|
TELPROBLEMEN
|
|||
|
TELPROBLEMEN
|
||||
|
Wiskunde A
|
||||
|
TELPROBLEMEN
Een produktie ten behoeve van het project Hawex.
Ontwerpers: Henk van der Kooy, Martin Kindt
Met medewerking van: Christiane Hauchart
Jan de Lange Martin van Reeuw ijk Anton Roodhardt Vormgeving: Ada Ritzer
© 1989: 3e versie
Utrecht, april 1989 |
||||
|
Inhoudsopgave
1. Bomen ......................................................................................................... 1
2. Wegen ......................................................................................................... 9
3. Tellen met bomen ....................................................................................... 13
4. Rangschikken en faculteitsgetallen ............................................................ 17
5. Wegen tellen ...............................................................................................21
6. Rangschikken met herhalingen ..................................................................25
7. De driehoek van Pascal ..............................................................................29
8. Routes in een rooster..................................................................................36
9. Gemengde opgaven ....................................................................................41
|
||||
|
1 -
|
|||||||||||
|
1 Bomen
Een esdoorn vormt duizenden takken en tak-
jes en zo'n 175000 bladeren. Zo kan het voedsel dat de boom nodig heeft snel en goed worden verwerkt. |
|||||||||||
|
Op de plaats waar de rivier de Colorado in
de Golf van Californië uitmondt vormen
zandbanken een obstakel voor de
waterstroom en ontstaat er een wirwar van
steeds smallere stroompjes.
Uit de lucht gezien lijkt het een reusachtige
boom.
|
|||||||||||
|
Een 'boomstructuur' wordt ook aangetroffen
in de menselijke long. Door de vele vertak- kingen kan op zeer veel plaatsen tegelijk zuurstof worden doorgegeven aan het bloed. |
|||||||||||
|
■'Éii
|
|||||||||||
|
Bij telproblemen spelen vertakkingen vanuit één punt een belangrijke rol. De
boomstructuur blijkt een goed middel te zijn om systeem te brengen in allerlei ingewikkelde situaties. |
|||||||||||
|
-2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Er zijn nogal wat mensen die in stoffige archieven duiken,
op zoek naar hun, zo mogelijk roemruchte, voorouders. Het voorgeslacht kan overzichtelijk in kaart gebracht wor- den met wat kwartierstaat wordt genoemd. De 8 kwartieren van Willem Vervloet (1902 - 1973):
8 kwartieren van Willem Vervloet
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* geboren
gedoopt X trouwt t overleden |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Helemaal onderaan staat de persoon in kwestie. Direct daarboven de eerste
generatie voorouders (in gewoon nederlands: de ouders), vervolgens de tweede generatie voorouders (de grootouders), enz. Met behulp van de nummers kan de kwartierstaat vereenvoudigd worden weer-
gegeven in een voorouderboom |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het begin ziet er zo uit:
|
4
1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-3-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. >a Maak zo'n voorouderboom van de 16 kwartieren van Willem Ver-
vloei. De kwartierstaat is uit te breiden met verdere generaties voorouders. De
nummering loopt daarbij op dezelfde manier door. >b Hoort de persoon met nummer 94 tot het voorgeslacht van Willems
vader (nr.2) of tot het voorgeslacht van zijn moeder (nr.3)? >c De persoon met nummer 111 hoort tot het voorgeslacht van één van
de vier grootouders van Willem. Van welke grootouder? >d Uit hoeveel personen bestaat de zevende generatie voorouders van
Willem? Vaak mondt het zoeken naar voorouders uit in een stamboomonderzoek.
Daarbij wordt het proces omgekeerd. Er wordt nu gekeken naar het nageslacht van één persoon. Kennelijk was Willem alleen maar geïnteresseerd in de verbreiding van de
naam Vervloei, want in de stamboom hieronder is alleen de mannelijke lijn van het nageslacht van Hendrik Laurensz. Vervloet weergegeven. (Officieel heet een dergelijk stamboomonderzoek: genealogie in engere zin.) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Handrlk Lauranar Vafvlo«l
(l5«0>-(lffl»1
X Haaakan tacobtdr.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I
(voor 16tO>—fIRSt)
X AdrlMolj» 0»«o |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. Glfaban Handrikat. Varvloal
I Tuaaan 1877 tn 84 X 1. Claaata Cornalladr. X 7. Naaaja Cornalladr. van Arkal |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I-----------------
I Htridrld V«rvlo«t
(l«3S)—1715 X I. I*f^n«(|« WMHaMt
X 2 HtKdrlkl» Lmilng X 3, M«rg«r«IKa van d«r Houvan
uil I: I |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
____________I________
|
-----1
. Lourana Varvloal
(185«>-I73S
X Ellaahwh
CoHin |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I
c. Jan Varvloal 1850—170» X Margaratna van Galdar |
I
. Handnk Varvloat
(1848)-' X Griaija Boal'
faardi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b Oth Varvloat
1837—(ia IS7Ï) X Eiflta HarTTiana van Ae(»ov
(3 loona, 1 dr. la Asparan) uil 3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I
Plalar
Varvloal 188S—1782 X Maria da Krmjt |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I
, lohannaa
Varvloal
IS»- »
X Maria
Pall
|
I
Cajabarl Varvloal 1891—17?» X Ellaabalh Oui|k«r |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t
Willam Varvloal ie»0—(voor 1735) X Anna Winderltcll |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I
Lourant Vafvloat lffi»-173« X 1. Marfa da Rayt X 7 Calhar'oa van Amatonaa |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Plalar Vanrtoal
H»-17<l
X I. Maria vên
Olniham
X 7. Gaanrul Suyllnga
|
g Dirk
Varvloal 18»—1788 X lohanna V. d Vald* |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
uit ? I
C. Pl«t«r V»rvlo#l 1737-1815 X Wilh«lm)na
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i------
. Ltmb«rtu«
Vt»vto«t
1715—i/ro
X MargMrvtha
Vtrboom |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
—t
VfrviMt
171»—I7W X ChH«t(na d« phM |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I
Lourana Varvloat ITOT—1781 X Anna MaHa Gaar-
Irrjlda Olarmana |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. Plalar Varvloal
170»—' |
(f. C(«9i V«rvlo*t
17J6—{n« ino)
X C«crtnit
v»n dt Pol |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-----------1---------
b. Gtbiiêl V«rvlo«t
177»-7 X Icntf* v«n Ewijk |
------------1
. willam Varvlo«l
1774—1847 X Harmlna Raafman |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I--------
•. Pl«l*r VvrvloM
(752—IM5 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Vf
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-4-
|
||||||
|
De achtereenvolgende generaties nakomelingen zijn genummerd met Romeinse
cijfers (I, II, III,.....).
In iedere generatie worden de jongens van links naar rechts aangegeven met de
letters a, b, c,..... 2. >a Hoeveel achterkleinzonen had Hendrik Laurentsz. Vervloet (in de
mannelijke lijn)? >b Welke persoon in deze stamboom gaat schuil achter de aanduiding VI-c? Bij de aanduiding VI-c wordt aangegeven dat je in de horizontale rij bij de
zesde generatie moet zoeken. Het is ook mogelijk om een persoon aan te duiden door de achtereen-
volgende generaties te doorlopen vanaf Hendrik Laurentsz. Vervloet. >c Welke persoon wordt bedoeld met de aanduiding b-e-f-el
Iemand stelt voor om de nummering binnen de generaties volgens een ander
systeem te maken: de zonen van één man worden steeds aangegeven met de let- ters a, b, c,... Het beginstuk van de stamboom zou er dan zo uitzien: ._______________________________\__________________________________,
|
||||||
|
I---------------------------------------------------1--------------------------------------------------1 I-------------------------------------------------------------------------------------------------------1
a b c a b
3. >a Welke aanduiding krijgt in dit geval Lambertus Vervloet?
