-ocr page 1-
REKENEN MET MATRICES
f.
Freudenthal instituut
Archief
-ocr page 2-
REKENEN MET MATRICES
Wiskunde A
-ocr page 3-
REKENEN MET MATRICES
Een produktie ten behoeve van het project Hawex.
Ontwerper:
Met medewerking van:
Jan de Lange
Jan de Jong
Martin Kindt
Henk van der Kooy
Martin van Reeuwijk
Anton Roodhardt
Ada Ritzer
Vormgeving:
© 1990: 3e versie
Utrecht, augustus 1990.
-ocr page 4-
Inhoudsopgave
1.  Produktieproblemen..............................................................................................1
2.  Andere matrices..................................................................................................12
3.  Matrices vermenigvuldigen.................................................................................19
4.  Verder vermenigvuldigen...................................................................................25
5.  Machten van Matrices.........................................................................................32
6.  Gemenge opgaven...............................................................................................39
-ocr page 5-
-1-
1 Produktieproblemen
Een fabriekje produceert eenvoudige meubels, wandkasten en tafels. Het komt er ei-
genlijk op neer dat er maar vier 'grondstoffen' of 'basisprodukten' zijn:
- tafelblad:
- tafelpoot:
- boekenplank:
- verticale wandboekenplank:
Deze produkten worden in het fabriekje vervaardigd en ook los verkocht, maar er
vindt ook verwerking plaats tot produkten die 'af' zijn.
Dat zijn:
tafel:
boekenkast:
- kastelement:
■ tafel/kast combinatie:
-ocr page 6-
.^j—,-------------'-"■■ -* -" ■'■' --' -' ^'^i'i'-^i-ii '■"'"itoii......1 Mi.it.iiiJi
-2-
Het produktieschema kan als volgt worden weergegeven:
wand (A) / /
element (B)
plank (C)
kast (D)
poot (E)
tafel (F)
blad (G)
combinatie
(H)
-ocr page 7-
-3-
Dit plaatje laat zich overzichtelijk samenvatten in het volgende schema:
EINDPRODUKT ABCDEFGH
•          t         •
NIVEAU 1                  2A C            4B
/\                          /\/\
NIVEAU 2                                     8A 4C                      E 4G 6A 3C
Uit dit schema valt onder andere af te lezen:
-     dat er acht produkten worden gemaakt;
-     dat sommige produkten direct worden geproduceerd: A, C, E en G;
-     dat andere produkten worden samengesteld uit A, C, E en G;
-     dat een eerste niveau onderverdeling toont:
B bestaat uit 2A en C;
D bestaat uit 5B;
F bestaat uit E en 4G;
H bestaat uit F en 3B;
-     dat een tweede niveau onderverdeling toont:
D bestaat uit lOA en 5C;
H bestaat uit 6A, 3C, E en 4G;
1.    Er komt een bestelling binnen voor zeven kasten (D) en drie tafels (F).
> Hoeveel van de diverse basisprodukten (A, C, E, G) zijn daarvoor in totaal
nodig?
2.    > Dezelfde vraag voor de bestelling:
Twaalf wandjes, zeven planken, twee kasten, drie tafels en een combina-
tiemeubel.
Een andere fabrikant maakt vijf verschillende produkten. Deze produkten noemen
we A, B, C, D en E. Produkten B en E worden rechtstreeks geproduceerd, maar bij
A, C en D ligt dat niet zo eenvoudig.
Zo heb je om C te kunnen maken twee B's en drie E's nodig. En om A te kunnen
maken heb je vier B's en een C nodig.
In schema ziet dat er als volgt uit:
EINDPRODUKT A            B            C            D            E
A • A
NIVEAU 1             4B C                  2B 3E
-ocr page 8-
-4-
BASISELEMENTEN EN ZUPANELEN
De bosiswiementen zijn 65, 116 ol 207 cm hoog. Een bosiselement
mei ziiponclen is 66 cm bfwd en 41 cm diep. ledere verdere oon-
bouw verbreedt Ket gefied Ó4 cm. De zij-
ponelen hebben profielligsten von aluminium.
Voor de loge boiiselemenlen zijn er TP ofdekbioden. Voor h*l kop-
pelen von verschillende hoogten n^ elkoar is het KS verbindingsblad
nodig en voor het vormen van een hoelc de HS hoekplonk.
GE 207 G207            RB 116 G1M
GE 207 bcni—hiww*. 3 Flanken. 207 cm hoog
C 207 i^ponMl. 207 cm hoog.
W 116 ui>»t«iwiwMt-7bod<wplowlL 116 cm hoog.
G 116 likiMHil. né cm hoog.
« 65 uJÏNnwMd-/liuJiiM|iluiJi- 65 cm hoog.
G 65 i^iiipiiil. 65 cm hoog.
270.-
103.-
127-
80.-
81.-
67-
260.-
H.-
120.-
6».-
7».-
66.-
.i:;,lii
TP 65/116 ofdJiblod.
KS «wfaMEfmiUod.
6S.-
69.-
58.-
65.-
65.-
54.-
DEUREN
INRICHnNG
De deuren kunnen noor wens links of rechts drooiend opgehongen
worden en zijn voorzien tan een verchroomde hondgreep. Alle deu-
ren zijn 623 cm breed.
Oe loden worden kompieel met verchroomde hartdgrepen en rails
geleverd. De ptonken- en lodensots lijn per 2 reïp. 4 stuks werpolrt.
□ m
WH
Zwart
JL5 lade. 12 J cm hoog. Per stuk.
1 ^-
45.-
L5 lodenMt. Per 4 ituks. Totale hoogte 50 cm.
167.-
i«a-
S pèotilwNMf. 82X40 cm. Par 2 stuks.
M.-
55.-
UlUlt mmtwUian ptank. Voor stereo ot video.
163X39 cm. Per ituk.
1 U-'
71.-
GLD
WrI          Zwart
HD deur hoog. 89^ cm hoog.
VD «Hrinedeur. 89^ cm hoog.
0 devr. 51 cm hoog.
80.-
104.-
60.-
75.-
95-
54.-
n ploot 2 ttulu. Gehord glos. 62x37 cm..
i»r. 51 cm hoog. ,
Voorbeelden elementenbouw uit IKEA-folder.
