|
WERKEN MET GONIOMETRISCHE FUNCTIES
|
||||
|
wiskunde B
|
||||
|
WERKEN MET GONIOMETRISCHE FUNCTIES
|
||||
|
Hawex - Wiskunde B
|
||||
|
WERKEN MET GONIOMETRISCHE FUNCTIES
|
|||||||||
|
Een prcxluktie ten behoeve van het project Hawex.
|
|||||||||
|
Ontwerper:
Met medewerking van:
|
|||||||||
|
Martin Kindt
Anten Roodhardt
Jan de Jong Henk van der Kooy Jan de Lange Martin van Reeuwijk Ada Ritzer
|
|||||||||
|
Vormgeving:
© 1990: 3e versie
Utrecht, januari 1990 |
|||||||||
|
Inhoudsopgave
1. De sinus, de cosinus en de eenheidscirkel............................1
2. De sinus, de cosinus en de stelling van Pythagoras.....................7
3. Goniometrische vierkantsvergelijkingen............................10
4. Snijpunten van grafieken........................................12
5. Overzicht goniometrische vergelijkingen...........................18
6. Het werken met goniometrische functies in diverse situaties............25
7. Somgrafieken.................................................32
8. De tangens en de eenheidscirkel..................................38
|
||||
|
1 De sinus, de cosinus en de eenheidscirkel
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In het boekje 'sinus en co' heb je gezien dat de
sinusfunctie alles te maken heeft met een zoge- naamde cirkelbeweging. Denk bijvoorbeeld aan het waterrad of aan de rondjeslopende schild- wacht. In dit hoofdstuk zullen we het verband tussen de cirkelbeweging en de beide functies sin en cos nog eens precies bekijken. Voor een deel herhaling, maar toch ook weer een paar nieuwe dingen... |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Voor het gemak beperken we ons tot een beweging over een cirkel met straal 1.
Als zo'n cirkel geplaatst is in een assenstelsel, met zijn middelpunt in de oorsprong, spreekt men van de eenheidscirkel. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. De eenheidscirkel gaat natuurlijk door de punten (1,0); (0,1); (-1,0) en (0,-1)
(zie figuur la), maar bijvoorbeeld ook door het punt (|,|). >a Verklaar dat laatste.
>b Zonder rekenwerk te verrichten is het nu mogelijk zeven andere punten
van de eenheidscirkel op te geven. Welke punten zijn dat? Stel je nu voor dat het punt P over de eenheidscirkel beweegt in positieve richting
(dat wil zeggen: tegen de wijzers van de klok in; andersom is negatief). De plaats van P op de eenheidscirkel wordt volledig bepaald door de draaiboek t van de voerstraal OP ten opzichte van de positieve x-as (zie figuur Ib). Meestal zullen we de draaiboek meten in radialen. Zo geldt bijvoorbeeld: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Bereken de coördinaten van P voor t= l'K + k- ^n{k = Q, 1, 2, 3).
>b Bereken de draaiboek t (in radialen tussen O en 27c) voor het geval P de
plaats (|,|) inneemt. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-2-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Let nu op de afstand van het draaiende punt P tot
de jf-as. Omdat we die afstand negatief rekenen als P onder dex-as ligt, kunnen we ook zeggen: Let op de y-coördinaat van het draaiende punt P (= yp). yp varieert tussen -1 en 1 (inclusief de grenzen) en is zo een functie van de draaihoek t. Het verband tussen yp en t wordt voor O < r < 27t weergegeven door de bekende sinusgrafiek (of sinusoïde), zie figuur 3. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fig2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x-as
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Er geldt: yp = sin ï
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
yp = sin t
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. In figuur 3 is uitgegaan van de verdeling van de eenheidscirkel in 12 gelijke
boogjes. >a Welke draaihoeken, uitgaande van de x"'"-as, zijn er dus gebruikt?
>b Welke >'/>-waarden horen daarbij?
>c Hoe verandert de sinusoïde als we het punt P in negatieve richting over de
eenheidscirkel laten lopen? >d En hoe verandert de sinusoïde als we het punt P in positieve richting over
de cirkel met middelpunt O en straal 2 laten lopen? Zowel in de eenheidscirkel als in de sinusgrafiek kun je zien dat elke ^'p-waarde tus-
sen O en 1 en tussen -1 en O precies twee keer wordt bereikt voor O < f < 2jt. Dit maakt dat een vergelijking als sin f = 2 precies twee oplossingen heeft tussen O en27C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Geef de beide oplossingen van sin r = | tussen O en 27t in twee decimalen
nauwkeurig. >b Doe hetzelfde voor de oplossingen van sin t = ^tussen IOtc en 12jt.
>c Geef formules in de vorm t = . . . + k ■ . . . voor alle oplossingen van
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sinr=3
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>d Zonder rekenmachientje te gebruiken kun je nu ook alle oplossingen geven
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
van sin r = -|. Doe dit.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Zoals we in figuur 3 het verband tussen yp en draai-
boek t bebben uitgezet, zo kunnen we dat ook doen met het verband tussen de x-coördinaat van P (= Xp) en draaiboek t, zie figuur 4. Voor r = 0,1 Tt, TC, 1 i 71,2jt geldt nu acbtereenvolgens xp=\,0,-1,0,1.
De grafiek van bet verband tussen t en xp is weer een
sinusoïde.
Als je deze bladzijde 90° draait, zo, dat de f as bori-
zontaal komt te liggen zie dat dit de grafiek is van de
cosinus!
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fig4
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dus:
|
Xp = cos f
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. >a Geef de oplossingen van de vergelijking
cos t = i voor O < r < 2k. >b Ook voor-27t < r < 0.
>c Voor welke t tussen O en 27t geldt:
cosr<-i?
(Gebruik eenheidscirkel en/of grafiek)
>d Hoe verandert de sinusoïde in figuur 4 als
bet punt P in negatieve ricbting over de eenbeidscirkel beweegt? Als we P in negatieve richting over de eenheidscir-
kel laten lopen, betekent dat een tegengesteld maken van alle draaiboeken t. In opgave 3>c heb je kunnen zien dat de grafiek van
yp als functie van t gespiegeld wordt in de r-as. En als je opgave 4>d goed hebt, dan weetje dat het voor de grafiek van Xp als functie van t geen verschil maakt in welke richting P beweegt. Dit leidt tot de twee formules: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
271
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Xp = cos t
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin (-0 = -sin r
cos (-r) = cos t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij tegengestelde draaiboeken horen tegengestelde s/nits-waarden en gelijke cosi-
nu^-waarden.
Zo geldt bijvoorbeeld:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin(-^7t) = -^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin 17t = 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
—>
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
COSi7t=l73-^ COS(-i7C) = i^/3.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Tegelijk met P laten we een punt Q in
positieve richting over de eenheidscirkel lopen, en wel zo dat Q steeds precies een boog van i ti vóór ligt op P. |
|||||||||||||||||||||||
|
> x-as
|
|||||||||||||||||||||||
|
Als de draaiboek van de voerstraal OP
gelijk is aan t radialen, dan is de draai- boek van OQ gelijk aan {t+ in) radialen. >a Kijk goed naar bet plaatje:
Voor welke draaiboeken t (tussen O en 2%) geldt: yg = ypl
>b Welke oplossingen tussen O en In beeft dus de vergelijking
sin t= sin(f + ijt)? >c Lees uit figuur 5 af welke oplossingen tussen O en In de vergelijking
cos t = cos(r +^71) beeft. Dezelfde situatie als in opgave 6, met dit verscbil dat Q nu steeds precies één
halve cirkel voor ligt op P. >a Ga na dat voor elke positie van P en van Q geldt:
yQ = -yp en Xq = -xp .
