-ocr page 1-



		DIE NORMA LIE VIERDIEI.ING

			Freudenthal instituut Archief

-ocr page 2-



		DIE NORMA LIE VIERDIELING

-ocr page 3-



			%

Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht

		DE NORMALE VERDELING

	Een produkt ten behoeve van de experimenten in het kader van de Herverkaveling Eindexamenprogramma's Wiskunde I en II V.W.O. Samenstelling: Martin Kindt Jan de Lange Jzn Vormgeving: Ellen Hanepen ©1983, 1e versie Utrecht, december 1983.

-ocr page 4-



		INHOUDSOPGAVE 1. VERDELINGEN VAN LICHAAMSAFMETINGEN pag. 1 2. DE STANDAARD-NORMALE VERDELING 15 3. STANDAARDISEREN 23 4. STATISTISCHE VUISTREGELS/ 31 NORMAAL WAARSCHIJNLIJKHEIDSPAPIER 5. SPREIDING BIJ KANSVERDELINGEN 41 6. DE NORMALE BENADERING VAN KANSEN 53 7. GEMENGDE OPGAVEN 67

-ocr page 5-



		1

	VERDELINGEN VAN LICHAAMSAFMETINGEN

In 1947 werd in opdracht van N.V. Magazijn 'De Bijenkorf een statis- tisch onderzoek verricht naar de lichaamsafmetingen van de Nederlandse vrouwen. Dit onderzoek had ten doel de fabricage van damesconfectiekleding op een hoger peil te brengen: beter passende kleding en minder geldver- spilling aan vermaakkosten. Ten behoeve van dit onderzoek werden bij een aantal willekeurig gekozen vrouwelijke klanten van De Bijenkorf vijftien lichamelijke kenmerken gemeten, o.a. lichaamslengte en gewicht, taille, bovenwijdte, heupbreedte, kniehoogte. De proefpersonen werkten mee op vrijwillige basis en werden door De Bijenkorf na afloop van de metingen onthaald op koffie en gebak.

-ocr page 6-

Gedurende twee weken werden zo de gegevens van 5001 vrouwen boven de 18
jaar verzameld, hoofdzakelijk afkomstig uit de drie grote steden.
Met betrekking tot de lichaamslengte werd de volgende frequentieverde-
ling vastgesteld:


Lmytz	ftuLqucwtld	Lmqtz	VfizqixHYvtie,
{cm)		{cm)
136	-	161	321
137	-	162	313
138	-	163	290
139	1	164	294
140	1	165	291
141	4	166	261
142	3	167	222
143	2	168	184
144	8	169	157
145	4	170	167
146	17	171	109
147	18	172	86
148	32	173	65
149	51	174	62
150	54	175	29
151	71	176	49
152	78	177	28
153	115	178	17
154	149	179	5
155	170	180	10
156	208	181	6
157	208	182	3
158	231	183	1
159	301	184	2
160	302	185	-
		186	1

Totaal 5001

» 1. a. Wat is de mediaan van deze verdeling?

b. Waaraan kun je zien dat de gemiddelde lengte ongeveer gelijk
is aan de mediaan?

» 2. Er is vastgesteld dat ongeveer 2�% van die 5001 vrouwen een leng-
te heeft die meer dan twee keer de standaarddeviatie (2*S.D.)
groter is dan de gemiddelde lengte (de 'uitschieters' naar boven).
Hoe kun je uit dit gegeven de S.D. schatten?

-ocr page 7-

» 3. Controleer of het aantal 'uitschieters naar beneden' (d.w.z. vrou-
wen met een lengte die meer dan 2x S.D. onder het gemiddelde ligt)
ook 2|% van het totaal bedraagt.

Van de 5001 vrouwen werd ook het lichaamsgewicht gemeten.
Hieronder zie je de h.ztoutLQVZ-^h.Q.qa.ZYltizpotijQOnzn van lengte en gewicht
van de betrokken personen. De horizontale streepjeslijnen geven het 10%-
resp. 20%-niveau aan.

��r�i------] i

20%

■ i........<�r

GEWICHT

'90 cm

ISO kq

» 4. Wat is een opmerkelijk verschil tussen de beide grafieken?

» 5. a. Bij de frequentiecurve van de lengte is de klassebreedte niet,
zoals in de tabel, 1 cm. Hoe kun je dat zien aan die grafiek?

b. Uit de hoogte van de top kun je afleiden hoeveel cm de klasse-
breedte is. Hoe?

» 6. In de tweede grafiek kun je aflezen dat de modus van de gewichts-
verdeling in de steekproef rond de 62 kg ligt. (Eigenlijk moet je
spreken van 'modale klasse').

Hoeveel % van de vrouwen waren naar schatting zwaarder dan het mo-
dale gewicht van 62 kg?

» 7. Voor het gemiddelde gewicht werd gevonden 66,80 kg en de S.D. be~
droeg 10,91 kg.

Schat uit de grafiek hoeveel % van de vrouwen meer dan 1 S.D.
zwaarder of lichter was dan het gemiddelde gewicht.

-ocr page 8-



			4

		De vorm van een frequentiepolygoon bij een gevonden verdeling hangt af van de gekozen klassebreedte! Bij de frequentiepolygonen op biz. 3 is een klassebreedte van resp. 3 cm en 4 kg genomen. Als je de grafiek van de lichaamslengte op basis van een klassebreedte van 1 cm tekent, wordt het verloop wat grilliger. Ook wordt de symmetrie wat minder duidelijk. »» 8- ■5 1 6 cr 2- ⁰ 140 150 160 170 180 Neem je daarentegen een klassebreedte van 5 cm en zorg je ervoor dat de gemiddelde lengte (162 cm) het midden van een klasse is, dan krijg je een vrijwel volmaakt symmetrische grafiek. » 8. Maak die grafiek. Vermeld langs de verticale as de frequentieper- centages. Bij een goed op elkaar afstemmen van steekproefomvang en klassebreedte kun je een 'mooie' grafiek verwachten. Had men in 1947 de steekproef flink uitgebreid (tot bijv. 50.000 vrouwen), dan zou de frequentiecurve bij een klassebreedte van 1 cm er vermoedelijk 'glad' en symmetrisch heb- ben uitgezien. In het algemeen kun je verwachten dat bij vergroting van de steekproef en verkleining van de klassebreedte, de grafiek van de li- chaamslengte zal gaan lijken op een 'klokvormige' kromme. (Zie pag. 5).

-ocr page 9-

S⁸t

Jeiig-te in cm

170

lt)0

De klokvormige kromme geeft een wiskundig model van de verdeling van de
Nederlandse vrouwen (anno 1947) naar lichaamslengte. Dit model noemt
men de notimaJLd veAdnting.

De naam 'normale verdeling' is enigszins misleidend, omdat zij sugge-
reert dat elke verdeling die hiervan afwijkt abnormaal zou zijn, hetgeen
zeker niet het geval is. De verdeling van het gewicht van de 5001 vrou-
wen (figuur op biz. 3) ziet er vanwege de asymmetrie al aanzienlijk min-
der 'normaal' uit.

Bij het Bijenkorf-onderzoek werd ook

de voetlengte gemeten.

Resultaat:


vaztlengte.	f_in.e.que.n�Le.	voeXlzngtz	iizquzntit
ui cm		-oi cm
20	4	25	848
20,5	6	25,5	532
21	11	26	303
21,5	33	26,5	179
22	68	27	76
22,5	213	27,5	20
23	419	28	13
23,5	582	28,5	7
24	718	29	1
24,5	968		5001

Onderzoek of deze verdeling lijkt op de normale verdeling.

-ocr page 10-

> 10. Dezelfde vraag voor de verdeling van de 5001 vrouwen naar leeftijd,


	luzitijd	^nzqwrntiz
	18- 27	1186
	28-37	947
	38- 47	1183
	48-57	1048
	58- 67	515
	> 67	122

5001

» 11. De Nederlandse vrouw van 1983 is gemiddeld aanzienlijk langer dan
die van 1947.
Neem aan dat het verschil 8 cm is.

a. Schets in een figuur de (normale) verdeling van de Nederlandse
vrouwen naar lichaamslengte in de jaren 1947 en 1983. Neem aan
dat de spreiding in 1983 even groot is als in 1947.

b. Hoe zal de normale curve veranderen bij een meer gespreide ver-
deling van de lichaamslengte (bijv. met een twee keer zo grote
S.D.)?

In het voorbeeld van de lichaamslengte werd de normale kromme gevonden
door 'glad strijken' van de frequentiecurve. We hadden ook uit kunnen
gaan van het hJJitOQKJXm van de relatieve frequenties.

■7ST3

30-

�,�>,�,-.■�, ~~i -~~,₍�
152 162

172

142

182

-ocr page 11-

Bij een grotere steekproef en een kleinere klassebreedte worden de tre-
den van de trap kleiner en benadert de kromme de contouren van het his-
togram.


18 �				-	r-	K
				*f4 rr**
				t	\
			1
12 ■			�				*
6 -	1/	1 1	L	■>»"	1�t�			�+-	\

144

162 171

153

180

De oppervlakte van het gebied onder de kromme tussen X = 154,5 en X= 169,5
geeft de relatieve frequentie van het aantal vrouwen met lengte tussen
154,5 en 169,6 cm.

150 \ 160 /^*170
154,5 169,5

180

» 12. a. Uit de Bijenkorf-steekproef blijft dat ongeveer 75% van de
vrouwen een lengte heeft tussen 154,5 en 169,5 cm.
Hoe kun je zien dat die 75% aardig klopt met de laatste gra-
fiek?

b. WeIk frequentiepercentage komt overeen met de oppervlakte
van het Qzhztd gebied onder de kromme?

-ocr page 12-

De standaarddeviatie (in het geval van de 5001 vrouwen bedroeg die 6,5
cm) kun je in de grafiek terugvinden als de afstand van de symmetrie-
as tot de punten op de kromme waar die kromme het steilst is. (De zgn.
buUgpunte.n van de grafiek).

punt meX hJL<Luit>tn
mgcutie-ve.) heZLuig

)xuit me,t g-xoo-t&tki
Ipui-Lticvz) lie,LLuig

» 13. Hieronder zie je de (fictieve) verdeling van Nederlandse, Franse
en Zweedse 18 jarige mannen naar lichaamslengte. De buigpunten
zijn aangegeven met een kruisje.


	/■	"N
	*/r /*	\ \
		\*
	//\ /	*

		�
	/ ' ' \	\
	/ : i >	\ v
	/ �' '	\ '�� ^N
	*/ s**	X '� ^s
	--^ .-" -''	\^>.>.
	�1 ■ «M..... "!■-""■ 1	. 7��,-_"�.,.-�.

6--

150 160 170 180 190 200

a. Lees uit de figuur af hoe groot de gemiddelde lengte van de
resp. Nederlandse, Franse en Zweedse man is.

b. Lees ook de S.D. voor elk van de drie verdelingen af.

c. Verklaar: hoe smaller de 'klok', hoe hoger de 'top'.

-ocr page 13-



					9

Biometrische kenmerken van mensen (en ook van dieren en planten) beant- woorden dikwijls aan de normale verdelingen. De Belgische wiskundige Quetelet (1796- 1874) was de eerste die hierover gepubliceerd heeft (L*anthropometric ou mesure de differentes facultes de l'homme). Een voorwaarde voor het normaal zijn van de verdeling is wel dat de groep waarvan je een bepaald kenmerk meet, redelijk 'homogeen' is. » 14. Als je bijv. de lengte van alle brugklassers en eindexamenkandi- daten van je school meet en de resultaten in een grafiek verwerkt, heb je te maken met een niet-homogene groep. Hoe zal de grafiek van die lengte-verdeling er globaal uitzien? » 15. Bij het Bijenkorf-onderzoek bleken lichaamslengte, ruglengte, mouwlengte, handomvang, lengte middelvinger, kniehoogte, voetleng- te en - breedte redelijk normaal verdeeld te zijn. Van de diktematen (gewicht, taille, heupomvang e.d.) gold het niet of in veel mindere mate. Wat voor verklaring kun je hiervoor be- denken? » 16. De (globale) grafieken van de lengteverdeling van: a. alle Nederlanders; b. alle gehuwde Nederlanders; c. alle standaard-matrassen (voor volwassenen); d. alle leden van gezinnen waarvan de ouders jonger zijn dan 30 jaar. Welke hoort bij weIke? Verklaar.

				taigte
		l&tgte		taigte
		l&tgte

			ttngte
	lengte		ttngte
	lengte

-ocr page 14-

CONTINU EN DISCREET

Lichaamslengte, gewicht e.d. zijn voorbeelden van (stochastische)

variabelen.

