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TRAITÉ

DE MÉCANIQUE

Ouvrage du méme Auteur qui se trouve che% Ie même Libraire.

NOUVELLE THÉORIE DE L’ACTION CAPILLAIRE, i vol. in-4“quot; fig-j i83i.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i5 fr.

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A LONDRES,

GHEZ BALLIÈRE, 219, REGENT STREET.

IMPRIMEBIE DE BACHEUER»

rnc du Jardinet) 12.

TRAITÉ

DE

MËCANIQUE;

PAR S. D. POISSON,

Membre de I’lnstitul, du Bureau des Longitudes et de TUniversite de France; des Sociétés royales de Londres et d’Édimhourg; desnbsp;Académies de Berlin, de Stockholm, de Saint-Pétersbourg, denbsp;Boston , de Turin, de Naples, et de plusieurs autres villes d’Italie;nbsp;de rUniversité de Wilna; des Sociétés, italienne, astronomiquenbsp;de Londres, philomatiques de Paris et de Varsovie, et des Sciencesnbsp;et Arts d’Orléans.

SECONDE EDITION,

CON SIDÉRABLEMENT AÜGMENTBE.

TOME SECOND.

PARIS,

BACHELIER, IMPRIMEUR-LIBRAIRE

POÜR LES MATHÉMATIQUES,

QUAI DES AUGUSTINS, N° 55.

1853

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TABLE DES MATIÈRES

CONTENUES DANS LE SECOND VOLUME.

LIYRE QUATRIÈME.

DYNAMIQUE,

SECONDE PARTIE.

CHAPITRE P'. Principe général de la Djna-mique, nbsp;nbsp;nbsp;page i

Énoncé de ce principe, dont l’auteur est D’Alembert, et d’après lequel on ramène toutes les questions de Dynamiquenbsp;a de simples problèmes de Statique,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 35o

Autre énoncé dumême principe, dont l’avantage est de con-duire immédiatement a des equations entre les données et les inconnues de chaque problème,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 35i

En vertu de ce principe, les tensions des liens physiques d’un système de points matériels, et les pressions exercées sur desnbsp;surfaces ou des courbes données, se déterminent, dans l’étatnbsp;de mouvement, par les mêmes régies que dans l’état d’équi-libre; les forces motrices qui agissent sur les mobiles se

a

TABLE DES MATIÈRES.

décomposenten/;rcef perdues, qui produisent ces tensions OU pressions , et en d’autres forces qui font variev les vi-tesses des mobiles ; exeinples de ce double effet des forcesnbsp;données ,

Extension du principe general de la Dynainique aux percussions considérées corame des forces motrices qui ont lieu pendant un temps trés court et produisent des changeinensnbsp;brustjues de xitesse; influence que peut avoir Ie frottementnbsp;pendant l’action de ces forces,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n” 353

Application du principe general au mouvement de deux corps pesans posés sur des plans inclines et lies par un fil inex-tensible • tension de ce fd ; determination des vitesses ini-tiales, ’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n-354 et 355

Mouvement d’une chaine pesante posée sur deux plans incline's; dans quel cas la chaine demeurera en équilibre,

n° 356

Mouvement rectiligne de deux points matériels soumis a leurs re'pulsion ou attraction mutuelles,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 867

Les formules de ce mouvement s’étendent k deux corps solides dont tous les points ont des vitesses parallèles a une inênienbsp;droite; mouvement du boulet et du canon pendant que Ienbsp;boulet est dans Ydme de la pièce ; hypothèses sur lesquellesnbsp;la loi de la force de la poudre est fondée ; calcul numériquenbsp;de la force de la poudre, d’après la vitesse du boulet anbsp;la bouche du canon; remarque de Lagrange sur ce pro-blème,

Application du principe de D’Alembert au cas Ie plus simple du choc des corps; données physiques de la question, et hypothèses nécessaires a sa solution,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n” 36o

Choc de deux corps mous ou dénués d’élasticité; definition de la force vive; perte de force vive qui a toujours lieu dans cenbsp;choc,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 36i

Choc de deux corps parfaitement élastiques; conservation de la somme des forces vives ; choc d’une série de billes en repos par une bille en mouvement; les lois précédentes du

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;üj

clioc des corps spliériques, inous ou élastiques, sont confirmees par 1’expérience , nbsp;nbsp;nbsp;n“ 862 et 363

Conservation du mouvement du centre de gravité dans Ie choc de deux corps spliériques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 364

Théorie imparfaite de la resistance des milieux, dans laquelle cette résistance est assiniilée a une suite de chocs du mobilenbsp;contre les molécules du fluide qu’il traverse; expression denbsp;la résistance sur une surface plane et sur chaque élémentnbsp;d’une surface courbe; calcul de la résistance sur une surface de revolution, et, en particulier, sur une sphere,

n“' 365 et 366

Le coefficient de la résistance relative au mouvement des projectiles dans 1’air, qui résulterait de cette théorie, n’est pas d’accord avec l’observation; valeur de ce coefficient, quenbsp;1’on a déduite de l’expérience; en quoi consiste réellementnbsp;la résistance des fluides ; elle n’a encore été déterminée,nbsp;d’après les lois de la Mécanique (11° 191), que dans le cas desnbsp;petites oscillations d’un pendule,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 36^

CHAPITRE IL Détermination des immens dinertis. et des axes principaux,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P^ge 4^

ïntégrales définies qui se présenteront daas les equations dn mouvement des corps solides, dont les masses seront dé-composées, pour plus de simplicité, enélémens infinimentnbsp;pelits (n° g8); definition des momens d’inertie et des axesnbsp;principaux-,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 368

Calcul du moment d’inertie d’un parallélépipède rectangle, 1’axe étant une de ses arètes ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 369

Calcul du moment d’inertie de l’ellipsoïde, par rapport i 1’un de ses axes de figure ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 870

Moment d’inertie d’une sphere composée de couches concen-triques de différentes densités, nbsp;nbsp;nbsp;n“ 871

Les mtégrales triples d’oü dependent, en général, les momens d inertie, ss réduisent a des intégralos simples dans le cas

a..

TABLE DES MATIÈRES.

d’un solide de re'volution; application a la sphere , au cAne et au cylindre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^7^

Connaissant Ie moment d’inertie d’un corps quelconque par rapport a un axe passant par son centre de gravité, on ennbsp;déduit Ie moment d’inertie du même corps par rapport anbsp;un axe parallèle au premier,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n” 374

Connaissant les momens d’inertie par rapport aux trois axes principaux qui se coupent en un point, on en conclut Ienbsp;moment d’inertie relatif' A un axe quelconque passant paree point,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^7^

Propriétés des momens d’inertie principaux, ou qui répondent

aux axes principaux, nbsp;nbsp;nbsp;““ ^7®

Avant de démontrer 1’existence des axes principaux, et d’en determiner la direction , on rappelle d’abord les formulesnbsp;générales de la transformation des coordonnées, nquot; 377nbsp;Les neuf coefficiens qui entrant dans ces formules sont desnbsp;fonctions de trois angles indépendans entre eux; deUnitionnbsp;de ces trois angles; sens determine suivant lequel ils devrontnbsp;être comptés, et comment ils pourront croitre dans Ie mouvement d’un corps solide ; valeurs des neuf coefficiens ennbsp;fonctions de ces trois angles ; moyen d’obtenir ces valeurs,

n°’ 378 et 379

On démontre qu’il existe toujours trois axes principaux rec-tangulaires qui se coupent, en chaque point d’un corps quelconque , et 1’on donne les formules propres a les determiner ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;38o

II n’y a qu’un seul système de trois axes principaux, quand les trois momens d’inertie qui s’y rapportent sont inégaux ;nbsp;leur nombre est infmi, lorsque deux de ces momensnbsp;sont égaux; si les momens d’inertie relatifs a trois axesnbsp;principaux , qui se coupent en un point, sont égaux, toutesnbsp;les droites passant par ce point sont des axes principaux,nbsp;auxquels répondent des momens d’inertie égaux, n” SStnbsp;Determination des points singuliers, qui jouissent de cettenbsp;dernière propriété; application a I’ellipsoide et au parallélé-pipède,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 382 et 363

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPITRE III. Du mouvement dun corps solide autour dun axe fixe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;77

§ P'. Mouvement de rotation uniforme ,

Definition de la vitesse angulaire commune a tous les points d’un système de forme invariable, tournant autour d’unnbsp;axe fixe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 384

Determination de cette vitesse, lorscjuejes points du système ont e'prouvé simultane'ment des percussions qui leur auraientnbsp;imprime', s’ils étaient libres, des vitesses donne'es, n° 385nbsp;Cas oü Ie système se change en un corps solidefrappe' par unnbsp;OU plusieurs autres corps, qui lui restent attachés aprèsnbsp;Ie choc,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 386

Comment on peut determiner la percussion que l’axe éprouve 4 1’instaut du choc; conditions nécessaires pour que l’axenbsp;n’éprouve aucune percussion ; definition du centre de percussion ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n”' 387 et 388

Pressions exercées sur l’axe pendant Ie mouvement de rotation, et dues aux forces centrifuges de tous les points du corps; propriété générale des axes principaux dans Ie mouvement uniforme de rotation; propriété particulière desnbsp;axes principaux qui passent par les centres de gravité dunbsp;mobile,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“» 389 et 890

§ 11. Mouvement de rotation varié,

vi nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

cette réciprocité , pour determiner la longueur du pendule simple, correspondant 4un pendule donué ; on fait voiv quenbsp;pour un mêtnecorps, il y a une infinite' d’axes autour desquelsnbsp;les petites oscillations out la même durée, n^-Sgö, 397, 398nbsp;Mouvement d’un pendule coinposé, dans un milieu resistant;nbsp;la longueur du pendule simple qui a Ie inêine mouvement,nbsp;ne depend pas de la resistance,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;399

Mouvement d’un treuil et de deux corps pesans , suspendus au cylindre et a la roue ; application a la machine d’ Jthood,

nquot;’ 400 et 4o i

Pendule de Robins; usage de ce pendule pour determiner les vitesses initiales des projectiles de Tartillerie, n“® ^01 et 4o3

CHAPITRE IV. Du mouvement dun corps solide autour dun point Jixe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;jtage lai

§ Iquot;. Formules préliminaires,

Le mouvement de rotation d’un système de forme invariable , autour d’un point fixe, a lieu auiour d’une droite variablenbsp;d’un instant a I’autre, que Ton appelle axe instantané denbsp;rotation,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 4^4

De'terniination de la direction de cet axe, soit par rapport a des droites fixes dans 1’inte'rieur du corps, soit par rapportnbsp;k des droites fixes dans 1’espace ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 4o5

Expression de la vitesse angulaire de rotation du corps autour de 1’axe instantane' ; decomposition de cette vitesse ennbsp;trois autres, autour de trois axes rectangulaires, fixes ounbsp;mobiles ; la composition et la decomposition des vitessesnbsp;de rotation se font suivant les memes régies que celles desnbsp;vitesses de translation,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4o6 et 407

Composantes de la vitesse absolue d’un point quelconque du * corps, par rapport a trois axes fixes dans son intérieur;nbsp;composantes de la force acce'leratrice, par rapport auxnbsp;ineines axes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® ^08

Momens des quantite's de mouvement de tous les points du

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;yij

corps ii un instant quelconque, par rapport a trois axes passant par Ie point fixe ; cas oü ces trois droites sont lesnbsp;axes principaux qui se coupent en ce point; signe de chacunnbsp;de ces moiiiens, d’après Ie sens de la rotation aulour denbsp;1’axe correspondant; moment principal de ces mêmes quan-tités de mouvement, et direction de son axe, n® 4°9nbsp;Équations différentielles qui oat lieu entre les trois anglesnbsp;du 11“ 878, d’ou de'pend la position du mobile a chaquenbsp;iustant, et les trois composantes de sa vitesse angulairenbsp;par rapport a ses trois axes principaux ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 4io

Autres formules qui pourront être utiles dans la suite, n” 4i i

§ II. Équations différentielles du mouvement de rotation autour d’un point jixe,

Ces équations, au nombre de trois, s’obtiennent trés facile-inent, au moyen des formules du n° 4^8 et du principe de D’Alembert; on les réduit a leur forme la plus simple,nbsp;en rapportant les composantes de la force accélératricenbsp;d’un point quelconque du mobile , a ses trois axes principaux ; Ie problèine general du mouvemeut de rotationnbsp;depend de six équations du premier ordre, savoir, cellesnbsp;qu’on vieut de former, et celles du n° 4*° gt;nbsp;pesanteur est la seule force qui agit sur les points dunbsp;mobile,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11°'4*2 et 4*3

Quand ce mobile n’est soumis a aucune force motrice , ou bien , quand il s’agit d’un corps pesant, et que Ie pointnbsp;fixe est son centre de gravité, on parvient a intégrer les sixnbsp;équations du mouvement de rotation et a faire dépendrenbsp;les inconnues, de deux fonctions elliptiques; dans ce mouvement , produit par des percussions initiales, les momensnbsp;des quantités du mouvement de tous les points du corps,nbsp;par rapport a des axes passant ’ par Ie point fixe, sontnbsp;constans ; leur moment principal et sa direction sont in-variables, et cette consideration facilite l’intégration desnbsp;equations du problème ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n”quot; 4*4 gt; 4'^ , 4*^ et 4*7

Déterminaüon compléte des constantes arbitraires, contenues

viij nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

dans les inte'grales de ces e'quations, en supposant, pour fixer les idees, que Ie mobile a éte' frappe', a 1’origine dunbsp;mouvement, par un autre corps qui y est resté attaché,

11° 4i8

Diverses propriétés générales du mouvement de rotation d’un corps qui n’est soumis a aucune force motrice,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;419

Détermination de ce mouvement, plus simple que la précé-dente, mais seulement approchée, lorsque 1’axe instantané de rotation s’écarte constamment trés peu de 1’uii des troisnbsp;axes principaux du mobile, et qui se coupent au point fixe ;nbsp;onretrouve la propriété des axes pi'incipaux déja déniontréenbsp;dans Ie n° 889; ou fait voir, de plus, que Ie mouvementnbsp;est stable autour des axes du plus grand et du plus petitnbsp;moment d’inertie, et seulement instantané, autour du premier axe principal; détermination des constantes arbitrairesnbsp;dans Ie cas de la stabilité,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n®® 420,421 et 422

Le mouvement de rotation produit par des percussions ini-tiales, devient plus simple , quand le mobile est un solide de revolution , et que son axe de figure passe par le pointnbsp;fixe; les inconnues se déterminent alors sans le seconrs desnbsp;fonctions elliptiques ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;428

Autre démonstration de la stabilité du mouvement autour de deux des axes principaux,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 424

J III. Solution d’un cas particulier du mouvement de rota~ tion dun corps pesant,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page 162

Le mobile est un solide de revolution dont l’axe de figure passe par le point fixe; on appelle dquateur la section denbsp;ce corps faite par ce point et perpendiculaire a cette droite;nbsp;le mouvement parallèle a l’équateur est uniforme ; 1’inter-section de I’e'quateur et du plan horizontal passant par lenbsp;point fixe, s’appellera la ligne des nceuds ; définition dunbsp;nobud ascendant, et distinction de son mouvement directnbsp;et de son mouvement rétrograde sur le plan horizontal,

uquot; 425 et 426

Dansce cas, les six équations du mouvement de rotation s’intè-

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;ix

grent, et les iftcomiues du problètne s’expriment exactenient par des fonctions elliptiques ; determination des constantesnbsp;arbitraires , contenues dans les intégrales ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°’ 4^7 et 428

Cas OU Ie mobile se réduit a un point materiel , dont la distance au point fixe est constante; on retrouve alors lesnbsp;formules du n° 2o5, relatives au pendule simple , n” 4^9nbsp;Lorsque l’axe de figure a été e'cavté de la verticale , et qu’a-près avoir imprime' au mobile une vitesse de rotation autournbsp;de cette droite incline'e.j il est ensuite abandonné a lui-mêine, on de'inontre que Ie mouvement du nceud ascendant sera direct ou retrograde , selon que Ie centre denbsp;gravité du corps sera situe' au-dessus ou au-dessous dunbsp;plan borizontal, passant par Ie point fixe ; quand la vitesse de rotation est nulle, Ie mouvement du corps senbsp;réduit a celui d’un pendule compose' ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11“ 43o

On applique les formules du numéro précédent, au cas ou l’axe de rotation a été, primitivement, trés peu écarté de lanbsp;verticale, et 1’on détermine de cette manière les valeursnbsp;approchées des angles d’ou dépend la position du mobile anbsp;un instant quelconque ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 4^ *

On applique les mêmes formules au cas oü 1’inclinaison de 1’équateur demeure a peu prés invariable ; il faut pournbsp;cela que la vitesse de rotation soit trés i'apide ; on détermine , dans cette hypothèse, les petites variations de Tin-clinaison de l’équateur , et Ie mouvement de la ligne desnbsp;noeuds, qui est trés lent par rapport au mouvement denbsp;notation , et a peu prés uniforme; ce cas est celui de la machine de Bohnenberger ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 4^2

•

CHAPITRE V. Du mouvement d’un corps solide entièrement libre^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^79

Decomposition de ce inojivement en deux autres, 1’un de rotation autour d’un point du corps, l’autre de translation,nbsp;common a tous ses points; cas ou Ie second mouvementnbsp;est révolutif, et oü chaque revolution s’achève dans Ie

X nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

inême temps que chaque rotation; ce ca§ a lieu dans Ie mouvement des satellites , et, en particulier, dans Ie mouvement de la lune , qui tourne , en conséquence, constam-ment la même face vers la terre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 4^3

Determination de la vitesse que prend Ie centre d’un corps solide, sur lequel on exerce une ou plusieurs percussionsnbsp;de'termine'es; re'ciproquernent, cette vitesse fait connaitre lanbsp;direction et 1’intensite' de la percussion, soit que Ie corpsnbsp;qui a frappé celui que l’on considère y soit resté attaché ,nbsp;ou qu’il s’en soit séparé après ie choc, n“ 434nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;435

Comment on pourrait determiner Ie mouvement initial de rotation autour d’un point quelconque du mobile, si l’on connaissait, en grandeur et en direction, la vitesse initialenbsp;de ce point; quand ce point est Ie centre de gravité, cettenbsp;counaissance est inutile, et Ie mouvement de rotation initial est Ie même que si Ie centre de gravité demeurait ennbsp;repos,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 436

Déterinination de l’axe instantané initial qui passe par Ie centre de gravité, et de la vitesse angulaire autour de eetnbsp;axe ; cas oü cette droite est un des trois axes principaux quinbsp;se coupent au centre de gravité ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n'’ 437

Equations dilFérentielles du mouvement du centre de gravité; comment on formerait celles du mouvement de rotationnbsp;autour de ce point,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 438

Ces deux systèmes d’ëquations dilFérentielles, ainsi que les deux mouvemens correspondans, sontindépendans l’un de l’autre,nbsp;dans Ie cas d’un corps soumis a la sevde action de la pesan-teur; determination compléte du mouvement d’un ellipsoïde pesant, frappé dans un plan perpendiculaire a l’un denbsp;ses trois axes de figure,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® ^3^

La même independence a lieu dans Ie cas d’une t'phère com-posse de couches concentriques et dont tous les points sont soumis a des attractions dirigées vers des centres fixes ounbsp;mobiles ; quand Ie mobile s’écarle de la forme sphérique,nbsp;ces attractions influent sur son mouvement de rotation;nbsp;perturbations du mouvement de la terre autour de son

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xi

centre de gravite', dues a sa non-spliéricite', et produites par les actions du soleil et de la lune ; ces forces , qui donnentnbsp;lieu a la precession des équinoxes et a la nutation de Taxenbsp;de la terre, n’ont cependant aucune influence sensible surnbsp;la direction de eet axe dans 1’inte'rieur du globe, ni surnbsp;la durée de sa rotation autour de cette droite mobilenbsp;dans l’espace ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°' 44®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;44*

L’invariabilité du jour sideral et du jour moyen est confirmee par les eclipses que les Chaldéens ont observées; calcul quinbsp;fait voir que la durée du jour moyen n’a pas varié d’un cen-tième de seconde en 25oo ans,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“* 44^ et 443

Examen des difiérens effets qui peuvent ètre produits par Ie frottement de la surface d’un projectile centre l’air dansnbsp;lequel il se meut, et par la resistance proprement'dite de cenbsp;fiuide,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n»» 444, 445 et 446

CHAPITRE VI. Du mouvement d’un corps solide pesant sur un plan donné,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;207

§ 1quot;. Cas oil l’on na pas égard au frottement, nbsp;nbsp;nbsp;ibid.

On supposera que Ie mobile touche Ie plan donné par un seul point de sa surface, pendant toute la durée du mouvement;nbsp;equations différentielles du mouvement du centre de gra-vité et du mouvement de rotation autour de ce point,

n° 44'’

Equation résultante du contact du mobile avec Ie plan donné, qui peut ètre fixe ou avoir un mouvement donné ;nbsp;distinction entre Ie cas oü Ie point de contact se déplace anbsp;la surface du mobile, et Ie cas ou ce point est constammentnbsp;rextrémité d’une pointe, comme dans Ie jeu de la tou-Pie,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11° 448

Cas oü Ie plan donné est fixe et horizontal; on indique , coinuie exemples, les petiles oscillations d’un ellipsoïdenbsp;bomogèue ou d’une sphère bétérogène ; on obtient deux in-tegrales premières des équations différentielles du n° 44? gt;nbsp;qui suffiront pour la solution rigoureuse du problème, au

xij nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

jnoyen des fonctions elliptiques, quand Ie mobile est uit solide de revolution ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 449nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4^®

Mouvement d’un solide de revolution, termine' par une pointe, et qui s’appuie , par son extrémité, sur un plan dont les oscillations sont connues,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 4^1

Quand Ie mobile a une vitesse de rotation ti-ès rapide par rapport aux divers mouvemens du plan donné, on réduit les e'quations diffe'rentielles du problème a la forme lineaire,nbsp;par la transformation dont Lagrange a fait usage dans Ienbsp;cas de Ia libration de la lune,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°‘ 452 et 463

Inte'gration de ces e'quations line'aires; lejtrs inte'grales font voir que les oscillations du plan sur lequel Ie corps s’appuie,nbsp;s’affaiblissent dans Ie mouvement de son axe de figure, etnbsp;deviennent insensibles quand la rotation autour de cettenbsp;droite est suffisamment rapide; moyen fonde' sur ce re'sul-tat, qui a éte' propose pour obtenir i la mer un horizon artificiel propre aux observations astronomiques,

n»^ 454 et 455

§ 11. Cas OU Von a égard au froltement, nbsp;nbsp;nbsp;page 229

Lois du frottement d’un corps en mouvement, données par l’expe'rience,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 456

Mouvement d’un corps glissantsur un plan fixe horizontal, et entraine' par un poids donne',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;* 467 et 458

Integrale de 1’e'quation de ce mouvement, dans Ie cas ou l’on fait abstraction de la re'sistaiice de l’air; determination dunbsp;coefficient du frottement par deux moyens diffe'rens ; quandnbsp;ce coefficient est connu, et que l’on incline Ie plan, on de'-termine imraédiatement Ie mouvement du mème corps surnbsp;ce plan ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°quot; 459 et 460

Conse'quence de cette proposition, que Ie frottement est indé-pendant de 1’étendue de la surface frottante , et pvoportion-nel a la pression totale; en quoi cette loi du frottement consiste re'ellement; examen de ce qui arriverait si la ma—nbsp;tière de la surface frottante n’était pas partout la inême,

nquot;

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xiij

Double mouvement d’un corps qui glisse sur un plan horizontal, et qui tourne en même temps autour d’un axe vertical , nbsp;nbsp;nbsp;n“ 462 et 463

Ênonce' des différenscas que peut présenter Ie mouvement d’un corps solide qui roule sur un plan ; frottement de la première et de la seconde espèce,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 463 bis C*^

Mouvement d’une sphère qui roule sur un plan horizontal, nbsp;nbsp;nbsp;n“ 464

CHAPITRE VIL Du choc des corps de forme quel-

pag^e 254

En quoi consiste Ie problèrae du choc des corps, dans Ie cas Ie plus general,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 465

Équations fournies par Ie principe de D’Alembert, dans Ie cas de deux corps de forme quelconque et entièrement libres,

n°’ 466 et 467

Indétermination du problème, quand on n’a pas égard a la compressiblüté des mobiles; equation nécessaire k sa solution , et qui résulte de cette compressibilité, quelquenbsp;petite qu’elle soit,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 468

Modification des formules du n° 4671 provenant du degré d’élasticite' des mobiles; Ie problème est complètement ré-solu dans les deux cas des corps entièrement dénués d’é—nbsp;lasticité, et des corps parfaitement élastiques , n“ 46qnbsp;Le choc de deux corps n’altère pas les vitesses de leurs centres de gravité, parallèlement au plan tangent a leurs surfaces , mené par leur point de contact, non plus que lesnbsp;momens de leurs quantités de mouvement, rapportés anbsp;leur normale commune,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 470

Quand cette normale passe par le centre de gravité de l’un des deux corps, sou mouvement de rotation autour de cenbsp;point est le même avant et après le choc ; cas oü cette

( ) Le numero qui devrait se trouver au bas de la page a etc omis par erreur, et bon est oblige' de rèpe'ter le numero precedent.

siv nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

droite passe par les deux centres de gravite'; casou ces points se inouvaient, en outre , sur cette normale avant le choc ,

n” 471 et 472

Choc de deux corps elastiques egaux en masse ; choc d’un corps parfaiteinent elastique, contre un obstacle fixe ;nbsp;égalité de 1’angle d’iiicidence et de Tangle de reflexion ;nbsp;cette egalite n’a plus lieu, quand on a e'gard au frottementnbsp;du mobile contre le plan fixe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“= 47^ et 474

On explique comment on peut tenir compte du frottement d’un mobile contre un autre, pendant la dure'e du choc denbsp;ces deux mobiles,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 47^

Influence du frottement et de la rotation dans le choc d’une sphere contre un plan fixe , tel que le choc d’un bouletnbsp;contre le terrein ; examen des diverses circonstances quinbsp;peuvent se présenter,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n”’ 476 et 477

Application des formules générales a un exemple oü la normale commune aux deux mobiles ne passe pas par leur centre de gravité ; calcul de la quantité de mouvementnbsp;imprimée a chacun d’eux, et qui mesure Tintenslté dunbsp;choc,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°478

Modification des formules générales, dans les düFérens cas ou les deux corps qui se choquent ne sont pas entièrementnbsp;libres,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 479

Extension de ces formules au cas d’un nombre quelconque de mobiles qui se choquent simultanément. Exemple re—nbsp;latif cl une sphere en repos, choquée par deux autres spheresnbsp;en mouvement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“® 480 et 481

CHAPITRE VIII. Ejcemples du mouvement d’un corps flexible jnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page 293

5 Iquot;. Vibration d’une corde flexible. , nbsp;nbsp;nbsp;ibid.

Hypotheses que Ton fait sur cette corde ; equations diffé-rentielles de son mouvement, nbsp;nbsp;nbsp;n“ 4^^

Réduction de ces equations a la forme lineaire, dans le cas

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xv

des vibrations tres petites; les vibrations transversale! et les vibrations longitudinales coexistent dans une inême corde,nbsp;et sont indépendantes les nnes des autres ; ces deux sortesnbsp;de inouvemens dependent d’une equation de niême forme,nbsp;aux differences partielles du second ordre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 483

Integration de cette equation sous forme finie , nbsp;nbsp;nbsp;n“ 484

Determination des deux fonctions arbitraires contenues dans cette iiite'grale, pour toute la longueur de la corde , et pournbsp;toutes les valeurs du temps, d’après la figure initiale de lanbsp;corde vibrant transversalement, et les vitesses initiales denbsp;tous ses points ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 485

Construction géométrique de la figure de cette corde a un instant quelconque ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 486

Lois des vibrations transversales qui re'sultent de cette construction , et qui out éte' confirme'es par l’expérience , soit par rapport k la tension de la corde, soit par rapport sonnbsp;poids et A sa longueur ; l’élévation du ton est mesure'e parnbsp;Ie nombre des vibrations dans l’unité de temps , n“ 487nbsp;Discontinuitê des lignes employees dans la construction pre'—nbsp;ce'dente ; restriction qu’on doit apporter k la discontinuitênbsp;de la courbe qui représente la figure initiale de la corde;nbsp;cette condition restrictive subsiste pendant toute la dure'enbsp;du mouvement, et fournit une des e'quations ne'cessaires aunbsp;problème, dans Ie cas d’une corde composée de deux partiesnbsp;de niatières différentes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n” 488

Autre solution du problème des cordes vibrantes, dans la-quelle 1’ordonnée courante de la corde est exprime'e par une série de quantite's pe'riodiques ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 489

Cas particuliers oü Ie ton d’une corde s’êlève au-dessus du ton fondamental, et répond a une partie aliquote de sanbsp;longueur; nceuds de vibrations qui ont lieu dans ces sortesnbsp;de cas ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 49»

Lois des vibrations longitudinales d’une corde tendue, n“49i Rapport trés simple entre leur nombre et celui des vibrationsnbsp;transversales de Ia même corde ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 49^

TABLE DES MATIÈRES.

^ II. Vibrations longitudinales d’une verge élastique, page 3i6

Hypotheses que l’on fait sur cette verge; son mouvement longitudinal de'pend de la même equation aux diffe'rencesnbsp;partielles que celui de la corde tendue , et ne'difïère denbsp;celui-ci que par les conditions relatives aux extre'mite's de la

Solution du problème , analogue a celle du n“ 489; lois des vibrations daris les différens cas relatifs aux extre'mite's ;nbsp;elevation du ton fondamental, a raison des nceuds denbsp;vibrations ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11“ 49^

Cas ou la verge s’e'tend inde'finiment; propagation des ondes sonores’ dans une barre homogene, cylindrique ou pris—nbsp;matique; conditions pour qu’une onde sonore ne se par—nbsp;tage pas en deux autres ; comment la vitesse constante denbsp;cette propagation se conclura du ton longittKÜnal d’unenbsp;verge élastique de la même matière que la barrenbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;496 et 497

Cas ou la barre est termine'e d’un cóté ; re'flexion du son a cette extrémité; les lois de la propagation et de' la reflexion du son dans un canal cylindrique rempli d’air,nbsp;d’un gaz quelconque, ou d’un liquide, sont lés mêmes quenbsp;dans une barre solide; celles des vibrations des verges élas-tiques conviennent aussi aux sons des Jlütes, et des luyauxnbsp;A’orgues, sauf les modifications relatives a l’embouchure,

n»498

§ III. Choc longitudinal des verges élastiques , page 331

Comment on pourra appliquer les formules du nquot; 495 au choc longitudinal des verges élastiques; ce phénomènenbsp;consiste dans Taction , a distance insensible, des pointsnbsp;extremes des deux verges ; les vitesses de ces points varie-ront trés rapidement, et seront ineonnues pendant la dureenbsp;du choc’,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n” 499

Conditions pour que les deux verges se se'parent après s’êtie rencontrées, et que Ie choc se termine,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n”® 5oo et 5oi

TABLE DES MAÏIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xvij

Équations communes a tous les points des deux verges, ex-•cepte' les points extremes par lesquels elles se clioquent ,

n® 5oi

Application des formules du n® 49^ choc de déux verges entièrement libres ; sommation des se'ries périodiquesnbsp;qu’elles renferment; on ve'rifie qu’elles repre'sentent 1’e'tatnbsp;initial des deux verges ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°“ Soa et 5o3

Les deux verges de menie matière et de même diamètre se séparent dans Ie seul cas oü elles ont une même longueur ;nbsp;dure'e de ce clioc; écliange des vitesses primitives ; casnbsp;oü Tune des deux verges est composed de plusieurs parties,nbsp;dont une se se'pare des autres après Ie choc,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 5o4

Choc d’une verge dont l’extre'mité est fixe , par une verge entièrement lihre; re'flexion de celle-ci avec une vitessenbsp;’ egale et contraire a la vitesse primitive, quelles que soientnbsp;les longueurs des deux verges; dure'e du choc, n“‘ SoS et 5o6

§ IV. Digression sur les inlégrales des équations aux diffé-rences partielles , nbsp;nbsp;nbsp;page 347

Le noinbre des fonctions arbitraires que renferme l’intégrale compléte d’une e'quation aux differences partielles, peutnbsp;être inoindre que Ie nonibre qui marqué 1’ordre de cettenbsp;e'quation ; il peut changer avec la variable par rapport anbsp;laquelle la série est ordonnéc ; toutes les fonctions arbitraires peuvent disparaltre , et se trouver remplacées parnbsp;des séries infinies de constantes arbitraires; dans ce casnbsp;’ singulier, Tintégrale complete est exprimée par la sominenbsp;d’unnombreillimité d’intégralesparticulières, n®’ 507 et 5o8nbsp;Exemples tres simples de ces diverses transformations,

n®* 609 et 5io

Les séries qui se présentent dans eet exemple , et l’intégrale de 1’équation donnée, peifvent s’exprlmer sous forme finie,nbsp;au inoyen d’une integrale définie,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n^Sii

Valeur d’une integrale définié qu’on a souvent occasion d’em-ploy ér, nbsp;nbsp;nbsp;nquot;5i2

Application de ces considerations générales aux équations

b

sviij nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

lineaires relatives a des problèmes de Physique et de Me-canique ; leurs iiitégrales completes s’expriment, géiiéra-lement, par des séries d’exponentielies ou de sinus et cosinus , dont les exposans ou les arcs sont proportionnelsnbsp;au temps; par la inanière dont elles sont obtenues, onnbsp;est certain que ces expressions en séries, des inconnues d’unnbsp;problème, en renferment la solution la plus générale ; il ynbsp;a un procédé uniforme pour determiner dans chaque casnbsp;les coefliciens de ces séries, d’après l’état initial du système;nbsp;après cette determination, si l’on fait Ie temps égal a zéronbsp;dans ces séries, on obtient des séries particulières qui re-présentent les fonctions arbitraires relatives a eet état initial , mais seulement dans l’étendue du système ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;513 ,

5i4, 5i5 et 5i6

Toute solution d’un problème dans laquelle on n’a pas véri-* fié, d posteriori, l’exactitude de ces dernières séries, ounbsp;démontré, d priori, la généi alité de l’intégrale en série dontnbsp;on a fait usage, doit être regardée comme insufïisante,

n° 517

^ V. Vibrations transt/ersales d'une verge élastique, page 368

On énonce les diverses sortes de vibrations dont une verge élastique est susceptible , et entre lesquelles 1’analyse a faitnbsp;connaitre des rapports que 1’expérience a confirmés, n“ 518nbsp;Equation du mouvement transversal, et conditions relativesnbsp;aux extrémités,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 51g

Calcul du coefficient que renferme cette équation, dans dif-férentes hypothèses sur la section transversale de la verge,

n“ 5ao

lutégrale en série de cette équation , nbsp;nbsp;nbsp;u» 52 j

Determination des coefficiens de cette série, d’après l’état initial de la verge, par Ie procéllé indiqué dans Ie nquot; 5i5; formules du n“ 5i6, relatives k l’état initial de la verge ;nbsp;cas oü elle doit prendre un mouvement de translation ou denbsp;rotation ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“’ 622 et SzS

On demontre, dans Ie cas de la verge libre parses deux bouts.

