|
-v-
|
|||||||
|
^^'^:f
|
|||||||
|
'i
|
|||||||
|
'■^&
|
|||||||
|
KANS EN VERWACHTING
|
|||||||
|
KANS EN VERWACHTING
|
||||
|
WISKUNDE A
|
||||
|
KANS EN VERWACHTING
Een produktie ten behoeve van het project Hawex.
Ontwerper: Henk van der Kooij
|
||||||||||
|
Met medewerking van:
|
Jan de Jong
Martin Kindt Jan de Lange Martin van Reeuwijk Anton Roodhart Ada Ritzer
|
|||||||||
|
Vormgeving:
© 1990: 3e versie Utrecht, februari 1990 |
||||||||||
|
Inhoudsopgave
1. Wat verwacht je?.................................................................................................1
2. Experiment en simulatie......................................................................................8
3. Theoretische kansen..........................................................................................15
4. Kansverdeling....................................................................................................19
5. Vaasmodel en boomdiagram.............................................................................24
6. Rekenen met kansen..........................................................................................28
7. Kans en Verwachting........................................................................................36
8. Extra opgaven....................................................................................................43
Toeval sgetallen......................................................................................................50
|
||||
|
-1-
|
|||||||
|
1 Wat verwacht je?
Ieder jaar worden bij keuringsbureaus, verspreid over het hele land, alle zeven-
tienjarige jongens gekeurd voor de militaire dienst. |
|||||||
|
Van de ruim 100.000 jongens die jaarlijks worden onderzocht, blijkt zo'n 70%
te worden goedgekeurd. 1. Bij een keuringsbureau in Delft zijn in maart 1988 in totaal 521 jongens on-
derzocht. Van deze groep werden er 389 goedgekeurd. >a Voldoet dit resultaat aan je verwachting?
Op een van de dagen in die maand vertelde een keuringsarts dat hij drie
van de tien onderzochte jongens had goedgekeurd.
De reactie van de administrateur: 'dat is onmogelijk, je bedoelt natuurlijk
afgekeurd'.
>b Ben je het eens met die reactie?
>c Hoe zou je reageren als er werd verteld dat er maar 15 jongens waren
goedgekeurd van een groep van 200? >d Wat verwacht je voor de tweede helft van een jaar, als blijkt dat over
de eerst helft van dat jaar 55% is goedgekeurd? |
|||||||
|
Bij de keuring worden allerlei gegevens van de jongens nauwkeurig geregis-
treerd. Zo ontstaat een totaalbeeld voor die leeftijdsgroep van bijvoorbeeld de lengteverdeling. Dienstplichtigen naar lichaamslengte per keuringsjaar
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
103 370
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Gemeten abs. (=100%) 79 696 77 950 88 847 104 746 105 521
Gemiddelde lengte (cm) 174,0 175,8 178,5 180,3 181,2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
181,3
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. >a Welk percentage van de 18-jarige dienstplichtigen in 1986 heeft een
lengte tussen 170 en 180 cm?
>b Hoeveel jongens zijn dat?
In de legerplaats Oirschot is een tankbataljon gehuisvest. Door de zeer be-
perkte ruimte binnen een tank komen jongens die langer zijn dan 180 cm niet in aanmerking voor het berijden van zo'n gevaarte. >c Van de dienstplichtigen van 1986 worden er 50 aangewezen om in
Oirschot een opleiding tankrijden te krijgen. Natuurlijk zijn al die jon- gens kleiner dan 180 cm. Hoeveel jongens verwacht je daarbij die langer zijn dan 170 cm? 3. Van alle onderzochte jongens is 70% goedgekeurd.
Neem aan dat van alle lengtecategorieën 70 % is goedgekeurd.
In 1986 bleek dat alle legerplaatsen in Nederland tezamen plaats hadden voor maximaal 70.000 nieuwkomers. Besloten werd om alle jongens langer dan 195 cm of korter dan 165 cm naar huis te sturen. >a Controleer dat er door deze maatregel genoeg plaatsingsruimte over-
bleef voor de resterende nieuwkomers. >b Door dit ingrijpen klopt de tabel van 1986 niet meer.
Maak een nieuwe tabel van de procentuele verdeling van de lichaams-
lengten, waarbij het nieuwe aantal op 100% wordt gesteld. >c Hoe groot is in de nieuwe situatie het percentage dienstplichtigen dat
een lengte heeft tussen 170 en 180 cm? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Verzekeringen
Wintersportvakanties zijn niet geheel gevaarloos, zeker niet als er geskied
wordt. |
|||||
|
Ongeveer 6% van alle skiërs raakt in mindere of meerdere mate gewond. De
behandelingskosten variëren van een paar tientjes tot een paar duizend gulden
(denk maar aan de zogenaamde 'gipsvluchten'). Gemiddeld liggen de kosten
rond/400-.
Per jaar gaan er zo'n 100.000 Nederlanders skiën.
Natuurlijk kunnen die geen van allen voorzien of ze een ongeluk zullen krijgen.
Verzekeringsmaatschappijen bieden de mogelijkheid om je tegen onverwachte tegenvallers te verzekeren. Tegen betaling van een (kleine) premie nemen ze als het ware jouw risico over. 4. Stel dat alle skiërs zich verzekeren.
>a Welk bedrag zal er per jaar dan naar alle waarschijnlijkheid door de
verzekeringen worden uitgekeerd? >b Hoe hoog moet de premie per persoon zijn om de verwachte uitbetalin-
gen te dekken? 5. Neem eens aan dat slechts de helft van het aantal skiërs zich verzekert.
>a Welke invloed heeft dat op de hoogte van de premie?
>b Welke premie moet gevraagd worden als maar één persoon zich verze-
kert? |
|||||
|
Het risico op ongelukken is voor beginners groter dan voor ervaren skiërs.
Voor beginners is het percentage 10%, voor gevorderden 2%. |
|||||||
|
6. Bij een kleine verzekeringsmaatschappij worden 20 verzekeringen afgeslo-
ten, toevallig allemaal door beginners. >a Stel dat deze verzekeraar de premie van ƒ24,- rekent.
Is dat voldoende om er de te verwachten kosten van te kunnen beta-
len? >b Welke premie zou deze verzekeraar in dit geval moeten vragen?
Bij de vaststelling van een verzekeringspremie gebeurt iets eigenaardigs.
Er is een statistisch gegeven, dat betrekking heeft op de totale groep: 6% van alle skiërs hebben gemiddeld f 400,- onkosten ten gevolge van een on- geluk. Dat statistische gegeven wordt als het ware vertaald naar iedere individuele
skiër: De verzekeraar bepaalt de hoogte van de premie op 6% van ƒ 400,-.
Er kunnen zich nu twee geval- len voordoen: - De skiër overkomt iets. In
dat geval verliest de verze- keraar ƒ376,-. De kans dat dit gebeurt is echter klein: 6% ofwel 6 op de 100. - De skiër blijft ongedeerd,
dus de verzekeraar heeft een winst van ƒ24,-. Ten opzichte van het even- tuele verlies is dit een klei- ne winst, maar daar staat tegenover dat de kans erop groot is: 94% ofwel 94 op de 100. Wanneer alle skiërs zich bij één maatschappij zouden verzekeren houden de
winst- en verliesbedragen elkaar in evenwicht. In de praktijk echter zijn de verzekeringen verspreid over veel maatschappijen.
Daardoor is het zeker niet uitgesloten dat van een groep mensen die zich bij één maatschappij hebben verzekerd, er toevallig veel meer dan 6% iets over- komt. |
|||||||
|
7. > Voor wie is dat gevaar groter: voor een maatschappij met 1000 verze-
kerden of voor een maatschappij met 20 verzekerden? |
|||||||
|
Situaties waarbij onvoorspelbaarheid (toeval) een rol speelt komen misschien
vaker voor dan je denkt of te horen krijgt. Eén op de zes uitstrijkjes fout beoordeeld
|
||||||||||||
|
zo laat opnieuw naar de
huisarts was gegaan omdat ze vertrouwde op de negatie- ve uitslag van de uitstrijk- jes, die achteraf alle drie verkeerd waren beoordeeld. De betrokken patholoog-ana- toom erkent dat gemiddeld 17 procent van alle uit- strijkjes fout wordt beoor- deeld. Dit ondanks uitge- breide controle op de werk- wijze van de laboratoria, die tien procent van alle pre- paraten met een negatieve beoordeling (niets gevon- den) standaard opnieuw be- oordelen. Het is niet bekend in hoever-
re huisartsen hun paliëntes wijzen op het grote percen- tage foute uitslagen van uit- strijkjes. Volgens een arts van het Integraal kankercen- trum Amsterdam wordt dat in het algemeen niet stan- daard gedaan. 'Dat is ten- minste mijn persoonlijke er- varing. Het zou natuurlijk beter zijn als artsen deze in- formatie wèl geven.' |
||||||||||||
|
werkt. 'Bij de beoordeling
van de uitstrijkjes worden onvermijdelijk van tijd tot tijd fouten gemaakt', aldus het college, dat meent dat vrouwen zelf in de gaten moeten houden of bepaalde lichamelijk klachten (ondanks een geruststellen-
de uitslag) toch niet wijzen op baarmoederhalskanker. De vrouw het in 1978, 1979 en 1982 uitstrijkjes maken. Volgens de beoorde- ling had ze de eerste keer een ontsteking, de tweede keer geen ontsteking en de derde keer een kleine ontste- king die niet behandeld hoef- de te worden. Acht maan- den na het laatste onderzoek ging zij naar de huisarts om- dat ze nog steeds last had van ernstig bloedverlies. De huisarts vond een gezwel; als enige behandeling restte verwijdering van de baar- moeder. De vrouw klaagde eind 1987 het instituut aan dat de uitstrijkjes beoordeel- de. Ze voerde aan dat ze pas |
||||||||||||
|
Van onze redactie samenle-
ving AMSTERDAM- Vrouwen
die zich laten onderzoe- lien op baarmoederhals- kanker, moeten zich reali- seren dat gemiddeld één op de zes uitstrijkjes ver- keerd wordt beoordeeld. De uitslag dat er geen af- wijkingen zijn gevonden, geert geen garantie dat er inderdaad niets aan de hand is. Die waarschuwing geeft het
Medisch tuchtcollege in Amsterdam naar aanleiding van een klacht van een vrouw bij wie tot drie keer toe een uilstrijkje verkeerd werd beoordeeld. De vrouw bleek laler wel degelijk baarmoederhalskanker te hebben. Het tuchtcollege heeft de
klacht afgewezen. Het be- ü-okken pathologisch insti- tuut valt niets ter verwij- ten omdat het volgens de geldende kwaliteitsnormen |
||||||||||||
|
De gebruikte onderzoeksmethode is niet slecht te noemen.
Het probleem zit hem in de verwachting die een uitslag wekt. De vrouw ver-
trouwde voor 100% op de juistheid van de uitslag. Het medisch tuchtcollege houdt rekening met de onbetrouwbaarheid van de onderzoeksmethode. 8. In de kop van het artikel staat 'één op de zes uitstrijkjes fout beoordeeld'.
>a Hoe komen ze daar aan?
>b Is daarmee bedoeld dat bij iedere serie van zes uitstrijkjes er één is
die foutief wordt beoordeeld? 9. Een uitstrijkje van een vrouw wordt negatief beoordeeld (er is dus niets
gevonden). Ze is op de hoogte van het feit dat het onderzoek niet geheel betrouwbaar is. Daarom laat ze nog een tweede uitstrijkje onderzoeken. Ook nu is de uit-
slag negatief. Het enige wat de vrouw nu zeker weet is dat beide uitslagen goed of beide
fout waren. > Is door het resultaat van dat tweede onderzoek de betrouwbaarheid
van de uitslag vergroot, of maakt het niets uit? |
||||||||||||
|
In de situaties die tot nu toe aan de orde zijn geweest, waren de gegevens van
alle personen bekend.
Vaak zal gewerkt worden met resultaten van een steekproef.
Als op basis daarvan verwachtingen worden uitgesproken of voorspellingen
worden gedaan dan dient zo'n steekproef natuurlijk wel representatief te zijn.
