-ocr page 1-
S
s
INU
Freudenthal instituut
Archief
-ocr page 2-
SINUS
-ocr page 3-
%
Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht
Blj de. VQOH.pl.ajXt:
Voon. eh en viand ontitaan langi> de. kuu>t bijzondeAd landbchappdn did blj
vlodd ondeA. waXeA Ataan en blj efa dh.oogvall.dn.
lulkd ge.bie.dm hdtdn geXljde.nlandi,chappe.n. HeX. Wadddngdbidd ii> daaAvan
een piacktig vooh.be.eJLd.
SINUS
Een produktie
ten behoeve van de
experimenten
in het kader van de
Herverkaveling Eindexamenprogramma's
Wiskunde I en
II V.W.O.
Samenstelling
: Jan de Lange Jzn
Martin Kindt
Vormgeving:
Ellen Hanepen
© 1983; 3e ongewijzigde versie.
Utrecht, mei
1983.
-ocr page 4-
N.B. De met * aangeduide opgaven zijn alleen bestemd voor leerlingen
die in de onderbouw met "Vlieg er eens in" gewerkt hebben.
-ocr page 5-
1
Vroeger werden bijna alle vliegtuigen voortbewogen door een luchtschroef of
propeller. Met de komst van de straalmotor leek het einde van de propeller
nabij. Voor de "kleine" luchtvaart bleef men aangewezen op de propeller, ter-
wijl in sommige gevallen ook bij grotere vliegtuigen de propeller het meest
economisch bleef, al werden die propellers aangedreven door straalmotoren.
Als een vliegtuig stilstaat en de propeller draait, beschrijft de propeller-
tip een cirkel. Vaak kun je dat heel goed zien:
1. Hoe lang is de weg die de propellertip in een omwenteling aflegt als
een propellerblad 1 meter lang is?
En als zo'n blad p meter lang is?
2. Hoe lang is de weg die de propellertip aflegt als de propeller (1 m)
een draai van 180° (halve slag) maakt?
En als die draai 60° is? En bij 45°?
-ocr page 6-
2
Bij een kwartslag is de draai 90°. Die verdeling van de rechte hoek in 90° is
vrij willekeurig. Zo bestaat er ook een verdeling in 100 graden. Op de meeste
rekenmachientjes zit dan ook een knop om de sinus e.d. met deze hoekeenheid te
bepalen. De
knop werkt met "onze" graden. De
GRAD
knop werkt met het-
DEG
Amerikaanse-100 graden-systeem, dat ook in de landmeetkunde wordt gebruikt.
Maar er is nog een derde mogelijkheid. Op de rekenmachine is die aangeduid
met |RAD] . Dit laatste systeem is eigenlijk het meest natuurlijke en is in
feite precies wat je bij opgave » 2 hebt gedaan:
Alt> hozkrmat mndt de doo>i de piopzltoAtip a^gzlzgdz wzg ge.btwu.kt.
06,
fig. 2
Je kunt zzggzn dat OB een hozk van 30° met OK maakt, maaA jz kunt ook de lung-
tz van boog A8 alb kozkmaat rnrnzn. Pe Izngtz van OB mn.dt 6tzzd& 1 gmomm.
» 3. Als a = 30°, hoe lang is dan de boog AB?
Als we de lengte van boog AB als hoekmaat nemen, spreken we van een hoek uit-
gedrukt in RADIALEN.
Dus 360° ■ 2tt radialen (zie » 1).
> 4. Geef aan hoeveel radialen de volgende hoeken zijn. (Je mag tt in je ant-
woord laten staan).
10°; 30°; 45°; 60°; 90°; 135°; 180°; 270°; 300°; x°.
-ocr page 7-
3
» 5. a. Geef aan hoeveel graden de volgende hoeken zijn:
^tt; |tt; |tt ; | it ; 1§tt; ifw; frrradialen.
b. Geef aan hoeveel it radialen de volgende hoeken zijn:
45°; 180°; 210°; 270°; 60°; 33°; 107°; 62°.
