-ocr page 1-

		BRUGBOEK DIFFERENTIËREN

-ocr page 2-

		BRUGBOEK DIFFERENTIËREN
			WISKUNDE A

-ocr page 3-

			BRUGBOEK DIFFERENTIËREN Een produktie ten behoeve van het project Hawex. Ontwerpers:                                         Martin Kindt Henk van der Kooij Anton Roodhardt
		Vormgeving:                                        Ada Ritzer © 1991: Ie versie Utrecht, mei 1991

-ocr page 4-

		Inhoudsopgave Aan de gebruiker.................................................................................................     O 1.  Verandering en helling...................................................................................     1 2.  Van toenamendiagram naar hellinggrafiek....................................................    19 3.  Regels voor het differentiëren........................................................................   26 4.  Ontbinden in factoren.....................................................................................   36 5.  Vergelijkingen en ongelijkheden....................................................................   50 6.  Functies en grafieken......................................................................................   64 7.  Het krachtenspel.............................................................................................   70

-ocr page 5-

Aan de gebruiker Dit Brugboek is allereerst bestemd voor leerlingen die wiskunde A op het havo met succes hebben gevolgd en die hun studie willen voortzetten op het vwo, weer met wiskunde A. In klas 4 van het vwo worden de beginselen van het 'differentiëren' behandeld, en dat onderwerp hoort niet bij de normale havo-stof. Wèl worden er in het havo-pro- gramma allerlei begrippen behandeld, zoals 'toenamendiagram' en 'differentiequo- tiënt' die in de opbouw van het differentiëren een wezenlijke rol spelen en waar in dit boek ook bij wordt aangeknoopt. Bij differentiëren komt ook nogal wat algebra kijken, namelijk het rekenen en om- vormen van formules en het oplossen van vergelijkingen en ongelijkheden. In dit boek wordt de benodigde algebra opgefrist. Voor een deel betekent die alge- bra ook een uitbreiding van de havo-stof. Het begin van het Brugboek is een beetje theoretisch: veel leestekst en weinig op- gaven. Dat wordt verder op wel anders, waar juist de oefeningen overheersen. Het is wel zaak dat je het begin, de ontwikkeling van het begrip hellingfunctie, zo goed mogelijk begrijpt; bestuderen van de tekst is hard nodig! Het middengedeelte van het boek is geheel gewijd aan 'wiskundige techniek' en in de twee slothoofd- stukken wordt het voorgaande (begrip èn techniek) in praktijk gebracht. Het boek in schema:

Ontwikkeling nieuwe begrippen

Toepassingen

Wiskundige techniek

1 ^ r 3. Regels voor het differentiëren T 1. Verandering en helling 6. Functies en grafieken 4. Ontbinden in factoren 2. Van toenamendiagram naar hellinggrafiek 7. Het krachtenspel 5. Vergelijkingen en ongelijkheden

Voor wat betreft de opgaven het volgende: er is een boek met aanwijzingen, ant- woorden en uitwerkingen. •      De aanwijzingen zijn er voor je een handje te helpen, als je na hevig nadenken de opgave niet doorgrondt. Niet te gauw raadplegen! •      De (korte)antwoorden of uitkomsten, geven een eerste controlemiddel (kunnen ook een aanwijzing zijn). •      De uitwerking dient als allerlaatste geraadpleegd te worden.

-ocr page 6-

-1-

1. Verandering en helling 1.1, Snelheid op een tijdstip

maakt sinds 25 septem- ber de rit Parijs-Lyon, 425 km, in precies 2 uur, een gemiddelde van 212,5 km/u, met een topsnelheid van 270 km/u. De TGV-Atlanti- que, die in 1990 in dienst komt, zal gaan rijden met een topsnel- heid van 300 km/u.

snelheid, binnen spoorwe-

De hoogste geregistreerd een normaal

gennet, is 380 km/u door de Franse Train è Grande Vitesse tijdens tests bij Tonnerre op 26 februari 1981. De TGV, die de dienst begon op 27 september 1981,

In deze paragraaf wordt een manier bekeken om veranderingen te onderzoeken en te beschrijven. Veranderingen, de wereld zit er vol mee. Om de zaak voorstelbaar te houden, gaan we in dit verhaal uit van het begrip snelheid. Snelheid heeft immers iets te maken met verandering van plaats in de tijd. Snelheid (of eigenlijk verplaatsing) kan model staan voor andere veranderingen. Wat is snelheid nou eigenlijk? Je fietst met een snelheid van 15 km/uur. Wat betekent dat precies? Zeker niet dat je een uur hebt gereden en daarin een afstand van 15 km hebt afge- legd. Je kunt zo'n snelheid immers wel gedurende een fractie van een seconde heb- ben. Als je tegen een muurtje rijdt maakt het weinig uit hoe lang je al onderweg was. Nog sterker: bij het begrip snelheid hoort eigenlijk geen tijdsduur; snelheid hoort bij een bepaald tijdstip.

-ocr page 7-

-2-

Maar wat moet je je dan bij de grootte van een snelheid voorstellen? Om die grootte te bepalen worden tijd en afstand erbij gehaald. Een snelheid van 15 km/uur betekent dan:

Als die snelheid onveranderd gedurende 1 uur zou worden aangehouden, dan zou een afstand van 15 km worden afgelegd. En bij een andere tijdsduur hoort een daarmee evenredige afstand.

Grafisch is dat zo voor te stellen:

afgelegde afstand (km)

tijdsduur (uur)

De snelheid is hierin terug te vinden als het verhoudingsgetal ^^[f". ■ Een differentiequotiënt dus. En dat getal is de richtingscoëfficiënt (in dit boek: hellingscoëfficiënt) van de rechtlijnige tijd-afstand grafiek. Merk op dat de verhouding ook doorwerkt in de gebruikte eenheden: -     afstand in km -     tijd in uur -     snelheid in km/uur Het is gebruikelijk om de grootheden 'afstand' (of 'plaats'), 'tijd' en 'snelheid' aan te geven met vaste letters:

s = afstand (of plaats) f = tijd V = snelheid

Opmerking: s is dus niet de snelheid, maar de (afgelegde) afstand. De afspraak over de betekenis van deze letters is internationaal. Voor Nederlanders zou de letter a voor afstand misschien voor de hand liggen, maar die is gereserveerd voor versnelling (acceleratie).

-ocr page 8-

De tijd-afstand grafiek kan ook worden opgevat als een soort reisbeschrijving. Voor elk tijdstip kun je zeggen waar de fiets(t)er zich bevindt.

fÜ-'/SrA.^^^

(km) 25

<3''^0

1,5 f (uur)

Omgekeerd kun je uit waarnemingen de grafiek tekenen en dus de snelheid bereke- nen. Hiervan enkele getallenvoorbeelden:

2' waarneming 0

42-

c>

O ^                4 r 1^ waarneming

— _ 42-0 Af 4-0

10,5

B

2^ waarneming -O

O

2,5 4,5 t

4,5 t

As

70-30

= 20

Ar 4,5-2,5

Een fietstocht maken volgens de reisbeschrijving boven aan deze bladzijde is ont- zettend moeilijk. Na een vliegende start een constante snelheid van 15 km/uur aan- houden! In werkelijkheid zal de snelheid dan eens hoger, dan eens lager zijn. Wat je in de voorbeelden hebt uitgerekend zijn volgens deze opvatting niet de snelheden, maar de gemiddelde snelheden.

-ocr page 9-

Drie verschillende reisbeschrijvingen met dezelfde gemiddelde snelheid. Alleen als de snelheid constant is (grafiek II), zijn de gemiddelde snelheid en de snelheid (op een tijdstip) even groot.

ISkm -

De betekenis vaneen gemiddelde snelheid van 15 km/uur voor een traject is dus:

Als dat traject in dezelfde tijd moet worden afgelegd met een snelheid die op elk tijdstip even groot is, dan moet die constante snelheid 15 km/uur zijn.

Tussenbalans : we hebben onderscheid gemaakt tussen twee begrippen. a.     (Ogenblikkelijke) snelheid - dat wil zeggen de snelheid op een tijdstip b.    Gemiddelde snelheid          - dat wil zeggen een (theoretische) vaste snel- heid gedurende een tijdsinterval. Hebben we het geluk dat zo'n tijdstip binnen één tijdsinterval met vaste snelheid valt, dan kunnen we voor de ogenblikkelijke snelheid de gemiddelde snelheid ne- men. Dat betreft dus de tijdsintervallen waarop de tijd-afstand-grafiek rechtlijnig is. Opgaven 1. Bekijk het kranteknipsel op blz. 1. Welke (in het artikeltje genoemde) snelhe-

den zijn 'ogenblikkelijke', welke zijn 'gemiddelde' snelheden?

s m 140 120 100 80 60 40 20

2.

>a Bereken de gemiddelde snelheid voor de tijdsin- tervallen 0-20 en 20-60. >b Teken in deze figuur de tijd-afstand grafiek voor het geval dat voor het ge- hele tijdsinterval 0-60 de snelheid gelijk is aan de gemiddelde snelheid en bereken die snelheid.

Bepaal de gemiddelde snelheid voor de tijdsinter- vallen: 4,1-4,3 en 10-30. Bepaal de snelheid op de tijdstippen r = 7; r = 7,01; t = 19,3; r = 30; r = 50

>c

>d

10 20 30 40 50 60

t (sec) Op de vraag naar de snelheid op r = 20 is geen precies antwoord te geven Waarom niet?

>e

-ocr page 10-

-5-

1.2. Het moeilijke geval: de grafiek is krom In figuur 1 is te zien dat de snelheid steeds toeneemt. Vergelijk maar eens de afge- legde afstanden in gelijke tijdsintervallen. fig. 1                                                s              fig- 2

45-

In het vervolg gaat het vooral om dit type vraag:

Hoe groot is de snelheid op tijdstip r = 6?

Via de gemiddelde snelheid op een tijdsinterval kom je er niet, want het antwoord is niet bij elke intervalkeuze hetzelfde (controleer dat). Op de een of andere manier moeten we die verandering van de snelheid proberen te temmen. Veronderstel dat die ogenblikkelijke snelheid 15 m/sec. is. Volgens het begin van dit hoofdstuk betekent dat: als die snelheid niet verandert, dan zal in 1 seconde 15 m worden afgelegd. Met andere woorden: je kunt de grafiek in P dan voortzetten met een rechte lijn in de al bekende richting ^ = 15 (zie figuur 2).

Opgave

Bekend: Op r = 2 geldt V = 5 Op r = 4 geldt V = 10 Opr = 6geldtv= 15 (snelheid in m/s) >a Veronderstel dat na f = 4 de snelheid niet meer verandert. Teken in de tijd-af- stand grafiek de recht- lijnige voortzetting na t = 4 voor een tijds- duur van 2 sec. >b Breng op overeen- komstige wijze de si- tuaties voor f = 2 en voor f = 6 in beeld.

1.

s(m)

lü 60 50 40 30 20 10

5 6 t (sec)

-ocr page 11-

-6-

We hebben nog niet het antwoord op de vraag hoe groot de snelheid op r = 6 is, maar we weten in welke richting we de oplossing moeten zoeken. Grafisch komt de vraag hierop neer:

hoe nu verder?

Hoe vind je in P een rechtlijnige voortzetting van de grafiek?

Om tot een antwoord te komen gaan we in het volgende eerst de grafiek bestuderen als een zelfstandige meetkundige figuur, los van de tijd-afstand betekenis. Daarom gebruiken we ook de neutrale coördinaten xeny y

O Denk je in dat de tekening heel groot op de grond gekalkt is en dat iemand met een 'loopwieltje' zo goed mogelijk het grafiekspoor probeert te volgen

Het wieltje maakt twee bewegingen:

)

de zijwaartse draaiing van het hele wiel om de richtingverandering van de grafiek te volgen.

de gewone voorwaartse rolbeweging

-ocr page 12-

-7-

De zijwaartse draaiing van het wieltje is gekoppeld aan de kromming van de gra- fiek.

Een rechtlijnige voortzetting in P is dan te verkrijgen door in dit punt de zijwaartse draaiing te staken en verder alleen te rollen.

Meetkundig betekent dit dat er in P een raaklijn aan de grafiek is getrokken. De richting van de raaklijn is daarbij dezelfde als die van het wieltje.

Door nu een z^-Ay-paar voor die raaklijn te

meten, is de hellingscoëfficiënt

Ax

van die

raaklijn te berekenen.

Terug naar het snelheidsprobleem: s

De (ogenblikkelijke) snelheid in r = 6 is vol- gens de voorgaande theorie gelijk aan de hel- lingscoëfficiënt van de raaklijn in P aan de grafiek.

In dit plaatje is de raaklijn op het oog getrokken. De snelheid in r = 6 is ongeveer 15 m/sec als s in meter en t in seconde zijn genomen.

Algemeen:

De hellingscoëfficiënt van de raaklijn in een punt van een grafiek is een maat voor de (ogenblikkelijke) verandering van de een of andere grootheid y in afhankelijkheid van een grootheid x.

Opmerking: xeny hoeven niet de tijd-afstand betekenis te hebben; x zou bijvoorbeeld de licht- sterkte kunnen zijn en y het daarbij behorende gewicht van een plant bij groeiproe- ven.

-ocr page 13-

			1.3. De toepassing van de raaklijn Om de raaklijn te kunnen gebruiken is het natuurlijk van groot belang dat zo'n punt op de grafiek een unieke raaklijn heeft. Bij de meeste grafieken die we gebruiken is dat ook zo. Bekijk daarvoor dit model- letje, waarin een latje en een strook de rol van lijn en grafiek spelen.
					Het latje wordt tegen de grafiek geschoven. In een bo- venaanzicht zie je dan een grafiek met raakpunt en raaklijn. Verander nu de richting van de raaklijn een klein beetje (draaien volgens de ronde pijlen). Je merkt dan dat het raakpunt zich verplaatst. Bij het oorspron- kelijke raakpunt hoort blijkbaar maar één raaklijnrich- ting.*)
		Uit het plaatje volgt ook dat je de raaklijnen aan een getekende grafiek kunt vinden door er een liniaal langs te leggen. Uiteraard met een kleine tekenonnauwkeurig- heid. Maar hoe zit het als het raakpunt op een rechtlijnig gedeelte van de grafiek ligt, zo- als in opgave 2 van paragraaf 1.1? Het verhaal over het wieltje klopt nog steeds. Maar de voortzetting valt nu voor een deel samen met de grafiek. Het is een beetje merkwaardig om hier van een raaklijn te spreken. Misschien tegen je gevoel in doen we dat toch, want anders moeten we bij grafieken altijd een aparte behandeling van de rechtlijnige grafieken bijvoegen. Hoe minder uitzonderingen hoe liever.
				*) Bekijk in dit verband nog eens opgave 1 van paragraaf 1.2.

