Op verzoek van mijn broeder Dr. V. A. Julius heb ik uit mijn leerboek der Mechanica eenige hoofdstukken over het stoffelijk punt en over absoluut vaste lichamen omgewerkt tot een geheel, dat als een gewenschte inleiding voor de beoefening der natuurkunde beschouwd kan worden.

Dit boekje bevat dan ook alleen de uiteenzetting van de beginselen der Mechanica. De toepassing op de lichamen onder de inwerking der zwaartekracht, op de werktuigen enz. is achterwege gelaten.

§ 25. Vervanging van krachten..................................................................54

§ 27. Koppel................................................................................................63

§ 30, Vervanging van koppels werkende in vlakken, die elkander snijden. 09 § 31. Algemeene evenwichtsvergelijkingen voor willekeurige krachten

Onder een stoffelijk punt verstaat men een lichaam van zoo kleine afmetingen, dat de plaats die het inneemt als een meetkundig punt mag worden beschouwd.

Men mag een lichaam als een stoffelijk punt behandelen, indien het onnoodig wordt geoordeeld de plaats, die eenig deel van het lichaam inneemt, te onderscheiden van de plaats, die door een ander deel van het lichaam wordt ingenomen. Zoo worden gewoonlijk bij de bepaling der banen, doorloopen door een afgeschoten kogel of dooi' de aarde bij haar beweging om de zon, de kogel en de aarde als stoflelijke punten beschouwd.

Indien de afstand van twee stoffelijke punten P en Q geen verandering ondergaat, dan zegt men dat P en Q ten opzichte van elkander in rust zijn. Ondergaat die afstand een verandering, dan zegt men dat P en Q zich ten opzichte van elkander bewegen. Gewoonlijk beschouwt men slechts één dier bewegingen, bijv. die van P ten opzichte van Q.

Indien een punt P zich beweegt ten opzichte van eenige punten Q, R, M enz., welke ten opzichte van elkander in rust zijn, dan worden de punten O, R. S enz. te zamen de omgeving van P genoemd. Men zegt dan dat P zich beweegt

ten opzichte van zijn omgeving, gevormd door de punten Q, R, S, enz. Als de omgeving duidelijk aangewezen is, spreekt men kortheidshalve ook wel eenvoudig van de beweging van P.

Daar de plaats door het stoffelijk punt P ingenomen, als een meetkundig punt mag worden beschouwd, doorloopt P bij zijn beweging een lijn, de baan van P genoemd. Al naarmate die baan een rechte of een kromme lijn is, heet de beweging van P rechtlijnig of kromlijnig.

Onder de richting der beweging van het punt P, dat zich in A bevindt, verstaat men de richting van de raaklijn in A aan de baan getrokken in den zin der beweging. Is de baan een rechte lijn A B, dan is de richting der beweging standvastig, zoolang het punt zich beweegt van A naar B; is de baan een kromme lijn, dan verandert de richting der beweging van oogenblik tot oogenblik.

De lengte van het stuk der baan, door het punt P in eenig tijdsverloop afgelegd, heet de weg door P in dien tijd doorloopen.

Als eenheid van lengte wordt aangenomen de centimeter, dat is het honderdste gedeelte der lengte van een staaf platina, die te Parijs wordt bewaard.

Tot grondslag voor de tijdmeting dient de draaiing dei-aarde om haar as. Men neemt aan dal onderling gelijke tijdsverloopen die zijn, waarin de aarde onderling gelijke hoeken om haar as draait. Het meten van tijdsverloopen op dezen grondslag geschiedt met behulp van slingeruurwerken. Het is de zaak der sterrenkundigen te onderzoeken, of de aanwijzingen dier uurwerken juist zijn.

Naar de wegen in achtereenvolgende tijdsverloopen afgelegd, worden de bewegingen onderscheiden in eenparige en veranderlijke.

Men zegt dat een punt een eenparige beweging heeft, indien het in onderling gelijke tijdsverloopen, hoe klein ook genomen, onderling gelijke wegen aflegt.

bepaald door den weg, dien het in zekeren tijd aflegt. Zij •wordt evenredig gesteld met ilen weg per seconde doorloopen. Is s het aantal centimeters in t seconden doorloopen, dan is

Neemt men als eenheid van snelheid aan de snelheid, welke een punt met eenparige beweging heeft, dat in één seconde een weg van één centimeter doorloopt, dan wordt f — i en

Het aantal snelheidseenheden van de snelheid is dus gelijk aan het aantal centimeters per seconde afgelegd.

Het aantal centimeters van den in t seconden doorloopen weg is gelijk aan het product van het aantal snelheidseenheden en het aantal seconden.

Onder de richting der snelheid van een punt P, dat zich in A bevindt, verstaat men de richting van de raaklijn in A aan de baan getrokken in den zin der beweging.

Een eenparige beweging kan zijn rechtlijnig of kromlijnig. Is de haan een rechte lijn, dan is de richting der snelheid standvastig. Is de baan een kromme lijn. dan verandert de richting der snelheid van oogenblik tot oogenblik.

Daar de snelheid van een punt P is bepaald door haar grootte en richting, kan zij door een rechte lijn volledig worden voorgesteld. De richting der lijn geeft de richting der snelheid, de lengte der lijn de grootte der snelheid.

Wanneer een punt P een eenparige beweging heeft langs den omtrek van een cirkel, dan spreekt men ook wel van de hoeksnelheid van P. De lijn, die het punt P verbindt met het middelpunt van den cirkel, heet de voerstraal van P.

De hoeksnelheid van een punt met eenparige cirkelvormige beweging wordt bepaald door den hoek, dien de voerstraal in zekeren tijd doorloopt. Zij wordt evenredig gesteld met den hoek per seconde doorloopen.

snelheid van een punt met eenparige cirkelvormige beweging, welks voerstraal in één seconde de hoekeenheid doorloopt.

Als eenheid van hoek wordt aangenomen de radiaal, dat is de hoek, die gemeten wordt door een boog, welks lengte gelijk is aan den straal. Daar een hoek van :i00^o gemeten wordt door een boog van 2 tt )■ centimeters, zal een hoek

Heeft een punt een eenparige cirkelvormige beweging met de hoeksnelheid « eenheden, en is de hoek door den voerstraal in t seconden doorloopen a radialen, dan heeft men

In tegenstelling met de hoeksnelheid spreekt men van de lijnsnelheid van een punt. Er bestaat een eenvoudige betrekking tusschen de hoeksnelheid en de lijnsnelheid van een punt.

Is de hoeksnelheid van een punt w eenheden, de lijnsnelheid c eenheden, en is de straal van den cirkel r centimeters lang, dan heeft men:

Een punt heelt een veranderlijke beweging, indien het in onderling gelijke tijdsverloopen onderling ongelijke wegen aflegt.

Onder de gemiddelde snelheid van een punt P gedurende eenig tijdsverloop, verstaat men do snelheid, die een punt met eenparige beweging zou moeten hebben, om in datzelfde tijdsverloop een even grooten weg af te leggen als P.

Is een punt F met veranderlijke beweging op den tijd i in ^1, en doorloopt het in de eerstvolgende 3- seconden een weg van s centimeters, dan is zijn gemiddelde snelheid

dit tijdsverloop kleiner en kleiner, en laat men het tot nul naderen, dan nadert de gemiddelde snelheid tot een bepaalde grenswaarde. Deze grenswaarde is de gemiddelde snelheid van P gedurende het oneindig kleine tijdsverloop volgende op den tijd t, of wel, de snelheid van liet punt P met veranderlijke beweging op den tijd t.

Indien op ieder oogenblik de plaats van het punt kan worden bepaald, dan is de beweging van het punt volkomen bekend, en dan kan de snelheid op ieder oogenblik worden gevonden.

De plaats van een punt P kan op ieder oogenblik worden bepaald, als gegeven zijn de baan van het punt, de plaats die het op eenig oogenblik inneemt, en de weg, dien het sedert dat oogenblik in een willekeurig tijdsverloop aflegt.

Laat bijv. de baan een rechte lijn zijn en het punt zich op eenig oogenblik in A bevinden.

De weg s, in t seconden volgende op dat oogenblik afgelegd , kan worden gegeven door een vergelijking, bewegingsvergelijking genoemd , welke een betrekking aangeeft tusschen s en t.

Zij bijv. gegeven s = ƒ)lt;-}- ql¹, en zij het punt op den tijd nul in A, dan is liet punt na t seconden in B, op een afstand pt -f- qt¹ centimeters van A verwijderd. Om nu de snelheid van het punt op den tijd t te vinden, bepaalt men de gemiddelde snelheid gedurende het tijdsverloop j seconden, volgende op den tijd t. In de lt; -j- j eerste seconden is de afgelegde weg s, = p {t '/ (^ - - ; in de I eerste seconden .« = pt -t- qt¹. In de B seconden, volgende op den tijd t, is dus de afgelegde weg:

Deze gemiddelde snelheid verandert met het tijdsverloop 3-; maar wanneer 5 tot nul nadert, nadert de gemiddelde snelheid tot de grenswaarde p -f- '2 qt. Is dus v het aantal snelheidseenheden op den tijd t, dan heeft men:

s pt qt^% rt³en laat gevraagd worden de snelheid op den tijd t te bepalen De weg in de ( -j- j eerste seconden afgelegd, is:

Sj = (i j) -f- (jf {t j)² i' (t j)³. De weg in de t eerste seconden afgelegd, is:

l = s_i — s — {p —f- Q qt -f- 3 t't^) 5 -}— (q —j— 3 —f- , en de gemiddelde snelheid;

Laat men j tot nul naderen, dan nadert w tot de grens waarde jü -H 2 qt 3 rt¹, en de snelheid op den tijd t is dus v — jt 'i qt -4- 3 rt*.

De weg in 5- seconden volgende op den tijd t afgelegd is 1 = 8, — s = r ^sin 2 TT — sin 2 tt of

Neemt de snellieid van een punt voortdurend toe, dan is de beweging versneld; neemt de snelheid voortdurend af, dan is do beweging vertraagd.

Een punt heeft een eenparig versnelde beweging, wanneer het in onderling gelijke tijdsverloopen, hoe klein ook genomen, onderling gelijke snelheidsvermeerderingen krijgt.

De versnelling van een punt met eenparig versnelde beweging wordt bepaald door de snelheidsvermeerdering, die het in zekeren tijd krijgt. Zij wordt evenredig gesteld met de snelheidsvermeerdering per seconde. Neemt de snelheid in t seconden met q eenheden toe, en is a het aantal versnellingeenheden,

Als eenheid van versnelling wordt aangenomen, de versnelling van een punt met eenparig versnelde beweging, welks snelheid in één seconde met de snelheidseenheid toeneemt. Bovenstaande vergelijking verandert daardoor in:

Heeft een punt een eenparig versnelde beweging met de versnelling a eenheden, dan neemt de snelheid in l seconden met at eenheden toe. Is dus op eenig oogenblik de snelheid c eenheden, dan is de snelheid v na t seconden:

De snelheid c wordt de aanvangssnelheid genoemd, d. w. z. de snelheid bij het begin van den tijd t; de snelheid v de eindsnelheid, d. w. z. de snelheid aan het einde van den tijd t.

Om den weg te bepalen, dien een punt P met eenparig versnelde beweging met de versnelling a aflegt in t seconden, volgende op het oogenblik waarop de snelheid is c, stelt men zich een ander punt Q voor, dat een reeks van

aan de snelheid, die P op dat oogenhlik heeft. De snelheden, waarmede Q zich beweegt in de achtereenvolgende tijdsver-

De geheele weg. door Q in de f eerste seconden afgelegd, is de som dier wegen, en dus:

^s = ^ct 2^a'²-i-Hoe grooter n wordt genomen, des te meer komt de beweging van Q met die van P overeen, ën des te kleiner at'

beweging van Q gelijk aan die van P, en voor den door P afgelegden weg verkrijgt men dan:

Men kan ook op andere wijze tot de vergelijkingen (1) en (2) komen. Zij de bewegingsvergelijking van P s = pi - - qt¹,

De snelheid op den tijd t S is v₁ — p 2q (lt; -f- ^). De snelheidsvermeerdering gedurende het tijdsverloop 5 volgende op den tijd lt; is v, — v = IqS, en dus onafhankelijk van t; in één seconde is de snelheidsvermeerdering Iq. P

heeft derhalve een eenparig versnelde beweging met de versnelling a z= Iq en de aanvangssnelheid c = {j. Vervangt men

Als men uit de vergelijkingen (1) en (2) t elemineert, dan verkrijgt men de vergelijkingen:

Heelt dus een punt een eenparig versnelde beweging met de versnelling « eenheden, heeft het op eenig oogenblik de snelheid c eenheden, en heeft het daarna een weg * cenfi-meters afgelegd, dan is zijn snelheid geworden I/ c² -f- 2 as eenheden, en omgekeerd:

Heeft een punt een eenparig versnelde beweging met de versnelling a eenheden, heeft het op eenig oogenblik de snelheid c eenheden, en heeft het na eenigen tijd de snelheid v eenheden gekregen, dan heeft het in dat tijdsverloop den —— c²

Is de beweging van het punt rechtlijnig eenparig versneld, dan verstaat men onder de richting der versnelling de richting van de lijn, waarlangs zich het punt beweegt in den zin der beweging.

Op soortgelijke wijze als de snelheid kan ook de versnelling van een punt in richting en grootte worden voorgesteld door een rechte lijn.

Een punt heeft een eenparig vertraagde beweging, wanneer het in onderling gelijke tijdsverloopen, hoe klein ook genomen, onderling gelijke snelheidsverminderingen ondergaat.

weging wordt bepaald door de snelheidsvermindering, die het in zekeren tijd ondergaat. Zij wordt evenredig gesteld met de snelheidsvermindering per seconde.

, , , ,, Als eenheid van vertraging wordt aangenomen de vertraging van een punt met eenparig vertraagde beweging, welks snelheid in één seconde met de snelheidseenheid vermindert.

Heeft een punt een eenparig vertraagde beweging met de vertraging a eenheden, dan neemt de snelheid in t seconden met at eenheden af. Is dus op eenig oogenblik de snelheid c eenheden, en na t seconden v eenheden, dan is;

Op soortgelijke wijze als hierboven voor de eenparig versnelde beweging is geschied, kan de weg worden berekend ^v door het punt afgelegd in de t seconden volgende op het oogenblik, waarop de snelheid c is. Men vindt daarvoor:

dan kan men op dezelfde wijze als in de vorige § is geschied aantoonen, dat P een eenparig vertraagde beweging heelt met de vertraging 2 cj.

Heelt dus een punt een eenparig vertraagde beweging met de vertraging a eenheden, heeft het op eenig oogenblik de snelheid c eenheden, en heeft het daarna een weg s centimeters afgelegd, dan is zijn snelheid geworden I/ c¹ — 2 as eenheden, en omgekeerd:

Heeft een punt een eenparig vertraagde beweging met de vertraging a eenheden, heeft het op eenig oogenblik de snelheid c eenheden, en heeft het na eenigen tijd de snelheid v eenheden gekregen, dan heeft het in dat tijdsverloop den weg

De aanvangssnelheid van een pnnt met eenparig vertraagde beweging kan niet nul zijn. Na een tijdsverloop t = ^ is 0 = 0 en verliezen de vergelijkingen (0), (7), (8) en (9) haar beteekenis.

Laat een punt P zich in t seconden bewegen van A over B naar C (fig. 1). Uet zou ook in C zijn aangekomen, indien het eerst van A naar D en daarna van D naar C was gegaan. Worden de bewegingen van A naar 1) en van D naar C zoodanig gekozen, dat het punt t seconden zou noodig hebben, zoowel om den weg AD, als om den weg D C te doorloopen, dan noemt men de bewegingen van A naar D ^ en van D naar C de ontbindings-

De werkelijke beweging van P kan [op een oneindig aantal wijzen in twee bewegingen worden ontbonden.

Heeft een punt P een rechtlijnige eenparige beweging, dan kan men voor elk willekeurig tijdsverloop de beweging van P ontbinden in twee eenparige bewegingen langs verschillende rechte lijnen; daartoe wordt slechts vereischt, dat de lijn, die in richting en grootte de snelheid van het punt bij zijn werkelijke beweging voorstelt, de diagonaal is van het parallelogram beschreven op de lijnen, welke in richting

en grootte de snelheden van het punt bij zijn ontbindingsbewegingen voorstellen, en wel de diagonaal, waarvoor deze lijnen de omliggende zijden zijn.

Om dit te bewijzen wordt aangenomen, dat het punt P een rechtlijnige eenparige beweging heeft met een snelheid in richting en grootte voorgesteld door de lijn A B (fig. 2). Na 1 seconde zal P dan in B gekomen zijn. Zij verder

conden een rechtlijnige eenparige beweging gehad had met een snelheid, voorgesteld door de lijn AC, dan zou het na t seconden in F gekomen zijn , als A F — t. A C. Verkreeg P daarna gedurende t seconden een rechtlijnige eenparige beweging met een snelheid, in richting en grootte voorgesteld door de lijn A IJ. dan kan de plaats G, waar P zou aankomen, gevonden worden door uit F een lijn te trekken, evenwijdig aan A D, en daarop te nemen een stuk FG = t. A B-De driehoeken AFG en ACB zijn gelijkvormig, daar

Men kan op geheel dezelfde wijze aantoonen dat het punt P eveneens in E zal aankomen, als men het eerst gedurende l seconden zich laat bewegen met de snelheid voorgesteld door de lijn AD, en daarna, van de plaats uitwaar het zou gekomen zijn, wederom gedurende t seconden met de snelheid voorgesteld door de lijn A C.

§ 8. Ontbinding van een rechtlijnige eenparig versnelde en van een rech11 ijnige eenparig vertraagde beweging.

Indien een punt P een eenparig versnelde beweging met de versnelling a eenheden heelt langs de lijn B van A naar B, indien het zich op eenig oogenblik in A bevindt en de snelheid c eenheden heeft, dan kan voor een willekeurig tijdsverloop de beweging van P worden ontbonden in twee bewegingen langs de lijn A B van naar B, waarvan de een eenparig is met de snelheid c eenheden, en de ander eenparig versneld met de versnelling a eenheden en de aan-vangssnelheid nul.

Indien een punt P een eenparig vertraagde beweging met de vertraging a eenheden heeft langs de lijn A B van A naar 7i, indien het zich op eenig oogenblik in A bevindt en de snelheid c eenheden heeft, dan kan voor een willekeurig tijdsverloop de beweging van P worden ontbonden in een eenparige beweging langs de lijn A B van A naar B met de snelheid c eenheden, en in een eenparig versnelde langs de lijn AB van B naar A, met de versnelling a eenheden en de aanvangssnelheid nul.