10. Een klein filiaal van een bank beschikt over één loket.
Het aantal cliënten van die bank is sterk toegenoemen en er komen steeds
vaker klachten over de lange wachttijden. De beheerder houdt gedurende een week bij hoe lang zijn cliënten moeten
wachten. De resultaten zijn: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De gegevens van 500 personen zijn verwerkt. De wachttijd is steeds afge-
rond op een geheel aantal minuten. Iemand gaat naar deze bank. >a Hoe groot is de kans dat hij minstens zes minuten moet wachten?
>b Hoe groot is de kans dat hij niet meteen geholpen wordt?
De filiaalbeheerder vindt dat er een loket bij moet komen, als de gemiddel-
de wachttijd vier minuten of meer is. >c Ga na of hij, op basis van zijn onderzoek, dat extra loket zal laten ma-
ken. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-7-
|
|||||||||||||
|
De twijfel als levenselixer
Zijn nieuwe roman zal de laatste zijn. In
gesprek met Graham Greene; een grimmige
grijsaard over reizen, Rusland en Rome
|
|||||||||||||
|
dat gedaan?" Waarop ik zei: "Vijf
keer, telkens met een maand tussen- ruimte. Uiteindelijk verveelde me dat ook en wilde ik het een aller- laatste keer proberen - om de zes vol te maken. Toen heb ik het maar opgegeven." En terwijl ik uitlegde dat de kans op overleven iedere keer vijf op zes was, begon Fidel brommend voor zich uit te reke- nen. Hij was hel er niet mee eens. Na uitvoerige berekeningen kwam hij tot de slotsom. "U moet dood zijn!" De anekdote diene ter kenschet-
sing, niet alleen van de Cubaanse leider, maar vooral van de eminente auteur. Meer dan acht decennia oud is hij iruniddels, maar alive and kicking als de kal met de vele le- vens: zijn ogen, glanzend onder borstelige wenkbrauwen, priemen en spieden als vanouds. "Ja, het leven dient met enig ge- vaar verbonden te zijn." HP 22 Oktober 1988
|
|||||||||||||
|
Een probaat middel
tegen dodelijke verveling: een do- delijk spelletje. Graham Greene heeft daar altijd van gehouden, als puber al, midden jaren twintig. In de studieuze rust van Oxfords Bai- liol College, de kostschool van zijn vader, kwam hij in het rijke be- zit van een vuurwapen, ontdekte het Russisch roulette en speelde het in afzondering. Tegen zichzelf. Althans, zo wil zijn autobiografie A Sort of Life het. "Het is werkelijk waar, hoor," houdt hij vol. "Vorig jaar was ik in Havanna, waar ik Fidel Gastro en Garci'a Marquez sprak. Marquez was ervan overtuigd dat ik in Viemam Russisch roulette ge- speeld heb, in de jaren vijftig, maar het was in het internaat, ik was ne- gentien. Fidel werd meteen nieuws- gierig en vroeg: "Hoe vaak hebt u |
|||||||||||||
|
Een pistool heeft een draaibaar magazijn, waarin
plaats is voor zes kogels.
Bij Russisch roulette wordt één kogel geladen.
De persoon die het 'spel' speelt, moet het magazijn
een flinke draai geven en vervolgens de loop tegen
zijn slaap zetten en de trekker overhalen.
|
|||||||||||||
|
11. >a Graham Greene beweert in bovenstaand interview dat hij iedere keer
opnieuw een kans van 5 op 6 had om het spel te overleven. Ben je het daar mee eens? >b Welke berekening heeft Gastro vermoedelijk gemaakt?
>c Weet jij een manier om hem te overtuigen van zijn ongelijk?
Stel dat iemand zich voorneemt om zijn leven op deze manier zes keer op
het spel te zetten en dan op te houden (als dat nog kan). >d Is de kans dat hij het er levend afbrengt 5 op 6?
|
|||||||||||||
|
2 Experiment en simulatie.
Twee soldaten van het beroemde Romeinse leger spelen om een forse buit: een
zak met 100 zilverstukken. |
||||||
|
Het spel is simpel. Er wordt een muntstuk opgegooid. Als 'kop' bovenkomt
krijgt Appius een punt, in het andere geval Brutus. Degene die zo als eerste zes punten haalt wint de zak met zilverstukken. 1. > Hebben beiden bij de start van het spel een gelijke kans op de buit?
Helaas wordt het spel afgebroken door de commandant, die gokspelen verbo-
den heeft. Op dat moment was de situatie erg spannend: Appius had 5 punten en Brutus nog maar 3. Hoewel het niet hun bedoeling was, moeten ze de 100 zilverstukken nu op een
of andere manier onderling verdelen. Maar de vraag is: wat is in deze situatie een eerlijke verdeling? Brutus heeft zijn voorstel snel klaar:
Appius krijgt er 62 en hijzelf 38. 2. >a Hoe komt Brutus aan deze verdeling?
>b Vind je dit een eerlijke verdeling? |
||||||
|
-9-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Appius komt met een heel ander idee:
Ik had nog maar één punt nodig, als het spel gewoon was uitgespeeld, en Bru-
tus nog 3. Het is dus veel waarschijnlijker dat ik de hele buit zou winnen.
In een boom kun je de mogelijke spelverlopen als volgt weergeven.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B wint
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A wint
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. Bekijk de mogelijke spelverlopen.
>a Heb je een idee hoe groot de kans is dat Appius het spel gewonnen
zou hebben als het was uitgespeeld? >b Welk deel van de buit mag hij opeisen?
Je kunt een redelijke indruk krijgen van de winstkansen voor de twee spelers,
als je het spel een aantal malen afmaakt, vanuit de stand waarbij het werd af- gebroken. 4. >a Speel het spel tien keer.
Noteer elke keer de winnaar.
>b Hoe groot schat je de winstkans voor Appius, afgaande op het resul-
taat van >a? 5. >a Verzamel de spelresultaten van alle leerlingen.
>b Verandert dit iets aan de winstkansen voor beide heren?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Schattingen van kansen op basis van experimenten zijn betrouwbaarder naar-
mate het experiment vaker herhaald wordt. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6.
|
Waarom zou dat zo zijn?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-10-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Als je snel wilt beschikken over een grote serie spelresultaten dan is het han-
dig om het spel te simuleren (na te bootsen). Toevalsgetallen, geproduceerd door bijvoorbeeld een computer, kunnen ge-
bruikt worden om het gooien van een munt te simuleren. Op de bladzijden 50 t/m 53 vind je twee verschillende series toevalsgetallen. Van elke serie zie je hier een fragment. Links zijn alleen de getallen O en 1 gebruikt, rechts alle getallen van 00 tot en
met 99. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. >a Op welke manier kunnen de getallen in de linkertabel gebruikt worden
om het gooien van een munt te simuleren?
>b Bij de rechtertabel zijn meerdere manieren mogelijk.
Noem er eens een paar. 8. >a Verzamel met de toevalsgetallen achter in het boek 25 spelresultaten
en voeg de resultaten van alle leerlingen samen.
>b Wat is een eerlijke verdeling van de buit?
Nogmaals de mogelijke spelverlopen in een boom: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9. > Probeer de winstkansen voor Appius en Brutus te vinden met behulp
van een redenering, dus zonder gebruik te maken van de spelresulta- ten. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-11-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Simulaties zijn ook handig, als een echte uitvoering van het experiment niet
goed mogelijk is. 10. Niemand zal via experimenten willen vaststellen hoe groot de kans op
overieven is bij zes keer spelen van Russisch roulette. > Beschrijf hoe je dit met een simulatie kunt doen. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De lotto
De wekelijkse trekking van de lotto kan gezien worden als een kansexperi-
ment: Uit een bol met 41 genummerde balletjes worden achter elkaar 6 exem- plaren gehaald. 11. > Heb je een idee hoe groot de kans is dat nr. 23 een van de zes winnen-
de nummers is? Het jaaroverzicht van 1984. In totaal zijn er 58 trekkingen geweest, ofwel 58
herhalingen van hetzelfde kansexperiment. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
datum
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
uitslag
|
datum
|
uitslag
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1/1
8/1
15/1 22/1 29/1 5/2
12/2 19/2 14 24/2 9 26/2 3 4/3 6
11/3 2 18/3 14 23/3 6 25/3 1 1/4 10
|
..32..
.31.. ..33.. ..25.. ..37.. .16..
.16.. ..24.. ..27.. ..32.. .19..
.33.. .24..
..22.. .15..
..20.. .23.. .21..
.27..
.22..
.29..
.17..
.18.. .35..
.28..
.22..
.29..
9.......22.. .26..
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8/4
15/4 23/4 29/4 6/5
13/5 20/5 27/5 4/6
11/6 10
15/6 4 17/6 5 24/6 5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12. >a Hoe vaak is nr. 23 in 1984 uit de bus gerold?
>b Komt dat redelijk overeen met je antwoord bij opgave 11?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-12-
|
|||||||||||
|
Het getal 13 wordt wel het ongeluksgetal genoemd.
Als je de trekkingslijst bekijkt, lijkt dat ook wel te kloppen: nummer 13 komt bij
de eerste 38 trekkingen niet voor.
Gelukkig wordt dat vervolgens wel rechtgezet. Bij de negen eerstvolgende
trekkingen kwam nr. 13 liefst vier keer uit de bol gerold.
13. "Logisch natuurlijk, want een nummer dat al lange tijd niet is voorgeko-
men, heeft een grotere kans dan de andere nummers!" > Ben je het eens met deze uitspraak? |
|||||||||||
|
Een lange serie herhalingen van een experiment geeft een goed beeld van kan-
sen. Toch kan het toeval altijd nog toeslaan. Dat wordt in de volgende strip geïllustreerd. Het experiment van B.C. |
|||||||||||
|
a.uHC
|
|||||||||||
|
• f t'rt iti^rtr icu^-r lmtch
|
|||||||||||
|
pyJKlt
|
|||||||||||
|
14. De uitdrukking '20 tegen 1' wordt in engelstalige landen gebruikt om aan
te geven dat de ene uitkomst 20 keer zo waarschijnlijk is als de andere uit- komst. > Hoe groot schat B.C. de kans dat een mossel op zijn kant terecht
komt? |
|||||||||||
|
-13-
|
|||||||||
|
Het bord van Galton.
Op een bord is een aantal pinnen
bevestigd, op de manier die in de tekening is weergegeven. Door een trechter valt een kogel- tjes op de bovenste pin. Het valt van pin tot pin verder naar bene- den en belandt uiteindelijk in één van de bakjes A t/m E. Het bord is zo geconstrueerd dat bij iedere pin ongeveer de helft van de kogeltjes naar rechts wordt gestuurd. Eén mogelijke baan van zo'n kogeltje staat in de tekening aangegeven. |
|||||||||
|
15. Er worden 100 kogeltjes door de trechter gestuurd.
> In welk bakje verwacht je dat de meeste kogeltjes terechtkomen?
Uit de verdeling van de 100 kogeltjes over de vijf bakjes kun je een redelijke in-
druk krijgen van de kansen die een kogeltje heeft om in elk van de bakjes te be- landen. Omdat we geen echt bord van Galton hebben, simuleren we het vallen van een kogeltje met behulp van de computer. Ieder kogeltje ontmoet op zijn weg naar de bakjes vier pinnen. Bij elk van die
vier pinnen valt hij naar links of naar rechts. De simulatie verloopt als volgt:
- Laat de computer een rijtje van vier toevalsgetallen maken.
Bijvoorbeeld: 36 13 86 23. - We spreken af: een kogeltje valt naar links bij een toevalsgetal kleiner dan
50 en naar rechts in de overige gevallen. 16. >a In welk bakje zal het kogeltje terechtkomen bij het genoemde rijtje van
4 toevalsgetallen?
>b Wat weet je van de vier toevalsgetallen als een kogeltje in bakje A te-
rechtkomt? Een resultaat van deze simulatie voor 1000 kogeltjes.
|
|||||||||
|
1000
501 499
• • 251 500 249 • • • 123 376 376 125 • • • • 64 247 373 254 62 |
|||||||||
|
-14-
|
||||||||
|
17. >a Hoe groot is, op basis van deze simulatie, de kans dat een kogeltje in
bakje A terechtkomt? >b Welke kansen horen bij de vier overige bakjes?
De verdeling van de 1000 kogeltjes over de bakjes kan weergegeven worden in
een histogram: |
||||||||
|
A B C D E
|
||||||||
|
Vertikaal zijn de relatieve frequenties ofwel de kansen (in procenten) uitgezet.
