un_tl ^u_ yzj

siSmim

LEERBOEK

DER

TRIGONOMETRIE

DOOR

D. P. A. VERRIJP,

Leeraar aan het Gymnasium te Arnhem.

TWEEDE DEEL:

SPHERISCHE TRIGONOMETRIE.

(Met bijna 200 Vraagstukken.)

\'S-GEAVENHAGE. - JOH. YKEMA. — 1899.

7=»r»T 7 Q r n ^LCL ..

blBLIOTHEEK DER R1JKSUNIV ,;SiTElT U T R EC l-i T

-^9

Bij JOH. YKEMA, den Haag is mede verschenen:

S. DE GAST Jz.,

leerboek der Sïehenhunde,

le deel, Vijfde Druk ... ƒ 1.S5. 2e deel, Derde Druk . . . „ 1.35. 3e deel..........„ 1.40.

Dit werk zou ik u als het mij voorkomende beste studiewerk kunnen aanraden, omdat het in alle geval de verdienste heeft, dat de hoofdzaken er goed in uitkomen en deze helder en breed zijn uitgewerkt. Het is m. i. voor studeerende onderwijzers het beste, meest volledige, meest practische en bruikbare. Een groot aantal opgaven, aan verschillende examens ontleend, besluit elk deeltje en verhoogt de waarde.

School en Studie. A. J. M. Brogtrop.

Van de mij bekende leerboeken over rekenkunde wijkt het onderhavige in menig opzicht af. Ik Behoef daarbij slechts te wijzen op de rangschikking der stof, op den aard van vele bewijzen, op de menigte met zorg gekozen vragen en opgaven tusschen den tekst, op den toeleg van den schrijver om den leerling een helder inzicht te geven in het verband, dat er tusschen verschillende eigenschappen bestaat. Wat eindelijk de bruikbaarheid van dit leerboek in mijn oog nog aanmerkelijk verhoogt, Is dit, dat de schrijver bij vele eigenschappen wijstop het practisch nut er van. \'t Komt mij voor, dat het werk uitstekend geschikt is voor onderwijzers, die zonder leiding studeeren.

Tusschen den tekst vindt men tal van opgaven, die bijna evenzoo vele vingerwijzingen zijn. Aan quot;t slot treft men 250 methodisch gerangschikte voorstellen aan.

Dat een derde druk niet lang op zich zal laten wachten, waarborgen m. i. de twee voorname kenmerken van het boek: degelijkheid en duidelijkheid.

De Schoolwereld. F. Duiker.

Ik acht het boek van den heer De Gast voor hen, die zich zelf moeten helpen bij de studie der rekenkunde beter dan eenig ander mij bekend leerboek over dat vak. Ik heb hierbij het oog op studeerenden voor hulp- en hoofdacte.

Het boek is overal streng logisch, eenvoudig en daardoor helder van stijl, volledig, maar volstrekt niet vermoeiend. Een rijke verzameling vraagstukken besluit elk deel.

Zie pa ff. 3 omslag.

LEEK HOEK

DEK

T EIGOXO MET EIE

DOOR

D. P. A. VERRIJP,

Lccvciüv aan J/ct Gniniicisiuiu te Anihevi.

TWEEDE DEEL:

S P H ER1S C 111-: T R 1 G OXOM ETR11-:.

(Met bijna 200 VraagstukkeE.)

\'S-ii K AVEXHAGE. — YKEMA. l-\'.f.i.

RIJKSUNIVERSITEIT TE UTRECHT 2763 514 7

Present Exemplaar Tan den Üiteover.

LEERBOEK

DEK

TRIGONOMETRIE

DOOR

D. P. A. VERRIJP,

Leeraar aan het Gymnasium te Arnhem.

TWEEDE DEEL:

SPHERISCHE TRIGONOMETRIE.

(Met bijna 200 Vraagstukken.)

\'S-GRAVEXHAGE. - JOH. YKEMA. — 1899. ,r\'«*^!y.^E.^RSITE\'^{T TE} utrecht

2763 514 7

TYP. ZUID-HOLL. BOEK- EN HANDELSDRUKKERIJ, \'S-GRAVENHAGE.

SPHERISCHE TRIGONOMETRIE.

§ 106. De splierisclie of bolvormige Trigonometrie (Boldrie-lioeksmeting) houdt zich bezig met de toepassing der Groniometrie op figuren op den bol (hoofdzakelijk boldrielioeken) of op figuren die uit deze zijn samengesteld.

Zijden van of spherische lijnen in deze figuren en de hierin voorkomende hoeken worden, in welke richting en zin ook gemeten, steeds als positief beschouwd.

RECHTHOEKIGE BOLDRIEHOEKEN. Formules.

§ 107. Grondformules, Li een rechthoekiyen holdriehoeJc is de cosinus der schuine zijde gelijk aan het product van de cosinussen der rechthoekszijden.

Zij van ABC : BC = «,

CA = b, AB = c en / B = 90°,

dan is:

cos h — cos a cos c. . (1)

Bewijs. Zij O het middelpunt van den bol. Trek dan de stralen OA, OB en OC, laat uit een willekeurig punt E van OC de loodlijnen RP en RQ op de andere stralen of hunne verlengden neer, en verbind P met Q, dan is

4

vooreei-st RQ, J_ AOB dus RQ J_ PQ. Verder is 01\' J_ PR, en OP JL RQ dus OP J_ PQ. Laten nog OA, OB, OC, AD, AE [of PR] (beide laatste van raaklijnen aan de bogen AB en AC dus J_ OA) en QR positieve riclitingen en lijnen in die richtingen en de tegengestelde gemeten resp. positief en negatief zijn, dan is

OQ .. OP OP ₇

COS a COS C = . . X 7Vr\\ ⁼ . ⁼ COS O.

O-tx O v) -tv

In een reclitlioehigen boldrieJioeh is de tangens van een rechtlwelcs-ztjde gelijk aan het product ran de tangens van den overstaanden hoelc en den sinus van de andere reclithoehszijde.

tg a = tg A sin c.......(2)

tg c = tg C sin a.......(3)

-rt /cy\\ I a QR PQ QR

Bewijs van (2). tg A sin ^c = X _(J(^ = _{( )(i} = tg a.

Op soortgelijke wijze bewijst men (3).

§ 108. Afgeleide formules. In een recJithoelcigen holdriehoeh is de sinus van een rechtlioelcszijde gelijk aan het product van den sinus van den overstaanden hoelc en den sinus der schuine zijde.

sin a = sin A sin h.......(4)

sin c = sin C sin l).......(5)

Bewijs van (4). Hiertoe elimineeren we c uit (1) en (2) aldus:

₁ • o , o tg² « t cos² h

1 = sm- c 4- cos- c = . „ . -5—

tg-A cos-rt

-- cos² a

cos² a = sin² a cot² A -j- cos² b 1 — sin² « = sin² a cot² A-f-1 —sin² amp;

sin² b = sin² a (1 ^cof² A)

----sin² A

sin² b sin² A = sin² a,

dus, daar sin b, sin A en sin a steeds positief zijn,

sin b sin A = sin a.

Op soortgelijke wijze bewijst men (5).

In een rechthoehigen boldriehoeJc is de tangens\' van een rechthoeks-zijde gelijk aan het product van den cosinus van den aanliggenden scheeven hoek en de tangens van de hypotenusa.

tg c = cos A tg amp;.......(6)

tgrt = cos C tg amp;.......(7)

Bewijs van (6). Hiertoe elimineeren we a uit (2), (4) en (1) aldus:

, sin a

tg a = --

cos a

sin A sin h

tquot;: A sin c =

cos h

cos c

tg A cos c-------

O quot;

to- c = cos A tg h.

Op soortgelijke wijze bewijst men (7).

hi een reclitlioelcujen boldriehoek is de cosinus van de schuine zijde gelijk aan het product van de cotangentcn der aanliggende hoeken.

cos h — cot A cot C......(8)

Bewijs. Uit (2), (3) en (1) volgt:

, . , sin c . . sin a

cot A cot C = -- X t-

tg a tg c

= cos a cos c

= cos b.

In een rechthoekigen boldriehoek is de cosinus van eiken scheeven hoek gelijk aan het product van den cosinus der overstaande zijde en den sinus van den anderen sclweven hoek.

cos A = cos a sin C.......(9)

cos C = cos c sin A.......(10)

Bewijs van (9). Uit (1), (5) en (6) volgt:

„ cos b . , sin c

cos a sm O — - X -—;

cos c sm b

_ tg c ^— tg6 — cos A.

Op soortgelijke wijze bewijst men (10).

§ 109. De formules (4)—(7) kunnen ook gemakkelijk uit de figuur worden afgeleid.

§ 110. Men kan de tien formules der reclitboekige boldriehoeken samenvatten in den regel van Napier (1614): Indien men, den driehoek rondgaande, de elementen, met uitzondering van den rechten hoek, opschrijft in de volgorde, waarin zij voorkomen, en daarbij de

reclithoékszijden vervangt door hunne complementen, dun is de cosinus van elk element gelijk aan het product van de cotangenten der aanliggende elementen, of gelijk aan het product van de sinussen der niet aanliggende elementen.

Immers den boldrielioek op de voorgesclireven wijze rondgaande , lieeft men:

Vraagstukken.

Bewijs, zoo van bol A ABC / B = 90°, de volgende formules:

1. tg² | « = tg Jr (i -f c) tg -i- 0 — c). (T. TJ.)

2. tg* (45° i A) =

sin {h — c)

3. tg² i A = . „ ,

sm {h -j- ⁽\')

4. tg² (45° — 1 i) =

5. (4öquot;-i»)-_sricr -_r).

6. tg² (45° - ^ A) = tg i (C - c) tg i (C c).

7. t-² 1 i = — ^{008 (A C)}

⁰ - cos (A — C)

8. tg² | a = cot i (A — C — 90°) cot -} (A C 90°). cos a -|- cos c

9. sin (A C) =

7

cos c — cos«

10. sm (A — C) = _;-.