Zodra het vliegtuig gaat bewegen, hetzij op de grond, hetzij in de lucht, be-
schrijft de propellertip een ruimtelijke kromme. In het volgende plaatje is
die baan van een propellertip getekend:
De zo ontstane kromme wordt "schroeflijn" genoemd. Deze schroeflijn is in het
echt nauwelijks te zien. Maar onder bepaalde atmosferische omstandigheden wel,
zoals duidelijk blijkt op de volgende foto:
-ocr page 8-
4
Je ziet op deze foto een viermotorig vliegtuig. ledere propeller heeft vier
bladen:
fig. 5
waardoor er totaal liefst 16 schroeflijnen ontstaan.
» 6. Ken je nog andere voorbeelden waarbij schroeflijnen zichtbaar zijn?
» 7. Hoe ziet een schroeflijn er "van voren" uit (het vliegtuig komt naar je
toe)?
» 8. Heb je enig idee hoe een schroeflijn er van opzij uit zal zien?
En van boven?
Een schroeflijn is heel nauwkeurig van opzij te tekenen, als het vliegtuig
tenminste steeds even snel gaat. Bijvoorbeeld door steeds een "foto" te ne-
men als de propeller 30° of fit rad. verder is gedraaid. Dat duurt in werke-
lijkheid b.v. zo'n 0,0002 sec.
Je krijgt dan het volgende plaatje:
t>
P
§>
>
fig. 6
o
3
o
00
o
o
o
o
o
5
o
o
o
o
o
o
o
o
1!
II
II
II
'1
t in sec.
-ocr page 9-
5
» 9. Hoeveel omwentelingen zijn getekend?
» 10. Teken nu in je schrift de baan van de propellertip die in het eerste
plaatje aan de "achterkant" zit.
Het begin is al getekend als stippellijn.
Het plaatje dat je zojuist gemaakt hebt is een zijaanzicht van een schroef-
lijn.
Van dit plaatje kun je een grafiek maken:
fig. 8
Langs de vertikale as staan een 1 en een -1.
» 11. Wat voor eenheid is daar klaarblijkelijk gekozen?
» 12. Langs de horizontale as kun je minstens twee geheel verschillende
eenheden kiezen. WeIke?
» 13. Teken de schroeflijn-grafiek met als eenheid langs de horizontale as de
door de propeller afgelegde hoek of boog, uitgedrukt in radialen.
* » 14. Deze schroeflijn-grafiek ben je in "Vlieg" al eerder tegengekomen.
Waar? En hoe heette hij toen?
-ocr page 10-
6
fig. 9
ZIJ                                 VOORAANZICHT
AANZICHT
Hierboven zie je het zijaanzicht en het vooraanzicht van de propeller nog
eens getekend, 0.0002 sec na de start, ofwel, nadat de propeller 30° linksom
gedraaid was.
» 15. Kun je aan de hand van dit plaatje verklaren waarom de schroeflijn-
grafiek ook de grafiek van de SINUS is?
» 16. Kijk nog eens goed naar fig. 7. Van de zijkant af bekeken levert
dit een sinus-grafiek. Als je dezelfde schroeflijn van bovdn af
bekijkt krijg je een grafiek die op t = 0 de waarde 1 heeft.
Teken deze schroeflijn en verklaar waarom dit de grafiek van de
COSINUS is.
* Twee heel verschillende verschijnselen: de mee- en tegenwind en de propeller
leveren ons dezelfde grafieken. Toch is er een belangrijk verschil. Immers
de hoek tussen wind- en vliegrichting zal nooit groter dan 360° kunnen zijn.
Maar bij de propeller kan de afgelegde hoek wel groter dan 360° worden. De
propeller blijft maar draaien, dus de tip blijft de meters aan elkaar rijgen.
> 17. Hoeveel meter legt de propellertip af in een minuut? (Lengte 1).
> 18. Hoe lang duurt het voordat de propeller 195480° heeft afgelegd?
Teken de grafiek van de sinus van 195480° tot en met 195840°.
» 19. Teken de grafiek ook vanaf 20| tt rad. tot en met 23i it rad.
> 20. Waarom is de grafiek een grafiek van een ^uncJU.Z'i Wat is het domein en
bereik?
Het functievoorschrift van de schroeflijn- of sinus-grafiek is a •*■ sin a
waarbij sin de afkorting voor sinus is en a de hoek, uitgedrukt in radialen
of graden.
-ocr page 11-
7
»21. Teken de grafiek van a -> sina als a 6 [510°;600°]
» 22. Hetzelfde als bij opgave » 21, maar nu a 6 [-IT , it] .
