|
rCIETSIEN VAN
HYPOTHIsSEN |
||||||||||
|
Freudenthal instituut
Archief |
||||||||||
|
TCIE7SIEN VAN
HYPCTI-IIESIEN |
||||
|
Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
INHOUDSOPGAVE
|
|||||
|
1. OVERSCHRIJDINGSKANSEN pag. 1
2. EENZIJDIG TOETSEN 7
3. TWEEZIJDIG TOETSEN 11
4. KRITIEK GEBIED 15
5. EEN TOETS VOOR ONAFHANKELIJKHEID 19
6. GEMENGDE OPGAVEN 23
|
|||||
|
1
|
||||||||||||
|
I
|
||||||||||||
|
OVERSCHRIJDINGSKANSEN
|
||||||||||||
|
Emble,em UeA2Jidg^zondk2A.cU,oAganAj>cutle.
|
||||||||||||
|
Een arts wordt door de 'World Health Organization' uitgezonden naar
Nieuw Guinea om te bestuderen in welke mate de huidziekte framboesia (frambozenziekte) in een bepaalde streek voorkomt. In een gezondheidsrapport over Nieuw Guinea wordt gesteld dat in die
streek ongeveer 50% van de papoea's aan huidaandoeningen ten gevolge van framboesia lijdt. Een plaatselijke arts spreekt dit tegen. Hij beweert dat een kwart van de bevolking framboesia heeft. Indien het percentage framboesialijders overeenkomt met wat vermeld staat in het gezondheidsrapport, wil de W.H.O. op korte termijn een uitgebreid genezingsprogramma (behandeling met peniciline) uit laten voeren. Is het percentage daarentegen beduidend lager (bijv. 25% of minder), dan zal aan een ander project van gezondheidszorg de voor- keur worden gegeven. Bij aankomst in Nieuw Guinea besluit de W.H.O.-arts een aselecte
steekproef van 50 papoea's uit de streek te nemen en deze mensen te onderzoeken. Zijn conclusie zal hij baseren op het aantal framboesia- lijders in de steekproef. |
||||||||||||
|
Papuan van de. BatlemvalZeA. in de. Pe.gunu.ngan Maoke. [Cznt/vaat BeAglxind)
go,Kzzd voon. do, jackt. |
||||
|
3
|
|||||||
|
» 1. Hij treft in zijn steekproef 18 framboesialijders aan.
Stel je voor dat het rapport de waarheid spreekt, dus dat 50% van
de bevolking een of andere vorm van framboesia heeft. a. Hoe groot is de kans dat er in een aselecte steekproef van 50
tzn hoOQi>tz 18 mensen zijn die framboesia hebben? b. Hoe denk je (gezien je antwoord op vraag a) over de uitspraak
in het gezondheidsrapport? Over de mate waarin framboesia voorkomt in een deel van Nieuw Guinea
zijn twee kypotkunn naar voren gebracht: - de hypothese in het gezondheidsrapport: 50% van dn be.VOlkMig ht<l^t
fafwrnboMi-CL. - de hypothese van de plaatselijke arts: 25% hO-H^t fanamboQJ>AjOi.
De eerste hypothese is de zogenaamde nuthypotkue. (H0), dat is de te
toetsen hypothese. De tweede hypothese (B.x) is de zogenaamde aLtQJvaOJtiQMZ hypotkuz of
tug cnhypotheA e.. De toetsing van de hypothese HQ bestaat uit een statistisch onderzoek;
dat onderzoek is gebaseerd op een aselecte steekproef. Omdat het hier gaat om een experiment waarbij voor elke proefpersoon twee uitkomsten mogelijk zijn (wel framboesia/geen framboesia) kunnen we de binomiale verdeling als kansmodel nemen. In termen van dit model worden de beide hypothesen nu kort opgeschreven: H0 stelt: p = 0,5
Hi stelt: p = 0,25 |
|||||||
|
(hierbij is p de kans dat een aselect gekozen persoon framboesia heeft).
Of nog korter: H0: P = 0,5
H1: p = 0,25 |
|||||||
|
4
|
||||
|
Het aantal framboesialijders in een steekproef van 50 papoea's is een
binomiale stochast X; die stochast wordt hier de toejtb-ing&g/ioothestd ge- noemd. » 2. a. Hoe groot is, gesteld dat H0 waar is, de verwachtingswaarde van
X? En de standaarddeviatie? b. De waarde van X in de steekproef zal i.h.a. afwijken van de ver-
wachtingswaarde. Onze arts vond een afwijking 'naar beneden' van 7. Waarom zijn we in dit geval alleen geinteresseerd in afwij- kingen 'naar beneden'? In opgave » 1 heb je-in de veronderstelling p = 0,5- de kans uitgerekend
dat de waarde van X ten hoogste 18 is. Die kans noteren we zo: P(X < 18|p = 0,5) of P(X < 18|H0).