>b Leg nu uit waarom de volgende formules gelden: |
|||||||||||||||||||||||
|
sin(r + k) = - sint
cos(r + 7c) = - cosr |
|||||||||||||||||||||||
|
>c Hoe kun je bovenstaande formule uitleggen met behulp van een verschui-
ving van sinusoïden? De formules voor sint(-0 en cos(-r) van bladzijde 3 kunnen worden gecombi-
neerd met de formules van opgave 7. Na herleiding komt er dan: |
|||||||||||||||||||||||
|
sin(7i -t)= sint
cos(7C -t) = - cost |
|||||||||||||||||||||||
|
Voer die herleiding uit. Aanwijzing: K-tis hetzelfde als (-t) + n.
|
|||||||||||||||||||||||
|
Met een rekenmachientje kun je vinden:
sin ijt == 0,59 en cos ^7t ~ 0,81
Met behulp van de formules op de bladzijden 3 en 4 kun je hieruit voor een aan- tal andere hoeken de sinus en de cosinus afleiden. |
|||||||||||||||||||||||
|
Bijvoorbeeld: sin IItc
|
sin(7C + ^ 7t)
|
-0,59.
|
|||||||||||||||||||||
|
-sin(i7c)
|
|||||||||||||||||||||||
|
>a Geef op soortgelijke wijze benaderingen van:
cos l^TC; sin^Tc; cos|7t; sin(-^7c); cos(-^7i). >b Teken de eenheidscirkel met de vier punten op de cirkel die corresponde-
ren met r= iji, |jr, 1^71, -iTC. Controleer nu of de tekens van je uitkomsten in vraag >a kloppen. |
|||||||||||||||||||||||
|
-5-
|
|||||||||||||||||||||
|
10. Twee punten P en ö bewegen over de eenheidscirkel.
De beweging van P wordt beschreven door de formules: |
|||||||||||||||||||||
|
{
|
|||||||||||||||||||||
|
Xp = cos Tlt
yp = sin Tit
|
|||||||||||||||||||||
|
De beweging van Q wordt beschreven door:
|
|||||||||||||||||||||
|
{
|
|||||||||||||||||||||
|
Xp = cos 37if
yp = sin 3%t |
|||||||||||||||||||||
|
t is de tijd in minuten.
Op het tijdstip f = O bevinden beide punten zich in (1,0).
De posities van F en Q op het tijdstip t = i (dus na 10 seconden) zijn aangege- ven in figuur 6. A3' fig 6
|
|||||||||||||||||||||
|
> X
|
|||||||||||||||||||||
|
P,Q
|
|||||||||||||||||||||
|
t=0 t=i
>a Bereken de coördinaten van de plaats van F en Q, 20 seconden na r = 0.
>b Hoe lang doet P over één compleet rondje? En Ql
Bovenstaande figuren zijn bovenaanzichten van de beweging van P enQ.
We bekijken nu ook een vooraanzicht (kijkrichting parallel met de y-as) en een zij-aanzicht (kijkrichting parallel met de x-as). |
|||||||||||||||||||||
|
fig 7
|
|||||||||||||||||||||
|
>as
|
|||||||||||||||||||||
|
^^icht P
|
|||||||||||||||||||||
|
-6-
|
|||||||||||||||||||||||
|
figS
|
|||||||||||||||||||||||
|
Vooraanzicht:
|
|||||||||||||||||||||||
|
Q
|
|||||||||||||||||||||||
|
h
|
'P,Q
|
||||||||||||||||||||||
|
-H
|
|||||||||||||||||||||||
|
t=ï
|
|||||||||||||||||||||||
|
t = 0
|
|||||||||||||||||||||||
|
Q
|
|||||||||||||||||||||||
|
Zijaanzicht:
|
|||||||||||||||||||||||
|
t
|
|||||||||||||||||||||||
|
P.Q
|
|||||||||||||||||||||||
|
t=ï'
|
|||||||||||||||||||||||
|
/ = 0
|
|||||||||||||||||||||||
|
P tnQ bewegen in voor- en zijaanzicht heen en weer langs een rechte lijn.
>c Bekijk het vooraanzicht. Op t = 0 vallen P en Q samen. Ga na dat dit op
t= ^ weer gebeurt. >d Wat zijn de eerstvolgende twee tijdstippen waarop P cnQin het vooraan-
zicht samenvallen? >e Ga met behulp van het bovenaanzicht (de eenheidscirkel) ook na wanneer
het eerste moment na de start is waarop P enQ samenvallen in het zijaan- zicht. >f Wat zijn de eerstvolgende twee momenten waarop dat opnieuw gebeurt?
>g Uit het voorgaande kun je afleiden wat de oplossingen zijn van de verge-
lijkingen cos nt = cos 3Tit en sin Kt = sin Snt
Geef de oplossingen van beide vergelijkingen m.b.v. formules van de vorm t=....+k-.... (k = 0,±l,±2,...)- Opmerking: Het oplossen van vergelijkingen zoals in opgave 6 en opgave 9 met
behulp van de eenheidscirkel vereist nogal wat hersengymnastiek. Zeker als de getallen in de vergelijking wat minder 'mooi' zijn. Daarom is het zaak dat we een systematische aanpak van dit soort problemen leren. In de hoofdstukken 4 en 5 wordt alle aandacht gericht op die systematische manier van oplossen. |
|||||||||||||||||||||||
|
-7-
|
|||||||||||||||
|
2 De sinus, de cosinus en de stelling van Pythagoras
In hoofdstuk 1 heb je gezien hoe de coördinaten van een punt P op de eenheidscirkel
kunnen worden uitgedrukt in de draaihoek van de voerstraal: |
|||||||||||||||
|
{
|
|||||||||||||||
|
Xp = cos t
|
|||||||||||||||
|
yp = sin t
|
|||||||||||||||
|
Anderzijds geldt volgens de stelling van Pythagoras:
xp^ + yp^ = OP^ = l *)
Het gevolg is dat voor elke draaihoek t geldt: |
|||||||||||||||
|
cos-^r + sin^t = 1
|
|||||||||||||||
|
Je zou dit 'de formule van Pythagoras voor goniometrische functies' kunnen noe-
men. Voorbeeld: siniTC = i
o Z
cosi7i;= 1 ^
inderdaad geldt (i)^ + (1 ^)2 = i + 2 = l.
1. >a Controleer met je rekenmachientje dat geldt: sin 1+cos 1 = 1.
>b Ookdat: sin^(7i:-1)+ cos^(7i-1) = 1. 2. Gegeven: sinr = 0,6enO<r< ^7t.
>a Bereken cos t met je rekenmachientje (eerst t berekenen, dan cos t).
>b Bereken cos f met behulp van de formule sin r + cos f = 1. 3. Gegeven: sin r= i
>a Bereken de exacte waarde van cos t voor het geval O < r < i 7i.
>b Ook voor het geval ^K<t<n. 4. Als cos M = 1 Ts zijn er twee waarden mogelijk voor sin u.
> Welke waarden zijn dat?
5. Gegeven: cos r = -2i en tc < r < 1 ^Tt.
> Bereken de exacte waarde van sin t.