»23. Hoeveel nulpunten heeft de grafiek van a -*■ sin it op R ?
»24. Los op: sina= 0,5 met a 6 <-°°, °° > ; a in graden.
»25. Los op: sina= 1 met a 6 <-°°, oo > ; a in radialen.
»26. Verklaar: sin | tt = sin 2| tt = sin 4|- tt = ...
Je zleX. dot na v&dioop van tijd de gnxi^lzk zi.cn koAkaatt. Een deAge&t/fee gta-
fi-itk htat een pwlodX.ok<L gna^ak.
» 27. Hoe lang moet het interval op de horizontale as minstens zijn om alle
informatie die de sinusgrafiek geeft een keer te zien?
W<Lt kofctste. AjntQAval dot nodlg <u> om van de gha^lok. alto, -infiotimatie. tz IvvLj-
gzn hunt de PER10VE van de gmxiLok.
= sin(a-2TT) = sina= sin(a+2Tr) =
» 28. Verklaar:
k S TL
sina= sin(a+2kir)
Ook:
fig. 10
» 29. Hierboven zie je een peAcode. van de grafiek van a -*■ cos a getekend, en
wel op het interval: [7£ tt, 9i tt] . Verklaar waarom dit niet een stuk van
de sinus-grafiek kan zijn.
» 30. Teken in een figuur de grafieken van <X -*■ sina en a -*• cos a op het inter-
val [o°,90°J. Laat zien dat cos a = sin(90°-a).
»31. Los op met de grafieken: cos a = sina a 6 E. ; a in radialen.
-ocr page 12-
SAMENVATTING
fig. 11
Deze schroeflijn van de Z<ijkawt bekeken levert een 4-cno6lijn:
fig. 12
Van bovzn bekeken levert dezelfde schroeflijn een C04imt6lijn:
fig. 13
-ocr page 13-
9
De bijbehorende sinus- en cosinusfuncties hebben de volgende belangrijke ei-
genschappen: (steeds k G 2Z ).
functie-
voorschrift
domein
bereik
nulpunten
periode
max imum
minimum
sinus
a -+ sin a
of
f(a) = sin a
E
[-1,1]
0 + kTT
2tt
waarde: 1
voor
a = irr + 2kir
waarde: -1
voor
a = § tt + 2krr
cosinus
a ■* cos a
of
f(a) = cos a
K
[-1.1]
Jit + kTT
2tt
waarde: 1
voor
a = 2kiT
waarde: -1
voor
O = 7T + 2kTT
2tt radialen komt overeen met 360°.
Verder nog enkele waarden die vaak voorkomen:
a
sin a
cos a
0°
0
1
30°
{
i^5
45°
1/2
\ri
60°
*/3
\
90°
1
0
-ocr page 14-
10
-ocr page 15-
11
We kijken nog eens naar de schroeflijn.
We kregen de sinus-grafiek als we van de zijkant naar een schroeflijn keken,
die begon te draaien vanuit een horizontale stand (linksom).
Dus:
Van de zijkant:
&>~E>-~S>
fig. 14 a
i
i
Wat voor grafiek krijg je nu als je btgint te kijken op de stand dat de pro-
peller 30° teruggedraaid is, dus:
Van de zijkant:
S>-EH
fig. 14 b
I § §
32. Teken de grafiek die je nu krijgt. Langs de horizontale as: de afgeleg-
de hoek van de propeller in graden. Gebruik zoveel mogelijk de sinus-
graf iek van opgave > 11, > 12 en > 13.
-ocr page 16-
12
»33. Ve. tu)e,e.de. i,ckn.oo,{itijn (fig. 14 b) LLgt op Izdeh. moment aU> het waste. 30°
"CLckteA" blj dQ. ZeXitd.
Het functievoorschrif t voor de sinus-graf iek (fig. 14 a) is: a •*■ sin a
of: f(a) = sin a .
Verklaar waarom de tweede grafiek (fig. 14 b) als functievoorschrift
a -* sin(a-30°) of: f(a) = sin(a-30°) heeft.
> 34. Teken in een plaatje de grafieken van a -*■ sinaen a ■* sin(a-45°) en
leg het verband tussen beide grafieken en de schroeflijnen.
»35. Hoe groot moet de "achterstand" van de tweede schroeflijn zijn (in gra-
den) zodat zijn grafiek precies het spiegelbeeld t.o.v. X-as van de
eerste schroeflijn, dus van a -*■ sin a oplevert?
