-ocr page 1-
AFSTANDEN
&
GRAFEN
&
MATRICES
-ocr page 2-
AFSTANDEN
&
GRAFEN
&
MATRICES
Wiskunde A
-ocr page 3-
AFSTANDEN & GRAFEN & MATRICES
Een produktie ten behoeve van het project Hawex.
Ontwerper:
Met medewerking van:
Jan de Lange
Christiane Hauchart
Jan de Jong
Martin Kindt
Henk van der Kooij
Martin van Reeuwijk
Anton Roodhardt
Ellen Hanepen
Ada Ritzer
Vormgeving:
© 1989: 3e versie
Utrecht, augustus 1989
-ocr page 4-
Inhoudsopgave
1.  Kaarten en afstanden...........................................................................................1
2.  Verbindingsmatrices en -grafen........................................................................12
3.  Directe wegen....................................................................................................19
4.  Andere afstanden...............................................................................................25
5.  De juiste dimensie.............................................................................................36
6.  Extra opgaven....................................................................................................43
-ocr page 5-
-1-
1 Kaarten en afstanden
Autorijden
ueorge
talbuquebque
United States Driving Distance Chart
figuur 1
Bovenstaande kaart komt uit een Amerikaanse wegenatlas. Het commentaar
bij de kaart luidt:
'Afstanden en rijtijden zijn opgenomen door ervaren automobilisten bij nor-
male omstandigheden. De resultaten zijn gemiddelde rijtijden binnen de
geldende maximum snelheden, en van stadscentrum tot stadscentrum.'
De afstanden worden gemeten in mijlen. 1 mijl is ongeveer 1,6 km.
De tijden staan aangegeven in uren en minuten.
Zo is de rijtijd tussen Albuquerque en Denver 8:45 uur en de afstand 449 mijl.
1. Hoe groot is de afstand in mijlen van Salt Lake City naar Abuquerque
(spreek uit: Albukurkie) via:
>a Cortez
>b Denver
>c Flagstaff
-ocr page 6-
-2-
2.    Hoe lang is de rijtijd van Salt Lake City naar Albuquerque via:
>a Cortez
>b Denver
>c Flagstaff
3.    Welke van de drie routes uit opgave 1 en 2:
>a is het kortst (in km)
>b is het snelst (in uren en minuten)
>c wordt met de grootste gemiddelde snelheid gereden?
4.    De kaart van fig. 1 geeft geografisch de correcte plaatsen aan van ieder der
steden.
De schaal van de kaart is 1 : 8.000.000 ofwel:
1 cm komt ongeveer overeen met 80 km.
> Bereken de onderlinge afstanden 'hemelsbreed' van de steden Salt La-
ke City, Flagstaff en Albuquerque. Men spreekt ook wel van
'vliegafstand'.
5. > Maak de volgende afstanden tabellen af.
van
van
SLC F
SLC
F A
SLC
0
......
F
883
... 520
A
...
......
SLC
naar F
Afstanden per auto
in kilometers.
Afstanden per vliegtuig
in kilometers.
6. Vergelijk de twee tabellen van opgave 5.
> Tussen welke twee steden is de 'autoafstand' veel groter dan de
'vliegafstand'?
-ocr page 7-
-3-
7.
afstandentabel Amerikaanse steden.
QUICK
REFERENCE ^^""'
TABLE
Hierboven de afstandentabel uit de wegenatlas.
>a Wat is de grootste afstand uit deze tabel?
Hoeveel uren rijden is dat?
>b Vergelijk de afstand en rijtijd van Salt Lake City naar Seattle en die
van Seattle naar San Francisco.
Commentaar?
-ocr page 8-
-4-
Het kaartje van figuur 1 is een schematische weergave van de werkelijkheid.
Men zegt ook wel: het kaartje is een model van de werkelijkheid. Er zijn
modellen die veel op de werkelijkheid lijken, en modellen die minder op de
werkelijkheid lijken. Zo is de kaart uit de atlas (figuur 3) veel minder
schematisch dan het kaartje van figuur 1.
figuur 3
8.
Welke voor/nadelen hebben de beide verschillende kaarten?
-ocr page 9-
Bij de kaart in figuur 1 hebben de getekende 'afstanden' (de lijnen tussen de
steden) geen 'juiste' lengtes.
Heel duidelijk is dat bij Salt Lake City - St. George - Flagstaff.
Een wat betreft de rijafstanden 'eerlijker' kaart van bovenstaande drie steden
zou er zo uit kunnen zien:
Figuur 1 was:
Een 'eerlijker' kaart is:
SLC
»
SLC •
266
266
ST.G,
ST.G
\
\ 286
\ 286
\ F
\f
9. > Probeer op bovenstaande 'eerlijke' wijze een 'rijafstandenkaart' te te-
kenen met daarop de volgende steden:
Salt Lake City, Flagstaff, Denver.
Probeer daarna ook Albuquerque op deze kaart te tekenen.
10. > Teken met passer en liniaal een kaart met correcte afstanden behoren-
de bij de volgende afstandentabel:
van
A
R
U
^ /
^ 0
70
50
naar R
70
0
60
u \
\, 50
60
0
A
o;
-ocr page 10-
11. > Teken een kaart met correcte afstanden behorend bij de volgende
afstandentabel: welke waarden kan x ongeveer hebben?
van
A R U L
O 70 50 50
70 O 60 40
50 60 O jc
R
naar
U
50 40 a: o
12. > Probeer een kaart te tekenen met correcte afstanden behorend bij de
volgende afstandentabel:
van
P
Q
R
' /
^ 0
10
50
naar
M
10
0
30
R \
i 50
30
0
-ocr page 11-
-7-
Kaarten en Grafen
We zagen dat het niet altijd mogelijk is een met passer en liniaal te construe-
ren kaartje te tekenen bij een afstandentabel.
Voorbeeld:
P
Q R
' /
^0
10 50 \
M
10
0 30
R \
i 50
30 0 J
Toch kun je dit schema wel 'in beeld brengen', bijvoorbeeld als het over aard-
rijkskundige kaarten gaat:
of, in het algemeen nog schematischer:
R
50 / \^             of,            p
^         10            Q
Zo'n plaatje, waarin alleen is aangegeven of punten wel of niet verbonden zijn,
maar waarbij de plaats van de punten er niet toe doet heet een graaf:
Een graaf is een verzameling van (knoop)punten, al of niet verbonden
door wegen.
Bovenstaande graaf telt drie (knoop)punten en drie wegen.
Een graaf waarbij bij de wegen getalletjes staan wordt ook wel een
netwerk genoemd.
-ocr page 12-
-8-
Andere afstanden
Bij een onderzoek in een klas wordt gekeken naar de sociale afstanden tussen
leerlingen. Leerlingen wordt gevraagd hoe vaak ze met andere leerlingen om-
gaan. Hoe meer je met iemand omgaat, hoe kleiner de sociale afstand - zo luidt
de afspraak.
Als leerlingen helemaal niet met elkaar omgaan kun je zeggen:
-     de afstand is oneindig groot;
-     er is geen afstand te bepalen.
Er wordt gekozen voor de laatste oplossing.
De graaf wan de sociale afstanden tussen vier leerlingen ziet er als volgt uit:
Debbie
13.  > Maak een bij de graaf behorende afstandentabel. Noteer voor de af-
stand tussen Els en Debbie een streepje: —
14.  > Voor drie personen is een precieze afstandenkaart te construeren met
passer en liniaal. Doe dit.
Opgravingen
Bij opgravingen in Midden-Amerika naar de verloren Maya-beschavingen be-
sloot de archeoloog Robinson op de volgende manier een 'afstand' of 'maat van
verschil' tussen de diverse opgravingen te formuleren.
Eerst deelde hij de opgegraven resten in verschillende klassen:
(Y) botten van mensen
(2) botten van dieren
De Maya-beschaving
wordt door geleerden als
zeer hoogstaand be-
schouwd.
