|
DE NORMALE VERDELING
|
|||
|
DE NORMALE VERDELING
|
||||
|
WISKUNDE A
|
||||
|
DE NORMALE VERDELING
Een prcxluktie ten behoeve van het project Hawex.
Ontwerper: Henk van der Kooij
Met medewerking van: Jan de Jong
Martin Kindt
Jan de Lange Martin van Reeuwijk Anton Roodhart |
||||||
|
Ada Ritzer
|
||||||
|
Vormgeving:
© 1990: 3e versie Utrecht, juni 1990 |
||||||
|
Inhoudsopgave
1. Wat is normaal?...............................................................................................1
2. Het bord van Galton ......................................................................................11
3. Standaard-normaal.........................................................................................18
4. Van normaal naar standaard-normaal............................................................25
Oppervlaktetabel van de standaard-normale kromme....................................38
|
||||
|
-1-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 Wat is normaal?
Wanneer je een kilopak suiker koopt, mag je verwachten dat er 1000 gram suiker in
zit. Dat staat per slot van rekening op de verpakking vermeld. Deze pakken worden in de fabriek machinaal gevuld. De vulmachine kan wel keurig op 1000 gram inge- steld worden, maar in de praktijk zal er in het ene pak wat meer en in een ander pak wat minder suiker terecht komen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
foto: Suikersüchüng Nederland
We bekijken nu eerst het geval dat de machine ingesteld wordt op een vulgewicht
van 1000 gram.
Uit de geproduceerde pakken wordt een steekproef van 500 stuks genomen.
De netto-inhoud van die pakken wordt vastgesteld.
Het resultaat, weergegeven in gewichtsklassen met een breedte van 4 gram:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. >a Hoeveel procent van de pakken bevat te weinig suiker?
>b Teken een histogram met horizontaal de gewichtsklassen (1 cm per klasse)
en vertikaal de relatieve frequenties in procenten (1 cm per 2%). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Schat het gemiddelde gewicht van een pak suiker.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het histogram bij de steekproef is redelijk klokvormig.
In het boekje 'Statistiek' stonden de volgende vuistregels voor klokvormige verde-
lingen: - ongeveer 68% van de waarnemingen ligt tussen GEM - 1 * SD en GEM + 1 * SD
- ongeveer 95% van de waarnemingen ligt tussen GEM - 2 * SD en GEM + 2 * SD
(GEM: gemiddelde en SD: standaardafwijking).
3. > Schat met behulp van de vuistregels hoe groot SD is bij deze steekproef.
4. > Controleer met je rekenmachine of je schattingen voor GEM en SD rede-
lijk kloppen.
5. Per dag worden 5000 kilopakken suiker gevuld.
>a Hoeveel procent daarvan zal minder dan 980 gram suiker bevatten, als je
afgaat op de steekproefgegevens? >b En hoeveel is dat, als je de vuistregels toepast op GEM en SD die in opgave
4 zijn berekend? |
||||||
|
foto: Suikerstichting Nederland
Zo'n 50% van de pakken suiker is te licht. Dat wordt gecompenseerd door de andere 50%: gemiddeld zit er 1000 gram suiker in een pak. Bij deze vulmachine (met standaardafwijking 10) is de absolute spreiding in de ge-
wichten zo'n 60 gram: lichter dan 970 gram en zwaarder dan 1030 gram komt bij de steekproef niet voor. Een minder nauwkeurige vulmachine zou ook gemiddeld op 1000 gram uitkomen,
maar een grotere absolute spreiding vertonen. |
||||||
|
-3-
|
||||||||||||
|
6. Stel dat er een vulmachine gebruikt wordt waarbij de standaardafwijking 20
gram is. >a Hoe groot zal in dat geval de absolute spreiding zo ongeveer zijn? De fabrikant let alleen maar op de totale hoeveelheid suiker die per jaar door
een vulmachine in de pakken wordt gedaan. >b Maakt het voor die totale hoeveelheid verschil of hij een nauwkeurige of
een minder nauwkeurige machine gebruikt? >c Kun je een argument bedenken waarom de fabrikant de voorkeur zou ge-
ven aan een minder nauwkeurige vulmachine? Voor een consument gelden andere criteria. Als hij een pak suiker koopt wil hij
natuurlijk het liefst dat er zo veel mogelijk in zit. Meer dan een kilo vindt hij niet erg. Veel minder dan een kilo is vervelend. >d Welke vulmachine past het beste bij de wensen van de consument: de
nauwkeurige of de minder nauwkeurige? In 1980 zijn door de EG-landen bindende afspraken gemaakt over machinaal ver-
pakte artikelen. Fabrikanten die zich aan deze afspraken (de zgn. EG-normen) hou- den tonen dat door op de verpakking aan de inhoudsopgave de letter 'e' toe te voe- gen. |
||||||||||||
|
S
|
||||||||||||
|
x
|
||||||||||||
|
1 kg ("
CSMSUIKtRBVAMSTEROAM ^„
|
||||||||||||
|
De bedoeling van de EG-normen is dat de consument niet onaangenaam verrast
wordt door een artikel waar veel minder in zit dan er op de verpakking staat. De belangrijkste eis die aan /:i7overpakkingen wordt gesteld, is: 'Ten hoogste 2% van de artikelen mag een ondergewicht hebben van
meer dan 15 gram'. |
||||||||||||
|
Voldoen de pakken suiker uit de steekproef aan deze eis?
|
||||||||||||
|
Weergegeven in een globale grafiek zorgt de vulmachine voor het volgende:
|
||||||||
|
De nauwkeurigheid waarmee pakken suiker worden gevuld is onafhankelijk van het
vulgewicht. De fabrikant zou dus wat meer suiker in de pakken moeten stoppen, om aan de EG-eis te kunnen voldoen. Voor de globale grafiek betekent dit dat de hele kromme naar rechts geschoven wordt, waarbij de vorm van de grafiek precies het- zelfde blijft. |
||||||||
|
985 1000 ?
De vraag is nu: hoe ver moet er naar rechts geschoven worden? |
||||||||
|
8. > Onderzoek (met behulp van de steekproef) op welk gemiddeld gewicht de
vulmachine moet worden ingesteld, als de fabrikant aan de 2%-eis wil vol-
doen. Bij de steekproef van 500 stuks bleek: GEM = 1000, SD = 10.
Andere steekproeven zullen in het algemeen ook andere waarden voor GEM en SD
opleveren.
9. Bij een steekproef van 4 pakken werden de volgende vulgewichten gemeten:
1003, 974, 1006 en 994 gram. > Bereken GEM en SD voor deze kleine steekproef.
Aangenomen wordt, op basis van de grote steekproef, dat de totale produktie van
kilopakken suiker ook klokvormig is verdeeld. Het gemiddelde en de standaardaf- wijking kunnen geschat worden aan de hand van een steekproef. 10. > Voor die schattingen kun je beter een grote steekproef gebruiken dan een
kleine. Waarom?
Van klokvormige verdelingen zijn wiskundige modellen gemaakt. Je zou ze 'ideale
klokvormen' kunnen noemen.
