|
DIFFERENTIEREN
(EEN MANIER OM VERANDERINGEN BIJ TE HOUDEN)
|
||||||||||
|
■^V^'ï^"' -^Sfesiei
|
||||||||||
|
m$---.
|
||||||||||
|
4 ' '* "tr^*
|
||||||||||
|
wiskunde B
|
||||||||||
|
DIFFERENTIEREN
EEN MANIER OM
VERANDERINGEN
BU TE HOUDEN
|
|||||
|
Hawex - Wiskunde B
|
|||||
|
DIFFERENTffiREN
Een produktie ten behoeve van het project hawex.
Ontwerper: Martin Kindt
Met medewerking van: Christiane Hauchart
Henk van der Kooy Jan de Lange Martin van Reeuwijk Anton Roodhardt Vormgeving: Ada Ritzer
© 1989: 3e versie
Utrecht, mei 1989 |
||||
|
Inhoudsopgave
1. Verandering en snelheid............................................................................. 1
2. Berekening van hellingfuncties .................................................................. 7
3. Het differentieren van machtsfuncties ....................................................... 15
4. Plus en maal een constante ........................................................................21
5. Veeltermfuncties .........................................................................................26
6. Grafieken tekenen .......................................................................................31
7. Snelheid en versnelling ..............................................................................39
8. Hol en Bol ..................................................................................................44
9. Inhoud en oppervlakte ................................................................................48
|
||||
|
-1 -
|
||||||||||
|
1 Verandering en snelheid
Heer Bommel was danig uit zijn humeur. Het verkeer in Rommeldam had hem
veel oponthoud bezorgd en toen hij zich buiten de bebouwde kom waande, trapte hij het gaspedaal geheel in, zodat de Oude Schicht gierend over de weg vloog. Helaas ontging het hem dat hij zich op een weg bevond waar snel- heidsbeperking geboden was en dat wreekte zich. Want daar naderde de commissaris van politie reeds op een brullende motor en stak een hand op. |
||||||||||
|
'Hebt u zo'n haast, huh?' vroeg Bulle Bas, een notitieboekje trekkend.
'Hebt u de borden niet gezien? Kunt u niet lezen?'
'Maar ik reed niet te snel!' riep heer Bommel op piepende toon. 'In het
afgelopen kwartier heb ik niet meer dan 10 km gereden, dat is dus 40 km per
uur'.
1. Inderdaad wees de dagteller in de Oude Schicht 10 km aan.
Maar meer informatie over Bommel's autoritje geeft onderstaande grafiek.
>a Wat zou Bulle Bas hebben geantwoord op het verweer van heer Bom-
mel? >b Stel je voor dat heer Bommel gelijk zou hebben. Hoe zou die grafiek
er dan hebben uitgezien? |
||||||||||
|
Stand dagteller
km |
||||||||||
|
15 tijd(min)
|
||||||||||
|
2-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In de gemeente Rommeldam zijn de boetes bij overtreding van de snelheidswet
niet mals. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Bekijk de grafiek op blz. 1 van Bommels autoritje. Het aangekruiste punt
geeft het moment (en de plaats) aan waar Bommels overtreding geconsta- teerd werd. >a Hoeveel boete moest Bommel betalen?
>b Tom Poes die naast Bommel in de auto zat beweerde later nog dat zij
bijna de helft van de weg te snel hadden gereden.
Ben je het daarmee eens? Leg eens uit.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3-
|
|||||||||||||||||||||||
|
3. Op een heldere dag in mei werd in De Bilt 's nachts om 05.00 uur de
minimumtemperatuur van 2° C gemeten. Overdag liep de temperatuur snel op tot 18° C. Dit maximum werd bereikt omstreeks 15.00 uur. >a Hieronder staan drie grafieken.
Welke grafiek geeft naar jouw oordeel het beste het temperatuurver-
loop van die dag weer? |
|||||||||||||||||||||||
|
20
16 12 |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
0.00 4.00 8.00 12.00 1600 20.00 24.00
|
|||||||||||||||||||||||
|
II
|
|||||||||||||||||||||||
|
20
16 12
|
|||||||||||||||||||||||
|
0.00 4.00 8.00 12.00 16.00 20.00 24.00
|
|||||||||||||||||||||||
|
III
|
|||||||||||||||||||||||
|
20
16 12 |
|||||||||||||||||||||||
|
■.—■■■I.. ■.....^1......1................II»............^i<rr »««»—■■«^ Mi»»M»Éi I
|
|||||||||||||||||||||||
|
12.00 16.00 20.00 24.00
|
|||||||||||||||||||||||
|
0.00 4.00
|
8.00
|
||||||||||||||||||||||
|
>b De temperatuur T (in ° C) is een functie van de tijd t (in uren).
Bereken —— voor de periode van 5 uur 's morgens tot 3 uur 's mid-
dags. Wat is de betekenis van dit getal? >c Rond welk uur van de dag stijgt de temperatuur het snelst?
|
|||||||||||||||||||||||
|
4-
|
||||||||||||||||||||
|
4. In het boekje Hellingen is de grafiek van de Intercity Arnhem-Utrecht
bekeken. Een stukje van die grafiek is hieronder enigszins vergroot weergegeven. |
||||||||||||||||||||
|
Maarn 38 .S^iiït^^
|
||||||||||||||||||||
|
Veenen- 24 •
daal |
||||||||||||||||||||
|
EdeW. 17 .-
|
||||||||||||||||||||
|
Wolf
heze Ooster-
beek Arnhem O |
||||||||||||||||||||
|
15.00
|
15.10
|
|||||||||||||||||||
|
14.50
|
||||||||||||||||||||
|
14.40
|
||||||||||||||||||||
|
>a Waar aan kun je zien dat er in die grafiek geen rekening is gehouden
met het optrekken en afremmen van de trein?
>b De tijd die de trein nodig heeft om de maximale snelheid van 120 km/u te halen is ongeveer 2 minuten. Het afremmen van de trein
vergt minder tijd, ongeveer 1 minuut.
Probeer met behulp van deze gegevens de grafiek te verbeteren.
|
||||||||||||||||||||
|
5. De helling van de hoekige treingrafiek (in opgave 4) is uitgezet in een gra-
fiek. |
|||||||||||||||||
|
14.50
|
15.00
|
15.10 tijd
|
|||||||||||||||
|
14.40
|
|||||||||||||||||
|
>a Teken zelf een hellinggrafiek bij de verbeterde treingrafiek.
>b Wat is de betekenis van de hellinggrafiek in dit geval? 6. De groei van een zonnebloem in beeld gebracht.
|
|||||||||||||||||
|
•► T
01 234 5678 9 10 11 12 WEKEN
|
|||||||||||||||||
|
>a In welke week groeit de zonnebloemen het snelst?
>b Teken de hellinggrafiek bij de zonnebloemgrafiek. >c Wat stelt de hellinggrafiek voor in dit geval? |
|||||||||||||||||
|
-6
|
||||||
|
TERUGBLIK
Hellingfuncties spelen een rol bij veranderingprocessen, zoals:
— voortbeweging van een voertuig (verandering van plaats)
— verhitting van een keteltje water (verandering van temperatuur)
— stijging van het water in de Rijn (verandering van waterstand)
In deze voorbeelden kunnen plaats, temperatuur en waterstand worden opgevat
als functies van de tijd
De hellingfunctie is in deze voorbeelden een snelheidsfunctie:
— snelheid van voortbeweging (eenheid bijvoorbeeld km/u)
— snelheid van verhitting (eenheid bijvoorbeeld ° C/min)
— snelheid van stijging van de waterstand (eenheid bijvoorbeeld m/dag).
Opgave
Grafiek van het verloop van een griepepidemie.
G(t) = het aantal grieppatienten op het tijdstip t.
|
||||||
|
>a Op welk moment breidde de epidemie zich het sterkst uit?
>b Schets een grafiek van de hellingfunctie G' van G. Welke betekenis kan je hier aan de hellingfunctie toekennen?
|
||||||
|
-7
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 Berekening van hellingfuncties
Gegeven is de grafiek van voor
0<x < 6.
In het boekje Hellingen is de hellinggrafiek bij
deze bergparabool gevonden door de gemiddelde
stijging te berekenen over deelintervallen.
De lengte van zo'n deelinterval noemen we Ax.
Hieronder zie je de hellinggrafieken voor A jc = 1,
Ax = 0,5 en A ;c = 0,1.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De hellinggrafiek gaat bij kleiner wordende A x steeds meer lijken op een
rechte lijn. Die rechte lijn is de grafiek van de hellingfunctie (of afgeleide functie) f' van ƒ. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. > Wat is volgens de grafiek, de formule
waardoor ƒ' wordt bepaald? 4
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-5
-6 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 12 3 4 5 6
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-8
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De fonnule voor de hellingfunctie ƒ' bij f(x) = -x^ + 6x kan ook door
berekening worden gevonden.
