|
OEFENLESSEN
|
||||||||
|
Wiskunde B
|
||||||||
|
fi
|
||||||||
|
Freudenthal instituut
Archief |
||||||||
|
OEFENLESSEN
|
||||
|
Hawex -Wiskunde B
|
||||
|
OEFENLESSEN
Een produktie ten behoeve van het project Hawex.
Ontwerper: Martin Kindt
Henk van der Kooij
Anton Roodhardt Met medewerking van: Jan de Jong
Martin van Reeuwijk
Vormgeving: Ada Ritzer
© 1990: 3e versie
Utrecht, juli 1990 |
||||
|
Inhoudsopgave
Oefenlessen bij 'Hellingen'
1. Goniometrische verhoudingen...................................................................... 1
2. Ontbinden in factoren................................................................................... 4
3. Lineaire functies........................................................................................... 6
4. De a, b, c, formule........................................................................................ 9
5. Kwadratische functies en parabolen............................................................. 11
Denkertjes..................................................................................................... 14
Oefenlessen bij 'Verkenning in de Ruimte'
6 Oppervlakte.................................................................................................. 16
7. Gelijkvormige figuren.................................................................................. 19
8. Evenredigheden in figuren........................................................................... 23
9. Functies in de meetkunde............................................................................. 26
10. Regelmatige figuren..................................................................................... 29
Denkertjes..................................................................................................... 32
Oefenlessen bij 'Differentiëren, een manier om veranderingen bij te houden'
11. Vergelijkingen.............................................................................................. 34
12. Tekenverloop................................................................................................ 36
13. Machtsfuncties en vergelijkingen................................................................. 40
14. Ongelijkheden............................................................................................... 43
15. Snijpunten met de x-as.................................................................................. 46
Denkertjes..................................................................................................... 48
Oefenlessen bij 'Sinus en Co'
16. Gevels en vijfhoeken.................................................................................... 50
17. Omtrek en oppervlakte van een cirkel.......................................................... 52
18. Verschuiven van grafieken........................................................................... 54
19. VergeHjkingen.............................................................................................. 56
20. Grafiek en tekenverloop............................................................................... 58
Denkertjes..................................................................................................... 62
Oefenlessen bij 'Tekenen wat je weet'
21. Het zwaartepunt van een driehoek............................................................... 64
22. Hoogtelijnen in een driehoek........................................................................ 67
23. De cosinusregel............................................................................................ 70
24. Lijnen en vlakken......................................................................................... 72
Oefenlessen 'Algemeen'
25. Gebroken vormen......................................................................................... 75
26. Gebroken vergelijkingen.............................................................................. 78
27. Vergelijkingen met sinus en cosinus............................................................ 81
|
||||
|
Voorwoord
Bij het instuderen van een nieuw ballet heeft een danser(es) veel baat bij een perfek-
te beheersing van de basisbewegingen. Tijdens de opleiding worden die basistech- nieken intensief geoefend aan de barre (zie voorplaat). Een professionele danser(es) werkt ook aan de barre, onder andere om de spieren soepel te houden. Het nieuwe ballet als geheel wordt ingestudeerd onder leiding van een choreograaf. Het werken aan de barre is een individuele aktiviteit. Bij het werken aan een wiskundig probleem zijn er ook altijd momenten dat er een
beroep gedaan wordt op de beheersing van een basistechniek, het oplossen van een vergelijking, het berekenen van een oppervlakte, ... Dit oefenboek is bedoeld om zelfstandig bezig te zijn met technieken en vaardighe-
den. Deels gaat het om dingen die je vroeger al gehad hebt, deels bevat het (extra) oefenstof bij nieuw geleerde onderwerpen uit de 'gewone' boekjes. In principe is er telkens een blokje van oefenlessen rond één boekje gegroepeerd. Ieder blokje wordt gevolgd door een serie Denkertjes: opgaven die net even wat meer kreativiteit vragen dan de gewone oefeningen. Het motto van dit boek is duidelijk:
Oefening baart kunst
Daarbij hoefje zeker niet gefrustreerd te raken als blijkt dat de een van nature wat hoger reikt dan de ander. |
||||||
|
Grand battements naar opzij, waarin je kunt zien
dat een meisje een natuurlijke extensie bezit. |
||||||
|
OEFENLES1: Goniometrische verhoudingen
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het verband tussen hellingshoek en hellingspercentage*) wordt gelegd
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
door goniometrische verhoudingen.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
verticale
afstand |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
verticale afstand
schuine afstand |
verticale afstand
horizontale afstand |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tan a =
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Sin a =
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin (voluit: sinus) en tan (voluit: tangens) worden goniometrische verhou-
dingen genoemd. Er is nog een derde goniometrische verhouding: cos (voluit: cosinus) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
_____horizontale
"* afstand *"
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
horizontale afstand
schuine afstand |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos a =
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De aanduidingen 'horizontaal' en 'verticaal' moeten met een korreltje
zout worden genomen bij een andere stand van de driehoek. Men zegt ook: aanliggende zijde {x), overstaande zijde (y) en schuine zijde {i). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sin a:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos a= Y
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
*) Zie het boekje 'Hellingen'.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Opgaven
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. Rechthoek met diagonaal.
a. Bereken sin a, cos a, tan a.
b. Bereken sin p, cos p, tan p.
c. Bereken a en p met je reken-
machientje. (Geef je antwoorden in één
decimaal nauwkeurig.)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Driehoek met hoogtelijn.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Bereken sin a, cos a, tan a.
b. Bereken sin p, cos P, tan p.
c. Bereken a en p (in 1 decimaal nauwkeurig).
d. Hoegroot is de hoek tussen/AC en SC?
3. De 'tekendriehoeken'.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\<2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ui
2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Controleer de getallen bij de zijden met de stelling van Pythagoras.
b. Vul in: sin 45° =^^2 sin 30° = ... sin 60° = ...
cos 45° = ... cos 30° = ... cos 60° = ...
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tan 45° = ...
|
tan 30° =
|
tan 60° =
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-3
|
||||||||||||||||
|
4. Iemand berekent sin 45° met behulp
van dit plaatje. |
||||||||||||||||
|
Resultaat: sin 45° =
|
1
|
|||||||||||||||
|
^
|
||||||||||||||||
|
Ogenschijnlijk een andere uitkomst
dan bij 3b. Of toch dezelfde? |
||||||||||||||||
|
Vier lijnen in een vierkant maken
vier hoeken met de basis van klein naargroot:a, |3,Y, 5. Zij verdelen de rechterzijde van het vierkant in vier gelijke stukken. a. Bereken tan a, tan (5, tan y, tan 5.
b. Is dit waar:
P = 2a,Y=3aen5 = 4a?
c. Als de hoek groter wordt, wordt
ook de tangens van die hoek groter. Geldt dat ook voor de sinus? En voor de cosinus?
|
||||||||||||||||
|
6. Een paaltje is 1 m hoog. zon
De schaduw van het paaltje is ,..-•' 2 m lang. ,„.-••"" Hoe groot is de hoek die de ..,-• zonnestralen met de grond ....-•""" maken? ...-•"'" (Die hoek geeft de 'hoogte' ...--■*"? van de zon aan.) '^ 7. Iemand meet de hoogte van de zon met een hoekmeter: resultaat: 60°.
Vervolgens meet hij dat de schaduw van de berk in zijn tuin 2,40 m lang is. Hoe hoog is die berk?
|
||||||||||||||||
|
8. Een vliegtuig stijgt onder een hoek van 20° tot een hoogte van 5 km is
bereikt. Hoeveel km heeft het vliegtuig afgelegd om die hoogte te bereiken? |
||||||||||||||||
|
4-
|
||||||||||||||||||
|
OEFENLES 2: Ontbinden in factoren
|
||||||||||||||||||
|
Voorbeeld:
(1) a2 + 10a + 21 =
|
||||||||||||||||||
|
21 =7x3
10 = 7 + 3 |
||||||||||||||||||
|
(2) a" + 7a + 3a+21
(3) a(a+7) + 3{a+7) =
(4) (a+3) (a+7)
De tussenstappen (2) en (3) worden meestal weggelaten.De tweede-
graadsvorm a^ + 10a + 21 Is ontbonden in factoren van de eerste graad:
a + 3 en a + 7. • Nog een voorbeeld:
|
||||||||||||||||||
|
3^ +10a-24 =
(a-2)(a+12)'t^-------------------------------- |
-24= 12 X-2
10 = 12-2 |
|||||||||||||||||
|
Opgaven
1. Ontbind in factoren (van de eerste graad):
a. 3^ +10a+ 24 d. x^-IOOx+QOO
b. x2 + 20x-44 e. x2 + 103x+300
c. y^-15y+50 f. y^-y+90
2. Ontbind in factoren, indien mogelijk
a. a^+8a d. x^-ioo
b. y2-12y e. y2_-|
c. p^ + p f. m^ + 4
3. Gegeven de vorm )S + kx-36
Neem voor k achtereenvolgens 5, 9, O en 35 en ontbind in elk van die
gevallen de vorm in factoren. 4^ kwadraat O ^n., nf> min 1 9. -i o on ontbind ,„ n-\ /., -7\
. x+6____> x^ + 12x+36____^ x^ + 12x + 35 ____^ (x+5)(x+7) |
||||||||||||||||||
|
a. Controleer deze berekening.
b. Doe hetzelfde met:
x + 4; x-7; y+ 11; y-11; p+ 1;p
|
||||||||||||||||||
|
Het ontbinden in factoren wordt gebruikt bij het oplossen van vergelijkin-
gen. Voorbeeld:
ę + 3t=^8 Oplossing:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
18 is 'overgeboekt' naar het iinkerlid
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
f + 3t-^Q =0 <—
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
(f+6)(f-3) = 0 <-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Iinkerlid ontbonden in factoren
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
A,
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
A.«.
|
A=
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
dan
|
= 0 of
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
f+6 = 0 f-3 = 0
f=-6 f=3
Deze manier van oplossen kan zo worden samengevat:
- Boek termen over van rechterlid naar Iinkerlid (of omgekeerd) tot één
van beide leden nul is. - Ontbind het andere lid in zoveel mogelijk factoren.
- Stel de factoren beurtelings nul en los de onbekende op.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Opgaven
5. Los op door ontbinding in factoren:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. t^ + 45 = ^8t
b. 4x+45 = x2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
c. y^ + 64 = 16y
d. x^ = 64x
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. Er is één getal dat voldoet aan x^-x= 12en ook aan x^ + 7x = -12.
Welk getal is dat? 7. Iemand lost x^ + 6x = 40 als volgt op:
xfx + 6) = 40 X = 40 of X + 6 = 40
X = 40 of X = 34 Geef commentaar. 8. Los op en controleer je antwoorden door invullen in de vergelijking:
a. x2 + l2x = 85 d. (t7-11)(u+11) = 104
b. x(x-10) = 24 e. f(f+99) = 100
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
f. (x-5)'^ = 81
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
c. (y-7)(y+3) = 39
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
6-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
OEFENLES 3: Lineaire functies
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een rechte lijn in het Oxy-vlak die scheef staat ten opzichte van de beide
coördinaatassen, heeft een vergelijl<ing van de vorm: y=ax+b
In dit geval zeggen we: /is een lineaire functie van x Voorbeelden:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y=^x+3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
y=-x+9
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
De coëfficiënt a van x is bepalend voor de fielling van de lijn en wordt
daarom hellingscoëfficiënt (of richtingscoëfficiënt) genoemd.
De constante b is bepalend voor de plaats waar de lijn de y-as snijdt.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. a. Controleer of de drie grafieken in overeenstemming zijn met de
bijbehorende vergelijkingen.
b. Stel je voor dat de eerste twee grafieken in één rooster staan.
Die grafieken hebben dan één snijpunt. Bereken de coördinaten van dat snijpunt.
c. Dezelfde vraag voor de tweede en de derde grafiek.
2. Geef bij elk van onderstaande grafieken een vergelijking van de vorm
y = ax + ö |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij het noteren van een functie wordt vaak gebruik gemaakt van het func-
tie-symbool f. Een voorbeeld van een lineaire functie \s: f(x) = 3x + ^Q oU: x-^ 3x + ^8 |
||||||||||
|
3. Gegeven is de functie f(x) = 3x + 18.
a. Bereken/(4),/(O),/(18),/(-e),/(?)
ö
b. Welke getallen moeten op de plaats van de puntjes staan?
/(...) = 21; f{...) = 102; /(...) = 18; /(...) = 0; /(...) = 4 4. Gegeven de vergelijking: y= ax +4.
a. Kies voor a achtereenvolgens 2, |, O, -4 en teken steeds de grafiek
bij de zo ontstane functie (vier grafieken in één plaatje).
De lineaire functies van de vorm y= ax + 4 vormen een (oneindig grote)
familie. Elk familielid heeft een grafiek die de y-as snijdt in het punt (0,4). De familieleden onderscheiden zich van elkaar door de hellingscoëffi- ciënt van de grafiek. b. Er is één familielid waarvan de grafiek door het punt (10,34) gaat.
