Q. oct.

1861*

L O B A T T O\' S LESSEN

OVER

VIERDE

OP NIEUW BEWERKTE DRUK DOOR

A. E. RAHÜSEN,

Leeraar aan do Polytechnische School.

S N E E K, J. F. VAN D R U T E N. 1892.

Ibibliotmeek der I rijksuniversiteit im^Rim^Ki^ïliyS^!L \'RECHT.

0344 1981

VOORBERICHT.

Toen ik op mij nam den vierden druk to bewerken van de Lessen oter de Hoogere Algebra van Lobatto, vermoedde ik weinig, dat de veranderingen, die ik aan zou brengen, zoo talrijk en zoo omvangrijk zouden zijn. De eene wijziging maakte echter vaak de andere wensclielijk, en zoo werden ten slotte de meeste hoofdstukken in meerdere of mindere mate gewijzigd, sommigen zelfs geheel omgewerkt. Het zou te ver voeren, hielde belangrijkste wijzigingen alle aan te geven; deze mogen voor zich zelf spreken. Slechts worde hier vermeld het hoofdstuk over determinanten, dat geheel omgewerkt en uitgebreid is, en de nieuwe hoofdstukken over de oplossing van een stelsel vergelijkingen van den eersten graad, over symmetrische functiën en over eliminatie-methoden, die naar mijn oordeel niet langer mochten ontbreken. Sommige reeksontwikkelingen, waarvan eene eenvoudige afleiding zonder behulp der differentiaalrekening niet gemakkelijk te geven is, werden daarentegen weggelaten.

Het was niet gemakkelijk, vooral met het oog op de nieuwe hoofdstukken, tot eene bevredigende volgorde te komen. Zooveel mogelijk is daarom de volgorde van den voorgaanden druk behouden. Daar het wenschelijk was, dat aan de hoofdstukken over symmetrische functiëa en over eïiminatie-methoden do behandeling dor determinanten en der oneindig voortloopende reeksen was voorafgegaan, zijn deze beide hoofdstukken geheel aan het eiude geplaatst. Het hoofdstuk over determinanten, dat in den vorigen druk als aanhangsel voorkwam, heeft nu eene plaats te midden der overige hoofdstukken ontvangen, terwijl ten einde ook in

VOORBERICHT.

Toon ik op mij nam den yiorden druk to bewerken van de Lessen over de Hoogere Algebra van Lobatto, vermoedde ik weinig, dat de veranderingen, die ik aan zou brengen, zoo talrijk en zoo omvangrijk zouden zijn. De eene wijziging maakte echter vaak de andore wensclielijk, en zoo werden ten slotte de meeste hoofdstukken in meerdere of mindere mate gewijzigd, sommigen zelfs geheel omgewerkt. Het zou te ver voeren, hielde belangrijkste wijzigingen alle aan te geven; deze mogen voor zich zelf spreken. Slechts worde hier vermeld het hoofdstuk over determinanten, dat geheel omgewerkt en uitgebreid is, en de nieuwe hoofdstukken over de oplossing van een stelsel vergelijkingen van den eersten graad, over symmetrische functiën en over eliminatie-methoden, die naar mijn oordeel niet langer mochten ontbreken. Sommige reeksontwikkelingen, waarvan eene eenvoudige afleiding zonder behulp der differentiaalrekening niet gemakkelijk te geven is, werden daarentegen weggelaten.

Het was niet gemakkelijk, vooral met liet oog op de nieuwe hoofdstukken, tot eene bevredigende volgorde te komen. Zooveel mogelijk is daarom de volgorde van den voorgaanden druk behouden. Daar het wonschelijk was, dat aan de hoofdstukken over symmetrische functiën en over eliminatie-methoden de behandeling dor determinanten en der oneindig voortloopende reeksen was voorafgegaan, zijn deze beide hoofdstukken geheel aan het einde geplaatst. Het hoofdstuk over determinanten, dat in den vorigen druk als aanhangsel voorkwam, heeft nu eene plaats te midden der overige hoofdstukken ontvangen, terwijl ten einde ook in

voorbericht.

andere hoofdstukken van het rekenen met determinanten partij te kunnen trekken, enkele andere wijzigingen in de volgorde zijn gebracht.

Het hoofdstuk over complexe grootheden heeft daarentegen zijne plaats als aanhangsel behouden, niet wegens de mindere belangrijkheid, maar met het oog op de moeilijkheid, dit hoofdstuk de juiste plaats te midden \'.\'e andere aan te wijzen. Het had wellicht aanbeveling verdiend dit hoofdstuk voorop te plaatsen. De lezer wordt dan ook nitgenoodigd het aanhangsel als een voorvoegsel te beschouwen, en met de lezing van het aanhangsel, tenminste van de §§ 289—294 te beginnen, terwijl de overige paragrafen van het aanhangsel bij § 114 en bij § 8 ingelascht kunnen worden.

De omvang van het werk is niet onaanzienlijk vermeerderd door de invoeging van een groot aantal toepassingen, die, naar ik meen te mogen aannemen, de waarde van het leerboek zullen verhoogen.

Delft, Juli 1892.

inhoud.

Lessen. Biz.

i. vurkl.uung van het begkip functie. meetkunstige voorstelling. afgeleide functie. hoogere-

machtsvergelijking.......... 1

/ II. Algemeene eigenschappen der hoogere-machtsver-

GELIJKINGEN.............10

III. Over de veranderingen der vergelijkingen ten aanzien van hare wortels........23

IV. Over den regel van descartes, ter bepaling van het aantal positieve ;en negatieve wortels eener vergelijking............39

V. Theorema van budan . _..........47

VI. Over het bepalen van de limieten der positieve

en negatieve wortels. theorema van rolle . . go

VII. Over het opsporen van de meetbare wortels eener

vergelijking............71

/ VIII. Over de gelijke wortels dee vergelijkingen . . 7G

^! /

IX. Theorema van sturm..........87

y X. Over de oplossing der hoogeke-machtsvergelijkin-

gen door benadering. handelwijze van newton. 102

XI. Benaderingsleehwijze van horner......115

XII. Onderzoek van eenige getallen vergelijkingen . 124

XIII. Over de rechtstreeksche oplossing der derde- en

vierde-machtsvergelij kingen.......135

XIV. Over de oplossing der wederkeekige vergelijkingen ..............147

La ■

inhoud.

Lessen. Blz.

XV. Over de oplossing der binomiaa.l-vergelijkingen . 152 ^ XVI. Over de permutatiën en combinatiën. . . .166 XVII. Toepassing van de leer der permutatiën en combinatiën op de ontwikkeling der geheele en positieve machten van eenig polynomium . . . 179

XVIII. Over de determinanten........185

XIX. Over de oplossing van een stelsel vergelijkingen van den eersten graad......224

XX. Ovek de ontbinding van rationale gebrokens in

andere meer eenvoudige gebeokens .... 248

XXI. Over de rekenkundige reeksen van iioogeee orde. 261 \\ XXII. Over het sommeeeen van oneindig voortloopende

beeksen en het onderzoek van haee convergentie. 288

XXIII. Over de \'wedeekeebige reeksen......321

- XXIV. Over de theorie der gedurige of kettingbbeuken. 340 XXV. Toepassingen van de tiieobie dee kettingbreuken. 353 XXV[. Algemeen betoog der formule van newton voor de ontwikkeling van (a -|- a:)quot; voor alle waab-

den van den exponent 11........365

XXVII. Ontwikkeling dee exponentiale en logarithmi-

sche functiën............ 373

, XXVIII. Over de ontwikkeling der goniometrische func-

tiën, en haar veeband met de exponentiale en

logarithmische functiën........384

XXIX. Over symmetrische functiën.......402

XXX. Over eliminatie-methoden........417

, XXXI. Complexe grootheden......... 435

LESSEN

OVER

DE HOOGERE ALGEBRA.

EERSTE LES.

VERKLARING VAN HET BEGRIP FUNCTIE. MEETKUNSTIGE VOORSTELLING. AFGELEIDE FUNCTIE. HOOG ERE-MACHTSVERGELIJKING.

§ 1. Men zal reeds in do beginselen der Algebra opgemerkt hebben, dat indien er slechts eene enkele betrekking of vergelijking tusschen twee of meer onbekende grootheden gegeven is, elke dezer laatste een onbepaald aantal verschillende waarden kan toelaten, welke afhankelijk zijn van die, welke men aan de overige grootheden toekent. Elke algebraïsche uitdrukking nu, welker waarde afhankelijk is van die der daarin voorkomende grootheden x, y, z...., draagt in het algemeen den naam van functie dezer grootheden, die, uit hoofde zij voor verschillende waarden vatbaar ondersteld worden, den naam van veranderlijken verkrijgen. Men. is gewoon haar meestal op eene der navolgende wijzen voor te stellen.

ƒ(•\'•, y, -•••). Ffa y, *•••■). y, *••••)gt; y,

Aldus zal bijv. elke veelledige uitdrukking (Polynomium) van den vorm

A-\\-Bx-\\- Cu? .... 4- Kx\\

waarin x willekeurige waarden verkrijgen kan, eene functie dei-veranderlijke grootheid x heeten, terwijl de coëfficiënten 4, B,

welke voor elke waarde van x onveranderd blijven, standvastige grootheden genaamd worden.

lobatto. 1

2

De uitdrukkingen

zijn daarentegen function van twee en van drie veranderlijke grootheden.

§ 2. De wiskundigen zijn gewoon de versebillende soorten van functiën door bijzondere benamingen van elkander te onderscheiden. Onder algebraïsche functiën verstaat men in het bijzonder de zoodanige, waarin de veranderlijke en standvastige grootheden door eenige der gewone bewerkingen van optelling, aftrekking, vermenigvuldiging, deeling, machtsverheffing en wor-toltrckking aan elkander verbonden zijn, gelijk met de navolgende

functiën het geval is:

(„ _{s)to (0},

Zij worden daarenboven in rationale en irrationale, in gebeele en gebrokene functiën onderscheiden. Aldus is bijv. de vorm

ax³ -f- hx² cx -\\-d

eene geheole rationale; daarentegen de vorm

a lx cx²

sa-ï-üx -t-ca-x \\ a ~|- -|- rx² )

fix -j^-

eene gebrokene irrationale functie van x.

Wanneer echter de functiën samengesteld zijn uit termen, waarin de veranderlijke grootheden als exponenten voorkomen, dan heeten zij exponentiale functiën.

Hiertoe behooren bijv. de functiën

£. -L A-\\-£a ^aX, Aa\' enz.

Eveneens worden de uitdrukkingen

log.{a-\\-x\'), A log.{ax-\\-y), enz.

logarithmischc functiën, en de uitdrukkingen

a sin.{x -\\-y) -f- h cos.(x -\\- y), B f sin = ^—- \\

\\ 6—x )

goniometrische en cyclometrische functiën der daarin voorkomende veranderlijke grootheden genaamd.

Deze laatste soorten van functiën worden daarenboven met de algemeene benaming van iranscendenldle functiën bestempeld. In de hoogore deelcn dor wiskunde spelen zij eene voorname rol.

3

en onderscheiden zioh van de algebraïsche voornamelijk hierin, dat, terwijl de berekening van de waarden dezer laatste functiën een bepaald aantal hoofdbewerkingen der algebra vordert, de transcendentale daarentegen, zooals later blijken zal, eeniglijk hetzij met behulp van oneindig voortloopende reeksen, hetzij door herhaalde worteltrekkingen bij benadering kunnen berekend worden, waarom dan ook de getallenwaarden van vele funetiën dezer soort voor bepaalde waarden der veranderlijke grootheid reeds vooraf berekend en in tafels gebracht zijn, waarvan de gewone logarithraen- en sinus-tafels onder anderen tot voorbeelden kunnen strekken.

§ 3. Het onderzoek eener functie eischt de kennis van bepaalde hulpmiddelen. Een dezer hulpmiddelen is de meetkunstige voorstelling der funetiën, die van veel belang is, omdat zij als van zelf aanwijst wat in het bijzonder te onderzoeken valt. Wij zullen hier de meest gebruikelijke voorstelling van de funetiën van eene enkele veranderlijke laten volgen.

Stellen wij daartoe den vorm

— 0,02a:³ -f 0,2a\'² -f 0.1a- — 1,

die, als men voor x verschillende waarden substitueert, de volgende waarden verkrijgt:

Waarden van x. Waarden der functie.

— 2 —0,24

— 1 —0,88

0 —1

1 —0,72

2 —0,10

3 0,56

4 1,32

5 2

6 2,48

7 2,64

8 2,36

9 1,52 10 0 11 —2,32

terwijl ook elke andere of tusschengelegen waarde van x eene enkele eindige waarde dor functie oplevert. Teekent men nu, zooals iu Figuur 1 gedaan is, twee lijnen loodrecht op elkaar, OA\' en OF, die raen gewoonlijk assen noemt; zet men daarna op

1*

5

O-Y van het punt O af een stuk OQ=5, eene der waarden van x uit het tafeltje, trekt dan uit Q eene lijn evenwijdig aan de as OY en neemt men daarop een stuk QP=2, de waarde die de functie krijgt voor x = 5 en wel van Q af naar boven als de waarde der functie zooals hier positief is, zoo zullen door het punt P do correspondeerende waarden 5 en 2 volkomen aangewezen zijn. Neemt men eveneens OQquot; = 11, trekt door Qquot; eene lijn evenwijdig aan OY en zet van Qquot; af Qquot;Fquot; naar beneden gelijk aan 2,32, zoo geeft evenzeer F¹\' een paar correspondeerende waarden aan. Men moet deze laatste waarde naar beneden uitzetten, omdat de waarde der functie negatief is; eveneens zet men do negatieve waarden van x links van het punt O af.

Zet men zoo allerlei waarden van x en de daarbij behoorende waarden van de functie uit, zoo krijgt men een onbepaald groot getal punten P, die allen op eene bepaalde kromme lijn gelegen zijn, eene kromme lijn waarvan elk punt een paar correspondeerende waarden van x en van de functie aangeeft.

Noemt men de waarde der functie in het algemeen y en stelt dus

^ = — 0,02^ 0,2a:² 0,1* — 1,

zoo noemt men dezo vergelijking do vergelijking dor kromme.

§ 4. De zoo geteckende kromme lijn geeft een aanschouwelijk beeld der functie, veel beter dan een tafeltje van waarden. Men wordt er dadelijk door gewezen op verschillende belangrijke punten ten onderzoek. Zoo zullen, zie Fig. 1, do punten van groot belang zijn, waar de kromme lijn de as OX snijdt en dus do functie van teeken verandert. Om deze punten te vinden moeten de waarden van x opgezocht worden, waarvoor de uitdrukking nul wordt, en moet dus de vergelijking

— 0,02ir³ -f 0,2a;² 0,1* — 1 = 0

opgelost worden. Men noemt dit eene hoogere-machtsvorgelijking en wel eene vergelijking van den derden graad.

Vooral zal do richting van de raaklijn PT in eenig punt der kromme voor do kennis der functie van belang zijn, omdat daar waar de raaklijn meer op de as OX helt de veranderlijkheid dor functie grooter is. Wij zullen daarom de richting der raaklijn lee-ren aanwijzen, en wel voor do algemeene functie

F{j:) = AyX* -j- A^xquot; -)~ -\'A\'®quot; *■dH_2Xⁱ-\\-A_n__lx-^-A^ waarin A₀, A_l enz. verschillende getallen kunnen voorstellen.

Denken wij ons deze functie door dé kroratne lijn van Fig. 1 voorgesteld, zoodat voor eene waarde

x = a — OQ

de waarde der functie is

FQ= sl₀a\' .... -f J_n.

Men stelt deze waarde ook wel voor door F(a), dat dus wil zeggen dat in F(x) de x overal door a vervangen is. Neemt men nu eene tweede waarde,

x = a /1= OQ\',

waardoor dus QQ\' = //, zoo wordt de waarde der functie

Iquot;Q\' = F(a h) = J₀ (a h)\' -f J, (a -f h)ⁿ~\' ....

A_h_₂ (a A)² 4- A)

Trekt men nu FF\' en verder FR evenwijdig aan de as OX, dan is F\'R^F\'Q\'—FQ

en ook

F\'Jt F\'R _lgF\'FR = t_aF\'S_q\' = ^ = —

en daaruit na substitutie en eene kleine herleiding,

, D-cvv / (a-\\-hT— a\' , (_a-f-A)-\'— a\'quot;¹

tg F SQ = J_Q .--- A_t--- ....

(a /j)²—a² (a 4-/0—«

^-²-h-h

en daarmede is de tangens gevonden van den hoek, dien de snijlijn FF\' maakt met de as OX. Ontwikkelt men nu een dezer quotiënten, b. v.

(a— aquot; n , , n(n — 1) , , , , -= J «-\' \\ ₂ ^/ •••• Aquot;quot;

zoo blijkt dat, als men het stuk h zeer klein neemt, het quotient zeer weinig gaat verschillen van den eersten term

naquot; ~\'

en dat dus tgF\'SQ\' ook zeer weinig zal verschillen van

wy/₀aquot;^_\'-f-— l)^/,a^{n 2}-f^-(^?2 — 2) A₂a* *-\\-\'iA_n_₂a-\\-A_n__x,

maar toch nimmer daaraan geheel gelijk zal worden, al neemt men h ook nog zoo klein.

In de figuur is de beteekenis van het zeer klein nemen van h, dat het punt F\' zeer dicht bij F komt en de snijlijn FF\' veel zal

7

hebben van de raaklijn PT, maar toch altijd nog iets met PT in richting zal verschillen. Daar nu tgP\'SQ\' aan den eenen kant onbepaald nadert tot de verkregen uitdrukking en aan den anderen kant evenzeer onbepaald nadert tot UjPTX, mag men hieruit besluiten dat

tgPTX= nA₀a^ (« — \\)A^ -f- .... 2^_₂« -f /4-,

zal zijn, cn hiermede is de gevraagde richting der raaklijn bepaald in eenig punt P. waarvoor x = a is.

Het bewijs blijft geheel hetzelfde als de tweede waarde P\'Q,\' kleiner dan P^is; dan is de uitdrukking voor IgP\'SX negatief, maar is hoek P\'SX en dan ook hoek PTX stomp, als men slechts steeds dezelfde richting in de as OX denkt, namelijk van O tot X.

§ 5. Stelt men in de gevonden uitdrukking van tg PTX voor a weer x, zoo wordt deze

«Ax*-\' O —l)^-² .... 2A,^x -J- J,_„

waarin men nu voor x slechts de waarde voor eenig punt P behoeft te stellen om don tangeus van den hoek te kennen, dien de raaklijn met de as OX maakt. Deze uitdrukking is eene functie van x van den (n,— l)sten graad en wordt uit de eerst gegeven functie

FQc) = Agcquot; -j- A_xxⁿ 1 _ïX\' -(- A_n__xx A_n

op zeer eenvoudige wijze afgeleid, waarom zij ook den naam van afgeleide functie gekregen heeft. Men vindt de afrjeleide functie door eiken term van de gegeven functie met den exponent te vermenigvuldigen en daarna den exponent met de eenheid te verlagen. Deze regel gaat ook door voor den bekenden term, want men kan deze altijd met x⁰ vermenigvuldigd denken. De afgeleide functie is van het grootste belang voor het onderzoek der functie. Zij wordt gewoonlijk door het teeken F\'(x) voorgesteld als de functie F(x) heet.

De uitdrukking, die in de vorige paragraaf voor tgP\'SQ\' gevonden werd, hoeft voor elke eindige waarde van h eene eindige waarde, en nadert bij het kleiner worden van h tot F\'(a). Daar nu P\'R of /\'\'(« h\') — F(a), d. w. z. de toename der functie bij den overgang van x = a tot x — a-\\-h, gelijk h.tg P\'SQ\' is, zoo zal, als h tot nul nadert, ook F(a -|- /lt;) — F(a) tot nul naderen ; m. a. w. het is mogelijk h zoo klein te nemen, dat F(a-\\-li) — F(a) kleiner is dan elke gegeven grootheid. Hieruit blijkt dat do verandering van de functie niet sprongsgewijze geschiedt, maaibij intervallen, die zoo klein genomen kunnen worden, als men

8

slechts wenscht. Men drukt dit uit door te zeggen, dat de functie met x continue verandert.

§ 6. De afgeleide functie van de vroeger gekozen uitdrukking — 0,02a:³-f0,2x²-J- 0,1a-—1

zal dus zijn

— 0,06a-²4-0.4.r-f 0,1.

Wil men nu. Fig. 1, de punten ü en ü\' bepalen, waar de raaklijn evenwijdig loopt aan de as OX en dus UV eeue bijzondere waarde der functie, in ons geval eeno maximum-waarde, zal zijn, zoo moet men daarvoor al de waarden van x— O V nagaan, waarvoor de afgeleide functie de waarde nul krijgt en dus aan de vergelijking

— O.Oe.c² -f 0,4a; 4-0,1=0

voldaan wordt. Men moet daartoe in dit geval eene vierkantsvergelijking oplossen, maar in het algemeen zal het ook de oplossing van eene hoogere-machtsvergelijking eischen.

Ook de afgeleide functie kan door eene kromme lijn voorgesteld worden. Zoo is Fig. 2 de voorstelling van

— 0,06a;²-f 0,4a\'-|-0,1

en deze functie is zelf de afgeleide van de functie, die in Fig. 1 voorgesteld is. Wil men aan de kromme lijn, die de meetkunstige voorstelling is van de afgeleide van F(x), dus van

F\'(x) = ns1₀x\'~\' -f- O— l)^_rïquot;quot;²4- .... -}- 2A_n__%x-\\-J,_„

de richting van de raaklijn bepalen, zoo moet men van dezen vorm weer de afgeleide opschrijven, die men ten opzichte van de oorspronkelijke functie F{x) don naam geeft van tweede afgeleide functie en door het teeken 7\'-(x) voorstelt. Derhalve is

r\\x) = n (n — 1).V -² («—1) (ra — 2)J_lxquot;-³ -f- .... -j- 2gt;.1A_n_₃x -j- 2^/_n_₂

en voor de waarden van x, waarvoor deze uitdrukking nul wordt, zal men weer op bijzondere punten van de kromme, of op bijzondere waarden van Fix) heengewezen worflen. Ook tot het vinden van deze waarden van x zal in het algemeen hot oplossen van eene hoogere-machtsvergelijking noodig zijn. Van de reeds nagegane funtie is de tweede afgeleide

— 0,12a; -j-0,4,

welke uitdrukking nul wordt voor .r = 3^. Bij deze waarde van x

9

zal de kromme lijn van Fig. 1 eene grootere helling ten opzichte der as OX hebben dan in den onmiddellijken omtrek van deze waarde.

Bepaalt men de afgeleide functie van F²(x), zoo vindt men eeno functie van den (re — 3)den graad, die door F^x) wordt voorgesteld en de derde afgeleide van de oorspronkelijke functie wordt genoemd. Aldus voortgaande vindt men voor eene functie van den «den graad n afgeleide functiën; voor de ?ide of F*(x) vindt men het getal n(ti—1) (n — 2).... 2.1.^₀.

§ 7. Het voorgaande wijst genoegzaam op het groote belang der meetkunstige voorstelling van functiën heen. Het leert ons daarenboven, dat tot het onderzoek van de geheele rationale function voornamelijk vereischt wordt het oplossen van hoogere-machts-vergelijkingen, dat dan ook hier in de eerste plaats zal behandeld worden. Voor den algemcenen vorm der hoogere-machtsvergelij-kingen kan de volgende gekozen worden:

-)- AjXquot;quot;¹ -f- -)- A_n__Ix -|- A_n= 0,

waarin de coëfficiënt van de hoogste macht nog al veel de eenheid voorstelt, daar men een der coëfficiënten altijd naar eigen zin nemen kan. Het is nu niet altijd mogelijk, en waar zulks mogelijk is, toch van weinig practische waarde, om, zooals bij de vierkantsvergelijkingen hot geval is, de onbekende in eindigen vorm met behulp der coëfficiënten J₀, J,, A._l enz. uit te drukken. Evenwel zijn er verschillende handelwijzen bekend, die het mogelijk maken, om, als de coëfficiënten A₀, A_x, A._i enz. in getallenwaarde gegeven zijn, de waarden der onbekende zoo nauwkeurig als men verlangt te berekenen.