-ocr page 9-
-5-
Maar dit schema is zó natuurlijk nog niet compleet. Op Niveau 1 staat nog een C,
terwijl we weten dat om C te kunnen maken er twee B's en drie E's nodig zijn.
Daarom wordt het produktieschema:
EINDPRODUKT        A            B            C            D            E
A • A
NIVEAU 1             43 C                  23 3E
A
NIVEAU 2                23 3E
D wordt gefabriceerd uit zes A's en twee E's.
In de produktiegraa/levert dit:
EINDPRODUKT
A B
C
D
E
A •
A
A
•
NIVEAU 1
43 C
A
2B 3E
6A 2E
NIVEAU 2
23 3E
Maar voor de produktie van de 6A's (Niveau 1) die voor één D nodig zijn, zijn be-
kende hoeveelheden van 3 en E nodig. (Zie de produktietak van A.)
3. > Vul de volledige produktiegraa/aan:
EINDPRODUK
TA B
A ■
C D
A A
E
•
NIVEAU 1
4B C
23 3E 6A 2E
A
A
NIVEAU 2
23 3E
.... 6C
NIVEAU 3
A
Om een helder beeld van het produktieproces te krijgen zijn ook matrices heel nut-
tig. Zeker als het proces wat ingewikkelder is.
-ocr page 10-
Zo kun je op Niveau 1 de volgende matrix opstellen:
NIVEAU 1-MATRIX:
A B C D E
A
0
0
0
6
0
B
4
0
2
0
0
C
1
0
0
0
0
D
0
0
0
0
0
E
0
0
3
2
0
N, =
4. > Verklaar de matrix.
Een gedeelte van de Niveau 2-matrix:
A B C D E
A
0
0
0
B
2
0
0
C
0
0
0
D
0
0
0
E
3
0
0
N,
5.    > Maak de Niveau 2-matrix af.
6.    > Stel de Niveau 3-matrix op.
7.    > Hoe ziet de Niveau 4-matrix eruit?
De vijf produkten A, B, C, D en E worden dus gefabriceerd. Daarbij spelen B en E
een belangrijke rol. Om één A te produceren heb je immers zes B's en drie E's no-
dig. Ook de andere produkten zijn 'uit te drukken' in B's en E's.
8.    > Hoeveel B's en E's heb je nodig voor de produktie van één A en één B en
één C en één D en één E?
De matrices Niveau 1, Niveau 2 en Niveau 3 kunnen ook gebruikt worden om uit te
zoeken hoeveel er van de produkten B en E nodig is om van elk produkt één exem-
plaar te produceren.
9.    > Tel de Niveau 1-matrix op bij de Niveau 2-matrix. Wat is de betekenis van
deze som-matrix?
10.  > Tel de Niveau 3-matrix op bij de matrix uit de vorige opgave.
Wat is de betekenis van deze som-matrix?
-ocr page 11-
De benodigdhedenmatrix van het produktieproces zoals dat in de graaf was weer-
gegeven, ziet er als volgt uit:
TOTALE BENODIGDHEDENMATRIX:
A B C D E
A
0
0
0
6
0
B
6
0
2
36
0
C
1
0
0
6
0
D
0
0
0
0
0
E
3
0
3
20
0
TB =
De vierde kolom laat zien dat je om één D te produceren op verschillende niveaus
de volgende produkten nodig hebt:
6 A's, 36 B's, 6 Cs en 20 E's.
Eigenlijk is deze manier van voorstellen niet helemaal correct. We hebben namelijk
het Eindprodukt-niveau van de graaf niet in de matrix verwerkt. Of anders gezegd:
het staat wat gek dat de tweede en vijfde kolom helemaal uit nullen bestaan. Het feit
dat B geproduceerd moet worden, is niet terug te vinden in de matrix.
11. > Verklaar aan de hand van de produktiegraaf van pag. 5 dat de matrix op
eindproduktniveau (ook wel: Niveau 0) er als volgt uit moet zien:
NIVEAU O -MATRIX:
1
0
0
0
o"
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
0
0
0
0
0
1
Nn =
Afspraak
De Totale Benodigdheden-matrix is de som van de Niveau 0-matrix, Niveau 1-ma-
trix. Niveau 2-matrix en Niveau 3-matrix (in dit geval) of TB = Nq + Nj + N2 + N3.
12. > Stel de Totale Benodigdheden-matrix op.
-ocr page 12-
-8-
Produktiegraaf
A             B             C            D            E
A
tV-A
A
4B
2B 3E 6A 2E
W
2B 3E
24B 6C
A-
12B 18E
Matrices
Niveau O
A         B C D E
Niveau 1
Niveau 2
Niveau 3
Totale
Benodigdheden
-ocr page 13-
-9-
Wat valt er nu precies af te lezen uit de TB-matrix?
-     Dat B en E de basisprodukten zijn.
-     Dat je voor één exemplaar A, 6B's en 3E's nodig hebt, en er IC in de produk-
tiegang zit.
-     Dat je voor één exemplaar C, 2B's en 3E's nodig hebt.
-     Dat je voor één exemplaar D 36B's en 20E's nodig hebt en er in het produktie-
proces 6A's en 6C's als tussenprodukt zitten.
Een fabrikant maakt vijf produkten P, Q, R, S en T, waarvan P en R de basisproduk-
ten zijn.
Produkt Q bestaat uit vijf P en één R.
Produkt S bestaat uit drie Q en één T.
Produkt T bestaat uit vier Q en één P.
13.  > Stel de volledige produktiegraaf op (dus aan het eind van de takken alleen
nog P's en R's).
14.  > Stel de Totale Benodigdheden-matrix op door eerst de Niveau-matrices op
te stellen.
De Totale Benodigdheden-matrix van een produktieproces is als volgt:
A B C D E F
A
1
.
1 .
B
20
1 8
1 20 .
C
2
. 1
. 2 .
D
2
. 1
1 2 .
E
1 .
F
2
. 1
1 6 1
(. = nul)
De Niveau 4-matrix heeft overal nullen, behalve in de E-kolom:
E
Af......
B '.'.'.] 2 '.
C......
D......
E......
F .... 2 .
