|
Freudenthal instituut
Archief |
|||||
|
KANSMSKISNING
|
|||||
|
KANSRIiKIENING
|
||||||
|
1NH0UV
|
||||||
|
1. Kan* en toeval [ 1-20)
2. Rekmzn mat kavum (2 7 - 42)
3. Vvmuixutiu m comblncuUu [43 - 56)
4. Gem&ngde. opgavm (57 - 62)
5. Tabelltn [63 - 66)
|
||||||
|
ft
|
|||||||||
|
Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht
|
|||||||||
|
Blj de om&lagŁoto: lickt op Manhattan, waaA Randy WalkeA zljn "toevati,-
wandelingen" maakt. {biz. 35).
|
|||||||||
|
KANSREKENING
|
|||||||||
|
Een produktie ten behoeve van de
experimenten in het kader van de Herverkaveling Eindexamenprograinma' s Wiskunde I en II V.W.O. Samenstelling: Martin Kindt
Jan de Lange Jzn
Vormgeving: Ellen Hanepen
© 1983; 4e ongewijzigde versie.
Utrecht, mei 1983. |
|||||||||
|
1
|
||||||||
|
KANS
l=N
TCIEVAI.
|
||||||||
|
K. Schippers HaAXmjagzn
Wanneer je bij een kaartspel
dertien kaarten van dezelfde soort krijgt,
is de kans op herhaling
1:635.013.559.598
Het aardige is eigenlijk
dat iedere samenstelling van dertien
dezelfde onwaarschijnlijkheid
van herhaling heeft.
Zo kan een cafe vol of leeg zijn,
kan het vijf dagen regenen
of een week lang om de dag,
zijn er soms drie bolhoeden in een straat te zien,
of geen
of een,
vreemd blijft het.
|
||||||||
|
1. ASTERIX EN DE ROMEINSE MUNT
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Asterix heeft een Romeinse munt gevonden ....
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
*) Hij weigerde "Caesar" te zeggen. Sindsdien is zijn oneerbiedig
taalgebruik overal ingeburgerd. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 1. Als ze een tijdje gespeeld hebben, blijkt dat Obelix veel vaker ver-
liest. Had hij dit kunnen verwachten? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Panoramix heeft belangstellend toegekeken.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
DAT li NICT 6-EBUbK , jQfJG6K»5
6f ASTfeaix oootT 'kop" cw wtK/t OP Hy OOOiT MVJKjT'ew OftCUt* "HOP"
OF BŁ«~DŁN <*OOl&M "(4V»K>T* |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dan stelt Asterix voor om twee everzwijnen in te zetten tegen
Obelix een. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 2. Om te onderzoeken of dit wel een eerlijk voorstel is, gaan we het
spelletje van Asterix in de klas spelen. Speel vijf potjes met je buurman (buurvrouw) en noteer het aantal
keren winst van Asterix. Verzamel de resultaten van je klas; neem onderstaande tabel over en vul in: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1. ASTERIX EN DE ROMEINSE MUNT
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 3. Hoeveel everzwijnen vind jij dat Asterix moet inzetten tegen een
everzwijn van Obelix? Als je in korte tijd veel meer spelresultaten wilt verkrijgen, is het han-
dig om het spel niet "echt" na te spelen met een muntstuk, maar om het te 6-anuZeAe.n. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 4. Voor zo'n simulatie zou je de telefoonnummers uit de gids kunnen ge-
bruiken. Enig idee hoe? Kun je elk cijfer van een telefoonnummer gebruiken bij zo'n simula-
tie? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 5. Simuleer 25 spelletjes tussen Asterix en Obelix door het laatste cij-
fer van de telefoonnummers op een willekeurige bladzijde uit de gids te nemen ("even" is "kop", "oneven" is "munt"). Verzamel de resultaten van je klas en bereken de percentages winst
van Asterix respectievelijk Obelix. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Blijf je bij je mening (»3)?
» 6. Probeer de inzet van Asterix louter door redenering te vinden (dus
zonder de verzamelde spelresultaten te gebruiken). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. WEET-KANS EN ZWEET-KANS
|
|||||||||||||||||
|
4
|
|||||||||||||||||
|
In "Asterix en de Romeinse munt" heb je gezien hoe de "eerlijkheid" van
een spel langs verschillende wegen beoordeeld kan worden: a. door verzameling van een grote hoeveelheid spelresultaten ("zweten");
b. door redenering ("weten").
In beide gevallen wordt in feite de verdeling van de ka.YU>Q.n bepaald. Van-
daar dat we wel eens spreken van "zweet-kans" en "weet-kans". |
|||||||||||||||||
|
» 7. In de volgende uitspraken is de kans steeds kwa.wLLtcutLQ_.fc (d.w.z.
door middel van een geXaZ) uitgedrukt. Bedenk bij elke zin met weIke van de twee methoden je zou uitmaken
of de uitspraak waar is (is het een weetkans of een zweetkans?) a. De kans dat je een vierkeuze vraag op de gok goed beantwoordt is |.
b. De kans om binnen 1 jaar te overlijden is voor 40-jarige Nederlan-
ders 0,24%. c. De kans dat een willekeurig gekozen Nederlander tussen de 20 en
65 jaar een bril draagt is minder dan 50%. d. De kans om met een dobbelsteen "zes"
|
|||||||||||||||||
|
Misdrijf treft een op
drie Nederlanders |
|||||||||||||||||
|
te gooien is Ł
e. "99% kans dat ik het tentamen de vol-
gende keer wel haal", zei de student pedagogiek. f. De kans op een witte kerst is 5%.
g. Bij een geboorte is de kans op een
jongen Ł. h. Bij het werpen met een munt is de
kans op "kop" {.
i. De kans voor een Nederlander om door een misdrijf getroffen te
worden is -j.
j. De fractieleider van de VVD acht de kans dat dit kabinet de eind-
streep haalt niet meer dan 25%.
|
|||||||||||||||||
|
,. . . dit is de laatste keer dat
we met z'n drieen uitgaan!" |
|||||||||||||||||
|
UJLt do. Volk&kAant van 23 ju.nL 'S1
|
|||||||||||||||||
|
2. WEET-KANS EN ZWEET-KANS
|
||||||||||||
|
5
|
||||||||||||
|
We brengen de twee manieren van kansbepaling nog eens "netjes" onder
woorden. WQ.QXkayu>:
|
||||||||||||
|
Voon ZouXqa tio.de.nQAe.Yi kun jo. do. kani op o.on
ofa andoAo. gohovAAiZYvU bo.paZ.on. Voofi hot bQAQ.kQ.nQ.n van di.0. kam, koofat goon toQvoilAQ.xpQAAJinQ.YVt to wofidon uitgovooAd. |
||||||||||||
|
Voorbeelden:
- Bij het werpen met een (zuivere) dobbelsteen kun je op grond van de sym-
metric van de kubus "weten" dat de kans om "zes" te gooien gelijk is aan 6 *
- De kans dat in de Lotto het getal 13 als eerste uit de bus rolt is Ar.
|
||||||||||||
|
- De kans dat Asterix zijn spelletje van Obelix wint is 75%.
|
||||||||||||
|
» 8. Als je met twee munten werpt en daarbij let op het aantal keer "kop",
zijn er drie uitkomsten mogelijk: "twee kop", "een kop" en "geen kop". Hoe groot is de kans op elk van die uitkomsten? |
||||||||||||
|
2. WEET-KANS EN ZWEET-KANS
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
%.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
luizetkayu,:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Voon nut hznhaatd LutvoeAzn van een to&vaZA-
expoAAjwiYit, dooft itimutatiz nnvan o& doon. h&t voAzamdizn van 4>tata>t^ii>ak mateAAjoat [heX "tsmkkm van een Atne.kpA.oe.6"), kun /e de. kam op een o^ andzAz QdomAt<LnM> i>chatt<Ln. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Voorbeelden:
- Door erg vaak een punaise op te gooien (toevalsexperiment) kun je met
steeds groter wordende betrouwbaarheid zeggen hoe groot de kans is dat deze punaise na het gooien op de platte kant terecht komt. - Uit gegevens van het C.B.S. (Centraal Bureau voor de Statistiek) blijkt
dat bij een geboorte de kans op een jongen ongeveer 51,5% is en de kans op een meisje 48,5%. - Als je "blind" een letter in de krant prikt, is de kans op een "e" on-
geveer 19%; die kans vind je door het aantal "e'"s op een willekeurig gekozen pagina (steekproef!) te vergelijken met het totaal aantal let- ters. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 9. Hoe groot acht je de kans dat het volgend jaar op Koninginnedag
regent? 6 Luchttamparatuur. naarslag, zonneachijn par jaargatijda ta Da Bilt'
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
opgenoman.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2. WEET-KANS EN ZWEET-KANS
|
|||||||
|
7
|
|||||||
|
In het rijtje uitspraken op biz. 3 komen er ook voor waarbij op geen enke-
le wijze kan worden vastgesteld hoe groot de kans is, omdat: - het experiment niet herhaald kan worden (onder dezelfde omstandigheden);
- er geen simulatie mogelijk is;
- het trekken van een steekproef onmogelijk is;
- er geen sluitende redenering gegeven kan worden.
Dergelijke kansen hebben vaak te maken met het "vingertoppen-gevoel" van de
man of vrouw die de uitspraak doet. Zoals de trainer van Ajax die zijn ploeg 70% kans geeft op het bereiken van de volgende ronde in de Europese bekerstrijd, of de politieke commentator die de kans op het uitbreken van een derde wereldoorlog 50% acht. Sommigen van hen zullen er misschien wel om willen wedden: tien tegen een dat ..... anderen zijn alleen maar koffiedik-kijkers.
In dit boek zullen we ons verder niet bezighouden met zulke "wedkansen"
of "zwets-kansen" ... Aan het slot van deze paragraaf een echt "doordenkertje":
» 10. Wie heeft er in het volgende verhaal gelijk?
De vier bestuursleden van de paardensportvereniging "Teugels Los"
vergaderen elke woensdagmiddag en dineren daarna gezamenlijk. Volgens afspraak wordt er geloot wie er als gastheer optreedt. Deze loting werd een jaar lang als volgt uitgevoerd: men deed drie witte en een rood balletje in een hoed, waaruit dan achtereenvolgens ieder een bal- letje moest trekken tot iemand het rode trok - die moest dan als gast- heer optreden. Dit systeem heeft tot algemene tevredenheid gewerkt tot iemand opmerkte
dat het eigenlijk niet eerlijk was: wie het eerste balletje nam, zou minder kans op het rode balletje hebben dan de tweede, deze minder dan de derde, enz. immers de eerste heeft een kans van een op vier het rode balletje te krijgen, bij de tweede is de kans, indien hij aan de beurt komt een op drie, omdat er nog maar drie balletjes over zijn, enz. De voorzitter bestreed dit standpunt; hij bleef erbij dat het wel eer- lijk was. |
|||||||
|
3. KANSMODELLEN
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
VII. atA Wi no «=
BO&EN}, IK yeRMOED
oe «l dbt ne.r eeN
CCHTK Z,1E=N>ER WOS
TOEN HIO V>00«SPEt DC DOT IK BgVOR DER.D 2DU 1AX3K.• |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
BEe1 «-S tK 6EN ECHTE 7Lte-
weu *>»-». hbo ik. aswcTeio
obt Her VII zou woRDeweN! D«K> HBO IK VIM QjeZBOD, BNJ
DBN H«D U (OtBT QELOOMD OPtT IK EEM6CHT6 Z16.N>_H W»WBW QBNJ WJ«© MBT VII QEVOOftDetO ekj aeew VIII'
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
~sr
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
HEB DIE AOEfOSBNUIT HETDOKS
W»«R iMRT OP CJ€ W1QUW SE - spei.d ! ze GeuovEM Hui.es
AJBT IK. ^E=ri I f.i A/1QGT V«Ł
<3(Łl OVEM ! ti |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[(icŁ: kktojux e.n de zi.e,ntn.)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 11. Uit angst om door de mand te vallen, wil de ziener de Centurion ervan
overtuigen dat hij niet over helderziende gaven beschikt. Jammer voor hem, hij gokte goed. Of verkeerd, 't is maar hoe je het bekijkt. Zou jij in zijn plaats ook op VII gegokt hebben? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 12. Gebruik de toevalscijfers achterin het boek (biz. 64,65) om 100 worpen
met twee dobbelstenen te simuleren. Bereken steeds de som van het aan- tal ogen en turf hoe vaak de verschillende uitkomsten voorkomen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
3. KANSMODELLEN
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
De trekking bij een loterij, het tossen met een munt, het draaien aan het
rad van avontuur, het verdelen van de speelkaarten onder de vier spelers, . Het zijn allemaal voorbeelden van een toe.vaLi>HX.peAAjne.nt. Bij zo'n experiment zul je je meestal van te voren afvragen welke LuŁkom&-
ten er mogelijk zijn. Voorbeeld:
Bij een loterij worden de nummers 0000, 0001, ...., 9999 verkocht.