Met een computer kan over een serie intervallen de gemiddelde stijging worden
berekend.
ïfieronder zie je een BASIC-programma dat gemiddelde stijgingen berekent in
de buurt van x = O, 1, 2, 3, 4, 5, 6.
Daarbij kan de intervallengte Ax (in het programma h genoemd) gevarieerd
worden.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De afgedrukte resultaten voor verschillende waarden van h.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. De gemiddelde stijging van ƒ in een klein interval geeft een benadering
voor de exacte waarde van de hellingscoëfficiënt. >a Bekijk de gemiddelde stijgingen van f(x)= -x^ + 6x die door de
computer zijn berekend.
Maak een tabel van de (exacte) hellingscoëfficiënt voor j: = 0,1...,6.
>b Controleer je resultaat in de grafiek bij opgave 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De berekening van de computer kan worden beschreven met algebra.
De gemiddelde stijging van ƒ op een interval [x, x + h] is gelijk aan: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ay =f(x+h)'f(x)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ax = A
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- -^ =-2x +6- h.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. >a Werk f (x+h) uit en controleer dat het verschil f (x+h) - f (x) gelijk
is aan -2hx + 6h - h^. >b Controleer ook de berekening van de gemiddelde stijging —^. >c Voor h kan achtereenvolgens 0,01; 0,001; 0,0001; enz. worden geko-
zen. Welke uitkomst wordt door de gemiddelde stijgingen benaderd? Uit opgave 3 kan worden geconcludeerd:
Bij de functie ƒ (j:) =-x^ + dx hoort de hellingfunctie f'(x) = - lx + 6.
Opmerking:
De gemiddelde stijging —^ =
(= verschillen) en wordt daarom dijferentiequotïènt genoemd.
Als Ajc (of /j) een klein getal is, geeft —^ een benadering voor de exacte
waarde van de hellingscoëfficiënt van de grafiek (en dus van de raaklijn!)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. Gegeven is de functie f (x) = ^x^ + 2.
>a Bereken de differentie f (x+h) - f (x).
>b Bereken het differentiequotiënt
voor h = 0,03; 0,003; 0,0003.
>c Verklaar uit >b dat geldt: f'(x) = ^x >d Teken de grafieken van ƒ en ƒ' naast elkaar.
>e De grafiek van ƒ snijdt de y -as in (0,2). Hoe groot is de hellingscoëfficiënt van de grafiek in dat punt?
>f De grafiek van ƒ snijdt de horizontale lijn door (0,5) in de punten A enfi.
Bereken de hellingscoëfficiënt van de grafiek in elk van die punten.
>g Teken de raaklijnen in A en 5 aan de grafiek van ƒ. In welk punt snijden die elkaar?
De methode om via
willekeurige kwadratische functie worden toegepast:
Het resultaat is: Als f(x) = ax^ + bx + c, dan f'{x) = lax + b
5. > Controleer of deze regel klopt voor de functies uit de vorige opgaven,
dus voor f{x)=-x^ + 6x en voor ƒ (jc) = ^x^ + 2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Geef de formule voor de hellingfunctie ƒ' in de volgende gevallen:
>a /(x)= 10;c2 + 5x + 1 >d f {x) = x - x^
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b f {x) = 2>x'^ - 5x
|
>e /(x) = li;c2-2ljc-|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>c f{x) = \x'^-x + \% >f f{x) = 3x-5
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. De functies f tn g zijn opgebouwd uit stukjes parabool en rechte lijn.
> Teken de grafieken van de hellingfunctie ƒ' en g'. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-2-10 1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1 O 1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11
|
||||||||||||||||||||||
|
Vrije val
Uit een ballon op 320 m hoogte wordt een zandzakje geworpen.
In de tekening kun je zien, waar dat zakje zich na 1, 2, 3,
bevindt.
|
||||||||||||||||||||||
|
8 seconden
|
||||||||||||||||||||||
|
8. >a Teken een grafiek die het verband aan-
geeft tussen de tijd die het zakje onder-
weg is en de hoogte waarop het zich bevindt. (Neem op de horizontale as 1 cm voor 1
sec. en op de verticale as 1 cm voor 20 m.) >b Hoe kun je in die grafiek zien dat het zakje steeds sneller valt? Bij een vrije val letten we meestal op de valweg
(= gevallen afstand) als functie van de tijd. 9. >a Teken de grafiek van die functie.
Via experimenten is komen vast te staan dat
de valweg s als functie van de tijd t bij bena- dering gegeven wordt door de formule: s =5t^
>h Hoe kun je nu de hoogte h van het zakje
als functie van t met een formule beschrijven? Precies 1 sec. na het loslaten van het eerste zakje
laat men een tweede zakje uit de ballon vallen. |
||||||||||||||||||||||
|
jS sec
|
||||||||||||||||||||||
|
j4 sec
|
||||||||||||||||||||||
|
200 m :':
|
||||||||||||||||||||||
|
,5 sec
|
||||||||||||||||||||||
|
,6 sec
|
||||||||||||||||||||||
|
10. >a
|
||||||||||||||||||||||
|
Teken in de figuur bij 9a de grafiek van
de valweg van het tweede zakje als func- tie van de tijd. Hoeveel seconden later dan het eerste
zakje bereikt het tweede zakje de grond? Teken de grafiek van het hoogteverschil tussen de twee zakjes als functie van de tijd, op het tijdsinterval van 1 tot en met 8 seconden. |
||||||||||||||||||||||
|
100 m '■[
|
||||||||||||||||||||||
|
>b
|
||||||||||||||||||||||
|
,7 sec
|
||||||||||||||||||||||
|
>c
|
||||||||||||||||||||||
|
t,g sec
|
||||||||||||||||||||||
|
- 12-
|
|||||||||||||||||||||
|
De beroemde Italiaanse astronoom en natuurkundige Galilei ontdekte omstreeks het jaar 1585
de formule die de ongeremde val op aarde (de zogenaamde vrije val) beschrijft. Die formule luidt zoals op blz. Il: S = 5t . De constante 5 in de formule is door afronding verkregen (vaak werkt men met het meer nauwkeurige getal 4,9). Galillei deed zijn ontdekking langs proefondervindelijke weg. Het verhaal zegt dat hij zijn proeven deed met kleine kanonskogels die hij liet vallen van de scheve toren van Pisa. |
|||||||||||||||||||||
|
t= 2
|
|||||||||||||||||||||
|
5 = 1,25
|
|||||||||||||||||||||
|
/= 1
|
|||||||||||||||||||||
|
5= 5
|
|||||||||||||||||||||
|
t = U
|
|||||||||||||||||||||
|
5= 11,25
|
|||||||||||||||||||||
|
5 = 5 r
|
|||||||||||||||||||||
|
t = 2
|
|||||||||||||||||||||
|
■s = 20
|
|||||||||||||||||||||
|
t= l\
|
|||||||||||||||||||||
|
.5= 31,25
|
|||||||||||||||||||||
|
Bij de functie s{t) = 5t^ hoort de hellingfunctie s'it) = lOt.
In hoofdstuk 1 heb je gezien dat de hellingfunctie bij een tijd-afstand-functie de
bijbehorende tijd-snelheidsfunctie is.
Omdat de snelheid meestal wordt genoteerd met de letter v, geldt voor de vrije
val:
V = lOf
Men noemt dit de formule voor de valsnelheid.
|
|||||||||||||||||||||
|
13
|
|||||||
|
11. > Met welke snelheid treft het zandzakje uit de vorige opgaven de
grond?
12. > Als in de formule voor de vrije val gewerkt wordt met de constante
4,9, wat is dan de bijbehorende formule voor de valsnelheid?
13. De valsnelheid v bij vrije val kan ook worden uitgedrukt in de valweg s.
>a Welke formule levert dat op?
(Aanwijzing: gebruik de formules s = 5f^ en v = lOt en druk eerst t
uit in s.)
>b Teken de grafiek van v als functie van s. |
|||||||
|
De foto toont een parachutiste in de zogenaamde kruishouding. In die houding ondervindt zij
een maximale luchtweerstand, waardoor de valsnelheid niet hoger wordt dan zo'n 200 km/u. Als de parachutiste ca 800 m boven de aarde is, wordt het hoog tijd om de parachute te ope- nen. Volgens de veiligheidsvoorschriften moet de parachute open zijn op 600 m afstand van de aarde! Om dit in de gaten te kunnen houden heeft zij een hoogtemeter aan de pols. 14. Lees de tekst bij de foto.
