-ocr page 1-



		KANSVIERDIEMNGIsN

			Freudenthal instituut Archief

-ocr page 2-



			■ ""............. ' ----------------------------------------...........

		KSIONnilCmSIASNVN

-ocr page 3-

Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht


	KANSVERDELINGEN
	Een produktie ten behoeve van de experimenten in het kader van de Herverkaveling Eindexamenprogramma's Wiskunde I en II V.W.O.
	Samenstelling:	Martin Kindt Jan de Lange Jzn
	Vormgeving:	Ellen Hanepen
	© 1983; 2e herziene versie.
	Utrecht, april	1983.

-ocr page 4-



			INHOUDSOPGAVE

		1. STOCHASTEN pag. 1 2. VERWACHTINGSWAARDE 13 3. BINOMIALE KANSVERDELING 23 4. DE HYPERGEOMETRISCHE VERDELING 41 5. VERWACHTINGSWAARDE BIJ DE BINOMIALE EN DE HYPERGEOMETRISCHE VERDELING 49 6. GEMENGDE OPGAVEN 57 TABELLEN 61

-ocr page 5-



			\

		STOCHASTEN In opdracht van een fabrikant van sportschoenen verzamel je gegevens over schoenmaten. » 1. a. Noteer de schoenmaten van de leerlingen in je klas (Nederlandse maten, gehele getallen) en schrijf bij elk getal of het een jon- gen of een meisje betreft. b. Maak een histogram van de verdeling van de diverse schoenmaten voor de jongens, voor de meisjes en voor de hele klas. » 2. a. Je hebt nu een ^tzekpfiOZ^ genomen uit de popaJLoutlz van alle potentiele kopers van sportschoenen. Kan de sportschoenenfabrikant "uit de voeten" met de gegevens van deze steekproef? Waarom? b. Is deze steekproef representatief voor alle Nederlanders in jouw leeftijdsklasse? » 3. In een andere 5 VWO-klas, met ongeveer dezelfde verhouding van aantallen jongens en meisjes, wordt door loting een leerling aan- gewezen. a. Hoe groot schat je de kans dat zijn (haar) schoenmaat kleiner dan 41 is? b. De leerling die door het lot is aangewezen is een meisje. Hoe groot schat je nu de kans op een schoenmaat kleiner dan 41?

-ocr page 6-



		2

Het door loting aanwijzen van een persoon is een toevalsexperiment. De schoenmaat van de 'toevallige' persoon is van te voren natuurlijk niet te voorspellen en zal bij herhaling van het experiment varieren. Vandaar dat de. Achoe.nrraa� (van een toevallige persoon) een tozvaLdvaJvuxbutu of AtochaAtcltChe. VOJhLabzSLz wordt genoemd. Het woord 'stochastisch' stamt uit het Grieks van o"roxa�oyou (= gissen, raden). De term stochastische variabele wordt in dit boek afgekort tot 6tochcu>t. Bij een experiment waarin op aselecte wijze een persoon wordt gekozen kun je nog allerlei andere stochasten bedenken: - het geslacht (van de 'toevallige' persoon); - de leeftijd; - de lichaamslengte; - het bruto jaarinkomen (van het afgelopen jaar); enz. » 4. Ook bij andere toevalsexperimenten kun je stochasten bedenken, bijv.: Experiment: je belt inlichtingen (008). Stochast: het aantal 'wachtenden-voor-u'. Bedenk een stochast bij elk van de volgende experimenten: a. Je koopt een gloeilamp van 60 W. b. Je speelt mee in de Lotto. c. Je bezoekt de Tweede Kamer (op een 'willekeurige' door-de- weeks e-dag). d. Je tosst drie keer met een kwartje.

*)
*)	Andere veel gebruikte termen zijn nog: toevalsgrootheid of stochas- tische grootheid.

-ocr page 7-

Hoewel de uitkomst van een stochast niet van te voren voorspelbaar is
maar van het toeval afhangt, kun je in veel gevallen wel iets zeggen
over de kans op een bepaalde uitkomst.

» 5. Van honderd 18-jarige Australische vrouwen is de
Het resultaat is verwerkt in een frequentie-
tabel en een histogram.

Neem aan dat de verdeling aardig representa-
tief is voor de totale populatie Australische
vrouwen van 18 jaar.

a. Er wordt aselect een 18-jarig Australische
gekozen uit de gehele bevolking.

Hoe groot is de kans dat zij langer is dan
165 cm?

Het resultaat van a) kun je kort zo opschrij-
ven:

P(L > 165) = .....

De stochast 'lichaamslengte' wordt hier afge-
kort met de hoofdletter L.

b. Bereken nu: P(161 < L i 170).

lengte gemeten.


	lengte	frequentie
	151	0
	152	0
	153	1
	154	1
	155	2
	156	3
	157	3
	158	5
	159	6
	160	4
	161	5
	162	7
	163	5
	164	5
	165	6
	166	7
	167	5
	168	4
	169	5
	170	5
	171	6
	172	4
	173	3
	174	2
	175	3
	176	1
	177	1
	178	1
	179	0
	180	0

i I * ' *

*» I -..,, I .j.

165

170

175

180

155

160

c. Het bovenstaande histogram is gebaseerd op een steekproef van
100 vrouwen.

Hoe zal het histogram eruit zien als de steekproef veel groter
is, bijv. 1000 vrouwen?

-ocr page 8-



			4

		Terug naar opgave >3. De stochast 'schoenmaat' korten we af met: S. In opgave » 3a heb je een schatting gemaakt voor P(S < 41) op basis van de gegevens in jouw klas. Gebruiken we voor de stochast 'geslacht' de aanduiding G (met 'waar- den' ? en <f) , dan kan de kans van opgave > 3b zd worden genoteerd: ?(S < 41\G - ?) Spreek uit: de kans op 'S < 41' onder de voorwaarde 'G = $'. > 6. Bereken (op basis van de gegevens in jouw klas) de volgende vooHwaandztijkz kcuum: a. P(S S 42 \|G = d- ) b. P(5 > 42\|G = ?) c. P(G - ? \S < 41) 5th Avenue ; Randy Walker maakt dagelijks een wan- deling in New York. Hij vertrekt van een punt in de 56th Street (P). Het eindpunt (Q) van zijn wandeling be- vindt zich in de 5th Avenue en de 59th Street. Op de plattegrond (zie pag. 5) zie je een mogelijke route. Die kun je note- ren als: SAASAS. » 7. Er zijn (�J , dus 20 routes van P naar Q zonder omwegen. Hoe kun je dat beredeneren?

-ocr page 9-

5th Avenue

Randy kiest elke dag een van de twintig

routes. Die keus laat hij bepalen door

het toeval.

Hij heeft een vaas met lootjes, genum-

merd van 1 t/m 6; hieruit kiest hij

aselect drie nummers (zonder terugleg-

ging). Heeft hij nu bijv. de nummers 1,

4 en 6 getrokken, dan kiest hij voor de

route die je hiernaast getekend ziet en S

waarbij de 1e, de 4e en de 6e 'etappe'

langs een Street voeren. P^>

In de route op het kaartje is hij vier keer afgeslagen.

Het aantal keren dat Randy afslaat (van richting wisselt) is een sto-

chast W.

» 8. a. Ga na dat W de waarden 1, 2, 3, 4, 5 en geen andere kan aanne-

men.

We zeggen: het boJizik van W = {1,2,3,4,5}.

b. Beredeneer (aan de hand van de plattegrond) dat de kans op
'W = 1' gelijk is aan j^.

Door bijvoorbeeld alle wegen van P naar Q op te schrijven, kun je de
complete kdftAveAddLLng van W vinden.


ROUTE		W
A A A S S	S	1
A A S A S	S	3
A A S S A	S	3
A A S S S	A	2
A S A A S	S	3
A S A S A	S	5
A S A S S	A	4
A S S A A	S	3
A S S A S	A	4
A S S S A	A	2


ROUTE			w
S S S A	A	A	1
S S A S	A	A	3
S S A A	S	A	3
S S A A	A	S	2
S A S S	A	A	3
S A S A	S	A	5
S A S A	A	S	4
S A A S	S	A	3
S A A S	A	S	4
S A A A	S	S	2

-ocr page 10-

Of anders gerangschikt:

S S S A A A

A A A S S S

S S A A A S

A A S S S A

S A A A S S

A S S S A A

S S A S A A

A A S A S S

S S A A S A

A A S S A S

S A S S A A

A S A A S S

S A A S S A

A S S A A S

S A S A A S

A S A S S A

S A A S A S

A S S A S A

S A S A S A

A S A S A S

De kansverdeling van W is dan:

P(W = 1)
P(W = 2)
P(W = 3)
P(W = 4)
P(W = 5)

0,1
0,2
0,4
0,2

0,1

Van zo'n kansverdeling wordt vaak een k.aYU>hAJs�0QKam gemaakt.

-ocr page 11-



			7

» 9. Je tosst drie keer met een kwartje. Het aantal keren dat 'kop' bovenkomt is een stochast X. Geef de kansverdeling van X (dus: P(X = 0), P(X =1), enz) en teken het bijbehorende kanshistogram. » 10. Dezelfde opdracht van het geval dat X het aantal keer kop bij vier keer tossen is. » 11. Neem in het verhaal van Randy Walker het eindpunt Q in de 5th Avenue en de 58th Street. Een route van Randy is nu bijv. ASSAS. De stochast W is weer het aantal keren dat Randy van richting wisselt. Geef de kansverdeling van W en teken het bijbehorend kanshistogram. » 12. Toevalsexperiment: het werpen met twee dobbelstenen.

	Toevalsvariabele: de som van de aantallen ogen (S).

	a. Verifieer dit kanshistogram. b. Bereken P(S^8). Weet je een 'snelle' manier? c. Wat is het grootste getal k waarvoor geldt dat P(S^k) minder

		dan 10% is?

-ocr page 12-



						8

	» 13. Bij de Lottotrekking worden zeven nummers uit de nummers 1 tot en met 41 getrokken. Het hoogste nummer dat getrokken wordt is een stochast M. a. Wat is het bereik van M? b. P(M = 41) = jf?. Hoe kun je dat beredeneren? » 14. Het berekenen van de complete kansverdeling van M (opgave » 13) is nogal bewerkelijk en lastig. Daarom vereenvoudigen we het probleem tot het trekken van drie nummers uit {1,2,3,4,5,6}. a. Hoeveel verschillende trekkingsresultaten zijn er mogelijk bij deze 'mini-Lotto'? (Evenals bij de echte Lotto is de volgorde waarin de nummers worden getrokken, onbelangrijk). b. Maak een lijst van alle mogelijke trekkingsresultaten en ver- meld de bijbehorende waarde van M.

			T/idikingA- sieALiVtactf.
					M


					3 4
				1,2,3 1,2,4	3 4
				1,2,3 1,2,4

		c. Geef de kansverdeling van M. \ Je hebt de kansverdeling van M (opgave » 14) gevonden door een compleet overzicht te maken van alle trekkingsresultaten. Het kan ook anders. Voorbeeld: P(M = 5). - Je trekt drie nummers uit zes. Het aantal mogelijkheden is (o). - Voor een resultaat met M = 5 moeten er, behalve het nummer 5, tuXML nummers getrokken worden uit {1,2,3,4}. Het aantal mogelijkheden is \₇)- (J) Conclusie: P(M = 5) = W = 4r � (!) ²⁰ > 15. Bereken op deze wijze ook de andere kansen van de verdeling van M.

is. __ .

-ocr page 13-



		» 16. Terug naar de echte Lotto. Hiernaast zie je een lijst van 50 trek kingsresultaten, verkregen in 1978. a. Maak op grond van deze steekproef een schatting van P(M ^ 38). b. Met de methode van opgave » 14 kun je P(M ^ 38) exact berekenen! Aanwijzing: P(M ^ 38) is de som van de kansen P(M = 38), P(M = 39), P(M - 40) en P(M = 41)! Bereken nu P(M ^ 38) en vergelijk het resultaat met wat je vond in a) » 17. Laat K het kleinste getrokken nummer in de Lotto zijn. a. Bereken P(K i 4). b. Bereken: P(M > 40\|K = 10). c. Kun je die kans goed schatten m.b.v. de tabel? Bij de trekking van de Lotto hebben we te maken met zeven stochasten: het laagste ge- trokken nummer, het op een na laagste num- mer, enz. Die stochasten geven we aan met: X₁,X₂...,X₇Merk op: X_x = K en X₂ = M. » 18. Bereken: P(X₄ = 21).

-ocr page 14-



			10

		» 19. Soms komt het voor dat twee (of meer) nummers van het Lotto-rij- tje zogenaamde buurgetallen zijn (zoals 10 en 11 in het eerste rijtje van 1978) . Is dat een bijzondere gebeurtenis? Hoe groot schat je (op basis van de resultaten van 1978) de kans hierop? TOEGIFT De kans op twee buurgetallen in de Lotto blijkt verrassend groot te zijn. Het exact berekenen van die kans is vrij lastig. We passen de volgende true toe. Stel je voor dat de zeven balletjes die uit het Lotto-apparaat rollen plotseling rood worden. Een trekkingsresultaat komt nu overeen met een ketting van 34 witte bal- letjes (die niet getrokken zijn) en 7 rode balletjes, waarbij elk balle- tje op de plaats ligt die met zijn nummer overeenkomt. Bij de eerste trekking van 1978 hoort deze ketting: ooooooooo««ooo#ooooo#o#oooooooooooooo##oo En bij de vierde trekking: » 20. Hoe kun je aan zo'n ketting zien wanneer er wel en wanneer er geen buurgetallen zijn? Het is eenvoudiger om eerst de kans te berekenen op een Lotto-resultaat waarbij geen buurgetallen optreden (de zogenaamde comptzamntaAAe. kans) . Er geldt: bij een resultaat zonder buurgetallen, ligt elk rood balletje of tussen twee witte balletjes, of aan de kop van de ketting, of aan de staart van de ketting.

-ocr page 15-



			11

		In totaal zijn er voor zo'n resultaat 35 'geschikte' plaatsen voor de rode balletjes. oooo.o.........oo t ft111 111 12 3 4 5 6 33 34 35 > 21. Hoeveel verschillende kettingen kun je maken waarbij geen twee rode balletjes naast elkaar liggen? »22. Laat zien dat de kans dat er geen buurgetallen zijn in de Lotto ongeveer gelijk is aan 30%. Conclusie: de kans op twee buurgetallen in de Lotto is ongeveer 70%; de resultaten van 1978 (34 van de 50) zijn daar goed mee in overeenstemming!