Het trekken van de hoofdprijs is een toevalsexperiment met als uJJJZ0mi>te.n-
veKzameJLLncx
{0000, 0001, 0002, ___, 9999}
Er volgt nog een tweede trekking waarbij een troostprijs wordt uitgeloofd
op elk nummer waarvan de laatste twee cijfers overeenkomen met dat van het getrokken nummer. Bij die tweede trekking kun je dus {00, 01, 02, .., 99}
als uitkomstenverzameling beschouwen. Nog een paar voorbeelden: |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
» 13. In welke van deze voorbeelden kun je redelijkerwijs aannemen dat alle
uitkomsten even kansrijk zijn? > 14. De uitkomstenverzameling bij het experiment van de Centurion Claudius
Bombastus is { II, III, IV, . .., XII }. Heeft elk van die uitkomsten evenveel kans? Waarom? |
|||||||||||||||||||||||||||
|
3. KANSMODELLEN
|
10
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een toevalsexperiment bestaat er een zekere mate van vrijheid in de
keuze van de uitkomstenverzameling. In het voorbeeldlijstje (biz. 9) heb je er twee bij het experiment: trekken van een balletje uit een hoed ... |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Nu hoeven twee verschillende keuzen van uitkomstenverzamelingen bij een-
zelfde experiment niet met elkaar in strijd te zijn. Het hangt er maar van- af welke kansen je de uitkomsten toekent, welk kanAmodel. je kiest. Bij { R, Wi, W2, W3 } ligt het voor de hand om elke uitkomst evenveel kans, dus i toe te kennen. Het kansmodel ziet er dan zo uit:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij de uitkomstenverzameling { R,W } kiezen we het volgende kansmodel:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Deze kansmodellen zijn niet strijdig met elkaar.
» 15. Een bekend verhaal is dat van de man aan de bar die de beslissing of
hij naar huis zou gaan van het toeval wilde laten afhangen. Hij gooide
een kwartje op en zei: "Als het kop is bestel ik een whisky-puur, als het munt is whisky-soda en als het op zijn kant blijft staan, ga ik naar huis". Aangenomen dat onze whisky-liefhebber de laatste mogelijkheid niet echt
serieus nam, werkte hij met dit model: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Stel je voor dat een zeker geldstuk bij opgooien gemiddeld een van de
honderd keer op zijn kant blijft staan, welk kansmodel zou je dan kie- zen (voor het een keer werpen met dat geldstuk)? » 16. Neem voor het gemak eens aan dat de kans op een geboorte van een jongen
even groot is als op de geboorte van een meisje. Bij de geboorte van een twee-eiige tweeling zijn er drie mogelijkheden:
twee jongens, twee meisjes, gemengd. Maak een kansmodel bij dit "geboorte-experiment". |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. KANSMODELLEN
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
11
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 17. De vorst van Toscana vroeg aan Galilei: "Waarom komt bij een worp met
drie dobbelstenen de uitkomst 10 vaker voor dan uitkomst 9, hoewel beiden op zes manieren gevormd kunnen worden? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/HOED
□ED El HO El
0(20 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
EJSEJ
00 IE)
ED BUD 00O 0130
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In die tijd (16 eeuw) was dit een veel besproken probleem dat al hon-
derden jaren oud was. Galilei vond een oplossing. Doe hem dat eens na! |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Wiskundig beschouwd is een kansmodel een verzameling waarvan je de
elementen uuAkomŁ>t<Ln noemt en waarbij je aan die uitkomsten kan&-
waasidzn toekent.
Zo'n kanswaarde is een reeel getal tussen 0 en 1.
Als aan alle uitkomsten een even grote kans wordt toegekend, noemen
we het kansmodel i>tjwmoJjuJ>ck.
De som van alle kanswaarden (zowel bij een symmetrisch als bij een
asymmetrisch model) is gelijk aan 1.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De kansmodellen in dit hoofdstukje zijn bijna allemaal modellen met weetkan-
sen. Dat "weten" is soms bedrieglijk en leidt tot een foutieve modelkeuze. Een foutieve modelkeuze berust vaak op een ten onrechte veronderstelde sym- metrie van het model. Vergelijk de redenering van Panoramix naar aanleiding van het gokspel van zijn Gallische vrienden. *) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Foutief kansmodel (Panoramix):
Kansmodel dat (vermoedelijk)
aardig overeenkomt met jou experimentele resultaat: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
*) Overigens bevindt Panoramix zich in goed gezelschap, want de vooraanstaande
Franse wiskundige d'Alembert (18e eeuw) maakt dezelfde fout. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3. KANSMODELLEN
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In toepassingsgebieden van de kansrekening worden ook modellen van zweet-
kansen gebruikt. Die modellen worden opgesteld via simulatie of met behulp
van statistische gegevens.
Zo werkt men in het levensverzekeringsbedrijf met zgn. "sterftetafels". De
verzekeringspremies worden met behulp van "levenskansen en sterftekansen"
berekend.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In de tabel zie je bijvoorbeeld dat de kans van een 20-jarige om het eerste
jaar (0) na de aanvangsdatum van de verzekering te overleven geschat wordt op 0,99738. » 18. Hoe groot is volgens de tabel de kans dat een 20-jarige binnen drie
jaar overlijdt? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De eerste sterftetafels zijn opgesteld door
raadpensionaris Johan de Witt en in 1671 gepu- bliceerd in zijn geschrift "Waerdye van Lyfrenten naer proportie van Los-renten". |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Jokan da WUt {1625-1672)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. KANS EN GEBEURTENIS
|
|||||||||||||||
|
13
|
|||||||||||||||
|
ROULETTE
Op de speeltafel zijn velden aange-
bracht, gemerkt van 0 tot en met 36. Sommige nummers zijn zwart gedrukt, andere rood. Het enige nummer dat geen kleur heeft is 0 (zero). Door een fiche op een of meer velden te plaatsen zet je in op een bepaalde uitkomst, waarna het balletje gaat rollen....... |
|||||||||||||||
|
7Q9
|
|||||||||||||||
|
19 ED 21
23 El 25E327I |
|||||||||||||||
|
2829ED
|
|||||||||||||||
|
KJ32E]
34ES36I |
|||||||||||||||
|
De rode nummers staan wit (op een zwarte
achtergrond) afgedrukt.
De grote vakken op het speelveld stellen de speler
in staat om op hele series tegelijk in te zetten, bijv. "Rouge" (de rode nummers), "Pair" (de even nummers, "12M" (of M12) (de nummers 13 tot en met 24), "Passe" (de hoogste 18 nummers). » 19. Een speler die op Rouge inzette, beschouwde de uitkomstenverzameling
{Noir, Rouge, Zero}. Welk kansmodel past hierbij? (Aangenomen dat je met een eerlijke rou- lette te maken hebt). Bij een eerlijke roulette worden de uitkomsten 0, 1, 2, ..., 36 alle even
kansrijk verondersteld.
Een verstandige uitkomstenverzameling om mee te werken is dus:
U = {0, 1, 2, 3, ..., 36}.
We noemen "Rouge" bij deze keuze van "U" dan liever geen uitkomst, maar een ge.be.iWto.nAJ>. Zo'n gebeurtenis kun je opvatten als een deelverzameling van "U" Rouge = {1, 3, 5, 7, 9, 12, 14, ..., 36}.
» 20. Welke deelverzamelingen van "U" corresponderen respectievelijk met de
gebeurtenissen "Manque", "12p" (of "P12"), "Impair"? (Zie de spelregels op biz. 14). Hoe groot zijn de kansen op die gebeurtenissen? |
|||||||||||||||
|
4. KANS EN GEBEURTENIS
|
14
|
|||||||||||||||||||
|
SPELREGELS
Het spel wordt geleid door een bankhouder of croupier en kan gespeeld wor-
den door een onbeperkt aantal deelnemers. De spelers zetten in op een of meerdere van de hieronder aangegeven posities. Als het balletje op 0 uit- komt, neemt de croupier alle inzetten in beslag, behalve de fiche(s) op 0, De winst wordt met 1 x de inzet uitbetaald. |
||||||||||||||||||||
|
tUXbeXaLLng [aantaJL
feeA.cn van de ■Lnz&t) |
||||||||||||||||||||
|
plants van de {J,cke.
|
||||||||||||||||||||
|
36
|
In het vakje.
Op de lijn tussen die
twee nummers. Op de linker of rechter
zijlijn op de hoogte van die drie nummers. Op het snijpunt in het midden van het vierkant. Op de rechter of linker
zijlijn op het snijpunt tussen beide rijen. In het vak 12P of P12. |
|||||||||||||||||||
|
Op een enkel nummer;
0-36. Op een paar aangren-
zende nummers. b.v. 5 en 6; 8 en II. Op een horizontale rij nummers; b.v. 25, 26 en 27. Op vier nummers in een vierkant; b.v. 20, 21, 23 en 24. Op twee aangrenzende rijen van drie nummers. b.v. 4,5,6 en 7,8,9. Op de laagste 12 num- mers ; b.v. I2P of P12 (1-12).
Op de middelste 12 b.v. 12M of Ml 2 (13-24) Op de hoogste 12 nummers; b.v. 12D of D12 (25-36). Op een kolom van 12 num- mers; b.v. 1-34; 2-35; 3-36. Pair (even nummers, met
uitzondering van 0). Impair (oneven nummers). Rouge (rode nummers). Noir (zwarte nummers).
Manque (de laagste 18
nummers). Passe (de hoogste 18
nummers). |
||||||||||||||||||||
|
18
|
||||||||||||||||||||
|
12
|
||||||||||||||||||||
|
In het vak !2M of M12.
In het vak 12D of DI2.
In het open vak onder
aan de kolom. In het vak Pair.
In het vak Impair.
In het grote vak met rode
ruit.
In het grote vak met de
zwarte ruit.
In het grote vak Manque
voor de nummers 1-18.
In het grote vak Passe
voor de nummers 19-36.
|
||||||||||||||||||||
|
15
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. KANS EN GEBEURTENIS
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Omdat de deelverzameling "Rouge" 18 uitkomsten bevat van de 37 uitkomsten
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
in "U", veronderstellen we de kans op Rouge gelijk aan
|
37
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Kort geschreven: P(Rouge) ■ jj .
In het algemeen:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
")
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Veronderstel dat "U" de uitkomstenverzameling bij een of ander toevals-
experiment is. De uitkomsten worden geacht alle even kansrijk te zijn, hetgeen een symmetrisch kansmodel oplevert. In dit model geldt dan voor de kans op een gebeurtenis A (= deelverzameling van "U"). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
aantal elementen van A
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
**
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
P(A) =
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
aantal elementen van U
lets populairder gezegd: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
.. , . , aantal voor A gunstige uitkomsten
Kans op gebeurtenis A = -----———=-----r—q---rj;-------------
r ° totaal aantal uitkomsten
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»21. a. Geef bij elk van de volgende inzetten de kans op winst en bij
elke inzet de passende uitbetaling (=winst + inzet). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Q02OHI
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kans:
uitbetaling: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kans:
uitbetaling: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kans:
uitbetaling: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kans:
uitbetaling: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
C I kans:
" I uitbetaling:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kans:
uitbetaling: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kans:
uitbetaling: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
TEH
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kans:
uitbetaling: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kans:
uitbetaling: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
35
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. Ga na waarom Casino's met dit spel, over een lange periode ge-
zien, winst kunnen verwachten. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
*) P komt van het Latijnse "Probabilitas" (= waarschijnlijkheid).