Welke hellingscoëfficiënt (dus, welke a) hoort bij die functie? c. Hiernaast zie je het lijnstuk AB.
Vanuit het punt (0,4) vertrekken on- eindig veel recht lijnen. Sommige lij- nen treffen AB, andere niet. Welke lijnen door (0,4) treffen AB? (Geef je antwoord in de vorm: y = ax + 4 waarbij voor a geldt:......) |
||||||||||
|
Naast het lijnstuk AB is nu ook CD
getekend.
Welke lijnen uit (0,4) treffen zowel
AB als CD7
(Let op: de schaal van de tekening is
verkleind).
|
||||||||||
|
Gegeven de vergelijking y = 1,5x + b
a. Kies voor b achtereenvolgens 2, O, -3 en teken de grafiek bij de zo
ontstane functies. De lineaire functies van de vorm y = 1,5x + ö vormen een familie.
b. Van welke familieleden snijdt de grafiek de x-as tussen (-10,0) en
(4,0)? |
||||||||||
|
8
|
|||||||||||||||||||||
|
Een rechte lijn is bepaald door twee punten
|
|||||||||||||||||||||
|
Voorbeeld;
Gegeven: y is een lineaire functie van x
als->f= 1,dany=3
alSA-izS.danysS
Gevraagd: druk y uit in x Oplossing 1: Stel y=a;f+ö (wegens (1))
|
|||||||||||||||||||||
|
(1)
(2) (3) |
|||||||||||||||||||||
|
Uit (2) volgt: 3 = a • 1 + ö, (invullen!) dus a + ö = 3
Uit (3) volgt: 5 = a-6+b, (invullen!) dus 6a + ö = 5 |
(4)
(5) |
||||||||||||||||||||
|
Je hebt nu een stelsel van twee vergelijkingen in a en ö
Er^lcomt d^n^"'^'^"^ ''°''^'" ^^^^'^'^ ^°°^ ^^^ ^^" ^5) af te trekken. 5a=2, dusa= - 5
Uit a + ö = 3 en a = I volgt b = 2~ .
o 5
Conclusie: y= ~x + 2~
Oplossing 2 is wel handiger:
De hellingscoëfficiënt van de grafiek = ^ = il^ ^ 2
A Jf 6-1 5 ■
Dus:y=|x+ö
Het punt (1,3) ligt op de grafiek, dus 3 = ^ ^ ö ofwel ö = 2 ^
5 5 ■
. Gegeven: y is een lineaire functie van x
Bepaal een passende formule in elk van de volgende gevallen:
a. De grafiek gaat door de punten (5,10) en (10,5).
b. De grafiek gaat door de punten (-3,4) en (2,19).
|
|||||||||||||||||||||
|
c.
|
|||||||||||||||||||||
|
De grafiek snijdt de coördinaatassen in (0,12) en (24,0).
De hellingscoëfficiënt van de grafiek is 1 ^ en de grafiek gaat door
het punt (16,-7). |
|||||||||||||||||||||
|
De grafiek is evenwijdig met de lijn x- 2y = 4 en snijdt de lijn
x + y= 8 in het punt (10,-2). ^ |
|||||||||||||||||||||
|
e.
|
|||||||||||||||||||||
|
-9-
|
||||||||
|
OEFENLES 4: De a, b, c-formule
|
||||||||
|
Een vergelijking van de tweede graad in x kan worden herleid tot de
standaardvorm: ax^ + Ł)x+c=0 (meta^O)
Die standaardvorm wordt ook wel vierkantsvergelijking genoemd. Ais het ontbinden van factoren bij een vierkantsvergelijking niet gemak- kelijk (of helemaal niet) lukt, kun je gebruik maken van de zogenaamde a, b, c-formule: |
||||||||
|
^_ -b±4t^-Aac
Deze formule geeft de oplossingen van de vierkanstvergelijking, mits het
getal onder het wortelteken niet negatief is! Dat getal, t?-- 4ac, heet de discriminant yan de vierkantsvergelijking.
Als de discriminant een negatieve waarde heeft, bestaan er geen getal- len die aan de vierkantsvergelijking voldoen!*) 1. a. Schrijf de vierkantsvergelijking op met a = 3, b = 8, c = 28.
b. Bereken de discriminant.
c. Bereken de twee oplossingen van de vergelijking.
2. Los de volgende vierkantsvergelijkingen op met behulp van de a, b, o
formule. a. 2x2-3x-35 = O ^ 5x2 + 6x=-1
b. x2-26x+69 = 0 f. 6x2 + 5x=-1
c. 6x2+ x-57 = O g_ x2 + 22x+122 = 0
d. x2 + 7lx+12l=0 h. x2-22x+121=0
3. Een vierkantsvergelijking waarbij x^ de coëfficiënt 1 heeft, is van de
vorm: x^ + px+ qf=0. a. Geef een formule van de oplossingen van deze vergelijking, uitge-
drukt in p en q. b. Aan welke voorwaarde moeten p en q voldoen, wil de vergelijking
twee (verschillende) oplossingen hebben? |
||||||||
|
*) In het door ons gebaiikte getailensysteem
|
||||||||
|
10-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De oplossingen van een vierkantsvergelijking komen niet altijd 'mooi' uit.
Voorbeeld: x2 + 2x= 1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x^ + 2x-^ =0 <-----------------
|
1 overgeboekt naar links
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 ± J8
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ö2-4ac=22-4-1-1 =8
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x =
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= -1 +\/2ofx=-1 -V2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
V8 = V4-V2 = 2V2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De getallen -1 + V2 en -1 -V2 zijn de 'exacte' oplossingen van x^ + 2x = 1.
In de praktijk is men vaak geďnteresseerd in benaderingen van deze uitkomsten. Bijvoorbeeld in 2 decimalen: x « 0,41 en x = -2,41 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. Los de volgende vierkantsvergelijkingen op. Geef van de oplossingen
die niet 'mooi' uitkomen, ook een benadering in 2 decimalen nauwkeu- rig. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Werk uit tot je een herkenbare vergelijking hebt en los op:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c. (u-4f = {8 + u){8-u)
d. f(f-8) + 32 = 4(f-1)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. (2x-f1)(3x-H2) = 4x+3
b. (y-l)(y+5) = (5-y)(Wy)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. Bekijk onderstaand schema:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xopte lossen uit:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
nee
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
vergelijking
heeft 2 oplossingen
|
vergelijking
heeft 1 oplossing |
vergelijking
heeft geen oplossing
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Leg uit wat dit schema Inhoudt.
b. Bedenk zelf een vergelijking zodat geval (1) zich voordoet.
c. Dezelfde vraag voor (2) en voor (3).
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11
|
||||||||||||||||||||
|
OEFENLES 5: Kwadratische functies en parabolen.
|
||||||||||||||||||||
|
Meest eenvoudige vorm (standaardvorm):
|
||||||||||||||||||||
|
symmotrio-
as |
||||||||||||||||||||
|
y = x^ of f(x) = x^
Grafiek: parabool
Een parabool heeft een symmetrie-as en een top
Bij het tekenen van een parabool is de plaats van symmetrie-as en top
belangrijk. Verder is het raadzaam om een of meer punten in de buurt van de top te tekenen, zodat de kromming bij de top er redelijk goed uitziet. |
||||||||||||||||||||
|
4.
|
||||||||||||||||||||
|
7,
|
||||||||||||||||||||
|
+-X
|
||||||||||||||||||||
|
MAAR ZO
|
||||||||||||||||||||
|
1. Teken de grafieken van:
a. y=lx2
b. y=(^x)2
|
||||||||||||||||||||
|
c. y= x^ + 1
d. y={x+^f
|
||||||||||||||||||||
|
2. a. Teken in één figuur de grafieken van:
y= lx^-2 en y=-lx+ 1
b. Bereken de coördinaten van de snijpunten van beide grafieken.
3. a. Teken in één figuur de grafieken van:
/(x) = -2x2 + 5 en öf{x)= 1x^-2
b. Een van beide grafieken is een dalparabool, de andere een bergpa-
rabool. Welke is dalparabool, welke is bergparabool? c. Bereken de coördinaten van elk van de snijpunten van de grafieken
van f en g. |
||||||||||||||||||||
|
12-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. Alle parabolen die de y-as als symmetrie-as hebben en de oorsprong als
top vormen een familie. De familienaam is: y = px^. Familieleden zijn bijvoorbeeld: y = 2x^, y= Ix^ en y= -x^
Welke parabolen die deel uitmaken van de familie gaan door het zwarte
vierkant? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/
4
3-1- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2..
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ +
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AL
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* *
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
H----------H
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 X
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Het ruimteschip R vliegt langs een parabolische baan y = px^.
De bemanning kan invloed op de baan uitoefenen door op het moment
dat O gepasseerd wordt de p-waarde in te stellen. Hoe zou je zelf de p-waarde instellen als je het ruimteschip door de bei-
de openingen AB en CD moest sturen? (Geef alle mogelijkheden) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-13-
|
||||||||||||||||||||
|
De algemene vorm van een kwadratische functie is:
f{x) = a)S + bx+ c
Voorbeelden: |
||||||||||||||||||||
|
a= I, ö = 0, c=0
a= 1, b = 0, c=-2
a =-1,0 = 4, c=0 a= 1, ö= -3, c=5 |
f{x) = V
/(x) = ^2 - 2
/(x) = -x^ + 4x /(x) = x^ - 3x + 5 |
|||||||||||||||||||
|
(1)
(2)
(3) (4) |
||||||||||||||||||||
|
In de gevallen (1) en (2) valt de symmetrie-as van de grafiek samen met
de y-as; Immers: twee tegengestelde waarden van x (bijv. 6 en -6) leve- ren daar dezelfde y-waarde op! In de gevallen (3) en (4) is dat niet het geval. Een manier om de symmetrie-as te vinden is: zoek twee x-waarden die
dezelfde y-waarde opleveren! |
||||||||||||||||||||
|
6. Bekijk geval (3): /(x) = -x^ + 4x
Een begin van een x-y-tabel: |
||||||||||||||||||||
|
O
|
||||||||||||||||||||
|
1
|
||||||||||||||||||||
|
3 4 3
t t
Twee punten die even hoog op de grafiek liggen zijn (1,3) en (3,3).
a. Welke lijn is symmetrie-as van de grafiek?
b. Welk punt is de top?
c. Teken de grafiek van f{x) = -x^ + 4x
7. Bekijk geval (4):/(x) = x2-3x+5.
a. De grafiek snijdt de y-as in (0,5)
Welk ander punt (...,5) ligt op de grafiek?
b. Welke lijn is de symmetrie-as?
c. Welk punt is de top?
d. Teken de grafiek van y = x^ - 3x + 5
8. /(x) = x^ + 2x-15 ■
a. Los xop uit: f{x) = O
b. Teken de grafiek van f.
|
||||||||||||||||||||
|
14-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
15
|
||||||||||||||
|
DENKERTJES
|
||||||||||||||
|
5.
|
||||||||||||||
|
= 81
|
||||||||||||||
|
= 27
|
||||||||||||||
|
- 9
|
||||||||||||||
|
6. In x^ + 13x + 42 worden achtereenvolgens de getallen 0,1, 2, 3, 4, 5, 6,
enz. ingevuld. Wat je ook invult, de uitkomst is altijd een even getal. Bewijs dit.
7. Eén rechte lijn verdeelt het vlak in 2 gebieden.
Twee rechte lijnen verdelen het vlak in (maximaal) 4 gebieden.
a. in hoeveel gebieden (maximaal) wordt het vlak verdeeld door 3 lij-
nen? En door 4 lijnen? En door 5 lijnen? b. Hoeveel gebieden krijg je maximaal bij 1, 2, 3, 4 of 5 cirkels?
|
||||||||||||||
|
8. Je kent natuurlijk de stelling van Pythagoras.
Een beroemde rechthoekige driehoek is die met zijden 3, 4 en 5
|
||||||||||||||
|
(3^ + 42 = 5^)
|
||||||||||||||
|
De vraag is nu: bestaat er meer rechthoekige driehoeken, waarvan de
zijden drie opeenvolgende natuurlijke getallen zijn? Aanwijzing: stel de kleinste zijde x |
||||||||||||||
|
-16-
|
|||||||||||||
|
OEFENLES 6: Oppervlakte
rechthoek: Opp = basisx hoogte = b- h
pr |
|||||||||||||
|
parallellogram: Opp = basisx hoogte = b- h
|
|||||||||||||
|
TT
|
|||||||||||||
|
Verklaring:
|
|||||||||||||
|
driehoek: Opp = i x basis x hoogte = l b ■ h
|
|||||||||||||
|
Verklaring:
|
|||||||||||||
|
trapezium: Opp = gemiddelde evenwijdige zijden x hoogte = 1 (a+b) - A7
|
|||||||||||||
|
■
|
|||||||||||||
|
Verklaring:
|
|||||||||||||
|
a + b
|
|||||||||||||
|
17
|
||||||||||||
|
Oefeningen
1. Tussen de rails:
|
||||||||||||
|
Bereken: opp. I; opp. II ; opp. III; opp. IV.
|
||||||||||||
|
2. Dwarsdoorsnede van een dijk (maten in meters).
|
||||||||||||
|
Bereken de oppervlakte van de dwarsdoorsnede.