Daarom wordt dit ook wel een kanshistogram genoemd. 18. De aantallen kogeltjes in de bakjes A en E zijn verschillend.
In het histogram is dat verschil vrijwel niet te zien. Hetzelfde geldt voor de bakjes B en D. > Hoe verklaar je dat?
Door de computer is ook bijgehouden hoeveel kogeltjes op elk van de pinnen is
terechtgekomen.
Alle 1000 kogeltjes komen natuurlijk op de bovenste pin.
Voor elke volgende rij (2 pinnen, 3 pinnen, 4 pinnen) is de som van het aantal
kogeltjes steeds 1000.
19. > Waarom is dat zo?
|
||||||||
|
20. >a Maak voor elk van de drie rijen een histogram met de relatieve fre-
quenties (kansen). >b De kanshistogrammen zijn vrijwel symmetrisch.
Logisch? |
||||||||
|
15
|
||||||||||
|
3 Theoretische kansen
Resultaten van experimenten kunnen gebruikt worden om kansen te schatten.
Een nadeel van deze manier van kansbepaling is dat iedere herhaling van het
experiment andere resultaten kan opleveren.
Twee verschillende computersimulaties van 16 kogeltjes op het bord van
Galton:
|
||||||||||
|
Wat je eigenlijk wilt is dat die 16 kogeltjes eerlijk verdeeld worden over de pin-
nen; steeds de ene helft naar links en de andere helft naar rechts. |
||||||||||
|
1. >a Hoeveel kogeltjes komen op deze manier in elk van de bakjes A t/m E
terecht? Er is niet zomaar willekeurig voor 16 kogeltjes gekozen. Met een ander aantal zou het eerlijk verdelen niet mogelijk zijn geweest. >b Waarom lukt het wel goed met 16 kogeltjes (of een veelvoud van 16)?
|
||||||||||
|
Eén van de zestien kogeltjes komt bij deze verdeling in bakje A terecht.
Op grond daarvan zeggen we: De kans dat een kogeltje in A valt is 1 op 16. Meestal wordt zo'n kans ah fractie genoteerd. In plaats van kans 1 op 16 noteren we: de kans is ^ . |
||||||||||
|
n
|
||||||||||
|
16-
|
||||||||||||||||
|
2. >a BepaaldekansdateenkogeltjeinB, inC, inD, inE valt.
>b Verwerk de gevonden kansen in een kanshistogram, zoals hieronder is
aangegeven: |
||||||||||||||||
|
kans
|
||||||||||||||||
|
fractie) tT
|
||||||||||||||||
|
-t----1----1----1—I----H
A B C D E
|
||||||||||||||||
|
Wanneer je deze eerlijke verdeling vergelijkt met de resultaten van de twee si-
mulaties, dan zijn er grote verschillen. Bij de eerlijke verdeling is het toeval als het ware uitgeschakeld. 3. In hoofdstuk 2 werden 1000 kogeltjes langs de pinnen gestuurd.
> Onderzoek of de resultaten van die simulatie in overeenstemming zijn
met de kansen van opgave 2. 4. > Gebruik de methode van het eerlijk verdelen om de winstkansen van
Appius en Brutus te bepalen, (zie hoofdstuk 2, opgave 9)
|
||||||||||||||||
|
Een andere methode om kansen te bepalen, zonder dat er simulaties of experi-
menten gebruikt worden, is het tellen van alle mogelijkheden. In het geval van de kogeltjes kunnen alle mogelijke routes naar de bakjes wor-
den bekeken. Eén zo'n route is LRRL, waarmee het kogeltje in C belandt: |
||||||||||||||||
|
f f L • T
|
||||||||||||||||
|
D
|
||||||||||||||||
|
17-
|
|||||||
|
5. >a Schrijf alle mogelijke routes op.
>b Route LRRL eindigt in bakje C.
WeUce routes eindigen daar nog meer?
>c Hoe kun je hiermee de kans bepalen dat een kogeltje in C terecht komt?
|
|||||||
|
Zowel bij het eerlijk verdelen als bij het tellen van alle routes wordt de kans
gegeven als fractie.
Bijvoorbeeld de kans dat een kogeltje in B terecht komt:
bij het eerlijk verdelen: bij het tellen van routes:
aantal kogeltjes in B aantal routes naar B
totaal aantal kogeltjes totaal aantal mogelijke routes
Wat dat betreft lijkt deze methode van kansen bepalen op de methode van ex-
periment en simulatie. Ook daar wordt een kans gegeven als relatieve frequen- tie. Het grote verschil zit hem in de manier waarop de kansen worden bepaald.
Bij experimentele kansen worden de kansen achteraf bepaald, nadat, via statis-
tisch onderzoek of het veelvuldig herhalen van het experiment, het aantal ma- len dat de verschillende uitkomsten zijn voorgekomen is geteld. Bij theoretische kansen worden de kansen beredeneerd, zonder dat het experi-
ment ook daadwerkelijk wordt uitgevoerd. Dat kan bijvoorbeeld door het tellen van alle verschillende mogelijkheden. Erg belangrijk daarbij is dat al die ver- schillende mogelijkheden dezelfde waarschijnlijkheid hebben. 6. Een gulden wordt drie keer opgegooid. Er wordt steeds genoteerd wat bo-
ven komt: K (kop) of M (munt). Een mogelijke uitkomst is KMM. >a Schrijf alle mogelijke uitkomsten op.
>b Hoe groot is de kans dat er 2 van de drie keer K boven komt?
>c Hoe groot is de kans dat er minstens 1 keer K wordt gegooid?
7. In doos A liggen 20 kaartjes. Op 4 daarvan staat 'prijs'.
De andere kaartjes zijn blanco. In doos B staat op 15 van de in de totaal 90 kaartjes 'prijs'.
Je mag blindelings uit één van de dozen een kaartje pakken. Als je een 'prijs'-kaartje hebt, krijgt je een cadeautje. > Uit welke doos zou jij een kaartje pakken?
|
|||||||
|
1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
18-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een fout die vaak gemaakt wordt bij theoretische kansbepaling is dat uitkom-
sten ten onrechte als gelijkwaardig (even waarschijnlijk) worden beschouwd. Misschien heb je dat zelf ook even gedacht bij het spel van Appius en Brutus. Ook belangrijke wiskundigen maakten die fout. Het probleem werd al in 1494 gesteld door de Italiaanse wiskundige Pacioli.
Pas in 1654 werd de juiste winstkans ( ^ ) gevonden door de wiskundige Fermat, maar in 1757 beweert D'Alembert nog dat de winstkans | is. Zelfs kortgeleden (1982) duikt die foutieve redenering nog een keer op in een artikel over kansrekening: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
'De uitkomsten die horen bij het probleem zijn:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
B
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
winaar
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(Een X betekent dat die ronde niet nodig is; het spel is uit.)
Er valt dus veel voor te zeggen om de buit te verdelen in de verhouding 3:1.
Euclides jaargang 1982
8. De gevolgde redenering kan niet goed zijn, want de winstkansen verhou-
den zich als 7 : 1. > Kun je aangeven waar de fout in de redenering zit?
Tot slot een moeilijke opgave:
9. Er staan drie kastjes voor je neus, elk met twee laadjes
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In elk laadje ligt één muntstuk, van goud of van zilver.
Er is één kastje met in elk laadje een gouden munt. Er is ook een kastje met 1 gouden en 1 zilveren munt, en nog één met twee zilveren munten. Je trekt één van de zes laadjes open. Daarin ligt een gouden munt. > Hoe groot is de kans dat in het andere laadje van datzelfde kastje ook
een gouden munt ligt? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
19-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 Kansverdeling
Bij een kansexperiment worden de verschillende uitkomsten door het toeval
bepaald. Een paar voorbeelden van kansexperimenten, met daarbij een mogelij- ke verzameüng van uitkomsten: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
uitkomsten:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kansexperiment:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
{1,2,3,4,5,6}
{dood, niet dood} {K,M) {klinker, medeklinker}
{jongen,meisje} {6, niet 6} {even, oneven) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
gooien met één dobbelsteen
Russisch roulette tossen met een 'eerlijke' munt blind prikken van een letter op een bladzijde van een boek geboorte van een baby gooien met één dobbelsteen gooien met één dobbelsteen |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. >a. In welke gevallen kun je de kansen vinden met een redenering, zonder
het experiment daadwerkelijk uit te voeren? >b Bij welke experimenten hebben alle uitkomsten dezelfde kans?
Het kansexperiment 'gooien met één dobbelsteen' wordt drie keer genoemd,
maar wel elke keer met een andere uitkomstenverzameling. Welke uitkomsten je gebruikt, is afhankelijk van de probleemstelling. Zo zal ie-
mand die bij 'mens erger je niet' geen pionnen in het spel heeft met smart wachten op het gooien van een '6'. Hij let dus alleen maar op de uitkomsten '6' en 'niet 6'. De beschrijving van alle mogelijke uitkomsten met de daarbij behorende kan-
sen noemen we de kansverdeling. Twee verschillende kansverdelingen bij het gooien van een dobbelsteen: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
•20-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Kansexperiment: werpen van een witte en een zwarte dobbelsteen.
Alle mogelijke worpen in een schema: D B B EB Q S
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Bekijk als uitkomsten het aantal ogen op de twee dobbelstenen samen.
Welke kansverdeling past daar bij? >b Beschouw het aantal enen in een worp.
De mogelijke uitkomsten zijn O, 1 en 2. Welke kansen horen daarbij? >c Hoe groot is de kans dat het aantal ogen op de zwarte steen groter is
dan het aantal ogen op de witte steen? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Iemand redeneert bij de twee dobbelstenen als volgt:
Onder de 36 mogelijke worpen zijn er 6 waarbij met de witte dobbelsteen 4
ogen wordt gegooid en ook 6 met 4 ogen op de zwarte dobbelstenen.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De kans dat er een 4 wordt gegooid is dus
|
6^6 3-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
> Commentaar?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. Bij een loterij worden 100 loten verkocht.
Er zijn 4 prijzen: één hoofdprijs en drie troostprijzen.
Je hebt één lot. >a Welke kansverdeling past bij de uitkomsten 'prijs' en 'niet prijs'?
>b Hoe groot is de kans dat op jouw lot een troostprijs valt?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
21
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een eerlijke munt is de kansverdeling bij één maal tossen:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. Er wordt tweemaal getosst met een eerlijke munt.
Het aantal keren 'kop' wordt geteld. >a Welke uitkomsten zijn er mogelijk?
>b Hoe groot zijn de kansen op elk van die uitkomsten?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een kansverdeling worden alle mogelijke uitkomsten met de daarbij beho-
rende kansen bepaald. Daarbij geldt: - iedere kans is een getal tussen O en 1.
- de som van de kansen is 1.
Deze eigenschappen zijn goed te gebruiken als controlemiddel.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ada, Ben, Christa en Dick trekken lootjes voor pakjesavond.
Als daarbij iemand zijn eigen naam trekt, wordt er opnieuw geloot.
>a Laat zien dat de lootjes op 24 verschillende manieren kunnen worden
verdeeld. In 6 van die 24 gevallen trekt Ada haar eigen naam. Datzelfde geldt ook
voor de drie andere mensen. Dus er heeft altijd wel iemand zijn eigen naam getrokken. >b Wat is er fout aan deze redenering?
>c Hoe groot is de kans dat één van de vier de eigen naam trekt?
>d Dezelfde vraag voor twee, voor drie en voor vier personen.
>e Hoe groot is de kans dat de loting niet opnieuw uitgevoerd hoeft te
worden? |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
22-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. Een overzicht van de resultaten van een klas behaald bij twee proefwerken,
cijfer proefwerk Frans |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Je kunt uit de tabel aflezen dat 4 leerlingen een 5 voor Frans en een 6 voor
Wiskunde scoorden. >a Hoeveel leerlingen zitten in deze klas?
Er wordt aselect (dus willekeurig) één leerling aangewezen.
>b Hoe groot is de kans dat die leerling een onvoldoende had voor Frans?
