;dapres Ie mouvement des corps soumis a Ia seulenbsp;action de la gravité.

en désignant par Ie poids du corps sous Funité de volume, et sou volume par V. Le poids lU est cenbsp;quon appelle la pesanteur spécijique du corps quenbsp;lou considère; denomination impropre, puisque lanbsp;pesanteur est commune a tous les corps despèccsnbsp;diflérentes, et quon devrait remplacer par celle denbsp;poids spécifique.

Enfin, si lon représente par D la masse, sous 1unite de volume, du corps que lon considère, D sera cenbsp;quon nomme la densité de ce corps, et lon aura

Telles sont les equations qui ont lieu entre les cinq quaatités P, g, M, D, V, dont chacune doitnbsp;ètre exprimèe nume'riquement, en la rapportant anbsp;une unite de son espèce.

6i. Le gramme, ou lunité de poids, est celui dun centimetre cube deau distille'e et prise a sonnbsp;maximum de densité, qui répond a environ 4° dunbsp;tbermomètre centigrade. Ce poids varie avcc le lieunbsp;quil occupe ¦, mais comme les poids des autres corps,nbsp;quil sert a peser, varient exactement dans le mêmenbsp;rapport, il sensuit que le poids dun corps quelcon-que, exprimé en grammes, est partout le méme, etnbsp;quon na pas besoin de dire en quel endroit il a éténbsp;determine. Daprès les experiences de M. Hallström,nbsp;le poids du centimetre cube deau distillée, a la temperature zéro, est

Oa prend communément poiu unite de densité, celle de leau distillée a cette dernière temperature.nbsp;Les densités dun grand nombre de substances ont éténbsp;déterminées par lexpérience, et exprimées en nom-bres au moyen de cette unite. Ainsi, par exemple, lanbsp;densité du mercure a cette mêrne temperature est

13,5975,

pour chaque degré de diminution ou daugmenta-tion de la temperature. La densité de Fair, prise au.ssi a la temperature de la glace fondante, sous lanbsp;pression barométrique de 76 centimetres et a lObser-vatoire de Paris, a été trouvée égale a

et, pour chaque variation dun degré dans la tempé-rature, elle varie, en sens contraire, de

Le poids de la colonne de mercure qui exprime la pression barométrique variant avec la latitude et ié-lévation au-dessus de la surface de la terre, la densité de 1air, soumise a une pression dune hauteurnbsp;donnée, varie en inême temps. Voila pourquoi il nenbsp;sufEt pas dassigner cette hauteur; il faut encore direnbsp;a quel lieu elle .se rapporte, comme ici a FObserva-toire de Paris. Le rapport de la densité du mercure a

Des quon attribue un phénomène, tel que la cha-leur, par exemple, a une substance matërielle, cette substance est soumise a la pesanteur; et lexpressionnbsp;imponderable ne doit seutendre que dune matièrcnbsp;dont la densité est si faible, quelle ëchappe a tousnbsp;nos niojens dinvestigation; en sorte que sa presencenbsp;naugmente ni Ie poids ni la masse mesurables dunbsp;corps dontelle fait partie, en quelque quantite' quellenbsp;sy trouve.

62. Les poids sont les forces qui nous sont Ie plus familières, et dont nous pouvons, au moyen de lanbsp;balance, determiner les rapports avec Ie plus dexac-titude et de facilité. Cest pourquoi il est naturel denbsp;les faire servir de terme de comparaison aux forcesnbsp;dune autre nature. Ainsi, lorsque la force musculaire dun animal, ou tout autre force, agitsur unnbsp;corps par 1intermédiaire dune corde attachée a sanbsp;surface, nous pouvons toujours concevoir que cettenbsp;force soit équivalente a un certain poids determine,nbsp;et nous pouvons même, sans changer sa direction,nbsp;remplacer son action par celle de ce poids, en Ienbsp;suspendant a lextrémité de la corde, après avoirnbsp;fait passer celle-ci sur une poulie fixe convenable-ment placée.

Le poids fournit la mesure la plus commode de la masse , sans le secours de la pesanteur, il serait, ennbsp;elïet, tres difficile de determiner le rapport des massesnbsp;de deux corps. On veiTa par la suite quon pourrait,

a la rigueur, Ie conclure du choc mutuel de ces corps; mais il est beaucoup plus simple de remplacer Ienbsp;rapport des masses par celui des poids, auquel il estnbsp;egal en chaque lieu de la terre, en vertu de 1equation P=gM. Toutefois, on doit avoir une ideenbsp;préalable de légalité et du rapport des masses, in-dépendamment de la pesanteur, qui nest quunenbsp;propriété secondaire des corps, puisquelle devien-drait tont-a-fait insensible, sans que les massesnbsp;eussent change, en les transportant a une distancenbsp;suffisamment grande de la terre. Nous i'eviendronsnbsp;sur ce point dans un autre endroit de eet ouvrage.

63. Puisque tous les points diin corps pesant sont sollicités par des forces parallèles, il sensuit que sinbsp;on lui fait prendre successiveroent diverses positionsnbsp;par rapport a la direction de ces forces, leur résultante passera constamment par un certain point denbsp;Ce corps. Ce point, que nous avons appelé, en general, centre des forces parallèles (n 53), prend ici Ienbsp;particulier de centre de graoité. Sa -propriéténbsp;earactéristique dans les corps solides, qui ne sontnbsp;soumis qua la seule action de la pesanteur, consistenbsp;Cu ce que, sil est supposé fixe, Ie corps auquel il ap-partient reste en équilibre dans toutes les positionsnbsp;possibles autour de ce point, puisque, dans toutesnbsp;ces positions, la résultante des forces appliquées anbsp;tous les points du corps vient passer par Ie pointnbsp;fixe.

On concoit aussi que quand un corps solide pesant est retenu par un autre point fixe, il est nécessaire et il suflit, pour 1équillbre, que la droite

qui joint ce point et Ie centre de giavité soit verticale; ce centre pouvant dailleurs se trouver au-dessus OU au-desscus du point fixe. En efïet, Ie poids du corps étant une force verticale appliquée a sonnbsp;centre de gravité, sa direction coïncidera, dans cettenbsp;hypothèse, avec la droite qui joint ce centre et Ienbsp;point fixe, on avec son prolongement; par conséquent , cette force sera détruite par la resistance dunbsp;point fixe, comme si elle y était immédiateinent appliquée.

Par la même raison, si Ton suspend un corps solide pesant a un point fixe, par Ie moyen dun fil dont rextrémité inférieure est attachée a un pointnbsp;de sa surface, la direction de ce fil sera verticalenbsp;dans létat déquilibre, et son prolongement ira passer par Ie centre de gravité du corps. II en sera denbsp;même si lon suspend, une ou plusieurs autres fois, cenbsp;même corps au point fixe, en attachant lextrémiténbsp;inférieure du fil a dautres points de sa surface. Lesnbsp;prolongemens du fil, tracés successivement dans lin-térieur du corps, sy couperonl a son centre de gravité; ce qui fournit un moyen pratique de determiner la position de ce centre dans un corps denbsp;forme quelconque, homogene ou hétérogène.

Dans toutes les questions déquilibre relatives a un corps solide, on pourra faire abstraction de lanbsp;pesanteur de ses diverses parties, pourvu quonnbsp;ajoute aux autres forces données qui agissent surnbsp;ce corps, une force égale a son poids, et appliquéenbsp;verticalement a son centre de gravité. Ainsi , parnbsp;exemple, dans Ie cas de léquilibre du levier, il fau-

dra comprendre au nombre des forces donuées dont la somme des momens doit être nulJe, par rapportnbsp;au point dappui (nquot; 4?) gt; 1® poids du levier agis-sant a son centre de gravité suivant la direction denbsp;la pesanteur.

64. Lorsque Ton connait les centres de grayité G et G' des deux parties dun corps, et leurs poids pnbsp;et p', on en déduit immédiatement Ie centre de gra^nbsp;Vité K de ce corps; car ce centre est Ie point dap-plication sur la droite GG', de la résultante des forcesnbsp;parallèles p et p', qui agissent dans Ie niéme sens anbsp;ses extrémités G et G'; et, pour en determiner lanbsp;position, on a conséquemment

De mème, si Ton connait les centres de gravité K et G dun corps et de Tune de ses parties, et que lesnbsp;poids du corps et de cette partie soient P etp, onnbsp;en conclura Ie centre de gravité G' de lautre partie;nbsp;car ce point sera situé au-dela du point K sur Ie pro-longement de la droite GK, et sa distance au point Gnbsp;sera déterminée par la proportion

Si uu corps est divisé en un nombre quelconque de parties dont les poids et les centres de graviténbsp;soient connus, on en poinra déduire son centre denbsp;gravité par une suite de proportions; mais il con-viendra mieux de déterminer ses trois coordonnéesnbsp;au raoyen du théorème ielatif aux momens desnbsp;forces parallèles (nquot; 54).

j. nbsp;nbsp;nbsp;8

Soient, pour cela, p, p', pquot;, etc., les poids des différentes parties du corps, et P son poids total, denbsp;sorte quon ait

Soientaussi , j, z, les coordonnéesdu centre de gra-vité de la partle dont p est Ie poids; oc', j', z', celles du centre de gravité de la partie dont Ie poids estnbsp;p'; etc. Toutes ces quantités seront données par bj-pothèse; et si lon appellenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z,, les coordonnées

du centre de gravité du corps entier, rapportées aux mêmes axes que les précédentes, on aura, daprèsnbsp;Ie théorème cite,

65. On peut, dans ces equations, remplacer les poids par les masses auxquelles ils sont proportion-nels. En désignant done par m, m', mquot;, etc., lesnbsp;masses des différentes parties du corps dont les poidsnbsp;sont représentés par p, p', pquot;, etc., et représentantnbsp;par M la masse totale, de sorte quon ait

Mx, = mx -j- to'x' -j- toV etc., i Mj, = mj H- m'f my -f- etc., gt; (i)nbsp;Mz. = mz m'z' -f- toV etc,; )

ce qui montre que Ie centre de gravité est indépen-dant de lintensité de la pesanteur, et quil sera tou-» jours Ie même point du corps, a différentes latitudesnbsp;et a difFe'rentes hauteurs au-dessus de la surface de lanbsp;terre. En considérant que ce point ne suppose pas Taction de la gravité, etquil ne depend que des masses etnbsp;de leur disposition respective , Euler et dautres auteurs Tappellent centre dinertie; mais la dénomi-Dation de centre de gravité a plus généralementnbsp;prévalu.

Si la masse M a été divisée en un nombre infini de parties infiniment petites m, m', nfi\ etc,, on pourranbsp;prendre tel point quon voudra de chacune dellesnbsp;pour son centre de gravité, puisque les coordonnées,nbsp;suivant chaque axe de tous les points dun même élément, ne différeront entre elles que dun infinimentnbsp;petit. Les seconds membres des equations (i) se com-poseront alors dune inlinité de termes infinimentnbsp;petits, dont les sommes seront des intégrales défi-nies, daprès Ie théorème du n° i3 étendu aux intégrales multiples. Par conséquent, on pourra toujours,nbsp;par les regies du calcul intégral, déterminer exacte-ment ou par approximation Ie centre de gravité dunnbsp;corps quelconque, saus connaitre celui daucune denbsp;ses parties.

Dans uu corps dont toutes les parties sont homo-gènes, leurs masses sont entre elles comme les volumes j on peut done alors substituer les volumes aux masses, dans les équations (i)j et si Ton représentenbsp;par V Ie volume entier, et par v, d, d', etc., sesnbsp;parties correspondantes a m , m', etc., on aui'a

8..

Le point quon determine par ces equations est Ie centre des forces parallèles appliquées a tous les pointsnbsp;dun corps, et proportionnelles aux élémens de sonnbsp;volume; ce point sappelle le centre de gravité dunbsp;volume, quoiquun volume nait ni masse ni pesan-teur. On appelle aussi centre de gravité dune surfacenbsp;OU dune ligne, le centre des forces parallèies appliquées a tous leurs points, et proportionnelles a leursnbsp;élémens. On déterminera ses coordonnées en rem-placant, dans les équations précédentes, les volumesnbsp;V, V, v', d, etc., soit par les aires de la surface et denbsp;ses parties, soit par les longueurs de la ligne et de sesnbsp;parties.

66. Les masses M, m, m', m'*, etc., et les distances rnutuelles de leurs centres de gravité, sont llées entre elles par une equation facile a déduirenbsp;des equations (i).

Pour cela, placons lorigine des coordonnées au centre de gravité de M; ces équations deviendront

mx 4 m'x' 4 mquot;xquot; -j- etc. = o, mj- 4quot; ~h nd'y -f-etc. = o,nbsp;mz 4- in'z' 4- tni'zquot; 4- etc. = o.

M (mjr® m'j^ 7wy® etc.) = mm' (y y'y mmquot; (^y yquot;y -|- m'mi' (y' yquot;y etc,,

^'7 (7 ~fy nbsp;nbsp;nbsp; z'O® = p'®,

pour léquation quil sagissait dobtenir, et dans la-quelle p, p', pquot;, etc., sont les distances mutuelles des centres de gravite' de in, m', m, etc., et r, r', rquot;, etc.,nbsp;les distances de ces points au centre de gravité de M.

67. On de'duit aussi des equations (i) une pro-prlélé curieuse de Tequilibre dun point materiel entièrement libre. Voici en quoi elle consiste.

Soit 0 (fig. aS) Ie point en e'quilibre ; représen-tons en grandeurs et eh directions, par les droites OA, OA', OAquot;, etc., les forces qui Ie sollicitent; sinbsp;leurs extrémités A, A', Aquot;, etc., sont les centres denbsp;gravité de masses égales, Ie point 0 sera Ie centrenbsp;de gravité de qe système entier.

En effet, en appliquant les équations (i) a ces masses, et supposant que n soit leur nombre, onnbsp;aura

Dun autre cóté, si 1on désigne par a, y, les angles que fait la force OA avec trois axes rectangulaires menés par Ie point 0; par a!, 6', y', ce que ces anglesnbsp;deviennent relativement a la force OA'; paraquot;, Cquot;, yquot;,nbsp;ce quils deviennent relativement a la force OA^'; etc.,nbsp;les équations déquillbre de ces forces seront

OA cos at H- OA' cos aJ -j- OAquot; cos aquot; etc. = o, OA cos è fquot; OA' cos C -f- OA cos Cquot; -(- etc. = o,nbsp;OA cos y -f- 0A' cos y'-jr OAquot; cos yquot; -[- etc. = o.

X = O A cos a , = 0 A cos Q , z = 0 A cos y , x' = OA' cos cc', y OA' cos z' OM cos y',nbsp;^¦'=OA'cosa', / = OAquot;cosê', s' = OA'cosgt;',nbsp;etc.,

pour les coordonnées des points A, M, M', etc. En vertu des equations déquilibre, on aura done

pour les coordonnées du centre de gravité des masses égales; par conséquent, ce centre coïncidera avec Ienbsp;point O; ce quil sagissait de démontrer.

68. 11 y a beaucoup de cas particuliers oü Ie centre de gravité est immédiatement connu. Ainsi, Ie centrenbsp;de gravite dune sphere ou dun ellipsoïde est évi-demment au centre de figure; celui dun parallélé-pipède, a lintersection de ses quatre diagonales; celuinbsp;dun cylindre a bases parallèles, au milieu de son axe.nbsp;Le centre de gravité dun eerde ou dune ellipse estnbsp;aussi au centre de figure, et celui dun parallélo-gramme, alintersection des deux diagonales.Le centrenbsp;de gravité dune ligne droite est le milieu de cettenbsp;droite; dou lon conclut sans difiiculté le centre denbsp;gravité du contour dun polygone quelconque, soitnbsp;par une suite de proportions (n° 64) gt; soit par les

Equations des momens des forces parallèles. On voit de même que quand on aura trouvé les centres denbsp;gravité dun triangle et dune pjramide triangulaire,nbsp;on en déduira, par iun ou lautre de ces deux moyens,nbsp;les centres de gravité dun polygone et dun polyèdrenbsp;donnés, que lon peut toujours décomposer, soit ennbsp;triangles, soit en pyramides triangulaires.

Mais, en général, la détermination des centres de gravité exige Iemploi du calcul intégral; et dans Ienbsp;chapitre suivant nous allons donner tous les détailsnbsp;quon peut désirer sur ce problème.

'VV\^W\fVV\'VV\ VVMW^\iXH/W\/VW/W\(VWVV*VV''W^/VVMVV%/W\iVWV\A.WWVV\'Wgt;fWMVVH'WV'VV^iWgt;iWWWWVfVVgt;

CHAPITRE V.

69. Soit j Fare de la courbe donnée, aboutissant a un point quelconque M, et compté a partir dun pointnbsp;fixe que jappellerai C. Soient aussi x,j-, z, les troisnbsp;coordonnées rectangulaires de M. On considérera cettenbsp;courbe comme un polygone dune infinite de cótés;nbsp;ds sera Ie cóté ou Télément de la courbe qui répondnbsp;au point M; et quelque part que soit Ie centre denbsp;gravité de eet élément, on prendra x, z, pour sesnbsp;trois coordonnées, qui ne sauraient, effectivement,nbsp;difFéier de x, j, z, que de quantités infiniment pe-tites.

Appelons l la longueur de la partie déterminée de la courbe dont il sagit de déterminer Ie centre denbsp;gravité; et représentons par et s, les valeurs don-nées de s qui répondent aux deux extrémités de l.nbsp;Soient jc,, j',, z,, les coordonnées du centre de gravité de cel are Z, rappoitées aux axes des x, J, z.nbsp;Daprès Ie théorème du nquot; i3, la somme des valeurs de chacun des produits xds,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dans toute

1 étendue de sera une intégrale définie prise de-puis s-=.s^ jusqua ^ = .9,, en regai'dant x, r, z,

Supposons, par exemple, que la ligne donne'e soit une droite, et que sa partie l aboutisse au point C,nbsp;de sorte quon ait s'o = o et = l. Désignons parnbsp;a, ^, y, ies trois angles que fait cette partie l avecnbsp;des axes menés par Ie point C suivant la direction desnbsp;x,j, z, positives; soient aussi a, b, c, les trois coor-données du point C; pour Ie point quelconque M nousnbsp;aurons

Je substitue ces valeurs dans les equations (i); et en effectuant les integrations et divisant ensuite par l,nbsp;il vient

ce qui montre, comme cela devait être, que Ie centre de gravité de la droite l est situé a son milieu.

zo. Lorsquil sagira duiie courbe plane, et quon piendra son plan pour celui des a? et jp, il sufFira desnbsp;deux premières equations (i) pour determiner la position de son centre de gravité dans ce plan. Si, denbsp;plus, la portion l de la courbe est symétrique denbsp;part et dautre du point C, on aura 5^^=

ïiiale au point C; et en prenant cette droite pour laxe des^, il suffira de determiner Ia valeur de qui seranbsp;dounée par léquation

Larc de eerde est compris dans ce cas particulier, en prenant pour axe des x, Ie diamètre qui passe parnbsp;son milieu. Si Ton place en même temps lorigine desnbsp;coordonnées au centre du eerde, et quon appelle anbsp;son rayon, on aura

ee qui montre que la distance x, du centre de gra-vitë dun are de eerde au centre du eerde, est qua-trième proportionnelle au rayon, a la corde et a larc.

et en appelant a et les valeurs de jc qui re'pondent aux deux extrémités de larc l, on aura, au lieu desnbsp;equations précédentes.

(2)

Si la courbe donnée est une section conique, on ob-tiendra sous forme linie, par les regies ordinaires, les valeurs des intégrales contenues dans les deux der-nières equations (2). Dans Ie cas de la parabole, onnbsp;obtiendra de même la valeur de lintégrale que ren-ferme la première de ces equations; en sorte que lesnbsp;deux coordonnées du centre de gravité dun are denbsp;parabole pourront toujours sobtenir en fonctions desnbsp;abscisses at et ^ de ses extrémite's. Daprès un théorèmenbsp;de Landen, Fare dhyperbole sexprime au mojennbsp;de deux arcs dellipse et dune partie algébrique;nbsp;quant a larc dellipse, on Ie regarde comme une fonc-tion irre'ductible a dautres fonctions plus simples; etnbsp;M. Legendre a calculé des tables fort e'tenduesde cettenbsp;fonction, qui en font connaltre les valeurs numéri-ques avec une grande approximation. Par conséquent,nbsp;lorsque les valeurs numériques de at et C et celles desnbsp;axes de Fhyperbole ou de Felllpse seront données,nbsp;il sera facile de calculer la valeur de Z, et par suitenbsp;les coordonnées a?, et y, du centre de gravité dunnbsp;are appaiTenant a 1une ou 1autrc de ces deux courbes.

72. Je prendrai larc de cjcloïde pour un autre exemple de Fapplication des equations (2). Dansnbsp;cette courbe, la longueur, laire, la sui'face et Ienbsp;volume engendrés par sa revolution, et les coor-données de leurs -centres de gravité, se détermi-iient exactement. La construction de la tangen te ennbsp;point quelconque de cette courbe est aussi tresnbsp;simplej sa développée est une autre cycloïde; et, denbsp;plus, par une série de développemens successifs, unenbsp;courbe quelconque approche de plus en plus de senbsp;confondre avec la cycloïde, et sy confondrait lïgou-reusement a linfini (*). Cest encore la cycloïde quenbsp;1on trouve, comme 011 Ie verra par la suite, lors-quon cherche la courbe qui jouit des propriétés lesnbsp;plus remarquables, par rapport au mouvement cur-viligne des corps pesans. Cette reunion singuliere dunnbsp;grand nombre de propriétés curieuses et de naturenbsp;différente sur une même courbe, en rend la considé-cation trés utile et trés fréquente en Géométrie etnbsp;dans la Mécanique. Void comment on obtient sonnbsp;equation.

La cycloïde est une courbe plane ACB (fig. 24 ) , engendrée par un point déterminé M de la circon-férence dun cercle pendant quil roule sans glissernbsp;sur une droite AB. Si le point générateur se trouvenbsp;dabord au point A, et quil arrive ensuite au pointnbsp;B de cette droite, Tinterv alle AB sera égal a la cir-conférence du cercle donné; on voit aussi que son

cliamètre sera e'gal a la perpendiculaire CD, abais-sëe du sommet C de la cjcloïde sur AB, et qui di-vise la courbc en deux parties symétriques. En appelant c Ie rayon du eerde donné, on aura done

Dans une position quelconque du eerde, soient HG son diamètre perpendieulaii'e a la base AB, et Hnbsp;son point de contact avec cette drolte. Du point M,nbsp;abaissons les perpendiculaires MP et MK sur AB etnbsp;GH, et faisons

AP = p

Mais Ie eerde gënérateur tournant sans glisser sur la droite AB, il sensuit quon a constamment

les deux cordes MG et MH du eerde générateur sont la tangente et la normale a la cycloïde qui re'pondentnbsp;au point M. En determinant par la formule connuenbsp;son rayon de courbure au raême point, on Ie trouvenbsp;égal au double de MH; doü il re'sulte quen prolon-geant MH dune quantité HN égale a MH, Ie point Nnbsp;sera Ie centre de courbure. En faisant de même lanbsp;droite CDE double de CD, Ie point E sera Ie centrenbsp;de courbure qui répond au sommet C; et de la onnbsp;eonclut aisément que la développée ANE de la demi-cycloïde AMC est la même courbe, i'enversée denbsp;manlère que son sommet C solt transporté en A etnbsp;son origine A en E. II sensuit que la longueur denbsp;ANE OU de AMC est égale a la droite CDE, et que, parnbsp;conséquent, la longueur totale de la cycloïde est égalenbsp;a qualre fois Ie diamètre de soa eerde générateur.

73. Dans les usages que nous ferons de cette equation, il sera plus commode de transporter lorigine des coordonnées au sommet C (fig. aS ). Je pren-drai pour axes des a? et des jr les droites Cx et Cy,nbsp;Perpendiculaires et parallèles a la base AB. En abais-sant du point quelconque M une perpendiculaire MPnbsp;SRr Ca:, on aura done

CP = X, MP = j;

et si lon compare ces coordonnées aux précédentes, et que lon appelle a Ie diamètre CD du eerde géné-iateur, on voit que

pour la longueur de 1 are CM, dont lorigine est au sonimet C. Au point A, on a x = a; ce qui donne,nbsp;comnie précédemment, ia pour la longueur de lanbsp;demi-cjeloïde CMA. On peut remarquer quej=4^xnbsp;est une equation de la cycloïde semblable a cellenbsp;de la parabole, dont elle ne diffère quen ce quenbsp;lordonnée j sy trouve remplacée par larc s.

En appliquant les deux dernières equations (2) au centre de gravité de Fare CM, nous aurons

sx,=j'x\/-^dx, sj,z=j'j sj^dx,

oü 1on prendra les intégrales de manière quelles sévanouissent avec x. En y mettant pour s sa vaquot;nbsp;leur, il en résulte

IX, \/x =f\/xdx, IJ, s/x = f

dua are M'CM symétnque de partei dautre du som-raet C, qui doit apparteoir a la droite CD, se trouve au tiers de CP, a partir du point C.

j, S/x = j \/x J \^a X dx,

ce qui, joint a la valeur de x^, determine complè-tement Ie centre de gravité de Vare CM. Dans Ie eas de la demi-cycloïde, on a a? = a et y' = anbsp;d oü il résulte

jr. =

74- Quand une courbe plane tourne autour dune droite comprise dans son plan et que je prendrai pournbsp;1axe des abscisses, elle engendve une surface de revolution dont létendue peut se déduii-e de la longueur de cette courbe et de Tordonnée de son centrenbsp;de gravité.

Pour Ie faire voir, soient x et j labscisse et lor-donnée du point quelconque M de cette courbe, et s larc CM aboutissant a ce point et compté dun pointnbsp;üxe C; lélément ds engendrera la surface dun cóne

tronqué, et son milieu décriraime circonféience égale a 27r {j'^ djquot;), Ou simpleinenta a cause quenbsp;dj' est un infiniment petit. Daprès la régie connue,nbsp;on aura done oTrjds pour eet élément de surface.nbsp;Done, si lon appelle i', et les valeurs de s qui ié-pondent aux deux extrémités de la courbe généra-tidce, et S la surface engendrée, on aura, daprès Ienbsp;théorème du n i5,

'f.y*-

On remarquera que cette expression suppose que la courbe génératrice nest pas coupée par laxe desnbsp;X, sans quoi ses parties situées des deux cótés de eetnbsp;axe décriraient deux surfaces différentes, dont S nex-primerait plus que la différence. Avec cette restriction , elle subsistera encore lorsque la génératricenbsp;sera une courbe fermée; et, pour lappliquer a cenbsp;cas, il suffira de prendre pour larc augmenté denbsp;la circonférence entière de cette courbe.

Cela posé, si lon compare cette formule a la troi-sième équation (2), on en conclut nbsp;nbsp;nbsp;^

ce qui montre que la surface engendrée S est égale a la longueur l de la courbe génératrice, multipliéenbsp;par la circonférence aTr/, que décrit son centre denbsp;gravité.

Ce tbéorème servira a déterininer la valeur de S toutes les fois que Ie centre de gravité de la génératrice sera connu sans aucun calcul, et, pour ainsinbsp;dire, a Iinspection de cette courbe , il ne servirait

plus a rien sil fallait calculer lordonnée j-,, puis-que ce calcul serait Ie même que celui de S. En sup-posant, par exemple, que la courbe génératrice soit un eerde; dësigna-nt par a son rayon, par c la distance de son centre a Iaxe de rotation, et supposantnbsp;quon nait pas c a , on aura

Quand le cercle touchera Iaxe de rotation, on aura c a, et la surface engendrëe sera équivalente aunbsp;carré dont le cóté est égal a la circonférence 27ranbsp;du cercle générateur.

point quelconque M, et .r,, j,, z,, celles du centre de gravité quil sagit de délerminer. Je considère znbsp;comme une function donnée de x et j'; je fais

et jappelle m rélérnent de la surface donnée qui ré pond au point M; on aura (n° 21)

Quel que soit le point de agt; oü se trouve Ie centie de gravité de eet élément, ses coordonnees différe-ront infiniment peu de x, z^ on pourra done

9-.

prendre «x, cdj'-, ooz, pour les momens de « par rapport aux trois plans des coordonnées, et il ennbsp;résultera (nquot;® 15 et 65 )

A e'tant laire de la portion de surface dont on de-mande Ie centre de graylté, et les intégrales doubles sétendant a tous les éléinens de A.

Dans Ie cas dune surface plane, et en prenant son plan pour celui des oc et j-, les quantités pnbsp;et q seront nulles, et lon aura seulement a con-sidérer les trois equations

Supposons que A soit alors terminée par la courbe ABC (fig. 26); a chaque abscisse x ou OP répon-dront deux ordonnées PM et PN, que je représen-terai par j et j', et qui seront données en fonc-tions de x par 1 equation de cette courbe. Soientnbsp;aussi et et C les abscisses OD et OE des points Anbsp;et B ou les tangentes sont parallèles aux ordonnées, Les intégrales devront ètre piises, dabord de-puis j = PN jusqua j PM , et ensuite depuisnbsp;X = a et X = ^; et il en résultera

ABC, si Faire A est comprise entre deux courbes dif-férentes et entre deux droites parallèles a Faxe Oj des ordonnées, on tirera de Féquation de la courbenbsp;superieure Ia valeur de jy, et de Fe'quation de lanbsp;courbe infeVieure celle de j', et lon prendra pournbsp;a et S les distances de ces deux parallèles au pointnbsp;O. Dans Ie cas Ie plus ordinaire, la courbe. inférieure sera reniplacée par Faxe Ox des abscisses; onnbsp;aura done = o , et slmplement

^x,z=J'^jjcda:, nbsp;nbsp;nbsp;(2)

pour determiner Faire et Ie centie de gravité dune portion de surface plane comprise entre une courbenbsp;donnée, Faxe des abscisses et deux ordonnées denbsp;cette courbe.

Observons aussi quon parvient dlrectement aux equations (i) de la manière suivante.

nfiniment minces et parallèles a Faxe Ojr. Jappelle u la longueur de la droite MN; par ses deux ex-trémités M et N, si Fon mène des parallèles a Faxenbsp;Ojc, on ajoutera a Félément MNN'M', ou Fon ennbsp;retranchera, des triangles infiniment pelits du second ordre, qui nen altéreront pas la grandeur;nbsp;par conséquent, eet élément sera égal a udx. Sinbsp;Fon désigne par e la distance du milieu de MN anbsp;Faxe Ox, on pourra prendre x et if pour les deuxnbsp;coordonnées du centre de gravité de eet élément;nbsp;car il est evident quelles n'en pouxTOul dilférer quenbsp;de quantités infiniment petites. Daprès les autres

Daiileurs, j et j' étant toujours les ordoane'es PM et PN qui répondent a une même absdsse quelnbsp;conque, on a aussi

76. Pour premier exemple, je suppose quon de-mande Ie centre de gravité du triangle ABC (fig. 27).

Je place lorigine des coordonnées au sommet C, et je prends laxe des x perpendiculaire a la basenbsp;AB; je reprësente cette base par b, et la hauteur CDnbsp;par h. Par Ie point quelconque P appartenant a CD,nbsp;je mène la perpendiculaire MN a cette droite; CP etnbsp;MN seront les variables x ei u, et lon aura la proportion

On aura, en outre, a = o et C=^ h. Au moyen de ces valeurs, les deux premières equations (3) don-neront

X, =: I A.

car si E est Ie milieu de AB, et quon tire la drolte CE, elle coupera en deux parties égales tons les élé-niens du triangle parallèles a AB, et contiendra, con-séquemment, son centre de gravité. Si done on prendnbsp;sur CD une par tie

et quon élève la drolte FG perpendiculaire a CD, Ie point G oü elle rencontrera CE sera Ie centre de gravité du triangle. La droite FG coupant CD et CE ennbsp;parties proportionnelles, on aura aussi

ce qui montre que Ie centre de gravité dun triangle se trouve sur la droite qui joint son somrnet au milieu de sa base, aux deux tiers de cette droite a par-tir du somrnet, on au tiers a partir de la base.

En etïet, par la decomposition du triangle ABC (fig. 28) en élémens parallèles au cóté AB, on prou-vera que son centre de gravité se trouve sur la droitenbsp;CD, qui joint Ie somrnet C au milieu D de ce cóté.nbsp;Eu Ie décomposant en élémens parallèles au cóté CA,nbsp;on prouvera de même que ce centre de gravité estnbsp;aussi sur la drolte BE qui va du somrnet B au milieunbsp;E de CA; ce point sera done situé a Iintersection Gnbsp;des deux droites CD et BE. Or, si lon tire la droitenbsp;DE, elle sera parallèle a CB, puisquelle coupe CAnbsp;et AB en parties proportionnelles; il en iésulteranbsp;done

en sorte que DG sera la moitié de CG, et, consé-quemment, Ie tiers de CD; ce quil sagissait de dé-montrer.

On en peut conclure que les trois droites qui vont des sümmets dun triangle aux milieux des cótés opposes, doivent se couperen un mème point; ce quinbsp;est conforme a un théorème connu.

Si les sommets A, B, C, du triangle sont les centres de gravité de trois masses égales, Ie centre de graviténbsp;de ces trois corps coïncidera avec celui du triangle;nbsp;car Ie centre de gravité des deux masses qui répon-dent a A et B se trouvera dabord au milieu D de lanbsp;droite AB; et ensuite Ie centre de gravité de ces deuxnbsp;masses et de la trolsième sera Ie point G de la droite CD,nbsp;tel que GD est moitié de CG ou Ie tiers de CD.

II suit de la et du tbéorème du n° 67, que si lon applique au centre de gravité G dun triangle, desnbsp;forces représentées en grandeur et en direction parnbsp;les droites GA, GB, GC, qui vont de ce point auxnbsp;trois sommets, ces trois forces seront en équilibre.

78. Connaissant Ie centre de gravité dun triangle, on en déduit successivement ceux dun secteur et dunnbsp;segment circulaires.

Soient CADB (tig. 29) Ie secteur, et C Ie centre du eerde. Si I on considere larc ADB comme une portion de polygone dune infinite de cótés égaux, onnbsp;pourra decomposer Ie secteur en élémens triangulairesnbsp;aussi égaux, qui auront tous ces cótés pour bases et

leur sommet commun au point C. On appliquera en-suite la force qui agit sur chacun de ces élémens a son centre de gravité; et comme la distance au point C denbsp;chaque centre de gravité est les deux tiers du rayonnbsp;du eerde, il en résultera un système de forces paral-lèles et égales , appliquées a tous les élémens de larcnbsp;décrit du point C comme centre, et dunnbsp;rayon égal a | CD. Par conséquent, Ie centre de gravité du secteur sera Ie centre de ces forces parallèles,nbsp;c est-a-dire, Ie centre de gravité de eet are A'D'B'. Or,nbsp;en désignant par a, l, c, Ie rayon CD, larc ADB etnbsp;la corde AB, les quantités analogues, relativementnbsp;a A'D'B', seront ~a, fZ, fc; si done G est Ie centrenbsp;de gravité demandé, et quon fasse CG = on aura,nbsp;daprès Ie théorème du n® 70,

Maintenant, soient S, S', S,, les surfaces du secteur CADB, du triangle CAB et du segment ADBE; appe-lons G, G', G,, leurs centres de gravité, qui serontnbsp;cvidemment sur Ie rayon CD aboutissant au milieu Dnbsp;de larc ADB si lon désigne par x, x', x^, les distances de ces trois points au centre C, et quoa y applique des forces parallèles et proportionnelles a S, S',nbsp;gt; la première sera la résultante des deux autres; ennbsp;considérant les momens de ces forces, on aura done

Sar = S'ar' -|- S,ar,.

S' ^ch, nbsp;nbsp;nbsp;j?' = I Ji.

et elle fera connaltre la distance x, du centre de gra-vité du segment ADBE au centre du eerde. En observant que

Lorsque larc l est la demi-circonférence, on a I =7ra; Ie secteur et Ie segment coincident, ainsinbsp;que les distances x et x\, dont la valeur communenbsp;est

jg. Si 1on prend successivement les trois sections coniques pour Ia courbe a laquelle re'pondent les formules (2), les integrations seffectueront par les regiesnbsp;connues, et lon pourra obtenir, sous forme linie, lesnbsp;valeurs des deux coordonnées x, etj, du centre de

gravité. Jindique eet example comme exercice de calcul, et je passe immédiatement a la determinationnbsp;du centre de gravite' de laire de la cycloïde.

Soit CPM(fig. 25) Ie segment dont on veut trou-Ver Ie centre de gravité; en désignant par jc etjy labs-cisse CP et lordonnée PM, comme dans léquation (ö) du nquot; , il faudra que les intégrales contenuesnbsp;dans les formules (2) sevanouissent quand xo; etnbsp;en integrant par partie, ces formules deviendront

Aar. = - xy ifx^dj, V (4)

Ar. = T rr* f^jdj; )

TOais si N est Ie point oü Pordonnée PM rencontre Ie eerde décrit sur CD comme diamètre, cette dernièrenbsp;integrale exprime Ie demi-segment circulaire CNP ;nbsp;en représentant, pour abréger, par y Paire de ce demi-segment , on aura done

Laire CAD de la demi-cjcloïde est done triple de eelle du demi-cercle CND, dont Ie rayon est | rt, ou,nbsp;autrement dit, laire de la cycloïde entière est égale anbsp;trois fois celle de son eerde générateur.

La dernière integrale sobtient immédiatement; et a cause quelle doit sévanoulr, quandx = o, nous au-rons

pour la distance de son centre de gravite a Iaxe Cy. Ainsi, le centre de gravite de Faire entière de la cycloïde se trouve aux sept-douziemes de la hauteur CD,nbsp;a partir du sommet C.

Relativement a un segment quelconque CMP, il reste a determiner Iordonnee jr,; ce qui exige un cal-cul plus complique.

\/ ax x'^

et supposant que cette integrale soit nulle comme toutes les au tres, quand x= o, on aura

Ia troisième e'quation (4) ne contiendra plus rien din-connu, et fera connaitre la valeur dey^, pour un segment quelconque CMP.

Dans Ie cas de la demi-cjeloïde CAD, on aura X a, z ¦=. are (cos = i) = -rr;nbsp;la formule (7) se réduira a

Ce qui, joint a la valeui de a?, du numéro précédent, déterminera complètement la position du centre denbsp;gravité.

81. Soit S laire dune zone de surface de révolu-tion, comprise entie deux plans perpendiculaires a son axe de figure. Get axe renfermera le centre de gravité de S : je le prendrai pour Iaxe des a?; et je dé-signerai par .r, la distance de ce centre a Forigine desnbsp;coordonnées, et par a et ê les distances a la même origine, des deux plans qui terminentS; la détermina-tion du centre de gravité de cette zone se réduira anbsp;celle de la valeur de

Je decompose S en élémens dontcliacunsera Ia surface dun cóne tronqué décrite par le cóté infinimenl petit de la courbe génératrice, córame dans le n° 74, celui fiui répond au point M de cette courbe dont les coor-données sont x ei j, sera égal a o.'Kjs/dy; ilnbsp;aura aussi son centre de gravité sur laxe des x, etnbsp;fon pourra prendre x pour la distance de ce point anbsp;^origine des coordonnées, puisquelle ne pourra dif-férer de x que dun infiniment petit. Ceia étant, onnbsp;aura (nquot; i3 et 65),

cn considérant j comme une fonction de a:, donnée par léquation de la génératrice.

Si cette courbe est, par exemple, un are de cercle; que Ton place Iorigine des coordonnéesa son centre,nbsp;et quon appelle a son rayon, on aura

Sx. = -Tra (* a*),

ce qui montre que Ie centre de gravité dune zone sphérique est au milieu de la partie du diamètrenbsp;comprise entre les deux plans qui la terminent, etnbsp;perpendiculaire a ces plans.

82. La cycloïde nous fournira deux exemples de rapplication des formules (8), en faisant tournernbsp;successivement larc CM (fig. 25) autour de laxe Cjcnbsp;et de laxe Cy--.

S ~ 27r s/a jy, Sx, = 2'7C S/ajy \/a:djc;

les intégrales étant prises de manière quelles séva-nouissent au point C, ou Ton a o: = o. En integrant par partie, et ayant égard a la valeur de dj, donnéenbsp;par la même equation (a), il vient

ce qui fait connallre la surface concave vers laxe de figure, engendrée par fare CM, et la distance denbsp;son centre de gravité au point C. Quand eet are de-vientla demi-cycloïde CA, on a x=.a tX jr~\'7iaynbsp;et, conséquemnient,

Dans Ie second cas, il faudra, pour continuer de faire usage de féquation {a) du nquot; yS, permuter xnbsp;et j dans les formules (8), lesquelles deviendront,nbsp;par la,

y, étant la distance au point C, du centre de gravité de S situé sur la droite Cy, et les intégrales séva-noulssant au point C, cest-a-dire, quand n? = o. Da-près féquation (lt;z), nous aurons

S == aw'fx \J^dx == ^x \/ax', la valeur de Sj-, sera la niéme que celle de Sa?, du

premier cas, et en la clivisant paV cette valeur de S, on aura la distance au point C, du centre de graviténbsp;de la surface convexe vers laxe de figure, engendréenbsp;par Tarc CM. Lorsque eet are deviendra la demi-cj-cloïde CA, la surface engendrée sera égale a ;nbsp;en même temps, la distance jquot;, aura pour valeur^

On peut remarquer que quand un même are de courbe tourne successivement autour de deux axesnbsp;rectangulaires et passant par une de ses extréraités,nbsp;Ie second membre de la seconde équation (8) nenbsp;change pas de valeur, et, par conséquent, les distances a cette extrémité, des centres de gravité desnbsp;deux surfaces engendrées, sont en raison inverse desnbsp;aires de ces surfaces.

83. Si la courbe ABC (fig. 26) tourne autour de laxe Ox, compris dans son plan et qui ne la traversenbsp;pas, sa surface engendrera un solide de révolution dontnbsp;Ie volume, que je représenterai par V, pourra sex-primer au mojen de laire de cette surface et de lor-donnée^, de son centre de gravité.

En effel, la tranche infiniment petite de ce volume, engendrée par lelément MNN'M' de laire génératrice,nbsp;sera la différence Ttj'dx nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;des deux cylin-

pour hauteur commune; car on peut négliger les volumes infiniment petits du second ordre, engendrés par les triangles que lon retranche de eet élément,nbsp;OU quon y ajoute, en menant par les points M et Nnbsp;des parallèles a laxe Ox. Or, si Ton compare cettenbsp;expression de V a la troisième formule (i) du numéronbsp;ei té, on a

ce qui montre que Ie volume engendré par laire A d une courbe plane est égal a cette aire multipliée parnbsp;la circonférence du eerde que décrit son centrenbsp;de gravité; tbéorème analogue a celui du n* 'j4gt; etnbsp;qui servira a determiner Ie volume V quand ie centrenbsp;de gravité de A sera connu a priori. II subsislera encore, lorsque la surface génératrice, au lieu detrenbsp;circonscrite par une courbe fermée, sera comprisenbsp;entre deux courbes différehtes et deux perpendicu-laires a laxe de figure, pourvu que eet axe ne passenbsp;pas entre ces deux courbes planes.

Si laire génératrice est un demi-cercle tournant autour de son diamètre, la distance de son centre de

Supposons encore que la courbe fermée ABC soit une ellipse, et repre'sentons par aetb ses deux demi-axes, et par c la distance de son centre a laxe de rotation. Laire A sera, comme on sait, égale a Trab;nbsp;et son centre de gravilé étant évidemment Ie centrenbsp;de figui'e, on aurajTi = c; doü il résultera

quelle que soit linclinaison de lun ou lautre des axes de lellipse sur laxe de rotation.

84* II est évident que Ie segment du solide de ré-volution compris entre deux plans passant par laxe de figure, est au solide entier comme langle de cesnbsp;deux plans est a quatre angles droits, ou, ce qui estnbsp;la même chose, comme Fare décrit entre les deuxnbsp;plans, par Ie centre de gravité de Faire génératrice ,nbsp;est a la circonférence entière 27s^,. Done, en appelant l la longueur de eet are, et L Ie volume du segment , on aura

A étant toujours Faire génératrice qui, par hypothese, nest point traversée par Faxe de rotation.

Cette formule peut sétendre de la manière suivante a dautres segmens qui nappartiennent pas a des solides de révolution.

Supposons, en effet, quune courbe plane se meuve sans glisser ni tourner dans son plan, et de telle sortenbsp;que ce plan solt constamment perpendiculaire a unenbsp;ligne donnée, qui peut être une courbe plane ou anbsp;double courbure. Dans ce mouvement, Ie mérnenbsp;point dece platidemeurera toujours sur la directrice,

et les autres points décriront des courbes semblables a cette Hgne. Soient A, L, Z, laire de la courbe gé-nératrice, Ie volume engendré par cette surface, etnbsp;la longueur de la courbe parcourue par son centrenbsp;de gravité. Si l était un are de eerde, L serait unnbsp;segment de solide de revolution; mais, dans tous lesnbsp;cas, on peut diviser l en parties infiniment petites,nbsp;dont chacune se confondra avec Ie eerde osculateurnbsp;lt;4ui lui correspond. Désignons par a Tune de ces parties, et par ile volume du segment correspondant denbsp;Ilt;; et supposons que les plans perpendiculaires a sa direction, par lesquels v est terminé, se coupent sui-vant une droite qui ne traverse pas Faire de la ge-nératrice. Cet élément iquot; de L sera un segment denbsp;solide de révolution; et daprès léquation précédente,nbsp;on aura

aA.

Done, en prenanl la somme de toutes les valeurs de v ®t observant que Ie facteur A est constant, il en ré-sultera que Ie volume L est égal au produit de Z et A,nbsp;comme dans Ie cas dun solide de ré volution. La regienbsp;que cette equation L = AZ renferme est ulile dans lanbsp;pratique, et susceptible dunassez grand nombre dap-pUcations; toulefois, on ne devra point oublier quellenbsp;ua plus lieu quand les génératrices consécutives senbsp;coupent sur la surface eugendrée, et forment, parnbsp;leurs intersections successives, ce quon appelle unenbsp;firète de rebrousseinent.

85. La consideration du centre de gravité fournit aussi une régie pour éValuer Ie volume dnn prisme

OU dun cylindre a base quelconque , tronqué par uit plan incline' sur cette base.

Soient y laire dune section de cylindre perpendiculaire a sa ge'nératrice, laire de la section in-clinée qui Ie terniine, 6 Tangle de ces deux plans, (tö un élément quelconque de A, ê sa projection surnbsp;Ie plan de y, ou Télément correspondant de Taire y,nbsp;qui est elle-même la projection de A. Daprès Ie théo-rème du n° i o, on aura

Cela étant, je suppose que A soit la surface a laquelle se rapportent les formules générales du n yS, et quenbsp;6 repiésente Tinclinaison de son plan sur celui des xnbsp;etjr. Je multiplie la troisième de ces formules parnbsp;cos 6, et je fais passer ce facteur constant sous Ienbsp;signe ff; en vertu des valeurs de y el e, on aura

Or, cette integrale double est Ie volume du cylindre tronqué compris entre les deux sections et A, etnbsp;décomposé en filets infiniment minces et perpendi-culaires a y, en supposant, toutefois, que ces deuxnbsp;Sections ne se coupent pas mutuellement; il sensuitnbsp;done que Ie cylindre tronqué est égal a un cylindrenbsp;droit ayant la même base et pour hauteur la distance z^ a cette base, du centre de gravité de la section inclinée.

Ce théorème est évident dans Ie cas ordinaire, ou la base du cylindre est un eerde et la section inclinéenbsp;une ellipse; car en menant par !e centre de cette courbe

plan parallèle a la base, ce cylindre ne change pas de volume, puisque Ie segment quon en re-tranche est évidemment e'gal a celui quon y a jou te.

SI les aires de'signees par y et A se coupent niutuel-lenient, Ie volume se composera de deux segmens *lont linte'grale ffzè exprlniera la difference et nonnbsp;pas la somme. Quand Ie cylindre sera terminé parnbsp;deux sections inclinées dont les aires ne se coupentnbsp;pas, on pourra toujours Ie diviser en deux parlies,nbsp;dont la base commune et perpendiculaire a la géné-ratrice, ne coupera ni Tune ni lautre de ces deuxnbsp;sections; et en observant que leurs centres de gra-vité se trouvent sur une même droite perpendiculairenbsp;a cette base, on voit que Ie volume total sera égal anbsp;laire de cette base rpultiplle'e par la distance mutuellenbsp;de ces deux points,

86. La de'termination du centre de gravité dun volume depend, en general, de plusieurs intégralesnbsp;triples; mals il y a des corps pour lesquels la position de ce centre se determine par des intégralesnbsp;simples. Ce sont ces corps que nous allons dabordnbsp;considérer.

Le centre de gravité duue pyramide ou dun cóne a base quelconque se trouve sur la di oite qui va denbsp;son sommet au centre de gravité de la base; car cettenbsp;droite rencontre toutes les sections parallèles a lanbsp;base, en des points homologues qui sont leurs centres de gravité, et quon peut aussi prendre pour les

centres de gravité des élémens de ce corps, infinl-ment minces et parallèles a sa base. Par conséquent, la droite dont il sagit contient Ie centre de graviténbsp;de la pyramide ou du cóne, et il ne reste plus quanbsp;déterminer sa position sur cette ligne.

Soient et X laire de ia base et celle dune section parallèle; désignons par k et o: les perpendicu-laires abaissées du sommet sur leurs plans j nous au-rons, comme on salt,

De plus, on pourra prendre Xcfar pour lélément du volume du cóne ou de la pyramide; et si lon ap-pelle V son volume total et x^ la valeur de x corres-pondante a la section qui contient Ie centre de gravité, on en conclura, comme dans les questions pré-cédentes,

En substituant la valeur de X et effectuant les integrations , 11 vient doü ion tire

rallèle a la base, il coupera en parties propovtion-iielles la hauteur h et la droite qui va du sommet centre de gravité de la base; il sensuit done quenbsp;Ie centre de gravité du cóne ou de la pjramide a basenbsp;^luelconque se trouve aux trois quarts de cette droite,nbsp;3 partir du sommet, ou au quart, a partir de la base.

87. Relativement a la pyramide triangulaire, ce théorème se démontre sans Ie secours du calcul integral.

Soit ABCD (fig. 5o) cette pyramide. Soient aussi E et F les centres de gravité des faces ACD et BCD;nbsp;tiionsles droites BF et AE, dont les prolongemens senbsp;rencontreront au milieu H de larète CD; et ensuitenbsp;dans Ie plan AHB, tirons les droites AF et BE, quinbsp;se couperont en un certain point G. Je dis que cenbsp;point sera Ie centre de gravité de la pyramide ABCD;nbsp;car en la décomposant en élémens parallèles a la basenbsp;ACD, on verra, comme dans Ie numéro précédent,nbsp;^lue son centre de gravité doit se trouver sur la droitenbsp;EE; et en la décomposant en élémens parallèles a BCD,nbsp;on verra, de même, que ce point appartient a lanbsp;droite AF. Ces deux droites AF et BE, qui sont effec-tivement dans un même plan, devront done se cou-pcr, et leur intersection G sera Ie centre de gravité

demandé.

Maintenant, dans Ie triangle ABH, la droite EF est parallèle a la base AB, puisquelle coupe les cótés AHnbsp;ct BH en parties proportiotinelles, cest-a-dire, aunbsp;tiers a partir de H; on aura done

en sorte que FG est Ie tiers de GA ou Ie quart de AF; ce quil s agissait de prouver.

On en conclut que si les quatre sommets A, B, C, D, de la pyramide sont les centres de gravité de massesnbsp;égales, Ie point G sera Ie centre de gravité de cesnbsp;quatr£ masses; car déja Ie point F est celui des troisnbsp;masses qui répondent a B, C, D (n 77); et ensuite Ienbsp;point G, tel que GF est Ie tiers de GA, sera Ie centrenbsp;de gravité de ces trois masses et de la quatrième.

II suit de Ia (11° 67) que si lon applique au centre de gravité de la pyramide triangulaire des forces re-présenlées, en grandeur et en direction, par lesnbsp;droites qui vont de ce point aux quatre sommets, cesnbsp;quatre forces se feront équillbre^

88. Ayant déterminé Ie centre de gravité dune pyramide triangulaire, on en déduit immédiatement celui dune pyramide ou dun cóne a base quelcouque,nbsp;en décomposant cette base en un nombre fini ou in-fini de triangles : Ie centre de gravité de cette pyramide OU de ce cóne doit se trouver a la fois sur lanbsp;droite qui va du sommet au centre de gravité de lanbsp;base, et dans Ie plan parailèle a la base qui coupenbsp;toutes les lignes menées du sommet a cette base, auxnbsp;trois quarts a partir du sommet; ce qui saccorde avecnbsp;Ie résultat du n° 86.

On en déduit aussi Ie centre de gravité dun sec-teur spbérique. En effet, si lon décompose ce secteur en une infinite de pyramides dont Ie sommet com-

lïiun solt au centre de la sphere, et qui aient pour bases les élémens infiniment petits de la base du sec-teur, leurs centres de gravité se trouveront tous surnbsp;la base dun secteur concentrique, dont Ie rayon seranbsp;les trois quarts de celui du secteur donné; doü Tonnbsp;^nclut que Ie centre de gravité du secteur donnénbsp;sera Ie même que celui de la base du secteur con-eentrique ; ce qui en détermine la position.

Supposons que Ie secteur sphérlque solt engendré par Ie secteur circulaire CADB (fig. 29), tournant au-tour du rayon CD, qui aboutit au milieu de iarc AB;nbsp;Ie triangle CAB et Ie segment circulaire ADB engen-dreront, en même temps, un cóne et un segmentnbsp;sphérique; et Ie centre de gravité de ce segmentnbsp;sphérique se déterminera daprès ceux du secteur sphérique et du cóne.

Bour cela, appelons V,, V, V', les volumes respec-tlfs de ces trois corps, et x,, ar, ar', les distances de leurs centres de gravité au point C; nous aurons

V = V' V,, V.r = V'x' 4- nbsp;nbsp;nbsp;(«)

Solent a Ie rayon CD, c Ia corde AB et la flèche DE de larc ADB. Relativement au cóne, on aura

La base du secteur sphéiique sera égale au produit de Ia flèche et de la circonférence du grand eerde,nbsp;OU a 2^a/, et son volume aura pour valeur Ie produit de cette base et de ou . Si Ton dé-orit du point C comme centre, et dun rayon égal a

I CD, un are de eerde tel que A'D'B', Ie centre de gravité de la surface engendrée par eet are se trou-vera au milieu de la flèche D'E' (n° 8i), ou, aulre-ment dit, a une distance du point C égale a CD'^ D'E',nbsp;dont la valeur est | (a if)- Done, ce centre denbsp;gravité étant, daprès ce quon vient de dire, celuinbsp;du secteur sphérique V, on aura

-3 '7raf=z ^ ttc* {a ) V,,

TT nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;!«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;/\

5 \ nbsp;nbsp;nbsp;2anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;3.anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aa/'

8g. On determine aussi par des integrales simples Ie volume et Ie centre de gravité de tout corps sy-niétrique par rapport a un axe, com me un ellipsoïde, par exemple.

Soient X, yy z, les trois coordonnées rectangulaires *lun point quelconque de la surface; prenons laxenbsp;de figure pour celui des x, et désignons par X Fairenbsp;de la section perpendiculaire a cette droite, qui ré-pond a Fextre'mité de 1abscisse x. Si Fon decomposenbsp;Ie volume en élémens infiniment minces et perpen-diculaires a Faxe de figure, on pourra prendre X^/xnbsp;pour Ie volume dun élément quelconque, et x pournbsp;la distance de son centre de gravité a Forigine desnbsp;coordonnées. Done, en désignant par V une tranchenbsp;comprise entre deux sections correspondantes a desnbsp;abscisses données et et ë, et par x, la distance de sonnbsp;centre de gravité a Forigine des coordonnées, nousnbsp;aurons

Si lon applique cette formule au segment sphe-rique que lon a considéré dans Ie n° précédent, il faudra prendre

Pour avoir la valeur entière de lellipsoïde, il faudra faire = rteta = a;ce qui donne

Ce volume est aussi donné par lintégrale triple ffjdxdxdz, étendue a tous les élémens de lespacenbsp;terminé par la surface de Tellipsoïde; mais en faisant

^¦^ette nouvelle inte'grale devra setendre a tous les élémens de lespace circonscrlt par la surface quinbsp;répond a 1 equation précédente ; elle sera , par conséquent , Ie volume de la sphere qui a lunité pour

rayon; et ce volume étant égal h ^, il en résulte comme précédemment, pour celui de 1ellip-

(90). Les corps symétriques autour dun axe com-prennent les solides de revolution. Nous prendrons toujours laxe de figure póur celui des abscisses x.nbsp;En supposant alors un solide de cette nature engen-dré par une aire plane, comprise entre deux courbesnbsp;données et les perpendiculaires a laxe des x quinbsp;répondent a x = a et x = ë, et désignant par jnbsp;y les ordonnées de ces courbes relatives a unenbsp;Oïême abscisse quelconque x, il taudra faire

La cycloïde fournira encore des exemples de lap-plication de ces formules, dans lesquels toutes les integrations seffectueront sous forme finié.

Si 1on considère Ie solide convexe, engendré par laire CMP ( fig* ^5 ) tournant autour de laxe Cx,nbsp;on intégrera dabord par partie; ce qui donnera

les intégrales étant prises de manière quelles se'va-nouissent au point C, ou quand x o. En vertu de lequation {a) du n yS, on aura done

et les calculs sachèveront par des transformations semblables a celles du n 80. Dans Ie cas du volumenbsp;engendré par la demi-cjeloide CAB, on trouve

V nbsp;nbsp;nbsp;-r nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 64)^

Sil sagit, au contraire, du solide convexe engendré par Faire CMP, tournant autour de Faxe Cf, il faudra préalablement permuter x et f dans lesnbsp;équations {b); doü il résultera

/i étantla distance au point C, du centre de gravité lt;ïui se trouve sur laxe Cj-, et les intégrales se'va-ïiouissant en ce point C. En vertu de le'quation (a) denbsp;la cycloïde, on aura done

La première integrale sobtiendra sans difficulté; la seconde, par des transformations semblables a cellesnbsp;du n° 8o. Dans Ie cas oü CM sera la demi-cycloïdenbsp;entière, on trouvera

gi. Maintenant, soient x^, j-, j z, , les trois coor-données rectangulaires du centre de gravité dun corps de forme quelconque, homogene o-u hétéro-gène , dont la masse sera représentée par M. Daprèsnbsp;ce quon a déja dit dans Ie n° 65 , il faudra, pour determiner ces trois inconnues, diviser M en parties in-finiment petites, et changer, en consequence, lesnbsp;sommes en intégrales dans les seconds membres desnbsp;équations(i) de ce numéro. On aura, de cette manière,

dm étant lélément différentiel de la masse du corps lt;iul répond aux coordonnées x ,j, z. En appelant nbsp;la densité de ce même élément, et dv son volume,nbsp;On aura aussi

On pourra prendre maintenant, pour Télément dv du volume, Ie parallélépipède rectangle dont lesnbsp;trois eótés adjacens sont parallèles aux axes des x,

Si Ie corps est homogene, sa densité sera constante ; en désignant par V son volume, on aura

M = pV;

Si Ie corps est hétérogène, il pourra se présenter deux cas différens. Dans Ie premier cas, ce corps senbsp;composera de parties homogènes de grandeur linie,nbsp;et la densité ne variera que dune partie a lautre. Onnbsp;appliquera done a chacune delles les équations (2),nbsp;puis on déterminera Ie centre de gravité du corpsnbsp;entier daprès ceux de toutes ses parties (n° 64). Dansnbsp;Ie second cas, ia densité variera par degrés insensi-bles dans lintérieur du corps; et alors on fera usagenbsp;des équations (i), dans lesquelles / devra être unenbsp;fonction donnée Ae x, j, z.

Toutefois, on doit remarquer que, soit quil sa-gisse dun corps homogene ou dun corps hétérogène, la division de la masse en élémens infiniment petits,nbsp;dont les densités sont les mêmes ou ne varient quenbsp;par degrés insensibles, suppose que ce corps estnbsp;formé dune matière continue. Or, cela na pas lieunbsp;dans la nature, oü les corps, au contraire, se com-posent de parties matérielles disjointes et séparéesnbsp;les unes des autres par des espaces vides, comparables en grandeur aux parties pleines. Nous revien-

QOus ferons voirquon peut, néanmoins, appliquer les formules (i) et (2) aux corps naturels, comme sinbsp;la matière néprouvait aucune discontinuité dans leurnbsp;intérieur.

92. Au lieu des coordonnées z, il sera quel-ijiiefols nécessaire, pour faciliter les integrations, ^employer les coordonnées polaires de chaque élément dm. Soit alors r son rayon vecteur, ö langlenbsp;ijuil fait avec laxe des a: positives, et langlenbsp;compris entre Ie plan de ces deux droites et celuinbsp;des X et j'; nous aurons ( n° g )

II faudra , en même temps, expvimer dv au moyen des différentielles de ces nouvelles variables r, 6,4-On a des formules générales pour la transformation des variables indépendanfes dans les inté-grales multiples; mais on peut aussi trouver direc-tement lexpression de digt; dont nous devrons fairenbsp;«sage, savoir :

Je mets fdv a la place de dm dans les équations (i), ¦ j y substitue ensuite cette valeur de dv et cellesnbsp;de X,y-, 2; elles deviennent

Mx, =ffffd sin 0 cos Bdr lt;i0 d'\ , Mjr, = sin0 cos -^dr t/0 dd^,nbsp;Mz, = sin9 sin d^-dr f/G d'\.,

Quant aux limites de ces intégrales triples, elles seront différentes selon que Torigine des coordonnëesnbsp;sera placëe en dehors ou en dedans du corps. Lorsquenbsp;cette origine sera un des points de M, on intégieranbsp;dabord depuis r = o jusqua r=u, en représentantnbsp;par u une fonction de 6 et -vj. donnée par léquationnbsp;de la surface; cela fait, on intégrera depuis 6 = onbsp;et %{/ =o jusqua 0 = et -xl. = a-rr, en commencantnbsp;a volonté par Tangle 0 ou par Tangle -vl/* Les limitesnbsp;seront généralement plus ccmpllquées quand Tori-gine des coordonnëes nappartiendra pas a la masse M.nbsp;Reprësentons, dans ce cas , par u et u' deux fonctionsnbsp;données de 0 et \jy, par co et a/ deux fonctionsnbsp;de vj', et par ceet a! deux angles donnés; supposonsnbsp;quil sagisse dune portion de corps comprise, dunenbsp;part, entre les deux surfaces qui ont pour ëqualionsnbsp;r=. u et r=:u' dune autre part, entre les surfacesnbsp;coniques qui ont pour axe coinmun Taxe des x, leurnbsp;sommet aussl coramun a Torlgine des coordonnëes, etnbsp;pour équations 0 := amp;gt; et 0 = enfin, entre les deuxnbsp;plans passant par eet axe, et qiii font des angles etnbsp;et a! avec Ie plan fixe dou Ton compte Tangle Onnbsp;intégrera dabord depuis r u jusqua r=u', en-suite depuis 0 = ® jusqua 9 = co'^ et finalement,nbsp;depuis xj' = jusqua 4 = a'.

Prenons, par exemple, pour les deux premières surfaces celles de deux spheres concentriques qui ontnbsp;eur centre commun a Torigine des coordonnëes, et

^ont les iajons sont a èt a'; supposans, en mème temps, que les deux cones soient a base circulaire,nbsp;aulrement dit, que o) et amp;)' soient des anglesnbsp;constans ; supposons, de plus , que la densité ne soitnbsp;lonction que de r-, de sorie que la portion de corpsnbsp;Ton considère appartienne a une sphere com-pose'e de couches concentriques infiniment minces ,nbsp;dont chacune ait la même densité dans toute sonnbsp;etendue, laquelle densité variera dune couche anbsp;lautre, suivant une function donnée de la distancenbsp;au centre. En faisant, pour abréger,

r/rWr=A,

,= ¦iB(sina'sina) {co' co ^ sin aoj'-f- -jsin 2«),, = jB(cosa. cosx'){co' co ^sin2®' jsins®);.

Ce qui fait eonnaitre les valeurs de o:,, jr,, z, , quon *^e pourrait déduire, dans eet exemple, des équa-bons (i).

Si la masse M forme un anneau complet, de sorte T*^ on ait a' = a 27r, il en iésultera jquot;; = o etnbsp;^¦ = o, cest-a-dire que Ie centre de gravité seranbsp;situé, comme cela doit être, sur laxe de eet anneau :nbsp;sa distance a?, au centre de la sphere dont eet anneaunbsp;fait partie, aura pour valeur

Dans Ie cas de rhomogénéité de la sphère, la den-sité f e'tant constante, on aura

Quand Ie vide de lanneau dlsparaitra, on fera ci)=o; et, enfin, sil se change en nn secteur sphérique, onnbsp;fera aussi a = o ; doü il résultera

ce qui saccorde avec la valeur de la quantité designee par a? dans Ie n° 88, en observant que la flèche représentc'e par aurait pour valeur a[icosa)'), etnbsp;que Ie rayon est a'.

g3. Pour trouver la difieientielle dv du volume , exprimée au mojen des différentielles des coordon-nées polaires, je suppose que M (fig. 3i) soit Ie pointnbsp;qui répondaux coordonnées r, ö, -4^; en sorte que Onbsp;étant leur origine, OM soit Ie rayon vecteur r, 6 Tangle MOx conipris entre ce rayon et un axe fixe Oa::,nbsp;et -4, Tangle que fait Ie plan de ces deux droites avecnbsp;un plan fixe, mené arbitrairement par la seconde.nbsp;Soit M' un point situe sur Ie prolongement de OM,nbsp;et dont Ie rayon vecteur OM' sera r'. Du point O

coinme centre, et dans Ie plan M'Ox, décrivons les arcs de eerde MN et M'N' compris entre les deux.nbsp;droites OMM' et ONN', et désignons par 6' Tanglenbsp;NOa:, enfin, faisons tourner Ie plan de eet angle au-tour de Taxe Oa?, et représentons, dans sa nouvellenbsp;position, par Tangle quil fera avec Ie plan fixe.nbsp;Dans ce mouvement, Taire MM'N'N engendrera unnbsp;volume MM'N'NPP^Q^Q, que je représenterai par U.

Or» cette aire, difFérence des deux secleurs circulaires M'ON' et MON, est e'gale a

Si lon appelle u la perpendiculaire abaissée de son centre de gravité sur laxe Ox, on aura -J/)nbsp;pour la longueur de larc que ce centre décrira au-tour de cette dioite. Dapiès Ie théorème du n° 84,nbsp;ïgt;ous aurons done

Cela posé, concevons que les trois dimensions de U deviennent infiniment petites, et faisons, en consequence ,

Le facteur r'-(-r se rédulra, en même temps, a ar; On pourra aussi prendre pour u la perpendiculairenbsp;MH abaissée du point M sur laxe Ox, laquelle estnbsp;egale a rsin0, et ne saurait différer de u que dunnbsp;infiniment petit; enfin, U se cbangera en dv, dontnbsp;la valeur, quil sagissait de determiner, sera

On remarquera, effectivement, que ce volume dv peut être considéré comme un paralléléplpède rectangle, dont les trois cótés adjacens sont MM' ou dr,nbsp;1 are infiniment petit MN, qui a son centre au point 0nbsp;et pour longueur rd^, et Iarc infiniment petit MP,nbsp;j qui a son centre au point II et pour longueurnbsp;1^' isin0ö?0.

lia base MNQP de ce parallélëpipède est Ielement de la surface sphe'rique dont Ie centre est au pointnbsp;0 et ie rayon égal a r. En la déslgnant par dtj, onnbsp;a done

Si Ton appelle dco lélément de la surface sphérique dont Ie rayon est pris pour unite, on aura aussi

En integrant cette expression de dco depuis 0 = o et 4 = 0 jusqua 0 = TT et 4 = on en de'duitnbsp;475quot; pour Ie rapport de la surface de la sphere aunbsp;carié de son rayon j ce qui est, en effet, sa valeurnbsp;connue.

^^'''^Alt;X'\'VVVWVV\AiW\'WVW%'VVVVWVVVW\iVVVVVVWVVVgt;'WVWVV\XiW\iWWVgt;'W^fc\\Vgt;A/W\VWVV\ Wgt; «VXrt

94. Supposons quun point materiel 0 (fig. Sa) soit soumis aux attractions de tous les points dunnbsp;corps de forme quelconque; en decornposant cha-cune de ces forces en trois autres, dirigées suivantnbsp;des axes rectangulaires menés arbitralrement par Ienbsp;point 0, et faisant ensuite la somme des compb-santes positives ou negatives qui agissent stilvantnbsp;cfiaqne axe, on aura les trois composantes, dontnbsp;la résultante exprimera, en grandeur et en direction , lattraction totale qui sera exercée sur Ie pointnbsp;0- Ces trois composantes seront des sommes dunenbsp;mfinité délémens infiniment petits, étendus a lanbsp;iRasse entière du corps attirant; elles sexprimerontnbsp;par des intégrales triples, et Ie calcul de ces quan-tités sera semblable a celui des coordonnées du centrenbsp;de gravité dun corps quelconque dont nous venonsnbsp;de nous occuper : cest pourquoi je placerai ici cenbsp;que jai a dh-e sur Ie calcul des attractions.

Cette question est une de celles dont les géomètres se sont Ie plus occupés, soit a cause des difficultés

danaljse quelle presente, soit a raison de ses rapports avec Ie problème de la figure de Ia terre et de la loi de la pesanteur a sa surface; mais, dans eetnbsp;ouvrage, on se bornera a donner les formules qui senbsp;présentent immédiatement, et quelques-unes de leursnbsp;applications. Je renverrai, pour de plus grands déve-loppemens, au second volume delaMécanique celeste,nbsp;et a mon Mëmoire sur YAttraction des Sphéroïdes,\n-sëré dans la Connaissance des Tems de 1année 1829.

95. SoitD un point fixe pris dans Tintérieur du corps attlrant; paree point, menons Irois axes rectangu-lairesDa:, Djquot;, Dz, qui seiont les axes des coordonnéesnbsp;positives; désignons par x, j, z, les coordonnéesnbsp;d un point quelconque M du corps attirant, etparrZ/wnbsp;réléraent différenliel de sa masse, qui répond a cenbsp;point M; représentons aussi par a, ë, gt;,les trois coordonnées du point O, et par la masse de ce point ma-tériel; et soit enfin u la distance OM, de sorte quon ait

Lattraction exeicée par dm sur /x sera dirigée sui-vant la droite OM. On suppose cette force propor-tionnelle aux produits des deux masses, et en raison inverse du carré de la distance u; en la désignantnbsp;done par F, on aura

f étant un coefficient constant qui exprimera Ilnteuquot; si té du pouYoir attractif, rappor té aux unités denbsp;rnasse et de distance. Pour se former une idéé precise de cette quantité J, il faut concevoir deux corps

de forme et de dimension quelconques, dont les lïiasses sont égales et prises pour unite, et supposernbsp;que 1attraction ne varie ni en grandeur ni en direction dans toute 1élendue de ces deux corps - cn sortenbsp;quelle soit la même entre deux élémens quelconquesnbsp;de leursmasses, égaux a dm et a quentre les pointsnbsp;ttiatëriels ju, et dm que nous considérons, lorsque leurnbsp;distance OM est égale a lunité : la force f est lattrac-tion totale qui serait exercée alors par lun de cesnbsp;deux corps sur Tautre.

Les projections de la droite OM sur les axes \)x, Jij, Dz, sont a x, ë y, y z; en les divisantnbsp;par ï/, on aura les cosinus des angles qui détermi-nent la direction de la force F , ses trois composantesnbsp;seront done

et en y considérant u comme une quantité positive, elles tendront, selon quelles seiont positives ou negatives , a dinnnuer ou a augmenter les trois coornbsp;données a, amp;,y, du point 0. Si done on désigne parnbsp;B, C, les trois composantes de lattraction totalenbsp;exercée sur ce point, on aura, en mettant pour F sanbsp;valeur, et observant que ji* et sont des facteurs

A = f^/Jff^dm,

En représentant par p la densité de lélément dm ^ et par dv son volume, on aura

Cette quantité p sera, dans Ie cas general, une fonc-tion donnée des coordonnées du point M; elle se réduira a une constante donnée, dans ie cas dènbsp;rhomogénéité du corps attirant. On exprimera dvnbsp;au mojen des difierentielles des coordonnées de M,nbsp;dont on fera usage, et qui seront Ie plus propres anbsp;faciliter les intégrations.

g6. Par une considération tres simple, on réduit a une seule les trois intégrales triples doü dépendentnbsp;les vatéurs de A, B, C.

A cause que ces limites sont indépendantes dé la position du point 0, si Ton différentie T par rapportnbsp;a ses coordonnées, on pourra effectuer ces difTéren-tiations sous les signes f (n° 14) ; et comme on anbsp;dailleurs

^e sorte que Ie calcul des trois composantes A, B, C, ïie de'pendra plus que dizne seule inle'grale T.

En Ia determinant, il sera important de se rappe-^er que !e de'nominateur ic devra avoir constamment Ie même signe dans toute létendue de llntégration,nbsp;et quil (loit étre positif si Ton veut que les composantes A, B, C, tendent a dhninuer ou a augmenternbsp;les coordonnées du point 0, selon que leu-rs valeursnbsp;données par les equations (2) seront positives ou negatives.

Au lieu dune attraction, si Ie point 0 était soumis a une repulsion, il suffiralt de changer les signes desnbsp;Valeurs de A, B, , ou, ce.qul est la méme chose,nbsp;dy regarder f comine une constante negative. Dansnbsp;Ie cas Ou la force attractive ou repulsive qui agit surnbsp;Ie point 0 ne serait pas, comme nous Favons suppose',nbsp;en raison inverse du carré de la distance , et quon re-présentcralt, en general, Ie coeflGcieut de f^dm par unenbsp;fonction donnée de u, que je désignerai par (pu, onnbsp;pfendrait une autre fonction lt;igt;u, telle que 1on eut

7,r = -

de T. II se pourrait aussi que cette force fut attractive pour une paitic du corps qui agit sur 0, et repulsive pour une autre partie, auquel cas la fonction

(pu, dans laquelle est compris Ie coefficient , chan-gerait de signe dans létendue de lintégrale que T re-présente.

Les composantes de laction exercée sur un corps de forme et de dimension quelconques, se dédui-ront des formules pre'cédentes, en y remplacant /anbsp;par léle'ment difféientiel de sa masse, qui rëpond auxnbsp;coordonnées a, , y, et integrant ensuite, par rapport a ces trois variables, dans teute létendue de cettenbsp;masse; dou Ion voit que les composantes de Factionnbsp;exercée par un corps sur un aulre dépendront, gé-néralement, dintégrales sextuples.

Telles sont les formules daprès lesquelles on cal-culera les attractions ou repulsions; mais avant den faire aucune application, il est nécessaire dexpliquernbsp;comment elles conviennent a la constitution intimenbsp;des corps naturels, et dexaminer la difficulté dont ilnbsp;a été question a la fin du n 91.

gy. Les différens corps renferraent, sous des volumes égaux, des quantités inégales de matière ponderable (n° 60); et ces quantités variant, pour un méme corps, avec sa temperature et la pression extérieure a laquelle il est soumis, on a été conduit anbsp;considérer les corps naturels comme un assemblagenbsp;de parties matérlelles non contiguës, et séparées lesnbsp;unes des autres par des pores ou espaces vides de matière pondérable. Ces parties matérielles se nommentnbsp;des atoines; leurs dimensions et celles des poresnbsp;échappent, par leur extréme petitesse, a nos sens etnbsp;a tous nos inoyens de les mesurer. On regarde lesnbsp;atomes comme indestructibles, et la masse, la forme.

Je volume de cliacun deux, comme invaiiables. Les dimensions des pores varient, au contraire, avec lesnbsp;^juantités diverses de chaleur quon introduit dans lesnbsp;^orps OU quon en fait sortir, et avec les pressionsnbsp;^Uxquelles on les soumet; et comme les changemensnbsp;lt;Je volume dun corps peuvent être trés grands, sansnbsp;ïue sa masse ait augmenté ni diminué, il sensuitnbsp;'{Ue les dimensions des parties vides doivent étre comparables et généralement supérieures a celles des parties pleines.

Les atomes de même nature ou de nature différente, se réunissent en diverses proportions, pour former dautres parties des corps, toujours insensibles, quon appelle leurs molecules. Les corps differentnbsp;entre eux par la nature et la proportion des atomesnbsp;qui entrent dans la composition de chaque molecule;

les atomes sont regardes corome invariables et in-destructibles, ainsi quon vient de le dire, paree ^uen les réunissant dans les memes proportions, onnbsp;reproduit, a toutes les époques, les memes corps,nbsp;jouissant des mêmes propriétés.

98. II est évident, daprès cela, que la division dc masse en élémens infiniment petits, et la supposition dune densité de chaque élément, qui ne varienbsp;pas dans les corps homogènes, ou qui varie par de-gres insensibles dans les corps hétérogènes, ne con-^lennent point aux corps naturels; mais cela nem-Peche pas quon ne puisse faire usage des formulesnbsp;foudées sur cette considération, et quelles ne soientnbsp;Sincere applicables lorsque les corps ont été divisés ennbsp;parties de grandeur finie , mals tout-a-fait insensible.

En effet, les molecules sont si petites et si rappro-chées les unes des autres, quune partie de la masse dun corps qui en renferme des nombres immenses,nbsp;peut encore être supposée extrêmement petite , etnbsp;son volume regaidé conime insensible. Soit e Ie volume dune semblable partie, dune grandeur insensible, et qui contienf, néanmoins, des mjriades denbsp;molecules ; soit aussi m la somme de leurs masses; etnbsp;désiguons par M un des points de e, qui sera, si lonnbsp;veut, son centre de gravité. Si nous faisonsnbsp;ce rapport p exprimera réellement la densité du corpsnbsp;au point M, quelles que soierit dailleurs les massesnbsp;des molecules et leur distribution réguliere ou irréguliere dans Télendue de v. De même, en dési-gnaut par n Ie nombre de molécules que u renferme, et faisantnbsp;cette ligne e, de grandeur insensible, pourra étrenbsp;appelée Yintervalle inoyen des molécules qui répondnbsp;au point M et a la densité p. Dans un corps homogene , ce rapport et cette ligne ne varient pasnbsp;avec la position du point M ; dans un corps hé-térogène, ces deux quantités varieront par degrésnbsp;insensibles, et pourront être supposées des fonc-tions données des coordonnées de ce point.

Cela posé, si Ton veut connaitre la masse dun corps, ou, plus généralenient, la sornme des par-

ties extrémement petites de cette masse, multipliées chacune par une fonction U des coordonnées de Tunnbsp;ses points M, on divisera Ie volume V de cenbsp;corps en parties extrémement petites u, puis onnbsp;fera la somme de tous les produits Vpi', que jin-

SUfi

ct qui devra sétendre a toutes les parties v de V. öaprès Ie théorème du n° 15, si les termes de cettenbsp;sonime étaient infiniment petits et que leur nom-bre fut infini, sa valeur serait rigoureusement égalenbsp;a lintégrale définie

étendue au volume entier V, dont dv est 1 element différenliel. Or, on concoit quen general la difference entre cette somme et cette integrale di-minuera de plus en plus, a mesure que les parties de la première deviendront plus petites, et quenbsp;leur nombre sera plus grand; de telle sorte quenbsp;la grandeur de v étant insensible , mais toujoursnbsp;distincte de dv , on pourra néanmoins prendre ,nbsp;Sans erreur appreciable, 1integrale a la place de lanbsp;somme. II y a cependant une exception a ce prin-cipe general: cest lorsque U est du genre des functions qui varient tres rapidement, et quen menienbsp;temps cette quantité change de signe dans létenduenbsp;de 1lntégration j ce qui arrive, effectivement, dansnbsp;Ie calcul des forces provenant de lattraction moleculaire et de la repulsion calorifique , qui ne sontnbsp;sensibles qua des distances insensibles. Maïs il nous

suffit, quant a présent, dobserver que cette exception na aucun rapport avec les formules des n91 et 95, relatives aux centres de gravité des corps etnbsp;aux attractions en raison inverse du carré des distances, et quon peut, conséquemment, les appli-quer aux corps naturels formés de molécules dis-jointes.

99. Revenons maiutenant au calcul des attractions. Si la distance du point 0 au corps attiré est trésnbsp;grande relativement aux dimensions de ce corps, onnbsp;pourra, dans lexpression de T du n° 96, dévelop-

Si I on prend Ie centre de gravité du corps attirant pour lorigine D dés coordonnées, on aura

fffxdm = o, ffJfdinz=o, fffzdmz=o,

puisque ces intégrales, divisées par la masse M du corps,seraient les trois coordonnées de ce point (n°9i).nbsp;En désignant cette masse par M, nous aurons done

Lorsque la distance OD ou d' sera assez grande pour quon puisse réduire cette valeur de T a sonnbsp;premier terme , les equations (2) deviendront

ï'Cctlon OD , il sensuit done que lattraction exercée 5Ur un point 0, parun corps qui en est trés éloigné,nbsp;est a peu pres la même , en grandetir et en direction,nbsp;lt;l«e si la masse M de ce corps était reunie a son centrenbsp;de gravité.

Lorsqne ce corps sera une sphere homogene ou composée de couches concentriques, on trouvera quenbsp;tous lesterniesde lavaleurdeT, excepté Ie premier, senbsp;détruisent; il suffira pour cela de remplacernbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z, par

les coordonnées r, 6,4» comme dans Ie n° 92 ; ce qui permetlradefFectuer les integrations relatives a 6 et 4-Le théorème quon vient dénoncer sera done alors tout-a-fait exact, si la distance cf est seulement assez grande

pour que le développeinent de ^ soit une série convergente; et, en eflet, on verra dans le numéro suivant, sans recourir a la reduction en séiie, que ce théorèmenbsp;^ lieu, quelle que soit la distance du point 0 a la spherenbsp;attirante, pourvu quil ne soit passitué dans soninté-'aeur. II est facile d en conduce que lattraction dunenbsp;sphere sur une autre est la même que si la masse denbsp;^haque sphere était reunie a son centre; car, en appelant M et M' les masses des deux spheres, et C el C' leursnbsp;centres, Iattraction de M sur un point quelconque 0nbsp;de cst dabord la même que si la masse M étaitnbsp;concentrée au point C; en outre, cette attraction de Cnbsp;Sur tous les points O de M', est égale et contraire a

l attraetion de tous ces points ou de M'sur laquelle est la même que si la masse M' élait re'unle au point Cjnbsp;done, lattraction des deux sphères est la même quenbsp;celle de deux points matériels situés en C et C', etnbsp;dont les masses seraient M et M'.

löo. Lattraction exercée sur Ie point 0 par ime couche spliérlque, homogene et dune épaisseur constante , dont D est Ie centre, se réduira évidemment anbsp;une force dirigée suivant OD. En faisant coïncidernbsp;t) cette droite avec laxe Qx, les composantes B et C, pa-rallèles aux axes Dj et Dz, serontdonc nulles, et lonnbsp;naura que la valeur de A a calculer.

Dans ce calcul, on emploiera, comme dans Ie n° 92, les coordonnées polaires r, 9, -vl/. Laxe Da: senbsp;confondant avec la droite DO, on aura alors

Langle ¦%[/ sera celui que fait Ie plan ODM avec un plan fixe passant par la droite DO; on prendra (n 95)

pour Félémentdu volume; et dans lélément dmz=.^dv de la masse, on regardera p comme un facteur constant.

Après avoir substitue ces valeurs dans lexpression de T du n° 96, on intégrera depuis r~h jusquanbsp;r = a, en de'signant par a e\ b les rayons extérieurnbsp;et intérieur de la couche sphérique, et depuis ö = onbsp;jt'l -v}, = o jusqua 8 = et = 27r. Comme la va-

iiable -l n entrera pas sous Ie signe , rintégratïon relative a cette variable se réduira a remplacer lanbsp;différeutielle c?4

Kiais comme il exprime la valeur de ti, qui doit être constamment positive (n® 96), il faudra prendre a 7-a la liinite G = -jT , et r et on ct r a la limite 0 = o,nbsp;selon que Ie point O sera situé en dedans ou en dehors de la couche sphérique. Nous verrons tout anbsp;Iheure ce quon doit faire lorsque ce point appar-tiendra a la couehe mèrae, de sorte quon ait rgt; anbsp;dans une partie de cette couche, et r ¦lt; a dans lautrenbsp;partie.

~=~\/ ct^aarcos G-f-r®-f-const., 2ccr cos ö -f- r

aura done, dans Ie cas du point interieur,

jsinfidé

nbsp;nbsp;nbsp; 2arcosfi r

P^i consequent, la valeur de T ne dépendra pas de a, et celle de A qui sen déduit au inojen de la premièrenbsp;equation (2), sera egale a zéro. Dans Ie cas du pointnbsp;extérieur, on aura de même

T=4^ rv^r=^

A _ nbsp;nbsp;nbsp;.

ce qui est la même force que si la masse entière de cette couche attirante était reunie a son centre.

loi. Ces résultats sétendent imme'diatement aux eas dune couche sphérique dune épaisseur constante,nbsp;mais composée dautres couches concentriques, dontnbsp;la deusité varie de Tune a lautre, suivant telle loinbsp;quon voudra, et ne change pas dans toute Tétenduenbsp;dune même couche; car on peut determiner séparé-ment les attractions de ces différentes couches, et fairenbsp;ensuite la somme de toutes ces forces, laquelle seranbsp;nulle pour un point intérieur, et donnée par la formule (3) pour un point extérieur; M exprimant tou-jours la masse totale du corps attirant.

i. Que les attractions en raison inverse du carré des distances, exercées par tousles points dune couchenbsp;sphérique dune épaisseur constante, homogene ounbsp;composée de couches concentriques, sur un point 0nbsp;situé dans lespace vide que cette couche termine, se

lt;^etruisent mutuellement j en sorte que ce point de-meurerait en équilibre, quelque part quil fut placé lt;ians eet espace.

