|
TABELLEN, GRAFIEKEN, FORMULES 3
|
|||
|
TABELLEN,
GRAFIEKEN,
FORMULES
|
|||||
|
WISKUNDE A
|
|||||
|
TABELLEN, GRAFIEKEN, FORMULES 3
Een produküe ten behoeve van het project Hawex. Ontwerper: Anton Roodhardt
Met medewerking van: Jan de Jong
Martin Kindt Henk van der Kooij Martin van Reeuwijk Vormgeving: Ada Ritzer
© 1994 Freudenthal instituut, Utrecht
ongewijzigde 3e versie |
||||
|
Inhoudsopgave
1. Problemen rond een formule........................................................................... 1
2. Lineair bij stukjes en beetjes........................................................................... 7
3. Formules met meer ingangen.......................................................................... 11
4. Grafische voorstellingen van formules met twee ingangen............................ 14
5. Combinaties van grafieken.............................................................................. 20
6. Machtsfuncties met natuurlijke getallen als exponent.................................... 26
7. Gebroken functies............................................................................................ 35
8. Schakelen van grafieken en formules.............................................................. 42
9. Model en werkelijkheid................................................................................... 47
10. Het krachtenspel............................................................................................ 52
11. Nog enige toepassingen................................................................................. 55
|
||||
|
-1-
|
||||||||
|
1 Problemen rond een formule
Formules zijn in de vorige boekjes al terloops aan de orde gekomen. Hier staan ze
centraal.
De bedoeling van dit eerste hoofdstuk is een indruk te geven van de verschillende
soorten vragen die vaak bij formules gesteld worden.
|
||||||||
|
1 betonblok weegt 2,5 ton
|
||||||||
|
1. Er zijn indertijd proeven genomen met het gebruik van helikopters bij het stor-
ten van betonblokken voor de aanleg van een dijk. Bij het depot pikt de heli drie blokken op, vliegt naar de stortplaats en deponeert ze daar. Na het terugvliegen is één vlucht voltooid. Het is voor het uitvoeren van waterwerken belangrijk om te weten hoeveel
vluchten per uur zo gemaakt kunnen worden. Dat aantal zal afhankelijk zijn van de te vliegen afstanden. Daarvoor is een for-
mule bedacht: 0,01d + 6
VL is het gemiddelde aantal vluchten per uur en d is de afstand van het depot
tot de stortplaats in m. |
||||||||
|
>a Vul de tabel in:
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||
|
d in meter
VL afronden op 1 decimaal
|
|||||||||||||||||||||||||
|
>b Uit de tabel blijkt: hoe groter d, hoe kleiner VL.
Waarom mag je dat van een bruikbare formule verwachten?
Was zo al aan de formule te zien dat dit zou gebeuren? >c Teken een grafiek van de formule, waarbij d alle waarden van 100 tot 1000
meter aanneemt (d langs de horizontale as, VL langs de verticale as) >d Voor een karwei is het gewenst dat er minstens 52 vluchten per uur worden
gemaakt. Bepaal met behulp van de grafiek hoe groot de afstand tussen de- pot en stortplaats mag zijn. Controleer met een berekening of het antwoord ongeveer klopt. >e Probeer met de rekenmachine eens uit te vinden bij welke afstand het ge-
middelde aantal vluchten per uur onder de 12 komt. Het antwoord moet minder dan 100 m van het echte antwoord verschillen. Opmerking:
De probeermethode werkt zo: Kies een waarde voor d. Bereken VL. Beslis nu
of er een hogere of lagere waarde voor d gekozen moet worden, enz.
|
|||||||||||||||||||||||||
|
-3-
|
||||||||||||||||||||
|
>f De piloot van de helikopter wil een record vestigen in het zo snel mogelijk
oppikken en het meteen daarna weer netjes neerzetten van de lading. Als prestatie geldt het aantal malen dat hij in 20 minuten deze handeling kan uitvoeren. Op welk record kan hij, als alles meezit, uitkomen?. Bij opgave 1 >e kon dit probleem ontstaan:
|
||||||||||||||||||||
|
Welke waarde moet je aan d geven om er voor te zorgen dat
|
||||||||||||||||||||
|
(Er is sprake van een bewering omdat er gezegd wordt dat twee getallen aan elkaar
gelijk zijn.) Het moeizame proberen kan met behulp van enige algebra vermeden worden.
Een van de manieren is: |
||||||||||||||||||||
|
Doe alsof de noemer 0,01d + 6 één getal is:
|
450
|
|||||||||||||||||||
|
= 12
|
||||||||||||||||||||
|
0,0ld+6
|
||||||||||||||||||||
|
Het probleem is: Welk getal moet in het hokje staan opdat ^ = 12 klopt?
Dat getal is 450 : 12 = 37,5. |
||||||||||||||||||||
|
Dus I 0,0ld + 6 I = I 37,5 | en dit is een vergelijking die je met een bekende
|
||||||||||||||||||||
|
methode kunt oplossen.
0,01c? + 6 = 37,5 0,01c/ = 31,5 d =31,5/0,01=3150.
Controleer het antwoord door invulling in de formule. 2. Om de afstand d bij VL = 17 te berekenen moet de vergelijking
O, Old + 6 ^^^ >a Ga na dat de berekening d = 2047,0588 kan geven.
>b Waarom is dit antwoord eigenlijk niet aanvaardbaar?
Wat is dan wel een redelijk antwoord? >c Wat wordt het antwoord als de afstand op een honderdtal wordt afgerond?
Afronden kan niet altijd volgens een simpel regeltje.
Neem deze vraag: Bij welke afstand is het gemiddeld aantal vluchten per uur hoogstens 17?
Het antwoord wordt afgerond op honderdtallen, >d Waarom is het antwoord uit >c nu fout?
|
||||||||||||||||||||
|
3. >a Bereken d in gehele meters, met behulp van algebra, voor:
>b Doe hetzelfde voor >c Bij de oplossing van
Hoe moet nu gehandeld worden?
>d Eén van de antwoorden van vraag >a of >b is met de getekende grafiek re- delijk goed te controleren, het andere niet Toch bevat de grafiek zoveel in- formatie dat een grote fout herkend kan worden. Hoe gaat dat? We willen nu proberen te achterhalen hoe de formule is ontstaan. Een bruikbare me-
thode is om zelf eens één of meer rekenvoorbeelden te maken en daaruit een recept af te leiden. We rekenen in seconden en meters en laten het woord 'gemiddelde' weg. In die be-
rekening is een aantal stappen te onderscheiden: I , , 3600
aantal vluchten per uur = ajd per vlucht
tijd per vlucht = tijd voor heen en weer vliegen + tijd voor laden en lossen
_.., , ^, ,. 1X af stand tussen depot en stortplaats
tijd voor het heen en weer vliegen = ----^------------tttz---------'^------ 4. > Ga na of deze 'woordformules' juist zijn.
Er is zo ook te zien welke gegevens we nodig hebben om een berekening te kunnen
maken. We kiezen: snelheid = 12 m/s
tijd voor laden en lossen = 50 s
stortafstand = 500 m
5. >a Bereken nu het aantal vluchten per uur.
>b Doe hetzelfde voor een stortafstand van 900 m.
Om goed te zien wat er eigenlijk gebeurt, moetje lui zijn en geen rekenstap uitvoe-
ren. Voor een stortafstand van 300 m ontstaat dan het resultaat: aantal vluchten per uur =
12
6. > Hoe kan dit resultaat snel worden veranderd, zodat je het resultaat voor de
stortafstand van 500 m krijgt?
Het voordeel van de formule is dat zij voor heel veel stortafstanden kan worden ge-
bruikt. Dat is te bereiken door voor die stortafstand een variabele (hier d) te kiezen en daarmee de berekening te maken. |
||||
|
-5-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. >a Gebruik je ervaring uit opgave 6 om in één keer het antwoord voor stortaf-
stand d op te schrijven (geen herleidingen toepassen). >b Bepaal het antwoord ook door een berekening van het begin af aan.
Door middel van een kleine herleiding is nu deze nieuwe formule op te schrijven:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
VL =
|
3600___
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0,167d + 50
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
450
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Deze formule heeft dezelfde 'structuur' als de oude (VL = ooid + 6 ^ i^^^^^ij'^-
y^ ^ -------SJM------
getal xd+ getal
8. De nieuwe formule geeft bij elke d een kleinere waarde voor VL dan de oude. > Toon dat aan door eerst de vorm met 3600 in de teller om te rekenen naar
de vorm met 450 in de teller. Het aantal vluchten per uur kan worden opgevoerd door een betere laad- en los-
methode te ontwikkelen of de helikoptersnelheid te verhogen. Het voordeel moet natuurlijk wel de extra kosten overtreffen. Om dat te kunnen bestuderen zijn er formules nodig waarbij die snelheid en die laad- en lostijd als variabelen voorkomen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ontwerp formules voor de volgende drie gevallen:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
eenheid
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
snelheid
laad- en lostijd stortafstand |
m/s
s
m
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10. We gaan weer naar de situatie aan het begin van het hoofstuk. Er is ook onder-
zocht hoeveel invloed een gelijktijdig aanwezige kabelbaan op het aantal vluchten per uur kan hebben. >a Waarom zou dat van invloed kunnen zijn?
De bevindingen staan in deze grafiek:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
—1--------------1--------------1--------------1--------------1-----------
VERBAND TUSSEN AANTAL VLUCHTEN
EN STORTAFSTAND UFT OEVER |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
te
UI
a
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
40
30 20 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-^■1,
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■"*-^*
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
*^-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■"1--"4:|.';?;-=«^«
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
l««<-«»4
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M++ +
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
+ ++-I +
|
-•n-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
STORTAFSTAND UIT OEVER IN M
>b De formule wordt hierdoor ook anders:
VL- 450
0.01d+...
Welk getal moet op de stippen staan?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-6-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een vereenvoudigde praktijksituatie
Er zijn twee stortplaatsen S^ en 52- Voor het depot moet één van de plaatsen D^
en Dj gekozen worden. Voor elke stortplaats wordt één helikopter ingezet. de afstandmatrix is:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
450
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De formule is VL = o.Old + 6
> Bij welke keus van het depot is het totaal aantal mogelijke vluchten per uur het grootst? (Er is aangenomen dat de helikopters elkaar niet hinderen.) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
450
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12.
|
O.Old + 6
We willen een indruk hebben van het aantal kilometers dat een helikopter ge-
durende 1 uur werken aflegt. Iemand geeft deze redenering: 'Als je de stortafstand groter maakt, wordt het aantal vluchten kleiner. Daar- door wordt het totale aantal afgelegde kilometers uiteindelijk niet groter.' Erg overtuigend is dit betoog niet. (a) Misschien is de opzet wel goed, maar ontbreken er belangrijke schakels in
het verhaal. (b) Het is ook denkbaar dat de conclusie onjuist is, omdat in sommige gevallen
wel vergroting van de totale afstand optreedt en in andere gevallen niet. (c) Zelfs zou het zo kunnen zijn dat de totale afstand groter wordt.
> Onderzoek of één van de drie genoemde mogelijkheden zich voordoet. Bij
antwoord (a) moetje de redenering met het ontbrekende aanvullen. Bij (b) moeten voorbeelden voor wel en voor niet gegeven worden. En voor (c) is een complete redenering (bewijs) nodig. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Overzicht van de belangrijkste problemen van dit hoofdstuk:
De UITVOER van een bepaalde formule berekenen als de INVOER bekend is.
• De grafiek van een formule tekenen.
• De IhA'OER berekenen als de (gewenste) UITVOER bekend is. Dit komt neer op het
oplossan van vergelijkingen. Dat kan op verschillende manieren: aflezen uit de grafiek
proberen, controleren, verfijnen, weer proberen,...
gebruik van algebra
• De oplossing van een ONGELUKHEID in verband brengen met de oplossing van een
VERGELUKING. Afironding. De invloed van de INVOER op de UITVOER van een formule aangeven.