>c Hoe groot is de kans dat bij deze leerling beide vakken voldoende wa-
ren? >d De aangewezen leerling blijkt voor Frans voldoende te hebben ge-
scoord. Hoe groot is de kans dat Wiskunde ook voldoende is? >e Maak een kansverdeling bij de uitkomsten 'geen onvoldoende', 'één
van de twee onvoldoende', 'beide onvoldoende'. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een valse munt blijkt 'kop' drie keer zo vaak voor te komen als 'munt'.
>a Hoe groot zijn de kansen op K en M?
Als deze munt tweemaal gegooid wordt, zijn de mogelijke uitkomsten (net
als bij een eerlijke munt): KK, KM, MK, MM. >b Welke uitkomst heeft de meeste kans?
>c Simuleer 50 keer twee worpen met deze munt met behulp van de toe-
valsgetallen achterin het boek. >d Vul het schema in op basis van jouw simulatie:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
•23-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9. Met de computer is het experiment van de vorige opgave een aantal keren
uitgevoerd. Het resultaat: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Hoe groot is de kans op 2 maal kop, volgens de simulatie?
>b Kun je de echte (theoretische) kansverdeling vinden? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10. Een dobbelsteen wordt aan de kant van de 1 verzwaard.
Daardoor wordt de kans op het gooien van een 1 kleiner en de kans op een
6 groter. >a Stel dat door deze knoeierij de kans op een 6 tweemaal zo groot is ge-
worden als de kans op een 1. De andere aantallen ogen behouden hun oorspronkelijke kans van g.
Welke kansverdeling past bij deze dobbelsteen? >b Hoe ziet de kansverdeling er uit als de kans op de 6 tweemaal zo
groot is als de 4 overige kansen en de kans op een 1 tweemaal zo klein is als de vier overige kansen? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-24-
|
||||||||||||||
|
5 Vaasmodel en boomdiagram
Een vaas bevat 5 ballen: 3 witte en 2 rode.
Om ze van elkaar te onderscheiden worden er nummers opgeplakt: Wj, Wj en Wj op de witte, Rj en Rj op de rode. |
||||||||||||||
|
Er worden 'blind' twee ballen uit de vaas gepakt. Dat kan op twee manieren
gebeuren. |
||||||||||||||
|
Van de bal die als eerste is gepakt, wordt het num-
mer genoteerd. Vervolgens wordt hij teruggedaan in de vaas. Daarna wordt de tweede bal gepakt. De eerste bal wordt opzij gelegd. De inhoud van de
vaas (de samenstelling) is bij het pakken van de tweede bal dus anders dan bij het pakken van de eer- ste bal. |
||||||||||||||
|
met terugleggen
|
||||||||||||||
|
zonder terugleggen
|
||||||||||||||
|
Een mogelijk trekkingsresultaat is WjRj:
Wj is als eerste gepakt, Rj als tweede. 1. Er worden twee ballen uit de vaas gepakt.
Hoeveel verschillende trekkingsresultaten zijn er mogelijk
>a bij een trekking met terugleggen?
>b bij een trekking zonder terugleggen?
|
||||||||||||||
|
In een boomdiagram kan de trekking zonder terugleggen als volgt worden uitge-
beeld: |
||||||||||||||
|
■25-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. >a Wat is de kans dat Rj als eerste wordt gepakt?
En als tweede?
>b Hoe groot is de kans dat precies één van de twee ballen wit is? >c Het is ook mogelijk dat er helemaal geen rode bal gepakt wordt. Hoe groot is de kans daarop?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Beantwoord opgave 2 ook voor een trekking met terugleggen.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Opnieuw dezelfde vaas met 5 ballen, alleen
zijn ze nu niet genummerd. We letten nu alleen maar op de kleur: de twee rode zijn gelijkwaardig, de drie witte ook. Weer worden twee ballen uit de vaas ge-
haald. De mogelijke trekkingsresultaten zijn nu
weer te geven als WW, WR, RW en RR. Voor het bepalen van de kansen kan ge-
bruik gemaakt worden van het uitgebreide boomdiagram na opgave 1. 4. >a De trekking gebeurt zonder terugleggen.
Vul de tabel in: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b Er wordt gekeken naar 'het aantal rode ballen in de trekking'.
Welke kansen horen bij de uitkomsten: O rood, 1 rood, 2 rood? Omdat er nu geen verschil gemaakt wordt tussen de 2 rode ballen onderling en
tussen de 3 witte onderling, kunnen de takken van dezelfde kleur samenge- voegd worden: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
of nog korter
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-26-
|
|||||||||||
|
De getallen bij de verschillende takken geven het 'gewicht' van zo'n tak aan.
Er zijn maar vier trekkingsresultaten mogelijk, namelijk RR, RW, WR en WW. Deze vier resultaten zijn echter op 2*1+2*3 + 3*2 + 3*2 = 20 verschillen- de manieren te bereiken. De uitkomst WR kan op 3 * 2 = 6 manieren verkregen worden.
Dus de kans op WR is gelijk aan ^. |
|||||||||||
|
5. >a Maak een boomdiagram (met gewichten) voor het geval er twee ballen
worden gepakt met terugleggen. >b Hoe groot is in dit geval de kans op het pakken van twee ballen van
verschillende kleur? |
|||||||||||
|
Veel toevalsexperimenten zijn te simuleren met behulp van trekkingen uit een
vaas.
Een voorbeeld: de valse munt, waarbij 'kop' driemaal zo vaak voorkomt als
'munt'.
Het opgooien van deze munt kan gesimuleerd worden door het pakken van een
bal uit een vaas, die één rode en drie witte ballen bevat.
Is de getrokken bal wit, dan' noem je dat 'kop', een rode bal wordt genoteerd
als 'munt'.
|
|||||||||||
|
PUJN<
|
|||||||||||
|
6. Twee maal gooien met de valse munt betekent twee maal een bal pakken
uit de vaas. >a Moet dit met teruglegging of zonder teruglegging?
>b Bereken de kansen op 2 maal kop, 1 maal kop en O maal kop.
|
|||||||||||
|
Wanneer een toevalsexperiment vertaald wordt in een vaasmodel dan zijn de
volgende zaken belangrijk:
de samenstelling: - hoeveel verschillende kleuren worden gebruikt?
- hoeveel ballen zijn er van iedere kleur?
de trekking: - is het een trekking met of zonder terugleggen?
- hoeveel keer wordt een bal gepakt?
|
|||||||||||
|
-27-
|
|||||
|
7. Er zijn 3 leerlingen nodig voor de organisatie van een feest. Het aantal lief-
hebbers is 12 (7 meisjes en 5 jongens). De drie gelukkigen worden door het lot aangewezen. Beschrijf een vaasmodel in elk van de volgende twee gevallen:
>ai Je wilt de kansen weten op het aantal jongens dat wordt gekozen.
>a2 Vier vriendinnen hebben zich aangemeld. Ze willen graag weten hoe
groot de kans is dat er tenminste twee van hen worden gekozen.
>b Bereken de kansen die genoemd worden bij >ai en>a2. 8. Bij het onderzoek naar baarmoederhalskanker wordt één op de zes uit-
strijkjes fourief beoordeeld (zie blz.5). In feite is er, voor degene die de uitslag te horen krijgt, sprake van een
kansexperiment waarvoor een vaas met 6 ballen (5 wit, 1 rood) model kan staan. Het trekken van een zwarte bal betekent een foutieve beoordeling. Een vrouw laat tweemaal een onderzoek uitvoeren. >a Maak een boomdiagram, met gewichten, voor twee trekkingen met te-
rugleggen uit de genoemde vaas. >b Laat zien dat de kans op twee achtereenvolgende juiste beoordelingen
gelijk is aan ^. Het heeft er alle schijn van dat de betrouwbaarheid van de beoordeling af-
neemt naarmate het onderzoek vaker herhaald wordt: ^ is minder dan I. 36 6
Dat is, gelukkig, niet waar. De vrouw krijgt natuurlijk beide keren de uit-
slag van het onderzoek te horen. Wanneer die twee uitslagen verschillend zijn weet ze zeker dat bij één van de twee beoordelingen een fout is ge- maakt. >c Welke trekkingsresultaten vallen weg , als gevolg van deze informatie?
Zijn de twee uitslagen gelijk, dan blijven er twee mogelijkheden over: of
beide beoordelingen zijn juist öf beide zijn foutief. >d Laat zien dat de kans op twee juiste beoordelingen ^ is, als je weet
dat de twee uitslagen hetzelfde zijn.
In het artikel op blz. 5 was sprake van drie gelijke beoordelingen die ach-
teraf allemaal foutief bleken te zijn. >e Hoe groot is de kans op drie foutieve beoordelingen bij drie gelijke uit-
slagen? |
|||||
|
■28-
|
|||||||||||||||
|
6 Rekenen met kansen.
Nogmaals de vaas met 3 witte en 2 rcxle ballen.
Naast elkaar staan hieronder het boomdiagram met gewichten en een zoge-
naamde kansboom getekend. De gewichten uit het boomdiagram bij de verschil- lende takken zijn vervangen door kansen. |
|||||||||||||||
|
Er zijn 2*3 manieren waarop
eerst een rode en vervolgens een
witte bal gepakt kunnen worden.
In totaal zijn er 5 * 4 trekkingen
van 2 ballen mogelijk.
2*3
Dus de kans op RW is |
De kans dat er eerst een rode
bal wordt getrokken is \. Daarna is de kans op een witte bal bij de tweede trekking |. Dus de kans op RW is 1 * |.
|
||||||||||||||
|
In het eerste geval wordt de trekking van twee ballen uit de vaas als één ge-
heel bekeken. Bij de kansboom worden de trekking van de eerste bal en de trekking van de
tweede bal ieder apart bekeken. De uiteindelijke uitkomst is bij beide manieren hetzelfde. |
|||||||||||||||
|
1. Iemand beweert, kijkend naar bovenstaande kansboom:
|
|||||||||||||||
|
"De kans dat de tweede bal wit is, is gelijk aan | + ;
>a Waarom kan dit niet waar zijn? >b Hoe groot is die kans dan wel? |
|||||||||||||||
|
2. De getekende kansboom hoort bij een trekking zonder terugleggen.
> Waar zie je dat aan? 3. >a Maak een kansboom voor de trekking van twee ballen met terugleggen
uit een vaas met 4 rode en 3 witte ballen
>b Hoe groot is nu de kans dat de tweede bal wit is?
|
|||||||||||||||
|
29-
|
|||||
|
4. Bij een biologie-proefwerk moet je de antwoorden op de drie volgende vra-
gen gokken, omdat je de stof niet hebt bestudeerd. 30 ■ Komen in autotrofe planten chloroplasten voor?
En mitochondriën?
a alleen chloroplasten b alleen mitochondriën C chloroplasten en mitochondriën 31 ■ Wordt ATP alleen gevormd in chloroplasten, alleen In mitochondriën of in belde typen
organellen?
a alleen in chloroplasten b alleen In mitochondriën C zowel in chloroplasten als in mitochondriën Tussen de mitochondriën en het omringend cytoplasma vindt uitwisseling van stoffen
plaats. Enkele stoffen die in hel cytoplasma voorkomen, zijn: O , CO en HO. 32 ■ Van welke van deze stoffen zal er per tijdseenheid meer een mitochondrion ingaan
dan er uitgaan?
a alleen van O b alleen van CO en HO
C van Og, COg en HgO
>a Hoe groot is de kans dat je ze alle drie goed beantwoordt?
>b Hoe groot is de kans dat je minstens één antwoord goed gokt? 5. Eén op de vijf mensen die voor het eerst rijexamen doen, slaagt direkt.
> Hoe groot is de kans dat van 3 kandidaten er twee slagen? 6. In een doos liggen 10 kaartjes met op elk een letter: 5 met een A, 3 met
een B en 2 met een K. Er worden er blind 3 uitgepakt, zonder teruglegging.
>a Hoe groot is de kans dat er achtereenvolgens een B, een A en een K
worden gepakt? >b Hoe groot is de kans dat je drie letters pakt, waarmee het woord BAK
gemaakt kan worden? >c De uitkomst van >b is zesmaal zo groot als de uitkomst van >a.
Verklaring? >d Hoe groot is de kans dat je drie kaartjes pakt waarmee het woord
AAK gevormd kan worden? 7. >a Maak een kansboom bij zes keer spelen van Russisch roulette.
