-ocr page 1-
■„.«tl^ys»            t-^nf»^!^^^^
mi
CODES EN KANSEN
-ocr page 2-
CODES EN KANSEN
WISKUNDE A
-ocr page 3-
CODES EN KANSEN
Een produktie ten behoeve van het project Hawex.
Ontwerper:
Met medewerking van:
Henk van der Kooij
Jan de Jong
Martin Kindt
Anton Roodhardt
Jan de Lange
Martin van Reeuwijk
Ada Ritzer
Vormgeving:
© 1990: 3e versie
Utrecht, november 1990
-ocr page 4-
Inhoudsopgave
1.    Binaire Codes ..................................................................................................1
2.    Rangschikkingen en combinaties..................................................................10
3.    De binomiale kansverdeling..........................................................................19
4.    De binomiale kanstabel .................................................................................31
5.    Met en zonder terugleggen............................................................................43
6.    Gemengde opgaven .......................................................................................46
-ocr page 5-
-1-
1 Binaire Codes
Taal is, in gesproken en geschreven vorm, een heel belangrijk communicatiemiddel.
Wanneer je het woord 'hond' leest, weetje hoe je het moet uitspreken en wat de be-
tekenis is. Tenminste als je de Nederlandse taal beheerst, zowel in lezen, schrijven
als spreken.
De volgende tekst zegt je waarschijnlijk niets.
Taal berust op een groot aantal afspraken,zoals:
-     objecten, dingen krijgen een naam, in klankvorm
-     de verschillende klankvormen worden weergegeven door symbolen die we let-
ters noemen.
Op die manier kunnen mensen informatie uitwisselen of doorgeven. Voorwaarde is
datje 'verstaanbaar' bent. Soms zijn daarvoor aanpassingen nodig.
Een dove kun je wel geschreven taal voorleggen, maar gesproken taal werkt niet. De
spreektaal kan vervangen worden door gebarentaal.
HET
NEDERLANDS
HANDALFABET
-ocr page 6-
Voor blinden is het brailleschrift ontwikkeld. Het kan met de vingers 'gelezen' wor-
den.
■Ifabat «n IcMtaHans
— Encycl. Het brailleschrift bestaat uit
groepen van 6 punten waarmee 63 ver-
schillende combinaties kunnen worden
gevormd. ledere groep van 6 punten
stelt een teken (letter, cijfer, enz.) voor.
De punten waaruit een teken is samen-
gesteld worden in reliλf in speciaal,
enigszins stijf papier, gedrukt zodat zij
door de blinden kunnen worden afge-
tast. Braille werd op dit idee gebracht
door de Franse kapitein Ch. Barbier, die
'.en behoeve van het leger een soortgelijk
zgn. nachtschrift had ontworpen, waarin
bijv. een punt oprukken betekende. Een
blinde die in het lezen van brailleschrift
een zekere vaardigheid heeft verkregen,
kan de leessnelheid van een normaal
ziende evenaren. Het brailleschrift dat
vrij gemakkelijk kan worden aangeleerd,
kan door de blinden ook zelf worden
geschreven met behulp van een reglet.
Het wordt ook gebruikt voor het uit-
geven van muziekpartituren. Modernere
uitvindingen als de magnelofoon bete-
kenen een belangrijke aanvulling van het
brailleschrift.
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
a
b
c
d
e
f
g
h
i
j
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
•   ■
• •
•   ■
• •
• •
• •
• •
• •
• •
k
1
m
n
o
p
q
r
s
t
• •
• •
•  •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
u
V
w
X
y of ij
z
p
ι
θ
θ
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
• •
••
• •
• •
• •
• •
• •
•  •
ό
θ
κ
i
«
0
λ
T
ό
C£
• •
•      ■
• •
• •
• •
• •
• •
• •
?
• •
• •
1
• •
• •
0
• •
• •
• •
• •
• •
• •
»
• •
• •
• •
• •
• •
• •
■ •
••
• •
• •
• •
• •
• •
■ •
apostrof of koppel- of i
afkortingsteken afbrekingsteken
θ of 1
ae
cijferteken
hoofdletter-
teken
cijfers «n «Igabraοsch* takans
• • •• • • •• •• • ■
. • ■ • • • •• ••
• • •
t • ••
• •
8 9
• • •...........
«. •• •• •• •• ••
«. «. •■                                                 •• ■• •• •■ •• ■•
■ -^                            X / . > < V
de dikke puntsn die hel teken vormen, zijn in reliλf; de fijne punten dienen
slechts om de plaatB van de dikke in elke puntengroep van zes aan te duiden
Ieder leesteken uit de gewone schrijftaal wordt vervangen door een code, op de ma-
nier zoals hierboven staat vermeld.
Op ieder van de 6 plaatsen wordt wel of niet een voelbare punt gezet.
1. >a Welk woord staat hier in braille gecodeerd?
•   •          • •          • • • • • •
•   •           • • • • • • • •
>b Het kan ook een getal voorstellen. Welk getal?
Is dat niet verwarrend?
2. > Volgens de tekst uit de encyclopedie zijn er in totaal 63 codes mogelijk.
Controleer dat aantal.
-ocr page 7-
Je kunt zeggen dat het Brailleschrift een codering is van de gewone schrijftaal.
3.    Er zijn 15 verschillende codes mogelijk, waarbij op twee van de zes plaatsen
wel een punt staat.
>a Controleer dit door alle mogelijkheden (systematisch!) uit te schrijven.
>b Hoeveel codes zijn er mogelijk met vier punten op de zes plaatsen?
In totaal zijn er 63 codes mogelijk.
>c Beredeneer dat er twintig codes overblijven met drie punten op de zes plaat-
sen.
Het brailleschrift is een voorbeeld van een binaire code. Dat is een manier van co-
deren, waarbij slechts twee verschillende symbolen worden gebruikt.
Bij Braille zijn dat: wel een punt (•) en geen punt (•)
Een ander voorbeeld van een binaire code is de Morse-code (zie 'Afstanden, grafen
en matrices'), waarbij alleen gebruik gemaakt wordt van punten (•) en strepen (-).
Vaak worden bij binaire codes de twee symbolen weergegeven met een O (nul) en
een 1 (ιιn). Vandaar dat ook de benaming 0-1-code wel wordt gebruikt.
Een Brailletekst kan opgeslagen worden in de computer. Daartoe wordt een Braille-
teken in een afgesproken volgorde:
1. .4
2» .5
3» «6
omgezet in een rijtje van enen (•) en nullen (•).
Voorbeeld:
•   •
de letter p: • * wordt het rijtje: 11110 0
•   •
4.    > Welk woord uit het Brailleschrift staat hier genoteerd als 0-1-code?
1001 10 100000 110110
Een 0-1-code kan ook worden weergegeven als route in een rooster (zie Telproble-
men).
5.    > Welke letter uit het Brailleschrift staat hier getekend als route?
of,
-ocr page 8-
-4-
Bij Braille hebben alle codes een vaste lengte 6.
Daardoor eindigen alle routes in een van de aangegeven punten van het rooster.
Voor de letter n worden in totaal 4 punten gebruikt
(101110).
Daarom ligt het eindpunt voor de n bij het punt
(4,2).
I-----------------------------
—11---------------------------------------------
---------------------1 y—----------------------
^ HM IM -----1 I-----
----1----l__J----1__,
ot
1
6.    >a Hoeveel verschillende routes eindigen in het punt (4,2)?
>b Bepaal bij elk van de aangegeven eindpunten hoeveel routes er eindigen.
>c Hoe kun je dit rooster gebruiken om je antwoorden van de opgaven 2 en 3
te controleren?
Coderingen worden ook wel eens gebruikt om informatie door te geven die niet voor
derden bestemd is. Geheimtaal dus.
7.    Ada en Ellen geven tijdens de les boodschappen aan elkaar door zonder dat me-
deleerlingen mogen weten waarover het gaat.
Daarvoor gebruiken ze rijtjes met vaste lengte 4, bestaande uit alleen maar de
letters O en X.
Mogelijke rijtjes zijn dus onder andere: XXXX, XOXO, 0X0 0.
Ieder rijtje van 4 stelt ιιn boodschap voor.
>a Beredeneer dat op deze manier 16 verschillende boodschappen gecodeerd
kunnen worden.
>b Schrijf alle mogelijke rijtjes van 4 op.
Dit systeem werkt naar volle tevredenheid van de dames, totdat ιιn van de me-
deleerlingen die de briefes moet doorgeven de zaak gaat saboteren.
Als hij een brieQe doorgeeft, verandert hij stiekem ιιn van de vier letters.
Bijvoorbeeld:
Het briefjeI XOXO [vervangt hij door het briefje
XOOO
Er ontstaat nu een probleem. De ontvanger van de boodschap weet wel dat er
ιιn letter is veranderd, maar onbekend is welke letter dat was.
0X00
>c Ada krijgt de gewijzigde boodschap
in handen.
Zij probeert uit te zoeken welke boodschap Ellen verstuurd kan hebben.
Welke mogelijkheden zijn er?
-ocr page 9-
-5-
De dames laten zich niet zo gemakkelijk uit het veld slaan. Ze passen heel slim hun
geheimtaal aan met een controle.
De rijtjes van 4 letters vullen ze aan tot rijtjes van 7 letters.
Die aanvulling werkt als controle op de eerste 4 letters (de boodschap).
Met behulp van het onderstaande plaatje bepalen ze hoe die aanvulling eruit moet
zien.
De drie cirkels A, B en C zijn verdeeld in 7 gebieden (nrs. 1 t/m 7).
B^^^^----^ C
7^
In de gebieden 1 t/m 4 komen in volgorde de 4 letters van de code te staan.
Als voorbeeld bekijken we de boodschap
XOXX
B.
ledere cirkel bestaat uit 4 gebieden, waarvan er nu drie een letter bevatten.
In het nog lege gebied van elke cirkel moet een X of een O gezet worden en wel op
de volgende manier:
er wordt een X gezet als er een oneven aantal X-en in die cirkel staat en anders
wordt er een O gezet.
Bij het voorbeeld dus:
-    in gebied 5 een O, want in A stonden al twee X-en
-    in gebied 6 een X, want in B stonden 3 X-en
-    in gebied 7 een O, want in C stonden 2 X-en.
wordt dus in de nieuwe versie:
De oorspronkelijke boodschap
XOXX
xoxxoxo
8. > Bepaal op eenzelfde manier hoe de boodschappen
oooo
en
oxxo
aangevuld moeten worden tot een code van lengte 7.
-ocr page 10-
-6-
Dit extra werk is niet voor niets geweest! De toevoeging van de drie letters zorgt er-
voor dat een boodschap waaraan geknoeid is, verbeterd kan worden.
In alle gevallen waarbij ιιn van de 7 letters stiekem is veranderd, kan ontdekt wor-
den welke letter dat was.
9. Ellen krijgt de boodschap XOOXOOX in handen.
>a Laat met behulp van de cirkels zien, dat deze boodschap niet kan kloppen.
>b Kun je achterhalen welke letter is veranderd?