Deze aanduiding geeft meer informatie over de manier waarop Lambertus
afstamt van Hendrik Laurentsz. Vervloet dan de aanduiding van >2c. >b Welke informatie krijg je nu extra?
De kwartierstaat van Willem en de stamboom van Hendrik Laurentsz. kunnen
worden gekoppeld, omdat er een persoon is die in beide voorkomt: nummer 8 van de kwartierstaat is persoon VI-c van de stamboom. 4. Stel dat Willem (1902-1973) zijn kwartierstaat had uitgebreid tot en met de
generatie voorouders waarin Hendrik Laurentsz. voorkomt. >a Welk nummer zou Hendrik Laurentsz. daarin dan hebben gekregen?
>b Hoeveel personen zouden er in totaal in die kwartierstaat vermeld staan?
>c Is het mogelijk dat in die kwartierstaat één persooen meer dan een keer genoemd staat?
|
||||||
|
-5
|
||||||||||
|
Door de koppeling van kwartierstaat en stamboom ontstaat een overzicht van
|
||||||||||
|
een behoorlijk groot aantal generaties
|
||||||||||
|
.
|
||||||||||
|
5. >a Schat op basis van de gegevens het gemiddelde leeftijdsverschil tus-
sen twee opeenvolgende generaties. >b Gebruik het resultaat van >a om te berekenen hoeveel mensen die
rond 1700 leefden, tot jouw voorouders behoren. >c Hoeveel voorouders van jou leefden er rond het begin van onze
jaartelling? Volgens schattingen leefden rond het jaar nul op de hele aarde ongeveer
50 miljoen mensen. >d Hoe valt dit te rijmen met het antwoord van >c?
De voorouderboom van een bij ziet er anders uit dan die van een mens.
Zes generaties voorouders van een mannetjesbij: |
||||||||||
|
>a Waarin verschillen mannetjesbijen van vrouwtjesbijen, als je let op
hun voorgeslacht?
>b Hoe ziet de voorouderboom van een vrouwtjesbij eruit? >c Hoeveel voorouders heeft een mannetjesbij in de zevende generatie? >d En hoeveel in de achtste generatie? |
||||||||||
|
-6
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Wimbledon
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
is 'Wimbledon' het
alle grote ten- |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ieder jaar opnieuw
hoogtepunt van |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
nistoumooien.
Zowel bij de dames als bij de heren wor-
den 128 deelnemers voor het toumooi ingeschreven. Er wordt gespeeld volgens het
afvalsysteem: wie een partij verliest, verdwijnt van het toneel. De winnaar gaat door naar de volgende ronde. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Cash, Wimbledonwinnaar '87
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Op blz. 7 staat het toumooischema van Wimbledon 1987 voor het enkelspel
van de heren afgedrukt. Daarin is voor alle 128 deelnemers af te lezen tegen wie ze de eerste ronde spelen. Het schema kan verder worden gebruikt om het tournooiverloop bij te houden.
Een mogelijk verloop van de eerste twee ronden voor de eerste vier spelers uit het schema: 1 B. Becker
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het schema zegt: Becker en Doohan winnen hun partij in de eerste ronde,
ker speelt in de tweede ronde tegen Doohan en wint. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bec-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Hoeveel ronden zijn nodig om de toumooiwinnaar aan te wijzen?
>b Hoeveel wedstrijden geeft het toumooischema aan? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Michiel Schapers (nr. 55 uit het schema) was in 1987 de enige Neder-
landse deelnemer. Hij werd uitgeschakeld door de uiteindelijke winnaar Pat Cash (nr. 49). >c In welke ronde gebeurde dat?
>d Welke spelers waren in ieder geval al uitgeschakeld toen Schapers en
Cash elkaar ontmoetten?
>e 'Schapers doorgedrongen tot de laatste .....' meldde een krantekop voor diens partij tegen Cash.
Welk getal stond daar vermeld?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
sslisÉêssgscs sszsssseBücstBB: sas^issïssiïssssss
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tt^S&istiEï^ïKi
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I a VI * u
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8-
|
|||||||||||||||
|
Om te voorkomen dat sterke spelers elkaar te snel ontmoeten, worden de 16
beste tennissers 'geplaatst'. Dit houdt in dat ze zó over het wedstrijdschema worden verspreid, dat ze elkaar
in principe pas tegenkomen als de niet geplaatste spelers zijn uitgeschakeld. Als alles 'goed' gaat, ontmoeten de twee hoogstgeplaatsten (de nrs. 1 en 2) elkaar pas in de fmale. 8. > Zoek uit hoe de 16 geplaatste spelers (nrs. 1 t/m 16) over het
wedstrijdschema verdeeld kunnen worden. Kettingbrieven
Vrijwel iedereen heeft wel eens een kettingbrief ontvangen.
Zo'n brief gaat vergezeld van een lijstje met vijf namen. De onderste naam is
bekend, want door die persoon is de brief gestuurd.
De regels voor een kettingbrief zijn:
1. Stuur een ansichtkaart naar de eerstgenoemde persoon van het lijstje.
2. Maak een nieuw lijstje door de eerstgenoemde naam te verwijderen en
onder de vier resterende namen je eigen naam toe te voegen. 3. Stuur een brief met het nieuwe lijstje naar drie bekenden.
|
|||||||||||||||
|
Als iedereen die zo'n brief krijgt, meewerkt (en dat gebeurt meestal niet!) dan
mag je na verloop van tijd een flink aantal ansichtkaarten verwachten, ledere keer dat de brief weer wordt doorgestuurd, schuift je eigen naam een plaats op in het lijstje. |
|||||||||||||||
|
je eigen naam op de 5e plaats
je eigen naam op de 4e plaats |
|||||||||||||||
|
Hoeveel ansichtkaarten krijg je, als niemand de ketting breekt?
In de spelregels wordt een verandering aangebracht.
Het lijstje van vijf namen wordt vervangen door een lijst met zeven
namen. Welk aantal kaarten krijg je nu, als alles goed gaat?
Hoeveel kaarten krijg je als spelregel 3 als volgt wordt aangepast:
Stuur een brief naar 5 bekenden.
|
|||||||||||||||
|
>a
>b |
|||||||||||||||
|
>c
|
|||||||||||||||
|
9-
|
||||||||||||||
|
2 Wegen
|
||||||||||||||
|
In het Vaticaan wordt een nieuwe pausreis voorbereid.
De eindbestemming van de reis is Australië.
Op de heenreis zullen nog één of twee landen met een kort bezoek vereerd
worden. Daarvoor komen in aanmerking: Zuid-Korea, de Filipijnen en
Indonesië.
Vanwege de onderlinge geografische ligging komen alleen de vliegroutes
die hieronder schematisch staan weergegeven, in aanmerking:
|
||||||||||||||
|
V = Vaticaan (Rome)
ZK = Zuid Korea FI = Filipijnen IN = Indonesieë AU = Australië |
||||||||||||||
|
>a Welke mogelijkheden zijn er voor de trip van de Paus naar Australië,
inclusief één of twee tussenbezoeken? |
||||||||||||||
|
Op de terugreis zullen twee Afrikaanse landen bezocht worden.
Er moet een keus gemaakt worden uit Tanzania, Kenya en Ethiopië.