Deze wordt de OV&U>chAA,jdi.ng.!>kcLVU> bij het experiment genoemd.
Volgens de binomiale tabel is de overschrijdingskans hier gelijk aan 0,0325 ofwel 3i%. 3> 3. Stel je voor dat de arts niet X= 18, maar X = 23 gevonden zou hebben.
a. Hoe groot zou in dat geval de overschrijdingskans zijn?
b. Zou er bij die uitkomst reden genoeg zijn om te twijfelen aan
de bewering in het gezondheidsrapport? Bij het berekenen van de overschrijdingskans ga je uit van de nulhypothe-
se. In de steekproef vind je een afwijking van de te verwachten waarde X. Je wilt weten hoe groot de kans op <Lin mLnAtOJU, zo gfiott afwijking is als je opnieuw een steekproef van dezelfde omvang zou trekken. Je zou kunnen zeggen: de overschrijdingskans is een kans op een resultaat dat 'even slecht of slechter' is dan wat men in de steekproef vond. In de figuur op biz. 5 zie je de overschrijdingskans bij de resultaten
X= 18 en X = 23 in een kanshistogram voor p = 0,5. |
||||
|
5
|
|||||
|
GAote. afouLjkUjig van verwachtingswaarde, kdeoie KL<un<L aiuU.jiu.ng van verwachtingswaarde, gAote.
oviAickAA.jdingika.ni. Reden om te twijfelen aan oveAAchAAJdingikani. Weinig reden om te twijfe-
H0, want de uitkomst van de steekproef is zeld- len aan H0. De uitkomst van de steekproef is
zaam! niet abnonnaal.
Bij een grote overschrijdingskans, bijv. 33%, is er niet voldoende reden
om te twijfelen aan de nulhypothese. Immers, als je een groot aantal
aselecte steekproeven-van-50 zou trekken, zou je gemiddeld in een van de
drie keer een minstens zo grote afwijking vinden.
Bij een kleinere overschrijdingskans, bijv. 10%, wordt de zaak wel dubi-
eus. Toch kun je volhouden dat je ook nu de nulhypothese niet wilt afkeu-
ren. In een van de tien gevallen zou je immers een even afwijkend resul-
taat gevonden hebben.
Bij een zeer kleine overschrijdingskans, bijv. 0,1%, is het duidelijk
wat je conclusie moet zijn. Het resultaat van de steekproef komt zo zel-
den voor dat er reden genoeg lijkt om de nulhypothese te verwerpen.
Ergens tussen die 0,1% en 10% trekken we een grens.
Gebruikelijke grenzen in de statistiek zijn: 5%, 2£%, 1%, 1%0.
Men noemt zo'n grens een 6yLgyu.^cayvtLt~yvivQau.
Bij 5% zou je kunnen spreken van zwak significant, bij 0,1% van sterk
significant.
In ons geval (zie opgave > 1) hebben we een overschrijdingskans gevonden
van 3i%, een tamelijk significante aanwijzing om H0 te verwerpen!
In het framboesia-voorbeeld zijn de parameters van het binomiale kans-
model erg mooi: p = 0,5 en n = 50. Dit maakt het mogelijk om de binimiale tabel te gebruiken bij het berekenen van de overschrijdingskans. In de praktijk zullen die waarden (van p en n) vaak niet zo mooi zijn. Geen nood, want de binomiale verdeling laat zich al gauw goed benaderen door de normale verdeling. |
|||||
|
6
|
|||||
|
» 4. Veronderstel dat de arts zijn steekproef 1i keer zo groot genomen
had en ook 11 keer zoveel zieke papoea's had aangetroffen (dus 27 van de 75). a. Denk je (zonder raadpleging van de tabel) dat dit een meer sig-
nificante, even significante of minder significante aanwijzing is om H0 te verwerpen? b. Bereken voor dit geval de overschrijdingskans met behulp van
de normale tabel. De hypothesen H0 en H-,^ zijn niet uitwisselbaar!
Veronderstel dat de W.H.O. meer vertrouwen had gesteld in de mening van
de plaatselijke arts dan in het gezondheidsrapport.