2°. Que Tattraction de cette même couche et, par conséquent aussi, Fattraction dune sphere entière,nbsp;exercée sur un point extérieur 0, est la même que sinbsp;a masse du corps attirant était réunie a son centre.

Si Ie point 0 fait partie de la couche attirante, Ou, autrement dit, si Fon aa^èetotcüa, on par-tagera cette couche sphérique en deux autres : Funenbsp;dont les rayons extérieur et intérieur seront a et cl,nbsp;1 autre pour laquelle ces rayons seront a,etb;\e pointnbsp;0 étant intérieur a Fégard de la première de ces deuxnbsp;couches, elle nexercera sur lui aucune action; et sinbsp;Fon appelle m la masse de Ia seconde couche, parnbsp;rapport a laquelle Ie point 0 est extérieur, Fattractionnbsp;de cette couche se déduira de la formule (5), en ynbsp;Riettant m au lieu de M. Lattraction totale exercéenbsp;sur Ie point 0 aura done pour valeur

la couche sphérique se change en une sphere en-tierement pleine, et quelle ait partout la même den-®ité, on aura

cest-a-dlre que dans Fintérieur dune sphere homogene, Fattraction est proportionnelle a la distance du point attiré a son centre.

pulsion, pourvu que cette force varie toujours en raison inverse du carré des distances.

102. Léquilibre du point O, situé dans Tespace que termine une couche sphérique, et attiré ou repousse par tous ses points, peut facilement se verifier.

Supposons, pour cela, que cette couche soit dabord infiniment mince. Soit « son épaisseur. Décomposonsnbsp;sa surface en élémens infiniment petits; et désignonsnbsp;par « laire de celui qui répond au point P (fig. 53).nbsp;Les élémens correspondans du volume et de la massenbsp;de cette couche seront s.a et pesy; et si Ion appelle rnbsp;la distance OP, la valeur de la force dirigée suivantnbsp;cette droile sera

Imaginons un cóne dont la base soit a et Ie som-met O; en prolongeant la génératrice OP jusqua ce quelle rencontre en P' la suiface sphérique, etnbsp;prolongeant de même toutes les autres generatrices,nbsp;on déterminera sur cette surface un second élémentnbsp;que je désignerai par Soit, de plus, r' la distancenbsp;OP'; la force dirigée suivant cette droite, en sensnbsp;contraire de la précédente, aura pour valeur

or, je dis que ces deux forces contraires seront égales entre elles, cest-a-dire quon aura

Soient, en effet, POQ et P'OQ' los sections des deux ^nes, faites par un mêmeplan quelconque, passantnbsp;par leur sommet commun O. Les suifaces semblablesnbsp;^ et co' seront entre elles comme les carrés des li-gnes homologues PQ et P'Q'. A cause des trianglesnbsp;Semblables POQ et P^OQ', on a dailleurs

en élevant au carré les quatre termes de cette proportion, on en conclura done

II résulte de Ia que les actions exercées sur Ie point O par tous les élémens de la couebe sphérique se dé-truisent deux a deux. Laction totale de cette couchenbsp;sera done nulle; et il en sera encore de mème si ellenbsp;a une épaisseur linie; car alors on pourra la decomposer en une infinite de couches infiniment minces,nbsp;dont chacune nexercera aucune action sur Ie point O.

io3. Lorsque Ie point 0 appartiendra a la masse attirante, on facilitera souvent les integrations ennbsp;prenant ce point pour origine des coordonnées po-laircs. Le rajon vecteur du point quelcouque M seranbsp;alors u', en appelant done, connue dans lenquot;g3,nbsp;dco Lélement de la surface sphérique dont le rayonnbsp;est lunité, on aura

et si lon appelle g, h, k, les angles que fait la droite OM avec des parallèles aux axes Dx, Dz, menéesnbsp;par Ie point O, on aura aussi, daprès les notationsnbsp;du n® 95,

cos g = -, cos ft = ce qui changera les equations (i) de ce numéro ennbsp;celles-ci:

Les intégrales relatives a u sétendront depuis «=0 jusqua u=r, en désignant par r Ie rayon vecteurnbsp;dun point quelcouque de la surface qui termine Ienbsp;corps attirant. Pour plus de simplicité, si lon suppose ce corps homogene, ces intégrales seffectuerontnbsp;immédiatement, et il en résultera

Pour déterminer la valeur de r, quon devra subs-tituer dans ces formules, soit, en coordonnées rec-tangulaires,

réquation de la surface du corps attirant. En uu point quelconque de cette surface, on a

y, étant toujours les trois coordonnées du point 0 dont les valeurs sont données. On substitueranbsp;done ces valeurs denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z, dans léquation précé-

dente; celle qui en résultera donnera, en general, deux valeurs de r. Tune positive et lautre negative;nbsp;*^iais on rejettera la valeur negative, paree que Ienbsp;'ayon vecteur r est une quantité positive dont la di-i'ection est uniquement déterminée par les anglesnbsp;§} h, k, qui peuvent être aigus ou obtus.

Après la substitution de la valeur de r dans les equations (a), les inte'grales doubles sétendront a tousnbsp;les élérnens dco de la surface spbérique, décrite dunbsp;point O comme centre, et dun rayon egal a lunité.

104. Appliquons ces formules au cas de lellipsoïde bomogène dont la surface a pour equation

(^)

b, c, designant les trois demi-axes, et le centre de figure étant Iorigine D des coordonnées. Si Ton ynbsp;substitue les valeurs précédentes de x, j, z, il vient

pi'* 4quot; nbsp;nbsp;nbsp; I,

Or, la quantitë p est positive; la quantité l est aussi positive OU zéro, paree que Ie point 0, qiii répoudnbsp;aux coordonnées a, C, y, est situé dans Tintérieurnbsp;de l ellipsoïde, ou, tout au plus, a sa surface; parnbsp;conséquent, il faudra prendre Ie radical avec Ienbsp;signe , pour que Ie rayon r ne soit pas négatif. Jenbsp;dis, de plus, quon pourra supprimer ce radical dansnbsp;les formules {a). En effet, la partie correspondantenbsp;delintégrale contenue dans A, par exeraple, serait

mals pourchaque couple déléniens dont les rayons sont dans Ie prolongement lun de lautre, les élémensnbsp;de cette integrale double se détruisent; car en passantnbsp;de Fun de ces élémens dco a lautre, chacun des trois cosinus cos g, cosh, cosk, change de signe, les quan-tités p, l, q'^, restent les mèmes, et Ie coefficientnbsp;diedo) sous Ie signe^prend des valeurs égales et denbsp;signe contraire. Tous les élémens de lintégrale pré-cédente se détruisant alnsi deux a deux, la yaleurnbsp;de A devient dabord

I y rr cos ff cask , N

en ayant égard a la valeur de q. Or, les deux der-nières de ces trois intégrales se composeront de cou-

pies délémens qui répondront aux mêmes valeurs h et de k, et a des valeurs de g supplemens Tunenbsp;de 1autre. Chacun de ces couples déléraens se i-é-eluira done a zéro, et, par conséquent aussi, les in-^égrales entières. En supprimant ces intégrales et fai-S3nt subir des réductions semblables aux valeurs denbsp;® et de C, on aura simplement

A = rr^^dco,

Solent actuellement 6 Tangle compris entre Ie rayon OM et la parallèle a Taxe Ox menée par Ie point D, etnbsp;Tangle que fait Ie plan de ces deux droites avec unnbsp;plan passant par la seconde et parallèle a celui des xnbsp;y; nous aurons (n° 8)

cos*9 (c* cos*4/ sin* 4^)a* sin 6, ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rr cos'^ 9 sin èdö d^/

~~ JJ 'p ¦

l*our comprendre les directions de tons les rayons OM, les intégrales devront sétendre depuis ö = o et 4/ =0nbsp;JRsqunnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et 4 S'TT ; mais a cause que Ie eoeffi-

clent de (Ê a Ia même valeur pour ö et pour tT 6, il suffira dintëgrer depuis G = o jusqua 0 = i7r, etnbsp;de doubler Ie résultat; et paree que Ie coefficient de 4'nbsp;est Ie même pour et pour yrdz-^, il suffira aussinbsp;dinlégrer depuis ^ = o jusqua -vj, =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, et de qua-

au moyen de quoi la valeur de A ne dépendra plus que de lintégrale relative a ö. Sans nouveau calcul,nbsp;on déduira B de A en y mettant amp; au lieu dea, etnbsp;permutant les lettres n et è; et de même, on déduiranbsp;C de A en j mettant y au lieu de a, et permutant lesnbsp;lettres a et c. De cette manière, on aura finalement

ac cos® 6 sin (dl ®cos9 /^quot;sin®fl)(c®cos®6 -)- Z»®sin®6)nbsp;ab cos® S sin Sd^

C[ue chacune de ces trois composantes tend a rappro-cher Ie point 0 du centre de rellipsoïde; Ie contraire öurait lieu dans Ie cas dune repulsion ou Ton de-vrait mettre, dans ces formules, jT au lieu de f.

0 tf)c, au lieu de a, h, c, dans les formules (c). ïje facteur i cT disparaitra, et les valeurs denbsp;A, B, C, resteront les mêmes. Or, par cette substitution, lellipsoïde se trouveia augmenté dune par-be comprise entre sa surface primitive et une surfacenbsp;semblable; les composantes A, B, C, ne changeantnbsp;pas, il en faut done conclure que laction de cettenbsp;partie additive sur Ie point intérieur O se réduit anbsp;z;éro.

Ainsi une couche homogene comprise entre deux surfaces elliptiques semblablés, ayant Ie méme centrenbsp;®t leurs axes dans les mêmes directions, nexerce au-cune action attractive ou repulsive sur un point 0 si-tué danslespace vide que terraine sa surface intérieure;nbsp;^n sorte que ce point materiel restera en équilibre,nbsp;quelque part quil soit placé dans eet espace; théo-*'eme qui comprend celui que nous avons précédem-bient trouvé pour Ie cas dune couche sphérique,

II en résulte que faction duu ellipsoïde plein et I'Otnogène sur un point 0 de sa masse, se réduit anbsp;qui est exercée par la partie de cette massenbsp;'^^inilnée par la surface elliptique, passant paree point,nbsp;^fimblable a celle du corps entier, et semblablementnbsp;placée. Daprès les formules (c), la composante denbsp;^ette force, parallèle a chacun des trois axes de fel-

lipsoïde, est proportionnelle a lordonne'e du point 0 parallèle a eet axe, et ne depend que de cette variable-Dans Ie cas general oü les trois demi-axes a, b, c,nbsp;sont inégaux, on transforme en fonctions ellipti-ques les intégrales relatives a ö que ces formulesnbsp;renferment; ce qui permettra den calculer les va-leurs numériques, au moyen des tables de M. Legendre . Ces mêmes intégrales sobtiennent sousnbsp;forme finie, lorsque deux des constantes a, b^c,nbsp;sont égales, et qui! sagit, par conséquent, dunnbsp;ellipsoïde de revolution.

io6. Supposons, par exemple, quon ait c=b; la forme des intégrales relatives a 0 sera différente,nbsp;selon que lellipsoïde sera aplati ou allongé, cest-a-dire, selon quon aura b a on b lt;C. a. Supposonsnbsp;aussi que ce soit Ie premier cas qui ait lieuj et fai-sons, dans cette hjpothèse.

en sorte que la fraction e soit laplatissement de Tel-lipsoïde, et tn sa masse. II en résultera

Les composantes B et C étant entre elles comme les coordonnëes ^ et du point O, il sensuit que leurnbsp;résultante sera dirigée suivant ia perpendiculairenbsp;abaissée de ce point sur Faxe de revolution. En appelant A' cetle force, et a.' la longueur de la perpendiculaire, de sorte quon ait

La résultante des deux forces A et A' expriraera , en grandeur et en direction. Taction totale de Tel-lipsoïde sur Ie poiut O.

Lorsque e sera une trés petite fraction, on pourra développer ces valeurs de A et A' en séries trés con-vergentes, ordonnées suivant les puissances de e. Anbsp;cause de

A=eg!f(._| elc.),

Öans Ie cas de la sphere, ou de e = o. Ia résultante de A et A' sera dirigée vers Ie centre, et aura la mêmenbsp;intensité que dans Ie n° lOi.

mogène sur un point extérieur présente encore beau-coup plus de difficulté; mais on doit a M. Yvori un théorème au moyen duquel ce cas peut étre ramenénbsp;a celui du point intérieur; ce qui permet dexprimernbsp;les composantes de lattraction par des intégrales simples, semblables aux formules (c). Voici une démons-tration de cette importante proposition.

jJJ [( jT (y 2)]

Je suppose que léquation de la surface soit toujours Iéquation [b), et jj mets ax', hy', cz', a la place denbsp;X, J, z, ce qui la change en celle-ci:

¦y {^-bj'r {y~cz'yY

et si 1on désigne par ± les valeurs de x', égales et de signe contraire, que Fon tire de Féquation pré-cédenle, iintégrale relative a x' devra être prise de-puis x' ~-~x, jusqua x' = x,-^ ce qui donne

dj'dz'

A == (./fate

dfdd__

Chacune de ces deux inte'grales doubles se'tendia a tous les élémens de la demi-surface sphérique dontnbsp;Ie rayon est lunité, et qui a son centre a Toriginenbsp;des coordonnées ; Ie produit df'dz' est la projectionnbsp;Sur Ie plan des j et z, dun élément quelconque. Sinbsp;done on désigne par G langle que Ie rayon qui abou-a eet élément fait avec laxe des x, et par 4 Tanglenbsp;uonapris entre Ie plan de ces deux droites et Ie plannbsp;des X et j-, 1aire de eet élément sera sin GrZQ^/4 »nbsp;son inclinaison sur Ie plan des y et z sera Tangle G,nbsp;et il en résultera

Les limites des deux intégrales seront maintenant 6 = 0 et 4=0» ^ = -^7r et 4 = ^7^» ais si Tonnbsp;^lel, dans la seconde, tt G a Ia place de 'fc, il est /nbsp;uisé de voir que ces deux intégrales se réuniront ennbsp;'^ue seule, qui aura les inêmes limites par rapportnbsp;^ 4» et dont les limites relatives a Ö deviendrontnbsp;® == o et G = TT j en sorte que Ton aura simplement

A = ^JfbcJJ^ ---gt;

i3..

Maintenant, considérons Tattraction dun autre ellipsoïde ajant la mêine denslté fgt;, Ie même centre, et ses axes dans les mêmes direelions que Ie premier.nbsp;Soientnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, c,, les trois demi-axes correspondans

a a, b, c; appelons 0, Ie point soumis a cetfe attraction, a-i, èi, y^, ses coordonnées, et A,, B,, C,,les composantes de celte force, parallèles aux trois axesnbsp;de lellipsoïde. En supposant toujours que ^ soit lanbsp;masse du point attiré, nous aurons

R, étant ce que devient R quand on y change a, b, c, et, ë, y, en at, è,, c,, a,, ê,, Les valeursnbsp;de B, 'et C, se déduiront de méme de celles de Bnbsp;et C.

Supposons que les deux ellipsoïdes aient les mêmes foyers, et conséquemment des excentricités égales;nbsp;on aura alors

Ji, h, h kt étant des quantités positives ou negatives qui exprimeront, abstraction faite du signe, les carrés des excentricités communes a ces deux corps.nbsp;Supposons, de plus, que Ie point 0., attiré par Ie second ellipsoide, soit situé sur la surface du premier,nbsp;et Ie point 0 attiié par Ie premier, sur la surfacenbsp;du second. Daprès Féquation {b) et celle de la surface du second ellipsoïde, il fandra quon ait

Soient enfin p et q deux angles donnés; et prenons

i acosp, é', = sin?cosg-, 5.^, =csinpsin^, |

Valeurs qui satlsferont aux deux equations précé-dentes et qui élablissent une relation particuliere entre les coordonnées des points 0 et O,. En subslituant cesnbsp;Yaleiïrs de a.^ ë, dans lexpression de R, et y met-tant aussi les valeurs préeédentes de b*,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b\, c\, il

Or, sans écrire la valeur de R, on voit quelle sera Ia ïuème que celle de R; car elle sen déduirait par lesnbsp;permutations de a'et a,, b et b,, c et c,, sans changer h et k, qui sont des quantitcs communes auxnbsp;deux ellipsoïdes; et il est évident que cette dernièrenbsp;formule ne change pas par ces permutations. A cause denbsp;= R, les valeurs de A et A, renfermeront la mêmenbsp;integrale double; en léliminant, on aura done

l^elativement aux autres composantes, on obtiendra des résultats semblables; en sorte que, daprès les

suppositions quon a faites sur les deux points attires O et O,, on aura finalement

Pour énoncer Ie théorème que ces trois equations renferment, appelons points correspondans, sur lesnbsp;surfaces des deux ellipsoïdes, deux points dont lesnbsp;coordonnées sont entre elles dans Ie rapport desnbsp;demi-axes auxquels elles sont parallèles. Le point 0,nbsp;de la surface du premier ellipsoïde, dont les coordonnées parallèles aux demi-axes a, b, c, sontnbsp;^17 gt;igt; ^uia pour correspondant, sur la surfacenbsp;du second ellipsoïde , le point 0, dont les coordonnées parallèles aux demi-axes , Z»,, c,, sont a, ê, y,nbsp;puisquon a, daprès les équations (2),

Si lon a deux ellipsoïdes homogènes qui aient le même centre et les mêmes foyers, lattraction suivantnbsp;chaque axe que lun des deux corps exerce sur unnbsp;point situé a la surface de lautre, est a lattraction denbsp;celui-ci sur le point correspondant de la surface dunbsp;premier, comrae le produit des deux autres axes dunbsp;premier ellipsoïde est au produit des deux auties axesnbsp;du second.

108. Lorsque deux ellipsoïdes différens ont, comniu on le suppose, le même centre et les mêmes foyers.

1un des deux est entièrement compris dans lautre; par conséquent, si Ie point O est extérieur par rapport au premier ellipsoïde, Ie point 0, sera intérieurnbsp;par rapport au second. Pour, déterminer, au moyennbsp;du théorème précédent, lattraclion dun ellipsoïdenbsp;donné sur un point extérieur 0 aussi donné, on feranbsp;done passer par ce point la surface dun second ellipsoïde ayant Ie même centre et les mêmes foyers que Ienbsp;premier; par les formules relatives aux points intérieurs, on déterminera les trois composantes A B,, C,,nbsp;de Pattraction de ce second corps sur Ie point 0, de lanbsp;surface du premier, correspondant du point 0; lesnbsp;equations (5) feront ensulte connaltre les composantesnbsp;A, B, C, de Fattraction de Fellipsoïde donné sur Ienbsp;point donné. Ainsi tout se réduira a trouver les va-leurs des trois demi-axes a,, b,, c,, du second ellipsoïde, daprès ceux du premier quon a représentésnbsp;par a, b, c, e\ daprès les coordonnées a, y, dunbsp;point donné 0.

Pour fixer les idéés, je suppose que a soit la plus petite des trois quantités a,b, c; ce qui rendra posi-fives les quantités A et ^ du numéro précédent. Jap-pelle u Ie carré de a,; on aura

^ nbsp;nbsp;nbsp;b^ =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;7i, c, = \/MA:;

il ne restera plus qua déterminer cette inconnue u, ^ui devra être réelle et positive. Or, en vertii de lanbsp;Seconde équation (1), nous aurons

(4)

equation du troisième degré pai rapport a m, qui a au moins une racine réelle et positive; car en falsantnbsp;croitre u depuis zero jusqua Iinfini, son premiernbsp;membre est dabord plus grand et ensuite plus petitnbsp;que Ie second; en sorte quil y a au moins une va-leur positive de u qui les rend égaux. Je dis de plusnbsp;quil ny en a quune; car en supposant quil y en aitnbsp;deux, u et li, il faudrait quon eut a la fois

et en retranchanl ces equations lune de lautre, et supprimant Ie facteur u, commun a tous lesnbsp;termes, il en résulterait

ce qui est évidemment impossible. Done il nexlste quun seul ellipsoïde qui ait Ie même centre et lesnbsp;mêmes foyers quun ellipsoïde donné, et qui passe ennbsp;outre par un point donné. La quantlté u, doii dependent ses trois demi-axes a,, è,, c,, est déterminéenbsp;par léquation (4); ce qu11 sagissait de trouver.

109. Nous ferons remarquer que Ie théorème du n° 107 convient également a toutes les lois dattrac-tion en function de la distance; car la demonstrationnbsp;quon vient den donner est fondée sur la forme quenbsp;prend lexpression de R, qui se trouve identiquenbsp;pour les deux points O et O,, et non sur la fornie

STATIQÜE, PREMIÈRE PARTIE. la fonctioa de R, qui exprime la loi de lat-tractlon..

Si les deux ellipsoïdes sont des spheres concentri-^ues, lattiaction de chacuue delles sera Ia rnênie sur tous les points de la surface de lautre, et il ne seranbsp;plus nécessaire que les points O et O, soient corres-pondans. En appelant a et lt;2, les rayons de ces deuxnbsp;Spheres, D Paltraction de la sphere du rayon a surnbsp;Ru point de Ia surface sphérique du rayon a,, etnbsp;ö, celle de la sphere du rayon a, sur un point denbsp;la surface sphérique du rayon a, lesquelles forcesnbsp;seront dirigées suivant les rayons des points attires,nbsp;on aura

Cette proportion est facile a verifier dans le cas Ordinaire ou Iattraction est en raison inverse dunbsp;carré de la distance. En effet, dapres les résul-^ats du n° loi, si Ton suppose a a,, Iattrac-tion D de la sphere du rayon a sur un point inférieur, sltué a une distance a, de son centre etnbsp;dont f/, est la masse, sera

Iattraction D, de la sphere du rayon a, sur un point extérieur, dont fx est aussi la masse et qui se Irouvenbsp;3 la distance a dc son centre, aura pour valeur

et en comparant ces valeurs de D et D,, on voit quelles sont entre elles comnie les carrés des rayonsnbsp;a et rt,.

LIVRE DEUXIÈME.

DYNAMIftUE,

PREMIÈRE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

1 lo. Le mouvement Ie plus simple que puisse prendre un point male'riel est celui qni a lieu en lignenbsp;droite, et dans lequel le mobile décrit des espacesnbsp;®gaux en temps égaux. Cest ce mouvement rectilignenbsp;1on appelle uniforme, et qui sert de terme denbsp;^oniparaison a tous les autres mouvemens.

Quand le rapport des espaces parcourus aux temps Employes a les décrire change continuellement, lenbsp;rnouvement est varie'; si ce changement navait Heunbsp;qua des intervalles de temps finis, le mouvementnbsp;Ue serait quune succession de mouvemens uniformes.

Dans un mouvement quelconque, lespace parcouru par Ie mobile, ou, plus génëralement, sa distance anbsp;un point fixe pris sur la ligne quil décrit, est uoenbsp;fonction du temps écoulé depuis une époque con-venue. Ainsi, en appelant t ce temps, et x cettenbsp;distance, on aura, dans tous les cas,

X = Fé;

et les diverses sortes de mouvemens différeront enlre elles par la foime de cette fonction Ff. La variable tnbsp;pourra être positive ou negative : ses valeurs positives répondront a des époques postérieures a cellenbsp;doii lon compte Ie temps, et ses valeuis negatives, anbsp;des epoques antéricures.

Dans Ie mouvement uniforme, si lon appelle a Fespace parcouru dans chaque unité de temps, et bnbsp;la distance du mobile au point fixe, a loiigine dunbsp;temps f, cest-a-dire, Ia valeur de x qui répond anbsp;f = o, on aura, a un instant quelconque,

X =. h at-,

car, daprès la définition de ce mouvement, lespace X b décrit dans Ie temps t doit être égal a lespacenbsp;constant a, répété autant de fois que t renfermenbsp;dunités.

III. On ne définit ni Ie temps ni lespace; mais il suffit a Ia Géométrie et a la Djnamique que nousnbsp;puissions mesuier les dimensions des corps et les du-rées de leurs mouvemens. La mesure des longueursnbsp;est fondée sur la superposition, et se concoit sans au-cune difficulté; celle du temps exige quelque explirnbsp;cation.

On ferait un eerde vicieux si Ion disait, duiie psrt, que Ie mouvement uniforme est celui dans le-^uel les espaces parcourus sont proportionnels aunbsp;^^emps, et, dun autre cóté, que Ie temps a pour mesure Ie mouvement uniforme, cest-a-dire quil estnbsp;proportionnel aux espaces parcourus dans ce mou-fement. Mais la notion des temps égaux et la me-sure du temps ne sont fondées nécessairement sur au-t^une loi particuliere de mouvement, et Pon peut,nbsp;consequence, les supposer dans la definition dunbsp;ttiouvement uniforme et de toute autre sorte de mou-Vemens.

Concevons, en effet, que des corps parfaitement identiques se meuvent successivement, et que, pendant toute la durée de son mouvement, chacun desnbsp;niobiles se trouve exactement dans Ie mêrae état quenbsp;Celui qui Va precede : il est évident que tons cesnbsp;uiouvernens, dont la loi nest pas donnée, sexécute-^'ont en temps égaux, et que leur nombre pourranbsp;servir de inesure au temps. Ainsi, par exemple, sinbsp;ces corps sont pesans et retenus par un axe fixe horizontal , quon les écarté lous également de leur po-sition déquilibre, et quon les abandonne ensuite anbsp;cux-mêmes, de sorte que Ie mouvement du secondnbsp;commence des que Ie premier est revenu a cette po-sition, celui du troisième aussitót que Ie second ynbsp;est revenu de même, et ainsi de suite, il nj auranbsp;^Rcuiie difference possible entre tous ces mouvemensnbsp;®Uceessifs qui sachèvei'ont en temps égaux. On prou-^era par la suite quil nest pas nécessaire pour celanbsp;^oe ce soient différens mobiles qui se succèdent, el

que les oscillations successives dun même corps, de part et dautre de sa position déquilibre, sont aussinbsp;isochrones, ou dégale dure'e; mais la considerationnbsp;précédente, qui ne suppose la solution daucun pro-blème de Mécanique, sufïit a lobjet que nous nousnbsp;sommes propose.

Les astronornes ont ieconnu, par les observations les plus précises et Ie plus souvent répétées, 1inva-riablllté de la revolution apparente de la sphere celeste autour de la terrej et, effect!vement, la théorienbsp;nindique aucune inégalité sensible dans Ie mouvement de rotation de la terre qui donne lieu a cettenbsp;apparence. On appelle jour side'ral la durée constante de cette revolution, laquelle durée est moindrenbsp;que celle de la révolution diurne du soleil. Celle-clnbsp;nest pas exactement la même a toutes les époquesnbsp;de lannée; et cest sa grandeur mojenne que lonnbsp;prend pour unité de temps dans les usages ordinaires,nbsp;et que lon appelle Ie jour mojen. Nous adopterons,nbsp;dans eet ouvrage, la division du jour en 24 heures,nbsp;de lheure en 60 minutes, et de la minute en 60nbsp;secondes; en sorle que la seconde sera la 86400°nbsp;partie du jour mojen. Le jour side'ral ne contlentnbsp;que 86164,09 secondes; doii il iésulte que pournbsp;exprin^r en jours sldéraux un temps donné ennbsp;jours mojens, il faudra le multiplier par le rapportnbsp;de 86400 a 86164,09, OU par le nombre constantnbsp;1,0027079.

112. Un mouvement uniforme diffère dun autre par la grandeur de lespace parcouru dans lunité denbsp;temps. Dans chaque mouvement uniforme gt; eet es-

pace constant est ce quon appelle la vitesse du mobile ; mais, pour parler exactenient, eet espace nest que la mesure de la vitesse, et non pas la vitesse elle-^'ême. La vitesse dun point materiel en mouvementnbsp;une chose qui reside dans ce point, dont il estnbsp;^'ïimé, qui Ie distingue actuellement dun point materiel en repos, et nest pas susceptible dune autrenbsp;definition. La vitesse exprime'e, dans Ie mouvementnbsp;^üiforme, par lespace que Ie mobile décrit dansnbsp;lt;^dïaque unite de temps, suppose quon prend pournbsp;unite de vitesse celle du mobile qui paicourt luniténbsp;dinëaire dans lunité de temps.

Dans un mouvement varié quelconque, la vitesse du mobile varie par degre's inflniment petits, et ellenbsp;est une fonction du temps qui se déduit, ainsi quonnbsp;de verra tout a lheure, de celle qui exprime lespacenbsp;paicouru: mais, auparavant, il est nécessaire de con-Uaitre Ie genre de mouvement que prendra un pointnbsp;Uiatériel en vertu de sa vitesse acquise, si la forcenbsp;'lui lui a imprimé cette vitesse, par sou action con-buuée pendant un certain temps, vient a cessernbsp;^^gir, et que ce mobile soit abandonné a lui-Uéme.

II est dabord évident que si Ie mobile sest ^^u jnsque la en llgne droite, il continuera a senbsp;^louvoir suivant Ie prolongement de la ligne quilnbsp;décrivait; car il ny aurait aucune raison pour quenbsp;point niatériel sécartat de la direction quil a recuenbsp;plütót dun cóté que de lautre. Mais nous ne pouvonsnbsp;pas affirmer, a priori, que la vitesse qui lui a éténbsp;'Uipriniée ne se ralentira pas delle-même, et ne fi-

ui ra pas par séteindre entièrement; ce nest que par lexpérience et Finduction que cette question peutnbsp;être décidée.

Or, a niesure que les obstacles a Fétat de niouve-ment des corps, tels que les frottemens et les re'sis-tances des milieux quils traversent, diminuent din-tensité, nous les voyons peise'vérer de plus en plus dans eet etat; et, loutes les fois que nous apercevonsnbsp;une alteration dans leur vitesse, nous reconnaissonsnbsp;que eet effet peut être altribué a une cause étrangère.nbsp;Nous sommes done conduits a conclure que sil e'laitnbsp;possible quun point materiel, après avoir êté mis ennbsp;mouvement, ne fut plus sollicité par aucune force,nbsp;et ne rencontrat aucun obstacle, son mouvement se-rait rectiligne et uniforme, cest-a-dire, Ie plus simplenbsp;de tous les mouvemens.

Ainsi, par exeraple, si une parcelle de fer est mise en mouvement dans Ie vide, sur un plan horizontalnbsp;et sans frottement, par la seule action du pole dunnbsp;aimant, et que tout a coup on détruise Ie pouvoirnbsp;attractif de ce pole, en y juxtaposant un pole égal etnbsp;contraire, cette parcelle continuera de se diriger versnbsp;ce point j mais son mouvementdeviendra uniforme,nbsp;et sa vitesse sera plus ou moins considerable, selonnbsp;quon aura laissé agir la force attractive plus ou moinSnbsp;long-temps.

Limpossibilité oü sont tous les points matériels de se mettre en mouvement ou de changer Ie mouvement qui leur a êté communiqué, sans Ie secoursnbsp;dune force, est ce quon entend par Yinertie de 1*nbsp;matière. Ce mot ne signifie pas que la matière soit

incapable dagir; car, au contraire, cliaque point ï^atériel trouve toujours dans laction dautres pointsnbsp;^ïiate'riels, mais jamais en lui-même, Ie principe denbsp;mouvement.

114* Au bout du temps t, et quand Ie mobile trouve a la distance x dun point fixe pris surnbsp;ia droite quil décrit, solt v sa vitesse acquise, cest-a-diie, la vitesse du mouvement uniforme qui auraitnbsp;lieu , si, a eet instant, la force qui agit sur Ie mo-igt;ile venait a cesser dagir. Laction de cette forcenbsp;Continuant, lespace dx que Ie mobile parcourranbsp;dans linstant dt sera décrit en vertu de cette action et de la vitesse c j la partie de dx correspon-dante a cette vitesse, qui serait décrite dun mouvement uniforme, aura vdt pour valeur. En appelant done la partie de eet espace qui répond anbsp;laction de la force pendant linstant dt, nous au-i'ons

0lt;', la vitesse variant par degrés infiniment pet lts, ct ses variations étaut uniquement dues a Taction denbsp;la force appliquée au mobile, il sensult que dansnbsp;Ic temps dt cette action ne peut produire quune vi-tesse infiniment petite ; par conséquent, cette mêmenbsp;action ne peut faire décrire quun espace infinimentnbsp;petit du second ordre, moindre que celui qui se-^'ait décrit uniformément par Ie mobile, sil rece-Vait au commencement de dt toute la vitesse quinbsp;Sera produile pendant la durée de eet instant. Onnbsp;peut done négliger g par rapport a vdt dans Téqua-1.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;14

Si lon voulait connaitre la partie ê de lespace par-couru par Ie mobile dans Ie temps dt, en vertu de Taction de la force qui Ie sollicite, il faudrait con-server les puissances de dt supérieures a la première.nbsp;Or, en appelant x' la distance du mobile au pointnbsp;fixe, au bout du temps t dt, on aura, par Ienbsp;théorème de Taylor,

pour Texpression complete de Tespace parcouru dans eet instant dt. Le premier terme, égal a vdt, estnbsp;Tespace du a la vitesse acquise au bout du temps t;nbsp;si done on négligé les termes du troisième et desnbsp;ordres supérieurs par rapport a ceux du second,nbsp;on aura

pour la partie de Tespace x' x que Taction de la force a fait parcourir. La vitesse produite en mémenbsp;temps par cette action étant dv, on voit que Tespace que le mobile décrirait uniformémentpendant ce temps dt, sil recevait au commencement

DYNAMIQÜE, PREMIÈRE PARTlE. toute cette augmentation de vitesse, serait égal aunbsp;produit de dv et dt, ou double de lespace e quilnbsp;déci'it réellement.

n5. Lorsque lespace parcouru sera domié en fbnction du temps, on en déduira immédiatementnbsp;vitesse correspondante, au moyen de léquation

^dihood, décrivant des espaces qui croissent comme les cariés du temps, on en peut conclure que leursnbsp;Vitesses acquises doivent être proportionnelles auxnbsp;temps pendant lesquels ces espaces sont parcourus;nbsp;ce que cette machine fournlt, en effet, Ie moyen denbsp;verifier.

Rëciproquement, si la vitesse est donnée en fonc-tion du temps par la definition du mouvement, ou en déduira, par lintégralion, lexpression de Fes-pace parcouru. Ainsi, après Ie mouvement uniforme,nbsp;Ie plus simple est celui dans lequel la vitesse aug-Wiente ou diminue, de quantités égales, en tempsnbsp;egaux, et quon appelle, pour cette raison, unifor-^éinent accéléré ou retardé. Si done on appelle gnbsp;1accroissement constant, positif ou négatif, de la vi-^6sse dans chaque unite de temps, et a la vitesse dunbsp;^^obile quand t = o , la vitesse v a un instant quel-lt;^onque sera, dans ce mouvement,

Lespace parcouru est done alors proportionnel au carré du temps j et la vitesse acquise au bout dunnbsp;temps quelconque t est telle quen vertu de cettenbsp;seule vitesse Ie mobile décrirait, en nn temps égalnbsp;a un espace vt double de celui quil a parcouru.nbsp;II sensuit que si lon connait lespace parcouru dansnbsp;la première unite de temps, on aura, en Ie dou-blant, la valeur de la vitesse constante g, par la-quelle un mouvement uniformément accéléré diffèrenbsp;dun autre mouvement de la même nature.

Ce mouvement est celui des corps pesans qui toni-bent dans Ie vide. En un même lieu, la vitesse g est égale pour tous leurs points; en sorte quils dé-crivent tous, dun même mouvement de cette espèce,nbsp;des droites verticales. Cette vitesse varie duia lieunbsp;a un autre ; en prenant la seconde pour unité denbsp;temps, et Ie metre pour unité lineaire, on a con-*nbsp;clu de lexpérience

La force qui produit des vitesses égales en temps égaux est pour nous une force constante. Ainsi , lanbsp;pesanteur est une force constante; ce qui signifienbsp;ici quelle agit avec la même intensilé sur les corps

animés de vitesses quelconques , et non pas ^ulement, comme dans Ie n Sg, que son inteii-sité est la même dans toute Ietendue d'ün corps denbsp;dimensions ordinaires.

ii6. Les lois de Iequilibre ne supposent aucune *elation particuliere entre les forces et les vitessesnbsp;*^Orrespondantes; et, pour résoudie les problèinesnbsp;de Statique , il suffit de connaitre lës rapports nu-^ériques des forces, tels quils ont eté définis dansnbsp;ie n 5. Les lois du mouvement, au contraire, dependent du rapport qui doit exister entre les grandeurs des vitesses produites par des forces données; etnbsp;Ce rapport, dont la connaissance est indispensablenbsp;pour la solution des problèmes de Djnaraique, estnbsp;Ie même que celui des farces, ainsi quon va Ie dé-tnontrer.

Soient toujours oc et p Fespace parcouru et la vi-lesse acquise par un point materiel au bout du temps t. Supposons qua cette époque deux forces données nbsp;f' agissent simultanément sur Ie mobile , suivantnbsp;ia direction de son mouvement; désignons par u lAnbsp;'^itesse infiniment petite que la force J imprimeraitnbsp;mobile, si elle agissait seule pendant un temps tnbsp;^tfiniment petit, et par «' celle qui serait prodiiitenbsp;pat la force J', dans Ie même temps, si la force nexis-^ait pas. Je dis que la simultanéité de ces deux forcesnbsp;modifiera pas les vitesses dont elles sont capablesnbsp;Separénient, et que la vltesse produile par la forcenbsp;^ quot;dquot; f' sera u -p. cest-a-dire quau bout dunbsp;temps « -f- T , la vltesse du mobile sera devenne

En e£fet, laugmentation de vitesse dn mobile ne pourra dëpendre que du temps r auquel elle seranbsp;proportionnelle, et de lëtat de ce point materiel,nbsp;OU, autreraent dit, de sa position et de sa vitessenbsp;pendant ce mème temps t; ce ne seralt done quennbsp;influant sur eet état que lactlon de la force ' pour-rait modifier la vitesse qui sera produite par la force J.nbsp;Or, pendant Ie temps t, la distance du mobile a unnbsp;point fixe et sa vitesse ne peuvent varier que de quan-tltés infiniraent petites, négligeables par rapport axnbsp;et v; ses variations de distances a dautres points fixesnbsp;ou mobiles, doii peuvent émaner les forces J et f,nbsp;sont egalement negligeables; par consequent, la vitesse que produira la force f, pendant cet intervallenbsp;de temps t, ne saurait être modlfiée en aucune rna-nière par Taction simultanee de la force f'-, et il ennbsp;sera de même a Tégard de la vitesse due a la force nbsp;qul ne sera pas non plus changee par Taction de f.nbsp;Done la vitesse totale imprimée au mobile pendant le temps t, par la force f f, sera égale a

On verra de rnême que si la force f agit dans le sens de la vitesse c, et la force f en sens contraire,nbsp;Taugmentation de vitesse produite par la force ff,nbsp;sera égale a u u'.

Quelle que soit la nature de chacune des forces f et ', si elles sont capables dune méme vitesse unbsp;dans un même temps infiniment petit, ce sont pournbsp;nous des forces egales. Appliquees en sens contrairenbsp;Tune de Tautre, elles ne changeront pas la vitesse dunbsp;mobile, sil est deja en mouvement; il y aura eqniquot;

libre, si ce point materiel est en repos; ce qui rentre la definition des forces égales du n° 5.

Lorsque la force qui agit sur Ie mobile dans Ie sens lavitesse acquise, deviendra double, triple, qua-'ii'uple,.... la vitesse quelle produira dans Ie tempstnbsp;^i'oitra suivant la méme proportion. Réciproquement,nbsp;'luand cette force se réduira a moitié, au tiers, aunbsp;^uartla vitesse qui sera produite diminuerade lanbsp;^ênie manlère; et, ge'néralement, les vitesses infini-ïiïentpetites produites pendant des insfansegaux, dansnbsp;Ie sens ou en sens contraire de la vitesse acquise , ounbsp;iniprimées a un point matérie! en repos, seront entrenbsp;elles comme les intensités des forces correspondantes.

Cest sur ce principe general quest fondée la mesure des forces dans la Djnamique. On a coutume de Ie présenter comme une hypothese; nous Ie donjons iel comme une consequence nécessaire de cenbsp;^ue les vitesses imprimées par des forces quelcon-S'ies, dans des inteivalles de temps infinlment petits,nbsp;®ont toujours infinlment petites, et de ce quennbsp;^tieme temps les déplacemens des mobiles sont aussinbsp;^ofiniment petits.

Uy. Si les forces que lon veut comparer Tune a 1autre sont des forces constantes, de sorte que cha-^Rne delles produise, pendant toute la durée du mouvement, des vitesses égales en temps égaux(n° ii5),nbsp;^eurs intensités seront entre elles comme les vitessesnbsp;^u elles impriment en uu méme temps quelconque anbsp;Rn mêrne point matériel. Lors done que ces vitessesnbsp;seront données par 1observation, on en conclura Ienbsp;rapport des forces; et, réciproquement, quand ce

Designons, par exeraple, par «ra- et les intensi-tés de la pesanteur a deux latitudes difFe'rentes, et supposons quon ait determine, en ces deux lieux denbsp;la terre, les vitesses g et g', acquises en une secondenbsp;par les corps qui tombent verticalement dans Ie vide;,nbsp;on aura

liC rapport de ces forces lt;zër et fsr' sera aussi celui des poids dun même corps, ou de deux corps homogènesnbsp;et dun même volume, a ces deux latitudes. Lobser-vation a fait connaitre que les vitesses dues a la pesanteur augmentent en allant de léquateur au pole ,nbsp;et que Iaccroissement total est a peu pres de lanbsp;plus petite. II sensuit done que Ie poids dun mêmenbsp;corps, transporté de le'qualeur au pole, augmenteranbsp;de et que, pour mettre en équilibre les poids denbsp;deux corps homogènes places en ces deux lieux denbsp;la terre, il faudra que Ie volume du corps situé anbsp;léquateur excède de celui du corps situé aunbsp;pole.

Solent encore ar lintensité de la pesanteur dans Ie sens vertical, et sa composante sulvant une droitenbsp;qui fait avec sa direction un angle ct. Daprès la regienbsp;du parallélogramme des forces, nous aurons

et si lon appelle g et g, les vitesses qui seront pro-duites dans 1unité de temps par ces deux forces cons-tantes, agissant séparément sur un même point ma~

g ' gi ^ : lt;t!r, ,

Si ce point materiel pesant est posé sur un plan in-cliné, qui fasse avec Ie plan horizontal nn angle égal a go* a, la force se décomposera en deux au-h'cs, lune perpendiculaire au plan donné et qui seranbsp;detruite par sa resistance, 1autrc dirigée suivant cenbsp;lïiènie plan et qui sera la foice 'W,. Cest cette der-nière force qui produira Ie mouvement dans Ie vide,nbsp;abstraction faite du frottement du mobile contre Ienbsp;plan incline. Ce mouvement, du a une force constante , sera done uniformément accéléré; et si lonnbsp;appelle ar, et t', lespace parcouru et la vitesse acquisenbsp;bout du temps t, on aura

f, = gl^5 nbsp;nbsp;nbsp;a gl^ 5

Cet exemple est tres propre a montrer la necessite de conuaitre a priori Ie rapport des vitesses dues anbsp;des forces dont Ie rapport est connu; car si Ton nenbsp;®avait pas déduire g, de la vitesse g donnée par lob-servation, et quil fallut, pour faire usage de ces der-öieres equations, determiner aussi par Iexperience lanbsp;Valeur de g, qui répond a chaque valeur de 1 angle st,nbsp;la Dynamique se trouverait a peu pres réduite a unenbsp;Science expérimentale.

II8. Pour niesurer une force variable, il faut en considérer leffet pendant un temps infiniment petit,nbsp;durant lequel on peut la considerer comme constante.nbsp;Soit done lt;p, dans un mouvement rectiligne quel-conque, la force qui agit sur Ie mobile au bout dunbsp;temps t, et que nous regarderons comme une quan-tité positive ou negative, selon que cette force agiranbsp;dans Ie sens de la vitesse acquise ou en sens oppose.nbsp;Cette vitesse e'tant v au même instant, elle seranbsp;e Je au bout du temps t-\-dt; en sorte que lanbsp;force tp aura impriraé une vitesse dv au mobile dansnbsp;linstant dt. Si done on désigne par mr une force constante et connue, capable dune vitesse g dans luniténbsp;de temps, et qui puisse, conséquemment, impriraernbsp;au mobile une vitesse gdt dans Ie temps dt^ on aura

Après avoir eboisi arbitrairement une unite lineaire et une unite de temps, on exprimera en nombres la

dun temps '^onné. Cette formule fera ensuite con-naitre, au même instant, Ie rapport numérique de la force (p a Ia force connue lt;3r; et si celle-ci est Ia pe-santeur, ce rapport sera celui de la force tp au poidsnbsp;du mobile sur lequel elle agit; en sorte que ce pointnbsp;matérie! étant pesant et sollicité par la force lt;p en sens

On simplifiera la formule prccédente, en prenant '® et g- pour unites; ce qui la réduira a

Lunité de force sera alors la force constante qui 'Qiprimerait au mobile, dans lunité de temps, unenbsp;Yitesse représentée par Funité lineaire, de manièrenbsp;que si ces deux dernières unites sont la seconde etnbsp;Ie metre, l unité de force sera a pen prés Ie dixièmenbsp;du poids du mobile, daprès la valeur de g du

On peut remarquer que celte mesure

force variable (p est la vitesse que produirait, dans ^ unite de temps, une force constante qui consernbsp;Yerait pendant ce temps la même intensité que lanbsp;force lt;p pendant lmstant dt, Ainsi, dans Ie mouve^nbsp;lUent dune parcelle de fer vers Ie pole dun aimant,nbsp;que nous avons déja pris pour exemple (n° 115), lanbsp;force lt;p depend de la distance au pole, et est parnbsp;conséquent variable; mals si lon suppose qua unnbsp;^ostant donné Ie pole recule devant Ie mobile, denbsp;^lanière que la, distance de lun a 1 autre deviennenbsp;constante, la force cp Ie deviendra aussi, Ie mouvement se cbangera en un mouvement uniformementnbsp;^ccelére, et 1augmentation de vitesse qui aura lieunbsp;dans lunité de temps sera la mesure de cette force anbsp;^ instant ou elle est devenue constante.

En ayant égard a la valeur de a trouvée dans Ie n® 114, on peut aussi écrire

II suit done de cette formule et de la précédente quune force a également pour mesure la vitessenbsp;quelle produit dans un temps infiniment petit, divi-sée par ce temps, ou bien Ie double de lespace quellenbsp;fait parcourir, divisé par Ie carré de ce même temps.nbsp;Dans Ie mouvement uniformément accéléré, ces deuxnbsp;manières équivalentes de mesurer la force ont encorenbsp;lieu, sans quil soit nécessaire que Ie temps soit infiniment petit.

pour les formules générales du mouvement recti-ligne. Elles montrent les rapports qui existent, dans un mouvement quelconque, entre lespace parcouru,nbsp;la vitesse acqulse et la force qui agit sur Ie mobile,nbsp;et comment ces trois fonctions du temps peuvent senbsp;déduire Tune de Fautre, soit par la differentiation,nbsp;soit par 1intégration.

ce qui suppose qu^on prenne Ie temps t pour la valuable indépendante, et que sa différentielle dt soit constante; hypothese que nous ferons de méme, daus'

Ce qul seivira a determiner v quand la force (p sera donnëe en fonction de a?, et, re'ciproquement, cettenbsp;force lorsque Ia vitesse sera connue en fonction denbsp;* espace parcouru.

Nous donnerons, dans Ie chapitre suivant, diverses applications de ces formules générales.

120. Avant de montrer comment on devra tenir compte des masses dans la comparaison des forces quinbsp;^gissent sur des mobiles dlfférens, il importe de rec-bfier une expression inexacte, que lon emploie souvent, et qui tient a une confusion didées.

Concevons quun corps soit posé sur un plan horizontal, et quil nj soit retenu par aucun frottement.

je veux Ie faire glisser sur ce plan, il faudra néan-^loins, a cause de Iinertle de la matière, que jexerce effort quelconque; si a ce corps on en joint unnbsp;second, puis un troisième, etc., il faudra que je dé-ploie, pour produire Ie même mouvement, une forcenbsp;de plus en plus considérable. Jaurai, dans chaquenbsp;cas, Ie sentiment de leffort que je serai oblige denbsp;faire j mals je ne devrai pas en conclure que la ma-

tière oppose aucune resistance a eet effort, et quil existe dans les corps ce quon appelle trés impropre-ment une force d'inertie. Quand on sexprime ainsi,nbsp;on confond la sensation que lon a éprouvée, et quinbsp;résulle de Teffort quon a exercé, avec la sensationnbsp;dune resistance qui nexiste réellement pas.

Lorsque Ie corps frotte contre Ie plan, il j a effec-tivement une resistance au mouvement horizontal, et je ne peux pas dé placer Ie mobile sur ce plan sausnbsp;exercer un effort supérieur a cette resistance. Denbsp;même, quand je veux soulever Ie mobile verticale-ment, il J a aussi une résistance a ce mouvement,nbsp;que je dois vaincre par un effort qui la surpasse.nbsp;Dans les deux cas, je ne produirai aucun mouvement tanl que je ne ferai pas un effort plus grandnbsp;que Ie poids du corps, ou que son adhésion au plannbsp;horizontal; mais si lon ne suppose ni pesanteur ninbsp;froltement, je mettrai Ie corpsen mouvement, quel-que faible que soit 1effort que jexercerai, et quel-que grande que soit la masse du mobile : alors, sinbsp;jéprouve quil faut faire un plus grand effort pournbsp;communiquer Ie méme mouvement a un corps quanbsp;un autre, j en conclurai que Ie premier se composenbsp;dune plus grande quantité de matière que Ie second;nbsp;et si je pouvais comparer avec précision les grandeurs des efforts que jaurai exercés, leur rapport se-rait celui des masses de ces deux mobiles. Cest suvnbsp;une semblable considération quest fondée, ainsinbsp;que nous allons lexpliquer, la mesure des massesnbsp;daprès les grandeurs des forces qui les metten^nbsp;en mouvement, et, réciproquement, la mesure

tesses.

121. Deux points matérlels, appartenaht a des corps peuvent être de nature différente, ont des massesnbsp;'^gales OU inégales, selon que des forces quon suppose égales leur impriment, dans un méme temps, lanbsp;loême vitesse ou des vitesses différentes. Supposons,nbsp;Pour fixer les idees, que les forces appliquées a cesnbsp;deux points soient vertlcales, et quaprès les avoirnbsp;placées dans les deux plateaux dune balance, il y aitnbsp;Oquilibre. Ces forces seront égales dans celte hypothese j et cela étant, si les deux points sont rendusnbsp;entièrement fibres, et que les mêmes forces les met-tent en mouvement, leurs masses seront égales ounbsp;inégales, selon quils prendront, dans Ie premiernbsp;instant, des vitesses infinlment petites, égales ounbsp;inégales.

Lorsque, de cette manière, les masses de différens points matériels auront été reconnues égales, en lesnbsp;i'eunissant on formera dautres points dont les massesnbsp;^nront entre elles des rapports quelconques. Ainsi,nbsp;®n appelant fx, la masse de chacun des points égaux,nbsp;^ et m' les masses de deux autres points formés de n

Maintenant, soient u, v, des vitesses infiniment petites, i et i' des nombres entiers, et

Si deux foices f et jTMmpriment aux masses m et m' les vitesses v et v' dans un niême instant, je disnbsp;quon aura

En effet, on peut regarder la force f comme la somme dun nombre n de forces égales qui impri-ment la raême vitesse v a chacun des n points égauxnbsp;dont in se compose; de sorte quen appelant k Tunenbsp;de ces forces égales, on aura

Soit, en outre, h la force qui imprimerait la vitesse« a chacun de ces points égaux, pendant Ie même instant que la force k lui imprime la vitesse v. Ces forcesnbsp;agissant sur un même point matériel, seronl enlrenbsp;elles comme les vitesses m et v (n° 116); et, a causenbsp;de = iu, il en résullera

en regardant J' comme la somme de n' forces k' ca-pables dimprlmer la vitesse v a chacun des points égaux dont se compose 7n', et appelant h' la force quinbsp;imprimerait a chacun de ces mémes points la vi'nbsp;tesse u. Or, h et h' étant des forces capables dimpri-mer dans un merae instant une même vitesse u anbsp;deux points égaux en masse, savoir, a deux des pointsnbsp;dont la masse commune a été représentée par fjt,, ünbsp;suit de ce qui précède quon doit avoir h'=h. Daprès

«t, en ayant égard aux valeurs de m, m', P, v', il en résultera la proportion quil sagissait de démontrer.nbsp;122. Cela posé, considérons un corps de grandeur'nbsp;de forme quelconques, dont tous les points décri-Yent des droites parallèles, avec üne vitesse com-ïoune qui peut dailleurs varier avec Ie temps. Parta-geons ce corps en une infinité de points matérielsnbsp;egaux en masse, tels quon vient de les définir. Onnbsp;pourra altribuer Ie mouvement de tous ces points anbsp;des forces qui seront égales et parallèles dans toutenbsp;rétendue du mobile ; leur résultante, pour une par-tie quelconque de ce corps, sera égale a leur somme,nbsp;et appliquée au centre de gravité de cetle niêrae par-tie. Les forces correspondantes a deux parties quel-eouques seront done entre elles comme leurs masses;nbsp;par conséquent, si ion appelle y la foice totale quinbsp;^git sur Ie mobile, m sa masse, et (p la force qui ré-pond a une partie de cette masse prise pour unité,nbsp;Un aura

Quant a la force p, elle sera proportionnelle a lac-nroissement de la vitesse des points du mobile pendant un temps iufinimenl petit; et si lon appelle e nette vitesse au bout du temps on pourra prendrenbsp;pour sa mesure, comme dans Ie n 118,

pour lexpression de la force dans un mouvement quelconque, en ayant égard a la masse du mobile ,nbsp;et supposant tous ses points animés dune même vi-tesse.

Cette force , qui est la résultante ou la somme des forces infiniment petites quon peut supposer ap-pliquées a tous les points dont Ie corps est composé,nbsp;se nomme jórce motrice; Ie facteur (p de sa valeur 7ult;pnbsp;sappelle force accélératrice, et nest autre chose quenbsp;la force motrice rapportée a lunité de masse.

La force motrice se change en une pression lorsque la masse sur laquelle elle agit est appuyée contre unnbsp;plan fixe, perpendiculaire a sa direction. Une pression et une force motrice ne différent done Tune denbsp;lautre qiien ce que les vitesses infiniment petitesnbsp;quune pression tend a produire sont incessammentnbsp;détruites par la réslstance du plan fixe qui la sup-porte, tandis que celles qui sont effectivement pro-duites pendant chaque instant par Ia force motricenbsp;saccumulent dans Ie mobile, et quil en résulte unenbsp;vitesse finie après un temps finl. Deux pressions sontnbsp;entre elles comrae les masses raultipliées par les vi'nbsp;tesses infiniment petites qu elles tendent a leur im-primer dans un même instant, et quelles leur im-primeraient, en effet, si ces masses étaient fibres.

123. Si Ie mouvement commun a tous les polnt-s dun mobile est uniformément accéléré, et quon ap'nbsp;pelle g 1augmentation de vitesse qui a lieu dans

lt;P = ggt; = mg.

r*our une autre force constante agissant sur une wiasse m', et produisant une vitesse g' dans runiténbsp;Je temps, on aura de même

Fobservation a prouvé que deux corps pesans, quelle que soit la difference des matières , acquiè-ient la même vitesse en tombant dans ie vide pendant un même intervalle de temps. Dans Ie cas de lanbsp;pesanteur, on a done g= g'; et, conséquemment,nbsp;les poids f et f' de deux corps quelconques sontnbsp;entre eux comme leurs masses m et m', ainsi quenbsp;nous lavons suppose dans Ie n 6o. Le seul fait,nbsp;constate par une experience journalière, que desnbsp;corps hétérogènes ont des poids égaux sous des volumes differens, ne suffisalt pas pour deciders! leursnbsp;masses sont égales ou Inégales; il fallait savoir, denbsp;plus, qiie la pesanteur leur imprime le même mouvement, pour pouvoir conclure, de 1e'galité desnbsp;poids, legalité des quantités de matière.

Le poids dun corps pesant qui tombe dans le vide ^st sa force motrice, et la pesanteur est sa force acce'-lóratrice. Pour abréger, on appelle souvent pesanteur Ou gravité la vitesse g, qui nest que la mesurenbsp;lt;3e cette force.

124- Si des forces donne'es agissent a la surface ou sur dautres paities dun corps solide, et qu11 en ré-mlte pour tous ses points des vijesses égales et pa-

rallèleSjil faudra que ces forces aient une résultante unique, qui coïucidera, en grandeur et en direction,nbsp;avec la force motrice, telle quon vient de la définir,nbsp;et dont on déduira la force accélératrice en la divisantnbsp;par la masse entière du mobile.

Supposons, par exemple, quun corps pesant tombe dans Vair, dans leau, ou dans tout autre fluide, etnbsp;que sa forme et sa densité, sil nest pas homogene,nbsp;soient sjmétriques autour dun axe yertical. II estnbsp;évident que tout étant semblable autour de eet axe,nbsp;tous les points du mobile dëeriront des droites verti-cales ; ce qui exige, puisquil sagit dun corps solide,nbsp;quils aient tous la même vitesse a chaque instant.nbsp;La resistance du milieu, qui sexerce a la surface denbsp;ce corps, se réduira done a une force dirigée suivantnbsp;son axe de figure. Je déslgnerai par R son intensité anbsp;un instant quelconque, par 4 1^ partie correspon-dante de la force accélératrice du mobile, et par mnbsp;sa masse; on aura alors

Comme cette force agit en sens contraire de la gra-vlté pendant la chute du corps, la force accélératrice totale sera g 4- Si Ie mobile était lancé verticale-menl de bas en haut, les deux forces agiraient dansnbsp;Ie même sens, et la force accélératrice totale seraitnbsp;négative et égale a g 4-

La theorie de la resistance des fluides est encore trop peu avancee pour quon puisse déterminer, dnbsp;priori, la valeur de R, laquelle peut dépendre de lanbsp;vitesse dont Ie mobile est animé, de sa forme, de

la denslté et de la nature du fluide. Le plus commu-néiuent, on la suppose proportionnelle au carré de a la densité du fluide , que je représenterai par p,nbsp;sorte que 1on a

R =

^ étant un coefÜcient qui ne peut plus dépendre que öe la forme et des dimensions du corps, de la naturenbsp;lu fluide, liquide ou aériforme , et de sa tempé-iature.

Dans le cas dune sphere, on regarde le coefli-cient cr comme proportionnel a sa surface ou au carré de son diamètre. En désignant done par r son rayon ,nbsp;et par D sa densité , de sorte que sa masse soit

y désignant un coefficient numérique qui sera le ïïiênie pour toutes les spheres, et dont la valeur de-¦''ra ètre déterminée par lexpérience pour chaque ,nbsp;Nature de fluide. A cause que cette quantité '\J, est denbsp;3 méme nature que g, il sensuit que si 1on désignenbsp;k une vitesse donnée, il faudra quon ait

laS. Une même force constante, agissant successi vement sur des masses différent es, produira des mouveniens uniformément accélérés, dans lesquelsnbsp;Ja force accélératrice, ou 1accroissement constant denbsp;la vitesse dans chaque unite de temps, sera en raisonnbsp;inverse de Ia masse.

Ainsi, par example, étant Ie poids /ng dune masse m, si Ton suspend cette masse a lextrémiténbsp;dun fil qui soit attaché par son autre bout a unenbsp;autre masse m' posée sur un plan horizontal, il estnbsp;évident que ces deux masses prendront un mêrnenbsp;mouvement uniformément accéléré, et du a la forcenbsp;raotrice J, abstraction faite du frottement et du poidsnbsp;de la partie verticale du fil. Si done on appelle g' lanbsp;force accélératrice de ce mouvement, on aura

Par conséquent, Ie mouvement dont il sagit sera Ie même que celui dun corps pesant sur un plan in-cliné, qui fait Tangle a avec la verticale (n® 117).

Tous les corps étant mobiles et susceptibles de prendre des vitesses en raison inverse de leurs masses,

lorsquils sont soumis, pendant un mêrae temps, a I action dune même force, il sensuit quil nexistenbsp;pas de corps réeWement fixes; ceux quon appellenbsp;ainsi sont des corps qui ont de tres grandes massesnbsp;par rapport a celles dont dependent les forces mo-trices quon leur applique, et qui ne recoivent,nbsp;consequemment, de Taction de ces forces que desnbsp;vitesses extrêmement petites. A la surface de la terre,nbsp;ce sont les corps attaches a cette surface qui ne fontnbsp;lt;luune seule masse avec celle du globe terrestre ;nbsp;ct, en etfet, en prenant cette masse pour m' dansnbsp;1 exemple précédent, on yoit que la vitesse g' quinbsp;lui sera imprimee dans 1uriité de temps, par unnbsp;polds mg correspondant a une masse in de grandeur ordinaire, poürra être regardée comme tout-a-fait insensible.

126. On a coiitume dappeler quantile de mou-*gt;ement dun corps le produit de sa masse par sa vitesse. Pour me conformer a Tusage , jemploierai cette Expression, a laquelle il serait toutefois plus correctnbsp;le substituer celle de quantité de vitesse, puisquenbsp;cest la vitesse qui reside dans le mobile, et que

Il ny a aucune force qui produise instantanément tine quantité finie de mouvement. Le choc dun corpsnbsp;solide en mouvement contre un corps solide en repos imprime a celui-ci, dans un temps trés court,nbsp;ttiais non pas infiniment petit, une vitesse qui peutnbsp;Être quelquefois trés grande; et, pendant cet inter-valle de temps, les deux corps ne se déplacent pas sen-siblemcnt. Quelque durs quon les suppose, ils se com-

priment toujoiiis un tant soit peu; la vitesse passe de lun a lautre par degrés irifiaiment petits; et si lon faitnbsp;abstraction de lélasticité de ces deux corps, leur action mutuelle cesse dès quils ont des vitesses ëgales.nbsp;Cette communication rapide de la vitesse, saus dé-placement sensible des masses, est ce quon appel Ie unenbsp;percussion ou une impulsion; elle équivaut, commenbsp;on voit, a une force motrice agissant, pendant unnbsp;temps tres court, avec une tres grande intensité.

En considërant ainsi la percussion comme la somme des actions infiniment petites dune force motrice, onnbsp;en conclut quelle se decompose en deux autres percussions , suivant des directions donnëes, par la regienbsp;du parallélogramrne des forces, comme chacune denbsp;ces actions successives. Si, par exemple, on exercenbsp;sur la tête dun coin une percussion normale que jap-pellerai P, elle se décomposera en deux autres percussions perpendiculaires a ses deux faces; et si lonnbsp;représente par Q et Q' les deux composantes, par K,nbsp;et K' les lohgueurs des faces auxquelles elles répon-dent, et par H celle de la tête du coin, il est aisé denbsp;voir quon aura , daprès la regie citêe,

Ainsi, en supposant que celte percussion P provienno dune masse m qui vient frapper la tête du coin avecnbsp;une vitesse a, ses deux faces, ou plutót les obstacles

DYNAMIQUjE, première PARTIE. 233 fixes conlre lesquels elles sappuient, seront dans Ienbsp;cas que sils étaient frappés normalementnbsp;par la lïiêtne masse ?n, animée de vitesses proper-

127. Si im corps solide en repos est frappe a la fois, en sens opposes, par deux autres corps dont lesnbsp;iRasses sont m et m', et les vitesses e et e'; que cesnbsp;trois corps soient symetriques autour dun mêmenbsp;axe quant a leur forme et quant a leur densité , etnbsp;que tous les points des deux derniers se meuvent pa-rallèlement a cette droite, leurs percussions sur Ienbsp;corps intermédiaire se feront équiJibre, lorsque lesnbsp;quantités de mouvement et 7raV' seront ëgales,nbsp;cest-a-dire que ces quantités de mouvement passe-iout, pendant un temps tres court, dans Ie corps intermédiaire , et sy détruiront sans que ce corps soitnbsp;déplacé dune manière sensible.

Léquilibre aura lieu également si I on supprime ^e corps intermédiaire, et que la communication denbsp;vitesse se fasse immédiatement entre les deux autres corps. Ainsi, deux corps solides qui vont au-de-^ant lun de Iautre se réduisent au repos, abstraction faile de lélasticité, lorsquils viennent a se ebo-^Rer, et que leurs masses sont en raison inveise denbsp;leurs vitesses; et, réciproquement, les produits desnbsp;Riasses et des vitesses sont égaux quand il J a équi-libre dans Ie choc de deux corps solides. On supposenbsp;comme on vient de Ie dire, les deux mobilesnbsp;^ymétriques autour dune même droite, et les vitesses

de tous leurs points parallèles a cette dioite, laquelle est celle qui passe par les centres de gravité des deuxnbsp;masses. La condition déquilibre dans Ie choc de cesnbsp;corps est done lëgalité de leurs quantités de mouvement, OU lëquation

lil et m' étant leurs masses, et v et v' leurs vitesses. Nous déterminerons par la suite les mouvemens quinbsp;auront lieu après Ie choc, quand ces conditions relatives atix grandeurs et a la direction des vitesses, etnbsp;a la forme des mobiles, ne seront pas remplies, ounbsp;bien quand on aura égard a leur élasticité.

II résulte de cette lol de réquilibre dans Ie choc que la percussion fournirait Ie mojen Ie plus directnbsp;de mesurer Ja masse des corps. On imprimerait unenbsp;vitesse connue a a tous les points dun corpé dont lanbsp;masse serait prise pour unite; et si lon pouvait determiner exactement la vitesse v dont tous les pointsnbsp;dun autre corps devraient être anirnés , pour quilnbsp;fit équilibre au premier, en Ie choquant en sens contraire de son mouvement, la masse de ce secondnbsp;coips aurait alors pour valeur numérique Ie rapport 2 ¦ niais il est inutile de dire que ce mojen est

irnpraticable, et que cest toujours aux poids des corps quil faut recourir pour mesurer leurs masses.

II sensuit aussi que deux percussions, exercées sur un corps solide, devront être regardées comroe équi-valentes, lorsquelles répondront a des quantités égaleSnbsp;de mouvement; en sorte que, dans lexemple du

iiurnéro précédent, la téte et les deux faces du coin eprouveront les mêmes effets, ou seront frappées avecnbsp;luênie énergie , si la masse m et la vitesse a sontnbsp;^emplacées par une masse m' et une vitesse a', tellesnbsp;lt;ïue Ton ait ma = m'a'.

128. Lorsque deux percussions, proveuant de vi-lesses en raison inverse des masses, seront exercées siïuultanément sur les deux plateaux dune balance ,nbsp;d y aura équilibre; la balance remplacant ici Ie corpsnbsp;intermédiaire que nous avons considéré dans Ie numéro précédent. Ce cas sera , par exemple, celui denbsp;deux corps pesans, dont les masses sont m et m', etnbsp;qui tombent au même instant sur ces deux plateaux ,nbsp;après avoir acquis des vitesses v et /, telles que Ton

Si la masse m est en repos dans Tun des deiix plateaux, son poids y exercera une pression qui sera généralement vaincue par la percussion de lautrenbsp;niasse; mais il n est point exact de dire, comme onnbsp;Ie fait ordinairement, que cela aura toujours lieu,nbsp;quelque grande que soit la pression dans son es-pèce, et quelque petite que soit la percussion dansnbsp;la sienne.

En effet, on peut rem placer la percussion de m! P^r uue force molrice agissant sur lun des deuxnbsp;plateaux saus Ie déplacer sensiblement, pendant unnbsp;temps trés court que je représenterai par r. En dé-signant par m!uclt la quantité infiniment petite de vitesse dont cette force variable est capable pendant

de vitesse quelle cornmuniquera a la balance pendant Ie temps t. Pendant ce méme temps, Ie poids de innbsp;produira une quantité de mouvement e^primée parnbsp;mgr, en représentant par g la gravité. Pour quil ynbsp;alt équillbre dans Ie système, il faudra done que Tin-

m' est animée a linstant oü la percussion commence, de sorte quil ne lui reste plus aucun degre de vitesse quand Ie choc est fini; et, cela étant, il suffira

imprimées en sens contraire a la balance pendant la durée du choc, soient égales entre elles. La condition de eet équilibre sera done exprimée par 1é-quatlon

n^v = mgr ;

et selon quon aura, au contraire, m'd gt; mgr ou mV' «lt; mgr, ce sera la percussion qui lemporteranbsp;sur la pression, ou la pression sur la percussion.nbsp;Or, quoique Ie temps r soit extréme ment petit, cenbsp;dernier cas est possible, en supposant la masse innbsp;suffisamment grande a légard de m': pour quil futnbsp;impossible, il faudrait que Ia durée de la percussion fut inliniment petite; ce qui na pas lieu dansnbsp;la nature.

La Dynamique sera une application continuelle des principes que nous avons exposés en détail dansnbsp;ce chapitre, et dont il est nécessaire de se formernbsp;une idee precise, avant dessayer de résoudre les dif'nbsp;férens problèmes relatifs au mouvement des corps*

^^''^'W^V\,^/VWWWW\lV\'W^^W^^'VWWVWVWVV*lVW^AAl^^/^-VV^lW\lWW^/WV^lWgt;\/V^'VVWVW\^lt;V^^'W^lVV%

CHAPITRE II.

i2g. Daprès ce quon a vu dans Ie n° iig, les 'Equations du mouvement rectiligne dun point maté-gt;iei sont celles-ci:

f=T, 'lt;' =

dont la dernière est une suite des deux autres, et dans lesquelles on a dëslgné, au bout dun tempsnbsp;quelconque t, par x la distance du mobile a un pointnbsp;fixe de la droite quil dëcrit, par v sa vitesse acquise,nbsp;ct par (p la force qui Ie sollicite; cp étant une quantiténbsp;positive OU negative, selon que cette force agira dans

Equations sappliqueront non-seulement a un point Matérie! isolé , mais aussi a un corps solide de gran-*leur quelconque, dont tous les points decriront desnbsp;'^roites parallèles, et auront, par conséquent, unnbsp;^louvement commun : lt;p sera alors la force accelénbsp;^atrice, égale a la force motrice divisée par la massenbsp;mobile.

La valeur de (p sera donnée dans cliaque problème; la question consistera a en déduire, par lintégra-fion, les expressions de P et a: en fonctions de t. Ellesnbsp;Contiendront deux constantes arbitraires, dont on dé-ferrninera les valeurs daprès celles de a: et p a loin-

gine du mouvement, qui devront être données dans chaque exemple. Dorénavant, noiis supposerons tou-jours que lon compte Ie temps t a partir de cetienbsp;origine ; en sorte que les valeurs données de x et Vnbsp;répondront a t=zo.

Lintégration ne sera généralement possible sous forme linie, que quand (p ne dépendra, comme nouSnbsp;Ie supposerons dans les exemples suivans, que dunenbsp;seule des quanlités t,v, x. Lorsquela valeurdonuéenbsp;de lt;p les contiendra loutes trois, ou deux seulement,nbsp;les valeurs de o? et v ne pouiront sexprimer que parnbsp;les séries.

i3o. Supposons dabord que la force lt;p soit constante , et quil sagisse, par exemple , du mouvement vertical dun corps qui tombe dans Ie vide en vertu de la pesanteur.

en supposant que la distance x soit comptée du point de depart du mobile, et que la vitesse initiale soitnbsp;nulle, de sorte quon ait x = o et 0=0, quandnbsp;i = o.

^6 qui fournit une expression commode dune vi-tesse quelconque, an moyen de la hauteur doii Jn corps pesant devrait tomber pour lacquérir, etnbsp;de la vitesse constante g. Le temps de la chute denbsp;^6*te hauteur h etant représenté par ö, on auranbsp;3ussi

, ft = ^ga'==. gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V g nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j-g

§ étant la même vitesse constante que dans le cas picécédent, paree que Ton suppose laclion de lanbsp;Pesanteur sur les corps en mouvement, indépen-dante du sens dans lequel ils se meuvent, aussi biennbsp;de la grandeur de leur vitesse. En supposant quenbsp;^ soit la vitesse initiale, on en déduira

pour la vitesse et lespace parcouru a un instant q'ielconque. II est évident que le mobile sélèveranbsp;i^squa ce que cette vitesse soit nulle. Si done onnbsp;^Ppelle §' le temps de son elevation , et I1! la hauteurnbsp;^ laquelle il parviendra, on aura

du cas precedent, on en conclut quun corps pesanl gt; lancé de bas en haut avec une vitesse a , sélève dansnbsp;Ie vide a la hauteur dou il devrait tomber poufnbsp;acquérir cette même vitesse, et que Ie temps denbsp;son éle'vation est Ie même que celui de sa chute.

Communément on appelle h la hauteur due a Ia vitesse a, et, réciproquement, a la vitesse due a lanbsp;hauteur h.

i3i. Soit que Ie mobile monte ou descende, il suffira, pour former les equations de son mouve-'nbsp;ment sur un plan incline, de metlre dans les prê-cédenles g cos a a la place de g, en de'signant,nbsp;comrne dans Ie nquot; 117, par a Ie complément denbsp;Iinclinaison du plan donné sur un plan horizontal.

si done on indique par k la vitesse acquise par Ie mobile, quand il aura parcouru toute cette longueur,nbsp;on aura

ce qui niontre que cette vitesse k est la même que si Ie mobile fut tombé par la verticale h.

Soit ABC ( fig. 54) la circonférence dun cerclc dont Ie plan est vertical. Supposons que AB repré-sente son diamètre vertical, et cherchons, daprèsnbsp;les equations précédentes, Ie temps quun point ma-

tériel pesant emploiera a parcourir ]a corde AC, abou-tissante a Textrémité superieure de ce diamètre. En ibaissant du point C la perpendiculaire CD sur AB,nbsp;ön.aura, dans ce cas,

l^ = hb,

Or , ce temps est Ie même que celui de la chute par ^ne hauteur verticale ^ ; il en résulte done que lanbsp;corde AC sera parcourue dans Ie même temps quenbsp;diamètre AB.

On trouvera Ie même résultat, en considérant Ie Mouvement sur la corde CB qui aboutit a lextré-^Ré inférieure de AB, et sera aussi parcourue dansnbsp;ntême temps que ce diamètre vertical.

Ce théorème , indépendant de la longueur de la ^orde parcourue, subsistera encore lorsquelle devien-lt;lra infiuiment petite ; ce qui tient a ce quen mêmenbsp;temps la composante de la gravité, qui agit suivantnbsp;^ette longueur, ne sera plus une quantité linie.nbsp;i32. Considérons actnellement Ie mouvement duu

en supposant la resistance proportionnelle au carré de la vitesse (n 124)? et désignant par k une vitessenbsp;constante et donnée. Cette valeur de (p étant une fonc-tion de e, il faudra faire usage de la seconde equation (i), et lon en déduira

== '2 nbsp;nbsp;nbsp; nr; }

En integrant et supposant nulle la vitesse initiale, de sorte quon ait e = o quand t=o, il en résulte

Je désigne ici par e la base des logarithmes népé-^¦ietis, et par log un logarithme de cel te espèce. II en sera de même dans toute la suite de eet ouvrage;nbsp;ee qui nempêchera pas demployer quelquefois lanbsp;^ettre e a représenter dautres quantités, dans desnbsp;formules oü la base de ces logarithmes nentrera pas.nbsp;Elle a pour valeur approchée

et celle du module constant par lequel il faut multiplier Ie logarithme nëpérien dun nombre quelconque, pour en déduire Ie logarithme ordinaire de ce nombre,nbsp;est

(5)

i55. Ces formules venfei'ment la solution compléte du problème. On en déduitcette consequence, ^ue Ie temps augmentant sans cesse, Ie mouvement

i6..

244 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

approche de plus en plus de luniformité, et quü est sensiblement uniforme quand la vitesse gt, pro-duite par la pesanteur, est devenue trés grande parnbsp;rapport a k. En effet, en négligeant alors lexponen--S.

tielle e , qui est une tres petite fraction, on a

V =.k,

La resistance du fluide e'tant une force qui sexerce a la surface du mobile, la force motrice qui en ré-sulfe est inde'pendante de la masse, et serait la méme,nbsp;soit que le mobile fut forme dune matière tres dense,nbsp;soit quon enlevat la matière inférieure, et quon lenbsp;réduisit a une enveloppe tres mince. Or, la forcenbsp;accélératrice se deduisant de la force motrice, ennbsp;la divisant par la masse du corps, il sensuit quenbsp;la première de ces deux forces sera, toutes chosesnbsp;dailleurs egales, en raison inverse de cette masse,nbsp;et, par consequent, k en raison directe de sa ra-cine carree. Cest pour cela que le mouvementnbsp;final, dans un milieu resistant, est le plus rapidenbsp;pour le corps pesant dont la densite est la plusnbsp;grande; la forme et letendue de la surface restantnbsp;les mêmes.

Quand la densite du milieu est trés faible par rapport a celle du mobile, la quantite k est trés grande j et ce nest quapres un temps trés long que le mouvement peut approcber de luniformité, Tant que lanbsp;vitesse gt nest pas devenue trés considerable, on a,nbsp;en séries convergentes,

/t 6F

Elles se réduisent, comme cela doit être, a celles du ftiouvement uniformémeut accéléré, lorsque la denote du milieu est tout-a-fait nulle, ce qui rend lanbsp;'ïuantité k infinie.

Ie cas de la cbute; mais si ces deux portions de surface sont différentes, les valeurs de k Ie seront éga-ïetnent; et, par exemple, sil sagit dun cóne dont la fgt;ase soit horizontale, la quantité k sera beaucoupnbsp;plus grande ou beaucoup plus petite dans son mouvement ascensionnel que dans sa chute, selon que sonnbsp;souimet sera situé au-dessus ou au-dessous de sa base.nbsp;ï*our fixer les idees, je supposeiaique Ie mobile soit

y étant une constante qui ne peut plus de'pendre que de la nature du milieu, liquide ou fluide aériforme,nbsp;et de sa temperature.

et en integrant et désignant par a la vitesse initiale du mobile, il en résulte

En multipliant par dt et integrant de nouveau, de manière quon ait ar = o quand ï = o, on en conclu*

Si Toil fait -^=a, et quelonsuppose ensuite a,=o, pour appliquer ces formules au cas du vide, elles senbsp;présentent sous la forme ^ gt; et, par la régie ordinaire,nbsp;*^0 trouve, comme cela doit être,

fésultat quon oblient aussi par Ie développement en Serie, comme dans Ie numéro précédent.

i35. Appelons Ala plus gravide hauteur a laquelle Ie mobile parviendra, et qui répond a f = o; nousnbsp;aurons

Parvenu a cette hauteur, Ie mobile retombera, et Sou mouvement sera exprimé par les formules dunbsp;t52. Si Ton représente par a' sa vitesse, lorsqu'ilnbsp;Sera retombé de toute cette hauteur/t, on aura, da-Pièslequation (4),

doü lon conclut a' a; en sorte que la vitesse du mobile, quand il sera revenu a son point de depart,nbsp;se trouvera moindre que sa vitesse initiale.

Soit aussi G' Ie temps de la chute totale, lequel ré' pondra a sgt; ~a'. On aura

0'= ^log

et Ie dénominateur de la fraction comprise sous Ie lo-garithme, on aura, plus simplement.

et si lon appelle 0 Ie temps total 0' 0, de lallée et du retour du projectile, on en conclura

Si Ie mobile est un boulet lancé dans lair par oo canon vertical, on pourra, malgré la rapidité de cenbsp;mouvement, mesurer Ie temps 0 avec quelque préoquot;nbsp;sion; et si Ton connait, en outre, la vitesse de prOquot;

jection a, lëquation-précédente servira a determiner la valeur de A:, relative au rayon r du boulet. En dé-^gnant par A' ce que devient k par rapport a unnbsp;autre boulet de la même matière et dun rayon r', onnbsp;aura

156. Dans Ie cas oü 1ón fait abstraction de la pe-santeur, et ou lon suppose la résistance du milieu proportionnelle a une puissance de la vitesse dontnbsp;1exposant est moindre que 1unité, la solution du pro-blème présente une singularité qui mérite detre re-marquée.

(p;

g Gt k étant toujours la gravité et une vitesse constante et donnée. -Léquation du mouvement sera

®n en tirant la valeur de gdt, integrant et désignant par a la vitesse initiale, il vient

l/ öA , nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,

; a eet instant, Ja vitesse est nulle; au-dela, Ie mouvement continue dans Ie même sens quauparavant, et la vitesse augmente indéfiniment.nbsp;Mais la vitesse ëtant nulle a un certain instant, lanbsp;force accélératrice est nulle en même temps; parnbsp;conséquent, Ie mobile doit sarrêter a eet instant etnbsp;demeurer en repos. Or, 11 faut remarquer que lé-quation du mouvement admet une solution particuliere v=o; en sorte que sa solution complete estnbsp;lensemble de son integrale et de cette equation =nbsp;il sensuit done que Ie problème est résolu depuis

tion du mouvement, et au-dela de cette valeur de t, par la solution particuliere. Pendant Ie premier in-tervalle de temps, Ie mobile décrit, dun mouvement continuellement retardé, une ligne égale a

Get exemple, purement bjpotbétique, suffit poiu' monfrer la nécessité davoir égard aux solutions par-ticulières des éqnations différentielles du mouvement,

sil enexistait; ce qui nai'rive pas réellement, daprès expressions des forces en fonctions de la vltessenbsp;^cquise et de lespace parcoiiru, qui ont lieu dans lanbsp;^lature.

i3y. Donnons maintenant des exeraples de mou-i'^emens dans lesquels la force accélératrice variera ^Vec lespace parcouru.

Le cas Ie plus simple a lieu, lorsquil s'agit dun point materiel attiré vers un centre fixe, en raisonnbsp;directe de la distance a ce point, que lon supposenbsp;situé sur la droite que ce mobile dëcrit. Au bout dunbsp;temps t, solt z cette distance; a une distance donnée a,nbsp;Supposons que la force accélératrice soit égale a lanbsp;gravité g; on aura, daprès la loi donnée,

(p =

pour sa valeur a un instant quelconque. Si x est les-Pace parcouru au même instant, et que le mobile ®oit parti du point situé a une distance c du centrenbsp;dattraction, en se dirigeant vers ce centre,

Hussi

aSa nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

A et B désignant les deux constantes arbitraires. En supposant nulle la vitesse initiale du mobile, on auranbsp;a la fois

Cette formule montre que la distance z sera nulle OU que Ie mobile atteindra Ie centre dattraction, aunbsp;bout dun temps indépendant de la distance c de son

de part et dautre de ce centre, des oscillations dont lamplitude et la durée constantes seront cette distance c et ce temps

158. Pour un autre exemple, considérons Ie mouvement dun corps pesant dans Ie vide; nous su ppo-sons quil tombe dune assez grande hauteur pour quon doive avoir égard, pendant sa chute, a lanbsp;variation de la pesanteur.