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xix

la réalité des racines de 1’e'quation transcendante qui sert a de'terminer les cóefficiens da temps sous les sinus et cosinusnbsp;contenus dans 1’intégrale en série ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 624

Condition pour que la verge execute des vibrations isochrones; les différens tons que la verge libre peut faire enljpadre, dependent des racines de Béquation précédente; toutes cliosesnbsp;d’ailleurs égales, ils varient avec la figure de la section transversale , et leur éle'vation est en raison inverse du carré denbsp;la longueur; determination des nceuds de vibration qui leurnbsp;correspondent,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°® 525 et 526

Vibrations isochrones d’une verge encasirèe par une extréniité, et libre a 1’autre bout,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;52^

Calcul du noinbre de vibrations correspondant au ton fonda-niental et aux tons plus élevés, dans Ie cas de cette dernière verge élastique, et dans Ie cas de la verge libre aux deuxnbsp;extrémités,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;SaS

Coniparaisoii des nonibres de vibrations transversales et lon-gitudinales d’une inênie verge, nbsp;nbsp;nbsp;n°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Sag

CHAPITPrE IX. Équations et propriétés générales du mouvement d’un système de corps,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page SgS

§ Iquot;. Equations générales du mouvement,

Combinaison du principe de D’Alembert et du principe des vi-tesses virtuelles, nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 53o

Elle conduit a une formule génerale, d’oü l’on déduira, par un procédé uniforme, toutes les équations différentielles dunbsp;mouvement d’uu système de points matériels, dont la liaison mutuelle est exprimée par des équations données ; cenbsp;procédé fera aussi connaltre les tensions des liens physiques, et les pressions sur des surfaces ou sur des courbesnbsp;données, qui auront lieu pendant Ie mouvement, nquot; 531nbsp;On indique l’usage de la méthode fondée sur la variation desnbsp;constantes arbitraires pour la resolution des équations pré-cédentes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 53?.

b..

XX nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈKES.

Casoü Tune des equations, qui expvimentla liaison des points du systènie, est une suite d’une ou de plusieurs autres de cesnbsp;equations; exeinple d’un problème inde'tenniné, quand onnbsp;fait abstraction de 1’extensibilite' des liens physiques, etnbsp;détenpipé, quand on y a egard, quelque petite qu’ellenbsp;soit,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;” 533 et 534

Formule analogue a celle du n® 531, et relative aux change-mens brusques de vitesse, nbsp;nbsp;nbsp;' n® 535

Consideration essentielle a laquelle il faudra avoir e'gard dans les usages qu’on fera de cette formule ; comment on liendranbsp;compte, dans cette formule, de 1’elFet du frottement pendant la dure'e des changemensbrusques; ce serait une er-reur d’y introduire les effets des farces moléculaires, qui ynbsp;sont déja compris implicitement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;' 536 et 53^

Équations différentielles du ihouvement de translation d’un systeme entièrement libre, qui sont celles de son centre denbsp;gravité,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;iiquot; 538

Équations différentielles du mouvement de rotation du même système; elles conservent la même foime , soit que Ienbsp;centre du mouvement soit un point fixe, ou quTl soit Ienbsp;centre de gravite' du système,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n““ 53g et 54o

Les sommes des quantités de mouvement de tous les points d’un système libre, suivant trois axes rectangulaires, etnbsp;leurs momens par rapport a ces ax5te ,' ne varient pas dansnbsp;les changemens brusques de vitesse; équations du mouvement initial de translalioif et de rotation du système; comment on peut les déduire des équations de ces mouveniens »nbsp;un instant quelconque ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“* 54i et 542

On retrouve , d’une autre manière, les formules du n® 408, relatives aux vitesses de rotation; la similitude de la composition de ces vitesses et de la composition des vitesses de translation, peut conduire a l’analogie entre la compositionnbsp;des momens et celle des forces ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u? 543

^ II. Lois générales despeliles oscillations, nbsp;nbsp;nbsp;page 4^4

Développemens en séries des coordomtées des points du sys-

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xxi

tènie, et des expressions des forces qui leur sont appli-quées, nbsp;nbsp;nbsp;n“ 544

Formation des e'quations dlfférentielles line'aires et du second ordre, d’oü de'pend^it les valeurs approclie'es des inconnuesnbsp;du problème, auxquelles valeurs ön s’arrête toujours dansnbsp;les questions de ce genre ; Ie nombre de ces e'quatioijs, égalnbsp;a celui des inconnues indépendantes entre elles, peut s’clever depuis' un jusqu’a trois fois Ie nombre des mobiles ;nbsp;quand les mobiles sont des points matériels en nombre in-fini, les e'quations difïérentielles se cliangent en e'qustionsnbsp;aux differences parlrelles,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 545

Integration ge'ne'rale de ces e'quations dlfférentielles; consequences qui s’en déduisent; principe de la coexistence des petiies oscillations,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n®* 546 et 547

Cas oü les oscillations ont lieu dans un milieu resistant,

Exemples de la coexistence des petites oscillationsapplication du principe précédent au mouvement d’un point pe-

Autre tliéorème general, distinct du précédent, et qu’on peut appeler principe de la superposition des pedis mowemens •nbsp;applications nombreuses de ce principe, 11°' 55o et 551

§ III. Principes de la conservation du mouvement du centre de gravité et de la conservation des aires,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page 447

Loi générale de Vcgalité de l’action ii la reaction, n° 552 Principe de la conservation du mouvement da centre de gra—nbsp;vité, foudé sur cette loi de la nature; consequences diversesnbsp;de ce principe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 553

Dans Ie mouvement d’un système de points qui ne sont soumis qu’a leurs actions mutuelles , les motnens de leuis quanti—nbsp;tés de mouvement sont constans, par rapport a trois axesnbsp;qui se coupent, soit en un point fixe, soit au centre de gravité du système, soit en un point animé d’un mouvementnbsp;rectillgne et uniforme • Ie menie tliéorème a encore lieu, parnbsp;rapport a un point fixe, quand Ics mobiles sont, en outre,

xxij nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

sollicités par des forces dirige'es vers ce point, nquot;* 554, 555

et 556

Determination du moment principal de ces cjuantités de mouvement , et de la direction de son axg, * nbsp;nbsp;nbsp;n“ 55']

Dans Ie mouvement de rotation de la terre , ce moment principal est. indépendant du refroidissement du globe, des explosions volcaniques, du souffle des vents, etc.; conse'-quence qui en résulte relativement a la dure'e du jour,

n“ 558

Autre énoiicé des tliéorèmes pre'cédens ; principe de la conservation des aires, nbsp;nbsp;nbsp;¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n” 55(j

Tliéorème du plan invariable, dans tonte sa ge'néralite', n“ 56o Usage de ce plan et d’une droite invariable dont il est ac-compagné dans Ie système solaire ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 561

Formules pour determiner ce plan a un instant quelconque, en ayant e'gard au mouvement de translation et au mouvement de rotation des corps celestes; les termes qui provien-nent du mouvement de rotation dependent de la constitution inte'rieure de ces corps, et demeureront toujoursnbsp;inconnus; on fait voir qu’en ne'gligeant la partie variablenbsp;de ces termes, il n’en re'sultera aucune erreur que les observations puissent jamais rendre sensible,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 562

‘Formules du plan invariable, rapporte'es au centre du so-leil, nbsp;nbsp;nbsp;n“ 563

§ IV. Principes des forces vives et de la moindre action,

page 475

Equation et énonce' du principe des forces vives, nbsp;nbsp;nbsp;n“ 564

Consequences immédiates de ce principe , nbsp;nbsp;nbsp;565

Calcul des forces vives dues aux forces qui e'manent de centres fixes, aux attractions et répuLsions mutuelles des corps du système , et a leurs poids,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n» ggg

Variation des forces vives dues aux pressions contre des surfaces mobiles, et aux fcottemens; a l’e'gavd de ces forces, Ie tliéorème du nquot; 564nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;les frot-

temens et les resistances des milieux produiseut toujours des

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xsiij

diminulions de force vive , qui finissent par ane'antir Ie mouvement du système, quand ces pertes ne sont pas répa-rées par d’aulres forces,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n'’® 567 et 568

Comment la force vive absolue d’un système se déduit de la, force vive due aux vitesses de ses dilFérentes parties dans leurnbsp;mouvement relalif autour du centre de gravité ; applicationnbsp;de 1’e'quation générale du principe des forces vives au systèmenbsp;solaire ; usage de cette équation pour reconnaitre si l’actionnbsp;des coniètes a une influence sensible sur les mouvemens desnbsp;autres corps célestes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11“ 56g

La proposition relative a la stabilité de Tequilibre qu’on a supposée dans Ie n“ 347, est maintenant démontre'e, a 1’aidenbsp;du principe des forces vives,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11“ 670

Équation relative aux cbangemens brusques de vitesse, et analogue a 1’équation du principe des forces vives; verification de cette équation dans Ie mouvement initial d'un corpsnbsp;solide autour d’un point fixe ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 671

Au moyen de cette équation, on déinontre qu’il y a tpujours perte de force vive dans Ie choc des corps dénués d’élasti-cité, augmentation dans les explosions qui scparent les parties des corps, et invatiabililé dans Ie choc des corps par—nbsp;faitement élastiques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n” 572

Énoncé général du principe de la moindre action ; ce principe, en cela différent des précédens, ne fait connaitre au-cune integrale des equations différcnlielles du mouvement; résumé des intégrales qui sont fournies par les principes denbsp;la conservation du mouvement-du centre de gravité, de lanbsp;conservation des aires et des forces vives,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11“ 678

TABLE DES MATIÈMS.

LIYRE CINQUIÈME.

HYDROSTATIQUE.

CHAPITRE Notions préliminaires, page 5o5

Objet de VHjdrostalique; comment on y considérera les fluïdes,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^74

Distinction entreles liquides, les fluides aérifornies et les nbsp;nbsp;nbsp;va-

peurs , nbsp;nbsp;nbsp;n°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;S']5

Pi'opriété caractéi'istique des fluides, que l’on prendra pour une donne'e de l’expérieuce, et qui servira de base a l’Hydros-tatique ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n®nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;676

Explication- détaille'e de cette propriete'; definition de la pres-sion rapportée a 1’unite' de surface , nbsp;nbsp;nbsp;n®* 577 et 5'jS

Démoustration du principe des vitesses virtuelles dans 1’equi-libre d’un liquide, nbsp;nbsp;nbsp;_nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 679

Pression exercée par un fluïde élastique , nbsp;nbsp;nbsp;n® 58o

CHAPITRE IL Equations générales de Véquilibre des Jluides,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page Siy

Formation dés e'quatibns ge'nérales, qui sont au nombre de trois, entre la pression intérieure et les forces données,

Proprie'te' de cette surface; de'finition des surfaces efdes couches de niveau, nbsp;nbsp;nbsp;n°584

Équilibre d’un liquide homogene soumis a des attractions di-rige'es vers des centres fixes, nbsp;nbsp;nbsp;jjo ggg

Condition relative aux. surfaces de niveau d’un liquide he'téro-gène OU d’un fluide elastique, nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 586

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xxv

Lois de la densite' et de la pression dans un fluide élastique en equilibre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 58’]

Cas oü les forces qui agissent sur les points d’un fluide sont leurs actions mutuelles; parnii ces forces, on ne doit pas te-nir compte de celles qu’on appelle proprement forces nrolé—nbsp;culaires, etq-ui produisent la pression a laquelle on a déja eunbsp;e'gard dans les equations géne'ralcs de l’Hydrostatique; cesnbsp;equations sont^écessaires et sujfisanles pour l’e'quilibre des

fluides , nbsp;nbsp;nbsp;n“ 588

*

Figure constante d’un fluide lt;jui tourne autour d’un axe fixe, OU e'quilibre des forces qui Ie sollicitent et des forces centrifuges provenant de la rotation,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® SSg

Figure d’un liquide pesant, contenu dans un vase qui tourne autour d’un axe vertical,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 5go

La figure elliptique de re'volution satisfait a l’e'quilibre d’un liquide homogène, tournant autour d’un axe fixe et soumisnbsp;a l’attraction mutuelle de ses points eri raison inverse dunbsp;carré' de la distance , pourvu que la vitesse de rotation nenbsp;de'passe pas une certaine liinite; en dega de cette li-inite il y a toujours deux aplatisseinens de 1’ellipsoïde,nbsp;qui re'pondent a une vitesse donne'e ; au-dela, la figurenbsp;elliptique est impossible ; inais ce n.’est que quand on suppose 1’aplatissement trés petit, qu’il est démontré que lanbsp;figure elliptique soit la seule qui convienne a l’équrlibre,

n° 5gi

Application des formules du nume'ro précédent; cas oü Ie rapport de la force centrifuge a l’attractiou totale, qui anbsp;lieu a l’équateur , est une trés petite fraction , comine dansnbsp;Ie mouvement de rotation de la terre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® Sga

Dilférence essentielle entre les couches de niveau dans un fluide soumis a Faction mutuelle de ses dilférens points , etnbsp;dans un fluide dont les points sont sollicités par des forcesnbsp;dirigées vers des centres fixes et donnés,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 5g3

Équilibre d’un fluide dont les points s’attirent proportion-nellement a leurs distances mutuelles, nbsp;nbsp;nbsp;n” 5g4

TABLE DES MATIÈRES.

CHAPIl’RE III. De Véquilibre des Jluides pesans,

page 554

Éfjuilibre d’un liquide homogene contenu dans un vase ; la pi’ession sur Ie fond du vase est indépendante de sa fovine ,

SgS

Équilibre de plusieurs liquides superpose's ; valeur de la pres-sion sur Ie fond du vase, nbsp;nbsp;nbsp;n“ SgS

Lois de 1’e'quilibre des liquides contenus dams des vases com-rauniquans , nbsp;nbsp;nbsp;n” 5g7

Énume'ration des applications principales dont ces lois sont susceptibles ; siphon, presse hydraulique , barometre ,nbsp;pompe,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 5g8

Pression exerce'e par un liquide sur une paroi plane incline'e ; Ie centre de pression est toujours plus bas que Ie centre denbsp;gravité ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 699

Exeinples de la determination du centre de pression, n“ 600 Pression éxercée sur un corps'plongé dans un liquide; lesnbsp;pressions horizontales se de'truisent; re'sul tante des pres-sions verticales ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°® 601 ,• 602, 6o3

Perte de poids d’un corps pese' dans un fluide; determination de la pesanteur spe'cifique, au moyen de la balance hydrostatique,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 604

Pression exercée par un liquide sur la surface entière du vase qui Ie contient; principe des machines a réaeiion , n“ 60S

CHAPlTRE IV. De Véquilibre et du mouvement des corps Jlottans,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;page Syg

Conditions de Pequilibre d’un corps flo^taut; problème de geometrie auquel se re'duit la determination des positionsnbsp;d’équilibre d’un corps homogene ,,

Solution compléte de ce problème, dans Ie cas d’un prisme triangulaire couclié horizonlalement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;® 607 et 608

Gas oil la base de ce prisme est un triangle isocèle ; cas oii clle est un triangle equilateral^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“= 609 et 6io

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xxvij

Équilibre d’iin prisme, d’uii cylindre et d’un solide de revolution , dans une situation verticale; usage des pese-liqueurs, nbsp;nbsp;nbsp;n° 611

Regie du métacenire pour s’assurer, dans un cas particulier, de la stabilite' de Eéquilibre d’un corps flottant, n“ 612nbsp;Application du principe des forces vives au mouvement d’unnbsp;corps flottant de forme quelconque, tres peu écarté d’unenbsp;position d’équilibre; condition générale de la stabilité denbsp;eet équilibre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°®6i3, 6i4, 6i5 et 6i6

Determination des petites oscillations d’un corps flottant, symétrique par rapport a une section verticale; oscillations verticales du centre de gravité ; oscillations du corpsnbsp;autour d’un axe passant par ce point et perpendiculaire anbsp;cette section,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°® öi'j et 6i.8

CHAPITRE V. De la mesure des hauteurs par Vohservation du baromètre ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;¦ page 609

La pression barométrique est égale au poids de la colonfle d’air supérieure; sa diminution fera connaitre la hauteurnbsp;verticale de l’élévation ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 6ig

Alasse totale de 1’atmospbère comparée a celle de la terre ; limite de la hauteur de 1’atmosphère ; décroissement de lanbsp;temperature a mesure qu’on s’élève au-dessus de la ten-e ,

n® 620

Manomètre j usage qu’on pourrait faire de eet instrument pour comparer les intensités de la pesanteur rf dift'érentesnbsp;latitudes ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n” 621

A temperature égale, la densité d’un fluide élastique est proportionnelle a la pression qu’il éprouve, ce qui cons—nbsp;titue la loi de Mariotle ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 622

Usage de cette loi pour calculer l’élévation de l’eau dans une pompe , quand il se trouve de Fair au-dessous du

piston, nbsp;nbsp;nbsp;•nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ijo 523

Dilatation égale et uniforme de tous les gaz par les vj^ieurs, pour des degrés égaux de température , mesures soRs une

xxTÜj nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIERES.

pression constante par Ie therinomètre a air'; coefficient de . la dilatation pour chaque degré; ce coefficient, communnbsp;) a tous les fluides élastiques, n’est pas rigoureusementnbsp;constant, quand la tempe'rature est iviesurée par un ther-momètre a mercure j equation qui donne la pression ennbsp;fonction de la densité et de la temperature ; calcul dunbsp;rapport de la pression a Ia densité , dans 1’air parfaite-nient sec et dans l’air au maximum d’humidité, pour lanbsp;.temperature zéro*,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“’ 624 et özS

Équation d’équilibre d’une colonne verticale de l’atmösphère ; loi de la pression et de la densité ; on vérifie que Ie poidsnbsp;total de la colonne est équivalent a la pression inférieure ,

n“ 626

Mouvement d’ua ballon qui s’élève dans nbsp;nbsp;nbsp;Tair ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n»nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;627

Formule pour la mesure des hauteurs nbsp;nbsp;nbsp;parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;l’pbservation du

baromètre ; Ie coefficient constant de cette formule s’ac-corde avec la moyenne d’un grand riombre de hauteurs mesurées trigonométriquement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;628

Sfodification qu’on doit faire subir a cette formule, d’après la reniarque du n® 255, quand on veut la faire servir anbsp;calculer la hauteur d’un lieu au-dessus du niveau de la iner;nbsp;exemple de ce calcul,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n”nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;629

Formule moins exacte , mais plus simple que la précédente , et qui suffit aux usages ordinaires ; comment pn peut subs-tituer a 1’observation du baromètre, celle du degré de Té-bullition de 1’eau i différentes hauteurs,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 63o

Eemarques ‘relatives a la densité et a la force élastique ou tension des vapeurs; formule qui donne la densité de Fairnbsp;mouillé , d’après la tension de la vapeur qu’il renferme , etnbsp;la densité de l’air parfaitement sec,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;u» 63 [

Cbmparaison de Tatmosphère aqueuse qui se formerait, si notre atmosphere n’existait pas, è la quantité de vapeurnbsp;d’eau que notre atmosphere peut contenir,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;632

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;xxix

CHAPITRE VI. De la force élastique et de la cha-leur des gaz , nbsp;nbsp;nbsp;öSy

Gas oü l’on a besoiii de connaitre les variations de la pression et de la temperature d’un gaz, produites par celles de lanbsp;densité , saus que la quantité de clialeur varie , n° 633nbsp;Definition de la chaleur spécifique , spit a volume constant,nbsp;soit a pression constante ; equation aux diffe'rences par-tielles d’oü de'pend la quantité de chaleur en fonctionnbsp;de la pression et de la densité,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 634

Expérience propre a déterminer l’accroisseinent de tempé-rature d’un gaz , correspondant a une petite condensation sans perte de chaleur ; calcul numérique de eet accroisse-inent de température , qui peut aussi se déduire de lanbsp;vitesse du son ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 635

Comment eet accroissement de température est lié au rapport des deux~chaleurs spécifiques du gaz ; valeurs difle-rentes de ce rapport, données par Texpérietice; on Ie regarde comme indépendant de la température et de lanbsp;pression dans l’air atinosphérique ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11“* 636 et 637

Integration de 1’équation du n“ 634 7 dans 1’hypothèse de ce rapport constant j lois de la pression et de la températurenbsp;en fonctions de la densité, qur.nd la quantité de chaleurnbsp;est invai’iahle.,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n» 638

Expression deja quantité de chaleur en fonction de la température ut de la densité , dans 1’hypothèse que la chaleur spécifique du gaz est indépendante de la températurenbsp;inesurée par un thermomètre a air ; chaleur spécifiquenbsp;.en fonction de la pression ; application l’air atmosphé-rique ; rapport des quantités de chaleur perdue, par unnbsp;inème volume d’air, sous différentes pressions; ce rapportnbsp;est confirmé par 1’expérience ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 639

Application des formules précédentes a la vapeur d’eau ; re-marque relativ'e aux machines a vapeur a hautes pressions,

n“® 640 et 64!

XXX nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

Mouvement du piston dans une inacbine a vapeur; e'tat de la vapeur a un instant quelconque ; calcul de la force vivenbsp;produite par la chute ou 1’élévation du piston ; détente denbsp;la vapeur ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 642

La force élastique du mélange de plusieurs gaz est égale a .la somine des forces élastiques de ces fluides ; équation quinbsp;détermine la chaleur spécifique du mélange, d’après cellesnbsp;des gaz mélanges, en proportion donnée ; Ie rapport desnbsp;chaleurs spécifiques a pression constante et a volume constant , ne peut pas être indépeiidant de la pression dansnbsp;les gaz mélangés ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;' 643 et 644

LIYRE SIXIÈME.

HYDRODYNAMIQUE.

Équations générales du mouvement

page 665

Objet de Vhjdrodjnamique^ observation relative a la pro-priété caractéristique des fluides, sur laquelle sont fon-dées les équations générales de 1’équilihre des fluides ; comparaison entre cette propriété et la loi Ae^^ariotte onnbsp;admettra.dans ce traité, que cette propriété.a lieu dansnbsp;Vétat de mouvement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;645

Expressions des composantes de la vitesse du iluide, en un point et a un instant quelconqués ; accroissemens intini-ment petils de ces composantes pour un même point dunbsp;fluide; accroissement de la densité, et, généralement,nbsp;d’une 'fonction quelconque du temps et des trois coordon-nées considérées comme des fonctions du temps , n° 646nbsp;Équations différentielles du mouvement des'fluides qui senbsp;déduisent de celles de leur équilibre, par Ie principe de

TABLE DES MATJÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;. sxxi

D’Alembert; equation relative a la sbrface libre d’un fluide en mouvement,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“647

Quatrième equation du mouvement des fluides ; sa decomposition en deux autres, dans le eas des liquides ; valeur de la pression en fonction de la temperature et de la den-site' , dans le cas des fluides e'lastiques,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°' 648 et 649

Dans un liquide en mouvement dont la temperature varie d’un point a un autre et avec le temps , la distributionnbsp;de la cbaleur depend de la même equation que dans unnbsp;corps solide liétérogène ;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dansnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;unnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;fluidenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;élastiquenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, cette

equation doit être remplacee par nbsp;nbsp;nbsp;unenbsp;nbsp;nbsp;nbsp;autre,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dontnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;on in-

dique la formation , nbsp;nbsp;nbsp;11° 65o

On explique pourquoi la quatrième equation du mouvement des fluides s’appelle equation de la coritinuité ^ exemplesnbsp;de niouvemens dans lesquels elle n’a pas lieu , n” 651nbsp;Conditions relatives a la superficie des fluides, que 1’on anbsp;coutume d’ajouter aux equations de leur mouvement, dansnbsp;les différens probièmes d’bydrodynaraique,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;652

Reduction des equations du mouvement des fluides a un moindre nombre et a ime forme plus simple , dans unnbsp;cas trés étendu,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 653

On démontre, en general, que si la condition nécessaire pour que cette réduction ait lieu , se vérifie a Torigine du mouvement, elle sera satisfaite pendant toute sa durée , n° 654nbsp;Mouvement d’un liquide qui tourne, sans changer de figure,nbsp;autour d’un axe fixe ; on retrouve, d’après les equationsnbsp;générales de I’liydrodynamique, l’équation de la surfacenbsp;qu’on avait déduite précédemment (n” 689) de 1’équi-libre des forces centrifuges , jointes ^x forces motrices desnbsp;points du fluide ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n” 655

CHAPITRE 11. De la propagation du son, page 693

Indication des ouvrages oü l’on trouvera les principaux résul-tats qui ont été déduits, jusqu’a présent, des équations générales du mouvement des fluides ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 656

lt(jualion générale aux differences partielles, d’oü dépend la

xxxij . nbsp;nbsp;nbsp;TABLE,DES MATIÈRES.

tbéovie du sou, dani la supposition du n“ 653, qui con- . vient aux deux cas particuliers qu’on va considérer , n“ 657nbsp;Cas oü Tair est contenu dans un tuyau cylindrique ; Ienbsp;mouvement est Ie même que suivant la longueur d’unenbsp;verge élastique; comment les difFérens tons d’un instrument a vent peuvent servir A de'terminer Ie rapport desnbsp;clialeurs spécifiques A volume constant et sous une pressionnbsp;constante, pour les diffe'rens gaz que Ton fait vibrer dansnbsp;eet instrument,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 658

Propagation du «on a 1’air libre, dans Ie cas ou Ie mouvement est semblable en tons sens autour du centre de l’é-branlement; integration, sous forme finie , de l’équation relative i ce mouvement ; determination des deux fonc-tions arbitraires qu’elle renferme ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n”’ 669 et 660

La vitesse de cette propagation est la mème que dans un tuyau,cylindrique; intensité du son a une grande distancenbsp;da lieu de Tébranlement; elle depend, toutes clioses d’ail-leurs égales , de la densité de 1’air en eet endroit; a quoinbsp;1’on doit attribuer, suivant Euler, la difference d’unenbsp;syllabe a une autre , cbantées avecla même force et sur Ienbsp;même ton ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n” 661

Coexistence des sons dans un air ébranle' sirnultane'ment en plusieurs endroits,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;662

Reflexion du son sur nn plan fixe , qui s’étend indéfiniment en tous sens ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;663

Calcul nuinérique de la vitesse du son dans Pair; comparaison du résultat de ce calcul a celui de 1’observation , nquot; 664nbsp;Diffe'rence entre les formules de la vitesse du son, donnëesnbsp;par Newton et paijj^aplace; cause de la propagation dunbsp;son dans les vapeurs au maximum de densité, n“ 665nbsp;Yitesse de la propagation du son dans 1’eau,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n» 666

CHAPITRE ni. Du mouvement des Jluides dans. une hypothese particuliere,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;P^ge 721

On explique en quoi consiste cette hypotlièse, qui ne peut conduire qu’a une solution approximative ; elle est connue

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;Xxxiij

sous la denomination A'hypoihese du parallélisme des tranchesj elle re'duit Ie problème a la determination denbsp;deux inconnues, savoir, la pression et la vitesse de chaquenbsp;tranche ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 667

Formules qui feront connaitre ces deux inconnues, en un point quelconque du vase d’oii Ie liquide s’écoule par unnbsp;orifice horizontal, lorsque 1’on connaitra la vitesse qui anbsp;lieu a eet orifice ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n”® 668 et 66g

Équations diffet-entielles d’oü depend cette vitesse et la hauteur du niveau du liquide au-dessus de 1’orifice , n” 670nbsp;Solution compléte du problème, et calcul de la dépensenbsp;du fluide, dans Ie cas oü Ie niveau du liquide est entretenunbsp;a une hauteur constante ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot; 671

Cas oü Ie niveau est variable ; application au mouvement de 1’eau qui sort d’un cylindre, par un orifice horizontal,

n®' 672 et 673

Examen particulier du cas oü l’orifice est trés petit; théo-rème relatif a la vitesse du fluide a eet orifice, horizontal OU incline',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n°® 674 et 676

La de'pense observe'e s’e'carte beaucoup de celle qui re'sulterait de ce théorème, dans Ie cas de Forifice en mince paroi;nbsp;explication qu’ou donne de cette difference; contractionnbsp;de la veine fluide ; augmentation de la dépense produitenbsp;par un ajutage,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 676

Mouvement d’un fluide élastique qui sort d’un vase par un orifice, dans 1’hypothèse du parallélisme des tranches ;nbsp;vitesse de l’écoulement; cas oü Torifice est trés petit,

n“’ 677 et 778

ADDITION

Relative a Vusage du principe des forces vives dans Ie calcul des machines en mouvement.

Objet de cette addition, nbsp;nbsp;nbsp;n“ 679

Definition des forces mouvantes et des forces résistantes equation diffésentielle suffisante pour déterminer Ie mouve-

C

sxxiv nbsp;nbsp;nbsp;TABLE DES MATIÈRES.

ment d’une machine ; transformation de celte equation, dans laquelle ces deux sortes de forces sont distinguëesnbsp;1’une de l’autre ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;nquot;' 680 et 681

jÉquation du principe des forces vives, sous la forme ou on 1’emploie dans Ie calcul des machines en mouvement; definition de la qiiantitê de travail élémentaire, du travailnbsp;moteur et du travail résistant,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n° 682

Quantité de travail due a la chute ou a l’élévation d’un poids; unilé djnamiquey mesmes d’une quantité de travail etnbsp;d’une force vive quelconques, en unites dynamiques,

n“ 683

Equations qui ont lieu quand uue machine part du repos et quand elle est parvenue a un état permanent; consideration du frottement et des autres resistances ; effet general d’une machine ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 684

Definition et usage du volant dans les machines, n° 685 Effets nuisibles des chocs et des changemens brusques denbsp;vitesse dans les machines ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 686

La diminution graduelle de la force vive, due aux frottemens et aux resistances des milieux, peut aussi être produitenbsp;^ar la communication d’une partie du mouvement auxnbsp;supports de la machine ; exemple de eet effet; ces diversesnbsp;causes détruisent totalement la force vive , et finissent parnbsp;réduire les machines au repos , quand les forces mouvantesnbsp;ont cessé d’agir,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n“ 687

IS^otion relative a la quantité de travail d’un homme ou d’un animal marchant et portant ou trainant un fardeau, surnbsp;une route horizontale ou inclinée,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n»688

Distinction des vitesses communes et des vitesses relatives des ditférens points d’une machine en mouvement, n” 68gnbsp;Transformation de la formule générale du n“ 531, dansnbsp;laquelle on distingue entre elles les différentes sortes denbsp;forces q»i agissent sur les points d’un système quel-

Application de cette formule transformée aux cas oü 1’on prend successivement pour les déplacemens de ces points,

TABLE DES MATIÈRES. nbsp;nbsp;nbsp;XXXV

ceux ^ui résultent de leurs vitesses absolues, et ceux qui résultent de leurs vitesses relatives,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;6gi et 69a

Équation des forces vives dues aux vitesses relatives des points d’une niacbine; e'quation resultante de la combinaison denbsp;celle des forces vives dues aux vitesses absolues, et de cellenbsp;des forces vives dues aux vitesses relatives; autre e'quationnbsp;qui se déduit de la précédente dans un cas particulier, etnbsp;qu’on peut regarder comme e'vidente en elle - mênie ,

n»» 693 et 694

Application de cette dernière équation au choc d’un corps solide contre un plan, et a la pression d’un corps pesant contre un plan animé d’une vitesse donne'e,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® GgS

Usage de cette même équation, pour determiner la pression d’une veine fluide en mouvement contre un plan inclinenbsp;OU perpendiculaire a sa direction, en mouvement ou ennbsp;«pos,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;n® 696

FIN DE DA TABLE DES MATIÈBES DU SECOND VOLUME.

TRAITÉ

DE MÉCANIQUE

LITRE QÜATRIÈME.

DYNAMIftüE,

SECONDE PARTIE.

CHAPITRE PREMIER.

PRINCIPE GENERAL »E LA BYNAMIQIJE.

35o. Lorsque des points matériels, soumis a des forces données, sont lies entre eux d’une manièrenbsp;quelconque, ils prennent, a chaque instant, des vi-tesses infiniment petites, difFérentes de celles que cesnbsp;forces leur imprimeraient s’ils étaient libres. Cesnbsp;forces étant connues, ces dernières vitesses Ie sontnbsp;aussi; et Ie problème general de la Djnamiquenbsp;consiste a en déduire, en grandeur et en direction,nbsp;2. ,

3 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

les accrolssemens de vilesse qui ont réellement lieu. Sa solution depend dun principe trés simple que Tonnbsp;doit a D’Alembert, et d’api’ès lequei on ramène toutesnbsp;les questions i'elalives au mouvement, a de simplesnbsp;questions d’équilibre, toujours résolubles par les regies exposées dans Ie livre précédent.