Ze bestond vanaf de vier-
de eeuw tot de verwoes-
ting door de Spanjaarden
in de zestiende eeuw. De
bloeitijd ervan was van de
zesde tot de achtse eeuw.
Het Mayavolk woonde in
het gebied waar nu
Guatemala en Zuid-Mexico
liggen.
Op het kaartje hiernaast
zie je onder andere enkele
archeologische vindplaat-
sen aangegeven.
®
®
aardewerk
resten afval
© kleding
-ocr page 13-
-9-
Vervolgens gaf hij de verdeling over de vijf klassen in ieder van de opgravingen
aan in percentages
klasse
©
®
©
©
©
A
10
25
35
20
10
B
0
40
30
25
5
C
5
10
25
40
20
D
25
25
25
15
10
E
0
10
25
40
25
opgraving
15.  > In welke opgraving(en) werden geen mensenresten gevonden?
16.  > Welke twee opgravingen lijken een beetje op elkaar afgaande op de ta-
bel?
Robinson nam de volgende 'afstandenmaat' tussen de vijf opgravingen; als
voorbeeld nemen we de 'afstand' of 'mate van verschil' tussen A en B:
©
©
©
©
©
opgraving A
10
25
35
20
10
opgraving B
0
40
30
25
5
afstanden-
bijdrage
10-0
10
40-25
15
35-30
5
25-20
5
10-5
5
De totale 'afstand' tussen AenB:
d (A^) = 10 -I-15 + 5 + 5 + 5 = 40.
17.  > Maak een afstandentabel met de afstanden tussen de 5 opgravingen:
A B C D E
0
0
0
0
0
A
B
C
D
E
18.  > Welke opgravingen liggen 'ver van elkaar'?
Welke opgravingen liggen 'dicht bij elkaar'?
19.  > Welk nut zou zo'n tabel voor archeologen hebben?
-ocr page 14-
■10-
Kenmerken
Bij opgravingen kwamen resten van een aantal vazen te voorschijn. Die vazen
hadden onder andere de volgende kenmerken
- met oor of zonder oor
ö e
- cilindrisch of niet
-  met extra versiering of niet ^^^ ^^
-  geglazuurd of niet f-^ ^~?l
Er worden zes vazen of vaasresten op deze kenmerken onderzocht.
Dit levert de volgende kenmerkentabel op:
oor*
cil.**
vers."''
glaz."*""*
1
0
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
0
1
0
1
0
1
1
1
0
0
0
1
vaasa
vaasb
vaasc
vaasd
vaas e
vaas f
*     1: wel oor,        0: geen oor
**   1: cilindrisch,    0: niet cilindrisch
+     1: versierd,       O: niet versierd
++   1: geglazuurd,   0: niet geglazuurd
20.  > Welke cilindrische vaas heeft géén oor, is niet versierd, maar wel ge-
glazuurd?
Een 'mate van verschil' tabel is ook hier gemakkelijk te maken. Daarvoor kijk
je naar op hoeveel van de vier kenmerken de vazen 'hetzelfde' zijn. Zo is de
'afstand' tussen vaas a en vaas b gelijk aan 3. De enige overeenkomst tussen
de twee vazen is dat ze niet geglazuurd zijn; ze verschillen dus op drie ken-
merken.
21.  > Zoek enkele vazen die maar op één kenmerk verschillen, dus dicht bij
elkaar liggen.
22.  > Maak een 'afstandentabel' voor de zes vazen.
Gebruik als 'afstand' de 'mate van verschil' zoals boven omschreven.
-ocr page 15-
-11-
Samenvatting
Er zijn vele soorten kaarten en afstanden. De bekendste is de aardrijkskundige
kaart.
Afstanden kunnen bijvoorbeeld zijn:
-     de afstand (in km) over de weg (rijafstand);
-     de afstand (in km) door de lucht (hemelsbreed, vliegafstand);
-     de afstand (in uren) in rij- of reistijd.
In de meetkunde is het begrip afstand het best te vergelijken met de afstand
hemelsbreed op een aardrijkskundige kaart.
Maar afstanden kunnen ook veel minder helder zijn: afstanden tussen opgravin-
gen, voorwerpen, sociale afstand tussen mensen; 'afstand' wordt dan gebruikt
voor 'mate van verschil'.
Afstandentabellen geven op overzichtelijke wijze afstanden weer in een recht-
hoekig schema.
Soms kun je bij afstandentabellen een 'echte' meetkundig verantwoorde kaart
tekenen.
Bij afstandentabellen kun je altijd een graa/tekenen.
Een graaf is een verzameling van (knoop)punten al of niet verbonden door we-
gen (of takken).
-ocr page 16-
-12-
2 Verbindingsmatrices en -grafen
We keren terug naar de kaart (figuur 3) van het gebied met de steden Salt
Lake City, St. George, Flagstaff, Denver en Albuquerque.
De luchtvaartmaatschappij MidWest heeft tussen deze plaatsen enkele lucht-
lijnen.
In de dienstregeling staat de volgende kaart:
Salt Lake City
St. George
Denver
Flagstaff
Albuquerque
luchtlijnen, MidWest Airlines                                                                              figuur 4
Deze graaf geeft voor de luchtreizigers de belangrijke informatie:
-     welke steden (punten) er in het luchtnet zitten;
-     welke verbindingen (wegen of takken) er al of niet zijn.
De luchtreiziger ziet bijvoorbeeld in één oogopslag dat hij niet rechtstreeks van
Albuquerque naar Salt Lake City kan vliegen.
Het feit dat er geen rechtstreekse verbinding is tussen A en SLC blijkt ook uit
de bij de verbindingsgraaf behorende verbindingstabel:
van
A
D
SLC
StG
F
A
f'
1
0
0
0
D
1 I
0
1
0
1
SLC
0
1
0
0
1
StG
\ °
0
0
0
1
F
Vo
1
1
1
0
Zo'n verbindingstabel bevat alleen maar nullen en enen. Een O als er geen
directe verbinding is, een 1 als die er wel is.
1. > Hoe blijkt uit voorgaande tabel dat alle vluchten in beide richtingen
worden uitgevoerd? (Dus héén en terug.)
-ocr page 17-
-13-
> Teken de luchtlijnengraaf of verbindingsgraaf als er bovendien een
rechtstreekse lijn van Albuquerque naar Salt Lake City zou zijn.
Hoe verandert de verbindingstabel in dat geval?
Een verbindingentabel is iets heel anders dan een afstandentabel.
De overeenkomst is dat beide rechthoekige tabellen zijn; zulke tabellen
worden vaak matrices genoemd, in enkelvoud: een matrix.
Een met MidWest Airlines concurrerende luchtvaartmaatschappij wil ook de
vijf steden in haar netwerk opnemen. De maatschappij heeft haar thuisbasis in
Albuquerque en wil iedere dag één keer het volgende traject vliegen:
Het toestel vertrekt uit A en vliegt achtereenvolgens naar D, SLC, ST.G, F en
via D terug naar A.
De verbindingsgraaf ziet er zó uit:
Salt Lake City
Denver
-*------
Albuquerque
St.George
figuur 5
Flagstaff
Men noemt dit een gerichte graaf: de verbindingen hebben nu ook een richting.
3. > Stel de verbindingsmatrix op behorend bij deze (gerichte) graaf.
Let op de plaats waar 'van' en 'naar' bij de matrix staan.
Soms zijn (verbindings)grafen hetzelfde zonder dat dat direct duidelijk is.
Zo is de graaf van MidWest Airlines:
figuur 6
hetzelfde als de volgende twee:
figuur?
4. > Beredeneer (bijvoorbeeld door er letters bij te zetten) dat bovenstaan-
de drie grafen hetzelfde zijn. Bedenk nog een ander plaatje van dezelf-
de graaf.
-ocr page 18-
-14-
5. > Welke van de volgende graf en zijn hetzelfde?
