-ocr page 1-
OP MAAT GESNEDEN
wiskunde B
-ocr page 2-
OP MAAT GESNEDEN
Hawex - Wiskunde B
-ocr page 3-
OP MAAT GESNEDEN
Een produktie ten behoeve van het project Hawex.
Anton Roodhardt
Martin Kindt
Jan de Jong
Henk van der Kooy
Jan de Lange
Martin van Reeuwijk
Ontwerper:
Met medewerking van:
Ada Ritzer
Vormgeving:
© 1990: 3e versie
Utrecht, september 1990
-ocr page 4-
Inhoudsopgave
De opbouw van dit boekje
1.    Afstanden.....................................................1
2.    Hoeken.......................................................9
3.    Snijding.....................................................15
4.    Aanzichten...................................................21
5.    Doorsneden...................................................27
6.    Bewegingen..................................................34
7.    Combinatievraagstukken en herhaling..............................38
-ocr page 5-
De opbouw van dit boekje.
Afstemden, hoeken, snijpunten, snijlijnen, bewegingen en fragmenttekeningen als
aanzichten, doorsneden en uitslagen zijn in de vorige boekjes al terloops aan de orde
gekomen bij andere onderwerpen. In dit boekje wordt die kennis samengevat en af-
gerond.
Bij grotere vraagstukken is vaak inzicht nodig in de samenhang van ogenschijnlijk
zeer uiteenlopende leerstofonderdelen. Daarom bevat het boekje een zelfstandig
deel waarin veel combinatievraagstukken voorkomen. Die vraagstukken hebben
dus niet alleen een herhalingsfunctie.
-ocr page 6-
-1-
1 Afstanden.
Afstanden tussen punten, lijnen en vlakken zijn er in soorten: punt-punt; punt-lijn;
punt-vlak; lijn-lijn; lijn-vlak; vlak-vlak.
Voor de afstand tussen twee figuren kiest men de lengte van de kortste verbinding.
Daardoor wordt elke afstand teruggebracht tot de afstand van twee punten.
de afstand tussen twee objecten
De afstand van twee punten is vaak
te berekenen door een of meer
rechthoekige driehoeken te gebrui-
ken.
>a Bereken de afstand van P tot Q
in de kubus.
We nemen OA, OC, en OD alsx-, y-
en z-as van een coördinatenstelsel.
>b B epaal de coördinaten van f en
Q.
kubus met ribbe = 4
De lengten van de zijden van de rechthoekige driehoeken die voor de bereke-
ning in >a gebruikt zijn, zijn terug te vinden uit de coördinaten van P en Q.
>c Ga dat na.
-ocr page 7-
2. Er bestaat zelfs een algemene formule om de afstand van twee punten recht-
streeks uit de coördinaten te berekenen.
> Controleer het betoog in het kader hieronder:
De afstand tussen twee punten:
B (J^B ' ^B * ^B^
z
^
(•^A'^A'^'a) ^b->'a
Door twee keer de stelling van Pythagoras toe te passen vinden we
Omdat de verschillen van de coördinaten gekwadrateerd worden,
maakt de volgorde y^ -y^ of 3'g -y^ niet uit.
Gebruikelijk is dan ook te schrijven:
AB'^= (^^-a:b)V(3'^-}'5)V(z^-Z5)^ of
3.    In een Oxyz-stelsel zijn gegeven ^4(3,6,2), i5(-l,4,5) en C(-3,2,^).
> Bereken de lengte van AB, van AC en van BC.
4.    Misschien weet je uit de vlakke meetkunde hoe je de coördinaten van het
zwaartepunt Z van een driehoek ABC kunt berekenen:
^'-as
Voorbeeld:
^A'^^B'^^C _ 22
^z =
_yA+yB+yc_.
yz ï ^•
5(5,3)
In de ruimte komt er een soortgelij-
ke formule voor de z-coördinaten
bij.
jc-as
-ocr page 8-
-3-
D (-1.4,7)
Zj is het zwaartepunt van AABD, Z^
het zwaartepunt van tsBCD.
>a Bereken de afstand van Zj en
F, Q en i? zijn de middens van de
C (-2,9,2) zijden van driehoek ABD. *)
>b Bereken de cioördinaten van
het zwaartepunt van tsPQR.
5(6,8.1)                      Ook toevallig?
5. >a In elk van deze tekeningen is de afstand (d) gelijk aan de lengte van een
loodlijn. Controleer of dat in overeenstemming is met de afspraak aan het
begin van dit hoofdstuk.
l
/
ril
^T L /enST 1 m
ASl V
punt-vlak
parallelle lijnen
punt-lijn
'n-:S-
V?
C-"^.
yzA-y
STl VenST 1 W
STL IcnSTL V
parallelle vlakken
lijn // vlak
>b In de laatste drie gevallen zijn er meer loodlijnen mogelijk.
Kan dat geen moeilijkheden geven?
>c In het begin van dit hoofdstuk zijn verschillende soorten afstanden ge-
noemd. Bij elk ervan zijn liggingen van punten, lijnen en vlakken te beden-
ken, waarbij je kunt zeggen dat de afstand O is.
Geef daarvan voorbeelden.
>d Kun je ook spreken over b.v. de afstand van een lijn tot een kubus?
*) De x-coördinaat van het midden van een lijnstuk vind je door het gemiddelde te nemen
van de jc-coördinaten van de eindpunten, zo ook voor de y- en z- coördinaat
-ocr page 9-
Bij afstanden hebben we vaak met twee problemen te maken:
PrHoe breng je de afstand in beeld?
2*: Hoe bereken je de afstand?
De handigste manier van berekenen is afhankelijk van de situatie.
We noemen een aantal hulpmiddelen.
-  rechthoekige driehoeken
-  coördinaten, die je ook zelf mag invoeren
-  evenredigheden in gelijkvormige driehoeken
-  twee hoogtelijnstellingen:
h ■ a = b • c
CF.AB=BE.AC = AD.BC *)
A c B
6. > Deze hoogtelijnenstellingen kunnen worden beredeneerd door naar de op-
pervlakte van de driehoeken te kijken. Geef die redenering.
7. Van de balk ABCD.EFGH zijn de afmetingen in cm gegeven.
H
. P
9^.:......
—■r-......
>a Teken op ware grootte het diagonaalvlak ACGE met de loodlijnen MP en
GQ.
>b Bereken Gö en MP.
*) Zie oefenles 22
-ocr page 10-
-5-
8.
>a Teken (op het werkblad) en bereken de afstand tussen:
BenEH
AenFH
GenBCH
AG en CE
CD en EF
AHenBCF
FGenBCH
>b P is het midden van AB&nQ het midden van EF.
Teken en bereken de afstand tussen de vlakken PEH en QBC.
>c Bereken de afstand van F tot ACH.
Aanwijzing: In 'Tekenen wat je weet' is de bijzondere ligging van vlak
ACH en een lichaamsdiagonaal onderzocht. Symmetrie maakt het aanne-
melijk dat de loodlijn in vlak BDHF ligt.
9. TABCD is een piramide met rechthoek ABCD als grondvlak en TS l grond-
vlak. M is het midden van AD.
Teken en bereken de afstand tussen:
>a Ten BC.
>h Men TBC.
>c A en TBC.
>d TBC en het vlak door S dat parallel is
met vlak TBC.
In de vorige vraagstukken bleek het tekenen van een loodlijn betrekkelijk eenvou-
dig te zijn als die loodlijn naar een bekend punt ging of in een vlak parallel met het
tafereel lag. Maar dat zijn wel erg mooie situaties.
-ocr page 11-
-6-
10.  In de balk moet de afstand
van H tot AG getekend en be-
rekend worden. Het tekenen
van HP {P is het trefpunt van
de loodlijn uit H op AG) lukt
nu niet rechtsreeks.
Alle verbindingslijnstukken
tussen H en AG liggen in het
diagonaalvlak ABGH.