Controleren of een formule het gewenste resultaat geeft. Een formule aanpassen aan gewijzigde omstandigheden. Een formule ontwerpen. Een formule 'kraken', dat wil zeggen het 'waarom' opsporen. In het vervolg van dit boek worden deze zaken verder uitgediept
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-7-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 Lineair bij stukjes en beetjes
1. Sterke vrouwen
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De grafieken geven informatie over de invloed van krachttraining.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
schoudergordel
/ en borst (opdrukken) |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
vrouwelijke
atleten |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
benen
(beenstrekkrachl)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
//
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0) 20
E
ra c "> . o 15
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
//
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
'9'
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
]A
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Jl.
|
J-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 6
duur van de krachttraining (maanden)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De toename in spierkracht bij vrouwelijke atletes. De atletes zijn veel sterker dan vrouwen
die niet aan sport doen. Desondanks is de toename in kracht als gevolg van krachttraining aanzienlijk. (Naar: Brown). |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Beide grafieken hebben een knik.
Wat is de betekenis van die knik? >b Vind je de rechte stukken in de grafiek realistisch?
>c Is het juist om te zeggen dat de toename van de kracht en de duur van de
training volgens de grafieken evenredig zijn? En als je de grafieken in gedeelten bekijkt? |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Grafieken van deze vorm geven geen lineaire verbanden aan. Maar je kunt wel zeg-
gen dat ze in etappes lineair zijn. Om ook voor zulke grafieken formules te kunnen opstellen volgt nu een bijzondere
opgave. 2. Deze opgave bevat een stuk leertekst. Die tekst moet je zorgvuldig bestuderen.
Dat houdt in: (1) Bij elke zin nagaan of er iets beweerd wordt.
(2) Beslissen of die bewering waar is.
(Soms kun je dat doen door iets na te trekken of te kijken of die bewe-
ring een logisch gevolg is van iets dat al zeker is.) De tekst heeft betrekking op de volgende grafiek. y
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Er zijn drie etappes waarop de grafiek rechtlijnig is. Bij de overgang naar een volgende etap-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
pe verandert de steilheid. Er zijn dus drie waarden voor
|
Ay:.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ax
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het ligt voor de hand om elke etappe een eigen formule te geven.
Voor I is dat dan ƒ =15 o:
Voor II kun je wagen > = iQr.
Mis, want bij bijvoorbeeld j: = 3 geeft dat > = 30, terwijl er volgens de grafiek y = 40 moet
komen.
De fout is ook te zien dow in de grafiek y = lOx te tekenen.
Dan maary = IQx +......
Uit de coördinaten vani4 volgt dan y=10lx+ 10
Voorin:y = 2,5x+......
Via ^ of C volgt dan y = 2,5jc + 40.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-9-
|
|||||||||||||||||||||||
|
Een overzichtelijke manier van opschrijven is:
' 15jc als 0<j:<2
y= \ lOx+lQ als 2<x<4
.2,5x + 40 als 4<x<8
Dit noemen we ook een functievorm.
De < tekens kunnen ook anders geplaatst worden, als elke j:-waarde maar aan de
beurt komt.
|
|||||||||||||||||||||||
|
3. > Bepaal de formules bij de grafieken voor de sterke vrouwen uit opgave 1.
4. De concentratie van een milieuvervuilende stof
Het autoverkeer produceert vervuilende stoffen. De waargenomen concentratie
van zo'n stof in de lucht is ondermeer afhankelijk van de afstand van het meet- punt tot de weg, de windrichting en de windsnelheid. Er bestaan rekenmodellen die (met behulp van formules) de relatieve concentratie (C) uitdrukken in de af- stand (A). We proberen zo'n rekenmodel te ontwerpen. Om de 100 m zijn metingen ver-
richt. De resultaten zijn op grafiekenpapier als punten getekend. Daardoor zal dan een gebogen grafiek moeten gaan. Met het oog op de eenvoud is de grafiek benaderd door die van een in etappes lineaire functie. 1.0-
|
|||||||||||||||||||||||
|
0.8-
|
|||||||||||||||||||||||
|
o
I §
U >
|
|||||||||||||||||||||||
|
0.6-^
|
|||||||||||||||||||||||
|
0.4-
|
|||||||||||||||||||||||
|
0.2-
|
|||||||||||||||||||||||
|
—T—
100
|
|||||||||||||||||||||||
|
—I—
500 |
|||||||||||||||||||||||
|
O
|
|||||||||||||||||||||||
|
200 300 400
|
|||||||||||||||||||||||
|
Distance from Roadway (Meters)
>a Op welk interval is de afwijking die door deze benadering is ontstaan het
grootst en op welk het kleinst? Waarom? De eerste meting is uitgevoerd op een afstand van 100 m. De concentratie is
daar op 1 gesteld. Daarom staat er ook relatieve concentratie. Of dat wel of niet verstandig is, hangt af van welke vraag je met behulp van dit onderzoek wilt beantwoorden. >b Bedenk voor beide mogelijkheden een praktische vraag.
>c Bepaal de formules voor het gebied van 100 m tot 500 m.
|
|||||||||||||||||||||||
|
-10-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dit is een kaartje van de weg met het gebied aan de oostkant
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-4-
|
-+-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■+-
|
-+-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
100 m 200 m 300 m 400 m 500 m
AFSTAND TOT DE WEG
>d Bepaal uit de grafiek op de vorige bladzijde de relatieve concentratie in
punt P.
Bij alle punten op de lijn door P hoort dezelfde relatieve concentratie. Die lijn hoort dus bij die relatieve concentratie. >e Teken op het kaartje de lijn die bij de relatieve concentratie 0,15 hoort.
>f Veronderstel datje de lijnen getekend zou hebben die horen bij de relatieve
concentraties van 1; 0,9; 0,8 tot en met 0,1. Wat voor beeld zou dan ont- staan? >g Voor een andere weersgesteldheid is het rekenmodel:
r -0,007A + 1,7 voor 100 < A < 200
C=\ -0,001A + 0,5 voor 200<A <300
l--0,0005A + 0,35 voor 300<A<500
Hoe groot is C op de afstand 275?
>h Op welke afstand is C half zo groot als bij A = 100?
>i Op welke afstand is C teruggelopen tot 0,18?
5. Een waterleidingtarief is als volgt opgebouwd:
ƒ 1,45 voor elke m'^ en een vastrecht van ƒ 75,00;
bij een verbruik van meer dan 500 m^ is de prijs ƒ 1,20 voor elke m^;
en bij meer dan 1000 m^ is de prijs ƒ 0,95 voor elke m^.
Bij het passeren van de grenzen 500 en 1000 moet er geen prijsschok zijn.
Dat is te voorkomen door geschikte vastrechtbedragen vast te stellen. > Bepaal die bedragen.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dit is een gedeelte van een tabel waarbij lineaire
interpolatie en extrapolatie verantwoord zijn. >a Bepaal de waarden van y die horen bij j: = 16 en x = 23.
>b Doe dat ook door eerst een formule te bepalen voor de
rechtlijnige grafiek door (14,81) en (20,59). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■11-
|
||||||||||||||||||||||
|
3 Formules met meer ingangen
|
||||||||||||||||||||||
|
450
|
||||||||||||||||||||||
|
Bij formules in functievorm zoals VL = o,oid + 6 °^y - 5^+^ kunnen we spreken
van één ingang (d en x) en één uitgang (VL en >').
Het bijbehorende rekenproces kan met dit schema worden voorgesteld:
|
||||||||||||||||||||||
|
INGANG
|
||||||||||||||||||||||
|
x = 9
_A Z_ FORMULE 7 = 3 X+2
A /------' -------S /----
UITGANG )' = 5
Er zijn ook formules met meer ingangen zoals:
L + 2M+3Z u=----1—
LI is de lakschurftindex en L, M en Z zijn percentages aardappelen met lichte, ma-
tige en zware aantasting (zie ook het boekje Tabellen, Grafieken, Formules 1) Hierbij past het schema: INGANGEN Z, = 20 M=15 Z=10
L___\ L____\ U _A L___\ L____\ U
|
||||||||||||||||||||||
|
L + 2M + 3Z
|
||||||||||||||||||||||
|
FORMULE
|
||||||||||||||||||||||
|
U--
|
||||||||||||||||||||||
|
"^ /------
UITGANG
|
||||||||||||||||||||||
|
LI = 26:!
|
||||||||||||||||||||||
|
1. Voetbalvelden.
Om een voetbalveld bespeelbaar te houden kan het maar een beperkt aantal
uren per jaar gebruikt worden. Vaak rekent men op zo'n 150 'slijtage-uren' per veld per jaar. Een logisch gevolg is dat het aantal teams dat gebruik kan maken van de velden van een sportcomplex ook niet te groot mag zijn. Daarom zijn er rekenvoorschriften bedacht waarmee een club kan bepalen hoe- veel velden er voor zijn teams nodig zijn. Deze teams worden in drie groepen verdeeld: I senioren- en junioren A-teams
II junioren B en C-teams
lil pupillenteams De groepen II en ni hebben een kortere speelduur dan groep I. Die tellen dus
minder zwaar. _ a + ^b+^c
De formule voor de berekening is: .s =-----g-----
waarin: s = benodigd aantal speelvelden
a = aantal teams uit groep I b = aantal teams uit groep n c = aantal teams uit groep Hl >a Hoe kun je aan de formule zien dat sommige teams minder zwaar tellen?
|
||||||||||||||||||||||
|
■12-
|
||||||
|
>b Bereken het bencxiigde aantal velden voor een club A met de samenstelling
groep I: 7 teams; groep II: 9 teams; groep Hl: 5 teams. Eveneens voor club 5 met de samenstelling I: 12; E: 14; Hl: 16. >c AenB gaan fuseren. Hoeveel velden zijn er nu nodig?
>d De formule is een breuk, waarbij in de teller ook weer breuken staan. Ver-
ander de formule zo, dat de teller breukenvrij is. De resultaten moeten na- tuurlijk hetzelfde blijven. >e Als er maar één veld beschikbaar is, welke combinaties van teams kunnen
daar dan spelen? Neem daarbij aan dat er van elk van de groepen I, II, in minstens één team
is. >f Berekensai&a = b = c = 6. Ookalsa = b = c= 10.
Als a.benc gelijk zijn, dan kun je een veel eenvoudiger formule maken.
Doe dat door voor a.bencdkn te nemen. >g Door een andere manier van terreinonderhoud wordt de formule vervangen
door: Is dit voor de clubs (1) gunstiger, (2) ongunstiger of (3) soms gunstiger,
soms ongunstiger? Je moet er van uitgaan dat het aantal velden niet zo ge- makkelijk vergroot zal kunnen worden. Daarom is het voor de clubs gun- stiger als ze extra teams op dezelfde velden kunnen laten spelen. >h De uitkomsten van de berekeningen van s met de nieuwe formule zijn
rechtstreeks te vinden uit de antwoorden van de berekeningen met de oude formule. Voorwaarde is wel dat die antwoorden niet zijn afgerond. Hoe moet dat en hoe is dat te verklaren? >i Gebruik je kennis uit >h om de tabel in te vullen. oude s | nieuwe s
De gegeven getallen zijn niet afgerond. ~~[^ 15
|
||||||
|
een 'oplossing' van het veldenprobleem
|
||||||
|
■13-
|
|||||||||
|
Niets doen kost ook energie
Het lichaam in rust gebruikt energie.