»36. Hoe groot moet de "achterstand" van de tweede schroeflijn zijn (in gra-
den) zodat zijn grafiek precies de grafiek van a ■*■ cos a oplevert?
Kun je dit ook uitleggen met "voorsprong" in plaats van "achterstand"?
» 37. Teken in een tekening de grafieken van:
a -*■ sin a                                     a G ~R
a ■*■ sin(a+ £t0                          a e E.
en los met behulp van deze grafieken op:
sin a = sin(a+ iff)
Ati jz UAst&Zuitmd noon, de. giafai.e.ke.n kZjkt zi.e. je, dot het opteXJLen o{, a^tAek-
feen van een constante. blj heX an.gume.nt (a) een hofvizontate. veJvbc.hiuvX.ng van
de. gfux^tek ten gevolge. nee^-t.
kkVie.kke.n-.
verschuiven naar
cos x
cos(x - Att)
Blj hzt aitAekken met een pobiZizve. conAtante. [de. &chAoe.iLijn LLgt achteA):
veA6chiU.vX.ng noon. fie-chtb.
-ocr page 17-
13
QptoZlm:
verschuiven naar
Link*.
KLj keX optoJULen met covu>tante {de hchfioefaLLjn tigt \i66n.): veJUchuivtng noon
Link*.
Ve. afatand waa/toveA de. gnahtek veAAchwifit ti> even gfioot alA da [absolute
matide. van) de. conitante.
»38. Verandert er iets aan de periode van een sinus- of cosinus-grafiek als
we een positieve constante bij het argument optellen of aftrekken?
»39. Verklaar waarom de grafieken van:
a)   a -*■ sin(a+37°) en a -*■ sin(a + 397°)
aan elkaar gelijk zijn.
Ook:
b)   a -> sin(a-23°) en a -> sin(a + 337°)
c) a -*■ -sin a en a ■*■ sin(a- 180°) ena+ sin(a+ 180°)
d) a -* sin(a+ 120°) en a -*• cos(a + 30°)
»40. Teken in een plaatje de grafieken van:
f : a ■> s in a
g : a -*■ sin(a- | it )
Voor welke waarde van a geldt f(a) = g(a)? (a 6 K)
»41. Teken de grafiek van f(x) = sin(x-45°) en los met behulp van de grafiek
op: sin(x- 45°) Z \Jl
»42. Teken de grafiek van g(a) = cos(a+ iff) en los met behulp van de grafiek
op: cos (a+ Jit) ^ \
»43. Schrijf f(x) = sin(x-45°) uit opgave » 41 in de vorm:
f (x) = cos(x.......)
»44. Schrijf g(a) = cos(a+iiT) uit opgave » 42 in de vorm g(a) = sin(a.....)
-ocr page 18-
14
SAMENVATTING
Als je van de zijkant naar een schroeflijn kijkt en de propeller begint in
horizontale stand (linksom) dan zie je een sinus-lijn ontstaan:
\j fig. 14 a                                                                           fig. 15
Als de beginstand anders is krijg je "dezelfde" grafiek, maar verschoven.
B.v. als je beginstand 30° "achterligt":
fig. 16
14 b
dan "schuift" de grafiek over een afstand 30° naar K.<ldn£i> ("het duurt nog 30c
voor we in de beginstand van de vorige grafiek zitten").
Ander voorbeeld:
Als je beginstand |iTvoorligt:
/for
'X ^
/ x \
' 1 \l 4 t
1 Jr i
-1
1 ^^ % *
fig. 17
dan "schuift" de grafiek over een afstand - it naar Linki,.
Dit verschuiven verandert niets aan de periode.
-ocr page 19-
15
O.
»45. Van vliegtuig A draait de propeller tweemaal zo snel als van vliegtuig
B. Teken van beide de figuur die je krijgt in een tekening door tegen
de zijkant van de schroeflijn aan te kijken. Beginstand horizontaal,
linksom. (De propellers zijn even groot). De horizontale as is de
tsljdcU). Teken een omwenteling van B. Wat is het verband tussen de
periode van B en van A?
» 46. Het functievoorschrift van B (uit opgave » 45) is t ■* sint
Verklaar waarom het functievoorschrif t van A dan t -*■ sin 2t moet zijn.