In dat geval zou de te toetsen nulhypothese zijn:
H0: p = 0,25
en de tegenhypothese: H1: p = 0,50.
» 5. De steekproef bestaat weer uit 50 personen.
a. Hoe groot is in dit geval de verwachtingswaarde resp. de stan-
daarddeviatie van het aantal framboesialijders in de steek- proef? b. Welke afwijkingen van de verwachtingswaarde zijn nu interessant
voor de W.H.O.: die naar boven of die naar beneden? c. Neem aan dat de steekproef weer 18 zieken oplevert.
Welke kans zou je nu de overschrijdingskans noemen? (Gebruik een notatie als op pag. 3). d. Hoe groot is deze overschrijdingskans?
|
|||||
|
7
|
||||||
|
EENZIJDIG TOETSEN
|
||||||
|
In het eerste voorbeeld van hoofdstuk 1 werd de hypothese p=0,5 (H0)
getoetst tegen p = 0,25 (Hx).
Afgezien van opgave » 5 (waarin een nieuwe situatie werd geschetst) is
nergens gebruik gemaakt van de waarde van p in de tegenhypothese.
De aanduiding p = 0,25 is alleen maar gebruikt om aan te geven dat we
geinteresseerd waren in een significante afwijking naar beneden.
Eigenlijk hadden we net zo goed kunnen stellen:
H0: p = 0,50
Hx: p< 0,50
In de praktijk gebeurt dat 00k zo. De nulhypothese is 'enkelvoudig' (d.w.z. doet een uitspraak over een
waarde van p); de tegenhypothese is 'samengesteld' (bij verwerpen van de nulhypothese zijn er nog een heleboel waarden van p mogelijk). Men spreekt in dit voorbeeld van een ZZnzA.jdi.Q2. toets, omdat er alleen interesse bestaat in afwijkingen naar een kant. |
||||||
|
8
|
|||||
|
*■ 6. Een zekere kwaal kan met de gangbare geneesmiddelen genezen wor-
den met een kans van 30%. Een fabrikant heeft een nieuw geneesmiddel uitgevonden. Hij wil
dit op de markt gaan brengen als zijn middel beter is dan de tot nu toe gebruikte. Kortom, hij wil toetsen H0: p = 0,3 tegen H1: p > 0,3.
Daartoe neemt hij een steekproef van 20 patienten. Tot zijn vreug- de blijkt de helft te genezen. a. Als significantie-niveau neemt hij 2s% (we noteren kortweg:
a = 0,025). Laat met behulp van de tabel zien dat zijn resultaat niet goed
genoeg is om het geneesmiddel op de markt te krijgen. b. Bij welke uitkomsten van zijn experiment zou hij (bij a=0,025)
wel overgaan tot het op de markt brengen van het nieuwe genees- middel? » 7. Een restauranthouder wil voor een koud buffet een groot aantal
blikjes vis bestellen. De winkelier biedt hem een voordelige prijs
aan, omdat naar zijn zeggen er wel eens een blikje met bedorven
vis tussen zit, gemiddeld een op de twintig.
De restauranthouder is een voorzichtig mens en koopt eerst zes
blikjes op proef. Hiervan blijken twee blikjes bedorven vis te
bevatten.
Heeft hij reden om de uitspraak van de winkelier in twijfel te
trekken. (Neem a = 2i%).
» 8. Bij een ander restaurantbedrijf neemt men een veel grotere steek-
proef (60 blikjes vis). Hiervan blijken er 7 bedorven vis te bevatten.
Geeft dit reden genoeg om bij een significantie-niveau van 2|% te
twijfelen aan de uitspraak van de winkelier uit opgave » 7? |
|||||
|
9
|
|||||
|
» 9. Een woordvoerder van Reagan beweert in 1984 dat 60% van de Ameri-
kaanse bevolking achter de president staat. Een politicus van de Democratische Partij beweert dat dit (aan-
zienlijk) minder is. Ze toetsen de beweringen door 100 aselect gekozen personen te on-
dervragen. Bij welke aantallen voorstanders van Reagan verwerp je de bewe-
ring van de woordvoerder van de president? (Neem a=0,05). » 10. In een nieuw in te richten kantoorgebouw moeten 500 TL-buizen ge-
plaatst worden. Er is keus uit twee typen A en B, waarbij type B aanzienlijk goedkoper is dan A. Volgens de leverancier van type B is de kwaliteit van beide soor-
ten buizen gelijk. Er worden van beide soorten evenveel buizen geplaatst. Na zekere tijd heeft men 63 buizen moeten vervangen (19 van type
A, 44 van type B). Toets hiermee de hypothese dat er geen kwaliteitsverschil is.