Deskundigen geven daarvoor de formules
E = 66,5 + 13,8w + 5,Qh - 6,8a (mannen)
E = 66,5 + 9,6>v + 4,8/i - 4,7a (vrouwen)
E = energie in kcal/24 uur
w = lichaamsgewicht in kg h = lengte in cm a = leeftijd in jaren >a Hoeveel energie heeft een rustende man per etmaal meer nodig dan een
rustende vrouw, als je voor beiden uitgaat van w = 55, /i = 165 en a = 25? >b In een tabel wordt voor een man van 60 kg een E-waarde van 1630 kcal/24
uur opgegeven. Kan dat in overeenstemming zijn met de formule? Op wat voor dag ben je geborenl
Met deze formule kun je dat uitrekenen. w = d-H 2m + [ ^i^?l±il-]-h y + [ Z ] - [ JL ] + [ _Z_ ] + 2
5 4 100 400 toelichting: d = dag van de maand
m = nummer van de maand, waarbij januari = 13, fe-
bruari = 14, maart = 3, april = 4,... december=12 y = geboortejaar [....] is een nieuwe bewerking, het getal dat tussen ha-
ken staat moetje afkappen na de komma bijvoorbeeld [6] = 6; *) [6,2] = 6; [6,99] = 6
Door de rest van w: 7 te bepalen, laijg je het nummer van de dag;
eerste dag = zondag, tweede dag = maandag,......, nulde dag = zaterdag.
Om teleurstellingen te voorkomen zou je eerst eens kunnen uitrekenen wat voor
dag het vandaag is. |
|||||||||
|
*
|
|||||||||
|
) In computertaal wordt vaak het symbool INT gebruikt INT is de afkorting van het engelse woord
integer = geheel getal. Er geldt bijvoorbeeld: INT (6,2) = 6, INT (6,99) = 6. enz.
|
|||||||||
|
-14-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 Grafische voorstellingen van formules met twee ingangen
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
z-'ix-y
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-\ir
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Er komt pas een getal uit als bij beide ingangen een getal is ingevoerd. Vergeleken
met de formules met één ingang komt er een grote moeilijkheid bij: hoe houd je zicht op de resultaten van de formule nu een gewone tabel of grafiek niet zo voor de hand liggen? Dat is het hoofdonderwerp van dit hoofdstuk. 1. Risicoberekening
Wanneer fietsers en auto's van dezelfde weg gebruik maken, dan lopen vooral
de fietsers een groot risico. In het vorige boekje kwam een berekening van dat risico {r) voor, op grond van
de intensiteit van het fietsverkeer (f) en van het motorvoertuigenverkeer (m). Hiervoor werd de formule met twee ingangen r=fxm gebruikt. Omdat het hier alleen om de principes van de verschillende werkwijzen gaat, mogen de werkelijke cijfers wel vervangen worden door meer eenvoudige: O, 1, 2, 3, enz. Zomaar wat tweetallen (f,m) invullen en r berekenen geeft een geweldige ge-
tallenrij. Er is dus enige ordening nodig. De ordening zou kunnen ontstaan door een dubbele tabel of matrix te gebrui-
ken, ^m |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Deze 4x4 matrix is voor het vervolg te klein.
Maak daarom een 8x8 exemplaar. Zoals op een weerkaart punten met dezelfde luchtdruk door een kromme lijn
worden verbonden, kun je in de matrix ook 'punten' verbinden die hetzelfde ri- sicogetal dragen. Je moet daarbij wel eens tussen andere getallen door. >b Teken in de matrix de kromme lijnen die horen bij de r-waarden 2,4, 6, 8,
10,12. Waar ügt de O-lijn. >c Noem enkele (al bekende) eigenschappen van de risicofunctie die je kunt
aflezen. >d Wat gebeurt er in de matrix als de risicofunctie vervangen wordt door
r = ƒ 2 X m en wat betekent dat voor de praktijk? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■15-
|
|||||||||
|
2. In de oorspronkelijke opgave zijn ƒ en m ondergebracht in een coördinatenstel-
sel. Als je lüosterpunten kiest is de samenhang met een matrix niet zo verge- zocht. ƒ
|
|||||||||
|
'-6
|
|||||||||
|
m
|
|||||||||
|
P stelt het punt met m = 3 en ƒ = 2 voor; r heeft dan de waarde 6.
Door op de plaats van P de waarde van r in te vullen krijg je, als je dat ook bij
de andere punten doet, een even duidelijk beeld als bij de matrix.
>a Teken de roosterpunten voor O < m < 4 en O < ƒ < 4 en schrijf bij elk punt
de waarde van r.
>b Teken de verbindingslijnen van punten met een gelijke r-waarde; houd daarbij ook rekening met waarden van ƒ en m die tussen twee gehele getal- len liggen. Een ruimtelijke voorstelling kun je maken door op elk punt van het/, m-rooster een verticaal staafje te plaatsen, waarvan de lengte correspondeert met de bij- behorende waarde van r (dat kan op een andere schaal dan ƒ en m). Deze ruimtelijke situatie kan in een tekening worden weergegeven door het rooster scheef te tekenen. |
|||||||||
|
-16-
|
|||||||||
|
Door de toppen te verbinden wordt de ruimtelijke indruk versterkt.
|
|||||||||
|
Door ook tussen de roosterpunten staaQes te plaatsen, vult zich langzamerhand
een ruimtelijke grafiek, bestaande uit een plat of gebogen oppervlak. Kies ƒ = 2 en laat m variëren. De toppen van de staaQes beschrijven dan een baan op de ruimtelijke grafiek. Zo te zien lijkt die baan rechtlijnig >c Toon met behulp van de formule aan: Voor vaste m met variabele ƒ ont- staan rechte lijnen op de grafiek. >d Ontstaan er ook rechte lijnen voor vaste ƒ met variabele m?
>e Is de ruimtelijke grafiek een plat vlak?
>f Je kunt ook punten met dezelfde hoogte verbinden.
Hoé kun je hieruit de verbindingslijnen genoemd in >b verkrijgen?
De tekening met de verbindingslijntjes voor vaste ƒ en ook voor vaste m wijzen
op een andere praktische uitvoering van de grafiek. Bij ƒ = 1 is deze verticale figuur te zien. |
|||||||||
|
m
|
|||||||||
|
Als/= 1, dan r = m.
Vergelijkbare figuren zijn er voor ƒ = 2,/= 3, m = 2, m = 3.
>g Welke formules horen hierbij?
Door deze figuren van karton te maken kan de grafiek gemonteerd worden.
|
|||||||||
|
-17-
|
|||||||||||||||||
|
Met de computer kunnen vrij gemakkelijk ruimtelijke grafieken worden getekend,
zoals de volgende opgave laat zien. 3. Voetdruk
|
|||||||||||||||||
|
De druk die bij het blootsvoets lopen op een oppervlak wordt uitgeoefend is
vertikaal uitgezet >a Verklaar deze serie grafieken.
>b Wat zal het 'nut' van zulke grafieken kunnen zijn?
Hoe lang moet het verkeerslicht op oranje staan voor een automobilist?
Bij het vaststellen van de tijd dat het verkeerslicht op oranje moet staan, de zo- genaamde oranjetijd, moet rekening worden gehouden met de tijd die iemand nodig heeft om een beslissing te nemen: doorrijden (liever niet versnellen) of stoppen. Dit noemen we de reactietijd T^.. Als het resultaat van de overpeinzing 'stoppen' is, dan duurt het nog even voor het voertuig stilstaat. De tijd die daar- voor nodig is noemen we de stoptijd. Die hangt natuurlijk samen met de snel- heid V waarmee men nadert. In de praktijk kan men van verschillende formules voor de tijd dat een stoplicht
oranje is gebruik maken. De tijd dat een stoplicht oranje is noemen we f^^^nyg • Dit is één zo'n formule: |
|||||||||||||||||
|
t en Tj. in sec.
Vin m/5 |
|||||||||||||||||
|
t . =T +V/4
^oranje *r^ ^ ' ^ |
|||||||||||||||||
|
De vorm is:
|
|||||||||||||||||
|
V
|
|||||||||||||||||
|
^"'.
|
|||||||||||||||||
|
'oranje-T,+ ^f "^
|
|||||||||||||||||
|
oranje
|
|||||||||||||||||
|
48-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij r^ = 1,5 en V' = 20 ontstaat:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Bereken t^^.^:^ voor de reactietijd van 1 sec. en de naderingssnelheid van
50 km/uur. Let op de andere eenheid van snelheid.
>b Dezelfde opdracht voor een naderingssnelheid van 70 kmluur. >c Noteer bij de snijpunten van de roosterlijnen de waarden ^oro/i/e • Teken de verbindingslijnen van punten met dezelfde t^j-^^j^ -waarde. Beperk je tot
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
gehele waarden voor t
|
oranje
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Kies vervolgens de lijn die hoort bij t^^^^:^ = 4.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
32
28 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
24
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
20
16 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1.5
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2.5
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>d Welke formule voor V en T^. hoort bij de grafiek?
Hoe had je uit de formule t^^^^jg = T^ + V/4 direct de formule voor deze lijn
kunnen vinden?
>e We nemen aan dat de reactietijd kan variëren van 1 tot 2 sec. en dat de na-
deringssnelheid tussen 50 km/uur en 100 km/uur ligt. Teken in de vorige figuur het gebied dat hierbij hoort. Op welke tijdsduur moet de oranjetijd minstens worden ingesteld? >f 'Als iemand wat traag reageert, dan kan hij maar beter niet te snel rijden'.
Is dit voordehand liggende advies ook uit de tekening te lezen? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-19-
|
|||||||||||||
|
We gaan de formule nog eens anders aanpakken. We vullen maar één waarde
in, bijvoorbeeld T^=l,5.
Ergens in het berekeningsschema ontstaat dan t^^^^j^ = 1,5 + V/4 .
Dat is een lineair verband.
Hierin kan elke gewenste V-waarde alsnog worden ingevuld. In plaats daarvan
tekenen we een grafiek.
|
|||||||||||||
|
oranje lO ■ •
(sec) |
|||||||||||||
|
35 V^(m/s)
|
|||||||||||||
|
>g Teken in dezelfde figuur de grafieken die horen bij
T^=l, 7^ = 2 en 7^ = 2,5. Is het probleem uit vraag >e met deze tekening ook op te lossen?
>h Er is nog een systeem van grafieken mogelijk.
Hoe zou je dat kunnen maken? Het is ook mogelijk voor de formule ^^^Q^.g = Tj. + V/4 een ruimtelijke grafiek
te tekenen. Voor T^. vast of V vast ontstaan er weer rechte lijnen. In opgave 2 is gebleken dat dit geen garantie is voor een plat vlak als grafiek. >i Bedenk een test om hiervoor op z'n minst enige zekerheid te krijgen.
|
|||||||||||||
|
r- conclusie
|
|||||||||||||
|
Door in een formule met twee ingangen één invoerwaarde vast te zetten,
ontstaat een formule met één ingang.
Dat gebeurt eigenlijk ook door de uitvoerwaarde vast te zetten. Alleen staat
de formule dan nog in 'relatievorm'. (.....x.....y.....= getal)
Door deze overgangen kunnen problemen teruggebracht worden tot vragen
over bundels grafieken. Een overzicht van de uitkomsten van een formule met twee ingangen kan ge-
geven worden door een ruimtelijke grafiek. |
|||||||||||||
|
-20-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5 Combinaties van grafieken
1. Oudere werkloosheidscijfers van Friesland
1 fw) De onderbreking in de lijnen zijn een gevolg van nieuwe definities van werkloosheid
waardoor die begin '82 en '83 'steeg'.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
42
39
36
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
33
30 27 24 21 18 15 12 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3 U
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
O
1981 1982 1983 1984
>a Welke invloed hebben de seizoenen op de totale werkloosheid?
>b Zij de nieuwe definities van werkloosheid 'strenger' of 'zwakker'?
