-ocr page 1-
VERKENNING IN DE RUIMTE
wiskunde B
-ocr page 2-
VERKENNING
INDE
RUIMTE
Hawex - Wiskunde B
-ocr page 3-
VERKENNING IN DE RUIMTE
Een productie ten behoeve van het project Hawex.
Ontwerper:                    Anton Roodhardt
Met medewerking van: Christiane Hauchart
Martin Kindt
Henk van der Kooy
Jan de Lange
Martin van Recuwijk
Vormgeving:                 Ada Ritzer
© 1989: 3e versie
Utrecht, maart 1989
-ocr page 4-
Inhoudsopgave
Inleiding ruimtemeetkunde
1.  Kijken naar ruimtelijke vormen ................................................................. 1
2.  Prisma's....................................................................................................... 11
3.  Inhouden van prisma's ............................................................................... 19
4.  Piramiden ....................................................................................................28
5.  Inhouden van piramiden .............................................................................35
6.  Afgeknotte piramiden .................................................................................42
7.  Ronde lichamen ..........................................................................................46
8.  Keuze opgaven............................................................................................50
-ocr page 5-
Inleiding ruimtemeetkunde
Het toneel is de driedimensionale ruimte. De spelers zijn onder andere punten,
lijnen, vlakken en lichamen. Het spel gaat over vormen, afmetingen en onder-
linge relaties.
We bekijken eerst een aantal ruimtelijke vormen en proberen daaruit, door mid-
del van nadenken, allerlei bijzonderheden af te leiden.
Hiermee kunnen we aan het tekenen, berekenen en het verklaren gaan.
Daarna wordt een reeks veel voorkomende lichamen nader onderzocht.
Ruimtemeetkunde steunt op twee pijlers:
—  kennis van de vlakke meetkunde;
—  ruimtelijke inzicht.
Bij dit laatste doen zich nog al eens problemen voor. Een van de oorzaken kan
zijn een gebrek aan ruimtelijke ervaring.
Men zou het vreemd vinden biologie uit een boek te leren, zonder ooit eens
echte planten en dieren te bekijken. Zo is het eigenlijk ook vreemd
ruimtemeetkunde alleen uit een boek te leren.
In een boek moeten we ons noodgedwongen behelpen met platte afbeeldingen.
Maar je moet je er wel ruimtelijke zaken bij voorstellen. Daarom heb je pas
werkelijk profijt van een boek als je daarvoor en daarnaast ervaring opdoet met
echte ruimtelijke voorwerpen. Het is dan ook verstandig voorwerpen om je
heen als modellen te gebruiken. En nog beter is het zelf modellen te ontwerpen
en te maken.
Met papier, stokjes, klei, koperdraad, piepschuim, enz. kun je vaak eenvoudig
iets bruikbaars fabriceren.
Hoe groter de problemen met ruimtelijk inzicht, hoe belangrijker deze hulpmid-
delen.
Bij opgaven gemerkt met ■ hoort een werkblad.
-ocr page 6-
1 -
1 Kijken naar ruimtelijke vormen
Het kantoor van de postbank in Leeuwarden
(foto 1)
>a Het gebouw van de postbank in Leeuwarden bestaat uit delen van
bekende meetkundige lichamen.
Welke lichamen herken je?
Maak enkele schetsen van die lichamen.
>b Hoe hoog is het gebouw ongeveer?
-ocr page 7-
Ter herinnering:
In de wiskunde is een antwoord als regel een antwoord met een verklaring. De vraag
naar een verklaring staat er dan vaak ook niet bij, maar moet er wel bijgelezen worden.
Als er uitdrukkelijk om een verklaring gevraagd wordt, dan is die verklaring erg
belangrijk.
De postbank in Leeuwarden vanuit een ander punt gezien.
(foto 2)
>c De hoogte van het standpunt van de fotograaf is bij de twee foto's
niet gelijk.
Hoe kun je de hoogten van die standpunten aangeven ten opzichte van
het gebouw van de postbank?
-ocr page 8-
Een luchtfoto vanuit het oosten genomen.
(foto 3)
>d Bepaal met behulp van deze luchtfoto vanuit welke richting de
fotograaf de tweede opname heeft gemaakt.
situatietekening
>e Op foto 2 is rechts een hoog gebouw te zien. Probeer eerst vast te
stellen of het bovenaanzicht van dit gebouw langgerekt rechthoekig of
vierkant is.
Plaats het daarna in de situatietekening (zie werkblad).
-ocr page 9-
-4-
A                          B
Op de voorgrond is een pilaar {A) te zien, waarop vier balken van deze
dakconstructie steunen. Deze balken zijn aan de andere uiteinden ver-
bonden door horizontale balken.
Hierop rust de rest van de constructie, maar die laten we bij de vragen >a
t/m >d buiten beschouwing.
In de lengterichting van het gebouw staan nog meer van die pilaren met
een bovenbouw.
Als je de balken als lijnen beschouwt, welke lichamen kun je dan in
de constructie 'zien'?
Schets het lichaam dat op de eerste pilaar steunt.
>a
>b
>c
Dit is het vooraanzicht van pilaar A met bovenbouw.
(Een 'aanzicht' van een object, is wat je ziet als je
op zeer grote afstand van dat object staat.)
Hoeveel balken van die bovenbouw zijn in deze
stand niet te zien?
P
m
>d Teken een zijaanzicht van de pilaren A tn B met de bovenbouw.
>e Teken nu het zijaanzicht van de pilaren A &n B met de volledige
constructie die daar op steunt.
-ocr page 10-
Nogmaals de balkenconstructie van opgave 2.
Dit is een andere kijk op een pilaar met een deel van de bovenbouw.
>a Teken in de kubus op het werkblad zo
nauwkeurig mogelijk de bovenbouw
P.EFGH. Kies P in het centrum van het
grondvlak van de kubus.
>b Bereken ook de lengte van PE als de
ribbe van de kubus 4 meter is.
>c Dezelfde opdrachten als in >a en >b, met
dit verschil dat P nu in het centrum van
de kubus ligt.
>d Het diagonaalvlak ACGE is uit de kubus
gehaald en hier getekend.
Hoe verhouden de zijden EA en AC
zich?
E                                     G
B
>e Het punt P is nu zo gekozen dat de
lengte op de pilaar PQ gelijk is aan de
lengte van de schuine balk PE.
Bereken PQ.
Aanwijzing: Stel PQ=x. Maak een vergelijking in x en los die op.
-ocr page 11-
4.
In de Haarlemse Zuiderpoldcr bestaan
plannen voor een wijk met experimente-
le woningen. Het lag in de bedoeling
een wijk met woningwetwoningen te
realiseren, en de behoefte ontstond om
eens na te gaan of er binnen de sociale
woningbouw niet wat meer mogelijk-
heden aanwezig zijn om tot een grotere
verscheidenheid aan woningtypen te
komen.
Voor de Zuiderpolder werd daarom een
negental architecten uitgenodigd eens
een ontwerp te maken voor een woning-
wetwoning, die afwijkt van het geijkte
ontwerp. De ontwerpen zijn inmiddels
klaar en enige tijd geleden waren
maquettes en een model op ware grootte
te bewonderen op de Haarlemse markt.
Eén ervan, het ontwerp van Cepezed, is een vrijstaande kubusvormige
woning, die geheel in staal is uitgevoerd; skelet, vloeren en wanden heb-
ben allemaal staal als basismateriaal.
Deze tekening van het ontwerp is ontstaan door het uiteenschuiven van
onderdelen.
balustrade
dak
verdieping
beganegrond
gevei
staolconstructii
>a In welke richtingen zijn de verschuivingen uitgevoerd?
>b Maak een tekening van de buitenkant van de woning, waarbij je de
stand van de gegeven tekening aanhoudt.
-ocr page 12-
5. De N.H. kerk te Smilde
>a Staan de muren loodrecht op de grond?
Het grondplan van dergelijke kerken is meestal een regelmatige zeshoek of
achthoek.