10. > Maak zelf een rijtje van 7, waarin je ιιn letter verandert. Laat een mede-
leerling uitzoeken met welke letter je hebt geknoeid.
Bij binaire codes kan als volgt een afstand worden gedefinieerd (vergelijk met Af-
standen, grafen en matrices):
de afstand tussen twee codewoorden is gelijk aan het aantal plaatsen
waar in de twee codewoorden verschillende letters zijn ingevuld.
is 2, omdat deze code-
Voorbeelden: de afstand tussen
oxox
ooxx
en
woorden op de plaatsen 2 en 3 verschillen.
de afstand tussen X O X O en
OXOX is4
11. >a Hoeveel codewoorden zijn er met afstand 1 tot OXOX
>b En hoeveel met afstand 2, afstand 3 en afstand 4?
Wanneer nu ιιn letter van een codewoord is veranderd, ontstaat een codewoord met
afstand 1 tot het bedoelde codewoord. Omdat er verschillende codewoorden op af-
stand 1 zijn, is niet te achterhalen welk codewoord was bedoeld.
De uitbreiding met de 3 controleletters zorgt er voor dat ιιn verandering wel her-
kend kan worden. Het systeem met de cirkels garandeert namelijk dat de afstand tus-
sen twee codewoorden van 7 letters 3 of meer is. Bij ιιn gewijzigde letter is er dus
maar ιιn codewoord op afstand 1 te vinden en dat moet het bedoelde codewoord
zijn.
12. > Onderzoek hoe het cirkelsysteem er voor zorgt dat de codewoorden onder-
ling afstand 3 of meer hebben.
Coderingen zijn noodzakelijk, wanneer machines 'aangesproken' worden door
mensen of door andere machines. Een computer bijvoorbeeld kan alleen maar nullen
en enen herkennen.
Wanneer op het toetsenbord de letter 'a' wordt aangeslagen krijgt de computer door-
geseind de code '01100001'. Alle standaardtekens op het toetsenbord hebben een ei-
gen codering, zoals de lijst op bladzijde 7 laat zien.
(ASCn is de afkorting voor American Standard Code for Information Interchange).
-ocr page 11-
32
00100000
33
00100001
34
00100010
35
0010001i
36
00100100
37
OOIOOIOI
38
00100110
39
OOIOOlIl
40
00101000
41
DOiOlOOl
42
OOIOIOIO
43
00101011
44
00101100
45
OOIOIIOI
46
00101110
47
00101111
48
00110000
49
OOIIOOOI
50
00110010
51
00110011
52
00110100
53
00110101
54
00110110
55
00110111
56
00111000
57
00111001
58
00111010
S9
ooiiion
60
00111100
61
00111 101
62
00111110
63
00111111
64
01000000
65
01000001
A
66
01000010
B
67
01000011
c
68
01000100
D
69
01000101
E
70
01000110
F
71
01000111
G
72
01001000
H
73
01001001
1
74
01001010
]
75
01001011
K
76
01001100
L
77
OIOOllOl
M
78
01001110
N
79
01001111
0
80
OIOIOOOO
p
81
01010001
0
82
01010010
R
83
01010011
s
84
01010100
T
85
01010101
u
86
01010110
V
87
01010111
w
88
01011000
X
89
01011001
y
90
01011010
z
91
01011011
f
92
01011100
\
93
01011101
1
94
01011110
95
01011111
-
96
01100000
97
01100001
3
98
01100010
b
99
01100011
c
100
01100100
d
101
01100101
e
102
01100110
r
103
01100111
g
104
01101000
h
105
01101001
1
106
01101010
J
107
01101011
k
108
OllOlIOO
1
109
01101101
m
110
OlIOlllO
n
111
01101111
o
112
OllIOOOO
p
113
01110001
q
114
01110010
r
115
01110011
s
116
01110100
t
117
01110101
u
118
OlIlOllO
V
119
OlllOlU
w
120
01111000
X
121
01111001
y
122
01111010
z
123
01111011
1
124
ouinoo
1
125
om; 101
1
126
01111110
^
127
04 111111
UI
SPATIE
S
&
DELETE
Codes van schrifttekens volgens het ASCH-systeem.
De volgnummers O t/m 31 (tweetallig 0000000 t/m
00011111 j zijn gereserveerd voor signalen die niet-
afdrukbaar zijn (bv. 7 = belsignaal).
De codes vanaf 128 (ofwel 10000000), dat zijn dus
alle codes die tweetallig met een 1 beginnen, worden
verschillend per computer en per toepassing voor van
alles en nog wat gebruikt.
De letter 'a' heeft volgnummer 97 (decimaal) en de codering 01100001 (binair).
De binaire coderingen kunnen in het geheugen van de computer worden opgeslagen.
Het aardige van de volgnummers is datje de computer een geheimschrift kunt laten
maken, dat hij ook weer zelf kan ontcijferen.
Bijvoorbeeld als volgt:
Van een letter die wordt ingetikt (we beperken ons hier tot hoofdletters) moet het
bijbehorende rangnummer vermenigvuldigd worden met 2 en daarna verminderd
worden met 90.
Voorbeeld:
tekst
rangnummers
bewerking
geheimschrift
R
82
2x82 - 90 = 74
J
A
65
2x65 - 90 = 40
(
T
84
2x84 - 90 = 78
N
13. >a Vertaal het woord CODE in geheimschrift.
>b Is er een letter, die bij dit geheimschrift zichzelf blijft?
-ocr page 12-
14.  >a Welk woord gaat schuil achter het codewoord T8>?
>b Het is natuurlijk handig als een boodschap in geheimschrift ook weer kan
worden terug vertaald.
Welk rekenwerk is nodig voor de terugvertaling naar de echte boodschap?
De binaire coderingen lijken op het eerste gezicht nogal willekeurige afwisselingen
van nullen en enen. Toch zijn ze heel systematisch opgezet. Op bladzijde 9 staat
schematisch aangegeven in een binaire boom (bij elk punt vertakt hij steeds in twee
richtingen) hoe de coderingen van de achtereenvolgende hoofdletters A t/m Z ont-
staan.
Het beginstuk (O 1 0) is voor alle hoofdletters hetzelfde.
15.  > Controleer in de binaire boom de codering van de hoofdletters P en X.
De binaire coderingen bij de computer hebben allemaal een vaste lengte 8. Zo'n rij-
tje van 8 nullen/enen wordt een 'byte' (verbastering van 'by eight') genoemd.
In de binaire boom zie je dat er in totaal 32 verschillende codewoorden mogelijk zijn
met beginstuk 0 10.
16.  In een byte passen 8 nullen en/of enen.
> Hoeveel verschillende codewoorden zijn er voor een computer in totaal be-
schikbaar?
Een bekend voorbeeld van cijfercodering vind je tegenwoordig op veel verpakte ar-
tikelen: de zogenaamde streepjescode
8 710482"221 221
Ieder cijfer heeft zijn eigen codering van smalle en brede streepjes, afgewisseld met
smalle of brede openingen. Het gebruikte systeem is nogal ingewikkeld.
Soms maken eigenwijze winkeliers hun eigen cijfercode.
17. Deze cijfercodering stond op een enveloppe van een fotozaak
6629          004011
', ii:i!:
ii|
>a Is dit een binaire code?
>b Hoe denk je dat de ontbrekende cijfers 3, 5,7 en 8 zijn gecodeerd?
-ocr page 13-
-9-
loj
m A
[Φ] B
me
[Φ] D
HJE
[φ]f
[Dg
[φ]h
Ql
[Φ] J
Q] K
[Φ] L
[1] M
[Φ] N
Eo
[Φ] P
[Dq
[φ]R
m s
[Φ] T
mu
[Φ] V
[T] w
H] X
m Y
[φ]z
m
®
m
E
m
m
m
m
m
m
Fφ~rφi
m
m
[φ]
m
m
-ocr page 14-
-10-
2 Rangschikkingen en combinaties
Bij elk onderdeel van de Olympische Spelen mogen per land maximaal drie deelne-
mers worden ingeschreven. Voor Nederland is dat niet zo problematisch, omdat wij
niet zoveel topsporters hebben.
In de Verenigde Staten worden speciale selectiewedstrijden gehouden om uit te ma-
ken wie de gelukkigen zijn. Bij deze zogenaamde 'trials' spelen de vorm van de dag
en andere geluksfactoren een niet onbelangrijke rol.
Voor de finale van de 100 m sprint heren plaatsten zich in 1988 de volgende acht
atleten (in alfabetische volgorde).
Deloach
King
Lewis
Marsh
McNeil
Mitchell
Robin son
Smith
1. >a Er zijn in totaal 40.320 verschillende uitslagen (volgorde van aankomst)
mogelijk bij deze finale. Controleer dat aantal.
Wanneer je alleen maar let op de drie atleten die als nummers 1, 2 en 3 aanko-
men, zijn er veel minder verschillende uitslagen.
>b Hoeveel verschillende uitsla-
gen zijn er dan mogelijk?
Uiteindelijk bleken de drie geluk-
kigen:
1. Lewis         9.78
2. Mitchell 9.86
3. Smith         9.87
Voor de uitzending naar de Olym-
pische Spelen was de volgorde van
aankomst van dit drietal niet be-
langrijk.
>c Bij welke andere uitslagen
zou hetzelfde drietal zijn uit-
gezonden?
-ocr page 15-
-11-
Rangschikkingen zijn in 'Telproblemen' al uitgebreid aan de orde gekomen. Een
korte terugblik.
De vijf letters A, B, C.DenE zijn op5x4x3x2xl = 120 verschillende manieren
te rangschikken (in verschillende volgordes op te schrijven).
Het produkt 5x4x3x2x1 wordt afgekort tot 5! (5 faculteit).
Zo betekent 10! het produkt van de getallen 1 t/m 10.
Er zijn 8! (= 40.320) verschillende uitslagen mogelijk bij de finale 100 m sprint,
omdat de 8 namen op 8x7x6x5x4x3x2x1 manieren in verschillende volg-
ordes geplaatst kunnen worden.
2. Stel dat alle 40.320 mogelijke rangschikkingen keurig worden geprint door een
computer. ledere nieuwe rangschikking op een nieuw blad.
"•viiieu
Xobinson
Mitche"
Na ^Se*
Mitchell
Smith
Robinson
DeJoach
Marsh
Der" Mttt**""          Stttith
J.^fsb
McNeA yeit         %xo ttob,\, . ^
peloach W/         lOe>o„icbeU
Marsh                     Xfn^^^"
smith ,             Kitig • cYv
Lewis
Smith
Mitchell
Robinson
Deloach
Marsh
King
'tb
Kitte
ot,
Deloach
Marsh
Lewis
Robinson
M
itcbeli
fiob
son ^^''''' '*^arsb
;h                ^e/oach
Robinson
Satitb
'oson
Af
arsft
iOt
Smith il
Omdat alleen de nummers 1, 2 en 3 belangrijk zijn worden bij alle uitslagen de
nummers 4 t/m 8 weggeknipt.