Mogelijke vliegroutes hierbij zijn:
|
||||||||||||||
|
V = Vaticaan (Rome)
ET = Ethiopië AU = Australië KE = Kenia TA = Tanzania |
||||||||||||||
|
>b Hoeveel keus is er voor de terugreis?
>c Hoeveel verschillende heen-en-terug-programma's zijn er te maken
voor de totale rondreis van de Paus? |
||||||||||||||
|
10-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De wegenstructuur in de Amerikaanse steden is in het algemeen erg over-
zichtelijk. In de benaming van de wegen is die overzichtelijkheid terug te vinden:
l'^' Street, 2"^ street, ... en l'^' avenue, 2"^ avenue, ... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^
|
4'" Street
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
rd
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
'aC^'^ y" Street
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
yd
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
avenue
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■*- T^ Street
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2nd
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
avenue
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l'^' avenue "^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\:^~^-,;/ r' Street
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het karakteristiek schaakbordpatroon van vele Amerikaanse steden (Odessa, Texas).
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een wandeling voert van het kruispunt (2"^ street, 1*' avenue) naar het
kruispunt {y^ street, 4'^" avenue), zonder omwegen. >a Maak een plattegrond en teken daarin alle mogelijke wandelingen.
>b Hetzelfde voor een wandeling van {T^ st, r' av) naar (4"' st, 3'"'^ av). ^ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>c Bij dit stukje plattegrond zijn 10 verschillende wandelingen van A
naar B mogelijk.
Teken ze. Doe dat systematisch.
>d Hoeveel wandelingen zijn in de onderstaande plattegrond mogelijk. — van A naar B
— van B naar C
— van A naar C ?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-11
|
||||||||||||||||||||||||
|
De wandelingen zijn ook te beschrijven met een rijtje bestaande uit de letters A
(avenue) en S (street). ^-----rrr-i einde
In de figuur is dat de wandeling SAAS
|
||||||||||||||||||||||||
|
1
SS
|
||||||||||||||||||||||||
|
begin
|
||||||||||||||||||||||||
|
* streets
|
||||||||||||||||||||||||
|
Alle wandelingen van opgave 2 >b op deze manier beschreven:
SSAA ASSA
SASA ASAS
|
||||||||||||||||||||||||
|
einde
|
||||||||||||||||||||||||
|
SAAS AASS
|
||||||||||||||||||||||||
|
3. Een wandeling voert langs drie stukken S
en drie stukken A. >a Teken een tweede mogelijke wandeling.
>b Beschrijf alle mogelijke wandelingen met rijtjes letters.
Probeer het systematisch te doen.
|
||||||||||||||||||||||||
|
begin*
|
||||||||||||||||||||||||
|
streets
|
||||||||||||||||||||||||
|
BLOKKEN BIJ NACHT
|
||||||||||||||||||||||||
|
De Toren van Frans Malschaert, die sinds enkele weken op het Amsterdamse Museum-
plein staat, steekt feeëriek af tegen de door het maanlicht beschenen nacht. In De Toren voltrekt zich deze maand elke avond een theatraal spektakel van het Sirkeltheater, waarbij bezoekers worden rondgeleid langs korte speelscenes. |
||||||||||||||||||||||||
|
4. Deze blokkentoren sierde in de zomer van 1987 het Museumplein op.
Vanuit elk blok is het mogelijk om een aangrenzend blok te bereiken via
trappen. > Hoeveel verschillende afdalingen zijn mogelijk van het bovenste blok
naar het middelste blok op de grond. |
||||||||||||||||||||||||
|
- 12-
|
|||||||||||||||
|
ledere dinsdag worden in onderstaande stadswijk de vuilniszakken
opgehaald. |
|||||||||||||||
|
B
|
|||||||||||||||
|
ll^il___W
|
|||||||||||||||
|
11^;!w
|
|||||||||||||||
|
D
|
|||||||||||||||
|
Vanuit een aangrenzend stadsgedeelte is het mogelijk om bij de punten A,
B of C deze wijk binnen te komen. Vanuit de punten D, E of F kan de wijk weer verlaten worden.
Natuurlijk is het aantrekkelijk om een route door de wijk te kiezen, waar- bij al het vuilnis wordt opgehaald en er door elk van de zeven straten pre- cies éénmaal gereden wordt. >a Ga na dat dit mogelijk is vanuit punt B.
>b Waarom is zo'n route niet mogelijk wanneer A als startpunt wordt
gekozen?
>c Hoeveel verschillende routes zijn er vanuit startpunt B mogelijk? |
|||||||||||||||
|
13
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 Tellen met bomen
Twee vrienden willen een deel van de zomervakantie in het buitenland door-
brengen. Uit het grote scala aan mogelijkheden hebben ze alvast een voorselec- tie gemaakt. Voor de uiteindelijke keuze moeten ze op vier onderdelen nog een beslissing
nemen. Die onderdelen zijn weergegeven in vier aparte blokken: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
accomodatie
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tijdsduur
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
vervoer
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Al: camping
A2: hotel |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Tl: 3 weken
T2: 4 weken |
VI: bus
V2: trein V3: vliegtuig |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. >a Welke beslissingen zijn mogelijk op de twee eerste onderdelen ('tijds-
duur' en 'vervoer') samen? >b Welke beslissingen zijn mogelijk op de twee laatste onderdelen? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Elke combinatie van vier beslissingen kan worden weergegeven door een
'route' in onderstaand schema. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. > Welke keuze wordt weergegeven door de dik getekende route?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- 14-
|
||||||||||||||||||||||||
|
Meer overzichtelijk kunnen alle keuze mogelijkheden voor een vakantie worden
uitgebeeld met behulp van een boom (ook wel boomdiagram genoemd). Voor de eerste drie onderdelen ziet de boom er zo uit: |
||||||||||||||||||||||||
|
besiissin» over:
|
||||||||||||||||||||||||
|
T2-------------
|
||||||||||||||||||||||||
|
-------de tijdsduur
|
||||||||||||||||||||||||
|
VI V2 V3
|
VI V2 V3------het
|
|||||||||||||||||||||||
|
vervoer
|
||||||||||||||||||||||||
|
AAA AAA
|
||||||||||||||||||||||||
|
Al A2 Al A2 Al A2 Al A2 A1 A2 Al A2-------de accoiiimodutie
|
||||||||||||||||||||||||
|
Uit de boom kun je aflezen dat er twaalf verschillende keuzes mogelijk zijn op
de eerste drie onderdelen samen. 3. >a Hoe vertakt de boom zich verder als de besHssing over het land er
aan wordt toegevoegd?
>b Hoeveel verschillende mogelijkheden hebben de twee vrienden dus om een vakantie samen te stellen?
>c Hoeveel keuzemogelijkheden komen er extra bij, als bij 'accomodatie' zou worden toegevoegd A 3: appartement?
Bij de mogelijkheden die tot nu toe zijn bekeken, is er vanuit gegaan dat geld
geen rol speelt. Helaas is dat niet waar. Wanneer de financiële kant van de vakantie wordt onderzocht, doemen de twee
volgende beperkingen op: — in alle gevallen is de combinatie 'vliegtuig - hotel' te duur;
— de vliegtickets voor Hongarije, Oostenrijk en Italië blijken zo duur te zijn,
dat vliegen naar die landen uitgesloten is. |
||||||||||||||||||||||||
|
4. > Hoeveel keuzemogelijkheden vallen hierdoor af?
5. Schrijf alle getallen op van drie cijfers die je kunt maken met de cijfers 3,
5 en 2. >a Als ieder cijfer één keer gebruikt mag worden.
>b Als ieder cijfer meer dan één keer gebruikt mag worden.