^v 1 — cos a cos c

n /*!/-! ^si^{n a S}i^{n C} /rri TT \\

11. cos (A 4- O = — -Z—I-. (T. U.)

1 -j- cos a cos c

12. cos (A — C) = , ^{Sma Smr} . (T. II.)

1 — cos a cos c

13. sin (a ^ 2 cos² C cos a sin h. (T. TJ.)

14. sin (6 — a) = 2 sin² -J- C cos a sin b. (T. U.)

15. sin {b — a) = sin c cos a tg -J- C.

16. sin (b — a) = tg c cos i tg C.

17. sin (a i) = cot² C sin {b — «). (T. U.)

18. sin² a cos² c = sin {b — c) sin {b r).

19. cos² A sin² b = sin {b — a) sin {b «)•

20. sin² A cos² b — sin (A — a) sin (A -i- a).

21. sin² A = cos² C -fquot; sin² A sin² c.

22. tg a cos b = sin c cot C.

23. sin² -J- J) = sin² a cos² c -fquot; sin² 4- c cos² i a. (T. U.)

24. tg² b = tg² a -f- tg² c 4quot; tg² a tg² c. (Ki.)

25. Bewijs, zoo van IjoI ABC! / A = 90° en h = c,

cot B = cos b.

26. Bewijs, zoo van bol ABC / C = 90° en c — 2 a,

27. Bewijs, zoo van Lol ^ ABC / C = 90° en cle splierisclie projectie van b op AB is,

tg² b = igc tg2}- (Ki.)

28. Bewijs, zoo van bol /\\ ABC / A = 90°, h de spherische hoogtelijn is op BC en p en q cle stukken zijn, waarin die hoogtelijn BC verdeelt,

sin² h = tg^j tgg. (Ki.)

29. Bewijs, zoo van bol /\\ ABC a — 90° en 7« de spherisclie hoogtelijn is op BC,

cot² li = cot² B cot² C. (L. M.)

30. Leid de formules (4) en (6) uit de figuur af.

8

Oplossing der rechthoekige boldriehoeken.

§ 112. Geval I. Gegeven h en A, gevraagd c, a en C. c Oplossing.

\\ Om den regel van Napier gemakkelijk

\\ te kunnen toepassen, gaan we den bol-/ \\ driehoek op de voorgeschreven wijze rond,

\\ en onderstrepen de gegevens. Men heeft i dan;

----Jb C, b, A, 90° — c, 90° — a, C, 6, A 90° — c.

^Fis- ³⁷- en dus ter berekening van

1) lt;;, cos A = cot h tg c (de betrekking tusschen h, A en c)

tg c = cos A tg lgt;.

2) a. sin a — sin A sin h (de betrekking tusschen h, A en a). Daar volgens formule (2) a gelijksoortig is met A ¹), verkrijgt

men voor a één bepaalde waarde.

3) C. cos h = cot C cot A (een betrekking tusschen ft, A en C)

cot C = cos h tg A.

Voorwaarde: geen.

Voorbeeld, b = 71° 24\'15quot;, A = 105° 52\'32quot;.

¹

) D. w. z. dat beide tegelijk scherp, recht of stomp zijn.

9

Berekening.

1) c. — tg c = — cos A tg amp;

cot (c — 90°) = sin (A — 90°) tg h log cot (c — 9(1°) = log sin (A — 90°) -f* log tg 6 ■ log sin (A — 90°) = 9,43703 — 10 log tg h = 0,47308

--op

log cot (c —• 90°) = 9,91011 — 10 c — 90° = 50° 53\' 16quot;

c = 140° 53\'16quot;.

2) a. cos (a — 90°) = sin h cos (A — 90°)

log cos (a — 90° ) = log sin b log cos (A — 90°)

log sin ^ = 9,97671 — 10

log cos (A — 90°) = 9,98311 — 10

---⁰P

log cos {a — 90°) = 9,95982 — 10

a — 90° = 24° 16\'

a = 114° 16\'.

3) C. tg (C — 90°) = cos b cot (A — 90°)

log tg (C — 90°) = log cos b -f- log cot (A — 90°) log cos h — 9,50365 — 10 log cot (A — 90°) = 0,54607

log tg (C — 90°) - 0,04972

C — 90° = 48° 16\' 21quot; C = 138°16\'21quot;.

§ 113. Geval II. Gegeven b en c, gevraagd A, a en C.

Oplossing.

C, ö, A, 90° — c_, 90° — a, C, b, A, 90° — c.

1) A. cos A = cot b tg c.

2) a. cos b — cos a cos c

cos b

cos a — -.

cos c

3) C. sin c = sin b sin C

. „ sin c sm O =

sin b\'

Daar volgens form. (3) C gelijksoortig is met c, verkrijgt voor C één bepaalde waarde.

10

Voortvaar de: indien h lt;C 90° en c lt;C 90° moet l c,

„ 6 lt; 90° _r c gt; 90° „ h gt; 180° —c, „ h gt; 90° _n c lt; 90° „ 180° — amp; gt; c, „ l gt; 90° . c gt; 90° „ 180° — h

gt;gt; 180° — c oï c h.

§ 114. Geval III. Gegeven a en c, gevraagd A, C en h.

Oplossing.

C, b, A. 90° — £, 90° — C, amp;, A. 90° — c.

1) A. sin c = cot A tg a

cot A = sin c cot «.

2) C. sin a = tg c cot C

cot C = sin a cot C.

3) b. cos b = cos a cos c.

Voorwaarde: geen.

§ 115. Geval IV. Gegeven A en C, gevraagd c, a en b. Voortvaar den. Uit

A 4- B C gt; 180°, A B — C lt; 180°, A — B C lt; 180°

en — A B Clt; 180°

leidt men af:

90° lt; A C lt; 270°

en — 90° lt; A — C lt; 90°.

Oplossing.

C, b, A, 90° — c, 90° — a, C, b, A, 90° 1) c. cos C = cos c sin A.

cos C

cos c = . . .

sm A

cos A = sin C cos a

cos A cos a — —.—~

sm O

cos b = cot C cot A.

§ 116. Geval V. Gegeven c en A, gevraagd a. C en b.

11

§ 117. Geval VI. Gegeven a en gevraagd c, C en h.

Oplossing.

C, b, A, 90° — c, 90° — a, C, b, A, 90° — c.

1) c. sin c — cot A tg a.

2) C. cos A = sin C cos «

. „ cos A

sm O =--•.

cos a

3) h. sin a = sin A sin h

. , sin a

sin 0 = —-r-

sm A

Voorwaarden: 1. a en A moeten gelijksoortig zijn.

2. Indien a 90° en A lt;lt; 90° moet a lt;! A, a gt; 90° „ A gt; 90° „ 180° — a lt; 180° — A of A lt; a.

Bespreking. Daar de onbekende elementen uit sinussen bepaald worden, vindt men in \'t algemeen voor elk element twee waarden. Welke elementen bij elkaar behooren volgt uit de gelijksoortigheid van c en C en uit form. (1), waaruit we afleiden dat b scherp is, zoo a en c gelijksoortig, doch stomp is, zoo a en c ongelijksoortig zijn. Men heeft de volgende tabel:

12

Voorbeeld. a = 94° 12\'13quot;, A = 92° 13\'47quot;.

1) c. sin c = — cot AX — tg a

sin c = tg (A — 90°) cot (a — 90°)

log sin c = log tg (A — 90°) log cot (a — 90°) log tg (A —90°) = 8,59034 — 10

log cot (a — 90°) = 1, L3372

-------------------------------- ₀p

log sin c = 9,72406 — 10 _Cl = 81° 59\'15quot;. c₂ = 148° 0\'45quot;.

tVv • r\\ _ quot; ~ COS A

2) O. sin (J =

cos a

sin

sin

£ _ sin (A — 90°)

^— sin (a — 90°)

log sin C = log sin (A — 90°) — log sin (a — 90°) log sin (A — 90°) = 18,59002 — 20 log sin (a — 90\'\') = 8,86511 — 10

- af

log sin C = 9,72491 — 10 C, = 32° 3\'27quot;. C₂ = 147° 56\'33quot;.

n\\ 7 . , cos (a — 90°)

3) 0. smö = --y—r-——

cos (A — 90°)

log sin b = log cos (a — 90°) — log cos (A — 90°) log cos (a — 90°) = 19,99883 — 20 log cos (A — 90°) = 9,99967 — 10

- af

log sin b = 9,99916 — 10 b₁ = 93° 34\'. b₂ = 86° 26\'.

§ 118. De theorie van de oplossing der rechthoekige bol-driehoeken vindt (evenals bij de vlakke driehoeken) ook haar toepassing bij de berekening van onbekende grootheden in een (jelijlcbeenigen boldriehoeh, zoo twee onderling onafhankelijke grootheden gegeven zijn, en ook bij een boldriehoeh ivaarvan twee zijden samen 180° zijn. Immers is b.v. (fig. 38) a -\\-h = 180°, dan kan men AC en AB verlengen tot ze elkaar in A\' ontmoeten. In BA\'C is dan CA\' = 180° — h = a dus /\\ BA\'C gelijkbeenig, enz.

13

Een derde toepassing heeft men op de rechtzjdige holdriehoelcen (een zijde = 90°). Im- _c

mers de pooldrielioek

van een rechtzijdigen / \\ \'

boldriehoek is een / \\

rechthoekige, waar- / \\

van men twee ele-inenten kent, zoo er ^B

twee van den rechtzijdigen gegeven zijn. Van den rechthoekigen kan men dan de overige elementen berekenen, waarmede die van den rechtzijdigen eveneens bekend worden.

Vraagstukken.