In de statistiek kennen we zowel COnt-inue. variabelen als cLL&CJieXd

variabelen.


	Vooibe.el.dm van continue.	Vooxbe.e2.dm van dibcieXe
	\)OJvLa.beJLen:	vafu.abeZe.ni
	- lichaamsgewicht;	- aantal bloembladen van een roos;
	- bloeddruk;	- aantal korrels in een aar;
	- voetlengte.	- schoenmaat.
	Bij continue variabelen kan het	Discrete variabelen veranderen
	verschil tussen twee waarden	sprongsgewijs.
	'willekeurig' klein zijn.
	Het 'bereik' van een continue	Het 'bereik' van een discrete va-
	variabele is een -uiteXvaL.	riabele bestaat uit 'geisoleerde'
		punten.
	Voetlengte (volwassen mens):	Schoenmaat:
	10 cm 40 cm	37J 38 38J 39 39j 40 40j

» 17. In onderstaande tekst is
sprake van de waarden van
een aantal variabele ken-
merken van een boom.
Welke van die variabelen
zou je continu, welke dis-
creet willen noemen?

Vczn VouglaiipaA uitAd In 13S1 gzplant
c» ui 1922 gcveld: hij tzldi. pie.cXu
S40 jaaAAsLngiLn, wai ?6 m hoog, 2 m dik,
mog 26.000 Ivilo an laveMe. 40 m³ IwuX
up.

-ocr page 15-

De normale verdeling geeft een continu model dat vaak ook bij discrete
variabelen wordt gebruikt.

MoonhzoZd:

Het aantal vinnerven bij bot.

Van 703 vissen werd het aantal vinnerven geteld.
Het aantal varieerde van 47 tot 61. De verdelings-
grafiek benadert de normale kromme heel dicht.

bot


	aantal vtnn&ivzn	6sLzquentU.e.
	47	5
	48	2
	49	13
	50	23
	51	58
	52	96
	53	134
	54	127
	55	111
	56	74
	57	37
	58	16
	59	4
	60	2
	61	1

» 18. Schat uit de grafiek het gemiddelde en de S.D. van het aantal
vinnerven bij bot.

-ocr page 16-



			12

		SAMENVATTING Voor de normale verdeling geldt: - de verdelingscurve is symmetrisch en klokvormig; - de as van symmetrie gaat door het gemiddelde (u); - de afstand van symmetrie-as tot de punten waar de helling van de krom- me het steilst is (de zgn. buigpunten) is gelijk aan de standaarddevi- atie (a); - de totale oppervlakte van het gebied onder de kromme is gelijk aan 1 (of 100%).

-ocr page 17-



		13

	gmlddeZdz = y

	S.P. = a

totatz oppeAvZaktz = 100%

-ocr page 18-



			14

		VoZautomati&che. InAtatlatiz voon. heX vaJLtzn van meZk^le^^en.

-ocr page 19-



					15

			DE STANDAARD-NORMALE VERDELING

				103 104 inhoud cl
		100 101		103 104 inhoud cl

Een fles melk zal vrijwel nooit precies een liter melk bevatten. Als de vulmachine 'eerlijk' is ingesteld, kun je hoogstens verwachten dat de ge- middelde inhoud van de flessen (ongeveer) 1 liter is. Bij een controle, waarbij de werkelijke inhoud in centiliters nauwkeurig werd gemeten, werd inderdaad een gemiddelde van 100 cl gevonden. De ge- meten inhouden bleken normaal verdeeld te zijn met een standaarddeviatie van 1 cl. (Zie grafiek).

	» 19. De controleur was alleen ge'interesseerd naar de afwijkingen van de voorgeschreven inhoud. Daarom noteerde hij voor elke fles uit de steekproef als meetresultaat het verschil met 100 cl (positief/ne- gatief als de fles meer/minder bevatte). a. Wat was het gemiddelde van zijn meetresultaten? b. En hoe groot was de standaarddeviatie?

-ocr page 20-

De normale verdeling in opgave > 19 is een hele bijzondere.

Het bijzondere zit hem hierin dat het gzmLddoJLdz van alle meetresultaten

gelijk is aan nut en de A�andacUuide.VAXUtLe. gelijk is aan Hon.

Kortweg: y = 0 en a = 1 .

Men spreekt in dit geval van de SstandcicUid-noHmatz vnfideJLlng.

-4 -3 -2 -1 0

De bijbehorende standaard-normale kromme beantwoordt aan een 'keurige'
formule:

1 -b

/2TT

De 'constanten' n en e zijn bekende getallen in de wiskunde.
In 5 decimalen afgerond: tt = 3,14159

e = 2,71828

» 20. De standaard-normale kromme is symmetrisch t.o.v. de lijn x=0.

1 ~h

Hoe kun je dat 'zien' aan de formule y

/2tt

s>21. Bereken uit de formule een aantal punten van de standaard-normale
kromme (neem x=0, 1, 2, 3, 4) en controleer of je resultaat klopt
met het plaatje.

-ocr page 21-



			17

		OpmzhitinQ: Bij toenemende positieve waarde van x wordt de bijbehorende y-waarde kleiner en zelfs 'willekeurig klein'. Voor x = 5 bijv. is y bij benadering 1\| miljoenste. De x-as is een CU>ymp�oot van de standaard-normale kromme. De afstand van de kromme tot de x-as is rechts van x = 3,5 en links van ,x = -3,5 z.6 miniem, dat het lijkt of de grafiek daar samenvalt met de x-as. In hoofdstuk 1 heb je gezien dat een relatieve frequentie bij een nor- male verdeling overeenkomt met de oppervlakte van een gebied 'tussen de kromme en de x-as'. 1 _i_x2 Met behulp van de formule y = ~7j= e kan de oppervlakte van zo'n ge- bied in bijv. 3 decimalen nauwkeurig worden berekend. Het principe bij zulke berekeningen is dat het gebied in smalle strookjes wordt ver- deeld; elk van die strookjes kan worden benaderd door een rechthoekje. De som van de oppervlakten van die rechthoekjes is bij benadering de oppervlakte van het gebied. Zo geldt: de oppervlakte van het gebied tussen x= 1 en x=2 is gelijk aan 0,136 (of 13,6%).

-ocr page 22-

Omdat het toepassen van deze methode nogal bewerkelijk is, is er een

tabel gemaakt van oppervlakten onder de standaard-normale kromme.

Die tabel geeft de oppervlakte van het gebied links van de lijn 'x = z'

(z>0).

Die oppervlakte wordt meestal genoteerd als ^(z). (0 is de Griekse

hoofdletter 'phie').

X-04


z	opp. = $(z)	z	opp. = <J>(z)	z	opp. = 4>(z)
0,00	0,500	1,00	0,841	2,00	0,977
0,05	0,520	1,05	0,853	2,05	0,978
0,10	0,540	1,10	0,864	2,10	0,982
0,15	0,560	1,15	0,875	2,15	0,984
0,20	0,579	1,20	0,885	2,20	0,986
0,25	0,599	1,25	0,894	2,25	0,988
0,30	0,618	1,30	0,903	2,30	0,989
0,35	0,637	1,35	0,912	2,35	0,991
0,40	0,655	1,40	0,919	2,40	0,992
0,45	0,674	1,45	0,926	2,45	0,993
0,50	0,692	1,50	0,933	2,50	0,994
0,55	0,709	1,55	0,939	2,55	0,995
0,60	0,726	1,60	0,945	2,60	0,995
0,65	0,746	1,65	0,950	2,65	0,996
0,70	0,758	1,70	0,955	2,70	0,996
0,75	0,773	1,75	0,960	2,75	0,997
0,80	0,788	1,80	0,964	2,80	0,997
0,85	0,802	1,85	0,968	2,85	0,998
0,90	0,816	1,90	0,971	2,90	0,998
0,95	0,829	1,95	0,974	2,95	0,998

» 22. Hoe kun je uit de tabel vinden dat de oppervlakte 'tussen 1 en 2'
gelijk is aan 0,136?

-ocr page 23-

De tabel kan blijkens opgave » 22 ook worden gebruikt om de oppervlakte
te vinden van andere gebieden dan 'tussen -°° en z' (voor z>0).
Daarbij zul je dikwijls gebruik maken van twee eigenschappen van de stan-
daard-normale kromme:

- de kromme is symmetrisch t.o.v. de lijn x = 0;

- de totale oppervlakte van het gebied onder de kromme is 1.

VooKbudld:


Gevraagd: opp		ervlakte A.
	^A \M	i \ / ! \ ^c / '	/B
	- 0,5 0,5
opp.	A = opp. B (spiegeling in de lijn x=0);
opp.	B = 1 - opp. C (overgang op het 'complement');
opp.	C = $(0,5) = 0,692 (tabel);
dus:	opp. A = 1 - 0,692 = 0,308.

»23. Vind de volgende oppervlakte uit de tabel van biz. 18).

0 2

-ocr page 24-



		20

» 24 . Even terug naar biz. 15. Beantwoord de volgende vragen m.b.v. de $ - tabel. a. Hoeveel % van de melkflessen bevatte meer dan 99 cl en minder dan 101 cl? b. En van hoeveel % lag de inhoud tussen 98 en 102 cl? »25. Terugzoeken in de tabel: vind de grenspunten van de volgende ge- bieden.

	» 26 . De controleur van de melkflessen beschouwde de 90% van de flessen, waarvan de inhoud het minst van het gemiddelde afweek, als 'nor- maal' en de overige 10% als 'uitschieters' (hetzij naar boven, het- zij naar beneden). Bij welke gemeten inhouden kun je van een uitschieter spreken? »27. De melkfabrikant wil dat niet meer dan 5% van de door hem geleverde flessen minder dan 99 cl melk bevatten. Op welk gemiddelde moet de vulmachine worden ingesteld?

-ocr page 25-

Achterin dit boek is een meer uitgebreide tabel van $-waarden (in 4
decimalen) afgedrukt.

In de tabel vind je bijvoorbeeld:

$(0,34) w 0,6331

5675
6064
644.1
6K08
7157

5714
6103
6480
6844
7190

5753
6141
6517
6879
7224

Terugzoeken:

$(z) w 0,719 =* z fa 0,58,

5753
6141
6517
6879

7224

»28. Zoek op in de uitgebreide tabel (biz. 71):

a. $(1,96) b. $(2) c. $(-1,96) d. $(-0,04)

» 29. Voor welke z geldt:

a. $(z) fa 0,96?

b. $(z) fa 0,50?

c. $(z) fa 0,25?

d. $(z) fa 0,04?

» 30. In een fabriek wordt frisdrank in halve-liter pakken verpakt. De
werkelijke inhoud van de pakken is normaal verdeeld met een S.D.
van 1 cl.

De fabrikant wil dat ten hoogste 2�% van de pakken meer dan 52 cl
bevatten.
Op welk gemiddelde moet de vulmachine worden ingesteld?

-ocr page 26-



			22

		Cafiz Hoppz op kzt Spui In AmAtzAdam bzAtaat at zzuuizn. Vz dxzmpzJUtzzn dtz tu66zn 1670 en 79?7 mozit wotidzn bz&izdzn om tozgang tot dz ta.vzzn.nz tz kftljgzn -Its uitgz&tztzn votgzm zzn wvijwzl nonmatz knommz, zocdii> dz dztaJX^oto op btz. 23 laat ztzn.

-ocr page 27-



			23

	3
	3	STANDAARDISEREN

Een normale verdeling met 'gemiddelde=0' en 'S.D. = 1' kom je in de praktijk niet dagelijks tegen. Toch is de standaard-normale verdeling van groot belang in de statistiek. De clou zit hem in het feit dat elke normale verdeling via een Achaal- tfuxm^Ohmoutiz teruggebracht kan worden tot de standaard-normale verdeling. Met behulp van een XahoJL (de $-tabel) kunnen allerlei problemen worden opgelost die betrekking hebben op een normale verdeling met S.D. ± 1!