» 47. Wat zal de periode van t -+■ sin20t zijn vergeleken met die van
t -*■ sin t?
» 48. Teken een periode van de grafiek van t -* sin3t en t + sin t in een
tekening.
Vook kzt vQAmo.yu.QvuJidA.Qzn. van kzt aA.gumo.Yit mot een comtantz > 1, \mn.dt do.
Qha-iLok aJU> kzt vxxaz AamzngzdAukt.
Vz pfiopzlloA dnajxiX. twzzmaal zo &nzl: pzAlodz twzzmaat zo ktzin, Imnztlz-
vooHAchivLfat: t -> i>Xnlt Z.p.v. t ■* i>int .
»49. Teken in een figuur de grafieken van a ■*■ sin a en a ■*■ sin £a .
a 6 [0,2ir].
Wat is de periode van beide functies?
»50. Welke waarde moet k hebben in: a ->■ sink*aals je weet dat de periode
van deze functie 24tt is?
-ocr page 20-
16
» 51 . Teken de grafiek van de functie h(t) = sin it. t 6 [0,471"]
Deze grafiek geeft een ruwe weergave van het verloop van hoog en laag
water in Kornwerderzand (Friesland). (h in meters; t in uren).
1 meter wil zeggen: 1 meter boven N.A.P.; -1 meter: 1 meter onder N.A.P.
De periode van het getij is in werkelijkheid zo'n 12,4 uur.
Klopt dat enigszins met onze grafiek?
Schelpen en zeesterren zoeken kun je het best doen als het laag water
is. B.v. als het water Z.OQ2A. dan -Jm N.A.P. staat.
Hoeveel uur -per periode kun je schelpen zoeken?
»52. Tijdens de najaarsstormen staat het water gemiddeld wat hoger. Op een
gegeven moment kan de getijkromme worden benaderd door:
k(t) = 0,75 + sin |t t 6 [0,4tt]
Teken de grafiek van deze functie.
Wat is de hoogste en laagste waterstand onder deze omstandigheden?
»53. Het hoog- en laagwater langs de Nederlandse kust heeft wel dezelfde
periodiciteit (12,4 uur) maar YVLQJt dezelfde hoog- en laagwaterstanden.
Daar zijn nogal wat verschillen in. Zo kan een periode van getijdebe-
weging in Den Helder benaderd worden door:
d(t) = 0,75 sin it
maar in Vlissingen heb je:
v(t) = 2 sin it.
Teken beide grafieken in een plaatje.
Wat zijn de nulpunten; de maxima en minima?
Hoe lang per periode staat het water in Den Helder hoger dan +0,5m
N.A.P.? En in Vlissingen?
AAMTAL D»G!N
Hier de "echte" gemid-
delde getijkromme van
Vlissingen.
Welke verschillen zie
je met de grafiek van
opgave » 53?
-ocr page 21-
17
»54. Teken de grafiek van f(x) = vl cos 3x (x 6 ]R ) door eerst die van
g(x) = cosx en dan h(x) = cos 3x te tekenen.
Voor welke waarden van x geldt: f(x) =£1?
SAMENVATTING
In dit gedeelte zagen we drie belangrijke zaken:
1. Wat gebeurt er in de grafiek als je het argument van een sinus-functie
met een (positieve) constante vermenigvuldigt?
«
B.v. hoe ziet de grafiek van a •*■ sin2aer uit, vergeleken met die van
a -*■ s in a ?
Welnu: de periode wordt tweemaal zo kort. (Ofwel: propeller gaat tweemaal
zo snel draaien). Verder gebeurt er "niets":
a -*■ sin 2a
2. Wat gebeurt er met de grafiek als je bij een sinus-functie een positieve
constante optelt?
Dan schuift de hele grafiek naar boven en wel precies zo ver als de con-
stante groot is:
3. Wat gebeurt er in de grafiek als je een sinus-functie met een positieve
constante vermenigvuldigt?
Dan wordt iedere functiewaarde met de constante vermenigvuldigd, dus de
grafiek wordt opgerekt:
MS
a ■*■ sin a
-ocr page 22-
-ocr page 23-
19
4
Soms is het mogelijk en handig om een periodiek verschijnsel te benaderen met
een zuiver periodieke functie. Vaak komen daarbij sinus-functies te pas.