Soient BAE (fig. 35) un grand eerde vertical de la terre, D Ie point de depart du mobile dans cenbsp;plan, M sa position au bout du temps t, sur la droitenbsp;DC qui aboutit au centre C de la terre, et rencontrenbsp;en A sa surface. Appelons r son rayon CA, h la hauteur AD, X lespace DM parcouru par Ie mobile, z sa

Ia de'signant toujours par g ^ la surface de la terre, c est-a-dire, au point A, et supposant que son inten-sité varie en raison inverse du carré de la distance aunbsp;Centre C, on aura done

. nbsp;nbsp;nbsp;: g ::

Je multiplie ses deux membres par jintègre cusuite; puis je determine la constante arbitraire

IF ~~

qui fera connaitre la vitesse acquise par Ie mobile, ^Une distance quelconque x de son point de depart,nbsp;point A, oü Ton a x = ^, cette vitesse sera

ct, par conséquent, moindre, comme cela devait etre, que si la gravité avait, dans toute la hauteur //,

Or, en comparant celte equation difFérentielle a Ie-quation (a) du n 7 5, on voit que si lon construit une demi - cycloïde DOG, qui ait son sommet aunbsp;point D et son origine au point O, situé sur la perpendiculaire CO a la droite CD, et dont Ie eerde ge-nérateur ait pour diamètre cette droite CD égale anbsp;r 4- h; que Ton mène ensuite par Ie point M unenbsp;perpendiculaire MN a la droite DC, qui rencontre lanbsp;cycloïde au point N, on aura

en sorte que lordonnée MN du point N fera connaitre Ie temps t, employé a parcourir labscisse DM, et ré-ciproquement. Sous forme finie, on aura

en integrant, et en observant que x=:o quand tx=-0-Lorsque la hauteur Ti et, conséquemment, la dis' tance x, seront tres petites par rapport a r, cette foiquot;nbsp;mule devra différer tres peu de celle qui répond a 1®nbsp;pesanteur constante. En effet, on a

Ie sinus étant tres petit, on peut Ie prendre a la place de Tarej ce qui rend dabord Ie second terme de la

formule précédente egal au premier. On peut aussi ^^lettre ie rayon r au lieu de r-{-h x, et réduire,nbsp;par conséquent, leur somme a 2 \/ra?; et, de cettenbsp;^ï'anière, la formule dont il sagit deviendra

Je me contenterai d'indiquer, comme exemple de calcul, Ie cas ou Ie mobile soumis a une pesanteurnbsp;Variable est lancé de bas en haut; et, pour derniernbsp;exemple du mouvement rectiligne, je vais consi-dérer Ie mouvement dun point materiel attiré versnbsp;deux centres fixes, situés sur la droite quil décrit.

i5g. Soient A et B (fig. 56), les deux centres datlraction, M la position du mobile au bout dunbsp;f^oips t, et D son point de depart. On suppose ,nbsp;pour fixer les idees, que le mouvement a lieu entrenbsp;les deux centres dattraction, et de A vers Bj

sorte que x soit ïespace parcouru, 2 la distance mobile au point A, a la distance initiale, et cnbsp;^a longueur de la droite AB. En supposant toujoursnbsp;attractions en raison inverse du carré des distances, et désignant, a Tunlte de distance, par anbsp;®t b' les intensites des forces qiil émanent des een-

iatensilés quand Ie mobile est en M. La force accé-lératrlce lt;p sera lexcès de la seconde force qui tend a augmenter lespace x, sur la première qui tend anbsp;Ie diminuerj done, a cause de dx=.dz, on aura

y étant la constante arbitraire. Pour la determiner, je désigne par k la vitesse initiale qui répond a z=ct;

ce qui fera connaitre la vitesse du mobile, dan® une position quelconque entre les deux points ^nbsp;et B.

izjo. II y a, sur la droite AB, un certain point C; dans lequel les deux forces d attraction sont égalesinbsp;en sorte que si Ton y placait Ie mobile, ou qunbsp;y parvint sans aucune vitesse acquise, il y denieui^'nbsp;rait en équilibre. En appelant h la distance AC, on a

On tire de la deux valeurs de h, dont Tune appar-tient au point C situé entre A et B, et lautie a un point situ,é sur Ie prolongement de AB, du cóté dunbsp;centre de la moiudre attraction. La première de cesnbsp;deux valeurs est

ö-p A

Appelons la plus petite vitesse initiale quil faut imprimer au mobile pour quil arrive au point C, denbsp;sorte que, parvenu a ce point, sa vitesse soit nulle;nbsp;on aura a la fois

Si la vitesse initiale k est moindre que/, Ie mobile retombera sur A; si elle est plus grande, il dépas-sera Ie point C, et ira tomber sur B. Dans Ie casnbsp;de k = , Ie mobile emploierait un temps infini anbsp;^tteindre Ie point C, a cause qua une distance infi-Rinient petite de ce point, il ne serait plus animé quenbsp;dune vitesse inliniment petite, et sollicite par unenbsp;force qui Ie serait également.

Si A et B sont les centres de deux spheres Wmogènes, ou composées de couches concentrlques.

258 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

on pourra supposer que les attractions que lon con-sidère sont celles de ces deux sphères; et alors leurs intensites et b^, a Funité de distance , seront entrenbsp;elles comme leurs masses (n lOi ). En supposant,nbsp;par exemple, que A soit Ie centre de la lune et Bnbsp;celui de la terre, et négligeant la non-sphéricité denbsp;ces deux corps, on aura

rt* = -p;

car la masse de la lune, conclue de sou action pour soulever les eaux de la mer, est de celle de lanbsp;terre. On aura done

h =

en sorte que Ie point également attiré par la terre et par son satellite se trouve, a peu prés, au dixièmenbsp;de leur distance muluelle a partir de la lune.

Soit r Ie rayon de la terre ; on pourra prendre 6or pour la distance c de la lune a la terre; et si Ie mobilenbsp;est parti de la surface de la lune, on aura en même

temps a =z= , daprès Ie rapport connu du rayon de la lune a celui de la terre. Au moyen de ces valeursnbsp;de r et a, et de a =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ 1 equation {d) devieoi

Or, lattractioa g peut être prise pour la pesanteur '^ont elle est la partie principale; par conse'quent ,nbsp; est la vitesse due a une hauteur r'; et a cause de

La lune n ayant pas datmosphère dont la resistance puisse diminuer la vitesse des corps partis de surface, il sensuit que si la terre et la lunenbsp;*^taient en repos, un coz'ps lancé.de la surface de lanbsp;luue vers la terre , avec une vitesse plus grandenbsp;*loe 2361 mètres par seconde, dépasserait Ie pointnbsp;legale attraction, et viendiaittomber sur la surfacenbsp;Ie la terre. Dans Ie mouvement de la lune autourdenbsp;la terre, la droite AB qui va dun centre a Tautrenbsp;Rencontre constamment la surface de la lune en unnbsp;^lême point, qui devrait être Ie point D , doiz Ienbsp;Riobile serait lancé suivant la direction DB ; mais ,nbsp;pendant une seconde, Ie point D parcourt sur Ienbsp;^ei'cle décrit du centre de la terre, une longueur den-'^iron 1000 par seconde; par conséquent, la vitesse absolue du mobile sei-ait, cn grandeur et en

direction, la resultante dune vitesse dirigée suivant DB, et dune vitesse de looo* perpendiculaire a DB.nbsp;Cela étant, Ie corps ne restera pas sur la droitenbsp;mobile AB; il décrira une courbe dans lespace, lesnbsp;formules précédentes ne sappliqueront plus a .sonnbsp;mouvement, et il ne viendra plus tomber sur la surface de la terre, comme dans Ie cas de Iinimobilitenbsp;de la lune.

Lintégrale de cette formule sexprimera toujours au moyen des fonctions elliptiques; en sorte quenbsp;lon pourra calculer, au moyen des tables de cesnbsp;fonctions, Ie temps qui repond a une distance don-née z, et réciproquement. Mais indépendamment desnbsp;cas oü Tune des deux attractions est nulle, il en estnbsp;dautres pour lesquels lintégrale de la formule pré-cédente peut encore sobtenir sous forme finie. Cesnbsp;cas ont lieu lorsque la quantité comprise sous Ienbsp;radical est un carré parfait; ce qui exige quon ait

(aa* 2^ cy-)* = 8a*cy; équation doü lon tire

une de ces deux valeurs de A* est celle de ; lautre est évidemment plus grande. II sensuit done quenbsp;Suand aucune des deux quantites a eX b nesl zéro ,nbsp;Oïi peut exprimer Ie temps sous forme finie en fonc-tion de z, lorsque Ie mobile a recu la plus petitenbsp;'ï^itesse f avec laquelle il peut atteindre Ie point C, etnbsp;lorsquon lui a imprimé une certaine vitesse plusnbsp;§rande que celle-la.

formule que I on rendra rationnelle et quon inté-grera, sans difficulté^ par les regies ordinaires. La dif-' férentielle «ÈAdoittoujours être positive; la diöéren-belle dz est positive pendant que Ie mobile savancenbsp;de D vers B, et negative lorsqnil revient vers A.nbsp;Ilans Ie premier cas, on prendra done Ie radicalnbsp;\/cz z^ , avec Ie même signe que Ie dénomina-t^ur ac («=±: b^z, et, dans Ie second cas, avecnbsp;tin signe contraire.

143. Soit que Ton suppose b = o ou c = co, Ie ttiobile ne sera plus soumis qua lattraction du cen-^te A. Léquation (c) se réduira a

la valeur de dt quon en déduit sintégrera sous forme finie, et fera connaitre t en fonction de z.

pour determiner la distance z a laquelle Ie mobile sarrétera. Dans Ie cas de 3a= k*a., cette distance seranbsp;inlinie; ce qui signifie que Ie mobile ne sarrêteranbsp;pas. II en sera de même dans Ie cas de lt; k^a.,nbsp;doü il résulterait pour z une valeur negative quinbsp;ne peut appartenir a aucun point de la droite indé-finie DB, suivant laquelle Ie mobile a été lancé. Dansnbsp;ces deux cas Ie mouvement approchera de plus ennbsp;plus de Tuniformité, a mesure que Ie mobile séloi-gncra de A.

Quand la distance z sera devenue tres grande et Ie mouvement sensiblement uniforme, sa vitesse,nbsp;daprès Tequation (e), sera a peu pres égale a

a (2* = ga®, cest-a-dire, en supposant que Ie corps soit parll de la surface dune sphere, dun rayon a, et oünbsp;lattraction était égale a g. Ce qui montre que la diminution de la vitesse initiale k sera dautant plusnbsp;grande que cette force et ce rayon seront plus considerables.

144* Dans Ie mouvement curviligne, la courbe decrite par Ie mobile est ce quon appelle la trajec-toire de ce point materiel. Au bout dun temps quel-conque t, soit M (fig. Sy) la position du mobile. Sinbsp;lon appelle s larc CM de la trajectoire compris entrenbsp;Ie mobile et un point fixe C, pris arbitrairement surnbsp;^ette même courbe, s sera une fonction de t; en sortenbsp;^Ue lon aura, dans un mouvement curviligne quel-

lon désigne, au même instant, par x, j, z, les ^fois coordonnées rectangulaires du mobile, ces variables seront aussi des fonctions de f, et lon auranbsp;®galement

x^ft, j==f't,

Lorsque ces trois dernières equations seront con^ iiues, on en déduira, par rélimination de t, les deuxnbsp;^ijuations en x, z, de la trajectoire. Au mojennbsp;des equations de cette courbe, on déterminera s en

fonction de Tune des trois coordonnées, et, par suite, en fonction de ce qui fera connaitre la loi du mouvement sur la trajectoire. Chacune des trois equationsnbsp;prdcédentes est celle du mouvement rectiligne de lanbsp;projection du mobile sur 1un des axes des coordonnées ; il sensuit done que la determination completenbsp;du mouvement curviligne dun point materiel dansnbsp;lespace se réduira a celle de trois mouvemens recti-lignes, qui seront les mouvemens de ses projectionsnbsp;sur les trois axes Ox, 0j~, Oz, des coordonnées.nbsp;Quand ces trois mouvemens seront uniformes, celuinbsp;du mobile sera aussi rectiligne et uniforme, et réci-proquement.

145. Pendant 1instant dt, Ie mobile décrira lélé-ment ds de sa trajectoire; en négligeant, dans eet in-tervalle de temps infiniment petit, faction des forces qui Ie sollicitent, on pourra considérer son mouvement comme rectiligne et uniforme. Si done on ap-pelle V la vitesse acquise au bout du temps t, onnbsp;aura

Si ces forces cessaient réellement dagir a finstant que fon considère, Ie mobile continuerait de se mou'nbsp;voir avec cette vitesse (gt;, et suivant Ie prolongemen^nbsp;MT de félément ds, cest-a-dire, suivant la tangent^^nbsp;a Ia trajectoire, puisque en vertu de finertie de 1*nbsp;matière il ne pourrait alors changer ni la directionnbsp;son mouvement ni la grandeur de sa vitesse (n* 11nbsp;On peut done considérer un point materiel qui de-crit une ligne courbe quelconque comme étant anim^-^

a t:haque instant, dune vitesse dirigée suivant la tangente a cette courbe, et exprimée par Ie rapportnbsp;ie son élément dilFérentiel a Vélément du temps.

Eu représentant, au bout du mêrae temps t, par Pgt; q, r, les vitesses des projections du mobile surnbsp;^es trois axes des x , z, on aura aussi, dans cesnbsp;trois mouvemens rectilignes,

Mals si lon désigne par o., ë, y, les angles que fait la tangente a ia trajectoire, ou la direction de la vi-tesse V, avec des parallèles aux axes des x, jquot;, z, onnbsp;a ( n° 17)

Le temps t croissant continuellement, sa difFéren-^ielle est toujours positive. Les vitesses p, q, r, sont positives ou négatives, selon que les coordonnées x ,nbsp;z, croissent ou décroissent. Dans les equations (1),nbsp;peut regarder la vitesse v comme une quantiténbsp;positive; le sens de cette vitesse, ou la partie MT denbsp;ia tangente a la trajectoire, suivant laquelle elle seranbsp;dirigée, se détermineia alors par les signes de ,nbsp;/gt; r, qui feront connaitre si les angles a,ë,y, sont

rera la vitesse comme positive ou comnie negative, selon que 1arc s croltra ou décroitra.

On appelle cornposantes de la vitesse e dun point materiel les vitesses p, r, de ses trois projectionsnbsp;sur des axes rectangulaires; et chacune de ces troisnbsp;cornposantes est ce que lon entend par la vitesse dunbsp;mobile, parallèlement a laxe auquel elle répond. Ennbsp;comparant les equations (i) a celles du n° 5i, on voitnbsp;que cette composition des vitesses se fera suivant lesnbsp;mêmes regies que celle des forces. Daprès cette analogie, si lon mène par Ie point M une droite quel-conque MA, qui fasse avec les parallèles aux axesnbsp;des SC, j, z, menées par Ie même point, des anglesnbsp;a, b, c, aigus ou obtus, la composante de la vitesse V suivant cette droite MA aura pour expression générale

La quantité de mouvement (n 126) dun point matériel isolé, et celle dun corps dont tous lesnbsp;points sont animés de vitesses égales et parallèles,nbsp;se décoraposeront en dautres quantités de cette nature, et celles-ci se réduiront a une seule, suivantnbsp;les mêmes regies que les vitesses quelles ont pontnbsp;facteur.

146. Au bout du temps tdt, soient p p'gt; q-{-q', r-\- r', ce que deviennent les trois compo-santes de la vitesse du mobile, parallèles aux axesnbsp;des SC, y, z 5 en sorte que p', q', r', représentent

lieu suivant ces directions pendant linstant dt. L accroissement de vitesse suivant la droite MA sera

pourra toujours trouver trois angles a!, ê', y', ^igus OU obtus, tels que lon ait

plus, la quantité comprise entre les parentheses ®st Ie cosinus dun certain angle que jappelle a. Laccroissement dont il sagit est done égal a u cos a jnbsp;par conséquent, u est sa plus grande valeur, et ellenbsp;^cpond a la direction de la di^oite MA, pour la-^Uelle les angles a, b, c, sont les mêraes que a!,nbsp;, ce qui rend Ie coefficient de u égal a lunité.nbsp;toute autre direction, laccroissement de vi-^csse sera égal au maximum u, multiplié par Ie co-*inus de Tangle c que fait cette direction quelcon-*lUe avec celle du maximum; doü il résulte quilnbsp;Sera nul par rapport a toutes les directions perpen-diculaires a celles de sa plus grande valeur.

Quelle que soit la variation de vitesse du mobile, en grandeur et en direction, pendant linstant dt,nbsp;il j a done toujours une certaine direction pour la-quelle Taugmentation de vitesse est la plus grande,nbsp;et qui jouit de cette propriété, que, suivant toutesnbsp;les directions perpendiculaires a celle-la, la vitessenbsp;nest ni augmentee ni diminuee.

i47* l^a direction dune force qui agit sur un point materiel en mouvement est la droite suivant laquellenbsp;elle augmente ou diminue la vitesse acqnise, et per-pendiculairement a laquelle elle ny produit aucunenbsp;alteration. Ainsi, quand nous disons que la pesanteurnbsp;dun corps en mouvement dans un sens quelconque estnbsp;verticale, comme celle dun corps en repos, nous entendons par la que cette force augmente la vitesse verticale , et naltère aucunement la vitesse horizontale.

Cela étant, désignons, au bout du temps t, par U, U', üquot;, etc., les intensités des dilférentes forcesnbsp;qui agissent sur Ie point materiel dont nous considé-rons Ie mouvement curviligne; par a, b, c, a!, b', c',nbsp;d', bquot;, cquot;, etc., les angles que font leurs directionsnbsp;données avec des parallèles aux axes des oc,j, z; etnbsp;par X, Y, Z, les sommes de leurs composantes suivant ces axesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j nous aurons dabord (nquot; Sa)

X = nbsp;nbsp;nbsp;Unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\J' cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Uquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.»

Y = nbsp;nbsp;nbsp;Unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;U' cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦ ¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Uquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;bquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.;

Z = nbsp;nbsp;nbsp;Unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;U' cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Uquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc-

Solent ensuite u, d, d\ etc., les vltesses infiniment petites que ces forces U, U', Uquot;, etc., produlraient;nbsp;pendant linstant dt^ suivant leurs directions respe^^quot;

si cliacune delles agissait seule sur Ie mobile 3uimé de la vitesse i. On verra, comme dans Ienbsp;116, que la siraultanéité de ces forces ninflueranbsp;^'ullement sur les grandeurs et les directions des A'i-l^esses qui seront réellement produites; par consé-^went, si Ton continue dappeler p', q', r', les quan-bte's infiniment petites dont les vilesses p, q, r, desnbsp;Projections du mobile sur les axes des oc^ j, z, sac-^i'oitront dans linstant dt, ces quantites seront lesnbsp;Sommes des composantes de u, u', id, etc., suivanlnbsp;res trois axesj en sorte que nous aurons

p' = nbsp;nbsp;nbsp;unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;anbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a!nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;

q' = nbsp;nbsp;nbsp;unbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ènbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u

r' = nbsp;nbsp;nbsp;Mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-j-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;uquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc.

^ gt; etc., ce quon a trouvé (n® 118) pour la mesure une force daprès la vitesse dont elle est capable ,

qui montre que laccroissement de la composante la vitesse du mobile suivant chaque axe, dansnbsp;^justant dt, est la vitesse produite, pendant eet ins-^^nt, par la composante totale suivant ce menienbsp;^*0, des forces données qui agissent sur ce pointnbsp;iRatériel.

Ce résultat tient a ce que les forces sont propor-tionnelles aux vitesses quelles impriment au mobile dans un même temps infiniment petit, lesquelles vi-tesses infiniment petites ne changent pas, soit quenbsp;ces foices agissent isolément, soit que leurs actionsnbsp;aient lieu simulfanément. II sensuit aussi que si lesnbsp;forces appliquées au mobile sont, par exemple, aunbsp;nombre de trois, non comprises dans un même plan ;nbsp;que lon prenne sur les directions de ces trois forcesnbsp;U, U', Uquot;, a partir de leur point dapplication, desnbsp;droites de grandeurs linies qui soient enüe ellesnbsp;comme les vitesses correspondantes u, u', uquot;; et quenbsp;Ton achève Ie parallélépipède dont ces trois droitesnbsp;seront les cótés adjacens, la résultante de ces forcesnbsp;sera dirigée suivant la diagonale, et sa graiideur seranbsp;a celle de chacune de ces forces comme la diagonalenbsp;est au cóté correspondant.

148. Si les forces qui agissent sur Ie mobile sont indépendantes de sa vitesse et de sa position dansnbsp;lespace, les mouvemens de ses trois projections surnbsp;les axes des cooidonnées seront indépendans entrenbsp;eux; en sorte que sa projection sur chaque axe senbsp;trouvera, au bout d un temps quelconque, au mêmenbsp;point, et aura la même vitesse que si les forces et Ie®nbsp;vitesses étaient nulles parallèlement aux deux autiS*nbsp;axes. II nen sera plus de même, en général, quanlt;^nbsp;les forces données varieront, en grandeur ou en direC'nbsp;tion, solt avec la position du mobile, soit avec sanbsp;vitesse acquise; mais on pourra toujours détermioe*nbsp;sa vitesse et sa position, a chaque instant, de la m»'nbsp;nière suivante.

Puisque toutes les forces qui agissent sur Ie mobile peuvent toujours être réduites a une seule, suppo-sons que U, capable de la vitesse u, soit cette forcenbsp;'^ï'ique, et désignons par e lespace quelle fera par-courir au mobile pendant linstant dt, suivant sa di-^'^ction, indépendamment de la vitesse de ce pointnbsp;*Rate'riel au bout du temps t. Daprès ce quon a vunbsp;^ans Ie n° 114gt; nous aurons

^lais, en vertu de cette vitesse acquise v et de faction ie la force U ou de ses coniposantes, les espaces pai-^ourus par les projections du mobile sur les axes desnbsp;^, j, z, pendant linstant dt, seront

q' =Lu cos b, r' = u cos c ,

en ayant égard aux equations (i) et a la valeur ® ^ gt; on aura

cc' cc nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a,

y y- nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;amp;)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos ênbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ênbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;h,

2' z nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;conbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c ;

^ étant lespace nbsp;nbsp;nbsp;f^dtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qui serait décritnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;par Ie nio-

R dans rinstant dt, en vertu seulement de la vi-^ Se Pj et nbsp;nbsp;nbsp;y^ ^^ ggg trois coordonnées au bout

lenips t-\.clt, qui étaient cc, r, z, au bout du '^Rips t.

^ Cela posé, soient toujouis M ( fig. 87 ) Ie point ^ la trajecloire dont x, j, z, sont les trois coor-

données, et MT la direction de la vitesse v. Soit aussi MA celle de la force U. Prenons sur MA etnbsp;MT des droites MH et MK, égales a et o;, etnbsp;achevons Ie parallélogramme MHM'K, dont cesnbsp;droites sonl les deux cótes adjacens. Lextrémité M^nbsp;de sa diagonale sera, en vertu des equations précénbsp;dentes, Ie point dont les coordonnées sont jc', j',

Appelons d la vitesse du mobile au point M', laquelle vitesse sera dirigee suivant Ie prolonge-ment M'T' de la droite MM(, et aura pour valeuinbsp;la composante de v suivant MM', augmentée de 1»nbsp;vitesse produite suivant cette direction par Tactio»nbsp;de la force U pendant Iinstant dt. Lespace ê étantnbsp;infiniment petit par rapport a , il sensuit quenbsp;langle TMM' est aussi infiniment petit; la compO'nbsp;santé de v est done cette vitesse même, en negfi'nbsp;geant les infiniment petits du second ordre. De plus,nbsp;si lon désigne par ^ langle AMM' que fait la direction de la force ü avec Ie cóté MM' de la tra-jectoire, on aura u cos J' pour laugmentation denbsp;vitesse qui sera produite par Taction de cette foxce jnbsp;11 en résultera done

Je fais v' dt = 00', et je prends sur M'T' une paid^ M'R' égale a 00'; je désigne par M'A' la direction denbsp;la foi'ce qui agit sur Ie mobile quand il est parve»*^nbsp;en M'; sur cette droite, je prends une partie ^nbsp;égale a Tespace que cette force peut faire parcoiu^*^nbsp;au mobile dans uii instant df, jachève Ie parallels-

gramme M'H'Mquot;K'; et 1extrémité Mquot; de la diagonale sera un troisième point de la trajectoire.

Ea commencant cette suite de constructions au point de depart du mobile, oü 1on doit connaitre sanbsp;Vitesse en grandeur et en direction, il est évidentnbsp;^tle lon déterminera successivement lous les pointsnbsp;*le sa trajectoire plane ou a double courbure, et, ennbsp;^ême temps, la vitesse dont il sera animé en cha-Vüïi de ces points. Si les intervalles de temps, quon anbsp;supposes infiniment petits et désignés par dt, sontnbsp;seulement trés petits, on obtiendra une suite denbsp;points qui seront les sommets dun polygone, dau-tant moins différent de la trajectoire, que ses cotésnbsp;seront plus petits. En regardant la vitesse commenbsp;constante sur chaque cóté, et prenant pour sa valeurnbsp;la demi-somrae des vitesses quon aura trouvées auxnbsp;fleux extrémités, on pourra calculer Ie temps employé a parcourir une portion quelconque du polygone ; par conséquent, on connaitra de cette manièrenbsp;la courbe décrite par Ie mobile, ainsi que sa vitesse etnbsp;position a un instant donné sur cette courbe, anbsp;tel degré dapproximation quon voudra; mais il vautnbsp;Riieux faire dépendre les valeurs des coordonnées dunbsp;Riobile en fonctions du temps, déquations différen-tielles que lon intégrera ensuite sil est possible.

i49' Ces equations différentielles du mouvement ^ürviligne sont une suite immédiate du principe éta-Mi dans Ie n° 147.

En effet, les composantesde la vitesse du mobile, pa-vallèles aux axes de ses coordonnées z, étant

au bout du temps quelconque t, leurs aC-croissemens , pendant Jinstant dt, seront d. nbsp;nbsp;nbsp;,

quement a la composahte suivant laxe correspou' dant, de la force qui agit a eet instant sur Ie mobile,nbsp;il sensuit quen appelant toujours X, Y, Z, lesnbsp;composantes de cctte force, parallèles aux axes desnbsp;coordonnees a:, j, z, nous aurons

d.^ Udt, d.'^ Ydt,

dt nbsp;nbsp;nbsp; dtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dt

OU, ce qui est la même chose,

d^x nbsp;nbsp;nbsp;^ J Y d z ,

IF ~ nbsp;nbsp;nbsp;~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; dë-~

(^)

Le problème consistera, dans chaque cas, a iu' tégrer ces trois equations du mouvement; et lotinbsp;peut considérer, pour cetle integration, le procédénbsp;du n° précédent comme une méthode générale dap'nbsp;proxlmation. Leurs intégrales contiendront six cons-tantes arbitraires, que Ton déterminera au mojeonbsp;des trois coordonnees du mobile a Forigine du mouvement, et des trois composantes de la vitesse initiale , cest-a-dire, au moyen des valeurs des sD^

pour ^ = o. Ces intégrales et leurs différentielles premières feront easuite connaitre la position lt;3**nbsp;mobile a un instant quelconque, et sa vitessenbsp;grandeur et en direction. En éliminant entre elles

Ie leiïips ^, on aura les deux equations de la tra-jectoire. Quand on saura davance que cette courbe plane, on pourra prendre son plan pour celuinbsp;ies X et j, par exemple; ce qui reduira les troisnbsp;equations précédentes aux deux premières.

i5o. Au bout du temps t, soient a, b, c, les ^Tois coordonnees dun second point materiel, a lanbsp;position duquel on veut comparer celle du premier.nbsp;Les axes de ces cooidonnees étant ceux des oc, j,nbsp;je fais

les variables x', y, z', feront connaltre a chaque instant la position du premier point par rapport aunbsp;second; et dapres les equations (2), on aura

Quand le mouvement du second point ne sera pas connu, mais que ron donneia seulement lesnbsp;*^omposantes A, B, C, parallèles aux axes des coor-^ionnées, dela force qui le sollicite, on aura

agit a la fois sur les deux mobiles, ces composautes entreront aussi dans les valeurs de X, Y, Z, etnbsp;dlsparaitront de ces dernières equations. Cest cenbsp;qui arrivera, par exemple, a légard des corps qulnbsp;se meuvent a la surface de la terre, et dont onnbsp;rapporte les positions a des points determines denbsp;cette surface : les forces relatives a ces points etnbsp;provenant du mouvement diurne de la terre, nen-trent pas dans les equations des divers mouvemensnbsp;que Fon consldère a sa superficie j et 1on en fait com-plètement abstraction, en formant ces equations.

Toutefois, cela ne veut pas dire que les mou-vemens que nous observons soient tous indepen-dans de la vitesse de rotation de la terre. Elle influe pour une petite partle sur Fintensité de lanbsp;pesanteur , et , conséquemment, sur les mouvemens verticaux. De plus , quand un corps tombenbsp;dune hauteur considerable, la vitesse de rotationnbsp;dont il est auimé a son point de depart est unnbsp;peu plus grande que celle qui a lieu au pied de lanbsp;verticale menée par ce point; doü il est aisé denbsp;conclure que Ie mobile dolt sécarter un peu de cettenbsp;droite , et venir rencontrer la terre a une petite distance de son extrémité inférieure. Cette deviation ,nbsp;qui a été effectivement observée, rend sensible, pafnbsp;une experience directe, Ie mouvement de la terrenbsp;autour de son axe.

Les mouvemens indépendans de cette rotation sont ceux que produit Ie choc des corps, et aussi ceu*nbsp;qui sont dus a Faction musculaire des hommes et desnbsp;animanx.

ï5i. Les equations (2) sont celles du mouvement dun point materiel entièrement libre; mais il estnbsp;facile de les ëtendre a un point materiel assujetti anbsp;mouvoir sur une suiface donnée. II suffira pournbsp;*^la , comme dans Ie cas de léquilibre (n 36), denbsp;joindre aux forces données qui agissent sur Ie mobile , une force de grandeur inconnue, qui repré-sentera la resistance de la surface. Cette force seranbsp;ïiormale a la surface donnée; je la représenterai par N,nbsp;ct par X, ju,, V f les angles quelle fait avec les prolon-gemens des coordonnées x,j, z, du mobile- lesnbsp;equations du mouvement seront alors

(5)

En représentant par L = o 1équatlon de la surface donnée , et faisant, pour abréger,

W nbsp;nbsp;nbsp;

Après avoir substitué ces yaieurs dans les équa-dons (3), on éliminera entre elles Ie produit NV j les deux équations qui en résulteront, jointes a L=o,nbsp;servlront a déterminer cc, y, z, en fonclions de t. On

tirera ensuite de Tune des equations (5), ou dune combinaison quelconque de ces equations, la valeurnbsp;de NV ; et comme N doit toujours ètre une quantiténbsp;positive, Ie signe de cette valeur fera connaitre celuinbsp;de V; au tnoyen de quoi la force normale N et Ienbsp;sens dans lequel elle agit seront complètement determines.

Si Ie mobile est assujetti a se mouvoir sur deux surfaces données, ou sur leur courbe dintersectlon,nbsp;on Ie considérera encore comme entièrement libre,nbsp;après avoir joint aux forces données deux forcesnbsp;inconnues N etN', normales a ces surfaces; et ennbsp;désignant par A, /a , r , les angles qui déterminerontnbsp;les directions de la première par rapport aux axes desnbsp;X, z, et par A', /, les angles qui répondrontnbsp;a la seconde, il en résultera

= X -f- NcosA -f- N'cosA', = Y -j- Ncosft -}- N'cos/a',nbsp;= Z N cos r N' cos v' ,

pour les equations du mouvement. Si L==o est Tequa-tion de la surface dont N est la resistance, et quon représente par I/=o celle de la surface a laquellenbsp;correspond, les valeurs de cos A, cos /a, cosy, serontnbsp;les mêraes que précédemment, et celles de cos a4nbsp;cos cos y', sen dédmront par Ie changement de ^nbsp;et L en V^ et L'. Après avoir substitué les unes et leSnbsp;autres dans les equations (4), on éliminei-a les prO-duits NV et N'V'. Léquation qui en résultera, et les

equations données L = o et L' = o , serviront a determiner les valeurs de nbsp;nbsp;nbsp;z, en.fonctions de t.

Cela fait , on tirera de deux des equations (4), les Valeurs de NV et N'V^ dont les signes seront ceuxnbsp;V et V'; et, de cette manière, on connaitza lesnbsp;torces normales N et N', et Ie sens dans lequel ellesnbsp;®gissent : leur i'ésultante sera , en grandeur et ennbsp;^iirection, la resistance de la courbe sur laquelle Ienbsp;mobile est astreint a se mouvoir.

iSa. Pour donner une foime plus simple aux equations (4), soient m la masse du mobile et tkP lanbsp;pression quil exercera, dans son état de mouvement.nbsp;Sur la courbe quil est force de décrlre. Désignonsnbsp;par fsr, lt;ar',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;les angles que fait la direction

de cette force avec les prolongemens, dans Ie sens positif, des coordonnées oc, j, z, de ce point; la resistance que la courbe oppose au mouvement du mobile, considérée comme une force accélératrice, seranbsp;®gale et contraire a P; en la joignant aux foicesnbsp;données X, Y, Z, qui agissent sur Ie mobile, nousnbsp;^urons, au lieu des equations (4),

La direction de la force P nest pas connue d priori: Ou sait seulement quelle est nozmale ü la courbenbsp;donnee} doü. il resulte que Ie cosinus de 1 anglenbsp;oompzis entre cette direction et la tangente a la tz'a--

dx nbsp;nbsp;nbsp;\nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,

-y- COS -j- -j- COS (sr -i- cos = asnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;asnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ds

Les angles o*, .jjrquot;, seront, en outre, lies entre eux par Féquation ordinaire

Onëliminera P, 'sr, lt;ar', rarquot;, entre ces equations, en ajoutant les e'quations (5), après les avoir multipliées

et divisant par rxds, on voit que Ie premier raembre de 1équation précédente est la même cliose que ; o»nbsp;aura done simplement

La force lt;p est la somme des coraposantes des forces données, suivant la tangente a la trajectoire, !es-quelles composantes seront regardées conime posiquot;

tives Ou comme negatives, selon quelles tendront a 3Ugmenter ou a diminuer Tarc s décrit par Ie mobile. Le'quation (7) signifie done que dans Ie mouvement curviligne, comme dans Ie mouvement rec-tiligne, la force qui agit sur Ie mobile dans Ie sensnbsp;de son mouvement est égale au second coefficientnbsp;différentiel de lespace parcouru : a cause de e = ^,nbsp;on peut aussi dire quelle est égale au premier coefficient différentiel de la vitesse acquise e.

Celte équation étant indépendante de la résistance de la courbe, convient aussi au mouvement dun pointnbsp;matéiiel entièrement libre et a celui dun point maté-riel assujetti a demeurer sur une surface courbe; maisnbsp;cest principalement dans Ie cas dun point matériel quinbsp;se meut sur une courbe donnée , que cette équationnbsp;pourra être utile. On tirera des équations de cettenbsp;oourbe les valeurs de :v, j-, z, en fonctions de etnbsp;3près les avoir substituées dans léquation (7), il nenbsp;vestera plus qua intégrer cette équation du secondnbsp;Ordre entre s et t. Les deux constantes arbitrairesnbsp;*lne renfermera son intégrale se détermineront au

Cest-a-dire, au moyen de la position et de la vitesse nntiales du mobile. Quand les trois coordonnées oc,nbsp;¦T gt; z, auront été déterminées en fonctions de f,nbsp;fiaprès lintégrale de léquation (7) , jointe aux deuxnbsp;Equations données de la trajectoire , les équations (5jnbsp;feront connattre, a un instant quelconque , les troisnbsp;oomposantes de la pression P quéprouvera la courbenbsp;®nr laquelle Ie mobile est obligé de se mouvoir.

Oq trouvera, dans Ie chapitre suivant, une determination plus simple de cette force en grandeur et en direction.

i55. Lorsque Ie mobile est sollicité par une force dirigée vers un centre fixe, on obtient immédiatementnbsp;trois intégrales premières des equations (2).

Pour cela, placons lorigine des coordonnées z, en ce point; représentons, en grandeur et en direction, la force qui sollicité Ie mobile, par son rayonnbsp;vecteurj et construisons Ie parallélépipède dont cenbsp;rayon est Ia diagonale, et qui a ses trois cótés ad-jacens sur les axes des x, j-, z. Les trois coordonnéesnbsp;x,j, z, du mobile seront les grandeurs de ces troisnbsp;cótés, et représenteront les trois composantes de Ianbsp;force donnée; en sorte que lon aura

Xy = Xx, 7aX = Xz, Yz = Zy.

equations précédentesj et comme leurs premiers Kiembres sont les diffe'rentlelles de jdx xdj,nbsp;xdz. zdx, zdjjdz, on aura, en integrant,

154. Pour énoncer Ie tbéorème contenu dans ces mtégrales premières des e'quations du mouvement,nbsp;eonsidérons la projection AMB (lig. 38) de la trajec-toire du mobile sur Ie plan des coordonnées x etnbsp;dont les axes sont Ox et O/. Au bout du tempsnbsp;soient M la projection du mobile, OP et MP sonnbsp;abscisse x et son ordonnéejquot;; et C e'tant Ie point on cettenbsp;courbe coupe laxe Of, appelons u Ie secteur GOM,nbsp;P laire COPM, q Ie triangle OPM; nous aurons

Si est la projection du mobile au bout du temps ^-hdt, MOM' sera Faire decrite par Ie rayon vecteurnbsp;^e cette projection pendant Finstant dt; ce sera aussinbsp;différentieile de m ou de p q', et a cause de

par conséquent, la première equation {b) signifie que laire décrite pendant chaque instant dt par Ie rayonnbsp;vecteur de la projection M du mobile est constantenbsp;et égale a \cdt-, done aussi Faire décrite pendant un

temps t quelconque, est proportionnelle a cette variable et égale a \ct. Les aires décriles dans ce menie temps par les rayons vecteurs des projections du mobile sur les plans des x et z, et desy et z, serontdenbsp;même égales a j c't et ^ d't.

Concluons done que quand un point matérie! est soumis a une force constamment dirigée vers unnbsp;centre fixe, les aires décrites autour de ce point parnbsp;Ie rayon vecteur de sa projection sur un plan quel-conque passant paree même point, sont proportion-nellesau temps employé a les décrire.

Réciproquement, lorsque cette proprlété a lieu par rapport a trois plans rectangulaires menés par Ienbsp;centre des aires, on en peut conclure que la force onnbsp;la résultante des forces qui sollicitent Ie mobile estnbsp;constamment dirigée vers ce centre fixe.

En effet, si les équations {V) sont données, on aura, en les différentiant,nbsp;j(txxd'j=.o, xddzzetx^o, zd^yjd'z:=:zO,nbsp;en vertu des équations (a), qui sont celles dun mouvement quelconque, on aura done aussi

par conséquent, les forces X, Y, Z, seront entre elles comme les coordonnées x,j,z, du mobile^ ce q«*nbsp;suffit pour que leur résultante soit constamment diquot;nbsp;rigée vers Torigine des coordonnées. Au ieste, cettenbsp;force peut être attractive ou répulsive, cest-a-direnbsp;quelle peut agir suivant Ie rayon vecteur du mobile;nbsp;OU suivant son prolongement.

ï55. Lorsquun point materiel est soumis a une fofce dirigée veis un centre fixe, il est évident quenbsp;trajectoire est une courbe plane, puisquil ny au-¦ait aucune raison pour quil sortit, plutót dun cóténbsp;de lautre, du plan passant par la direction de sa vi-tesse initiale et par Ie centre fixe. Cest aussi ce que lonnbsp;^éduit des equations [b); car en les ajoutant, après lesnbsp;avoir multipliées par z, /, x, et divisées par dt, il vient

On peut prendre ce plan pour celui des x eljquot;; 1 aire décrite par Ie rayon vecteur même du mobile,nbsp;éans Ie plan de sa trajectoire, sera done proportion-üelle au temps; et, de plus, Ie théorème précédentnbsp;Se réduira a cette proportionnalité. En effet, si elle anbsp;lieu pour laire décrite sur Ie plan de la trajectoire,nbsp;vlle aura lieu également pour laire décrite par Ienbsp;vayon vecteur de la projection du mobile sur toutnbsp;^Rtre plan; car cette autre aire nest autre chose quenbsp;I3 projection de la première sur ce plan; et nous sa-Vons (n® loj que la projection dune aiie plane a unnbsp;^'apport constant avec Faire projetée.

i56. Laire infiniment petite MOM' peut aussi sex-Pi'imer en coordonnées polaires. Pour cela, désignons par r Ie rayon vecteur OM, et par 6 Tangle MOxnbsp;fiRÜ fait avec Taxe des x. Décrivons du point O,nbsp;^omme centre. Fare de eerde OMN qui coupe aunbsp;point N Ie rayon vecteur OM' correspondant a Tanglenbsp;cZÖ, et qui aura pour longueur rJÖ- Le secteur circulaire MON sera égal anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et pourra être pris

a cause que celle de Tangle 0 est ici tZG. De cette manière, la première e'quation {b) prendra la fornie

Ou exprime de même en coordonnées polaires Té-lément de la courbe. En désignant Tarc CM par ff et eet élément par d(7, on aura a la fois

en considérant MNM' comme un triangle rectiligne rectangle en N, on en conclura done

A cette occasion, nous ferons remarquer que, dai^® une Irajectoire plane, les composantes de la vitessenbsp;du mobile suivant Ie prolongement MO' de son rayownbsp;vecteur MO, et suivant la perpendiculaire a ce rayon,

Car 1angle 0'MT que fait ce prolongement avec la langente MT est complément de Tangle M du trianglenbsp;daprès ce triangle, on a done

Cl en multipliant ce cosinus et ce sinus par la vitesse , dirigée suivant MT^ on aura les composantes dontnbsp;d sagit. II est souvent utile den faire usage. Ellesnbsp;different des composantes et ^ de la même vitesse

en ce que les directions de celles-ci sont fixes, et que celles des précédentes varient avec la positionnbsp;du mobile.

decrit Tangle COM, compté a partlr dune droite fixe, est ce quon appelle la vitesse angulaire du mobile. Elle

Se dédult, comme on volt, de sa vitesse ^ , perpendiculaire a OM, en la dlvisant par la longueur de ce ^3yon.

Ajoutons les equations (5) du n iSa, après les avoir multipliées par dx, dy, dz-, en ayant égard a

equation (6) du même numéro, et observant que

dx d'x 4- dj dW J- dz d^z nbsp;nbsp;nbsp;» j ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- d V*

quot; dl'^ 2 nbsp;nbsp;nbsp;

Supposons que les expressions des forces donnëes X, Y, Z, ne renfernient explicitement ni Ie temps t,nbsp;nl la vitesse p, et quen considérant x, j, z, commenbsp;des variables indépendantes, cette formule (c) soitnbsp;une dififërentielle exacte; faisons, en consequence,

F indiquant une fonction donne'e ; en integrant Ie-quation (c) et désignant par C la constante arbitraire, nous aurons

Pour éliminer cette constante, soient a, b, c, k, ies valeurs initiales deXfjquot;, z, v; on aura

et, en retranchant cette equation de la prëcédente, p» =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 2F (x, j, z) 2F (rt, b, c).nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(d)

Ce iësultat ëtant indëpendant de la resistance N de la courbe, ëgale et contraire a la force P qui entradnbsp;dans les ëquations dont on la dëduit, il sensuit qui^nbsp;a ëgalement lieu dans Ie mouvement dun point maquot;nbsp;tëriel entièrement libre, et dans Ie mouvement siHnbsp;une surface ou sur une courbe donnée.

La consëquence immëdiate de cette ëquation {d) gt; cest que la vitesse est constante et Ie mouvemen^nbsp;uniforme toutes les fois que Ie mobile nest soUicit^nbsp;par aucune foice donnëe; car alors la fonction F est

uulle, et Ton a v k, soit que Ie mouvement ait lieu sur une surface ou sur une courbe donnée, ounbsp;Ie mobile soit entièrement libre.

Cette e'quatiou nous montre, de plus, que dans la supposition quon a faite sur la nature des forces X, Y,nbsp;laccrolssement du carré de la vitesse du mobile,nbsp;un passant dune position a une autre, est toujours Ienbsp;^ême, quelle que soit la courbe quil a décrite, etnbsp;Re depend que des coordonnées a,b, c, x, j, %,nbsp;des deux points extremes. Lorsque cette courbe seranbsp;donnée, ou seulement lorsque Ie mobile sera assu-jetti a se mouvoir sur tine surface donnée, on pren-dra pour k la vitesse du mobile tangente a cette courbenbsp;ou a cette surface. Si ia percussion exercée sur Ienbsp;tnobile a borigine de son mouvement na pas cettenbsp;direction, elle se décomposera en deux autres forces,nbsp;1une normale et bautre tangentielle; la première seranbsp;détruite par la resistance de la courbe ou de la surface donnée; et cest la seconde qui produira la vi-fesse k, et qui en déterminera Ie sens et la direction.

Sera celle dune surface qui sera atteinte avec des vi-fesses égales par tous les mobiles soumis aux mênies forces, partis du point dont a, b, c, sont les coor-données, suivant différentes directions et avec unenbsp;Rieme vitesse k. Lorsque, par exemple, ces mobilesnbsp;Re sont sollicités que par la pesanteur, cette equationnbsp;est celle dun plan horizontal.

Dans Ie cas dune courbe donnëe, on déduira de ses equations les valeurs de x, z, en fonctions denbsp;1arc j'; en les substituant, dans 1équation (d), et y

oil S est une fonction donnée de ; par conséquent, dans ce cas, la determination du temps en fonctionnbsp;de iespace parcouru se trouvera réduite a rintégra-tion d^une difFérentielle donnée. Mais la suppositionnbsp;sur laquelle est fondée léquation (d), et, conséquem-ment , cette equation, nauront pas lieu quand Ie mobile éprouvera la résistance dun milieu, qui est unenbsp;force dépendante de la vitesse; il en sera de mêmenbsp;lorsquil sagira du mouvement dun point matérielnbsp;attiré ou repoussé par dautres points qui seront eux-mêmes en mouvement; circonstance qui introduiranbsp;Ie temps t explicitement dans les valeurs de X, Y, Zlt;nbsp;Dans ces deux cas, si la trajectoire est une courbenbsp;donnée, on fera usage de léquation (c), dans laquellenbsp;ds.

i58. La formule Hdx ^dj- Zdz sera une difquot; férentielle exacte, comme on vient de Ie supposer,nbsp;toutes les fois que Ie mobile sera attiré ou repoussenbsp;par dbs centies fixes, et que les intensités de ces forcesnbsp;seront exprimées par des fonctions de la distance auJCnbsp;centres dont elies émanent.

En effet, soient e, j, g, les trois coordonnées dun des centres fixes, rapportées aux mêmcs axes que

les cosinus des angles que cette droite r fait avec ^es axes menés par Ie mobile, suivant les directionsnbsp;^es oc, z, positives, seront les rapports de ex,nbsp;f j, g z, a r. Si done on représente par R lanbsp;force attractive, dirigée du mobile vers ce centrenbsp;fixe, ses trois coraposantes auront pour expressions

^0 qui réduit a Rlt;fr la quantité précédenle. Si la force qui émane du centre fixe était repulsive, il suf-firait de changer Ie signe de cette quantité, qui de-^lendrait Rrfr, en considérant, dans tous les cas, Rnbsp;^Onanie une quantité positive.

On conclut de la que si Ie mobile est sollicité par Ro nombre quelconque de forces R, R', R'', etc., quinbsp;^Hianent de centres fixes, dont les distances a ce pointnbsp;iRatériel sont r, r, rquot;, etc., on aura

les signes supérieurs ayaut lieu dans Ie cas des attractions, et les signes inférieurs dans Ie cas des répul-sions. Or, en supposant que cbacune de ces forces soit une fonction donnée de la distance correspondante,nbsp;tous les termes de cette valeur denbsp;seront des ditférentielles dépendantes dune seule variable, et, par conséquent, cette formule sera unenbsp;différentielle exacte; ce quil sagissait de prouver.

On voit aussi par la, et daprès léquation (d), que laccroissement du carré de la vitesse provenant denbsp;chacune des forces R, R^, R^^, etc., sera Ie mêmenbsp;que si elle existait seule : a 1égard de la force Rgt;nbsp;par exemple, eet accroissement sera exprimé parnbsp;qz 2yR(ir, en prenant iintégrale de manière quellenbsp;sévanouisse pour la valeur initiale de r.

iSg. Dans Ie cas dun point matériel pesant, qui se meut, sur une courbe donnée, dans Ie vide et saiisnbsp;frottement sur cette courbe, léquation [d) se ré-duira a

en désignant par g la gravité, et prenant laxe des ^ positives vertical et dans Ie sens de cette force, éenbsp;sorte quon ait

Soient ADRC (fig. Sg) la courbe donnée, B so^ point Ie plus bas, A son point Ie plus élevé, q*^*nbsp;peut nêtre pas dans la même verticale que B, et Pnbsp;Ie point de depart du mobile. Flacons en ce dernic'nbsp;point lorigine des z, et supposons que la vitesse iiD

P* = 2g(^ Z).

II en résultera que quand Ie mobile arrivera au point B, la vitesse maxima sera la même que sil futnbsp;lombé de la hauteur h, augmentée de celle du pointnbsp;n au-dessus du plan horizontal mené par Ie point B.nbsp;En vertu de cette vitesse acquise , Ie mobile séleveranbsp;Ie long de BCA; sa vitesse diminuera continuelle-rnent; et si lon a k = o , elle sera nulle au point Cnbsp;silué dans Ie même plan horizontal que D. Parvenunbsp;au point C, Ie mobile redescendra Ie long de CB ; etnbsp;d oscillera ainsi indéliniment de D vers C, et de Cnbsp;Vers D. Lorsque la constante h ne sera pas nulle, Ienbsp;Mobile sélevera au-dessus du point C. Si lélévationnbsp;dn point A au-dessus du plan horizontal qui com-Piend D et C, est moindre que h, Ie mobile nat-teindra pas Ie point A; il sarrêtera en un certainnbsp;point C'j et si lon mène par C' un plan horizon-qui coupe la courbe en un autre point D', Ienbsp;*^iobile oscillera indéliniment de C' vers D', et denbsp;vers C'. Les oscillations seront toutes isochronesnbsp;dégale durée. Cela est évident a légard de cellesnbsp;auront lieu dans Ie même sens ; el lon voitnbsp;®Ossi que la durée de chaque oscillation de C' versnbsp;E sera la même que celle dune oscillation denbsp;Vers C^, en observant quun élément quelconque denbsp;couibe sera parcouru avec la même vitesse dans

les deux cas. Cette durée commune de toutes leS oscillations entières dependra de la forme de lanbsp;courbe et de la grandeur de Ji.

Lorsque lélévation de A au-dessiïs du plan horizontal passant par Ie point de depart sera égale a h, Ié mobile approchera indéfiniment du point A ,nbsp;mais ne latteindra quaprès un temps infini. Quandnbsp;cette elevation sera plus grande que h, Ie mobilenbsp;dépassera Ie point A, et parcourra la circonférencenbsp;entière de la courbe donnée. Revenu au point D,nbsp;sa vitesse sera la même qua lorigine du mouvement ; doü lon conclut quil fera une suite in-définie de revolutions, qui auront toutes une égalenbsp;durée, dépendante de la forme de la courbe et denbsp;la grandeur de h.

Si la courbe donnée est dabord comprise dans un plan vertical, tangent a un cylindre a base quel-conque , et quon enveloppe ce plan sur Ie cjlindre,nbsp;de sorte que la courbe donnée devienne une ligne anbsp;double courbure, Ie mouvement oscillatoire ou révo-lutif du mobile ne changera nullement, en suppo-sant, toutefois, que son point de départet sa vitessenbsp;initiale restent les mêmes; car alors la valeur de tnbsp;en fonctlon de s, déterminée comme il a été dit pré-tóédemment (n° iSj), ne dépendra que de celle de ^nbsp;en fonction de qui ne changera pas, quelle qn®nbsp;soit la base du cylindre vertical sur lequel la courbenbsp;donnée sera Iracée.

i6o. Dans tous les cas ou Tequation («?) a lieu, et OU Ie mobile nest pas astreint a se mouvoir surnbsp;une courbe donnée, celle quil décrit pour aller d un

DYNAMIQÜE, PREMIÈRE PARTIE. point donné que jappellerai A, a iin autre pointnbsp;donné que je nommerai B, jouit dune propriéténbsp;^emarquable. Si Ie mobile est entièrement libre,nbsp;^ integrale vds, prise depuis Ie point A jusquaunbsp;point B, est plus petite que suivaut toute autrenbsp;courbe aboutissant a ces deux points; sil est assu-jctti a se mouvoir sur une surface donnée, cettenbsp;propriété de Ia trajectoire na plus- lieu que relati-'Cnient a toutes les courbes tracées sur cette sur-tnbsp;face, et qui aboutissent toujours aux points A et B.nbsp;Hans ces deux cas, ds est Pélérpent diflférentielnbsp;(iune courbe quelconque , qui répond aux coordon-nées X, jquot;, z, et e une fonction de ces trois variables et dune constante k, donnée par léquation (d).

La demonstration de ce théorème revient a prouder quen vertu des equations du mouvement, la Variation de fvds est nulle, en supposant fixes lesnbsp;iiniites de cette intégrale : alors elle sera un mi-^nbsp;^^num OU un maximum-, et ce sera toujours Ie mini-^^uin qui aura lieu quand Ie mobile sera entièrementnbsp;libre ; car il est évident que lintégrale ids: pourranbsp;^roitre indéfiniment avec la longueur de la trajec-^oire, et ne sera pas susceptible de maximum.

nbsp;nbsp;nbsp;Jz=/L.

Le terme NVcTL nentrerait pas dans cette equation, si le mobile était entièrement libre; quand il estnbsp;assujetti a se mouvoir sur la surface dont 1 equationnbsp;est L = o, ce teime est nul; car toutes les courbesnbsp;que Ton compare a la trajectoire du mobile devantnbsp;aussi étre tracées sur cette surface, on a cTL =0;nbsp;done on doit supprimer ce terme dans tous les cas;nbsp;et il en résulte

done, a cause de ds~ vdt, et en intervertissant, dans le second membre, 1ordre des caractéristiques et cT»

S.^ds = d(^-^Sx %Sj % cTz);

Tc_____ nbsp;nbsp;nbsp;,

pour 1intégrale indéfinie de S.vds. Mais les deux points extremes A et B ëtant supposes fixes, les variations Sx, J'j-, Sz, qui sj rapporten t, devront êtrenbsp;nulles j par conséquent, lintégrale définie fS .vds ^nbsp;prise depuis Ie point A jusquau point B, laquelle estnbsp;égale a la variation S.fvds, se réduira a zéro; cenbsp;lt;luil sagissait de démontrer.

i6i. Quand ie mobile, assujetti a se mouvoir sur tine surface courbe, nest sollicité par aucune forcenbsp;donnée , sa vitesse est constante (n° iSy); lintégralenbsp;fvds est done Ie prodult lt;v. Par conséquent larc snbsp;décrit par Ie mobile est, en général, la ligne la plusnbsp;lt;^Ourte du point A au point B; et il suit de Punifor-^ité du mouvement, que, dans ce cas, Ie mobilenbsp;dun point a lautre, dans un temps plus courtnbsp;9^16 sil était forcé de décrire sur la surface donnéenbsp;loute autre courbe que sa trajectoire. Toutefois,nbsp;si cette surface est fermée de toute part, comme unenbsp;sphere, par exemple, les points A et B seront lesnbsp;oxtremités de deux arcs de grand eerde, dont lunnbsp;sera moindre et lautre plus grand aiie lous les arcs

de petits cercles aboutissant aux mêmes points; et Ie mobile pourra décrire Tune ou lautre de ces deuxnbsp;portions dun mème grand eerde, selon Ie sens de sanbsp;vitesse initiale k tangente a la sphere.

On peut presenter Iequation dilFérentielle de Ia trajectoire sous une forme qui mette en evidence lanbsp;propriété de la ligne Ia plus courte sur une surfacenbsp;quelconque, laquelle consiste en ce que son plan os-culateur en chaque point est normal a cette surface.

Les forces X, Y, Z, étant supposées nulles, les equations (3) du n® 151 se réduisent a

en prenant larc s pour la variable indépendante; et cela étant, on pourra remplacer les equations précé-dentes par celles-ci:

qui sen déduisent aisément. Je les ajoute après les avoir multipliées par cos v, coscos A; la quantité Nnbsp;disparait, et lou a simplement

pour léquation diflerentielle seconde de la trajec-^oire. On y substituera la valeur de lune des trols Coordonnées x, j, z, en fonction des deux autres ,nbsp;tirée de 1 equation L = o de la surface donnée,nbsp;sur laquelle cette courbe doit être trace'ej on inté-gcera ensuite le'quation a deux variables qui en ré-®^ltera; puis on dëterrninera les deux constantes ar-^itraires que lintégrale renfermera, en assujettissantnbsp;courbe a passer par les deux points A et B denbsp;surface donnëe. Léquation quon obtlendra denbsp;Cette manière, et qui sera, comme on volt, indé-Pendante de la grandeur et de la direction de la vitessenbsp;^*iitialeA, devra étre celle de la ligne Ia plus courtenbsp;entre ces deux points.

Or, si Ton appelle ct,,y , les angles que la nor-^^le au plan osculateur dune courbe quelconque, point dont les coordonnées sont x, f, z, faitnbsp;^Vec leurs prolongemens dans Ie sens positif, et qu onnbsp;fesse, pour abréger,

cos = ^ (dzd^x dxd^z),

cos 5/ = 1 {dxd'^j djd^x),

daprès les formules (5) du n° ig, oü ces mênies angles sont repre'sente's par A, v. En vertu denbsp;lequation (e), on aura done

ce qui montre que la normale au plan osculateui de la trajecloire, et la normale a la surface donnée,nbsp;sont perpendiculalres Tune a lautre j dou lon con-clut que le'quation (), qui appartient a la lignenbsp;la plus courte, est aussi celle de la coui'be qui a par-tout son plan osculateur normal a la surface donnée;nbsp;en sorte que ces deux lignes sont une seule et mêmenbsp;courbe tracee sur cette surface, quand on les assujettitnbsp;Tune et Iaulre a passer par les mêmes points extremes A et B.

II suit de la que, quand ces deux points appar-tiennent a une des lignes de courbure de la surface donnée, cette ligne est la plus couite dun point anbsp;Iautre; car son plan osculateur en un point quel-conque renferme deux normales consécutives a 1^nbsp;surface donnée, et est, par conséquent, normal anbsp;cette surface.

162. Le théorème du n® 160 est connu sous la dé-öoniination de principe de la moindre action , qui vient du point de vue métaphysique sous lequelnbsp;la dabord envisage, et quou a depuis justemenlnbsp;^bandonné. Mais ü peut encore être utile de donnernbsp;une des premières applications quon a faites denbsp;principe, celle qui est i-elative a la iéflexion et anbsp;la i'éfraction de la lumière dans le sjstème de remission.

Tant quun rayon lumineux se meut dans un milieu dune égale densité, sa vitesse et sa direction i'estent les mêmes; mais quand il passe d un milieunbsp;dans un autre, sa direction sinfléchit et sa vitessenbsp;change. Dans linslant du passage, la lumière décrilnbsp;^oe courbe dune étendue inappreciable, dont onnbsp;peut faiie abstraction sans erreur sensible. La tra-jectoire de chaque particule lumineuse est done alorsnbsp;1 assemblage de deux droites, dont cliacune est dé-crite dun mouvement uniforme. Ainsi, en appelant ety les longueurs de ces droites, n la vitessenbsp;la lumière dans le premier milieu, n' sa vitessenbsp;dans le second, on aura ny pour la valeur de lin-?dgrale fvds, prise depuis le point de depart de lanbsp;particule jusqua son entree dans le second milieu,nbsp;ct n'y pour la partie de cette integrale relative aunbsp;Second milieu; par conséquent cette intégrale, piisenbsp;dans toute létendue de la trajectoire, sera expri-mée par ny-j-n'y ¦ et cest cette somme qui doit

Avant daller plus loin, observons que, si Ie second milieu est une substance diaphane et cristallisée, lanbsp;vitesse de la lumière, dans cette substance, dépendra,nbsp;en general, de la direction du rayon lumineux; ennbsp;sorte quelle sera constante pour un même rayon,nbsp;mais variable dun rayon a un autre. Le phénomènenbsp;de la double refraction que présentent le spath dIs'nbsp;lande et la plupart des cristaux transparens, tient anbsp;la difFe'ience de vitesse des différens rayons lumineuxnbsp;qui les traversent. On doit alors regarder la vitesse n'nbsp;comme une fonction des angles qui déterminent lanbsp;direction de chaque rayon j et la loi de la refractionnbsp;depend de la forme que lon suppose a cette fonction.nbsp;En faisant une hypothese convenable sur cette forme,nbsp;Laplace est parvenu a déduire du principe de lanbsp;moindre action (*) , la loi de la double refraction,nbsp;de'couverte par Huyghens et confirmee par Malus,quot;nbsp;mais ce nest point ici le lieu d'exposer cette théorie -nbsp;nous nous bornerous a considerer le cas ou tons lesnbsp;rayons se meuvent avec la même vitesse, quellesnbsp;que soient leurs directions. Dans le calcul suivant;nbsp;les vitesses 7z et n' seront done regardees comme, desnbsp;quantites donnees pour chaque milieu en particulier,nbsp;et independantes de la direction des Iayons lumiquot;nbsp;neux.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;!

points extremes de la trajectoire. Supposons que la surface de separation des deux milieux soit plane, etnbsp;Rienons par ces deux points uu plan qui la coupenbsp;suivaut la droite CD. Soit encore AEB une ligne bri-see au point E, qui représente la projection de lanbsp;l^ajectoire sur ce plan. Menons par les points A, B,nbsp;ï'j les perpendiculaires AF, BG, HEK, a la droitenbsp;Puisque la position des points A et B est don-Rue, les trois droites AF, BG, FG, sont connues;nbsp;*Rais la position du point E, et les angles AEH etnbsp;bEK sont inconnus, et doivent être determines par lanbsp;Condition du minimum. Nous supposerons done

Le rayon lumineux traverse la surface de sépara-bon des deux milieux en un point dont E est la projection sur Ie plan de la figure. Si nous appelons z la distance de ce point inconnu au point E, y sera lliy-Poténuse dun triangle rectangle dont z et AE serontnbsp;les deux petits cótés, et j' Thypoténuse dun autrenbsp;Giangle qui aura z et BE pour ses deux petits cótés;nbsp;btais en considérant les triangles AEF et BEG, on a

dr nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dr'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nz

Or, on ne peut satisfaire a cette condition quen pre' nant z =: o; ce qui nous apprend que Ie rayon luquot;nbsp;mineux traveise au point E la surface de separationnbsp;des deux milieux, et, par conséquent, 'quil ne sortnbsp;pas du plan perpendiculaire a cette surface, nien®nbsp;par les points A et B.

nbsp;nbsp;nbsp;11nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nanbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n'b

^elle-ci et léquation (a) détermineront les valeurs X et x' qui répondent au minimum de ny -|- n'j'.nbsp;Après avoir calculé la valeur de on construira Ienbsp;point E, en prenant EF = a tang x; ensuite on tlreranbsp;^es droites AE et BE, et la ligne brisée AEB sera lanbsp;*'oute que suit Ie rayon lumineux pour aller du pointnbsp;A au point B.

Langle AEH compris entre la normale EH a la Surface de separation des deux milieux, et Ie rayonnbsp;incident AE, est ce quon appelle Yangle d'incidence;nbsp;iangle BEK, compris entre Ie prolongement ER denbsp;cette normale et Ie rayon réfracté BE, se nommenbsp;Wangle de refraction. Ces deux angles ont été dési-§nés par x eX. x'. Ainsi léquation (6) fera connaitrenbsp;i angle de refraction quand Tangle dincidence seranbsp;^ontiéj et Ton voit, daprès cette equation, que Ienbsp;®inus de Tangle de refraction est au sinus de Tanglenbsp;incidence dans un rapport constant.

Cest, en etfet, la loi connue de la refraction ordi-laire, dont la découverte est due a Descartes. Le Rapport des deux sinus depend de celui des vitessesnbsp;^ ot n' relatives aux milieux que Ton considère, et,nbsp;pour cette raison, il varie avec les diffërentes sortesnbsp;milieux transparens.

164. Si le rayon lumineux, au lieu de penétrer ians le second milieu, est réfléchi a la surface de sé-

paration, sa vitesse sera coastante dans toute Ieten-due de la trajectoire, qui est alors comprise en ehtier dans un raême milieu. Linlégrale f vds sera donenbsp;égale a la longueur totale de ia trajectoire, multi-pliée par cette vitesse constante; par conséquent, cettenbsp;longueur devra être un minimum, en vertu du principe de la moindre action.

Supposons done, corame dans Ie numéro précédent, que la surface de séparation soit plane. Soient A et B ( fig. 40 deux points extremes de la trajectoire ; menons par ces points un plan perpendiculaire a cette surface, qui la coupe suivant CD : chaquenbsp;particule de iumière ira du point A au point B, ennbsp;suivant une ligne brisée AEB, la plus courte de toutesnbsp;celles qui se réfléchissent sur la surface de separation.nbsp;Or, il est dabord évident que cette ligne sera comprise dans Ie plan perpendiculaire a cette surface - carnbsp;toute autre trajectoire serait plus longue que sa projection sur ce plan. De plus, il est aisé de prouver,nbsp;sans aucun calcul, que la plus courte ligne briséenbsp;est celle qui fait deux angles égaux avec la droitenbsp;CD, cest-a-dire que si lon a

la ligne AEB sera plus courte que toute autre ligne brisée AE'B, dont Ie point E' appartient, ainsi quenbsp;E, a la droite CD.

En elFet, abalssons de A la perpendiculaiie AF sur cette droite; prolongeons-la dune quantlté AT égalenbsp;a AF, et tirons ensuite les droites A'E et A'E'. Lesnbsp;deux angles AEC et A'EC seront égaux; done les

^eux angles A'EC et BED Ie seront aussi, a cause ie 1 equation précédente; par conséquent, Ia lignenbsp;A'EB sera droite : on aura done

Si lon élève au point E la perpendiculaire EH sur la droite CD, AEH et BEH sexont les anglesnbsp;dincidence et de reflexion du rajon lümineux quinbsp;Va du point A au point B. Ces angles seront égaux,nbsp;puisquils sont complémens des angles égaux AEGnbsp;et BED; doü ii résulte la loi connue de laréflexion.nbsp;de la 1 umière, qui consiste en ce que Tangle de ré-flexion est toujours égal a Tangle dincidence.

i65. Lorsque Ton admet la théorie de Témission la lumière , les lois de la réflexion et de la ré-ffaction se déduisent de Texpression du carré de lanbsp;Vitesse dun point soumis a des forces dattractionnbsp;i58), dune manière plus directe quen faisantnbsp;Usage du principe de la moindre action. Cette question nous offrant un exemple du mouvement dunnbsp;point rnalériel, intéressant par la nature des forcesnbsp;Sue Ton y considere, et par son application a lanbsp;ï*hysique, nous allons en exposer la solution dans lenbsp;uas ordinaire, oil les deux milieux que traverse lanbsp;tümière ne sont pas cristallises.

lurnineuse soumise a Iattraction de tous les points matériels du milieu quelle traverse, et lon regardenbsp;cette force conime une fonction inconnue de lanbsp;distance, dont on sait seulement quelle décroitnbsp;avec une extréme rapidité quand la distance aug-mente, de sorte quelle devient tout-a-fait insensible dès que la distance a une grandeur^ sensible.nbsp;Ainsi, par exemple, désignons par r la distancenbsp;du point attiré au point attirant, par cl une lignenbsp;de grandeur linie, mais insensible, et par e la basenbsp;des logarithmes népériens. Une force de cette nature

pourra être représentée par Ae A ëtant son in-tensité relative a une distance r infiniment petite. Dès que cette distance aura une grandeur sensible»nbsp;et sera, conséquemment, un tres grand multiplenbsp;de a, cette fonction naura plus aucune valeur sensible.

Tant quun rayon lumineux se meut dans un milieu homogene et dune densite' constante, les attractions quil éprouve se détruisent, et son mouvement est rectiligne et uniforme. Mais supposons quil soit parvenu en un point M (lig. 42) situé ^nbsp;une distance insensible de la surface CD, qui sé-pax'e deux milieux différens, et que nous suppose-rons horizontale pour fixer les ide'es; de ce poin^nbsp;M, abaissons sur CD une perpendiculaire MP,nbsp;menons ensuite, dans Ie milieu supérieur, deu^nbsp;plans C'D' et ' parallèles a CD, dont la distancenbsp;mutuelle soit égale a MP, et dont Ie premier passenbsp;par Ie point M; il est évident que les attractions

'sxercées sur Ie rayon lumineux au point M, par les deux couches du milieu supérieur, qui sont comprises, lune entre CD et C^D', Taufre entre C'D'etnbsp;seront égales et contiaires; elles se détrui-^ont done, et Ie mobile ne sera sollicité que parnbsp;l^attraction de la partie du milieu quil traverse,nbsp;Supérieure a Cquot;D'', et par lattraction totale du milieu inférieur. Ces deux forces seront perpendicu-laires a CD; elles varieront avec la distance MP sui-^snt des lois inconnues, mais telles que chacunenbsp;*le ces forces sera insensible quand MP ne Ie seranbsp;pas, et quelles atteindront leurs maxima lorsquenbsp;Cette distance sera nuIJe, ou que Ie mobile seranbsp;parvenu a la surface de separation des deux milieux.

Au bout du temps i, je représente par z la distance MP, et par Z et Z' des fonctions inconnues de qui expriment les forces accélératrices provenantnbsp;lus attractions du milieu inférieur et de la partienbsp;1autre milieu, supérieure a C'D'. La force ac-^^lératrice totale , tendanle a diminuer z, sera lanbsp;différence Z Z'; par conséquent, on aura, dans

Lorsque ce mobile aura traversé la surface CD en ^n point E, et quil aura pénétré dans Ie milieu inférieur jusquen un point M', tel que la perpendicu-

laire MT' a CD soit aussi représentée par z, il est aisé de voir que la force accélératrice qui tendra a dimi-nuer cette variable sera alors la difference Z' Zjnbsp;en sorte que 1on aura

Quant au mouveinettt horizontal ou parallèle a CD, il sera uniforme, et la vitesse horizontale ne changeranbsp;pas en passant dun milieu dans lautre; car les forcesnbsp;attractives de chaque milieu se dëtruisent parallelednbsp;ment a CD, et, dans ce sens, un rayon lumineu^ï:nbsp;nest soumis a aucune force accélératrice. Ainsi, ennbsp;appelant k la vitesse de la lumière en un point A dnnbsp;milieu supérieur, situé a une distance sensible de CD,nbsp;et a Tangle aigu que la direction de Cette vitesse faitnbsp;avec la verticale, on aura, a un instant quelconque,nbsp;k sin a, pour la vitesse parallèle a CD. Si Ie rayon lu''nbsp;mineux pénètre, dune quantité sensible, dans Ie nn^nbsp;lieu inférieur, et quon représente par V et a' ce qu®nbsp;deviennent k et a en un point A' de ce milieu, situ®nbsp;a une distance sensible de CD, on pourra égalemcntnbsp;représenter la vitesse horizontale du mobile pa**nbsp;k' sin a'; en sorte que Ton devra avoir

On voit aussi, a priori, que la trajectoire du nio' bile sera une coürbe plane et verticale; il ue resteranbsp;done plus qua déterminer sa vitesse perpendiculair®nbsp;h. CDj, soit dans Ie milieu supérieur, soit dans Ie nnquot;*

iieu inférieur, a une distance quelconque z de cette surface CD.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;

^equation (i) par 2dz, integrant et désignanl par c constante arbitraire, on aura, dans Ie milieu supérieur ,

Je supposerai que ces deux intégrales sévanouissent svec z, et je représenterai par h et Ji letrrs valeurs anbsp;üne distance sensible de CD. II sera permis détendrenbsp;ces intégrales h et depuis zéro jusqua linfini; car,nbsp;au-dela dune valeur sensible, les fonctions Z et Z',nbsp;et par conséquent les parties correspondantes denbsp;fZdz et fT/dz', sont nulles ou insensibles par hypothese. On pourra done écrire, si lon veut.

, z*. K=f^

tailleurs, pour une valeur sensible de z, on a = k' cos® at; on aura done alors

Je représente par A:, la vitesse du mobile au point de la surface CD, et par a, Tangle que fait sa

direction avec la verticale. On aura en ce point M* = A:*cos*'»!; et comme il répond a jz=o, lesnbsp;deux derniers termes de la formule précédente sé-vanouiront, et elle se rëduira a

Pour que Ie rayon lumineux atteigne la surface de separation des deux milieux, il faudra done que Ie se'nbsp;cond membre de cette equation soit une quantité positive, OU quon ait

Si cette condition nest pas iemplie, ce qui exi-gera que lattraction du milieu supérieur surpasse celle du milieu inférieur, la vitesse verticale du mobile sépuisera avant quil ait atteint Ie plan CD. II ynbsp;aura done un point de la trajectoire oii la tangentenbsp;sera horizontale. Parvenu en ce point, Ie mobile ré-trogradera; les deux branches de cette courbe, abou-tissantes en ce même point, seront semblables, puis-quelles seront décrites en vertu de forces égalesnbsp;pour la même valeur de z; et, pour une grandeuinbsp;sensible de cette distance z, ces deux branches senbsp;changeront en des Ugnes droites qui feront des angles égaux avec la verticale, ou, autre ment dit, lesnbsp;angles de réflexion et dincidence seront égaux.

Si, au contraire, fattraclion du milieu inférieur surpasse celle du milieu supérieur, et que la condi^nbsp;tion précédente soit remplie, Ie rayon lumineux péquot;nbsp;nétrera dans Ie second milieu avec une vitesse perpendiculaire a CD, qui sera déterminée par léqua-tion (^). Dans cette hypothese, on aura, daprès

supposanl toujours les intégrales nulles quand ^ == o. A une distance sensible de CD, on anbsp;= A'* cos® a!; on aura done

Pour que Ie rayon lumineux, après avoir traversé la Surface CD, pénètre jusqua une profondeur sensiblenbsp;dans Ie milieu inférieur, il sera done nécessaire etnbsp;d suffira quon alt

Cors done que K, quoique moindre que ^ -f-j^®cosa, ®urpassera néanmolns ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ cos® a, Ie mobile ne

Pénétrera dans Ie milieu inférieur que jusqua une distance insensible au-dela de CD; il rentrera ensuitenbsp;dans Ie milieu supérieur; et les deux branches de sanbsp;^ï'ajectoire seront semblables de part et dautre dunbsp;point oü il commencera a rétrograder. Par consé-^I'lent, la lumière sera réfléchie, comme dans Ie casnbsp;pi'écédent, en faisant Tangle de réflexion égal a 1 angle dincidence; en sorte quil y a deux cas distinctsnbsp;de reflexion dans la théorie que nous considerons.

i6y. Supposons malntenant que ni lun ni 1 autre de ces deux cas nait lien , de sorte que Ie rayon

k'^ =k- nbsp;nbsp;nbsp; 4A';nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(6)

ce qui montre que [augmentation du carré de la vitesse du mobile, en allant du point A du milieunbsp;supérieur au point A' du milieu inférieur, sera in-dépendante, comme cela devait être ( nquot; iSy), dnnbsp;chemin quil aura suivi.

formule qui renferme la loi du rapport constant dn sinus de réfraction au sinus dincidence, et qui donoenbsp;la valeur de ce rapport en fonction de la vitesse k denbsp;la lumière dans 1un des deux milieux, et de la difference h h' de leurs pouvoirs réfringens h et h'-Si Ie milieu inférieur est terminé par deux plansnbsp;parallèles, et quil y ait au-dessous Ie même miliennbsp;quau-dessus, lexpérience prouve que la lumière gt;nbsp;après avoir subi deux réfractions et traversé les denlt;nbsp;faces du milieu intermédiaire, repreud une direction parallele a celle quelle avait dans Ie milieu supérieur. Cest aussi ce qui résulfe de léquation {'])gt;nbsp;car si lon désigne par aquot; Tangle que Ie rayon In-mineux fait avec la verticale, après être sorti dn

intermediaire, il faudra, pour determiner sin aquot;, échanger entre elles, dans cette equation, lesnbsp;quantités h et h', et y raettre k', a!, aquot;, au lieunbsp;^ , a, aJ. On aura done

Le phénomène de la dispersion, qui provient düne valeur différente de Tangle de refraction al, pour lesnbsp;cayons diversement colorésdont se compose un mêmenbsp;rayon de lumière incidente, peut étre attribué, da-près la formule (7), solt a une Inégalité de leur vi-lesse k, soit a une action differente de chaque milieunbsp;*ur ces différens rayons, doii il résulterait des valeursnbsp;inégales de h h'.

168. Toutes choses dailleurs égales, cette équa-bon (7) rnontre que le rapport du sinus de refraction

sinus dincidence doit changer avec Ia vitesse de ia lumière. Or, si Ton considère une étoile situéenbsp;^ans le plan de Técliptique, il y a une époque dansnbsp;lannée ou la vitesse de la terre sajoute a celle de lanbsp;lumière, et une autre époque oü la première vitessenbsp;se retranche de la seconde; ce qui rend la vitesse denbsp;la lumière, relativement a un milieu qui se meut

avec la terre, sensiblement plus grande dans Ie premier cas que dans Ie second. Le rapport dont il sagit devrait done aussi être different a ces deux époques;nbsp;mais des experiences tres précises de M. Arago ontnbsp;piouvé quau contiaire ce rapport ne varie pas dunenbsp;manière sensible pendant toute lannée, et, de plus,nbsp;que sa grandeur est la même pour le soleil et pournbsp;les diverses étoiles doü la lumière est partie.

Quelle que soit la théorie de la lumière que Ton adopte, eest toujours un fait trés remarquable, quenbsp;la composition de la vitesse propre de la lumièrenbsp;avec celle de la terre, qui se manifeste dans le mouvement apparent des étoiles, connu sous le nomnbsp;aberration^ nait cependant aucune influence appré-clable sur la réfractlon de la lumière quelles nousnbsp;envoient a dlfférens jours de lannée.

Dans le vide, le mouvement de la lumière directe OU réfléchie est uniforme, et sa vitesse indépendantenbsp;de la source dont elle émane. La grandeur de cettenbsp;vitesse est telle, que la lumière parcourt en 495,34 secondes la distance moyenne du soleil a la terre ; cenbsp;qui donne 3og5o myriamètres par seconde.

Un rayon lumineux, lancé du soleil ou dune étoile, doit éprouver dans sa vitesse, comme toutnbsp;autre projectile, une diminution due a sa pesanteurnbsp;veis cet astre, eest-a-dire, a Iattractlon en raison inverse du carré des distances a son centre , que 1»nbsp;masse du corps exerce sur chaque parti cule maté-rielle de la lumière; mais cette diminution est unenbsp;fraction trés petite de la vitesse finale de la lumière.nbsp;Ainsi, par exemple, lintensité de la pesanteur a la

surface du soleil étant vingt-sept fois et demi linten-site' de la pesanteur terrestre, comnie on Ie verra par suite, et Ie rayon du soleil étant égal a 11 o rayonsnbsp;la terre, on conclut de ce quon a vu dans Ie n i43,nbsp;'ïue la vitesse de la lumière, pour être de 3og5o my-fiamètres par seconde a une grande distance du so-^®il, a dü être plus grande dun peu moins de deuxnbsp;Riillionièmes seulement, en partant de sa surface.

CHAPITRE IV.

169. La pression quun point niatérièl exerce suv une courbe quil est force' de de'cilre, nest pas lanbsp;méme que qiiand il est en équilibre sur cette courbe.nbsp;Lëtat de mouvement donne naissance a une pressionnbsp;particuliere quon appelle force centrifuge, pareenbsp;quon la dabord considérée dans Ie cercle oü ellenbsp;est dirigée suivaut Ie prolongement du rayon, etnbsp;tend continuellement a eloigner du centre Ie mobilenbsp;sur lequel elle agit. Cest cette force que nous allonsnbsp;considérer dans une courbe quelconque.

Soient et MM' (fig. 43) deux éle'mens consë-cutifs et égaux de la courbe donnée, H et H' leurs milieux, MT et M'T' leurs prolongemens. Leur plannbsp;et Tangle TMT' scront Ie plan osculaleur et Tanglenbsp;de contingence de la courbe au point M; et si Tonnbsp;mène dans ce plan la droite MO, qui divise Tangl®nbsp;MyMM' en deux parties égales, elle représentera 1*nbsp;direction du rayon de courbure en ce même point Mlnbsp;en sorte que Ie centre de courbure sera Ie point önbsp;de cette droite. Appelons ds Téle'meut M^I de 1^nbsp;courbe, lequel sera aussi égal a HMH'; soient, eDnbsp;outre. S' Tangle infiniment petit TMT', et p Ie rayoOnbsp;de courbure MO, nous aurons (n 18)

Cela posé, faisons dabord abstraction des forces '^Onnées qui peuvent agir sur Ie mobile, et suppo-®ons quau bout du temps t, il arrive au point M avecnbsp;vitesse v. Sil était entièrement libre, il conti-RRerait a se mouvoir sur MT avec la même vitesse;nbsp;^3is, par hypothese, il est force de décrire unenbsp;^Rurbe donnée; ce qui change la direction de sonnbsp;Riouvement, qui devient MT'. Or, si Ton élève surnbsp;la perpendiculaire MK, comprise dans Ie plannbsp;R^culateur et en dehors de la concavilé de la courbe,nbsp;RR pourra substituer a la vitesse dirigée suivantnbsp;^T, deux autres vitesses, Tune égale a v cos J' etnbsp;dirigée suivant MT', lautre égale a e sin J' et di-dgée suivant MK; et alors lefFet de la courbe seranbsp;ie détruire la dernière de ces deux vitesses, pournbsp;Re laisser subsister que Ia première, ou, autrementnbsp;^t, eet elTet se réduira a imprimer au mobile unenbsp;''Resse égale et contraire a c sin cT. La courbe donnéenbsp;®tant done remplacée par un polygone infinitésimal,nbsp;resistance consiste a imprimer au mobile, a chaquenbsp;^RinmetM de ce polygone, une vitesse iofiniment pe-^Re esincT, dirigée en sens contraire de MK.

Pour assimiler complètement cette résistance a RRe force niotrice qui agit incessamment sur Ienbsp;R^obile, nous pouvons supposer que la vitesse sind'nbsp;produite pendant que ce point materiel va denbsp;en H', et prendre dt pour la durée de cette ac-bon. Nous pouvons aussi négliger, dans eet inter-Yalle de temps, Ie changement de direction de cettenbsp;ibvee, et la supposer, par exemple, parallèle a lanbsp;Iroite MO, Alors la force accélératrice corre.spon'*

dante aura pour mesure, comme chacune des forces U, U', Uquot;, etc., du n° 147, la vitesse v sin cT quellenbsp;produit pendant linslant dt, divisée par dt; et ennbsp;appelant m la masse du mobile, il en résultera

pour la valeur de f. Done , en remplacant sin «T par cT, mettant pour cf sa valeur pre'cédente, et observantnbsp;que ds=. vdt, on aura

La pression que la courbe éprouve, et qui est uniquot; quement due a létat de mouvement du point maté''nbsp;riel qui la décrit, ou la force centrifuge qui agitnbsp;sur ce mobile, est égale et contraire a cette force f-II sensuit done quau point quelconque M, de 1®nbsp;courbe donnée, la force centrifuge est comprise danSnbsp;Ie plan osculateur, et dirigée en dehors de la concavitynbsp;de cette courbe , suivant Ie prolongement MN de soonbsp;rayon de courbure, et que son intensité est en raisonnbsp;inverse de ce rayon, et en raison directe de la mass^nbsp;du mobile et du carré de sa vitesse.

170. Cette vitesse étant v sur Ie cóté M,M, et devc' nant v cos cT sur Ie cóté suivant MM', il sensuit qn®nbsp;sa grandeur nest point altéiée par la courbe; car onnbsp;peut négliger la quantité v{i cos J'), infinimentnbsp;petite du second ordre, de laquelle il ne pourrai*nbsp;résulter quune diminution infiniment petite de vl'nbsp;tesse, sur une partie de la courbe de grandeur finie-Le mouvement sur une courbe quelconque est doncnbsp;uniforme qvand le mobile nest sollicité par aucunC

force ^onnée. Cest ce quon a déja vu daas Ie n'* iS'j; Wajs nous voyons de plus que ce résultat tient a cenbsp;Sue Tangle de contingence est inliniment petit, etnbsp;Suen un point oii deux courbes différentes se cou-peraient sous un angle fini, Ie mobile eprouveraitnbsp;Uue perte linie de vitesse, en passant dune courbe anbsp;1 autre ; laquelle perte serait égale a sa vitesse primi-, multipliée par Ie sinus verse de eet angle.

Lorsque Ie mobile est sollicité par une ou piusieurs forces données, sa vitesse varie a raison des compo-®antes de ces forces tangentes a la trajectoire, et leursnbsp;^uinposanles normales exercent, comme dans Tétatnbsp;repos, une piession sur cette courbe quil fautnbsp;joindre a la force centrifuge.

Soit, en general, inK la résultante des forces don-Ue'es qui agissent sur Ie mobile, quand il est parvenu point M. Décomposons cette force motrice ennbsp;'^eux autres, Tune tangen te et Tautre normale a lanbsp;eetoire, que nous représenterons par mT et toQ ;nbsp;fo première sera la force qui fera varier la vitesse, etnbsp;fo seconde produira la partie de la pression indépen-'^ante de Tétat de mouvement du mobile. En pre-^ant, par la regie du parallélogramme des forces, la

^'^ra, en grandeur et en direction, la pression totale ^Ri aura lieu au point M de la courbe donnée. Cettenbsp;foice , divisée par la masse du mobile, ou la résul-foute des forces accélératrices Q et , devra coïnci-

lyi. Je reniplace les equations (5) de ce numéro par celles-ci, qui sen déduisent immédiatement,

Eu désignant par q, q', q, les angles que la forc^ Q fait avec des parallèles aux axes des oc ^ j, z gt;nbsp;observant que X, Y, Z, sont les composantes suivaotnbsp;ces parallèles de Q et de la force tangentielle T, oo

Or, si lon appelle y, y, y, les angles que la direc-^*oia de la force centrifuge, cest-a-dire Ie prolonge-RientMN du rayon de couibure MO, fait avec des pa-*'allèles aux axes des x, f, z, menées par Ie point M, x', j', z, les coordonnées du centre de courbure 0,nbsp;^*1 aura

COS '®' fquot; ^ COS nbsp;nbsp;nbsp;cos lt;Zcr''=o;

ce qui réduit les coelBciens de Q, dans les trois équaquot; lions prëcédentes, a cos q, cos q', cos qquot;, etnbsp;ceux de Pa cos -ar, cos for',nbsp;done enfin

nbsp;nbsp;nbsp;cos y -\-Q cos q = P cos lt;ar,

nbsp;nbsp;nbsp;cos 7' Q cos q' =P cos lt;ar',

nbsp;nbsp;nbsp;cos yquot;-h Q cos qquot; = P cos (srquot;,

oü lon voit, comme il sagissait de Ie ve'rifier, que la force P est, en grandeur et en direction, la résul-

tante des deux forces et Q.