'*) Van de verzameling "U" wordt hierbij verondersteld dat ze zindig veel elementen bevat. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. KANS EN GEBEURTENIS
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
16
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 22. Werpen met twee dobbelstenen
Als uitkomstenverzameling bij het experiment van Claudius Bombastus
nemen we: U = {(1,1);(I,II);(II,I);---;(VI,VI)}
Die uitkomsten ("worpen") cor-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
responderen elk met een vakje
in het 6 bij 6 rooster.
Gegeven zijn de volgende ge-
beurtenissen:
A: som van het aantal ogen in
de worp is zeven;
B: doublet (worp van twee ge- lijke getallen);
C: verschil van het aantal ogen in de worp is twee;
D: minstens een zes geworpen; E: geen zes geworpen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
VI
V /v
III
II I
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
II III IV V
Roo&teAdiagfwm
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
VI
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. BerekenP(A), ..., P(E).
b. Hoe zou je de gebeurtenis A^E omschrijven?
Wat is de kans op die gebeurtenis? c. Bereken: P(A n D), P(A n B), P(B n E), P(D n E).
d. Omschrijf de gebeurtenis A U E in woorden.
Hoe groot is de kans op die gebeurtenis? e. Bereken: P(A U D), P(A U B), P(B U E), P(D U E).
s>23. Iemand trekt blindelings een kaart uit een volledig spel.
(52 speelkaarten, geen jokers). Hoe groot is de kans dat de getrokken kaart: a. een harten is?
b. een aas is?
c. een hartenaas is?
d. een harten of een aas is?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
> 24. Maak een symmetrisch kansmodel bij het experiment: drie keer werpen
met een geldstuk. Hoe groot is de kans dat bij drie worpen met een geldstuk "kop" vaker
voorkomt dan "munt"? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»25. Asterix en Obelix werpen elk met een dobbelsteen.
Hoe groot is de kans dat Asterix hogere ogen gooit dan zijn makker?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4. KANS EN GEBEURTENIS
|
||||||||||||||||
|
17
|
||||||||||||||||
|
Opnieuw de hoed met het ene rode en de drie
witte balletjes. |
||||||||||||||||
|
» 26,
|
||||||||||||||||
|
a. Iemand trekt "blind" een balletje
uit de hoed en noteert de uit- komst. Hij legt het balletje terug in de hoed en herhaalt het experiment. (We spreken in dit geval van ttzkkzn mut t2Augle.gg.ing). Hoe groot is de kans dat hij beide keren een wit balletje getrokken heeft? |
||||||||||||||||
|
R
|
||||||||||||||||
|
w, wa w&
|
||||||||||||||||
|
b. Dezelfde persoon trekt een balletje en vervolgens een tweede zonder
dat hij het eerste teruggelegd heeft. [TA&kkzn zondeJt toJuiglnggiYig).
Welke vakjes in het roosterdiagram geven nu onmogelijke uitkomsten
aan? Hoe groot is nu de kans op twee witte balletjes?
c. Hoe groot is de kans op "het eerste balletje wit en het tweede bal-
letje rood" bij trekken met teruglegging? En bij trekken zonder teruglegging?
»27. Een proefwerk Engels bestaat uit twintig vierkeuze-vragen.
Je weet er achttien met redelijke zekerheid te beantwoorden, maar in
twee vragen zie je absoluut geen gat. Je besluit dan maar te gokken. a. Hoe groot is de kans dat je beide antwoorden fout gokt?
(Vergelijk dit probleem met » 26!). b. Hoe groot is de kans dat je een vraag goed gokt?
»28. In een feestavondencommissie van school zitten drie meisjes en drie
jongens. Twee afgevaardigden van deze commissie worden door het lot aangewezen om te onderhandelen met de rector over het organiseren van een disco-avond. a. Hoe kun je dit probleem vergelijken met het trekken van twee bal-
letjes uit een hoed? |
||||||||||||||||
|
b. Hoe groot is de kans dat de afvaardiging uit twee meisjes bestaat?
|
||||||||||||||||
|
5. KUNNEN KANSEN GROEIEN?
|
||||||
|
18
|
||||||
|
»29. Een fragment uit "Onder Professoren" van W.F. Hermans:
'Gewonnen,' zei zc, 'lckker gewonnen. Proost/
Zij dronk haar glas bijna haif leeg, in een keer.
'Mij krijgen ze niet te pakken,' zci ze, 'zc dachten zcker dat ik
zou blijven doorspelen tot ik alios weer kwijt was. Ais ze Gre wil- len uitplunderen, moeten ze vrocgeropstaan. Weet je wat het ge- heim is? Je moet gewoon een bcetje opletten welk nummer in lange tijd niet is uitgekomen. Dat moet je onthouden. Jij bent voor dit spel niet geschikt, omdat je geen goed geheugen hebt.' 'Maar Grc,' zei hij, 'die draaischijf en dat balletje hebben ook
geen geheugen. Die weten helcmaal van niets, ook ai zou een be- paald nummer in geen honderdjaar zijn uitgekomen.' 'Dat kan niet, er zijn met de nul mee, zevenendertig nummers
en op den duur komen ze allemaal even dikwijls uit, omdat ze al- lcmaal evenveel kans hebben uit te komen. Dus als cr een hele tijd een niet is uitgekomen, dan wordt de kans dat die uitkomt steeds groter, anders zou hij achter raken.' Zo blij was ze, dat hij haar speltheorie onbestrcden passercn lict.
Twee theorieen over toeval en kans. Voor welke voel jij het meest?
» 30. Op 18 augustus 1913 beleefde men in het Casino van Monte Carlo een
record: liefst 26 keer achtereen rolde het balletje op "Noir". Afgezien van het geldende huismaximum zou een speler die bij het begin van deze serie een gouden Louis (= 4 dollar) zou hebben ingezet en heel de ronde door op zwart had gewed 268 miljoen dollar in de wacht hebben gesleept. Wat er in werkelijkheid gebeurde was een koortsachtige stormloop op
rood die een aanvang nam omstreeks het tijdstip waarop zwart reeds vijf- tien keer achtereen was uitgekomen. De spelers verdubbelden en verdrie- voudigden hun inzet nadat het balletje voor de twintigste keer zwart aanwees, omdat zij aannamen dat de kans op zwart nu minder dan een miljoenste bedroeg. Deze ongewone serie spekte uiteindelijk de kas van het Casino met een paar miljoen francs (ontleend aan Darrel Huff "How to take a Chance"). a. Hoe komt de schrijver aan het getal 268 miljoen?
Reken dat eens na. b. De kans dat het roulette-balletje twintig keer achter elkaar op
zwart uitkomt is inderdaad kleiner dan een miljoenste. Hoe kun je dat beredeneren?
c. Hoe groot is de kans dat een roulette-balletje de eenentwintigste
keer op zwart uitkomt, als je weet dat in de twintig voorafgaande keren zwart uit de bus is gekomen? |
||||||
|
19
|
|||||||
|
5. KUNNEN KANSEN GROEIEN?
|
|||||||
|
Van tijd tot tijd geloven we bijna allemaal een beetje in de redenering van
Gre Dingelam (fragment bij > 29): - je hebt de hele avond al een slechte kaart gehad; naar je gevoel moet er
nu toch een grote kans zijn dat je wat beters in handen krijgt .... - bij mens-erger-je-niet neb je al tien rondjes tevergeefs op de bevrijdende
"zes" gewacht; je geeft jezelf een flinke kans dat het de elfde keer wel lukt, want zo vreemd kan het toeval zich toch niet gedragen .... - na 14 dagen regen in je vacantie verwacht je nu toch een ommekeer, want
volgens de statistieken is het hier aan de kust toch de helft van het sei- zoen mooi weer ..... Allemaal voorbeelden van een zeker geloof in groeiende kansen. Maar als je
aanneemt met een zuiver toevaIsexperiment van doen te hebben (een eerlijke roulette, een zuivere dobbelsteen, een goed geschud spel kaarten, ....) dan zegt het verstand dat de uitkomsten per spel ona^hank&Jttjk van elkaar zijn. De dobbelsteen onthoudt immers niet wat hij de vorige keer geworpen heeft. Van het weer kun je zeggen dat het wel een geheugen heeft. Als het op 16 januari vriest, is de kans op vorst op 17 januari groter, dan wanneer het op 16 januari "zacht weer voor de tijd van het jaar" is. Dat geheugen is overi- gens niet erg lang. Het weer op 26 januari is al praktisch onafhankelijk van dat op 16 januari. »31. Captain Marryat vertelt in zijn boek "Peter Simple" van een bootsman
die zijn hoofd door het eerste het beste gat stak dat door een vijan- delijke kogel in de romp van zijn schip was gemaakt. De goede man was van mening dat dit in het verdere verloop van de strijd een veilige plek was: "Immers de kans dat er twee kogels op dezelfde plaats de scheepswand treffen is vrijwel nihil". Commentaar? »32. De bestuursleden van de paardensportvereniging (» 10 biz. 7) twijfelden
plotseling aan de eerlijkheid van het lotingssysteem dat ze er sinds jaar en dag op nahielden. Het kritische bestuurslid verwarde echter eerlijk- heid met onafhankelijkheid. a. Ga na dat de uitkomsten (le bal rood, 2e bal rood, enz) bij dit ex-
periment niet onafhankelijk zijn. b. Hoe kan het experiment veranderd worden dat die uitkomsten wel onaf-
hankelijk zijn? |
|||||||
|
5. KUNNEN KANSEN GROEIEN?
|
||||||
|
20
|
||||||
|
> 34. Nadat er twijfel gezaaid was, besloten de vier hun loterijsysteem als
volgt te wijzigen: achtereenvolgens pakt iedereen een balletje uit de hoed, maar het resultaat wordt pas bekeken als de hoed leeg is. De balletjes noemen we R, Wi , W2 , W3 . De uitkomsten van dit experiment kun je beschrijven als series-van-
vier, bijvoorbeeld: RW1W2W3 of W1W3RW2. a. Het vereist enige ijver en systematiek om alle mogelijke series op
te schrijven. Probeer het eens. (Ga na of je er zeker van kunt zijn dat je geen enkele serie vergeten bent). b. Hoeveel series zijn er met R op de le, resp. 2e, 3e en 4e plaats?
c. Is het hier geschetste experiment wezenlijk verschillend van het
lotingssysteem dat de vier er eerst op nahielden? d. Wat is nu je oordeel bij » 10 biz. 11
»35. Als uitkomstenverzameling bij het in » 34 geschetste experiment kan
00k {RWWW, WRWW, WWRW, WWWR} worden gekozen, waarbij geen onderscheid
wordt gemaakt tussen de drie witte balletjes. (Het bijbehorende kans- model is dus 00k symmetrisch!). Hoeveel series bevat de uitkomstenverzameling als het experiment mzt
teruglegging wordt uitgevoerd (en geen onderscheid wordt gemaakt tussen de drie witte balletjes)? Het beoordelen van een toevalsexperiment is vaak verre van eenvoudig.
Een koele verstandelijke aanpak, waarbij uitkomsten systematisch worden ge- teld en gewogen, kan wel eens in conflict komen met een gevoelsmatige bena- dering van de grillen van het lot. Ook al zegt je verstand dat het roulette-balletje iedere keer weer evenveel
kans op zwart en op rood heeft, dat elk spel onafhankelijk is van het vorige, je moet toch sterk in je schoenen staan om na twintig keer zwart niet stiekum te geloven dat het zoetjes aan tijd wordt voor rood om zijn "achterstand" goed te maken. Maar wat betekenen die twintig keer of zesentwintig keer zwart achter elkaar op de lange, lange rij experimenten in Monte Carlo die nog zul- len volgen? Een kleine rimpel, die het evenwicht heel even leek te verstoren. Toegegeven, het was een zeldzame gebeurtenis in 1913, maar in wezen even zeld- zaam als elke andere serie van zesentwintig waar je niets bijzonders aan ziet! |
||||||
|
21
|
||||||||
|
RIEKIENIEN
MIST
KANSIEN
|
||||||||
|
Meester op school: 'Jongens, ik heb een zak met honderd appels en
een peer. Als ik nu mijn hand in de zak steek, hoeveel procent kans
heb ik dat ik de peer pak?'
Moossie: 'Vijftig procent.'
Meester: 'Vijftig procent, waarom?'