6. Omdat sin^r + cos^f = 1 moet gelden 4- [sin^t + cos^r] = 0.
9 9
> Controleer dit door sin f + cos r te differentiëren volgens de regels.
|
|||||||||||||||
|
*) Dat geldt ook als één van de coördinaten negatief of nul is. Als bijvoorbeeld xp<0&nyp> O, dan
heeft de rechthoekige driehoek met OP als schuine zijde, de rechthoekszijden -xp en yp. Uit (-xpf + (ypf = OP^ volgt dan xp^ + yp'^=l. |
|||||||||||||||
|
-8-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Soms kun je een vorm waarin sinussen en cosinussen voorkomen eenvoudiger
maken door aan te sturen op sin r + cos r en dat te vervangen door 1. Bijvoorbeeld: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos t (6cos t - sin t) + 2sin t (cos t + 3sin t) =
6cos r - cos t sint+ 2 sin t cos t + 6sin f = 6(cos f + sin r) + sin t cos t = 6 ■ 1 + sin r cos t = |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 + sin r cos t
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Herleid tot een zo eenvoudig mogelijke vorm:
>a (1-sinx)^ + cos^x >c (sinr+l)(sinï-1)+ cos r(cos r + 2)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>d (2sin t + cos t)^ + (sin t - 2cos t)^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b (sin X - cos x) + sin x cos x
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8. Bewijs dat voor elke u geldt:
■ 3 ■ 2 •
>a sm-'w + sm u cos u = sm w.
>b sin 3m - sin^u = cos m - cos 3m.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n ü •• ^ . IJ. sm^: , cosj:
9. Bewijs dat geldt:--------1- —— |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(mitsx^k- f {k = 0,±l,..).
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cosjc smj: sinjccosjr
10. Eerder heb je gezien dat geldt: In veel wiskundeboeken kom je deze regel tegen:
> Laat zien dat dit op hetzelfde neerkomt.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4- [tan x]^l+ t&n^x
ax |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[tan x]
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2
cos X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een gegeven waarde van tan x is een waarde van x te vinden en daardoor ook een
waarde van cos x en sin x. Maar de tussenstap over x kan vermeden worden, zoals uit dit voorbeeld blijkt: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Gegeven:
Gevraagd:
Oplossing:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2
COS X ■■
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
enz.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11. > Bekijk bovenstaand voorbeeld en bereken cos x voor het geval i 7t < x < tt.
12. Gegeven: sin jc=/7 en O <x< l7t.
> Druk cos x en tan x uit in p. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
*) Zie: 'De Techniek van het Differentiëren'
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-9-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Terugblik
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
F beweegt in positieve richting over de eenheidscirkel.
De coördinaten Xp en yp zijn afhankelijk van de draai- hoek t (t.o.v. dex'-z.i) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Er geldt:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Xp = cos t
yp = sin t |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Beide grafieken laten dit verband zien voor O < t < In.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Omdat steeds geldt Xp + yp = 1 volgt de formule:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos^r + sin^r = 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1%
Andere formules die met de cirkelbeweging van P kunnen worden afgeleid zijn: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin(-r) = -sin t
sin(f + Tl) = -sin r |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin(TC - O = sin t
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
')
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De hier genoemde formules kunnen worden gebruikt bij het oplossen van 'gonio-
raetrische vergelijkingen', zoals zal blijken in de hoofdstukken 3,4 en 5. *) De laatste twee formules zijn de zgn. supplementformules.
Het supplement van een hoek t is de aanvulling tot 180° of Ji radialen.
Kortweg: supplement van t = n - r. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-10-
|
||||||||||
|
3 Goniometrische vierkantsvergelijkingen
Voorbeeld: 2 - 2sin x = 3 sin x.
ofwel: 2sin X 4- 3 sin j: - 2 = 0. Deze vergelijking kan worden opgevat als een vierkantsvergelijking met sin x als
onbekende.
Volgens de a,ö,c-formule komt er nu:
-3 + 79+16
Sin X =------------------- 4
Dus: sin x = ^^jtS = i of sin jc = ^ip5 = -2.
4 2 4
Uit sin X = ^ volgt: x= ^K + k-2n ofx = ^k + k ■ 2n.
Aan sin x = -2 voldoet geen enkele x (immers -1 < sin x < 1!).
Conclusie:
De oplossingen van 2 - 2sin ;c = 3sin x zijn x= ^n + k ■ 2k; x= ^k + k ■ 2k.
|
||||||||||
|
1. > Controleer door substitutie dat i7i en ^n inderdaad voldoen aan
/y DO
2 - 2sin a; = 3 sin x.
2. Los X op uit:
>a Asiv?x-4sinx+\=Q
>b cos^j:+i(cosx-1) = 0 |
||||||||||
|
Bekijk nu de vergelijking: 2cos jc = 3siru:.
Het vervelende hier is dat er zowel cos als sin voorkomen.
o o 9 9
Geen nood: uit sin x + cos x = 1 volgt cos x = 1 - sin j:.
9 9
Vervangen we nu in de vergelijking cos a: door 1 - sin jc dan komt er een vierkants-
vergelijking in sin x, namelijk 2(1 - sin x) = 3siru, oftewel 2 - 2sin x = 3sinx, en dat is juist de vergelijking van het voorbeeld bovenaan deze bladzijde. |
||||||||||
|
3. Losopin [0,27i]:
>a sin j: + siruc = O >b cos X -I- siru = 1 >c 2cos X - cos x=\ >d 2sin X - cos x=\ |
||||||||||
|
-11-
|
|||||||
|
4. Losopin [0,27i]:
>a 3 cos jc 4- Scosjc -3 = 0
>b sin X = 3 cos x
>c cos X - sin X = i
>d sin^x + 2 cos^x + 4 sin x + 1 = 0.
5. f{x) = -cos^x- llsinj:+ li voor O < x < 27C.
>a Bereken de coördinaten van de snijpunten van de grafiek van ƒ met de x-as
en de y-as. >b Bereken de coördinaten van de punten op de grafiek van ƒ waarin de raak-
lijn horizontaal is. >c Teken de grafiek van/.
6. In figuur 9 zijn voor O < x < 27t de grafieken getekend van y = sm x en
y = 2cos X. fig9
|
|||||||
|
>a Bereken de jc-coördinaten van de snijpunten A en fi in 2 decimalen nauw-
keurig. P doorloopt de grafiek van y = sin x tussen A en B en Q die van y = 2cosjc.
We bekijken alle verticale lijnstukken PQ. >b Bewijs dat PQ maximaal de lengte 2 heeft.
|
|||||||
|
-12-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 Snijpunten van grafieken
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
figlO
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
s
27t
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. In figuur 10 zie je de grafieken yznfix) = sin x en g(;c) = sin 2x voor O < a: < 27i.
In de figuur zijn ook de vijf snijpunten O, P, Q, R enS aangegeven. >a De j^-coördinaten van O, P, Q,R enS zijn achtereenvolgens O, ^7C, tc, 12%
en 2k. Controleer door substitutie in de formules dat die vijf j:-waarden inderdaad
bij snijpunten van de grafieken van ƒ en g horen. >b De punten P,QcnR liggen op één rechte lijn.
Geef een vergelijking van die lijn. >c Voor welke x tussen O en 2% geldt: sin x > sin 2x1
In bovenstaande opgave zijn de snijpunten van de beide grafieken af te lezen uit de
figuur. Controle door substitutie in de functie-formules geeft zekerheid.
Een andere manier om de snijpunten te vinden is het oplossen van de vergelijking
sin X = sin 2x.
Bij een vergelijking van dit type kun je gebruik maken van de regel die je in het
lx)ekje 'sinus en co' hebt geleerd, namelijk:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin
|
= sm
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ k-2n of
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 7C- +k-2ii
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Vullen we nu jc en 2x in, respectievelijk in en , dan komt er
sin X = sin 2x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■13-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. De rijen van oplossingen van sin j: = sin 2x zijn dus:
X = -k-2% (1)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
en X =i7i + /:-27c
|
(2)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a De x-coördinaten van de punten O, P, Q,R enS van opgave 1 zijn terug te
vinden in de beide rijen. Ga voor elk van die punten na in welke rij de x-coördinaat te vinden is. >b Waarom kan je in plaats van x = -k -In even goed schrijven:
3. >a Teken voor O < x < 27i de grafieken van f(x) = sin x en g(x) = sin 3x.