3. a. Teken een scherphoekige driehoek met een oppervlakte van 12 cm^.
b. Teken een stomphoekige driehoek met dezelfde oppervlakte.
c. Teken ook een trapezium met een oppervlakte van 12 cm^.
|
||||||||||||
|
a. Zijgevel van een huis.
Bereken de oppervlakte van deze gevel, (antwoord in één cijfer achter de komma). b. Zijgevel van een huis dat
even hoog en diep is. De nok ligt 2 m uit het midden. Bereken de oppervlakte
van deze gevel. |
||||||||||||
|
10
|
||||||||||||
|
18
|
||||||||||||
|
Een tweede bekende formule voorde oppervlakte van een driehoek:
|
||||||||||||
|
Opp. = 1 öcsin a
|
||||||||||||
|
In woorden: de oppervlakte van een driehoek is het halve produkt van
twee zijden en de sinus van de ingesloten hoek. b^ \a
|
||||||||||||
|
Bewijs van deze formule:
sin a = 5 , dus: h = bs\na
b Dus: 0= i • ösin a • c= i öcsin a
|
||||||||||||
|
5. Controleer bovenstaande formules voor a = 90°.
6. Bereken de oppervlakte van elk van onderstaande figuren.
|
||||||||||||
|
7. Bereken de oppervlakte van de onderstaande vierhoeken.
|
||||||||||||
|
19-
|
|||||||||||||||||||||||
|
OEFENLES 7: Gelijkvormige figuren
A
|
|||||||||||||||||||||||
|
Tm
|
|||||||||||||||||||||||
|
TTTTTTTI
|
f iri jiw-V fl iiiiii 1'
|
||||||||||||||||||||||
|
^Atündsticksfabrik. sweoen.A?
|
|||||||||||||||||||||||
|
B
|
|||||||||||||||||||||||
|
D
|
|||||||||||||||||||||||
|
De figuren A en B zijn gelijkvormig.
B is een vergroting van A: de zijden van B zijn 2 keer die van A.
We zeggen: de vermenigvuldingsfactorvan A naar B is 2.
Omgekeerd is A een verkleining van B.
De vermenigvuldigingsfactor van B naar A is i .
|
|||||||||||||||||||||||
|
Opgaven
|
|||||||||||||||||||||||
|
De figuren A en D zijn ook gelijkvormig.
Hoe groot is de vermenigvuldigingsfactor van A naar D?
b. Waaraan kun je zien dat A en C niet gelijkvormig zijn?
c. Alle lengte-afmetingen bij B zijn 2 keer zo groot als de overeenkom-
stige afmetingen bij A. Bijvoorbeeld: de spanwijdte van de vleugels van de zwaluw op B is
2 keer zo groot als de overeenkomstige spanwijdte op A. Hoe zit dat met de overeenkomstige hoeken op beide figuren (bij- voorbeeld de hoek van de zwaluwstaart op A en op B)? |
|||||||||||||||||||||||
|
1.
|
|||||||||||||||||||||||
|
d. Hoe verhouden zich de oppervlakten van A en B? en van A en D?
|
|||||||||||||||||||||||
|
-20
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. /, // en /// zijn gelijkvormige L-figuren.
a. Hoe groot is de vermenigvuldi-
gingsfactor van / naar // ? En van // naar /// ?
b. Vul in: opp 11= .........maal opp/.
opp 111= .........maal opp//.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. Driehoek PQR is gelijkvormig met driehoek ABC.
a. Hoe groot is de vermenigvuldigingsfactor van ABC naar PQR.
b. Trek de figuur over en controleer dat de lijnen AP, BQ en CR door
één punt gaan. c. Hoe verhouden de oppervlakten van ABC en PQR zich?
C
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0-.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-^...
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
•^■.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Als twee gelijkvormige figuren (die niet even groot zijn) zo worden ge-
plaatst dat overeenkomstige zijden evenwijdig zijn, gaan de verbindings- lijnen van overeenkomstige punten door een vast punt, zeg O. In de hier getekende situatie zeggen we: B is het beeld van A bij een vermenigvuldiging vanuit het centrum O met
factor 2. (of: A is het beeld van B bij een vermenigvuldiging vanuit het centrum O met factor 1). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
21
|
||||||||||||||
|
4. Bekijk de figuur bij opgave 2.
De overeenkomstige zijden van 1,11 en lil zijn evenwijdig.
Waar ligt het centrum van de vermenigvuldiging? 5. Driehoek Fis vermenigvuldigd vanuit O. Het beeld is F'.
Vind in elk van de volgende situaties de vermenigvuldigingsfactor en be-
reken daarna de met ? gemerkte lijnstukken. |
||||||||||||||
|
/ 4
|
||||||||||||||
|
o/^'-
|
||||||||||||||
|
Voorbeeld.
In driehoek ABC is het dwarslijntje DE evenwijdig met zijde AB.
|
||||||||||||||
|
Te berekenen: lijnstuk DE.
Oplossing: Vermenigvuldig CAB vanuit centrum Czo, dat CDE het
beeld is. De vermenigvuldigingsfactor is ^^ - |.
|
||||||||||||||
|
_5____^ CDE
|
||||||||||||||
|
Korte notatie: CAB
|
||||||||||||||
|
Daaruit volgt: x = | x 8, dus DE = 3i.
|
||||||||||||||
|
22-
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
6. In de volgende figuren is het dwarslijntje in de driehoek evenwijdig met
een zijde. Bereken in elk van de gevallen lijnstuk x. Aanwijzing: in elk van de situaties is een centrale vermenigvuldiging in het spel. Bepaal eerst het centrum en de vermenigvuldigingsfactor; stel vervolgens een vergelijking op met x als onbekende. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
a.
|
c.
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Nog een voorbeeld:
DEIIAB
Te berekenen AD.
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
.10
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Oplossing: CDE
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
^CAB
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
AC=^ • DC
b
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Gevolg
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
10
|
50
|
||||||||||||||||||||||||||
|
X + 5 =
|
5 -^ x =
|
||||||||||||||||||||||||||
|
x = 3^
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
7. Bereken x in elk van de volgende situaties (het dwarslijntje in de drie-
hoek is steeds evenwijdig met een zijde). c
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
AB = 8;DE=5
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
23-
|
||||||||||||||||||||||||
|
OEFENLES 8: Evenredigheden in figuren
|
||||||||||||||||||||||||
|
Voorbeeld:
Gegeven PQIIAB Gevolg:
ABC en APQ zijn gelijkvormig.
|
||||||||||||||||||||||||
|
5 ^ APQ
|
||||||||||||||||||||||||
|
ABC
|
||||||||||||||||||||||||
|
Hieruit volgt
|
||||||||||||||||||||||||
|
PQ
|
||||||||||||||||||||||||
|
AP
|
AQ
|
4
5 |
||||||||||||||||||||||
|
-AÖ
|
||||||||||||||||||||||||
|
A p B
Een betrekking als ^g = 4§ wordt een evenredigheid genoemd.
PO kan worden gevonden uit de evenredigheid: Conclusie: ~ = | ,dus P0= 6
2 |
||||||||||||||||||||||||
|
Opgaven
1. Bekijk bovenstaande figuur en stel QC = x.
a. Leid uit de evenredigheid 4§ = | een vergelijking af in xen los x op.
b. In dezelfde figuur is de lijn
Qf?//Pe getekend. De driehoeken APQ en QRC zijn gelijkvormig. Wat Is de vermenigvuldigingsfactor
van APQ naar QRC7 c. Verklaar de evenredigheid: 4§ = 4g
en bereken hiermee QC. |
||||||||||||||||||||||||
|
2. Gegeven: RS//PQ//>\e.
^ ,^ CR RS „
a. Geldt: -^ = p^ ?
CR CS
b. Geldt: -pp = Jq "^
^ .^ CP PQ „
c. Geldt: c^ = ^ ?
d. Bereken SQ en OS.
|
||||||||||||||||||||||||
|
24-
|
|||||||||||||||||
|
3. In rechthoek ABCD met AB = 4 en BC =3 is M het midden van DC.
De driehoeken DSM en BSA zijn gelijkvormig. |
|||||||||||||||||
|
a. Verklaar: fl = ^ = I
b. Bereken de stukken waarin de diagonaal BD wordt verdeeld door
lijnstuk AM. |
|||||||||||||||||
|
4. Gegeven: ABCD is een paral-
lellogram en de=Idc Hoe groot is elk van de vol-
gende verhoudingen: DE . FE . DFrf EC • EB • AF' |
|||||||||||||||||
|
5. Gegeven: RS, PQ en AB
loodrecht op CD. a. Bereken RS en PQ.
|
|||||||||||||||||
|
b. Geldt:
|
opp. CRS CR
|
||||||||||||||||
|
opp. CAB ~ CA ■
c. Bereken de verhouding
van de oppervlakten van RSC, PQSR en ABQP. |
|||||||||||||||||
|
25
|
|||||||||||
|
6. Gegeven: BC II DE en DCII FE
a. Maak de evenredigheid af:
AB AC BC
AD = ......"= ...... b. Verklaar: -g^= -^
c. Bereken DE en EF.
|
|||||||||||
|
7. Vier evenwijdige verbindingen van twee snijdende lijnen /en m.
Bereken de stukjes op /. |
|||||||||||
|
Ql R
|
|||||||||||
|
8. AD. SE en CF staan loodrecht op AB.
Bereken EF. |
|||||||||||
|
C 2
|
|||||||||||
|
26-
|
||||||||||||||
|
OEFENLES 9 Functies in de meetlcunde
|
||||||||||||||
|
1. In een driehoek ABC met basis 15 en lioogte 12 liggen P en O op de zij-
den AC en ec zodat PQ//AB. PQ ligt op een afstand xvan de top C. |
||||||||||||||
|
12
|
||||||||||||||
|
a. Bereken PQ in het geval x = 3.
b. Bereken PQ ook voor x=6.
c. Druk PQ uit in x.
d. Teken een grafiek van PQ als functie van x voor O < x < 12.
De voorwaarde O < x < 12 bij vraag d. is bepaald door de situatie; de
hoogte van driehoek ABC is immers 12, dus PQ kan maximaal 12 van de top C liggen. Dat x niet negatief kan zijn, spreekt vanzelf. We zeggen: het interval O <x< 12 is het domein van de in vraag 1d. be-
doelde functie. De lengte y van PO varieert van O tot 15.
Het interval O < y < 15 is het bereik van die functie.
|
||||||||||||||
|
2. Bekijk bovenstaand voorbeeld
|
||||||||||||||
|
Toon aan dat de oppervlakte van driehoek POC gelijk is aan |a^.
Druk de oppervlakte van vierhoek ABPQ uit in x
Controleer je formule voor x = O en voor x = 12.
Teken de grafiek van oppervlakte ABPQ als functie van x.
(denk aan het domein!) |
||||||||||||||
|
a,
b c. d |
||||||||||||||
|
-27
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. In driehoek RST met basis 10 en
hoogte 15 ligt lijnstuk PQ // RS op een afstand x van de basis RS. a. Bereken PQ in het geval x = 3.
b. Druk TU uit in x en teken de
grafiek van TL/als functie van x c. Druk PQuit in xen teken ook de
grafiek van PQ als functie van X.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
15
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
R 10
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Door rechthoek ABCD vanuit A te vermenigvuldigen met een factor klei-
ner dan 1, schuift C over de diagonaal AC. Hierbij ontstaat bijvoorbeeld een
rechthoek met een oppervlakte die |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
een kwart is van de oppervlakte
van de oorspronkelijke rechthoek. a. Welke zijden heeft die nieuwe
rechthoek? b. Laat x de vermenigvuldigings-
factor zijn (O < X < 1). Druk de oppervlakte van de nieuwe rechthoek uit in x. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
.--•■'
...••••■ |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A^
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
->ö
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Op dezelfde rechthoek van 10 bij 6 wordt nu een ander inkrimpingspro-
ces toegepast: van de rechterkant en van de bovenkant worden even brede repen afgesneden. C beweegt nu niet langs diagonaal AC |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Hoe beweegt Cdan wel?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. Noem de breedte van de afge-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sneden repen x.
|
-----------------------^"c
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Druk de oppervlakte van de
nieuwe rechthoek uit in x. c. Hoe breed moeten de afgesne-
den repen zijn om een recht- hoek te maken met oppervlakte die een kwart is van de opper- vlakte van de oorspronkelijke rechthoek? (Los dit probeem op met behulp van een vergelijking!)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X B
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-28-
|
|||||||||
|
6. In de rechthoekige driehoek ABC
beweegt het vertikale lijnstuk PQ. De afstand van Ptot A wordt xge- steld. a. Druk de omtrek van driehoek
APQ uit in x. b. Voor welke x is de omtrek van
APQ de helft van de omtrek van ABC? c. Druk de oppervlakte van vier-
hoek PBCQ u\\ \n x. |
|||||||||
|
Voor welke x is de oppervlak-
te van PBCQ de helft van de ^ oppervlakte van ABC? |
|||||||||
|
7. In de situatie van opgave 6 wordt
PQ omgecirkeld vanuit O; dat geeft het punt Hop AC. Vervolgens wordt R omgecirkeld vanuit A; dat geeft het punt S op AB. Toon aan dat voor elke x het punt
S precies in het midden van lijn- stuk >AP komt. |
|||||||||
|
29
|
||||||||
|
OEFENLES 10: Regelmatige veelhoeken
|
||||||||
|
De eerste Philips 9raminofoon-versterl<er-iuidsprel(er (1937)
|
||||||||
|
De luidspreker op de foto heeft de vorm van een regelmatige zeven-
hoek: alle zijden zijn even lang en alle (binnen-)hoeken zijn even groot. Een manier om een regelmatige veelhoek te tekenen is: verdeel een cir-
kel in een aantal gelijke bogen; verbind de opvolgende deelpunten met elkaar en je krijgt een regelmatige veelhoek. Die cirkel is dan een omgeschreven cirkel van de veelhoek. Voorbeeld: P^
^2 ^i;:^'^"'"^^^^ Pq |
||||||||
|
Ps
regelmatige 8-hoek
|
||||||||
|
30
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. Met behulp van een 'klokverdeling' van
de cirkel kun je vier verschillende regel- matige veelhoeken tekenen. Maak een klokverdeling.