Meer gebruikelijk is de naam normale verdeling.
|
||||||||
|
-5-
|
||||||||||
|
Het gemiddelde en de standaardafwijking (GEM en SD bij een steekproef) zullen
we voortaan in de ideale situatie, dus bij een normale verdeling, m (= gemiddelde) en s (= standaardafwijking) noemen. De normale kromme die hoort bij m = 1000 en 5 = 10:
|
||||||||||
|
Voor iedere normale kromme geldt:
- modus, mediaan en gemiddelde vallen samen in het midden;
- de grafiek is symmetrisch ten opzichte van het midden, dus:
de rechterhelft is het spiegelbeeld van de linkerhelft; - vrijwel de hele kromme ligt tussen de grenzen m - 3 * s en m + 3 * s;
~ de totale oppervlakte onder de kromme stellen we op 100%. |
||||||||||
|
De oppervlakte onder de kromme kan grofweg als volgt worden opgedeeld:
|
||||||||||
|
m-3^ m~2s m-s m m + s m +2.v m +3^
|
||||||||||
|
11. > Ga na dat de percentages die in de klokvorm staan, overeenkomen met de
vuistregels. |
||||||||||
|
-6-
|
|||||||||
|
12. In een fabriek worden blikken gevuld met (gemiddeld) 1 liter verf.
De standaardafwijking van de vulmachine is 15 ml. >a Teken de normale kromme die bij dit vulproces hoort.
>b Hoe groot is het percentage blikken dat meer dan 30 ml verf te weinig be-
vat? |
|||||||||
|
Een liter verf weegt 2 kilo.
>c Teken de normale kromme opnieuw, maar nu voor de verdeling van het ge-
wicht (in grammen). Bij de horizontale as worden nu dus grammen ver- meld in plaats van milliliters. >d Hoeveel procent van de blikken heeft een ondergewicht van meer dan 30
gram? De vorm van een normale kromme kan ook beschreven worden in termen van stij-
gen en dalen. Daartoe wordt de kromme in vier stukken opgedeeld. Op het eerste stuk van links af gezien is sprake van toenemende stijging. Voor het tweede, derde en vierde stuk geldt dat er van links af gezien achtereenvol- gens sprake is afnemende stijging, toenemende daling en afnemende daling. |
|||||||||
|
13. > Controleer bij de twee normale krommen op blz. 5 dat de overgangen tus-
sen de vier stukken liggen bij m - s, bij m en bij m+s. Je kunt bij een gegeven normale kromme dus een redelijke schatting maken van de
standaardafwijking door te kijken waar de kromme een buigpunt heeft. |
|||||||||
|
14. De hieronder getekende krommen hebben beide gemiddelde m = 50.
De standaardafwijkingen zijn verschillend. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
45 50 55
> Maak voor beide verdelingen een schatting van de standaardafwijking.
Niet alleen bij vulprocessen komt een normale verdeling voor. De lichpamslengte
van volgroeide mensen blijkt ook normaal verdeeld te zijn. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Pas op: 170-174 cm staat voor alle lengtes vanaf 170 cm tot aan 175 cm. De klas-
sebreedte is dus 5 cm. 15. >a Maak een histogram voor de frequentieverdeling van 1986.
Gebruik als schaal: horizontaal 1 cm per 5 cm lengte; vertikaal 1 cm per
5%.
>b Benader het histogram zo nauwkeurig mogelijk met een normale kromme.
>c Schat uit de grafiek de gemiddelde lengte en de standaardafwijking. 16. >a Teken in de figuur van opgave 15 ook de lengteverdeling van 1950.
>b Wat is er in die 36 jaren gebeurd met de gemiddelde lengte?
En met de standaardafwijking? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-8-
|
|||||||
|
De lichaamslengte van 18-jarige jongens is kennelijk ook normaal verdeeld.
Dienstplichtigen 7,5 centimeter langer
dan veertig jaar terug Utrecht (ANP) — Jongens die voor de dienstplicht worden gekeurd, zijn tegen-
woordig gemiddeld ongeveer 181,3 centimeter lang: 7,5 centimeter langer dan vlak na de oorlog. De Drenten zijn het langst en de Limburgers het kortst, maar de ver- schillen tussen de provincies worden kleiner. Dit is becijferd door J. van Hussen van het Centraal Bureau voor de Statistiek, die
daarvoor de gegevens van de dienstplichtkeuring vanaf 1948 heeft nageplozen. Die gegevens zijn niet helemaal vergelijkbaar doordat de gemiddelde keuringsleeftijd in 1979 is verlaagd van 19 tot 18 jaar, maar ze geven wel een tendens weer. De lengtegroei bij mannen stopt als ze ongeveer 19,5 jaar zijn. Een eeuw geleden
was dat pas op 25-jarige leeftijd het geval en in de eerste helft van de jaren vijftig groeiden mannen na hun 20ste nog iets door. Na de oorlog was het verschil in de provincies met de langste en de kortste jon-
gemannen nog 4,6 centimeter. Dat verschil is nu teruggelopen tot 3,3 centimeter. Drenthe heeft met een gemiddelde van 182,77 centimeter Friesland (182,54) ver- drongen als provincie met de langste mannen, Limburg staat nog steeds onderaan met 179,45 cenümeter (1948: 171,4). De gemiddelde lengte nam het snelst toe tussen 1960 en 1978 (gemiddeld 2,3 mil-
limeter per jaar). Daarna kwam er jaarlijks gemiddeld 1,6 millimeter bij. |
|||||||
|
17. >a Kloppen de schattingen van opgaven 15 en 16 met de cijfers die in het
beginstuk van het artikel worden genoemd?
>b Wat was in 1948 de gemiddelde lengte van de Friese dienstplichtigen?
18. We nemen aan dat de lengte van de dienstplichtigen per provincie ook normaal
verdeeld is. >a Is de standaardafwijking per provincie anders dan die van alle Nederlandse
dienstplichtigen samen? >b Stel: je neemt van de dienstplichtigen uit 1986 alleen de Drentse en Lim-
burgse jongens samen. De verdeling van hun lengte zetje in een (globale) grafiek. Hoe ziet die grafiek er uit? 19. In Engeland wordt nog vaak gerekend met inches. Eén inch is ongeveer 2,54
cm. Stel dat de Engelse dienstplichtigen dezelfde lengteverdeling hebben als hun
Nederlandse lotgenoten. >a Wat is de gemiddelde lengte en de bijbehorende standaardafwijking uitge-
drukt in inches? >b Pas het histogram van opgave 14 aan voor de Engelse situatie.
|
|||||||
|
r
|
||||||||||||||||
|
-9-
|
||||||||||||||||
|
De benaming 'normale verdeling' wekt de suggestie dat niet-klokvormige verdelin-
gen een beetje vreemd zouden zijn. Dat is natuurlijk niet zo. Andere dan klokvor- mige verdelingen komen ook veel voor. |
||||||||||||||||
|
20.