>c Maak een boom bij elk van beide situaties.
|
||||||||||||||||||||||||
|
- 15
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Hoeveel verschillende getallen zijn er te maken met de cijfers 1, 2, 3
en 4, als ieder cijfer éénmaal gebruikt wordt?
>b En hoeveel als het cijfer 3 tweemaal gebruikt wordt en de cijfers 1 en 4 elk éénmaal?
>c Waarom is het aantal mogelijkheden bij >b de helft van het aantal bij >a?
Een vlag met drie horizontale banen moet 'ingekleurd' worden.
Er is keus uit de kleuren rood, wit, geel, groen en blauw. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1.1.1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
litiiiin-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
"^mm.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
groen
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
••:••.
|
■■■■■•-•■•
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Wit
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
wit
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r^mWWi
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t:;i;;;:
|
h I (I II ^^^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
groen
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Hongarije
|
Argentinië
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Iran
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Hoeveel verschillende vlaggen kunnen er worden samengesteld, als de
drie banen verschillend gekleurd moeten zijn?
>b De kleuren mogen meer dan één keer gebruikt worden, maar niet in aan elkaar grenzende banen.
Hoeveel keus is er nu?
8. Uit dit lijstje van vijf platen moet een topdrie worden samengesteld.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er voor een topdrie?
>b Hoeveel zijn dat er, als je keus hebt uit twintig nummers? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9. Bij een loterij zijn 10.000 loten verkocht: de nummers 0000 tot en met
9999. Er wordt bekend gemaakt dat het winnende lotnummer uit vier oneven cij-
fers bestaat. >a Hoeveel mensen kunnen nog hopen op een prijs?
Er wordt bij verteld dat de cijfers van het winnende lotnummer alle vier
verschillend zijn en dat dit nummer lager is dan 5000. >b Hoeveel mogelijke prijswinnaars blijven er nog over?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- 16
|
||||||||
|
10. Bij een draverij doen acht paarden mee.
Voor het gemak noemen we ze A tot en met H.
Piet Ruin is een echte gokker. Hij heeft een zogenaamd triobriefje
gehaald. Daarop kan voorspeld worden welke paarden achtereenvolgens
als eerste, tweede en derde zullen eindigen.
Als zijn 'triootje' goed ingevuld blijkt te zijn, kan hij een aardig centje
verdienen.
|
||||||||
|
Finishfoto van een draverij.
>a Hoeveel verschillende mogelijkheden heeft Piet om zijn briefje in te
vullen? |
||||||||
|
Piet is niet alleen een gokker. Hij denkt ook een 'kenner' te zijn. Zo is
hij er van overtuigd dat paard D of paard G als eerste eindigt. Verder weet hij 'zeker' dat paard F niet bij de eerste drie eindigt. >b Op hoeveel verschillende manieren kan hij, gewapend met deze ken-
nis, zijn briefje invullen? |
||||||||
|
17
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 Rangschikken en faculteitsgetallen
Vijf vriendinnen gaan naar de schouwburg. Ze hebben vijf plaatsen besproken
op één rij.
Op hoeveel manieren kunnen ze de plaatsen onderling verdelen?
Een manier van oplossen is als volgt:
Ada mag als eerste kiezen en heeft de keuze uit 5 plaatsen
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Betty heeft dan de keus uit 4
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Christiane kan nog uit 3 stoelen kiezen
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Voor Diana blijven er 2 mogelijkheden
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
En voor Ellen rest 1 stoel
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het aantal verschillende mogelijkheden om de plaatsen onder de vijf vriendin-
nen te verdelen, is verrassend groot. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De rangschikking BDACE correspondeert met een pad in de boom (zie blz. 18).
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- 18
|
||||||||||||||
|
Ada
|
||||||||||||||
|
Betty
|
||||||||||||||
|
Christiane............-2 4 5
|
||||||||||||||
|
Diana-----...........2
|
||||||||||||||
|
Ellen
|
||||||||||||||
|
De complete boom telt inderdaad 5x4x3x2x1 = 120 paden.
1. > Hoeveel rangschikkingen zijn er mogelijk van 6 vriendinnen op één
rij? Een ander manier om de vijf vriendinnen te laten kiezen uit de vijf stoelen is
hieronder in beeld gebracht. |
||||||||||||||
|
C D
|
||||||||||||||
|
3 •
|
||||||||||||||
|
ACE
|
||||||||||||||
|
C
|
||||||||||||||
|
2. >a Op welke manier zijn hier de plaatsen verdeeld?
>b Krijg je op deze manier ook 120 verschillende rangschikkingen?
|
||||||||||||||
|
- 19
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. In een klas zitten 12 jongens. Die hebben twee keer per week gymnastiek.
Voordat het warmlopen begint zet de leraar ze op een rijtje, iedere les in een andere volgorde. > Kan hij dat een jaar lang volhouden zonder in herhalingen te verval-
len? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Op je rekenmachientje zit een knop
|
X!
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Daarmee kun je aantallen rangschikkingen uitrekenen.
Als je bijvoorbeeld eerst 5 en dan x! intoetst krijg je 120.
Er geldt: 5! = 5.4.3.2.1 = 120
5! wordt uitgesproken als 5 faculteit.
Hieronder staan de uitkomsten van x\ voor a: = 1, 2, ..., 11:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Je kunt hieruit zien hoe duizelingwekkend snel de faculteitsgetallen groeien.
4. Een voetbaltrainer kan meer dan 39 miljoen opstellingen maken met zijn
elf basisspelers. > Geef commentaar.
5. > Als je achter de uitkomst van 9! een nul zet, krijg je de uitkomst van
10! Logisch?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. Mijn rekenmachientje geeft na intoetsen van 12! de ui±omst
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4.79
|
08
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dat betekent: 4.79 maal 10^ ofwel 479000000.
>a Die uitkomst is niet precies. Hoe weet je dat?
>b Bereken de precieze uitkomst van 12!. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
20-
|
|||||
|
7. > Bereken op je rekenmachientje 15! gedeeld door 14!.
Is de uitkomst precies?
8. > Hoe kun je zonder rekenmachientje 25! gedeeld door 23! berekenen?
9. Veel rekenmachientjes rekenen niet verder dan 69!
>a Hoeveel cijfers heeft de uitkomst van 69! volgens je reken-
machientje? >b Hoe kun je het aantal cijfers van de uitkomst van 70! vinden? 10. In de lijst van faculteitsgetallen kun je zien dat:
1 miljoen in ligt tussen 9! en 10!
>a Zoek uit tussen welke opvolgende faculteitsgetallen 1 miljard (= 1000
keer miljoen) ligt.
>b Dezelfde opdracht voor 1 biljoen (= miljoen keer miljoen). >c Ook voor 1 triljoen (= miljoen keer miljoen keer miljoen). 11. Nogmaals de 12 jongens van de gymnastiekles, die zich steeds in een
ander rijtje moeten opstellen. Veronderstel dat ze alle mogelijke rangschikkingen achter elkaar willen
uitproberen. Voor iedere nieuwe opstelling is een halve minuut nodig. Om gezondheidsredenen mogen ze niet meer dan 8 uur per dag doorgaan. > Hoeveel tijd hebben ze nodig om alle opstellingen te maken?
|
|||||
|
-21 -
|
||||||||||||
|
5 Wegen tellen
1. Als er vier wegen zijn die van A naar B leiden en als er vijf wegen zijn
van B naar C, dan zijn er twintig verschillende routes van A naar C. >a Beredeneer dat.