Neem een cirkel met straal 3 cm en te- ken daarin de bedoelde veelhoeken. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Van een regelmatige achthoek is een middelpuntshoek 45°.
Daaruit volgt dan dat de hoeken van de achthoek gelijk zijn aan 135°.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
middelpuntshoeken
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
hoeken van de veelhoek
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Bereken middelpuntshoeken en hoeken achtereenvolgens van een
regelmatige 3-hoek, 4-hoek, 5-hoek, 6-hoek, n-hoek. b. Een andere manier om de hoeken van een regelmatige veelhoek te
berekenen is door gebruik te maken van de hoekensom: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bereken via de hoekensom de hoeken van een regelmatige 5-hoek,
6-hoek, 8-hoek, n-hoek. o. Ga na of de formules die je bij a en b voor de n-hoek hebt gevonden,
dezelfde uitkomst geven voor n = 3,4,5,... 3. Een regelmatige 8-hoek is beschreven in een cirkel met straal r.
Toon aan dat de oppervlakte van de 8-hoek gelijk is aan Zr^Jz.
(Aanwijzing: verdeel de achthoek in 8 driehoeken.) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
31
|
|||||||||
|
4. Hieronder zie je lioe een regelmatige vijfhoek kan worden geknoopt.
|
|||||||||
|
a. Teken een regelmatige 5-hoek met befiulp van je gradenboog.
b. Teken alle diagonalen in de 5-hoek. Er ontstaat dan de bekende 5-
punts-ster. Hoe groot zijn de hoeken van de punten van die ster? c. Van een regelmatige 5-hoek is gegeven dat hij precies past in een
cirkel met een straal van 10 cm. Bereken de oppervlakte van de 5-hoek, afgerond op een geheel
aantal cm^. a. Geef de exacte uitdrukking voor de oppervlakte van een regelmatige
6-hoek en van een regelmatige 12-hoek (beide in een cirkel met straal r). b. Bereken in twee decimalen nauwkeurig de oppervlakte van een re-
gelmatige 36-hoek, in een cirkel met straal 30. c. Druk de oppervlakte van een regelmatige n-hoek uit in r(= straal van
de omgeschreven cirkel) en n. Wat kun je van die oppervlakte zeggen als n een heel groot getal is?
|
|||||||||
|
De middens A, B, C, D, E, F van zes
ribben van de kubus zijn de hoek- punten van een regelmatige 6-hoek. De ribbe van de kubus heeft de leng- te 2. |
|||||||||
|
a. Bereken de straal van de omge-
schreven cirkel van de zeshoek. b. Bereken de oppervlakte van de
zeshoek. |
|||||||||
|
-32
|
||||||||||||||
|
DENKERTJES
|
||||||||||||||
|
1. Onderzoek in elk van de onderstaande figuren of de gebieden Aen B
gelijk van oppervlakte zijn. |
||||||||||||||
|
aii^
|
||||||||||||||
|
2. Bewijs:
Als a^ + a -10 = O dan a"^ + 23^ + a^ -100 = O
|
||||||||||||||
|
Een dambord heeft 100 velden.
Uit die velden kunnen vierkanten worden samengesteld, zoals de drie in de figuur hiernaast. Hoeveel vierkanten kun je in to-
taal op een dambord vinden? |
||||||||||||||
|
Een massieve cilinder (hoogte 6
cm, straal 3 cm) is precies in het midden geplaatst van een cilin- der met dezelfde hoogte en straal 5 cm. Tussen beide cilinders ontstaat
een ringvormige ruimte. Daarin wordt een stokje opgeborgen. Hoe lang is het langste stokje dat
nog net in die ruimte past? |
||||||||||||||
|
5. Bewijs dat voor elk viertal getallen a, b, c, dgeldt:
(a^ -I- b^){(^ + C/2) = {ad- bef + {ac+bdf |
||||||||||||||
|
-33
|
||||||||||||||
|
DENKERTJES
|
||||||||||||||
|
De ster bestaat uit twee gelijkzij-
dige driehoeken met zijde 3. Bereken de oppervlakte van het
overlappingsgebied |
||||||||||||||
|
7. Door alle 'negatieve stukken' van de grafiek van een functie te spiegelen
in de x-as ontstaat er de grafiek van 'de absolute waarde van f' Notatie zie plaatje. |
||||||||||||||
|
y=f{x)
|
y=\Ax)
|
|||||||||||||
|
Teken de grafiek van :
y=|x-2|; y=|x2-4|; y=|x3-1 I; y=|ix3.1 1-1 1
|
||||||||||||||
|
8. Een patroon van vierkanten en cirkels.
a. Beredeneer dat de vermenigvuldigingsfactor van het op één na
grootste vierkant naar het grootste vierkant exact gelijk is aan J2. b. Bereken de vermenigvuldigingsfactor van het allerkleinste vierkant
naar het allergrootste. |
||||||||||||||
|
34
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
OEFENLES 11: Vergelijkingen
Opgaven
1. Los X op uit:
a. x2 = 25(x-4) e. 3x^=14x
b. 24 + 3x2 = 27x f. 3x2=14x+5
C. 12-x=Ix2 g. (x-8)(x + 3) = 26
d. Ix2+|x=-1 h. x(x+1) = 1
2. a. Van de vergelijking (x-5) (x +2) (2x-1) = O kun je de drie oplossin-
gen direkt zien.
Welke zijn dat? b. Los fop uit: {2t- 5) {3t+ 18) (2 - f) = O
c. Los y op uit: (y - 6) (6y + 1) (y^ - 25) = O
d. Bedenk een vergelijking waarvan 3, -5 en 12 de oplossingen zijn.
3. Vier vergelijkingen en drie oplossingsplaatjes.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. (x-4)(x+1)2 = 0
b. (x-4)(x2 + l) = 0
c. (x2-i6)(x+1) = 0
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d. x^ + 3x-4 = 0
Welk oplossingsplaatje hoort bij welke vergelijking? 4. Los X op uit:
a. (4x-9)(x2 + 4) = 0
b. (4x2 - 9) (x2 - 4) = O
C. x(x+3) (7x-2) = 0 d. x{x+3f{7x-22f = 0
e. (x-9)(x2-l5x+56) = 0
f. (x2-x-56)(x2 + 2x-120) = 0
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-35
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Voorbeeld: -x^ = / - 2x
Oplossing: |
|||||||||||||||||||||||||
|
(x^ is overgeboekt naar rechterlid)
(linker- en recliterlid verwisseld en xis buiten
haakjes gebracht) (x^ + X- 2 ontbonden in factoren)
|
|||||||||||||||||||||||||
|
0 = x^ + x^ -2x
x{x^ + x-2) = 0 x{x+2) (X- 1) = 0
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x=0 x= - 2 x= 1
|
|||||||||||||||||||||||||
|
5. Los op:
a. x^-17x^ +70x=0
b. y^ + 11y2+l8y=0
c. t^-36t^ =0
d. u^ + 36u=^3u^
Voorbeeld:
{x-4)(x2 + 1) = 10(x-4)
1e methode
Overboeken naar één kant en
(x- 4) buiten haakjes brengen.
(x-4)(x2 + l)-l0(x-4)=0
(x-4)(x2 + 1 -10) = O (x-4)(x2-9) = 0 |
|||||||||||||||||||||||||
|
e. x'^ + 36x=0
|
|||||||||||||||||||||||||
|
f. y^ + 36y2 = O
g. t^ + 2t=2t^
h. u'^ + 22u^ = ^3u^
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2e methode
deel links en rechts door x- 4,
maar vergeet niet dat x - 4 = O een oplossing geeft! (x-4) (x2 + l) = l0(x-4)
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x-4 = 0 x''^- 1 = 10
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x=4
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x=4
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x=3 x=-3
Oplossingsplaatje:
|
|||||||||||||||||||||||||
|
X = 3 X = -3
|
|||||||||||||||||||||||||
|
-3
Maak het oplossingsplaatje bij:
a. (x+5)(x2 + 9) = io(x + 5)
b. (x2 + l){3x-5) = 5(x2 + i)
c. (x2-4) (3x-5) = x2-4
|
|||||||||||||||||||||||||
|
6.
|
|||||||||||||||||||||||||
|
d. x(x^-8x+6) = -x
e. (x-1)2 = (x-1)(6x+1)
f. (x-1)3 = (x-1)(6x+1)
|
|||||||||||||||||||||||||
|
-36-
|
||||||||||||
|
OEFENLES12: Tekenverloop
Bekijk het produkt (x- 1) • (x- 4).
Als je X laat variëren, varieert de uitkomst van dit produkt.
Er zijn allerlei manieren om die variatie van uitkomsten zichtbaar te ma- ken. De meest bekende manier is het tekenen van een grafiek. In deze oefenles beperken we ons tot het gebruik van de getallenlijn. |
||||||||||||
|
1. Dit plaatje hoort bij (x -1) • (x - 4).
28 10 O -2 4 18
|
||||||||||||
|
-3-2-10 1 2 3 45 67X
Bij de x-waarde -3, -1,1, 3, 5, 7 zijn de waarden van het produkt
(x-1) • (x- 4) aan de bovenkant van de getallenlijn vermeld. a. Controleer die waarden.
b. Neem het plaatje over en vul ook de waarden in bij
x=-2, O, 3, 4, 6. c. Op grond van de uitkomsten zou je kunnen vermoeden dat
(x-1) • (x- 4) alleen een negatieve uitkomst heeft als xtussen 1 en
4 ligt. Daarbij moetje bedenken dat x niet geheel hoeft te zijn. Hoe kun je beredeneren dat (x-1) • (x- 4) inderdaad negatief moet zijn, als x tussen 1 en 4 ligt? |
||||||||||||
|
Ais je alleen geďnteresseerd bent in het al of niet positief zijn van de uit-
komst, geeft een getallenlijn met 'plussen' en 'minnen' voldoende infor- matie. In het geval van (x -1) • (x - 4). + + + + 0 - -O + + +
|
||||||||||||
|
-3-2-10 1 2 3 45 67X
Dit plaatje laat het tekenverloop van (x - 1) (x - 4) zien
|
||||||||||||
|
-37
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Bekijkhetproclukt(x-2) (2x-5).
Plaatje: 55 36 21 10 3 O 1 6 1 5 28 45
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-3-2-10 1 234 567x
a. Controleer het plaatje.
b. Op grond van dit plaatje zou je kunnen denken dat het produkt
(x - 2) • (2x - 5) geen negatieve uitkomst kan hebben. Dat is echter
niet zo.
Laat zien dat (x- 2) • (2x- 5) wel degelijk negatief kan zijn.
c. Maak een plaatje van het tekenverloop van (x - 2) (2x - 5).
Vier produkten, twee tekenverlopen.
Welk tekenverloop hoort bij welk produkt? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Hoe schets je snel een tekenverloop?
Voorbeeld: (x-5) (2x-1) Werkwijze: Allereerst merk je op dat het produkt nul is voor x = 5 of x = -.
? O ? O ?
Dus: --------------•--------------------•---------------- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2
2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Je maakt nu als het ware een reisje langs de getallenlijn van rechts naar
links. Je komt dan achtereenvolgens in drie 'gebiedon': het gebied rechts van 5, het gebied tussen - en 5,
het gebied links van -.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
38-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(1) Gebied rechts van 5.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O
|
O
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2
2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X- 5 en 2x-1 zijn hier allebei positief, het produkt is positief.