-ocr page 14-

Opgaven 1.

>a Teken de raaklijnen aan de tijd-afstand grafiek in de punten ^l'^2'^3'^4- >b Bepaal de snelheid op de tijdstippen r=l;f = 2;r = 3;f = 4.

s(m)

J 4 3 —■■{.....;....4.-—•■■■■+..■.;.....\n-\-r- .....hf-l- 1 i i i lp i/i ■■■\.....j-f 2 i i ■ i f-iV : .....l-j-f 1 \mm:- ....i..—:„..i...

o 12 3 4 5 6 r(sec)

(m)

s 20 15 10 5

>a Wat is de gemiddelde snelheid op het tijds- interval 10 < f < 60? >b Op welk tijdstip is de ogenblikkelijke snel- heid gelijk aan de ge- middelde snelheid?

10 20 30 40 50 60 rCsec)

■ f J A "^—^ ^^ H 3- 2- 1, A r'^**^™ '"■ ^"-^s. 1 .............. B c"

O

10 11

>a Schat de hellingscoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek in achtereenvol- gens A, B cnC. >h Zie je verband tussen de waarden van die hellingscoëfficiënten en de soort daling van de grafiek?

-ocr page 15-

■10-

4. Door een lekkende tanker ontstaat op zee een grote olievlek. De grafiek geeft de afstand van de rand van de vlek tot het schip.

on - zu —:..4..<...:... ...1..4.- ■ •-:--•)—i"i-^ -*frr.. 4X1X ... ..4.-- 15 - "I-j—f..*-. —i..4-.i"j— •■■(—•—;•■"(-' —•"l-f-:— ..<...:... ...;..|..i-.:... ... ...j... ..4.. : : i : i^^ i i i : ï 10 .,..X.ïy^." —j"-i— 3Ht ""i"t" ...:..ó...^...:... ...>.. 5 ■ - .y^j—f"-|- —|"t"i"*i'"' :^:f --+--r"|-'t" ..4--;--- —i"4—i—;— ..j.-- - -.+-.;.":..+.. .-i..:...:.-4-.. "1"""!'" -*--j—f—{"- '"'["'f' ... —j...

•S

< T

O

3              4              5 -» Tijd in dagen

1

>a Bepaal de 'groeisnelheid' van de vlek in km/dag aan het eind van de 1®, 2^ en 3^ dag. >b Bepaal ook de gemiddelde groeisnelheid over de 1^ dag. Doe hetzelfde voor de 2^ dag en voor de 3^ dag.

5.

400 • 0» - 320 Males \ 5 240 LU 5 160 \ >- Femolai § 80 ^^i^ CQ 1 j 1 1 1 1 I 1 1 I 1 1 1 1 1 II

O 10 20 30 40 50 60 70 80 90 DAYS OF AGE Body weight changes during maturation for male and female albino rats (data provided by Holtzman Co., Madjson, Wisconsin, USA).

>a Bepaal de groeisnelheid van het mannetje op de S5^^ dag. >b Op welke dag of dagen had het wijfje dezelfde groeisnelheid? >c Wat was de grootste groeisnelheid van het mannetje?

-ocr page 16-

					-11-
		1.4. De hellingmeter Als je van een groot aantal raaklijnen de richtingscoëfficiënt (hellingscoëfficiënt) moet berekenen, dan is dat een heel karwei. Het zou handig zijn als we dat met een apparaatje kunnen doen. Daarvoor bedenken we de zogenaamde hellingmeter. Dat is een doorzichtig geval waarop de hellingscoëfficiënt van een raaklijn kan wor- den afgelezen. Gebruiksaanwijzing -   Leg het punt P op het gekozen raakpunt. -   Zorg dat de lijn PQ horizontaal ligt. -   Draai de lijn door P zo dat hij raaklijn in P aan de grafiek is (PR). -   Lees op de verticale lijn de hellingscoëfficiënt af. Verklaring: Bij deze schaalverdeling heb je Ay= 1,5 en Ax = 1; dus hellingscoëfficiënt =1,5 Een voorbeeld van het gebruik van de hellingmeter bij een grafiek (met gelijke schaalverdelingen op de a:-as en de j-as) zie je hieronder:
			hellingscoëfficiënt = 1,2
						hellingscoëfficiënt = -0,6

-ocr page 17-

■12-

Opgave 1.

Van het deel van de grafiek tussen A en 5 zijn 'alle' raaklijnen in een helling- meter ingetekend. Het resultaat is een gebied dat zwart ziet van de lijnen. > Bij welke punten op de grafiek horen de standen m en n?

O          123456789 Je kunt de hele grafiek doorlopen met een liniaaltje (als raaklijn) waarbij we nu alleen letten op de standen met hellingscoëfficiënt positief (-I-), negatief (-) en nul (0). Drie standen uit de figuur zijn aangegeven boven de jc-as: + 0 -                               hc I-------\-------1-------\-------\-------\-------\-------\-------\-------\-------

1

O

3456789         x

>a Geef boven de lijn ook andere standen van de raaklijn aan met +, O, -. Het resultaat heet een tekenverloop van de hellingscoëfficiënten. >b Welk verband kun je leggen tussen dit tekenverloop en het stijgen en dalen van de grafiek? Van een andere grafiek is het tekenverloop van de hc bekend: — 0 + + + 0-- hc

3.

0 5             n          X > Beredeneer dat die grafiek een dieptepunt (bij jc = 5) en een toppunt (bij X = 12) heeft.

-ocr page 18-

									-13-
				>a De jc-as en y-as bij een grafiek hebben vaak een grotere of kleinere schaal dan op de hellingmeter. Als die schalen onderling gelijk zijn, dan kun je de hellingscoëfficiënt rechtstreeks aflezen op de meter. Verklaar dat. >b Hoe moet je te werk gaan als de assen verschillende schaalverdelingen hebben, bijvoorbeeld: 1 cm horizontaal = 5 en 1 cm verticaal = 30? I - .          Over de breedte van een ^WL         slootje wordt op 10 cm diep- te de watertemperatuur ge- meten en in een grafiek uit- gezet.
							/ ^ / ■:
		16
		15
		14
								10 20 30 40 50 60			70 80 90 100 afstand (cm)
			>a Hoe groot is de gemiddelde temperatuurs^nygi/ig (in°C/cm) tussen 50 en 80 cm (vanaf de linkeroever)? >b Op welke afstand is de temperatuursstijging het sterkst? >c Op welke afstanden vindt er een ommekeer plaats van temperatuursdaling naar stijging of omgekeerd?

-ocr page 19-

					-14-
							Een gedachtenexperiment: •    Kies op de grafiek van ƒ een punt, bijvoorbeeld P. •    Meet de hc van de raaklijn in P aan de grafiek (hier: li). •    Maak een nieuw assenstelsel met dezelfde j:-as en een nieuwe verti- cale as: de hc-as. •    Teken hierin het punt H met als 1^ coördinaat Xp en als 2® coördinaat de hc van de gevonden raaklijn: //isdan (1,11) Door in gedachten met de hellingmeter de hele grafiek van ƒ langs te gaan, vor- men de bijbehorende punten Q ook een doorlopende grafiek. Deze 'hellinggrafiek' beschrijft nauw- keurig het veranderingsgedrag van ƒ, want alle hellingscoëfficiënten van de raaklijnen zijn er uit af te lezen. (In plaats van hellinggrafiek zou je ook kunnen spreken van 'veranderingsgra- fiek').
			y / grafiek 3- /p V 2- 1 1 1 1 0 1 1 1 1 2 X
		hc hellinggrafiek 3- 2- ^W 1- i \ 1 1 0 \ 1 \2 ^^*r^^^ X
				Opmerking Een handige knutselaar zou met een extra papierstrook en een schrijfstift de helling- meter zo kunnen ombouwen dat het gedachtenexperiment in werkelijkheid kan worden uitgevoerd. Ook zijn er computerprogramma's (zoals 'VU-grafiek' en 'De- rive') die bij een gegeven grafiek de hellinggrafiek op het scherm tekenen. Opgave 6. Deze opgave gaat over het gedachtenexperiment dat hierboven is beschreven. In de grafiek van ƒ zijn de volgende bijzonderheden te zien: toenemende stijging, afnemende stijging, top (maximum), buigpunt. > Ga na hoe je elk van die bijzonderheden vanuit de hellinggrafiek kunt te- rugvinden.

-ocr page 20-

				-15-
		1.5. Op zoek naar een formule voor de hellinggraflek Het vinden van de hellingscoëfficiënten van de raaklijnen aan een grafiek met be- hulp van een hellingmeter geeft een niet zo nauwkeurig resultaat als voor sommige doeleinden wenselijk is. Bovendien is die manier om een hellinggrafiek te vinden nogal tijdiovend. Het zou ideaal zijn als, bij een grafiek gegeven door een formule, ook de hellinggra- fiek door een formule zou zijn bepaald. We sluiten dit hoofdstuk af met een 'foeQe', waaraan je kunt zien dat dit mogelijk is voor een bekende familie van functies, namelijk voor: y=o?', y = x', y = :}^, enz. (de machtsfuncties dus). In de volgende hoofdstukken komen we hierop terug. Je zult dan een paar regels leren, waarmee je uit de voeten kunt bij een wat grotere groep van functies en waarmee je snel hellinggrafieken, of eigenlijk hellingfuncties kunt vinden.
			Om te beginnen y =j: Op bladzijde 16 zie je de grafiek hiervan. In de punten (1,1); (2,4) en (3,9) zijn de raaklijnen getekend.Die raaklijnen snijden de^'-as in (0,-1); (0,-4) en (0,-9)! Opgave 1. >a Controleer door een liniaaltje langs de grafiek te houden, dat de raaklijn in het punt (1 i ,21) de y-as snijdt in (0,-2 i). >b Hoe zou je nu snel de raaklijnen kunnen tekenen in (-1,1); (-2,4) en (-3,9)? >c De horizontale lijn door (0,2) snijdt de grafiek in twee punten. De raaklijnen in die punten snijden elkaar op de y-as. In welk punt? >d Hoe groot zijn de hellingscoëfficiënten van de raaklijnen in (1,1); (2,4) en (3,9)? >e En in (-1,1); (-2,4) en (-3,9)? >f Welke algemene regel voor de raaklijn aan de parabool y=x^ kun je nu (op grond van de ervaringen in de vorige vragen) formuleren? De grafiek van y=x^ heeft blijkbaar een mooie eigenschap, waarvan je gebruik kunt maken bij het tekenen van de raaklijn in een willekeurig punt. Laat P een punt op de grafiek zijn.                               q Je kunt de raaklijn in P als volgt vinden. -     trek PQ loodrecht op de y-as -     pas op de negatieve >'-as één keer het lijnstuk OQ af;                      ----------p zo krijg je/?. -     verbind P met R. PR is dan de raaklijn in P aan de grafiek                       „

-ocr page 21-

				-16-
		de parabool y = at met enige raaklijnen
			.....^ o 5 .....-7..... ......fi...... i \............. ..........V- .....5- .............. .....4- .............. ......3..... ......2..... n 1. r 1 ............... i 0 1 1 -1 •■-2..... /.......... i -D j ..._A..... : ■"f ............. i J ....„6..... 1 "O 7 • -1 i ..._«...... 1 \ JX ■■ ............. "y

-ocr page 22-

-17-

Je moet het 'recept' onderaan blz. 15 voorlopig maar op gezag aannemen. In opgave 1 heb je in elk geval gezien dat het niet zo gek is.

Ö p ^2 0 .S' x2 p - T K X

Je kunt hiermee snel de hellingscoëf- ficiënt van de raaklijn in P vinden. Er geldt: OS=x PS = jp- dus RT = x PT = 2x^                          2 hellingscoëfficiënt PR = — =2x

Conclusie:

Als: {x, y) op grafiek van y = jr dan: hc raaklijn in dat punt is gelijk aan 2x

Bijvoorbeeld: de hc van de raaklijn in (5,25) is 10. Ook voor de grafieken van y = xr',y = x,y=x, enz. bestaan er dergelijke regels. We beschrijven die nu minder uitvoerig, de plaatjes spreken hopelijk duidelijke taal!

hc raaklijn 3^=3x2

hc raaklijn X

hc raaklijn = 4/ ^4^3

-ocr page 23-

■18-

Grafiek hc raaklijn in (x, y) y=xl y = x' enz. enz.

Samenvattend:

Opgaven. 2.    Je mag aannemen dat de regelmaat van de tabel zich voortzet. >Wat vind je dan voor de hc van de raaklijn bij y 3.    Het punt (1,1) ligt op de grafieken van y = x^,y=xr,y=x,y = :)r. Immers 1^= 1,1^ = 1,1''= 1,1^ = 1. De raaklijnen aan die grafieken in (1,1) vallen niet samen. >     Hoe groot is de hellingscoëfficiënt van elk van die lijnen? 4.    Het punt (0,0) ligt ook op de grafieken van y=x,y=x^,y = x , enz. Hier vallen de raaklijnen wèl samen. Die is namelijk steeds horizontaal. >     Klopt dat met bovenstaande tabel? 5.    >a Teken de hellinggrafiek bij y = x^. Dat is dus de grafiek waarbij de formule hc = hoort. >b Je ziet in de hellinggrafiek dat in de punten met jc = 2 en j: = -2 de hc het-

.3,

zelfde is. Kun je dit ook zien aan de grafiek van y =x In plaats van bijvoorbeeld: y=x^enhc = gebruikt men vaak de notatie:/(x) = x en ƒ'(x) = Men zegt: ƒ' (spreek uit/-accent) is de hellingfunctie van f of ook: ƒ' is de afgeleide functie van ƒ.

Zo krijgen we de tabel: functie

functie hellin gfunctie f(x)-- -x^ f'(x)-- --2x m-- -x^ f\x)-- -Zx" f(x)-- = / f'(x)-. -Ao? f(x)-- = ^5 f'ix) -- = 5/ enz. enz.