Indien een punt P een rechtlijnige eenparig versnelde beweging heeft met een aanvangssnelheid nul, dan kan zijn beweging voor een willekeurig tijdsverloop ontbonden worden in twee eenparig versnelde bewegingen met aanvangssnel-heden nul langs verschillende rechte lijnen; daartoe wordt slechts vereischt, dat de lijn, die in richting en grootte de versnelling bij de werkelijke beweging voorstelt, de diagonaal is van het parallelogram beschreven op de lijnen, welke in richting en grootte de versnellingen bij de ontbindingsbe-

wegingen voorstellen, en wel de diagonaal, waarvoor deze lijnen de omliggende zijden zijn.

Om dit te bewijzen wordt aangenomen, dat het punt P een rechtlijnige eenparig versnelde beweging heeft met de aanvangssnelheid nul en een versnelling in richting en grootte voorgesteld door de lijn A ]{ (fig. 3). Zij figuur A li C D

een parallelogram. Als P op den tijd nul zich ia A bevindt, dan zal het op den tijd t seconden aangekomen zijn in E. als AE=\t¹. AB. Indien P eerst gedurende t seconden een rechtlijnige eenparig versnelde beweging gehad had met de aanvangssnelheid nul en met een versnelling voorgesteld dooide lijn AC, dan zou het na t seconden in F gekomen zijn, als A F= l t^ï . A C. Verkreeg P daarna gedurende t seconden een rechtlijnige eenparig versnelde beweging met de aanvangssnelheid nul en een versnelling voorgesteld door de lijn AD, dan kan de plaats G, waar P zou aankomen, gevonden worden door uit F een lijn te trekken evenwijdig aan AD, en daarop te nemen een stuk F G — ^ t¹ .AD.

Hieruit volgt [_ B AC— l_ GAF',Ae lijnen GA en BA vallen dus langs elkander, en het punt G ligt op de lijn

Hierboven is reeds opgemerkt, dat een beweging op tal-looze wijzen in twee andere kan worden ontbonden. De volgende wijze van ontbinding wordt meermalen toegepast.

Laat P (lig. 4) op den tijd t seconden in A zijn en een snelheid c eenheden hebben, die in richting en grootte door

de baan in A. Laat P 5 seconden later in C zijn aangekomen. De beweging van P gedurende deze j secon den kan dan ontbonden worden in een eenparige langs de lijn A B met de snelheid c eenheden, zoodat P na 5 seconden in D komt als ^1 /) = c j centimeters, en in een rechtlijnige eenparig versnelde beweging met de aan-vangssnelheid nul langs de lijn DC. zoodat P in 5 seconden van D naar C komt. De grootte van de versnelling dezer beweging kan worden berekend uit de lengte der lijn C D. Gewoonlijk bepaalt men de grenswaarde, waartoe deze versnelling nadert, wanneer 5 kleiner en kleiner wordt genomen.

Wanneer een punt P (fig. 4) op eenig oogenblik een snelheid heeft voorgesteld door de lijn AB, dan zou het, indien zijn snelheid noch in grootte noch in richting veranderde, een rechtlijnige eenparige beweging krijgen. Deze eenparige beweging zou (zie § 7) te ontbinden zijn in twee eenparige bewegingen. De snelheden van P bij deze ontbindingsbewegingen noemt men de ontbindingssnelheden van P. De wer-

kelijke beweging van P kan gedurende een oneindig klein tijdsverloop als rechtlijnig eenparig worden beschouwd; ont-^{men deze} beweging in twee bewegingen, dan zijn de snelheden van P bij zijn ontbindingsbewegingen tevens de ontbindingssnelheden van P op dat oogenblik.

Als op een zeker oogenblik van een punt P de snelheid nul is, en de versnelling wordt voorgesteld Joor de lijn AB, dan zou, indien de versnelling noch in grootte noch in richting veranderde, de beweging van P te ontbinden zijn in twee eenparig versnelde bewegingen (zie § 8). De versnellingen van P bij deze ontbindingsbewegingen noemt men nu, ook als de werkelijke versnelling verandert, de ontbindingsversnellingen van P op dat oogenblik.

De bewegingstoestand van een punt wordt bepaald door de richting en de grootte van zijn snelheid. Indien grootte en lichting der snelheid voortdurend dezelfde blijven, dan zegt men dat de bewegingstoestand van het punt niet verandert. Ondeigaat een van beide of beide een wijziging, dan zegt men dat de bewegingstoestand verandert.

Laat het punt P (fig. 5) zich op den tijd t seconden in A bevinden en een snelheid hebben van c eenheden, welke in

bewegingstoestand van P niet veranderde nadat het in A is gekomen , dan zou het j seconden later in C zijn, als .4 C = c 5 centimeters. Zoo nu P zich na j seconden werkelijk in D bevindt, dan noemt men de lijn C L de deviatie, die P ondergaat in de 5 seconden, volgende op den tijd t.

Zooals hierboven reeds is opgemerkt, kan de werkelijke beweging' van P ontbonden worden in een eenparige langs de lijn A B met de snelheid c eenheden, en in een rechtlijnige eenparig versnelde met de aanvangssnelheid nul, die P in j seconden van C naar D brengt. De grenswaarde van de versnelling bij deze laatste beweging, als 5 kleiner en kleiner wordt genomen, noemt men de deviatieversnelling van P in .4.

Indien de beweging van een punt volkomen bekend is, Fig. 6. ^^{an 111611} op ieder oogenblik

Laat, om een voorbeeld te nemen . het punt P een eenparige beweging hebben met een snelheid c eenheden langs den omtrek van een cirkel met een straal r centimeters.

Laat zich op den tijd t seconden bevinden in A (fig. 6) en j seconden later in li, dan is boog A B = c 5 centimeters. Indien de bewegingstoestand van P niet veranderde, zou P na j seconden aangekomen zijn in C, als .4 C = e j centimeters. Daar P na j seconden werkelijk in B is gekomen, is C B de deviatie, die P in deze 5 seconden heeft ondergaan. Legt P den weg C B af met een eenparig versnelde beweging met de aanvangssnelheid nul en de versnelling a eenheden, dan is :

De grenswaarde waartoe a nadert als j kleiner en kleiner wordt genomen, kan op de volgende wijze gevonden worden.

De grenswaarde van den hoek, dien C B maakt met A M is nul; de grensrichting van C B is dus de richting van A M.

Heeft een punt P een eenparige beweging met de snelheid c eenheden langs den omtrek van een cirkel, welks straal r centimeters lang is, dan heeft zijn deviatie versnelling _cj

van den straal naar het middelpunt toe. De deviatieversnelling heeft dus standvastige grootte, maar veranderlijke richting. Daar zij steeds gericht is naar het middelpunt toe. wordt zij gewoonlijk de centripetaalversnelling genoemd.

Ook dan wanneer een punt F een rechtlijnige beweging heeft, spreekt men van zijn deviatie. In dat geval kan men de deviatieversnelling eenvoudiger op de volgende wijze vinden. Onder de gemiddelde versnelling van een punt P met

rechtlijnige beweging gedurende eenig tijdsverloop, verstaat men de versnelling, die een punt met eenparig versnelde beweging zou moeten hebben, opdat zijn snelheid in datzelfde tijdsverloop met hetzelfde bedrag zou toenemen als die van F.

Is een punt P met rechtlijnige beweging op den tijd t seconden in yl, en neemt zijn snelheid in de eerstvolgende j seconden toe met c eenheden, dan is zijn gemiddelde ver-

snelling zal veranderen met den duur van het tijdsverloop j. De grenswaarde, waartoe de gemiddelde versnelling nadert, als het tijdsverloop j kleiner en kleiner wordt, noemt men de versnelling op den tijd t; zij is gelijk aan de deviatieversnelling van P in A. Gedurende een oneindig klein tijdsverloop toch, kan de versnelling slechts een oneindig kleine verandering ondergaan, en de beweging mag voor dit tijdsverloop als eenparig versneld worden beschouwd.

Als voorheelden zullen behandeld worden de drie vroeger in ^ A behandelde bewegingsvergelijkingen, en de daaruit gevonden snelheden op den tijd t, in de veronderstelling, dat in elk dier gevallen de beweging rechtlijnig is.

De gemiddelde versnelling is onafhankelijk van het tijdsverloop j, en de deviatieversnelling heelt dus standvastige grootte.

Is de beweging van een punt P bekend, dan kan men door berekening op ieder oogenblik de deviatieversnelling in

richting en grootte bepalen. Omgekeerd kan men de beweging van P vinden. als zijn bewegingstoestand op eenig oogen-blik, en zijn deviatieversnelling van oogenblik tot oogenblik bekend zijn.

Laat een punt P dat zich in A (fig. 7) bevindt, een snelheid u eenheden hebben voorgesteld door de lijn AB- laat zijn standvastige deviatieversnelling a eenheden bedragen en

de richting A X hebben; laat eindelijk a de hoek zijn, dien A B maakt met A X. Daar de deviatieversnelling standvastig is in grootte en richting, kan de beweging van P voor een willekeurig tijdsverloop ontbonden worden in een eenparige beweging langs de lijn A B met de snelheid u eenheden, en in een eenparig versnelde langs de lijn AA' met de aanvangssnelheid nul en de versnelling a eenheden. De eenparige beweging kan wederom ontbonden worden in twee eenparige bewegingen . een langs de lijn A X met de snelheid c = u cos st eenheden, en een langs de lijn A Y met de snelheid v — u sm a eenheden. Daar de eenparig versnelde beweging en eene der eenparige ontbindingsbewegingen in dezelfde richting plaats hebben, kan men deze twee ontbindingsbewegingen tot. één samenvoegen, en wel

tot eeu eenparig versnelde beweging, langs de lijn AA met de aaavangssnelheid c eenheden en de versnelling a eenheden.

Is het punt op den tijd nul in A, dan kan de plaats D, waar het zich l seconden later bevindt, gevonden worden, door eerst den weg A C— x — ct-^-^at¹ op de lijn AX af te zetten, daarna uit C' een lijn evenwijdig aan A Yte trekken, en daarop af te zetten een stuk C D = y = vt.

Is P in D aangekomen, dan is de snelheid bij zijn ontbindingsbewegingquot; in de richting A AT w_x — c at, en die bij zijn ontbindingsbeweging in de richting A Y Wy — v. Zijn

werkelijke snelheid is derhalve volgens § 10 w =1/ iv*'¹ i'J.j¹. en de hoek 5, dien de richting der snelheid w met A X

zijn dus voldoende om op ieder willekeurig oogenblik de plaats en de grootte en richting der snelheid van P te vinden.

Door t uit de twee eerste vergelijkingen (11) te eleminee-ren, verkrijgt men de vergelijking:

waaruit men voor een willekeurige waarde van j de bijbe-hoorende waaide van x kan vinden. Uit deze vergelijking kan men vinden het geheel der plaatsen, die het punt P bij zijn beweging kan innemen, derhalve de baan van P. Deze baan is een kromme lijn, parabool genoemd (fig. 8). Men kan zich voorstellen dat de beweging, die Pin A heeft, de voortzetting is van een vroegere beweging. De vergelijkingen (11) gelden ook voor die vroegere beweging; t moet dan echter negatief worden, d. w. z. die vergelijkingen hebben dan betrekking op den tijd t seconden vóór den tijd nul, toen P in A was.

was tie ontbindingssnelheid van I' in de richting A X nul, en was dus de ontbindingssnelheid c langs A Y de werkelijke snelheid van P. De plaats T waar /'zich dan bevindt, heet

de top van den parabool, en de lijn, die door den top evenwijdig aan X wordt getrokken, de as der parabool. Valt het punt .1 samen met T, dan gaat vergelijking (12) over in;

uit welke vergelijking de baan van P op eenvoudige wijze kan worden geconstrueerd.

Kepler toonde aan, dat de beweging welke de planeten, van de aarde uit gezien, te midden van de vaste sterren

hebben, op eenvoudige wijze te verklaren is. als men aanneemt dat de zon stilstaat, dat elke planeet zich in een ellips beweegt, terwijl het middelpunt der zon in een der brandpunten van die ellips staat, en dat de aarde zelve een planeet is. Hij stelde drie wetten op aangaande de beweging der planeten. Uit deze wetten leidde Newton de deviatieversnelling der planeten af. Hij vond dat ten allen tijde de richting der deviatieversnelling van een planeet is de richting der lijn, die haar met het middelpunt der zon verbindt, en dat de grootte der deviatieversnelling omgekeerd evenredig is met het kwadraat van haar afstand tot het middelpunt der zon. Newton zocht de oorzaak hiervan in een zekeren invloed, dien de zon op de planeten zou uitoefenen, en kwam tot het besluit, dat elk lichaam onder dien invloed een deviatieversnelling zou krijgen, welker grootte omgekeerd evenredig is met het kwadraat van den afstand van het lichaam tot. het middelpunt der zon.

Ook de beweging der maan te midden van de vaste sterren is te verklaren, als men aanneemt, dat zij zich in een ellips beweegt, terwijl het middelpunt der aarde in een dei-brandpunten staat. De deviatieversnelling der maan heeft ten allen tijde de richting van de lijn, die haar met het middelpunt der aarde verbindt, terwijl de grootte omgekeerd evenredig is met. het kwadraat van haar afstand tot het middelpunt der aarde.

Indien men de deviatieversnelling van een lichaam, dat zich in de nabijheid van de oppervlakte der aarde beweegt, vergelijkt met de deviatieversnelling der maan, dan blijkt het dat die versnellingen zich omgekeerd verhouden als de kwadraten der afstanden van het lichaam en van de maan tot het middelpunt der aarde. De aarde oefent dus op eenig lichaam een invloed uit overeenkomstig met dien, welken de zon uitoefent. De aarde zal dus ook haar invloed doen gevoelen op de zon evenals de zon op de aarde.

Newton stelde nu de hypothese, dat twee willekeurige slollelijke punten P en Q op elkander een invloed uitoefenen, dat tengevolge daarvan elk dier punten een beweging krijgt; dat de richting van de deviatieversnelling van P de richting is der lijn die P en Q verbindt van P naar Q, dat de richting

van de deviatieversnelling van Q de richting is der lijn die P en Q verbindt van Q naar P, en dat de grootte dér deviatieversnelling van P evenals die van Q omgekeerd evenredig is met het kwadraat van den afstand van P tot Q. De grootte der deviatieversnelling van P kan intusschen zeer veel verschillen van die van Q; dit is bijv. het geval bij zon en aarde-

Vergelijkt men de deviatieversnelling van een planeet bij een bekenden afstand tot de zon met die der maan bij een eveneens bekenden afstand lot de aarde, dan blijkt bet dat deze twee versnellingen zich niet verhouden in omgekeerde reden van de kwadraten der afstanden van planeet tot zon en van maan tot aarde. Indien een lichaam op denzelfden afstand van de zon geplaatst was, waarop de maan zich van de aarde bevindt, dan zou zijn deviatieversnelling vele malen grooter zijn dan die der maan. De deviatieversnelling van een stoffelijk punt Q onder den invloed van een stoffelijk punt P is dus niet alleen van den afstand dier punten afhankelijk.

Dit heeft geleid tot de invoering van het begrip massa of hoeveelheid stof van een stoflelijk punt. Men beoordeelt de massa van een stoflelijk punt P naar de deviatieversnelling, rlie een willekeurig punt Q, dat zich op zekeren afstand van P bevindt, onder zijn invloed verkrijgt; men stelt de massa van P evenredig met de grootte dier deviatieversnelling bij den afstand één

Men kan nu de massa's van twee hemellichamen, bijv. van zon en aarde, met elkander vergelijken. Neemt men bij benadering aan dat de banen van de aarde om de zon en van de maan om de aarde cirkels zijn, in welker middelpunten zon en aarde staan. dan kan deze vergelijking op eenvoudige wijze geschieden.

Zij Z de massa der zon, A de massa der aarde; zij R de straal van de aardbaan, r de straal van de maanbaan, T de omloopstijd van de aarde om de zon en t die van de maan om de aarde; zij eindelijk c de snelheid en p de deviatieversnelling der aarde, v de snelheid en q de deviatieversnelling der maan. dan is:

Voert men in deze vergelijking de bekende waarden van ü, /•, 7quot; en lt; in, dan vindt men dat de massa der zon ongeveer 321000 maal zoo groot is als de massa der aarde.

Tot nog toe is het moeilijk de massa's van twee willekeurige lichamen op aarde te vergelijken door hun invloed op andere lichamen na te gaan. Men volgt een minder recht-streeksche methode, die hier echter niet zal worden uiteengezet, waarbij men gebruik maakt van de balans. Er wordt aangenomen dat men de massa's van twee lichamen weet te vergelijken.

Als eenheid van massa wordt aangenomen het gram, dat is het duizendste gedeelte der massa van een stuk platina, dat te Parijs wordt bewaard.

De loopbanen dei' planeten zijn geen zuivere ellipsen; vooral de maanbaan wijkt van den ellipsvorm af. Die afwijking is hel gevolg daarvan, dat de maan niet alleen den invloed van de aarde, maar ook dien van de zon en van de overige planeten ondervindt.

Er moet dus onderzocht worden, wat er gebeurt met een punt S, dat onder den invloed is van twee stoftelijke punten P en Q. Blijkens de waarneming wordt dan de deviatieversnelling van ü in richting en grootte voorgesteld door de diagonaal van het parallelogram, waarvan de omliggende zijden in richthg en grootte voorstellen de deviatieversnellingen die S volgens de hypothese van Newton zou verkrijgen, indien

liet onder den invloed van P alleen en van Q alleen was. Wanneer 1' en Q met 6' op dezelfde rechte lijn zijn gelegen en aan dezelfde zijde van S, dan leert de waarneming dat de deviatieversnelling van de som is van de deviatieversnellingen, die S volgens die hypothese zou krijgen als het zich onder de inwerking van 1' alleen en van () alleen bevond. Wanneer 1' en O met S op dezelfde rechte lijn zijn gelegen, maar ter weerszijden van S, dan leert de waarneming dat de deviatieversnelling van S het verschil is van de deviatieversnellingen, die S zou krijgen als het zich onder de inwerking van I' alleen en van Q alleen bevond, en dat zij de richting heeft van de grootste versnelling.

Is S nog onder de inwerking van een derde punt R, dan leert de waarneming, dat de deviatieversnelling van wordt voorgesteld door de diagonaal van het parallelogram, waarvan de eene omliggende zijde voorstelt de deviatieversnelling, die het onder de inwerking van 1' en O samen, de andere omliggende zijde die, welke het onder de inwerking van R alleen zou verkrijgen.

Aanvaardt men de hypothese van Newton, dan geven de waargenomen verschijnselen het middel aan de hand om de deviatieversnelling te bepalen van een punt onder den invloed van een willekeurig aantal andere punten.

Omgekeerd is men, uitgaande van de hypothese van Newton en van bovenstaanden uit de waarnemingen afgeleiden regel, in staat geweest nagenoeg alle bewegingsverschijnselen die zich in het planetenstelsel voordoen te verklaren.

Wanneer de bewegingstoestand van een punt verandert, dan schrijft men die verandering toe aan een oorzaak; men zegt, dat. op het punt een kracht werkt.

