-ocr page 1-
RJNCTIIES IEN
GKAHIEKIEN
Freudenthal instituut
Archief
-ocr page 2-
RJNCTNES
IEN
GRAFIIiKliN
-ocr page 3-
a
Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht
Foto omslag: Havendam van Scheveningen.
De opgaven 1, 2 en 3 van hoofdstuk 1 zijn ontleend aan 'The language of
Graphs' by Malcolm Swan. (Shell Centre of Mathematical Edication).
FUNCTIES EN GRAFIEKEN
Een produktie ten behoeve van de
experimenten in het kader van de
Herverkaveling Eindexamenprogramma's
Wiskunde 1 en 2 V.W.O.
Samenstelling: Martin Kindt
Jan de Lange Jzn
Vormgeving: Ellen Hanepen
© 1983; 2e herziene versie
Utrecht, juni 1983.
-ocr page 4-
INHOUDSOPGAVE
DEEL A
1.  GRAFIEKEN LEZEN                                                                                   pag. 1
2.  ALGEBRAISCHE MODELLEN                                                                                   9
3.  FUNCTIES ALS AUTOMAAT                                                                                 15
4.  DOMEIN EN BEREIK                                                                                           19
5.  ABSOLUTE WAARDE                                                                                             27
6.  ASYMPTOTEN                                                                                                      35
DEEL B
7.  GRAFIEKEN TRANSFORMEREN                                                                             41
8.  INVERSE FUNCTIES/SAMENSTELLEN VAN FUNCTIES                                        53
-ocr page 5-
DIE 1=1. A
-ocr page 6-
1
f
GRAFIEKEN LEZEN
1. In een padvinderskamp wordt iedere morgen de vlag gehesen door de
jongste verkenner. Het hijsen van de vlag wordt weergegeven door
een van de grafiekjes (1) tot en met (6).
o
o
l /
hoogtz vlag
__
a,;
-->
a)
V
Ol
o
o
-a
/
/ ©
( ©
r ©.
tijd
tijd
•tt/d
hoogte. u£ag
SI
CI
Q
O
11
a)
o
J
*
©
tijd
tijd
fig. 1
a. Elke grafiek vertelt een verhaaltje over het hijsen van de vlag.
Vertel die zes verhaaltjes in woorden.
b. Welke grafiek geeft de situatie volgens jou het meest realistisch
weer?
-ocr page 7-
2
» 2. De exploitant van een knus bioscoopje wil weten wat het effect is
van een verhoging van de toegangsprijs op de winst die hij maakt.
Zijn economisch adviseur tekent een van de grafieken (1) tot en
met (6) om dat effect te illustreren ....
v *
v «.
toe.gangiplA.ji
toegangipliji
V "
©
toegangiptu.ji
toegangiptu.ji
V'l
toe.gangiptu.ji
toe.gangiptUji
fig. 2
a. Wat betekent elk van die grafieken voor het winstverloop?
b. Welke grafiek geeft naar jouw idee de situatie het meest realis-
tisch weer?
-ocr page 8-
3
»3. Een motorcoureur rijdt een trainingsrondje op een circuit van 4 km
lengte. Zijn snelheid is in de grafiek uitgezet tegen de afgelegde
afstand.
iJU------------ —----------------------------------------------------
200---------, „ = ------- j
S 7 \ t A C
\ -/ ^ ' k- -J
\ 3 it N
150- J A til/
L L 12 lL_/
\ J- - t U
J 7 iV-/
k- f W
100 X >'
3 3
L I
5 V
S.7
50-
U ...... ...j—i—|
12 3 4
"3
s
fig. 3
Afatand (fern)
In fig. 4 zie je vijf circuits getekend.
Op welk circuit heeft de motorcoureur gereden? Verklaar.
fig. 4
-ocr page 9-
4
MotOtl-CMlCLjUt in kt>6QM
wacui j'aaALLjkA de. TT-suic<Li> woidzn g&houdm.
-ocr page 10-
5
» 4. Onze motorrijder (A) reed een wedstrijdje over twee ronden tegen
zijn rivaal (B).
In fig. 5 zie je de tijd-afstand-grafieken van de beide coureurs.
T-ljd [-in A&c) ,
fig. 5
a. Wie heeft gewonnen? Met hoeveel seconden voorsprong?
b. Hoe vaak is er van kop gewisseld? Op welke tijdstippen (hoeveel
seconden na de start) gebeurde dat?
c. Kun je naar aanleiding van de twee grafieken nog iets vertellen
over het verschil in rijstijl van beide coureurs?
-ocr page 11-
6
» 5. Bij de ingang van een haven die direct met zee verbonden is, vari-
eert de diepte van de vaargeul met de tijd (door eb en vloed). Dit
verloop wordt gei'llustreert door onderstaande getijkromme:
WateAAtand op 21 januasU. 1962
a. Op 21 januari was het hoogwater om 2.15 uur en 14.30 uur.
Op welke tijdstippen kun je hoogwater verwachten op 22 januari?
b. Gedurende welke periode op 21 januari 1982 kunnen schepen met
een diepgang van 7m de haven niet binnenvaren?
(Een schip heeft minstens 2 meter water onder de kiel nodig om
veilig binnen te kunnen varen en de reis van de ingang van de
haven tot de aanlegsteiger duurt ongeveer 1 uur).
-ocr page 12-
7
» 6. Een producent van vaten sherry heeft o.a. te maken met produktie-
en opslagkosten. Hoe meer vaten hij produceert, des te lager de
produktiekosten per vat zijn, maar daar staat tegenover dat de op-
slagkosten per vat toenemen.
De volgende tabel verduidelijkt dat.
aantal vaten
produktiekosten per
vat (in guldens)
opslagkosten per
vat (in guldens)
1000
280
20
2000
142
40
3000
94
60
4000
70
80
5000
55
100
6000
47
120
a. Teken een grafiek van de produktiekosten per vat afhankelijk
van het aantal te produceren vaten.
Zet op de horizontale as het aantal vaten uit en op de vertica-
le as de kosten.
b. Teken in hetzelfde plaatje een grafiek van de opslagkosten per
vat.
c. Teken een grafiek van de totaJLz. kosten per vat.
d. Bij welk te produceren aantal vaten schat je dat de totale kos-
ten het laagst zijn?
De voorgaande zes opgaven zijn voorbeelden van wat in de wiskunde een
^a.ncJU.1 wordt genoemd.
In opgave » 1 is de hoogte (van de vlag) afhankelijk van de tijd.
De gangbare uitdrukking is:
de hooQtt (van de vlag) is een fiuncJxe. van de t^ijd.
-ocr page 13-
8
Evenzo:
in opgave > 2: de lAlLnbt (van een bioscoophouder) is een functie van de
toegangsp^j-4;
in opgave » 3: de &nQlh2A.d (van de coureur) is een functie van de p&aa£i>
(op het circuit);
in opgave »4: de plaatA (op het circuit) is een functie van de -t-t/d;
in opgave »5: de dldpto, (van een vaargeul) is een functie van de £c/d;
in opgave »6: de produktie-(resp. opslag- resp. totale)fe.0-6.£en per vat
zijn een functie van het aantat vaten.
Als je zegt: de hoogte is een functie van de tijd (of de hoogte is af-
hankelijk van de tijd), noem je de hoogte de afhankelijke. en de tijd de
ona&hankeZijke. grootheid.
De afhankelijke grootheid wordt meestal op de verticale as uitgezet, de
onafhankelijke op de horizontale as.
In een &Ajtuxiutlz, uxucvxb-Lj
de. GR00THE1V B aU functie van de. GROOTHEID A
Mtvdt opgevat,
noemen we 8 de AFHANKELIJKE en A de ONAFHANKELIJKE gfiootheld.
B
8 Li> ^uncJxe. van A.
Ve waande, A u> atd heX. vwie. vftij te. ktezen, de b-ijbehofiende
maxde. van B tiat dan va&t.
-ocr page 14-
9
ALGEBRAlSCHE MODELLEN
In hoofdstuk 1 werden de functies gepresenteerd door een gfux^zk of een
tabnt. In vakken als economie en natuurkunde e.d. wordt een functie vaak
beschreven door middel van een algebraische formule.
Het ideaal is daarbij dat zo'n formule exact het verband tussen de groot-
heden vastlegt, maar in de praktijk is dat meestal een benadering.