Pour énoncer ce principe d’une manière precise, soient m la masse d’un des points matériels que l’onnbsp;considère, et ur la vitesse que la force qui Ie solli-cite lui imprimerait, s’il était libre, dans un temps rnbsp;infiniment petit. Appelons qr l’accroissement de vitesse qui aura également beu pendant ce même instant , et dont la direction différera, en général, denbsp;celle de la vitesse donnée ut. Par la regie du paral-lélogramme des forces, qui s’applique également auxnbsp;vitesses (n° i45)j décomposons ur en deux autres vi-tesses, dont l’uue soit qr ^ el l’autre sera représentéenbsp;par pr. La force motrice appliquée au mobile auranbsp;ie produit mu pour mesure; celles qui seraient capa-bles des vitesses qr et pr, auront pour valeurs mqnbsp;et mp-, et nous pourrons regarder la force donnéenbsp;mu comme la résultante de la force mq, a laquelle estnbsp;dü l’accroissement de vitesse qui a réellement lieu ,nbsp;et de la force mp, dont l’elfet est détruit par la liaisonnbsp;des points du système. Nous appellerous cette der-nière la force perdue.

Désignons par les mêmes lettres avec des accens, mquot;, li', f, pquot;, etc., les quan-

DYNAMÏQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;3

perdues mp, in'p', rnquot;p'\ etc., devront se faire équi-libre; car si eet équilihre n’avait pas lieu, ces forces produiraient de certaiaes vitesses infiniment petitesnbsp;pendant l’instant t, el, par consequent, qr, q'r',nbsp;etc., ne seraient plus, contre l’hjpothèse, lesnbsp;accroissemens de vitesse qui ont réellement lieu.

Cest en cela que consiste Ie principe de D’Alembert. Au Heu des forces mp , m'p', mquot;pquot;, etc., on peut mettre, dans les equations d’équilibre du systèmenbsp;que l’on considère, les quantités de mouvement mpr,nbsp;m'p'r, mquot;p''r, qui leur sont proportionnelles, etnbsp;alors on dit qu’il y a équilibre entre les quantités denbsp;mouvement infiniment petites, perdues dans chaquenbsp;instant par tons les points du système, en vertu denbsp;leur liaison mutuelle.

351. On peut changer eet énoncé general en un autre qui sera souvent plus commode.

Observons, pour cela, que mu étant la résultante de mq et mp, chacune de ces composantes, la seconde par exemple, est aussi la résultante de mu etnbsp;de r autre composante mq, prise en sens contraire denbsp;sa direction; en remplacant ainsi chacune des forcesnbsp;perdues mp, m'p', mquot;p’', etc., par les deux forces dontnbsp;elie est la résultante, nous vojons que Ie principe denbsp;D’Alembert revient a dire qu’il y a constamment équilibre entre les forces données, qui agissent sur tonsnbsp;les points d’un système de points matériels en mouvement, et les forces auxquelles sont dus les accroissemens infiniment petits de vitesse qui ont lieu anbsp;chaque instant, ces dernières forces étant prises ennbsp;sens contraire de léurs directions, On remplaccra, si

4 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCaNIQüE.

Ton veut, les premières forces par les quantités de mouvement mux, m'u’r, ni'ti'x, etc., et les dernières

des vitesses q, q', qquot;, etc., «ne direction contraire a la sienne, et laissant a u, u',nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etc., leurs propres

directions.

Ce second énoncé a Tavanlage de conduire immé-diatement a des equations entre les inconnues q, q', qquot;, etc., et les données du problème, qui sont les vitesses ït, u% mquot;, etc. Ces equations résulteront, soitnbsp;des conditions d’équilibre, soit des liaisons qui au-ront lieu, dans chaque cas, entre les points du sys-tènie ; elles seront toujours en mème nombre que lesnbsp;coordonnées de tous ces points (n® 342}, et, conse’-quemment, en même nombre que les composantesnbsp;des vite.sses q, q', qquot;, etc., parallèles aux axes de cesnbsp;coordonnées; en sorte qu’elles feront connaitre, ennbsp;grandeur et en direction, les accroisseniens de Autessenbsp;de tous les mobiles a chaque instant • ce qui est,nbsp;comme nous l’avons dit, la solution générale du problème de la Dynaraique. Remonter ensuite de ces ac-croissemens infiniment petits aux vitesses et auxnbsp;coordonnées du mobile en fonctions du temps, estnbsp;une question de calcul integral.

352. Lorsque les forces mq, in'q', nï'q^', etc., au-ront été déterminées, si on les prend en sens contraire de leurs directions, et qu’on les compose avec les forces données mu, m'u', mquot;u'\ etc., on aura lesnbsp;forces perdues mp, nip', m''pquot;, etc. C’est a ces dernières forces que sont dues les tensions des fils, desnbsp;verges élasliques et de tous les liens physiques qui

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;5

peuveiit exister entre les différens points du sjstème, ainsi que les pressions exercées sui’ les surfaces et lesnbsp;courbes données qu’ils peuvent être obliges de par-courir; et, d’après Ie premier énoncé du principe denbsp;D’Alembert, ces pressions ou tensions se délermine-i’ont, dans l’état de mouvement de sjstème,^ par lesnbsp;regies de la Statique appliquées aux forces per-dues (ri^ 343).

Pendant Ie mouvement, une par tie de la force donnée, qui agit sur chaque mobile, est done employee a faire varier sa vitesse, et n’a ancune influence sur les pressions ou tensions dont il s’agitj etnbsp;1’autre partie, qu’on regardc comrne dëtruite ou perdue, produit ces tensions ou pressions, et n’influenbsp;nullement sur la vitesse. Lorsque Ie système est parvenu a un état permanent dans lequel tous les pointsnbsp;qui Ie composent se meuvent uniformdment, la première partie de chaque force est nulle, et la force en-tière est détruite, c’est-a-dire, employee a produirenbsp;les pressions contre les obstacles fixes, et les tensions des liens physiques , corame si ce systèmenbsp;était en équilibre.

Supposons, d’après cela, qu’une corde soit en mouvement suivant sa longueur, et que des forcesnbsp;données agissent a ses deux bouts suivant ses prolon-gemens. Si ce mouvement demeure uniforme, lesnbsp;deux forces seront égales, et leur valeur communenbsp;exprimei’a la tension de la corde ; si, au contraire ,nbsp;les deux forces sont inégales, l’excès de la plus grandenbsp;sur Ja plus petite sera employé a accélérer ou a retarder Ie mouvement de la corde, et sa tension aura

6 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

pour mesure la partie de la plus grande force dé-truite par la plus petite, ou égale et contraire a celle-ci. Par exemple, lorsqu’un cheval traine un fardeau sur une route, et que Ie mouvement du système de-meure uniforme, l’efiFort du cheval, parallèlement anbsp;la route, est égal au poids du fardeau decomposenbsp;suivant cette direction, plus Ie frottement du fardeaunbsp;contre la route; il est constant quand l’état de lanbsp;route et son inclinaison ne varient pas; si on Ie suppose transmis au fardeau par Ie mojen de plusieursnbsp;cordons parallèles entre eux et a la route, reffort total sei-a égal a la somme des tensions de tous cesnbsp;cordons; et, dans la pratique, on mesure reffortnbsp;exercé suivant chaque coidon par Textension d’unnbsp;ressort interposé suivant sa longueur. L’inclinaisonnbsp;et l’état de la route ne changeant pas, si les efforts denbsp;l’animal augmentent ou diminuent, Ie mouvementnbsp;du système s’accélère ou se ralentit, sans que lesnbsp;tensions éprouvent aucune variation. Lorsque lanbsp;route est horizontale, Ie frottement insensible, etnbsp;Ie mouvement unifonne, Ie cheval n’a d’autre forcenbsp;a développer que celle qui est nécessaire pour sanbsp;propre maiche; il n’exerce aucuii effort suivant lesnbsp;cordons attachés au fardeau, et leurs tensions sontnbsp;constamment nulles.

553. Le principe de D’Alembert a aussi lieu rela-tivement aux quantités de mouvement linies, per-dues par des corps liés entre eux d’une manière quelconque, et sur lesquels on exerce des percussions simultanées, qui ne sont autre chose que desnbsp;forces motrices agissant sur les mobiles avec de trés

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;7

grandes intensités et peadanlde trés courts intervalles de temps (n° 126).

Alnsi, supposons qu’une force de cette nature agisse sur Ie point dont la masse est m, pendant un tempsnbsp;lini, maïs assez petit pour que Ie point in et tous lesnbsp;autrcs points du système ne changent pas sensible-ment de position dans eet intervalle de temps. Re-présentons-le par ê, et par U la vitesse de grandeurnbsp;finie que cette force imprimerait au point m, s’ilnbsp;était libre; et soit aussi Q la vitesse qu’elle lui im-prirae 7'éelleraent, de sorte qu’au bout du temps s ilnbsp;se trouve aniraé de la vitesse qu’il avait auparavant,nbsp;de la vitesse Q, et de celle qul lui est communiquée,nbsp;pendant Ie même temps, par les forces motricesnbsp;qui peuvent aglr sur Ie sytème, indépendamment desnbsp;percussions. Décomposons la vitesseU en deux autres,nbsp;Tune egale a Q, et l’autre que je représenteral par P.nbsp;Faisons des suppositions semblables a l’égard des autres points m', mquot;, etc., du système, et dësignons,nbsp;par rapport a ces points, par U', Q', P'; Uquot;, Qquot;,nbsp;Pquot;, etc., les quanlités analogues a U, Q , P. L’équi-llbre exlstera dans Ie système, soit au commencement, solt a la fin du temps g, entre les quantitës denbsp;mouvement perdues iiiY, m’V', mquot;P'', etc.

En effet, décomposons la durée e des percussions en un nombre Infini d’iustans Infiniment petits. Soientnbsp;T 1’un de ces instans, m^r, m'/rarT', 7?/W'V', etc.,nbsp;les parties infiniment petites de mV, m'V, mquot;Pquot;, etc.,nbsp;perdues pendant eet instant, et, comme pre'cédein-ment, inpr, m'p'r', nï'pquot;T'', etc., les quantltés infiniment petites de mouvement, provenant des forces

8 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

motrices, et perdues dans ce mênie instant, D’après rénoncé du n“ 55o, ii y aura équilibre, dans Ie sjs-tème, entre ces deux groupes de quantités de mouvement; cbacune des equations relatives a eet équi-libre sera de la forme :

Amizar -f- nbsp;nbsp;nbsp;-f- etc.

-H Btnpr -f- B'm'p'r -fquot; 'Bl'in'p''r -f- etc. = o,

en désignant par A, A', Aquot;, etc., B, Bquot;, etc., des coelEciens dépendans des positions des mobiles; etnbsp;cette equation subsistera pendant toute la durée e desnbsp;percussions. La somme des valeurs de son premiernbsp;raembre qui répondent a tous les instans de cette durée, sera done égale a zéro; mais, dans cette som-mation, on pourra regarder les coefficiens cornmenbsp;invariables, puisque, par hjpothèse, les positions desnbsp;points m, iri, rri', etc., ne changent pas sensibleraentnbsp;pendant toute la durée des percussions; de plus, lesnbsp;sommes des valeurs de m.'mx, m'xa-'rf inquot;xs-quot;T, etc.,nbsp;seront les quantités de mouvement inV, m'B',nbsp;mquot;Pquot;, etc.; celles de mpr, m'p'r, inquot;pquot;T, etc., pour-ront être negligees par rapport aux premières, pareenbsp;que les elFets des forces motrices, telles que des poidsnbsp;et des attractions dirigés vers des centres fixes ou mobiles, pendant les durées des percussions, sont géné-ralement insensibles par rapport aux effets de cesnbsp;autres forces; par conséquent, nous aurons

AttzP -h A'mT' AVTquot; -f- etc. = o.

II en sera de même a l’égard de toutes les équations d’équlUbredu système, qui subsisteront toutes entre

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;9

les quantités de mouvement perdues /raP, m'V, wiTquot;, elc.; ce qu’il s’agissait de faire voir.

A cause de l invariabilité des coefficiens A , A', Aquot;, etc., pendant la dure'e des percussions, ces equations se rapportent indifferemment au commencenbsp;ment ou a la fin du temps Pour plus de commo-dilé, on a suppose cetle durée la même pour toutesnbsp;les percussions; ce qui est permis évidemment,nbsp;pourvu que amp; soit la durée la plus longue des percussions que Pon considère en même temps.

Ces percussions proviendront, en general, des chocs des mobiles entre eux ou contre des obstaclesnbsp;fixes. II pourra arriver que pendant Ie temps s, cesnbsp;corps glissent un tant soit peu l’un contre l’autre ounbsp;contre ces obstacles; ils éprouveront alors des Irotte-mens qui leur enleveront de certaines quantités denbsp;mouvement : or, on ne peut pas négliger ces quantités comme celles qui proviennent de la pesanteur etnbsp;des attractions; car Ie frottement est une force pro-portionnelle a la pression, c’est-a-dire, une forcenbsp;qui enlève aux mobiles, dans chaque instant, desnbsp;quantités de mouvement infiniment petites, propor-tionneiles a celie que la pression pourrait leur impri-mer dans Ie même instant; d’oü il résulte que les eP-fets des frottemens, pendant Ie temps g, peuvent êtrenbsp;comparables a ceux des percussions. Ainsi, quand il ynbsp;aura un glissement des mobiles pendant la durée desnbsp;percussions, il faudra établir l’équilibre entre lesnbsp;quantités de mouvement perdues par les frottemensnbsp;et celles que nous avons représentées par mV, /n'P',nbsp;mTquot;, etc. On pourra, si l’on veut, remplacer les vi-

lo nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCAISIQUE.

tesses P, P', Pquot;, etc., par leurs composantes, c’est-a-dire, par des vitesses égales et contraires a Q, Q', Qquot;, etc., et par les vitesses U, U', 13quot;, etc., prises dansnbsp;leurs propres directions.

Cette extension du pi'incipe general de la Djna-mique aux quantités de mouvement de grandeur linie, servlra a determiner les vitesses des corps d un sjstème, soit a 1’origlne du mouvement, soit pendantnbsp;sa durée, quand ils se rencontrent ou qu’ils viennentnbsp;cHoquer des obstacles fixes, et, généralement, lors-que les vitesses des mobiles éprouvent ce qu’on ap-pelle des changemens brusques.

354. Les différentes applications du principe general de la Djnamique, que nous aurons a faire dans la suite de ce Traité, seront relatives a des mobilesnbsp;entre lesquels il existe des liens physiques quelcon-ques , qui agissent, en outre, l’un sur l’autre parnbsp;voie d’attraction ou de repulsion a distance, et quinbsp;éprouvent des percussions a des instans particullers.nbsp;Mals avant d’aller plus loin , je crois utile de donnet’, dans ce chapitre, un exemple simple de cba-cune de ces trois clrconstances, pour servir de dé-veloppement aux généralités qu’on vient d’exposer.

Consldérons d’abord , comme dans Ie quatrième casdu n” Sag, deux corps pesans, attachés aux ex-trémités d’un lil qu’on regarde comme inextensible,nbsp;et posés sur deux plans incline's, adossés l’un anbsp;Tautre. Soient h la hauleur commune de ces deuxnbsp;plans, l Ia longueur de l’un d’eux, V celle de l’au-tre, m la masse du corps posé sur Ie premier, m'nbsp;celle du corps posé sur Ie second, et g la gravité.

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;ii

Si l’on fait abstraction du frottement, la force ac-céleratrice du premier mobile sera égale a la com-posante de la pesanteur suivant Ie premier plan,

laquelle est égale a ^, et la force accélératrice du

second mobile sera de même Désignons, au bout

du temps t, par v la vifesse commune a tous les points de m, et par v' celle de tous les points de m';nbsp;et convenons de regarder ces vitesses comme positives OU comme négatives, selon que les mobilesnbsp;descendent ou s’élèvent. Pendant l’iiistant dt, v ei dnbsp;augmenteront de dv et dv' mais, pendant ce mêmenbsp;instant, les forces accélératrices imprimeraient auxnbsp;mobiles, s’ils étaient libres, les vitesses positives

y dt et dt: en vertu de la liaison des deux corps, les vitesses qu’ils perdent pendant l’instaut dt sontnbsp;done ^ dt

(pjdt — dlt;i^ = m’ (pp dt — dv'P

De plus, les deux vitesses v et v' sont égales et de signe contraire; car, dans Ie mouvement dont ilnbsp;s agit, Tune des deux masses descend et 1’autre s’é-lève, en parcourant des espaces égaux sur les plansnbsp;inclinés. On a done

dv' =

,2 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Je substitue cette valeur de «ft» dans i’équation (i) f d’oü je deduis ensuite

_ {mV — m'l) h

et, en inte'grant,

(m -1“ m') ll' ^

c ëtant la constante arbitraire.

Si l’on multiplie par dt et qu’on intègre de nouveau , on aura l’espace parcoui'u par in sur son plan incline 5 mais cette valeur de f suffit pour mon-trer que son mouvement est uniformément accélërénbsp;OU retardé, selon qu’on a ml' gt; m'l ou ml' lt; m'l.nbsp;En vertu de 1’équation v' = — e, Ie contraire anbsp;lieu a l’e'gard de m'.

J’appelle T la tension du fil auquel les deux mobiles sont attache's, laquêlle est due a la force perdue a chaque instant par chacun de ces deux corps. Cette force motrice a pour valeur Tune des quanti-tes de mouvement qui forment les deux membresnbsp;de I’equation (1), divisee par dt; par consequent,nbsp;on a

et, en mettant pour dv sa valeur précédente , il vient

m _ (Z -t- I') mm'hg _

(wï -J- m) II' ’

771 Jiff

valeur qui se reduit a comme cela devait être,

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;i3

dans Ie cas de ml' = m'l, qui est celui de 1’équi-libre. Quant a la pression exercée sur chaque plan incline, elle est due a la composante perpendiculaire a ce plan, du poids du corps qu’il supporte,nbsp;et la même que dans 1 etat d’ëquilibre.

355. La constante c est la vitesse initiale de m; si les deux corps sont partis de l’état de repos, on anbsp;c = o; mais si l’un d’eux, ou lous les deux, ontnbsp;éprouvé une percussion a Forigine du mouvement,nbsp;il faudra en déduire leurs vitesses initiales.

Supposons done qua 1’origlne du mouvement les mobiles in et m' ont éprouvé simultanément des percussions qui auraient imprimé, suivant les prolon-gemens du fil auquel ils sont attachés, une vitessenbsp;a a tous les points de m, et une vitesse a' a tons lesnbsp;points de m', si ces deux corps eussent été libres.nbsp;Comme leurs vitesses initiales sont c et — c, il s’en-suit qu’a cette origine les quantités de mouvementnbsp;perdues ont été, en grandeur et en direction,nbsp;7n (a— c) et gt;?i'(a'-j-c ) ; pour qu’elles se fassentnbsp;équüibre, daprès Ie n“ 353, il faudra qu’elles soientnbsp;égales; on aura done

m(a — c) — m' {a' -f- c);. d’ou l’on tire

ma — m'd m m'

La percussion que Ie fil a subie a eet instant, suivant chacun de ses prolongemens, est due a Tune ou l’autre de ces quantités de mouvement perdues, dont

ï4 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÊGANIQUE.

la valeur commune est

mm' (a a')

~ m -j- m' *

en sorte que la percussion initiale du fil est la méme que s’il était suspendu verticalement a un point fixe*nbsp;et qu’un corps attaché a son extrémité inférieure futnbsp;frappé, dans Ie sens de la pesanteur, par un secondnbsp;corps animé de cette quantité de mouvement et quinbsp;se réunit au premier.

556. Au lieu de deux corps pesans, on en pour-rait considérer trois ou un plus grand nombre, posés sur une suite de plans inclinés, et dont ctiacun se-i’ait lié au suivant par un fil inextensible : Ie mouvement de ce sjstème de corps serait de la mémenbsp;nature et se determinerait de la méme manière quenbsp;précédemment.

On peut aussi remplacer les deux corps que l’on vient de considérer, par une chaine pesante, poséenbsp;sur les deux plans inclines. En la supposant homogene et d'une épaisseur constante, et désignant, aunbsp;bout du temps t, par x eix' les longueurs de ses deuxnbsp;parlies, leurs masses seront entre elles comme cesnbsp;quantités, de sorte qu’il faudra d’aboi’d remplacer,nbsp;dans l’équation (i), m et m' par x et x'. De plus,nbsp;pendant l’instant dt, la première de ces deux partiesnbsp;augmente de Télément dx, qui prend la vitesse unbsp;commune a tous ses points; pour cette raison, lanbsp;quantité de mouvement perdue par cette partie seranbsp;diminuée d’une quantité positive ou negative, etnbsp;égale a vdx. Par une raison semblable, la quantité de mouvement perdue par la seconde partie

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;i5

de la chaine pendant Ie mcme instant, devra être di-minuée d’une quantité égale a v'doe'¦. il faudra done, en outre, retrancher vdx et ddcc' du premier et dunbsp;second membre de cette equation (i), qui deviendra,nbsp;de cette manière,

-r dl — dgt;^ — vdx = x' dt — dv’^ — v'dx',

Si I on appelle A la longueur constante de la chaine entière, on aura

jc x' = A, dx dx' = o ;

les vitesses e et d de ses deux parties seront d’ailleurs

dx nbsp;nbsp;nbsp;, dx'

^ Tt’ ^ 'dtgt;

d’oü il résulte dx'=x-^dx et vdx = v'dx'’, et, en éli-minant x' et dv' de l’équation du mouvement, il vient

arx

oü I’on a fait, pour abréger,

—w--* ’ y —

L’intégrale cömplète de cette equation lineaire est

-1-

en désignant par e la base des logarithmes népé-riens, et par a et b les deux constantes arbltraires, dont on déterminera les valeurs d’après celles de x et

i6

dx

di

l l” ^ — l l”

ce qui fait voir que dans l’état d’équilibre les deux parties x et x' de la chaine sont entre elles commenbsp;les longueurs l et l' des plans inclines sur lesquelsnbsp;elles sont posées; en sorte que ses déux extrémités senbsp;trouvent dans une même droite horizontale. Récipro-quement, si cette condition est reraplie a un instantnbsp;determine, et qu a eet instant les points de la chainenbsp;ne recoivent aucune vitesse, l’équilibre aura lieu ;nbsp;car la proportionnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

I : f,

donnant ^~j, pour la valeur de x, on aura, a l’ins-

ae

et la vitesse ctant supposée nulle, on aura, en même temps,

dx nbsp;nbsp;nbsp;7nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—««

= acLe — bue = o : dtnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;’

d’oü il résulte a = o et ü = o.

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;17

557, Pour second exemple de l’application du principe general de la Djnamique, considérons Ienbsp;mouvement de deux points matériels soumis a leurnbsp;repulsion mutuelle; et, pour réduire la question aunbsp;cas Ie plus simple, supposons qu on ne leur imprimenbsp;aucune vitesse initiale, perpendiculaire a la droitenbsp;qui va de Pun a l’autre; en sorte que leurs raouve-mens aient lieu sur une même ligne droite , donnéenbsp;de position.

Soient m et nï leurs masses; au bout du temps t, désignons par x el jc’ leurs distances a un point fixe,nbsp;pris sur cette ligne, et par v et igt;' leurs vitesses, denbsp;sorte qu’on ait, a eet instant,

En même temps, soit R la force repulsive agissant en sens opposes sur m et m, et qui tendra, pour fixernbsp;les idees, a augmenter la distance x’ et a diminuernbsp;la distance x. Pendant Tinstant dt, cette force mo-

tnce imprimera une vitesse a la masse m et,

comme 'l’augmentatioa de vitesse de m' est réelle-ment dv', il s’ensuit que sa vitesse et sa quantité de mouvement perdues pendant cel instant seront

--dv' et ^dt — m'dv'. La quantité de mouvement perdue par m, dans Ie même sens et dans Ie même instant, sera aussi — Rr/« — mdv. Or, cesnbsp;deux points matériels étant d’ailleurs entièrementnbsp;fibres, il faudra, pour l’équilibre de ces quantitésnbsp;de mouvement, qq’elles soient séparément nulles;

,8 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

par conséquent, on aura

indv -f- nbsp;nbsp;nbsp;= o , m'dv' — ^dt == o.

Soit r la distance comprise entre les deux points matériels m et m', de sorte qu’on ait

x' — X = r, dx' — dx ¦=. dr.

A cause de dx = vdt et dx' = v'dt, on tirera des equations précédentes

Vidv m'dv' ¦=. o, nmvdv -4- :im'v'dv' — aRc^r.

En integrant et désignant par c- et c' les deux cons-tantes arbitraires, on aura done

mv nbsp;nbsp;nbsp;= c, mv'^ /raV'quot; = 2 fKdr c'.

La force R sera une function donnée de r; on pourra done obtenir l’intégrale f^dr exactement ou par approximation ; et si Ton désigne par a la valeur de rnbsp;a l’origine du mouvement, et qu’on suppose cettenbsp;integrale nulle quandnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;sa valeur, a un instant

quelconque, sera une fonction de r et a que je re-présenterai par f{r, a). Soient aussi a et a' les vi-tesses initiales de m et m'; on aura, a la fois,

r = a., /(r, a) = o, vz=a, v' = a',

et, conséquemraent,

c = ma m'a', c' = ma* -f- in'a'* j

d’oü il résultera, a un instant quelconque,

mv m'v' = ma m'a', mv* m!v'* = ^/{r, a) -1- ma

DYNAMIQUE, SECONDE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;ig

Ges dernières equations feront connaitre, a clia-que instant, les vitesses des deux mobiles en fonc-tions de leur distance mutuelle : on en conclut que toutes les fois que cette distance redeviendra lanbsp;méme , les carrés et e'® reprendront aussi lesnbsp;mêmes valeurs, et que chaque mobile reprendra unenbsp;égale vitesse, dans Ie méme sens ou en sens contraire.

Connaissant p et v' en fonctlons de r, on aura

dt —

pour determiner, par une nouvelle integration, la valeur de t en fonction de r, ou réciproquement.nbsp;D’ailleurs, en multipliant la première des equations (i)nbsp;par dt, integrant et désignant par b la constante arbitraire, il vient

: (ma -f-

On connaitra h d’après les positions initiales des deux mobiles; et cette equation, jointe a x' — x=r,nbsp;fera connaitre leurs positions a un instant quelcon-que, c’est-a-dire, les valeurs de x et x' en fonclionsnbsp;de r OU de t; ce qui sera la solution compléte dunbsp;problème.

Si Taction mutuelle des deux mobiles était attractive, il faudrait changer Ie slgne de R, et par suite celui de f{r, et), dans les formules précédentes. Sinbsp;cette force était une repulsion a certaines distances,nbsp;et une attraction a d’autres distances, on prendraitnbsp;pour R une fonction de r qui changerait de signe

20

TRAITÉ DE MÉCANIQUE. dans rélendue des valeurs de la variable. Dans tonsnbsp;les cas, il résulte de i’equation pre'ce'dente que Taction mutuelle des deux mobiles n’altère pas Ie mouvement de leur centre de gravite; car son premiernbsp;merabre, divise' par m m', exprime la distance denbsp;ce centre a Torigine fixe des x et x' •, en sorte quenbsp;Ie mouvement du centre de gravité est uniforme etnbsp;indé pendant de la force R.

358. Les equations (i) conviennent aussi au mouvement de deux corps solides, de grandeur quelcon-que, soumis a la force R, et dont les masses sont m et in', pourvu que les vitesses de tous les points denbsp;ces deux corps soient constamment parallèles a unenbsp;droite donnée. Cette force R, repulsive ou attractive,nbsp;peut alors provenir d’un ressort qui se dilate ou senbsp;contracte entre les deux mobiles contre lesquels ilnbsp;est appuyé par ses extrémités; ou bien encore, onnbsp;peut supposer que la force R provient d’un fluidenbsp;élastique qui se développe entre ces deux corps, etnbsp;les repousse en sens contraire l’un de Tautre.

Ce dernier cas est celui du mouvement du boulet et du canon, pendant que Ie premier parcourt Vdmenbsp;de la piece. On prendra alors pour m la masse dunbsp;boulet, et pour m' celle du canon. II faudra, pournbsp;faire usage des formules précédentes, supposer quenbsp;la totalité de la poudre se réduit en gaz a Toriginenbsp;du mouvement. La longueur de la charge sera lanbsp;distance initiale a des deux mobiles; et quand cettenbsp;distance sera devenue r, la force R exprimera la pres-sion que Ie gaz, ainsi dilate, exercera sur chacun denbsp;ces deux corps. II faudra, en outre, faire une suppo-

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;21

sition sur la valeur de R en fonction de r. Or, si la temperature du gaz demeurait constante pendant sanbsp;dilatation, la force R, d’après la loi de Mariotte, serail en raison inverse des espaces qu’il occuperaitnbsp;dans l’intérieur du canon. Soit done h la pressionnbsp;rapportée a l’unité de surface, exercée par Ie gaz anbsp;rinstant oü la poudre vient de s enflammer et oii ilnbsp;occupe encore Ie mème espace que la charge. Dësi-gnons par co la section de la charge perpendiculairenbsp;a sa longueur, qui est aussi la section intérieure de lanbsp;pièce; ka sera la valeur de R a I’origine du mouvement ; et, dans Ie cas de la temperature constante ,nbsp;on aurait

R = —,

a rinstant qui répond a la distance r des deux mobiles; car, a ces deux époques, les espaces occupés par Ie gaz sont entre eux comme les longueurs etnbsp;et r.

Cette expression de R est celle qu’on a générale-ment adopte'e , quoiqu’elle soit fondée sur deux hypotheses inexactes : la totallté de la charge ne se ré-duit pas en gaz avant Ie depart du boulel; et pendant sa dilatation dans l’ame de la pièce, Ie gaz formé doitnbsp;éprouver de trés grandes diminutions de temperature.nbsp;Maïs ces deux causes influent en sens contraire sur Ienbsp;décroissement de ia valeur de R : la seconde tendnbsp;évidemment a rendre ce décroissement plus rapide ,nbsp;tandis que Teffet de la première doit être de Ie ralen-tir, a raison des nouvelles quantités de gaz qui vienrnbsp;nent successivement s’ajouter a la quantité initiale.

22 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Oa suppose que ces deux causes contraires se com-pensent a peu pres, et Ton fait abstraction de leur influence sur l’expression de R. en function de r.

Cela étant, d’après la valeur de R qu’on vient d’e'crire, on aura

/(r, a) = log^,

en observant que Tinlégrale f{r, a) est supposée nulle pour r = a. On regarde comme nulles lesnbsp;vitesses inltiales du boulet et du canon ; en fai-sant done a = o et «' = o dans les equations (i),nbsp;et y substituant cette valeur de ƒ(r, a), nous au-rons

mv m'v'= o, nbsp;nbsp;nbsp;mV'* = 2kcaa. log

Soient l la longueur de lame, V la vitesse du boulet a la bouche du canon, V' la vitesse corres^-pondante du recul; on aura, a la fois,

r = l, V = V, / = V';

et l’on déduira des equations précédentes V“ = -nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;\olt;^ L .

m (m -f- m') nbsp;nbsp;nbsp;^ a.’

ce qui fera connaitre la vitesse de projection V. Abstraction faite du signe, celle du recul sera égale

a cette vitesse V multipliée par Ie rapport

(¦'') Voyez IVxamen de ce point de la question dans Ie 21* cahier du Journal de VEcole Poljlechnique, page 191 -

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;23

En égalant a zéro la difFérentielle de V* par rapport a a, on déterminera la longueur de la charge qul répond, toutes choses d’ailleurs égales, au maximum de la vitesse de projection. On a, de cettenbsp;manlère,

, l

log - = T ,

et comme ce logarithme est népérlen, 11 s’ensuit qu’en déslgnant, a Tordinalre, par e la base de cesnbsp;logarlthmes, on aura lz= ea; de sorte que la var-leur de a dont 11 s’aglt surpassera un peu Ie tiersnbsp;de la longueur l de la piece.

359. La masse m' coraprenant celle de la plèce et de l’afFut, est toujours trés grande par rapport anbsp;celle du boulet; en rédulsant done a m' Ie dlvl-seur m m' de la valeur de V*, on aura sim-r-plement

ikaa. , nbsp;nbsp;nbsp;/

-log -.

m ^ a

Pour faire usage de cette formule, 11 sera néees^ salre de connaitre la constante k, qul représente lanbsp;force élastlque de la poudre rédulte en gaz, a l’lns-tant de sa plus grande Intenslté. Solt, pour cela,nbsp;D la denslté de la poudre dans son état naturel;nbsp;la masse de la charge sera Dxat, j en supposant soanbsp;poids égal au tiers du polds du boulet, on aursvnbsp;done

SDceia ;

et l’on tirera de l’équatlon (2)

34

TRAITÉ DE MÉCANIQUE. 3DV“

2 log

Cetle quantité k sera la pression maxima du gaz de la poudre, rapportée a l’unité de surface; pournbsp;la comparer a la pression atmosphérique, soient ftsrnbsp;cette autre pression , h la hauteur barome'trique ,nbsp;jtt la densité du niercure , et la gravité; on aura

= gixh.

Soient aussi M Ie module des tables de logarithmes ordinaires, et A Ie logarithme de ^ pris dans cesnbsp;tables, de sorte qu’on ait

A = Mlog^l il résultera de ces valeurs

k __ 3MDVquot;

A la temperature ordinaire d’environ 18°, je prends pour les densités de la poudre et du raercure

D = 0,8535, nbsp;nbsp;nbsp;3,548;

on a aussi

g = 9™, 80896, nbsp;nbsp;nbsp;h — o™,76;

et a cause de

M = 0,4342945,

la formule précédente deviendra \ = (0,0053761)

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;aS

Dans Ie cas de la piece de 24» cliargée au tiers du poids du boulet, on a

^ = 463”,

et il en résulte

k —

Relativement a la piece de 12, on a de même

V = 495quot;,

“ nbsp;nbsp;nbsp;99

ce qui donne

k = I iSy-isr.