>b Hoe groot is de kans dat je na zes keer nog leeft? |
|||||
|
30-
|
|||||||
|
Tijdens het spitsuur rijden veel auto's van A naar D.
Op de hoofdroute ABCD kunnen dan files ontstaan.
Veel automobilisten nemen daarom één van de mogelijke sluiproutes, met
als gevolg dat ook daar filevorming optreedt.
In de situatieschets staan alle wegen getekend, met daarbij in procenten
de kans op een file.
|
|||||||
|
>a Hoe groot is de kans dat je op de hoofdroute niet in een file terecht-
komt? >b Bij welke route van A naar D is de kans het grootst dat je niet in een
file terechtkomt? |
|||||||
|
9. Je kleine zusje is jarig en ze mag bij zowel opa als oma ongezien één brief-
je uit de portemonnee halen. Oma's portemonnee bevat 3 briefjes van ƒ 10,- en 4 van ƒ 5,-.
Opa heeft in zijn beurs 3 briefjes van ƒ 10,- en 2 van ƒ 5,-. >a Hoe groot is de kans dat ze in totaal ƒ 15,- pakt?
>b Bereken ook de kansen op ƒ 10,- en ƒ 20,-
>c Stel dat ze mag kiezen uit de volgende mogelijkheden
- twee briefjes bij oma of
- twee briefjes bij opa of
- bij eUc één briefje,
wat zou je haar dan adviseren?
>d Stel dat alle brieQes in één portemonnee gestopt worden.
Je mag er twee uithalen. Verandert dat wat aan de kansen van >a en >b? |
|||||||
|
si-
|
|||||||
|
lo. Er woont een muis achter de keukenmuur. Om in de keuken te komen heeft
hij de keus uit twee openingen in de muur. De kat houdt de twee openingen afwisselend in de gaten, want hij kan niet
beide tegelijk bewaken. In de gaten houden is eigenlijk te veel gezegd, want 40% van de tijd slaapt
hij. Als de muis tevoorschijn komt door de opening waar de kat op dat mo- ment naar loert, heeft de muis 20% kans om toch nog te ontsnappen. De muis heeft honger en rent door één van de openingen de keuken in. > Hoeveel kans heeft hij om uit de klauwen van de kat te blijven?
|
|||||||
|
Een moeilijkheid bij het rekenen met kansen is en blijft de vraag wanneer je
kansen moet optellen en wanneer je ze moet vermenigvuldigen. Een kansboom kan daarbij een goed hulpmiddel zijn. Kansen mogen alleen opgeteld worden, als de verschillende uitkomsten elkaar
niet (gedeeltelijk) overlappen.
Een voorbeeld daarvan heb je al gezien:
De kans op het gooien van een 4 met een dobbelsteen is g-
De kans dat er bij twee dobbelstenen minstens een 4 boven komt is echter niet
gelijk aan i + i = i.
|
|||||||
|
11. > Hoe groot is die kans dan wel?
Bij het vermenigvuldigen van kansen geldt iets dergelijks.
Twee kansen mogen alleen maar vermenigvuldigd worden als de bijbehorende
gebeurtenissen elkaar niet beïnvloeden (die gebeurtenissen heten dan onafhan- kelijk). 12. Op een bepaalde dag in het voorjaar is de kans op mooi weer in Neder-
land I. De kans op mooi weer in Nieuw-Zeeland op diezelfde dag is j. >a Hoe groot is de kans dat het op die dag in beide landen mooi weer is?
>b Dezelfde vraag, maar nu met België in plaats van Nieuw-Zeeland. |
|||||||
|
32-
|
|||||
|
Kansrekening mag niet zomaar klakkeloos gebruikt worden. Dat blijkt uit het
volgende, waar gebeurde, voorval. 13. In 1964 werd in Los Angeles een vrouw beroofd.
In de officiële stukken van de rechtbank worden de feiten als volgt om-
schreven: On June 18, 1964, about 11:30 A.M. Mrs. Juanita Brooks, who had been shopping, was walk-
ing home along an alley In the San Pedro area of the City of Los Angeles. She was puiling be- hind her a wicker basket carryall containing aroceries and had her purse on top of the pack- ages. She was using a cane. As she stooped down to piek up an empty carton, she was sud- denly pushed to the ground by a person whom she neither saw nor heard approach. She was stunned by the fall and feit some pain. She managed to look up and saw a young woman run- ning from the scène. According to Mrs. Brooks the latter appeared to weigh about 145 pounds, was wearjng "something dark", and had hair "between a dark blond and a light blond", but lighter than the color of defendant Janet Collins' hair as it appeared at trial. Imme- diately sfter the Incident, Mrs. Brooks discovered that her purse, containing between $35 and $40 was missing. About the same time as the robbery, John Bass, who lived on the streef at the end of the al-
ley, was in front of hls house watenng hls lawn. Hls attention was attracted by 'a lot of crying and screamlng" coming from the alley. As he looked in that directlon, he saw a woman run out of the alley and enter a yellow automobile parked across the street from him. He was unable to oive the make of the car. The car starled off Immedlately and pulled wide around another parked vehicle so that in the narrow street It passed within six feet of Bass. The latter then saw that It was being driven by a male Negro, wearing a mustache and beard. At the trial Bass Identified defendant as the driver of the yellow automobile. However, an attempt was made to impeach hls Identification by hls admission that at the preliminary hearing he testified to an uncertain Identification at the police lineup shortly after the attack on Mrs. Brooks, when defendant was beardless. In hls testlmony Bass described the woman who ran from the alley as a Caucasian, slightly
over flve feet tall, of ordinary build, with her hair in a dark blond ponytail, and wearing dark clothing. He further testified that her ponytail was 'just llke' one whicn Janet had In a police photograph taken on June 22, 1964. Uit de getuigenverklaringen van Mrs Brooks (het slachtoffer) en Mr. Bass
komt een behoorlijk signalement van de dader en haar helper naar voren. Toch is dat niet voldoende om Janet Collins te veroordelen. >a Waarom niet?
De aanklager had zijn verhaal goed voorbereid. Na uitgebreid onderzoek in
Los Angeles had hij de volgende kansen gevonden: gele auto ^L vrouw met blond haar j
man met snor i neger met baard ^
vrouw met paardestaart jg gemengd koppel in auto ^
De kans dat een koppel aan al deze kenmerken voldoet is 1 op 12.000.000.
Daarmee was, volgens de aanklager, onomstotelijk aangetoond dat dit tweetal schuldig was aan de beroving. >b Hoe kwam hij aan de kans 1 op 12.000.000?
De jury liet zich hierdoor overtuigen en het koppel werd veroordeeld.
In hoger beroep werden ze vrijgesproken door de Hoge Raad van Califor- nië, die nogal wat aanmerkingen maakte op dit gebruik van de kansreke- ning. >c Welk commentaar kan er zoal gegeven zijn?
|
|||||
|
-33-
|
|||||||||||||||||
|
De PIN-code.
Houders van een bank- of giromaatpas kunnen daarmee geld 'uit de muur' ha-
len, tenminste, als ze hun PIN-code (een rijtje van vier cijfers dat alleen aan de houder bekend is) ook intoetsen. De combinatie van pas en PIN-code moet voorkomen dat een oneerlijke Vinder' zomaar geld van de rekening van de pas- houder kan halen. |
|||||||||||||||||
|
Wat h«Mu nodig om yi«g«A- ^V
gebruik geld op te nemen bM 0(^ automaten?
In de eerste plaats hebt u nodig ewi
pasfe met aan de achtefZ^ fi«i magreel- strip en hel „via de tïai*"-vtgrj«. Ma|^)e«t- strip en vignet kurami z^ aang^iracm op eurochequepas. betaa^Msof tMu^tqsea
Een bankpas is oer bank verachitteoc) «m uitvoenng en is vooral bestemd voor ge- bruik in automaten. Op de tweede plaats moet u In het bezit
zijn tan een manmer. aangeduid als PW- code f- Pofsoort^k iOentlftcatie Nummef). Ete PtN-coöe bestaat ürt 4 cijfers en wonft alleen aan u bekendgemaakt 2^te de bank kent uw WN-code niet. Mö dt66n twt pasje, zonder bijb^orende Pfri-code. is het ntet mogelitk van een gektóutomaat gebruik te maken Niemand kar» dus uw pas geljrutken zonder uw PIN-code te kennen. Om veiligheidsredenen wordt uw pas voor automaten ongeKfK) gemoidtt nadat 3x echter elka^ een veri«eerde WH-. code wordt msetoet^ |
|||||||||||||||||
|
U toetst OW PIN-code in.
|
|||||||||||||||||
|
Bij oastgebruik Kunt u per etmaal eenmaaf
aen bedrag van maximaal (300.- opnemen.
2. U toetst liet gewenste t}édrag in.
Dit bedrag wonfl op tiet beeldsctieriTt
zicnttiaar Bij sommige geldautomaten |
|||||||||||||||||
|
wordt hrerna zictitbaaf in weiKe bankbiljet-
ten kan worden uitbetaald. 3 U maakt daaruit uw keuze.
4. U neemt uw pasje uit de geldauto-
maat. S Haai uw geld eruit
|
|||||||||||||||||
|
Noteer uw PIN-cöde dus
NOOIT op uw pasje. |
|||||||||||||||||
|
Natuurlijk kan een onreclitniatige gebruiker op de gok een rijtje van vier cijfers
intoetsen. 14. >a Hoe groot is de kans dat toevallig de goede PIN-code wordt inge-
toetst? Om te voorkomen dat iemand eindeloos rijtjes van vier cijfers blijft intoet-
sen maakt de geldautomaat na drie foutieve pogingen de pas ongeldig voor verder gebruik. >b Hoe groot is de kans op drie missers voor iemand die de juiste PIN-
code niet kent? Het systeem geeft afdoende bescherming tegen misbruik. Er is echter een
keerzijde: de pashouder kan zelf zijn PIN-code vergeten. In dat geval krijgt hij dezelfde problemen als een oneerlijke vinder. |
|||||||||||||||||
|
15. Stel: een pashouder weet nog wel de vier cijfers (1, 5, 7 en 8) maar hij is
de goede volgorde vergeten. >a Hoeveel volgordes zijn er mogelijk?
>b Hoe groot is de kans dat zijn pas na drie pogingen ongeldig wordt ge-
maakt? >c Bereken de kans op ongeldig maken als de PIN-code is samengesteld
uit de vier cijfers 0,2, 2 en 3. |
|||||||||||||||||
|
34-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In september 1989 werd met veel tamtam 'de' oplossing voor alle vergeetach-
tige pashouders geïntroduceerd. Een paar fragmenten uit het artikel in de Volkskrant van 20-9-1989: UITVINDER HELPT BANKEN UIT DE NOOD
Nieuw ingenieus systeem voor het
onthouden van de PIN-code |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Van onze verslaggever
AMSTERDAM - Niemand hoeft zijn PIN-code meer te ver- geten. De Alkmaarse uitvinder Adriaan Soeterbroek (44) heeft uiteindelijk het ei van Columbus gevonden. In plaats van vier cij- fers hoeft de eigenaar van een bank- of giromaatpas in het ver- volg slechts een woord, bijvoor- beeld "boot" te onthouden. Het kaartje - al PM-kaartje (pro memorie) genoemd - moet bij de bank- of giromaatpas worden be- waard. Een eventuele dief of zak- kenroller heeft er echter niets aan, omdat het noodzakelijk is om het woord te kennen voordat het systeem kan worden ge- kraakt. Soeterbroek heeft uitgere- kend dat er 1.180.000 mogelijk- heden zijn. "Het is ook veel mak- kelijker om op de gok vier cijfers in te drukken, want dan heeft men een kans van 1 op 9999 op een goede oplossing." |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
PM-card
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
o Adnun Soetexbroek '88
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Wie als PIN-code 4873 heeft, maar makkelijker het
woord Rabo onthoudt moet op het kaartje onder de letter r in de eerste rij 4 invullen. Onder de a moet op de twee- de rij 8 worden ingevuld en onder de b op de derde rij 7. Op de laatste rij hokjes tenslotte de 3 onder de 0. Uiter- aard is het zaak ook de andere hokjes zoveel mogelijk in te vullen. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het is niet duidelijk hoe de uitvinder aan het aantal van 1.180.000 mogelijkhe-
den komt. Dat is ook niet nodig om te beredeneren dat de kans op het vinden van de PIN-code zeker niet kleiner kan zijn dan 1 op 10(X). 16. > Kun je dat verklaren?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Noteer uw PIN-code dus
NOOIT op uw pasje. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
•35
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Natuurlijk moeten alle hokjes opgevuld worden met cijfers. Daar moet nog
goed over nagedacht worden.