-ocr page 16-



		12

	SAMENVATTING HOOFDSTUK 1 Als bij een toevalsexperiment aan de uitkomsten bepaalde waarden (reele getallen) worden toegekend, spreekt men van een tO&vcutbVCLAMlbeZe. of A�ochcU>t. Laat X een stochast zijn met boAQAJH {x^ x₂, ..., x }. De complete lijst kansen: P(X = _Xl), P(X = x₂), ..., P(X = x_n) geeft de kjCLYiAvzKd&LLnQ van X. Zo'n kansverdeling kan m.b.v. een kan&kLbtogfiam worden geillustreerd.

Merk op: P(X₁= x ) + ... + P(X = x ) = 1.

-ocr page 17-



			13

		VERWA.CHTINGSWAARDE » 23. In het land Randomie heeft de minister van Financien de volgende eenvoudige verzekeringsvorm bedacht. Iedere twintigjarige Rando- mier betaalt een (kleine) premie; overlijdt de betrokkene binnen een jaar, dan krijgt een door hem (haar) aangewezen bloedverwant 1000 florijnen uitgekeerd. a. Uit sterftetafels blijkt dat de kans voor een twintigjarige om binnen een jaar te overlijden ongeveer gelijk is aan 0,0024. Stel nu dat er 100.000 twintigjarige Randomiers zijn. Welk be- drag moet elk aan premie betalen, wil de Staat er niet bij in- boeten? b. Hoe groot is dit bedrag als er 200.000 twintigjarigen in Ran- domie zijn? En als dit aantal n is? c. De minister, ook niet gek, stelt de premie vast op vijf florij- nen. De winst van de Staat hangt af van het aantal twintigjari- gen. Hoe? »24. De verplichte verzekering in Randomie stuit op weinig weerstand bij de bevolking. De regering besluit daarom de uitkeringsperiode met een jaar te verlengen; tegen een verhoging van de premie uiter- aard. De uitkering vanfl. 1.000,- bij overlijden tussen het 20e en 21e jaar blijft gehandhaafd, maar bij overlijden in het tweede jaar na het bereiken van de twintigjarige leeftijd wordt door de Staat fl. 500,� uitgekeerd. De kans dat een eenentwintigjarige Randomier binnen een jaar overlijdt is 0,0026. De premie wordt vastgesteld op fl. 7,50. Maakt de Staat nu gemiddeld meer of minder winst in verge- lijking tot de vorige situatie? (Opgave » 23).

-ocr page 18-

» 25. Een fruitautomaat ('one arm bandit').

De plaatjes die met een kans van resp. 5, $ en
f voor de vensters kunnen verschijnen zijn:
J > O en ^ �

De machine keert de speler / 0,25 uit bij «^f & ,
f 0,50 bij O C5 en / 1,00 bij ^ $ .
Hoe groot zal de inzet minstens moeten zijn wil
de exploitant geen verlies lijden?

Kijk nog even terug naar de opgaven » 23, » 24 en » 25.

In opgave » 23 is de totale uitkering die de Staat kan verwachten bij
een beginpopulatie van n personen, gelijk aan:

(n«0,0024)'1000

De grootte van de premie is gebaseerd op de gemiddelde. lxJjtke.hA.ng peJi
pdHAOon die de Staat kan verwachten en dat is:

■

(n-0,0024)'1000 .

2,40,

Dit resultaat vind je direct als je de kani, op UJXkeJvLng (= 0,0024) ver-
menigvuldigt met het be.d/LCLg van de. uJjtkzAAJig (= 1000).

In opgave > 24 is de gemiddelde uitkering per persoon die de Staat kan
verwachten:

(n-Q,0024)'1000 + (n»0,0026)'500

2,40 + 1,30 = 3,70

Of 'direct':

0,0024 � 1000 + 0,0026* 500 = 3,70
■ _ ■ 1 ._______I

OpmeAking: De kans op fl. 500,� is eigenlijk 0,9976 � 0,0026, maar dit is
bij benadering weer gelijk aan 0,0026.

-ocr page 19-



		15

Een gelukkig ta^ojitnltie in Rmo {U.S.) mora, bavin veA- wachting, op 4 AtptmbeA 1974 din bddsiag van 65093 dottah. dooK de 'onz cuun bandit' wthd vJjLgeki&id.

	» 26. Hoe kun je in het geval van de fruitautomaat, de gemiddelde uitke- ring per persoon die de exploitant kan verwachten, 'direct' uitre- kenen?

	»27. Bij een loterij is de hoofdprijs een sportfiets van / 800, �. De tweede prijs is een platenspeler ter waarde van / 300,� en ver- der worden er troostprijzen uitgeloot in de vorm van een boeken- bon (waarde / 20,�). De kans op de hoofdprijs is 0,001, op een tweede prijs 0,005 en op een troostprijs 0,01. Wat moet een lot kosten wil de organisator geen verlies lijden? In plaats van 'gemiddelde uitkering per persoon die kan worden verwacht' spreken we kortweg over vntiWachtingMOaaAdtl.

-ocr page 20-

We schrijven dit allemaal nog eens 'netjes' op.

De uitkering die wordt uitbetaald aan de verzekerden is een stochast U,

die drie waarden kan hebben: 1000, 500 en 0.

De kansverdeling van U is:

P(U = 1000) = 0,0024
P(U = 500) = 0,0026
P(U = 0) = 0,9950

De verwachtingswaarde van U is 3,70.

Korte notatie: E(U) = 3,70.

E is afkomstig van het Latijnse woord Expectatio (= verwachting).

Er geldt: E(U) = 1000«P(U = 1000) + 500«P(U = 500) + 0«P(U = 0)

In het voorbeeld van de fruitautomaat stellen we de uitkering (in cen-

ten) voor door F.

De kansverdeling voor F is:

P(F = 100) = &

P(F = 50) = |

P(F = 25) - I

P(F = 0) = ff

Voor de verwachtingswaarde van F geldt:

E(F) = 100«P(F = 100) + 50«P(F = 50) + 25 � P(F = 25) + 0«P(F = 0)
Ofwel: E(F) = 14,6.

In hut <ttge.me.<in:


De verwacht	ingswaarde	van een stochast	vind je a'		Ls	volgt:
- vermenigvuldig elke		waarde van de stochast		met	de	bijbehorende
kans;
- tel alle	zo verkregen produkten op.

Je kunt ook zeggen: de verwachtingswaarde is een geMlogzn gumLddeldo. van

de waarden die de stochast kan aannemen.

De 'weegfactoren' zijn de kansen op die waarden.

-ocr page 21-

» 28. De winst (in centen) die de exploitant van de fruitautoraaat per
spel boekt, is ook een stochast die we W noemen.
Stel dat de inzet per spel een kwartje is.
De kansverdeling van W is dan:

-25

2_2
3 6

P(W-k)

a. Bereken hieruit E(W).

b. Had je E(W) ook sneller kunnen vinden?

»29. M is het hoogste nummer dat getrokken wordt in de 'Mini-Lotto¹.
(Zie pag. 7 opgave » 14).

Laat zien dat het gemiddelde van de hoogste nummers dat je kunt
verwachten 5,25 is, ofwel: E(M) = 5,25.




	*.■::■;■>;■:;:;'■::■:■:;*
IWffflfo	*.■::■;■>;■:;:;'■::■:■:;*
3	4	5'	i	6	M

De verwachtingswaarde E(iV0 is als het ware het 'zwaartepunt' van de kans-
verdeling. Dit is letterlijk zo, als je de staafjes van het histogram
vervangt door bijv. torentjes van legoblokjes (resp. 1, 3, 6 en 10 hoog).
Zet je die torentjes op een latje en ondersteun je dat latje in het punt
5,25, dan is er evenwicht! (De naam 'gewogen gemiddelde' is dus
heel toepasselijk).

<&&<

<^Z.

-ocr page 22-



					18

	»30. Bij de fruitautomaat vind je het zwaartepunt bij 14,6,

		HA* ♦		i 36
		HA* ♦

			0 25 50 75 100

a. Hoe verandert de plaats van het zwaartepunt E(F) als de hoofd- prijs wordt verdubbeld? b. En als aJULu uitkeringen worden verdubbeld? c. Hoe hoog moet de hoofdprijs zijn in het geval de exploitant op de lange duur noch winst, noch verlies zal maken en de troost- prijzen van / 0,25 en / 0,50 gehandhaafd blijven? »31. a. Bekijk het kanshistogram van W. (zie pag. 6). Hoe groot is E(W)? (Kun je de vraag zonder rekenwerk beantwoor- den?). b. Dezelfde opdracht voor het kanshistogram dat je bij opgave » 11 (op pag. 7) hebt gevonden? »32. a. Toevalsexperiment: werpen met een dobbelsteen. X is het aantal ogen dat geworpen wordt. Bereken E(X). b. Toevalsexperiment: werpen met twee dobbelstenen. S is de som van de aantallen ogen. Bereken E(S). Kun je dit getal direct uit het kanshistogram van S aflezen? c. Vergelijk de resultaten van a) en b). Verbazingwekkend? Wat is de verwachtingswaarde van de ogensom bij het werpen met drie dobbelstenen?

-ocr page 23-

> 33. Van 100 gezinnen wordt de samenstelling (aantal jongens en aantal
meisjes) per gezin op een kaart vermeld.

Hieronder zie je een overzicht van het totaal in matrixvorm.
In de tabel lees je bijv. af dat er onder die 100 gezinnen negen
zijn met twee jongens en een meisje en dat er .in totaal 33 gezin-
nen zijn met een meisje.

aantal mejj>jte


	0	1	1	3	4
0	10	9	4	3	2	28
1	7	10	10	7	1	35
2	7	9	7	5	0	28
3	3	2	1	1	0	7
4	1	1	0	0	0	2
	28	31	11	16	3	100

Er wordt aselect een kaart uit de 100 getrokken. Bij dit toevals-

experiment definieren we drie stochasten:

M = het aantal meisjes

J = het aantal jongens

K = het aantal kinderen de kaart.

Bereken achtereenvolgens: E(M), E(J) en E(K).

BLOEDPROEF

Een toepassing van de verwachtingswaarde in de praktijk is een techniek

die bij keuringen wordt toegepast.

Een onderdeel van de militaire keuring in de V.S, bestaat uit een bloed-

onderzoek op een beruchte geslachtsziekte (syfilis).

Bij het laboratoriumonderzoek kan een belangrijke besparing plaatsvinden

door de bloedmonsters van een aantal mannen te vermengen en het totaal te

onderzoeken. Als de reactie van dit totaal "negatief" is, is elk van de

personen die een bijdrage heeft geleverd "schoon".

-ocr page 24-



			20

		Is de reactie daarentegen 'positief, dan zal van elk opnieuw een bloed- monster genomen moeten worden en die monsters zullen afzonderlijk worden onderzocht, om na te gaan wie de 'schuldige(n)' is (zijn). »34. Veronderstel dat er besloten wordt om in groepen van tien perso- nen te testen. a. Veronderstel ook dat er 10.000 mannen gekeurd worden en dat er in 400 van de 1000 groepen een positieve reactie gevonden wordt. Hoeveel bloedproeven worden er in totaal genomen? Wat is de procentuele besparing t.a.v. een systeem waarbij al- leen individueel getest wordt? b. Dezelfde vraag, maar nu wordt er in groepen van vier personen getest, met als resultaat dat in 500 van de 2500 groepen po- sitief wordt gereageerd. »35. De vorige opgave leert je dat de methode van samenvoeging van bloedmonsters een aanzienlijke besparing kan opleveren, al hangt dat natuurlijk wel af van het percentage lijders aan syfilis on- der de mannelijke bevolking. a. Stel je voor dat dit percentage heel klein is, bijv. \%. Zou je nu kleine of juist grote groepen aan een gezamenlijke bloedproef onderwerpen? b. Volgens de Amerikaanse keuringsadministratie bedroeg het per- centage lijders aan syfilis in de jaren '40/' 41 ongeveer 5%. Ga na dat de in opgave » 34 a) en b) genoemde aantallen van positieve groepen (400 van de 1000, resp. 500 van de 2500) in overeenstemming zijn met wat je zou kunnen verwachten (in die jaren). Het probleem waarvoor de keuringsadministratie zich in 1940 gesteld zag is: hoovdoJL bloe.dmoni>t&ii> moztm 2A v&nmwgd tMosidw om de maximoJLo, ptio- czntunle. bupasting te. veAkAljgtn?

-ocr page 25-

»36. Stel dat er gekozen is voor acht bloedmonsters in een groep.
Het aantal bloedproeven per groep van 8 is dan: of 1, of 9.
Anders gezegd:

het aantal bloedproeven (per groep) is een stochast X met bereik
{1,9}.

a. Controleer met je rekenmachientje: P(X = 1) = 0,6634 en
P(X = 9) = 0,3366.

b. Hoe groot is E(X) dus?

c. Hoe groot is de verwachte beApcVvlng pQA. peAAOon (in %) ?

Hieronder is een strucuurdiagram afgedrukt voor het berekenen van de
verwachte procentuele besparing per persoon voor groepen van 1, 2, ...,
10 mannen.

^10 KEER (n van 1 tot 10)


p	+■	0,95ⁿ
q	+-	1-p
m	X-	p* 1 + q*	(n+1)
b	■f-	(1-m/n) *	100
UITVOER n,b

STOP

» 37. a. Wat stellen de variabelen n, p, q, m, b in het structuurdia-
gram voor?

b. Vertaal dit structuurdiagram in een programma en laat het ver-
werken door de computer.

Wat is het optimale aantal bloedmonsters per groep?

c. Los het probleem ook op in het geval het aantal lijders aan
syfilis onder de mannelijke bevoIking verdubbeld is.

-ocr page 26-

SAMENVATTING HOOFDSTUK 2

Laat X een stochast zijn bij een of ander toevalsexperiment.

Het bereik van X is {x_lt x₂, ..., x }; x , x₂, ..., x zijn reele getallen

De kansverdeling van X is gegeven door:


P(X	= x_x)	⁼ Pi
P(X	= x₂)	" P2
P(X	�	⁼ ^Pn

De verwachtingswaarde E(X) van X is het getal:

Pi^xi ⁺ ^p2^x2⁺----^+Pn^Xn ⁽¹⁾

ofwel

E(X) = � p.x.

(2)

Merk op dat je E(X) op kan vatten als het produkt van een "kansen-matrix"
en een "waarden-matrix":

/ x.

E(X) = (p_x, p₂, .... p_n)

(3)

OpteZzlg mi> chap �.