TOEPASSING.

Breng de functie

x³ — ^² —0,75.* 0,5

in teekening; eveneens de drie afgeleide functiën. Bepaal de waarden van x, welke behooren bij de punten, waar de raaklijn aan de kromme, die de gegeven functie voorstelt, evenwijdig aan de as OX is.

TWEEDE LES.

ALGEMEENE EIGENSCHAPPEN DER HOOGERE-MACMTS-VERGELIJKINGEN.

§ 8. Het is altijd mogelijk eene hoogere-machtsvergylijking saam te stellen, waarvan de wortels gegeven getallen zijn. Vermenigvuldigt men b. v. de vormen x -j-2, x— 1, x — 3 en a; — 5 met elkaar, zoo zal het product

(x -j- 2) (^—1) (« — 3) (a: — 5) = x* — 7ar³ -)- 5i\'² -|- 3lx — 30,

eene uitdrukking van den vierden graad, natuurlijk nul worden, als men daarin voor x substitueert een der getallen —2, 1, 3 of 5, waarvoor een der factoren nul wordt. Derhalve zullen deze vier getallen wortels zijn van de vergelijking

x* — 3 —J— 31 J •— 30 = 0.

Hierdoor ontstaat het vermoeden, dat het eerste lid van eene willekeurige hoogerc-machtsvergelijking

F(x) = JgXquot; J_{xquot; ¹ -\\-A_a__xX

deelbaar zal zijn door x — a, als a een wortel is der vergelijking

I\\x) = 0.

Dat dit werkelijk zoo is, is gemakkelijk aan te toonen; want als a een wortel is, zal men hebben

-j- .Artquot;\'¹ 4quot; •••• -1quot;² 4quot; -1- A_n = 0,

waaruit volgt dat

= — Ay — A^aquot;quot;¹ — .... — A_n_.₁a² — A_n__la,

en substitueert men deze waarde in

F{x) = A₀xⁿ -)- A^x*~\' .... -j- At_₂x² A_n__xx A_n ,

zoo vindt men na eene kleine herleiding

F\\_X)=A₀{a:\'—a\') A_t{x\'-^,—a\'-^,) .... A_n_₂(x^I—_aⁱ) A,__l(x—a), welke uitdrukking blijkbaar door x — a deelbaar is.

11

Men kan ook aldus redeneeren. Deelt men F{x) door (x—a), zoo verkrijgt men een quotient Q en een getallenrest A\'; derhalve kan I\'X*) ook aldus voorgesteld worden

F(x)=(x — a) Q-j- 71.

In deze vergelijking komt het eerste lid geheel overeen met het tweede lid. Aan de vergelijking wordt dus voor elke waarde van x voldaan, wat men uitdrukt door de vergelijking eene identieke vergelijking te noemen. Wij willen dit hier evenals in het vervolg aangeven door het teeken = te vervangen door =.

Stelt men nu3- = a₎ zoo blijkt dat F(a) = R,

dat is, als F(x) gedeeld wordt door x — a zal de gelallonresl zijn F(ci), dal is wat F{x) wordt voor x = a. Is nu a een wortel dei-vergelijking

F{x) = 0,

zoo zal Fijx) nul zijn en dus geen rest gevonden worden, als men F{x) door x — a deelt.

Derhalve geldt de volgende stelling:

Indien a een wortel is der n^e machtsvergelijking F(x) = 0, zal het voorste lid F(x) door x — a zonder overschot deelbaar zijn.

Omgekeerd volgt nu hieruit tevens, dat F\'je) niet door x — a kan deelbaar wezen, tenzjj x — a een wortel der vergelijking F{x) = 0 zij.

Neemt men nu eens als bewezen aan, dat er altijd ten minste één wortel x = a te vinden is, welke aan de vergelijking F{x) = 0 voldoet, dan leidt do zoo even betoogde eigenschap van zelf tot deze gewichtige gevolgtrekking, dat elke «^e machtsvergelijking ook n wortels zal opleveren. Immers, hot eerste lid is dan deelbaar door x — a en het quotient Q eene functie van den (n— l)sten graad. Stelt men nu (3 = 0, zoo is dit weer eene hoogere-machts-vergelijking, die nu zeker één wortel 6 hebben zal, waaruit blijkt dat Q door x — 6 deelbaar zal zijn. Stelt men nu

zoo zal men voor F(x) kunnen schrijven

F(x) = (x — a) (x — i) Q_r Nu zal wederom de vergelijking Q,= 0 een wortel x = c toelaten,

en dus —^— = O,, zoodat men heeft

.1?-n

12

F{x) = (x—a) (x — i) (x — c) Q₂ ;

en op die wijze voortgaande, ziet men duidelijk in, dat na n deelingen het laatste quotiënt het getal .4_a zal wezen, en dus

1\'Xx) = J₀(x — d) (x — b) (x — c) .... (x — /c),

waaruit blijkt dat de vergelijking F(x) = 0 een aantal van n wortels, a, i, c.... k, zal tellen.

Het is mogelijk, dat eenige der waarden a, b, c .... Tc gelijk zijn. Men rekent in dit geval dat de vergelijking eenige gelijke wortels heeft, evenals dat bij de vierkantsvergelijking gedaan is.

Behalve deze n wortels zal geene andere waarde van x aan de gegevene vergelijking kunnen voldoen. Want geen der n eerste-machtsfactoren, waarin F{x) reeds ontbonden is, zal voor eenige waarde x = p kunnen verdwijnen, indien niet p gelijk aan eenen der wortels n, b, c.... k genomen wordt.

Hieruit laat zich onmiddellijk afleiden, dat wanneer aan eene vergelijking van den M^(len graad voldaan wordt door meer dan n waarden van x, de vergelijking noodwendig eene identieke moet zijn, d. w. z. de coëfficiënten A alle gelijk nul zullen zijn.

Het bewijs, dat elke vergelijking F{x) — 0 ten minste één wortel heeft, welke stelling het theorema van d\'Alembert genoemd wordt, zal later volgen. De algemeenste vorm van dezen wortel zal zijn

a -j—i]/— 1,

dezelfde als bij de vierkants vergelijkingen. Wij zullen, daar hier het bewijs nog niet gegeven kan worden, de stelling alleen gebruiken waar zulks volstrekt noodzakelijk blijkt.

TOEPASSINGEN.

1. Welke is de vergelijking, die 3, 2 en — 1 tot wortels heeft?

Antw. x³ — ix* .£ 6 = 0.

2. Gegeven zijnde dat 1 een wortel is der vergelijking

x² — 5.c⁹ — 1 = 0,

vraagt men de beide overige wortels te bepalen.

Antw. 2 K3 en 2 — K3.

3. Bepaal de vergelijking, die

Vp Vq, Vjo — Vq, — Vp Vq en — Vp — Vq tot wortels heeft.

Antw. x^l — 2 {p q) x² (p — qY — 0. i. Bepaal de wortels van de vergelijking

13

Daar 1 blijkbaar een wortel is, kan voor het eerste lid geschreven worden {x — 1) (or- x 1).

Antw. 1, — i i V— 3, — i — i y— 3.

5. Bepaal de wortels van de vergelijking

^ 1=0.

Hier is — 1 een wortel, zoodat voor het eerste lid geschreven kan worden {x 1) (.r² — x 1).

Antw. — 1, i i V— 3, i — J V—3.

6. Bepaal de wortels van de vergelijking

x⁴ — 1 = 0.

Hier is zoowel 1 als — 1 een wortel, zoodat voor het eerste lid geschreven kan worden (x — 1) (.r 1) (x- 1).

Antw. 1,-1,-1- V— 1, — V — 1.

§ 9. Stelling. ImUen eene vergelijking met bestaanbare coëfficiënten eenen onbestaanbaren wortel a 5 ]/ — 1 heeft, zoo zal ook a—by —1 een wortel der vergelijking zijn.

Wanneer het binomium a b}/ — 1 tot eenige positieve macht p verheven wordt, zal do reeks, welke de ontwikkeling van (a-^-by—l)\'\' uitdrukt, zooals men weet, samengesteld zijn uit bestaanbare termen en uit onbestaanbare, die jX — 1 als factor bevatten. Daarvan zullen de eerste slechts de evene, en de laatste de onevene machten van b bevatten. Schrijft men nu voor de som der bestaanbare termen M, en voor die der onbestaanbare termen iV]/— 1, dan zal (a -|- by— 1)\'\', voor alle waarden van den vorm M-^-Ny—1 aannemen. Voorts is het klaar, dat F^:), voor x — a-\\-by—1, na de vereeniging zoo der bestaanbare als der onbestaanbare termen, welke uit die substitutie zullen ontstaan, insgelijks zal kunnen herleid worden tot den vorm P Qy— 1, waarin Pen Q function van a en b voorstellen. Nu kan aan de vergelijking

F{x) = F{a by— 1) = P QV— 1 = 0

onmogelijk voldaan worden, tenzij afzonderlijk P — 0 en Q = 0 gesteld worde, vermits anders eene bestaanbare grootheid gelijk aan eene onbestaanbare zou wezen. *

Schrijft men echter voor x de onbestaanbare waarde a — by — 1, dan is het licht in te zien dat, daar in eiken term van P eene evcne, en in eiken terra van Q eene onevene macht van b voorkomt, bij don overgang van A in — b P onveranderd blijft en Q daar-

14

entegen in — Q zal overgaan, zoodat F{x) den vorm P— lt;31/— 1 zal aannemen. Daar nu aan de vergelijking

F{x) = F{a — hY— 1) = P — qV— 1 = 0

insgelijks voldaan wordt door P=0 en lt;3 = 0 te stellen, zoo blijkt hieruit terstond dat, indien a-j-i]/—1 een wortel is, a — h}/—1 mede een wortel der gegevene vergelijking zijn zal, waaruit verder volgt, dat de onbestaanbare wortels altijd paarsgewijs of in een even aantal zullen voorkomen, en het voorste lid eener vergelijking met onbestaanbare wortels altijd deelbaar zal zijn door den bestaanbaren tweede-machtsfactor

(x — a — hY — 1) — a-^hy — 1) = a;²— lax -)-a² -fquot; A².

Terwijl voor eiken bestaanbaren wortel het eerste lid eener hoo-gere-machtsvergelijking een bestaanbaren eerste-machtsfactor bezit, zoo heeft dus dit lid voor elk paar bij elkaar behoorende, zoogenaamd toegevoegde, onbestaanbare wortels een bestaanbaren tweede-machtsfactor. Tevens blijkt dat het eerste lid van elke hoogcre-machtsvergelijking en dus elke geheele rationale functie van ééne veranderlijke als het product van bestaanharc eerste- en tweede-machtsfactoren beschouwd kan worden.

In het voorgaande betoog wordt stilzwijgend aangenomen dat al de coëfficiënten y/,, A._l.... bestaanbare getallen zijn. In het tegenovergestelde geval zou men uit de vergelijking

Fta bV—\\) = P-]-qV—\\

niet mogen besluiten

F{a—bV^r~V) = P—QV—ï,

aangezien de functiën P en Q alsdan zoowel de evene als de on-evene machten van h kunnen bevatten (¹)

¹

Dc besprokene stelling kan ook als volgt gemakkelijk worden aangetoond. Deelt men F{x) door (x — o)² i², zoo vindt men een quotient Q van den («—graad en eene rest van den vorm lljr S, waarin i? en 5 bestaanbare getallen zijn, zoodat

-PM — [(f — o)² i²] (gt; -t- Ex 8.

Stelt men hierin x = a hv—1:

F(a h V— l) = R(a l)V—l) S.

Is nu a h y— 1 een wortel der vergelijking F( r) — 0, en dus /Tquot; h y—1) — 0, zoo vindt men

1) S=:0

15

§ 10. Stelling. In elke n^-machtsvergelijking, welker eerste term de eenheid tot coëfficiënt heeft, bestaan de navolgende betrekkingen tus-scheu de coefjiciënten der termen en de ivortels der vergelijking:

Be coëfficiënt van den ticeeden term is gelijk aan de som der wortels, met het tegengestelde teéken genomen.

Die van den derden term is gelijk aan de som der producten van de wortels twee aan twee.

Die van den vierden term is gelijk aan de som der producten van de wortels drie aan drie, met hel tegengestelde teeken genomen, enz.

De laatste of bekende term eindelijk zal gelijk zijn aan het product van al de wortels, met hetzelfde of met hel tegengestelde teeken genomen, naar dat de aanwijzer n even of oneven is.

Het bewijs dezer stelling laat zich onmiddellijk afleiden uit de wijze van samenstelling der vergelijking. Zijn namelijk a,, a₂, a₃....a_n de u wortels der vergelijking en p,, ......... de opeenvolgende coëfficiënten, zoo is

-l_rp₂xⁿ~² 4- .... /gt;„ = 0 — 0,) {x — a._z)....(p;—a,_l).

Ontwikkelt men het gedurig product, dat in het tweede lid voorkomt, zoo vindt men vooreerst den term xquot;; voor den coëfficiënt van kquot;^-1 vindt men —lt;7, —a₂—.... — a„, d. w. z. de som dei-wortels met het tegengestelde teeken genomen; voor den coëfficiënt van ~² de som der producten der wortels twee aan twee enz. Om in het algemeen den coëfficiënt van xⁿ~^k te vinden, bedenke men, dat om een term met xquot;\'* te verkrijgen men in n —k der eerste-machtsfactoren de grootheid x moet nemen en in de k overige factoren minus den daarin voorkomenden wortel, zoodat deze term tot coëfficiënt verkrijgt (•—l)⁴\' maal het product van k wortels. Door bijeenvoeging van alle overeenkomstige termen, vindt men voor den coëfficiënt van x\'\'~^k (—l)⁴\'maal de som der producten van de wortels k aan k, waarbij achtereenvolgens alle mogelijke verschillende samenstellingen van k wortels genomen moeten worden. Stelt men nu de coëfficiënten der gelijknamige machten van

Aan deze vergelijking wordt, als b ongelijk nul is, slechts voldaan voor 7? = O en S=0, wat gemakkelijk gevonden wordt door het bestaanbare en het onbestaanbare deel van het eerste lid der vergelijking afzonderlijk nul te stellen. Men vindt dus dat, als a b V— 1 een wortel der vergelijking Hx) - O is,

F(x) = [(x-ay b^Q

d. w. z. het eerste lid deelbaar is door den tweede-machtsfactor (r — nY hquot;, en dus ook n — bv—1 een wortel der vergelijking is.

16

a- in de beide leden van bovenstaande identieke vergelijking aan elkaar gelijk, zoo vindt men

V\\⁼ -(^S1 quot;t^- quot;l^-•••• quot;1* ^ö«) |

Vt.— i^ai^a2 ^ai«3 «2«₃ •••• ««-1 «») | p₃= — ^a,ⁿi^ai •— gt;.......^rgt;

p, = (—l)quot;a_ta₂a₃....a, J

waarmede de juistheid van het gestelde is bewezen.

Is b. v. n = 4, zoodat de vergelijking wordt:

^-{-PtX³ p.^x¹ p.₃x -\\-p_i = d

zoo vindt men:

P\\ — — («i 4- quot;z ^a3 ^ai)

/»2 = «.«3 «,«4 a/h a/U ajh) p₃ = — (f/,a₂rt3 -f- a,a₂a₄ -}- a_xa._ia_i (ixUJ⁰¹*)

p₄ = 4- a/t.fl.a,,

Is de coëfficiënt van a.quot; niet gelijk aan de eenheid, beschouwt men bijv. de vergelijking

-^o®quot; ^\\^x\' ¹ 4quot; -^2®quot; ² 4- 4quot; = O,

zoo heeft men slechts, deze vergelijking door deelende, in de

boven gevonden betrekkingen /j, = p_L = ^ .... p_n = ~ te

sIq SIQ

stellen.

§ 11. Daar hiermede n vergelijkingen gevonden zijn, bevattende de v wortels, zou men wellicht geneigd zijn tot de onderstelling, dat deze vergelijkingen voor de berekening van de n wortels met voordeel gebruikt knnnen worden. Dit is echter in het algemeen niet het geval. Elimineert men n.1. uit deze n vergelijkingen n—1 der wortels, zoo zal de vergelijking, die men voor de bepaling \\an den overblij vonden wortel verkrijgt, geheel met de oorspronkelijke vergelijking overeenstemmen, zoodat daarmede de moeilijkheid gelegen in de oplossing van deze vergelijking in geenen deele verminderd is. Bepaalt men zich tot het geval n = 4, zoo kan de eliminatie van b. v. do wortels a₂, a₃ en a₄ plaats vinden dooide vergelijkingen II bij elkaar op te tellen, nadat de eerste met a,³, de tweede met a,² en do derde met n, is vermenigvuldigd, waardoor men vindt

17

P.quot;i³ quot;Km² /¥*■ ^4 = — quot;,⁴ of a,⁴ -f p.\'?,³ ^3«-, A = 0

welke vergelijking met de oorspronkelijke vergelijking overeenstemt, wanneer daarin x door », vervangen is. Op overeenkomstige wijze kan voor het algemeene geval de eliminatie van de wortels flj, a₃....a_n plaats vinden door de vergelijkingen I respectievelijk met ff,quot;^-1, fl\',quot;^-2, ....a, en 1 te vermenigvuldigen en daarna bij elkaar op te tellen. Merkt men op, dat de wortels n,, a.,.... a_n in de vergelijkingen I op geheel dezelfde wijze voorkomen, zoodat, welke ook de wortel zij ter wier berekening men de overige wortels elimineert, de resulteerende vergelijking steeds dezelfde blijft, en aan deze vergelijking dus voldaan moet worden door alle wortels ff, dan laat zich reeds onmiddellijk vermoeden, dat deze resulteerende vergelijking geene andere dan de oorspronkelijke vergelijking zal zijn.

Hoewel dus de betrekkingen tusschen de wortels en de coëfficiënten eener hoogere-machtsvergelijking, die in de vorige paragraaf gevonden zijn, bij de oplossing van deze in het algemeen geen hulp kunnen verleenen, zoo kunnen zij toch dikwijls deze oplossing vergemakkelijken, zoodra men bijzondere betrekkingen tusschen de wortels kent.

Zij b. v. gegeven, dat van de wortels o,, a₂ en a₃ der vergelijking

a,.\'—2a-²—5a,--|-6 = 0 er één gelijk is aan de som der beide anderen, dus:

⁽\'\\^==aï-\\- quot;3

zoo kan men uit deze betrekking en uit de betrekkingen

quot;t^{- fl}2 quot;l^- quot;3⁼ 2

^a\\^ai quot;h ^at^a3~\\~ ^

de drie wortels gemakkelijk berekenen. Men vindt a₁ = ct₂ a₃=l

a_ï(^l3 = — 6

waaruit a₂ = % a₃ = — 2.

Aan de betrekking

= — 6

die hier voor de berekening van de wortels niet gebruikt is, blijkt door de gevonden waarden voldaan te worden, zoodat werkelijk LOBATTO, 2

18

do wortels der gegeven vergelijking aan de betrekking a, — a._l -f- a₃ blijken te voldoen.

Ook kan men de betrekkingen tusschen de wortels en de coëfficiënten eener vergelijking gebruiken voor het vinden van de betrekking tusschen de coëfficiënten, die met eene gegeven betrekking tusschen de wortels overeenkomt.

Als voorbeeld hiervan moge gevraagd worden aan welke betrekking de coëfficiënten der vergelijking

x³ -(- px* qx -\\-r = 0 moeten voldoen, opdat do wortels eene rekenkunstige reeks vormen. De wortels kunnen hier voorgesteld worden door a — b, a en de in de vorige paragraaf gevonden betrekkingen geven nu: 3a = — p 3a² —«²= q a(a²—Ij¹) =—r.

Elimineert men a en b, zoo vindt men gemakkelijk

2/)³ — -j- 27r — 0 voor de betrekking tusschen de coëfficiënten, welke overeenkomt met de gegevene betrekking tusschen de wortels.

TOEPASSINGEN.

1. De vergelijking

—8^ — 12=0

heeft twee gelijke wortels. Men vraagt de wortels te bepalen.

Antw. — 2, — 2, 3.

Men vergete hierbij niet na te gaan, of ook aan de niet gebruikte betrekking tusschen de coëfficiënten en de wortels wordt voldaan.

2. De wortels der vergelijking

2.r* — 15x³ 35x* — 30r 8 = 0 te berekenen, wetende dat deze oene meetkunstige reeks vormen.

Antw. 5, 1, 2, 4.

3. Druk door eene betrekking tusschen de coëfficiënten uit, dat de wortels der vergelijking

A₀x³ AiX^z -1- AzX -1- A3 — 0 eene meetkunstige reeks vormen.

Antw. A^As = AnA,,*.

i. Druk door eene betrekking tusschen de coëfficiënten uit, dat het product van twee wortels der vergelijking

x³ -1- j0.r⁹ -1- r = 0

gelijk de eenheid is.

Antw. pi- — rquot; — q 1 — 0.

19

§ 12. Stelling. Wanneer F{x) voor twee verschillende waarden a en b, aan de veranderlijke grootheid x gegeven, tegengestelde ieekens verkrijgt, zoodat. F(a) positief, doch F{b) negatief wordt, of omgekeerd, zal de vergelijking F{x) = O ten minste één wortel tusschen de grenzen x = a en x = b bezitten.

Neemt men in aanmerking, dat Fix) voor alle eindige waarden van x eene eindige waarde behoudt, zoo volgt uit de continuïteit der functie, die in § 5 besproken werd, dat als de functie verandert van F{a) tot F(b), dit niet kan geschieden zonder dat de functie daarbij alle tusschengelegen waarden aanneemt. Is nu F{lt;i) positief en F{b) negatief, of omgekeerd, zoo zal voor minstens eene waarde van x tusschen a en h de functie de tusschengelegen waarde nul aannemen; m. a. w. tusschen o en lt;5 is minstens één wortel der vergelijking gelegen.

Verandert bij de toename van x — a tot x = h de functie meermalen van teeken, zoodat men, als a en /S twee andere tusschen a en h gelegene waarden van x voorstellen, de navolgende rij van teekens bekomt:

Fid), F{a), Fiji), F(b)

-

dan vloeit hieruit voort, dat er een wortel tusschen a en a, een tweede tusschen a en [i, en een derde tusschen P en b gelegen is, en de vergelijking alzoo drie wortels tusschen a en i zal hebben, In het algemeen zal het aantal wortels, door het verschil in teekens van F(a) en F(b) aangewezen, altijd oneven moeten zijn.

§ 13. Uit deze eigenschap, waarvan later bij de benadering der wortels eener vergelijking veelvuldig gebruik zal gemaakt worden, zou men nochtans verkeerdelijk besluiten, dat, indien F(a) en F(6) geene afwisseling van teekens vertoonen, er uit dien hoofde geen wortel tusschen a en J kan gelegen zijn. Integendeel bestaat de mogelijkheid, dat er alsdan twee, vier enz. en in het algemeen een even aantal wortels tusschen die grenzen aanwezig zijn. Immers, bijaldien F(x), voor eenige waarde van x =a\' gt; a en lt; b, negatief wordt, terwijl F{a) en F(h) positief zijn; of positief, indien de beide laatste waarden negatief zijn, dan zal de vergelijking in zoodanig geval minstens één wortel, zoowel tusschen a en a\' als tusschen a\' en b, en dus minstens twee wortels tusschen a en i bezitten. Bij gelijkheid van teekens van F(a) en F(b) zal er alzoo in de vergelijking F(x) = 0 of geene enkele, of

2*

20

een even aantal wortels aanwezig zijn tusschen genoemde grenzen. Men zal hierna een theorema leeren kennen, waaruit het aantal bestaanbare wortels, tusschen gegevene grenzen voorhanden, met zekerheid kan bepaald worden.