Als voorbeeld bekijken we » 6.
Noemen we de produktiekosten PK en het aantal vaten N, dan geldt bij be-
nadering:
PK =
280000
N
» 7. a. Controleer of bovenstaande formule redelijk beantwoord aan de
tabel van opgave »6.
b. De opslagkosten (in opgave » 6) noemen we OK.
Beschrijf OK als functie van N (= het aantal vaten) in formule.
c. Beschrijf ook de totale kosten (= TK) als functie van N.
-ocr page 15-
10
8. De eigenaar van een verfwinkel heeft een mengmachine van / 200,—
gekocht. Dit bedrag rekent hij als zijn VOLbta kosten bij de ver-
koop van zijn verf. Zijn aanmaakkosten bedragen / 5,— per liter
verf (de zgn. VCUuxiboZt kosten).
a. Teken de grafiek van de totale kosten K (in guldens) als func-
tie van zijn omzet Q (in liters).
Verklaar waarom de grafiek een rechte lijn is.
b. Geef een formule van K als functie van Q.
c. Als gevolg van de stijgende inkoopprijzen worden de variabele
kosten / 6,— per liter.
Teken de grafiek van de gewijzigde kostenfunctie.
Welke formule past daarbij?
d. Welke gevolgen zal een verdere stijging van de variabele kosten
op de grafiek van de kostenfunctie hebben? En op de formule?
e. De verfhandelaar schaft zich, om aan de toenemende vraag te kun-
nen voldoen, een moderner mengapparaat aan. Dit kost / 300,—.
De variabele kosten zijn / 6,— per liter.
Teken de grafiek van de kostenfunctie bij dit nieuwe apparaat
en geef de bijbehorende formule.
f. Welke gevolgen zal een verdere stijging van de vaste kosten op
de grafiek van de kostenfunctie hebben? En op de formule?
UachUm \>oon hut
vuJULejn. van vqa^-
buA&en.
-ocr page 16-
11
» 9.
fig. 9
10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
L [=lzngtt dsiaad in m)
Grafiek van het gewicht (G) van een klosje garen als functie van
de lengte (L) van de draad.
a. Wat is het gewicht van een leeg klosje?
b. Wat is het gewicht van 10 meter draad?
c. Beschrijf G als functie van L in formule-vorm.
» 10. De mars van een peleton soldaten is
geregistreerd in een grafiek.
a. In het begin liep het peleton een
zgn. speed-mars.
Met welke snelheid (km/u) werd er
toen gemarcheerd?
b. Wat gebeurde er na die eerste
drie kwartier?
15
7\
: /
: / I
m
/
o
- /
5
A ' '
f I , I I , 1 ! 1 1 1 1 1
1 2 , ^
ti|d (uui)
c. De afgelegde afstand S (in km) is
een functie van de tijd T (in sec).
Beschrijf die functie met drie formules
op de volgende manier:
S = ... voor 0 ^ T < I
S = ... voor ...
S = ... voor ...
fig. 10
-ocr page 17-
12
> 11. De lengte van de remweg van een auto is afhankelijk van de snel-
heid. Als vuistregel om de lengte van de remweg bij een gegeven
snelheid te schatten wordt vaak het volgende gebruikt:
Neem een
Pee£ dot
Vtnmnni.g vutdig
V-U geXal
inelkeXd
-*-
geXat
-*—
deze
-*—
>
gee^i de
in fem/u
doon. 10
uiXkomit
meX 0,75
h.zim)e.g in m
a. Bereken bij verschillende snelheden de remweg en teken de gra-
fiek van de remweg als functie van de snelheid.
b. Noem de remweg (in m) : R en de snelheid (in km/u): V.
Beschrijf R als functie van V met een formule.
c. De vuistregel is geldig voor normale droge wegen. Bij nat weg-
dek wordt de remweg zo'n 10% langer.
Teken (in hetzelfde plaatje) de grafiek in R als functie van V
voor deze situatie. Beschrijf ook deze functie met een formule.
Rejm6y6t2.<un van een auto.
-ocr page 18-
13
De stopafstanden bij diverse snelheden
M.
6.30 -6.70 -7.16 m.
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65
70
75
BO
85
90
95
100
105
110
115
120
125
130
135
140
145
150
w
8.80 - 9.50 - 10.20 m.
11.70 - 12.70 - 13.60 m.                                                               |                   i weg afgelegd in reactietijd
I 14.80 - 16.30 - 17.60 m.                                                            ■■■■ remweg bij 5.2 m/sec'                                       **■ ***"NKle,lan,,
18.60 - 20.40 - 22.10 m.                                                         MHKZ3 remweg bij 4.5 m/sec.1
22.70-24.90-27 m.                                                        HCZE9 remweg bij 4 m/sec?
26.90 - 29.70 - 32.50 m.
31.60-35.10- 38.20 m.
36.70-40.90-44.70 m.
42.20 - 47 - 51.40 m.
48-53.70-59 m.
54.20 - 60.70 - 66.90 m.
60.80 - 68.20 - 74.90 m.
■ 6.7.80 - 76.10 - 82.80 m
75.10 - 84.40 - 93.20 m.
82.80 - 93.20 - 102.40 m.
90.90 - 102.40 - 112.70 m.
99.30-112 -124.70 m.
108.10 - 122.10 - 134.70 m.
117.30 - 132.60 - 146.90 m.
126.80 - 143.40 - 159 m.
I            M**»^ 136.70-154.70-171.80 m.
147.10 - 166.60 - 185.70 m.
157.70 - 178.80 - 199.50 m.
168.70 - 191.39 - 214.30 m.
180.20 - 204.50 - 227.20 m.
192 - 217.90 - 241 m.
I
150
De grafiek van Veilig Verkeer Nederland laat de remweg zien bij
verschillende remvertragingen. De vuistregel in opgave > 10 komt
overeen met een remvertraging van 5,14 m/sec2 (d.w.z. bij het in-
trappen van de rempedaal neemt de snelheid elke seconde met 5,14m
per sec af).
In de grafiek is ook rekening gehouden met de reactietijd van de
automobilist. Gemiddeld bedraagt die zo'n 0,6 sec; dit betekent dat
de automobilist gemiddeld 0,6 sec na het remmen van z'n voorganger
zelf de rempedaal intrapt.
De 'stopafstand' S is dus de 'weg afgelegd in reactietijd' plus de
'remweg van de auto'.
d. Beschrijf S als functie van V, uitgaande van de vuistregel boven-
aan pag. 12.
e. Controleer je formule voor een drietal verschillende waarden van
V met behulp van de grafiek van Veilig Verkeer Nederland.
-ocr page 19-
14
-ocr page 20-
15
O.
FUNCTIES ALS AUTOMAAT
Een voorbeeld van een functie in de wiskunde is:
y = 10 - 2x
Je kunt zeggen:
de vaftAjabdiz y aj> een j$u.na£ce van de vanJuaboZe. x.
Daarmee wordt bedoeld:
bi.j IddzAz {tongutanz) woo/ide van x koofit een wacvidz. van y.
De variabele X wordt hierbij wel de 'onafhankelijke variabele' (d.w.z.
vrij te kiezen) genoemd en de variabele y de 'afhankelijke variabele'.
In dit geval bijvoorbeeld:
X
y
1
8
2
6
10
-10
-1
11
• • •
• • •
» 12. a. Teken de grafiek van deze functie.
b. Laat X varieren van 7 tot 4. Hoe varieert yl
c. En hoe varieert y als X varieert van 5 tot 10?
-ocr page 21-
16
» 13. a. Teken de grafiek van de functie y = X2 -4.
b. Laat X het interval [1;3] doorlopen. Welk interval doorloopt
(/?
c. En welk interval doorloopt y als X het interval [-1;1] door-
loopt?
d. Voor welke X £ 3R is y positief?
Een functie kun je vergelijken met een automaat. Zodra je in een auto-
maat passende geldstukken stopt, krijg je iets anders van waarde terug:
een reep, een postzegel, een telefoongesprek, ...
Zodra je in een functie een getal (voor de onafhankelijke variabele) in-
vult, komt er een getal (voor de afhankelijke variabele) uit.
In plaats van 'onafhankelijke variabele' resp. 'afhankelijke variabele'
spreken we ook wel van 'input' resp. 'output'.
De functie, als automaat, geven we vaak aan met een letter: &, F, g enz.