In de opgaven »32 en » 33 heb je de opteleigenschap ontdekt,

Als X en V stochasten zijn en 5 = X + V , dan: E(S) = E(X) + E(V)

-ocr page 27-

BINOMIALE KANSVERDELING

In dit hoofstuk kijken we naar toevalsexperimenten, waarbij slechts
twee uitkomsten tellen, zoals;

- bij het tossen

- bij een geboorte

- bij een vierkeuzevraag

- bij een opiniepeiling

- bij het rijexamen

- bij een warenkeuring

- bij een strafschop

kop of munt
jongen of meisje
goed of fout
voor of tegen
zakken of slagen
goed- of afgekeurd
benut of gemist

Een dergelijk experiment wordt in de praktijk vaak vele malen uitge-
voerd of herhaald:

- tien keer werpen met een geldstuk;

- op zekere dag worden in Nederland 500 kinderen geboren;

- twintig vierkeuze vragen op het examen;

- aan 1000 Nederlanders wordt gevraagd of ze voor of tegen de plaatsing
van kernwapens zijn;

- tien kandidaten voor het rijexamen vandaag;

- vijftig exemplaren van een zeker produkt worden op hun deugdelijkheid
gecontroleerd;

- vijf strafschoppen voor elk team, nadat de bekerstrijd in een gelijkspe'
is geeindigd.

Voor zulke experimenten kan een vaas - met - witte -en- zwarte - ballen model
staan.

-ocr page 28-

De samenstelling van zo'n vaas (hoeveel witte, hoeveel zwarte ballen)
hangt af van de kansen die je elk van de twee uitkomsten wilt toeken-
nen.

»38. Als bijvoorbeeld uit statische gegevens blijkt dat 48,5% van alle
geboorten een meisje oplevert, dan kun je de vaas met 485 witte
en 515 zwarte balletjes vullen. De 500 geboorten die op zekere
dag in Nederland plaatsvinden, kun je dan simuleren door het trek-
ken van 500 balletjes uit de vaas.
Zou je die balletjes mzt of zondoA teruglegging trekken? Waarom?

»39. Je beantwoordt twintig vierkeuzevragen puur op de gok.

Beschrijf dit toevalsexperiment in termen van het vaasmodel.

Een vaas bevat zes witte en vier zwarte balletjes,
We trekken een aantal malen - zeg vier - een bal-
letje uit de vaas (met teruglegging).
Het aantal keren dat we 'wit' trekken is een sto-
chast die we X noemen.

Om inzicht te krijgen in de kansverdeling van X gaan we dit experiment
met behulp van de computer simuleren.

10 KEER

Hg~~.^gAWIIMAMM'.'J.~~'.'.'.'.'.'.¹.¹.'.¹.¹.¹.¹.¹

UITVOER 8(1), 8(2), 8(3), 8(4)

STOP

-ocr page 29-

»40. a. Het trekken van een wit (= 1) of een zwart balletje (=0) wordt
met toevalsgetallen gesimuleerd.

Leg uit hoe dat (volgens het structuurdiagram) precies in
zijn werk gaat.

b. Vertaal het structuurdiagram in een programma en laat de com-
puter de tien experimenten simuleren.

c. Maak een frequentie-tabel van de resultaten:


aantal witte ballen (X)	0	1	2	3	4
frequentie F(X)

d. Stel uit tien verschillende frequentie-tabellen een nieuwe
frequentie-tabel samen voor honderd experimenten.
Verwerk het resultaat in een histogram.

Je kunt een freqentie-tabel voor een groot aantal experimenten (bv. 100)
ook meteen door de computer laten maken.


	f-	5 KEER (X van 0 tot 4)
		F(X) +■ 0

	r	� 100 KEER
		X 4- o
		jjjj
		X «- 8(1) +8(2) +8(3) + 8(4)
		F(X) +■ F(X) + 1


r		� 5 KEER (X van 0 tot 4)
		UITVOER X, F(X)


STOP

-ocr page 30-



		26

	»41. a. De afspraak '1 = wit, 0 = zwart' was niet zo maar een afspraak, doch een listige keus. Hoe blijkt dat uit het structuurdiagram van biz. 25? b. Leg uit hoe (volgens dit structuurdiagram de frequenties F(0), ....., F(4) berekend worden. c. Laat de computer dit programma verwerken. (Je hoeft het pro- gramma niet zelf te maken) en vergelijk het resultaat met wat je vond in 40 d). Je hebt in het voorgaande gezien hoe je de kansverdeling van 'het aan- tal witte balletjes' (X) kunt schatten op grond van een simulatie. De vraag is nu hoe je die kansen QXOLdt kunt bepalen. Bekijk het trekkingsresultaat WWZW (ofwel 1101). De kans op dit resultaat is: 0,6 � 0,6 � 0,4 � 0,6 = 0,6³� 0,4. W 0,6 0,6 0,6 0,6

Er zijn vier verschillende reeksen met drie witte en een zwarte bal moge- lijk. Behalve WWZW ook nog: ZWWW, WZWW en WWWZ. De totale kans op drie witte en een zwarte bal is dan: 40,6^3,0,4. Ofwel: P(X = 3) = 40,0864 = 0,3456. »42. a. Bereken nu de (complete) kansverdeling van X. b. Welke controle kun je uitvoeren op je antwoorden? c. Vergelijk het resultaat van de berekening met het resultaat van de simulatie. Hoe kun je eventuele afwijkingen verklaren? » 43. Bereken de kansverdeling van X (= aantal witte balletjes) als je drie (i.p.v. vier keer) een balletje uit de vaas trekt. Teken het bijpassende kanshistogram.

-ocr page 31-

Een hulpmiddel bij het berekenen van zulke
kansen is het 'stratenplan', ofwel de dfUJL-
hotk van Pcuocut.

Naast elk van de aangestipte kruispunten in
het stratenplan staat het aantal wegen (van-
uit 0) naar dat punt vermeld.


1	r �� s
V .H			IO
■»,				.»°
*. > .M**					■
	,,' i,¹ l,¹ it ,i
1
1	\ V \ X	s
-1,	s \ \ N	X X	10
�1,	x \ \ \ X	I 11		IO
*,. V \> VI V**					5
	* \ x * ^x. * x \ * \ \l \1 V \l \,

Het trekken van een aantal balletjes uit een

vaas komt overeen met een 'toevalswandeling'

in het stratenplan.

De kans op een stap in horizontale richting

(W) is in het voorgaande voorbeeld gelijk aan

0,6; de kans op een verticale stap (Z) is

daar 0,4.

De diagonalen verbinden de punten die be-

reikt worden in evenveel stappen.

»44. Je maakt een toevalswandeling (vanuit het punt 0) van vijf stappen
(in de richting W of Z).

De kans op een stap richting W is steeds �, die op een stap Z is {.
Hoe groot is de kans dat je in het punt (3,2) aankomt?

»45. Stel de kans op de geboorte van een meisje op: pO«0,485) en die van
van een jongen op: p(«*0,515).
X = het aantal meisjes in een gezin van vijf kinderen.

a. Druk de kansen P(X = 0), P(X=1).....P(X = 5) uit in p en q.

b. Met wat algebra kun je laten zien dat de som van al die kansen
gelijk is aan 1. Hoe?

» 46. In Den Haag worden op zekere dag vijftien kinderen geboren.
Hoe groot is de kans dat daar tien meisjes bij zijn?
(Uitgedrukt in p en q, zie opgave » 45).

-ocr page 32-



		28

	Een experiment waarvoor "het trekken-met-teruglegging van een zeker aantal balletjes uit een vaas die witte en zwarte balletjes bevat" model staat, noemen we een b^inomlatxZ ZXpQAAjnmX.. Het trekken van een witte (resp. zwarte bal) noemen we een -6U.CC&6 resp. mAJ>Zukking. Elke serie van n trekkingsresultaten kan worden voorgesteld door een rij bestaande uit de letters W(it) en Z(wart). Bijv. voor n = 10: WWZWZZZWZZ. Vaak gebruiken we het cijfer 1 om een succes aan te duiden en 0 voor een mislukking, bovenstaand rijtje wordt dan: 1101000100. Als p de kans op succes bij een trekking is en q (= 1 - p) de kans op mislukking, is de kans op de serie 1101000100 : ppqpqqqpqq = p⁴q⁶. Omdat er (J verschillende series te maken zijn met 4 "enen" en 6 "nullen" is de kans op 4 successen en 6 mislukkingen: ( , J "p^q⁶ . Dus als X het aantal successen bij 10 trekkingen is, geldt: P(X = 4) = (¹₄°)'PV-

»47. a. Druk de kans op 3-successen-in-een-reeks-van-10 uit in p en q. Ga voor jezelf na of je kunt uitleggen hoe je aan die formule komt. b. Dezelfde opdracht voor de kans op 5-successen-in-een-reeks- van-8. »48. In een vaas zitten 35 witte en 65 zwarte balletjes. Je trekt n keer, met teruglegging, een balletje uit de vaas. Druk de kans op k witte en n - k zwarte balletjes uit in k en n. (0 < k < n).

-ocr page 33-

In het algemeen:

Laat X het aantal successen zijn bij een binomiaal experiment met n beur-

ten, waarbij p de kans op succes en q de kans op mislukking per beurt is.

De kansverdeling van X is:

P(X = 0)
P(X= 1)
P(X = 2)

= q

2 n-2

p q

P(X = n) = p

P(X = k) = (k).p^k.q^n_k (0 < k < n)

Kortom:

Opmerking: met behulp van het binomium van Newton kun je controleren
dat de som van alle kansen gelijk is aan 1.

Immers: P(X = 0) + P(X= 1) + P(X = 2) + ... + P(X = n) =

n V) n-i _L (*) n-2 n

q ⁺\i/pq ⁺ »2/pq + ... + p

, _Nn .n
= (q + p) =1 =1.

» 49. Bedenk een voorbeeld van een binomiaal experiment met p ■ ■», q = |.
Hoe groot is de kans op drie successen als dit experiment zes keer
wordt uitgevoerd?

»50. Asterix werpt tien keer met een Romeinse dobbelsteen. Hij heeft al-

leen belang bij de uitkomst VI (vermoedelijk speelde hij het spel-

letje "Homines nolite erasci"

a. Hoe groot is de kans dat hij geen VI werpt?

b. Hoe groot is de kans dat hij in drie beurten van de tien een VI
werpt?

Latijn: "Mens erger je niet".

-ocr page 34-



			30

	»51. Een strafschop wordt gemiddeld in 75% van de gevallen benut. De bekerwedstrijd Ajax-Feyenoord is in een gelijk spel geeindigd. Na afloop neemt elk van beide ploegen vijf strafschoppen; Feyenoord benut er drie en mist er twee. a. Hoe groot is de kans dat Ajax wint (volgens het binomiale kans- model)? b. Welke bezwaren kun je bedenken tegen de toepassing van het bino-

		miale model in deze situatie?

HBP Een gezin met acht dochters. Hoe zeldzaam is dat? » 53. Een vliegtuig stort neer als meer dan de helft van de motoren uit- valt. Elke motor heeft (een kleine) kans p om tijdens een vlucht onklaar te raken. De motoren werken onafhankelijk van elkaar. Bereken de kans (uitgedrukt in p) dat een viermotorig vliegtuig neerstort tengevolge van motorpech.

-ocr page 35-

Zes vierkeuzevragen.

De kans dat je er drie goed beantwoordt als je helemaal niets van het

onderwerp afweet is gelijk aan:

(3J«0,25³-0,75³ = 20 � 0,421875 � 0,015625 « 0,13

De kansen op 0, 1, 2, ..., 6 successen bij een binomiaal experiment met
n = 6 en p = 0,25 lees je af in de volgende tabel.

Binomiale stochast X met
n = 6 p = 0,25

0
1

2
3
4
5
6

» 54. a. Hoeveel % is de kans dat je ten hoogste twee antwoorden goed
hebt als je zes vierkeuze vragen op de gok beantwoordt?

b. En op ten minste drie antwoorden goed?

In de praktijk wordt vaak met zgn. aumuLcutLzva tabel gewerkt,


Binomiale	stochast X met
n = 6	p = 0,25
k		P(X < k)
0		0,1780
1		0,5539
2		0,8306 «
� �		� �

-ocr page 36-

»55. Maak de volledige cumulatieve tabel voor k = 0 tot en met 6.
Hoe kun je uit de cumulatieve tabel P(X = 3) terugvinden?

»56. Het kanshistogram voor de binomiale verdeling met n = 6, p = 0,25
ziet er zd uit:

0,4

BB~~BSB8B8BBBB~~

0,3J

0,2'
0,1-

,'.'.'.'■'.'.'.'.'■'.'■'■'.

0 1 2

a. Waar vind je de kansen P(X S 2) en P(X ^ 3) in de figuur?

b. Hoe kun je P(X > 4) met behulp van de cumulatieve tabel bepalen?

c. Enig idee waarom een cumulatieve tabel handiger is dan een niet-
cumulatieve?


	Binomiale stochast X met
	n = 10	p = 0,25
	k	P(X < k)
	0	0,0563
	¹	0,2440
	2	0,5256
	3	0,7759
	4	0,9219
	5	0,9803
	6	0,9965
	7	0,9996
	8	1,000
	9	1,000
	10	1,000

»57. Hiernaast zie je de (cumulatieve)
tabel voor n = 10, p =0,25.

a. In de tabel lees je af:

P(X < 8) = P(X < 9) = P(X < 10) = 1.
Hoe kan dat?

b. Hoeveel %₀ kans heb je om bij een
toets van tien vierkeuzevragen
meer dan zes antwoorden goed te
gokken (als de antwoorden je geen
enkel houvast geven)?

c. Bereken: P(2 < X ^ 6).

-ocr page 37-

S'O » d

8
I

9
5
V
C

******

***************

**************************

*******************************

**************************

***************

lllltl

01
6
A
I

9
<\

t
i

i
o

llllllltlllitttlttlltllttlltHllllHItllMX

************************.*********.* ******* ********

*************************

t* * ****

p'O = d

*****

**************
*************************

********************************

************************** *

***************

*****

b'O * d

4
8
I

r
Z

I
o

**************
*********************** ***********

it****1*******************************

******************* ******

***********

***

4
8

i
9
5
V
�
J
I
0

�'0 = d

**** *

*************

*************************

**********************************

******************************

***************

****

S'O = d

4
B
t
9

5
V
f
c

I
0

***************

******************************

**********************************

****** *******************

Z'O = d

**********

ti «

********

**********************

***********************************

*******************************

***********

i'O = d

4
B
i!
<J

E
2

I
0

S
►

I
0

i'O = d

♦ *******»*»*■»**
***************************

tt*.**.*t:****** *********** ********

*************************

***.*****.***.l

1«
* I *

� itttit

*************************
*************************************************

********************************************

9'0 ■ d

^u3JB-[>iaaA 3Bp af un>i aon
^,pX33qx3S3Tds S2bb>h3 uCtz uaSutxapaaA a^x^aM "q

�ug 'do jbb^s a:js§uBx ap ureaSoriSTq ma ut. ^aoz *b

*6'0 � ' �' -Z'O U'O = d to oi = u
rjaiu SuTxap^aA axBTinouTq ap jooa ₁uaraurej3o:jsT.qsuB>i:ia:induioo₁ uaSaN '8�«

-ocr page 38-

Achterin dit boek (pag. 63 t/m 68) vind je cumulatieve binomiale tabel-
len voor n = 2 t/m 20, n = 50, n = 100.
De gekozen p-waarden zijn: 0,05; 0,10; 0,15; ...; 0,50 en ook |; |.