-ocr page 14-
-10-
De Niveau 3-matrix:
A B C D E F
2 ... 14
2
A
B
C
D
E
F
De Niveau 2-matrix:
A B C D E F
A
B
C
D
E
F
14
4
2
1
15.  > Bepaalde Niveau 1-matrix.
16.  > Bepaal de produktiegraaf.
17.  > Welke zijn de basisprodukten?
Bij het bouwen van LEGO modellen gebruik je een
aantal basiselementen, die in verschillende stappen
samengevoegd worden tot het eindprodukt.
-ocr page 15-
-11-
Samenvatting
Bij produktieprcx;essen kunnen matrices en grafen ingewikkelde zaken verhelderen.
De 'produktiegraaf maakt het produktieproces zichtbaar. Het is een 'visueel mo-
del'.
De matrices - die uiteraard in ingewikkelde gevallen in de computer worden inge-
voerd - leveren op overzichtelijke wijze op verschillende produktieniveaus informa-
tie over de benodigde onderdelen.
'Niveau-Benodigdheden'-matrices kunnen opgeteld worden door de overeenkom-
stige elementen uit de matrices bij elkaar op te tellen:
A
+
B
=
A-^B
3
7
10
*
**
***
-ocr page 16-
-12-
2 Andere matrices
Verkeer(d)
Hieronder zie je het kruispunt in Geldrop bij de grote 'koepelkerk'. Om het verkeer
hier zo soepel mogelijk te laten doorstromen, zijn de verkeerslichten zó afgesteld
dat er bij de spitsuren nog geen opstoppingen mogen ontstaan.
richting N(ucnen)
richting M(ierlo)
richting E(indhoven)
richting C(entrum Geldrop)
Uit tellingen bleek dat bij spitsuren de volgende aantallen auto's verwerkt moeten
worden (per uur):
M
0
40
200
30
N
30
0
80
50
E
210
60
0
60
C
_30
40
80
0
M
N
E
C
naar
A = van
>     Hoeveel auto's passeren er van Eindhoven naar Nuenen tussen 5 en 7 uur
's avonds (de spitsuren)?
's Ochtends duurt het 'spitsuur' 1 i uur.
>     Bepaal de matrix die de aantallen auto's bevat die gedurende die periode
passeren.
>     Wat betekent de matrix 31 • A?
3.
De matrix Gj geeft aan welke richtingen tegelijkertijd groen licht hebben en hoe
lang. Zo lees je uit Gj af dat de richtingen M —> E, E —> M, M —> N en E—> C tegelijk
kunnen rijden, gedurende een periode van 2 minuut. De andere richtingen zijn dan
geblokkeerd door rood licht.
M N E C
0
2
3
2 n
3 "
0
0
0 0
2
3
0
0 ^
0
0
0 0
M
N
E
C
G,
-ocr page 17-
-13-
Met een graaf kun je dit als volgt weergeven
N                                  M
of
♦ c
Deze situatie geldt de eerste ^ minuut.
De volgende i minuut geldt de matrix G2:
M N E C
0 0
0
1
5
0 0
0
0
0 \
0
0
0 0
0
0_
M
N
E
C
G2 =
4. > Teken de bijbehorende graaf.
De volgende twee halve minuten gelden:
M
N
E
c
M
'0
0
0
0"
N
0
0
1
2
1
2
E
0
0
0
0
C
1
_2
1
2
0
0
M
N
E
c
M
'0
0
0
0"
N
1
?
0
0
0
E
0
0
0
0
C
0
0
1
2
0
G3 =
5. > Teken de graaf die de groenperiodes van alle vier matrices weergeeft en
controleer of ook alle richtingen een keer groen krijgen.
-ocr page 18-
-14-
6.    > Bepaal de matrix G = Gj + G2 + G3 + G4
Wat is de betekenis van G? Welke informatie kun je uit de matrix G halen?
7.    > Bepaal T = 30 • G
Wat betekenen de elementen van T?
8.    Per minuut kunnen er 20 auto's door het groene licht rijden.
>     Geef in matrixvorm het aantal auto's dat in elk van de richtingen maximaal
kan worden verwerkt in één uur.
9.     Vergelijk deze matrix met matrix A (blz. 12).
>     Zijn de stoplichten goed afgesteld? Zo nee, kun je dan een andere matrix
G geven waarbij één en ander wel goed verloopt?
De FKF uit de timetable duidt de Fokker Friendship aan,
waarvan je er op deze foto twee van de NLM ziet.
-ocr page 19-
-15-
Vluchten
De NLM-Cityhopper vliegt iedere werkdag een aantal malen vanuit Amsterdam
naar Eindhoven, Enschede, Groningen en Maastricht.
Hiernaast zie je de 'time-table'
vertrekdagen
vertrek
aankomst
Ivluchtnr type
(1979-1980).
klasse
Vertrekdag 1 betekent maan-
AMSTERDAM
EINDHOVEN
dag
1
0625
0650
HN461 Y FKF
12345___
1045
1115
HN463 Y FKF
12345___
1310
1340
HN465 Y FKF
12345__
1700
1730
HN467 Y FKF
______5__
2100
2130
HN469 Y FKF
12345___
2110
2140
HN471 Y FKF
AMSTERDAM
ENSCHEDE
1
0620
0650
HN441 Y FKF
12345___
0830
0940
HN443 Y FKF
12345___
1325
1400
HN445 Y FKF
12345___
1655
1730
HN447 Y FKF
12345___
2120
2155
HN439 Y FKF
AMSTERDAM
GRONINGEN
12345___
0830
0905
HN443 \ FKF
12345___
1325
1435
HN445 Y FKF
12345__
1655
1805
HN447 Y FKF
12345_7
2130
2205
HN449 Y FKF
AMSTERDAM
MAASTRICHT
12345___
1045
1145
HN463 Y FKF
12345__
1310
1410
HN465 Y FKF
12345___
1700
1800
HN467 Y FKF
7
1700
1740
HN467 Y FKF
12345__
2110
2210
HN471 Y FKF
7
2110
2150
HN471 Y FKF
10. > Hoeveel vluchten zijn er van Amsterdam naar Eindhoven op maandag?
En op zaterdag?