Noemen we de functie in ons eerste voorbeeld ^, dan geldt:
'als 1 de input is bij ^, dan is de output 8'.
Kort opgeschreven: (JO) =8
Of ook:                                & : 1 -*■ 8
ofwel:
i-
10 -> -10
ofwel:
rf:
100 -»■ -190
ofwel:
i-
X -* 10 - 2x
Evenzo: ^(10) = -10
(5(100) = -190
(J(X) = 10 - 2X
» 14. De functie in opgave » 13 geven we aan met de letter F.
a. Bereken de output F(19); ook F(-3) ; ook F(/2).
b. Laat de input X varieren van 10 tot 20. Hoe varieert de output
F(X)?
c. Voor de input kun je elk reeel getal kiezen. Kun je als output
ook elk reeel getal krijgen?
Dit is de verzameling getallen tussen 1 en 3, de grenswaarden inbegrepen.
Ofwel: [1;3] = {x £ K 11 < )C < 3}.
-ocr page 22-
17
» 15. De grafiek van een functie & bestaat uit stukken rechte lijn.
y
j----------"J—4
L___1-..3-
\ t j | j 1/1
j------------j---1^
fig. 11
-2-10 12 3 4 5 6
a. Neem als input het getal 2. Welke output vind je?
b. Bij welke input-waarden krijg je de output 2?
c.  Vul in: £(4) = ...; tf(5j) = ...; )$(-?) = ...
d. Voor welke X tussen -2 en 6 geldt: &(x.) = 1 js ?
e. Neem aan dat de grafiek zich naar rechts voortzet volgens de
rechte lijn waarvan in de figuur het stuk tussen x = 3 en X = 6
is getekend. Hoe groot is ^(1000)?
Een e.eAAt<ig?iaacU> ^unctiz [JLine/XAAZ fiunctiz) is een functie van het type
6(x) = ax + b
waarbij a en b conAtantun zijn.
De grafiek van zo'n functie is een rechte lijn.
16. a. Kies a=2 en b=-5 in ^(x) = ax + b en teken de grafiek van &.
I'                                                                                                                       .                                  .
b. Wat gebeurt er met de grafiek als je de waarde van b verandert,
terwijl die van a hetzelfde (= 2) blijft?
c. En wat als je a varieert, maar b onveranderd laat?
d. Wat kun je vertellen van de grafiek van f$(x) = (XX + b als CL<0
en b> 0?
»
-ocr page 23-
18
» 17. Beschrijf de grafiek van fig. 11 met formules:
^(x) = ... voor -2 ^ x^ 0
£{x) = ... voor 0 S x ^ 1
enz.
» 18. Teken in een figuur de grafieken van j$(x) = -2x + 4 en g(x) = ix-3.
Bereken de inputwaarde waarbij j$ en 9 dezelfde output leveren.
» 19. Even terug naar de verfhandelaar (opgave > 8).
Bekijk de laatste kostenfunctie (vaste kosten / 300,—, variabele
kosten / 6,—).
2000 -
-a
"3
i
1000
1
i
!
I
-i                       fig. 12
0                  50                100              150                200             250                300
q [in UXvu>\
De verfhandelaar verkoopt zijn blikken voor / 8,25 per liter.
De opbrengst R (in guldens) is een functie van de omzet Q (in li-
ters) .
a. Teken in een figuur de grafiek van kostenfunctie en opbrengst-
functie.
b. Het snijpunt van de grafieken heeft economische betekenis?
Welke betekenis?
c. Bereken de omzet die bij dit snijpunt past.
d. Wat gebeurt er met het snijpunt als de verkoopprijs wordt ver-
laagd?
-ocr page 24-
19
4
DOMEIN EN BEREIK
> 20. Van twee natuurlijke getallen is de 60m 50.
De vraag kan gesteld worden welke waarden het pfwdukt van die twee
getallen kan hebben. Dat kan als volgt onderzocht worden:
a. Breidt onderstaande tabel uit tot en met X = 10:
z&ute.
QZtal
titi2.zd<l
QOJtal
pnodukt
X
y
P
0
SO
0
1
49
49
1
48
96
3
47
141
• • •
• • •
• • •
b. De getallen in de P-kolom worden aanvankelijk groter bij toe-
nemende X.
Welke regelmaat ontdek je in het opklimmen van de P-waarden?
c. Blijft P groter worden als je X laat toenemen van 0 tot 50?
d. Wat is de grootste waarde van P die je vindt bij voortzetting
van de tabel? (Gebruik de ontdekte regelmaat!).
e. Beschrijf P als functie van X met een formule.
(Aanwijzing: druk eerst het tweede getal y uit in x).
-ocr page 25-
20
In opgave » 20 is P een functie van X.
De 'inputverzameling' van die functie bestaat uit de getallen 0,1,2,...,
50 (de getallen van de X-kolom).
I.p.v. inputverzameling wordt meestal het kortere woord domnln gebruikt.
Dus: het domein van de functie (in opgave » 20) is: {0,1,2.....50}.
In de output-kolom (P-kolom) vind je de getallen:
0, 49, 96, 141, ..., 621, 625, 621, ..., 141, 96, 49, 0.
De 'outputverzameling' ofwel het 6eA.ex.fe van de functie is:
{0,49,96,141,...,621,625}.
»21. Behalve het getal 625, komt elk getal van het bereik twee keer als
output voor; de P-kolom in de tabel vertoont een symmetrisch pa-
troon. Hoe kun je die symmetrie verklaren?
Het domein van de grafiek van opgave » 20 breiden we uit tot de -teeXe
getallen van 0 tot en met 50.
De grafiek van de functie is dan (een gedeelte van) een paJuxhooZ.
fig. 13
BEREIK
domein: [0,50]
bereik: [0;625]
15 20 25 30 35
--------vomiu--------
45
50
-ocr page 26-
21
» 22. Van welke twee reele getallen is de som 50 en het produkt 500?
a. Lees het antwoord af uit de grafiek (fig. 13).
b. Bereken het antwoord exact. (Gebruik de formule van opgave »20e).
» 23. i$U) = X2 - 2x (X £ K)
a. Neem de tabel over en vul in:
X
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
rf(x]
b. Welke regelmaat ontdek je in het opklimmen van de functiewaarden
vanaf X = 1?
c. Zet de tabel voort met X = 6, 7, 8 en gebruik die regelmaat voor
het berekenen van de outputwaarden.
Controleer je uitkomsten m.b.v. het functievoorschrift.
d. Voor welke X £ H geldt: ;$(x) = 63?
e. Teken de grafiek van f$.
f. Welke symmetrie-as heeft die grafiek?
g. Het domein van {{ is 1. Welk interval' is het bereik van £2
Een kuxidsuvtiAckz. ^xncXLl is een functie van de vorm:
jj(x) = CLX2 + bx + c
waarin a, b en c constanten zijn.
Voor a= 1, b = -4, a = -15 krijg je de functie £{x) = X2 - 4x - 15.
De grafiek van een kwadratische (of tweede-graads-)functie is een paAa-
bool.
Belangrijk bij het tekenen van een parabool is om te weten waar zich de
symmetrie-as bevindt.
Een handige manier om de symmetrie-as te vinden is gebaseerd op het idee:
als je twee (verschillende) input-waarden weet die dezelfde output ople-
veren, ken je de plaats van de symmetrie-as.
-ocr page 27-
22
50
46
42
38
34
30
26
22
18
14
8
6
2
-2
-6
-10
•14
* * *■
-6-5-4-3-2-1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
G^a^xefe. van y = x2 - Ax - 10 'Qzpfunt' doon. dt micAocomputQA.
-ocr page 28-
23
Dit idee kan als volgt worden gebruikt.
Neem bijv. ^(x) = X2 - 4x - 10.
Je kunt meteen zien dat -10 een mogelijke 'output' is, want £[0) = -10.
Los je nu de vergelijking 'j$(x) = -10' op, dan vind je de twee input-
waarden die -10 opleveren!
0
-t-
tf(x) = -10 «=» X2 - 4X = 0
** x(x -4) = 0
<=> x = 0 of x=4
Dus: rf(0) = -10 en &(4) = -10.
De symmetrie-as is de lijn X = 2.