Moossie: 'Wei meester, je hebt hem of je hebt hem niet.
|
||||||||
|
Uit: Abel Herzberg 'Om een lepel soep', uitg. Querido.
|
||||||||
|
6. WEGEN- EN BOOMDIAGRAM
|
|||||||||||||
|
22
|
|||||||||||||
|
> 36. Op een koffieautomaat zit een knop waarmee je je keuze kunt instellen.
Je kunt kiezen uit koffie met en zonder melk en uit 0, 1 of 2 suiker- klontjes. Hoeveel verschillende standen beeft de keuzeknop? »37. Een stukje plattegrond van een dierentuin:
|
|||||||||||||
|
Ingang
Aquarium Reptielenhuis Zeehondenbassin |
|||||||||||||
|
a. Hoeveel verschillende wandelingen kun je maken, te beginnen bij de
ingang en dan via aquarium en reptielenhuis naar het zeehondenbassin? b. Je wilt vanuit I naar Z en weer terug naar I. Zowel heen als terug
ga je via A en R, maar je wilt geen enkel pad twee keer nemen. Uit hoeveel verschillende routes kun je kiezen? » 38. Een cijferslot heeft vier schijven
met op elke schijf de cijfers 0 tot en met 9. Leen weet zich na een be- zoek aan het cafe nog wel de cijfers 1, 3, 6, 5 van zijn code te herin- neren, maar niet de volgorde. Hoeveel verschillende codes kan hij uitproberen? |
|||||||||||||
|
»39. Je volgt vier ronden de roulette in Monte Carlo en let daarbij alleen
op de uitkomsten Z(ero), N(oir) en R(ouge). Een mogelijke serie uitkomsten is bijv. NRNZ. Hoeveel verschillende uitkomstenseries zijn er mogelijk in die vier
ronden? |
|||||||||||||
|
6. WEGEN- EN BOOMDIAGRAM
|
|||||||||||||
|
23
|
|||||||||||||
|
De vier telproblemen (» 36 t/m »39) vertonen, wiskundig gezien, een grote
overeenkomst. Neem bijv. het keuzeprogramma van de koffieautomaat. Dat kan worden voorgesteld door een wegencircuit. Eerst moet een keuze gemaakt wor- den tussen de "wegen" koffie-zwart en koffie-wit en vervolgens tussen 0, 1 en 2 suikerklontjes. |
|||||||||||||
|
De vraag naar het aantal keuzemogelijkheden is gelijkwaardig met de vraag
naar het aantal wegen van I via II naar III. Zo'n voorstelling noemen we een "wegendiagram". » 40. a. Teken een wegendiagram bij het Monte Carlo-probleem (» 39).
b. Ook bij het cijferslotprobleem (» 38). Zijn alle wegen van begin-
punt naar eindpunt toegestaan? Een bekende fout bij de vraag naar het aantal wegen van I via II naar III
in bovenstaande figuur is, dat de aantallen wegen (2 resp. 3) worden opge- teld i.p.v. vermenigvuldigd. Dat je die laatste bewerking moet gebruiken, zie je duidelijk als je het wegendiagram 'openknipt'. |
|||||||||||||
|
EL
|
|||||||||||||
|
<3>*
|
|||||||||||||
|
»41. Teken een boomdiagram van de verschillende routes in de dierentuin van
I naar Z via A en R (» 37) . Teken ook een boomdiagram voor de routes van Z via A en R naar I. |
|||||||||||||
|
24
|
|||||||
|
6. WEGEN- EN BOOMDIAGRAM
|
|||||||
|
»42. Op biz. 25 zie je een boomdiagram van alle codes die je met de cijfers
6, 5, 3 en 1 op het cijferslot kunt maken. a. Welk gedeelte van de boom correspondeert met de codes die met het
cijfer 5 beginnen? b. Hoeveel codes zijn er die op 5 eindigen?
» 43. Hoe verandert de boom als alle cijfers (0 t/m 9) beschikbaar zijn en
de codes uit vier verschillende cijfers bestaan? Uit hoeveel codes kun je dan kiezen? » 44. Hoe verandert de boom als een herhaling van cijfers is toegestaan (en
alle cijfers in aanmerking komen)? Hoeveel verschillende codes zijn er mogelijk bij zo'n cijferslot? »45. Maak een wegendiagram of een boomdiagram bij het experiment: trekken
van twee balletjes uit een hoed, waarin een rood en drie witte balle- tjes. a. met teruglegging.
b. zonder teruglegging.
»46. Maak een wegendiagram of een boomdiagram bij het experiment:
vier keer tossen met een kwartje. Hoe groot is de kans op "twee keer kop en twee keer munt" bij dit ex-
periment? »47. Wat zijn de voordelen resp. nadelen van een boomdiagram t.o.v. een
wegendiagram? |
|||||||
|
6. WEGEN- EN BOOMDIAGRAM
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
25
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3
/ T
T
T
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6
3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6.
/ _Ł_
X T"
X ~S~
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. WEGEN- EN BOOMDIAGRAM
|
26
|
|||||||||||
|
GENETICA
Genetica is een betrekkelijk jonge wetenschap, maar de invloed van de erfe-
lijkheid is al zeer lang bekend. Tienduizend jaar geleden, toen de mens be- gon met landbouw, realiseerde hij zich al spoedig dat hij steeds betere ge- wassen kon telen door de sterke planten, die in de natuur ontstaan waren, kunstmatig te kruisen. Maar tot aan het midden van de 19e eeuw was niemand geinteresseerd in het mechanisme van de kruising en de overdracht van eigen- schappen door de generaties heen. De Oostenrijkse monnik Gregor Mendel (1822-1884) zorgde voor een wetenschappelijke doorbraak, maar zijn werk kreeg jarenlang geen aandacht. |
||||||||||||
|
Gtegon. MendeZ
|
||||||||||||
|
Mendel kruiste planten waarvan de erwten groen waren met planten met gele
erwten. Onverschillig welke plant het stuifmeel leverde, steeds hadden de nakomelingen gele erwten. Daaruit concludeerde Mendel dat de "erffactor" die verantwoordelijk is voor de gele kleur dominant is over de erffactor groen. Deze twee erffactoren, tegenwoordig spreekt men van genzn, noemde hij resp. A en a. Zijn oorspronkelijke planten waren zaadvcut, d.w.z. dat ze uitslui- tend A (resp. a) eicellen en stuifmeelkorrels produceerden. Bij bevruchting van zo'n zaadvaste gele- met een groene-erwtenplant ontstaat een bcutaaAd met eicellen van beide typen (A en a). Na het voortbrengen van de bastaardplanten kruiste Mendel deze planten onder-
ling. Zo verkreeg hij uit de zelfbestuiving van 258 planten 8023 zaden, 6022 met gele en 2001 met groene zaadlobben. Uit dit resultaat leidde hij af dat bastaardplanten in gelijke aantallen A-eicellen en a-eicellen resp. A-stuif- meelkorrels en a-stuifmeelkorrels produceren. |
||||||||||||
|
6. WEGEN- EN BOOMDIAGRAM
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
27
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 48. Bij een kruising van twee bastaard erwteplanten zijn vier combinaties
eicel-stuifmeelkorrel mogelijk. Laat dit met een boomdiagram zien. Zijn de resultaten van Mendel's experiment daarmee in overeenstemming? »49. Bij leeuwebekjes wordt de bloemkleur vastge-
legd door een gen dat in twee vormen [oJULzJLoyi] voorkomt, een gen voor rood (R) en een gen voor wit (r). Een kruising van een roodbloe- mige en wit-bloemige plant levert een leeuwe- bekje met rosebloemen op. Er is hier dus geen sprake van dominantie van de ene gen over de andere. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
leeuwebek
naar het 'Cruydeboeck'
van Dodoens |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In de biologie maakt men onderscheid tussen het QdnotypQ, (erfelijke
aanleg) en ^tnotypz (verschijningsvorm). In het geval van het leeuwebekje: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Hoe groot zijn de kansen op een plant met resp. rode, rose en
witte bloemen als je een rood leeuwebekje met een wit kruist? b. En als je twee rose leeuwebekjes kruist?
» 50. Men kruist een bruingele cavia met een witte. De jongen worden onder-
ling gekruist. Zo verkrijgt men 134 bruingele, 265 lichtgele en 137 witte "kleinkinderen". a. Hoe kun je deze aantallen verklaren?
b. Wat kun je van het nakomelingschap verwachten bij kruising van een
lichtgele cavia met een witte cavia? » 51 In de voorgaande drie voorbeelden hebben we uitsluitend gelet op geno-
typen van een eigenschap. Nu een voorbeeld waarbij we in twee eigen- schappen ge'interesseerd zijn. De eigenschap "kleur" bij koeien wordt vastgelegd door een gen waarvan twee allelen bestaan (A en a). |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6. WEGEN- EN BOOMDIAGRAM
|
|||||||||||
|
28
|
|||||||||||
|
Dieren met genotype AA of Aa (=aA) zijn ZUXtAt, die met aa zijn flood.
Voor de eigenschap "aftekening" zijn er van het bijbehorende gen even- eens twee allelen (B en b). Dieren met genotype BB of Bb zijn e^en, die met bb zijn bont. a. Hoe zal de aantallenverhouding zwart-rood zijn in de runderstapel
van Nederland? b. En hoe zal de runderstapel verdeeld zijn in effen en bonte koeien?
c. Een zwartbonte stier (genotype AAbb) paart met een rood effen koe
(genotype aaBb)• Wat kun je zeggen van de kalveren?
|
|||||||||||
|
AAbb aaBb
|
|||||||||||
|
d. Als we letten op de beide eigenschappen 'kleur' en 'aftekening' zijn
er vier verschillende combinaties (fenotypen) mogelijk. Neem aan dat geen van die vier fenotypen speciaal gefokt wordt. In welke aantallenverhouding kun je verwachten dat die vier fenotypen voorkomen? (Maak een boom- of wegendiagram). |
|||||||||||
|
7. VAASMODEL EN KANSDIAGRAM
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
29
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ONE ARM BANDIT
Een eenvoudige uitvoering van een gokmachine ('fruit-
automaat') zoals die wel in cafetaria's en andere pu-
blieke gelegenheden te vinden is.
Het apparaat heeft twee vensters (1 en 2), waarachter
twee trommels zitten. Op elke trommel is een strook
met zes figuren geplakt, waarvan er een door het ven-
ster te zien is. Deze trommels kun je onafhankelijk van
elkaar laten draaien door een ruk aan de handle te ge-
ven. Van te voren moet je dan wel een kwartje in de
gleuf stoppen.
Als voor beide vensters hetzelfde plaatje verschijnt
is het kassal
De uitbetaling van de machine aan de winnende speler
is alsvolgt:
two.lL keAA&n I 0,15
titiaz appeLi Ł 0,50
twno. bdULzn fa 1 ,—
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»52. a. Hoe groot is de kans dat je bij een keer spelen een gulden van
het apparaat terugkrijgt? b. Hoe groot is de kans op een appel en een kers?
c. Hoe groot is de kans dat je je inzet kwijt bent?
»53. Veronderstel dat er erg vaak, zeg 9000 keer, met het apparaat ge-
speeld is. a. Hoeveel zal het apparaat dan zo ongeveer hebben uitbetaald?
b. Hoeveel winst kan de eigenaar bij 9000 spelletjes verwachten?
c. Wat is de kleinste inzet (in een geheel aantal centen) waarbij de
exploitant op de lange duur winst maakt? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. VAASMODEL EN KANSDIAGRAM 30
Toevalsexperimenten (of gokspelletjes) kunnen veelal gesimuleerd worden door
het CU>eZe.cŁ ("blind") trekken van een of meer balletjes uit een vaas, al of niet met teruglegging. Omdat we die simulatie vaak alleen in gedachten uit- voeren en het experiment als het ware "vertalen" in het aselect trekken uit een vaas met balletjes, spreekt men wel van het vaa&modeJL. Voorbeeld:
Het spel met de fruitautomaat kan gesimuleerd worden door
(of vertaald worden in) het trekken van achtereenvolgens twee balletjes uit een vaas met de volgende samenstelling: drie balletjes gemerkt K, twee balletjes gemerkt A en een balletje gemerkt B. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»54. Is er bij het vaasmodel dat bij de fruitautomaat past,
|
sprake van trek-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ken met of van trekken zonder teruglegging?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
s>55. Bij de wekelijkse trekking van
de Lotto brengt men het vaas- |
i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i
[HMnwi ISO IIM«ii«.»I IK
i n a 2 >* * 3 h ■ 4 m M 5 •« ■ B m H 7 H ■§ 8 **» 9 m ^(lO ' "til1'
i ii H
• M ■ i» |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I I I I
"51 g
I
•;gg
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
model in praktijk. De "vaas"
bevat 41 genummerde balletjes. Is dit een trekking met of zon- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Twin,
failed zinnige
half- zwaie |
,±g
• >■g
[•;ig
a w g 'SIS 388 888 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
• g|
• HI
Ł88 •ibg'
ige ■■h- M N H
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i '■■«
v a h
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I <1| 9*
,i M *
E fc> | l»l
i a W
II M *
§ H ?■
UN
11 51
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. g>
?8B ■.tag
i n fy
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ll
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
A g M
BBS
' " ■
a g »
up «
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
««
I ■ g g ["
8gg |
8
g
g»
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
mSSS
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
..