>c Volgens de grafiek is de werkloosheid van mannen in de periode juni '81
tot september '83 met zo'n 10.000 toegenomen. Iemand vindt dat maar een getallentruc met behulp van de nieuwe definities. Hij komt op een toename van ongeveer 5000. Bedenk, indien mogelijk, veronderstellingen die zijn berekeningen correct
maken. De grafieken zijn afkomstig van een tabel van deze vorm:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Hierbij is de kolom totaal (f) eenvoudig de som
van de kolommen mannen (m) en vrouwen (v). Kortweg t = m + v Hiermee komt overeen een 'optelling van grafie-
ken'. We nemen als voorbeeld december 1983. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dec. '83
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-21-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
xi Waar is de lengte van het met een pijl aangegeven lijnstuk nog een keer te
vinden?
>e Gegeven zijn de grafieken van t en v. Hoe kun je zonder tabellen de grafiek van m terugvinden?
>f Waardoor lijken de grafieken van ment zo sterk op elkaar? In een schema krijgen we |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^"^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\m^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t = m + v
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Je kunt dit nu op meer manieren opvatten door voor de invoer en uitvoer tabel-
len of grafieken te nemen. Als het allemaal grafieken zijn dan heet de grafiek van t de som van de grafiek van m en de grafiek van v. Je kunt ook zeggen dat de grafieken worden opgeteld. 2. Voor het optellen van grafieken volgt hier een serie oefeningen.
De grafieken aenb zijn gegeven. Gevraagd wordt de grafiek van t te tekenen,
waarbij t = a + b. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a
|
>c
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>f
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>d
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>e
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-22-
|
|||||||||||
|
Uit de tekeningen blijkt dat de som van rechtlijnige grafieken weer een recht-
lijnige grafiek oplevert. > Probeer dat te verklaren met onderstaande theorie.
Het kenmerk van een rechtlijnige grafiek is dat bij even grote waarden van Ax
ook onderling gelijke waarden van Ay behoren. y
|
|||||||||||
|
->• Ax
t Ay
|
|||||||||||
|
O
|
|||||||||||
|
Anders gezegd: gelijke stappen naar rechts geven gelijke stappen omhoog of
naar beneden of................ f, m en V stellen de werkloosheidscijfers voor van totaal, mannen en vrouwen.
We nemen aan dat die cijfers in de loop van de tijd volgens de grafieken veran- deren: k is het aantal kwartalen na het begin van deze registratie. Voor de grafieken geldt natuurlijk weer: t = m + v. |
|||||||||||
|
>a Welk bijschrift zou er bij de vertikale as kunnen staan?
Voor m en V zijn deze formules te geven: m=^ k + 2 en v= Jj k+l
>b Bepaal de formule voor t op twee manieren:
- eerst door uit te gaan van de grafieken.
- daarna door uit te gaan van de formules.
Formules kun je blijkbaar, evenals tabellen en grafieken, optellen.
In een schema:
m=lk + 2 v = i/i:+l
^ 7 Z___________\ 7 Z-,
f = m +V
----------------\ /----------------
t= ......
|
|||||||||||
|
-23-
|
||||||||||||||||||||||
|
5. Hoe maak je je geld op
Iemand verdient ƒ1200,- per maand. Daarvan houdt hij ƒ50,- over. Hij maakt promotie en
krijgt dan een salaris van ƒ1400,-. Hij kan dan per maand ƒ250,- sparen. Maar dat doet hij niet, omdat hij minder sober wil gaan leven. Hij geeft nu ƒ1300,- per maand uit in plaats van ƒ 1150,- Dit verhaaltje illustreert dat het geld dat men op maakt (de consumptie C) af-
hankelijk kan zijn van het inkomen (Y). Een formule voor die afhankelijkheid zou kunnen zijn: C = 0,4 y + 3, waarbij C en y in eenheden van ƒ100,- worden uitgedrukt. >a Teken een grafiek voor deze formule met O < 7 < 20.
>b Zou hij alles opmaken, dan zou gelden C = Y.
Teken de grafiek hiervan ook in de vorige figuur. (Die lijn heet de lijn van
volledige besteding) >c S is de grootte van het gespaarde bedrag in eenheden van ƒ100,-.
Teken in dezelfde figuur ook hiervan de grafiek en stel een formule op die
S uitdrukt in Y. >d Bij welke inkomens wordt er gespaard?
>e Kun je een betekenis geven aan de negatieve waarden van 5?
>f Bereken bij welk inkomen het halve salaris wordt gespaard.
|
||||||||||||||||||||||
|
Verandering van het aantal inwoners van Dokkum
De vier grafieken geven we als namen de afkortingen VES, VER, GEB en OVE.
Als je een jaar kiest dan kun je de veranderingen in het afgelopen jaar aflezen. Let op de ongewone schaalverdeling. De netto toename van de bevolking noe- men we TOE. |
||||||||||||||||||||||
|
vestigers
vertrekkenden |
||||||||||||||||||||||
|
aoo
Si|0
|
||||||||||||||||||||||
|
3J0 ■
|
||||||||||||||||||||||
|
o geboorten
|
||||||||||||||||||||||
|
," overledenen
|
||||||||||||||||||||||
|
iiao
|
i>;o
|
lano
|
1X0
|
|||||||||||||||||||
|
>a Geef een formule voor het verband tussen TOE, VES, VER, GEB en OVE.
>b Waarom kunnen de grafieken hier niet zomaar worden opgeteld? |
||||||||||||||||||||||
|
-24-
|
||||||||||||
|
We bedenken nu zelf een voorspellingsmodel voor een denkbeeldige plaats
V£5=150f + 500 V£'/? = 250f+100 GEB = nOt + 150 OVE= 80r + 30 t is het aantal jaren na 1989.
>c In welk jaar houden de vestigers en de vertrekkenden elkaar in evenwicht?
>d Bepaal een formule die TOE uitdrukt in t.
>e In welk jaar is er geen bevolkingstoename meer?
Bescherming van gegevens
Ondernemingen en overheidsinstellingen moeten tegenwoordig hun gegevens
beschermen. Als de mate van bescherming alleen afhankelijk is van economi- sche factoren dan zijn er twee oorzaken van kosten: KS: kosten ten gevolge van Schade KB: kosten ten gevolge van Bescherming Hiervan zijn de grafieken getekend. |
||||||||||||
|
guldens
|
||||||||||||
|
60.000
50.000 40.000 30.000 20.000 10.000 |
||||||||||||
|
50% 100%
----->• Mate van bescherming |
||||||||||||
|
>a Verklaar de vorm van de grafieken.
>b Teken de grafiek van de totale kosten (TK) en bepaal hiermee welke mate
van bescherming het goedkoopst is. >c Dat minimum treedt niet op boven het snijpunt van de grafieken van KS en
KB. Ontwerp redelijke grafieken voor KS en KB waarbij dat wél het geval is. >d Het ideaal is 100% bescherming. Welke invloed heeft de extrapolatie (in
de richting van 100%) op de totale kosten? |
||||||||||||
|
-25-
|
|||||||||||
|
8. Bevolkingsgroei
aantallen
10000^ |
|||||||||||
|
5000
|
|||||||||||
|
5000
|
|||||||||||
|
10000
|
|||||||||||
|
jaren
|
|||||||||||
|
>a Hoe is de grafiek B uit de grafieken G en M ontstaan?
>b De snijpunten van GenB horen bij een bijzonderheid van Af.
Welke bijzonderheid is dat? Verklaar dat? >c Wat zeggen de snijpunten van B met de nullijn over het geboorteoverschot
en het migratiesaldo? >d Wat zeggen de snijpunten van G en Af over de bevolkingsgroei?
>e In de jaren '55 tot '65 lijkt B bijna het resultaat van een verticale verschui-
ving van Af. Verklaar dat |
|||||||||||
|
-26-
|
|||||
|
6 Machtsfuncties met natuurlijke getallen als exponent
De lineaire verbanden hebben als kenmerk dat de mate van stijging of daling
overal gelijk is. Dat resulteert in rechtlijnige grafieken. Voor verbanden met een ander verloop, zoals bijvoorbeeld steeds sterker wordende
stijging, zijn andere formules nodig. Voorbeelden van zulke formules vormen het onderwerp van dit hoofdstuk. We beginnen met enkele opgaven die weliswaar niet van groot praktisch belang
zijn, maar wel gebruikt kunnen worden om belangrijke ideeën te illustreren. 1. Op de foto is de rand van het vierkant linksboven met stappen van 1 vergroot.
(We laten in het midden welke maat er gebruikt is.) |
|||||
|
-27-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Maak deze tabel voor de serie foto's af.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
.>b
>c
>d
>e >f
>g |
In plaats van stapsgewijs, kan het vergroten ook geleidelijk gaan.
Teken daarvoor een grafiek van O als functie van r. Teken in de grote foto de winkelhaakbegrenzing van de foto met opper-
vlakte 21 (rechtstreeks berekenen is hier veel nauwkeuriger dan aflezen). Welke formule drukt O uit in r?
Teken het toenamendiagram voor stappen van 1.
Hoe zijn de waarden van die toenamen rechtstreeks uit de foto af te lezen?
Teken het toenamendiagram van het toenamendiagram.
Door van de grote foto stukjes af te knippen langs de ingetekende randen,
ontstaat er een serie L-vormige figuren. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
•> j'
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De oppervlakte van zo'n reststuk noemen we OR.
Welke formule geeft het verband tussen OR en r? >h Van OR kan een op zichzelf staande grafiek getekend worden. Maar het kan
ook gemakkelijk met behulp van de grafiek van O. Doe het op de laatste manier. Vul de grafiek aan voor de situatie van geleidelijke verandering. >i Welk verband bestaat er tussen de toenamendiagrammen van OR en O en
teken die van OR in de figuur van vraag >e. >j Bedenk zelf een wijziging van het fotovoorbeeld waarbij een formule van
de vorm O = constante * r" past. >k Neem twee opvolgende figuren uit de serie van vraag >g. De ene kan ont-
staan uit de andere door er een L-vormig stukje af te knippen. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Zo kan er een rij van letters L ontstaan die overal dezelfde 'dikte' hebben.
Van klein naar groot krijgen de rangnummers 1,2, 3,... Is van een willekeurig exemplaar door meting het rangnummer terug te vinden? Bedenk een formule die de oppervlakte van die letters uitdrukt in hun rang-
nummers. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-28-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. In de grote foto is eerst een kleinere van 5 bij 8 afgetekend. Daarna is die uit-
gebreid met stroken van breedte x. T
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Welke formule geeft het verband tussen de oppervlakte van de foto en de
waarde van x? Noem ook het geldigheidsgebied van de formule. >b Teken de grafiek van deze formule. Kun je aan een uitbreiding van de gra-
fiek voor negatieve waarden van x een praktische betekenis geven? >c Lees uit de grafiek de waarde van jc af die hoort bij een oppervlakte van
49,5. Controleer door invulling in de formule of je antwoord nauwkeurig genoeg
is om de foto te kunnen aftekenen (x berekenen met de zogenaamde abc- formule mag ook). >d Bij welke waarde van x is de oppervlakte 70?
Als van een verschijnsel een formule bekend is, kan het toenamendiagram het
gemakkelijkst worden bepaald via een verschillentabel met de kolommen x, y en Ay. In deze opgave krijgen we dan, als we de beperking voor x laten vallen, bijvoorbeeld: Verschillentabel voor Ax =1 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De ??-kolom hoort niet bij de verschillentabel, maar is straks nodig voor een
vervolgvraag. >e Maak de verschillentabel af.
>f Vul de verschillentabel aan met de kolom ??
Wat stelt deze kolom voor? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-29-
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Dit waren enkele voorbeelden van formules van de bekende kwadratische functies.
Enkele belangrijke eigenschappen zijn: - Er treedt een veranderlijke stijging of daling op.