Je houdt dus 40.320 lijstjes over met drie namen.
>a Hoe vaak komt daarbij het volgende lijstje voor?
1. Lewis
2.  Smith
3. Deloach
>b Beredeneer dat het aantal lijstjes met verschillende uitslagen voor de num-
mers 1, 2 en 3 gevonden kan worden door het totaal aantal lijstjes (=8!) te
delen door 5!
-ocr page 16-
-12-
Wanneer alle dubbele exemplaren worden weggegooid, blijven er dus nog 336 lijst-
jes over met drie namen.
Deze bevatten alle rangschikkingen van 3 (namen) uit 8 (namen).
Daarbij is de volgorde waarin de namen voorkomen nog van belang.
3. Voor de uitzending naar de Olympische Spelen is die volgorde niet meer be-
langrijk.
>a Op hoeveel van deze 336 lijstjes kom je het drietal namen Lewis, Smith en
Deloach tegen?
>b Verklaar dat er 56 (=336 : 6) lijstjes overblijven, met steeds andere drietal-
len namen.
We zeggen dat er 56 combinaties van 3 (namen) uit 8 (namen) zijn.
Hierbij gaat het alleen om het drietal namen en niet om de volgorde waarin ze staan.
Met de 5 letters A,B,C,D enE kunnen 60 (= 5 x 4 x 3) rangschikkingen van 3 uit
5 worden gemaakt:
ABC
BAC
CAB
DAB
EAB
ABD
BAD
CAD
DAC
EAC
ABE
BAE
CAE
DAE
EAD
ACB
BCA
CBA
DBA
EBA
ACD
BCD
CBD
DBC
EBC
ACE
BCE
CBE
DBE
EBD
ADB
BDA
CDA
DCA
ECA
ADC
BDC
CDB
DCB
ECB
ADE
BDE
CDE
DCE
ECD
AEB
BEA
CEA
DEA
EDA
AEC
BEC
CEB
DEB
EDB
AED
BED
CED
DEC
EDC
Wanneer je alle verschillende drietallen letters uit de bovenstaande lijst verzamelt,
dan krijg je de combinaties van 3 uit 5.
De rijtjes ACD, ADC, CAD, CDA, DAC en DCA leveren alle zes hetzelfde drietal op.
Er blijven slechts 10 combinaties over:
ABC
ABD
ABE
ACD
ACE
ADE
BCD
BCE
BDE
CDE
4. Met de zes letters A, B, C, D, E enF kunnen 6! (dus 720) verschillende rang-
schikkingen gemaakt worden.
>a Hoeveel rangschikkingen van 4 letters uit die 6 zijn er mogelijk?
>b Ieder viertal letters komt 24 keer voor in de rij van alle rangschikkingen van
4 uit 6. Verklaar dat.
>c Beredeneer: het aantal combinaties van 4 uit 6 is te berekenen met
6x5x4x3
4!
-ocr page 17-
-13-
5.    > Hoeveel combinaties van 3 uit 6 zijn er?
6.    Er zijn 28 combinaties van 2 uit 8 mogelijk.
> Hoeveel rangschikkingen van 2 uit 8 zijn er?
7.    Uit negen kandidaten moet een bestuur gekozen worden van drie mensen.
>a Stel dat de drie bestuursleden ιιn voor ιιn worden gekozen, eerst een voor-
zitter, dan een secretaris en tenslotte een penningmeester.
Hoeveel verschillende besturen zijn dan mogelijk?
>b Hoeveel verschillende bestiu^en zijn mogelijk, als er niet in functie wordt
gekozen?
Voor combinaties voeren we een korte notatie in.
Het aantal combinaties van 3 uit 8 schrijven we als [31. Dit wordt uitgesproken als
'8 boven 3'.
Zo betekent [^ ] het aantal combinaties van 4 uit 6.
8.    >a Wat betekent (|]?
>b Bereken [2].
9.    > Verklaar: fJ) = 9x8x7x6.
10.  >a Welk verband bestaat er tussen het aantal 'combinaties van 5 uit 9' en het
aantal 'rangschikkingen van 5 uit 9'.
>b Bereken (^|.
>c Als je goed gerekend hebt, blijken de antwoorden van de vragen 10>b en 9
hetzelfde te zijn.
Kun je dat verklaren?
11. >a Bereken (^j^len [igO].
>b Waarom geldt (Y) = (2°)?
-ocr page 18-
■14-
Bekijk nog eens de deelnemerslijst voor de trials.
1. Deloach
2. King
3. Lewis
4. Marsh
5. McNeil
6. Mitchell
7. Robinson
8.  Smith
Er zijn [3 1 verschillende drietallen mogelijk voor uitzending naar de Olympische
Spelen.
Een mogelijk drietal kan in de deelnemerslijst gecodeerd worden met het rijtje
0 10 0 1 10 0. Een 1 betekent: uitverkoren.
Dus dit rijtje betekent dat de nummers 2, 5 en 6 uit de deelnemerslijst zijn uitverko-
ren.
Alle verschillende drietallen corresponderen met alle rijtjes die te maken zijn met
behulp van vijf nullen en drie enen.
Wanneer zo'n rijtje van 5 nullen en 3 enen geοnterpreteerd wordt als route in een
rooster, dan krijg je net alle routes die hun eindpunt hebben in het punt (5,3)-
28 84 210 462 924 1716 3003
1
6
21
56
126
252
462
792
1
5
15
35
70
126
210
330
1
4
10
20
35 ,
56
84
120
1
3
6
10
15
21
28
36
1
2
3
4
5
6
7
8
1
1
1
1
1
1
1
1
1287
495
165
45
't
Het aantal routes van (0,0) naar (5,3) is kennelijk te berekenen met het combinatie-
getal («).
12. >a Bereken i]).
>b Welk eindpunt in het rooster hoort bij [Z]?
>c Controleer de uitkomst van [ ^ 1 met het rooster.
-ocr page 19-
-IS-
IS. > Welke combinatiegetallen horen bij het aantal routes van (0,0) naar achter-
eenvolgens de punten:
(6,2), (2,6), (3,5), (0,5) en (6,0).
De combinatiegetallen zoals [q ], [^ ] hebben een wat vreemde betekenis. Wanneer
we afspreken dat O! = 1 en dat er op 1 manier een combinatie van O uit 6 te maken
is, dan passen ook deze combinatiegetallen bij het rooster.
14.  >a Geef in een rooster de punten aan die horen bij de combinatiegetallen:
>b Bereken (5).(;).(5).(^).(J).(^).
15.  > Kun je, zonder berekening, zeggen wat de uitkomst is van
16.  >a Bereken het aantal routes van (0,0) naar (8,2).
>b Hoeveel routes zijn er van (0,0) naar (7,3)?
>c Het aantal routes van (0,0) naar (8,3) kan gevonden worden door de ant-
woorden van >a en >b op te tellen.
Controleer dat.
In opgave 16 kwam het nog eens aan de orde:
het aantal routes naar een roosterpunt kan worden berekend door het aantal routes
naar de twee naastgelegen 'lagere' roosterpunten bij elkaar op te tellen.
(8,3)
(7,3)^
(8,2)
Op deze manier kan bij elk roosterpunt uitgerekend worden hoeveel routes er naar
toe leiden, uitgaande van de roosterpunten op de rand van het rooster.
1
1
1
1
1111
17. > Hoeveel berekeningen zijn er nodig om op die manier het aantal routes naar
het punt (3,2) te berekenen?
En naar het punt (8,3)?
-ocr page 20-
-16-
In combinatiegetallen geformuleerd, luidt het resultaat van opgave 17:
18. > Controleer: (4)= (J)+(^)
Bij het roosterpunt (3,2) hoort het combinatiegetal [|].
Er geldt [2 ] = [2 ]''" [1 ]• ^ ^^^ beurt kan u ] weer uitgerekend worden door zijn
voorgangers op te tellen: [j] = [2 ]+ [1 ]• Zo doorgaand kom je uiteindelijk terecht
bij voorgangers die op de rand van het rooster liggen en dus gelijk zijn aan 1.
De complete voorgangersboom van [2 ]:
1
4^                                                                    r4
2                                                                1
1                                I-------------•-------------1
'3l                      (A                     (2\                      (2
2                                1                               1                                O
1
K
f§]
r^
1
T                I------•------1
2\            [2\            (2\            (2
2)            \l)            \l)            10
Bij alle uiteinden hoort het getal 1.
Door, beginnend bij deze uiteinden, steeds de getallen van twee bij elkaar komende
takken op te tellen, vind je tenslotte de uitkomst van [2 ].
19.  >a Controleer of die uitkomst inderdaad 10 is.
>b Hoeveel berekeningen moest je hiervoor maken?
20.  > Maak zelf een boom voor de berekening van [21 en bereken daarmee de
uitkomst van [2).
-ocr page 21-
-17-
Op bladzijde 51 staat een tabel, waarin de combinatiegetallen ["] kunnen worden
afgelezen voor n = 3 t/m n = 25.
21.  > In de tabel zul je vergeefs zoeken naar de uitkomst van f ^^ ]. Toch is met
behulp van de tabel de waarde van g^ | wel te bepalen.
Hoe?
22.  >a Zoek in de tabel op hoeveel combinaties van 5 uit 19 mogelijk zijn.
>b Hoeveel rangschikkingen van 5 uit 19 zijn er?
23.  De coach van een zaalvoetbalteam heeft een selectie van 12 spelers: 2 keepers
en 10 veldspelers.
Per wedstrijd neemt hij een team van 8 spelers mee: 1 keeper en 7 veldspelers.
>a Hoeveel verschillende teams kan hij zo maken?
Tijdens de wedstrijd staan 5 spelers in het veld: de keeper en 4 veldspelers. De
veldspelers mogen gedurende de hele wedstrijd doorlopend gewisseld worden.
>b Hoeveel verschillende samenstellingen zijn er tijdens ιιn wedstrijd in het
veld mogelijk?
24.
>a De 21 punten op deze cirkel zijn twee aan twee verbonden.
Hoeveel verbindingen zijn in totaal getekend?
>b De verbindingen tussen drie punten vormen een driehoek.
Hoeveel driehoeken zijn met behulp van deze 21 punten te tekenen?
-ocr page 22-
■18-
25 Als je meedoet aan de lotto mag je, tegen betaling, zes nummers kiezen uit de
getallen 1 t/m 41.
Komen die zes nummers op zondagavond toevallig uit de lottomachine gerold,
dan win je ongeveer vier ton.
Per lottoformulier kun je 12 keer je geluk beproeven.
Daarvoor betaal je ƒ12,40.
>a Hoeveel complete formulieren moet je invullen om zeker te zijn van de
hoofdprijs?
>b Hoe groot is de kans op 'alle zes goed', als je maar ιιn formulier volledig
invult?
26. Een zaalkorfbalteam bestaat uit 4 dames en 4 heren.
De coach wijst voor de wedstrijd uit de 12 beschikbare spelers (6 dames en 6
heren) een team aan.
>a Hoeveel keus heeft hij?