De afstand tussen H en AG
kan dus zichtbaar gemaakt
worden door vlak ABGH op
ware grootte uit de ruimtelij-
ke figuur te lichten.
>a Teken rechthoek ABGH op ware grootte en teken daarin loodlijn HP.
>b Bereken de afstand van H tot AG.
>c Bedenk een methode om punt P vanuit de ware grootte tekening over te
brengen naar de ruimtelijke tekening.
11.  > Neem de tekening van opgave 9 over en teken daarin de loodlijn vanuit 5
op vlak ABT.
Aanwijzing: Zoek eerst een vlak waarin de loodlijn moet liggen.
12. Voor de afstand tussen twee kruisende lijnen bekijken we deze tekening:
Van een balk is een deel zo weggesneden dat de vlakken DCF en ABE evenwij-
dig zijn en de lijnen AB en CD elkaar kruisen.
>a Waarom is ABDC geen plat vlak?
-ocr page 12-
-7-
& is een aanal horizonuüe verbi„di„gslij„.,„kken tussen AB en CD getekend
>b In werkelpheid is BD daarvan „ie. het kortste. Welke dan weP
me da'n ta rfig''„rirnr'"'''"* "°^ "'=' *-^-<' -• »« ''"n i»
"* ^rS" "" "■"■"""-^^ -binding k<„er is dan de hier-
standsprobleetnvank^iZel *„T ''"""■^•S"' ^l*''^"- Hierdoor is het af-
to. eL gen^en'h^SVS Z difS'°' '7^ "^^'^^^^ ^"*-
de kruisende lijnen. Maar s eJhtTSn .X, '^'7"*^=" 8«=f' Oe juiste afstand van
de kruisende liUengeeftrrp":ra:t\rsrvrrX^'''-"-^
'!::"!-
••::•»
"■■■■-ïia-
13. Neem de tekening van opgave 8
>a ^«enCF.                 >b SC en AM
>c AC en O//,                 ^ ftw^«^^
-ocr page 13-
-8-
14. Bij deze parallelprojectie van een
regelmatige piramide TABCD is
driehoek TAC op ware grootte.
>a
Teken de gemeenschappelij-
ke loodlijn van BD en TC.
Doe hetzelfde voor AC en TB.
Je kunt bij dit bijzondere
lichaam het resultaat van
vraag >a gebruiken!
>b
15.
Deze buizenconstructie kun je zien als een aantal kubussen met lichaamsdiago-
nalen. De ribben hebben een lengte van 2 m.
Voor het vervolg mag je de dikte van de buizen verwaarlozen.
>a Teken de twee kubussen waarin zich de buizen AB en CD bevinden. Teken
daarin ook die twee buizen.
>b In de constructie zijn drie buizen te vinden die AB en CD verbinden. Zet
die ook in de tekening.
>c In welke twee evenwijdige vlakken kun je AB en CD 'verpakken'?
>d Misschien is het mogelijk een kortere verbindingsbuis tussen AB en CD te
maken. Hoe lang moet die buis dan minimaal zijn?
-ocr page 14-
-9-
2 Hoeken
In dit hoofdstuk bekijken we hoeken die voorkomen bij lijnen en vlakken.
I. De hoek tussen snijdende lijnen l en m.
Als de vier gevormde hoeken niet
recht zijn, kiest men de scherpe.
Elke andere soort hoek wordt terug gebracht tot een hoek tussen twee snijdende
lijnen.
II. De hoek tussen kruisende lijnen l en m.
Eén of beide lijnen worden verschoven
tot er snijding optreedt.
Hier geldt Z ij/n) = Z {l^').
in. De hoek tussen lijn l en vlak V.
l wordt loodrecht op V geprojecteerd
tot /'.
Z (/,V) = Z (/,/').
Een bijzonder geval is IlV.
IV. De hoek tussen de vlakken V en W.
lenm worden loodrecht op de snijlijn
van VenW getekend.
Z(y,W) = Zil,m).
Het vlak door / en m staat loodrecht op
de snijlijn en wordt standvlak ge-
noemd. Daarnaar heet de hoek stand-
hoek.
In de richting van de snijlijn kijkend zie je dit:
V
snijlijn
-ocr page 15-
-10-
1. Teken en benader in hele graden de volgende hoeken in een kubus
ABCD.EFGB. Dat tekenen moet in de figuur, maar in lastige gevallen verdient
het aanbeveling de vlakken waarin zich de berekeningen afspelen eerst uit de
figuur te lichten.
>a
Z (AB,BG).
>b
Z {AH,FC).
>c
Z (AB,EC).
>d
Z (AC,AG).
>e
Z (AHJ)AB). *
>f
Z (ECEBQ.
>g
Z {DABPAF).
>h
Z {FBCJDBG).
TABCD is een regelmatige pira-
mide met AB = 4 en hoogte 6.
Teken en benader in gehele gra-
den:
>a Z{AT,CT).
>h Z{TADABC).
>c Z{TAD,TBC).
3. In de figuur van opgave 2 worden de loodlijnen uit A en C op TB getekend.
>a Waarom komen die hier in hetzelfde punt P uit?
Z APC oftewel het supplement ervan (180^ - Z APC ) is de hoek tussen de
vlakken TAB en TBC.
>b Teken die hoek op ware grootte.
>c Teken de hoek ook op de juiste plaats in de ruimtelijke figuur.
*) Met drie letters wordt een vlak aangegeven (hierDAÖ)
-ocr page 16-
-11-
Bij de berekening van hoeken zijn rechthoe-
kige driehoeken een belangrijk hulpmiddel.
Het kan echter wel eens lastig zijn om de
hoek in zo'n driehoek onder te brengen, zo-
als hiernaast in de kubus bij Z {BEfiK).
In zo'n geval kan de cosinusregel gebruikt
worden. *)
Opfrisser:
In elke driehoek ABC is:
fiC^ = AB'^ + A& -lABAC- cosZA.
Als de drie zijden van een driehoek bekend
zijn, kan elke hoek worden gevonden.
.//
^^! '""^——-^
^k ""■••.
"'—A—
••*
/ ^
^•*
^**
B/
4. ABCD.EFGH is een kubus. GK = KC=\.
>a Benader in gehele graden Z EBK.
>b Is dat de hoek tussen BE en EKl
>c Bepaal met behulp van de cosinusregel de hoek tussen KB en KH.
5.
zijaanzicht            *— P *
Uit de foto kun je opmaken
dat het dek van dit schip
door een schuifbeweging
kan worden opgevouwen.
In het zijaanzicht betekent
dat een horizontale ver-
schuiving van P, waardoor
de hoogte van Q verandert.
Er bestaat een verband tussen de afstand van P tot O en de grootte van x.
>a Bereken die afstand (in 1 decimaal) als x = 30.
>b De lengte van OP varieert van 3 tot 6. Welke waarden neemt de hoek tus-
sen de twee schuine vlakken dan aan? (afronden op hele graden).
>c Welke baan beschrijft de vouwlijn door Q voor O < OP < 10?
>d We maken er nu een zuiver theoretisch probleem van. PQ wordt 3 en OQ
blijft 5. Ook zulke standen mogen:                    ^ n
O              P
Welke lengten kan OP hebben en welke baan beschrijft Q dan?
*) Zie ook oefenles 23
-ocr page 17-
-12-
6. Dit is de hand van een robot die met een staafje moet manipuleren:
>a De vhikken waarmee
COMPUANT
OVERLOAD STTUCnXE
een voorwerp wordt
vastgehouden blijven
parallel. Hoe is daar
voor gezorgd?