»59. Waarom is het niet nodig om tabellen met p-waarden boven 0,5 op
te nemen?

> 60. X is een binomiaal verdeelde stochast.

Bepaal de volgende kansen m.b.v. de tabel:


a.	P(X < 4)		voor
b.	P(X < 10)		voor
c.	P(X > 8)		voor
d.	P(X S 15)		voor
e.	P(X = 9)		voor
f.	P(35 < X <	45)	voor


8	; p	= 0,35
19	P	= 0,5
15 ;	P	- 0,2
50 ;	P	. l ^- 3
50 ;	P	1
100;	P	2 5

n =

Als je werkt met p-waarden groter van �, is het handig om van 'successen'
over te stappen op 'mislukkingen'.


	Vootibdold:
	Gegeven:	n = 12; p = 0,75
	Gevraagd:	P(X i 5)
	Oplossing:	X is het aantal successen.
		y is het aantal mislukkingen, dus V = 12 - X.
		y is binomiaal verdeeld met n = 12; p = 0,25.
		P(X < 5) = P(y > 7) = 1 - P(y g 6) =
		1 - 0,9857 = 0,0143.

>61. Bereken m.b.v. de tabel:

a. P(X < 10) voor n

b. P(X = 44) voor n

c. P(X > 6) voor n


20;	P	=	o,	6
50;	P	=	0,	9
14;	P	=	2 3

-ocr page 39-



			35

		»62. De Ananna-f abriek organiseert een prijsvraag. De fabriek laat bon- nen drukken, waarvan de helft het opschrift A en de andere helft het opschriftNheeft. De bonnen worden volkomen willekeurig bij de pakken wasmiddel ingesloten; per pakje een bon. Om mee te dingen naar de hoofdprijs, een videocassette, moet men deze bonnen opplak- ken, zodat de naam 'ANANNA' ontstaat. Iemand koopt tien pakken wasmiddel van het merk Ananna. Hoe groot is de kans dat hij mee kan dingen naar de hoofdprijs? » 63. Voor het rij-examen slaagt gemiddeld een van de zes kandidaten in een keer. Op woensdagmiddag zijn er 17 kandidaten die voor de eerste keer rij-examen afleggen. Hoe groot is de kans dat er meer dan drie slagen? » 64. Van een grote partij diepvriesboerekool bevat 1% het vergif ni- triet. Een supermarkt koopt 100 pakken in. Hoe groot is de kans dat er niet meer dan vijf pakken giftig zijn? » 65. a. Een beginnend schutter treft gemiddeld een op de vijf keer de roos. Hij schiet vijftig keer achtereen. Hoe groot is de kans dat hij meer dan tienmaal raak schiet? b. Na jaren training heeft hij zijn moyenne zo opgevoerd dat hij vier van de vijf keer raak schiet. Hoe groot is de kans dat hij bij vijftig keer schieten tien keer mist? En hoe groot is de kans dat hij meer dan veertig keer de roos treft?

-ocr page 40-



			36

		» 66. Een bepaalde hartoperatie heeft een slaagkans van 60%. Hoe groot is de kans dat van twaalf patienten, die deze operatie moeten ondergaan hoogstens vier overlijden? En hoe groot is de kans dat er minstens acht de operatie overle- ven? » 67. Een arts beweert dat hij, aan de hand van harttonen, met 80% ze- kerheid het geslacht van een kind drie maanden voor de geboorte kan voorspellen. Hij neemt de proef op de som in vijftien geval- len. a. Hoe groot is de kans dat hij in twaalf of meer gevallen een goede voorspelling doet, terwijl zijn bewering onwaar is (dus de kans op een goede voorspelling iedere keer \| is)? b. Hoe groot is de kans dat hij in minder dan twaalf gevallen een goede voorspelling doet, terwijl zijn bewering wel waar is? »68. Een klinisch pedagoog vermoedt dat er onder kinderen met opvoe- dingsmoeilijkheden een relatief groot aantal is met een extreem hoog of extreem laag IQ. Bekend is dat een derde van odULt kinderen een IQ lager dan 85 of hoger dan 115 heeft. De pedagoog constateert dat bij een twaalftal aselect gekozen kin- deren met gedragsmoeilijkheden er acht zijn met een afwijkend IQ. Hij vraagt zich af hoe groot de kans op zo'n uitkomst is, als zijn vermoeden geheel onjuist zou zijn, dus als moeilijk opvoedbare kinderen gemiddeld geen duidelijk afwijkend IQ hebben. Hoe groot is de kans op acht of meer kinderen met een afwijkend IQ in zijn steekproef als zijn vermoeden inderdaad onjuist zou zijn? »69. Asterix gooit een aantal keren (zeg: n) met een Romeins muntstuk. Hoe groot is de kans dat hij in meer dan 40% en minder dan 60% van het aantal worpen 'kop' gooit, als: a. n = 10 b. n = 20 c. n = 50 d. n = 100? Wat valt op? Had je dat kunnen voorspellen?

-ocr page 41-

BINAIRE CODES

Voto van de. fiingm van SatuAntu>

» 70. Foto's gemaakt vanuit een ruimteschip worden naar de aarde doorge-
seind. Daarbij wordt gebruik gemaakt van zgn. 'binaire codes'.
Zo'n code bestaat uit twee soorten signalen, die we aanduiden met
0 en 1 .

Een 'boodschap' is bijv. 11010111001000011011.

Door storingen ('ruis') kunnen signalen worden vervormd en dienten-
gevolge verkeerd worden geinterpreteerd.

Bovenstaande boodschap komt bijv. zo over: 11011110001000111001.
Veronderstel dat er 80% kans is dat een signaal goed wordt geinter-
preteerd. Deze situatie geven we weer met een graaf:

0,8

ontvangm
signaal

uuZgaand
i>i.gnaal

»71. Hoe groot is de kans dat de boodschap '111' wordt ontvangen als
110? En als 011?

-ocr page 42-



						38

	»72. Uitgezonden: 11010111001000011011 Ontvangen: 11011110001000111001 Hoeveel fouten? Hoe groot is de kans op een ontvangst met evenveel fouten? Om de kans op foutieve ontvangst van de signalen te verkleinen past men een list toe. De signalen 1 resp. 0 worden vervangen door reeksen van drie 'enen' resp. 'nullen'.

				111
					= 1 = 0
		Dus

			000


De boodschap 10110 wordt dan uitgezonden als: 111 000 111 111 000. De ontvangst van deze boodschap is bijv.: 110 001 111 101 000 en bevat dus drie fouten. De afspraak is nu dat voor elk drietal 'de meerderheid beslist', d.w.z. 110 wordt geinterpreteerd als 1, 001 als 0 en 101 weer als 1. De boodschap komt in dit geval toch goed over! » 73. a. Hoe groot is bij deze strategie de kans op een foute interpre- tatie van een signaal (= reeks-van-drie)? b. Maak een graaf als op biz. 37. » 74. De betrouwbaarheid kan verder worden opgevoerd door langere ver- vangende signaalreeksen uit te zenden, van 5, 7, 9, enz. symbolen. Steeds met de afspraak: als meer dan de helft van de ontvangen reeks uit nullen bestaat, dan wordt het signaal als 0 opgevat, an- ders als 1. Bij welke reeks-lengte is de kans op een foutieve interpretatie van een signaal kleiner dan 0,005? » 75. Hoe langer de vervangende reeks, hoe betrouwbaarder het resultaat. Echter ook: hoe duurder de boodschap. Stel je voor dat elk uitgezonden symbool / 1,� en elke foute inter- pretatie / 100,� kost, welke lengte van de reeks is dan, economisch gezien, optimaal?

-ocr page 43-

SAMENVATTING HOOFDSTUK 3

Een experiment met twee uitkomsten: "succes" (=1) en "mislukking" (=0)
wordt n keer uitgevoerd; de afzonderlijke experimenten zijn ("deel-experi-
menten") zijn onafhankelijk van elkaar.
Het totale experiment noem je een btnom-LcuoUL ZxpQAAm&wt.

Als p de kans op succes is, q de kans op mislukking (q= 1 - p) en X het aan-
tal successen, geldt:


P(X	-k) =	in	k P	n-k � q
(k =	0, 1,	*2, .*		, n)

De stochast X is bi.v\.omi.aat veAdzeZd; p en n noem je de pa/uxmQJt&ta, van de
stochast.

In de zgn. binomiale tabel worden CU.muZcutLe.V2. kansen gegeven voor diverse
waarden van p en n:

P(X S k) - P(X - 1) + ... + P(X « k)

Uit de tabel kun je voor p S 0,5 de kans P(X = k) en P(X^k) afleiden door:

P(X = k) =P(XS k) - P(X< k- 1)
P(X>k) = 1 - P(X^k- 1)

In het geval p>0,5 is het handig om de "hulpstochast" Y (= het aantal
mislukkingen) in te voeren.

V is een binomiale stochast met parameters q(= 1 - p) en n.
Er geldt: P(XSk) = P(^n-k) = 1 - P(^n-k- 1)
P(X>k) = P(y<n-k).

-ocr page 44-



				40

		St&oJzpnozl blj keuAing van Ji-balzzn. Hyp&h.g<i.om2JyuJ>c,k ofi bi.namijaai.1

-ocr page 45-



		41

	4

DE HYPERGEOMETRISCHE VERDELING » 76. Een partij van vijfentwintig boeken bevat vijf exemplaren met een aantal bianco pagina's ("misdrukken"). De boekhandelaar die de partij besteld heeft, neemt een steekproef van vijf exemplaren. a. Hoe groot is de kans dat hier geen misdrukken bij zijn? b. Waarom kun je in dit geval geen gebruik maken van de binomiale verdeling? In hoofdstuk 3 heb je gezien dat voor een binomiaal experiment "een trek- king met tzhsigtiggivvg uit een vaas met zwarte en witte balletjes" model kan staan. In » 1 is de boekhandelaar vermoedelijk niet zo dom om een exemplaar dat hij gecontroleerd heeft opnieuw voor controle in aanmerking te laten ko- men. Voor zijn experiment kan "een trekking zoncLvi tzhiigtiggXyig uit een vaas met vijf witte en twintig zwarte balletjes" model staan. Laat X het aantal misdrukken zijn dat onze boekhandelaar in zijn steek- proef van vijf exemplaren aantreft. P(X = 2) bijvoorbeeld, kun je als volgt berekenen: - Uit de vijf exemplaren-met-misdruk, (de witte balletjes) worden er twee gepakt; dit kan op \2/ manieren. - Uit de twintig goede exemplaren (de zwarte balletjes) worden er drie gepakt; het aantal manieren waarop dit kan is \ 3/;

-ocr page 46-

(⁵W²⁰)

- Gecombmeerd levert dit op: \2/ \ 3/ manieren om twee misexemplaren en
drie goede exemplaren te pakken;

- Het totaal aantal steekproeven van vijf boeken uit de partii van viifen-

� � � I²⁵)
twintig is I 5 /.

i � r.^v on 12/ I 3 / 10*1140 _ -_4/,

Conclusie: P(X = 2) = �

(f)

--- =

53130

- = 0,2146

» 77. Bereken op deze wijze de complete kansverdeling van X. Ga na of je
uitkomsten in overeenstemming zijn met onderstaand kanshistogram.


0,5 �
0,4.
0,3 �
	�:■:'■■:■■:■■:■■:■■:■■:� �:��:■�:■■:�■:■■:■■:■�:■■
0,2	�:■:'■■:■■:■■:■■:■■:■■:� �:��:■�:■■:�■:■■:■■:■�:■■	'
0,1	'-'■.'■"■."■"■."■'■."■'■."■''.'■'■.■■■■; ■ ■		*�---1----,-----**

3 4 5 X

0 1

» 78. Stel je voor dat de boekhandelaar wel een steekproef (van vijf) mit
tQJux.gtzgging had genomen.

Teken het kanshistogram van X (= aantal misdrukken) voor dat geval.
Vergelijk dit met het histogram hierboven.

In opgave » 77 heb je de kansverdeling van het aantal witte ba atjes
(successen) een steekproef zonder teruglegging van vijf uit vijfentwintig
berekend. Die kansverdeling wordt een hyptLhjg&omoXJvl&chz VQAdoJLLng genoemd.
Bij een steekproef m&t teruglegging van vijf uit vijfentwintig, vind je
zoals te verwachten, een wat andere kansverdeling, de b-tnom-ULte. veAd&Ling.

-ocr page 47-

Bij een hypergeometrische verdeling zijn de resultaten bij de trekking van
het eerste balletje, het tweede balletje, enz. n-i&t ona^hankzlijk, bij een
binomiale verdeling zijn de resultaten per getrokken balletje dat \tizL\
Intuitief kun je begrijpen dat bij een grote populatie en een kleine steek-
proef de verschillen tussen de hypergeometrische en de binomiale verdeling
gering zullen zijn. De resultaten per getrokken balletje zijn dan als
het ware 'bijna onafhankelijk'.

Om dat te illustreren zie je hieronder drie kanstabellen:

I hypergeometrische verdeling in het geval de boekhandelaar een steek-
proef van vijf boeken uit honderd (met 20% misdrukken) neemt;

II hypergeometrische verdeling voor een steekproef van vijf uit duizend
(met 20% misdrukken);

III binomiale verdeling met n = 5 en p = 0,2

i ii in


k	P(X-k)	P(X-k)	P(X = k)
0	0,3193	0,3268	0,3277
1	0,4201	0,4106	0,4096
2	0,2073	0,2051	0,2048
3	0,0478	0,0509	0,0512
4	0,0051	0,0063	0,0064
5	0,0002	0,0003	0,0003

»79. a. Controleer P(X =2) (door berekening of met de tabellen achter
in dit boek) in de gevallen I, II en III.

b. Vergelijk de tabellen I en II met III. Tabel II wijkt minder
af van III dan tabel I.
Hoe kun je dat verklaren?

