-ocr page 1-
Freudenthal instituut
Archief
1
-ocr page 2-
PliRICDIIEKIE
FUNCTIISS
-ocr page 3-
E
Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht
Toto omAlag:
Vtiooi- en noo^dioJizn &taan czn&iaal in hzt twzzdz dzzl van dit bozkjz.
Hizn hzzfit een Koadhimnzh. [noofadioji) een hagzdiA [pn.ooidi.QA] veJiAchalkt.
PERIODIEKE FUNCTIES
Een produktie ten behoeve van de
experimenten in het kader van de
Herverkaveling Eindexamenprogramma's
Wiskunde 1 en 2 V.W.O.
Samenstelling: Jan de Lange Jzn
Martin Kindt
Vormgeving: Ellen Hanepen
© 1984; 2e herziene versie
Utrecht, april 1984.
-ocr page 4-
INHOUDSOPGAVE
1. PERIODIEKE VERSCHIJNSELEN                                                                       pag. 1
2. PROOI-ROOFDIER-CYCLUS
3. MEERVOUDIGE PERIODICITEIT                                                                                 15
4. HET SINUS-MODEL                                                                                                     21
5. PERIODICITEIT EN TREND                                                                                       29
JL
-ocr page 5-
1
1
PERIODIEKE VERSCHIJNSELEN
Voor een onderzoek naar het functioneren van het hart wordt vaak gebruik
gemaakt van een elektrocardiogram of E.C.G. Bij het pompen door het hart
worden elektrische stroompjes opgewekt. Als er nu elektroden op de lede-
maten en borstkas worden geplaatst zijn die stroompjes te meten. Deze
worden dan versterkt en via allerlei apparatuur op papier gebracht:
&Lq, J
0 sec
0,8 sec
1,6 sec
Bovenstaand plaatje geeft het verloop weer in ongeveer 1,6 seconden.
-ocr page 6-
Het samentrekken van de hartspier wordt veroorzaakt door een spon-
tane impuls die ontstaat in een zenuwcentrum in de wand van de
rechter boezem (1).
Die impuls breidt zich via de wand van de boezem uit (2); dit le-
vert op het E.C.G. een kleine piek op: doordat de wand van de boe-
zem dun is, is maar een kleine impuls nodig. (P-top).
Vervolgens bereikt de impuls de atrioventriculaire knoop. Hier
wordt de impuls even opgehouden (3). Dit resulteert in een vlak
stukje E.C.G.
Na het korte oponthoud gaat de impuls naar de kamers (4). Omdat de
kamerwanden dik zijn is er een flinke prikkel: een hoge piek in
het E.C.G. (QRS-complex).
Tenslotte ontspant de hartspier zich (5). (T-top).
-ocr page 7-
Om de grafieken van fig. 1 wat 'leesbaarder' te maken worden deze 'ge-
middeld' (via een computerprogramma).
Het resultaat in dit geval:
I
0 sec                                   0,8 sec                              1,6 sec
» 1. Verklaar waarom deze grafiek minder 'bibberig' is,
£ifl. 2
» 2. Verklaar waarom het patroon steeds terugkeert; schat de polsslag
van deze patient (aantal slagen/minuut).
» 3. Teken zo nauwkeurig mogelijk het E.C.G. van deze patient voor de
volgende twee seconden.
Vaak worden gemiddelde grafieken zoals in fig. 2 nog verder 'gemodel-
leerd'. Dan komen de regelmaat en de bijzondere kenmerken nog duidelij-
ker tot uiting.
Zo'n 'model-E.C.G.' kan er zo uitzien:
&iQ. 3
Het samentrekken van de boezems zie je bij P, dat van de kamers bij R
en het ontspannen bij T.
-ocr page 8-
4
Bij opeenvolgende tijdsintervallen van (een bepaalde) gelijke lengte
herhaalt de grafiek zich. Het kortste tijdsinterval waarvoor dit geldt
noemen we de p&LLOde. van het verschijnsel.