Dit vraagstuk gaat over de zes of acht zijmuren. Modelletjes kunnen daar-
bij van nut zijn. Je kunt ze ook zelf van papier maken.
Voorlopig nemen we geen beslissing over zes- of achthoekig.
>b Als je je standpunt overal rond de kerk kunt kiezen, dan zijn er
verschillende mogelijkheden voor het aantal zichtbare zijmuren.
Welke aantallen zijn er mogelijk bij de zeshoek?
En welke bij de achthoek?
>c Teken bij elk van de grondplannen hiervoor het gebied van waaruit
alleen muur AB zichtbaar is.
>d Als je niet buiten dat gebied mag komen, kun je dan beslissen over
zeshoek of achthoek?
-ocr page 13-
foto 2
foto 3
De fotograaf is voor het nemen van foto 2 iets opzij gegaan en de verti-
cale vertekening is bijna weggehaald, zodat foto 2 bijna een zijaanzicht
van het kerkje is.
>e Kun je nu vaststellen wat voor veelhoek het grondplan is?
Op foto 3 zijn maar drie muren zichtbaar. Ook deze foto is niet helemaal
een zijaanzicht; door de perspectivistische verkorting zijn de buitenste
muren iets te klein weergegeven. Maar door tekenen, meten en rekenen
is alleen met deze foto te beslissen of de kerk zeshoekig of achthoekig
is.
>f Bedenk daarvoor een methode
-ocr page 14-
Meetkunde is in de ruimte veel moeilijker dan in het platte vlak, doordat de
'diepte' erbij komt. Bovendien kunnen wij diepte niet rechtstreeks waarnemen.
Onze ogen krijgen een vlak beeld van de wereld. Richtingen en afstanden zijn
vertekend en vanuit één standpunt kunnen we voorwerpen niet meer volledig
zien. De problemen worden nog groter als het uitgangspunt een foto of teke-
ning is.
Om toch te begrijpen wat we zien, gebruiken we, vaak onbewust, allerlei aan-
wijzingen die ons iets zeggen over de afstanden of over de meest waarschijn-
lijke vorm van een voorwerp.
We kijken dus met onze hersenen: we denken en we gebruiken onze ervaring.
Nog een voorbeeldje:
Door kleine toevoegingen wordt
de platte zeshoek ruimtelijk.
We zien EFGH hoger dan ABCD. Dat kan betekenen dat EFGH hoger
ligt, maar ook dat EFGH verder af ligt. Zonder verdere aanwijzingen kan
geen beslissing worden genomen. Het gevolg is dat we afwisselend twee
verschillende lichamen kunnen zien.
>a Beschrijf de lichamen die je in het plaatje kunt zien.
>b Teken die lichamen. Veronderstel daarbij dat ze niet-doorzichtig zijn
en gebruik voor de onzichtbare lijnen stippellijnen.
-ocr page 15-
10
TERUGBLIK
Het hoofddoel van dit hoofdstuk is het leren bewust te kijken naar ruimtelijke
objecten, zodat er 'verstandige' dingen gezegd kunnen worden over de daarbij
betrokken lijnen, vlakken en lichamen. Bij nieuwe plaatjes moet je je dus kun-
nen redden.
Daarnaast heb je kunnen kennismaken met enkele meetkundige onderwerpen
die later in de cursus uitvoeriger aan de orde komen.
Behalve de algemene (en daardoor ietwat vage) zaken, is er ook een lijst te
geven van onderwerpen die je alvast kunt onthouden.
We noemen:
—  herkennen van lichamen;
—  het vaststellen van het uiterlijk van lichamen en andere constructies, vanuit
verschillende standpunten;
—  het maken van aanzichten en plattegronden;
—  enkele manieren om een kubus te tekenen;
—  tekenen in een lichaam, waarbij gebruik gemaakt wordt van bijzondere pun-
ten;
—  rekening houden met de zichtbaarheid/onzichtbaarheid van lijnen;
—  een vlak uit een lichaam lichten;
—  het op schaal tekenen;
—  berekeningen met de stelling van Pythagoras maken;
—  verschuivingen van ruimtelijke objecten.
Een puzzel uit het tijdschrift 'De ingenieur'.
Zwaluwstaarten
Een houten kubus is opgebouwd uit twee
delen. Het onderste deel bestaat uit eiken-
hout, het bovenste uit een andere hout-
soort. Als men de kubus draait ziet men
dat alle vier de opstaande vlakken een
zwaluwstaartverbinding bevatten. Hoe is
deze kubus uit twee stukken hout
geconstrueerd, zodanig dat deze dus ron-
dom gezwaluwstaart is?
-ocr page 16-
11 -
2 Prisma's
De hoofdvorm van een aantal gebouwen op de foto is een balk.
Wat is nu precies een balk?
Verschillende boeken geven verschillende definities. Meestal vermeldt zo'n
definitie iets over zijvlakken en ribben en hun onderlinge ligging.
Een andere manier is om te beschrijven hoe zo'n lichaam uit een eenvoudige
figuur door beweging kan ontstaan.
Met behulp van het computer-programma RUIMFIG kan deze beweging
aanschouwelijk worden gemaakt.
/
-ocr page 17-
- 12-
Recept voor het maken van een balk:
1.    Neem een rechthoek ABCD.
2.    Neem een lijn l die loodrecht op het vlak van de rechthoek staat.
Bijvoorbeeld door een hoekpunt van die rechthoek.
3.    Schuif de rechthoek langs de lijn l, zonder de stand in de ruimte te veran-
deren.
Hoe meer tussenstappen, hoe duidelijker de balk.
De lijn / noemen we de schuiflijn.
1. >a Hoe ontstaan de opstaande ribben AE,
BF, CG en DH van de balk?
>b En hoe de zijvlakken?
H
Een beperkte kijk op twee balken.
-ocr page 18-
- 13-
Als gevolg van de schuifconstructie kun je een hele serie bijzonderheden
van de balk vaststellen. Doe dat voor de volgende onderwerpen.
>a    De ligging van de opstaande ribben ten opzichte van elkaar.
>b   De lengten van de opstaande ribben.
>c    De ligging, vorm en grootte van het grondvlak en bovenvlak.
>d   De vorm van de zijvlakken en de ligging ten opzichte van elkaar.
Deze stacaravan in aanbouw heeft de vorm van een balk
ABCD.EFGH.
Maak een tekening van de balk in deze stand, maar wel zo dat lijnen
die in werkelijkheid evenwijdig zijn, dat in de tekening ook zijn.
Je kunt de balk laten ontstaan uit de verschuiving van ABCD over
bijvoorbeeld AE.
Is het ontstaan ook mogelijk uit ABFE en ADHEl
Deze afmetingen zijn bekend: AB = 3,5 m; FH = 8 m; CG = 2,5 m.
Bereken in cm nauwkeurig de lengten van AD en DF.
>a
>b
>c
-ocr page 19-
14
Door veranderingen in het recept aan te brengen, kunnen andere lichamen
ontstaan. Andere opdrachten kunnen bijvoorbeeld strenger of soepeler zijn.
4.     > Hoe moet het recept gewijzigd worden om als resultaat een kubus te
krijgen? Is dat nog steeds een balk?
5.     > We laten in het oorspronkelijke recept de eis van de loodrechte stand
van de lijn vallen. Schets enkele lichamen, met een paar tus-
senstanden van de schuivende rechthoek, die zo kunnen ontstaan.
Zijn dat balken?
6.     > We vergelijken het nieuwe lichaam uit opgave 5 met de balk. De
meeste bijzonderheden zoals die in opgave 2 zijn gevonden, blijven
geldig. Maar wat moet er veranderd worden?
4y
Een nog verdergaande versoepeling is het toestaan van elke veelhoek als grond-
vlak.
Massieve modellen:
Draadmodellen:
De laatste zeven lichamen hierboven zijn allemaal voorbeelden van prisma's.
-ocr page 20-
- 15-
De algemene regel waar ze onder vallen is:
Een prisma onstaat door een veelhoek (grondvlak) evenwijdig aan
de beginstand langs een lijn te schuiven.