-ocr page 28-



																		24

		In het voorbeeld van de literflessen melk (zie biz. 15) hebben we via een voor de hand liggende ingreep het gemiddelde op nul gebracht. Die ingreep was: neem de il^LC^ijkA^ng van keX QQjni.dd&td(L als nieuwe variabele. Het 'nomogram' laat dat duidelijk zien: gem. II 97 98 99 100 101 102 103 Inhoud [cX]

										! " '!

														2 3 a&MLjking (c�) van 100
						-3 -2 -1 0


Anders gezegd: je kiest een nieuwe schaalverdeling met de 'oorsprong' in 100. lets dergelijks kun je doen bij de lengte-verdeling van de Nederlandse vrouwen anno 1947. Op grond van de Bijenkorf-steekproef is geschat: u= 162 cm en a = 6,5 cm.

													68,5 175 ImqtZ [cm]
				149________155,5
									162



																13 afaiaijking (cm) van \i
								-6,5
			-13
												6,5



	»31. Deze afwijkingen zijn wel normaal-, maar niet itOLndaaJid-normaal ver- deeld. Waarom niet? De grootte van de standaarddeviatie a wordt hier uitgedrukt in cm. Door een andere keuze van de lengte-eenheid kun je een andere a vinden, bijv. a = 65 (in mm) of 0 = 0,065 (in m). Een listige keuze van de lengte-eenheid is nu: 6,5 cm.

				-13
							-6,5
															13 afauicjliing van \i [In cm]
											6,5




																	2 aj5HU.yfex.ng van \i (in S.V.
					-2


		Hiermee bereiken we dat de standaarddeviatie van de lengte-afwijkingen (gemeten in de nieuwe eenheid) gelijk is aan 1.

-ocr page 29-

Door de keuze van de nieuwe eenheid is de lengte-verdeling van de Neder-
landse vrouwen QUtdndcXJXAcLi&zeAd.

Lmgte.

1<.2,5 119 155,5 162 166,5 175 161,5 Cm

■3 -2 -1

» 32. a. Hoe kun je in de 0-tabel vinden dat 68,26% van de vrouwen een
lengte heeft tussen 155,5 en 168,5 cm?

b. Komt dat percentage overeen met dat in de steekproef van 5001
vrouwen? (Zie tabel op biz. 2).

c. Hoeveel % van de vrouwen heeft volgens de $-tabel een lengte
tussen 149 en 175 cm?

In de steekproef van 5001 vrouwen waren er 290 met een lengte van
163 cm; dat is een fractie van ongeveer 5,8%. We kunnen nu narekenen
of dit percentage in overeenstemming is met het theoretische (d.w.z.
normale) model:

- de 'klasse 163' bevat de vrouwen met een lengte tussen 162,5 en
163,5 cm;

- de klassegrenzen wijken resp. 0,5 en 1,5 cm af van het gemiddelde
(= 162 cm);

- die afwijkingen druk je uit in S.D.'s:

6,5 cm = 1

S.D.

0,5 cm = T-^| S.D. w 0,08 S.D.
6,5

1,5 cm = -li| S.D. w 0,23 S.D.
6,5

de oppervlakte (= relatieve frequentie) onder de normale kromme,

vind je nu uit de 0-tabel:

$(0,23) - 0(0,08) = 0,5910 - 0,5319 = 0,059 (ofwel 5,9%).

-ocr page 30-

»33. Hoeveel vrouwen (van de 5001) zou je volgens de $-tabel verwach-
ten in de klasse van 155 cm? (De klassebreedte is weer 1 cm).
Klopt dit met het resultaat in de Bijenkorf-steekproef?

» 34. In een zeker land is de gemiddelde lengte van dienstplichtige man-
nen gelijk aan 180 emmet een standaarddeviatie van 10 cm.
Bij een militaire keuring worden er 10.000 mannen gekeurd.

a. Hoeveel van die mannen kun je verwachten met een lengte tussen
1.75 en 1.85m? (teken een normale kromme met twee schalen).

b. Een dienstplichtige wordt afgekeurd op lengte als hij langer dan
2.00 m en kleiner dan 1.60m is.

Hoeveel afkeuringen op lengte kun je verwachten?

c. Door de minister van defensie wordt beslist dat in het vervolg
5% van de dienstplichtigen zal worden afgekeurd omdat ze te
lang zijn en 5% omdat ze te klein zijn.

Waar komen de grenzen van afkeuring te liggen?

»35. De j aarproduktie aan eieren van een pluimveehouder is normaal ver-
deeld (naar gewicht) met een gemiddelde van 56,3 gram en S.D. van
7,6 gram.

a. Hoeveel % van de eieren is zwaarder dan 60 gram?

b. De eieren worden in acht gewichtsklassen verdeeld:


	kiaAiZ	geuilcht (g^i)
	0	> 68j
	1	64 - 68i
	2	59J - 64
	3	544 - 594
	4	494 " 494
	5	444 " 444
	6	394 394
	7	< 39J

Teken de normale kromme bij de gewichtsverdeling en geef in
je tekening de acht gewichtsklassen aan als gebieden onder
de kromme. Schrijf in elk gebied het percentage eieren dat
tot die klasse behoort.

-ocr page 31-

»36. Een postorderbedrijf verkoopt o.a. bouwpakketten die een normaal
verdeeld brutogewicht hebben (d.w.z. inclusief verpakking) met
een gemiddelde van 4,2 kg en een S.D. van 0,8 kg.
Men verwacht in het volgende jaar 20.000 van die pakketten te
verkopen.
De geldende PTT-tarieven van de verzending van pakjes:


gtMiiclit	(gi)	ptUji
250 -	500	4,25
500 -	1000	5,25
1000 -	3000	6,50
3000 -	5000	8,00
5000 -	7000	10,--
7000 -	10000	12,--

Welk totaalbedrag aan portokosten kan het postorderbedrijf voor
de verzending van de bouwpakketten verwachten?

» 37. Een droog korrelig poeder bevat deeltjes die zuiver bolvormig

zijn en waarvan de diameter normaal verdeeld is met u= 170 mikron
en a=11,6 mikron.

Men wil dit poeder verdelen in drie soorten, namelijk: grof, mid-
del en fijn en wel zd dat deze drie klassen gelijke aantallen
korrels bevatten.

a. Hoe groot moeten de diameters van de gaten van de benodigde
zeven zijn waarmee je de gewenste verdeling kunt krijgen?

b. Zal de diameter van de fijne korrels ook normaal verdeeld zijn?

»38. De straatlantaarns in een zekere stad worden door de gemeente van
nieuwe gloeilampen voorzien: in totaal 2000 stuks.
De levensduur van deze lampen is normaal verdeeld met een gemid-
delde levensduur van 2500 uur en een standaarddeviatie van 500
uur. Om economische redenen is de gemeente van plan OlZZq. lampen
door nieuwe te vervangen op het moment dat 20% van de geplaatste
lampen stuk is (en dus niet tussentijds lampen te vervangen).
Na hoeveel tijd zal dit het geval zijn?

-ocr page 32-



											28

		»39. In een fabriek worden pakken suiker gevuld waarvan het nettoge- wicht 1 kg behoort te zijn. Uit steekproeven is gebleken dat dit nettogewicht normaal is ver- deeld met (inderdaad) een gemiddelde van 1 kg en een standaardaf- wijking van 15 gram. De fabrikant wil dat 95% van de te produceren pakken suiker ten- minste 1 kg suiker bevatten. Op welk gemiddeld nettogewicht (af- gerond in g.) zal de vulmachine moeten worden ingesteld? TRANSFORMATIEFORMULES De voorafgaande vraagstukken heb je steeds opgelost door overgang van 'gewone eenheden' (cm, kg, ...) op nieuwe-eenheden (S.D.). Wiskundig gezegd: je hebt steeds een 'schaaltransformatie' toegepast.

						149 155,5 162 168,5 175

					-13
							-6,5	6,5
										13




		X = lichaamslengte (in cm). V = afwijking van de gemiddelde lichaamslengte (in cm) Z = afwijking van het gemiddelde in S.D.'s.

			Er geldt: V = X - 162 1/

				6,5 X- 162 6,5
									(*)
	Dus: Z =



»40. In (*) is Z uitgedrukt in X. Omgekeerd kun je ook X uitdrukken in Z. Hoe?

-ocr page 33-

»41. Bekijk de schaaltransformatie:


20	25	30	35
V	I	V	r

a. Druk Z uit in X

b. Druk X uit in Z,

ALGEMEEN:

Laat X een variabele zijn met gemiddelde u en standaarddeviatie o.
De overgang op de 'standaardvariabele' Z met gemiddelde 0 en stan-
daarddeviatie 1 :

U - 2o u- a

y + a y + 2c

-2

wordt gekenschetst door de formule:

Z =

X - u

ofwel door:

X = ol + u

Schaaltransformaties zoals bij het standaardiseren kom je ook in andere
situaties tegen. Bekend is het voorbeeld van de temperatuurschalen Celsius-
Fahrenheit. De laatste eenheid wordt nog steeds vaak gebruikt in Angelsak-
sische landen.

-20

10 20

-ocr page 34-



		30

»42. Bekijk het plaatje onderaan biz. 29. Je ziet daarin o.a. dat 32° F overeenkomt met 0° C. a. Druk T uit in T. 0 r b. Druk T uit in T . r L » 43. In 1983 beleefde men in Engeland een ongekend mooie zomer. In de maand juli werd op zekere plaats een gemiddelde maximum tempera- tuur van liefst 76°F gemeten met een standaarddeviatie van 6,3° F. a. Hoeveel °C bedroeg de gemiddelde maximum temperatuur in juli 1983 in die plaats? b. En hoeveel °C bedroeg de S.D.? (Pas op!). »44. Een variabele X is normaal verdeeld met u = 30 en a = 5. De variabelen Xi, ..., X5 zijn op de volgende wijze van X afge- leid. X_x=X + 20; X₃=\|X; X₂=X-15; X₄ = 2X - 60; X₅ = 0,2(X - 30). De variabelen Xi, ..., X5 zijn elk 00k weer normaal verdeeld. / V / \ X + 20

	0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 a. De grafieken van X en Xi (= X+20) zijn in een figuur getekend. Wat is de waarde van u en O voor de variabele Xi? b. Teken ook de grafieken van X₂, X3, Xi>, X₅ samen met X in een figuur. (N.B. De totale oppervlakte onder de kromme moet steeds hetzelfde blijven!). Geef bij elke kromme de waarde van y en a.

-ocr page 35-

STATISTISCHE VUISTREGELS/
NORMAAL WAARSCHIJNLIJKHEIDSPAPIER


y	+	a
	M
y	_	*o //*

Twee van de drie volwassen Nederlandse vrouwen zal een lichaamslengte
hebben die ten hoogste een keer de standaarddeviatie afwijkt van de ge-
middelde lengte.

»45. Controleer of deze slogan opgaat voor de 'Bijenkorf-vrouwen'.
(y= 162; a = 6,5).

»46. Een uitspraak als hierboven kun je voor elke normaal-verdeelde po-
pulatie doen!
Hoe kun je deze vuistregel 'bewijzen' met behulp van de �I'-tabel?

-ocr page 36-

Twee bekende statistische vuistregels in beeld en woord gebracht:

u-2a

\j+2o

u-a y y+a

Btj een Ktph.U2.ntcuU.nvt i>te.ekph.oeh utt een notimaa.l-vzh.de.e2de. popa-
latle, kan je veAwaakten dot:

- ongeveeh. 2/3 van de im.ah,neming6attkombte.n nteX mzeh. dan 7 keeh.
de. S.V. aftwtjkt van het ge.nu.ddel.de;

- onge.ve.eh. 951 van de waaxnzmtngi>aiXkom^ten ntet mzeh. dan 1 keeh
de. S.V. afiwtjkt van het ge.middeZde.

Deze vuistregels zijn een gevolg van:

de oppervlakte van het gebied tussen -1 en 1 onder de standaard-normale

krorame is 0,6826 en de oppervlakte van het gebied tussen -2 en 2 is

0,9544.