Herinnert men zich de wijze, waarop in § 3 van F(x) eene meetkunstige voorstelling is gegeven, zoo kan de meetkunstige beteekenis van hetgeen in deze en in de vorige paragraaf gevonden is, aldus worden uitgesproken:

Zijn twee punten van de kromme, die F(x) voorstelt, overeenkomende met de waardenat a en a: = b, aan verschillende zijden van de X as gelegen, zoo is er tusschen deze punten een oneven aantal snijpunten van de kromme met de X as gelegen. Liggen de beide punten aan dezelfde zijde van de X as, zoo is het aantal der tusschengelegen snijpunten even, waarbij nul als een even getal te beschouwen is.

§ 14. Stelling. In elke vergelijking F(x) = 0 zal men altijd aan x zoodanige waarde kunnen geven, dat F(x) voor deze en voor elke grootere ivaarde van x hetzelfde teeken- verkrijgt als de eerste term xⁿ. Indien het polynomium

F(x) — x\' -j- -f A^xquot; ² -f-.... -f- A_a

eeniglijk positieve getallen tot coëfficiënten heeft, zal klaarblijkelijk F(x) voor elke positieve waarde van x evenals xquot; positief zijn. De onderhavige stelling vordert dus alleen dan een betoog, ingeval er zich negatieve getallen onder die coëfficiënten bevinden. Men beschouwe nu het ongunstigste geval, namelijk dat waarin al de coëfficiënten negatief genomen worden, dan zal, als J_m de grootste getallenwaarde van de coëfficiënten voorstelt, F{x) eene positieve waarde bekomen, zoodra men slecht voor x eene zoodanige waarde kiest, dat hierdoor

x*gt;A_m (_a--^, a_;quot;-² .... _a--|-l)

wordt, of wel

waaruit volgt, als men x gt; 1 denkt.

ofgt;x(l —^).

Daar nu, x gt; 1 nemende, 1--lt;1 is, zal aan de voorgaande

xⁿ

ongelijkheid des te eerder voldaan worden, indien men x — 1 gt; A_m

21

oi xgt; \\ J_m neemt. Men is derhalve verzekerd dat F(x) positief wordt, door aan x oone positieve waarde G te geven, gelijk aan don grootsten coëfficiënt met de eenheid vermeerderd, terwijl bij toenemende waarde van x, F(x) blijkens de laatste ongelijkheid noodzakelijk eene positieve waarde zal behouden.

Is de eerste term in F(x) met eenen positieven coëfficiënt A_a

aangedaan, dan zal men slechts xgt;l -|—~ hebben te nemen.

O

Voor eene evene-machtsvergelijking zal blijkbaar x = —G het voorste lid insgeljjks positief maken. Bij eene onevene daarentegen zal x = — G aan F(x) steeds eene negatieve waarde geven.

Uit dit een en ander besluit men gemakkelijk, dat het altijd mogelijk is, voor x zulk eene positieve of negatieve waarde G te vinden, waardoor F{x) hetzelfde teeken als de eerste term verkrijgt.

Hierbij valt echter op te merken, dat indien men voor x alleen zoodanige waarde verlangt te nemen, waardoor de som der positieve termen grootor wordt dan die der negatieve, het voldoende zal zijn den grootsten coëfficiënt A,„ te vervangen door den grootste der negatieve coëfficiënten. Zoo zal men bijv. in de vergelijking

^—3^4-120» 6 = 0

het voorste lid positief kunnen maken door a\' = 4 te stellen. Neemt men echter a¹ =121, dan zal het voorste lid insgelijks positief worden voor .r = —121, doch niet voor x = — 4.

De voorgaande eigenschappen leiden onmiddellijk tot de navolgende belangrijke stelling.

§ 15. Stelling. Elke onevene-macJitsvergelijHny heeft altijd minstens een hestaanhareu wortel, welke positief of negatief zal zijn, naardal de laatste of bekende term A_n met het teeken — of -J- aangedaan is.

Elke evene-machtsvergelijking, waarin de laatste term A_n negatief is, heeft altijd minstens twee bestaanbare ivortels met ongelijke teekens.

Wat het eerste gedeelte dezer stelling betreft, zoo is het klaar, dat indien de bekende term A_n negatief is, F{x) voor x = 0 insgelijks negatief wordt; en aangezien men, ingevolge de voorgaande stelling, voor x altijd eene waarde G=A_m-\\-l of eene grootere kan substitueeren, waardoor F(x) eene positieve waarde verkrijgt, zal de vergelijking, krachtens het betoogde in § 12, noodzakelijk een positieven wortel tusschen 0 en G bezitten. Is A_n daarentegen positief, en dus ook F(x) positief voor x= 0, dan zal, omdat de vergelijking van eene onevene macht is, F{x) voor x = •— G eene

22

negatieve waarde bekomen, waaruit volgt dat er alsdan een wortel tusschen 0 en — G en dus een negatieve wortel voorhanden zal zijn.

Voor het tweede gedeelte is het betoog even gemakkelijk. Immers, daar ï(x) voor x = 0 in den laatsten term overgaat, en dus negatief wordt, terwijl de substitutie, hetzij van x= G, hetzij van x = — G, aan F{x) eene positieve waarde geeft, zal de vergelijking zoowel een wortel tusschen 0 en G, als een tusschen 0 en — C, en dus minstens twee bestaanbare wortels met ongelijke teekens bezitten, waardoor het gestelde betoogd is.

Indien de laatste term eener evene-machtsvergelijking positief is, zal men, daar in zoodanig geval F(x), voor x= — G, x=Q en x—G, telkens eene positieve waarde verkrijgt, daaruit niets met zekerheid ten aanzien van het al of niet aanwezig zijn van bestaanbare wortels tusschen — G ea G kunnen besluiten.

Uit de twee betoogde stellingen volgt nog dat el/ce hoogere-machtsvergelijking, waarvan de laatste term negatief is, minstens een positieven wortel heeft.

§ 16. In sommige vergelijkingen van eene evene macht, waarin de laatste term positief is, kan men wel is waar voor x eene waarde lt; G vinden, welke het voorste lid negatief maakt, en waardoor alzoo voor dusdanige vergelijkingen het aanwezig zijn van twee bestaanbare wortels erkend wordt, gelijk bijv. met de vergelijking

Fix) = a;⁴ -f 2x³— 25a;² — 26« 120 = 0

plaats vindt, waarin voor x=3, F(x)= — 48 wordt. Zulks is echter niet altijd mogelijk, hetgeen onder anderen blijken kan, wanneer het voorste lid der vergelijking uit de som van twee of meer vierkanten samengesteld is, zooals in de volgende zesde-machtsvergelijking

x* -f (2a;² — 3xy -f (5a; — 12)² = «⁶ 4a;⁴ — 12x³ 34^ —

— 120a; 144 = 0.

Het is klaar, dat in zoodanig geval geene positieve of negatieve waarde van x, F{x) negatief of nul zal kunnen maken. Vergelijkingen van deze soort kunnen derhalve geenen enkelen bestaanbaren wortel opleveren.

§ 17. Stelling. Wanneer de coëfficiënten eener vergelijking van den vorm

x\' A.x\'quot;¹ .... 4. = 0

allen geheele getallen zijn, zal die vergelijking geen meetbaar gebroken tot wortel kunnen hebben.

23

Stelt men men namelijk voor a; het onverkleinbare gebroken —, dan gaat de vergelijking over in

of na vermenigvuldiging met iquot;quot;\' in

—~bAJ)\' \' = 0.

Daar nu de getallen a en A hier ondersteld worden onderling ondeelbaar te zijn, zullen aquot; en b geen gemeenen deeler kunnen

aquot;

hebben, waardoor de eerste term — een onverkleinbaar gebroken

moet worden. Al de overige termen stellen echter gehcele positieve of negatieve getallen voor en alzoo bevat de vergelijking blijkbaar eene tegenstrijdigheid in zich. Hare bestaanbare wortels kunnen mitsdien niet door meetbare gebrokens uitgedrukt worden, en zullen óf geheele óf onmeetbare getallen moeten zijn.

DERDE LES.

OVER D£ VERANDERINGEN J)ER VERGELIJKINGEN TEN AANZIEN VAN HARE WORTELS.

§ 18. Bij de oplossing eener hoogere-machtsvergelijking wordt dikwerf vereischt, dat men uit die vergelijking eene andere afleide, welker wortels op eene bepaalde wijze van die der oorspronkelijke vergelijking afhangen. Zoodanige verandering geschiedt met verschillende oogmerken, welke men nader afzonderlijk zal leeren kennen. De meest gebruikelijke veranderingon van den hier bedoelden aard onderstellen zeer eenvoudige betrekkingen tusscben de wortels der beide vergelijkingen, en komen op de navolgende neder:

1°. De wortels met behoud hunner getallen-waarden van tee-ken te doen veranderen, zoodat de positieve in negatieve en deze laatste wederkeprig in positieve overgaan;

2°. De wortels met eenig getal m te vermenigvuldigen ;

24

3°. De wortels om te keeren, dat is eiken wortel a te vervangen door een wortel —, en a

4°. De wortels met eenig getal p te verminderen of te vermeerderen.

§ 19. De eerste der opgegeven veranderingen vordert slechts, dat men in de gegeven vergelijking voor de onbekende x eene nieuwe onbekende — z substitueert. Is dan x— a een wortel der gegeven vergelijking, zoo zal aan de nieuwe vergelijking voldaan worden door z = — ate stellen, en dus de wortels der vergelijking in z die van de vergelijking in x zijn met tegengesteld toeken. Is de vergelijking van eene evene macht, zoo zullen de coëfficiënten der onevene machten een tegengesteld teeken bekomen. Is daarentegen de vergelijking van eene onevene macht, dan zal men, om den voorsten term het positieve teeken te doen behouden, de teekens van alle termen der vergelifring moeten omkeeren, waardoor de coëfficiënten der evene machten het tegengestelde teeken verkrijgen. In beide gevallen zullen dus de termen van even rangnummer, d. w. z. de 2^de, 4^ie, 6^1,6 enz. van teeken verwisselen, zoodat als

4,* 4₂xquot;~² .... -f 4,_, a: -j- 4. = 0 de oorspronkelijke vergelijking is, door

— A_n__lz±J_n = Q

de vergelijking voorgesteld worden, welker wortels slechts in het teeken van die der oorspronkelijke vergelijking verschillen. Hierbij hebben de bovenste teekens betrekking op het geval dat n even, de onderste op het geval dat n oneven is.

Hetzelfde resultaat wordt ook gemakkelijk gevonden met behulp der betrekkingen tusschen do wortels en de coëfficiënten, die in § 10 zijn afgeleid. Geeft men toch aan de wortels tegengestelde teekens, zoo verandert ook de som der wortels, welke gelijk

A, .

— ~j ^1S, van teeken, verkrijgt dus, als J_a onveranderd blijft,

/?o

het tegengestelde teeken. De som van de producten der wortels twee aan twee, welke gelijk is, behoudt daarentegen hetzelfde

O

teeken, dus eveneens. Op gelijke wijze wordt gevonden, dat ^3i •••• enz., in hot algemeen elke ^.mct oneven aanwijzer het tegengestelde teeken verkrijgt, dat daarentegen A^, A...... enz., in

het algemeen elke A met even aanwijzer hetzelfde teeken behoudt.

25

TOEPASSINGEN.

1. Men vraagt naar de vergelijking, welker wortels met die van de vergelijking

x* Sx³ 2^= 5,c — 8 — 0 alleen in de teekens verschillen.

Antw. s⁴ — Sz³ Zz- — 5z — 8 = 0.

2. Hetzelfde voor de vergelijking

x¹ Sxquot; — öx\' 10 = 0.

Men voege hier de ontbrekende termen in met de coefliciënten 0.

Antw. s\' — Si⁶ 5,ï⁴ — 10 = 0. § 20. Begeert men de wortels eener vergelijking i\'O) = ^ ... 4_t = o

m maal grooter te maken, dan zal z — mx de betrokking uitdrukken tusschen de wortels der nieuwe vergelijking in z, en die der gegeven vergelijking. Men schrijve dan in deze laatste slechts

— voor x, waardoor zij overgaat in m ^ ⁰

2quot; ^{- 1} zquot; ~ ²

^ ^ ⁰\'

en verder na het verdrijven der gebrokens in

A_a 2quot; -f- mA.z*quot;¹ -j- n?Aj?^L~\'¹ -f- mⁿA_n = 0.

Hieruit vloeit deze eenvoudige regel voort, ter afleiding van de vergelijking in z:

Vwnienigmldifjt men de coëfficiënten der gegeven vergelijking, die der onthrelcende termen door nullen aanvullende, achtereenvolgens met de termen der meetkunstige reeks 1, m, ni\'.... mquot;, dan zullen de overeenkomstige producten de coëfficiënten worden eener nieuwe vergelijking, welker wortels het m-voud van die der oorspronkelijke vergelijking zijn.

Aan den lezer wordt overgelaten hetzelfde resultaat af te leiden uit de betrekkingen tusschen de wortels en de coëfficiënten eener vergelijking (§ 10).

Het spreekt van zelf, dat in het voorgaande m niet alleen een geheel, maar ook een gebroken of zelfs een irrationaal getal kan voorstellen, zoodat wanneer men de wortels eener vergelijking tot op het k^ie gedeelte wil verminderen, men slechts in het voorgaande m = ~ heeft te nemen.

K

26

TOEPASSINGEN.

1. Men vraagt naar de vergelijking, welker wortels 3 maal grooter zijn dan die der vergelijking

x* — S-c³ 10^^a 6^ — 8 = 0.

Antw. z⁴ — ISs³ 90z^s 1623 — 648 = 0.

2. Men vraagt naar de vergelijking, welker wortels het A bedragen van die der vergelijking

x⁵ — 200x³ SSw⁸ — 75000 = 0.

Men dcnke hier om de ontbrekende termen.

Antw. s⁵ — 2z* 0,0355² — 0,75 = 0.

Het voorgaande doet tevens het middel aan de hand, eene vergelijking met gebroken coëfficiënten te vervormen in eene andere, welker coëfficiënten uit geheele getallen bestaan, zonder dat daarbij die van den eersten term verandert. Men heeft daartoe slechts de wortels te vermenigvuldigen met een getal m zoodanig gekozen, dat de producten mA_l, enz. geheele getallen zijn.

Ook stelt het voorgaande gemakkelijk in staat uit eene vergelijking, waarin de coëfficiënt van de hoogste macht der onbekende niet gelijk aan de eenheid is, eene andere af te leiden, waarin deze coëfficiënt gelijk aan de eenheid is, en de andere coëfficiënten geheele getallen zijn. Daartoe heeft men slechts de gegeven vergelijking door den genoemden coëfficiënt te deelen, om daarna de door deze deeling mogelijkerwijze ontstane gebrokens op de juist besproken wijze te doen verdwijnen.

TOEPASSINGEN.

1. Men vraagt uit de vergelijking

x* — èx² i\'ex , A c = 0 eene andere af te leiden met geheele coëfficiënten.

Stel s = 12j\\ Antw. z* — 120z² 32iz 16 = 0.

2. Men vraagt uit de vergelijking

— 3x³ 2.r\'~ 5x — 1 = 0

eene andere af te leiden, waarin de coëfficiënten geheele getallen zijn, en die van den eersten term de eenheid is.

Deel de gegeven vergelijking door — 3, en stel daarna z — 3.c.

Antw. — 2z* — 15z 9=0.

§ 21. Om de wortels eener vergelijking om te keeren, stelle

men daarin x = -. De vergelijking I\\x) = 0 gaat hierdoor over in

27

of, na vermenigvuldiging met z^A en rangschikking der machten, in

^n-l ^ ^o = 0,

welke nieuwe vergelijking die op de omgekeerde wortels genoemd wordt.

Het is duidelijk dat de coëfficiënten der vergelijking in ^ zullen verkregen worden, door de coëfficiënten A_a, A.,.... A_n der oorspronkelijke vergelijking in omgekeerde volgorde te nemen.

Wenscht men in de nieuwe vergelijking aan 2quot; de eenheid tot coëfficiënt te geven, zoo heeft men slechts alle coëfficiënten door A_n te deelen. Ook hier lette men weer op de ontbrekende termen, die met den coëfficiënt nul worden ingevoegd.

TOEPASSING.

Bepaal de vergelijking welker wortels de omgekeerden zijn van die der vergelijking

xquot; — Bx⁵ 4x-³ — 2ix\' 30x _ 60 = 0.

Antw. z\' — iz\' — SaZ — A — 0.

§ 22. Wij zijn thans genaderd tot de in de toepassing meest gewichtige verandering, welke eene hoogere-machtsvergelijking ondergaan kan, namelijk het verminderen of vermeerderen van hare wortels met eenig gegeven getal p.

Stelt men daartoe x = z-\\-p en substitueert men deze waarde in de gegeven vergelijking, zoo zal de nieuwe vergelijking in z de gevraagde zijn. Want is a een wortel van de vergelijking

i\\x) — AqX* -f- Ai^^{,n 1} -|- A.jX* ²-|--j-= 0,

zoo zal aan de vergelijking

4)0 ?)quot; 4 ¹ -. -1 O 1\') 4 = 0

voldaan worden door voor z-\\-p ook a te nemen en dus voor r te nemen o—p. Zoo zijnde wortels, al naar mate/1 een positief of een negatief getal is, p eenheden kleiner of grooter dan de wortels van de oorspronkelijke vergelijking.

Ontwikkelt men nu het eerste lid van de nieuwe vergelijking, zoo vindt men rangschikkende naar de afdalende machten van z

PJ -P»_, .... -f PJ P/ P^ P_o = 0

waarin

28

-^P0 = ^0/\'quot; ^l/gt;quot; ¹ quot;²-f- .... -|- ^„_₂p² 4quot; A

l\\=nA_up*-\'(n — \\)A_lp*-^ï-\\-.... 2A_n_._ip-{.A_n__i n(n—1) (»—1) (ji — 2) _y

- j_2 quot;P ^ •■•• SA^p -}- A₎₁_2

p _^l)(»-2) («_1)_(?1_2)(_W_3) _₄

1.2.3 ^ ^H--L2^- --

^/„_3

_?/(«—!) »_!

ⁿ -² |2 A^ p -|— ^/₂

-P. = A₀.

§ 23. De uitdrukkingen voor P_m P_l enz. hangen op zeer eenvoudige wijze van de gegeven functie af. Schrijft men uit

F{x)—A_ax -(- A^x* ¹ A^xquot; ¹ A_n__ïx\'ⁱ -\\- A_n__yx A_n

de functie op, die men reeds in de eerste les heeft leeren kennen en daar de afgeleide genoemd is, omdat zij uit F{x) wordt afgeleid door elk der termen met den exponent van x te vermenigvuldigen en daarna den exponent zelf met de eenheid te verlagen, zoo verkrijgt men

F\\x) = nA₀xⁿ-\' -f- (a — 1) A^ -f .... -f 2A_n_^ A_n_,.

Van deze functie kan weer de afgeleide opgeschreven worden, die men de tweede afgeleide van de gegeven functie noemt en door V~{x) voorstelt. ^ an deze wéér de afgeleide, die de derde afgeleide heet van de gegeven functie en door P(x) wordt voorgesteld, enz. Deze vormen worden dus:

F\\x) = n O — V)A_ax*quot;^iJr (n — 1) {n — 2) A^-if- .... ^.2A^,x

2.1 A_n__v

FXx) = »(«—1) {n—2)A₀x*-* 0—1)0 — 2) (« — 3)^,_;rquot;-⁴-f-....

-j- 4.3.2 A_n__ix -j- 3.2.1 ^_n_₃.

Fquot;-\\x) = n(_n~\\){n — -2)....Z.2Aj:-\\-{n - 1).... 3.2.1^, Pquot;\'(x) = n (n — 1).... 3.2.1 A₀.

Bij vergelijking van deze uitdrukkingen met de gevonden vormen voor P₀, P„ P₂.... blijkt

29

1°. dat P_a eu -P, volkomen gevonden worden door in F{x) en F\\x) voor x te substitueeren p, en men derhalve heeft

P₀ = F{p) en P, = ƒquot;(»;

2°. dat de substitutie x—p in de andere afgeleiden, de coëfficiënten P₂, P₃ enz. telkens op een factor na oplevert, en men zoo vindt

P - ^F^P)

² ~ 1.2 73

1.2.3

F\'(P)

1.2.3.4

1.2.3 .... (n— 1)

F\'(p)

1.2.3....»

waarbij op te merken valt, dat in Fⁿ(x) x niet voorkomt, zoodat men deze uitdrukking even goed door ƒquot;\'(/)) als door Fquot;{x) kan voorstellen. Voor P„ kan ook geschreven worden A_a, regelraatig-heidshiilve wordt hier echter bovenstaande vorm vei-kozen.

Voor de nieuwe vergelijking in z kan nu geschreven worden

F*(p) Fⁿ~Hn) F^iv)

: . o . ïT •••• -^z* F\\p)z Fip)=0.

1.2....« \' 1.2....(«—1) ^{1 1} 1.2

Uit de afleiding kan men nagaan, dat het eerste lid dezer nieuwe vergelijking identiek gelijk is aan wat F{x) wordt als men voor x substitueert z-\\-p, dus aan Schrijft men x voor z en h

voor p, zoo vindt men evenzoo

F{x h) = F{li) F\\lC)x ^ ^ ....

1.2 .... (n— 1) ¹ 1.2....« \'

of ook door eene verwisseling van x en h, welke F(x -f- h) niet verandert

Pi* /\') = m F\\*) h H- Ir ....

I ^-\\x) F\\x)

ï,2....(«-T)^h xTïZTn^h ■

30

In deze beide vormen wordt de ontwikkeling het meest gebruikt voor allerlei onderzoek.

§ 24. Wil men nu met behulp van het voorgaande de vergelijking opschrijven, waarvan b. v. de wortels drie eenheden kleiner zijn dan de wortels van de vergelijking

_ 15x² -f 74.v —120 = 0,

zoo heeft men voor dit geval

F(a;) = a-³ — 15a,\'² 74a; — 120 F\'(.v) = 3^—S0^~j-74 I\'^!(x) = 6.c—30 F³(.v)=6.

en vindt men, door a; = 3 te nemen,

F(8) = —6; Jquot;(3) = ll; ^3) = —12,

dus

1.2

^³(3) 1.2.3

en zal dus

^(3) .3 , ^(3).₂ , _F,_m_ , ₀ Ï72^3 (3)^ ^(3) = 0

of

z\' — öz\'-j-112 — 6 = 0

de gevraagde vergelijking zijn. Men kan zich trouwens gemakkelijk overtuigen, dat de wortels van de eerste vergelijking zijn 4, 5 en 6 en van de tweede vergelijking 1, 2 en 3.

TOEPASSINGEN.

1. Men vraagt de wortels der vergelijking

2.c⁴ — 5.r³ 7* — 8 = 0

met twee te verminderen.

Antw. 2«⁴ lis³ -h ISs² 11« — 2 = 0.

2. Men vraagt de wortels der vergelijking

é.c⁶ — 2a\'³ 7x — 3 = 0

met 1 te vermeerderen.

Men neme hier jgt;= — 1.

Antw. 4j⁵ — 20s⁴ 38^³ — 34J² 21« —12 = 0.

31

§ 25. De voorgaande afleiding is zeer geschikt om de betee-kenis der nieuwe coëfficiënten te doen inzien, en dit zal nog van veel dienst zijn. Maar om de getallenwaarde der coëfficiënten te vinden als voor p willekeurige waarden genomen worden, is de berekening, in de voorgaande § uitgevoerd, nog al omslachtig. Aan Hornek, een Engelsch wiskundige, is men het denkbeeld van een veel eenvoudiger afleiding verschuldigd. Deze zullen wij nu lee-ren kennen.