Veronderstel dat de parachutiste aanvankelijk een vrije val maakt en dat zij
na het bereiken van de maximale snelheid in de kruishouding nog een poosje blijft vallen zonder de parachute te openen. >a Schets de grafieken van zowel de valweg als de valsnelheid als func-
tie van de tijd voor de eerste 10 seconden van de val zonder parachute. >b Stel dat de parachutiste al na 10 seconden de parachute opentrekt.
Daardoor wordt zij afgeremd tot een snelheid van 30 km/u. Hoe kun je de grafieken van valweg en valsnelheid voortzetten? |
|||||||
|
- 14
|
|||||||
|
TERUGBLIK
De (exacte) hellingscoëfficiënt in een punt van een grafiek, kan worden bena-
derd door de 'gemiddelde stijging' in een klein interval. De gemiddelde stijging van de functie ƒ op het interval [x, x + h] is gelijk
aan: AZ ^ fix+h)-f{x)
Ax h Dit quotiënt wordt ook wel dijferentiequotient genoemd.
Door nu te onderzoeken tot welke uitkomst ^-^—-—LHJ. nadert als h zeer
h
klein genomen wordt, kan men ƒ' {x) bepalen.
Bij een kwadratische functie f (x) = ax^ + bx + c levert dat op:
f'(x) = lax +b. Het vinden van de hellingfunctie bij een door een formule gegeven functie ƒ
wordt differentieren genoemd. |
|||||||
|
Opgave
De hoogte s van een vuurpijl die recht omhoog wordt geschoten voldoet aan de
formule s{t) = 60r - 5t^ {t is de tijd in seconden, verstreken na het afschie- ten). >a Geef de formule van s'(t).
>b Wat is de betekenis van s' {t)?
>c Zolang s' (t) positief is, gaat de pijl omhoog.
Wanneer bereikt de pijl zijn hoogste punt? Hoe hoog is dat?
|
|||||||
|
- 15
|
|||||||
|
3 Het differentieren van machtsfuncties
1. Met een computer zijn de grafieken getekend van de functies
f(x) =x, x^, x^, ...,x^^ op het interval [-1;!]. Kortom van ƒ (x) = x"^ voor « = 1, 2, ..., 10. |
|||||||
|
>a Er zijn twee punten, namelijk (0,0) en (1,1) die op alle tien grafieken
liggen. Verklaar dat door een berekening.
>b Verklaar ook waarom vijf grafieken door (-1,1) en vijf door (-1,-1) gaan.
>c Neem een velletje doorschijnend papier en trek de grafiek over van f(x)=x^^.
>d Dezelfde opdracht voor f (x) =x^. De functies waarvan je hierboven de grafieken ziet, zijn machtsfuncties.
In dit hoofdstuk leer je hoe je een hellingsfunctie kunt differentiëren, dat wil
zeggen: hoe je de hellingfunctie bij een machtsfunctie kunt bepalen.
|
|||||||
|
16
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
2. De raaklijnmethode
Gegeven is de functie fix)= x^.
>a Neem onderstaande tabel over en vul in:
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
-2
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
-1
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
O
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
1
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
>b Teken de grafiek van de functie voor -5 <x < 5.
Kies daarbij de schaalverdeling zo dat je horizontaal 10 cm en ver-
ticaal 25 cm nodig hebt. >c Bepaal zo goed mogelijk met de raaklij nmethode de
hellingscoëfficiënt van de grafiek in de punten met x =0, 1, 2, 3, 4 (Denk er aan dat de schaal op de >'-as 10 keer zo klein is als de schaal op de x -as). >d Neem de tabel over en vul de geschatte hellingscoëfficiënt in.
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
-1
|
-2
|
-3
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
-4
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
hc
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
>e Schets de hellinggrafiek bij ƒ.
Neem weer de schaal op de verticale as 10 keer zo klein als op de
horizontale as. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
3. De rekenmethode
Bekijk opnieuw de functie f (x) = x^.
Als je de hellingscoëfficiënt in x = 1 wilt berekenen, kun je een klein
interval kiezen in de buurt van jc = 1 en met je rekenmachientje het differentiequotiënt op dat interval (= de gemiddelde stijging) bepalen. >a Neem het interval [1;1,01].
Bereken de gemiddelde stijging van ƒ op dit interval.
>b Doe hetzelfde voor het interval [0,99; 1]. Uit >a en >b zou je kunnen vermoeden dat de hellingscoëfficiënt van de
grafiek in het punt met x = l gelijk is aan 3. Een meer nauwkeurige benadering van die hellingscoëfficiënt kun je krij-
gen door een klein interval aan weerszijden van x = l kiezen. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
Bereken het differentiequotiënt van ƒ over het interval [0,99; 1,01].
Pas op: de intervallengte is nu 0,2. Gebruik de laatste methode om ook de hellingscoëfficiënt van de gra-
fiek te schatten in de punten met x = 2 en a: =4. Vergelijk je uitkomsten met die van opgave 2. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
>c
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
>d
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
- 17-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In hoofdstuk 2 heb je gezien hoe met een computer in één klap een hele serie
hellingscoëfficiënten worden berekend. Daarbij kan de nauwkeurigheid ver- beterd worden door de intervallen kleiner te maken. Hieronder zie je een BASIC-programma dat hellingscoëfficiënten berekent voor
f {x) = x^ en waarbij de intervallengte {= h) gevarieerd kan worden. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De afgedrukte resultaten voor verschillende waarden van h:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Uit de tabel kun je zien dat de exacte hellingscoëfficiënten van de grafiek
van f (x) = jc-^ in de punten met x = O, 1, 2, ... 10 achtereenvolgens gelijk zijn aan O, 3, 12, ..., 300. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Weet je nu ook de exacte hellingscoëfficiënten in de punten met
X = -1, -2, ..., -10?
De hellingfunctie f' is een kwadratische functie.
Door welke formule wordt ƒ' bepaald?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Later zullen we bewijzen:
Bij elke machtsfunctie hoort een hellingfunctie van een graad die 1 lager is dan
de graad van de oorspronkelijke functie. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- 18-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Computerplaatje van de grafiek van ƒ (x) = j:'* op het interval [-10; 10].
De schaalverdeling op de y -as is om begrijpelijke redenen aangepast. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Het lijkt er op of de grafiek
van ƒ tussen pakweg -3 en 3 horizontaal is. Verklaar waarom schijn bedriegt. >b De grafiek van ƒ is natuurlijk
symmetrisch. Waarom is dat zo natuurlijk? >c Bereken het differentie-
quotiënt van ƒ in een klein interval om j: = 1. Ook om X =2. >d De hellingfunctie ƒ' is van de
vorm: f'{x) = ax^. Bepaal a. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10000
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5000-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-5000--
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-10000
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-10
|
-5
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Van de eerste vier machtsfuncties weet je nu de hellingfunctie:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Je mag aannemen dat de begonnen regelmaat zich voortzet.
Neem de tabel over en vul in: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f'ix)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fjx)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
.10
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Opmerking:
Je kunt de resultaten van opgave 6 controleren met behulp van het programma VU-GRAFIEK.
Op het menu van dat programma staat onder punt 4: differentiëren.
Via het differentiequotiënt produceert het programma een benaderende hellinggrafiek (in het
programma 'differentiekromme' genoemd). Door de 'afgeleide functie' op te geven, kun je
controleren of je vermoeden juist is.
7. >a Wat zal de hellingfunctie zijn van f {x) = x^^^^?
>b En in het algemeen van ƒ (x) = j:" {n positief geheel)?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-19-
|
|||||||
|
8. Teken de grafiek van ƒ (jc) = x^ op het interval [0,1]. (Neem langs beide
assen de eenheid 5 cm.) P is het punt (\.^), Q is het punt (1,1).
Gebruik bij de beantwoording van de volgende vragen de hellingfunctie
van/.
>a Hoe groot is de hellingscoëfficiënt van de grafiek van ƒ in het punt
F? En hoe groot is de hellingshoek van de grafiek in dat punt? (Controleer je uitkomst in de figuur!) >b Hoe groot is de hellingshoek van de grafiek van ƒ in het punt Q ?
>c In het punt P is de hellingshoek kleiner dan 45°, in Q is de hel-
lingshoek groter dan 45°. Ergens tussen deze punten is er een punt op de grafiek waarin de hel-
lingshoek van de grafiek precies gelijk is aan 45°. Bereken de coördinaten van dat punt in twee decimalen nauwkeurig. 9. Hieronder zie je de grafiek van f (x) = x^ (I) en van f(x) = x^ (11) op het
interval [0,1]. I 1,---------------------------------a^ n 1
|
|||||||
|
De grafieken snijden de lijn y = x onder de hoeken a en p.
De hoeken a en (3 zijn de hoeken die de raaklijnen in O en B maken met
de lijn OB.
> Bereken a en (3 in de beide gevallen.