Het spel wordt gespeeld in twee vakken: een verdedigingsvak en een aanvals-
vak. In ieder vak staan van ιιn team 2 dames en 2 heren.
>b Op hoeveel manieren kan de coach uit het al aangewezen team van 4 dames
en 4 heren een beginopstelling vormen?
-ocr page 23-
-19-
3 De binomiale kansverdeling
Bij de Tweede Kamer verkiezingen van 1989 verloor de VVD zoveel stemmen, dat
een derde kabinet CDA-VVD onmogelijk werd.
Het zetelverlies werd al geruime tijd voor de verkiezingen voorspeld op basis van
steekproefsgewijze onderzoeken naar het stemgedrag.
CDA blijft grootste partij, positie coalitie onzeker
Van onze verslaggever
DEN HAAG - Het CDA blijft de grootste partij als er nu verkiezingen worden gebonden. Dat
blijkt uit opiniepeilingen die dit weekeinde zijn gepubliceerd. Maar de peilers zijn het oneens
over het aantal zetels dat het CDA krijgt en daarmee ook over de vraag of de huidige coalitie
haar meerderheid in de Tweede Kamer behoudt.
Volgens de opiniepeiling door het bureau InterA^iew, uitgevoerd in opdracht van de VARA, stijgt
het CDA van 54 naar 58 zetels. De VVD zakt weliswaar van 27 naar 20 zetels, maar de coalitie be-
houdt haar meerderheid.
Volgens een peiling van het NIPO in opdracht van de AVRO verliest het CDA een zetel, en komt
op 53. Ook in deze peiling komt de VVD op 20 zetels uit, zodat de coalitie haar meerderheid verliest.
Voor beide enquκtes geldt dat de VVD zich niet of nauwelijks herstelt van de klap die de partij heeft
opgelopen na de val van het kabinet begin mei.
De PvdA verliest in beide peiόngen 3 van haar 52 zetels. Het verUes van de sociaaldemocraten
komt vooral ten goede aan Groen Links. Dat staat volgens InterA'iew nu op 8 zetels (een winst van
vijO en volgens het NIPO op 11 zetels, een winst van 8. D66 verliest volgens InterA'^iew een zetel
(van 9 naar 8), maar wint er een in de NIPO-enquκte.
Volgens de InterA^iew-onderzoekers was er in mei van dit jaar een omslag te zien in de politieke
voorkeur van de ondervraagden. Tot mei behaalde de VVD in de peilingen 15 tot 16 procent van de
stemmen en het CDA 30 tot 32 procent. De PvdA was de grote winnaar met 36 procent of meer van
de stemmen. Sinds begin juni is de aanhang van het CDA gestegen naar 36 procent en die van de
VVD is gedaald tot 12 a 13 procent. Opmerkelijk noemen de onderzoekers het dat de PvdA is inge-
zakt naar 31 a 33 procent.                                                               Volkskrant 7 augustus 1989
Een enquκtebureau wil bij de volgende verkiezingen voorspellingen doen over even-
tuele verschuivingen in het stemgedrag.
Daartoe leggen ze een lijst aan waarop van 1500 personen genoteerd wordt of ze in
1989 hebben gestemd en zo ja, op welke partij.
De personen worden aselect aangewezen uit alle inwoners van Nederland die stem-
recht hebben.
Bekend is dat in 1989 tachtig procent van de stemgerechtigden inderdaad heeft ge-
stemd.
1.     > Hoeveel niet-stemmers kun je zo ongeveer verwachten op de uiteindelijke
lijst van 1500?
Als je een aselect aangewezen persoon belt, is de kans 0,2 dat hij (of zij) niet heeft
gestemd.
2.     >a Een enquκteur belt achtereenvolgens drie mensen op.
Hoe groot is de kans dat hij in alle drie gevallen te horen krijgt dat de on-
dervraagde niet heeft gestemd?
>b Bereken ook de kansen op O, op 1 en op 2 niet-stemmers.
>c De som van de vier kansen moet 1 zijn. Waarom?
Controleer hiermee of je de kansen goed hebt berekend.
-ocr page 24-
-20-
De enquκteur voert nu zeven gesprekken achter elkaar.
Een stemmer noteert hij als S, een niet-stemmer als N.
3.    >a Een mogelijk resultaat bij deze zeven gesprekken is: SSNNSSN.
De kans op dit resultaat is (0,2)^ • (0,8)'*.
Verklaar dat.
>b Met welke kans is het resultaat: NNSSSNSl
>c Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er waarbij drie van de zeven on-
dervraagden niet-stemmers zijn?
4.    > Bereken de kans dat twee van de zeven ondervraagden niet hebben ge-
stemd.
In het onderstaande kanshistogram staan de kansen weergegeven op 0,1,..., 7 niet-
stemmers.
Horizontaal staan de aantallen niet stemmers van de zeven ondervraagden uitgezet.
Verticaal is de bijbehorende kans af te lezen als de lengte van de staaf.
0,H
kans
t 0.3-
0,2-
0,1-
0 12 3 4 5 6 7
—>■ aantal niet-stemmers
5. >a Controleer in het kanshistogram het antwoord van opgave 4.
>b Een aantal van 1 of 2 niet-stemmers in een groep van 7 is het meest kansrijk
volgens het kanshistogram.
Was dat te verwachten?
De kansen op 6 en op 7 niet-stemmers lijken in het kanshistogram nul te zijn.
In werkelijkheid is dat niet zo. De kansen zijn echter zo klein, dat ze met deze
schaalverdeling op de verticale as niet meer zijn te tekenen.
6. > Hoe groot is de kans op 6 niet-stemmers?
-ocr page 25-
-21-
In de voorgaande vragen is steeds gelet op het aantal niet-stemmers.
7. >a Hoe groot is de kans dat van de zeven ondervraagden drie personen wel
hebben gestemd?
>b Is het antwoord van >a te controleren met het kanshistogram op de vorige
bladzijde?
Het kanshistogram behorend bij het aantal stemmers ziet er zo uit:
0,4-H
kans
t 0,3-
0,2i
0,1
0 12 3 4 5 6 7
—> aantal stemmers
8. > Welk verband bestaat er tussen dit histogram en het kanshistogram op blad-
zijde 20?
-ocr page 26-
-22-
dat er 15 mensen gevraagd wordt naar hun stemgedrag.
De kans dat daaronder 4 niet-stemmers gevonden worden, is uit te rekenen
met (i/)-(0,2)^-(0,8)11
Verklaar deze 'formule'.
Met welke 'formule' kun je uitrekenen hoe groot de kans is op 7 niet-stem-
mers in een groep van 15 ondervraagden?
Wat is het meest kansrijke aantal niet-stemmers bij een groep van 15?
Hieronder staan globale schetsen van kanshistogrammen.
Horizontaal staat het aantal niet-stemmers vermeld.
Welke geeft volgens jou de kansverdeling het beste weer?
9. Stel
>a
>b
>c
>d
met stemmers
-ocr page 27-
-23-
De telefonische enquκte die in de voorgaande vraagstukken aan de orde kwam is een
voorbeeld van een speciaal soort kansexperiment:
1.    Ieder telefoongesprek kent slechts twee uitkomsten: S of N.
2.    De kans op S is bij ieder gesprek dezelfde: 0,8.
De kans op A^ blijft ook ongewijzigd: 0,2.
3.    Het 'experiment' wordt een aantal keren herhaald.
In de praktijk komt het vaak voor dat bij kansexperimenten slechts naar twee uit-
komsten gekeken wordt, waarbij de kansen op die uitkomsten niet veranderen bij
herhaling van het experiment.
Voorbeelden:
experiment:                 uitkomsten:
tossen                         'kop' of 'munt'
examen                       'slagen' of 'zakken'
geboorte                     'jongen' of 'meisje'
multiple choice            'goed' of 'fout'
enquκte                       'voor' of 'tegen'
10. Er wordt zes keer met een dobbelsteen gegooid.
>a Hoe groot is de kans dat daarbij in twee van de zes gevallen de ' 1' boven
komt?
>b Wat is de kans op vijf keer een even aantal ogen?
>c Krijg je bij >a en >b andere antwoorden als er zes dobbelstenen tegelijk ge-
gooid worden in plaats van zes maal achter elkaar ιιn dobbelsteen?
Een kansexperiment, waarbij slechts twee uitkomsten tellen en de kansen op die
twee uitkomsten bij herhaling van het experiment niet veranderen, heet een bino-
miaal kansexperiment (binomiaal = tweetermig).
Een algemenere formulering van zo'n experiment luidt:
1.    Er zijn twee uitkomsten, die we aangeven met 'succes' (5) en 'mislukking' (Af).
2.    Het experiment wordt een aantal keren herhaald, waarbij het aantal 'successen'
wordt geteld.
3.    De kansen op 5 en M veranderen niet bij herhaling van het experiment.
-ocr page 28-
-24-
Voorbeeld:
Een multiple-choice test (tien vragen, elk met vier antwoordmogelijkheden) wordt
door een leerling volledig op de gok gemaakt.
Het kansexperiment: het op de gok kiezen van ιιn van de vier mogelijke ant-
woorden.
Succes (S):
Mislukking(Ai):
Aantal herhalingen:
het goede antwoord, met kans i
een fout antwoord, met kans 4
10, want er moeten 10 vragen op deze manier beantwoord
worden.
De kansen op S en M veranderen niet bij de tien herhalingen van het experiment.
11.  >a Hoe groot is de kans op drie 'successen' bij vijf opgaven?
>b En hoe groot is die kans bij acht opgaven?
12.  Er worden in een ziekenhuis op ιιn dag negen kinderen geboren.
De geboorte van een meisje noemen we een 'succes'. De kans daarop is gelijk
aan ^.
>a Bereken de kans op zes 'successen'.
>b Hoe groot is de kans op drie 'mislukkingen'?
Uit de vorige opgave blijkt wel dat de benamingen 'succes' en 'mislukking' niet al
te letterlijk opgevat moeten worden.
Het bord van Galton met zijn vallende kogeltjes is ook een voorbeeld van een bino-
miaal kansexperiment.
Bij elke pin die geraakt wordt staat het
kogeltje voor de keus: naar links of naar
rechts vallen (= kansexperiment).
T I 4 T
A B
D
13. Neem het geval dat de kansen op links of rechts vallen even groot zijn. We be-
kijken de kansen op het terecht komen in elk van de zes bakjes.
>a Hoeveel keer wordt het kansexperiment herhaald?
>b Bereken de kans dat een kogeltje in bakje C terecht komt.
-ocr page 29-
-25-
14.  Door de onderlinge posities van de pinnen te wijzigen wordt de kans om naar
links te vallen 0,7.
>a Hoe groot is nu de kans dat een kogeltje naar rechts valt?
>b Bereken de kans dat een kogeltje in bakje E terecht komt.
>c In welk van de zes bakjes verwacht je dat de meeste kogeltjes terechtko-
men?
15.  Een binomiaal kansexperiment wordt vijf keer uitgevoerd.
De kans op een 'succes' is 0,3.