Als voor x gesubstitueerd is z en in de komende uitdrukking de z wéér door x —p vervangen wordt, krijgt men don oor-spronkelijken vorm natuurlijk weer terug. Maar als men de uitdrukking na de substitutie x — z-\\-p hooft geordend naar de afdalende machten van z en men dan voor s schrijft x—p, krijgt men dus den oorspronkelijken vorm gerangschikt naar de afdalende machten van {x —p) terug. Om derhalve uit

F(x) = A₀x\' -|- A,xⁿ~^x -f- A^^x¹ A_n__xx —

eene vergelijking af te leiden, waarvan de wortels p eenheden minder zijn, heeft men slechts het eerste lid T{x) te rangschikken naar de machten van (x—p), waarna men x—p door z kan vervangen. En dit wordt op de eenvoudigste wijze verricht door het eerste lid te deelen door {x —p), waardoor men een quotiënt Q, verkrijgt van één graad lager en een getallenrest Ji,; daarna Q, te deelen door x—p, waarbij het quotiënt Q_z en de rest 7i₂ moge heeten en deze bewerking n maal te herhalen. De resten Jl,, R, enz., die men achtereenvolgens verkrijgt, zijn de gevraagde coëfficiënten. Immers, volgens deze achtereenvolgende deelingen is

T{x) = {x—p) Q. iü,

q, ={x—p) q₂ -j- e₂

Qn-2=i^X—P)Qn-i K.,

Qn-, = i^X—p)A K-

Het nquot; quotiënt is namelijk A_m zooals gemakkelijk te zien is. Stelt men nu in de eerste vergelijking de waarde Q_t uit do tweede, zoo komt er

F(x) = (x—2gt;)^a Q, R₂ (.r—p) Tt,

en hierin voor Q, stellende de waarde uit de derde vergelijking

32

^F(^x) = i^x —pf Q, ^3 (* —pf R/_Kx — p) B,

en zoo voortgaande vindt men eindelijk

F{x) = J_a(x—p)ⁿ -f R_n{x—py-^l .... B₃{_le—pf jt_i(_x___p-₎

waaruit men ziet dat de resten der deelingen de gevraagde coëfficiënten zijn.

§ 26. Het deelen van F{x) door x—p is eene eenvoudige bewerking, die door het weglaten van alle overbodige teekens en cijfers dadelijk tot den volgenden regel leidt:

Schrijf op eene rij de coëfficiënten J_n, A„ A₂....J_n van F{x) (waarbij de coëfficiënten nul niet weggelaten mogen worden), tol bjj -//, op het product van yl₀ en p; de zoo gevonden waarde met P vermenigvuldigd wordt bij den volgenden coëfficiënt gevoegd ; de zoo verkregen waarde met p vermenigvuldigd weór bij den volgenden coëfficiënt y/₃ enz. Door deze bewerking zullen al de coëfficiënten van het quotient en de rest der deeling bekend worden.

Tot toelichting diene het volgende voorbeeld.

Om F(x) = 3x⁴ — 8,ï³ -j- 12a-² — 1 Ox — 22 te deelen door x — 2, komt de bewerking aldus te staan:

3 —8 -f 12 -10 —22 _6 — 4 16 12

3 —2 —|— 8 -|— 6 -—10,

waarbij gehandeld is naar den opgegeven regel, en nu zal —10 de rest der deeling zijn en de cijfers

3—286 do coëfficiënten van het quotiënt; dit laatste is dus 3ï³ — 2a•² 8a^- 6.

Het eenvoudigst is het dezen regel, zooals reeds gezegd is, uit de gewone deeling af te leiden. Men kan dien ook aldus bewijzen. Als de functie

4^quot; A,Xⁿ \' .... A_H_₂x\'²-j-yi_n_,x A_n,

gedeeld door x—p, tot quotiënt zal hebben

Q = A₀xquot; a^quot;-² .... a _₃a;² ^ «„_,

en de rest der deeling Ji genoemd wordt, zal F(x)=(x—p) Q 7?,

33

of na ontwikkeling doov werkelijke vermenigvuldiging

= ^quot; («1 — (a₂ — pajx\'-² («3—i\'a.Kquot;³ •—

(^a« _ i — P^a„ - d-¹-\' # —P^a.i -1 •

Door gelijkstelling der coëfficiënten vindt men a,—pJ₀ = J,

«2—pa_x = At

R P^an - I ~ n ï

waaruit dadelijk volgt:

^2

-^=^«.-1 A

en hiermede is de gegeven regel aangetoond.

§ 27. De achtereenvolgende deelingen, die men verrichten moet om F{x) volgens de machten van {x—p) te schrijven, loo-pen volgens dezen regel eenvoudig af en de geheele bewerking komt als volgt te staan.

Men vraagt 3a:⁴—8,i\'³ -j- 12.(\'²—lOx — 22 te rangschikken volgens de machten van x — 2.

3 — 8 4-12 —10 -22

De uitdrukking wordt dus

3(a\' — 2)⁴ 16(a,- — 2)³ 3 6 (ar — 2f 38(j,\' — 2) — 10.

De eerste deeling gaf namelijk tot quotiënt

3.r³ — 2a,\'² -|- Sar -}- 6 en tot rost — 10.

Dit quotiënt door x — 2 gedeeld, gaf tot quotiënt

3a:²-j-4a--j-16 en tot rest 38.

LOBATTO. 3

34

Dezen tweede-machtsvorm door x—2 deelende, kreeg men tot quotiënt

Stf-f-lO en tot rest 36.

En dit door x — 2 gedeeld, was het quotiënt 3 en de rest 16.

Vervangt men eindelijk x — 2 door s, zoo vindt men

3z⁴ 16^ 36z² -f 3amp;r — 10 = 0

als de vergelijking, welker wortels 2 eenheden kleiner zijn dan de wortels van de vergelijking

Sx⁴ — 8.r³ 12a;² — 10a: —22 = 0

Men kan hierbij nog opmerken dat, als men dezelfde uitdrukking volgens de machten van b. v. (x — 2,2) wil schrijven, men daartoe de coëfficiënten bij de ontwikkeling volgens de machten van (x — 2) met vrucht gebruiken kan. Zoo men x — 2 —z stelt, is x — 2,2 — r—0,2 en is het slechts nog noodig de uitdrukking in 2 te rangschikken naar de machten van 2 — 0,2, hetgeen aanleiding geeft tot do volgende bewerking :

en is

3(x - 2,2)⁴ 18,4 (x - 2,2)³ 46,32 (x - 2,2)² 54,416 (a-- 2,2)- 0,8272

de gevraagde vorm, zoodat, als al deze termen ontwikkeld worden. men de uitdrukking Sx*—Sa;³-)-!2a;²—10a;—22 terug krijgt. Stelt men nu x — 2,2 = z\', zoo vindt men

Sz\'* 18,4z\'³ -j- 46,32s\'² 54,4165\' — 0,8272 = 0

van welke vergelijking de wortels gelijk zijn aan die der oorspronkelijke vergelijking, elk met 2,2 verminderd.

TOEPASSINGEN.

1. Men vraagt volgens de methode van Horner de vergelijking te vinden, welker wortels de wortels zijn van de vergelijking

x^l — Zx* — 10.C — 27 = 0

elk met 3 verminderd.

Men vergete niet voor den coëfficiënt van den ontbrekenden term 0 te schrijven.

Antw. s⁴ 12.-³ ï)2~- -t- 80; C = 0.

2. Men vraagt do v.-ortels der vergelijking

xquot; lx¹ lO-r -H 12 = 0

met 2,1 te vermeerderen.

Men vermeerdere de wortels eerst met 2, daarna met 0,1.

Antw. s³ 0,lz- — G,17~ 12,G09 = 0.

§ 28. De transformatie, die in het voorgaande besproken werd, kan gebruikt worden ora uit eene gegevene vergelijking eene andere af te leiden, waarin de tweede terra ontbreekt. Schrijft men voor de vergelijking in x—2¹ of ^z

PX -P»-. •••• P* = o,

zoo werd voor P_n__x gevonden

P„-i ^i-

Om dns in de nieuwe vergelijking den tweeden term te doen wegvallen, heeft men slechts

»^o?\' ^t=0

A,

of ?gt; =--y

nA_a

te nomen, heeft men dus do wortels der gegevene vergelijking

_met--—- te verminderen, of met te vermeerderen. Ook uit

■aA_a nA_a

de rekenwijze van Horner blijkt gemakkelijk, dat de coëfficiënt van jquot;^-1 in de nieuwe vergelijking verkregen wordt door bij A^ n maal het product A_ap op te tellen.

Eindelijk kan nog hetzelfde resultaat worden afgeleid uit debetrekkingen tusschcn de wortels en de coëfficiënten, die in § 10 werden gevonden. Baar bleek de som der wortels van de vergelijking

A^cquot; -j- A,vⁿ 1 -f- .... -j- ^„ = 0

gelijk---\' te zijn. Vermeerdert men nu eiken wortel dezer ver-

^0

3*

36

J A

gelijking met—zoo wordt de som der wortels grooter en

dus nul; eveneens de coëfficiënt van zⁿ~^x in de nieuwe veree-lijking.

Laat bijv. gevraagd worden den tweeden term te verdrijven in elke der beide vergelijkingen

x³ 18»quot; — ix — 210 = 0,

a;⁴ — 8a-³ 12a-² _ G.i- -f 7 = 0,

dan heeft men voor de eerste p = — 6, dus, de wortels der vergelijking met 6 vermeerderend :

Vergel. in z f= a- 6):

z³— 1123-j- 246 = 0.

Voor de tweede vergelijking is p — 2, dus de wortels met 2 verminderend

1 _8 12 — 6 7 J^_12 0 —12

-IT quot;Ö —~6 —5 2 — 8 —16 -i —-22quot;

_2_ — 4 ^2 —12 2 ~ö

Vergel. in z (==x — 2) :

z* — 12z^J — 22^ — 5=0.

§ 29. Wensclit men den derden terpi te verdrijven, zoo moet aan p eene waarde gegeven worden, die

75 _ Fquot;-\\p) _n(n — 1) ^ ₂ , n — 1 ^ ^

quot;-^2_ 1.2...(h —2) ^— 1.2 ^aV 1

87

nul maakt. Men vindt aldus voor p eene vierkantsvergelijking, waarvan de wortels zijn

^P ~ n-la

Is ^\'^l sloA₂, zoo zal voor twee verschillende waarden van

n — 1

In

p nul worden. Is Af lt; ^^ A₀A„ zoo zgn er geen reële waarden van p te vindon, dioden derden term in de nieuwe ver-

2n

gelijking doen verdwijnen. Is eindelijk A? =-- A_UA^, zoo zal

voor p ---niet alleen do tweede maar ook de derde terra der

nA₀

nieuwe vergelijking wegvallen.

Minder gemakkelijk valt het den vierden of eenigen verderen term te verdrijven. Om toch den vierden term te verdrijven, moe-ton de wortels verminderd worden met een getal p, dat bepaald wordt door de vergelijking van den derden graad

A_3 = 0.

In het algemeen wordt voor het verdrijven van den m^AeB term ver-eischt de oplossing van de vergelijking van den (7» — l)⁸\'™ graad

Heeft men voor p een zoodanig getal genomen, dat de laatste term P₀ verdwijnt, dan zal p juist een dor wortels van de vergelijking in x zijn, dewijl P₀ = F(p) is, en dus p aan de vergelijking F{x) — 0 voldoet. De vergelijking in z, alsdan door z deelbaar wordende, verandert in

P_nz*quot; P_n__lz\'-\' ....-\\-P_l = 0,

welke vergelijking de u — 1 overige wortels der vergelijking l\\x)=0, elk met p verminderd, zal bevatten.

§ 30. Het zal niet onbelangrijk zijn hier de opmerking bij te voegen, dat het altijd mogelijk is, uit elke vergelijking eene andere af to leiden, waarin de term, die den laatsten voorafgaat, ontbreekt, zonder dat het noodig is daartoe eene vergelijking van den {n — listen graad op te lossen. Men behoeft namelijk slechts den tweeden term der gegeven vergelijking te verdrijven, en uit dc aldus gevonden vergelijking die op de omgekeerde wortels, volgens het hiervoren (§ 21) besprokene af te leiden. Zij tot voor-

38

beeld genomen de in § 28 reeds behandelde vierde-machtsvergelijking

x* — 8x³ 12,r— 6.1- 7 = 0,

welke, voor x — 3 2, verandert in

^ — I2z- — 223 — 5 = 0,

en dus tot vergelijking op de omgekeerde wortels geeft

52\'⁴-l- 22.3\'³ 122³—1 = 0.

Hierin is 3\' = —.

iV -

TOEPASSINGEN.

1. Verdrijf den tweeden term uit de vergelijking

((_Qx³ Sciix² -h Sazx -h «3 = 0.

«i «i

Men neme hier p —--, dus z = x -\\--.

«o «0

. . . , 3(«ort2 — ft²) , «,/«:, — 3no«iquot;a 2«,³

Antw. s³ ---„--z -------—---= 0.

«oquot; «0

Hieruit laat zich afleiden, dat als o₀«2 — «i²=0is, de wortels der vergelijking in x gemakkelijk bepaald kunnen worden.

2. Bepaal de wortels van de vergelijking

x\' — 9ju² 27JC — 35 = 0.

Hier is no«a — «j^a = 0. Men verdrijve den tweeden term, waartoe men z — x — 3 stelle

s³ — 8 = 0.

De wortels van deze vergelijking zijn

5 = 2 z = —1 1^—3 en z— — 1 —K — 3,

en die der gegeven vergelijking dus

x=5 x=2 V—3 x — 2—V—3.

3. Verdrijf den tweeden term uit de vergelijking

«O *-\'⁴ idio;³ Gttzx\' 4«₃ lt;; -(- «₁ = 0.

» * . . 6(ao«2 — «i²) ₂ , 4(«₀³a₃ — Soooiaa 2rt₁³)

Antw. z* H--r-z\' H----.--z

«o² «o³

ao³(\'_t — 6^0«!\'ng — 3«!* _ ^

«o* ^—

Hieruit blijkt dat, als (to\'t\'a — 3(fo«i«2 2a!³ = 0 is, de wortels van de vergelijking van den vierden graad gemakkelijk bepaald kunnen worden door

39

het verdrijven van den tweeden term en het oplossen van de daardoor verkregen vierkantsvergelijking in s².

i. Bepaal de wortels van de vergelijking

j;\' — m-³ 49jr³ — 78u; 40 = 0.

Hier is ao\'c\'s — SooniCfj-t-2(Ti³ = 0. Men verdrijvc dus den tweeden term eu losse de komende vierkantsvergolijking in z\' op.

Antw. it- = 1, 4- 2, 4 en 5.

5. Leid uit de vergelijking

— 3,c³ 3.x-² Ij; — 10 = 0

eene andere af, waarin de derde term ontbreekt.

Stelt men x = s p, zoo vindt men voor p de vierkantsvergelijking — Op 3 = 0, waaruit p = 1 en J.

Antw. ^ = 1 s⁴ z³ — 10 = 0. p=.i s« —3» Vs—= 0.

Deze zijn de voornaamiite veranderingen, welke men gewoon is bij de oplossing der hoogere-machtsvergelijkingen toe te passen, en waarvan het nut in elk bjjzonder geval achtereenvolgens zal blijken.

Ten slotte merken wij op dat, als men in het eerste lid der algemeene vergelijking voor x substitueert ■/m^r -f- u en de komende uitdrukking ordent naar de machten van z, al do in deze les gevonden eigenschappen uit deze enkele transformatie kunnen afgeleid worden.

VIERDE LES.

OVER DEN REGEL VAN UESCAUTES, TER BEPALING VAN HET AANTAL POSITIEVE EN NEGATIEVE WORTELS EENER VERGELIJKING.

§ 31. Uit de in § 10 betoogde eigenschap van de wortels eener vergelijking heeft men reeds kunnen opmaken, dat, indien deze wortels alle bestaanbaar en positief zijn, de teekens -f en — van de coëfficiënten 1, J_z.... elkander regelmatig zullen

afwisselen, en het aantal afwisselingen of variatiën van teekens alzoo met dat dor wortels zal overeenstemmen, terwijl, indien de wortels daarentegen alle negatief zijn, de coëfficiënten zonder onderscheid het teeken -f^- voor zich zullen bekomen, en de verge-

40

lijking dus geen variatiën van teekeus zal vertoouen. Men inag dan ook bij voorraad hieruit reeds besluiten dat, zoodra in eenige «de-machtsvergelijking do teekens niet geregeld afwisselen, al hare wortels niet positief kunnen zijn, maar zich daaronder een zeker aantal negatieve of onbestaanbare moeten bevinden. Er schijnt derhalve eenig verband te bestaan tusschen de teekens der opvolgende coëfficiënten en het aantal positieve en negatieve wortels eener vergelijking. Descartes, die zoodanig verband bet eerst ontdekte, heeft te dezen aanzien een regel bekend gemaakt, welke zijnen naam draagt, en in de theorie der hoogere-machtsvergelij-kingen eene veelvuldige toepassing vindt.

Om den regel te verklaren moeten wij eerst opmerken dat men spreekt van variatiën en van permanentiën van teekens; van eene variatie telkens als twee opvolgende termen verschillende teekens hebben on van eene permanentie als twee opvolgende termen hetzelfde teeken hebben. Men onderstelt daarbij de vergelijking behoorlijk geordend en rekent de ontbrekende termen niet mede; het teeken van den eersten term natuurlijk wel. Zoo heeft de vergelijking

x⁴—3,t³ —2ar-f 5 = 0

twee variatiën en eene permanentie van teekens, terwijl de vergelijking

4,r⁷ — 6a,-⁶ — lxquot; -|- 8a.-⁴ -f- 7,r³ — 23a-³ — 22a\' —6 = 0

drie variatiën en vier permanentiën vertoont.

De hoofdregel, die nu zal bewezen worden, luidt aldus;

liet aantal positieve wortels van eene vergelijking is gelijk aan het aantal variatiën, of het bedraagt een even aantal minder.

Volgens dezen regel heeft do vierde-machtsvergelijking, hierboven voorkomende, óf twee positieve wortels, óf zij heeft er geen enkele, terwijl de zevende-machtsvergelijking, die daarna voorkomt, óf drie positieve wortels, óf er een hebben zal, en dus minstens een positieven wortel, zooals ook reeds uit eene vroegere stelling volgt.

§ 32. Om deze stelling te bewijzen, zullen wij eerst aantoo-nen dat als een geordend polynomium in x

Affü\' A_ixⁿ \'-j-A_n__xx-\\-A_n

vermenigvuldigd wordt met een factor x — a, waarbij a een positief getal voorstelt, het aantal variatiën in het product altijd vermeerderd zal zijn mot een oneven getal.

41

Nemen wij daartoe een polynotnium, waarvan de teekens elkaar aldus opvolgen,

-]----\\- 0-^—oh—o —-f oo-f,

zoo zullen na vermenigvuldiging de teekens der gedeeltelijke producten aldus onder elkaar komen te staan;

----1-4-0 —o —o— 4--f-oo-f-

—-f-|---o —-f o — o h----o o — ,

zoodat de teekens van het product zullen zijn

_|--±-t- zfc--1---1-H---1---h ± db —0-j--,

zijnde de dubbele teekens geplaatst overal waar hot teeken van de getallenwaarde der coëfficiënten afhangt. Tot beter overzicht zullen wij ze aldus onder elkaar schrijven:

waarbij do rij (1) de teekens van het polynomium en (3) de teekens van het product voorstelt, terwijl de rijen f2) de teekens van de gedeeltelijke producten aanwijzen en dus de eerste er van dezelfde teekens en de tweede de omgekeerde teekens van de rij (1) aangeeft.

Uit de rijen (1) en (3) volgt dadelijk dat zij nimmer hetzelfde aantal variation kunnen vertoonen, daar de beide rijen met hetzelfde teeken beginnen, maar verschillende teekens op het eind hebben, zoodat de eene rij een even aantal variation vertoont — hier de eerste — en de andere een oneven aantal, hier de tweede rij. Het aantal variatiën is derhalve vermeerderd of verminderd niet een oneven aantal. En uit de wijze waarop de rij (3) ontstaat, blijkt duidelijk dat dit bij elk ander polynomium evenzeer het geval moet zijn.

Om nu te laten zien, dat er geen vermindering van variatiën mogelijk is, noch bij dit noch bij eenig ander polynomium, verdeelt men de rij (1) in vakken, die elk voor zich slechts ééne variatie bevatten en daarenboven allen met het teeken beginnen. Als men dan de deelhjnen doortrekt, zoo zullen de overeenkomstige vakken, waarin daardoor de rij (3) verdeeld wordt, ook allen met het teeken -j- beginnen, daar dit teeken ontstaat door

42

bij een positieven term te voegen een term met een teeken. dat het

omgekeerde is van dat van den laatsten term van eenig vak, en ^

deze laatste termen óf nul èf negatief zijn. Daarenboven zal in

elk vak van de rij (3) ten minste één negatieve term voorkomen,

want als men in elk vak van de rij (1) den eersten negatieven .term

neemt, die blijkbaar door een -)- of ^ wordt voorafgegaan, zoo is

de overeenkomstige term uit de rij (3) ontstaan door optelling van

termen, die geen van beiden het teeken -j- voor zich hebben en

waarvan er een zeker negatief is.

Tusschen de eerste termen van elke twee opvolgende vakken vindt men derhalve in de rij (1) twee variatiën en in de rij (3)

minstens twee variatiën, zoodat de rij (3) niet minder variatiën kan vertoonen dan de rij (1). Derhalve is dit aantal vermeerderd, en wel met een oneven getal.

Uit het betoogde volgt nu dadelijk dat. als een polynomium door x — a deelbaar is, waarbij a een positief getal is, het quotient een oneven aantal variatiën minder zal vertoonen dan het polynomium zelf.

§ 33. Om nu met behulp van het voorafgaande de stelling, in §31 genoemd, te bewijzen, zullen wij onderstellen dat de hoogere-machtsvergelijking tgt;

F(x)=xⁿ -j- -f A^-² -f.... -f -lt; = 0

een aantal p positieve wortels heeft, die wij zullen noemen

«i «₂ a₃..,.a_p__t a_H ;

dan is het eerste lid deelbaar door x — a,, x — a₂ enz. Voert men al deze deelingen na elkaar uit, zoo vermindert bij elke deeling het aantal variatiën met een oneven getal, dat is óf met de eenheid, óf met de eenheid plus een even getal. Na de p deelingen is het aantal variatiën dus verminderd met p of met p plus een even getal, dat is met

p 2t,

waarin t óf nul, óf een geheel getal is. Derhalve is het aantal variatiën ia F(x) al minstens p of p -)- 2t. Het quotiënt dat men krijgt na de laatste deeling zij

_?(a0 _{= a;}-p •••• A.-_P.

Ook deze functie kan nog variatiën bevatten, maar slechts een even aantal, daar anders de laatste term negatief zou zijn en dus

43

p(j:) = O

nog minstens één positieven wortel zou hebben, die dan nog een positieven wortel van i^.r) = 0 zou aanwijzen. Noemt men het aantal variation, dat fgt;(x) nog bevat, 2t_l, zoo is het geheele aantal variation van I\'lx)

p -\\-2(l lt;,),

dat is óf gelijk aan het aantal positieve wortels, óf een even aantal meer, en daarmede is de genoemde stelling bewezen.

Ook bij dit betoog geldt de opmerking dat, als er gelijke positieve wortels zijn, deze elk op zich zelf geteld moeten worden. Men moet dan bij het voorgaande bijv. 2\'i en p, aan elkaar gelijk denken.

§ 34. Uit den regel, die nu dadelijk het hoogste aantal positieve wortels doet kennen, kan men ook gemakkelijk nagaan wat er van het hoogste aantal negatieve wortels is. Men construeert namelijk eene vergelijking, waarvan de wortels op het teeken na dezelfde zijn als de wortels van de gegeven vergelijking, door voor x te substitueeren —z\\ het aantal positieve wortels van de nieuwe vergelijking is dan gelijk het aantal negatieve wortels van de gegeven Tergelijking.

Is de gegeven vergelijking volledig, zoo zullen door de substitutie van —z voor x al de variatiën in permanentiën en al de per-manentiën in variatiën van teekens overgaan, daar van twee opvolgende termen dan de een eene evene, en de ander eene onevene macht van x bevat en dus een der termen door de substitutie van teeken verandert en de andere niet. Het aantal permanentiën van de oorspronkelijke vergelijking is dus gelijk of een even aantal grooter dan het aantal positieve wortels van de nieuwe vergelijking, dus dan het aantal negatieve wortels van de oorspronkelijke vergelijking. Derhalve geldt de volgende regel:

In elke volledige vergelijking is het aantal negatieve wortels gelijk aan het aantal permanentiën of het bedraagt een even aantal minder.