G:             _-_                           H:
I:
6. > Welke matrix past bij welke graaf?
Gr af en:
H
Matrices:.
O O
0 0 0
10 0 0
1
1
0 10 0 0
10 10 0
0 10 11
0 0 10 1
0 0 110
D
> Geef bij de volgende 5-puntsgraaf met eenrichtingsverkeer de verbin-
dingsmatrix:
" D
7.
•E
-ocr page 19-
■15-
Bij een verbindingsgraaf met vijf punten hoort een vijf bij vijf (5 x 5) verbin-
dingsmatrix.
Daarbij geldt de afspraak dat er op de diagonaal nullen staan.
8.    > Hoeveel nullen kunnen er maximaal in een 5x5 verbindingsmatrix
staan? Wat betekent dit voor de graaf?
9.    > Hoeveel énen kunnen er maximaal in een 5x5 verbindingsmatrix staan?
Wat betekent dit voor de graaf?
10.  > Om 5 punten te verbinden zijn 4 wegen voldoende. Teken de verschil-
lende mogelijkheden.
Kun je met nog minder wegen volstaan als je 5 punten wilt verbinden?
In de situatie waarbij ieder punt direct met ieder ander punt is verbonden
(opgave 9) spreken we van maximale verbondenheid.
In de situatie waarbij ieder punt bereikbaar is (direct of indirect) met
het kleinst mogelijke aantal wegen (opgave 10) spreken we van
minimale verbondenheid.
A O 1 1
11.
0 110
10 0 0
10 0 0
O
10 11
110 1
A =
B =
0 110
0 0 0 0
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0
A, B en C zijn drie verbindingsmatrices.
>a Teken bij elk van de matrices A, B en C een graaf.
>b Geef een matrix D, met bijbehorende graaf, die méér verbindingen
heeft dan B, en minder dan C.
-ocr page 20-
-16-
12. > Geef de verbindingsmatrix bij ieder van de volgende grafen:
M:
B
13.  > Welke van de grafen van opgave 12 heeft relatief de meeste wegen
(d.w.z. het aantal wegen in verhouding tot het maximaal mogelijke
aantal).
14.   >a Hoeveel wegen kunnen er maximaal zijn bij een verbindingsgraaf met
zes punten?
>b Dezelfde vraag voor 7, 8, 23 en n punten.
15.  >a Hoeveel wegen zijn er in een minimaal verbonden graaf met zes
punten?
>b Dezelfde vraag voor 7, 8, 23 en n punten.
16.  Hieronder vind je twee matrices. De eerste is een verbindingsmatrix, de
tweede een kortste-afstandenmatrix. Hierin staat voor elk tweetal plaat-
sen gegeven de afstand tussen die twee, als je de kortste route neemt van
de een naar de ander.
Hij is alleen nog lang niet volledig ingevuld.
van
A
B
C
D
E
A
/""
1
0
0
0
B
f 1
0
0
1
1
C
0
1
0
1
0
D
i °
0
1
0
1
E
\o
1
0
1
0
naar
-ocr page 21-
■17-
A
B
C
D
0
•
•
15
5
0
•
•
•
20
0
•
20
15
0
A
B
naar C
D
E
O
20
>a Vul de kortste-afstandenmatrix aan met de ontbrekende getallen.
Tip: Het lijkt verstandig om eerst de verbindingsgraaf te tekenen.
>b In welk van de vijf steden zou je een ziekenhuis laten bouwen, als je
daarbij bedenkt dat een ziekenhuis zo snel mogelijk bereikt moet kun-
nen worden. Neem bij de beantwoording aan dat in elk van de vijf ste-
den een ambulance aanwezig is.
Denver aan de voet van de Rocky Mountains.
-ocr page 22-
-18-
Samenvatting
Een graaf bestaat uit een aantal (knoop)punten en wegen (of takken).
Als er een directe verbinding tussen twee punten is, tekenen we een weg.
Een graaf waarbij bij de wegen getallen staan wordt ook wel een netwerk ge-
noemd.
Een matrix is een rechthoekig schema van getallen.
Voorbeelden
-     een afstandentabel (afstandenmatrix);
-     een verbindingstabel (verbindingsmatrix).
Een verbindingsmatrix bevat uitsluitend 1 en O als elementen.
Een O duidt aan dat er tussen de betrokken punten géén directe weg is
(waarbij ook wordt aangenomen dat een plaats niet met zichzelf is verbonden).
Een 1 duidt aan dat er tussen de betrokken plaatsen wèl een verbinding is.
Een gerichte graaf is een graaf waarbij aan de wegen een richting is toege-
voegd.
Dit doet zich bijvoorbeeld voor bij éénrichtingsverkeer.
■TT?-*"-
De weg die vanuit Denver de Rocky Mountains in gaat.
-ocr page 23-
-19-
3 Directe wegen
Verbindingsgrafen zijn soms handig (luchtlijnennet), maar soms helemaal niet.
De verbindingsgraaf van de steden Salt Lake City, Albuquerque en Denver ziet
er (voor auto's) heel eenvoudig uit:
SLC
D
Als ik in SLC in m'n auto zit, weet ik dat ik naar zowel Albuquerque als naar
Denver kan rijden. Maar heb ik daarbij nog keuzes? Dat is uit de graaf niet af
te lezen.
Daarom weer terug naar de aardrijkskundige kaart (figuur 3). Als we die gaan
schematiseren - waarbij we dus alleen letten op de drie steden SLC, D en A -
krijgen we:
SLC ^-------------------^(1)
figuur 8
Er zijn dus drie hoofdroutes van SLC naar D (1) (2) (3) en één route van D
naar A (4) en één van S naar A (5).
Deze schematische kaart kan nog verder 'gemodelleerd' worden tot een direc-
te-wegen-graaf:
SLC«^\                                                         SLC
of
-ocr page 24-
-20-
De bijbehorende directe-wegen-matrix ziet er als volgt uit:
van
SLC D A
O
SLC
1
3 O 1
naar D
1 1 O
1.    Kijk nog eens naar de verbindingsgraaf van A, D, SLC en de directe-wegen-
graaf van A, D, SLC.
>     Wat is het verschil?
2.    De directe-wegen-graaf laat zien dat er vier verschillende routes zijn van
Salt Lake City naar Albuquerque.
>     Geef aan hoe.
De directe-wegen-graaf is echter niet helemaal correct.
Weg (3) (zie figuur 8) van SLC naar D valt gedurende enkele kilometers sa-
men met weg (5) van SLC naar A.
De geschematiseerde kaart kan op de volgende manier worden verbeterd:
SLC
(6)
figuur 9
3.    > Geef de verbindingsgraaf in deze situatie.
4.    > Geef de directe-wegen-graaf in deze situatie.
5.    > Hoeveel mogelijke routes zijn er nu van SLC naar A?
-ocr page 25-
-21-
Bovenstaande tekening toont het luchtlijnennet van Pacific Islands Air. En wel
als verbindingsgraaf.
Iets meer gedetailleerd:
weekdagen:
A
weekends:
-ocr page 26-
-22-
Voor toeristen die de eilanden willen bezoeken zijn er veel mogelijkheden om
een rondreis via enkele eilanden te maken van A naar A.
Tarief I:
Voor mensen die haast hebben is er de mogelijkheid van een ticket van A naar
E, dan naar F en terug naar A.
Als je tarief I hebt, landt je vliegtuig wel op bijvoorbeeld B en D, maar jij mag
niet uitstappen. Voor jou is er dus een directe route v^n A naar E. Voor het
vliegtuig is die er niet.
Een dergelijke regeling komt bij luchtvaartmaatschappijen veel voor: je landt
wel, maar je mag niet uitstappen, tenzij je een hoger tarief betaalt. Iets duurder
wordt het als je ook tussenliggende eilanden wilt aandoen. Maar ook daarbin-
nen zijn weer verschillende mogelijkheden.