Een voorbeeld daarvan is de getijbeweging die door een eenvoudige sinus is te
benaderen.
Het is echter lang niet altijd eenvoudig om zo'n "passend" functievoorschrift
te vinden.
Aan het eind van dit hoofdstukje zullen we proberen sinus-functies te vinden
bij enkele periodieke verschijnselen.
Maar eerst wat vingeroefeningen.
» 55. Geef het bereik (maximum en minimum) en de periode van de volgende
functies: (alle variabelen 6 K. ) .
f (a) = 3 sin a
g : x -*■ sin 2x
h(a) •*■ -2 sin fa
k : t -> sinTTt
l(p) = 0,3 sin 0,4Trp
s(t) = 3 sin(t - it)
» 56. Nu het omgekeerde van opgave > 55.
Bedenk een  functievoorschrift dat past bij een sinus-grafiek waarvan je
weet:
f: periode  2tt, max , (min) : 2 (-2)
1
3
(4)
1
(-D
1
(-D
53
(-53)
6
(-2)
k
(-11)
g: periode    tt, max , (min)
h: periode  2 , max , (min)
k: periode  5 , max , (min)
m: periode  6ir, max, (min)
n: periode  2tt, max, (min)
o: periode    tt, max, (min)
-ocr page 24-
20
Onze ademhaling is, net als hartslag en bloeddruk een redelijk periodiek ver-
schijnsel. Bij een gezonde volwassene duurt een volledige cyclus van inademen
tot en met uitademen ongeveer 5 seconden. OfweT we ademen zo'n 12 maal per
minuut.
Bij het inademen halen we maximaal zo'n halve liter per seconde binnen, die er
even later weer uitgeblazen wordt. Via allerlei leuke apparatuur kan daar vol-
automatisch een grafiek van gemaakt worden.
Zoiets:
i in Sec ■
fig. 22
Zoals je ziet niet precies een sinus-grafiek.
»57. Waarom niet?
» 58. Vindt een functievoorschrift dat deze kromme redelijk benadert en leg
uit in hoeverre jouw grafiek afwijkt van de echte hierboven.
O
s fl-
in rust
*
£ in sec.
fig. 23
-!••
-ocr page 25-
21
De "luchtdruk" -en je longen is natuurlijk ook periodiek en wel met dezelfde
periode als de ademhaling. De grafiek zie je op de vorige bladzijde.
» 59. Waarom zal de "luchtdruk" wel negatief moeten zijn tijdens de inade-
mingsfase?
» 60. Vindt ook bij deze grafiek een tamelijk goed passend functievoorschrift.
» 61. Iemand gaat hardlopen waardoor de periode van de ademhalingscyclus
wordt gehalveerd. Verder wordt de luchtstroom de longen in en uit drie
keer zo groot.
Hoe luidt nu het functievoorschrift? Teken de grafiek.
»62. Een figuur die hardlopen niet zo ziet zitten gaat roeien. Daardoor
wordt de periode drievijfde van die in rust en de druk in de longen
wordt viermaal zo groot.
Hoe luidt nu het functievoorschrift? Teken de grafiek.
»63. Bedenk een functievoorschrif t  dat past bij   een sinus-graf iek waarvan je
weet:
f: periode 2tt ; max, (min) 2,   (-2); f(0)   = 1
g: periode tt ; max, (min) 1,   (-1); g(0)   = 1
h: periode 2 ; max , (min) ^,   (—|); h(0)   = —|
-ocr page 26-
22
-ocr page 27-
23
s
In het voorgaande kwamen functies ter sprake van de vorm: s(a) = sin a
en allerlei variaties daarop: p(a) = sin(a-2)
q(a) = 2 + sin a
r(a) = 2 sin a
t(a) = sin 2a
> 64. Geef in woorden weer hoe de grafieken van p, q, r en t samenhangen met
die van s.
De hoog/laagwaterfunctie van Vlissingen is een voorbeeld (zie opgave > 53)
waar je in tlXMKL stappen van f(t) = sin t tot de gewenste v(t) = 2 sin it kon
komen. Eerst van sint naar sin it ; daarna van sin it naar 2 sin it.
Echt nodig is dat niet: je kunt ook gewoon enkele waarden op je rekenmachien-
tje intoetsen, net zo lang tot je denkt dat je de grafiek goed ziet.