§ 35. Is de vergelijking niet volledig, zoo gaat de voorgaande regel niet door. Ontbreekt b. v. een term tusschen twee met gelijke teekens, dan heeft men daar eene permanentie in de vergelijking, die bij de substitutie van—z voor x niet in eene variatie overgaat. Immers als deze drie termen tot coëfficiënten hebben

0 ,

44

zoo zullen bij de substitutie, daar de exponenten van den eerste en derde dezer termen twee eenheden verschillen en dus óf beide oneven óf beide oven zijn, do beide termen of te gelijk van teoken veranderen of beide hetzelfde toeken behouden, en in elk geval dus eeno permanentie blijven. Noemt men dan P het aantal permanentiën van de oorspronkelijke vergelijking, zoo is het aantal variatiën van de nieuwe vergelijking:

P—1

en het aantal negatieve wortels van de oorspronkelijke vergelijking F— 1 of een oven aantal minder.

Hierdoor is men in staat voor deze soort vergelijkingen nog eeno belangrijke opmerking te maken. Als men het aantal variatiën van do gegeven vergelijking V noemt, is bij eene volledige vergelijking V-|- P—n, waar u de graad der vergelijking voorstelt. Maar hier, waar volgens de onderstolling een term ontbreekt, zal

V -\\-P = n — 1

zijn, en daar het aantal positieve wortels hoogstens F en hot aantal negatieve wortels hoogstens P—1 zal zijn, is het aantal bestaanbare wortels hoogstens

F P-l,

en daar volgens do voorgaande vergelijking

F P—l = ri—2

zijn zal, blijkt er uit dat;

Eene vergelijking, waarin een term ontbreekt tusschen twee andere met gelijke teekens, minstens twee onbestaanbare wortels heeft.

§ 36. Onderzoekt men wat er gebeurt als een term ontbreekt tusschen twee met verschillende teekens, zoo blijkt dat na de substitutie van x door —z het aantal variatiën van de nieuwe vergelijking zal zijn

r h

als P weer het aantal permanentiën van de oorspronkelijke vergelijking voorstelt. Deze kan dus dan meer negatieve wortels hebben dan er permanentiën zijn. In dat geval is het hoogste aantal positieve wortels V, als deze letter het getal variatiën voorstelt, en dus het hoogste aantal positieve en negatieve wortels van de oorspronkelijke vergelijking te zamen

45

r P i

en daar hier V-\\- P=n — 1 is, heeft men F P-f 1=«.

Als dus een term ontbreekt tusschen twee ongelijke teekens, bewijst dit niets van het aantal onbestaanbare wortels, dat de vergelijking hebben zal.

Gaat men op dezelfde wijze na wat er gebeurt, als er meer dan een term tusschen een paar andere ontbreken, zoo vindt men de volgende stellingen:

Ah tusschen twee termen een even aantal 2p termen ontbreken, heeft de vergelijking minstens 2p onhesiaanhare wortels.

Als tusschen twee termen een oneven aantal 2y) 1 termen onthre-ken, heeft de vergelijking minstens 2p onbestaanbare wortels zoo de twee termen eene variatie van teekens vertoonen, en minstens 2^3 -(- 2 onbestaanbare wortels zoo de tivee termen, waartusschen de anderen ontbreken, eene \'permanentie van teekens vertoonen.

Het betoog van deze twee stellingen laten wij aan den lezer over, evenals het betoog van de volgende stelling:

Als al de wortels van eene vergelijking bestaanbaar zijn, zal het aantal variatiën gelijk zijn aan het aantal positieve wortels, en het aantal permanentiën, vermeerderd met zoo veel eenheden als er termen ontbreken, gelijk zijn aan het aantal negatieve wortels.

TOEPASSINGEN.

1. Wat leert do regel van Descartes omtrent den aard der wortels van de vergelijking

a;quot; 3x\'- — 5.c^G 4a,-¹ -7 = 0.

Antw. De vergelijking heeft 3 of 1 positieve wortels, geen negatieven en

8 of 10 onbestaanbare wortels.

2. Toon aan dat als q positief is, de vergelijking

,x³ qx r = 0

twee onbestaanbare wortels heeft, terwijl het teeken van den derden wortel tegengesteld is aan dat van r.

¹

Wat leert de regel van Descartes omtrent don aard van de wortels der vergelijkingen

xquot; —1 = 0

en a;quot; 1 = 0

46

De vergelijking, die men vindt door de gegevene met {x — l)² te vermenigvuldigen, heeft blgkens den regel van Descartes 2 positieve wortels en 0 of 1 negatieven, naarmate n even of oneven is. Hieruit volgt, dat de gegeven vergelyking geen positieven en 0 of 1 negatieven wortel heeft. Het aantal onbestaanbare wortels is mitsdien n of n — 1.

5. Als in eene vergelijking 3 opeenvolgende coëfficiënten eene meetkundige reeks vormen, zoo heeft de vergelijking onbestaanbare wortels.

\' / Zij A, l\'A en k²A de drie opeenvolgende coëfficiënten. Men vermenigvul-¹ \' ^dige de gegeven vergelijking met a? — h en toone aan dat de vergelijking, die aldus verkregen wordt, minstens 2 onbestaanbare wortels heeft.

6. Als 4 opeenvolgende coëfficiënten eene rekenkunstige reeks vormen, zoo heeft de vergelijking onbestaanbare wortels.

Men vermenigvuldige de vergelijking met (.r — l)², en toone aan, dat de komende vergelijking minstens 2 onbestaanbare wortels heeft.

7. Als eene vergelijking geene onbestaanbare wortels heeft, zoo geldt tus-schen elk drietal opeenvolgende coëfficiënten de betrekking

Clc [ \' L t ^ ^a2pgt;^aP*I^aP-U

8. Als in de evene-machtsvergelijking

A,,./:²quot; Aj.c²quot; ~\' - - AsX²\'~² .... A*„ = 0 men voor elke waarde van k heeft

Aai Aan 2 gt; A^k - i zoo heeft de vergelijking geene bestaanbare wortels.

9. Als eene volledige vergelijking, die geene onbestaanbare wortels heeft, slechts permanentiën vertoont, zoo geldt tnsschen elk viertal opeenvolgende coëfficiënten de betrekking

A/j Ap 3 lt; Ap* i Ap 2,

Heeft de vergelijking slechts variatiën, zoo heeft men

Ap Ap 3 ^ -Ap i ^p 2\' ■

10. Als de vergelijking F{.r) — 0 slechts bestaanbare wortels heeft, zal de vergelijking, die men verkrijgt door

^ r- • _ quot;

lt; Tc t. 1 y

te stellen, evenveel variatiën hebben als de gegeven vergelijking wortels tnsschen a en h.

VIJFDE LES.

theorema van budax.

§ 37. Zoo men uit eene vergelijking F(x) = 0 eene andere afleidt, waarvan de wortels p eenheden kleiner zijn, zal de nieuwe vergelijking, die volgens § 23 zijn zal:

F-ip) .. , F-\\p) F*(_r) _₂

--------- -----2 -• o ^

1.2.3 ....ji \' 1.2 .... {n — 1) ¹ \' 1.2

F\'(p)z F(p) = 0,

even veel positieve wortels hebben als de gegeven vergelijking wortels heeft grooter dan p. Van dit aantal kan dus eene grens gevonden worden, zoo men op de nieuwe vergelijking den regel van Descartes toepast. En daar F*(p), F³{p) enz. dezelfde teekens zul-F²{p) F*(n)

len hebben als , enz., kan men den gevonden regel

1. tL 1. ^. o

nitbi-eiden en ook aldus voorstellen:

Zoo men in de rij functiën

F\\x) F\'-\\x) F\'-\\x).... F\\x) F\\x) F(x)

voor x snbstitueei-t een getal p, zal het aantal variation van teekens, dat deze rij oplevert, of gelijk zijn aan, of een even aantal meer bedragen dan het getal der wortels, die vergelijking

F{x) = 0

heeft, grooter dan p.

In dezen vorm wordt evenwel de regel gewoonlijk niet voorgesteld, daar gevonden is dat bij het substitueeren van p = 1, 2, 3 enz., of anders bij het opschrijven der vergelijkingen, waarvan de wortels 1, 2, 3 enz. eenbeden kleiner zijn, dan die der gegeven vergelijking, het aantal variatiën in de opvolgende rijen steeds afneemt, en het daardoor aan Büdan gelukt is, eene nog eenvondi-ger betrekking af te leiden tussclien de wortels en het verlies in variatiën van twee opvolgende rijen. Deze gewichtige regel luidt aldus:

Ah het eerste lid van eene vergelijking geschreven ivordt volgens de

48

machten van (x—p) en (x — q), toaarhij p lt;q, zoo zal het aantal variatie», dat de tweede rij minder heeft dan de eerste of gelijk zijn aan, of een even aantal weer bedragen dan het aantal wortels, die de vergelijking

F{x) = O

heeft tnsschen p en q.

Hetzelfde theorema is in eenigszins gewijzigden vorm ook door Fourier gegeven.

§ 38. Om tot een bewijs van deze stelling te geraken, zal het weör voldoende zijn na te gaan, wat er is van de teekens van de rij function

F\\x) Tquot;-\\x) .... F\\x) F\\x) F[x) (1),

als men in deze voor x alle waarden tusschen p en q substitueert, daar bijv. de waarden voor x=p weOr, op positieve factoren na, gelijk zijn aan de coëfficiënten der vergelijking in x — p.

Substitueert men nu voor x de waarden p, p -f- ö, p -\\- 23 enz., waarbij men 6 zoo klein kan nemen als men wil, en denkt men de rijen teekens die men verkrijgt opgeschreven, zoo blijkt al spoedig dat men geone verandering, dus noch vermeerdering noch vermindering in het aantal variatien zal vinden, tenzij een of meer der functiën nul worden voor eenige waarde tnsschen p en q. Immers als geen der vergelijkingen

F{x) = 0 F\\x)=0 F¹{x) = 0....

een wortel heeft tusschen p en q, zal het eerste lid van elk dezer vergelijkingen geen verschillend teekcn kunnen krijgen voor waarden van x tusschen p en q (zie § 12). Derhalve zullen in dit geval de overeenkomstige termen, uit de rij (1) afgeleid, allen hetzelfde teeken hebben en dus hetzelfde aantal variatiën vertoonen. Alleen bij eene substitutie, waarbij een of meer der functiën verdwijnen, kan eene verandering in hot aantal variatiën voorkomen, en daarom zal het voldoende zijn de teekens na te gaan der drie volgende rijen;

F\'\\a — d) F\'-\\a — 8).... F\\a — S) F\'ia— 3) F\\a—S) F(a — o) F\\a) Fquot;-\\a) .... F\\_a) F\\a) F\\a) F(a) (2) /quot;(fl-p) -?gt; lt;\') F(a lt;?),

wanneer ondersteld wordt dat een of meer termen van de mid-

49

delste rij verdwijnen, en verder S positief en zoo klein gedacht wordt als men zelf goedvindt.

§ 39. Om over de teekens in de drie rijen (2) te oordeelen, denke men zich een willekeurig polynomium y(^), dat elk der functiën in de rij (1) kan voorstellen. Zoo men hierin voor x stelt x h, en de uitdrukking rangschikt naar de opklimmende machten van h, vindt men blijkens de in § 23 verkregen uitkomst:

y{x -|- h) = V(x) hlt;p\\x) ~ lt;f²(x) .... ₁ ^ _r V\' (x),

waarbij lt;p(x) van den graad r gedacht is. Uit dezen vorm zullen nu twee hulpstellingen afgeleid worden voor het verlangde onderzoek.

De eerste dezer stellingen luidt:

Als lt;f{a) van nul verschilt, zullen lt;p(a -|- d) en lt;f(a — S) hetzelfde teeken hebben als lt;P(a), zoo men d slechts Hein genoeg neemt.

Zij wordt aldus bewezen. Uit den gevonden vorm van lt;p{x -f- h) volgt:

lt;f{a -f lt;J) = lt;p(a) -f «V(«) -1- _{1 2}quot; f («)

— a) = y(a) —.... ± j-Y—

Neemt men nu S klein genoeg, dan kan men zorg dragen, dat de getallenwaarde van elk der termen, die in de tweede leden op lt;p(ci) volgen, minstens 10, 100, 1000 maal enz. kleiner wordt dan de getallenwaarde van lt;p{a), zoodat de teekens van de tweede loden bepaald worden door het teeken van lt;f{a).

De tweede hulpstelling is de volgende:

Wanneer lt;f(a) = 0 is, zoo zullen lt;f{ad) en hetzelfde

teeken krijgen, maar zullen lt;p{a — S) en ^\'(a — 5) verschillend teeken vertoonen, als 3 klein genoeg en positief is.

Daar namelijk lt;p^l{x) ook een polynomium in x is, waarvoor de ontwikkeling van lt;f(x -f-\'\') geldt, kan men de volgende vergelijkingen opschrijven:

? (« -H) = f («) -f V(a) Y2 -• 12. .. r ^ ^(a)

lt;p\\a = 9\\d) -f 5lt;f\\a) ~ lt;f\\a) -f-.... _{1 2} ^ _(r_ ^ y(^a).

waaruit volgt, aangezien volgens de onderstelling yia) = 0 is, i.ouatto. 4

50

^^gt;) r2^p2(a) quot;

Is nu v\'{d) niet nul, zoo zullen teller en noemer van het gebroken in het tweede lid voor kleine waarden van 3 weer beiden het tee-ken krijgen van ^\'{a), dus zal het gebroken positief zijn, en derhalve lt;p{a -f- lt;5) en lt;p\\a -f- o) hetzelfde teeken verkrijgen. Is ^\'(a) = 0, zoo kunnen teller en noemer door gedeeld worden, en blijkt daarna eveneens, dat het gebroken in het tweede lid positief is. Is ook lt;p\'Xa) = 0, zoo vindt men, deelende door 3², hetzelfde resultaat. Aldus voortgaande, blijken d) un (p\\ad) steeds hetzelfde teeken te verkrijgen.

Schrijft men eveneens ?gt;(« — S) en lt;p\'(a — lt;5) op, zoo vindt men, in de onderstelling van lt;p{a) = 0,

s «y-\'

v\\a) — Ys ^(^a) -• i ! 2 _r v (a)

lt;p^r{a)

1.2 ....(?• — 1)

waarin bij kleine 3 het gebroken in het tweede lid wéér in alle gevallen positief is, zoodat het tweede lid negatief is, en 9gt;{a — lt;J) en \'p\'ia — d) verschillende teekens zullen hebben.

§ 40. Door deze twee hulpstellingen, die van elke uitdrukking in x gelden, op de rijen (2) toe te passen, vindt men, daar elke functie van de rij (1) de afgeleide van de naast volgende is, dat:

Waar een term van de middelste rij van (2) niet nul is, de overeenkomstige termen in de drie rijen hetzelfde teeken bekomen, en:

Waar een of meer termen van de middelste rij nul worden, de overeenkomstige term of termen in de onderste rij elk met den dadelijk voorafgaanden eene permanentie van teeken vertoont, terwijl de overeenkomstige term of termen in de bovenste der drie rijen elk met den dadelijk voorafgaanden eene variatie van teeken hebben zal.

Onderstellen wij nu verschillende gevallen omtrent het nul worden van termen in de middelste rij van (2).

Eerste geval. F(a) = 0, dus a een wortel van Fix) = 0. Men verkrijgt dan, als F\'{a) positief is, de volgende teekens:

51

F\'(x) F{x)

x — a — S -f^- —

x-=a -f- O

a: = a -}- -)- -|-

en derhalve in de onderste rij een verlies van ééne variatie vergeleken met de bovenste rij. Is F^{a) negatief, zoo komen de volgende teekens:

F^x(x) F{x)

x — a — 3 — -|-x = a — 0

x=:a-\\- 3 — —

en derhalve weêr een verlies van ééne variatie. Is eindelijk F\'(a) ook nul, en zijn daarbij bijv. ook F²(a) = 0 en -F³(n) = 0 en F⁴(a) positief, zoo vindt men

en een verlies van vier variatiën. Maar in dit geval zal F(x), volgens de machten van (x — a) geschreven, geen lager machten bevatten dan (x — a)⁴, en zijn er dus vier gelijke wortels a. Men vindt hetzelfde resultaat, indien F⁴(a) negatief is, of als er meer of minder gelijke wortels a zijn, en mag dus besluiten dat:

Telkens wanneer men een wortel of eenige gelijke wortels passeert, men een even groot aantal variatiën verliest.

Tweede geval. F{a) is niet nul, maar een of meer der andere functiën verdwijnen. Stel, men heeft voor x = a de volgende rij teekens

-fo ooH—o—oo—h⁰ —⁰-f-⁰⁰⁰—gt;

zoo zal men door middel van de hulpstellingen besluiten, dat de drie rijen teekens zullen zijn voor

x = a — \'J -|---1--|---[--)---1---1----1----hH I

x=a 0 00-]-- 0 — 0 0 --1- 0 —0 0 0 0 —

= ---------[--|----h H

Waar dus een term nul wordt tusschen twee met gelijke tee-

4*

52

kens in de middelste rij, zal men in de onderste rij een verlies hebben van twee variatiën; waar een term nul wordt tusschen twee termen met ongelijke teekens, krijgt men geene verandering in het aantal variatiën; waar meer termen achter elkaar nul worden, krijgt men zeker een verlies van variatiën, maar altijd een verlies van een even aantal, daar de eerste en de laatste termen hetzelfde teeken behouden in de drie rijen. De eerste term namelijk, Fquot;(a) is constant. Het valt niet moeilijk in te zien, dat waar /!• opeenvolgende termen in de middelste rij nul worden, als A even is, ook k variatiën verloren gaan, terwijl als k oneven is, k—1 of A: -)-1 variatiën verdwijnen, al naar mate de termen, die nul worden, liggen tusschen twee termen met ongelijke of met gelijke teekens.

§ 41. Hiermede is nu uitgemaakt dat, als men in de rij (1) alle waarden van a =p tot x = q substitueert, het aantal variatiën nimmer kan aangroeien, en er twee oorzaken zijn, waardoor dit aantal kan verminderen. Ten eerste doordien de vergelijking F(x) = 0 wortels heeft tusschen p en q, waarbij men evenveel variatiën, en wel op het eind der rij, verliest, als men wortels passeert. In de tweede plaats kan men variatiën verliezen, doordat er termen in het midden nul worden, waarbij, zoo men variatiën verliest, dit een even aantal zal zijn.

Zoo derhalve de substitutie x=p een aantal m variatiën meer geeft dan het nemen van x = q, waarbij altijd p lt;q, zal de vergelijking F^x) = 0 j» wortels tusschen p e.n q kunnen hebben, en wel als alle variatiën op het eind verloren gaan, terwijl er slechts m — 2r wortels tusschen deze grenzen aanwezig zijn, zoo 2r dezer m variatiën in het midden verloren zijn. En hiermede is het theorema van Budan bewezen.

Nog kan men uit het gegeven bewijs het volgende afleiden. Als men in de rij (1) alle waarden tusschen x = — co en x = -f- oo substitueert, zal de eerste rij n, en de laatste rij 0 variatiën ver-toonen, waarbij F(x) = 0 eene vergelijking ondersteld is van den »den graad. Gaan er dan bij de substitutiën 2r variatiën in het midden verloren, zoo kunnen slechts n — 2r variatiën op het eind verloren gaan, heeft derhalve F{x) = 0 n — 2r bestaanbare wortels, en zijn er dus 2r onbestaanbare wortels. Telkens dus als men variatiën in het midden verliest, doelt dit op evenveel onbestaanbare wortels. En dit zal o. a. gebeuren als een term in het midden nul wordt, tusschen twee andere met gelijke teekens.

Het kan goed zijn, nog twee gevolgen van de stelling te noemen.

53

1°. Zijn er in do vergelijkingen in {x—p) en (a: — g) evenveel variatiën aanwezig, zoo kan er tusschen p m q geen enkele wortel liggen.

2°. Indien er slechts eene variatie verloren gaat, kan deze slechts op het eind verloren zijn, en heeft de vergelijking een, maar ook niet meer dan een wortel tusschen p en q.

§ 42. Door middel van het zooeven betoogde theorema van Büüan en van de rekenwijze van Horner is men thans in staat, getallen op te sporen, tusschen welke een of meer wortels eener vergelijking gelegen zijn. Te dien einde berekene men de coëfficiënten der vergelijkingen in {x—1), (z—10), (x — 20)...., totdat men enkel permanentiën bekomt. Hieruit kan men dan bepalen hoe vele woi\'tels er tusschen 0 en 1, tusschen 1 en 10, tusschen 10 en 20, enz., dat is, tusschen twee op elkander volgende tientallen kunnen liggen. Wat de negatieve wortels betreft, zal men, na x — — z gesteld te hebben, van de vergelijking in z de positieve wortels te onderzoeken hebben.

Alvorens tot eenige toepassingen over te gaan, behooren wij hier nog op eene omstandigheid opmerkzaam te maken, waardoor soms eenige verlegenheid zou kunnen ontstaan in de bepaling van het mogelijke aantal bestaanbare wortels, tusschen twee ge-gevene grenzen gelegen, te weten het geval, waarin een of meer termen in eene der afgeleide vergelijkingen mochten ontbreken.

Men stelle bijv. dat de vergelijkingen in (x — a), (x — 6), (x — c) (zijnde ad cc) respectievelijk p, q, r variatiën tellen, en die in (x—b) door hare onvolledigheid de aanwezigheid van 2i onbestaanbare wortels te kennen geeft. Denkt men zich nu de afgeleide vergelijkingen in {x — [b — dj), en (x — {b lt;J)), dan weet men uit het betoogde, dat men de teekens der eerste verkrijgen zal door eiken term nul te vervangen door een teeken tegengesteld aan het tee-ken van den voorafgaanden term, en die der tweede vergelijking door eiken term nul te vervangen door hetzelfde teeken als dat van den voorafgaanden term. Ziet men daardoor het volgende ontstaan :

Verg. in {x — a) p variatiën «

» » (^x—— lt;5)) 1 »

„ „ (gt;—(6 -^) q )gt; )ï (^\' ¹ c) v „

zoo liggen er tusschen b — «J en é -|- (J geen wortels, daar do variatiën in het midden verloren worden; tusschen a en 6 — lt;5, dat

54

is tusschen a en h liggen Loogstens p — q — 2i wortels en tusschen b en c hoogstens q — r wortels.

§ 43. Zie hier thans eenige voorbeelden:

1°. Zij gegeven de vergelijking

_x* _ Qx³ 2j;² 4a;— 3 = 0.

Men zoeke in de eerste plaats de vergelijkingen in (a- — 1) en (a —10).

1 — 6 -f- 2 4 — 3 O— 1) —5— 3-1-1—2

-4— 7 — 6

— 3 — 10

— 2

1 — 6 -j- 2 4 — 3 (x—10) 10-f40 420

~4 42 424

Het is onnoodig, deze laatste bewerking verder voort te zetten, dewijl het terstond in het oog loopt, dat men geene andere dan positieve coëfticicnten zal bekomen.

Men heeft alzoo de navolgende rijen van teekens:

3 var.

Verg. in x

„ O—10)

waaruit men besluit, dat de opgegeven vergelijking twee wortels kan hebben tusschen 0 en 1, en eenen wortel heeft tusschen 1 en 10, zijnde het onzeker of de beide eerste wortels bestaanbaar of onbestaanbaar zijn.

Voor de bepaling der negatieve wortels schrijve men — 2 in plaats van x, en ga vervolgens op dezelfde wijs als hiervoren te werk.

1 6 2 — 4 — 3 1 var.

(*_1) 7 9 5 2

Ook deze bewerking behoeft niet verder voortgezet te worden om te bemerken, dat de vergelijking in (z—1) eeniglijk permanentiën en dus die in (ir 1) eeniglijk variatiën zal bevatten. De rijen van teekens zijn alsnu:

55

Vorg. in (a\'-)-!) -j---\\---1- i var.