Tarief II;
Van A naar B, naar E, naar F, naar A.
Van A naar D, naar E, naar F, naar A.
Van A naar C, naar E, naar A.
Voor mensen met tijd en geld zijn er de volgende mogelijkheden.
TariefllI:
Van A naar B, naar D, naar E, naar F, naar A.
Van A naar B, naar C, naar E, naar F, naar A.
Van A naar B, naar C, naar D, naar E, naar A.
En tenslotte is er:
TarieflV:
Van A naar B, naar C, naar D, naar E, naar F, naar A.
6. >a Teken (voor de passagier) een gerichte verbindingsgraaf behorend bij
het luchtlijnennet van Pacific Islands Air (alle mogelijkheden in één
graaf).
>b Stel de bijbehorende verbindingsmatrix op.
-ocr page 27-
-23-
Per dag worden er drie retourvluchten vanaf A uitgevoerd:
Vlucht 1:                  ^
Vlucht!:
Vlucht 3:
7. >a Stel de directe-vluchten-matrix op voor één dag.
(Een retourvlucht wordt beschouwd als één directe weg; tussen A en
B zijn dus drie retourvluchten of drie directe wegen.)
>b Teken de directe-vluchten-graaf.
-ocr page 28-
-24-
Samenvatting
Naast de afstandenmatrix en verbindingsmatrix kennen we ook de directe-we-
gen-matrix.
Het verschil tussen de laatste twee:
verbindingsmatrix:
alleen O en 1 als element;
0: geen (directe) verbinding;
1: wel (directe) verbinding.
directe-wegen-matrix:
alle natuurlijke getallen (en nul) als element mogelijk;
0: geen (directe) weg;
1: één (directe) weg;
2: twee (directe) wegen;
enzovoort.
Een directe-wegen-matrix geeft je dus wel aanwijzingen om een verbindings-
matrix op te stellen, maar omgekeerd kan het niet.
ste
kruispunt Georgetown Marbery House ST. en de 31 St.
-ocr page 29-
-25-
4 Andere afstanden
In het eerste hoofdstuk zagen we dat het begrip 'afstand' op veel manieren te
gebruiken valt, afhankelijk van de situatie.
Afstanden die genoemd werden:
-     Rijafstand (in kilometers).
-     Vliegafstand of Afstand hemelsbreed (in kilometers).
-     Meetkundige afstand (tussen twee punten).
-     Rijduur (in uren).
-     ' Mate van verschil'.
De meetkundige afstand is vaak eenvoudig met Pythagoras te berekenen, bij-
voorbeeld als je de coördinaten van de twee punten kent.
1. >a A = (3,4) B = (l,3)
Teken deze punten op roosterpapier en bereken de afstand tussen A
enB.
>b Ook voor C = (12,8) en D = (8,6).
De afstanden zoals in opgave 1 worden ook wel Pythagoras-afstanden ge-
noemd.
In de praktijk is deze Pythagoras-afstand niet altijd even handig. Dat blijkt on-
der andere uit het volgende probleem.
Hier een stukje plattegrond van Washington:
nwltoiiMiMw "^_J
;.*«1\ JÏS^L^. l----1 l—i
i
figuur 10
Washington
-ocr page 30-
-26-
figuur11
Empire-State-Building
Manhattan, New York.
Het rechthoekig stratenpatroon
dat verantwoordelijk
is voor de namen:
Manhattan-afstand of
City-block-cfstand of
'&Wi'Ê Taxi-afstand.
-ocr page 31-
-27-
Een klein stukje (links boven) vergroten we:
ste
.37
ste
36
avenues
l)l<Kk
ste
.35
de
15 de
streets
de
14
16
2.    > Bereken de Pythagoras-afstand (afstand hemelsbreed) van het kruis-
punt (14,35) en (16,37).
De eenheden zijn 'city-blocks'.
3.    > Hoe groot is de afstand die een taxi rijdt van (14,35) naar (16,37)?
De 'Taxi-afstand' kun je berekenen door de eerste coördinaten van elkaar af te
trekken (16 - 14) en daarna de tweede (37 - 35) en deze bij elkaar op te tellen.
Of in formules:
Pythagoras-afstand tussen {a,b) en {c,d):
D = V(fl - c)^+(ö - d)2
Taxi-afstand tussen {a,b) en {c,d):
D = \a-c\-^\b-d\. *)
4.    > In welke situatie zijn de Taxi-afstand en de Pythagoras-afstand aan
elkaar gelijk?
5.    De Taxi-afstand wordt ook wel City-block-afstand of Manhattan-afstand
genoemd.
> Kun je daar een verklaring voor geven?
*) I fl - c I is het absolute verschil van a en c.
Als bijvoorbeeld a = 7 en c = 12 dan geldt: a-c =-5 , la-cl = 5.
-ocr page 32-
-28-
6. Maak een afstandentabel voor de drie punten A, B en C in het onderstaand
rooster.
>a met Pythagoras-afstanden
>b met Taxi-afstanden.
7. Gegeven de afstandenmatrix H:
L P B      M
L /^O 14 84     99
P I 14 O 75     98
H =
B l 84 75 O      59
M V 99 98 59      O
>a Teken een afstandenkaart met gebruikmaking van passer en lineaal.
Begin daarbij met de punten L, B en M.
>b L = Ivonden, P = Parijs, B = Boekarest, M = Moskou. Vergelijk je re-
sultaat met onderstaande kaart.
kaart Europa
SCHAAL 1 : 20.000.000
figuur 12
-ocr page 33-
.._i^____
-29-
Kleurenblindheid
Bij een kleurenblindheidtest beperkt men zich tot drie kleuren: blauw, groen en
rood.
De arts bepaalt hoe vaak blauw wordt aangezien voor groen of rood. Uit het
aantal fouten kan hij dan een soort 'afstand' berekenen.
Bij een persoon die goed kleuren kan onderscheiden wordt de volgende afstan-
denmatrix gevonden:
Rood Groen Blauw
Rood
°
12
9
Groen
' >2
0
6
Blauw
\ 9
6
0
N
8. > Teken een afstandenkaart van de matrix N.
Bij iemand met kleurenblindheid wordt de volgende matrix gevonden:
RGB
0
12
"
12
0
3
11
3
0
R
G            I
B
12          O           3            =L
9.    > Teken een afstandenkaart van de matrix L.
Wat is het verschil met de 'normale' afstandenkaart van de vorige op-
gave?
Veel gevallen van kleurenblindheid betreffen het aanzien van rood voor groen
en omgekeerd
10.  > Geef een voorbeeld van hoe een matrix er uit zou kunnen zien in dit ge-
val.
-ocr page 34-
n
-30-
De matrices uit opgave 8 en 9 zijn niet erg 'echt'. Dat zijn de volgende matri-
ces uit een engels onderzoek wel. We geven de matrix én het bijbehorende
kaartje:
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RP
R
Y
GY1
GY2
G
B
PB
PI
P2
1.
Red-P urple
7.1
10.2
11.1
12.5
11.8
9.9
8.6
4.3
2.9
2.
Red
7.1
5.7
11.5
10.7
11.8
11.2
12.5
9.2
8.2
3.
Yellow
10.2
5.7
6.7
8.9
9.4
11.3
12.5
11.9
10.5
4.
Green-yellow (1)
11.1
11.5
6.7
3.7
5.9
10.3
11.6
10.9
11.5
5.
Green-yellow
(2)
12.5
10.7
8.9
3.7
3.6
82
9.8
11.3
11.1
6.
Green
11.8
11.8
9.4
5.9
3.6
5.1
8.1
10.2
10.6
7.
Blue
9.9
11.2
11.3
10.3
8.2
5.1
4.9
8.7
9.7
8.
Purple-Blue
8.6
12.5
12.5
11.6
9.8
8.1
4.9
6.3
7.5
9.