Je ziet dat 'j' en '95%' tamelijk ruwe benaderingen zijn.

»47. 'Dit blik verf is goed voor 9 tot 12 m² ' staat er op het etiket.
Neem aan dat de oppervlakte (in m²) die je met de inhoud van een
zo'n blik kunt verven een normaal-verdeelde variabele is. De fa-
brikant bedoelt met zijn 'garantie' dat ongeveer 95% van zijn
blikken aan de gestelde eisen voldoen.

a. Met welk gemiddelde oppervlakte en met welke S.D. heeft de fa-
brikant (vermoedelijk) gerekend?

b. Hoe groot schat je de kans dat je met een blik verf niet meer
dan 9,75 m² kunt verven?

-ocr page 37-

»48. Bekijk nog eens de frequentie-tabel van het aantal vinnerven bij
bot:


	aantal v-lnneAvtin	(,/izquejitiz
	47	5
	48	2
	49	13
	50	23
	51	58
	52	96
	53	134
	54	127
	55	1 1 1
	56	74
	57	37
	58	16
	59	4
	60	2
	61	1

a. Maak een cumiZa�ie.V�-{_i?ie.qu.&n�Le.-.tcLbeZ bij deze gegevens.

b. Hoe kun je uit die tabel snel (bij benadering) het gemiddelde
vinden?

c. En hoe de S.D.? (Gebruik een van de vuistregels).

Bij opgave » 48 had je ook met frequentiepercentages of relatieve fre-
quenties kunnen werken.

Hieronder zie je de cumulatieve relatieve-frequentiecurve op grond van
de 703 gegevens:

47 48 49 50 51 52 53 /*54 55 56 57 58 59 60 61

y aantal v-tnneAvan

-ocr page 38-

^49. In de figuur op biz. 33 zie je hoe je de plaats van het gemiddel-
de (u) op de horizontale as met behulp van de grafiek kunt bepa-
len. Gebruik de vuistregels om de plaatsen van u ± a, u ± 2a op
de horizontale as te vinden.

De grafiek op biz. 33 benadert de 'cumulatieve normale curve'.
Hieronder rechts zie je de cumulatieve grafiek bij de standaardnormale
curve (in feite de grafiek van de functie $):


		: 1


	*^^>^^^^^^mm*
....._j......	"^ ; ill i	i '- ■'

0,8
0,6
0,4

0 i 1
0,5

-1

-3 -2

» 50. Het aflezen uit de cumulatieve grafiek gaat gemakkelijker dan
uit de gewone klok-kromme. (Zie bijv.: $(0,5) w 0,7).
Hoe kun je uit de cumulatieve grafiek de beide vuistregels voor
Tiale verdeling aflezen?

»51. a. Jie grafiek van $ (de 'S-kromme') heeft twee horizontale
asymptoten, namelijk: y = 0 en y=1.
Hoe kun je dit verklaren?

b. Laat 0. een positief getal zijn.

In de 'klok-grafiek' kun je zien: $(-a) = 1 - $(a).
Hoe kun je die eigenschap uit de 'S-kromme' aflezen?

-ocr page 39-

Het werken met de cumulatieve normaalkromme (de S-kromme) heeft zekere
voordelen, zoals het direct kunnen aflezen van het gemiddelde, en, met
gebruikmaking van de vuistregel(s) van de standaarddeviatie.
Je moet daarbij natuurlijk wel weten of je inderdaad met een normale ver-
deling te doen hebt.

Er is papier ontworpen met een speciale schaalverdeling, waarop je dit
laatste gemakkelijk kunt aflezen. Dit zgn. nohmaaJL waa/it>ckijnJU.jk&pap.iQA
heeft langs een zijde (de horizontale as) een gewone ('lineaire') schaal-
verdeling en langs de andere zijde (verticale as) een schaalverdeling die
zodanig is, dat een cumulatieve normale-verdelingskromme er uitziet als
een rechte lijn.


IWU/o		1 1 ^-^
		yT
			/ i i

50%
50%		A



0%
90%	2	1 0		1 1 2
90%
70%
70%
50%
50%		/\
30%
30%
10%	/
10%	/

Cumulati.e.ve ■itandaajid-non.male. kfiommz
[gm&Lek van $) :

GhjCL^luk van $ op nonmaat-waah^cKLjn-
-LLj kh<u.cU papi-QJi:

-2

-1

»52. De schaalverdeling op het normaal waarschijnlijkheidspapier is
zo opgerekt, dat de S-kromme een rechte lijn wordt.

a. Hoe kun je verklaren dat de 'mazen' in het rooster naar boven
toe en naar beneden verticaal steeds wijder worden?

b. De onderste grafiek kun je niet zo ver uitbreiden dat de 100%-
lijn (en de 0%-lijn) te zien is. Verklaar.

-ocr page 40-



			36

		Het normaal waarschijnlijkheidspapier gebruik je als volgt: - langs de horizontale as is de schaalverdeling lineair en kun je de getallen bijplaatsen afhankelijk van de gegevens waarover je beschikt; - langs de verticale as zijn cumulatieve frequentiepercentages volgens de normale verdeling geplaatst; het papier is dan ook uitsluitend ge- schikt voor cumulatieve grafieken; - als de gegevens van een steekproef een normale verdeling represente- ren zullen de bijbehorende punten in de grafiek (nagenoeg) op een rechte lijn moeten liggen; - is dat laatste het geval, dan kun je via de 50%-lijn het gemiddelde van de verdeling schatten; - de standaarddeviatie bij een normaal verdeelde steekproef vind je bijv. door de 84%-lijn (of 16%-lijn) te tekenen; je kunt dan de waarnemings- uitkomst aflezen die 1 keer de S.D. van het gemiddelde afligt. Op biz. 37 is dit toegepast op de verdeling van het aantal vinnerven. De meetpunten zijn uitgezet bij 47,5; 48,5; enz. zoals te doen gebruike- lijk bij een cumulatieve frequentie-curve. De 'meetpunten' blijken inderdaad nagenoeg op een rechte lijn te liggen; de verdeling van het aantal vinnerven kan goed benaderd worden door de normale verdeling. De afwijkingen zitten vooral in het begin en de staart. Zie ook de gra- fiek in hoofdstuk 1 (biz. 11). De afgelezen S.D. is 55,65 - 53,6 = 2,05. Ter controle hebben we het gemiddelde en de S.D. ook berekend in 1 dec. nauwkeurig. Resultaten: 53,7 en 2,1!

-ocr page 41-


		37
		0
	■" 1 ......"	1 / &
		/^
		T J
		j
	■-----------------------------------------------------------±----------------------------	,---------------------L----1-------1_ J----1��_------XZtTff
	.-^EEHEE--------zz-~-z~-zz---z-_:~- =	::::::::::::::i:I:::I::::zl!][:::':":'«
		tti ii/- »
		I 7 &
		1 /
	*	/'*. j- - -+-
		1 hV
		¹ /
		/l
		" - -.....-+-- -X tr^q: _ ^
	3: " " "3; ^	-+- -H�M�M- ■ ' j \| j F--}� + -'-'�*- M 1 1 g:
		■ / >
	i	!/ i 1
		1-------------------------------_-------i 1/1�i-i�\|----------------.---------------------_
		- ^ - - "/TTT'T""""" -^J~^l-s ■ /I 1
		<Nl 1
		/III
	i	!/ 1 "*
		/ M 1 1 ........
	/	/ ^:
		*I ){ 1 ' ! M 1 1 I**
		7 : 1 !' "0
	j__^_^^�_n___ _n j a	/ ^: 1 i °*
		/ ■ I
		/ ' ' '
	��-_=---:^-_Ji-_-=fc--_-j-i------_--.H
	¹ :::: : _ :: 3:: : X : xt	- = = E-=M--==&J=^-^=- = = - = = = = = = = = = = = = = = = h ,!«;, 1 i 1 1 , 1 ' --■ - --■ co
		1/ I¹1 ! 1 ! 1 ! :

	T	/I ^!
	t ii it	/ 1 °
	Ml! 1	j ' '1 **
	1 i	L / 1 ill l
		/'I
		/
	j	^Q
		' \| ^
	J\	1 L. 1 1 i 1 1 1
	J	' ' 1
	/
	*, ~i----------------1�i�i-------------1-----------------H--------------~�'-------------7 ■ i**	-- �t~- i if" 1 1 \| 1 1 ■ 1 ' »■ ■[ 1^ '"T f"T' 1 " »-"■-■■ ~""^,T'~f" T=ar- � - �^**
	' it
	7	1 1
	] . f ... ...
		1 ' ■ '! ' , ! "" Q
	'	1 *
	Z i�	¹
		1 '
	7	1 U
	.	■ i °
	f	■ I : 1 1 , 1 I <">
	/'	1 i T 1 T
	'
	/	I I I I I i I I
	\|�1�1�1�1�\|�1�j- fl4t7ftHWtTTTT1	: ' ! I ! r~%
	---------?--TTT"x"r jl�--------=§�	�⁼P⁼�p-=lz"nT ^;' t \|^^S=^TTt~~~T~~


	M	i ' , ■ °
	r	^: *i i i i -**
	/	I ! ^? i I I
	j	.......' ■ i \| .......
	�	I I l I i
	r	, \| I I
	A	� I I "
	/	\| I
	?	-i^l^-^+^^t^^luH^¹"
	-------------------^------1-------1�\|�\|--------(_J�\|
	2
	= \|j = = =----ill------ --------------^^-	p======^========^===========\|=======-

	/	1 1 E i zE-, "i
	7	1 °
	/	: : it-i -- - ___ -
	-+- jL	i ^ri-
	'	_�___[ __± __± _ ±°
	_i__ .___ ___ \|.Lt _ _ X -
	rE 1= =t ~ ~ i^-"	1 III lil] 11 1 Mil 11441+ III 111 In lll4fft.
		1 3
		1 1
		1 1 1
	'i 1	1 II v 11 �!

4ls 4S>.s 44.5 i.3- 5�* 5"Z5 53.V 5"i₅ ff'ar Si.5 '57.,- 5^5- 5Jy to'r 6/.j

aatitoX vi.nneAvtn

-ocr page 42-

Via een gej>chikte. AckaalXAanA^oswatie iangi, de o6-6en, Izirn je. in fani-
te, eJtke. gnja^tek omvoHjmzn tot een fie.ckte. tijn.
AJU voon.be.eJLd nemen we y = x² [vooti xZ 0).







0 5	I	t J	f S

Vz vextiaale AchxalveAdeLing in net ftzckteA plaatje. i6 nizt-limain.,

d.ui.z. bij geLijke. afatandzn kofien ongeJLijke. getalveAAckilZe.n:

afatand 0 tot I = afatand I tot 4 = afatand 4 tot 9 = ....

Mze&taZ wohdm bij zo'n a&wijkende i>ckaat de. geXaZvex6ckiIZe.n geLijk

ge.nomen, waa/idoosi de v eA.de,eJLi>th.e.pe.n op ongeJLijkz a^tanden van eJLkaan.

kome.n te. tiggen.

Bovzmtaande. ghn^iek. komt ex dan, [xiXvexgnoot, zo ait te. zien:


	J s
	J s
	{
	s 3 2 i

» Hoe. kun je. de. plaatA van het getat 1 op de vexticatz aj> p?ie.cieJ> be-
paJLe.nl

-ocr page 43-

»53. De Belg A. Quetelet verzamelde veel gegevens om zijn ontdekkingen
over het normaal verdeeld zijn van biometrische gegevens te sta-
ven. Zo mat hij de borstomvang van 1516 soldaten ('the Army of
Potomac') in inches.
Resultaat:


	Sun&tomvcuig	F/iequeiitie
	-ch itickti
	28	2
	29	4
	30	17
	31	55
	32	102
	33	180
	34	242
	35	310
	36	251
	37	181
	38	103
	39	42
	40	19
	41	6
	42	2

Verwerk deze gegevens op normaal waarschijnlijkheidspapier en
lees af hoeveel inches de gemiddelde borstomvang en hoeveel
inches de S.D. is.