Om voldoende houvast te
bieden moet het voorwerp
aan een aantal eisen vol-
doen:
eis 1: De afstand tussen de
aangegrepen vlakken moet
natuurlijk kleiner zijn dan
de maximale opening tus-
TACHOMETER
DtOITAl. ENCOOER
ON BOARD
ELECTHONCS
ANTI-
BACKLASH QEARS
ELECTRK
TOnOUE MOTOR
WORM AND
SECTOR QEARS
OPTICAL
LIMIT swrrcH
PARALLELOGRAM
FWGER STTIUCTURE
T»> SENSOR
sen de vingers.
Scciional vieu of the parallcl-ja» hand
eis 2: Die vlakken moeten voldoende oppervlakte tegenover elkaar hebben.
Voorbeeld: Dit is de loodrechte doorsnede van een "moeilijke" staaf:
Bij deze stand zouden de aangegrepen vlakken twee rechthoeken
ABCD en PQRS tegenover elkaar hebben.
robot
vinger
In deze tekening hiernaast zie je al-
leen de zijden AB en PQ.
De oppervlakte die de vlakken tegen-
over elkaar hebben is dan de opper-
vlakte van één zo'n rechthoek.
eis 3: Die vlakken moeten parallel of
bijna parallel zijn.
De volgende opdrachten gaan over een staafje met een lengte van 200 mm en
een loodrechte doorsnede volgens deze tekening:
>b Bereken of de afstand tussen de vlak-
ken door AB en CD niet te groot is.
ABIIDC
>c Hoeveel cm^ van het tegenover el-
kaar liggende oppervlak van deze
vlakken kan zich tussen de vingers
bevinden? De richting van de vingers
staat loodrecht op de lengterichting
van de staaf.
Is deze voorwaarde van belang?
>d De afwijking van de parallelle stand
mag niet meer dan 2° bedragen. Vol-
doen de twee zijvlakken door AD en
BC van de staaf aan deze bijna-paral-
lelliteitsvoorwaarde?
(lengten in mm)
maximale ruimte tussen'(te vingers is 45 mm
-ocr page 18-
■13-
7. Hoeken en afstanden in een buizenconstructie.
De tekening hierboven is een
schets van het lichaam in het
midden van de foto.
Het bestaat uit een balk en
twee regelmatige piramiden.
AB = 150 cm , >i£: = 200 cm
en de piramiden hebben een
hoogte van 100 cm.
De dikte van de staven is ver-
waarloosd.
Om de hierna gevraagde hoeken en afstanden te bepalen moetje eerst geschikte
deeltekeningen op schaal 1:25 maken. Hieruit moetje de antwoorden met be-
hulp van metingen vinden.
Opmerking: Als de gevraagde afstand of hoek gelijk is aan een hoek of lengte
in een van de tekeningen die je al hebt, dan is een toelichting voldoende en hoef
je geen nieuwe tekening te maken.
Meet de afstand en de hoek tussen:
>a   RE en TA                  >d EFRtnATB              >g ATtnFGR
>b  RE en TB                  >e EFRenCTD
>c   RE en TC                  >f EFRenBCT
>h   Controleer de nauwkeurigheid van je antwoorden met berekeningen.
-ocr page 19-
-14-
8. Het glazen paviljoen.
Het zichtbare deel van de eer-
ste 'schakel' heeft deze vorm:
In werkelijkheid geldt: Z EFG = 90°. Vierhoek ABCD is een rechthoekig tra-
pezium (AB // DC, ZB = ZC = 90°). DH is symmetrieas van het zijvlak EFD,
KE, DH, AF enBG staan loodrecht op het grondvlak.
>a Toon aan dat vlak HDC parallel is met vlak ABGF.
Voor de constructie van het bouwwerk zijn de afmetingen van vierhoek ABCD
erg belangrijk. Z A heeft daarin een sleutelrol.
>b Maak van karton een model met onderstaande afmetingen (in cm).
C                   Vouw het model in de goede stand en
bepaal experimenteel vlak ABCD.
Meet ZAtn DC.
B
>c Z A kan ook gevonden worden uit een tekening op schaal van driehoek
ABD. Daarvoor zijn wel enkele hulptekeningen nodig.
Maak die schaaltekening en meet weer Z A.
De voorgaande methoden zijn niet erg nauwkeurig.
Een afwijking van 1 mm bij BG in het kartonmodel kan bij het echte gebouw
wel een afwijking van zo'n 3 cm geven.
>d Controleer dat.
Het is dan ook veiliger de benodigde maten met berekeningen te bepalen.
>e Bereken ZA.
>f Veronderstel dat het model op schaal 1:50 is.
Bereken in mm nauwkeurig de lengte van CD en de hoogte van C ten op-
zichte van de grond.
-ocr page 20-
-15-
3 Snijding
1. Een minipracticum.
>a Vouw een rechthoekig stuk stevig papier langs een lijn die parallel is met
de zijlijnen. Het geheel kan zonder wiebelen op de tafel staan.
kv\\^\\\^5^^
a b
>b Neem nu een vouwlijn die niet parallel is met de zijlijnen.
Het geheel kan nu wèl wiebelen.
Hoeveel standen zijn er, eventueel met een
beetje hulp, mogelijk?
abc                     Verklaar dat.
>c Van het vorige blad wordt aan de rechterkant een stuk afgeknipt, waardoor
er een nieuwe zijlijn ontstaat.
Hoe moet er geknipt worden om het geheel weer stevig op de tafel te kun-
nen laten staan?
Niet meteen doorlezen!
>d Misschien ben je op het idee gekomen om voor de nieuwe zijlijn het spie-
gelbeeld van a ten opzichte van de as b te nemen.
Voer de opdracht echter ook uit zonder die spiegeling te gebruiken.
>e Als het niet gelukt is, kun je het nog eens proberen door in gedachten het
papier te verlengen tot de vouwlijn de linkerzijkant treft.
Door het tafelblad erbij te rekenen, kunnen we zeggen dat er sprake is van drie vlak-
ken met drie snijlijnen.
Er zijn maar twee situaties mogelijk:
1   De drie snijlijnen zijn parallel.
2   De drie snijlijnen gaan door één punt.
.oJ>'
ss\v\\v^ss^\\^^^
sVVVVVVVVVVVVVV^
Om gemakkelijker naar deze theorie te kunnen verwijzen, geven we hieraan
de naam: drievlakkenstelling.
-ocr page 21-
-16-
2.
Van de balken ABCD.EFGH wordt een deel afgesneden door een vlak door P,
QenR.
> Teken in de figuren op het werkblad de randen van die doorsnijding.
TABCD is een piramide.
Geef bij de volgende opdrachten een
beschrijving van de werkwijze en een
verklaring van de juistheid van het re-
^</!................./.................\.............................!!\/^ sultaat.
3.
>a Teken de snijlijn van de vlakken
TAB en TCD.
ADIIBC >b Eveneens van de vlakken TAD en
C                       TBC.
4. ABCD.EFGH is een balk. KL IIFG.
Een vlak V draait om KL.
In vlak BCGF ontstaat dan een serie evenwij-
dige lijnen.
>a Waarom?
Als V door P gaat, ontstaat er een snijlijn van
V en ABCD die evenwijdig is met KL.
>b Beredeneer dat.
Het vlak V laten we nu draaien om KP.
>c Teken de doorsnijdingsfiguur van V met
de balk in het geval G in F ligt. Welke snijlijnen zijn nu evenwijdig?
De volgende regel is nuttig om te onthouden:
Als twee evenwijdige vlakken gesneden worden door een derde vlak, dan
zijn de snijlijnen evenwijdig.
-ocr page 22-
-17-
5. ABCD.EFGH is een
balk.
Het vlak PQR ver-
deelt de balk in twee
delen.
> Waar snijdt dat
vlak de ribbe
CGl
Snijpunt lijn-vlak.
Het vinden van het snijpunt van een lijn en een vlak vraagt meestal een omweg. We
bekijken dat probleem in een voorbeeld.                                        //
6. Gevraagd wordt het snijpunt van lijn
fiH met vlak ACGÊ.