» 4. Bij sporten zal de hartslag aanzienlijk kunnen oplopen.
Teken een E.C.G. (van een gezond persoon) met een hartslag van
120 s/m gedurende een tijdsinterval van vier seconden.
» 5. Na jarenlang duursport bedrijven (wielrennen, roeien, lange afstand
lopen e.d.) kun je een 'sporthart' krijgen: de hartslag daalt tot
bijvoorbeeld 40 slagen per minuut, in rust.
Teken ook vier seconden van een E.C.G. van een dergelijk persoon,
met dezelfde asverdeling als bij de vorige opgave.
Hartkwalen vormen een van de voornaamste doodsoorzaken in ons land. Een
tijdig onderkennen van storingen van de werking van het hart is daarom
van het grootste belang. Het E.C.G. is daarbij het belangrijkste hulpmid-
del: iedere stoomis heeft zo z'n 'eigen' E.C.G.-verloop.
Een storing is de volgende.
De boezems kunnen ophouden met zich samen te trekken. De P-toppen van
het E.C.G. verdwijnen dan geheel. Slechts af en toe zal een prikkel uit
de boezem doordringen tot in de kamers. Dus ook slechts af en toe zal er
een QRS-piek waar te nemen zijn. Bovendien zullen deze pieken veel lager
dan normaal zijn.
» 6. Teken op grond van deze beschrijving een mogelijk E.C.G.
HeX opmrnm van een eZe.k£A.ocaAdU.ognjCLm.
-ocr page 9-
5
Onderstaand E.C.G. ontstaat als er chaotische prikkelvorming optreedt
in de kamers. Het verschijnsel heet in medische kringen: kamerfladderen.
mm mm ssss sb mm mt <m m
0 0,8 1,6 2,4 3,2 4,0 sec
» 7. a. Wat is de periode van de hartslag voor het kamerfladderen?
b. En wat is de periode tijdens het kamerfladderen?
Tenslotte een gedeelte van het E.C.G. van een patient die een hartin-
farct heeft.
ilg. 6
Het is precies een periode. Alleen de P-top is aangegeven. Deze blijft
vrijwel ongewijzigd (vergeleken met de gezonde situatie).
> 8. Teken nog twee periodes en geef aan wat de voomaamste verschil-
len zijn met het E.C.G. van een gezond persoon.
Een ander, nauw met de hartslag samenhangend, periodiek verschijnsel is
de bZozddAnk. Dat is de druk die door het bloed op de vaatwand wordt
uitgeoefend. Die is maximaal (de systolische druk) tijdens de hartslag,
en minimaal (diastolische druk) tijdens de ontspanning van de hartspier.
-ocr page 10-
6
Hieronder staan twee grafieken van de bloeddruk van de giraffe. Eerst
als de giraffe ligt en vervolgens als hij staat.
300
240
180
120
1                                                            2
TIME (SECONDS)
b*4- ?
J
f\ f\ /\ f\
2
/> A 1
■J^^F-^IKt.
H£<E^
mm ^y ^
300
240
80
20
60
TIME (SECONDS)
&*4- &
Vz qajul^z kzz{t een 'vztband' om de. nzk waaxmzz de blozdd/iuk gzmztzn
kan wofidzn.
> 9. a. Wat is de frequentie van de hartslag in beide gevallen?
b. Hoe groot is de bloeddruk in beide gevallen (zowel de systolis-
sche als de diastolische)?
c. Heb je een verklaring voor het feit dat de hartslag in dit
tweede geval sneller is, terwijl de bloeddruk juist lager is?
d. De bloeddruk van een zittend mens is tussen de 70 en 130 mm Hg.
Waarom zou dit bij de giraffe zoveel hoger zijn?
-ocr page 11-
7
Soms kan een periodiek verschijnsel benaderd worden door een eenvoudig
wiskundig model. Dat is bij een E.C.G. wat lastig, maar bij de ademha-
ling van mensen redelijk te doen.