>a In de kanstabel staan twee resultaten al vermeld (afgerond op vier cijfers
achter de komma).
Controleer die uitkomsten met een berekening.
aantal successen
0
1
2
3
4
5
kans
0.3602
0,1323
>b Bereken de ontbrekende kansen.
>c Maak een kanshistogram, waarbij horizontaal het aantal successen staat
vermeld.
We voeren een notatie in, om het schrijfwerk wat te bekorten. In plaats van 'de kans
op twee successen' schrijven we:
P(5 = 2) )*.
Zo luidt de 'formule' die bij opgave 15>b gebruikt kan worden om de kans op twee
successen uit te rekenen:
F(5 = 2)=(5).(0,3)'-(0,7)'.
16. > Welke 'formules' horen in opgave 12 bij P(5 = 1) en F(S = 3)?
Aan de notatie P{S = 3) is niet zonder meer af te lezen hoe de bijbehorende formule
er uit ziet.
Daarvoor moet je nog twee dingen weten:
-     de kans op succes;
-     het aantal keren dat het experiment wordt uitgevoerd.
)*. De letter P voor kans komt van het Latijnse woord 'probabilitas'
-ocr page 30-
-26-
17. Geef in elk van de volgende gevallen een 'formule' voor het berekenen van
P(S = 3).
>a Tien keer gooien met een dobbelsteen.
Succes: het gooien van een 'zes'.
>b Vijf pogingen om een bal door de korf te gooien bij een korfbaltraining.
De persoon die daarmee bezig is, schiet gemiddeld in 45% van de gevallen
raak.
Succes: een treffer (natuurlijk).
>c Opgave >b: maar nu met twaalf pogingen.
>d Opgave >a, maar nu met n keer gooien (n is een of ander positief geheel ge-
tal).
18.
Het gezin van Thomas V. Brennan in de Amerikaanse stad Oak Park, Illlinois, is een opvallend groepje:
vijf dochters achter elkaar en toen zes zoons. De kans op deze combinatie van elf kinderen is 1 op 2049.
>a Is de kans die bij het onderschrift van de foto wordt genoemd correct?
>b Hoe groot is de kans op vijf meisjes bij een gezin met elf kinderen?
Het vaasmodel (zie 'Kans en Verwachting') is te gebruiken om kansexperimenten
te simuleren.
Naast de samenstelling van de vaas (het aantal rode en het aantal witte ballen) is de
manier van trekken (met of zonder teruglegging) van belang.
19. In een vaas zitten 5 rode en 10 witte ballen.
Er worden drie ballen getrokken. Het trekken van een witte bal noemen we een
succes.
>a Bereken de kans op twee successen als er met teruglegging wordt getrok-
ken.
>b Dezelfde vraag zonder teruglegging.
>c In welk van de twee gevallen is sprake van een binomiaal kansexperiment?
>d Mag bij het binomiale vaasexperiment de samenstelling van de vaas ook
zijn: 1 rood en 2 wit?
-ocr page 31-
-27-
20. De Deltawerken zijn uitgevoerd om een herhaling van de watersnoodramp van
1953 te voorkomen.
De 'bekroning' van dat werk is de Oosterschelde dam.
De pijlerdam bestaat uit een serie van 62 gigantische schuiven (opgehangen tus-
sen de 65 pijlers) die bij zwaar weer neergelaten kunnen worden. Op die manier
dienen ze als 'stormvloedkering'.
-t
Elk van de schuiven wordt, onafhankelijk van de andere, bestuurd door een
computer.
De stormvloed wordt alleen maar gekeerd als alle 62 schuiven neergelaten zijn.
Wanneer ιιn schuif niet gesloten wordt, gaat het mis. De kracht van het water
kan dan het hele bouwwerk ruοneren.
Gelukkig is de kans dat een individuele schuif niet werkt erg klein.
>a Hoe groot is de kans dat het fout gaat, als er een kans van 1 % is dat een in-
dividuele schuif niet werkt?
>b Volgens de bouwers van de dam is de kans dat een individuele schuif niet
werkt 1 op 1000.
Is dat voor een Zeeuw een geruststellende mededeling?
-ocr page 32-
-28-
21. Een kanshistogram, behorend bij een binomiaal kansexperiment dat 20 keer is
uitgevoerd. Horizontaal staat het aantal successen uitgezet.
0,3n
0.2-
0.1-
J^-----------------------■-------1
^11 12 13 14 15
17 18 19 20
16
>a Heb je een vermoeden hoe groot de kans op succes is?
>b Controleer of je vermoeden juist is als gegeven wordt
(afgerond op 4 decimalen): P{S = 17) = 0,1901.
>c Schat met behulp van het kanshistogram de kans op tenminste 18 succes-
sen.
Kort genoteerd: P{S > 18).
22. Hieronder staan kanshistogrammen van negen binomiale kansverdelingen, ge-
tekend door een computer.
Steeds geldt: n = 10. De kansen op succes (p) staan bij de histogrammen ver-
meld.
0,4-
0,3-
0.2-
0,1-
0,4-1
p = 0,2
P = 0,\
0,3-
0,2
0.1
0123456789 10 0123456789 10
0.4-
0.3-
0,2-
0.1
P = 0,4
P=0,3
0.4
0.3
0,2-
0,1-
0123456789 10
0123456789 10
-ocr page 33-
-29-
0.4
0.3
0.2
0.1
0.4
0.3-
0.2-
0.1-
P = 0,5
P = 0,6
0123456789 10 0123456789 10
0.4-1
0.3-
0.2.
0.1-
P = 0,7
0.4-,
P = 0,8
0,3-
0.2-
0,1
0123456789 10
0123456789 10
0.4-,
0.3
0.2-
0.1-
P = 0,9
0123456789 10
>a Zoek bij elk histogram het aantal successen met de grootste kans.
Is het resultaat logisch?
>b Welke histogrammen zijn elkaar spiegelbeeld?
Kun je dat verklaren?
>c Het histogram bij p = 0,5 is het enige dat symmetrisch is
(dusP(X = 4) = P(X = 6),P(X=3) = P(X = 7),enz.).
Waarom?
De kans op succes (p) en het aantal herhalingen van het experiment (n) bepalen sa-
men welke aantallen successen het meest kansrijk zijn.
Zo mag je bij « = 10 en p = 0,7 redelijkerwijs verwachten dat je in de buurt van 7
successen uitkomt.
-ocr page 34-
-30-
23.  Bij n = 10 zullen we 'in de buurt van 7 successen' opvatten als '6, 7 of 8 suc-
cesssen'.
>a Schat met het kanshistogram van opgave 22 de kans op 6,7 of 8 successen
bij p = 0,7.
>b Hoe groot is de kans om in de buurt van 7 successen te komen bij de suc-
ceskans/? =0,5?
Wanneer nenp bekend zijn, kunnen kansen worden berekend of afgelezen uit tabel-
len of histogrammen.
In de praktijk zijn de kansen op succes vaak onbekend en wordt een steekproef ge-
bruikt om de succeskans/? te schatten. Als bij een steekproef van 10 (10 herhalingen
van een kansexperiment) er 7 successen geteld worden dan lijkt het voor de hand lig-
gend om aan te nemen dat de succeskans 0,7 is.
Uit opgave 23>b blijkt dat je daar vooorzichtig mee moet zijn.
Ook wanneer de succeskans 0,5 zou zijn bestaat er een niet geringe kans dat je bij
een steekproef van 10 een aantal successen in de buurt van 7 zult vinden.
24.  Bij de produktie van ping-pong-balletjes komen exemplaren voor met scheur-
tjes. Die zijn natuurlijk niet bruikbaar. Om een indruk te krijgen van het percen-
tage niet bruikbare balletjes worden er 10 gecontroleerd.
Bij ιιn exemplaar worden scheurtjes geconstateerd. Op grond daarvan wordt
verondersteld dat 90% van de produktie wel goed is. De succeskans wordt dus
op 0,9 geschat.
>a Stel dat de werkelijke succeskans p = 0,8 is.
Hoe groot is de kans datje dan toch 8, 9 of 10 goede exemplaren aantreft
bij een steekproef van 10?
Een succeskans p noemen we acceptabel als bij die p er meer dan 10% kans is
op het aantreffen van 8,9 of 10 successen bij een steekproef van 10.
>b Bepaal met behulp van de kanshistogrammmen van opgave 22 welke waar-
den van p nog acceptabel zijn.
-ocr page 35-
-31-
4 De binomiale kanstabel
1. Een multiple choice-test, bestaande uit acht vragen, wordt volledig op de gok
ingevuld.
Hieronder staat de tabel met de kansen op 0,1, 2,.... 8 goede antwoorden.
aantal
successen
P{S = k)
(.=k)
0
0,1001
1
0;2670
2
0,3114
3
0,2077
4
0,0865
5
0,0231
6
0,0038
7
0,0004
8
0,0000
>a Hoe kun je aan de tabel zien dat de kans op 'succes' i is?
>b Hoe groot is, voor een gokker, de kans op minder dan drie goede antwoor-
den?
>c Een voldoende voor deze test krijg je, als minstens vijf van de acht ant-
woorden goed zijn.
Hoe groot is, voor een gokker, de kans op een voldoende?
Bij een binomiaal kansexperiment met p = | en /z = 8 is het verwachte aantal suc-
cessen gelijk aan 2.
Dit betekent niet dat je bij herhaalde uitvoering van het experiment zo ontzettend
vaak twee successen zult vinden.
Wel kun je zeggen dat de kans groot is dat het aantal successen in de buurt van
5 = 2 zal liggen.
In het bovenstaande voorbeeld is de kans op 1, 2 of 3 successen gelijk aan 0,7861
ofwel:
P(l<5<3) =^(5=1) +PiS=2) +P(S=3)
= 0,2670 +0,3114 +0,2077
= 0,7861
In de praktijk wordt meestal gebruik gemaakt van een cumulatieve kanstabel (cumu-
latief = opeenhopend, stapelend). Daarin staan niet de kansen P{S=k) vermeld, maar
de kansen P(5 <k).
-ocr page 36-
-32-
2. Het begin van de cumulatieve tabel, behorend bij de kanstabel van
opgave 1:
aantal (k)
P(S<k)
0,1001
0,3671
0,6785 <-
O
1
2
3
P(S<2) =
P(S=0) + P(S=l) + P(S=2):
0,1001 + 0,2670 + 0,3114
Maak de tabel verder af.
De cumulatieve kansen vi'orden weergegeven als de som van een aantal staven, be-
ginnend met de staaf bij O successen {k = 0).
0,30-
0,30-
0,20-
0,20
0,10
0,10
0 12 3 4 5 6 7
PiS < 2)
0,30-
0 12 3 4 5 6 7
PiS < 4)
0,20-
0,10
m
0 12 3 4 5 6 7
F(3<S<4) = /'(S = 3)+P(5 = 4)
Het laatste plaatje is te beschouwen als een combinatie van de eerste twee.
>a Welke combinatie is dat?
>b Hoe groot is P(3 < 5 < 4)?
>c P(S = 4) kan ook door combinatie van twee cumulatieve kansen gevonden
worden. Welke?