Idee: Eigenlijk kun je in een tekening
alleen maar het snijpunt van twee lij-
nen direct zien. In het vlak ACGE
zou je een lijn moeten tekenen, waar-
van je zeker weet dat die BH snijdt
(en niet kruist).
>a Snijdt of kruist BH de lijn AC?
En de lijn EGl
>h BH ligt in het vlak BDHF.
Teken de snijlijn s van BDHF
met ACGE.
>c Hoe weet je dat s de lijn BH niet
kruist?
>d Hoe kun je nu het snijpunt van BH met vlak ACGE vinden?
De methode van opgave 6 kun je vaak toepassen.
Het gaat om het vinden van het snijpunt van de lijn / met het vlak V in een gegeven
figuur.
De werkwijze is:
•      Kies in de figuur een hulpvlak W dat / bevat en V snijdt.
•      Teken de snijlijn s van W en V.
•      Het snijpunt van / met s is het gevraagde punt.
-ocr page 23-
-18-
TABCD is een willekeurige piramide.
/ is de lijn AP. V is vlak TBD.
>a Bekijk de hiervoor geschetste werk-
wijze. Welk vlak kan nu de rol van
hulpvlak W spelen?
>b Teken het snijpunt van de lijn AP met
het vlak TBD.
7.
TABCD is een willekeurige piramide.
>a Teken het snijpunt van PQ met het
diagonaalvlak TAC.
>b Teken het snijpunt van PQ met het
grondvlak.
9. ABCD.EFGH is een prisma.
> Teken het snijpunt van PQ met vlak
ACGE.
10. Piramide T.ABCD wordt doorsneden
door het vlak Fö/?-
>a Teken die doorsnede.
>b Teken de snijlijn van vlak PQR met
vlak AfiCD.
-ocr page 24-
-19-
11.  Een punt beweegt zich rechtlijnig
en is bij P de balk binnengetreden.
>a Teken de plaats waar dat punt
weer uit de balk komt.
Een ander rechtlijnig bewegend
punt is bij Q erin en bij R er uit ge-
gaan, (ö ligt in bovenvlak, R in
rechterzijvlak).
>b Waar wordt het grondvlak ge-
troffen?
12.  In de foto hiernaast is te zien
dat het draadmodel van de ku-
bus met achtvlak niet perfect
overeenstemt met de ideale
meetkundige vorm. Bij de op-
drachten mag je uitgaan van de
ideale vorm.
>a Maak een tekening in pa-
rallelprojectie van het
draadmodel. (Ongeveer in
de stand op de foto en op
hetzelfde formaat).
Op i van de hoogte h van de
kubus wordt een plaat parallel
met het grondvlak aange-
bracht. Hierin komen gaten
voor de draden in de kubus.
>b Teken in de figuur van >a dit vlak met de gaten.
>c Maak een tekening op schaal van dat vlak met gaten.
h tot I h, dan moeten er
Als de hoogte van de plaat moet kunnen variëren van
gleuven in plaats van gaten komen.
>d Teken in de schaalfiguur die gleuven.
>e Extra probleem voor onderzoekers:
Stel dat de plaat van opgave >c echt in de bestaande draadfiguur moet wor-
den aangebracht. Dan zal er in de plaat geknipt moeten worden, maar liefst
niet te veel. Het maakt ook verschil of de plaat wel of niet buigzaam of rek-
baar is. Het is dus een groep problemen waarvoor nog geen oplossing be-
kend is.
-ocr page 25-
-20-
>a Denk je de twee zichtbare delen van het pannendak uitgebreid tot de grond
gesneden wordt.
Teken in de figuur op het werkblad de snijlijnen met de grond.
>b Een persoon in het gebied tussen huis en fotograaf kan öf alleen het voorste
dak zien öf alleen het zijdak öf beide öf geen van beide. Dat is afhankelijk
van de standplaats. Hierdoor wordt dat gebied in vier stukken opgedeeld.
Teken die gebieden op het werkblad. Kies zelf een redelijke ooghoogte
voor de kijker.
14.
- horizon
Op het werkblad staat een vereenvoudigde tekening uit een ander standpunt.
>a Wat is er met het standpunt gebeurd?
>b De zon schijnt precies uit de richting van de snijlijn van de twee daken.
Teken op de grond voor de deur de schaduw van het huis.
-ocr page 26-
-21-
4 Aanzichten
Bij de projektiemethoden ging het meestal om de hele figuur.
In de praktijk echter gebruikt men oökfragmenttekeningen, zoals bijvoorbeeld aan-
zichten.
Parallel met een geschikt vlak van het object kun je je een glasplaat voorstellen.
Hierop wordt getekend wat er te zien is. Daarbij moet de afstand van de plaat tot het
voorwerp zeer klein zijn t.o.v. de afstand van het oog tot het voorwerp, want de
wens is een loodrechte parallelprojectie.
Het voordeel van zo'n tekening is de maatgetrouwheid, eventueel op schaal. De
dieptewerking gaat verloren, maar dat is weer goed te maken door meer aanzichten
te geven of door andere tekeningen toe te voegen.
Ook worden wel eens stippellijnen gezet voor belangrijke lijnen die niet direct
zichtbaar zijn.
-ocr page 27-
-22-
1. > Teken van de olifant een vooraanzicht, een rechterzijaanzicht en een bo-
venaanzicht. Gebruik voor elk van de aanzichten dezelfde schaal. Je mag
zelf de maten kiezen, maar ze mogen op de verschillende tekeningen niet
met elkaar in strijd zijn. (Men spreekt ook wel van aanzichten in de x-rich-
ting, y-richting en z-richting).
2. De Africar.
De Africar is ontworpen
voor Derde-Wereldom-
standigheden. De auto is
zo eenvoudig mogelijk ge-
houden.
De opbouw is bv. van tri-
plex.
Een van de vele typen van de Africar: de 4x4 personen- en laadwagen.
Enkele aanzichten
-ocr page 28-
-23-
>a Wat zijn de minimale binnenafmetingen van een kist waarin de auto past?
>b Op het bovenaanzicht bestaat de motorkap uit een bijna vierkante plaat.
Wat zijn de werkelijke afmetingen daarvan?
>c De spijl tussen voorruit en zijruit helt t.o.v. het horizontale vlak.
Waarom is de ware grootte van de hoek tussen die spijl en het horizontale
vlak in geen van de aanzichten te zien?
>d Geef een methode waarmee je die hoek kunt berekenen en tekenen. Je
hoeft de berekening of nauwkeurige tekening zelf niet uit te voeren, want
het aflezen van de gegevens uit de kleine figuren is erg lastig en onnauw-
keurig.
In de tuin van de Catharijnekerk in Utrecht staat een kunstwerk dat is opge-
bouwd uit stenen balken die allemaal even groot zijn (40 x 40 x 200 cm). Zowel
van voren als van opzij kun je door het kunstwerk heenkijken.
zijaanzicht             vooraanzicht
>a Kun je er ook van boven doorheen kijken?
>b Maak met dunne lijnen een tekening van het kunstwerk in scheve projectie.
Denk het geheel in een balk geplaatst waarvan een verticaal diagonaalvlak
in het vlak van de tekening komt. De wijkhoek is 30° en de verkortingsver-
houding is i.
>c Niet alle lijnen in de vorige tekening zijn zichtbaar.
Geef met dikke lijnen de zichtbare aan.
TABCD is een piramide met TS loodrecht
op het rechthoekige grondvlak ABCD.
l is de lijn door S evenwijdig aan BC.
TS wordt over een hoek van 30° rechtsom
gedraaid om de as /. De eindstand is PS.
>a Teken PS in de figuur.
>b Teken een aanzicht waarmee vastge-
steld kan worden of er snijpunten be-
staan van de opstaande ribben van pi-
ramiden P.ABCD en T.ABCD.