Indien een punt in rust is of een rechtlijnige eenparige beweging heeft, dan werkt er dus geen kracht op; omgekeerd, indien op een punt geen kracht werkt, dan is het punt in rust of het heeft een rechtlijnige eenparige beweging. Is de beweging van het punt kromlijnig of rechtlijnig veranderlijk, dan werkt er een kracht op.

een punt P dat oorspronkelijk in rust is, een rechtlijnige beweging van A naar B verkrijgt, clan zegt men dat er een kracht op werkt van standvastige richting. Onder de richting der kracht verstaat men dan de richting, waarin P zich gaat bewegen. Men zegt dat de kracht langs de lijn A B werkt.

Krijgt het punt P bovendien een eenparig versnelde beweging, ondergaat dus zijn snelheid in onderling gelijke tijdsverloopen onderling gelijke vermeerderingen, dan kent men aan de kracht ook een standvastige grootte toe.

De grootte van de kracht, die aan een punt P, dat oorspronkelijk in rust is, een rechtlijnige eenparig versnelde beweging geelt, wordt bepaald door de massa van P en dooi de versnelling van P. Zij wordt evenredig gesteld met die massa en met die versnelling.

Is de beweging van P rechtlijnig niet eenparig versneld, dan werkt op P een kracht van standvastige richting. maai veranderlijke grootte.

Krijgt P een kromlijnige beweging, dan werkt er een kracht op, waarvan in het algemeen zoowel de grootte als de richting van oogenblik tot oogenblik verandert.

Heeft een punt P een willekeurige beweging, en bevindt het zich op eenig oogenblik in A, dan wordt de kracht die op P werkt als het in A is. bepaald door de massa van P en door de deviatieversnelling van P in A. Onder de richting der kracht verstaat men dan de richting der deviatie-versnelling; de grootte der kracht wordt evenredig gesteld met de massa van P en met de grootte der deviatieversnelling.

Heelt P een massa m gram, en is zijn deviatieversnelling als het in A is, ci eenheden , dan is het aantal krachtseenheden K van de kracht, die in A op P werkt.

Als eenheid van kracht wordt aangenomen de kracht, die aan een punt met de massa van één gram de versnellingseenheid geeft.

Indien een punt een massa m gram en in A een deviatie-versnelling van ei eenheden heeft, dan werkt er in A een kracht van A' dynamen op, als:

Heeft een punt met de massa m gram een eenparige cirkelvormige beweging, dan is zijn centripetaalversnelling —

als c zijn snelheid en r de straal van den cirkel is. Op het punt moet dan voortdurend een kracht werken, welke de richting heeft van den straal naar het middelpunt toe, en de

In de practijk wordt veel gebruik gemaakt van een andere krachtseenheid, het gewicht van een gram. ïen onrechte wordt deze krachtseenheid gewoonlijk gram genoemd ; beter zou het zijn haar gramgewicht te noemen. Hel gramgewicht is gelijk aan 981,2 dynamen.

Daar men aan een kracht grootte en richting toekent, kan zij door een lijn A B voorgesteld worden. De lengte der lijn geelt de grootte der kracht aan; de richting der lijn de richting van de kracht, terwijl een op de lijn aangebracht pijltje den zin aangeeft, waarin de kracht werkt.

in de !twee versnellingen a, en a₂ eenheden, voorgesteld door de lijnen A C en A D, als figuur AC BI) een parallelogram is.

Indien de massa van P m gram bedraagt, dan werkt langs de lijn A B een kracht K = ma dynamen. Deze kracht worde voorgesteld door A E. Om aan P een versnelling te geven voorgesteld door de lijn A C', is er een kracht K_t — ma_ldynamen noodig, werkende langs A C; deze kracht worde voorgesteld door A F.

Om aan P een versnelling te geven voorgesteld door de lijn AL, is er een kracht K₁ = ma_i dynamen noodig, werkende langs AD; deze kracht worde voorgesteld door A G.

De krachten A', en A'₂, die aan het punt P de ontbindingsversnellingen a, en «, zouden geven, worden de ontbindings-krachten van K genoemd; men zegt dat men de kracht K in de krachten K, en A', heeft ontbonden.

De figuur A F E G is een parallelogram. De driehoeken B A C en E A F toch zijn gelijkvormig, daar L B A C —

Heeft het punt P oorspronkelijk niet de snelheid nul, dan blijft hetzelfde betoog geldig. De kracht toch die op het punt P werkt, wordt steeds beoordeeld naar de deviatieversnelling van P. Men kan aannemen dat de deviatie afgelegd wordt met een eenparig versnelde beweging, waarvan de aanvangs-snelheid nul is. Daar de versnelling dier beweging in twee versnellingen kan worden ontbonden, zoo kan ook de kracht op de bovengenoemde wijze in twee krachten worden ontbonden.

Men mag dus steeds een kracht K ontbinden in twee krachten A', en A'_;, indien de lijn, die de kracht K in richting en grootte voorstelt, de diagonaal is van het parallelogram beschreven op de lijnen, die de krachten A, en A₂voorstellen, en wel de diagonaal, waarvoor deze lijnen de omliggende zijden zijn.

Volgens de hypothese van Newton (§ 13) oefenen twee stoffelijke punten P en Q een invloed op elkander uit. Is de massa van P m gram. die van Q m, gram. is hun afstand

Door de invoering van het begrip kracht kan nu de hypothese van Newton in een korteren vorm gebracht worden. Zij luidt dan:

Twee willekeurige punten P en Q trekken elkander aan met een kracht, waarvan de grootte evenredig is met de massa's van P en Q, en omgekeerd evenredig met het kwadraat van hun afstand.

Ook dan wanneer een punt P onder den invloed is van twee punten Q, en kunnen de verschijnselen, die zich blijkens de waarneming voordoen, door de invoering van het begrip kracht in korter woorden worden uitgedrukt.

Zij a, de door de lijn A C (fig. 9) voorgestelde deviatieversnelling die P zou verkrijgen als het alleen onder de werking van Q₁ was. «₂ de door de lijn A 1) voorgestelde deviatieversnelling, die P zou verkrijgen als het alleen onder de werking van Q₁ was, dan stelt volgens § 13 A B de deviatieversnelling a voor, die P blijkens de waarneming werkelijk verkrijgt, • indien figuur ACBD een parallelogram is. Is m gram de massa van P. dan is de onder den invloed van Q_t op P werkende kracht ma, dynamen; zij worde voorgesteld door de lijn A F; de onder den invloed van 0₂op P werkende kracht is ni a₂ dynamen; zij worde voorgesteld door de lijn A G. Is figuur AF G E een parallelogram, dan ligt £ op de lijn A B en stelt de lijn A E in richting en

grootte de kracht groot ma dynaraen voor, tlie aan P de versnelling a, voorgesteld door de lijn AL, zou geven.

Wanneer op een punt P, onder den invloed van twee punten Q en Q_t twee krachten K en K, werken, dan verkrijgt men de kracht R, die op P werkt tengevolge van den invloed van Q en Q₁ samen, door een parallelogram te beschrijven op de lijnen, die in richting en grootte de krachten K en A', voorstellen; de diagonaal, waarvoor deze lijnsn de omliggende zijden zijn, stelt dan in richting en grootte de kraclit R voor.

Men zegt, dat men de krachten K en K_t heeft samengesteld , dat R de resultante is van K en K,, en dat K en A', de composanten zijn van R.

Indien de krachten K en A', langs dezelfde lijn in dezelfde richting werken, dan is de resultante R gelijk aan de som van K en A',, en werkt langs diezelfde lijn in diezelfde richting.

Indien de krachten K en A, langs dezelfde lijn in onderling tegengestelde richtingen werken, dan is de resultante R gelijk aan het. verschil vaii A en A,, en werkt langs diezelfde lijn in de richting der grootste kracht. Zijn in dit geval A' en A', even groot, dan is de resultante nul. Men zegt dan dat de krachten A en A, elkanders werking opheffen , of dat zij met elkander in evenwicht zijn.

Uit hetgeen in de vorige § omtrent het ontbinden v.quot;(' een kracht is bewezen, blijkt dat de kracht li, die de resultante is van A en A',, ook in de krachten K en A', zou kunnen ontbonden worden, indien de kracht R op P werkte, tengevolge van den invloed door eenig ander punt op P uitgeoefend. Voor de uitwerking op het punt P is het dus onverschillig of A' en AT, de composanten, dan wel de ontbindingskrachten zijn van de kracht R.

Laat de krachten A, en A'₂ voorgesteld worden door de lijnen A B en 4 C (fig. 10), die een hoek a met elkander maken, en de resultante K door de lijn AD, die met AB en A C hoeken f₁ en Oj maakt. Daar ABCL een parallelogram is, vindt men de volgende betrekkingen;

Werken op het punt P drie krachten , K_l, 7r₂. dan kan men eerst de resultante R van K en K_x door constructie vinden; en daarna op dezelfde wijze de resultante van R en A'_s. Op dezelfde wijze kan men verder gaan als er meer dan drie krachten op het punt P werken.

Zooals vroeger is opgemerkt, tracht men het bestaan van krachten te verklaren uit de aanwezigheid van stoffelijke punten; daarbij is men er toe gedrongen geworden aan te nemen, dat als het punt P op het punt Q een invloed uitoefent, steeds ook Q een invloed uitoefent op P-, en welzoo-danig, dat als tengevolge van dien invloed op Q een kracht werkt van zekere grootte en richting, ook op P een even groote kracht werkt in tegengestelde richting. Men zegt dat de werking gelijk is aan de terugwerking. Voorbeelden hiervan zijn de aantrekking die zon en aarde, de aantrekking of afstooting die twee magneetpolen, de drukking die twee lichamen op elkander uitoefenen.

Verder neemt men aan, indien het punt P onder den invloed van meer punten zich bevindt, dat men altijd de resultante kan afleiden uit de composanten door de constructie van het parallelogram, ook al maakt men omtrent de werking

tusschen de stoffelijke punten geheel andere onderstellingen als Newton deed om tot de verklaring van de bewegingsverschijnselen in het planetenstelsel te komen.

Een kracht K kan steeds ontbonden worden in drie krachten werkende langs lijnen, die niet in hetzelfde vlak liggen; daartoe is slechts noodig, dat de lijn die de kracht K voorstelt, de diagonaal is van hot parallelopipedum beschreven op de lijnen, die de ontbindingskrachten voorstellen. en wel de diagonaal, waarvoor deze lijnen de omliggende ribben zijn.

Indien de drie lijnen, waarlangs de ontbindingskrachten zullen werken, loodrecht op elkander staan, en indien men de hoeken kent, welke deze lijnen maken met de lijn die de kracht K voorstelt, dan kan de grootte der ontbindingskrachten op eenvoudige wijze worden berekend.

pipedum zijn; de lijn A E stelt de kracht K voor; de lijnen AU, AC en A D stellen de ontbindingskrachten A', K_ï en iv, joor. Maken deze lijnen met de diagonaal hoeken x, ,9 en y, dan bestaan blijkens de figuur de betrekkingen ;

Evenzoo kunnen drie krachten, werkende langs lijnen die niet in hetzelfde vlak liggen, tot een resultante worden samengesteld. De lijn, die de resultante voorstelt, moet dan zijn de diagonaal van het parallelopipedum op de lijnen be-

schreven, die de composanien voorstellen, en wel de diagonaal, waarvoor deze lijnen de omliggende ribben zijn.

Indien de drie lijnen, waarlangs de composanten werken, loodrecht op elkander staan, dan kan de diagonaal van het rechthoekig parallelopipeduru, beschreven op de lijnen die de composanten voorstellen, en dus de grootte en richting dei-resultante, op eenvoudige wijze worden berekend.

Laat (fig. 11) de lijnen AB, AC en AD de krachten A',, A'j en A',, en de lijn A E de resultante K van A', , A₂en A'₃ voorstellen, dan bestaan blijkens de figuur de betrekkingen :

Uit het bovenstaande wordt de methode afgeleid tot het berekenen van de grootte en de richting der resultante van een willekeurig aantal op een punt werkende krachten.

Laat O (fig. 12) de plaats zijn van een punt P waarop willekeurige krachten A',, A₂, Aquot;., enz. werken. Men brengt

die coördinatenassen worden genoemd. De richtingen van O naar X, van O naar 1' en van O naar Z worden positief, die van 0 naar A', , van O naar F, en van O naar Z, worden negatief genoemd. De lijnen, waarlangs de krachten K₁, A'₂, K₃ enz. werken, maken hoeken a,, a₂, a₃ enz. met het positieve gedeelte der X as, ,9, , /5₂, p₃ enz. met het positieve gedeelte der Y as, en y_l, '/_i, 73 enz. met het positieve gedeelte der Z as.

Elk der krachten A',, A'₂, K₃ enz. kan ontbonden worden langs de drie coördinatenassen. Bij deze wijze van ontbinden kent men aan de ontbindingskrachten een teeken toe. Men noemt een ontbindingskracht langs de lijn X Xi positief, als zij werkt in de richting van O naar X, negatief,als zij werkt in de richting van O naar X_t. Hetzelfde geldt voor de ontbindingskrachten langs de lijnen Y Y, en ZZ,.

De ontbindingskrachten van A', zijn A', cos a,, K_l cos /5,, A', cos •/,; evenzoo die van A₂ A₂ cos a₂, A'₂ cos /3₂, A₂ cos 7₂enz. Alle ontbindingskrachten langs de Aas werkende hebben een resultante K_r, die gelijk is aan de algebraïsche som der krachten. Dus;

Az = A, cos «j -f- A₂ cos a₂ enz. = 2 (A cos a) Evenzoo voor de Y as en de Z as-:

K,j = K_l cos -j- A₂ cos (5₂ -|- enz. = 2 (A cos /5) Kz = Aj cos v, A₂ cos 7₂ enz. = 2 (A cos 7), De krachten K_x, Ky, AV kunnen worden samengesteld tot een resultante;

terwijl de lijn, waarlangs de resultante K, werkt, met de coördinatenassen hoeken a₀, p₀, 7,, maakt, die gevonden kunnen worden uit de vergelijkingen:

Bovenstaande vergelijkingen gelden ook dan, wanneer een of meer der hoeken «, /5 en 7 stomp zijn. Was bijv. a, een stompe hoek, dan zou de richting van de ontbindingskracht A, cos a, die van de A as zijn van O naar A_t; zij zou in de 2 (A cos a) met het negatieve teeken moeten voorkomen;

,^c.⁰i^sh1^lusi ^{van een} stompen hoek negatief is. zoo zou (lit weikelijk het geval zijn.

looJreH,Ï^en *' ^ ^ '' ^(lie. ^eeni^^e quot;j» maakt met drie onderling oodiechte assen mogen met willekeurig gegeven worden Tus-schen die hoeken bestaat de gemakkelijk aan te wijzen betrek-

§ 19. Arbeid door een kracht verricht. Indien een punt P zich verplaatst heelt van A naar C

een kracht K op werkt langs de lijn A B, dan zegt men dat de kracht K arbeid heeft verricht. Deze arbeid wordt bepaald door de grootte der kracht en dooide projectie A D van den afgelegden weg A C op de lijn A B. Is de richting van A naar D dezelfde als die der kracht, dan noemt men den verrichten arbeid positief; is de richting van A naar i) tegengesteld aan die der kracht, dan noemt men den verrichten arbeid negatief.

De projectie A D wordt de in do richting der kracht afgelegde weg genoemd. Men kent aan dezen weg een teeken toe, en wel een positief of een negatief teeken.' al naarmate de weg is afgelegd in de richting der kracht of in tegengestelde richting. ^{B c}

Men stelt, den arbeid evenredig met de grootte der kracht en met den weg in de richting der kracht afgelegd. Is dus de kracht A dynamen, en is de door P in de richtino- van A afgelegde weg l centimeters, dan is het aantal arbeids-eenheden van den arbeid :

Als eenheid van arbeid wordt aangenomen de arbeid, dien een kracht van één dynaam verricht, als haar aangrijpingspunt zich één centimeter in haar richting verplaatst. Een kracht van K dynamen, wier aangrijpingspunt zich l centimeters in haar richting verplaatst, verricht dan een arbeid van 4 = KI arbeidseenheden. Hierin kan l positief of negatief zijn; in het eerste geval is A positief, in het tweede negatief.

In de practijk wordt veel gebruik gemaakt van een andere arbeidseenheid, den kilogrammeier; dat is de arbeid, dien het gewicht van een kilogram verricht, als bet aangrijpingspunt dier kracht zich één meter in haar richting verplaatst. De kilogrammeter is 981,2 X 10⁵ maal zoo groot als de ergoon.

Indien de kracht K veranderlijke grootte en richting heeft, bepaalt men de som der arbeiden , die bij eenzelfde verplaatsing van P verricht zou worden door een kracht K', welke telkens na een zeer klein tijdsverloop dezelfde richting en grootte heeft als K, en zoekt de grenswaarde van deze som, als dit tijdsverloop kleiner en kleiner wordt genomen.

Is de richting der kracht voortdurend loodrecht op de richting der beweging, dan is de door de kracht verrichte arbeid nul.

op een punt P dat zich verplaatst heeft van A naar Ji. en laat Ko de resultante dier krachten zijn. dan is langs elke willekeurige lijn;

Ko COS a₀ = 2 {K COS a) = K₁ COS a, • K₂ COS aj -f- . . . . -f-—f- Kn COS Xn •

Men kieze de lijn A X zoodanig, dat zij door A en li gaat, en late uit B loodlijnen neer op de lijnen, langs welke de

Nu zijn l₀, ^ ... In de door het punt P in de richting dei-kracht afgelegde wegen; elk der producten KoL, K_i ... A,i In is dus de grootte van den arbeid, door de daarin voorkomende kracht verricht bij de verplaatsing van het punt P van A naar B.

De arbeid door de resultante verricht is gelijk aan de som der arbeiden verricht door de composanten.

De arbeid door een kracht verricht is gelijk aan de som der arbeiden verricht dror de ontbindingskrachten.

Indien een stoffelijk punt door de omstandigheden, waarin het verkeert, in staat is een kracht negatieven arbeid op zich te laten verrichten, dan zegt men dat het arbeidsvermogen bezit.

sleld met het bedrag van den negralieven arbeid, dien hel punt op zich kan laten verrichten.

Men zegt dat een punt P de eenheid van arbeidsvermogen bezit, als het de negatieve eenheid van arbeid op zich kan laten verrichten.

In de praktijk wordt dikwijls gebruik gemaakt van een andere eenheid van arbeidsvermogen, de zoogenaamde statische eenheid van arbeidsvermogen, dat is het arbeidsvermogen van een punt, hetwelk den negatieven arbeid van één kilogrammeter op zich kan laten verrichten.

Een punt P, dat een zekere snelheid bezit, heeft ten gevolge van die snelheid arbeidsvermogen.