En prenant la moyenne de ces deux valeurs de A:, qui devraient être égales si la théorie était rigoureusenbsp;et que les données fussent exactes, nous aurons done

k = I i65.'!êr.

Telle serait la valeur de k qu’il faudrait employer dans la formule (2); mais cette expression de V“ne peutnbsp;être regardée que comme une formule empirique ,nbsp;d’abord a raison des hypotheses sur lesquelles eile estnbsp;fondée, et, en outre, paree que dans Ie calcul directnbsp;du mouvement du boulet dans l’ame de Ia piece, ilnbsp;aurail fallu avoir égard a la masse de Ia poudre ré-duite en gaz. Eu même temps que ce fluide poussenbsp;en sens opposés Ie boulet et Ie canou, une partie denbsp;la force qu’il développe est employée a transporternbsp;sa propre masse, qui n’est pas négligeabïe par rapport a celle du projectile; et l’on concoit qu’il ennbsp;doit résulter une vitesse de projection moindre quenbsp;si, la force élastique de la poudre restant la même,

a6 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

sa masse était insensible, comme Je suppose l’analyse précédente. Cette remarque, due a Lagrange, prouvenbsp;la nécessité de considérer a la fois les mouveraens denbsp;la poudre et des deux masses m et m', pendant que Ienbsp;boulet est dans la plèce; mais alors la question senbsp;complique, et la difïiculté du calcul ne permet guèrenbsp;d’arriver a aucun re'sultat utile pour la pratique. C estnbsp;done a Texpérlence qu’il vaudra mieux recourir pournbsp;determiner les vitesses de projection des corps lancésnbsp;par les bouches a feu. Indépendamment de la consi-de'ration des portées, que nous avons déja indiquéenbsp;(n® 216), il existe un autre moyen d’obtenir ces vitesses, dont il sera question dans un des chapitresnbsp;sulvans.

36o. Appliquons encore Ie principe de D’Alembert au cas Ie plus simple du choc des corps, et suppo-sons qu’il s’agisse de deux sphères homogènes, dontnbsp;les centres se meuvent sur une même ligne droite,nbsp;et dont tous les points décrivent des parallèles a cettenbsp;droite.

Soient in et m' les masses de ces deux corps; dési-gnons par v et v' leurs vitesses, lorsqu’ils comnien-cent a se toucher, c’est-a-dire, au premier instant du choc : V et v' seront de même signe ou de signes con-traires, selon que les deux mobiles iront a la suite ounbsp;au-devant l’un de l’autre. Dans les deux cas, nousnbsp;regarderons la vitesse v comme positive; et, après Ienbsp;choc, la vitesse de chacun des deux mobiles sera positive OU negative, suivant qu’elle sera dirigée dans Ienbsp;sens de cette vitesse de m avant Ie choc ou en sen%nbsp;contraire.

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTIE. - nbsp;nbsp;nbsp;37

Quelque durs que soient les deux mobiles, ils sönt toujours plus OU molns compressibles j a raison de lanbsp;difference de leurs vitesses igt; et v', ils vont done senbsp;comprimer, en s’appuyant l’un contre Vautre ; et,nbsp;pendant cette compression, la vitesse de i’un des deuxnbsp;corps, de m, par exernple, diminuera par degrés in-finiment petits, et celle de m' augmentera de même,nbsp;jusqu’a ce que ces deux vitesses soient devenues égales.nbsp;Or, a partir de eet instant, il y aura deux cas distinctsnbsp;a considérer.

i“. Si les deux spheres sont entièrement dénuées d’ëlasticitë, elles cesseront d’agir Tune sur l’autre anbsp;rinstant oü leurs vitesses se seront ainsi nivelëes, etnbsp;continueront de se raouvoir avec une vitesse commune , en restant juxtaposëes et conservant les formesnbsp;que la compression leur aura donnëes.

2®. Si, au contraire, les deux spheres sont élasti-ques, elles tendront a reprendre leur forme naturelle; en y revenant, et s’appuyant toujours Tune contre l’autre, la vitesse de m continuera de décroitrenbsp;graduellement, et celle de m' continuera d’augmen-ter : il y aura enfin un instant oü ces deux corps senbsp;sëpareront, et ce sera la fin du choc. Or, dans Ie casnbsp;d’une parfaite ëlasticitë, on suppose que la secondenbsp;partie du choc est tout-a-falt semblable a la première;nbsp;qu’a la fin du choc, les deux corps ont repris exacte-inent leur forme sphërlque, et une vitesse communenbsp;a tous les points de chacun d’eux; et que, pendant sanbsp;seconde partie, ils perdent ou gagnent des quantitësnbsp;de mouvement ëgales a celles qu’ils ont dëja perduesnbsp;ou gagnëes pendant la première.

28 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

Le problème du choc de deux spheres ne présen-terait aucune difficulte' nouvelle, et rentrerail dans celui du n” 35;, si leurs rayons étaient infinimentnbsp;petits. Pour le résoudre complètement, lorsque leursnbsp;rayons ont une grandeur linie, il faudrait avoir e'gardnbsp;a la propagation du mouvement dans leurs masses ,nbsp;et determiner l’état des deux corps a un instant quel-conque de la durée du phénomène; ce qu’on peutnbsp;regarder comme impossible, dans 1’ëtat actuel de lanbsp;science. Nous admetlrons done les suppositions qu’onnbsp;vient d’expliquer comme étant les données de lanbsp;question dont nous allons nous occuper; et en com-binant ces données avec le principe de D’Alembert,nbsp;applique aux quantités de mouvement de grandeurnbsp;linie, il ne s’agira plus que de determiner les vitessesnbsp;des deux spheres a la lin du choc, d’après leursnbsp;masses et leurs vitesses primitives, soit quand cesnbsp;deux corps sont entièrement dénués d’élasticité, soitnbsp;quand ils sont parfaitement élastiques. II n’y a quenbsp;les corps mous qui n’aient pas d’élasticité sensible;nbsp;la plupart des corps durs reviennent a leur formenbsp;primitive, lorsqu’ils ne sont pas brisés par le choc.

361. Dans le cas des corps mous, soit u la vi-tesse après le choc, laquelle est commune aux deux spheres; la vitesse perdue par m sera e — u, et lanbsp;vitesse gagnée par m' sera u —¦ v'. Si done ces deuxnbsp;corps allaient au-devant l’un de l’autre avec ces vitesses igt; — u et u — v', il faudrait, d’après Ie principe du n” 353 , qu’ils se fissent équilibi-e; ce quinbsp;exige(n'’ 127) que les quantités de mouvement cor-respondantes a ces vitesses soient égales. Nous au-

(a)

pour la valeur de u qu’il s’agissalt d’obtenir.

Si m' est en repos avant Ie choc , et qua raison de sa densité, cette masse soit extrêmemeiit grandenbsp;et comme inflnie, par rapport a m, on aura sen-siblement « = o. La masse m' représentera alors unnbsp;obstacle fixe ; et Ie corps, dénué d elasticilé, seranbsp;rédult au repos par Ie choc contre eet obstacle.

On appelle force vive d’un point materiel, ou , plus généralement, d’un corps dont tous les pointsnbsp;ont la méme vltesse, Ie produit de sa masse par Ienbsp;carré de cette vitesse. La somme des forces vives denbsp;m et in' est done -|- m'v'* avant Ie choc, etnbsp;mu’' m'u* après Ie choc. Or, il résulte de la formule (a) que la seconde somme est toujours moin-dre que la première 5 car, sans altérer leur difference

-{- m'v'''

on peut en retrancher la quantile

2u (jnv H- m'v' — mu — m'u),

qui est nulle, en vertu de Tequallon (a) 5 et cette difference devient alors

m „ u)lt;‘ _p. m' {u — v'y,

qui est une quantité positive.

3o nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQüE.

11 y a done toujours perte de force vive dans Ie choc de deux spheres dont la matière est dënuëe denbsp;toute élasticité; et cette perte est egale, comme onnbsp;voit, a la somme des forces vives dues aux vitessesnbsp;V — u et u — v', perdue et gagnée par ces deuxnbsp;corps. Ce résultat est un cas particulier d’un thëo-rème general qui est du a Carnot, et que nous dé-montrerons par la suite.

502. Dans la première partie du choc, c’est-a-dire, jusqu’a I’instant de la plus grande compression , lesnbsp;deux spheres se comporlent toujours de même, quelnbsp;que soit leur degré d’ëlasticite ; en sorte que la vi-tesse u qu’on vient de determiner, est toujours cellenbsp;qui leur est commune a eet instant. Pendant cettenbsp;première partie, la diminution de la vitesse de m etnbsp;1’augmentation de celle de m' sont done v — u etnbsp;u — v'. Or, si ces deux sphères sont parfaitementnbsp;ëlastiques, m éprouvera, dans la seconde partie dunbsp;choc,une seconde diminution de vitesse égale a lanbsp;première, et, conséquemment, sa vitesse a la fin dunbsp;choc sera v — 2 (c — «) ou 211 — v. En même temps,nbsp;m' éprouvera une seconde augmentation de vitessenbsp;égale a u — v', et sa vitesse finale sera v' 2 (« —

OU 2U — /. Si done on appelle V et V' les vitesses de m et m', après Ie choc , on aura

la valeur de u étant toujours donnée par la formule (a).

En retranchant ces vitesses Tune de l’autre, on a

V — V' = ^ nbsp;nbsp;nbsp;;

DYNAMIQUE, SECONDE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;3i

ce qui montre que dans ce choc la vitesse relative des deux mobiles change de signe et conserve la mêmenbsp;grandeur.

Si la masse m' est regardée comme infinie, a raison de sa densité, par rapport a la masse m, et qu’on ait p' = o gt; on aura u = o , et, par conséquent,nbsp;V = — p; d’oii il résulte que quand une sphère,nbsp;douée d’une élasticité parfaite, vient frapper unnbsp;obstacle fixe, elle est réfléchie avec une vitesse égalenbsp;et contraire a celle qu’elle avait avant Ie choc. S’ilnbsp;s’aglt, par exemple, d’une sphère pesante, qui tombenbsp;dans Ie vide, surun plan horizontal et inébranlable,nbsp;elle devra remonter a sa hauteur primitive.

La somme des forces vives sera la même avant et après Ie choc, ou, autre ment dit, on aura

mp® -f- 7w'p'“ = m {p.u — p)* -1- m'{2U — p')*; equation qui se réduit a

{inu m'u — m\gt; — m'v) — o,

et qui est identique, en vertu de la formule (a).

II n’y a done aucune perte de force vive dans Ie choc de deux spheres parfaitement élastiques; et cenbsp;résultat, comme celui que présente Ie choc de deuxnbsp;spheres non élastiques, est compris dans un théorèmenbsp;général, qu’on démontrera aussi dans un autre cha-pitre.

^gt;63. Si l’on suppose m'=in, on aura

2tt=P-}-.p', V = P’, V'=rp.

II y a done échange de vitesse dans Ie choc de deux

32 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

spheres parfailement élastiques, dont les masses soïvt egalesj et si l’uae des deux est en repos avant Ienbsp;choc, l’autre demeurera en repos après Ie choc, etnbsp;la première prendra la vitesse primitive de la seconde.

II suit de la que si Ton a une série de billes égales en masse, et dont les centres soient rangés en lignenbsp;droite; que la première solt seule en mouvement,nbsp;et que sa vitesse, qui sera désignée par v, soit diri-gée suivant cette droite et du cóté des autres billes jnbsp;cette première bille sera réduite au repos en choquant la deuxième ; celle-ci prendra la vitesse e, avecnbsp;laquelle elle ira choquer la troisième, et sera ensuitenbsp;réduite au repos; la troisième prendra la vitesse c,nbsp;qu’elle perdra en choquant la quatrième; et ainsi denbsp;suite, jusqu’a la dernière, qui conservera la vitesse e.nbsp;Après cette suite de chocs, toutes les billes serontnbsp;done en repos, excepté la dernière, qui se trouveranbsp;animée de la vitesse que la première avait primitive-ment; et comme ce résultat est indépendant de lanbsp;grandeur des intervalles compris entre les billes con-sécutives, il est naturel d’en conclure qu’il aura encore lieu quand ces intervalles disparaitront, et quenbsp;les billes, choquées par la première, seront ennbsp;contact.

Ainsi, lorsqu’une serie d’un nombre quelconque de billes parfailement élastiques, en repos, juxtapo-sées, égales en masse, et dont les centres sont en lignenbsp;droite, sera choquée par une autre bille élastique,nbsp;égale a chacune d’elles, et en mouvement suivant lanbsp;ligne des centres, celle-ci se réunira a la série qui

DYNAMIQUE, SECONDE PARÏIE. nbsp;nbsp;nbsp;33

demeurera en repos, excepté la bilie placée a 1’aulre extrémité, laquelle se détachera seule avec la vitessenbsp;de la bilie choquante : c’est, en effet, ce qu’on a sou*-vent l’occasion de verifier, avec des billes de billard,nbsp;par example.

En general, les lois du choc des corps sphériques, mous on durs, qui sonl les consequences des hypotheses du 11° 56o, ont été confirmees par de nom-breuses experiences, faites sur des billes égales ounbsp;inégales, de même matière ou de matière différente, et dont les vitesses avaient entre elles diffé-rens rapports.

364. Le mouvement du centre de gravité d’un système de corps n’est jamais altéré par le choc ounbsp;toute autre action mutuelie des mobiles. On démon-trera par la suite, dans toute sa généralité, cette importante proposition, dont on a déja vu le cas lenbsp;plus .simple dans le nquot; 35^, et qu’on peut aussi verifier dans le choc des corps sphériques, mous ou par-faitement élastiques.

Pour cela, soient cc et x', au bout du temps t, les distances des centres de m et m' a un point fixe de lanbsp;droite sur laquelle ils se meuvent. Soit aussi, a eetnbsp;instant, la distance au même point du centre dénbsp;gravité de rn et m; nous aurons (n° 65)

{m -f- m!)Xi = mx -4- m'x'.

On en déduit, en différentiant,

r . nbsp;nbsp;nbsp;dx,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;dx ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, dx'

(™ “O-x = quot;‘7, ’quot; lü’ ®

dans Ie cas des corps mous, et

égard a l’équation (a), on en déduit ^ = u dans

les deux cas; ce qui est la même valeur qu’avant Ie cboc, en vertu de cette equation (et). Par conséquent,nbsp;Ie cboc de deux spheres ne change rien au mouvement de leur centre de gravité.

Comme la vitesse de ce point est toujours la somme des quantités de mouvement des corps, divisée parnbsp;la somme de leurs masses, cela revient a dire quenbsp;dans Ie choc de deux corps sphériques, mous oünbsp;élastiques, la somme des quantités de mouvement

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;35

ne change pas, en ayant égard, dans cette somme, aux signes des vitesses.

Si la vitesse v' de m' est nulle, et que cette masse soit tres petite par rapport a m, la quantité de mouvement imprimée a m' et enlevée a m, sera, a trés pennbsp;prés, toV ou 2Tn'v, selon que ces corps seront dénuésnbsp;d élasticité ou parfaitement élastiques.

565. Jusqu a présent, on a assimilé la resistance des fluides a une suite de chocs du mobile contre lesnbsp;molécules du milieu qu’il travei'se j quoique, selonnbsp;moi, la théorie de Ia resistance fondée sür cette con-sidératlon doive être abandonnée, il est bon, cepen-dant, de l’expliquer ici en peu de mots.

Supposons que Ie mobile soit un cylindre droit qui se meut dans Ie sens de sa longueur. Soit cdnbsp;l’aire de sa base, perpendiculaire a cette dimensionnbsp;et a la direction du mouvement; soient aussi m lanbsp;masse du mobile, et p la densité du fluide, liquidenbsp;OU aériforme, dans lequel il se meut. Au bout dunbsp;temps j5, appelons v sa vitesse, et oc la distance de sanbsp;base antérieiire a un point fixe, pris sur la perpendiculaire a ce plan, de sorte qu'on ait dx=.vdt. Dansnbsp;l’instant dt, cette base parcourra l’espace dx; Ie mobile frappera done tous les points matériels du fluide,nbsp;compris dans une tranche dont la base est cd, la hauteur dx, et la masse fcodx. Or, on considère tous cesnbsp;points comme isolés et n’ayant aucune action sur Ienbsp;fluide environnant; et, dans cette hypothese, onnbsp;prend pour la diminution de la quantité de mouvement éprouvée par Ie mobile pendant eet instant dt,nbsp;Ie produit de sa vitesse c et de la masse frappée

3..

36 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

padx, OU Ie double de ce produit, selon que I on compare ce choc a celui des corps dénuës de toutenbsp;élasticité, ou qu’on l’assimile au choc des corpsnbsp;parfaitement élastiques. La première valeur vfcodxnbsp;est celle qui s écarté Ie moins de Texpérience ; ennbsp;l’adoptant done, et observant que mdv éprouve lanbsp;variation de la quantité de mouvement de la massenbsp;m, dans l’instant dt, nous aurons

vpoüdx;

et en mettant pour dx sa valeur vdt, et divisant par dt, 11 en résulte

dv

pagt;v^

pour la force motrice provenant de la resistance exercéq sur une surface plane, perpendiculaire a lanbsp;direction du mouvement.

Cette resistance est, comme on voit, proportion-nelle a la densité du fluide, a la surface sur laquelle elle s’exerce, et au carré de la vitesse du mobile.nbsp;En appelant h la hauteur due a cette vitesse, et gnbsp;la gravité, c’est-a-dire , en faisant e* = agh, sa valeur devient 2gpaih; en sorte qu elle est égale aunbsp;poids d’im eylindre du fluide qui aurait pour basenbsp;la surface perpendiculaire a la direction de la vitesse , et pour hauteur Ie double de celle dont unnbsp;corps pesant devrait tomber dans Ie vide, pour ac-quérir cette même vitesse.

Si la direction du mouvement n’est pas perpendiculaire a la surface plane qui éprouve la résis-

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;87

tance, on decompose la vitesse du mobile en deux autres, Tune perpendiculaire, et Fautre parallèle anbsp;ce plan; on suppose que la vitesse parallèle nenbsp;donne lieu qu’a un frottement dont on fait abstraction , et que la resistance proprement dite est lanbsp;même que si la vitesse normale existait seule : c’estnbsp;pourquoi Fon substitue cette composante a la vitesse V dans la valeur précédente de la re'sistance,nbsp;qui devient alors pwe* cos“ i; i étant Fangle quenbsp;fait la normale a la surface ®, avec la direction denbsp;la vitesse v.

366. En admettant ce résultat, et Fétendant aux élémens infiniment petits des surfaces courbes, onnbsp;en conclut, par Ie calcul integral, la resistancenbsp;éprouvée par un corps solide de forme quelconque.

Pour plus de simplicité, supposons qu’il s’agisse d’un solide de revolution, dont tous les points dé-crivent, avec la vitesse v, des parallèles a son axenbsp;de figure. Soient AB eet axe (fig.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et AMB sa

courbe génératrice; pi enons eet axe pour celui des abscisses; et appelons x et j Fabscisse CP et For-donnée PM d un point quelconque M de cette courbe.nbsp;Supposons que la plus grande section du solide , perpendiculaire a Faxe de figure, soit celle qui répondnbsp;au point C, origine des coordonnées, et que CD soit,nbsp;en consequence, la plus grande ordonnée de lanbsp;coiirbe AMB. Le mouvement ayant lieu de. B versnbsp;A, la portion de la surface qui éprouvera la resistance du milieu sera celle qui répond a la partienbsp;DMA de cette courbe. Soit cis Félément différen-tiel de cette courbe au point quelconque M ; on

TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

dj

ds pour Ie cosinus de Tangle que la normale en cenbsp;point, fait avec Taxe des jc, c’esl-a-dire, avec la direction du mouvement; et eet angle sera Ie mêmenbsp;dans toute Tétendue de la zone engendrée par dsnbsp;en tournant autour de AB, dont la surface est 2.7rjds.nbsp;Chacun des élémens plans de cette zone éprouveranbsp;done une resistance normale qui sei’a égale au pro-duit de eet élément , mulliplié par pu“ cos“ i. Ennbsp;décomposant cette force en deux autres. Tune perpendiculaire et Tautre parallèle a Taxe AB , il estnbsp;évident que les composantes perpendiculaires a ABnbsp;se détruiront deux a deux; d’ailleurs, chaque com-posante parallèle a AB aura pour valeur la résis-tance normale a la zone, multipliée par cos i; parnbsp;conséquent, Ia somme de ces composantes, pour lanbsp;zone entière, sera égale au pi’oduit de la surface

dyquot;^

•2.7rjds, de pe*cos/, et de cosi, ou a

d’après la valeur de cos i.

II suit de la qu’en appelant R la résistance totale épi’ouvée par Ie solide en sens contraire de son mouvement, et faisant CA = «, nous aurons

R = nbsp;nbsp;nbsp;(c)

pour la valeur de cette force motrice.

Si Ie mobile est une sphere, Ie point C sera sou centre, et a son rayon. En désignant par G Tangle

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;3g

MCA, on aura

= lt;2 sin 0, nbsp;nbsp;nbsp;= a cos 0c?8, ds=. ad^;

et il en rësultera

R == 27rp*a*y' ‘ cos^ 0 sin êd’G = i Trf a'v*;

ce qui montre que la resistance éprouvée par une sphere est la moitié de celle qui aurait lieu sur Ienbsp;cylindre circonscrit, dont 'Tfa* serait la base perpendiculaire a la direction du mouvement.

367. C’est a Newton qu’est du ce premier es-sai sur la resistance des fluides; et c’est lui qui a determine, Ie premier, Ie mouvement des corpsnbsp;soumis a une force dépendante de leur vitesse. Ennbsp;comparant Ie re'sultat de son calcul au temps observenbsp;de la chute d’une sphere qui tombe dans l’air, d’unenbsp;grande hauteur, il a reconnu qu’il faudrait, pour ac-corder l’un avec l’autre, rëduire a moitié la valeurnbsp;précédente de R.

D’après d au tres experiences, faites par Borda, cette valeur doit être seulement redui te aux trois cin-quièmes; ce qui donne

10

En appelant D la densité de la sphere, sa masse sera

45TDa^ nbsp;nbsp;nbsp;. 1,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;T • T»

—3—; et si 1 on divise R par cette masse, et qu on

appelle lt;p la force accélératrice qui en proviendra, on aura

TRAITÉ DE MÉCAWIQUE.

9fïl .

4oDa ’ ce qui est, efFectivement, l’expression de la resistancenbsp;que les auteurs de Baüstique ont adopte'e Ie plus gé-néralement, et que nous avons citée dans Ie n° 2t6.

En vertu de la formule (c), la determination du solide de revolution qui e'prouve la moindre re'sis-tance, consiste a trouver la courbe genërafrice de ce

so'lide pour laquelle Tintégrale J' nbsp;nbsp;nbsp;est un mi

nimum; problème qu’on résoudra sans difficulté par les regies du calcul des variations, et dont New^ton anbsp;donne' la solution avant que d’autres gëomètres senbsp;fussent occupés de ce genre de questions, mais sansnbsp;indiquer la méthode qu’il a suivie pour y parvenir.

Cette théorie de la résistance repose, comme on l’a vu, sur une comparaison vague de faction du fluidenbsp;au choc des corps, et sur la supposition inadmissible que, dans ce choc, les molécules du fluide agis-\ent isolément sur Ie mobile et nullement l’une surnbsp;l’autre. Elle est démentie par l’observation , quant anbsp;la grandeur absolue que Ie calcul donne a peu présnbsp;double de celle qui résulterait de l’expérience; ellenbsp;Test aussi par rapport a la loi de la résistance en fonc-tion de la vitesse, qui serait toujours proportionnellenbsp;au carré de la vitesse, suivant cette théorie, tandisnbsp;qu’il résulte du décroissement observe' des amplitudes, dans les trés petites oscillations du pendulenbsp;(nquot; 187), que cette force est seulement proportionnelle aux trés petites vitesses. La résistance qu’unnbsp;fluide, liquide ou aériforme, oppose au mouvement

14

DYNAMIQDE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;4ï

d’un corps solide, se compose d’un frottement contre la surface, et de Ia résultante des pressions que cenbsp;fluide exerce sur cette surface tout entière. Pour determiner convenablement cette seconde partie, quinbsp;est la resistance proprement dite, il faut considérer anbsp;la fois les mouvemens du corps et du fluide, commenbsp;je l’ai fait dans Ie mémoire déja cite (n° igi). Cettenbsp;force peut être différente dans Ie mouvement oscilla-toire et dans Ie mouvement progressif, dans les liquides et dans les gaz; et, dans ceux-ci, elle peut dé-pendre de leur temperature, et non pas seulement denbsp;leur densitéj ce qui serait important a verifier parnbsp;1’expérience.

TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

\%VVVª»'VVgt;W«VV\lV\VVV\W^lt;VVVVVVVVVVVVVVVVVWVVVVV»(WVVVliV\M/V\iVV\iVV\vV\'VVSVV\‘\(VVVVVWW

CHAPITRE 11.

DÉTERSniVATIOlV DES MOMEÏVS D’EVERTIE ET DES AXES PRIMCIPAUX.

368. Dans les chapitres suivans, nous considére-rons les differens cas du mouvement d’un corps solide. Pour former les equations de son mouvement, nous Ie diviserons en parties insensibles, mais denbsp;grandeur linie, comprenant néanmoins des nombresnbsp;immenses de molecules. Quoique ce corps soit forménbsp;de molecules disjointes, les sommes relatives a sesnbsp;parties insensibles pourront être changées, sans er-reur appreciable, en intégrales dëfinies, comme dansnbsp;Ie n° 98; et, dans tout ce qui va suivre, on pourranbsp;traiter les parties dont il s’agit comme des infinimentnbsp;petits.

Les inte'grales définles que les equations du mouvement renfermeront seront au nombre de neuf, savoir :

ƒ xdm, fjdm, fzdm, fxydm, ƒ zxdm, fjzdm,nbsp;f z’-dm, fj^dm, ƒ x'dm ;

drn étant Télément différenliel de la masse, qui ré-pond aux trois coordonnées rectangulaires x, j, z, et les intégrales s etendant a la masse entière du mobile, c[ue nous désignerous par M.

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;43

•Les trols premières dependent de la position du centre de gravité ; et si Ton appelle , jy,, z,, sesnbsp;trois coordonnées, on aura (n°gi)

focdm — Mx,, ff dm = nbsp;nbsp;nbsp;,, fzdm = Mz, j

en sorte que chacune de ces intégrales sera nulle , lorsqu’on prendra ce point pour l’origine des coordonnées.

Quelle que soit cetle origine, on prouvera plus loin qu’on peut toujours determiner la direction desnbsp;trois axès de manièi’e qu’on ait

fff dm = o, ƒzxdm = o, ffzdm — o.

Les trois axes rectangulaires des x, f, 'z, qui font ainsi disparaitre ces trois intégrales, s’appellent desnbsp;axes principaux.

Quant aux trois dernières des neuf intégrales, on les expriraera au moyen de trois autres que nous re-présenterons par A, B, C, et qui seront

h.~f[f*-\-z’^)dm, d’oü Ton tire

2. fz^dm = nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;C,

2 ff'quot; dm = nbsp;nbsp;nbsp;Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Anbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;B,

2 ƒ x'dm = nbsp;nbsp;nbsp;Bnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Cnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;A.

On appelle, en général, nbsp;nbsp;nbsp;momentnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d'inertie d’un corps

par rapport a une droite quelconque, la somme des élémens de sa masse, multipliés par les carrés denbsp;leurs distances a cette droite. Ainsi, A, B, C, serontnbsp;les momens d’inertie du mobile par rapport aux axes

44 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DÉ MÉCANIQUE.

des -TC , J, z; car, par exemple, jr* est Ie carré de la distance de dm a i’axe des x. Lorsque ces di'oitesnbsp;seront des axes principaux, nous appellerons A ,nbsp;B, C, des momens d’inertie principaux.

Le centre de gravité et les axes principaux ont l’avantage de simplifier les equations du mouvement,nbsp;en faisant disparaitre une partie de leurs termes,nbsp;quand on les prend pour origine et pour axes desnbsp;coordonnées; ils jouissent, en outre, de propriétésnbsp;trés importantes dans la Dynamique, ainsi qu’on lenbsp;verra par la suite.

56g. La determination des momens d’inertie est un problème de calcul integral, que l’on résoudranbsp;toujoiirs exactement ou par la méthode des quadratures.

L’exemple le plus simple est le calcul du moment d’inertie d’un paraliélépipède rectangle et homogene,nbsp;par rapport a Tune de ses arètes. Prenons trois de sesnbsp;arètes adjacentes pour axes des x, j, z, et désignonsnbsp;par a, b, c, leurs longueurs; puis divisons chacuue denbsp;ces trois droites en une infinite de parties infinimentnbsp;petites. En menant par tous les points de division, desnbsp;plans parallèles aux faces du paraliélépipède, on auranbsp;trois séries de plans qui le ’ partageront en élémensnbsp;infiniment petits dans leurs trois dimensions. Le volume de rélément qui répond aux trois coordonnéesnbsp;X, j, z, sera évidemment dxdfdz-, on aura donenbsp;pour sa masse

dm = ^dx dj dz ]

fgt; étant ia densité du paraliélépipède, que Ton sup-

DYNAMIQUE, SECONDE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;45

pose constante. Par conséquent, Ie moment d’inertie C, par rapport a Tarète qu’on a prise pour axe des z,nbsp;et dont la longueur est c, sera

^ nbsp;nbsp;nbsp;-^r f)dx dj dz.

On étendra cette intégrale triple a tous les élé-niens du parallélépipède donné, en intégrant, dans un ordre quelconque, depuis a: = o,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z = o,

jusqu’a X — a, f = b, z~c; ce qui donne , sans aucune difficulté,

^ nbsp;nbsp;nbsp;fa'hc , ab'^c\

c = p{-r -tJ’

OU, ce qui est la même chose,

C = -i M (ö“ -H b‘);

M étant la masse du corps, de sorte qu’on ait M = pabc. •

On aura de même

B = AM(c*H-a*), A = § M c‘) ,

pour les momens d’inertie du même corps, par rapport aux arètes dont les longueurs sont b et a.

5jo, Pour second exemple, calculons Ie moment d’inertie d’un ellipsoïde homogene par rapport anbsp;Pun de ses trois axes de figure.

Ij’équation de sa surface sera

b^ '

en désignant par 2a, 2b, 2c, les longueurs de ses

46 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

trois diatnètres principaux, qtie l’on prend pour axes des x, j, z. Son moment d’inertie, par rapport a l’axe des z, sera exprimé par la même integrale triple que dans Ie problème precedent; lanbsp;constante p e'tant toujours la densite' du corps. Pournbsp;obtenir cette integrale triple, qui doit étre e'tenduenbsp;a la masse entière de l’ellipsoïde , j’intégreral d’a-bord par rapport a z, en regardant x et j commenbsp;des constantes; ensuite, par rapport a en continuant de regarder x comme constante, et, enfin,nbsp;par rapport a x. On peut sulvre l’ordre qu’on ventnbsp;dans ces trois inte'grations successives; celui que jenbsp;choisis revient a concevoir lellipsoïde partagé ennbsp;une infinite de tranches elliptiques, parallèles aunbsp;plan des et z; chaque tranche partage'e de même ennbsp;une infinite de parallélépipèdes parallèles a l’axe desnbsp;z, et terminés a la surface; et chaque paralléle'pipèdenbsp;en élémens infiniment petits dans leurs trois dimensions. Les limitcs de Tinte'grale relative a z seront lesnbsp;deux valeurs de cette variable qui sont données parnbsp;l’équation (a); cette intégv’ale definie exprimera, ennbsp;fonction de a? et , Ie moment d’inertie de l’unnbsp;quelconque des parallélépipèdes. L’intégrale relativenbsp;aj- aura pour limites les deux valeurs de cette variable, qui i'épondent a la même valeur de x, dansnbsp;l’équation de la section de l’ellipsoïde par Ie plannbsp;des X elle exprimera Ie moment d’inertie de lanbsp;tranche parallèle au plan des j gX. z, qui se trouve anbsp;la distance x de ce plan. Enfin, l’intégrale relative anbsp;X sera prise depuis x=— a jusqu’a x^a, et ellenbsp;exprimera Ie moment d’inertie de lellipsoïde entier.

47

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTJE.

En integrant par rapport a z, il vient

(.r* ^*) 2 doe dj constante.

Les deux limltes données par l’e'quation («) sont

== ± c y/i

l’intégrale définie sera done

2pcx‘^ i—f—^,dxdj-{-2fcj^^ j~f—~dxdj. Si Ton fait, pour abréger,

6- - ^ =

l’intégrale relative a ^ de la première partie de la formule précédente, deviendra

L’équation de la section de 1’elHpsoïde par Ie plan des a: et jr, savoir :nbsp;donne y = ^ v pour les deux limites de 1 integralenbsp;relative aj; et, comme on a

flr

il en résulte, en remettant pour r* sa valeur,

2pcx'dx f ^^

48 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCAWIQÜE.

Em integrant par rapport a x depuis x — — a jus-qu’a X = «, on aura done

2pC

sans nonveaux calculs, et par de simples changemens de lettres, on aura de méme

/^71-fb^ac

—75“ ' par conséquent, Ie moment d’inertie C par rapportnbsp;a l’axe des z, qui est la somme de ces deux dernièresnbsp;intégrales, aura pour valeur

C = nbsp;nbsp;nbsp; b-).

On obtiendra de même les momens d’inertie B et A par rapport aux axes des j et des x. La massenbsp;de l’ellipsoïde e'tant M, on aura, d’après son volume (n“ 89)

^Tt^abc _

“3~ ’ et les trois momens d’inertie, par rapport aux diamè-tres 2a, 2b, 2C, seront

B = nbsp;nbsp;nbsp;C=fM(a» è*).