-ocr page 29-
-24-
5. Een klankzuil van Quart.
De bodem van de kast is een regelmatige vijfhoek.
De eveneens vijfhoekige bovenkant is wel symme-
trisch maar niet regelmatig.
De hoogste zijde hiervan loopt horizontaal.
Op het werkblad zijn op schaal getekend:
-  het grondvlak
-  de kortste opstaande ribbe
-  de langste opstaande ribbe(n)
>a Geef in dat grondvlak de richting aan van waaruit
je een zijaanzicht krijgt met het bovenvlak als
lijnstuk.
>b Maak een schaaltekening van dat zijaanzicht.
>c Teken op schaal de ware vorm van de verschil-
lende zijvlakken.
>d Teken de ware vorm van het bovenvlak.
Om de vorm van een voorwerp goed te leren kennen, bekijk je het van verschillende
kanten. Heel gebruikelijk is het daarbij drie onderling loodrechte kijkrichtingen te
nemen. Als voorbeeld dient dit ijzeren blokje in een glazen bak.
.'-'I
•f-"'
( '
■MhP ^
op de zes vlakken van de bak zouden aan-
zichten van het blokje getekend kunnen wor-
den. Hier is dat bij drie gedaan.
Het resultaat is ook op te vatten als een drie-
tal bij elkaar horende projecties op de Oxy-,
Oyz- en Ojcz-vlakken.
Bij het technisch tekenen zijn er afspraken
over de manier van tekenen (bv. rekening
houden met wel of niet zichtbaar zijn). In dit
boekje gaan we iets vrijer met de stof om.
6.
>a Teken van het blokje in de bak het vooraanzicht (x-richting), het rechter-
zijaanzicht (y-richting) en het bovenaanzicht (z-richting).
>b Oxyz kan als coördinatenstelsel gebruikt worden.
Toon aan: Als een punt van het blokje in twee van de drie projecties voor-
komt is ook de plaats in de derde projectie bekend.
-ocr page 30-
-25-
De zijvlakken van de bak zijn losgemaakt langs de assen en vervolgens in het
tafereel gedraaid. Dat levert dit plaatje:
/
O
>c Beschrijf precies wat er gebeurd is.
>d Buiten het blokje zweeft een los punt P. Kies in het 702-vlak van de teke-
ning voor >c een punt dat het beeld van P kan voorstellen. Maak ook de
andere twee beelden.
In deze glazen kubus bevindt zich
een driehoekig metalen plaatje
PQR. De kubus wordt zo gehou-
den dat de zon er van boven af in-
schijnt, (richting Fïï).
In ABCD ontstaat nu de schaduw
Pjöi^i- Vervolgens wordt de ku-
bus zo gehouden dat de stralen uit
de richting AB komen. Zo ontstaat
in BCGF de schaduw P2Q2R2'
7.
> Teken in de kubus driehoek PQR. Een zorgvuldige verklaring van de werk-
wijze is noodzakeüjk.
-ocr page 31-
-26-
8. Een complete projectiefiguur moet het mogelijk maken de werkelijkheid te re-
construeren. Zo zouden drie aanzichten in ieder geval de hoofdvormen van het
voorwerp moeten kunnen leveren. Als die aanzichten echter zelf onvolledig
zijn, zijn er meerdere reconstructiemogelijkheden. Maar niet elke reconstructie
is logisch. Er bestaan computerprogramma's die de mogelijkheden onderzoe-
ken en tenslotte een keus doen. Dit is de invoer die een computer gekregen
heeft. De uitvoer werd een plaatje van het object in parallelprojectie.
é\
ft
> Evenaar de computer door een schets te maken van een logische recon-
structie van het object.
9. In de tekening hiernaast van een be-                              r
weegbare staalconstructie stelt de
lijn door 5 en 7 een centrale mast
voor die loodrecht op het grondvlak
ABCD staat. ABCD is een vast vier-
kant. T kan langs de mast schuiven.
Dat is mogelijk gemaakt door de
spanten scharnierend te maken in
de punten A, B, C, D, E, F,GenH
en in de eindpunten. De punten E en
G kunnen bewegen in het vlak ACT
en de punten F en H in het vlak
DBT. De scharnieren in de acht
punten kunnen, net als een elle-
boog, een hoek van maximaal 180°
vormen.
Verder is nog gegeven: SC = 2,
CG = 4 en TG = 8.
>a Bereken de kleinste en de
grootste lengte die TS kan heb-
ben. Hoe groot is de hoek ^ in
die gevallen?
>b Stel (> = 60°. Teken aanzichten uit de richtingen TS, BD en BC.
>c Toon aan dat CG en ET parallel zijn als ^ = 60*^.
-ocr page 32-
-27-
5 Doorsneden
Aanzichten geven een beperkte kijk op een object. Om meer informatie te geven
kunnen doorsneden worden gemaakt.
Een serie doorsneden kan zelfs veel vertellen, zoals in deze visie van een kunste-
naar.
Een archeoloog wil nauwkeurig de vorm vastleggen van een gegraven gat dat
vroeger dienst deed als graanbergplaats.
Daarvoor gaat hij vanuit het midden van het gat op verschillende hoogten de
afstanden tot de rand meten. De resultaten worden tot een hoogtekaart ver-
werkt. Deze hoogtekaart staat op de volgende bladzijde. De kaart is onvolledig
door een verstoring van de putwand.
Uit deze kaart kunnen verticale doorsneden van de put worden afgeleid. Hier-
van zijn er twee gegeven.                                 ,
>a Welk van de vier in de kaart -n^ajsr
met nummers aangegeven
doorsneden zijn dit?
>b Maak de doorsnede voor 4-8.
-ocr page 33-
-28-
Recording the measurements of a grain pit belonging to the Middie Neo-
lithic period, at Vadastra (excavations, Ck^rneliu N. Mateescu, 1969)
We geven een overzicht van wat zo voor en na al
eens aan de orde is gekomen. Bij het maken van
een doorsnijdingsfiguur (meestal doorsnede ge-
noemd) moeten alle snijlijnen van het doorsnij-
dingsvlak met de zijvlakken (inclusief grond- en
bovenvlak) van het lichaam worden getekend.
De doorsnede van een vlak met de piramide
TABCD kan een vijfhoek zijn (zie figuur).
2. >a Kan de doorsnede van een vlak met
T.ABCD een vierhoek zijn? Zo ja,
schets een voorbeeld.
>b Dezelfde opdracht met vervanging van vierhoek door driehoek.
De wijze waarop de tekening van een doorsnede is ontstaan, is vaak niet af te lezen
uit het plaatje. Daarom zijn beschrijvingen van de constructie meestal nodig.
-ocr page 34-
-29-
Soms is er ook een redenering nodig om aan te tonen dat het getekende punt of de
getekende lijn correct is. Dat kan worden gedaan in een verklarende toelichting.
We noemen nog enkele handigheidjes:
-     een vlak of een lijn in gedachten uitbreiden tot een lijn van het andere vlak ge-
sneden wordt;
-     toewerken naar twee punten van de snijlijn;
-    gebruik maken van de regel over drie vlakken met drie snijlijnen;
-     gebruik maken van evenwijdige snijlijnen.
Als voorbeeld nemen we de constructie van de doorsnede uit het vorige plaatje. Dit
voorbeeld staat niet model voor de doorsneden, die we als regel moeten maken.
Daarvoor is het te gekunsteld. Maar het illustreert wel bepaalde gedachtengangen.
Gegeven is de piramide T.ABCD met
de punten K, L, N.
Gevraagd wordt de doorsnede van vlak
Kil/ met de piramide.
L B
> Doe stap voor stap de constructie mee.
overwegingen (in gedachten)
-     KL is te tekenen en zal ergens
vlak TBC snijden. Dat kan alleen
in TB.
-     Van de doorsnede met TBC zijn
nu twee punten (P en N) bekend.