De 'top' van de parabool (in dit
geval het laagste punt) vind je
uit:
tf(2) = 4 - 8 - 10 = -14.
fig. 14
(0,-10)*
'(4,-10)
T(2,-14)
» 24. Vind de symmetrie-as van de grafiek bij elk van de volgende func-
ties (met domein E.) .
Geef ook van elk van die functies het bereik.
f.  {(x)    = -10X2 + 20X + 30
g.  ^(x)    = -X2 - 10X + 1
h.    &[x)    = X2 + X - 1
i.    rf(x)    = 10 - X2
j.    j$(x)    - X - X2
a.  fj(x)    = X2    - 3X + 10
b.  (J(x)    = X2    + 8x + 80
c.  tf(x)    = 3x2    - 36X + 100
d.  rf(x)    = 5X2    + 45X
e.  iix)   = 5x2   + 45
»25. &{x) = 3 - ix2 domein [-2;4].
a.  Teken de grafiek van £•
b. Welk interval is het bereik van (J.
c. Voor welke X € [-2;4] geldt: j{(x) = 2i?
d.  Hoeveel oplossingen in [-2,4] heeft de vergelijking f$(x) = 1,99?
-ocr page 29-
24
»26. g(x) = X2 - 2x + 1 domein [0;4].
a. Teken de grafiek van g.
b. Wat is het bereik van g.
c. Voor welke X e [0;4] geldt: g(x) = i? En g(x)
= 24?
»27. Een boer zet een stuk land uit voor zijn schapen en gebruikt daar-
bij een afrastering met een totale lengte van 80m. Het stuk land
wordt aan twee zijden door een sloot begrensd.
fig. 15
a. De zijden van de rechthoek noem je X resp. y. De zijde y is een
functie van x. Teken een grafiek van die functie.
b. Wat is het domein (resp. het bereik) van de functie bedoeld in
a.?
c. De oppervlakte A van het land is een functie van de zijde X.
Beschrijf die functie met een formule en teken de grafiek.
Aanwijzing: A = X • y = X • (.....).
d. Bij welke afmetingen is de oppervlakte van het land van de scha-
pen maximaal?
-ocr page 30-
25
» 28. Dezelfde boer koopt nog meer schapen en wil nu een tweede stuk
grasland uitzetten. Hij gebruikt een afrastering van 120 m lengte
om drie zijden te begrenzen; als vierde zijde neemt hij een sloot.
fig. 16
a
----------r4
iYi'i'i'iYiYiri'i' r ':£.                                                                                                                               ■' 1 'n*rVi*rr*i*r***i*i*i y■^^*^•^*^•^'^Y^^*^^^^■*^'■^Jl*^*
a. De zijden van de rechthoek zijn nu a resp. W en de oppervlakte
is 8. Schrijf W en 8 beide als functie van a.
Wat is het domein van elk?
b. Teken de grafieken van beide functies.
c. Bij welke afmetingen is 8 gelijk aan de maximale waarde van A?
(Zie opgave » 29).
d. Bij welke afmetingen is 8 maximaal?
> 29. De functie ^ en g met domein [-1;4] zijn resp. gedefinieerd door:
j$(x) = X2 - 2x + 4 en g(x) = £x + 4
a. Teken in een figuur de grafieken van ^ en g.
b.   Wat is het bereik van j$? En van g?
c. Van welke X e [-1;4] geldt jj(x) i g(x)?
» 30. Van een functie $ is het domein [-3;5] en het bereik [1;5].
a. Schets vijf mogelijke grafieken van j$.
b. Stel je voor dat ^ een rechtlijnige grafiek heeft.
Beschrijf ^ met een formule. (Twee mogelijkheden!).
-ocr page 31-
26
»31. Een verhuurbedrijf verhuurt auto's aan grote firma's voor / 50,—
per dag (inclusief onderhoud en verzekering).
Als een firma meer dan 12 auto's huurt krijgt het korting volgens
onderstaand tarief:
2% op het totaalbedrag bij het huren van 13 auto's;
4% op het totaalbedrag bij het huren van 14 auto's;
6% op het totaalbedrag bij het huren van 15 auto's
Er mogen maximaal 50 auto's aan een firma worden verhuurd.
De inkomsten in guldens (= I) die het verhuurbedrijf van een klant
heeft in een functie van het aantal verhuurde auto's (= X).
a. Geef de formule voor I als functie van x voor 0 Si X Si 12.
b. Voor 12 S x S 50 geldt:
aantal auto's
prij s per auto
inkomsten
X
P
I
12
50
600
13
49
• • •
14
48
• • ■
• •
• •
• • •
Geef een formule voor I als functie van X voor 12 Si X Si 50.
c. Wat is het maximale bedrag aan inkomsten dat het verhuurbedrijf
van een firma kan ontvangen?
d. Teken de grafiek van I als functie van X.
Neem voor het gemak als domein [0;50] i.p.v. {0,1,2,....50}.
-ocr page 32-
27
5
ABSOLUTE WAARDE
Maximum tempeAatuuvi, 20 maant                        Max-imam tmpznjxXxmA, 20 apnll
»32. Tweemaal een temperatuurkaartje van Nederland.
Als er gevraagd wordt naar het verschil in (maximum-)temperatuur
tussen Zeeland en de Achterhoek is het antwoord:
20 maart: verschil 3° C;
20 april: verschil 7° C.
Wat voor kritiek zou je op dit antwoord kunnen hebben?
-ocr page 33-
28
De maximum temperatuur op een dag in Zeeland resp. de Achterhoek noteren
we nu met t resp. t .
De vraag naar het temperatuurverschil tussen Zeeland en de Achterhoek kun
je op (tenminste) twee manieren opvatten:
(1) Er wordt gevraagd naar het 'gerichte verschil' t„ - t..
In die opvatting luidt het antwoord:
20 maart: verschil 3° C;
20 april: verschil -7° C.
(2) Er wordt gevraagd naar het 'absolute verschil'.
In die opvatting luidt het antwoord zoals vermeld op de vorige pagina.
Hoe bereken je het absolute verschil tussen twee reele getallen?
De (vermoedelijk) het meest voor de hand liggende manier is:
je vergelijkt de twee getallen, kiest het grootste en trekt er het klein-
ste vanaf.
In het voorbeeld van de temperaturen in Zeeland en Achterhoek:
*Z * * A?
Zo ja: absolute verschil is: t„ - t..
J                                                    Z A
Zo nee: absolute verschil is: t. - t .
Een tweede manier is:
Je berekent 'eerste getal' min 'tweede getal' (en let er dus vooraf niet
op welke het grootste is).
Is de uitkomst positief (of nul) dan ben je klaar.
Is de uitkomst negatief, dan verander je het teken.
(Bij gebruik van een zakrekenmachientje moet je in zo'n geval de toets
'change sign' indrukken). In het temperatuur-voorbeeld:
Je berekent £„-£..
Z A
*Z " *A = °?
Zo ja: absolute verschil is: t„ - -£..
Zo nee: absolute verschil is: - (t„ - t.)
('change sign')
-ocr page 34-
29
Het absolute verschil in £ en £ noteren we alst ABS(£„ - £.).
ABS is een functie waarvan je de werking geillustreerd ziet in tabel en
grafiek:
X
ABS(x)
0
0
1
1
-1
1
8
8
-8
8
0,473
0,473
-0,473
0,473
17
»33. a. Maak een tabel (voor X = 0, 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4) en te-
ken de graf iek van de functie £ met domein R in elk van de vol-
gende gevallen:
(D £ :
X
■>
ABS(X) + 2
(2) £ :
X
->■
ABS(X + 2)
(3) £ :
X
-»■
ABS(1 - X)
(4) £ :
X
■>
X + ABS(X)
(5) £ :
X
■>
2x + ABS(x)
(6) £ :
X
->■
ABS(x) + £x
Geef in
elk van de gevallen
(0
t/m (6) het bereik van ^
Geef in
elk van de gevallen
(1)
t/m (6) de oplossing van
•rflx) =
9'
•
In plaats van ABS(x) zie je in wiskundeboeken neestal de schrijfwijze |x|
De functies van opgave » 33 zien er dan zo uit:
i ■
X -*■ |x| + 2
£
! X "> |X + 2|
6
: x -*■ 11 - x|
£ .
■ x ■* x + |x|
£
: X •*■ 2x + |x|
£
x ■+ |x| + ix
-ocr page 35-
30
» 34. a. Teken in een figuur de grafieken van de functies:
fa : X -*■ |x| en Q : X -»• j X — 2 j
beide met domein ]R.
b. De functie 5 is de som van fa en Q, d.w.z.