172. Quaud Ie mobile sera seulement assujetti a se mouvoir sur une surface donnée, il faudra quenbsp;ia résultante des forces motrices mQ et , qui est

déja perpendiculaire a sa trajectoire, soit, de plus, f ovruale a cette surface. En appelant done inN cettenbsp;résultante, et désignant par cd et 4 les angles, aigusnbsp;OU obtus, que font ses deux composantes avec unenbsp;nartie déterminée de la normale a la surface, au poin*nbsp;oü se trouve Ie mobile, on aura

pï == db (^Q cos ft) -f. cos 4 y

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;325

La force N agira suivant cette partie de la- normale Ou suivant son prolongement, selon que Ia quantiténbsp;comprise entre les parentheses sera positive ou negative; et pour que N soit toujours une quantité positive , on prendra Ie signe supérieur dans Ie premiernbsp;et Ie signe inférieur dans Ie second . Cette forcenbsp;iiccélératrice N devra être égale et contraire a cellenbsp;ijui entre dans les equations (3) du n°

^ffet, celles-ci ne différant des equations (5) du n° 162 fuen ce quelles contiennent N, A, «, r, au lieu denbsp;^P, 'Zïr, fsr', esrquot;, on en déduira, par lanaljse précé-liente, des composantes de la force N, qui serontnbsp;^gales et contraires a celles que lon a trouvées pournbsp;ia force P.

Dans ce même cas dune surface donnée, si Ton dé-S'gne par agt;' et 4^' ies angles que les forces mQ et

ie mobile, tangent a cette surface et perpendiculaire a ia trajectoire, de sorte quon ait

'i faudra que la somme des composantes de ces deux i^erces suivant eet axe tangent, soit égale a zéro,nbsp;Puisque leur résultante est noi'male au même pointnbsp;'ie la surface; on aura done

equation qui pourra servir a determiner linclinai-^On -nI.' du plan osculaleur de la trajectoire sur Ie plan tangent a la surface donnée.

Lorsque Ie mobile ne sera soumis a aucune force donnée, ou, plus généralement, lorsquil ne seranbsp;soumis qua une force tangente a sa trajectoire, onnbsp;aura Q=o; il enrésultera done cos-4/'= o et'=90°;nbsp;en sorte que Ie plan osculateur de cette courbe seianbsp;constamment perpendiculaire a la surface donnée-Cette propriété étant, en general, celle de la lignenbsp;la plus courte entre deux points donnés sur cettenbsp;surface, cest cette ligne que Ie mobile décrira, ainsinbsp;quonladlt précédemment (n° 161); mais maintenantnbsp;nous vojons, en outre, quune force tangenle ^nbsp;la trajectoire, telle quun frottement contre la surfacenbsp;donnée, ou la résistance dun milieu, ne fera pas de-vier Ie mobile, de la ligne la plus courte entre sonnbsp;point de départ et son point darrivée.

175. Enfin, si Ie mobile est entièrement libre, faudra que la composante normale a la trajectoire 1nbsp;de la force motrice /»R qui Ie sollicite, fasse équi'

ny a pas de courbe ou de surface donnée qui puisse détruire la résultante normale de ces deux forces.nbsp;faudra done, en premier lieu, que Ie plan osculateüinbsp;de la trajectoire soit celui qui passe par la tangent^nbsp;et par la direction donnée de la force wR; en app^quot;nbsp;lant ö Tangle que cette direction, en un point qiic^''nbsp;conque, fait avec Ie rayon de courbure MO,nbsp;faudra, en outre, que eet angle soit aigu pournbsp;la composante normale de la force mK agisse en sen*nbsp;contraire de la force centrifuge qui est dirigée siDquot;nbsp;vant MN et cela étant, on devra avoir

Quand la force accélératrice R, a laquelle Ie mobile soumis, sera une force centrale dirigée vers unnbsp;point connu, et que lobservation aura fait connaitre lanbsp;^Ourbe quil decrit autour de ce centre fixe, on pourranbsp;oe'duire de léquation de cette courbe, Ie rajon denbsp;oourbure et Tangle 6 quil fait avec la direction denbsp;force R; on déduira aussi, de cette equation et denbsp;proportionnalitë des aires aux temps ( n° i55 ),nbsp;^expression de la vitesse u en un point quelconquenbsp;de la trajectoire; par conséquent, Téquation (a) dé-terminera la valeur de R, ou la loi de la force centralenbsp;qui fait décrire au mobile la courbe donnée. Cestnbsp;de cette inanière que Newton a découvert la loi de lanbsp;force dirige'e vers Ie centre du soleil, qui fait décrirenbsp;^ chaque planète une ellipse dont ce point occupe unnbsp;des foyers; mais on verfa, dans la suite, quen par-^^ot des mêmes données, cette détermination peutnbsp;® offectuer par un calcul plus simple.

174* Huygbens, a qui Ton doit la mesure de la ^orce centrifuge, Ta déduite de la considération dunbsp;*Oouvement circulaire; et quoique cette méthode soitnbsp;^^oins directe que la précédente, je crois cependantnbsp;'itile de Texposer ici en peu de mots.

Soit M ( fig. 44 ) on point matériel attaché a un point fixe C par un lil inextensible CM; supposonsnbsp;qu une percussion lui imprime une vitesse a, dans unenbsp;direction perpendiculaire a la longueur du lil; et,nbsp;poiu' simplifier la question, supposons aussi quaucune

force motrice donnée nagisse sur Ie mobile. Ce point materiel va décrire un ceicle AMB, dont Ie centrenbsp;et Ie rayon seront Ie point fixe et ia longueur du fil-Pendant ce mouvement, Ie fil qui retient Ie mobilenbsp;e'prouvera, dans Ie sens de sa longueur, une certainenbsp;tension qui nest autre chose que la force centrifuge.nbsp;En appliquant au mobile une force égale a cette tension et constamment dlrigée vers Ie centre fixe, onnbsp;pourra faire abstraction du fil, et considérer Ie mobile comme entièrement libre. Cest done en vertu denbsp;cette force centrale, dont la grandeur est inconnue,nbsp;combinée avec la vitesse a, que Ie eerde sera décrlt.

II sensuit dabord que les secteurs circulaires dé-crits par Ie rayon du mobile, seront proportionnels au tenips (n® i55); ce qui exige que les arcs denbsp;eerde parcourus Ie soient aussi. Le mouvement circulaire seia done uniforme; et si ion désigne parnbsp;larc décrit dans le (ernps ^, on aura .y = ut.

Soient m la masse du mobile, ma. la force centrale, et, conséquemment, a la force accélératrice quünbsp;sagira de determiner. Quelle que soit cette force, onnbsp;peut la regarder comme constante en grandeur etnbsp;en direction pendant un intervalle de temps infiquot;nbsp;niment petit; ainsi, pendant que le mobile décrdnbsp;larc de eerde infiniment petit MM', la force a seranbsp;supposée constante, et parallèle au rayon CM qoinbsp;aboulit a rorlglne de eet are , dou nous concluonsnbsp;que si le mobile nétalt pas animé de la vitesse a, 1^nbsp;force centrale lui ferait parcourir , dans un temps io'nbsp;finiment petit, le sinus verse MN, ou la projectionnbsp;sur CM de larc MM' quil décrit réellement. Or,

toute force accélératrlce a pour mesure Ie double de ^ cspace infiniment petit quelle est capable de fairenbsp;pai courir a un mobile dans un temps infiniment pe-fit, divisé par Ie carré de ce temps ( n® iï8 ) ; sinbsp;^onc on appelle e Ie sinus verse MN, et t Ie tempsnbsp;®mplojé a décrire larc MM', on aura

Cette valeur de a est done celle de la force centrifuge rapportée a lunité de masse, dans un eerde décrit un mouvement uniforme. On en conclut immédia-^ement que cette force, dans une courbe quelconque,nbsp;^Ura pour mesure Ie carré de la vitesse divisé par Ienbsp;*3yon decourbure; car la trajectoire ayant deuxélé-*^iens consécutifs communs avec son eerde oscula-f^Ur, on peut supposer que, pendant un temps in-f'uiment petit, Ie mobile se meut circnlairementnbsp;^utour du centre de courbure, et quil a conséquem-^lent la force centrifuge qui convient a ce mouve-Reni. En multipliant par m cette force accélératrice ,nbsp;®n aura la même valeur que pour la force designee,nbsp;par dans Ie nquot; i6g.

175. Pour comparer la force centiifuge dans Ie eerde a la pesanteur, supposons que la vitesse a soitnbsp;celle qui serait due a une hauteur h, de sorte quonnbsp;ait ~ o.gh (n° i3o), en désignant par g la gravilénbsp;il en résultera

ce qui montre que la force centrifuge est a la pesan-teur, comme Ie double de la hauteur due a la vitesse du mobile est au rajon.

Si Ie mobile est un corps dont les dimensions soient tres petites par rapport a sa distance au point C,nbsp;on pourra considérer, dans toute son élendue, la va-leur de a comme a trés peu prés constante, et prendre Ie rapport - pour celui de la force centrifuge

Quand Ie mouvement naura pas lieu dans un plan horizontal, la vitesse du mobile, la force centrifuge et la tension du fil attaché au point C, serontnbsp;variables. Supposons que Ie mobile se meuvedans unnbsp;plan vertical; désignons par 2gh Ie carré de sa vitesse,nbsp;quand il se trouve dans Ie plan horizontal passant painbsp;Ie point C; et, a un instant quelconque, appelonsnbsp;z sa distance a ce plan , regardée comme positivenbsp;lorsque Ie mobile sera situé au-dessous, et commenbsp;négative quand il aura passé au-dessus; nous auronsnbsp;a eet instant 2g{h. -j- z) pour Ie carré de sa vitesse

ter a cette force la composante du poids du mobile suivant Ie prolongement de son rayon, la-

Ie voir. Done, en appelant 6 la tension totale du a un instant quelconque , nous aurons

Cette force exprimera aussi la pression que Ie point C éprouvera a chaque instant, suivant la directionnbsp;rayon qui aboutit au mobile. Elle atteindra sonnbsp;Maximum, lorsque Ie mobile sera au point Ie plusnbsp;lgt;as du eerde , oü lon a z = r, et son minimum,nbsp;lorsquil sera au point Ie plus élevé, oü lon a 2;=r.

Se changera en une contraction pendant une partje du mouvement: il faudra alors que Ie fil soit inflexible pour que Ie mouvement circulaire ait lieu.

neglige , dans ce calcul, Ie poids et la force centrifuge du lilj ce qui suppose sa masse trés petite par *'apport a celle du mobile. On verra , par la suite ,nbsp;Comment on y devrait avoir égard si cela était nécessaire.

176. Revenons au mouvement circulaire et uni-fl^rnie, et désignons par T Ie temps que Ie mobile Cfftploie a parcourir la circonférence entière. On aura

ce qui montre que la force centrifuge est en raison directe du rayon du eerde, et en raison inverse dunbsp;carré du temps dune revolution entière.

Lorsquun corps solide tourne au tour dun axe fixe, tous ses points décrivent, dans Ie même temps,nbsp;des cercles dont les plans sont perpendiculaires anbsp;laxe, qui ont leurs centres dans eet axe, et pournbsp;rayons les perpendiculaires abaissées de chaque pointnbsp;sur ce même axe; par conséquent, les forces centrifuges de ces différens points sont entre dies commenbsp;ces perpendiculaires. Ainsi, par exemple, la forcenbsp;centrifuge des corps placés a la surface de la teire, etnbsp;qui tournent avec die autour de laxe des poles, estnbsp;proportionnelle aux rayons des parallhles quils dé-crivent; et, de plus , cette force est dirigée en chaquenbsp;lieu de la terre suivant Ie prolongement du rayonnbsp;du parallèle qui aboutit en ce point.

177. La force qui précipite les corps vers la terre, et que nous appelons pesanteur, est due prin-cipalement a lattraction du spbéroïde terrestre surnbsp;ces corps. Mais quelle quen soit la cause, il est tou-jours certain que la force centrifuge diminue cettenbsp;tendance des corps pesans ; en sorte quexcepté aUnbsp;pole, oixla force centrifuge est nulle , la pesanteurnbsp;est partout moindre que si la terre navait pas denbsp;mouvement de rotation. A Iéquateur, la force centrifuge et la pesanteur sont dirigées cn sens contrairenbsp;Tune de lautre; la pesanteur y est done égale a

§ étant cette pesanteur, G lattraction terrestre , ou pesanteur qui aurait lieu si la teiTe était immobile,nbsp;^ Ie rayon de léquateur, et T Ie temps de la rota-bon de la terre.

Le second terme de cette formule étant très petit par rapport au premier, on a, a très pen pres,

prendre le rayon du méridien au lieu du rayon r de ^équateur, dont il est peu différent; on aura alors

prenant la seconde pour unité, et négligeant, ^ans ce calcui, la petite variation de la pesanteur anbsp;surface de la terre, on a aussi (n® 115 )

g = 9gt;öo896.

T = 86i64;

par Ie mouvement de rotation de la terre autour de soa axe. Si ce mouvement devenait plus rapide, Ienbsp;temps T diminuerait, et la force centrifuge diffëreraitnbsp;moins de la gravité. En observant que 289 est Ienbsp;carré de 17, on volt quil suffirait que la rotatiounbsp;eut lieu en un dix-septième de jour, pour quenbsp;force centrifuge a léquateur fut égale a la gravité;nbsp;alors la pesanteur j serait égale a zéro, et les corpsnbsp;abandonnés a eux-mêmes y demeureraient en équi'nbsp;llbre.

Dans ce calcul, nous avons seulement eu égard ^ la force centrifuge provenant du mouvement de rotation des corps pesans autour de laxe de la terre;nbsp;et, en effet, on concoit que Ie mouvement de translation autour du soleil, qui est commun a tous ceSnbsp;corps, a la terre et a son axe, ne saurait influer suiquot;nbsp;leur tendance a sécarter de cette droite mobile. ERnbsp;imaglnant, par exemple, un fil parallèle a léquateur;nbsp;attaché a eet axe et aboutissant a un corps situé a 1^nbsp;surface, il est évident que sa tension ne changera au-cunement par Eeffet dun mouvement qui emportera^nbsp;a la fois, laxe, Ie fil et Ie corps, sans changer leur*nbsp;positions relatives.

178. La force centrifuge diminue la pesanteur eR tons les points de la surface de la terre; mais dun^^nbsp;quantité molndre qua léquateur, soit paree qi^nbsp;allant de léquateur au pole la force centrifuge de-croit, soit paree que Tangle qu elle fait avec la verti-quot;nbsp;cale augniénte. En appelant toujours r Ie,rayon de

^squateur, et dësignant par jx la latitude dun lieu ^uelconque de la terre, et par «Ie rayon du parallèlenbsp;^orrespondant, on aura

négligeant la non-sphéricilé du globe terrestre, Wangle sera celui que Ie prolongement de m, ou lanbsp;direction de la force centrifuge, fait avec la verticale;nbsp;coniposante verticale de la force centrifuge sob-

Pour la diminution de la pesanteur due a la rota-bon de la terre; et, daprès ce qui pre'cède, cette 'loantité aura pour valeur

Ce serait la toute la diminution que la pesanteur ^prouverait, si la terre e'tait une sphère homogene :

serait proportionnelle au carré du cosinus de la ^^btude; et la diminution totale du pole ou Ion anbsp;^ == 90, a léquateur ou lon a /t = o, séleverait a

1 attraction quelle exerce sur les corps places a sa sur-dimlnue, pour cette raison, en allant du pole a ^óquateur; cette diminution, en chaque point de lanbsp;®Orface, est aussi proportionnelle au carré du cosinusnbsp;be la latitude; elle sajoute a celle qui est produite

nous lavons déja dit (n* 117 ), Iaccroissement' total du poids dun corps transporté de lequateur au pole.

^'quot;\^'W%lt;WVVK'X'V\^-V\\-VWW%/V\VVVMW\'WVWWV''W\'W\lt;VVWVWVgt;-VV\'WWV'^^-%V\^iVV*/W\'WVW\VV\rVVgt;

EXEMPLES du MOUVEMEXT D5UN POINT MATERIEL SUR UNE GOURDE OU SUR UNE SURFACE DONNEE.

179. Un pendule est, en ge'néral, nn corps solide pesant, qui oscille autour dun axe fixe et horizontal.nbsp;Mals pour comparer plus facilement entre elles lesnbsp;tlurées des oscillations de dilTerens pendules et les in-tensités correspondantes de la pesanteur, les géo-ïtiètres ont imagine un pendule ideal quon appellenbsp;pendule simple, et qui consiste en un point materielnbsp;pesant, suspendu a un point fixe par lintermédiairenbsp;*lun fil inextensible et inflexible, dénué de pesanteurnbsp;même de densité, et dont la longueur est celle denbsp;^e pendule.

On verra, dans un autre cbapitre, quil j a tou-jours un pendule simple dont les oscillations coincident, et pour leurs durées et pour leurs amplitudes, ^vec celles dun pendule quelconque; et nous mon-fierons comment la longueur du premier peut senbsp;determiner daprès la forme et les dimensions du second. Nous ferons voir aussi que eet accord ajantnbsp;^ieu entre les mouvemens de deux pendules dans Ienbsp;Vide, il subsistera également dans uu milieu resistant.

quelle que soit la fonctiou de la vitesse qui exprime la resistance. Ainsi, il sufïira de considérer Ie mouvement du pendule simple, soit dans Ie vide, soit dan.snbsp;un milieu resistant; et cest ce quon va faire dans cenbsp;premier paragraphe.

i8o. Soient C (fig. 4^) Ie point de suspension, CB la verticale passant par ce point fixe, et CA lanbsp;position initiale du pendule. Supposons que Ie pointnbsp;materiel qui Ie termine parte du point A avec unenbsp;vitesse k perpendiculaire a CA, et dirigée dans Ie plannbsp;des droites CA et CB; il est evident quil ne sortiranbsp;pas de ce plan vertical, et quil y dëcrira des arcs denbsp;eerde dont C est Ie centre et CA Ie rayon.

Au bout du temps quelconque l, soit M la position du mobile ; des points M et A , abaissons sur la verticale CB, des perpendiculaires MP et AD, et faisons

En désignant par g la gravité et par u la vitesse d» mobile au point M, nous aurons, dans Ie cas du videnbsp;(n° i5g),

et si 1on appelle s larc AM décrit par Ie mobile, dn sorte quon ait ^ = u, on en de'duira

Dësiguons par fl Tangle MCB, qui sera positif quand Ie pendule se trouvera a gauche de CB, coninie 1®nbsp;droite CA, et négatif lorsque Ie pendule sera a droite

, nbsp;nbsp;nbsp;r \nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;av

s = a(c-6), 1- = nbsp;nbsp;nbsp;=

en représentant par a la longueur CM ou CA du pendule. On aura, en même temps,

z = a cos 6, c = a cos a;

et au moyen de ces valeurs, celle de dt deviendra

- . (.)

Telle est done la formule quil sagira dintégrer exactement ou par approximation.

181. II ny a quun cas dans lequel Tintégration sous forme linie soit possible, cest lorsquon a

Ce qui a lieu quand Ie mobile part du point A avec Ia vitesse quil aurait acquise en tombant dune hauteur égale a EDj E étant Ie point Ie plus élevé dunbsp;eerde quil décrit. En faisant 6 = 2^1,, et observant que

= -v/ï

Jintègre, je détermine la constante arbitraire de sorte quon ait 4 = quand lt; o , et je metsnbsp;ï ö a la place de 4 gt; d vient

Si Ie point A coïncidait avec Ie point E, on aa-rait 0. = nbsp;nbsp;nbsp;) ce qui rendrait infinie cette valeur de

t, quel que fut Tangle 0. Cela signifie que Ie mobile rie quitterait pas Ie point E; et en eflfet, dans ce cas, sa vitesse initiale seiait nulle, et la tangentenbsp;au point E étant horizontale, il y demeurerait ennbsp;équilibre.

pour Ie temps que le mobile emploiera a parcourir 1arc AB. Avec sa vitesse acquise en ce point, il s ele-vera sur la demi-circonférence BA'E; mais, daprèsnbsp;ce quon a vu dans le n ï5q, il devra employer unnbsp;temps infini pour atteindre le point E : cest ce qui anbsp;lieu effectivement; car en faisant 0 = tt , on anbsp;t

Quelle que soit la vitesse initiale k et Tangle ot, la formule (i) pourra sintégrer par les fonctions ellip'nbsp;tiques; en sorte que le temps des oscillations ou desnbsp;revolutions du pendule se calculera toujours aunbsp;moyen des tables numériques de ces fonctions;nbsp;mais, dans la pratique, on a seulement besoin denbsp;connaitre la duree des oscillations tres petites, qnenbsp;nous nous bornerons a considérer.

oscillations de part et dautre de la verticale CB, il faudra que Tangle et et la vitesse k soient peu consi-*^érables; on pourra toujours rendre cette vitessenbsp;tout-a-fait nulle, en faisant parlir Ie mobile dunnbsp;point un peu plus élevé que A, cest-a-dire, en aug-Oientant convenablement Tangle et; on ne nuira donenbsp;pas a la généralité de la question en supposant k = 0,nbsp;Ce qui réduit Téquation (i) a

Les angles et et 0 étant trés petits, par hypothese, je négligé leurs quatrièmes puissances ; il en résultenbsp;®*niplement

Ces formules montrent, conformément a ce quon ^ déja vu (n iSg), que Ie pendule fera une suite in-

définie doscillations égales et isochrones de part et dautre de 1» verticale CB: il reviendra, avec une vi-tesse nulle, au point A oü Ton a ^ = ol, toutes les

A', situé a la même hauteur que A et ou Ton a 6 = et, toutes les fois que 6 sera un multiple impair de 'TT. En appelant T Ie temps quil emploiera anbsp;aller de Tun de ces points extremes a lautre, eest-a-dire, Ie temps dune oscillation entière, on a

v/i-

Les durées des deux demi-oscillations, Tune descen-dante et lautre ascendante, seront égales entre elles et a i T.

En general, a deux instans séparés par un temps égal a T, Ie pendule occupera, des deux cótés de lanbsp;verticale CB, des positions égaleraent éloignées denbsp;cette droite, et sera animé de vitesses égales et con-traires; car si Ton met i T a la place de t, dans les

Le pendule coincide avec la verticale quand on a ö =: o, OU lt; égal a un multiple impair de A T; il e»nbsp;résulte

± a \/ga,

pour la vitesse du mobile au point B. En appnlant b hauteur DB de son point de depart au-dessuanbsp;de B , on aura

^ cause que Ton négligé la quatrième puissance de et. A^bstraction faite du signe, la vitesse acquise au pointnbsp;plus bas sera done

i85. La valeur de T est, comme on voit, indé-pendante de 1angle a; elle subsistera encore , et sera figoureusement exacte, quand cette amplitude a seranbsp;Oafiniment petite. Si done on écartait Ie pendule in-btiiment peu de la verticale, il eraploierait pour y

iRouvement, Ie mobile uécrirait un espace infini-*Rent petit dans un temps fini; ce qui vient de ce que 1intensité de sa force accélératrice serail infinimentnbsp;petite. En effet, cette force est la pesanteur décora-Posée suivant la tangente a la trajectoire; or, dansnbsp;létendue de Fare infiniment petit qui aboutit au pointnbsp;Ic plus bas de cette courbe, la tangen te fait avec lanbsp;''crticale un angle qui diffère dun droit dune quan-hté infiniment petiu ; Ie cosinus de eet angle, parnbsp;Icquel 11 faut multiplier Ja pesanteur pour obtenir sanbsp;conaposanle, est done Infiniment petit; par consé-fioent, cette composanle est anssi infiniment petite

On peut ëtendre ce rësultat aux oscillations du» point materiel pesant sur une courbe quelconque,nbsp;dont Ie plan osculateur au point Ie plus bas B estnbsp;vertical; car dans une ëtendue infiniment petitenbsp;courbe coincide avec son eerde osculateur, et, dansnbsp;une étendue seulement tres petite, elle sen écarténbsp;trés peu; doü il suit que C étant Ie centre de cenbsp;eerde, la durée des oscillations trés petites sur lanbsp;courbe, de part et dautre de son point B, est lanbsp;même que pour un pendule simple dont C serait Ienbsp;point de suspension, et qui aurait pour longueur Ienbsp;rayon de courbure GB correspondant a ce point B-Les oscillations trés petites ont done une même du-rée indépendante de leur amplitude, sur toutes lesnbsp;courbes verticales qui ont la même courbure a leurnbsp;point Ie plus bas. Lorsque Ie plan osculateur en cenbsp;point nest pas vertical, il faut remplacer dans lanbsp;valeur de T la gravité g par sa composante daii-snbsp;ce plan, laquelle est égale a gsini, en appelant inbsp;l indinaison du plan donné sur un plan horizontal-

i84- Quand langle a a une grandeur linie et seu-lement trés petite, la valeur précédente de T nest quapprochée.

En elFet, si lon conserve les quatrièmes puissances de a et de 0 dans les valeurs de cos a. et cos 0, etnbsp;quon les substitue dans la formule (2), on aura

_v (a* 6)]' i: 1 ^ nbsp;nbsp;nbsp; 0^);

formule qui sintègre par les iègles connues. En integrant depuis 0 = a jusqua 6= a, pour avoir durée T dune oscillation entière, on tronvenbsp;g

^ qui montre que cette durée est un peu augmen-tee par la grandeur de lamplitude.

II en résulte que si lon appelle n Ie nombre des Oscillations infiniment petites dun pendule quelcon-^ue dans un temps donné, et n' Ie nombre des os-edlations du même pendule et dans ie même temps,nbsp;^Rand leur amplitude a est seulement tres petite, onnbsp;3ura

Car Ie nombre n' doit diminuer dans Ie même rap-port que la durée de chaque oscillation est augmen-tóe par la grandeur de cette amplitude.

i85. Quoiquon ait soin, dans les différens usages pendule, de faire en sorte que lamplitude desnbsp;Oscillations soit .tres petite, ce qui rend toujours suf-Psante la correction relative a la grandeur de « quonnbsp;^*ent de déterminer, il est bon , néanmoins, de con -Raitre la série convergente par laquelle on peut ex-primer la durée dune oscillation, quelle que soit sonnbsp;^oiplitude.

et, pour en déduire la durée {T dune demi-oscillaquot; tion, il faudra inte'grer depuis x = ^, qui répond anbsp;fl = a, jusqua x = o, qui répond a G = o.

\ nbsp;nbsp;nbsp;2 /nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;22nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.4 4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.4.6 8nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

et qui sera toujours convergente, a cause que x est constammenl moindre que a. Si done on intervertitnbsp;lordre de Pintégration, ce qui est permis en changeant en même temps Ie signe de dt; quon fessenbsp;ensuite, pour un nombre quelconque n ou zéro,

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARÏIE. nbsp;nbsp;nbsp;347

quon double la valeur de - T, il en résultera

*a I 1-3.5 I,

quot; V ^ ^o -. - A, ^ A.-r.. 5 A3

etc. y

Les valeurs des intégrales définies A,, A,, A», ^3gt; etc., sont liées entre elles de manière que Tunenbsp;elles étant connue, il est facile den de'duire suc-cessivement toutes les autres. En effet, on a, identi-^l^eraent,

fx* *\/Cx nbsp;nbsp;nbsp;J

deux limites x=o et x=S, on a \'éxx*=o; passant aux intégrales définies, on aura done,nbsp;^ ^près cette dernière équation,

K = y SA,

A. = / nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 'ji.

En substituant les valeurs de A^, A,, A^, etc. / dans celle de T, il en résulte

pour la série quil sagissait dobtenir, et qui est es' sentiellement convergente , puisque ^ ê est toujoufSnbsp;moindre que lunité.

Si Ion négligé la quatrième puissance de cc, oo aura Q = \ a.;\\ faudra réduire la série a ses deo^cnbsp;premiers termes, et la valeur de T coïncidera avecnbsp;celle du numéro précédent.

186. Considérons actuellement Ie mouvement di* pendulesimple dansun milieu résistant. En conservaw^nbsp;toutes les notations précédentes, la com posante dc

pesanteur suivant la tangente MT sera gsinG, a ^^use que Tangle que cette droite fait avec la verti-cale MN est complément de Tangle MCB ou ö. Dé-®^gRons par V la force accélératrice prOvenant de lanbsp;Resistance, laquelle est dirigée en sens contraire denbsp;Roette composante g sin 9, et appelons s Tarc AM ;nbsp;^%uation du mouvement sera ( n i52 )

On pourra faire différentes hypotheses sur la va-Reur de V en fonction de la vitesse du mobile; Ie plus simple est de la supposer proportiounelle a cettenbsp;^Rtesse, de sorte que Ton ait

^R done 9 est, comme précédemment, un tres petit et que Ton négligé sa troisième puissance,nbsp;^'luation (3) deviendra

S * nbsp;nbsp;nbsp;\

pour les formules qui font connaitre, a un instant quelconque, la position du pendule et sa vitess^nbsp;angulaire.

II sensuit done que les oscillations sont isochrones gt; cornme dans Ie vide, et quon a

T = - v/-,

y y g

pour la durée dune oscillation entière; en sorte quell® est augmentée, par la resistance du milieu, dansnbsp;rapport de lunité a la fraction y.

Quant aux amplitudes des oscillations, elles di-*^uiuent continuellement a cause de lexponentielle -~Si

En appelant a lamplltude de la n*'quot;' oscillation, cest-a-dire, en supposant quon ait 6 = ( *iRand t = wT, il en résultera

1^0 qui montre que les amplitudes successives forment Hoe progression géométrique décroissanle, dont Ie

Toutefois, ce mouvement oscillatoire suppose que gt;soitune quantile réelle; et, enelFet, cest ce quinbsp;® lieu dans les experiences du pendule, qui na jamaisnbsp;Hoe longueur extrêmement considerable, et dont lanbsp;ilensité est toujours tres grande eu égard a celle de 1airnbsp;il se meut: la vitesse k étant proportionnelle aunbsp;i'^pport de la première densité a la seconde, elle estnbsp;ti'ès grande par rapport a j Vga , et, conséquem-lient, y est une quantité réelle qui diffère peu denbsp;* Rnité. Si, au contraire, on avait -ik lt; Vga, y seraitnbsp;iiRaginaire et de la forme 6 V i , en désignantnbsp; une quantité réelle; par les formules connues,

changeraient en exponentielles; et cette transformation faite, on verrait que Tangle 0 ne pourrait de-l^enir nul quaprès un intervalle de temps infini; en ^Orte que Ie pendule approcherait indéfiniment de la

187. A mesure que les amplitudes des oscillation^ diminuent, lexpërience piouve quelles approcheotnbsp;de plus en plus de dëcroitre dans lair en progressionnbsp;gëométrique: elles sen écartent peu, par exemple gt;nbsp;lorsque langle a. est dun tiers de degré ou au-des-sous. Lexpérience montre, de plus, que ce décrois'nbsp;sement est trés lent; ainsi, dans une experience denbsp;Borda, oü il avait lieu sensiblement en progressionnbsp;géométrique, lamplitude ne se réduisait quaux deuXnbsp;tiers environ, après 1800 oscillations. En appliquantnbsp;lexpression de a eet exemple, on aura done

y z= r,00000000257... ,

OU a tres peu pres 5. = i ; ce qui permet de négligé' la resistance de lair dans Ie calcul de la valeur denbsp;On peut done adraettre que quand les oscillation*

sont irès petites, la resistance de lair est propor-lionnelle a la vltesse, comme nous venons de Ie ®Upposer, et que cette resistance ninflue pas sensi-^lement sur leur durée. Mais lorsque les amplitudesnbsp;®ont un peu conside'rables, lobservation montrenbsp;elles ne décroissent plus en progression géoine-l^que; en sorte quil devient nécessaire de faire unenbsp;^utre hjpothèse sur la loi de la resistance.

^ étant une vitesse constante et donnée qui sera tou-JOurs tres grande; en sorte que si lon fait

Pour determiner c, je suppose quon ait, comnie précédemment, ^ = o quand 0 = «t; il en re-sultera

Par conséquent, on aura, a un instant quelconque, 2^^[cos0-j-//j.sin6(cosa A*;sinoL)enbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^].{5)

pour Ie carré de la vitesse acquise, laquelle est eviquot; demment moindre que dans Ie vide.

En vertu de cette vitesse, Ie mobile montera larc BA' jusquen un point A,, moins élevé que A gt;

si Ton développe les exponentielles suivant les puissances de et quon négligé Ie carré de cettenbsp;ftaction tres petite, on auia

La valeur de a, que lon tirera de cette équation, difïérera trés pen de et; je fais done et, = at cT , etnbsp;je négligé Ie carré de cT et Ie produitytCiT ; il vient

pour la grandeur de ö, abstraction faite du signe, a fin de la première oscillation.

Ce résultat ne suppose pas les oscillations trés pe-Ptes; inais si elles sont assez petites pour quon puisse uégligerla quatrième puissance de et dans cette va-^cur de at,, elle se réduira a

Parvenu au point A, , Ie mobile redescendra, et il ^Ontinuera ainsi a osciller de part et dautre dunbsp;point B, jusqua ce que les amplitudes de ses oscilla-Pons soient devenues sensiblement nulles. Si lonnbsp;^ppelle oto 1ampHtude de Ia seconde demi-oscillationnbsp;^scendante , il est évident quelle se déduira de a,,nbsp;comme on a déduit de «; en sorte que lon aura

Et de raème , si a^, a^, etc., sont les amplitudes successives des autres demi-oscillations ascendautes,nbsp;on aura

--^ ' nbsp;nbsp;nbsp;*4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;«3-- ce qui montre quelles ne de'croitront plus en progression géométrique, comme dans le cas de la resistance proportionnelle a la vitesse.

189. Pour determiner le temps qui repond a un angle 6, il faudra intégrer la valeur de dt tirée denbsp;Iequation (5); ce qui sera toujours possible par lanbsp;methode des quadratures, quand les valeurs nume-riques de a, ,a, 0, seront donnees. Mais dans le casnbsp;des petites oscillations, on peut obtenir, en serie convergente , la valeur de 0 en fonction de ^, et récipro-quement.

Je supposerai toujours la vitesse initiale du mobile égale a zéro ; la valeur de 0 a un instant quelconque,nbsp;sera une fonction de t et a qui devra se réduire a zéronbsp;dans le cas de a = o; je la représenterai done paiquot;

Ö3) etc., étant des coefficiens indépendaos de a. En substituant cette série dans lequation (4) gt;nbsp;de'veloppant les deux membres suivant les puissancesnbsp;de a, et égalant ensuite les coefficiens des mèmesnbsp;puissances, on formera une série déquations dilfoquot;nbsp;rentielles du second ordre, qui serviront a déterniiquot;

3it 0 = a et ^ = o, quand i = o et quel que soit a, faudra que les valeurs initiales de 0^, 03, etc.,nbsp;^, etc. f soient toutes nulles, et que celles de

öi et ~ soient lunité et zéro ; et cest daprès ces conditions quon déterminera les constantes arbitraires ^ui seront contenues dans les intégrales completes denbsp;cette suite déquations. De cette manière, on calcu-lera autant de termes que lon voudra de la sérienbsp;précédente. Nous bornerons lapproximation au carrénbsp;de a, et nous négligerons Ie cube et les puissancesnbsp;Supérieures de cette quantité.

dH nbsp;nbsp;nbsp;dH,

de nbsp;nbsp;nbsp;de '

dê

en substituant ces valeurs dans léquation (4), et ®galant les coefFiciens de a et de a* dans ses deuxnbsp;Tfiembres, il vient

~di:

En intégrant la première de ces deux equations, et determinant les deux constantes arbitraires , de sorie

G, = cos i \J^-

ï=£ 0 - nbsp;nbsp;nbsp;v/f)'

9,= -^cosi^f J;4 ^/4COs 2^y/f,

®=(T)'=V! T 7i'=*

et ces formules feront connaitre la position et la vi' tesse du mobile a un Instant quelconque.

par 2sin^ cos ^ y/f gt; 1équation v = 0, qui a liéu a la fin de chaque oscillation, prendra la forme

Langle a étant trés petit, Ie premier facteur ne peut être nul j Ie second est zéro toutes les fois que

tervalle de temps qui sécoule entre deux vitesses Bulles et consécutives, ou la durée T dune oscilla-lion entière, est

eu sorte que la resistance de lair, proportlonnelle au ^rré de la vitesse, ninflue aucunement sur cettenbsp;^urée.

Cependant, elle augmente Ie temps que Ie mobile ^aiplole a atteindre Ie point B. En effet, en Ie dési-ë^ant par t', et faisant ö = o, on a

(.-a;)cs,V! f =?cos.*'v/! = lt;gt;-

plus petite valeur de y/^^ qui satisfasse a cette ^luation diffère tres pen de ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;; soit done

La resistance de lair augmente done la durée de ia première demi-oscillation descendante, dans Ie rapport de I -f- ^ a lunité; et puisquelle ninflue pas

sur la durée de loscillation entière, il faut quelle di-miiiue, dans Ie menie rapport, la durée de la demi-oscillation ascendante.

En substituant cette valeur de t' dans celle de v, et négligeant Ie cube de a, il vient

= (i

dou lon conclut que la vitesse acquise au point Ie plus bas est diminuée par la résistance de lair, dans

Si lon désigne par a, la valeur de 0 qui a lieu a la fin de la première oscillation entière, et qui i^é-

Ces difierens résultats sont indépendans de la gran--deur du coefficient ^ de la résistance, et supposeo* seulement langle et trés petit; ils conviennent égale-ment au mouvement du pendule dans un fluide aeriquot;nbsp;forme et dans un liquide, pourvu que Ie coefficient

^ soit determine pour chaque milieu en particulier. Dans Ie cas de a. trés petit, il est inutile dexa-^litier lhjpothèse dune resistance proportionnelle cube OU a une puissance supérieure de la vitesse jnbsp;il nen pourrait résulter, dans les valeurs de 6nbsp;f, que des termes dépendans des puissances de anbsp;supérieures au carré, que lon a regardés comme né-gligeables dans les calculs précédens. En rapprocliantnbsp;^^e quon vient de trouver de ce qui a été dit dans Ienbsp;187, on en conclnt done que la résistance de lairnbsp;*1 niflue pas sur la durée des trés petites oscillationsnbsp;öu pendule, pour lesquelles on négligé la correctionnbsp;relative a la grandeur de lamplitude (n i84}- Quandnbsp;On tient compte de cette correction, la résistance anbsp;One petite influence, a cause quelle fait varier lesnbsp;otnplitudes pendant la durée du mouvement.

ïgi. Il ne suit pas de la que la durée des oscilla-bons dun corps pesant, quelque petite quon la suppose , soit la même dans lair que dans Ie vide; car oo fluide, par la pression quil exerce sur Ie mobile,nbsp;augtnente cette durée en diminuant la pesanteur.nbsp;^abord, on sait par lexpérience, et nous démon-b'erons dans VHjdrostatique, quun corps en repos,nbsp;piongé dans un fluide, y perd une partie de sonnbsp;Poids, égale au poids du fluide dont il occupe lanbsp;P|ace. Ainsi, P étant Ie poids de ce corps dans Ienbsp;^'de, P' son poids dans lair, O Ie poids dun volumenbsp;quot;^sir égal a celui du corps, on a

F P _ n.

Or, si Ton désigne par T et T' les durées des petites oscillations dun niéme pendule qui-re'pondent auxnbsp;deux forces accélératrices g et g', on aura

T=vi-

Soit aussi a' la longueur du pendule soumis a Ia gra^ vité g', qui fait ses oscillations dans Ie même tempsnbsp;que Ie pendule soumis a Ia gravité g et dont la longueur est a; il faudra quon aitnbsp;dou Fon tire

Done, par la seule considération de la perte de poids a Fétat de repos, la durée des oscillations dans Fairnbsp;se trouve augmentée dans Ie rapport de Funité anbsp;I p pour un meme pendule, et la longueur dnnbsp;pendule simple se trouve diminuée dans Ie rappor*nbsp;de T pa Funité pour une même durée.

De plus, M. Bessel a fait voir, par lexpérience, lt;lue la perte de poids quun même corps éprouvenbsp;dans Tair nest pas la même, quand il est en repos etnbsp;iorsquil a un mouvement oscillatoire. Elle augraentenbsp;dans Ie second cas; et il en résulle quil faut, dansnbsp;les formules précédentes, multiplier p par un facteur plus grand que 1unité, et dependant de lanbsp;forme du mobile. Je suis parvenu a ce même résul-tat dans un Mêmoire sur les Mouvemens simultanésnbsp;dun pendule et de Vair environnant (¹) j et, daprèsnbsp;Oion analyse, on a f^=^\ quand Ie pendule consiste,nbsp;comme celui de Borda, en une sphere suspendue anbsp;1extrémité dun fil tres mince, dont la longueur estnbsp;trés considerable par rapport au diamètre de cettenbsp;Sphere; en sorte qualors il faut augmenter de moitiénbsp;la correction relative a la densité de lair, que lonnbsp;taisait subir, avant iobservation de M. Bessel, a lanbsp;durée des petites oscillations et a la longueur dunbsp;pendule simple. Dans tous les cas, Ie coefficient f estnbsp;^Oujours indépendant de la densité du pendule, ainsinbsp;de la densité et de la nature du fluide dans le-^uel il oscille, de manière quon peut toujours Ienbsp;determiner par Texpérience, en comparant les du-^ees des oscillations de deux pendules de même formenbsp;^t de densités différentes, dans un même fluïde, ounbsp;®ien dun même pendule dans deux fluïdes différens,nbsp;f^ls que lair et leau, par exemple.

192. Maintenant, soit n Ie nombre des oscillations Infiniment petites quun pendule quelconque

ferait dans Ie vide pendant un temps donné t. Pour déduire ce nombre, pai la regie du n° i84gt; de celuinbsp;des oscillations tres petites qui est dc-nné par Tob-servation , et afin davoir égard a la variation desnbsp;amplitudes pendant ce temps t , on a coutume denbsp;prendre pour Tangle a la moyenne des amplitudesnbsp;extremes qui sont aussi donnees par Tobservation-Cela etant, la duree T dune oscillation infinimeotnbsp;petite de ce pendule sera

et Terreur que Ton pourra commettre sur la mesure du temps r aura dautant moins dinfluence sur cettenbsp;valeur de T , que le nombre n sera plus considéquot;nbsp;rable. Dapres la forme et les dimensions du coipsnbsp;oscillaut, on déterminera, par la formule qui ser3nbsp;donnee dans un autre chapitre, la longueur du pen'nbsp;dule simple, dont le mouvement est le même quenbsp;celui de ce corps; on reduira cette longueur, comnienbsp;on vient de Texpliquer tout a Theure, a ce quellenbsp;serait dans le vide ; et si on la designe par a apresnbsp;cette reduction, et quon represente par g la graquot;nbsp;vite dans le vide, on aura

{a)

Cest au moyen de cette formule que Ton deter-mine avec nne extreme precision , en chaque beu

la terre, la mesure de la pesanteur, ou la vitesse g *1^6 les corps pesans acquièrent en tombant vertica-lernent dans Ie vide, pendant une unite de temps,nbsp;^après lexpérience faite par Borda, a lObservatoirenbsp;Paris, avec un pendule denviron 2 metres denbsp;longueur, on a

M. Bessel ajant fait osciller successivement des '^orps de toutes sortes de matières, tels que des mé-de livoire, du marbre, des pierres métëori-ïRes, etc., a constarnment trouvé des valeurs de gnbsp;®®osiblement egales; les plus grandes differences,nbsp;part et dautre de la valeur moyenne, sélevantnbsp;^ Peine a un cent-millième de cette valeur, et pou-^^tit être attribuëes aux erreurs inevitables de lob-^^ivation. II ne peut done rester aucun doute surnbsp;parfaite égalité de lattraction exercée par la teirenbsp;tous les corps, quelle quen soit la nature, quinbsp;®^iit situés en un même lieu de sa surface; car cettenbsp;^S^lité résulte de celle des valeurs de la pesanteurnbsp;^ gt; puisque cette force est lexcès de lattraction ler-lestre sur la composante verticale de ia force cen-^dfuge, commune a tous ces corps.

*9^- En considërant la surface de la terre comme ® Pvolongement du niveau des meiS en équilibre,

on démontre, dans la Mécanique celeste, que la va' riation, a cette surface, de la longueur du pendulenbsp;simple qui fait chaque oscillation dans une unitenbsp;de temps, est proportionnelle au cosinus du doublénbsp;de la latitude; en sorte quen désignant par A cettenbsp;longueur en un lieu dont la latitude est , on doitnbsp;avoir

/ et amp;) étant des constantes determine'es par lobser' vation. On démontre aussi que Ie coetïicient oa estnbsp;lié a laplatissement du sphéroïde terrestre par lé-quation

20) cf = |r,

dans laquelle on appelle S' eet aplatissement, de sorte que Ie rayon de léquateur et celui du polenbsp;soient entre eux comme i-f-cf et lunité, et oü ToOnbsp;désigne par r Ie rapport de la force centrifuge a 1^nbsp;pesanteur, qui a lieu a léquateur, et dont la valeotnbsp;est (n® 177 )

La formule [IS) est, en effet, confirmee par Xe%' périence quand on fait abstraction des circonstanceSnbsp;locales qui peuvent influer, comme on Ie verranbsp;la suite , sur lattraction de la terre et sur la longueiRnbsp;du pendule. lienserable des observations faites a dii^nbsp;férentes latitudes donne

diffère peu de celle qui repond a la latitude de I*aris; et, daprès celle-ci, on a

Si lon fait n = i et t = 1 dans la formule (a); 'lüe lon y mette successiYement Z et A a la place denbsp;et quon désigne par p et les valeurs correspon-'lantes de g, on aura

p = quot;ttH , 'Ti = 7rA;

p = 9,80557 ,

voit que la diminution de la pesanteur , en allant pole a lequateur, sera proportionnelle au carrénbsp;cosinus de la latitude, conformémenl a 1 enoncénbsp;'iü n° 178.

En transportant un même pendule en différens Eeux de la terxe, on voit, par léquation (a), que lesnbsp;Oombres n de ses oscillations, dans un même temps r,nbsp;^arieront proportionnellement a la racine carrée denbsp;gravité. Ainsi, par exemple, une horloge réglée,

a Paris, sur Ie mouvement diurne de la terre, et transportée ensuite a iequateur, retardera sur cOnbsp;mouvement. En appelant n et 7i' les nombres des oS'nbsp;cillations de son pendule en un jour sidéral dansnbsp;ces deux lieux de la terre, on aura

7z= 86164, nbsp;nbsp;nbsp;n'=.n\J~^

en sorte que Ie retard sera denviron 127 secondes en 24 heures. Cest lobservation de ce retaid qui a mi®nbsp;en evidence, pour la première fois, la variation denbsp;la pesanteur a la surface de la terre.

194. Soit ABC (fig. 46) la trajectoire dun poiid matérie! pesant, dont Ie plan est vertical. Supposonsnbsp;que ce mobile parte da point quelconque D, sansnbsp;vitesse initiale, et quil soit en M au bout du temps t)nbsp;des points D et M abaissous des perpendiculairesnbsp;et MP sur la verticale passant par Ic point B, qR*nbsp;est Ie plus bas de la courbe; en faisant EP = z,nbsp;désignant par v la vitesse acquise au point M, et p^*'nbsp;g- la gravlté, nous am-ons (n® iSp)

si Pon suppose que la pesanteur soit la seule force qtR agisse sur Ie mobile. Soit aussi s larc BM; comnie i^nbsp;décroit quand Ie temps augmente, on aura

najoute pas de constante arbitraire, afin quon ait o a Torigine du mouvement, ou quand x= h.nbsp;Si 1on appelle t' Ie temps que Ie mobile emploie anbsp;^tteindre Ie point B qui répond a x = o, on aura

Ce temps est, comme on voit, indépendant de h hauteur h du point de depart D du mobile, au-des-sus du point Ie plus bas Bj en sorte que cette pro-priété, qui a lieu par approximation dans loutes lesnbsp;courbes pour une hauteur h trés petite, est rigou-reusement vraie dans la cycloïde, quelle que soitnbsp;cette hauteur, toujours moindre que a ou BF. II eonbsp;resulte que tous les mobiles, partis en même tempsnbsp;de differens points de la cycloïde, arriveront en mêmenbsp;temps a son point le plus bas.

tière de part et dautre du point B; or, on voit que ce temps est celui des oscillations tres petites du pendule dont la longueur aa est le rayon de courburenbsp;de la cycloïde en ce point (11° 72); ce qui saccoidenbsp;avec le resullat du n° i83, relatif a la duree des pe-tites oscillations sur une courbe quelconque, laquellenbsp;duree est la même, dans le cas de la cycloïde, quenbsp;celles des oscillations dune amplitude quelconque.

igS, Le temps que le mobile emploie a parcourif Fare DB de la cycloïde est encore indépendant de 1^nbsp;longueur de cet arc, quand le mouvement a lieu danSnbsp;un milieu resistant, et que la resistance est suppose^nbsp;propOrtionnelle a la premiere puissance de la Vitesse.

En eflet, represenlons cette force par ^ , comnRi dans le n 186; la composante de la pesanteur sniquot;

®vec la verticale MN; la force qui agit au point M, ®t qui tend a diminuer Fare BM ou sera done la

^ k dF

Je suppose qua lorigine du mouvement, ou ^uand t==o, la vitesse v soit nulle, et quon aitnbsp;'^ = a; en determinant les deux constantes arbi-ti'aires daprès ces conditions, et faisaut , pour

» = a(co5(5-\/£ 43-3'V/£)'

^^luation dou 1on tirera une valeur de t indepen-dante de a; ce quil sagissait de trouver.

Si la resistance est tres petite, ou la vitesse k tres grande , on aura y=ii,a trés peu prèsj etTequa'nbsp;tion précédenfe donnera

ig6. Prolongeons la droite BF jusquen O, dune quantité égale a BF j ce point 0 sera Ie centre de lanbsp;cycloïde au point B ; et si lon trace les deux demi'nbsp;cycloïdes O A et OC, tangentes aux droites OB et AC,nbsp;et ayant OF pour diamètre de leur eerde générateuigt;nbsp;OA sera la développante de AB, et OC celle de BCnbsp;(n® 72); par conséquent, un fd dune longueurnbsp;constante OB ou 2a , attaché au point 0, et qui sen-veloppera successivement sur les deux courbes OAnbsp;et üC, tracera par son autre extrémité la cycloïdenbsp;ABC.

Cela fournit un moyen de construire un pendule cycloïdal. Pour cela, supposons que les courbes OAnbsp;et OC solent tracées en relief, et que OB soit uunbsp;fil inextensible et parfaitement flexible, attaché aUnbsp;point fixe 0; attachons aussi un corps pesant a soUnbsp;autre extrémité B, puis écartons ce fil de la posi'nbsp;tion verticale, de sorte quil senveloppe, en tout ounbsp;en partie, sur Tune des courbes OA et OC , et que sanbsp;partie non enveloppée soit une droite tangenle anbsp;cette courbe : en abandonnant ensulte Ie mobilenbsp;a lui-même, 1extrémilé inférieure du fil décrira Ianbsp;courbe ABC; et, daprès Ie n 194» la durée des

Oscillations de ce pendule, dans Ie vide , sera rigou-*eusement, et constamment indépendante de leur amplitude. Mais ce mojen ne serait susceptible daucüne precision dans la pratique; et, dailleurs, Tisochro-Risme des grandes oscillations naurait plus lieu dansnbsp;lair, la resistance de ce fluide nétant point alorsnbsp;Proportionnelle a la simple vitesse.

197. On appelle tautochrone toute courbe sur l^quelle un point matérie! pesant parvient toujoursnbsp;*lans un même temps au point Ie plus bas, quel quenbsp;solt Ie point de cette courbe doü il est parti. Ainsi,nbsp;dans Ie vide, la cycloïde est une courbe tautochrone ;nbsp;et, de plus, on va voir quelle est alors la seulenbsp;Courbe de cette espèce.

Si Ton appelle t' Ie temps que Ie mobile emploie ® aller , sans vitesse initiale, du point D au point Ienbsp;plus bas B, sur une courbe quelconque ADB , lanbsp;Valeur de t'\/2g sera donnée par lintégrale de lanbsp;Idrmule(i), prise depuis x=:^jusqua x=o, ou ,nbsp;qui est la même chose, depuis a?=o jusqua 3c=h,nbsp;changeant Ie signe de cette formule; on aura

pour trouver la courbe tautochrone, il sagit de determiner s en fonctlon de x, de manière que cettenbsp;Valeur de t' \/2g soit indépendante de h.

Or, je suppose cette fonction inconnue dévelop-pée suivant les puissances ascendantes de x , de sorte *ïuon ait

A, B, C, etc., S,y, etc., e'tant des coefificiens et des exposans indéterminés. Comme labscisse x et larc snbsp;ont leur origine au même point B, on devra avoirnbsp;en même temps x o et^=o; il faut done quenbsp;tousles exposans a, , y, etc., soient positifs , etnbsp;quaucun deux ne soit zéro. On voit aussi, a priori,nbsp;que Ie plus petit dentre eux devra étre moindre quenbsp;lunité; car Ie point B étant, par hjpothèse, Ie plusnbsp;bas de la courbe demandée, la tangente y est horizontale OU perpendiculaire a laxe des x; ce qui exige

En prenant la différentielle de cette série, et la substituant a la place de ds dans la formule précé-dente , il vient

.V»f=A._/ ^ ^Jo nbsp;nbsp;nbsp;71^

Je fais x~hx' et dx hdx'; les limites des inté-grales relatives a cette nouvelle variable x' seront zéro et lunité; on aura, par exemple.

est important dobserver quaucune de ces inté-^¦ales A', B', C', etc., ne peut être nulle; car les valeurs des difFérentielles dont elles sont les sommes (n° i3)nbsp;^e changent pas de signe entre les limites des inté-giations : ces valeurs sont toutes positives, et parnbsp;conséquent aussi celles des intégrales.

Maintenant, il est évident que la valeur de i ne peut être indépendante de h, a moins que tous lesnbsp;kermes de la série précédente ne soient nuls, excepténbsp;Celui dans lequel lexposant de h est zéro, ou qui

cépond a un des exposans a. , amp; ,y, etc., égal a Supposons que ce terme soit Ie premier, ou quonnbsp;üit a =-. Pour que Ie second terme disparaisse, il

faudra que Ie produit êBB' soit nul; ce qui exige Ine B soit zéro, puisque ê et B' ne Ie sont pas. Onnbsp;Yerra de même que les autres coefficiens C, D , etc.,nbsp;®ont aussi égaux a zéro; de sorte que 1équation denbsp;tautochrone se réduit a celle-ci :

lui appartient a une cycloïde, dont la base est horizontale et dont Ie soramet est au point B que Ie *Oobile atteint toujours dans Ie menie temps.

En désignant par a Ie diamètre du eerde généra-Icür, on aura A' = 4^, et par conséquent

comme dans Ie n® ig4-

ig8. Cest encore la cycloïde que lon trouve quand on cherche la brachjstochrone dans Ie vide, cest-a-dire, la courbe AMB (fig. 4.7) quun point materielnbsp;pesant doit suivre pour aller dans Ie temps Ie plusnbsp;court, sans vitesse initiale, du point donné A aunbsp;point B aussi donné.

Pour determiner cette courbe, soient x, j., z, les trois coordonnées rectangulaires du point M ou senbsp;trouve Ie mobile au bout du temps t; soit aussi ^nbsp;larc AM quil a parcouru. En supposant que laxe deSnbsp;X soit vertical et dirigé dans Ie sens de la pesanteur»nbsp;et désignant par ot la valeur de x au point A, la vi'

tesse ^, acquise en M, sera la vitesse due a la hauteur X et-, en représentant la gravité par g, oU aura done

Ainsi, il saglra de determiner la courbe pour la-quot;^uelle cette integrale est un minimum; mais, pour plus de ge'néralité, je considererai lintégrale

dans laquelle X est une function donnëe de ce qul Rous servira, par la suite, a rësoudre un autre pro-lgt;lème du même genre : dans celui dont il sagit

199. De'signons par i une quantlté constante et in-dniment petite, et par S'j et cfz deux fonctions arbi-traires de x, assujetties seulement a la condition detre nulles pour x = a et pour a; = et de nenbsp;pas devenir infinies pour les valeurs intermédiairesnbsp;de X. Solent U' et u' ce que deviennent U et m lors-^uon y met 9^ icT/ et z H- iS'z a la place de et z,nbsp;de sorte quon ait

points A et B, et sécartant in liniment peu decelle-cl. ]V^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.

et, daprès la propriété de la courbe AMB, il faudra que cette difference U' U soit positive, quelles quenbsp;soient les valeurs de (fy et J'z, et quelque signe quotxnbsp;donne a i. Or, en dëveloppant la difference u' unbsp;suivant les puissances de i, et désignant par ié'u Ienbsp;premier terme de son développement, Ie premier

terme de celui de U' U sera iJ'^lLS'udx; dou Ton conclut quon devra avoirnbsp;' Q

XcTm^/jc = o, (a) sans quoi la difference U' U changerait de signe ennbsp;même temps que i.

Cette condition est commune au minimum et au maximum de IJ. Quand elle sera remplie, la difference U' U seia, en general, infiniment petite dunbsp;second ordre; elle aura Ie même signe que Ie coefficient de dans son développement; par conséquent,nbsp;il y aura maximum ou minimum, selon que ce coefficient sera négatif ou positif. Mais, comme il est évident que Ie temps t' nest pas susceptible dun maxi'nbsp;mum, ce coefficient sera certainement positif dansnbsp;Ie problème de la hrachjstochrone, et il suffira denbsp;satisfaire a la condition exprimée par léquation (a)-

La quantité icTw nest autre chose que la différen-tlelle de u, prise par rapport a y et z, et dans la-quelle leurs accroissemens so«t représentés par i^f et ^cTz. En supprlmant Ie facteur i, commun a iJ'i'nbsp;et a sa valeur, on aura done

DYNAMIQUE, PREMIERE PARTTE. nbsp;nbsp;nbsp;379

sorte que léquation (a) deviendra

*7 ; LiJL 'T^ ~ nbsp;nbsp;nbsp;; titXgt; ¦¦ 'J*

J X u clx dx nbsp;nbsp;nbsp;J a u dx ax

Mais en infe'grant par partie, et observant que les ^uantités Jy et J'z sont nulles, par hypothese, auxnbsp;limites x=:aetx = , on a

amp;

cTj et cTz étant des fonctions arbitraires de x, cette integrale ne peut être nulle, a moins que lanbsp;S^antité comprise sous Ie signe /* ne Ie soit elle-^lêrne j par consciquent, on aura

200. Si la courbe demandée AMB et la courbe ^Uelconque AM'B doivent être tracêes sur une surface donnée dont léquation soit L = o, il faudra quenbsp;les valeurs de^ et z en fonctions de a?, quil sagit denbsp;determiner, et ces valeurs augmentées de iSy et /cTz,nbsp;satisfassent successivement a cette equation; dou lon

au moyen de quoi Ton éliminera, de Tequation [b), Tune des deux quantiles iS'j et S'z: Iautre sen ira eonbsp;mènie temps, et Ton aura

Cette dernière equation et L = o seront, dans ce cas, les deux equations de la courbe demandée, etnbsp;pourront servir, par exemple, a determiner la courbenbsp;de la plus vite descente sur une surface donnee.

Si, au contraire, le minimum de U doit avoir lieu entre toutes les courbes qui aboutissent aux points Anbsp;et B, et ne sont assujetties a se trouver sur aucunenbsp;surface particuliere, les quantiles jy et serontnbsp;arbitraires et independantes entre elles. 11 faudranbsp;done que leurs coefficiens soient séparément nulsnbsp;dans Iequation (b), qui se decomposera ainsi eOnbsp;deux autres, savoir :

eest ce cas que nous nous bornerons a conside'rer-En integrant et désignant par a et a! les deu^ constantes arbitraires, nous aurons

qui montre que la courbe demandée sera plane comprise dans un plan perpendiculaire a celui desnbsp;T et Pour simplifier, je prends Ie plan de cettenbsp;^ourbe pour celui des x et j; on aura alors

ne restera done plus qua intégrer cette formule, '^e qui dépendra de la forme de la fonction X, et en-^'lite a determiner a et la nouvelle constante arbi-^'aire, introduite par cette integration, daprès lanbsp;'^^ndiiion que la courbe demandée passé par les deuxnbsp;points donnés A et B.

20i. Avant daller plus loin, soit c une constante ^Uelconque, et supposons quon mette X-f-c a lanbsp;place de X dans les formules précédentes. Linté-

^ ~ ~VW W^^' nbsp;nbsp;nbsp;^

Or, cette somme dintégrales que U repre'sente étant un minimum, en considérant toutes les courbes quinbsp;aboutissent aux points A et B, il est évident quenbsp;première integrale

sera un minimum, en considérant seulement, parnïi toutes ces courbes, celles qui répondent a une mêm^nbsp;valeur de la seconde integrale.

Cette remarque fort simple permet détendre intquot; médiatement aux problèmes de maximum ou de ird'nbsp;nimum relatif, les solutions des problèmes de maxi'nbsp;mum OU de minimum absoluj nous en verronsnbsp;application par la suite.

Comme ici la seconde integrale contenue dans Ü est la longueur de la courbe cherchée, il sensuit qu®nbsp;léquation (e) servira a déterminer, entre toutes Ie*nbsp;courbes dégale longueur, ou isopérimètres, celJe qu'nbsp;répond au minimum ou au maximum de la premièrenbsp;integrale. En appelant l la longueur donnée et con^^nbsp;mune a toutes les courbes, on aura

Condition a laquelle on satisfera au moyen de la constante indéterminée c, quon a introduite dans la for-wiule (e).

202. Appliquons actuellement la formule {d') a la ^ourbe de la plus vite descente.

Oil aura aloiS

iifférentielle est celle d^une cycloïde (n® 72 ) dont la ^ase est horizontale et pa.sse par Ie point de depart Anbsp;mobile, et dont ie eerde générateur a a pour dia-Riètre j ce quil sagissait de trouver.

y nbsp;nbsp;nbsp;. arc^cos=^~^^~*^^\/ a{xa) (x«)%

étant la constante arbitraire qui représente la va-lenr de j correspondante a x = ct. Si lon de'signe C' celle qui répond a X=C, on aura

coordonnées a et a', et C', des points A et B, ^ORt données; cette dernière equation déterminera lanbsp;^Restante a; et la valeur précédente de J ne renfer-^era plus rien dinconnu.

pour Ie temps Ie plus court que Ie mobile puisse employer a passer du point A au point B.

Si ces deux points sont situés dans une méme ver' ticaie, on aura ê' = a'; condition a laquelle on sa'nbsp;tisfera en prenant a = oo ; car on a

et, dans Ie cas de «!= co , eet are peut être remplace par son sinus, ce qui réduit a zéro la valeur précé'nbsp;dente de o.'. En méme temps, la valeur de nbsp;réduit a «t'; en sorte que Ie mobile ne sécarteranbsp;de la direction verticale. La valeur de t' deviendianbsp;aussi

ce qui est effectivement Ie temps quil doit employer a parcourir ia hauteur a, du point A au-dessu^nbsp;du point B.

cente étant un problème de pure curiosite, je me sujs borné a en considérer Ie cas Ie plus simple, ce-^ïii oü Ie mouvement a lieu dans Ie vide, et oü lesnbsp;points extrêmes sont donnés. Si ces points A et B nenbsp;®ont pas fixes et donnés, mais quils soient seulementnbsp;¦ssujettis a se trouver sur des courbes données DAEnbsp;et FBG, OU sur des surfaces aussi données, la bra-ebystochrone, dans Ie vide, sera encore une cycloïde,nbsp;et, daprès les régies du calcul des variations, onnbsp;Pourra déterminer, dans tous les cas, les coordon-oées de ces deux points. Dans uh milieu resistant,nbsp;eette ligne sera une autre courbe, dont on obtient,nbsp;par les regies de ce calcul, Féquation difierentielle,nbsp;d-Cpendante de la loi de la resistance par rapport a lanbsp;Vitesse du mobile. Pour tout ce qui concerne Ie cal-Vül des variations, je renverrai au Mémoire sur cenbsp;^^jot, que jai inséré dans Ie XII® volume de lAca-démie des Sciences.

ao3. Pour donner un exemple du mouvement ^un point materiel sur une surface donnée, je re-Pi'ends Ie pendule simple du n° 179; mais je suppose quaprès lavoir écarté de la verticale CB (fig. 45),nbsp;^t lavoir transporté en CA, on lui imprime uiie vi-^®sse qui ne soit pas dirigée dans Ie plan verticalnbsp;¦^CB. Le pendule sortiia alors de ce plan, et Ie pointnbsp;Riatériel qui le termine se mouvra sur Ia surfacenbsp;One sphere décrite du point C comme centre, avecnbsp;Rn rayon égal a la longueur a de ce pendule. Lanbsp;i ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2.5

percussion qui sera exercée sur ce mobile, a Torigine du mouvement, se décomposera en deux forces,nbsp;1'une dirigée suivant AC ou suivant sou prolonge-ment, qui sera détruite par ia resistance du pointnbsp;axc C, lautre perpendiculaire a AC, qui produiranbsp;1 vltesse initiale du pendule, que je iepre'senterainbsp;ar k. Je supposerai que Ie mouvement a lieu dansnbsp;o vide; en sorte que la gravlté solt la seule force ac-élcratrice donnée qui agisse sur Ie mobile.

Cela pose, au bout du temps t, soit CM la position du pendule; et désignons par x, j, z, les coor-dönnées rectangulaircs du point M. Solent aussi la masse du mobile, et zuN Ia tension inconnue dunbsp;dl CM, dirigée suivant son prolongement. En pzC-iiant Ie point C pour lorigine des coordonnées x,nbsp;', z, les composantes de la force accélératiice N suivant leurs prolongemens seront

gt;, si Ton applique au mobile une force égale et :ontraire a N, oa pourra ensuite Ie considérer comm®nbsp;antièrement libre, et faire abstraction du fil CM;nbsp;lonc en supposant laxe des z positives, vertical et di'nbsp;igé dans Ie sens de la pesanteur, les trois équationsnbsp;du mouvement seront

aura les trois e'quations qui devront servir a determiner Xfj-, z, en fonctions de t.

204. Jajoute les equations (r), après les avoir Riultipliées par x, j-, z; il vient

done on représente par \gt; la vitesse du mobile au ^out du temps i, de sorte quon ait

dd ~ nbsp;nbsp;nbsp;'

Jajoule aussi les equations (i), après les avoir multipliées par dx, dj, dz; Tinconnue N disparaitnbsp;en vertu de léquation (2), et Ton a

La valeur initiale du premier membre est paf conséquent, si Ton désigne par y celle de z, onnbsp;aura

Enfin, je multiplie la seconde equation (i) par dc, et jen retranche la première, multipliée par j;nbsp;qui donne

De cette manière, la solution du problème ne depend plus que des trois équations difierentielles (3), (4), qui sont du premier ordre, et dont la pr®'

*ïgt;ière a déja poui' integrale léquation de la sphère. On peut séparer les variables, et réduire la questionnbsp;3üx quadratures par Ie calcul suivant.

^n élevant au carré ses deux membres et ceux de ^equation (4), et ajoutant ensuite les equations ré-sultantes, il vient

Je mets a' z' au lieu de x* -\-j', et jélimine dx* dj' au moyen de Iéquation (5); il en ré-

Désignons par r Ie rayon vecteur de la projec-bon du mobile sur Ie plan horizontal des x et j*, par -gt;1, Tangle que fait ce x'ayon avec Taxe des x;nbsp;^^ns aurons

Les intégrales de ces expressions de dt et d-^ fe-ront connaitre les expressions de f et -vp en fonclions de z; elles se réduiront toujours aux fonctions ellipquot;nbsp;tiques, et ne pourront sobtenir sous forme finie qucnbsp;quand la quantité du troisième degré par rappoitnbsp;a z, renfennée sous Ie radical, aura un facteur double-La valeur de et léquatlon de la sphere détermiquot;nbsp;neront la trajectoire du mobile; la valeur de t ennbsp;fonction de z, ou de z en fonction de t, feia ensuitenbsp;connaitre la position du mobile, a chaque instant»nbsp;sur cette courbe.

La constante b est connue daprès les valeurs don' nées de k et y. On déterminera les constanles arbi'nbsp;traires qui seront introduites par les integrations de dtnbsp;et lt;^4 y daprès les conditions ^ = oet4 = o» quandnbsp;z = ^, dont la seconde suppose quon place lax®nbsp;des oc dans Ie plan vertical ACE, doü part Ie pen'nbsp;dule. II ne restera done que la constante c a déter'nbsp;miner. Or, la vitesse v du mobile étant perpendicu'nbsp;laire au rayon CM de la sphere sur laquelle il s®nbsp;meut, si on la decompose en deux, Tune perpendi'nbsp;culaire au plan vertical MCE, et lautre compris®nbsp;dans ce plan, la première composante sera la vitesS®nbsp;de la projection horizontale du mobile, perpendlcn'nbsp;laire a son rayon vecteur r; en la de'signant parnbsp;on aura done (n i56)

'ionc, si lon appelle « langie que la vitesse initiale k fait avec la perpendiculaiie au plan ACB, de sortenbsp;'luon ait m = A'cos£ a Torigine du mouvement, ilnbsp;6n résullera

Ce qui coincide avec la valeur de dt du n° i85, en observant que a z eï a y sont ce quon a appelénbsp;et aQ dans cette valeur.

206. Considérons spécialement Ie cas oü Ie pen-*iole a été tres peu écarté de la verticale CB, et a *'ccu une tres petite vitesse initiale. Supposons cettenbsp;''^ifesse horizontale, et, par conséquent, perpendiculaire au plan ACB, de sorte quon ait ê = o. Dési-göons par C une fraction trés petite, et faisons

^oienl aussi a et ö les angles ACB et MCB; en négli-gcanl leurs quatrièmes puissances, on aura

I/angle '\|, fera connaitre la position du plan vertical MCB, dans lequel Ie pendule se trouve a chaque instant; il pourra croitre indéfiniment. L'angle 6 dé-terminera, aussi a chaque instant, la position dunbsp;pendule dans ce plan variable; on Ie regarderanbsp;comme uné quantite' positive , et les positions dunbsp;pendule, égaleraent éloignées des deux cótés de lanbsp;verticale CB, repondront a un même angle 6 et anbsp;des valeurs de 4 qui différeront entre elles de i8o°*

Daprès la valeur de ^, tirée de la première equation (a), on voit que Tangle 0 seratoujours compris entre a et ë. Si Ton a ^ = a, on aura constammentnbsp;0 = a; en divisant les equations (a) Tune par Tautre,nbsp;on a, dans tous les cas,

''4 =

4 = * v/f;

par conséquent, Ie pendule décrira alors uniforme-' ment un cóne droit a base circulaire, et Ie temp*

Ie même que celui dune double oscillation dans Ie plan vertical ACB. Ainsi, deux pendules de mêmenbsp;^ongueur a, qui partiralent ensemble de la mêmenbsp;ïroite CA, Iun sans vitesse initiale et lautre avecnbsp;Rne vitesse perpendiculaire au plan ACB et égale anbsp;® ga, revlendraient ensemble a cette droite CA.

qui montre que le pendule fera dans le plan va-*''ab!e MCB, des oscillations isochrones dont les ex-

394 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÊCANIQÜE.

trëmités rëpondront a 9 = aetöz=C, et dont la du-

rée sera ^ tt v/| , OU moitié dune oscillation dans Ie plan fixe ACB.

Je substitue cette valeur de 6* dans léquation (lgt;) ; en observant que

cosi ^sin'ï ^-et, a cause de 4 == o quand t = o, on en conclut a tang = ê tang i \J

Cela étant, Ie mouvement du plan MCB ne sera plus uniforme comme dans Ie cas de a = ^ mais on voÜnbsp;que ce plan effectuera successivement les quatre quartsnbsp;de sa revolution entière, dans des temps e'gaux entre

eux et au temps - tt \J^, pendant lequel Ie pendule

fait une oscillation dans ce plan variable.

On tire de cette dernière equation

v/i

a:* = cos*^^ jr® = a®ê® sin®^ , f quot;t]

Ce qui fait voir que la trajectoire de la projection du ftiobile sur Ie plan horizontal passant par Ie point C,nbsp;est une ellipse qui a son centre en ce point, et lunnbsp;ses axes dans Ie plan ACB , doü part Ie pendulenbsp;^Vec une vitesse perpendiculaire a ce plan.

rW'iVV%W\ W'.lt;WWVgt;'VW\iV''\'VV^gt;W^'VVVW\iVV\/W\lt;Wgt;(Wgt;iWX'VWVVVVV\lt;V\'VW»'V\A'Wgt;W\i\iV%V\'XiV\gt;'VV''VV»'''''*

CHAPITRE VI.

208. Dans ce paragraphe, nous nous occuperons particuiièrement des projectiles de lartillerie, quinbsp;sont lancés avec de grandes vitesses, et soumis a lanbsp;pesanteur et a la re'sistance de lair.

Faisons dabord abstraction de celte resistance , ef considérons un point materiel pesant qui part dunbsp;point 0 ( fig. 48 ), avec une vitesse a dirigée suivanlnbsp;la droite OA. II est évident que Ie mobile ne sortiranbsp;pas du plan vertical passant par cette droite. Soitnbsp;OMD sa trajectoire dans ce plan, laquelle sera tan-gente a OA. Dans ce même plan, menons deux axesnbsp;Ox et Ojr, Ie premier horizontal, et Ie second veiquot;nbsp;tical et dirigé en sens contraire de la pesanteur. Pre'nbsp;nons ces axes pour ceux des coordonnées; au boutnbsp;du temps quelconque t, soit M la position du mobile,nbsp;X son abscisse OP, et^ son ordonnée PM. Désignonsnbsp;par g la gravité. Enfin , appelons ctlangle aigu AOXnbsp;que fait la vitesse initiale a avec 1axe Oa?, de sortenbsp;que ses composantes soient a cos a suivant eet axe,

a sin a suivant laxe Oj : Tangle ct serait négatif, la droite OA était située au-dessous de Ox.

Daprès ce quon a vu dans Ie n 148, les mouve-^ens des projections du mobile sur les deux axes Ox et seront indépendans Vun de Tautre; Ie mouvementnbsp;sa projection horizontale sera done uniforme et dunbsp;^ la vitesse a cos a, et celui de sa projection verli-^^le sera du a la vitesse initiale a sin ct et a la forcenbsp;Constante g agissant en sens contraire de cette vitesse;nbsp;p3r consequent, on aura

®t si Ton élimine ï, el quon suppose la vitesse a due a ^te hauteur h, de sorte quon ait a = \/2gh, il ennbsp;*'ésultera

Cette courbe est done une parabole qui a son grand ^Xe vertical; son sommet, determine par Téquation

elle rencontre T'axe Ox en un second point B , tel 'l'ien appelant b la distance OB, on a

Cette distance b est ce quon appelle 1 amplitude du Dans Ie vide, son maximum répond, comme on

En appelant v la vitesse du mobile au bout du teraps t, et substituant les différentielles des valeurs préce'-dentes de a? et^ dans Iéquationnbsp;il en résulte

Le temps que Ie mobile emploie a arriver au point B en décrivant la courbe OCB, est le même que silnbsp;décrivait la droite OB avec la vitesse a cos a; il estnbsp;done

ce qui donne v' ¦=. oT. La vitesse en ce point B est done la même quau point 0; elle est dirigée suivantnbsp;la tangente BE, et langle de chute EBa? est aussi 1®nbsp;même que Tangle de projection M)x.

Si le mobile, au lieu détre un point materiel, est un corps solide, de forme et de dimensions quel^nbsp;conques, on verra par la suite que ces equations dunbsp;mouvement parabolique devront être rapportées unbsp;son centre de gravité.

209. La vitesse a étant donne'e, si Ton demande quel doit être Tangle a pour que le mobile atteigne unnbsp;point determine, dont les coordonnées serontnbsp;et j- = y, on mettra ces valeurs dans Téquation denbsp;la Irajectoire, et Ton aura

Cette double valeur de s ou de tang a. nous montre ^uon peut atteindre un but donnë, en tirant sousnbsp;^eux directions difFërentes, tant que surpassenbsp;que ces deux directions se re'duisent a unenbsp;*'0ule, lorsque ces deux quantités sont égales j et quonnbsp;^0 peut atteindre Ie but, sous aucune direction,nbsp;^Oand est moindre que /\]iy

Ainsi, en tracant dans Ie plan vertical qui passe P^** la direction initiale du mobile, la parabola dontnbsp;^ Equation est

/^hy

*^®tte courbe divisera Ie plan en deux parties, telles Hoe tous les points de la partie exterieure seront ga-*^^utis de toute atteinte, que ceux de la pai tie inté-pourront être atteints de deux manières difFë-*'outes, et ceux de la ligne de separation, dune ina-^^ère seulement.

serail done trés simple, si lon pouvait négliger la resistance que lair oppose a leur mouvement; maisnbsp;dans Ie cas des grandes vitesses dont nous nous occu-pons spécialement, cette force est beaucoup tropnbsp;considerable pour quon en puisse faire abstraction :nbsp;elle change entièrement la forme de la trajectoire etnbsp;les lois du mouvement sur cette courbe, ainsi quoonbsp;va Ie voir.

Quelles que soient la forme et les dimensions da projectile, on fera voir, dans un autre chapitre, qa®nbsp;son centre de gravité aura Ie même mouvement quuRnbsp;point materiel pesant, dont la masse serait celle dunbsp;mobile,qui aurait une vitesse initiale donnée en graO'nbsp;deur et en direction, et auquel on appliquerait eunbsp;outre, parallèlement a elles-mêraes, les forces prOquot;nbsp;venaöt de la resistance et du frottement de lair, quinbsp;sexercent a la surface de ce corps solide. On verra aiisstnbsp;que la force motrice qui résultera de ces resistancesnbsp;transporle'es au centre de gravité, pourra quelquefo*^nbsp;faire sortir ce point du plan vertical mené par la diquot;nbsp;rection de la vitesse initiale; mais ici nous supposequot;nbsp;rons que ce cas nait pas lieu, et que la force motric^nbsp;dont il sagit soit constamment tangente a la trajeCquot;nbsp;toire du centre de gravité.

Cela posé, pour former les équations de son mouquot; vement, conservons toutes les notations précédentes^nbsp;et supposons quelles se rapportent maintenant a la dquot;nbsp;gure 49) od la trajectoire OMD nest plus une paraquot;nbsp;bole. Soit, en outre, ^ larc OM décritparle inobd®

au bout du temps t, et R la force motrice provenaot de la résistance de Fair, qui sera dirigée suivant 1^

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;4oi

partie MT de la tangente en M. Les cosinus des angles que fera cette droite MT avec des axes menés par Ie point M suivant les directions des x et des positives, seront

Je prendrai pour ce projectile une sphere homogene ou composée de couches concentriques dont chacune sera homogene; en appelant D sa densiténbsp;Rioyenne et r son rajon, on aura alors

Je supposerai aussi, conformément aux hypotheses genéralement admises, la force R proportionnellenbsp;carré de la vitesse du centre de gravité, a la surface du projectile, et a la densité de Pair; il en ré-®Rltera

P étant cette densité, et n un facteur numérlque qui ilevra être déterminé par Texpérience. Cette expression satisfalt a la condition de Phomogénélté des

plus de coramodité, je ferai de sorte que - soit une ligne donl la longueur sera

donnée, et que je regarderai comme constante, en faisant abstraction du changement de densité de 1®nbsp;masse dair que traverse Ie projectile.

211. En mettant a la place de ^ , sa valeur c ^» les deux equations du mouvement deviennent

^ nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ = o.

^¦ = 0, et désignant par e la base des logarithmes né-quot; périens. La forme de la seconde ne diffërant de cell®nbsp;de la première que par son dernier terme , je faisgt;nbsp;pour lintégrer,

p étant une nouvelle inconnue. En substituant cette valeur de dans la seconde equation (i), et ayantnbsp;égard a la première, il vient

quot;ïe divise cette valeur par Ie carré de ^ ou de sa va-^eur précédente; il en résulte

él nbsp;nbsp;nbsp;s -

PVr f- ]og(p s/7 ^)=y-^;^^egt;'. (5)

P V « V'quot; log (p -f- \/1 -\-p')v

cdr = =__^_-=__,

p\/1- -/? lo^Xp V i pOy

\/cgdt =----^

gt; (4)

formules qui ne sont point intégrables sous forme fiquot; nie : dans la dernière, on regardera Ie radical comm®nbsp;une quantité positive, paree que langle dont p eslnbsp;la tangente diminue quand Ie temps augmente.

2 12. Silon appelle co eet angle, cest-a-dire, lincb' naison MTj: de la tangente a la trajectoire, sur l ax^nbsp;horizontal Ox, on aura

Les valeurs Ae x, j, t, déduites des equations (4)' seront de la forme fCLdco; linte'grale etant prisenbsp;de manière quelle sévanouisse au point 0 ou 1 o»nbsp;a co ct, et n designant une fonction donnée de o)-

On calculera ces trois valeurs, pour chaque point M, par la méthode des quadratures (n' i5). De cettenbsp;nianière, on pourra construire la trajectoire parnbsp;points, et 1on connaitra Ie temps t que Ie mobilenbsp;eniploiera a décrire chaque are OM, dont la longueur s sera donnée par léquation (3), Quant a lanbsp;vitesse du mobile au point M, on aura

En étendant ces intégrales jusqua tó = o, on dé-terminera labscisse et lordonnée du point C, Ie plus élevé de la trajectoire. Si Ton donne ensuite a « desnbsp;Valeurs négatives, on déterminera les points de lanbsp;branche descendante CBD de la trajectoire. Quandnbsp;On sera parvenu a une valeur a! de «, pour la-'luelle lordonnée de la trajectoire sera nulle, lanbsp;Valeur correspondante de x exprlmera lamplitudenbsp;^^n jet OB, qui ne sera plus double de labscisse dunbsp;point C, comme dans Ie cas du vide, et dont Ienbsp;Maximum, par rapport a a, répondra a un anglenbsp;*^oindre que 45quot; et dépendant de la grandeur de lanbsp;Vitesse initiale. Langle a! ou EBo.' et la vitesse aunbsp;point B différeront aussi de a. et a.

Ainsi, toutes les ciiconstances du mouvement se-ïOnf connues, et la solution du problème est compléte, sauf la longueur des calculs numériques quil faudra exéciilcr dans chaque cas, lorsque les valeiirs

des trois constantes h , c, contenues dans les formules précédentes, seront données.

213. Le mouvement du projectile sur la branche descendante de la trajectoire, approche de plus e»nbsp;plus detre vertical et uniforme.

t, qui répondent au sommet C; transpoiions Tori-gine des coordonne'es en ce point, et faisons

en sorte que x' et j' soient Fabscisse et Fordonnée du point quelconque M' (fig. 5o) de la branche descendante, rapportées a Faxe horizontal Cx' et a Faxenbsp;Cf' qui est dirigé dans le sens de la pesanteur,nbsp;et que t représente le temps employé a parcourirnbsp;Fare CM'. Soit aussi p' la tangente de Fangle M'T'x^nbsp;que fait la langente a la courbe en M' avec Faxe Cx'*nbsp;Nous aurons

Langle aigu M'T'x' pouvant approcher continuelle^ ment dun angle droit, la variable p' croitra indéfimquot;

Attent; mais il nen sera pas de même a légard de a?'.Pour tres grandes valeurs de p\ on pourra mettre p' a ]anbsp;place de s/i-j-p'^; et en négligeant y log 2 parnbsp;*'3pport a p', on aura

Oü simpleraent P' = p'*, en observant que Ie loga-rithme dune quantitétrès gi-ande p', et, a plus forte raison, ^logp'*, est tres petit relativement a cettenbsp;lt;luantité : on aura done, pour ces valeurs de p',

lt;^e qui montre que les valeurs de x' ne croitront pas *ndéfinimenl avec celles de p'. Cela ëtant, soit

= 'r

? sera une ligne de grandeur linie, quon pourra ^alculer par la méthode des quadratuies; et si lonnbsp;Pfend sur Ca:' une partie CA égale a cette ligne,nbsp;1^ verticale AB menée par ce point sera une asymptote de la partie CD de la trajectoire j en sorte quenbsp;^0 mouvement du projectile sur cette branche des-cendante, approchera indéfiniment de la directionnbsp;Verticale.

c4r'-='^, nbsp;nbsp;nbsp;=

dou il résultera par consequent, Ie mouvement final et vertical dunbsp;projectile sera uniforme; ce quil sagissait de dé-monlrer. La vitesse de ce mouvement sera celle quunnbsp;corps pesant acquiert en tombaut dans Ie vide, dune

de la formule (5), en mettant p' au lieu de p, et considérant ensuite p' comme une tres grande quan-tité.

¦:, = -( ndoó,

pour labscisse du point C. Si done on prend sui' Ox (fig. 49) gt; point F, tel que lon ait

la verticale FG, menée par ce point F, sera Fasympquot; tote de la branche descendante de la trajecloire.

Ie point de depart du mobile étaut 0, Ie mouvement Qaura pas lieu sur cette partie de la courbe; mais onnbsp;peut, néanmoins, désirer den connaitrela forme. Or,nbsp;Ou la construit par points, au mojen des deux premièresnbsp;formules (4), en y donnant a p des valeurs positivesnbsp;et plus grandes que tang a j et il est aisé de sassurernbsp;^juelle a aussi une asymptote , mais qul nest pasnbsp;Yerticale, comme celle de la branche descendante.

Pour cela, jobserve que, daprès la valeur de y du n 211, il y a toujours un angle ë aigu , etnbsp;^ a, qui est tel que p = tang rend nul Ie de'no-minateur commun de ces deux formules, cest-a-dire,nbsp;Un angle S qui satisfait a léquation

Oela étant, on voit par la valeur de dp, tirée de Èune OU lautre des deux premières equations (4) ,nbsp;^ue Pabscisse x et lordonnée j croissant indélini-Uient, abstraction faite du signe, dans cette paitienbsp;OW de la courbe, la quantité p cesse de croitre, lors-lt;luelle diffère infiniment peu de tang^j en sorte quenbsp;P ne peut jamais dépasser ni méme atteindre rigou-i'eusement cette valeur p=taiigë; ce qui signifienbsp;lue la branche de courbe ON a une asymptote quinbsp;ooupe Ie prolongement de laxe Ox sous Tanglenbsp;On déterminera sa distance au point 0 de la manièrenbsp;suivante.