Laat P zich in C' bevinden en een snelheid c eenheden hebben in de richting CD. Als nu op P een kracht van K dynamen gaat werken langs de lijn CD van D naar C', dan verkrijgt P een rechtlijnige eenparig vertraagde beweging. Daar P zich dan beweegt in een richting tegengesteld aan die dei' kracht K, zoo laat het de kracht K negatieven arbeid verrichten: P bezit dus arbeidsvermogen. Om de grootte van dit arbeidsvermogen te bepalen, moet het bedrag gezocht worden van den negatieven arbeid, dien K kan verrichten.

eenh. De tijd, waarna de snelheid van P nul wordt, en K dus geen negatieven arbeid meer verricht, kan gevonden worden uit de vergelijking:

Het arbeidsvermogen, dat P bezit tengevolge van zijn snelheid, noemt men zijn arbeidsvermogen van beweging.

Elk stoffelijk punt, waarop een kracht werkt, en dat zich in de richting dier kracht kan verplaatsen zonder dat de kracht ophoudt te werken, heeft dientengevolge arbeidsvermogen.

Laat het punt P zich in C' bevinden en een snelheid c eenheden hebben in de richting CD; laat. er verder een kracht van K dynamen op werken, langs de lijn CV in de richting van C naar 1). Als nu op P langs de lijn C'Z* een kracht A', gaat werken, die even groot is als K in de richting van JJ naar C, dan zijn de krachten K en A', in evenwicht, en P krijgt een eenparige beweging langs CD in de richting van C naar JJ; het beweegt zich dus in de richting tegengesteld aan die van A', , en de kracht A', verricht daarbij negatieven arbeid, zonder dat de snelheid van P verandert. P bezit dus arbeidsvermogen, omdat er de kracht K op werkt. Het arbeidsvermogen, dat een punt bezit tengevolge van een kracht die er op werkt, noemt men zijn arbeidsvermogen van plaats.

Het bedrag van den negatieven arbeid, dien A', verrichten kan, hangt af van den weg, waarover P zich in de richting der kracht K kan bewegen, voordat die kracht K ophoudt op P te werken. Daar dit bedrag in vele gevallen niet kan worden bepaald, beschouwt men gewoonlijk slechts het bedrag van de verandering, die het arbeidsvermogen van plaats van een punt P ondergaat.

Indien op P een kracht werkt van A'dynamen , en het zich l centimeters in de richting dier kracht heeft verplaatst, dan is het arbeidsvermogen van plaats van P met KI ergisten verminderd, daar de negatieve arbeid, dien de kracht Aquot;, clan zou kunnen verrichten, met A7ergonen afgenomen is. Werkt op P een kracht van A' dynamen en verplaatst het zich l centimeters in de richting tegengesteld aan die van A'j dan is het arbeidsvermogen van plaats van P met KI ergisten toegenomen, daar de negatieve arbeid, dien de kracht A',

In het algemeen, als op een punt P een kracht K werkt, en het beweegt ztch zoodanig dat K een positieven of negatieven arbeid van A ergonen verricht, dan zal het arbeidsvermogen van plaats van P met A ergisten verminderd of vermeerderd zijn.

K₀ lo — A j 11 —|— K.n 1% .... —1— Ka l,i volgt, dat als op P werkt een kracht Ku , die de resultante is van de krachten K₁, Ju .... K„, bij een willekeurige verplaatsing van P de verandering in zijn arbeidsvermogen van plaats gelijk is aan de som van de veranderingen in arbeidsvermogen van plaats, die P bij diezelfde verplaatsing tengevolge van de inwerking van elk der composanten zou ondergaan.

En ook: als op P werkt een kracht K, dan is bij een willekeurige verplaatsing van P de verandering in zijn arbeidsvermogen van plaats gelijk aan de som van de veranderingen in arbeidsvermogen van plaats, die het bij dezelfde verplaatsing zou ondergaan onder de inwerking van elk der ontbindingskrachten van K.

Een punt kan gelijktijdig arbeidsvermogen van plaats en arbeidsvermogen van beweging hebben.

Bevindt zich het. punt P met de massa m gram in A (fig. 16), heeft het een snelheid van c eenheden in de richting AB, en werkt er op een kracht van K dynamen langs Fiy. 16. de lijn A B in de richting van A naar B, dan verliest het arbeidsvermogen van plaats, maai¹ het wint arbeidsvermogen van beweging. Heeft P zich s centimeters verplaatst van A naar B, dan is zijn verlies aan arbeidsvermogen van plaats As ergisten. Daar P een eenparig versnelde

De vermeerdering van het arbeidsvermogen van beweging van P is gelijk aan de vermindering van zijn arbeidsvermogen van plaats.

Werkt op P een kracht in de richting tegengesteld aan die der snelheid van P. dan kan op dergelijke wijze aangetoond worden, dat de vermindering van het arbeidsvermogen van beweging gelijk is aan de vermeerdering van het arbeidsvermogen van plaats.

gisten; is de door P in de richting der kracht afgelegde weg A C s centimeters lang, dan is zijn arbeidsvermogen van plaats verminderd met A's er-gisten.

Daar de deviatieversnelling van P standvastig is, kan volgens § 12 zijn beweging ontbonden worden in een eenparige beweging langs A r en een eenparig versnelde langs A X. Voor deze laatste

Ook in dit geval is de vermeerdering van.het arbeidsvermogen van beweging van P gelijk aan de vermindering van zijn arbeidsvermogen van plaats.

Heeft de kracht K veranderlijke grootte en richting, dan kan men zich den geheelen duur der beweging in zoo kleine deelen verdeeld denken, dat gedurende zulk een tijdsverloop de kracht als standvastig kan worden beschouwd. Gedurende zulk een tijdsverloop is dan de som van het arbeidsvermogen van beweging en liet arbeidsvermogen van plaats van P standvastig; dus ook voor den geheelen duur der beweging.

Dit is een bijzonder geval van de wet van het behoud van arbeidsvermogen, welke in de natuurkunde zulk een groote rol speelt, en waarvan ook in de mechanica dikwijls gebruik gemaakt wordt.

Sommige beschouwingen in de mechanica worden veel eenvoudiger door de invoering van het begrip het moment eener kracht K ten opzichte van een rechte lijn 0 0,. De groote belangrijkheid van dit begrip voor de mechanica zal intusschen eerst kunnen blijken bij de behandeling der vaste lichamen.

Zij A (fig. 18) de plaats waar zich het stoffelijk punt P bevindt, en K een kracht, die op P werkt langs de lijn A B. P wordt ook wel het aangrijpingspunt van de kracht K ge-

noemd. Men late uit A een loodlijn A O neer op de rechte lijn 0 0,, die voortaan de as zal genoemd worden. Men ont-binde de kracht K langs drie onderling loodrechte lijnen, en wel langs de loodlijn 4 7 op de as O O,, langs de lijn A Z, die uit A evenwijdig aan de as O O, wordt getrokken, en langs de lijn AX, die loodrecht wordt getrokken op het vlak gaande door het punt A en de as 0 0,. Noemt men de hoeken die A B maakt met de lijnen AX, A T en AZ, a, /3 en ■/_rdan zijn de ontbindingskrachten langs deze drie lijnen respectievelijk :

Het moment van de kracht K wordt evenredig gesteld met de grootte der ontbindingskracht van K langs de lijn A A', die loodrecht staat op het vlak gaande door het aangrijpingspunt van K en de as 0 0,, en met de lengte der loodlijn

uit het aangrijpingspunt van K op de as O O, neergelaten. Is M liet aantal momentseenheden, en is de loodlijn AO r centimeters lang, dan heeft men:

Als momentseenheid wordt aangenomen het. moment van een kracht A', welker ontbindingskracht langs een lijn loodrecht op het vlak gaande door haar aangrijpingspunt en do as, de grootte heeft van één dynaatn, terwijl de loodlijn uit haar aangrijpingspunt op de as neergelaten één centimeter lang is.

Is de grootte van de kracht K dynamen , maakt de lijn waarlangs zij werkt, een hoek a met de loodlijn op het vlak gaande door hel aangrijpingspunt van K en de as 0 0,, en is de loodlijn uit het aangrijpingspunt op de as neergelaten r centimeters lang, dan is het aantal momentseenheden van liet moment van K ten opzichte van de as 0 0_t: M = r K cos «.

Men kent aan het moment van een kracht K ten opzichte van een as 0 0, een teeken toe. Ziet men langs de as in de richting van O, naar O, en verkrijgt het punt JP, indien het zich in de richting der kracht K gaat bewegen om de as O O,, een begin van draaiing in den zin van den horloge-wijzer , dan noemt men het moment van K ten opzichte van de as 0 0, positief; verkrijgt P een begin van draaiing in den zin tegengesteld aan dien van den horloge wijzer, dan is het moment van A' ten opzichte van de as 0 0, negatief. In ieder geval wordt het moment uitgedrukt door r K cos 'j , want bij een draaiing in den zin tegengesteld aan dien van den horloge-

Indien het punt P deel uitmaakte van een vast lichaam om de as 0 0, draaibaar (fig. 19), dan zou P een cirkelvormige beweging hebben. Om den arbeid te bepalen dien de kracht K verricht, indien de voerstraal van P een oneindig kleinen hoek doorloopt van 5» rarlialen, kan men opmerken dat de arbeid door K verricht, gelijk is aan den arbeid verricht door de ontbindingskracht K cos a, daar bij de beweging van P de richtingen der ontbindingskrachten K cos p en A'cosy voordurend loodrecht zijn op de richting der beweging.

Daar de ontbindingskraclit K cos a voortdurend in de richting der beweging van P werkt. heeft de door haar verrichte arbeid de grootte:

Het moment van A' ten opzichte van de as O 0₁ is ; M = A' cos a . yl O, dus: 91 = Mf.

Men verkrijgt dus het aantal ergonen onder deze omstandigheden door de kracht A verricht, als men het aantal momentseenheden van het moment van A' ten opzichte van de as O Oj vermenigvuldigt met het aantal radialen van den oneindig kleinen hoek f door den voerstraal van P doorloopen.

Is K (fig. 18) de resultante van eenige krachten A', , A'₂ ....A'„ op P werkende, dan is volgens het vroeger verklaarde :

Bovenstaande vergelijking geldt ook dan, als een of meer der hoeken « stomp zijn. Was bijv. a₂ een stompe hoek, dan zou het moment. A'₂ cos a₂. A O van A'₂ ten opzichte van de as 0 0, negatief zijn, en in de 2 (K cos a. A O) met het negatieve teeken moeten voorkomen. Daar de consinus van een stompen hoek negatief is, zoo zou dit werkelijk het geval zijn.

Deze vergelijking wordt de momentenvergelijking genoemd. In figuur 18 kan de kracht K ook in verschillende krachten A', , A'₂... K_n worden ontbonden. Het is gemakkelijk in te zien, dat ook dan de momentenvergelijking geldt, en dus dat het moment van een kracht ten opzichte van een as gelijk is aan de som van de momenten der ontbindingskrachten ten opzichte van diezelfde as.

het moment van een kracht ten opzichte van een as wordt eenvoudiger, indien de lijn waarlangs de kracht werkt, gelegen is in het vlak, dat door het aangrijpingspunt der kracht loodrecht op de as wordt gebracht. Zij (fig. 20) O het snijpunt van de as en dit vlak, en A B de lijn waarlangs de kracht K werkt op het punt P, dat zich in A bevindt. Het moment van A' ten opzichte van de as O O, is dan M = K cos a. A O. Laat men uit het punt O een loodlijn OB neer op de lijn AB waarlangs de kracht A werkt, dan is blijkens de figuur de lengte l dier loodlijn;

In dit geval spreekt men van het moment der kracht K ten opzichte van het punt O, en men verkrijgt het aantal momentseenheden door het aantal dynamen der kracht te vermenigvuldigen met het aantal centimeters van de loodlijn, die uit O wordt neergelaten op de lijn waarlangs de kracht werkt.

het in r_ust _was ^ een beweging geven' langs A B. Deze beweging kan beschouwd worden als een begin van draai-') 'ⁿ8 bi den zin van

in den zin tegengesteld aan dien van den llmf' ^draaiiDg In liet eerste geval noemt k\ i'⁰'loge wijzer om O.. opzichte van een 'pllnt'po'r 'f ^ ^{llet m0ment dei}' kracht ten Hel moment J quot;L _k quot;d T. ' 'T* •***■ gelegen in de lijn '**

Het tïlOïYlGYlt VCIH ePY! hvnnh f t •» gelijk aan de mn der nrnZtaiquot;quot;'quot;' ' quot;quot; gt;quot;quot;quot; ⁰krachtm ten opzichte van hetzelfde „Jaquot;

teeken^worden gequot;!»,quot;quot;quot;quot;'quot;quot; quot;quot;quot; ^,let toekomend

P-l O bevindr van de lijnen ^ ^{n n}' quot;aro„ .ie, werken, men steeds kan bepalen hef ^{gs (lle} krachten

dynamen der resultante mei het lantalT 'r ^{het aantal}het punt O verwijderd is van de liii ' quot;t ^lmete,'^s' waarop werkt. De momentenvergelijkmo kaa ^^arian^ ^ resultante

andere kent. Is s {KI) gelijk nul, clan moet of K., of l₀ gelijk nul zijn. Kan men derhalve een punt 0 vinden, ten opzichte waarvan de som der momenten van de op P weiken-de krachten gelijk nul is, dan gaat de lijn, waarlangs de resultante werkt, door 0, en de richting der resultante is dan de richting van A naar 0 of van O naar A.

Tn de vorige afdeeling werden de lichamen steeds beschouwd als stofTelijke punten, hetzij omdat de afmetingen zoo klein waren, dat zij konden verwaarloosd worden, hetzij omdat er alleen sprake was van de beweging van lichamen in hun geheel, zonder dat er acht geslagen werd op het verschil in de beweging der afzonderlijke deelen. Voortaan wordt van deze vereenvoudiging afgezien. In deze afdeeling zullen behandeld worden zoodanige lichamen, of lichamen onder zoodanige omstandigheden, dat het noodig is de plaats door een deel ingenomen, te onderscheiden van de plaats door een ander deel ingenomen.

De natuurkundigen stellen zich voor, dat ieder lichaam is opgebouwd uit zeer kleine deeltjes, moleculen genoemd, die elkander niet aanraken, maar door tusschenruimten, poriën, van elkander gescheiden zijn. Bovendien dringen de warmte-verschijnselen er toe aan te nemen, dat de moleculen in aanhoudende beweging zijn. Van de banen der moleculen weet men bijna niets. Men mag aannemen, dat bij vaste lichamen de moleculen zich met zeer groote snelheden bewegen langs gesloten banen van uiterst geringe afmetingen, zoodat zij telkens op dezelfde plaats terugkomen, waar zij geweest zijn. Maar bij vele beschouwingen komt de beweging der moleculen niet in aanmerking, en wordt het werkelijke

lichaam in onze voorstelling vervangen door een ander, waarvan de moleculen in rust zijn, en zich bevinden op de gemiddelde plaatsen, die zij bij haar beweging innemen.

In de werkelijkheid is men in staat van elk lichaam het volume te veranderen, en dus de afstanden te wijzigen tus-schen de gemiddelde plaatsen der moleculen. Men kan zich evenwel ook voorstellen een lichaam, waarvan de moleculen niet alleen in rust zijn, maar ook hun onderlinge afstanden onder geen voorwaarde kunnen wijzigen. Dergelijke vaste lichamen worden daarom absoluut vaste lichamen genoemd; en alleen de zoodanige zullen behandeld worden. Wanneer men de beschouwingen over de absoluut vaste lichamen wil toepassen op werkelijk bestaande lichamen, dan moet steeds in aanmerking genomen worden dat zulks alleen geoorloofd is, als de werkelijke lichamen onder zoodanige omstandigheden verkeeren, dat de deelen geen merkbare afstandsverandering ondergaan, en als het niet noodig geacht wordt rekening-te houden met de beweging der moleculen, d. w. z. met de warmteverschijnselen, die zouden kunnen optreden.

Men neemt daarbij dan aan, dat er zoo noodig tusschen de punten van het lichaam krachten werken, die de afstanden dier punten onveranderd houden. Omtrent deze krachten worden slechts twee veronderstellingen gemaakt:

2° dat wanneer P een werking — hetzij aantrekkend hetzij afstootend — ondergaat van Q, Q een even groote werking in tegengestelde richting ondervindt van P, m. a. w., dat ook bij deze krachten werking gelijk is aan terugwerking. Deze krachten worden inwendige krachten genoemd, in tegenstelling van uitwendige krachten, dat zijn zoodanige krachten, die optreden door den invloed van punten, geen deel van het beschouwde lichaam uitmakende.

Men zegt dat de bewegingstoestand van een lichaam niet verandert, als de bewegingstoestand van elk zijner punten onveranderd blijft. Dit laatste zal steeds het geval zijn, als de uit- en inwendige krachten op elk punt werkende in evenwicht zijn. Indien op verschillende punten van het lichaam uitwendige krachten werken, en deze zoodanig zijn, dat zij tengevolge van het onderling verband der punten, geen in-

vloed hebben op de beweging van het lichaam , dan zegt men, dat de uitwendige krachten op het lichaam werkende in evenwicht zijn.

Onder de massa van een lichaam verstaat men de som van de massa's der stoflelijke punten, waaruit het lichaam bestaat. Zijn de massa's der stoffelijke punten m,, dan is

Is een lichaam opgebouwd uit deelen met de massa's ni,, m₂ , m₃ .... enz. en zijn de afstanden dier massadeelen tot

enz., dan verstaat men onder het massa-middelpunt van het lichaam het punt, waarvan de afstanden tot deze drie vlakken zijn tiCo, yo, *-ds

De afstanden tusschen de stoffelijke punten zijn zeer klein, evenals de afmetingen dier punten. Vandaar dat men gewoonlijk niet beschouwt de massa van elk punt afzonderlijk, maar die van een groep stolfelijke punten, welke te zamen een zeker volume innemen. Onder dit volume worden ook begrepen de tusschenruimlen tusschen de stoffelijke punten.

De gemiddelde dichtheid van een lichaam wordt bepaald door de massa van het lichaam en door zijn volume; zij wordt evenredig gesteld met. de massa die de volumeeenheid bevat. Als eenheid van gemiddelde dichtheid wordt aangenomen de gemiddelde dichtheid van een lichaam, dat in een kubieken centimeter een massa van één gram bevat. Is de massa van een lichaam rn gram en is zijn volume v kubieke centimeters,

Als de gemiddelde dichtheid van eenig volurnedeel van een lichaam dezelfde waarde heeft, hoe klein men dit volurnedeel ook neemt, dan zegt men dat het lichaam een standvastige dichtheid heeft; men noemt het lichaam dan homogeen.

Onder de soortelijke massa van een stof verstaat men de massa van een kubieken centimeter dier stof.