Six) - ($(x) + g|x)
voor elke X € H .
Teken de grafiek van S door de grafieken van fa en Q 'op te tel-
len'.
c. Wat is de minimumwaarde van S(x)?
Voor welke x wordt die bereikt?
»35. T(x) = |x - 1| + |x - 41 domein !R.
a. Teken de grafiek van T.
b. Wat is de minimumwaarde van T(x)?
Voor welke X wordt die bereikt?
» 36. a. Neem de grafieken van S en T (opgave » 34 en » 35) over in een
figuur en teken daarbij ook de grafiek van de somfunctie R
(dus: R(x) = Six) + T(x).
b. Wat is de minimale waarde van R(x)?
Voor welke X wordt die bereikt?
>37. Langs een weg bevinden zich een aantal torenflats (A, B, ....).
Verdere bebouwing ontbreekt. Men wil een bushalte langs die weg
plaatsen zo dat de som van de afstanden tot die flatgebouwen mini-
maal is.
Geef in elk van de volgende gevallen aan waar de bushalte geplaatst
moet (kan) worden. Verklaar je antwoorden.
a. -------------------------1----------1---------------------1_
C B                                       A
b. ----------------1------------1------------1-----------------------j_
D C B                                       A
c.        -J--------------1-----------1-----------1-----------------------1_
100m
-ocr page 36-
31
Opgave > 36 en » 37 hebben meer met elkaar te maken dan je op het eerste
gezicht zou denken.
Bekijk nog eens opgave > 37b.
Langs de weg leggen we een getallenlijn (met als eenheid 100m).
__________E_______S________3________________4-
0 12                                    4
De (variabele) halteplaats noemen we X (met 'coordinaat' x).
De afstand van X tot bijv. A is gelijk aan het verschil van X en 4 in
absolute waarde, kortom: |x - 4|, of even goed: |4 - x|.
\Joohbo.eZd<Ln:
A                                           X
*---------------- 5 ------------»
—I----------------------------------------------------F-
4                                             9
—i---------------------
1i
4
X =
x = 9; |x - 4| = 5
U; |x - 4
= n
De som van de afstanden van X tot de punten 0, 1, 2 en 4 is dus:
|x| + |x - 1| + |x - 2| + |x - 4|
en dit is juist gelijk aan R(x). (Zie opgave > 36).
Je hebt uit de grafiek kunnen aflezen dat het minimum 5 bereikt wordt
voor 1 ^ X i 2.
> 38. a. Welke totale-afstand-functie Q past er bij opgave >> 37a?
(Geef C, B en A weer de coordinaten 1, 2 en 4).
b. Zonder dat je de grafiek van Q getekend hebt, kun je een mar-
kant verschil met de grafiek van R noemen. Welk?
»39. F(x) = |x+ 14 | + | X. | + |x- 1 | + j X — 2 j + |x-4| (domein H).
a. Voor welke X £ H is F(x) minimaal?
b. Wat is het bereik van F?
-ocr page 37-
32
> 40. De grafiek van de functie S(x) = |x| + |X — 2| (zie opgave > 34)
is spiegelsymmetrisch.
Hoe kun je die symmetrie m.b.v. afstanden op de getallenlijn ver-
klaren?
De grafiek van bijv. g[x) = |x - 2| kun je ook vinden door eerst
de grafiek van j$(x) = X - 2 te tekenen en vervolgens het 'negatie-
ve deel' te spiegelen in de X-as. (Het effect van 'change sign').
fig. 18
41. Teken in een figuur de grafieken van:
a.    ^(x) ■ 2x + 1          en g[x) = |2x + 1|
b.    (J(x) = -ix + 1 en g[x) = | —ix + 1
c.    £[x) = 1 - X2          en g(x) = |1 - X2 |
d.    (J(x) = X2 - 1          en g[x) = | X2 - 1 |
> 42. Teken achtereenvolgens de grafieken van:
y = x - 3
y = I* - 3|
y - |x - 3| - 3
y - llx - 3| - 3|
-ocr page 38-
33
Vergelijk de grafieken van y ** X, y = -X en if = ABS(x)
fig. 19
ABS(X)
= X
voor
X ^ 0
ABS(X)
= -x
voor
X < 0
l*l
= X
voor
X ^ 0
W
= -x
voor
X < 0
Je ziet nog eens:
N.B. De 'min' bij -X betekent 'change sign'; als X een negatief getal
voorstelt is -X positief!
>43. f$(x) = X* |x| (domein M) .
a. Teken de grafiek van jj.
b. Beschrijf fa zonder 'absoluut-strepen':
jj(x) =___ voor X ^ 0
fa(x) = .... voor X < 0
»44. <J(x) = X2 + 2|x| (domein TR) .
Beschrijf fa zonder absoluutstrepen en teken de grafiek van fa.
-ocr page 39-
34
»45. Dezelfde opdracht als in opgave » 44 voor: &[x) = X2 - 2|x|.
De functies van pag. 30 kun je ook zonder 'absoluut-strepen' schrijven.
Voofibzold: S[x) = Ixl + |x - 21
als X k 2,           dan S(x) = X+x-2=2x-2
als 0 S X S 2, dan S(x) = X+2-X=2
0 X 2
als X < 0, dan S(x) =-X+2-x=2-2x
»46. T(x) = |x - 1| + |x - 4| X e m.
a. Beschrijf de functie T zonder absoluut-strepen.
b. Los op: T(x) = X.
»47. U(x) = |x + 1 | + |x| + |x - 3| (domein [-2;4]).
a. Beschrijf de functie U zonder absoluut-strepen.
b. Teken de grafiek van (J.
c. Wat is het bereik van U?
-ocr page 40-
35
6
ASYMPTOTEN
» 48. Als je weet dat de oppervlakte van een rechthoek 24 cm2 is, kun je
over de vorm van die rechthoek nog niets zeggen. Er zijn immers
allerlei mogelijkheden: 2 bij 12 cm; 3 bij 8 cm; 4 bij 6 cm enz.
■.■■■■■■■'■■■■■.V                                                             ".—■ . .'■■■'■■■■■'!V:j A
1 h
I
fig. 20
Noem de basis van de rechthoek b en de hoogte h;
h is een functie van b.
a. Teken de grafiek van die functie. Geef een bijpassende formule.
b. WeIk punt van de grafiek correspondeert met een vierkant van
24 cm2 oppervlakte?
»49. Bij een snelheidscontrole gaat de politie als volgt te werk: over
een uitgezette afstand van 100 meter wordt electronisch de tijd op-
gemeten van elke passerende auto.
Noem de tijd (in sec) van zo'n auto: t en de snelheid (in km/u) van
die auto: v.
V is een functie van t.
a. Teken een grafiek van die functie en geef een bijpassende for-
mule.
b. Op de snelweg is een maximale snelheid van 120 km/u en een mi-
nimale snelheid van 60 km/u toegestaan.
Kleur het deel van de grafiek dat correspondeert met toegestane
snelheden.
-ocr page 41-
36
De opgaven » 48 en » 49 vertonen, wiskundig gezien, veel overeenkomst.
In beide gevallen neemt de ene grootheid toe als de andere afneemt. Daar-
bij kun je een duidelijke wetmatigheid vaststellen.
Uitgaande van een zekere rechthoek van 24 cm2 geldt:
- maak je de basis 2 x zo groot, dan wordt de hoogte 2 x zo klein;
- maak je de basis 3 x zo groot, dan wordt de hoogte 3 x zo klein.
enz.
lets dergelijks geldt in het tweede voorbeeld.
In zulke gevallen noem je de beide grootheden omgeliZQAd QVZnKz&iQ.
In opgave » 48: de 'basis' is omgekeerd evenredig met de 'hoogte'.
In opgave >49: de 'snelheid' is omgekeerd evenredig met de 'tijd'.
» 50. Bekijk nog eens opgave »6 (pag. 7).
a. Controleer dat PK (produktiekosten) en N (aantal vaten) omge-
keerd evenredig zijn.
b. Hoe zit dat met OK (opslagkosten) en N?
En met PK en OK?
De grootheden 8 en A zijn e.V£nA.eduj
als ze voldoen aan:
B
B = c • A
(c is constante).