Zo'n recept heet ook een definitie.
Opmerking: De schuiflijn moet natuurlijk niet in het grondvlak liggen.
7.     Weer terug naar de bijzonderheden van opgave 2.
> Welke regels gelden voor elk prisma?
De eenvoudigste prisma's kun je krijgen door voor de veelhoek te kiezen uit
driehoeken, vierhoeken, vijfhoeken, enz.
We spreken dan van driezijdige prisma's, vierzijdige prisma's, enz.
8.     > Teken een draadmodel van een 'staand' en van een 'liggend' driezij-
dig prisma waarin de schuiflijn loodrecht op het grondvlak staat.
Idem met de schuiflijn scheef op het grondvlak (scheef driezijdige
prisma).
Fraaie resultaten ontstaan als voor het grondvlak een regelmatige veelhoek
wordt gekozen en de schuiflijn daar loodrecht op staat.
De hoofdvorm van deze moer is zo'n voorbeeld: een regelmatig zeszijdig
prisma.
9.     In Nederland wordt voor bewoning veel gebruik gemaakt van vijfzijdige
prisma's die niet regelmatig zijn.
>a Teken een voorbeeld.
>b Om de éénvormigheid te verbreken, bedenken architecten allerlei
maniertjes, om dat vijfzijdige karakter minder te laten opvallen.
Noem of teken eens enkele.
10.   > In een oud meetkundeboek staat deze definitie van een prisma:
'Een prisma is een lichaam begrensd door enige vlakken, die elkaar
volgens evenwijdige lijnen snijden, en twee evenwijdige vlakken.'
Klopt dat met onze definitie?
-ocr page 21-
-16-
11.   > Kunnen alle ribben van een vierzijdig prisma evenlang zijn en toch
geen kubus vormen?
12.   > Hoe kan je van een vierzijdig prisma twee driezijdige prisma's
maken?
Licht je antwoord toe met een tekening.
13.   > Twee driezijdige prisma's moeten aan elkaar gelijmd worden, om een
vierzijdig prisma te krijgen.
Dat kan niet altijd. De twee prisma's zullen op zijn minst een paar
congruente zijvlakken moeten hebben. Is het genoeg als aan die
voorwaarde is voldaan?
14.   ABCDE.FGHJK is een massief vijfzijdig prisma. Door tweemaal zagen, te
beginnen in FJ en GJ is het te verdelen in drie driezijdige prisma's.
> Teken die drie prisma's los van elkaar volgens het begin op het werk-
blad.
De manier van tekenen is hier niet vrij - lijnen die in werkelijkheid
evenwijdig zijn, worden dat in de tekening ook.
Teken alleen de zichtbare lijnen.
-ocr page 22-
17
15. Voor een stand op een tentoonstelling moet je enkele grote ruimtelijke
objecten bouwen. Onder andere een paar prisma's. Het materiaal is
spaanplaat, maar om de maten zo te krijgen dat alles past, kun je beter
eerst in het klein met papier experimenteren.
Onder- en bovenvlak zijn driehoeken. Dat geeft weinig problemen. De
zijkanten van een prisma met de opstaande ribben loodrecht op het grond-
vlak zijn ook gemakkelijk te maken.
1
2
3
VOUWEN
M
de 'mantel' van het prisma
De nog platliggende mantel is een deel van de 'uitslag' van het prisma.
De driehoeken van grond- en bovenvlak kunnen er aan vast getekend wor-
den om die uitslag compleet te maken.
>a Teken zo'n uitslag met de maten.
deel 1:3x7; deel 2: 4 x 7; deel 3: 5 x 7, terwijl de driehoeken ver-
bonden zijn met deel 2.
>b Teken de uitslag ook door met een driehoek te beginnen en aan elke
zijde een zijvlak te verbinden.
16. Vervolg van opgave 15. Er zijn ook scheve prisma's nodig. We stellen
geen eisen aan de maten.
De opdracht luidt: Knip de mantel van zo'n scheef prisma uit. Laat de
vlakken aan elkaar zitten en maak vouwlijnen langs de grenzen. Geef ook
het algemene recept voor dit karweitje.
Aanwijzing:
•  Probeer eerst zo'n gevouwen papier sluitend te maken.
•  Maak van het resultaat een tekening.
•  Probeer hierin bijzonderheden te vinden, zodat je een tekening voor
een nieuw prisma kunt opzetten.
•  Beredeneer dat je methode goed is.
-ocr page 23-
- 18-
17. Ontwerp je eigen woonwand
Lundia levert een systeem van onderdelen waarmee je zelf je woonideeën
kunt realiseren.
In de catalogus is een tekenblad afgedrukt waarop je gemakkelijk je wen-
sen in beeld kunt brengen.
80 100
> Maak op het werkblad een eigen ontwerp voor een kastenwand. Je
moet zelf nog een redelijke schaal voor de diepte kiezen. Gebruik
alleen de toegestane maten:
diepte: 30, 40, 60
breedte: 50, 80, 100
hoogte: 48, 73, 128, 168, 208, 248
-ocr page 24-
- 19-
3 Inhouden van prisma's
In dit hoofdstuk gaat het om twee dingen:
—  Hoe kun je, uitgaande van de inhoudsformule van de balk, een
inhoudsformule bedenken die voor elk prisma geldt?
—  Het toepassen van de gevonden formules.
We onderzoeken eerst prisma's waarbij het grondvlak geen rechthoek is, maar
de opstaanden ribben nog wel loodrecht op het grondvlak staan. Daarna laten
we ook die laatste voorwaarde vallen.
De inhoud van een balk is gelijk aan
lengte x breedte x hoogte,
hier ax b x h
1. > Bereken de inhoud van dit uit balken bestaande lichaam.
-ocr page 25-
-20
Door van de balk links een driezijdig prisma af te halen en rechts een kopie
daarvan bij te plaatsen, ontstaat een prisma dat geen balk meer is. Immers, het
grondvlak is geen rechthoek, maar een gewoon parallellogram.
(grondvlak parallellogram)
(grondvlak rechthoek)
De inhoud is echter wel gelijk gebleven, dus die is weer a x b x h. In de
nieuwe situatie heeft a x b een aanwijsbare betekenis: het is de oppervlakte van
het parallellogram dat als grondvlak dient (controleren!)
Voor beide lichamen kunnen we dus dezelfde inhoudsformule gebruiken:
Inhoud = Oppervlakte grondvlak x hoogte ofwel I = G x h
Deze formule is bruikbaar voor elk prisma waarvan het grondvlak een parallel-
logram is en de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan, want door
in het voorbeeld de weg terug te volgen, is er steeds een overstap op een balk
mogelijk.
2. Aan deze tekening van een prisma met de opstaande ribben loodrecht op
het grondvlak is niet te zien of ABCD een rechthoek of een willekeurig
parallellogram is. h                                                   g
Dit is aanleiding tot een veelgemaakte fout: G = 9 x 6.
Er is nu extra gegeven: L BAD = 60°
>a Teken het grondvlak ABCD op ware grootte met daarin een hoogtelijn
van dit parallellogram.
>b Bereken de inhoud van het prisma.
>c BCGF is wel een rechthoek. Was de inhoudsberekening dan mis-
schien mogelijk geweest met oppervlakte BCGF x AB?
-ocr page 26-
-21
3.     > Teken in een Oxyz-stclsél het prisma ABCD.EFGH met /4(5,0,0);
5(5,6,0); C(0,8,0); £»(0,2,0); £(5,0,6) en bereken de inhoud van dit
prisma.
4.     De punten A(4,0,0); 5(4,6,0); C(0,6,l); D(0,0,1) £(4,0,4); F(4,6,4);
G(0,6,5); //(0,0,5) vormen de hoekpunten van een 'blokachtig' lichaam.
>a Teken dit lichaam in een assenstelsel.
>b Toon aan dat het een prisma is.
>c Bereken de inhoud.