Kies a = 0,01. |
|||||
|
10
|
|||||
|
MunttzckrUzk In de tUddeZzeumn. Vz pUat wndt dooi kamvtm op de ge-
mn*t<L dikta gzbmckt, mzt een mztaaUchcuvi wndm de muntplaatjeA uU- gzknlpt en mot een manthamoA m>tdt de mint gulagm. |
|||||
|
11
|
|||||||
|
O.
|
|||||||
|
TWEEZIJDIGE TOETSEN
|
|||||||
|
De bekende tekst op de rand van de Nederlandse gulden is bij sommige
guldens af te lezen als 'kop' boven ligt, terwijl je bij andere 'munt'
moet boven houden om de tekst normaal te kunnen lezen.
Er zijn dus, afgezien van de nieuwe gulden, twee typen guldens in om-
loop, zeg type I en type II.
Ik beweer dat het graveren van de randtekst bij de Rijksmunt willekeu-
rig gebeurt. Mijn hypothese komt dus hierop neer dat de helft van de
in omloop zijnde guldens van type I is, ofwel:
H0: p = 4.
Als tegenhypothese kun je stellen dat de verdeling van de twee typen
guldens niet fifty-fifty is, m.a.w. Hx: p * 4.
Er is hier sprake van een tWtzZ-ijdiQZ tooJ^> omdat van te voren geen
afwijking ten gunste van een van beide typen vermoed wordt. Het tweezijdige karakter komt goed tot uiting als je schrijft: H1: p > 4 of p < 4-
Het verschil met een eenzijdige toets zit hem nu in het berekenen van
de overschrijdingskans.
Stel dat je een steekproef van 50 guldens neemt en daarbij 30 guldens
vindt van type I.
Dat betekent een afwijking van 5 van het op grond van H0 verwachte
aantal.
|
|||||||
|
12
|
|||||||||||||||
|
De overschrijdingskans is nu de kans op een minstens zo grote afwijking,
hetzij naar de ene, hetzij naar de andere kant, dus: |
|||||||||||||||
|
P(X S 30|H0) + P(X =s 20JH )
|
|||||||||||||||
|
0,1013 + 0,1013
|
|||||||||||||||
|
0,2026
|
|||||||||||||||
|
ft = 50
|
|||||||||||||||
|
De totale overschrijdingskans is ongeveer 20%. De afwijking van de ver-
wachtingswaarde is niet significant en is geen reden om HQ te verwerpen. > 11. Verzamel met je klas een steekproef van vijftig (oude) guldens en
voer de hierboven beschreven toets uit. |
|||||||||||||||
|
» 12. In een wiskunde A-groep zitten 28 leerlingen.
Bij welke aantallen jongens en meisjes kun je spreken van een
significant verschil in sexe? (a = 0,05). |
|||||||||||||||
|
13
|
|||||||||||
|
De wetten van Mendel gelden ook voor het dierenrijk. Een bekend voor-
beeld is de kruising van twee muizen, waarvan de ene geheel normaal is en de andere een erfelijke evenwichtsstoornis van een zeer bepaalde aard heeft. Als gevolg van dit gebrek kan zo'n stakker vaak zijn rich- ting niet vinden en draait dan soms uren achtereen in de rondte. Men heeft deze muis daarom de zeer misplaatste naam 'dansmuis' gegeven. De kinderen van een gewone muis een een 'dansmuis' (F^generatie) verto- nen geen spoor van het gebrek van de vader of moeder; de factor die de normale bouw van de inwendige gehoororganen en daardoor het normale gedrag veroorzaakt, is dominant. Van de F2-generatie, die door inteelt van de eerste generatie wordt verkregen, vertoont een kwart van de mui- zen het erfelijke gebrek, een kwart bestaat uit zuivertelende, normale muizen en de helft bevat de gebreksfactor zonder er de uiterlijke ken- tekenen van te vertonen. |
|||||||||||
|
KhjjJj,-Lyiq van een gewone mivU en een muuA
moX nan eAfieZijka 2.ve.nwlckti>6tooh.nli> (' dan^maii,'). Vn eA^actoi cowi&Aponde.- fiand mat abnofimaat gadnag aj> ie.ceA6le.fi, zodat de. T^gene/uvtiz fie.no typu> ah. non.- maat aj>. (Gamatan = vooAtplantLngAcal- lan). |
|||||||||||
|
» 13. Een bioloog wil onderzoeken of bij de tweede generatie nakome-
lingen (verkregen door inteelt) van een normale muis en een dans-
muis de verhouding in aantallen normale muizen en dansmuizen vol- doet aan de wet van Mendel. Hij fokt 120 van zulke muizen en vindt daarbij 79 normale muizen.