»54. Van 300 gloeilampen van een zeker type werd de levensduur (in
uren) bepaald:


	Lzvejuduwi	Fwquentie.
	\an.e.n)
	950- 1050	4
	1050-1150	9
	1150- 1250	19
	1250- 1350	36
	1350- 1450	51
	1450- 1550	58
	1550- 1650	53
	1650- 1750	37
	1750- 1850	20
	1850- 1950	9
	1950- 2050	3
	2050- 2150	1

Ga na of de levensduur van deze gloeilampen normaal verdeeld is
en geef (m.b.v. normaal waarschijnlijkheidspapier) een schatting
van gemiddelde en S.D.

-ocr page 44-



				40

»55. In de Volkskrant van dinsdag 1 november 1983 schreef Machteld Roede onder de titel 'Blijven de Nederlanders maar groeien?' onder andere:

		De Nederlanders zijn ianger gcwor- den. Kinderen van nu zijn Ianger dan leeftijdgenootjes van vroeger. De li- chaamslengte bij het bereiken van de volwassen leeftijd verschilt aanzienlijk van die van jonge mensen een eeuw geleden. In 1865 was de helft van de keurlingen kleiner dan 1,65 m. Ruim een kwart werd afgekeurd vanwege een lengte minder dan 1,57 m. Extreem was de lengte van 1,80 m, bereikt door min- der dan twee percent. Groei bij mannen kwam toen omstreeks het 25ste jaar tot stilstand; na de keuring kon nog een doorgroei van enkele centimeters optre- den. Thans zijn mannen in hun twintig- ste jaar of eerder uitgegroeid. Sinds 1975 is meer dan de helft van de keurlingen groter dan 1,80 m. Bij een landelijk groei-onderzoek van 1980 Week drie percent van 14,0 jaar oude jongens, tien percent van 14,5-jarigen en meer dan de helft van 17,5-jarigen de grens van 1,80 m reeds te zyn gepas- seerd. Ook bij vrouwen zijn verschuivin- gen in het groeipatroon opgetreden. In 1980 Week drie percent van de 18/20- jarige vrouwen 1,80 m of Ianger te zjjn. Extreem is nu te noemen de lengte van 1,95 m, bereikt door drie percent van de twintigjarige mannen. In 1-980 was een op elke duizend twintigjarige mannen 2,02 m en een op elke duizend twintigja- rige vrouwen 1,87 m. Verschuivingen in de lichaamslengte van de bevolking over verloop van tyd zijn waargenomen in alle westerse lan- den, terwyl nu ook in ontwikkelings- landen dit verschijnsel op gaat treden. De verklaring ligt in veranderingen in het milieu rond het opgroeiend kind.
			Lengte-groei is lmmers slechts ten dele erfelijk bepaald. Gedurende de gehele periode is het proces milieugevoelig. Tot nu toe zijn alleen maar remmende in- vloeden aangetoond. Een kind dat steeds weer ernstig ziek is, regelmatig hoge koorts heeft en/of over langere tijd te weinig en te eenzijdig eet; bhjft steeds meer achter bij het erfelijk uitgestippel- de groeipatroon. Bij een algehele verbe- tering van de omgeving neemt Klaaren- tegen de gezondheidstoestand van de bevolking toe, ziekte en sterfte-percen- tages bij kinderen nemen af, en de ge- middelde lengte neemt toe. Midden vorige eeuw waren de om- standigheden in Nederland evenals in de rest van Europa erbarmelijk. Epide- mieen en ernstige infectieziekten kwa- men veel voor. De hygiene was zeer slecht: nauwelijks of geen watervoorzie- ning, geen riool, de kinderen speelden op afvalhopen. De behuizing was slecht en het voedselpakket schaars. Het is navrant te noemen dat de eer- ste gerichte aandacht voor de slechte gezondheidstoestand en inzicht in de in- vloed van het milieu voortkwam uit de zorg voor een goed, gezond leger. Viller- me toonde in 1829 aan dat in Frankrijk de lengte van de keurlingen uit de arm- ste departementen geringer was en het afkeuringspercentage hoger. In Neder- land start omstreeks 1850 een soortge- lijk onderzoek. Zeeman wees er in 1861 op hoe de jaarlijkse schommelingen in het afkeuringspercentage van keurlin- gen een relatie vertoonde met de schommelingen in de prys van het graan.


	a. Uit de gegevens over de ter militaire keuring opgeroepen man- nen in 1865 kun je afleiden dat de lengte-verdeling van de 20- jarige mannen in dat jaar H-teX normaal verdeeld was. Hoe? b. Welke verklaring kun je voor die afwijking bedenken? c. Geef een schatting van de gemiddelde lengte en de S.D. (beide in cm) van de Nederlandse twintigjarige mannen en vrouwen in 1980.

-ocr page 45-

SPREIDING BIJ KANSVERDELINGEN


	tf	g^	0.15
o.isr -			0.15
0.1 ,			0.1
O.o$ .			6.0?

23-4S-67<?g

fo 7f fi

3 -4 s- 6

�3i

0.1

� 9

0.OS-

0,05 ■

J_i

3 1 5 b 7 5 3

13 H <y i fa 17 (7

4 f 4 T ? J to » l» 15 '1 >$"'(. n iSijZoliii »5 *1

IO II II

Kanshistogrammen voor het werpen met resp. 1, 2, 3, 4 dobbelstenen,
waarbij gelet wordt op de som van de aantallen ogen.

-ocr page 46-



			42

		»56. Er wordt geworpen met hoogstens vier (van elkaar te onderschei- den) dobbelstenen. De ogenaantallen die boven komen zijn resp. a. Bereken: P(X_X=6), P(X₁+X₂ = 12), P(X_X + X₂ + X₃ = 18) , P(X₁₊X₂+X₃ +X₄ = 24). b. Bereken ook: P(X₁+X₂=6), P(X₁ + X₂ + X₃ = 6) , PCX. + X2 + X3+X, =6). Op biz. 41 zie je de kanshistogrammen van Xi, Xi + X₂ (=5), X₁+X₂+X₃(=T) en X₁+X₂+X₃+X_lt (=U) . Net als bij steekproefverdelingen zijn 'gemiddelde' en 'spreiding' bij zo'n kansverdeling belangrijke grootheden. Voor wat betreft 'gemiddelde' is het een oud verhaal. Als je een groot aantal keren met een dobbelsteen werpt, kun je verwachten dat je in g van het aantal beurten 1, in f van het aantal beurten 2, enz. werpt. Het 'verwachte gemiddelde' is dus: 1 �� + 2-1 + 3-i + 4-f + 5-� + 6-i = 3,5 Bij dit experiment heb je natuurlijk ook een zekere verwachting met betrekking tot de standaarddeviatie van de uitkomsten. Immers: in §■ van het aantal beurten kun je een 'zes', dus een afwijking van 2\| van het gemiddelde verwachten, in f van het aantal beurten een afwijking van 1\|, enz.

-ocr page 47-

In tabelvorm:


LuXkomAt	afauiijking van gemiddelde {=3i)	g ekwadAateeA.de afawijkA.ng	featti
1	-2¹	6*	i t
2	¹ 2	2^	i IT
3	J. 2	l 4	i 6
4	1	1 4	1 6
5	¹ 2	2^	1 6
6	2¹ ^Z2	6*	1 6

»57. Reken na dat de verwachte gemiddelde ge.kwadJuvte.eAdz afawi.jkA.ng ge-
lijk is aan 2 j\ .
Hoe groot is de verwachte 6tandaaAddevi.ati.e (in 3 dec.)?

AFSPRAKEN:

- Het 'verwachte gemiddelde' van een stochast X noemt met de
veAwachting^waaAde van X.

Notatie: E(X) of y.,.

- De 'verwachte gemiddelde gekwadrateerde afwijking' van X, dus
het verwachte gemiddelde van (X-y.,)², noemt men de VOAcantXe
van X.

Notatie: Var(X).

- De 'verwachte standaarddeviatie' van X, dus de vierkantswortel
uit de variantie, noemt men kortweg de &tandaaAddev<La�ie van X.
Notatie: SD(X) of 0,,.

OpmeAking:

De 'variantie' wordt niet als spreidingsmaat gebruikt, maar als tussen-
stap bij het berekenen van de S.D.

-ocr page 48-



			44

		Voor X_x (= aantal ogen bij werpen met een dobbelsteen) geldt dus: E(X.) = § =3,5 Var(Xj) = ff « 2,917 SD(X_X) = /ff « 1,708 » 58. Werpen met twee dobbelstenen. Bekijk r.u de stochast X + X, (=5). a. Verklaar: E(5) = 7. b. Maak een tabel als bovenaan biz. 43 en bereken Var(S). c. Bereken ook: SD(S). De verwachtingswaarde van Xj +K_? kun je op drie manieren vinden: - Recht toe, recht aan berekenen: E(X₁₊X₂) = 2-^ + 3-� ₊ 4-& ₊ .... + 12.^ = 7. - Toepassing van de 'somregel' van verwachtingswaarden: het verwachte aantal ogen is voor de eerste, zowel als de tweede steen 3j, de verwachte gemiddelde som is dan 3? +3\| =7. Of in formule: E(X₁+X₂) = E(K_%) + E(X₂) . - Gebruikmaking van de symmetric van de kansverdeling: 7 is het middelste getal tussen 2 en 12 (zie het histogram op biz. 41). De vraag is nu of je ook de variantie handig had kunnen vinden. Als je opgave » 58b goed hebt berekend, kun je inzien dat geldt: Var(X₁₊X₂) = VarCXj) +Var(X₂). (5f = 2^ + 2#) . De verklaring hiervoor is veel minder eenvoudig dan bij de 'somregel' voor het gemiddelde. Sterker: de regel gaat niet altijd op! De volgende opgave levert een tegenvoorbeeld.

-ocr page 49-

» 59. Noem het aantal ogen dat bovzn komt bij een dobbelsteen: X en het
aantal ogen dat ond&i komt: y\

a. Wat weet je (zeker) van X+ VI

b. Verklaar: Var(X+V)=0.

c. Hoe groot is Var(X) +Var(yO ?

In het voorbeeld van opgave » 59 zijn de stochasten X en V duidelijk niet
onafhanke1ij k.

Dat wil zeggen: de kans op een uitkomst van V wordt beinvloed door de uit-
komst van X.
P(y=l)=f, maar bijvoorbeeld: P(y'=l|X = 5) =0.

Voor afhankelijke stochasten hoeft de somregel voor varianties dus niet

te gelden; voor onafhankelijke stochasten echter wel!


Als	A en B onaf hanke 1		ijke	stochasten			zijn,
dan	Var(A + 8)	= Var(A)	+ Var(B).
De	somregel gt	:ldt ook	voor	drie	of	meer ona		fhankelijke	stochasten!

»60. In opgave » 58 heb je SD(X₁+X₂) uitgerekend.
Geldt: SD(X_X+X₂) - SDCX^ + SD(X₂)?

»61. Werpen met drie dobbelstenen. T = Xi + X₂ + X₃.

Bereken (zo handig mogelijk): E(T), Var(T), SD(T).

Twee stochasten A en B noem je onafhankelijk als de kans op een uitkomst van A niet beinvloed wordt

door de uitkomst van B.

In formule: P(A = k|8 = m) = P(A = k) voor alle uitkomsten k en m van resp. A en 8.

-ocr page 50-

»62. Vier dobbelstenen. U = K_x + X₂ + X₃ + X^ .
Bereken E(U), Var(U), SD(U).

»63. Vergelijk de kanshistogrammen van Xi, Xi+X₂, Xi + X₂ + X₃ en
Xi+X₂+ X₃ +X4. (Zieblz.41).

De standaarddeviatie is een maat voor de spreiding van de uitkoms-
ten. Dat deze spreiding groter wordt bij toename van het aantal
dobbelstenen is niet geheel onverwacht. Het aantal mogelijke uit-
komsten neemt immers toe, als je met meer dobbelstenen werpt.


Sto cheat		BeAe^fe	' SpfioMUviQi, bn.o.e,d�<L'
Xi		{1,2,...,6}	5
Xi+X₂		{2,3,...,12}	10
X1 +X2 +X3		{3,4,...,18}	15
X3. +X2 + X 3	+ x₄	{4,5.....24}	20

De spreidingsbreedten verhouden zich als 1, 2, 3 en 4.
Hoe verhouden de respectievelijke S.D.'s zich?