Noemt men de volumedeelen waarin men een homogeen lichaam kan verdeelen i,, i.₂ , i₃ en is de soortelijke massa van de stof', waaruit het lichaam bestaat y, dan is m, = 7 i, m, — v i₂ .. .. m_n — 7

Vervangt men in bovenstaande vergelijkingen voorliet massamiddelpunt de waarden van m door de hier gevondene, dan verkrijgt men:

. _ - i'/ix) , __ - (7iil) _ - (7is) ⁰ ~ - iy t) ^yo~ M7Ó quot;quot;quot;mTTT

Neemt men in aanmerking dat 7 als een standvastige grootheid voor het somteeken mag worden gebracht, en noemt men het geheele volume van het lichaam I, dan wordt:

De plaats van het massa-middelpunt bij een homogeen lichaam, hangt dus alleen af van den vorm van het lichaam, en niet van de stof waaruit het bestaat.

Indien op de pnnten P_l en P., van een lichaam respectievelijk de uitwendige krachten K_i en A', werken, in onderling tegengestelde richtingen langs de lijn die J³, en P» verbindt, terwijl A', en K_ï even groot zijn, dan is de beweging van het lichaam geheel dezelfde alsof de krachten A, en A, er niet op werkten. Het is toch klaarblijkelijk dat A, en K,_lgeen invloed op de beweging van het lichaam kunnen hebben, zonder dat de afstand van P₁ en i³, een verandering ondergaat. Men zegt, dat de krachten A, en K₁ elkanders werking opheffen.

Men besluit hieruit ,tot het volgende : als op een punt P, van het lichaam een uitwendige kracht K_l werkt langs de lijn AB, en als i³, een ander punt van het lichaam is op de lijn AB gelegen, dan is de beweging, die het lichaam verkrijgt door de inwerking van de kracht A,, dezelfde als die welke het lichaam zou verkrijgen, indien op P_l geen kracht, en op P_ï een kracht A, werkte, langs de lijn AB. even groot als A, en in dezelfde richting.

Laai toch A, (fig. 22) een (Ier krachten zijn, die op het punt P_l van het lichaam werken, en laat een ander punt van het lichaam zijn, in de lijn gelegen waarlangs A', werkt. Indien nu op P„ nog bovendien twee krachten A'₂ en K₃

gaan werken, in onderling tegengestelde richtingen, langs dezelfde lijn en even groot als A',, dan zullen deze krachten geen invloed op de beweging van het lichaam hebben, omdat haar resultante nul is. Daar nu de krachten K, en A'j, zooals hierboven is opgemerkt, elkanders werking opheffen' zoo zal de invloed, dien de kracht A'₂ in aangrijpende op de beweging van liet lichaam heeft, dezelfde zijn als die van de kracht A', in P, aangrijpende.

Uit deze beschouwingen blijkt, dat de invloed, dien een uitwendige kracht heeft op de beweging van het lichaam, alleen afhangt van haar grootte, van haar richting, en van de lijn waarlangs zij werkt, en niet van het punt waarop zij werkt, of zooals men het uitdrukt, van haar aangrijpingspunt. Is dus A (fig. 22) een meetkundig punt buiten het lichaam gelegen op de lijn waarlangs K_I werkt, dan mag ook A als het aangiijpingspunt van A, worden beschouwd, mits men zich voorstelt, dat de afstand van A tot de stoffelijke punten van hel lichaam niet kan veranderen.

Indien twee in de punten P, en P₂ van het lichaam aangrijpende krachten Aquot;, en K₂ (fig. 23) werken langs lijnen, die elkander in een punt A snijden, dan kunnen de krachten A', en A₂ in P, en P₂ aangrijpende, vervangen worden dooi

de even groote krachten A'/ en A₂' aangrijpende in A. Hierbij is het onverschillig of het snijpunt A in het lichaam is gelegen of daarbuiten, mits in het laatste geval A wordt beschouwd als een meetkundig punt, welks afstand tot de stoffelijke punten van het lichaam niet kan veranderen. De beweging van het lichaam is dus dezelfde onder de werking der krachten A',' en A'j' in A aangrijpende, als onder de werking der krachten A, en A'j aangrijpende in P, en P₂. Is R' de resultante van de krachten A/ en A'j', dan heeft P'denzelfden invloed op de beweging van bet lichaam als iv', en K₁ te zamen. Men kan nu weer R' aangrijpende in A, vervangen door de even groote kracht R aangrijpende in eenig punt B van het lichaam, op de lijn gelegen waarlangs R' werkt. Op de beweging van het lichaam heeft dus ook R denzelfden invloed als A, en A'j. Daar echter onder de werking der krachten AT,' en 7\V geheel andere inwendige krachten tot stand komen als onder de werking der krachten Aj en A'₂, zoo kan R niet meer worden beschouwd als de resultante, de kracht

die in alle opzichten dezelfde uilwerking heeft als A', en A'₂. Vandaar dat men li noemt de vervangende van K_t en K,; met betrekking toch tot de beweging kan haar werking die van Aquot;, en K, vervangen.

vlak werkende krachten ten opzichte van een punt O is gelijk aan het moment van de vervangende ten opzichte van hetzelfde punt O.

Om de resultante R van twee in een punt A aangrijpende krachten Aquot;_t en A'₂te vinden, kan rnen uit de vergelijkingen :

de grootte en de richting der resultante bepalen, terwijl het punt A haar aangrijpingspunt is.

Moet echter de vervangende gezocht worden van de krachten A, en A'j aangrijpende in A_t en A₂ (fig. 25). dan zijn bovenstaande vergelijkingen niet meer voldoende.

In dit geval is er nog een vergelijking noodig. welke aangeeft, dat van al de oneindig vele krachten R, die de uit de vergelijkingen (17) en (18) voortvloeiende grootte en richting hebben, diegene wordt bedoeld, welke werkt langs de

lijn gaande door A, het snijpunt van de lijnen waarlangs A' en A₂ werken. Men kan daartoe gebruik maken van de momentenvergelijking, want van alle lijnen, waarlangs de kracht

tan zijn de grootte en de richting van de vervangende, en ae lijn langs welke zij werkt, volkomen bepaald.

§ 26. Vervanging van twee krachten langs onderling e ven wij d ig e lij n en quot;wer k end e.

Bij de boven gegeven beschouwingen is uitgegaan van de veronderstelling dat de lijnen, waarlangs de krachten werken elkander snijden. Er moet dus onderzocht worden of deze drie' vergelijkingen nog geldig blijven, indien de krachten langs onderling- evenwijdige lijnen werken.

Werken op de punten A en B (lig. 26) van een lichaam twee uitwendige krachten A', en A'₂ langs onderling evenwijdige lijnen in dezelfde richting , dan zal het op de beweging van liet lichaam geen invloed hebben, als er nog bovendien op de punten A en B twee even groote krachten Q₁ en Q₂gaan werken, langs de lijn AB in onderling tegengestelde

richtingen. De krachten K, en K., hebben dus op de beweging denzelfden invloed als de vier krachten A',, A'₂, Q, en Q, te zamen. De krachten K_l en Q, hebben tot resultante R,; de krachten A'₂ en Q₁ hebben tot resultante i?₂. De vervangende van A', en A'₂ heeft dus denzelfden invloed op de beweging als de vervangende R van R_l en R₂, en daar de lijnen, waarlangs deze laatste werken, elkander snijden, mogen de vergelijkingen (17) (18) en (19) ook ter bepaling van de vervangende van A', en A₂ worden aangewend.

Neemt men als assen aan de lijn A B en een lijn loodrecht op ylJ5, en noemt men de hoeken, die de lijnen waarlangs R_l en R, werken, maken met de lijn A B ?, en f_ï, dan gaan de vergelijkingen (17) en (18) over in;

Neemt men verder in aanmerking dat R_l de resultante is van A', en Q_l, It., die van K, en O,, dat de lijn waarlangs Q, werkt den hoek 77, die waarlangs Q, werkt den hoek o maakt met A B, terwijl a, = a₂ en Q, = Q_i, dan is;

]gt;, cos f, = K, cos «, — O, L\ sin p, = K, sin a, I\\ cos y, = A', cos a, Q_i 1,\ sin = /\', sia a,

11 cos * = (A, A₂) cos a, R sin a = (A, -f- Aj) sin a, of II — A, -f- A, a = a, = a,.

De vervangende van twee krachten, in dezelfde richting-langs onderling evenwijdige lijnen werkende, is gelijk aan haar som en heeft dezelfde richting als die krachten.

Om het punt D te bepalen, waar de lijn langs welke de vervangende R werkt, de lijn AB snijdt, kan men van de momentenvergelijking gebruik maken. Ten opzichte van eenig punt is het moment van de vervangende R gelijk aan de som der momenten van A', en R_i, of ook aan de som der momenten van Aquot;,, A'j, Q_t en Q₂. Daar nu:

De twee stukken l, en U, waarin de lijn AB dooi- het punt D wordt verdeeld, zijn omgekeerd evenredig met de grootten der krachten, die op de uiteinden van A B werken.

Vervangt men Zj door AB-—, dan vindt men voor den afstand l_l van D tot aan het aangrijpingspunt van A,:

Dit punt heet het middelpunt der krachten A, en A'₂ omdat de ligging er van onafhankelijk is van de richting dier krachten, en alleen afhangt van haar grootten en van de plaats der aangrijpingspunten van A', en A₂.

Werken er meer dan twee krachten langs onderling evenwijdige lijnen in één vlak, dan kan men eerst de vervangende Ji, zoeken van K_l en K,, daarna de vervangende J?₂ van Ji', en K₃ enz. Ook voor de vervangende van een willekeurig aantal krachten, werkende langs onderling evenwijdige lijnen in één vlak gelegen, geldt dus:

De vervangende is gelijk aan de som der krachten, en heeft dezelfde richting als deze krachten.

Het moment der vervangende ten opzichte van een in het vlak gelegen punt 0, is gelijk aan de som der momenten van alle krachten ten opzichte van hetzelfde punt 0.

Indien de krachten A', en K, werken langs onderling evenwijdige lijnen in onderling tegengestelde richtingen, kan men op dezelfde wijze als hierboven te werk gaan. Er blijkt dan (fig. 27) dat als K_l en /v, even groot zijn, de lijnen waarlangs de resultanten It_[ en werken, steeds onderling gelijke hoeken maken met de lijn AB, en dus ook onderling evenwijdig zijn. In dit geval kunnen K_[ en AL, niet vervangen worden door twee krachten langs twee elkander snijdende lijnen.

Hebben A', en A'₂ verschillende grootten, dan maken de lijnen waarlangs de resultanten A', en A, werken, onderling ongelijke hoeken met de lijn AB. Do krachten A, en K„ kunnen dan vervangen worden door krachten A, en A₂, werkende langs twee elkander snijdende lijnen, en in dit geval gelden dus ook de vergelijkingen (17) (18) en (19).

Neemt men in aanmerking, dat J?, de resultante is van A', en (gt;,, H_ï die van A'₂ en Q_ï, dat de lijn waarlangs Q₁werkt den hoek o, die waarlangs ()₂ werkt den hoek - maakt met A B, dat = rr a, en Q, = Q_i, dan is

Bovenstaande vergelijkingen veranderen daardoor in R cos a = (if, — JQ cos =(, Jï sin a = (A', — A'₂) sin «,

Een kracht is uit den aard der zaak steeds een positieve grootheid. Is dus A', A',, dan heeft, men:

De vervangende van twee krachten van ongelijke grootten, werkende langs onderling evenwijdige lijnen in onderling tegengestelde richtingen, is gelijk aan het verschil der krachten, en werkt in de richting der grootste.

Het punt D, waar de lijn langs welke de vervangende R werkt, de lijn AB snijdt, kan weer uit de momentenvergelijking worden gevonden. Neemt men de momenten ten opzichte van het punt D, dan is:

De twee stukken /, en , waarin de lijn A B door het punt D wordt verdeeld, zijn omgekeerd evenredig met de grootten der krachten, die op de uiteinden van AB werken. Vervangt men /, door /, -j- AB, dan verkrijgt men voor den afstand Z, van D tot aan het aangrijpingspunt van A',:

In de vorige paragraaf is aangetoond, dat men twee even groote krachten A', en A'₂ op een lichaam werkende, langs onderling evenwijdige lijnen in onderling tegengestelde richtingen, niet kan vervangen door twee krachten, werkende langs elkander snijdende lijnen; zij kunnen dus niet dooréén kracht worden vervangen. Een zoodanig stol krachten noemt men een koppel. Het vlak waarin de krachten werken heet het koppelvlak; de afstand van de lijnen, waarlangs de krachten Aquot;, en A₂ werken, heet de arm van het koppel.

Het moment van een koppel wordt bepaald door de grootte der krachten en door den arm. Het wordt evenredig gesteld met de grootte der krachten en met den arm. Is elk dei-krachten A dynamen groot, en is de arm l centimeters, dan is het koppelmoment:

Als eenheid van koppelmoment wordt aangenomen het moment van een koppel, waarvan elk der krachten één dynaam is, en dat een arm heeft van één centimeter. Is elk dei-krachten K dynamen, en is de arm l centimeters, dan is het moment van het koppel M dier eenheden, als

Men kent aan een koppolmoment een teeken toe. Indien de krachten, die het koppel vormen, aan het koppelvlak een

draaiing trachten te geven in den zin van den horlogewijzer, dan noemt men het koppelmoment positief; trachten zij het koppelvlak te doen draaien in den zin tegengesteld aan dien van den horlogewijzer, dan noemt men het koppelmoment negatief. Natuurlijk hangt dan het teeken van een gegeven koppel nog af van de plaats, welke men zich voorstelt in te nemen. Met de voeten in het koppelvlak staande, kan men zich met het hoofd óf naar de eene zijde óf naar de andere zijde van het vlak gericht denken.

Wanneer men in eenig punt A van het koppelvlak (lig. 28) een loodlijn op dat vlak opricht aan dien kant, van waaruit

aan het koppelvlak een draaiing tracht te geven in den zin van den horlogewijzer, en wanneer op die loodlijn een stuk m n wordt genomen , welks lengte evenredig is met het moment van het koppel, dan noemt men dat stuk m n in de richting van m naar n, de as van het koppel. Er zal aangetoond worden, dat de uitwerking van een koppel gelieel bepaald is door de grootte en de richting van zijn as, en dat dus de as beschouwd mag worden als de graphische voorstelling van het koppel.

groot zijn, maar in teeken verschillen, en dus de algebraïsche som der momenten nul is.

Laat KI en — Qr eenheden de momenten zijn van twee op een lichaam werkende koppels ( Qg. 29), terwijl KI = (Vis.

Men ver'enge do lijnen, waarlangs de krachten A', en Q_l werken, totdat zij elkander snijden in A, en bepale door de parallelogram-constructie de lijn A C, die de vervangende /', van A', en Q, voorstelt. Men ver-lenge evenzoo de lijnen, waarlangs

§ 28. Vervanging van koppels in één vlak werkende

Wanneer twee koppels zoodanig op een lichaam werken dat zij te zamen geen invloed hebben op de beweging van het lichaam, dan zegt men dat die koppels elkander in even. wicht houden.

Twee koppels in hetzelfde vlak werkende en met willekeurige armen, houden elkander in evenwicht, wanneer hun

momenten even

en Q., voorstelt. De lijnen A C en B L zijn even groot als gelijkstandige diagonalen van congruente parallelogrammen. Het moment van F_i ten opzichte van het punt B is volgens de momentenvergelijking iiT l — Q f', dit moment is nul, daar gegeven is Kl — Qr. De lijn, waarlangs i!_t werkt, gaat dus door B. Op dezelfde wijze toont men aan dat de lijn. waarlangs 2?₂ werkt, door A gaat. Daar R_i en Vij groot zijn, en langs dezelfde lijn A B in onderling tegengestelde richtin-Fig. 30. gen werken, liou-

den zij elkander in evenwicht; dit is dus ook het geval met de koppels K, A'₂ en Q₁ 0₂.

Uit het hier hewezene volgt, dat men een koppel K, A'₂ (fig. 30) steeds mag vervangen door een in hetzelfde vlak werkend koppel Q, 0₂, mits dit laatste hetzelfde moment heeft als het eerste. Men trekke toch door de twee willekeurige punten A en B van het lichaam, twee onderling evenwijdige lijnen, wier afstand r centimeters bedraagt. Indien langs die lijnen nog bovendien krachten gaan werken. en wel op A de even groote krachten Q, en Q₃ in onderling tegengestelde richtingen, en op B de even groote krachten

Q% en ()₄ in onderling tegengestelde richtingen, dan heeft dit geen invloed op de beweging van liet lichaam.

Hebben de krachten 0,, 0₂, en Q_k alle de grootte Q dynamen, dan werken nu op het lichaam de drie koppels A', K,, Q₁ O, en Q._t Q.,. terwijl zijn beweging dezelfde is gebleven. Is bovendien Q r —KI, dan houden de koppels Aquot;, a'₂^en Qi Qk elkander in evenwicht, omdat de som hunner momenten nul is. Het koppel A', Aquot;₂ is derhalve vervangen door het koppel O, O,, waarvan het moment gelijk is aan dat van

Werken er verschillende koppels in eenzelfde vlak met momenten M,, enz., dnn kan elk diei koppels vervangen worden door een ander, waarvan de krachten aangrijpen in twee willekeurig gekozen punten A en Ji, en werken langs gegeven onderling evenwijdige lijnen. Is de afstand dier lijnen l centimeters, dan werken langs elk dier lijnen krachten

grijpende resultanten der langs elke lijn werkende krachten, vormen dus een koppel, waarvan het moment is:

Indien derhalve eenige koppels in één vlak op een lichaam werken, dan is het moment van het vervangende koppel gelijk aan de som der momenten van de gegeven koppels.

§ '29. Vervanging van koppels in onderling even w ij d i g e vlakken werkend e.

Alles wat hierboven bewezen is, geldt ook voor koppels in onderling evenwijdige vlakken werkende.

Om dit aan te toonen behoeft men slechts te bewijzen, dat een koppel werkende in het vlak I, vervangen kan worden door een ander koppel met een even groot moment, werkende in een vlak TI evenwijdig aan vlak I, zonder dat de beweging van het lichaam verandert.

Zijn A', K,. (fig. 31) de krachten van een koppel werkende in vlak I; trekt men ergens een loodlijn A B op de lijnen waarlangs die krachten werken, dan mogen de punten A en B als de aangrijpingspunten van A'j en A'₂ worden beschouwd.

Zij C D een lijn in vlak II gelijk en evenwijdig aan A B; indien nu nog bovendien in C de krachten h'_s en A'.,, in Jj de krachten A'₅ en K₆ gaan werken, alle even groot als A', langs lijnen loodrecht op C D in onderling tegengestelde richtingen, dan houden die krachten elkander in evenwicht,

de beweging van het lichaam. De krachten K, en A'₅kunnen door R,, de krachten A, en K., door R.₂vervangen worden. Beide ver-vangenden 7J, en Ji'₂ grijpen aan in het snijpunt E der diagonalen A IJ en 11 C van liet parallelogram ABCD; zij zijn even groot, en werken langs dezelfde lijn in onderling tegengestelde richtingen;

zij zijn dus met elkander in evenwicht. De krachten A', A'₆vormen nu in vlak II een koppel, dat het gegeven koppel K, A', in vlak I vervangt.