Ces diamètres sont les trois axes principaux du corps, qui se coupent a son centre de gravité; car ennbsp;les prenant pour axes des x z, les trois intégralesnbsp;ƒxjdm, f zxdm, fjzdm, étendues a I’eUlpsoide en-tier, sont zéro, puisque chacune d’elles se compose

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;49

d’élémens qui soiit, deux a'deux, égaux et de signe contraire.

On voit que parmi les trois quantités A, B, C , la plus grande et la plus petite sont celles qui répon-dent au plus petit et au’ plus grand des trois diamè-tres; ce qui est d’ailleurs évident, par la definitionnbsp;des momens d’inertie.

37 1. Dans Ie cas d’une sphere, on a a =z b= c; les trois momens d’inertie deviennent égaux entre eux ,

et sont exprimés par pa^. Si Ie rayon a augmentc

d’un intinirnent petit, et se change en a-\-da, I’ac-croissement correspondant de ce moment d’inertie de

la sphere, savoir, ~ pa^da, exprimera Ie moment

d’inertie de la couche sphérique, dont les rayons intérieur et extérieur sont a et a da. Malntenant,nbsp;supposons que la sphere ne soit pas homogene, malsnbsp;qu’elle soit seulement composée de couches concen-triques et homogènes, de manière qu’en appelant rnbsp;Ie rayon d’une couche quelconque, la densité p soitnbsp;une fonction donnée de r. Pour avoir Ie momentnbsp;d’inertie de la sphere entière, il faudra intégrer celui

de cette couche quelconque, savoir, fi^dr, par

rapport a r, et étendre l’intégrale au rayon entier de la sphere; done, en désignant ce rayon par c, onnbsp;auranbsp;pour Ie moment d’inertie demandé.

5o nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Si on Ie compare a celui d’une sphere homogene du même rajon, et dont la densilé soit égale a lanbsp;denslté moyenne de celle que Ton considère, il estnbsp;aisé de voir qu’il devra être, par la definition desnbsp;momens d’inertie, et qu’il sera effectivement, d’aprèsnbsp;son expression, plus grand ou plus petit, selon quenbsp;la densité f croitra ou décroitra continuellement dunbsp;centre a la surface.

572. Le calcul du moment d’inertie d’un corps ho-mogène, terminé par une surface de revolution, se réduit a une seule integration dépendante de la courbenbsp;génératrice, quand on le prend par rapport a l’axenbsp;de figure. On décomposera alors le solide en anneauxnbsp;circulaires, d’une épaisseur et d’une largeur infini-nient petites, dont chacun ait son centre dans l’axe ,nbsp;et soit compris, d’une part, entre deux plans perpen-diculaires a l’axe, et d’une autre part, entre deuxnbsp;surfaces cylindriques , dont cette droite sera l’axenbsp;commun. En appelant r le rayon de la surface inté-rieure ,r-\-dr celui de la surface extérieure, et dx lanbsp;distance des deux plans, le volume d’un anneau seranbsp;'^{r drfdx—’Trr'dx, ou •rrrrdrdx, en négligeantnbsp;le terme infiniment petit du troisième ordre. Sanbsp;masse sera done ntfrdrdx, en désignant par p lanbsp;densité du corps; et comme tous les points de eetnbsp;anneau sont a la même distance r de l’axe de figure,nbsp;le produit xTT^d^di'dx, de cette masse et de r’, expri-mera son moment d’inertie par rapport a eet axe.nbsp;Done si eet axe et la courbe génératrice sont lanbsp;droite AB et la ligne AMB (fig. i*^), et qu’on fasse

AP = X, PM —j,

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE, nbsp;nbsp;nbsp;5t

on aura Ie moment d’inertie de la tranche infiniment mince du solide de reVolution, pei’pendiculaire a ABnbsp;et correspondante au point P, en integrant njrpr^drdxnbsp;depuis r = o jusqvi’a r~j, ce qui donne ^yrpj^dx.nbsp;Done aussi, si l’on désigne par l la longueur de l’axenbsp;AB, et par Ie moment d’inertie du solide entier, onnbsp;obtiendra la valeur de fc en integrant cette difFéreri-tielle ï ’Tpjklx, depuis a? = o jusqu’a x=: Z, et 11 ennbsp;résultera

^ nbsp;nbsp;nbsp;^ /o

Si l’on désigne par a et ê des valeurs données de X, telles que I on ait a ^ etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;il suffira d’in-

tégrer depuis ar==ajusqu’a x:=ë, pour avoir Ie moment d’inertie de la tranche du solide comprisenbsp;entre les deux plans perpendiculalres a l’axe, dont atnbsp;et C sont les distances au point A. Si ce corps est unnbsp;solide creux, compris entre deux surfaces de revolution qui ont Ie même axe AB, on aura son momentnbsp;d’inertie, en regardant, ce corps comme la differencenbsp;de deux solides de revolution, dont on retranchera,nbsp;l’un de l’autre, les momens d’inertie relatifs a l’axenbsp;commun. Enfin, si l’on demandait Ie moment d’inertie d’une portion du solide de révolution, comprisenbsp;entre deux plans menés par l’axe de figure, il estnbsp;évident que ce moment, par rapport a eet axe, seraitnbsp;a celui du solide entier comme l’angle des deux plansnbsp;est a quatre angles droits.

375. En prenant la demi-circonférence d’un eerde pour la géuératrice AMB, et désignant Ie rayon par

4..

52 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

= 2ax — X*,

pour la valeur de qu’il faudra substituer dans la formule {h); et si l’on demande Ie moment d’inertienbsp;du segment sphérique dont la flèche est et, pris parnbsp;rapport au diamètre perpendiculaire a sa base, ilnbsp;faudra intégrer, dans cette formule, depuis x = onbsp;jusqu’a X = a; ce qui donne

I nbsp;nbsp;nbsp;, /4«“nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a’\

(t5gt;

Dans Ie cas de la sphere entière, on fera a = 2a , et il en résultera ft = —gt; comme précédemment.

Si la génératrice est une droite passant par Ie point A, et qui fasse, avec l’axe AB, un angle dont la tangente soit 0, on aura

7 = 0x.

Je substitue cette valeur dans Tequation (è), et j’in-tègre depuis x = a j usqu’a x = ^; il vient

ft = ^7r^04(€5 _ ^5).

Cette valeur sera celle du moment d’inertie d’un cóne tronqné, pris par rapport a son axe de figure.nbsp;En appelant a et b les rayons de ses deux bases,nbsp;et h sa bauleur, nous aurons

— a, ~ b, Q — a. ¦=. h',

et nous pourrons acrire la valeur de ft sous la forme

lt:=.-^ nbsp;nbsp;nbsp;[a^ -j- a?b -f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f- ab^ -f- b‘^').

DYNAMIQTJE, SECONDE PAllïlE. nbsp;nbsp;nbsp;53

Dans ]e cas d’un cóne entier, on fera b~o-, et M ëtant sa masse, on aura

M = 5 TTfha',

Quand Ie cóne ti’onqué se changera en un cjlindre, on fera b = a ; et la masse étant toujours M , ilnbsp;en résultera

M = 'Ttfha’quot;, jJL = ^ Ma“.

374. Connaissant Ie moment d’inertie d’un corps par rapport a un axe passant par Ie centre de gra-vité, on en conclut aisëment Ie moment d’iuertienbsp;du même corps, rapporté a tout autre axe paral-lèle au premier.

En effet, placons I’origine des coordonnees au centre de gravité, et prenons le premier axe pournbsp;celui des z. Soient a et ^ les coordonnees du pointnbsp;oil le second axe coupe le plan des x et j, auquelnbsp;ce second axe est aussi perpendiculaire. Désignonsnbsp;par a la distance du centre de gravité au secondnbsp;axe; par r la distance d’un élément quelconque dmnbsp;du corps au premier axe; par d la distance dunbsp;même point materiel au second axe. Le momentnbsp;d’inertie connu sera fr^dm, et celui qu’on demandenbsp;seranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ces integrales s’etendant a la masse en-

tiere du solide. Or, nous aurons

en niultipliant par dm, intégrant et observant que ac* = r‘, a” H- = a\

54 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

on aura done

fr'*din= fr^dm — '2afxdm — namp;fjdm -f- a’^fdni',

mais les intégrales fxdm et fjdm sont nulles, a cause que Ie centre de gravlté est sur l’axe des znbsp;(n® 368); de plus, fdni est la masse entière du corps,nbsp;que je représenterai par M; par conséquent, l’équa-tion précédente se réduit a

fr'^dm = fr^dm -f- Ma®.

Ainsi 1’on aura Ie moment d’inertie demandé, en ajoutant a celui qui est donné la masse du corps,nbsp;multipliée par Ie carré de la distance du centre denbsp;gravité au nouvel axe.

D’après cette régie, on aura immédiatement Ie moment d’inertie d’une sphere homogene ou com-posée de couches concentriques, par rapport a uunbsp;axe quelconque, puisque ce moment est connu parnbsp;rapport a tous les axes passant par Ie centre de figure, qui est aussi Ie centre de gravité.

Dans un corps quelconque, Ie moment d’iuertie par rapport a un axe passant par son centre de gravité, sera plus petit que par rapport a tout autrenbsp;axe parallèle a celui-la. Les momens d’inertie d’unnbsp;même corps seront égaux, par rapport a tous lesnbsp;axes parallèles eutre eux, et également éloignés dunbsp;centre de gravité : leur valeur commune augmentei’anbsp;a mesure qu’ils s’éloigneront de ce point.

Non-seulement Ie moment d’inertie d’un corps varie avec la position absolue de l’axe auquelnbsp;on ie rapporte, mais il change aussi avec la direction

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;55

de cette droite. Pour montrer comment cette direction influe sur la grandeur du moment d’inertie d’un corps quelconque, proposons-nous de trouver celuinbsp;de la masse M par rapport a un axe mené par l’ori-gine des coordonuées, et qui fasse avec les axes desnbsp;X, j, z, les trois angles donnés a, €, y.

Soient p la perpendiculaire abaissée de 1’élément dm sur Ie nouvel axe, D la distance de ce point materiel a l’origine des coordonnées, «T Tangle comprisnbsp;entre la ligne D et Ie nouvel axe. Les coordonnéesnbsp;de dm étant x, j, z, les cosinus des angles que faitnbsp;la direction de son rayon vécteur D avec les axes

de ces coordonnées, seront g, g, g ; par conséquent , on aura (n° g)

cos cf = ^ cos * ^ cos ^ nbsp;nbsp;nbsp;^ cos y.

D’ailleurs, on a

p = Dsincr, nbsp;nbsp;nbsp;— (D cos cT)®;

en substituant done pour D cos «T la formule précé-dente, multipliée par D, et mettant -j-y“-f-z* au lieu de D®, il en résultera

p® = X* sin® a -f-y* sin® ^ -f- z® sin® y — 2XJCOS X cos ë — 2XZ COS X COS y— 2yz cos S cos y;

d’ou Ton conclut

fp*dm ~ sm’^x.Jx*dm 4-sin®S./y’lt;^m-f-sin‘y./z*c?w

— nbsp;nbsp;nbsp;2COS X COS ^. ƒ xjdm — 2 cos x cos y. fxzdm

— nbsp;nbsp;nbsp;2 cos € cos y. fjzdm.

56 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCAWIQÜE.

Au moyen de cette formule, on aura done Ie moment d’inertie fp^dm, relatif a un axe de direction donnée, et passant par l’origine des coordonnées ,nbsp;quand on connaiti'a les six intégrales fx'dm, fj'dm,nbsp;fz*dm, fxjdm, fxzdm, jjzdm, étendues a la massenbsp;entière du corps, et relatives aux axes des coordonnées. Si ces trois droites sont des axes principaux,nbsp;les trois dernières intégrales seront nulles (n” 368),nbsp;et la formule précédente se réduira a

fp’‘dm = sin*ci .fx'dm -{- sln“ê .fy'^dm-^- sin®y .fz^din. Mais, en vertu de réquation

cos“ a -f- cos“ S -f- cos“ y = I, nous avons

sin® a = cosquot; C -|- cos®^gt; sin® € = cos® y -f- cos® a.,nbsp;sin® y = cos® a 4- cos® ^ ;

ce qui change la valeur de fp’‘dm en celle-ci :

f p’^dm = (fj^dm -f- f z^dm) cos® a,

C ƒ z^^dtn -f- fx’^dm) cos* é”,

{fx*dm -f- fj^dm) cos® y;

done en réunissant chaque couple d’intégrales en une scule, et désignant par A, B, C, comme dans Ienbsp;n® 368, les momens d’inertie par rapport aux axesnbsp;des X, j, z, nous aurons finalement

fp^dm = A cos® cc -h B cos® ê -f- C cos* y. (c)

Ainsi, il sufïira de connaitre les trois momens

DYNAMIQUE, SECONDE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;57

d’inertie relatifs aux trois axes principaux qui se coupent en un point donné, pour en conclure inimé-diatenient Ie moment d’inertie correspondant a unnbsp;axe quelconque, passant par ce point; et, en com-binant ce résultat avec celui du numéro précédent jnbsp;on voit que ie calcul de tous les momens d’inertienbsp;d’un mêrae corps se réduira a determiner les troisnbsp;momens d’inertie principaux qui répondent a sonnbsp;centre de gravité. Ajant calculé, par exemple (n° Syo),nbsp;les valeurs de ces trois momens d’inertie, dans !enbsp;cas de l’ellipsoïde homogene, nous pouvons regar-der comme connu Ie moment d’inertie de ce corps,nbsp;par rapport a un axe quelconque.

376. Le plus grand et Ie plus petit des trois momens d’inertie principaux A, B, C, qui entrent dans la formule (c), sont aussi le plus grand et le plus petit de tous les momens d’inertie du même corps, parnbsp;rapport aux axes passant par Forigine des coor-données.

Soit, en effet, A la plus grande des trois quantités A, B, C; en mettant i — cos* € — cos* gt; a la placenbsp;de cos* et dans l’équation (c), on aura

fp^dm = A — (A — B) cos*^ — (A — C) cos* y;

d’oü 1’on conclut que f p'dm est moindre que A, quels que .soient les angles Q et y. De méme, C étantnbsp;la plus petite des trois quantités A, B, C, si l’on metnbsp;1 equation (c) sous la forme

fp^dm = C -f- (A — C) cos* a (A — B) cos* C, on voit qu’on a constamrnent fp'^dm gt;• C.

58 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

Dans Ie cas particulier oü les trois quantités A, B, C , sont égales, on a aussi fp'dm = A, quelle quenbsp;soit la direction de l’axe auquel Ie moment d’inertienbsp;fp'dni est rapporté j done alors les momens d’inertienbsp;sont égaux par rapport a tous les axes passant parnbsp;l’origine des coordonnées. Ce cas est celui de lanbsp;sphere homogene ou composée de couches concen-triques, lorsque l’origine des coordonnées est placéenbsp;ii son centre; il a également lieu pour Ie cube, l’oc-taèdre régulier et d’autres corps homogènes, dont lesnbsp;trois momens d’inertie principaux ne peuvent différernbsp;entre eux, en placant toujours l’origine des coordonnées a leur centre de figure.

Si l’on a seulement A = B, l’équation (c) se ré-duira a

fp'dm -- A sin’ ^ -f- C cos® y ;

et cette valeur de fp^dm étant indépendante des angles a et ^, Ie moment d’inertie sera Ie mème par rapport a tous les axes menés par l’origine des coordonnées, qui font un même angle y avec l’axe des z.nbsp;Ce cas est celui d’un solide de revolution homogene,nbsp;quand cette droite est son axe de figure.

D’après ce qu’on a déja vu dans Ie n° 374 , nous pouvons dire, maintenant, que Ie plus petit de tousnbsp;les momens d’inertie qu’un raéme corps puisse avoir,nbsp;répond a l’un des trois axes principaux qui se coupentnbsp;a son centre de gravité. Ainsl, par exemple, Ie plusnbsp;petit de tous les momens d’inertie d’un ellipsoïdenbsp;* homogene, se rapporté au plus grand de ses troisnbsp;diamètres conjugués rectangulaires.

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE, nbsp;nbsp;nbsp;5g

377. Nous aliens'actuellemeut démontrer i’exis-tence des axes principaux que nous avons supposee jusqu’a présent, et determiner leur direction pournbsp;chaque point d’un corps de forme quelconque; mais,nbsp;pour cela, il est nécessaire de rappeler les forrnul-esnbsp;générales de la transformation des coordonnées,nbsp;dont nous aurons besoin, d’ailleurs, dans d’autresnbsp;occasions.

Soient x, j', z, les trois coordonnées d’un point quelconque M, rapportées aux axes rectangulairesnbsp;Ox, Ojr, O2 (fig. 2). Désignons parnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^, les

coordonnées du même point, ajant la méme origine, et rapportées aux trois axes Ox^, 0/,, Oz^, qui sontnbsp;aussi perpendiculaires entre eux! Du point M, abais-sons des perpendiculaires MP et MK sur l’axe Ox etnbsp;sur Ie plan desnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, et du point K, une perpen

diculaire KH sur l’axe Ox^; en sorte qu’on ait

0P = jc, 0H = ^,, KH=jr,, MK = z^.

La projection sur l’axe Ox, dé la ligne brisée MKHO, sera OP; les projections de ses parties OH; KH, MK,nbsp;seront égales a ces droites, multipliées par les cosinusnbsp;des angles que les axes des x^,j^, font avec l’axenbsp;Ox; en en faisant la somme, on aura done

x — x^ cos xOx^ nbsp;nbsp;nbsp;cos a^O^, z, cos xOz^.

La figure suppose ces trois angles aigus, et les trois coordonnées x^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, positives; auquel cas leurs

projections tombent sur la direction même de O2:, et doivent s’ajouter en grandeur absolue; mais il estnbsp;facile de s’assurer que cette équation subsistera dans

6o nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE,

tous les cas, en ajant égard aui signes des coordoa-nées , nbsp;nbsp;nbsp;z^, des cosinus, et de 1’abscisse x. Par

exemple, ou verra aisénient que si l’abscisse x^ est negative, et Tangle xOx^ aigu, ou bien, si cette abs-cisse est positive, et eet angle obtus, la projection denbsp;OH tombera sur Ie prolongement de Ox, et la va-leur absolue de cette projection devra étre relran-chée ; et Ton verra, au contraire, qu’elle devra étrenbsp;ajoutée, quand cette abscisse x^ sera negative,'etnbsp;qu’en même temps Tangle xOx^ sera obtus; ce quinbsp;s’acGorde, dans les deux cas, avec Ie sigue du produitnbsp;x^ cos xOx^

On verra de même que les projections de la ligne brisée MKHO sur les axes Oj et Oz, ou sur ieursnbsp;prolongemens, sont toujours égales a j et z. Celanbsp;étant, si nous faisons

cos xOx^ — a, cos xOj-^ = l?, cos xOz^ = c , cos ƒ0x^:nbsp;cos zOx,-.

)

a'x,-h by^^- c'z^, [ nbsp;nbsp;nbsp;(i)

z = aquot;x^-\- ê'y,-j- cquot;z,. '

Ces neufs cosinus a, b, etc., sont lies entre eux par six equations, sa voir :

a* 4- nbsp;nbsp;nbsp; nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;o!'* = I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;aby- a'b' a!'b'' = o,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)

b^ b'^ nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ac -y a'c' a!'d' = o,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(2)

d‘ 4- nbsp;nbsp;nbsp;4.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cquot;* = I,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;be b'c' 4- bquot;c'' = 0.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;)

La première, par excmple, resulte de ce que a,

DYNAMIQIIE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;6i

a', sout les cosinus des angles que fait une niême droite avec les trois axes rectangulaires Ojc , Ojquot;,nbsp;Oz; et la quatrième, de ce que cette droite Oa;^ et lanbsp;ligne , a laquelle répondent les cosinus h, h', bquot;,nbsp;sont perpendiculaires Tune a l’autre. On obtient aussinbsp;ces six equations en substituant les valeurs de x,nbsp;J, z, dans l’équation

jr/ -f- z/,

dont les deux membres sont Ie carré de OM, et qui doit étre identique.

En ayant égard aux équations (2), les équations(i j donnent, réciproquement,

(3)

4- è'*4-c'*=i, ad'-\-bhquot;-\-ccquot; =. o, gt; (4) 4” bquot;’^~ \,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;a'd'-{-b'bquot;-\-c'cquot;r=. o. )

La comparaison de ces formules avec celles du n° 277 montre clairement l’analogie qui existe entrenbsp;les projections des lignes droites et celles des surfacesnbsp;planes, d’oü résulte ridentité de la composition desnbsp;forces représentées par des portions de droites, avecnbsp;la composition des momens reprcsentés par des airesnbsp;planes.

578. Dans la transformation des coordonnées, on devradoncconsidérer six des neufcoefficiens a, etc.,nbsp;comme des fonctlons des trois autres, déterraluées

62 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

soit par les equations (2) , soit par les e'qualions (4) ; mais il vaudra mieux exprimer ces neuf coefficiens,nbsp;au mojen de trois nouvelles quantités , par des formules qui satisferont aux e'quations (2) ou (4)-Pourcela, supposons que la droite NON' ( fig. 5)nbsp;soit l’intersection du plan des et avec Ie plannbsp;des X et et faisons

NOa? = •xj' gt; nbsp;nbsp;nbsp;= lt;p , ZOz^ = ö t

ces trois angles q/ , (p, 6 , détermineront, sans ambiguité, la position des axes des x^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^, par

rapport a ceux des x, y, z, pourvu que l’on con-vienne préalablement du sens dans lequel ces angles seronl compte's. Pour plus de commodité, je sup-poserai que Ie plan des x et j solt horizontal, et que l’axe vertical des z positives soit dirigé dans Ie sensnbsp;de la pesanteur.

L’angle 0 s’étendra depuis zéro jusqu’a 180°; selon qu’il sera aigu ou obtus, l’axe Oz, sera situé au-des-sous ou au-dessus du plan des x et j pour 0 = o ,nbsp;Oz^ coïncidera avec Oz, et pour 0 == i8o°, Oz^ tom-¦ bera sur Ie prolongement de Oz.

Dans Ie mouvement d’un corps solide autour du point 0 , les axes Ox^, Oj,, Oz^, seront des droltesnbsp;fixes dans son intérieur et mobiles avec lui, et lesnbsp;axes Ox, Of, Oz, seront des droites fixes dans l’es-pace. 11 pourra alors arriver que les angles 4 et lt;pnbsp;soient positifs ou negatifs, et qu ils conaprennent unenbsp;OU plusieurs clrconférences; mais, a un instant quel-conque, on aura toujours

4 = SriTT -f- M , lt;p = 2Z77 -f- V ,

DYNAMTQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;63

en désignant par n et i des iiombres en tiers, positlfs OU négalifs, ou zéro, et par u v des variables positives et raoindres que 27r. Or, Tangle u sera compté,nbsp;a partir de la droite Ojc , dans Ie sens indiqué par lanbsp;flèche s; de sorte que, par example, la droite ONnbsp;coïncidera avec Osc pour u = o , avec Ie prolonge-ment de Oj- pour u = go°, avec celui de Ox pournbsp;u = 180', et avec Oj- pour u = 270“. L’angle n seranbsp;compté, a partir de ON, au-dessus du plan des xnbsp;et jquot;, de manière que Taxe Ox^ se trouvera au-dessusnbsp;de ce plan, quand v sera moindre que 180“, et au-dessous quand eet angle surpassera 180°. Pour v — o,nbsp;Taxe Ox^ coïncidera avec Ia droite ON, et pournbsp;180“, avec Ie prolongement ON' de ON. Dansnbsp;tous les cas. Tangle 0, aigu ou obtus, sera Tanglenbsp;dièdre dont Tarète est ON, et dont les faces sont lesnbsp;angles NOx et NOx,, réduits a leurs parties u et v. Lanbsp;figure suppose que les trois angles w, v, 0, soientaigus.

Cela posé, lorsque Tangle -vjy sera donné, on portera sa partie u sur Ie plan horizontal, a partir de Taxe Ox, et dans Ie sens de la flèche s ; ce qui déter-minera la position de la droite ON. L’angle (p étantnbsp;aussi donné, on portera d’abord sa partie v sur Ienbsp;plan horizontal, a partir de la droite ON , et dans Ienbsp;sens de la flèche s', c’est-a-dire, en sens contraire denbsp;•y; ensuite, on fera tourner Ie plan de Tangle (p auteur de ON, de manière que la partie de lt;p adjacentenbsp;a ON s’élève au-dessus du plan horizontal. Quand cenbsp;plan auradécrit Tangle donné 0, Tautre cóté de Tanglenbsp;(p sera la véritable position de Taxe Ox^, au-dessus ounbsp;au-dessous du plan horizontal, suivant qu’on aura

64 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

V 180° OU iSo°. En augmentant, dans son plan. Tangle u de 90®, on aura la position de Taxe 0/^;nbsp;et après avoir meué uue perpendiculaire a ce plan,nbsp;on prendra pour la partie de cette droite , comprise au-dessous ou jju-dessus du plan horizontal, se-lon que Tangle 0 sera aigu ou obtus.

Les trois axes , Of^, Oz^, étant ainsi complè-tement determines par rapport aux axes Ox, Oj, Oz, au moyen des angles lt;P» 9gt; ü biut que les neuf cosinus a, h, etc., soient des functions de ces trois angles; et, en effet, en leur donnant les directionsnbsp;qu’on vient d’expliquer, on a

cos 9 sin -vj./ sin (p nbsp;nbsp;nbsp;cos -xl- cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

b = nbsp;nbsp;nbsp;cos 0 sin 4 cos lt;pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos 4 sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

c = nbsp;nbsp;nbsp;sin 0 sin 4 j

a' = nbsp;nbsp;nbsp;cos 0 cos 4 sin (pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;sin 4 cosnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ipnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

b' = nbsp;nbsp;nbsp;cos 0 cos 4 cos (pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;-f-nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;sin 4 sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(pnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

c' = nbsp;nbsp;nbsp;sin 0 cos 4 t

aquot;z=. — sin 0 sin (p,

b'' = — sin 0 cos lt;p, cquot; =z cos 0.

On vérilie aisément que ces valeurs de lt;2, etc. , rendent identiques les equations (5) et (4), et qu’ilnbsp;n’en résulte aucune relation entre les angles 4 , lt;p, 0.

^79' Q'Joique ces formules ^5) soient générale-ment connues, il ne sera pas inutile d’iudlquer la manière suivante d’y parvenir.

On salt que ct, C, y, etant les trois angles d’un triangle sphérique quelconque, et A Tangle oppose

65

BYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. au cóté a, on a

cos a = cos A sin € sin y -f* cos S cos y.

Oi’, si nous imaginons une sphere décrite du point O comme centre, et dun rajon quelconque, nousnbsp;aurons d’abord sur cette surface un triangle formenbsp;par les trois arcs qui répondent aux angles NOx,nbsp;NOa?,, a?Oj?^,dans lequel Tangle oppose au derniernbsp;cote' sera égal a 6; done, a cause de NOx = ^ etnbsp;NOx^ = (p, on aura

cosxOx^ = fl = cos Asia -v]/ sin (p-|quot; cos -x], cos lt;p.

Cette equation ayant lieu pour des valeurs quelcon-ques de et -4, on peut supposer que lt;p devienne ^ go*; alors, Taxe Ox, prendra la place de O/,,nbsp;Tangle xOx, deviendra xO/,, et Ton aura

cos xOj', = b = cos 6 sin -vl, cos lt;p — cos -vf/ sin lt;p.

De même, en mettant -x}. go° a la place de -x},, dans Tequation pre'cedente, Taxe Ox se changera dansnbsp;laxe Oy, et Tangle xOx^ deviendra j'Ox,; de sortenbsp;que Ton aura

cos j'Ox, = a'=: cos 0 cos 4 sin (p — sin gt;x|, cos lt;p.

Et si Ton met a la fois dans cette equation précédente 4 4- 90“ et (p 90° au lieu de 4 et ip , Tangle xOx,nbsp;sera remplace par Tangle , et il en resultera

cos nbsp;nbsp;nbsp;=; 6' = cos 6 cos 4 COS (p 4quot; sln 4 sin (p.

Considerons de même le triangle spherique dont les trois cotes répondent aux angles NOx, NO^,,nbsp;2.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;5

66 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

xOz,. L’angle oppose au dernier cóté est go°— öj de plus, on a lN0x = '4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;= 90°. En faisant

A = 90° — C = nbsp;nbsp;nbsp;, y = 90°? öt=xOz^, l’équation

générale se réduira done a

cos a:Oz^ = c = sin G sin n]/ ;

d’oü l’on conclut aussi

cos jOz^ =c = sin 6 cos -vj/,

en mettant 4 90“ a la place de 41 ce qui change 1’axe Ox dans Oj, et l’angle xOz, dans l’angle J'Oz^.

Enfin, dans Ie triangle sphérique dont les cótés répondent aux angles NOz,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, zOx^, Tangle op-

posé au dernier cóté est égal a 0 go°, et Ton a NOz = go® et NO,r^= lt;p. Si done on fait A=90° 0,nbsp;^ = 90”, y = (p, a. = zOXj, dans Téquation générale , on aura

cos zOx^ = aquot; = — sin 0 sin (p.

En mettant cp go® a la place de (p, dans ce résultat, Taxe Ox^ se changera en Oj*/» et Tangle zOx^ ennbsp;conséquent, nous aurons aussi

cos zO^quot;, = hquot; = — sin 6 cos lt;p.

Quant au neuvième cosinus cquot;, on a cquot; = cos zOz^ =: cos 0.

38o. Supposons maintenant que les axes des coor-données x^, Zj, soient les axes principaux qui se coupent au point 0; d’après leur définition (n® 568),nbsp;on aura

DYNAMIQUE, SECONDE PARÏIE. nbsp;nbsp;nbsp;67

focj^dm — o, fz^x/imz=o, fj;z^dm~0', {a)

et il s’agira de prouver que ces trois equations don-nent toujours pour les angles lt;p, -v}^, 6, des valeurs réelles.

En taisant, pour abréger,

X = cos 4' —Jquot; sin 4 ,

Y =jc cos 0 sin 4quot; T ® nbsp;nbsp;nbsp;4 — ^ ^in 0,

et substituant les formules (5) dans les equations (5), nous aurons

x^=:Y sin X cos (p, j, = Y cos lt;p — X sin ^ ,

Zi = x sin 0 sin 4^ sin 0 cos 4 z cos 0.

Au moyen de ces valeurs, la première equation (a) prend la forme

sin 2(pf (X* — Y^) dm = 2 cos 2lt;pflLYdm, nbsp;nbsp;nbsp;(b)

et les deux dernières deviennent

cos (pfYzjdin — sin (p fX.zjdm = o, sinnbsp;nbsp;nbsp;nbsp; coslt;pƒXz,^/n^ = o.

En ajoutant ces dernières equations après les avoir multipliées par cos lt;p et sin (p, ou par — sin (p etnbsp;cos(p, elles seront remplacées par celles-ci :

fYz^dm = o , fY^zfim = o,

qui ne contiennent plus Tangle lt;p. J’y mets pour X, Y, z^, leurs valeurs, et je fais

5..

68 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

fx'^dm=^f, j'j^dm = g, fz*dm=^h, fjzdm = ƒ', fzxdm = g', fxjdm == ;

ces six intëgrales s’ëtendant a la masse entière du corps que Ton considère. li en résulte

(ƒsin*4 2^' sin 4 cos 4 S' cos*4 — sin ö cos 0

(g' sin 4 ~\~f' cos 4) (cos* 0 — sin* 0) = o,

[i^' (cos® 4 — sin* 4) quot;iquot; (ƒ — êquot;) ®in 4 nbsp;nbsp;nbsp;^i“ ^

{g cos 4 — f' sin 4) cos 0 = 0.

Or, si nous faisons

tang4 = ^^, sin 4= nbsp;nbsp;nbsp;quot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;cos4=^^,

1/ I K nbsp;nbsp;nbsp;y i u^

la seconde de ces deux equations donnera

tane 0 = nbsp;nbsp;nbsp;' (o

8 nbsp;nbsp;nbsp;h'{l— K“) (ƒ — g)u’ ^ ^

et la première prendra la forme

[(ƒ — nbsp;nbsp;nbsp; 2^'m g — K\

f — (g'“ ƒ') tang* 0.

En y mettant pour tang 0 sa valeur, elle devient [(ƒ—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;gnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;g)

son premier membre est la même chose que

par conséquent, on aura finalement

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE.

(§•'« ƒ') {f'v. — g'Y = o. nbsp;nbsp;nbsp;{d)

Ainsi, les equations (a) sont remplacées par lea equations (b), (c), (d). Or, cette dernière ëtant dunbsp;troisième degré, elle aura au moins une racinenbsp;réelle; on aura done une valeur réelle de u ounbsp;tang 6, a laquelle répondront un angle -xj, moindranbsp;que 7 TT, et un autre égal au premier augmenté denbsp;qui appartiendront aux deux parties ON et ON' danbsp;l’intersection du plan inconnu des x^ et , 'avec Ie

plan donné des x et A cause du radical 1’équation (c) donnera ensuite deux valeurs de tangöynbsp;égales et de signe contraire, qui appartiendront anbsp;un angle aigu et a son supplément, et, conséquem-ment, a l’axe Oz, et a son prolongement. Enfin, onnbsp;tirera de l’équation (b) une valeur réelle de lang 2lt;Pj(nbsp;a laquelle répondront deux valeurs de lt;p, dont 1’unanbsp;sera moindre que et 1’autre égale a la premièrQnbsp;augmentée de jTT. La première étant prise pouiqnbsp;la valeur de i’angle NOx^ la seconde sera celle denbsp;Tangle NOj'^; et, en efFet, tout étant semblable parnbsp;rapport aux deux axes et Oy^, ils devaient êtrenbsp;déterrainés par une même equation.