Purple (1)
4.3
9.2
11.9
10.9
11.3
10.2
8.7
6.3
3.0
10
Purple (2)
2.9
8.2
10.5
11.5
11.1
10.6
9.7
7.5
3.0
Dim 2
G
GY(2)
B
GY(1)
PB
Dimi
Y
P(1)
P(2)
R
RP
Een kleurenmatrix en -kaart van een persoon die goed kleuren kan onderscheiden figuur 13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RP
R
Y
GY1
GY2
G
B
PB
PI
P2
1.
Red-Purple
9.9
13.2
12.3
11.1
8.7
5.6
7.4
6.4
5.8
2.
Red
9.9
7.3
7.9
6.9
6.8
9.9
13.1
12.7
12.1
3.
Yellow
13.2
7.3
4.5
5.3
8.6
12.5
13.4
14.1
13.4
4.
Green-yellow
(1)
12.3
7.9
4.5
5.3
8.6
12.5
13.4
14.1
13.1
5.
Green-yellow (2)
11.1
6.9
5.3
5.3
6.9
9.0
12.2
12.5
13.4
6.
Green
8.7
6.8
9.7
8.6
6.9
6.7
9.7
11.3
9.9
7.
Blue
5.6
9.9
11.5
12.5
9.0
6.7
5.5
7.4
5.4
8.
Purple-Blue
7.4
13.1
13.7
13.4
12.2
9.7
5.5
4.2
4.0
9.
Purple (1)
6.4
12.7
14.1
14.1
12.5
11.3
7.4
4.2
4.3
10
Purple (2)
5.8
12.1
13.4
13.1
13.4
9.9
5.4
4.0
4.3
Dim 2
G
GY(2)
GY(1)
PB
Dimi
P(1)
P(2)
RP
Een kleurenmatrix en -kaart van een kleurenblind persoon
figuur 14
11. Uit de kaartjes blijkt inderdaad dat de kleurenblinde persoon problemen
heeft met het onderscheiden van bijvoorbeeld Groen en Rood.
>a Hoe blijkt dat uit de twee kaartjes?
>b Hoe kun je dat aan de matrix zien?
-ocr page 35-
-31-
Morse-signalen
Samuel Morse is de uitvinder van het
Morse-alfabet; een alfabet van punt-
en streeptekens dat in de telegrafie
wordt gebruikt.
Het is dus opgebouwd uit twee ele-
menten: punten en strepen en het is
gebaseerd op de statistische verde-
ling van het gebruik van de letters.
De meest gebruikte letter, de e wordt
daarom met één punt gecodeerd (zie
figuur 15).
A • ~-
B — • • •
D — ..
E •
F • • — .
H • • • •
I • •
K — • —
L • — . .
N — •
R • — •
S •• •
T     1
U   . .
V    . .
w  .
X    .
Y    _
De letterwaardering bij het Scrabbie-spei is
ook gebaseerd op een statistisclie verdeling
van de letters.
Het is aardig om de scrabble-waardering te
vergelijken met het Morse-alfabet. Voor het
Nederlandse Scrabble gelden de volgende
waarden:
1    . —
2       . •■
3       • * <
4   . ••
5   . ..
6    —
J
4
K
4
L
2
M
3
N
1
O
1
P
3
Q
10
R
1
S
1
T
1
U
4
V
4
w
4
X
8
Y
8
z
6
A
1
B
3
C
3
D
1
E
1
F
5
G
2
H
2
1
1
Morse-alfabet
figuur 15
Honderd personen (die nog geen Morse kenden) kregen twee Morse-signalen
achter elkaar te horen met tussenposen van 1,4 seconde. Ze moesten verkla-
ren of de signalen hetzelfde of verschillend waren. Die proefpersonen kregen in
hoog tempo alle paren van twee signalen één keer te horen.
Op blz. 32 staat een tabel in matrixvorm waarin af te lezen is dat A-A maar
liefst 92 keer als hetzelfde werd herkend. Daarin is ook af te lezen dat A-I toch
nog 46 keer als hetzelfde werd herkend.
-ocr page 36-
-32-
2^ signaal
A
e
C
0
t
F
C
M
I
J
K
L
M
N
0
P
0
R
S
T
U
V
w
X
Y
Z
1
2
J
1*
5
,6
7
l'
, 9
0
A
9?
OJ
06
IJ
OJ
1 4
10
IJ
46
05
22
03
25
34
06
Ö5J09
35
23
06
37
13
1 7
12
07
3JJ02
07
35pl5
06136 05
P^02
03
B
C»
84
J7
Jl
05
28
17
21
05
19
34
40
06
10
12
22
25
16
18
02
18
34
08
84
JO
42
12
1 7
1 4
40
32,74 43
1 7
04
04
C~
o«
J8
87
17
04
29
IJ
07
1 1
19
24
35
14
33
09
51
34
24
14
06|06
1 1
1 4
J2
82
J8
13
15
Jl
1 4
10
30 28
24
18
12
o"
08
6?
17
88
07
2J
40
J6
09
13
81
56
06
37
09
27
09
15
29
06
17
20
27
40
1 5
JJ
03
09
36
1 1
09
19
08
10
05
06
f
06
IJ
14
05
97
02
04
04
17
01
05
06
04
34
05
01
05
10
07
67|03
33
02
05
06
05
04
03
35
03
05
02
04
02
OJ
OJ
F~
O*
51
3J
19
02
90
10
29
05
33
16
50
07
36
10
42
12
35
14
02
21
27
25
19
27
13
08
16
47
25
26
24
21
05
05
05 '
0
09
18
27
38
01
1 4
90
06
05
22
33
16
14
13
82
52
23
21
05
03
15
14 32
21
2J
39
1 5
14
35
10
04
10
1 7
23
20
1 1
h""
OJ
45
2J
25
09
32
08
87
10
10
09
29
05
38
08
14
38
1.7
37
04
36
59 P9
JJ
14
1 1
03
09
1 5
43
70
35
17
04
03
OJ
1
M
07
07
1 J
10
08
06
12
93
OJ
35
16
13
30
07
03
05
19
35
16
10
05
38
02
05
07
02
05
38
09
06
08
05
02
34
05
J
07
09
J8
09
02
24
18
05
04
85
22
31
38
33
21
63
47
1 1
02
07
39
09
39
22
J2
28
67
66[33
15
07
1 1
28
29
26
2J
K
05
24
J8
73
01
1 7
25
1 1
05
27
91
33
10
12
31
1 4
31
22
02
02
23
17
33
63
16
1 8
35
09
17
08
OS
18
14
IJ
05
06
L
or
69
4J
45
10
24
12
26
09
JO
27
86
06
32
09
37
36
28
12
05
16
19
20
Jl
25
59
12
13
1 7
15
26
29
J6
16
07
03
M
24
1?
05
1 4
07
1 7
2g
06
08
11
23
08
96
62
1 1
10
15
20
07
09
1 3
04
21
09
18
08
05
07
36
06
05
07
1 1
07
10
04
N
Jl
04
ij
JC
08
12
10
16
i3
OJ
16
08
59
93
05
39
05
28
12
10
16
04
12
04
06
1 1
05
02
03
04
04
36
02
02
10
02
o"
07
07
20
06
05
09
76
07
02
39
26
10
04
38
86
37
35
lO
03
04
1 1
14
25
35
27
27
19
1 7
07
07
06
18
14
1 1
20
12
P
05
??