5. De huls van een luciferdoosje wordt vervormd tot er aan de voorkant een
hoek van 45° ontstaat.
> Hoeveel cm^ is nu de omsloten ruimte?
5^
1,2 cm
45°
3 cm
6.     Een kartonnen doos heeft een ruitvormige bodem. De zijden van die ruit
zijn 6 dm lang en één van de hoeken is 60°.
De zijwanden staan loodrecht op de bodem en hebben in werkelijkheid een
hoogte van 2 dm.
>a Maak op schaal een bouwplaatje van die doos (zonder deksel).
>b Bereken de inhoud van de doos.
>c Hoe kan het bouwplaatje worden aangevuld met een draaibaar deksel?
7.     ABCD.EFGH is een balk met AE = 6, AB = 10, BC = 12.
Van de balk worden vier driezijdige prisma's afgezaagd, zodat de hoek-
punten van het overblijvende lichaam de middens van 8 balkribben vor-
men.
>a Bereken de inhoud van het overblijvende lichaam. Het antwoord is
snel te vinden door nog even door te zagen.
G
yc
>h Voor deze driezijdige prisma's zou ook wel eens kunnen gelden dat
de inhoud gelijk is aan G x h. Klopt dat met de berekening uit >a?
-ocr page 27-
22
8. Dit zijn grondvlakken van prisma's met opstaande ribben hier loodrecht
op.
> Bij gegeven hoogte is de inhoudsberekening gemakkelijk uit te voe-
ren. Waarom?
We vermoeden:
Voor elk prisma waarvan de opstaande ribben loodrecht op het grondvlak staan
geldt de formule I = G x h.
r-
\
/
c>
9.     > Beredeneer dat deze formule waar is en illustreer je betoog met
tekeningen.
Aanwijzingen:
•  Door het grondvlak in driehoeken te verdelen kan het prisma
gesplitst worden in driezijdige prisma's
•  Een driezijdig prisma heeft als inhoud de helft van een prisma met
een parallellogram als grondvlak.
10.   > Bereken de inhoud van het prisma waarvan het grondvlak hier gete-
kend is, en waarvan de hoogte gelijk is aan de langste zijde van het
grondvlak
-ocr page 28-
23-
11. Van dezelfde balk als in opgave 7. worden nu drie driezijdige prisma's
afgezaagd zodat een driezijdig prisma overblijft.
Bereken de inhoud van het overblijvende prisma.
12. > Een aluminium profiel heeft een lengte van 240 cm.
Bereken het gewicht (1 cm^ aluminium weegt 2,7 gram).
13.   Van een zeszijdig prisma in een Oxyz-stelsel hebben de hoekpunten
achtereenvolgens de volgende coördinaten:
(0,0,0); (1,0,0); (3,1,0); (2,3,0); (1,3,0); (-1,2,0); (0,0,8); (1,0,8); (3,1,8);
(2,3,8); (1,3,8) en (-1,2,8).
> Bereken de inhoud van het prisma.
14.   Dit is de kop van een bout.
Er is gestart met een regelmatig zeszijdig prisma. Je ziet dat daar later iets
is afgeslepen. De voorkant op de foto is op ware grootte.
> Bereken het gewicht voor het afslijpen (1 cm^ weegt 7,2 gram).
-ocr page 29-
24-
We gaan verder met prisma's waarvan de opstaande zijden scheef op het grond-
vlak staan. Voor een eerste verkenning nemen we enkele bijzondere gevallen
en bekijken die op verschillende manieren.
15. ABCD.PQRS is een draadmodel van een balk. Door verbuiging is hiervan
het prisma ABCD.EFGH te maken.
'= '^J.^
^
^^^T
^
^
"-^ ■ ^^' »■
"V .
i^^ *
Ei
1 ♦
>
F i
4/
1 *
/ »•*
\* D
C
/-•
/^y^
K
>a De inhoudsberekening 9x3x4 voor dit prisma geeft een antwoord
dat te groot of te klein is. Wat is het geval? Beredeneer dat.
EK staat loodrecht op AB (K op AB). EK is de 'hoogte' van het scheve
prisma. (AS x BC) x EK is nu op te vatten als
'oppervlakte grondvlak x hoogte' van het scheve prisma.
>b De formule / = (AB x BC) x EK blijkt hier het juiste antwoord te
geven.
Toon dat aan door het produkt anders te groeperen.
16. In opgave 15 werd PS gedraaid om de as AD tot de stand EH.
In deze opgave is PS verschoven langs PQ tot de stand EH.
Het nieuwe prisma heeft nu dezelfde hoogte als de balk (EK = PA).
Toon aan dat de inhoudsberekening 9x3x4 voor het nieuwe prisma
nu wel correct is.
-ocr page 30-
-25-
In de opgaven 15 en 16 bleek de formule
Inhoud prisma = Grondvlak x hoogte
ook te gelden voor scheve prisma's.
De gevallen die we hebben bekeken zijn niet algemeen genoeg.
In onderstaande figuur zie je een situatie, waarbij de opstaande ribben niet
alleen naar rechts, maar ook naar achteren hellen.
Ook in dit geval geldt: I = G x h.
Zo'n scheef prisma heeft dezelfde inhoud als een recht prisma met eenzelfde
grondvlak en dezelfde hoogte.
n
i
Dit geldt ook voor driezijdige prisma's, vijfzijdige prisma's, enz.
Let op bij het berekenen van inhouden van prisma's:
—  de hoogte is lang niet alüjd een ribbe van het lichaam
—  de hoogte is lang niet altijd verticaal in de tekening (het grondvlak hoeft namelijk niet
horizontaal te zijn).
-ocr page 31-
26
17. ABCDEF is een driezijdige prisma.
'^ (2,3.4)
^ (4.8,0)
xy^A (5.0,0)
>a Wat zijn de coördinaten van £) ? En van E ?
>b Bereken de inhoud van het prisma.
18. De maten van dit blokje (een balk) zijn in cm.
Aan de voorkant is er een sleuf in de vorm van een prisma uitgestoken.
'k
^\
> Hoeveel procent is het volume van het blokje daardoor kleiner gewor-
den?
-ocr page 32-
27
19. Dwars door een ander blokje is een scheve prismavormige gang gemaakt.
Hoeveel procent is het gewicht van het blokje daardoor verminderd?
Het bovenaanzicht ziet er zo uit:
T^WIT^^^^ÏWW^^
is het begin van         '
de gang
is het eind van
de gang
2
20.
1. ^^"^
Q>
3) Ig.'.On
Het onderste deel van dit verstelbaar vulstuk blijft op zijn plaats. Het
bovenste deel kan verschuiven tot de gewenste stand en dan met de
schroef worden vastgezet.
De uitsparing met hoogte 4 die aan de linkerkant te zien is loopt onder het
hele stuk door met dezelfde hoogte en dezelfde breedte.
Om het gewicht van het vulstuk te kunnen bepalen, wil men de inhoud
weten.
> Bereken de inhoud van het onderste deel (in cm'^).
-ocr page 33-
28-
4 Piramiden
In hoofdstuk 2 heb je gezien hoe prisma's ontstaan door een rechthoek te
verschuiven langs een schuiflijn. Om bijvoorbeeld een regelmatig driezijdig
prisma te maken kun je een gelijkzijdige driehoek laten schuiven langs een lijn
loodrecht op het vlak van die driehoek.
Bij dit proces verandert de driehoek niet en blijft ook de stand in de ruimte het-
zelfde; alleen de plaats van de driehoek verandert.
In dit hoofdstuk wordt de verschuiving gecombineerd met een gelijkmatige
verkleining van de veelhoek.
Voorbeeld:
In figuur a is de driehoek gelijkmatig ingekrompen met behoud van vorm.
Tenslotte is de driehoek ingeschrompeld tot een punt. In figuur b is de inkrim-
ping gecombineerd met een verschuiving langs een rechte lijn.
Inkrimping en verschuiving zijn zo op elkaar afgestemd dat er een piramide is
ontstaan. Het eindpunt van de schuiflijn is de top van die piramide.