Je mène par Ie point 0 un axe qui fasse, avec Ie prolongement de Oa:, un angle égal au complément de ^f et qui soit, par conséquent, perpendiculaire a

lasymptote de ON. Jappelle u Iabscisse dun point quelconque de la courbe, comptée sur eet axe a par-tir du point 0; les coordonnées de ce point, par rapport aux axesOx et Oy, ëtant toujours x etj-, ou aura

En differentiant et mettant pour dx et dj' leurs va-leurs données par les deux premières equations (4), il vient

formule dans laquelle on donnera a p des valeurs plus grandes ou plus petites que tanga, selon quünbsp;sagira dun point de la partie ON ou de la parlie OMnbsp;de la courbe. On peut retrancher de son dénomina-teur Ie premier membre de léquation (6) , multipliénbsp;par cos ê; et si lon fait, en outre,

^ sera une ligne de grandeur finie, que lon calcu-par la méthode des quadratures, et qui exprimera Valeur de u relative a lasymptote de ON, cest-®dlre, la longueur de la perpendiculaire abaissée dunbsp;point O sur celte droite , quil sagissait de determiner.

^ asymptote de la branche ON sera la droite HK,menée par Ie point H, et faisant avec Ie prolongement de Oxnbsp;Un angleKHO supple'ment de C. Les deux asymptotesnbsp;ï^GetHK, prolong ées au-dessus de laxe Ox, se rencon-beronten un point L, de manière que la courbe en-bère sera comprise dans Tangle KLG, dont Ie complé-Uient est Tangle S determine' par Téqualion (6).

2i5. Lorsque Tangle de projection AOx ou a est tres petit (fig. 5i), Ie projectile ne sélève qua unenbsp;petite hauteur au-dessus de laxe horizontal Ox,nbsp;*Uené par son point de depart. Or, dans ce cas, onnbsp;Peut obtenir, avec une approximation sufFisante,nbsp;^ e'quation en x et yquot; de la partie OCB de la tra-jectoire, situee au-dessus de Ox; et méme on peutnbsp;utendre cette equation jusqua un point D, dont lanbsp;elistance a cet axe nest pas tres considerable.

En effet, dans toute cette partie OCB, ou méme GCD de la trajectoire, la fangente a cette courbenbsp;®era presque horizontale, et la quantite p trés petite;

En integrant deux fois de suite, et determinant les constantes arbitraires de manière quon ait ^ = tangnbsp;etjgt;^ = o, quand x = o, il vient

pour léquation approchée de la trajectoire, quil sa-gissait dobtenir. En développant lexponentielle quelle renferme , réduisant et faisant ensuite c = o,nbsp;elle devient léquation exacte de cette courbe dansnbsp;Ie vide.

ce qui fait connaitre Ie temps t que Ie mobile em' ploiera a parcourir une portion quelconque OMnbsp;la courbe OCD.

Sur Ie terrein en un point D; représentons par A la-baissement de ce point au-dessous du plan horizon-mené par Ie point O, ou la perpendiculaire DQ ® 1axe Ox; soient aussi l la distance OQ, et t Ienbsp;^^uips employé a aller du point 0 au point D j nousnbsp;Surons, a la fois,

en remplacant, pour plus de simplicité, cos a par bunité dans les formules précédentes, il en résultera

Lors done que les deux constantes Zt et c seront 'ionnées, et quon aura mesuré Tangle a et TéleVa-bon A du point 0 au-dessus du terrein, ces équa-bons feront connaitre la portée horizontale l, et lanbsp;*iürée T du trajet du projectile. Réciproquement,nbsp;^Uand on connaitra a,, X, l, r, par des mesures di-^®ctes, ces equations pourront servir a determiner Ienbsp;Coefficient c de la resistance, et la hauteur h due a lanbsp;^'tesse initiale. En éliminant h, on a

4(A Z tang a) (equot; i )* = nbsp;nbsp;nbsp; 0 gt;nbsp;equation doü Ton tirera la valeur de c : Tune desnbsp;4eux précédentes donnera ensuite immédiateroent lanbsp;Valeur de h.

11 existe encore de Tincèrtitude sur les grandeurs portées et des vitesses initiales. Daprès Lombard,nbsp;Pour un canon de 34 chargé au tiers du polds dunbsp;boulet, la vitesse initiale est de 4^3 metres par se-

conde; et pour un canon de 12, dont Ja charge est aussi Ie tleiS du poids du piojectile, cette vitesse se-leve 3494 niètres. Suivantle même auteur, les poite'esnbsp;correspondantes et relatives a A = o , sont yoo metres dans Je premier cas , en supposant oc 1®nbsp;et 660 metres dans Ie second cas , en supposant

1°5' 36quot;.

Au lieu du temps t, on pourrait employer a 1^ de'terminatiou de ^ et de c, une seconde portee dnnbsp;même canon a une elevation differente au-dessus dnnbsp;terrein. Ainsi, en supposant que Ie poids du projectile, celui de la charge et langle a ne soient pas changes, les quantités h et c resteront aussi les mêmes; ctnbsp;si A et / deviennent X' et V, on aura

en êliminant h au moyen de la première equation (ci)-liCS auteurs de Balistique ne sont nuJlement daccofd sur la grandeur du nomJjre n qui entre dans leXquot;nbsp;pression du coefficient c , savoir ( n° 210 ),

Daprès une the'orie tres imparfaite de la re'sistancc des fluides, ce nombre n serait|; mais toutes les expc'nbsp;riences Ie donnent plus petit, et Lombard Ie fait égalnbsp;a Léquation (b) fournirait Je moyen Ie plus sus-

^^ptiblede precision pour la determination de c, en ^^pposant bien connu et invariable, Tangle de projection et.

217, Les lois du mouvement des planètes autour soleil sont connues sous la denomination de Lois

Kepler, paree quelles ont été dècouvertes par eet ^stronome, qui les a déduites de iobservalion. Ellesnbsp;^ent au nombre de trois, dont void les énonce's :

ï. Les planètes se meuvent dans des courbes Planes, et leurs ravons vecteurs dècrivent, autournbsp;du centre du soleil, des aires proportionnelles aunbsp;^etiips.

2°. Les orbites, cest-a-dirc, les trajectoires des planètes, sont des ellipses dont Ie soleil occupe unnbsp;des foyers.

5°. Les carrés du temps des revolutions des pla-*^ctes autour du soleil sont entre eux comme les cubes des grands axes de leurs orbites.

Toutc leur importance davait pas dabord été com-Pise; cest Nevvton qui en a montré Tusage pour determiner la force qui retient chaque planète dansnbsp;orbite, c^est-a-dire, la direction de cette force etnbsp;Variations de son intensité, soit dune position anbsp;autre dune même planète, solt dune planète anbsp;autre. On verra, en effet, dans ce paragraphe,nbsp;chacune de ces trois choses est une conséquencenbsp;^'^Cessaire des trois lois du mouvement planétairenbsp;Ton vient dénoncer.

Ces lois se rapporten! au mouvement du centre de gravité de chaque planète; cest Ie mouvement de cenbsp;point que nous allons considérerj et quand il seranbsp;question de la position ou de la vitesse dune planète^nbsp;il faudra entendre la position ou la vitesse de soonbsp;centre de gravité,

218. Soient AMBD (fig. Bs ) Tellipse décrite pa* une planète, AB son grand axe, C son centre , 0 etnbsp;O' ses deux foyers, O celui qui est occupé parnbsp;centre du soleil, B Ie périhélie ou Ie point de loibitenbsp;Ie plus rapproché de 0, A Vaphélie ou Ie point Ie pli^*nbsp;éloigné du soleil.

Au bout du temps t qui sera compté a partir dn passage de la planète a son périhélie, soit M sa posi''nbsp;tion sur lorbite. Désignons par r son rayon vcc'nbsp;teur OM, et par G Tangle MOB que Ton appelle, ennbsp;Astronomie, Vanomalie vraie. Le secteur décritnbsp;ce rayon pendant Tinstant dt sera -j r® ( n° i56}gt;nbsp;daprès la première loi de Kepler, on aura done

c étant une constante égale au double de Taire decree dans Tunité de temps, et ^ ct le double de Fairenbsp;décrite dans le temps quelconque t.

(2)

Pour toutes les planètes connues avant ce siècle, ^eoccentricité e est une fraction trés petite; celle denbsp;1orbite de la terre est

Ou, a peu pres, un soixantième. La plus grande était Celle de Mars, qui surpasse neuf centièmes; ce'taitnbsp;done pour cette planète que Ie mouvement elliptiquenbsp;devait être Ie plus différent du mouvement circulairenbsp;oxcentrique, que lon adoptait avant Képler; et cest,nbsp;oq effet, dans les observations de Ticho-Brahé, relatives a cette planète, que Képler a reconnu dabordnbsp;la différence de ces deux mouvemens. Si lon déve-loppe les valeurs de r et 9, en séries ordonnées sui-''^ant les puissances de e, au mojen de réquatiou desnbsp;aires proportionneiles au temps, jointe a celle de lanbsp;^'ajectoire elliptique ou a celle de la trajectoire circulaire excentrique, on trouve que pour un mémenbsp;^cnips t, les développemens correspondans a cesnbsp;deux courbes , ne différent que dans les termes quinbsp;dependent du carré ou des puissances supérieuresnbsp;de e; ciiconstance qui rendait, a Tépoque de Ké-Pler, la différence des deux mouvemens trés difjiciienbsp;^ découvrir,

celte constante n sera la yitesse moyenne angulairC; et nt Ie mojen mouvement de la planète.

Imaginons un astre fictlf dont Ie mouvement soit uniforme, et qui parte du périhélie et achève sa revolution en même temps que cette planète; sonnbsp;rayon vecteur dècrira Tangle nt, pendant que celuinbsp;de la planète dècrit Tangle 0; Tangle 0 nt, comprisnbsp;a une époque qnelconque entre ces deux rayons, estnbsp;ce que les astronomes appellent Vequation du centre ¦nbsp;il est positif, et la planète précède Tastre fictif?nbsp;en allant du périhélie a Taphélie; Ie contraire a lieunbsp;en revenant du second point au premier. Le maxiquot;nbsp;mum de Téquation du centre dépend de ia grandeurnbsp;de Texcentricité.

En prenant le jour moyen pour unité de temps, o* meltant 360° au lieu de 27r, on a, relativement a 1^nbsp;terre,

Cette valeur de T est la durée de Tannée siderale gt; OU Tintervalle de temps qui sécoule entre deux retours consécutifs du soleil a une même étoile, dauSnbsp;son mouvement apparent autour de la terre. Linter-valle compris entre deux retours consécutifs a uonbsp;même équinoxe, est plus court, a cause que les pointsnbsp;équinoxiaux ont sur Yécliptique un mouvement retrograde, OU en sens contraire de celui du soleiT

1800, et observant que Ie rayon vecteur du soleil emploie oboi4i58, a de'crire ce petit angle, il ennbsp;re'sulte

pour la longueur de lannée équinoxiale au commencement de ce siècle. Lannée siderale est constante; ttiais la precession des equinoxes varie un peu, et,nbsp;par conséquent aussi, lannée équinoxiale : sa longueur diminue da peu pres une demi-seconde parnbsp;siècle.

220. La constante c aura pour valeur Ie double de la surface de lellipse divisé par T ; en observant que

a cause der=lt;2(i e) au point B, il faudra que Tangle u soit nul en ce point oü Ton a aussi « o ; ennbsp;integrant, on aura done

En mettant pour r sa valeur dans celle de c?9 , et observant que cos u cos* -j « sin* ^ u, il en résulte

En integrant et observant que 6 et « sont zéro ert naême temps, cest-a-dire, au point B, on aura

Ces tiois equations (d), (b), (c) , expriment, sous forme finie, les valeurs de r, nt, G, au moyen de lanbsp;Variable auxiliaire u, quon appelle Vanomalie excen-trique. En eliminant u entre elles, on aura les deuxnbsp;coordonnées polaires r et G de la planète en functionsnbsp;du temps, sous forme de séries ordonnées suivant lesnbsp;puissances de lexcentiicité, qui seront, par conséquent, tres convergentes dans Ie cas des anciennesnbsp;planètes. Après quon aura formé ces séries, on ynbsp;pourra remplacer les puissances de cos nt qui se trou-Veront dans Ie développement de r, et celles de sin ntnbsp;que renfermeia Ie développement de G nt^ par desnbsp;Cosinus et des sinus des multiples de nt. Si lon con-coit quon ait ensuite ordonné ces développemens dunbsp;vayon vecteur et de léquation du centre suivant lesnbsp;cosinus OU sinus des multiples croissans de nt, onnbsp;pourra déterminer directement, par Ianalyse sui-Vante, les valeurs des coefficiens de ces deux sériesnbsp;fonctions de lexcentricité.

^Ao-|-A,cosn^-|-A,cos2nf-f-.. .-|-AjCOS m«-f-etc., Ö~-7z^=B,sinn^-j-B»sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. .-f-B, sin m^-|-etc.;

^0, A,, Aa, etc., B,, Ba, etc., et généralement A_j , étant les coefficiens quil sagit de déterminer.nbsp;Si i et i' sont deux nombres entiers positifs et dif-rnbsp;fciens, on aura, en effectuant les intégrations,

Ces dernières formules ne sappliquent point a i= o; dans ce cas, Ia première integrale est égale a tt , etnbsp;la seconde a zéro.

Cela étant, je multiplie Ie développement de / par cos int d.nt, et celui de ö nt par sin int d.nt,nbsp;puis jintègre depuis nt = o jusqua nt =w. Toiisnbsp;les termes sévanouissent, excepté ceux qui ont Ainbsp;oil B, pour coefficient, et Ton en conclut

cest-a-dlre quil faudra réduire a moitié la valeur générale de Af. En mtégrant par partie, et obser'nbsp;vant que 0 nt est zéro aux deux limites nt = o etnbsp;nt TT, lexpression de Bj pourra être remplaceenbsp;par celle-ci:

formules qui feront connaitre les valeurs numéri-ques des coefFiciens A,- et B, , soit par la méthode . des quadratures, soit par la reduction en séries.nbsp;Pour cette réduction, on aura, par Ie théorème denbsp;Taylor,

et il en résultera pour A, et B; des séries dinté-grales relatives au, dont les valeurs exactes sob-lieudront toutes, soit immédiatenient, soit par des formules connues; en sorte que Ton pourra prolon-ger ces développemens de A; et B; aussi loin quounbsp;^oudra. On pourra ménig obtenir leurs termes gé-Oeraux en fonctions de i et de e ; mais ce nest pointnbsp;^ei Ie lieu dinsister da vantage sur ce sujet, qui ap-partient spécialement a rAstronoaiie.

en ne prenant que la moitié de la valeur de Ai, qui répond a j = o : cest Ie seul des coefïklensnbsp;Ao, A,, A,, etc., B,, B,, etc., dont on puisse ob-tenir la valeur exacte.

222. Si Ion appeile v la vitesse de la planète aU bout du temps et cT 1angle que fait sa directioonbsp;avec Ie prolongement de son rayon vecteur r ou OM^nbsp;on aura (n i56)

ce qui montre comment, dans Ie mouvement elHp' tique, la vitesse et la direction du mobile en chaque

point se déterminent au moyen de son rayon vecteur. I^après la valeur de c du n° 220, celle de peut aussinbsp;olre écrite ainsi :

Ces formules, jointes a celles des numéros préce-^ens, font connaitre complètement Ie mouvement dune planète dans Ie plan de sou orbite; mais quandnbsp;On veut considërer a la fois les mouvemens de deuxnbsp;Ou de plusieurs planètes, il est nécessaire de rappor-ter la position de chacnne delles a un autre plan,nbsp;qui est ordinairement Ie plan de Yécliptique ou denbsp;lorbite de la terre.

223. Soient NON'(fig. 53) lintersection du plan de lorbite dune planète avec un plan passant parnbsp;Ie centre 0 du soleil, OE une droite menée dans cenbsp;Second plan , OM' la projection du rayon vecteur OMnbsp;de la planète sur ce même plan. Désignons par ynbsp;^inclinaison des deux plans, par o. Tangle NOE, parnbsp;^ Tangle BON que fait Ie rayon vecteur OB aboutis-sant au périhélie avec la droite ON. Ces tfois anglesnbsp;y, ü), devront êire donnés, et ils déterminerontnbsp;^e plan de Torbite et la position de Tellipse dans cenbsp;plan. Soient aussi lt;p et 4 les angles variables MOM'

M'OE, que fait Ie rayon vecteur OM avec sa projection OM', et cette projection avec la droite OE, ^esquels angles détermineront, a chaque instant, lanbsp;direction du rayon OM aboutissant a la planète.

Cela posé, considérons Tangle trièdre qui a son sonimet au point O, et dont les trois arètes sont OM,nbsp;OM', on. Lanomalie vraie, ou Tangle MOB, élant

la première sera opposée a un angle droit, et 1^ troisieme a Tangle Daprès les premières régies denbsp;la Trigonometrie sphérique, on aura done

et Tangle G étant connu en fonction de t, par ce précède, chacun des angles cp et 4 Ie sera aussi,nbsp;moyen de ces formules.

Lorsque Ie plan donné sur lequel on compte Tangle 4 est Te'cliptique, et que la droite OE, a partir denbsp;laquelle on compte eet angle, dans Ie sens du moo'nbsp;vement de la terre, est celle qui va du soleil a Téqoi'nbsp;noxe du printemps, les angles 4 et tp sappellent 1^nbsp;longitude et la latitude de la planète que Ton considère*nbsp;La droite NON' est la ligne des noeuds de^son orbite;nbsp;elle entre dans Themisphère boreal quand eJle travers^nbsp;Ie plan de Técliptique au point N, ce point est Ie noeii*^nbsp;ascendant ^ et N' Ie nceud descendant. Selon que 1*nbsp;planète se trouve dans eet hèmisphère ou dans Thequot;*nbsp;misphère austral, la latitude (p est positive ou o®'nbsp;gative, et Tangle MON, ou G -f- est plus grandnbsp;ou moindre que i8o°. Langle lt;p sétend depuis 9°nbsp;jusqua go®, et Tangle MON, ainsi que la longitudenbsp;M'OE, depuis zéro jusqua 56o°.

Si Toa rempiace Ie point 0 par Ie centre de la terre, que lon prenne léquateur pour Ie plan donnénbsp;lequel on compte langle 4quot;, et pour origine denbsp;^et angle la droite OE qui va de ce centre au premiernbsp;point du signe aries, les angles 4/ et cp seront alorsnbsp;^dscemion droite et la déclinaison de la planète. Ennbsp;^ppliquant les formules pre'cédentes au mouvementnbsp;Apparent du soleil autour de la terre, on aura a=o,nbsp;y expriraera Vobliquité de lécliptique, et Ton devranbsp;prendre pour 9 « la longitude de eet astre; doii ilnbsp;*'esulte quen la de'signant par X, on aura

Les plus grandes déclinaisons boreale et australe ré-pondent a A = 90° et A = 270% et sont =i-y- Cet ^ngle y est aussi celui que fait laxe de rotation de lanbsp;lerre avec la perpendiculaire au plan de Tecliptique;

est soumis a rme petite inégalité quon appelle la Mutation, dont la période est denviron 18 ans, et Ienbsp;'^ajciinum de gquot;,4 seulement. Sa valenr moyenne, aunbsp;Commencement de 1800, était

224. Dans tout ce qui precede, on na point eu ^gard a la force qui agit sur chaque planète, dont Ienbsp;Rouvement a été determine daprès les données de

iobservation, et saus recourir aux principes de Djnamique; il sagit maintenant de determiner leSnbsp;lois de cette force , ainsi quil a été dit précédem^nbsp;ment (n° 217).

II suit de la première loi de Képler que la force qui retient chaque planète dans son orbite est constam-ment dirigee vers Ie centre du soleil; quoique cettenbsp;consequence nécessaire de la proportionnalité des ai'nbsp;res au temps ait été déduite des équations du mouquot;nbsp;vement dans Ie n° i55 , il ne sera pas superflu dennbsp;donner ici une demonstration synthétique.

Soit M,M (fig. 54) Ie cóté de la trajecloire que 1^ mobile décrit pendant un temps r infiniment petit-Arrivé au point M, si aucune force nagissait sur cenbsp;mobile, il décrirait, dans un autre temps r, unenbsp;partie Mm du prolongement MT de M,M, égale anbsp;M,M; maïs, a cause de la force a laquclle il est soU'nbsp;mis, il se transporte, dans ce second instant, eonbsp;un autre point M'. Soit MK la direction de cettenbsp;force au point M; pendant ie temps r, on pourranbsp;supposer quelle reste parallèle a elle-même, et alorsnbsp;si Fon tire la droite mM!, elle sera parallèle anbsp;(n° 148). Or, si C est Ie centre fixe autour duqudnbsp;Ie rayon vecteur CM décrit des aires proportionquot;nbsp;nelles au temps, les tiiangles M,CM et MCM', quinbsp;sont les aires décrites dans deux instans égaux, se-ront équivalensj mais les triangles M,CM et MCn^nbsp;Ie sont aussi, puisquils ont leurs sommets au mèm®nbsp;points C, et leurs bases M,M et Mm égales et surnbsp;une même droite ; les triangles MC/n et MCM' sontnbsp;done équivalensj et comme ils ont une même base

11 fajji qyg la droite mM' qui joint leurs som-soit parallèle a cette base; par conséquent, droite MK, parallèle a 7nM', coincide avec MC.nbsp;^Onc, en chaque point M de la trajectoire, la di-^^ctioa MK de la force sera celle du rajon vecteurnbsp;; ce quil sagissait de démontrer.nbsp;Réciproquement, si la force qui agit sur Ie mobile , au point quelconque M, est dirigée suivantnbsp;^C, la droite toM' sera parallèle a ce rayon vecteur,nbsp;deux triangles M'CM et MC?n seront équivalens,

gt; par conséquent aussi, les deux triangles M'CM M,CM. Les aires décrites par Ie rayon vecteurnbsp;^Rtour du point C, en deux instans consécutlfs etnbsp;^gaux, étant égales, et cela ayant lieu dans toutenbsp;^étendue de la trajectoire, si la force qui agit surnbsp;mobile est constamnient dirigée vers ce point, ilnbsp;¦''ensuit que les aires décrites en temps égaux se-^Out égales, et, en des temps quelconques, propor-^lonnelles a ces temps.

aa5. Soit, comme dans Ie n° 218, M la position la planète au bout du temps t (fig. 52 ). Con-^^tvons toutes les notations de ce numéro, de sortenbsp;'iRe r et G soient Ie rayon vecteur OM et Tanglenbsp;^OR; désignons, en óutre, par x et j' les deuxnbsp;'^oordonnées rectangulaires OP et PM, rapportées anbsp;axes Ox et Oy, dont Ie premier passe par Ienbsp;P^rihélie B; nous aurons

^oit aussi R ia force accélératrice, inconnue en graii-qui agit sur la planète. Cette force est diri-

gée, comme on yient de Ie voir, suivant Ie rayon vecteur, et elle agit du point M vers Ie point 0gt;nbsp;a cause que la trajectoire tourne sa concavité dnnbsp;cóté du soleil; les cosinus des angles quelle fait avec

par conséquent, si lon ajoute les equations (l) après les avoir multipliées par dx et dj, et si Tonnbsp;observe que xdxjdj = rdr, il en résultera

qui niontre que la force qui agit sur chaque pla-^ete suit la raison inverse du carré de la distance au Centre du soleil.

La grandeur de cette force est fx a lunité de dis-^^nce; soit ju' ce quelle devient pour une autre pla-^ete, dont Ie demi-grand axe et Ie temps de la resolution seront représente's par a' et T'; on aura '^e mênie

Par conséquent, a lunité de distance, et, générale-*^ent, a la même distance du soleil, la force accélé-Satrice R est la même pour deux planètes diffé-Sentes.

La force motrice de chaque planète est done indé-Pcndante de sa nature particulière, et proportionnelle ^ Sa masse, comme les poids a la surface de la terre.nbsp;J^Ue varie dune planète a une autre suivant la mêmenbsp;que dune position a une autre de la même pla-^cte; et si deux planètes étaient situées a la mêmenbsp;distance du soleil et abandonnées a elles-mêmes ,nbsp;^ans vitesse initiale, elles tomberaient dun mêmenbsp;Mouvement vers eet astre, et latteindraient dans Ienbsp;*sieme intervalle de temps.

Ainsi, les trois lois de Képler nous font connaifr^ complètement la force qui retient les planètes dansnbsp;leurs orbites : la loi des aires proportionnelles aunbsp;temps nous fait voir que cetle force est constammentnbsp;dirigee vers Ie centre du soleil; celle du mouvementnbsp;elliptique, ou lexpi'ession de la vitesse qui se déduitnbsp;de cette loi et de la précédente , nous montre que soUnbsp;inlensité varie, pour une mêrne planète, en raisonnbsp;inverse du carré des distances au soleil; enfin, nousnbsp;concluons de la loi des carrés des temps des revolutionsnbsp;proportionnels aux cubes des grands axes, qua éga-lité de distance au centre de eet astre, lintensité denbsp;la force motrice est proportionnelle aux masses denbsp;cbaque planète , et indépendante de sa nature parti^nbsp;culière.

226. Newton a étendu aux comètes, dans leui mouvement autour du soleil, et aux satellites autouinbsp;de leurs planètes respectives, les lois de Képler et Ie*nbsp;consequences qui sen déduisent relativement a 1^^nbsp;force qui agit sur ces mobiles.

Les comètes, dans leur mouvement, ne different des planètes quen ce quelles ne sont pas constamquot;nbsp;ment visibles, a raison de léloignement de leurs aph®'nbsp;lies; ce qui rend tiès difficile la determination denbsp;leurs orbites. Néanmoins, il j a maintenant troinbsp;comètes dont on connait les orbites et les temps denbsp;leurs révolutions, presque aussi exactement que pooinbsp;les planètes. A légard des autres comètes, on calculenbsp;leur mouvement par approximation, en prenaiit pouinbsp;la trajectoire, dans la petite étendue on chaque co-mète est visible, une parabole dont Ie fojer est au

centre du soleil, et supposant toiijours les aires dd-ci'Ues par Ie rajon vecteur autour de ce point, pro-portionnelles au temps pour chaque comète. Ce cas est compris dans les formules précédentes du mouve-Rient elliptique, en j faisant

Les masses des comètes sont tres petites par rapport a celles des planètes et paraissent dune tout Sütre nature. En vertu de la troisième loi de Kdpler,nbsp;^es forces motrices de deux comètes, ou dune comètenbsp;ct dune planète, a la même distance du soleil, sontnbsp;entre elles coinme leurs masses respectives, et leursnbsp;forces accdldratrices sont dgales; il en est de même anbsp;Regard de plusieurs satellites dune même planète,nbsp;Rtais non pas relativement aux satellites de deux pla-Retes differentes, ou a un satellite et une planète; carnbsp;loi des carrés du temps des revolutions propor-^onnels aux cubes des grands axes na lieu que pournbsp;corps qui tournent autour dun même centre :nbsp;Rons ferons connaitre par la suite Ie rapport qui existenbsp;cotre les forces motrices de deux satellites apparte-Rïint a des planètes differentes, et entre celles dunenbsp;PLnète et dun satellite.

Ajoutons encore que dans ces derniers temps on ^ ctendu les lois du mouvement elliptique aux étoilesnbsp;doubles, dans lesquelles un mouvement révolutif denbsp;^une des étoiles autour de lautre a été reconnu, etnbsp;leurs positions relatives, calculées daprès cesnbsp;t.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;28

337. Examinons actuellement les alterations que la resistance dun ether tres iare répandu autour dunbsp;solei!, pioduirait dans Ie mouvement elliptique desnbsp;planètes. Leur non-sphériciléparfaiteetle frottenientnbsp;du fluide contie leur surface, pourraient faire sortir I0nbsp;centre de gravité du plan de son orbite : on feranbsp;abstraction de ces deux circonstances; et il ne s agiranbsp;que de former les equations du mouvement de cenbsp;point, en ayant e'gard , a la fois , a la force centialenbsp;en raison inverse du carré de la distance, et a unenbsp;force tangentielle provenant de la resistance dunbsp;milieu.

Je supposerai, comme dans Ie mouvement des projectiles dans lair, cette resistance proportionnell^nbsp;au carré de la vitesse, a la densité du milieu et a 1*nbsp;surface de chaque planète; la force aoeéléi-atrice quinbsp;en résultera sera , en outre, en raison inverse de 1^

siguant par ds léléraenl de la trajectoire, et par P un coefficient trés petit et proportionnel, pour uuenbsp;mème platiète, a la densité du milieu. En observantnbsp;que cette force agit en sens contraire de la vitesse dunbsp;mobile, et représentant toujours la force principalenbsp;dirigée vers Ie centre du soleil, par a lunité de distance el par ^ a la distance r, les équations (i) de-vront être remplacées par celles-ci;

En employant les coordonnëes polaires, duit, sans tlifficulté, ces autres equations

228. Lorsquon négligé leurs seconds membres, les «quations (2) se réduisent a

nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-3F r=°

On satisfait a ces equations f5) au moyen des for-^ules (a), (b), (c), du n° 220; ces formules nen sont pas les intégrales completes, paree quelles ne con-tiennent que deux constantes arbitraires a et e; maisnbsp;1on fait attention que les equations (5) ne renfer-*Rent pas explicitement les variables 6 et t, et quellesnbsp;^nntlennent seulement leuis dlfférentielles dB el dt,nbsp;®n en conclut que les formules du numéro cite de-Yi'ont encore .satisfaire a ces equations, en ajoutantnbsp;des constantes quelconques a f et ö. De cette manière,nbsp;^f^s intégrales complètes des equations (5), et, par

a, e, 6, ft), étant les quatre constantes arbitraires, et M une constante liée a a par Iequation

Le zéro de la variable u répondia toujours a la plus petite valeur de r, ou au périhélie B (fig. Sa).nbsp;Pour M =: o, on aura 0 = ft); de sorte que 0 repré-sentera maintenant Tangle MOE, compté a partirnbsp;dune droite OE, qui fait un angle BOE :;= oo, avecnbsp;OB. La valeur de 0 en série sera de la formenbsp;0 := nt É -bquot; 6i gt;

en désignant par Ö, sa partie périodique, ordonnée suivant les sinus des multiples croissans de ft)-Get angle 0 sera la longitude vraie de la planete daiisnbsp;le plan de son orbite, au bout du temps t quelconque;

exprimera sa longitude mojenne au même instant, sa longitude moyenne a lepoque doix Tonnbsp;compte le temps t, et amp;) la longitude de sou périhélie-229. Cela posé, quand on connait les intégralesnbsp;completes dun systerne déquations différentiellesnbsp;comme les équations (4), on en déduit les Intégralesnbsp;dun autre système déquations différeutielles, telles

'Jue les equations (2), qui ne different des premières que par de tres petits termes, au moyen dune me'-tfiode dont les géomètres ont fait les plus heureusesnbsp;applications a la Mécanique celeste, et que je vaisnbsp;exposer a loccasion du problème qui nous occupe.

J et F indiquant des fonctions données. Pour que ces Valeurs satisfassent encore aux equations (4), jy con-sidèrert, e, e, agt;, comme de nouvelles variables quilnbsp;sagira de determiner. Mais ces inconnues étant aunbsp;Uombre de quatre, et les equations (2) seulement aunbsp;nombre de deux, je peux prendre a volonté deuxnbsp;equations auxiliaires; et je fais, en conse'quence,

uu, autrement dit, jégale a zéro les parties de dx t dj-, provenant des variations de a, e, e, cj.De cette

doe d'Y'

uianière, les valeurs completes ^ nbsp;nbsp;nbsp;^ sont

^implement

dx df nbsp;nbsp;nbsp;dj- dF

dt ~~ dl nbsp;nbsp;nbsp;dlnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dl'

En différentiant de nouveau, on a

dy de dy dt

Or, par hypothese, les valeurs précédenles de X et j satisfont aux equations (4), en y iegardant a,nbsp;e, i, co, comme des constantes arbitraires, on a done

d'F «?F ,d^ dquot;F nbsp;nbsp;nbsp;dsdj

- da-\- r- de4- -3^ de4- da = f nbsp;nbsp;nbsp;dt-

dlda dtde dtdi dlda nbsp;nbsp;nbsp;'dtdt

et ce système des quatre equations (h) et (c) servira a determiner a, e, e, co, en fonctions de t.

25o. Cette substitution de quatre equations diffé-rentielles du premier ordre, aux deux equations (2), qui sontdu second ordre, naurait, en general, au-cun avantage. Mais les valeurs de da, de, di, do,nbsp;quon tire des equations ilo) et (c), auront pour facteur Ie coefïïcient p de la resistance, qui est unenbsp;tres petite quantité; les parties variables de a, e,nbsp;e, GO, seront done aussi trés petites; et si lon négligé Ie carré de p, on pourra considérer a, e, e, co,nbsp;comme des constantes, dans les expressions de da,nbsp;de, dé, doo; ce qui réduira aux quadratures Ie calculnbsp;des parties variables de a, e, e, co. Pai' la méthodenbsp;des approximations successives, on obtiendra ainsinbsp;des valeurs de ces quantités, ordonnées suivant lesnbsp;puissances de p et aussi exactes que lon voudra;nbsp;nous nous arrêterons a la première puissance de p.

Les equations (a), après quon y aura substitué ^es valeurs variables de a, e, g, co, feront connaitre,nbsp;lt;^omme dans Ie cas du mouvement elliptique, les va-leurs de r et ö en fonctions du temps. La trajectoirenbsp;Sera encore une ellipse, mais dont les éle'mens varie-ront continuellement. Si lon suppose que Ton cons-tfuise a chaque instant Tellipse constante qui rëpondnbsp;3ux valeurs des élëmens a ce même instant, les or-données x et j, et leurs difïërentielles dx et dj', se-Jont communes, en vertu des equations (b), a cettenbsp;ellipse et a la trajectoire, qui sera, par conséquent,nbsp;courbe de contact de toutes les ellipses constantes.nbsp;Par la même raison, la vitesse du mobile etsescom-posantes auront les mémes expressions, etseront dé-terminées par les formules (d) du n° 222, dans Ienbsp;nouvement elliptique et dans Ie mouvement altérénbsp;par la resistance du milieu.

la seconde equation (a). Alors, en même temps quon changera, dans les equations du mouvement ellip-^ique, les constantes a, e, e, co, dans leurs valeursnbsp;Variables, il y faudra remplacer nt par lintegralenbsp;fndt, que nous supposerons nulle quand tz=zo.nbsp;P'S quantité n quelle renferme se déduira de a, au

donnée par léquation ahi' = du n 228. Cette integrale fndt exprimera Ie moyen mouvement denbsp;la planete (n° 219), altéré par la resistance du milieu;nbsp;et, de cette maniere, la différentielle du moyen mouvement sera ndt, dans Ie mouvement trouble commenbsp;dans Ie mouvement elliptique.

Aupérihélie, langle ö « estégal a zéro ou a uo multiple de 56o°; envertude la première equation (0);nbsp;il en sera de même a légard de Tangle u-, done, pendant Tintervalle de temps compris entre deux passagesnbsp;consécutifs de la planèle a son périhélie, la quantiténbsp;fndt -f- 6 ^ca augmentera de 36o°; ce qui servira anbsp;determiner eet intervalle, quand on connaltra n, ê, ogt;nbsp;en fonctions de t, Le temps de la revolution, ou Tin-tervalle compris entre deux retours consécutifs de lanbsp;planète au même point fixe, sera celui qui répondra anbsp;un pareil accroissement de sa longitude vraie 0.

232. Nous pouvons remplacer les equations {h) et (c) par dautres équations équivalentes, desquelleSnbsp;il sera plus facile de déduire les valeurs de da, degt;nbsp;dé, dca.

a lieu dans le mouvement elliptique, elle subsistera encore dans le mouvement altéré par la résistance du

^^ilieu, en j regardant a, e, e, a, comme des va-i'iables déterminées par les e'quations (b) et (c), et y mettant fndt a la place de nl. La difFérentielle denbsp;la fonction (p sera done nulle, soit quonla prenne,nbsp;dans Ie premier cas, par rapport a nt, r, ö; soitnbsp;^üon la prenne, dans Ie second cas, par rapport anbsp;fndt, r, G, a, e, i, ggt;; or, r et 6 étant des fonctionsnbsp;X et j, leurs difFérentielles sont les mêmes dansnbsp;W deux cas, en vertu des equations (^); par consequent, en supprimant, dans la difFerentielle com-r

Cela posé, après avoir mis dans Tequation (2) du n° 218, GCd a la place de G, on en déduit

de difïérentie de méme la première equation (a) et 1 equation (d); ce qui donne

considérant u comme une fonction de lt;2, e, s, o. déliniiue du entre ces deux equations; il vient

(i eco%uYda-{-a{ecos u)de-\-ae sin m (déda))=^o-Mais, en mettant dans les formules tang° ; u

Ceque nous disons relativement a léqualion (p = o, sapplique également au cas oü la function cp renferm^nbsp;les différentielles premières de r et 6. Ainsi, lon agt;nbsp;dans Ie mouvement elliptique,

en mettant \/fA.a au lieu de dans la valeur rc?0 du n° 220 : or, les différentielles dr et lt;/6, ainsinbsp;que ret 6, restant les mêmes lorsque a, e, é, a, dequot;nbsp;viennent variables, il sensuit que ces deux équatioo-'nbsp;subslsteront encore dans cette hypothese ; cela étant;nbsp;en comparant leurs différentielles completes aux équa'nbsp;tions (3) du n 228, on en conclut

d. - = 2p (- - ')ds,

d. \^a[I e) = p \/a[i ejds.

Maintenant, on tirera facilement des quatre equations (e), (), (g), les valeurs de da, de, di,da)-, en y niettant pour r sa valeur, savoir.

On intégrera les seconds membres des equations (h), y considérant a, e, s, co, comme des consJantes,nbsp;®insi quil a été dit prece'demment; et quand Ie coef-'^ient p sera donné en function de r, et consequem-^ont de 6, on en déduira, par la methode des qua-fatures ou par la reduction en série, les valeursnbsp;'Variables de a, e, , co, qui devront être substituéesnbsp;les equations du mouvement elliptique.

235. Si iexcentricité e est une trés petite fraction^ les formules (^), réduites a leur partie principale»nbsp;deviendront

et lon jpourra considérer Ie coefficient p cowme conS' tant. En integrant et désignant par d'a, cTe, cTö,nbsp;les parties variables de a, e, e, ggt;, on aura done

On voit done que leffet de la resistance dun mi' lieu trés rare sur Ie mouvement dune planète trés pe'^nbsp;excentrique, serait de faire décroitre indéfinlnjent I®nbsp;grand axe, daugmenter de même la vitesse angu'nbsp;laire n, et de produire dans chacune des trois quaO'nbsp;tite's e, co, e, une inégalité dont la période est la méco^nbsp;que la revolution de cette planète. Non-seuleraent 1^nbsp;mouvement angulalre saccélérerait de plus en plu® nbsp;mais même la vitesse absolue; car elle est a peu pr^®

'^gale a an-, son accroissement est done aS'n-^uantité positive et e'gale a fan9.

done on désigne par S'r et cTÖ, les parties du rayon ^ecteur et de la longitude qui proviennent de la ré-^stanee du milieu, on aura, au même degré dap-proximation,

En vertu de eette diminution eontinuelle du rayon ^ecteur, qui seleverait a 4'^fa a ehaque revolutionnbsp;la planète, elle finirait nécessaireraent par alteindrenbsp;surfaee du soleil.

Au reste, sil existe dans Tespaee un ether qui in-sur Ie mouvement des astres, eest sur les eomètes eette influenee peut être sensible, a eause de lanbsp;belitesse de leur masse, et paree que, toutes ehosesnbsp;'iailleurs égales, Ie eoefïïcient p est en raison inversenbsp;la masse du mobile. Et, en effet, on na reeonnunbsp;l'^squa présent aueune traee dune résislanee de Té-dans Ie mouvement des planètes et des satellites ;nbsp;*^ais daprès les ealeuls de M. Enke, eette resistancenbsp;Parait influer dune manière appreciable sur Ie mou-^^nieut de la comète récemment découverte, dontlanbsp;^evolution est denviron 1200 jours.

234. Le problème que nous allons résoudre est rinverse de celui du paragraphe precedent : on sup'^nbsp;posait alors la trajectoire et la loi du mouvementnbsp;données par Vobservation , et il saglssait de determiner en giandeur et en direction, la force a laquellenbsp;ce mouvement étalt du; maintenant, on supposenbsp;quune force constante dirige'e vers un centre fixe, etnbsp;donnée en fonction de la distance du mobile a cenbsp;point, est appliquëe a ce mobile, et lon propose deWnbsp;conclure la trajectoire et la loi du mouvement.

Cette courbe DMB (fig. 55 ) sera comprise dans le plan passant par Ie centre fixe C, et par la directionnbsp;DA de la vitesse initiale. Je mène dans ce plan et pa*nbsp;le point C, deux axes rectangulaires Csc et Cj, dootnbsp;le premier passe par le point de depart D du mobile^nbsp;et qui seronl les axes des coordonnées. Au bout dnnbsp;temps t, compté depuis ce depart, je suppose que Icnbsp;mobile soit en M, et je désigne par oc et j ses coor-données CP ét PM , par r son rayon vecteur CM,nbsp;par R sa force accélératrice, dirigëe de M vers C dnbsp;donnée en fonction de r; les equations du mouvemc*'*nbsp;seront

et si la force R était dirigëe suivant le prolongement de CM, il sufïirait de changer les signes de leurs seconds membres.

lesquelles el c sont les constantes arbitraires j si lon appelle 9 langle MCx, de sorte quon ait

-f- 2fKdr h, nbsp;nbsp;nbsp;(3)

Pour léquation diflféreutielle de la trajectoire. Si Ton appelle V la vitesse du mobile au point M, on aura

en représentant par S' langle que sa direction fait ^Vec MC , ses composantes seront

^üivant MC et suiyant MH perpendiculaire a ce rajon ^ccteur.

Les deux constantes b el c, el celles qui serout in-troduites par lintegratiön des valeurs de dt et c/G, se détermineront daprès la position et la vitesse inltialesnbsp;du mobile. Pour cela, je représenterai par j/la distancenbsp;initiale CD, par a Tangle CDA qui pourra être aigi^nbsp;Ou obfus, et par h la hauteur due a la yitesse initiale;nbsp;desorteque cette vitesse soitnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en appelant g

la gravilé. Si Ton suppose que Tintegrale f^dr, qwi entre dans les formules précédentes, soit nulle quan^lnbsp;r y, on aura dabord

daprès la valeur de v'. En vertu de Téquatlon r*t/G cdt, la valeur de v sin «T est la même chose

Quant aux deux autres constantes arbitraires, on leS détermlnera de manière quon alt 6 = 0 et r = 7nbsp;quand t o, et Ie problème sera complètementnbsp;résolu.

355. Lorsque la force R est proportlonnelle a 1* distance 7, les variables x et jr sont séparées dans leSnbsp;equations(i), et Ton na pas besoln de recourlr auJ^nbsp;coordounées polaires et aux equations (2).

A , A', B, B', étant les quatre constantes arbitraires. I*our les determiner, on a, daprès les suppositionsnbsp;précédentes,

\ =z y, h'\J^z= s/agAcosa,

Ces formules nous montrent que les revolutions du Piobile autour du point C seront isochrones, et leur

5.sin«siu«y/^ =jr

pour lequation de la trajectoire, qui est, comme on voit, une ellipse dont Ie centre est au point C. Pournbsp;quecette ellipse soit un eerde, il faut quon ait a=gonbsp;et ky = 2gh. Dans ce cas, Ie mouvement est uniforme;nbsp;car, daprès les valeurs de x et , on a

ce qui donne s/yk pour la vitesse v. La force cen-quot; trale R et la force centrifuge sont constantes et

Si la force R est repulsive au lieu detre attractive, comme on la suppose, il faudra changer k en - ^nbsp;dans les formules précédentes. La trajectoire seranbsp;alors une hyperbole, et Ie mouvement cessera detrenbsp;révolutif.

256. Prenons actuellement la force R en raison inverse du cube des distances, et ieprésentons-la par

R =

2fMr = igt;(. - ty

ndQ = nbsp;nbsp;nbsp;/----.

Dans Ie cas des signes supérieurs, on aura ^9 = arcrsin= 77^ - ; ~ ^arcfsin = 77==-V

\ nbsp;nbsp;nbsp;ycoVit n^/ \nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;V^cot«-j-7iV

Le maximum de z ou Ie minimum de r répond a la valeur de 0, tirëe de lëquation = ou

Au-dela de cette valeur de 0, le mobile séloignera indéfiniment du point C , et son rayon vecteur r seranbsp;inlini, pour la plus petite valeur de 0 tirée de Féqua-tion z = o, OU

Dans Ie cas de la valeur logarithmique de «0, oo aura , en passant aux nombres et désignant par e 1»nbsp;base des logarithmes népériens ,

z =- = (n cotaje --(« cota e ;

ce qui monü'e que r diminuera indéfiniment; en sorte que le mobile décrira une spirale autour du

V^dt =

aSy. Pour dernier exemple, supposons, comme dans la nature, la force R en raison inverse du carrénbsp;des distances; de sorte quon ait

^ étant lintensité de cette force au point D, pour ^^quel Iintegrale est supposee nulle.

en meltant co -\-7r a la place de co, afin que ca soit la valeur de 0 qui répond a la plus petite valeuinbsp;de r, cest-a-dire, au point de la trajectoire ou Ie mobile est Ie plus rapproché de C.

Pour en déduire 1équation de cette courbe en co-ordonnées rectangulaires, je fais

x' et y seront les coordonnées du mobile rapportées a des axes Cx' et Cj', tels que lon ait x'Cx = co;nbsp;on aura

et en élevant au carré les deux membres de léqua-tion (a) de la trajectoire, elle deviendra

k^yy^ Ccx'^ = nbsp;nbsp;nbsp;- 2C^x' s/ky-

Or, sous cette forme, on voit quelle appartient a une section conique, qui sera une ellipse, une pai^aquot;nbsp;bole OU une hyperbole, selon que Ia constante C seranbsp;positive, nulle ou negative. On voit aussi que, dans

tous les cas, Ie point C sera un foyer de cette courbe; Car, daprès Tequation («), Ie rayon vecteur r est unenbsp;fonction lineaire de labscisse oc'; ce qui na lieu, dansnbsp;les trois sections coniques, que quand lorigine desnbsp;coordonnées est un de leurs foyers.

d sensuit done que Ie signe de et, par conse'-quent, la nature de la section conique qui sera dé-Crite par Ie mobile, ne dëpendra que de sa distance et de sa vitesse initiales, et nullement de la directionnbsp;de cette vitesse; en sorte que différens points matérielsnbsp;partantdun même point D, avec des vitesses égales ,nbsp;décriront tous des sections coniques de même nature,nbsp;quelles que soient leurs directions initiales. Si lonnbsp;par exemple, k g, la courbe de'crite sera unenbsp;ellipse, une parabole ou une hyperbole, selon quenbsp;1^ hauteur due a la vitesse initiale sera moindre quenbsp;, égale a cette distance, ou plus grande.

258. Dans Ie cas de lellipse, Tequation (a) montre que la plus grande et la plus petite valeur de r, ré-Pondent a 0=g? 7!' et ^=co; en les désignantnbsp;par a{i e) et a(i e), de sorte que a soit Ienbsp;demi-grand axe et e lexcentricité, on aura done

ce qui fait connaitre Ie demi-grand axe et lexcentri' cite. On déterminera Tangle o en faisant, a la fois,nbsp;6 = o et r=: y dans Téquation (a). Ainsi, les dimensions de Tellipse et la position de son grand axe serontnbsp;complètement déterminées, daprès la position, la vi'nbsp;tesse et la direction initiales du mobile. Quant a sonnbsp;mouvement sur cette courbe, il est connu par les formules (a), (b), (c), du n° 220.

Le carré de la vitesse a un instant quelconque est, daprès la formule (4) du n® 234 gt;

il cause de la valeur quon vient de trouver pour et en faisant ky^ =:/a, de sorte que fJi soit ici comm^nbsp;dans la formule du n 225, Tintensité de la forcrnbsp;centrale a Tunité de distance.

239, II ne sera pas inutile de considérer en parti-*^ulier Ie mouvement parabolique que Ton prend, par approximation, pour celui des comètes pendantnbsp;durëe de leur appaiition.

A cause que lon a, dans ce cas, ê=o ou kygh, les equations (h) donnent a zo et e = i; ce qui anbsp;effectivement lieu dans la parabole. La formule (c) senbsp;i'e'duit a

appelant u la vitesse dans un eerde du rajon On aurait, en vertu de la même formule,

par conséquent, a distance égale du solell, la vitesse dune comète est a celle dune planète qui décrirait unnbsp;oercle, comme est a i.

On élevant au carré les deux membres de la dernière , ot les multipliant ensuite par ceux de la première. Sinbsp;'louc on appelle p la plus courte distance de la co-R^ète au soleil, de sorte quon ait

Je fais^ = o et ky = gh dans léquation (a), et jj mets pour c* sa valeur sghyquot; sin^ a; elle devient

ce qui determine Tangle co que fait Ie rayon vecteur du périhélie avec celui qui aboutit au point de departnbsp;du mobile.

Je substitue les valeurs de c et de r, dans la première equation (2) du n° 234, et je fais, pour abrégeiv

0 ö = 24, d9 = 2(^4,

En appelant t' Ie temps écoulé depuis Ie depart du niobile jusqua son passage au périhélle, on aura a lanbsp;fois

Cela étant, désignons par T Ie temps compté a partir ^e linstant de ce passage, de sorte quon aitnbsp;Rous aurons

en résolvant cette equation du troisième degré, on aura done tang 1(0 « ) en fonction de T, et, par

suite, r et 6 a un instant quelconque : Ie temps t sera positif après Ie passage au périhélie, et négatif avantnbsp;ce passage.

elle est done, daprès léquation a?rf = ^ du n° 228; la vitesse moyenne angulaire dunp planète dont Ienbsp;demi-grand axe serait égal a p; et si Ton appelle ^nbsp;celle de la terre et l son demi-grand axe, de sortenbsp;quon aitnbsp;on en conclura

240. Cette analyse montre quen considérant la determination du mouvement dune comète, coinroe un pi'oblème de dynamique , et supposant, en consequence , que sa position, sa direction et sa vitessenbsp;initiales soient connues, on peut déduire de ceSnbsp;données, la distance p du sommet de la parabole anbsp;son foyer, linstant du passage du mobile par ce sommet OU la valeur de t', et la position de laxe de'pen-dante de Tangle les equations (c), (d), (e), fon^

®nsuite connaitre la vitesse de Ia comète et sa position sur sa trajectoire a un instant quelconque; et oomme Ie plan de cette courbe est celui qui passe parnbsp;lo centre du soleil et par la direction de to vitessenbsp;'oitiale, il sensuit que Ie mouvement est complète-Rient determine. Mais Ie problème astronomique estnbsp;^lifférent. Lorsquon découvre une comète, les observations ne donnent pas immédiatement Ie plan de sonnbsp;^rbite, sa distance au soleil, sa vitesse et sa direction,

^ 1instant oü elle apparait; en sorte quen prenant sa position a eet instant, pour son point de depart, lesnbsp;'^onstantes y, h, u, ne sont pas données comme dansnbsp;Ie problème pre'cèdent. La question consiste alors anbsp;^éduire des observations, les valeurs de cinq quan-lités, savoir : Iinclinaison de loi'bite et la longitudenbsp;son noeud ascendant sur Ie plan de Tecliptique, cenbsp;'iRi déterminera Ie plan de lorbite ; la longitude dunbsp;Périhélie et sa distance au soleil, dou il résultera lanbsp;position de lorbite dans son plan; et, enfin, Ie tempsnbsp;'^orrespondant au passage de la comète par son péri-^ólie. Lorsque ces cinq inconnues sont dèterminées ,nbsp;equations (c), [d), (e), représentent, comme pré-'^èdemment, Ie mouvement de la comète dans sonnbsp;plan. Or, chaque observation de la comète donnenbsp;^On ascension droite et sa dèclinaison; trois observations fournissent done six données, et, par consé-SOent, six equations qui sont plus que sufïïsantesnbsp;Pour determiner les cinq inconnues; et cela permetnbsp;ilo remplacer deux de ces equations par leur combi-^aison la plus propie a dimmuer linfluence des er-ioiirs des observations. Les valeurs approchées des

cinq élémens quon vient denumërer ëtant ainsi con-clues de trois observations faites a Tëpoque de lap^ paritiort, les observations subsëquentes servent en-suite a cotriger ces premières valeurs et a vërifier lesnbsp;formules {d) et (e).

Nous ne poüvons quindiquer ici ce problème daS' tronomie ^ dont il existe diffërentes solutions.

CHAPITRE VU.

241' points matérielsde tons les corps sattirent ^utuellement, en raison directe des masses, et inversenbsp;carré des distances.

Cette grande loi de ia nature, que Newton a dé-couverte, est une consequence nécessaire de 1 observation et du calcul. On peut voir, en eftet, dans VEcc-position du Sjstème du Monde , comment, en partant de Texpérience, on est conduit, sans aucune hypo-dièse et par une suite de raisounemens rigoureux, aunbsp;principe de ^attraction universelle. Les développe-*tiens de ce principe sont iobjet spe'cial de la Méca-^éqiie celeste. Dans ce chapitre , nous nous borneronsnbsp;^ en exposer succinctement les principales consé-'Jüences.

242. La force qui letient les planètes dans leurs ^rbites, est la résultante de Tattraction exercée parnbsp;^ous les points matériels du soleil sur tous ceux denbsp;^haque planète. Vu la petitesse des dimensions dunbsp;^oleil et des planètes par rapport aux distances qui lesnbsp;^sparent, on concoit que ces attractions peuvent êtrenbsp;*'cgardées, avec une approximation sufiisante, commenbsp;des forces parallèles et égales dans toute létenduenbsp;dune même planète ; leur résultante est alors égalenbsp;^ leur somme, et la distance restant ia même, la

force motrice de chaque planète est proportionnelle au produit de sa masse et de celle du soleil; ce quinbsp;devient encore plus exact, a cause de la forme a peunbsp;pres sphérique de ces deux corps, iorsquou prendnbsp;pouj leur distance celle de leurs centres de gravitynbsp;(nquot;99)*

Supposons done , pour exprimer numériquement 1intensité de cette force, que Fon prenne une certain^nbsp;distance, par exemple, celle du soleil a la terre gt;nbsp;pour unite line'aire; choisissons une masse et un ioquot;nbsp;tervalle de temps determines pour unites de ces deu^^nbsp;sortes de quantités ; et prenons enfin pour unite denbsp;force, comme dans Ie n ii8, la force accélératricenbsp;constante qui produit dans 1unitéde temps uneVitessenbsp;égale a Funité de longueur. Concevons maintenao*'nbsp;deux corps dont les masses soient égalesa celle quon ^nbsp;prise pour unite, et qui soient places a une distancenbsp;Fun de Fautre égale a Funité linéaire; soit y la forcenbsp;attractive de Fun des deux corps sur Fautre, eest-'nbsp;a-dire , Ie rapport numérique de sou intensité a cell^nbsp;de la force choisie pour unité ; soient aussi M et innbsp;masse du soleil et celle de la planète : la force HiO'nbsp;trice de la planète sera Mm, a Funité de distance,

La grandeur de Ia quantité que nous désignon* paryi depend du pouvoir attractif dont la matière estnbsp;douée ; ce pouvoir est Ie mème , a égalité de masse etnbsp;de distance, pour tous les corps de la nature; rien,nbsp;jusqua présent, ne fait soupeonner quil augnientenbsp;OU diminue avec Ie temps ; et nous avons üeu de

RÏère que la reaction de chaque planète sur Ie solell est égale et contraire a Taction de eet astre sur la pla-

*iète; mais la force motrice , agissant sur les *ieux masses M et m, leur imprimera a chaque inslaat des vitesses infiniment petites qui sont récipro-lt;lüement pioportionnelles a ces masses, ou , autre-

11 en résulte que si ces deux corps sont abandon-ïiés, sans aucune vitesse initiale, a leur attraction mu-luelle , ils savanceront Tun vers Tautre en parcou-^ant, dans Ie même temps, des espaces qui seront en *aison inverse de leurs masses; ils se joindront aunbsp;Centre de gravité de M et m, qui partage leur distancenbsp;Pï'lmitive en deux parties réciproquement propor-lionnelles aux masses.

En general, si la planète est projetée dans Tespace ^Rivant une direction qiielconque, et quon proposenbsp;*10 determiner son mouvement apparent autour dunbsp;^®ntre du soleil, regardé comme un point fixe, ilnbsp;laudra concevoir que Ton imprime a chaque instantnbsp;^ eet astre, une vitesse infiniment petite, égale etnbsp;'-entraire a celle quil recoit de 1attraction de ia pla-'^ète ; mais, afin de ne point altérer Ie mouvementnbsp;^elatif de ces deux corps, il faudra, en méme temps,nbsp;^^^primer cette vitesse a la planète; ce qui revient a

lui appliquer une force accélëratrice égale et contraire a celle du soleil; done, dans Ie mouvement dont il est question, la force accélératrice de la plane te m sera constamment dirigée vers Ie soleil M, et

Ainsi, Ton devra substituer cette valeur dans les différentes équations du mouvement elliptique qu oonbsp;a données précédemment; par conséquent, léquatloo

/(M m)

T étant loujours Ie temps de la révolution de la pi»' nète, et a Ie demi-grand axe de son orbite.

quantité rn , différera done, pour deux planètes don* les masses sont inégales; ensorte quon nepeut pas supnbsp;poser quil soit rigoureusement le même pour toutesnbsp;les planètes, Cependant les observations qui condoi'nbsp;sent a la troisième loi de Képler, prouventque ce mp'nbsp;port est sinon exacteraent, du moins a tres peunbsp;constant; il en faut done conclure que les masses desnbsp;planètes sont trés petlfes par rapport a celle du soleil;

cube de la distance moyenne varie tres peu en passant dune planète a une autre. La masse de Jupiter, la pi us considerable de toutes, est effectivementnbsp;nioindre quun millièrae de la masse du soleil.

244- Ccst pour cette raison que latlraction mu-tuelle des planètes ne produit que des perturbations, Ou trés lentes, on trés peu considerables, dans Ie mouvement elliptique du a Fattraction du soleil. En effet,nbsp;les masses de deux planètes étant m et la forcenbsp;ïïiotriee dirigée de Tune vers Fautre, est ex prim ée

comme la distance p ne devient jamais trés petite par rapport a la distance r de m au soleil, il sensuit quenbsp;Si est une trés petite fraction de M, Ie mouvementnbsp;de m produit par Fattraction solaire devra étre fortnbsp;peu modifié par Fattraction de m^.

Les perturbations planétaires peuvent done être déterminées par la méthode de la variation des cons-tantes arbitraires, que nous avons expliquée précé-demment (n 229). Elles sont de deux espèces. Lesnbsp;Rues consistent en des inégalités périodiques généra-Icment trés petites, dont les périodes comprennentnbsp;des multiples peu considérables, en général, des ré-Volutions de la planète troublée et de la planète per-lurbatrice. Cependant, lorsque leurs moyens mou-Veniens approchent detre commensurables, ces périodes peuvent devenir beaucoup plus longues, et

3o..

les inegalités beaucoup plus sensibles, Ainsi, les moyens mouvemens de Saturne et de Jupiter ëtantnbsp;a peu prés entre eux comme 2 et 5, Laplace a trouvenbsp;quil rësulte de lattraction muluelle de ces deux pla'nbsp;nètes, une inégalité dont la période est de 929 aus, etnbsp;dont Ie maximum est denviron 48' dans la longitudenbsp;de Saturne, et da peu prés 20' dans celle de Jupiter.

Les autres perturbations des planétes sont: iquot;, les mouvemens progress!fs du périhélie et des noeuds denbsp;leurs orbites, dans lesquels ces points parcourent la cir-conférence entiére, en des temps extrémement longsnbsp;qui peuvent surpasser un millier de siécles; 2°. lesnbsp;variations séculaires qui affectent les excentricitésnbsp;et les inclinaisons de ces orbites, ainsi que les longitudes moyennes des planétes, dont les périodes sontnbsp;semblables aux précédentes, et dont les amplitudes,nbsp;peu considérables , ne sont pas encore bien connues.

Mais tandis que ces divers élémens du mouvement elliptlque varient simultanément en vertu de lattrac-tion planétaire, ii est trés remarquable que cette forcenbsp;nal tére aucunement les grands axes des orbites et lesnbsp;moyens mouvemens des planétes, qui seront lesnbsp;mêmes a toutes les époques, ainsi que les temps desnbsp;revolutions, liés aux grands axes par léquation (i)*nbsp;Toutefois, les variations séculaires des longitudesnbsp;moyennes en produisent de semblables dans les in-tervalles entre deux retours consécutifs a un mêmenbsp;point fixeelles sont insensibles dans Ie mouvementnbsp;des planétes, mais non pas dans celui des satellites,nbsp;et particuliéi'ement dans Ie mouvement de la lune,nbsp;qui saccélére, pourc-ette raison, de siècle en siècle.

La force accélératrice qui provient de lattraction uune planète ?n^siir uiie autre planèle/n, étant indé-pendante de la masse m et proportionnelle a la massenbsp;on concoit que les perturbation^ dues a cette forcenbsp;et obseivées dans Ie mouvement de m autour du so-leil, peuvent servir a determiner Ie rapport de lanbsp;ttiasse rtii a celle de eet astre. Ainsi, par exemple,nbsp;daprèsla grande inégalité de Saturne, produite parnbsp;1action de Jupiter, on a trouvé la masse de cettenbsp;deinière planète égale a 7^0 de celle du soleil. Nousnbsp;mdiquerons tout a lheure un autre mojen de cal-culer la masse des planètes, quand elles sont accom-paguécs dun ou plusieurs satellites.

Les comètes, a cause de la petitesse de leurs masses, öe produisent aucun effet appréciable sur les planètes;nbsp;niais leurs mouvemens sont troublés par les attractionsnbsp;planétaires, et lon détermine aussi par la méthodenbsp;du n 229, leurs perturbations, qui influent considéra-blement sur les époques de la réapparition de chaquenbsp;comète, cest-a-dire, sur lintervalle de temps comprisnbsp;Cötre deux passages consécutifs a son périhélie.

245. Soient m' et m les masses dun satellite et de sa planète, et r' la distance de leurs centres; la forcenbsp;löotrice du satellite, dirigée vers Ie centre de la pla-

X nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;. ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fm m' ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,.

^; Ie coefficient étant Ie rnéme que précédemment. Öans son mouvement apparent autour de la planète,nbsp;la force accélératrice du satellite aura pour expression

Je représenterai par a' Ie demi-grand axe de Tor-bite du satellite, et paf T' Ie temps de sa revolution; en appliquant léquatioa (i) a son mouvement, on

et si I on divise ces deux equations membre a membre, afin d eliminer Ie coefficient , il en rësultera

Or, si lon excepte la lune, les masses des satellites sont tres petites par rapport a celles de leurs planètesnbsp;respectives : la masse dun satellite de Jupiter, parnbsp;exemple, nest pas un dix-milllème de celle de cettenbsp;planète; on peut done mettre 7nk la place de tn 7nnbsp;danscette dernière equation j et comme a, a', T, T^nbsp;sont des données de lobservation , elle pourra servir anbsp;determiner Ie rapport de m a M. Cest de cette ma-nière que Newton a trouve pour la masse de Jupitei;

de celle du soleil; ce qui diffère peu de la fraction -7-5 qnon a obtenue depuis par un autre mojen-2/^6. Lattraction mutuelle des satellites dutic même planète, quand elle en a plusieurs, et Tinèga-lité daction du soleil sur chaque satellite et sur sanbsp;planète , produisent dans les mouvemens ellipticnbsp;ques des satellites , des perturbations analogues ^nbsp;celles que nous venons dindiquer pour les planètes-Les perturbations provenant de laction re'ciproquenbsp;des satellites, font connaitre les rapports de leursnbsp;masses a celle de la planète, dont lattraction prodndnbsp;leur mouvement elliptique. Mais ce mojen manquant

pour la lune, on y supplée par daulres considéra-Pons, parmi lesquelles je vais indiquer Faction de oe satellite sur les eaux de la mer.

Soient C ( Gg. 56) Ie centre de la terre, A celui de lalune,Mun pointquelconque du sphéroïde terrestre;nbsp;faisons

et si nous abaissons du point M la perpendiculaire MB sur la droite AC, nous aurons aussi

Au point M, la force accélératrice provenant de Fattraction de la lune et dirigée suivant MA, aura

Satellite, et par Ie même coefficient que précédem-Oaent. I^es composantes de cetle force suivant la pei-pendiculaire MB et la parallèle MD a la droite AC, seront done

Je substitue la valeur de p dans ces quantités; et ïa plus grande valeur de r, cest-a-dire, Ie rayon dunbsp;globe terrestre, étant, a peuprès, un soixantièmenbsp;de a , je ne'glige Ie carré de r; en faisant alors

dont la résultante varie en grandeur et en direction) dun point M a un autre, et est nulle au centre C.

entière de la terre se portera vers la lune, dun mouvement commun a toutes ses parties, sans que les points de la partie fluide changent de position relative;nbsp;eest done aux forces lt;p et lt;p' appliquées aux differensnbsp;points de la mer, que seront dus le Jluoc et le refluxnbsp;produits par Taction de la lune.

La masse du soleil étant M, et a sa distance a la terre, si Ton désigne, en outre, par /4,nbsp;que deviennent A, (p, lt;p', relativement a cet astre;nbsp;on aura de même

pour les composantes de la force provenant de Taction du soleil, qui concourent au phénomène des marées. En les comparant aux forces cp et lt;p', on vodnbsp;que pour un point de la mer, dont le rayon vecteuinbsp;r fait le même angle A ou avec le rayon vecteur denbsp;la lune ou du soleil, les actions de ces deux astres,nbsp;qui produisent les oscillations de la mer, sont entrenbsp;elles comme leurs masses, divisées par le cube denbsp;leurs distances au centre de la terre. Or, on concodnbsp;que, toutes choses dailleurs égales, les grandeurs dc

ces oscillations doivent être entre elles comme les forces correspondantes; si done on. désigne par co Ienbsp;i'apport de la marëe lunaire a la inarée solaire, dansnbsp;On même lieu de la terre et pour des positions sem-tlables des deux astres, on auranbsp;equation dans laquelle on prendra pour a et a lesnbsp;distances moyennes de la lune et du soleil a la terre,nbsp;et doü lon tire

nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O) -3 ,

Daprès les lois difFérentes que suivent les marées lunaire et solaire, on peut, effeclivement, distinguernbsp;les unes des autres, et determiner leur rapport ennbsp;ehaque lieu de la terre. La moyenne dun grandnbsp;Uombre dobservations, faites dans Ie port de Brest,nbsp;donne (¹)

pour la valeur de ce rapport. La distance a est, a trés peu prés, 400 fois la distance cl, et la masse M,nbsp;comme on Ie verra tout a lheure, aussi a trés peunbsp;prés, 355ooo fois la masse m. Au moyen de ces va-leurs, on trouve, daprés la formule précédente, lanbsp;tUasse de la lune égale a ^ de celle de la terre.

de la terre, les actions du soleil et de la lune produi-sent encore, dans Ie mouvement du sphëroïde ter-restre autour de son centre de gravité, a raison de sa non-sphëricitë, des perturbations que nous feroosnbsp;connaltre lorsquil sera question du mouvement denbsp;iOtation dun corps solide.

247- On peut remarquer que la composante des forces (p et cp', suivant Ie prolongement ME du rayonnbsp;CM, est (p' cosA lt;p sin A; en sorte que sa valeur est

Cest la diminution de la pesanteur au point M, pro-duite par Faction de la lune. Or, en supposant que M appartienne a la surface de la terre, et désignant painbsp;g la gravité en ce point, on a aussi fin = gr^, a ti'èsnbsp;peu prés; dailleurs, Ie maximum de 2C0sA sinAnbsp;répond a A=o, et est égal a 2. La plus grandenbsp;valeur de cetle diminution de pesanteur sera donc

fluence de Faction lunaire sur la longueur du pen' dule a secondes fut appréciable, il faudrait done pou'nbsp;voir porter Fexactitude jusqua la seconde décimalnnbsp;au-dela des cent-millièmes, oü Fon sarrête ordinaire'nbsp;ment dans la mesure de sa longueur. Cette influencenbsp;produirait, dans la raesure du temps, une inégalité re-glée sur Ie mouvement de la lune, dont Ie maximin^^nbsp;ne séleverait qua un demi-centiéme de seconde ennbsp;un jour.

248. Abstraction faite de la foice centrifuge due a rotation de la terrc, la pesanteur que nous obser-''ons a sa surface est la résultante des attractionsnbsp;^xercées par tous les points du sphéroïde sur chaquenbsp;point materiel, laquelle résultante ne dépend que denbsp;position et de la masse de ce point, et nullementnbsp;la nature du corps auquel il appartient; cest, ennbsp;efFet, ce que lexpérience a pleinement confirmé.nbsp;Lintensité de cette force doit diminuer a mesurenbsp;lt;ïuon sélève au-dessus de la surface de la terre; etnbsp;o est aussi ce qui résulte des observations du pendule,nbsp;faites a différentes hauteurs. De plus, la pesanteurnbsp;terrestre, diminuée dans Ie rapport du carré dunbsp;fayon de la terre au carré du rayon de lorbile lunaire, doit être la force accélératrice qui retient lanbsp;^«ne dans son orbite. Or, la distance du satellitenbsp;otant, a peu pres, 60 fois ie rayon de la terre, ilnbsp;^ensuit que la lune, si elle navait aucune vitesse,nbsp;devrait tomber vers la terre, de la même quantité ennbsp;nne minute quun corps quelconque, dans Ie vide ,nbsp;nii une seconde a la surface de la terre. Cette quantité nest autre chose que Ie sinus verse de larcnbsp;^ne la lune décrit sur son orbite en une minute ,nbsp;a tres peu pres, Ie carré de eet are dlvisé parnbsp;^0 diamètre de cette courbe; et comme la clrcon-férence de lorbite est Go fois celle de la terre, onnbsp;On conclut que la quantité dont il sagit est égale a

Sgnant par n Ie nombre do minutes que contieut Une révolution lunaire. II faut done, daprès la va-

leur de la gravité g quon a trouvée par rexpe-rience du pendule, que ce produit soit a tres peo prés égal a 4j90; on trouve, effectivement, 4?^^nbsp;pour sa valeur, en observant que n = 5g343.nbsp;difïérence serait encore moindre , en ayant égard anbsp;diverses circonstances dont nous avons fait abstraction pour simplifier la demonstration.

La pesanteur terrestre est done un cas particulier de lattraction universelle; et, pour cette raison gt;nbsp;lon appelle aussi cette force générale la pesanteurnbsp;OU la gravitation universelle.

249quot; A cause que la terre sécarte peu de la forme sphérique, lattraction quelle exerce sur un point

sphere, en désignant par m sa masse, par r son rayon, et par J Ie coefficient de lattraction universelle. Cette valeur approchée doit être tout-a-fai*^nbsp;exacte pour les points appartenant a un certain pU'nbsp;rallhle; et, daprès la théorie de lattraction des sphe-roïdes peu différens dune sphere, ce parallèle estnbsp;celui dont Ie carré du sinus de la latitude est Suinbsp;ce parallèle, la pesanteur a pour mesure 9,7938^nbsp;(n igS); mais, pour légaler a lattraction terrestre,nbsp;il faut préalablement laugmenter de la composantenbsp;verticale de la force centrifuge, laquelle composante

pourra regarder cette valeur de la gravité, ainsi ^ïiodifiée, comme égale a Fattraction de la terre, etnbsp;poser Féquation

8 =

En la multipHant membre a membre par Féqua-*on (i) du n° 243, appliquée au mouvement de la ^orre autour du soleil, on en conclutnbsp;Orniule qui va servir a determiner Ie rapport de lanbsp;Riasse de la terre a celle du soleil.

Si Pon concoit un triangle rectangle qui ait pour base Ie rayon de la terre, et pour hauteur sa distancenbsp;soleil, le petit angle oppose a la base est la paral-du soleil, que Fon determine directement parnbsp;observations astronomiques, et que Fon peutnbsp;^üssi déduire dune certaine inégalité produite dansnbsp;^0 mouvement de la lune par Faction du soleil, quenbsp;^on appelle Finégalité parallactique. La grandeur denbsp;parallaxe varie avec le rayon de la terre et sonnbsp;^loignement du soleil auxquels elle repond; pour lanbsp;'^'Stance moyenne a et pour le rayon r qui aboutitnbsp;parallele dont le sinus de la latitude est \/a, sanbsp;^^leur est 8quot;,60. On a, par consequent,

Au moyen de ces valeurs et de celle de g, qui sup' pose aussi quon a pris la seconde pour unite denbsp;temps, on trouve

aSo. Le soleil est une sphere dun rayon égal * 110 fois celui de la terre; on cormait done le rapportnbsp;des volumes Je ces deux corps et celui de leurs masses Jnbsp;doii lon conclut immédiatement le rapport de leurSnbsp;densités moyennes : celle du soleil est, a peu prés gt;nbsp;le quart de la densité de la terre.

A la surface de eet astre, lattraction est expii' mee parnbsp;en appelant R son rayon. A cause de

et elle a pour valeur {-2^,5) g, daprès celle de . La durée de la rotation du soleil autour de sow

axe étant de 25gt;,5, la force centrifuge a son équateuf n est que ie sixième de cette force a Tequateur de 1^

terre. En négligeant done la diminution quelle pro-düit dans la pesanteur a la surface du soleil, on voit Ie poids dun corps a cette surface est 29 fois etnbsp;miemie Ie poids du rnême corps a la surface de lanbsp;^erre , et que les corps y parcourent a peu présnbsp;*35 metres dans la première seconde de leur chute.nbsp;En appliquant successivement lèquation (i) dunbsp;245 a la terre et a une autre planète, et supposantnbsp;'lue les quantitès in, a, T, relatives a la terre, de-^lennent m,, a,, T,, par rapport a la planète, on ennbsp;*^onclura

par 1 elimination de . Connaissant la valeur de a par lobservation de la parallaxe solaire, ou autre-iRent, ainsi que la masse in de la terre et la dure'e Tnbsp;de lannée sydèrale, cette equation servira a déter-Riiner la valeur du demi-grand axe a, dune planètenbsp;quelconque, loisque sa masse m, et Ie temps T, de sanbsp;''evolution seront donnés. Le procédé du n° 240nbsp;Pour determiner cette masse, suppose seulement quonnbsp;eonriaisse une valeur approchée du demi-grand axe.

251. Lattraction exercée a la surface de la terre Par une masse considérable, telle quune haute mon-tagne, fera dévier les corps pesans de la directionnbsp;''erticale, et le prolongement du fil a plonib niranbsp;plus rencontre! le ciel au zénith. II sen écartera ennbsp;Sens contraire des deux cótés opposés de la mon-tagne; en sorte que si tout est semblable de part etnbsp;dautre, pour la forme de la montagne et pour léloi-gQement du fil a plomb, la distance angulaire des

deux étoiles par lesquelles son prolougement ira passer, sera double de sa deviation. Cet effet a etc observe, par les astronomes, au Pérou et en Écosse; mais, a cause que les masses des plus hautes monta-gnes sont encore tiès petites, eu égard a la rnasse de lanbsp;terre, les deviations dont il sagit sont aussi trés pcunbsp;considerables, et ne sélèvent qua de petits nombresnbsp;de secondes. Voici un example du calcul de la deviation du fil a plomb, due a lattraction dune massenbsp;donnée.

Soit A (fig. 5'j') Ie centre dune sphere homogene, suspendue a lextrémité dun fil inextensible et inflexible, dont lautre bout est attaché aru point fixe C;nbsp;soit aussi 0 Ie centre fixe dune autre sphere homogene qui agit sur Ia première. Le fil CA sécarteia denbsp;la verticale CB sans sortir du plan passant par celtenbsp;droite et la ligne CO; et, dans sa position déqui-libre, il faudra que la résultante du póids de la première sphère et de Fattraction de la seconde viennenbsp;passer par le point fixe C. Or, ces deux forces se-ront appliquées au point A , Fune suivant Ia verticale AD, Fautre suivant la droite AO; et elles ten-dront a faire tourner le fil CA en sens opposés aulournbsp;du point C. Pour que leur résultante passe par 1®nbsp;point 0, il faudra done que leurs momens, par rapquot;nbsp;poit a ce mème point, soient égaux (n° 46) J par conséquent, si 1on appelle P et Q le poids de la premièrenbsp;sphère et Fattraction totale de la seconde, et que Ionnbsp;désigne par p et q les pezpendiculaires CE et CF,nbsp;abaissées du point C sur les prolongemens denbsp;et de OA , on aura

pour réquation dëquilibre qui devra servir a determiner Ia deviation inconuue BCA.

Jappelle .x eet angle, y Tangle donné BCO , a et c les distances aussi données CA et CO, et lanbsp;distance inconnue AO; nous aurons

Appelons aussi in la masse de la terxe, ln^ celle de la sphère mobile, in' celle de la sphère attirante. En dë-signant toujours par y Ie coefficient de Taltractionnbsp;Rniverselle, et représentant par r Ie rajon de lanbsp;terre, les forces motrices P et Q auront pour valeurs

et si f est la deusité moyenne de la terre, f' celle de la sphère attirante, et r' son rayon, on aura aussi

oil il ne iestera plus qu a mettre la valeur dey pour en déduire ensuite celle de x.

Je supposerai, ce qui a lieu généralement, la longueur CA du fil a plomb tres petite par rapport a Ia distance CO. En négligeant a par rapport a Cnbsp;dans les valeurs de j, on aura simplement = c ;nbsp;doü il résultera

La densité p' et Ie rajon r' de la sphere attiranle restant les niêmes, la valeur de x que lon tirera denbsp;cette equation sera dautant plus grande que la distance c sera plus petite, et que Tangle y approcheranbsp;davantage dêtre un angle droit j et comine c ne peutnbsp;pas être moindre que Ie rayon r', il sensuit quonnbsp;aura Ie maximum de deviation du fil a plomb quenbsp;puisse produire Tattraction dune sphere donnëe, ennbsp;prenant c = r' et y = go°; ce qui réduit Téquationnbsp;prëcëdente a

Si Ton suppose, par exemple, p' = p, et quon de-mande quel doit être Ie rayon r' pour que la deviation X sélève a une seconde, on aura r' =¦ r tang \'''t et, a cause que la circonférence 27rr de la teri'e est denbsp;4o millions de metres, il en résultera r'=:3o,856...-Alnsi, une sphere homogene denviron 3i metres denbsp;rayon, et dune densité égale a la densité moyennenbsp;de la terre, ne produit quune deviation dune seconde au plus dans la direction du fil a plomb; etnbsp;pour quelle la produise, il faut quelle touche Tex-trémité inférieure de ce fil, et que son centre soit

252. Cette moyenne densité de la terre, conclue de la deviation du lil a plomb que produit lattrac-lion des montagnes, a éte évaluée a quatre ou cinqnbsp;Ibis la densité de leau. Cavendish la trouvée égale anbsp;cinq fois et demie cette densité, en la déduisant denbsp;1attraction exercée par deux globes de plomb denbsp;buit pouces anglais de diamètre, quil a su rcndre sensible par Ie moyen de la balance de torsion. Sans en-trer ici dans tous les détails de cette belle expérience,nbsp;des diverses precautions quelle exige, et des calculsnbsp;quil faut faire pour en déduire un résultat exact , jenbsp;vais seulement indiquer les points principaux de cesnbsp;Calculs (^).

La balance de torsion est Iinstrument Ie plus exact que nous ayons pour servir a la mesure des forcesnbsp;trés petites. Coulomb , a qui 1invention en est due,nbsp;ia surtout empJoyée a mesurer les forces dattractionnbsp;ct de répulsion des corps électrisés; et, pour cettenbsp;raison, elle est aussi connue, en Physique, sous Ienbsp;uom de balance électrique. Elle consiste principale-Uient en un lil métallique trés délié, vertical, attachénbsp;^ un point fixe, et a lextrémité duquel est suspendunbsp;Rn levier horizontal. Supposons ce levier formé dunenbsp;bge trés mince ACA' (fig. 58 ), partagée en deuxnbsp;parties égales a son point dattache C, et terminée

(¦*) On trouve dans le 17' cahier du Journal de lÈcoIe J^oljtechnique une traduction exacte du mémoire de Cavendish.

par deux spheres dun petit diamètre, dont les centres sont A et A'. Du point C comrae centre, et dun rayon égal a CA, décrivons Ie eerde horizontalnbsp;BAB'A', dont nous diviserons la circonférence en unnbsp;grand nombre de parties égales. Lorsque Ie leviernbsp;tournera autour du point C, ses extrémités A et A^nbsp;parcourront cette circonférence, et les points de division auxquels ils répondront a chaque instant fe-ront connaitre les arcs quils auront décrits. Tant quenbsp;Ie fil de suspension qui aboutit au point C nest pasnbsp;tordu, Ie leviet reste en repos dans une certaine position. Je suppose quil réponde alors a la ligne BCB';nbsp;si lon vient a Tecarter de cette ligne, pour Ie mettrenbsp;dans une autre position quelconque ACA', Ie fil denbsp;suspension sera tordu sur lui-même, et cette torsionnbsp;tendra a ramener ce levier vers la ligne BCB'. Pournbsp;Ie retenir dans la direction ACA', supposons que lonnbsp;applique a ses deux extrémités des forces égales etnbsp;contraires, dirigées dans Ie plan horizontal, et per-pendiculaires a sa longueur; la valeur commune denbsp;ces deux forces sera la mesure de la force de torsionnbsp;qui leur fait équilibre. Or, les expériences de Coulomb ont prouvé que Ie fil de suspension restant Ienbsp;même, cette force de torsion est proportionnelle anbsp;Tangle BCA; en prenant done Tangle droit pournbsp;unite, appelant h la force de torsion qui répond »nbsp;cet angle, et désignant par Ö Tangle BCA, cettenbsp;force, dans la position ACA' du levier, sera égalenbsp;a /zQ : ainsi, dans cette position, la torsion du fi^nbsp;de Suspension équivaudra a deux forces égales a h^tnbsp;horizoulales, perpeudiculaires a ACA', appliquées

Cela posé, approchons du levier deux sphères ho-niogènes dune même matière, dun même diamè-tre, et symétriquement placées de part et dautre de la ligne BCB^ Soient 0 et 0^ leurs centres si-tués dans Ie plan horizontal qui contient Ie levier,nbsp;a égale distance de C , et sur une droite OCO^ menéenbsp;par ce point. Lattraction de ces deux corps va écar-ter Ie levier de la ligne BCB'; et, ;) cause que toutnbsp;est semblable autour du centre C, la droite ACA'nbsp;tournera autour de ce point, qui restera immobile.nbsp;A mesure que Ie levier sécartera de la ligne denbsp;repos, la force de torsion augmentera. II existe unenbsp;position dans laquelle cefte force ferait équilibre anbsp;lattraction des deux sphères; mais comrae Ie leviernbsp;atteint cette position avec une vitesse acquise, il lanbsp;dépasse, et il oscille , de part et dautre, a la ma-tiière dun pendule horizontal. Lobservation faitnbsp;connaitre la durée dune oscillation entière. En comparant la longueur de ce pendule a celle dun pendule ordinaire qui oscillerait dans Ie même temps,nbsp;on en conclut Ie rapport de la force dattraction denbsp;ohaque sphere a Ia pesanteur; et, par suite, on anbsp;Ie rapport de la masse de cette sphere a celle denbsp;la terre. Léquation qui sert a determiner ce rapport est facile a former, ainsi quon va Ie voir.

253. Les deux sphères mobiles dont les centres sont en A et A', étant sollicitées par les mêmes forces, etnbsp;ajant Ie même mouvement autour du point fixe C,nbsp;il sufFira de considérer Ie mouvement du centre de

Tune delles, du poiut A, par exemple; soient done comme dans Ie problème precedent,

appelons m' la masse de la sphere attirante dont Ie centre est en O , et/ Ie coefficient de lattraction uni-verselle; au bout dun temps quelconque t, désignonsnbsp;par 6 Tangle ACB, et par z la distance AO, nousnbsp;aurons

autres forces, Tune dirigée suivant Ie prolongemeot de CA, et Tautre perpendiculaire a CA. Cette dernière

valeur déduite du triangle COA. Si Ton retranche de cette composante tangente a la trajectoire, la forcenbsp;de torsion /zö qui lui est directement opposée, et s'nbsp;Ton observe que Tarc BA décrit par Ie mobile est ega^

Lattraction de la masse m' etant une tres petite force, Tangle 0 dont elle écarté Ie Ie vier ACA' de sa

DYNAMIQUE, PREMIÈRE PARTIE. ligne de repos sera tres petit. En appelant b la distance BO, OU la valeur de z qui répond a ö = o, denbsp;sorte quon ait

et quon négligé les puissances de G supérieures a la première , léquation du mouvement deviendra

Daprès cette valeur de 6, Ie plus petit et Ie plus grand écart du levier ACA', a partir de la ligne BCB',nbsp;seront ê ^ et ê A; et, si lon tire la ligne DCD',nbsp;lelie que Tangle BCD solt égal 'a ë, Ie levier fera, denbsp;part et dautre de cette droite, des oscillations égalesnbsp;6t isochrones dont Tamplltude sera la constante k:

on déterminera Tangle ê par Texpérience, en mesu-rant Ie plus petit et Ie plus grand écart du levier, et prenant, pour eet angle, la demi-somme de ces va-leurs extremes de ö. La droite DCD' qui répond a 6=^nbsp;est la position du levier dans laquelle il demeureraitnbsp;en équilibre , sil y parvenait sans vitesse acquise. Lanbsp;durée de chaque oscillation entière du levier, de partnbsp;et dautre de cette ligne, sera Ie temps pendant le-

Maintenant, si Ton appelle g la gravité, et l la longueur du pendule simple qui fait ses oscillationsnbsp;infiniraent petites dans Ie temps T, on a ( n° 182 )t

Tout es les quantités contenues dans cette formule sont connues dans chaque experience; elle serviranbsp;done a calculer Ie rapport de la masse m' a celle denbsp;la terre; et connaissant, en outre, les volumes de cesnbsp;deux corps et la densité de m', on en conclura la den-sité moyenne de la terre.