In elk der beide vlakken mag een willekeurig koppel vervangen worden door een ander met hetzelfde moment; hiermede is derhalve geheel algemeen bewezen, dat een koppel in eenig vlak werkende, steeds vervangen kan worden door een ander, werkende in een vlak evenwijdig aan het zijne, mits het moment hetzelfde blijft.

worden vervangen door één koppel, welks moment gelijk is aan de algebraïsche som van de momenten der gegeven koppels; als vlak van het vervangend koppel mag beschouwd worden elk willekeurig vlak evenwijdig aan de gegeven vlakken.

Door de as van een koppel zijn bepaald de grootte van het moment en de stand van alle onderling evenwijdige vlakken loodrecht op de as. Hiermede is dus tevens het bewijs geleverd, dat de werking van een koppel geheel bepaald is door zijn as.

Werken twee koppels met momenten M en 3/, in vlakken die elkander snijden (fig. 32), dan kunnen zij steeds vervangen worden door twee andere koppels K K_i en QQi, waarvan de krachten werken op twee willekeurige punten A en B in de doorsnede der vlakken gelegen, cn langs lijnen loodrecht op A B getrokken. Is dc lijn A B l centimeters lang, dan is:

De krachten K en Q in /I aangrijpende kunnen tot een resultante li worden samengesteld; de krachten A', en Q, in B aangrijpende tot een resultante lt_v De lijnen, die ƒ'en J?, voorstellen, zijn de diagonalen van twee parallelogrammen, die in evenwijdige vlakken liggen, en slechts verschillen door de onderling tegengestelde richtingen der gelijkstandige zijden. De resultanten It en 7.', zijn dus even groot, en werken langs onderling evenwijdige lijnen in onderling tegengestelde richtingen; zij vormen derhalve een koppel. Het moment van het vervangend koppel is li l.

Er zal aangetoond worden, dat als op de lijnen OM en O N, die de assen der gegeven koppels voorstellen, een parallelogram wordt beschreven, de diagonaal O L, waarvoor O M en O N de omliggende zijden zijn, in grootte en richting de as van hel vervangend koppel voorstelt.

De lijn OM stelle de as voor van het koppel A'A',; zij staat dus loodrecht op vlak Ien hoeft de lengte KI centimeters;

dus loodreclit op vlak II en heeft de lengte Q l centimeters. De twee

parallelograuimen

ACDE en OMLN zijn gelijkvormig, want de hoek tus-schen de lijnen (J M en O N is gelijk aan den hoek tusschen de vlakken I en II, en bijgevolg ook aan den hoek tusschen de lijnen, waarlangs de krachten K en Q werken ; de zijden om dien hoek in het parallelogram 037 LA⁷ zijn l maal zoo lang als de gelijkstandige zijden van het parallelogram

A C 1) E. De diagonaal O L is derhalve ook l maal zoo lang als de gelijkstandige diagonaal A IJ-, zij heeft dus de grootte li l. De hoeken die de diagonaal O L maakt met de zijden O M en O A

de zijden A E en AC, bijgevolg gelijk aan de hoeken, die hel vlak van het vervangend koppel maakt met de vlakken / en ƒƒ. Hieruit volgt dat do lijn 0 7, loodrecht staat op het vlak van het vervangend koppel, dat zij dus niet alleen in grootte, maar ook in richting do as van het vervangend koppel voorstelt. Eonig koppel, welks vlak loodrecht staat op deze lijn, en welks moment zooveel eenheden hoeft als de lijn OL centimeters lang is, kan als het vervangende koppel der twee gegeven koppels beschouwd worden.

In het bovenstaande is bewezen, dat om van twee koppels op oen lichaam werkende hot vervangende koppel te vinden, men van dezelfde paralellogramconstructie mag gebruik maken, die vroeger is aangewend tot het vinden der resultante van twee krachten. Alle toepassingen nit die constructie gemaakt ter bepaling van de resultante van een willekeurig aantal op een punt werkende krachten, kunnen dus ook dienen bij het bepalen van het vervangend koppel van oen willekeurig aantal gegeven koppels.

Laat bijv. een willekeurig aantal koppels met momenten M,. M, .... Mn op een lichaam werken. Uit oen willekeurig punt O richtte men loodlijnen op do verschillende koppelvlak-ken op, neme op iedere loodlijn van het punt O af een stuk, zooveel centimeters lang als het daarbij behoorende koppel momontseenheden heeft, en' wel in die richting, van waar uit gezien het koppel aan het koppolvlak oen draaiing tracht te geven in den zin van den horloge wijzer. Die lijnon stellen dan de assen der koppels voor. Men brenge nu door O drie onderling loodrechte coördinatenassen. Men kan dan elke koppelas ontbinden langs do drie coördinatenassen. Maken de

assen, dan zijn die ontbondenen M₁ cos M, cos «,, M, cos v,.... M,, cos , Mn cos ft,,, Mn cos v_n. Do ontbondenen langs elk dor coördinatenassen hebben een rosultooronde ge-quot;lijk aan haar som, dus:

§ 31. Algemeene evenwichtsver gel ij kingen vooi' willekeurige krachten op een lichaam werkende.

die in de punten P,, P_ï.... l'n van een lichaam aangrijpen, en werken langs lijnen, die ten opzichte van elkander willekeurig gelegen zijn. Zij A een punt van het lichaam of een meetkundig punt daarbuiten, waarvan de afstanden tot de

punten van het lichaam niet kunnen veranderen. De beweging van het lichaam zal geen wijziging ondergaan, indien nog bovendien in A gaan werken ; de krachten K_l en K_x , even groot als A',, in onderling tegengestelde richtingen langs een lijn evenwijdig met die, waarlangs A, werkt; de klachten AV en AV', even groot als A₂, in onderling tegenge-

stelde richtingen langs een lijn evenwijdig met die, waarlangs A'₂ werkt, enz.

Elk der n gegeven krachten A is dan vervangen door drie krachten K, A' en Kquot;. De kracht Kquot; grijpt aan in het punt A en heeft dezelfde richting als de onmiddellijk gegeven kracht K', de twee andere K en K' voiinen te zamen een koppel. In het geheel verkrijgt men dus n krachten van bekende richting en grootte, met het gemeenschappelijk aangrijpingspunt A, en bovendien n koppels, welker momenten en assen uit de ligging van het willekeurig gekozen punt A en uit de gegeven krachten kunnen bepaald worden.

De ii krachten, in één punt /1 aangrijpende, kunnen lot een resultante Ji samengesteld worden. Van de n koppels kan men op de wijze in de vorige paragraaf uiteengezet, liet vervangend koppel bepalen. Daar een koppel niet door een kracht kan vervangen worden, een koppel en een kracht elkander dus nooit in evenwicht kunnen houden, zoo kan er slechts dan evenwicht zijn, indien de vervangende kracht en het moment van het vervangend koppel elk afzonderlijk nul zijn. De algemeene evenwichtsvergelijkingen zijn dus:

Elk dezer beide vergelijkingen sluit evenwel drie andere in zich. De algemeene uitdrukking toch voor de resultante van n in één punt aangrijpende krachten is:

en de algemeene uitdrukking voor het moment van hot vervangend koppel van gegeven koppels is;

De onder de wortelteekens staande termen kunnen als kwadraten nooit, negatief worden; Ji' en J/ kunnen dus slechts dan nul zijn, als elk dier termen afzonderlijk nul is. De vergelijkingen (21) en (22) sluiten dus de volgende zes evenwichtsvergelijkingen in zich :

moeten nu nog in ile gegevens worden uitgedrukt. Als zoodanig moeten beschouwd worden:

'2° de hoeken ,3,, •/,____a,,, fi_n, •/„, die de lijnen waarlangs de krachten werken, maken met de drie coördinaten-assen.

3° de coördinaten cc,, y₁, z_l... .x_n, ijn, ~n van de aangrijpingspunten, dat zijn de afstanden dier punten tot de drie coördinatenvlakken (fig. 3i).

lly, R_z zijn de ontbondenen langs de drie coördinatenassen van die kracht, welke de resultante der gegeven krachten zou zijn, indien deze laatste op het gemeenschappelijk aangrijpingspunt A werkten, elk langs de lijn evenwijdig aan die lijn, waarlangs de gegeven kracht werkt, en in denzelfden zin als de gegeven kracht. De grootheden R_x, R,,. Rz hebben derhalve hier volkomen dezelfde beteekenis als in § 18 de grootheden K_x, K,,, K,, namelijk:

Do in vergelijking (24) voorkomende grootheden M_x, M,j, M_: beteekenen de momenten van drie koppels, wier koppelassen met de drie coördinatenassen samenvallen, en wier samenstelling het vervangend koppel oplevert.

Men bepaalt deze drie grootheden door de as van elk der 11 koppels langs de d.iie coördinatenassen te ontbinden, en de som te nemen van de ontbondenen langs elk der coördinatenassen.

Men kan bewijzen. dat de getalwaarde van bet koppelmoment Mx even groot is als de getalwaarde van de som der momenten van de oorspronkelijk gegeven krachten ten opzichte van de as AX; hetzelfde geldt dan voor de assen A Y en A Z.

H koppels K_l K_l geleverd, dezelfde getalwaarde heeft als het moment der oorspronkelijk gegeven overeenkomstige kracht K_i ten opzichte van de as A X.

Daartoe ontbindt men elk der beide krachten van het koppel (fig. 35) in drie krachten in de richting der coördi-natenassen. In plaats van het eene koppel K_t K_i verkrijgt men dan drie koppels, waarvan de krachten zijn: K, cos a₁, K_l cos jSj en A', cos ■/,. De as van het koppel J\, cos a, staat loodrecht op de as A X, omdat deze laatste in het kop-pelvlak A B P, ligt; de as van dit koppel heeft geen ontbondene langs de lijn AX, en het moment van dit koppel levert dus geen bijdrage aan het moment Mr.

De beweging van het lichaam zal geen verandering ondei-gaan, indien er nog bovendien aan de uiteinden der lijn B D (fig. 36) twee elkander in evenwicht houdende krachten

A', cos /3,, en aan de uiteinden der lijn B E twee elkander in evenwicht houdende krachten A', cos y, gaan werken. In plaats vau twee, heeft men dan vier koppels. De in de punten A en IJ aangrijpende krachten K_l cos ,5, vormen ^en koppel, in welks vlak de as AX ligt; dit is ook hel geval met de in de punten A en E aangrijpende krachten A, cos y,.

De assen dezer twee laatsle koppels staan derhalve loodrecht op AX, en de momenten dier koppels kunnen bij de ontbinding geen bijdragen leveren aan het moment M_x.

koppels over, wier koppelvlakken beide loodrecht staan op AA', en wier assen dus langs de coördinatenas AX vallen. De momenten dier koppels y_i A, cos y, en z_i A, cos ,5, zijn derhalve de bijdragen, die het koppel A', A',' aan het moment M_x levert. De as van het eerste koppel is gericht van A naar X, die van het tweede van X naar A. De bijdrage van het eerste koppel aan het moment M_x is dus positief, die van.

het tweede koppel negatief. De geheele bijdrage van het koppel K_x Ki tot het moment M_x is dus;

Volgens liet in § 21 verklaarde is het moment van de kracht A', ten opzichte van eenige as, gelijk aan de som der momenten van haar ontbindingskrachten h\ cos a,, A', cos i,, K, cos v, ten opzichte van dezelfde as.

De momenten dier drie ontbindingskrachten ten opzichte van de as AX zijn volgens lig. 38:

in vergelijking (26) gevonden waarde van M_x'; bijgevolg heeft de bijdrage door het koppel A, K_t' geleverd tot het moment M_x dezelfde getalwaarde als het moment van de oorspronkelijk gegeven, in het punt P, aangrijpende kracht K_i ten opzichte van de as A X.

der momenten van alle gegeven krachten ien opziclite van de as A X. Zij heeft de grootte;

Daar de as A X geheel willekeurig genomen is, geldt dit bewijs evenzoo voor de assen A Y en A Z. De momenten 31,1 en M_z hebben dan de waarden :

2 (A' cos fi) - o ( 281 2 (A' cos y) = o (29) 2 {y K cos 7 — z K cos 5) — o (30) 2 (z K COS a — xK cos 7 ) = O (31) 2 (x K COS 5 — y K COS a) — O (32)

Daar het stel coördinatenassen geheel willekeurig is aangenomen , zoo moet aan vergelijking (27) tot (32) nog voldaan zijn als men willekeurige andere assen kiest. Die vergelijkingen in woorden uitgedrukt, luiden dan als volgt:

Wanneer de op een absoluut vast lichaam werkende uitwendige krachten met elkander in evenwicht zijn, dan is de som der ontbindingskrachten in elke willekeurige richting, en de som der momenten van alle krachten ten opzichte van elke willekeurige as gelijk nul.

Wanneer op een absoluut vast lichaam uitwendige krachten werken, wanneer de som der ontbindingskrachten in drie onderling loodrechte richtingen, en de som der momenten van alle krachten ten opzichte van drie onderling loodrechte assen gelijk nul is, dan is dit in iedere richting en ten opzichte van elke as het geval, en dan zijn de krachten met elkander in evenwicht.

Is aan de evenwichtsvergelijkingen (27) tot (32) niet voldaan, dan kunnen de uitwendige krachten, die op verschillende punten van een lichaam werken, in haar invloed op de beweging van het lichaam vervangen worden door een kracht, en een koppel. Deze kracht hangt, wat grootte en

richting betreft, niet af van de plaats van het punt .4; van die plaats hangt wel af de grootte en richting der as van het vervangend koppel.

Het is mogelijk dat het moment van het vervangend koppel nul is; dan is genoemde kracht de vervangende van K,.... K_B; is alleen de kracht nul, dan is het genoemde koppel het vervangend koppel van A', ....AT,,.

Het kan gebeuren dat het lichaam niet geheel vrij is in zijn beweging. Is bijv. één punt van het lichaam vast, dan is het voor het evenwicht niet noodig dat de vervangende kracht nul is, mits zij werkt langs een lijn gaande door het vaste punt. Neemt men toch het vaste punt aan als snijpunt der [coördinatenassen, dan wordt aan de vergelijkingen (27) ('28) en (29) steeds voldaan. Voor het evenwicht wordt dan alleen vereischt, dat voldaan zij aan de vergelijkingen (30) (31) en (32).

Zijn in een lichaam twee punten I\ en P., vast, dan zijn alle punten vast op de lijn die P_i en P, verbindt. Kiest men die vaste lijn als een der coördinatenassen, bijv. als de as AZ, dan is steeds aan de vergelijkingen (27) tot (31) voldaan, en voor het evenwicht wordt clan alleen vereischt, dat voldaan zij aan vergelijking (32).

Het zou ook kunnen gebeuren, dat zich in het lichaam een vaste as bevond, zoodanig dat een beweging van het lichaam langs die as mogelijk bleef. Kiest men deze as dan als as AZ, dan wordt aan de vergelijkingen (27) (28) (30) en (31) steeds voldaan, en er wordt voor het evenwicht alleen vereischt, dat voldaan zij aan de vergelijkingen (29) en (32).

Zijn eindelijk in een lichaam drie vaste punten, die niet op dezelfde rechte lijn zijn gelegen, dan is het lichaam altijd in rust, welke uitwendige krachten er ook op mogen werken.

Als op twee stoflelijke punten, deel uitmakende van een vast lichaam, twee krachten K en A', werken langs de lijn AB

die de punten verbindt, als bovendien K en K, even groot en onderling tegengesteld gericht zijn, dan is de som van de arbeiden door deze krachten bij elke willekeurige voortgaande beweging verricht gelijk nul. Zij toch A_l B_i (fig. 39) de lijn die de punten in hun nieuwen stand verbindt, dan is A_l B_l evenwijdig aan A B. De kracht K heeft den arbeid — Ks, de kracht A', den arbeid -f- A',® verricht. De som dier arbeiden is nul.

Ook indien het lichaam om een willekeurig punt ü draait, is de som der arbeiden door K en K, bij een oneindig kleine draaiing verricht gelijk nul. Gedurende de oneindig kleine draaiing toch mogen de richtingen der krachten als standvastig worden beschouwd.

Een willekeurige oneindig kleine draaiing om 0 (fig. 40) kan ontbonden worden in twee draaiingen om onderling loodrechte assen. Kiest men de assen zoodanig dat de eene as 0 0, in het vlak AUB ligt, en de andere in O loodrecht op het vlak AOB staat, dan is de som der arbeiden door de krachten K en A, verricht bij de draaiing om de as 00! nul, omdat, de krachten loodrecht gericht zijn op de verplaatsingen der aangrijpingspunten. Ook bij de draaiing om de andere as is die som nul.

Daar bij elke oneindig kleine draaiing de som der arbeiden door K en A', verricht nul is, zoo is dit ook het geval bij een willekeurige draaiing.

Welke ook de beweging zij van een lichaam, men kan haar steeds voor een willekeurig tijdsverloop ontbinden in

Het is klaarblijkelijk dat de arbeid, door een kracht verricht bij de werkelijke beweging van haar aangrijpingspunt gelijk is aan de som der arbeiden door die kracht verricht bij de ontbindingsbewegingen van haar aangrijpingspunt. Daar nu voor elk der beide ontbindingsbewegingen de som der arbeiden door K en iv, verricht gelijk is aan nul, zoo is dit ook het geval voor de werkelijke, dus voor elke willekeurige beweging van liet lichaam.

Ook dan nog geldt deze stelling, indien gedurende de beweging de krachten K en K_l van grootte veranderen. In dit geval toch kan de geheele duur der beweging verdeeld worden in deelen die zoo klein zijn, dat gedurende zulk een tijddeel de krachten als standvastig mogen beschouwd worden. Voor elk afzonderlijk tijddeel is de stelling reeds bewezen ; zij moet derhalve ook gelden voor de som van allo tijddeelen, d. i. voor den geheelen duur der beweging.

Volgens de wet van werking en terugwerking zijn de in een stelsel van stoffelijke punten werkende inwendige krachten twee aan twee even groot en onderling tegengesteld gericht. Daar tevens, zooals in § 23 is verklaard, bij een absoluut vast lichaam deze inwendige krachten steeds die grootte hebben, welke noodig is om de punten op onveranderde afstanden te houden, zoo volgt uit de boven bewezen stelling, dat bij een absoluut vast lichaam de som der arbeiden door de inwendige krachten verricht steeds nul is, hoe ook de beweging van het lichaam moge zijn, en hoe ook de inwendige krachten gedurende de beweging mogen veranderen.

Wanneer op eenig stoffelijk punt P van een absoluut vast lichaam een uitwendige kracht K werkt, dan zal de beweging van dat punt in het algemeen verschillen van die, welke het volkomen vrije punt onder de werking van de kracht K zou verkrijgen. Het eene stoffelijk punt toch kan niet in beweging worden gebracht, zonder dat de overige punten eveneens in beweging geraken, en een verandering in zijn be-

wegingstoestand is in het algemeen onafscheidelijk verbonden met veranderingen in de bewegingstoestanden der overige punten. De kracht die op het punt P blijkens zijn beweging werkt, is dus de resultante van de kracht K en van de inwendige krachten, die den afstand van P tot de overige punten onveranderd houden.