10. >a Teken de grafiek van f (x) = x^ op het interval [-1,1] (neem de een-
heid 5 cm). >b Teken nauwkeurig de raaklijnen in de punten A(l,l) en B{-l,l) aan
de grafiek. >c Geef een vergelijking van elk van die raaklijnen.
>d In welk punt snijden die raaklijnen elkaar?
|
|||||||
|
20
|
|||||
|
TERUGBLIK
Hellingfuncties (afgeleide functies) van de machtsfuncties y = x" worden
gevonden door de graad van de functie met 1 te verlagen en de zo ontstane macht met de oorspronkelijke graad (= «) te vermenigvuldigen. Kortweg:
Als f (x) = x'', dan f (x) = n • x""^
Met deze regel ben je in staat alle machtsfuncties vlot te differentiëren. Opgaven
>a Klopt de regel ook voor « = 1?
>b Gegeven de functie f (x) = x^. Is de helling in het punt met x =2 groter of kleiner dan 1000?
Is de helling in het punt met ^ = 7 groter of kleiner dan 0,1?
|
|||||
|
-21 -
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 Plus en maal een constante
In dit hoofdstuk leer je wat er gebeurt met de hellingfunctie als bij een functie
een constante wordt opgeteld of als een functie met een constante wordt vermenigvuldigd. Aan de hand van enkele opgaven zul je de regels zelf ontdekken; die regels kun
je vervolgens toepassen bij het differentiëren. Ook bij het omgekeerde pro- bleem: hoe vind je bij een hellingfunctie de oorspronkelijke functie terug, zijn die regels erg nuttig. 1. Een goederentrein van 100 m lengte is aan het rangeren. In fig. 1 zie je
de tijd-afstand-grafiek van de locomotief. figuur 1 figuur 2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■—■■■■
s "^ tZt
-«M«
----------------------------------------
[^____I _j______
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 36
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
•g 1200
'^ 1000 800
600 400
200
O |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
•S 24
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12
O
-12
-24
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-36
|
'0123456
tijd (minuten)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O
|
3 4 5 6
tijd (minuten)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Hoe kun je in dezelfde figuur de tijd-afstand-grafiek van de laatste
wagon tekenen? >b In fig. 2 zie je de tijd-snelheid-grafiek van de locomotief. (De snel-
heid bij het achteruit-rijden is negatief gerekend.) Wat weet je van de tijd-snelheid-grafiek van de laatste wagon? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Teken in één figuur de grafieken van de functies y = x^;y = x^ + 1;
y = x-^ - 4.
>b Teken in een tweede figuur de grafieken van de hellingfucties bij deze functies.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Gegeven zijn twee functies, zeg f en g.
De functie g is gelijk aan de functie ƒ plus een constante.
>a Wat weet je van de grafieken van f en gl
>b Wat weet je van de hellinggrafieken van f tn gl
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
22-
|
||||||||||
|
4. Zoals je weet, wordt voor de vrije val op aarde vaak de formule ^ = 5r^
gebruikt. Op de maan val je zachter dan op aarde.
De valtijd-valweg-functie beantwoordt op de maan (ongeveer) aan de for-
mule: s = 0,8f 2
Een ruimtevaarder laat van 80 meter hoogte een maansteen vallen.
> Met welke snelheid ploft die op de maan?
|
||||||||||
|
^-•■^ f
|
||||||||||
|
Foto links onder: Edwin Aldrin op de maanbodem gefilmd door Neil Amstrong die als
eerste mens de maanbodem had betreden (juli 1969). Foto links boven: Het besturings- en dienstcompartement van de Apollo-16 die in 1972
op de maan landde. Foto rechts: Charles Duke met de maanauto van de Apollo-16.
|
||||||||||
|
5. Gegeven zijn twee functies, zeg ƒ en g. y
De tweede functie is tweemaal de eerste (zie figuur).
> Wat kun je zeggen over het verband tus-
sen de hellingfuncties van g en ƒ ? |
||||||||||
|
-23
|
||||||||||||||||||
|
In de opgaven 1 t/m 5 zitten twee belangrijke regels verstopt.
Regel 1:
Als bij een functie een constante wordt opgeteld, verandert de hellingfunctie
niet. |
||||||||||||||||||
|
Toelichting:
|
||||||||||||||||||
|
De toenames van ƒ en g op
elk interval (hoe klein ook) zijn gelijk. |
||||||||||||||||||
|
De grafieken van f &n g
zijn overal even steil. |
||||||||||||||||||
|
Regel 2:
|
||||||||||||||||||
|
Als een functie met een constante wordt vermenigvuldigd, wordt ook de hel-
lingfunctie met die constante vermenigvuldigd. |
||||||||||||||||||
|
Toelichting:
|
||||||||||||||||||
|
De toename van g is gelijk aan c maal
de toename van ƒ (op elk interval) |
||||||||||||||||||
|
De grafiek van g is 'c maal
zo steil' als de grafiek van/. |
||||||||||||||||||
|
->
|
||||||||||||||||||
|
-24
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. Pas de regels 1 en 2 toe en differentieer de volgende functies.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a fix) = 25x^
>b fix)=x'^ + 25 >c f{x)=x'^-lO >d fix) = - lOx^
7. Dezelfde opdracht voor:
>a fix)= 10;c^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b fix) = ilOxf >d /(x) = (|)'-l
8. Dezelfde opdracht voor:
>a f{x) = (x -l)(x + l)
>b f{x) = ix - 1) (;c + l)(x^+ 1)
>c f (X) = (x - l) (x + 1) (x^ + 1) (x^^ + 1)
>d ƒ (x) = (a; - 2) (x + 2) (^2 + 4) (jc'* + 16)
9. Van een functie ƒ is de hellingfunctie ƒ' gegeven: /'(x) = 3x^.
>a Teken een grafiek van ƒ en een grafiek van ƒ'.
>b Waarom zijn er verschillende mogelijkheden voor de grafiek van ƒ ?
10. Van een functie ƒ is de hellingfunctie ƒ' gegeven door: f'(x) = Sx^.
>a Door welke formule wordt ƒ gegeven?
>b Het is mogelijk dat alle leerlingen in je klas verschillende functies
hebben gevonden, en dat toch alle antwoorden goed zijn. Verklaar. 11. Van een functie ƒ is gegeven dat de grafiek door (0,1) gaat.
De hellingfunctie is bepaald door ƒ'(x) = Sx'^. > Welke formule past bij ƒ ?
12. > Dezelfde opdracht als 11, maar nu gaat de grafiek door (1,5) en geldt:
fix) = 15x\
13. Gegeven is de functie f (x) = 0,\x^ + 2.
>a Teken een grafiek van ƒ.
>b A is het punt op de grafiek van ƒ met x -coördinaat 2.
Teken de raaklijn aan de grafiek van ƒ in het punt A.
Geef ook een vergelijking van die raaklijn.
>c Er is één raaklijn aan de grafiek van ƒ die de raaklijn in A snijdt op de y -as. Welke raaklijn is dat?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
25-
|
|||||||||
|
TERUGBLIK
Regel voor het optellen van een constante:
Als s(x) = f (x) + c, dan s'(x) =f'(x)
Regel voor het vermenigvuldigen met een constante:
Alsi(j:)=c ■ f (x), dan s'(x) = c -f'ix)
Bij een gegeven hellingfunctie zijn oneindig veel 'oorspronkelijke' functies
(of 'primitieve' functies) te vinden. Voorbeeld: als f (x) = 2x^, dan kan gelden:
f{x) = \x\f{x) = ^x^ + 3,f(x) = -ix^ - 5, enz.
|
|||||||||
|
Kortom: f (x) = -^x + c
|
|||||||||
|
Deze formule geeft alle mogelijkheden voor ƒ.
|
|||||||||
|
Opgave
>a Differentieer ƒ (j: ) = ex" + d.
>b Gegeven ƒ'(x) = 3x^ Bepaal een formule voor alle mogelijke functies ƒ.
|
|||||||||
|
-26
|
|||||||||
|
5 Veeltermfuncties
Functies van de vorm:
f(x) = 3 + 5x +lx^
f(x)=x -x^ + lx^-^x"^ y =;c^-50
y ={x^- 1) (x^ + 1)
worden veeltermfuncties genoemd. Veeltermfuncties zijn opgebouwd met behulp van machtsfuncties.