- De waarden in het toenamendiagram vormen een hneair verband. De verschil-
lentabel eindigt in twee stappen op gelijke getallen. Dit blijft waar bij een an- dere stapgrootte en bij andere kwadratische functies. Deze tweede eigenschap kan van pas komen bij het testen of er sprake is van een
kwadratische (of tweedegraads) functie. Verder kunnen er uitkomsten mee worden berekend. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
3.
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
Een onderzoeker vindt dit grafiek-
je. Hij weet niet hoe nauwkeurig de tellingen zijn uitgevoerd, maar hij heeft het sterke vermoeden dat er een kwadratisch verband bestaat tussen aantal en tijd. Hij gaat in het laboratorium daarom proeven met bonenplanten nemen. Met gelijke tijdsafstanden worden de bladlui- zen geteld. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
aantal bladluizen
per boonstengel |
||||||||||||||||||||||||||||
|
2000
1800
1600
1400
1200
1000
800
600
400
200
O
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
mei juni juli
Dit is het resultaat van zo'n experiment.
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
start na na
O 1 periode 2 per.
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
na
Sper. |
na
Sper. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
na
4 per. |
||||||||||||||||||||||||||||
|
100 170 280 430 615
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
850
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Toon aan dat de veronderstelling van het kwadratische verband niet onre-
delijk is. >b Welk waamemingsgetal past niet in je antwoord. Welk getal zou het moe-
ten zijn? Pleit dit tegen je antwoord? >c Welke aantallen verwacht je aan het eind van de 6^, 1^ en 8^ periode als het
systeem mooi blijft en de afwijking genoemd in vraag >b toevallig was en dus gecorrigeerd mag worden? |
||||||||||||||||||||||||||||
|
-30-
|
|||||||
|
4. Windenergie
De windsnelheid (V) heeft een zeer grote invloed op het vermogen (P) van een
windmolen voor het opwekken van elektriciteit. Dat blijkt wel uit deze voorbeeldformule: (P in watt, V in m/s).
De factor 2 is kenmerkend voor de bewuste molen.
>a Teken de grafiek die bij deze formule hoort voor O < V < 7.
>b Gebruik de grafiek om de windsnelheid te bepalen die hoort bij een vermo-
gen van 250 watt. Idem voor 300 watt. >c Bepaal die antwoorden ook met de rekenmachine.
Voorbeeld: uitx'^ = 19 is j: als volgt te vinden: 19INV>^3 = ... *) >d Wat gebeurt er met het vermogen als de windsnelheid verdubbeld is?
>e 'Omdat P = 2V^ kun je het vermogen vergroten door de molen op een ho-
gere mast te monteren.' Deze redenering is onvolledig. Welke verzwegen veronderstelling is waarschijnlijk gebruikt? |
|||||||
|
"") Op sommige rekenmachines staan andere opschriften bij de bedoelde knoppen
(Bijvoorbeel± x^ in plaats van 3^ |
|||||||
|
-31-
|
|||||
|
5. Schaalproblemen
Het temperatuurevenwicht van een dier is een kwestie van het op elkaar afstem-
men van de waraiteproduktie en de warmteafvoer. Het eerste heeft te maken met de 'inhoud', het tweede met de 'oppervlakte' van het dier. Als we twee dieren van dezelfde vorm hebben waarbij de lengte van het ene dier tweemaal zo groot is als de lengte van het andere dier, dan vind je diezelfde vergrotingsfactor niet voor de oppervlakte en de inhoud. We gaan dit probleem bestuderen in een vereenvoudigd model. We doen net of het dier de vorm heeft van een kubus met een ribbe van x cm. >a Welke formule geeft het verband tussen de oppervlakte O en de ribbe xl
En welke geeft het verband tussen de inhoud / en de ribbe x'! >b Als de ribbe 2 maal zo groot wordt, wat gebeurt er dan met de oppervlakte
en de inhoud?
>c Teken de grafiek van de inhoudsformule voor O < jc < 5. >d Veranderingen van lengte, oppervlakte en inhoud (volume) gaan dus niet
gelijk op. Veronderstel dat bij een zeker dier het warmte-evenwicht volle- dig bepaald wordt door zijn oppervlakte en volume. Neem een tweede dier van dezelfde vorm, maar met vijfmaal zo grote leng- te-afmetingen. Welke problemen met het warmte-evenwicht kunnen er bij dit grotere dier ontstaan? >e Een kubus is gemaakt van materiaal dat bij een inhoud van 1 cm-^ een ge-
wicht heeft van 0,7 gram. Stel een formule op voor het gewicht als functie van x en teken in de vorige
figuur de grafiek. >f Een andere serie kubussen is van veel zwaarder materiaal gemaakt. Bij een
inhoud van 8 cm-' is het gewicht 50 gram. Wat wordt nu de formule voor het gewicht als functie van x7 >g Bij het 'vertalen' van ervaringen met schaalmodellen naar de werkelijk-
heid is voorzichtigheid geboden! Bedenk zelf een paar voorbeelden.. 6. y =x^ eny =x^ zijn voorbeelden van eenvoudige machtsfuncties. Ze maken
deel uit van de groep y = j^. Dat is te zien door voor n respectievelijk 2 en 3 in te vullen. In de tekening op de volgende bladzijde staan nog enkele grafieken van machts-
functies. (Omdatx^ gelijk is aanx hoort y =xeT ook bij.) >a Zoek bij elke grafiek een passende formule. Geef duidelijk aan welk lin-
kerstuk bij welk rechter stuk hoort. >b Noem de oplossingen van de vergelijkingen:
x^ = X; x^ = X; x^ = x^; x^ = x^. 7. > Teken, voorzover dat binnen de rechthoek kan, de grafieken van:
y=x^+x^ ; y = x^ -x^; y=x^- Ix^
Je kunt uitgaan van de getekende grafieken, maar het is verstandig enkele
punten met berekeningen te controleren.
|
|||||
|
T
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-32-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Tekening voor opgave 8
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Tekening voor opgave 6
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= :?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
= ;c2
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De grote verscheidenheid aan vormen van grafieken van machtsfuncties kun je, door met
een computer te experimenteren, heel mooi zichtbaar maken. 8. > Maak een verschillentabel bij y = j:^ voor O ^ x < 7 met Ax = 1.
Het systeem daarin is niet direkt te zien. Maar als je verschillen van ver-
schillen van verschillen neemt, is er misschien toch wel iets te vinden. Zoek dit uit. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-33-
|
|||||||
|
9. Nog meer windenergie
D is de diameter van de rotor van de windmolen.
|
|||||||
|
>a Hoe groot is de oppervlakte van het cirkelvormige gebied dat door de rotor
(de wieken) bestreken wordt als D = 6 {D in meters) >b Het vermogen dat door een molen wordt geleverd is evenredig met D^.
Er is bij een vaste windsnelheid dan een formule van de vorm: P = fl X D^
Maak het aannemelijk dat D in het kwadraat staat. >c fl is evenredig met V^.
De echte formule is namelijk: P = 0,1 x ^^ x ^•^.
Welke drie soorten problemen kunnen hiermee worden opgelost?
>d In het midden van het land waait het over het algemeen minder hard dan
aan de kust. Dat is voor een voorstander van windenergie geen moeilijk probleem. Hoe lost hij dat op? Iemand overweegt voor de electriciteitsvoorziening gebruik te maken van een
windmolen. Hij stelt vast dat hij in ieder geval moet kunnen rekenen op een ver- mogen van 700 watt. De gemiddelde windsnelheid ter plaatse is 5 m/s. Hij vraagt advies over D (de
rotordiameter). Hij krijgt te horen dat die 8 m moet zijn. >e Is deze voorwaarde nodig?
Om rekenwerk niet telkens opnieuw te moeten uitvoeren kan men het verband
tussen P, D en V in een 'nomogram' geven.
Bij het aflezen moetje rekening houden met de ongewone schaalverdeling.
|
|||||||
|
-34-
|
|||||
|
>f Hoe los je nu de drie soorten problemen op?
>g In een brochure over windenergie moet de invloed van de windsnelheid en
van de diameter van de rotor met behulp van grafieken duidelijk worden gemaakt. Maak hiervoor een ontwerp met begeleidende tekst |
|||||
|
-35-
|
|||||||||||
|
7 Gebroken functies
|
|||||||||||
|
450
|
|||||||||||
|
Bij het helicoptervraagstuk uit hoofdstuk 1 werd de formule VL = —^ ge-
bruikt. Hierin komt de variabele d in de noemer van een breuk voor. Vandaar de naam breukfunctie of gebroken functie. Een hele groep van zulke functies kun je voorstellen met de algemene formule a
V = -------
•^ bx+c
1. > Hoe moeten a,b ene gekozen worden om de helicopterformule te krij gen?
Door a,benc vast te zetten op respectievelijk 1,1 en O komt ery = i met deze
grafiek: |
|||||||||||
|
2. Vergelijk telkens het verloop van de grafiek ten opzichte van de x-3ls of de y-as,
als: >a X zeer groot wordt (bijvoorbeeld achtereenvolgens 1,10,100,1000, enz.)
>b X zeer klein wordt (bijvoorbeeld -1, -10, -100, -lOCX), enz.)
>c X dicht bij O komt van de positieve kant (bijvoorbeeld 1, X, ^i,, enz.)
>d X dicht bij O komt van de negatieve kant (bijvoorbeeld -1. - tb > - ï^ö ' ^"^•^ |
|||||||||||
|
-36-
|
|||||||
|
In het eerste geval kun je de grafiek zo dicht bij de x-as krijgen als je maar wilt,
door X op passende wijze te kiezen. De grafiek en de lijn (de j:-as) zijn praktisch niet meer te onderscheiden. De lijn heet dan een asymptoot van de grafiek. De x-as treedt aan de linkerkant
nog een keer als asymptoot op. >e De y-as is ook een asymptoot (zelfs twee keer). Waarom?
We zijn nu 'horizontale' en 'verticale' asymptoten tegengekomen. Dat hoeven niet
beslist de x-z& en de y-as te zijn. Andere horizontale en verticale lijnen kunnen die rol ook vervullen. Als een grafiek
dicht bij een lijn komt, is dat nog geen reden om die lijn een asymptoot te noemen. Een asymptoot werkt op grote afstand; dat willekeurig dicht naderen tot een lijn ge- beurt dus bij zeer grote x- of y-waarden. In praktijkproblemen zijn er meestal beperkingen voor de waarden van x en y.
Dat betekent dat er maar een deel van de grafiek gebruikt wordt. Bijvoorbeeld: |
|||||||
|
3. Als aan de helicopterformule geen beperkingen worden opgelegd, dan heeft de
bijbehorende grafiek ook asymptoten. >a Maak met berekeningen aannemelijk dat de horizontale as (VL = 0) een ho-
rizontale asymptoot is. >b Eveneens dat de lijn d = -6(X) een verticale asymptoot is.
>c Is er aanleiding om beperkingen in te voeren?
Toch zeggen die asymptoten wel iets over het verschijnsel, zoals nog eens uit de
volgende opgave kan blijken. |
|||||||
|
-37-
|
|||||||||||||||||||||||
|
4.
|
|||||||||||||||||||||||
|
De mensen die in een groot kantoorgebouw werken hebben als regel meer con-
tact met collega's die direct in de buurt werken dan met degenen die veraf zit- ten. Dus het gemiddeld aantal malen dat er in een maand 'communicatie' plaatsvindt kun je beschouwen als een functie van de bureau-afstand. |
|||||||||||||||||||||||
|
In een grafiek:
|
o
II
a o
|
60
50 40 30 20 10 O |
|||||||||||||||||||||
|
buren-afstand
|
|||||||||||||||||||||||
|
30
|
40 (in meters)
|
||||||||||||||||||||||
|
10
|
20
|
||||||||||||||||||||||
|
300
|
|||||||||||||||||||||||
|
Een heel ruwe benaderingsformule zou kunnen zijn: C =
|
|||||||||||||||||||||||
|
>a Welke praktische betekenissen hebben de horizontale en verticale asymp-
toten? 300
>b De formule C = -^ heeft deze bijzonderheid: Als de i4-waarde 5 x zo groot wordt, dan wordt de C-waarde 5 x zo klein.