-ocr page 34-
-29
Nog een paar voorbeelden:
In figuur d gaat de schuiflijn door een hoekpunt van een rechthoek en staat zij
loodrecht op het vlak van de rechthoek. Er is een vierzijdige piramide ontstaan.
In figuur e gaat de schuiflijn door het snijpunt van de diagonalen van een
rechthoek en staat zij loodrecht op het vlak van de rechthoek. Met als resultaat
een vierzijdige ph-amide.
In figuur f gaat de schuiflijn door het middelpunt van een regelmatige zeshoek
en staat zij loodrecht op het vlak van de zeshoek. De zo verkregen piramide is
een regelmatige zeszijdige piramide.
In het vervolg zal blijken dat deze methode om een piramide te laten ontstaan
een grote verscheidenheid van gelijkvomiige figuren kan opleveren. Met de
daarbij behorende evenredigheden kunnen allerlei berekeningen worden uit-
gevoerd. Veel van die berekeningen kunnen bekort worden, doordat er een
ruimtelijke uitbreiding van het onderwerp 'vermenigvuldigen van figuren' te
bedenken is.
1. TABC is een driezijdige piramide, ook wel viervlak genoemd. DEF is
zo'n tussenvlak.                               r
Neem over en vul in:
>a EF II.....; HC II.....
>b Met welk driehoek is TDF gelijkvormig? En TGF'.
^ T.T                                , . GE TG GF
>c Neem over en vul m: — = —• T/c "^ Ir
-ocr page 35-
30
2. Van piramide T.ABCD is het grondvlak een rechthoek;
TS X ABCD T
SC =6
75 =8
PS =2
PQIISC.                        / n/„LJ--------\Ö
Maak een aparte tekening van driehoek ATC in ware gedaante.
Bereken PQ, TQ en QC.
Stel je voor dat piramide is ontstaan door verschuiving en inkrimping
van rechthoek ABCD met schuiflijn TS.
Er is dan een 'tussenrechthoek' waarin lijnstuk PQ ligt.
Teken deze rechthoek in de piramide.
Hoe groot zijn de zijden van deze rechthoek in verhouding tot de
overeenkomstige zijden van ABCD"?
Hoe verhouden zich de oppervlakten van die tussenrechthoek en
rechthoek ABCDl                                                              j
Bereken PQ ook als gesteld '\sTP =x.
>a
>b
>c
>d
>e
TABCD is een piramide, ABCD is een rechthoek.
TS X ABCD.
AB = 12; BC = 6; TS = 8.
Lijnstuk TS wordt in vier gelijke stukken verdeeld. Door de deelpunten
gaan tussenrechthoeken.
>a Bereken van deze rechthoeken de lengten van de zijden en de
oppervlakte.
>b Teken deze rechthoeken met ABCD op schaal in één figuur zodat een
'hoogtekaartje' van de piramide ontstaat. (Eigenlijk is dat een
bovenaanzicht.)
>c In het hoogtekaartje is goed te zien dat zijvlak TAB steiler ten
opzichte van het grondvlak is dan zijvlak TBC.
Bereken van beide zijvlakken de (hellings-)hoek die zij met het
grondvlak maken.
-ocr page 36-
-31
In de 'vlakke meetkunde' heb je geleerd hoe figuren vanuit een centrum
vermenigvuldigd kunnen worden.
Dit kan natuurlijk ook in de ruimte. In feite is dat toegepast op blz. 27 om
een piramide te laten ontstaan uit een veranderende driehoek.
Bekijk de witte piramide hieronder.
Het kleine vierkantje dat het dichtst bij de top ligt, is achtereenvolgens
vermenigvuldigd met factor 2,3,4,...,17.
De zijden van de vierkanten die zo ontstaan zijn achtereenvolgens
2,3,4,..., 17 keer zo lang als de zijde van het eerste vierkantje.
De oppervlakte van die vierkanten zijn dan 4,9,16,...,289 keer zo groot als
de oppervlakte van het eerste vierkantje.
In het algemeen geldt:
Bij een vermenigvuldiging vanuit een centrum met factor k wordt:
elke lengte met k vermenigvuldigd
elke oppervlakte met k^ vermenigvuldigd.
-ocr page 37-
-32
4. Een lamp bevindt zich 2 m boven een zeer dun plafond. De lamp schijnt
door een rechthoekig gat van 0,6 bij 0,4 m in het plafond. Daardoor
ontstaat op de vloer, 3 m onder het plafond, een lichtvlek.
2 m.
3 m,
Bereken de afmetingen van de lichtvlek.
De lamp kan traploos (dat is geleidelijk) verschoven worden en wel:
of 0,2 m naar voren, of 0,2 m naar rechts.
Daardoor verplaatst zich natuurlijk de lichtvlek.
Maak een schaaltekening van het gebied op de vloer dat zo verlicht
kan worden.
>a
>b
In de opgaven 5 t/m 11 wordt gewerkt met een vierzijdige piramide waarvan
het grondvlak ABCD een rechthoek is en waarvan de top T recht boven het
middelpunt S van dit rechthoek ligt. Lengtematen kunnen per opgave verschil-
len. Om niet steeds hetzelfde verhaal te moeten afdrukken wordt naar zo'n
figuur verwezen door PIRAMIDE.
5. KLMN is een tussenvlak in PIRAMIDE. AS = S; KR = 3; RS = 10.
>a Teken de volledige piramide op het werkblad.
>b Bereken TR en TS.
-ocr page 38-
33-
6. Bekijk de figuur bij opdracht 5.
Door R langs de centrale lijn te verplaatsen verandert ook de plaats van de
top T. Als we de plaats van T voor veel posities van R nodig hebben,
dan is het handig om een formule te hebben waar je de hoogte van R in
stopt en de hoogte van T uit krijgt, h = hoogte van R
>a Druk de hellingscoëfficiënt van AT uit in h.
>b Druk TR en TS uit in h.
We kunnen ook de lengte van KR variëren.
Noem die lengte d.
>c Laat zien dat geldt: TR =
d~&
Controleer hiermee je antwoord van >b.
Wat valt er te zeggen van PIRAMIDE als d bijna gelijk is
aan 8 (bijvoorbeeld d = 7.999)?
We gaan weer terug naar de situatie
AS =Z; KR =3 maar voor RS stellen we niets vast.
Noem TR =x. Druk TR en RS uit in x.
>d
>e
In het begin van deze paragraaf is al gezegd dat, bij het ontstaan van een
piramide, inkrimping en verschuiving van de basisveelhoek goed op elkaar
dienen te worden afgestemd.
Dat 'afstemmen' gaan we nu wat nader bekijken.
In PIRAMIDE is een doorsnede getekend van het vlak loodrecht op ribbe
BC.
10
7. In de doorsnede van PIRAMIDE (AB = 12, TS = 10) zijn de driehoeken
TPQ en TSF gelijkvormig.
>a Laat zien dat geldt: d = 6- 0,6/z.
>b Controleer deze formule van h = 0 en voor d = 0.
>c Teken de grafiek van d als functie van h.
(h-as horizontaal, d-as verticaal)
-ocr page 39-
-34-
8.     Van PIRAMIDE is nu bekend dat in driehoek TSF geldt: d = 10 - jh.
>a Bereken AB
>b Op welke hoogte h heeft de tussenrechthoek een zijde die evenwijdig
is met AB en die de lengte 8 heeft.
>c Bereken de hoogte TS van de piramide.
9.     Gegeven PIRAMIDE met AB = 20; BC = 12; TS = 10.
Bekijk een tussenrechthoek op hoogte h.
>a Druk lengte en breedte van de tussenrechthoek uit in h.
>b Druk de oppervlakte van de tussenrechthoek uit in h.
>c Op welke hoogte is de oppervlakte van de tussenrechthoek de helft
van de oppervlakte van ABCDl
10.   Gegeven PIRAMIDE waarbij ABCD en vierkant is met zijde 18.
De hoogte TS = 10.