/^
De grafiek van 8 als functie van A
^^
is een rechte lijn.
De grootheden 8 en A zijn omgefeeeAd g
^s^
A
e.ve.Y]A&<iig als:
I
B-c-i
\
De grafiek van 8 als functie van A
\
is een hyperbool.
' '——-
A
-ocr page 42-
37
Terug naar opgave » 48.
Je kunt (in theorie althans) de basis van de rechthoek zo lang maken als
je zelf wilt, de hoogte wordt dan 'willekeurig klein'.
fig. 21
Schaal 1
Of in tabel:
h (in cm)
b (in cm)
15
150
1500
15000
150000
1.«. >0,16 ^x
°>016 J)x o
l
0,1
l
10
10
X 10
0,0016
;
X 0,1
10
0,00016
Voor de grafiek betekent dat:
de afstand van de grafiek tot
de lijn h = 0 wordt willekeu-
rig klein bij onbeperkte toe-
name van b.
De lijn ft = 0 is een (tbymptoot
van de grafiek.
fig. 22
h = 0 (asymptoot)
-ocr page 43-
38
V<t a&ymptotm ZA.jn nleX van do. iuckt.
-ocr page 44-
39
Omdat je k en b in dit verhaal van rol kunt laten verwisselen geldt na-
tuurlijk ook dat de lijn b = 0 een asymptoot van de grafiek is.
fig. 23
51. rf(x) = 2 +
(domein ]R )
a. Vul in:
X
10
100
100C
10000
100000
y
• • •
• • •
• • •
• • •
b. Ook:
X
1
0,1
0,01
0,001
0,0001
y
• • •
■ • •
• • •
• • •
c. Teken de grafiek van j$,
Welke asymptoten heeft de grafiek?
»52. (J(X) --£
(domein K {0})
a. Teken de grafiek van $. (Ook negatieve input-waarden zijn toe-
gestaan!)
b. Welke asymptoten heeft die grafiek?
c. Los op: ^(x) = X.
-ocr page 45-
40
»53. Gegeven zijn de functies fa en g met:
fa{x) = IJX en g(x) = -
A.
+
beide met domein ]R .
a. Teken in een figuur de grafieken van jj en g.
b. Bereken de coordinaten van het snijpunt van de grafieken.
c. S is de som van fa en g, d.w.z. S(x) = ^(x) + g(x).
Teken de grafiek van 5 (door de grafieken van fa en g 'op te tellen1).
d. Welke asymptoten heeft de grafiek van S?
»54. Van een rechthoek met basis b en hoogte k is de oppervlakte 9 cm2.
De omtrek (P) van de rechthoek is een functie van b.
a. Beschrijf die functie met een formule en teken de grafiek.
b. Lees uit je grafiek af bij welke keuze van b (en h) de omtrek
minimaal is.
»55. fa[x) = -|           (domein m\{0})i         g[x) = £x2           (domein R) .
A.
a. Teken de grafiek van fa en g in een figuur.
b. Welke asymptoten heeft de grafiek van fa?
c. Bereken de coordinaten van de snijpunten van de grafieken van
li eng.
-ocr page 46-
DIEIEI. 13
-ocr page 47-
41
/
GRAFIEKEN TRANSFORMEREN
» 56. Zaterdagavond. In het Feyenoordstadion heeft men m.b.v. een compu-
ter van minuut tot minuut het aantal bezoekers bijgehouden.
Het resultaat is verwerkt in een grafiek:
3 60
45
30
fig. 24
15
3
18.00 19.00
20.00
21.00
22.00
23.00
tijd
a. De voetbalwedstrijd duurde van 20.00 tot 21.45 uur.
Hoeveel mensen verlieten het stadion voortijdig?
b. De hekken van het stadion werden om 18.30 uur geopend.
Op welk tijdstip was de 'instroom' het grootst?
c. Stel het aantal toeschouwers op het tijdstip t gelijk aan N[£)
(t is de tijd in minuten; t = 0 komt overeen met 18.30 uur,
t = 30 met 19.00 uur enz.).
Wat is het domein en wat is het bereik van de functie N?
-ocr page 48-
42
Vi 'KiUp' i.vi Ro££ojidam.
»57. Op dezelfde dag en op dezelfde tijd wordt er in het Olympisch Sta-
dion een wedstrijd gespeeld die 30.000 toeschouwers trekt.
Ook hier gaan de stadionhekken om 18.30 uur open.
a.  Schets de grafiek die het verloop van het aantal toeschouwers
tussen 18.30 en 22.30 uur weergeeft. Neem daarbij aan dat het
'patroon' van komen en gaan hetzelfde is als bij de wedstrijd
in het Feyenoordstadion.
b. Het aantal toeschouwers afhankelijk van £ (= tijd in minuten na
12.30 uur) noemen we hier H[£).
Welk verband bestaat er tussen M[£) en H[£) 1
»58. Een derde wedstrijd begint een half uur later en lokt eveneens
30.000 toeschouwers naar de tribunes. Hier gaan de hekken om
19.00 uur open. Het aantal toeschouwers dat zich £ minuten na
18.30 uur in het stadion bevindt noemen we hier K[£).
a.  Schets de grafiek van K met die van M in een plaatje.
b. Welke van de volgende formules is goed:
(1) K(£ + 30) = MU)                      voor 0 i £ i 300
(2) KU)              = MU + 30) voor -30 < £ < 270
(3) KU)             = MW - 30) voor 30 < £ £ 330
-ocr page 49-
43
» 59. Het toeschouwersverloop bij twee sportevenementen geeft het volgen-
de grafiekenbeeld:
F
..
—-.
f~
•*
-^„.....,.**.........•.•.«.
1
/
f
\
\
•
•
•
a
•
■
•
■
■
1 O
•
\ in
*
\ *^
•
•
jf.*''*'
\
V_
30 ■
2 20
fig. 25
3 10
100
200
300 400
500 600
Tljd t [mimUm]
3
<
a. Wat is een opvallend verschil tussen beide evenementen?
b. Welke van onderstaande formules zijn goed?
(3) GU) = F(2t)
(4) Gilt) = VU)
(1) GU) = iFOt)
(2) GU) = F(i*)
c. Geef bij de correcte formule(s) ook het interval van toegestane
£-waarden.
» 60. a. De grafiek van ^(x) = X2 is
twee eenheden verticaal om-
hoog verschoven.
Resultaat: de grafiek van Q.
Welk functievoorschrift past
er bij g?
b. De grafiek van h krijg je door
de grafiek van £ verticaal om-
laag te verschuiven over een
afstand 1.
Welk functievoorschrift past
er bij hi
fig. 26
-ocr page 50-
44
61. rf(x) = |x|
De grafiek van g resp. h krijg je door de grafiek van £ over een
afstand van twee eenheden horizontaal naar rechts resp. een een-
heid horizontaal naar links te verschuiven.
Welke functievoorschriften passen er resp. bij Q en hi
fig. 27
» 62. j$(x) = X2 - 2x
De grafiek van £ i-s gespiegeld resp. t.o.v. de X-as (resultaat is
g) en de Y-as (resultaat is h).
Welke functievoorschriften passen er resp. bij g en hi
\
»
i
f
t
,
;
\h
\
\
4
/
\
\
\
r
\
•
1
1
1
t
1
V
y
\
\
\
\
\
\3
\
fig. 28
-ocr page 51-
»63. <$(x) = x2 + 1
a. De grafiek van £ is verticaal
vermenigvuldigd vanuit de X-as
met factor 2.
Resultaat: de grafiek van g.
Welk functievoorschrift past
er bij Ql
fig.
b. De grafiek van h krijg je
door die van ^ verticaal te
vermenigvuldigen vanuit de
X-as met factor \.
Welk functievoorschrift past
er bij hi
»64. j$(x) = |x|
De grafiek van Q resp. h krijg
je door de grafiek van jj horizon-
taal te vermenigvuldigen vanuit
de Y-as met factor 2 resp. {.
Welke functievoorschriften pas-
sen er resp. bij Q en hi
fig-
-ocr page 52-
46
»65. Teken in een figuur de grafieken van de functie
X -*• | X | , X •*■ 2 • | X - 3 | en X+|x|+2'|x-3|
» 66. Langs een weg staan op een afstand van 300m twee torenflats (T1 en
T2). T2 telt twee keer zoveel etages en ook twee keer zoveel inwo-
ners als T^.