Ga na dat algemeen geldt:
Als de /i-waarde n x zo groot wordt, dan wordt de C-waarde nxzo klein.
|
|||||||||||||||||||||||
|
-38-
|
|||||||||||
|
Zo'n verband tussen A en C noemt men omgekeerd evenredig.
Het is natuurlijk A als ingang van de formule te nemen, want je kunt A als een
'oorzaak' van C zien. Maar als het alleen om het verband tussen A en C gaat,
300
kan de formule net zo goed A = -— zijn. Een formulering waarbij 'de gelijke rechten' van A en C beter uitkomen is
A • C = 300. 5. Door veranderingen in de formule y=- aan te brengen, ontstaat er ook een an-
dere grafiek. Net zo als een verandering in de grafiek een andere formule vraagt. Soms zijn de gevolgen duidelijk aan te geven. In de vier tekeningen staan dun de grafieken van y = 1 en iets dikker de grafie-
ken van de gewijzigde formules (voor beperkte x). 2 1 1 1
De gewijzigde formules zijn: y= — ;y =~T^ ;>> = —+ 2 ;y = ~T.
X X 'T £/ X XT
>a Welke formule hoort bij welk plaatje?
|
|||||||||||
|
horizontale
asymptoot y = 2 |
|||||||||||
|
verticale
asymptoot x = -l |
|||||||||||
|
D
|
|||||||||||
|
>b Van welk van deze getekende typen is de helikopter-grafiek?
|
|||||||||||
|
-39-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>c y = 1 + 2 is ook te schrijven als >» =
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>d y
■
|
= —^— +4 IS in de vorm y =------j
x+l -^ cx + d
Welke waarden hebben a, b, eend dan?
|
e schrijven.
•'
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De dosering van medicijnen voor kinderen is anders dan die voor volwassenen.
Voor een medicijn wordt deze regel voorgeschreven: DK: dosering voor kind
DV: dosering voor volwassene
L : leeftijd van het kind in jaren.
>a Teken de grafiek van de vermenigvuldigingsfactor J^^^
>b Op welke leeftijd is DK de helft van DVl
>c Dit is een merkwaardige formule. Probeer maar eens te berekenen wanneer
een kind volwassen wordt. De juiste afstemming op een radiozender kun je vinden door een tabel te raad-
plegen. Daarin staan frequenties en golflengten vaak naast elkaar. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
AM
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
frequentie golflengte
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Probeer het verband tussen de kolommen frequentie en golflengte te vin-
den met behulp van vermenigvuldigingen. >b Schrijf het verband zo:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
golflengte = ,....... .
* •' * frequentie
golflengte in m
frequentie in kHz |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
T
|
|||||||
|
-40-
|
|||||||
|
8. Vetpercentage
|
|||||||
|
Volumemeter ter bepaling van de lichaamsdichtheid. Men kan hetzij de massa van het
verplaatste water meten, hetzij de massa van het ondergedompelde lichaam. (Foto's: Tom Malloy, Ohio State University). Om medische en sportieve redenen wordt van mensen het vetpercentage be-
paald. Dat gebeurt langs een omweg zoals bijvoorbeeld via de dichtheid van het lichaam D^. Een lichaamsdichtheid van 1,050 betekent dat 1 milliliter van dat lichaam een gewicht heeft van 1,050 gram.
Vet is lichter dan de rest. Er zal dan ook verband bestaan tussen het vetpercen-
tage en de lichaamsdichtheid. >a Is die lichaamsdichtheid een stijgende of een dalende functie van het vet-
percentage? Illustreer je antwoord met een voorbeeld. >b We gebruiken dit idee voor de bepaling van de dichtheid van een mengsel
van twee stoffen L en Z. 1 gram L heeft een volume van 1,2 ml. 1 gram Z heeft een volume van 0,8 ml. We nemen 100 gram van het mengsel. Hiervan bestaat j: gram uit L.
Het volume van het mengsel en de dichtheid zijn beide functies van x. Be- paal voor elk een formule en teken in één figuur de bijbehorende grafieken. Ondersteunt de laatste grafiek het antwoord op vraag >a? |
|||||||
|
-41-
|
|||||||||
|
De hoeveelheid vet kan berekend worden met behulp van een van de onder-
staande formules: |
|||||||||
|
Formule van Brozek:
% vet = (4,570 /Z)^ - 4,142) x 100
Formule van Siri:
% vet = (4,95 / D^ - 4,50) X 100
|
|||||||||
|
Over de notatie: de deling gaat voor de aftrekking.
>c De formules verschillen in twee getallen. Zullen die verschillen elkaar, zo
op het eerste gezicht, enigszins compenseren? >d Bereken met beide formules het vetpercentage voor een persoon met een
lichaamsdichtheid van 1,045 g/ml. >e Bij welke waarde van O^ geven beide formules hetzelfde antwoord?
>f Wat is volgens de formule van Brozek de lichaamsdichtheid van een per-
soon met een vetpercentage van 20? >g Als er veel van zulke omgekeerde berekeningen gemaakt moeten worden,
is het handig een formule van de vorm D^ =......te hebben.
Maak zo'n omkering van de formule van Siri. Noem daarbij het vetpercen-
tage V. |
|||||||||
|
-42-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8 Schakelen van grafieken en formules
We brengen met het volgende vraagstukje nog even het schakelen van tabellen in
herinnering. 1. Verslaggevers van schaatswedstrijden noemen vaak vöèr het einde van een rit
de vermoedelijke eindtijd. Daarvoor kunnen ze tabellen gebruiken van deze vorm: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
waarschijnlijke eindtijd (E)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tussentijd op ... m (7)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Veronderstel dat voor de 10.000 m heren alleen deze tabellen beschikbaar zijn.
Natuurlijk met meer invullingen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(N.B. 13.48.25 betekent 13 minuten plus 48 ^ sec.)
Uit de r —> G en de G —> £ tabellen is nu de gewenste T -^ E tabel samen te
stellen.
Deze werkwijze is nogal omslachtig, vooral als er geïnterpoleerd moet worden.
Een andere mogelijkheid is het gebruik van formules.
>a Een ronde heeft een lengte van 400 m.
In de laatste ronden wordt de snelheid nog even verhoogd.
Verklaar hiermee de formules
G = ^ en £ = 25 • G - 3 die de stappen T —>GenG ^> E beschrijven.
>b Welke formule beschrijft de stap T-^ E?
>c Een rijder wil als eindtijd 13.30.00 zien te halen.
Wat moet de tussentijd zijn op de 8000 m? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-43-
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Dit schakelen van formules kan zo in schema's worden voorgesteld.
|
|||||||||||||||||||||||||
|
£ = 5 T-3
|
|||||||||||||||||||||||||
|
x'l
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Kan vervangen worden door
|
|||||||||||||||||||||||||
|
E
|
|||||||||||||||||||||||||
|
E = 25G-3
|
|||||||||||||||||||||||||
|
E
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Algebraïsch ziet de schakeling van G = X en £ = 25G - 3 er zo uit:
£ = 25G - 3
E = 25( ) - 3 de plaats van G reserveren
£: = 25-(i)-3
E=^T-3 4
2. Bepaal in elk van deze gevallen een formule voor de stap C —> A
>a A = 2B + 5enB = C + 3 >b A=b'^ en 5 = C + 3
>c A = 55^-6 en fi = 2C+l
|
|||||||||||||||||||||||||
|
>d /l = 5^ - 25 en 5 = 1 - C
|
(tweemaal reserveren!)
|
||||||||||||||||||||||||
|
>e A = 6B-3enC = 2B + 4
>f A=b'^ tn C = ^B
3. Bepaal telkens een formule voor z uitgedrukt in x.
>a y = x- l z = 5y + 4 >b>' = 5j: + 4 z = y-l >c y = x^ z = 2y- \ >d >' = 3j:-6 z = y^-2y + 4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
In de opgaven 2 en 3 bleek de schakeling van twee eerstegraadsfuncties (Uneai-
re functies) weer een eerstegraadsfunctie op te leveren. De vraag is of dat altijd zo is. >a Onderzoek dat op twee manieren:.
(1) Ga na wat er bij lineaire functies gebeurt met gelijke toenamen van de
invoer. (2) Gebruik de willekeurige formules y = ax + benz = cy + d.
>h Onderzoek of een schakeling van twee tweedegraadsfuncties, weer een
tweedegraadsfunctie oplevert. |
|||||||||||||||||||||||||
|
Y
|
||||||||||||||||
|
-44-
|
||||||||||||||||
|
O-l/» I I I I I I I I I I I I I i I I
10 15 20 25 temperatuur (°C)
|
||||||||||||||||
|
2 3 4 5 6 7
aantal uren na zonsopgang |
||||||||||||||||
|
Een zekere muggensoort heeft een voorliefde voor een bepaalde plant. Daarop
zitten dan ook zeer veel exemplaren. Zodra de zon opkomt gaat een deel van het muggenvolkje vliegen. En zolang het licht is bevinden zich exemplaren in de lucht. Het percentage vliegende exemplaren blijkt afhankelijk te zijn van de luchttemperatuur. Dat verband is uit vroegere proeven bekend en is weergegeven in grafiek A.
Men heeft een grafiek nodig die voor een bepaalde dag het percentage vliegen- de muggen weergeeft voor de eerste acht uren na zonsopgang. Het temperatuur- verloop van die dag is af te lezen uit grafiek B. > Teken de benodigde grafiek.
Dit was een voorbeeld van het schakelen van grafieken.
6. Van een populierensoort is het verband tussen de diameter (D) op 1,3 meter
hoogte en de leeftijd (L) bekend in de vorm van een grafiek. Ook de relatie tus- sen de hoogte (//) en de leeftijd (L) is zo gegeven. L 60-
(jaren) 50-. |
||||||||||||||||
|
10 20 30 40 50 60
L (in jaren) |
||||||||||||||||
|
10 20 30 40 50 60 70
D (in cm) |
||||||||||||||||
|
>a Teken de grafiek die de waarde van H uitdrukt in de waarde van D
>b In plaats van het grafische model kiezen we een formule-model dat hierbij
aansluit. L = 0,8D-3 // = -0,01L2-i-l,lL-h6. Bepaal een formule die H uitdrukt in D (Je hoeft geen getallen af te ron-
den). |
||||||||||||||||
|
-45-
|
|||||||||
|
Het schakelen van formules kun je ook gebruiken bij de overstap op een andere
maat. We nemen een voorbeeld dat je zonder tussen-formule ook wel kunt bereke- nen. Dat kan dan als controle van de methode dienen. |
|||||||||
|
Voorbeeld •
|
|||||||||
|
De prijs van een kabel is ƒ 2500,- per km.
De kosten van x km kun je dan geven als K = 2500j: Nu wordt een formule gevraagd met de lengte in meter. Om niet in de war te raken noemen we het aantal meters y. Tussen xeny bestaat het verband x = jT^T^y
ENNIET;c=1000y!
De formule wordt dan K = 2500 x -^y = 2,5y
De nieuwe formule K = 2,5y verschilt nogal van de oude K = 2500a:.
Het is niet verboden voor de nieuwe formule K = 2,5j: te nemen, als maar duidelijk is of het over km of m gaat. Hieruit blijkt nog eens weer hoe belangrijk het is om bij een formule
de gebruikte eenheden te vermelden. |
|||||||||
|
Opmerking:
De meest voor de hand liggende fout is het gebruik van een verkeerde tussen- formule. Controleer daarom altijd het resultaat met een getallenvoorbeeld. 7. In de helicopterformule VL =
^ O, Old+6
meter.