De onderstaande opvulling is in ieder geval niet zo slim bedacht.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
codewoord Ml EK
PIN-code 0204 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
17. Iemand krijgt dit PIN-kaartje met bijbehorende pas in handen. Natuurlijk
kent hij het codewoord en de PIN-code (0204) niet. Daarom kiest hij ase- lect uit iedere rij één cijfer. >a Bereken de kans dat hij op deze manier de goede PIN-code te pakken
krijgt. >b Waarom is dit geen slimme opvulling van het PIN-kaartje?
18. > Bedenk een betere opvulling van het bovenstaande kaartje.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
36-
|
|||||||||||||||||||
|
7 Kans en Verwachting
1. Een aannemer, gespecialiseerd in het kleinere werk, krijgt een karwei aan-
geboden dat binnen 4 dagen moet zijn geklaard. Als dat lukt dan ontvangt hij /SOOO,-. Overschrijdt hij de overeengekomen tijdsduur dan krijgt hij slechts ƒ4000,-
Het karwei is zeker op tijd klaar als hij 3 arbeiders inzet. Hij kan ook 2 arbeiders inzetten, maar dan loopt hij het risico dat de 4 da- gen niet toereikend zijn. Er is 30% kans dat er in dat geval meer dan 4 da- gen nodig zijn. De keuzemogelijkheden en de daarbij behorende gevolgen kunnen in een
boom worden weergegeven. |
|||||||||||||||||||
|
keuze:
|
|||||||||||||||||||
|
3 arbeiders
|
|||||||||||||||||||
|
gevolg van
de genomen
beslissing:
|
|||||||||||||||||||
|
100%
|
|||||||||||||||||||
|
30%
|
|||||||||||||||||||
|
op tijd
|
op tijd
|
te laat
|
|||||||||||||||||
|
Van het bedrag dat de aannemer ontvangt moet het loon voor de arbeiders
nog worden betaald: ƒ600,- per arbeider. Als hij 3 arbeiders op het karwei zet is zijn winst dus ƒ3200,- ( = 5000 - 3 * 600). >a Bij het inzetten van 2 arbeiders kan dat gunstig of ongunstig uitpakken.
Bereken voor beide gevallen zijn winst. >b Stel dat jij de keuze moest maken tussen het inzetten van 2 of van 3
arbeiders. Welke keus maak je dan? Per jaar krijgt de aannemer 50 van dergelijke karweien aangeboden, waar-
bij hij telkens kan kiezen of hij 2 dan wel 3 arbeiders inzet. >c Welke winst kan hij over die 50 karweien verwachten als hij elke keer
kiest voor het inzetten van 2 arbeiders? |
|||||||||||||||||||
|
-37-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. Een banketbakker maakt elke zaterdag een aantal luxe taarten. Het aantal
klanten dat zo'n taart wil kopen schommelt wekelijks tussen de dertien en zestien. Op basis van zijn ervaringen schat hij de kansen op de aantallen kopers
als volgt: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Stel dat hij 15 taarten bakt. Hoe groot is dan de kans dat hij die niet al-
lemaal verkoopt? >b Hoe groot is de kans dat hij alle taarten verkoopt, als hij er 14 zou ma-
ken? >c Hoeveel klanten zullen zich zo ongeveer per jaar (= 50 zaterdagen)
melden voor zo'n taart? >d Hoeveel taarten verkoopt de bakker gemiddeld per zaterdag, aangeno-
men dat hij er altijd 16 bakt? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een enorme taait voor Liz Taylor ter gelegenheid van haar 25e verjaardag (1957)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-38-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. 'Chuck-a-Luck' is een geliefd gokspelletje op Amerikaanse kermissen.
Tegen een inzet van één dollar mag je drie dobbelstenen gooien. Valt geen
van de stenen op de 'zes', dan ben je de inzet kwijt. In de andere gevallen krijg je de inzet terug plus één dollar voor elke steen die op de 'zes' valt. >a Hoe groot is de kans dat je twee dollar krijgt uitbetaald (inclusief de
inzet)? >b Bereken de kansen op de andere mogelijke uitbetalingen.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een exploitant van dit spel reist alle kermissen af.
Over een jaar genomen wordt het spel bij hem ongeveer 200.000 keer ge-
speeld. >c Welk bedrag zal hij naar verwachting over dat aantal spelletjes moe-
ten uitbetalen? >d Hoe groot is zijn winst per jaar?
>e Hoeveel wint hij gemiddeld per spel?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. De korfbalvereniging 'Rust Roest' organiseert een vlooienmarkt om de
aanschaf van nieuwe materialen te bekostigen. Onderdeel is een loterij met drie soorten prijzen: hoofdprijs (waarde ƒ 100,-) met winstkans 0,004.
tweede prijs (waarde ƒ 25,-) met winstkans 0,02. troostprijs (waarde ƒ 6,-) met winstkans 0,1. >a Je hebt twee loten gekocht.
Hoe groot is de kans dat je minstens één prijs wint?
>b Er zijn tien tweede prijzen.
Hoeveel loten zijn er in deze loterij?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De vereniging wil 750 gulden overhouden aan de loterij,
x; Wat moet een lot dan kosten? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-39-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De bakker krijgt per keer gemiddeld 14,3 klanten voor zijn speciale taarten.
De exploitant betaalt per spel gemiddeld 0,92 dollar uit. Zo'n gemiddelde hoeveelheid per keer wordt wel verwachting of verwachtings-
waarde genoemd. Het zijn eigenlijk rare getallen. De bakker zal nooit 0,3 klanten in zijn zaak krij-
gen en de exploitant betaah nooit 92 dollarcent uit bij een spel. Toch zou het onjuist zijn om deze getallen af te ronden, omdat ze iets zeggen over wat er uitkomt bij een lange reeks van gelijksoortige gebeurtenissen. Zo zou afronding op 1 dollar betekenen dat de exploitant over een jaar gere- kend geen winst maakt. De verwachtingswaarden bij opgave 2 en 3 werden berekend als gemiddelde
over een grote serie herhalingen (50 zaterdagen en 200.000 spelletjes). Het kan ook rechtstreeks met behulp van de kansen.
Bij opgave 2 heb je gevonden: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De verwachting van de uitbetaling per spel kan berekend worden door de uitbe-
talingen te vermenigvuldigen met de bijbehorende kansen en de resultaten op te tellen: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
125
216 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
75
216 |
15
216 |
199
216' |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* 3 + =4^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* O +
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* 2
|
* 4 =
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
216
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5. >a Bereken m.b.v. kansen de winstverwachting per spel voor de exploi-
tant. >b Hoe kun je de winstverwachting per spel voor de speler berekenen?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■40-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. In een lampenfabriek wordt onder andere kerstboomverlichting gemaakt.
Op een lang snoer worden 50 kleine lampjes gemonteerd. Daar wil wel
eens een slecht exemplaar tussen zitten: gemiddeld één op de honderd lampjes brandt niet. De kansen op de aantallen defecte lampjes per snoer zijn: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Natuurlijk kunnen er ook wel 6 of meer lampjes kapot zijn, maar de kansen
daarop zijn zo klein dat ze, afgerond op vier decimalen, gelijk zijn aan nul. >a Controleer met een berekening de kans op nul defecte lampjes.
>b Welk aantal defecte lampjes mag je verwachten per snoer van 50?
>c Kun je het antwoord van >b ook op een andere manier vinden?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Zoals uit de naam al blijkt leven één-
dagsvliegen niet erg lang. Gerekend van- af het moment dat ze volwassen worden, leven ze hoogstens nog 12 uur . Bij onderzoeken is gebleken dat (vrijwel) alle volwassen diertjes na zes uur nog in leven zijn. Daarna neemt hun aantal per uur snel af. Na 7 uur zijn er nog 850 in le- ven. Dus 150 van de 1000 sterven tijdens hun zevende levensuur. De volledige onderzoeksgegevens in ta-
belvorm: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Gewone haft of eendagsvlieg
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Hoeveel diertjes gaan dood op acht-urige leeftijd?
>b Hoe groot is de kans dat een volwassen exemplaar minstens 9 uur
leeft? >c De kans dat een volwassen diertje op negenurige leeftijd doodgaat is
0,15. Controleer dat. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■41
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Van alle diertjes die op negenurige leeftijd doodgaan, stellen we de
leef-tijd op 9,5 uur. >d Maak de volgende kanstabel af.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>e Wat is de levensverwachting van een volwassen ééndagsvlieg (dat is
het verwachte aantal uren dat zo'n vlieg leeft)? 8. >a Wat is de verwachtingswaarde van het aantal ogen dat bij het gooien
van één dobbelsteen bovenkomt?
>b En bij twee dobbelstenen?
9. Een kansspel heet eerlijk als alle spelers een even grote winstverwachting
per spel hebben. Kees en Thea spelen het volgende spelletje:
Er worden 3 munten geworpen. Als er drie keer hetzelfde bovenkomt krijgt
Thea 75 cent van Kees. In de andere gevallen krijgt Kees een bepaald be- drag van Thea. >a Wat is de winstverwachting voor Thea?
>b Hoe hoog moet het bedrag zijn dat Kees bij winst krijgt, wil het spel
eerlijk zijn? 10. Een druiventeler kan kiezen tussen twee manieren van oogsten.
Manier I: Hij oogst de druiven direct als ze rijp zijn. De winst per kilo is in dat geval ƒ 1,50.
Aan deze manier van oogsten is geen enkel risico verbonden. Manier II: Als de druiven rijp zijn laat hij ze nog twee weken hangen. Daardoor worden de druiven voller van smaak. In dat geval is zijn winst per kilo ƒ 2,-. Aan manier n is wel een risico verbonden. Als het teveel re-
gent in die twee weken dan worden de druiven zodanig aange- tast dat hij ze nog maar voor ƒ 0,75 per kilo kan verkopen. De kans dat het in die periode te veel regent is 30%. >a Laat zien dat de te verwachten winst bij Manier II groter is dan bij ma-
nier I. Als de winst per kilo voor aangetaste druiven veel minder is dan 75 cent,
kan de teler beter kiezen voor Manier II. >b Tot welk bedrag per kilo voor aangetaste druiven levert manier I naar
verwachting meer op? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-42-
|
|||||
|
11. Een onderzoeker wil weten hoe groot het percentage middelbare scholie-
ren is dat meer dan eens spijbelt. Hij interviewt daartoe 1200 scholieren. Omdat bij zo'n persoonlijke vraag mag worden aangenomen dat niet alle
leerlingen naar waarheid zullen antwoorden, gebruikt hij de volgende on- derzoeksmethode (bekend onder de naam 'randomized response'): - aan iedere leerling wordt de vraag gesteld: 'heb jij meermalen gespij-
beld?' - de leerling mag niet direkt antwoord geven; eerst moet hij een dobbel-
steen opgooien; het resultaat van de worp is onzichtbaar voor de on- derzoeker. - vervolgens moet de gestelde vraag op de volgende manier worden be-
antwoord: als je geworpen hebt: dan antwoord je:
1,2,3 of 4 ogen naar waarheid met 'ja' of 'nee'
5 ogen verplicht met 'ja'
6 ogen verplicht met 'nee'
Bij het gebruik van deze methode weet de onderzoeker absoluut niet of
een antwoord de waarheid weergeeft of niet.
De 1200 gegeven antwoorden zijn in drie categorieën te verdelen:
I: de verplichte 'ja'-antwoorden.
II: de verplichte'nee'-antwoorden.
III: de 'ja' en 'nee' antwoorden die naar waarheid zijn gegeven.
>a Hoeveel antwoorden mag je in elk van de drie categorieën verwachten?
Voor het onderzoek zijn natuurlijk alleen de antwoorden uit categorie III
van belang.
Van de 1200 antwoorden luiden er in totaal 416: 'ja'.
Op grond van deze gegevens schat de onderzoeker het werkelijke aantal
leerlingen dat meer dan eens gespijbeld heeft op 324.