|
Aantal particuliere
huurkamers gedaald |
|||||||||||||||
|
vraag naar kamers sinds 1986 met 1,5 pro-
cent gestegen. Het aanbod voor de ongeveer tienduizend ingeschrevenen daalde naar minder dan één kamer per drie kamerzoe- kcnden. Ook stichtingen voor studentenhuisvesting
kampen met een tekort aan kamers. De 28 duizend studenten die hier staan ingeschre- ven, moeten tussen de zes en 24 maanden wachten op een toewijzing. De gemiddelde wachttijd is ruim tien maanden. Door reno- vatie en samenvoeging van studentenkamers neemt het aanbod af. Uitwisselingsprogram- ma's met het buitenland zouden in toene- mende mate beslag leggen op de kamers. |
||||||||||||||||
|
Van onze verslaggever
DEN HAAG/AMSTERDAM - Het aan- tal kamers dat door particulieren te huur wordt aangeboden, is vorig jaar gedaald. De vraag naar kamers bleef ongeveer ge- lijk, maar was bijna drieëneenhalf maal groter dan het aanbod. Ook de vraag naar studentenhuisvesting is groter dan het aanbod. Dat blijkt uit een enquête van de Landelijke Organisatie Belangengroepen Huisvesting (LOBH) onder vijftien niet- commerciële kamerbemiddelingsbu- reaus. De resultaten van de enquête werden maan-
dag bekendgemaakt bij de presentatie van de nota Jongerenhuisvesting in de jaren Negen- tig. Deze notitie werd geschreven door be- langenorganisaties op het gebied van jonge- renhuisvesting, waaronder de LOBH en en- kele politieke jongerenorganisaties. Bij niet-commerciële kamerbureaus is de |
||||||||||||||||
|
Volkskrant aug. '89
|
||||||||||||||||
|
>a Hoe blijkt uit het artikel dat de wachttijd voor een kamer bij studenten niet
normaal is verdeeld? >b Maak een globale grafiek van de verdeling van de wachttijd.
21. Op de foto staan alle studenten van een Amerikaans college gegroepeerd in
lengteklassen, een levend histogram dus. |
||||||||||||||||
|
>a Is het histogram redelijk te benaderen door een normale kromme?
>b Kun je verklaren waarom de verdeling 'twee-toppig' is? |
||||||||||||||||
|
-10-
|
||||||||||||||||||||||
|
Samenvatting.
Bij klokvormige verdelingen past een wiskundig model: de normale verdeling.
De grafiek bij zo'n verdeling wordt een normale kromme genoemd. Bepalend voor de vorm van de klok is de standaardafwijking (s): hoe groter s, des te breder de klok. |
||||||||||||||||||||||
|
m-2s m-s m m+s m+2s
|
||||||||||||||||||||||
|
m+s m+2s
|
||||||||||||||||||||||
|
m-s
|
||||||||||||||||||||||
|
Eigenschappen die voor alle normale krommen gelden:
- de verticale lijn door het midden (m) is symmetrie-as;
- de oppervlakte onder de klok is 100%;
- de vuistregels:
|
||||||||||||||||||||||
|
m-2s
|
m+2s
|
|||||||||||||||||||||
|
m-s
|
m-t-s
|
|||||||||||||||||||||
|
m-3s
|
||||||||||||||||||||||
|
m+3s
|
||||||||||||||||||||||
|
-11-
|
||||||||||
|
2 Het bord van Galton
|
||||||||||
|
In het boekje 'Kans en Verwachting' is het bord van Galton al even ter sprake ge-
komen. Op een bord is een aantal pinnen bevestigd op een manier zoals in de teke- ning is aangegeven. |
||||||||||
|
9" Ti]
|
||||||||||
|
Een kogeltje valt door de trechter op de bovenste pin. Vandaar ketst het naar links
of naar rechts (puur afhankelijk van het toeval) op één van de twee pinnen op de eer- ste rij. Dat wordt een aantal keren herhaald. Uiteindelijk belandt het kogeltje in één van de elf bakjes A t/m K. 1. >a Hoeveel pinnen raakt een kogeltje, voordat het in één van de bakjes be-
landt?
>b Een kogeltje komt in B terecht. Wat weet je van de gevolgde route?
En als het in F valt? 2. Een kogeltje raakt op zijn weg naar beneden de derde pin op de zevende rij.
> In welke bakjes kan het dan nog vallen? |
||||||||||
|
Bij één enkel kogeltje valt absoluut niet te voorspellen welke route het zal volgen.
Alle mogelijke routes zijn namelijk even (on)waarschijnlijk. 3. Stel: je laat 1100 kogeltjes door de trechter vallen.
> Mag je aannemen dat die in ongeveer gelijke hoeveelheden verdeeld wor-
den over de elf bakjes? |
||||||||||
|
-12-
|
||||
|
Het vallen van kogeltjes over het bord van Galton kan gesimuleerd worden met de
computer.
Een resultaat van zo'n simulatie met 10 kogeltjes:
10
3 7 • •
2 5 3
• • «
15 3 1
• • O O
114 4 0
• • • O •
10 2 4 3 0
• «••••
10 13 3 2 0
• ••••••
0 1114 3 0 0
• *••••••
0 10 2 0 6 10 0
0010242100
I ° I ° [ ° 1 M M ^ N [ 1 [ OIOIO I
ABCDEFGH I JK
4. De tien kogeltjes lijken een zekere voorkeur te hebben voor de meer centraal
gelegen bakjes D i/m H. > Is dat toeval?
Het resultaat van een simulatie met 1000 kogeltjes: 1000
504 496 262 486 252
• • •
130 382 373 115
• • • • 74 252 386 235 53
• ••«>•
30 174 307 310 151 28
• •••••
16 104 236 321 212 97 14
• •••«••
11 49 184 269 265 156 59 7
• •••••••
5 32 126 228 247 219 106 32 5
• ••••«•••
3 20 78 187 231 224 173 64 17 3
I 1 I 13 I 41 I 132 I 217 I 234 | 189 [ 125 [ 36 | 11 | 1 | ABCDEFGH I JK
5. > Maak een histogram (met relatieve frequenties) van de verdeling van de
kogeltjes over de elf bakjes.
|
||||
|
-13-
|
|||||||
|
Zoals je in het histogram kunt zien is de verdeling over de bakjes al redelijk klok-
vormig. Het middelste bakje (F) heeft een centrale rol. Die centrale plaats kunnen we bena-
drukken door de letters te vervangen door een nummering: ABCDEFGHI JK
-5 -4 -3 -2 -1 O +1 +2 +3 +4 +5
|
|||||||
|
De positie van elk bakje wordt daardoor gegeven ten opzichte van het middelste
bakje F: +3 betekent het derde bakje rechts van F. 6. Met deze nummering en de bijbehorende aantallen kogeltjes worden gemiddel-
de en standaardafwijking berekend. Resultaat (afgerond): GEM = 0enSD = l,6. >a Wat betekenen deze getallen, vertaald naar de bakjes?
>b Controleer met de vuistregels of deze getallen redelijk passen bij het histo-
gram van opgave 5. Van een enkel kogeltje is onvoorspelbaar welke route het zal volgen over het bord.
Bij een grote serie blijkt toch een zekere wetmatigheid op te treden. Er komen veel
kogeltjes in de buurt van het middelste bakje en weinig in de buitenste.
Een verklaring voor dat gedrag kan gevonden worden in de driehoek van Pascal (zie
Telproblemen).
