-ocr page 1-
DE TECHNIEK VAN HET DIFFERENTIËREN
''*\''"Vci^;*'*ï^ji'flt'feiniif'.i«if. M«ü c^»*jrt ■
' — 'tAfi^tl^^'
wiskunde B
-ocr page 2-
DE TECHNIEK VAN HET DIFFERENTIEREN
Hawex - Wiskunde B
-ocr page 3-
DE TECHNIEK VAN HET DIFFERENTIËREN
Een produktie ten behoeve van het project Hawex.
Ontwerper:                    Martin Kindt
Met medewerking van: Anton Roodhardt
Jan de Jong
Henk van der Kooy
Jan de Lange
Martin van Reeuwijk
Vormgeving:                 Ada Ritzer
© 1994 Freudenthal instituut, Utrecht
ongewijzigde 3e versie
-ocr page 4-
Inhoudsopgave
1.    Differentiëren, geknipt voor jou....................................1
2.    Differentiaalquotiënten...........................................8
3.    De produktregel...............................................14
4.    Differentiëren van machtsfuncties.................................22
5.    Kettingregel..................................................29
6.    Gebroken lineaire functies.......................................42
7.    De Quotiënt-regel..............................................47
8.    Een bekende goniometrische functie...............................53
9.    Oefeningen...................................................57
-ocr page 5-
1 Differentiëren, geknipt voor jou
In het boekje 'Differentiëren' *) heb je leren omgaan met hellingfuncties of, wat het-
zelfde is: afgeleide functies.
We frissen de begrippen en rekenmethoden die hierbij horen nu wat op. Stel dat je
met een (gewone) schaar precies langs de grafiek van een functie ƒ wilt knippen.
Tijdens het knippen verandert de schaar steeds van richting. In elk punt wordt de
'ideale kniprichting' aangegeven door de raaklijn aan de grafiek in dat punt.
Kaaklijnen
aan de grafiek van ƒ
X-Z&
De helling (of richting) van een rechte lijn in het Oxy-\\ak wordt uitgedrukt in een
getal: de hellingscoëfficiënt (of richtingscoëfficiënt) van die lijn. In de tekening zijn
de bijbehorende hellingscoëfficiënten tussen haakjes genoteerd.
x-as
*) De volledige titel luidt: Differentiëren, een manier om voanderingen bij te houden.
-ocr page 6-
-2-
Je kunt nu de hellingscoëfficiënt (van de raaklijn) van een grafiek uitzetten tegen x:
hc
n
(1)
a)
(0)
(-1)
Tx> ontstaat de hellinggrafiek bij/.
De functie die bij elke ;c-waarde de hellingscoëffïciënt (van/) geeft, is de helling-
functie of af geleide functie f'.
f' geeft dus aan hoe je bij elk punt (x, y) op de grafiek van ƒ zou moeten knippen als
je met een schaar precies die grafiek wilt volgen.
Van een aantal functies heb je geleerd hoe je snel de hellingfunctie kunt berekenen.
Het berekenen van de hellingfunctie wordt differentiëren genoemd.
Voorbeelden:
differentiëren
-► f\x) = \'2j?
-> f\x) = 5x^ + Ar
f{x) =j^ + 4x
f{x) = sinx
■> /'(jc) = co&x
In de terugblik bij dit hoofdstuk (blz. 7) vind je een volledig overzicht van de regels
voor het differentiëren die je tot nu toe hebt gehad.
-ocr page 7-
Opgaven
1. Differentieer: (raadpleeg zo nodig blz. 7)
>b.
>c.
>a.
fix)
rix)
fix)
m
m
fix)
1000x^^-10
cosjc + sin2x
2            1
4x-cos^;c
5 sinx
sinx + 5
sinOc + 5)
sinSjc
x^-n
11
3-x
2. Door een computer is de grafiek van y = x~ -I5x getekend.
100
0
100
-10                    -5                     o                      5                     10
Iemand wil met een schaar precies langs de grafiek knippen.
>a Op een gegeven moment is de schaar in het punt (5,50).
Door welk getal wordt de (ideale) kniprichting in dat punt bepaald?
>b In twee punten van de grafiek is de kniprichting evenwijdig met de jc-as.
Welke punten zijn dat?
3. Van een functie ƒ is gegeven dat, bij het knippen langs de grafiek, de schaar niet
van richting verandert.
>a Wat voor soort functie is ƒ?
>b Wat weetje van/'?
-ocr page 8-
4. Gegeven is de functie: f{x) =x^ -x^-x
>a Vul in:
X
-2
-1
0
1
2
Ax)
f\x)
>b In welke punten heeft de grafiek van ƒ een horizontale raaklijn?
>c In welk interval is de grafiek van ƒ dalend?
>d Teken de grafiek van/.
Hol en bol
Bij het knippen langs een kromme lijn verandert de kniprichting:
Wordt de hellingscoëfficiënt van de kniprichting steeds groter (t.o.v. de jc-as) dan is
de kniplijn bol naar beneden (of hol naar boven).
Wordt de hellingscoëfficiënt steeds kleiner, dan is de kniplijn hol naar beneden (of
bol naar boven).
/'(x) neemt toe
ƒ'(jc) neemt af
-ocr page 9-
-5-
Het gedrag van de draaiende raaklijn kan worden bepaald met behulp van de afge-
leide van/', dus met de tweede afgeleide/" van/. Er geldt:
/"W<0
l
f'Oc) neemt af
i
hc raaklijn
wordt kleiner
f"(x)>0
i
ƒ '(x) neemt toe
i
hc raaklijn
wordt groter
i
1
i
grafiek is hol
naar beneden
grafiek is bol
naar beneden
Een punt van overgang van hol naar bol (of omgekeerd heet buigpunt).
HOL
BOL
Buigpunten worden meestal berekend uit/"(jc) = 0.
Pas op:
als Pixp, yp) op de grafiek van/ligt en/"(jc) = O,
dan hoeft P niet persé een buigpunt te zijn.
/" moet van teken wisselen in Xp.
5. Ax)=x\
>a Losjcopuit/"(x) = 0.
>b Heeft de grafiek van/een buigpunt?
-ocr page 10-
6.    De grafiek van de functie ƒ uit opgave 4 heeft één buigpunt.
Bereken de coördinaten van dat buigpunt.
7.    Hieronder is de grafiek getekend vanfix) = sinx + | jt voor -tc < jc < 2n.
Bereken de coördinaten van de buigpunten.
9
■K
1%
-ocr page 11-
-7-
Terugblik
Regels voor het differentiëren,
a. Speciale functies:
functie
afgeleide
X ~> siax
X -^ COSX
b. Werken met een constante (c)
functie
x-^n-J^-^ (n=l,2,3,...)
;c —> cosjc
X ~> -sinjc
afgeleide
x-^f{x)-¥c
x-^c -fix)
c. Speciaal voor sinus en cosinus
functie
X -^fix)
x -> c -fix)
afgeleide
X -> sinfx + c)
X —> sincj:
.X -> COSfX +C)
X —> COSCX
d. Som- en verschilfunctie
functie
X -4 cos (X + C)
X-~^ C • C0S6X
X -^ -sin(x + c)
X -^ 'C- sincx
afgeleide
X -^f{x) + g{x)
X -^f{x) - g{x)
Stijgen en dalen
Bij het tekenen van grafieken is het vaak handig/' te gebruiken. Met behulp van/'
kun je uitvinden waar de grafiek stijgt en daalt en waar de toppen liggen.
/'W>0
f(x) = 0
f'ixXO
grafiek van ƒ stijgt in (x,...)
grafiek van ƒ heeft horizontale raaklijn in (jc,...)
grafiek van ƒ daalt in (Jt,...)
Hol en bol
/" is een maat voor de verandering van/'.
f"{x)>0
f"(x)<0
fix) neemt toe
ƒ (jc) neemt af
grafiek van ƒ bol naar beneden
grafiek van ƒ hol naar beneden.
De overgang van hol naar bol (of omgekeerd) wordt gemarkeerd door een buigr
-ocr page 12-
-8-
2 Differentiaalquotiënten
De ondertitel van het boekje 'Differentiëren' luidt: 'een manier om veranderingen
bij te houden'. Met veranderingen wordt dan bedoeld: zeer kleine veranderingen. In
dit hoofdstuk gaan we hier wat dieper op in. Als denkmodel daarbij gebruiken we
een soort machine.
Op die machine kun je naar keuze een functie instellen.
Het paneel van die machine:
De machine is ingesteld op de functie y=x^.
Met de knop x stel je een getal in, bijvoorbeeld 3.
De wijzer y slaat dan uit naar 9 (=3 ).
Een kleine verdraaiing van knop x geeft een kleine verandering van de stand van wij-
zer y.
1. >a Knop jc wordt vanuit bovenstaande situatie één streepje doorgedraaid, dus
van 3 naar 3,1.
Controleer door berekening dat de wijzer y ongeveer 6 streepjes naar rechts
zal verspringen.
>b Hoeveel streepjes verspringt de wijzer y naar links als knop x vanuit stand
3 één streepje naar links wordt gedraaid?
>c En hoe verspringt wijzer y als knop x vanuit 3 twee streepjes naar rechts
wordt gedraaid?
>d Nu is de beginstand van knop x niet 3, maar 4.
Hoeveel streepjes verspringt de wijzer y in dat geval als x één streepje naar
links of rechts gedraaid wordt?
-ocr page 13-
-9-
De verdraaiing van knopx geven we aan met Ax, de verandering van wijzer}' met Ay.
De resultaten van opgave 1 kunnen nu worden genoteerd in tabelvorm:
beginstand x
AX
Ay
(afgerond in 1 dec)
3
0,1
0,6
3
-0,1
-0,6
3
0,2
1,2
4
0.1
0,8
4
-0,1
-0,8
Uitgaande van x = 3 geldt voor 'kleine' waarden van Ax: *)
Ay is ongeveer 6 maal Ax ofwel: ^ >» 6.