» » ^x 4---1^- H-- 3

Derhalve heeft de vergelijking slechts een negatieven wortel, welke tusschen O en —1 zal liggen.

2°. Zij gegeven de vergelijking

x* — — 3a^- -j- 20 = 0.

Men zal vinden voor de teekens der afgeleide vergelijkingen:

Verg. in (a\'-)-l) H---1---h 4

» » ^x -|--0--[- 2 „

» » C¹\' — 1) quot;1quot; 0---1~ 2 „

„ («—10) • -!- o „

Daar de ontbrekende term in de gegeven vergelijking tusschen twee gelijke teekens geplaatst is, zoo geeft zulks de aanwezigheid van oen paar ouhestaanbare wortels te kennen (§ 35). Tusschen de grenzen 0 en — 1 kan dus geen enkele wortel gelegen zijn; evenmin tusschen 0 en 1. Derhalve zal de vergelijking hoogstens twee bestaanbare wortels tusschen 1 en 10 kunnen bezitten. De beide overige wortels der vergelijking zijn onbestaanbaar. 3°. Men neme de vergelijking

a-⁵—10*³-t-6a: l = 0.

De teekens in de afgeleide vergelijkingen zijn hier de volgende:

Verg. in (i£-|-10) ---1---1-- 5 var.

» » (^x i) H— o -|---f- 4 „

„ „ x ~|- 0 — 0 2 „

n » (^-1) quot;1--hO-----1 »

,, («—10) o ..

De ontbrekende termen in de vergelijkingen in x en {x — l)geen stellig kenmerk van onbestaanbare wortels opleverende, zoo kan men uit de voorgaande rijen alleen het navolgende besluit opmaken. Tusschen —1 en —10 ligt één enkele wortel. Tusschen 0 en — 1 kunnen er twee voorhanden zijn. Tusschen 0 en 1, zoo mede tusschen 1 en 10, zal noodzakelijk een wortel liggen.

56

TOEPASSINGEN.

1. Onderzoek de vergelijking

x» 2.x.\'³ — 3a; 2 = 0.

Antw. De vergelijking heeft

1 wortel tusschen 0 wortels „

2 of 0 „

0 of 2 onbestaanbare w

2. Onderzoek de vergelijking

x* — x\' ix — 3 = 0.

Antw. 1 Wortel tusschen —10 en — 1

0 wortels „ — 1 en 0 3 of 1 „ „ Oen 1 0 of 2 onbestaanbare wortels.

3. Onderzoek de vergelijking

x^s — 3a;\' — 24r¹ 95x² — 46,r —101 = 0.

Antw. 1 Wortel tusschen —10 en — 1

1 — len 0

0 wortels „ 0 en 1

3 of 1 „ „ 1 en 10

0 of 2 onbestaanbare wortels.

i. Onderzoek de vergelijking

J-;⁵ 3x^l 2a;⁸ — 3a;² — 2« — 2 = 0.

Antw. 2 of 0 wortels tusschen — 1 en 0

0 „ „ Oen 1

1 wortel „ 1 en 10 2 of 4 onbestaanbare wortels.

§ 44. Uit het theorema van Budan is reeds de gevolgtrekking afgeleid, dat wanneer de vergelijking in {x — q) ééne enkele variatie minder vertoont dan de vergelijking in (a: —p), men verzekerd is, er tusschen p en q één wortel der vergelijking is gelegen. Bedraagt echter het verlies van variatiën meer dan één, bijv. k, zoo staat men voor eene onzekerheid, wat aangaat het aantal der tusschen j) en q gelegen wortels. Dit aantal kan k bedragen, maar kan ook een even aantal minder zijn, welk laatste geval zich voordoet, wanneer er variatiën in het midden zijn verloren gegaan. Hoewel nu de hier genoemde onzekerheid in elk voorkomend geval kan worden opgeheven met behulp van een theorema, dat spoedig onder den naam van dat van Stürm zal worden

57

besproken, zoo moge bier nog gewezen worden op een ander middel, dat in vele gevallen kan dienst doen.

Vooreerst zij opgemerkt, dat wanneer er werkelijk tusschen p en q een aantal k bestaanbare wortels liggen, het altijd — ten minste wanneer men afziet van gelijke onmeetbare wortels, waarover later gesproken zal worden — mogelijk is, door het interval tusschen p en y in kleinere deelen te splitsen, de wortels te scheiden, zoodanig dat twee opeenvolgende vergelijkingen een verschil van niet meer dan ééne variatie vertoonen. Is bijv. q=2^{) 200} berekene men de vergelijkingen in (a-—p — 0,1), (a; — p— 0,2),.... («—p — 0,9), en wanneer dan nog twee opeenvolgende vergelijkingen een verschil in variatiën grooter dan één mochten vertoonen, dan kan men de intervallen nog kleiner kiezen. Zijn er werkelijk k wortels tusschen p en q aanwezig, zoo moet men op deze wijze het doel bereiken, en is bovendien met het oog op het benaderen dezer wortels geen onnutte arbeid verricht.

Zijn daarentegen tusschen p en q minder dan k wortels gelegen, zoodat enkele variatiün in het midden zijn verloren, zoo zal men door op de beschreven wijze te werk te gaan twee opeenvolgende vergelijkingen in x—p\' en in x—q\' kunnen verkrijgen, waarvan de eerste 2 variatiën meer vertoont dan de laatste. Ging men nu het interval tusschenp\' en q\' \'m kleinere onderdeelen splitsen, zoo zoude dit in het geval van onbestaanbare wortels tot goen resultaat voeren. Zekerheid of de twee verloren variatiën op twee onbestaanbare of op twee bestaanbare wortels tusschen p\' en q\' heenwijzen kan dan echter vaak op de volgende wijze vei-kregen worden.

Men leide uit de vergelijking in x—p\', die op de omgekeerde

wortels af, d. w. z. de vergelijking in z = —-—. Heeft nu de

x—p\'

vergelijking in x twee wortels tusschen p\' en q\', die in x—p\' dus twee wortels tusschen 0 en q\'—p\', zoo zal de vergelijking in

z twee wortels tusschen -= r en oo moeten hebben. Ver-

9 —V

mindert men do wortels van de vergelijking in z met r, dan moet de vergelijking in z — r twee positieve wortels en derhalve minstens twee variatiën hebben. Heeft nu deze vergelijking geen variatiën, zoo is men verzekerd, dat er tusschen p\' en q\' geen wortels der gegeven vergelijking liggen, en het verschil in variatiën tusschen de vergelijkingen in x—p\' en ^ — q\' op twee onbestaanbare wortels heenwijst. Heeft daarentegen de vergelijking in z — v

58

juist twee variatiën, zoo blijft de onzekerheid bestaan. Men kan dan de vergelijking in z — r verderonderzoeken en nagaan of deze vergelijking twee positieve wortels heeft. Daartoe trachto men weer eerst de beide wortels te scheiden; zoo ook hier de beide variatiën gelijktijdig verdwijnen, passe men do zoojuist beschreven rekenwijze ten tweede male toe, en behandele de vergelijking in z ■— r evenals eerst met de vergelijking in x is geschied. Het valt niet te ontkennen, dat vaak eerst na herhaalde toepassing der hier aangegeven methode de verlangde zekerheid verkregen wordt.

§ 45. Tot toelichting van het voorgaande moge het volgende voorbeeld dienen. Zij gegeven de vergelijking

12a:³ —120^ 326^—127 = 0.

Vermindert men de wortels telkens met de eenheid, zoo vindt men voor de coëfficiënten van do vergelijking

Hieruit blijkt, dat er zeker een wortel tusschen 0 en 1 ligt, terwijl er twee andere wortels tusschen 4 en 5 kunnen zijn.

Om zich omtrent de aanwezigheid van deze wortels zekerheid

te verschaffen, bepale men de vergelijking in z =-—, voor de

x — 4

coëfficiënten van welke vergelijking men vindt:

Verg. in ^ 25 — 58 -(- 24 -f- 12.

Vermindert men de wortels van deze vergelijking met dat is hier met de eenheid:

Verg. in {z— 1) 25 17 —17 3

Aangezien deze laatste vergelijking twee variatiën heeft, dus twee positieve wortels kan hebben, zoo kan ook de vergelijking in x twee wortels hebben tusschen 4 en 5, en is dus omtrent den aard dezer wortels nog geen zekerheid verkregen.

Men onderzoeke nu op dezelfde wijze de positieve wortels van

59

de vergelijking in {z — 1). Voor de vergelijking in (z — 2) vindt men slechts permanentiën, zoodat de vergelijking in z twee wortels tusschen 1 en 2 kan hebben. Leidt men uit de vergelijking in (z—1) die op de omgekeerde wortels af, zoo vindt men voor

de vergelijking in z\'= — ^ :

Verg. in 2\' 3 —17 17 25.

„ „ (z\'—l) 3 - 8 — 8 28.

Daar deze vergelijking twee variation vertoont, zoo is ook hier

nog geen zekerheid verkregen en moeten de positieve wortels dezer laatste vergelijking nog nader onderzocht worden. Men vindt voor:

Verg. in (2\' — 2) 3 1 —15 15.

» ,, 0\' — 3) 3 10 —

„ (*\'-4) 3 19 25 13.

De vergelijking in z\' kan dus twee wortels hebben tusschen 3 ^ en 4. Voor de vergelijking in zquot; = —-- vindt men voorts:

Verg. in 4 —4 10 3.

„ „ (*«_!) 4 8 14 13.

Daar nu deze vergelijking geen variatiën vertoont, kan men eindelijk besluiten tot de onbestaanbaarheid der wortels, waarover het onderzoek loopt.

TOEPASSINGEN.

1. Men vraagt volgens de in § 44 ontwikkelde methode te bepalen het aantal der bestaanbare wortels van de vergelijking

a?³ 2a;² — 3a- -H 2 = 0.

Antw. Behalve een negatieven wortel heeft de vergelijking geene bestaanbare wortels. De beide variatiën. die verloren gaan, als de wortels der gegeven vergelijking met 1 verminderd worden, wijzen heen op twee onbestaanbare wortels, waarvan men zich gemakkelijk overtuigt door de vergelijking in z=^—, en daarna die in {z — 1) op te maken, welke laatste vergelijking geene variatiën vertoont.

2. Men vraagt hetzelfde te onderzoeken voor de vergelijking

x^z — 7a; 7 = 0.

58

juist twee variatiën, zoo blijft de onzekerheid bestaan. Men kan dan de vergelijking in z — r verder onderzoeken en nagaan of deze vergelijking twee positieve wortels heeft. Daartoe trachte men weer eerst de beide wortels te scheiden; zoo ook hier de beide variatiën gelijktijdig verdwijnen, passe men do zoojuist beschreven rekenwijze ten tweede male toe, en behandele de vergelijking in z — r evenals eerst met de vergelijking in x is geschied. Het valt niet te ontkennen, dat vaak eerst na herhaalde toepassing der hier aangegeven methode de verlangde zekerheid verkregen wordt.

§ 45. Tot toelichting van het voorgaande moge het volgende voorbeeld dienen. Zij gegeven de vergelijking

12a;³—120^ 326a:—127 = 0.

Vermindert men de wortels telkens met de eenheid, zoo vindt men voor de coëfficiënten van do vergelijking

Hieruit blijkt, dat er zeker een wortel tusschen 0 en 1 ligt, terwijl er twee andere wortels tusschen 4 en 5 kunnen zijn.

Om zich omtrent de aanwezigheid van deze wortels zekerheid

te verschaffen, bepale men de vergelijking in ï = —^——, voor de

coëfficiënten van welke vergelijking men vindt:

Verg. in ^ 25 — 58 24 12.

Vermindert men de wortels van deze vergelijking met dat is hier met de eenheid:

Verg. in (z— 1) 25 17 —17 3

Aangezien deze laatste vergelijking twee variatiën heeft, dus twee positieve wortels kan hebben, zoo kan ook de vergelijking in x twee wortels hebben tusschen 4 en 5, en is dus omtrent den aard dezer wortels nog geen zekerheid verkregen.

Men onderzoeke nu op dezelfde wijze de positieve wortels van

59

de vergelijking iu (z—1). Voorde vergelijking in (z — 2) vindt men slechts permanentiën, zoodat de vergeljjking in z twee wortels tusschen 1 en 2 kan hebben. Leidt men uit de vergelijking in (z—1) die op de omgekeerde wortels af, zoo vindt men voor

de vergelijking in s\' =-—:

Verg. in z\' 3 —17 17 25.

„ (^—1) 3 — 8 — 8 -j- 28.

Daar deze vergelijking twee variatiën vertoont, zoo is ook hier nog geen zekerheid verkregen en moeten de positieve wortels dezer laatste vergelijking nog nader onderzocht worden. Men vindt voor:

De vergelijking in z\' kan dus twee wortels hebben tusschen 3 ^ en 4. Voor de vergelijking in zquot; = ——^—- vindt men voorts:

^ Z - O

Verg. in zquot; 4 —4 4quot; 10 -f- 3.

„ „ (₂quot;_l) 4 8 14 13.

Daar nu deze vergelijking geen variatiën vertoont, kan men eindelijk besluiten tot de onbestaanbaarheid der wortels, waarover het onderzoek loopt.

TOEPASSINGEN.

1. Men vraagt volgens de in § 44 ontwikkelde methode te bepalen het aantal der bestaanbare wortels van de vergelijking

X^s 2a;² — 3.r 2 = 0.

Antw. Behalve een negatieven wortel heeft de vergelijking geene bestaanbare wortels. De beide variatiën, die verloren gaan, als de wortels der gegeven vergelijking met 1 verminderd worden, wijzen heen op twee onbestaanbare wortels, waarvan men zich gemakkelijk overtuigt door de vergelijking in 2= en daarna die in (z — 1) op te maken, welke laatste vergelijking geene variatiën vertoont.

2. Men vraagt hetzelfde te onderzoeken voor de vergelijking

x\' — 7« 7 = 0.

f

60

Antw. De vergelijking heeft 1 negatieven en 2 positieve wortels.

3. Hetzelfde voor de vergelijking

x* — 3a;² 30a: — 88 = 0.

Antw. De vergelijking hoeft 1 negatieven, 1 positieven en 2 onbestaanbare wortels.

4. Hetzelfde voor do vergelijking

x⁶ — Cx⁵ 40a.-³ 60a;² — o; — 1 = 0.

Antw. De vergelijking heeft 1 negatieven, 1 positieven en 4 onbestaanbare wortels.

ZESDE LES.

over het bepalen \'van de limieten der positieve en-negatieve wortels. theorema van rolle.

§ 46. Bij het benaderen der bestaanbare wortels eener vergelijking is het wenschelijk limieten of grenzen te kennen, builen welke geene zulke wortels gelegen zijn. Men weet reeds uit het theorema van Budan dat, indien p en q twee getallen zijn, zoodanig dat van de vergelijkingen in (x — p) en (x — q) de eerste uitsluitend variatiën, en de tweede uitsluitend permanentiën oplevert, al de wortels der vergelijking in x tusschen die beide getallen zullen gelegen zijn. Hoezeer het nu op die wijze altijd mogelijk zij, eene grens zoo voor de positieve als voor de negatieve wortels te bekomen, zoo valt het nochtans niet te ontkennen dat, indien de wortels eenige tientallen bevatten, daartoe soms vele herhalingen der zelfde bewerking vereiseht worden. Het is derhalve wenschelijk, andere hulpmiddelen te bezitten, om ook zonder toepassing van het gemelde theorema spoedig tot de kennis te geraken van een getal dat den grootsten positieven wortel in waarde overtreft, en van een ander dat kleiner zij dan de kleinste negatieve wortel. Uit het in § 14 betoogde kan reeds afgeleid worden, dat wanneer G de getallenwaarde van den grootsten negatieven coëfficiënt aangeeft, en de coëfficiënt van den eersten term de eenheid is, 1 -f- 6? eene limiet is van den grootsten positieven wortel. De volgende stellingen doen echter in vele gevallen eene nauwere limiet kennen.

§ 47. Stelling. Indien in eene nde-inachtsvergelijking, waarvan

61

de eerste term de eenheid tot coëfficiënt heeft, de eerste negatieve coëfficiënt tot den term x\'~^m behoort, en G de getallen-waarde van den

m

grootsten negatieven coëfficiënt is, zal \\ G eene limiet van den

grootsten positieven wortel zijn, of, met andere woorden, deze wortel

m

zal lt; 1 -j- G wezen.

Om zulks te bewijzen, zal het voldoende zijn aan te toonen, dat de substitutie voor x van een getal, gelijk of grooter dan de op-gegevene waarde, fcet voorste lid der vergelijking noodzakelijk positief zal maken. In dat geval toch zal T?(x) geene afwisseling van teekens meer kunnen vertoonen, en dus geen wortel de bedoelde waarde overtreffen.

Onderstellen wij nu dat al de termen, te rekenen van den term met den grootsten negatieven coëfficiënt — G aangedaan zijn. Wanneer in deze onderstelling T{x) positief wordt, dan zal dit om zoo meer het geval zjjn, als sommige dezer termen positieve coëf-ficiünten hebben, of negatieve welker getallenwaarde kleiner is dan G. Bepalen wij ons dus tot het hier onderstelde ongunstigste geval, dan hebben wij, om F(x) positief te maken, voor x slechts eene waarde te vinden, welke voldoet aan de ongelijkheid

Onderstelt men tevens xgt;l, zoo zal men slechts

hebben te nemen, waaruit volgt waarvoor men schrijven mag

m

(x — l)^m = of gt; G, dus x — 1 = of gt; G,

daar de laatste ongelijkheid de voorgaande van zelve insluit. Hieruit blijkt terstond, dat do substitutie van

x= oi gt;\\ -{-V G

F{x) positief maakt, en deze waarde dus eene limiet van den grootsten positieven wortel aangeeft.

62

f

Laat bijv. gegeven zijn de vergelijking

^-[-3^ —2a-³-f-14^—18^ 10 = 0.

dan vindt men, door toepassing der betoogde stelling, voor de begeerde limiet 1 1/18, of zich tot geheele getallen bepalende, 6.

Bij het zoeken naar de opvolgende geheele getallen, tusschen welke de wortels van deze vergelijking gelegen zijn, zal men dus voor x geene grootere waarde dan 6 behoeven te nemen.

§ 48. Stelling. Indien G de getallen-waarde van den grootsten negatieven coëfficiënt is, en S de som van al de positieve coëfficiënten, welke aan den eersten negatieven coëfficiënt voorafgaan, zal - G •

1 eene limiet van den grootsten positieven xcortel zijn.

S

Men onderstelle wederom, dat de m eerste termen alle positief zijn, dan zal het ongunstigste geval blijkbaar plaats vinden, indien al de daarop volgende termen negatief, en met den coëfficiënt — G aangedaan zijn. Het is derhalve voldoende, voor x zulk eene waarde te nemen, dat

«-m l_ 1

Aan deze ongelijkheid wordt, xgt;\\ ondersteld, voldaan door

n —m l_1

K ^. .... X.₁)^quot;°\'^t\' = ^-quot;\'quot;gt;g j _X__x j.

dus ook door

_xn~m \\

Sxⁿ-^{m i}gt;G-

= X-1

of

S{x—1)gt;G * ^ 1

te stellen.

Het voorgaande bewijs onderstelt, dat er geen termen ontbreken tusschen den laatsten positieven en den eersten negatieven coëfficiënt. Mochten echter tusschen deze beide termen k termen ontbreken, zoo zal, naar gemakkelijk gevonden wordt, in dat geval aan de ongelijkheid

n-//i-^ l

Sx*-^mquot;gt;G-^

x— 1

1

i

63

of, hetgeen hetzelfde is, aan de ongelijkheid

S(x— l)^\' gt; G behooren voldaan te worden, hetgeen geschieden kan door

G ^{1 1} G

(x-!)**•gt; .£ of «gt;1 1/|

te stellen, welke uitkomst, voor 0, wederom de vorige oplevert.

Bij de toepassing van de regels in deze en in de voorgaande paragraaf gegeven, zal nu eens de een dan weder de ander de kleinste limiet opleveren. Men zal dus goed doen de beide regels toe te passen, en met de kleinste limiet rekening to houden.

TOEPASSINGEN.

1. Bepaal eene limiet van den grootsteu positieven wortel van de vergelijking

x* ■ ■ 16x¹ — 2jr — 11a; 8 = 0.

Wil men als limiet een geheel getal vinden, zoo geeft de regel van § 47 5, die van § 48 2 als limiet.

2. Hetzelfde voor de vergelijking

a;⁶ 100a;² 5x^s — 12.c — 1000 = 0.

Hier geven de twee regels beide 5 als limiet.

3. Hetzelfde voor de vergelijking

x⁵ 2a;³ — 10a;³ — 18a; 1 = 0.

De regel van § 47 geeft hier 4, die van 8 48 7 als limiet.

4. Als men in eene vergelijking de getallemvaarde van eiken negatieven coëfficiënt deelt door de som van alle voorafgaande positieve coëfficiënten, zoo zal de grootste dezer breuken met de eenheid vermeerderd eene limiet van den grootsten positieven wortel aangeven.

Zij bijv. gegeven de vergelijking

«o x^e thx⁴ — «sa;³ «3\'£- — «ia; — a₅ = 0.

Zoo is het grootste der getallen 1 H--—-, 1 -;—\'—:- en

«o «j «o «i quot;3

¹

Men toone dit aan door voor de vergelijking te schrijven

²

* «O «1 «O «_t «3 «0 Ol «3/

³

«o ^(ti «3

⁴

«o fa;⁰ —-—— a-³--—- x--quot;quot; —)

64

«₃ (x* --—- x----) =: O

\\ «0 «1 «3 «0 «I «3 \'

en op elk der uitdrukkingen tussohen haakjes den regel van § 48 toe te passen.

5. Bepaal met behulp van den voorgaanden regel eene limiet van den grootsten positieven wortel van de vergelijking

xquot; — 2xⁱ 4a;⁴ 9a,\'³ — 25a;³ 10a,- — 40 = 0.

2 25 40

Van de breuken — en is de eerste de grootste,

1. J. I 4 quot;r «/ J. I 4 quot;i «7 quot;t^- AU

zoodat | -H 1 = 3 als limiet wordt gevonden. De regels van § 47 en 48 zouden hier beide eene veel grootere limiet nl. 41 gegeven hebben.

§ 49. Door de voorgaande regels op bijzondere wijzen toe te passen, kan men dikwijls nog kleinere limieten vinden. Wij zullen dit door een paar voorbeelden toelichten. Stel ten eerste, dat gegeven is de vergelijking:

_j_ a,.» 1040a;^s -f x\' — Za,\'quot; — 3.e⁵ 12 8a;⁴ — 10000a;³ -f

-f 72a\'²—810 = 0,

zoo vindt men volgens den eersten regel (§ 47)

4

1 ^10000 = 11,

en volgens den tweeden (§ 48)

1 WWlt;11

als grens voor den grootsten positieven wortel. Maar denkt men de eerste twee termen der vergelijking weg, die positief zijn, zoo vindt men daarna volgens den eersten regel, dat het eerste lid zeker positief wordt voor eene waarde van x gelijk of grooter dan

1 4-l^i oooo ^ s

en laat men den term a;\' weg, zoo vindt men volgens den tweeden regel:

\\-\\-V loooQ-^cB.

\' I I l 040

In beide gevallen vindt men zoo eene veel nauwere grens.

Laat in de tweede plaats gegeven zijn de vergelijking;

a;⁴ —3a;³ 75a;²-f 60a;—250 = 0.

zoo geven de beide regels op de gewone wijze toegepast 251 als grens voor den grootsten positieven wortel. Maar verdeelt men het eerste lid in twee deelen, nl.

65

s\'—Sx³ on 75«^l-t-60* —250,

zoo vindt men uit dezelfde regels, dat het eerste deel positief wordt voor a; gt; 3 en het tweede deel voer

l_l_ 250 ^ ^A 7 5 00\'

en daar dit laatste kleiner dan 3 is, blijkt daaruit dat xgt; 3 het

eerste lid van de vierde-machtsvergelijking altijd positief zal maken en dus de positieve wortels lt; 3 moeten zijn.