>b Bereken met behulp van een vergelijking de ^^-coördinaten van de snijpun-
ten van beide grafieken. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In figuur 11 zijn de grafieken getekend van/(x) = sin jc en g{x) = sin(x - 1), met
de snijpunten AtnB.
De x-coördinaten van .4 en fi vinden we uit:
sinA:= sin(jc- 1)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = ii-{x-\) + k-lTi{2)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x = x-\+k-2Ti{\)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Verklaar dat (1) geen oplossingen oplevert, voor k = Q.
Hoe zit dat voor andere waarden van kl >b Ga na dat nu uit (2) volgt: x=\%+\+k-% (^ = 0, ±1, ±2,...)
>c Bereken de x-coördinaten van AtnB.
>d Voor welke x uit [0,2k] geldt: sin x < sin (x - 1)?
5. >a Laat met behulp van de regel voor het oplossen van 'cosinus-vergelijkin-
gen' zien dat de oplossingen van de vergelijking cos X = cos 2jc
gegeven worden door de formules: X =k ■2k X =k-2K {k = 0,±l,±2,...) >h Controleer deze oplossingen ook met behulp van twee grafieken.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■14-
|
||||||||||||
|
In opgave 5 van hoofdstuk 1 heb je de vergelijkingen
sin t = sm(t + | Jc) en cos t = cos(r + ^ 7t)
opgelost met behulp van de eenheidscirkel.
> Probeer deze vergelijkingen nu op te lossen volgens de standaard-methode
en vergelijk je antwoorden met die van de eerder genoemde opgave. |
||||||||||||
|
In hoofdstuk 1 opgave 8 kreeg je te maken met de vergelijkingen
cos nt = cos 3nt en simif = sin 3Kt > Los deze vergelijkingen op volgens de standaard-methode.
|
||||||||||||
|
8. >a Teken voor O < x < 27C de grafieken van y--sinxQny- sin(;c - i 7i) in één
figuur. >b Bereken de x-coördinaten van de snijpunten.
Aanwijzing: -sin x kan worden vervangen door sin(-A:).
|
||||||||||||
|
9. In opgave 8 heb je gezien dat een vergelijking van twee sinussen, waarvan er
één een minteken draagt, tot het standaardtype kan worden teruggebracht. Dat geldt ook voor de vergelijking: -cosj: = cos(x- i7t)
Met dit verschil dat je nu niet -cos x kunt vervangen door cos(-j:). >a Waarom niet?
>b Gebruik één van de formules uit hoofdstuk 1 om -cos x te vervangen door
cos (...). Je kunt kiezen uit twee mogelijkheden. >c Los de vergelijking op en controleer je uitkomsten met grafieken.
|
||||||||||||
|
10. Een andere variant is een vergelijking waarin links een sinus en rechts een cosi-
nus staat (of andersom). Bijvoorbeeld: sin x = cos(x - Itc).
In dat geval kun je de 'cos' omvormen tot een 'sin' met behulp van de regel:
cosx = sin(x+ Itc). Er komt dan: sin x = cos(x - 17t)
sin X = sin((x - ^ Ji) + i 7u)
sinx = sin(x+ Itc) |
||||||||||||
|
> Los deze vergelijking verder op.
|
||||||||||||
|
-15-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11. >a Teken in één figuur de grafieken van 3^ = sin a:en3' = 2cosj: voor O <x<27t.
Noem de snijpunten van die grafieken S en T. Het berekenen van de x-coördi-
naten van 5 en T leidt tot de vergelijking: sin x = Icosx Vanwege de '2' voor 'cos x' kan deze vergelijking niet op de manier van opgave 10 worden aangepakt. Er bestaat een manier om de vergelijking terug te brengen tot een ander stan-
daardtype: 'deel linker- en rechterlid door cos a:'. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 2, ofwel: tanjc = 2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Er komt dan:
|
sinjc
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cosx
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b Met behulp van een rekenmachientje kun je nu direct de oplossing tussen
Oen iKvinden. Geef die oplossing (in 2 decimalen nauwkeurig) en controleer het resultaat
in je grafiek. >c Hoe kun je nu met >b de jc-coördinaat van het andere snijpunt vinden?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6
5
4
3
2
1
O
-1
-2
-3
-4
-5
|
<-----------7ï---------^<-----------7t----------^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Omdat de tangensfunctie perio-
diek is met periode K en omdat tanj: elke waarde op een periode-interval precies éénmaal bereikt (zie figuur 12) geldt voor oplossingen van 'tangensverge- lijkingen' de regel: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
.-- .---^---------------^ - - ,. -^^--------,--------,----_-
---------------^------------- -------------^l-------------,----------------1------.--------^_i----------
.^---l_L------------- _________J.--------r-f-*-_______-'--______''--------------
------l--r----------- -----------T-------fl-------------1-------------1-------^'"ll
.__. - . f.------------- -------------^------'^-1----------------1----------------1-------------j
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tan
|
= tan
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ k-K
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12. >a Controleer of de twee
snijpunten van opgave 7 op een afstand n van elkaar liggen. >b De y-coördinaten van
de snijpunten 5 en T van opgave 8 kun je natuurlijk vinden met je rekenmachientje. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-6
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 4
figl2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Je krijgt dan benaderingen. Welke j-coördinaten vind je op deze wijze?
>c De exacte y-coördinaten vind ie door sin x = 2cos x te combineren 9 7
met sin X + cos x = 1!
Bereken op deze manier de j-coördinaten en kijk of je uitkomsten kloppen
met die van >b.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-16-
|
|||||||||||||||
|
13. Los j: op uit:
>a sin X = ^/^ • cos x
>b 2sin X = 3cos x |
|||||||||||||||
|
>c sin x = -cosx
>d cos X - 4sin x = 0 |
|||||||||||||||
|
>c Controleer naar keuze je oplossingen bij twee van de vier vergelijkingen
met behulp van grafieken. |
|||||||||||||||
|
Het berekenen van het snijpunt van twee grafieken via een vergelijking heeft lanj
niet altijd succes.
Voorbeeld: de grafieken van y = cos x en y = x hebben één snijpunt S.
|
|||||||||||||||
|
figl3
|
|||||||||||||||
|
De vergelijking cos x = x kan echter niet exact worden opgelost!
Met je rekenmachientje kun je in dit geval een benadering van de oplossing vinden. Je kan dat doen door schatten, invullen en kijken of het klopt, verbeteren, enz. Voor het voorbeeld cos x = x bestaat er een heel aardige en tamelijk snelle methode. |
|||||||||||||||
|
14. In figuur 13 zie je dat de oplossing van cos x = x in de buurt van x = 0,75 ligt.
>a Controleer met je rekenmachientje:
cos 0,75 =0,73168... en laat dit antwoord in het venster staan. >b Aan dit resultaat kun je zien dat 0,75 net niet voldoet aan cos x=x.
Druk (met 0,73168... in het venster) een aantal malen achter elkaar op de
cos-toets.
Ga hier mee door tot de uitkomst niet meer verandert.
Je hebt nu de benadering van de oplossing van cosx=x in zeven decimalen
nauwkeurig!
>c Je had ook een andere startwaarde dan 0,75 kunnen nemen.