-ocr page 20-
-16-
De graaf van het lijnennet van Cityhopper ziet er zó uit:
.Groningen
Enschede
Eindhoven
Maastricht
Amsterdam
De meeste vluchten naar Maastricht landen eerst in Eindhoven; die naar Enschede
in Groningen.
11. > Kun je voor bovenstaande bewering aanwijzingen vinden in de 'time-ta-
ble'?
Er zit dus een 'verborgen' time-table in het plaatje. Je kunt namelijk ook vliegen van
Groningen naar Enschede, en van Eindhoven naar Maastricht.
Alle vluchten kunnen ook in omgekeerde richting gemaakt worden. Voor maandag
levert dit de volgende frequentie-matrix op:
A
Ei
Ma Gr Ens
A
ro
5
445"
Ei
5
0
4 0 0
Ma
4
4
0 0 0
Gr
4
0
0 0 3
Ens
5
0
0 3 0
M =
12.   > Verklaar de getallen in de matrix, vooral de twee drieën
De matrix voor dinsdag, woensdag en donderdag is hetzelfde.
13.  > Bepaal deze matrix; noem deze D.
14.  > Bepaal de matrix voor vrijdag: V.
15.  > BepaalM + V + 3D + Z = W.
(Hierin is Z de frequentiematrix voor de zondag)
Wat is de betekenis van deze matrix?
16.  > Teken de graaf van het lijnennet met daarbij het aantal vluchten per week
per lijn.
-ocr page 21-
-17-
Voorraden
Spijkerbroeken heb je in vele maten en merken. Bij een voorraadtelling heeft een
zaak drieëntwintig broeken van het merk Wrangier en wel in de maten:
28" (28 inch waist) :            3
30"                          :          11
32"                          :            6
34"                          :            3
Voor andere merken geldt:
(voor resp. dezelfde maten)
Levi's
Club de France
Bobos
Ball
5, 5, 3 en 4
1,7, Oen O
6,2, 2 en 2
3, O, O en 3
Al deze informatie kan met behulp van een matrix
overzichtelijk opgeschreven worden.
17. > Maak de matrix af:
28"
30"
32"
34"
W L CF Bo Ba
18.  > Hoeveel broeken zijn er in voorraad van maat 32"?
19.  > Van welk merk zijn er de meeste broeken?
De verkoper wil z'n voorraad op peil brengen, waarbij hij onder andere de volgende
zaken in het achterhoofd heeft:
-     van de merken Wrangier en Levi Strauss verkoopt hij ongeveer tweemaal zo-
veel als van de andere drie merken;
de maten 30" en 32" 'gaan' tweemaal zo snel als 28" en 34";
-     per merk wil hij niet meer dan veertig exemplaren in huis hebben.
20.  > Maak zelf een bestelling op grond van bovenstaande gegevens en schrijf
deze in matrixvorm.
-ocr page 22-
-18-
De voorraden zijn op peil gebracht zó dat aan de 'aandachtspunten' van de eigenaar
is gedacht. Het resultaat hiervan is dat er van de meest verkochte maten van de
grootste merken twaalf exemplaren in de winkel aanwezig zijn.
21. > Schrijf de voorraadmatrix op (als deze verschillend is van de al eerder ge-
vonden matrix).
22. In één week wordt er verkocht:
W
L
CF Bo Ba
28"
V= 30"
32"
34"
1
5
2
0
3
8
3
1
0    1 ï
6 1 2
5 6 0
1    0 3
De winst per broek op de Wrangiers is/30,-; op Levi's/35,-; op Club de France
ƒ40,-; op Bobos ƒ 25,- en op Ball/40,-.
> Hoeveel winst maakt de zaak die week in totaal op de kleinste maat?
23. > En op maat 30"?
En in totaal?
Samenvatting
Matrices kunnen op vele manieren gebruikt worden.
In dit hoofdstuk zag je bijyooibcdd frequentiematrices en voorraadmatrices. Naast
het optellen en aftrekken van matrices hebben we ook matrices met een getal ver-
menigvuldigd:
abc
3a
3b
3c
d e f
=
3d
3e
3f
g h i
L3g
3h
3i
-ocr page 23-
-19-
3 Matrices vermenigvuldigen
We gaan terug naar de meubelfabrikant (hoofdstuk 1).
De fabrikant maakt niet alleen produkten, hij verkoopt ze ook. De produktie dient
natuurlijk afgestemd te worden op de vraag.
Een fabrikant die vier produkten maakt, krijgt een bestelling voor 7 A's, 12 B's, 3
C'sen20D's.
Zijn produktiegraaf is nogal simpel:
B
D
2C
2D
2B
4D
De fabrikant moet nu weten hoeveel grondstoffen B en D hij nodig heeft en hoeveel
tussenprodukten.
1. > Bereken de totale hoeveelheid B en D (grondstoffen) die hij nodig heeft om
deze bestelling te kunnen voldoen.
De vorige vraag kan ook opgelost worden met de TB-matrix.
Deze is in dit geval;
TOTALE BENODIGDHEDEN-MATRIX:
A B C D
1
0
0
0
3
1
1
0
2
0
1
0
4
0
2
1
.A
B
TB= c
D
De bestelling noteren we ook als een matrix, en wel als een kolom:
Bestelling-matrix:
7
A
12
B
3
C
20
D
-ocr page 24-
-20-
We kijken nu eerst naar de grondstof B:
A B C D
1
0
0
o"
3
1
1
0
2
0
1
0
4
0
2
1
A
B
C
D
2.    > Hoeveel B's zijner nodig voor één A?
En voor? A's?
3.    > Hoeveel B's zijn er nodig voor 12 B's?
4.    > Hoeveel B's zijn er nodig voor 3 Cs?
5.    > Hoeveel B's zijn er nodig voor 20 D's?
De antwoorden op de vragen 2 tot en met 5 kun je schematisch weergeven met de
matrices:
1 0 0 o"
X
' 1 '
12
3
20
=
3 110
2 0 10
4 0 2 1
A
B
C
D
3«7 + l'12+l«3 + 0«20
Totaal zijn er voor de bestelling dus 37+ 1 • 12 + 1 •3 + 0-20 B's nodig.
6. > Bereken op dezelfde wijze het benodigde aantal D's.