Conclusie:


Bij een betrekkel	ijk	kleine	steekproef		zonder teruglegging uit		een
grote populatie,	kun	je net	doen of	de	steekproef	moX teruglegging
wordt uitgevoerd.	De	hypergi	jometrische		verdeling wordt in zo'n		ge-
val goed benaderd	door de b:		Lnimiale	verdeling.

-ocr page 48-



		44

»80. In een groot meer, met een visstand van zo'n 10.000 vissen, bestaat 60% van de vissenpopulatie uit baarzen en 40% uit karpers.

	Neem aan dat de beide vissoorten zich even gemakkelijk (of moeilijk) laten vangen. Hoe groot is de kans dat je bij een vangst van tien vissen uit dat meer zes baarzen en vier karpers aantreft? »81. In een vijver worden twaalf baarzen en acht karpers uitgezet. Iemand vangt vijf vissen. Hoe groot is de kans op drie baarzen en twee karpers? »82. Hoe groot is de kans dat er bij de Lotto drie nummers "onder de tien" worden getrokken? Vergelijk je uitkomst met de resultatenlijst van 1978 (biz. 9 ). » 83. In een klas zitten twaalf jongens en veertien meisjes. Door het lot wordt een groepje van vier leerlingen aangewezen om de klas te vertegenwoordigen op een vergadering van leerlingen. Hoe groot is de kans dat er twee jongens en twee meisjes worden aan- gewezen? » 84. Van de aanhangers van het CDA heeft 60% voorkeur voor een coalitie met de PvdA en 40% voor een samen regeren met de VVD. Je neemt een aselecte steekproef van tien CDA'ers. Hoe groot is de kans dat je die verhouding (60%, 40%) in je steek- proef terugvindt?

-ocr page 49-



			45

		HET SCHATTEN VAN EEN POPULATIE-OMVANG » 85. In een meertje zit een onbekend aantal vissen. lemand krijgt van Milieuzaken de opdracht om uit te zoeken hoe groot de populatie vis- sen in dat meertje is. Hij vangt achttien vissen (op een willekeurige plaats in het meer, voorziet ze alle achttien van een merkteken en werpt zijn vangst weer terug in het water. Een paar dagen later vangt hij (opnieuw op een willekeurige plaats) eenentwintig vissen, waarvan er drie gemerkt blijken te zijn. Hoe groot schat jij de visstand in dat meertje? »86. Dezelfde persoon volgt dezelfde strategie voor een ander meertje. Nu is zijn eerste vangst twaalf vissen en zijn tweede tien, waar- bij hij twee gemerkte vissen aantreft. Op grond hiervan schat hij het aantal vissen in het meertje op zestig. a. Wat kan de man met zoJtl<lHh<lid over het aantal vissen in het meer- tje zeggen? b. Stel dat zijn schatting van zestig goed is, hoe groot is dan de kans om bij tien gevangen vissen twee gemerkte vissen aan te treffen?

-ocr page 50-

Het probleem van de te schatten populatie-omvang stellen we nu wat alge-

mener.

Noem het aantal vissen in de eerste vangst: vi, het aantal in de tweede

vangst: V2 en het aantal gemerkte vissen in de tweede vangst: m.

Laat N het totaal aantal vissen in de vijver zijn. Het probleem is nu om

het getal N te schatten op basis van de getallen vi, V2 en m.

» 87. a. Verklaar: N ^ vi + V2 - m.

b. Waarom denk ie dat N in de buurt ligt van het getal �-�- ?
^J m

Het getal -~~¹ ²~~ , of liever: het Q<>heJL<L getal dat daar het dichtst bij in

de buurt ligt, is een 'redelijke schatting' voor het getal N.

Nu is het begrip 'redelijke schatting' natuurlijk erg vaag. In de statis-

tiek wil men zo'n begrip wat beter vastleggen.

Dat kan bijvoorbeeld zo:

- Het aantal gemeAktd vissen in de tweede vangst is de stochast X.

- De kans P(X = m) varieert als we N laten varieren (vi en V2 blijven vast).

- Die waarde van N, waarvoor P(X = m) maximaal is, wordt als de beste
schatting van N beschouwd. We nemen dus die N waarbij het gevonden steek-
proefresultaat het meest waarschijnlijk is.

» 88. Stel vi = 5, v₂ = 5 en m = 2.

Het veAmoed&n is nu dat N in de buurt van 12$ ligt en de zzk<inh2A.d
dat N minimaal 8 is.

a. Bereken P(X = 2) voor N = 8, 9, ..., 15.

Verwerk je resultaten en tussenresultaten in een tabel:


N	(V)	IS)	P(X = 2)
8 9 � �	1 4 � �	56 126 � � �	ff = 0,1786 iU = 0,3175 � � �

b. Wat is je conclusie?

-ocr page 51-

SAMENVATTING HOOFDSTUK 4

We trekken, zonder teruglegging, een aantal balletjes uit een vaas die

twee soorten balletjes (zeg wit en zwart) bevat.

Het aantal witte balletjes in een steekproef van n is een hypergeome-

trisch verdeelde stochast X.

Als het totale aantal balletjes N bedraagt en het totaal aantal witte

resp. zwarte balletjes A resp. B bedraagt (A+B =N), geldt:

ft) (n^B-k)

P(X-k) =

Als de grootte van de steekproef (n) klein is vergeleken met de grootte
van de populatie (N), kun je de steekproef beschouwen als een trekking
met teruglegging. Dat wil zeggen: de hypergeometrische verdeling kun je
dan goed benaderen door de binomiale verdeling, waarbij:

N ^en ^q ⁼ N

-ocr page 52-



		48

			\

-ocr page 53-



			49

		H

	VERWACHTINGSWAARDE BIJ DE BINOMIALE EN DE HYPERGEOMETRISCHE VERDELING

»89. Een bepaalde operatie heeft een slaagkans van 80%. In een jaar tijd worden in de V.S. vijftig patienten aan deze operatie onderworpen. Hoeveel geslaagde operaties kun je verwachten? En hoe groot is de kans dat dit onderdaad gebeurt? > 90. In een vaas zitten 25 balletjes, 20 witte en 5 zwarte. lemand trekt 10 balletjes zonder teruglegging. Hoeveel witte balletjes kan hij verwachten?

-ocr page 54-

Opgave » 89 heeft betrekking op de verwachtingswaarde bij een binomiale
stochast. Het probleem (en de oplossing ervan) kunnen gemakkelijk algeme-
ner worden gesteld:

Veronderstel dat een

bepaalde

operatie

, die

eer

l kans

heeft

sla-

gen, n keer wordt uitgevoerd.

Het aantal geslaagde

operaties

een

stochast

Er geldt dan: E(X) =

n*p.

Voor n = 2 kun je dit narekenen m.b.v. de kansverdeling van X:

P(X = 0) = q²P(X= 1) = 2pq

P(X = 2) = p² (Hierbij geldt: p + q=1).
Dus: E(X) = q² «0 + 2pq � 1 + p²� 2

= 2pq + 2p²

- 2p(q + p)
= 2p � 1

- 2p

»91. Reken op deze wijze na dat voor n = 3 geldt: E(X) = 3p.

Een dergelijke berekening kun je voor iedere waarde van n geven. Het

rekenwerk daarbij is nogal lastig.

Er bestaat echter een 'slimme' methode die ook bij andere kansverdelingen

werkt.

We voeren een aantal 'hulpstochasten' in, als volgt:

X_x = het aantal successen bij de eerste operatie (dus: 0 of 1);

X.2 = het aantal successen bij de tweede operatie (ook weer: 0 of 1);

enz.

Het aantal successen bij n operaties vind je door deze stochasten op te
tellen:

X = Xi + X₂ + ... + X_n

(Vergelijk ook het structuurdiagram op pag. 25 ).

-ocr page 55-

Voor Xi kun je gemakkelijk de verwachtingswaarde uitrekenen.
PCXi-1) = p

P(Xi-O) = q

E(Xi) = p � 1 + q � 0 = p.

Dus:

Op dezelfde manier vind je:

E(X₂) = p, E(X₃) = p, enz.

Volgens de somregel van de verwachtingswaarde (zie pag.22) geldt:

E(X) = E(Xi) + E(X₂) + ... + E(X )

= p + p + . .. + p
= n � p.

» 92. Hieronder zie je een kanshistogram voor het aantal 'successen' bij
een binomiaalexperiment dat 20 keer wordt uitgevoerd.

0,20 .

0,15 -
0,10 -

0,05

■~~......~~.i.i.~~.....~~*■:■ :-:�:■:■:■:■

a. Hoe groot denk je dat p is?

b. Controleer je antwoord m.b.v. de binomiale tabel.

-ocr page 56-

De redenering op de vorige pagina kun je ook toepassen op een 'trekking'

zonder teruglegging.

Neem bijv. opgave » 90.

Laat X het aantal witte balletjes zijn in een steekproef van 10.

We splitsen X weer uit:

X = Xi + X₂ + ... + X

1 0

waarbij: X^. = 1 als het k balletje wit is;

X_k = 0 als het k balletje zwart is.

(k = 1, 2, ..., 10).

Vervolgens rekenen we E(Ki), E(X₂), ..., E(X₁₀) uit.
De kansverdeling van Xi is:

p(Xi = D - H - °'⁸

P(Xi = 0) = ^ = 0,2
Dus: E(X ) = 0,8 � 1 + 0,2- 0 = 0,8.

» 93. Hoe zit het nu met X₂?

Bekijk het boomdiagram ; bereken P(X₂ = 1) en E(X₂).

Het resultaat had je ook zonder rekenwerk kunnen vinden. Immers: elk ge-
trokken balletje heeft evenveel kans om wit te zijn (zolang je tenminste
niets van de voorgangers weet!).

Kortom: Xi, X₂, ..., Xio hebben alle dezelfde kansverdeling en dus ook de-
zelfde verwachtingswaarde.

Conclusie: E(X) = 0,8+ 0,8+ ... +0,8 =8

<--------_w-------'

10 keer

-ocr page 57-



			53

		TESTEN VAN EEN TOEVALSREEKS Een leerling krijgt de huiswerkopdracht om twintig keer te tossen met een kwartje en de toevalsreeks op te schrijven. Hij gunt zich geen tijd om dit experiment uit te voeren en verzint zelf een toevalsreeks: KMKMMKMKKKMKMMKMKKMK Om het niet al te mooi te maken, schrijft hij elf keer K en negen keer M. Zo te zien is er niets bijzonders aan de reeks; hij ziet er 'gezond' uit. Er zijn manieren om zo'n reeks op z'n 'toevalligheid' te testen. Het eer- ste waar je natuurlijk naar kijkt is of het aantal keren K dicht bij de verwachtingswaarde tien ligt. Verder kun je letten op het aantal W-Li>i>oJLiviQZn in de reeks (van K naar M of omgekeerd). In bovenstaande reeks is het aantal wisselingen gelijk aan veertien. Het aantal wisselingen in zo'n toevalsreeks is een stochast W. Om de ver- wachtingswaarde E(W) te vinden, passen we weer de 'splitsings-methode' toe: W = W_z + W₃ + ... + W20 met W2 = 1 als de tweede uitkomst verschilt van de eerste, anders W2 = 0 ; W3 = 1 als de derde uitkomst verschilt van de tweede, anders W3 = 0 ; enz. > 93. a. Waarom wordt er geen Wi gebruikt? b. Bereken de kansverdeling van W2. c. Wat weet je van de kansverdelingen van W3 tot en met W20? d. Bereken E(W)? Als je het aantal wisselingen (= 14) in de door de leerling gefingeerde toevalsreeks bekijkt, dan zie je dat dit beduidend meer is dan het ver- wachte aantal wisselingen. Dit kan voor de leraar een reden tot wantrou- wen zijn.

-ocr page 58-



			54

		»94. Bij een enquete moeten twintig vragen met ja. of nee beantwoord wor- den. Een enqueteur ging, nadat hij acht mensen ondervraagd had, na hoe ongeveer de ja-nee-verhouding in de antwoorden was. Hij turf- de j deel 'ja', \| deel 'nee'. Omdat hij geen zin had nog meer mensen te ondervragen, maar wel vijf- tien ingevulde formulieren moest inleveren, vulde hij zelf de rest van de formulieren willekeurig in, waarbij hij er voor zorgde niet te veel van de ja-nee-verhouding van 1 : 2 af te wijken. Een van die ingevulde reeksen was: jnjnnnjnjnjnnjnnjnnn Laat W het aantal wisselingen zijn in een 'ja-nee-reeks' van twintig met een kans van j op 'ja' en \| op 'nee'. a. Bereken E(W). b. Wat vind je van de gefingeerde reeks?

-ocr page 59-



			55

		SAMENVATTING HOOFDSTUK 5 Als je de verwachtingswaarde van een aantal 'successen' bij een toevals- reeks-van-n moet berekenen, kan het handig zijn om dit aantal (de sto- chast X) uit te splitsen: X = Xi + X₂ + ... + X n waarbij X, het aantal successen in het k experiment is en dus de waarden 0 en 1 kan hebben. Er geldt dan: E(X) = E(Xi) + E(X₂) + ... + E(X ). n Bij een steekproeftrekking van n balletjes uit een vaas met witte en zwar- te balletjes waarbij: - het aantal witte balletjes in de vaas een fractie p van het totale aan- tal is en - X het aantal witte balletjes in de steekproef is geldt: E(X) = n � p. Ongeacht of de trekking mQjt of ZOYldQA teruglegging plaatsheeft!

-ocr page 60-



			56

		Vo, TwvuAveZdm van Wimblzdon

-ocr page 61-

GEMENGDE OPGAVEN

s>95. In de heren-enkelspelfinale op Wimbledon is winnaar degeen die het
eerst drie sets heeft gewonnen.

Het aantal sets dat in de finale moet worden gespeeld is een sto-
chast S die we bij twee even sterke spelers het volgende kanshis-
togram toekennen:

~~u.."j.."~~'~~i-."i~~

.■��::■�.:.�?-.■:

a. Laat zien hoe je het kanshistogram van S door berekening kunt
vinden.

b. Bereken E(S).

c. In de zesendertig naoorlogse heren-enkelfinales op Wimbledon
(tot en met 1981) zijn er zestien in drie sets, tien in vier sets
en tien in vijf sets beslist. Dat wijkt nogal af van bovenstaan-
de theoretische kansverdeling.

Noem twee mogelijke oorzaken voor die afwijking.