Stormvloed in Vlissingen levert nog een extra stap op b.v.:
v(t) = 1,5 + 2 sin it te».
» 65. Teken de grafiek en lees daaruit af hoe lang per periode het water hoger
dan +3 meter N.A.P. staat.
» 66. f (x) = i + i cos 2x.
Teken de grafiek en los op: i + i cos 2x i }.
Er is nog een probleem dat onder ogen gezien moet worden. Hoe combineer je
een horizontale verschuiving met een verandering van de periode. Of als voor-
beeld: hoe combineer je sin(a- 1) en sin ia .
Of: je wilt een functie met periode 4tt 1 naar rechts verschuiven. (1 "uur"
achter laten lopen).
Zoals we al eerder zagen kan de getijkromme van Den Helder worden benaderd
door: d(t) =0,75 sin it.
De getijkromme van Oude Schild lijkt sprekend op die van Den Helder, zelfs
-ocr page 28-
24
de hoog- en laagwaterstanden zijn ongeveer even groot. Echter: het is in Oude
Schild een UixH ZatQA hoog water dan in Den Helder.
> 67. Onderzoek welke van de volgende functievoorschriften past bij Oude
Schild: o(t) - 0,75 sinQt -1)
s(t) = 0,75sin |(t - 1)
en verklaar je antwoord.
Op dit kaartje zie je
iso-hoogwater-tijdlijnen.
Dit zijn lijnen die punten
waar het op hetzelfde mo-
ment hoogwater is, met
elkaar verbindt. Zo kun je
zien dat het op Oude Schild
(Zuid-Texel) een uur later
hoogwater is dan in Den
Helder. Hoe?
fig. 24
»68. Bedenk zelf het functievoorschrift dat past bij een andere Nederlandse
kustplaats waarbij het hoogwater +1,5mN.A.P. is, het laagwater
-1,5mN.A.P.; en waar het hoog water 4 uur eerder is dan in Den Helder.
Welke plaats langs de Nederlandse kust zou dit kunnen zijn? (zie fig.24)
» 69. Hoe kun je aan fig. 24 zien dat de periode van de getijbeweging onge-
veer 12,4 uur is?
» 70. Teken de grafiek van: f(x) = sinQx- 1) na eerst die van g(x) = sin£x
getekend te hebben?
= cos2(x + £tt) en t(x) = cos(2x + |tt) in een
» 71. Teken de grafieken van s(x)
tekening.
Los op: s(x) > i
t(x) > i
-ocr page 29-
25
> 72. In een vochtig land als Nederland is voor de voedselproduktie de lengte
van het QK02Jj>^iz02n van belang. Het groeiseizoen bestaat uit de dagen
met een gemiddelde temperatuur bovzn &<L 5° C.
De jaarlijkse temperatuurschommelingen kunnen worden benaderd door:
T(x) = 9,5- 10,5 cos 2ttx, waarbij x de tijd in jaren en T de temperatuur
in °C. Hoe lang is het groeiseizoen?
» 73. Teken  in een figuur de grafieken van:
f(x)   = sin i|x|
g(x)   = sin |£x|
h(x)   = | sin ix|                            x E It
» 74. Bekijk nog eens de gemiddelde getijkromme van Vlissingen. En dan vooral
naar ons wiskundig model daarvan. (Zie opgave » 53).
Vandaag is het woensdag; vanochtend om 00.00 uur was het stijgend water
en de waterstand was 0m N.A.P.
Zaterdag a.s. zijn er zeilwedstrijden die beginnen bij aflopend tij en-
wel bij een waterstand van +1m N.A.P., dit in verband met de stromingen
en branding.
Hoe laat zal het startschot moeten vallen?
-ocr page 30-
26
-ocr page 31-
27
6
Zweefvliegen in z'n meest gedemocratiseerde vorm, het hanggliden, is al in
vele landen een populaire sport. In Nederland nog niet zo, omdat wij niet ge-
noeg hoge heuvels of rotsen hebben om vanaf te springen.
De hanggliders verschillen kwalitatief nogal. En de kwaliteit wordt vooral af-
gemeten aan de vliegprestaties.
-ocr page 32-
28
In de plaatjes hieronder worden de prestaties van twee toestellen vergeleken:
fig.26 b
» 75. In figuur 26a zie je dat de "glijhoek" van een toestel 5° is. Als de
horizontale afstand AB 1 km is, hoe hoog is het vliegtuig dan in A?