Bereken de overige elementen van een bol /\\ ABC, zoo gegeven zijn:

1. A = 90°, a = 83° 29\'16quot; en C = 95° 52\'48quot;. (Ki.)

2. C = 90°, c = 71° 24:\'29quot; „ A= 105° 52\'40quot;.

3. B = 90°, h = 95° 39\' „ a = 72° 25\'. (L. M.)

4. A = 90°, a = 112° 30\'21quot; „ h = 50° 7\'.

5. B = 90°, a = 76° 33\'11quot; „ c = 103° 18\'29quot;.

6. C = 90°, a = 53° 39\' „ b = 48° 36\'16quot;.

7. A = 90°, B = 97° 13\'15quot; „ C = 104° 45\'21quot;.

8. C = 90°, A = 65° 15\'13quot; „ B = 135° 33\'40quot;.

9. B = 90°, a = 92° 47\'31quot; , C = 50° 2\' 2quot;.

10. C = 90°, h = 125° 26\'40quot; „ A = 95° 10\'30quot;. (L. M.)

11. A = 90°. b = 62° 11\'28quot; „ B = 66° 6\'24quot;. (Ki.)

12. B = 90°, a = 120° 10\'20quot; „ A = 114° 16\'40quot;. (L. M.)

13. Van een bol /\\ ABC is gegeven A = 90°, a = 82° 3\' 16quot; en b = 77° 56\'44quot;. Bereken de spherische hoogtelijn op BC. (Gr.)

14. Van een bol A ABC is gegeven B = 90°, a = 36° 15\' 12quot; en C = 42° 14\' 15quot;. Bereken de spherische projectie van c op AC. (Ki.)

15. Van een bol /\\ ABC is gegeven C = 90°, c = 25° 36\'12quot; en A = 60° 13\'4quot;. Verbind C spherisch met het midden I) van AB en bereken / CDA. (G.)

14

16. Van een reclithoekigen boldrielioek zijn de rechtlioekszijden 50°21\' en 73° 10\'. Bereken den boog, die liet hoekpunt van den reckten hoek met het midden der hypotenusa verbindt. (B Techn.)

Bewijs voor een gelijkzijdigen boldriehoek de formules 17—21.

17. 2 cos | a sin ^ A = 1. (T. U.)

18. tg² i « = 1 — 2 cos A. (T. ü.)

19. sec A = 1 sec a. (G-.)

20. sec A sec a = tg\'² A — sec a. (Ki.)

21. cos h — cosec -J- A — 2 sin i- A (k = sph. hoogtelijn). (T. U.)

22. Van een gelijkzijdigen boldriehoek is de zijde 60°. Bereken den hoek.

23. Van een gelijkzijdigen boldriehoek is de hoek 60°. Hoe groot is de zijde?

24. Van een gelijkzijdigen boldriehoek is de hoek 70°. Bereken de zijde en de spherische hoogtelijn. (B Civ. Ing.)

25. Van een bol A ABC is gegeven A = B = 82° 35\'17quot; en C = 65° 38\'24quot;. Bereken de spherische hoogtelijn op BC. (G.)

26. Bewijs, zoo van bol /\\ ABC: b -j- c = 180°,

sin 2 B ^siⁿ 2 C = 0.

27. Van een bol ABC is gegeven b = 102quot;3\'16quot;, a = 77° 56\' 44quot; en A = 60°. Bereken de onbekende elementen.

28. Van een bol A ABC is gegeven b = 90°, A = 87° 12\' 29quot; en c = 129° 57\'58quot;. Bereken de overige elementen.

29. Van een bol ^ ABC is gegeven B = 90°, A -j- C = 125° en a = 48°. Bereken A. (T. U.)

30. Van een bol ABC is gegsven C = 90°, A —B = 7° 80\' en a = 105°. Bereken B. (G.)

31. Een lijn maakt met de assen OX, OY en OZ van een rechthoekig coördinatenstelsel der hoeken x, /3 en y. Bepaal de hoeken, die hare projecties op de vlakken XOY, YOZ en ZOX met die assen maken. (B.)

WILLEKEURIGE BOLDRIEHOEKEN. Formules.

§ 119. Grondformules: Cosinusregel. Zij van A ABC: BC = a, CA = b, AB = c en O het middelpunt van den bol.

15

Trek clan de «tralen OA, OB en OC; laat uit een willekeurig punt R van OC! de loodlijn IIP op AO of zijn verlengde, en de loodlijn RS op AOB neer; ver-\'

bind S met P, dan is vooreerst RS J_ PS. Verder is OP J_ PR en RS, dus ook OP J_ PS. Laten nog OA,

OB, OC, AD, AE [of PR]

(beide laatste van raaklijnen aan de bogen AB en AC dus _!_ OA) en SR positieve richtingen en lijnen in die richtingen en de tegengestelde gemeten resp. positief en negatief zijn, dan is, daar de eigenschap van § 25 ook geldt voor een gebroken lijn, waarvan de deelen niet in eenzelfde plat vlak liggen (OB lijn van projectie zijnde):

proj. OR = proj. OP P^roj- PS 4quot; P^roj- SR en volgens § 26:

OR cos a = OP cos c -)- PS cos (90° — c) 0 of OR cos a = OP cos c -j- PR cos A sin c.

OR-------- ----------

cos a = cos h cos c sin h sin c cos A. . . . (1) Evenzoo cos h — cos c cos a sin c sin a cos B . . . . (2) en cos c = cos a cos b sin a sin h cos C. . . . (3 gt;

§ 120. Afgeleide formules. Uit (1) volgt:

cos a — cos h cos c

cos A —

sin h sin c

sin h sin c -(- cos h cos c — cos a

2 sin b sin c \' cos {b — c) — cos ci

2 sin b sin c — 2 sin I- {n -f- b — c) sin jb — c -2 sin h sin c

16

■ ia / ^sm -i — c) sm (s — ?gt;)

sm -J- A = -^:-. . ■-- ... (4)

I sm ty sm r

Evenzoo nog twee dergelijke formules.

Op soortgelijke wijze vindt men:

, . / / sin s sin (s — «)

cos -J- A = -7—7—1- . . . . (5)

/ sm 6 sm c

enz.

Verder (5) op (4) deelende:

\' sin (s — h) sin (s — c)

tg i ^A = |

sin s sin (s — a)

1 | /sin (.9 — o) sin (s — igt;) sin (s—c)

(6)

sin (s — a) \\/ sin s

enz.

Uit (4) en (5) kan men nog een formule voor sin A (= 2 .sin A X cos y A) afleiden.

§ 121. Sinusregel. Uit (1) volgt:

(cos a — cos h cos c)² = sin² i sin² c (1 — sin² A) of cos\'²a-|-cos²icos²c —2cosacos5cosc= sin² isin² c — sin² isin² csin² A •dus sin² h sin² c sin² A = (1 — cos² l) (1 — cos² c) — cos² a —

cos ² Z/cos ² c 2 cos a cos 5 cos c

S_in2

of sin² asin² 6sin² t\'X— = 1 — cos²a—cos²6 —cos²(\'4-2cos« cosicos c

sm- a

Men vindt op dezelfde wijze uit (2) en (3):

sin.quot; B

sin² a sin² 6sin² c X ^rT- = 1 —cos²a —cos²6 —cos²H-2 cosacos^cosc sm² b

sj_n2 ^

ien sin² asin² amp;sin²cX--r-n— =1 —cos²a —cos²è —cos²c 2cosacosamp;cosc

sm^c

Alzoo:

sin² A _ sin² B _ sin² C

sin² a sin² b sin² c

, sin A sin B sin C

en dus - .- = ——_r = .......(O

sm a sm o sm c

In woorden: In een holdricJioek zijn de sinussen der zijden evenredig met de sinussen der overstaande hotlcen.

17

§ 122. Formules afgeleid uit (1), (2), (3), (4) en (5). Noemt men de zijden van den pooldriehoek van ^ ABC: a\', h\' on c\', de hoeken van dien pooldriehoek A\', B\' en C\', A\' -j- B\' -p C\' = 2 S\', dan is:

a = 180° — A\', h = enz.

A = 180° — a\', en55.

sin a = sin (180° — A\') = sin A\', enz.

cos a = cos (180° — A\') = — cos A\', enz.

cos A = cos (180° — a\') = — cos a\', enz.

sin A = sin (90° — ^ a\') = cos ^ a\', enz.

cos -J- A = cos (90° — -}j a\') = sin 4 enz.

sins = sin (270° — S\') = — cos S\'

sin (s — a) = sin (90° — S\' 4quot; A\') = cos (S\' — A\') enz.

Uit (1) volgt dan:

— cos A\' = cos B\' cos C\' — sin B\' sin C\' cos a\'

dus

cos A\' = — cos B\' cos C\' sin B\' sin C\' cos a\'.

Deze formule geldt nu voor den pooldriehoek van een wille-keurigen boldriehoek. Ze geldt dus voor eiken boldriehoek zelf ook. Alzoo:

cos A = — cos B cos C sin B sin C cos a . . (8)

enz.

Uit (5) volgt verder op dergelijke wijze ,A-|-B-j-C = 2S stellende;

cos S cos (S—A)_ / cos (S —180°) cos (S — A)

/ —COSÖCOS (S —Aj _ /COS(i5 —1SUquot;) cos(o —A)

- ^rt \\/ sin B sin C sin B sin C

enz.

Op dergelijke wijze vindt men uit (4):

cos (S — B) cos (S — C)

(10)

sin B sin C enz.

Verder (9) op (10) deelende:

cos (S — B) cos (S — C)

cot J

cos (S — 180°) cos (S — A) 1 | /cos (S—A) cos(S —B)cos(S —C),

cos (S — A) V cos (S — 180°)

enz.

Verrijp. Trigonometrie II.