>b Hoeveel verschillende routes zijn er van C die naar A leiden via B ?
|
||||||||||||
|
Gegeven zijn drie plaatsen P, Q en R.
Er zijn 12 verschillende routes van P via Q naar R.
Een mogelijk wegennet voor P, Q en R is:
|
||||||||||||
|
> Teken alle andere mogelijke wegennetten.
3. Bepaal in elk van de volgende gevallen het aantal routes van beginpunt
(= B) naar eindpunt (= E) |
||||||||||||
|
>a
|
||||||||||||
|
>b
|
||||||||||||
|
>c
|
||||||||||||
|
>d
|
||||||||||||
|
22
|
||||||||||||||||||||||||||
|
4. > Hoeveel routes zijn er van S naar F?
|
||||||||||||||||||||||||||
|
5
|
||||||||||||||||||||||||||
|
—>—
—»-----------»—
----->-^----*—
------*—----->—
|
||||||||||||||||||||||||||
|
S
|
||||||||||||||||||||||||||
|
<' >' \> v* \>
|
||||||||||||||||||||||||||
|
F
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(a)
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(b)
|
||||||||||||||||||||||||||
|
I—>—I—>—I—>—I—>—I—^—1—>—I—»—I—^-—I—>—I—*—I—*—I—»—I—>—
Y \' \' \/ \' \' \r \' \t 1' >' (' \f \r
I----i-----1----»----\----^_J----^----1----^----1-----»_J----i,----1---->----1-----!^J----->,----1----^----1----»----1----^---- |
||||||||||||||||||||||||||
|
(c)
|
||||||||||||||||||||||||||
|
*—I—?—I—»■
|
||||||||||||||||||||||||||
|
\f 11 \' \i
|
||||||||||||||||||||||||||
|
>' V \'
|
||||||||||||||||||||||||||
|
F
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(d)
5. De plaatsen A en 5 liggen
aan weerzijden van een rivier. Om van A naar B te gaan is er keus uit drie oeververbindingen. > Hoeveel verschillende routes
zijn er van A naar BI |
||||||||||||||||||||||||||
|
(e)
|
||||||||||||||||||||||||||
|
-23-
|
|||||||||||
|
6. Kanaal in Square City met vier bruggen.
> Hoeveel routes zonder omwegen zijn er van P naar Q?
|
|||||||||||
|
ö
|
|||||||||||
|
A \ I! ] I 1 r
|
|||||||||||
|
In de figuur zie je een route zonder omwegen langs de ribben van een
kubus van A naar G. > Hoeveel van zulke routes zijn er in totaal van A naar G?
G
|
|||||||||||
|
> Hoeveel verschillende routes, via ribben en zonder omwegen, zijn er
van A naar K? |
|||||||||||
|
24-
|
||||||
|
9. Hoeveel routes van //(oog) naar L(aag)?
|
||||||
|
>a
|
||||||
|
>b
|
||||||
|
-25-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6 Rangschikken met herhalingen
1. Bij een enquête moeten tien vragen worden beantwoord door een kruisje te
zetten in één van de hokjes: 'ja', 'neen', 'geen mening' |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Twee personen zijn het niet eens over het aantal verschillende manieren
waarop de 10 vragen beantwoord kunnen worden. De een beweert dat er 1000 manieren zijn. De ander houdt vol dat het er
59049 zijn. >a Wie heeft gelijk?
Omdat men niet geheel tevreden is over de enquête, wordt besloten de
antwoordmogelijkheden te verfijnen. Er is nu keus uit vijf categorieën: 'geheel mee eens', 'mee eens', 'geen
mening', 'mee oneens', 'geheel mee oneens'. >b Hoeveel verschillende resultaten zijn er nu mogelijk bij tien enquête-
vragen? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Om het automatisch sorteren van post mogelijk te maken, is een aantal
jaren geleden de postcode ingevoerd. Ieder adres in Nederland is geco- deerd met vier cijfers en twee letters. De eerste groep van twee cijfers duidt een regio aan (zie regiokaart blz.
26). De tweede groep van twee cijfers geeft een wijk aan binnen de betreffende
regio. De groep van twee letters staat voor een groep van 25 adressen bin- nen de betreffende wijk. Voorbeeld: .5 6. ,5 5. BS
y- ^7- ^-r
regio wijk groep adressen
De wijknummers beginnend met een nul
zijn gereserveerd voor postbussen en stellen dus geen adres voor. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
26
|
||||||||
|
Regionale
opbouwvan de postcode |
||||||||
|
.^..^^^^^J!^
|
||||||||
|
>a In hoeveel regio's is Nederland verdeeld?
>b Hoe is aan de regiokaart te zien welke gebieden van Nederland dicht-
bevolkt en welke dun bevolkt zijn. >c De stad Utrecht (regio 35) heeft ca. 230.000 inwoners. Enig idee
hoeveel adressen er in Utrecht zijn? En wat is het aantal mogelijke codenummers voor de regio Utrecht? >d V/at i.s het maximale aantal adressen, dat met de postcode in Neder-
land kan worden aangeduid? |
||||||||
|
r
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
27
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een postcodenummer kan het voorkomen dat een cijfer of letter meer-
malen in één codenummer optreedt. Bijvoorbeeld: 3233 AB of 2178 DD In zo'n geval spreekt men van een rangschikking waarbij herhaling is toe-
gestaan, kortweg: rangschikking met herhaling Als bij een rangschikking van drie letters uit het rijtje A, B, C, D, E her-
haling is toegestaan, is het aantal mogelijkheden: 5^ = 125. Als geen herhaling is toegestaan, is het aantal mogelijkheden aanzienlijk kleiner, in dit geval: 5.4.3 = 60. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bekijk de 125 rangschikkingen met herhaling van drie letters uit A, B, C,
D,E > Hoeveel rangschikkingen zijn er, zoals AAB, waarin precies twee
verschillende letters voorkomen? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-28
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Uit de klinkers A, E, I, O, U, Y worden er vier gekozen en op een rijtje
gezet. >a Hoeveel verschillende rangschikkingen van vier met (eventuele) her-
haling zijn er mogelijk? >b In hoeveel van die rijtjes komen vier verschillende letters voor? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In één kolom van een
den worden voorspeld. 1 = thuisclub wint
2 = thuisclub verliest
3 = gelijk spel.
|
totoformulier kunnen de uitslagen van 12 wedstrij-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ma
UB
|
"ïïn
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-niïïT
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ÏÏJ
mini]
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
000
000 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[7 H
E 0
0 0
0 1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
00
00
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Haarlem
RK-C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I3BB
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O0
000
000 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
BB
00 BB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Groningen
RotJa J.C. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
UB
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
000
000 000 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
urn
|
BB
00 00
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3
Utrechl
Twente |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[I 3
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
000
000 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
00
00 00 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
urn
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M.V.V,
Sparla R. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
00[
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
E j]
[7 3
0 1
|
000
000 BBd
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
00
00 BB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
UB
US |
0
mnrtn |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Feyenoorfl
P.E CZw |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
00[I
000
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
311]
SE |
B0
BB 00 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0
0
0[ltj] |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 3
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Volendam
Ajax |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
000
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Q[
|
000
000 BB
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
00
00 BB |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0[I 3
BE 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
V.V.V.
Veendam |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Mm
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
±]Q
m
|
0
01ItI]
0
|
00
0B BB |
00E
000
000 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Oen Bosch
Willem II |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 0
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
urn
00
|
0
B[I10 |
00
00 00 |
00
000
000
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 3
0 1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
PS.V.