De nulde tot en met de tiende rij in beeld:
|
|||||||
|
-14-
|
|||||||
|
De getallen in de driehoek geven aan hoeveel verschillende routes naar de betref-
fende pin leiden. Zo kun je aflezen dat er zes verschillende routes zijn naar de mid- delste pin op de vierde rij. |
|||||||
|
7. >a Teken die zes mogelijke routes.
>b Beschrijf die zes routes met plussen en minnen (+ : kogeltje gaat naar
rechts, -: kogeltje gaat naar links). 8. >a De getallen in de tiende rij zijn samen 1024 (= 2'^^).
Hoe verklaar je dat?
>b Hoe groot is de kans dat een kogeltje in één van de vijf middelste bakjes
terecht komt? 9. De getallen van de tiende rij in de driehoek van Pascal komen aardig overeen
met de verdeling van de 1000 kogeltjes over de elf bakjes bij de simulatie. >a Logisch?
>b Geldt dat ook voor bijvoorbeeld de zesde rij van de driehoek en de zesde
rij pinnen? Hoe meer kogeltjes er over het bord gestuurd worden, hoe beter de aantallen bij de
pinnen overeenkomen met de getallen uit de driehoek van Pascal. De ideale verdeling van kogeltjes over de pinnen van de rijen 2, 4, 6, 8 en 10 staat op bladzijde 15 in histogrammen weergegeven. In de plaatjes zie je dat de verdeling over de pinnen steeds meer op een normale ver-
deling gaat lijken naarmate je verder op het bord komt. Steeds geldt: gemiddelde = 0. 10. > Bereken voor rij 8 de standaardafwijking.
|
|||||||
|
-15-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r 50%
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r 50%
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
50%
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
rij 6
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
rij 4
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
rij 2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-3-2-10123
rij 10 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-2-10 1 2
r 50%
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1 o 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
50%
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
rij 8
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ru ,
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-5-4-3-2-10 1 2 3 4 5
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-4-3-2-10 1 2 3 4
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een complete tabel van de standaardafwijkingen voor de eerste twintig rijen (afge-
rond op vier decimalen): |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In deze tabel komen slechts vier exacte waarden van SD voor, namelijk bij de rij-
nummers 1,4, 9 en 16. 11. >a Heb je enig idee bij welk rijnummer de eerstvolgende exacte waarde van
SD optreedt? Hoe groot is dan de SD? >b Welk verband bestaat er in deze vier gevallen tussen rijnummer en de bij-
behorende SD? Aanwijzing: Neem de wortel van de rijnummers en vergelijk die met de
bijbehorende SD. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-16-
|
|||||||||||||||||||
|
12. Als een rijnummer vier maal zo groot wordt, dan wordt de bijbehorende SD
twee maal zo groot. > Controleer deze uitspraak met de tabel.
13. > Hoe verandert de SD als een rijnummer twee maal zo groot wordt ge-
maakt?
14. > Bedenk een formule voor het verband tussen rijnummer en bijbehorende
SD.
De normale vorm wordt steeds duidelijker zichtbaar naarmate er meer rijen pinnen
worden toegevoegd aan het bord van Galton.
De ideale verdeling over de pinnen, getekend door een computer:
|
|||||||||||||||||||
|
25%T rij 10
|
25%-, rij 20
|
||||||||||||||||||
|
J
|
|||||||||||||||||||
|
Lk.
|
|||||||||||||||||||
|
25%T rij 40
|
25%-, rij 80
|
||||||||||||||||||
|
^^Ti\\\ I I I I I I I I ÏYhr^^
|
|||||||||||||||||||
|
^^
|
|||||||||||||||||||
|
ül^
|
|||||||||||||||||||
|
15. >a Schat uit de bovenstaande figuren de SD. bij de rijen 40 en 80.
>b Kloppen die antwoorden met de formule van opgave 14? |
|||||||||||||||||||
|
-17-
|
||||||||
|
16. De verdeling over de pinnen van rij 16 en rij 64:
25%-, rij 16 25% T rij 64 |
||||||||
|
1^^
|
||||||||
|
De SD bij rij 64 is twee maal zo groot als de SD bij rij 16.
>a Ga na dat de absolute spreiding ook twee maal zo groot is.
>b Bij de verdeling op de 64ste rij is de hoogte twee maal zo klein.
Logisch? >c Controleer dat iets dergelijks ook geldt voor de verdelingen op rij 20 en rij
80. Het bord van Galton staat als het ware model voor de normale verdelingen.
Bij een bord met twintig rijen pinnen wordt een kogeltje twintig keer opnieuw naar
rechts (+) of links (-) gestuurd. Wanneer het aantal plussen opweegt tegen het aantal
minnen, komt het kogeltje in het middelste bakje terecht. In alle andere gevallen
krijg je afwijkingen ten opzichte van dat midden.
Daarbij geldt: de kans op een afwijking is kleiner, naarmate de afwijking groter is.
Bekijk nu eens de lengte van een volwassen persoon. Een mens groeit vanaf de be-
vruchting tot ongeveer het negentiende levensjaar. De groei wordt door allerlei fac- toren versterkt (+) of geremd (-). In veel gevallen speelt daarbij het toeval een rol. Al die (toevals)factoren tezamen bepalen het uiteindelijke resultaat: de lengte van een volgroeid mens. Op deze manier bezien is de groei van één persoon vergelijkbaar met de route die
één kogeltje volgt over het bord van Galton. Zo lijkt de lengteverdeling van bijvoor- beeld alle Nederlandse mannen op de verdeling van een grote serie kogeltjes over de bakjes van een bord van Galton. 17. >a Noem eens een aantal factoren die invloed hebben op de groei van een
mens.
>b Kun je daarbij spreken van foeva/sfactoren?
Het bovenstaande is niet alleen van toepassing op de lengtegroei van een mens. Iets
dergelijks geldt voor allerlei groeiprocessen in de natuur, maar ook, bijvoorbeeld, voor de vulprocessen van hoofdstuk 1. In het algemeen geldt: Wanneer het eindresultaat van een of ander proces beïnvloed
wordt door een groot aantal toevalsfactoren, dan is het eindresultaat van dat proces bij benadering normaal verdeeld. |
||||||||
|
-18-
|
||||||||||||
|
3 Standaard-normaal
Normale krommen kunnen variëren van heel smal (en hoog) tot heel breed (en laag).
Ondanks die verschillende vormen hebben ze wel allemaal dezelfde 'karaktertrek- ken': - Alle normale krommen zijn symmetrisch ten opzichte van het gemiddelde m: |
||||||||||||
|
de vuistregels:
|
||||||||||||
|
68%
|
||||||||||||
|
2s 2s
en iets dergelijks voor 95%
|
||||||||||||
|
de totale oppervlakte is 100%
|
||||||||||||
|
In dit hoofstuk zullen we één speciale normale kromme meer in detail gaan bekij-
ken. Bij het volgende hoofdstuk zal blijken dat alle andere normale verdelingen zijn terug te brengen tot dat ene speciale geval. Die speciale kromme is de zogenaamde standaard-normale kromme, met /n = O en
^=1: |
||||||||||||
|
-19-
|
||||||||||||||
|
1. Bepaal met behulp van de vuistregels het percentage dat bij de aangegeven op-
pervlakte onder de standaard-normale kromme hoort: |
||||||||||||||
|
>b
|
||||||||||||||
|
>a
|
||||||||||||||
|
>d
|
||||||||||||||
|
>c
|
||||||||||||||
|
De verdeling onder de kromme in gebieden kan verder verfijnd worden, bijvoor-
beeld tot stukjes met een breedte van 0,5: |
||||||||||||||
|
2. In drie stukjes zijn de bijbehorende percentages al ingevuld.
> Welke percentages horen bij de 9 resterende stukken? Afspraak:
De getallen die bij de horizontale as staan vermeld noemen we z.