Het optreden van uitwendige krachten heeft derhalve steeds het in werking komen van inwendige krachten ten gevolge, wier grootten van de uitwendige krachten afhangen.

Kent men K, de resultante der uitwendige op P aangrijpende krachten, en I, de resultante der inwendige krachten

uitgeoefend , dan kan de beweging van P worden bepaald met behulp van de in § iiO voor een enkel stoffelijk punt bewezen stelling omtrent het behoud van arbeidsvermogen. Noemt men 81 den door de kracht K, en a den door de

begin, en —jr— dat aan het einde der beweging, dan is vol-gens vergelijking (15):

Stelt men deze vergelijking op voor elk der andere punten van het lichaam, en telt men de gevonden vergelijkingen bij elkander op, dan verkrijgt men:

In deze vergelijking beteekent 2 (a) de som der arbeiden door alle inwendige krachten verricht, welke som volgens de in de vorige paragraaf bewezen stelling steeds nul is. Men heeft dus:

van het arbeidsvermogen van beweging van alle afzonderlijke punten aan het einde der beweging. Uit bovenstaande vergelijking blijkt dus, dat de vroeger voor het stoffelijk punt gevonden wet van het behoud van arbeidsvermogen ook geldt voor een absoluut vast lichaam.

Indien de uitwendige op een lichaam werkende krachten den arbeid A ergonen verricht hebben, en het arbeidsvermogen van plaats van het lichaam dus met A ergisten is verminderd, dan is het arbeidsvermogen van beweging van het lichaam met A ergisten toegenomen.

De som der arbeiden door de inwendige krachten verricht, is zooals boven is aangetoond steeds nul. Werken dus op de punten waaruit een lichaam bestaat, alleen inwendige krachten, dan is bij elke mogelijke beweging de vermeerdering van het arbeidsvermogen van beweging van het lichaam gelijk nul. Gaat nu op dit lichaam een stel uitwendige krachten werken, die in evenwicht zijn. dan verandert daardoor de beweging van het lichaam niet. Ook dan nog is de vermeerdering van het arbeidsvermogen van beweging van het lichaam gelijk nul, en dus ook volgens vergelijking (33) de som der arbeiden dooi' de uitwendige krachten verricht.

In § 31 is aangetoond , dat elk stel uitwendige krachten op een lichaam werkende kan vervangen worden door een kracht aangrijpende in een punt A en door een koppel, welks moment en koppelvlak van de keuze van het punt A afhangen. Men kan nu steeds het aangrijpingspunt van de vervangende kracht zoodanig kiezen, dat het koppelvlak loodrecht staat op de lijn waarlangs de vervangende werkt, de koppelas dus met die lijn samenvalt. Om dit te bewijzen wordt het punt A (fig. 41) als snijpunt der coördinatenassen gekozen. Als Z-as wordt aangenomen de lijn waarlangs de

vervangende li werkt, en als vlak X Z het vlak, waarin de as J/, van het vervangend koppel ligt. De hoek dien deze as

Indien op het lichaam nog een koppel werkte , welks as langs de Z-as viel en de grootte had il7j = — JA sm gt;■ dan zou de as M van het vervangende der twee koppels j/ _en j/„ langs de X-as vallen. Is li de kracht van het

Is nu een punt B in het vlak X Y gelegen, en is zijn afstand tot de X-as y = — , dan kan men de kracht

R in A aangrijpende vervangen door de kracht R in B aangrijpende en een koppel, welks as iV₂ aan de bovengestelde

Hiermede is dus bewezen, dat in het algemeen elk stel uitwendige krachten vervangen kan worden door een kracht R en door een koppel 31, werkende in een vlak loodrecht op de lijn, waarlangs R werkt. In bijzondere gevallen kan of het moment 31, of de grootte van R nul zijn; zijn beide nul, dan zijn de krachten met elkander in evenwicht. Wan-

neer nu het lichaam gedraaid wordt om de lijn, waarlangs R werkt, en dus om de koppelas, dan kan de som der arbeiden door de uitwendige krachten verricht niet nul wezen, tenzij het moment M nul is; wanneer het lichaam verschoven wordt langs de koppelas, dan kan de som der arbeiden niet nul zijn, tenzij de grootte van R nul is. Indien derhalve op een lichaam een stel uitwendige krachten werken, en indien bij elke mogelijke verplaatsing de som van de arbeiden door de uitwendige krachten verricht nul is, dan zijn die krachten met elkander in evenwicht.

De toepassing van de wet van het behoud van arbeidsvermogen op het bijzonder geval dat de uitwendige krachten in evenwicht zijn, voert dus tot de volgende algemeene stelling:

Wanneer de op een absoluut vast lichaam werkende uitwendige krachten in evenwicht zijn, dan is bij elke mogelijke beweging van het lichaam de som der arbeiden door de uitwendige krachten bij een oneindig kleine verplaatsing der aangrijpingspunten verricht gelijk nul.

Wanneer voor elke mogelijke beweging deze voorwaarde is vervuld, dan zijn de uitwendige krachten in evenwicht.

De toevoeging „bij een oneindig kleine verplaatsing der aangrijpingspuntenquot; is noodig, omdat in het algemeen bij de beweging van het lichaam, de stand der lijnen waarlangs de krachten werken, verandert ten opzichte van het lichaam.

Bij een voortgaande beweging van het lichaam, wordt de som der arbeiden door de uitwendige krachten bij een oneindig kleine verplaatsing barer aangrijpingspunten verricht, verkregen door den afgelegden weg te vermenigvuldigen met de som der ontbindingskrachten in de richting der beweging. Bij een draaiing van het. lichaam verkrijgt men deze volgens § 21 door den oneindig kleinen draaiingshoek te vermenigvuldigen met de som der momenten van alle krachten ten opzichte van de draaiingsas. Daar beide sommen nul moeten zijn, zoo blijkt dat men de twee in § 31 gevonden even-wichtsvergelijkingen onmiddellijk uit het beginsel der virtu. eele verplaatsingen kan afleiden.

Indien een lichaam in beweging is, dan is de op eenig punt blijkens zijn beweging werkende kracht Q, de resultante van de gegeven uitwendige kracht K en de onbekende inwendige kracht J, welke van het verband van dit punt met de overige punten van het lichaam afhangt. Is m de massa en q de deviatieversnelling van het punt. dan is steeds Q — mq. Indien op het punt nog bovendien ging werken een kracht Q' even groot als Q, maar in tegengestelde richting, dan zouden de krachten Q', K en I in evenwicht zijn. Hetzelfde heeft plaats in elk der andere punten van het lichaam. Daar het stelsel inwendige krachten I op zich zelf in evenwicht is. zoo zullen ook de krachten K en Q' in evenwicht zijn.

Wanneer dus op elk punt van een lichaam een kracht Q' gaat werken, even groot als de kracht die op dat punt blijkens zijn beweging werkt, maar in tegengestelde richting , dan zullen de krachten Q' en de uitwendige krachten K in evenwicht zijn.

De algemeene evenwichtsvergelijkingen kunnen derhalve worden toegepast om de onbekende krachten mq, en daarmede de onbekende deviatieversnellingen der afzonderlijke stoffelijke punten te bepalen.

Evenals de wet van het behoud van arbeidsvermogen in den bijzonderen vorm van het beginsel der virtueele verplaatsingen kan worden gebruikt om de evenwichtsvergelijkingen af te leiden uil de wetten der bewegingsleer, zoo kunnen omgekeerd door middel van het hier gevonden beginsel van n'Alembert, de wetten der bewegingsleer worden teruggebracht tot de reeds vroeger gevonden evenwichtsvergelijkingen.

§ ;56 Arbeidsvermogen van beweging^- van een ronddraaiend lichaam. Traagheids moment.

Het arbeidsvermogen van beweging van een lichaam is gelijk aan de som der grootheden die het arbeidsvermogen van beweging van elk dei' punten voorstellen. Is m de massa en v de snelheid van eenig punt, dan is het arbeidsvermogen van beweging van het lichaam:

Is de beweging van het lichaam een voortgaande, dan is de snelheid van alle punten even groot; v kan dan voor het somteeken gebracht worden, of:

Wanneer de beweging van het lichaam in een draaiing om een as O bestaat, en w de hoeksnelheid is, dan is de lijnsnelheid van een punt, dat zich op den afstand o van de as bevindt:

Stelt men deze waarde van v in bovenstaande uitdrukking van het arbeidsvermogen van beweging, dan verkrijgt men:

De uitdrukking £ {m p¹) beteekent de som der producten van alle afzonderlijke massadeelen van het lichaam met de vierkanten van hun afstanden tot de as. De waarde er van is de maat van wat men noemi het traagheidsmoment van het lichaam ten opzichte van die as.

Stelt men het traagheidsmoment van het lichaam ten opzichte van de as O voor door T_u, dan is dus:

Voor het arbeidsvermogen van beweging van een lichaam, dat met een hoeksnelheid w draait om de as O, vindt men dan:

Om de wet van het behoud van arbeidsvermogen bij de draaiende beweging van ^een lichaam te kunnen toepassen, moet eerst het traagheidsmoment van htt lichaam ten opzichte van de draaiingsas worden berekend.

Indien de afzonderlijke massadeelen van het lichaam alle op denzelfden afstand van de draaiingsas O liggen, dan kan in de uitdrukking voor het traagheidsmoment de standvastige grootheid p voor het sointeeken gebracht worden, waardoor men verkrijgt:

Het traagheidsmoment van een ring of hollen cilinder met oneindig kleine wanddikte ten opzichte van zijn meetkundige as, is dus gelijk aan het product van zijn massa en het vierkant van zijn straal.

Het traagheidsmoment van een willekeurig lichaam kan als gevonden worden beschouwd, zoodra de massa p. bekend is, die een ring met den gegeven straal p zou moeten hebben, opdat zijn traagheidsmoment gelijk zij aan dat van het gegeven lichaam. Deze massa p noemt men de op den straal p gereduceerde massa van het lichaam. De grootte der gereduceerde massa hangt af van de grootte van den aangenomen straal o. Daar het product y-f¹ als traagheidsmoment van het lichaam een bepaald, standvastig getal is, zoo komt met elke waarde van p een bepaalde waarde van p- overeen. Die waarde van p, voor welke de gereduceerde massa p- ge-

lijk is aan de werkelijke massa van het lichaam, wordt de traagheidsstraal van het lichaam genoemd. Stelt men a — 1 dan wordt To = p; het traagheidsmoment stelt dus de op den straal één centimeter gereduceerde massa van het lichaam voor.

Indien een cirkel met den straal R gelijkmatig met massa is bedekt, en 7 de massa op de vlakte-eenheid is, dan is de geheele massa van den cirkel;

Verdeelt men den cirkel in concentrische ringen met de oneindig kleine wanddikte A , dan is de massa m van zulk een ring met den straal x:

m x¹ — '■It: v X^s A • Het traagheidsmoment van den cirkel is gelijk aan de som der traagheidsmomenten van alle afzonderlijke ringen, en dus :

In deze vergelijking drukt het somteeken uit, dat voor x achtereenvolgens waarden 05= A, x =2 A, x = 3 A tot a; = n A , terwijl n A — R is, gesubstitueerd, en daarna alle op deze wijze verkregen producten x? A bij elkander opgeteld moeten worden.

Om deze som te bepalen kan men zich voorstellen , dat een vierhoekige pyramide A B C (fig. 42), wier grondvlak A B een vierkant met de zijde R, en wier hoogte eveneens R is, in lagen met de oneindig kleine dikte A verdeeld is door vlakken evenwijdig aan het grondvlak.

V olgens de in § 24 gevonden vergelijkingen voor het massamiddelpunt van een homogeen lichaam heeft men, als x₀ de afstand is van het massa-middelpunt dezer pyramide tot een vlak evenwijdig aan het grondvlak door den top C gebracht:

Daar het massa-middelpunt van een pyramide gelegen is op de lijn, die den top verbindt met het massa-middelpunt van

De op den straal p gereduceerde massa van den cirkel vindt men door gelijkstelling der beide uitdrukkingen:

Stelt men in deze vergelijking p = R, dan verkrijgt men voor de op den straal R gereduceerde massa van den cirkel de waarde:

Stelt men y. — M, dan verkrijgt men voor den traagheids-straal van den cirkel;

Bovenstaande vergelijkingen gelden niet slechts voor een cirkel, maar ook roor een oneindig dunne cirkelvormige schijf; slechts beteekent dan 7 de massa in de cubieke eenheid.

Ook voor een cilinder met de willekeurige hoogte /t gelden deze vergelijkingen. Verdeelt men toch den cilinder door vlakken evenwijdig aan het grondvlak in schijfjes met de oneindig kleine dikte A , dan is de massa van zulk een schijlje

Om het traagheidsmoment te bepalen van een hollen cilinder, welks binnenste straal r, en welks buitenste straal R is, moet men hem beschouwen als het verschil van twee cilinders, en derhalve het traagheidsmoment van den binnensten ontbrekenden cilinder van dat des geheelen cilinders aftrekken. Volgens vergelijking (36) is het verschil der massa's of de massa van den hollen cilinder :

Wanneer een massa gelijkmatig is verdeeld over een rechte

lijn, in dier voege Fig. 43. (jat elke lengteeen

heid de massa 7 bevat, dan is de mas-^ sa van de lijn A B

'jig. 43), wier lengte ? centimeters is:

M='/l. Verdeelt men de lijn in oneindigkleine stukken X, dan is de massa m van zulk een deeltje;

rn = 7 gt;

en het traagheidsmoment ten opzichte van de as 0 O, van een deeltje op den afstand x dier as gelegen:

mx² = 7 ). ac²,

Het traagheidsmoment van de stang A li is gelijk aan de som der traagheidsmomenten van alle oneindig kleine deeltjes, en dus:

X _ Jt

To = 2 (cc² A )■ (40)

De uitdrukking2 (x² A) heteekent, dat men de lijn BC=R

X — O

moet verdeelen in de oneindig kleine deelen A , en de som moet nemen van alle producten xquot;¹ A , die men verkrijgt, als men aan x achtereenvolgens de waarden A,2A-.-.«A=^ geeft. Om de waarde van deze som te bepalen, kan men

/ 1 / 1 / 1 1

1 1 1

^A-ksirva,

yS \CC

1 1

! -

opmerken, dat zij den inhoud voorstelt van de pyramide in fig. 42. Men heeft dus:

en de op den straal li — Ism x, of de op het eindpunt B gereduceerde massa is:

Staat de stang loodrecht op de as 0 0,, dan is sin =t = 1, en bovenstaande vergelijkingen gaan over in:

terwijl de op het eindpunt der stang gereduceerde massa ook in dit geval een derde van de werkelijke massa bedraagt.

Bovenstaande vergelijkingen gelden niet alleen voor een lijn, maar ook voor een oneindig smalle vlakke strook; slechts beteekent dan 7 de massa op de vlakte-eenheid.

Op soortgelijke wijze als hierboven voor den cilinder is geschied, kan aangetoond worden, dat de twee laatste vergelijkingen ook gelden voor een rechthoekige plaat met willekeurige breedte, wier eene zijde langs de as ligt.

Bij de bepaling van traagheidsmomenten kan dikwijls met vrucht gebruik gemaakt worden van de twee volgende stellingen ;

Het traagheidsmoment van een lichaam ten opzichte van een ivillekeurige as O O, is gelijk aan het traagheidsmoment ten opzichte van een door het massamiddelpunt gaande as evenwijdig aan 0 O_l, vermeerderd met het product van de massa van het lichaam en het vierkant van den afstand der heide assen-, Het traagheidsmoment van een vlakke oneindig dunne plaat ten opzichte van een as, die in het punt O loodrecht staat op de plaat, is gelijk aan de som der traagheidsmomenten van die plaat ten opzichte van twee in de plaat gelegen onderling loodrechte assen, die elkander in het punt O snijden.

Zij, om de eerste stelling te bewijzen, O (fig. 44) een as loodrecht staande op het vlak van teekening, S een aan O evenwijdige as gaande door het massa-middelpunt van het lichaam. Volgens de figuur is:

r² = x² ï² en pï = (a x)¹ -(- z² = a² -i- x² -f- s² dz 2 ax- = r² a- '2 ax of To — 2! {inr'¹) -f- a² 2' {^m) dl 2a 2 {mx).

plaat en de twee onderling loodrechte assen O X en O Z gelegen zijn. Volgens de figuur is:

Uit eenige voorbeelden zal blijken hoe deze stellingen kunnen dienen tot het vinden van traagheidsmomenten.

Volgens vergelijking (42) is het traagheidsmoment van een een rechthoekige plaat ten opzichte van de as O O_l (fig. 46);

Het traagheidsmoment van die plaat ten opzichte van de aan 0 O, evenwijdige as X X, door het massa-middelpunt S gaande, is dan volgens vergelijking (43):

Het traagheidsmoment ten opzichte van de as S, die in Du. Julius, Beginselen der Mechanica. 7

het massa-middelpunt loodrecht op de plaat staat, is dus volgens vergelijking (44):

Op soortgelijke wijze als vroeger kan men aantoonen, dat deze vergelijking ook geldt voor het traagheidsmoment van een rechthoekig parallelopipedutn ten opzichte van een as gaande door het massa-middelpunt en loodrecht staande op de twee zijvlakken, wier zijden l en h, of wier diagonaal d is.

Volgens vergelijking (39) is het traagheidsmoment van de oneindig dunne cirkelvormige schijf ten opzichte van de as O (fig. 48):

Daar klaarblijkelijk Tx =T~ is. vindt men uit vergelijking (44) voor het traagheidsmoment van een cirkelvormige schijt ten opzichte van een middellijn;

verdeelt men den cilinder door vlakken evenwijdig aan het bovenvlak in schijfjes met de oneindig kleine dikte A- Is m^yrzR* A de massa van zulk een schijfje, dan is het traagheidsmoment ten opzichte van de middellijn X A',:

Is y de afstand van het schijfje tot de as 0 0,, dan is volgens vergelijking (43) zijn traagheids-momentten opzichte van de as O O,:

Voor het traagheidsmoment van den cilinder ten opzichte van de as O O, verkrijgt men dan:

Indien een lichaam een eenparig draaiende beweging heeft om een vaste as, dan volbrengt elk punt een eenparige cirkelvormige beweging, en op elk punt werkt dus de centri-petaalkracht. De krachten Q', die volgens het beginsel van d'Alembf.rt in evenwicht zijn met de uitwendige krachten — waartoe ook de weerstanden behooren, waardoor de draai-

ingsas in 'onveranderlijken stand wordt gehouden — zijn dus even groot als de centripetaalkrachten, maar werken in tegengestelde richting. Is w de hoeksnelheid van het lichaam. dan heeft de centripetaalkracht. werkende op een stoffelijk punt met de massa m en op den afstand p van de as gelegen, de grootte m p mquot; en de richting van den straal naar binnen. De kracht Q' is even groot en werkt in de richting van den

straal naar buiten. Als aangrijpingspunt dier kracht kan ook beschouwd worden het punt A (fig. 50), waarin de lijn waarlangs zij werkt, de as snijdt.