(2) Gebied tussen ^ en 5. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Als de grens 5 wordt gepasseerd verandert x - 5 van teken en 2x - 1
niet. Het produkt telt nu één negatieve factor en één positieve factor en is dan negatief. (3) Gebied links van )-.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Als de grens - wordt gepasseerd verandert 2x - 1 van teken en x - 5
niet. Het produkt telt nu twee negatieve factoren en is positief.
Het tekenverloop is dus: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ 0
1
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-O
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
39
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. Schets het tekenverloop van:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Bedenk bij elk tekenverloop een produkt dat erbij past:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een functie gegeven door een grafiek kan het tekenverloop worden
afgelezen uit het plaatje. Voorbeeld: y |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- O + +0
—II |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. Geef bij elk van onderstaande grafieken het passende tekenverloop.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
40-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
OEFENLES 13: Machtsfuncties en vergelijkingen
1. De oplossingen van de volgende vergelijkingen zijn 'mooi', dat wil zeg-
gen: het zijn gehele getallen. Je kunt ze vinden door proberen. Let ook op het verschil tussen vergelijkingen met even en oneven macht van X. Voorbeelden: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. x2 = 625
b. x3 = i25
c. x'^= 10000
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bovenstaande vergelijkingen zijn van het type: x "= a.
Het onderscheid tussen de gevallen 'n is even' en 'n is oneven' kun je
mooi in de grafieken zien.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In het plaatje 'n is even' zie je hoe een horizontale lijn boven de x-as de
grafieken van y = x ^, x '^, x ° in twee punten snijdt; die snijpunten liggen gespiegeld ten opzichte van de y-as. Dat betekent: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Als n even is en a positief, dan heeft
X " = a twee tegengestelde oplossingen |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In het plaatje 'n is oneven' zie je hoe een horizontale lijn (die mag nu ook
onderde x-as liggen) de grafieken van y= x, x^, x^ in één punt snijdt. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dus:
|
Als n oneven is, heeft x " = a één oplossing
(a mag positief, nul of negatief zijn) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
41 -
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bekijk nog eens het plaatje 'n is even'.
a. Verklaar uit het plaatje dat er geen enkel reëel getal Is dat voldoet
aan x^ = -1. b. Voor welke x geldt: y* < 81 ?
c. De lijn y= asnijdt de grafiek van y= x"* in twee punten die op afstand
3 van elkaar liggen. Bereken a.
Bekijk nu het plaatje'n is oneven'.
a. Voor welke X geldt A^ < 27?
In het algemeen verandert de oplossing van de vergelijking x" = a als n
verandert en a gelijk blijft. Dus x' = a, x^ = a, x^ = a, enz. hebben ver-
schillende oplossingen. b. Voor welke keuzen van a hebben x^ = a, x^ = a, x^ = a, enz. allemaal
dezelfde oplossing? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Vergelijkingen van het type x "
getallen als oplossing. Neem bijvoorbeeld: x^ = 125. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= a hebben meestal niet zulke 'mooie'
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Je hebt geleerd dat de oplossingen kunnen worden geschreven als vier-
kantswortels:__
yĎ25en-/i25 (Je mag ook schrijven: sTs en-5^5)
In principe mag je zo'n wortel die niet 'mooi' uitkomt, laten staan. Maar het is vaak handig te weten hoe groot de uitkomst ongeveer is. In dit geval kun je meteen zien dat Jt25 iets groter is dan 11, immers 11 in het kwadraat is 121. Op je rekenmachientje zit een worteltoets en daarmee kan een benade-
ring in 8 decimalen worden gevonden: /Ď25 = 11.18033989. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-42
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De positieve oplossing van de vergelijking x^ = 125 kan ook met de
worteltoets worden berekend. Hoe? Bekijk de vergelijking x ^ = 100. Door drie keer de worteltoets te ge-
bruiken vind je de positieve oplossing. Geef die oplossing in 2 decimalen nauwkeurig |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. a.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Met de worteltoets kun je dus oplossingen vinden van hogere machts ver-
gelijkingen als x'* = 125 en x^ = 100. Maar lang niet alle hogere machts vergelijkingen kun je op die manier aanpakken. Neem als voorbeeld: x^ = 28.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Toets in: 28
|
INV
|
x^ 151 = I en je vindt de oplossing:*)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
x= 1,94729..
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De toetst x^ werkt alleen voor positieve grondtallen.
x^ = -28 kun je oplossen door eerst te kijken naar x^ = 28.
x^ = -28 heeft als oplossing x= -1,94729...
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Geef de oplossing(en) (ook eventueel negatieve oplossingen) van de
volgende vergelijkingen. Rond daarbij af op 2 decimalen. a. x3 = 100 d.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. x'^ = 125 e.
c. x^ = 250 f.
6. Hiernaast zie je de grafiek
van y=x^ eny=lx. Die grafieken hebben twee snijpunten Oen A Bereken de coördinaten van A'\x\2decimalen nauwkeurig. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 = -12
x^ = 2x |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. Los op:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. (x2-5)(x2 + i) = o
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c. (x'^ + 36)(x2-6) = 0
d. (x2-2)(x'^-4) = 0
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. (x3-5)(x3 + i ) = o
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
*) De oplossing wordt ook wel de S-machtswortel uit 28 genoemd.
In het boekje 'werken met standaardfuncties' wordt hierop teruggekomen.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
43-
|
|||||||||||||||||||||||
|
OEFENLES 14: Ongelijkheden
|
|||||||||||||||||||||||
|
Voorbeeld:
Van een rechthoekige tuin zijn de af-
metingen 20 en 30 meter. De tuinman wil langs twee zijden een border aan- leggen die overal even breed is. De oppervlakte (= O) van het overblijven- de stuk moet meer dan 375 m^ zijn. Kortweg: 0>375. De vraag is nu: hoe breed mag de
border zijn? |
|||||||||||||||||||||||
|
Ł
|
|||||||||||||||||||||||
|
20
|
|||||||||||||||||||||||
|
30
|
|||||||||||||||||||||||
|
Oplossing:
Stel de breedte van de border is x meter.
Om te beginnen geldt dan: O < x< 20 (het domein van x).
Van het overblijvende stuk tuin zijn de afmetingen 20 - x en 30- x.
Dus: O = (20 - X) (30 - x) = x^ - 50x + 600.
Er moet nu gelden O > 375, dus: x^ - 50x + 600 > 375 (met O < x < 20).
De aanpak voor een dergelijke ongelijkheid kan zijn:
(1) maak rechter lid nul
(2) ontbind de vorm in het linkerlid in factoren
(3) schets een tekenverloop van die vorm (denk aan domein!).
(4) Trek de juiste conclusie
|
|||||||||||||||||||||||
|
In dit geval:
x^ - 50x + 225 > O
(x-5)(x-45)>0 |
|||||||||||||||||||||||
|
(1)
(2) (3)
(4) |
|||||||||||||||||||||||
|
O
|
|||||||||||||||||||||||
|
+ +
|
|||||||||||||||||||||||
|
20
|
|||||||||||||||||||||||
|
Van O < x< 5 geldt: (x- 5) (x- 45) > O
en dus 0>375.
De border mag dus tussen de O en 5 meter breed zijn.
|
|||||||||||||||||||||||
|
1. Laat met deze methode ((1) t/m (4)) zien dat:
a. x^ + X > 12 voor x > 3 of x < -4
b. x2<7x-10 voor 2<x<5
|
|||||||||||||||||||||||
|
-44-
2. Los op:
a. x2<5x+14 c. x(x+12)>28
b. 10x<x2 d. x(x-4)<3x
3. Gegeven de ongelijkheid: -x^ + 8x + 20 > O,
Iemand lost deze als volgt op: x2-8x-20>0 (a)
(x-10)(x+2)>0 (b)
, , O- 0. . (,) |
|||||||||||||
|
i^2 ^
^<-2 x>lo (d) Deze oplossing is FOUT!
a. In welke van de vier staooen (a) (h) (r^\ m\ ;„ ^ x
. ^ , ^icippen (B), (D), (o), (d) IS de fout gemaakt?
b- Hoe kun je de fout herstellen?
Nog een voorbeeld:
Los op: -x^>-4x Plossmg: x^ < 4x (links ^n rechts tegengestelde nemen-*)
^ daarbij draait '>' om!) '
x(x~Vuylos n i;*^°^f''9eboektnaarlinkerlid)
x{x 2)(x + 2)<0 (Imkerlid ontbonden in factoren) - -0 + + 0. -0 + + ^. (tekenverloop) i 2 0T2
|
|||||||||||||
|
x<-2 0<x<2
|
(afgelezen uit tekenverloop).
|
||||||||||||
|
4. Los op:
|
|||||||||||||
|
a. -x3<.25x e. 42-x2>x
^- ->f^^25x2 ,_ 100 > 36x2
C. 8x>x2-20 g. x2 + 4<0
^- ^'+16<8x h. {x2 + 4)(6-x)<0
|
|||||||||||||
|
*)Voorbeeld: 18 < 25, maar -18 > -25
|
|||||||||||||
|
45
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Gegeven zijn de ongelijkheden:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bekijk opnieuw het voorbeeld van de tuinman. '
De voorwaarde is nu dat het overblijvend stuk een oppervlakte van meer
dan 400 m^ moet hebben.
a. Ga na dat nu de ongelijkheid wordt:
X 2 - 50x + 200 > O
b Het linkerlid laat zich nu niet gemakkelijk ontbinden in factoren.
Stel daarom eerst: x^ - 50x + 200 = O
en los X (exact) op met de aöoformule. c. Schets nu het tekenverloop van x ^ - 50x + 200.
(houd daarbij rekening met O < x< 20) d. Geef de maximale breedte van de border in dm nauwkeurig. *.)
Dido heeft een touw van 50 m lengte. Zij gebruikt dit om een rechthoekig
stuk land aan drie zijden te begrenzen; de vierde zijde wordt door een sloot begrensd. Ze mag echter niet meer dan 200 m^ grond uitzetten. sloot
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X '
<-------------50 m-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Noem de breedte van het stuk grond (in m) x.
Verklaar nu: x(50 - 2x) < 200 b. Los de ongelijkheid van a. op.
c. Welke breedten zijn toegestaan voor Dido's stuk land?
d. Hoe verandert het antwoord als zij niet meer dan 250 m^ mag uitzet-
ten? (geef de grenswaarden in dm nauwkeurig) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
) Voorbeelden van een uitkomst in dm nauwkeurig zijn: 2,7m of 27 dm.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-46
|
|||||||||
|
OEFENLES15: Snijpunten met de x-as
1. /(x) = 5(x - 2)(x - 6) is een kwadratische functie. De vorm is die van een
ontbinding in factoren: één constante factor en twee lineaire factoren. Die vorm is handig ais je de snijpunten van de grafiel< met de x-as wilt weten. a. Welke snijpunten heeft de grafiek met de x-as?
b. Hoe kun je hieruit de coördinaten van de top vinden?
c. Teken een grafiek van f.
(Neem op de x-as de eenheid 1 cm en op de y-as de eenheid 1 mm)
2. a. Ontbind elk van de volgende kwadratische functies in lineaire facto-
ren: /(x) = x^ + 2x-15, gf(x) = 3x^ - 6x- 9, h{x) = -x^+4x
b. Bereken voor elk van die functies de snijpunten met de x-as.
c. Teken van elk van die funkties een grafiek.
|
|||||||||
|
Hiernaast zie je de grafiek van een
kwadratische functie getekend. Omdat de grafiek de x-as snijdt in de punten met x = 2 en x = 4 kunnen we zeggen: /(x) = a(x-2)(x-4)
Uit het snijpunt met de y-as kan nu a
worden bepaald. Uit fiO) = 4 volgt: a(0-2)(0-4) = 4, dusa= 1
Conclusie f{x) = I(x- 2)(x- 4) |
|||||||||
|
3. Bereken in bovenstaand voorbeeld de coördinaten van de top en contro-
leer je antwoord in de grafiek. |
|||||||||
|
47
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. Lang niet iedere l<wadratische functie kan worden ontbonden in lineaire
factoren. Hieronder staan vier grafieken van kwadratische functies. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
*-x
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-8 -6 -4 -2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Welke is zeker nietXe ontbinden in lineaire factoren?
b. Geef bij de andere drie functies de ontbinding in factoren.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. In de figuur hiernaast zie je de grafiek van een derde-graadsfunctie f.