Het vlak evenwijdig aan het grondvlak op hoogte h snijdt TA in P en TS in
Ö.
Druk de lengte van PQ uit in h.
Datzelfde vlak snijdt TB in R. Druk de lengte van PR uit in h.
Welk verband bestaat er tussen de lengten van PQ en PRl
Over de top van PIRAMIDE laat men horizontaal een dunne ring zak-
ken met een diameter van 10.
Op welke hoogte blijft die ring liggen?
>a
>b
>c
>d
10
de trappenpiramide van D|osei te Sakkara
Van PIRAMIDE is het grondvlak ABCD
een vierkant met zijde 16. De hoogte TS = 8.
De zijde van het vierkant op hoogte h
heeft een lengte van 16 - 2/i.
De vierkanten op hoogten h = 2, h =4,
h = 6 vormen de bovenkanten van de
bouwlagen van een trappenpiramide
11.
^^^S'?^
>a Bereken de totale inhoud van de trappenpiramide.
>b Het antwoord van >a is te beschouwen als een zeer ruwe benadering
van de inhoud van de piramide. Hoe kan dat antwoord worden ver-
beterd?
-ocr page 40-
35-
5 Inhouden van piramiden
1, In de kubus ABCD.EFGH met ribbe a zijn de vier lichaamsdiagonalen
getekend. Zo is te zien dat de kubus kan worden opgebouwd uit een aan-
tal regelmatige vierzijdige piramiden met hoogte -jfl en grondvlaksribbe a.
Eén van die piramiden is T.ABCD.
> Druk de inhoud van T.ABCD uit in a.
H
E
^-^ i\ F^.^<^
a
* • *
*••> *• / .'"
•* • J « •
y' D X.......\_
***^
• • • *
^^^^a
De inhoud van de piramide met bijzondere afmetingen uit opgave 1 is dus via
een ruimtelijke legpuzzel te berekenen. Er bestaan verschillende van deze puz-
zels.
Hier is er nog één.
10.
2. >a Bereken de inhoud van deze piramide.
PQRS is een vierkant met zijde 10.
TS staat loodrecht op PQRS en heeft de lengte 10.
>b Wat wordt het antwoord als 10 vervangen wordt door j:?
Het is echter lang niet voor elke piramide mogelijk om op een dergelijke
manier de inhoud te vinden.
Daarom is een geheel andere aanpak nodig om tot een 'inhoudsformule' voor
de piramide te komen.
-ocr page 41-
36
In paragraaf 4 heb je gezien hoe een piramide kan ontstaan, door een veelhoek
al krimpend te verschuiven langs een rechte lijn.
Als dit proces van krimpen en verschuiven met 'horten en stoten' verloopt,
ontstaat een zogenaamde 'trappenpiramide' zoals op reclameplaat.
De trappenpiramide is een stapeling van dunnen plakjes die elk de vorm van
een recht prisma hebben.
De som van die inhouden van alle plakjes is een benadering van de inhoud van
de 'echte' piramide.
Als de trappenpiramide een 'buitentrap' is, is de benadering te groot, bij een
'binnentrap' is de benadering te klein, zoals deze illustratie voor een vierzijdige
piramide laat zien.
-ocr page 42-
-37-
dwarsdoorsnede van
piramide met binnentrap
dwarsdoorsnede van
piramidetrap met buitentrap
/p
^ i\
/1*n
t "tXv
/ 1*"^ *
-1'~^'(\
/Ê--.ÏA'
.■•.••.•^vJK
/(»4J«.T.ï
LSi""-.''f^|\
^|»*n.n?v-V>; f*c;J.-r.?r^*l\
/lS?:fyi^A>f
'^t3'.'"-"ll\
/y»>i»s-'f*-i^
Xf/Ci^*-*^--'^
/|W.*tV>-»M^iW
r<«.:XVo:'.-iir;f-.\K
/|i'>s\'n".>vN>"^'i=
<V--K*;Vt..an.'Vo5K
/|ï*»Vü.yivxi *."/.» ivi
ï»'.5»:w--.t .•«.? tó'v^4fl\
Vc^
.'j-'^
^■.•;r
IM--./^
.v».-c>y
IP^v'''0.-\.-'
CX.'-'-.--^
::...-..•-. .\
ar.'- - < -• •
pi'-:,:.-.-»^" •.-'«..
e/- : : 't. • . i
.•c: ;■••■-•-.-..■>..•'^
Kv-N.;-'.U-V."-.->.
.'."'L •\.N.\. ".:>q
1^.-:-'•.-■.'. :.-TvV*-.
... . • > ■. V . . \kl
3. Volgens opgave 2. is de inhoud van de piramide T.PQRS in de kubus met
ribbe 10 gelijk aan 333-|.
Reken na dat bij een verdeling van de hoogte TS in tien gelijke stuk-
jes, de inhoud van de buitentrap gelijk aan 385 en van de binnentrap
gelijk aan 285 is.
Door de plakjes van de trappenpiramide dunner te maken wordt de inhoud van
de echte piramide beter benaderd.
Met een computer is de inhoud van buitentrap en binnentrap berekend bij de
piramide van opgave 2. Daarbij is de hoogte achtereenvolgens verdeeld in 100,
1000, 10000 en 100000 stukjes.
Aantal stukjes
Dikte van een
Inhoud buiten-
Inhoud binnen
waarin hoogte is
plakje
trap
trap
verdeeld
100
0.01
338.35
328.35
1000
0.001
333.83
332.83
10000
0.0001
333.38
333.28
100000
0.00001
333.34
333.33
-ocr page 43-
-38-
Het resultaat laat zien dat bij een zeer fijne verdeling van de hoogte, de inhoud
van de trappenpiramide (zowel buiten als binnen) nauwelijks nog afwijkt van de
inhoud van de echte piramide. Er geldt zelfs dat de inhoud van de piramide in
elke gewenste nauwkeurigheid door de inhoud van een trappenpiramide kan
worden benaderd.
4. Piramide TABCD is in een balk geplaatst met T in het bovenvlak. Een
nieuwe piramide HABCD is ontstaan door T naar H te verschuiven.
C          A
Bij elke tussenrechthoek van TABCD hoort een tussenrechthoek van
H.ABCD op dezelfde hoogte.
>a Ga na dat de tussenrechthoeken van van T.ABCD en HABCD op
elke hoogte dezelfde afmetingen hebben.
>b Welke conclusie kun je trekken over de inhouden van beide pirami-
des?
Een overeenkomstig verhaal kan voor elke piramide, ongeacht de vorm van het
grondvlak, verteld worden.
Er geldt:
Als de top van een piramide zo verplaatst wordt dat de hoogte van een
piramide gelijk blijft, dan blijft de inhoud ook gelijk.
We kunnen dus van elke piramide overstappen op een piramide met een
opstaande ribbe loodrecht op het grondvlak. Als we kans zien daar de inhoud
van te berekenen, kunnen we elke piramide aan.
Dat wordt de volgende stap.
-ocr page 44-
39
1             "a
5. Volgens opgave 2 is de inhoud van deze piramide - h .
Anders gezegd: I = 1 h^ = \.h.h^ = j./t.G
Deze formule is alleen maar zeker voor deze speciale afmetingen.
>a Beredeneer met het plakjes verhaal dat een andere piramide met
dezelfde hoogte en met als grondvlak een veelhoek met een 2-maal zo
grote oppervlakte een inhoud heeft die ook 2-maal zo groot is.
>b Waarom geldt nu weer / = ^.h.Gl
>c Waarom geldt deze formule voor elke piramide?
Resultaat:___________________________________________________________
De inhoud van een piramide is -^ x hoogte x oppervlakte grondvlak.
Kortweg: / = \h.G
6. Het grondvlak van de piramide T.ABCD in een rechthoek die verdeeld is
in acht congruente stukjes.
De ribbe TC is verdeeld in drie gelijke delen: TE, EF en FC.
De inhoud van de piramide T.APQR = 8.