Door een aantal machtsfuncties stuk voor stuk te vermenigvuldigen met een constante en vervolgens op te tellen, ontstaat een veeltermfunctie. De graad van een veeltermfunctie wordt bepaald door de term met de hoogste graad. De graad van de hierboven opgeschreven functies is achtereenvolgens: 2, 4, 6 en 9. Omdat je al gezien hebt hoe je de termen van een veelterm stuk voor stuk kunt
differentiëren, hoef je nog slechts te weten hoe de hellingfunctie van de som van een aantal functies wordt gevonden. 1. Een mammoet-tanker heeft een lengte van een paar honderd meter. De
grootste ter wereld is ruim 400 m lang (en ruim 60 meter breed). Aan boord van zo'n tanker kan de bemanning beschikken over 'witte' fiet- sen. |
|||||||||
|
'•^^>'<ii«i^
|
|||||||||
|
^' W^^
|
|||||||||
|
In figuur 1 zie je de tijd-afstand-grafiek van de achtersteven van een
mammoet-tanker gedurende twee minuten vaartijd. In diezelfde periode legt een bemanningslid op de fiets de afstand van
achterdek naar voordek af (zie figuur 2). |
|||||||||
|
27-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
figuur 2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
figuur 1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
800
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
800
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
400
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
400
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
60
|
120
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O
|
60
|
120
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Hoeveel meter heeft die fietser op het dek afgelegd in die twee minu-
ten? En hoeveel meter heeft hij hemelsbreed afgelegd?
>b Stel: ƒ (O = de afgelegde afstand van de fietser op het dek (na t sec);
g(f) = de afgelegde afstand van de boot op zee (na t sec.);
sis) = de afgelegde afstand hemelsbreed van de fietser (na t sec).
Welke betrekking bestaat er tussen ^(r), ƒ (r) en ^ (r)?
>c Wat stellen /'(O, ^'('). s'{t) respectievelijk voor? En welke betrekking bestaat er tussen f'{t), g'(t) en ^'(f)?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De betrekking die in l>c wordt bedoeld is de zogenaamde somregel van de
differentiaalrekening. De regel zegt dat de hellingfunctie van de som van twee functies wordt gevon-
den door de hellingfuncties op te tellen. Kort en duidelijk: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De hellingfunctie van f + g is gelijk aan ƒ' + g'.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Toelichting:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De toename van S op elk interval
is gelijk aan de toename van ƒ plus de toename van g . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De hellingscoëfficiënt van s
is overal gelijk aan de som van de hellingscoëfficiënten van f en g. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-28-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De somregel geldt vanzelfsprekend ook voor de som van meer dan twee func-
ties. Voorbeeld: s{x) = 5x^ + x'^-3x^
s'{x) = IOjc +Ax^- \%x^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. > Differentieer de volgende functies:
f(x) f(x)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x^ + 10;c
2x^ + 3x'^ -x^ + x^ -x + 2
j^ + Ax^ -t- 4 {x^ + 2)2 1990a: - 2000 x2(3:c - 5) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lv2_U3+ 1^)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X{\ - \x->r \
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
CüP- -f- ÖX + C
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. > Differentieer ook de veeltermfunctie die je op blz. 26 bent tegen-
gekomen. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Met een computer is de grafiek
getekend van
/(;c) = ^x^ + 1;c3 + Ix2-h;c.
De grafiek moet gaan door het
punt (2,6). >a Controleer dit door een
berekening. >b Bereken de hellingscoëf-
ficiënt van de grafiek in (2,6). >c Geef een vergelijking van
de raaklijn in dat punt. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
20
15 10 5 O -5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Van de functie ƒ is de hellingfunctie ƒ' gegeven door: /'(x) = 2x - 3.
De grafiek van ƒ gaat door de oorsprong. Teken de grafiek van ƒ. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
29
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Van de functie ƒ is gegeven: ƒ (3) = 2.
De hellingscoëfficiënt in het punt ix,y) is gelijk aan l - x^.
>a Bepaal de functie ƒ.
>b In welke punten heeft de grafiek van ƒ een horizontale raaklijn?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Van de parabool y = ax^ + bx + c zijn twee
raaklijnen met de bijbehorende raakpunten y (P en j2) gegeven. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Bepaal de hellingfunctie bij de parabool.
>b Teken de parabool. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
P (1,0)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(5,0)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In de figuur zijn getekend de grafieken van ƒ (x) = ^x^ en g{x)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= -X.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3
2 1 O -1 -2
-3
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-3-2-10123
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Met behulp van die grafieken ga je de grafiek van de somfunctie
s(x) =f(x) + g(x) tekenen. >a Teken de grafieken van f en g over op mm-papier.
>b Bepaal de punten van de 'somgrafiek' voor O, ^, 1, 1^, 2, --, -1, -l- - 2 >c Bereken de exacte waarden van x waarvoor geldt: s{x) = 0.
>d Bereken de coördinaten van de punten op de grafiek van s, waarin de
raaklijk horizontaal is.
>e p is de produktfunctie van f en g, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dusp(x)=f(x)-g(x) = jx"^. (-X) = -^x^.
Geldt p'{x) = f {x). g'{x)l Waarom?
>f Teken de grafiek van p. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-30-
|
|||||||
|
TERUGBLIK
Voor het differentiëren van veeltermfuncties wordt de somregel gebruikt.
Als s{x)=f(x) + g{x), dan s'{x) =f{x) + g'(,x) Uit de somregel volgt gemakkelijk ook de verschilregel:
Als v(x)=f(x)-g(x), dan v'(x)=f'ix) - g'(x).
|
|||||||
|
Opgaven
>a In hoofdstuk 2 heb je al gezien:
Als f (x) = ax^ + bx + c, dan f'(x) = 2ax + b.
Ga na dat dit in overeenstemming is met de regels.
>b Misschien heb je vroeger geleerd dat je de top van de parabool
y = ax^ + bx + c kunt vinden met x = —^. Hoe is dit te verklaren met differentiëren?
>c Vul in:
Als ƒ (x) =ax^ + bx^ + ex + d, danf(x) =.....
Als f'(x) = ax + b, dan f (x) =.....
|
|||||||
|
-31
|
||||||||||||
|
6 Grafieken tekenen
Als je de grafiek van een functie ƒ wilt tekenen, is het vaak verstandig om de
hellingfunctie ƒ' te bekijken. Met behulp van ƒ' kun je uitvinden in welke punten de hellingscoëfficiënt posi-
tief, nul of negatief is. |
||||||||||||
|
Hellingscoëfficiënt positief betekent: grafiek van ƒ stijgt
Hellingscoëfficiënt negatief betekent: grafiek van ƒ daalt Hellingscoëfficiënt nul betekent: punt met horizontale raaklijn |
||||||||||||
|
Gegeven: ƒ (;c) = ^x^ - lx + 6.
|
||||||||||||
|
>a
|
||||||||||||
|
Voor welke x geldt achtereenvolgens:
f'{x) = Q,r{x)<Q,r{x)>oi
>b In welk punt van de grafiek van ƒ is de raaklijn horizontaal?
Teken dat punt (= T) met een horizontaal stukje raaklijn.
>c Is het gedeelte van de grafiek van ƒ dat links van T ligt stijgend of dalend?
>d Teken een grafiek van ƒ. 2. Gegeven f {x) = -O.OSx^ + x + \Q.
>a Ga met behulp van ƒ' na in welke punten de hellingscoëfficiënt van
de grafiek positief, nul of negatief is.
>b Teken de grafiek van ƒ op het j:-interval [0,25]. (Kies de eenheid op beide assen ^ cm.)
>c Bereken de hoek die de grafiek van ƒ met de y -as maakt.
|
||||||||||||
|
-32-
|
|||||||||||||||||||||||
|
3. Met de computer zijn de grafieken van een drietal derdegraads functies
getekend, namelijk \m f (x) = x'^ - \2x\ g{x) = x'^; h{x) = x'^ + \2x. |
|||||||||||||||||||||||
|
40
|
|||||||||||||||||||||||
|
20
|
|||||||||||||||||||||||
|
-20
|
|||||||||||||||||||||||
|
-40
|
|||||||||||||||||||||||
|
-1
|
|||||||||||||||||||||||
|
>a Bereken de hellingfuncties ƒ', g' en h'.
>b Hoe kun je met behulp van de hellingfuncties uitmaken welke grafiek
bij ƒ, welke bij g en welke bij h hoort?
>c Neem de figuur over en teken ook de grafiek van i{x) = x^ - 6x en k{x) = x^ + (a.
4. f {x) = \x'^ - 6x^^ + 21 X.
|
|||||||||||||||||||||||
|
>a
|
Er zijn twee punten op de grafiek waarin de raaklijn horizontaal is.
|
||||||||||||||||||||||
|
Bereken de coördinaten van deze punten.
In welk(e) gebied(en) is de helling van de grafiek positief? En in
welk(e) gebied(en) negatief
(Aanwijzing: schets de hellinggrafiek van ƒ.)
Teken de grafiek van ƒ op het jc-interval [0;15].
(Neem de schaal op de j-as 10 keer zo klein als op de x-as.)
|
|||||||||||||||||||||||
|
>b
|
|||||||||||||||||||||||
|
>c
|
|||||||||||||||||||||||
|
-33
|
|||||||
|
Grafieken van tweedegraads functies hebben altijd dezelfde vorm (parabool).