De oppervlakte onder de kromme vanaf de linkerkant tot aan de verticale lijn bij z
noteren we als <!> (z).*)
Voorbeeld: in het plaatje hieronder is de oppervlakte tot aan z = 1,5 aangegeven. Die
oppervlakte noteren we dus met 0(1,5). |
||||||||||||||
|
-2,5 -1.5 -0,5 0,5 1,5 2,5
|
||||||||||||||
|
*) * is een griekse hoofdletter. Hij wordt uitgesproken als 'fie'
|
||||||||||||||
|
-20-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Je kunt zelf controleren dat geldt: <E>(1,5) = 93%.
3. > Maak de volgende oppervlaktetabel af: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. >a Berekenmetde tabel 0(1)- C>(-0,5).
>b Geef in een figuur de betekenis aan van het antwoord van >a.
5. > In de tabel van opgave 3 kun je zien dat geldt:
0(-l,5)= 100-0(1,5).
Verklaring? Wanneer de oppervlakte onder de normale kromme nog verder wordt verfijnd, kun-
nen veel uitgebreidere tabellen worden samengesteld. Achter in het boek (blz. 38,39) staat een tabel, waarbij z met stapjes van 0,01 toe-
neemt. Bij deze tabel is niet gewerkt met de grove benaderingen die wij tot nu toe gebruik-
ten. Bij de standaard-normale kromme hoort een ingewikkelde wiskundige formule waarmee de oppervlakten heel nauwkeurig kunnen worden bepaald. Een deel van die tabel staat hieronder afgedrukt. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-21-
|
||||||||||||||||
|
In de eerste kolom staan de z-waarden tot in één decimaal nauwkeurig.
Achter z = 0,6 staan 10 getallen vermeld. Dat zijn de oppervlakte getallen 0(z) die
horen bij achtereenvolgens z = 0,60; z = 0,61; z = 0,62,...., z = 0,69.
Zo geldt bijvoorbeeld (het omkaderde getal in de tabel) 0(0,64) = 0,7389.
De oppervlaktegetallen in de tabel zijn niet in procenten gegeven, maar als getallen
die oplopen van 0,0000 tot 1.
Het getal 0,7389 kan dus ook gelezen worden als 73,89%.
De betekenis van 0(0,64) = 0,7389 in een plaatje uitgedrukt:
|
||||||||||||||||
|
0,64
|
||||||||||||||||
|
6. Bepaal met de tabel de oppervlakte van de aangegeven stukken:
>a / \ >b |
||||||||||||||||
|
0,43
|
||||||||||||||||
|
-0,43
|
||||||||||||||||
|
In de loop van dit boekje zijn een aantal ruwe schattingen gemaakt, zoals:
- de oppervlakte tussen z = -1 en z = 1 is 68%
- de oppervlakte tussen z = -2 en z = 2 is 95%
- het eindpunt van de normale kromme ligt ongeveer bij z = 3
- <D(1,5) = 93%.
|
||||||||||||||||
|
Geef met de tabel betere schattingen voor deze vier gevallen.
|
||||||||||||||||
|
7.
|
||||||||||||||||
|
-22-
|
|||||||
|
> Deze oppervlakte kan op twee verschillende manieren bepaald worden.
Hoe? De tabel kan dus gebruikt worden om bij gegeven z-waarden de oppervlakte op te
zoeken.
Omgekeerd kan in een aantal gevallen bij een gegeven oppervlakte de bijbehorende
z-waarde gevonden worden.
Een voorbeeld:
|
|||||||
|
z = ?
Voor de gevraagde z moet dus gelden: <I>(z) = 0,60.
De z-waarde die daar het dichtst bij in de buurt komt, is z = 0,25.
9. > Controleer dit in de tabel.
10. Welke z-waarden passen het best bij de volgende oppervlakten?
>a X \ >b |
|||||||
|
-23-
|
|||||||||||
|
Bij oppervlakten tussen twee z-waarden in lukt het terugzoeken meestal niet.
11. Twee situaties: |
|||||||||||
|
In het linkerplaatje liggen linker- en rechtergrens even ver van het midden.
Bij het rechterplaatje is dat niet zo. >a Waarom is het bij het linkerplaatje wel mogelijk om de twee z-waarden te
bepalen en bij het rechterplaatje niet? >b Bepaal de z-waarden bij het linkerplaatje.
12. De lijn bij z = O deelt de normale kromme in twee gelijke stukken, ieder met
oppervlakte 50%. |
|||||||||||
|
> Bepaal de z-waarden waarvoor de oppervlakte wordt verdeeld in achter-
eenvolgens 3 gelijke stukken, 4 gelijke stukken, 5 gelijke stukken. |
|||||||||||
|
9 9 9 7
|
|||||||||||
|
9 9 9
|
|||||||||||
|
-24-
|
||||||||||
|
Samenvatting
De standaard-normale kromme hoort bij een normale verdeling met gemiddelde
m = O en standaardafwijking 5=1. |
||||||||||
|
z-as
|
||||||||||
|
De oppervlakte onder de standaard-normale kromme vanaf de linkerkant tot aan een
z-waarde noteren we als 0(z). |
||||||||||
|
De waarden van <I>(z) zijn te vinden in de tabel, voor z = -3,90 tot z = +3,90 met stap-
jes van 0,01. Verder geldt: |
||||||||||
|
ook:
|
||||||||||
|
-25-
|
|||||||||||
|
4 Van normaal naar standaard-normaal
Champignons worden gekweekt in speciale ruimten. De opbrengst per vierkante
meter kan onder goede omstandigheden oplopen tot 25 kilo. Volwassen champignons
worden dagelijks geoogst.
De oogstperiodc duurt zes
weken. In die lijd worden
zes "vluchten" champignons
geplukt. Een "vlucht" wil
zeggen dat er enkele dagen
lang veel champignons op
de kweekbedden staan.
Als die worden geplukt,
groeien er weer knoppen uit
voor de volgende "vlucht".
Na zes vluchten is de oogst
voorbij. Er groeien dan nog
wel champignons, maar het loont niet meer de moeite om ze te oogsten.
|
|||||||||||
|
Een kweker heeft geoogst.
Het gewicht van de geoogste champignons is normaal verdeeld met een gemiddelde
van 9 gram en een standaardafwijking van 1 gram. De normale kromme die daarbij hoort heeft precies dezelfde vorm als de standaard-
normale kromme. Wanneer we letten op de verdeling van de afwijking ten opzichte van het gemiddel-
de, dan hebben we zelfs de standaard-normale verdeling te pakken: |
|||||||||||
|
verdeling van het gewicht:
|
|||||||||||
|
verdeling van de afwijking:
|
|||||||||||
|
Dit betekent dat de oppervlakte-tabel van de standaard-normale kromme bruikbaar
is voor deze gewichtsverdeling. 1. De grotere champignons (vanaf 10 gram) worden direct verkocht. De kleinere
(minder dan 7,5 gram) worden verwerkt in soepen en sauzen. >a Welk percentage gaat in de directe verkoop?