Op deze manier kunnen we niet alleen de aantallen benodigde grondstoffen bereke-
nen, maar ook de aantallen (tussen)produkten:
"l 0
0
o'
X
12
3
-■ •
•
•_
^20
r
-|
' 7
3 1
1
0
X
12
3
.
_20
A
B
C
D
A
B
C
D
1.7+0«12 + 0«3 + 0'20
3'7 + M2+1^3+ 0*20
-ocr page 25-
-21-
' l'
2 0 10
X
12
3
=
•
20
A
B
C
D
2.7+ 0«12+1*3+0-20
. . .'
7
X
12
3
=
0 2 1
20
A
B
C
D
D
4.7 + 0'12 + 2.3 + b20
Of, in één keer:
1 0 0 o'
r -1
7
^7"
3 110
2 0 10
X
12
3
=
36
17
4 0 2 1
20
L54
A
B
C
D
We lezen nu uit de rechter kolommatrix af:
- We hebben voor de bestelling 36 B's en 54 D's nodig.
Er zijn 7 A's en 17 Cs als (tussen)produkt.
De bewerking die we zojuist op de matrices hebben toegepast heet:
MATRIXVERMENIGVULDIGING
In bovenstaand voorbeeld hebben we het produkt van een 4x4-matrix met een 4x1-
matrix. Het resultaat is een 4xl-matrix.
7. > Bereken met het matrixprodukt de benodigdheden voor de volgende be-
stellingen;
ing 2:
"12"
A
8
B
9
C
.15_
D
ing 3:
'15'
A
0
B
12
C
30
D
8. > Bereken de totale benodigdheden voor Bestelling 2 en Bestelling 3 samen.
-ocr page 26-
-22-
9. > Bereken het matrixprodukt A • B
1 2 3
4 5 6
7 8 9
10. > Bereken het matrixprcxiukt C • B
2 3 1
1 4 6
C =
B =
11. > Bereken het matrixprodukt D • E
3 4
9 7
D
E =
12. > Bereken het matrixprodukt F • G
1
2
0
4'
3
2
1
0
2
3
3
3
1
4
1
0
F =
G =
13. > Bereken het matrixprodukt K • L
1 3
8 2'
2 3
1 0
1 2
3 4
K =
14.
M =
>a Waarom kun je het matrixprodukt K • M niet berekenen?
>b Onder welke voorwaarde kun je matrices wèl met elkaar vermenigvuldi-
gen?
-ocr page 27-
-23-
Een winkel heeft T-shirts in drie maten en vier kleuren.
In één week verkopen ze de volgende hoeveelheden:
S M L
Rood
'2
3
4'
Wit
1
5
1
Blauw
3
5
7
Groen
1
3
3
V =
Op S maakt de winkelier/13,— winst, op M ƒ 12,- en op L ƒ 10,-
In matrixvorm:
13
S
12
M
10
L
W =
15.  > Bereken de winst van de winkelier in één week (op de T-shirts) door bere-
kening van V • W.
Kijk nog eens naar opgaven 22 en 23 uit hoofdstuk 2.
16.  > Hoe had je de totale winst op de spijkerbroeken met matrix-vermenigvul-
diging kunnen berekenen?
Eerder zagen we de Niveau 0-matrix bij produktieprocessen.
Deze had de volgende vorm:
No =
17. > Stel dat Nq een 7x7-matrix is.
Wat gebeurt er als je Nq met een kolommatrix (7 elementen) vermenigvul-
digt?
Afspraak
Een matrix met op de hoofddiagonaal (linksboven naar rechtsonder) énen en verder
alleen nullen, wordt de eenheidsmatrix genoemd.
-ocr page 28-
-24-
Samenvatting
Een matrix kan onder bepaalde voorwaarden vermenigvuldigd worden met een ko-
lommatrix (of vector) en wel op de volgende manier
1
0
0
q1
3
1
1
0
2
0
1
0
4
0
2
1
A
B
C
D
7
12
3
20
3.7+ M2+1.3+0*20
Dit kan alleen als het aantal kolommen van de matrix gelijk is aan het aantal ele-
menten van de vector.
De eenheidsmatrix heeft énen op de hoofddiagonaal (linksboven - rechtsonder) en
verder nullen:
10   0   0   0   0   0
0    10   0   0   0   0
0   0    10   0   0   0
0   0   0    10   0   0
0   0   0   0    10   0
0   0   0   0   0    10
0   0   0   0   0   0    1
-ocr page 29-
-25-
4 Verder vermenigvuldigen
In het vorige hoofdstuk heb je gezien hoe een matrix vermenigvuldigd kan worden
met een kolommatrix.
Voorbeeld
"f
1
'lO
0
=
20
2
.7.
43
12 5 0 1
0 113 2
6 0 0 8 3
1. > Controleer dit voorbeeld.
In het voorbeeld zie je dat het aantal kolommen van de linker matrix (= 5) gelijk is
aan het aantal elementen in de rechter matrix.
Als de rechter matrix méér dan één kolom bevat, kan er ook zinvol vermenigvuldigd
worden. Een voorwaarde daarbij is dat het aantal rijen van de rechter matrix over-
eenkomt met het aantal kolommen van de linkermatrix. We zullen dit toelichten aan
de hand van een voorbeeld.
Neem de bestelling TB-matrix uit het vorige hoofdstuk en de drie bestellingsmatri-
cesB], B2en B3.
1
0
0
0
3
1
1
0
2
0
1
0
4
0
2
1
TB =
7
12
3
20
'12'
8
9
15
15
O
12
30
-ocr page 30-
-26-
De drie bestellingen kunnen ook in één matrix worden weergegeven:
Bi B2 B3
7
12
15
A
12
8
0
B
3
9
12
C
20
15
30
D
Bjox =
Nu kan de Bjot vermenigvuldigd worden met de TB:
A B C D B, B2 B3
1 0
0
0"
3 1
1
0
X
2 0
1
0
4 0
2
1
7
12 15
A
7 . .
12
8 0
B _
36 . .
3
9 12
C
17 . .
20
15 30^
D
54 . .
A "
B
C
D
2.    > Voer bovenstaande vermenigvuldiging verder uit.
3.    > Welke letters kun je bij de produktmatrix geven?