254- On démontre, dans la Mécanique celeste, que pour la stabilité de léquilibre de la mer, il estnbsp;Re'cessaire et il suffit que la densite' moyenne de lanbsp;terre surpasse celle de leau. Cest paree que cettenbsp;condition est remplie, que les forces provenant desnbsp;actions simultanées du soleil et de la lune ne produi-sent que de petites oscillations ; si elle ne le'tait pas,nbsp;et que la terre, par exemple, en conservant sa densité moyenne, fut recouverte par une mer de mer-cure, Faction des moindres forces étrangères aunbsp;sphéroïde terrestre, produirait, dans ce fluide, unnbsp;i^ouvement progressif, de sorte que la mer, aunbsp;lieu dosciller, parcourrait la surface entière de lanbsp;terre.

On prouve aussi, par diverses considerations, que la densité des couches concentriques du sphéroïdenbsp;terrestre doit croilre en allant de la surface au centre;nbsp;dou il résulte que sa densité moyenne doit surpassernbsp;celle de la couebe superficielle; condition qui senbsp;trouve effectivement remplie ; car si Fon excepte lesnbsp;métaux, qui sont en petite quantité dans cette couche.nbsp;les densités des autres matières dont elle est formée,nbsp;sont toutes beaucoup moindres que cinq fois et de-mie la densité de Feau. Mais il importe dobservernbsp;que eet accroissement de densité ne suppose pas Fexisgt;

tence de matières entièrement differentes de celles que nous vojons a la surface , et dont la densltenbsp;propre serait excesslvement grande: on peut admettrenbsp;que toutes les couches de la terre sont formées dunenbsp;même matière, un peu compressible, ou dun mélange de differentes matières, comme a sa surface;nbsp;et dans cette hypothese, qui parait la plus naturelle ,nbsp;leur accroissement de densité serait dü a la condensation produite, dans chaque couche, par la pressionnbsp;des couches supérieures, qui va en augmentant denbsp;la surface au centre.

Dans lintérieur de la terre, la loi de lattraction dépend de la loi inconnue des densités; en dehors,nbsp;elle varie sur Ie prolongement de chaque rayon, anbsp;peu pres en raison inverse du carré de la distancenbsp;au centre; et dun rayon a un autre, elle éprouve ennbsp;même temps une variation proportionnelle au carrénbsp;du cosinus de Tangle que chaque rayon fait avec Taxenbsp;de figure du sphéroïde terrestre. II résulte de cettenbsp;dernière variation qua égale distance du centre de lanbsp;terre , la force appliquée au centre de la lune et pro-venant de iattraction de ce sphéroïde, nest pas lanbsp;même dans toutes les directions du rayon vecteur;nbsp;en sorte quon peut considérer cette force commenbsp;étant composée de deux autres, Tune provenant denbsp;la partie sphérique de la terre et qui est constante ounbsp;ne varie qua raison de la distance a son centre, Tautrenbsp;due au renflenient de la terre a Téquateur et quinbsp;varie avec la direction du rayon par rapport a Taxenbsp;des poles. Laplace a déterminé la petite inégalité ennbsp;longitude et en latitude, que cette seconde force

produit dans Ie mouvement de la lune 5 on concoit C[ue sa grandeur dolt dépendre de lapplatissementnbsp;de la terre; et en la comparant a celle que lob-servatioii a donnée , on en conclut un applatisse-nienty, peu différent de celui qui résulte de len-semble des mesnres du pendule et des degrés dunbsp;ttiéridien.

A la surface de la terre, la variation de la pesanteur provenant de celle de rattraction et de la force centrifuge , suit la même loi qua une distance quelconquenbsp;du centre , cest-a-dire quelle est proportionnelle,nbsp;comme nous lavons déja dit ( n° 178 ), au carré dunbsp;cosinus de Ia latitude. Mais pour vérifier cette loi parnbsp;les mesures du pendule a secondes, il faut que lesnbsp;oscillations ne soient pas observées pres dune mon-fagne ; car, en même lemps que la composante horizontale de son attraction écarté Ie pendule de Ianbsp;Verticale, dans sa position déquilibre, la composantenbsp;Verticale de cette force diminue la pesanteur, et,nbsp;oonséquemment, la longueur du pendule simple. Ennbsp;évitant cette cause danomalie, on Irouve encorenbsp;quen certains lieux la longueur du pendule a secondes sécarte de la loi de variation donnée par lanbsp;théorie : ce quon dolt attribuer a ce quen ces lieux ,nbsp;la densité du terrein, dans une étendue et une pro-londeur considerables, est plus grande ou plus petitenbsp;que la densité générale de la couche superficielle;nbsp;doü il résulte une augmentation ou une diminutionnbsp;de la pesanteur totale, et, par conséquent, de lanbsp;longueur du pendule simple, qui est proportionnellenbsp;a son intensité. Le pendule est done aussi uu instru-

ment de Ge'ologie, qui annonce, par ses anomalies, des variations dune grande étendue dans la naturenbsp;du sol.

Au reste, il faut observer que la lol du décroisse-ment de la pesanteur, proportiounel au carré du cosinus de la latitude , en allaut du pole a léquateur, suppose quon prend pour la surface de la terre Ienbsp;prolongement du niveau des mers; et comme lesnbsp;lieux des conlinens oü se font les observations sélè-vent a des hauteurs différenles au-dessus de ce niveau,nbsp;il est nécessaire de rédulre les longueurs observées,nbsp;a celles qui auraient lieu a ce niveau-même surnbsp;chaque verticale. Cette reduction se fait ordinaire-ment en augmentant la pesanteur et la longueur dunbsp;pendule a secondes , dans Ie rapport du carré de lanbsp;distance du lieu de lobservatlon au centre de la terre,nbsp;au carré de cette même distance diminuée de la hauteur de ce lieu au-dessus du niveau des mers; ce quinbsp;revienl a négliger lattraction de la couche de terrenbsp;comprise entre la surface du continent et Ie prolon-gement de la surface des mers. On va voir, dans Ienbsp;numéro suivant, que cette correction est trop grandenbsp;de pres de moitié.

255. Soient AM'B ( fig. 5g ) la surface dun continent,DAMBE Ie niveau des mers et son prolongement, et C Ie centre de la terre; soient aussi M' Ie lieu denbsp;lobservatioa, et M Ie point oü Ie rayon CM' rencontre ce prolongement; M'M sera la hauteur donbsp;point M au-dessus de la surface des mers, que jenbsp;représenterai par h, et qui sera donnée par un nivel-lernent ou par des mesures barométrlques. Si M' était

tres voisin de la mer, la pesanteur pourrait être un peu diminuée et sa direction un peu dérangée, a causenbsp;lt;}ue la densité de leau est moindre que celle du terrein; mais je supposerai que cela naitpas lieu, et jenbsp;supposerai aussi quautour du point M' la surface dunbsp;terrein soit horizontale ou sensiblement perpendiculaire au rayon CM', et que sa densité soit uniforme.nbsp;II sagira de calculer Tattraction exercée au point M',nbsp;par la coiiche AM'BM, élevée au-dessus du niveaunbsp;des mers. Dans ce calcul, on poura faire abstractionnbsp;de la courbure de cette couche et de la variation denbsp;sou épaisseur, ou, autrement dit, on pourra consi-dérer lépaisseur de cette couche comme constantenbsp;et égale a h, dans toute létendue oü son attraction peut être sensible. Je représenterai par c Ienbsp;rayon de cette étendue, et par p' la densité de lanbsp;couche.

Cela posé, soit K un point quelconque de la couche attirante; désignons par zet j ses distances a la surface du terrein et au rayon CM'; et décrivons deuxnbsp;Surfaces cylindriques qui aient MM' pour axe com-Riun, et dont les rayons soienty^ etj-^dj. Le volumenbsp;compris entre ces deux surfaces aura ZTrjdj pournbsp;Igt;ase et dz pour hauteur; et si on le décompose ennbsp;anneaux horizontaux dune épaisseur infinimentnbsp;petite, le volume de lanneau qui répondra au pointnbsp;K sera i'Kjdjdz, et sa masse i'tt^ydjdz. Lattractionnbsp;de eet anueau sur un point matériel situé en M' senbsp;réduira a une force dirigée suivant MM', qui seranbsp;égale a la soinme des composantes verticales des attractions de tous ses points; et comme, pour le

la force accélératrice provenant de lattraction de lanneau entier, aura pour valeur

étant tOTjjours Ie coefficient de lattraction uni-verselle. Par conséquent, pour avoir lattraction de la couche que nous considérons, il faudra intégreinbsp;cette formule depuis z = o jusqua z h, et de-puis = o jusqua = c j ce qui donne

en désignant celte force par k'. Mais, en general; lépaisseur verticale de la couche attirante est petite, eu égard a son rayon horizontal; si done onnbsp;négligé h* par rapport a c, on aura simpleraent

Soit k lattraction exercée au point M par la pai-tie de la terre qui se termine au niveau des merS; et r Ie rayon CM; cette attraction au point M' de-viendra

(7 ly-

En désignant la pesanteur et la composante verticale de la force centrifuge par g et ^ au point M, et

(r ;o

Je développe Ie premier terme de g' suivant les puissances de h, puis je retranche g' de g, et je négligé Ie carré de h et la petite difference y* y; il vient

4: = g' dans Ie premier terme de cette formule; dans la petite quautité k', on peut aussi supposer

4^p.A_

^n désignant par p la densité moyenne de la terre, et Prenant pour son volume; il en résultera alors

, nbsp;nbsp;nbsp;/nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;2«nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Ofl A\

g = g (^I -f - - j.

Cest done par Ie facteur compris entre les parentheses, el non par Ie facteur i nbsp;nbsp;nbsp;comme on a

coutume de ie faire, quon devra multiplier la pesan-teur g^ qui a lieu sur un continent, a une hauteur h ^n-dessus du niveau des mers, pour la réduire a ce

facteur. A Paris, Télévation k du point de TObser-vatoire oü se trouve Ie baromètre, est de 63 mètres; doü il résulte que la gravité et la longueur du peo'nbsp;dule a secondes y sont moindres quau niveau desnbsp;mers, dans Ie rapport de lunité a i,ooooi25.

\V^\V¦^VV^lVV^lVV\(V^'^^W^W^,\\^lW^^.V^'Wgt;W^/VVX'V'V^'WVVV^'V\/VWWV\V\^^V\\'V\^V\X

LITRE TROISIÈME.

STATIftUE,

SECONDE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

256. II ny a pas de corps solide, dans la nature, qui Qe soit plus ou nioins compressible, et qui ne changenbsp;de forme lorsquil est soumis a des forces qui se fontnbsp;equilibre. Mais quand le corps solide que nous al-lons considerer aura piis la forme convenable, onnbsp;pourra regarder les points dapplication des forcesnbsp;qui le sollicitent comme un systeme de forme invariable ; et cest a cet état que repondront les coordon-Uees de ces difiërens points, quon supposera con-Uues, et qui entreront dans les equations de'quilibre.

Soient M, M', Mquot;, etc., ce systeme de points ma-teriels. Pour chaque point on aura sept quantiles a considerer, savoir, ses trols coordomiees, la forcenbsp;qui le sollicite, et les trois angles qui en deterrai-

nent la direction. Je de'sigaerai par P Ia force qui est appliquée au point M, et dont la direction sera lanbsp;droite MD (fig. 6o); par x, j, z, les trois coordon-ne'es OG, GH, HM, du point M, rapportées aux axesnbsp;rectangulaires Ox, 0/, Oz j et par o., , y, les anquot;nbsp;gles aigus ou obtus que fait la droite MD, avec deSnbsp;parallèles a ces axes, menées par Ie point M. Relatiquot;nbsp;vement aux autres points M', Mquot;, etc., je représente-rai les quantités analogues par les nièraes lettres avecnbsp;des accens.

Cela posé, avant de chercher les conditions déqui^ libre des forces données P, P', Pquot;, etc., nous allonsnbsp;transformer ce sjstème de forces en trois autres, dontnbsp;lun sera compose de foices parallèles a laxe Oz, unnbsp;autre de forces parallèles a laxe Oj' et dirigées dansnbsp;Ie plan des x et j', et Ie troisième de forces dirigéesnbsp;suivant laxe Ox.

Décomposons chacune des forces P, V'gt; Pquot;, etc. , sans changer son point dapplication , ennbsp;trois forces parallèles aux axes des x, j, z; P cos at gt;nbsp;P' cos a', P'' cos atquot;, etc., seront les forces parallèles anbsp;1axe Ox; P cos S, P' cos P^' cos bquot;, etc., les forcesnbsp;parallèles a Faxe Oj; P cos y, P' cos y', Pquot; cos yquot;, etc.?nbsp;les forces parallèles a 1axe Oz; et Fon pourra dabordnbsp;remplacer les forces données par ces trois groupes denbsp;forces parallèles.

Sans altérer le système de forces que Fon consi' dère, ii est permis dappliquer en im même pointnbsp;deux forces égales et contraires. Japplique done annbsp;point M deux forces parallèles a Faxe Oz, égales etnbsp;opposées, et que je représente par g et g. Je coni'

pose la force g qui agit sulvant MC, avec la force P cos «t, dirigée suivant MA parallèle a Ox; soientnbsp;Me la direction de leur résultante, et K Ie point ounbsp;son prolongement vient rencontrer Ie plan des x etnbsp;Je transporte son point dapplication en ce point K,nbsp;puis je la decompose en deux forces parallèles auxnbsp;axes des x et z; ce qui reproduit les forces P cos ctnbsp;el g ; maïs la force P cos a. est maintenant dirigéenbsp;Suivant la projection sur Ie plan des x et y, de sanbsp;première direction; et la force g est appliquée, per-pendiculairement a ce plan, au point K de cetle projection, dont les coordonnées sont faciles a déter-Jiiiner.

En effet, H étant la projection du point M sur Ie plan des x et^, ses coordonnées seront x et^, et Tonnbsp;aura j- et x KH pour celles du point K, puisquenbsp;ces deux points appartiennent a une même parallèlenbsp;a laxe des x. Or, en considérant Ie rectangle KNMH,nbsp;dont Ia diagonale KM est la direction de Ia résultantenbsp;des forces g et P cos a, qui agissent suivant les cótésnbsp;KN et KH, on a la proportion

a cause de HM = z. Les coordonnées du point dapplication K de la force g, dans Ie plan des x et ^ ^ sont done

En opérant de la même manière sur les forces P cos C et §¦; la première sera transporter dans Ienbsp;plan des oc et J suivant la projection de sa premièrenbsp;direction, et les coordonnèes du nouveau point dap-plication de la force g, dans ce même plan,nbsp;seront

On transportera par Ie même mojen toutes les forces P'cosa', Pquot;cos a!', etc., P'cos ê', Pquot;cosêquot;, etc.,nbsp;dans Ie plan des a: et j-; chacune de ces forces agiranbsp;suivant la projection sur ce plan, de sa direction primitive, qui pouvait être au-dessus ou au-dessous denbsp;ce même plan; et Ton aura de plus autant de couplesnbsp;de forces g' et g', gquot; et gquot;, etc., quil j a denbsp;points M', Mquot;, etc. Les coordonnèes des points dapquot;nbsp;plication de ces dernières forces, dans Ie plan des Xnbsp;etj, se de'duiront de celles qui répondentaux forcesnbsp;g et g, en accentuant les lettres a:, j-, z, g, T,

258. Malntenant, par une semblable operation, faite sur les forces P cos a, P' cos a', Pquot; cos a,quot;, etc.,nbsp;parallèles a laxe des x, et comprises dans Ie plan desnbsp;X et,jquot;, on les transformera en deux groupes denbsp;forces, dont Fun se com posera de forces parallèles anbsp;laxe 0/, et 1autre de forces dirigêes suivant laxe Ox-Axnsi, au point H (fig. 6i), oü agit la force Pcos ^nbsp;suivant la direction HF, japplique des forces parallèles a Oj et représente'es par h et h; je composenbsp;la force k, dirigêe suivant HB, avec la force Pcos^Inbsp;je transports Ie point dapplication de leur résultante

au point Q, oü Ie prolongement de sa direction UK vient rencontrer laxe Ojc; puis je la decompose sui-vant les directions rectangulaires Qx et Qjquot;, ce quinbsp;veproduit en ce point Q les forces P cos a et k. Dail-leurs, on aura

La force P cos ct, dont la direction e'tait HF , sera done remplacée par une force P cos a, qui agiranbsp;suivant laxe Ox, et deux forces ^ et h, perpen-diculaires a eet axe, et appliquées a des points Q et Gnbsp;dont les positions sont connues. II en sera de mêmenbsp;a 1égard des autres forces P' cos al, Pquot; cos aquot;, etc.,nbsp;parallèles a laxe des x, et comprises dans Ie plannbsp;des X et JE, qui seront aussi remplacées par desnbsp;forces P^ cos a , Pquot; cos aquot;, etc., dirigées suivant lanbsp;droite Ox, et par des couples de forces h' et A', Wnbsp;ct etc., parallèles a laxe O/.

aSg. Nous vojons done que par ces deux ope'ra-dons successives, les forces données seront transfor-uiées, comme on lavait dit, en trois groupes de forces, dirigées suivant laxe des x, perpendiculaires anbsp;cet axe et comprises dans Ie plan des x et je , et perpendiculaires a ce plan.

Dans cette transformation, la force quelconque P se trouvera remplacée par six autres forces, qui seront:

1axe des z, et dont les points dapplication sur Ie plan des jc el ont pour coordonnées rapportéesnbsp;aux axes Ox et Oj, savoir : celui de la première, X

2°. Les deux forces P cos ê /i et h, parallèles a laxe desjT^ comprises dans Ie plan des x etj-, et quonnbsp;peut supposer appliquées a laxe des x; la premièrenbsp;a la distance x du point 0 ^ et la seconde a la distance

3°. La force P cos ci, dirigée suivant laxe des x, et dont on pourra transporter Ie point dapplication en 0.

260. II est facile actuellement de former les equations déquilibre des forces données P, P', Pquot;, etc., OU des trois groupes de forces quon vient de leurnbsp;substituer.

On doit dabord remarquer que eet équilibre ne peut exister, a moins quil nait lieu séparémentnbsp;dans chacun de ces trois groupes de forces. En effet,nbsp;si les forces parallèles a laxe des z ne se détruisaientnbsp;pas enlre elles, et que cependant Iequillbre de toulesnbsp;les forces donnèes fut possible, on pourrait, sansnbsp;troubler eet équilibre, rendre fixe une droite tracéenbsp;dans Ie plan des x et j-; mais alors les forces comprises dans ce plan seraient détruites, soit parcenbsp;quelles renconlreraient eet axe fixe, soit a causenbsp;quelles lui seraient parallèles. On pourrait done lesnbsp;supprimer; et, cela fait, léquilibre serait rompu ,nbsp;contre Tlijpothèse, puisque j icn nempêcherait plus

les forces perpendiculaires au plan des et^ de faire tourner Ie corps solide autour de laxe lixe; par conséquent, Féquiiibre est impossible tant que ces der-nières forces ne se détruisent pas séparément. Celanbsp;étant, on verra de même que Tequilibre ne peut existernbsp;entre les forces comprises dans Ie plan des jc et jquot;,nbsp;sans que les forces parallèles a laxe des / ne se détruisent entre elles; car sil avait lieu, et que cettenbsp;condition ne fut pas remplie, on fixerait un point denbsp;laxe des x, qui détruirait toutes les forces dirigéesnbsp;suivant cette droite : rien nempêcherait plus lesnbsp;forces perpendiculaires a cette droite, de faire tournernbsp;Ie système autour de ce point; en sorte que léquilibrenbsp;se trouverait détruit par laddition dun point fixe, cenbsp;qui serait absurde.

Cela posé, si Ie corps solide que nous considé-rons est entièrement libre, il faudra dabord (n'Sy), pour réquilibre des forces parallèles P cos y, P'cos y',nbsp;Pquot; cos y, etc., g et g, g' et g', gquot; etnbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc

11 faudra, en outre, que les somiaies de leurs mo-Diens par rapport au plan des x et z et a celui des Jquot; et z, qui sont parallèles amices forces, soient aussinbsp;Huiles. Or, par rapport au premier plan, on a

pour la somme des momens des forces P eos y , P' cos y', Pquot; cos yquot;, etc.; celle des momens des forces

daprès les coordonne'es des points dapplication de ces diverses forces. On a done, en ajoutant ces troisnbsp;sommes et réduisant,

et Pon trouvera de même, en formant la somme des momens des mêmes forces, par iapport au plan desnbsp;et z, et Pégalant a zéro,

Quant aux forces P cos ê h, P' cos ê' h', Pquot;cosêquot; hquot;, etc., et h, h', hquot;, etc., paiallèles anbsp;1axe des f, et toutes comprises dans Ie plan des xnbsp;eljquot;, il ny aura que deux equations déquilibre (n° Sj)-il suffira que leur somme soit égale a zéro, ce quinbsp;donne

et que la somme de leurs momens, par rapport au plan des j et z, soit aussi égale a zéro. Or, pafnbsp;rapport a ce plan, la somme des momens des premières forces est

4 nbsp;nbsp;nbsp;_ SLSp) 4'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- Kiïli) etc.,

daprès leurs distances a laxe des j j par conse'quent, en egalant la somme totale a zéro, on aura

Enfin, pour 1équillbre des forces dirigées sui-Vant laxe des x, il suffira que leur somme soit iiulle; doii il résulte

Telles sont les six equations nécessaires et suÜi-santes pour Féqullibre dun corps solide entière-nient libre et sollicité par des forces quelconques, quil sagissait dobtenir.

P( z cos axcos5/) P'(/cosa'^2:'cos;!/')4-etc.=M, P( jr cos y z cos ê)4-P'(j^Yos}/'z'cos §') -j- etc. =N,

ces équations déquilibre deviendront X = o, Y=o, Z = o, L=:o, M = o, N = o. (i)nbsp;On peut rernarquer que ces quantités L, M, N, ainsi

Ces six equations renfernient des conditions déqui-libre communes a tons les sjsternes de points maté-riels; entièrement libres; car, quelle que soit la nature dun pareil sjstème, ou Ia liaison mutuelle des pointsnbsp;qui Ie composent, il est évident quon ne troubleranbsp;pas leur équilibre en rendant leurs distances in-variables, sans changer leurs coordonnées, ni lesnbsp;forces qui les sollicitent. Par conséquent, les équa-tions déquilibre dun sjstème de forme invariable,nbsp;qui ont lieu entre ces quantités , doivent encorenbsp;subsister pour tout autre sjslème; mais alors elles nenbsp;sont plus suffisantes; et il j faut joindre dautres conditions speciales pour chaque sjstème en particulier,nbsp;qui serviront, comme on Ie verra par la suite, a dé-terminer les positions relatives de ses différens pointsnbsp;dans Fétat déquilibre.

262. Quand les forces données sont toutes paral-lèles entre ellcs, les angles quelles font avec chacun des axes O2?, Oj, Oz, sont égaux ou supplémen-taires, selon que ces forces agissent dans Ie mêmenbsp;sens OU en sens contraire; on peut les supposernbsp;égaux, en considérant, en même temps, commenbsp;positives les forces qui agissent dans un sens, etnbsp;comme négatives celles qui agissent dans Ie sens op-posé (n* 11); on aura done alors

au mojen de quoi les txois premières équations (0 se iéduisent a une seule, savoir ;

SÏATIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;607

(Pj: P'a:' Pquot;a:quot;-|-etc.)cosf = (Pj'-i|- P'j-'-i- Py-|-etc.)coslt;z, (Pz -f-P'z' -h Pquot;zquot; etc.)cosa= P'x'-{-P''xquot;~{- etc.)cosy,nbsp;(Pj- py Py'4-etc.)cosy=(Pz PV Pquot;zquot; etc.)cos(r.

Mais les equations déquilibre des forces parallèles étant seulement au nombre de trois, il faut que cesnbsp;trois dernières equations se reduisent a deux ; et, ennbsp;effet, si on les ajoute après les avoir multipliées parnbsp;cos ^, cos amp;, cos a, on trouve une e'quation iden-tique j en sorte que Tune delles est une suite desnbsp;deux autres.

Quand toutes les forces données sont comprises dans un mênie plan, on peut prendre ce plan pournbsp;celui des x e\j; alors les angles y, y', yquot;, etc., sontnbsp;droits, et les coordonnées z, z', zquot;, etc., égales anbsp;zero; ce qui fait évanouir la troisième et les deuxnbsp;dernières equations (1). Dans ce cas particulier, commenbsp;dans Ie cas des forces parallèles, il j a done seulementnbsp;trois equations déquilibre, qui sont

263. Lorsque les forces données ne se font pas équilibre, on peut demauder la condition quellesnbsp;doivent remplir pour avoir une résultante unique,nbsp;et quelle est cette iésultante.

Pour répondre a cette question, je désigne par R cette force; par a, b, c, \es angles que sa directionnbsp;fait avec des parallèles aux axes Ox, Oj, Oz, menées

par un de ses points, quon prendra pour son point dapplication, et dont les coordonnées, rapportees anbsp;ces mêmes axes, seront reprësentées parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, s,-

Cette force, prise en sens contraire de sa direction, fera équilibre aux forces données. Les equations (i)nbsp;auront done lieu en joignant a P, P', Pquot;, etc., unenbsp;force egale et contraire a R; par consequent, onnbsp;auia

Les coordonnées x,, jquot;,, z, , pouvant appartenir a un point quelconque de Ia droite suivant laquelle estnbsp;dirigée Ia résultante, ces trois dernières équationsnbsp;seront celles de ses projections sur les trois plans desnbsp;coordonnées. Pour que cette droite existe, il faudranbsp;done quelles se réduisent a deux; or, en les ajoutantnbsp;après les avoir multipliées par Z, Y, X, les trois variables X,, Tquot;,, z,, disparaissent, et lon a

cette equation (4) soit satisfaite pour que les forces donnécs aient une résultante unique : quand ellenbsp;aura lieu, cette force sera déterminée, en grandeurnbsp;et en direction , par les equations (2).

Si les trois sommes X, Y, Z, des composantes pa-rallèles aux axes des a;, j, z, sont nulles, lequa-lion (4) sera satisfaite; mais alors la résultante sera Une force infiniment petite, située a une distance in-finle des points dapplication des forces données, ou,nbsp;plus exactement, ces forces se réduiront a deux,nbsp;égales, parallèles, agissant en sens contraire, et nonnbsp;réducfibles a une seule (n 44)-

Lorsque les trois sommes L, M, N, sont nulles, léquation (4) sera aussi satisfaite; et 1on voit, parnbsp;les equations (3), que la résultante passera par lori-gine des coordonnées.

264. Quand la condition exprimée par léqua-tion (4) ue sera pas remplle, on j pourra satlsfaire cn joignant aux forces données une force conve-Uable. Je supposerai, pour plus de simplicité, quellenbsp;passé par lorigine 0 des coordonnées; je la repré-senterai par Q, et par A, (/,, y, les angles quelle faitnbsp;avec les axes Ox, O7, Oz. Les quantltés L, M, N, nenbsp;^Langeront pas par laddition de cette force, et lesnbsp;sommes X, Y, Z, augmenteront des termes Qcos A ,nbsp;Qcbs^, Qcos V. Léquation (4) deviendra done

en sorte quon j satisfera dune Infinité de manières différentes, au moven de la force Q et des angles A,nbsp;I--) V, relatifs a sa direction.

La résultante R des forces Q, P, P', Pquot;, etc., et sa position, se détermineront au moyen des equations (2) et (5), dans lesquelles on mettra X-t-Qcos A,nbsp;Y -f- Q cos Z Q cos V, au lieu de X, Y, Z. Lesnbsp;forces données P, P', Pquot;, etc., pourront done êtrenbsp;remplacées par cette résultante R et uné force égalenbsp;et directement contraire a la force Q; dou lon con-clut que quand des forces données ne sont point ennbsp;équilibre, ni réductibles a une force unique, onnbsp;peut toujours les réduire*, dune infinite de ma-nières différentes, a deux forces seulement, qui nenbsp;seront pas comprises dans un même plan, sans quoinbsp;elles se réduiraient a une seule, contre lhypothèse.nbsp;Cest dailleurs ce quon volt immédiateraent par lanbsp;transformation du 11° 25^; car les forces données P,nbsp;P', Pquot;, etc., pourront être remplacées par la résultante des forces parallèles a laxe des z, et par cellenbsp;des forces comprises dans Ie plan des ac et j-; et lonnbsp;pourra ensuite transformer, sans difficulté, ces deuxnbsp;résultantes en deux autres forces, dune infinité denbsp;rnanières différentes. En cherchant la condition poui'nbsp;quelles se rencontrent, on trouvera léquation (4) gt;nbsp;x-elatlve a lexistence dune résultante unique.

265. Si lon considère deux corps solides A et A' (fig. 62), qui se touchent en un point K el sappuientnbsp;lun contre lautre, et si lon suppose quils soientnbsp;solllcités par des forces données, il sera facile de dé-dulre de ce qui précède les conditions de leur équilibre.

je désigne par X', Y', Z', L', M', N', ce quelles de-viennent relatlvement a A'; jappelle nbsp;nbsp;nbsp;, z,, les

eoordonnées du point K rapportées aux mêmes axes que celles qui entrent dans ces div-^erses quantites;nbsp;par Ie point K, je niène une droite HKH' perpendiculaire au plan tangent commun aux deux corps; jenbsp;feprésente par a, d, c, les angles que fait la partie KHnbsp;de cette droite, comprise dans A , avec des parallèlesnbsp;aux axes des oc, j, z, menées par ce même point K :nbsp;toutes ces quantites sont données, et il sagira de for-Uier les equations déquilibre auxquelles elles doiventnbsp;satisfaire.

Or, Ie corps A exercera sur A', dans la direction KH', une pression inconnue que je représenlerai parnbsp;Hjil en ëprouvera, en même temps, une resistancenbsp;egale et contraire a cette force normale. Si done onnbsp;joint aux forces données qui agissent sur A une forcenbsp;H dirigée suivant KH, on pourra ensuite faire abstraction de A'; et, de même, si Ton joint aux forcesnbsp;appliquées a A' une force R dirigée suivant KH', onnbsp;pourra aussi considérer A' isolément. II résulte de lanbsp;et des equations (i) quon aura pour Féquilibre denbsp;Ces deux corps les douze equations suivantes :

ce qui résulte aussi des conditions déquilibre communes a tous les sjstèmes entièrement libres, conim^ celui des deux corps A et A' (n° 261).

On trouvera pareillement les equations déquilibre dun nombre quelconque de corps solides, dont plu-sieurs sappuient lun contre lauti'e; et il est aisé denbsp;voir que Ie nombre de ces équations sera égal a si3inbsp;fois celui des corps, moins Ie nombre de leursnbsp;contacts,

266. Les équations déquilibre dun corps solide assujetti a des conditions données doivent être comprises parmi celles dun corps entièrement libre; carnbsp;léquilibre de celui-ci ne serait pas troublé, si on las-sujettissait a ces conditions particulières; en soit®nbsp;quaucune nouvelle equation déquilibre ne peut êtrenbsp;introduite par ces conditions. Mais, au contraire, uuenbsp;OU plusieurs des équations (i) deviendront super'nbsp;flues; et il sagira de déterminer, pour les différeusnbsp;cas qui peuvenl se présenter, celles dc ces équationsnbsp;qui resteront nécessaires. Cest ce que nous allonsnbsp;faire successivement dans ce numéro, en supposaut

toajours quon ait rem placé les forces données P, P', Pquot;, etc., par les trois groupes de forces du n aSg.

1°. Si Ie corps solide qui doit rester en équilibre renferme un point fixe, on prendra ce point pournbsp;lorigine 0 des coordonnées. Les forces dirigées sui-vant laxe Ojc seront détruites par ce point; ce quinbsp;fera disparaitre léquation X = o. Pour léquillbrenbsp;des forces parallèles a laxe 0/ et compiises dans Ienbsp;plan des x et j, il ne sera plus nécessaire quon aitnbsp;Y = o, et il suffira que leur résultante coincide avecnbsp;laxe Oj-, OU que la somme L de leurs raomens, parnbsp;rapport au plan desj^ et z, soit égale a zéro. Enfin,nbsp;pour léquiHbre des forces parallèles k laxe des z, léquation Z = o ne sera plus nécessaire ; il suffira quenbsp;leur résultante coincide avec laxe Oz; ce qui exigeranbsp;que les sommes de leurs momens, par rapport auxnbsp;plans desj^ et z, et des x et z, qui sont les quantilesnbsp;¦ M et N, soient égales a zéro.

Ainsi, dans ce premier cas, les trois équations dé-quilibre qui resteront nécessaires seront

Elles signifient, effectivement, que les forces données ont une résultante unique, et que cette résultante vient passer par Ie point fixe 0. Cette force exprimera, en grandeur et en direction, la pres-sion exercée sur ce point, et sera déterminée parnbsp;les équations (2).

2°. Supposons que Ie corps solide soit retenu par nn axe fixe, au tour duquel il est assujetti a tour-ner, sans pouvoir glisser dans Ie sens de sa lon-I.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;33

gueur. Prenons eet axe pour celui des z, les forces parallèles a cette droite Oz ne pourront produlrenbsp;aucun mouvement, et les trois equations Z = o,nbsp;M = o, N = o, relatives a leur équilibre , ne se-ront plus nécessaires. Les equations X=o et Y=onbsp;ne Ie seront pas non plus pour Tequilibre des forcesnbsp;comprises dans Ie plan des x et j; en sorte que;nbsp;dans ce cas, il n y aura plus quune seule equationnbsp;déquilibre, qui sera L = o , cest-a-dire ,

P(a:cos^cos ct)-p P'(a:'cos f _/'cosct') etc. = o. (5) jVIais si Ie corps avait la liberté de glisser Ie longnbsp;de laxe fixe, il faudrait en outre, pour empêchernbsp;ce mouvement, que la somme Z des forces parallèles a Oz fut égale a zéro; et il y aurait alors lesnbsp;deux équations déquilibre

La pression que laxe fixe éprouvera perpendicu-lairement a sa direction sera la résultante des forces comprises dans Ie plan des x et jquot;, déterminée, ennbsp;grandeur et en direction, par les deux premièresnbsp;équations (2), et passant par Ie point O, en vertnnbsp;lt;le léquation (5). Les forces parallèles a eet axenbsp;tendront en même temps a Ie faire tourner sur luiquot;nbsp;même.

En comparant les quantités M et N a L, on con-dut de leur composition que léquation déquilibre autour de laxe Oy sera M = o, et quelle seranbsp;N = o autour de laxe Ox. II en résulte aussi qnenbsp;la condition déquilibre autour dun point fixe con-

Siste en ce que TequiHbre ait lieu successivemcnt autour de trois axes fixes et rectaugulaires, mene'snbsp;arbitral rem ent par ce point. Par consequent, si 1e'-quiiibre existe autour de trois axes rectangulairesnbsp;qui se coupent en un mème point, il aura aussinbsp;lieu autour de toute autre droite passant par cenbsp;point.

5°. Je suppose que t.rois ou un plus grand nombrc de points non en ligne droite, appartenant au corpsnbsp;solide, soient assujettis a demeurer sur un plan fixenbsp;dont la position est donnée; et je prends ce plan pournbsp;celui des jc et j'. Les forces parallèles a laxe des znbsp;ne pouvant produire aucun mouvement, les equations relatives a leur équilibre nauront pas lieu ;nbsp;mais les trois equations

qui répondent aux forces comprises dans Ie plan des ur et , seront necessaires pour empêcher Ie coips denbsp;glisser ou de tourner parallèlement a ce plan fixe.

La force Z exprimera la pression totale que Ie plan fixe éprouvera. Si Ie corps est seulement posé sur cenbsp;plan, de sorte quil sagisse, par exemple, dun po-lyèdre dont une face soit en contact avec Ie plan desnbsp;X et jr, il faudra que Ie signe de Z soit tel, que cettenbsp;foice appuie Ie corps contre ce plan. II faudra, ennbsp;outre, que cette résultante des forces parallèles anbsp;laxe des z vienne percer Ie plan des ar et jr dans 1é-tendue de la base du corps, sans quoi elle Ie dëta-cherait de ce plan, en Ie faisant tommer autour denbsp;1un des cólés de cette base. Or, si lon appelle x, et

j't les coordonnées du point oü cette résultante rencontre Ie plan des jc et j-, ses momens par rapport aux plans des uC et z et des j- et z seront Zj', et Zjc, ;nbsp;ils devront être égaux aux sommes des momens desnbsp;composantes par rapport aux mêmes plans; et, da-près les valeurs de ces deux sommes quon a trouvéesnbsp;précédemment (nquot; 260), on aura

Zx. = M, Zjr, = N.

11 faudra done verifier, dans chaque cas particulier, que les valeurs de x, et jr,, tirées de ces equations,nbsp;appartiennent a un point de la base du corps; condition déquilibre qui ne peut étre exprimée par desnbsp;equations, non plus que celle qui est relative au signenbsp;de Z.

4°. Si les points du corps assujettis a rester sur Ie plan fixe des a: et j- sont seulement au nombre denbsp;deux, OU bien sils sont tous situés sur une mêmenbsp;dxoite, on prendra cette ligne pour laxe des jquot;; la ré-*nbsp;sultante Z devra alors rencontrer Ie plan des n? et nbsp;en un point de eet axe ; et, indépendamment deSnbsp;tiois équations du cas précédent, on aura cette qua-tiième équalion déquilibre M = o.

5°. Enfin, lorsque Ie corps solide ne touchera Ie plan fixe des jc et j- quen un seul point, oü lon pla*nbsp;cera lorigine O des coordonnées, on verra, sans difquot;nbsp;ficulté, que les équations déquilibre seront au noiW'nbsp;bre de cinq, savoir :

X = o, Y = o, L = o, M = o, N = o,

Ce résultat coincide avec celui du numéro précédent; car si Ion suppose Ie corps A' fixe et ter-miné par un plan, que lon prenne ce plan pour celui des x et jr, et Ie point K (fig. 62) pour origine des coordonnées, on devra faire, dans les équa-tions de ce numéro, a?. = o, jr, = o, z, = o,nbsp;ö = 90, h ¦= go; ce qui réduira aux cinq equations précédentes, un pared nombre des six équationsnbsp;relatives a léquilibre du corps A. lia sixième de ceamp;nbsp;équations deviendra, en même temps,

en supposant quon ait c o , ou que la partie KH de la normale soit laxe des z positives; par conséquent, la pression exercée sur A', qui est égalenbsp;et contraire a la resistance R, sera la force Z en.nbsp;grandeur et en direction.

On peut remarquer, daprès cette énuméralion des fiiiïérens cas déqullibre, que les nombres déqua-tions relatives a un corps solide gêné par des obstacles fixes peuvent étre tons ceux qui sont inférieurs au nombre six , correspondant a un corpsnbsp;entièrement libre.

267. Léquation (5) relative a léquilibre autour de 1 axe des z supposé fixe , ne contient ni lesnbsp;composantes parallèles a eet axe, des forces don-nées P, P', Pquot;, etc., ni les coordonnées parallèlesnbsp;J'n même axe, de leurs points dapplication M,nbsp;Mquot;, etc.; en sorte que lequilibre ne serait pas

trouble, si Ton remplacait ces forces et leurs points dapplication par leurs projections sur Ie plan desnbsp;X et jr; ce quon démontrerait dailleurs facilementnbsp;a priori.

Soient done Q, Q', Qquot;, etc., les forces P , P^ Pquot;, etc., projetées sur Ie plan des x et j-, cest-a-dire, décomposées parallèlement a ce plan et trans-portées aux projections des points M, M', Mquot;, etc.,nbsp;sur ce même plan. Dësignons par q, q', qquot;^ etc.,nbsp;les perpendiculaires abaissées de lorigine des coor-données, süpposée fixe, sur les directions des forcesnbsp;Q, Q', Qquot;, etc.; et, pour fixer les idees, supposonsnbsp;que Q, Q', Qquot;, tendent a faire tourner, dans Ie mêmenbsp;sens, autour de cette origine, et que Qquot;', Q'% etc. ,nbsp;tendent a faire tourner dans Ie sens oppose. Pournbsp;léquilibre de toutes ces forces, 11 faudra, daprès Ienbsp;n° 4??nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ait

en considérant q, q', qquot;, q'quot;, etc., comme des quan-tite's positives, aussi bien que Q, Q', Qquot;, Q'quot;, etc. ; par consequent, cette equation devra coïncider avecnbsp;léquation (5) ; ce quon yérifie, en effet, de la ma-nière suivante.

Soient H (fig. 63) la projection du point M, OG et HG ses coordonnées x et jr, HA. la direction de 1»nbsp;force Q, A et les angles que fait cette droite avecnbsp;des parallèles aux axes Ox et 0/, menées par Ienbsp;point H. Par Ie point 0, menons deux autres axesnbsp;0.r, et Ojquot;,, Ie premier suivant la direction HA, etnbsp;Ie second perpendiculaire a cette droite et tel que

Tangle J'Oj-, soit aigu ou obtus en même temps que xOjc, ; appelons x, et j, les coordonnées OF etnbsp;FH du point H, rapportées a ces nouveaux axes; nousnbsp;aurons, com me on sait,

Or, la perpendiculaire OK ou q, abaissée du point 0 sur HA, devant être une quantité positive, on aura

selon que Tordonnée jTi sera positive Ou negative, OU, ce qui est la même chose, daprès Ie sens quounbsp;a suppose a laxe Oj,, selon que la force Q tendra anbsp;faire tourner, dans un sens ou dans Ie sens oppose,nbsp;autour du point 0. On a dailleurs

Les forces Q' el Qquot; tendant, par hjpothèse, a faire tourner dans Ie même sens que Q, on aura de même

et les autres forces Qquot;', Qquot;, etc., tendant a faire tour-oer en sens oppose, on aura, au contraire,

On prendra done, en même temps, les signes supérieurs OU les signes inférieurs dans toutes ces valeurs; et en les substituant dans léquation (6), elle devien-dra léquation (5); ce quil sagissait de vérifier.

268. Le corps en équilibre étant toujours soumis a la pesanteur, il faudra comprendre parmi les forcesnbsp;données P, P', P''', etc., son poids applique suivantnbsp;la verticale a son centre de gravité. Supposons, parnbsp;exemple, quil sagisse dun corps pesant posé sur unnbsp;plan incline et soutenu par une seule force. La figure 64 représente une section du corps passant parnbsp;le centre de gravité G, et perpendiculaire au plan inclinequot; ; la longueur de ce plan est AB, sa base BC, etnbsp;sa hauteur AC. On place lorigine 0 des coordonnéesnbsp;sur la verticale GH passant par le centre de gravité gt;nbsp;et lon prend les axes Oz et On? perpendiculaire etnbsp;parallèle a AB : le troisième axe Oj, qui nest pasnbsp;représenté, serait perpendiculaire au plan de la fiquot;nbsp;gure. La force P sera le poids du corps, la verticalenbsp;GH sa direction, et HOa? langle a. On aura, en outre, x~o , j- = o, = 90°. En prenant done Pnbsp;pour la force donnée qui soutient le corps pesant, lesnbsp;équations déquilibre du troisième cas du n 266 s®nbsp;réduiront a

y = o; ce qui moatre dabord que la force P' devra ètre comprise dans Ie plan des a? et z; et, en effet,nbsp;cela est évidemment nécessaire pour que celte forcenbsp;et Ie poids du corps aient une résultante unique,nbsp;perpendiculaire au plan incliné. Je supposerai que 0nbsp;soit Ie point oü la direction de P' rencontre la verticale GH, et je représenterai par OD celte direction.nbsp;Langle a' ou DOx devra être obtus pour satisfaire anbsp;la première des trois équations précédentes; jappel-lerai lt;' Tangle aigu DOx' que fait Ia force P' avec Ienbsp;prolongement de Oa?, de sorte quon ait

Langle a. ou HOa: est Ie complément de Tinclinaison ABC du plan; en désignant la hauteur AC par h, etnbsp;la longueur AB par l, on aura done

equation déqullibre qui fera connaitre Tune des deux quantités P' et S', quand Tautre sera donnée.

Lorsque, par exemple, la force P' sera parallèle au plan incliné, on aura S = o, ct, conséquem-raent,

en appelant i linclinaison du plan. Si I on appelle Q la pression que Ie plan éprouvera, et qui sera, dansnbsp;ce cas, la composante du poids P suivant la perpendiculaire Oz , on aura, en mêine temps,

269. On fait ici abstraction du frottement qui sa-joute a la force P' parallèle au plan incline, pour em-pêcher Ie corps de glisser Ie long de ce plan. Si cette force P'est nulle, Ie frottement seul peut retenir Ienbsp;corps tant que linclinaison i na pas atteint une cer-taine limite. En de'signant par A cette limite, cest-a-dire, Tangle i qui a lieu lorsque Tequilibre va com-mencer a se rompre, et supposant qua eet instant Ienbsp;frottement est une fraction f de la pression, il faudranbsp;que la force /Q fasse exactement équilibre a la cora-posante P sin A du poids du corps, parallèle au plannbsp;incline. Par conséquent, on aura, a la fois,

ce qui fera connaitre la valeiir de f, daprès Tobser-vation de Tangle A, sous lequel Ie mouvement commence , et quon appelle Vangle du frottement.

Toutes eboses dailleurs égales, Texpérience prouve qfra Tinstant qui précède la rupture de Tequilibre, Ienbsp;frottement est proportionnel a la pression; en sortenbsp;que Ie coefficient f et Tangle A sont indépendans denbsp;la pression Q , et par suite du poids P. Ce coefficientnbsp;varie avec la nature du corps et Ie poli des sur-

faces: on a aussi remarqué quil natteint Ie maocirnum de sa valeur quaprès que Ie contact du corps et dunbsp;plan a eu lieu pendant un certain temps, différentnbsp;pour les corps de nature diverse; et ce nest quanbsp;partir de ce maximum que Ie frottement est propor-tionnel a la pression.

En admettant cette loi expérimentale, il en ré-sulte que si plusieurs corps de méme nature, et dont les surfaces ont Ie même poli, sont places sur un plannbsp;horizontal, et quaprès un certain temps on inclinenbsp;ce plan graduellement, tous ces corps commencerontnbsp;a glisser sous un même angle A, quels que soient leursnbsp;poids et Ietendue de leurs surfaces en contact avec lenbsp;plan.

270. Lorsquun corps est posé sur un plan horizontal, la pression exercee par son poids P se distii-hue entre les points dappui de ce plan; mais quand leur nonibre surpasse trois, cette distribution semblenbsp;dabord indéterminée; ce qui presenterait une diffi-culte que nous allons examiner.

Pour fixer les idees, supposons que ce plan horizontal soit la surface dune table dont les pieds sont Verticaux. Dans ce plan, menons deux axes rectan-gulaires O2? et Oj- (fig. 65). Soient C la projection dunbsp;centre de gravité du corps sur ce plan, et A, A',nbsp;Aquot;, etc., les points de ce même plan qui repondentnbsp;aux pieds de la table. Designons par x,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;x et j-,

x' et j', xquot; ety', etc., les coordonnees de ces points C, A , A', Aquot;, etc., rapportees aux axes Ox et Oj-.nbsp;Pour que la table ne soit pas renversee, il faudra quenbsp;le point C soit situé dans lintérieur du poljgone

AA'Aquot;A'quot;etc. Cette condition etant reinpiie, Ie poids P applique au point C se décomposera en forcesnbsp;parallèles, dirigées dans Ie sens de la pesanteur, etnbsp;passant par les points dappui A, A', Aquot;, etc., les-quelles forces seront les charges que les pieds de lanbsp;table auront a supporter. Soient Q, Q', Qquot;, etc., cesnbsp;charges inconnues; daprès la théorie des forces pa-rallèles, nous aurons

Or, sil nexiste que trois points dappui A, A', A'V ces trois equations sufiiront pour determiner lesnbsp;charges Q, Q', Qquot;- mais sil y en a trois ou un plusnbsp;grand nombre, Ie problème sera indéterminé, et lonnbsp;pourra prendre a volonté les valeurs de toutes lesnbsp;inconnues, moins trois, pourvu qiiil nen résulte,nbsp;pour ces trois inconnues, que des valeurs positives.

Cette indetermination aurait lieu, en effet, si la table était rigoureusement inflexible; mais cela nar-rive jamais; et, quelque peu flexible quon la suppose, elle se déformera un tant soit peu et se com-priraera inégalement dans ses differentes parties. Or,nbsp;la figure quelle prendra et la quantité dont elle seranbsp;comprimée en chaque point dépendront non-seule-ment du poids P, mais aussi du nombre et de la disposition des points dappui A, A', Aquot;, etc.; et lunenbsp;et 1autre, ainsi que la pression qui aura lieu en cha-cun de ces points, seront complèternent déterminéesnbsp;dans chaque cas particulier. Toutefois, cette déter-

mination est un problème trés difficile, dont Ia solution générale na pas encore été donnée, et qui ap-partient a la Plijsique mathématique. Nous nous bornerons ici a remarquer que tout est nécessaire-iiient déterminé dans la nature, et que quand quel-que chose nous semble indéterminé, cest que nousnbsp;avons fait abstraction de quelque donnée du pro-blèrae, cest-a-dire, de quelque propriété de la ma-tière, comme Ie degré de flexibilité de la table, dansnbsp;la question présente.

\'\AfVV^'VV%/VVVVVgt;/VV\iVVX'VVVVVgt;(VVVV\A(VV\lt;VVVVVVVVgt;iVV\A/VNiVV*'VVVVVVVV\'VVVVVgt;'V\'\V\^'VV''V'V\'VV''V\'gt; VA''*'quot;''

CHAPITRE n.

271. Les momens que nous allons considérer daiiS ce chapitre sont ceux dont il a été question dansnbsp;n° 42- Ainsi, Ie moment dune force P est ]e pro-duit de cette force et de la perpendiculaire pnbsp;abaissée du centre des momens sur sa direction. Sinbsp;done ce centre est C ( fig. 66) , et que la force P sodnbsp;représentée par la droite MA prise sur sa diiection gt;nbsp;son moment aura pour expression Ie double dunbsp;triangle CAM qui a pour base cette force et son soni'nbsp;met au point C. Dapres cela, le théorème du n° 4^'nbsp;relatif au moment de la resultanle de deux forces gt;nbsp;nest plus quune proposition de Ge'ometrie facil®nbsp;a demontier.

En efFet, soieut MA et MB les deux composantes; la diagonale MD du parallel ogramme MADB sei^inbsp;leur résultante; et le point C étant en dehors denbsp;1angle AMB et de son oppose au sommet, il sagii'*^nbsp;de prouver que le triangle CMD est la somme de^nbsp;triangles CMA et CMB. Or, on a dabord

en abaissant du point C une perpendiculaire CE sur la droite MB, qul rencontre en F sa parallele AD, ounbsp;aura

Diais Ie produit MB.EF est la surface du parallélo-gi'amme MADB, ou Ie double du triangle MAD; on ^ura done

La figure suppose que la droite EF soit la diffé-ence des perpendiculaires CE et CF; elle pourrait ®ti'e leur somme, et lon modifierait sans difficulténbsp;demonstration précédente pour lappliquer a eetnbsp;^utre cas. On prouvera aussi, de la même manière,nbsp;^le Ie triangle CMD est Ia difference des trianglesnbsp;A et CMB, quand Ie point C est placé dans langlenbsp;^MB OU dans son oppose' au sommet.

372. Par Ie centre des momens (fig. 67), menons plan quelconque; projetons sur ce plan la droitenbsp;qui représente la force P en grandeur et en direction; soit Q la force représentée de même par la pio-jection A'B' de AB; Ie moment de la force P sera Ienbsp;double du triangle CAB, et celui de la force Q Ienbsp;double du triangle CA'B'; par conséquent, Ie centrenbsp;^es momens restant Ie même, Ie moment de la projection dune force sur un plan passant par ce point.

Si lou appelle H Ie moment de la force P, et K celui de sa projection Q; que I on élève sur les plans de ces deux momens des perpendiculaires CD et CE, etnbsp;quon appelle cl' Tangle DCE, eet angle sera aussi Tin-clinaison de H sur K, et Ton aura ( nquot; lO )

Pour une mème force P, Tangle cT et Ie moment H changeront avec la position du point C sur la droite CE;nbsp;mais cette droite restant la mème, Ie produit H cos cTnbsp;ne variera pas; car K ou Ie triangle CA'B' ne feranbsp;que se déplacer parallèlement a lui-mème, sanSnbsp;changer de grandeur.

273. Au lieu dune seule force, conside'rons u» système de forces quelconques P, P', P'^, etc. Soieotnbsp;H,H', Hquot;, etc., leurs momens par rapport au point Cnbsp;(fig. 68). Désignons par cT, eT', J'quot;, etc., les anglesnbsp;que les perpendiculaires CD, CD', CDquot;, etc., au^nbsp;plans de ces momens, font avec un mème axe CE;nbsp;par Q, Q', Qquot;, etc., les projections de P, P', Pquot;, etc.;nbsp;sur Ie plan mené par Ie point C et perpendiculaire ^nbsp;eet axe; et par K, K', Kquot;, etc., les piojections de H;nbsp;H', Hquot;, etc., sur ce mème plan. Nous aurons

Si Ton voulait seulement connaitre les aires dc* projections daprès celles des surfaces projetëes,nbsp;faudrait coiisidërer les inclinaisons cf, cP', cfquot;, etc.;nbsp;comme des angles aigus; mais dans les usages que

*iOus ferons des projections des momens, nous regar-^erons ces angles comme aigus ou obtus, ou, autre-Dient dit, nous prendrons pour les droites CD, CD', CDquot;, etc. , les parties des perpendiculaires aux plansnbsp;des momens H, H', Hquot;, etc., qui font des angles aigusnbsp;Ou obtus avec laxe CE, selon que les projections Q,nbsp;Q', Qquot;, etc. , des forces P, P', P*, etc., tendront anbsp;faire tourner autour du point C, dans un sens con-'''enu, ou dans Ie sens oppose. Ainsi, dans la figure,nbsp;les angles DCE, D'CE, Dquot;CE, étant aigus, et les anglesnbsp;Ö'quot;CE, Dquot;'CE , etc., étant obtus, cela suppose que lesnbsp;forces Q, Q', tendent a faire tourner dans unnbsp;Uiêrae sens, et les forces Qquot;', Qquot;', etc., dans Ie sensnbsp;oppose. Les droites CDquot; et CDquot;' étant Ie prolonge-Oaent Tune de 1autre, cela signifie que les forces Pquot;nbsp;ot P'quot; sont comprises dans un mème plan passant parnbsp;lo point C, mais quelles tendent, alnsi que leursnbsp;projections Qquot; et Q'quot;, a faire tourner en des sens op-Posés.

En appelant S la somme des valeurs positives ou 'R%atives de K, K', Kquot;, etc., nous aurons

abstraction faite du signe, S sera la somme des mo-*Oens des forces Q, Q', Qquot;, etc., qui tendent a faire lourner dans un sens , moins la somme des momensnbsp;de celles qui tendent a faire tourner dans Ie sensnbsp;opposé; daprès Ie théorème du n° 47 gt; 1^ quantiténbsp;=t: S exprimera done Ie moment de leur résultantenbsp;^ui tendra a faire tourner dans Ie sens des forces quinbsp;répondent aux angles aigus «T, cf', cTquot;, ou aux angles

Si Fon change a la fois toutes les droites CD, CD', CDquot;, etc., dans leurs prolongemens, les anglesnbsp;S', «Tquot;, etc., se changeront dans leurs supplémens,nbsp;et S deviendra S. II en sera de même lorsquonnbsp;remplacera 1axe CE par son prolongement CE'.

La somme S, comma chacune de ses parties, sera inde'pendante de la position du point C sur 1axe CE;nbsp;elle ne dependra que du sjstème des forces P, P',nbsp;Pquot;, etc., de la position de eet axe et de sa directionnbsp;perpendiculaire au plan de projection. Dorénavantnbsp;nous appellerons cette quantité S Ie moment desnbsp;forces P, P', P', etc., par rapport a Faxe CE.

2'74- Dapi'ès cette definition, les trois quantités L, M, N, du n 261 , seront les momens des forces Pgt;nbsp;P', Pquot;, etc., par rapport aux axes des coordonnéesnbsp;positives de leurs points dapplication.

Pour Ie faire voir, soit Q la projection de la force P sur Ie plan des x etj, et q la perpendiculaire abais^nbsp;sée de Forigine des coordonnées sur sa direction, denbsp;sorte que son moment par rapport a ce point ait Qlt;?nbsp;pour valeur. Supposons que la force Q agisse de Anbsp;vers B ( lig. 69), et que AC et AD soient les coor-donnees x et jy de son point dapplication A, rappor-tees aux axes rectangulaires Ox et Oj. Soient aus.si ^nbsp;et fjt. les angles BAC' et BAD' que fait la force Q avecnbsp;les prolongemens de x et jr; les composautes dirigéesnbsp;suivant AC' et AD' seront Q cos X et Q cos jx, et leuiSnbsp;momens par rapport au point O, j-Q cos A et xQ cos/*;nbsp;daprès la figure, elle tendrout a faire tourner en sens

contraire Tune de lautre, et la force Q, dans Ie sens de Q cos [Jt,; on aura done

En examinant les differentes positions que peut avoir Ie point A, et les diverses directions quon peutnbsp;supposer a la force Q, il est aisé de voir que cettenbsp;equation subsistera quels que soient les signes de x,nbsp;j, cos A, cos , pourvu que la force Q, transportéenbsp;au point E ou F, oü sa direction rencontre laxe des xnbsp;Ou des j', tende a faire tourner laxe Ojc des x positives, dans Tangle des n? et jr positives, et, consé-quemment, Taxe 0/ des jr positives, en dehors de eetnbsp;angle, comme cela est indiqué par les flèches ^ et /,nbsp;Si Ie contraire avait lieu, cest-a-dire, si la force Q,nbsp;ainsi transportée , tendait a faire tourner Taxe desnbsp;positives, dans Tangle des jc et j- positives, et, parnbsp;conséquent, Taxe des a? positives, en dehors de eetnbsp;angle, on aurait

II suit de la que si S est Ie moment des forces P, P', Pquot;, etc., par iapport a Taxe des 2 positives, et que Tonnbsp;regarde les angles cT, cP', «Tquot;, etc., du numéro précédent, comme aigus ou obtus, selon que les projectionsnbsp;Qgt; Q j etc., de ces forces tendent a faire tournernbsp;Taxe des a: positives, dans Tangle des coordonnées jcnbsp;et jquot; positives, ou en dehors de eet angle, on aura

34..

les angles que font les directions des forces P, P', Pquot;, etc., avec des parallèles aux axes des x, j, znbsp;on aura

Q = Psiny, Q'=^P'siny', Qquot; = Pquot;sinyquot;, etc., cosa =r silly cos A, cos £«'= sin y'cosA', cosa.quot;=sinyquot;cosAquot;, etc.,nbsp;cosS=slnycoS|K, cos^=siiiy'cos/«', cosoquot;=sinyquot;coS|«quot;, etc.;

et daprès ces valeurs, celle de S coïncidera avec la quantité L du n° 261. Ainsi L est Ie momentdes forcesnbsp;P, P', P', etc., par rapport a laxe des z positives; etnbsp;selon qüil est positif ou riégatif, ce système de forcesnbsp;tend a faire tourner Ie plan des x etz positives autournbsp;de eet axe, dans langle trièdre des coordonnées positives, OU en dehors de eet angle.

Maintenant, si Ton substitue respectivement les axes desz, x,j, positives, a ceux des x,j, z, positives, L se changera dans M; il sensuit done que Mnbsp;est Ie moment des forces P, P', Pquot;, etc., par rapport anbsp;Faxe desjquot; positives, et que, selon quil sera positif ounbsp;ne'gatif, ce système de forces tendra a faire tourner Ienbsp;plan des z et j' positives autour de eet axe, dans Tangle trièdre des coordonnées positives, ou en dehors denbsp;eet angle. Cela fait, si Ton remplace de même les axesnbsp;des z, X, j, positives, par ceux desj', z, x, positives,nbsp;Mse changera en N; par conséquent, N sera Ie momentnbsp;des forces P, P', P^', etc., par rapport a laxe des xnbsp;positives; et suivant quil sera po.sitif ou ne'gatif, ce

système de forces tendra a faire tourner Ie plan des^ et X positives autour de eet axe, dans Tangle desnbsp;coordonnées positives, ou en dehors de eet anglenbsp;trièdre.

Les tiois quantités L, M, N, sontdonc, comme on Ta dit, les raomens dun niême sjstème de forcenbsp;par rapport aux trois axes des coordonne'es positivesnbsp;de leurs points dapplication; et les signes de leurs va-leurs, telles quelles sont écrites dans Ie nquot; 261, ré-pondent a un sens de rotation connu, autour denbsp;chaque axe suppose fixe.

En appelant H Ie moment de P par rapport a Torigine des coordonnées, et S' Tangle compris entre une par-»nbsp;tie de la perpendiculaire au plan de ce moment etnbsp;Taxe des z positives, on aura done ( n® 272 )

Ce qui suppose que cette partie de la perpendiculaire au plan de H, soit celle qui fait un angleaigu ou obtusnbsp;avec Taxe des z positives, selon que la quantité comprise entre les parentheses est positive ou négative.

Soient cT, et S^ les angles que fait la même partie de cette perpendiculaire avec les axes desjquot; et des xnbsp;positives; on aura de même

H Pp,

pour determiner sans ambiguité les trois angles , cT,, d\. Langle cT sera aigu ou obtus, comme on Panbsp;suppose, selon Ie signe de a? cos ë / cos a, et lesnbsp;angles cT, et cT,, selon les signes de z cos a x cos ynbsp;et j cos y z cos ë.

On vérifiera aisément ces formules. En eflèt, re-présentons léquation du plan qui comprend lorigine des coordonnées et la force P, par

u, V, w, étant les coordonnées courantes. Les coor-données du point dapplication de cette force étant Xy j, z, il faudra quon ait

de plus les equations dune droite menée par lori-gine des coordonnées et parallèle a cette force, seront

et comme cette parallèle est aussi compi'ise dans Ie plan que Ton considère, il en rèsultera cette secondenbsp;equation de condition :

Or, daprès les formules connues ( n® 17 ), les cosinus des angles cT, cTj, que fait la normale a ce plan avec les axes des u, e, w, qui sont aussi ceuxnbsp;des^, gt; auront pour valeurs les formules quilnbsp;sagissait de verifier.

En vertu de Féquation ¥L=:Tp, la quantité p est la perpendiculaire abaissée de rorigine des coordon-»nbsp;nées sur la direction de la force P. Cest aussi ce quinbsp;se vèrifieia sans difficulté, en prenant Ie pied de cettenbsp;perpendiculaire pour Ie point dapplication de P; car,nbsp;si lon appelle r Ie rayon vecteur de ce point, qui seranbsp;alors cette perpendiculaire, et A , /a, r, les angles que

et en substituant ces valeurs dans celle de p^, et ayant égard aux equations ( n° 6 et 9 )

cos o£. cos C cos'* y = I , cos'* A -j- cos'jt* -j- cos'* V = 1 ,nbsp;cos a. cos A cos C cos fX cos y cos V == o,

276. Les momens dun même système de forces par rapport a différens axes, jouissent de propriétésnbsp;remarquables qui sont une consequence immediatenbsp;de celles des projections des surfaces planes sur diffé-rens plans, que nous allons maintenant exposer.

Soient Ox, O7, Oz, trois axes rectangulaires qui se coupent en un point O ( fig. 70 ). Menons par cenbsp;point trois autres axes Ox', Oy', Oz', aussi rectangulaires. Pour determiner les directions de ces nouveauxnbsp;axes par rapport aux premiers, faisons

xOx' nbsp;nbsp;nbsp;a.,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j'Ox'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= ë ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zOx' =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y ,

xoy = nbsp;nbsp;nbsp;joynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= ê',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zoy =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y,

xOz' = nbsp;nbsp;nbsp;aquot;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jrOz'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=r Qquot;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;zOz' =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y-

et considérons a, ë, y, etc., comme étant neuf angles donnés, aigus ou obtus. Leuis cosinus seront liésnbsp;entre eux par six equations. En considérant successi-yenient les trois droites Ox', Oj-', Oz', on aura dabord

cos a -j- cos ^ nbsp;nbsp;nbsp;-1- cos* ynbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i ,

cos at cos at! cos ë cos ë' cos y cos y' z= o, ) cos a cos cos ë cos ê'H- cos y cos yquot; o , \ (2)nbsp;cos at! cos at!'cos ë'cos ëquot; cos y' cos yquot; z= o. )

Les neuf angles a, a!, atquot;, etc. , de'termineront ré-ciproquement les directions des premiers axes Ox, Oj, Oz, par rapport aux seconds Ox', Oj', Oz'. Denbsp;cette maniere on aura dabord

cos* OL cos* a! nbsp;nbsp;nbsp; aquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;==nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)

cos* ë cos* ë' nbsp;nbsp;nbsp; cos* ëquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(3)

cos* y cos* y' nbsp;nbsp;nbsp;-}- cos* yquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

cos a cos ë cos a' cos ë' cos at!' cos ëquot; = 0 cos CL COS y cos at! cos y' cos aquot; cos yquot; = 0nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(4)

equations qui seront equivalentes aux six précédentes, et pourront leur être substituées.

Soit a laire dune surface plane terminée par un contour quelconque, et située dans un plan passantnbsp;par Ie point 0; par ce point, élevons sur ce plannbsp;une perpendiculaire OD, et faisons

rectlon de OD et celie du plan de a ; sils se changent tous les trois dans leurs supplémens, la droite ODnbsp;se changera dans son prolongement, et Ie plan de cinbsp;restera Ie méme.

Appelons aussip, p', p', les projections de a sur les plans pOz, JcOz, xOp, nous aurons ( n° lo )

p a cos q, p' z= Cl cos q', pquot; z= a cos

Solt y enfin, b la projection de a sur un quatrièine plan, qui sera, si Ton veut, Ie plan j-'Oz', et c Tanglenbsp;x'OD; on aura aussi

et, daprès la formule (2) du n° c), cos c cos q cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos cq' cos Q cos qquot; cos y ; (5)

equation qui fera connaitre la projection dune aire a sur un plan quelconque, lorsque Ton connaitra sesnbsp;projections sur trois plans rectatigidaires.

Comme Tequatlon (5) na lieu quen tenant compte des signes des cosinus quelle renferme, il sensuitnbsp;quil faut de mème avoir egard , dans Tequation (6),nbsp;aux signes des projections p, p', p, et les considérernbsp;comme des quantite's positives ou negatives, selon quenbsp;la perpendiculaire OD au plan de a fait des anglesnbsp;aigus OU obtus avecles axes Ox, Ojr, Oz.

277. Cela posé, considérons de méme un nombre quelconque daires planes a, a', d', etc., sltuées dansnbsp;des plans différens; projetous toutes ces aires sur les

trois plans xOj, xOz,jOz, et ajoutons ensemble les projections faites sur un même plan, en ayant égard anbsp;leurs signes, ainsl quil vient detre dit. Soient A, A',nbsp;Aquot;, les trois sommes quon obtiendra de cette nia-öière; soit aussi B la somme des projections de a, o!,nbsp;oquot;, etc., sur Ie plan y'Oz'; en formant pour chacunenbsp;de ces aires, une equation semblable a léquation (6),nbsp;et ajoutant ensuite toutes ces equations, on aura

Représentons encore par B' la somme des projections de a, a!, aquot;, etc., sur Ie plan x'Oz'. II est évident que la valeur de B' se déduira de celle de B, par la substitution de laxe Oj' perpendiculaire a cenbsp;plan, a laxe Ox' perpendiculaire au plan j'Oz', cest-a dire, en mettant dans la formule précédente a', C,nbsp;y', au lieu de a,C,y, ce qui donne

Si lon représente de méme par Bquot; la somme des projections de a, a!, d', etc., sur Ie plan x'Oy', sanbsp;Valeur se déduira de celle de B, en y substituant d',nbsp;Squot;, yquot;, au lieu de a, ë, y, dou il résultera

Bquot; = A cos d' B cos êquot; -{- C cos

De ces valeurs de B, B', B'', et en ayant égard aux equations (5) et (4), on tire réciproquement

A = B cos a -f- B' cos d -f- Bquot; cos d', ) ^'=BcosS-i-¦B'cosS' Bquot;cosC'', [nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(7)

Ces diffërentes equations nous montrent que les projections des surfaces planes sur difFérens plans,nbsp;suivent les mémes lois que celles des lignes dröitesnbsp;sur des droites diffërentes.

378. En faisant la somme des carrés des valeuiS d.e B, B', Bquot;, il vient, daprès les equations (5) et (4) gt;

ce qui fait voir que la somme des carrés de ces trois quantités B, B', B', ne varie pas avec la directionnbsp;des trois plans rectangulaires de projection auxquelsnbsp;elles se rapportent. Dans Ie cas particulier oü toutesnbsp;les aires a, d, aquot;, etc., .sont dans un même plan,nbsp;cette somme nest autre chose que Ie carré de lairenbsp;totale a H- d aquot; etc.; et si lon prend ce plannbsp;pour celui des axes Oj' et Oz, par exemple, onnbsp;aura évidemment

Cherchons actuellement ce que la méme somme représente dans Ie cas général ou les aires a, dynbsp;ay etc., sont situées dans des plans quelconques.

la somme B, qui varie en passant dun plan de projection a un autie, est done la plus grande possible, quand on a B^ = o et B*^ z= o; et alors elle est égale 3nbsp;y/A* -1- A' Aquot;®. Ainsi , la quantité constantenbsp;dont il sagit représente, dans Ie cas général, la plus

grande somme des projections sur un même plan, des aires planes que I on considère dans lespace.

ayg. Le plan^'^Oz' qui répond acette plus grande projection, jouit de propriéte's imporlantes en mé-ranique, que nous ferons connaitre dans la suite denbsp;Ce traité. Sa position est facile a determiner, daprèsnbsp;^es equations B' = o et Bquot; = o, qui le caracté-Hsent.

En effet, les equations (7) se réduisent alors a A == B cos a , A' = B cos C, Aquot; = B cos y ;nbsp;doü Ton tire

cos

t^Ors done que lon connaitra les sommes A, A', Aquot;, ^^cs projections sur trois plans rectangulaires j-Oor,nbsp;xOjquot;, choisis arbitrairement, on pourra immé-'^iatement determiner la direction du plan j'Oz' de lanbsp;plus grande projection, au mojen des trois angles et,nbsp;^ gt; y, qui se rapportent a la droite Ojc' perpendiculaire a ce plan. Quant a sa position absolue dans les-pace , il est évident quelle est indéterminée ; car lesnbsp;Projections de chacune des aires a, a!, aquot;, etc., et,nbsp;par conséquent, la somme de ces projections, sont lesnbsp;Riêmes sur tous les plans parallèles.

aquot;, etc., est egale sur tous les plans également inclines sur celui de la plus grande projection.

Pour Ie demontrer, prenons Ie plan perpendiculaire a la droite OD; désignons par C la somme des projections de a, a', a, etc., sur ce plan; soient tou-jours q, q', q, les angles que cette droite OD fai*nbsp;avec les axes Oa?, O7, Oz, et c Tangle oc'OJ) qui mesure Tineiinaison de ce plan sur celui de la plus grandenbsp;projection. On aura, daprès ce quon vient de trou-ver ( n 277 ),

En substituant B cos a, B cos ^, B cos y, h la place de A, A', Aquot;, on aura done

OU bien, en vertu de la formule (5), C = B cos c t et, en mettant pour B sa valeur.

par conséquent, la valeur de C est la même pour touS les plans qui font Ie même angle c avec Ie plan j'O^nbsp;de la plus grande projection.

Cette valeur diminue a mesure que Tangle c ap-pioche de 90°; elle est nulle pour tous les plans pei-pendiculaires a j'Oz'.

281. Poiii' appliquer maintenant a la théorie deS momens ces propositions relatives aux projectionsnbsp;des surfaces planes, il suffit de supposer que les airesnbsp;a, a', aquot;, etc., sont les doubles des triangles qui ontnbsp;pour sommet commun le point 0, et pour bases les

droites qui représentent, en grandeur et en direction, les forces P, P^ P^ etc., que lon a considérées Précédemment. Leurs momens L, M, N, par rapportnbsp;aux axes Oz, Oy, Ox, des coordonnées positives denbsp;icurs points dapplicatlon ( n 274 ) seront alors lesnbsp;Sommes des projections de a, d, aquot;, etc., sur les plansnbsp;, xOz, /Oz; et voici les consequences qui résul-tent des propositions quon vlent de démontrer :

I®. En appelant E ie moment des forces P, P', ï*quot;, etc., par rapport a un axe passant par Ie point O,nbsp;*lui fait avec les axes Ox, O/, Oz, des angles e, e', è ,nbsp;^igus OU obtus , on aura

2quot;. Parmi toutes les directions autour du point 0, de laxe du moment E, 11 en est une pour laquelle cenbsp;tnoment est Ie plus grand possible et ëgal anbsp;-{- M® N. Par rapport a tout autre axe, passant toujours par le point 0 et perpendiculaire a ce-^nl du plus grand moment, le moment E est zéro,

il est egal a v L -f- IVP N® cos S', relativement a Un axe qui fait Tangle S avec celui du plus grandnbsp;Rioment.

3°. Enfin, si Ton appelle a, ê, les angles que fait Taxe du plus grand moment passant par le point 0,nbsp;avec les axes On?, 0/, Oz, des momens N, M, L , etnbsp;que Ton designe par G la grandeur de ce plus grandnbsp;moment, on aura

doüil résulte quen prenantsur les axes Ox, Oj', OZf a partir du point 0 , des droites propoitionnelles auXnbsp;momens N, M, L, et achevant Ie parallelepipedsnbsp;dont ces droites seront les trois cótës adjacens, lanbsp;longueur de sa diagonale représentera la grandeur dunbsp;plus grand moment, et cette droite sera laxe de cenbsp;moment principal.

Ces théorènies remarquables sont dus a Euler. lis établissent une parfaile analogie entre la compositionnbsp;des momens et celle des forces; analogie qui tient anbsp;ce que les forces étant représentées par des lignesnbsp;droites, les momens sont exprimés par des surfacesnbsp;planes, qui se projeltent sur des plans différens, de lanbsp;même manière que les lignes sur des droites diffé-rentes ( n° 277 ).

282. Le point 0 et Ie système des forces P, P', P', etc., étant donnés, jappellerai moment principalnbsp;de ces forces, leur plus grand moment G. Si Ionnbsp;transporte toutes ces forces parallèlement a elles-mêmes, en ce point 0, elles auront une résultantenbsp;que je désignerai par R, et dont les composantes,nbsp;suivant les axes Ox, Oj-, Oz, seront les trois quantitésnbsp;X, Y, Z, du n° 261. La considération de cette résultante et du moment principal, fournit un énoncénbsp;tres simple des résultats du chapitre précédent.

Pour 1équilibre des forces P, P', Pquot;, etc., appli-quées a un corps solide entièrement libre, il suffira que la résultante R et le moment principal G soient

= X* Y* Z*, G* = L M* 4- N*,

les equations R=:o et G = o, entraineront les six equations déquilibre du n® 261.

On en peut conclure que pour quun sjstème de forces fasse équilibre a un autre, il est nécessaire etnbsp;il suiïit : 1°. que les résultantes R qui ont lieu dansnbsp;ces deux systèmes soient égales et contraires; 2®. que,nbsp;pour un méme point O, leurs momens principauxnbsp;soient égaux et répondent a des axes dirigés en sensnbsp;contraire, on dont lun soit Ie prolongement de lautie.nbsp;La résultante R et sa direction, Ie moment principalnbsp;et Ia direction de son axe, resteront les mêmes,nbsp;dans lOutes les transformations quon peut faire subirnbsp;a un méme système de forces, et, généralement,nbsp;pour deux systèmes de forces équivalens.

Soient a,b , c, les angles que la force R fait avec les axes Ox, Ojquot;, Oz, on aura

Soient aussi ro langle compris entre sa direction et 1axe du moment principal; a, , y, étant les anglesnbsp;^ue fait eet axe avec Ox, Ojquot;, Oz, nous aurons

consiste en ce que laxe du moment principal G et la direction de la resultante R doivent se couper a anglenbsp;droit. Cest ce quon verifie, en elFet, en observantnbsp;que si les forces P, P', Pquot;, etc., dans leur veritablenbsp;position, out une résultante unique, cette force doitnbsp;être égale et parallèle a R, et que son moment parnbsp;rapport au point 0, doit aussi être Ie moment principal G; en sorte que laxe du moment principal estnbsp;alors perpendiculaire a cette résultante transportéenbsp;au point 0 parallèlement a elle-même; mais ce rai-sonnement ne suffirait pas pour prouver que réci-proquement, quand léquation précédente a lieu , lesnbsp;forces données ont une résultante unique.

285. Je transporte Ie point 0 en un autre point quelconque quejappelle 0,; jedésignepar a?,, j-,, z,,nbsp;les coordonnées de 0,, rapportées aux axes Ox, Oj,nbsp;Oz, et par L,, M,, N,, ce que deviennent L, M,nbsp;N, relativement a ce point 0, : les valeurs de cesnbsp;dernières quantités se déduiront des premières

( nquot; aöt ) , en y mettant x x,, jr a la place de x, jquot;, z ; et il en résultera

Ces formules montrent que quand P, P', P', etc., se réduisent a des forces égales, parallèles et dirigéesnbsp;en sens contraire, mais non directement opposées.

auquel cas on a X = o, Y = o , Z = o , les quantités L,, M,, N,, sont indépendantes des coordonnées dunbsp;point 0, j en sorte que la grandeur du moment principal et la direction de son axe ne varient pas avecnbsp;la position de ce point. En effet, quelque part quenbsp;soit placé Ie point 0,, il est évident que laxe dunbsp;moment principal des deux forces parallèles quonnbsp;peut substituer aux forces données P, P', Pquot;, etc.,nbsp;est la perpendiculaire a leur plan; et nous savonsnbsp;dailleurs (n° 48) que la somme des inomens de cesnbsp;deux forces qui sera Ie moment principal des forcesnbsp;données, est uue quantité constante.

Dans tout autre cas, Ie moment principal change avec la position du point 0,; et lon peut demandernbsp;quel dolt étre ce point, ouces points, sil y en a plu-sieurs, pour lesquels ce moment est un minimum.nbsp;En Ie désignant généralement par G,, cest-a-dire,nbsp;cn faisant

G. = L. M.» -h N.%

Si lon égale a zéro ses trois differences partielles par rapport a x,, jquot;,, z,, afin de determiner sa valeurnbsp;minima, et si lon observe que

= X ( Xo:, Yj. Zz. ) YL ZM, R»j. = Y (Xx. Yjr. Zz.) ZN - XL,nbsp;R=z. = Z (Xa:. Yjr, Zz.) XM YN.

Or, si lon ajoute ces trois equations après les avoir multipliées par X, Y, Z, on trouve une e'quationnbsp;identique; il sensuit done que lune delles estunenbsp;suite des deux autres ; et comme les coordonnéesnbsp;ne sy montrent quau premier degré, ellesnbsp;appartiennent a une ligne droite qui est Ie lieu desnbsp;centres des momens, par rapport auxquels Ie moment piincipal est au minimum. II nest pas ne'cessairenbsp;dexaminer lequel a lieu du maximum ou du minimum; car il est évident que la valeur de G, croit in-définiment avec les variables x,, z,, et nest pasnbsp;susceptible de maximum.

284- En éliminant la quantile Xjt, -j- Yj, -f- Zz,, entre les equations précédentes, prises successivementnbsp;deux a deux, on trouve

Xj.--Yx.-p L = nbsp;nbsp;nbsp;,

Yz. - Z^. N =

equations qui appartiendront aux projections sur les trois plans des coordonnées du lieu des centres desnbsp;momens principaux minima.

pour la valeur du moment principal minimum, qui est ainsi la même pour tous les centres O,.

du moment G, fait avec des parallèles aux axes Ox, Oj, Oz, menées par Ie point O,, on aura

quel que soit Ie centre des momens ; et, daprès les equations (d), {b), (c), il en resultera, en particulier, pour un point (?, appartenant a la droite dé-terminée par les equations {b),

ce qui moutre que les axes de tous les moraens prin-cipaux minima, dont la valeur commune est donnée par la formule (c), sont parallèles entie eux et a la direction de la force R.

Quand les forces données ont une résultante unique, il est évident que la plus petite valeur denbsp;G, dolt avoir lieu lorsque Ie point O, est prls sur sanbsp;direction ; ce qui rend cette valeur égale a zéro. Ré-clproquement, si la valeur de G, est nulle par rapport a un point 0,, on en conclura que les forcesnbsp;données P, P', Pquot;, etc., ont une re'sultante unique, passant par ce point; car si elles se rédui-saient a deux forces non comprises dans un mêmenbsp;plan , on pourrait faire passer Tune delles par Ienbsp;point 0,, et rédulre leur moment principal a celuinbsp;de lautre force, lequel ne serait pas zéro, contrenbsp;lhjpotbèse. On conelut de la que la condition néces-

saire et sufïisaiite pour que les forces données aient une résultante unique, consiste en ce que leur moment principal puisse être égal a zéro. Ce momentnbsp;étant alors un minimum, la condition dont il sagitnbsp;sera exprimée par léquation

daprès la formule (c); et Ie point 0, auquel il se rapporto , appartenant a cetle résultante, les équations de la droite suivant laquelle elle est dirigée, seront

en vertu des équations (h). Ces résultats coincident avec ceux du n° 265 quon a trouvés par dautres con-sidévations.

CHAPITRE III.

285. On appelle, en géne'ral, machine funiculaire, tont assemblage de cordes liées entre elles par desnbsp;nceuds fixes, ou simplement passées dans des an-iieaux qui peuvent couler Ie long de ces cordes. Lenbsp;nombre des cordons qui viennent aboutir a un mêmenbsp;Doeud peut être quelconque; mais pour simplifier lanbsp;question , nous supposerons que chaque nmud nas-sernble jamais que trois cordons; et, en premier lieu,nbsp;iious exclurons les anneaux mobiles.

Prenons done une corde paifaitenient flexible et dune longueur quelconque , dont A et B (fig. 71)nbsp;soient les deux extrémités. Soient M, M', Mquot;, elc.,nbsp;différens points de cette corde ; attachons a ces pointsnbsp;des cordons MC, M'C',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., suivant lesquels

agiront des forces données P, P', Pquot;, etc.; appliquons aussi au point M une force donnée H , agissant dansnbsp;la direction du cordon MA , et au dernier des pointsnbsp;M, M', Mquot;, etc., une autre force donnée K, dirigéenbsp;A-^ers le point B. Dans létat déquilibre, cette cordenbsp;flexible formera un polygone dont les somniets seront

les points A , M , M', Mquot;,... B, et que nous appelle-rons spécialement un poljgone funiculaire. II sagit de trouver les conditions que les forces données H,nbsp;P, P', Pquot;, ... K, doivent remplir pour que eet équi-libre soit possible, et de determiner la figure du poljgone qui convient a eet état.

Pour trouver ces conditions, je pars de ce principe évident que si 1équilibre existe, chacun des cordonsnbsp;MIVP,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., doit etre tiré, a ses deux extrémités,

par des forces égales, dirigées suivant ses prolonge-mens; car si ces deux forces navaient pas la même direction que Ie cordon, rien ne les empêcherait de Ienbsp;faire tournerj et si elles nétaient pas égales et con-traires, elles feraient avancer Ie cordon suivant sanbsp;direction.

II sensuit dabord que la résultante des deux forces H et P, appliquées au point M, doit coïncider avec Ienbsp;prolongement MD du coidon M'M. On peut donenbsp;transporter Ie point dapplication de cette force aunbsp;point M' situé sur sa direction ( n° 4i ) gt; ^n la com-posant ensuite avec la foice P', appliquée a ce point,nbsp;il faudra que cette seconde résultante, qui sera cellenbsp;des trois forces H, P, P', coincide avec Ie prolongement M'D' du cordon Mquot;M'; et, par conséquent, ilnbsp;sera permis de la transporter au point M*. Je prendsnbsp;encore la résultante de cette force et de Pquot; qui agitnbsp;en ce même point Mquot;; jai, de cette manière, la forcenbsp;qui tire Ie cordon Mquot;M'quot; a son extrémité Mquot;, et quinbsp;doit être dirigée suivant son prolongement Mquot;Dquot;. nbsp;Cette force est, comme on voit, la résultante desnbsp;forces H, P, P', Pquot;; un raisonnement semblable prou-

veralt que la force qui tire Ie même cordon a son ex-Irémité nbsp;nbsp;nbsp;et qui doit coïncider avec son autre pro-

longement WW, est la résultante des forces P, P'',. .K ; ces deux résultantes sont done égales etnbsp;directement opposées; et, conséquemment, la résultante de toutes les forces données H, P, P', Pquot;____K,

doit étre égale a zéro. Onparviendraitévidennnentau même résultat, en considérant les forces qui agissentnbsp;aux deux extrémités de tout autre cóté du poljgone.