18

Betvijs van (12):

sin | (A B) _ sin A cos ^ B cos A sin ^ B cos 0 cos 0

Voert men hierin de waarden, in § 120 gevonden voor sin i A enz., dan verkrijgt men na vereenvoudiging:

sin (A B) _ sin (s — h) si¹ ($ — ^a)

cos -J- C sin c

2 sin (2 s — a — h) cos (a — h) 2 sin -g- c cos ^ c

sin -V (A B) _ cos ^ (ct — h)

cos -V C ^— cos c Op dergelijke wijze bewijst men (13), (14) en (15).

§ 124. Analogieën van Napier. Deelt men (12) door (14), dan verkrijgt men:

tg | (A B) _ cos i ja — h) _n(V) cot -J- C cos -J- {a b)

(13) door (15) deelende:

tg | (A — B) __ sin | (a — 6) _n_

cot | C sin ï (a ö).....^{K J}

(15) door (14) deelende:

tg 1 (a 6) _ cos | (A — B) _/1SN

tg i c ^— cos |(A B) \' \' ^{- - V} \'

¹

een halve som de cosinus van een half verschil overeenkomt, nl. in (12) en (15).

19

(13) door (12) deelende;

tg v (a — Ij) _ sin 4- (A — B)

tg c sin l (A B) \'

Bewijs van den sinusregel uit de figuur (door rechthoekige boldriehoeken).

Laten we uit C de splierisclie loodlijn CC\' op AB neer, dan kan C\' tusschen A en B (%. I), in een der punten A en B b.v. B (fig. II) of buiten AB (fig. Ill) vallen.

Onderstellen we vooreerst het eerste. In de rechthoekige boldriehoeken BC\'C en AC\'C is dan:

sin a sin B = sin CC\' = sin I/ sin A en dus sin a : sin ö = sin A : sin B.

Onderstellen we vervolgens het tweede geval. In den recht-hoekigen boldriehoek ABC is dan:

sin a X 1 = sin I sin A of sin a sin B = sin b sin A enz.

In het derde geval heeft men b.v.:

sin a sin (180° — B) = sin CC\' = sin amp; sin A sin a sin B = sin h sin A enz.

20

Formules ter bepaling van het oppervlak eens boldriehoeks.

§ 126. Noemen wij het spheriscli exces van den driehoek E, den straal des bols p, en het oppervlak van den boldriehoek O, dan wordt in de stereometrie geleerd;

⁰ = 7^ X = ïggs X \'f\' . . . (20)

§ 127. Formule van L\'Huilier.

sin J E sin \' (A B C — 180°)

^{tS 4} cos i E ^— cos i (A B C — 180°)

2 sin J- (A B C — 180°) cos l (A B — C 180_o) ^— 2 cos i (A -f B C — 180°) cos i (A B — C 180quot;)

sin -1- (A B) — sin | (180° — C)_sin (A -|- B) — cos {gt; C

cos-l-(A B) cos-i(180^o — C) cos (A -j- B) sin ^ C

sin ^ (A B) ^ cos i {a — b) _ ^

cos -J- C cos -J- C_ cos^c_ cosJ-C

cos^jAJ-B) sin C cos| (a ■ i \' sin | C

sin -g- C cos -è- c

cos ^ (a — h) — cos Ij c 1

cos (a ^) ^cos i ^c \' tg C

— 2sin^(ffl —fc g) sin^-(ft —6 —c) i / sin g sin {s — c) 2 cos (a \'gt; -)- ^c) cos -4- (a b — c) \\/ sin (s — a) sin (s — b)

I /sin² -^(s — h) sin² ^(s — a) sin|-scos ^ssin|-(g —c) cos| —c) \'/ cos²-^scos² |(s — c) \'sin-Ks—a)cos^(s—a)sin-^(s—6)cos|-(s—6)

tg 4 E = 1/tg is tg J- (s — a) tg I (s — b) tg i (s — c) (21) Bij het gebruik van deze formule heeft men te bedenken dat E lt; 90°. Immers:

A B C — 180° lt; 3 X 180° — 180° E lt; 2 X 180°

E lt; 90°.

§ 128. Is van een boldriehoek ABC / B = 90°, dan is E = A B C — 180° = A C — 90°

dus 1 E = 1 (A C) — 45°.

21

Alzoo:

tgi(A C) ₁

tgi(A C)-l _ tgjB _

^g2 l tgi(A C) tgi(A C)

tg^B

cos \\{a — c) ^

cos | (a c) _cos (ct — c) — cos i (a c)_sin | a sin j c

^ ^cos^(a — c) cos^(a c)-|-cos-|(a—c) cos^acos^r-cos^(a4- c)

tg 4E = tg ia tg Ac......(22)

Formules voop de spherische stralen der om- en ingeschreven cirkels eens boldriehoeks.

§ 129. Zij PA = E, de spherische straal van den omgeschreven cirkel van ABC, PF de spherische loodlijn uit P op AB neergelaten, dan is in den rechthoekigen boldriehoek AFP : AF = ^ c en / PAF = ± 1 (A -f B — C) = ¹ (S — C) (stereometrie). Alzoo:

tg A c = cos (S — C) tg R dus

cot II = cos (S — C) cot c (23)

Deze formule geldt blijkbaar ook,

zoo P op AB mocht vallen.

Substitueert men hierin voor cot i ^c de waarde volgens (11), dan verkrijgt men

cos (S — A) cos (S

B) cos (S — C)

cot R =

cos (S — 180°)

Uit form. (23) volgt ook;

cot E, = cos j ^ (A B) — -J- C j cot -J c = j cos I- (A B) cos 4 C sin 4 (A B) sin 4 C j cot -i c

- {⁰⁰⁸ quot;quot; ^ ^Bgt; i sin i C co, 4 C cot i c

cos ^ C

22

(25)

_co^ _2 cos i- a cos -J b sin s sin (s — d) sin (s — b) sin (s — c)

sin -J- c sin a sin b

V sin s sin (s — a) sin (.s — b) sin (s — c) 2 sin -V a sin i h sin c

§ 130. Zij F het raakpunt van den ingesclireven cirkel van A ABC met AB, MF = r de spherische straal van dien cirkel, dan is, boog MA trekkende, in den reclithoekigen boldrie-hoek AFM: AF — s — a en / MAF = -J- A. Alzoo;

tg r = tg I A sin (s — a) . (26) Substitueert men hierin voor tg i A de waarde volgens (6) dan verkrijgt men: \' sin {s — a) sin (s — b) sin (s — c)

(27)

sm s

Uit form. (26) volgt ook:

tg gt;• = tg -J- A sin j | (amp; c) — 1 a ! == tg l A | sin | (6 c) cos ^a— cos ^ (b 4quot; c) sin ^ a |

_tg*A!5ïilt;^)-\'H±(6 jl_sin^„_cosie

- I sm ^ a quot; ¹

cos a

_j. i a (cos i (B — C) _ cos I (B C) \\

⁰² I sinJ-A sin ^ A j^A

| /\' cos (S — 180o) cos (S — A) | /cos (S — B) cos (S — C) I/ sin B sin C I/ sin B sin C

_ 2 sin-|-B sin-è-C |/cos (S —180°) cos (S—A) cos (S —B) cos (S —C)

cos ^ A sin B sin C \\s cos (S —180°) cos (S—A) cos (S —B) cos (S —C)

¹

sm vers A = -^—;—r-A--.

sin o sin c

23

cos a sin b = sin a cos b cos C -f- sin c cos A.

cot a sin h = sin C cot A 4- cos b cos C.

cos a sin B — cos b cos C sin A = cos A sin C.

2 . .

sin A = ———t— V sin s sin (s — «) sin (s — 6) sin (s — c).

sm o sm c \' ^v

2

sin a = ——Tr~-—r, V cos (S — 180°) cos (S — A) cos (S — B) sm B sm C ^{v 7}

X sin (S — C).

24

Bewijs, zoo van bol /\\ ABC: A C = B, de volgende formules:

22. sin² i a = — cot B cot C. (L. M.)

23. cos² ± b = cot A cot C. (L. M.)

24. sin² % b = sin² \\ a sin² -J- c.

25. sin² £ a = sin \\ {b c) sin \\ (p — c).

26. cos² ^ b — cos y (a c) cos ^ (a — c).

27. cos A = tg c cot b.

28. cos B = — tg a tg -J- c.

29. cos -I (a c) = cos -J- b cot B.

30. cos (a — c) = cos i h tg ^ B.

31. sin v (b c) = sin l a cot ^ A.

32. sin ^ (b — c) — sin l- a tg A.

33. tg i B = tg i (A C) _ \\/Z\\t t-

34. tg i (a - O _ x \\/^±i-

35. tg i A = tg i (B — C) = It cY

Bewijs, zoo van bol ABC: A B ^ ^:== 360°, de volgende formules: ¹)

36. cos² £ a = cot B cot C.

37. sin² l a sin² 4- amp; sin² j? c = 2.

38. cos a cos b cos c — — 1.

39. cos² ^ a — — cos (h 4quot; c) cos ^ (b — c).

40. cos A = — cot ^ b cot 4 c.

41. cos ^ {a b) — — cos \\ c cot ^ C.

42. cos \\ (a — ö) = cos ^ c tg C.

43. tg 4 C = - tg i (A B) = | / - ^ | g - g.

44. tg i (A - B) = t 7 f! |/- ^ t S.

sm (a amp;) I/ cos ^ (a — 6)

45. Bewijs, zoo van bol A ABC: a b c = 180°,

tg² A tg² i B tg² ^ C = cos a cos b cos c. (Gr.)

\') De vraagstukken 36—44 kunnen onk worden opgelost door gebruik te maken van 22—35. Immers de som der hoeken van den nevendriehoek op de zijde b van den boldriehoek, bedoeld in 22—35, bedraagt 360°.

25

Bewijs voor een willekeurigen bol A ABC de volgende formules :

sin -J- (i sin l sin C

46. sin -J- E =

cos -J- c

• i -ui V sin s sin — ^a) sin (^s — sin s — c) 41 # sm .gt; Jij ¹ Tv i 17 1 •

2 cos -rV a cos f b cos -ïgt; c

(Formule van Cagnoli.)