2. Hoe kun je in de grafiek van y = jrde betrekking Ay 6 • Ax (voor x = 3) con-
troleren?
y=x'
)* met 'klein* wordt in dit hoofstuk steeds bedoeld: dicht bij O
-ocr page 14-
■10-
3.    Gegeven: y = x'.
Vul in:
Als X = 8    en Züc = 0,1     dan Ay <= 16 • Ax = 1,6
Als jc = 12  en Ax = 0,05   dan Ay =.........
Als x = A    en Ax = -0,01  dan Ay =.........
Als JC = -2   en Ax = -0,1   dan Ay «=.........
4.    De machine is weer ingesteld op y = jr.
Knop X wordt vanuit een zekere beginstand één streepje naar rechts gedraaid.
Het effect hiervan is dat de y-wijzer ongeveer 20 streepjes naar rechts springt.
Welke was de beginstand van knop xl
5.    De machine wordt ingesteld o^y=x'.
>a Knop X wordt vanuit stand 2 één streepje naar rechts gedraaid. Wijzer y
slaat dan ongeveer 12 streepjes naar rechts uit.
Verklaar dit met behulp van de hellingfunctie van y = jt.
>b Hoeveel streepjes slaat y uit als x vanuit stand 5 één streepje naar rechts
wordt gedraaid?
Terug naar de functie y = jr. Uitgaande van de stand x = 3, vonden we A}' = 6 • Ax.
Die benadering is beter, naarmate Ax dichter bij nul zit.
y=x^;x = 3
Ax
^y
Ax nadert
tot grens O
A}' nadert
tot grens O
-— nadert
Ax
tot grens 6
-ocr page 15-
■11-
B kruipt (over de grafiek)
van onder naar A.
Ax en A3' naderen tot 0.
Ay
-^ = hc koorde AB.
Ax
Ay
Ax
nadert tot 6.
B kruipt van boven naar A.
Ax en Ay naderen tot 0.
Ay
-i = hc koorde AB.
Ax
Ay
Ax
nadert tot 6.
B=A.
g| = hc raaklijn AB.
In de figuren (1) en (2) draait de koorde AB om het punt A.
De limietstand (grensstand) van de koorde AB is de raaklijn in A.
De hellingscoëfficiënt van de koorde is steeds ^.
De limiet (grenswaarde van j^) is de hellingscoëfficiënt van de raaklijn. Die limiet
noteren we als g|.
-ocr page 16-
-12-
Samengevat:
De hellingscoëfficiënt van de raaklijn kan willekeurig dicht worden benaderd door
het differentiequotiënt -^.
De limiet van ^ wordt vaak ook genoteerd als quotiënt, nl. g| .
Dit quotiënt wordt differentiaalquotiënt genoemd.
Het differentiaalquotiënt ^ is de hellingscoëfficiënt
van de grafiek in het punt ix,y).
Voor de functie y=jr geldt:
Alsx = 3, dan ^=6.
Alsjc=l, dan ^=2.
Alsx=10, dan ^=20.
Kortom: ^ = 2x.
Als ƒ' de afgeleide functie is van ƒ, dan geldt; g| = f'ix).
Dus bijvoorbeeld:
WooTy = j^ geldt ^=3r^.
Voor M = sin f geldt ^ = cos t.
6. Gegeven y = 0,25 x .
>a Druk g| uit in x.
>b Bereken de hellingscoëfficiënt van de grafiek van y = 0,25 x in het punt
metjc = 2.
>c Neem jc=10enAx = 0,l. Hoe groot zal Ay ongeveer zijn?
-ocr page 17-
-13-
7. Het volume V van een bol met straal r wordt gegeven door de formule:
>a Bereken ^
Een stalen bol heeft een straal van 20 cm.
Door verhitting zet de bol uit, naar alle kanten met 0.1 mm.
>b Met hoeveel cm^ neemt het volume van de bol toe?
(Bereken je antwoord op twee verschillende manieren).
Nog een nieuwe notatie.
Je weet: als y = 4j^ + l9x-7 dan ^ = ITx^ + 19.
Dit kun je één formule schrijven: ^^^^ ^^'~^^ = 12;t^ + 19
Meer gebruikelijk is:
^ [4x^ + 19jc-7] = 12x2+19
^ (spreek uit: dé-dé-iks) moetje lezen als: 'voer de handeling differentiëren uit.)
8. Bereken:
>a ^ [x^ + cosjc].
>b lllx^^-l^x^].
>d ^ [lOr^ + 20t +30 sin f].
Y=1- i X^+JL X^-SINX
2              24
FUNCTIE:
Vanuit x = 0 wordt knop x één streepje (=0,1) naar rechts gedraaid.
> Z^ de wijzer naar rechts of naar links uitslaan? Hoeveel streepjes?
-ocr page 18-
■14-
3 De produktregel
Vier functies, vier machines: A, B, C en D.
2 3
Y = X +X
FUNCTIE:
1.    Knop X wordt bij alle vier de machines op hetzelfde getal ingesteld.
De volgende twee beweringen zijn waar bij eUce instelling van jc:
-  wijzer y wijst bij C het getal aan dat de som is van de getallen, aangewezen
bij AtnB
-  wijzer y wijst bij D het getal aan dat hetprodukt is van de getallen, aangewe-
zen bij A en D.
> De eerste bewering spreekt vanzelf, gelet op de formule.
De tweede ook?
2.    Knop X wordt vanuit 2 één streepje (=0,1) naar rechts gedraaid.
>a Hoeveel streepjes ongeveer slaat de wijzer uit bij resp. A, B, C en Dl
Waar of onwaar?
>b De uitwijking van de wijzer bij C is de som van de uitwijkingen van de wij-
zers bij A en B.
>c De uitwijking van de wijzer bij D is het produkt van de uitwijkingen van de
wijzers bij A en B.
De opgaven 1 en 2 hebben betrekking op de som en het produkt van twee functies.
Eerder heb je geleerd dat je de som van twee (of meer) functies kunt differentiëren,
door termsgewijs te differentiëren.
-ocr page 19-
-15-
Bijvoorbeeld:
4 [x^ + x^]=2x + 3x^
^
Dit is ook in overeenstemming met het resultaat van opgave 2 >b.
3. Een dergelijke mooie regel geldt niet voor produkten van functies.
Bij een produkt mag je niet factorsgewijs differentiëren.
Laat zien dat bijvoorbeeld S- [x^ • x^] niet gelijk is aan 2x-3;c2
Om te komen tot een regel voor het differentiëren van een produkt van twee (of
meer) functies, kijken we eerst in drie opgaven hoe een produkt verandert als de bei-
de factoren veranderen.
4.    De gemiddelde afmetingen van een voetbalveld zijn 60 bij 100 m.
In een zeker land heeft de voetbalbond bepaald dat lengte en breedte niet meer
dan 5% hiervan mogen afwijken.
Hoeveel % wijkt de oppervlakte maximaal af?
5.    Lancering van de Satumus V-raket.
Een wet uit de natuurkunde zegt dat de
voortstuwingskracht (= F) gelijk is aan
het produkt van de massa (= m) en de
versnelling (= a).
In formule: F = ma.
Door brandstofgebruik neemt de massa
van de raket af: m is een dalende functie
van de tijd t. Ook F en a zijn functies van
t. Aanvankelijk zullen F en a toenemen,
maar later als gevolg van het opraken
van de brandstof weer afnemen.
>a Veronderstel dat in een zeker tijds-
interval de massa afneemt met 2%
en de versnelling met 1%.
Met hoeveel % is de voortstuwings-
kracht afgenomen?
>b Veronderstel dat de massa verandert
met Am en de versnelling met Aa.
Toon aan:
AF = Am-fl + m-Aa + Am-Aa
Met de S atumus V werden zes bemande > .p: ! i: ■
vluchten naar de maan uitgevoerd. Op i e i:ni
hierboven wordt een SatumusV-rakei n 1=' ■■ ■
lanceerplatform gereden
-ocr page 20-
16-
6. De verkoop van sportschoenen van het type Superrunner is afhankelijk van de
prijs. Gaat de prijs omlaag (omhoog), dan zal de verkoop stijgen (dalen).
Stel p = de prijs van een paar Superrunners enN = het door een warenhuiscon-
cern verkochte aantal per week.
De omzet per week is: R=N'p.
>a Veronderstel dat de prijs stijgt met 5% en de verkoop daalt met 2%.
Met hoeveel % verandert de omzet?
>b Bij een verandering Ap van de prijs en een verandering ê^N van de verkoop
hoort een verandering A/? van de omzet.
Toon aan: A/? = AA^- p+ N• &p + ANóp
Nu de produktregel.
Stel M en V zijn functies van x en stel y = u-v
Bij een verandering Ax van x horen veranderingen M, Av (en Ay).
Er geldt (zie ook de opgaven 5 en 6):
(1)
Au • Av
Ay = Au • V + M • Av +
Deze formule voor de verandering van een produkt kun je bij positieve waarden van
u, V, Au, Av mooi 'zien' in onderstaand plaatje:
«• Av
AM-Av
AM-V
De termen m - Av en Am - v zijn de witte staafjes in de figuur.
De term Am - Av is het grijze blokje in de hoek.
Als door een verkleining van Ax, de toename Am en Av beide bijvoorbeeld ongeveer
100 keer zo klein worden, dan worden de staaQes m - Av en v - Am ongeveer 100 keer
zo dun.
Het blokje Am - Av wordt dan in twee richtingen verkleind en ongeveer 10.000 keer
zo klein!
Daarom mag in de formule (1) de term Am • Av worden verwaarloosd en komt en
Ay « AM - v -f M - Av                    (2)
-ocr page 21-
-17-
Na deling, links en rechts door Ax komt er:
Ax Ax              Ax
(3)
De benadering is in het algemeen nauwkeuriger naarmate Ax kleiner is. In de limiet
zijn linker- en rechterlid exact gelijk:
dv
(4)
Kortom:
dy _
3]f-^+"ajc
'è
Bij het differentiëren van een produkt u • v worden beiden factoren u en v dus wèl
gedifferentieerd, maar niét gelijktijdig.