Een formule bij fis: y=a■{x-^){x-3){x-5)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■+X
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d. Dezelfde vraag voor spiegeling in de y-as.
e. De grafiek van f wordt in horizontale richting verschoven zo dat het
middelste snijpunt met de x-as in de oorsprong komt. Welke formule hoort er bij de nieuwe grafiek?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
48-
|
||||||||||||||||
|
DENKERTJES
|
||||||||||||||||
|
1. Wat is het volgende getal in de rij?
121,441,961, 1681,... |
||||||||||||||||
|
x^ + / = 72
x + y=6 |
||||||||||||||||
|
2. Losxenyopuit:
|
||||||||||||||||
|
{
|
||||||||||||||||
|
3. Een houten kubus is opgebouwd
uit 13 zwarte en 14 witte kubus- jes. Nergens liggen twee kubus- jes van dezelfde kleur naast el- kaar. Een houtworm bevindt zich in
het hart van de grote kubus. Hij wil zich een weg eten door de kubus en daarbij elk zwart en elk wit kubusje één keer aandoen. Kan dat? Kun je ook uitleggen waarom? |
||||||||||||||||
|
4.
|
||||||||||||||||
|
figuur 1 figuur 2
In figuur 1 is lijnstuk AB {op y=^) geprojecteerd door stralen vanuit O;
dat geeft lijnstuk PC? op y = 4.
In figuur 2 is >4S geprojecteerd volgens halve parabolen.
In beide situaties heeft AB de lengte 1.
a. Hoe lang is PQ in de eerste situatie?
Hangt de lengte van PQ af van de plaats van AB op de lijn y = 1 ?
b. Dezelfde vragen voor de tweede situatie.
|
||||||||||||||||
|
-49
|
||||||
|
DENKERTJES
|
||||||
|
5. Hoeveel verschillende oplossingen heeft
(X - 1) (x2 - 2) (x^ - 3) (y* - 4) (x^ - 5) (x^ - 6) (x^ - 7) (x^ - 8) = O?
Welke oplossing is het grootst?
6. De boomblaadjes in onderstaande figuur zijn getekend op een stramien
van rechthoekige driehoeken met hoeken van 30° en 60°. Alle driehoeken en ook alle blaadjes zijn gelijkvormig.
a. Bereken de (exacte) vermenigvuldigingsfactor van blaadje 1 naar
blaadje 2. b. Op de as zijn 14 grijze blaadjes in verticale stand getekend.
Bereken de vermenigvuldigingsfactor van het allerkleinste blaadje naar blaadje 2. o. Op de as is ook een groot wit boomblad getekend.
Hoe verhoudt de oppervlakte van dat blad zich tot blaadje 1 ?
|
||||||
|
-50
|
|||||||||||||
|
OEFENLES 16: Gevels en vijfhoeken
|
|||||||||||||
|
De speciale dakvorm van het
huis op de foto wordt 'mansarde- dak' genoemd |
|||||||||||||
|
1. Hieronder zie je op schaal 1:100 het vooraanzicht van een huis met zo'n
type dak getekend. |
|||||||||||||
|
1m
|
|||||||||||||
|
2m
|
|||||||||||||
|
4m
Het huis is 10 meter diep.
a. Teken op schaal 1:100 het bovenaanzicht van het dak.
b. Bereken de oppervlakte van het dak.
c. Het dak bestaat uit vier delen met twee aan twee verschillende hel-
lingshoeken. Bereken die hellingshoeken.
Van een ander mansardedak zijn de vier schui-
ne stukken elk 4 meter lang. De breedte AB is 8. De hellingshoek van het steilste stuk is 75°.
a. Bereken de hoogte van D boven de zoldervloer AB.
b. Hoeveel % van de zoldervloer ligt onder de steile dakstukken AD en
BC? c. Bereken de hellingshoek van de dakstukken DN en A/C.
d. Hoe hoog ligt de nok boven de zoldervloer?
|
|||||||||||||
|
51
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Van vijfhoek ABCND heeft de basis ABde lengte 6 en zijn de andere zij-
den 3. Stel je voor dat in de hoekpunten scharnieren zijn aangebracht.
Hoek A (= a) kan nu veranderen van 90° tot 0°. Daar bij moet de vijfhoek symmetrisch blijven en mag N niet lager komen dan D. a. Voor a = 90° is ABCND een vierhoek.
Kan ABCND ook een driehoek zijn? Zo ja, voor welke hoek a?
b. Bereken (met behulp van je zakrekenmachine) voor de gevallen
a = 75°, 60°.....0° achtereenvolgens de hellingshoek p van DN en
de hoogte van N boven AB.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De hoogte van N boven de basis AB is een functie van a.
Teken de grafiek van die functie. Neem de horizontale as zo: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
H------h
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O 15° 30° 45° 60° 75° 90=
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d. Bij a = 75° vind je een zekere hoogte van N.
Bij welke andere hoek a ligt A/even hoog? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
52
|
|||||||||||||||
|
OEFENLES17: Omtrek en oppervlakte van een cirkel
|
|||||||||||||||
|
Bekend zijn de twee formules voor een cirkel met straal r.
|
|||||||||||||||
|
omtrek = Inr
.2
|
|||||||||||||||
|
oppervlakte = nr"
|
|||||||||||||||
|
2nr
|
|||||||||||||||
|
Je rekenmachientje geeft voor k een benadering in een aantal deci-
malen, bijv. 71 = 3.1415927. Er is geen rekenmachine ter wereld die de exacte waarde van % kan
geven; k heeft oneindig veel decimalen. Bij wiskundige berekeningen laat men n vaak in het antwoord staan.
Als uitdrukkelijk een benadering gevraagd wordt, moetje het antwoord geven in een aantal decimalen. |
|||||||||||||||
|
Opgaven
1, Bepaal de omtrek en oppervlakte van de volgende door cirkelstukken en
lijnstukken begrensde gebieden. a.
|
|||||||||||||||
|
-X-
|
|||||||||||||||
|
c.
|
|||||||||||||||
|
-53
|
|||||||||||
|
hek
|
|||||||||||
|
hek
|
|||||||||||
|
Om het vierkante veld A is een hek geplaatst dat overal 1 meter van de
rand van het veld afligt.
Hetzelfde is gedaan om veld B (regelmatige zeshoek).
a. Het hek is langer dan de omtrek van A.
Hoe groot is het verschil? b. Dezelfde vraag voor S.
Een lichaam bestaat uit drie cilinders,
(zie het figuur hiernaast) a. Bereken de inhoud van dat lichaam.
b. Bereken de totale oppervlakte.
|
|||||||||||
|
4. De oppervlakte van een bol met straal ris Anr^ en de inhoud is h^r
Een bol met straal rpast in een cilinder,
(raakt aan cilindermantel en aan grond en boven vlak) a. Bereken de verhouding van de
inhouden van cilinder en bol. |
|||||||||||
|
b. Laat zien dat de oppervlakte van
de bol gelijk is aan de oppervlakte van de cilindermantel. |
|||||||||||
|
54-
|
||||||
|
OEFENLES18: Verschuiven van grafieken
|
||||||
|
1. a. Teken de grafiek van y=x^ voor -2<x<2 (I).
b. Verschuif de grafiek van y = x^ in verticale richting 3 eenheden om-
hoog, zo krijg je grafiek II. Welke formule hoort er bij II?
c. Verschuif de grafiek van y= x^'m vertikale richting i eenheid om-
laag, zo krijg je grafiek III. Welke formule hoort er bij III?
2. Teken voor -1 <x< 1 in één figuur de grafieken van y=-x^,
y=-x^+2 en y = -x^-1. 3. Gegeven zijn de parabolen y=x^{\), y=(x-2)^(ll)en y=(x+1)^(111).
a. Wat zijn de coördinaten van de top van I, van II en van III?
b. Teken I, II en III in één figuur tussen de lijnen y = O en y = 4.
c. II ontstaat uit I door een verschuiving in horizontale richting over 2
eenheden. Is de verschuiving naar rechts of naar links? d. Door welke verschuiving ontstaat III uit I?
4. Gegeven de grafiek van /(x) = x^.
De grafiek van g is ontstaan uit de grafiek van f door verschuiving over
100 eenheden naar rechts. a. Bereken fif(101), g(99), g{^02), g{98).
b. Druk g{x) uit in x (controleer je resultaat met de antwoorden bij a).
o. Hoe ontstaat de grafiek van h{x) = (x + 50)"* uit de grafiek van
f{x) = x"*? 5. Teken in één figuur de grafieken van y=x^, y=(x-3)^en
y=ix-3f + 2. 6. Teken in één figuur de grafieken van: y= ix^, y=i(x + 2)^en
y=l(x+2)2+l. |
||||||
|
55-
|
|||||||||||
|
7.
|
|||||||||||
|
x-as
|
|||||||||||
|
/ is de grafiek van y= x^ voor -1 < x < 1
Geef bij eik van de grafieken II, III, IV en V een passende vergelijking.
8. Hieronder zie je de grafiek van f{x) = Jx.
y
|
|||||||||||
|
a. Controleer de grafiek voor x = 1, x = 4, x = 9.
b. In welk punt snijdt de grafiek de lijn y = 4?
|
|||||||||||
|
c. Teken de grafiek van gf{x) = Jx-2 .
d. Teken ook de grafiek van h{x) = Jx + 3 + 1.
|
|||||||||||
|
56
|
|||||||||||||||||||||||||
|
OEFENLES19: Vergelijkingen
De vergelijking x^ = 324 heeft 2 oplossingen, namelijk 18 en -18.
Het oplossingsschema: x^ = 324 x^= 18^
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x=18 x=-18
x^ = c^ (c positief)
|
|||||||||||||||||||||||||
|
In het algemeen:
1. Los op:
a. x2=i44
b. 5x^ = 405
c. ^^2=12
|
|||||||||||||||||||||||||
|
X = C X = -C
|
|||||||||||||||||||||||||
|
d. x2 = 41
e. x^ + 41 = O
|
|||||||||||||||||||||||||
|
f. x'^ = 8
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Bovenstaand schema kan nog wat algemener:
|
|||||||||||||||||||||||||
|
= -o
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Toegepast op
|
|||||||||||||||||||||||||
|
(x + 4ir = 25 komt er:
2 ,,-^2
|
|||||||||||||||||||||||||
|
2. Los op:
a. (x +25)2 = 225
b. (X-10)2 = 49
c (2x-1)2 =100 |
|||||||||||||||||||||||||
|
\2
|
|||||||||||||||||||||||||
|
e. (3x +2)^^ = 4
f. 3 •(x+2)2= 192
|
|||||||||||||||||||||||||
|
-57
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. Maak zelf schema's voor:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
=. V
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. Los op:
a. (x + 8)^ = 27
b. (X-1)^^ = 10000
c. Jx + 7 =6
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d. (5x+1)^ = 32
e. V30X-11 =13
f. (6x-5)^^ = 1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Voorbeeld:
Los op: (2x + 7f = (1 -x)^
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
58-
|
||||||||||||||||||
|
OEFENLES 20: Grafiek en tekenverloop
1. De grafiek van f{x) = )^ + x-2.
a. Geef het tekenverloop bij deze
functie. b. De grafiek van f wordt verticaal
verschoven. Het tekenverloop verandert hierdoor. Geef het te- kenverloop in het geval dat de verschuiving |
||||||||||||||||||
|
(1) 4 eenheden omlaag is.
|
i......i...................'-4i......i............^
|
|||||||||||||||||
|
(2) 2 eenheden omhoog is.
c. Dit tekenverloop past bij een verticale verschuiving van de grafiek:
+ + 0-----0 + +
-------1----------1-------
-4 3
Over welke afstand is de grafiek verschoven?
|
||||||||||||||||||
|
+ + O + +
2
|
||||||||||||||||||
|
d. Dezelfde vraag bij dit tekenverloop:
|
||||||||||||||||||
|
Grafieken en tekenverlopen kunnen gebruikt worden bij het oplossen van
ongelijkheden. Voorbeeld: Los op: x^ - 4x < 12
Manier 1:
Gebruik de grafiek van /(x) = x^ - 4x.
Kijk naar het deel van de grafiek onder de lijny= 12. De snijpunten van de grafiek met die lijn
volgen uit: x^ - 4 X = 12-^ x^ - 4 X - 12 = O
{x+2)(x-6) = 0 |
||||||||||||||||||
|
X = -2 X = 6
Uit de grafiek lees je af: x^ - 4x < 12 geldt voor -2 < x < 6
Manier 2:
met behulp van een tekenverloop:
x^-4x-12<0 (12 overgeboekt naar linkerlid)
(x + 2) (x- 6) < O (linkerlid ontbonden in factoren)
+ + 0--------0 + +
-------1-------------1-------- (tekenverloop)
-2 < X < 6 (afgelezen uit tekenverloop)
Pas op! Het tekenverloop hoort niet bij de grafiek van f{x) = x^ - 4x, maar
bij de i^ersc/iov^e/i grafiek, dus bij de nieuwe functie gf met: gf(x) = f{x) - 12. |
||||||||||||||||||
|
59
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Gebruik de grafiek van het voorbeeld bij het oplossen van:
a. x^-4x>-3.
b. x2-4x<-5
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. De grafiek van /(x) = x^ - 3x^.
a. Geef het tekenverloop bij deze
grafiek. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. De grafiek van f wordt 4 eenheden
omhooggeschoven. Geef het tekenverloop dat bij de
verschoven grafiek past. c. Dit tekenverloop krijg je bij een
verticale verschuiving van de gra- fiek. Over welke afstand is de grafiek
verschoven? d. Dezelfde vraag bij dit tekenver-
loop. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-----------0 + + +
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
--------0 + 0-0 + +
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Hiernaast zie je de grafiek
van /(x) = x^ - 8)S a. Het tekenverloop bij de grafiek:
+ + 0-----O-----0 + +
-------1----------1---------1-------
-2J2 o 2^
Laat zien dat de getallen
2J2. en -2J2 kloppen. b. Los op: x^-8x2>-7.