■ o , „ cos -J- a cos -J- amp; 4- sin -J- a sin -J- b cos C

48. cos -1- E = -¹-^---_T—^g-=-.

cos y c

49. cot 4 E = ^cot j « cot. h cos C

sm C

Bewijs, zoo van bol ABC: B = 90°, de volgende formules:

_Kr • i T7 sin 1 a sin -J- c

50. sm ^ E = -=-5—5—=—.

cos ^ o

_K. , „ cos i a cos A c

51. cos 1 E = -s- - .

cos h

. t, sin a sin c

52. sm E =

1 -j^{- cos} ^ cos a cos c 1 -j- cos b sin a sin c

54. tg E =

cos a cos c

Bewijs voor een gelijkzijdigen boldriehoek:

55. tg J E = tg -\\ a V tg a tg | a.

Bewijs, zoo van bol l\\ ABC: B = 90°, de beide formules:

56. cot E, = V — 2 tg S sin 2 (S—A).

57. tgr = sin (s — lgt;).

58. Bewijs voor een gelijkzijdigen boldriehoek

tg R = 2 tg r.

Bewijs, zoo in bol [\\ ABC: h_a de spherische hoogtelijn op BC is, de beide formules:

2

59. sin h_u = —— sin s sin (s—a) sin (s — b) sin (s — c).

sm a

60. sin k,, = . - t |/ cos (S — 180°) cos (S — A) cos (S — B)

sm A

X COS (S — C).

26

61. Bewijs, zoo in bol A ABC, P en Q de hoeken zijn, die de spherische hoogtelijn op BC met AB en AC maakt,

tg i (Q — P) _:= sin (h — c)

cot -g- A sin {b c)

62. Bewijs, zoo in bol A ABC, m_c de spherische mediaan van \'t hoekpunt C is,

cos a 4- cos h cos -Ha 4- i) cos -J- (a — h) . ~ . cos m_c = -7:-- = -——-—j——-(Gr.)

2 cos f c cos fc

63. Bewijs, zoo in bol A ABC, P en Q de deelen zijn, waarin de spherische mediaan uit A, / BAC verdeelt.

tg j (P — Q) _ tg J- (h — c)

tg i (^p Q) tg I (6 c)quot;

64. Bewijs, indien p, q en r de bogen van groote cirkels zijn, die

de middens der zijden a, h enc van eenboldriehoek verbinden,

cos p _ cos q _ cos r ,

cos ^ a cos y b cos ^ c

60. Bewijs, zoo in bol /\\ ABC, 2) en g de deelen zijn, waarin de

spherische bissectrix van / A, BC verdeelt,

tg Hg — P) _ tg j jb — c)

tg i a tg i (6 _Cy ^U-^U-^;

Bewijs, zoo van bol A ABC , E,,, en R_e de spherische

stralen der omgeschreven cirkels, r_a, r_h en r_c die der ingeschreven

cirkels van zijn nevendriehoeken resp. op de zijden a, 6 en e

zijn, de volgende formules:

V sin s sin is — d) sin (s — h) sin is — c)

66. cot R_lt = -----

2 sm -J- a cos f 0 cos c

arr j- -D ^ ^cos (S — 180°) cos (S — A) cos (S — B) cos (S — C)

Uf • COt -iA₍, —— Tqï \\ \\ •

cos (S — A)

cot R„ cot cot R,, _{0 L}-,

08. -=- = cosquot;⁵ ö.

cot R

tg Rlt;i tg R/j tg R₀ tgR j/_si_n s _si_n (_s — a) sin (s—i) sin (s—c)\' , I /cot Rj cot R₀

tg i a = I/ _{cot R cot R;}

71. tg r_a = tg -J- A sins.

, j/ sin s sin (s — a) sin (s — b) sin (s — c)

72. to; r_a = -^-r---⁵--

^b sm (s — a)

, _i/ cos (S — 180°) cos (S — A) cos (S — B) cos (S — C)

tg r_a 2 cos 4- A sin i B sin l C \'

27

74. ^tsr- ⁱquot; ^r\' = sin³ _S.

tgr

75. cot r_a cot r_h cot r_c — cot r =

2 cos S

V cos (S — 180°) cos (S — A) cos (S — B) cos (S — C)quot;

76. tg i A = | /

I/ tg r, tgr_c

77. tg E, cot r = tg R„ cot r_a = tg R,, cot r_b = tg R₍, cot r_c.

78. tgR cotr == | (tg R tg R_a tg R,, tg R_c).

79. tg R -f- cot r = I- (cot r cot r_a -{- cot r_lt cot r_c).

80. tg² R tg² R_([ tg² R(, tg² Rc = cot² r cot² r„ -j- cot² r_h -1- cot² r_c.

Bewijs, zoo R\' en r\' de splierisclie stralen zijn resp. der omen ingeschreven cirkels van den pooldriehoek van bol ABC, de volgende formules:

81. cot R\' = sin (s — a) tg A.

82. tg r\' = cos (S — A) cot a.

88. R r\' = 90°.

84. R\' r = 90°.

Oplossing van scheefhoekige boldriehoeken.

§ 131. Een scheefhoekige boldriehoek is (volkomen) bepaald, zoo men drie van de zes elementen geeft. De verschillende gevallen, die zich hierbij kunnen voordoen zijn:

1. Gregeven de drie zijden.

2. „ de drie hoeken.

3. „ twee zijden en de tusschengelegen hoek.

4. twee hoeken en de tusschengelegen zijde.

5. „ twee zijden en de hoek tegenover een dier zijden

(niet vollcomen bepaald).

6. „ twee hoeken en de zijde tegenover een dier hoeken

(niet volkomen bepaald).

In elk dezer gevallen kunnen we met behulp van de afgeleide formules de overige elementen berekenen.

28

§ 132. Geval I. Gegeven a, h en c, gevraagd A, B en C. Voorwaarden: a h c lt;C. 360°, a igt;c,i cgt;a

en c 4quot; ^a gt; k

Oplossing.

1 | /sin (s — a) sin (s — b) sin (s — c)

1) A. tg i A = _sin (_s _ \\/ _si_n s

, ^ 1 | /sin (s — a) sin (s — b) sin (s — c)

2) B. tg = _sin c_s _ j) I sin s

1 | / sin (.9 — a) sin (s — b) sin Q — c) ) sin (s — c) y sins

Dat men aan deze formules de voorkeur geeft boven die voor sin J, A enz. is te wijten aan dezelfde redenen als waarom men aan soortgelijke formules in de Vlakke Driehoeksmeting bij een analoog geval de voorkeur geeft boven andere.

§ 133. Geval II. Gegeven A, B en C, gevraagd a, b en c. Voorivaarden: A -j- C gt; 180°, A -jquot; 15 — C lt;C ISO⁰, A — B -t- C lt; 180° en — A B4-Clt; 180°.

Oplossing.

1 I /cos (S — A) cos (S — B) cos (S — C)

1) a. cot y a _{cos (S}__A)|/ ^ cos (S - 180°)

1 | / cos (S — A) cos (S — B) cos (S — C)

2) h. cot -₂- = _{cos (S} _ _B) \\/ cos (i^T— 180°)

1 | /cos (S — A) cos (S — B) cos (S - C)

3) c. cot ^ c = _{cos (}g _ q | / _cos (S — 180°)

Ook hier geeft men om soortgelijke redenen als in de vorige § de voorkeur aan deze formules boven die voor sin tV ei enz.

§ 134. Geval III. Gegeven a, b en C, gevraagd A, B en c.

Oplossing.

1) A en 2) B. tg i (A B) = cot ^ C

tgi(A-B) = c.ticg|i^|.

Uit deze formules berekent men i (A \'^) ^cn i (A- — B) en hieruit door optelling en aftrekking A en B.

29

3) c. cos c — cos a cos b sin a sin b cos C

= cos h (cos a -fquot; ^si^{n a} ^ ^cos C)-Nu kan men tg b cos C = tg \\p of = — tg ^ stellen, het laatste, zoo tg b cos C negatief is. Men kan dan ip berekenen. Men verkrijgt dan in het eerste geval:

cos c = cos b (cos a -j- sin a tg

cos b . i • •

(cos a cos ip -tquot; ^sm a sm r)

cos

cos b cos (a — ■■p)

cos c =

cos \\p

Welke boog stelt \\p in den driehoek voor? Kunt ge nu ook langs anderen weg tot deze formule komen?

Voorwaarde: geen.

§ 135. Geval IV. Gegeven A, B en c, gevraagd a, b en C.

Oplossing.

1 \\ on i, x t / i ja cos 1 (A — B) ,

1) a en 2; b. tgi (» ») = _cos | _{(A B)} tgi®-

sin i (A — B) .

tg i ~ sin f ₍A _B)

Uit deze formules berekent men i (a en (« — b) en hieruit door optelling en aftrekking a en b.

3) C. cos C = — cos A cos B 4quot; sin A sin B cos c.

Men maakt deze formule op soortgelijke wijze geschikt voor de berekening met logarithmen als den cosinusregel in Greval III.

Voonvaarde: geen.

§ 136. Geval V. Gegeven a, b en A, gevraagd B, c en C.

Oplossing.

^„ . -r, sin A sin b

1) B. sm B = -;-.

sm a

2) c. Na berekening van B:

^o. x c — sin -j, (A -|- B) .

^{to C —} sin i (A — B) ^{to 2 {a Ö)}-

3) C. Xa berekening van B;

t_g i C = ^Sm f ^ 7 ^ cot i (A — B).

^{B 2} sm | (a ^{v ;}

30

l^e Voorivaarde: Uit de formule voor sin B volgt:

sin A sin h ^ sin a.