Forluna S. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
000tn
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
00^0B[T
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
00B
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Graalsctiap
Excelsior |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g0
00
|
00
00 |
000
00 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1^
00 00 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
01
|
00
|
00[I
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0010
00 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Emmen
Cambuur |
00
|
0 3
|
000
00 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
BBI
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
000L4000
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
]00[
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1Z
A.Z.
Oen Haag
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
]00
m
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
00
|
00010
|
000
000
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Op hoeveel verschillende manieren kan één kolom worden ingevuld?
>b Hoeveel verschillende mogelijkheden zijn er om één kolom in te vul- len waarbij geen enkel gelijkspel wordt voorspeld? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. Een meerkeuzetoets bestaat uit 15 vragen.
Bij iedere vraag staan vier antwoorden, waarvan er een moet worden geko-
zen en aangekruist. > Op hoeveel verschillende manieren kan de toets worden beantwoord?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
29
|
||||||||||||||||||||
|
7 De driehoek van Pascal
1. Opnieuw de blokkentoren in Amsterdam, maar nu is er op elk blok een
getal geschilderd. |
||||||||||||||||||||
|
>a Welke betekenis hebben de getallen op de blokken volgens jou?
|
||||||||||||||||||||
|
Stel er wordt aan ae onderkant van de toren een rij van zes blokken toege-
voegd. Die blokken worden ook met een getal beschilderd, zodat het begonnen systeem wordt voortgezet. >b Welke getallen moeten er op die nieuwe rij blokken staan?
In de plattegrond van Square City wordt bij elk kruispunt vermeld hoeveel
routes zonder omwegen er naar dat kruispunt leiden, gerekend vanaf het
Stadhuis.
Bij drie kruispunten is het aantal routes al ingevuld.
|
||||||||||||||||||||
|
2.
|
||||||||||||||||||||
|
^lll^B ^^ l^iJ L:
|
||||||||||||||||||||
|
irzio
|
||||||||||||||||||||
|
TWWWTfWW
|
^^^n^mrr
|
|||||||||||||||||||
|
iéé**Mi*MdA 't M*«MMbA«
|
||||||||||||||||||||
|
Stadhui?! I 11 11 I f
|
||||||||||||||||||||
|
>a Vul zelf de aantallen in bij de andere twaalf kruispunten.
>b Zie je een verband met opgave 1? Zo ja, welk? |
||||||||||||||||||||
|
30
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een verstandige aanpak bij het tellen van aantallen routes in een rooster is om
bij elk 'tussenpunt' het aantal routes naar dat punt te schrijven. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bekijk het vierkant:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10=644
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Uit het aantal routes naar het punt links-boven (= 6) en het punt
rechts-onder (= 4) kun je door optellen het aantal routes naar het punt rechts-boven (= 10) vinden. Logisch? Bepaal in onderstaande situaties het aantal routes van 5 naar F door
bij elk tussenpunt het aantal routes te schrijven en de optelmethode toe te passen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
---------1---------1----------1--------<)
II------1------1-------1------
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I---------------1---------------1----------------1---------------1---------------1----------------1-------------*
s u-----1------1------1------1------1------1-----
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(b)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(a)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-*F
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
S (
(d)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
S i
(c)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
31
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
(f)
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
(e)
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
5. In Square City is een fraaie tuin aangelegd die niet door voetgangers mag
worden betreden. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
M
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
^^^^ 1^^^^^^^^ I^^^^^^^^^J Lmiammi*^^^ I^^^^^^^^^^ (^^^^^^^^
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
ï
L^
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Squaie
Garden |
|||||||||||||||||||||||||||
|
^^^^^^^™ w^rr
|
•^^^^r^f^rm r^^nr
|
||||||||||||||||||||||||||
|
i[—if—II JL \r
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
A
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
Hoeveel routes zonder omwegen zijn er van A naar B ?
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
32
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De getallen op de blokkentoren van opgave 1 geven aan hoeveel afdalingen
mogelijk zijn vanaf het bovenste blok. Dat systeem kan verder uitgebreid wor- den. Wanneer de blokken weggelaten worden, ontstaat een getallenpatroon, dat de driehoek van Pascal wordt genoemd. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het patroon wordt ook vaak zo gegeven:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het getallenpatroon is zo genoemd naar de Franse filosoof en wiskundige
Blaise Pascal (1623-1662). Het werd in de tweede vorm onder zijn naam in 1665 (posthuum dus) gepubliceerd. Pascal was overigens niet de eerste wiskundige op aarde die de tabel ontdekte
en gebruikte.' |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Blaise PASCAL
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-33
|
||||||||||
|
In een Chinees wiskundeboek, van de schrijver Ssu Yuan Yu en Chuh Shih-
Chieh, daterend uit het jaar 1303, is de tabel al te vinden. En dat de tabel nog veel ouder is, blijkt uit het feit dat hij in het Chinese boek 'de antieke tabel' wordt genoemd. |
||||||||||
|
Oud-Chinese versie van de drie-
hoek van Pascal. |
||||||||||
|
6. > Hoe schrijf je het getal 8 in het Chinees?
7. Bekijk het eerste patroon:
|
||||||||||
|
regel O
regel 1 regel 2 regel 3 regel 4 In de figuren op blz. 32 staat het patroon afgedrukt tot en met regel 9.
Hoe ziet regel 10 eruit? |
||||||||||
|
34
|
||||||||
|
Tel voor de regels 1 tot en met 6 de getallen per regel op.
Regel 1: 1 + 1=2 Regel 2: 1+2+1=4 enz. >a Enig idee waaraan de som van de getallen op regel 10 gelijk is?
>b En op regel xl Dwars door Square City loopt een kanaal, zoals je al eerder gezien hebt.
Langs het kanaal is een mooie boulevard aangelegd, waar op een rustige zondagmiddag vele inwoners van de anders zo bedrijvige stad zich op gepaste wijze al wandelend ontspannen. |
||||||||
|
Kanaal
|
||||||||
|
Een inwoonster van Square City wil zich van punt A zo snel mogelijk naar
de kanaalboulevard begeven. > Uit hoeveel routes heeft zij de keus?
|
||||||||
|
35
|
||||||
|
10. ABRACADABRA is een oude bezweringsformule. Het zou de mensen
tegen ziekten en noodlottige invloeden beschermen. Het woord stond veel- vuldig op amuletten en talismans vermeld. Het werd elfmaal onder elkaar geschreven, telkens met een letter minder, zodat een gelijkzijdige driehoek
ontstond. ABRACADABRA
ABRACADABR
ABRACADAB
ABRACADA
A B R A C A D
A B R A C A
A B R A C
A B R A
A B R
A B
A
Een talisman met dit opschrift gaf veel macht, want je kunt het woord
ABRACADABRA op wel 1024 manieren lezen. Een van die manieren is: A B R A
A C A D A B R >a Controleer of er inderdaad 1024 manieren zijn.
Een andere manier om de bezweringsformule op een talisman te schrijven
is de ruitvorm. A
B B
R R R
A A A A
C C C C C
A A A A A A
D D D D D
A A A A
B B B
R R
A
Een manier om het woord te lezen is nu bijvoorbeeld:
A
B R A
C A
D A B R
A |
||||||
|
>b Hoe vaak staat er in de ruitvorm het woord ABRACADABRA?
|
||||||
|
36
|
|||||||||
|
8 Routes in een rooster
Op bladzijde 47 staat een getallenschema afgedrukt. Daarin is voor een groot
aantal roosterpunten af te lezen hoeveel routes naar dat punt leiden vanuit het startpunt S. Bij de meeste vraagstukken in dit hoofdstuk is het handig om van dat schema
gebruik te maken. 1. Geparkeerde auto's in Dallas (V.S.), detail van de omslagfoto.
|
|||||||||
|
De eigenaar van de omcirkelde auto steekt bij de witte streep met X over
naar de parkeerplaats om vervolgens zonder omwegen terug te lopen naar zijn auto. Hoewel het er op de foto alle schijn van heeft dat de auto's vrijwel tegen elkaar staan, kan hij overal tussendoor. > Uit hoeveel routes heeft hij de keus?
|
|||||||||
|
In een vlak is een coördinatenrooster getekend. De taxi-afstand van (0,0)
tot (5,3) is 8. >a Hoeveel taxi-routes met lengte 8 zijn er van (0,0) naar (5,3)?