Gebruik daarbij de grafiek. c. Los op: y*-8x2<9
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
60
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d. Bekijk alle verticale verschuivingen van de grafiek van f.
ledere verschuiving geeft een ander tekenverloop. Daarbij zijn 5 verschillende 'typen' te onderscheiden: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ + + + + +
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(1)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
++0++0++
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(2)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(3)
(4)
(5)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Geef bij ieder van de vijf typen aan welke verschuivingen van de gra-
fiek erbij passen. (Bij (1), (3) en (5) zijn er meerdere mogelijkheden!) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Voorbeeld:
Los op: )C' - Ax >-)?■ -Ir 2x
Manier 1:
Met de grafieken van
/(x) = x^ - 4x en q{x) = -x^ + 2x.
De snijpunten van de grafieken
volgen uit:
x^-4x=-x^ + 2x
x^ + x^-6x=0
x(x+3)(x-2) = 0
x=0 x=-3 x=2
In de figuur lees je nu af: /(x) > gf(x) voor -3 < x < O en voor x > 2.
Manier 2:
Met een tekenverloop:
x^-4x> -x^ + 2x
x^ + x2-6x>0
x(x + 3)(x-2)>0 __o + + 0--0 + +
tekenverloop van x(x + 3) (x- 2) --------1-----\—I---------1—j—
-3 y O 2 •i'
dusx(x + 3) (x-2)>0geldtvoor -3<x<0 x>2
Merk op: Dit tekenverloop hoort bij de verschilfunctie V{x) = f{x) - g{x)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
61
|
|||||||||||||
|
5. Hiernaast zie je de grafieken van
f{x) = -x^ + 4x + 5 en öf(x) = -x + 9. a. Bereken de coördinaten van de
snijpunten A en B. b. Lees uit de grafiek af voor welke
waarden van x geldt: Ax) < g{x).
c. Geef het tekenverloop van de ver-
schilfunctie V{x) - f{x) - g{x). |
|||||||||||||
|
6. Drie grafieken in één figuur:
/(x) = x^ -3x gf(x) = x^ -3x2
h{x) = -2x a. Los op: 1. /(x) = fif(x)
2. /(x) = /7(x)
3. fif(x) = h{x)
b. Geef liet tekenverloop van
V^iW = Ax)-g{x) V2{x) = f{x) - h{x)
Vsix) = g{x) - h{x)
7. /(x) = x^ + 2x3 , p(x) = x^ + 6x2
a. Bereken de coördinaten van de
snijpunten A, B en C. b. Tekenverloop van de verschil-
functie V. |
|||||||||||||
|
O
4- |
+ + 0 + + 0-----
|
||||||||||||
|
Welke verschilfunctie is dat:
V{x) = f{x)-g{x) of ^x) = g{x) - f{x) |
|||||||||||||
|
c. Voor welke X geldt:
x^ + 2x3 > x^ + 6x2. |
|||||||||||||
|
62-
|
|||||||||||
|
DENKERTJES
|
|||||||||||
|
Twee routes van S naar F.
A is een halve cirkel met straal r.
B bestaat acht even grote halve cirkels.
a. Welke route is het langst?
b. Tussen S en Fis ook een route van 100 halve cirkeltjes.
Hoe lang is die route? 2. Welke oplossingen heeft de vergelijking:
cosx = x^ + 1 ?
|
|||||||||||
|
3. De getallen sjz - a en 5^2 + a zijn eikaars omgekeerde.
Bereken a. |
|||||||||||
|
De lijnen /: y = (5-2 ^6 )x en m: y = (5 + 2 J6)x zijn eikaars spiegelbeeld
ten opzichte van de lijn y = x. Bewijs dit. |
|||||||||||
|
Een cirkel raakt aan de zijden
van een regelmatige zeshoek. De straal van de cirkel is r. Druk de omtrek en de oppervlak- te van de zeshoek uit in r. |
|||||||||||
|
-63
|
|||||||||||||||
|
DENKERTJES
|
|||||||||||||||
|
6. Als t{x) = a)^ + bx + cmet a^O
en d= t^-Aac |
|||||||||||||||
|
[fix)]-d
Aa |
|||||||||||||||
|
dan: /(x) =
|
|||||||||||||||
|
7. Hoe kun je met 6 even grote lucifers vier gelijkzijdige driehoeken ma-
ken.waarvan de lucifers de zijden zijn? |
|||||||||||||||
|
7
|
|||||||||||||||
|
8. De aarde, bij benadering een bol met straal 6400 km, draait in 24 uur één
keer om de as NZ. |
|||||||||||||||
|
a. Hoeveel graden draait een punt van de evenaar in drie uur?
Hoeveel km legt dat punt ongeveer in drie uur af? b. Dezelfde vragen voor een punt in Oslo (dat ligt op 60° Noorder-
breedte; zie tekening). |
|||||||||||||||
|
64-
|
||||||||||||
|
OEFENLES 21: Het zwaartepunt van een driehoek
1. In driehoek 123 is punt 4 het midden van lijnstuk 23, 5 het midden van
12, 6 van 24, 7 van 25 en 8 van 26. |
||||||||||||
|
Hoe verhouden zich de oppervlakten van de driehoeken 123 en 278?
Beredeneer je antwoord. 2. Aan het punt van een driehoek van stevig karton wordt een touwtje be-
vestigd. De driehoek wordt vervolgens aan dat touwtje opgehangen. |
||||||||||||
|
touw
|
||||||||||||
|
De stand van de hangende driehoek is nu zodanig dat de lijn in het ver-
lengde van het touw de driehoek verdeelt in stukken met gelijke opper- vlakte. Beredeneer dat hieruit volgt dat die lijn de basis van de driehoek in ge-
lijke stukken verdeelt. |
||||||||||||
|
Afspraak: De lijn die door een hoekpunt van een driehoek gaat en die
de tegenoverliggende zijde in twee gelijke stukken verdeelt, is een zwaartelijn van de driehoek. In opgave 2 heb je gezien: Een zwaartelijn verdeelt de driehoek in twee delen met gelijke opper-
vlakte. |
||||||||||||
|
65-
|
|||||||||||||
|
In driehoek ABC zijn de zwaarteiijnen AP en CR met snijpunt Z gete-
kend. Verder zijn Pen H verbonden. |
|||||||||||||
|
a. Verklaar: PR//^C.
b. De driehoeken /\CZen PPZzijn gelijkvormig.
Hoe verhouden zich de overeenkomstige zijden van de driehoeken
ACZQn PRZ? c. Hoe verhouden zich de oppervlakten van de driehoeken ACZ en
PRZ7 d. Gegeven is nog dat de oppervlakte van driehoek ABC gelijk is aan
12. De lijnen AP, CR, en PP verdelen de driehoek in vijf delen. Schrijf in elk deel hoe groot de oppervlakte van dat deel is. |
|||||||||||||
|
Uit opgave 3 b. blijkt dat de zwaarteiijnen AP en CR in driehoek ABC
elkaar verdelen in stukken met verhouding 2:1. Dat geldt natuurlijk ook voor het paar zwaarteiijnen y4P en BQ en voor het paar BQ en CR. |
|||||||||||||
|
B
|
|||||||||||||
|
B A
|
|||||||||||||
|
Gevolg: De drie zwaarteiijnen van een driehoek gaan door één punt Z.
Dit punt Z wordt het zwaartepunt van de driehoek genoemd. |
|||||||||||||
|
-66-
|
|||||||
|
4. De drie zwaartelijnen AP, BQ en CR van driehoek ABC snijden elkaar in
|
|||||||
|
Beredeneer dat de oppervlakten van de deeldriehoekjes AZR, BZR, enz.
aan elkaar gelijk zijn. Gegeven zijn de punten A, Ben Cop één lijn en punt Dbuiten die lijn
verbonden met A, B en C. Zen Z'zijn de zwaartepunten van ABC en BCD. Bewijs dat geldt: ZZ' II ACenZZ'=l AC.
(aanwijzing: trek twee geschikte zwaartelijnen).
D
|
|||||||
|
6. ABCD is een parallellogram.
Mis het midden van ABen A/is het midden van DC.
>4C snijdt DM\n Sen BN\n T. a. Bewijs dat S het zwaartepunt is van driehoek ADB.
b. Bewijs:/4S= Sr= rC.
|
|||||||
|
-67
|
||||||||||||
|
OEFENLES 22: Hoogtelijnen in een driehoek
|
||||||||||||
|
Een hoogtelijn in een driehoek gaat door
een hoekpunt en staat loodrecht op de over- staande zijde (soms het verlengde ervan). De drie hoogtelijnen van een driehoek gaan door één punt, het hoogtepunt, van de drie- hoek. |
||||||||||||
|
1. Teken de hoogtelijnen en het hoogtepunt bij deze driehoeken.
|
||||||||||||
|
2. Van een gelijkbenige driehoek zijn de zijden 12,12 en 8.
Bereken de lengte van de hoogtelijn uit de top. 3. Van driehoek ABC is gegeven: AC = 20 en hoek A = 67°.
Bereken de hoogtelijn uit C (in een decimaal nauwkeurig). |
||||||||||||
|
Belangrijk zijn lengteberekeningen van hoogtelijnen, onder andere bij
berekeningen van oppervlakte, inhoud en afstand. De manier van berekenen is afhankelijk van de soorten gegevens. In opgave 2 en 3 heb je al twee voorbeelden van zulke berekeningen ge- zien. Een ander geval doet zich voor als de oppervlakte van de driehoek ge-
geven is. Voorbeeld:
De oppervlakte van ABC
= 1 x15x18=135 Hieruit kan de hoogte h (op AB) worden berekend. Ix/7x20 =135*) 10/1 =135 h =13,5 |
||||||||||||
|
*) zowel links als rechts staat de oppervlakte van ABC.
|
||||||||||||
|
68
|
|||||||||||||
|
4. Van driehoek ABC zijn de zijden 13, 14 en 15; de oppervlakte van de
driehoek is 84. Bereken de drie hoogtelijnen in driehoek ABC.
5. AD is hoogtelijn in de rechthoe-
kige driehoek ABC. a. Verklaar:
ADxBC=CAx AB b. Bereken CB en vervolgens
AD. 6. Van een gelijkbenige driehoek is de basis 6 en de hoogtelijn uit de top 4.
Bereken de beide andere hoogtelijnen van de driehoek. |
|||||||||||||
|
C ABCD'is een parallellogram.
AC =28. Oppervlakte ABCD = 196.
Bereken DE. |
|||||||||||||
|
7.
|
|||||||||||||
|
8.
|
|||||||||||||
|
Bereken AD, BD, CD.
|
|||||||||||||
|
Q ABCD is een rechthoek.
Bereken/\E en EF. |
|||||||||||||
|
9.
|
|||||||||||||
|
-69-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10. Aan een recht afgezaagd driekantig staafje wordt een aantal metingen
verricht. Van drie ervan is de uitkomst (in mm) Inmiddels bekend. Bereken de uitkomsten die de overige metingen zullen geven. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bereken AE
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AB=5 AC=^2
Bereken yAD en DE. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
70-
|
||||||||||
|
OEFENLES 23: De cosinusregel
De stelling van Pythagoras (1) geeft het verband tussen de drie zijden
van een rechthoekige driehoek. Voor een scherphoekige of stomphoekige driehoek is het verband wat
ingewikkelder (2). |
||||||||||
|
b b
c^^s^ + tp- (1) c^ = a^ + b^ - 2ab cosy (2)
(2) is de zogenaamde cosinusregel.
Merk op: als je y = 90° invult In (2) krijg je (1)!
De cosinusregel wordt gebruikt om:
(a) de zijden van een driehoek te berekenen als twee zijden en één
hoek gegeven zijn (b) een hoek van een driehoek te berekenen als de zijden gegeven zijn.
|
||||||||||
|
1. Gegeven:a=5, ö = 8, Y=60°.
Laat met behulp van de cosinusregel zien dat c gelijk is aan 7. 2. Als de zijde BC om C draait veran-
dert/AS van lengte. a. Hoe lang isyASalsY=90°?
b. Hoe lang is yAÖals Y= 120°?
c. Hoelang is/AS als Y= 180°?
Klopt de cosinusregel nu nog? 3. Gegeven:a=5, ö = 8, p = 60°.