Bespreking en voorwaarden. Uit (14) volgt:

(A -fquot; B) = 90°, naarmate -J- (a ^) = 90°

dus A B 180°, „ a 6 ^ 180°.

gt; gt;

Verder weten we uit de stereometrie dat

A = B, naarmate a = è. lt; lt;

Deze zaken vooropstellende, hebben we de onderstaande tabel als volgt te lezen:

Heeft men agt;amp;ena èlt;C 180° of 6 lt;[ a lt;! 180° — b, dan is h scberp. Ook beeft men nu B lt; A lt; 180° — B. Is dus A scherp, dan moet ook B scherp zijn. Is A stomp, dan moet toch B scherp zijn. Er is dus steeds een oplossing, terwijl B en 6 gelijksoortig zijn, enz.

31

Alzoo, wordt aan de eerste voorwaarde voldaan, dan volgt verder uit deze tabel:

Ligt a in tusschen h en 180° — h, dan is één driehoek mogelijk , waarvan B gelijksoortig is met h.

Ligt h in tusschen a en 180° — a, en zijn A en a gelijksoortig, dan zijn twee driehoeken mogelijk.

Ligt b in tusschen a en 180° — a, en zijn A en a ongelijksoortig, dan is geen driehoek mogelijk.

(Nog kunnen we afleiden:

Is a — h — 90° en A = 90°, dan is ook B = 90°, maar c en C onbepaald.

Is a = h — 90° en A niet 90°, dan is geen driehoek mogelijk.)

§ 137. Geval VI. Gegeven A, B en a, gevraagd b, c en C.

Oplossing.

_1N , . , sin a sin B

1) o. sm b — --:—;-.

sm A

2) c. Na berekening van b:

0. 1 _c — sin -jr (A -f- B) i x ( _

^{to 2 C _} sin i (A —^ B) ^{0 2 b)}-

8) C. Na berekening van b:

i 1 _ Sin 4- 1 / A Tgt;\\

tg C = —f—7-i—TT cot (A — B).

⁰ sm (a

l^e Voorwaarde. Uit de formule voor sin b volgt:

sin a sin B sin A.

Bespreking en voorwaarden. Op dergelijke wijze het onderzoek inrichtende als in de vorige §, komt men tot het volgende-resultaat :

quot;Wordt aan de eerste voorwaarde voldaan, en ligt A in tusschen B en 180° — B, dan is één driehoek mogelijk, waarvan b gelijksoortig is met B,

doch ligt dan B in tusschen A en 180° — A, en zijn A en a gelijksoortig, dan zijn twee driehoeken mogelijk,

en ligt B in tusschen A en 180° — A, en zijn A en a ongelijksoortig, dan is geen driehoek mogelijk.

32

(Nog kunnen we afleiden:

Is A = B = 90° en a = 90°, dan is ook b = 90°, maar c en C onbepaald.

Is A = B = 90° en a niet 90°, dan is geen driehoek mogelijk.)

Berekening van het oppervlak en van de spherische stralen der om- en ingeschreven cirkels van een

boldriehoek.

§ 138. Ter berekening van het oppervlak eens boldriehoeks volgens form. (20) dient eerst het spherisch exces bepaald te worden. Zijn de drie zijden eens boldriehoeks gegeven, dan kan hiertoe form. (21) gebruikt worden. Zijn andere elementen gegeven, dan berekent men eerst de onbekende hoeken, waarna dan ook het spherisch exces bekend wordt.

§ 139. Ter berekening van de spberische stralen der om-en ingeschreven cirkels eens boldriehoeks worden voor het geval, dat de drie zijden gegeven zijn, de formules (25) en (27), voor het geval, dat de drie hoeken gegeven zijn, de formules (24) en (28) en indien andere elementen gegeven zijn, na berekening van de onbekende hoeken of zijden, de formules (23) en (26) gebruikt.

Vraagstukken.

Bereken van een bol /\\ ABC de onbekende elementen, het oppervlak (straal van den bol = 10 cM) en de spherische stralen der om- en ingeschreven cirkels, zoo gegeven zijn:

1. a = 56° 19\'40quot;, h = 40° 16\'38quot; en c = 24° 9\'55quot;.

2. a = 48° 13\'10quot;, b = 65° 20\'20quot; „ c = 73° 5\'30quot;.

3. A = 86° 15\'15quot;, B = 87° 43\'36quot; „ C = 153° 17\' 6quot;. (L.M.)

4. A= 97° 20\', B = 95° 31\'33quot; „ C = 115⁰ 36\' 4.quot;.(Ki.)

5. i = 120° 55\'35quot;, c — 88° 12\'20quot; „ A= 47° 42\' 1quot;.(L.M.)

6. c = 56° 19\'40quot;, a = 20° 16\'38quot; „ B = 114° 20\'16quot;. (L.M.)

7. B = 128° 41\'49quot;, C = 107° 33\'20quot; „ a = 124° 12\'31quot;. (L.M.)

33

20. C = 108° 12\' 29quot;, A B=163⁰ 19\'24quot; „ a è r =277° 6\' 35quot;.

21. Van een bol /\\ ABC is B = 65° 13\', C = 110° 22\'13quot; en li_a (sph. hoogtelijn op BC) = 56° 31\'37quot;. Bereken a. (L.M.)

22. Van een bol A is C == 147° 89\', li_c = 28° 1\'2quot; en a b = 124°54\'30quot;. Bereken c. (L.M.)

23. Van een bol ABC is a = 51° 17\'30quot;, h_cl = 30° 5\'27quot; en amp; c = 115° 20\'2quot;. Bereken A.

24. Van een bol A ABC is a = 56° 2\'27quot;, h = 137° 8\'6quot; en m_c (sph. mediaan uit C) = 119° 52\' 33quot;. Bereken c. (L. M.)

25. Van een bol A ABC is 6 = 59° 12\'16quot;, c = 122° 24\'31quot; en b_a (sph. bissectrix uit A) = 81° 33\'47quot;. Bereken a.

26. Van een bol A ABC is ö = 120° 55\'35quot;, c = 73° 49\'35quot; en C = 88° 52\'12quot;. Bepaal waar de spherisclie buitenbissectrix van / A de overstaande zijde ontmoet. (Ki.)

27. Bereken in n⁰. 1 den splierischen afstand van het middelpunt des ingeschreven cirkels tot A.

28. Bereken in n⁰. 3 de lengte der spherisclie loodlijn uit het middelpunt van den omgeschreven cirkel op BC. (B Civ. Ing.)

29. Op een bol, welks straal 12 cM bedraagt, wordt een bol-driehoek beschreven, waarvan de zijden resp. 20 cM, 25 cM en 15 cM lang zijn. Hoe groot zijn de hoeken van dezen boldriehoek? (L. M.)

Vekkup. Trijjonometrie II. 3

34

30. Van een koordendrielioek eens bols (straal =106 cM) zijn de zijden 49,538 cM, 43,685 cM en 63,032 cM. Hoe groot zijn de lioeken van den overeenkomstigen boldriehoek?

31. Op een bol, wiens straal 2 M is, is een gelijkzijdige bol-driehoek beschreven, waarvan de omgescbreven cirkel een spheriscben straal van f M heeft. Bereken het oppervlak van dezen boldriehoek. (Gr.)

TOEGEPASTE BOLDRIEHOEKSMETING. Stereometrie.

§ 140. Van een paraUelepipedum zijn gegeven de lengten der drie ribben en de hoeJcen die deze ribben twee aan twee met elkaar maken. Gevraagd den inhoud van dit paraUelepipedum te bepalen.

^H------^(x Oplossing.

Zij vanhetparallelepipe-

/;! / / / \' dum ABODE F GH

/; i / / / AB = p, AD = q, AE

/ ;i zé________________= »•, / DAE =

\'1/ Z BAE = /3 en / BAD

= y; verder EK J_ BAD

^Fig- ⁴³- en EL _l_ AD, dan is:

Inh. par. pip. ABCDEFGH = EK X Opp. par. gr. ABOD

= EL sin KLE X sin y

= r sin a. sin KLE X ^siⁿ ?•

Nu is / KLE de standhoek van den drievlakshoek ABDE

op de ribbe AD, en dus, wegens het bekende verband tusschen

drievlakshoek en boldriehoek:

sin KLE = 2 sin | KLE cos i KL E =

« , I /sin{e — x)sin(lt;r — y) | /sin o-sin (s-—/3)

(« /3 -f p/ = 2 a-) = 2 L —^-- / -^T-

I/ sm cl sm 7 I/ sm « sm 7

2

|/sin(7sin(!7 -«)sin((7 /3) sin (lt;7 7).

sm iX sm y

Alzoo:

Inh. par. pip. ABODEFGrH = 2pqr j/sin a- sin (o^- a) sin (ff — /3) simV — /).

sin 1 S =

sin

IV

Van den rechthoekigen driehoek MXQ (rechth. in N) is • Z MQN = i S,

\') Aan deze § dient een degelijke stereometrische beschouwing der regelra. veelvlakken vooraf te gaan.

36

uit /\\ PQN (reclith. in Q):

180°

NQ, = PQ cot QNP = a cot —, MN = r.

Alzoo: MN = QN tg MQN

r = i a cot

Van den reclithoekigen driehoek MNP (rechth. in N) is:

180°

MN = J- a cot tg 1 S.

n

\\ rlt; . 180° , 180°

cos PMN = cos AC = cot —j— cot -

Ie n

MP = R.

MN

Dus MP —

cos PMN

1 ^0°

R == l cs tg tg S......(3)

Het oppervlak o van een zijvlak van het veelvlak = = omtrek zijvlak X y apothema

180°

o = «a X i ^^TQ = \\ na² cot ;

het aantal zijvlakken is (stereometrie);

Ah

Z =

2 w 2 A: — nlc Alzoo: O = Z X ⁰

7 2 ¹⁸⁰⁰

n Ic a- cot--

^ 2 w -1- 2 /c — nk.......^

De inhoud van het veelvlak is: l = irO

180°

n Tc a^?\' cot² - tg 1gt; S

T n /S--V

6 (2 n 2/c — nh) \' \' \' quot;

i

37

Kosmographie.