Je kunt echter onderscheid maken in 'berg'- en 'dal'-parabolen. Een bergparabool heeft de eigenschap dat hij 'onder' zijn raaklijnen ligt, een dalparabool ligt 'boven' zijn raaklijnen. |
|||||||
|
In het eerste geval is de grafiek met de holle kant naar beneden, in het tweede
geval met de bolle kant.
Je zou dus ook van 'hol-parabool' en 'bol-parabool' kunnen spreken.
|
|||||||
|
Grafieken van derdegraads functies hebben meer verschijningsvormen.
In de figuren bij opgave 3 heb je er al drie gezien en daar horen ook nog drie
spiegelbeelden bij:
|
|||||||
|
34-
|
||||||||||
|
Bekijk plaatje (1).
De grafiek bestaat uit een stuk 'hol' en een stuk 'bol'.
|
||||||||||
|
Ergens moet een soort overgangspunt van hol naar bol zijn.
Dat punt wordt buigpunt genoemd. De raaklijn in zo'n punt zit links boven en rechts onder de grafiek.
Zo'n raaklijn wordt buigraaklijn genoemd. |
||||||||||
|
5. Bekijk opnieuw het plaatje bij opgave 3.
Het buigpunt van alle getekende grafieken is de oorsprong.
> Geef een vergelijking van de buigraaklijn voor elk van die grafieken.
6. Bekijk de grafiek bij opgave 4.
De 'toppen' van de grafiek van ƒ liggen in (3,36) en (9,0).
Het buigpunt ligt precies midden tussen de toppen. >a Geef een vergelijking van de buigraaklijn.
>b Het buigpunt op de grafiek van ƒ is in dat geval het punt met de
kleinste hellingscoëfficiënt.
Controleer dit.
7. Met de computer zijn de grafieken getekend van
f(x) = 200 -jc^ en k{x) = O.lx^ |
||||||||||
|
-200
|
||||||||||
|
35
|
||||||||||||||||
|
>a Lees uit de grafiek de coördinaten van het snijpunt S af en controleer
je antwoord door een berekening.
>b Geef een vergelijking van de raaklijn in S aan de grafiek van ƒ. Ook voor de raaklijn in S aan de grafiek van k.
>c De onderste grenslijn van het plaatje heeft als vergelijking y = -200. Bereken de coördinaten van de punten A,B en C.
>d Ga na dat de grafiek van k in het punt B steiler is dan de grafiek van ƒ in het het punt A.
De functie g is het gemiddelde van de functies f en k uit opgave 7, dus:
g(x) = \(f(x) + k(x)). De grafiek van g loopt midden tussen de grafieken van f en k.
Iemand heeft de grafiek van g zo getekend: |
||||||||||||||||
|
200 -
|
||||||||||||||||
|
100 -
|
||||||||||||||||
|
-100 -
|
||||||||||||||||
|
-200
|
||||||||||||||||
|
Aan de hier getekende grafiek van g is van alles mis.
|
||||||||||||||||
|
Wat is er mis met het gedeelte rechts van het snijpunt?
Moet g daar stijgen of dalen?
Bekijk het gedeelte tussen de y -as en het snijpunt.
Hoeveel punten met horizontale raaklijn moeten er op dat stuk liggen?
Welke coördinaten hebben die punten?
Waarom moet er een buigpunt zijn op dat stuk?
Verbeter de grafiek van g.
|
||||||||||||||||
|
>a
|
||||||||||||||||
|
>b
|
||||||||||||||||
|
>c
>d |
||||||||||||||||
|
36-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Gegeven zijn de vierde-graads-functies:
y = x^ - A,y =x^ - Ax,y = x^ - 4jc^ en y
Bij elke functie is een tabel gemaakt:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x^ - Ax-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y ^x^-A
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y =x^-4x
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y 24
X -2 |
O
O |
69
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y =x'^^x^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O
|
-3
|
45
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y =x^-4x-^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
48
|
O
|
-3
|
-16
|
-27
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9. Bekijk de tabel van y = x^ - 4.
Het lijkt er op of - 4 de kleinste mogelijke functiewaarde is (het minimum
van de functie). >a Hoe kun je aan de formule y = x^ - 4 zien dat dit inderdaad zo is?
>b Wat weet je van de raaklijn aan de grafiek in het punt (0,-4)?
>c Teken de grafiek van y = x^ - 4.
>d Bereken de snijpunten van de grafiek met de x -as.
10. Bekijk de tabel van y = x'^ - 4x.
Het lijkt er op dat -3 het minimum van de functie is. In dit geval is dat
niet direct aan de formule te zien! >a Hoe kun je met behulp van de hellingfunctie vaststellen dat -3 inder-
daad het minimum is? >b Teken de grafiek van y = x^ - 4x.
>c De raaklijnen in de snijpunten met de x -as snijden elkaar in P.
Bereken de coördinaten van P. 11. Bekijk de tabel van y = x^ - 4x^.
Net als in opgave 10 lijkt -3 het minimum van de functie te zijn.
>a Schijn bedriegt. Laat zien dat -3 niet het minimum kan zijn.
>b Bereken het minimum van de functie. Merk op dat dit minimum
twee keer wordt bereikt.
>c In welke gebieden is de grafiek van y = x^ - 4x^ stijgend resp. dalend?
>d Teken de grafiek van y = x'^ - 4x^. Merk op: De functie y = x^ - 4x^ bereikt 'm x = O een plaatselijk maxi-
mum (y = 0). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
37
|
||||||||||||
|
12. Bekijk de tabel van y = x - 4x .
>a Toon aan dat -27 het minimum van de functie is.
>b Teken de grafiek van y = x'^ - 'ix^. Let daarbij op het gedrag in de oorsprong!
|
||||||||||||
|
13. Van de grafieken van
_y = x'^ - 4,y ^x^ - 4x,y = x^ - 4x^ en x^ - 4x^
zijn de eerste en de derde symmetrisch ten opzichte van de y -as.
|
||||||||||||
|
> Hoe kan je dat aan de formule zien?
14. Computerplaatje van de grafiek van een vijfde-graads functie: f(X) = 0.2 X^ - 2^-^ + 5x + 2 |
||||||||||||
|
-1
|
||||||||||||
|
>a De grafiek van ƒ heeft vier punten met horizontale raaklijnen.
Twee van die punten geven een plaatselijk maximum aan.
Bereken de exacte coördinaten van die twee punten.
>b Bereken ook de exacte coördinaten van de punten die een plaatselijk minimum aangeven.
>c Laat X variëren van -2 tot 3. Welke waarden bereikt y ?
>d Hoeveel buigpunten heeft de grafiek van ƒ ? |
||||||||||||
|
-38
|
|||||||||
|
TERUGBLIK
Bij het tekenen van grafieken zijn de punten met horizontale raaklijn
(helling = 0) van bijzondere betekenis. Het zijn als het ware de 'rustpunten' in
de verandering van een functie.
Er zijn vier mogelijkheden:
|
|||||||||
|
In geval 1 is er sprake van een (plaatselijk) maximum.
In geval 2 is er sprake van een (plaatselijk) minimum.
In de gevallen 3 en 4 is het punt met helling nul een 'buigpunt'; om te
benadrukken dat het hier om een punt met horizontale raaklijn gaat, spreekt
men wel van 'horizontaal buigpunt'.
De gebieden waarin een grafiek stijgt (daalt) zijn juist de gebieden waar de hel-
lingfunctie positieve (negatieve) waarden aanneemt. Een buigpunt is een punt waarin de overgang plaats vindt van 'hol' naar 'bol'
(of omgekeerd). |
|||||||||
|
Opgave
Op blz. 32 vind je de mogelijke verschijningsvormen van grafieken bij derde-
graadsfuncties. In de plaatjes (1) en (4) op die blz. zijn er twee punten met horizontale raaklijn, in de plaatjes (2) en (5) is er één punt met horizontale raaklijn en in (3) en (6) zijn er nul punten met horizontale raaklijn. >a Wat voor soort functie is de hellingfunctie van een derde-graadsfunctie?
>b Hoe kun je verklaren dat het aantal punten met horizontale raaklijn op de grafiek van een derde-graadsfunctie, gelijk is aan O, 1 of 2. |
|||||||||
|
39-
|
|||||||||
|
7 Snelheid en versnelling
Bij de vrije val op aarde wordt de valweg s (in m) als functie van de tijd (in
sec) gegeven door de formule s = 5t . Door differentiatie vind je een formule voor de snelheid op het moment t:
V = / = lOf
De snelheidsfunctie v kan op zijn beurt ook weer worden gedifferentieerd:
v' = 10
De afgeleide functie v' geeft de verandering van snelheid (afhankelijk van r) of
wel de versnelling aan.