33
12
05
36
22
12
03
78
1 4
46
05
06
21
83
43
23
09
34
12
19
19
.9
4 1
30
34
44
24
1 1
15
1 7
24
2J
25
IJ
0
08
?0
38
II
04
15
10
05
02
2 7
23
26
07
36
22
51
91
1 1
02
03
06
1 4
1 2
37
50
63
34
32
1 7
12
09
27
40
58
J7
24
R
rj
14
'6
23
05
34
26
15
07
12
21
37
14
12
12
29
08
87
16
32
23
23
62
14
12
1 3
07
10
13
04
07
12
07
09
01
02
s
1 7
24
05
30
t 1
26
05
59
i6
OJ
13
10
05
1 7
06
06
33
18
96
39
56
24
12
10
06
07
08
02
02
15
28
09
05
05
05
02
t"
13
10
01
05
46
03
06
06
1 4
06
14
07
06
35
06
1 1
04
04
37
96
38
05
04
02
02
06
05
05
03
03
03
08
07
06
14
06"
u
14
29
12
32
04
32
1 1
J4
21
07
44
32
1 1
13
06
20
12
40
51
36
93
57
34
1 7
09
1 1
06
06
I 6
34
10
09
09
07
04
OJ
V
05
1 7
24
16
09
29
06
39
05
1 1
26
43
04
01
09
17
10
17
1 1
36
32
92
1 7
57
J5
10
10
1 4
28
79
44
36
25
IC
01
05_
w
09
21
30
22
09
36
25
15
04
25
29
18
15
06
26
20
25
51
12
04
19
20
86
22
25
22
10
22
19
16
05
09
l' 1
06
OJ
07
X
07
64
45
19
OJ
28
1 1
06
01
J5
50
42
10
08
24
32
61
10
12
03
12
1 7
21
91
48
26
12
20
24
27
16
57
29
16
17
06
Y.
09
2i
6?
15
04
26
22
09
Oi
JO
12
14
05
06
1 4
30
52
05
07
04
06
13
21
4 4
86
23
26
44
40
15
1 1
26
22
JJ
2J
16
z'
03
*ó
45
18
02
22
r 7
lO
07
2J
21
51
1 1
02
1 5
59
72
14
04
03
09
1 1
12
36
42
87
i6
21
27
09
10
25
66
4 7
15
15
r
0?
05
IQ
03
03
05
1 3
04
02
29
05
1 4
09
07
1 4
30
28
09
04
02
03
12
1 4
1 7
19
22
84
63
13
08
10
08
19
32
57
55 "
2
07
14
22
05
Oi
20
13
03
25
26
39
14
02
33
1 7
37
28
06
05
03
06
10
1 1
1 7
30
IJ
62
89
54
20
05
14
20
21
16
1 1
i
Oi
08
21
05
04
32
06
12
02
2J
06
13
05
02
05
37
19
09
07
06
04
16
06
22
25
12
18
64
86
31
23
4 1
16
1 7
08
10
4
06
19
19
12
06
25
14
16
07
21
13
19
03
03
02
1 7
29
1 1
09
03
1 7
55
08
37
24
03
05
26
44
89
42
44
J2
10
OJ
03
5
08
45
1 5
14
02
45
04
67
07
14
04
41
02
OO
04
13
07
09
27
02
1 4
45
07
4Ï
10
10
14
10
30
69
90
42
24
10
06
05
e
07
80
JO
1 7
04
23
04
1 4
02
11
1 1
27
06
02
07
16
30
1 1
14
03
12
30
09
58
38
39
15
14
26
24
1 7
86
6S
1 4
05
14
7
06
33
22
1 4
05
25
06
04
06
24
13
32
07
06
07
36
39
12
06
02
03
13
39
30
JO
50
22
29
18
15
12
61
85
70
20
13 _
e
OJ
23
4C
06
03
15
15
06
02
J3
10
14
03
06
14
12
45
02
06
04
06
07
05 24
J5
50
42
29
16
16
09
JC
60
89
61
26
9
OJ
14
23
OJ
01
06
14
05
02
30
06
07
16
1 1
10
31
32
05
06
07
06
03
0811 1
21
24
57
39
09
12
04
1 1
42
56
91
78
9
09
03
1 1
02
05
07
14
04
1
05
30
08
03
02
03
25
21
29
02
03
04
05
03
02 1 2
-—i-—
1 5
20
50
26
09
1 1
—
05
22
1 7
52
81
94
a
B
C
o'
E
F
G
hI
I
J
K
L
m'
N
0
P
0
rI
S
T
u'
V
w<
X
Y
2
1
2
3'
4
5
6
7 '
8
9
0
A
8
C
O
E
'f
G
H
I
J
K
L
M
H
O
p
O'
R
_S
r
u
_v
w
X
Y
z
I
2
3
4
5
6-
7
8
9
~9
C
C/3
frequentiematrix Morse-signalen                                                                           figuur 16
12.  > Hoe vaak werd I-I als hetzelfde herkend?
Hoe vaak werd I-A als hetzelfde herkend?
Uit het laatste antwoord blijkt dat de 'afstand' van A tot I niet gelijk is aan de
'afstand' van I tot A. 'Binnen' de wiskunde misschien vreemd, daarbuiten lang
niet altijd.
13.  > Welke letter werd het vaakst goed herkend?
14.  > Welke letter ligt het 'dichtst' bij de letter van opgave 13? (Ofwel, wel-
ke letter wordt het vaakst voor die van opgave 13 aangezien?)
-ocr page 37-
,_-!!.- L .
-33-
Ook figuur 16 is als 'afstandenmatrix' te interpreteren, en dus is ook een kaart
te tekenen.
Om die kaart te tekenen beperken we ons even tot drie signalen: de B, E en T.
Uit de grote matrix lezen we:
BET
84
5
2
13
97
67
10
46
96
B
E
T
Onmiddellijk valt op dat niet geldt: afstand B-E = afstand E-B, waaruit blijkt
dat er niet zo iets is als de afstand, in dit geval.
Voordat we een kaart kunnen tekenen moet dit eerst in orde gebracht worden.
We benaderen de feitelijke tabel voor dit doel door een nieuwe, die er wat
mooier uitziet:
BET
100
10
6
10
100
60
6
60
100
B
Dit is een 'mate van gelijkenis' matrix.
15. > Verklaar hoe men tot deze tabel komt.
Vervolgens wordt er een 'mate van verschil' of 'afstanden' matrix gemaakt.
BET
0
90
94
90
0
40
94
40
0
B
E
T
16.  > Verklaar hoe men tot deze tabel komt.
17.  > Teken een afstandenkaart.
-ocr page 38-
-34-
De volledige kaart van de morse-matrix ziet er als volgt uit (fig. 16):
"® o
- @
■ ..©.
• ©"© S-
©
©
■© ...-
© _
.(f©""
©.__
®
© .
©
© ©
®
© ®.
©
©
®
figuur 17
De morse-kaart
18. > Vergelijk de antwoorden van opgaven 12 en 13 met deze kaart. Com-
mentaar?
Het is de moeite waard om de kaart eens wat nauwkeuriger te bekijken. Daar-
bij kijken we naar de signalen en delen het kaartje in vieren:
\ '"© o
®
©" \©
.. -^- o\© @-.
© ^^
.....® ®%f"
y©..
0 ..Üd'-^V^
"©
© X^®®
>
y^ © \
X^ © ®\
// ® "" \
®
k ®
o ®
© ©
/
m
19. > Welk opvallend verschil is er tussen de signalen onder en boven de lijn
/?
20. > Welk opvallend verschil is er tussen de signalen links en rechts van de
lijn m?
-ocr page 39-
-35-
Uit de antwoorden op de vorige twee vragen blijkt dat er twee criteria, of twee
dimensies een belangrijke rol spelen bij morsesignalen.
Het moet dus ook mogelijk zijn om een kaart met twee assen te tekenen.
In feite zijn de lijnen / en m als twee assen te beschouwen:
aantal
signalen 1
per letter '
/
5 •
• 0 (nul)
E»
• T
punten
strepen
m
Vier signalen zijn al ingetekend - uiteraard op tamelijk willekeurige plaats.
21. > Neem bovenstaande kaart over en vul hem globaal aan met de S en
de O.
Samenvatting
Dit hoofdstuk ging over afstanden en (afstanden)kaarten.
Eerst werd aandacht besteed aan de:
-   Pythagoras-afstand tussen twee punten en de
-   Taxi-afstand tussen twee punten.