Opgaven 6.    > Door welke formule is de hellingfunctie/' bepaald als/(x) = x ? 7.    Het punt (2,1024) ligt op de grafiek van/(x) = x^^. > Hoe groot is de hellingscoëfficiënt van de raaklijn in dat punt? 8.    > Bij welke machtsfunctie hoort de hellingfunctie ƒ'(a:) =

-ocr page 24-

-19-

2. Van toenamendiagram naar hellinggrafiek In hoofdstuk 1 zijn veranderingsverschijnselen onderzocht met behulp van raaklij- nen aan grafieken, zo kwamen we aan de helling grafiek (als middel om de mate van verandering in beeld te brengen). Tenslotte heb je gezien dat voor mooie functies: f{x) = x,f{x) = X ,f(x) = X , enz. de hellinggrafiek bepaald is door een eenvoudige formule. In dit hoofdstuk pakken we de problemen nog eens aan, maar nu uitgaande van een voorstelling die je wel bekend is: het toenamendiagram. Van zo'n toena- mendiagram komen we op een gemiddelde-toenamendiagram en het zal blijken dat je op deze wijze ook bij de hellinggrafiek uit kunt komen. 2.1. Het toenamendiagram, verfijning en verdwijning Een voorbeeld van een grafiek met één van de mogelijke toenamendiagrammen (bijAx=l) grafiek toenamendiagram 3 2 1

—> O -1 -2

iwiiii.i..... I im—II ii—miiii a^HHB ■

-3 Bij deze plaatjes kun je je afvragen: hoe goed geeft het toenamendiagram de veran- deringen in de grafiek weer? Het zou natuurlijk ideaal zijn als je uit het toenamen- diagram de oorspronkelijke grafiek volledig zou kunnen terugvinden. Natuurlijk moet je daarbij wel een beginpunt cadeau krijgen. De reconstructie van de grafiek uit het toenamendiagram geeft in feite niet meer dan een stel losse punten.

2 1 0 -1 -2 ' > 1 < i ■ 1 1

6 5 4 3 —► 2 1

toenamendiagram                          grafiek Daaruit blijkt dat de informatie die het toenamendiagram geeft zo zijn beperkingen heeft. Opgave 1. Bij het kijken naar veranderingen wordt vaak gelet op soorten stijging, toppen en dalen, buigpunten. > Ga in het voorgaande voorbeeld na wat er verloren is gegaan in het toena- mendiagram.

-ocr page 25-

-20-

Het 'informatieverlies' bij het toenamendiagram is een gevolg van het feit dat maar een beperkt aantal punten van de grafiek meedoet. De grafiek is als het ware door een masker met smalle openingen bedekt.

Een voor de hand liggen- de verbetering is het klei- ner maken van de stappen

Een voorbeeld Het hangt van het op te lossen probleem af hoe ver die verfijning moet worden voortgezet. Zeer ver is niet alleen bewerkelijk, maar levert soms ook informatie die niet meer nuttig is. De omstandigheden bepalen hoe gedetailleerd de veranderingen gekend moeten worden. De praktische uitvoerbaarheid stelt trouwens een grens aan de verfijning. Bekijk onderstaand stukje grafiek.

grafiek

toenamen- diagram

Ax= i

Ax=I

Ax=l

Bij elke verfijning van het toenamendiagram blijft de som van alle verticale stukjes (de toenamen Ay) gelijk. En daardoor worden die stukjes steeds kleiner. Nog een paar verfijningen verder en ze zijn niet meer van de;c-as te onderscheiden. Praktisch gezien zijn ze verdwenen. Weg informatie! We hebben teveel gevraagd.

-ocr page 26-

				-21-
		2.2. Het gemiddelde-toenamendiagram In paragraaf 1 heb je gezien dat het toenamendiagram een vrij grove maat is voor veranderingen. Verfijning is wel mogelijk, maar als je daarmee doorgaat worden de toenamen zo klein dat het toenamendiagram onhanteerbaar wordt. Gelukkig is er een andere, betere mogelijkheid om dit aan te pakken. We illustreren deze andere aanpak aan de hand van een voorbeeld: de grafiek van y=r' voor O ^ jc ^ 2 y
			In de vier figuren zijn (rechthoekige) driehoekjes getekend met zijden Ax en Ay. De schuine zijde van zo'n driehoekje noemt men een koorde van de grafiek. (Begin- en het eindpunt van een koorde zijn steeds punten op de grafiek van y = jt). Zo'n koorde benadert een stukje grafiek en die benadering is des te beter naarmate Ax kleiner is. De hellingscoëfficiënt van zo'n koorde, dus -^, geeft de gemiddelde toename aan van y over een interval met lengte Ax (een andere naam voor -^ is differentiequo- tiënt) Opmerking: Als de grafiek een tijd-afstandgrafiek is{x = t,y = s), dan geeft ^ de gemiddelde snelheid per tijdsinterval.

-ocr page 27-

-22-

Bij de vier plaatjes kunnen we nu een 'toenamentabel' en een 'gemiddelde-toena- mentabel' maken.

Toenamen

4 1 3 1 4 3 4 >l >l 1 16 3 16 5 16 7 16 9 16 11 16 13 16 15 16

Ax = 2 -^ Ay = Ax = 1 -^ Ay = Ax = 5 -^ Ay = Ax = l -> Ay =

samen 4 samen 4 samen 4 samen 4

Gemiddelde toenamen

2 1 3 1 2 1^ 2i 3i ^ 2 1 4 3 4 i| i| ■^4 2^ ^ 4 ■^ 4 3 2 •^ 4

Ax = 2 ^

Si =

A 1 ^y ^=2 ■"* 25 =

Ax =

Opgaven 1.    >a Welke regelmaat zit er in de toenamen (en ook in de gemiddelde toena- men) op één rij, bijvoorbeeld bij Ar = i? >b Van welke soort functies is dit een kenmerkende eigenschap? 2.    Dne verdelingen van het interval O < jc < 2 bij de grafiek vany =x

8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - 1 U_j^--------1—

8 - 1 7 - 6 - 5 - 4 - 3 - 2 - 1 - ---------1—

6 -

4 -

>a Maak een toenamentabel en een gemiddelde toenamentabel (op de manier zoals dat hiervoor gedaan is) voor Ax = 2, Ax=l,Ac=i. >b Bereken met je rekenmachientje de gemiddelde toename voor y = x als x verandert van 1 tot 1,1.

-ocr page 28-

-23-

>c OokalsjTverandert vanO,9 tot 1. 3. > Bereken ^ voor}' =x^en voor de intervallen 1 < x < 1,1 en 0,9 <x < 1. Bij een gegeven grafiek kan, afhankelijk van de keuze van Ax, een gemiddelde-toe- namen-diagram worden getekend. De gemiddelde toename (= hellingscoëfficiënt koorde) wordt uitgezet boven de bij- behorende intervallen. 'Voory = JT en Ax achtereenvolgens 2, 1, ^, 1 levert dit op:

4 - - 3 - — 2 - ƒ 1 - —i—i~ -i—

0 1 1112

O

Opgaven 4. > Ga na dat die vier gemiddelde-toenamendiagrammen de hellinggrafieken zijn van de vier koordengrafieken.

/ ^ 4 - 3 - 2 - 1 - ^-------1--------1—>

> V 4- T * 3 - 2- 1 - ^—1—1—>

O 1

o 1

5. > Teken zelf drie gemiddelde-toenamendiagrammen bij y = x^ (0 < x < 2). Neem voor Ax achtereenvolgens 2, 1, i

-ocr page 29-

-24-

2.3. Hellinggrafiek Bekijk nog eens de koordengrafiek bij v = ar voor Ax = i Die lijkt al aardig op de parabool y=jr. Het gemiddelde toenamendiagram benadert op zijn beurt de hellinggrafiek bij Naarmate Ax kleiner wordt gekozen is die benadering beter. Met een computer zijn 'koordengrafiek' en 'gemiddelde-toenamendiagram' gete- kend van > = x^ (O < jc < 2) en Ax = 0,1. koordengrafiek                         gemiddelde-toenamendiagram

benadert grafiek \anf(x) =x

benadert grafiek van/'(jc) = 2x

Je ziet: de koordengrafiek en het gemiddelde-toenamendiagram zijn met het blote oog niet meer te onderscheiden van de grafiek van/(x) = ;ir en zijn hellinggrafiek. Hetzelfde nog eens voor 3^ = x (O < x < 2) en Ax = 0,1. 12

O          1         2 benadert grafiek van/(x) = jr

benadert grafiek van ƒ'U) = 3x^

-ocr page 30-

-25-

Er zijn blijkbaar twee methoden om aan de hellinggrafiek van een gegeven functie te komen. functie

Gemiddelde toenamen

Raaklijnen aan de grafiek

1

hellinggrafiek                                 helllinggrafiek Het nadeel van de raaklijnmethode is: als je geen handig foefje kent om 'zuivere' raaklijnen te tekenen (zo'n manier als bij y = j:^, y = at, enz) is de methode erg on- nauwkeurig en bewerkelijk. Bewerkelijk is ook de methode met de gemiddelde toenamen, maar hierbij kan ge- makkelijk de computer worden ingeschakeld! Dat beide methoden hetzelfde resultaat opleveren heb je in de voorbeelden y = x en >> = JT kunnen zien. Een algemene toelichting vind je hier onder: hc raaklijn

- - hc 2° koorde -- hc r koorde - O

O                                            X Bij verfijning gaan de 'toenamendriehoekjes' steeds beter de vorm krijgen van de driehoek die bij de raaklijn getekend is. Om ze niet uit het gezicht te laten verdwij- nen, kun je ze vergroten. Dat heeft immers geen invloed op de vorm. We kiezen de vergrotingen zo, dat elk driehoekje in het verhaal een basis van 1 heeft (Ax =1). Dan gaan de (vergrote) toenamendriehoekjes over in het raaklijndriehoekje. Nog eens in beeld gebracht: AAAAA De stand van de koorden (langs de schuine zijde van het zwarte driehoekje) komt steeds dichter bij de stand van de raaklijn.

-ocr page 31-

-26-

3. Regels voor het differentiëren Het bepalen van een hellingfunctie bij een gegeven functie, wordt differentiëren ge- noemd. In dit hoofdstuk wordt behandeld hoe veeltermfuncties zoalsy(x) =;c^-;ir + 8x-4 of f{x) = 0,U^ - 1,5j:^ + 1 kunnen worden gedifferentieerd. De bouwstenen van veeltermfuncties zijn de 'zuivere' machten: x , x , x , enz. Van (zuivere) machtsfuncties weet je eigenlijk al hoe je de hellingfunctie (of afge- leide functie) kunt vinden. Daar komen we in paragraaf 1 op terug. In de paragrafen 2 en 3 worden enige 'combinatieregels' behandeld die je in staat stellen om alle voorkomende veeltermfuncties te differentiëren. 3.1. Het differentiëren van (zuivere) machtsfuncties In hoofdstuk 1 staat het al: differentieren

f(x)=x^ fix)=x^ /(JC)=/ f(x)=x^ enz.

^/'(x) = 2x ^f'(x) = 3^ ^f'(x) = 4x^ -^f'{x) = 5x^

We zijn daar aan deze regel gekomen via een meetkundig trucje om raaklijnen te tekenen aan de grafieken vany=)r,y=)r, enz. In hoofdstuk 2 heb je gezien dat een geheel andere route, namelijk via gemiddelde toenamen (of differentiequotiënten), althans \oorf{x) = jt en/(o:) =x ogenschijn- lijk hetzelfde resultaat geeft. Ogenschijnlijk, want we hebben ons beroepen op plaatjes voortgebracht door een computer. We laten nu zien datje deze formule ook door berekening kunt vinden. Neem/(j:) = j:^. Hoe maakt de computer een gemiddelde-toenamendiagram voor bijvoorbeeld Aï = 0,l? Hij berekent ^ voor een heleboel opeenvolgende intervallen met lengte 0,1. Zo'n (variabeT)interval loopt van x tot x + 0,1. De uitkomsten van de functie bij begin- en eindpunt van het intervalletje worden be- rekend door kwadrateren. Het kwadraat van j: + 0,1 is gelijk aan j: + 0,2jc + 0,01 (zie tabel)*)

• X 0,1 X ^ 0,lx ^...... 0,1 ...../ 0,U 0,01

*) In hoofdstuk 4 komen zulke berekeningen met tabellen uitvoerig aan de orde.

-ocr page 32-

-27-

In een plaatje:

0,2x + 0.01

;c^ + 0,2ï + 0,01

;c2

X          x + 0,1                                                             jc          x + 0,1 Er volgt nu (zie tweede plaatje): Ay = 0,2x + 0,01. Om ^ te berekenen moet nog worden gedeeld door 0,1. Dat geeft: ^ = oo^^A^l = 2x + 0,1. Je ziet: ^ verschilt 0,1 van 2x. Ax Nemen we Ax = 0,01, dan wordt op dezelfde manier gevonden: ^ =2x + 0,01 Bij Ax = 0,001 komen we tot ^ = 2x + 0,001, Hoe kleiner de intervalletjes, hoe dichter -^ bij 2x. Anders gezegd: De hellingscoëfficiënt van de koorden bij intervalletjes vanx totx + 0,1; van X tot jc + 0,01; van jc tot x + 0,001;... benaderen 2x steeds beter. De hellingscoëfficiënt van de raaklijn moet dus wel gelijk zijn aan 2x. In tabel:

interval hc koorde vanxtotx + 0,1 vanx:totx + 0,01 vanxtotx +0,001 enz. { 'puntinterval' 2x + 0,l 2x + 0,01 2x + 0,001 enz. > hc raaklijn X 2x

Dergelijke berekeningen kunnen ook worden uitgevoerd bij hogere machtsfuncties.

-ocr page 33-

-28-

Zo komen we tot de algemene regel:

f{x)=x^

De hellingfunctie van een machts- functie (graad n) wordt gevonden door de graad te verlagen met 1 en de zo verkregen lagere macht te vermenigvuldigen met de oor- spronkelijke graad

differentieren

i

-1

Opgaven 1. Bovenstaande regel geldt voor n = 2, 3, 4, enz. We onderzoeken de geldigheid voor n = 1. >a Hiernaast zie je de hellinggrafiek          hc h\]f{x)=x Verklaar die hellinggrafiek.                     —y >b f(X) = X is een machtsfunctie, im- mers voor ;c mag je ook schrijven x Laat nu zien dat de regel zonder be- zwaar uitgebreid kan worden met het geval n = 1.

hellinggrafiek

De hellingcoëfficiënt van de raaklijn aan de grafiek van/(x) = jc^ in het punt (5,125) kun je op twee manieren bepalen. (1)  De exacte methode. Differentieer de functie en vul ;c = 5 in bij de zo verkregen formule van/'. (2)   De benaderingsmethode. Neem een klein interval waarvan 5 een grenspunt is, bijvoorbeeld: van 5 tot 5,01. Bereken de gemiddelde toename van ƒ op dit interval met je rekenma- chientje. Op een kleinigheid na heb je nu de hc van de raaklijn.

>a Pas beide methoden toe en vergelijk je antwoorden. >b Wat zou je moeten doen bij methode (2) om een betere benadering van het exacte antwoord te krijgen?