Is deze afwijking van de wet van Mendel significant? (a = 5%). |
|||||||||||
|
14
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Tekojntoojti,
Een landbouwproefstation wil twee tarwesoorten (zeg A en B)
ken. Op 20 verschillende percelen zaait men na bemesting de in met soort A, de andere helft met soort B. Er komen de volgende opbrengsten: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
vergelij-
ene helft |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Is een van beide soorten beter dan de ander?
We kunnen nu als volgt redeneren. Als de beide tarwesoorten even goed
zijn, dan is de kans dat op een bepaald perceel tarwesoort A een gro- tere opbrengst oplevert dan B gelijk aan £. Als de tarwesoorten niet even goed zijn dan is deze kans p ^ |. We kijken nu per perceel naar het verschil tussen de opbrengst van soort A en de opbrengst van soort B; we interesseren ons niet voor de grootte van dit verschil, maar al- leen voor het teken. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het aantal keren dat het verschil positief is, is een binomiaal ver-
deelde stochast X met p = \ onder H0 en p f { onder R^. Deze toets, waarbij alleen gebruik gemaakt wordt van het teken van het verschil, wordt de t<l\lZWtooXi, genoemd. » 14. Voer deze toets uit. Neem a = 0,05.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
15
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
KRITIEK GEBIED
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Kijk terug naar de toets van hoofdstuk 1 (het percentage framboesia-
lijders in Nieuw Guinea): H0 : p = 0,5
H1 : p < 0,5 De steekproefomvang is 50.
De toetsingsgrootheid (X) is het aantal mensen in de steekproef dat
framboesia heeft.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij een zekere uitkomst k van X is de overschrij-
dingskans:
P(X^k j p = 0,5)
Kies je nu a = 0,05, dan zie je in de binomiale
tabel dat voor k= 18, 17, 16,__,0 die over-
schrijdingskans kleiner dan a is.
Anders gezegd:
Bij een significantie-niveau van 5% wordt H0 ver-
worpen bij een van de uitkomsten 18, 17, ..., 0.
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij a = 0,05:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-j-H----1—1—1—I—I----1----1—I----1—I—
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
18 20
_/ v------ |
30 40 50
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 10
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ho nie£ ve.nuKA.ptn
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Ko viAWZApzn
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De getallen 0, 1, ..., 18 zijn de \inJjtlok<L wacV>.dm bij a = 0,05,
De verzameling {0,1,.., 18} is het \ihJXiz\lZ QQh<lQ.d bij deze a. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
16
|
||||||||||||||||
|
» 13. De W.H.O.-arts wil de kans om een verkeerde conclusie te trekken
(dus om HQ ten onrechte te verwerpen) kleiner houden dan 1%. Anders gezegd: hij kiest a = 0,01. Wat is nu het kritieke gebied? » 14. Wat zijn de kritieke waarden bij de toets van opgave > 7?
En bij » 8. » 15. Bekijk de toets van opgave »9. ('Randtekst op de gulden').
De kritieke waarden bevinden zich nu aan twee zijden van de ver-
wachtingswaarde 25.
Welke getallen zijn dat? (a = 0,05).
» 16. Neem als significantie-niveau a = 0,025.
a. Wat is het kritieke gebied bij de binomiale toets
H0 : p = 0,25 tegen H1 : p > 0,25
in het geval n = 20? b. En bij HQ : p = 0,25 tegen H1 : p < 0,25?
Hieronder zie je het histogram voor de binomiale verdeling met para-
meters n = 20 en p = 0,25. |
||||||||||||||||
|
n * 20
p - 0,25 |
||||||||||||||||
|
—,—'■ i
3 4 5 6 |
||||||||||||||||
|
I 2
|
||||||||||||||||
|
9 JO 1
|
||||||||||||||||
|
12 13 14 15 16 17 If
|
||||||||||||||||
|
19 20
|
||||||||||||||||
|
17
|
|||||
|
Op de horizontale as zijn de 'linker' en 'reenter' kritieke gebieden
aangegeven bij a = 0,025.
Deze twee gebieden vormen tezamen het kritieke gebied bij de toets:
H0 : p = 0,25 tegen U1 : p j* 0,25
bij a = 0,05!