Door dus of positieve termen weg te laten, bf het eerste lid in verschillende deelen te verdeelen, kan men dikwerf veel nauwer grenzen vinden met behulp der twee gevonden regels, dan door dezelfde regels op de vergelijkingen in hun geheel toe te passen.

TOEPASSINGEN.

1. Men vraagt naar eene limiet van den grootsten positieven wortel der vergelijking

x⁵ 50x⁴ 3x⁸ 2.r² — 15* — 2000 = 0.

De regel van § 47 geeft hier 1 V 2000 of 8, die van § 48 1 quot; of 37 als limiet. Door echter den term x* weg te laten en § 47 toe te passen, vindt

men 1 K 40 of 5, en door de termen 3a;³ en 2jr weg te laten en § 48 toe

te passen 1 K of ook 5 tot limiet.

2. Hetzelfde voor de vergelijking

x* — Gx* ISxquot; 30^^s — 6 Ox — 42 = 0.

Men schrijve voor het eerste lid

x⁸ {x — 3)° 0 (x³ — 7) 30x (x — 2),

waardoor als limiet 2 gevonden wordt.

3. Hetzelfde voor de vergelijking

3.c³ — 4.r² — llx — 57 = 0.

Schrijft men voor het eerste lid

x\'ix — 4) a; {.r* — 11) (x\'³ — 57),

zoo vindt men 4 als limiet.

4. Hetzelfde voor de vergelijking

x* — x³ —5X² — 18.r — 150 = 0.

Na vermenigvuldiging met 4 schrijve men voor het eerste lid

,x³ (x — 4) {x- — 20) ar (x³ — 72) {x^l — C00),

waardoor gemakkelijk gevonden wordt, dat 5 eene limiet van den grootsten positieven wortel is.

5. Als, voor x = (i, f(x) en de n afgeleide fnnctiën f\\x), f^s(:r)....f\'(x) allen LOBATTO. 5

66

positief zijn, zoo is a eene limiet van den grootsten positieven wortel van de vergelijking f(x) = 0.

Men bewijst deze stelling gemakkelijk, door op te merken, dat als ƒ(«), ƒ\'(n) positief zijn, de vergelijking in (.r — a) geene variatiën, dus geene

positieve wortels heeft; of ook door uit de reeksontwikkeling

f(a h) = ƒ(«) h f\\a) f-(a) ,... —^-ƒ quot;(a)

1.2 1.2....«

af te leiden, dat f (-?\') voor elke waarde van x grooter dan a positief is. 6. Stelt men

f(x) = Oo.rquot; .... (In-iX «»

fi(x) = diX*\' ² ....

A _ i (.f) = «ox (h f* (.r) = rt₀

zoo is, als voor x = (t fix), fi(x).... fn(x) positief zijn, a eene limiet van den grootsten positieven wortel van de vergelijking f{x) = 0.

Men merke op, dat bij de deeling van f(x) door (x — a) ƒ,.(«).... fi{a) de coëfBcienten zijn van het quotiënt en ƒ(«) de rest der deeling.

§ 50. Tot dusverre hebben wij alleen de middelen doen kennen om eene limiet van den grootsten positieven wortel te verkrijgen. Doch het is klaar, dat zij evenzeer kunnen dienen om eene limiet van den kleinsten positieven wortel, dat is een getal kleiner dan dezen laatsten, te vinden. Te dien einde behoeft men slechts uit de gegevene vergelijking die op de omgekeerde wortels, volgens de handelwijze van § 21, af te leiden, dewijl de grootste positieve wortel dezer laatste vergelijking alsdan met den Ueimten positieven der gegevene zal overeenstemmen. Men vrage bijv. naar eene limiet van den kleinsten positieven wortel van de vergelijking

ar⁹ -1- lOx\' — 50Oir³ -f 400^ — 18a- 10 = 0,

welke voor x=— overgaat in z

10/ —18/ -f 400/ — 500/ lOz 1 = 0.

Volgens § 48 toepass. 4 is

^lt;l-f i§ = 2,8.

Schrijft men echter de vergelijking onder dezen vorm; 10/ [z —1,8) 400/ (z —-1,25; lOz -f-1 = 0,

9 15

dan ziet men terstond in, dat «lt;1,8 of Derhalve wordt x = — .

5 z 9

De regel van § 48 geeft voor de limiet van den grootsten posi-

67

tieven wortel 1 -j- V\' W lt; 4- De positieve wortels der vergelijking in x zijn derhalve tusschen de grenzen tj- en 4 begrepen.

Wat de limieten der negatieve wortels eener vergelijking betreft, zij kunnen op gelijke wijze bepaald worden, nadat men door x = — z te stellen, de teekens der wortels zal omgekeerd hebben. Hierdoor zal namelijk het onderzoek der bedoelde limieten teruggebracht zijn tot het onderzoek van de limieten der positieve wortels van de vergelijking in z.

§ 51. Ten slotte volgen hier nog een paar zeer belangrijke stellingen, die wel voor de practische bepaling der limieten weinig of geen waarde hebben, maar waarvan het gewicht bij allerlei toepassingen groot blijkt te zijn. Zij worden gewoonlijk als het theorema van Holle aangeduid.

Stelling. Laten a_A, a₂, a₃...., naar orde van grootte, de bestaanbare wortels eener vergelijking I\\x) = 0 voorstellen, dan zal er tusschen a, en a₂, tusschen a₂ en a₃ enz. en in het algemeen tusschen elke twee op elkander volgende wortels dezer vergelijking minstens één wortel der vergelijking F\\x) = 0 gelegen zijn, zoodat de eerstgemelde wortels als de limieten dezer laatste beschouwd kunnen worden.

Men kan deze eigenschap met weinig moeite aldus betoogen. Zoo o, en o₂ twee opvolgende wortels der vergelijking zijn, zal het eerste lid Tix) voor alle waarden van x tusschen a, en o₂ een zelfde teeken behouden, daar anders volgens § 12 de vergelijking nog een wortel tusschen ö, en a_% zou hebben. Stel dit teeken positief, zoo is

JK) = o i\\a. lt;5) -f

T{ci.—S)

waarin men 8 zoo klein kan nemen, als men zelf wil. Maar volgens de tweede hulpstelling van § 39 hebben, als ip(a) = 0 en o positief en klein genoeg is, ?gt;(«-|-en se\'(a-|-(J) gelijke, lt;p(a — gt;gt;) en \'/quot;(a — amp;) ongelijke teekens; derhalve volgt uit het bovenstaande dat

-*quot;(0, \'J)

het teeken -f-, en tevens dat

Jquot;(a₂ — S)

5*

68

het teeken — verkrijgen zal, derhalve dat de vergelijking

Z^,(^) = 0

minstens één wortel zal hebben tusschen a, -f- «5 cn a₂ — lt;J, en dus ook tusschen a, en «₂. Heeft F\'(x) = 0 meer dan één wortel tusschen a, en ff,,, zoo is het aantal dezer wortels toch steeds oneven (zie § 12).

Had men F(x) tusschen c, en a₂ negatief gedacht, zoo zou men hetzelfde resultaat verkregen hebben.

Men kan ditzelfde ook gemakkelijk betoogen uit de figuur. Stel dat I{x) meetkunstig is voorgesteld door Fig. 1 | bl. 4 J, en dat de kromme lijn de as OA^snijdt voor x = a₁ en voor x = a₂, dan zal zeker in een punt, dat behoort bij eene tusschengelegen waarde van x, eene raaklijn aan de kromme kunnen getrokken worden, evenwijdig aan de as OX. Voor deze waarde van x verdwijnt dus

F\\x),

die de tangens van den hoek voorstelt, wolken de raaklijn met de as OX maakt. En dit is juist wat betoogd moet worden.

Hieruit volgt verder onmiddellijk:

Stelling. Tusschen twee opeenvolgende wortels b_i en b₂ van de vergelijking F\\x) = 0 ligt één enkele of geen wortel der vergelijking F{x) = 0.

Waren toch tusschen h_l en h₂ twee wortels van F{x) = 0 gelegen, zoo zou tusschen deze wortels, volgens de voorgaande stelling, een wortel van F\\x) = 0 moeten liggen, en en b₂ dus geen opeenvolgende wortels zijn.

§ 52. Hieruit volgt nu gemakkelijk de stelling, die in eenigs-zins anderen vorm door Rolle is gegeven.

Stelling. Zijn b_t, .... b^ de bestaanbare wortels van de vergelijking F\'ix) = 0, genomen in volgorde van grootte, zoo zal het aantal variatiën van teeken, dat de rij

-(—⁰⁰ ), m), Fib₂)....F{b_k), J( oo).......I

vertoont, overeenkomen met het aantal der bestaanbare wortels van de vergelijking F{x) = 0. Deze zullen bovendien gescheiden zijn door de grootheden—oo , b_i, b₂....b]_{, -f-oo , met dien verstande dat tusschen bi en bi _l al of niet een wortel van F(x) zal liggen, naarmate F{ hi) en F(b_it,) eene variatie of eene permanentie van teeken vormen.

Roeds werd gevonden, dat tusschen twee opeenvolgende wor-

69

tels hi en i_{i 1} vau de vergelijking ^(x) = O, en om gelijken reden tusschen — cc en b,, en tusschen b_k en ⁰⁰ gt; of geen of één wortel van F(x) = 0 ligt. Volgens § 12 en 13 is het aantal wortels tusschen 6i en 5, ₁ echter oneven als F(6i) en F(b_i 1) ongelijke, en even als deze vormen gelijke teekens vertoonen. Derhalve ligt er in het eerste geval één enkele, in het tweede geval geen wortel van J^,(a;) = 0 tusschen 4; en

§ 53. Uit het theorema van Eolle laten zich nog verschillende gevolgtrekkingen afleiden. Vooreerst dat, als F\'(x)=0 2m onbestaanbare wortels heeft, F(x) = 0 minstons 2m onbestaanbare wortels zal bezitten. Zijn de wortels van F(x) = 0 allo bestaanbaar, zoo geldt dit zelfde ook voor de vergelijking F\'(x), en op gelijken grond voor de vergelijkingen F\'{x), F³{x) enz. In dit geval ligt er tusschen elk paar opeenvolgende wortels a, en a, van F(x) = 0 slechts één wortel van F\'(x) = 0, Voor de bestaanbaarheid van de wortels van F{x) = 0 is de bestaanbaarheid van die van J^,,(ar) = 0 wol noodig, maar niet voldoende. Bovendien wordt veroischt dat de grootheden, die in de rij I voorkomen, eene afwisselende rij van teekens vertoonen.

Heeft de vergelijking Jquot;(x) = 0 eon (2m 4- l)-voudigon wortel bi, welke geen wortel van de vergelijking F(x) = 0 is, zoo bevat de rij I slechts n — grootheden en kan alzoo hoogstens n — 2m

variation vertoonen. De vergelijking F{x) heeft in dit geval dus minstens 2m onbestaanbare wortels. Is J,- een 2ni-voudige wortel van F\\x) = 0 en wederom geen wortel van F(x) — 0, zoo vindt men dat F(x) = 0 minstens 2m—1 onbestaanbare wortels hoeft. Daar echter hot aantal der onbestaanbare wortels eenor vergelijking steeds even is, zoo kan men ook in dit geval tot minstens 2m onbestaanbare wortels van F(x) = 0 besluiten. Is b-, een 2m- of (2m -f- l)-voudige wortel van F\'(x) = 0 en tevens wortel van F(x) = 0, zoo is b; (men vergelijke de achtste les) een (2m-]- 1)- of (2m-j-2)-voudige wortel van F{x) = 0, en kan men niets omtrent de aanwezigheid van onbestaanbare wortels dezer laatste vergelijking besluiten.

Ook op andere als geheele rationale functiën is het theorema van Rolle van toepassing, ten minste voor zoo ver de functie zelf en hare afgeleide continue zijn.

TOEPASSINGEN.

1. Bepaal door toepassing vau het theorema van Eolle do voorwaarden voor do bestaanbaarheid van de wortels der vergelijking

70

x^s 4- px q — 0

F^x) — 0 wordt hier

3x² -\\-p = 0.

Is p positief, zoo heeft deze vergelijking en dus ook de gegevene onbestaanbare wortels. Is negatief, zoo zijn de wortels van F^x) = 0

ht — —V—^ en h* — -\\-V —

3 3

Verder vindt men

^--IpV-^ q F(h) = lpV-^ q.

Daar F{— lt;») het negatieve en F{-\\- «) het positieve teeken heeft, zoo moet volgens het theorema van Holle voor de bestaanbaarheid van de wortels der gegeven vergelijking

-^K-| ïgt;0 i₁gt;V~^ qlt;0

welke beide ongelijkheden zich herleiden tot

n\' q*

lt; 0.

27 4

B³ o²

zoo is of F(bCl of y{h«) gelijk nul, en heeft de vergelijking twee gelijke wortels.

2. Onderzoek op gelijke wijze de bestaanbaarheid van de wortels der vergelijking

x* px q — 0.

Is p positief, zoo heeft de vergelijking 4 onbestaanbare wortels. Is p negatief, zoo zijn er drie gevallen te onderscheiden:

P

q² lt; h^p^V——- 2 onbestaanbare en 3 bestaanbare wortels,

5 p

q^ — Wp^V—— 2 onbestaanbare en 3 bestaanbare wortels, waarvan 2 gelijke,

O p

2²gt;4Sigt;¹V—— 4 onbestaanbare en 1 bestaanbare wortel.

5

3. Toon aan dat de vergelijking

Y»n y*n 1 2 «

F(x) = — -- .... ^- ^ 1 = o

n n — 1 2 1

één of geen bestaanbaren wortel heeft, naarmate « oneven of even is.

De vergelijking F\\x) = 0, voor welke geschreven kan worden - = 0,

x — 1

heeft, als n oneven is, n — 1 onbestaanbare wortels; de vergelijking ii1[.r) = 0 eveneens,

71

Is n even, zoo heeft de vergelijking F\\x) = 0 één bestaanbaren worte.quot;

_1. De rij F(—lt;»), F(—1) en 1\'\\ ⁰³) vertoont alsdan geen enkele variatie,

waaniit de onbestaanbaarheid van de n wortels volgt.

i. Toon aan dat de vergelijking

-V*1 1 J1 — _X quot;|

^ = ^ n-₎-_fc_i quot;quot; ifc^ fcTï ï ^{= 0}

naardat » even of oneven is, « of n—1 onbestaanbare wortels heeft. Men passé op de vergelijking x^k F{j-) = 0 het theorema van Rolle toe.

ZEVENDE LES.

OVER HET OPSPOREN VAN DE MEETBARE WORTELS EENER VERGELIJKING.

§ 54. Alvorens tot het benaderen van de bestaanbare wortels eener getallen-vergelijking over te gaan, is bet veelal gewenscht vooraf te onderzoeken, of de vergelijking meetbare wortels beeft. Zijn de coëfficiënten, die in de vergelijking voorkomen, gebeele getallen, en is die van de boogste rnacbt der onbekende de eenheid, zoo zullen, zooals in § 17 is aangetoond, de meetbare wortels gebeele getallen moeten zijn. Komen onder de coëfficiënten breuken voor, of is de coëfficiënt van de hoogste macht der onbekende niet gelijk aan de eenheid, zoo beginne men met, op de wijze als in § 20 is geleerd, uit de gegeven vergelijking eene andere af te leiden, waarin aan de beide genoemde voorwaarden is voldaan. Voor de bepaling van de meetbare wortels van de gegeven vergelijking heeft men dan slechts de geheele getallen op te sporen, die aan de nieuwe vergelijking voldoen, zoodat het vinden van de meetbare wortels steeds terug kan worden gebracht tot het bepalen van de geheele wortels eener vergelijking.

Om te onderzoeken, of het gebeele getal a een wortel is der vergelijking F(j:) = 0, heeft men slechts F(j:) door (x — a) te deelen, en te onderzoeken of de getallenrest nul is, in welk geval a een wortel der vergelijking is. Deze deeling kan geschieden volgens de verkorte rekenwijze, die in § 26 is aangegeven.

Wenscht men bijv. te onderzoeken of 2 een wortel is van de vergelijking

F(x) = x* — 16 a?³ 91ar — 216.v 180 = 0

72

zoo geeft de deeling van F(x) door (x—2):

1 —16 -f91 —216 180 2 —28 126 —180 l —14 63 — 90 | () = i?.

De rest der deeling nul zijnde, blijkt 2 een wortel te zijn, terwijl tevens voor het quotiënt der deeling

^^ = ^—14^ 63^ — 90

X- 4

gevonden wordt, welk quotiënt gelijk nul gesteld eene vergelijking oplevert, die de overige wortels bevat. Het is duidelijk dat, als de coëfficiënten der gegeven vergelijking en ook a geheele getallen zijn, in bovenstaande berekening slechts geheele getallen zullen voorkomen, en derhalve a een deeler van den bekenden term 180 moet zijn. Bij het zoeken naar de geheele wortels eener vergelijking heeft men dus slechts de deelers van den bekenden term, zoowel positief als negatief genomen, te beschouwen, onder welke deelers natuurlijk ook de getallen 1 en — 1 zijn te begrijpen. Bepaalt men tevens, op de wijze als in de voorgaande les is verklaard, de grenzen tusschen welke de wortels der vergelijking moeten liggen, zoo heeft men slechts in aanmerking te\' nemen de deelers van den bekenden term, die tusschen deze grenzen vallen.

§ 55. De boven aangegeven methode heeft echter het nadeel, dat men voor elk der genoemde deelers de geheele berekening moet uitvoeren, en als een deeler geen wortel is, dit eerst bemerkt wordt, nadat de deeling geheel is uitgevoerd. Wil men bijv. onderzoeken, of het getal 4, hetwelk een deeler van 180 is, een wortel der vergelijking is, zoo vindt men de volgende becijfering:

1 —16 91 —216 180 4 —48 172 —176 — 12 43 — 44 | 4 = i?.

It hier niet gelijk nul zijnde, bljjkt 4 geen wortel te zijn.

Om nu de bewerking voor de deelers, die geen wortels zijn, spoediger te doen afloopen, kan men de berekening eenigszins wijzigen. Men deele nl. F(x), geschreven in omgekeerde volgorde, dus naar de opklimmende machten van x, door (a — x). Is a een

wortel der vergelijking, dan zal ook hier de deeling geeue rest opleveren, en slechts het teeken van het quotiënt zijn veranderd. Deze deeling kan weer geschieden volgons do verkorte rekenwijze, die men in § 26 heeft leeren kennen.

Deelt men bijv. het eerste lid der bovenstaande vergelijking, geschreven naar de opklimmende machten vau x, door 2 — x, zoo komt de becijfering als volgt te staan:

180 —216 91 —16 1 90 —63 14 —1 ^126 28 — 2 0,

Hierbij wordt elk getal in de tweede rij gevonden door het voorgaande getal in de dorde rij — en wat het eerste getal der tweede rij betreft, het voorgaande getal in do eerste rij — door 2 te deelen, en wordt elk getal in de derde rij gevonden door optelling der overeenkomstige getallen in de beide andere rijen. Daar de deeling hier geene rest geeft, blijkt 2 een wortel te zijn. Het quotiënt is hier 90 — 63a: 14a;³ — x³. De coëfficiënten van dit quotiënt worden in de tweede rij aangetroffen. Wonscht men voor het onderzoek naar de overige wortels do coëfficiënten van F(x\\

het quotiënt —te kennen, zoo heeft men slechts het toeken x — 2

van het voorgaande quotiënt om te keeren.

Is nu a geen wortel der vergelijking, zoo bemerkt men dit, doordat óf de rest niet nul wordt, óf wel voor eene der coëfficiënten van het quotiënt een gebroken getal optreedt. Zoodra dit laatste geval zich voordoet, behoeft de becijfering niet verder te worden voortgezet, en is men verzekerd, dat a geen wortel is. Onderzoekt men bijv. op de hier aangegeven wijze of 4 een wortel is van de bovenstaande vergelijking:

180 —216 91 —16 1 45 — 171

De berekening behoeft niet verder voortgezet te worden, aangezien 171 niet door 4 deelbaar is, en dus voor het tweede getal in de middelste rij een gebroken optreedt.

De hier ontwikkelde methode, die door Newton is gegeven, biedt dus boven de eerst besprokene het voordeel aan, dat zij de becijfering voor de deelers, die geen wortels zijn, spoediger doet afloopen.

74

§ 56. Heeft de bekende term in de vergelijking een groot aantal deelers, gelegen tusschen de limieten, die men voor de wortels kan aanwijzen, zoo is het van belang het aantal der deelers, die beproefd moeten worden, zooveel mogelijk te beperken. Dit nu kan op de volgende wijze geschieden.

Is het geheele getal a een wortel van de vergelijking l\\x) = 0, zoo is a—1 wortel van de vergelijking in z = x—1, en dus een deeler van den bekenden term, die in deze laatste vergelijking voorkomt, d. w. z. van i^l). Eveneens zal a 1 een deeler van -F(— 1) zijn. Men beginne nu met 2\'\'(1) en .F(— 1) te berekenen, hetgeen toch reeds geschieden moet, om te onderzoeken of 1 en — 1 wortels van de gegeven vergelijking zijn. Schrijft men nu de deelers van den bekenden term op, die tusschen de limieten der wortels begrepen zijn, zoo zullen van deze deelers alleen die in aanmerking komen, welke met de eenheid verminderd tot de deelers van jP(l), en met de eenheid vermeerderd tot de deelers van /■(—1) behooren.

Tot toelichting strekke het volgende voorbeeld. Zij gevraagd de meetbare wortels te bepalen van de vergelijking

a⁵ 7^ —41x³—291.r²-f-144«-f 1620 = 0.

Door toepassing van § 47 vindt men, dat de positieve wortels kleiner zullen zijn dan 1-|-|/291 lt; 19. De positieve deelers van 1620, kleiner dan 19, zijn

2, 3, 4, 5, 6, 9, 10, 12, 15 en 18.

Stelt men x~ — z, zoo wordt de vergelijking

/ — 7/ — 4U³ -f 291^ -J-144« —1620 = 0,

en vindt men voor de limiet der negatieve wortels —42. De negatieve deelers van 1620, grooter dan —42, zijn

— 2, —3, —4, —5, —6, —9, —10, —12, —15, —18, — 20, —27, —30 en —36.

Hier zouden dus niet minder dan 24 deelers in aanmerking komen. Dit aantal kan echter belangrijk verminderd worden door toepassing van het hierboven besprokene. Men vindt

^(1) =-f1440 en -F(—1)=-|-1232.

Daar -F(l) en F(— 1) geen van beiden nul zijn, zoo blijken -j- 1 en — 1 geen wortels der gegeven vergelijking te zijn. Onderzoekt

75

men nu, welke van de bovenstaande deelers met de eenheid verminderd tot de deelers van 1440, en met de eenheid vermeerderd tot de deelers van 1232 behooren, zoo blijkt aan dit dubbele kenmerk slechts voldaan te worden door de deelers

3, 6, 10, —2, —3, —5, —9 en —15,

zoodat het aantal der te beproeven deelers tot 8 is teruggebracht. Het verdere onderzoek leidt nu tot de volgende berekening:

*=3 1620 -1-144 —291 —41 7 1 -(-540 -t- 228 —21 -f684 — 63 —62.

Daar 62 niet door 3 deelbaar is, zoo blijkt 3 geen wortel te zijn.

x = Q 1620 144 —291 —41 7 1 270 69 —37 —13 —1 414 —222 —78 — 6 0

F(x)

zoodat 6 een wortel is, en voor —gevonden wordt

X- D

— 270 — 69a; 37 a:² 13a;³ a;⁴

welke uitdrukking gelijk nul gesteld eene vergelijking geeft, die de overige wortels bevat. Onderzoekt men nu verder deze nieuwe vergelijking, zoo blijken 10 en —2 geen wortels te zijn. Het onderzoek van den deeler — 3 geeft:

x — — 3 —270 —69 37 13 1

-1-90 — 7 —10 —1 21 30 3 0

zoodat — 3 een wortel blijkt te zijn, en voor het eerste lid dei-vergelijking na deeling door {x 3) gevonden wordt:

— 90 7a; 10.r² a;³.