-ocr page 34-

-29-

3.2. Plus en maal een constante In deze paragraaf leer je wat er gebeurt met de hellingfunctie als bij een functie een constante wordt opgeteld of als een functie met een constante wordt vermenigvul- digd. Aan de hand van enkele voorbeelden zul je de regels zelf ontdekken; die regels kun je vervolgens toepassen bij het differentiëren. Een goederentrein van 100 m lengte is aan het rangeren. In ^.g. 1 zie je de tijd- plaats-grafiek, in fig. 2 de tijd-snelheid-grafiek van de locomcaef. Merk op dat de snelheid negatief gerekend wordt bij het achteruitrijden. figuur 1                                                     figuur 2

s(m)

V\t>L.\\\.l \X\Xl.) 36 24 12 0 -12 -24 -36 / i U- / ^ y ' { \ / 1 / ^ / < N V / <' f 1 f N / / y V / V -> i ^ / \ /

1200 1000 800 600 400 200

o

4 5 6 / (minuten)

4 5 6 t (minuten)

De tijd-snelheid-grafiek is juist de hellinggrafiek van de tijd-plaats-grafiek (zie ook hoofdstuk 1). Anders gezegd: de hellingfunctie van s is v. Nog korter: s' = v. Opgaven 1.    De grafieken hebben beide betrekking op de locomotief van de goederentrein. >a Hoe zou je in figuur 1 de t,s-grafiek van de laatste wagon tekenen? >b Waarom hebben de locomotief en de laatste wagon dezelfde t,v-grafiek? 2.    >a Teken in één plaatje de parabolen >'=x^, }' = jr + 2en>'=;ir-4. >b Teken bij elk van de drie de hellinggrafiek. In de opgaven 1 en 2 was de vraag: wat gebeurt er met de hellingfunctie als je een constante bij een functie optelt. Antwoord: niets. Algemeen geldt, als c een constante is:

De functies/en ƒ-t- c hebben dezelfde hellingfunctie/'

-ocr page 35-

-30-

Demonstratie van deze regel voor het geval c = 3. Het idee hierbij is: bijzonderheden van de raaklijndriehoek kun je afleiden uit bij- zonderheden van de toenamendriehoek.

=/W + 3

=/W + 3

=/fx)

=/(x)

Raaklijndriehoek schuift 3 omhoog hc blijft hetzelfde

Toenamendriehoek schuift 3 omhoog

Ay Ax

blijft hetzelfde

Opgaven 3.    >a Teken in één plaatje de parabolen y =x^,y = 3jr eny = Aar. >b Bij deze parabolen zijn de drie hellinggrafieken verschillend. Zoals je weet is de hellinggrafiek van y=x^ een rechte lijn. Dat geldt ook voor de beide andere parabolen. Teken de drie hellinggrafieken in één plaatje. 4.    Twee tijd-plaats-grafieken van optrekkende auto's gedurende 5 seconden.

0           12345                 0           1234 A heeft op elk moment precies 2 keer zo'n grote afstand afgelegd als B. >a Hoe verhouden zich de snelheden van AcnB op het tijdstip / = 3? Hoe kun je dit in de grafiek duidelijk maken? >b De snelheidsgrafiek van A is gegeven. Hoe kun je daaruit handig de snelheidsgrafiek van B bepalen?

-ocr page 36-

-31-

In de opgaven 3 en 4 ging het over het effect van de vermenigvuldiging van een functie met een constante. De regel hiervoor is (c is weer een constante):

de hellingfunctie van c • ƒ is gelijk aan c maal de hellingfunctie van/(dus c -f')

Demonstratie voor het geval c = 2:

Toenamendriehoek wordt opgerekt (2 x zo hoog)

Raaklijndriehoek wordt opgerekt hc raaklijn wordt 2 X zo groot

Ay Ax

wordt 2 X zo groot

Toepassingen van deze regels:

►       f'{x) = 3x^ ►       f'{x) = 25-3x^ = 75x^ In geval (1) heeft de constante geen invloed op de helling; in geval (2) wel (de gra- fiek is als het ware '25 keer zo steil')

5. Geef de hellingfunctie van: >a fix)=x'^ + 24 >b f{x)=x^ + 3000 >c fix) = IOjc^ >d f(x) = -5x^

>e f{x) = -l+x^ >f f{x) = -mx + 6 >g /(x) = li/ >h f{x) = -^x^

-ocr page 37-

-32-

2x^-f-8

6. Voorbeeld:

differentieer

-3 Al

1-10jc^

>d

differentieer

differentieer

>a

0,75;c''

(lOxy

>b

differentieer

differentieer

>e

En nu andersom:

4 + \x^

>f

>c

differentieer

differentieer 7 12x2V

7 Y

>g Waarom zijn er bij >f veel verschillende antwoorden mogelijk?

7. fix) = 0,1x^ + 2 >a Teken een grafiek van ƒ voor -2 < j: < 2 >b A is het punt op de grafiek met x-coördinaat 1. Bereken de hc van de raaklijn aan de grafiek. >c Teken de raaklijn in A in de grafiek; in welk punt snijdt die raaklijn de y- as? >d C en D zijn de punten op de grafiek resp. met jc-coördinaat O en 2. Bereken de hc van de koorde CD. >e Er is een punt E op de grafiek tussen C en D, waarvoor de hc van de raaklijn precies gelijk is aan de hc van de koorde CD. Bereken de jc-coördinaat van E in 2 decimalen nauwkeurig.

-ocr page 38-

-33-

3.3 Som- en verschilregel De veeltermfuncüe y(jc)                + 4x bevat de bouwstenen            en 4x. Elk van deze bouwstenen kan gedifferentieerd worden: \0x en 4. In deze paragraaf bekijken we hoe een functie, die bestaat uit de som (of het ver- schil) van een aantal van dergelijke bouwstenen, kan worden gedifferentieerd. Eerst de som van twee functies: We gebruiken weer de toenamendriehoekjes en de raaklijnendriehoekjes.

yu = ys + yQ yr = y/? + yp _ yu-yr =(ys - yR) + ^q - yp) i hc UT = hc SR + hc PQ

hc raaklijn in R= hc raaklijn in Q+ hc raaklijn in P

Hieruit volgt de zogenaamde somregel voor het differentieren: de hellingfunctie die hoort bij de som van twee functies wordt gevonden door de som van de twee hel- lingfuncties te nemen. Noemen we de twee functies ƒ en g, dan geldt kortweg:

De hellingfunctie van ƒ + ^ is ƒ' + ^ '

ofwel

differentieer

/f'{x)+g '{xh

-ocr page 39-

-34-

Toepassing van de regel:

;c^+5;c2

l l f\x) = 3jP-+ IQx

of

differentieer

3;c2+10x^

Voor het verschil van twee functies geldt iets dergelijks:

De hellingfunctie van/- g is f' - g '

Illustratie:

De regels gelden ook als er meer dan twee functies worden opgeteld(of afgetrok- ken). Voorbeeld: /(;c) = 3x^-0,5x^ + 2^-40 f \x) = 15x'^-1,5x^ + 2

Opgave 1. \x^ + 2x/ >d >e >f \-'*^/ >a differentieer differentieer / \ / \ \ 1 3 1 2 / \ / >b differentieer differentieer / \ / \ 4 2 >c differentieer differentieer

-ocr page 40-

-35-

2. Geef de hellingfunctie van: >b f{x) = :?-5^ + Ax >c f{x) = -l + l,5x-0,2^x^

>d s{t) = t + ? ^? + t'^ >e 5(0 = 0,2f'^-l,2f^ + 2,2

>f s{t) = \-t+\p-

i^ + ir"^

B                A A en 5 beginnen hun rit van 8 minuten gelijktijdig in O. Hun 'reisbeschrijvin- gen' zijn hieronder in één figuur getekend. De twee ritten worden beschre-

ven door de formules: A{t) = -l-/^t met Ait) en B{t) in km en t in minuten.

6          Tr >a Hoeveel km ligt A voor op 5 na 4 minuten? >b Welke formules geven de snelheid van A en B op tijdstip tl >c Laat zien dat /4 en B op r = 4 even snel gaan. >d Na het tijdstip r = 4 loopt fi in op A. Hoe groot is het snelheidsverschil tussen A en ö op r = 6 (in km/uur)?

T, III TT,

In een plaatje zijn de grafieken ge- tekend van: y = )r (I), y=x' (II) en y=j^+x^{m) >a Controleer in een paar punten dat III de som is van I en II. >b De grafiek III heeft twee hori- zontale raaklijnen, bij x = O en bijx = -2 Hoe kun je dat 'hard maken' met behulp van de helling- functie?

11^______I______I______I______I ,

-1                     O                     1

-ocr page 41-

-36-

4. Ontbinden in factoren 4.1. Veeltermen vermenigvuldigen In de algebra-lessen (hoe lang is dat geleden?) heb je geleerd om veeltermen met elkaar te vermenigvuldigen. Bijvoorbeeld: (fl+5)(a+8) = ? Misschien heb je wel eens gezien hoe je de uitkomst (ook weer een veelterm) kunt vinden met een plaatje: a                 5

a2 5a 8a 40

(a+5)(a+8) = a^ + 5a + 8a + 40 = a^ + 13a + 40.

Toelichting: -     a = lengte van een willekeurig lijnstuk -     maak een rechthoek van a+5 bij a+8

oppervlakte rechthoek = lengte x breedte = | (a+8) • (a+5) verdeel de rechthoek in vier delen; de oppervlakten van de delen zijn: a , 5a, Sa, 40

1 J

a^+13a + 40

oppervlakte rechthoek = som van de delen =

1.

>a Maak met behulp van een rechthoek duidelijk dat: (j:+1)(j:+5) =x^ + 6x + 5

(p+4)(/7+4)=p^ + 8/7 + 16

>h Ook:

2.    Waarom kunnen de haakjes in: oppervlakte rechthoek = (a+8) • (a+5) niet worden gemist? 3.    >a Hoe groot is het verschil tussen (x+3)(x+4) en (x+2)(x+5)l >b En tussen (a+4)(a+15) en (a+6)(a+10)?

-ocr page 42-

-37-

4. Een vierkant met zijde x cm wordt in vier riclitingen uitgebreid, resp. met 2, 3, 4 en 5 cm.

+3 ^+2 X X X X +4 ^ W ^ +5

>a Druk de oppervlakte van de zo ontstane rechthoek uit in x. >b Neem aan dat de oppervlakte van de rechthoek 104 cm groter is dan de oppervlakte van het vierkant. Bereken x in dat geval. Het gebruik van tabellen bij vermenigvuldiging Het 'oppervlakte-model' bij vermenigvuldiging van vormen zoals fl+5 en a+8 heeft het nadeel dat daarbij het gebruik van negatieve getallen taboe is. Daarom zullen we voortaan gebruik maken van een vermenigvuldigingstabel die dat bezwaar niet heeft! Voorbeeld 1:

• a 5 a a^ 5a ^..... .....y 8 Sfl 40

-* (a+5)(a+8) = a^ + 13a + 40

Het schema lijkt dus erg veel op het oppervlaktemodel, maar werkt ook voor nega- tieve getallen:

-8

5x

5^ \5x

-8jc -24

-> (5x-8)(;c+3) = 5jc2-i-7jc-24

X 3

5. Bereken met behulp van zo'n tabel: >a (p-4)(/?+l)                                >c (a-0,l)(a-0,9)

>b ()t+4)(M)

>d {x-Zy

-ocr page 43-

-38-

6. Bereken met behulp van een tabel: >a (5p-l)(p+5) >b (l-3/?)(-/7+l)

>c (x+i)(x-i) >d (2x-l)(2x+l)

• X 2y 1 ^x y -4

7.

(A:+2>'+l)(3x+y-4) = ?

8.    Bereken met behulp van tabellen: >a (x^+3x+9)(x-3) >b (;c-4)(x+l)(;c+6) 9.    Een 'wiskundig' gedicht:

>c (fl^+2a-i-2)(fl^-2a+2) >d (A^+3^2)(A^-)t+6)

je schoonheid de geest die je je ogen c opgeteld en m {a + b + c?' lab + lac + min je ogen dartelt b Ibc noem ika instens een kwadraat gegeven

K. Schippers (Uit de bundel: 'Een leeuwerik boven een weiland') Terug naar de nuchtere werkelijkheid: > Laat met behulp van een tabel of rechthoek zien dat: (a + è + c)^ = fl^ + ö^ + c^ + lab + lac + Ib 10. Hoe kun je/Oc) = (x-2)(jr+5) differentiëren? Antwoord: eerst (j:-2)(a:+5) uitwerken, daarna somregel toepassen. Dus:/(x) = ^2 + 3jc - 10 ^ ƒ'(x) = 2x + 3 Differentieer op deze wijze:

>d f{x)=x-{x-\f >e f{x) = {x-\9'{o?-^x+\) >f /(x) = (jc2+2x-3)2

>a /W = (2x+1)(4-;c) >b /(;c) = (x-l)(;c+l)(x2+l) >c /(;c) = (5;c-3)2

-ocr page 44-

-39-

4.2. Som bekend, produkt bekend, getallen bekend? In deze paragraaf onderbreken we het rekenen met veeltermen eventjes om te kijken naar de volgende twee problemen: -     als je van twee getallen de som weet, wat kan het produkt dan zijn? -     als je van twee getallen de som en het produkt weet, welke getallen zijn er dan in het spel? Deze twee problemen zijn van groot belang voor het vervolg. In paragraaf 3 pakken we de draad van de veeltermrekening weer op, en dan zal blijken hoe je handig gebruik kunt maken van wat er in paragraaf 2 is ontdekt. Nu eerst een paar 'verkennende' opgaven.

Van twee getallen is bekend dat ze samen 100 zijn. Hoe groot is hun produkt? Tja...

1.

samen 100 produkt len99 99 2 en 98 196 10 en 90 900 75 en 25 1875 110 en-10 -1100

>a Behoort het produkt 1600 ook tot de mogelijkheden? Zo ja, hoe moetje 100 dan splitsen? >b Hoe moetje 100 zó splitsen dat het produkt O wordt? >c En zó dat het produkt 2500 wordt? >d Enig idee of je, uitgaande van de som 100, het produkt 3000 kunt krijgen? 2. Met een touw van 100 m wordt een rechthoekig veldje uitgezet. Bijvoorbeeld: 30

45

of

5i

>5

45

(2)

9                                                      n De oppervlakte van het veldje (1) is 600 m , die van veldje (2) is 225 m . >a Bedenk een rechthoek waarvan de oppervlakte ergens tussen die 600 en 225 m in ligt, en waarvan de omtrek ook weer 100 m is. >b Maak met een omtrek van 100 m een rechthoek waarvan de oppervlakte kleiner is dan 50 m . >c Kun je de oppervlakte ook kleiner krijgen dan 25 >d Enig idee wat de grootste oppervlakte is van zo'n veldje datje met 100 m touw kunt uitzetten?

-ocr page 45-

-40-

AcnB zijn door 3 wegen verbonden, B enC door 7. >a Hoeveel verschillende trajecten zijn er van A via B naar C? >b In totaal zijn er 10 wegen gebruikt voor dit we- gennet. Hoe kun je met hetzelfde totaal aantal wegen meer trajecten krijgen van A via B naar C?