4.    > Wat betekenen de getallen uit de produktmatrix?
'1
3
5"
2
1
4
3
7
1
3 1
7    5
8    6
TB =
B =
5.     > Bereken het matrixprodukt van TB en B.
6.    > Bereken:
_ _
3 2 3"
2 4 1
X
1 1 2
3 4 0
|_2 0 4J
-ocr page 31-
-27-
Matrixvermenigvuldiging
iffi
UlIJlIIIIUlJJUIi
Voorwaarde
Breedte eerste matrix = hoogte tweede matrix
of: aantal kolommen eerste = aantallen rijen tweede
Resultaat
(5x3 matrix) X (3x4 matrix) = (5x4 matrix).
Hoe?
\
^
s!;
K
H
^
j
^
-
\
enzovoort
-ocr page 32-
-28-
Juke-Box
Een handelaar in oude juke-boxen houdt zijn handel op eigentijdse wijze bij: met
een computer.
Hij heeft zijn voorraad in de computer, zijn verkopen per maand en uiteraard ook de
inkoopsprijs en zijn winst.
In april verkocht hij
u
N
ca
O
t>JO
merk
Th
M
3
3
8
00
Bouwjaar
1958
2
1
0
1960
0
3
1
1962
1
2
3
V (verkoopmatrix)
De gemiddelde inkoopsprijzen (I) en de winst (W) staan in de matrix G (in guldens):
I W
5000
2000"
3500
1500
3000
1500
Wurlitzer
Rock-Ola
Seeburg
7.    > Bereken V- G en leg uit wat dit matrixprodukt betekent.
8.    > Voor welke prijs verkoopt de handelaar een Seeburg?
-ocr page 33-
-29-
begon als een garageOandie van scholieren en de groep Is in enkele jaren uitgegroeid tot de grootste rockband van haar tijd.
De doorbraak kwair in 1983 met het album War. waarna het succes met iedere elpee en iedere tournee een steeds hogere
vlucht nam. U2 is daarmee de Rolling Stones van de jaren tachtig geworden. Of zouden ze liever de Beatles van de laren tachtig'
genoemd willen worden? Gitarist The Edge: 'Dat is een interessante vraag. Ik weet het niet. ik hoop dat wij van alleoei wat
hebben. Ik houd van beide groepen om verschillende redenen. Wij lijken echter op geen van belde. We mogen dan een hoop
platen verkopen, maar dal wil nog niet zeggen dat we net zo goed zijn als The Beatles. Verkdopcijfers op zich zeggen niet
zoveel.'
-ocr page 34-
-30-
Concerten
Een concertorganisatiebureau heeft voor het zomerseizoen vier popgroepen gere-
geld, die op verschillende plaatsen in het land zullen optreden volgens de volgende
matrix:
U, U2U3U4
2
3
0
f
0
2
2
3
1
1
1
2
1
0
2
1
Amsterdam
Utrecht
Rotterdam
Eindhoven
= s
De kaartjes zijn er steeds in drie prijsklassen en verschillen natuurlijk per popgroep.
1<= 2"= 3*^ rang
45
30
25'
50
30
30
35
25
20
25
20
15.
Ui"
U2
U3
U4
Tenslotte de bezoekersaantallen per concert (afgerond):
U,
U,
U,
U2
A
2100
900
0
900
U
0
2100
1500
1500
R
1500
900
6000
1200
E
900
0
1500
900
= B
Ruwweg één zesde van de kaartjes was eerste rang, één derde tweede rang en de
helft was derde rang.
9.    > Welke popgroep was het best bezocht?
10.  > Maak de volgende matrix af:
Amsterdam: U1U2U3U4
2<=
3^
A =
11.   > Bereken P • A.
Wat is de betekenis van dit matrixprodukt?
12.  > Is S • P te berekenen?
Heeft S ■ P betekenis?
-ocr page 35-
-31-
Samenvatting
Matrixvermenigvuldiging is mogelijk als het aantal kolommen van de linker matrix
gelijk is aan het aantal elementen in de rechter matrix.
tfiiiiturrfirri/K
_ 5
Voorwaarde
Breedte eerste matrix = hoogte tweede matrix
of: aantal kolommen eerste = aantallen rijen tweede
Resultaat
(5x3 matrix) X (3x4 matrix) = (5x4 matrix).
Hoe?
enzovoort
-ocr page 36-
-32-
5 Machten van Matrices
Meerstapsreizen
In het boekje 'Afstanden, Grafen en Matrices' kwam de volgende verbindingsgraaf
voor:
Salt Lake City
St.George
Denver
Flagstaff
We kijken naar een gedeelte daarvan:
S
Albuquerque
De verbindingsmatrix:
A D S F
A
0
1
0
0
D
1
0
1
1
S
0
1
0
1
F
0
1
1
0
= V
1.    > Welke plaats ligt het meest centraal?
2.    > Welke plaats ligt het meest geïsoleerd?
De verbindingsmatrix laat zien of je direct van de ene naar de andere plaats kunt
komen. Maar om tot een beter inzicht te komen over de mate van verbondenheid
van een graaf, wordt er ook vaak gekeken welke plaatsen uit andere plaatsen bereik-
baar zijn in bijvoorbeeld twee stappen.
-ocr page 37-
-33-
V geeft dus de één-staps verbindingen.
A is daarbij erg geïsoleerd, D erg centraal.
Hoe zit dat nu met tweestapsreizen?
Vanuit A kun je in twee stappen;
stap             stap
- naar A             (A -----r—*- D -----j-*- A);
- naar S             (A -----p»- D -----r—^ S);
- naar F             (A --------^ D --------»► F).
Er zijn dus drie tweestapsreizen mogelijk vanuit A; voor de tweestapsmatrix levert
dit:
naar
A D S F
A
D
S
10 11
van
3.    > Vanuit D kun je vijf tweestapsreizen maken. Welke?
4.    > Maak de tweestapsmatrix af.
Terug naar de éénstapsmatrix V.
5.    > Bereken V • V = V^.
Vergelijk je antwoord met opgave 4.
Verklaring?
6.    > Bereken V^ (= V • V^)
Wat is de betekenis van V ?
7.    > Bereken V"* (= V • V^)
Wat is de betekenis van V ?