4. Neem het kanshistogram bij n = 8, p = 1 over in je schrift.
>a Geef met twee verschillende kleuren aan welke gedeelten van het kans-
histogram horen bij P{S < 3) en P{S > 3).
>b ^(5 < 3) is af te lezen uit de tabel van opgave 2.
Is die tabel ook te gebruiken om P(S > 3) te bepalen?
-ocr page 37-
-33-
5. De cumulatieve tabel behorend bij een binomiaal kansexperiment, dat zes keer
uitgevoerd wordt.
aantal
successen
P{S<k)
(=k)
0
0.0467
1
0,2333
2
0.5443
3
0,3208
4
0,9590
5
0,9959
6
1.0000
>a Bepaal uit de tabel P{S = 4).
>b Bereken ^(5 > 3).
>c Uit de tabel is af te leiden: PiS < 4) - P(5 < 2) = 0,4147.
Wat is daarmee nu precies uitgerekend?
>d Bereken F(2 < S < 5).
Er bestaan tabellenboekjes waarin voor een groot aantal waarden van n (meestal n =
2 t/m n = 25, n = 50, n = 100) cumulatieve kanstabellen zijn opgenomen voor een
serie p-waarden.
Als voorbeeld bekijken we een deel van de kanstabellen bij /i = 14 (blz. 34).
In het omkaderde gedeelte staan de cumulatieve kansen behorend bij p = 0,30.
Kansen zoals P(S < 6) zijn direct afleesbaar: PiS < 6) = 0,9067.
Voor andere kansen zijn extra stappen nodig.
Bijvoorbeeld: gevraagd is F(4 < S < 8).                 '
In een beeldverhaal:
gevraagd: |------1-----1-----1-----|iiiiiiiiiijiiiiiiiii|iiiiiimi|iiiiiiiii|iiiimiii———i------1-------1-------1------1------1
0 12 3
4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14
In de tabel
staan:
p/c ^ Q\ |iiiiiiiiiii|iiiiiiiii|iiiiiiiiii|iniiiiiiEiiiniiiii|iiiiiiiii(iiiiiiiiii|iiiiiiiM[iiiiiiiiiii'
0 12 3
4 5 6 7 8
9 10 11 12 13 14
en
P(S ^ 3) |i>i>iiiiiii|iiiiiiiii|iiiiiinii|iiiiiiiii|i-
\—\—\—i—I—\—h
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
dus ^(4 < 5 < 8) = n^ < Sj - P(5 < 3) = 0,9917 - 0,3552 = 0,6365
Pas op! Omdat het om aantallen successen gaan, zijn de volgende kansen allemaal
hetzelfde:
P(4<5<8) = P(3<5<8)=P(4<5<9) = P(3<5<9)
-ocr page 38-
-34-
P
n k
0,05 0,10 0,15
0,20
0,25
0.30
0,35
0.40
0.45
0.50
1/6 1/3
14 0
0,4877 0,2288 0,1028
0,0440
0,0178
0,0068
0,0024
0,0008
0,0002
0.0001
0.0779 0.0034
1
0,8470 0.5846 0,3567
0,1979
0,1010
0,0475
0.0205
0,0081
0,0029
0.0009
0^960 0.0274
2
0,9699 0.8416 0,6479
0,4481
0,2811
0,1608
0.0839
0.0398
0.0170
0.0065
0.5795 0.1053
3
0,9958 0,9559 0,8535
0.6982
0,5213
0.3552
0.2205
0.1243
0.0632
0.0287
0.8063 0,2612
4
0,9969 0,9908 0.9533
0,8702
0.7415
0.5842
0,4227
0.2793
0,1672
0,0898
0.9310 0,4755
5
1.0000 0.9985 0,9885
0,9561
0,8883
0,7805
0,6405
0,4859
0.3373
0.2120
0.9809 0.6898
6
0,9998 0,9978
0.9884
0,9617
0,9067
0.8164
0,6925
0.5461
0.3953
0,9959 0,8505
7
1,0000 0,9997
0.9976
0.9897
0,9685
0.9247
0.8499
0.7414
0,6047
0,9993 0,9424
8
1,0000
0,9996
0.9978
0,9917
0.9757
0.9417
0.8811
0,7880
0,9999 0,9826
9
1,0000
0,9997
0,9983
0,9940
0.9825
0,9574
0.9102
1,0000 0,9960
10
1.0000
0,9998
0,9989
0.9961
0,9886
0.9713
0.9993
11
1.0000
0,9999
0.9994
0.9978
0.9935
0,9999
12
l.UUUU
0.9999
0,9997
0.9991
1.0000
13
1.0000
1,0000
0,9999
14
1,0000
6. Bepaal de volgende kansen met de tabel (dus n = 14).
>a F(5<7) voorp = 0,15 >c P(S<8) voor;? = 0,15
>b /'(1<5<4) voor/7 = 0,25 >d P(3 <5< 5) voorp = 0,30
Ook kansen zoals P(S > 4) kunnen, via extra stappen, uit de tabellen bepaald worden.
Gevraagd: P{S > 4) met n= 14 en p = 0,3.
In een beeldverhaal:
gevraagd:
In de tabel
staan:
I           I           I---------|iiiiiiiiii}iiiiiiiii|iiiiiiiiiijiiiiiiiii|iiiiiiiiii}iiiiiiiiiii|iiiiiiiiiii|iiiiiiiiiiiiAiiiiiiiiiiii|iiiiiiiiiiii|iiiiiiiiiiu
0 12 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
p/c <^ 1 ^\ |llllllllill|lllllllll|lllMIIMl|lllllllll|llllllllll}lllllMll{llllllllll|llMillll(llllllllll]lllllllllll|lllllllllll|llllllllllllAllllllllllll|lH
0 12 3
4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
en
P(S < 3) ("i""''"|i"iiiiii|i"i"iiii|"'"iiiifi—I------1------1------1------1-------1 I--------1--------1--------1-------1
O 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14
dus F(S > 4) = P(S < 14) - P(S < 3)
= 1 - 0,3552
= 0,6448
Merk op dat P{S > 4) hetzelfde is als P(S > 3) en ook hetzelfde als P(4<S< 14).
Bepaal de volgende kansen met de tabel (« = 14).
>a PiS >2) voorp = 0,3          >c P(5>9) voorp = 0,25
>b PiS>4) voor;? = 0,20 >d P(S>\0) voorp = 0,10
-ocr page 39-
-35-
8. Bepaal de volgende kansen met behulp van de juiste tabel.
>a
P(S < 12)
voor n = 20;
P = 0,4.
>b
P(S < 8)
voor n = 10;
p = 0,6.
>c
P(S = 19)
voor n = 20;
p = 0,2.
>d
P(S > 4)
voor n = 12;
p = 0,5.
>e
P(S > 7)
voor « = 100;
P = 0,h
>f
F(11<S<
14)
voor n = 17;
p = 0,8.
Vraag: Hoe groot is de kans dat er bij tien worpen met een dobbelsteen minstens
drie keer 'zes' wordt gegooid?
Dit is een binomiaal kansexperiment met:
-     Succes: het gooien van een 'zes', met succes^ans/? = i.
-     Tienmaal gooien betekent n= 10.
-     Er wordt gevraagd naar P{S > 3)
9.    > Bepaal deze kans met behulp van de tabellen.
10.  Zo'n 10% van de auto's die over de Nederlandse wegen razen, vertoont techni-
sche gebreken.
Regelmatig worden door de politie uitgebreide technische keuringen uitgevoerd
langs de kant van de autoweg.
i
,L ■^ "■^j^'
n^..^ '.^■HMMMMlHMMffHCittSESΛilHB
'■ -■ ' ' 'm.m
.i^^klfl^fW.
>a Er worden 100 auto's gecontroleerd.
Hoe groot is de kans dat er bij meer dan dertien auto's gebreken worden ge-
constateerd?
Gemiddeld 1 op de 100 auto's is zo gammel dat hij van de weg wordt gehaald
en naar de sloper gaat.
>b Hoe groot is de kans dat bij 100 controles er minstens 1 auto rijp is voor de
sloop?
-ocr page 40-
-36-
11.  Uit een vaas met 30 witte en 20 rode ballen wordt een aantal keren met terug-
legging een bal getrokken.
>a Hoe groot is de kans dat bij 15 trekkingen de meerderheid van de getrokken
ballen rood is?
>b Bereken bij 12 trekkingen de kans op 6 witte ballen.
12.  Bij een eerlijke munt zijn de kansen op 'kop' en 'munt' gelijk.
De verwachtingswaarde van het aantal keren 'kop' is dus gelijk aan 50% van
het aantal worpen.
Bereken bij elk van de volgende waarden van n (= aantal worpen) de kans dat
het aantal keren 'kop' tussen de 40% en 60% van het totaal aantal worpen ligt.
>&   n= 10.
>b   n = 20.
>c   n = 50.
>d   «=100
>e De vragen bij >a t/m >d zijn steeds dezelfde. De berekende kans wordt ech-
ter steeds groter.
Kun je dat verklaren?
13.  Bij een landelijk onderzoek is gebleken dat 15% van alle middelbare scholieren
regelmatig spijbelt.
>a Hoe groot is de kans dat in een klas van 20 5Havo-leerlingen er meer dan 4
zijn die regelmatig spijbelen?
>b Welke bezwaren kun je aanvoeren tegen het gebruik van de binomiale
kansverdeling in dit geval?                            ,
-ocr page 41-
-37-
14.  In een bedrijf worden schroeven gefabriceerd.
Volgens de bedrijfsleider is 5% van de produktie niet bruikbaar. De slechte
exemplaren worden niet verwijderd, omdat de controle daarop te kostbaar is. De
schroeven worden in doosjes van 50 stuks verkocht aan de winkeliers.
>a Hoe groot is de kans dat een doosje meer dan vier onbruikbare schroeven
bevat?
>b Een winkelier heeft een partij van 500 doosjes schroeven besteld bij de fa-
briek.
Hoeveel doosjes met 50 bruikbare schroeven kan hij daarbij verwachten?
15.  Een docent geeft een multiple-choice-test bestaande uit 20 opgaven.
>a Stel dat hij voor iedere goed beantwoorde vraag een halve punt toekent.
Hoe groot is de kans dat iemand, die alle antwoorden gokt, als cijfer een 4
of hoger krijgt?
>b De docent vindt dat een gokker ten hoogste 1% kans mag hebben om een
cijfer 4 of meer te halen.
Bij welk aantal goede antwoorden moet hij dan het cijfer 4 toekennen?
16.  Om de kooplust te stimuleren heeft de winkeliersvereniging 'Ons Eigen Be-
lang' besloten om een grote decemberactie op poten te zetten.
Er wordt een groot aantal envelopjes in omloop gebracht via de deelnemende
winkels.
In 5% van de envelopjes zit een waardebon, goed voor een uitgebreid kerstpak-
ket ter waarde van ƒ 50,-.