Vervolgens werd gekeken naar afstanden tussen 'kleuren' en tussen 'morse-
tekens': als twee kleuren (signalen) veel voor elkaar worden aangezien, is de
afstand klein.
-ocr page 40-
-36-
5 De juiste dimensie
Een kaart tekenen aan de hand van een afstandenmatrix kan vaak wel, soms
niet, meestal zo'n beetje. (Denk aan de Morse-kaart.)
De vraag is of we wel een kaart mogen tekenen zoals we dat gewend zijn -
dus in twee dimensies. Bij een aardrijkskundige kaart is dat tamelijk
'natuurlijk': de aarde is redelijk 'plat' - zeker als we een kleiner gebied nemen
en er een strijkijzer overheen laten gaan, lijkt het al aardig op een twee-dimen-
sionale kaart.
Maar hoe zit dat bij sociale afstanden? Bij kleurenblindheid? Bij morse-signa-
len?
Bij de Morse-signalen zagen we duidelijk twee onderscheidende eigenschap-
pen, of twee dimensies: het aantal signalen, en de punten of strepen.
Daarom ligt het enigszins voor de hand dat een tweedimensionale kaart een
redelijk beeld schetst.
Maar misschien ligt de situatie bij bijvoorbeeld poHtieke partijen wel heel an-
ders.
Politieke partijen
Bij een groot landelijk onderzoek probeert men de verhoudingen tussen de gro-
te politieke partijen 'in kaart' te brengen. Daartoe worden allerlei zaken, of zo
je wilt, allerlei eigenschappen 'gemeten' - hoe links of rechts is een partij, hoe
kerkelijk gebonden, hoe betrouwbaar, hoe constructief, hoe machtig, enzovoort.
Daarna wordt allereerst een één-dimensionale kaart getekend, bijvoorbeeld:
PSP                 PvdA             PPR
-----©-e-----------------e---------ee------------------------e----------------e--------e—
CPN          *\                          D66                                   CDA                VVD SGP
>     Geef commentaar; welke onderscheidende eigenschap is klaarblijkelijk
erg belangrijk?
>     Bepaal de afstandenmatrix voor de vier grote partijen: PvdA, CDA,
VVD, D66. (Meet daartoe afstanden in mm nauwkeurig op).
Noem deze matrix A.
*) Zoals je waarschijnlijk weet zijn de partijen CPN, PSP en PPR sinds kort
met de EVP opgegaan in de nieuwe partij Groen Links.
-ocr page 41-
-37-
Vervolgens wordt een twee-dimensionale kaart getekend:
PPR
O
SGP
o
CDA
o
o o D66
PvdA
o PSP
o CPN
o VVD
3.    > Geef commentaar, welke twee 'dimensies' of 'onderscheidende
eigenschappen' vermoed je dat bij deze indeling een grote rol spelen?
4.    > Bepaal ook nu de afstandenmatrix voor de vier grote partijen: PvdA,
CDA, VVD, D66. Noem deze matrix B (meet de afstand op in mm).
De door de onderzoeker gevonden matrix M voor de grote vier partijen ziet er
als volgt uit:
P      D      C      V
O       9      33     55
9       O      30     47
33     30      O      35
55     47     35      O
A
M =
5. > Bepaal door M - B en M - A welke kaart het beste de afstand tussen
de partijen weergeeft. (M - B is het verschil van de matrix M en de
matrix B, matrices kun je van elkaar aftrekken door de overeenkom-
stige elementen van elkaar af te trekken.)
-ocr page 42-
-38-
Bovenstaande <ine-dimensionale kaart toont weer de acht politieke par-
tijen van opgave 3. Er is alleen een derde dimensie aan toegevoegd.
> Welke onderscheidende eigenschap zou dat kunnen zijn?
-ocr page 43-
X-^
-39-
Een vierhoeksrelatie
Vier mensen worden onderzocht op hun persoonlijke relaties. Het is niet duide-
lijk of ze de waarheid spreken, maar er komt een opmerkelijk resultaat.
Alle vier hebben 'dezelfde afstand' tot elkaar.
7. > Stel een afstandenmatrix op van de relatie tussen de personen
a, b, c en d.
Noem deze matrix A.
De onderzoeker wil een afstandenkaartje tekenen.
Hij begint in één dimensie:
1 1 1
—•------•-----
kaartje één dimensie
8.    > Klopt dit kaartje?
9.    > Stel de afstandenmatrix op van dit kaartje. Noem deze B.
Vervolgens probeert hij het in twee dimensies:
kaartje dimensie 2
10.  > Klopt dit kaartje?
11.  > Stel de afstandenmatrix op van dit kaartje. Noem deze C.
12.  > Bedenk zelf een kaart in drie dimensies die helemaal klopt.
(De punten worden hoekpunten van een mooie ruimtelijke figuur.)
13.  > Vergelijk de matrices B en C met de matrix A.
Bepaal daartoe: B - A en C - A
Het drie-dimensionale kaartje klopt precies. Klaarblijkelijk zijn er drie belang-
rijke aspecten die de relatie tussen die mensen bepalen.
-ocr page 44-
-40-
Broches
=^^E=:=@
€^^^
-^:
c3ïl «Ëf 5
10
12
13
§>
14
16
17
15
18
-*—#
^^                  ^^
19
20
22
23
24
25
=0=
c:=|g^l2g)          G^^Sirmn^
^
26
30
27
28
figuur 18
De JO broches van Münsinghausen
-ocr page 45-
-41-
Op de bladzijde hiernaast zie je dertig broches die bij opgravingen in Münsing-
hausen gevonden zijn.
Oudheidkundigen willen graag weten welke broches 'bij elkaar horen' of, in an-
dere woorden: de 'afstanden' tussen de broches. Daarbij worden verschillende
aspecten of dimensies vergeleken zoals: grootte, vorm, kromming, materiaal,
afwerking.
Nadat er een 'aspect-afstandenmatrix' was gemaakt, kwam er eerst een één-
dimensionale kaart uit:
I. onipuied oriler, o[ie ilimcir-ion
M • ••
e o oooo©©ee©e«®®«®e«©*««o« « ••
:S 4 5 16 23 17 10 20 11 14 3 Q 2 2!
8 27 28 24 15 22 1') 26 18 13 12 6 1 30
één-dimensionale kaart
De twee-dimensionale kaart ziet er zó uit:
.ompuieü order. i\^o üiinension-.
O
8
O
27
O
e
2S
O
6
-8 0
O
4
®
16
20 e 22
ft 23
30
17
3
«
9
15»
13
10
<è
18 «
14
2
Slrain()(XM7
twee-dimensionale kaart
14. > In de twee-dimensionale kaart liggen de broches 5, 19 en 27 ongeveer
even ver van elkaar.
Hoe zit dat in de één-dimensionale kaart?
15. > Dezelfde vraag voor de broches 6, 20 en 9.
-ocr page 46-
-42-
16.  > Hoe vind je het groepje 2, 1, 21 en 30 terug in de één-dimensionale
kaart?
17.  Broches 10 en 15 liggen vlakbij elkaar volgens de kaart.
> Klopt dat met jouw gevoel?
18.  > Broches 5 en 28 liggen vlakbij elkaar volgens de kaart.
Welk aspect heeft bij de vergelijking klaarblijkelijk een kleine rol ge-
speeld?
19.         Praktikum
Samenvatting
Een kaart tekenen aan de hand van een afstandenmatrix kan in verschillende
dimensies. De ene kaart geeft een resultaat dat beter past bij die afstandenma-
trix dan de andere kaart.
Een afstandenkaart kan een beeld geven van de eigenschappen die een rol heb-
ben gespeeld bij het bepalen van de afstand.
Als de kaart 1-dimensionaal (2- of 3-dimensionaal) is kun je ten hoogste 1 on-
derscheidende eigenschap (2 respectievelijk 3 onderscheidende eigenschap-
pen) aflezen.