Je kunt de produktregel ook in deze vorm onthouden:
y = uix)-v(x)
dy _
g =u'(x)-v(x) + u(;k)-v'(x)
^
f
tweede factor
gedifferentieerd
eerste factt»
gedifferentieerd
7. Bekijk het schema:
y=x^ 'Xp
I       I
eerste facto' tweede factor
gedifferentieerd gedifferentieerd
> Hoe kun je controleren dat je echt de afgeleide van jp- - xr' te pakken hebt?
8. >a Neem het schema over en vul in:
y = (l+j:)-(l-x)
g =......•(l-Jc) + (l+x)
>b Hoe kun je het resultaat controleren?
9. Als y = 3 • sin jc dan ^ = 3 • cos x
Alsy = 5sinj: dan^=5-cosx
Als }' = 8i sinx dan^=8| -cosjc
enzovoort.
-ocr page 22-
-18-
lemand concludeert nu:
Als y = x-smx dan ^ = JC • cos x
Aardig gevonden, maar die vlieger gaat niet op.
De factor jc is namelijk niet constant!
>a Wat vind je voor g^ na toepassing van de produktregel?
(maak een schema als bij opgave 7 en 8).
>b Gaat de produktregel op voor het geval y = 3 - sinx?
10. Maak een schema als in de opgaven 7 en 8 bij het differentiëren van de volgende
functies.
>a y = lx^-{lx^+n)
>h y = 7x^-smx
>c y = i2 + 3x)-i4-5x + 6x^)
>d y = (2 + 3x)- cos x
11.  uix) = 5x^+1; vix) = 4x^+1; p(x) = m(x)- v(x)
Bereken op twee manieren/7'(j:):
>a met behulp van de somregel;
>b met behulp van de produktregel.
12.  >a Bereken ^ [(x^ + 2x + 3)^] voor o: =1.
>b Bereken -^ [sin^x] *) voorjc= ijt.
>c Bereken S- [(jc-sinx) ] voorjc= Atc.
13.  In het boekje 'sinus en co' heb je gezien:
S- [sin (ox)] = a • cos ax
^ [cos (ax)] = -fl • sin ax
Bereken: S- [sin 2x • cos 3x] voorx = iit.
*) sin^ X betekent (sin xf, ofwel sin j: • sin x
-ocr page 23-
-19-
14. Neem onderstaande tabel over en vul in (vereenvoudig waar mogelijk)
fix)
f'ix)
rxx)
jP-
2x
2
cos jc
X^ +COSJC
x^ -cosx
;c • sin X
jr +j:sinx
Op" + x) sin X
15. De prijs van een zeker artikel is onderhevig aan flinke schommelingen. Een eco-
noom, die de prijsbeweging heeft bestudeerd, beweert dat de prijs zich bij be-
nadering gedraagt volgens de formule:
F =100+ 45 sin ^ (ïis de tijd in dagen)
>a Tussen welke bedragen schommelt P?
Hoeveel dagen duurt één periode van die prijsbeweging?
>b Verklaar: ^ = Bticos ^
>c Het verband tussen het aantal verkochte artikelen per dag en de prijs per
stuk wordt volgens de genoemde econoom gegeven door de formule:
iV + P=160.
Tussen welke aantallen schommelt NI
>d Druk ^ uit in t.
>e LaatR de omzet op het tijdstip t zijn: R=N - P
Druk ^ uit in t.
Kt
TCf _ 4
dR
>f Toon aan: ^ = O geeft cos -^ = O of sin y? = -|
>g Schets het tekenverloop van ^ voor O < f < 30.
>h Bereken de maximale waarde die de omzet kan hebben.
-ocr page 24-
-20-
De produktregel kan worden uitgebreid voor een produkt van meer dan twee func-
ties. In schema:
y=nx)'g(x)-hix)
g =fXx)'gix)-h{x) + f(x)'g\x)-h(x) + nx)-gix)'hXx)
1
1
1
eerste functie
differentiëren
tweede functie
differentiëren
derde functie
differentiëren
16.  Je kunt bovenstaande regel vinden door twee keer de produktregel van twee
functies toe te passen.
>    Laat dit zien.
17.  >a Bereken de hellingfunctie van:
p (x) = (x2 + l)(x3 + 2)(y^ + 3)
>b Ook van
pOc)=x sinjc co&x
>c En ook van
p (x) = cos^ X
18.  Hoe luidt de produktregel voor een produkt van 4 functies,
zeg y = aix)' b(x) * cix)' d(x)7
19.  De grafiek van de functie ƒ (x) = (x - l)(x - 2)(x - 3)(jc - 4) snijdt de x-as in 4 pun-
ten.
>a Bereken de hellingscoëfficiënt van de raaklijn in elk van die 4 punten.
>b Als je opgave a goed hebt uitgerekend vind je afwisselend een negatieve en
een positieve hellingscoëfficiënt.
Licht dat toe door een ruwe schets van de grafiek van ƒ te maken.
>c Hoeveel oplossingen zal ƒ'(jc) = O hebben?
20.  Gegeven:/(x) = (2ï + 1)"*.
>     Bereken ƒ'(-1)
-ocr page 25-
-21-
Terugblik
hc grafiek ƒ
in {,x,y)
hc raaklijn
in {x,y)
f'ix)
3jc
y ^
g^ (in een zeker punt) wordt exact berekend door differentiëren (en invullen van de
j:-coördinaat).
g^ (in een zeker punt) wordt benaderd door ^ te berekenen in een klein interval
(om dat punt).
Produktregel
Laat u, V, w functies zijn van x.
Voor het differentiëren van de produkten m • v en m • v • w gelden de regels:
^[uix)-v(x)] = u'(,x)-vix) + u(x)-v'(x)
^ [u(x)' vix) • w(x)] = u'ix) v(jc) M<jc) + u(x) v'ix) wix) + u(x) v(jc) w'ix)
Kortweg:
(uv/ = m'v + Mv'
(uvw)'= m'vw + Mv'w + uvw'
Opgaven
a.    y = (l-jc) (l+x) (l+x^)
Bereken ^ voorx= 1.
b.   fOO = (1 - Jc)siiu + (1 + x)cosx:.
Laat zien dat geldt: ƒ'(x) = (2 - x)cosx - (2 + j:)sinx
-ocr page 26-
-22-
4 Differentieren van machtsfuncties
De zo zoetjes aan welbekende regel voor het differentiëren van machtsfuncties luidt:
4[y] = «y-1        (n = 1,2,3,...)
ajc
Deze regel kun je vrij gemakkelijk 'herontdekken' met behulp van de (uitgebreide)
produktregel.
Voor rt = 1 is de regel direct aan de grafiek te zien.
êc M = l
de helling is overal 1
12 3 4 5 6
Voor /i = 2, 3, 4, enz. werkt de produktregel:
^[^] = éc^x.xl
= 1 'X + x-1 = 2x
^[x^] = ^[x-x-x]         = hx-x + x-hx + xxl = 3x^
■^[x^] = -^[x-x-x-x] = IX'X-x + x-lx-x + x-x-lx + x-X'X-l = 4ar
en zo verder, en zo voort.
In dit hoofdstuk gaat het vooral over machtsfuncties met negatieve en/of gebroken
exponenten.
Dus functies als:
y=x , y=x'^, y=x ^ enz.
De vraag is nu of voor deze functies dezelfde regel van kracht is, dus of geldt:
^y = rt• yNoorn =-1, J,-2^ enz.
De eerstvolgende opgaven en stukjes theorie willen je overtuigen dat dit inderdaad
het geval is. De latere opgaven van dit hoofdstuk zijn bedoeld als oefeningen en toe-
passingen van de regel.
-ocr page 27-
-23-
dl              O
1. Voor n = -1 zou de regel betekenen: ^ [x ] = -1-JC
a Bekijk de grafiek van/(x) = x .
Meet de helling in (1,1) en in (2, i)
en ga na of de regel in die gevallen
zo'n beetje klopt.
>b Neem het interval [4,99; 5,01] en
bereken het differentiequotiënt j^
op dit interval.
>c Ga na of de uitkomst ongeveer
gelijk is aan -\x voor x = 5
Het lijkt er op of de regel ^ [^ ] = n-x""^ klopt voor n = -1.
Voor het bewijs gebruiken we het volgende principe:
~x^
2
x^ -x
Voorbeeld:
2x-x+xM=^x^
Differentieer twee vormen die aan elkaar gelijk zijn en je krijgt weer twee gelijke
vormen!
x2.1=x
X
Neem nu:
Als je nu linkerlid en rechterlid wil differentiëren, zit je met het probleem dat je de
afgeleide van 1 niet kent.
= x
2x-i +x2.[?]=l (*)
Op de plaats van pTI past de afgeleide van -.
Je kunt die afgeleide nu vinden door (*) op te
vatten als een vergelijking met [Tl als onbekende
en de vormen met x als bekende.
rri opgelost geeft---------------------------->
2x-i
X
+ x2
■0=
1
2
+ x2
•0=
1
X^
■0=
-1
0
= -
1
X
-ocr page 28-
-24-
°"'- êc^x^=~^ "^"^^^^ ^
Wc
[^"^1 =-1 •x'^
Bekijk het voorgaande bewijs goed.
> Hoe kun je ^ [^]ook vinden door uit te gaan van j:- -= 1?
o 1 _ 1 1
>a Laat met behulp van de produktregel zien dat -^ ^\^~~T
>h Is dit resultaat in overeenstemming met S- [jc"] = n • x"'^?
>c Wat zal de afgeleide functie zijn \anf(x) = A ?
X
4.    De grafiek van f(x) = 4^ is symmetrisch ten opzichte van de 3'-as.
>a Hoe kun je dat zien aan de formule?
>b Welke asymptoten heeft de grafiek?
>c Teken de grafiek van/.
>d De raaklijnen in de punten (i ,4) en (- l ,4) snijden elkaar in A en
de Jt-as respectievelijk in B en C.