>b Welk gedeelte van de oogst wordt verwerkt in soepen en sauzen?
|
|||||||||||
|
-26-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De groei van champignons is erg afhankelijk van factoren als temperatuur, vochtig-
heid en bemesting. Bij een andere kweker is het gewicht van de geoogste champignons ook normaal
verdeeld, met een gemiddelde van 8 gram en een standaardafwijking van 1,4 gram. Ook hier vervangen we de verdeling van het gewicht door de verdeling van de af- wijking ten opzichte van het gemiddelde. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
gewicht
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
afwijking
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. De verdeling van de afwijking is nu niet standaard-normaal.
> Waarom niet? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Met een slimme ingreep kan er voor gezorgd worden dat ook bij deze gewichtsver-
deling met de standaard-normale tabel kan worden gewerkt. Als eenheid op de horizontale as wordt in bovenstaande figuur 1 gram gebruikt. In plaats daarvan nemen we als eenheid de standaardafwijking 5. Zo krijg je als het ware een standaardschaal. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
afwijking in gram-eenheden
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
afwijking in i-eenheden
(standaardschaal) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De standaardafwijking was in dit geval 1,4 gram, dus een afwijking van 2,8 gram
op de bovenste schaal correspondeert met een afwijking 2 op de standaardschaal. 3. >a Welk getal op de bovenste schaal hoort bij het getal 1,5 op de standaard-
schaal? >b Welk standaardschaal-getal hoort bij een afwijking van 4 gram?
En bij een afwijking van 2 gram? >c Neem een willekeurig getal op de bovenste schaal, zeg a.
Druk het bijbehorende getal op de standaardschaal uit in a. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-27-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
Alle wijzigingen nog eens in een schema:
—I-------1-------1-------1-------1-------1-------1- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
gewicht van de
,—s^ champignons \^) (in grammen) afwijking van hel ge-
___ middelde
(Qj£) (in grammen)
afwijking van het ge-
middelde (in i-eenheden) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
12
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
10
|
11
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
-3
|
3
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
O
|
1
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. Het getal 1 op de standaardschaal hoort bij het gewicht 9,4 op de bovenste
schaal. >a Welke gewichten op de bovenste schaal horen bij de getallen 2 en -3 van
de standaardschaal? >b Welk getal op de standaardschaal hoort bij een gewicht van 11 gram?
5. Ook deze kweker bestemt de grotere exemplaren (vanaf 10 gram) voor de di-
recte verkoop en de kleinere (tot 7,5 gram) voor de conservenindustrie. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
gewicht (in grammen)
standaardschaal (in
5-eenheden) |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
? O
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
> Hoeveel procent van zijn oogst gaat naar de directe verkoop?
En hoeveel naar de conservenindustrie? ledere normale verdeling is op een soortgelijke manier te vertalen in termen van de
standaard-normale verdeling. Daardoor is de oppervlaktetabel van de standaard- normale kromme te gebruiken bij iedere willekeurige normale kromme. 6. De lichaamslengte van 18-jarige jongens is normaal verdeeld. Bij de keuring
van 1986 bleek de gemiddelde lengte van de 103.370 dienstplichtigen 181,3 cm te zijn, met een standaardafwijking van 7 cm. >a Hoeveel van die 103.370 jongens waren naar verwachting langer dan 190
cm? >b Jongens die langer zijn dan 200 cm of korter dan 160 cm worden afgekeurd
op hun lengte. Hoeveel waren dat er zo ongeveer in 1986? |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
-28-
|
|||||||||
|
7. Een tomatenkweker heeft geoogst. De vruchten variëren in grootte en gewicht.
Het gewicht is normaal verdeeld, met m = 90 gram en j = 15 gram. In totaal zijn 60.000 tomaten geoogst. De oogst wordt op gewicht gesorteerd. |
|||||||||
|
De sorteerafdeling van een tomatenkwekerij
De drie gewichtsklassen zijn:
klasse A: tot 70 gram klasse B: van 70 gram tot 100 gram klasse C: meer dan 100 gram. >a Hoeveel procent van de oogst komt in elk van de gewichtsklassen terecht?
De opbrengst per tomaat hangt af van de gewichtsklasse:
klasse A: 20 cent klasse B: 25 cent klasse C: 30 cent. >b Welke opbrengst kan de kweker verwachten voor zijn hele oogst?
|
|||||||||
|
De levensduur van een bepaald type autoband is normaal verdeeld; gemiddeld
is zo'n band na 40.000 km versleten, met een standaardafwijking van 6.000 km. >a Hoe groot is de kans dat een band na 45.000 km nog niet versleten is?
>b Een band blijkt na 30.000 km al versleten te zijn.
Is dat zeldzame pech? |
|||||||||
|
-29-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Intelligentie is één van de factoren die een rol spelen bij het met succes volgen
van een opleiding. In 1938 gebruikte een onderwijskundige onderstaande grafiek waarin de mate
van intelligentie (uitgedrukt in IQ) werd gekoppeld aan soorten opleidingen en mogelijke beroepskeuzes. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Mjoatltart-Jmvti.
Krye_M "Kgvct «'V««« |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Arli
Admctët
Ingtii'rvr
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Sc^efpiprriiyitrl
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Heleen D-j 'imiiie e d
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
OnaifW'Jltr {tt)
AlOtflingtCitt Lttrêërmi, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Teektmtr
BtlTlttC
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
'ca
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
DE VARI MIE \'AN MET VERSTAND
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het IQ is normaal verdeeld, met gemiddelde m = 100.
>a Bepaal met behulp van de genoemde percentages de standaardafwijking.
>b Hoeveel procent van de bevolking werd in 1938 in staat geacht om tenmin-
ste de MTS als vervolgopleiding te kiezen? >c Hoeveel procent kwam wel in aanmerking voor de HBS, maar niet voor het
Gymnasium? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10. Twee fabrikanten brengen eenzelfde type lamp op de markt. Het aantal brand-
uren is voor beide merken normaal verdeeld. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
gemiddelde
(in uren) 1250
1200 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
standaard afwijking
(in uren) 300
250 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
merk A
merkB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Je wilt een lamp kopen die minstens 1000 branduren heeft.
> Aan welk merk lamp geef je de voorkeur? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-30-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11. Alle Nederlandse munten worden in Utrecht geslagen bij 's Rijks Munt.
De afmetingen en gewichten zijn aan zeer strikte eisen gebonden: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het gewicht van nieuw geslagen guldens is normaal verdeeld met:
m = 6000 mg en s = 6 mg.
Munten die meer dan 15 mg afwijken van het vereiste gewicht mogen niet in
omloop worden gebracht.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Waarom gelden zulke strikte eisen voor het toegestane gewicht?
>b Welk percentage van de nieuw geslagen guldens zal niet in omloop worden
gebracht? >c Per jaar zijn er 25 miljoen nieuwe guldens nodig.