-ocr page 62-



			58

		» 96. Een grafoloog krijgt bij een sollicitatie tien handschriften te identificeren. Hij moet tenminste in acht van de tien gevallen slagen wil hij worden aangenomen. Hij weet van zichzelf dat hij ongeveer in 60% van alle gevallen erin slaagt om een handschrift juist te beoordelen. Hoe groot is de kans dat hij wordt aangenomen? »97. Een dobbelspel dat vaak bij carnaval gespeeld wordt, kent de vol- gende regels: - de speler betaalt een inzet en kiest een van de getallen 1 t/m 6; - hij werpt drie dobbelstenen; - als zijn getal op alle drie de dobbelstenen boven komt, wordt hem viermaal zijn inzet uitbetaald; - als zijn getal op twee dobbelstenen bovenkomt, krijgt hij drie- maal zijn inzet terug; - als zijn getal op een van de dobbelstenen bovenkomt is de uitbe- taling tweemaal de inzet; - als zijn getal op geen enkele dobbelsteen bovenkomt, krijgt hij niets uitbetaald. Wat is de te verwachten winst (of verlies) van de speler bij een inzet van / 1,�? > 98. Een supermarkt koopt een grote partij mandarijntjes in, waarvan 10% door schimmel is aangetast. De mandarijnen worden aselect verpakt in netjes van tien stuks. a. Theet koopt een netje mandarijnen bij die supermarkt. Hoeveel % kans heeft hij dat er geen beschimmelde mandarijntjes in zijn netje zitten? b. Erwin koopt drie netjes mandarijnen. Hoe groot is de kans dat er in een van de drie netjes beschimmel- de mandarijnen voorkomen en in de andere twee niet? c. In een van Erwin's netjes blijken drie beschimmelde mandarijnen te zitten. Op goed geluk pakt Maarten twee mandarijnen uit dat netje. Hoe groot is de kans dat die niet beschimmeld zijn?

-ocr page 63-

»99. In een doos zitten vijf kaartjes met daarop de getallen 0, 2, 3, 4

en 6.

00HH

Er worden (met teruglegging) vijfentwintig kaartjes getrokken, de
getallen van de kaartjes worden opgeteld. De som van die getallen
is een stochast S.
Een resultaat van zo'n experiment is:

0 0 4 4 0 4 3 2 6 2 2 0 2 6 2 6 4 2 6 3 0 3 6 4 0 met S = 71.

a. Bereken P(S= 150).

b. Bereken P(S= 6).

c. Na honderd keer dit experiment uitgevoerd te hebben werd een
histogram van de resultaten gemaakt:

ONE HUNDRED TRIRLS

DC Z

-J
»- <r

UJ Z

o a

DL M -,

ui � 2
a. oc

¹ 0*

D___LL

■10 50 60 70 80

URLUE DF THE SUM

100

Na tienduizend keer zag het histogram er zo uit:

TEN THOUSAND TRIRLS

t- 8_roc z

_i
t- a.

Zh1
Id Z
O D
K N o

uj � 2.
o. on
a

* 0¹

-~~-rrrrTfm 11

50 60

1,1 11 rh-r-r-i-^,�

70 80
URLUE DF THE SUH

110

100

Verklaar het (opmerkelijke) verschil tussen beide histogrammed

Kun je uit het laatste histogram de verwachtingswaarde E(S)
schatten?

e. Bepaal E(S) door berekening.

-ocr page 64-



		60

» 100. In Leiden wordt op 3 oktober op grootse wijze het 'Ontzet' ge- vierd. Traditioneel worden er dan enorme hoeveelheden haring en wittebrood gegeten. Volgens een krantebericht is er dit jaar 20% van de haringen met een bacterie besmet. Als je zo'n besmette ha- ring eet, bezorgt dat je een dag later lichte buikkramp. a. In een gezelschap van twaalf feestvierenden nuttigt elk een haring. Hoe groot is de kans dat minstens de helft van het ge- zelschap buikkramp krijgt (aangenomen dat het krantebericht op waarheid berust)? b. Een klein vaatje haring (een '32je') bevat dertig haringen. Iemand koopt zo'n vaatje, waarin vijf besmette haringen zitten. Hij eet er eerst drie op en deelt vervolgens de rest uit. Hoe groot is de kans dat hij de volgende dag buikkramp krijgt? c. Een haringhandelaar beweert dat het krantebericht zwaar over- trokken is. Volgens hem bedraagt het aantal besmette haringen slechts 5%. Om dat te 'bewijzen' vraagt hij aan vijftig perso- nen een haring te eten. Met de journalist van het gewraakte ar- tikel spreekt hij af dat er rectificatie zal volgen als er niet meer dan vijf personen buikkramp krijgen. Hoe groot is de kans dat de rectificatie ten onrechte plaats- vindt?

	E>i wohjdt dJLe.p -In d<L kcwLngton ge.dok.zn tijdznA de. jaaAJtljiue, ha/ving en uoAXte.bA.ooduitdelA.ng op 3 oktoboji -in heX. ou.de, Waa.gge.bouw.

-ocr page 65-



		NsrnsiEivi

			■-.

19

	!

-ocr page 66-

-y

1�■

i�■

1�*

i��

!�'

-Pi

i�>

■>sl

-Pi

1�>

/³

■Pi

i�"

K³

352716 64

293930 49

203490 31

116280 17

54264 7

20349 2

9869

1330

ro
>�■
o

►�>

\�>

i�>

3432 6435 1

3003 5005

2002 3003

1001 1365

364 455

I�>

o
on

1�>

4S>
1�>

►�>

-Pi

1�'

i�>
o

1�'

-p.

4=»
on

■-j

-Pi

-~j

t�>

i�>

-p>

t�■

-Pi

-pi

i�>

-Pi

-~j

-pi

i�>

1�>

-P»

-pi

i�'

\�>

cn
i�>

-pi

-Pi

>�>

-pi

i�>

1�>
ro

o
ro

oo
on

-~j

i�>

-pi

1�>

-Pi

i��

1��

--J

-Pi

i�■

-P»

1�"

-Pi

»*l

b->

►�»

2078

4066

7190

0314

5157

0947

3649

8855

1771

253

ro
oo

4862

0 4375

8 3182

6 1856

8 856

0 306

cn
on

I�¹

i�>

i��

co
-pi

oo
cn

-pi

-Cs

i�'

-pi

t�>

t�'

t�>

>-�

-Pi

�vj

t�■

�31

-pi

I�'

-pi

I�"

-«g

-Pi

i�■

-Pi

i�■

-Pi

-pi

t�»

-Pi

1�>

-pi

45.

-pi

-Pi

92378

75582

50388

27132

11628

3876

696

i�>
-J
I�>

1�»

1�'
UD

924

62 792

30 495

65 220

55 66

1�'
1�»

1�»
I�"

1�»

-Pi

I�¹

-Pi

-pi

i�>

1�'

>�■

>��

-Pi

i�"

i�'

^~j

I�'

-~~J

~^i

4=>

i��

i�>

i�■

-Pi

^~J

i��

i�'

^■J

-^J

i�>

i�'

~-j

-^j

-~j

--J

-■j

-pi

i�»

i�'

~^i

i�»

i�■

-Pi

~~j

[�
o
o

7C 3

-ocr page 67-

TABEL 2 CUMULATIVE BINOMIALE VERDELING

p(x^_x)= i (;) p*d-p)


						P
n x	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50	1/6	1/3
2 0 1 2	0,9025 0,9975 1,000	0,8100 0,9900 1,000	0,7225 0,9775 1,000	0,6400 0,9600 1,000	0,5625 0,9375 1,000	0,4900 0,9100 1,000	0,4225 0,8775 1,000	0,3600 0,8400 1,000	0,3025 0,7975 1,000	0,2500 0,7500 1,000	0,6944 0,9722 1,000	0,4444 0,8889 1,000
3 0 1 2 3	0,8574 0,9928 0,9999 1,000	0,7290 0,9720 0,9990 1,000	0,6141 0,9393 0,9966 1,000	0,5120 0,8960 0,9920 1,000	0,4219 0,8438 0,9844 1,000	0,3430 0,7840 0,9730 1,000	0,2746 0,7183 0,9571 1,000	0,2160 0,6480 0,9360 1,000	0,1664 0,5748 0,9089 1,000	0,1250 0,5000 0,8750 1,000	0,5787 0,9259 0,9954 1,000	0,2963 0,7407 0,9630 1,000
4 0 1 2 3 4	0,8145 0,9860 0,9995 1,000	0,6561 0,9477 0,9963 0,9999 1,000	0,5220 0,8905 0,9880 0,9995 1,000	0,4096 0,8192 0,9728 0,9984 1,000	0,3164 0,7383 0,9492 0,9961 1,000	0,2401 0,6517 0,9163 0,9919 1,000	0,1785 0,5630 0,8735 0,9850 1,000	0,1296 0,4752 0,8208 0,9744 1,000	0,0915 0,3910 0,7585 0,9590 1,000	0,0625 0,3125 0,6875 0,9375 1,000	0,4823 0,8681 0,9838 0,9992 1,000	0,1975 0,5926 0,8889 0,9877 1,000
5 0 1 2 3 4 5	0,7738 0,9774 0,9988 1,000	0,5905 0,9185 0,9914 0,9995 1,000	0,4437 0,8352 0,9734 0,9978 0,9999 1,000	0,3277 0,7373 0,9421 0,9933 0,9997 1,000	0,2373 0,6328 0,8965 0,9844 0,9990 1,000	0,1681 0,5282 0,8369 0,9692 0,9976 1,000	0,1160 0,4284 0,7648 0,9460 0,9947 1,000	0,0778 0,3370 0,6826 0,9130 0,9898 1,000	0,0503 0,2562 0,5931 0,8688 0,9815 1,000	0,0313 0,1875 0,5000 0,8125 0,9688 1,000	0,4019 0,8038 0,9645 0,9967 0,9999 1,000	0,1317 0,4609 0,7901 0,9547 0,9959 1,000
6 0 1 2 3 4	0,7351 0,9672 0,9978 0,9999 1,000	0,5314 0,8857 0,9842 0,9987 0,9999	0,3771 0,7765 0,9527 0,9941 0,9996	0,2621 0,6554 0,9011 0,9830 0,9984	0,1780 0,5339 0,8306 0,9624 0,9954	0,1176 0,4202 0,7443 0,9295 0,9891	0,0754 0,3191 0,6471 0,8826 0,9777	0,0467 0,2333 0,5443 0,8208 0,9590	0,0277 0,1636 0,4415 0,7447 0,9308	0,0156 0,1094 0,3438 0,6563 0,8906	0,3349 0,7368 0,9377 0,9913 0,9993	0,0878 0,3512 0,6804 0,8999 0,9822
5 6		1,000	1,000	0,9999 1,000	0,9998 1,000	0,9993 1,000	0,9982 1,000	0,9959 1,000	0,9917 1,000	0,9844 1,000	1,000	0,9986 1,000
7 0 1 2 3 4	0,6983 0,9556 0,9962 0,9998 1,000	0,4783 0,8503 0,9743 0,9973 0,9998	0,3206 0,7166 0,9262 0,9879 0,9988	0,2097 0,5767 0,8520 0,9667 0,9953	0,1335 0,4449 0,7564 0,9294 0,9871	0,0824 0,3294 0,6471 0,8740 0,9712	0,0490 0,2338 0,5323 0,8002 0,9444	0,0280 0,1586 0,4199 0,7102 0,9037	0,0152 0,1024 0,3164 0,6083 0,8471	0,0078 0,0625 0,2266 0,5000 0,7734	0,2791 0,6698 0,9042 0,9824 0,9980	0,0585 0,2634 0,5706 0,8267 6,9547
5 6 7		1,000	0,9999 1,000	0,9996 1,000 1,000	0,9987 0,9999 1,000	0,9962 0,9998 1,000	0,9910 0,9994 1,000	0,9812 0,9984 1,000	0,9643 0,9963 1,000	0,9375 0,9922 1,000	0,9999 1,000	0,9931 0,9995 1,000
8 0 1 2 3 4	0,6634 0,9428 0,9942 0,9996 1,000	0,4305 0,8131 0,9619 0,9950 0,9996	0,2725 0,6572 0,8948 0,9786 0.9971	0,1678 0,5033 0,7969 0,9437 0,9896	0,1001 0,3671 0,6785 0,8862 0,9727	0,0576 0,2553 0,5518 0,8059 0,9420	0,0319 0,1691 0,4278 0,7064 0,8939	0,0168 0,1064 0,3154 0,5941 0,8263	0,0084 0,0632 0,2201 0,4770 0,7396	0,0039 0,0352 0,1445 0,3633 0,6367	0,2326 0,6047 0,8652 0,9693 0,9954	0,0390 0,1951 0,4682 0,7414 0,9121
5 6 7 8		1,000	0,9998 1,000	0,9988 0,9999 1,000	0,9958 0,9996 1,000	0,9887 0,9987 0,9999 1,000	0,9747 0,9964 0,9998 1,000	0,9502 0,9915 0,9993 1,000	0,9115 0,9819 0,9983 1,000	0,8555 0,9648 0,9961 1,000	0,9996 1,000	0,9803 0,9974 0,9998 1,000

-ocr page 68-

TABEL 2 (vervolg)