»64. Het maakt een groot verschil of je te maken hebt met de stochas-
ten Xi, Xi+X₂, Xx+X₂+X₃, enz. of met X_x, 2X1, 3Xi, enz. !

Xi +X₂ = 8

2Xi = 10

a. Teken het kanshistogram voor 2X1.

b. Ga na dat 2Xi, 3X1 en 4Xi dezelfde verwachtingswaarden hebben
als Xi + X₂, Xi+X₂+X₃, X₁ ₊ X₂+X₃ +X₄.

c. Hoe verhouden de S.D.'s van Xi, 2Xi, 3Xi en 4Xi zich?

-ocr page 51-



		47

	»65. X is een stochast waarvan bekend is: E(X) = 10, Var(X) = 4 en SD(X) = 2.

---------------1�i�I�i i�i�i�i�i�i�i�i�I�i�i�i�i�i�i� 6 7 8 9 10 11 12 13 14 Bereken E(i0, Var(^) en SD(V0 in het geval: a. V = X + 2 c. V = -X b. V = 3X d. V = X - 3 »66. In een vaas zitten balletjes met nummer 1 tot en met 5. Iemand trekt zonder teruglegging twee balletjes uit de vaas. Het nummer op het eerste balletje noemen we Xi, dat op het tweede X2. a. Hoeveel verschillende trekkingen zijn er mogelijk? Schrijf alle mogelijkheden op. b. Bereken VarCXJ, Var(X₂) en Var(X!+X₂). c. Waarom geldt hier niet: Var(Xi+X₂) =Var(Xi) +Var(X₂)? d. K. is het kleinste nummer van de twee getrokken balletje. Bereken E(K) en SD(K). »67. Nog een keer twee dobbelstenen. We letten nu op het verschil van de aantallen ogen van de eerste en de tweede steen: l/ = Xi-X₂. a. Geef de complete kansverdeling van V. b. Bereken E(l/) , Var((/) en SD(l/) . c. Welk verband bestaat er tussen Var(Xi-X₂), Var(Xi) en Var(X₂)? d. Kun je dat verklaren zonder dat je die varianties stuk voor stuk hebt uitgerekend? (Aanwijzing: Xi - X₂=Xi+ (-X₂)).

-ocr page 52-



		48

	»68. Asterix werpt tien Romeinse geldstukken omhoog en telt het aantal 'koppen' dat boven komt (=X). Stel je voor dat hij dit experiment een groot aantal keren uit- voert. Wat is het gemiddelde aantal 'koppen' dat hij kan verwach- ten, m.a.w. hoe groot is E(X)? De vraag is nu: welke spreiding kan Asterix verwachten in de aantallen 'kop', m.a.w. hoe groot is SD(X)? Er staan verschillende wegen open om die standaarddeviatie te bepalen: - Je voert het experiment een groot aantal keren uit, bijv. door middel van een computersimulatie en berekent de S.D. (Zie biz. 49). - Je gebruikt de binomiale tabel voor n= 10 en p = 0,5 voor de kansen P(X=0), P(X=1), enz. te vinden. Daarmee bereken je dan de S.D. - In plaats van de tabel, gebruik je de kansformule: P(X=k)= C?)'^¹⁰ »69. Welk van die drie methoden levert het meest exacte antwoord op? Welke zal het minst nauwkeurig zijn? Alle drie de methoden zijn nogal bewerkelijk. Gelukkig is er een veel kortere. Net als bij de dobbelstenen kun je handig gebruik maken van de 'somregel' bij varianties. Daartoe voer je de stochasten X_ls X₂, ..., K_x in.

Door alle 'enen' en 'nullen' in een reeks-van-tien op te tellen, vind je X. De stochasten X_x, X₂.....X₁₀ hebben allemaal dezelfde verwach- tingswaarde (nl. J»0+\|»1=0,5) en dezelfde variantie (nl. i � (-0,5)² + WO,5)= =0,25). » 70. Bereken nu: Var(X) en SD(X). Klopt dat met het resultaat van de computersimulatie?

-ocr page 53-

COMPUTEROUTPUT


Reeks	Waarde van	X
1011000001	4
1000111011	6
0110100101	5
101OOOOO10	y,
0111001001	5
111OOOO110	5
1010001001	4
0101010100	4
0001100000	.2
0000001010	*■■)
0100010100	.\
1110110101	7
1OOOO11010	4
1111100010	6
0000001011	y>
1010111001	6
1000111100	5
1001010010	4
1110110011	7
0111111101	8
1011010111	7
01000 111 00	4
1101000010	4
11111OOOO1	6
1111101111	9
100111OOOO	4
0110111010	6
0100000111	4
1110010110	6
0010100111	5
011011OOOO	4
1100100101	5
1100100101	5
1101011100	6
1101001010	5
0101000000	/■-j
0000101111	5
1 110011001	6
1010110111	7
0111101011	7
0011101100	5
0100010111	5
1010011000	4
0101011100	5
0111011111	S
10101OOOO1	4
1001111011	7
1 100000001	,^>
0011010010	4
0111111101	a


Reeks	Waarde van	X
1001011101	6
0100000010	*'">*
111OOOO101	5
00011OOOO1	�3
0101111111	s
0010011011	5
1110010110	6
011101OOOO	4
OOOOO111 00	r**i
1111001010	6
1OOOOO1010	r^i
Oil 1100000	4
0011100000	■3
0111101111	8
1000011111	6
0 111000100	4
1000101011	5
0001111010	5
0000101101	4
1101110010	6
1101010111	7
1110100111	7
0011100111	6
1100110100	5
1001010100	4
0111110111	8
0001101110	in
0110100110	5
00111 00100	4
0011110010	5
01 11010001	5
1001111100	6
0010000001	O
0101110001	5
1101000101	5
1100101110	6
0000010010
OOOOO11110	4
1100101110	6
0000001101	■ll
1111000101	6
0100101100	4
0111001110	6
1011101100	6
1100000110	4
1110110010	6
0001101011	5
0001000111	4
11011OOOO1	5
1011011111	8

gemi ddelde:
st.devi ati e:

5. 03
1.56496

-ocr page 54-

s>71. Bereken de S.D. van het aantal keren 'kop' (=U) bij het werpen
met 100 muntstukken.

» 72. a. Druk de standaarddeviatie van X (opgave » 70) en U (opgave
» 71) uit in % van het aantal munten dat je werpt.

b. Doe hetzelfde ook voor het werpen met 1000 muntstukken.

c. Is het 'logisch' dat de procentuele spreiding afneemt bij toe-
name van het aantal muntstukken?

» 73. Bij een vierkeuzewerk worden 40 vragen op de gok beantwoord.
X is het totaal aantal goede antwoorden (de 'score').

a. Xi is de serie bij de eerste vraag.

Laat door berekening zien dat: E(Xi) =0,25 en Var(Xi) =0,1875.

(Maak een tabel als op biz. 43).

b. Bereken E(X) en SD(X).


We letten	op een binomiaal	experiment	met parameters	n	en p.
Dat wil zeggen:
- een uitkomstenreeks bestaat uit n onafhankelijke ui				.tkomsten		'sue-
ces' of	'mislukking';
- de kans	op 'succes' is p	en de kans	op 'mislukking'	1	-P ( =	q).
We noemen	het aantal successen: X.
Voor het	gemiddelde' en de	'spreiding' van de stochast			X gelden		de
volgende formules:
	E(X) = Var(X) = SD(X) =	np npq /npq

» 74. Controleer of deze formules kloppen met je uitkomsten bij opgave
» 71 en » 73.

-ocr page 55-

".1

AFLEIDING VAN DE n-p-q-FO'RMULES

We voeren de hulpstochasten Xi, X2, ..... X in met;

~\-'

k uuitkomt

(k = 1, 2, ..., n)

mLbiukkisfiQ

\-°

X =Xi+X₂ + ...+X = totale aantal successen.

Kijk nu eerst naar Xi
E(Xi) = q-0 +p«1 = p

0 1
We berekenen nu de gemiddelde gekwadrateerde afwijking van Xi:


iUXkomit	afawl jiving van gem.	gekwadsi. a^M-ijk-lng	kam
0 1	~P 1 - p = q	P²q²	p q

Dus: Var(Xi) = q*p² +p*q² = pq(p + q) = pq*1 = pq

Hetzelfde geldt natuurliik voor X2, ... X .

Uit de somregel voor verwachtingswaarde en variantie volgt nu:

E(X) =p + p+...+p=npen Var (X) = pq + pq + ... + pq = npq.

-ocr page 56-



			52

		SAMENVATTING Bij het berekenen van de (verwachte) 6tandaaxdddVAXutLe. van de stochast X is het vaak handig om als tussenstap de VClAAJlYVtie. te berekenen. Kan X de waarden Xi,X2, . ..,X aannemen, resp. met kansen pi,p2, ...., p en geldt: E(X) = y, dan: Var(X) = pi«(Xi - y)² + p2'(x₂ - y)² + ... + p � (x - y)² ofwel: n Var(X) = I p.(x. -y)²i = 1 ^x ^L De standaarddeviatie van X wordt dan gevonden uit: SD(X) =/Var(X) Zijn X en V onCLfahankeJLijk.il stochasten, dan kan behalve de verwachtings- waarde van X + V ook de variantie van X+ V met behulp van de zgn. somre- gel worden gevonden: Var(X+ V) =Var(X) + VarCV) Tussen de standaarddeviaties van X, Y en X + Y bestaat een wat ingewikkel- der verband: SD(X + V) = /SD²(X) +SD²(V) Deze regels gelden i.h.a. niet in het geval dat X en Y afhankelijk zijn! Voor een binomiale stochast X met parameters n( =aantal 'beurten'), p(=kans op succes) en q(=kans op mislukking) geldt: E(X) = np en SD(X) = /npq

-ocr page 57-

DE NORMALE BENADERING VAN KANSEN

� � �

� � � �

*⁰.....

� ��

� ��*�«

oo
oo

ooooooooooooo
oooooooooooooo

oooooooooooooooo
ooooooooooooooo

ooooooooooo
ooooooooooo

ooooo
oooo

Sir Francis Galton (England. 1822-1911)

Biometrika, \W1.

De kogeltjes op het bord van Galton verdelen zich, na een zig-zag-weg
tussen de pinnen, volgens een bijkans normale kromme. Hoe meer pinnen-
rijen er worden aangebracht hoe 'normaler' die verdeling gaat lijken ..

» 75. Het bord van Galton demonstreert een binomiaal kansexperiment.
Wat zijn de parameters (p en n) in de situatie op het plaatje?

-ocr page 58-

In een vaas zitten drie balletjes met daarop de nummers
1, 2 en 9. Er wordt, moX teMiglo.ggi.ng, een aantal keren
(zeg n) een balletje uit de vaas getrokken. Het nummer
van het eerste balletje noemen we Xi, van het tweede bal-
letje X2, enz.
De getrokken nummers worden opgeteld. De som van die nummers is een sto-

chast 5 .
n

Dus:

Xi + X2 + ... + X .

Hieronder zie je de kanshistogrammen van S25, S50 en Si

120 130 MO 150 1G0

waarde van de som (S25)

n = 50

125

150

200

225 250 275

waarde van de som (S50)

175

n= 100

275 300 325 350 37S 100 125 ->50 175 500 525

waarde van de som (Sioo)

Je ziet dat bij een toenemend aantal balletjes de verdeling van de som
S steeds beter gaat lijken op de normale verdeling!

-ocr page 59-



			5 3

		» 76. a. Geef de kansverdeling van S2 ( = som van de nummers bij trek- ken van twee balletjes) en teken het bijbehorende kanshisto- gram. b. Dezelfde opdracht voor S3. » 77. Bekijk de figuren op biz. 54. a. Behalve de normale 'trend' vertonen de histogrammen voor n=25 en n=50 een bijna periodiek beeld. Hoe groot schat je de 'periode'? Kun je dat verklaren uit de samenstelling van de vaas? b. De histogrammen van Sz en S3 bestaan uit geisoleerde 'bergjes'. Die van S25 lijkt een aaneengesloten 'bergketen' te zijn. Al zie je dat niet in de figuur, toch kun je weten dat het histo- gram van S25 00k geisoleerde bergjes bevat! Waarom? c. Enig idee waarom die losse bergjes niet getekend zijn? » 78. a. Bereken de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie in het geval je een nummertje uit de vaas {1,2,9} trekt. (We noemen dit wel: de verwachtingswaarde en de SD van die vaas). b. Bereken hieruit de verwachtingswaarde en de standaarddeviatie van 525, 550 en Si 00� c. Controleer je antwoorden op vraag b. in de drie histogrammen. » 79. We vervangen het nummer 9 in de vaas {1,2,9} door het nummer 3. a. Welke invloed zal dat hebben op het histogram van S25 denk je? b. Schets de normale kromme die de verdeling van S25 in dat geval benadert. (Denk aan de getallen bij de horizontale as!).