Toets in: | 1 | |cos| cos cos| cos ... net zo lang tot de uitkomst niet meer verandert. >d Bedenk zelf nog een andere startwaarde en doe hetzelfde als in de vorige
opdracht. |
|||||||||||||||
|
■17-
|
|||||||||||||||||
|
Het effect van het herhaald indrukken van de toets | cos | is blijkbaar datje de oplos-
sing van cosx=x benadert. Uitgaande van startwaarde 1 komt er: X y(=cos x)
|
|||||||||||||||||
|
:>0,5403....
^0,8575.... :j:0,6542.... ^0,7934.... ^0,7013.... »0,7639.... 0,7221.... |
|||||||||||||||||
|
0,5403.^
0,8575.;!
0,6542.
0,7934.
0,7013.^:
|
|||||||||||||||||
|
0,7369.:^
|
|||||||||||||||||
|
enz...
In de grafiek ziet dit zig-zag-proces er zo uit |
|||||||||||||||||
|
figl4
|
|||||||||||||||||
|
1
|
|||||||||||||||||
|
0.5403
|
|||||||||||||||||
|
0.5403
|
|||||||||||||||||
|
Toelichting:
Vanuit 1 op de x-as bereik je via de grafiek van y = cos x de lijn y =xm het punt
(0,5403..., 0,5403...).
Van daar uit bereik je weer via )' = cosj: de lijn y = x in (0,8575..., 0,8575...).
Van daar uit bereik je weer via y = cos x de lijn y = x in (0,6542..., 0,6542...).
In figuur 14 zie je dat de zo gevolgde weg om het snijpunt heen loopt, maar er bij
elke stap dichterbij komt.
|
|||||||||||||||||
|
■18-
|
|||||||||||||
|
5 Overzicht goniometrische vergelijkingen
Het aantal typen vergelijkingen dat met de leerstof van dit boekje en van 'sinus en
co' kan worden opgelost is niet onbeperkt.
In dit hoofdstuk geven we een overzicht van alle typen vergelijkingen die je moet
kunnen oplossen.
We onderscheiden hierbij vier soorten.
|
|||||||||||||
|
1. Standaardvergelijkingen.
Dit zijn de vergelijkingen sin A = sin B, cos A = cos B en tan A = ta.nB waarbij
AcnB uitdrukidngen in één variabele (zeg x) voorstellen. 2. Vergelijkingen die met behulp van goniometrische formules na één stap tot een
standaardvergelijking kunnen worden teruggebracht. Bijvoorbeeld het wegwerken van een minteken in -sin .4 = sin J5 of het omvor-
men tot een sinus van cos B in sin A = cos B. |
|||||||||||||
|
3. Vergelijkingen die, bijvoorbeeld via ontbinding in factoren, uiteenvallen in
standaardvergelijkingen (of vergelijkingen van type 2) Bijvoorbeeld: sin A cos B - sin A = O
sin A (cos B-sinA) =0 |
|||||||||||||
|
sin y4 = O cos B = sinA
4. Vergelijkingen waarin sin A, cos A of tan A kunnen worden opgevat als een
nieuwe variabele (onbekende). Bijvoorbeeld: 3cosM -f- 2cos A + l -O is een vierkantsvergelijking met
cos A als onbekende.
Deze methode is behandeld in hoofdstuk 3.
|
|||||||||||||
|
We geven nu een overzicht van de diverse methoden.
Het overzicht bestaat uit twee kolommen. In de linkerkolom staan de regels al of
niet voorzien van aanvullende uitleg. In de rechterkolom staat een voorbeeld dat je verder zelf kunt uitwerken. |
|||||||||||||
|
■19-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De standaardvergelijkingen.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^ sin i4 = sin B
A=B+k-2K A = K-B + k-2n
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin 3jc = sin( {ii-x)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x=^%-x + k-2K 3x =
4
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^ COS A = cos B
A=B +k-2K A=-B + k-2K
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos 3x= cos(i n-x)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
® tan A = tan B
A=B + k-Ti
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tan3x = tan(\n-x)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een variatie op de hoofdvormen krijg je als voor één van de beide goniometrische
verhoudingen een minteken staat. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-> sinA = sin C
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin A = -sin B
cos A = -cos B tan A = -tan B |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-> cos A = cos C
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^ tan A = tan C
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-20-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het inruilen van een of meer goniometrische functies voor een andere.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin A = cos B
sin A = -cos B |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-> sin A = sin C
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin A = pcos A
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-> tanA=p
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-21-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-22-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. Herleid tot een standaardvergelijking en los op.
>a sin2x = -sinA: >c sin 2jc = cos(i7C-f-j:)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b cos(i7c-i-a:) = -cosjc
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>d -sinx = -cos x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9 9
2. cos jf - sin^So: = O kan als volgt tot standaardvergelijkingen worden terugge-
bracht: 9 9
cos j: - sin 3j: = O
(cos X + sin 3;c)(cos x - sin 3^:) = O
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos j: + sin 3x = O
cos x = -sin 3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos X - sin 3a; = O
cos X = sin 3x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin(x +\k) = sin(-3x)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin(x + i k) = sin3;c
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Breng elk van de volgende vergelijkingen terug tot één of meer standaardver-
gelijkingen. Je hoeft daarna niet verder op te lossen. >a sin^x - i sin ;c = O >b sin^4;c = cos^j:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b sirr-x + sin x cos x = O
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>d 4sin X = cos 5x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. Geef de oplossingen tussen O en 2k van:
>a 4sin x = 3cos x >c 2cosx = 3tan x
>h 4sin X = 3tan x >d 2tan x = 3taax
4. In figuur 15 zie je de grafiek van/(x) = 2sin lx + cos x voor één periode.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
27Ü
|
37t
|
47U
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
17C
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Beredeneer dat de periode van ƒ gelijk is aan 47t.
>b Bereken op het interval [0,47t] de x-coördinaten van de punten met hori-
zontale raaklijn. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-23-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Geef alle oplossingen van:
sinjc cosjc |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>c
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sinx cosx
>d tan X • cos x = sin x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sinx
>a Los X op uit: f{x) = 21 >b Los X op uit: ƒ '{x) = O
Tot slot van dit hoofdstuk een vraagstuk ontleend aan het examen 1989:
8. Voor een animatiefilm wordt de beweging van twee manen A en fi rond een pla-
neet P gesimuleerd. De banen worden als cirkels in één vlak gekozen. In figuur 16 zie je het boven-
aanzicht en het vooraanzicht van een situatie op een bepaald moment. A enB bewegen in de richting van de pijl. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
figl6
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
bovenaanzicht
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
vooraanzicht
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In het vooraanzicht bewegen A en 5 zich over een rechte lijn volgens de formu-
les: x^ = sin 27if en Xg = Isirnit (f is de tijd in seconden)
Hierin geven x^ en Xg de plaatsen van A respectievelijk B ten opzichte van P
aan in het vooraanzicht. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-24-
|
|||||
|
>a Neem de figuur met de beide aanzichten over en teken in deze aanzichten
de posities van AenB op het tijdstip t = 0,75. >b Teken in één figuur de grafieken van x^ en Xg als functie van t voor O < f < 2
In het bovenaanzicht zie je voortdurend de werkelijke verhouding van de
afstanden AP en BP, namelijk 2 : 1, in het vooraanzicht meestal niet. >c Op welke tijdstippen, in het tijdsinterval [0,2], zie je in het vooraanzicht B
twee keer zo ver van P als van A? Beschouw zowel de situaties waarbij A en B aan dezelfde kant van P liggen, als waarbij ze aan weerszijden van P liggen; dit levert twee vergelijkingen. Er is een kunstmaan C gelanceerd. Deze kunstmaan is bedoeld om A van dicht-
bij te bestuderen. C bevindt zich in dezelfde baan als A en cirkelt met dezelfde snelheid als A en in dezelfde richting rond P. C ligt 0,1 seconde voor op A. C wordt toegevoegd aan de animatiefilm. >d Geef een formule voor de plaats xc in het vooraanzicht als functie van t.