8.    > Wat zou V moeten zijn?
9.    > Bereken v" + v' + V^.
Wat betekent het dat er geen nullen in deze sommatrix voorkomen?
-ocr page 38-
-34-
De resultaten van de vorige bladzijden kun je op vele manieren verklaren. Het gaat
daarbij onder andere om de volgende vraag:
Waarom stellen de getallen in V het aantal mogelijke tweestapsreizen voor?
We kunnen ook de volgende graaf tekenen voor de éénstapsreizen vanuit F:
S
O D
••■o A
o F
10.  > Verklaar deze graaf en het verband met de matrix.
11.  > Teken een soortgelijke graaf voor de éénstapsreizen vanuit D.
Voor tweestapsreizen wordt de graaf wat ingewikkelder; een gedeelte is getekend:
0.O
s
1
xO = 0
...•••io
D
1
xl = l
r:::^o
A
1
xO = 0
\^
y"^^
—U
o
F
S
1
xl = 1
^.^ 1
o
D
—OD
o
A
\'"--.p
o
o
F
S
\p
■-O A
o
o
o
D
A
F
■■•o F
o
o
o
o
S
D
A
F
12.  > Het getekende gedeelte levert al twee tweestapsreizen op. Welke?
Maak de boomgraaf af en verklaar nu het verband met de matrix V .
13.   > Teken een deel van de boomgraaf die alle driestapsreizen aangeeft vanuit
A.
-ocr page 39-
-35-
Produktiematrices
Terug naar de eerste hoofdstukken.
Daar zagen we de volgende Produktieniveau-matrices:
0 0   0   6   0
4 0   2   0   0
10   0   0   0
0 0   0   0   0
0 0   3   2   0
No
N,
0   0   0    0    0
2   o   o   24   o
0   0   0    6    0
0   0   0    0    0
3    0   0    0    0
0   0   0    0    0
o   o   o    12   o
0   0   0    0    0
0   0   0    0    0
o   o   o    18   o
N2
N,
14.  > We noemen Nj verder N.
Bereken N^ (= N • N)
Aan welke matrix is N^ gelijk? Verklaar!
15.  > Bereken N^ (= N • n\
Verklaar het antwoord.
16.  > Stel No = N^.
Bereken N° + N^ + N^ + N^.
Welke betekenis heeft deze matrix?
-ocr page 40-
-36-
De baas
Zoals je eerder hebt gezien (in het boeicje 'Afstanden, Grafen & Matrices') worden
grafen ook gebruikt om relaties in groepen uit te pluizen. Eén manier is om van een
grotere groep steeds een tweetal te nemen en dan te kijken wie 'de baas' is over de
ander. We zijn dan op zoek naar de 'leider' van zo'n groep. De graaf die zo'n relatie
weergeeft, wordt wel een Dominantiegraaf genoemd.
Uiteraard is zo'n graaf een gerichte graaf:
A                                    B
17.  > Bepaal de bijbehorende Dominantiematrix D. (Een verbindingsmatrix)
18.  > Wie is klaarblijkelijk de leider van de groep? En wie heeft er niets te ver-
tellen?
Uit het antwoord van opgave 18 blijkt bij bestudering van de graaf of matrix dat er
niet altijd één leider is. A en C (kijk naar het aantal énen in hun rij) hebben allebei
evenveel recht om 'leider' genoemd te worden.
Om uit deze impasse te komen, wordt er wel gekeken naar 'tweetrapsdominantie'.
19.   > Bepaal D^.
Wat is de betekenis van D ?
20. > Bepaal D^.
Wat is de betekenis van D^ ?
-ocr page 41-
-37-
Kliek
Behalve de kwestie van wie er de baas is in een groep, is het ook interessant te weten
welke 'kliekvorming' er plaatsvindt. Wie spelen met wie onder één hoedje?
Zo kan je een graaf tekenen met als relatie: 'kan het prima vinden met'.
Als A het nu goed kan vinden met B en B ook met A, dan kun je ze dus vrienden
noemen.
Maar van een 'kliek' wordt gesproken als er minstens drie mensen twee aan twee
vriend zijn, dus in een graaf:
A                                      B
Kliek (de kleinste die bestaat).
21.  > Hoeveel'klieken'vind je in bovenstaande graaf?
22.  > Bepaal de matrix S die bovenstaande graaf weergeeft.
23.  > Teken bovenstaande graaf, maar dan uitsluitend met de dubbele pijlen, dus
alleen met wederzijdse vrienden.
24.  > Bepaal de matrix M die de graaf van opgave 23 weergeeft.
25.  > Bepaal M^.
Wat is de betekenis van M ?
-ocr page 42-
"n
-38-
Samenvatting
Matrices kun je met zichzelf vermenigvuldigen, dus tot de macht verheffen.
In bepaalde situaties hebben M , M enzovoort, een bijzondere betekenis.
En ook de som M + M + M + ... kan inzicht geven in structuren die anders erg
ondoorzichtig lijken.
Als M een matrix is, dan vertelt M over iets dat met 'twee-stappen' te maken heeft
en M-^ op dezelfde wijze over iets met 'drie-stappen'.
Wat de 'stappen' precies aanduiden hangt af van de situatie waarin de matrices ge-
bruikt worden.
De kleinste kliek die er bestaat.
-ocr page 43-
-39-
6 Gemengde opgaven
Luchtlijnen
Een Oostenrijkse luchtvaartmaatschappij verbindt de steden
Turijn en Milaan in Noord Italië
met Wenen, Salzburg en Graz in Oostenrijk
en met Stuttgart en München in Zuid Duitsland.
De graaf die het aantal vluchten per dag tussen die drie landen aangeeft:
Stuttgart                      München                 DUITSLAND
Wenen OOSTENRUK
ITALIË
Turijn
Milaan
De frequentiematrix van het aantal vluchten per dag van Duitsland naar Oostenrijk
is dus:
2 3 0
1 2 3
A =
1.    > Verklaar matrix A en stel zelf matrix B op voor de vluchten van Oostenrijk
naar Italië, zó dat B een 3x2 matrix wordt.
2.    > Bereken via matrixvermenigvuldiging het aantal combinatie-mogelijkhe-
den voor vluchten van Zuid Duitsland naar Noord Italië via Oostenrijk.