In de drie voorbeelden heb je misschien gezien dat, als de som van twee getallen bekend is, het produkt van die getallen gebonden is aan een maximum. We lopen de drie opgaven nog even na: In opgave 1: Getallen samen 100; produkt hoogstens 50 x 50 = 2500. In opgave 2: Lengte + breedte = 50; produkt (= oppervlakte) hoogstens 25 x 25 = 625. In opgave 3: Aantal wegen AB + aantal wegen BC = 10; de verdeling: '5 wegen AB en 5 wegen AC' geeft het maximale aantal trajecten ABC, namelijke 5 x 5 = 25. Dit zijn allemaal voorbeelden van het principe:

'eerlijk verdelen' van de som levert het hoogst haalbare produkt op.

Dit principe kun je het gemakkelijkst begrijpen aan de hand van opgave 2.

25

t

Maak de ene zijde iets korter en de andere evenveel langer

25

25

25                                                                                                        *♦- Als het vierkant wordt veranderd in een rechthoek, zodat de som van lengte en breedte (en dus ook de omtrek) gelijk blijft, gaat er één strook (I) af en komt er één strook (II) bij. Echter: I > II (de stroken zijn even smal, maar I is langer). Conclusie: het vierkant heeft meer oppervlakte dan de rechthoek. Dit is een meetkundige verklaring voor bovenstaand principe van het eerlijk verde- len!

-ocr page 46-

-41-

Het kan ook met algebra. Van de ene zijde van het vierkant haal je fc af en de andere maak je /: groter. Zo krijg je een rechthoek van 25 - ^ bij 25 + k. Vermenigvuldiging van 15-ktnl5 +k geeft 625 - Ar.

• 25 -k 25 k 625 .....y 25k -25k Z......

625 - )k^ is kleiner dan 625, tenzij k = Q. Dus 625 is het hoogst haalbare produkt.

Het voordeel van de algebraïsche verklaring is dat je niet persé aan vierkanten of rechthoeken hoeft te denken en dat negatieve getallen ook zijn toegestaan. Nog een voorbeeld: -     som = -6 -     eerlijke verdeling van -6 geeft -3 en -3 -     zo maar een verdeling geeft -3 + A: en -3 - /: -     produkt bij 'zo maar een verdeling' is: 9 - Ie (maak maar een tabel) -     maximale produkt is 9 (= het produkt bij een eerlijke verdeling).

Opgave 4. >a >b >c

De som van twee getallen is 38. Hoe groot is het maximale produkt van die getallen? De som van o: en y is 3. Hoe groot is het produkt xy maximaal? a + ft = -12. Bereken het maximum van ah.

>d De som van twee getallen is S. Het produkt is maximaal..... We bekijken nu het probleem: 'Som en produkt van twee getallen zijn beide bekend, hoe kun je de getallen terugvinden?' Voorbeeld: Som = 14 produkt = 45 Er zijn twee zoekmethoden. (1) begin bij de som: 1 + 13 = 14                1x13 = 13 2+12=14               2x12 = 24 3+11 = 14                3x11=33 4+10=14               4 X 10 = 40

5+ 9 = 14

5x 9 = 45 KLAAR

-ocr page 47-

-42-

(2) begin bij het produkt: 1 X 45 = 45                1 + 45 = 46 3x15 = 45                3+15=18

5x 9 = 45

5+ 9=14 KLAAR

Opgave 5.    Een paar vragen over bovenstaande voorbeelden. >a Waarom hoefje in het voorbeeld som =14, produkt = 45 helemaal geen rekening te houden met negatieve getallen? >b Bij methode (2) zijn minder stappen nodig dan bij (1). Dat is bijna altijd zo. Hoe is dat te verklaren? 6.    Van twee getallen zijn steeds som en produkt gegeven. Bepaal die getallen.

>a   Som = 12,  produkt = 32 >b   Som = -8,   produkt = 15 >c   Som=l,    produkt = -12 >d   Som = -4,   produkt = -21

>e   Som = 18, produkt = 81 >f   Som = -18, produkt = 81 >g   Som = O, produkt = -4 >h   Som = 4, produkt = O

7. Som = 12, produkt = 40. Waarom kan dat niet? Aanwijzing: denk aan het principe van eerlijk verdelen. Als de getallen groot zijn of als de uitkomsten niet zo mooi (bijvoorbeeld niet ge- heel) zijn, is de hier behandelde 'zoekmethode' niet handig. Er is gelukkig ook een methode die 'recht op het doel' afgaat. Neem als voorbeeld: Som = 100, produkt = 1824. Om te beginnen merken we op dat bij de som 100 het maximaal bereikbare produkt gelijk is aan 50 x 50 = 2500. Omdat 1824 daar onder zit, is de verdeling die we zoeken blijkbaar 'niet eerlijk', dat wil zeggen: het ene getal zit wat boven de 50, het andere evenveel er onder. Ofwel: ene getal = 50 + ^ andere getal =50-k produkt =25m-k^ Produkt moet zijn 1824 -^ 2500 -k^=\ 824 Ip- = 676 k =7676=26 (k is positief verondersteld, zodat je k = -26 hier buiten beschouwing kunt laten)

-ocr page 48-

								-43-
		Dus: ene getal = 50 -^ 26 = 76 andere getal = 50 - 26 = 24 Controle: 76 + 24 = 100 76x24=1824. Opgave 8. Bereken op deze wijze de twee getallen, in de gevallen: >a   Som = 30,      produkt = 221 >b   Som = 48,      produkt = -265 >c   Som = 1000, produkt = 222111 >d   Som = 90,      produkt = 2025 >e   Som = -9,       produkt = -220
			>f   Som = 4,        produkt = 3		4
			>g Som = 4i, produkt = 4^ >h Som = 5, produkt = 6i
		■I Nu een geval waarbij de uitkomsten niet mooi uitkomen. Som = 10, produkt = 23. Omdat 4x6 = 24 en 3x7 = 21 weet je dat het ene gezochte getal tussen 3 en 4 en het andere tussen 7 en 6 ligt. Het probeersel: 3i en 6i levert als produkt 22,75 dus weer iets te groot. Zo kun je met proberen steeds betere benaderingen vinden (bijvoorbeeld: 3,25 x 6,75 = 21,94 dus 3,25 en 6,75 komen al weer een stuk dichter in de buurt). De methode: ene getal = 5 -i- /: andere getal = 5 - /: levert snel resultaat. (5-)-/:) • (5-)t) = 25 - )t^ moet gelijk zijn aan 22, dus it^ = 3, dus )fe = ^3 = 1,73205... Benaderende oplossingen zijn: 6,73205 en 3,26795. Het produkt van 6,73205 en 3,26795 is niet precies 22, maar komt er heel dicht bij. Exacte oplossingen zijn: 5 + J3 en5- J3. Opgave 9.    Geef de exacte en de benaderende oplossingen (in 4 decimalen) in de gevallen: >a Som = 100, produkt = 1850 >b Som = 2, produkt = -1 10.  Van een rechthoek is de oppervlakte 10 m en de omtrek 20 m. > Hoe lang zijn de zijden? (Geef je antwoord in 2 decimalen nauwkeurig.)

-ocr page 49-

-44-

4.3. Ontbinding in factoren van tweedegraadsveeltermen Bij toepassingen van de differentiaalrekening kom je problemen tegen als: -     voor welke x geldt: xr -x^-2x = 0. -     voor welke x geldt: j:^ + 1 5jc + 54 < 0. Om zulke problemen op te kunnen lossen is het handig om te weten van welke fac- toren een veelterm alsxr -x^-Ixof^r + 15x + 54 het produkt is. In deze paragraaf specialiseren we ons in tweedegraadsveeltermen. Voorbeeld: x'^ + 15;c + 54 = (..........) • (..........) t      t vorm          vorm

metj:

metx

Omdat ar + 15;t + 54 begint met x^ , lijkt het gokje dat de beide factoren elk met x

beginnen nog niet zo gek: ;r + 15j: + 54 = (x +

)

Of in een tabel:

• X ] si: X "ö ^ i m ^ -M..... O^i 54

Uit de tabel volgt meteen:

= 54 + 111 = 15

Kortom, hier ontstaat een vertrouwd probleem.

De oplossing is: |i Dus:

= 9, Q =6 (of, maar dat maakt niets uit: ||| = 6, Ijl =9) ;c + 54 = (;c+9)(x+6)

We zeggen: jr + 15x + 54 is ontbonden in de factoren x+9 en x+6. Die factoren zijn van de eerste graad in x (ofwel lineair).

Opgaven 1. Als je fl + 11a + 24 wilt ontbinden in twee lineaire factoren, dus a +lla + 24 = (a + ...)(a +...), is het zaak om twee getallen te vmden waar- van de som 11 is en het produkt 24. >a Verklaar dat. >b Vind die getallen. >c Geef de ontbinding van a + 11a + 24.

-ocr page 50-

-45-

Vul in: r^+ 7x + 12 = (x + ...)(x + ...) )?+ &c + 12 = (x + ...)(a: + ...) x^ -H 13x + 12 = (X + ...)(;c + ...)

^

X

12

Het ontbinden in factoren van een tweedegraadsveelterm, leidt tot het probleem: 'Som bekend, produkt bekend, wat zijn de getallen?' Als die getallen niet al te groot zijn, kun je er vaak met een 'zoekmethode' snel uit- komen. De methode 'die altijd werkt' (ene getal = halve som + k, andere getal = hal- ve som - k) geeft soms veel rekenwerk, maar is vaak onvermijdelijk. Verder hangt de keuze van de methode ook af van je persoonlijke voorkeur. Voorbeeld: ontbind x -t- 3x - 4

methode 1 methode 2 Som = 3, produkt = -4 Omdat het produkt negatief is, zijn de getallen + en - Proberen: 1 X (-4) = -4 1 + (-4) = -3 2x(-2) = -4 2 + (-2)=0 Som = 3, produkt = -4 1^ getal = 1,5+ /t 1 U produkt = 2,25 - !?■ 2^ getal = 1,5-)t J Produkt = -4 -> 2,25 -l^ = -A-^]^ = 6,25 Kies: k = Jó, 25 = 2,5 *^ 4x(-l) = -4 4-(-(-l) = 3 Dus: ^ + 3x-A = {x + A){x-\) dan: 1^ getal = 1,5 + 2,5=4 2^ getal =1,5-2,5 = -1 Dus: x^ + 3x-4^ix + 4)(,x-l)

Nu volgen enige oefeningen in het ontbinden van 2^ graadsveeltermen in lineaire factoren. Nogmaals, er is niets tegen om de zoekmethode te gebruiken. In die geval- len waarbij het zoeken niet lukt of te lang gaat duren, is de tweede methode de aan- gewezen aanpak.

3. Ontbind: >a x^-i-lU+18 >b j:^ + 12x + 36 >c jp' + llx + lO >d x^-32x + 60

>e   a^ + 2a- 15 >f  a^-2a-35 >g   a^ - 35a + 150 >h   0^ +2a-1295

*) l? = 6,25 heeft behalve 2,5 ook de oplossing k = -2,5. Welke van de twee je hier kiest, beïnvloedt alleen de volgorde van de getallen! ik = -2,5 geeft: 1= getal = -1; 2= getal = 4)

-ocr page 51-

						-46-
				4.    Ontbind: >a r^ + 50;c-I-600                          >e   a^ + a-11 >b /-H50y + 609                          >f   b^-\mb-\-99 >c u^-16u +1444                     >g  c^-c-2 >d r2-H000r-h222111                  >h   ^^ + ^ + 0,25 5.    Bij jr -I- x + 2 is een ontbinding in lineaire factoren onmogelijk. > Waarom kun je daar absoluut zeker van zijn?
					Ontbind: >a jc^ + j:-1-0,24 >c x^+\x+± >b x2-l,2x-1-0,35 >d x^+lx-^
			7. >a Laat met behulp van methode 2 zien dat de ontbinding van j:^ -i- 2x - 2 is: (,X+ 1 + J3){X -I- 1 - -vy^) >b Geef benaderingen van l + ^/^enl-^/^in6 decimalen nauwkeurig en controleer de ontbinding door j: + 1 -i- ,y^ te vermenigvuldigen met x+ l - S. Een 2® graadsveelterm hoeft niet persé drie termen te bevatten; twee kan ook, bij- voorbeeld: r^ - 49 ; / + 8^ Je kan in die gevallen toch het systeem van drietermen gebruiken als je bedenkt: ;c2-49= x2-f-0;c-49 y'^ + Sy= y^ + Sy + O In het eerse geval gaat het dus om: Som O, produkt = -49 De gezochte getallen zijn nu: 7 en -7 En dus: x^-49 = (x + l){x - 7) In het tweede geval is er sprake van: Som = 8, produkt = 0 De gezochte getallen zijn O en 8. Dus: y'^ + %y=iy + G)(y + %)=y(y + %) In dit laatste geval kun je de ontbinding ook meteen zien, als je bedenkt: y'^ + %y=y.y+y.%=y(y + %) We zeggen : de factor>» is 'buiten haakjes gebracht'.
		8. Ontbind (indien mogelijk): >?i }?■+ \0x >d /-64 >b p^-np >e (?■ -\ >c p- + t >f n?- +\

-ocr page 52-

-47-

Tenslotte het geval, waarbij de coëfficiënt van de 2^ graadsterm niet gelijk is aan 1, bijvoorbeeld: 3r^ -I- 2x - 8. Oplossing: -     breng 3 buiten haakjes: 3(j:^ ■*■ 3^ ~ 5 ^ -     behandel jr + 1J^ - I volgens een van de twee bekende methoden; datgeeft:(x + 2)(A;-4) -     de ontbinding is nu: 3x^ -i- 2x - 8 = 3(x + 2){x - ^)

. Controleer de ontbinding vanx ^ 3^ 3 0. Ontbind: >a 4r^-i-2x-2 >d 4a^-9 >b 3/-8y-3 >e 5t^-2t >c i"2-M-4 >f im^-75

4.4. Ontbinding in factoren van veeltermen van hogere graad In principe kun je nu elke 2® graadsveelterm ontbinden in factoren, of vaststellen dat er geen ontbinding bestaat! Voor dit laatste kun je gebruik maken van de regel: als de som van twee getallen bekend is, dan geeft een eerlijke verdeling van die som het hoogst haalbare produkt. Voorbeeld:                  x^ + Sx+ 17 is niet ontbindbaar want:                          eerlijke verdeling van 8 geeft 4 + 4; 4x4= 16, dus een produkt 17 is onmogelijk! Voor veeltermen van de graad 3 (of hoger) is het vinden van een ontbinding vaak heel moeilijk. We leren daarvoor geen sluitend systeem zoals bij 2^ graadsveelter- men. (Voor veeltermen van de graad hoger dan 4 bestaat er zelfs geen sluitend sys- teem.) Je krijgt alleen te maken met gevallen, waarbij je je kunt redden door het pro- bleem terug te brengen tot een veelterm van de graad 2. Voorbeeld:                  x^-4x^ + 3x Omdat elke term hier deelbaar is door x, kan x buiten haakjes worden gebracht; dat geeft:                          x(x^ - 4j: + 3) PT -4x + 3 laat zich volgens de regels ontbinden in (x - 3)(x - 1).