300 m
T                                      T
Ergens langs de weg wordt een bushalte geplaatst. Men gaat ervan
uit dat elke inwoner van een van de beide flats wel eens van de
bus gebruik zou kunnen maken. De halte wordt zo geplaatst dat de
totale 'personen-afstand' (d.i. de som van de afstanden die zouden
worden afgelegd als alle inwoners naar de halte zouden lopen) mini-
maal is. Waar komt de halte?
s>67. a. Teken in een figuur achtereenvolgens de grafieken van de afstan-
den: X ■*■ X2 , X -*■ (x - 3)2 , X -»- i (X - 3)2 en X ■* {(x - 3)2 + 5.
b. Veronderstel dat het domein van deze vier functies het interval
[-1;5] is. Geef het bereik van elk van de vier.
> 68. De grafiek van ($(x) = — wordt in horizontale richting drie eenheden
A,
naar links verschoven. Resultaat: de grafiek van g.
Deze laatste wordt in verticale richting twee eenheden omhoog ge-
schoven en dit levert de grafiek van h op.
a. Welke asymptoten heeft de grafiek van hi
b. Welk functievoorschrift past er bij hi
De opgaven » 56 tot en met » 68 hebben alle betrekking op het transfor-
meren van grafieken. Je hebt kennis gemaakt met 'verschuivingen' (hori-
zontaal en verticaal), 'spiegelingen' (t.o.v. de X-as en de Y-as) en
'vermenigvuldigingen' (verticaal t.o.v. de X-as en horizontaal t.o.v. de
Y-as). De consequenties voor de functievoorschriften kun je vinden op de
volgende drie pagina's.
-ocr page 53-
47
VERTICALE VERSCHUIVING
6-
/
j
/
.--'--.
'3 omhoog' /
/
/
5'
/
I
[ 4'
3
2-
1 ■
9K...y 1
1 0
1
2
3 4 5 6
g(2) = U2) + 3
9(4) = ^(3) + 3
9(5) = |$(4) + 3
Kortom:
g(x) = £(x) + 3
HORIZONTALE VERSCHUIVING
6 ■
5]
'3
naar links'
4'
.—- 3
A
/
/ {
/ \
2'
1
/ * \
/ '\
\ / \
0
1 2 3
4 5 6
h(-]) = rf(2)
fed) = rf(4)
Kortom:
fc(x) = tf(x + 3]
»69. Laat [a,fa] het domein en [c,d] het bereik zijn van de functie £-
Wat is het domein resp. bereik van de functie X ■*■ ^(x) +3?
En van de functie X -*■ f$(x + 3)?
-ocr page 54-
48
SPIEGELING IN DE X-AS
3(2) = -6(2)
3(3) = -rf(3)
3(5) = -rf(5)
Kortom:
g[x) = -^(x)
SPIEGELING IN DE Y-AS
ft(-2) = tf<2)
fc(0) = tf(3)
fed) = 6(5)
Kortom:
-3 -2 -1 0
2 3
Mx) = tf(-x)
» 70. Dezelfde vraag als in opgave » 69 van de functies X -*■ -$(x) en
X ■»■ rf(-x).
-ocr page 55-
49
VERTICALE VERMENIGVULDIGING T.O.V. DE X-AS
g(D = 2-^(1)
fl(3) = 2- 4(3)
g(5) = 2-4(5)
Kortom:
g(x) = 2 • 4(x)
HORIZONTALE VERMENIGVULDIGING T.O.V. DE Y-AS
5
4-
7
3
2
>r^^-*
"■v^
/ \
1
0
1
2
3
4 5
6
7
h(2) = 4(1)
fc(3) = 4(1*)
fe(6) = 4(3)
Kortom:
felxj - tf(ftx)
> 71. Dezelfde vraag als in opgave > 69, maar nu voor X ■+• 24 (x) en
x •> tf(Jx).
-ocr page 56-
50
» 72.
fig. 31
I is de grafiek van y = X2 .
Welke functies horen bij II, III en IV?
»73. a. Teken de grafiek van ^ (x) = |x| - X.
b. Verschuif deze grafiek over de vector (2,3) (d.w.z. 'horizon-
taal twee eenheden naar rechts en verticaal drie eenheden om-
hoog'). Zo krijg je de grafiek van de functie Q.
Welk functievoorschrift past er bij gl
c. Spiegel de grafiek van Q t.o.v. de X-as. Resultaat: de grafiek
van h.
Welk functievoorschrift past er bij hi
-ocr page 57-
51
»74. Teken in een figuur de grafieken van de volgende functies (met do-
me in H) .
<{     :     X -*■ X2
g     :    x ■*■ ix2
h    :    X -»■ J(x - 1i)2
fe   :   x -*• |(x. - 1i)2 + 2
» 75. Vier parabolen.
I is de grafiek van y = -X2.
Welke functies horen er bij II, III en IV?
fig. 32
» 76. De grafiek van II kun je krijgen door de grafiek van I in hohsizon-
iatu fiichting t.o.v. de Y-as te vermenigvuldigen.
Met welke factor?
-ocr page 58-
52
-ocr page 59-
53
8
INVERSE FUNCTIES/SAMENSTELLEN VAN FUNCTIES
Op menig rekenmachientje tref je de toets
aan. De werking daarvan is nauwelijks
verrassend te noemen:
TOETS IN
VENSTER
9
16
25
combineren met de
A
7
Je kunt de toets
toets INV (mits die natuurlijk op je ma-
chientje zit) .
Resultaat:
TOETS :
[N
VENSTER
3
5
INV
X2
X2
X2
1.73205081
INV
2
INV
2.23606798
»77. a. Welke bewerking voert het machientje uit als je (na een of an-
intoetst?
der getal) achtereenvolgens
INV
en
b. Wat kun je zeggen van het resultaat als je, na een getal inge-
intoetst?
voerd te hebben, achtereenvolgens
INV
X2
INV
X1
» 78. De 'keten'
doet eigenlijk niets!
Kun je nog een paar van zulke ketens op je rekenmachientje maken
die 'niets' doen?
-ocr page 60-
54
De functie die correspondeert met de toets X2 noemen we even fe (de 'fe'
van kwadrateren)
INV
X*
De combinatie
correspondeert met een functie die we de -LnveAAS,
fauncXxe. van fe noemen. Notatie: fe nv.
inv
Vergelijk onderstaande input-output-tabelletjes van fe en fe
inv
fe
input
—»-
output
4
2
100
10
676
26
1,96
1,4
input
output
2
4
10
100
26
676
1,4
1,96
Merk op:
* Als je de 'output' van fe gebruikt als 'input' van fe , dan krijg je
de eerste input terug.
* Bij de inverse functie worden 'input' en 'output' van de oorspronke-
lijke functie als het ware verwisseld.
»79. De functies fa, g en k zijn resp. gegeven door:
l$(x) = X + 10; Q[x) = 10«x en fe(x] = 10 - X.
Input-output-tabelletjes van fa en ^ zijn bijvoorbeeld:
i
,inv
6J
input
—V
output
input
---*•
output
1
11
11
1
2
12
12
2
10
20
20
10
-5
5
5
-5
a. Maak ook zulke input-output-tabelletjes voor g, g , k, h
b. Welke functievoorschriften passen er bij resp. fa , g         en
feinv?
-ocr page 61-
55
80. a. Welke functie is de inverse van X ■* X - 2£?
b. Welke functie is de inverse van X -*• 2J • X?
mv
»81. De grafieken van k en k        (zie pag. 54) getekend in een figuur:
(x > 0)
(x > 0)
= /x
fig. 33
a. De grafieken van k en k        zijn elkaars spiegelbeeld t.o.v. een
lijn b.
Welke vergelijking heeft de spiegelas?
■l ^              n j £ ■ ,                            / /inv inv , tinv
b. Ga na of de graflekenparen van § en j , g en g , fe en fe
(zie opgave » 79) ook elkaars spiegelbeeld zijn t.o.v. de lijn b.
-ocr page 62-
56
Als je een punt in het codrdinatenvlak spiegelt t.o.v. de lijn X. = y,
vind je het beeldpunt door de coordinaten te verwisselen.