Het onderzoek van den deeler — 5 geeft voorts:

x = — 5 —90 7 10 1

-|_18 — 5 — l quot; 25 5 Ö

76

zoodat ook — 5 een wortel is, en voor de vergelijking na deeling door (x -}- 5) gevonden wordt:

_18-f

Onderzoekt men eindelijk, of — 9 een wortel dezer vergelijking is, zoo blijkt dit niet het geval te zijn; terwijl dit onderzoek voor den deeler — 15 niet verricht behoeft te worden, als zijnde — 15 geen deeler van den bekenden term in de laatste vergelijking. De gegeven vergelijking heeft dus drie geheele wortels, nl. -j-6, —3 en — 5. Voor het eerste lid kan geschreven worden

{x—6) (a\'-j-S) (a;-}~ ?gt;) (ir²-)-5a; — 18).

De beide overige wortels worden gevonden uit de vergelijking

x¹ 5x — 18 = 0.

TOEPASSINGEN.

1. Men yraagt de meetbare wortels te bepalen van de vergelijking

x³ — IGx² 88x —160 = 0.

De eenige deeler, welke hier beproefd moet worden is 4.

Antw. 4. De overige wortels worden bepaald door de vergelijking x¹ — 12a; 40 = 0.

2. Hetzelfde voor de vergelijking

x⁴ — 24a-³ 206.7;= — 732x 864 = 0.

Antw. De meetbare wortels zijn G en 8, terwijl de overige wortels bepaald worden door de vergelijking

cc\' — 10»c 18 = 0.

3. Hetzelfde voor de vergelijking

a,-⁵ 3.x\'⁴ — 23a,-³ — Sla,-¹¹ 94a; 120 = 0.

Antw. 2, 4, —1, —3 en —5.

ACHTSTE LES.

OVER DE GELIJKE WORTELS DER VERGELIJKINGEN.

§ 57. Schrijft men het eerste lid eener hoogere-machts-vergelijking als het product van u eerste-machtsfactoren:

77

F{x) = [x—a) {x — h) (x — c).... (x — h),

waarin a, b, c.... /j, de wortels der vergelijking, bestaanbare of onbestaanbare getallen van den vorm a /3)/—1 zijn, zoo kan het voorkomen, naar reeds werd opgemerkt, dat sommige dezer eerste-macbtsfactoren aan elkander gelijk zijn. Komt de factor (x — a) p maal voor, zoo zegt men, dat de vergelijking F{x\') = 0 p gelijke wortels a beeft, in welk geval F(x) deelbaar is door (x — ay.

De gelijke wortels kunnen, voor zooverre zij gebecle getallen zijn, gevonden worden door toepassing der in de voorgaande les behandelde methode. Is toch het geheele getal a gebleken een wortel te zijn van de vergelijking F(x) = 0, en tevens een deeler van den be-

F{x)

kenden term in de vergelijking-= 0, zoo onderzoeke men of a

ook een wortel is van deze laatste vergelijking. Is dit het geval, dan is a een tweevoudige wortel van de gegeven vergelijking. Blijkt a

x\'}

bovendien een wortel te zijn van de vergelijking -------₂ = 0, zoo

(a; — a)

is a een drievoudige wortel der gegeven vergelijking; en zoo voort. Nemen wij bjjv. de vergelijking

_xgt;_ lamp;s⁴ -f- 126a;³ — 432^ 729.r — 486 = 0.

De deelers van den bekenden term, die hier in aanmerking komen zijn 2, 3, 6 en 9. Past men Newton\'s methode voor het opsporen der geheele wortels toe op het getal 2, zoo blijkt dit geen wortel te zijn. Voor het getal 3 komt de berekening als volgt te staan;

— 486 -1-729 —432 126 —18 1 — 162 189 — 81 15 —1 567 —243 45 — 3 0.

Dus blijkt 3 een wortel te zijn, terwijl voor de vergelijking Fix)

-— = 0 gevonden wordt:

X quot; O

162 —189a\' 81a;²—15a;³ a;⁴ = a.

Weer is 3 een deeler van den bekenden term. Het onderzoek, of 3 een wortel dezer laatste vergelijking is, geeft;

3 blijkt dus een wortel te zijn, en tevens een deeler van den bekenden term in de vergelijking

F{x)

; = —54 45^—12^ ^ = 0.

i» —

ekt men

vindt men

— 54 45 — 12 1

— 18 9 —1

27 — 3 0

zoodat dit werkelijk het geval is. Onderzoekt men eindelijk of 3 een wortel is der vergelijking

18 —9 1 6 —1 —0

F(x)

zoo blijkt ook dit het geval te zijn, terwijl --= — 6 a; ge-

(X o)

vonden wordt. Voor de gegeven vergelijking kan derhalve geschreven worden

(a;—3)⁴ (a: —6)=0.

De vergelijking heeft vier gelijke wortels 3 en een wortel 6. Dat de gegeven vergelijking 4 gelijke wortels 3 heeft, blijkt ook onmiddellijk door do vergelijking in z = x — 3 op te maken. 1 — 18 126 - 432 729 —486 3 - 45 243 — 567 486

— 15 81 - 189 162 ^ -j_ 3 — 36 135 — 162

-12 45 - 54 Ö

3 _ 27 54

— 9 18 0 3 - 18

— 6 0 3

In de vergelijking in z zijn de coëfficiënten der vier laatste termen nul; zij wordt:

s⁵—S/ess\'O —3) = 0.

Deze vergelijking heeft vier gelijke wortels £ = 0; de gegevene dus vier gelijke wortels a; = 3. Do vijfde wortel r = 3 geeft x = 6.

§ 58. In de voorgaande paragraaf zijn twee berekeningen uitgevoerd. die in het wezen der zaak geheel overeenstemmen, en alleen in den vorm verschillen. Eerst zijn de vier gelijke wortels 3 gevonden door toepassing van de methode van Newton; daarna is ditzelfde geschied door do vergelijking in (o-—3) op te maken. Uit de laatste berekening ziet men echter zeer duidelijk eene eigenschap der coëfficiünten van eene vergelijking, die gelijke ge-heele wortels heeft.

Beschouwt men de derde kolom, aan het hoofd waarvan het getal -f-126 staat, zoo kan men opmerken, dat -|- 126 na met —45, — 36, —27 en —18 te zijn vermeerderd een som 0 oplevert. Elk dezer laatste getallen is gevonden door een getal uit de tweede kolom met 3 te vermenigvuldigen, en heeft dus 3 tot deeler. Dit laatste geldt daarom voor alle getallen, die in de derde kolom voorkomen, met name voor het getal -{~126.

Beschouwt men de vierde kolom, zoo kan men op gelijke wijze aan-toonen, dat alle in deze kolom voorkomende getallen 3quot; tot deeler hebben. De getallen -|- 243, -|- 135 en -f- 54, die bij —432 opgeteld een som 0 geven, zijn nl. gevonden door getallen uit de derde kolom met 3 te vermenigvuldigen, en zijn dus door 3² deelbaar, waaruit men gemakkelijk afleidt, dat ook alle andere getallen in deze kolom 3² tot deeler hebben. En op gelijke wijze wordt gevonden dat -[-729 en alle andere in dezelfde kolom voorkomende getallen door 3³, en eindelijk dat — 486 door 3⁴ deelbaar zal zijn.

Uit het voorgaande laat zich besluiten, dat als hot geheele getal a een p-voudige wortel is van de vergelijking

x\' -\\-A_ix^{n 1} .... -{- A_n__ix¹\'-\\- A_n = 0

waarin de coëfficiënten geheele getallen zijn, /t_n door a^r, A_n__x door a\'\'^-1, -^„_₂ door a\'\'quot;², ....A„ ._pirX door a zonder overschot deelbaar zal zijn.

80

TOEPASSINGEN.

1. Bepaal de meetbare wortels van de vergelijking

x\' 2x-⁵ _ 40.1* lO.i:³ 31 Sx-³ — 108a:- — 756 = 0.

Antw. 3, 3, 3, —2, —2, —7.

2. Bepaal de meetbare wortels van de vergelijking

ƒ\'(,,■) = 4.t;\' éx³ — Wx\' — 30a; — 9 = 0.

Men deele eerst de vergelijking door 4 en stelle daarna ter verdrijving der breuken z — 2j\\

Antw. Fi-r) - {2x 3)^!!{x^l! — — 1).

§ 59. De handelwijze, die in het voorgaande besproken werd, leert de meervoudige wortels te bepalen, voor zoover deze meetbaar zijn, maar is niet van toepassing op het geval van onmeetbare of onbestaanbare gelijke wortels. Men kent echter een middel om, wanneer eene vergelijking meervoudige wortels heeft, deze te splitsen in eenige andere vergelijkingen, waarvan de eerste de enkelvoudige, de tweede de tweevoudige, de derde de drievoudige wortels bevat, enz. Vooraf zullen eenige stellingen ontwikkeld worden, die op gelijke wortels betrekking hebben.

Stellino. Ts a een p-voudige wortel van de vergelijking F{x) = 0, zoo is a tevens een wortel van de vergelijkingen

F\\x) = 0 F\\x) = 0....T\'\'-\\x)=0,

maar geen wortel van de vergelijking F^p(x)~0.

Is a een p-voudige wortel van de vergelijking F(x) = 0, heeft dus Ilx) (x — nj^r tot deeler, zoo heeft de vergelijking in z = x — a, dat is de vergelijking, die men vindt door de wortels der gegeven vergelijking elk met a te verminderen, p gelijke wortels 0. Het eerste lid dezer vergelijking moet derhalve z^p tot deeler hebben, zoodat de bekende term in deze vergelijking en tevens de coëfficiënten van z, z²,.... •z\'\'^-1 gelijk nul zullen zijn. Deze coëfficiënten zijn echter op getallen-factoren na gelijk aan F\\a), F²(a),.... F^p~\\a), waaruit blijkt, dat a een wortel is van de eerste {p— l) afgeleide vergelijkingen

F\\x) = 0 Fⁿ{x) = 0....F^p-\\x) = ü.

De coëfficiënt van z^p zal echter van nul verschillen, daar anders do vergelijking in z een aantal ip -f-1) gelijke wortels 0, die in x dus {p -[- 1) gelijke wortels a zoude hebben. Deze coëfficiënt verschilt slechts door een getallen-factor van F\'\\a), zoodat a geen wortel

81

is van de vergelijking F\'\'{x) = 0. Hiermede is het gestelde bewezen.

§ 60. Stelling. Is a een wortel van de vergelijkingen

F{x)=:0 F\\x) = 0 F\\x)=0....

en geen wortel van de vergelijking F^p{x) = 0, zoo is a een p-voudige wortel van de vergelijking F{x) = 0.

Deze stelling, die als de omgekeerde van de voorgaande te be-schouwen is, kan op eene gebeel overeenkomstige wijze worden aangetoond. Uit het onderstelde volgt namelijk dat F{a) = F\'\'{a) = .... = F^r\'~\'(a) = 0 en F^ia) ^ 0, dat dus de p laatste termen van de vergelijking in 2 wegvallen. Deze vergelijking heeft dus p gelijke wortels 0, die in x derhalve p gelijke wortels a.

§ 61. De beide voorgaande stellingen kunnen echter eenigszins uitgebreid worden.

Stelling. Is a een p-voudige wortel van de vergelijking F{x) = 0, zoo is a een (p—\\)-voudige wortel van F\\x) = 0, een (p — 2)-vou-dige wortel van F^^x) — 0, en zoo vervolgens, eindelijk een enkelvoudige wortel van F^F~\'(x) 0 en geen wortel van F^r(x) = 0.

Eeeds werd in § 59 gevonden, dat als a een p-voudige wortel is van de vergelijking F(x) = 0, a tevens een wortel is van de eerste (p—1) afgeleide vergelijkingen, dus F\'(a) = F²^) =.... = F^p~\'(a)=0.

Uit F^p~Xa) = F^p~\'(a) = 0 volgt echter, blijkens de in § 60 bewezen stelling, dat a een tweevoudige wortel is van de vergelijking F^p~\\x\') — 0. Uit F\'\'-³(a) = F^p-²(a) = F\'-\'ia) = 0, dat a een drievoudige wortel is van de vergelijking F^p~³(x) = 0, enz. Eindelijk uit F\\a) —F^la) = ....= F^p-\\a)=0, dat a een (p — l)-vou-dige wortel is van de vergelijking -?quot;(gt;\') = 0.

Ook de stelling van § 60 kan nu aldus worden uitgebreid:

Stelling. Is a een wortel van de vergelijkingen

F{x) = 0 F\\x) = 0 F^rl{x) = Q....F^p-\\x)=^0

en geen wortel van de vergelijking F\'^x) — 0, zoo is a een p-voudige wortel van de eerste, een {p— V)-voudige wortel van de tweede dezer vergelijkingen, en zoo vervolgens; eindelijk een tweevoudige wortel van de vergelijking F^\'Xx) = 0, en een enkelvoudige wortel van de vergelijking F^p~^x{x) = 0.

Voor het bewijs van deze stelling heeft men slechts de stelling van § 60 achtereenvolgens op F(x) en op elk der eerste {p—1) afgeleide functiën toe te passen.

lobatto. 6

82

§ 62. Heeft de vergelijking T{x) = O één wortel a, twee gelijke wortels h, drie gelijke wortels c, enz. en eindelijk m gelijke wortels k, zoo kan men schrijven:

F(x)=(x — a) (x — b)¹ (x — c)³.... (x — /lt;)quot;•

waarbij de coëfficiënt van de hoogste macht der onbekende de eenheid is ondersteld. Blijkens het voorgaande is voorts

-F\'Ctf) = ?,(») (x — i) (x — c)\'.... (x — /lt;)■quot;-\' ^(x) = ?₂(x) (x — c) .................(x — /i)quot;quot;-\'

en zoo vervolgens. F(x) en F\'(x) hebben dus (x — 6) (x — c)².... (x — /ij\'quot;quot;¹ tot gemeenen deeler. Eveneens is (x — c)....(x — een gemeene deeler van F{x), F\\x) en F¹{x).

Het valt bovendien niet moeilijk aan te toonen, dat {x — b) (x — c)^a.... {x — de grootste gemeene deeler is van F{x) en m. a. w. dat 50,(2-j geen der factoren {x—a), {x— b), (x—c),.... (amp; — zal bevatten. Was toch (x — a) een factor van p/x), a dus een wortel van !quot;(«) = 0 en ook van F(x) = 0, zoo zoude blijkens de stelling van § 60 a een tweevoudige wortel zijn dezer laatste vergelijking, wat tegen de gemaakte onderstelling strijdt. Eveneens zou, als (a: — 6) een factor van 50,(a;) was, 6 een tweevoudige wortel van F\'(x) = 0 en een drievoudige wortel van F(x) = 0 zijn. Geeft men door D, den grootsten gemeenen deeler van F(x) en F\'(x) aan, zoo is dus:

D^ix — b) (x — cf ..,.(x — h)^m~¹ F(x)

-^-=(x—a) (x—6) (x—c)....(x — i).

Wil men rekening houden met het geval, dat de vergelijking meer dan één enkelvoudigen, twee-, drie- ....m-voudigen wortel heeft, zoo kan men als a,, a₂,.... a_k de enkelvoudige wortels zr\'n (ar — a,) (x — ö_a).... (x — a_k) = P_t stellen; eveneens door P₂ voorstellen het product der eerste-machts factoren, die tweemaal voorkomen, door P_m het product dezer factoren, die m maal in F(x) optreden.

Daardoor wordt:

F{x) = P_i.P._l\\P₃\\...P_nr 2). =P₁.P*....P_mquot;-\'

F(x)

^{v /} = p p p p jy — i ■ 1 • J 3 •••• .

83

En hiermede is een middel gevonden, om uit de gegeven vergelijking eene andere af te leiden, die alle wortels der eerste vergelijking, elk slechts eenmaal genomen, bevat. Men berekene daartoe den grootsten gemeenen deeler van F(x) en F\'(x), en stelle gelijk nul het quotiënt van l\\x) door dezen deeler.

§ 63. Men kan echter nog verder gaan; het is namelijk mogelijk de vormen F,, F₂.....P_m afzonderlijk te berekenen.

Stelt men door Zgt;₂ voor den grootsten gemeenen deeler van D, en van de afgeleide van D,, zoo vindt men:

D₂ = F₃.F* ....F_m^m-\\

Voorts door Igt;₃ aangevende den grootsten gemeenen deeler van B₂ en van de afgeleide van 1)₂ en zoo vervolgens:

Igt;₁ = F_i.P*....P_m^m-^s

PJ

— Pm •

Verder vindt men;

— — PP F D ~ ²\' ³quot;quot; quot;*

~ = P F F

- ƒ) 1}

j\\ m— 1 m

m— ¹

- 1 ~ P m gt;

waaruit men afleidt:

D, • D,

p = ^ ^2_ B, \' -D ,

F

m — 1- t\\ nt

m -1

P.n=D_m__t.

De vergelijking P, = 0 bevat nu de enkelvoudige wortels der gegeven vergelijking, P₂=0 de tweevoudige wortels, elk een-

6*

84

maal genomen, en zoo vervolgens, P_m = 0 bevat eindelijk de TO-voudige wortels, elk eenmaal.

Past men bijv. deze methode toe op de vergelijking

T{x) = x^t -1- lx^h -f- 12a;⁴— Ua³— 59a;¹— 57a\'—18 = 0

zoo vindt men;

F\\x) = 6x^s 35a;⁴ 48a;³ — 42^ — 118a\' — 57 A = a;³ 5a;^s4-7a; 3 D_a = a; 4-1.

Voorts:

^J\'\'^=x\' 2x^ï — rjx-

~ =** 4x 3

en eindelijk:

F(x) 7),

P, =-^ : ~ =x—2

. A A P₂ = g :D₂ = X S P, = D₂ =a l

Voor F(x) kan dus geschreven worden (x — 2) (a; -j- 3)² (a; -{- l)³; de gegeven vergelijking heeft één wortel 2, twee gelijke wortels — 3, en drie gelijke wortels — 1.

§ 64. Naar aanleiding van het voorgaande kunnen nog een paar belangrijke opmerkingen gemaakt worden. Men merke vooreerst op, dat de deelingen, die achtereenvolgens moeten worden uitgevoerd, allen verricht kunnen worden zonder eene rest achter te laten. Voorts is het uit den aard der berekening duidelijk dat, als de hoogste macht van de onbekende in F(x) de eenheid tot coëfficiënt heeft, de vormen D en ook de vormen P slechts ge-heele coëfficiënten zullen vertoonen. De enkelvoudige wortels, en eveneens de tweevoudige, de drievoudige en zoo vervolgens, worden dus bepaald door eene vergelijking met geheele coëfficiënten. Hieruit volgt onmiddellijk:

Als a de eenige m-voudige icortel eener vergelijking is, zoo is a een meetbaar getal.

In dit goval toch wordt a bepaald door eene vergelijking van den eersten graad. Zijn er twee w-voudige wortels aanwezig, zoo

85

worden deze gevonden door oplossing eener vierkantsvergelijking. Van elke vergelijking, die niet meer dan twee wortels heeft, welke evenveel malen voorkomen, kunnen dus de wortels door directe oplossing gevonden worden. Eindelijk kan men nog opmerken, dat als (a-f-è]/quot;—1) een wortel is van eene der vergelijkingen Pi.= 0, (a — hy—1) een wortel zal zijn van deze zelfde vergelijking. Is dus {a-\\- 6 ]/ — 1) een fc-voudige wortel van de vergelijking F(x) = 0, zoo zal ook (a — i 1/— 1) een X\'-voudige wortel zijn.

§ 65. Uit het in paragraaf 63 behandelde voorbeeld kan men zien, dat het bepalen van den grootsten gemeenen deeler van F(x) en F\\x) reeds spoedig tot zeer omslachtige becijferingen aanleiding geeft. Het is daarom niet van belang ontbloot op te merken, dat bij vergelijkingen van lageren dan den zesden graad de gelijke wortels gevonden kunnen worden, zonder dat het noodig is dezen grootsten gemeenen deeler te bepalen.

Beschouwt men vooreerst de vergelijking van den derden graad, zoo is het duidelijk dat, wanneer deze twee gelijke wortels a en een wortel b heeft, zoowel a als b meetbare getallen zullen zijn, en dus gevonden kunnen worden op de wijze als in den aanvang van deze les is besproken. Ditzelfde geldt voor het geval van drie gelijke wortels a.

Bij de vergelijking van den vierden graad kunnen onmeetbare of onbestaanbare gelijke wortels slechts voorkomen in het geval, dat twee paar gelijke wortels aanwezig zijn, in welk geval het eerste lid der gegeven vergelijking

I{x) =x⁴-\\- JjX* -f- 4quot; ^ -j- ^, = 0 het vierkant zal zijn van een vorm van den tweeden graad

x¹ ar -\\- ft.

Door de coëfficiënten in F{x) gelijk te stellen aan de overeenkomstige coëfficiënten in {x^l -j- ax -|- §f, vindt men

24,

A

4 =

Wordt aan deze beide betrekkingen voldaan, zoo is F{x) het

A A

vierkant van {x¹ -\\-ax fi), waarin ^a — ^en P⁼⁼^J\' ^en

de gegeven vergelijking twee paar gelijke wortels, welke gevonden worden uit de vergelijking

a;quot; -j- aa; /3 = 0.

86

Wordt daarentegen aan de beide bovenstaande betrekkingen niet voldaan, zoo kan de gegeven vergelijking geene andere dan meetbare gelijke wortels hebben, welke op de bekende wijze gevonden worden.

Ook bij de vergelijking van den vijfden graad kunnen slechts in één geval onmeetbare of onbestaanbare gelijke wortels voorkomen, nl. als de vergelijking twee wortels a, twee wortels h en één wortel c heeft, voor het eerste lid dus geschreven kan worden

F(x) = (x — af (x — hf (« — c).

Hier komen 2 tweevoudige wortels a en 5 voor; deze kunnen volgens het in de voorgaande paragraaf besprokene dus onmeetbaar of onbestaanbaar zijn. De derde wortel c moet echter meetbaar zijn. Eene vergelijking van den vijfden graad, die geen meetbaren wortel heeft, heeft dus ook geene gelijke wortels. Vindt men een meetbaren wortel c, zoo onderzoeke men of het T{x)

quotiënt 7—een volkomen vierkant is.

O — c)

In alle andere gevallen, in het geval namelijk van een twee-voudigen, of van een drievoudigen, of eindelijk van een twee- en een drievoudigen wortel, zullen de gelijke wortels steeds meetbaar zijn.

TOEPASSINGEN.

1. Bepaal de gelijke wortels van de vergelijking

I\\x) = x^e — 6x\'^B 12x⁴ — Ba:³ — 12^ — 4 = 0.

Past men de methode van § 63 toe, zoo wordt gevonden

.Di = x\' — ix² 5a; — 2 Z)_a = a: — 1

Pi = x 1 P_% = x — 2 P₃^ x — 1.

Antw. F{x) = (a: 1) (a; — 2)² (x — l)⁸.

2. Bepaal de gelijke wortels van de vergelijking

P(x) = x\' 2a:⁸ — 9a;^a — 10a: 25 = 0.

De vergelijking blijkt geene meetbare wortels te bezitten. Men onderzoeke dus of P(x) een volkomen vierkant is. Dit blijkt het geval te zijn.

Antw. JFtx) = (x^a x — 5)^a.

3. Heeft de vergelijking

^X-x) = x⁵ — 6x\' — 10a:⁸ a:^J -t- 7a; — 1 = 0

gelijke wortels?

87

Antw. De vergelijking heeft geene meetbare wortels, en kan dus ook geene

gelijke wortels hebben.

i. Bepaal de gelijke wortels van de vergelijking

jn(x) = a:⁵ — 2x* — 9x\' 2^ 9.C — 4 = 0.

De vergelijking blijkt een meetbaren wortel 4 te hebben. Om na te gaan of er onmeetbare of onbestaanbare gelijke wortels aanwezig zijn, onderzoeke Fix)