Ainsi, les forces appliquées au poljgone funicu-laire doivent étre telles quen les transportant en iin même point parallèlement a elles-mêmes, elles sjnbsp;fassent équilibre; ce qui donne, comme on sait,nbsp;trois équations entre les grandeurs de ces forces et lesnbsp;angles que font leurs directions avec trois axesnbsp;mctangulaires menés par ce point. Ces équationsnbsp;sont ( n° 55)

H cos a nbsp;nbsp;nbsp;K cos e -j- P cos a-|-P'cosa'-{-etc.= o, )

Hcos5-|-Kcosy-|-Pcos^-f-P'cosê'-|-etc.=o, / (a) H cosc-f-Kcosgf-t-Pcos^H-P'cosy-l-etc. = o; '

a, e, a, a', etc., désignant les angles relatifs a lun des axes; b, f, ê, C', etc., les angles relatifs a unnbsp;autre axe; et c, g, y, y', etc., ceux qui répondentnbsp;au troisième.

a86. Lorsque les forces H, P, P', Pquot;,... K, et les directions des cordons par lesquels elles agissent, nenbsp;satisferont pas a ces équations, il sera impossiblenbsp;quelles se fassent équilibre par Je mojen du poljgone funiculaire, quelque figure quon lui donne ;nbsp;mais toutes les fois que ces équations seront satis-

faites, on pourra donner au polygone une figure telle que le'quilibre ait lieu. Les grandeurs et les directions des forces H, P, P', Pquot;,. . . K, étant don-nées, cette figure est déterminée, et sa constructionnbsp;résulte de la suite de compositions de forces que nousnbsp;venons dindiquer.

En eflfet, connaissant les directions des cordons MA et MC, par lesquels agissent les forces H et P,nbsp;on dëterniinera la grandeur et la direction de leurnbsp;resultante. Sur Ie prolongement de cette direction, anbsp;partir du point M, je porte la longueur donnée dunbsp;cóté MM'; cela fait, japplique au point M' la resultante de H et P suivant la ligne M'M, et la force P'nbsp;suivant la direction donnée du cordon M'C'. Je prendsnbsp;la résultante de ces deux forces, et sur Ie prolonge-rnent de sa direction, a partir du point M', je portenbsp;la longueur donnée du cóté M'Mquot;. Maintenant, jenbsp;fais au point Mquot; une construction semblable a cellenbsp;que je viens dindiquer pour Ie point M; jappliquenbsp;en Mquot; la dernière résultante sur Ie cóté Mquot;M', et lanbsp;force Pquot; suivant !a direction donnée du cordonnbsp;Mquot;Cquot;; je compose eusui'te ces deux forces en unenbsp;seule, et, sur Ie prolongement de celle-ci, je portenbsp;la longueur donnée du cóté Mquot;M'.

Je continue ainsi jusqua ce que je sois parvenu au dernier des namds M, M', Mquot;, etc., qui sera, je suppose, Ie point M'', de sorte que M'B soit Ie derniernbsp;cóté du polygone. Sa direction est connue, puis-quelle représente celle de la force extréme K, qui estnbsp;donnée par hypothese. II faudra done que la direction prolonge'e de la résultante des deux forces appli-

Ie cordon MC*% coincide avec la diiection donnée du cóté M^B. Cest, effectivement, ce qui arriveranbsp;toujours; car, daprès notre construction, la forcenbsp;dirigée suivantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nest autre chose que la résul

tante des cinq forces H, P, P', Pquot;, Pquot;', Iransportées au point M*^ parallèlement a leurs directions; en lanbsp;composant avec la force P% dirigée suivantnbsp;on aura la résultante de toutes les forces données ,nbsp;moins la force K; or, en vertu des e'quations (a),nbsp;quon suppose satisfaites, cetle résultante est égale etnbsp;directement opposée a la force K (n® 55).

Si lon mène par Ie point A, les trois axes auxquels se rapportent les angles a, e, «, a', etc., f, Q,nbsp;6', etc. y c, g ,y,y', etc., les cooidonnées de chacunnbsp;des sommets du polygoue, rapportées a ces axes, se-ront les projections sur ces ruémes axes de la partienbsp;du poiygone comprise depuis Ie point A jusqua cenbsp;sommet. On pourrait les calculer, en fonctions de cesnbsp;angles, des longueurs des cótés du poiygone et desnbsp;forces données; les formules générales que lon ob-tiendrait de cette manière serviraient, dans chaquenbsp;cas, a construire directement tous les sommets dunbsp;poiygone, ou seulement un ou plusieurs de cesnbsp;points; mais il est plus simple de determiner succes-sivement, et les uns au moyen des autres, lesnbsp;diflférens cótés du poiygone, ainsi quon vient denbsp;lindiquer.

287. Quand les forces données remplissent les conditions exprimées par les équations («), et quon a fait prendre au poiygone la figure propre a léqui-

libre, llntensité commune des deux forces égales et confraires qui tirent chacun des cótés suivant sounbsp;prolongement, est la tension que ce cordon éprouve;nbsp;il est done important, dans la pratique, de calculernbsp;cette tension, et de sassurer, par lexpérience, quellenbsp;ne dépasse pas celle quun cordon du même dia-niètre et de la même matière peut suppoiter sans senbsp;rompre.

Or, daprès ce quon vient de voir, cette tension variera dun cótë a lautre du polvgone; la tensionnbsp;du cóté MM' sera egale a la résultante des forces Hnbsp;el P, OU a celle des forces P', Pquot;, P'quot;,. .. K; la tension du cóté M'Mquot; sera égale a la résultante des forcesnbsp;H, P, P', OU a celle des forces Pquot;, Pquot;',. . . K; et ainsinbsp;de suite. II sera done aisé, dans cliaque cas particulier, de déterminei les tensions quéprouvent tousnbsp;les cótés du poljgone en équilibre, lorsque les grandeurs et les directions des forces H, P, P', Pquot;,... K,nbsp;seront toutes données.

Si les points extrémes A et B du polygone sont fixes, les forces H et K représenteront a la fois lesnbsp;tensions des cordons qui aboutissent a ces points etnbsp;les pressions que ces points éprouvent. Dans ce cas,nbsp;les valeurs de H et K, et des angles a, h, c, e, J, g,nbsp;qui déterminent les directions des deux cótés extremes du polygone, ne seront plus données ; mais onnbsp;aura buit équations pour déterminer ces buit incon-nues, savoir, les équations (a), les équations (n° 6)nbsp;cosa cos®ó cos'c=i, cos'e cos'*-}- cos g ^ gt;nbsp;et trols équations résultant de ce que la position desnbsp;deux points fixes A et B est donnée. Ou formera

celles-ci en calcnlant les valeurs des trois coordonnées de lun de ces points, rapportées a des axes passantnbsp;par lautre point, cest-a-dire, les projections du po-^ygone entier sur ces trois axes, et les egalant auxnbsp;Valeurs données de ces mêmes coordonnées.

La determination de ces huit iuconnues sera géné-ralement tres compliquée; mais après que Ie polj-gone funiculaire aura pris de lui-rnême ia figure propre a 1équilibre des forces appliquées a ses som-Diets, on obtiendra sans difliciilté les tensions de sesnbsp;différens cótés; ce qui sutïira pour la pratique. Ainsi,nbsp;cn décomposant la force P appliquée au point M ennbsp;deux autres forces dirigées suivant les prolongemensnbsp;des cótés AM et MM', les composantes, données im-Diédiatement par la regie du parallélogramme desnbsp;forces, seront les tensions dè ces deux cótés. Celle quinbsp;3gira suivant Ie prolongement de AM devra être égalenbsp;^ Ia force agissant suivant ce premier cóté, loisque Jenbsp;point A sera fibre; et quaud il sera fixe, elle expri-^era la pression exercée sur ce point. Pareillement,nbsp;composantes de la force P' suivant les prolonge-^ens de MM' et M'Mquot;, expriraeront la tension denbsp;MM', déja connue par la décomposition de P, et cellenbsp;du cóté adjacent M'Mquot;; et ainsi de suite.

288. Les cordons qui forment les différens cótés d un poljgone funiculaire sont toujours un peu ex-tensibles; chacun deux sallonge dune petite quan^nbsp;tité, en raison de Ia tension quil éprouve dans Ié-^at déquiiibre; et lorsque cette tension est connue,nbsp;On peut calculer rallongement correspondant.

tensioQ dun fil homogene et dune épaisseur constante nappioche pas de la force nécessaire pour Ie rompre, son allongement est proportionnel a sa longueur et a la tension quil éprouve; il varie dail-leurs, dun fil a un autre, avec lépaisseur et la rna-tière du fil. Cela étant, je suppose que I on attache a unnbsp;point fixe un fil de la même épaisseur et de la mèmenbsp;matière que Ie cordon AM, et que 1on suspende a sonnbsp;extrémité inférieure un poids donné n, tres grandnbsp;par rapport a celui du fil. Soient l et Z(inbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ses

longueurs avant et après la suspension du poids O; cette quantité sera une fraction tres petite, indé-pendante de l et proportionnelle a O, en négligeantnbsp;Ie poids du fil; en sorte que si, dans une autre expé-rience, les trois quantités Z, fl, sont l', (sr', 11', onnbsp;aura

lïr

quels que soient Z et Z'. Or, il est évident quun fil attaché a un point fixe et tiré a son autre extrémité par une force dirigée suivant son prolongement, estnbsp;dans Ie même état que sil était tiré par cette mèmenbsp;force suivant ses deux prolongemens. Si done on ap-pelle T la tension du cordon AM, et si lon supposenbsp;quil se soit allonge dans Ie rapport de i-j-T a lunité,nbsp;on aura

pour délerminer eet allongement; et il en sera de même pour tous les autres cótés du poljgone-

289. Soit que les points extrêmes A et B du poly-gone soient fixes, ou quils soient libres, si lun ou plusieurs des noeuds M, M', Mquot;, etc., sont remplacésnbsp;par des anneaux, cette circonstance donnera lieu anbsp;de nouvelles conditions déquilibre. Supposons, parnbsp;^xemple, que Mquot;soit un anneau mobile qui puissenbsp;glisser Ie long du cordonnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;il est clair que

dans ce mouvement la som me des distances M'Mquot; et IVlquot;M'quot;, du point Mquot; aux points M' et Mquot;', restera constante. Or, si Tequilibre existe, eet état nenbsp;®era pas trouble en rendant fixes ces deux derniersnbsp;points; mais alors Ie point Mquot; sera dans Ie mémenbsp;Oas que sil e'tait astreint a demeurer sur la surfacenbsp;dun ellipsoïde de revolution, dont M' et Mquot;' sontnbsp;les deux foyers, et dont Ie grand axe est égal a lanbsp;longueur donnee du cordonnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;done ce point

fie peut rester en équilibre (n° 36), a moins que la Idrce P'' qui lui est appliquée ne soit perpendiculaire a cette surface; doii il suit, daprès une pro-priété connue de lellipse, que la direction de cettenbsp;force doit couper en deux parties ëgales Tangle desnbsp;deux rayons vecteurs Mquot;M' et Mquot;M'quot;.

286, on sera parvenu a un anneau mobile tel que Mquot;, et que Ton aura pris la re'sultante desnbsp;deux forces dirigées suivantnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et Mquot;C'', dont Ie

les angles Cquot;Mquot;M' et Cquot;Mquot;Mquot;' ne sont pas ëgaux entre eux, il en faudra conclure que Tëquilibrenbsp;oexiste pas. En general, il faudra que la directionnbsp;du coidon Mquot;Cquot;, attaché a un anneau mobile, ne

soit pas donnée davance , afin quon puisse, en la determinant dune manière convenable, remplir lanbsp;condition de lëgalité des deux angles M'Mquot;C' et

M'^ivr'Cquot;.

Observons que dans letat dëquilibre, les tensions des deux cótës adjacens a un anneau mobile serontnbsp;ëgales entre elles; cela rësulte de ce que ces deuxnbsp;cótës font des angles ëgaux avec la direction de lanbsp;force appliquëe a eet anneau, et que leurs tensionsnbsp;sont les composantes de cette force suivant leursnbsp;propres directions; mais cette ëgalitc de tension peutnbsp;aussi étre considërëe comme évidente en elle-même,nbsp;puisque les deux cótës Ie long desquels lanneau peutnbsp;glisser ne forment quun cordon , qui doit nëces-sairement ëprouver la mème tension dans toute sounbsp;ëtendue.

290. Ce que nous disons a lëgard dun anneau oblige de glisser Ie long dun fil considérë commenbsp;inextensible et parfaitement flexible, peut sëtendrenbsp;a tous les points dun sjstème de points matërielsnbsp;en ëquilibre. Quelle que soit la liaison de ces pointsnbsp;entre eux, on ne troublera pas eet ëquilibre ennbsp;fixant tous les points du sjstème, exceptë un seul.nbsp;Or, si la liaison de ce point avec les autres est tellcnbsp;quil puisse encore dëerire une surface ou seule^nbsp;ment une ligne courbe autour de ces points fixes,nbsp;il est évident que Ie point mobile sera dans Ie mêinenbsp;cas que si la surface ou la ligne courbe existait reel-lement; par conséquent, la direction de la forcenbsp;qui lui est appliquëe doit ètre normale a cette surface ou a cette ligne.

ConcluoQs done que dans tout sjstème de points matériels en équilibre, la force appliquée a chacunnbsp;de ces points est perpendiculaire a la surface ou anbsp;la ligne sur laquelle ce point serait oblige de Tester, si tous les autres points auxquels il est He'nbsp;étaient regarde's, pour un moment, comme desnbsp;points fixes.

Quand cette condition, relative a la direction des forces et a la liaison des parties du sjstème, nestnbsp;pas remplie, on peut être certain que léquilibrenbsp;nexiste pas; mais elle ne suffit pas a elle seule pournbsp;assurer Tequilibre du sjstème.

291. Si toutes les forces qui agissent sur un polj-gone funiculaire suspendu aux deux points fixes A et B, sont des poids donnés, il résulte de la construction du n° 286, que ce poljgone tout entier seranbsp;contenu dans Ie plan vertical passant par ces deuxnbsp;points; et cela est dailleurs évident en soi-même,nbsp;puisquil nj aurait aucune raison pour quil sécartatnbsp;de ce plan plutót d un cóté que de lautre. En pre-öant alors la perpendiculaire a ce plan pour laxenbsp;auquel répondent c, g, y, y', etc., tous ces anglesnbsp;seront droits, et la troisième équation (a) disparaitra;nbsp;^es deux autres se réduiront a

en supposant que les angles a, e, a, «', etc., répondent a un axe horizontal, et les angles b, J.\ etc., a un axe dirigé dans Ie sens de la pesan-

Léquilvbre de ce polygone ne sera pas trouble si lon rend sa forme invariable; par conséquent, lanbsp;force n devra étre égale et directement opposée a lanbsp;résultante des forces H et K, En vertu des équa-tions (amp;), elle est déja égale et contraire a cette résultante; il faudra done encore quelle passe par Ienbsp;point 0 ( fig. 72 ), oü les prolongemens des cordonsnbsp;extremes AM et BN viennent se couper, et quonnbsp;peut prendre pour Ie point dappllcation communnbsp;aux deux forces H et K. Ainsi, dans létat déquilibre,nbsp;la résultante n des forces verticales F, F', Fquot;, etc.,nbsp;sera dirigée suivaut la verticale OD; et, cela étant,nbsp;on aura les proportions (nquot; 29)

qui feront connaitre les tensions des cordons ex-trêmes, ou les pressions H et K exercées sur les deux points fixes A et B, quand on aura mesuré les anglesnbsp;AOD et BOD

292. On peut faire sur les tensions des cordons qui supportent un poids donné , la menie remarque quenbsp;lon a déja faite a 1égard des pressions éprouvées palnbsp;les points dappui dun plan horizontal sur lequel uonbsp;poids est placé (n' 270).

Supposons que les trois cordons attachés aux points fixes A, B, C (fig. 73), se réunissent au point M, etnbsp;quen ce point un poids F soit suspendn et agisse sui-vant la verticale MD. Prenons un point D' sur Ie pro-

longement de cette droite, et construisons Ie paral-lélépipède dont MD' est la diagonale, et qui a ses trois cótés adjacens MA', MB', MC', sur les directionsnbsp;des trois cordons. Si Ton représente la force P par lanbsp;droite MD', ses composantes suivaut ces directionsnbsp;seront repre'sentées par les droites MA', MB', MC', etnbsp;elles exprimeront les tensions des trois cordons MA,nbsp;MB, MC, OU les charges des trois points fixes A, B,nbsp;C, lesquelles se trouveront, dans ce cas, complète-ment dëterminëes. Mais, lorsque les cordons abou-tissant au point M seront au nombre de quatre , ounbsp;en plus grand nombre, on pourra decomposer lanbsp;force P dune infinite de manières différentes, suivantnbsp;leurs directions; en sorle que leurs tensions et lesnbsp;charges des points fixes ne seront plus de'terminees,nbsp;t une ou plusieurs dentre elles pourront étre nullesnbsp;ou prises arbitrairement. Or, cette indéterminationnbsp;aurait réellement lieu dans la question abstraite, oiinbsp;1on na tenu aucun compte de lextensibilite' des cordons; mais elle nexiste plus dès quon a e'gard anbsp;cette propriété de la matière : alors tous les cordonsnbsp;sallongeut un tant soit peu; leurs extensions dependent de leur nombre et de leurs positions relatives;nbsp;et si 1on mesurait ces petits allongemens, on ennbsp;pourrait conclure la tension de chaque cordon, ounbsp;la charge de chaque point fixe qui a réellementnbsp;lieu.

Ainsi, en supposant que Ie cordon AM, par exem-ple, se soit allonge dans Ie rapport de i cf a runité, et sachant, dailleurs, quun cordon de meme matièrenbsp;et de même diamètre sallonge dans Ie rapport de

3G..

I «zêT a Iunite, quand on le suspend verlicalement a un point fixe, et quon attache le poids P a son ex-tréniité inférieure, on en conclura (n° 288) que lanbsp;tension éprouvée par ce cordon, ou la charge que

Si Ton désigne par lt;20-' et cT', lt;arquot; et cTquot;, etc., ce que deviennent les fractions «zs- et cT relativement aux cordons MB, MC, etc., et par y, y', yquot;, etc., les anglesnbsp;aigus que font les cordons MA, MB, MC, etc., avecnbsp;la verticale MD', il faudra quon ait

nbsp;nbsp;nbsp;7X-'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;XPnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

afin que la somme des composantes verticales de toutes les tensions soit égale au poids P. En proje-tant les niemes cordons sur un plan horizontal menénbsp;par le point M, et désignant par ca, cd', 0)quot;, etc., lesnbsp;angles que les projections de MA, MB, MC, etc.,nbsp;font avec une droite MO tracée arbitrairement dansnbsp;ce plan, on aura aussi

iT . nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;y .

pour exprimer que la résultante de toutes les tensions est une force verticale.

Quand il ny a que trois cordons, ces trois equations suffisent pour determiner les rapports de leurs

nioyen des angles que ces trois cordóns font avec la verticale MD', et des angles compris entre les plansnbsp;de cette droite et de leuis directions. Quand 11 n y ennbsp;a que deux, leurs directions et cette verticale sontnbsp;comprises dans un même plan; ce qui reduit a unenbsp;seule les deux dernlères equations.

agS. Considerons dabord un fil pesant, homogene et dun diamètre constant; supposons-le parfaitementnbsp;flexible et attache' par ses extrémite's A et C (fig. 74)nbsp;a deux points fixes; et proposons-nous de determinernbsp;la courbe ABC quil forme dans son état déquilibre.nbsp;On nomme cette courbe la chainette; elle est évi-demment comprise dans Ie plan vertical passant parnbsp;les deux points fixes A et C car il ny aurait aucunenbsp;raison pour quelle sen écartat plutót dun cóte quenbsp;de lautre.

Par un point 0, menons dans ce plan deux axes rectangulaires Ox et Oj, qui seront ceux des coor-données positives; prenons Ox horizontal et dirigénbsp;du cóte' du point A, et Ojr vertical, dirigé en sensnbsp;contraire de la pesanteur, et passant par Ie point B,nbsp;Ie plus bas de la courbe. Soient x et j les coordon-rnbsp;nées OP et PM, rapportées a ces deux axes, dunnbsp;point quelconque M de la chainette, et ^ Iarc BMnbsp;aboutissant en ce point et comptë du point B; et de^nbsp;signons par x', s', ce que deviendront x, j, s ,nbsp;relativement a un autre point de cette courbe , telnbsp;que I on ait / gt;

Si V on appelle p Ie poids dc Tunité de longueuf du fil, lorsqu il est couché sur un plan horizontal,nbsp;p {s' s) sera, dans eet état, Ie poids dune longueurnbsp;s' s du même fil, puisquon Ie suppose homogenenbsp;et dune epaisseur constante. Quand il sera suspendunbsp;aux deux points fixes A et B, ses diffërentes partiesnbsp;sallongeront inégalement, a raison de leurs tensionsnbsp;respectivesj et, en méme temps, leurs densitës ounbsp;leurs épaisseurs diminueront de rnanière que leursnbsp;masses ne changent pas; par conse'quent, Ie poids denbsp;cette longueurs's ne sera plus exactement Ie mêmenbsp;quauparavant; maïs si la matière du fil est tres peunbsp;extensible, et quon négligé les petites dilatations denbsp;ses parties, on pourra encore prendre p{s's) pournbsp;Ie poids correspondant a larc MM' de la chainette.

Soient, en outre, T et T' les forces inconnues qni agissent a ses extrémités M et M', et proviennent denbsp;ce que ces points sont lies aux parties CM et AM' denbsp;cette courbe. En joignant ces forces au poidsp{s's),nbsp;on pourra considérer MM' comme entièrement libre;nbsp;par conséquent, si lon représente par a ét ê les angles que fait la direction de la force T avec les prolon-gemens des coordonnées x et de son point dappliquot;nbsp;cation, et par et' et C' les angles analogues relativementnbsp;a la force T', nous aurons

pour léquilibre de ces trois forces comprises dans un méme plan ( nquot; 262 ) ; x, étant labscisse hori-

zontale du centre de gravité de larc MM'. Elles au-ront lieu, quelle que soit la longueur de eet are : si on la suppose infiniment petite, on pourra né-gliger, dans ces equations , les quantités infinimentnbsp;petites du second ordre; inais il faudra conservernbsp;les quantités du premier ordre; ce qui nempêcheranbsp;pas quon ne doive considérer la force T commenbsp;e'tant dirigée sulvant la partie MH de la tangente ,nbsp;a lextrémité M , et la force T', suivant la partienbsp;M'H' de la tangente , a lautre extrémité M'.

Pour Ie faire voir, prenons sur MM' un point m tel que larc Mm soit infiniment petit du secondnbsp;ordre; ce qui permettra de négliger Ie poids denbsp;cette partie de la chainette. Si lon fixe Ie point m,nbsp;1 equilibre ne sera pas trouble; or, Ie fil étant suppose parfaitement flexible , il n'y aurait rien quinbsp;empêchat la force T de faire tourner larc M/w au-tour de in, si elle nétait pas dirigée suivant sonnbsp;prolongement MH. On verra de même que la force T'nbsp;doit être dirigée suivant M'H'.

cos a' = -r?

et en négligeant les infiniment petits du second ordre , ces dernières valeurs seront

effet, la quantité T est une fonction des coordon-nées du point quelconque M auquel elle répond, qui devient, conséquemment, T dT au point M';nbsp;en ce point, elle exprime la force qui agit sur lanbsp;partie supérieure AM' de la chainette, suivant lanbsp;direction M'H^, prolongement de H'M'. Or, si ivHnbsp;est un point de la courbe dont la distance a M' estnbsp;infiniment petite du second ordre, la force qui agitnbsp;en m' sur la partie km', sera la même, en grandeur et en direction, que celle qui agit en M' surnbsp;AM'; par conséquent, la partie Wm' de la chainette est tirée en sens contraire, suivant M'H' et m'H,,nbsp;par des forces T' et T rfT, qui doivent être égalesnbsp;pour que M!m' demeure en équilibre.

Cela posé, je substitue cesdifférentes valeurs dans les deux premières équations (a), et jy fais /sds;nbsp;elles deviennent

en y négligeant les infiniment petits du second ordre, ce qui permet de remplacer ir, par oc dans son second membre. Or, cette equation est la mêmenbsp;chose que

tres. EfFectlvement, Ie problème ne peut dépendre que de deux equations, puisquil nj a que deux in-connues et T a determiner en fonctions de ar ; lanbsp;première, pour connaitre léquation de la courbe, etnbsp;la seconde, pour savoir quelle est la tension en unnbsp;point quelconque M, cest-a-dire, la grandeur desnbsp;forces égales qui tirent Télément M/n suivant ses deuxnbsp;prolongemens.

en désignant par c la constante arbitraire. Au point B, on a ^ = I et T = c; si done on représente la ten-

sion en ce point Ie plus bas, par Ie poids dune longueur A du lil, on aura cph, et, en un point quelconque,

immédiatement larc s el la tension T, lorsque lor-donnée aura été déterminèe en fonction de x.

En inte'grant et observant quon ax = oet ^ = o au point B, on en déduit

4Iog(f v/, g), et, par conséquent,

e étant, a lordinaire, Ie base des logarithmes népé-rlens. Je multiplie cette equation par

en observant que ^ = o et x = o, ati point B, et prenant lorigine 0 des coordonnées a la distance hnbsp;au-dessous de ce point, de soite quon zh j = hnbsp;qnand x == o.

haut. La seconde est lequation de la chainette, sous la forme la plus simple; elle monlre que cette courbenbsp;est symétrique de part et dautre de son point Ienbsp;plus bas.

en sorte que la tension en un point quelconque M est exprimée par Ie poids dune longueur du fil, e'gale anbsp;la perpendiculaire MP abaissée de ce point sur lanbsp;droite horizontale, passant par Ie point 0. Cest aunbsp;point B que cette tension est la plus petite; et sa valeur en ce point est ph, comme on la suppose.

2g5. II ne reste plus qua determiner la constante h qui entre dans ces formules. Lexpression de jr fera en-suite connaitre la figure de la chainette; mais pournbsp;que sa position soit connue dans Ie plan verticalnbsp;passant par les points A et C, il faudra aussi déter-

Pour cela, je mène par Ie point A une horizontale qui coupe Taxe Qj en un point Q, et par Ie point C,nbsp;une verticale qui rencontre cette horizontale au pointnbsp;D. La position du point C, par rapport au point A,nbsp;étant connue, les distances AD et DG seront données.nbsp;Je les représente par a et ; je désigne aussi par k lanbsp;distance AQ; en sorte quon alt

a el b étant des quantités données, et A: et A les deux inconnues quil sagira de déterminer.

Jappellerai K la distance QD, l la longueur don-née de la courbe ABC , g el g' ses parties AB et BC, f la flèche BQ; on aura

en regardant k' et g' comme des quantités positives OU négatives, selon que Ie point C appartiendra aunbsp;prolongement de AB o« a AB menie. Les ordon-nées des points A et C seront ^ et h-{-f b, ennbsp;considérant aussi la quantité h comme positive ounbsp;comme négative, selon que C sera au-dessous ounbsp;au-dessus de la droite horizontale, menée par Ienbsp;point A.

^ *1 /¦ £

^ V

Cette quantité ti étant composée de quantltés don-nées, léquation (^Z) fera connaitre la valeur de a, et par suite celle de h. En general, cette equation senbsp;i:ésoudra par des essais; et lon en déduira la valeurnbsp;numérique de a daprès celle de n, aussi exactementnbsp;quon voudra. Si n diffère trés peu de Tunité, lanbsp;Valeur de a sera tres petite; en développant alors

les exponentielles, et négligeant Ia quatrième puissance de a , on aura simplement a = 6(n¦ i)-Si nous faisons aussi

r^) (/ _ r'

ce qui fera connaitre la valeur de C, daprès celle de h, et, conséqueminent, les quantiles k et k'. Lenbsp;signe de k' décidera de quel cóté de Oj', le point Cnbsp;sera placé.

Le cas le plus simple aura lieu quand les points fixes A et C seront situés sur une même droile horizontale.nbsp;On aura alors h = o; iéquation (e) donnera ^ = o,nbsp;et, par suite, k=:k' \a, comrne cela doit être.nbsp;On aura, en même temps,nbsp;ce qui fera connaitre les tensions aux points A et C gt;nbsp;OU les charges que ces points fixes auront a supporter,nbsp;après que la valeur de h aura été calculée. Dansnbsp;le cas general, ces tensions extrêmes se déduirontnbsp;des valeurs de j, correspondantes a x knbsp;X = k'.

qui aboutissent aux points donnés A et C, la chainette est celle dont Ie centre de gravité est Ie plus bas.

En eflet, menons par Ie point A ( fig. yS ) un axe horizontal kj', et un axe Kx' vertical et dirigé dansnbsp;Ie sens de la pesanteur. Soient x' et j' les coordon-nées dun point quelconque M, rapportées a ces axes.nbsp;En appelant x, la distance du centre de gravité dunenbsp;courbe quelconque AMC, a laxe kj', nous aurons

b étant la valeur de x' qui répond au point C , et £ désignant la longueur donnée de celte courbe, denbsp;sorte quon ait

I = f' v/i

Or, daprès la formule (e) du n 201 , la courbe dans laquelle la première integrale est un maximum entrenbsp;toutes les courbes de mème longueur, a pour equationnbsp;différentielle

c et c' étant des constantes arbitraires. En intégrant et observant que les variables x' etf' sont nulles ennbsp;mème temps, il vient

y _y

pour léquation de la courbe qui jouit de la propriëté demandëe. Au point C, on aura

b c -^ye=' [ye

a étant la distance donnée de ce point a laxe Kx', de sorte quon ait a la fois x' b et j' a. Cettenbsp;equation particuliere et la longueur l de la courbenbsp;servironl a determiner les deux constantes c et c'.

Maintenant, pour faire coïncider Tequation () avec celle de la chainette, désignons par s une constantenbsp;indéterminée, et changeons les coordonnées x' ety^nbsp;en dautres, telles que lon aitnbsp;de manière que ces nouvelles coordonnées x et nbsp;soient dirigées en sens contraire de y et x!, et rap-portées a une autre origine. Par ce changement, 1é-

et désignons par A , la valeur commune de ces deux quantite's égales, de sorte quon ait

omme on a yy' = c'*, il en résultera h = c'; et léquation précédente de la courbe deviendra

Ce qui coincide avec la seconde equation (c) que nous avons trouvée pour la chainette.

297. Si la force verticale qui agit sur chaque élément du fil suspendu aux points A et C ( fig. 74 ) ? au lieu detre proportionnelle a la longueur de 1élé-mentcamp;r, est proportionnelle a sa projection horizontale dx, la seconde équation (b) deviendra

f/.T ^ = pdx]

p étant une constante donnée qui représente Ie poids dun prisme dont la hauteur est lunité lineaire. Ennbsp;vertu de la première équation (b), qui ne changeranbsp;pas, on aura toujours

en désignant par h une ligne de longueur inconnue, et par ph un poids e'quivalent a la tension au point B,nbsp;Ie plus bas de la courbe. II en résultera done

M. f

en placant lorigine des coordonnées x eij au point B. Dans ce cas, la courbe sera, comme on voit, unenbsp;parabole qui aura son sommet au point Ie plus bas ;nbsp;et lon aura

ce qui fera connaitre k, k',f, quand on aura determine h, dont la valeur se déduira de la longueur l du fil. On aura, en effet,

2/iZ=^log nbsp;nbsp;nbsp; k

En supposant, pour plus de simplicite , les deux points A et C dans une même droite horizontale, onnbsp;aura

h = o, k = k' = jU-,

et lon en déduira, par des essais, la valeur approchée de h, lorsque les valeurs numériques de Z et k serontnbsp;données.

Cette inconnue h se déterminera plus facllement quand la longueur l de la courbe diffërera tres peunbsp;de sa projection a] ce qui rendra Ia valeur de h trésnbsp;grande par rapport a a. On aura alors, en series tresnbsp;eonvergentes,

4\/3(Z-«)

On a choisi eet exemple, paree quil trouve une application utile dans la eonstruetion des ponts sus-pendus, oii il est important de ealeuler la tension denbsp;la chaine de suspension et la charge de ses pointsnbsp;dappui.

298. Supposons actuellement que tons les points du lil soient sollicités par des forces quelconques. Hnbsp;formera, en general, une courbe a double courbure;nbsp;les equations d eqnilibre de chacun de ses élémensnbsp;seront au nombre de trois; et, en supposant toujoursnbsp;Ie fil parfaitement flexible, on obtiendra ces equations par les considerations que nous avons exposéesnbsp;en détail dans Ie n' agS. De cette manière, on trouve

X, nbsp;nbsp;nbsp;y, z, étant les coordonnées rectangulaires dunnbsp;point quelconque M de la courbe, ds lélément ditïé-rentiel de sa longueur, é Ie produit de la densité dunbsp;fil et de la section perpendiculaiie a sa longueur quinbsp;ont lieu au point M, de sorte que eds soit Télémentnbsp;de la masse du fil; T la tension en ce même point,nbsp;OU la force, de grandeur inconnue, qui tire eet élément êds suivant chacun de ses prolongernens; X,

Y, nbsp;nbsp;nbsp;Z , les forces rapportées a 1unité de masse et pa-rallèles aux axes des x,y, z, qui répondent au point Mnbsp;et seront des fonctions données de ses trois coordonnées.

En vertu de la tension T, Telenient ds aura éprouvé rine extension et la quantité g une diminution, tellesnbsp;que la masse ids nait pas change; en désignant donenbsp;par ds' et i, ce que ces quantités étaienl dans lélatnbsp;naturel du fil, on aura

et en supposant lextension proportionnelle a la force qui la produit (n° 288), nous aurons, en même temps,

(ö étant un coefficient trés petit, dependant de la ma-tière et de lépaisseur du fil au point M. Quand Ie fil sera homogene et dune épaisseur constante dansnbsp;toute sa longueur, d et ® seront des quantités cons-tantes; mais, en general, ces deux quantités pour-ront être regardées comme des functions données denbsp;1arc^', compté dun point determine du fil et aboutis-sant au point M.

299. Si Ie fil, de nature quelconque, est seulement soumis a la pesanteur et suspendu verticalement a unnbsp;point fixe que jappellerai A, les deux dernières equations (i) disparaitront, et la troisième se réduira a

en prenant laxe des x vertical et dirigë dans Ie sens de la pesanteur, et désignant cette force par g. Jenbsp;place au point A lorigine des x, et jappelle Q lanbsp;valeur de T qui répond h x = o , cest-a-dire , lanbsp;charge que ce point aura a supporter. Au point quelconque M , on aura

T = Q gfidx;

Appelons B Fextrémité inférieure du fil; atta-clions en ce point un poids P, et désignons par l la longueur de AB. II est évident que P sera la tensionnbsp;au point B; on aura done, en même temps, x~l,nbsp;et T = P ; ce qui donne

Or, Ie second et Ie troisième terrne de cette formule sont les poids du lil entier et de sa partie AM; ilnbsp;sensuit done que la tension au point M est Ie poidsnbsp;de la partie BM, augmenté du poids P; ce qui estnbsp;dailleurs évident.

La loi de l ailongement du fil dans toute son éten-due, dépend de sa nature et de son épaisseur. Je suppose , par exemple, quil soit homogene et partout dune même épaisseur, ce qui rendra constant Ienbsp;coefficient En appelant x' la longueur de la partie AM, avant que Ie lil soit tendu, laquelle longueurnbsp;devient x par reffet de la tension, et mettant, ennbsp;consequence, dx' et dx au lieu de ds' et ds, dansnbsp;léquation (2), on aura

pour Fallongement de la partie AM. On en déduit lallongement total en faisant.37'= Z' et x = l;ce quinbsp;donne

Z-Z' = «Z'(P i/gt;);

en sorte que pour avoir egard au poids du fil dans le calcul de eet allongement, il faut ajouter la moitiénbsp;de ce poids a celui qui est attaché a son extrémiténbsp;inférieure.

3oo. Dans le cas général, jajoute les équations (i), nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dx d 'y dx

après les avoir multipliées nbsp;nbsp;nbsp; Is ' ds résulte

tante, et quon négligé la petite dilatation de seS élémens, la quantité e sera constante; de plus, lanbsp;formule -\-Ydj -f- Zöfe est, en general, la dif-férentielle exacte dune fonction des trois variablesnbsp;oc, j, z, considérées comme indépendantes; en fai-sant done

en comprenant la constante arbitraire dans la fonction lt;p. Cette constante disparaitra dans la difference des valeurs de T relatives a deux points du fil; ilnbsp;sensuit done que sans avoir determine la figure dé-quilibre, on connaitra Taccroissement de la tensionnbsp;dun point a un autre ; en sorte quil suffira que lanbsp;tension soit connue en un point determine, pournbsp;quelle Ie soit aussi dans toute la longueur du fil.

Quant a la courbe formée par Ie fil, elle sera de' -lerminée par deux des trois equations (i), ou par deux combinaisons quelconques de ces trois equations, dans lesquelles on substituera la valeur préce'-dente de T; en sorte quil faudra genéralement inté-grer Ie système de deux equations différentielles dunbsp;second ordre pour connaitre cette courbe. Son rayonnbsp;de courbure au point quelconque M sexprimera aunbsp;moyen de la formule différentielle suivante, qui nes.t

SÏAÏIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;585

que du premier ordre, et qui suppose seulement con-ïiue la direction de la tangente en ee point.

Les equations (i) peuvent être remplacées par celles-ci :

djd'z dzdy (Ydz

en effectuant les differentiations et prenant Tarc s pour la variable indépendante. Or, si Ton appelle pnbsp;Ie rajon de courbure au point M, on a (n° i8)

p ------------------r'.

{(dxdy dfd^xf-^ (dzd\v dxdzy-\- {djd'^z dzd'xYy^

daprès les equations precédentes et la valeur de T, on aura done

lp (^ . Jgt; z) ds

supposent les equations (c) du u 2g4- On aura done ce quil est aisé de verifier, daprès ces equations.

3oi. Appliquons ces formules au cas dun fil tendu sur la surface dun corps solide, et supposons, pournbsp;plus de simplicité, quil ne soit soumis a aucunenbsp;force donnée, de sorte que la seule force qui agissenbsp;sur ses diflerens points soit la resistance inconnue dunbsp;solide sur lequel il sappuie.

Au point quelconque M du fil, soit la grandeur de cette force appliquée a lélément éds du fil, et dont les trois composantes serontnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, Xids,

Ti'tds sa direction sera normale a la surface du solide, et dirigée de dehors en dedans. La pression qui aura lieu sur la partie du solide correspondant anbsp;ds sera égale et contraire a cette force de ma-nière que N exprimera la mesure de la pression rap-portée a lunité de longueur.

En appelant x, /-t, v , les angles que fait la pax-tie extérieure de la normale en M avec des paral-lèles aux axes des oc, j, z, menées par ce point, on aura

De plus, si L = o est léquation de la surface du solide, et quon fasse, pour abréger ,

ce qui rendra nulle la valeur de dT donnée par l'equation (5). La tension sera done la même dansnbsp;toule la longueur du fil, quelle que soit la formenbsp;du corps solide. Je supposeiai sa valeur donnée, etnbsp;je la représenterai par /c. Si Ie fil est attaché parnbsp;une de ses extrémités a un point du corps, et quunnbsp;poids considérable, par rapport a celui du fil quonnbsp;a négligé, soit suspendu verticalement a son autrenbsp;bout, ce poids sera la tension k et la pression quenbsp;Ie point fixe éprouvera. Si Ie fil est fibre par sesnbsp;deux bouts, et que des poids considérables y soientnbsp;suspendus, ils exprimeront les tensions extremes;nbsp;par conséquent, ils devront étre égaux, et chacunnbsp;deux sera la tension /c. Enfin, si les deux bouts dunbsp;fil sont supposés fixes, sa tension A se déduira denbsp;son extension, qui sera constante dans toute sa longueur.

3o2. Je désigne par A', ju', v', les angles que fait la perpendiculaire au plan osculateur au point M ,nbsp;avec des parallèles aux axes des oc, j, z. Le ra jonnbsp;de courbure en ce point étant p , on aura (n° ig)

Si done on ajoute les equations (4) après les avoir multipHe'es par cos v, cos /x , cos A, et quon aitnbsp;égard aux valeurs de X, Y, Z, qui ont lieu dansnbsp;Ie cas que nous considérons, il en résultera

par conséquent, les normales a la surface du corps solide et au plan osculaleur de la courbe formée parnbsp;Ie fil, en chaque point M , sont perpendiculairesnbsp;Tune a lautre; ce qui est la propriété caractéristiquenbsp;de la ligne dont la longueur est un minimum ou unnbsp;maximum sur une surface donnée (n** i6i). H sensuitnbsp;done quun fil tendu sur un corps solide, trace, ennbsp;général, la plus courte distance dun point a un autrenbsp;sur la surface. A la rigueur, il est possible que cettenbsp;distance soit, au contraire, un maximum; ainsi,nbsp;par exemple, deux points donnés sur une spherenbsp;sont les extrémités communes a deux arcs de grandsnbsp;cercles, dont lun est la plus courte distance entre cesnbsp;points, et lautre la courbe plane la plus longue; or,nbsp;il est évident que réquillbre du fil tendu sera rigou-reusement possible sur ces deux arcs de eerde, puis-quen Ie placant sur lun des deux, il nj aurait aucunenbsp;raison pour quil sen écartat plutót dun cóté que

de lautre; mais sur Ie petit arc Tequilibre sera stable, et sur Ie grand il ne sera quinstantané, denbsp;sorte quil ne pourra subsister, pJijsiquemeni, quanbsp;laide du frottenient du fil contre Ie corps solide.

Si lon substitue encore les valeurs de êX , éY, éZ, du numéro précédent, dans la formule (5), on aura

la normale a la surface du corps et la tangente a la courbe du fil, en chaque point M, étant perpen-diculaires Tune a lautre, on a aussi

or, au mojen de ces trois dernières équations, on ré-duit sans difficulté Ie coefficient de N, dans la précé-dente, a lunité. On a done simplement

ce qui montre que la pression rapportée a lunité de longueur, exercée par un fil tendu sur la surfacenbsp;dun corps solide, est égale, en chaque point M, anbsp;la tension divisée par Ie rayon de courbure du fil,

3o3. Ces résultats seront modifies par Ie frotte-raent du fil centre la surface du corps sur lequel il sappuie. Pour rnontrer comment on doit avoir egai'dnbsp;a cette force dans Tequilibre dun fil flexible, je vaisnbsp;considérer le'quilibre dun cordon ABMCD (fig. 76) ,nbsp;dont la partie BMC est appliquee sur la gorge d unenbsp;poulie fixe, et qui est tiré, suivant les prolonge-mens BA et CD de cette partie, par des forces don-nées. La poulie et la droite AB seront supposées ver-ticales; la force agissant suivant BA sera un poids k,nbsp;et je représenterai par F celle qui agit suivant CD.nbsp;Les tensions qui ont lieu aux points B et C suivantnbsp;les tangentes BA et CD, auront A: et F pour valeurs.nbsp;Je supposerai aussi, pour simplifier la question, quenbsp;la poulie soit circulaire; jappellerai c son rayon, etnbsp;je prendrai son centre 0 pour lorigine des coordon-nées ; laxe des z sera perpendiculaire a la poulie,nbsp;laxe des j' vertical et dirigé de bas en baut, laxenbsp;des X horizontal et passant par Ie point B. Enfin, jenbsp;fixerai au point C lorigine de 1arc s aboutissant aunbsp;point quelconque M du cordon, de sorte quon aitnbsp;CM = ^.

Cela posé , si Ie frottement était nul, il faudrait quon eut A = F dans Ie cas de lequilibre; mais , anbsp;raison du frottement, Tequilibre peut subsister tantnbsp;que la difference de ces deux forces A et F na pasnbsp;dépassé une certaine limite. Concevons done que lé-quilibre soit sur Ie point de se rompre dans Ie sensnbsp;du poids A; ce qui suppose quon ait A gt; F. A eet

instant, Ie frotlement du cordon contre la poulie, qui a lieu au point quelconque M, sera dirigé, sui--vant la partie MH de la tangente, en ce point. Je re-presente par ^ son intensité, et, comme prëcedem-itient, par N la resistance normale qui a lieu au mêmenbsp;point M, suivant Ie prolongement MO' de MO, denbsp;manière que f^ds et ^ch soient les forces tangente etnbsp;normale qui agissent sur lélément ids du cordonnbsp;aboutissant au point M, et que ^ et N reprësententnbsp;ces mêmes forces, rapportées a luriité de longueur.nbsp;Si lon mène par ce point M des parallèles Mx' etnbsp;aux axes Ox et Ojy, cai aura

pour les valeurs de gX et êY quil faudra substituer dans les equations (i). La force éZ sera évidemmentnbsp;nolle; la troisième equation (i) disparaitra , et lesnbsp;deux premières deviendront

Mais ^ [ jdoc ocdj) est la difFérentielle du secteur décrit par Ie rayon OM, a partir dune ligne fixenbsp;(11° i56), qui sera OC, par exemple. Ce secteurnbsp;étant circulaire et répondant a Tarc s, sa valeur estnbsp;on a done

La pression qui a lieu au point M, sur la gorge de la poulie, est égale et contraire a la force N; si donenbsp;on suppose Ie frottement proportionnel a la pression (n 269}, on aura

/.=/N;

/:dN = y^Nds,

A dëslgnant la constante arbitraire, et e la base des logarithmes népe'riens. On aura, en mème temps,

fi nbsp;nbsp;nbsp;fi

N = ie% T = Fe%

k = Fe^,

En représentant par F' Ie frottement total qui a lieu dans toute la longueur de CMB, on aura

oil Ton vojt fiue ie frotteraent total F' est égal a ia plus petite des deux forces A: et F, multipliée parnbsp;un coefficient J', qui varie non-seulement avec lanbsp;quantité , maïs aussi avec 1 etendue l du contactnbsp;et Ie rayon c de la poulie. La difference des forcesnbsp;A: et F, a llnstant ou réqullibre se rompt, fera con-naitre la valeur de F', et leur rapport, diminué denbsp;runlté, sera la valeur du coefficient J', doü Tonnbsp;pourra ensuile dédnire celle de J. Lorsque F sera unnbsp;poids, ainsi que k, on devra, pour plus dexacti-tude, comprendre dans ces poids A: et F, ceux desnbsp;parties verticales BA et CD du cordon.

5o4- Daprès les trois equations (i), il est facile de verifier que les six equations générales de léqui-libre (n° 261) ont lieu dans Ie cas dun fil parfaite-ment flexible.

Pour cela, jappelle K et K' les deux extrémités du fil, et Z sa longueur; et je fixe au point K Tori-gine de fiarc s. En intégrant les premiers membresnbsp;des equations (i), depuisle point KJ usquau point K',nbsp;on aura

[Tg] gt;** = o.

les quantités comprises entre les crochets re'pondant au point K, et celles qui sont renfermées entre deuxnbsp;parentheses, au point K'. Indépendamment des forcesnbsp;X, Y, Z, qui agissent dans toute la longueur du fil,nbsp;je suppose que des foices particulières, données ennbsp;grandeur et en direction, soient appliquées a ses deuxnbsp;bouts: jappelle k celle qui agit au point K, et a, C, y,nbsp;les angles que fait sa direction avec des parallèles auxnbsp;axes des ac, j, z, menées par ce point; et je de'signenbsp;par k', a!, Q', y', les quantités analogues relativementnbsp;au point K'. Ces forces k et k' seront les tensions extremes, en grandeur et en direction- et daprès lesnbsp;parties des tangentes en K et K', avec lesquelles leursnbsp;directions devront coïncider, nous aurons

k cos a -1- k' cos a' -f- nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;onbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, i

k cos amp; -\-k' cos amp; -f- j' Yeds = ® nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^)

et elles expriment, comme on voit, les conditions déquilibre renfermées dans les trois premières equations (i) du n* 261.

Si done on intégre ces quantités nulles depuis Ie point K jusquau point K', et que lon désigne par a,nbsp;b, c, les valeurs de x, j, z, relatives a K, et parnbsp;a', b', c', celles qui répondent a K', on aura, ennbsp;ayant égard aux equations (7) ,

ce qui exprime les conditions dequilibre relatives aux momens des forces données, qui sont renfer-mées dans les trois dernières equations (i) du n° 261-3o5. Ces equations (8) et (9) serviront, en general, a determiner les coordonnées a, b, c, a', b', c',nbsp;des deux points extremes K et K'; toutefois, il y aura

des cas oü une partie de ces quantités devra rester iodéterminée. Si, par exernple, les forces donnéesnbsp;qui agissent sur Ie fil sont la pesanteur et dautresnbsp;forces indépendantes des coordonnées de leurs pointsnbsp;dapplication, il est évident que la position absoluenbsp;du fil dans lespace ne pourra pas étre déterminée :nbsp;on pourra alors prendre arbitrairement les trois coor-données de lun des points K et K'; les equations (g)nbsp;détermineront les trois coordonnées de 1 autre point;nbsp;et, pour que léquilibre soit possible, il faudra quenbsp;les forces données satisfassent aux equations (8).

Lorsque lun des points K et K' sera fixe, Ie premier par exemple, les equations (8) et (g) auront encore lieu, pourvu que lon regarde la force k comme incounue, en grandeur eten direction, et représentantnbsp;la pression que Ie point K auia a supporter. Dans cenbsp;cas, les valeurs de rt, b, c, seront données j les equations (g) détermineront celles de a', b', c', et les équa-tlons (8) feront connaitre les trois composantes de lanbsp;force k. Quand les deux points K et K' seront fixes etnbsp;donnés de position, on connaitra leurs coordonnées,nbsp;et les équations (8) et (g) serviront a déterminer, ennbsp;grandeur et en direction, les pressions k et k' exer-cées sur R el

Dans tous les cas, soit que les coordonnées de K et K' aient été données, solt quon les ait déduites desnbsp;équations (8) et (g), on assujettiia la courbe forniéenbsp;par Ie fil a passer par ces deux points; ce qui serviranbsp;a déterminer les quatre constantes arbitraires qiaenbsp;renfermeront les intégrales complètes dp ses deuxnbsp;equations différentielles du second ordre. Quanta Ia

constante arbitraire que contiendra la fonction (p du n° 3oo, on déduira sa valeur de la longueur donnéenbsp;du fil, cest-a-dire, de Tequation

/:V' £

dans laquelle on regarde j- et z comme des fonctions de X. De cette maniere, Ie problème sera complèle-ment résolu.

3o6. Nous entendons par cette denomination une verge droite ou courbe, dont on ne peut changer lanbsp;courbure sans y appbquer une ou plusieurs forces, etnbsp;qui reprend sa forme naturelle dès que ces forces ontnbsp;cessé dagir, tandis quau contraire un fil parfaite-ment flexible conserve, sans Ie secours daucunenbsp;force, la courbure quon lui a fait prendre, et neslnbsp;ëlastique que dans Ie sens de sa longueur. Pournbsp;quune verge soit ëlastique par rapport a la flexion ,nbsp;il faut quelle soit formëe dune matière fort peu extensible et contractible j mais cela ne sviffit pas : ilnbsp;faut encore que les dimensions de son ëpaisseur,nbsp;quoique trés petites par rapport a sa longueur, aientnbsp;cependant une grandeur convenable ; car, quelle quenbsp;soit la matière de la verge, on peut toujours dimi-nuer assez son ëpaisseur pour quelle nait plus au-cune tendance sensible a reprendre la figure dont onnbsp;laëcartëe, et quelle soit ainsi l ëduite a lëtat du» fifnbsp;parfaiteraent flexible.

Lorsquune verge elastique est écartëe de sa forme naturelle par des forces données, chacun des filetsnbsp;iongitudinaux dont elle se compose peut éprouvernbsp;trois effets différens : chaque partie, dune longueurnbsp;aussi petite quon voudra, peut être contractée ou dila-lée, sa courbure naturelle peut être augmentée ou di-minuée, et cette partie peut avoir été tordue sur elle-même. La tendance de cliaque partie a reprendre sonnbsp;état natuiel, depend des attractions et repulsions mu-tueiles qui ont lieu entre les molecules de tous lesnbsp;corps et ne sétendent qua des distances insensibles.nbsp;Le calcul des forces totales qui en rêsultent etdoiventnbsp;faire e'quilibre aux forces données, appartient a lanbsp;Physique matliématique : je renverrai, pour eet ob-jet, a mon Méraoire sur Véquilihre et le mouvementnbsp;des Corps élastiques (^). Dans ce Traité , on for-mera les équations déquilibre dune verge élastlque,nbsp;en partant de principes secondaires qui sont géné-ralement admis.

On appelle, en particulier, lame élastlque un pa-ralléléplpède rectangle dune petite épaisseur, que 1on courbe dans Ie sens de sa longueur, de ma-nière quil se trouve compris entre deux surfacesnbsp;cylindriques, dont les arètes sont égales a sa iargeur.nbsp;Cette dimension peut avoir une grandeur quelconque;nbsp;en la dlvisant par des plans tres rapprochés et per-pendiculaires a sa direction, la lame sera pai tagée ennbsp;verges élastiques rectangulaires. Jacques Bernouillinbsp;a déterminé, le premier, la figure de la lame élas- ¹

tique en ëquilibre, daprès des considerations que nous allons développer, et qui serviront ensuite hnbsp;la solution compléte du problème, dans Ie cas dunenbsp;verge élastique quelconque.

307. Conside'rons une lame élastique encastrée par une de ses extrérailés, cest-a-dire, fixée de ma-nièi'e que lun des deux petits rectangles qui la ter-minent perpendiculairement a sa longueur, ne puissenbsp;prendre aucun mouvement. Supposons quon la plienbsp;dans Ie sens de sa longueur au moyen dune forcenbsp;appliquée a son autre bout, et qui sera la seulenbsp;qui agisse sur la lame. Pour que la lame prennenbsp;une figure cylindrique , comme on vient de Ie dire,nbsp;il faudra quelle soit terminée, a son extrémité li-bre, par un rectangle inflexible, au milieu duquelnbsp;on appliquera la force donnée, dans un plan perpendiculaire a la largeur de la lame. Toutes lesnbsp;coupes longitudinales ou perpendiculaires a cettenbsp;largeur seront égales; celle qui renferme la direction de la force donnée est représentée par la figure 77 ; et les courbes AMB et A'M'B' sonl les sections des deux surfaces cjlindriques de la lame, quinbsp;formaient ses deux faces planes dans son état naturel.

On suppose que tous les points qui appartenaient, dans eet état, a une même perpendiculaire a cesnbsp;deux faces, sout encore situés, après que la lamenbsp;a été pliée, sur une méme normale aux deux surfaces cjlindriques ; ce qui est, effectivement, conforme a ce quon observe dans son changement denbsp;figure. II en résulte que si MM' est une normale a

la courbe AMB, elle sera aussi perpendiculaire a A'M'B', et contiendra tous les points de la lame quinbsp;étaient situés priraitivenient sur une des perpendi-culaires a ses deux faces; il sensuit aussi que si 1onnbsp;decompose la lame, dans son état naturel, en filetsnbsp;longitudinaux, et que la courbe CND représente unnbsp;de ces filets après Ie changement de figure, elle cou-pera a angle droit en N la normale MM'.

Soit 7n un point de ia courbe AMB, infiniraent voi-sin de M; menons la normale znnz/d aux trois lignes AMB, CND, A'M'B', qui les coupe en zn, zz, zzz'; lesnbsp;prolongemens de MNM' et mnm' se rencontreront ennbsp;un point 0, qui sera Ie centre de courbure communnbsp;a ces trois courbes. Appelons p Ie rajon de courburenbsp;du filet mojen, ou egalement éloigne' de AMB etnbsp;A'M'B'; er la partie de ce filet comprise entre ces deuxnbsp;normales MNM' et mnm' , u la distance du filet quel-conque CND au filet mojen, et er' la longueur denbsp;Nzz. En considérant cette distance u comnie positivenbsp;OU cornme negative , selon que CND se trouve, parnbsp;rapport au filet moyen , du cólé de la convexité AMBnbsp;de la lame, ou du cóté de sa concavité A'M'B', Ienbsp;rayon de courbure NO de CND sera ëgal a p-j-u, etnbsp;les longueurs infiniment petites ir' et er seront entrenbsp;elles comme p -j- u et p, de sorte que Ton aura

En se courbant, les filets longitudinaux auront éprouvé de tres petites extensions ou contractions,nbsp;et les longueurs 7' et rr, qui étaient égales auparavant,

cT et J ' étant de tres petites fractions, positives ou negatives, selon que Ie filet moyen et Ie filet CND se

ce qui montre que quand Ie filet moyen naura pas cliangé de longueur, les filets situés du cóté de lanbsp;convexité se seront tous allonges, et les filets situésnbsp;du cóté de la concavité se seront tous raccourcis, lesnbsp;uns et les autes proportionnellement a leurs distancesnbsp;au filet moyen.

Cela posé, rendons invariable la forme de chacune des deux parties de la lame qui répondent a AMM'A'nbsp;et Bmin'B', et que nous appellerons H et K, pournbsp;abréger. La partie H sera immobile; la partie K seranbsp;tiiée vers H , ou en sera repoussée, par la tendance denbsp;la partie intermédiaire M/uzjr'M' a reprendre son étatnbsp;naturel et redevenir une tranche dune épaisseurnbsp;constante y. Le filet Nra de cette tranche tendra a senbsp;contracterou a se dilater, selon quil aura été allongénbsp;OU raccourci, cest-a-dire, selon que la quantité cf'seranbsp;positive ou négative. La partie K sera done tirée dansnbsp;le premier cas, et poussée dans le second cas, par une

force appliquëe au point n ; or, on suppose que cette force, provenant de faction de Nn, est proportion-nelle a la quantile cT' et normale a mnin , comme si cenbsp;filet ]Nn était isolé.

En adoptant cette hypothese, je représenterai par «cf' la force dont il sagit, rapportëe a lunite' de surface , et, conséquemment, par cL^'Adu la force normale exercée sur 1élément transversal de la surface K,nbsp;qui répond au point n; a étant une constante de'pen-dante de la matière de la lame, A salargeui', et ?,du fairenbsp;de eet élement. Si done on désigne par as I epaisseurnbsp;de la lame, et quon représente par T la force totale quinbsp;tirera ou poussera K, selon qu^elle sera positive ounbsp;negative, on aura

Soit, en outre, Ie moment des forces normales a ia surface de K, pris par rapport a faxe transversal éga-lement éloigné des deux faces de la lame; nous auronsnbsp;üussi

On voit par la , i. que la Ibrce T, qui tend a con-tracter ou a dilater une tranche quelconque de la lame, est proportionnelle a 1 extension positive ouné-

gative du filet mojen, et indëpendantedesacourbure; 2°. que son moment /a est, au contraire, indépen-dant de cette extension, et en raison inverse du rayonnbsp;de courbure; 3°. que la matière et la largeur de lanbsp;lame restant les mêmes, la valeur de T est propor-tionnelle a son épaisseur, et celle de au cube denbsp;cette dimension.

Quand Ie filet moyen na pas change de longueur, on a J' =: o et T = o; les forces parallèles qui ti-icnt OU poussent K se rëduisent a deux, ëgales etnbsp;contraires, mais non directement opposées, dont Ienbsp;moment, par rapport a laxe transversal perpendiculaire a ces forces, est toujours égal a pi. Cettenbsp;quantité jlc est ce quon appelle Ie moment de ïé-lasticité, lequel est proporlionnel, en chaque point,nbsp;a la courbure de la lame, on a langle de contin-gence de son filet moyen.

3o8. II est facile actuellement de former les equations déquilibre de cette lame. Dabord, si Ton appelle T'nbsp;ce que devient la force T au point M, on voit que lanbsp;tranche infiniment petite qui rëpond a M/n/ra'M', seranbsp;tirëe ou poussëe, dim cótë par cette force T', et denbsp;lautrc par une force égale et contraire a T; et puis-que , par hypothese , aucune force donnëe nagit surnbsp;cette tranche, il faudra done quon ait T' = T. Ainsinbsp;la force T est constante dans toute la longueur de lanbsp;lame, et, par conséquent, égale a la composantenbsp;suivant cette longueur, de la force donnée qui agitnbsp;a son extrémité libre. La dilatation cT sera aussi constante , proportionnelle a cette force, et positive ounbsp;negative scion que celfe force tendra a allonger ou a

contracter les filets longitudinaux. Elle n'aura aucune influence sur la figure de la lame; mais quand onnbsp;1aura niesurée, elle pourra servir a determiner lanbsp;valeur de la constante a, relative a la matière de lanbsp;larne. En représentant par 'Zër nn poids équivalent anbsp;la force qui tire la lame dans Ie sens de sa longueur,nbsp;et par co laire de chaque section transversale de lanbsp;lame, on aura

Pour déterminer la figure de la lame, menons par Ie point A, dans Ie plan du filet moyen, deux axesnbsp;rectangulaires Aoc et Ajr, dont Ie premier sera tangentnbsp;a la courbe AMB, et représentera la direction de lanbsp;lame dans son état naturel, et dont Ie second seranbsp;tourné du cóté de sa concavité. Soient x et j- lesnbsp;coordonnées rapportées a ces deux axes, dun pointnbsp;quelconque du filet mojen , a etb, celles de son extré-mité libre, que nous prendrons pour Ie point dapplica-tion de la force donnée qui tient la lame en équilibre;nbsp;PetQ les composantes de cette force, snivant les pro-longemens de a et ^),Par ie point qui répond a x etj,nbsp;menons laxe perpendiculaire au plan de la figure,nbsp;auquel répond Ie moment désigné par^, et faisonsnbsp;une section perpendiculaire au filet mojen. Pournbsp;léquilibre de la partie de la lame comprise entre cettenbsp;section et son extrémité libre, il faudra que Ie moment ajouté aux momens de P et Q, par rapportnbsp;au même axe, donne une somme égale^a zéro, en ayantnbsp;égard au sens dans lequel les forces dont ix est Ie mo-

En prenant labscisse x pour la variable indepen-dante, et observant que la lame est convexe vers laxe Ax, on auia

oil Ton regardera Ie radical comme une quantité positive. Si done on substitue cette vaieur dans celle de et celle-ci dans léquation précedenle, et quonnbsp;fasse, pour abre'ger,

¦| aXê = amp; ,

Son integrale contiendra deux constantes arbi-tiaires que lon déterminera par les conditions Js

petitesse de «. En faisant ensuite x =za et j=x b dans cette integrale, on aura une equation en a et b,nbsp;que lon joindra a celle qui résultera de la longueurnbsp;donnée de la lame; on aura alors les deux equationsnbsp;nécessaires pour determiner ces inconnues a amp;ib-, et

3og. Si Ia larne, au lieu detre encastrée, est entièrement libre a sou extrémité A, il faudra pournbsp;la maintenir en équilibre, appliquer a cette extrémiténbsp;une force dont les composantes soient égales et con-traires a P et Q; en prenant lextrémité correspon-dante du filet mojen pour son point dapplication,nbsp;il faudra, de plus, que la résultante de P et Qnbsp;vienne passer par ce point; ce qui exigera quonnbsp;ait

Cette equation sufTira, quand la lame sera rete-nue par un axe fixe, passant par cette extrémité du filet mojen, et dirigé dans le sens de sa lar-geur. Si elle est simplement posée sur un plan perpendiculaire a sa longueur, qui ne Iempeche pas denbsp;tourner autour de Iarete d une de ses deux faces , ilnbsp;faudra que le frottement de cette arete coutre lenbsp;plan, ou une autre force, empêche la lame de glisser

La lame nétant point encastrée, la direction de son plan tangent en A ne sera plus connue; si 1onnbsp;place toujours en ce point Iorigine des coordonne'esnbsp;X etf, on aura encore j = amp; ouj=o, quandnbsp;X = o; mais on ne pourra plus prendre Iaxe des xnbsp;sur la tangente en A , dont la direction ne sera pasnbsp;donnée a priori. Get axe sera alors la direction donnée

devra être remplacée, pour la détermination des coustantes arbitraires, par léquation précédente,

3io. Supposons quon ait P = o; en sorte que la lame soit pliée par une force Q perpendiculaire anbsp;sa direction primitive; ce qui est, par exemple, Ie casnbsp;dune lame horizontale, encastrée par un bout, et anbsp;lautre bout de laquelle on suspend un poidsdonné Q.

Je fais dans ce cas c étant une ligne dont la longueur donnée sera gé-néralement trés grande, a moins que Ie poids Q nenbsp;soit aussi trés considerable. Léquation (i) de-viendra

ds étant lélément différentiel de la courbe. Ces formules sintégreront exactementparle moyen desfonc-tions elliptiques; mais a cause de la grandeur de c, ona. s = x f a trés peu prés, et lon peut réduire a

La lame sécartera peu de la direction horizontale; labscisse a pourra être prise pour sa longueur, elnbsp;1ordonnée b exprimera son plus grand écart. A causenbsp;de

dans Ie cas de = ö et ^ = b. II en re'sulte done que la nature de la lame restant la même, la quan-tité b dont elle fléchira sera proportionnelle au poidsnbsp;Q et au cube de la longueur a, et en raison inversenbsp;du carré de son épaisseur et de laire co de sa sectionnbsp;tranversale.

quon appelle h Tallongement total de la lame, produit par un poids lt;Ztr, on aura

En supposant «zsr = Q, on en conclura que si un même poids Q, applique a lextrémité libre dunenbsp;lame élastique, agit successivement dans ie sens de sa

longueur et perpendiculairement a sa longueur, lextension h et la flexion h, supposées trés pelitesnbsp;par rapport a la longueur a, seront entre elles commcnbsp;les carrés de lépaisseur et de cette longueur.

5i 1, Quelles que soieat les forces P et Q, on olgt; liendra toujours une integrale première de léqua-lion (i) en la réduisant a la forme de léquation (2)nbsp;par la transformation des coordonnees. Nous nousnbsp;bornerons a considérer Ie cas oü la lame, appuyéenbsp;contre un plan et nou encastrée, sécarte peu de sanbsp;forme naturelle. Ce sera, par exemple, un ressortnbsp;posé sur un plan horizontal par son extrémité inférieure A, et chargé dun poids donné a son extrémité supérieure B. On suppose quen se pliant sousnbsp;cette charge, Ie ressort sécarte trés peu de la verticale AB, et que dans toute sa longueur, la tangentenbsp;a la courbe quil forme dans son état déquilibre,nbsp;fait un trés petit angle avec cette ligne droite. Lanbsp;figure 78 représente différentes formes quil peutnbsp;prendre dans eet état.

Prenons pour axes des oc et des j , la verticale Ax dirigée en sens contraire de la pesanteur, et lhori-

zontale Ajquot;. La quantité ^ sera trés petite, par hypothese ; nous négligerons son carré dans 1équa-lion (i); on aura aussi Q = o , puisque la force qui agit a rextrémité B est verticale; en vertu de lé-quation Qa Yb du n° SoQ, il sensuivra Z» = o;nbsp;et comme Ie poids P sera dirigé de B vers A, il fau-dra changer Ie signe de cette force dans léquation (1),nbsp;qui la suppose dirigée en sens contraire. De cette

On représente ici par co Faire de la section du ressort, perpendiculaire a sa longueur; par e sanbsp;demi-épaisseur, dans Ie sens oü il est plié; et parnbsp;a une quantité dépendante de la matière dont il estnbsp;formé. Ces trois quantités sont supposées constantes,nbsp;et par suite c est une ligne de grandeur constantenbsp;et donnée.

c nbsp;nbsp;nbsp;axnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cnbsp;k étant une constante arbitraire qui doit étre nulle ounbsp;tres petite par rapport a c.

Quand on aura k = o, Ie ressort restera droit, et sa longueur AB sera un peu diniinuée par la pressionnbsp;du poids P. Lorsque ce coefficient k ne sera pas nul,nbsp;Ie ressort se pHera; au point B, on aura ^ etnbsp;J nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;en dësignant par i un nombre entier, il

pour la valeur de a ou de AB. Si Fon appelle l la longueur du ressort, on aura aussi

' = I v/' £ nbsp;nbsp;nbsp;/.V' quot;¦^lt;^'-7'^

en négligeant la quatrième puissance de -, et met-tant pour a sa valeur, 11 vient

s/l-

1°. Tant que l sera moindre que c, la formule (3) sera imaginaire pour toutes les valeurs du nombrenbsp;entier on ne pourra pas prendre Ie coefficient knbsp;different de ze'ro, et Ie ressort ne sera pas plie' par Ienbsp;poids P.

2°. Soit paree quon aura augmenté la longueur du ressort, soit paree quon aura dlminué la quantity c en faisant croitre Ie poids P, supposons que lnbsp;surpasse c; la valeur de k, différente de zéro et quinbsp;iépond a £ = i, sera réelle, et Ie ressort pourra êtrenbsp;plié par ce poids. En désignant par f une fractionnbsp;tres petite, el faisant

OU Ton voit quelle ne coupera pas la verticale entre les deux points A et B.

3°. Le rapport ^ continuant a croitre, sil vient a

surpasser 2, la valeur de A qui répond k i ~ 2 sera réelle, et le ressort pourra prendre une figure différente de la prece'dente. En désignant par f une fraction tres petite, et faisant

ce qui montre que, dans ce cas, la courbe coupera la verticale au milieu de AB, qui répond a x=.\a.

4'quot;. En continuant ainsi, on voit que si l surpasse un peu ic, et quen désignant par lt;p une trés petitenbsp;fraction, on ait

H- -J-),

on pourra prendre

equation d une courbe qui coupera la droile AB en un nombre i 1 de points équidistans, y comprisnbsp;A et B.

Lorsque l surpasse un multiple de c dune quantile qui nest pas tres petite, la valeur de k, donnée par la formule (3), cesse detre tres petite par rapport a c; et celle de ^ nétant plus alors une tres

petite fraction, la figure du ressort ne peut plus être détermine'e par lanaljse précédente. II faut observer que, dans tous les cas, la figure rectiligne,nbsp;qui répond a A: o , est possible ; mais elle nestnbsp;stable et nécessaire que quand l est moindre que c.

3i5. On entend par la force dun ressort, suppose vertical pour fixer les idees, Ie plus grand poids quil peut supporter sans fléchir. Ce poids Pnbsp;est determine par léquation c=l, qui donne

oü lon voit que, loutes choses dailieurs égales, la force dun ressort est en raison inverse du carré denbsp;sa longueur. Le ressort étant un parallélépipède rectangle, on voit aussi que si lon essaie de plier suc-cessivement les faces adjacentes, sa force sera pro-portionnelle au carré de Tépaisseur perpendiculaire anbsp;la face quon voudra plier.

Quant a la grandeur absolue de P, on la calculera en mettant dans la formule précédente la valeur denbsp;a,, que lon déduit soit de 1extension h de ce ressort,nbsp;soit de sa flexion h, qne produirait un poids 'Z«r; or,

3i4- Les résultats du n° 807 sétendent aisément a une verge élastique, lorsquon la suppose droite ounbsp;a simple courbure dans son état naturel, et quen lanbsp;pliant elle reste encore a simple courbure et néprouvenbsp;aucune torsion.

On prendra, dans ce cas, pour Ie filet mojen, celui qui passe par les centres de gravité de toutes les sections perpendiculalres a sa longueur, lesquellesnbsp;pouiTont être constantes ou variables, pourvu quennbsp;chaque point leurs dimensions soient tres petites parnbsp;rapport au rayon de courbure de ia verge. Soit lt;xgt;nbsp;laire de Tune de ces sections, faite par un point quel-conque du filet moyen ; décomposons agt; en élémensnbsp;perpendiculaires au plan de ce filet; et soit vdu lairenbsp;de Télément qui répond a la distance u de ce mêmenbsp;filet; la variable u pouvant être positive ou negative,nbsp;et V désignant une fonction donnée de u. Soientnbsp;aussi A et k' les valeurs extremes de u; nousnbsp;aurons

= cti,

la seconde equation resultant de ce que lorigine de la variable u est Ie centre de gravité de a.

tés que dans Ie n® 5oj, et par y, y', r, ce quétaient cr, er', f, dans le'tat naturel de la verge élastique; onnbsp;aura, pour les deux états de cette verge,

Si dönc on négligé les produits ^ et , on en dé-duira valeur qui coincide avec celle du numéro cité, dansnbsp;Ie cas 'de la veree naturellement droite, oü 1on anbsp;r = co.

Soit encore T la somme des forces perpendiculaires a O) qui tirent ou poussent Tune des deux parties denbsp;la verge, séparées par cette section normale. Appe-lons (z Ie moment de ces forces par rapport a laxenbsp;passant par Ie centre de gravité de ft), et perpendiculaires au plan du filet moyen; daprès lhjpothèsenbsp;du n° 307, on aura

CL étant une quantité dépendante de la matière de la verge, quon suppose constante dans létendue denbsp;chaque section co, mais qui pourra varier dun pointnbsp;a un autre du filet moyen. En substituant pour cT'

Quand la verge élastique sera a double courbure , dans soa état naturel ou après son changement de figure, la force T aura encore la même expression; denbsp;plus, Ie filet mojen étant toujours celui qui passenbsp;par les centres de gravité de toutes les sections nor-males, et en dësignant par r el f ses rayons de courbure en un même point, avant et après ce changement , on pourra prendre cette expression de fjt, pournbsp;Ie moment de Iélasticité par rapport a un axe passant par ce point et perpendiculaire au plan oscula-teur du filet mojen ; mais il faudra, en outre, avoirnbsp;égard a la torsion de la verge, comme nous Ie feronsnbsp;tout a lheure.

3i5. En comparant celte valeur de k celle du n° 307, on voit que léquation diffe'rentielle secondenbsp;de la courbe plane formee par Ie filet mojen d unenbsp;verge élastique qui na éprouvc auciine torsion, nenbsp;différera de celle qui répond a la lame élastique pro-

épaisseur s. Si la verge est homogène, et quelle soit, dans son état naturel, un prisme ou un cjlindre al-

Jonge, les trois quantités a, agt;, q, seront constantes, et Ton aura r = co . On en conclut que la flexionnbsp;dune verge naturellemenl droite, produite par unnbsp;poids Q perpendiculaire a sa direction, et la force denbsp;ce ressort, se déduiront des valeurs de 6 et P trou-vées dans les n°® 3io et 5i3, en j mettant ^ a la placenbsp;de £. Par cette substitution, l étant la longueur denbsp;cette verge, on aura

Pour deux verges dlfférentes, mais de même longueur, les flexions produites par un même poids seront done en raison inverse des forces de iessort; en sorfe quil suffira de comparer entre elles les grandeurs de ces forces, dans les dlfférentes hypotheses surnbsp;Ie contour de la section normale.

Supposons que la section normale soit un triangle isocèle, et quon veullle plier la verge, de manièrenbsp;que la face correspondante a la base de ce triangle de-vienne une surface cylindrique, concave ou convexe.nbsp;Soient a et c la base et la hauteur de ce triangle.nbsp;Dans Je cas de la convexité, vers laquelie sont diri-gées les valeurs positives de u (n Soy), nous aurons

A' = 5C, nbsp;nbsp;nbsp;

ce qui montre que, dans ce second cas, la force du ressort est triple de celle qui a lieu dans Ie premier.

Si la section normale est un carré représenté par *, et quil s'agisse de plier Ie ressort, de sorte quenbsp;deux de ses faces opposées deviennent des surfacesnbsp;cylindriques, on aura

et en supposant faire de la section normale égale dans les deux cas, de sorte quon ait = onnbsp;voit que ia force de ressort qui a lieu dans Ie premiernbsp;cas surpasse celle qui ré pond au second, dans Ie rapport de TT h 5.

Supposons encore que Ie ressort cylindrique soit un tuyau creux, dont les surfaces concentriques, in-térieure et extérieure, aient g et g' pour rayons.nbsp;Pour avoir la force de ce ressort, il faudra mettre

successivement g et g' a la place de k daus la dernière valeur de P, et retrancher les rësultats lun de lautre;nbsp;ce qui donne

p _ nbsp;nbsp;nbsp;4- ag-')

doü lon conclut que Ie volume, la longueur et 1» matiere étant les mêmes, la force dun ressort creuxnbsp;est plus grande que celle dun ressort plein, dans Ie

3i6. Formons maintenant les equations déqui-libre d une verge élastique quelconque, dont tous les points sont sollicités par des forces données.

Appelons A et B les deux extrémités du filet moyen. Soienta?,y^, z, lestrois coordonnées rectangulairesdunnbsp;point quelconque M de Cette courbe, s FaiC AM, conbsp;la section normale de la verge faite par Ie point M,nbsp;y sa densité en ce point, et, conséquemment, ycodsnbsp;la masse dune tranche infiniment mince de la verge.nbsp;Désignons par ILyaids, Yyoods, Zycods, les forces données qui agissent sur cette masse parallèlement auxnbsp;axes des x, j, z, de sorte que X, Y, Z, soient cesnbsp;forces rapportées a lunité de masse. La somme denbsp;leurs composantes, suivant la tangente en M aunbsp;filet moyen, et tendant a augmenter 1arc s, sera

Representons aussi pai' T la force provenant de lac--tlon dune partie de la verge sur la partle adjacente, appliquëe a Tune des faces de la tranche ycads, perpendiculaire a et tendant a diminuer ou a aug-menter larc seloii quelle est positive ou ne'gative.nbsp;Lautre face de yccds sera tirée ou poussée en sensnbsp;contraire par une force égale a T -f- dT; par conséquent, pour léquilibre de cette tranche, il faudraquenbsp;la force dT soit égale et contraire a la force tangen-tielle donnée, ou quon ait

A cause du peu dextensibilité de la matière de la verge, on pourra prendre, dans cette équation (a),nbsp;pour ^ et « la densité et la section normale de lanbsp;verge au point M, dans son état naturel. Si ces deuxnbsp;quantités sont constantes, et que la formule comprise entre les parentheses soit une différentiellenbsp;exacte, on obtiendra, par lintégration immédiate, lanbsp;valeur de T; i;t, paree que Ton a T=a®£f (n° 307),nbsp;on en conclura la dilatation positive ou negative denbsp;Télément ds, qui se sera allonge dans Ie rapport denbsp;I eP a 1unité ; mais cela ne fera pas connaitre lanbsp;dilatation de la section normale «, ni Ie changement de densité de la verge au point M. Or, daprèsnbsp;ce que jai fait voir dans Ie Mémoire cité au commencement de ce paragraphe, lallongement ou Ie rac-

courcissenient de ds est toujours accompagné dune diminution ou dune augmentation de co, mais telle,nbsp;que Ie volume mds variera dans Ie même sens quenbsp;ds, et la dcnsité y, en sens inverse. II sensuit quenbsp;quand une verge homogene, prismatique ou cjlin-drique, est attachée par un bout, et tirée a son autrenbsp;extrémité par une force dirigée suivant Ie prolonge-ment de sa longueur, elle éprouvera, a la fois, unenbsp;extension et une augmentation de volume, propor-tionnelles a cette force j ce qui a eté effectivementnbsp;confirmé par rexpé'rience. Réciproquement, si cettenbsp;verge est posée verticalement sur un plan horizontal,nbsp;et chargée dun poids a sa partie supérieure, qui nenbsp;la fasse pas plier, elle se raccourcira , et, en mêmenbsp;temps, son volume sera diminué proportionnelle-ment a la grandeur de ce poids.

Siy. Prenons sur larc AM du filet mojen un point m infiniment voisin de M; par ce point m , faisonsnbsp;une section normale; et concevons que la partie denbsp;la verge comprise entre cette section et Textrémité A,nbsp;soit rendue tout-a-fait immobile, et que la partienbsp;comprise entre lautre bout B et la section faite parnbsp;Ie point M, devienne seulement de forme invariable.nbsp;Cela étant, cherchons les conditions déquilibre denbsp;cette seconde partie, que nous appelierons K.

En vertu de la torsion de la verge, les points de la tranche comprise entre les deux sections normalesnbsp;faites par M et m, serontsollicités par des forces quinbsp;tendront a détordre ses différens filets longitudinaux,nbsp;et agiront dans des plans perpendiculaires a Mm,nbsp;cest-a-dire, a la tangenle en M au filet moyen. Ces

forces tendront a faire tourner K autour de cette droite, en sens contraire de la torsion. Soit t leurnbsp;moment par rapport a cette droite, que lon ap-pellera Ie moment de la torsion de la vei'ge, cor-respondant au point M. Si Fon mène par ce pointnbsp;des parallèles aux axes des x, j, z, et si lon observe que Faxe de cc moment fait, avec ces droites,

pour les momens par rapport a ces trois parallèles, des forces qui agissent sur K dans Ie sens de la torsion,

Dèsignons par //., Ie moment de 1élasticité relatif au point M, cest-a-dire, Ie moment des forces dont Tnbsp;est la somme, par rapport a un axe mené par ce pointnbsp;et perpendiculaire au plan osculateur du filet mojen;nbsp;r et p étant les rayons de courbure en ce même point,nbsp;dans 1état naturel et après Ie changement de formenbsp;de la lame, et ^ de'signant une quantité positive, dependant de la matière et de la section normale aunbsp;point M, nous aurons (n® 3t4)

et si Fon appelle , g, h, les angles que laxe de ce moment fait avec les parallèles aux axes des x,j^z,nbsp;mencs par Ie point M, les momens de Félasticitè parnbsp;rapport a ces trois droites seront

Soient M' un point quelconque de 1arc MB; z', ses trols coordonnëes; s' larc AM', et y*, a', X',nbsp;Y', Z', ce que deviennent y, co, X, Y,Z, relati-venient a M'. En appelant Zla longueur totale du filetnbsp;moyen, et faisant

ces nbsp;nbsp;nbsp;trois quantitésnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X^, Y^, Z^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;serontnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;momens

des forces donnëes qui agissent sur K, par rapport aux axes menés par Ie point M, suivant les directionsnbsp;des X, j, z.

Enfin, supposons que des forces particulières agissent a Textrérnité libre de K; représentons par P, Q, R, les sommes de leurs composantes parallèlesnbsp;aux axes des x ,j,z, et par a', b', c', les coordonnëesnbsp;du point dapplication de leur résultante; leurs momens par rapport aux mêmes axes que Z^, Y,, X^,nbsp;seront

Q («' nbsp;nbsp;nbsp; ¦^)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Zgt;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; jr),

P (c' nbsp;nbsp;nbsp; z)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{a!nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; x),

R nbsp;nbsp;nbsp;- J)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Qnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(^'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-

et si lon dësigne par a, h, c, les coordonnëes de lextrémité B du filet moyen, on pourra remplacernbsp;ces momens par

Q (a nbsp;nbsp;nbsp;3c) P (ènbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-h

P (c nbsp;nbsp;nbsp;z) R (anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jc)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Q',

Q (a' _ nbsp;nbsp;nbsp;fl) _ P (b'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;b)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z=:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;R',

Généralement, les coordonnées a', b\ c', seront distinctes de a, h ,c, paree que les forces extremesnbsp;P, Q, R, ne seront pas appliquées immédiateraent anbsp;la verge élastique, et quelles agiront aux extre'mite'snbsp;de bras de levier. Soit que ccs forces aient ou nonnbsp;une résultante unique, les quantités P', Q', R', serontnbsp;leurs momeus par rapport a des axes menés par Ienbsp;point B, parallèlement a ceux des ac, j, z,; si donenbsp;on suppose quon ait en ce point

cette quantité L exprimera Ie moment des forces ex-trémes par rapport a la tangente au point B (n 281); dou lon peut déja conclure que L sera Ie momentnbsp;de la torsion extréme, oü la valeur de r relative a cenbsp;même point.

élastique, il faudra que la somme des momens par rapport a chaque axe, de toutes les forces qui agis-sent sur ses différentes tranches et a ses extrëmités ,nbsp;soit égale a zéro; ce qui donne ces trois équations

gt;.ds^ étant la racine carrée de la somme des carrés des trois numérateurs. II en résulte

Cl nbsp;nbsp;nbsp;*nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Tquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'y~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cl*'Tquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;T~nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;T Clnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;=:nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;O.

Si done on ajoute les diffe'rentielles des equations {b), après les avoir multipHees parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;on aura,

mais a cause que les quantités soumises a linte'gration dans les expressions de X^, Y^, Z^, s evanouissent anbsp;la limite / = ^, il suffit (n i4) de difFérentier sousnbsp;les signes / par rapport 'a x, f, z, pour obtenir lesnbsp;valeurs denbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dX.^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dY^, dZ^; on anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;done simplement

dX^ nbsp;nbsp;nbsp;dznbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Y'y'oü'ds'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dj Z'y'cü'ds',

dY^ =z= nbsp;nbsp;nbsp;dxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Z'y'co'ds'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dz J'^X'y'co'ds',

dZj^ nbsp;nbsp;nbsp;djnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;X'y'a'ds'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dx J^Y'y'co'ds';

et en substituant ces valeurs dans le'quation precé-dente, elle se réduit adr=xo.

Ainsi Ie moment de ia torsion est constant dans toute la longueur dune verge élastique en equilibre,nbsp;quelles que soient les forces qui j sont appliquées.

Sa valeur sera done partout la même qua chacun des deux bouts de la verge; et il est facile de verifiernbsp;quau point B, on a t = L, comme on la dit plusnbsp;haut. En effet, en ce point, on a, x a, j 7= h,

4o..

A cause que la normale au plan osculateur du filet moyen et la tangente a cette courbe, sont perpendi-culaires Tune a Fautre, on a, en ce même point B,

en ajoutant done les equations precédentes, après les avoir multipliées par cos a', cos ê', cos y', la quantiténbsp;IJL disparaitra , et, daprès la valeur de L, on auranbsp;X = L.