Bereken de oppervlakte van driehoek ABC.
1
5.    Hiernaast zie je de grafiek \anf(x) =x'^
1
>a Neem de grafiek van }'=x2 over en te-
ken in dezelfde figuur ook de grafiek
van y = x^ voor o: > 0.
De twee grafieken zijn eikaars spiegel-
beeld. Ten opzichte van welke spiegel-
as?
>b De hellingscoëfficiënt van de raaklijn
aany = jr in het punt (1,1) is gelijk aan
2. Als je die raaklijn spiegelt in de lijn
1
y = x krijg je de raaklijn aan y=x^.
Hoe groot is de hellingscoëfficiënt van dat spiegelbeeld?
>c De hellingscoëfficiënt van y = x^m het punt (5,25) is 10.
1
Hoe kun je hier uit de hellingscoëfficiënt van y = x^ vinden in het punt
(25,5)?
-ocr page 29-
-25-
De regel ^ [jc"] = n • y"^ is ook geldig voor n= ^.
De resultaten van opgave 5>b en >c wijzen in die richting (controleer!).
Het bewijs gaat weer met de produktregel.
Er geldt:
A
X
0-
/ \
Vx + Vx
•0 =
1
2<x
a=
1
0=
1
ijx
Dus ^7= is de afgeleide van Vx.
2jk
Kortom: d. [Vx] = -^
of:
djc
jjj^ij^-i
6. Op dezelfde manier kun de afgeleide functie van/(x) = x3 vinden.
1 1 1
Je begint nu zó: x^ x^ x^ =x.
>a Differentieer nu met de produktregel en laat zien dat geldt:
A         1         1 -2
dx L^-^J-^^
1
>b Wat zal de afgeleide functie zijn \anf(x) = x^ ?
En van/(x) = x5 ?
7. Bekijk opnieuw de grafiek van y=x* (opgave 5).
> In welk punt van de grafiek heeft de r::cld:j- -
-ocr page 30-
-26-
8. f(x) = ^3 kun je differentieren met de produktregel, immers:
l 1
> Voer de berekening uit en laat zien dat ^ [jc"] = n • x""^ ook klopt
voor /j = 3.
Voortaan mag je direct de volgende regel toepassen.
Voor alle positief gehele
negatief gehele
positief gebroken
negatief gebroken
exponenten r geldt:
^[^]=ry-'
Voorbeelden:
(1)  Ax) = 6^ff
2
Om te kunnen differentieren, schrijf je: fOc) = 6x^
Ervolgt:/'(;c) = 6-2x~3 = A
(2)  Ax)=^.
X
Om te kunnen differentieren, schrijf je:/(x) = 3x'^.
Er volgt: ƒ'(jc) = 3 • -4x'^ = -IZr"^ = =^
9. Differentieer nu de volgende functies.
>a Aa;) = ijl           >c f(x) = 10 • x^'^
X          ^
>f f(x)=Ji+-X.
-Jx
10
>b /(JC) = 4
X
>d /(;c) = 0,2-jc
-ocr page 31-
-27-
10. Voorbeeld: y(x)=^ifi^.
Om/te kunnen differentiëren, kun je eerst als volgt herleiden:
Er volgt nu: ƒ'W = 1 + O -x'^ = 1 - 4^
Herleid en differentieer:
>c fix) = ^^il
xjx
>a f(x) = ^
>b /W = ^4I
11. Je kunt y = rJx op twee manieren differentiëren.
(O fdoor tJx op te vatten als het produkt van x en <x.
(ii) door x^x op te vatten als macht van xi=x^^).
>    Differentieer de functie op beide manieren en laat zien dat je resultaten ge-
lijk zijn.
12.f(x) = Unf(x)=fx.
>     Bereken ƒ "(jc) en/'(jc)
13. Bereken:
>a S: [aJx ] voorx= 1
>c ^[x^Jx] voorj: = 9
>b ^[(Ji)^] voorx = 4
,J d r^/x^
^^ djc'^7^ voorjr = 9
14. /W = 2Vx. ^(jc; = X, v(x) =f(x) - g(x).
>a Teken in één figuur de grafieken van/, ^ en v.
>b Toon aan dat de maximale waartde van v(x) gelijk is aan 1.
15.f(x)=x^'^-3xix>0).
>a Vul in:
X
0
1
4
9
16
f(x)
f'(x)
>b Teken een grafiek van/
>c Wat is het bereik van/ ?
-ocr page 32-
-28-
16.  In een destiUeerderij kan per dag 1000 liter jonge jenever worden gestookt. De
produktiekosten K (in guldens) en de opbrengst O (in guldens) zijn functies van
de geproduceerde hoeveelheid q (in liters).
De economisch adviseur van het bedrijf heeft een wiskundig model opgesteld:
2                1
A' = <7 3enO = 4<7 5
>a Teken de grafieken van AT en Ö als functie van q.
>b Teken ook een grafiek van de winst W {=0-K)d\s functie van q.
>c Bij welke produktieomvang is W maximaal?
17.  Op de emballage-afdeling van een fabriek vervaardigt men onder andere kar-
tonnen dozen met een inhoud van 36 dm^. De dozen zijn aan de bovenkant open.
De bodem van zo'n doos moet een vaste vorm hebben (lengte en breedte moeten
zich verhouden als 2 : 1)
>a Stel de breedte van de doos x dm.
Toon aan dat de hoogte van de doos gelijk moet zijn aan i§dm^.
X
>b Druk de benodigde hoeveelheid karton {=k) voor de zijkanten en bodem uit
inx
>c Bereken
dk
ai-
>d De fabrikant concludeert dat hij het voordeligst uit is als hij dozen produ-
ceert die 3 dm breed, 6 dm lang en 2 dm hoog zijn.
Hoe volgt dit uit >b en >c?
18. Zestien functies in een tabel.
Differentieer ze alle zestien en vereenvoudig zo mogelijk de resultaten.
1
5^
JP
IVF
'jijjx
1
xjx
1
7^
10;c°-^
12
po
x+l
ifx)-'
3^
3^
i + sinx
i • sinjc
2
^cosx
Jx
2cosj:
-ocr page 33-
-29-
5 Kettingregel
Dit hoofdstuk gaat over het differentiëren van functies als:
y^Jx^+ 64
y = sin (x )
Y- 1
cos^(3x)
enz.,
kortom over het differentiëren van kettingfuncties.
De regel die hierop betrekking heeft, de zogenaamde kettingregel, kan worden dui-
delijk gemaakt met behulp van machines, zoals je die in hoofdstuk 2 bent tegenge-
komen.
Hieronder zie je twee van zulke machines.
De afspraak is nu dat de 'uitvoer' van machine A als 'invoer' van B wordt gekozen.
Zo is bij de invoer x = 6 op machine A, de uitvoer m = 100.
Deze waarde, als invoer bij B gebruikt, levert daar de uitvoer y = 10 op.
Schematisch:
II
-> 100
y
■> 10
X
6
B
1. We gaan nu de invoerknop van A een beetje verdraaien, bijvoorbeeld 0,1 naar
rechts. Kort gezegd: Ax = 0,1.
Bij Ax = 0,l hoort een uitslag A« van de wijzer.
>a Verklaar: Am = 1,2.
De invoerknop van B draaien we mee met de uitvoerwijzer van A.
Dat levert een wijzeruitslag Ay bij B op.
>b Verklaar: A);«0,06
>c Ga na dat bij kleine verandering Ax vanuit de stand x = 6 geldt:
Am » 12 • Aï en Ay « 0,05 • Am
-ocr page 34-
-30-
xi De bewering van >c houdt verband met:
^ = 12 voor jc = 6 en ^ = 0,05 voor u = 10.
Hoe kun je hieruit ^ berekenen voor jc = 6?
De afspraak uitvoer A = invoer B voor de machines A en B uit het vorige voorbeeld,
komt neer op het schakelen van die twee machines.
De aan elkaar geschakelde machines A en B kunnen worden vervangen door één
machine C.
In opgave 1 heb je gezien hoe je g^ kunt berekenen voor x = 6 door vermenigvul-
diging van de differentiaalquotiënten 37 en ^^. Dat zijn de differentiaalquotiënten
van de beide schakels waaruit de functie y         + 64 is opgebouwd.
Dit geldt natuurlijk niet alleen voor x = 6, maar voor elke waarde van x.
In formule:
dy _ dM
, dy
kettingregel
3x 3jc ' 3m
1
In woorden:
de verandering van y ten opzichte van x =
de verandering van u ten opzichte van x
maal
de verandering van y ten opzichte van u.
-ocr page 35-
-31-
2. Bekijk nogmaals de functie y = Jjp" + 64
>a Bereken g| voor x = 4
>b Laat zien dat voor j: = 9 geldt: ^ = -i- en dat voor x = 10 geldt:
d}: ^ 10                               ^
35 7i64'
>c Enig idee hoe g| kan worden uitgedrukt in xl
Voor je nu verder leert, hoe je de kettingregel kunt gebruiken in uiteenlopende si-
tuaties, eerst nog een tweede voorbeeld om de kettingregel duidelijk te maken.
3. Een groot bedrijf werd getroffen door een hevige griepgolf. Toen de epidemie
zijn top bereikte, was zo'n 80% van het totale werknemersbestand geveld door
de griep.
In de volgende figuur (I) zie je de grafiek van het aantal aanwezige werknemers
(= w) als functie van de tijd in dagen (= f) in de dagen na het uitbreken van de
epidemie.
>a Hoeveel werknemers telt het bedrijf ongeveer?
>b Wanneer was het ziekteverzuim het grootst?
>c Wanneer nam het ziekteverzuim het sterkst toe?
w = aantal
aanwezige
werknemers
8000
grafiek I
8 10 12 14 16 18 20 22
t = tijd in dagen
-ocr page 36-
-32-
4. De bedrijfsleider was de eerste dagen nauwelijks verontrust door het ziektever-
zuim. Hij beschikte namelijk over de gegevens betreffende de produktie (= p)
als functie van het aantal werknemers (zie grafiek II).
grafiek II
8000
7000
p = pnxluktie
6000
5000
4000
3000
2000
1000
o 1000 2000 3000 4000 5000 6000 7000
w = aantal aanwezige werknemers
>a Verklaar waarom de bedrijfsleider de eerste dagen nog niet zo somber ge-
stemd was.