>b En hoeveel van (0,0) naar (6,2)? >c Als je de uitkomsten van >a en >b bijelkaar optelt krijg je het aantal
taxi-routes van (0,0) naar.......... |
|||||||||
|
37
|
|||||||||||||
|
>a Teken alle punten in een coördinatenrooster die op een taxi-afstand 5
van de oorsprong liggen.
>b Hoeveel verschillende taxi-routes met lengte 5 zijn er in totaal vanuit de oorsprong?
>c En hoeveel met lengte 8? |
|||||||||||||
|
Ajax-PEC, uitslag 6-4.
Een verslaggever die tijdens de wedstrijd in slaap is gevallen, moet het
score verloop gokken.
Een mogelijk scoreverloop is:
1-0; 2-0; 2-1; 3-1; 4-1; 4-2; 4-3; 5-3; 6-3; 6-4.
Dit scoreverloop kan worden voorgesteld door een route in een rooster.
|
|||||||||||||
|
PEC
|
|||||||||||||
|
(6,4)
|
|||||||||||||
|
-►Ajax
|
|||||||||||||
|
De tussenpunten (1,0); (2,0); (2,1) enz. komen overeen met de tus-
senstanden. >a Uit hoeveel verschillende scoreverlopen moet de verslaggever kiezen.
>b Later hoort hij van zijn vrouw de ruststand: 2-2. Hoeveel verschillende scoreverlopen zijn er nu nog denkbaar?
|
|||||||||||||
|
38
|
|||||||
|
5. Toevallig werd er een paar jaar geleden bij de wedstrijd Ajax-PEC ook 10
keer gescoord. De uitslag was toen 7-3. > Hoeveel verschillende scoreverlopen passen bij die uitslag?
|
|||||||
|
6. Bij een wedstrijd worden er in totaal zes doelpunten gemaakt.
>a Welke eindstanden kunnen voorkomen?
>b Geef bij elke eindstand aan hoeveel verschillende scoreverlopen daar-
bij passen. >c Het totaal aantal mogelijke scoreverlopen is 64. Controleer dit. Het is niet toevallig dat een scoreverloop kan worden weergegeven als route in
een rooster. Er zijn immers bij elk doelpunt maar twee mogelijkheden: Ajax
scoort of PEC scoort.
Het scoreverloop kan worden voorgesteld door een rijtje van tien letters,
bijvoorbeeld:
AAPAAPPAAP
Alle mogelijke scoreverlopen bij de einduitslag 6-4 zijn te vinden door alle
rijtjes van zes letters A en vier letters P op te schrijven.
Wanneer dat systematisch gebeurt (en je beschikt over veel tijd!) dan kunnen de
210 mogelijkheden wel gevonden worden.
De driehoek van Pascal geeft dit antwoord veel sneller.
Allerlei situaties waarbij steeds een keus gemaakt moet worden uit slechts twee
mogelijkheden, kunnen worden beschreven door rijtjes, waarin twee symbolen
voorkomen. Elk van die rijtjes is weer te geven als route in een rooster.
|
|||||||
|
39-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een paar voorbeelden:
de resultaten van tien leerlingen VVOVOOOVVO
bij een proefwerk (V = voldoende
O = onvoldoende)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
in
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 1001001
(1 = wel gekozen O = niet gekozen) KKMMMKMKKM
(K = kop, M = munt) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
er worden 3 personen gekozen
uit een groep van acht mensen tien keer tossen met een
muntstuk |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Mf
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. »w _v.^
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
K
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
samenstelling van een gezin
met zes kinderen |
JM J JM J
(J = jongen, M = meisje)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. > Hoeveel rijtjes van vijf Vs en vijf O 's zijn er te maken?
En van vijf O-en en drie 1-en?
En van vijf AT 's en vijf M 's? En van vier / 's en twee M 's? 8. Van de zestien leerlingen halen er zes een onvoldoende voor het proef-
werk. > Op hoeveel manieren kunnen die zes onvoldoendes over de groep van
zestien leerlingen verdeeld zijn? 9. De toestand van de vijftien bomen langs de Parklaan wordt onderzocht.
Zieke exemplaren worden gemerkt met een kruis. Er blijken vijf bomen ziek te zijn. >a Op hoeveel manieren kunnen die vijf zieke bomen over de Parklaan
verspreid staan?
>b En hoeveel manieren zijn er, als je weet dat de eerste twee bomen gezond zijn en de middelste ziek is?
10. Vier leerlingen zullen de klassefuif organiseren: twee jongens en twee
meisjes. Ze worden gekozen uit de 23 leerlingen van de klas (11 jongens en 12 meisjes). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
> Hoeveel verschillende viertallen kunnen gekozen worden?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-40
|
|||||
|
11. Een leerling heeft Nederlands, Engels en wiskunde A in haar vakkenpakket
opgenomen. Voor de drie overige vakken moet ze nog een keus maken uit Duits, Frans, geschiedenis, aardrijkskunde, biologie, scheikunde, economie, handelswetenschappen en tekenen. > Hoeveel mogelijke drietallen vakken kan zij aan haar pakket toevoe-
gen? 12. Uit zijn verzameling van 13 LP's kiest Piet vier exemplaren, die hij wil
gebruiken ter opluistering van zijn feestje. >a Hoeveel viertallen kan hij kiezen?
>b Op hoeveel manieren kan uit die 13 LP's een top-vier worden samen-
gesteld? >c Het aantal van >b is 24 keer zo groot als het aantal van >a.
Hoe verklaar je dat? |
|||||
|
-41
|
||||||
|
9 Gemengde opgaven
1. In een klas zitten 32 leerlingen.
Er wordt een tafeltennistoumooi georganiseerd waar iedereen aan meedoet.
Bij het tournooi wordt gespeeld volgens het afvalsysteem: wie een partij verliest valt af. Er zijn 4 leerlingen in de klas die lid zijn van een tafeltennisclub en de
tournooileiding besluit dat deze 4 leerlingen pas in een zo laat mogelijk stadium tegen elkaar mogen spelen. > Maak een boomdiagram voor een mogelijk wedstrijdschema. Num-
mer de spelers met 1, 2, 3,.....32. De eerste vier nummers zijn de 'geplaatste' spelers.
2.
|
||||||
|
> Hoeveel verschillende routes zijn er van A naar 5?
3. De oorspronkelijke Polynesische taal van Hawaii kent slechts 12 letters: de
klinkers A, E, I, O, U en de medeklinkers H, K, L, M, N, P en W. > Hoeveel verschillende drie-letter-woorden kun je uit deze letters
samenstellen, waarbij de middelste letter een klinker moet zijn. 4. Vergelijk twee systemen van lettercombinaties:
Systeem I Uit de acht letters A tot en met H worden rijtjes van drie letters gevormd.
Bijvoorbeeld: AAB, BCD, FGF, HHH.
Systeem II
Uit de drie letters A, B, C worden rijtjes van acht letters gevormd.