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
der teruglegging?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I I I I I I I I
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I I I I I I I I I I I I
i z ]
Ii,
III
Llllll |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»56. Hoe zou de wekelijkse Toto
m.b.v. een vaas met ballen kunnen worden gesimuleerd? (Welke samenstelling geef je de vaas? Wat is de wijze van trekken?) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
iih
uui
UDCI.lLin
ii
|
mil
Du
arm
i
..inn PUP
[in
Llllll
I [111 III |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
in
] 11 p n i in in inn
in.in |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
in
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>57. Maak een vaasmodel van het werpen met drie dobbelstenen. Hoe zou je de
vaas kunnen samenstellen als je alleen maar geiinteresseerd bent in "zes"
of "niet zes"? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
7. VAASMODEL EN KANSDIAGRAM
|
||||||||
|
31
|
||||||||
|
De wijze van loten die de bestuursleden van de paardensportvereniging er op
nahielden (je weet wel: de hoed met de vier balletjes) is letterlijk een vaasexperiment. Je hebt gezien dat er verschillende methoden zijn om de verdeling van de kansen bij dit experiment (en andere) m.b.v. een plaatje te bepalen: - het tekenen van een "roosterdiagram"
- het tekenen van een "boomdiagram"
- het tekenen van een "wegendiagram"
Elk van die methoden heeft zijn voor- en nadelen.
Het voordeel van het roosterdiagram is de overzichtelijkheid: de kansen op
de verschillende gebeurtenissen zijn direct af te lezen. Daar staat tegen- over dat de methode alleen goed werkt bij het trekken van Łu)2.e. ballet jes uit een vaas, een fruitautomaat met tltiQ.2. vensters, het werpen met titiZZ dob- belstenen, enz. Het boomdiagram heeft ook het voordeel van de directe afleesbaarheid van de
kansen en wat nog belangrijker is, het kan bij elk aantal trekkingen worden gebruikt! Het nadeel is echter dat het tekenwerk erg tijdrovend (soms bijna ondoenlijk) kan zijn. Het wegendiagram heeft evenmin de beperking van het roosterdiagram en vergt
veel minder tekenwerk dan het boomdiagram. Het nadeel is hier dat de kansen op bepaalde gebeurtenissen niet direct af te lezen zijn; er moet gerekend worden. Laten we als voorbeeld het wegendiagram bij de fruitautomaat nemen:
|
||||||||
|
In totaal zijn er 36 (=6 x 6) wegen van I via II naar III. Daarvan zijn er
9 (=3x3) A-A wegen, dus de kans dat je twee "appels" trekt ■ A- = Ł. |
||||||||
|
7. VAASMODEL EN KANSDIAGRAM
|
|||||||||||||||||||||
|
32
|
|||||||||||||||||||||
|
Dat wegendiagram kan worden vereenvoudigd door de wegen van dezelfde soort
tussen twee punten te vervangen door een en de aantallen er bij te schrijven. |
|||||||||||||||||||||
|
A O)
|
|||||||||||||||||||||
|
Ail)
|
|||||||||||||||||||||
|
De wegen in het diagram hebben zo als het ware verschillende "gewichten" ge-
kregen. De kansen om in I resp. de A-weg, K-weg of B-weg te kiezen zijn niet
resp. |, f, f, maar |, | en Ł.
I.p.v. de aantallen, schrijft men ook vaak de respectievelijke kansen bij de
wegen:
|
|||||||||||||||||||||
|
A(i)
|
|||||||||||||||||||||
|
Mi)
|
|||||||||||||||||||||
|
BQ)
|
|||||||||||||||||||||
|
Bii)
|
|||||||||||||||||||||
|
Zo'n voorstelling wordt wel een k.CLVU>dia.QHam genoemd.
» 58. a. Hoe vind je uit de getallen in het kansdiagram de kans om vanuit
I via twee A-wegen in III te komen? b. Hoe vind je uit dit kansdiagram de kans op de gebeurtenis "appel
en kers"? »59. Maak zo'n kansdiagram voor het drie keer spelen in de roulette, waar-
bij je alleen interesse hebt voor Zero, Noir en Rouge. Hoe groot is de kans op drie verschillende uitkomsten in de reeks van drie? |
|||||||||||||||||||||
|
» 60. Honderd jaar geleden was het in het Wilde Westen gevaarlijk reisen.
Hieronder zie je een kaart waarop een aantal routes van Laplace City naar Fort Bayes. Bij elk traject is de kans op overleving vermeld. Zoek de meest veilige route. |
|||||||||||||||||||||
|
7. VAASMODEL EN KANSDIAGRAM
|
||||||||||
|
33
|
||||||||||
|
Op biz. 31 hebben we als nadeel van het wegendiagram
genoemd dat je niet met het bekijken van het plaatje
kunt volstaan, maar moet rekenen. Inmiddels zul je
daar wel niet meer zo zwaar aan tillen.
Een ernstiger nadeel doet zich voor bij het trekken
zonder teruglegging.
Stel we hebben een vaas met een wit, twee groene en
drie rode balletjes. Er worden aselect ZOYldQA t<LhJd.g-
ZnggZng twee balletjes getrokken.
Voor de keuze van het eerste balletje kun je natuurlijk de kansen ^, ■ en Ł
nemen. Maar bij de keuze van het tweede balletje ben je afhankelijk van het
eerste resultaat ....
|
||||||||||
|
»61. a. Je hebt al eerder gezien hoe door "openknippen" van een wegendia-
gram een boomdiagram gemaakt kan worden. Doe dat met het hier ge- tekende diagram en schrijf bij elke tak de passende kans. b. Hoe groot is de kans op twee rode balletjes?
c. En op een combinatie van groen en wit?
» 62. In een kast liggen vier paarse en twee gele sokken. Tijl graait in het
donker in de kast en pakt op goed geluk twee sokken. Hoe groot is de kans dat hij een goed paar te pakken heeft? |
||||||||||
|
»63. Een groep van negen mensen kwam aan bij de Duits-Deense grens. Vier
mensen van dit groepje hadden ettelijke flessen geestrijk vocht in hun
bagage verstopt. De dienstdoende douanebeambte pikte drie man er tus- sen uit en onderzocht hun bagage. Bij alle drie werd drank gevonden. Een zeldzame pech? |
||||||||||
|
7. VAASMODEL EN KANSDIAGRAM
|
|||||||||||||
|
34
|
|||||||||||||
|
»64,
|
|||||||||||||
|
<%&<
|
|||||||||||||
|
IK GOOI 'M EB«.5T\
OP ,X>nN»JSft. Ous ceew urn ows
KOf*) COOlT, lit)E
.PoT oooR jovi . >
|
|||||||||||||
|
Maak een boomdiagram (met kansen) van het spel van Asterix en leid
hieruit de verdeling van de kansen van Asterix en Obelix af. »65. In Randomie krijgt een ter dood veroordeelde een laatste kans. Hij
wordt geblinddoekt en mag een van de drie vazen (A, B of C) kiezen. Uit de gekozen vaas trekt hij een balletje. Is het zwart, dan wordt het vonnis ten uitvoer gebracht, is het wit, dan krijgt hij gratie. |
|||||||||||||
|
a. Bereken zijn kans op gratie.
In verband met de op handen zijnde troonopvolging werden alle vonnis-
sen verzacht. De veroordeelde mocht zelf de veertien ballen over de drie vazen verdelen, alvorens de over leven of dood beslissende trek- king te doen. b. Hoe zou jij als veroordeelde de ballen over de drie vazen verdelen?
c. Wat is nu de kans op gratie?
|
|||||||||||||
|
35
|
|||||||||||
|
8. DE DRIEHOEK VAN PASCAL
|
|||||||||||
|
WANDELEN IN MANHATTAN
|
|||||||||||
|
» 66. Randy Walker loopt elke
dag van een punt in de 56th Street (zie kruis- je) naar het kruispunt van de 5th Avenue en de 59th Street. Hij houdt van afwisse- ling en neemt elke dag een andere route. Hij maakt nooit een omweg, want hij heeft een he- kel aan tijdverspilling. |
|||||||||||
|
5th Avenue
|
|||||||||||
|
Randy's probleem is nu:
hoeveel dagen achtereen kan ik het volhouden om een route te nemen die ik nog niet eer- der gehad heb? |
|||||||||||
|
8. DE DRIEHOEK VAN PASCAL
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
36
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het probleem van Randy Walker is niet zo simpel als het misschien op het
eerste gezicht lijkt. De goede oplossing is: 20 dagen. Bij het tellen van het aantal wegen raak je makkelijk in de knoop. In dit
hoofdstukje zul je een systematische aanpak van dit soort problemen leren. Maak eerst de volgende opgave. »67. Hoeveel verschillende wegen (omwegen niet meegerekend) zijn er van
S naar F? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
©
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
©
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
#F
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
©
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
--1-------•
it--1--1--1--
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
S
©
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
©
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
--1--1----v
•k--1--1--1--
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 68. Bij de vorige opgave heb je misschien ontdekt dat het handig kan zijn
om bij sommige kruispunten het aantal "korte wegen" naar zo'n kruis- punt op te schrijven. Deze methode gebruiken we om Randy Walker's probleem handig op te los-
sen. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Neem het 'stratenplan' hiernaast over en schrijf
bij ztk kruispunt hoeveel korte wegen er naar dat punt zijn vanuit S. Tenslotte vind je dan het aantal wegen van S
naar F. |
----1----1----
4---1---1---
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
37
|
||||||||||||||||||||||||||
|
8. DE DRIEHOEK VAN PASCAL
|
||||||||||||||||||||||||||
|
» 69. Hoeveel korte wegen zijn er van P naar Q?
|
||||||||||||||||||||||||||
|
-—*
|
||||||||||||||||||||||||||
|
©
|
||||||||||||||||||||||||||
|
©
|
||||||||||||||||||||||||||
|
________
|
||||||||||||||||||||||||||
|
I---------1--------1---------1---------1--------1--------"
■L—I—I—I—I—I—
|
||||||||||||||||||||||||||
|
,i—I—I—I—I—I—
|
||||||||||||||||||||||||||
|
» 70. Hoeveel keer lees je hier JEROEN BOSCH?
|
||||||||||||||||||||||||||
|
© '
E E
|
||||||||||||||||||||||||||
|
J
E E
R R R
OOOO
E E E E E
N N N N N N
B B B B B
0 0 0 0
S S S
C C
H
|
||||||||||||||||||||||||||
|
R R R
0 0 0 0
E E E
N N
B
0 0
S S S
C C
H
|
||||||||||||||||||||||||||
|
»71. In Manhattan tref je twee stelsels
parallelle wegen aan: Streets en Avenues. De hiemaast getekende route kun
je nu zo beschrijven: SAASAS. Schrijf alle wegen van Randy Wal- ker op volgens deze code. Doe het systematisch! |
||||||||||||||||||||||||||
|
S = Street
A = Avenue
|
||||||||||||||||||||||||||
|
A
s
A™" A ~
|
||||||||||||||||||||||||||
|
8. DE DRIEHOEK VAN PASCAL
|
38
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
72. De geheime inlichtingendienst van Randomie bedient zich van allerlei
codes bij het zenden van berichten of het opslaan van gegevens. Bij een van de codesystemen gebruikt men woorden van acht letters, waarbij alleen de letters X en Y worden gebruikt. Een voorbeeld van zo'n codewoord is: XYXXXYXY. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Met welk weggetje in het straten- Y
plan correspondeert dit codewoord? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. Maak onderstaande tabel af:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c. Hoeveel verschillende codewoorden
kun je binnen dit systeem maken? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 73. ROMEINSE FONTEIN
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Uit de kraan (K) stroomt 1 liter water per sec. in de bovenste schaal.