						P
*n x*	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50	1/6	1/3
9 0 1 2 3 4	0,6302 0,9288 0,9916 0,9994 1,000	0,3874 0,7748 0,9470 0,9917 0,9991	0,2316 0,5995 0,8591 0,9661 0,9944	0,1342 0,4362 0,7382 0,9144 0,9804	0,0751 0,3003 0,6007 0,8343 0,9511	0,0404 0,1960 0,4628 0,7297 0,9012	0,0207 0,1211 0,3373 0,6089 0,8283	0,0101 0,0705 0,2318 0,4826 0,7334	0,0046 0,0385 0,1495 0,3614 0,6214	0,0020 0,0195 0,0898. 0,2539 0,5000	0,1938 0,5427 0,8217 0,9520 0,9910	0,0260 0,1431 0,3772 0,6503 0,8552
5 6 7 8 9		0,9999 1,000	0,9994 1,000	0,9969 0,9997 1,000	0,9900 0,9987 0,9999 1,000	0,9747 0,9957 0,9996 1,000	0,9464 0,9888 0,9986 0,9999 1,000	0,9006 0,9750 0,9962 0,9997 1,000	0,8342 0,9502 0,9909 0,9992 1,000	0,7461 0,9102 0,9805 0,9980 1,000	0,9989 0,9999 1,000	0,9576 0,9917 0,9990 0,9999 1,000
10 0 1 2 3 4	0,5987 0,9139 0,9885 0,9990 0,9999	0,3487 0,7361 0,9298 0,9872 0,9984	0,1969 0,5443 0,8202 0,9500 0,9901	0,1074 0,3758 0,6778 0,8791 0,9672	0,0563 0,2440 0,5256 0,7759 0,9219	0,0282 0,1493 0,3828 0,6496 0,8497	0,0135 0,0860 0,2616 0,5138 0,7515	0,0060 0,0464 0,1673 0,3823 0,6331	0,0025 0,0233 0,0996 0,2660 0,5044	0,0010 0,0107 0,0547 0,1719 0,3770	0,1615 0,4845 0,7752 0,9303 0,9845	0,0173 0,1040 0,2991 0,5593 0,7869
5 6 7 8 9 10	1,000	0,9999 1,000	0,9986 0,9999 1,000	0,9936 0,9991 0,9999 1,000	0,9803 0,9965 0,9996 1,000	0,9527 0,9894 0,9984 0,9999 1,000	0,9051 0,9740 0,9952 0,9995 1,000	0,8338 0,9452 0,9877 0,9983 0,9999 1,000	0,7384 0,8980 0,9726 0,9955 0,9997 1,000	0,6230 0,8281 0,9453 0,9893 0,9990 1,000	0,9976 0,9997 1,000	0,9234 0,9803 0,9966 0,9996 1,000
11 0 1 2 3 4	0,5688 0,8981 0,9848 0,9984 0,9999	0,3138 0,6974 0,9104 0,9815 0,9972	0,1673 0,4922 0,7788 0,9306 0,9841	0,0859 0,3221 0,6174 0,8389 0,9496	0,0422 0,1971 0,4552 0,7133 0,8854	0,0198 0,1130 0,3127 0,5696 0,7897	0,0088 0,0606 0,2001 0,4256 0,6683	0,0036 0,0302 0,1189 0,2963 0,5328	0,0014 0,0139 0,0652 0,1911 0,3971	0,0005 0,0059 0,0327 0,1133 0,2744	0,1346 0,4307 0,7268 0,9044 0,9755	0,0116 0,0751 0,2341 0,4726 0,7110
5 6 7 8 9	1,0000	0,9997 1,0000	0,9973 0,9997 1,0000	0,9883 0,9980 0,9998 1,0000	0,9657 0,9924 0,9988 0,9999 1,0000	0,9218 0,9784 0,9957 0,9994 1,0000	0,8513 0,9499 0,9878 0,9980 0,9998	0,7535 0,9006 0,9707 0,9941 0,9993	0,6331 0,8262 0,9390 0,9852 0,9978	0,5000 0,7256 0,8867 0,9673 0,9941	0,9954 0,9994 0,9999 1,0000	0,8779 0,9614 0,9912 0,9986 0,9999
10 11							1,0000	1,0000	0,9998 1,0000	0,9995 1,0000		1,0000
12 0 1 2 3 4	0,5404 0,8816 0,9804 0,9978 0,9998	0,2824 0,6590 0,8891 0,9744 0,9957	0,1422 0,4435 0,7358 0,9078 0,9761	0,0687 0,2749 0,5583 0,7946 0,9274	0,0317 0,1584 0,3907 0,6488 0,8424	0,0138 0,0850 0,2528 0,4925 0,7237	0,0057 0,0424 0,1513 0,3467 0,5833	0,0022 0,0196 0,0834 0,2253 0,4382	0,0008 0,0083 0,0421 0,1345 0,3044	0,0002 0,0032 0,0193 0,0730 0,1938	0,1122 0,3813 0,6774 0,8748 0,9636	0,0077 0,0540 0,1811 0,3931 0,6315
5 6 7 8 9	1,0000	0,9995 0,9999 1,0000	0,9954 0,9993 0,9999 1,0000	0,9806 0,9961 0,9994 0,9999 1,0000	0,9456 0,9857 0,9972 0,9996 1,0000	0,8822 0,9614 0,9905 0,9983 0,9998	0,7873 0,9154 0,9745 0,9944 0,9992	0,6652 0,8418 0,9427 0,9847 0,9972	0,5269 0,7393 0,8883 0,9644 0,9921	0,3872 0,6128 0,8062 0,9270 0,9807	0,9921 0,9987 0,9998 1,0000	0,8223 0,9336 0,9812 0,9961 0,9995
10 11 12						1,0000	0,9999 1,0000	0,9997 1,0000	0,9989 0,9999 1,0000	0,9968 0,9998 1,0000		1,0000

-ocr page 69-

TABEL 2(vervo1g)


						P
*n x*	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50	1/6	1/3
13 0 1 2 3 4	0,5133 0,8646 0,9755 0,9969 0,9997	0,2542 0,6213 0,8661 0,9658 0,9935	0,1209 0,3983 0,6920 0,8820 0,9658	0,0550 0,2336 0,5017 0,7473 0,9009	0,0238 0,1267 0,3326 0,5843 0,7940	0,0097 0,0637 0,2025 0,4206 0,6543	0,0037 0,0296 0,1132 0,2783 0,5005	0,0013 0,0126 0,0579 0,1686 0,3530	0,0004 0,0049 0,0269 0,0929 0,2279	0,0001 0,0017 0,0112 0,0461 0,1334	0,0935 0,3365 0,6281 0,8419 0,9488	0,0051 0,0385 0,1387 0,3224 0,5520
5 6 7 8 9	1,0000	0,9991 0,9999 1,0000	0,9925 0,9987 0,9998 1,0000	0,9700 0,9930 0,9988 0,9998 1,0000	0,9198 0,9757 0,9944 0,9990 0,9999	0,8346 0,9376 0,9818 0,9960 0,9993	0,7159 0,8705 0,9538 0,9874 0,9975	0,5744 0,7712 0,9023 0,9679 0,9922	0,4268 0,6437 0,8212 0,9302 0,9797	0,2905 0,5000 0,7095 0,8666 0,9539	0,9873 0,9976 0,9997 1,0000	0,7587 0,8965 0,9653 0,9912 0,9984
10 11 12 13					1,0000	0,9999 1,0000	0,9997 1,0000	0,9987 0,9999 1,0000	0,9959 0,9995 1,0000	0,9888 0,9983 0,9999 1,0000		0,9998 1,0000
14 0 1 2 3 4	0,4877 0,8470 0,9699 0,9958 0,9996	0,2288 0,5846 0,8416 0,9559 0,9908	0,1028 0,3567 0,6479 0,8535 0,9533	0,0440 0,1979 0,4481 0,6982 0,8702	0,0178 0,1010 0,2811 0,5213 0,7415	0,0068 0,0475 0,1608 0,3552 0,5842	0,0024 0,0205 0,0839 0,2205 0,4227	0,0008 0,0081 0,0398 0,1243 0,2793	0,0002 0,0029 0,0170 0,0632 0,1672	0,0001 0,0009 0,0065 0,0287 0,0898	0,0779 0,2960 0,5795 0,8063 0,9310	0,0034 0,0274 0,1053 0,2612 0,4755
5 6 7 8 9	1,0000	0,9985 0,9998 1,0000	0,9885 0,9978 0,9997 1,0000	0,9561 0,9884 0,9976 0,9996 1,0000	0,8883 0,9617 0,9897 0,9978 0,9997	0,7805 0,9067 0,9685 0,9917 0,9983	0,6405 0,8164 0,9247 0,9757 0,9940	0,4859 0,6925 0,8499 0,9417 0,9825	0,3373 0,5461 0,7414 0,8811 0,9574	0,2120 0,3953 0,6047 0,7880 0,9102	0,9809 0,9959 0,9993 0,9999 1,0000	0,6898 0,8505 0,9424 0,9826 0,9960
10 11 12 13 14					1,0000	0,9998 1,0000	0,9989 0,9999 1,0000	0,9961 0,9994 0,9999 1,0000	0,9886 0,9978 0,9997 1,0000	0,9713 0,9935 0,9991 0,9999 1,0000		0,9993 0,9999 1,0000
15 0 1 2 3 4	0,4633 0,8290 0,9638 0,9945 0,9994	0,2059 0,5490 0,8159 0,9444 0,9873	0,0874 0,3186 0,6042 0,8227 0,9383	0,0352 0,1671 0,3980 0,6482 0,8358	0,0134 0,0802 0,2361 0,4613 0,6865	0,0047 0,0353 0,1268 0,2969 0,5155	0,0016 0,0142 0,0617 0,1727 0,3519	0,0005 0,0052 0,0271 0,0905 0,2173	0,0001 0,0017 0,0107 0,0424 0,1204	0,0000 0,0005 0,0037 0,0176 0,0592	0,0649 0,2596 0,5322 0,7685 0,9102	0,0023 0,0194 0,0794 0,2092 0,4041
5 6 7 8 9	0,9999 1,0000	0,9978 0,9997 1,0000	0,9832 0,9964 0,9994 0,9999 1,0000	0,9389 0,9819 0,9958 0,9992 0,9999	0,8516 0,9434 0,9827 0,9958 0,9992	0,7216 0,8689 0,9500 0,9848 0,9963	0,5643 0,7548 0,8868 0,9578 0,9876	0,4032 0,6098 0,7869 0,9050 0,9662	0,2608 0,4522 0,6535 0,8182 0,9231	0,1509 0,3036 0,5000 0,6964 0,8491	0,9726 0,9934 0,9987 0,9998 1,0000	0,6184 0,7970 0,9118 0,9692 0,9915
10 11 12 13 14				1,0000	0,9999 1,0000	0,9993 0,9999 1,0000	0,9972 0,9995 0,9999 1,0000	0,9907 0,9981 0,9997 1,0000	0,9745 0,9937 0,9989 0,9999 1,0000	0,9408 0,9824 0,9963 0,9995 1,0000		0,9982 0,9997 1,0000
16 0 1 2 3 4	0,4401 0,8108 0,9571 0,9930 0,9991	0,1853 0,5147 0,7892 0,9316 0,9830	0,0743 0,2839 0,5614 0,7899 0,9209	0,0281 0,1407 0,3518 0,5981 0,7982	0,0100 0,0635 0,1971 0,4050 0,6302	0,0033 0,0261 0,0994 0,2459 0,4499	0,0010 0,0098 0,0451 0,1339 0,2892	0,0003 0,0033 0,0183 0,0651 0,1666	0,0001 0,0010 0,0066 0,0281 0,0853	0,0000 0,0003 0,0021 0,0106 0,0384	0,0541 0,2272 0,4868 0,7291 0,8866	0,0015 0,0137 0,0594 0,1659 0,3391
5 6 7 8 9	0,9999 1,0000	0,9967 0,9995 0,9999 1,0000	0,9765 0,9944 0,9989 0,9998 1,0000	0,9183 0,9733 0,9930 0,9985 0,9998	0,8103 0,9204 0,9729 0,9925 0,9984	0,6598 0,8247 0,9256 0,9743 0,9929	0,4900 0,6881 0,8406 0,9329 0,9771	0,3288 0,5272 0,7161 0,8577 0,9417	0,1976 0,3660 0,5629 0,7441 0,8759	0,1051 0,2272 0,4018 0,5982 0,7728	0,9622 0,9899 0,9979 0,9996 1,0000	0,5469 0,7374 0,8735 0,9500 0,9841
10 11 12 13 14				1,0000	0,9997 1,0000	0,9984 0,9997 1,0000	0,9938 0,9987 0,9998 1,0000	0,9809 0,9951 0,9991 0,9999 1,0000	0,9514 0,9851 0,9965 0,9994 0,9999	0,8949 0,9616 0,9894 0,9979 0,9997		0,9960 0,9992 0,9999 1,0000
15									1,0000	1,0000

-ocr page 70-

TABEL 2 (vervolg)


						P
*n x*	0,05	0,10	0,15	0,20	0,25	0,30	0,35	0,40	0,45	0,50	1/6	1/3
17 0 1 2 3 4	0,4181 0,7922 0,9497 0,9912 0,9988	0,1668 0,4818 0,7618 0,9174 0,9779	0,0631 0,2525 0,5198 0,7556 0,9013	0,0225 0,1182 0,3096 0,5489 0,7582	0,0075 0,0501 0,1637 0,3530 0,5739	0,0023 0,0193 0,0774 0,2019 0,3887	0,0007 0,0067 0,0327 0,1028 0,2348	0,0002 0,0021 0,0123 0,0464 0,1260	0,0000 0,0006 0,0041 0.Q184 0,0596	0,0000 0,0001 0,0012 0,0064 0,0245	0,0451 0,1983 0,4435 0,6887 0,8604	0,0010 0,0096 0,0442 0,1304 0,2814
5 6 7 8 9	0,9999 1,0000	0,9953 0,9992 0,9999 1,0000	0,9681 0,9917 0,9983 0,9997 1,0000	0,8943 0,9623 0,9891 0,9974 0,9995	0,7653 0,8929 0,9598 0,9876 0,9969	0,5968 0,7752 0,8954 0,9597 0,9873	0,4197 0,6188 0,7872 0,9006 0,9617	0,2639 0,4478 0,6405 0,8011 0,9081	0,1471 0,2902 0,4743 0,6626 0,8166	0,0717 0,1662 0,3145 0,5000 0,6855	0,9496 0,9853 0,9965 0,9993 0,9999	0,4777 0,6739 0,8281 0,9245 0,9727
10 u 12 13 14				0,9999 1,0000	0,9994 0,9999 1,0000	0,9968 0,9993 0,9999 1,0000	0,9880 0,9970 0,9994 0,9999 1,0000	0,9652 0,9894 0,9975 0,9995 0,9999	0,9174 0,9699 0,9914 0,9981 0,9997	0,8338 0,9283 0,9755 0,9936 0,9988	1,0000	0,9920 0,9981 0,9997 1,0000
15 16								1,0000	1,0000	0,9999 1,0000
18 0 1 2 3 4	0,3972 0,7735 0,9419 0,9891 0,9985	0,1501 0,4503 0,7338 0,9018 0,9718	0,0536 0,2241 0,4797 0,7202 0,8794	0,0180 0,0991 0,2713 0,5010 0,7164	0,0056 0,0395 0,1353 0,3057 0,5187	0,0016 0,0142 0,0600 0,1646 0,3327	0,0004 0,0046 0,0236 0,0783 0,1886	0,0001 0,0013 0,0082 0,0328 0,0942	0,0000 0,0003 0,0025 0,0120 0,0411	0,0000 0,0001 0,0007 0,0038 0,0154	0,0376 0,1728 0,4027 0,6479 0,8318	0,0007 0,0068 0,0326 0,1017 0,2311
5 6 7 8 9	0,9998 1,0000	0,9936 0,9988 0,9998 1,0000	0,9581 0,9882 0,9973 0,9995 0,9999	0,8671 0,9487 0,9837 0,9957 0,9991	0,7175 0,8610 0,9431 0,9807 0,9946	0,5344 0,7217 0,8593 0,9404 0,9790	0,3550 0,5491 0,7283 0,8609 �0,-9403	0,2088 0,3743 0,5634 0,7368 0,8653	0,1077 0,2258 0,3915 0,5778 0,7473	0,0481 0,1189 0,2403 0,4073 0,5927	0,9347 0,9794 0,9947 0,9989 0,9998'	0,4122 0,6085 0,7767 0,8924 0,9567
10 11 12 13 14			1,0000	0,9998 1,0000	0,9988 0,9998 1,0000	0,9939 0,9986 0,9997 1,0000	0,9788 0,9938 0,9986 0,9997 1,0000	0,9424 0,9797 0,9942 0,9987 0,9998	0,8720 0,9463 0,9817 0,9951 0,9990	0,7597 0,8811 0,9519 0,9846 0,9962	1,0000	0,9856 0,9961 0,9991 0,9999 1,0000
15 16 17								1,0000	0,9999 1,0000	0,9993 0,9999 1,0000
19 0 1 2 3 4	0,3774 0,7547 0,9335 0,9868 0,9980	0,1351 0,4203 0,7054 0,8850 0,9648	0,0456 0,1985 0,4413 0,6841 0,8556	0,0144 0,0829 0,2369 0,4551 0,6733	0,0042 0,0310 0,1113 0,2631 0,4654	0,0011 0,0104 0,0462 0,1332 0,2822	0,0003 0,0031 0,0170 0,0591 0,1500	0,0001 0,0008 0,0055 0,0230 0,0696	.0,0000 0,0002 0,0015 0,0077 0,0280	0,0000 0,0000 0,0004 0,0022 0,0096	0,0313 0,1502 0,3643 0,6070 0,8011	0,0005 0,0047 0,0240 0,0787 0,1879
5 6 7 8 9	0,9998 1,0000	0,9914 0,9983 0,9997 1,0000	0,9463 0,9837 0,9959 0,9992 0,9999	0,8369 0,9324 0,9767 0,9933 0,9984	0,6678 0,8251 0,9225 0,9713 0,9911	0,4739 0,6655 0,8180 0,9161 0,9674	0,2968 0,4812 0,6656 0,8145 0,9125	0,1629 0,3081 0,4878 0,6675 0,8139	0,0777 0,1727 0,3169 0,4940 0,6710	0,0318 0,0835 0,1796 0,3238 0,5000	0,9176 0,9719 0,9921 0,9982 0,9996	0,3519 0,5431 0,7207 0,8538 0,9352
10 11 12 13 14			1,0000	0,9997 1,0000	0,9977 0,9995 0,9999 1,0000	0,9895 0,9972 0,9994 0,9999 1,0000	0,9653 0,9886 0,9969 0,9993 0,9999	0,9115 0,9648. 0,9884 0,9969 0,9994	0,8159 0,9129 0,9658 0,9891 0,9972	0,6762 0,8204 0,9165 0,9682 0,9904	0,9999 1,0000	0,9759 0,9926 0,9981 0,9996 0,9999
15 16 17							1,0000	0,9999 1,0000	0,9995 0,9999 1,0000	0,9978 0,9996 1,0000		1,0000