OpmeAksLng
Omdat we hier te maken hebben met een scheve binomiale verdeling, zijn
de acceptabele afwijkingen van de verwachtingswaarde (5) naar links en rechts niet hetzelfde. Aan de rechterkant is een afwijking van 4 nog net acceptabel en aan de linkerkant is de aanvaardbare afwijking 3. We spreken af: Bij een tweezijdige toets moet zowel de linker- als de rechterover-
schrijdingskans kleiner zijn dan ia, wil H0 worden verworpen. Dus bij de toets H0: p = 0,25 tegen Ex: p t 0,25
met n = 20 en a = 0,05
is het kritieke gebied: {0,1}U {10,11,12,...,20} » 19. Wat is het kritieke gebied bij de toets van opgave » 13? (Aange-
nomen dat de bioloog tweezijdig toetst). » 20. Uit een KRO-enquete blijkt dat 65% van de Nederlandse werknemers
meent dat er misbruik wordt gemaakt van de sociale wetgeving. Een Brandpunt-medewerker wil nu nagaan of dit percentage ook geldt voor de werknemers met een inkomen dat ten hoogste modaal is. Hij vermoedt dat het percentage mensen in die laatste popula- tie, dat vindt dat de sociale wetgeving misbruikt wordt, lager is dan 65%. Hij neemt een steekproef van 50 mensen uit die populatie. a. Welke hypothesen wil hij tegen elkaar toetsen?
b. Welke steekproefuitkomsten zijn kritiek bij a = 0,05?
|
|||||
|
18
|
|||||
|
> 21. Er wordt wel eens beweerd dat in tijden van oorlog in de betref-
fende landen de normale verhouding tussen het aantal geboorten van meisjes en jongens zich wijzigt ten gunste van de jongens. Veronderstel dat in vredestijd het aantal jongensgeboorten 51% van het totale aantal geboorten is. In een oorlogvoerend land wordt een steekproef van 1000 pasgebo-
ren babies genomen. Hoe groot zou het percentage jongens in die steekproef ten minste moeten zijn, opdat met a=0,05 kan worden geconcludeerd dat het percentage mannelijke geboorten over de gehele bevolking gerekend, inderdaad is toegenomen? » 22. In het Gooi bestaat de bevolking naar schatting voor een derde
uit forensen. Een socioloog vermoedt dat deze schatting wat aan de hoge kant
is en wil de juistheid van de bewering onderzoeken. Hij neemt
een steekproef van 250 personen.
Bij welke aantallen forensen in de steekproef zal hij de stel-
ling kunnen verwerpen? a. Bij a = 0,05?
b. Bij a = 0,025?
|
|||||
|
19
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
s
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
EEN TOETS VOOR ONAFHANKELIJKHEID
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Komt kleurenblindheid bij mannen meer voor dan bij vrouwen?
Bij een onderzoek naar de eventuele afhankelijkheid van kleurenblind- heid en sexe werden 100 aselect gekozen personen getest: 40 mannen en 60 vrouwen. Van de mannen bleken er 4 kleurenblind, terwijl er onder de vrouwen slechts 1 kleurenblinde werd aangetroffen. Dit resultaat kun je overzichtelijk weergeven in een 2><2-tabel: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Als nulhypothese nemen we aan dat kleurenblindheid en sexe onafhanke-
lijk zijn, m.a.w. dat het percentage kleurenblinden onder mannen en vrouwen nagenoeg hetzelfde is. De tegenhypothese is dat kleurenblindheid bij vrouwen minder frequent
voorkomt dan bij mannen. »23. Veronderstel dat kleurenblindheid en sexe onafhankelijk zijn.
Hoeveel kleurenblinde mannen en vrouwen op een totaal van vijf kleurenblinde personen had je kunnen verwachten in bovengenoem- de steekproef? » 24. Een vaas bevat 40 witte en 60 zwarte balletjes.
Iemand trekt aselect en zonder teruglegging vijf balletjes uit
de vaas. Reken na dat de kans op twee witte en drie zwarte balletjes on-
geveer 35i% is. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
20
|
|||||||||||||||||
|
In de steekproef van 100 personen werden vijf kleurenblinden aange-
troffen: een vrouw en vier mannen.
De vraag is nu hoe bijzonder dit resultaat is als uitgegaan wordt van
de hypothese H0 (d.w.z. kleurenblindheid en sexe zijn onafhankelijk).
Anders gezegd: hoe klein is de kans op het resultaat 'een vrouw en
vier mannen' uitgaande van H0.
We gebruiken het vaasmodel:
|
|||||||||||||||||
|
40 balletjes (?)