>b Onderzoek hoe hij tot deze schatting is gekomen.
|
|||||
|
■43-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 Extra opgaven
1. De projektielen die tegenwoordig gebruikt worden om schepen tot zinken
te brengen zijn tamelijk trefzeker. De trefkans van zo'n aanvalsprojektiel (AP) is 90%. Gelukkig zijn de wapens die een AP onschadelijk moeten ma- ken ook niet voor de poes: een verdedigingsprojektiel (VP) heeft een kans van 60% om een AP voortijdig uit te schakelen. Een radarsysteem van een schip kan een AP tijdig ontdekken. Wanneer
een eerste afgevuurde VP geen succes blijkt te hebben, is er nog voldoen- de tijd beschikbaar om een tweede VP op jacht te sturen. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Bereken de kans dat een AP doel treft, ondanks alle pogingen om dat
te voorkomen? >b Hoe groot is de kans dat een AP wordt uitgeschakeld?
2. Een een-eiïge tweeling ontstaat doordat een bevruchte eicel zich deelt.
Daarom zijn de twee kinderen die dan worden geboren van hetzelfde ge- slacht. Bij een twee-eiïge tweeling worden toevallig twee eitjes tegelijk bevrucht.
De geslachten van de twee kinderen kunnen dan verschillen. >a Wat zijn bij een een-eiïge tweeling de kansen op 0,1 en 2 meisjes?
>b Dezelfde vraag voor een twee-eiïge tweeling.
In 1981 werden er in Nederland 1932 tweelingen geboren. De samenstel-
ling van die tweelingen was: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>c Hoeveel van die 1932 waren, naar verwachting, eeneiïge tweelingen?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-44-
|
|||||||
|
3. Uit een vaas met rode en witte ballen worden er twee gepakt.
De (gedeeltelijk ingevulde) kansboom die daarbij hoort is: |
|||||||
|
>a Bepaal de ontbrekende kansen.
>b Hoe groot is de kans op twee ballen van verschillende kleur.
4. Een encyclopedie staat keurig in de goede volgorde (nrs. 1 t/m 16) in een
kast. Vier leerlingen pakken de delen 3, 7, 11 en 14 en zetten ze na ge- bruik, zonder op de goede plaats te letten, terug. >a Hoe groot is de kans dat de 16 delen weer in de goede volgorde staan?
>b Hoe groot is de kans dat er om de goede volgorde te herstellen twee
exemplaren moeten worden verwisseld. 5. Jan en Els gooien elk met een dobbelsteen.
Wanneer Els hogere ogen gooit dan Jan, krijgt ze van hem een kwartje. In
het andere geval moet zij Jan een kwartje betalen. >a Waarom is dit geen eerlijk spel?
>b Hoe kun je de betaling wijzigen om het spel wel eerlijk te maken?
6. In een klein bedrijf worden schroeven gefabriceerd.
Daarvoor zij drie machines beschikbaar, die allemaal precies hetzelfde
werk verrichten. Machine A is het langst in bedrijf van de drie en verzorgt
nog maar 20% van de totale produktie. Machine B neemt 30% van de pro-
duktie voor zijn rekening, terwijl de nieuwste machine (C) de helft van de
produktie verzorgt.
Hoe ouder de machine, hoe hoger het percentage slechte schroeven dat hij
produceert.
Voor de machines A, B en C zijn de percentages onbruikbare schroeven
resp. 6%, 3% en 1%.
De dagproduktie van de drie machines samen omvat 2000 schroeven.
>a Hoeveel slechte schroeven verwacht je bij de dagproduktie?
>b Hoe groot is de kans dat een onbruikbare schroef, die wordt ontdekt in
de dagproduktie, afkomstig is van machine B? |
|||||||
|
■ 45-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. In een etui zitten 3 potloden, 2 blauwschrijvers en 3 roodschrijvers.
>a Je pakt er drie uit. Hoe groot is de kans dat daarbij geen roodschrijver
is? >b Je hebt een potlood nodig. Je pakt net zolang een schrijfgereedschap
uit de etui totdat je een potlood te pakken hebt. De kans dat je meteen een potlood pakt is |. Maak de tabel af: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In een stad zijn 18.000 auto's geregistreerd.
Per jaar worden er gemiddeld 150 gestolen. >a Hoe groot is de kans dat een willekeurige auto in die stad wordt gesto-
len? >b Je wilt een diefstalverzekering afsluiten voor jouw auto (waarde:
ƒ21.000,-).
Welke premie zal een verzekeringsmaatschappij daarvoor vragen, op
grond van de statistische gegevens?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Na een paar jaar blijkt de maatschappij verlies te lijden op de diefstalver-
zekeringen. Oorzaak: de autodieven hebben een zekere voorkeur voor auto's uit de
duurdere prijsklasse. Van de 150 gestolen auto's zijn er 90 duurder dan ƒ30.000,- , terwijl van alle auto's in de stad slechts 30% tot deze prijs- klasse behoort. >c Hoe groot is de kans dat een auto van meer dan ƒ 30.000,- wordt ge-
stolen? >d Welke premie zal de eigenaar van een auto van ƒ 40.000,- moeten be-
talen, rekening houdend met de nieuwe gegevens? >e Wat lijkt een reële premie voor een auto van ƒ 20.000,- ?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
•46-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9. Een leraar woont op grote afstand van school.
Zij lessen beginnen iedere dag om 8.30 uur. Als hij om 7.45 uur vertrekt, is hij zeker op tijd. Door allerlei oorzaken komt dat er echter niet zo vaak van. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het aantal minuten dat hij later dan 7.45 vertrekt noemen we V. Dus
V = 10 betekent dat hij om 7.55 uur van huis weggaat. De vertrektijden met bijbehorende kansen zijn: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Wat is de verwachtingswaarde van zijn vertrektijd?
De reistijd wordt beïnvloed door het weer en de stoplichten. De kansen op
de verschillende reistijden (in minuten) zijn: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Je mag aannemen dat vertrektijd en reistijd elkaar niet beïnvloeden. Dus
erg laat vertrekken betekent niet automatisch een kortere reistijd. >b Hoe groot is de kans dat de leraar op tijd op school komt, als hij om
7.55 uur vertrekt? >c In de cellen van deze matrix worden de aankomsttijden ingevuld.
Bij de eerste cel is dat al gedaan. Neem de matrix over en vul hem ver-
der in. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>d Hoe groot is de kans dat hij om 8.25 uur op school arriveert?
>e Een schooljaar duurt 200 lesdagen.
Hoeveel lesdagen zal hij, naar verwachting, te laat komen?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■47-
|
|||||||||
|
10. Een multiple-choice test bestaat uit 10 vragen. Elke vraag heeft 4 ant-
woordmogelijkheden. Van 6 vragen weet je het goede antwoord met zeker- heid. Van de 4 overige vragen snap je niets en dus moet je daar gokken naar het juiste antwoord. >a Hoeveel van de 10 gegeven antwoorden zullen er naar verwachting
goed zijn?
>b Hoe groot is de kans dat je 8 van de 10 vragen goed beantwoort? 11. In kansvragen wordt meestal aangenomen dat bij een geboorte de kans op
een meisje 50% is. In het Statistisch Zakboek van 1984 stond de volgende tabel:
|
|||||||||
|
1975 1980 1981 1982 1983
X1000 Levendgeborenen 177,9 181,3 178,6 172,1 170,2
onder wie meisjes 86,8 88,3 87,4 83,9 83,2
|
|||||||||
|
> Hoe groot is de kans op de geboorte van een meisje, op basis van de-
ze statistische gegevens? 12. Er zijn drie bakjes met munten.
In bakje A liggen 2 munten van 5 gulden en 2 stuivers.
In bakje B 3 munten van 5 gulden en 1 stuiver.
In bakje C 1 munt van 5 gulden en 3 stuivers.
Je mag uit één van de bakjes blind één munt pakken.
>a Hoe groot is de kans dat je een munt van 5 gulden pakt.
Stel dat je de 12 munten eerst zelf mag verdelen over de drie bakjes. Daar-
na mag je er weer één munt uithalen. >b Hoe zou je de 12 munten verdelen over de drie bakjes.
>c Hoe groot is in dat geval je kans op een munt van ƒ5,- ? 13. Van de 15 schroeven in een doosje zijn er 4 onbruikbaar.
Voor een karweitje pakje drie schroeven uit het doosje. >a Hoe groot is de kans dat ze alle drie bruikbaar zijn?
Bij controle blijken twee van de drie gepakte schroeven onbruikbaar. Die
gooi je weg en je pakt twee nieuwe schroeven uit het doosje. >b Hoe groot is de kans dat je nu in totaal 3 goede schroeven hebt?
|
|||||||||
|
•48-
|
||||||||||||||||||||||||||
|
14. Met de computer wordt een simulatie van het bord van Galton uitgevoerd.
Bij iedere pin is de kans om naar links te vallen 0,7. Het resultaat van een serie van 1000 kogeltjes. |
||||||||||||||||||||||||||
|
1000
709 291
• •
499 416 85
• • •
347 452 166
|
||||||||||||||||||||||||||
|
35
_i_ |
||||||||||||||||||||||||||
|
64
|
||||||||||||||||||||||||||
|
13
|
||||||||||||||||||||||||||
|
250
|
||||||||||||||||||||||||||
|
417
|
256
|
|||||||||||||||||||||||||
|
_L
|
||||||||||||||||||||||||||
|
B
|
C
|
D
|
||||||||||||||||||||||||
|
>a Hoe kun je aan de aantallen bij de pinnen zien dat de kans op vallen
naar links 0,7 is? >b Hoe groot is de kans dat een kogeltje de route LLRL volgt?
>c Bereken de (theoretische) kans dat een kogeltje in B terecht komt.
Komt dat redehjk overeen met de resultaten van de simulatie? >d Bereken ook de kans dat een kogeltje in bakje C terecht komt
|
||||||||||||||||||||||||||
|
•49-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
15. De finales van Wimbledon.
Het tennistoumooi van Wimbledon wordt beslist in een finalepartij die
maximaal 5 sets duurt.
Degene die als eerste 3 sets op zijn naam weet te brengen, is winnaar.
Als aangenomen wordt dat beide finalisten even sterk zijn, kan gesteld
worden dat ieder van hen 50% kans heeft om een set te winnen.
>a Noem de twee finalisten A en B.
Geef in een boom alle mogelijke partijverlopen weer.
>b Bereken de kans dat een partij in 3 sets wordt beslist.
Doe hetzelfde voor de partijen van 4 sets en van 5 sets. Van de laatste 89 heren-enkelspel-finales is het volgende bekend:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dit klopt niet erg met de berekende kansen van >b.