On voit de méme que les trois racines de Téqua-^ tion (d) devront être réelles, et qu’elles représente-ront les tangentes des angles compris entre Taxenbsp;et les trois droites suivant lesquelles les plans desnbsp;coordonnées x^ Zj, viennent couper Ie plan desnbsp;X et y; car ces trois tangentes doivent être donnéesnbsp;par une même équatiou, puisqu’on ue saurait expri»

,0 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

mer, dans Ie calcul, aucune difference entre les trois

axes principaux dont on cherche la position.

Nous conclurons done de cette analyse qu’il existe toujours trois axes principaux reclangulaires qui senbsp;coupent en un point donné O , et qu’en general cenbsp;système d’axes principaux est unique. Pour qu’ilnbsp;en existat plusieurs, il faudrait que l’équation {d) futnbsp;d’un degré supérieur au troisième, et qu’elle eut troisnbsp;fois autant de racines réelles qu’il y aurait de cesnbsp;systèmes; mais, dans certains cas, les equations dontnbsp;dependent les valeurs de , ö , lt;p, deviennent iden-tiques, et alors les axes principaux sont en nombrenbsp;infini. Nous pourrions determiner ces cas particuliersnbsp;par l’examen des equations dont il s’agit; mais onnbsp;y parviendra plus facilement par les considerationsnbsp;suivantes.

38i. D’api’ès les formules (i) et les equations(a), qui caractérisent les axes principauxnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;Oz^,

on a évidemment

Jxjdm = aa'fjc*dm bb'fj^dm edfz^dm^ fzoedm = ad'foci'dm -f- hV'fji^dm cd'fz'drn,nbsp;fjzdm x^dd'fx/'dm h'V'fj^dm -f- dd'fz^dm.

Or, si les trois intégrales fx^dm, fj;dm, fz^dm, sont égales, ces valeurs de fxjdm, fzxdin, fjzdm,nbsp;se réduisent a zéro, en vertu des trois dernièresnbsp;equations (4); par conséquent, dans ce cas, lesnbsp;droites Ox, Oj, Oz, forment un second systèmenbsp;d’axes principaux; et comme leur direction restenbsp;absolument indéterminée par rapport aux axes

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;71

, Oz^, il s’ensuit que tous les sjstèmes d’axes rectangulaires qu’on peut mener par Ie point O, sontnbsp;des axes principaux. Ce cas est celui oü les troisnbsp;moraens d’inertie principaux sont e'gaux ; car, de cenbsp;qu’ou suppose

fx^dm = fj*dm = fz*dm , il en résulte

ƒ nbsp;nbsp;nbsp;J/) dm = ƒnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z;) dm—f{y-^ z;) dm.

Si deux seulemeiit des trois momens d’inertie principaux sont égaux, par exemple, ceux qui senbsp;rapportent aux axes Ox^ et , de manière qu’onnbsp;ait

/(J/ 2/) dm = ƒ (x/ z/) dm,

il existera encore un nombre infini de sjstèmes d’axes principaux, qui auront tous un axe commun,nbsp;savoir, 1’axe Oz^. En effet, dans ce cas, les deux inté-grales fj^dm et fx'dm seront égales 5 et, en vertunbsp;des dernières equations (4), les valeurs de fxydm^nbsp;fzxdm, fyzdm, pourront se mettre sous la forme :

ƒ xjdm = cc' (ƒ z^dm — ƒ x‘dm), f zxdm = ccquot; {f z^dm — ƒ x^dm),nbsp;f yzdm ~ c'cquot;{f z^dm — fxj‘dm).

Or, si l’on fait coïncider l’axe Oz avec l’axe principal Oz^, les angles xOz^ et yOz^ seront droits; on auranbsp;done c = o et c' = o, et, par conséquent,

ƒ xydm = o , ƒ zxdm = o , fyzdm = o.

TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

DonC, dans ce cas, tout sjstème fornié de l’axe et de deux autres axes rectangulaires, menés arbi-trairement par Ie point 0 dans Ie plannbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, sera

un système d’axes principaux.

Enfin, lorsque les trois momens d’inertie pi’inci-paux sont inégaux, on peut être certain qu’il n’existe qu un seul système d’axes principaux j car, soit A Ienbsp;plus grand de ces trois momens inégaux; supposons,nbsp;pour un moment, qu’il existe un second systèmenbsp;d’axes principaux, el désignons par A' Ie plus grandnbsp;des trois momens qui s’y rapportent : il faudrait,nbsp;d’après Ie théorème du nquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;qu’on eut a Ia fois

A gt;• A' et A' gt;• A ; ce qui est impossible, et rend inadmissible la supposition d’un second système d’axesnbsp;principaux.

382. Les points d’un corps, quand il en existe, pour lesquels les trois momens d’inertie principaux,nbsp;et, par conséquent, tous les momens d’inertie, sontnbsp;égaux, jouissent, comme on Ie verra par la suite,nbsp;d’une propriété remarquable, relatlvement a la rotation de ce corps. II est done utile de les déterminer;nbsp;et volei comment on y parvient.

Supposons que l’origlne des coordonnées x, j ^ z, soit placée au centre de gravité du mobile, et quenbsp;ces coordonnées soient rapportées aux trois axesnbsp;principaux qui se coupent en ce point; désignonsnbsp;par A, B, C, les momens d’inertie relatifs a ces axesnbsp;des x,j-,z; nous atirons (n“ 368)

y xd/n = o, ƒ fdm = o , fzdin = o, y fzdin = o , y zxdm = o , fxydm = o ,

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;-j3

toutes ces intégrales s’étendant a la masse entière du mobile.

Soient a, C, y, les coordonttées inconnues d’un des points demandës, rapportées aux axes des oc ,jr,nbsp;z, de sorte qu’on ait, pour ce point particulier, oc—x,nbsp;jr = C, z — y. Transportons-J l’origine des coor-données, sans changer la direction des axes; les coor-donnëes de l’élément dm deviendront x—nbsp;z — y. Mais si l’on veut que les momens d’inertie re-latifs a toutes les droites qui passent par cette nouvelle origine soient égaux, il faut que toutes cesnbsp;droites soient des axes principaux, puisque , d’aprèsnbsp;Ie numéro précédent, l’une de ces conditions est unenbsp;suite nécessaire de l’autre. Les axes des coordonnéesnbsp;X—ct,j— ^,2 — y^ étant done des axes principaux,nbsp;on aura

—a)(jr—S)dm= fxjdm—o-fydni—Zfxdm-\- a.Sfdm=o, —y)(^—ct)dmz=f'zccdm — yfxdm— afzdm-^ya.fdm-=:zo,nbsp;f{y— £)(z—y)dTn~ fjzdm — Zfzdm—yfjdm-^Cyfdm^o;

equations qui se réduisent a

= o , ya — o, = o ,

en vertu des précédentes. Or, pour satisfaire a ces équations, il est nécessaire que deux des trois quan-tités Cl, C, y, soient nulles. Si done Ie point demandénbsp;existe, il ne peut se trouver que sur l’un des axes desnbsp;coordonnées z, c’est-a-dire, sur l’un des troisnbsp;axes principaux qui se coupenl au centre de gravité.

Je fais é'=:oetj' = o;ce qui revient a supposer Ie point demandé, sur l’axe des x, a une distance o.

74 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

de ce centre. Alors les niomens d’inertie relatifs a ee point, seront A, par rapport a l’axe des a?, et, ennbsp;vertu du thëorème du n” 374, B Ma“ et C Ma%nbsp;par rapport aux parallèles aux axes des j et des z, ennbsp;désignant par M la masse du corps. D’après la condition du problème, on aura done

B -j- Ma* = C -f- Ma* = A ;

mais pour que ces e'quations soient possibles, il faut qu’on ait B = C; et quand ces deux quantités seront effectivement égales, on aura

Ma* = A — C ;

il faudra done encore qu’on ait A gt;» C, afin que la quantité a solt réelle. Cela étant, on aura pournbsp;a deux yaleurs réelles, égales et de signe contraire,nbsp;savoir :

M

par conséquent, il existera deux points qui joui-ront de la propriété demandée, et seront situés sur l’axe des jc, a égale distance de part a d’autre dunbsp;centre de gravité.

Ainsi, lorsque les trois moniens d’inertie A, B, C , d’un corps, relatifs aux axes principaux qui se cou-pent a son centre de gravité, sont égaux, il n’existenbsp;aucun autre point du corps pour lequel les mo-mens d’inertie soient tous égaux; mais si deux de cesnbsp;trois momens sont égaux, et que Ie moment inégalnbsp;soit Ie plus grand des trois, il exlste, sur l’axe du

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;7$

plus grand moment, deux points pour lesquels tons les inomens d’inertie seront égaux , et dont les positions sont déterminées par la foi’mule (e).

385. En appliquant ces résultats a l’ellipsoïde homogene, on voit que s’il s’agit d’un ellipsoïde quel-conque dont les trois diamètres principaux sont inégaux, il n’y aura aucun'point, en dedans ou ennbsp;dehors du corps, par rapport auquel tous les mo-niens d’inertie soient égaux; mais si l’on considèrenbsp;un ellipsoïde de revolution engendré par une ellipsenbsp;tournant autoiir de son petit axe, il y aura deuxnbsp;points sur eet axe ou sur son prolongement, quinbsp;jouiront de la propriété dont il s’agit; car, dans cenbsp;cas, deux des trois morpens relatifs aux diamètresnbsp;principaux seront égaux, et Ie moment inégal répon-dant au plus petit diamètre, sera Ie plus grand desnbsp;trois.

Si r 'on appelle aeth les demi-axes de l’ellipse gé-ïiératrice, et qu’on suppose a lt;^b, de sorte que a soit Ie demi-axe de revolution, on auranbsp;en faisant b=.c dans les formules du n° 3^0; d’aprèsnbsp;la formule (e), on aura done

pour la distance des points demandés au centre de 1 ellipsoïde. Selon qu’on auranbsp;nbsp;nbsp;nbsp;ou

ces points se trouveront sur Ie prolongement de l’axe de revolution, en dehors du corps , ou sur l’axe

,6 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

même, en dedans du corps; dans Ie cas de = ces deux points se trouveront a la surface, et coïnci-deront avec les poles de Tellipsoïde.

Les axes principaux d’un parallélépipède rectangle, qui se coupent a son centre de gravité, sont évidem-ment parallèles a ses arètes. En appelant done a, b, c,nbsp;les demi-longueurs de ses trois cótés adjacens, lesnbsp;niomens d’inertie relatifs a ces axes se déduiront denbsp;ceux du nquot; 369, qui répondent a ses arètes, en jnbsp;mettant ^a, ib, ac, au lieu de a, b, c, et en en retran-chant, d’après Ie théorème du n° 674 , les produitsnbsp;M(è“ c‘‘),nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;M(a’“ è*). De cette manière,

on aura

A=iM(è“ c“), B = iM(V a»), C =

M étant toujours la masse du parallélépipède, dont Ie volume est maintenant -abc. Je suppose donenbsp;qu’on ait b — c, afin de rendre égaux les momensnbsp;d’inertie B et C, et, de plus, a lt;C,b, pour que Anbsp;soit plus grand que C. L’équation (e) donne alorsnbsp;et selon qu’on aura b'^ ia, b —la^ b ia, lesnbsp;deux points demandés seront situés en dehors dunbsp;mobile, a sa surface, ou dans son intérieur.

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTIE.

%^Vi\^AA^¦W^lVV^,V\^lt;VW(W\^VWWW^AAA^'W\lWvVWlt;VV%^'WVV»'W^lt;VV^^V\^^VWVV^/^^^Wgt;¦VV'lVV\'V\(VW^Wv^¦V»

CHAPITRE III.

Ȇ MOUVEMENT BՆIV CORPS SOLIDE AUTOUR DՆN AXE FIXE.

§ Iquot;. Mouvement de rotation uniforme.

584. Lorsqu’un système de points matériels. Hés entre eux d’une manière invariable, tourne autournbsp;d’un axe fixe, auquel ils sont aussi invariablementnbsp;attachés, ils décrivent des cercles perpendiculaires anbsp;eet axe, et qui ont leurs centres sur cette droite. Lesnbsp;arcs décrits dans Ie même temps par deux pointsnbsp;diflerens, sont semblables et d’un même nombre denbsp;degrés; leurs vitesses absolues sont entre elles commenbsp;leurs distances a eet axe; et Ton appelle vitesse an-gulaire du sjstème, la vitesse absolue des points dontnbsp;la distance a l’axe est l’unité. En la désignant par 0),nbsp;et la distance d’un point quelconque a l’axe de rotation par r, la vitesse absolue de ce point sera roo.nbsp;Cette quantité co, commune a tous les points, varieranbsp;avec Ie temps, quand les points du système serontnbsp;soumis a des forces motrices, qui produiront un mouvement varié; elle demeurera constante dans Ie casnbsp;du mouvement uniforme, produit par des percussions exercées simultanément sur les diflférentes par-

,8 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

ties du système, qui aura ensuite été abandonné a lui-même. C’est de ce dernier cas que nous allonsnbsp;d abord nous occuper.

385. Soient m, m', mquot;, etc., les masses des points matérielsque nousconsidérons, et r, r', rquot;, etc., leursnbsp;distances a l’axe de rotation. Supposous que des percussions simultanées soient exercées sur tous cesnbsp;points; chacune de ces forces se décomposera ennbsp;deux autres. Tune parallèle a l’axe, l’autre dirigéenbsp;dans un plan perpendiculaire a cette droite; et l’onnbsp;pourra faire abstraction de la première, dont TefTetnbsp;sera évidemment détruit par la resistance de l’axe fixe.nbsp;Soient done v, v', i'quot;,etc., les vitesses dirigéesdans desnbsp;plans perpendiculaires a l’axe fixe, qui seraient im-primées a m, m', mquot;, etc., si ces points matériels étaientnbsp;libres. En désignaut par ca la vitesse angulaire dunbsp;système qui en rcsultera, ces points prendront desnbsp;vitesses rca, r'co, i^'ca, etc., perpendiculaires a l’axe etnbsp;aux rayons r, r', rquot;, etc.; et, daprès Ie principe dunbsp;n® 553, il y aura équilibre entre les quantités denbsp;mouvement mv, m'v', m'Vquot;, etc., prises dans leurs directions données, et les quantités de mouvementnbsp;circulaire mragt;, m'r'co , mquot;ï^'ct), etc., prises en sensnbsp;contraire du mouvement du système, qui aura réel-lement lieu.

Pour former l’équation de eet équilibre, projetons les points m, m', jn'', etc., et les directions des vitesses que nous considérons, sur un plan perpendiculaire a l’axe fixe. Soit Oz eet axe (Gg. ; faisonsnbsp;passer Ie plan de projection par Ie point 0; sur cenbsp;plan, soient P la projection de m, PA la projection

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;^9

de la vilesse , et PN celle de la vltesse ra, iaquelle est perpendiculaire au rayon r ou OP. Soit aussi p lanbsp;perpendiculaire OF, abaissée de O sur la droite PA ;nbsp;les momens des forces mv et mra, projetées suivantnbsp;PA et PN, seront mvp et inr’^a; et si Pon appellenbsp;aussi p', pquot;, etc. , les perpendiculaires abaissées dunbsp;même point 0 sur les projections des autres vitessesnbsp;e', equot;, etc., on aura

mr‘ct) m'r'^a -j- nbsp;nbsp;nbsp;-{- etc.

mvp inv'p' iTi”vquot;p'^ -j- etc.,

pour 1 equation d’équilibre demandee (n® 267).

Lorsque parmi les percussions simultanées, il y en aura qui tendront a faire tourner Ie systèrae dans unnbsp;sens, et d’autresdans Ie sens oppose, il faudra prendre , avec des signes contraires, les momens des unesnbsp;et des autres dans Ie second membre de cette equation. Le système tournera dans Ie sens des forces quinbsp;donneront la plus grande somme de momens, abstraction faite du signe. En représentant par L lanbsp;somme, positive ou negative, de tous ces momensnbsp;pris avec des signes convenables, on tirera de l’e'qua-tion précédente

^mr‘

2 indiquant une somme qui s’étend a tous les points du système.

Si toutes les vitesses v, v', vquot;, etc., sont égales, L sera le produit de leur valeur commune v et de la sommenbsp;mp m'p' -p mquot;pquot; -i- etc.; si, de plus, ces vitessesnbsp;sont toutes parallèles entre elles, et qu’on mène par

8o nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

l’axe Oz, un plan parallèle a leur direction commune, p, p', pquot;, etc., serontles distances des points m, rn',nbsp;mquot;, etc., a ce plan; et, d’après les signes qu’on don-nera aux termes de L, il faudra les considérer commenbsp;positives OU comme negatives, selon q,ue les pointsnbsp;m, m', mquot;, etc., seront situe's d’un cóté ou de lautrenbsp;de ce plan. Par conséquent, M désignant la sommenbsp;des masses m, m', mquot;, etc., et ^ la distance positive OU negative de son centre de gravité a ce mêmenbsp;plan, nous aurons (nquot; 65 )

mp -f- m'p' -1- mquot;pquot; etc. = j

il en résultera L = Mvq, et la valeur de a de-viendra

_ M.vq

'S.mi*'

Si la vilesse v est imprimée seulement a une partie des points du système, et qu’on ne communiqué di-rectement aucune vitesse a l’autre partie, on aura denbsp;même

Imr^

/x étant la somme des masses qui ont recu la vitesse V, et ƒ la distance du centre de gravité de cettenbsp;partie du système au plan mené par l’axe fixe, pa-rallèlement a la direction de e.

386. Supposons actuellement que lö système des points m, in', mquot;, etc., soit un corps solide; il suf-fira alors de changer, dans les formules précédentes,nbsp;la masse m d’un point quelconque dans l’élémentnbsp;diffcrentiel de la masse du corps, que nous repré-

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;8t

seiiterons par dm, et la .somme 2 en une integrale*. La quantité 2/nr“ deviendra done I’integrale fr^dm, étendue a la masse entière du corps, et ellenbsp;exprimera son moment d’inertle par rapport a l’axenbsp;de rotation; par conséquent, la dernière formule senbsp;changera en celle-ci :

(.)

Cette formule se rapportera au cas d’un corps solide retenu par un axe fixe, et frappe par un aulre corps quinbsp;s attache au premier, de sorte que ces deux corps n’ennbsp;forment plus qu’un seul, tournaut autourde l’axe fixenbsp;avec la vitesse angulaire ca. La masse du corps choquant est/x, sa vitesse avant Ie choc, qui était communenbsp;a tous ses points et perpendiculaire a la direction denbsp;l’axe fixe, est e, et ƒ exprime la distance de sonnbsp;centre de gravité a un plan parallèle a cette vitesse etnbsp;passant par l’axe de rotation. L’intégrale fr'^dm devranbsp;setendreaux deux masses reunies après Ie choc. Sinbsp;Ie corps choquant ne restait pas attaché a i’autrenbsp;après Ie choc, la determination de la vitesse augu-laire de celui-ci serait un problème différent, dontnbsp;nous nous occuperons dans un autre chapitre.

Quand Ie corps retenu par un axe fixe sera choqué simultanément par plusieurs masses u, fx', fd'^ etc,,nbsp;animées de vitesses Cy v', d', etc., perpcndiculairesnbsp;a la direction de Faxe, qui se réuniront a ce corpsnbsp;apres Ie choc, on aura, pour la vitesse angulairenbsp;qui sera produite,

-j- nbsp;nbsp;nbsp;d'df quot; “!” eic,

J'r‘dm

82 nbsp;nbsp;nbsp;traité de mécanique.

l’intégrale s’étendant a la raasse totale, et f, f', f', etc., désignant les distances des centres de gra-vité de jjf, ij!', etc., a des plans menés par l’axenbsp;de rotation, parallèlement anx vitesses v, e', vquot;, etc.nbsp;Ayant pris avcc Ie signe Ie premier terme dunbsp;numérateur de cette formule, on prendra les au-tres termes avec Ie signe ou avec Ie signe — ,nbsp;selon que les percussions cori’espondantes tendrontnbsp;a faire tourner dans Ie sens de celle qui répond aunbsp;premier terme, ou dans Ie sens oppose; et selonnbsp;que la valeur de « se trouvera positive ou negative, la rotation aura lieu dans Ie sens de cette forcenbsp;ou en sens contraire. Quand on aura o z= o , Ienbsp;syslème restera en repos, et toutes les percussionsnbsp;se feront équilibi’e. Au lieu d etre simultanées , sinbsp;elles sont successives, la valeur de co, après tonsnbsp;les chocs, sera encore donnée par la formule précé-dente; car après un premier choc Ie mouvement estnbsp;Ie même a chaque instant, que si ce choc avait lieunbsp;actuellement; par conséquent, on peut supposernbsp;quTl ait lieu a l’instant du second choc, pour déter-miner la vitesse angulaire après la seconde percussion; et ainsi de suite.

587. Lorsque Ie mouvement de rotation commence autour d’un axe fixe, cette droite éprouve des percussions qu’il est important de déterminer; ellesnbsp;sont dues aux quantités de mouvement perdues, anbsp;cette é|)oque, par les différens points du mobile, quinbsp;se font équilibre au mojen de l’axe fixe, et doivent,nbsp;eonséquemment, se réduire a des percussions dontnbsp;les directions renconlrent eet axe, ou lui sont pa-

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;83

rallèles. Les percussions parallèles se déterminent immédiatement; ce sont les composantes, suivantnbsp;cette direction, des quantités de mouvement quinbsp;ont élé imprimées au mobile : nous en ferons abstraction , cornme dans Ie a° 385 ; et nous suppo-serons que Ie mouvement de rotation soit celuinbsp;qul a été produit par un choc perpendiculaire a lanbsp;direction de l’axe fixe, et at^quel répond la formule (i).

Prenons Ie point P pour Ie centre de gravité de f/., et la droite PA pour la direction de sa vitesse avantnbsp;Ie choc, de manière que f soit la distance OF de cettenbsp;droite a Faxe Oz. Dans Ie plan perpendiculaire a eetnbsp;axe fixe, et comprenant la droite PA, raenons par Ienbsp;point 0 de eet axe deux autres axes rectangulairesnbsp;Oa? et 0^. Solent x, y, z, les trois coordonnées denbsp;dyn, rapportées aux axes Ox, Of, Oz; la vitesse ranbsp;de ce point materiel étant perpendiculaire au rayon rnbsp;et parallèle au plan des x et f, il est aisé de voirnbsp;que les cosinus des angles qu’elle fait avec ces trois

axes sont — -, - et zero , en supposant que la rotation ait lieu dans Ie sens indiqué par la flèche s; par conséquent, elle se décomposera en deux vilessesnbsp;-—J'jh et xca , parallèles aux axes Ox et Of. Les composantes des quantités de mouvement de tous lesnbsp;points du corps suivant ces directions, seront done

— nbsp;nbsp;nbsp;(iffdm et cofxdm, ou, ce qui est la même chose,

— nbsp;nbsp;nbsp;et ciMxi, en désignant tou jours par M lanbsp;masse entièi-e après Ie choc, et représentant par etnbsp;f, les valeurs de x et f qui répondent a son centre

6..

84 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

de gravité. Les sommes des momeris de toutes ces quantiles de mouvement, par rapport au plan des xnbsp;et j, seront -^affzdm et agt;fxzdm‘, elles devrontnbsp;être egales (n° 54) aux momens des forces totalesnbsp;¦— cofjdm et afxdm, par rapport au même plan,nbsp;c’est-a-dire, a —et csMx^d', en appelant z'nbsp;et zquot; les distances de ces deux forces a ce plan; onnbsp;aura done

Mj,z' = fjzdni, Mx^zquot; = fxzdm, nbsp;nbsp;nbsp;(2) .

pour determiner ces deux quantités z' et zquot;, positives OU negatives.

Cela posé, les quantités dé mouvement perdues par tous les points de la masse M, et qui se font équi-libre au mojen de l’axe fixe, pourront être rempla-lt;cées par une force , parallèle a faxe des x et si-tuée a [la distance z' du plan des x et j, par unenbsp;force — oMx^, parallèle a l’axe des j et située anbsp;la distance zquot; de ce plan, et par la force fjt,v, h la-quelie on conserve sa direction, du point P vers Ienbsp;point K. Ces trois farces se réduiront au raoins anbsp;deux , qui rencontreront l’axe fixe, et exprime-vont les percussions qu’il éprouve, perpendiculai-rement a sa longueur. Quand elles se réduiront anbsp;une seule, l’axe éprouvera une percussion unique, etnbsp;il sulFira que Ie point oü il sera rencontré par cettenbsp;force soit supposé fixe, pour que eet axe puisse ré-sister.

588. Si la droite Oz est un des trois axes prin-cipaux de M, qui se coupent au point 0, on aura

fxzdm = o, fy^dm = 0.

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;85

Les distances s' et zquot; seront done nulles; et les forcesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, ainsi que la force ,

etant toutes trois comprises dans Ie plan des x et j, la percussion unique, a laquelle elles se réduiront,nbsp;passera par Ie point 0. Pour en determiner la grandeur et la direction, soient R cette force, a et b lesnbsp;angles qu’elle fait avec les axes Ox et Oj-, a et ë lesnbsp;angles que fait la droite PA avec des parallèles a cesnbsp;axes, menées par Ie point P; nous aurons

R cos a — \xv cos a -f. nbsp;nbsp;nbsp;,

%

R cos b — fLV cos ë — coMx^ •,

et comme la valeur de agt; est donnée par la formule (i), et que les coordonnées x^ et du centre de gravité de M sont aussi connues, il n’y aura rieunbsp;d’inconnu dans ces valeurs des deux composanteanbsp;de Ia force R.

Puisque cette résultante doit passer par Ie point 0, il faudra que la somme des momens de ses troisnbsp;coniposantes, par rapport a ce point, soit égale anbsp;zéro. Or, en désignant par j' et x' les distances auxinbsp;axes Ox et Oj des forces tuMy, et -—paral-inbsp;lèles a ces droites, et ayant égard au sens dans Ie-quel ces deux forces et la percussion /we tendrontnbsp;a faire tourner autour du point 0 , on en con-clura

= o ;

ƒ etant toujours la perpendiculaire OF abaissée du point M sur ia droite PA. C’est, en effet, ce qu’il

86 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

est aisé de verifier; car en considérant les momens par rapport aux. plans des x et z et des j et z , denbsp;tontcs les quantites de mouvement parallèles a cesnbsp;plans, dont les sommes sont —nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

on aura

“JK/jr- = fj^dm,

et ces valeurs, jointes a celles de c? , rendent iden-tique l’equation précédente.

Pour que l’axe fixe n’éprouve aucune perci^ion, il est aisé de voir qu’il faut d’abord que les distances z' et zquot; soient nulles; en vertu des équa-tioiis (2) , cela ne peut done arriver que quand lanbsp;droite Oz est un des axes principaux qui se coupentnbsp;au point 0, ainsi que nous venons de Ie supposer.nbsp;Cette condition remplie, il faut, en outre, que lanbsp;force R soit nuile; ce qui exige qu’on ait

cos at == — nbsp;nbsp;nbsp;,

On en déduit

cos (t jr^ cos C

equation qui exprime que la droite PA doit être perpendiculaire au plan passant par Faxe fixe et parnbsp;Ie centre de gravité de M. De plus, en désignantnbsp;par r, la distance de ce point a eet axe, les equations précédentes donnerontnbsp;et si 1’on met pour co sa valeur fouruie par la for-

BYFAMIQUE, SECONDE PARÏIE. nbsp;nbsp;nbsp;87

mule (i), on en conclura

^ Jr‘dm

J ”

Ainsi, quand un corps solide, retenu par un axe fixe, est frappé par un second corps dont la massenbsp;demeure attachée a celle du premier, il faui, pournbsp;qu’il n ƒ ait aucune percussion sur l’axe fixe, 1°. quenbsp;Ie choc soit dirigé dans Ie plan de deux droites quinbsp;font, avec l’axe fixe, un système i’ectangulaire d’axesnbsp;principaux du corps forme des deux masses reunies;nbsp;2°. que sa direction soit perpendiculaire au plan dunbsp;centre de gravité de ce corps et dé l’axe fixe; 5quot;. quenbsp;cette direction PA rencontre ce plan en un pointnbsp;dont la distance f a l’axe de rotation est donnée parnbsp;la formule précédente. Ce point est ce qu’on appellenbsp;Ie centre de percussion.

389. Pendant qu’un corps solide tourne autour d’un axe fixe, les forces centrifuges de ses différensnbsp;points exercent sur eet axe des pressious que nousnbsp;allons determiner, et qui sont les. seules qui aientnbsp;lieu dans Ie mouvement uniforme oir les points dunbsp;mobile ne sont sollicités par aucune force motrice.

En conservant les notations précédentes, on aura rca^dm (n° 169) pour la force centrifuge de I’elementnbsp;drn, dont la vitesse est rco, et qui décrit un eerde dunbsp;rayon et comme cette force est dirigée suivant Ienbsp;prolongement de r, les cosinus des angles qu’elle fait

avec les axes desAr, jr, seront ~ et zéro. Si

done on la transporte au point oü sa direction ren- •

88 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

contre 1’axe Os, eile pourra être i'emplacée par deux forces comprises dans les plans JcOz etjOz, parallèiesnbsp;aux axes Ox et Oj, et egalés a xa^dm et jco^dm. Lanbsp;mêrae chose ajant lieu pour tous les élémens dunbsp;mobile, on en conclut que Faxe Oz sera tiré, sui-vant ces directions, par des forces qui auront pournbsp;valeurs co^ficdin et co'^fjdm, ou, ce qui est la mêmenbsp;chose,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, d’après les notations pré-

cédentes. On voit aussl que les distances z' et zquot; de ces deux pressions totales, au plan des x et^, se-ront donnëes par les equations

Mx^z'= fxzdm, nbsp;nbsp;nbsp;— fjzdm,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(5)

inverses des equations (2) relatives aux percussions.

Lorsqu’on aura z' ~ zquot;, les deux pressions et cö^Mjr^, seront appliquëes en un même point denbsp;l’axe Oz j elles se réduiront a une seule force pei’pen-diculaire a cette droite, dirigée dans Ie plan qui com-prend Ie centre de gravité du mobile, et dontnbsp;sera la valeur; étant la distance de ee centre a l’axenbsp;fixe.

Ce cas aura lieu toutes les fols que Oz sera un des trois axes principaux qui se coupent au point 0. Dansnbsp;ce cas, les seconds membres des e'quations (5) serontnbsp;nuls, et l’on aura z' = o et zquot; = o. La pressionnbsp;unique que i’axe éprouvera pendant Ie mouvementnbsp;de rotation passera done par Ie point 0; en sortenbsp;qu’il suffii’a que ce point soit fixe, pour que cettenbsp;pression soit de'truite, et que Faxe demeure immobile. Quel que soit Ie point fixe 0 appartenant a unnbsp;' corps solide, ou lié invanablement a ce corps, il y a

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;8g

done toujours trois droites rectangulaires, passant par ce point, autour desquelles Ie corps peut tourner,nbsp;sans que ces axes de rotation se déplacent, et cornmenbsp;s’ils étaient entièrement fixes.

Telle est la propriété relative au mouvement uniforme de rotation, dont jouissent les droites que nous avons nominees axes principaux. Elle leur ap-partient exclusivement ,¦ car si Ie corps tourne autournbsp;d’une droite Oz, qui ne soit pas un des trois axesnbsp;principaux relatifs au point fixe 0, les deux pres-sionsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;etnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;seront, en general, irréducti-

bles a une seule, ou bien, si elles se réduisent a une seule, a cause de z' = cette pression unique passera par un point différent de 0 ; par conséquent, ilnbsp;faudra qu’un second point, ou l’axe entier, soit sup-posé fixe, pour que les pressions dues aux forcesnbsp;centrifuges soient détruites, et que Taxe de rotationnbsp;ne soit pas déplacé pendant Ie mouvement. ¦

Quand un corps retenu par un point fixe O, et qui n’est soumis a aucune force motrice, aura commencénbsp;a tourner autour d’un des trois axes qui se coupentnbsp;en ce point, Ie mouvement continuera indéfinimentnbsp;^autour de cette di*oite. Cela aura lieu, par exeraple,nbsp;si Ie mobile est mis en mouvement par un choc di-rigé dans Ie plan des deux autres axes principaux re-^nbsp;latifs a ce point 0, puisqu’alors, d’après Ie numéronbsp;précédent, les percussions qu’éprouvera l’axe, dansnbsp;Ie premier moment, se réduiront a une seule quinbsp;passera par ce point fixe, et sera détruite par sa ré-sistance. Si 0 est un des points particuliers pour les^nbsp;quels tous les momens d’inertie sont égaux, l’axe au-

90 nbsp;nbsp;nbsp;TKAITÈ DE MÉCANTQUE.

tour duquel Ie corps commencera a tourner sera nccessairement un axe principal; et, de quelque ma-nière que Ie corps soit mis en mouvement autour denbsp;ce point fixe, l’axe de rotation demeurera immobile.nbsp;Ainsi, un ellipsoïde de revolution, ou un parallélé-pipède, retenu par un des points dont nous avonsnbsp;determine précédemment la position (n® 383), tour-nera toujours autour d’un axe immobile. I! en seranbsp;de mème a l’égard d’une sphere clont Ie centre estnbsp;fixe, OU d’un cube retenu par Ie point situé a l’intei’-section de ses trois diagonales; et de plus, dans cesnbsp;deux derniers cas, Ie point fixe étant Ie centre de gra-vité, l’axe de rotation demeurera encore immobile,nbsp;quoique Ie corps soit pesant. Dans Ie cas general, lesnbsp;forces motrices qui agiront sur ie mobile, produi-ront, comme les forces centrifuges, des pressions surnbsp;l’axe de rotation, qui contribueront a Ie déplacer,nbsp;quand elles ne se réduiront pas a une seule force passant par Ie point fixe.