60 balletjes 0 |
|||||||||||||||||
|
Uit de vaas worden aselect en zonder teruglegging vijf balletjes ge-
trokken, dat zijn de kleurenblinden. De kans op '1<D, 4@' in dit model is: |
|||||||||||||||||
|
60 \ . MO]
1 / \4/ 60 • 91390 |
|||||||||||||||||
|
(?
|
|||||||||||||||||
|
« 0,0728.
|
|||||||||||||||||
|
100\ 75287520
|
|||||||||||||||||
|
Voor het berekenen van de oveAAchsu.jcLLngAk(Xni> moet ook de kans worden
bepaald op een resultaat dat nog meer afwijkt van het verwachte resul- taat: '3®, 2®*, en dat is dus de kans op '0®, 5©'. »25. Ga na dat die kans bij benadering gelijk is aan 0,0087.
Het aantal balletjes (?) in de steekproef van vijf stellen we V.
De overschrijdingskans is dan: P(V< 1) = P(l/= 1) + P(l/= 1) = 0,0087 + 0,0728 = 0,0815.
Bij een significantieniveau van 5% geeft de uitslag van het experiment niet voldoende reden tot twijfel aan HQ. Op grond van dit experiment zou de hypothese H0 dan niet worden verwor-
pen. |
|||||||||||||||||
|
21
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dat wil natuurlijk allerminst zeggen dat het zoJzQA is dat kleurenblind-
heid sexe-onafhankelijk is. Een correct uitgevoerde hypothesetoets is immers nog geen beitiLjA. Men kan stellen dat dit experiment toch een zwak-significante aanwijzing
(8%) geeft dat kleurenblindheid wel sexe-onafhankelijk is. Sterker nog: in dit geval kan men op andere gronden tot een stellige uit- spraak komen. Uit de wetten van de genetica volgt namelijk dat kleuren- blindheid bij mannen aanzienlijk vaker voorkomt dan bij vrouwen. > 26. Framboesia werd tot nu toe met peniciline behandeld. Er wordt
een nieuw antibioticum gevonden, waarvan men vermoedt dat het meer effect zal hebben. Van 15 framboesiapatienten ontvingen acht het nieuwe geneesmid-
del en zeven het oude. Het experiment gebeurde 'dubbelblind', d.w.z. noch de patienten,
noch de behandelende arts wisten welke patient welk middel toe- gediend kreeg om psychologische beinvloeding uit te sluiten. Het resultaat was: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. De tabel wijst er op dat het nieuwe geneesmiddel inderdaad
wel eens beter zou kunnen zijn. Maak tabellen voor die gevallen waarbij het resultaat een
nog sterkere aanwijzing in die richting geeft. Ga er daarbij ook van uit dat 9 van de 15 mensen genezen. b. Bereken de kansen op elk van die situaties (inclusief de ge-
geven situatie) uitgaande van de veronderstelling dat het nieuwe geneesmiddel noch beter noch slechter is dan het oude. c. Kun je op grond van het uitgevoerde experiment concluderen
dat het nieuwe geneesmiddel beter voldoet dan het oude? (a = 5%).
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
22
|
|||||
|
~» 21. Sommige vissers beweren dat eenmaal gevangen karpers zich niet
zo gemakkelijk een tweede keer laten verschalken. Bij een onderzoek of parkers inderdaad 'haakwijs' kunnen worden kwam men tot de volgende resultaten. In een vijver waren 29 karpers uitgezet, waarvan er 13 al ge-
merkt waren ten teken dat zij al eerder aan de haak waren gesla- gen. Van die 29 karpers werden er vijf gevangen. Een van de vijf was
gemerkt. a. Verwerk deze gegevens in een 2x 2-tabel.
b. Kun je op grond van dit experiment concluderen dat karpers
kunnen leren? (Neem a = 5%). »28. Uit een krantenbericht: '18% van de gezinnen gaf in 1968 geschen-
ken met Kerstmis en 87% met St. Nicolaas. In 12% van de gezinnen werd zowel met Kerstmis als met St. Nicolaas iets gegeven; in 7% van de gezinnen daarentegen werd niets gegeven.' a. Vat deze gegevens samen in een 2x2-tabel.
b. Welke hypothese zou met behulp van deze 2x 2-tabel kunnen wor-
den getoetst? |
|||||
|
23
|
||||||||
|
6
|
||||||||
|
GEMENGDE OPGAVEN
|
||||||||
|
»29. Asterix twijfelt aan de zuiverheid van een Romeinse dobbelsteen.