Te berekenen: c Nu zit de gevraagde zijde niet tegen-
over de gegeven hoek. Toch kan de cosinusregel worden gebruikt; niet met c^, maar met 8^ in het linkerlid: 8^ = 5^ +c2 _ 2 . 5 . c • cos 60°. |
||||||||||
|
Bereken c.
|
||||||||||
|
71 -
|
||||||||
|
4. Bereken de ontbrekende zijde in elk van de volgende driehoeken.
|
||||||||
|
5. Als de drie zijden van een driehoek gegeven zijn, is elke hoek te bere-
ken. a. Schrijf de cosinusregel op met
6^ in het linkerlid en laat zien: cosa = 4.
o
b. Bereken a in graden en in één
decimaal nauwkeurig. |
||||||||
|
6. Bereken DB en vervolgens LC.
|
||||||||
|
7. in een rechthoekig assenstelsel
Oxyz zijn gegeven de punten >!\{5,0,0), B(0,9,0) en C(0,0,12) a. Bereken AB, BC, CA.
b. Bereken de hoeken van
driehoek ABC. |
||||||||
|
-72
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
OEFENLES 24: Lijnen en vlakken
De tabel geeft een overzicht van mogelijkheden bij de onderlinge lig-
ging van lijnen en vlakken in de ruimte. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Vul in onderstaande regels
passende ribben of zijvlakken van het torentje in: a. lijn AB is evenwijdig met lijn.......
b. lijn >4S kruist lijn.......
c. lijn CG is evenwijdig met vlak.......
d. lijn CG ligt in vlak.......
e. vlak EHTgaat door de lijn.......
f. vlak EHTsnijdt lijn.......
g. vlak SCGF is evenwijdig met vlak....... ^
h. vlak i5CGFsnijdt vlak.......
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De middelpunten P, Q, Ren Svan vier grensvlakken van een kubus lig-
gen in één vlak V. Het vlak V kun je naar alle
kanten uitgebreid denken. Behalve P zijn er dan nog oneindig veel snijpunten van \/met grondvlak W. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Wat weet je van de ligging van al die snijpunten?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
73
|
|||||||||||||
|
Prisma op balk.
Vlak KFGL snijdt vlak BCFG in
de lijn FG. Vlak KFGL snijdt ook
het vlak ABCD. {KFGL en ABCD
kun je immers naar alle kanten
uitbreiden).
|
|||||||||||||
|
Teken de snijlijn van vlak KFGL
met het vlak ABCD. |
|||||||||||||
|
Piramide op balk.
Teken de snijiijnen van de vlakken TEF,
TFG, THG en THE met het vlak ABCD.
|
|||||||||||||
|
4.
|
|||||||||||||
|
5. Een balk staat op een vlak V.
Pen Qzijn hoekpunten van de balk.
Ken L liggen op ribben van de balk. |
|||||||||||||
|
Teken de snijpunten van QL en van PK" met vlak V.
|
|||||||||||||
|
-74-
|
|||||
|
6. 1, 2, 3 en 4 zijn hoekpunten of middelpunten van ribben van de kubus.
Ga in elk van de gevallen na of 1, 2, 3 en 4 in één vlak liggen. |
|||||
|
-75
|
||||||||||
|
OEFENLES 25: Gebroken vormen
1. Voorbeelden van gebroken vormen zijn 'YTs'• IT+s • ~5x '
a. Bereken
b. Dezelfde opdracht voor -JTE ^"^ ^°°'' "57 ■
2. a. Bereken —^ voor a= 1, a = 6, a = 4,1 en a = 4,01.
b. Bereken i^^ti^ voor a= 1, a = 6, a = 4,1 en a = 4,01.
a^-16
c. Kun je -^rj berekenen voor a= 4?
En voor a = O? |
||||||||||
|
Gebroken vormen zijn breuken met variabelen in teller en noemer.
In deze oefenles ga je rekenen met zulke vormen.
Zoals bekend mag de noemer van een breuk niet nul zijn.
Daarom gaan we er steeds van uit dat de variabelen alleen die waarden
aannemen, waan/oor de noemer ^ 0.
Voorbeeld:
X +2
als we het hebben over -775- , dan wordt
stilzwijgend aangenomen: x^-5. Bekijk de breuken van opgave 1. De breuk _2Ł. is gelijk aan | ongeacht de waarde van x ! (behalve na-
5x ^
tuurlijk voorx= 0).
Dat komt omdat teller en noemer beide gedeeld kunnen worden door x.
|
||||||||||
|
teller en noemer delen door x
|
||||||||||
|
2x X + 2
De breuken -j:^ en -77^ kun je niet verder vereenvoudigen!
|
||||||||||
|
76
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. Vereenvoudig, indien mogelijk:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4-K
10-y |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
±±y_
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y+y+y+y+y
7x
a |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b J^
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a
8a xy
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c.
d. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 + a
5x
Tüx |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8a + a
x+ /
y+x |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + 2
x + 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kun je niet vereenvoudigen tot |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x + 2
x+5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Kun je wel een waarde van x vinden, waarvan
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
'toevallig' ge-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
is aan | ?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. Dezelfde opdracht voor -j^
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bekijk opgave 2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a^-16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
en
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a-4
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
van a; sterker nog: voor a//e waarden van a (mits de noemers ^ O zijn).
Dat kun je als volgt inzien. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a^ + 4a ^ a(a + 4)
a^-16 t (a + 4) (a - 4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Vereenvoudig de volgende breuken:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2-2x
|
x2-25
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
77
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij het vereenvoudigen van breuken waarbij teller en noemer als produkt
gegeven zijn, mogen teller en noemer door dezelfde vorm worden ge- deeld. Je mag, als dat nuttig is, ook teller en noemer met dezelfde vorm vermenigvuldigen. Dat is bijvoorbeeld handig bij 'samengestelde breuken'.
Voorbeelden van samengestelde breuken zijn: 1 + 3 y--
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1+1'2+l'y.l
Die breuken hebben de eigenschap dat teller of noemer (of beide) zelf
weer breuken bevatten. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. a. Bereken —^ voor achtereenvolgens x= 1,2, 1,-2
1 + 1 '^ X
2x
b. Bereken ook -j^ voor die waarden.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Opgave 6 doet vermoeden dat —^ en --—r aan elkaar gelijk zijn.
1 + 1
De verklaring is niet moeilijk: vermenigvuldig teller en noemer van de sa-
mengestelde breuk met x 2 _ 2x ^ 2x
1.1-^^)-" ''' |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Laat zien dat geldt: —| = ^t^
1 ^^^ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
78-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
OEFENLES 26: Gebroken vergelijkingen
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In oefenles 25 ('gebroken vormen') komt de volgende vraag voor:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 4 7
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
voor welke x geldt: -yt^ - "^
De oplossing kun je bijvoorbeeld zo vinden: Deel linker- en rechterlid door 2. Je krijgt dan:-;^=-J . De noemer van -j+T moet 5 keer zo groot zijn als de teller.
Dus: x+ 5 = 5x Gevolg: 5 = 4x
^ '4
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een veel gebruikte methode bij dit soort vergelijkingen is het zogenaam-
de kruislings vermenigvuldigen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
_ 2
" 5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dat gaat zo: ^^
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x-5=(x+5)-2
10x=:2x+ 10
8x= 10 x= 1 4
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x
x + 5 |
i
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Opgaven
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Los de volgende vergelijkingen op.
Controleer steeds je antwoord door invullen |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x+2 - 5
lö^ 8
3x _ 1
2X+1 ~ 4 3x-4 _ 2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x-4 _ 1
x-5 _ 1
3FTÜ ~ 2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Kruislings vermenigvuldigen kan niet klakkeloos worden toegepast.
Bekijk het voorbeeld:-|t7" = f ■
Kruislings vermenigvuldigen geeft: 3x -12 = 8 - 2x
5x =20
X =4 Maar... , als je 4 invult in de vergelijking, komt er iets geks: ■§■ = ■§■
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het getal 4 voldoet nie\ aan de oorspronkelijke vergelijking.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
79-
|
||||||||||||
|
Bij het kruislings vermenigvuldigen in het voorbeeld is er niet aan gedacht
dat de noemer van de breuk ^ O moet zijn. De correcte oplossing begint zó
x-4 _ 2.
4- X - 3
3x- 12 = 8-2x mits4-x 9^0
|
||||||||||||
|
De voorwaarde 4 - x ^ O of wel x^t 4, sluit vanzelf de oplossing 4 uit.
De vergelijking heeft dus geen oplossingen. Achteraf kun je dat ook meteen zien: -|tt 'S te vereenvoudigen tot -1 voor x^A.
De vergelijking wordt dan: -1 = | en heeft geen oplossing. |
||||||||||||
|
2. Los de volgende vergelijkingen op (wees kritisch!)
Q 3X+30 _ o « /-9 _ -I
b. ^-^ =2 d. ^-"^^ + ^0 = -1
x-2 >r-8x+15
|
||||||||||||
|
3. Los op en controleer je oplossing door invullen:
a _3. _ _>f_ r 3 _ y-1
•*■ X ~ 12 ^- x + 1 ~ 16
"■ x-1 ~ 18 "• x + 1 ~ x-1
|
||||||||||||
|
Gebroken vergelijkingen kunnen soms leiden tot een vierkantsvergelij-
king. Voorbeeld: Oplossing:
|i^ = 2x X + 3 = 2x (x + 1) mits x + 1 ^t o, dus x ^^ -1
X + 3 = 2x^ + 2x
0= 2x2 + x-3 y_ -1+V25
x= 1 ; x=-li
|
||||||||||||
|
80
|
||||||||||||||||
|
4. Controleer door invullen dat 1 en -1 i inderdaad voldoen aan
X + 3 _ Oy
x+1 -'^^
5. Los X op uit:
a. ^i^=x+6 c. -i^iil =4
|
||||||||||||||||
|
Nog een voorbeeld:
x+2=3 X
Oplossing:
x^ + 2 = 3x mits X ?t o (linker- en rechterlid zijn met x
|
||||||||||||||||
|
vermenigvuldigd)
|
||||||||||||||||
|
x2 - 3x + 2 = O
(x-1)(x-2) = 0 A
x= 1 x = 2
Controle:
1 +f =3; 24-1=3
|
||||||||||||||||
|
6. Los op:
a. 3x-l=2 c. x+-U=3
X X-1
b. 2x.|=7 d.l + 2^, = 2
|
||||||||||||||||
|
f+4
7. a. Los f op uit: —f = 2 ^-7
|
||||||||||||||||
|
b. Los u op uit: -t - 1 - 6 = O
c. Losyop uit:
d. Losxopuit:
x^ + X - 72
|
||||||||||||||||
|
-81
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
OEFENLES 27: Vergelijkingen met sinus en cosinus
De standaardvergelijkingen voor sinus en cosinus zijn:
sinx=sina en cosx = cosa
waarbij xde onbekende is. Zo'n vergelijking levert in principe twee periodieke oplossingsrijen.
Er geldt: sinx = sina cosx = cosa
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
X = a + KZk X = 7u - a + I<2k
|
X = a + kZK X = - a + /c27t
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
a TC- a
|
-a a
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
In plaats van x kan er ook een vorm in x staan.
Bijvoorbeeld: sin(3x+ 1) = sin2
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
3x+1=2 + /c-2rc 3x+^=^z-2 + l<^2n
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
v-r: 1 + /c- 25
^ 3 ^" 3 |
||||||||||||||||||||||||||||
|
x=1(k-3)+ k-?^
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Merk op: De periode van de beide oplossingsrijen in dit voorbeeld is ^.
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
1. Los X op uit:
a. cos(3x + 1) = cos2
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
c. sin{x-|7i)= i72
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
d. cos{2x-i7t) = -lV2
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
b. sin4x=sin4jc
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Los X op uit:
a. 8sinx=4
b. 8cos2x=-4
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
c. 2 sinx-1 =3sinx
d. 5 cosx = O
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
82-
|
||||||||||||||||||||
|
3. a. Teken in één figuur de grafieken van
f{x) = 2 sinx + 1 en g(x) = 2 - sinx
b. Bereken de x-coördinaten van de snijpunten tussen O en 2k.
4. a. Teken de grafiek van de funktie y = cos(x- Itc)
b. Bereken de y-coördinaten van het snijpunt met de lijn x= |7u in twee
decimalen nauwkeurig. c. Bereken de x-coördinaten van de snijpunten met de lijn y = | in twee
decimalen nauwkeurig. 5. Hieronder zie je de grafiek van f{x) = 2j3 sinx
|
||||||||||||||||||||
|
a. Voor welke x tussen O en 2k geldt: f{x) < O?
b. Voor welke x tussen O en 2k geldt: f{x) > 3?
6. Los X op uit:
|
||||||||||||||||||||
|
L'f2
|
||||||||||||||||||||
|
1
|
||||||||||||||||||||
|
= -6
|
||||||||||||||||||||
|
a.
|
||||||||||||||||||||
|
sinx
1 _ 2
COSX+2 ~ 3
|
||||||||||||||||||||
|
cosx
1
sin3x |
||||||||||||||||||||
|
= 2
|
||||||||||||||||||||