De versnelling wordt vaak aangeduid met a {= acceleratie).
Bij de vrije val geldt:
a = v' = 10
De versnelling, veroorzaakt door de zwaartekracht, is constant.
|
|||||||||
|
a=10
|
|||||||||
|
-►f
|
|||||||||
|
Opmerkingen:
I. a wordt verkregen uit s door tweemaal differentiëren.
Kortweg: a = s". II. De versneUing van een vallend object is lOm/sec per sec.
In de natuurkunde drukt men dit zo uit: de versnelling is 1 Om/sec^ (spreekt
uit: 10 meter per seconde kwadraat). 1. De vrije val op de maan wordt beschreven door de formule s = 0,St^.
> Hoeveel m/sec^ is de vrije-val-versnelling op de maan?
2. Op de planeet Mars is de vrije-val-versnelling 3,6 m/sec^.
> Aan welke formule beantwoordt de tijd-valweg-functie aldaar?
|
|||||||||
|
40
|
||||||||||||||||
|
3. Een vallende hamer is afgebeeld in 6 opnamen met intervallen van 0,03
sec. |
||||||||||||||||
|
—I-----------1----------r-
|
—I-----------r-
0,05
|
|||||||||||||||
|
"l I I
|
-1------------------1------------------1
|
|||||||||||||||
|
°''* Tijd (secondunl
|
||||||||||||||||
|
Hieronder zie je de grafieken van s, v en a als functie van t.
|
||||||||||||||||
|
>a In welke periode is de versnelling constant?
>b Welke gebeurtenissen horen er bij de twee pieken in de versnel-
lingsgrafiek? |
||||||||||||||||
|
41
|
||||||||
|
Twee sportauto's A en B rijden een rally over een zeer afwisselend par-
cours. Met de computer is een gedeelte van de race in beeld gebracht. |
||||||||
|
Op de horizontale as is de tijd (in minuten) uitgezet, op de verticale as de
afstand tot een bevoorradingspost (in eenheden van 250 meter). Op het moment t = O wordt A, die zojuist bijgetankt heeft, ingehaald door B. Voor O ^ f < 3 wordt de plaats van A op het tijdstip t gegeven door: ^a(0 = t^ en van B door: Sg{t) = t^-3t^+4t. >a Druk de snelheden v^ en Vg van resp. A en B uit in t.
>h Op welke tijdstippen, tussen O en 3, reden de beide auto's precies
even snel? >c Geef een kort verslag van wat zich afspeelde rond het tijdstip t = 2.
>d Wat kun je zeggen van de versnelling van A gedurende het tijdsinter-
val [0,3]? >e Bereken het tijdstip in de periode [0,3] waarop de snelheid van B het
laagst was. Hoe groot was de versnelling van B op dat tijdstip? |
||||||||
|
Doortocht door een klein Kenyaas dorp tijdens de Oostafrikaanse Safarirally.
|
||||||||
|
42
|
|||||
|
De robots Artoo-Detoo en See-threepio staan Luke Skywalker bij in de filmtrilogie Star
Wars. Om een arm van een robot een gewenste beweging te laten maken, moet
de snelheid van de aandrijfas van O omwentelingen per seconde (omw/sec)
naar 10 omw/sec worden gebracht. Het tijdsverloop waarin dit moet
gebeuren is 4 seconden.
De snelheid (v) is dus een functie van de tijd (r).
Om die beweging soepel te laten verlopen stellen we bepaalde eisen aan
die functie. Niet alleen de snelheid moet zonder sprongen veranderen,
maar ook de versnelling.
Bij de start is de versnelling O omw/sec^ en aan het eind moet dat weer zo
zijn.
Dit alles is te bereiken door een snelheidsfunctie te nemen van de vorm
v(r) = at^ + bt^ + et + d.
>a Bereken de waarden van a, b, c en d en teken de grafiek van de
gevonden functie. Die grafiek noemen we het snelheidsproflel. >b Wanneer is de versnelling maximaal en hoe is dat aan het snel-
heidsprofiel te zien? Hoe groot zijn dan de snelheid en de versnelling? >c Iemand maakt een snelheidsprofiel door van (0,0) tot (2,6) een deel
van een parabool met top (0,0) te nemen en van (2,6) tot (4,10) een deel van een parabool met top (4,10). Voldoet dat snelheidsprofiel aan alle eisen? |
|||||
|
43-
|
|||||||
|
TERUGBLIK
De samenhang tussen plaats(afstand), snelheid, versnelling en tijd wordt gege-
ven door de formules: s'(f) = v(r)env'(f) = a(0.
In woorden:
— de afgeleide van de tijd,plaats-functie geeft de snelheid afhankelijk van de
tijd. — de afgeleide van de tijd,snelheidsfunctie geeft de versnelling afhankelijk van
de tijd. De versnelling is dus de afgeleide van de afgeleide ('hellingfunctie van de hel-
lingfunctie'). Zo'n tweede afgeleide wordt aangeduid met twee accenten.
Dus: s"{t) = a{t). |
|||||||
|
Opgaven
>a Bij een beweging met constante versnelling a geldt:
V (r) = Vq + at. Hierbij is Vq de beginsnelheid (snelheid op r = 0).
Leid hier uit een formule af voor s{t) als nog gegeven is: s (0) = 0. >b Het wegenverkeersreglement schrijft voor dat de remvertraging van een
auto minstens 4 m/sec^ moet zijn. Stel je voor: een automobilist rijdend met 120 km/u moet plotseling op
zijn rem gaan staan. Neem aan dat de auto hierdoor een eenparig ver- traagde beweging krijgt {a = -4). Hoeveel seconden na het indrukken van de rempedaal staat de auto stil?
En hoeveel meter is de remweg? |
|||||||
|
-44-
|
||||||||||||
|
8 Hol en bol
|
||||||||||||
|
1. Twee krantekoppen:
DE WERKLOOSHEID NEEMT AF (1)
DE STUGING VAN DE WERKLOOSHEID NEEMT AF (2)
> Is er verschil in betekenis tussen die beide beweringen? Licht je
antwoord toe met behulp van een schetsje (grafiek). 2. Twee voorbeelden van stijgende functies:
|
||||||||||||
|
a b a b
figuur 1. figuur 2.
> Schets de grafieken van de bijbehorende hellingfuncties ƒ' en g'.
|
||||||||||||
|
Figuur 1 laat een functie zien, waarbij de stijging naar rechts sterker wordt.
Anders gezegd: de stijging neemt toe.
In figuur 2 is er sprake van afnemende stijging.
Toenemende of afnemende stijging kun je illustreren met raaklijnen.
g
|
||||||||||||
|
figuur 3.
|
||||||||||||
|
figuur 4.
|
||||||||||||
|
In figuur 3 zie je hoe de hellingscoëfficiënt van de raaklijn van links naar
rechts toeneemt.
Dat betekent ook dat de heUingfunctie ƒ' stijgend is!.
En dat betekent weer dat de hellingfunctie van de heUingfunctie (= ƒ") positief
moet zijn.
In figuur 1 geldt dus: ƒ' (x) > O en ƒ" (x) > 0.
In figuur 2 geldt: g'{x) > O (want g is stijgend), maar g"(x) < O (de hel-
lingfunctie is dalend!) |
||||||||||||
|
45
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Hiernaast zie je nog eens de grafiek van
fix) = x^. >a Bepaal/' en/".
>b Ga na dat voor x > O geldt:
/'(x)>Oen/"(x)>0.
>c Ga na dat voor x <0 geldt: /'(x)>Oen/"(;c)<0.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1.5 O 1.5
> Teken een grafiek van een functie / op het interval [a ,b ] waarvoor
geldt:
/'(x)<Oen/"(x)>0.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. > Dezelfde opdracht als opgave 4 maar nu geldt:
/'(x)<Oen/"(x)<0.
6. > Teken ook een grafiek van een functie / met
/'(x)>Oen/"(x) = 0.
We kijken nog eens naar 'holle' en 'bolle' grafieken.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
En naar de bijbehorende raaklijn-patronen.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een 'holle' grafiek neemt de hellingscoëfficiënt voortdurend af.
Bij een 'bolle' grafiek neemt de hellingscoëfficiënt voortdurend toe.
Dus:
Grafiek van / hol {naar heneden), dan /" (x) < 0.
Grafiek van / hol (naar heneden) dan /" (jc) > 0.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
46
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^ v3
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. Bekijk de grafiek van f (x) = x -I2x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-4-3-2-101234
>a Ga na dat voor j: < O geldt: ƒ" U) < O en dat voor jc > O geldt:
r(x)>0.
>b Hoe noem je het punt waarin geldt: ƒ"(x) =0? 8. In opgave 12 van hoofdstuk 6 heb je de grafiek getekend van
f(x)=x'^-4x^. >a Los op: f"(x) > 0.