^/
(3,4,
V
(0,b)
(4,3)
/
(0,2)
/
-?*
(2,0)
fig. 34
/
Gevolg:
Als je een verzameling van punten, beschreven door een vergelijking in X
en y, spiegelt t.o.v. de lijn X = y, krijg je de vergelijking van het
spiegelbeeld door X en y in de vergelijking te verwisselen.
Voorbeelden:
fig. 36
-ocr page 63-
57
Bij de spiegelgrafiek in fig. 36 kun je y weer als functie van X opvat-
ten. De vergelijking X = \y + 1 kan op de volgende wijze worden omgewerkt,
waarbij y wordt geschreven als functie van X:
X = {y + 1 «=>
2x = y + 2 <=>
y = 2x - 2
»82. De functie X -*■ 2x - 2 is de inverse van de functie X -*■ ix + 1.
Verklaar!
De spiegelgrafiek van fig. 37 is echter YhioX. de grafiek van een functie.
Bij een input-waarde (x) kun je namelijk meer dan een output-waarde ((/)
vinden!
Bijvoorbeeld:
input (x)
output iy)
3
(.;
2
(-,;
f_1
1
Is
fig. 38
De functie y = |x| + |x + 1| heeft geen inverse functie!
N.B.
Kwnmnkmd voon. ten functie. aj> he£. dot jo. b-lj e£ke Lnpuut tin outpuut
k/Uj'gt.
Me£ olyi&qjvl wooftdzn: 'y tt> een fiuncXie. van x'
betefeent:                      b^Lj e£fee x.-Mxandz [uaX hzt dom<un) komt pA.ecx.ei
een y-waatdt {uuct ktt bzntd),
-ocr page 64-
58
»83. Vier grafieken. Teken het spiegelbeeld t.o.v. de lijn X = y.
WeIke van de vier functies heeft een inverse functie?
fig. 39
»84. a. Waarom heeft de functie y = X2 met domein E geen inverse func-
tie?
b. En waarom heeft y = X1 wel een inverse functie als je het domein
beperkt tot [0,+>?
> 85. Teken de grafiek en beschrijf (zo mogelijk) de inverse functies van:
d.  rf(x) =f " 2
e.  )J(x) = |x|
f.  tf(x) = Xs
a.  )J[x) = fx
b.  jj(x) = 3 - X
c.  rf(x) = 3 - 2x
(domein K {0})
(domein R)
(domein ]R)
(domein H)
(domein R)
(domein R)
»86. jj(x) = 3X + 21 (domein R)
mv
a. Beschrijf f$
b. Los X op uit achtereenvolgens:
tf(x) = 99; i(x) = 0; rf(x) =
100.
c. Hoe kun je bij b. gebruikmaken van het resultaat van a?
-ocr page 65-
59
»87. jj(x) ■ * X         (domein H).
a. Los achtereenvolgens op: ^(x) = 2; <$(x) = 11; )J(x) = /2.
b. Beschrijf ^
»88. FU) - \t + 32 (domein [-273,■*■>.
a. Welke van de volgende beweringen is juist:
(1) FinVU) - ft - 32 (2) Finv(t) = Vo^
(3) FinvU) = |U - 32) (4) Finv(t) =
1,8* + 32
b. De functie F rekent graden Celsius in graden Fahrenheit.
Bijv. F(20) = 68; 20°C komt overeen met 68° F.
Wat is de betekenis van F in dit verband?
c. In de V.S. worden temperaturen vaak in °F gemeten.
Jack voelt zich niet honderd procent fit en neemt zijn tempera-
tuur op. Hij leest 100° Faf. Is dat alarmerend?
»89. )J(x) = X + i|x| (domein ]R)
g{x) = \\x - f|x| (domein H)
Laat zien dat | en g elkaars inverse zijn.
» 90. jj(x) = X3 + 1 (domein m)
a. Teken de grafiek van £•
b. Teken de grafiek die je krijgt door de grafiek van ^:
(1) te spiegelen in de X-as;
(2) te spiegelen in de Y-as;
(3) te spiegelen in de lijn X = y
(4) te verschuiven over de vector (1,2);
(5) horizontaal te vermenigvuldigen t.o.v. de Y-as met factor 2.
c. Geef bij elk van de zo verkregen grafieken een passend functie-
voorschrift.
-ocr page 66-
60
KETTINGEN VAN FUNCTIES
»91. Werkend op een rekenmachientje gebruik je een 'keten' van toetsen.
a. Ga na welke getallen er in het venster verschijnen bij de vol-
gende ketens:
TOETS IN
VENSTER
4000
5 300
• • •
• • •
• • •
b. Ook bij:
TOETS IN
VENSTER
00@ ^
ESS x*
000 x«
• • •
• • •
• • •
c. Welke functie past er bij de keten: [0 0 Qo] ?
En bij de keten |T] |"To"
» 92. a. Stel dat je /x? - 13 + 3 moet uitrekenen voor diverse waarden
van X.
Je gebruikt een rekenmachientje met een kwadraat-toets
en
worteltoets J/J.
Neem X = 7 en schrijf op wat je achtereenvolgens intoetst,
(op je machientje zit een toets
b. Dezelfde opdracht voor
3X - 13
1/3
).
93. F(x) = 9x2 - 6x
Vervanging van X door £ + 1 levert:
V[t + 1) = 9[£ + 1)Z - 6[£ + 1) = 9t* +   \2£ + 3.
Herleid achtereenvolgens: F(ni), F(fp)   en F(—=—)
-ocr page 67-
61
In opgave » 91b was er sprake van de functie X -*■ (x + 10)z, laten we die
even Q noemen.
De functie g is samengesteld uit de 'schakels':
X -*■ X + 10 (zeg t) en X -> xz (zeg fe)
Een input-output-tabel van § met 'tussenresultaten' is:
input
—>. ---
tussenresultaat
—►■
output
3
13
169
25
35
1225
-7
3
9
• •
• *
• ■
X
X
+ 10
(X + 10)2
De output van fj (= tussenresultaat) wordt hierbij dus gebruikt als input
van k. Zulke kettingberekeningen kun je goed weergeven in pijlenschema's.
i
k
169
13
*(X + 10)2
X + 10
» 94. Maak dergelijke pijlenschema's van de functies:
X -»■ /xz - 13 +3 en X •»■ ■ _ (zie opgave » 91).
Neem als startwaarde resp. 7 en X.
» 95. Zoek de vuistregel op voor het berekenen van de remweg bij een ge-
geven snelheid (zie pag. 12).
Geef die vuistregel weer met een pijlenschema. (Noem de startwaarde
I/).
»96. In het algemeen verandert het resultaat als je bij een ketting van
functies de volgorde van de 'schakels' wijzigt.
Geef daarvan een voorbeeld.
-ocr page 68-
62
Nog even terug naar de functies g:x-»-(x+10)2; j$ : X -► X + 10 en
fe. : X -*■ Xz.
Door in fe(x) = X* de 'x' te vervangen door 'jj(x)' vind je 'g(x)':
g(x) = fe(tfU))- fe(x + 10) = (x + 10)Z.
» 97. Druk fe((J(xJ) uit in X in de gevallen:
a.  j$(x)    = X - 1 fe(x) = X3
fe(x)
= /x
fe(x)
= X +
8
fe(x)
- Ix|
fe(x)
= x2 •
- 2X
Mx)
_ j_
X
b.  jj(x)    = 3x
c.  <{(x)    = |x|
d.  <$(x)    = X + 8
e. *(X)   -1
f.  jj(x)    = X2 - 2X
» 98. Laat fj een functie zijn met inverse ^
Wat kun je zeggen van £ (/{(x))?
Bedenk een paar voorbeelden.
>  99. Bij de vrije val van een voorwerp worden de afgelegde valweg 4
(in m) en de snelheid v (in m/s) als functie van de tijd t (in
sec) beschreven door: 6 = 5t2 en V = 10-t.
Een steen wordt losgelaten uit een vliegtuig op 9 km hoogte.
a.  Na hoeveel seconden treft de steen de aarde?
Welke snelheid bezit die steen op dat moment?
b.  Beschrijf de snelheid V van de steen als functie van de afge-
legde valweg 6. (Domein: [0;9000]).
c. Welke snelheid had de steen halverwege zijn val?
> 100. Nog een keer de vuistregel voor het berekenen van de remweg:
a.  Een politieagent ontdekt bij een verkeersongeval een remspoor
van 120m. Met welke snelheid had die auto gereden?
b.  Beschrijf 1/ als functie van R.