Schrijf het resultaat in matrixvorm: een 2x2 matrix C.
3.    > Waarom zal je aan een groot gedeelte van de mogelijke vluchtcombinaties
uit de vorige opgave niets hebben?
-ocr page 44-
-40-
Kan dat wel?
Gegeven is de matrix:
0
1
1
f
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
A =
4.
>     Kan A een verbindingsmatrix zijn?
Wat valt er dan over op te merken?
>     Kan A een afstandsmatrix zijn?
Verklaar je antwoord en geef zo mogelijk aan in welke dimensie je een
goede afstandskaart kan tekenen.
>     Kan A een frequentiematrix zijn?
Verklaar je antwoord.
6.
Te veel verkeer dat dezelfde kant uit gaat (zoals in de ochtend-
en avondspits) kan vervelende files tot gevolg hebben.
-ocr page 45-
-41-
Avondspits
De graaf hierboven past bij een net van hoofdwegen van een grote stad. Over die
wegen gaat in de avondspits éénrichtingsverkeer (zie de pijlen in de graaf). De pun-
ten K, [ en H staan voor respectievelijk de kantorenwijk, het industrieterrein en het
havengebied van de stad en U is het beginpunt van de uitvalsweg. A, B enC zijn
knooppunten waar politie-agenten het aankomend verkeer verdelen volgens de in de
figuur aangegeven verhoudingen.
Voorbeeld:
Het totale verkeersaanbod uit Kenl dat bij A aankomt wordt zó gesplitst dat ^ deel
in de richting van C en 2 deel in de richting van D wordt gestuurd.
Op een zekere dag komen er tussen 17.00 en 18.00 uur per 10 minuten gemiddeld
600 auto's uit K, 450 uit / en 780 uit H.
7.    > Bereken hoeveel auto's er gemiddeld per 10 minuten over weg DC/en hoe-
veel over weg EU worden gestuurd.
Een forens werkt in de kantorenwijk en reist 200 dagen per jaar in de avondspits
over het wegennet naar huis.
8.    > Hoeveel dagen per jaar kan hij verwachten over weg DU te rijden?
9.    > Geef de matrix van de kansen voor auto' s komend uit K.IeaH om over de
wegen DU en EU te worden gestuurd:
van
K l H
DU
naar
EU
10. > Is het mogelijk dat de aantallen auto's uit K,I enH in de avondspits zoda-
nig zijn, dat er evenveel auto's over DU als over EU rijden?
Licht je antwoord toe.
{examen 1989)
-ocr page 46-
-42-
Schaken
Een schaakvereniging hield een toerncwi, waaraan de vijf beste clubschakers deel-
namen: A, B, C, D en E. Er werd een volledige competitie gedraaid, hetgeen bete-
kent dat iedere speler tweemaal tegen iedere andere gespeeld heeft, één keer met wit
en één keer met zwart.
In onderstaande matrix valt af te lezen de punten, die de witspelers in een partij be-
haalden. Bij winst is dat een hele punt, bij remise een halve punt en bij verlies geen
punt.
zwart
A B C D E
0
1
0
1
2
1
1
0
1
1
2
1
2
1
1
0
0
1
0
1
2
1
0
1
2
1
0
0
1
0_
B
C
D
E
w
i
t
R =
11.
Bepaal van alle vijf spelers het totaal aantal punten, dat ze behaalden.
De vijf spelers zijn, los van de bovengenoemde uitslagen, naar speelsterkte als volgt
gerangschikt: D is de beste van de vijf, dan volgen B, C, A en E.
12. >
Maak een matrix (5 x 5) als volgt:
'is beter dan'
A B C D E
in de matrix dienen al-
leen nuUen en enen te
staan. Een 1 als linksge-
noemde beter is dan de
bovengenoemde, en an-
ders een 0.
A
B
C
D
E
P =
Bereken P^.
13.  >
14.   >
Wat stellen in P^ de getallen ongelijk nul voor?
De nullen in P hebben verschillende betekenissen. Geef die, aan de hand
van voorbeelden
Het toernooi was dit jaar zo'n succes, dat de organisatoren besluiten om volgend
jaar iets voor alle leden te doen. De tien beste spelers zullen dan een volledige com-
petitie draaien, terwijl de 17 andere leden een halve competitie zullen afwerken, dat
wil zeggen dat iedere speler één keer tegen iedere andere speler uitkomt.
15. > Hoeveel partijen moeten er dan in totaal gespeeld worden?
-ocr page 47-
-43-
Op school
Uit het jaarverslag van een school zijn de volgende gegevens gehaald:
van
3v 3h 4v 4h 5v
3v
0,1 0 0 0
0 "
"l40"
3v
3h
0 0,2 0 0
0
100
3h
B =
-naar 4v
0,8 0 0,1 0
0
L =
140
4v
4h
0,1 0,8 0,1 0,3
0
220
4h
5v
0 0 0,8 0
0,2
180
5v
De getallen in matrix B stellen voor het gedeelte van het aantal leerlingen, dat aan
het einde van het schooljaar van de ene jaargroep naar de andere gaat. Zo betekent
het getal 0,8 in de vijfde rij, derde kolom dat 80% van de 4v-leerlingen is overge-
gaan naar 5v.
In matrix L staan de aantallen leerlingen per jaargroep aan het einde van het school-
jaar vermeld. Schoolverlaters staan daar niet vermeld.
16.  > Waarom geldt dat de eerste drie kolomsommen 1 zijn, terwijl dat bij de
twee laatsten niet het geval is?
17.   > Verklaar waarom een rij som groter kan zijn dan 1.
18.   > Bereken B • L
Wat stellen de getallen in de gevonden produktmatrix voor?
Het produkt van matrix B met zichzelf levert het volgende resultaat:
0,01 0 0        0 0
O     0,04 0        0 0
^2^ 0,16 O     0,01      O O
0,12   0,40   0,04   0,09 O
0,64 O     0,24     O     0,04
19. > Wat is de betekenis van de getallen die in B^ op de diagonaal van linksbo-
ven naar rechtsonder staan?
20. > Laat zien hoe het getal 0,64 in de vijfde rij, eerste kolom is berekend.
Welke betekenis heeft dit getal?