>c Geef enkele mogelijke oorzaken voor die afwijkingen tussen kansmo-
del en werkelijkheid. Een van de mogelijke redenen kan zijn dat de winstkansen bij een set beïn-
vloed worden door het resultaat van de vorige set. De kans op winst van de eerste set blijft 50%. Stel dat de winnaar van een
set een kans van 70% heeft om de eerstvolgende set ook te winnen. >d Ga door berekening na of de kansen op een partij van resp. 3, 4 en 5
sets nu beter overeenstemmen met de werkelijkheid. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
50-
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Toevalsgetallen
|
||||||||||||||||||||||||||
|
07 41 71 77 85
84 30 68 20 88 44 91 94 45 27 47 95 62 22 74 32 86 75 51 14 27 35 51 80 76
91 23 77 57 06 75 50 85 93 48 14 67 51 61 64
41 35 28 16 69 23 06 88 41 00
29 31 09 15 98 15 96 67 10 29
43 74 71 11 18 16 14 06 61 16
|
||||||||||||||||||||||||||
|
76 61 35 93 70
95 41 11 45 00
80 92 61 11 79 59 14 40 58 12 36 78 97 72 48 61 10 05 60 71
28 10 24 77 22 96 87 79 79 43
28 26 70 94 51 70 79 06 31 28 39 71 60 02 46
46 49 53 73 09 44 38 62 45 25 94 35 53 50 00 63 21 39 81 61 |
||||||||||||||||||||||||||
|
26 61 71 18 86
28 68 36 90 96 51 30 82 78 81 17 12 24 16 97 63 35 02 67 12 96 06 00 60 %
79 70 92 56 23 36 85 11 35 05 88 23 45 13 52 05 98 58 80 53 98 18 36 62 84
16 58 55 13 41 88 68 76 26 99 75 92 68 76 90 57 26 54 80 20 |
19 05 15 26 36
44 93 86 31 95 66 18 62 76 69 53 84 10 16 16 25 34 84 50 72 10 94 84 29 21
16 45 54 82 01 35 14 88 81 28 71 01 72 22 49 88 17 51 30 19 88 60 13 94 99
16 07 07 25 88 79 38 80 39 71 06 75 42 64 96 18 58 52 72 77 |
|||||||||||||||||||||||||
|
36 91 77 88 92
74 35 97 99 69 47 60 14 97 57 30 74 10 14 10 02 68 22 24 67 83 14 35 53 06
90 98 02 19 26 16 65 93 97 61 44 99 62 08 05
77 23 42 30 77
95 30 67 43 97
38 27 19 86 01 16 18 92 53 66 40 02 67 01 74 80 02 67 93 94 46 14 25 62 86
00 86 33 97 36
86 17 86 59 17 88 87 85 21 65 13 05 78 32 95 99 87 30 02 27
49 59 72 23 46 86 82 30 02 85 38 02 66 27 35 45 31 54 58 75
92 45 75 38 29
68 09 33 35 52 45 36 03 04 35 92 53 02 76 41 01 14 82 73 59
|
35 40 39 39 17
96 03 34 26 66
17 08 38 87 89 65 62 09 04 76 59 15 77 41 64 94 80 84 31 87
01 80 47 79 57
15 15 46 00 64 78 58 40 74 99 72 78 06 28 13 61 82 00 45 85
76 89 52 97 30
10 22 73 05 22
50 28 99 15 48 25 27 54 14 82 83 80 39 57 90
94 83 43 27 53 77 90 89 18 20
46 56 91 43 84 97 08 45 65 87
98 44 47 57 40
24 46 27 84 82 04 31 16 10 50 02 20 33 32 85
11 32 02 38 56
89 05 88 87 13
02 43 62 22 65 07 85 92 96 75 50 97 53 38 97 94 00 72 27 17 |
43 02 62 45 99
97 69 01 34 40 29 91 05 32 38 79 28 52 39 00 45 70 29 22 29 27 01 42 96 91
95 85 49 18 18 89 87 17 21 20 36 05 03 59 36
97 40 67 91 01 37 80 98 75 44
18 16 77 00 05 23 82 59 34 86 99 20 79 04 14 27 64 86 94 41 20 59 99 74 64
40 01 95 50 68 45 95 09 44 01 60 49 75 90 62 71 87 76 64 28 45 87 34 36 97
76 48 13 46 57 57 74 52 04 83 73 92 26 18 57
20 92 26 46 12 56 85 69 70 04
64 01 28 03 08 53 95 90 08 34 76 89 45 57 77 74 39 84 01 88
|
41 44 20 34 89
24 08 13 24 29 80 19 76 72 97 69 45 35 08 86 68 19 26 20 07 54 65 06 56 08
18 62 68 33 08
09 25 01 94 66 92 10 64 71 66 42 53 85 82 34
54 22 92 53 75
85 00 60 60 38 19 99 92 05 04
50 84 18 04 03 05 40 21 13 49 74 46 90 71 08
80 89 96 70 83 68 95 95 50 32 16 85 52 24 05 75 61 93 15 08
33 11 85 35 92
08 45 33 72 67 56 48 08 17 44 13 68 00 08 95 60 21 94 96 42 08 22 71 45 77
20 49 35 52 91
40 18 63 88 50 65 97 83 74 73 31 37 78 73 54 |
|||||||||||||||||||||||
|
50 16 54 47 90
83 58 30 45 51 20 13 93 94 13 86 33 95 21 55 75 75 76 88 47 |
68 07 86 08 38
49 99 33 18 75 57 19 70 49 86 86 89 05 27 23 56 62 68 23 05 |
51 19 39 77 61
63 38 38 32 66 43 80 89 74 83 45 65 87 49 78 14 40 46 44 97 |
26 28 06 11 97
30 83 60 20 80 82 46 36 15 48 64 27 42 82 20 18 54 19 02 37 |
|||||||||||||||||||||||
|
51
|
|||||||||||
|
33 70 66 50 99
90 17 87 17 28 07 06 27 00 94 69 35 24 92 95
40 70 04 19 40 71 08 12 55 85
48 56 58 70 98 47 38 00 02 51
28 31 41 50 28
48 20 54 92 72
00 82 42 37 43
77 93 03 89 08 61 65 41 44 56
38 95 88 14 40 37 57 57 66 35
89 05 17 97 30
27 07 97 29 44 87 01 10 27 64 59 81 07 45 05 42 04 52 98 05 38 19 24 57 36
64 31 43 65 43 93 78 21 90 10 16 44 44 88 45 32 88 63 04 00 62 02 33 86 04
89 96 53 39 32 18 06 51 87 90 73 24 81 72 32 01 56 53 74 98
21 10 79 58 77
80 96 58 41 01 47 64 68 89 49 25 63 00 37 98 25 63 00 37 98 59 42 75 20 66
11 04 13 96 76 04 13 96 07 06 24 42 59 87 90 35 00 38 21 98 76 27 39 00 44
30 24 90 44 47 70 34 94 50 96
16 50 05 64 36 30 47 30 73 85 24 40 52 29 72
04 67 89 90 02 34 98 62 94 42
20 66 04 53 38 29 27 81 72 56
|
|||||||||||
|
98 26 82 31 02
74 60 18 42 45 62 87 85 12 42
53 39 77 22 77 95 82 70 98 10 37 69 92 13 50
15 04 09 23 60
46 40 42 24 80 56 01 02 37 84 37 25 59 13 51 16 33 25 65 67
61 29 75 29 56 05 15 80 47 28 03 41 75 71 57 99 71 46 98 80
39 82 44 30 26
88 82 28 51 70 86 57 22 43 03 25 39 09 10 39 48 02 45 43 39
78 87 97 99 64
68 38 06 09 50 78 81 78 12 11 78 16 96 12 66 71 36 63 63 87 49 73 59 73 81
67 70 40 39 87 44 76 41 05 04 90 63 25 44 44 61 76 39 66 07 28 01 09 53 82
88 58 50 13 76 83 27 09 64 63 55 88 26 44 62 21 93 21 41 38 76 65 17 54 29
77 10 71 26 85
10 71 26 85 07 29 94 42 14 21
99 23 60 72 36 02 21 71 43 27
30 17 73 96 25
63 74 57 08 22
73 84 24 33 93 48 93 25 76 53 43 39 22 05 27
58 28 80 85 56 39 26 78 30 24 07 84 52 93 05 03 76 55 69 47
|
36 13 86 23 38
01 53 81 17 42 16 16 96 89 01 32 27 10 31 48
79 80 96 55 56
31 29 55 91 33
10 96 69 21 46
96 18 91 24 63 80 04 44 55 23
30 29 61 47 37
91 46 42 37 98
98 24 32 16 37 29 16 34 10 87 69 42 38 76 79 11 09 82 32 65
72 46 34 10 60
40 72 97 27 16 43 80 45 92 12
48 54 82 31 80 76 09 18 35 48
52 54 87 43 07
73 80 70 39 13
03 75 58 79 03 94 63 36 44 38 31 70 85 16 81
05 07 23 80 84
03 92 54 49 15 33 84 59 16 97
66 49 97 33 83 10 47 41 09 52 01 49 38 39 25
27 72 87 54 12 71 50 51 01 85
82 14 85 39 69 72 14 85 39 69
33 53 44 88 99
07 44 46 42 13 44 46 42 13 11
20 82 62 90 97 36 76 79 69 97 73 66 33 60 92
40 05 23 97 81
71 73 63 71 01 43 18 65 78 71
24 20 46 94 65 41 79 64 81 06
77 29 72 11 85
88 78 01 17 09 54 72 73 70 70 44 82 27 82 37
|
||||||||||
|
39 04 99 65 54
93 M 33 31 80 38 50 80 15 77
22 78 81 76 24 06 87 01 01 16 22 09 49 45 48
59 12 23 93 17 65 80 82 51 62
86 10 40 60 18 18 42 84 34 97 95 07 26 25 02
93 07 66 11 53 66 15 91 11 50
99 02 96 24 52 97 87 27 93 87 88 18 52 93 84
57 66 58 47 32 08 60 68 64 61 37 33 91 03 51 52 98 87 60 65 97 56 67 89 05
11 15 09 31 98 16 46 08 86 00 18 57 41 01 32 45 00 69 79 37 02 88 51 23 61
56 55 91 00 64 39 30 11 27 48
89 38 43 87 21
99 26 53 68 76 06 14 81 27 98
97 77 16 78 98 39 38 90 08 75 43 02 98 15 90 41 02 41 72 81 95 82 03 15 94
33 90 37 60 40 03 13 94 40 77
59 22 62 67 20
64 54 42 27 73
31 10 36 88 85
71 81 74 42 36 83 03 58 70 44 60 30 28 27 94
20 39 63 61 02 64 54 98 48 92
64 97 68 61 08 62 68 84 52 46 10 43 22 72 08 26 03 47 08 92 |
|||||||||||
|
-52-
|
|||||||||||
|
0 0 0 11
110 0 1 0 0 0 10 0 0 0 11 0 110 1 10 111
0 0 0 0 0
10 10 0
0 0 0 0 1
0 0 10 0
10 111
110 10 10 0 0 0 110 0 0 0 10 0 0 110 0 1
110 10 0 0 0 0 0 110 0 1 0 0 110 0 10 10
0 0 110
0 0 110
0 10 11
0 0 10 1
0 0 111
110 0 0 110 10 10 0 0 0 0 0 110 10 0 10
0 1111 0 0 110 0 0 0 0 1 11110 11110
0 10 10 0 1110 0 110 1 11111
0 0 10 0
110 0 1 0 10 11 0 110 1 1110 0 1110 0
10 10 1
0 110 1
10 10 0
10 0 0 0
|
110 0 0
0 0 0 11 10 10 0 0 0 10 0 10 10 1 11111
10 0 10
1110 0 110 10 1110 1 10 110
0 0 111 11110 0 0 10 0 1110 0 10 0 0 1
0 1110 0 0 10 1 0 0 0 10 11110 0 0 0 11
110 0 0 1110 0 0 0 10 1 0 110 0 0 1111
10 10 1 0 0 10 0 0 0 110 11111
11111 0 10 10
1110 0 0 0 10 0 110 0 1 11110
0 0 10 1 1110 1 0 0 111 0 10 11 0 110 1
0 0 10 0 110 10 0 0 110 110 11 110 11
10 10 1 0 1111 1110 1 0 0 0 0 1 |
||||||||||
|
0 10 11
11110 0 10 0 1 10 0 0 0 0 0 111 0 1110
0 1110 10 0 0 0 0 10 0 1 10 110 0 110 1
0 10 0 0 0 10 0 0 0 1111 10 0 0 1 0 110 1
1110 1 10 10 0 0 0 110 110 0 0 10 0 11
0 0 10 1 0 10 11 0 10 0 0 1110 0 0 1110
0 0 111 11111
0 0 10 0
10 0 0 1 110 0 1
0 110 0 0 1110 11110 0 0 10 1 0 0 10 1
11110 0 0 0 0 0 110 0 1 0 0 0 0 0 10 0 10
0 1111 0 0 111 10 0 0 1 1110 0 110 0 0
10 0 0 1
10 0 10
10 0 10
11111
|
0 0 0 10
10 0 10 0 0 10 1 110 0 0 110 0 0 110 10
0 110 1 0 0 110 11110 0 0 0 0 1 10 0 0 0
10 0 10 0 10 10 10 0 10 10 111 0 0 110
0 110 1 110 11 110 10 0 0 0 10 110 0 1
110 0 1 11111
0 1111
11110 0 0 111
110 0 1 110 11 0 1110 0 10 0 0 0 1111
0 1111
0 10 0 1
0 110 1
0 10 11
1110 0
0 1111 0 10 11 110 0 0 11111
0 0 111
10 111 0 1111 110 0 1 0 1110 0 1110
0 0 0 10 0 0 0 0 0 11111
0 1110
|
||||||||||
|
•53-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||