Zodra de schaal vol is, begint hij via twee afvoergaatjes over te lo- pen. Die gaatjes zijn diametraal en op gelijke hoogte aangebracht en ze zijn even groot. Voor alle volgende schalen geldt hetzelfde. Via de onderste vijf schalen komt het water in een afvoergoot terecht. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f^tt?^?^U^\
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
IFrOe*. ■
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Er waait een strootje in het midden van de bovenste schaal.
Het strootje kan gemakkelijk door de afvoergaten.
Hoe groot is de kans dat dit strootje via de middelste schaal (M) de
goot bereikt?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8. DE DRIEHOEK VAN PASCAL
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
39
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Veel tel- of kansproblemen kunnen worden opgelost met behulp van het vol-
gende schema: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dit schema, dat je zover kunt uitbreiden als je wilt, staat in de wiskunde
bekend als de d/vio,hozk van Pcu>cjxZ, naar de Franse filosoof en wiskundige Blaise Pascal (1623-1662). Ongeveer in deze vorm is dat schema onder zijn naam in 1665 (posthuum dus) gepubliceerd. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Overigens was Pascal zeker niet de eerste
wiskundige op aarde die het naar hem ge- noemde schema gebruikte. In een Chinees wiskundeboek daterend uit het jaar 1303 (auteurs Ssu Yuan Yu en Chuh Shih-Chieh) treft men de prent aan die je hiernaast ziet afgedrukt. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
8. DE DRIEHOEK VAN PASCAL
|
||||||||||||
|
40
|
||||||||||||
|
In navolging van de Chinese prent schrijven we de driehoek van Pascal vaak
z<5: V
|
||||||||||||
|
Elk getal (jM) is de som van zijn twee bovenburen!
»74. We tellen de getallen op die op een horizontale rij staan (of op een
diagonaal in de figuren op de vorige bladzijde): 1 + 5 + 10 + 10 + 5 + 1 = 32
Doe dit voor elke horizontale rij in de driehoek van Pascal. Wat valt je op aan de uitkomsten? Weet je daar een verklaring voor? » 75. In een vlak is een coordinatenrooster getekend.
Hoeveel korte wegen langs roosterlijnen zijn er van (0,0) naar (5,2)?
En van (0,0) naar (4,3)? Als je beide uitkomsten optelt, krijg je het aantal korte wegen van
(0,0) naar ..... » 76. In de kraamkamer van een ziekenhuis staan acht bedjes.
Hoe groot is de kans dat je er bij een voile kraamkamer vijf jongens
en drie meisjes aantreft?
(Neem aan dat de kans op de geboorte van een jongen \ is).
|
||||||||||||
|
\ankxe\\ wjl jkees iIhwkIIpiet l^wvsllTmd
|
||||||||||||
|
=>K
|
||||||||||||
|
8. DE DRIEHOEK VAN PASCAL
|
||||||||||||||
|
41
|
||||||||||||||
|
» 77. In een vaas zitten 9 balletjes: 6 blauwe en 3 rode.
Negen mensen trekken elk een balletje uit de vaas (zonder terugleg-
ging). a. Hoeveel verschillende trekkingsresultaten zijn er mogelijk?
b. Hoe groot is de kans dat het vierde getrokken balletje rood is?
HET BORD VAN GALTON
Onderaan de bladzijde zie je een zgn. bord van Galton getekend. Een vallend
kogeltje zoekt zijn weg door een woud van spijkers. Elke spijker stuurt het kogeltje naar links of naar rechts. Het bord is zo geconstrueerd dat bij elke spijker ongeveer 50% van de kogeltjes naar links worden gestuurd. Aan het eind van zijn weg komt elk van de kogeltjes in een van de elf vak- jes A, B, ..., K terecht. » 78. We laten een stroom van 10.000 kogeltjes door de trechter aan de
bovenkant van het apparaat vallen. Welke verdeling over de elf vakken kun je verwachten?
Teken die verdeling op schaal. |
||||||||||||||
|
Sooe —
|
||||||||||||||
|
*fQOO ■
|
||||||||||||||
|
S^ /ooo —
N, |
||||||||||||||
|
r 3 k
|
||||||||||||||
|
A t> C. 1> E f <5
|
||||||||||||||
|
8. DE DRIEHOEK VAN PASCAL
|
|||||||||||||
|
42
|
|||||||||||||
|
» 79. Opnieuw de Romeinse fontein (zie plaatje bij » 73) .
Nu zijn de twee afvoergaatjes per schaal verschillend. Het afvoergat
aan de linkerkant is tweemaal zo groot als het afvoergat rechts. (Dit geldt voor elke schaal). Er waait opnieuw een strootje in het midden van de bovenste schaal.
Hoe groot is nu de kans dat het strootje in schaal A terecht komt? »80. Een onderdeel van een proefwerk bestaat uit vijf vier-keuze-vragen.
Stel je voor dat je dit onderdeel zuiver op de gok maakt. a. Bedenk een methode om dit "experiment" te simuleren.
b. Verzamel op deze wijze 25 proefwerkresultaten en bereken hieruit
de (zweet-)kans op resp. 0, 1,2, 3, 4, 5 goede antwoorden. |
|||||||||||||
|
» 81. We gaan nu een (weet-)kansmodel maken bij het probleem van » 80.
Elke beantwoording van de vijf vier-keuze-vragen kun je aangeven met
een route in onderstaand rooster.
De daar getekende route is: GGFGF (d.w.z. vraag 1: goed; vraag 2: goed;
enz.)
a. Hoeveel verschillende beantwoor-
dingen zijn er mogelijk met drie goede en twee foute antwoorden? b. En hoeveel met twee goede en drie
|
|||||||||||||
|
foute antwoorden?
c. Bereken de (weet-)kansen op. resp.
0, 1, 2, 3, 4, 5 goede antwoorden. |
a
|
||||||||||||
|
d. Vergelijk jfe resultaten met die
van » 80b. |
|||||||||||||
|
GOED
|
|||||||||||||
|
43
|
||||||||
|
o
|
||||||||
|
PIERMUTATIIES
IEN
CCMI5INATIIE5
|
||||||||
|
C. Buddiogh AnXiOoofid van een poktnjxan. aan een kanXe.njageA
natuurlijk: als je zit te pokeren
is de kans op een straight flush even groot (of even klein) als de kans op een combinatie van vijf willekeurige kaarten toch, als je zit te pokeren,
maakt het een heel verschil of je een straight flush opraapt of vijf willekeurige kaarten |
||||||||
|
9. PERMUTATIES
|
||||||||
|
44
|
||||||||
|
Kansvraagstukken leiden vaak tot *telproblemen'.
In het voorgaande heb je geleerd hoe je op verschillende manieren met een
plaatje of schema (rooster-, boom-, wegendiagram, driehoek van Pascal) zulke telproblemen kunt oplossen. In principe zijn de methoden die je ge- leerd hebt wel toereikend, maar het is handig om ook een paar formules paraat te hebben. Om een voorbeeld te noemen: als je ver moet dalen in de driehoek van Pas-
cal wordt het successievelijk optellen een gigantisch karwei, terwij1 het- zelfde resultaat veel sneller via een formule kan worden verkregen. We beginnen dit hoofdstukje nu met een drietal probleempjes om er een beetje
in te komen. »82. Het bestuur van de paardensportvereniging "Teugels los" (je weet wel,
dat gezelschap dat wekelijks een rode en drie witte balletjes in een hoed deponeerde ter verloting van het gastheerschap) is inmiddels uitgebreid tot vijf personen. De verloting vindt nog steeds plaats, maar het gaat thans efficienter: er worden vijf briefjes genummerd van 1 tot en met 5, dichtgevouwen en geschud. Ieder van de bestuurs- leden trekt een briefje en daarmee is voor vijf weken de volgorde van het gastheerschap vastgelegd. Hoe groot is de uitkomstenverzameling bij dit experiment (m.a.w. hoe-
veel verschillende volgordes zijn er mogelijk)? |
||||||||
|
» 83. Uit het bestuur van vijf wordt een voorzitter, een secretaris en een
penningmeester gekozen. Hoeveel verschillende keuze-mogelijkheden zijn er? »84. Bij de eerstvolgende bestuursvergadering
neemt de voorzitter plaats aan het hoofd van de tafel. De andere bestuursleden hebben geen
vaste plaats. Hoeveel verschillende vergaderopstel-
lingen zijn er mogelijk? |
||||||||
|
45
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9. PERMUTATIES
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een van de problemen waar hoofdstuk 2 mee begint, is
de vraag naar het aantal cijfercodes dat je kunt maken
met de cijfers 1, 3, 6 en 5.
De 24 verschillende codes zijn hiernaast nog eens
systematisch opgeschreven.
Je kunt zeggen:
vier cijfers (maar ook: letters, namen, kleuren, ...)
laten zich op 24 manieren in volgorde zetten. Zo'n
rangschikking, zo'n rijtje-van-vier, noemen we een
peAmutcutlo. van vier elementen.
Het aantal permutaties van n elementen wordt aange-
duid met het symbool n!, spreek uit: n-faculteit.
(Het uitroepteken is hier dus een nieuw rekensymbool
en heeft niets met opwinding of zoiets te maken).
In het voorbeeld van de cijfercode zie je: 4! = 24.
» 85. Bereken achtereenvolgens: 3!; 2!; 1!; 5!; 6!
en 7!. »86. Een volleybalteam bestaat uit zes spelers of
speelsters. Hoeveel verschillende begin-opstellingen
(links-, mid- en rechtsvoor, links-, mid- en rechtsachter) kan de coach met zijn zestal maken? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0
3
a
a)
-tt!
-a
o
■o en
s
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
NET
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
9. PERMUTATIES
|
|||||||||||
|
46
|
|||||||||||
|
»87. Als je weet: 9! = 362880, kun je dan onmiddellijk zeggen hoe groot
10! is? »88. De faculteitsgetallen lopen zeer snel in grootte op.
18! is een getal van 15 cijfers (ruim 6,4 biljard) en 20! is een ge-
tal van 18 cijfers (ruim 2,4 triljoen). Kun je zonder die getallen apart te berekenen zeggen hoe groot het
20' .
quotient -r=r is? 1 o ! »89. Wat is het verband dat er tussen (n + 1)! en n! bestaat?
(n is een of ander natuurlijk getal). |
|||||||||||
|
De faculteitsgetallen zijn 'gedurige' produkten van de getallen
1, 2, 3, 4, ... 1! = 1
2! = 2*1 3! = 3-2-1 4! = 4'3«2«1 5! = 5«4*3'2«1 enz. Kortom:
Voor elk natuurlijk getal n ^ 2 geldt:
n! =vn»(n- 1) •.. . »3'2» 1 j
n factoren |
|||||||||||
|
» 90. a, b, c zijn natuurlijke getallen >2.
Bereken de quotienten:
a! b! (c+1)!
(a-1)! ; (b-2)! ; (c-1)! |
|||||||||||
|
9. PERMUTATIES
|
|||||||
|
47
|
|||||||
|
Als je bij het fietsslot (met de vier schijven) weer een code van vier V2A-
AchZtlnndz cijfers kiest, waarbij nu echter otto, cijfers (d.w.z. 0,1,2,..,9) mogen voorkomen, dan zijn er veel meer mogelijkheden, namelijk: 10«9*8-7 (=5040). »91. Hoe kun je dat beredeneren?
»92. Wat is er fout in de volgende redenering?
"Tien cijfers laten zich op 10! verschillende volgordes zetten.
We letten alleen op de eerste vier cijfers en schrappen de staart van
zes cijfers, zo krijgen we alle codes van vier verschillende cijfers.
Er zijn dus 10! codes mogelijk."
Hoe kun je deze redenering repareren?