Nog eens 10% bevat een waardebon, ter waarde van ƒ 10,-, vrij te besteden in
ιιn van de winkels. De rest van de envelopjes is leeg.
Voor iedere ƒ 25,- aan boodschappen krijgt een klant ιιn envelopje.
>a Iemand heeft voor 312 gulden boodschappen gedaan.
Hoe groot is de kans dat vier van de gekregen envelopjes een waardebon
bevatten?
>b Hoeveel zullen de winkeliers door deze actie naar schatting kwijt zijn aan
prijzengeld per 1000 gulden omzet?
17.  Hernia-operaties worden alleen uitgevoerd, als alle andere methoden om de pij-
nen te bestrijden hebben gefaald.
Reden: een operatie heeft maar 70% kans van slagen.
Mislukt de operatie, dan kan de kwaal daardoor nog verergeren.
> In een ziekenhuis worden per maand 18 hernia-operaties uitgevoerd.
Bereken de kans dat tenminste 80% van de operaties zal slagen.
-ocr page 42-
-38-
18. Een bollenkweker uit Hillegom biedt de mogelijkheid om schriftelijk pakketten
bloembollen te bestellen.
De bestelling wordt, na betaling, via het eigen postorderbedrijf naar de klant ge-
stuurd. Omdat er ongezien gekocht wordt, garandeert de kweker dat minstens
90% van de bestelde bollen tot bloei komt. Als dat niet gebeurt, heeft de klant
recht op een gratis pakket van dezelfde samenstelling.
Veronderstel dat de kweker met de kwaliteitsgarantie bedoelt dat iedere afzon-
derlijke bol een bloeikans van 90% heeft.
>a Je koopt een pakket van 20 bollen.
Hoe waarschijnlijk is het dat tenminste 90% van de bollen in bloei komt?
>b Hoe groot is de kans op een gratis nieuw pakket, als je een pakket van 50
bollen koopt?
19. Na het vorige vraagstuk mag duidelijk zijn dat een bloeigarantie van tenminste
90% niet slim is, als de bloeikans van een individuele bol ook 90% is.
Stel dat de bloeikans per bol 95% is.
>a Bereken de kans dat een pakket van 20 stuks niet aan de 90%-garantie vol-
doet.
Per jaar worden door de kweker ongeveer 1000 pakketten van 20 stuks, 1500
pakketten van 50 stuks en 1200 pakketten van 100 stuks verkocht. Van de klan-
ten die recht hebben op een gratis nieuw pakket, maakt zo'n 60% gebruik van
de garantiebepalingen.
>b Hoeveel pakketten van iedere soort zal de kweker achter de hand moeten
houden om aan zijn garantieverplichtingen te kunnen voldoen?
-ocr page 43-
-39-
In 1977 werd de Voyager 2 gelanceerd voor een reis langs de planeten. Ruim twaalf
jaar later (augustus 1989) passeerde hij Triton, ιιn van de manen van Neptunus, en
stuurde een serie foto's van deze maan naar de aarde.
De meest gedetailleerde opname van
het oppervlak van Triton.
De foto werd door de Voyager 2 ge-
maakt van een afstand van 40.000 ki-
lometer.
Een foto wordt naar de aarde overgeseind door middel van binaire codes.
Daartoe wordt zo'n opname eerst met verticale en horizontale lijnen verdeeld in een
groot aantal vierkantjes.
Van elk afzonderlijk vierkantje wordt de zwartingsgraad gemeten en uitgedrukt op
een schaal van O (= volledig wit) tot 15 (= volledig zwart). Zo kunnen 16 verschil-
lende grijstinten worden onderscheiden.
Een uitvergroting van de rand van Triton. Bij de
overgang van het lichte naar het donkere gedeelte
is de structuur van vierkantjes duidelijk zichtbaar.
-ocr page 44-
-40-
De grijstint van elk vierkantje wordt, als binaire code met lengte 4, overgeseind naar
de aarde.
De 16 gebruikte codes zijn:
0 0 0 0
= wit
0 0 0 1
0 0 10
0 0 11
0 10 0
0 10 1
0 110
0 111
10 0 0
10 0 1
10 10
10 11
110 0
110 1
1110
\
'
1111
= z\
A'art
grijstinten, toenemend van
heel-licht-grijs tot heel-donker-grijs
Bij het overseinen kunnen onderweg storingen optreden, waardoor op aarde een an-
dere code wordt ontvangen dan door de Voyager 2 is verstuurd.
Veronderstel dat de kans op een storing (d.w.z. een O wordt ontvangen als 1 of een
1 wordt ontvangen als een 0) 5% is.
20. De Voyager verzendt de kleurcode 1111 (= zwart).
>a Hoe groot is de kans dat deze code op aarde ontvangen wordt als 0101
(= tamelijk lichtgrijs).
>b Bereken de kans dat ιιn van de vier signalen verkeerd ontvangen wordt.
>c Laat zien dat de kans op een goede ontvangst van een kleurcode 0,8145 is.
Uit opgave 20 >c volgt dat van een complete foto (opgebouwd uit ongeveer 10.000
vierkantjes) ongeveer 19% foutief ontvangen wordt. De wetenschappelijke waarde
van zo'n foto is niet erg groot.
Er bestaan verschillende methoden om het percentage fouten te verkleinen.
De eerste methode is: verzend ieder signaal meerdere malen achtereen, bijvoorbeeld
als blok van 3.
De kleurcode O 1 O 1
wordtdanverstuurdalsOOO 111 000 111
Deze reeks kan op aarde ontvangen worden als: 100| 101 000| |110
en bevat dus drie fouten.
Van elk groepje van 3 bepaalt het signaal dat het meest voorkomt welk signaal is be-
doeld.
Zo wordt het blokje 100 geοnterpreteerd als p.
-ocr page 45-
-41-
21.  > Controleer dat de kleurcode uit het voorbeeld goed geοnterpreteerd wordt,
ondanks de drie fouten.
22.  >a Laat zien: de kans dat een signaal goed overkomt op aarde is 0,9928.
>b Hoe groot is de kans dat de hele kleurcode (4 signalen, overgeseind als 4
blokjes van 3 signalen) goed overkomt op aarde?
23.  > Waarom is deze methode niet geschikt om de signalen in blokjes van twee
of vier te versturen?
24.  De kans op een goede ontvangst kan nog verder vergroot worden door ieder sig-
naal in blokjes van 5 te versturen.
>a Hoe moet je dan het blokje pi001| interpreteren?
>b Bereken voor dit geval (4 signalen, overgeseind als 4 blokjes van 5 signa-
len) de kans op een goede ontvangst.
Een tweede methode, die in de praktijk vaak gebruikt wordt, is in hoofdstuk 1 als
spelletje geοntroduceerd (zie hoofdstuk 1 opgaven 7 t/m 10). Daarbij worden aan de
kleurcode 3 controlesignalen toegevoegd.
A
De code 1011 wordt ingevuld in de gebiedjes 1 t/m 4. In de gebieden 5, 6 en 7 wor-
den nullen of enen gezet volgens de afspraak: als er al een even aantal enen binnen
een cirkel staat wordt een O ingevuld en anders een 1.
25.  > Ga na dat de code 1011 dan wordt: 1011010.
Het slimme van deze aanvulling is dat een rijtje van 7, waarin ιιn fout voorkomt
toch goed geοnterpreteerd kan worden.
26.  > De code 1101110 bevat ιιn fout signaal.
Welke is dat?
27.  > Hoe groot is de kans dat een kleurcode, overgeseind als rijtje van 7 signa-
len, goed wordt geοnterpreteerd?
-ocr page 46-
-42-
Een klein stukje,
uitvergroot, van een
foto die de Mariner
op Mars heeft
genomen. Deze foto
is overgezonden met
de zogeheten Reed-
MuUer code. Dat de
code heel erge fouten
niet verbeteren kon is
duidelijk te zien: de
afwijkend getinte
puntjes zijn fouten.
De grote rots boven
in het midden is on-
geveer 1,5 km breed.
• ^.
**H%
Er zijn vier mogelijkheden van verzending bekeken:
methode
van verzenden:
A: alleen kleurcode
B: 4 blokjes van
3 gelijke signalen
C: 4 blokjes van
5 gelijke signalen
D: kleurcode, aangevuld
met 3 controlesignalen
aantal verstuurde
signalen:
4
12
20
7
kans op goede
interpretatie:
0,8145
0,9715
0,9952
0,9556
Voor wetenschappelijke doeleinden moet tenminste 95% van de informatie op een
foto correct zijn.
28.  >a Welke methoden van verzenden voldoen daar aan?
>b Wat is, uit wetenschappelijk standpunt bezien, de beste methode?
Nog langere series herhalingen geven natuurlijk nog betere resultaten. De kosten
spelen echter ook een rol.
Veronderstel dat het versturen van ιιn signaal/1,- kost.
ledere foutief ontvangen kleurcode verlaagt de waarde van de foto met/75,-.
29.  > Bij methode A zijn de verwachte kosten per kleurcode/l7,91.
Laat dit zien met een berekening.
30.  > Onderzoek welk van de vier genoemde methoden naar verwachting de
laagste kosten met zich meebrengt.
-ocr page 47-
-43-
5 Met en zonder terugleggen
1. Van een doos met tien lampen werken er twee
niet.
Een monteur controleert er drie van de tien. Het
pakken van een defect exemplaar noemen we een
succes.
>a Bereken de kansverdeling van het aantal suc-
cessen als je er vanuit gaat dat een gecontro-
leerd exemplaar opzij gelegd wordt.
>b Bereken de kansverdeling ook voor het geval
de monteur zo dom is om gecontroleerde
exemplaren weer terug te doen in de doos.
gloeilamp
2.    > Beantwoord de vragen van opgave 1 ook voor een voorraad van 1000 lam-
pen, waarvan er 200 defect zijn.
Bij een trekking zonder terugleggen veranderen de kansen eUce keer als er ιιn trek-
king is uitgevoerd.
De kansverdeUng van het aantal successen is daarom anders dan bij een trekking met
terugleggen.
Dat is bij opgave 1 duidelijk te zien.
3.    Bij opgave 2 zijn de verschillen tussen 'met terugleggen' en 'zonder terugleg-
gen' veel kleiner.
> Kun je dat verklaren?
O
-ocr page 48-
-44-
Nog een voorbeeld:
Een vaas is gevuld met 50 rode en 150 witte ballen.
Er worden 5 ballen uitgehaald, waarbij het aantal rode ballen geteld wordt.
De bijbehorende kansverdeling is in de tabel af te tezen
In de tweede kolom staat de trekking met terugleggen en in de derde kolom de trek-
king zonder terugleggen:
Aantal rode
P{S=k)
P{S=k)
(=*)
0
0,2373
0,2333
1
0,3955
0,3995
2
0,2637
0,2663
3
0,0879
0,0864
4
0,0146
0,0136
5
0,0001
0,0001
O
4. > Controleer de kansen behorend bij it = 2.
Uit de tabel blijkt dat er niet zo veel verschil is tussen de kansen behorend bij trek-
kingen met en zonder terugleggen. Wanneer de kansen in procenten nauwkeurig
worden gegeven, verdwijnt het verschil zelfs bijna helemaal.