Hoeveel moeten er geslagen worden bij 's Rijks Munt om aan die vraag te
kunnen voldoen? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
container met 400.000 nieuw geslagen dubbeltjes (foto: 's Rijks Munt)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-31-
|
|||||
|
12. Bij vraagstukken rond de normale verdeling draait alles om drie grootheden:
het gemiddelde m, de standaardafwijking s en een percentage (oppervlakte on- der de normale kromme). Deze drie grootheden zijn gekoppeld; als er twee bekend zijn, kan de derde
worden berekend. In principe zijn er dus drie verschillende soorten vragen mogelijk. Van elke
soort volgt nu een voorbeeld. >a mtn s zijn bekend.
Auto's worden op de lopende band in elkaar gezet. Een robot heeft voor
het monteren van een wiel gemiddeld 96 seconden nodig, met een stan- daardafwijking van 5 seconden. Er treedt vertraging op in de totale montagelijn als de robot meer dan 110
seconden nodig heeft. In hoeveel procent van de gevallen zal er vertraging optreden? >b m en percentage zijn bekend.
Een robot heeft gemiddeld 80 seconden nodig voor het bevestigen van een
bumper.
In zo'n 20% van de gevallen is hij al na 77 seconden klaar.
Hoe groot is de standaardafwijking?
>c s en percentage zijn bekend.
De robot die de deuren inzet, heeft daarvoor in 8 op de 1000 gevallen meer
dan 105 seconden nodig. De standaardafwijking voor deze bewerking bedraagt 4 seconden.
Hoeveel seconden doet deze robot gemiddeld over dit karwei? 13. Bij de fabricage van asjes blijkt de diameter normaal verdeeld te zijn met een
standaardafwijking van 0,03 mm. De gemiddelde diameter is gelijk aan de instelwaarde van de machine waarmee
de asjes worden gemaakt.
Asjes worden afgekeurd als ze dunner zijn dan 9,98 mm of dikker dan 10,10
mm.
Per dag worden er 600 asjes gemaakt.
>a Stel dat de instelwaarde voor de diameter 10,01 mm is.
Hoeveel asjes zullen er dan naar verwachting per dag worden afgekeurd?
>b Iemand beweert dat het percentage afgekeurde asjes het laagst is als de in-
stelwaarde precies tussen 9,98 mm en 10,10 mm gekozen wordt. Heeft hij gelijk? >c Wat is het kleinst mogelijke percentage asjes dat afgekeurd wordt?
|
|||||
|
-32-
|
|||||
|
14. In de rechtszaal.
In 1972 spande een groep vrouwen een proces aan tegen een fabriek in Texas
die apparaten voor air-conditioning produceert. Deze fabriek nam alleen nieuwe personeelsleden in dienst die langer waren dan
170,0 cm. De vrouwen waren bij hun sollicitatie afgewezen omdat ze niet aan deze eis voldeden. De advocaat van de vrouwen benadrukte het discriminerende karakter van deze
aanstellingsvoorwaarde door te stellen dat 91,0% van alle Amerikaanse vrou- wen tussen 18 en 65 jaar niet lang genoeg was om aangenomen te kunnen wor- den. Dit percentage ondeende hij aan een onderzoek van het Amerikaanse mi- nisterie van volksgezondheid. Neem aan dat de lengte van de Amerikaanse vrouwen in de betreffende leef-
tijdsgroep normaal verdeeld is met gemiddelde m en standaardafwijking s. >a Stel uitgaande van het genoemde percentage een verband op tussen m en.?.
Neem aan dat m = 160,4 cm.
>b Toon aan dat s~l,2 cm.
De groep Amerikaanse vrouwen tussen 18 en 65 jaar die langer zijn dan 170,0
cm noemen we V. Voor de mediaan {MED) van de lengte van de vrouwen van V geldt dat 50% van de vrouwen uit V langer is dan MED. >c Toon aan dat MED = 172,6 cm, uitgaande van m = 160,4 en i = 7,2 cm.
De vertegenwoordiger van de fabriek bij het proces noemde het percentage van
91 sterk overdreven. Het door de tegenpartij aangehaalde onderzoek stamde uit 1948. De gemiddelde lengte van volwassenen was volgens hem in de periode 1948-1972 flink toegenomen. Hij ondersteunde zijn betoog met het resultaat van een recent onderzoek. In een
aselecte steekproef van 1000 vrouwen tussen 18 en 65 jaar werd bij 117 vrou- wen een lengte gemeten van meer dan 172,6 cm. Neem aan dat de standaardafwijking ongewijzigd is, dus s = 7,2 cm. >d Wat is de gemiddelde lengte van de Amerikaanse vrouw volgens dit recen-
te onderzoek? De advocaat van de vrouwen gaf toe dat het door hem aangehaalde onderzoek
wat verouderd was en de gemiddelde lengte van de vrouwen waarschijnlijk was toegenomen. Hij bleef echter benadrukken dat ook in 1972 nog steeds een grote meerderheid van de Amerikaanse vrouwen op grond van hun lengte door het bedrijf zou worden afgewezen. Stel dat voor 1972 gold: m = 164,0 cm en i = 7,2 cm. >e Bereken het percentage Amerikaanse vrouwen in de genoemde leeftijds-
groep dat in 1972 niet lang genoeg was voor een functie bij de fabriek. (examenopgave VWO wiskunde A 1990; alleen >d is een vervangende vraag)
|
|||||
|
-33-
|
||||||||||||
|
15. In het boek 'Opperlandse taal- en letterkunde' van Battus staat de volgende gra-
fiek: Lengte van het woordtype
|
||||||||||||
|
lé
|
||||||||||||
|
1 3
|
||||||||||||
|
II..
|
||||||||||||
|
it 13 14 15 16 tj 18 19 90 ïi M a3 34 >) a4 37 3t .9 30 3'
|
||||||||||||
|
■ 3 <
UUutn |
||||||||||||
|
In de grafiek lees je af hoeveel woorden van 2, 3,....., 25 letters er in een be-
paald Nederlands woordenboek staan vermeld. De woordlengte (het aantal letters per woord) is bij benadering normaal ver-
deeld, met een gemiddelde van 10. >a Schat uit de grafiek de standaardafwijking.