> Verander de formule voor het geval d in kilometer wordt genomen en con-
troleer het resultaat. 8. Bekijk nog eens de formule t^ranje^'^r'^'V/^-
(t en Tr in sec, V in m/s) > Verander de formule voor het geval V in km/uur wordt genomen.
(Controleer je antwoord met een getallenvoorbeeld) 9. In hoofdstuk 3 opgave 2 ben je de formule E = 66,5 + 9,6w + 4,Sh - 4,1a van
de door het rustende lichaam benodigde energie tegengekomen. E werd daarbij gemeten in Kcal/24h.
Tegenwoordig gebruikt men meestal KJ/24h (KJ = 1 kilojoule = 239 Kcal).
> Pas de formule hiervoor aan.
|
|||||||||
|
-46-
|
||||||||||||||
|
10. Het vaststellen van de trainingsintensiteit
|
||||||||||||||
|
De slagfrequentie van het hart kan bepaald worden door middel van palpaüe van de a.radialis
(pols), van de a.temporalis (slaap) of van de a.carotis (hals). |
||||||||||||||
|
Op welke wijze kan de intensiteit van
training worden bepaald? De eenvoudigste methode is die waarbij gebruik gemaakt wordt van de slagfrequentie van het hart. Men heeft vastgesteld dat de mate waarin de slagfrequentie van het hart toeneemt als ge- volg van een bepaalde opgelegde belasting gebruikt kan worden als maat voor overbe- lasting van het lichaam in het algemeen en van het cardiovasculaire systeem in het bij- zonder. Hoe meer de slagfrequentie van het hart toeneemt, des te groter is de intensiteit van de belasting. Om die reden is het idee ontstaan om een streefwaarde voor de hart- slagfrequentie (f^P'sij^f) te bepalen waarop men zich bij duurtraining moet richten. Dat kan met de volgende methode. |
||||||||||||||
|
De methode van de maximale hartslag-fre-
quentiereserve. Deze methode is ontwikkeld door Karvonen en
houdt in dat de zogenaamde maximale hart- slagfrequentiereserve (HF ) berekend wordt. De HF is heel eenvoudig het verschil tussen res °
de maximale slagfrequentie van het hart
(HF^^ en de slagfrequentie van het hart in |
||||||||||||||
|
HF =HF -HF ,
res max rust waarin
HF^^ = maximale hartslagferquentiereserve
^^max ~ niaximale slagfrequentie van het hart
HF^^^ = slagfrequentie van het hart in rust (De frequentie in slagen/min.)
|
||||||||||||||
|
HFg^ggf wordt nu uitgedrukt als percentage van HF^^^
>a Voor een training is gekozen voor HF^^^^^ =75% van HF^.^^ + HF^^^^
Bereken //F,,,,^als HF^ = 200 en //F,^, = 60. >b Bepaal een formule voor HF^jj.ggf uitgedrukt in HF^^^^ en HF^^^^^, als p het
percentage van HF^.^^ voorstelt. >c HFj^^^ is moeilijk te bepalen. Daarvoor gebruikt men de schattingsformule
^^max = 220 - L (L = leeftijd in jaren) We gaan uit van //F^^, = 60 en /? = 80% Maak een tabel voor//F^,^^^voor L = 15,20, 25, 30, 35. Welke formule drukt HF^^^^^An dit geval uit in L ? |
||||||||||||||
|
-47-
|
||||||||
|
9 Model en Werkelijkheid
|
||||||||
|
In de wiskundeboekjes ben je meermalen het woord 'model' tegengekomen. De be-
tekenis is in de wereld van wetenschap en techniek een andere dan in de wereld van foto, film of mode. Voor ons is het hier een maaksel waarmee je een stukje werkelijkheid kunt naspe-
len. Je kunt denken aan een nog te bouwen zeeschip waarvan een schaalmodel wordt gemaakt om in een laboratorium uit te proberen. Waar het op aan komt is, dat het model zoveel eigenschappen van het werkelijke schip heeft, dat je vragen over de werkelijkheid met het model kunt oplossen. Het gaat om die eigenschappen. Het model hoeft verder helemaal niet op het echte
ding, of het echte verschijnsel te lijken. De invloed van de windsnelheid op het ver- mogen van een windmolen, kan met de echte molen bestudeerd worden, of met een kleine modelmolen, of met de formule P = 2V^. Daarom kan de formule ook gelden als model. Dat geldt ook voor tabellen en grafieken. Door een computer getallen en formules te voeren, kun je een computermodel krijgen. Die modellen worden tegen- woordig veel gebruikt. 1. > Noem eens een aantal voorbeelden van modellen uit de wiskundeboekjes.
Dus: Een formule (of een groep van formules) die een verschijnsel beschrijft noemt
men een model. Zo zijn er lineaire-, kwadratische-, derdegraadsmodellen, om eens een paar te noe-
men. Een probleem is natuurlijk: Hoe betrouwbaar zijn de uitkomsten van het mo- del voor toepassing in de werkelijkheid! In dit hoofdstuk spelen we een beetje met het verband tussen model en werkelijk-
heid. De grootte van de bladeren van een plant bepaalt mee hoeveel licht er opgevangen
kan worden en heeft daardoor invloed op de groeisnelheid.
Veronderstel dat iemand daarvoor een studie van de bladoppervlakte moet maken.
Het rechtstreeks meten van die oppervlakte is lastig. Daarom besluit hij de lengte te
meten en een verband te zoeken tussen lengte en oppervlakte. Voor dat verband wil
hij een model bedenken
Hij merkt op dat alle bladeren van een te onderzoeken boomsoort dezelfde vorm
hebben. Bovendien blijken lengte en breedte gelijk te zijn (/ = b).
|
||||||||
|
lengte (/)
|
||||||||
|
breedte (6)
|
||||||||
|
-48-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het blad past in een vierkant met oppervlakte /
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Trek een paar hulplijnen en toon aan dat voor het modelblad geldt 0 = \l^.
De oppervlakte is evenredig met het kwadraat van de lengte. Dit is een nogal
theoretisch model. Door de mooie aannamen is de formule eenvoudig en volle- dig te beredeneren. De waarde van een model moet in de praktijk blijken. Daarom voert hij een aan-
tal complete metingen uit: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
m cm
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
in cm
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>b Beoordeel na elke meting het model en vergelijk die met de voorspellingen
van het model. >c Wat moet er na de vijfde meting gebeuren?
2. Dezelfde onderzoeker in een nieuwe situatie. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij deze bladeren zal de oppervlakte ook wel evenredig zijn met het kwadraat
van de lengte. Dan is de formule van de vorm 0 = al^.De waarde van de con- stante 'a' is niet zo eenvoudig te berekenen. Maar die kunnen we proefonder- vindelijk vaststellen. >a Hoe?
>b Als bij een lengte van 8 cm een oppervlakte van 40 cm ^ blijkt te horen,
wat is dan de formule? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-49-
|
|||||||||
|
De vorm van de formule staat vast op grond van een redenering. Maar de con-
stanten (parameters) moeten nader bepaald worden. >c Bij het testen blijken er ook afwijkingen voor te komen. Is hier vergeleken
met de vorige opgave een grotere speling toelaatbaar? 3. Nu nog lastiger.
|
|||||||||
|
De blaadjes hebben niet meer precies dezelfde vorm, want bij de grotere zijn de
insnijdingen in verhouding dieper. >a Een model van de vorm O - al is niet geschikt. Waarom niet?
>b Welke problemen verwacht je bij een lineair model O = axl
De onderzoeker slaat een andere weg in. Hij zet een aantal metingen op milli-
meter papier uit en constateert een min of meer afnemende stijging. O
|
|||||||||
|
l
Er kan nu gezocht worden naar bekende soorten grafieken die hier zo goed mo-
gelijk bij aansluiten. En bij zo'n grafiek kan een formule bedacht worden. Er ontstaan nu grote onzekerheden. Welke soort kies je als er meerdere in aan- merkingen komen. En wat bedoel je met 'zo goed mogelijk aansluiten'? Het oplossen van dergelijke problemen hoort thuis in een apart vakgebied. Als alles lukt, heb je eigenlijk alleen een beschrijving van de situatie. Dat is nog geen verklaring, hoewel die beschrijving wel eens goede aanzetten tot een ver- klaring kan opleveren >c Heeft het rekenen met zo'n formule dan wel zin?
|
|||||||||
|
-50-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Samenvattend kunnen we zeggen:
Bij het opstellen van een model wordt de werkelijkheid vaak vereenvoudigd voor-
gesteld. Met deze veronderstellingen wordt geredeneerd om tot formules te komen. Soms zijn er voor het helemaal vastleggen van de formules experimentele gegevens nodig. Een model zegt dus niet: zo is het.
Maar: Als we aannemen dat.... en.... en ...., dan geldt........ 4. In hoofdstuk 1 komt een model voor van het aantal vluchten per uur van een
helicopter. > Welke experimentele gegevens zijn daarbij gebruikt?
5. Botje bij botje leggen.
Een archeoloog vindt een partij botten van huisdieren. In de loop der tijd zijn
er natuurlijk botten zoekgeraakt, of vergaan. Toch wil hij graag een idee hebben
van het aantal dieren dat er oorspronkelijk was.
Voor een bepaalde diersoort zoekt hij de meest voorkomende botten bij elkaar.
Bijvoorbeeld de dijbenen van de achterpoten. Hij kan nagaan welk linkerbotje
bij welk rechterbotje past.
Dit is het resultaat:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ifiüiïnl:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
linkerbotten (aantal L)
rechterbotten (aantal R) LR
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
paren (aantal P)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Volgens professor A moet hij het model A^ = — gebruiken, met N als het oor-
spronkelijke aantal dieren. Volgens professor B deugt hier niets van. Het moet l2 + ^2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
zijn N =
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2P
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>a Is het niet vreemd dat er twee verschillende modellen voor het zelfde ver-
schijnsel zijn? >b Maak deze tabel af. (Rond af op een geheel getal)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Nj^ volgens A
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j^^ volgens 5
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-51-
|
||||||||
|
>c De uitkomsten voor Nj^ en Ng kunnen door afronding gelijk zijn. Maar het
is ook mogelijk dat ze dat al zonder afronding zijn. Probeer een algemene regel te vinden voor de gevallen waarin Nj^ en Nq exact gelijk zijn. >d Na veel berekeningen rijst dit vermoeden: Nq>N^.
Dat het vermoeden juist is wordt aangetoond met een wiskundig bewijs.
Probeer elke stap te verklaren. L^ + R^ > M.
2P P
L^+R^ > 2LR
L^ + R^ - 2LR > O (L-Rf > O En dat is altijd zo.
>e We weten niet hoe de modellen bedacht zijn, zodat we de achterliggende
redenering niet kunnen controleren. En even vlug wat experimenten uit- voeren lukt ook niet. Toch hoeven we niet elke formule te slikken. Welke van onderstaande formules zijn alleen al op grond van hun uiterlijk niet serieus te nemen? P (L + R)^ L'^ + 2R
N= ------- N=--------— N= ----------
L+R 4P 2P
>f Op een tafel ligt een partij botjes keurig gesorteerd:
|
||||||||
|
iium
|
||||||||
|
2 2
Met de formule n =
den bepaald. We kunnen de 'kwetsbaarheid' van de formule onderzoeken, door 1 botje
weg te nemen en het gevolg voor de waarde van N te berekenen. Bedenk een waarschuwingsregel voor de archeoloog over de situaties waarin hij voorzichtig moet zijn met het toepassen van de formule. |
||||||||
|
-si-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
lo Het krachtenspel
Er 2djn veel verschijnselen waarbij het resultaat bepaald wordt door twee elkaar te-
genwerkende krachten. Voorbeeld
De opbrengst van een artikel is afhankelijk van de prijs per stuk en van het verkoch-
te aantal. De opbrengst kan vergroot worden door bijvoorbeeld de prijs te verhogen. Maar die prijsverhoging doet misschien het verkochte aantal dalen. Tel uit je winst! De kwadratische functie kan gebruikt worden om zo'n spel van krachten te illustre-
ren. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. In een grote foto is een kleinere van 30 bij 10 cm afgetekend. Hiervan gaan
twee randen x cm naar binnen en één gaat x cm naar buiten, volgens onderstaan- de tekening. <------ 30------->
T
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Er kan zo een serie rechthoeken ontstaan.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
We zijn geïnteresseerd in het verloop van de oppervlakte als x verandert.