> Bereken de inhoud van achtereenvolgens: piramide T.ABCD, piramide
E.APQR en piramide F.PBSQ
-ocr page 45-
40
Van een driezijdige piramide T.ABC zijn de hoekpunten in een Oxyz-stelsel
gegeven door:
7(0,0,4); Ai5,Q,0); fi(0,6,0); C(0,0,0)
>a Bereken de inhoud van T.ABC.
>b Het punt C verschuift langs de negatieve x-as, waardoor de inhoud
van TABC toeneemt.
Bij welke positie van C is de inhoud van T.ABC gelijk aan 50?
ABCD.EFGH is een balk met ribben, 4, 6 en 12 en P is een punt op de
diagonaal HF.
>a Bereken de inhoud van de piramide PABCD.
>b Bereken de som van de inhouden van de piramiden PADHE en
PBCGF.
9. In een kubus met ribbe a is het viervlak AFCH getekend.
> Bewijs dat de inhoud van AFCH gelijk is aan -j van de inhoud van de
kubus.
(Aanwijzing: Ga na hoe het viervlak AFCH uit de kubus kan worden
verkregen door het afsnijden van piramidevormige punten).
-ocr page 46-
-41
10.   TS is de loodlijn uit de top van de piramide T.ABC op het grondvlak.
Een vlak evenwijdig aan het grondvlak snijdt de piramide volgens driehoek
DEF en de lijn TS in het punt R.
Verder is gegeven: TR = 3; RS = 5; opp. ABC = 32.
De piramiden T.DEF en T.ABC zijn gelijkvormig.
>a Hoe verhouden zich de overeenkomstige ribben TD en TAl
>b Hoe verhouden zich de oppervlakten van de grondvlakken T.DEF en
TABCl
>c Hoe verhouden zich de inhouden van T.DEF en T.ABC1
>d Hoe luiden de antwoorden op de vragen a, b, c indien gegeven:
TR=penTS = ql
11.   Een zeszijdige piramide wordt uit de top vermenigvuldigd met factor k
(k > 1).
>a Hoe verhouden zich de oppervlakten van de grondvlakken van de
kleine en de grote piramide?
>b Hoe verhouden zich de inhouden?
>c Bereken k ïn 2 decimalen nauwkeurig in het geval de inhoud van de
grote piramide precies het dubbele is van de inhoud van de kleine.
12.
Het huis op de foto heeft een zogenaamd schilddak. Twee aanzichten van
het dak zijn:
8m.
4 m.
12 m.
6 m.
>a Teken een draadmodel van het dak.
>b Bereken de inhoud van het dakgedeelte van het huis.
-ocr page 47-
-42-
6 Afgeknotte piramiden
We hebben gezien dat een piramide kan ontstaan door een geschikte combinatie
van verschuiven en inkrimpen van een veelhoek. Als dat proces voortijdig
beëindigd wordt ontstaat een lichaam dat we 'afgeknotte piramide' noemen.
De naam verwijst naar een andere ontstaanswijze: snij van een piramide met
behulp van een vlak parallel met het grondvlak het deel met de top weg.
Veel problemen over afgeknotte piramiden kunnen worden opgelost door het
topgedeelte er weer bij te nemen.
1. Van piramide TABCD is het grondvlak een rechthoek van 20 bij 15. De
hoogte TS van de piramide is 10.
Van de piramide wordt een kleine piramide afgesneden door een vlak op
hoogte 5, waardoor de afgeknotte piramide ABCD.EFGH ontstaat.
>a Hoe verhouden zich de inhouden van de kleine en de grote piramide?
Bereken de inhoud van de afgeknotte piramide.
>b Dezelfde vragen voor het geval dat de hoogte van de afgeknotte
piramide 8 is.
>c Veronderstel nu dat de hoogte van de afgeknotte piramide gelijk is
aan h.
Toon aan dat de inhoud / van de afgeknotte piramide als volgt in h
kan worden uitgedrukt:
I = 300 /i - 30 /z^ -H h^
>d Controleer de formule voor /i = 5,/i = 8,/i = 0en/i = 10.
-ocr page 48-
43-
2.     Van de afgeknotte piramide ABC.DEF zijn de hoekpunten in een Oxyz-
stelsel gegeven door:
A(4,0,0); 5(0,5,0); C(0,0,0); £)( 1,0.9); £(0,11,9); F(0,0,9).
>a AD, BE en CF snijden elkaar bij verlenging in punt T. Bepaal de
coördinaten van T.
>b Bereken de inhoud van ABC.DEF.
3.     Van de afgeknotte piramide ABC.DEF is gegeven:
Opp. ABC = 180; opp. DEF = 20
De hoogte van de afgeknotte piramide is 10.
>a Driehoek ABC kan uit driehoek DEF worden verkregen door
vermenigvuldiging vanuit een punt T met factor k. Hoe groot is kl
>b Bereken de hoogte T boven het vlak ABC.
>c Bereken de inhoud van ABC.DEF.
4.     De invoerbak van de graanmolen heeft de vorm van een afgeknotte
piramide. Op de buitenzijde van de bak staat aangegeven: 220 1.
De eigenaar van de graanmolen wil controleren of de inhoud inderdaad
220 1 is. Hij meet de zijden van de vierkanten onder en boven: (40 resp.
60 cm) en hij meet de hoogte van de bak (90 cm).
> Ga na of de inhoud van de invoerbak redelijk klopt.
-ocr page 49-
44
Bovenaanzicht van een afgeknotte piramide met vermelding van de wer-
kelijke afmetingen.
1
1
>a Laat zien dat de hoogte van de afgeknotte piramide gelijk is aan
>b Bereken de inhoud.
6. Het kan voorkomen dat een figuur bedrieglijk veel lijkt op een afgeknotte
piramide, maar het niet is.
Voorbeeld:
>a Hoe kun je aan de afmetingen van grond- en bovenvlak onmiddellijk
zien dat dit geen afgeknotte piramide is?
>b Teken nauwkeurig een bovenaanzicht van het lichaam en controleer in
de tekening dat AE, BF, CG en DH bij verlenging niet door één punt
gaan.
De inhoud van ABCD.EFGH kan worden gevonden door het lichaam te
verdelen in geschikte stukken, waarvan de inhoud kan worden bepaald.
>c Verdeel het lichaam in één balk, 4 driezijdige prisma's en 4 vier-
zijdige piramiden.
Geef die verdeling aan in het bovenaanzicht.
>d Bereken de inhoud van elk van die delen en bereken tenslotte de
inhoud van ABCD.EFGH.
-ocr page 50-
45
7. De binnenmaten van de hier afgebeelde afvalcontainer zijn als volgt:
boven         125 bij 70 cm
bodem 100 bij 50 cm
diepte 60 cm
>a Geef een schatting van de inhoud van de container in liters.
>b Onderzoek of de container een afgeknotte piramide is.
>c Bereken nauwkeurig de inhoud van 1.
-ocr page 51-
-46-
7 Ronde lichamen
Deze mast is een prisma met veel zijden. Toch lijkt de omtrek bijna rond.
Door het aantal zijvlakken zeer groot te maken wordt de ronde vorm steeds
beter benaderd. Die benadering kan zover gaan, dat het prisma niet meer van
een cilinder te onderscheiden is.
We kunnen een cilinder beschouwen als een grensgeval van regelmatige
prisma's.
Daardoor zijn veel bijzonderheden van prisma's over te dragen op cilinders.
1. >a Hoe kan een cilinder ontstaan volgens de verschuifmethode?
>b Geef een formule voor de inhoud van een cilinder?
2. Van een cilinder is de hoogte h en de straal van de grondcirkel r.
>a Hoe groot is de oppervlakte van de cilindermantel (opgerolde
rechthoek)?
>b Hoe groot is de totale oppervlakte van de cilinder?
-ocr page 52-
-47-
In een kubus met ribbe 4 past een cilinder met de as loodrecht op het
grondvlak van de kubus en om een kubus met ribbe 4 past een cilin-
der met de as loodrecht op het grondvlak van de kubus.
Bereken de inhoud van de ruimte tussen deze cilinders.