-ocr page 60-

Kansexperimenten laten zich meestal gemakkelijk 'vertalen' in het zgn,

vacumoddL.

Neem bijv. het werpen met een aantal dobbelstenen.

Je trekt een aantal keren (met teruglegging) een

balletje uit een vaas, gevuld met de nummers 1 tot

en met 6.

S is opnieuw de som van de getrokken nummers bij het trekken van n

balletjes.

JM> .III ■ itl .ll. ,1.1 I I ll l.ll I

3 1 5 t> -j 8 ^ io ii ii

rmt

3 4 5" t, 7 8 31011

MeAfe op:

De histogrammen van Sz, S3, Sit, ... vertonen in het geval er getrokken
wordt uit de vaas {1,2,3,4,5,6} heel wat eerder gelijkenis met de nor-
male verdeling dan bij de vaas {1,2,9}.

Het histogram voor n = 4 ziet er al aardig klokvormig uit, terwijl in
het geval van de vaas {1,2,9} je in het histogram voor n=50 nog dui-
delijke afwijkingen van de normale kromme kunt constateren!

»80.

1296 '

b. Verwachtingswaarde en S.D. van de vaas {1,2,3,4,5,6} zijn resp,
3,5 en /I x 2^ =3,42.

Op grond hiervan had je de kans P(Si| i 7) kunnen schatten op
2^%. Leg dat uit.

-ocr page 61-

»81. Nu het bord van Galton, ofwel de binomiale verdeling met n= 10

en p = |. Hieronder is de cumulatieve tabel van deze kansverdeling
afgedrukt.


	n =	10, p= J
	k	P(XS k)
	0	0,0010
	1	0,0107
	2	0,0547
	3	0,1719
	4	0,3770
	5	0,6230
	6	0,8281
	7	0,9453
	8	0,9893
	9	0,9990
	10	1

a. Maak een cumulatieve grafiek van deze kansverdeling op normaal-
waarschijnlijkheidspapier.

(N.B. Schrijf bij de 'meetpunten' op de horizontale as niet 0,
1, 2, 3, enz. maar 0,5; 1,5; 2,5; enz.

b. Lees uit die grafiek de verwachtingswaarde en de standaardde-
viatie van de verdeling af.

c. Controleer je antwoorden bij b met behulp van de n-p-q-for-
mules.

Ook de binomiale verdeling met n = 10 en p =| kun je vertalen in het vaas-
model: 'trek tien keer (met teruglegging) een balletje
uit de vaas {0,1} en tel de nummers op'.

In opgave > 81 is gebleken dat ook in dit geval de verdeling van de 'som'
goed lijkt op de normale verdeling.

»82. Ook een binomiaal experiment met bijv. n = 50 en p = 0,2 kan worden
vertaald in het trekken van nummertjes uit een vaas.

a. Hoe zou je die vaas samenstellen?

b. Ga met behulp van de binomiale tabel na of de kans dat het
aantal successen minder dan 2 S.D. afwijkt van de verwachtings-
waarde ongeveer 95% is.

-ocr page 62-



				58

	DE CENTRALE LIMIETSTELLING Er geldt: Bij het aselect trekken (met teruglegging) van een aantal nummertjes uit een vaas, zal de 6om van de. nummeAXjeA een verdeling hebben die lijkt op de normale verdeling. Die gelijkenis wordt sterker naarmate het aantal nummers dat getrokken wordt groter is! Deze regel staat in de statistiek bekend als de ce.ntH.atz limietitettlng,

			S = Xi+X₂+ ... +X

Nog wat algemener geformuleerd luidt de stelling:

		Wanne.eA een aantal ona&kankeZijke Atockaiten btj eZkaaft wohxit opge- teZd, dan goat de vexdeLLng van de �>om beteA Lijken op een nohmate veA.deZi.ng, naanmate het aantal tenmen gfioteA wohdt.

	OpmeAkingen: 1. Behalve het aantal balletjes heeft ook de samenstelling van de vaas invloed op de mate van gelijkenis met de normale verdeling. Bij een 'onregelmatige samenstelling' (zoals {1,2,9}) zal het aan- tal te trekken balletjes groot moeten zijn om de normale verdeling redelijk te benaderen.

-ocr page 63-



																												59

2. Met de centrale limietstelling kan ook worden verklaard waarom de normale verdeling zo vaak in de natuur voorkomt. Neem bijv. de lichaamslengte. Die wordt beinvloed door een groot aan- tal 'kansfactoren' tengevolge van erfelijkheid en milieu. De lichaamslengte kan worden opgevat als de som van een aantal min of meer onafhankelijke stochasten en is dan volgens de centrale li- mietstelling normaal verdeeld. Als gevolg van de centrale limietstelling zijn binomiale kansen te bere- kenen (eigenlijk: te benaderen) via de normale tabel. Voor p=i is die benadering al gauw nauwkeurig. Voor p ^ I, bijv. p = 0,2, is de binomiale verdeling voor kleine waarden van n nog 'scheef' en moet n tamelijk groot zijn, wil de normale bena- dering enige nauwkeurigheid hebben. (De vaas met twee 'enen' en acht 'nullen' is niet erg regelmatig samen- gesteld!). Vergelijk de histogrammen:

				P = 0,5

	o.s 0.4 0.3 0.2 0.1 0
									0.4 0.3 0.2 0 1 0
																		0.4 0.3 0.2 0.1 0
							n = 2
																										n=16


																									Pill.
											m





																						0 2 4 8 8 101214
					0 2
												0 2 4
																0 2 4 6 8



			P = 0,2

		0.5 0.4 0.3 (1.2 0.1 0
														0.4 0.3 0.2 0.1
										0.4 0.3 02 0.1
																			0.4

																				0.3

																											n-40
																	n = 20
								n-5


																					02

						Ir 0 2 4
																					0.1



																								lllllllll...
													TTTff^ 0 2 4 6


															0 2 4 6 8 10								0 2 4 6 8 10121416

-ocr page 64-

Tot 'op zekere hoogte' kun je binomiale kansen berekenen met de normal

verdeling.

Dat is een groot voordeel, omdat je nu eenmaal niet over binomiale ta-

bellen voor alle waarden van n en p kunt beschikken, terwij1 je voor

alle normale verdelingen met een standaard-tabel (de 0-tabel) kunt vol

staan!

Als voorbeeld nemen we een geval dat in onze binomiale tabel te vin-

den is: n=100, p = 0,2.

Volgens de binomiale tabel geldt: P(Xi 25) = 0,9125.

Om deze kans met de 0-tabel te kunnen berekenen, moet er eerst wor-
den gestandaardiseerd! Daartoe berekenen we p( =E(X) en a ( =SD(X)).

u = n«p = 20

a = /npq = / 16 = 4.

� . , X - y X-20

■

a 4 -2 -1 c
Z is bij benadering standaard normaal verdeeld,

P(XS 25) = P(XS 25,5) -«------

= P(Z<^*)

= 0(1,375)
w 0,91545 -«-

Je ziet: een afwijking van niet meer dan 0,003 met 0,9125!

OpmoAk-LYiQ :

Bij vervanging van 25 door 25,5 spreekt men wel van een contA.nuZZe.-iXA-
C0HJ12.CJU.Q..

-ocr page 65-



		61

	Aan de hand van onderstaand plaatje kun je gemakkelijk verklaren waarom die continuiteitscorrectie een nauwkeuriger antwoord oplevert.

P(X ^ 25) is gelijk aan de oppervlakte van het histogram tot en met de 'balk' bij 25 en dit komt overeen met de oppervlakte onder de normale kromme tot 25,5. Voor erg grote waarden van n is de invloed van de continuiteitscorrectie gering. In zulke gevallen laat men het toepassen van de continuiteits- correctie soms achterwege. In het algemeen is het veiliger om de correc- tie wel toe te passen. »83. Ga na welk resultaat je met de $-tabel had gekregen zonder toepas- sing van de continuiteitscorrectie. » 84. Bereken m.b.v. de standaard-normale tabel: a. P(X^20) in het geval: p = 0,4; n = 50. b. P(XS320) in het geval: p = 0,75; n= 400. c. P(X= 12) in het geval: p = 0,5; n = 25. »85. Volgens de politie is bij een van de vier fietsen het achterlicht niet in orde. Bij een steekproef worden 60 fietsen gecontroleerd. Hoe groot is de kans dat van tenminste 20 fietsen het achterlicht niet goed functioneert?

-ocr page 66-

»86. Het trekken van tien balletjes (met teruglegging) uit een vaas

met een wit en een zwart balletje werd met de computer 10000 keer

gesimuleerd.

Dit leverde de volgende frequentie-tabel op:

simulatie balletjes trekken

gemiddelde: 5.0041
st.deviatie: 1.575272

frekwentie tabel bij het 10OOO keer trekken van lOballetjes uit een vaas met 1

witte balletjes en
1 zwarte balletjes

453

1231

1997

4
5

6
7
B
9
10

Welke frequentie had je volgens de normale tabel bij '5 witte
bqiT-tjes' kunnen verwachten? En volgens de binomiale tabel?

eerste 3000 geboorten in 1962 in Graz (Oostenrijk) waren
er 1578 jongens.

Hoe groot is de kans op tenminste 1578 jongens bij 3000 geboor-
ten, als je aanneemt dat er gemiddeld evenveel jongens als meis-
jes worden geboren?

» 88. In 1976 werden er in Nederland ca 177.000 kinderen geboren. Vol-
gens statistieken is de kans op een jongensgeboorte in ons land

51,5%.

a. Welk aantal jongensgeboorten had men in dat jaar kunnen ver-
wachten?

b. In werkelijkheid waren er ongeveer 91.000 jongens- en 86.000
meisjesgeboorten. Hoe bijzonder is dit, m.a.w. hoe groot had
je bij voorbaat de kans op n-ieX mceA dan 91.000 jongensgeboor-
ten kunnen schatten?

-ocr page 67-



			63

		»89. Een bedrijf koopt zekeringen in partijen van 8000 stuks. Bij aan- komst van zo'n partij wordt een aselecte steekproef van 50 stuks aan keuring onderworpen. Als alle 50 exemplaren van de steekproef deugdelijk zijn, wordt de partij geaccepteerd, anders niet. Aan het bedrijf wordt een partij toegestuurd, waarvan 5% niet aan de eisen voldoen. a. Hoewel er hier zonder teruglegging wordt getrokken, maak je slechts een kleine fout als je doet alsof er met teruglegging wordt gekozen. Waarom? b. Bereken de kans dat zo'n partij van 8000 stuks wordt geaccep- teerd. » 90. Iemand werpt 200 dobbelstenen. a. Hoe groot is de kans dat hij een totaal van ten hoogste 675 ogen gooit? b. Bij 50 van de 200 stenen is het resultaat een zes. Vind je dit resultaat erg toevallig? (Aanwijzing: bereken de kans op tenminste 50 zessen). »91. Een basketballspeler zegt dat hij bij 80% van zijn af standschoten doel treft. Zijn trainer beweert dat het schotpercentage van de be- wuste speler 60% is. Ze spreken af dat, als de speler kans ziet met tenminste 70% van zijn schoten tijdens de eerstvolgende tien wedstrij- den te scoren, hij van zijn trainer gelijk krijgt. Scoort hij minder dan wordt de trainer in het gelijk gesteld. Hij blijkt in die tien wedstrijden 90 keer van afstand te hebben geschoten. a. Hoe groot is de kans dat de speler gelijk krijgt, terwij1 de trainer het bij het rechte eind had? b. Hoe groot is de kans dat de trainer ten onrechte gelijk krijgt?