De berekening kan in een schema worden gepresenteerd. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-53-
|
|||||||
|
Nu is af te lezen:
X neemt toe
|
|||||||
|
horizontale afmeting verticale afmeting
wordt kleiner wordt groter
horizontale afmeting verticale afmeting
wil de oppervlakte wil de oppervlakte
kleiner maken groter m^en
Je ziet: een spel van elkaar tegenwerkende krachten.
De vraag is nu hoe het verloop van dit krachtenspel is. >a Onderzoek dit door de grafiek van de oppervlakte in afhankelijkheid van x
te tekenen voor O ^ j: < 8. Gebruik voor de vertikale as het deel van 250 tot 320 cm^. Geef een beschrijving van het resultaat. >b Wat is de maximumwaarde van de oppervlakte volgens je grafiek?
>c De getekende serie rechthoeken kan bij een grote foto nog heel ver naar
rechts worden voortgezet. Wat is er dan van de vormen te zeggen? >d De serie zou naar links ook nog wel een eindje kunnen worden voortgezet.
Welke afspraak moet er dan voorx worden gemaakt? Wat zijn de afmetingen van de laatste rechthoek? 2. Terug naar het prijzenvoorbeeld.
Normale prijs: 10 gulden Prijsverhoging: x gulden Normale verkoop in een week: 100 stuks
Elke gulden prijsverhoging doet de verkoop met 5 stuks teruglopen.
Ook hier is er weer sprake van twee elkaar tegenwerkende krachten.
>a Onderzoek met een schema en een grafiek bij welke prijsverhoging de op-
brengst maximaal is. >b Is de gunstigste prijs voor de verkoper de ongunstigste prijs voor een ko-
per? 3. Een subsidieregeling
Een sportclub kan een subsidie krijgen voor de uitbereiding van de accomoda-
tie. De regeling is als volgt: - Bedragen de kosten ƒ 6000,- of minder, dan is de subsidie 8%
- Voor elke ƒ 1000,- meer wordt het percentage met 0,5% verminderd en
dat nieuwe percentage wordt over de totale kosten berekend. - De opgegeven kosten worden altijd naar beneden afgerond op duizendtallen.
>a Onderzoek met behulp van tabellen bij welk kostenbedrag de subsidie
maximaal is. Noem o: het aantal keer/1000,- dat de kosten meer bedragen dan ƒ 6000,-.
>b Toon aan dat de subsidie berekend kan worden met de formule:
SUBSIDIE = 480 -t- 5Qx - 5j:^ en beantwoord hiermee vraag >a. |
|||||||
|
-54-
|
||||||||||
|
4. Groei
De sterkte van de groei van het aantal diertjes van een bepaalde soort kan deze
vorm hebben: groei A
|
||||||||||
|
>üjd
|
||||||||||
|
O
N.B. Verticaal staan niet de aantallen uitgezet.
De grafiek gaat over de mate van verandering van het aantal,
die we hier groei noemen. Je kunt je voorstellen dat een kleine groep dieren op een plaats komt waar volop
voedsel is. Er worden veel jongen geboren en die komen niets tekort, zodat daarvan veel overleven. Die krijgen ook weer jongen, enzovoort. Het aantal groeit dus snel. Na verloop van tijd wordt het moeilijker om aan voedsel te komen en de groei neemt weer af. >a Hoe past dit verhaaltje bij de grafiek?
>b Maak een globale grafiek die het verband tussen de tijd en het aantal weer-
geeft. Het verschil in groei is met formules na te spelen. De met de tijd toenemende
groei kan voorgesteld worden door bijvoorbeeld: Gr = 2 • f
Het gevolg zou onbeperkte groei zijn. Daarom moet er een remmer worden in- gebouwd. In het begin moet die niet, of heel zwak werken, maar later steeds sterker. Een mogelijkheid is de factor (1- 4^) met f = 10 als laatste tijdstip.
De formule wordt dan: Gr = 2 r (1- -^ ).
>c Voldoet de remmer (1- -j^ )aan de voorwaarden?
>d Tekende grafiek vanGr = 2r(l--j^ ).
>e Heeft de formule de gewenste eigenschappen?
>f Veronderstel dat er ook een grafiek met de echte aantallen bekend was.
Hoe zou daaruit af te lezen zijn wanneer de groei maximaal is? >g Bedenk zelf een zwakkere remmer.
2
>h Vergelijk het effect van de remmer(l- — )en (1- — ) op de groei.
|
||||||||||
|
-55-
|
||||||||||||||||
|
11 Nog enige toepassingen
1. Kunstnier
Dit is een schematische tekening van een kunstnier.
|
||||||||||||||||
|
Kunstnier
|
||||||||||||||||
|
dialysaat
|
||||||||||||||||
|
UFP
|
||||||||||||||||
|
Overzicht van de samenstelling van de kunstnier
|
||||||||||||||||
|
PI = negatieve drukalarm
BP =bloedpomp P2 = positieve drukalarm LD = luchtdetector K = klemsysteem W = gezuiverd water |
PP = proportioneringspompen
E)C = dialysaatconcentraat
CM = conductiviteitsmeter
TA = verwarmings- en temperatuuralarm
BD = bloedlekdetector
UFP= ultrafiltratiepomp
|
|||||||||||||||
|
In het bloed van de patiënt bevinden zich stoffen als ureum en creatinine in te
hoge concentraties. Het bloed wordt langs een membraan gevoerd. Aan de an- dere kant van dat membraan stroomt het zogenaamde dialysaat. Het membraan is dus een scheidingswand, maar bepaalde stoffen kunnen er doorheen als de concentraties van die stoffen aan beide kanten van het membraam verschillend zijn. Als er voor gezorgd wordt dat de concentraties in het dialysaat lager zijn, dan
gaan die stoffen vanuit het bloed door het membraan in het dialysaat. En daarna worden ze afgevoerd. >a Soms wil men een patiënt een stof toedienen, bijvoorbeeld calcium.
Hoe zou dat met de kunstnier kunnen? >b Tijdens het verwijderen van ureum en andere stoffen, mag de concentratie
van natrium in het bloed geen schommelingen vertonen. Hoe is dat te bereiken? |
||||||||||||||||
|
-56-
|
||||||||||||||
|
De sterkte van de zuivering wordt klaring genoemd. Dat is de hoeveelheid
bloed (in ml) die per minuut volledig gezuiverd wordt van een bepaalde stof >>. Voor klaring wordt de afkorting C van het Engelse woord clearance gebruikt. Voor de grootte van C bestaat een formule: |
||||||||||||||
|
A stelt de concentratie van stof y in het bloed voor aan de ingang van de kunst-
nier (A = arterieel) en V aan de uitgang (V = veneus) QB is het bloeddebiet, dat is de bloedstroom in ml/min. |
||||||||||||||
|
alysaat
|
||||||||||||||
|
bloed
|
||||||||||||||
|
D: concentratie
van het dialysaat. |
||||||||||||||
|
>c De apparatuur kan het aangeboden bloed sterk of zwak zuiveren. Hoe is dat
in de formule voor C verwerkt? >d Als de concentraties van een stof in het bloed en in het dialysaat gelijk zijn,
zal er niets gebeuren: we verwachten C = 0. Geeft de formule in dat geval ook werkelijk dit resultaat? |
||||||||||||||
|
-57-
|
||||||||||||||||
|
2. Bloeddruk en sport
|
||||||||||||||||
|
Voor het ontwikkelen van verantwoorde methoden van sporttraining is biolo-
gische kennis nodig o.a. van de bloeddruk. Als gevolg van de hartslag schommelt de druk die het bloed op de wand van de
slagaders uitoefent tussen een hoogste en een laagste waarde. Die waarden he- ten resp. systolische en diastolische druk. Voor het leveren van prestaties is de snelheid van het bloed door het vaatstelsel
van belang. Die snelheid wordt door de druk bepaald. Maar welke druk? Er zal een soort gemiddelde druk genomen moeten worden (de gemiddelde arteriële druk, afgekort tot Pgem). De voor de hand liggende afspraak: Pgem =A (systolische druk -i- diastolische druk)
voldoet niet, omdat de periode met hogere druk korter duurt dan die met lagere druk. In een globale grafiek: |
||||||||||||||||
|
systolisch
|
||||||||||||||||
|
T
|
||||||||||||||||
|
gewoon
gemiddelde |
||||||||||||||||
|
g
|
||||||||||||||||
|
diastolisch
|
||||||||||||||||
|
TUD
|
||||||||||||||||
|
>a Teken in de globale grafiek hoe de lijn voor de betere waarde voor Pgem
verschoven moet worden ten opzichte van het gewone gemiddelde. |
||||||||||||||||
|
-58-
|
|||||
|
De afspraak is tenslotte geworden:
Pgem = diastolische druk + (polsdruk/3)
waarbij polsdruk = syst. druk - diast. druk. >b Schrijf de formule voor Pgem in de vorm
Pgem = ... diast. druk + ... syst. druk >c Is Pgem in de juiste richting verschoven? (zie vraag >a)
>d Iemand heeft een syst. druk van 16,7 kPa en een diast. druk van
10,7 kPa. (de druk wordt gemeten in kPa = kilopascal). Bereken de gemiddelde arteriële druk. >e 'Als de polsdruk groter wordt, dan wordt de gemiddelde arteriële druk ook
groter.' Hoe staat het met de waarheid van deze uitspraak? >f Als de belasting bij de training toeneemt, neemt de bloeddruk ook toe. De
belasting B laten we variëren van O tot 1. De bloeddruk wordt weer geme- ten in kPa. Uit proeven bleken deze formules redelijk te kloppen: D= 1,55+ 11
5 = 4,7fi + 12,6
(P = diast. druk, 5 = syst druk).
Teken de grafieken bij deze formules. >g D enS blijken lineair toe te nemen.
Leidt uit de formules af dat dat ook zo is voor Pgem.
Hypertensie slaat op hoge bloeddruk, zowel systolisch als diastolisch. Hoge
bloeddruk gaat gepaard met een reeks van ziektebeelden met betrekking tot de bloedsomloop en men heeft vastgesteld dat 12% van alle mensen sterft als di- rect gevolg van hypertensie. Verder kan een op de vijf mensen last hebben van hoge bloeddruk op bepaalde momenten in hun leven. >h Een andere formule voor Pgem is: Pgem = HMV x R
HMV = hartminuutvolume: de hoeveelheid bloed die per minuut door het
hart gaat. R = weerstand: de weerstand die het bloed in het lichaam ondervindt.
Hoe kan hypertensie volgens deze formule ontstaan? >i Geef een formule voor R uitgedrukt in D, S, HMV.
>j Een leerboek geeft als verklaring van de lineaire toename van de bloeddruk
in>f. De bloeddruk neemt lineair toe tijdens belasting omdat het hartminuutvolume toeneemt
(slagvolume en slagfrequentie), terwijl de weerstand afneemt als gevolg van vasodilatatie van de arteriolen in de actieve spieren. (dit laatste betekent, dat de bloedvaten wijder worden).
Geef een beoordeling van deze verklaring. |
|||||