Bijvoorbeeld: ABBACCCA, ABCABCAB
> Welke van de twee systemen bevat de meeste lettercombinaties?
|
||||||
|
42
|
|||||||||||||
|
In figuur 1 zijn zes routes mogelijk van A naar G. Bij figuur 2 zijn er
twaalf routes van A naar K. |
|||||||||||||
|
figuur 2
|
|||||||||||||
|
> Hoeveel routes zijn in figuur 3 mogelijk van A naar P ?
p
|
|||||||||||||
|
-^ figuur 3
6. Het alfabet is een rangschikking van 26 letters.
> Hoeveel verschillende 'alfabetten' zijn er mogelijk met onze 26 let-
ters? 7. Kentekennummers van auto's bevatten vier letters en twee cijfers.
|
|||||||||||||
|
tmmmmmmmm i wmmmÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊÊ,
|
|||||||||||||
|
De letters O en I worden niet gebruikt om verwarring te verkomen met de
cijfers O en 1. De twee cijfers staan in het midden. > Hoeveel verschillende kentekennummers kunnen er op deze manier
worden gemaakt? |
|||||||||||||
|
43-
|
|||||||
|
8. Kim beweert: 6! x 7! = 10!
Veronderstel dat je geen rekenmachientje bij de hand hebt.
> Hoe kun je toch snel uitmaken of zij gelijk heeft?
9. Een bekende toverspreuk is HOCUS POCUS PILATUS PAS.
> Op hoeveel manieren kun je die spreuk in onderstaand letterpatroon
lezen? H
O O
C C C
u u
s
p
o o
c c c
u u
s
p
I I L L L
A A A A
T T T
U U
s
p A A
S 10. Bij een cijferslot voor de fiets hoort een code van drie cijfers, te kiezen
uit: O, 1,....., 9. In een codenummer kan één cijfer meer keren voorkomen.
>a Hoeveel verschillende codenummers zijn er volgens dit systeem?
>b Hoeveel codenummers zijn er die uit drie verschillende cijfers bestaan? |
|||||||
|
11.
|
|||||||
|
De gastvrouw heeft misschien spijt van de gekozen rangschikking van haar
14 gasten aan tafel. > Uit hoeveel rangschikkingen kan zij kiezen, vooropgesteld dat zij de
afwisseling man-vrouw-man-vrouw-enz. wil handhaven? |
|||||||
|
44
|
|||||||||
|
12. In de straten van Square City is éénrichtingsverkeer (zie de pijltjes in de
plattegrond). J'l__Itl__I* I__ItLJ^I__If I__1*L
ïaD'QD'ODT
jp.p'p.p'p.ü'c
I___I I___It I___I I___|t I___I L
|
|||||||||
|
I* I I I I* I I I I* r~
"~ii I j I u I 1 I 11 I I I u p
_J I___|t I___I I___It I___I I___lt I___I L
ïpü'p.p'apt
n*rit rn* fit r~i^ rit r~i* r
|
|||||||||
|
> Hoeveel verschillende (zonder omwegen) auto-routes zijn er van A
naar BI 13. Bekijk onderstaand boomdiagram.
Bedenk zelf een opgave die met behulp van dit boomdiagram kan worden
opgelost. |
|||||||||
|
45-
|
||||||||||||||
|
14. De uitslag van een zaalhockeywedstrijd tussen de teams A en B was 5-3.
>a Hoeveel verschillende scoreverlopen zijn er die tot deze uitslag lei-
den? >b Het winnende team A heeft in de wedstrijd steeds vóór gestaan.
Hoeveel verschillende scoreverlopen zijn er mogelijk? 15. Hoeveel verschillende routes zijn er van A naar fi?
A
|
||||||||||||||
|
16. 99! en 101! zijn 'astronomische getallen'.
>a Verklaar dat 99! een deler van 101! is.
u T, , u ••• 101!
>b Bereken het quotiënt------- ^ 99!
|
||||||||||||||
|
17. Kettingbrieven komen regelmatig in het nieuws.
Daarbij gaat het niet om de onschuldige vorm met ansichtkaarten, die in
hoofdstuk 1 aan de orde was.
Een wettelijk verboden variant werkt met geld.
Onderstaand artikel was bedoeld om de Nederlandse bevolking tegen deze
soort kettingbrief te waarschuwen.
|
||||||||||||||
|
KETTINGBRIEF: TOCH MAAR
Iemand in Nederland at op dit
moment heel rijk te worden. Als alles gaat zoals hij of zij het bedacht heeft, komt er zo'n 800 duizend gulden binnen. Keurig verpakt in enveloppen van elk honderd piek. Dat is de bedenker van de kettingbrief Gouden Cir- kel, die naar het lijkt de halve randstad en Utrecht in zijn greep houdt. De Gouden Cirkel noemt zichzelf geen kettingbrief (omdat dat verboden is), maar werkt wel op de bekende ketlingmanièr. Bijzonder is dat ook de brief zelf gekocht moet worden. De prijs is nog eens honderd gulden. Om quitte te draaien moet de deel- nemer dus twee brieven door- verkopen. |
NIET DOEN
Dat houdt vaart in de brief. Wie
inmiddels nog niet benaderd is voor de aanschaf, moet wel heel geïsoleerd leven. De verspreiding gaat nogal snel, namelijk. Een re- kensommetje om iedereen die nu nog meedoet te ontnuchteren: Er staan twaalf namen op de lijst Dat betekent dat er minstens 4096 mensen meedoen (en waarschijn- hjk meer, want er zijn al wat eerste namen weggevallen). Voor dat nummer twaalf nummer één wordt, doen er (4096x40%) inmiddels 16,78 miljoen mensen mee. Laten we zeggen: geheel Nederland en een gedeelte van Vlaanderen. Wie daarna inschrijft heeft 33,5 miljoen deelnemers nodig. |
|||||||||||||
|
Wie daarna komt 67,1 miljoen.
Het ministerie van Justitie heeft de afgelopen weken al wat vragen te verwerken gekregen over de brief. Antwoord: kettingbrieven zijn verboden in de wet op de Kansspelen. Deze brief ook. Vanwege artikel 1 van de wet: 'Het is verboden om mee te din- gen naar prijzen of premies als de aanwijzing van winnaars geschied door enige kansbepaling, waar de deelnemer geen overwegende invloed op kan uitoefenen.' De Hoge Raad bepaalde dit artikel al in 1932 van toepassing op ket- tingbrieven. |
||||||||||||||
|
46
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Ga na wat de 'spelregels' voor deze kettingbrief zijn.
>b Controleer de getallen ƒ 800.000 en 4096, die in het artikel genoemd worden. 18. Yvonne gooit tien maal met een muntstuk en noteert steeds of ze kruis (K)
of munt (M) heeft gegooid. Zo ontstaan series als K K M M K M K K K M. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-^K
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Hoeveel verschillende series zijn er mogelijk?
Hoeveel mogelijke series zijn er, als je weet dat ze even vaak kruis
als munt heeft gegooid?
Als je bovendien nog weet dat ze de eerste keer kruis gooide, hoeveel
mogelijke series zijn er dan met evenveel kruis als munt?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a
>b >c
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
47
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Routes in een rooster.
In dit schema is af te lezen het aantal verschillende routes naar een gegeven
roosterpunt. Het startpunt is altijd linksonder (S).
Voorbeeld: er zijn 1287 verschillende routes naar het punt (8^).
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11 66 286 1001 3003 8008 19448 43758 92378 184756
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
92378
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
43758
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
19448
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8008
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3003
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1001
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
286
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
66
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||