Een cilinder kan ontstaan door een rechthoek om één van de zijden rond te
draaien.
Bij een rechthoek met breedte 2 en lengte 4 kan dat op twee manieren.
>a Is er verschil tussen de inhouden van beide cilinders?
>b En tussen de oppervlakte van de cilindermantels?
Zoals een veelzijdig prisma een benadering van een cilinder is, is een veel-
zijdige piramide een benadering van een kegel.
We beperken ons tot het gebruik van regelmatige piramiden. Daardoor krijgen
we een kegel met een cirkelvormig grondvlak en een as hier loodrecht op door
het middelpunt van de cirkel.
>a Beschrijf het ontstaan van een kegel vanuit een cirkel.
>b Beschrijf ook het ontstaan van een kegel vanuit een driehoek.
5.
-ocr page 53-
-48
Ook bij een kegel zijn weer eigenschappen over te dragen, nu afkomstig van de
piramide.
Bijvoorbeeld: Inhoud kegel = ■^- h • oppervlakte grondvlak.
Een af geknotte kegel is het 'verschil' van twee kegels.
Door een papieren kegelmantel langs een lijn door de top open te
snijden, kan die mantel plat gelegd worden.
Verklaar waarom het resultaat een cirkelsector is.
Hoe groot is de oppervlakte van de kegelmantel als de hoogte gelijk
is aan 8 en de straal van de grondcirkel gelijk is aan 6?
>a
>b
Door korrelig materiaal te storten kan een kegel ontstaan. De vorm daar-
van is afhankelijk van het materiaal en de vochtigheid van dat materiaal.
De vorm van de kegel is aan te geven met de hellingshoek.
hellingshoek
>a Maak een schatting van de hellingshoek van de stortkegel op de
voorgrond en bereken de hoogte en de diameter als de inhoud
ongeveer 200m^ is.
4 meter
>b De hellingshoek van de stortkegel is 35°. De stortpijp kan niet hoger
worden ingesteld dan 4 m.
Bereken de maximale hoeveelheid die gestort kan worden.
-ocr page 54-
-49
Wat voor lichaam ontstaat er als een cirkel om een middellijn wordt rond-
gedraaid?
EIbow pitch
Shoulder
pitch
Wrist
pitch
Wrist
yaw
figuur 2
figuur J
Dit is een sterk vereenvoudigde weergave van de arm van een
industrierobot, met de bewegingen die kunnen worden uitgevoerd.
Van belang is de positie in de ruimte van de stip op het uiteinde van de
arm. Daar kun je bijvoorbeeld een grijper denken. Alle punten waar die
grijper kan komen vormen samen de werkruimte.
>a Welke vorm heeft de werkruimte?
>b Welke vormen hebben de werkruimten van de robots in de figuren 3,
4 en 5?
figuur 4
figuur 3
figuur 5
-ocr page 55-
50-
8 Keuze opgaven
Voor speciale toepassingen bestaan er speciale methoden om ruimtelijke objec-
ten te analyseren en te beschrijven.
In dit hoofdstuk worden enkele voorbeelden behandeld.
Een lichaam als combinatie van andere lichamen:
Een taak van 'kunstmatige intelligentie' is het herkennen van soms zeer
ingewikkelde lichamen. Daarvoor worden zulke lichamen op een bepaalde
manier ontleed.
Voorbeeld
+ betekent de samenvoeging van twee lichamen.
- betekent het ene lichaam (r) uit het andere lichaam (/) halen.
(Bijvoorbeeld een gat maken, een deel wegschaven.)
De eindvormen zijn dus materiële lichamen of denkbeeldige lichamen (holten).
Omgekeerd kan zo'n ontleding weer helpen bij de beschrijving van het
fabricageproces van zo'n ingewikkeld lichaam.
1. > De eindvormen van de ontleding zijn piramiden en balken in verschil-
lende maten.
Maak de onüeding van deze ANWB-paddestoel.           /èm^;^
> Maak van dit lichaam een ontleding in balken.
(Met de rondingen in het onderste gedeelte
hoefje geen rekening te houden.)
-ocr page 56-
-51 -
1--------------
a
b
De hoofdvorm van dit onderdeel is op verschillende manieren te ontleden
in cilinders.
> Geef die ontledingen volgens de getekende bomen en schrijf de maten
van de gebruikte cilinders erbij, bijvoorbeeld:
4. Dit is de ontleding van een lichaam met negen zijvlakken.
3                                 15                                   5
'recht'driezijdig prisma                  balk                  recht driezijdig prisma
'recht' wil zeggen dat de opstaande ribbe loodrecht staat op het grondvlak.
>a Bereken de inhoud van dat lichaam.
>b Teken twee lichamen die bij deze ontleding passen.
-ocr page 57-
52
5.
Tecmedia
Dit embleem van een firma bestaat uit drie T's. We kunnen ons voorstel-
len dat dit de afbeelding is van een ruimtelijke figuur die is opgebouwd uit
drie houten T's. Het geheel zou dan in de kubus ABCDEFGH passen.
Deze opgave gaat over die ruimtelijke voorstelling.
>a
De T's zijn door een paar rotaties uit elkaar te verkrijgen.
Welke rotaties zijn dat? (Assen en draaiboeken.)
>b Van het zijvlak ABFE is deze tekening te maken.
A
B
Laat zien dat de vlakken BCGF en EFGH dezelfde opbouw hebben.
Een voor de hand liggende vraag is, of de niet-zichtbare zijvlakken
dezelfde opbouw hebben als de zichtbare.
Los dat probleem op door tekeningen te maken van CDHG, DAEH en
ABCD.
Los hetzelfde probleem op zonder die tekeningen, maar met behulp
van telling van de kleine vierkantjes.
>c
>d
-ocr page 58-
-53-
Simon Stevin (1548-1620) was een Nederlander die zich op veel gebieden
verdienstelijk heeft gemaakt. Om eens een paar te noemen: wiskunde (uit-
vinding van kommabreuken); waterbouwkunde; taalkunde (hij vond het
Nederlands zeer geschikt als taal voor de wetenschap; voerde veel nieuwe
termen in, zoals wiskunde en meetkunde; in oeroude tijden, toen de men-
sen nog wijs waren, werd volgens hem uiteraard Nederlands gesproken).
In de wiskunde was al vanaf de Oudheid studie gemaakt van de regel-
matige veelvlakken; lichamen die congraente zijvlakken hebben. Stevin
bracht daar enige variatie in: de halfregelmatige veelvlakken.
Hier staat de uitslag van zo'n lichaam. (Hij schreef toen nog Latijn.)
Diftitidio IJ.
Difpottatttifr yt infra pro truncMo OÜoedro per Uutrum mtdU^ [t)c
Htudrata, & oHo triangulif fuorum fngul* lattra ttnuaüé fint rtÜn q.
>a Geef in de figuur op het werkblad de ribben die op elkaar aansluiten
met hetzelfde symbool (bijvoorbeeld een cijfer) aan.
>b Probeer een tekening van het lichaam te maken.
-ocr page 59-
-54
7. Door een rechthoek langs een lijn te verschuiven en daarbij gelijkmatig te
roteren, kan het middenstuk van dit object ontstaan.
DU vraagstuk gaat alleen over dit middenstuk.
ELECTRONIC
WAVE eUIDE
>a Hieronder zie je de rechthoek in de beginstand.
Teken in het vooraanzicht op het werkblad de rechthoek in de
eindstand.
Teken ook de 25e rechthoek (neem aan dat er 75 rechthoeken zijn).
D
B
B
D
bovenaanzicht
vooraanzicht
>b Past dit lichaam precies in een cilinder?
>c Teken in het bovenaanzicht op het werkblad de baan van A.
>d Het is mogelijk door het lichaam heen te kijken, maar de opening is
natuurlijk niet rechthoekig. Teken die opening.
>e De afstand tussen de eerste en de laatste rechthoek is 10. Probeer de
inhoud van het lichaam te berekenen. Verklaar je methode.