>b Hoeveel dagen na het uitbreken van de epidemie bereikte de produktie een
maximum?
>c Schets de grafiek van p als functie van / (voor de desbetreffende periode
van 22 dagen).
Let nog eens op het verband tussen w en / (grafiek I).
In drie punten van de grafiek is de helling gemeten.
Resultaat:
t
w
dw
"df
2
4
10
6200
4500
1800
-300
-1200
300
>a Welke betekenis kun je hechten aan de getallen in de derde kolom (dus
aan-300,-1200. 300)?
-ocr page 37-
-33>
Ook in grafiek II is op drie plaatsen de helling gemeten.
Resultaat:
w
P
aw
6200
4500
1800
7190
6750
3670
-0.1
0.6
1.7
>b Beredeneer dat op het tijdstip f = 4 de produktie afnam met 720 stuks per
dag.
>c Op het tijdstip r = 10 nam de produktie weer toe.
In welke mate?
>d Nam de produktie op het tijdstip f = 2 toe of af?
In welke mate?
>e Welk verband bestaat er tussen ^ > ^ en ^ ?
De kettingregel zegt dat je het differentiaalquotiënt van een kettingfunctie kunt be-
palen door de differentiaalquotiënten van de schakels te berekenen en die met elkaar
te vermenigvuldigen.
Daarbij zullen de schakels functies zijn die direct te differentieren zijn, dus bijvoor-
beeld machtsfuncties, veeltermfuncties, sinus of cosinus.
Neemy = Jx^ + 64 ofwely = (;c + 64)2
Als ketting genoteerd:
X ---------> x^ + 64
\
(x2 + 64)
Als we de uitvoer van de eerste schakel u noemen, dan is de uitvoer van de tweede
1
schakel ook te schrijven als u2:
1
X ---------► x2 + 64 ---------► (x2 + 64)2
u
Die laatste uitvoer noemen we ooky.
Het complete schema wordt nu:
^ (jc2 + 64)2
■> x^ + 6A
II
J
-ocr page 38-
-34-
We berekenen voor m = j:^ + 64 het differentiaalquotiënt g| en van 3^ = m5 het dif-
ferentiaalquotiënt 5^.
Resultaat: d| =2xen^=i «-5=-i^
Die twee vermenigvuldigd levert ^ op,
dJf          iju Ju
Omdat we g| graag willen uitdrukken in x, vervangen we u door jc'^ + 64.
Er komt dan ^ =
Jx^ + 64
In schema:
-► (x2 + 64)5
■> jc2 + 64
II
u
u
dZ = 1
3" ni
du
= 2x
6. Gegeven is de functie y = sin (jc^).
Vier leerlingen vonden vier verschillende antwoorden voor ^.
Dit zijn die vier antwoorden:
(l)g=sin(2x)                                      (3) g=cos(2x)
(2) g = cosOc2)                                     (4) g = 2x. cos(jc2)
Als je goed naar de antwoorden kijkt, zie je wel hoe elk van die leerlingen ge-
dacht heeft.
>a Schrijf bij elk van de vier antwoorden op, hoe de gedachtengang (vermoe-
delijk) is geweest.
>b Welk van de vier antwoorden is het juiste? Waarom?
-ocr page 39-
-35-
7.    Bekijk onderstaande ketting:
X ---------->-jc^ + jc+l ----------► (or^ + jc+l)"^
>a Stel M = x^ + jc + 1 en y = M"^ en bereken a| en g^.
>b Druk vervolgens g^ uit in x.
8.    Bereken 5^ voor:
djc
>a y = (5ac +19 >h y= Ja^x >c y = (2- ^)'^
Voorbeeld:
35
' SlllJC
X-----> J
sinx'
ofwel X-----> (sinx)"' is een ketting van twee schakels:
, ofwelx-----> I sinx I -----s
smx
smx
Het kleine hok staat voor de functie 'sinus', het grote voor 'tot de macht -1'.
Bij het toepassen van de kettingregel zijn er twee manieren: 'van binnen naar buiten'
en 'van buiten naar binnen'.
manier 1:
-----rr^ (sinx)"'
X ■—■ > sin X
1 "
1 "
1 K
1 ^
af =cosx X
dl = -1 • M"^
•jC"''5^'^''' "
^ u sin X sin X
'van binnen naar buiten',
de manier die hier al is
behandeld:
, stap 2
stap 1
manier 2:
'van buiten naar binnen':
stap 1
_d_
dx
sinxl"' - -1- Isinxl"^ • cosx
t
gedifferentieerd
naarx
gedifferentieerd
naar Isinx 1
stap 2
9. Vergelijk de bovenstaande manieren om de kettingregel toe te passen
Kies de methode die je het beste ligt en bereken achtereenvolgiais:
d ,-3/;~;"
Wc ^"".....
>a ^ (cos^x).
>C
>b ë (^
COS'^JC
)-
-ocr page 40-
-36-
9. Gegeven de functie y = sin(jc^ +1).
Met een computer zijn de hellingscoëfficiënten berekend voor jr = 1,2,.. ,10.
Verder zijn ook de waarden van sinOt^ + 1) en cos(x^ + 1) voorx = 1,2,....
10 afgedrukt.
(1)
(2)
(3)
X
sin(;c2+l)
d
as
cosCx^+l)
1
0,909
-0,832
-0,416
2
-0,959
1,134
0,284
3
-0,544
-5,033
-0,839
4
-0,961
-2,202
-0,275
5
0,763
6,489
0,647
6
-0,644
9,223
0,765
7
-0,262
13,534
0,965
8
0,827
-9,010
-0,562
9
0,313
17,067
0,950
10
0,452
17,950
0,892
>a ControlcCT met je rekenmachientje de drie resultaten bij x = 2.
Benader ^ door een differentiequotiënt te berekenen op een geschikt in-
terval.
>b Deel de uitkomsten van kolom (2) achtereenvolgens door de bijbehorende
uitkomsten van kolom (3).
Had je het resultaat kunnen voorspellen?
>c Hieronder zie je de grafiek van de y = sin(x^ +1).
Hoe kun je aan de formule zien dat de grafiek symmetrisch moet zijn?
y -
- aill\A
^ >■>
■y. -
- «-.....
...........-
.—-sSi
j^;i„-^
r-...........
.....prA----K~rK.......
1 -II--
-ér—f--
K'H'l
--------j\/..-..-y-.....-V.
»■ ■»
.....V -»
-'■■
-4
3
2
1
0 ]
2
3 4 5
6
1
8
1
O
-1
>d Je ziet dat de 'schommelperiode' steeds kleiner wordt, naarmate je vanuit
O meer naar rechts gaat Hoe kun dat verklaren met behulp van de formule?
>e De grafiek snijdt de y-as in een punt P met horizontale raaklijn.
Laat zien hoe je dit kunt concluderen uit de hellingfunctie.
>f In het plaatje zie je nog een aantal punten met horizontale raaklijn. Bereken
de Of-coördinaten van de twee punten met horizontale raaklijn die het dichtst
bij P liggen.
-ocr page 41-
-37-
10. Differentieer)' = [/(x)] naarx, achtereenvolgens voor:
>a /(x)=Jc2 + 4                             >c j(x) = j^
>h f{x) = smx                               >d fOc) = V^-x
De kettingregel moet vaak worden toegepast in combinatie met som-, verschil-, of
produktregel.
Voorbeeld:
Gegeven: y = IfT+ïx + ijs+x^
Gevraagd: g|
Oplossing: y is de som van twee functies die ieder met de kettingregel worden
gedifferentieerd.
y= (l+2x)^              + 2(3+x^y
1                1
2                                               1
2x
\l(l + 2x)^                           Jd^
3
dl
11. Bereken g als:
>a y= >j{X^-4x) +5x.                   >c y = 5x- ^jx -4x
>b y= 'Jix -4x) -5x.                   >d y-Sx- >Jx -4x
12. Bereken g als:
>a y = sin(jc^) + cos(;c^).                  >c y = sinx • TcösJc
>b y = sinCx'^) • cos(x^).                   >d y = Vsinx • cosx
-ocr page 42-
-38-
13. Agent 007 is op 3 km afstand van de kust gedropt. Met een rubberboot wil hij
de kust bereiken om bij strandpaal 38 een geheime boodschap achter te laten.
Natuurlijk is het zaak dat hij zo snel mogelijk dit klusje klaart. Met de rubber-
boot kan hij zich roeiend verplaatsen met een snelheid van 4 km/u. Het water is
zo rustig dat de vaarrichting niet van invloed is op zijn snelheid. Op het strand
kan hij een lange poos een snelheid van 8 km/u volhouden.
In onderstaande situatieschets zie je nog dat de strandpaal 4 km verwijderd is
van de plaats (A) op het strand die James Bond zou bereiken als hij de kortste
weg naar het strand zou nemen.
positie
'' ^ rubberboot (R)
3km
?^^N^i^^^^^^^^N^\,\^\^N^^^^^^                                                              ^^st
A*
->* S38
4kni
>a Veronderstel dat James Bond inderdaad de kortste weg naar het strand
neemt en 4 km loopt.
Hoeveel tijd heeft hij nodig om paal 38 te bereiken?
>b Hoeveel tijd heeft hij nodig als hij in schuine richting rechtstreeks naar de
strandpaal roeit?
Misschien kan hij tijd sparen door ergens tussen A en paal 38 aan land te gaan.
>c Stel dat hij precies halverwege (dus op 2 km van paal 38) de kust bereikt.
Hoeveel minuten tijdwinst boekt hij ten opzichte van de vorige routes?
-ocr page 43-
-39-
Met behulp van differentiaalrekening kun je de -~ '
berekenen.