t^-4x^ + 3x = x(x-3)ix-l)

Zo krijgen we:

Schema: x^-4x^ + 3x X :?■-4x^-3 x-3 X-1

-ocr page 53-

							-48-
			Opgave 1. Ontbind in factoren, door eerst x (of een andere variabele) buiten haalcjes te brengen. Denk er aan dat het kan gebeuren dat de 2^ graadsveelterm die je dan krijgt, niet ontbindbaar is. >a x^-x^-6x                            >e 2y^+y^-y >b a^-9a                                  >f x^+x^+x >c P + t                                    >g m^- I4np- + 49m >d p^ + 64/72 + 768/7                    >h a^-0A5a^ +0,05a Bij 4® graadsveeltermen behandelen we twee mogelijke gevallen. Voorbeeld 1: x'^ + 5j^-6x^ ledere term is deelbaar door jr, dus x^ kan buiten haakjes: x^(,x^ + 5x-6) Vervolgens kan jr + 5j: - 6 worden ontbonden in (x + 6)(x - 1) Dus:                         / + 5x^-6;c2=jc2(x + 6)(x-l)
					Schema: x'^ +5x^-6^ ^ jc^ + 5j: - 6 x + 6 X-1
				Voorbeeld 2:
						^■5x2
		Omdat er alleen termen van even graad staan, kun je je hier redden met een substi- tutie, namelijk: vervang xr door t en dus x door r Er komt dan:               P' + 5t-6cn dat is (t + 6)(r - 1) Vervang nu weer t door jr en er komt: (x + 6)(xr - 1) xr + 6 kan niet verder worden ontbonden, x^ - 1 wèl: (x-l)(x+ l) Zo komt er tenslotte: x'^ + 5x!^ - 6 = (xP'+ 6)(x -l)(x+\)

-ocr page 54-

-49-

2. Ontbind: >a /-13;c3 + 36x2 >b /-13/ + 36

>e x^ + 5x^ + 4x^

4^2

>f jc^ +

■^-5^3

>g Jc + >h j:'* + 5^2 + 4

r^ + lOr^

>d

3. Ontbind >a p^ + 6p^ Tenslotte nog een handige vuistregel.

16

>c r

>d y^-lóy

Bij het ontbinden van een 2^ graadsveelterm kun je hoogstens 2 lineaire factoren verwachten 3® graadsveelterm kun je hoogstens 3 lineaire factoren verwachten 4® graadsveelterm kun je hoogstens 4 lineaire factoren verwachten

enz.

4. >a Verklaard de logica van die regel. >b Ga nog even na, welke 4^ graadsveelterm in de opgaven 2 en 3 vier (ver- schillende) lineaire factoren bevatten.

• x" 3x 2 ^ x^ 3jc^ -4jc -21

>a Vul de tabel verder in. >b De uitkomst van (ar + 3a: + 2)(jr -Ax- 21) is een 4^ graadsveelterm. Welke? >c Die 4® graadsveelterm kan worden ontbonden in vier factoren. Geef die ontbinding.

-ocr page 55-

				-50-
			5. Vergelijkingen en ongelijkheden Om greep te krijgen op het verloop van een veranderingsproces is het nuttig om te weten in welJce gebieden er sprake is van stijging (toename) of daling (afname). Daarbij kan de hellingfunctie alle nodige informatie geven. Omdat het daarbij lang niet altijd gaat om de 'waarde' van de hellingscëfficiënt, maar meer om de 'toe- stand' (positief, nul of negatieO kan veelal worden volstaan met een zogenaamd te- kenverloop. Wat dat is en hoe je dat kunt maken, daarover gaat dit hoofdstuk. 5.1. Tekenverloop van ontbonden veeltermen Bekijk het produkt (x - l) ■ (x - 4). Als je X laat variëren, varieert de uitkomst van dit produkt. Er zijn allerlei manieren om die variatie van uitkomsten zichtbaar te maken. De meest bekende manier is het tekenen van een grafiek. In deze paragraaf beperken we ons tot het gebruik van de getallenlijn. Opgave 1. Dit plaatje hoort bij (x - 1) • (x - 4). 28                 10                 O -2                           4                 18
		-3 -2 -1 O         1         2 3 4 5 6 7 ;c Bij de j:-waarde -3,-1, 1, 3, 5, 7 zijn de waarden van het produkt (x -l) • (x - 4) aan de bovenkant van de getallenlijn vermeld. >a Controleer die waarden. >b Neem het plaatje over en vul ook de waarden in bij X = -2, O, 3, 4, 6. >c Op grond van de uitkomsten zou je kunnen vermoeden dat (x -1) • (jc - 4) alleen een negatieve uitkomst heeft als x tussen 1 en 4 ligt. Daarbij moetje bedenken dat x niet geheel hoeft te zijn. Hoe kun je beredeneren dat (x - \) • {x - 4) inderdaad negatief moet zijn, als X tussen 1 en 4 ligt? Als je alleen geïnteresseerd bent in het al of niet positief zijn van de uitkomst, geeft een getallenlijn met 'plussen' en 'minnen' voldoende informatie. In het geval van (jc - 1) • (jc - 4). +         +         -I--I-0-          -0         + + + H-----------1-----------1-----------1-----------\-----------\-----------\-----------\-----------1-----------1-----------f- -3 -2 -1 o         1         2 3         4 5 6 7 X Dit plaatje laat het tekenverloop van {x- \){x-4) zien.

-ocr page 56-

-51-

2. Bekijk het produkt (4 - x) • (j: + 2) Plaatje: O + + + + + O

-4-3-2-1 O 1 2 3 4 5 6 x >a Controleer het plaatje. >b Leg uit waarom je bij uitbreiding naar rechts van het plaatje alleen nog maar 'minnen' kunt verwachten. >c Hoe zit dat bij uitbreiding naar links? 3. Bekijk het produkt (x - 2) • (2x - 5). Plaatje: + + + + + 0 + + + + +

-3 -2 -1 O         1         2         3         4         5 6 7 X >a Controleer het plaatje. >b Op grond van dit plaatje zou je kunnen denken dat het produkt {x-2) ■ {2x - 5) geen negatieve uitkomst kan hebben. Dat is echter niet zo. Laat zien dat {x-T) • {2x- 5) wel degelijk negatief kan zijn.

Het is gevaarlijk om alleen te kijken naar de 'toestand' van het produkt voor gehele waarden van x.

Tussen 2 en 3 blijkt {x - 2)(2x - 5) soms positief, soms negatief te zijn. De grens ligt in dit geval netjes in het midden, bij 2^. Dat heeft te maken met het feit datje voor j: = 2i de uitkomst nul vindt. Blijkbaar spelen de nullen een belangrijke rol bij het tekenverloop. Die nullen kun je bij een 'produktvorm' snel vinden. Immers: als één factor van het produkt nul is, dan weet je zeker dat er nul uit moet komen. Bijvoorbeeld:                                   0 0                       O (x-4)(x+l)(2x-l)          -I------j------------------1----- -1 0,5                      4 X Vul maar in: x = -\ geeft: (-l-4)(-l+l)(-2-l) =0 O jc = 0,5 geeft: (0,5^X0,5+1)( 1-1) = O O a: = 4 geeft:(4-4)(4+l)(8-l)=0 O

-ocr page 57-

-52-

Opgave 4. Waar zitten de nullen op de getallenlijn bij: >a {x + 2){x-3)(x-2\)l >b x{x + l)(jc - 2){x + 3)(;c - 4)? >c {2x-l)0x-\)l

Weet jij water uit {x-a){x-b) komt?

• X ] -C ■x} ic^ '^-cid ö. 1 1

Knappe jongen! Maar dan kun je ook: {?.-d){x-b){x-c) t/m (x-z)

Het kan op een kiezelsteen!

Voor de oplossing zie bladzijde 76

-ocr page 58-

-53-

Hoe schets je snel een tekenverloop? Voorbeeld: (x-5) (lx-1) Werkwijze: Allereerst merk je op dat de nullen zitten bij x = 5 en bij x= ^.

O

O

Dus:

1 5

Je maakt nu als het ware een reisje langs de getallenlijn van rechts naar links. Je komt dan achtereenvolgens in drie 'gebieden': het gebied rechts van 5, het gebied tussen 1 en 5, het gebied links van |. (1) Gebied rechts van 5.

x-5 + 2x-l +

O

+ 7^

O

1 5

X - 5 en 2jc - 1 hebben hier positieve uitkomsten, het produkt is positief. (2) Gebied tussen 5 en 5.

x-5 - lx-\ + 0 ^ 0 1 5 5

Als 5 wordt gepasseerd verandert (de uitkomst van) X'5 van teken en 2x - 1 niet. Het produkt telt nu één negatieve factor en één positieve factor en is dan negatief.

(3) Gebied links van i.

;c-5 ■*» Zx-l ^

O

è

Als i wordt gepasseerd verandert (de uitkomst van) Ix-X van teken en j: - 5 niet. Het produkt telt nu twee negatieve factoren en is positief. Het tekenverloop is dus:

+ O ------•-

O + -•-----

+

1 5

-ocr page 59-

-54-

5.    Schets het tekenverloop (nullen, plussen en minnen) van: >a (x-2)(a:-3)                           >f x{x-e) >b (jc-2)(;c + 3)                           >g (;c-6)(x-6) >c (2-;c)(x-8)                           >h (2x-l)2 >d Ox-5){x-\)                          >i (;c-4)(x-1)(a; + 2) >e (4x + 8) (a:-1-1)                         >j (;c - 3)^ (2x + 3) 6.    Schrijf na de 10 produkten van opgave 5 achtereenvolgens: >a >0                                          >f <0 >b   <0                                          >g   >0 >c   >0                                          >h   <0 >d   =0                                          >i   >0 >e   <0                                          >j    >0 En beantwoord de zo ontstane vraag. Voorbeeld: >a wordt: {x - 2){x - 3) > 0; uit het tekenverloop kun je aflezen dat dit geldt voor x > 3 en ook voor x<2 7.    Vier produkten, twee teken verlopen. Welk tekenverloop hoort bij welk produkt? ^ r ^^f i\                                     ^, ^ 4- -I- + O - - O + + >a {x-l){x-y)                               (1) -----------•----------•-------------

>h ix-\){3-x)                                         - . o + + O (2) -----------•----------•- >c {\-x){x-3)                               ^ '               1           3 >d {\-x)0-x) 8. Bedenk bij elk tekenverloop een produkt dat erbij past:

+ -1- 0 1 - - 0 1 -H -1- + 1 3 1 7 - - 0 1 -1- + 0 1 - - - 1 3 1 7 + + 0 1 + + 0 1 + + + 1 3 1 7 -1- + 0 1 + -1- + 1 + -1- -1- 1 3 1 7 - - 0 -H— + + 0 -1— -1- -1- +

>a

>b

>c

>d

>e

-ocr page 60-

-55-

5.2. Grafiek en tekenverioop

Bij een functie gegeven door een grafiek kan het tekenverioop worden afgele- zen uit het plaatje. Voorbeeld: 3'

I ^ ^ I

1. Geef bij elk van onderstaande grafieken het passende tekenverioop.

2. Schets bij elk van onderstaande tekenverlopen een passende grafiek:

0 + 0 H-----------h

O +

>a

1               2              5 + + + + 0 + + + + +

>b

+ + + + 0 + + + 0 >C ---------------------------\--------------------------h

>d

-ocr page 61-

-56-

5.3 Vergelijkingen en ongelijkheden Voorbeelden:

mFIFIHWmiHHWWWIWTilHHWHIIIIHIJWyWJ*|l|IIIHI^t

(2) ?>?'-(it

(V) ?^9--(yt

^i

Hieronder volgt een recept voor het oplossen van dergelijke opgaven. Stap 1. Herleid de vergelijking of ongelijkheid zodanig dat in het rechterlid een nul komt te staan (kortweg: 'herleid op nul'). Daarbij is het handig om de veelterm in het linkerlid te rangschikken van hoge graad naar lage graad. Voor de drie voorbeelden krijg je dan:

(1) P-r2+6/ = 0

(3) ê-f+6t^0

(2) P-/2+6f>0

Stap 2. Ontbind de veelterm in het linkerlid in zoveel mogelijk lineaire factoren:

(llll) ;(r-l||||i|ï

(1) r(r-3)(f+2; = 0

(2) t(t-3)(t+2)>0

Stap 3. Bij een vergelijking kun je nu meteen de oplossing zien. Bij een ongelijkheid maak je een tekenverloop van de ontbonden vorm. Uit het tekenverloop kun je dan aflezen welke getallen voldoen.

pwTwwwwwijjHFiTmi]

-0+0--0+ (2)------1-------^-----------^— -2 0           3 Oplossingen: -2<t<0;t>3

0

o

O -1-

(1)

O

-2

3

Ppi||p||||l|i|

Oplossingen: t = -2;t = 0;t=3

Opgaven 1. Geef de oplossingen van achtereenvolgens: >a ^"^=160^                           >b a^>16a'^

>c a"* < I6a^

2. Los op: >a x^ + x=\2 >b xix+l) = 90

>c x^<nx-60 >d x^ + 60>nx

-ocr page 62-

-57-

3. Los op:

>d p^ < 144p >e «"*< 10000 >f tit-4)>3t

>a /-128 = 28}' >b 10y = y^ >c a(a+12) = 28

>a Bedenk een tweede graads vergelijking bij de oplossing: j: = 15; x = -6 >b Bedenk een ongelijkheid (van de tweede graad) bij de oplossing: -13<r<54

4.

5.

Van een rechthoekige tuin zijn de afme- tingen 20 en 30 meter. De tuinman wil langs twee zijden een border aanleggen die overal even breed is. De oppervlakte 20 (= O) van het overblijvende stuk moet meer dan 375 m^ zijn.