»93. Het eerste volleybalteam van Blokkeer bestaat uit negen spelers, waar-
van er steeds drie op de bank zitten (wisselspelers zijn). Uit hoeveel verschillende beginopstellingen kan de coach kiezen? Pas twee verschillende redeneringen toe. » 94. In bovenstaande voorbeelden heb je te maken met het aantal permutaties
van 4 elementen uit 10 resp. van 6 elementen uit 9. Bereken het aantal permutaties van 3 elementen uit 5. Ook van 3 elementen uit 6. Ook van 3 elementen uit n (n is een natuurlijk getal). » 95. Vier personen (A,B,C,D) trekken om de beurt en zonder teruglegging een
kaart uit een volledig spel (52 kaarten). Een trekkingsresultaat is bijvoorbeeld: A: harten aas; B: schoppen twee; C: klaver zes; D: klaver heer.
Hoeveel verschillende trekkingsresultaten zijn er mogelijk? » 96. Er worden 4 stapels kaarten (complete spelen) op tafel gelegd.
Persoon A trekt een kaart uit de eerste stapel, B trekt een kaart uit
de tweede, enz.
Hoeveel verschillende trekkingsresultaten zijn er nu mogelijk?
|
|||||||
|
9. PERMUTATIES
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
48
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een cijferslotcode zijn meestal herhalingen van cijfers toegestaan;
bijvoorbeeld 1113 of 2028 zijn gangbare codenummers. Het totaal aantal codenummers met vier cijfers is nu: 10-10-10*10 (=104) »97. Hoeveel codes (met herhalingen) zijn er mogelijk als je alleen de
cijfers 1, 3, 5 en 6 gebruikt? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»98. De nieuwe kentekennummers voor auto's bestaan uit een reeks van twee
letters, twee cijfers en twee letters, bijvoorbeeld AB 33 XY. Er worden slechts 24 letters gebruikt (de I en de 0 gebruikt men om voor de hand liggende reden niet)• Hoeveel verschillende kentekennummers kunnen er op deze manier wor-
den gemaakt? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»99. Veel autonummers hebben nog een kentekennummer met twee letters en
vier cijfers. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
, moX herhaling
van cijfers |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
. * -*- *-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
zondzA herhaling
van cijfers _. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Op een groot parkeerterrein tref je honderd auto's aan met zo'n oud
kentekennummer. Hoeveel kentekennummers-zonder-herhaling-van-cijfers kun je verwachten? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10. COMBINATIES
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
49
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een zeker kaartspel krijgt elke speler drie kaarten uit een stapel van
32 toebedeeld (de stapel bevat alle waarden boven de 'zes' en alle plaatjes) . Als speler ben je in het algemeen niet geinteresseerd in de volgorde waarin je de kaarten krijgt, maar louter in de COmbi.n(Vtie. van kaarten. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Letten we eerst eventjes wel op de volgorde, dan is het aantal mogelijkheden:
32*31*30 = 29760 (= het aantal permutaties van 3 uit 32). » 100. Hoeveel verschillende combinaties (waarbij je dus niet op de volgorde
let) zijn er onder deze 29760? » 101. Er zijn tien "combinaties-van-drie" uit de vijf letters A, B, C, D, E.
Schrijf die combinaties op (systematisch!) » 102. Een popzangeres heeft een repertoire van 20 liedjes.
In een T.V.-programma mag zij vier nummers brengen. Hoeveel keuzemogelijkheden heeft zij voor dat programma? Hieronder zie je alle combinaties-van-drie en alle permutaties-van-drie uit
de verzameling {A,B,C,D} |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 103. Een dergelijke tabel kun je ook maken voor combinaties- en permutaties-
van drie uit {A,B,C,D,E}. Je weet al (» 101) dat er 10 combinaties zijn. Hoeveel permutaties? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10. COMBINATIES
|
||||||||||||||||
|
50
|
||||||||||||||||
|
Het aantal combinaties van k elementen uit n elementen noteren we voortaan
zo: (I).
Spreek uit: "n boven k".
In de voorbeelden op biz. 49 heb je o.a. gezien:
Je hebt misschien ontdekt dat je het aantal 'combinaties van k uit n' ge-
makkelijk uit het aantal 'permutaties van k uit n' kunt berekenen. „.. v u f$\ aantal permutaties van 3 uit 5 5*4*3 ,,-.
Bijvoorbeeld: II = -------Ł------ ------------- = —^_ = 10 |
||||||||||||||||
|
I3/) "
|
32*31*30
|
|||||||||||||||
|
= 4960
|
||||||||||||||||
|
3!
|
||||||||||||||||
|
» 104. a. Welk verband bestaat er tussen het aantal 'combinaties van 4 uit
20' en het aantal 'permutaties van 4 uit 20'? b. Bereken ( , J.
» 105. Een V.W.O. leerling kiest naast het verplichte vak Nederlands, zes
vakken uit Engels, Frans, Duits, Grieks, Latijn, Aardrijkskunde, Geschiedenis, Scheikunde, Biologie, Natuurkunde, Economie 1, Econo- mie 2, Wiskunde A, Wiskunde B. Laat zien dat er ongeveer 3000 verschillende pakketten mogelijk zijn. » 106. Bereken achtereenvolgens:
miMiHihdUi)
> 107. n is een of ander natuurlijk getal. (n > 3).
> 108. Een deelnemer aan de Lotto kiest zes nummers uit de getallen 1 tot
en met 41.
Hoe groot is de kans dat zijn zes nummers goed zijn? (Je hoeft geen
rekening te houden met het zogenaamde reserve getal).
> 109. Uit een gezelschap van tien personen wordt een commissie van vijf
gekozen, waarvan er een als voorzitter wordt aangewezen.
Hoeveel verschillende commissies zijn er mogelijk? |
||||||||||||||||
|
10. COMBINATIES
|
|||||||||||||||||||
|
51
|
|||||||||||||||||||
|
110. Laat zien door berekening: 5»(_ J = 10•( y
|
|||||||||||||||||||
|
»
|
|||||||||||||||||||
|
Deze gelijkheid kun je uit > 109 afleiden door het aantal commissies
op twee manieren te berekenen.
Hoe?
» 111. Vervang de getallen 10 en 5 in » 109 door resp. n en k (k S n) .
Door op twee manieren het aantal commissies-met-voorzitter te bereke-
nen vind je een soortgelijke betrekking als in » 110. Hoe luidt die betrekking? > 112. Een klas van 25 leerlingen wordt gesplitst in een groep van 10 en een
groep van 15 leerlingen. Hoeveel splitsingen zijn er mogelijk bij die aantallen? » 113. Bereken f-J en ( J.
Hoe kun je zonder berekening verklaren dat die getallen gelijk zijn?
Hzt aantal zombinatizi> (van k uit n) kan wofidzn uitge.dhju.kt in dntz faazul-
tzitAgztalZzn. |
|||||||||||||||||||
|
6 . (9-S-7-6)-5/ 9/
|
|||||||||||||||||||
|
VooKbzzld: (I) - hiŁ.
|
|||||||||||||||||||
|
4/-5/ 4/5/
|
|||||||||||||||||||
|
Je kunt dit fizAuMjaat ook aJU volgt vzhklxuizn.
9 zlzmzntzn tattn zich op 91 mani.zK.zn KangAchikkzn; bij zlkz hjanghzkikking
kan jz een htxzzp zzttzn twi>&zn hzt vizKdz en vij&dz zlzmznt, bijv.
4 7 1 3 \ 8 5 2 9 6
Bij een combinatiz '(dzzlvzKzamzling) van 4 zlzmzntzn ait 9 goat not zk. allzzn
om wzlkz gztaULzn V00R en wzlkz gztaltzn ACHTER de i>tnzzp i>taan. Mook dz htn.zzp bztzkzntt aitgzkozzn; achtzK. de Ł>tAzzp: nizt uitgzkozzn. Omdat jz dz gztaltzn vook. dz i>Vizzp op 41 en de gztaltzn achtzK dz &tn.zzp op 5/ ma.nizK.zn kunt nangidnikkzn, volgt nu: |
|||||||||||||||||||
|
(!)
|
|||||||||||||||||||
|
9!
|
|||||||||||||||||||
|
4757
|
|||||||||||||||||||
|
» 114. Druk uit in faculteitsgetallen:
|
|||||||||||||||||||
|
10. COMBINATIES
|
|||||||||||||||||||||||||
|
52
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Opmerking;
Om de formule die je van ( J gevonden hebt ook goed te krijgen voor het
randgeval k = n, spreken we af: 0! = 1. Er komt dan: ( ) =
\n/ n!0! n!1 Ook het symbool (J krijgt nu betekenis: [ 1 =
» 115. Een klas van 25 leerlingen worden gesplitst in een groep van 10,
een groep van 8 en een groep van 7 leerlingen. Hoeveel splitsingen zijn er met deze aantallen? » 116. De getallen van » 106 kun je terugvinden in de driehoek van Pascal
(zie pag. 40). Waar? » 117. Ga na dat de combinatie-getallenf J, k = 0,1,2,..,8 op de achtste
regel van de driehoek van Pascal staan. Dat je de 'combinatie-getallen' in de driehoek van Pascal kunt vinden, is
natuurlijk geen toeval. Om inzicht te krijgen in het hoe en waarom, kijken we nog eens naar het verband tussen de driehoek van Pascal en het straten- plan. |
|||||||||||||||||||||||||
|
o*
|
|||||||||||||||||||||||||
|
•fi-
|
|||||||||||||||||||||||||
|
<L
|
|||||||||||||||||||||||||
|
22-
|
|||||||||||||||||||||||||
|
---------------------------Ilr-
_____________________■♦>
|
|||||||||||||||||||||||||
|
&
|
|||||||||||||||||||||||||
|
10
|
|||||||||||||||||||||||||
|
*F,
|
|||||||||||||||||||||||||
|
s*
|
|||||||||||||||||||||||||
|
ill
|
|||||||||||||||||||||||||
|
fig. 1
|
|||||||||||||||||||||||||
|
fig. 2
|
|||||||||||||||||||||||||
|
10. COMBINATIES
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
53
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het aantal korte wegen van S naar F3 kun je vinden door successievelijk op-
tellen van de aantallen wegen bij de kruispunten. Resultaat: 20.
Elke weg van S naar F3 kun je beschrijven met een code van zes tekens
(3 'plussen' en 3 'minnen'), de weg in fig. 2 is: ++ — + - .
Blijkbaar zijn er 20 van zulke codes te maken.
Dit aantal kun je ook zo berekenen: er zijn (.J mogelijkheden om 3 'plussen'
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* 1 «- - A 1 f6\ 6*5*4
over 6 plaatsen te verdelen: I _ I = —:
|
= 20.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 118. Bereken op twee manieren het aantal korte wegen van S naar F .
» 119. a. Bereken het aantal (korte) wegen van S naar F (zonder de driehoek
van Pascal te gebruiken). b. Bereken ook het aantal (korte) wegen van S naar F die via G gaan,
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
"1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
w
» 120. In een coordinatenrooster zijn gegeven de punten (0,0) en (5,10).
Hoeveel verschillende (korte) wegen langs het rooster verbinden die
twee punten?
En hoeveel (korte) wegen zijn er van (0,0) naar (5,9)?
En van (0,0) naar (4,10)?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 121. Het aantal 'combinaties van 5 uit 15' is de som van het aantal 'com-
binaties' van 5 uit 14' en het aantal 'combinaties van 4 uit 14'. Zie de tabel van de getallen f J op biz. 66. Hoe kun je dit verklaren uit » 120? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10. COMBINATIES
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
54
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Uit het voorgaande volgt nu dat de driehoek van Pascal ook zo geschre-
ven kan worden: . » ,}. (!) (!) 0
© (?) (1) (?)