Stel dat hij x km van A aan land gaat (plaats B).De tijd; O-n i--:-■. ■
is om S38 te bereiken is een functie van x. Vandaar dat we noteren: f [jO
>d Laat zien dat geldt:
t(x)=l5j9+x^ + 30-7^x.
3km
>e Bereken f'(Jf) en los op:
f'(x) = 0.
>f Bereken (in seconden
nauwkeurig) de minimale             A x b                 * S 38
tijd die James Bond nodig heeft om paal 38 te bereiken.
>g Welke hoek moet bij de snelste route de vaarkoers RB maken met de lijn
RA?
>h Verandert het antwoord op de vorige vraag als S38 meer dan 4 km van A
afligt?
Een functie die een ketting is van drie of meer schakels kan ook met de kettingregel
worden aangepakt.
1
Voorbeeld: y =
cos (3x)
Oplossing: Volgens de van 'binnen naar buiten' methode:
cos
■* cos'^(3j:)
■* 3x
-*■ cos(3x)
= 3 • (-sin m) . (-4Hr5)
-5-
= 3 • (-sin 3x) • (-4cos 3x)
_ 12sin3x
cos 3x
-ocr page 44-
-40-
Oplossing volgens de van 'buiten naar binnen' methode:
TT
3 2 1
m
y =
cos
^ =.4] cos 3x
t
■^ • -sin 3x
t
t
gedifferentieerd         gedifferentieerd gedifferentieerd
naarjc
naar ^liil
naar cos 3x
S=-
—i—; • -3sin3x = l?5m3x
(cos3x)'                                cos^3jc
15. Kies één van beide methoden en differentieer met behulp van de kettingregel:
i^+1)
>c y=ilcosJx
>d y=-L^
>a 3' = sin
>b y= ./sin-
sm^
-ocr page 45-
-41-
Terugblik
Regel vcxjr het differentiëren van machtsfuncties:
è^--'-'
Kettingregel
Bij een ketting van twee (of meer) functies wordt het differentiaalquotiënt berekend
door vermenigvuldiging van de differentiaalquotiënten van elk van de schakels.
Voor een ketting van twee functies betekent dat:
als y een functie is van m en m een functie is van x,
dus als X --------------> u --------------> y
dy _ du _ dy
djc '3x ' Zu
dan:
Opgaven
>a Bereken achtereenvolgens:
éi(^-^)'l ^[V^^^L ^[(TTÏ?^
>b y(x) = sin3(5x)
Bercken/'(0,057c)
1
>c In een figuur zijn getekend de grafieken van y = x (/) en y = jc 5 (k)
Aanvankelijk stijgt k sneller dan /, later langzamer.
In welk punt van k vindt de 'ommekeer' plaats (dat wil —^
heeft k dezelfde hellingscoëfficiënt als /?)
-ocr page 46-
-42-
6 Gebroken lineaire functies
1. Twee zusjes schelen nagenoeg 5 jaar in leeftijd. Toen de oudste 10 werd zei ze
trots tegen haar zusje: 'Nu ben ik twee keer zo oud als jij.' Vijfjaar later, toen
de oudste opnieuw haar verjaardag vierde, herinnerde de jongste zich dit voor-
val plotseling en zei: 'Nu ben je nog maar 1^ keer zo oud als ik.' (Naar een oud
kinderraadsel.)
>a Hoe groot is de verhouding van de leeftijden als de oudste 25 jaar wordt?
>b Na hoeveel jaar is de oudste nog maar 1 i keer zo oud als de jongste?
>c Teken de grafiek \anf(x) = ^±-5 voor 1 ^a: < 10.
>d Wat heeft het verhaal van de twee zusjes met het verloop van de grafiek te
maken?
>e Hoe zet de grafiek zich voort voor x > 10?
>f Wat kun je zeggen van de verhouding van de leeftijden van beide zusjes als
die het 'eeuwige' leven zouden hebben?
De functie f(x) = i±^ is een voorbeeld van een gebroken functie, waarbij teller en
noemer elk lineaire functies zijn.
Daarom noemen we ƒ een gebroken lineaire functie.
De algemene vorm van een gebroken lineaire functie is:
m=
ax + b
cx + d
In bovenstaand voorbeeld geldt: a= l,b = 5,c = l,d = 0.
Verderop zal blijken dat a, b.cend aan enige voorwaarden moeten voldoen, wil er
sprake zijn van een 'echte' gebroken lineaire functie.
2.    De meest eenvoudige gebroken lineaire functie ƒ is die waarvoor geldt:
a = 0,b=l,c=l,d=0.
>a Geef de formule van die functie/.
>b Teken de grafiek van/.
>c Welke asymptoten heeft die grafiek?
3.    Bekijk de functiesy(j:) = 5 en g(x) = ^^ .
>a Toon aan dat geldt: g{x) =jix) +1
>b Bereken/'(j:) en ^'(x)
>c Teken (voor j: ?t 0) de grafieken van/en g in één plaatje.
-ocr page 47-
-43--
4.    Gegeven:/W =2^.
>a ƒ is een gebroken lineaire functie.
Welke waarden hebben a,b,c en dl
>b Laat zien dat geldt: f(x) = 1 J[ +2 en teken vervolgens de
>c Welke asymptoten heeft die grafiek?
5.    Gegeven zijn de functiesy(a:) = ö en g(x) = j^.
>a Welke lijnen zijn de asymptoten van/? En welke van gl
>b Teken in één figuur de grafieken van ƒ en g.
>c Bereken f \x) en g'(x).
6.    Vier functies:
Ax) = ^; ë(x) = ^; hix) = ^^; k(x) = ^.
vier grafieken:
y-as
n
y-as
y=l
x-as
x-as
j: = -1 I y-as
x=l
x-as
x-as
De grafieken I, II, III en IV passen bij de functies/, g, h en k.
>a Zoek uit welke grafiek bij welke functie hoort.
>b Hoe kun je de verticale asymptoten in I, II, II"____
mules?
-ocr page 48-
-44-
De grafiek van een functie van de vorm:
fipc) = ^±1 (waarbijcs^Oen a\b*c:d)
is een hyperbool; zo'n hj^erbool heeft één horizontale asymptoot en één verticale
asymptoot.
De horizontale asymptoot kun je vinden door voorjc grote waarden in te vullen (bij-
voorbeeld: x=\ miljard).
De verticale asymptoot kun je vinden door na te gaan in de buurt van welke x de
functiewaarde zeer groot wordt. Daarbij is het gedrag van de noemer van belang.
7.    Gegeven de functie: j{x) = ^^^.
>a Verklaar: de verticale asymptoot is de lijn x = 6
>b Vul in: de horizontale asymptoot is de lijn y =....
>c Teken de grafiek van/.
Als je in de functie van opgave 7 een heel groot getal voor x invult, bijvoorbeeld
x=\ (XX) 000 000, dan hebben de constanten 45 en -18 nauwelijks invloed op de uit-
komst:
15 000000000+45 ^ 15 000000000
3000 ööö 000-18 3ÖÖÖ000000
Je ziet zo dat de uitkomst ongeveer gelijk moet zijn aan 5 (= ^).
In het algemeen geldt dat je de horizontale asymptoot van een gebroken lineaire
functie kunt vinden als je de tellercoëfficiënt van x deelt door de noemercoëfficiënt
van X. Waarschuwing: deze opmerking is dus alleen geldig voor functies van dat
type.
8.    In opgave 6 heb je gezien dat de grafiek van /(jf) = ^^ een horizontale lijn is
met een 'gaatje'.
Verklaring: ^f^ = ^-^^fy^ = 2 voor jc # 3.
^^ heeft geen betekenis voor x = 3.
Bekijk nu de functie: g{x) = ^f^.
>a Verklaar: g{x) =2+ j-1^ .
>b Hoe kun je uit de laatste formule de horizontale asymptoot van g vinden?
>c Bereken de hellingscoëfficiënt van de grafiek van g in het punt (1,15 )•
Noem de asymptoten en teken de grafiek van
>b Jix) = ^.                           >d/(a:)=g^.
-ocr page 49-
-45-
10. Gegeven zijn de functies tix) = ^x + 2 en nix) = ^jc + 1,
>a Teken de grafieken van r en n in één figuur.
De fiinctie ƒ wordt gedefinieerd door: f{x) = ^^
>b Bekijk het snijpunt T van de grafiek van t met de x-as.
Wat levert punt T voor informatie over de grafiek van/?
>c Bekijk het snijpunt N van de grafiek van n met de jc-as.
Wat levert punt N voor informatie over de grafiek van/?
>d Hoe gedraagt y(jt) zich voor zeer grote waarden van xl
En voor zeer kleine (zeer negatieve) waarden?
>e Teken de grafiek van/.
11. Op blz 46 staat een foto die je je misschien herinnert uit Tekenen wat je weet.
De afstanden tussen opvolgende palen zijn in werkelijkheid gelijk, zeg 1 meter.
De afstand in de tekening tussen opvolgende palen varieert.
In 'Tekenen watje weet' heb je gezien hoe je meetkundig kunt controleren dat
de palen werkelijk even ver van elkaar staan.
We gaan nu een formule opstellen die het verband aangeeft tussen de werkelijke
afstand en de afstand op de foto.
Stel de afstand in werkelijkheid tot de voorste paal is x meter.
Voor de palen in de tekening geldt dus: x = 0,1,2, 3,...
De afstand tussen de palen op de foto meten we langs de onderrand van het
raam.           /
Stel de afstand op de foto van een paal tot de voorste paal is y cm.
De formule is nu y = -i%.
■^ x + 3
>a Controleer deze formule voor jc = 0,1,2,3. ,
>b Teken de grafiek van y als functie van x voor x>0.
>c De voetpunten van de palen liggen op één rechte lijn.
Het verdwijnpunt van die lijn noemen we V.
Meet de afstand van V tot de voorste balk (in cm).
>d Hoe had je die afstand ook uit bovenstaande formule kunnen aflezen?
Verklaar dit!