-ocr page 71-

TABEL 2(vervolg) 67


	P
*n x*	0,01 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50	1/6 1/3
20 0 1 2 3 4	0,3585 0,1216 0,0388 0,0115 0,0032 0,0008 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,7358 0,3917 0,1756 0,0692 0,0243 0,0076 0,0021 0,0005 0,0001 0,0000 0,9245 0,6769 0,4049 0,2061 0,0913 0,0355 0,0121 0,0036 0,0009 0,0002 0,9841 0,8670 0,6477 0,4114 0,2252 0,1071 0,0444 0,0160 0,0049 0,0013 0,9974 0,9568 0,8298 0,6296 0,4148 0,2375 0,1182 0,0510 0,0189 0,0059	0,0261 0,0003 0,1304 0,0033 0,3287 0,0176 0,5665 0,0604 0,7687 0,1515
5 6 7 8 9	0,9997 0,9887 0,9327 0,8042 0,6172 0,4164 0,2454 0,1256 0,0553 0,0207 1,0000 0,9976 0,9781 0,9133 0,7858 0,6080 0,4166 0,2500 0,1299 0,0577 0,9996 0,9941 0,9679 0,8982 0,7723 0,6010 0,4159 0,2520 0,1316 0,9999 0,9987 0,9900 0,9591 0,8867 0,7624 0,5956 0,4143 0,2517 1,0000 0,9998 0,9974 0,9861 0,9520 0,8782 0,7553 0,5914 0,4119	0,8982 0,2972 0,9629 0,4793 0,9887 0,6615 0,9972 0,8095 0,9994 0,9081
10 11 12 13 14	1,0000 0,9994 0,9961 0,9829 0,9468 0,8725 0,7507 0,5881 0,9999 0,9991 0,9949 0,9804 0,9435 0,8692 0,7483 1,0000 0,9998 0,9987 0,9940 0,9790 0,9420 0,8684 1,0000 0,9997 0,9985 0,9935 0,9786 0,9423 1,0000 0,9997 0,9984 0,9936 0,9793	0,9999 0,9624 1,0000 0,9870 0,9963 0,9991 0,9998
15 16 17 18	1,0000 0,9997 0,9985 0,9941 1,0000 0,9997 0,9987 1,0000 0,9998 1,0000	1,0000
50 0 1 2 3 4	0,6050 0,0769 0,0052 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9106 0,2794 0,0338 0,0029 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9862 0,5405 0,1117 0,0142 0,0013 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9984 0,7604 0,2503 0,0460 0,0057 0,0005 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9999 0,8964 0,4312 0,1121 0,0185 0,0021 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000	0,0001 0,0000 0,0012 0,0000 0,0066 0,0000 0,0238 0,0000 0,0643 0,0000
5 6 7 8 9	1,0000 0,9622 0,6161 0,2194 0,0480 0,0070 0,0007 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,9882 0,7702 0,3613 0,1034 0,0194 0,0025 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,9968 0,8779 0,5188 0,1904 0,0453 0,0073 0,0008 0,0001 0,0000 0,0000 0,9992 0,9421 0,6681 0,3073 0,0916 0,0183 0,0025 0,0002 0,0000 0,0000 0,9998 0,9755 0,7911 0,4437 0,1637 0,0402 0,0067 0,0008 0,0001 0,0000	0,1388 0,0001 0,2506 0,0005 0,3911 0,0017 0,5421 0,0050 0,6830 0,0127
10 11 12 13 14	1,0000 0,9906 0,8801 0,5836 0,2622 0,0789 0,0160 0,0022 0,0002 0,0000 0,9968 0,9372 0,7107 0,3816 0,1390 0,0342 0,0057 0,0006 0,0000 0,9990 0,9699 0,8139 0,5110 0,2229 0,0661 0,0133 0,0018 0,0002 0,9997 0,9868 0,8894 0,6370 0,3279 0,1163 0,0280 0,0045 0,0005 0,9999 0,9947 0,9393 0,7481 0,4468 0,1878 0,0540 0,0104 0,0013	0,7986 0,0284 0,8827 0,0570 0,9373 0,1035 0,9693 0,1715 0,9862 0,2612
15 16 17 18 19	1,0000 0,9981 0,9692 0,8369 0,5692 0,2801 0,0955 0,0220 0,0033 0,9993 0,9856 0,9017 0,6839 0,3889 0,1561 0,0427 0,0077 0,9998 0,9937 0,9449 0,7822 0,5060 0,2369 0,0765 0,0164 0,9999 0,9975 0,9713 0,8594 0,6216 0,3356 0,1273 0,0325 1,0000 0,9991 0,9861 0,9152 0,7264 0,4465 0,1974 0,0595	0,9943 0,3690 0,9978 0,4868 0,9992 0,6046 0,9997 0,7126 0,9999 0,8036
20 21 22 23 24	0,9997 0,9937 0,9522 0,8139 0,5610 0,2862 0,1013 0,9999 0,9974 0,9749 0,8813 0,6701 0,3900 0,1611 1,0000 0,9990 0,9877 0,9290 0,7660 0,5019 0,2399 0,9996 0,9944 0,9604 0,8438 0,6134 0,3359 0,9999 0,9976 0,9793 0,9022 0,7160 0,4439	1,0000 0,8741 0,9244 0,9576 0,9778 0,9892
25 26 27 28 29	1,0000 0,9991 0,9900 0,9427 0,8034 0,5561 0,9997 0,9955 0,9686 0,8721 0,6641 0,9999 0,9981 0,9840 0,9220 0,7601 1,0000 0,9993 0,9924 0,9556 0,8389 0,9997 0,9966 0,9765 0,8987	0,9951 0,9979 0,9992 0,9997 0,9999
30 31 32 33 34	0,9999 0,9986 0,9884 0,9405 1,0000 0,9995 0,9947 0,9675 0,9998 0,9978 0,9836 0,9999 0,9991 0,9923 1,0000 0,9997 0,9967	1,0000
35 36 37 38	0,9999 0,9987 1,0000 0,9995 0,9998 1,0000

-ocr page 72-

TABEL 2 (vervolg)



		P
*n x*	0,01 0,05	0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50	1/6	1/3
100 0 1 2 3 4	0,3660 0,0059 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,7358 0,0371 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9206 0,1183 0,0019 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9816 0,2578 0,0078 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9966 0,4360 0,0237 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000		0.0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0001 0,0000
5 6 7 8 9	0,9995 0,6160 0,0576 0,0016 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9999 0,7660 0,1172 0,0047 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 1,0000 0,8720 0,2061 0,0122 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9369 0,3209 0,0275 0,0009 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9718 0,4513 0.0551 0,0023 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000		0,0004 0,0013 0,0038 0,0095 0,0213	0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
10 11 12 13 14	0,9885 0,5832 0,0994 0,0057 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9957 0,7030 0,1635 0,0126 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9985 0,8018 0,2473 0,0253 0,0010 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9995 0,8761 0,3474 0,0469 0,0025 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9999 0,9274 0,4572 0,0804 0,0054 0,0002 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000		0,0427 0,0000 0,0777 0,0000 0,1297 0,0000 0,2000 0,0000 0,2874 0,0000
15 16 17 18 19	1,0000	0,9601 0,5683 0,1285 0,0111 0,0004 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9794 0,6725 0,1923 0,0211 0,0010 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,9900 0,7633 0,2712 0,0376 0,0022 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,9954 0,8372 0,3621 0,0630 0,0045 0,0001 0,0000 0,0000 0,0000 0,9980 0,8935 0,4602 0,0995 0,0089 0,0003 0,0000 0,0000 0,0000	0,3877 0,0000 0,4942 0,0001 0,5994 0,0002 0,6965 0,0005 0,7803 0,0011
20 21 22 23 24		0.9992 0,9337 0,5595 0,1488 0,0165 0,0008 0,0000 0,0000 0,0000 0,9997 0,9607 0,6540 0,2114 0,0288 0,0017 0,0000 0,0000 0,0000 0,9999 0,9779 0,7389 0,2864 0,0479 0,0034 0,0001 0,0000 0,0000 1,0000 0,9881 0.8109 0.3711 0,0755 0,0066 0,0003 0,0000 0,0000 0.9939 0.8686 0.4617 0,1136 0,0121 0,0006 0,0000 0,0000	0,8481 0,0024 0,8998 0,0048 0,9369 0,0091 0,9621 0,0164 0,9783 0,0281
25 26 27 28 29		0,9970 0,9125 0,5535 0,1631 0,0211 0,0012 0,0000 0,0000 0,9986 0,9442 0,6417 0,2244 0,0351 0,0024 0,0001 0,0000 0,9994 0,9658 0,7224 0,2964 0,0558 0,0046 0,0002 0,0000 0,9997 0,9800 0,7925 0,3768 0,0848 0,0084 0,0004 0,0000 0,9999 0,9888 0,8505 0,4623 0,1236 0,0148 0,0008 0,0000	0,9881 0,0458 0,9938 0,0715 0,9969 0,1066 0,9985 0,1524 0,9993 0,2093
30 31 32 33 34		1,0000 0,9939 0,8962 0,5491 0,1730 0,0248 0,0015 0,0000 0,9969 0,9307 0,6331 0,2331 0,0398 0,0030 0,0001 0,9984 0,9554 0,7107 0,3029 0,0615 0,0055 0,0002 0,9993 0,9724 0,7793 0,3803 0,0913 0,0098 0,0004 0,9997 0,9836 0,8371 0,4624 0,1303 0,0166 0,0009	0,9997 0,2766 0,9999 0,3525 1,0000 0,4344 0,5188 0,6019
35 36 37 38 39		0,9999 0,9906 0,8839 0,5458 0,1795 0,0272 0,0018 0,9999 0,9948 0,9201^,0,'6269 0,2386 0,0429 0,0033 1,0000 0,9973 0,9470 0,7024 0,3068 0,0651 0,0060 0,9986 0,9660 0,7699 0,3822 0,0951 0,0105 0,9993 0,9790 0,8276 0,4621 0,1343 0,0176		0,6803 0,7511 0,8123 0,8630 0,9034
40 41 42 43 44		0,9997 0,9875 0,8750 0,5433 0,1831 0,0284 0,9999 0,9928 0,9123 0,6225 0,2415 0,0443 0,9999 0,9960 0,9406 0,6967 0,3087 0,0666 1,0000 0,9979 0,9611 0,7635 0,3828 0,0967 0,9989 0,9754 0,8211 0,4613 0,1356		0,9341 0,9566 0,9724 0,9831 0,9900
45 46 47 48 49		0,9995 0,9850 0,8689 0,5413 0,1841 0,9997 0,9912 0,9070 0,6196 0,2421 0,9999 0,9950 0,9362 0,6931 0,3086 0,9999 0,9973 0,9577 0,7596 0,3822 1,0000 0,9985 0,9729 0,8173 0,4602		0,9943 0,9969 0,9983 0,9991 0,9996
50 51 52 53 54		0,9993 0,9832 0,8654 0,5398 0,9996 0,9900 0,9040 0,6178 0,9998 0,9942 0,9338 0,6914 0,9999 0,9968 0,9559 0,7579 1,0000 0,9983 0,9716 0,8159		0,9998 0,9999 1,0000
55 56 57 58 59		0,9991 0,9824 0,8644 0,9996 0,9894 0,9033 0,9998 0,9939 0,9334 0,9999 0,9966 0,9557 1,0000 0,9982 0,9716
60 61 62 63 64		0,9991 0,9824 0,9995 0,9895 0,9998 0,9940 0,9999 0,9967 1,0000 0,9982
65 66 67 68 69		0,9991 0,9996 0,9998 0,9999 1,0000