-     In TCD ligt al N. Er moet nog een
punt bijgevonden worden. Dat
kan door LM te snijden met CD.
-     ON doet de rest.
beschrijvingen (op papier)
-    Teken KL tot TB gesneden wordt,
noem het snijpunt P.
-    Teken PN en noem het snijpunt
metfiC M en verbind L en M.
-     Snijd LM met CD (O).
Teken ON. Het snijpunt met TD
noem je Q. Verbind Q en K.
-ocr page 35-
-30-
4.
>a Teken de doorsnede van vlak PQG met de kubus ABCD.EFGH.
>b Teken ook de doorsnede van de kubus met het vlak door B dat parallel is
met de doorsnede van >a.
Pictori'a/
of f/g. 274
-Obli'que ei reu/ar cones-
Y\v,. 273. UectaiiKlo-to-circle tr.-insition.
Dit is het verbindingsstuk tussen een vierkante pijp (beneden) en een ronde pijp
(boven).
De laagste horizontale doorsnede is een vierkant, de hoogste is een cirkel. De
zijkanten bestaan uit driehoeken en gedeelten van mantels van scheve kegels
(let maar op de ligging van de toppen L, M,...).
> Ontwerp bij elkaar passende doorsneden van het verbindingsstuk op |, |
en 2 van de hoogte. Ga wel eerst na of de ronde gedeelten cirkelbogen zijn.
-ocr page 36-
-31-
6. De piramide van Sexbierum
Deze 21 meter hoge pi-
ramide van het wind-at-
traktiepark Aeolus be-
staat aan de buitenkant
uit spiegelende glaspla-
ten.
De randen daarvan te-
kenen verschillende ty-
pen doorsneden af.
^/
P
■1*Sm>~-.
We gebruiken:
Type I: door K, P, N
Type II: doorL,F,//
Type IH: door L,P,M.
Gemakshalve nemen we gefingeerde afmetingen, zodat constructies op ware
grootte mogelijk zijn.
Gegevens: De piramide is regelmatig met een hoogte van 7 cm.
De diagonaal van het grondvlak is 16 cm.
De opstaande ribbe wordt in vier gelijke delen verdeeld.
De drie tussenpunten en de twee eindpunten vormen de vijf mogelijke posities
van punt P.
>a Teken op ware grootte de uitgelichte vijf doorsneden van elk van de drie
typen.
(De serie doorsneden van één type kan in één figuur 'genesteld' worden)
>b Bepaal de grootte van de hoeken die de doorsnijdingsvlakken van type II
en type in met het grondvlak maken.
>c P kan nu de hele opstaande ribbe doorlopen.
Leid voor elk van de drie typen doorsneden een formule voor de opper-
vlakte af uitgedrukt in de hoogte h van P ten opzichte van het grondvlak.
-ocr page 37-
-32-
7. Bij dijkaanleg wordt wel gebruik gemaakt van deze blokken met uitsparing.
Oeververdediging Zeeuwse eilanden met glooiingblokl<en volgens systeem Haringman.
Gefabriceerd door Betonfabriek Haringman, Goes.
Opdrachtgever: Rijkswaterstaat, Bureau Delta Dienst.
Iemand die zelf zo'n blok wil maken heeft aan deze plaatjes niet genoeg.
> Teken de benodigde extra informatie in zo weinig mogelijk doorsneden.
Je kunt zelf redelijke afmetingen bedenken.
8. Door de kubus ABCD.EFGH loopt een tunnel HPQR.STBU.
H
>a Zijn de wanden van de tunnel vlak?
-ocr page 38-
-33-
V is het vlak dat door M gaat en parallel is met vlak BCGF.
>b Teken op het werkblad de doorsnede van V met de kubus en de tunnel.
>c Door V te verschuiven verandert de vorm van de doorsnede met de tunnel.
Er kan zelfs een vierkant ontstaan. Maak voor dat geval een tekening op
ware grootte van de doorsnede van V met de kubus en de tunnel.
ABCD.EFGH is een kubus met
ribbe 8. Driehoek BPQ is grond-
vlak van een piramide met top D.
Deze piramide snijdt een drie-
hoekig gat BTU in het vlakdeel
BRS.
> Teken doorsneden of aan-
zichten waarmee vervol-
gens een ware grootte con-
structie van de vlakke figuur
BRSBTU wordt gemaakt.
-ocr page 39-
-34-
6 Bewegen
1. Dit bouwwerk is gemaakt van vijf kubussen waarvan er één doormidden is ge-
zaagd. Voor de overzichtelijicheid zijn de punten genummerd.
2>
Met delen van dit lichaam kunnen deze bewegingen worden uitgevoerd:
1.  Verschuiven over een kubusribbe.
(hierdoor zijn de richtingen en de afstanden dus beperkt)
2.  Draaien (roteren) om een kubusribbe.
We storen ons daarbij niet aan lichaamsdelen die in de weg zitten. Die denk je
maar tijdelijk afwezig.
>a Noem enkele bewegingscombinaties waarmee lichaam (1, 2, 3,4, 5,7, 8,
11) in de positie van lichaam (11,8,9,10,19,16,17,18) gebracht kan wor-
den.
>b Dezelfde vraag voor de overgang van (13,19,20,14,5,11,4,1) naar (11,
8,9,10,19,16,17,18).
>c De combinatie van vraag >a kan door één rotatie worden vervangen als de
beperking voor de rotatie-as wordt opgeheven. Welke rotatie is dat?
Twee lichamen die we door verschuivingen en rotaties in elkaar over kunnen
laten gaan noemen we verwisselbaar.
We nemen weer de lichamen uit vraag >a, met dit verschil dat de driehoeken
(1,5,6) en (18,19,20) in afwijking van de andere vlakken blauw geverfd zijn.
>d Hoe zit het nu met de verwisselbaarheid?
-ocr page 40-
-35-
2. >a Een kubus kan in zichzelf overgaan door een draaiing over minder dan
360°. Welke assen kunnen dan gekozen worden?
>b Door het lichaam van opgave 1 met een klein stukje aan te vullen, kan het
ook in zichzelf overgaan door een draaiing over minder dan 360°.
Welke aanvulling voldoet, wat is dan de draaiingsas en hoe groot is de
kleinste rotatiehoek die voldoet?
In het platte vlak bestaat de spiegeling ten op-
zichte van een lijn, de spiegelas.
Als het origineel A. het beeld A' heeft, dan
houdt dat in dat AA' loodrecht op de as staat en
A en A' even ver van de as liggen.
Anders gezegd: de as is middelloodlijn van
AA'.
spiegelas
k'
In de ruimte spreken we ook van een spiege-
ling, maar dan ten opzichte van een vlak.
Dat spiegelvlak deelt AA' loodrecht midden
door.
(het spiegelvlak is het middelloodvlak van
AA')
De spiegeling kan alleen in gedachten.
Je hebt die spiegelmg vaak gebruikt in de
vorm van symmetrie in lichamen.
spiegelvlak
-»•
A'
We gaan terug naar het bouwwerk uit opgave 1.
>a De lichamen uit vraag >a kunnen door een spiegeling in elkaar overgaan.
Wat is het spiegelvlak?
>b Biedt spiegeling uitkomst bij vraag l>d?
>c Een voorbarige conclusie zou kunnen zijn dat spiegelingen meer kunnen
dan rotaties. Probeer die conclusie te ontzenuwen met een voorbeeld uit het
bouwwerk.
>d Teken twee vierzijdige piramiden die wel eikaars beeld kunnen zijn bij een
spiegeling, maar niet bij een rotatie.
-ocr page 41-
-36-
Door de zijvlakken om de ribben van het grondvlak te kantelen totdat ze in het
grondvlak liggen, krijg je de uitslag van piramide TABC.
>a Maak deze uitslag.
Door vanuit de uitslag terug te draaien ontstaat de oorspronkelijke piramide
weer. Dat betekent dat de hoeken die de zijvlakken met het grondvlak maken
uit de uitslag te reconstrueren zijn.