In de praktijk wordt dan ook vaak de volgende regel gehanteerd:
Als de steekproefgrootte (= aantal trekkingen) klein is ten opzichte van de
totale populatie (= aantal ballen in de vaas), dan mag een trekking zonder
terugleggen benaderd worden door een trekking met teruglegging (= bino-
miaal kansexperiment).
In feite heb je, onbewust misschien, deze regel in het vorige hoofdstuk al een aantal
keren gebruikt.
Een onderzoek onder 100 Nederlanders is eigenlijk een 'trekking zonder terugleg-
gen'. Maar 100 mensen op een totaal aantal van enkele miljoenen verandert zo wei-
nig aan de 'samenstelling', dat daardoor de kansen (bijna) niet veranderen.
-ocr page 49-
-45-
5.    Goedkope LP's zijn vaak tamelijk slordig geperst. Gemiddeld 1 op de 20 exem-
plaren vertoont persfouten.
Een platenzaak bestelt 50 goedkope persingen van 'the Wall' (Pink Floyd).
>a Hoe groot is de kans dat er daarbij hoogstens 3 slechte exemplaren voor-
komen?
De partij van 50 LP's blijkt 3 slechte exemplaren te bevatten. Deze worden toch
gewoon tussen de andere exemplaren in de rekken gezet.
>b Hoe groot is de kans dat van de eerste vijf exemplaren die verkocht worden,
er twee slecht zijn?
>c Maak het veel verschil of je opgave >b met of zonder terugleggen oplost?
6.    Een leerling leent de sleutelbos van een docent om zijn boekentas uit het lokaal
te halen.
Eιn van de vijf sleutels past; de leerling weet niet welke dat is.
>    Hoe groot is de kans dat de derde sleutel die geprobeerd wordt, past?
7.    Van een kist met 100 sinaasappelen zijn er 20 zuur. Dat is aan de buitenkant niet
te zien.
Je koopt er 6.
>    Hoe groot is de kans dat daar 2 zure exemplaren bij zijn?
de grote fruitmarkt op het Rialtoplein te Venetiλ
fe^ 1JI'S. * '^ ^ii
fei' ' "''""'' .-"
'^^
H Mmilt
/ 1 * Bi.
■■■SiS^' " '
Ir-.'*
1 *,. *»*
•■••^"■'* *** ' ''''\^^^^^^^^^^^^^ '^' '
<:^^
^•^
;>* ' ^^^p^^^^... ' -; '
1 ii.;
i
'" "5^^ ^^^^^Jl.:..:
-ocr page 50-
-46-
6 Gemengde opgaven
1. Een binaire boom: vanuit de stam vertakt hij een aantal keren, telkens in twee
richtingen.
>a Er zijn 32 eindvertakkingen.
Verklaar dat aantal.
De ASCII-codes voor de hoofdletters verschillen op de laatste vijf plaatsen (zie
hoofdstuk 1 blz. 8).
Voor de hoofdletter A is dat 00001.
Door een ^ op te vatten als een vertakking naar links en een [l] als vertakking
naar rechts, komt de A in deze binaire boom terecht op de plaats waar hij weer-
gegeven staat.
>b Controleer in de boom dat de L (01100) en de Z (11010) op de goede plaats
staan.
>c Waar hoort in deze boom de letter E?
>d Welke letters horen op de plaats van de stippen?
-ocr page 51-
-47-
2.    Bereken de volgende binomiale kansen:
>a PC1<S<1) als/? = 0,65 en «=10
>b/'(5>10) als/? = 0,3 en « = 20
3.    In een stad staan twee ziekenhuizen.
Per week worden in het grootste van de twee 50 baby's geboren, in het kleinste
is dat aantal 20 per week.
In 1988 is in beide ziekenhuizen het aantal weken geteld, waarin tenminste 60%
van de borelingen een jongen was.
>a Bij welk van de twee ziekenhuizen zal dat aantal het grootst zijn? Waarom?
>b Bereken met behulp van de tabel voor beide ziekenhuizen de verwachtings-
waarde van dat aantal weken.
>c Verklaar het resultaat van >b.
4.    Bij de marine wordt nog regelmatig een systeem van seinen gehanteerd, waarbij
de armen worden gebruikt.
<^
einde
bericht
correctie
teken
De mogelijke standen van de arm worden hieronder schematisch weergegeven.
1
5                          4
Op deze manier kunnen, gebruik makend van ιιn of twee armen, 28 verschil-
lende tekens worden gegeven.
>a Controleer dat aantal van 28.
>b Dit systeem kan gebruikt worden om de 26 letters, de 10 cijfers en een cor-
rectie-teken uit te beelden. Hoe?
-ocr page 52-
-48-
5.    > Verzin een vraag bij het antwoord: 0^^) • (0,2)''• (0,8)'.
6.    De waarde van een basketballspeler in de VS wordt onder andere bepaald door
zijn schotpercentage. Dat is het aantal rake schoten als percentage van het aantal
schotpogingen.
Een speler heeft een schotpercentage van 70%. In een wedstrijd waagt hij 20
schoten.
>a Hoe groot is de kans dat zijn score precies 70% is?
>b Bereken de kans dat zijn score ligt tussen 60% en 80%.
7. Uit een groep van 12 personen (4 mannen, 8 vrouwen) worden er drie aselect
aangewezen.
>a Hoeveel verschillende drietallen zijn er mogelijk?
>b Bereken: (^). (8)+ (4 ).(») +(4). (8)+ (4). (8)
>c De uitkomsten van >a en >b zijn hetzelfde. Kun je dat verklaren?
>d Hoe groot is de kans dat twee van de drie aangewezen personen vrouwen
zijn?
-ocr page 53-
-49-
8. Uit de leerlinggegevens blijkt voor een klas van 30 leerlingen de gezinssamen-
stelling als volgt te zijn:
•S 10 -r
9 --
8 --
7 --
6 --
5 -
4
3 --
2 --
1 --
I
1
aantal kinderen per gezin
Uit dit histogram valt onder andere af te lezen dat 5 leerlingen van de 30 afkom-
stig zijn uit een gezin met 4 kinderen .
>a Hoe groot is de kans dat twee leerlingen die worden aangewezen beide ko-
men uit een gezin met meer dan 2 kinderen?
Neem aan dat deze steekproef representatief is voor alle Nederlandse gezinnen
met kinderen.
>b Bereken de kans dat in de vijfde klas van een school (100 leerlingen) meer
dan de helft van de leerlingen uit een gezin met hoogstens 3 kinderen komt.
Tijdens het weekend zijn de wachtkamers van de EHBO-afdelingen in elk zie-
kenhuis meestal goed gevuld. Ongeveer 10% van de bezoekers komt om sport-
blessures te laten behandelen.
In een ziekenhuis melden in ιιn weekend 50 mensen zich bij de EHBO.
> Hoe groot is de kans dat het aantal personen met sportblessures daarbij on-
der de verwachting is?
9.
-ocr page 54-
-so-
lo. De semafoon, beter bekend on-
der de naam 'pieper', werkt vrij
vertaald als volgt: Door een
centrale worden tegelijkertijd
drie verschillende tonen uitge-
zonden. De pieper die gevoelig
is voor precies deze drie tonen,
reageert hier op. Bij elke pieper
hoort een ander drietal tonen.
Voor het hele semafoonnet zijn
30 verschillende tonen be-
schikbaar.
semafoon (v. Gr. sθma = teken, sein, phoonθ = ge-
luid), type 'omroepinstallatie voor grote afstand,
dat in Nederland door de PTT en in Belgiλ door de
RTT beheerd wordt. Het ontvangtoestel heeft de
vorm van een draagbare radio; het kan door de
huurder door het gehele land meegenomen wor-
den. De code wordt overgebracht door drie lamp-
jes, die achtereenvolgens de waarden 1, 2 en 4
hebben; door het doen branden van ιιn of twee
lampjes kunnen zes codetekens worden overge-
bracht, die een betekenis hebben welke van tevo-
ren is afgesproken. Om contact te bewerkstelligen
draait de oproeper op zijn telefoontoestel eerst het
nummer van de semafoondienst, vervolgens het
aan de gebruiker toegekende oproepnummer en
ten slotte het gewenste codegetal. Op de sema-
fooncentrale wordt de voorbewerkte oproep gere-
gistreerd op een herhaalregister, waaruit de
draaggolf (ca 87 MHz) via een oscillator gemodu-
leerd wordt met drie uit dertig laagfrequente signa-
len ('tonen'). De ontvangtoestellen bezitten
detectors die alleen bij de gezochte abonnee alle
resoneren met de tonen van de zender en zo de
weg vrijmaken voor het eveneens als toonfrequen-
tie doorgegeven codegetal. De aankomst van een
signaal wordt door heet ontvangtoestel kenbaar
gemaakt door middel van een fluittoon.
>a Hoeveel 'piepers' kunnen daarmee in totaal worden opgeroepen?
Een groot bedrijf heeft zijn eigen centrale. 53 werknemers van dat bedrijf moe-
ten via de centrale opgeroepen kunnen worden.
>b Hoeveel verschillende tonen (van de 30 die er zijn) heeft dit bedrijf nodig
om alle 53 werknemers te kunnen oproepen?
Deze opgave meegerekend gaan in dit hoofdstuk vijf van de elf opgaven over
combinatie-getallen. Ze zijn in een bepaalde volgorde gezet.
Hoeveel verschillende volgordes waren in principe mogelijk:
>a als je elk van de 11 vraagstukken afzonderlijk beschouwt?
>b als je alleen let op de afwisseling van 'vraagstukken over combinaties' en
'andere vraagstukken'?
11.
-ocr page 55-
-51-
Combinatiegetallen
\
3 4
5
6 7
8 9
10 11 12
13
1
3 4
5
6 7
8 9
10 11 12
13
2
6
10
15 21
28 36
45 55 66
78
3
20 35
56 84
120 165 220
286
4
70 126
210 330 495
715
5
252 462 792
1287
6
924
1716
^
14
15
16
17
18 19
20
1
14
15
16
17
18 19
20
2
91
105
120
136
153 171
190
3
364
455
560
680
816 969
1140
4
1001
1365
1820
2380
3060 3876
4845
5
2002
3003
4368
6188
8568 11628
15504
6
3003
5005
8008
12376
18564 27132
38760
7
3432
6435
11440
19448
31824 50388
77520
8
12870
24310
43758 75582
125970
9
48620 92378
167960
10
184756
X
21
22
23
24
25
1
21
22
23
24
25
2
210
231
253
276
300
3
1330
1540
1771
2024
2300
4
5985
7315
8855
10626
12650
5
20349
26334
33649
42504
53130
6
54264
74613
100947
134596
177100
7
116280
170544
245157
346104
408700
8
203490
319770
490314
735471
1081575
9
293930
497420
817190
1307504
2042975
10
352716
646646
1144066
1961256
3268760
11
705432
1352078
2496144
4457400
12
2704156
5200300