3go. Si la droite Os est un des trois axes princi-paux qui se coupent au centre de gravité G du corps que l’on considère, elle sera encore un des trois axesnbsp;principaux de ce mème corps au point quelconque 0»»nbsp;de sa direction. En effet, soit y la distance OG de cenbsp;centre au point 0. Sans changer la direction préce'-dente des coordonnées x, y, z, transportons leurnbsp;origine au point G; celles de l’élement quelconquenbsp;dm deviendront x, j,z — ; et, d’après la definitionnbsp;des axes principaux, on aura

fx (2 — y)dni = fxzdm — y fxdm = 0 , ff (s — y)dm = ffzdm — y ff dm = o.

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;91

De plus, Ie point G étant sur l’axe des z, on a focdin = o et fydm =0; il en rësulte donenbsp;fxzdm = o et fjzdm = o; d’oü Ton conclut quenbsp;Oz est un des trols axes principaux qui se coupentnbsp;au point 0.

On déterininera la direction des deux autres axes principaux dans Ie plan des x et j, par la transformation des coordonnées. Soient x' et j' celles de dmnbsp;p5r rapport a ces deux autres axes; il faudra qu’onnbsp;aif

ƒ x'j'dm — o , fx'zdm — o , fj'zdm == o ;

mais si Ton appelle ö l’angle compris entre laxe des x' et celui des x, on aura

x' — xcosd—j'sinö, nbsp;nbsp;nbsp;sin 9 H-^cos 6;

or, en substituant ces valeurs dans les equations pi’é-cédentes, les deux dernières disparaissent a cause de fxzdm = o et fjzdm = o; la première devient

(cos^8 — sin“ fl) fxjdm -f- sin fl cos S {fx'dm — ff dm) = o ;

et Ton en tirera la valeur de 9. Les intégrales que cette equation renferme pourront changer de valeurnbsp;avec la position du point O; en sorte que Ie longnbsp;de l’axe Oz, les deux autres axes principaux ne se-ront pas, en general, parallèles a eux-mémes.

Les quatre equations

fxdm = o, fxzdm = o, fjdm = o, fjzdm = o,

ayant lieu en même temps, il suit des deux premières que les pressions parallèles et comprises dans

9?- nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

Ie plan des et z, qui proviennent des forces centrifuges , se réduisent a deux forces égales et di-rectcment opposées; et en vertu des deux dernières equations, la méme chose a lieu a l’égard des com-posantes comprises dans Ie plan des j- et z. Parnbsp;consequent, lorsquun corps tourne autour de l’unnbsp;des trois axes principaux qui se coupent a son centrenbsp;de gravite', les forces centrifuges de tous ses pointsnbsp;ne produisent aucune pression sur l’axe de rotation;nbsp;et si Ie mouvement a commence autour d’un telnbsp;axe, il continuera indéfiniment, sans que cette droitenbsp;ait aucun point fixe, en supposant toujoui’S qu’au-cune force motrice n’agit sur Ie mobile.

Ce i’ésultat est evident dans Ie cas d’un ellipsoïde tournant autour d’un de ses trois axes de figure;nbsp;car tout étant sjmétrique autour de chacune de cesnbsp;droites, il nj aurait pas de raison pour qu’ellenbsp;éprouvat une pression dans un sens plutót que dansnbsp;Ie sens oppose.

§ II. Mouvement de rotation varié.

Dpi. Soit toujours dm un élément quelconque de la masse du mobile, tournant autour de l’axe fixenbsp;Oz ( fig. 5). Par un point 0, piïs arbitrairementnbsp;sur cette droite, menons deux autres axes fixes Oa?nbsp;et Oj, perpendiculaires enlre eux et a i’axe Oz; etnbsp;au bout du temps quelconque t, désignons par x,nbsp;y, z, les trois coordonnées de dm, rapportées a cesnbsp;axes Ox, Ojr, Oz. Au même instant, les compo-santes de la vitesse, parallèles a ces droites, seront

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;98

dy dz nbsp;nbsp;nbsp;•

Sr ’ 57 » nbsp;nbsp;nbsp;qaelles que soient les forces appli-

quées a 1 element dm, je les decompose parallèle-ment a ces niêmes axes; et, au bout du temps je de'signe par X, Y, Z, les composantes suivantnbsp;les X, j, z, positives, de la force accélératrice don-née qui agit sur ce point materiel. Si ce point etait

libre, les composantes nbsp;nbsp;nbsp;^ gt; de la vitesse,

augmenteraient de ^dt, Ydt, Zdt, pendant lïns-tant dt (a° 147); mais ces fonctions du temps aug-

nientent réellement de leurs différentieiles d.^,'

dt ’

par conséquent, les vitesses perdues

pendant l’instant dt, suivant les directions des coor-donriées, sont

En les multipliant par dm, et divisant par dt, on aura

(X— nbsp;nbsp;nbsp;(Y — -^^dm, (Z - ~ym,

pour les composantes de la force perdue par l’élé-ment dm, pendant eet instant dt, a raison de sa liaison avec les autres points du corps et avec 1’axe de rotation. Done, en verfu du principe du n® 35o, l’é-quilibre devra avoir lieu autour de eet axe fixe,nbsp;entre de semblables forces appliquées a tous les pointsnbsp;du mobile.

Pour former Péquation de eet équllibre, il suffira

^4 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

de mettre les deux premières des trois forces précé-dentes a la place de P cos a et P cos amp;, dans Ie premier terme de l’ëquation (5) du n“ 266, et d’égaler ensuite a zero la somme des valeurs de cette quan-tite', pour tous les points du corps, laquelle sommenbsp;sera une integrale e'tendue a Ia masse entlère. Ennbsp;faisant passer les dlfférentlelles dans Ie premier mem-bre et les forces données dans Ie second, nous aurons,nbsp;de cette manière,

pour l’équation demandée , qui sera celle du mouvement de rotation autour de l’axe des z.

302. Soit CD la vitesse an^ulaire au bout du temps et supposons que Ton considère cette quantité commenbsp;positive OU comme negative, selon que Ie mouvement de rotation aura lieu dans Ie sens indiqué parnbsp;la flèche s, ou dans Ie sens oppose. Soit aussi r Ienbsp;rayon du eerde que décrit dm, ou la perpendiculairenbsp;abaissde de ce point sur l’axe Oz; sa vitesse absoluenbsp;sera ree, et Ton aura

dr

jagt;, ^ pour les valeurs de ces deux coraposantes. En effet, sinbsp;P est la projection de dm sur ie plan des x et j, et qu’onnbsp;lire Ie i’ayon OP el la perpendiculaire QPP' a OP, laquelle coupe en Q et Q' les axes Oa: et Oj, on aura

OP =:=/', cos xQP = •— -, eos j-Q'P' =

DYNAMIQUE, SECONDE PARTJE. nbsp;nbsp;nbsp;gS

et comme la vitesse rco sera parallèle a la droite QPP', ce sera par ces cosinus qu’il faudra la multiplier, pour avoir les valeurs de ses composantes

dt dl •

En observant que nbsp;nbsp;nbsp;on deduit de

ces valeurs

xcly — jdx = r'codt. (2)

Je differentie par rapport a ^; a cause que Ie rayon r est constant, on a

xd^j — jd'^x — r^dojdt;

et doj étant une quantile commune a tous les points du corps, qui dolt être regardée comme constantenbsp;dans l’intégration relative a dm, Tequation (1) de-vient

-fr^dm = f(xY - jX) dm; nbsp;nbsp;nbsp;(3)

ce qui fera connaitre la valeur de dco, correspondanle a une position donnée du mobile.

Si l’on decompose la force accélératrice qui agit sur dm en deux au( res, Tune parallèle a l’axe Oz,nbsp;et l’autre comprise dans un plan perpendiculaire anbsp;cel te droite, on pourra faire abstraction de Ia pre-mièi’e, qui ne peut contribuer au mouvement de rotation; la seconde , que j’appellerai (p, sera la resultante de X et Y. Je projette les trois forces X , Y, tp ,nbsp;sur Ie plan des x et j; je suppose que PC soit lanbsp;direction de «p ainsi projetèc; et j’appelle h la perpendiculaire OH abaissée du point 0 sur PC ou sur sou

96 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

prolongenient. En considéranl les momens par rapport au point 0 , on aura ( n° 46 )

xY — jyX = rfc ,

selon que la force tp tendra a faire tourner dans Ie sens de la flèche s, ou dans Ie sens oppose. J’appellenbsp;aussi «T Tangle QTC que fait la droite PC avec lanbsp;perpendiculaire PQ' au rayon OP, menëe dans Ienbsp;sens indiqué par la flèche s. Cet angle sera aigu ounbsp;obtus, selon qu’on devra prendre Ie signe supérieurnbsp;OU Ie signe inférieur dans Téquation précédente; anbsp;cause de OP = r, on aura done toujours

ztz h — r cos «T;

et, au moyen de ces valeurs, Téquation (5) de-viendra

^ ƒ r’^dm ¦=. f rlt;p cos ^dm.

Or, si les forces données n’agissent sur Ie mobile que pendant un temps tres court; qu’elles soient néan-moins capables de produire, pendant cet intervallenbsp;de temps, des vitesses données qui ne soient pas tresnbsp;petites; et que pendant ce même temps les directionsnbsp;de ces forces, non plus que les positions des pointsnbsp;du mobile, ne changent pas sensiblementgt; on aura,nbsp;en intégrant par rapport a t les deux membres denbsp;cette équation,

ajr’‘dm zz: frv cos cT dm ¦

V étant Tintégrale fpdt pendant la durée de TacHon des forces, c’est-a-dire. Ia vitesse que la percussion

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;97

exei’cée sur dm imprimerait a ce point materiel, s’il étalt entièrement libre. Cette equation est cclle dunbsp;mouvement uniforme de rotation, et Ion en dé-duira, sans difficullé, les formules du n® 586.

Dans Ie mouvement varié, l’equation (5) se change en une equation ditferentielle du second oi'di-e, denbsp;laquelle depend la position du mobile a chaque instant, et sa vilesse en fonction du temps, ainsi qu’onnbsp;Ie verra tout a l’heure par un exemple; laiais aupara-vant il convient de determiner les pressions que l’axenbsp;de i’otation ëprouve pendant la durée du mou-A'ement.

5g3. Je considérerai seulement les pressions per-pendiculaires a eet axe Oz, qui sont dues aux compo-santes parallèles aux axes Oa? et O7quot;, des forces peixlues par tous les points du mobile, dont les résultantesnbsp;devront couper Faxe fixe.

En appelant U et V les sommes de toutes ces forces, on aura, d’après Ie nquot; Sgi,

=/(x

et si I on désigne par « et c les distances des forces totales U et V au plan des x et j, on auranbsp;aussi (n» 54)

U«=/(x - zdm, Vc= ƒ(¥-

En vertu des valeurs précédentes de ^et on a

^ nbsp;nbsp;nbsp;at dt

TR/^ITÉ DE MÉCANIQUE.

dt

du , nbsp;nbsp;nbsp;dx

dl nbsp;nbsp;nbsp;^ ~ dt

Jelimine au mojen de l’équation (3); je de'signe

par .x^ et les valeurs de ^ et j qui répondent au centre de gravité du mobile, et par M sa masse, denbsp;sorte qu’on ait

fxdm = Mx/, fydm = nbsp;nbsp;nbsp;;

d ^ X nbsp;nbsp;nbsp;d

en substltuant ensuite les valeurs de et daas les formules précédentes, elles devienuent

U = Mxy JlLdm V = Mj/j* H- fXdm —

Uei = a'fxzdm Jz^dm nbsp;nbsp;nbsp;,

fxzdm, ƒ (xY—yX)dm fr'-'dm

Quand la vitesse angulaire co sera connue, ces equations feront connaitre les pressions U et V parallèles aux axes Ox et Oy, que l’axe Oz aura a supporter,nbsp;et les distances u et c comprises entre Ie point 0 etnbsp;les points d’appHcation de U et V sur eet axe. Lors-que les forces X et Y sont nulles, ces résultats coincident avec ceux du n” 389. Quand la droite Oz passenbsp;par Ie centre de gravité du mobile, on a x^^xzo et

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;99

^quot;,==0, et, conse'quemment,

U = fXdm, V = fYdm;

€n soi'te que la charge totale de l’axe fixe est la même que dans l’état d’équilibre ; mais elle est, en general,nbsp;antrement distribuée. Si l’axe fixe est, en outre, unnbsp;des axes principaux qi^i se coupent au centre de gra-vite, on a aussi fxzdm = o et fjzdm = o ; il eq’ ré-sulte

Um = fzlLdm, Yigt; = fzYdm;

et la charge de l’axe se trouve partagée, dans l’état de mouvement, comme dans l’état d’équilibre.

3g4. Appliquons actuellement l’équation (3) au cas d’nn corps pesant, tournant autotir d’un axenbsp;horizontal.

Si r ’on désigne par g la pesanleur, et qu’on suppose l’axe Oy vertical et dirigé dans Ie sens de cette force, on aura

et, a cause de fxdm = nbsp;nbsp;nbsp;, l’équation (3) se ré-

duira a

fr*dm = gMx^. (4)

Au bout du temps t, désignons par ö 1’angle com . pris entre Ie plan mobile qui passe par Ie centre denbsp;gravité du corps et Ie plan fixe desjquot; et z; angle quenbsp;nous regarderons comme positif ou comme négatif,nbsp;selon que Ie plan mobile se trouvera, relativementnbsp;au plan fixe, du coté de l'axe des x positives ou du

7-'

,oo nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

cóte oppose. Soit a la distance constante du centre de

gravité a l’axe Oz; on aura

a sm

et, d’après Ie sens de la vitesse a, positive ou ne'ga-tiye , on aura aussi

~ % ^

ce qu’on déduit également de l’e'quation (2), appli-quée au centre de gravite’, c’est-a-dire, aux valeurs X sin 0, j cos 0 , a, X, j, r. Soit enfin MA;* Ienbsp;moment d’inertie du Corps par rapport a un axenbsp;passant par son centre de gravité et parallèle a Oz;nbsp;k sera une ligne de grandeur donnée; et, d’après Ienbsp;théorème du n° 374, nous aurons

fr^dm = M («* -q- A;“),

pour Ie moment d’inertie par rapport a l’axe de rotation.

Au moyen de ces valeurs de x^, co, fr*d/n, l’équa-lion (4) devient

dt^

En multipliant par 2fif0, et integrant, on aura done

2ga cos (

c étant la constante arbitraire. Si l’on suppose qu’on ait, a Torigine du mouvement,

dt

DYNAMIQUE, SECONDE PARÏIE. cette constante aura pour valeur

r — n* _ nbsp;nbsp;nbsp;^ .

^ ^ nbsp;nbsp;nbsp;a‘ k- ’

et il en résultera, a un instant quelconque,

d nbsp;nbsp;nbsp;Q.e;a (cos a — COS fi)

r H—-- .. ¦¦

Cette equation est celle du mouvement d’un pendule de forme quelconque, tournant autour d’un axe horizontal. Dans son état d’ëquilibre, Ie plan passantnbsp;par son centre de gravité et par l’axe fixe est horizontal , et 1’on aa. = o, £1 = 0, 6 = o. On écarténbsp;Ie corps de cette position, de sorte que ces deux plansnbsp;comprennent un angle donné a. Si on l’abandonnenbsp;ensuite a lui-même, on aura £1 = o; si, au contraire, Ie mobile éprouve une pei'cussion a l’originenbsp;de son mouvement, la vitesse initiale £1 devra êtrenbsp;de'terminée par les regies du nquot; 386, ou donnée d’unenbsp;manière quelconque; et, dans tous les cas , l’équa-tion (d) fera connaitre la vitesse angulaire du mobilenbsp;a im instant quelconque, d’après la position de sonnbsp;centre de gravité. En la résolvant par rapport a dt,nbsp;et integrant, on aura la valeur de t en fonction de öynbsp;ou réciproquement; ce qui déterminera la positionnbsp;variable de ce centre, et, par conséquent, celle dunbsp;mobile a chaque instant.

SgS. Si ce corps pesant se réduit a un point matériel, attaché a l’axe Oz par un fil inextensible et inflexible,nbsp;dont on négligé la masse, et qui soit perpendiculaire anbsp;Oz, on aura Ie cas du pendule simple, d’après la défi-

102

TRAITÉ DE MÉCANIQUE. nition du n® i'pg. Eu appelant l sa longueur, on auranbsp;a = ^; M sera la masse du point matérie!; et Ie moment d’inertie M(a®-f-A:*) devra se réduire au pro-duit de cette masse et du carré de sa distance l anbsp;l’axe fixe. On aura done A: = o ; par conséquent,nbsp;l’équation (a), appliquée a ce cas particulier, de-viendra

4- -y (cos et - cos §)

et, en effet, il est aisé de verifier qu’elle s’accorde avec l’équation (i) du n® i8o, relative au mouvement du pendule simple.

En comparant les équations [a) et (è), on voit que ce mouvement coïncidera avec celui d un pendule quelconque, toutes les fois que les coefficiens

T nbsp;nbsp;nbsp;lesquels ces deux équations difie-

rent Tune de Fautre, seront égaux , c’est - a - dire , lorsqu’on aura

(c)

C’est done d’après cette formule que l’on calculera, ainsi que nous l’avons annoncé dans Ie n° i'jQ, lanbsp;longueur du pendule simple, correspondant a unnbsp;pendule donné; les deux quantités a k qu’ellenbsp;renferme pourront toujours se determiner exacte-ment, ou par approximation, au moyen des regiesnbsp;connues, quand on connaitra la forme du pendulenbsp;composé.

Lorsque ce pendule fera de trés petites osciJla-

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;io3

Dons, il en sera de même a l’égard du pendule simple. Si l’on désigne par T la durée d’une oscillation enlière, on aura done (n” 182)

En comptant, pendant un temps considerable, Ie nombre des oscillations du pendule compose, et di-visant Ie temps total par ce nombre , on aui-a lanbsp;valeur de T; et en la substituant, dans cette der-nière formule, avec la valeur de l correspondantenbsp;au pendule qu’on aura employé, on en conclura ,nbsp;comme nous l’avons déja expliqué (n” 192), la mesure de la pesanteur g avec une extreme precision.nbsp;Les longueurs du pendule simple étant entre ellesnbsp;comme les carrés des durées des petites oscillations,nbsp;si l’on appelle A la longueur du pendule a secondes,nbsp;et qu’on prenne la seconde pour unité, on auranbsp;aussinbsp;pour calculer la valeur de A d’après celles de / et T.

396. Si l’on trace dans rintérieur du pendule composé, au-dcvssous de sou centre de gravité etnbsp;dans Ie plan de ce centre et de l’axe de rotation ,nbsp;uhe droite parallèle a eet axe, dont l soit la distancenbsp;a ce même axe, Ie mouvement des poitits de cette parallèle ne sera ni accéléré ni retardé par leur liaisonnbsp;avec les autres points du corps. Parmi tous les pointsnbsp;de cette droite, on appelle proprement centre r/W-'nbsp;dilation Ie point situé sur la même perpendiculaire,nbsp;a l’axe que ie centre de gravité.

,o4 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉGA]S1QÜE.

Soient ABD (fig, 6) la section du pendule perpendiculaire a l’axe de rotation et passant par son centre de gravité, G ce centre, et C Ie point oü cette sectionnbsp;est coupée par l’axe; prolongeons la droite CG }us-qu’en 0, de sorte qu’on ait

CG

et, conséquemment,

CO =

Le point O sera Ie centre d’oscillation; et après avoir fait osciller le pendule donné autour de 1 axe perpendiculaire a la section ABD et passant par le pointnbsp;C, si on le reuverse et qu’on le fasse osciller de nouveau autour de l’axe passant par le point O et perpendiculaire a cette même section j le point C devien-dra le centre d’oscillation; théorèrae que l’on énoncenbsp;ordinairement en disant que les centres C et O denbsp;suspension et d’oscillation, sont réciproques l’un denbsp;l’autre.

En etfet, dans les deux cas, le moment d’inertie MA* est le méme, puisqu’il se rapporte toujours anbsp;Faxe perpendiculaire a ABD et passant par le point G;nbsp;en sorte que la quantité k ne changera pas. De plus^nbsp;soit 0' le point du prolongement de OG qui sera lenbsp;centre d’oscillation, quand O sera devenu le centrenbsp;de suspension; en appelant Z' la distance 00’, sa va-leur se déduira de la formule (c), en y mettant OG au

lieu de CG, c’est-a-dire, ~de a-, on aura

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE.

doKC

et, consëquemment, Ie point O' coïacidera avec Ie point C.

La durée des oscillations trés petites, autour des deux axes perpendiculaires a ABD et passantnbsp;par les points C et O, est la même et égale a

I étant toujours la distance CO. Réciproque-

ment, si la durée des oscillations tres petites est la même autour de deux axes parallèles, dont Ie plannbsp;contient Ie centre de gravité G, et qui n’en sont pasnbsp;équidlstans, leur distance mutuelle sera la longueurnbsp;I du pendule simple qui oscille aussi dans Ie mêmenbsp;temps.

En effet, soient a et a' les distances inégales du centre de gravité a ces deux droites parallèles, et,nbsp;conséquemment, a a' leur distance mutuelle ;nbsp;soit aussi MA* Ie moment d’inertie par rapport a l’axenbsp;parallèle passant par Ie centre de gravité. Puisque lanbsp;durée des oscillations est la même autour des deuxnbsp;droites, il faudra qu’on ait

Cl ——7 ZZZ d a

d’oü l’on tire

a' = a OU a' = —

done, en rejetant la première valeur de a', nous aurons

TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

? —f-

Par conséquent, si Ton mesure la distance a a! des deux axes synchrones, on aura la longueur dunbsp;pendule simple qui correspond a la durée communenbsp;de leurs oscillations.

Ce moyen a été employé avec succes, en An-gleterre, pour déferminer la longueur du pendule simple, sans aucun calcul relatif a la forme du pendule composé (*).

598. II y a une infinite d’axes différens autour desquels les petites oscillations d’un même corpsnbsp;sont d’égale durée.

D’abord, il est évident que la valeur de l et la durée des oscillations seront les mêmes pour tousnbsp;les axes de suspension parallèles entre eux et équi-distans du centre de gravité, pulsque, pour tousnbsp;ces axes, les quantités k ei a, comprises dans lanbsp;formule (c), ne varient pas. On peut aussi changernbsp;la direction de ces axes et leur distance au centrenbsp;de gravité, sans que la valeur de l soit changée ;nbsp;car si l’on appelle a , amp;, y , les angles que la pa~nbsp;rallèle a l’axe de suspension, menée par Ie centrenbsp;de gravité, fait avec les tiois axes principaux quinbsp;se coupent en ce poin-t, et que Ton désigne par A,nbsp;B, C, les momens d’inertie velatifs a ces axes, etnbsp;par MA;”, comme précéderament, celui qui i'épond a lanbsp;parallèle, on aura, d’après l’équation (c) du 11° 376,

{*) Transaclions yhilosopliiques, anrice i8i8.

dynamique, seconde partie.

M^* =r A cos* a B cos* ^ C cos* y , par consequent,

A cos'* £t B cos“ C -|- C cos' y Manbsp;nbsp;nbsp;nbsp;•

on peut évidemment donner^a a, a, ^ , y, une infinite de valeurs difFe'rentes, pour Icsquellesnbsp;Cette valeur de I restera la même.

SI Ton voulait que cette fonction I fut un minimum par rapport aux variables a, a., y, 'A resulte de sanbsp;forme qu’en supposant A la plus petite des trols cons-tantes A, B, C, il faudrait d’abord qu’on eut a — o,nbsp;^ = 90“, y = 90°, et, consequemment,

Ma' A Ma

d’ou Ton conclut, par la régie ordinaire,

pour la valeur de a qui repond au minimum, et.

j /I

t = 21/ nbsp;nbsp;nbsp;pour ce minimum. •

599. Nous savons que la resistance d’un milieu n’influe pas sur la duree des petites oscillations dunbsp;pendule simple, d’une longueur donnee (n° 190); maisnbsp;il faut aussi prouver que cette force ne change pasnbsp;non plus la longueur du pendule simple, dont lenbsp;mouvement est le même dans fair que celui d’unnbsp;pendule donné, dans ce même fluide.

Or, pour determiner ce mouvement, il faut joindre aux forcesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et \dm , que renferme le second

membre de I’equation (5), et qui agissent sur tous

io8 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

les points de la masse du mobile, les composantes de la resistance de l’air, exercée sur les élémens denbsp;sa surface, Supposons done que cette resistance soitnbsp;exprimee, gënéralément, paria somme de plusieursnbsp;puissances de la vilesse, et, pour une vitesse qüel-conque p, représentons-la, sur l’unité de surface, par

A^’“' etc. )

A, A', Aquot;, etc., a, a', aquot;, etc., étant desconstantes donne'es. Soit p la distance d’nn point M de la surface du pendule , a 1’axe de rotation; sa vitesse, aunbsp;bout du temps t, sera pco, en désignant toujoursnbsp;par O) la vitesse angulaire a eet instant. Si Ton ap-pelle 6 Tangle que fait sa direction avec la partienbsp;intérieure de la normale en ce point, on aura pa cos snbsp;pour sa composante suivant cette droite; et, d’aprèsnbsp;ce qu’on a dit préce'demment ( n° 565 ) , eest cettenbsp;composante normale qu’il faudra employer pour lanbsp;jjvitesse v, dans Texpression de la resistance qui ré-pond au point M. En appelant cIt Télëment diftë-rentiel de la surface, en ce même point, et Rt/j' lanbsp;rësistance exereëe sur eet ëlëment, on aura done

Ap“tó‘‘cos“É H- A'p “ ^ cos Ê -f- etc.

Je dësigne par et v les angles que fait la normale intérieure au point M, avec des parallèles aux axesnbsp;des jc et des y, menëes par ce point; les corapo-santes de la rësistance suivant ces droites serontnbsp;Rcosptcla- el Kcosvd^; et si Ton appelle oc' ety' lesnbsp;valeurs de a? ety qui rëpondent au point M, on aura

jc 'R cos vd7 -— y^R cos fxdu ,

DYNAMIQUE, seconde partje. nbsp;nbsp;nbsp;log

pour la partie du second membre dc I’equation (5), relative a I’element ds ; par consequent, en prenantnbsp;1 integrale de cette quantile dans toute la portion denbsp;la surface du mobile qui eprouve la resistance dunbsp;milieu, on aura la quantite qu’on devra ajouter a cenbsp;second membre, pour avoir égard a cette resistance.nbsp;Je fais, pour abréger,

x'cosv —y cospt.t= et cette quantile aura pour expression :

Aamp;y'^p^cos^êiZo’ nbsp;nbsp;nbsp;cos'quot; ««iy etc.

II est visible que f est la longueur de la plus courte distance entre I’axe de suspension et la direction de lanbsp;vitesse pa du point M, comprise dans un plan perpendiculaire a cet axe- ^ ne depend done pas dunbsp;temps, non plus que Tangle e et le rajon p; par conséquent , si Ton fait

. fCp‘quot;cos‘^éd7 = y, f'Qp’^ cos“W(r = y', etc.,

ces inte'grales y, y', yquot;, etc. , seront des constantes dépendantes de la forme du corps, et dont les valeursnbsp;pourront être diflerentes dans deux oscillations con-sécutives. Pour determiner leurs liniites, on circons-crira au mobile, dans sa position d’équiiibre, unnbsp;cylindre perpendiculaire au plan vertical passant parnbsp;Taxe fixe; la courbe de contact de ce cylindre avecnbsp;la snrface du corps divisera cette sui’face en deuxnbsp;parties, dont Tune éprouvera la résistance de Tair,nbsp;pendant que le mobile se mouvra dans un sens , etnbsp;Tautre, pendant qu’il se mouvra dans le sens op-posé; ces intégrales devront done s’étendre a Tune

TRAITÉ DE MÉCANIQÜE. de ces deux parties pour une oscillation entière , etnbsp;a l’autre partie pour l’oscillation suivante; et quandnbsp;ces deux parties seront différentes, les valeurs de y ,nbsp;y', yquot;, etc., Ie seront aussi dans deux oscillationsnbsp;consécutives. Ces valeurs ne changeront pas, dans Ienbsp;cas d’un mouvement révolutif.

Cela posé, après avoir ajouté la quantité précé-dente au second membre de l’équation (3), ou, ce qui est la mèrae chose, après avoir retranché cettenbsp;quantité divisée par Ie moment d’inertie M(öi* k^),

de la valeur de du n“ 394, nous aurons

pour lequation du mouvement d’un pendule quel-conque dans un milieu resistant. On aura de même

^ _ f sin ö — nbsp;nbsp;nbsp;— etc.,

df nbsp;nbsp;nbsp;lnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;'

¦

pour l’équatlon du mouvement du pendule simple dont la longueur est l; B, B', Bquot;, etc., désignantnbsp;des coefficlens constans.

Les vitesses et les positions initiales des deux mobiles étant supposées les mêiues, si l’on veut que leurs mouvemens Ie soient aussi, il suffira et il seranbsp;nécessaire de prendre

S _ sa nbsp;nbsp;nbsp;. P'__ AV

- D — nbsp;nbsp;nbsp;-D—-7^----_^^etc.;

la formule (c), et celles de B, B', Bquot;, etc., pour toute la durée de cliaque oscillation.

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTIE.

Ainsi, quelles que soient la forme (Fun pendule et la loi de la resistance du milieu dans lequel il senbsp;nieut, on voit qu’il y a toujours un pendule simplenbsp;dont Ie mouvement est Ie même que celui du pendulenbsp;donné; que la resistance du milieu dans lequel Ienbsp;pendule simple doit se mouvoir, se déduit de cellenbsp;du milieu donné , et de la forme du pendule compose ; et que la longueur du pendule simple ne depend que de cette forme, et nullement de la re'sis-tance.

Toutefois, il n’en résulte pas que la longueur de ce pendule correspondant a un pendule donné , soit lanbsp;même dans l’air et dans Ie vide : la perte de poidsnbsp;lt;lue Ie pendule compose éprouve dans Pair, et quinbsp;ïi’est pas la même dans Tétat de mouvement quenbsp;dans Pétat de repos, influe sur la longueur du pendule simple, réduite au vide, ainsi que nous l’avonsnbsp;déja dit ( n° 191 ).

400. Pour determiner Ie mouvement d’un treuil et de deux poids suspendus, l’un a la x’oue et l’autrenbsp;au cylindre, on formera , comme dans Ie n° 3g i , lanbsp;somme des moraens des forces perdues a chaque instant par tous les points du treuil, puis on ajoutera anbsp;cette somme les momens des forces perdues dans Ienbsp;même instant par ces deux poids, et on e'galera anbsp;zéro la somme totale de tous ces moraens. Or,nbsp;supposons qu’une corde soit enroulée sur la roue etnbsp;attachée par un bout a un point de sa circonférence,nbsp;et désignons par m la masse du corps suspendu ver-ticalcment a l’autre bout; soit aussi m' la masse dunbsp;corps suspendu verticalement a Textrcmite d’une

H2 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

seconde corde enroulée sur Ie cjliiidre et attache'e par l’autre extréraité a sa surface; au bout du temps t,nbsp;si l’on appelle u ei u' les distances des centres denbsp;gravité de m et m' au plan horizontal passant parnbsp;l’axe du treuil, les forces perdues par ces masses pendant Tin stant , seront mnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;—^f) '’

leurs momens par rapport a l’axe du treuil, se dëduiront de ces forces en multipliant la premièrenbsp;par Ie rajon de la roue que j’appellerai c, et lanbsp;seconde par Ie rayon du cylindre que je désignerainbsp;par c'; et paree que ces forces tendent a faire tournes'nbsp;Ie treuil en sens contraire Tune de l’autre , il faudranbsp;donner Ie signe au moment de Tune, et Ie signe —nbsp;au moment de l’autre. Pour fixer les idees, je sup-poserai que ce soit la première force qui tende a fairenbsp;tourner Ie treuil dans Ie sens oü il tourne réellement,nbsp;ou, autrement dit, je supposerai que ce soit lanbsp;masse m qui descende et la masse m' qui s’élève. Onnbsp;en conclut que Ie second membre de l’équation (5)nbsp;se trouvera augmenté de gmc — gm'c', et son premier membre , de m^c—m' ^ c'; d’ailleurs l’in-’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;di'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;de ’

tégrale que contient Ie second membre sera zéro , paree qu’elle doit s’étendre a tons les points du tresiil,nbsp;dont Ie centre de gravité est sur l’axe de rotation;nbsp;on aura done

t I nbsp;nbsp;nbsp;rnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;I ts

— nbsp;nbsp;nbsp;g{mc — m'd) ,

pour l’équation du mouvement du treuil et des deux masses m et m'.

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;ij3

Pendant toute la durée de ce mouvement, Ia vitesse

du j nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;j .

2^ de m est égale a la vitesse cagt; du point de la roue

OU la corde commence a se detacher de sa circonfé-

i’ence, et dont Ie rayon est horizontal; la vitesse

de m' est de même égale et contraire a la vitesse c'ca du point de la surface du cylindre , dont Ie rayonnbsp;est aussi horizontal, et qui est situé de l’autre cóté denbsp;l’axe : on a done constamment

du nbsp;nbsp;nbsp;du'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

- = c«, nbsp;nbsp;nbsp;- = -ca,;

au moyen de quoi, i’équation précédente devient

(M^“ mc® -J- m'c'®) ~ = g(nxc — m'c'),

en désignant par M la masse du treuil, et par MA:® son moment d’inertie par rapport a l’axe de rotation.

Si Ton suppose nulles, pour plus de simplicité, les vitesses initiales du treuil et des masses m et m',nbsp;on aura, a un instant quelconque.

co —

et, sans aller plus loin , on voit que Ie mouvement du treuil sera uniformérnent accéléré.