Le moment de la torsion peut seul se déduire des equationsdéquilibre; quanta la torsion elle-même,sanbsp;grandeur est variable le long de la verge, lorsque lanbsp;matière ou la section normale varie dun point a unnbsp;autre. Si la verge est homogene, et que la section normale solt constante, la difference des angles de torsionnbsp;est la mêmeaux extrémltës de deux parties de la verge,nbsp;dégales longueurs, et proportionnelle aux longueurs,nbsp;quand elles sont diffërentes. Supposons, pour fixernbsp;les idees, quune verge homogène, prismatique ounbsp;cyllndrique, soit encastrée par un bout, et quonnbsp;applique a son autre extrémlté deux forces égales,nbsp;parallèles et contraires, agissant a distances égales elnbsp;de deux cótés differens; cette verge restera droite;nbsp;maïs elle se tordra sur elle-même, proportionnelle-ment a sa longueur et au moment de ces deux forces

par rapport a son filet moyen, lequel moment sera la valeur de la quantité L. Jai trouvé, en outre, dans Ienbsp;Mémoire déja cite (n® 3o6), que si la section normalenbsp;de cette verge est un eerde, la quantité de la torsionnbsp;sera proportionnelle, toutes choses dailleurs cgales,nbsp;a la quatrième puissance de son diaraètre; ce quinbsp;est conforme a lexpérience.

319. Deux des equations (b), ou deux coinbinai-sons quelconques de ces equations, après quon y aura substitué la valeur de fx et mis L a la place de t,nbsp;serviront a determiner la figure de la verge en équi-libre. Si elle est droite dans son état naturel, et quenbsp;toutes les forces quiy sont appliquées soient comprisesnbsp;dans un méme plan , les trois equations (b) se rédui-ront a une seule, qui sera celle de la courbe planenbsp;formée par Ie filet moyen.

z = o, cosfz= o, cos g = o, c = o, c' = o, R = o, cos y' = o;nbsp;doü il résultera

on aura aussi cos ^ = d= i ; maïs en ayant égard au sens de Faction de T sur la partie K de la vergenbsp;(n 3i4), il est aisé de voir quil faudra prendrenbsp;cos h = 1 dansla troisième équation (^), qa

ct Ton remarquera quen conservant les notations du n° 3i4, Ic coefficient ë aura pour valeur

Lorsque les forces X et Y seront nulles, cette equation (c) coïncidera avec léquation (i) du n° 3o8, en observant que dans celle-ci, les forces P et Qagissentnbsp;a lextrémité même de la verge, ce qui rend nul leurnbsp;moment R'. Dans tousles cas, on fera disparaitre parnbsp;des differentiations, les intégrales contenues dansnbsp;cette equation (c), qui se changera par la en unenbsp;equation différentielle du quatrième ordre.

La figure de la verge étant déterrainée par léqua-tion (c), il faudra en outre que les forces données qui y sont appliquées, satisfassent aux conditionsnbsp;déquilibre du n 261 , qui se reduisent a trois, anbsp;cause que ces forces sont toutes comprises dans unnbsp;même plan. Désignons done par D et E les sommesnbsp;des forces particulières qui agisseut a 1extrëmité Anbsp;de la verge, paiallèlement aux axes des x et j,nbsp;et par F' leur moment par rapport a ce point A ,nbsp;de manière que D, E, i', soient a lëgard de cenbsp;point, ce que P, Q, R', sont relativement a lautrenbsp;extrémité B; les trois equations dont il sagit se~nbsp;ront

Lorsque les deux bouts de la verge seront entière-ment libres, les forces extrêmes et leurs momens seront donnés. Si la verge est encastrée a son extré-mité A, les forces D et E, ainsi que leur moment F', seront indélerminés; mais on connaitra les valeurs

seulement retenue par Ie point fixe A, les forces D et E seront encore indéterminées; leur résultante seranbsp;égale et contraire a la charge de ce point dappui,nbsp;dont elle exprimera la résistance, et lon aura F'= onbsp;pour leur moment : on connaitra alors les valeurs

320. Supposons, par exemple, que la verge soit homogene et naturelleraent prismatique ou cjlin-drique; ce qui rendra constantes les trois quantitesnbsp;y, u), ë. Supposons, en outre, quelle ne soit sou-mise qua des forces perpendiculaires a sa longueur,nbsp;qui lécartent trés peu de sa position primitive; etnbsp;prenons pour laxe des x, Ie filet raoyen dans cette

ce qui fait disparaitre la première equation (d). En négligeant Ie carré de ^; on aura aussi

ds =id3C, i = nbsp;nbsp;nbsp;.

^ ^ = nbsp;nbsp;nbsp;fy{cc'-x)ds'. (e)

Les quatre constantes arbitraires que contiendra rintégrale complete de cette dernière equation , senbsp;détermineront daprès les conditions relatives auxnbsp;deux bouts de la verge, et en observant que la va-leur de^ tirée de cette equation devra satisfaire auxnbsp;deux précédentes pour toutes les valeurs de x. Or,nbsp;léqualion () resultant des deux autres par la diflé-

rentiatton, il suflfira, pour cela, que cette valeur de^ satisfasse a celles-ci pour une vaieur particuliere de oc;nbsp;il suffira done quon ait

«S=-Q, fe)

pour x a-, conditions qui résultentde le'quation (e) et de sa diffërentielle première, en y donnant a xnbsp;cette valeur particuliere. Si lon y donne a o; la valeur relative au point A, et quon ait égard aux equations {d), on aura

mais ces equations nexpriment pas de nouvelles conditions distinctes de celles que renferment les equations [d) et (g), que lon pourra, si Ton veut, rem-placer par Ie système des equations (g) et [li).

Sai. Ces formules compreunent Ie cas de la verge pesante. Alors, je suppose Ie point A fixe, et jy placenbsp;lorigine des coordonnées x et jr; je suppose aussinbsp;que laxe des x, qui représente la direction naturelle de la verge, soit horizontal; je prends laxe desnbsp;j positives dans Ie sens de la pesanteur, et je repre'-sente cette force par g. On aura Y = g, et Tintégralenbsp;de léquation () sera

C, C', Cquot;, désignant trois constantes aibitraires, et la quatrièrne étant nulle, a cause quon a == o etnbsp;y = o au point A.

résulte Cquot;= o. Supposons, en outre, que Ie poids Q solt attaché immédiatement a lautre extrémité B,nbsp;de sorte que son moment R.' soit zéro; en verlunbsp;des équations (g), qui répondent a ce point, ou a

Je tire de la les valeurs de C et C'; je les substitue dans léquation (i), dont je supprime Ie terme Cquot;ar;nbsp;jappelle /jf Ie poids de la verge , de sorte quon altnbsp;^ z= gyctgt;a ¦ 11 vient

équation qui coincide avec celle du n° 5io, quand on négligé Ie poids de Ia verge, et quon y met Qcnbsp;a la place de ë.

pour l ordonnée du point B, qui exprime la flexion totale de la verge. En supposant Q = 9, on volt donenbsp;que les flexions produites par un poids Q suspendunbsp;a rextrémité libre d utie verge horizontale encastréenbsp;par son autre bout, et, par ce même poids, répartinbsp;uniformément sur toute la longueur de cette verge,nbsp;sont entre elles comme 8 est a 5.

322. Si Ie point B est fixe comme Ie point A, et sllué sur la même horizontale, il faudra quon aitnbsp;j=o quand x a-, ce qui change léquation (i)nbsp;en celle-ci:

= ifa nbsp;nbsp;nbsp; Cx (xa*) C'x(x a); (2)

q étant toujours Ie poids de la verge. La determination des deux constantes C et C' pre'sentera les cas sul vans.

1°. Quand la verge est encastrée a ses deux bouts, il faut quon ait ^ o pour x = o et pour x = a;nbsp;on tire de la

En appelant f la flèche de la courbe forraëe par cette verge, cest-a-dire, la valeur dejr qui re'pond a sonnbsp;milieu, ou a x on aura

2. Si la verge est slmplement retenue par les points fixes A et B, les charges de ces points dappui serontnbsp;les forces E et Q, prises en sens contraire de leurs directions, et leurs momens F' et R' seront nuls (n 31 g).nbsp;En verlu des premières e'quations (g) et (A), on aura

cest-a-dire, quintuple de celle qui avait lieu dans Ie premier cas. Daprès les dernières equations (g) etnbsp;(^), on aura aussi

valeurs qui ont aussi lieu dans Ie premier cas, et qui sent évidentes en elles-mêmes.

ce qui montre que Ie poids de la verge se partage inégalement entre les deux points dappui, et que lanbsp;charge de lextrémité encastrée est plus grande quenbsp;celle de lautre, dans Ie rapport de 5 a 5.

325. En supposant toujours les points A et B fixes et situés sur une inême horizontale, et la verge homogene et prismatique, considérons Ie cas ou lesnbsp;autres points sont charg,és de poids inégalement dis-tribués dans toute la longueur.

(px étant une fonction donnée qui sévanouit quand X O et quand xz=a, et q désignant Ie poidsnbsp;total, ce qui suppose

Cette fonction lt;px pourra être continue ou discontinue , cest-a-dire que son expression analjtique pourra changer une ou plusieurs fois entre les valeursnbsp;extremes 27 = oet2? = a;ou, autrement dit, si onnbsp;la représente par lordonnée dune ligne dont x soitnbsp;labscisse, cette ligne pourra se composer de plusieurs poitipns de courbes differentes. Si 1on désignenbsp;par sT une ligne dune longueur aussi petite quonnbsp;voudra, nöus pourrons supposer, par exemple, quenbsp;lt;px soit zéro depuis x == o jusqua xnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; «T, et

depuis X = I ö 4- cf j usqua x~a, de sorte que cette fonction nait de valeurs differentes de zéro que dansnbsp;une tres petite étendue S' de part et dautre de x=\a.

Ce cas sera celui dun poids q agissanl au milieu de la verge élastique , que nous examinerons tout anbsp;lheure en particulier.

Quelle que soit la fonction (px, continue ou discontinue , pourvu quelle soit nulle pour x~o et pour X a, on aura, depuis x o jusqua x~anbsp;inclusivement,

n étant un nombre entier et positif, et la caracléris-tique 2 indiquant une somme qui sétend a toutes les valeurs de n, depuis n=.\ jusqua n xgt;. Cette formule est due a Lagrange, qui la donnée dans les anciens Mémoires de lAcadémie de Turin (*); nous lanbsp;démontrerons plus bas. En en faisant usage , 1équa-tion () devient

dir

C et C' étant des constantes arbitraires que lon dé-terminera comme dans les trois cas du numéro précédent.

suspendu au milieu de la verge, cest-a-dire, Ie cas oü, comme on vient de Ie dire, la fonctiou lt;pa:' estnbsp;nulle pour toutes les valeurs de x' qui différent unnbsp;tant soit peu de a.

On pourra alors faire x' = \ a dans Ie facteur sin que renferme linte'grale relative a x' cenbsp;qui donnera

et fera disparaitre tous les termes de la somme 2 qui répondent a des nombres pairs n. Je designe par i unnbsp;nombre pair ou impair; je fais n=i2.iet jétendsnbsp;la somme 2 a toutes les valeurs de i, depuis i=\

pour toutes les valeurs de co, depuis « = o jusqua Sidonc on anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;on fera ft) = et lon

= x{ax)[C.r C'(aa:)] ^ nbsp;nbsp;nbsp;Za'x)

Sj x(aa:)[Car C'(iiar)] ^ [4(tix^3d{aa:)].

II ne restera done plus qua determiner les cons-tantes C et C' dans les trois cas suivans :

:o pour a:==o et pour xz=a,

qui a lieu quand la verge est encastre'e a ses deux extréniités, donne

C' = C = -I.

Les equations (i) deviendront

4:^'

cest-a-dlre, double de celle qul avait lieu dans ie premier cas du nquot; 322. En vertu des secondes equations (g) et (k), on aura aussi

2®. Dans Ie cas de la verge simplement retenue par ses deux bouts, oü lon doit avoirnbsp;; O et pour x = a , il en résultenbsp;C = o , C' = o,nbsp;et, par conséquent,

(3ax 4^®),

~ 1.

La tangente au milieu de la courbe est horizontale, et les valeurs de Q et E sont ^q, comme dans Ie premier cas; mais la flèche a pour valeur

j p:?

en sorle quclle est quadruple de la précédente, et plus grande dans Ie rapport de 8 a 5, que celle dunbsp;second cas du nquot; 322. Si lon mène une tangente a lanbsp;courbe élastique, par lun ou lautre des points Anbsp;et B; que Ton appelle a son inclinaison, et quon

en sorte que Ie poids q se partagera dans Ie rapport de 11 'a 5 entre les points dappui A et B.

SaS. Nous allons maintenant démontrer la formule de Lagrange, citée pre'ce'demment.

qui est une fraction rationnelle par rapport 'a h, et dans laquelle Q désigne un angle reel. Son développe-ment suivant les puissances de h sera

ce quon peut aise'ment verifier; car si lon multiplie cette série infinie par Ie dénominateur i 2^ cos 6 ^nbsp;de la fraction, on retrouve son numérateur, en observant quon a

quelque soit Ie nombre n. Si h est moindre que Tunité, abstraction faite du signe, cette série sera convergente , et la fraction sera rigoureusement égale a sonnbsp;développement prolongé a linfini; a cause de

I 2^ cos 9 nbsp;nbsp;nbsp;= (I ~ hy -f- 4^ sin* 19,

la somrae 2 sétendant a toutes les valeurs du nombre entier n, depuis n= 1 jusqua «= 00 . Quelles quenbsp;soient la fonction 9 et la constante réelle a, on aura

4...

Soit g une quantité positive et infiniment petite; cette equation subsistera encore en y faisant A=ig,nbsp;puisquelle a lieu pour toute valeur de h moindre quenbsp;iunitë. Pour toutes les valeurs finies de w, on aura

kquot; z= {i gY = i ;

pour des valeurs infinies de eet exposant, Aquot; pourra dilFérer de lunité, mais en integrant par partie ,nbsp;on a

en sorte que si amp; ne devient point infinie, entre les li-mites 6 = o et G = '7r, ni pour ees limites, lintégrale

pour n = cc ; doü il résulte quon pourra toujours reujplacer A par lunité sous Ie signe 2. Au nuraéra-teur de la fraction comprise sous Ie signe , on auranbsp;ï^' = 2g, en négligeant g par rapport a ag;nbsp;dans Ie second terme du dénominateur, on pourranbsp;mettre Punité au lieu de A ou i g; et, de cette ma-nière, nous aurons

Le coefficient de sous cette dernièie integrale est infiniment petit, excepté pour les valeurs de G

infiniment peu difierentes de a, qui rendent son dé-nominateur infiniment petit; cêtte integrale est done infiniment petite ou nulle, tant que la differencenbsp;fl a est une quantité tinie; ce qui aura lieu dansnbsp;toute létendue de lintégration , lorsquon supposeranbsp;a lt; o, OU a gt; TT; done toutes les fois que la cons«-tante a, tombera en dehors des limites zéro et onnbsp;aura Tequation

Si, au contraire, on a a gt; o et lt;; tt, il y aura des valeurs de ö qui différeront infiniment peunbsp;de a; en faisant done

lintégrale dont il sagit sévanouira encore pour les valeurs finies de «, mais non plus pour les valeursnbsp;infiniment petites de cette vaiiable, positives ou negatives j a léga.rd de celles-cl, on aura

^ J g* ¦ ¦ '

lorsque a. tombe entre zéro et tt. Or, cette intégrale étant nulle pour toute valeur de u qui nest pointnbsp;infiniment petite, nous pouvons maintenant létendre,nbsp;sans en altérer la valeur, a des valeurs quelconquesnbsp;de u, positives ou negatives, et la prendre, si nous

Ce raisonnement conviendra encore au cas oü a coincide avec une des deux limites ze'ro ou -tt ;nbsp;mais si lon a a = o, on ne pourra donner a u quenbsp;des valeurs positives, et seulement des valeurs negatives , si Ton a a = TT, afin que dans ces deuxnbsp;cas, la variable 6 quon a faite égale a a-|-M, ne sorlenbsp;pas des limites de lintégration. De cette manière,nbsp;lintégrale relative k m se trouvera réduite a la moitiénbsp;de sa valeur, ou a et si lon représente parnbsp; ei y les valeurs de fct qui répondent a ct = o etnbsp;a il en résultera

A-i) =

tJon (2) et ^ dans Tequalion (3); en observant que les limites relatives a x' seront zéro et a, nous aurons

(px sm^ ax j sm~ = px;

326. Cette formule représente les valeurs de la fonction lt;px, pour toutes les valeurs de la variablenbsp;X, qul sont positives et moindres que a, et mêmenbsp;pour X = o et x = a, lorsque lt;px sera nulle pournbsp;ces valeurs extremes. II est important dobserver quenbsp;la série indiquée par 2, finira toujours par être convergente: car pour de trés grandes valeuis de n, lin-tégrale relative a x' deviendra une trés petite quan-tité, qui diminuera de plus en plus a mesure quenbsp;n augmenlera, et qui sera tout-a-fait nulle pournbsp;n = co , comme on 1a vu plus baut au mojen denbsp;lintégration par partie. Cette remarque est nécessairenbsp;et suffit pour justifier lemploi cjuon fera de la formule précédente.

Les ditférentes formules par lesquelles on peut ainsi représenter en séries de quantités périodiques,nbsp;toujours convergentes^ des portions de fonctionsarbi-

tiairte continues ou discontenues, se déduisent des equations (5), que nous venons detablir. Je menbsp;contenterai de donuer ici deux de ces formules, quinbsp;nous seront utiles dans la suite; pour de plus grandsnbsp;développeraens sur cette matière, je renverrai a mesnbsp;Mémoires sur Ig Calcul integral, qui font par tienbsp;du Journal de VÉcole Poljtechnique, et oü lon trou-vera une théorie compléte de ce genre de transformations.

Après avoir ajouté les equations (5) et retranché la première de la seconde, jy mets 2I au lieu de a,nbsp;puis X Z et a?' -f- / a la place de x et x', et ensuitenbsp;(px et lt;px' au lieu delt;p(x -(- Z) et (p(x'-j- l); les limitesnbsp;des intcgiales relatives a x' deviennent ± Z, et cesnbsp;equations sont remplacées par celles-ci :

Partageons chaque somme S en deux autres, dont Tune se rapporte aux nombres n pairs, et lautre auxnbsp;nombres n impairs. Pour cela, soit i un nombre en-tier quelconque; et faisons successivement « = ar,nbsp;n =: aZ'^» i; nous aurons

arV (a: /) ^ nbsp;nbsp;nbsp;.. irrxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;azx (x -j- /)nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i^x

les sommes 2 sétendant a toutes les valeurs de i, depuis j = i jusqua i=co. Ces équations aurontnbsp;lieu pour toutes les valeurs de x qui sei'ont comprisesnbsp;entre les llinites ± l.

Cela posé, si la fonction (px est telle que 1on ait (p ( x) = lt;px, il en résultera

au moyen de quoi la seconde équalion (6) coïncidera avec la formule (a), en y changeant a en Z; et lanbsp;première se réduira a

Si, au contraire, la fonction (px est telle que lon ait lt;p ^. x)~lt;poc f on aura

et les autres intégrales pourront sétendre seulement depuls a? = o jusqua x l, en doiiblant les résul-tats. La seconde equation (6) renlrera dans léqua-tion (7), en y raettant l a? au lieu de a?, et lt;par anbsp;la place de ep (Z x). La première e'qualion (6)nbsp;deviendra

Ces formules (7) et (8) représenteront les valeursde lt;px, depuis x o jusqua x ~l; celles qui sen dé-duiront, en les différentiant par rapport a x, ex-primeront, dans Ie méme intervalle, les valeurs

de La formule (7) suppose (px o pour x = o, etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;quand x l-, la formule (8) exige que

ces conditions ne sont pas remplies, ces formules ou leurs différentielles nont pas lieu pour les valeurs extremes de X.

327. Rèclproquement, les formules de ce genre font connaitre les sommes des nombreuses series pé-riodiques que Ton a obtenues par différens moyens.nbsp;Ainsi, par exemple, pour en dëduire la somme denbsp;la série dont on a fait usage dans Ie n 824, ja-joute les equations (2) et (3), après avoir mis amp;nbsp;a la place de a dans la première; il en résulte

rVöcosnerfö=

quantité nulle pour tous les nombres pairs, et égale a nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ pour n = zi i. Léquation précé-

la somme 2 sétendant a toutes les valeurs du noinbre entier i, depuis /= i jusqua co .

On najoute pas de constante arbitraire, paree que les deux membres de cette equation sont nuls, soitnbsp;pour a = o, soit pour a = 7f, en sorte que cettenbsp;equation a lieu pour toutes les valeurs de a, depuisnbsp;a = o jusqua a tt inclusivement. Si Ton y faitnbsp;a = -i -tt ft), on auia

528. Si lon met 2a au lieu de tz, et ensuite x'-}- a etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a la place de x et jc', dans la seconde

u étant un multiple de «, et la somme 2 séten-dant a toutes les valeurs de u, depuis u = e jus-qua u = GO . Or, si la constante ci devient infinie, Ia difference e des valeurs consécutives de u de-viendra infiniment petite, et la somme 2 se chan-gera en une integrale prise depuis «=s, ou u=o,nbsp;jusqua w = co. En faisant done a=co et i. du,nbsp;mettant Ie signe f au lieu de 2, et supprimant Ienbsp;premier terme de la formule pre'cédente, nous au*

(WVVV\ 'VMaiVgt;/Wgt;'VV\iVV\»VVVW\iWgt;/W\(W\'W''VVMVVVWMW\'VVWWVWVV\/VWVVX'Wgt; wx-vv 'Vy^iVWVV^ \/\MWS

CHAPITRE IV.

329. Dans les cas les plus simples de lëquilibre des machines, la puissance et la resistance sont récipro-quement pioportionnelles aux espaces que leurs pointsnbsp;dapplication dëcriraient simultanément, si léquilibrenbsp;venait a se rompre. Pour que ce rapport ait toujoursnbsp;lieu, il faut prendre les espaces infiniment petitsquinbsp;seraient décrits dans Ie premier instant, et les rem-placer par leurs projections sur les directions desnbsp;forces. II a été remarqué depuis long-temps dans lesnbsp;machines simples; Jean Bernouilli Fa ensuite étendu,nbsp;par induction, a un système quelconque de pointsnbsp;matériels sollicité par des forces données; et, sous lanbsp;denomination de principe des vitesses virtuelles, ilnbsp;est ainsi devenu Ie principe general de Féquilibre.nbsp;Nous Ie démontrerons dans toute sa généralité,nbsp;après Favoir vérifié sur les exemples suivans.

I*. Soient (fig. yp) A, A', Aquot;,... une suite de poulies contenues dans une même chape, et formantnbsp;une inoujle fixe, et B, B', Bquot;,... une autre suite denbsp;poulies aussi contenues dans une méme chape, etnbsp;formant une moufle mobile. Supposons quun fil soitnbsp;attaché a Ia poulie inférieure de la moufle fixe, et sen-roule successlvement sur toutes les poulies, en passant alternativement dune moufle a Fautre. A Fex-

Irëmité libre de ce fil, suspendons un poids P qui fasse ëquilibre a un poids R suspendu a la poulie inférieure de la moufle mobile. La tension du fil seranbsp;la même dans toute sa longueur, et égale au poids Pjnbsp;de plus, si les diamètres des poulies sont trés petits,nbsp;eu égard a la distance qui sépare les deux moufles ,nbsp;les cordons qui vont de 1une a lautre seront sensi-blement parallèles et verticaux : la force qui soutientnbsp;Ie poids R sera done égale a la somme de leurs tensions, OU a n fois Ie poids P, en appelant n Ie nom-bre de ces cordons; par conséquent, dans létat dé-quilibre , on aura

Or, si léquilibre se rompt, et que Ie poids R monte OU descende dune quantité a, tous les cordons quinbsp;aboutissent a la moufle mobile se raccourciront ounbsp;sallongeront de cette même quantité. La longueurnbsp;totale du fil devant rester la même, la partie a la-quelle est attaché Ie poids P sallongera ou se rac-courcira de n fois cette quantité a,; done, eu dési-gnant par ê la quantité dont Ie poids P sélèveranbsp;ousabaissera, on aura S=nx, et, conséquemment.

2°. ABC (fig. 8o) représente la roue dun treuil, et A'B'C' rintersection du plan vertical de cette rouenbsp;et de la surface du cjlindre; O est Ie centre commonnbsp;de ces deux circonférences, et AOC et A'OC' sont leursnbsp;diamètres horizontaux. Un fil senroule sur la roue,

et sattache a iun de ses points 5 un autre fll, attaché a lun des points du cylindre, senroule de même sur sanbsp;surface. On suspend un poids P au premier fil, et unnbsp;poids R au second j ces deux poids tendent a fairenbsp;tourner Ie treuil en sens contraire, et sont supposesnbsp;en équilibre. Cela posé, si Ton applique au point C'nbsp;deux forces R' et Rquot;, verticales, égales et contraires,nbsp;réquilibre ne sera pas trouble; si, de plus, ces forcesnbsp;sont égales a R, la force Rquot; et Ie poids R se ferontnbsp;équilibre, puisquil ny aurait pas de iaison pour quenbsp;leur action simultanée fit tourner Ie treuil plutótnbsp;daas un sens que dans Ie sens opposé; il faudra donenbsp;quil y ait aussi équilibre entre Ie poids P et la forcenbsp;R', perpendiculaires a AOC', et qui agissent aux extré-mités de ce levier, dont 0 est Ie point dappui. Done,nbsp;en appelant r Ie rayon AO de la roue, et r' Ie rayonnbsp;OC' du cylindre, léquation déquilibrc sera

a cause de R'=R. Maintenant, si léquilibre se rompt, et que Ie poids R monte ou descende dune quantité a,nbsp;tandis que Ie poids P descendra ou montera dune quan-.nbsp;tité , il est évident, par la nature de la machine,nbsp;quon aura êr' = ar-, doü lon conclut

5°. Supposons quune vis verticale soit chargée dun poids R a sou extrémité supérieure ; quunenbsp;roue horizontale, ayant son centre dans laxe de

cette vis, soit adaptée a son extrémilé inférieure; quun fil soit enroulé sur cette roue et attaché parnbsp;un bout a sa circonférence, et quon applique a sonnbsp;autre bout une foice horizontale F qui agisse sui-vant une tangente a la roue, et fasse équilibre aunbsp;poids R. On pourra, si Ton veut, placer sur la direction de cette tangente une poulie fixe et verticale, plier le fil sur cette partie, et remplacer F parnbsp;ua poids P égal a cette force et attaché a lextré-mité libre de la partie verticale du fil. En appelantnbsp;h la hauteur du pas de la vis, et c la circonférencenbsp;de la roue, on aura

dapres la condition connue de Ie'quilibre dans cette machine. Les deux poids R et P tendront a fairenbsp;tourner la vis en sens contraire; si Pequilibre vient anbsp;se rompre, 1un de ces poids montera, et Fautre des-cendra; et si le poids R sabaisse ou sélève dun pasnbsp;^ de la vis, le poids P sélévera ou sabaissera dunenbsp;hauteur égale a la circonférence c de la roue; dou ilnbsp;résulte quen appelant, en général, a et ë les espaces parcourus simultanément par les deux poids Rnbsp;et P, on aura ac = ëh, et, par conséquent,

4°. Considérons encore deux poids P et R posés sur deux plans incline's, et attachés Fun a Fautre parnbsp;un fil passant sur une poulie fixe, située en haut desnbsp;deux plans qui sont adossés 1un a Fautre. La fi-1.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4quot;

llbre, il faudra que ces deux cornposantes solent égales; en sorte que lon aura

Si 1équilibre se rompt, et que Ie poids R glisse dune quantité y sur Ie plan CB, Ie poids P glissera de lanbsp;même quantité, mais en sens contraire, sur Ie plannbsp;AC; et en appelant a la hauteur verticale dont Ienbsp;poids R se sera élevé ou abaissé, et ê celle dont Ienbsp;poids P se sera abaissé ou élevé, il est aisé de voir quenbsp;lon aura

comme dans les exemples précédens : mais ici a et ^ sont les projections vertlcales des espaces décrifs si-multanément par les poids R et P, tandis que , dansnbsp;Ie cas précédent, a et ^ étaient ces espaces mêmes.

330. nbsp;nbsp;nbsp;Daprès ce quon a vu dans Ie n 49, deuxnbsp;forces qui se font équilibre par fintermédiaire dunnbsp;levier quelconque, sont en raison inveise des espacesnbsp;infiniment petits, projetés sur leurs directions res-pectives, et que peuvent décrire en même tempsnbsp;leurs points dapplication. Cet énoncé est celui quinbsp;convient a tous les cas. Ainsi, en appelant P et Pi lanbsp;puissance et la re'sistance en équilibi-e par linterme'-diaire dune machine quelconque, supposant quounbsp;imprime un mouvement infiniment petit a cette machine, et désignant par ë et o, les projections sur lesnbsp;directions de ces forces, des espaces qui seront décritsnbsp;en même temps par leurs points dapplication, onnbsp;aura toujours

Pê = Qa ;

a quoi il faut dailleurs ajouter que Tune des projections devra tomber sur la direction même de la force correspondante, et lautre sur son prolongement,nbsp;ainsi que cela a lieu dans Ie levier.

Dans la pratique, il suffira que Ie mouvement im-primé a la machine soit seulement trés petit. En me-surant les longueurs des projections ^ et a, on en con-clura immédiatement Ie rapport de la puissance a la re'sistance, sans rlen connaitre de la composition particuliere de la machine.

331. nbsp;nbsp;nbsp;Non seulement cet enonce' convient a unenbsp;machine quelconque, mais il se'tend aussi a un noni-bre quelconque de forces en e'quilibre. Soient done, ennbsp;general, M, M', Mquot;, etc. (fig. 82), un système denbsp;points matériels lies entre eux de telle manière quon

4...

voudra; supposous que des forces P, P', P', etc., agissent sur ces points, suivant les directions MA,nbsp;M'A', Mquot;Aquot;, etc.; faisons subir a ces points des dé-placemens infiniment petits et compatibles avec lesnbsp;conditions du système, de sorte quils soient trans-portés en N, N', JNquot;, etc.; projetons N, N', Nquot;, etc.,nbsp;sur les droites MA, M'A', Mquot;Aquot;, etc, ena, a!, d', etc.,nbsp;et posons

En considérant ces projections p ,p', p', etc., comme des quantitds positives ou ne'gatives, selon quellesnbsp;tombent sur les directions des forces correspondantes,nbsp;OU sur leurs prolongemens, nous aurons

lofsque réquilibre aura lieu; et réciproquement il y aura cquilibre , quand cette equation subsistera pournbsp;tous les déplacemens compatibles avec les conditionsnbsp;du système.

Les droites infiniment petitesMN, M'N', Mquot;Nquot;, etc., sont ce quon appelle les vitesses virtuelles des pointsnbsp;M, M', Mquot;, etc.; denomination qui pi'ovient de cenbsp;quelles sont considérées comme les espaces qui se-raient parcourus simultanément par les points du système , dans Ie premier instant oü Tequilibre vien-drait a se rompre.

On doit observer que Ie principe des vitesses virtuelles , contenu dans la formule quon vient décrire, donne seulement les conditions déqui-libre qui peuvent ètre exprimées par des equations.

mais non pas celles qui sont relatives a la direction de certalnes forces, et a Ietcndire dans laquelle ellesnbsp;doivent rencontrer un plan fixe (n* 266). Les mou-vemens compatibles avec les conditions du systbme,nbsp;qui donnent lieu a des equations déqullibre, sontnbsp;ceux dont les mouvemens dlrectement contralresnbsp;sont egalement possibles. Mais, par exemple, si ufinbsp;point materiel est posé sur un plan fixe, Ie mouvement sera possible dans ce plan, stiivant chaque direction et suivant la direction contraire; et perpendi-culairement a ce plan, il ne pourra avoir lieu que dansnbsp;une seule direction. Or, la consideration des mouvemens dans Ie plan, donnera lieu aux conditions dé-quilibre qui sexpriment pardes equations, et la consideration du mouvement perpendiculaire détermi-nera seulement la direction de la force normale, quinbsp;dolt être contraire a celle du mouvement possible.nbsp;Dans 1énoncé du principe des vitesses virtuelles,nbsp;on suppose implicltement que chacun des mouvemens compatibles avec les conditions du système, etnbsp;Ie mouvement directement contraire, sont egalementnbsp;possibles; en appliquant successivement léquationnbsp;précédente a ces deux mouvemens, les quantités p,nbsp;p', pquot;, etc., changeront toutes de signe, et il nennbsp;résultera qu une seule equation déquilibfe.

Si la force P, est la résultante de plusleurs forces données Q, Q', Qquot;, etc., et quon représente par q,nbsp;q', qquot;, etc., les projections de MN sur leurs directions,nbsp;on aura (n° 54)

en sorte quon pourra remplacer dans 1 equation pré-cédente, Ie tenue Vp relalif a la force P, par cette somme de termes de la même nature, qul rëpondentnbsp;a ses composantes; et de même, par rapport auxnbsp;forces P, P', P*^, etc., si elles sont aussi les résultantesnbsp;de plusieurs autres forces.

Le principe des vitesses virtuelles, dans Ie cas dnn point isolé enêquilibre, est, comme on 1a v« dansnbsp;le nquot; Sg, une consequence de cette dernière equation , soit quil sagisse dun point entièrement libre,nbsp;OU quil soit assujetti a demeurer sur une surface OU sur une courbe donnde. II sagit actuelle-ment de dëmontrer ce principe ge'néral, dans le casnbsp;dun système quelconque de points matérielsM, M',nbsp;M'^ etc.

552. Supposons ces points lies entre eux par des verges inflexibles ou par des lils flexibles, dont lesnbsp;uns soient fixement attachés a ces points, tandis quenbsp;dautres les traversent comme des anneaux mobiles.nbsp;Dans Ce dernier cas, ces points ou anneaux ont la li-berté de glisser le long des fds qui les traversent, etnbsp;que lon suppose, pour cela, parfaitement flexibles.

Après quon a applique les forces données P, P', Pquot;, etc., aux points M, M', Mquot;, etc., et que léqui-libre sest e'tabli, il est clair que les fils qui joigneutnbsp;ces points deux a deux, éprouveront cbacun une tension particuliere, cest-a-dire, que chacun de cesnbsp;lils sera tiré a ses deux extrémités par des forces égalesnbsp;et contraires, dirigées suivant ses prolongemens,nbsp;ainsi quon la déja dit dans le cas du polygone funi-culaire (n 285). Lintensité de cette force sera la me-

sure de Ia tension inconnue que ce fil éprouve. TJn lil qui ne serait pas tendu, ne contribueraitnbsp;pas a le'quilibre, et lon pourrait en faire abstraction.

La tension peut varier dun fil a un autre ; mais sil sagit de deux fils qui sont Ie prolongement lun denbsp;lautre a travers un anneau, la tension est la mêmenbsp;dans ces deux parties dun niême fil qui doit néces-sairement éprouver une égale tension dans toute sanbsp;longueur (289). Ainsi, par exemple, si M est unnbsp;anneau traversé par Ie filnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;la tension de MM^

Lorsque plusieurs fils viennent se croiser dans un même anneau , la tension est la raéme dans les deuxnbsp;parties de chaque fil, et peut varier dun fil a lautre.nbsp;Si done, outre Ie fil M'MMquot;, il passe encore un filnbsp;dans lanneauM, la tension sera la mêmenbsp;dans les deux parties MM'quot; et MM''de ce dernier fil,nbsp;et, en général, elle sera différente de celle des deuxnbsp;parties MM'et MM'', du premier fil. Et si un autre fil,nbsp;tel que MM, vienl aboutir au même anneau M au-quel il soit fixenient attaché, ce fil aura sa tensionnbsp;particuliere, généralement différente de toules cellesnbsp;des autres fils qui aboutissent au même point M.

Observons encore que si M' est un anneau ainsi que M, et que Ie fil Mquot;MM', après avoir traversénbsp;lanneau M, passe encore par lanneau M' pour allernbsp;aboutir au point M'quot;, la tension sera la même dansnbsp;les Irois fils Mquot;M, MM', M'M'quot;; car alors ces troisnbsp;fils nen font quun seiil Mquot;MM'M'quot;. En général, lors-quun fil est partagé en plusieurs parlies, par des an-

A légard des verges inflexibles, quand léquilibre existe, elles sont tirées ou poussées dans Ie sens denbsp;leur longueur, par des forces égales et contraires,nbsp;agissant a leurs extrémités. Lintensité commune denbsp;ces deux forces, pour chaque verge, est la mesurenbsp;de la tension ou contraction quelle éprouve. Sil ennbsp;existe une ou plusieurs dans Ie système, qui ne soitnbsp;ni tendues, ni contractées, elles sont inutiles a le'qui-libre, et lon peut les supprimer. Ainsi, dans ce quinbsp;va suivre, nous supposerons tousles liens physiquesnbsp;qui existent dans ie système, tendus ou contractésnbsp;suivant leurs longueurs par des forces inconnues.

Lavantage du principe des vitesses virtuelles est de donner Te'quation déquilibre dans chaque cas particulier, sans quon ait besoin de calculer ces forces in*nbsp;térieures; mais comme la demonstration que nousnbsp;allons donner est fondée sur la conside'ration de cesnbsp;forces, de grandeur inconnue, voici Ia notationnbsp;dont nous ferons usage pour les représenter.

Nous désignerons par \jn, ?«'], la tension ou Ia contraction du fil flexible ou inflexible qui joint deuxnbsp;points quelconques M et M' du système. De cettenbsp;inanière [m,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\_m', /nquot;], etc., reprèsenteront

les tensions ou contractions des fils qni joignent M et Mquot;, M' et Mquot;, etc.

555. Nous aurons aussi a considérer les variations infinimentpetitesquéprouventles distances des pointsnbsp;M, M', Mquot;, etc., pris deux a deux, soit quand 1unnbsp;de ces points change seul de position, soit quand ils

sont deplacés simultanérnent. Alois, nous désignerons par (/ra, /ra') la distance de deux points quelconquesnbsp;M et M'j en sorte que (/ra, /raquot;), (/re', /raquot;), etc., soientnbsp;de même les distances de M et Mquot;, M' et Mquot;, etc.nbsp;Nous emploierons la caractéristique , pour indi-quer les variations de ces distances , relatives au dé-placement du point M; la caractéristique /, pournbsp;indiquer celles qui ont lieu quand eest Ie point M'nbsp;qui se déplace; la caractéristique J'/', pour indiquernbsp;les variations provenant du déplacement de Mquot;; etnbsp;ainsi de suite. Enfin, nous réserverons la caractéristique cT, sans aucun accent, pour indiquer la variation de la distance de deux points, resultant de leursnbsp;déplacemens simultanés.

Puisquon suppose, par exemple , que M a été transporté de M en N et M', de M' en N', nousnbsp;aurons

II est important dobserver que la variation totale, indiquée par cT, est égale a la somme des variations partielles, indiquées par et J'/^ de manlère quon a, pour deux points quelconques,

eP' (/ra, /ra') = (/ra, /re') -j- J'/(m, ///');

équation qui résulte de ce que les déplacemens de M et M' sont infininient petits, et qui na lieu que dansnbsp;cette hypothese. En effet (/ra, m') est une fonction desnbsp;coordonnées de ces deux points; ces variables pren-

nent des accroissemens infiniment petils, positifs ou négatifs, quand M et M' sont transportés en N et N';nbsp;or, en rejetant les puissances de ces accroissemensnbsp;supérieures a ia première, il est évident que laccrois-sement total dune fonction quelconque de ces coor-données, est égal a la somme des accroissemensnbsp;partiels qui seraient dus a la variation de cliaquenbsp;coordonnée isolément; par conséquent, la vaiiationnbsp;totale de (/Ti, in'), indiquée par la caractéristiquenbsp;doit être égale a la somme de ses variations partiellesnbsp;qui répondent a et cT/.

534. Tout ce qui précède étantadmis, considé-rons Ie point quelconque M, auquel est appliquée la force donnée P. Ce point est lié aux autres par lesnbsp;Ills MM', MMquot;, etc.; il est done tiré ou poussé, dansnbsp;Ie sens de chacun de ces fils, par une force égale a lanbsp;contraction ou a la tension que ce lil éprouve; ennbsp;sorte quoutre la force donnée P, Ie point M est encore soumis a Paction dautant dautres forces quil ynbsp;a de fils aboutissant a ce point. Apres quon a eu égardnbsp;a ces forces intérieures, il faut faire abstraction des filsnbsp;qui Kent M aux autres points du sjsteme, et le consi-dérer comme un point isolé, autour duquel les forcesnbsp;[m, ?«'], \rn, mquot;'], etc., et la force P, doivent se fairenbsp;équilibre. Si M est un point fixe, il nen résulteranbsp;aucune equation de condition; mais sil est entière-ment libre, ou sil est seulement assujetti a rester surnbsp;une surface ou sur un courbe donnée, on aura enlrenbsp;ces forces Péquation des vitesses virtuelles, déja dé-montrée pour Péquilibre dun point matériel isolé.

üifiuiment voisin de M, et appartenant a la surface OU a la courbe sur laquelle ce point M est astreint anbsp;demeurer, sil nest pas entièrement libre. Soientnbsp;p, t, t', f, etc. , les projections de MN sur les directions des forces P, \jn, 7«'], \in, 7n''], [m , mquot;^], etc.;nbsp;nous aiirons (n Sg),

Mais, a cause que la ligne MN est infiniment petite, il est aisë de voir que sa projection sur la ligne MM'nbsp;nest autre chose que la diffe'rence des deux distancesnbsp;MM' et NM'; car si lon abaisse du point N (fig. 85)nbsp;la perpendiculaire NH sur MM', la droite MH seranbsp;cetle projection, et Ion aura

HM' = v/(NM') (NH) = NM',

MH = MM' NM'.

Daprès les notations convenues, cette equation est t = (S'! (m, ??i) ;nbsp;et lon aura de niême

Pp-j- [/ra, /ra']. J'(m, /?/')-l-[/ra, nbsp;nbsp;nbsp;iii!')

En considérant les autres points M', Mquot;, M'quot;, etc., du sjstème, on aura pour chacun deux une equation pareille a celle-ci; ces equations seront

[inquot;, mquot;'2. lt;' (mquot;, m'quot;) etc. = o, lmquot;, m].nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rn) m}.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m')

p, pquot;, p'quot;, etc., étant les vitesses virtuelles de M', Mquot;, Mquot;', etc., projetées sur les directions des forces donnéesnbsp;P', Pquot;, P'quot;, etc., qui agissent sur ces points matériels.

Ajoutons toutes ces equations: en obsei'vant que [m, m'] et {m, m') sont la même chose que lm', in\nbsp;et {m\ in), et de même pour toutes les notations sem-blables; et en substituant la variation totale de chaquenbsp;distance a la somme de ses variations partielles, nousnbsp;aurons

-\-\ni, mquot;] nbsp;nbsp;nbsp;mquot;) \m', m'quot;].nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;m'quot;) etc.

355. Jusquiciles dêplacemens MN, M'N', M^N^ytC. (fig.82), sont inde'pendans entre eux; el le'quation (a)nbsp;suppose seulemcnt que ces points nont pas quitté lesnbsp;surfaces oules courbes données, sur lesquelles ils sontnbsp;obliges de rester; mais si nous supposons, en outre,nbsp;quen vertu de ces dêplacemens, les points du système

qui sont joints par une verge ou un fil tendu, ont conserve les mêmes distances respectives, nous aurons

Pp P'p' py py -f. etc. = o, (b)

Si dans les déplacemens des points M, M', Mquot;, etc., ceux qui sont des anneaux ont glissé Ie long des filsnbsp;qui les traversent, lequation (b) aura encore lieu,nbsp;pourvu que les longueurs totales de ces fils naientnbsp;pas varié. Supposons, par exemple, que M est un an-neau qui a glisse' Ie long du fil M'MMquot;; alors on nanbsp;plus séparémentnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; o et J'(m,TOquot;)=o,

puisque la longueur totale du fil reste constante. Mais, dans ce cas, les tensions \jn, m'] et [m, /nquot;]nbsp;des deux parties de ce fil sont égales; les termes quinbsp;renferment ces tensions dans 1 equation (a) peuventnbsp;done sécrire aiusi :

En general, on concoit que si un fil flexible passe a travers un nombre quelconque danneaux, les tensions égales de ses différentes parties disparaitront de

1 equation (a) toutes les fois que la longueur totale ilc ce fil ne varlera pas.

1°. Que léquation resultante du principe des \i-tesses virtuelles a lieu pour tous les mouvemens in--finiment petits quon peut donner a un corps solide, llbre OU gêné par des obstacles fixes; car dans tousnbsp;ces mouvemens les distances respectlves des points denbsp;ce corps sont invariables.

2°- Que cette equation a aussi lieu pour tous les mouvemens infiniment petits que peut prendre unnbsp;sjstème de points ou danneaux lies par des filsnbsp;flexibles, pourvu que ces fils restent droits ou tendus. Quand cette condition nest pas remplie, lesnbsp;tensions ne disparaissent pas toutes dans léqua-tion (a), et, conséquemment, le'quation (d) na plusnbsp;lieu.

356. 11 faut encore démontrer que, réciproque-ment, quand léquation (ó) a lieu pour tous les mouvemens infininient petits quon peut faire prendre au sjstème des points M, M', Mquot;, etc., les forces don-nées P, P', Pquot;, etc., sont en équilibre, ainsi que nousnbsp;lavons énoncé précédemment (n° 331}.

Supposons pour un moment que léquilibre nait pas lieu. Les points M, M', Mquot;, etc., ou une par-tie dentre eux, se mettront en mouvement, et,nbsp;dans Ie premier moment, ils décriront simultanc-ment des droites telles que MN, M'N', Mquot;Nquot;, etc. ;nbsp;on pourra done réduire tous ces points au repos , en leur appliquant des forces convenables,nbsp;dirigées suivant les prolongeraens de ces droites, en

sens contraire des mouvemens produitsj pai conséquent, si nous désignons ces forces inconnues par R, R', Rquot;, etc., réquillbre aura lieu entre les forces P,nbsp;P', Pquot;, etc., R, R', Rquot;, etc.; en sorte que r, r',nbsp;rquot;, etc., désignant les vitesses virtuelles projetées surnbsp;les directions de ces nouvelles forces R, R', Rquot;, etc.,nbsp;on aura, daprès Ie principe des vitesses virtuelles quinbsp;vient d etre démontré,

Cette equation (c) existant pour tous les mouvemens infiniment petits compatibles avec les conditions du systeme des points M, M^, Mquot;, etc., nous pouvons choisir pour leurs vitesses virtuelles les espaces réellement décrits MN, M'N', Mquot;Nquot;, etc., dansnbsp;un même instant; mais comme ces lignes sont comp-tées sur les prolongemens des directions de R , R',nbsp;Rquot;, etc., il sensuit que toutes les projections r, r',nbsp;rquot;, etc., seront negatives fn 351), et égales, abstraction faite du signe, a ces mèmes lignes MN, M'N',nbsp;Mquot;Nquot;, etc. Alors, tous les termes de léquation (c)nbsp;étant de méme signe, leur somme ne peut être nulle,nbsp;a moins que chaque terme ne soit se'parément égal anbsp;zéro ; on aura done

R.MN = o, R'.M'N' = o, Rquot;.MW=o, etc. Or, pour que Ie produit R. MN soit nul, il faut

qu on ait, ou R = o, ou MN = o; ce qui signifie , dans lun et lautre cas, que Ie point M ne peutnbsp;prendre aucun mouvement: il en est de même a le'-gard de tous les autres points; par conséquent, Ienbsp;sjstème entier est en équilibre; et cest ce que nousnbsp;nous proposions de démontier.

537. Lorsquil sera question des fluides, nous fe-rons voir, en partant de leur propriété fondamentale, que Ie principe des vitesses virtuelles a aussi lieu dansnbsp;iéquilibre dun système de forces dont les actions senbsp;transmettent par linterraédiaire dun fluide contenunbsp;dans xm canal ou dans un vase de forme quelconque.nbsp;De cette manlère, la demonstration du principe general de réqullibre aura toute létendue que lon peutnbsp;désirer; car les verges inflexibles, les fils tendus, lesnbsp;fluides contenus dans des canaux, sont les différent esnbsp;sorles din termédiaires quon peut établir entre desnbsp;points matériels, séparés les uns des autres, pournbsp;transmettre lactlon des forces de lun de ces pointsnbsp;a un autre; et si dailleurs, parmi ces points, il y en anbsp;qui soient immobiles, dautres parfaitement llbres, etnbsp;dautres assujettis a rester sur des surfaces ou sur desnbsp;courbes données, on aura Ie système de points matériels Ie plus général quon puisse avoir besoin de con-sldérer. Toutefois, je vais donner une autre demonstration du même principe, que lon doit a Lagrange,nbsp;et qui repose sur des notions plus elémentaires quenbsp;la précédente; elle est fondee sur Ia possibilité denbsp;remplacer toutes les forces appliquées a un systèmenbsp;quelconque de points matériels, par un seul poidsnbsp;agissant corame on va dabord lexpliquer.

338. Si un point M ( fig. 84) est sollicité par mie force P dirigée suivant la droite MA, on peut dabordnbsp;supposer que cette force soit appliquée au point A,nbsp;et agisse au mojen dun cordon MA attaché a ce pointnbsp;M. On peut ensuite remplacer ce cordon par un fil quinbsp;senroule alternativenient sur une moufle fixe et surnbsp;une moufle mobile, et soit attaché par lun de sesnbsp;deux bouts a Tune ou a lautre de ces deux moufles;nbsp;celle qui est fixe répondant au point A, et celle quinbsp;est mobile au point M. En suspendant verticalemenfrnbsp;un poids K a lextrémité libre du fil, la tension seranbsp;égale a K dans toute sa longueur. Si les dimensionsnbsp;des poulies sont regardées comme infiniment petites,nbsp;les tensions de toutes les parties de ce fil, qui abou-tissent a la moufle mobile, auront la même direction ; en appelant i leur nombre, leur résultante seranbsp;égale a iK, et agira sur Ie point M suivant la direction MA; par conséquent, si lon a ïK = P, onnbsp;pourra remplacer Faction de la force P par celle dunbsp;poids K.

II en sera de même a légard des autres forces P', Pquot;, etc., appliquées a des points M', Mquot;, etc., suivantnbsp;des directionsM'A', Mquot;Aquot;, etc.; chacune delles pourranbsp;être remplacée par un poids égal a un sous-multipledenbsp;son intensité, agissant comme on vient de Fexpliquernbsp;pour la force P. De plus, il est aisé de voir quonnbsp;pourra toujours faire passer successivement, commenbsp;Ie représente la figure 85, un seul et même fil surnbsp;toutes les moufles fixes en A, A', Aquot;, etc., et surnbsp;toutes les moufles mobiles attachées aux points M,nbsp;M', Mquot;, etc. Supposons done que i, i', ï', etc., sontnbsp;1. 4^

En suspendant verticalement Ie poids K a lextré-mité libre de ce fil , Ie sjstème des forces doniiées P, P', Pquot;, etc., se trouvera reniplacé par ce seulnbsp;poids, dont faction sera transmise aux points M,nbsp;M', Mquot;, etc., par Tintermédiaire de ce fil, et desnbsp;moufles fixes et mobiles. A la vérité, les equations (d)nbsp;supposent les forces P, P', P'', etc. , commensura-bles; mais cette hypothese est toujouis admissible,nbsp;puisque leur commune mesure K peut être un poidsnbsp;aussi petit quon voudra, et même infiniment petit, si cela est nécessaire.

339. Concevons actuellement quon imprime aux points M, M', Mquot;, etc., un mouvement qui soitnbsp;compatible ayec les conditions du système, ainsi quenbsp;Ie mouvement directement contraire; soient N,nbsp;N', Nquot;, etc., leurs positions après un temps infiniment petit; et appelons, comme précédemment, p,nbsp;p', pquot;, etc., les projections de MJN, M'N', Mquot;Nquot;, etc.,nbsp;sur les directions de P, P', Pquot;, etc., ou sur leursnbsp;prolongemens.

Le point N étant projeté en a sur la droite MA , chacun des cordons qui vont de A a M sera rac-courci dune quantité AM AN, pour laquelle onnbsp;pourra prendre Ma, en négligeant les infinimentnbsp;petits du second ordre; ce cordon serait, au contraire , allonge de Ma, si le point a tombait surnbsp;le prolongement de AM; doü 1on conelut qua raison du déplacement de M, le poids K descendra

dans Ie premier cas, et montera dans Ie second, duae quantité égale au produit de Ma et de i cenbsp;qui revienl a dire, daprès Ie signe de p (n° 531), quenbsp;la variation positive ou negative de sa hauteur verticale sera exprimée par ip, a raison de ce seul dépla-cement. II en sera de mème par rapport a tous les au-trespointsM', Mquot;, etc.; par conséquent,si lon désignenbsp;par ^ une quantité infiniment petite, qui représente,nbsp;selon quelle sera positive ou negative, la quantité totale dont Ie poids K descendra ou montera, par suitenbsp;des déplacemens simultanés de tons les points du sjs-tème, nous auions

Or, Ie poids K tendant a descendre, et étant la seule foice qui agisse sur Ie sjsfème, il est évidentnbsp;que rien ne Fempêchera de produire Ie mouvementnbsp;que nous considérons, si celte valeur de ^ est positive; et que, si elle est négative, rien nempêcheranbsp;Ie poids K de produire Ie mouvement directementnbsp;contraire, quon suppose également possible, et pournbsp;lequel ^ changera de signe. Pour que léquilibre aitnbsp;lieu, il est done nécessaire que f soit zéro. Récipro-quement, Ie poids K ne pouvant produire aucunnbsp;mouvement quelconqiie, sans descendre dune quan-llté infiniment petite dans Ie premier instant, il sen-suit quil iien produira aucun, et que 1 equilibre auranbsp;lieu, si Ton a ^ o, pour tous les déplacemens desnbsp;points M, M', Mquot;, etc., infiniment petits et compatibles avec les conditions du système.

nécessaire et sufEsante pour Iequilibre, et quon alt égard aux equations [d), elle se changera dans léqua-tion {b) du principe des vitesses virtuelles, quil sa-gissait dobtenir.

340. Cette demonstration ne suppose pas Ie principe prealablement démontré pour un point materiel isolé. Si Ie système se réduit a un seul point M au-quel sont appliquées les forces P, P', Pquot;, etc., don-nées en grandeur et en direction, on substituera anbsp;leur. action simultanée celle dun seul poids K,nbsp;comme dans Ie n 358; et, dans Ie cas de léquilibrenbsp;de ces forces, Ie principe des vitesses virtuelles se dé-duira de cette substitution par Ie raisonnement quonnbsp;vient de faire : or, ce principe fournlra immédiate-ment les equations déquilibre du point M, assujettinbsp;a rester sur une surface ou sur une courbe, ou en-tièrement libre (n° 39). Dans ce dernier cas, en con-sldérant Tune des forces données comme étant égalenbsp;et contraire a la résultante de toutes les autres, onnbsp;en déduira les regies de leur composition et de leurnbsp;décomposition, et Ie théorème du parallélogrammenbsp;des forces. En appliquant ce principe a léquilibre denbsp;trois forces parallèles, dont lune est, par conséquent , égale et contraire a la résultante des deux autres, on en conclura également les régies de la composition et de la décomposition des forces parallèles.

On déduit aussi, sans dilFiculté, du principe general des vitesses virtuelles, les equations déquilibre

dun corps solide eutièrement libre, que nous avons trouvées dune autre manière dans Ie n 260.

En elFet, nous pouvons dabord supposer que tous les points de ce corps de'crivent des droites égalesnbsp;entre elles et parallèles a lun des axes des coordon-nées. En appelant h la longueur de ces droites, et a,nbsp;a', aquot;, etc., les angles que leur direction communenbsp;fait avec celles des forces données, nous aurons

pour les vitesses virtuelles des points M, M', Mquot;, etc., du corps solide, projetées sur les directions des forcesnbsp;P, P', Pquot;, etc., appliquées a ces points; done, en subs-tituant ces valeurs dans le'quation [b), et supprimantnbsp;Ie facteur h, comme a tous les termes, on aura 1é-quation déquilibre

En consideVant successivement les mouvemens du corps parallèlement aux deux au tres axes des coor-données, on obtiendra de même les deux autres equations déquilibre semblables a celle-la.

Nous pouvons aussi faire tourner ie corps autour de lun des axes des coordonnées. Pour former Pé-quation qui correspondra a ce mouvement, je re-présenterai les coordonnées des points M, M', M', etc.,nbsp;et les angles que font les directions des forces P, P',nbsp;Pquot;, etc., avec celles de ces coordonnées, par les mêmesnbsp;lettres que dans Ie n° 260. En supposant que Ia rotation ait lieu autour de iaxe des z, chacun de cesnbsp;points dccrira un are de eerde parallèlc au plan des

oc etj, qui aura pour rayon la perpendiculaire abais-se'e de ee point sur eet axe. De plus, par la nature du corps solide, Tangle décrit par cette perpendiculairenbsp;sera Ie mème pour tons ses points. Si done on Ie suppose inliniment petit, qtion le designe par co, et parnbsp;r, r', rquot;, etc., ies distances des points M, M', Mquot;, etc.,nbsp;a Taxe des z, on aura rce,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rquot;/», etc., pour leurs

vitesses virtuelles; et en appelant aussi lt;, cT', S'quot;, etc., les angles aigus on obtus que font les directions denbsp;ces vitesses avec celles des forces P, P , P'^, etc., ilnbsp;en resultei'a

pour les projections de ces raemes vitesses sur les directions de ces forces on sur leurs prolongemens.

Soient, en outre, a,h,c, les angles compris entre la direction de la vitesse rco et des paralleles aux axesnbsp;des X ,j, z, menees par le point M; les memes angles relatifs a la direction de la force P étant a, ^nbsp;on aura

raais a cause que la vitesse no est tangente en M, au eerde du rayon r qui a son centre dans Taxe des z,nbsp;il est aise de voir quon a

p' = dtz (,r' cos ê' j- cos ci.')cD, p' := rt: {jcquot; cos êquot; y cos aquot;) agt;,nbsp;etc.

Les sigaes dépendront du sens de la rotation; et 1on devra prendre, a la fois , les signes supérieurs ou lesnbsp;signes inférieurs dans toutes ces valeurs : en les subs-tituant done dans léquatlon (i) et suppi-imant Ie facteurnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;commun a tous les termes, nous aurons

Celte équation déqullibre est celle des momens par rapport a laxe des z, autour duquel Ie mouvement a eu lieu; on obtiendra de la même manièrenbsp;les équafions des momens par rapport aux axes desnbsp;a: et des^, en faisant tourner successivement Ie corpsnbsp;solide autour de ces deux droifes.

341. On peut donner a léquation (ó), une forme différente qui en rendra les applications plus faciles.

Pour cela, soient z, les coordonnées du point M dans sa position déquilibre ; a? efx,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- dy ,

z-^ J^z, ce quelles deviennent quand on transporte ce point matériel dans une position N infiniment voi-sine; X, Y, Z, les composantes de la force P suivantnbsp;les prolongemens des .xquot;, z, dans Ie sens positifjnbsp;ces quanlltés infiniment petltes cTa?, dy, d'z, serontnbsp;les projections de la vltesse virluelle MN sur les directions de X, Y, Z ; etp étant toujours sa projection §urnbsp;la direction de P, on aura (n® 331)

Pp = Xdbr Ydl;r ZcTzw

En désignant par les niêmes lettres avec des accens, les quantités analogues qui répondent aux points M',nbsp;Mquot;, etc., on aura aussi

p'p' = X'cTor' 4- Y'jy' 4- Z'cTz', py =nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-

la somme 2 sétendant a tons les points M, M', Mquot;, etc., du système, et se composant, par conséquent, dun nombre de parties semblables, égal anbsp;celui de ces points. De cette manière, 1équation (è)nbsp;prendra la forme :

Or, quelle que soit la liaison des points du système, on peut toujours lexprimer par une ou plusieursnbsp;equations entre leurs coordonnées. Soient done L,nbsp;L', Lquot;, etc., des fonctions données de j?, jr, z, x',nbsp;y, etc., OU dune partie de ces coordonnées; et sup-posons que ces équations soient

Les déplacemeris simultanés de tous les points du système devant être compatibles ayec les conditionsnbsp;auxquelles il est assujetti, il faudra que les coordonnées X,J, z,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., deM, M', Mquot;, etc., et les

de N, N', Nquot;, etc., satisfassent successiveraent a ces equations ; par conséquent, en négligeant les infinx-ment petits du second ordre, nous aui'ons

dV . nbsp;nbsp;nbsp;, dl!' .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dLquot; .nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dLquot; r, , . ,

Si lon change en même temps Ie sens des déplace-mens de tous les points du système, les signes de cTa?, ciy, S'z, S'x', etc., changeront tous a lafois, etnbsp;ces equations seront encore satisfaites; en sorte quenbsp;Ie mouvement infiniment petit auquel elles répon-dront, et Ie mouvement diiectement contiaire, sontnbsp;également compatibles avec les conditions données,nbsp;comme Ie suppose implicitement Ténoncé du principe des vitesses virtuelles (nquot; 55i).

Cela posé, au moyen de ces équations (g), on éli-minera, dans chaque cas, de léquation (e), un nombre des quantités cTx, è'j, cTz, (S'x', etc., égal a celui des équations (); celles de ces quantités qui res-teront ensuite dans Ie premier membre de léquationnbsp;(e), seront indépendantes entre elles; on devra donenbsp;égaler séparément leurs coefficiens a zéro; ce qui four-nira toutes les équations déquilibre du système, dontnbsp;Ie nombre sera égal a trois fois celui des points maté-riels M, M', Mquot;, etc., moins Ie nombre des équationsnbsp;(/).Loi'sque les positions de ces points, cest-a-dire,nbsp;les valeurs de leurs coordonuées x, /, z, x', etc.,

seront données, il faudra que les composantes des forces P, P', P'', etc., satisfassent a ces equationsnbsp;déquilibre; quand, au contraire, on donnera cesnbsp;forces en grandeur et en direction, et que les positions des points du sjstème seront inconnues, cesnbsp;mêmes equations, jointes aux equations (), servi-ront a determiner toutes leurs coordonnées.

542. Les equations (e) et (g-) étant linéaires par rapport a lx, J'z, J'x', etc. , Téliminationnbsp;dune partie de ces quantite's pourra se faire, daprèsnbsp;la méthode connue, en ajoutant ces equations aprèsnbsp;avoir multiplié les equations (g) par des facteurs indé-terminés, et en égalant a zéro, dans cette somme, lesnbsp;coefficiens de celles des quantités J^x, Jy, J'z,nbsp;J'x', etc., quon voudra éliminer. Les coefficiens desnbsp;quantités restantes devant ensuite être aussi égaux anbsp;zéro, il sensuit quon devra égaler a zéro les coefficiens de toutes les quantités J'x, Jy, Jz, Jx', etc.,nbsp;indistinctement, dans la somme dont il sagit; doü ilnbsp;i-ésultera un nombre déquations égal a celui des coordonnées, entre lesqueiles il restera, dans chaque cas,nbsp;a éliminer les facteurs indéterminés, pour avoir lesnbsp;équations déquilibre du système.

En désignant par A, A', Aquot;, etc., les facteurs par lesquels on multipliera les équations (g), on aura,nbsp;par ce procédé,nbsp;dL

pour les equations provenant des coefficiens de cTa:, jy, cTz 5 on aura de même

, lt;iL I nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,,dLquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

pour celles qui proviennent des coefficiens de J'a.'', Jy, J'z'; et ainsi de suite.

Au lieu déliminer simplement A, A', Aquot;, etc., on pourra tirer de ces equations les valeurs de ces in-connues; nous allons expliquer comment on en dé-duira ensuite, en grandeur et en direction , les forcesnbsp;provenant de la liaison des points du système, quinbsp;agissent sur tous ces points et font équilibre auxnbsp;forces donne'es P, P', Pquot;, etc. La de'termination denbsp;ces forces inconnues est une partie importante dunbsp;problème de léquilibre, dont la solution complete etnbsp;générale se trouvera ainsi comprise dans lensemblenbsp;des équations (), {h), {h'), etc.

545. Si lon suppose que tous les points du système, moins Ie point M, soient rendus fixes, lequilibre nenbsp;sera pas trouble'. En vertu de Fe'quation L = o, Ienbsp;point M sera alors astreint a se mouvoir sur la surface dontL = o est léquation, et dans laquelle lesnbsp;coordonnées o?, j-, z, seront seules variables. Or, ennbsp;désignant par ut, la résistance de cette surface, laquellenbsp;sera dirigée suivant xine des deux parties de la normalenbsp;en M, on pourra remplacer cette sui'face, ou léqua-

tion de condition L=:o, par cette force inconnue. De même, on pourra remplacer L'=o par unenbsp;force normale a la surface qui répond a cette equation ; Lquot; = o par une force normale a la surfacenbsp;correspondante; et ainsi de suite. Done, en joignantnbsp;a la force donnée P, ou a ses composantes X, Y, Z,nbsp;ces forces normales ^, ^4,^, etc. , on pourra en-suite considerer Ie point M comme entièrement librenbsp;et isolé. Par conséquent, si 1on désigne par a,b, c,nbsp;les angles que fait la direction de la force fJt. avecnbsp;des parallèles aux axes des cc,j, z, menées par Ienbsp;point M; par a,, b^, c^, les mêmes angles relatifs anbsp;la force jtA,; et ainsi de suite, nous aurons

Y ¦ ¦ JU. cos nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;èa etc.=o ,

pour les trois equations déquilibre du point M. De plus, si lon fait, pour abréger,

I dh' nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I aonbsp;nbsp;nbsp;nbsp;1

cos nbsp;nbsp;nbsp;coso,= - T, cosc,=-^ ,

* v,dx nbsp;nbsp;nbsp;yi dj nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11^ dz

I dV nbsp;nbsp;nbsp;jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I dLquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dLquot;

COS - -T- , cos Oa = - J-, cos --^ ,

quot;¦ y.dx^ nbsp;nbsp;nbsp;y, djnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ v^dz

etc. ;

Or, en les comparant aux trois equations (g^) avec lesquelles elles doivent être identiques, on en con-clut

Ainsi, par rapport au point M, les forces prove-nant de sa liaison a vec dautres points du système, sont exprimées par les produits rA, v,A', v^Aquot;, etc.; cesnbsp;forces devant être des quantités positives, on don~nbsp;nera aux radicaux v, r,, etc., les mêmes signesnbsp;quaux quantités A, A', Aquot;, etc., et leurs directionsnbsp;seront complèternentdéterminéesparleséquations(i}.

provenant de la liaison du système, qui agissent sur Ie point M' et sont normales aux différentes surfaces

sur lesquelles il est oblige de se mouvoir, quand tous les autres points M, Mquot;, M'quot;, etc., sont rendusnbsp;fixes, on trouvera pareillement

j (£j

On obtiendra de niême les expressions des forces relatives aux points Mquot;, Mquot;', etc.

de sorte quelles sont entre elles comme les quantite's ret /. Lors done que deux points materiels MelM'nbsp;sont lies entre eux, et, si Ton veut, a dautres pointsnbsp;en nombre quelconque, par une equation L = o,nbsp;il en resulte, dans Ietat dequilibre, des forces/* etnbsp;jjtJ appliquees a M et M', dont les grandeurs sontnbsp;entre elles comme v et v', et qui font ayec les axesnbsp;des coordonnees , des angles dont les cosinus sontnbsp;pour la force /*, et

pour la force f/J. Le sens et la grandeur de ces forces depend du signe et de la grandeur dune quantile A quinbsp;se deduit, dans chaque cas, des equations dequilibre.

La consideration des surfaces sur lesquelles chacun des points dun sjstème conserve la liberte de senbsp;mouvoir, lorsque tous les autres sont supposes fixes,nbsp;determine les directions norniales des forces provenantnbsp;de la liaison de ces mobiles, pour chacune des equations par lesquelles cette liaison est exprimee(n° ago);nbsp;mais on nen peut conclure aucun rapport entre lesnbsp;forces relatives a deux points materiels lies par unenbsp;mêrae equation; et cest le principe des vitesses vir-tuelles, ou les equations (Ji), (/7), etc., quon en anbsp;de'duites, qui fait connaifre ce rapport a priori, dansnbsp;le cas de réquilibre.

345. Pour donner une application de ces formules, reprenons lexemple du polygone funiculaire quenbsp;nous avons déja considëré dans le § P du cha-pitre précédent; et supposons que les points materiels M, M', Mquot;, etc. , soient les sommets successifsnbsp;de ce polygone.

Si Ton appelle I, V, V, etc., les longueurs donnees des cotes MM', M'Mquot;, Mquot;M'quot;, etc., les equations (),nbsp;seront, dans ce cas,

et toutes les autres differences partielles de L, L', Lquot;, etc., qui entrent dans les formules précédentes, se-ront égales a ze'ro.

oü lon prendra les signes supe'rieurs ou infe'rieurs, selon que la valeur de A sera positive ou negative.nbsp;On conclut de la et des equations précédentes, que lesnbsp;points M et M' seront sollici lés par des forces égales etnbsp;contraires, dirigées suivant la droite MM' ou suivantnbsp;ses prolongcmens, et dontla quantité A, abstractionnbsp;faite du signe, sera la grandeur commune. II en seranbsp;de mème a légard des points M' et Mquot;, Mquot;etMquot;', etc.;nbsp;en sorte que dans Tétat déquilibre, les quantités A,nbsp;A', Aquot;, etc., exprimeront les contractions ou les tensions des cótés successifs MM', M'Mquot;, Mquot;M'quot;, etc.nbsp;Commeonaura, daprès les équations (/),

et qu on devra prendre les signes supérieurs ou inférieurs, selon que la valeur de A sera positive ou né-gative, on en conclut, par exemple, que la forceap-

pliquée au point M seia dirigée de M vers M', et ex-primera une contraction du cóté MM', quand cette valeur sera negative, et que cette force agira dans Ienbsp;sens oppose et exprimera une tension, lorsque la valeur de A sera positive. Lun ou lautre de ces deuxnbsp;cas sera possible, si les cótés du polygone sont desnbsp;verges inflexibles, jointes par des charnières; et Ienbsp;second cas pourra seul avoir lieu, si les cótés sontnbsp;des fils flexibles.

z =

X'H-Y'

Z' nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;- r

a' {x''x') Aquot;(a:'quot;a:quot;)

Yquot;

Les trois premières montrent que la tension A sera la résultante des forces X, Y, Z. En les ajoutant aux

ce qui fait voir que la tension A' sera la résultante de X', Y', Z', ef des forces X, Y, Z, transportées aunbsp;point M', parallèleraent a elles-mêmes. En continuant de même, on aura pour la tension d un cóténbsp;quelconque la menie valeur que dans Ie n 287.

Le nombre des sommets M, M', Mquot;, etc., étant désigné par n, celui des equations précédentes seranbsp;3«, et celui des tensions A, A', Aquot;, etc., égal anbsp;n I. En éliminant ces quantités, on aura donenbsp;}.n I equations déquilibre , lesquelles, jointes auxnbsp;n I longueurs données l, l', ï', etc., des cólés dunbsp;polygone, suffiront pour determiner les 3ra coordon-nées de ses sommets, et, par conséquent, sa figurenbsp;déquilibre. Mais ce calcul naurait aucune utilité; etnbsp;il vaut mieux, comme nous lavons fait dans lenbsp;n° 286, tracer successivement les cótés du polygone funiculaire, daprès les grandeurs et les directions données qui agissent a ses difïérens sommets.

346. Daós le cas dun système quelconque de points malériels M, M', Mquot;, etc., si les forces données, qui sont appliquées a ces points, proviennent denbsp;leurs attractions ou répulsions mutuelles, et de forcesnbsp;semblabies qui émanent dun ou plusieurs centres,

(p dësignant une foaction donoëe des coordonnées de M, M', Mquot;, etc., dépendante de la loi de ces forcesnbsp;par rapport aux distances.

En effet, a légard des forces provenant des centres fixes, cela résulte de ce quon a vu dans Ie n° i58.nbsp;Supposons, en outre, que U exprime faction mu-tuelle de M et M', qui sera attractive, pour fixernbsp;les idees. Soit aussi u leur distance muluelle, denbsp;sorte que U soit une function donnée de «, et quonnbsp;ait

u' = y xY {j' jY ~~

Les cosinus des angles que fait la droite MM' avec des droites menées par Ie point M, suivant les directionsnbsp;des 3C,j, z, positives, seront

en les multi pliant par U, on aura les composantes de cette force appliquée au point M et dirigée suivantnbsp;MM'. Celles de la même force U, appliquée au pointnbsp;M' suivant la direction M'M, seront égales et con-traires; et de la on conclut

pour la partie de la somme 2 qui piovient de faction et de la reaction de M etM'. Or, en diflérentiant la valeur de on a

ce qui réduit la quantité précédente a Mdu, cest-a-dire, a la diöerentielle dune fonction de u, II en sera de même pour les parties de la somme 2 provenautnbsp;des actions mutuelles des autres points du sjstème;nbsp;par conse'quent, sa valeur entière se coaiposera denbsp;terraes qui seront tous des diflérenlielles exactes, etnbsp;cette valeur sera aussi la differentielle dune fonctionnbsp;donnée des coordonnées de tous ces points.

En vertu de léquation (e), cetle fonction, que nous représentons par lt;p, sera un maximum ou unnbsp;minimum, relativement aux valeurs des coordonnéesnbsp;qui répondent a une position déquilibre du sjstème;nbsp;et, réciproquement, si lou determine Ie maximumnbsp;ou Ie minimum de la fonction ip, en ajant égard auxnbsp;equations () qui peuvent étre données entre lesnbsp;coordonnées, les valeurs quon obtiendra pour ces variables répondront a des positions déquilibre.

Onconclutde la que quandle sjstème des points M, etc.,esten mouvement, de sorte que leurscoordonnées , et, par suite, la quantité (p, soient des fonc-tions du temps, cette fonction lt;p atteindra son maximum ou son minimum, toutes les fois que Ie sjstèmenbsp;passera dans une position oü il resteralt en équilibre,nbsp;si les points qui Ie composent navaient pas de vitessesnbsp;acquises.

347. 11J aura entre Ie maximum et Ie minimum de la quantité cp une difference essenlielle, a laquelle ilnbsp;imporle davoir égard, et que nous allons expliquer.

tème de corps est ^toiZe_,lorsquen écartant un tant soit peu ces mobiles de leurs positions, ils tendent a y re-venir, en faisant de petites oscillations que les fiOtte-mens et les resistances des milieux finissent toujoursnbsp;par éteindre ou rendie insensibles.Lequilibre est nonnbsp;stable OU instantané, lorsque Ie corps ou Ie systèmenbsp;de corps qui est dans eet état, tend de plus en plus anbsp;sen eloigner, et linit par chavirer, dès quon len anbsp;un peu écarté. En ne supposant aucun frottement quinbsp;puisse, jusqua un certain point, retenir les corps dansnbsp;leurs positions, ce second état déquilibre est un casnbsp;purement mathématique, quon ne saurait jamais observer, puisque la moindre force perturbatrice suffi-rait pour Ie détruire.

Cela posé, les équations fournies par Ie principe des vitesses virtuelles, ou, ce qui est la méme chose,nbsp;par la condition du maximum ou du minimum de lanbsp;fonction lt;p, sont communes a ces deux états; mals Ienbsp;maximum convient a la stabillté, et Ie minimum anbsp;léquilibre instantané; et cest, en efFet, ce que nousnbsp;ferons voir dans un autre chapitre, oü nous considé-rerons la nature du mouvement qui a lieu lorsquunnbsp;système de points matériels a été tres peu écarté dunnbsp;état déquilibre quelconque. En attendant, nous aliens donner des exemples de ces deux états d equi-llbre dans Ie cas d un système de corps pesans, et fairenbsp;connaitre dabord une propriété de son centre de gra-vité.

348. Supposons done que la pesanteur soit la seule force appliquée aux points M, M', Mquot;, etc., lesquelsnbsp;seront les centres de gravité de coips dont nous

prenant la pesanteur verticale et dirigée dans Ie sens de cette force, nous aurons

Mais en appelant H la sommedes poids (b-, lt;ar', (bquot;, etc., et z, lordonnée de leur centre de gravité, verticale etnbsp;dirigée dans Ie sens de la pesanteur, on a aussi (n° 64)

d(p = rifife,, cp = c riz,;

Or, on conclut de Ia, 1°. que Tordonnée z, est la quantité qui devra être un maximum ou un minimum,nbsp;lorsque Ie sjstème sera en équilibre, et réciproque-nient; a°. que Ie maximum Ae z, répondra au cas denbsp;léquilibre stable, et son minimum au cas de léqui-libre instantané.

Ainsi, la condition déquilibre dun système quel-conque de corps pesans, consiste en ce que ie centre de gravité du sjstème entier soit Ie plus bas ou Ie plusnbsp;haut possible; Ie plus bas quand léquilibre est stable,nbsp;et le*plus haut quand il n est quinstantané.

54g. Daprès ce théorème, si une chaine pesante , attachée par ses deux bouts a des points fixes, est en

équilibre, son centre de gravitc' sera Ie plus bas possible; ce qui saccorde avec Ie résultat du n° 2g6.

Si un point materiel pesant est posé sur une courbe, et quen plusieurs points la tangente soit horizontale,nbsp;Tordonnée verticale du mobile, comptée dans Ie sensnbsp;de la pesanteur, sera un maximum dans ceux de cesnbsp;points oil la courbe est concave par en haut, et un minimum dans ceux oü elle tourne sa concavité par ennbsp;bas; par conséquent, les premiers seront des positions déquilibre stable, et les derniers des positionsnbsp;déquilibre instantané.

Si Ton pose un ellipsoïde homogene et pesant, sur un plan fixe horizontal, son centre de gravité, ounbsp;de figure, sera Ie plus bas possible lorsque 1ellipsoïdenbsp;touchera Ie plan fixe par lune des deux extrérnilésnbsp;du plus petit de ses trois axes; et alors Fequilibre seranbsp;stable. Quand il Ie touchera par Tune des extrémitésnbsp;du plus grand de ses trois axes, son centre de graviténbsp;sera Ie plus haut possible; et Tequilibre ne seia quins-tantané. Enfin, si Ie point de contact est une extré-mité de Faxe moyen, Félévation du centre de graviténbsp;sera un minimum pour une partie des sections dunbsp;corps, et un maximum pour les auti'es sections; parnbsp;conséquent, 1 equilibre sera stable ou non stable, se-lon que les déplacemens auront lieu dans Ie sens desnbsp;premières sections ou dans Ie sens des dernières. Toutnbsp;cela étant évident, a priori, peut servir de vérifica-tion au théorème du numéro précédent.

Supposons encore quon ait versé dans un vase deux liquides homogènes et pesans. Si la surfacenbsp;de separation et celle qui termine Ie liquide supé-

rieur sont toutes deux horizontales, et que ce liquide soit celui qui a la moindre densité, Ie centre de gravité de ces deux liquides sera Ie plus bas possible ; car il est aisé de voir quen inclinant ou cour-bant Tune ou lautre des deux surfaces, on éleveranbsp;toujours Ie centre de gravité du sjslènie. Ces deuxnbsp;surfaces étant toujours horizontales, si Ie liquide Ienbsp;moins dense est au-dessous de lautre, on verra denbsp;mème que Ie centre de gravité du système sera Ienbsp;plus haut possible. Par conséquent, pour lequilibrenbsp;de deux liquides superposés, il est nécessaire et ilnbsp;suffit que chacun d eux soit terminé par un plannbsp;horizontal; mais, pour la stabilité, il faut, de plus,nbsp;que ce soit Ie liquide Ie plus dense qui occupe lanbsp;partie inférieure du vase. Quand la diflerence desnbsp;deux densités est peu considérable, il est possible,nbsp;avec beaucoup de précaution, de faire surnager Ienbsp;liquide Ie plus dense; mais eet équilibre non stablenbsp;ne peut se maintenir assez de temps, pour être ob-servé, qua raison du frottement des deux liquidesnbsp;contre les parois du vase.

dL	X x'	d\I	_ dh	__x' x	etc..
dx'	l gt;	dx'	~~ nbsp;nbsp;nbsp;dxquot;	l' *	etc..
dh		dh'	dh	_yy'	etc..
dj	1 gt;	dj'	djquot;	i	etc..
dh	_z z'	dh	dh	z' zquot;	etc.;
dz	l	dz	dd'	l »	etc.;

MÉCANIQUE

PAR S. D. POISSOIV,

TOME PREMIER.

PARIS,

BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE,

Utree

AVERTISSEMENT.

TABLE DES MATIÈRES

CONTENUES DANS LE PREMIER VOLUME,

INTRODUCTION.

a..

TABLE DES MATIÈRES.

LITRE PREMIER.

STATIQUE,

CHAPITRE P*'. De la composition et de Véquilibre des forces applique'es a un même point, page 4^

ti nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE II. De Véquilibre du levier, page 72

CHAPITRE III. De la composition et de Véquilibre des forces parallèlesjnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P^g® 90

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE AI. Calcul de Vattraction des corpSj

page 169

ïij nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

page 237

CHAPITRE III. Du mouvement curviligne, page 263

TABLE DES MATIÈRES.

page 337

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE VI. Exemples du mouvement dun mobile entièreinent libre ^ nbsp;nbsp;nbsp;696

b..

TABLE DES MATIÈRES.

table des matières.

liyke troisième.

STATIQUE,

page 497

TABLE DES MATIÈRES.

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xxvij

page 654

XXX nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

Errata.

2-3^, nbsp;nbsp;nbsp;6,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lisez T

DE MÉCANIQUE

INTRODUCTION.

AMD = a, BMD = ^, CMD = 7.;

= (x'  xY {y  yY nbsp;nbsp;nbsp; ^)* 

'¦. j fxdx

(« by nbsp;nbsp;nbsp;(a by

rY-

\a -j- b) ^ ce qui prouve que le coefficient de sin* | cT ne peutnbsp;pas devenir infini, puisquil est toujours moindrenbsp;que Iunite. En negligeant Iinfiniment petit du second ordre, on aura done Iunite pour le rapport denbsp;c k a b ; ce quil sagissait de demontrer.

cos a d. cos a-f-cos ^ . cos ^ cos c/. cos )/ = o,

d. cos ë = nbsp;nbsp;nbsp;{dxd^jdjd*x) ^ {dzd'jdjd^z),

c?. cos y =  {dxd^zdzd^x) nbsp;nbsp;nbsp;{djdzdzdy); ¦'

P=-----7.

{x'  x) (dxdy  djd^x) = {z'  z) (djd'^zdzdy)  ds'^dj, {yJ) (djd?-x dxdy) ¦= (z'z) [dxd^z  dzd^x)  ds^dx;

^,cosb=Y^,cosc = y^^,

hl',.

* vi 7'7quot;'

LITRE PREMIER.

STATiaUE,

PREMIÈRE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

R=/(P,x).

Q'~Qlt;p

R* = P* 4- F® 4- Pquot;® 4- etc.

v=±[a)' (f) 0T-

CHAPITRE II.

1 equilibre,

Pp = Q^.

Q9 = Pp ± P'p';

qq = Vp py, q'9' = qq Py,

= Vp -j- py 4- py.

6..

Pp 4- py y py ^ py ~ p-p-  etc.

Plt;^-l-PW'-t-PVquot; = o; (4)

y_

il

= p0.

Pp_py_py = o;

CHAPITRE III.

Rj:?, = Tjc 4- nbsp;nbsp;nbsp;4-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4- etc., \

axquot;bjquot;-]r c,

2-3^, nbsp;nbsp;nbsp;6,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;lisez T

= (x' xY {y yY nbsp;nbsp;nbsp; ^)*

rY-

\a -j- b) ^ ce qui prouve que le coefficient de sin* | cT ne peutnbsp;pas devenir infini, puisquil est toujours moindrenbsp;que Iunite. En negligeant Iinfiniment petit du second ordre, on aura done Iunite pour le rapport denbsp;c k a b ; ce quil sagissait de demontrer.

d. cos ë = nbsp;nbsp;nbsp;{dxd^jdjd*x) ^ {dzd'jdjd^z),

c?. cos y = {dxd^zdzd^x) nbsp;nbsp;nbsp;{djdzdzdy); ¦'

{x' x) (dxdy djd^x) = {z' z) (djd'^zdzdy) ds'^dj, {yJ) (djd?-x dxdy) ¦= (z'z) [dxd^z dzd^x) ds^dx;

* vi 7'7quot;'

v=±[a)' (f) 0T-

Pp 4- py y py ^ py ~ p-p- etc.

^'7 (7 ~fy nbsp;nbsp;nbsp; z'O® = p'®,

j, S/x = j \/x J \^a X dx,

S' ^ch, nbsp;nbsp;nbsp;j?' = I Ji.

Aar. = - xy ifx^dj, V (4)

Ar. = T rr* f^jdj; )

=

\/ ax x'^

Sx. = -Tra (* a*),

-3 '7raf=z ^ ttc* {a ) V,,

V nbsp;nbsp;nbsp;-r nbsp;nbsp;nbsp;nbsp; 64)^

r/rWr=A,

A = f^/Jff^dm,

pi'* 4quot; nbsp;nbsp;nbsp; I,

;

A=eg!f(._| elc.),

jJJ [( jT (y 2)]

i acosp, é', = sin?cosg-, 5.^, =csinpsin^, |

g ' gi ^ : lt;t!r, ,

lt;P = ggt; = mg.