>e Op welke tijdstippen, in het interval [0,2], lijkt het in het vooraanzicht of
AenC in botsing komen? |
|||||
|
-25-
|
|||||||||||
|
6 Het werken met goniometrische functies in diverse situaties
1. Twee staven met lengte 4 dm en 3 dm kunnen draaien om een punt O.
Q fig IV
|
|||||||||||
|
Als de eindpunten P en Q van de staven worden verbonden, ontstaat een drie-
hoek OPQ. De oppervlakte van die driehoek is afhankelijk van de hoekx tussen OP en OQ. >a Voor welke hoeken x is de oppervlakte van "driehoek OPQ" gelijk aan
nul? >b Toon aan dat geldt: opp. OPQ = 6 sin x.
>c Welke vorm heeft driehoek OPQ in het geval dat de oppervlakte van de
driehoek maximaal is? 2. Twee lange stroken papier met een breedte van 8 cm worden over elkaar gelegd
(zie figuur 18). Er ontstaat een vierhoekig overlappingsgebied R. |
|||||||||||
|
figl8
|
|||||||||||
|
ƒ8 cm
|
|||||||||||
|
>a Wat voor een soort vierhoek is /??
>b Bereken de oppervlakte van R (= O/j) in het geval de hoek a die de stroken
met elkaar maken gelijk is aan 45'^. >c Hoe verandert Oj^ als de stroken een scherpere hoek met elkaar maken?
>d Hoe groot moet a zijn om R een oppervlakte van 1000 cm te geven?
>e Druk O^ uit in a.
>f Schets de grafiek van Ojf als functie van a voor O < a < 180°.
>g Welke conclusies kun je uit die grafiek trekken over het verloop van Oj^l
|
|||||||||||
|
-26-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. Een buis heeft een loodrechte doorsnede in de vorm van een ruit.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
figl9
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De buis kan worden ingedrukt en samengetrokken, waardoor het vooraanzicht
verandert. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fig20
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Daardoor verandert de oppervlakte van de doorsnede van de buis en de door-
stromingscapaciteit. Metingen hebben de volgende tabel voor de oppervlakte van de doorsnede,
afhankelijk van de x opgeleverd. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Controleer deze tabel voor x = 20°.
>b Druk de oppervlakte van de doorsnede uit in x.
>c Bereken voor welke x de oppervlakte van de doorsnede maximaal is.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. In de buis van opgave 2 wordt een vierkante
balk gestoken. De buis wordt samengedrukt tot de balk pre-
cies past. Stel de zijde van het vierkant is 2p.
sinx
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fig21
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Bewijs: p =
|
1 + tanx
|
. (xin radialen)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 • 3
cos X ~ sin j:
2 2
cos j: (1 + tanjc)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b Bewijs: -4- =
■' dx
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dp
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 " """" dx
>d Hoe kun je het antwoord van >c meetkundig verklaren?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-27-
|
||||||||||||||||
|
5. Op de hoekpunten van een vierkant veld van 100 bij 100 m staan vier uitkijk-
torens. Via loopbruggen kan men vanuit elke toren elke andere bereiken. |
||||||||||||||||
|
In het bovenaanzicht:
D |
||||||||||||||||
|
fig22
|
||||||||||||||||
|
>a Bewijs dat de totale lengte L van de loopbrug uitgedrukt wordt in de hoek
u, volgens de formule: |
||||||||||||||||
|
L = 100-lOOtanw-i-
|
200
|
|||||||||||||||
|
COSM
|
||||||||||||||||
|
>b Hoe ziet het loopbruggenpatroon er uit voor w = ^ ?
Hoe groot is de totale lengte in dat geval? >c Onderzoek voor welke u de totale lengte minimaal is.
|
||||||||||||||||
|
-28-
|
|||||||||
|
6. BC is een as met een vaste arm AB en een draaibare arm CP. AB en CP maken
rechte hoeken met CB. Het vlak door B loodrecht op CB heet V. |
|||||||||
|
X is de rotatiehoek van CP, gemeten in radialen (O < ;c < 2n).
In de stand 'P recht boven ^4' geldt: x = 0.
In figuur 23 is de draairichting aangegeven.
De afstand tussen AcnP varieert.
AP is een functie van de draaiboek. Stel: AP =f(x).
|
|||||||||
|
>a Toon aan:/(x) = V3-2cosjc.
>b Leid uit deze formule af voor welke x de afstand AP nünimaal resp. maxi-
maal is. >c Controleer je antwoorden bij >b met behulp van een ruimtelijke figuur.
>d De lengte AP kan ook als volgt worden berekend: projecteer P loodrecht
op V (geeft P') en trek de bissectrice uit B in driehoek ABP'. I 2I
Laat op deze wijze zien dat geldt:/(;c) = /4 sin xJ^ + 1. >e Controleer je antwoorden bij >b met deze nieuwe formule.
>f Als je in een bepaalde richting naar het apparaat kijkt, lijkt het of de lengte
van AP gelijk is aan 2 sin lx In welke richting moetje dan kijken? >g Teken de grafiek van g(x) = 2 sin lx.
>h Bij welke x wijkt g(x) het meest af van/(x)?
Hoe groot is die afwijking? |
|||||||||
|
-29-
|
|||||||||||||||||||
|
7.
|
|||||||||||||||||||
|
Gegeven de kubus ABCD.EFGH met ribbe 1.
Vlak V gaat door B en is evenwijdig met diagonaal EG.
Vlak V draait zo, dat de hoek x (in radialen) van dat vlak met de ribbe BF (zie
figuur) verandert. Bij die draaiing blijft het vlak evenwijdig met EG.
>a Er worden alleen standen toegelaten waarbij het vlak de kubus volgens een
driehoek BPQ snijdt. Welke waarden kan x aannnemen? >b Voor welke x is driehoek BPQ gelijkzijdig?
>c De oppervlakte van driehoek BPQ is afhankelijk van x. |
|||||||||||||||||||
|
Toon aan: opp. ÊsBPQ =
|
sïnx
|
||||||||||||||||||
|
1 - sin X
|
|||||||||||||||||||
|
>d Stel siac = ^ en >' = ------^^.
1-5
Welke waarden kan s aannemen? dy |
|||||||||||||||||||
|
>e Bereken
|
|||||||||||||||||||
|
ds'
|
|||||||||||||||||||
|
dy
|
|||||||||||||||||||
|
>f Hoe kun je in de ruimtefiguur zien dat -j- positief moet zijn voor iedere
toegestane waarde van s. |
|||||||||||||||||||
|
-30-
|
||||||||||||||||||||
|
Onderstaande opgave is voor een deel gelijk aan een examenopgave van 1990.
8. Voor het kweken van plantjes gebruikt een tuinder een cellenstructuur zoals in
figuur 25a is afgebeeld. ledere afzonderlijke cel heeft zes zijden van 3 cm. Door de hele structuur uit te rekken, in de richting zoals aangegeven in figuur 25b, verandert de vorm van iedere cel. Daarbij blijven EF en CB evenwijdig. Die verandering kan worden beschreven met behulp van de variabele hoek DAB. Stel de grootte van hoek DAB is x radialen.
fig25a y fig25b ^ |
||||||||||||||||||||
|
^AAAAAAAA
|
||||||||||||||||||||
|
C
3 <•-
B |
||||||||||||||||||||
|
^ii
|
||||||||||||||||||||
|
/ -^
|
||||||||||||||||||||
|
r ■» --T
|
||||||||||||||||||||
|
>a Bereken x in radialen (in 2 decimalen nauwkeurig) in het geval dat BF = 4.