>b Denk vlak TBC om BC gewenteld en denk uit T telkens loodlijnen op het
grondvlak neergelaten. Teken in de uitslag de plaats waar de voetpunten
van die loodlijnen zich bevinden.
>c
>d
Bepaal in de uitslag het voetpunt van het 'echte' punt T.
Teken de hoeken die de zijvlakken met het grondvlak maken op ware
grootte.
5.
Dit is een buisverbinder waarmee drie
haaks op elkaar staande buizen verbon-
den kunnen worden.
3W
Wanneer met buizen een stellage wordt opgebouwd zijn er natuurlijk ook
verbinders van een ander type nodig.
Het bedrijf dat ze produceert zegt dat met zijn types alle haakse verbindin-
gen kunnen worden gemaakt.
Uit welke typen moet het leveringsprogramma bestaan?
-ocr page 42-
-37-
6.
Het deel van het gebouw dat op de pilaren staat wordt weerspiegeld in het deel
dat daar loodrecht op staat.
>a Bestudeer de foto om er achter te komen hoe dat spiegelen perspectivisch
verwerkt is.
>b Teken in deze vereenvoudigde situatie het spiegelbeeld.
-ocr page 43-
-38-
7 Combinatievraagstukken en herhaling
1. Het prieeltje
In een park wordt om een paal een prieeltje gebouwd met zes geknikte buizen
en zes horizontale verbindingen. De bovenste stukken van de geknikte buizen
maken hoeken van 60° met de middenpaal en hebben een lengte van 3 meter.
De bevestiging bovenin bevindt zich 4 meter boven de grond. Het grondvlak
van het prieeltje is een regelmatige zeshoek.
3m
60°
4in
Voor de berekeningen idealiseren we alles tot lijnstukken zonder dikte.
>a Bereken de lengte van een geknikte buis en van een horizontale verbinding
(in cm).
>b Bereken de oppervlakte
van de bodem van het
prieel.
Van een cirkelvormig tentzeil
wordt een dak voor het schuine
gedeelte gemaakt, door het af-
passen van driehoeken.
>c Maak hiervan een tekening op schaal.
>d Blijft er nog genoeg zeil over voor een 'reservedriehoek'?
>e Voltooi de perspectivische tekening van het prieeltje. Is dit een vrij norma-
le kijk op het prieeltje?
verbinding
horizon
staander
voetpunt /an middenpaal
staander
-ocr page 44-
-39-
2. Stevige zijwanden
De zijwanden van de bakken op de
foto hiernaast hebben piramidevor-
mige uitstulpingen. Die geven meer
stevigheid dan een vlakke plaat.
Naast de foto staat een scheve parallelprpjectie van een kubusvormige bak met
ribbe 10. De zijwanden ABFE en BCGE krijgen ook zo'n uitstulping. De top
van de uitstulping ligt op afstand 1 van het bijbehorende grondvlsdc.
>a Construeer in de projectiefiguur de nieuwe zijwanden.
Zo'n zijwand kan gemaakt worden van vier driehoeken. Om laswerk te bespa-
ren worden de driehoeken aaneengesloten uit een plaat gesneden en later in de
juiste stand gebogen.
>b Maak een tekening op schaal van de aaneengesloten driehoeken.
>c Benader de tophoek van zo'n driehoek op 2 decimalen nauwkeurig in gra-
den.
>d Wanneer het vorige antwoord afgerond wordt op hele graden kan de hoog-
te van de piramide niet meer de waarde 1 hebben. Welke afwijking in die
hoogte zou dan ontstaan? Hoe groot is het afwijkingspercentage?
>e De vier zijwanden van de kubus moeten allemaal dezelfde piramidevormi-
ge uitstulping krijgen, zodat het volume van de bak met 10% toeneemt.
Hoe groot moet de hoogte van de piramide zijn?
-ocr page 45-
-40-
3. Kruisgewelf
A                                                B
ABCD is een vierkant niet zijde 6. E is het midden van AD en F het midden van
BC. TM staat loodrecht op ABCD. Door E,TenF is een halve cirkel getekend
met middelpunt M. In de scheve projectie van de figuur zijn AB en TM op ware
grootte getekend en heeft BC lengte 4 gekregen en hoek ABF135°. Het vierkant
wordt langs TM met inkrimping omhooggeschoven en wel zo, dat middens van
AD en BC tijdens het omhooggaan langs de halve cirkel lopen. Het ontstane
lichaam heet een kruisgewelf.
>a Teken in de figuur de tussenstanden van het vierkant op A en op | van de
hoogte TM.
>h Welke symmetrievlakken heeft het lichaam?
>c Toon aan dat bij het omhoogbewegen van het vierkant de middens van AB
en CD ook steeds op een cirkel liggen.
>d Noem de hoogte van het verschuivende vierkant boven het grondvlak h en
bepaal de lengte van de vierkantszijde als functie van h.
>e Op welke hoogte heeft het vierkant een oppervlakte die precies de helft is
van de oppervlakte van het grondvlak?
>f De inhoud van het kruisgewelf is niet rechtstreeks te berekenen met een
formule uit onze leerstof. Toch is er wel een methode te bedenken waar-
mee een redelijke schatting van die inhoud is te geven. Ontwerp zo'n me-
thode.
>g 'Een kruisgewelf is te beschouwen als de doorsnijdingsruimte van twee
halve cilinders waarvan de assen elkaar loodrecht snijden'.
Is deze bewering waar?
>h Bij het omhoog schuiven van
het vierkant beschrijven de
hoekpunten gebogen banen naar
T. Waarom zijn dat geen cirkel-
bogen met middelpunt Af?
>i Kunnen het dan cirkelbogen
met een ander middelpunt zijn?
-ocr page 46-
-41-
4. Raatwoningen
ƒƒƒ
II
Dit is het vooraanzicht uit een ontwerp voor geschakelde zeshoekige woningen.
Volgens de architekt zijn die zeshoekige grondplannen regelmatig.
>a Controleer of de verhoudingen in het vooraanzicht van woning I daarmee
in overeenstemming zijn.
>b Teken de plattegrond van het samenstel van de woningen /, II en III.
In het volgende gaat het om verantwoorde tekeningen van woning I. Deuren en
vensters mogen worden weggelaten.
Van het grondvlak ABCDEF van woning I is in scheve projectie het deel ABDE
gegeven.
E                     D
>c Maak de tekening van de woning in scheve projectie af, daarbij rekening
houdend met het gegeven vooraanzicht.
>d Bepaal de gebruikte wijkhoek en de verkortingsverhouding bij deze scheve
projectie. Ook hier is een toelichting verplicht.
>e Veronderstel dat de lengte van AB in werkelijkheid 5 meter is. Bereken de
inhoud van de woning.
>f Bereken de oppervlakte van het dak.
-ocr page 47-
-42-
5. Klimrek
Fotol
In de buizenconstructie is een ingewikkeld netwerk van touwen gehangen.
Hierdoor kunnen kinderen binnenin omhoog klimmen. De constructie bestaat
uit even lange buizen die door middel van bollen zijn verbonden. In het volgen-
de mag je de dikte van de buizen en de bollen verwaarlozen. Veronderstel ver-
der dat de buislengte 2 meter is.
Door om de stellage heen te lopen zijn een paar bijzonderheden van de con-
structie op te merken. Zie foto 2 en foto 3.
Bij zo'n object kunnen verschillende vragen opkomen die in opdrachten kun-
nen worden omgezet. Zo is onderstaande opdrachtenlijst ontstaan. De volgorde
is tamelijk willekeurig.
Voor de uitvoering van een opdracht kan het wel eens nodig of nuttig zijn eerst
een later genoemde opdracht uit te voeren.