Hij werpt 1000 keer en turft het aantal keren dat VI boven komt. Resultaat: 200. Kan hij op grond van deze uitkomst de zuiverheid in twijfel trek-
ken? (a = 2j%). » 30. De kijkdichtheid van een zekere televisiequiz bedroeg in het ver-
leden ca 50%. De omroeporganisatie die de quiz uitzendt heeft sterk de indruk
dat de kijkdichtheid van dat programma is gedaald. Via een en- quete wil die omroep onderzoeken of dit inderdaad het geval is. Van 100 aselect gekozen kijkers blijken er 40 het bewuste pro- gramma gezien te hebben. a. Welke conclusie zal de omroep uit dit resultaat kunnen trekken?
(Neem a = 5%). b. Een T.V.-recensent beweert dat de kijkdichtheid van het pro-
gramma gedaald is naar 30%. Geeft de uitslag van de enquete de omroep aanleiding dit tegen
te spreken? (Neem a =5%). c. De T.V.recensent heeft negen vrouwen en elf mannen gevraagd
of zij het bewuste programma hebben gezien. Van de negen vrouwen hadden er zes het programma gezien en
van de elf mannen waren er slechts twee die gekeken hadden. Kan hij hieruit de conclusie trekken dat het programma beter aanslaat bij vrouwen dan bij mannen? (Neem a =2£%). |
||||||||
|
24
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»31. Een landbouwkundige wil het effect van een bemestingsmiddel op de
groei van zonnebloemen onderzoeken met behulp van een tekentoets. Hij zaait 12 paren zonnebloemen, waarbij hij voor een zonnebloem van elk paar het bemestingsmiddel gebruikt, voor de andere niet. Vier weken na het ontkiemen meet hij de lengte van alle zonnebloe- men. Resultaat:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Geeft dit resultaat aanleiding om te veronderstellen dat het be-
mestingsmiddel een positief effect heeft op de groei in de eerste vier weken? Men neemt een significantieniveau van 2£% aan. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[Examm W^ukunde. A 1984)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
25
|
|||||
|
»32. Kandidaat-kosmonauten worden aan een zware (lichamelijke en
psychologische) test onderworpen alvorens zij toegelaten worden
tot een verdere opleiding.
De kans dat een kandidaat slaagt voor de eerste test is 10%.
Voor kandidaten die de eerste test niet gehaald hebben, volgen
nog maximaal twee herkansingen. Iedere keer opnieuw met dezelfde
slaagkans. Als de kandidaat de derde keer opnieuw niet aan de
eisen voldoet, is hij definitief afgewezen.
Neem aan dat de testresultaten onafhankelijk van elkaar zijn.
a. Hoeveel % is de kans dat een willekeurige kandidaat wordt
afgewezen? b. Wat is de verwachtingswaarde van het aantal tests dat een
willekeurige kandidaat zal moeten ondergaan? c. Hoe groot is de kans dat bij een keuring van een groep van
twintig kandidaten er bij de eerste test een slaagt, bij de tweede nul en bij de derde test weer een? d. Uit een groep van vijftig kandidaten slaagde er slechts een
bij de eerste test. Op grond van dit resultaat vermoedde ie- mand dat de slaagkans kleiner was dan 10%. Is dit vermoeden terecht, wanneer men een significantieniveau van 2,5% aan- neemt? {Examm wiAkunde. A 1983)
»33. Wordt criminaliteit door genetische factoren bepaald of door het
milieu? Een onderzoek naar deze vraag werd verricht aan de hand van een-
en twee-eiige tweelingen. Van 13 veroordeelden, die deel uitmaken van een een-eiige twee-
ling, hadden er 10 een tweelingbroer of -zus die eveneens crimi- neel gedrag vertoonde. Onder 17 veroordeelden die deel uitmaken van een twee-eiige twee-
ling, bleken slechts twee een tweelingpartner te hebben die zich aan enig misdrijf hadden schuldig gemaakt. |
|||||
|
26
|
|||||
|
a. Stel uit deze gegevens een 2x 2-tabel op.
b. Als nulhypothese neem je aan bij een een-eiige en een twee-ei-
ige tweeling een even grote kans bestaat dat de tweelingpart- ner van een veroordeelde eveneens crimineel gedrag vertoont. (M.a.w. crimineel gedrag is niet zuiver genetisch bepaald). Geeft de uitslag van dit experiment voldoende aanleiding om H0 in twijfel te trekken? (Neem a= 5%).
|
|||||