In figuur 26 is een dergelijke cellenstructuur aangebracht in een plantenbak. fig26 |
||||||||||||||||||||
|
lengte
|
||||||||||||||||||||
|
breedte
>b De binnenbreedte van de plantenbak is 22 cm. Bereken de binnenlengte van de plantenbak. De cellenstructuur van figuur 14 wordt uit de plantenbak genomen en horizon-
taal uitgerekt totdat de hoek x= ^%. >c Teken voor dit geval het bovenaanzicht van de cellenstructuur.
Het verband tussen de oppervlakte van de cel (5) en de hoekgrootte (x) wordt
voor elke hoek x gegeven door S= 18 siru+ 18 sirucosx
>d Bewijs de juistheid van deze formule.
^ , dS . .
>e Druk -r- uit m co&x.
QX
>f Bereken voor welke waarde van x de oppervlakte van de cel maximaal is
en teken de cel met maximale oppervlakte. |
||||||||||||||||||||
|
-31-
|
|||||||||||||||||||
|
Nog een examenopgave (1990, tijdvak 2):
9. fig 27
|
|||||||||||||||||||
|
^ zuiger ^
|
|||||||||||||||||||
|
Een zuiger is door middel van een drijfstang verbonden met een draaiende
schijf. Als de schijf draait beweegt de zuiger horizontaal heen en weer.
M is het middelpunt van de schijf, 5 is het (scharnierende) verbindingspunt van
de drijfstang en de schijf. Bij punt P is de drijfstang ook scharnierend met de
zuiger verbonden. MS =1 en FS = 4.
Stel de grootte van de hoek PMS is x radialen.
De afstand PM is afhankelijk van de hoekgrootte x; stel PM = a{x).
|
|||||||||||||||||||
|
Voor iedere hoekgrootte x geldt: a{x) = cos x
|
16
|
sin X
|
|||||||||||||||||
|
*J
|
|||||||||||||||||||
|
>a Bewijs deze formule voor O < ;c < ^k.
In figuur 28 staat de grafiek van a als functie van x, voor O <x<2'k.
fig 28
5-
|
|||||||||||||||||||
|
O 7t 2Jt
In de grafiek zie je dat het minimum van a{x) gelijk is aan 3 en het maximum
gelijk is aan 5. >b Hoe kun je dat beredeneren aan de hand van figuur 27?
Bij één rondgang van de schijf zal de lengte PM op twee momenten gelijk zijn
aan de lengte van de drijfstang PS. >c Hoe groot zijn de hoeken PMS waarbij zich dat voordoet?
Geef je antwoord in radialen en in 1 decimaal nauwkeurig. De afstand a{x) kan benaderd worden door de formule:
b{x) -4 + cosx. >d Teken de grafiek van b.
>e Onderzoek voor welke x het verschil tussen b(x) en a(x) maximaal is en
bereken dat maximale verschil in 2 decimalen nauwkeurig. |
|||||||||||||||||||
|
-32-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7 Somgrafieken
Verschijnselen met een periodiek karak-
ter kunnen worden beschreven met behulp van sinusfuncties. Als eerste voorbeeld bekijken we de grafiek van het aantal bij een arbeidsbu- reau ingeschreven werklozen, behorend tot de groep kantoor- en onderwijzend personeel in de periode 1975-1980. 1. > De werkloosheid onder kan-
toor- en onderwijzend perso- neel is in de periode '75-'80 niet steeds gestegen. Hoe is dat te verklaren? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fig29
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
60
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xlO^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
55
50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Hoewel de bovenstaande grafiek afwisse-
lend stijgend en dalend is, kunnen we |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
zeggen dat die grafiek een stijgende 'nei-
|
75 76
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
77
|
78 79
|
80
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ging' heeft.
Men spreekt van een stijgende trend. Die trend kan redelijk worden aangegeven
door een rechte lijn, 'trendlijn', waar de grafiek omheen slingert. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Geef een passende formule bij die trendlijn in t en w. (w ■
lOGO-tallen, t = de tijd in jaren vanaf 1975). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
aantal werklozen in
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een wiskundig model dat past bij de werkeloosheidsgrafiek wordt gevonden door
het verschijnsel te ontleden in twee componenten: - de lineaire stijging (trendlijn)
- de fluctuatie per jaar (sinusoïde)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Schematisch:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fig30
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Grafiek A ontstaat door superpositie (= 'optelling van grafieken') uit de grafieken
BenC. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-33-
|
|||||||||||||||
|
3. Als wiskundig model bij het verloop van de werkloosheid kiezen we nu de for-
mule: w = 4r + 23-7sin27ir
(w = aantal werklozen in 1000-tallen; t = tijd in jaren na '75) > Ga na dat deze formule redelijk past bij de werkeloosheidsgrafiek op blz.
32. 4. Hieronder zie je een werkloosheidsgrafiek met een dalende trend. Het is de
werkloosheidsgrafiek voor de Amerikaanse boerenbevolking in de periode 1940-55. > Geef een formule die
het aantal werkloze boeren (w) als functie van de tijd (f) beschrijft. |
|||||||||||||||
|
t,,d
|
|||||||||||||||
|
Gegeven zijn de functies/(x) = ^x, g(,x) = sin x en six) =fix) + g(x).
>a Teken in één figuur de grafieken van/, gens voor O < x < 47t.
>b Bereken de ;c-coördinaten van de punten met horizontale raaklijn tussen
X = O en X = 4k. |
|||||||||||||||
|
> Dezelfde opdracht als 5 voor/(x) =x+l, g(x) = cos x en s{x) =f{x) + g{x).
De trendlijn bij een verschijnsel met periodieke effecten kan zelf ook weer een
golflijn zijn. Afgezien van toevallige omstandigheden ('het weer') wordt het temperatuurverloop op een zekere plek op aarde bepaald door twee effecten: de seizoenwisselingen en het dag-nachtritme. Beide effecten zijn periodiek; het ene met een periode van een jaar, het andere met een periode van 24 uur. Jaargrafiek gemiddelde temperatuur
fig31
|
|||||||||||||||
|
20-1
|
|||||||||||||||
|
10-
|
|||||||||||||||
|
jan feb mrt apr mei jun jul aug sep okt nov dec
|
|||||||||||||||
|
lO-l
|
|||||||||||||||
|
>a Stel een formule op die bij deze jaargrafiek past.
|
|||||||||||||||
|
-34-
|
||||||||||||||||
|
Een model voor de dagelijkse temperatuurschommeling ontstaat uit superposi-
tie van twee sinusoïden. |
||||||||||||||||
|
20-1
|
||||||||||||||||
|
10-
|
||||||||||||||||
|
jan feb mrt apr mei jun jul aug sep okt nov dec
|
||||||||||||||||
|
■10-1
|
||||||||||||||||
|
>b Welke formule denk je dat er bij deze grafiek past?
8. In figuur 33a zijn de grafieken vanf(x) = sin x en g(x) = 0,2sin 5x getekend, in
figuur 33b zie je de grafiek van de somfunctie. fig 33a fig 33b
|
||||||||||||||||
|
> Zo te zien zijn er zes punten tussen x = O en ;c = 27C op de grafiek van s
waarin de raaklijn horizontaal is. Bereken de coördinaten van die punten. Twee stemvorken worden in trilling gebracht, zodanig dat de trillingen
dezelfde frequentie en amplitude hebben, maar in fase verschillen. Een wiskun- dige voorstelling van dit gegeven is bijvoorbeeld: |
||||||||||||||||
|
trilling I:
trilling II: |
||||||||||||||||
|
M = sin r
u = sin(r- 1). |
||||||||||||||||
|
Op blz 35 zie je de trillingspatronen van I, II en van de resultante ('I + II'), zoals
die bijvoorbeeld op een oscilloscoop kan worden waargenomen. >a In welke tijdsintervallen tussen O en 2jt versterken de beide trillingen
elkaar? (Trillingen versterken elkaar als de uitwijkingen hetzelfde teken hebben). >b Het trillinspatroon van de resultante lijkt verdacht veel op een sinusoïde.