-ocr page 68-

»92. Experiment: n keer werpen met een geldstuk.

Uitkomst waar op gelet wordt: het aantal keren 'kop' (=X ).

a. Ga na: E(X) = ^n en SD(X) = ^.

b. Met behulp van een bekende vuistregel kun je schatten dat de
kans op een resultaat tussen 40 en 60 keer 'kop' bij 100 wor-
pen ongeveer 95% zal zijn.

Leg dat uit.

c. Hoe groot schat je bij honderd worpen de kans op een resultaat
tussen 45 en 55 keer 'kop'?

»93. Experiment als in opgave »92,

Iemand beweert: de kans dat het aantal keer 'kop' tussen 49% en
51% van het totale aantal (=n) worpen ligt, is gelijk aan 0,95.
Hoe groot is n? (Gebruik de vuistregel).

John Kerrick bracht zijn tijd van gevangenschap in de Tweede Wereld-
oorlog door met het uitvoeren van een kansexperiment: hij toste tien-
duizend keer met een geldstuk en noteerde regelmatig het aantal keren
'kop'.


	htumb&n	UumbeA
	oi	oi
	to&bQA	huad-i,
	10	4
	20	10
	30	17
	40	21
	50	25
	60	29
	70	32
	80	35
	90	40
	100	44
	200	98
	300	146
	400	199
	500	255
	600	312
	700	368
	800	413
	900	458
	1000	502
	2000	1013
	3000	1510
	4000	2029
	5000	2533
	6000	3009
	7000	3516
	8000	4034
	9000	4538
	10000	5067

Resultaat:

~ -s

100 1000

NunBER OF TOSSES

10000

De grafiek van het experiment van John Kerrick
illustreert prachtig de 'wet van de grote ge-
tallen': als je een kansexperiment erg vaak uit-
voert, zal het gemiddelde aantal 'successen' in
de buurt komen van de theoretische kans.

-ocr page 69-



		65

	De sterke invloed van het aantal kan worden verklaard uit het feit dat de S.D. van het aantal successen bij toenemende n niet evenredig is met n, maar met vn. Bij 10000 worpen betekent dit het volgende. Stel X = het aantal keer 'kop' en V = ~~rK7>K7\~~ (⁼ de relatieve frequentie van het aantal keer 'kop'). Er geldt: E(X) = 10000 � \ = 5000 SD(X) = 100 � \| = 50 En dus: E(!0 = ~~ = 0,5 (50%) ^SD(/) ⁼ imo ⁼ °'⁰⁰⁵ ⁽⁰»^5%) Volgens de statistische vuistregel is er een kans van ongeveer 95% dat het resultaat niet meer dan 0,01 (= 2 SD) van 0,5 afwijkt. Kerricks resultaat voldeed hier ruimschoots aan. »94. Hoe groot is de 95%-marge bij 5000 keer uitvoeren van het expe- riment. Vergelijk Kerrick's resultaat met je antwoord.

In bovenstaand voorbeeld heb je gezien dat bij toenemende n de spreiding van het gemiddelde aantal successen afneemt. lets preciezer: de SD van het gemiddelde aantal successen is omgg.ke.eAd eve.Ylh.e.di.Q met de wortel uit het aantal beurten. In het voorbeeld: De SD van het gemidd. aantal successen bij 1 beurt = 0,5. De SD van het gemidd. aantal successen bij 10000 beurten = '■ = 0,005, /Toooo 0 5 De SD van het gemidd. aantal successen bij 5000 beurten = ■ ' = 0,007. /5000

-ocr page 70-

SAMENVATTING

Centnate. llmZeXAteltlng:

De kansverdeling van de som van een aantal onafhankelijke stochasten
kan worden benaderd met de normale verdeling.

KinomlaZe veAde-tlng be.nad.eAd doon iitandaaxd-nonxnate ve/tdeZing:

Binomiale kansen kunnen dus met de $-tabel worden benaderd.

Daarbij moet je de stochast X met parameters n en p eerst standaardi-

seren:

X - np

(q = 1 - p)

/npq
Bij gebruikmaking van de continuiteitscorrectie geldt dan bijvoorbeeld:

P(X<_k) = $(Mi3P)
\ /npq /

P(X^m) = 1 -^(~~^m^~^np~~^s v^pq

S. - uieX:

Bij toename van het aantal beurten (=n) bij een binomiaal experiment
neemt de SD van het aantal successen evenredig toe met /n.
De SD van het gemiddelde aantal successen per beurt is dan omgekeerd
evenredig met /a.

-ocr page 71-



			67

	/
	/	GEMENGDE OPGAVEN
		GEMENGDE OPGAVEN

»95. Van de 20-jarige inwoners van een zeker land behoort 48% tot het vrouwelijk geslacht. De gemiddelde lengte van de 20-jarige vrouwen is 170 cm met een S.D. van 6 cm. Voor de 20-jarige mannen zijn die gegevens resp. 180 cm en 8 cm. a. Hoeveel % van alle 20-jarige inwoners van dat land zal langer zijn dan 1,76 cm? b. Laat het getal L (in cm) een lichaamslengte voorstellen. De kans dat een willekeurig gekozen 20-jarige man \iL<LLYi2A is dan L is even groot als de kans dat een willekeurig gekozen vrouw (van 20 jaar) QK.ot.QJt is dan L. Bereken L. » 96. Dezelfde gegevens als in opgave » 95. Hoe groot is de kans dat een willekeurig gekozen 20-jarige man langer is dan een willekeurig gekozen vrouw van 20 jaar? Aanwijzing: De lengte van een 20-jarige man is een stochast X, die van een dito vrouw V. Het lengteverschil X - V ( = I/) is ook een normaal verdeelde sto- chast. a. Hoe groot is E(l/)? b. Verklaar: SD(l/) = 10 cm. c. Bereken P(l/> 0). d. Wat is dus de gevraagde kans?

-ocr page 72-



		68

	» 97. Gegeven zijn de vazen:



X is het nummer van een willekeurig gekozen balletje uit vaas I; V is de som van twee willekeurig gekozen balletjes uit vaas II. Hebben X en V dezelfde kansverdeling? Verklaar je antwoord. » 98. Volgens een NIPO-enquete bedroeg het aantal aanhangers van een politieke partij in een zekere stad 20%. Een NOS-raedewerker vroeg 81 aselect gekozen stemgerechtigden in die stad naar hun politieke voorkeur. In zijn steekproef bleken niet meer dan 12 mensen voorkeur voor genoerade partij te hebben. De NOS-medewerker trok de uitslag van de NIPO-enquete in twijfel. Volgens hem zou bij aanname van de juistheid van die 20% de kans op niet meer dan 12 aanhangers in zijn steekproef kleiner zijn dan 5%. Had hij gelijk? »99. Van het Station Utrecht C.S. vertrekken van twee kanten busdiens- ten (resp. stadsvervoer en streekvervoer) naar het buiten de stad gelegen universiteitscentrum 'de Uithof. Tussen 09.00 en 09.15 uur komen er 92 mensen per trein aan die van een van beide bus- diensten gebruik willen maken om een congres in de Uithof te be- zoeken. Bij beide maatschappijen is voor dat doel een bus met 52 zitplaatsen gereserveerd. Om 09.00 uur vertrekken beide bussen. Veronderstel dat die 92 mensen elk met kans � voor een van beide busdiensten kiezen. Hoe groot is de kans dat er in een van de twee bussen mensen moe- ten staan?

-ocr page 73-



		69

» 100. Op de veiling van Delft werden ook deze zomer weer veel komkom- mers aangevoerd. Eigenlijk teveel en op een gegeven moment was het overschot zelfs 25% van de aanvoer. Het bestuur van de vei- ling besloot toen, na overleg met de kwekers, de wat kleinere komkommers niet te laten veilen. Ga er bij deze opgave vanuit dat de lengte van de aangevoerde komkommers normaal is verdeeld met een gemiddelde lengte van 50 cm en een standaarddeviatie van 5 cm. a. Welk percentage komkommers zal een lengte van meer dan 57 cm hebben? b. De 25% kleinste komkommers zullen niet worden geveild. Vanaf welke lengte worden de komkommers geveild? c. Hoe groot is de kans dat van een aselecte partij van 100 kom- kommers er tenminste 80 zullen worden geveild? d. In een kist met 25 komkommers zijn er 7 'onder de maat'. Iemand pakt aselect 10 komkommers uit de kist. Hoe groot is de kans dat daar 3 te kleine komkommers bij zijn? e. Iemand haalt een komkommer uit een kist met geveilde komkom- mers. In de kans dat die komkommers groter dan 50 cm is klei- ner dan \, gelijk aan \, of groter dan \|? Licht je antwoord toe. Hoe groot is die kans precies? f. Schets in de figuur op het grafiekenblad de lengteverdeling van de geveilde komkommers. (Gebruik de aangegeven schaalver- deling).

	GKotYitzvzAJLlnQ In 1961 [VeZfit).

			____i

-ocr page 74-



					70

-ocr page 75-

DE VERDELINGSFUNCTIE <P

van de standaardnormale stochast Z, vermenigvuldigd met 10 000.


z	0	1	2	3	4	5	6	7	8
0,0	5000	5040	5080	5120	5160	5199	5239	5279	5319
0,1	5398	5438	5478	5517	5557	5596	5636	5675	5714
0,2	5793	5832	5871	5910	5948	5987	6026	6064	6103
0,3	6179	6217	6255	6293	6331	6368	6406	6443	6480
0,4	6554	6591	6628	6664	6700	6736	6772	6808	6844
0,5	6915	6950	6985	7019	7054	7088	7123	7157	7190
0,6	7257	7291	7324	7357	7389	7422	7454	7486	7517
0,7	7580	7611	7642	7673	7704	7734	7764	7794	7823
0,8	7881	7910	7939	7967	7995	8023	8051	8078	8106
0,9	8159	8186	8212	8238	8264	8289	8315	8340	8365
1,0	8413	8438	8461	8485	8508	8531	8554	8577	8599
1,1	8643	8665	8686	8708	8729	8749	8770	8790	8810
1,2	8849	8869	8888	8907	8925	8944	8962	8980	8997
1,3	9032	9049	9066	9082	9099	9115	9131	9147	9162
1,4	9192	9207	9222	9236	9251	9265	9279	9292	9306
1,5	9332	9345	9357	9370	9382	9394	9406	9418	9429
1,6	9452	9463	9474	9484	9495	9505	9515	9525	9535
1,7	9554	9564	9573	9582	9591	9599	9608	9616	9625
1,8	9641	9649	9656	9664	9671	9678	9686	9693	9699
1,9	9713	9719	9726	9732	9738	9744	9750	9756	9761
2,0	9772	9778	9783	9788	9793	9798	9803	9808	9812
2,1	9821	9826	9830	9834	9838	9842	9846	9850	9854
2,2	9861	9864	9868	9871	9875	9878	9891	9884	9887
2,3	9893	9896	9898	9901	9904	9906	9909	9911	9913
2,4	9918	9920	9922	9925	9927	9929	9931	9932	9934
2,5	9938	9940	9941	9943	9945	9946	9948	9949	9951
2,6	9953	9955	9956	9957	9959	9960	9961	9962	9963
2,7	9965	9966	9967	9968	9969	9970	9971	9972	9973
2,8	9974	9975	9976	9977	9977	9978	9979	9979	9980
2,9	9981	9982	9982	9983	9984	9984	9985	9985	9986
3,0	9987	9987	9987	9988	9988	9989	9989	9989	9990
3,1	9990	9991	9991	9991	9992	9992	9992	9992	9993
3,2	9993	9993	9994	9994	9994	9994	9994	9995	9995
3,3	9995	9995	9995	9996	9996	9996	9996	9996	9996
3,4	9997	9997	9997	9997	9997	9997	9997	9997	9997
3,5	9998	9998	9998	9998	9998	9998	9998	9998	9998
3,6	9998	9998	9999	9999	9999	9999	9999	9999	9999

5359

5753
6141
6517
6879

7224

7549
7852
8133
8389
8621

8830
9015
9177
9319
9441

9545
9633
9706
9767
9817

9857
9890
9916
9936
9952

9964
9974
9981
9986
9990

9993
9995
9997
9998
9998

9999