Kortweg: O > 375. De vraag is nu: hoe breed mag de border           -<----------- 30 ----------^ zijn? >a GanadatO>3751eidttot(20-A;)(30-x)>375 en dat weer tot yp--50x + 225 > 0. >b Schets het tekenverloop van jT - 50j: + 225 (bedenk wel dat x hoogstens 20 kan zijn!) >c Hoe breed mag de border dus zijn? >d Verander de voorwaarde 'meer dan 375' in 'minder dan 400'. Hoe breed mag de border nu zijn? (De ondergrens van de borderbreedte is in dit geval niet een geheel getal; geef die grens in één decimaal nauwkeurig.) Nog drie voorbeelden:

5x^-h3x-2 = 0

1x2

-jc^ -(- 20 > 8x Oplossing: -x^ - 8x + 20 > O -(x^-t-8x-20)>0 -(x+10)(x-2)>0 -----0 + + + 0-----

■x-7i>0

Oplossing:

Oplossing: l(x2-2x-15)<0 Ux-5)(x + 3)<0

5{x^

\x-l) = 0

i)=o

5(x+l)(x

+ O

O +

-3         5 x<-3;x> 5

x = -l;x =

-ocr page 63-

-58-

6. Los op:

>a l;c^-5x+12 = 0                     >d -r^ + 4jc + 96>0

>b 10;c2 + 8x-18>0 >e 1^+^-5=1 >c 0,1j:^+x +2,5=0 >f 2x^ - 98a; > 0 Schets het tekenverloop van: >a -6x^ + X >c 4^ + 6/2 >b /-jc2 >d 0,6/2-72r+1200

8. Dido heeft een touw van 50 m lengte. Zij gebruikt dit om een rechthoekig stuk land aan drie zijden te begrenzen; de vierde zijde wordt door een sloot be- grensd. Ze mag echter niet meer dan 200 m grond uitzetten, sloot

^~^---------~-----------^^ <-------------50 m------------► >a Noem de breedte van het stuk grond (in m) x. Verklaar nu: a:(50 - 2x) < 200 >b Los de ongelijkheid van >a op. >c Welke breedten zijn toegestaan voor Dido's stuk land? 9.    Vier veeltermen, vier teken verlopen. Welk tekenverloop hoort bij welke veelterm?

- - - 0 + + 0 — 1 0 1 1 - - - 0 + 1 + + + 1 0 + + + + + + + + 1 0 - - 0 + + H------h + 0 -1- --------

il)x^+\                                       (a) (2)   1-x^                                       (b) (3)  x-x^                                       (c) (4)   x + x^                                          (d)

-1 O 1 10.  JT +x + 2is niet ontbindbaar. >a Verklaar dat. Het gevolg is dat jr + j: + 2 = O geen oplossingen heeft. >b Heeft de vergelijking xr + x+ l =0 oplossingen? Zo nee, waarom? >c Hoeveel oplossingen heeft ;r + j: + i = O?

-ocr page 64-

							-59-
		JT +X + 2 heeft geen 'nulpunten' en daarom een éénzijdig tekenverloop: j^+x + 2                  + + + + + + + + Het tekenverloop van jt -(- x + 1 is al net zo eenzijdig: ;c2-hx-Hl                  + + + + + + + +
				Bij jr -I- X -I- i is er iets meer leven in de brouwerij:
			4 A^-f-X+i                  + + + + 0 + + + l ' 2
				Opgaven 11.   Schets het tekenverloop van: >a a:^ + 100                                   >c   x^ + 2x + 2 >b -A^ - 1                                     >f   x^ - 3x -t- 3 >c x-^ -I- 2x                                    >g   -x^ -H 6x - 9 >d x^ + 3x^                                   >h   -x^ + óx-lO 12.  Los op: >a (x2-h2x + 2)(x-5) = 0             >c   (x^ -4)((r^-h 4x-h 4) > O >b (x2 + 2x-3)(a:-4)<0              >d   (r^-i-3)(r^ + 3;c-i-3) < O 13.   Schets het tekenverloop van: >a (x - 2)(j: + 3) + 4a:                     >c   27+p(p +12) >b ia + 4)ia-4)-6a                    >d   21p(p + l2) 14.  >a Van welke derde-graads veelterm is het tekenverloop — 0 + + 0 —   0 + + + +
					>b En hoe moet je die veeltenn veranderen om dit tekenverloop te krijgen: + + 0--0 + + 0------------- --------\-----------1-----------\-----------------

-ocr page 65-

-60-

5.4 Een automaat voor de oplossing van vierkantsvergelijkingen Om een vierkantsvergelijking als - 7j: - 20 = O op te lossen, heb je alleen het rijtje van de drie getallen 6, -7 en -20 nodig. Daarop kan een vaste Tekenprocedure worden toegepast die de oplossingen oplevert. Je kunt je hierbij een automaat voorstellen. 6x2         _7^          _2o            =0 i        l        I A 6/___\-7Z___\-^^L

x = -é. 3 In deze paragraaf willen we het inwendige van zo'n automaat onderzoeken. We doen dat in een aantal stappen. Bij de oplossing van bijvoorbeeld jt -i- 9a: -i-14 = O hebben we als tussenstap de twee getallen voor de ontbinding nodig. Die zijn hier zo te zien, maar omdat het om de methode gaat, volgen we de langere weg. We willen daarbij de getallen 9 en 14 vol- gen. We kunnen ze op het spoor blijven door ze te merken en niet door een bereke- ning te verbergen. (Zo is bijvoorbeeld 9 niet vervangen door 81) ^2 +

zoek twee getallen met

zoek twee getallen met som = Q en produkt = \ /

som =

9_ en produkt = <d4>

E.,

a..

1^getal

getal ^ +k

2® getal

2^ getal V - ^

-k

2 [9]2

2 4 k^ = k =

-^ =

Produkt

Produkt

t2=m? 4

9-O

k =

=a.i9^

1^ getal =

1^ getal

+

_D

-i¥-0

2'^ getal =

T^ getal =

(en hieruit kun je tenslotte getallen 7 en 2 vinden)

-ocr page 66-

-61-

Je hebt wel ontdekt dat naast de gewone berekening een schaduwberekening met open merktekens [^ en <(J> is gemaakt. Moetje nu de twee getallen voor de ontbinding van bijvoorbeeld x + 15;c + 50 vin- den, dan kun je gewoon in dit schema in elk Q het getal 15 invullen en in elk \y het getal 50. Maar wacht even! Hier valt wat te verdienen: je hoeft alleen de laatste regels in te vullen. Opgave 1. Doe dat en bereken de gevraagde getallen. Nog enkele bijzonderheden: -     x^ - 7x - 3 wordt gelezen als x^ + pTJy + [3] -     als de uitkomst onder het wortelteken geen kwadraat van een heel getal is, dan blijft in het antwoord een wortelteken staan of er wordt een benadering gege- ven. -     als de uitkomst onder het wortelteken negatief is, dan is dat een signaal dat er geen ontbinding mogelijk is.

Opgave 2. Geef indien mogelijk de ontbinding voor: >a jp'-lx-S                                >c x^ + 5x + S

>d x^ + 0,lx-0A2

>b pp-+ ^x+ 4

45

Terug naar x +9x+ 14 = 0. Uit de ontbonden vorm (x + l)(x -i- 2) = O volgen de oplossingen x = -l enx = -2. De oplossingen zijn dus juist tegengesteld aan de 'ont- bindingsgetallen'! Voor ;c + Ljc + \/ = O vinden we de oplossingen:

i9^

..□.

2

en X

O

4           N^ - -v           2

Wiskundige resultaten worden als regel niet met vierkantjes en ruitjes geschreven. Daarvoor gebruikt men letters:

X + bx + c = 0 heeft de oplossingen:

ft2

x = -k +

c cnx = -s

4-'

V4

Die twee 'vliegen' kunnen in één klap:

'-i^it'-'

De hele berekening is dus samengeperst in één formule.

-ocr page 67-

-62-

De meest algemene vorm van de tweedegraadsvergelijking is cüp- + bx + c = 0. Daarvoor willen we ook een formule maken. Eerst naar het bekende model:

= 0

x +

+ bx + c = 0 mag je ruilen voor : jr + Schrijven we | nu als b/a en ^ als c/a, dan komt er:

{b/a]

b/a

x =

2 ~ H 4 Het doel is bereikt, maar de formule kan nog wel verfraaid worden.

<— de breuken minder ingewikkeld geschreven <— van 2 gemaakt -^-^ en de breuken onder één noemer gebracht teller          Jteïler

^=Ta^

,2 a

\Aa

\b -Aac

^=t^

Aa'-

b-4ac

X= — +

l

noemer

noemer

^

jb^-Aac 2^

één wortel kan weggewerkt worden onder één noemer gebracht.

la

-b±Jb^-4ac

X =

la

Deze formule staat bekend als de a, b, c-formule Voorbeeld: Los op: 3x^ + 8;c - 2 = O Dit is een vorm die niet eenvoudig is te ontbinden in factoren. We gebruiken de a, b, c-formule: a = 3, ö = 8, c = -2 De oplossingen van de vergelijking zijn:

-8 ± ^8^-4.3.-2 -8+788

X =

2-3

-8 + ^^             -%-M X = —?— en j: =

ofwel:

6                          6 benaderd x « 0,23 en x «-2,90

-ocr page 68-

-63-

Opgaven 3.    Los de volgende vergelijkingen op met behulp van de a, b, c-formule. Geef ook indien nodig een benadering van de oplossingen in twee decimalen: >a x^-8;c-i-6 = 0                         >c -4r^-t-18;c = O >b -i;c2-3jc-(-l=0                      >d 0,25r^-t-5x-i-4 = O Opmerking: De a, b, c-formule mag niet zomaar gebruikt worden bij het oplossen van vergelij- kingen! Een eerste voorwaarde: hij is alleen bruikbaar voor tweedegraadsvergelij- kingen, in ax +bx + c = 0 mag a dus niet nul zijn. Verder zijn er alleen maar oplossingen te vinden als het gedeelte onder de wortel niet negatief is. Dit gedeelte (b - 4ac) wordt wel de discriminant genoemd. Is de discriminant een negatief getal, dan volgt daaruit dat de bijbehorende tweedegraadsvergelijking geen oplossing heeft. Opgave 4.    Los de volgende vergelijkingen (indien mogelijk) op:

>a 2x^-5^ + 3 = 0 >b (4x-7)2 = 0 >c ir^-6x+19 = 0 5. Bekijk onderstaand schema:

>d 30a:+ 60 =15x2

>e x{x+\) = 6 >f 5x2+6 = 10x

X op te lossen uit: ax^ + bx + c = 0

vergelijking heeft 2 oplossingen

vergelijking heeft 1 oplossing

vergelijking heeft geen oplossing

>a Leg uit wat dit schema inhoudt. >b Bedenk zelf een vergelijking zodat geval (1) zich voordoet. >c Dezelfde vraag voor (2) en voor (3).

-ocr page 69-

							-64-
		6. Functies en grafieken Hellingfuncties geven informatie over het veranderingsgedrag van functies. Bij het tekenen van een grafiek is informatie over stijgen en dalen nuttig te gebruiken. Daarover gaat dit hoofdstuk. Omgekeerd, wanneer van een functie de grafiek al is gegeven, kunnen bijzonderhe- den van de grafiek (zoals de positie van de toppunten en dieptepunten) verklaard worden met behulp van de hellingfunctie. Veeltermfuncties hebben machtsfuncties als bouwstenen. De hoogste macht die in een veeltermfunctie voorkomt, bepaalt de graad van de functie. ^ Voorbeelden: eerstegraadsfunctie              f(x) = 2x - 3 tweedegraadsfunctie            f[x) =x^ -6x + S derdegraadsfunctie               fix) =x + 0,5jr - 2x vijfdegraadsfunctie              J{x) = (x^ - 4Xx^ - 1) (Pas op! De CTaad wordt hier pas zichtbaar als (pr-4)(xr-l) wordt uitgewerkt: J{x)=x^-4?-x^ + 4) Grafieken van eerste- en tweedegraadsfuncties hebben weinig verrassends meer te bieden. Laten we daarom beginnen met een derdegraads functie. De meest eenvoudige derdegraadsfunctie ken je allang:
					-v3
				m=x
			Een natuurlijke vraag is: hebben alle derdegraadsfuncties deze vorm? Dat dit niet het geval is, zal blijken uit het eerste het beste voorbeeld dat we behandelen: fix)=x^+0,5x^-2x Allereerst berekenen we de coördinaten van een aantal punten:
						A:-coördinaat -2 -1 0 1 2 >'-coördinaat -2 H 0 1 '2 6

-ocr page 70-

						-65-
		Uitgezet in een assenstelsel levert dit op:
		Je kunt die stippen in gedachten verbinden en dat levert dan een eerste beeld op van een stuk grafiek. Dat beeld kun je op verschillende manieren verbeteren: (a) Door tussenpunten te berekenen (bijvoorbeeld: voor j: = 0,5; x = 1,5; enz.) (b) Door in de al getekende punten raaklijntjes te tekenen. We kiezen voor (b) en gebruiken daarbij de hellingfunctie van ƒ, eerst even diffe- rentiëren, dat levert:               f'{x) = Sjt +x-2 Hiermee kunnen de hc's in de punten metx = 2, -1,..., 2 snel worden gevonden:
				x-coördinaat -2 -1 0 1 2 hc 8 0 -2 2 12
		De informatie uit de tabel verwerken we als volgt: J..........i........i.
					\
			Bij het tekenen van de grafiek hebben die raaklijntjes een sturende werking. De gra- fiek, een vloeiende kromme, moet als het ware tegen de raaklijntjes worden gedrukt.

-ocr page 71-

							-66-
			Opgave
				1		>a Controleer de vijf raaklijnstanden in bovenstaande figuur.
			Aan de hand van de vijf punten met raaklijntjes kan worden vermoed dat de grafiek eerst stijgt, dan daalt, daarna weer stijgt. >b In het punt (-1,15) zou een ommekeer plaats kunnen vinden van stijgen naar dalen. Hoe kun je dat zien aan het raaklijntje in dat punt? X; Op grond van de eerste figuur (zonder raaklijntje) zou iemand op het idee kunnen komen, dat (1, -5) een punt van ommekeer is van dalen naar stij- gen. Waarom is dat niet aannemelijk? >d Meer zekerheid over waar de grafiek stijgt (daalt), geeft het tekenverloop van/'. Ga na doxf'ix) = 3(x+1)(a:-|) en schets dit tekenverloop. >e Uit het tekenverloop kun je zien dat (-1,1 i) een punt van ommekeer is van stijgen naar dalen. In welk punt vindt er een ommekeer plaats van dalen naar stijgen? Met een computer is nu de grafiek getekend van/(x) =xr' + Q, -7x\oor -l<x<2.
		Opmerkingen: Het 'toppunt' (-1,1 i) correspondeert met het maximum li van de functie/. Dit maximum is plaatselijk, want verder naar rechts bereikt/grotere waarden (bij- voorbeeld 6 voor X = 2). Bij j: = I bereikt/een (plaatselijk) minimum. Dat minimum bereken je door jc = | in te vullen in x + 0,5a: - lx. Resultaat:-g (of-0,815)

-ocr page 72-

-67-

Opgaven 2. f{x) =-t'+ 6:?-9x >a Vul in:

x-coördinaat -1 0 1 2 3 4 5 y-coördinaat hc

>b Verwerk deze informatie in een assenstelsel. Neem op de x-as de eenheid 1 cm en op de y-as \ cm

>c Schets het teken verloop van de hellingfunctie/'. >d Schets de grafiek van/.