Om de werking der gezamenlijke krachten Q' te bepalen, kan men een rechthoekig coördinatenstelsel OXYZ aanbrengen , in dier voege dat het massa-middelpunt A van liet lichaam in het vlak OYZ ligt, en de draaiingsas langs de as OX valt. Ontbindt men de kracht m n w- op de in de figuur aangegeven wijze in de krachten m^y en morz, en handelt men op dezelfde wijze met de op de overige punten van het lichaam werkende krachten Q', dan verkrijgt men twee groepen van krachten, wier aangrijpingspunten alle in de draaiingsas OX liggen; de eene groep bestaat uit krachten,

in § 131 hij het afleiden der al-gemeene even--^x wichtsvergelijkingen is geschied. Men kan de kracht mt^y (fig. 51)

een kracht aangrijpende in het punt O en een koppel, welks moment moflyx is, en welks koppelas met de Z-as samenvalt. Evenzoo kan men de kracht moJz vervangen door een

kracht aangrijpende in O en een koppel, welks mo.-ment rn^rzx is en welks koppelas met de Y-as samenvalt. Handelt men op gelijke wijze met de overige krachten Q', clan verkrijgt men _x twee groepen van krachten en twee groepen van koppels. Elk der beide groepen van krachtenheeft een een resultante gelijk aan de som

der krachten; elk der beide groepen van koppels een vervangend koppel, welks moment gelijk is aan de som der momenten. In het geheel zijn er dus twee krachten en twee koppels. De grootte en richting der krachten en der koppelassen zijn in lig. 52 aangegeven.

De twee in het punt O aangrijpende krachter. A, en R_zhebben een resultante, wier richting bepaald is door de vergelijking:

^ë quot; ~ R,j quot; 2:{mijy Is M de massa van het lichaam, dan is volgens de vergelijkingen voor het massa-middelpunt 21 (mz) = Mz₀ en ■2 {^my) — My₀; bijgevolg is:

Hieruit blijkt, dat de hoek = gelijk is aan hoek SO Y in lig. 50; derhalve gaat de lijn, waarlangs de kracht R werkt, door het massa-middelpunt S van hel lichaam, en mag het massa-middelpunt als aangrijpingspunt der kracht R worden beschouwd. Voor de grootte van 11 vindt men;

Als men volgens de in § 30 gevonden regels de twee koppels voorstelt door hun assen, en deze assen:

— of 2' {rnzx) (46) en tOf, = 2' {inyj:) (47) samenstelt, dan heeft de as van het vervangend koppel de

De as van het vervangend koppel ligt in het vlak Y Z, en staat dus loodrecht op de draaiingsas van hel lichaam, de hoek, dien zij met de as O Y maakt, kan op dezelfde wijze als hoek e gevonden worden.

F en een koppel 3JÏ. De kracht R heeft de grootte, die de centripetaalkracht zou hebben, indien de massa van het lichaam in het massa-middelpunt S vereenigd was; zij werkt langs dezelfde lijn als deze, maar in tegengestelde richting. De as van het koppel staat loodrecht op de draaiingsas; haar grootte hangt af van de twee sommen 2.' (tnzx) en 2.' (myx), dat is, van de wijze, waarop de massa over het lichaam is verdeeld.

De krachten Q', en dus ook de kracht R en het koppel 9D? in de vorige paragraaf gevonden, zijn op elk oogenblik in evenwicht met de uitwendige krachten. Werken er op het lichaam geen andere uitwendige krachten als de weerstanden, die de draaiingsas in een onveranderlijken stand houden, dan kunnen die weerstanden vervangen worden door een kracht even groot als R, maar in tegengestelde richting werkende, en door een koppel, waarvan hel moment even groot is als ® , maar het tegengestelde teeken heeft.

In het bijzondere geval, dat R en W beide nul zijn, en dat dus de krachten Q' met elkander in evenwicht zijn, wordt de draaiingsas van het lichaam een vrije as genoemd. In dit geval zijn er geen weerstanden noodig om de draaiingsas in haar stand te houden; die as zou ook dan niet van stand veranderen, indien het lichaam vrij in de ruimte zweefde.

Opdat de draaiingsas O X (fig. 50) een vrije as zij, moet voldaan zijn aan de twee volgende voorwaarden:

Stelt men in vergelijking (48) voor R de waarde in vergelijking (45) gevonden , dan wordt:

De draaiingsas kan dus slechts dan een vrije as zijn, als zij door het massa-middelpunt van het lichaam gaat.

welke na substitutie der waarden uit de vergelijkingen (46) en (47) overgaan in:

van het lichaam ten opzichte van het vlak Y Z symmetrisch is verdeeld, in dier voege, dat tegenover eenig massa-deeltje m (fig. 53) op den afstand -\-x van dit vlak gelegen, zich

sadeeltje op den afstand — x bevindt. De bijdragen toch door deze twee massadeeltjes aan de som 2.' (mzx) geleverd , zijn dan m.z.(- - x) en m.z.{—x) en heffen elkander dus op; terwijl de bijdragen door hen aan de som 2 {myx) geleverd m.y.(~\- sc) en m.y.{—x) zijn, en elkander dus eveneens opheffen. Hetzelfde geldt van de bijdragen , die de overige massadeeltjes paarsgewijze aan elk dier sommen leveren. Bij elk homogeen lichaam, dat den vorm heeft van een recht prisma, is de lijn, die de massa-middelpunten der eindvlakken verbindt, steeds een vrije as. Evenzoo is bij een lichaam, dat den vorm heeft van een oneindig dunne vlakke plaat, de door het massa-middelpunt S gaande loodlijn op het vlak der plaat steeds een vrije as, daar in dit geval de factor x in alle termen der sommen £ (myx) en 2 (mzx) nul is.

Is toch de massa van het lichaam symmetrisch verdeeld ten opzichte van het vlak Y X (lig. 54), dan ligt tegenover elk -x massadeeltje m, dat aan het eerste lid der vergelijking (50) de bijdrage m.£c.(-f-:) ¹ levert, een ander

levert; en is de massa van het lichaam tevens symmetrisch verdeeld ten opzichte van het vlak 'A X (fig. 55), dan ligt tegenover elk massadeeltje, dat aan het,eerste lid der vergelijking (51) de bijdrage m.x.{-\-y) levert, steeds een ander, dat aan die som de even groote negatieve bijdrage m.x.{— y) levert. Hieruit volgt bijv. dat bij een homogeen omwentelingslichaam de omwentelingsas steeds een vrije as is.

Door middel van hoogere wiskunde kan worden aangetoond , dat er in elk willekeurig lichaam steeds drie vrije assen zijn, die in het massa-middelpunt loodrecht op elkander staan. In elk lichaam kan dus een rechthoekig coördinatenstelsel zoodanig worden aangebracht, dat elk der coördi-natenassen een vrije as is.

Een lichaam heeft een eenparig versneld draaiende beweging als het in onderling gelijke tijdsverloopen, hoe klein ook genomen, onderling gelijke vermeerderingen van de hoeksnelheid krijgt.

De hoekversnelling van een lichaam met eenparig versneld draaiende beweging wordt evenredig gesteld met de vermeerdering van de hoeksnelheid per seconde.

Als eenheid van hoekversnelling wordt aangenomen de hoekversnelling van een lichaam met eenparig versneld draaiende beweging, welks hoeksnelheid in één seconde met de hoeksnelheidseenheid toeneemt.

Neemt de hoeksnelheid in t seconden met a eenheden toe, dan is het aantal eenheden der hoekversnelling =, als;

Heeft een lichaam een hoekversnelling s, dan doorloopt eenig op den afstand o van de draaiingsas gelegen stoffelijk punt een cirkelomtrek met den straal p, en wel met een eenparig versnelde beweging; de lijnsnelheid van dit punt neemt in elke seconde met p = eenheden toe.

De kracht, die op het punt blijkens zijn beweging werkt, kan dus ontbonden worden in de centripetaalkracht m a

en in een langs de raaklijn in den zin der beweging wei-kende kracht m oz. tangentieele kracht genoemd.

Bij de niet-eenparig versneld draaiende beweging verandert de hoekversnelling van oogenblik tot oogenblik. Verdeelt men echter den geheelen duur der beweging in oneindig kleine deelen, dan kan de beweging gedurende zulk een tijdsverloop als eenparig versneld draaiend worden beschouwd. Ook dan kan dus de kracht, die op bel punt blijkens zijn beweging werkt, ontbonden worden in de cen-tripetaalkracht en in de tangentieele kracht.

Volgens het beginsel van d'Alembert moeten de krachten Q' met de uitwendige krachten in evenwicht zijn. Blijkens het hierboven aangetoonde kan elke kracht Q' ontbonden worden in een kracht m o m- . even groot als de centripetaal-kracht, maar in tegengestelde richting werkende, en een kracht mps, werkende langs de raaklijn in den zin tegengesteld aan dien der beweging. De eerste ontbindingskracht werkt langs een lijn die de draaiingsas snijdt. Is deze een vaste as, dan is de eenige evenwichtsvergelijking die, welke uitdrukt dat de som der momenten ten opzichte van de draaiingsas nul is. Noemt men kortheidshalve het moment van een der uitwendige krachten ten opzichte van de draaiingsas ni, dan heeft men:

waarin ^ST)? = ^'(m) de som is der momenten van de uitwendige krachten, en T ~ £ (m f') het traagheidsmoment van het lichaam, beide ten opzichte van de draaiingsas.

De beweging van een lichaam kan voor elk oneindig klein tijdsverloop ontbonden worden in een draaiende beweging om een as door het massa-middelpunt gaande en een voortgaande beweging; de hoeksnelheid der eerste onlbindingsbe-weging zij w, de snelheid der tweede zij u. Er wordt gevraagd het arbeidsvermogen van beweging van het lichaam te bepalen.

Men brengt daartoe door het massa-middelpunt van het lichaam drie onderling loodrechte coördinatenassen, waarvan de eene SX met de draaiingsas samenvalt, en de tweede S Z zoodanig wordt gekozen, dat de richting van de snelheid u evenwijdig is aan het vlak XZ; daarna bepaalt men het arbeidsvermogen van beweging van een punt met de massa m en op den afstand o van de draaiingsas gelegen. De snelheid van dit punt kan ontbonden worden in «o (fig. 56) en

it fig. (57). De ontbindingssnelheid «o p kan wederom ontbonden worden in w p cos S — m y en w P sin lt;? = w z; de ontbindingssnelheid u in u cos « en u sin «.

De ontbindingssnelheden van het punt (fig. 58) zijn dus; u cos at in de richting SX, — ws in de richting S Y, en u sin a -f- w y in de richting SZ. De werkelijke snelheid v kan derhalve gevonden worden uil de vergelijking;

of daar ii^l cos² a w.^s sin² a - mquot; en w² y- 'gt;gt;- z- --j- 02 is : w² = uquot; -f- f»² p² 2 m sin a . ',iy.

Daar het massamiddelpunt in het vlak X Z is gelegen is 2 (m i/) ₌ 0. Noemt men S (»!.) — de geheele massa van het lichaam — M_{, en 2 (m p-) — het traagheidsmoment ten opzichte van de door ^ het massa-middel-punt gaande draai-ingsas — T,, dan is het arbeidsvermogen van beweging

draaiende ontbindingsbeweging van het lichaam. Bovenstaande vergelijking zegt dus;

Men vindt het arbeidsvermogen van beweging van een lichaam door zijn beweging te ontbinden in een voortgaande en in een draaiende otn een door het massa-middelpunt gaande as, het arbeidsvermogen van beweging te bepalen dat het lichaam heeft ten gevolge van elk dier ontbindingsbewegingen, en de som dier grootheden te nemen.

Indien een cilinder met den straal r over een horizontaal vlak rolt, dan kan zijn beweging voor een willekeurig tijdsverloop ontbonden worden in een voortgaande met de snelheid u (flg. 59) en een ronddraaiende om zijn as met de hoeksnelheid »gt;. Een punt op den omtrek van den cilinder

De werkelijke snelheid van het punt, waar de cilinder liet vlak aanraakt is nul, anders zou de beweging geen zuiver rollende zijn. Hieruit volgt dat

Voor , de op den omtrek van den cilinder gereduceerde massa, is vroeger gevonden de waarde , dus:

Qogenblik echter is het product ^maSSa;^m,dc'^e,P^uquot;t- Op ieder den afstand van het m-.fl • _]A Vquot; ë'eheele massa met

Indien men de snelheden der afzonderlijke punten op de in de figuur aangeduide wijze ontbindt, dan zal gedurende het eerstvolgende oneindig kleine tijddeel - de grootheid x in x en de grootheid as,, in Xo -h Vo ~ overgaan. De alge-

meene vergelijking (52) geldt ook voor het einde van dit tijddeel, bijgevolg is:

Op elk oogenhlik is het product van dc geheele massa en de onthindingssnelheid van het massa-middelpunt in eenige rich ting gelijk aan de som van de producten der massa's van alle afzonderlijke punten en hun ontbindingssnelheden in diezelfde richting,

Dezelfde stelling geldt ook voor de versnellingen. Is p de ontbindingsversnelling van de massa m, en po de ontbindingsversnelling van het massa-mid ' delpunt, beide in de richting OX, dan zal gedurende het oneindig kleine tijddeel t de grootheid y in i'-}- pr, en de grootheid in v₀ -i-po ~ overgaan. Vergelijking (53) geldt ook voor het einde van dit tijddeel; bijgevolg is;

Trekt men hiervan de vergelijking (53) af, en laat men den gemeenschappelijken factor t weg, dan verkrijgt men: Mpo — 2' {nip)- (54)

en de ontbindingsversnelling van het massa-middelpunt in eenige richting gelijk aan de som van de producten der massa's van alle afzonderlijke punten en hun onthindings-versnelling en in diezelfde richting.

Met behulp van deze stelling kan de ontbindingsversnelling Po van het massa-middelpunt in de richting O X berekend worden, indien op hot lichaam willekeurige uitwendige krachten K werken. De producten nip stellen namelijk in grootte en richting de ontbondenen voor van de krachten Q, die blijkens hun beweging op de punten werken. De ontbondenen van de krachten Q' werken in tegengestelde richting. Ontbindt men de uitwendige krachten K langs drie onderling loodrechte asrichtingen, en stelt men de ontbindingskrachten in de richting O X door A' voor, dan verkrijgt men volgens het beginsel van d'Alembert de vergelijking:

Men zou dezelfde ontbindingsversnelling gevonden hebben voor een enkel stoffelijk punt met de massa M, waarop alle krachten K werkten langs lijnen evenwijdig aan die, waarlangs zij werkelijk werken. Dit is niet slechts waar voor de richting O X, maar ook voor de richtingen O Y en OZ, en derhalve voor elke willekeurige richting.

Het massa-middelpunt van een lichaam beweegt zich evenzoo alsof de geheele massa er in vereenigd was en alsof allo krachten er op werkten langs lijnen evenwijdig aan die, waarlangs zij werkelijk werken.

Deze stelling geldt, evenals het beginsel van irALEMnERT, niet slechts voor absoluut vaste licbamen, maar geheel algemeen voor elk willekeurig stelsel stoffelijke punten.

werkende uitwendige krachten steeds vervangen worden door een kracht in het massa-middelpunt aangrijpende en een koppel. In verband met het in de vorige paragraaf bewezene, kan dus steeds de versnelling van het massa-middelpunt gevonden worden; zij is namelijk :

waarin Jt de vervangende kracht, en 31 de geheele massa van het lichaam beteekent.

Daar de krachten van een koppel geen invloed hebben op de beweging van het massa-middelpunt, zoo zal de werking van een koppel bestaan in een draaiing van het lichaam om het massa-middelpunt.

De algemeene oplossing van dit geval is te moeilijk om hier behandeld te worden. Er zal dus een eenvoudiger geval worden aangenomen; er zal namelijk worden verondersteld, dat de lijn door het massa-middelpunt van het lichaam gaande en loodrecht staande op het koppelvlak een vrije as is.

Daar bij de bepaling van de ontbindingsbeweging, die het gevolg is van het op het lichaam werkende koppel, de overige ontbindingsbewegingen niet in aanmerking komen, zoo kan men aannemen dat het massa-middelpunt van liet lichaam in rust is. Stelt men zich voor dat de vrije as, die loodrecht staat op het koppelvlak, door weerstanden in een on-veranderlijken stand wordt gehouden, dan krijgt het lichaam om die as een versneld draaiende beweging met de versnelling :

waarin SDJ het koppelmoment en T het traagheidsmoment ten opzichte van jde draaiingsas beteekent. Men kan nu bewijzen dat de weerstanden, die de as in onveranderlijken stand houden, nul zijn.

Zijn de weerstanden nul, dan zijn de krachten van het koppel de eenige ■ uitwendige krachten, en moeten volgens het beginsel van d'Alembert met de krachten Q' in evenwicht zijn; en omgekeerd, zijn die krachten in evenwicht, dan zijn de weerstanden nul.

De krachten Q' kunnen ontbonden worden in krachten even groot als de centripetaalkrachten maar in tegengestelde

werkende in den zin tegengesteld aan dien der beweging. Daar de draai-ingsas een vrije as is, zijn zooals in § 39 is aangetoond de eerste ontbindingskrachten met elkander in evenwicht, en er moet dus slechts bewezen worden, dat de tangentieele ontbindingskrachten van Q' met de krachten van het koppel in evenwicht zijn.

Daartoe brenge men door het massa-middelpunt S drie onderling loodrechte coördinatenassen zoodanig aan, dat de as SX met de draaiingsas samenvalt (fig. 6'2 en 63).

dingskrachten; ontbindt men deze laatste op de in de figuur aangegeven wijze in de twee krachten msp cos a = msy en msp sin a — msz, dan blijkt dat aan de zes even-wichtsvergelijkingen is voldaan. In de richting der as S X zijn geen ontbindingskrachten; de som der ontbindingskrachten in de richting S Yis 2 {ms z) = cl (mz), die in de richting S Z is 2 (to s y) = s S (my), en daar in het vlak A' Z als in het

3)? — £ (m £ pquot;) 2 (m s y x) en 2 (m s zx) ot' 'ÜJÏ — T s s 2 (m y x) en s 2 (m z acO-

zoodat ook de sommen der momenten ten opzichte van de assen S Y en SZ gelijk nul zijn.

Daar aan de zes evenwichtsvergelijkingen voldaan is. zijn er geen weerstanden noodig om de as in onveranderlijken stand te houden, en heeft dus de ontbindingsl.quot;•weging op bovengenoemde wijze plaats.

Beknopt Overiiicht,,

* ^DK,t - , ■ - I