Op één bladzijde van het woordenboek staan ongeveer 60 woorden. >b Hoeveel woorden verwacht je daarbij met woordlengte 11? (Gebruik hierbij het gemiddelde en de geschatte SD). *) >c Hoeveel woorden met een woordlengte van meer dan 11 letters verwacht
je op een bladzijde? *) >d De antwoorden van >b en >c zijn alleen maar enigszins realistisch als je
bepaalde veronderstellingen maakt. Welke? *) De normale verdeling kan hier gebruikt worden als alle getallen op de horizontale as een
betekenis krijgen. Dat kan als volgt; Beschouw het aantal letters van een woord als afgerond getal. Dus: 11 letters wordt gelezen als 10,5< aantal letters < 11,5. Meer dan U letters wordt dan: aantal letters > 11,5. |
||||||||||||
|
-34-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Vulgewichten
De EG-voorschriften betreffende vulgewichten (zie hoofdstukl) zijn in Nederland
vastgelegd in het zogenoemde 'Hoeveelheidsaanduidingenbesluit'. Een paar citaten uit dit besluit: Art.l.-l. In dit besluit en de daarop berustende bepalingen wordt
verstaan onder: EEG-teken: de kleine letter e, zoals weergegeven in bijlage I van
dit besluit; e-voorverpakking: een serievoorverpakking, waarop het EEG-teken in
samenhang met een aanduiding van de hoeveelheid van een produkt, dat van die serievoorverpakking deel uitmaakt, wordt gebezigd; nominale hoeveelheid van een serievoorverpakking:de hoeveelheid, die een serievoorverpakking blijkens een met betrekking tot die voorverpakking gebezigde hoeveelheidsaanduiding wordt geacht te bevatten; fout in minus van een serievoorverpakking: de hoeveelheid die de
werkelijke inhoud van een serievoorverpakking kleiner is dan de no- minale hoeveelheid van die voorverpakking; Art.3. De e-voorverpakkingen moeten zodanig zijn, dat: a. de werkelijke inhoud van die e-voorverpakkingen gemiddeld niet
kleiner is dan de nominale hoeveelheid daarvan, b. het aantal e-voorverpakkingen met een fout in minus die groter
is dan de toegelaten fout, bepaald in bijlage II van dit besluit, zodanig is, dat bij statistische controle het toelaatbare aantal ondeugdelijke e-voorverpakkingen niet wordt overschreden, en c. geen enkele van die e-voorverpakking een fout in de minus heeft,
die groter is dan tweemaal de toegelaten fout als onder b bedoeld. Art.10. De nominale hoeveelheid van een e-voorverpakking moet ge- lijk zijn aan of groter zijn dan 5 gram of 5 milliliter en mag niet meer zijn dan 10 kilogram of 10 liter. Art.12. Het EEG-teken moet een hoogte hebben van ten minste 3 mm
en moet zijn aangebracht in hetzelfde gezichtsveld als de aandui- ding van de nominale hoeveelheid van die e-verpakking. Bijlage II
Toegelaten fout, bedoeld in artikel 3, onder b, van het Hoeveel-
heidsaanduidingenbesluit (Warenwet) Nominale hoeveelheid Q van toegelaten fout in minus
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
een e-voorverpakking in
gram of in milliliter |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
van 1000 tot en met 10000
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-35-
|
|||||||
|
In artikel 3 worden de eisen vastgelegd, waaraan de inhoud van de e-voorverpak-
king moet voldoen. In bijlage II staat voor de diverse hoeveelheden aangegeven hoe groot de toegelaten
fout is. 16. >a Hoe groot is de'toegelaten fout in minus'voor een literpak melk?
Wat is de kleinst toegestane hoeveelheid voor zo'n literpak?
>b Dezelfde vragen voor een blikje cola (inhoud 33 cl.).
17. >a Teken een grafiek die het verband weergeeft tussen de nominale hoeveel-
heid Qn (horizontaal, in gram) en de bijbehorende fout in minus (vertikaal,
in gram).
De informatie die je nodig hebt, staat in bijlage ü.
>b 'Hoe groter de nominale hoeveelheid, hoe strenger de eisen'.
Mag je dat concluderen uit de grafiek? In artikel 3b is sprake van statistische controle, uit te voeren door de Keuringsdienst
van Waren. Op geregelde tijden worden steekproeven genomen uit de dagproduktie. Afhankelijk van de steekproefgrootte is een toelaatbaar aantal ondeugdelijke ver- pakkingen vastgelegd. In de praktijk betekent dit voor de fabrikant dat hij aan de veilige kant blijft als
hoogstens 2% van zijn produktie een fout in minus heeft die groter is dan de toege- laten fout. Bij kilopakken suiker betekent dat dus (zie hoofdstuk 1) dat 2% van de geprodu-
ceerde pakken meer dan 15 gram ondergewicht mag hebben. 18. Stel dat een fabrikant een zodanig nauwkeurige vulmachine heeft dat hij, bij
een instel gewicht van 1000 gram, precies aan die eis voldoet. Weergegeven in een figuur: |
|||||||
|
>a Welke standaardafwijking heeft die vulmachine dan?
>b Laat zien dat dan ook voldaan is aan de eis die genoemd wordt in artikel 3
punt c. |
|||||||
|
-36-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Erg nauwkeurige vulmachines zijn duur. In de praktijk zal een fabrikant met een wat
minder precieze machine werken. Door het vulgewicht hoger in te stellen kan hij toch aan de eisen voldoen. 19. De suikerfabrikant heeft een vulmachine met een standaardafwijking van 10
gram. >a Hoe hoog moet hij het vulgewicht instellen om te voldoen aan de eis van
artikel 3, punt b? >b Laat zien dat dan automatisch ook voldaan is aan de twee andere eisen van
artikel 3. 20. Pakken koffie worden ook machinaal gevuld.
Dat gebeurt wat preciezer dan bij suiker: de standaardafwijking is 5 gram.
>a Op welk vulgewicht moet de machine worden ingesteld bij pondspakken,
wil er voldaan zijn aan de EG-normen? Naast pondspakken zijn er ook halfpondspakken in de handel. Voor beide soor-
ten pakken gelden de EG-normen. >b Onderzoek in welk van de twee gevallen de fabrikant het voordeligst uit is.
Bereken daartoe voor zowel de halfpondspakken als de pondspakken de hoeveelheid koffie die hij verbruikt per nominaal gewicht van 1 kilo. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bijlage I
behorende bij het Hoeveelheidsaanduidingenbesluit (Warenwet)
Vorm van de kleine
letter e, bedoeld in |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
artikel 1 van het
Hoeveelheidsaan- duidingenbes luit (Warenwet) . De aangegeven afme- tingen zijn uitge- drukt in een getal, dat aangeeft welk ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ deel van de betrok- ^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^^ ken afmeting uit- maakt van de lengte van de middellijn. van de omschreven cirkel van de letter e. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0-9
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-37-
|
||||||||||
|
Samenvatting.
De oppervlaktetabel behorend bij de standaard-normale verdeling is ook bruikbaar
bij iedere andere normale verdeling.
In twee stappen kunnen de gegevens van die normale verdeling gestandaardiseerd
worden:
stap 1: Verminder alle gegeven getallen met het gemiddelde (m).
Daardoor krijg je een verdeling van de afwijking ten opzichte van het ge-
middelde. stap 2: Deel de afwijkingen door de standaardafwijking s.
Door deze bewerking worden de getallen op de horizontale as uitgedrukt
in i-eenheden. De getallen die nu langs de horizontale as staan, zijn de z-getallen behorend bij de
standaard-normale verdeling. Voorbeeld:
Gegeven een normale verdeling met m = 17ens = 3.
De normale kromme hierbij is:
|
||||||||||
|
stap 1
|
||||||||||
|
stap 2
|
||||||||||
|
z=-l z=0 z=l
|
||||||||||
|
Het gearceerde stuk onder deze normale kromme kan nu met de O-tabel bepaald
worden: 0(4) == <1>(1,33) = 0,9082. |
||||||||||
|
-38-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Oppervlaktetabel van de standaard-normale kromme
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
<t>{z) voor negatieve waarden van z
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-39-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C>(z) voor positieve waarden van z
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||