(J) 0) (5) (5) (I)
0 (?) © (!) (!) (!)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/3
I |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 122. a. Bereken
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
SK)-G)-G)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een "herhaalde" som wordt in de wiskunde vaak aangeduid met het
teken E (de Griekse hoofdletter sigma). In dit geval: I f'3
i=0U Lees dit als volgt: de som van de getallen ( . J waarbij i loopt
van 0 tot en met 3.
b. Wat betekent: Z n) ? Welk getal is gelijk aan deze som?
i=0 XU/ |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bereken Z ( • ; .E (•); . E (?)
i=0 \ i I i=0 V i / i=o \ 1 / |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 123. a. Beredeneer dat het aantal (korte)
wegen van S via F3 naar F gelijk is aan f )• |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Beredeneer:
i=0 \i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
MO
5 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
*F*
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 124. Uit het bestuur van een buurtvereniging, bestaande uit vijf vrouwen
en vijf mannen, wordt een feestcomite van vijf personen gevormd. Door op twee manieren het aantal verschillende comite's te bereke- nen, kun je de formule van > 123 beredeneren. Hoe? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
> 125. Hoe kun je een algemenere versie van de formule van » 123 geven?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10. BINOMIUN VAN NEWTON
|
||||||||||||||||||||
|
55
|
||||||||||||||||||||
|
Tot slot nog een toepassing van de combinatie-getallen in de algebra. Je
kent natuurlijk het 'merkwaardig produkt': (a+b)2 = a2 + 2ab + b2
De afleiding is niet moeilijk: (a + b)(a + b) = aa + ab + ba + bb = a2 + 2ab + b2
|
||||||||||||||||||||
|
Het schema met de boogjes laat zien dat er (in eerste instantie) vier ter
men ontstaan bij de 'ontwikkeling' van het produkt. |
||||||||||||||||||||
|
aa
|
||||||||||||||||||||
|
Die vier termen kunnen ook zichtbaar
worden gemaakt in een boomdiagram (twee keer twee keuzemogelijkheden). b
|
||||||||||||||||||||
|
» 126. a. Maak een boomdiagram bij de ontwikkeling van het produkt:
(a + b)3 = (a + b)(a + b)(a + b). b. Welke veelterm krijg je na ontwikkeling van (a + b)3?
c. Controleer je resultaat via de berekening:
(a + b)3 = (a + b)«(a + b)2 = (a + b) • (a2 + 2ab + b2 )
» 127. Ontwikkel (a + b)1* in een veelterm. Pas twee verschillende methoden toe.
> 128. a. Hoeveel verschillende rijtjes kun je vormen met twee letters a en
drie letters b? En met een letter a en vier letters b? b. Ontwikkel (a + b)5 in een veelterm.
|
||||||||||||||||||||
|
6-k
k=0 a. Schrijf de som in het rechterlid (zeven termen!) uit.
b. Hoe kun je bovenstaande ontwikkeling van (a + b)6 verklaren?
De ontwikkeling van resp. (a + b)2, (a + b)3, (a + b)1*, ..., kortom van (a + b) ,
staat bekend onder de naam "binomium van Newton": |
||||||||||||||||||||
|
»
|
||||||||||||||||||||
|
, ,xn / n \ n /n\ n-1, tn\ n-2,2 ,/n\,n
(a + b) =(J a +(Ja b+(2Ja b +...+(Jb
ofwel: .
, , Nn v-* /n-\ n-k ,k
|
||||||||||||||||||||
|
k=0
(a,b € m ; n,kŁ TL , n Z 2)
|
||||||||||||||||||||
|
11. BINOMIUM VAN NEWTON
|
|||||||||||
|
56
|
|||||||||||
|
» 130. Door substitutie van a = 1, b = 1 in resp. (a + b)5, (a + b)6 en (a + b)
kun je de resultaten van » 122c terugvinden. Ga dit na. » 131. Als je de getallen op een horizontale rij in de driehoek van Pascal
(biz. 40) afwisselend van een plus- en een minteken voorziet en ver- volgens optelt, vind je 0 als resultaat. Voorbeeld: 1-4 + 6-4+1=0 a. Controleer dit voor een paar regels.
b. Hoe kun je dit resultaat verklaren uit het binomium van Newton?
|
|||||||||||
|
SAMENVATTING
|
|||||||||||
|
/* het aantal combinaties van k uit n
* het aantal deelverzamelingen van k elementen uit een
verzameling van n elementen * het aantal codes bestaande uit k 'plussen' en
n- k 'minnen' ^ * het aantal (korte) routewegen met k horizontale en
n-k vertikale stapjes de . de ..
* het k getal in de n rij van de driehoek van Pascal
k n-k
* de coefficient van a b in de ontwikkeling van
(a + b)n
. * n!
V k!(n-k)!
|
|||||||||||
|
:a=
|
|||||||||||
|
57
|
||||||
|
4
|
||||||
|
GIEMIENGDIE
OPGAVI-N |
||||||
|
12. GEMENGDE OPGAVEN
|
|||||||||||||||||
|
58
|
|||||||||||||||||
|
> 132. Asterix en Obelix spelen een dobbelspel. Ze werpen ieder met een
dobbelsteen. Asterix wint de pot als het totaal aantal ogen van de
beide worpen minder dan 8 is; in het andere geval wint Obelix. Obelix zet vijf everzwijnen in. Hoeveel everzwijnen moet Asterix inzetten, wil het spel eerlijk zijn? » 133. Bij een statistisch onderzoek wordt de samenstelling van duizend ge-
zinnen met drie kinderen bekeken. Hoeveel 'gemengde' gezinnen (kinderen van beide geslachten) kun je
verwachten? » 134. a. Iemand werpt drie keer met een geldstuk.
Hoeveel procent kans heeft hij op drie keer 'kop'?
b. Uit hoeveel worpen moet het experiment minstens bestaan, opdat de
kans op alle keren 'kop' minder is dan 1%? |
|||||||||||||||||
|
> 135. Damestennis op Wimbledon.
Winnares van een partij is degene die het eerst twee sets heeft gewonnen. (Een partij kan dus hoog- |
|||||||||||||||||
|
••
|
|||||||||||||||||
|
• 7 i
|
|||||||||||||||||
|
stens drie sets duren).
Mrs Evert speelt tegen |
rX
|
||||||||||||||||
|
Mrs Austin.
Van de 50 sets die Evert
en Austin de afgelopen twee jaar tegen elkaar hebben gespeeld, heeft Evert er 30 gewonnen. a. Je zou kunnen zeggen dat de kans voor Evert om een Ł>oŁ van Austin
te winnen | is. Bereken nu de kans dat Evert de pasvtij van Austin wint.
b. Een Amerikaanse televisiemaatschappij wil de wedstrijd uitzenden
en krijgt daarvoor een uur zendtijd. Volgens de commentator is de kans 50% dat de wedstrijd in zijn geheel op het scherm komt. Heeft hij gelijk? Je mag er bij je berekening van uitgaan dat een set een half uur in beslag neemt. |
|||||||||||||||||
|
12. GEMENGDE OPGAVEN
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
59
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
> 136. a. Hoe groot schat je op dit moment de kans dat er volgend jaar om-
streeks half januari ijs op de singels in Utrecht ligt? (Gebruik onderstaande tabel). b. Hoe groot schat je de kans dat dit twee jaar achtereen rond half
januari het geval is? c. Kun je dit simuleren met het trekken van twee balletjes uit een
vaas? Zo ja, wat is de samenstelling van de vaas? Trek je mtt of zondQJt teruglegging?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
TEMPERATUUR (T) EN NEERSLAG (R) IN DE BILT
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12. GEMENGDE OPGAVEN
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
60
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
> 137. In de straten van
Square City is een-
richtingsverkeer (zie de pijltjes op de plattegrond). a. Hoeveel verschil-
lende wandelroutes (zonder omwegen) zijn er van A naar B?
b. En hoeveel ver-
schillende auto- routes? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
W\ fei'ii ii'ili ii'i3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i.i'i.H'il
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
is
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^'
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^jt
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^H 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ll^tl^«l^t|^3»|^1|^5i»|f
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
> 138. Aan een diner nemen vijf echtparen deel. Er zijn tien uiterlijk ge-
lijke briefjes gemaakt, waarvan iedereen er na afloop een krijgt. Op twee van de briefjes staat een kruis getekend. Wie zo'n briefje ont- vangt moet afwassen. a. Hoe groot is de kans dat twee heren moeten afwassen?
b. Hoe groot is de kans dat een man en een vrouw die afwas doen?
[Examnn kavo 1976)
» 139. In een doos zitten zes kaarten. Op elke kaart staat een letter ge-
drukt. Er zijn drie kaarten met de letter A, twee met de letter B en een met de letter C. Iemand trekt aselect vier keer achtereen een kaart uit de doos en
legt de kaarten in volgorde van trekking van links naar rechts voor zich op tafel. Zo ontstaat een 'woord' van vier letters. a. Hoe groot is de kans dat hij zo het woord ABBA krijgt?
b. Hoe groot is de kans op een woord dat op de letter C eindigt?
c. Hoe groot is de kans op een woord waarin drie A's voorkomen?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12. GEMENGDE OPGAVEN
|
|||||||
|
61
|
|||||||
|
» 140. In een klas zitten 9 jongens en 12 meisjes.
Er wordt door loting een vertegenwoordiging van twee personen aan-
gewezen om bij de conrector te pleiten voor meer uren wiskunde A. a. Hoe groot is de kans dat dit twee jongens zijn?
b. En hoe groot is de kans dat minstens een van de twee een jongen
is? » 141. Op een Toto-formulier staan 12 voetbalwedstrijden.
Theet vult een rijtje volkomen willekeurig in. Hoe groot is de kans dat hij geen enkele uitslag goed heeft? » 142. Twee vrienden kiezen, onafhankelijk van elkaar, drie avonden van de
week uit om (rond 9 uur) naar het dorpscafe te gaan. Hoe groot is de kans dat ze elkaar op geen enkele avond in het cafe treffen? »143. Ajax-PEC, uitslag 7-3.
Een verslaggever die zijn aantekeningen is kwijtgeraakt moet het
scoreverloop gokken. (Neem aan dat hij zich daarvan niets meer kan herinneren; een mogelijk scoreverloop is bijv. 1-0; 2-0; 3-0; 3-1; 3-2; 4-2; 5-2; 6-2; 6-3; 7-3). a. Uit hoeveel verschillende mogelijkheden heeft hij de keus?
b. Later hoort hij van zijn vrouw de ruststand: 3-2.
Hoeveel verschillende scoreverlopen zijn er nu nog denkbaar?
c. Tenslotte schiet hem te binnen dat Ajax de gehele wedstrijd
(d.w.z. vanaf het eerste doelpunt) heeft voorgestaan. Hoe groot is de kans dat hij het scoreverloop goed gokt?
» 144. In een kiosk worden de vier bekende landelijke ochtendbladen ver-
kocht. De gemiddelde verkoopcijfers van die kiosk zijn: Telegraaf 40%
Volkskrant 30%
Algemeen Dagblad 20%
Trouw 10%
Vier mensen kopen (onafhankelijk van elkaar) een krant.
Hoe groot is de kans dat deze vier personen vier verschillende kran- ten kopen? |
|||||||
|
12. GEMENGDE OPGAVEN
|
|||||||||
|
62
|
|||||||||
|
» 145. Bij het spel van Master Mind moet de
ene speler de 'code' (aangegeven met vier gekleurde dopjes) van zijn tegen- stander raden. a. Volgens de spelregels zijn er in de standaarduitvoering van het
spel 1296 permutaties (met herhalingen) mogelijk. Hoeveel kleuren zitten er in het spel?
b. Hoeveel permutaties zijn er mogelijk als geen herhalingen zijn
toegestaan? c. En hoeveel als van de vier plaatsen sommige (of alle) leeg mogen
blijven en herhalingen zijn toegestaan? » 146. Hoe groot is de kans dat in een willekeurige groep van vier mensen
deze vier op verschillende data jarig zijn? > 147. lemand koopt tien loten bij een loterij bestaande uit 100 loten.
Er worden twee prijzen uitgeloot.
Hoeveel procent kans heeft hij op minstens een prijs?
> 148. Volgens de laatste opiniepeilingen is 60% van de New Yorkers voor-
nemens om op de Democratische presidentskandidaat te stemmen en is
40% aanhanger van de Republikeinse partij. Een televisiemedewerker interviewt vijf willekeurige mensen op straat en vraagt op welke van de twee partijen zij willen stemmen. Hoe groot is de kans dat een meerderheid van de vijf voor de Democra-
tische partij is? [/eAkizzZngApubtiCsLtiuJ: ujjt 1S8S m 1976
|
|||||||||
|
w-W1
|
|||||||||
|
■■'■■.
|
|||||||||
|
63
|
|||||||
|
5
|
|||||||
|
TM3IEI.MEN
|
|||||||
|
1 1
1 2 1
13 3 1
1 4 6 A 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
1 7 21 35 35 21 7 1
|
|||||||
|
TOEVALSGETALLEN 64
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
TOEVALSGETALLEN
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
65
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
BINOMIAALCOEFFICIENTEN (|J) 66
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||