Neem aan dat dit inderdaad zo is. Welke formule hoort daar dan bij? Lees je antwoord af uit figuur 34c. |
||||||||||||||||
|
-35-
|
||||||||||||||
|
fig 34a
|
||||||||||||||
|
..••"■"••.
|
||||||||||||||
|
fig 34b
|
||||||||||||||
|
fig 34c
|
||||||||||||||
|
>c Ter controle van de formule bij >b kun je de tijdstippen waarop de even-
wichtsstand wordt bereikt, exact vinden. Stel namelijk sin t + sin{t - 1) = O en los hieruit t op. Welke tijdstippen vind je op deze manier? >d Ook de amplitude van de resultante I + II is exact te bepalen.
Bereken de uiterste waarden van de functie r —> sin r + sin(r - 1) met behulp
van differentiaalrekening.
Vergelijk je uitkomsten met de formule van >b.
Bij >b mocht je er van uitgaan dat de grafiek van m = sin r + sin(r - 1) een sinus-
oïde is. Om dit wiskundig te bewijzen hebben we een formule nodig die niet behandeld is in dit boek (en die je verder niet hoeft te kennen). Dit is een van de zogenaamde formules van Simpson: sin A + sin fi = 2 • sin UA+B)- cos UA -B)
|
||||||||||||||
|
1 en leid zó de formule voor de 'sinustril-
|
||||||||||||||
|
>e Vervang A door r en B door t
ling' af. |
||||||||||||||
|
Uit de formule van Simpson volgt dat de resultante van twee harmonische trillingen
met dezelfde frequentie en dezelfde amplitude, ook \\eer een harmonische trilling is. Dit is niet het geval als de frequenties van de beide trillingen verschillen, ook al is dat verschil heel klein. In opgave 10 zie je daarvan een voorbeeld. |
||||||||||||||
|
-36-
|
|||||||||||||||||||||
|
10. Gegeven zijn de trillingen I: m = sin 9t en II: u = sin lOr.
De resultante (I -i- II) is duidelijk niet harmonisch. |
|||||||||||||||||||||
|
fig 35a
|
|||||||||||||||||||||
|
fig 35b
|
|||||||||||||||||||||
|
fig 35c
|
|||||||||||||||||||||
|
I-i-II
|
|||||||||||||||||||||
|
O
|
|||||||||||||||||||||
|
è^
|
2n
|
||||||||||||||||||||
|
l^n
|
|||||||||||||||||||||
|
it
|
|||||||||||||||||||||
|
>a Hoe groot is het verschil in frequentie van I en II?
(N.B. frequentie = —r-^-).
penode >b Hoe groot is de periode van de resultante?
>c Pas de formule van Simpson toe met A = lOttnB = 9t.
|
|||||||||||||||||||||
|
-37-
|
||||||||||||||
|
Het trillingspatroon van I + n kenmerkt zich door een variabele amplitude.
Voor het geluid betekent dit een afwisselende versterking en verzwakking. Dit verschijnsel wordt zweving genoemd. >d Het lijkt er in figuur 36 op dat het trillingspatroon ingeklemd zit tussen
twee sinusoïden. Welke formules horen bij deze sinusoïden? fig36
|
||||||||||||||
|
O
|
||||||||||||||
|
liTC
|
27C
|
|||||||||||||
|
'2^
|
||||||||||||||
|
K
|
||||||||||||||
|
-38-
|
||||||||||||||||||
|
8 De tangens en de eenheidscirkel
De functies 'sinus' en 'cosinus' zijn gedefinieerd met behulp van een cirkelbewe-
ging. De functie 'tangens' is in het lx)ekje 'De Techniek van het differentiëren' algebraïsch ingevoerd, namelijk door middel van de formule: |
||||||||||||||||||
|
smjT
cosx |
||||||||||||||||||
|
tanx =
|
||||||||||||||||||
|
Uit die formule kunnen eigenschappen van de tangensfunctie, zoals periodiciteit en
asymptotisch gedrag, worden afgeleid. Er bestaat ook een manier om de tangensfunctie meer 'meetkundig' in te voeren,
met behulp van de eenheidscirkel. l:x=l
fig37
|
||||||||||||||||||
|
In het punt (1,0) van de eenheidscirkel trekken we de raaklijn / aan deze cirkel (de
lijn x= 1). Het punt P beweegt weer in positieve richting over de eenheidscirkel en wordt daarbij steeds geprojecteerd vanuit O op de lijn /. Die projectie noemen we Q. De plaats van P en dus ook die van Q wordt bepaald door de draaiboek u die de straal OP maakt met de x"*'-as. |
||||||||||||||||||
|
Er geldt:
|
||||||||||||||||||
|
XQ=l
yq = tan u
|
||||||||||||||||||
|
Xp = cos u
yp = sin u |
||||||||||||||||||
|
1. > VerklaaryQ = tanuvoor0<u< ^n.
|
||||||||||||||||||
|
-39-
|
||||||||||||||||||||
|
2. Bekijk figuur 38.
>a Verklaar uit de ligging van de
driehoeken OAP en OEQ: >b Ga na dat hieruit volgt:
|
||||||||||||||||||||
|
sinM
COSM
|
||||||||||||||||||||
|
fig38
|
||||||||||||||||||||
|
tanM =
|
||||||||||||||||||||
|
Je ziet dus dat tan u=yQ een goede manier is om de tangens te definiëren. In feite
heeft de tangens daar ook zijn naam aan te danken; het latijnse werkwoord 'tangare' betekent 'raken'. De waarden die de tangens voor verschillende hoeken bereikt, zijn gerichte afstanden op de raaklijn /. 3. >a Verklaar uit figuur 37 dat tan u niet gedefinieerd is voor u= ^% + kK
(^ = 0,±1,±2,.....).
>b Verklaar ook dat de tangensfunctie de periode 7t heeft.
>c Hoe kun je zien dat de tangensfunctie niet, zoals sin en cos, een beperkt
bereik heeft? 4. Zie figuur 38 en vergelijk de driehoeken OPA en OQB.
>a Met welke factor moet je driehoek OPA vermenigvuldigen om driehoek
OQB te krijgen? |
||||||||||||||||||||
|
1
|
||||||||||||||||||||
|
>b Hoe volgt hieruit: OQ =
|
||||||||||||||||||||
|
COSM
|
||||||||||||||||||||
|
>c Bewijs nu de formule: tan w + 1 =
|
||||||||||||||||||||
|
cos u
|
||||||||||||||||||||
|
Op de volgende bladzijde is een eenheidscirkel gebruikt om een tangensgrafiek te
tekenen tussen u = -^Kcn u = 11 n. Daarbij is de cirkel verdeeld in 12 even grote boogjes. Als P de positie (0,1) of (0,-1) inneemt, dan is het bijbehorende punt Q 'onbereikbaar' geworden. |
||||||||||||||||||||
|
-40-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Als F met constante snelheid de eenheidscirkel doorloopt, dan doorloopt Q met
veranderende snelheid de verticale lijn /. > Op welke plaats op / is de snelheid van Q het kleinst?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||