>b Controleer of je uitkomst in overeenstemming is met de grafiek die je
getekend hebt.
>c De grafiek heeft twee buigpunten. Wat zijn de coördinaten daarvan? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-47-
|
||||||||||||||||||||||||||
|
TERUGBLIK
Met behulp van de afgeleide functie ƒ' van een gegeven functie ƒ kun je uit-
maken of die functie stijgt of daalt. Met behulp van de tweede afgeleide functie f" kun je uitmaken of de grafiek
bol of hol naar beneden is. |
||||||||||||||||||||||||||
|
1
|
||||||||||||||||||||||||||
|
dalend en hol
naar beneden |
||||||||||||||||||||||||||
|
stijgend en bol
naar beneden |
stijgend en hol
naar beneden |
dalend en bol
naar beneden |
||||||||||||||||||||||||
|
f'{x)-
f'ix) |
||||||||||||||||||||||||||
|
f'{x) +
f"(x)- |
f'ix)-
f"{x) + |
|||||||||||||||||||||||||
|
rix) +
|
||||||||||||||||||||||||||
|
In 1 en 3 is de hellingfunctie stijgend.
In 2 en 4 is de hellingfunctie dalend. Bij het passeren van een buigpunt wisselt de functie ƒ" van -f- naar - (of van
naar +).
In veel gevallen kun je het buigpunt vinden uit de vergelijking: ƒ"(x) = 0.
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Opgave
De grafiek van een derde-graads-functie heeft altijd één buigpunt.
Toon dit aan.
(Aanwijzing: stel f (x) = ax^ + bx^ + ex + d)
|
||||||||||||||||||||||||||
|
48-
|
|||||||||||
|
9 Inhoud en oppervlakte
1. In het boekje Verkenningen in de Ruimte ben je deze figuur tegen-
gekomen. T
|
|||||||||||
|
>a Rechthoek EFGH ligt op een hoogte x van de grond.
Ga na dat opp. EFGH : opp. ABCD ={\Q-xf : 100.
>b Druk opp. EFGH uit in x. |
|||||||||||
|
De inhoud van de af geknotte piramide ABCD.EFGH is een functie van de
hoogte X van die afgeknotte piramide. De formule is: I{x) = 300a; - SOx^ + x^ Die formule vind je door het verschil van de inhouden van de piramides
TABCD en T.EFGH te berekenen. Er geldt: inhoud TABCD = j • 10 • 300 = 1000
inhoud T.EFGH = -ü^ x inh. T.ABCD = (lO-x)^
Dus: inhoud ABCD.EFGH = 1000 - {\Qh-xf
= 1000 - (1000-300A; +30x^-x^)
= 300x - 30x^ + x^. |
|||||||||||
|
2. >a Controleer bovenstaande berekening.
>b Bereken /' (x). >c Er geldt: opp. EFGH = I'(x). Controleer dit. |
|||||||||||
|
-49-
|
|||||||||
|
Het resultaat van opgave 1 dat de afgeleide van de inhoud juist gelijk is aan de
oppervlakte van het bovenvlak is geen toeval. We kunnen dit als volgt laten zien. Stel dat de piramide van opgave 1 van plexiglas is, waarbij in de top een klein
gaatje is geboord; door dat gaatje wordt gekleurde vloeistof in de piramide gebracht. Het volume van de vloeistof in de piramide (= /) is een functie van de hoogte
(= X) van de vloeistofspiegel. Ook de oppervlakte van de vloeistofspiegel (= O) is een functie van x.
vloeistof |
|||||||||
|
Door een klein beetje vloeistof toe te voegen, stijgt de hoogte een beetje.
Stel Aa; =0,0001.
De toename van het volume is dan A I = /(jc-(-0,0001) - I{x).
Die toename A ƒ is het volume van een dun laagje vloeistof.
Het volume van het dunne laagje kun je bij benadering vinden uit 'hoogte maal
grondvlak' ofwel A x • 0{x).
|
|||||||||
|
Dus: AI ~ Ax ■ 0{x).
Dus: 4-^=^0(x)
Ax De benadering is nauwkeuriger naarmate A x kleiner is.
0(x) is de waarde waartoe --— nadert als Ax in de buurt van nul komt.
Ax
Kortom: 0(x)=r{x).
|
|||||||||
|
50-
|
||||||||
|
3. Een bolvormig glazen vat met straal 10 cm wordt gevuld met vloeistof.
De oppervlakte O van de vloeistofspiegel en het volume / zijn functies van X. |
||||||||
|
nx)
|
||||||||
|
>a Bekijk situatie (1), waarbij de
vloeistofspiegel onder het midden ligt. Met behulp van de stelling van
Pythagoras kan 0{x) worden bere- kend. Noem de straal van de
vloeistofspiegel r en laat zien dat geldt: r^ = lOx - x'^. Hieruit volgt: 0{x) = %r'^ = 7c(20j: - x^)
>b Ga na dat dezelfde formule voor
0{x) ook geldt voor het geval de vloeistofspiegel boven het midden ligt (2). >c Teken nu de grafiek van O als
functie van x voor O < j: < 20. >d Hoe kun je het stijgen en dalen van
de grafiek van O verklaren uit de vorm van de bol? |
||||||||
|
-51 -
|
||||||||||||||||||||
|
4. In opgave 2 heb je gezien: 0{x) = n(20x - x ).
>a Met behulp van O (x) kan / worden gevonden als functie van x.
Bedenk hierbij dat r(x) = 0(x) en geef de formule voor ƒ (j:).
>b Teken de grafiek van / als functie van x. (Maak ook gebruik van de hellingfunctie O!)
>c De grafiek van / is eerst tamelijk 'vlak', wordt daarna steiler en op het laatst weer vlak.
In welk punt is de grafiek het steilst?
>d Hoe groot is de totale inhoud van het bolvormige vat? 5. Twee glazen kegels zijn met de punt aan elkaar gesmolten, zodat grond-
en bovenvlak parallel zijn (zie figuur). De hoogte van elk van de twee kegels is 6, de straal van zowel grond- als bovencirkel is ook 6. In de onderste kegel wordt vloeistof gebracht; zodra de onderste kegel vol
is, wordt de bovenste kegel met vloeistof gevuld. |
||||||||||||||||||||
|
12
|
||||||||||||||||||||
|
12
|
||||||||||||||||||||
|
X
|
||||||||||||||||||||
|
•* *
|
||||||||||||||||||||
|
0(x) = de oppervlakte van de vloeistofspiegel op hoogte x.
I(x) = het totale volume van de vloeistof op hoogte x. >a Toon aan dat geldt: I(x) = 7t(-jJC^ - 6x'^ + 36ix).
|
||||||||||||||||||||
|
>b
>c |
Bereken uit de formule voor / de formule voor O als functie van x.
Leid de formule voor O als functie van x ook rechtstreeks af uit de meeücundige figuur (dus zonder de formule van / te gebruiken). Teken een grafiek van O als functie van x. Teken een grafiek van / als functie van x. |
|||||||||||||||||||
|
>d
>e |
||||||||||||||||||||
|
Een ander vat (zie figuur) met dezelfde hoogte en dezelfde totale inhoud
als de dubbele kegel, wordt eveneens met vloeistof gevuld.
De grafiek van het volume van de vloeistof als functie x, heeft net als in
opgave 5 precies in het midden een buigpunt.
Wat is het verschil tussen deze volume-grafiek en die van opgave 5 in de
directe omgeving van het buigpunt?
|
||||||||||||||||||||
|
12
|
||||||||||||||||||||
|
-52-
|
|||||||
|
TERUGBLIK
Het volume van een hoeveelheid vloeistof in een vat is een functie van de
hoogte van de vloeistof.
Hetzelfde geldt voor de oppervlakte van de vloeistofspiegel.
Noemen we de hoogte x, het volume I(x) en de oppervlakt 0{x), dan geldt:
nx) = 0(x).
De oppervlakte van de vloeistofspiegel is een maat voor de verandering van de
inhoud bij (gelijkmatige) stijging van de vloeistofspiegel.
|
|||||||
|
Opgaven
>a In de voorbeelden van de piramide bol en dubbele kegel was het volume
steeds een derde-graadsfunctie van de hoogte (en de oppervlakte een
tweede-graadsfunctie).
Kun je een vorm bedenken, waarbij het volume een lineaire functie van de
hoogte is?
>b Kun je een vorm bedenken, waarbij het volume een tweede-graadsfunctie van de hoogte is?
>c De formule voor de inhoud van een bol met straal i? is: / = -^nR^. Deze formule kun je nu zelf afleiden als je de gedachtengang van de
opgaven 3 en 4 volgt en daarin het getal 10 vervangt door R. |
|||||||