-ocr page 50-
-46-
-ocr page 51-
-47-
7 De Quotiënt-regel
In het voorgaande heb je regels geleerd voor het differentiëren van son, vsi^c'-i-.,
produkt en ketting van twee functies.
Wat nog ontbreekt is een regel voor het differentiëren van een quotiënt
t{x)
Stel fix) =
{t is 'tellerfunctie', n is 'noemerfunctie').
We bekijken eerst een voorbeeld: f(jc) = 3jc + 4 en n(x) = 2x - 5
In plaats wanfOc) = (A kun je ook schrijven:/(jc) = tix) ■ nix)'^
Dus:/(x) = (3x + 4) • (2jc - 5)-^
Het differentiëren van ƒ kun je nu uitvoeren door een combinatie van produkt- en
kettingregel.
6x + 8
_ 3
1. >a Laat zien dat geldt: ƒ'(x) = ^J e-----——-^
&                 2x-5 {2x-5r
>b De formule van ƒ'(x) kan nog worden vereenvoudigd door de twee breuken
onder de noemer (2x - 5)^ te brengen. Ga je gang.
Je kunt je bij het differentiëren van het quotiënt van twee functies altijd redden met
produkt- en kettingregel.
Er is echter ook een regel om de afgeleide van een quotiënt rechtstreeks te vinden:
de quotiëntregel.
Die regel luidt:
Ah fix) =
tix)
nix)
, dan fix) =
t'ix)
nix)
in
-tix)
ix))^
n'ix)
Of in telegramstijl:
t- n-t- n'
(i) =
2. >a Neem tix) = 3x + 4 en nix) = 2jc - 5 en bereken:
t'ix) ■nix)-tix) n'ix)
inix))^
>b Controleer of de uitkomst gelijk is aan de afgeleide
je die in opgave 1 hebt gevonden.
-ocr page 52-
-48-
3. Jlx) = 4
X
Doe even net of je niet ziet dat de breuk te vereenvoudigen is.
> Stel tix) =j^ en «(x) =x^en pas de quotiëntregel toe om ƒ '(x) te vinden.
Alles goed?
4. y=4^
X +1
> Laat zien dat uit de quotiëntregel volgt:
^ - x* + 3x^ + 2x
^        (x^+l)'
Je hebt de quotiëntregel al een paar keer toegepast, zonder dat aangetoond is dat de
regel echt klopt. Er zijn verschillende methoden om de regel te bewijzen:
(1)  Schrijf ,{ als t(x) • nix) en pas produkt- en kettingregel toe.
(2)  Alsy(j:) = i^ danfix) • nix) = t(x) (*)
Links en rechts gedifferentieerd in (*) geeft gelijke functies:
f'ix) • nix) +fix) ■ n'ix) = fix) of korter: ƒ'« +fn' = f
Hiermee kan/' worden uitgedrukt in /, n, f en n'.
(3)  Tenslotte kun je nagaan of (-^)' = '""g^" klopt, door uit te gaan van:
ln=\.                         "          "
n
Links en rechts differentiëren geeft:
(l)'.„+i./i' = 0
n            n
Je kunt nu controleren of (i)' inderdaad vervangen mag worden door ^"~2^" .
n
n
5.    Kies uit (1), (2) en (3) de methode die je het meest aanspreekt en bewijs de quo-
tiëntregel.
6.    Vergelijk de quotiëntregel met de produktregel:
ia-by = a'b + ab' en (g)'=£^*:^
Ze hebben wel wat van elkaar weg, maar de produktregel is 'evenwichtiger'. De
'a' en de 'b' in de produktregel zijn volkomen gelijkwaardig, je kunt ze tegen
elkaar uitwisselen. Logisch, want a-b = b-a.
Bij de quotiëntregel is dat niet het geval.
-ocr page 53-
-49-
g „1-1----------:..
- •"■» j— —----------
>a Wat gebeurt er met de waarde van
>b Druk (è)' uit in a', !>', a en fc vergelijk de uitkomst met die > aii J
a
Waar zitten de verschillen?
De moraal van opgave 6:
Bij het differentieren met de quotiëntregel is de volgorde belangrijk: eerst de tel-
lerfunctie differentiëren (en de noemer ongewijzigd laten), daarna andersom.
7. Differentieer de functie ƒ in het geval f(x) =
^^
x^+l
>f
Ax
>g
Jx + 2
Jx-2
>h
cosx
>b -^
sinx
>d 3x-4
2
8.  y(.)=-f3e„««=jf^
>a Bereken ƒ'(jc) en ^'(jf).
>b De functies ƒ en g zijn verschillend maar hebben dezelfde afgeleide.
Hoe kan dat?
9,   /(jc) = ^^4i±i enAjc) =-/±i-
j: + 1                x +X+1
>a Stel een vergelijking op van de lijn die de grafiek van ƒ raakt in het punt
met jc-coördinaat 0.
>b Dezelfde vraag voor g.
>c In welke intervallen is ƒ stijgend en in welke dalend?
>d Overal waar ƒ stijgend is, is g juist dalend.
Bewijs dit.
-ocr page 54-
-so-
lo. Hieronder zie je de grafiek van f{x) = -^^^ voor x > 0.
12 3 4 5 6 7 8
>a Volgens de tekening is het maximum van jXpc) gelijk aan 3.
Hoe kun je dat bewijzen met behulp van de afgeleide functie?
>b Bereken ƒ'Ya:).
>c Laat zien dat de grafiek een buigpunt heeft bij x = J3.
>d Teken de grafiek van ƒ in het gebied x<>0.
11. Gegeven is de functie j{x) = ^?^^ voor -10 <j: < 10.
X + 16
De grafiek van die functie is hieronder getekend.
20
>a Bereken de kleinste en de grootste functiewaarde.
>b Los op: /(j:)>8.
>c De grafiek van de functie g(x) = jix) + c raakt de lijn y = 10.
Lees uit de figuur af voor welke waarde(n) van c dit het geval is.
(examen wiskunde B havo 1989)
-ocr page 55-
-51-
Een te groot verkeersaanbod op een te smalle weg-----weer een file.
Hoe drukker het is, des te langzamer de file rijdt.
Blijkbaar kunnen bij lage snelheden meer auto's worden verwerkt.
Toch gek, want bij een snelheid van O km/u stroomt geen enkele auto door.
Is er een optimale snelheid van een file?
Over dit probleem gaat de volgende opgave:
12. Belangrijk bij het fileprobleem is de onderlinge afstand van de auto's. Hoe gro-
ter de snelheid van de file, hoe groter de onderlinge afstand moet zijn, en dat is
van invloed op de doorstroming. Anderzijds is de onderlinge afstand bij lage
snelheid wel klein, maar in een slakkegangetje kan er ook niet veel doorstro-
men.
De onderlinge afstand bepalen we met behulp van de vuistregel (r = remweg):
r = 0,0075 v^ (v in km/u, r in m).
>a Hoeveel m afstand tot zijn voorligger zou een automobilist tenminste moe-
ten aanhouden bij een snelheid van 60 km/u?
En bij een twee keer zo grote snelheid?
>b Stel je voor dat een file een snelheid van 60 km/u heeft en uit louter perso-
nenauto's bestaat. Neem voor het gemak aan dat elke auto 4 m lang is en
dat iedere automobilist de voorgeschreven remafstand in acht neemt.
Op een zeker punt heeft de politie een teller geplaatst.
^^'i.^^ÊS                                    ^^'
^■<-
4m                                  27 m
Am
tello-
Laat zien dat er per minuut ongeveer 32 auto's de teller passeren.
>c Hoe groot is het aantal auto's dat de teller passeert bij een snelheid van 120
km/u?
>d Het aantal auto's {=N) dat de teller per minuut passeert is een functie van
de snelheid v (in km/u).
Toon aan dat geldt: iV= —W^-—.
0,45v^ + 240
>e Bereken ^ .
>f Toon aan dat de optimale snelheid van een file cndtr d- -' ■ ■
schetste voorwaarden ongeveer 23 km/u is.
-ocr page 56-
-52-
Terugblik
Een gebroken lineaire functie is van de vorm:
ffy\ - ax + b
De grafiek van ƒ is een hyperbool (tenzij c = Oofa:c = b:d).
Zo'n hyperbool heeft twee asymptoten.
De horizontale asymptoot wordt gevonden door de verhouding van ax + bencx + d
te bekijken voorx wordt 'heel groot' (x 'nadert tot oneindig'). Die verhouding nadert
tot S, De lijn y=^isde horizontale asymptoot.
De verticale asymptoot wordt gevonden door te onderzoeken voor welke x de func-
tiewaarden 'heel groot' worden ('tot oneindig naderen'). Dit gebeurt als de noemer
van de gebroken vorm tot nul nadert.
Uit ex + rf = O volgt x = -^ en dit is meteen de vergelijking van de verticale asymp-
toot.
Quotiëntregel
Laat M en V functies zijn van x.
d
u{x)
[v{x)\
_ u' {x) V (jc) -u (jc) v' {x)
djc
(v(x))'
(^)
/ u'v-uv'
~ v'
Kortweg
Opgaven
2 . o
X +3
^" é
X +X + 4
>a Bereken
Sx
JC+1
>b/(x)=g±| (c#0)
Toon aan: ƒ'(;c) = (^d-bc
{cx + dy
>c Wat kun je zeggen van ƒ'(x) in de vorige opgave in het geval a:c = b:d.
-ocr page 57-
-53-
8 Een bekende goniometrische functie
1. Gegeven is de functie: fix) = ^^.
Omdat ƒ samensteld is uit de functies sinus en cosinus zie je hieronder de gra-
fieken van die twee getekend.
>a Welke informatie geven de oplossingen van de vergelijking sin x = O over
de grafiek van^[x) = Igg?
>b Dezelfde vraag maar nu voor de vergelijking: cos jc = 0.
>c Heeft de grafiek van ƒ asymptoten?