/W = ix3+x2.

3.

%x.

>a Er zijn twee punten op de grafiek van ƒ waarin de raaklijn horizontaal is. Bereken de coördinaten van deze twee punten. >b Onderzoek met behulp van het tekenverloop van/' in welke gebieden de grafiek van/stijgend resp. dalend is. >c Teken de grafiek van/(j:) voor -7 < x < 5. (Neem de schaal op de y-as 5 keer zo klein als op de j:-as.) >d De grafiek van/snijdt de jc-as drie keer. Bereken de waarden van x die daar bij horen. 4. /(jc) =x^ ^-x >a Toon aan dat de grafiek van / geen punten heeft, waarin een ommekeer plaats vindt van stijgen naar dalen of andersom. >b Schets de grafiek van/in het gebied -2 < a: < 2. >c Schets ook de grafiek van de hellingfunctie/' in dat gebied. >d Het laagste punt van de hellinggrafiek correspondeert met een punt P op de grafiek van/. P is het punt waarin de stijging van die grafiek het minst sterk is. Ga na of dat klopt in je tekening bij >b.

-ocr page 73-

-68-

5. Met de computer zijn de grafieken van een drietal derdegraads functies gete- kend, namelijk van a(x) = jr - 12x; b(x) = jt; c(x) = jc + 12x.

40

\.............).............. ..............^ ....y^......i / i 1 i

20 -

-20

-40

-3 -2-10         1 >a Bereken de hellingfuncties a',b' ene'. >b Hoe kun je met behulp van de hellingfuncties uitmaken welke grafiek bij

a, welke bij b en welke bij c hoort?

->-3

6x en van

>c Neem de figuur over en teken ook de grafiek van d(x) = x

e(x) =x^ + 6x. >d In het plaatje zie je dat een horizontale raaklijn in een punt nog niet hoeft te betekenen dat zo'n punt bij een maximum of minimum hoort. Bij welke functie doet zich dat voor en hoe is dat te verklaren uit het tekenverloop van de hellingfunctie? De punten met horizontale raaklijn in een grafiek zijn vaak van bijzondere beteke- nis. Zijn zijn als ware de 'rustpunten' in de verandering van de functie. Er zijn 4 verschillende mogelijkheden:

In de gevallen 1 en 4 geven de punten met horizontale raaklijn een uiterste waarde (maximum of minimum) van de functie aan. In de gevallen 2 en 3 is er geen omme- keer van stijgen naar dalen en is er geen sprake van een uiterste waarde. Opgaven 6. Schets het tekenverloop van elk van de hellingfuncties bij de grafieken van de plaatjes 1,2, 3 en 4.

-ocr page 74-

					-69-
		7. Welk vliegtuig is veiliger? Een populair gespreksonderwerp is de veiligheid van het luchtverkeer. Vooral wanneer iemand uit het gezelschap zegt een lange vliegreis te zullen onderne- men. Er is dan meestal wel een leukerd die de afgezaagde kwestie van het ver- schil in veiligheid tussen een tweemotorig en een viermotorig vliegtuig te berde brengt. Uitgangspunt is dat de helft van de motoren mag uitvallen, zonder dat daardoor problemen ontstaan. Volgens de één is een viermotorige machine vei- liger, want er mogen twee motoren uitvallen en bij dat aantal is het bij het an- dere toestel al mis. Een ander vindt dat onzin, omdat er bij vier motoren een veel groter kans op uitval bestaat. En iemand die vroeger goed kon rekenen zegt dat het allemaal niets uitmaakt: 2 van de 4 is hetzelfde als 1 van de 2. Dit probleem is ook wiskundig onderzocht: Stel dat voor elke motor de kans op uitval/? is. Er is uit te rekenen dat de kans op een veilige vlucht met een tweemotorig toestel 1 -p is en met een viermo- torig toestel 1 - 4p^ + 3p^. Het probleem kan nu zo gesteld worden: kans op                                           kans op                          [ positief veilige vlucht met              —              veilige vlucht met              = -j negatief viermotorig toestel                             tweemotorig toestel                 [ of O >a Wat betekenen deze drie antwoorden? Het verschil tussen de twee kansen is afhankelijk van p. Dit verschil noemen we V. Er geldt V = 3p - Ajr + p en dat levert deze grafiek.
				0.10 T
			>b Controleer de grafiek door de coördinaten te berekenen van de 'bijzondere punten' (snijpunten met de p-as, punten met horizontale raaklijn). >c Bespreek nu aan de hand van de grafiek het gestelde probleem.

-ocr page 75-

-70-

7 Het krachtenspel Er zijn veel verschijnselen waarbij het resultaat bepaald wordt door twee elkaar te- genwerkende krachten. Voorbeeld De opbrengst van een artikel is afhankelijk van de prijs per stuk en van het verkoch- te aantal. De opbrengst kan vergroot worden door bijvoorbeeld de prijs te verhogen. Maar die prijsverhoging doet misschien het verkochte aantal dalen. Tel uitje winst! In dit slothoofdstuk willen we een paar van zulke problemen analyseren. Bij die analyse kunnen hellingfuncties een krachtig hulpmiddel zijn, vooral als het gaat om het bepalen van de voorwaarden voor een optimaal resultaat. Een uitgewerkt voorbeeld ' In een grote foto (90 bij 30 cm) is een kleinere van 30 bij 10 cm afgetekend. Hiervan gaan twee randen x cm naar binnen en één gaat x cm naar buiten, volgens onder- staande tekening.

< ^------- 30 --------> 10 i $ * 1 X', • X i.....il.^„J

Er kan zo een serie rechthoeken ontstaan.

We zijn geïnteresseerd in het verloop van de oppervlakte als x verandert. De berekening kan in een schema worden gepresenteerd.

verschuiving van de rand X \' \/ horizontale afmeting: 30-ie veriikale afmeting: 10 + ;t 4' \' Oppervlakte: (30-2;c)(10 + ;c) of -2j^+10x + 300

* Dit probleem is, even als enkele andere fragmenten, ontleend aan het Hawexboekje 'Tabellen, Grafieken, Formules 3'.

-ocr page 76-

-71-

Uit het schema kun je aflezen: X neemt toe

horizontale afmeting                verticale afmeting wordt kleiner                          wordt groter horizontiale afmeting                verticale afmeting wil de oppervlakte                   wil de oppervlakte kleiner maken                         groter m^en Je ziet: een spel van elkaar tegenwerkende krachten. De vraag is nu hoe het verloop van dit krachtenspel is. Typisch een vraag die je met behulp van een hellingfunctie kunt oplossen. Dat gaat als volgt:                                                                                          ___

De oppervlakte van de afgetekende rechthoek is afhankelijk van x\ in formule:              oppervlakte = -2x + IOjc + 300 of in korte notatie: 0{x)            = -2x^ + lOx + 300

We differentiëren de functie 0: 0\x) = -4jc + 10 Het teken verloop hiervan: + + + 0 1 . . 1 1 1 1 0 i\ 1 15

Hier volgt: (9(x) stijgt als X verandert van O tot 2i 0{x) daalt als x verandert van 2i tot 15 Dus 0{x) is maximaal voorx = 2i De afmetingen van de afgetekende rechthoek zijn dan 25 bij 121 cm. De maximale oppervlakte is25x 12^ =3121 cm

Opgaven 1.    >a Het tekenverloop van O \x) is gemaakt voor O < x < 15. Waar komt de grens 15 vandaan? >b Teken een grafiek van de oppervlakte 0(x). 2.    Terug naar het prijzenvoorbeeld (zie aanhef van dit hoofdstuk). We kiezen voor een zeer eenvoudig model. Normale prijs:         10 gulden Prijsverandering: x gulden Normale verkoop in een week: 100 stuks Elke gulden prijsverhoging doet de verkoop met 5 stuks teruglopen, elke gul- den prijsverlaging heeft het omgekeerde effect: de verkoop stijgt met 5 stuks. Ook hier is er weer sprake van twee elkaar tegenwerkende krachten.

-ocr page 77-

							-72-
					>a Neem onderstaand schema over en vul passende formules in:
						prijsverandering X \/ \/ verkoop prijs per stuk \' \' weekomzet (verkoop x prijs)
				>b De weekomzet is afhankelijk van x. Noem die omzet W{x) en bereken W '{x). >c Schets het tekenverloop van W'. >d Bij welke prijsverandering is de weekomzet maximaal? Geef een passende redenering. In paragraaf 4.2 heb je de volgende regel geleerd: eerlijk verdelen van een som levert het hoogst haalbare produkt op. Neem als som 80. Eerlijk verdelen geeft 40, 40. Een verandering a: van het ene getal, heeft een verandering van het andere getal tot gevolg en dat heeft weer consequenties voor het produkt. >a Maak een schema (in de vorm zoals bij opgave 2). >b Waarom kun je nu zonder hellingfunctie beredeneren dat het produkt maximaal is voor x = O? Groei van een populatie. Stel je het volgende voor: Een kleine groep dieren komt in een veilig gebied waar volop voedsel is. Er worden veel jongen geboren en die komen niet te kort, zodat er daarvan veel overleven. Die jongen krijgen ook weer jongen, enz. De groep groeit daardoor snel in aantal. Na verloop van tijd wordt het moeilij- ker om aan voedsel te komen. Hierdoor wordt de groei minder. Twee globale grafieken die het verloop van de groepsgrootte in de tijd weergeven.
		4.

-ocr page 78-

-73-

>a De rechtergrafiek is de hellinggrafiek van de linkergrafiek. Het hoogste punt van de rechtergrafiek (A) geeft belangrijke informatie over de manier waarop de groepsgrootte verandert. Welk punt in de linkergrafiek correspondeert met punt A van de rechter- grafiek? Het verschil in groei is met formules na te spelen. De met de tijd toenemende groei kan voorgesteld worden door bijvoorbeeld: Git) = 2 • f Het gevolg zou onbeperkte groei zijn. Daarom moet er een remmer worden in- gebouwd. In het begin moet die niet, of heel zwak werken, maar later steeds sterker. Een mogelijkheid is de factor (1 - ^) niet r = 10 als laatste tijdstip. De formule van de groei wordt dan: G(0=2f(l-jL) >b Bereken G '(O en bepaal op welk tijdstip de groei maximaal is.

/2

In plaats van 1 - ^ kiezen we nu 1

als remmer.

100

>c Teken in één figuur de grafieken van y=l - ^eny=l- ^

100

(voor O < r < 10).

j^ een zwakkere remmer is dan 1 - t^ ?

Hoe blijkt uit de figuur dat 1

>d Op welk tijdstip is de groei maximaal in het geval de remmer gelijk is aan

100 5. In één figuur zie je de grafieken van y=x eny             voor x>0. 20.000-1

10.000-

0                                      5                                     10 Het lijkt er op of het verschil tussen          en X steeds groter wordt bij toename van X. In deze opgave gaan we dat verschil onderzoeken. >a Dat schijn hier bedriegt, blijkt al gauw als je nagaat of          en X (behalve voor x = 0) gelijk kunnen zijn. Voor welke waarde van x (in 1 decimaal nauwkeurig) is dat het geval? >b Het beeld dat bovenstaande figuur oproept, verandert grondig als je op de x-as en de y-as een veel kleinere schaal neemt. Doe dat en schets beide gra- fieken voor 0<x<20en0<>'< 100000.

-ocr page 79-

-74-

Als je de nieuwe figuur goed getekend hebt, wordt zichtbaar dat x aanvanke- lijk achter blijft bij 200jr maar verder op aan een 'inhaalrace' begint. Door naar de hellingfuncties te kijken, kun je precies berekenen waar j: begint in te lopen op IOOjt. >c Vanaf welke waarde van x is dat het geval? De grafiek van de verschilfunctie/(x) =                 brengt de inhaakace fraai in beeld.

40000x

20000-■

-200(X>■

■40000

>d Welke betekenis hebben de punten P cnQ voor de inhaalrace? In deze opgave was ook weer sprake van een krachtenspel. 200x2 en X zijn elkaar tegenwerkende krachten. De eerste wil het verschil steeds groter maken, de tweede steeds kleiner. Als we alleen letten op positieve verschillen, dan zie je dat j: = 10 het maximum ople- vert. Dat volgt uit het tekenverloop \anf'(x). f'{x) = 400;c-4x^ = 4;c(100-;c2) = 4;c(10 -x)(10 +;c)

O - - -

O +

O

10

20

>e De functie/(j:) heeft ook betekenis voor negatieve x. Hoe wordt het teken- verloop van ƒ'(a:) als je dit bekijkt op het interval -20 < jc < 20? >f Schets de grafiek van ƒ op dit interval. >g f(x) kun je ook opvatten als een produkt. Er geldt immers:/(x) = x^{2m -x^)\ De factoren jr en 200 - jr zijn samen 200. Hoe kun je vanuit dit standpunt de maximale waarde \dt.nf{x) vinden?

-ocr page 80-

					-75-
			Bescherming van gegevens Ondernemingen en overheidsinstellingen moeten tegenwoordig hun gegevens beschermen. Als de mate van bescherming alleen afhankelijk is van economi- sche factoren dan zijn er twee oorzaken van kosten: KS: kosten ten gevolge van Schade KB: kosten ten gevolge van Bescherming. Hiervan zijn de grafieken getekend.
				80000 KB KS 40000
						50		100
		We maken hierbij het volgende wiskundige model: KS(x) = 42500 - 800x + 4x^ KB(x) = 0,lx^ Hiervoor isx de mate van bescherming in procenten (0<x< 100) >a Aan de grafiek van KB kun je zien dat er sprake is van toenemende stijging. Voldoet het voorgestelde model hieraan? Gebruik de hellingfunctie om dit te beoordelen. >b Bij welke waarde voor x zijn beide soorten kosten even groot? Lees je antwoord af uit de grafiek en controleer het door een berekening. De grafiek van de totale kosten (TK) krijg je door de grafieken van KS en KB op te tellen. >c Teken de grafiek van TK op deze manier. Schat de waarde van x waarvoor TK minimaal is uitje grafiek. Ligt dit 'mi- nimumpunt'wel of niet recht boven het snijpunt, denk je? Met behulp van differentiëren is het laagste punt van TK te berekenen. De formule voor r/i: volgt uit r/(:(x) =/i:5(x) +/s:fi(x). >d Bereken r/i:'W. >e Bereken de minimale totale kosten.

-ocr page 81-

				-76-
		Oplossing stripverhaal van bladzijde 52:
			(x-a)(x-b)(x-c)(x-d)..........(x-w)(x-x)(x-y)(x-z) = O ----------------------------------------------------------------------\--------------------------------