§ 142. Van twee plaatsen op het aardoppervlak zijn gegeven de geograpidsche breedten en het lengteverschil. Gevraagd den spherischen afstand der heide plaatsen te bepalen.

Oplossing.

Beschouwt men den boldriolioek die tot hoekpunten heeft de beide plaatsen en een der aardpolen, dan kent men daarvan twee zijden (90° breedte) en den ingesloten hoek (lengteverschil). Men kan dan volgens den cosinusregel (logarithmisch gemaakt) de derde zijde (gevraagden afstand) berekenen. Geeft men het lengteverschil grooter dan 180° dan neemt men 360° — dat verschil.

§ 143. Parallactische driehoek. ») Zij in M het oog van

een waarnemer van het hemelgeivelf geplaatst, H het vlak van den horizon, MT de vertikaal en T het zenith voor dien waarnemer. Zij P de pool van den hemel, dan is de groote cirkel door T en P de meridiaan, het snijpunt Z met het vlak van den

¹) De verschillende in deze § voorkomende zaken dienen nader gedefinieerd te worden.

38

horizon het zuidpunt, het snijpunt N het noordpunt en PN de poolshoogte (= geogr. breedte) voor den waarnemer. Het vlak door M loodrecht op MP (henielas) snijdt het hemelgewelf volgens den grooten cirkel AQ den aequator, welke den horizon in O het oostpunt en W het westpunt snijdt. Zij S een ster, dan is TSS,, de vertilcaalcirlcel, SS,, de hoogte (ST de zenithsafstand), ZS,, (steeds van Z naar W gemeten) het azimuth, PSS_tt de declinatie-cirkel, SS_a de declinatie der ster. Verder is nog LS_a (gemeten van het lentepunt \') L (y) af, van P uit gezien in tegengestelden zin van dien der beweging van de wijzers van een uurwerk) de rechte klimming, de hoek APS_a (genieten van het deel des meri-diaans PZ af in den zin der dagelijksche beweging des hemels) de uurhoek der ster. Xog is AL (van A af gemeten in den zin der dagelijksche beweging) in uren uitgedrukt de sterretijd, zoodat men, in uren (1 uur = 15°) uitgedrukt, heeft:

Rechte klimming = Sterretijd — Uurhoek [-j- 24 u. ¹)].

De plaats van de ster S kan door de coördinaten azimuth en hoogte (t/o van den horizon) of door de coördinaten rechte klimming en declinatie (t/o van den aequator) bepaald worden. Nu levert ons de parallactische driehoek PST, die tot hoekpunten heeft de pool des hemels, de ster en het zenith een geschikt middel op om deze coördinaten in elkaar uit te drukken. Immers daarin is PT het complement der poolshoogte of der geogr. breedte, onafhankelijk dus van de plaats der ster. Verder is TS het complement der hoogte, PS het complement der declinatie, / PTS het verschil van het azimuth en 180° (steeds dit verschil positief genomen), / TPS de uurhoek of het verschil van

360° en den uurhoek (naargelang de uurhoek ^ 180°), terwijl

men den hoek S ook nog den naam van parallactischen hoek geeft. Kent men de poolshoogte (= geogr. breedte), dan dienen dus nog twee der coördinaten azimuth, hoogte, uurhoek (of rechte klimming, als men den sterretijd ook geeft) en declinatie gegeven te zijn om de andere te kunnen berekenen.

¹

) Als de sterretijd kleiner is dan de uurhoek.

39

De dagclijksclic beweging eener ster S (ook der zon) geschiedt in liet algemeen volgens een kleinen (parallel-) cirkel evenwijdig aan het vlak van den aeqnator. Graat ze door den meridiaan, dan zegt men dat ze culmineert {bovenste en onderste cidminatiepimt). Merken we op, dat wanneer een ster (of de zon) opkomt of ondergaat de boog TS 90° bedraagt, en dat op den langsten en kortsten dag de zon de grootste (noordelijke of zuidelijke) declinatie heeft, welke gelijk is aan de helling der ecliptica op den aequator nl. 28° 27\'.

V raagstukken.

1. Van een scheef driezijdig prisma zijn drie in een hoekpunt samenkomende ribben 18 dM, 14 dM en 12 dM. De twee laatste ribben behooren tot het grondvlak, waarvan het oppervlak 42 3 dM² bedraagt. Wanneer nu de standhoeken op de ribben van 14 dM en 12 dM 95° en 80° bedragen, bereken dan den] inhoud van dit prisma. (T. U.)

2. Bewijs dat de inhoud van een driezijdige pyramide, waarvan p. q en r drie ribben, die in een hoekpunt samenkomen en A, B en C resp. de standhoeken op deze ribben zijn, is:

, _ — 2pqr cos S cos (S — A) cos (S — B) cos (S — C)

3 sin A sin B sin C

[S=4(A B C)]. (Gr.)

3. Den inhoud te berekenen van een drievlakkigen bolsector als de straal des bols 12 cM is en de hoeken die de ribben met elkaar maken 93° 44\' 45quot;, 27° 16\' 10quot; en 88° 12\' 20quot; groot zijn. (Ivi.)

4. Bereken de standhoeken tusschen de zijvlakken van een regelmatige vierzijdige pyramide als de tophoek der opstaande zijvlakken 30° 20\'45quot; bedraagt. (L. M.)

5. Bereken de standhoeken tusschen de zijvlakken van een regelmatige tienzijdige pyramide als de opstaande ribben 19 en de ribben van het grondvlak 7 cM lang zijn.

6. Van een regelmatige achtzijdige pyramide is de standhoek op een opstaande ribbe 165°. Hoe groot is de som der zijden van den achtvlakshoek in den top der pyramide ? (T. U.)

40

7. Uit een punt A van de doorsnede AD van twee vlakken P en Q zijn twee lijnen nl. AB in het vlak P en AC in het vlak Q getrokken. Wanneer / BAD = 53° 13\', / CAD = 58° 51\' en / BAG = 82° 2\' 45quot;, vraagt men de hoeken te berekenen, die deze lijnen AB en AC met de vlakken P en Q maken.

8. Zoo in de figuur van het vorige vraagstuk / BAD — 58° 13\', / CAD = 58° 51\' en de standhoek der vlakken P en Q 82° 2\' 45quot; bedraagt, vraagt men den hoek te berekenen, die AD met het vlak der lijnen AB en AC maakt.

9. De beenen van / AOB = 33° 27\' maken hoeken van 5° 3\' en 10° 53\' met het horizontale vlak door O. A en B liggen aan dezelfde zijde van dit vlak. Men vraagt de projectie van / AOB op dit vlak te berekenen. (B Techn.)

10. Zoo in de figuur van het vorige vraagstuk de hoeken der beenen met het horizontale vlak weer 5° 8\' en 10° 53\' zijn, maar de projectie van / AOB op het horizontale vlak 83°27\' is, vraagt men /_ AOB te berekenen.

11. Een driehoek ABC, wiens hoek A 70° is ligt met de zijde BC in een horizontaal vlak, terwijl A boven dit vlak ligt. De driehoek wordt op dat vlak geprojecteerd. quot;Wanneer AB en AC met dat vlak hoeken maken van 50° en 46°, vraagt men den hoek te berekenen, dien het vlak van den driehoek met het vlak van projectie maakt. (T. U.)

12. Een gelijkzijdige driehoek, die met één zijde in een horizontaal vlak ligt, wordt op dit vlak geprojecteerd. De projectie van den hoek welks hoekpunt niet in dat vlak ligt = 97° 30\'. Onder welken hoek snijdt het vlak van den driehoek het vlak van projectie ? (T. U.)

13. De spherische afstand tusschen twee plaatsen A en B op het aardoppervlak bedraagt 1470 uren gaans (1° == 20 uren gaans). A ligt op den evenaar en B heeft een noorderbreedte van 47° 32\'. Men vraagt het lengteverschil te berekenen. (T.U.)

14. De spherische afstand tusschen Parijs en Berlijn is 118 Gr M (1° = 15 O M). De breedte van Parijs is 48° 54\' 13quot; en die van Berlijn 52° 30\'16quot;. Men vraagt het lengteverschil te berekenen. (Ki.)

41

15. Van twee plaatsen A en B op de aarde ligt A op 15°N.Br, en 50° 13\' O. L. terwijl B op 45° N. Br. en 140° 13\' O. L. ligt. Wanneer men over deze plaatsen een grooten cirkel trekt, waar en onder wélhen hoek snijdt deze dan den aequator in het Oost. halfrond? (Gr.)

16. Van een ster is de hoogte 22° 45\' 12quot;, het azimuth 50° 14\'28quot; en de declinatie 7° 54\'4quot;. Hoe groot is de uurhoek der ster en de breedte der plaats van waarneming? (Ki.)

17. Van een ster is de Rechte KL 57° 24\'32quot;, de declinatie 40° 2\' 13quot; en de helling der ecliptica (op den aequator) 23° 27\'28quot;. Bereken de lengte en breedte der ster (coördinaten t/o van de ecliptica — oorsprong L — gemeten in een zin van P uit gezien tegengesteld aan dien der beweging van de wijzers van een uurwerk). (Ki.)

18. Op het oogenblik, dat de declinatie der zon 13° 15\' 20quot; noordelijk is, wordt op een plaats gelegen op 27° 14\' 30quot; zuiderbreedte de hoogte der zon gemeten en bevonden te zijn 31° 18\'40quot;. Op welke lengte ligt de plaats, als het tijdens de meting te Grreenwich 9 u. 17 min. 10 sec. is ? (Ki.)