(in km) .
» 76. Dezelfde vraag voor fig. 26b, voor een toestel met een glijhoek van 10°,
De getallen die je in » 75 en » 76 als antwoord kreeg worden de gZijV&ihou-
(LLnQdn van de vliegtuigen genoemd.
Hoe kleiner de glijverhouding, des te "beter" is het vliegtuig.
Er is natuurlijk een verband tussen de glijhoek en de glijverhouding. Hoe gro-
ter de hoeken, des te groter de verhouding. Dit verband kun je in een grafiek
weergeven:
5" 10* 15* 20* 25° 30°
» 77. Maak de grafiek in je schrift af door driehoekjes te tekenen met glij-
hoeken van 15°, 20°, 25°, ___
» 78. Verklaar waarom de zojuist getekende grafiek die van a ■+ tan a is op
[0°, 90°>.
> 79. Zweefvliegtuigen hebben bijna allemaal betere glijverhoudingen dan 0,05,
Wat betekent dat voor de glijhoeken?
> 80. Sportvliegtuigen hebben glijverhoudingen die zo tussen de 0,12 en 0,25
liggen. Hoe groot zijn de bijbehorende glijhoeken?
-ocr page 33-
29
De vraag kan gesteld worden of a -*■ tan a ook gedefinieerd is buiten het inter-
val [0°, 90°> .
Met behulp van de rekenmachine is het antwoord snel gegeven. Maar ook zonder
de rekenmachine kun je gemakkelijk de grafiek van a ->■ tan a op papier krijgen
door uit de herinnering de volgende formule op te duiken:
sin a
tan a
cos a
»81. Maak de tabel af:
a
sin a
cos a
tan a
0°
0
30°
i
45°
\fl
60°
kfi
90°
1
> 82. Maak analoge tabellen voor hoeken uit:
- het tweede kwadrant: 90° ^ a ^ 180°
- het derde kwadrant: 180° i a i 270°
- het vierde kwadrant: 270° < a ^ 360°
> 83. Wat zijn de nulpunten van a -»■ tan a?
Het is de moeite waard het gedrag van a -*■ tan a in de buurt van 90° wat nader
te bekijken met behulp van de rekenmachine.
»84. Hoe groot is tan 89°? En tan 89,5°?
»85. Wat is de grootste waarde van tan a die je rekenmachine geeft? Is dat
het maximum van a -*■ tan a?
» 86. Waar zit klaarblijkelijk een asymptoot in de grafiek van a ->■ tan a?
» 87. Controleer ook het gedrag van de functie a ■+ tan a aan de "andere kant"
van 90°.
» 88. Teken de grafiek van a ■*■ tan a met a E [0°, 360°] .
»89. Verklaar waarom de periode van a ■* tan a geen 360° is, maar 180c
-ocr page 34-
30
> 90. Verklaar waarom voor kleine hoeken (a G [0°, 5°]) geldt: sin a = tan a.
Controleer dit met de rekenmachine.
» 91.
Door een vergrootglas kijken we naar
het begin van de grafieken van tan a
en sin a. Je ziet, die liggen vlak
tegen elkaar, hetgeen te verwachten
was na opgave > 90.
Welke van de twee grafieken is de bovenste en waarom? Snijden de grafie-
ken elkaar (behalve in x = 0°)?
» 92. Teken de grafiek van x -»■ tanZx op<0,4iT> , (x in radialen) en los op:
tan2x ^ 1.
»93. Teken de grafiek van p ■+ tan ip op M , (p in radialen) en los op:
tan ip £ £.
» 94. a) Teken de grafiek van x -*■ | tan x| op <-£TT,in>.
b) Teken de grafiek van x ■> tan |x| op <—i tt , i tt>.
c) Geldt op R : |tan x| = tan |x|?
-ocr page 35-
31
SAMENVATTING
In dit hoofdstuk werd de functie x ■*■ tan x onderzocht. De grafiek ziet er zo
uit:
met de volgende bijzonderheden:
nulpunten
asymptoten
extremen
x = 0 + kTT
x = in + kTT
geen.
k S tl
k G tl
Bijzondere waarden:
a
0°
30°
45°
60°
90°
tan a
0°
i/3
1
/3
*