% :
ft
rt
\
f
l
i
s
\
Foto 2
-ocr page 48-
-43-
>a Bereken de hoogte van het middenstuk en van de top.
>b Teken het bovenaanzicht van de constructie.
>c Bepaal de hoek die een benedenbuis met de grond maakt.
>d Toon aan dat twee benedenbuizen die in dezelfde 'middenbol' samenko-
men, loodrecht op elkaar staan. (Er zijn benedenboUen, middenbollen en
één bovenbol.)
>e Onderzoek welke buizen parallel zijn.
/
>f De constructie is met behulp van een stuk strakgetrokken plastic in te pak-
ken. Bereken de inhoud van het lichaam dat daardoor ontstaat.
>g Teken zijaanzichten van de buizenconstructie vanuit twee standpunten die
een symmetrische tekening opleveren.
>h Teken de constructie op isometrisch papier.
>i De constructie heeft onder andere de eigenschappen:
I   Een driehoek van het bovenste deel en de aansluitende driehoek van het
onderste deel liggen in één vlak.
II  Twee benedenbuizen die in dezelfde middenbol samenkomen, liggen in
een vlak dat loodrecht op de grond staat.
Onderzoek de vrijheid die de ontwerper heeft. (Toelichting: Hij wil bij-
voorbeeld zorgen dat eigenschap I geldig is. Is hij dan gedwongen om ei-
genschap n op de koop toe te nemen of kan hij die vermijden? En hoe zit
dat als zijn eerste keuze eigenschap II is?)
>j Breng een coördinatenstelsel aan met de z-as langs de verticale lijn door de
'topbol' en een 'grondbol' in het punt (1,1,0) en bepaal de coördinaten van
de bollen.
-ocr page 49-
-44-
6. Aanzichten
Deze tekening geeft natuurlijk geen volledige informatie over de buitenkant
van het huis. Je moet zelf proberen bruikbare aanvullende informatie te beden-
ken.
Opdracht:
Maak de volgende tekeningen, waarbij je rekening moet houden met de over-
stekende gedeelten van het dak en met de dakgoten. Elke tekenopdracht kun je
opvatten als 'teken een mogelijk(e)..."
>a  plattegrond.
>b  bovenaanzicht.
>c   aanzicht vanuit richting A (zie pijl in de tekening).
>d  aanzicht vanuit richting 5.
>e doorsnede van het geheel met een vertikaal vlak dat door de nok van de ga-
rage gaat.
-ocr page 50-
-45-
7. Drie schaduwproblemen
■s /■
I:
De stippellijnen dienen om de positie
van de balk ten opzichte van het
grondvlak aan te geven.
Door de belichting werpt de balk een
schaduw op de grond.
> Teken op het werkblad die scha-
duw.
n: In de balkvomiige kamer die hieronder is getekend hangt een rechthoekige
metalen plaat.
Beide lampen werpen hiervan een schaduw op de vloer.
Er ontstaan daardoor verschillende gebieden:
1: door beide lampen verlicht.
2: alleen door L^ verlicht.
3: alleen door L2 ^^'■^icht.
4: door geen van beide lampen verlicht.
> Teken in een plattegrond deze gebieden.
-ocr page 51-
-46-
Voor de muur staat een
rechthoekige plaat.
De schaduw daarvan valt
gedeeltelijk op de vloer en
gedeeltelijk op de wand.
m:
-*
>a Teken op het werkblad
de schaduwen op de
vloer en de wand.
7è
>b Bereken de oppervlak-
ten van deze schadu-
wen.
>c Hoe hoog moet de lamp
geplaatst worden om
beide delen van de
schaduw dezelfde op-
pervlakte te geven?
8. Een vouwpuzzel
Een figuur in het grondvlak is op ware grootte gegeven. Het is mogelijk op een
blad papier het exacte perspectivische beeld te construeren.
Hier is dat voor één punt (/*) gedaan.
De nummers geven de volgorde van de handelingen aan.
>a Maak zelf zo'n constructie voor
een figuur.
>b Prik gaatjes bij P, P' en C.
>c Vouw het blaadje volgens rech-
te hoeken zo:
■^
C oog
>
X, 4
o
N
t j/\
XI
y .-""'^'^^
p'X^^^ 5
i
§
j
3V
1
iö
'P
1
Controleer de constructie met
een stokje of iets dergelijks.
>d Verklaar de constructie.
De keus voor N^ is vrij,
maar 45° is gemakkelijk voor
het tekenen met de geodriehoek.
-ocr page 52-
-47-
9. Windmolenmast
Ontstaanswijze:
-     Neem een gelijkzijdige driehoek
(AAfiQ
-     Op de zijden gelijkbenige driehoe-
ken even ver omhoog draaien, zo
dat er weer een gelijkzijdige drie-
hoek ontstaat (ADEF)
-    Hierop de procedure herhalen.
Electricity f rom a Cambridge, Mass., windmitl
>a Toon aan dat de zwaartepunten van de gelijkzijdige driehoeken loodrecht
boven elkaar liggen.
>b Teken het bovenaanzicht van een vierlaagsmast, als de gelijkbenige drie-
hoeken zoals ABD loodrecht op het grondvlak staan.
>c
Teken in dat geval ook het zijaanzicht waarbij A en C samenvallen. Veron-
derstel dat elke laag even hoog is.
Hoe hoog ligt GHI boven de grond als A5 = 3; AD = DG = 4 en
Z{ABC,ABD) = Z(DEG,DEF) = a?
>d
-ocr page 53-
-48-
10. Helicopter
System of contról axes.
Uit de tekening blijkt dat de helicopter om drie assen door het zwaartepunt kan
draaien.
In het centnim van een kubus is een vereenvoudigde tekening van de heli ge-
maakt.
.0^
^^'
------é »
lengteas
f zwaartepunt
Deze bewegingen worden gelijk-
tijdig uitgevoerd:
RoU : 20°
Pitch: 30°
Yaw: 45°
Maar je kunt ze na elkaar verwer-
ken.
> Teken drie onderling loodrechte aanzichten van de nieuwe stand van de
heli.
11. Bekijk opnieuw opgave 11 van hoofdstuk 3. Daar was sprake van twee uit te
voeren constructies.
> Ontwerp zelf perspectiefteke-
ningen van de gegeven figuur
en voer de twee genoemde con-
structies hierin uit (je mag de
ligging van P,QenR een beet-
je aanpassen).
-ocr page 54-
-49-
12. De langste sjoelbak ter wereld.
Dat sensationele is ovCTigens moeilijk te be-
schrijven, het is gewoon iets watje moet onder-
gaan. Wie mocht denken dat sjoelen op deze
reuzenbak ook een reuzentoer is heeft het ech-
ter mis, want de schijven zijn nl. voorzien van
een speciaal rolwerk zodat met weinig krachts-
inspanning de gaten in de verte bereikt kunnen
worden.
De allerkleinsten onder ons kunnen er zelfs aan
meedoen omdat de puntenpoorten naar voren
kunnen worden geschoven. Hoofdsponsor van
^ attracties is de Rabobank Noord Oost Fries-
land. Luxe prijzen zijn er mee te verdienen, ter-
wijl de hoofdprijs voor het hoogste aantal pun-
ten een luxe 12 persoons cassette (Solingen) is.
Vanaf morgen feest in
Ee
Reuzensjoelbak
Als bijzonderheid op de braderie en als pu-
bliekstrekker staat een sjoelbak opgesteld
door muziekvereniging 'Melodia Oranje'
welke ofHcieel staat vermeld in de nieuwste
uitgave van het Guiness Book of Records. De
afmetingen zijn formidabel nl. de bak heeft
een lengte van 40 meter 52 centimeter en 1
millimeter. De schuiven zijn ook van indruk-
wekkende afmetingen nl. met een diameter
van 16 centimeter die bepaald niet geruisloos
over de lange baan rollen.
Controleer of die 40 meter er een beetje op lijkt.