>d Vul in onderstaande tabel de exacte waarde/I in:
X
i^
i"
^
1"
4
i^
1-6^
4
llTt
sinjc
cosj:
m
>e Bereken ook:y(-l7i);/(-i7c);y(-iït).
>f Uit de antwoorden bij >c en >d kun je vermoeden dat de periode van
f{x) = ^^ niet 2k is, maar verrassenderwijs 7t.
Bestudeer bovenstaande figuur. Hoe kun je daarait afleiden dat/i)^''•'"'■f'^'
de periode tc moet hebben?
>g Teken de grafiek van ƒ voor het interval -^K<x<2,ln
-ocr page 58-
-54-
2. In een rechthoekige driehoek met een scherpe hoek van x radialen geldt:
sin X = £
r
cos x= i
r
tanx = e
> Bewijs dat hieruit volgt: tan j: = ^~
Het in opgave 2 genoemde verband tussen sinus, cosinus en tangens geldig voor
scherpe hoeken, kan worden gebruikt om de tangensfunctie ook voor alle andere
j:-waarden te definiëren (met uitzondering van ..., -liic, -^n, In, l^Tt, 2ijc,...)
Voor alle jc ;t 1 jc + ibi (/t = O, ±1, ±2,...) geldt:
In opgave 1 heb je al studie gemaakt van de tangensfunctie en ontdekt dat tangens
een kleinere periode heeft dan sinus en cosinus.
tan is een periodieke functie met periode tc
ofwel:
tan (x + ht) = tanx voor k = ±l, ±2,...
3.    tan j:is niet gedefinieerd voor x =..., -IAtc, -Ik, ^n, l^n,...
>a Waarom eigenlijk niet?
>b Bereken met je rekenmachine enkele waarden van tan x voor x in de buurt
van ijt.
Conclusie?
4.    Je kunt/(;c) = tan x differentieren met behulp van de quotiëntregel.
>a Controleer deze berekening:
f\x) = cos^^+sin^ac = J + (ÉMf = 1 + tan^X
cos X                   COSJt
>b Uit het resultaat van >a volgt dat de grafiek van de tangens een buigpunt
heeft in (0,0). Hoe?
>c Welke vergelijking heeft de buigraaklijn in (0,0)?
>d Welke andere buigpunten heeft de tangensgrafiek?
-ocr page 59-
5.    Hiernaast zie je de tangensgrafiek voor
-Ik < X < hl met de buigraaklijn in
(0,0).
In de buurt van (0,0) valt de tangens-
grafiek bijna samen met de lijn y=x.
Er geldt: tan jc» x voor jc = 0.
>     Controleer dit met je rekenma-
chientje
(neem enkele waarden van x in de
buurt van 0).
6.    Bekijk de grafiek van/(x) = tan x
(opgave 1).
>    Voor welke x geldt:
tanx=l?
7.    Gebruik het resultaat van 4>a en
bereken:
>a
^[tanlx]
>b
l [tan^x]
>c
dx ^isax^
>d
^ [tan(l-x)]
2-1012
8. Welk interval bereikt:
>a 1+ tan2x als -|7t<x< |7t?
>b 1 + tan^x als -^Tt <x < \% ?
6                4
>c tan^x-2tanx als O<x < ^n ?
-ocr page 60-
-56-
Terugblik
In hoofdstuk 8 heb je een nieuwe standaardfunctie leren kennen: de functie tangens,
kortweg tan.
Voor alle jc 9t ^ 7t + ibt (it = O, ±1, ±2,...) geldt:
tan;c=-^Hl^
cosx
De functie tan is periodiek met periode k.
De grafiek van tan heeft (oneindig veel) verticale asymptoten; de vergelijkingen
hiervan zijn: x= ^n + kKik = 0, ±1, ±2,...).
y-as
X-S&
■l\n
IJtc
-in
Voor het differentiëren van de functie tan kun je gebruik maken van de regel:
^ [tanjc] = 1 +tan^jt
Opgaven
>a In welke punten tussen x = -^nenx= ^% heeft de grafiek van j = tan jc de hel-
lingscoëfficiënt 4?
>b Welke periode heeft de functie/(x) = tan 2x7
Teken de grafiek van 0<,x<2n.
-ocr page 61-
9 Oefeningen
Oefeningen in differentiëren
1. Bereken g| in de volgende gevallen.
>a >' = 4Cx^+x)^
>b y = l]2x^-4x^
-vf Y - 1
" •' x-cosj:
>c y = sin(x^+x)
>g y-xh-:?-
>d y = jc • tan X
>h y = —i— ^
+ 3
2. Bereken ƒ' en schrijf de formule voor ƒ' in een vorm zonder negatieve of ge-
broken exponenten.
>a /(x)=a:23. IT
>b /(x) = Vtanx
>e /[x) = (x^+x-ir^
>f /(x) = (x^-sin2x)4
1                  1
>h (x-2)^+(5-x)^
>c y(x) = tan^x
Bereken/'(l|)c)
>d /(x) = sin 3x • cos 4x
Bereken/'(li 31)
>e/U) = |^
>f Kx) = i±
x'^ + l
>g /(ac) = sin^ï
>h /W = Si» " -
>c f{x) =
cos X
>d y(x) = ^
Bereken/'(9)
.xKl
>b m
Bereken ƒ'(8)
Bereken/" voor;
>a ff^x)= Jïx+1
>b f{x) = 73Jt + 2
>c /(x) = tanx
>d /(x) = tan 3x
-ocr page 62-
-58-
Oefeningen over raaklijnen aan grafteken
5. De raaklijn in (1,1) aan de grafiek
van y=\ snijdt de x-as in A en de
y-as inB.
Bereken de lengte van AS.
Ib
A
6. Teken in één figuur de grafieken van y=-^eny = x^.
Het snijpunt van die grafieken is S.
De hoek waaronder de grafieken elkaar in 5 snijden is per definitie gelijk aan
de hoek tussen de raaklijnen in 5.
Bereken die hoek.
5
3
2
1
P
y
0
1
2
3
4 5
7. 0(0,0) en P(4,4) liggen op de gra-
fiek van >'= 2-/t.
Tussen O en P is er één punt Q op
de grafiek waarin de raaklijn aan de
grafiek evenwijdig is met OP.
Welk punt is dat?
De grafiek van y =               + 4x + 2 heeft één buigpunt (5).
De buigraaklijn van de grafiek is de raaklijn in B.
Stel een vergelijking op van die buigraaklijn.
jr+2
>a Bewijs dat de lijn _y = 2x een
raaklijn van de grafiek is.
>b Bereken de (exacte) coördina-
ten van de punten op de grafiek
waarin de raaklijn horizontaal
is.
-2
5                                         5
-ocr page 63-
Oefeningen over berekeningen van .vxl-:-.-::-
10.  y=i/-2x3
>a Bereken ^ en schets het tekenverloop hien-a::
>b Bereken de minimale waarde die y kan hebben.
11.  Bereken het maximum van/(x) = (pr +x+\)
12. Nogmaals de figuur bij opgave 7.
De punten A en B bewegen resp.
over het lijnstuk OP en het deel van
de grafiek tussen O en P.
Daarbij is het lijnstuk AB steeds
verticaal.
>a Druk de lengte van AB uit in x.
>b Bereken de maximale lengte
van Afi.
13. Het punt F doorloopt de lijn
y =-2jc + 2 tussen (1,0) en (0,2).
ö en /? lopen mee over de x-as en de
y-as zodat OQPR steeds een recht-
hoek is.
>a Druk de oppervlakte van de
rechthoek uit in x.
>b Bereken de maximale opper-
vlakte van de rechthoek.
14. Van een rechthoek is de oppervlakte 12 cm''.
Er zijn natuurlijk verschillende afmetingen n._„.
De omtrek van de rechthoek ligt dus niet
>a Stel één zijde van een rechthoek ^ ... _
rechthoek uit in x.
>b Bereken (exact) de mini
lAllCAXV -• .
>c Hoe kun je verklaren dat -,. ^
-ocr page 64-
-60-
Toepassingen
15. De lengte L (in cm) van een metalen staaf is afhankelijk van de temperatuur /
(in^'C).                                                                                               dL
De zogenaamde uitzettingscoëfficiënt van de staaf bij ï° C is gelijk aan ^
(hierbij is Lq de lengte van de staaf bij 0°C).                                             ^
Er is nog gegeven: L = Lq • (1 + ar + bP") met a = 2 • 10'^ en è = 3,5 • 10"^.
> Bereken de uitzettingscoëfficiënt van de staaf bij 50°C,
16. Tussen de verkochte hoeveelheid q van een zeker artikel en de prijs P bestaat
het volgende verband:
P = 500 + 1<7 - 3^ ^2 (voor ^> 300)
>a Ga na dat volgens de formule geldt: q stijgt als P daalt.
>b De omzet R is gelijk aan qxP.
Bereken de prijs van het artikel waarvan de omzet maximaal is.
17. Om 24.00 uur vaart het schip de Bruinvis 125 km precies ten zuiden van het
schip de Albatros.
De Bruinvis vaart in noordelijke richting met een snelheid van 20 km/u, de Al-
batros gaat oostwaarts met 15 km/u.
>a Teken op schaal de posities van
15 km/u
A en B om 02.00 uur en om
04.00 uur.
Bereken ook de onderlinge af-
stand van beide schepen op die
tijden.
>b Druk de onderlinge afstand van
A tot B, ï uur na middernacht, uit
inr.
>c Bereken op welk tijdstp de af-
stand tussen de beide schepen
minimaal is.
N
A
ï
Z
O
W
CS
t
20 km/u
\
B
18. Een boot nadert de kust met een snelheid van 9 m/sec. Op een gegeven moment
{t = 0) worden de motoren afgezet. De snelheid / seconden na het afzetten van
de motor wordt gegeven door de formule: v(/) = (3 - ^ t)^
>a Leg uit dat de afgelegde afstand van de boot, na het afzetten van de motor
gegeven wordt door de formule: j(/) = 18 - |(3 - ^t)^
>b Hoeveel meter drijft de boot uit?