-ocr page 47-
-43-
6 Extra opgaven
1. Matrix en kaart
>a Teken heel nauwkeurig een afstandsgetrouwe kaart voor de volgende
afstandenmatrix. Begin met de plaatsen A, B en C. Teken daarna D er-
bij.
van
A B C D
A /^ O 8 6 14
8 O 10 16
6 10 O 8
14 16 8 O
B
naar
>b Bij het maken van de kaart bij opgave >a heb je één gegeven afstand
niet gebruikt.
Welke is dat? Controleer of deze afstand ook klopt in jouw tekening.
2. Grafen en matrices
> Onderzoek welke graaf (of grafen) horen bij de volgende matrices:
matrices:
01000
10101
01001
00001
01110,
01000
10101
01010
00101
01010
B
grafen:
• Q
-ocr page 48-
-44-
3. Gr af en
De volgende matrix G toont het aantal grafen dat te tekenen is met maxi-
maal 9 knooppunten (p) en 18 wegen {q).
X
1
2
3
4
5
6
7
8
9
0
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
2
1
2
2
2
2
2
2
3
1
3
4
5
5
5
5
4
2
6
9
10
11
11
5
1
6
15
21
24
25
6
1
6
21
41
56
63
7
4
24
65
115
148
Q =
8
2
24
97
221
345
9
1
21
131
402
771
10
11
12
13
14
15
16
17
18
1
15
9
5
2
1
1
148
148
131
97
65
41
21
10
5
663
980
1312
1557
1646
1557
1312
980
663
1637
3252
5995
10120
15615
21933
27987
32403
34040
Sp
1
2
4
11
34
156
1044
12346 274668
>a Hoeveel 5 puntsgrafen zijn er in totaal?
Figuur 19 toont alle 5 puntsgrafen.
Uit de tabel blijkt dat de kolom onder/? = 5 symmetrisch is
>b. Hoe kun je dat in figuur 19 terugvinden?
-ocr page 49-
-45-
*
•
•
•
•
■Cl
II
O
•-------
-----•
«
•
^«1
It
,
1
,
\
\
■Cl
-
•
\
II
K(
.-------
,
■G
a
•
II
/
Vtt
•
OJ
b.
Kj
~"
•o
tl
>
X
\
/
X
>
^
UI
ro
>
X
\
X
o.
\Jt
>
II
/
>
X
N
X
V
X
■b.
UJ
N>
II
oo
"--.
>
X
>
-J
figuur 19: Alle 5 puntsgrafen. (p = 5: q = 1,2,3.......10).
-ocr page 50-
-46-
Eilanden
De plaatsen P^, P2,......P9 liggen verspreid over enkele eilanden.
Elk eiland heeft een eigen wegennet, dat niet verbonden is met dat van een
ander eiland.
De plaatsen op een eiland zijn alle onderling verbonden (zij het niet nood-
zakelijk rechtstreeks of direct).
De verbindingsmatrix V (de nullen zijn weggelaten):
1
1 .          1
1
1          1
>a Hoeveel eilanden zijn er? Noem van elk eiland de daarop liggende
plaatsen.
>b Op elk eiland wordt het wegennet zó uitgebreid, dat de plaatsen op het
eiland direct verbonden zijn.
Hoeveel enen heeft de matrix in dat geval?
-ocr page 51-
-47-
5. Zes steden verbonden
Gegeven is de volgende verbindingsmatrix voor zes steden:
var
l
A
B
C
D
E
F
A
r^
1
0
0
0
0
' 1
0
0
1
1
0
'
0
1
0
1
0
1
M
0
0
1
0
1
0
E
0
1
0
1
0
0
naar
0 0 10 0 0
>a Teken een verbindingsgraaf voor deze zes steden. Denk aan de pijlen
bij eenrichtingverkeer!
De zes steden zijn niet onderling bereikbaar. Er mag één verbinding bijge-
maakt worden tussen twee steden, met tweerichtingverkeer.
De opzet is om in de nieuwe situatie de zes steden zo kort mogelijk met
elkaar te verbinden.
>b Tussen welke twee steden zou jij dan die verbinding leggen? Geef ar-
gumenten voor je keuze.
6. Bijles
Op school zijn bijwerkcursussen voor leerlingen die zwak zijn in Wiskunde
èn Economie.
Er worden twee groepen gevormd:
-     één groep met de nadruk op Wiskunde (W);
-     één groep met de nadruk op Economie (E).
De volgende matrix geeft de gemiddelde scores van leerlingen bij een toets
die afgenomen wordt bij toelating tot de cursus.
W E
groep W 4 6
groep E 5,5 4,5
Een leerling die ook mee wil doen aan de cursus heeft voor de toelatings-
test een 5,5 voor Wiskunde en 5,0 voor Economie.
De vraag is in welke groep die leerling geplaatst moet worden.
Dit is op te lossen door een kaart te tekenen
-ocr page 52-
-48-
W
6 -
E
4 -
2 -
,W
------------------------1------------------------f—
---------
w
—
Groep W=i6;4)
Groep E = (4,5 ; 5,5)
2           4           6 E
Scores groep W en groep E
Een deel van de 'kaart' vergroten we:
Wisk.
cijfer 6 - -
figuur 20
5--
w
Econ. cijfer
Scores groep W en groep E
figuur 21
Neem figuur 21 in je schrift over.
>a Teken de score van de nieuwe leerling / = (5,0 ; 5,5) in de figuur.
>b Bereken zowel de Pythagoras- als de Taxi-afstand van / tot E en van /
totW.
>c In welke groep zou deze leerling geplaatst worden?
Vier andere leerlingen hebben de volgende resultaten
m = (4,5 ; 4,5)
n = (6,0 ; 5,5)
ö = (4,3; 5,0)
p = (5,0; 4,2)
>d Maak een afstandenmatrix met de 'taxi-afstand' tussen de vijf resul-
taten.
-ocr page 53-
-49-
7. Genetische afstanden
De erfelijke eigenschappen van dieren en mensen liggen besloten in de
genen - meer in het bijzonder het DNA. Onderzoek naar de afstanden tus-
sen verschillen in DNA's leidt tot een afstammingsboomgraaf.
Dit DNA-afstanden onderzoek heeft al tot verrassende resultaten geleid.
Zo heeft men altijd gedacht dat de Toekan Barbet en de Black-Coloured
Barbet op hetzelfde moment 'ontstaan' zijn en de Emerald-Toekan later.
Zoals het plaatje hieronder aangeeft is dat onjuist:
De Toekan Barbet en de Emerald Toekan zijn tegelijk en later dan de
Black-Coloured Barbet ontstaan.
EMERALD TOUCAN (NEW WORLD)
roUCAN BARBET (NEW WORLD)
'!:';i'';i>ri(!
il
^stammingsboom
-ocr page 54-
-50-
INFRAOROER
TYRANNIDES
■9
■30 (O
<
ai
>
-40
o
in
z
Q K
■50
PARVORDER
PASSERIDA
PARVORDER
CORVIDA
-60
-70
-80
-90
SUBORDER PASSERES
SUBORDER OUGOMYODI
>a De Oligomycxii komen vooral in Zuid-Amerika voor. De Corvida in Au-
stralië.
90 miljoen jaar geleden kwamen ze allemaal uit één voorouder.
Wat zou je daaruit voor conclusie kunnen trekken?
>b Welke Zuidamerikaanse mierenvogel was er eerst: de grondmierenvo-
gel (ground antbird) of de gewone mierenvogel (typical antbird).
>c Welke superfamilies zijn het jongst? (Bestaan het kortst?)
-ocr page 55-
-51-
TRIBE STURNINI
_1.
TRIBE MIMINI
J.
>d Kijk naar bovenstaande boomgraaf.
Welke vogels zijn nauwer aan elkaar verwant; de spreeuw (Starling)
en de spotvogel (Mockingbird) of de spreeuw en de kraai (Crow)?