19. In Petersburg komt de zon den 22^sten Juni op om 2 u. 45 min. 40 sec. Gevraagd de poolshoogte van Petersburg. (Ki.)

20. De poolshoogte van Berlijn te bepalen, als de langste dag er 16 u. 35 min. 41 sec. duurt. (Ki.)

40

7. Uit een punt A van de doorsnede AD van twee vlakken P en Q zijn twee lijnen nl. AB in liet vlak P en AC in het vlak Q getrokken. Wanneer / BAD = 53° 13\', / CAD = 58° 51\' en / BAC = 82° 2\'45quot;, vraagt men de hoeken te berekenen, die deze lijnen AB en AC met de vlakken P en Q maken.

8. Zoo in de figuur van het vorige vraagstuk / BAD = 53° 13\', /_ CAD = 58° 51\' en de standhoek der vlakken P en Q 82° 2\' 45quot; bedraagt, vraagt men den hoek te berekenen, die AD met het vlak der lijnen AB en AC maakt.

9. De beenen van / AOB = 33° 27\' maken hoeken van 5° 3\' en 10° 53\' met het horizontale vlak door O. A en B liggen aan dezelfde zijde van dit vlak. Men vraagt de projectie van / AOB op dit vlak te berekenen. (B Techn.)

10. Zoo in de figuur van het vorige vraagstuk de hoeken der beenen met het horizontale vlak weer 5° 3\' en 10° 53\' zijn, maar de projectie van / AOB op het horizontale vlak 33° 27\' is, vraagt men / AOB te berekenen.

11. Een driehoek ABC, wiens hoek A 70° is ligt met de zijde BC in een horizontaal vlak, terwijl A boven dit vlak ligt. De driehoek wordt op dat vlak geprojecteerd. Wanneer AB en AC met dat vlak hoeken maken van 50° en 46°, vraagt men den hoek te berekenen, dien het vlak van den driehoek met het vlak van projectie maakt. (T. U.)

12. Een gelijkzijdige driehoek, die met één zijde in een horizontaal vlak ligt, wordt op dit vlak geprojecteerd. De projectie van den hoek welks hoekpunt niet in dat vlak ligt = 97° 30\'. Onder welken hoek snijdt het vlak van den driehoek het vlak van projectie? (T. U.)

13. De spherische afstand tusschen twee plaatsen A en B op het aardoppervlak bedraagt 1470 uren gaans (1° = 20 uren gaans). A ligt op den evenaar en B heeft een noorderbreedte van 47° 32\'. Men vraagt het lengteverschil te berekenen. (T.U.)

14. De spherische afstand tusschen Parijs en Berlijn is 118 G M (1° = 15 Gr M). De breedte van Parijs is 48° 54\' 13quot; en die van Berlijn 52° 30\'16quot;. Men vraagt het lengteverschil te berekenen. (Ki.)

41

15. Van twee plaatsen A en B op de aarde ligt A op 15° N. Br. en 50° 13\' O. L. terwijl B op 45° N. Br. en 140° 13\' 0. L. ligt. Wanneer men over deze plaatsen een grooteii cirkel trekt, ivaar en onder welken hoeh snijdt deze dan den aequator in het Oost. halfrond? (G.)

16. Van een ster is de hoogte 22° 45\'12quot;, het azimuth 50° 14\'23quot; en de declinatie 7° 54\'4quot;. Hoe groot is de uurhoek der ster en de breedte der plaats van waarneming? (Ki.)

17. Van een ster is de Rechte KI. 57° 24\'32quot;, de declinatie 40° 2\' 13quot; en de helling der ecliptica (op den aequator) 23° 27\'28quot;. Bereken de lengte en breedte der ster (coördinaten t/o van de ecliptica — oorsprong L — gemeten in een zin van P uit gezien tegengesteld aan dien der beweging van de wijzers van een uurwerk). (Ki.)

18. Op het oogenblik, dat de declinatie der zon 13° 15\'20quot; noordelijk is, wordt op een plaats gelegen op 27° 14\' 30quot; zuiderbreedte de hoogte der zon gemeten en bevonden te zijn 31° 18\'40quot;. Op welke lengte ligt de plaats, als het tijdens de meting te Greenwich 9 u. 17 min. 10 sec. is ? (Ki.)

19. In Petersburg komt de zon den 22^sten Juni op om 2 u. 45 min. 40 sec. Gevraagd de poolshoogte van Petersburg. (Ki.)

20. De poolshoogte van Berlijn te bepalen, als de langste dag er 16 u. 35 min. 41 sec. duurt. (Ki.)

INHOUD.

Biz.

Rechthoekige boldriehoeken...........3

F ormules..................3

Vraagstukken................6

Oplossing der rechthoekige boldriehoeken......8

Vraagstukken................13

Willekeurige boldriehoeken...........14

Formules..................14

Bewijs van den sintisregel uit de figuur (door rechthoekige boldriehoeken)............19

Formules ter bepaling van het oppervlak eens boldrie-

hoeks..................20

Formules voor de spherische stralen der om- en ingeschreven cirkels eens boldriehoeks........21

Vraagstukken................22

Oplossing van scheefhoekige boldriehoeken... . . 27 Berekening van het oppervlak en van de spherische stralen der om- en ingeschreven cirkels van een bol-

driehoek.................32

Vraagstukken................32

Toegepaste boldriehoeksmeting..........34

Stereometrie................34

Kosmographie................37

Vraagstukken................39

lt;da

)

Recensiën Rekenkunde van DE GAST.

Wanneer ik hier verklaar, dat ik het werk in handen van iedcren onderwijzer wensch, dan volg ik het voorbeeld van vele bevoegde beoordeelaars en ik doe dat gaarne.

Het Nieuwe. Schoolblad. \' H. Verhagen.

De schrijver -heeft zijn werk in dezen tweeden druk vrijwat gewijzigd en verbeterd met behoud van het vele goede, dat de eerste druk reeds bevatte. Alles is met nauwgezetheid herzien en de hoop, dat het boek in dezen vorm de oude vrienden zal behouden en nieuwe zal verwerven is zeker zeer gegrond.

Schoolblad.

Dit practisehe Leerboek, dat zonder geleerden omslag de hoofdzaken behandelt en de bijzaken niet te veel op den voorgrond brengt, zal zijn weg wel vinden. Werken in den practischen, een-voudigen toon, dien de schrijver aanslaat, zullen voor onze opleiding steeds gewenscht blijven.

Nieuw Nijmeegsch Schoolblad.

De le druk, naar de behoeften van onderwijzers ingericht, is om zijne vele goede eigenschappen met warmte door de onderwijzers ontvangen. De 2o druk is met zorg herzien. Wij bevelen dit werk ten zeerste ii. de aandacht der onderwijzers aan.

Vriend der Wiskunde.

^:t Kan volstrekt niet in mijne bedoeling liggen deze w-erken breedvoerig le bespreken, nog minder ze aan te bevelen. Men kent De Gast en zijn werk en dan weet men genoeg. En wie er soms nog iets van uit de Katholieke School weten wil, verzoek ik mijne beoordeeling te lezen van een zijner werken nl. -Het oplossen van rekenk. vraagst. in typen, voorbeelden en opgaven, waaruit genoegzaam blijkt, dat de heer De Gast passé maitre is.

De vierde druk van het le deel bewijst, dat het Leerboek der Rekenk. aan vele inrichtingen van onderwijs gebruikt wordt. Het 2e deel is in den 3en druk vereenvoudigd en daardoor inderdaad verbeterd, met name de les over de verkorte bewerkingen, terwijl ééne aanteek. geheel en eene andere gedeeltelijk is weggelaten, omdat op het examen voor de Hoofdacte naar deze onderwerpen nooit wordt gevraagd.

Meer heb ik er niet over te zeggen. De nieuwe drukken zullen wel weten, waar ze hunne voorgangers kunnen aantreffen.

De Kathol. School. R.

S. DE GAST Jz. Beginselen der Algebra.

2 Stukjes a ƒ 0,60

Dc schrijver dezer beginselen wil achtereenvolgens behandelen: rekenk., algemeene rekenk. en algebra. quot;We moeten verklaren, dat De Gast het geheim bezit de zaken helder en klaar voor te stellen, wat ook weder overtuigend uit zijne Beginselen der Algebra blijkt. Ofschoon de behandelde leerstof uit den aard der zaak veel met die van gelijksoortige werkjes overeenkomt, mogen we den schrijver toch een woord van lof niet onthouden. Wie Algebra moet onderwijzen of leercn, zal zich de kennismaking niet beklagen.

De Schoolwereld.

Dc geleidelijke weg is op onderwijsgebied nog steeds in goeden reuk, omdat hij gewoonlijk beter tot het doel voert dan sommige kortere wegen, waarop te veel struikelblokken zijn voor middelmatige en zwakke leerlingen.

Getrouw aan het „verdeel en heersch\'quot; wil de heer De Gast de leerlingen door middel van het le deeltje de noodige vaardigheid verschaffen in het werken met lettervormen, terwijl in het 2e deeltje de bewerkingen met pos. en neg. getallen behandeld worden.

Met genoegen heb ik het le deeltje nagegaan; ik ben er zeker van, dat de leerlingen met wie dit boekje is behandeld, behoorlijk bedreven zullen zijn in het werken met lettervormen.

Het komt mij voor, dat ook het 2e deeltje met zorg is bewerkt.

Het Schoolblad. B. S. Veenstra.

Ik geloof-, dat de schrijver van deze uitgave veel voldoening zal hebben, juist en vooral om hetgeen hij zich ten doel heeft gesteld en wat hem bijzonder is gelukt: eenvoudig en duidelijk te zijn

De Katholieke School. A.

Wie het Leerboek der Rekenk. van dezen schrijver kent en gebruikt heeft, heeft daarin zeker leeren waardeeren den streng logisehen gang. Dezelfde logische voortgang in de opvolging der bewerkingen en in de bewijzen der eigenschappen vindt men in de Beginselen der Algebra terug. In het le deeltje komen nog geen neg. getallen voor. We zijn het met den schrijver eens, dat dit de beste gang is.

Hel Onderwijs. v. G.