Les tensions des cordes auxquelles les masses m et m' sont attachées, auront pour mesure les forcesnbsp;perdues par ces masses; en les désignant par T et T',nbsp;on aura done

2.

it4 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

et si l’on appelle p, p', P» poids de ces corps et

du treuil, de sorte qu’on ait

p = mg, p' = m'g, p z= Mg, on conclura des equations précedentes

T — n {pc—p'c')pc_ nbsp;nbsp;nbsp;/ ¦nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;{pc—p'c')p'c'

—P nbsp;nbsp;nbsp;4- pc’‘ 4-P'c'“ ’nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;4-pc“ p'c'“'

A cause que Ie poids p descend, ce qui suppose pc gt; p'c', la tension T sera moindre que ce poids ,nbsp;qui serait sa valeur dans l’état d’équilibre, et lanbsp;tension T' sera plus grande que p'.

Les pressions exercées sur l’axe du treuil par les forces centrifuges de ses différens points, se dëtrui-sent évidemment deux a deux, a cause de la symé-trie de ce corps autour de cette droite. La chargenbsp;totale que l’axe éprouvera pendant Ie mouvement,nbsp;se composera done seulement du poids du treuil etnbsp;des tensions T et T'; de sorte qu’en appelant n cettenbsp;force verticale, on aura

n = P T T'.

En substituant pour T et T' leurs valeurs, il en ré-sultera

{pc —pVy

ce qui montre que cette charge est toujours moindre que celle qui a lieu dans l’état d’équilibre, et qui estnbsp;égale a P -|- p',

4oi. On appliquera ces diflérentes formules a la

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTTE. nbsp;nbsp;nbsp;ii5

machine èiAthood, en y faisant c' ~ c •, et elles fe-ront connaitre toutes les circonstances du mouvement des deux poids inégaux p et p', dont l’un monte et l’autre descend dans eet appareil.

Si Ton appelle , par exemple, h la hauteur dont Ie poids p descend dans un temps donné Ö, on auranbsp;la valeur de h en integrant celle de du ou de ccodt,nbsp;depuis tz=o jusqu’a f = ö; ce qui donne

i(p—

Les poids P, p, p', ainsi que Ie rayon de la roue, sont donnés; la quantité k* peut être calculée d’après lanbsp;1‘orme de la roue; et Pon peut mesurer la hauteur h.nbsp;Par conséquent , si Ie temps Ö est donné par l’obser-vation, cette formule fera connaitre la valeur de g.nbsp;Mais quelque soin qu’on apporte dans cette experience , elle ne sera jamais susceptible d’une précisionnbsp;comparable a celle du pendule; car, dans celle-ci ,nbsp;la durée de chaque oscillation s’obtient en divisant Ienbsp;temps pendant lequel Ie pendule a oscillé, par Ienbsp;nombre trés grand des oscillations qu’il a faites; cenbsp;qui rendra toujours Terreur a cralndre, sur la duréenbsp;d’une seule oscillation, beaucoup moindre que Terreur inévitable sur la mesure du temps 6 dans lanbsp;machine d’Athood.

On fait ici abstraction de la masse du lil auquel sont suspendus les deux poids p et p'il serait facile d’ynbsp;avoir égard de la même manière que dans leproblèmenbsp;du n®556; mais alors la loi du mouvement serait plusnbsp;compliquée. On négligé aussi la résistance que Tair

b..

116 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

oppose aux mouveraens des deux poids p et p' i pour

ea alténuer Teffet, et aussi pour rendre Ie temps

plus facile a mesurer, on ralentira ces mouve-

mens, en diminuant 1’excès de l’un de ces poids sur

l’autre.

402. On a aussi employé Ie pendule pour determiner la vitesse des projectiles de l’artillerie. Cette machine est ce qu’on appelle Ie pendule de Robins, du nom de l’ingénieur qui en a Ie premier fait usage: ellenbsp;consiste en une masse tres considerable, retenue parnbsp;un axe horizontal solidement fixé. Le boulet dont onnbsp;veut connaitre la vitesse, pénètre dans cette massenbsp;sans la traverser, et met le pendule en mouvement;nbsp;on mesure la grandeur de l’arc que décrit un pointnbsp;determine de la masse totale; d’oü Ton conclut facile-ment saquantité de mouvement, et,conséquemment,nbsp;la vitesse du boulet a l’instant ou il a atteint le pendule.

Soient, en etfet, AEBF (fig. 7) une section du pendule par un plan perpendiculaire a l’axe fixenbsp;et par son centre de gravité , G ce centre, 0 lenbsp;centre d’oscillation (n“ Sgö), C le point ou cette section coupe l’axe, de sorte que CGO soit une droitenbsp;verticale, dans fétat d’équilibre. Soient aussi B lenbsp;point OU ie prolongement de cette droite rencontrenbsp;la surface inférieure du pendule, BB' l’arc de eerdenbsp;qui sera décrit par ce point B et dont C est le centre,nbsp;E le centre de 1’ouverture circulaire que le bouletnbsp;fait a la surface du pendule, ou, plus géuéralement,nbsp;la projection de ce point sur le plan de la sectionnbsp;AEBF. Appdous jj. la masse du boulet, u sa vitesse

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. a l’instant du choc, f la pei'pendiculaire abaissée dunbsp;point C sur la direction de P, projetée sur Ie plan denbsp;AEBF, M la masse du pendule et du boulet, a Ia distance du centre de gravité de M a 1 axe fixe, M(a’-1-A:*)nbsp;son moment d’inertie par rapport a cet axe ; nous au-I’ons (n* 386)nbsp;pour la valeur de £1 qu’il faudra substituer dans 1 e-quation (a) du n° 394, dans laquelle on fera aussinbsp;Cl = o, puisque le pendule part de sa position d’equi-libre, II s’en ecartera jusqu’a ce que la vitesse angu-laire soit nulle; par consequent, si Ton designe par €nbsp;1 angle BCB', on aura, d’apres cette equation (a) ,

nbsp;nbsp;nbsp;=2ga(l-C0sg),-

g étant la gravite. En designant par b la corde de I’arc BB', et par c le rayon CB, nous aurons

/O nbsp;nbsp;nbsp;6“

cos b = I--.

2C‘

Je substitue cette valeur dans 1 equation précé-dente, et j’en deduis ensuite celle de v*; ce qui donnenbsp;n étant le rapport de M a //., qui sera un tres grandnbsp;nombre donne.

Toutes les autres quantites contenues dans cette formule seront aussi connues. La distance c se mé-

n8 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQÜE.

sure immédiatement; la corde lgt; est donnée au mojen d’un ruban attaché au point B, et passant dans un anneau fixement attaché au terrein:nbsp;la partie de ce ruban qui se déroule et traverse l’an-neau pendant l’élévation du pendule, est effective-ment égale a Si Ie tir est horizontal, la quantité ƒnbsp;est la distance de l’axe de la piece a Faxe de rotation;nbsp;si Ie tir s’écarte un peu de l’horizontalité, auquel casnbsp;la droite qui va du point E a la bouche du canonnbsp;nest plus horizontale, il est facile de calculer, avecnbsp;une approximation suffisante, la quantité qu^’il fautnbsp;ajouter a la distance des deux axes, ou qu’il en fautnbsp;retrancher , pour avoir la valeur de ƒ. Quant auxnbsp;quantités a et A:, on peut les calculer d’après la formenbsp;du pendule et les densités de ses parties; mais leursnbsp;valeurs s’obtiennent aussi par 1’expérience.

On attache une corde a la partie inférieure du pendule; on fait passer celte corde sur une barrenbsp;fixe, parallèle a Faxe de ce mobile, et élevée a lanbsp;niême hauteur, au-dessus du terrein; puis, a Fautrenbsp;bout de la corde, on suspend un poids qui soulèvenbsp;Ie pendule jusqu’a ce que son centre de gravité senbsp;tronve au niveau de Faxe et de la barre. Dans cettenbsp;position, si l’on appelle M' Ie poids suspendu a lanbsp;corde, et a! la distance donnée de la barre a Faxe, onnbsp;a cette proportion :

a : a' :: M' : M,

qui fait connaitre la valeur de a.

Si Fon fait faire au pendule de petites oscillations, et qu’on appelle T la durée d’une oscillation entière,

DYNAMIQÜË, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;119

et l la distance du centre d’oscillation a l’axe de suspension , on aura (n° 5g5)

T :

d’oü l’on tire

H— ——

et la valeur de k sera connue dapres cèlle de ct. Au mojen de cetle valeur de 4- k% on aura, plusnbsp;simplement,

(a)

¦zr/c ’ nbsp;nbsp;nbsp;'' '

pour l’expression de la vitesse du boulet.

4o3. Si la bouche du canon n’est pas tres éloignee du pendule, la valeur de v, donnée par cette formule, différera peu de la vitesse de projection dunbsp;boulet; et en supposant connu Ie coefficient de la resistance de l’air, il sera facile de calculer, au moyennbsp;de la formule (5) du n° 212, la quantité dont on de-vra augmenter cette quantité o, pour avoir la vitessenbsp;de projection. Mais on obtiendra immédiatement lanbsp;grandeur de cette dernière vitesse, en attachant fixe-ment Ie canon au pendule : la quantité de mouvement imprimée au pendule, ainsi composé , seranbsp;alors la masse jU. du boulet, multipliée par la vitessenbsp;du boulet a la bouclie du canon, dont Ie recul, a raison de la compressibililé de la matière, ne commen-cera pas sensiblement avant que Ie projectile ait par-couru toute la longueur de la piece; par conséquent,nbsp;la valeur de donnée par la formule (n), sera celle

120 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

de Ia vitesse de projection, sans aucnne correction, et sans qu’on ait besoin de connailre Ie coefficientnbsp;de la resistance.

En tirant successivement a différentes distances données du pendule, avec un même canon, chargénbsp;de la même manière, on aura autant de valeurs de e,nbsp;dont les differences entre elles e1^ avec celle que Tonnbsp;obtlent quand Ie canon fait partie du pendule, pour-ront servir a verifier la loi de Ia resistance de l’air,nbsp;sur laquelle est fondée la formule (5) du n® 212, et anbsp;determiner Ie coefficient de celte resistance.

On a fait, en Angleterre, un grand nombre d’ex-périences au moyen du pendule de Robins, employé des deux manières que nous venons d’indiquer (’?'),nbsp;üne des consequences les plus générales qu’on en anbsp;déduites, consiste en ce que, toutes choses dailleursnbsp;égales, les carrés des vitesses de projection sont anbsp;peu prés entre eux comme les poids des clwrges, etnbsp;que ce rapport approcbe d’autant plus d’etre exact,nbsp;que la longueur de la charge est moins considerable ,nbsp;relativement a celle du canon.

('') Nouvelles experiences diArtillerie, par Ch. Hutton; ouvrage traduit dé 1’anglais, la première partie par Villan-tröys, et la seconde par M. Terquem.

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTIE.

*^'V\A(VV\vVWVVVWWVWVVV»'VWWWWVWWVVV\A/VVWWVWVWWWVW\^/Vgt;iVV\W\‘VWVWVV\iV\^'W^\'\gt;

CHAPITRE IV.

Du MOUVEMENT D’UN CORPS SOLIDE AUTOUR D’UN POINT FIXE.

§ Iquot;. Formules préliminaires.

404. Considérons d’abord en lui-même, et indë-pendamment des forces qui Ie produisent, Ie mouvement de rotation d’un corps solide de figure quel-conque, autour d’un point fixe appartenant a ce corps, Ou qui y soit invariablemenl attaché.

Soient 0 (fig. 5) ce point; Ooc, Oy, Oz, trois axes fixes et rectangulaires, choisis arbitrairement; Ox^, QTquot;/»nbsp;Oz^, trois autres axes rectangulaires, fixes dans Ie corps,nbsp;et mobiles avec lui autour du point 0. Dans la suite,nbsp;nous supposerons que ces dernières droites sont lesnbsp;axes principaux du corps; mais maintenant leurs directions sont entièrement arbitraires. Soient aussinbsp;^ gt; J, z, les coordonnées d’un point quelconque Mnbsp;du corps, i’apportées aux premiers axes, et x^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

ses coordonnées rapportées aux axes Oxj, Qy^, Oz^. Er conservant toutes les notations du n° oj'j, nousnbsp;aurons

X =z ax, 4~ bj, cz-i, j- = a'x^ -f- b'ji 4- c'z,,

122

TRAITÉ DE MÉCANIQUE. et les neuf coefficieas a, h, etc., seront lies entrenbsp;eux par les equations (2), ou par les equations (4),nbsp;de ce numéro.

II est évident que ces quantités a, b, etc., sont les mêmes, a chaque instant, pour tous les points dunbsp;corps; mais elles varient pendant Ie mouvement, etnbsp;Ton dolt les considérer comme des fonctions dunbsp;temps. Au contraire, les coordonnées x^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^, va

rient d un point a un autre du mobile; mais elles restent constamment les mêmes pour un même point,nbsp;et ne varient pas avec Ie temps. En représentant donenbsp;Ie temps par t, et difFérentiant par rapport a cette va-^nbsp;riable, on aura

1 T dx dr dz nbsp;nbsp;nbsp;.nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;^ .

Les valeurs de —, ^^, exprimeront, a un instant quelconque, les composantes parallèles aux axes Ox, Oj-, Oz, de la vitesse du point M. Si done onnbsp;veut connaltre les points du corps dont la vitesse estnbsp;mille a eet instant, on les déterminera en égalant cesnbsp;quantités a zéro; ce qui donne

x^da -j- j^db ¦ ¦ zjdc = o, ) xjda' j^db' Z(dd z=. o, gt;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(i)

xfid'-^ j]dbquot; z/lcquot;=. o. )

Or, en ajoutant ces équations, après les avoir mul-

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;laS

tipliées par c, c', cquot;faisant, pour abréger,

cdb-\-c'db'-{-cquot;db''=pdt, cda-\-c'da'~\-c''da!'——qdt;

et observant que l’équation nbsp;nbsp;nbsp;i donne

cdc c'dc' -f- cquot;dcquot;— o, il vient

PJi — 9^/ =

Si l’on ajoute ces mêoies equations (i), après les avoir multipliées par b, b', bquot;, on trouve

rx^ — pz^ — o,

en faisant, pour abréger,

bda Vdd U'dd' = rdt,

et observant que l’équation 6* b'*-\- bquot;^=^ i donne bdb b'db' bquot;dbquot; = o, et que, d’après l’équationnbsp;bc -f- b'c'-\- bquot;cquot; = o du n® 577, on a aussi

hdc-\-b'dc'-hbquot;dc’'=—cdb — c'db'— c’'dbquot;=—pdt.

Enfin, les equations (1) étant multipliées par a, a', nquot;, et ensuite ajoutées, il en résulte

qz, — rj, = o;

car on a ada a'da' d'daquot; = o, a cause de H- a'* 4- «quot;* = i; et, de plus, les equationsnbsp;ba -f- b'a' -j- b’^a!' = o et ca 4- da' 4- d'aquot; — o dunbsp;numéro cité donnent

adb- - a'db'-\- aquot;dbquot;= — bda—b'da'—bquot;dd'— — rdt, ddc'-\-d'dcquot;= — cda —c'da'—cquot;daquot;= qdt.

Au lieu des équations (i), nous aurons, de cette

TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

maniere, pjr^ — qx^z=o, rx,—pz=o, qz,~-rj=Q. (2)

Chacune de celles-ci est comprise dans les deux au-tres; et elles appartiennent a une droite passant par l’origine 0 des coordonnées.

II suit done de cette analyse que tous les points du corps, dont la vitesse est nulle a un instant quelcon-que, sont ranges sur une droite passant par Ie centrenbsp;de rotation. Cette droite peut être regarde'e commenbsp;immobile pendant un instant infiniment petit; done,nbsp;pendant eet instant, Ie corps tourne autour de cettenbsp;droite comme autour d’un axe fixe; et l’on doit senbsp;reprësenter Ie mouvement de rotation d’un corpsnbsp;solide autour d’un point fixe, comme ayant lieu, anbsp;chaque instant, autour d’un axe qui reste immobilenbsp;pendant un intervalle de temps infiniment petit. Ennbsp;general, la position de eet axe dans l’inte'rieur dunbsp;corps change, d’un instant a l’autre , pendant Ienbsp;mouvement; et, pour cette raison, on l’appellenbsp;Yaxe instantané de rotation.

4o5. Supposons que la droite 101' solt eet axe au bout du temps.les equations (2) seront cellesnbsp;de ses projections sur les trois plans des coordonnées X,,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z/, d’oü l’on conclut facilement

P

(3)^

cos lOz, = -7========:..

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;tzS

Lors done qne les trois quantités p , q, r, se-ront connues, on pourra assignee Ia position de l’axe instantané, par rapport aux axes mobiles Oj^j,nbsp;Ozp, et, d’après Ie signe qu’on donnera au radical, lanbsp;partie 01 de cette droite, a laquelle ces formules ap-partiendront, sera complètement déterminée : doré-navant, nous regarderons toujours ce radical commenbsp;une quantité positive.

Toutes les fois quep, q, r, seront des constantes, l’axe de rotation i'estera fixe dans Ie corps, c’est-a-dire, qu’il Ie traversera constamment dans les mémesnbsp;points. Or, les points du corps dont la vitesse estnbsp;nulle a chaque instant, étant toujours les mémes, ilsnbsp;demeureront immobiles pendant toute la durée dunbsp;mouvement j done, dans ce cas, l’axe de rotation seranbsp;aussi une droite fixe dans l’espace.

D’après l’équation (2) du n° g, et les notations du n” 377 , on aura

cos lOa: = a cos nbsp;nbsp;nbsp; b cos I0j-, c cos lOz^,

cos lOjquot; = a'cos lOx^ b'cos lO/^ c'cos lOz^, cos lOz = fl'cos lOa:, Zgt;quot;cos lOj^ c'cos lOz^;

V'p'‘ 7*4- r“

pour determiner ia direction de l’axe instantané, par

126 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

rapport aux axes fixes Ox, O7, Oz. II en rësulte que quand p, q, r, seront des quantites constantes, lesnbsp;numérateurs de ces formules devront aussi être in-dépendans de t; ce qu’on vérifiera, effectivement,nbsp;dans la suite.

406, Puisqu’a chaque instant Ie mouvement a lieu autour de la droite lOI' com me au tour d’un axe fixe,nbsp;il en rësulte que tous les points du corps ont, pendant un instant infiniment petit, une méme vitessenbsp;angulaire autour de eet axe (n® 584)* Pour en dëter-miner la valeur, considërons Ie point qui se trouvenbsp;sur l’axe Oz^, a une distance du point O ëgale .anbsp;l’unitë; nous aurons, relativement a ce point, —o,nbsp;z, == I j sa vitesse absolue sera done

d’après les valeurs prëcëdentes de ~~ l’on aura, pour sa distance a l’axe de rotation ,

sin lOz, = N/i — cos“ lOF = nbsp;nbsp;nbsp;.

done, en divisant la vitesse absolue par cette distance, nous aurons

\/dc’‘ dc”^ dcquot;^

pour la vitesse angulaire. Or, nous avons —pdtz=:.bdc-\-h'dc'dd', qdtz=zadc-\~a'dc'-\~a!'dcquot;'

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;127

d’oü Ton déduit, en ayanl egard aux equations du n» 377,

{p' q')dt’^=dc'-{~dc'* dcquot;^-—{cdc-\-c'dc'-\-cquot;dd'Y‘,

quantité qui se réduit a dc^-\-dc'’^-\~ dcquot;*^ a cause de cdc c'dc'cquot;dcquot;s=o. Done, en appelant co lanbsp;vitesse angulaire au bout du temps i, et lai considé-rant comme une quantité positive, on aura sim-

plement__

co = \/p‘ -j- nbsp;nbsp;nbsp; r*.

On voit que cette vitesse sera constante toutes les fois que la position de l’axe de rotation sera invariable j niais la proposition inverse n’est pas égale-nient vraie; et il est possible que l’axe instantanénbsp;change de position , sans que la vitesse angulairenbsp;change de'valeur, ou, autrement dit, il est possiblenbsp;que les quantitésp, q, r, soient variables, et que lanbsp;valeur de co demeure constante.

407. On appelle p, q, r, les composantes rectan— gulaires de la vitesse de rotation co autour des axesnbsp;Ox^, Ofi, OZi; et l’ou dit aussi que chacune de cesnbsp;trois quantités est la vitesse angulaire du mobilenbsp;autour de l’axe correspondant.

Or, les équations (3) peuvent être remplacées par

P = ro cos lOx^, q —co cos 10/^ ^ r = co cos lOz,; ct 1 on peut écrire les équations (4) sous cette forme :

«cosIOx ~ ap bq cr,

® cos lOj = a'p -f- b'q -j- c'r, öcoslOz = cJ'pSr b''q-\- cquot;r-,

128 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

d’oü l’on conclut que la decomposition des vitesses de rotation suit les mêmes lois que celle des vitesses denbsp;translation, en remplacant les directions de celles-cinbsp;par les directions des axes de rotation.

La re'sultante oo étant une quantité positive, et ajant pris la partiè déterminée 01 de la droite lOI'nbsp;pour l’axe auquel elle se rapporte, les composantes p,nbsp;q , /’, dont les axes sont , 0/^, Oz^, seront positives OU negatives, selon que ces droites feront desnbsp;angles aigus ou obtus avec l’axe 01; et générale-ment, on devra regarder comme égales, mais denbsp;signes contraires, les composantes de co 'rapportéesnbsp;aux deux parties d’une même droite, ou dont lesnbsp;axes seront Ie prolongement l’un de l’autre.

4o8 Non-seulement on peut, au mojen des trois quantile's p, q, r, de'terminer la vitesse angulairenbsp;du corps et la position de son axe de rotation, parnbsp;rapport aux axes mobilesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;0^^, Oz^, mais on

peut aussi exprlraer les vitesses et les forces accélé-ralrices de ses différens points, de'composées sulvant ces trois axes; ce qui nous servira, comme on Ie verranbsp;bientót, a trouver de la manière la plus directe, lesnbsp;equations de son mouvement de rotation.

En effet, les composantes de la vitesse du point M

, dx dr dz

’ li* dl’ rapport aux axes fixes Qx,

Oj , Oz, il s’ensuit que les composantes de la même vitesse, par rapport aux axes Ox^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, Oz,,

seront

d’après les notations du nquot; ^77 , et paree, que la composition des vitesses snit les mêmes lois que cellenbsp;des forces. Or , en substiluant dans ces expressions

les valeurs de ^ nbsp;nbsp;nbsp;^, du n” 4lt;gt;4 gt; effec-

tuant des i’éductions qu’on a déja faltes dans ce numéro , on trouve

par conséquent, les trois quantités qz^—rcc^—pz^, pj^ — qx^, qui sont nulles pour totis les points dunbsp;corps situés sur l’axe instantané de rotation, expri-naent, pour un autre point quelconque M, les com-posantes de sa vitesse , parallèles aux droites ,

Qr,, Oz^.

On tire de ces dernières equations , en ayant égard a celles du nquot; 577 ,

dx

^ = a {qz^ rj) b {rx, — pz,) c(pj^ — qx^), dj ^

quot;dt = «(92, — 77-;) b'{rx, —pz,) -L clipj^ — qx;),

A — nbsp;nbsp;nbsp;—nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;rj^) -I- bquot;{rx^ —pz,) c''{pj^ — qx;);

2. nbsp;nbsp;nbsp;o

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;i3i

exprimées au moyen des variables p, q, 7', et de leurs différentielles.

409. Si Ton considère a un instant quelconque les quantités de mouvement dont tous les points dunbsp;corps sont anïmés, leur moment par rapport a cha-cun des trois axes O/^jOz^, suivanf la definitionnbsp;du n° 273, paurront encore s’exprimer au moyen desnbsp;quantités p, q, r.

Pour Ie faire voir, soit dm 1 element différentiel de la masse du corps qui répond au point M, et dontnbsp;les coordonnées sontnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z^; lescomposantcs paral-

lèles aux axes nbsp;nbsp;nbsp;, Oz^, de sa quantité de mou

vement seront les produits des vitesses qz^ — /y^, — pz^, pj^ — q^/’ multipliées par dm; en dési-gnant parL, M, N, les momens par rapport auxnbsp;axes Oz^, Oy^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, des quantités de mouvement de

tous les points du corps, on aura done, d’après cc qu’on a vu dans Ie n° 274,

L =

M = f\iqz, — nbsp;nbsp;nbsp;— {pf, — qx,)x^'\dm,

N == /[(pj,— nbsp;nbsp;nbsp;(rx^ — pz)zym;

les intégrales s’étendanta la masse entière du mobile. On simplifiera ces valeurs en prenant pour Ox^,

Oz^, les trois axes principaux du corps qui se coupent au point 0; ce qui rendra nulles les trois intégralesnbsp;7 fzgt;,X{im ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;et en désignant par A ,

® gt; 0 , les trois momens d’inertie principaux , de sorte qu’on ait

fiJquot; -H 2/“)^'“ = A,

/(z,* x;)dm ~ b;

/(a,y nbsp;nbsp;nbsp;=nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;c,

9-

132 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

on aura simplement

L = Cr, M = N = Ap.

Les quantités r, q, p, auront done constamment les mêmes signes que L, M, N; par conséquent, lenrsnbsp;signes dépendront du sens dans lequei Ie corps tour-nera aufour de chacun des trois axes principaux: se-l,on, par exemple, que Ie corps tournera, parallèle-ment au plan ocfiji, de Ox, vers Oj^, ou dans Ie sensnbsp;oppose, Ie moment L (n” 274) et par suite la vitesse r,nbsp;serontdes quantités positives, ou des quantités negatives; et, réciproquement, Ie signe de r fera connaitre,nbsp;a cbaque instant, Ie sens de rotation autour de Oz^.

D’après les théorèmes du n° 281', si l’on désigne par G Ie moment principal des quantités de mouvement que nous considérons , on aura

G = s/A*p* -f-

en regardant ce radical comme une quantité positive ; si la droite Om (lig. 8) est l’axe de ce moment, sa direction par rapport aux axes mobiles Ox^, Oj/gt; sera déterminée par les formules

cos mOx^ = ^ , cos mOj-^ = nbsp;nbsp;nbsp;cosmOz,= ^; (5)

et pour déterminer sa direction par rapport aux axes fixes Ox, Ojr, Oz, on aura

Gcos7/ï0x == Apa -f- Bqó -h Cre, j G cos mO/ = Apa' -|- Bqb' -|- Ore', i (6)

G cos mOz = Apaquot;Bqbquot; -f- Orequot;-, j

equations dont les seconds membres sont les moraens des quantités dé mouvement du mobile par rapportnbsp;aux axes fixes Ox, Oj, Oz.

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;i33

410. La positioa de ce mobile a cbaque instant, par rapport aux axes fixes, depend des trois anglesnbsp;4,9, cp, du nquot; 378 ; car au tnoyen de ces angles ,nbsp;les trois sections du corps que Ton a prises pour lesnbsp;plans mobiles des coordonnées cc^, y^ ^nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, sont dé-

terminées de position a l’égard de ces plans fixes; et il suffit raême de connaitre la position de deux sections non parallèles d’un corps solide, pour que lesnbsp;positions de tous les points de ce corps soient entière-ment connues. D’aiileurs, quand les angles 4» 9, 9 ,nbsp;seront connus , les coefficiens a, b , etc. , Ie serontnbsp;aussi, et I on connaitra , par conséquent, les coordonnéesnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;z, d’un point quelconque du mobile. Le

problème du mouvement de rotation autour d’un point fixe se réduit done, en dernière analyse, a déter-miner en fonctions du temps, les valeurs de 4» 6?

Or , quand les valeurs de ^ , r, sont connues, celles de ces trois angles dependent de trois equationsnbsp;du premier ordre, que l’on obtiendra eu substituantnbsp;les valeurs Ae a,b, etc. (n” 578), en fonctions de 4^nbsp;9, (p, et celles de leurs différentielles, dans les valeursnbsp;de pdt, qdt, rdt, savoir :

pdt = — bdc — b'dc' — bquot;dcquot; , qdt = adc 4- c^ddnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;d'dd',

rdt hdcL —ddü! —|— b dd^»

Les valeurs de c, d, d', ne contenant pas Tangle (p, il sensuit que celles de pdt et qdt ne conliendrontnbsp;pas sa difïerentielle ; et comme les valeurs de b , b',nbsp;b , se déduisent de celles de a, a', aquot; , en augmen-tant (p d’un angle droit, la valeur de —pdt se deduiranbsp;de même de celle dc qdt. Le coefficient de df sera

i34 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCANIQUE.

I’uuite dans la valeur de rdt; car d’après les formules du n“ 378, on a

da nbsp;nbsp;nbsp;, da'nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;11 daquot;nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,,

üf = *¦ nbsp;nbsp;nbsp;* ’•

d’oii il resulte

b'-f

pour la valeur de ce coefficient. Toutes reductions faites, Ia substitution des valeurs de a, b, etc., dansnbsp;celles de pdt, qdt, rdt, donne

pdt = sin tp sin nbsp;nbsp;nbsp;— cos (pd^,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;i

qdt = cos (p sin öd-^^ -f- sin pdd, nbsp;nbsp;nbsp;V (7)

rdt = dlt;p — cos Sr/‘4- nbsp;nbsp;nbsp;)

On peut remarquer que Tangle n’entre pas dans ces formules; et, en effet, Tangle 4 ou NOj? étantnbsp;compté a partir d’un axe Oj: entièrement arbitraire,nbsp;les valeurs de p, q, r, ne doivent pas changer quandnbsp;on augmente ou diminue eet angle d’une quantiténbsp;constante.

Puisque r est la vitesse angulaire du mobile aulour de Taxe Oz^, il s’ensuit que rdt doit étre Tangle dëeritnbsp;dans Ie plan des et pendant Tinstant dt, parnbsp;chacun des axes Ox^ et Oj-^; eet angle serait dp, si lanbsp;droite ON, a partir de laquelle on compte Tangle lt;pnbsp;dans ce méme plan, était immobile; mais dans Tinstant dt, Tangle NOa: augmente de d^, dont la projection est cos°ölt;i4nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;J'/j et, selori

que Tangle 0 est aigu ou obtus, il est aisé de voir que la difïërentielle dtp doit êlre diminuée ou aug-mculée de cette projection, pour avoir Ie deplace-

DYNAMIQÜE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;i35

ment de ou , par rapport a mie drolte fixe dans Ie plan de ces axês. Par conséquent on aura,nbsp;dans tous les cas, rdt = dlt;p~-cos ^d-i^, comme onnbsp;vient de Ie trouver.

4ii. II existe entre les cosinus a, b, etc., et les quantités p , q, r, des relations qui peuvent étrenbsp;utiles dans beaucoup d’occasions, et qui sont expri-mées par les equations différentiellesnbsp;dc— {aq—bp)dl, dc'—{aq—b'p)dt, dcquot;—{aquot;q—bquot;p)dt, ^nbsp;db—{cp—ar)dt, db'={c'p—dr)dt, db”={c''p—aquot;r)dt, | (8)nbsp;dazz:[br—cq)dt, dd—{b'r—cq)dt, dd'~{bquot;r—cquot;q)dt, )

On obtient les trois premières de ces equations, en ajoutant les equations

adc H- a'dc' a*dc* = qdt, hdc 4- h'dd 4- V'dc^ = — pdt,nbsp;cdc c'dc' -h d'dcquot; — o ,

après les avoir multipliées respectivement, soit par a, b, c, soit par a', b', c', soit par a!', V', cquot;, et ennbsp;ajant égard aux equations du nquot; Syy. On obtient lesnbsp;trois sulvantes, en opérant d’une manlère analoguenbsp;sur les équationsnbsp;nbsp;nbsp;nbsp;,

cdb -f- c'db' d'dbquot; = pdt^ adb -f- a'db' -f- d'dbquot; = — rdt,nbsp;bdb b'db' bquot;dbquot; = o;

et en opérant de même sur les équations

bda h'da' -f- bquot;dd' == rdt, cda 4- c'da' 4“ cquot;dd' = — qdt,nbsp;ada 4- a'dd 4- d'dd' = o, .nbsp;on parvient aux trois dernières équallons (8).,

136 nbsp;nbsp;nbsp;TRAITÉ DE MÉCAN7QUE.

On a encore les equations

pda qdb 'cdr — o, pda' -f- qdb' cdd = o ,nbsp;pdaquot;-}- qdbquot;-}- cdrquot;= o,

qui sont une consequence immediate des neuf equations (8), et qui servent a ve'rifier Finvariabilite des numerateurs des formules (4), lorsque p, q , r, sontnbsp;des quantites constantes.

§ II. Equations du mouvement de rotation autour d’un point fixe.

412. Tout ce qui precede étant établi, supposons maintenant que des foi'ces motrices donnees agissentnbsp;sur tous les e'le'mens du mobile, et cherchons, ennbsp;ayant e'gard a ces forces, les equations différen-tielles de son mouvennent autour du point fixe 0.

Au bout du temps t quelconque, designons par 'S.fim,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;, Tifim, les trois composantes paral-

leles aux axes principaux Ox^, nbsp;nbsp;nbsp;, Oz^, de la

force motrice de 1 element dm. Si ce point materiel était llbre, ces forces lui imprimeraient, dans Tins-tant dt, suivant leurs directions, les vitesses ^jdt,nbsp;Yfit, Tifit, Les accroissemens de vitesse qu’il recoitnbsp;reellement, suivant ces directions, sont les quantiles pfit, qdt, rfit, du n° 4o8 ; les composantesnbsp;de la force perdue par I’element dm, pendant fins-tant dt, sont done

(X, — p^ dm, nbsp;nbsp;nbsp;(Y^ — q^) dm ,nbsp;nbsp;nbsp;nbsp;(Z^ — r^) dm.

Le corps sera done en equilibre (n° 55o), en sup-

DYNAMIQUE, SECONDE PARTIE. nbsp;nbsp;nbsp;187

posant tons ses ëléniens sollicitës par de semblables forces. Or, les equations d’équlllbre d’un corps solide , autour d’un point fixe, sont au nombre denbsp;trois (n® 266), qui seront, relativenient a ces forces,

ƒ [Y. - 9.) - (X, - dm = o,