Bij een gezonde volwassene is het functievoorschrift voor de luchtstroom-
snelheid (in liter/sec) tegen de tijd (sec) als volgt:
/
/
f
!
-
\ A '
i
u 0.5
s
*
o
c
'^ -0.5
L1(t) = 0,5 sin t                       (t in radialen).
> 10. a. Wat is de periode van dit wel erg ruwe model?
b. Wat is de maximale luchtstroomsnelheid?
Twee wat verfijndere modellen zijn:
L2(t) = 0,5 sin ft
L3(t) = 0,5 sin 0,4tt t
> 11. a. Wat is de periode van L2 en die van L3?
b. Wat is de maximale luchtstroomsnelheid?
> 12. a. Teken de grafiek van L3(t). (Twee volledige periodes).
b. Iemand die zojuist gesport heeft zuigt de lucht aan met een
dubbele snelheid en met een gehalveerde periode.
Beschrijf het functievoorschrift L1((t) dat bij deze situatie
hoort en teken de grafiek.
-ocr page 12-
Een lynx aj> een CanadzAz AncuiwhaaA m£ -LeXA tz meZ afa.
-ocr page 13-
9
JM                                                                     PROOI-ROOFDIER-CYCLUS
Bij tellingen in 1950 (t= 0) waren op een bepaald gebied in Noord-Ameri-
ka naar schatting zo'n 7.000 konijnen. Relatief gezien was dat niet veel.
Deze konijnen vormden o.a. de prooi voor het roofdier de lynx. Daarvan
waren er in 1950 ongeveer 350.
De lynxen hadden vrij veel moeite met het vinden van de 'schaarse' konij-
nen. Dat had twee gevolgen: de konijnen konden zich tamelijk explosief
ontwikkelen en het aantal lynxen nam af.
Zo waren de aantallen in 1951:
12.000 konijnen en 250 lynxen
en een jaar later:
19.000 konijnen en 200 lynxen.
Vanaf dit moment ongeveer was het voor de schaarse lynxen erg gemakkelijk
geworden om een konijn te verschalken. De cijfers tonen dat ook duidelijk
aan: in 1955 waren er:
23.000 konijnen en 400 lynxen.
Doordat er nu weer relatief veel lynxen zijn daalt het aantal konijnen nu
snel: in 1957 waren er 18.000 konijnen en in 1961 zo'n 7.000,
Het aantal lynxen in die jaren bedroeg respectievelijk 500 en 350.
-ocr page 14-
10
Door allerlei oorzaken was het niet mogelijk in de andere jaren tellin-
gen te verrichten. Wei had men het sterke vermoeden dat zo ongeveer om de
tien jaar de hele ct/c£tti zich herhaalde. Dat was een van de redenen dat
men stopte met de tellingen in 1961. Uitgaande van de schaarse gegevens
van 1950 tot 1961 zou getracht worden een beeld te krijgen van het ver-
loop van het aantal prooi- en roofdieren.
» 13. Teken in een figuur de ontwikkeling van het aantal konijnen en
lynxen in het betreffende gebied; ga ervan uit dat de cyclus zich
vanaf 1961 herhaalt.
Gebruik een assenstelsel zoals hieronder.
500
^ 400
•
■ Z5.000
. 10.060 ^
1 3oo
5 2oo|
x 10 0 -
4
, IC Aft/i *
------------- q
V
i 10.000 ^J
• *» 0 ft f) v
SI
3
S
I
5
4
i
i6
!
8
i
0
t
2.
i
k
t
.6
6
8
?
< A,
0
4*
?*
1*3- 9
> 14. a. Wat is de periode van het aantal konijnen?
b. Wat is de periode van het aantal lynxen?
» 15. Verklaar waarom beide periodieke verschijnselen uit bovenstaande
grafiek nooit op hetzelfde moment een maximum zullen hebben.
De prooi-roofdier-cyclus is een verschijnsel dat zich al eeuwen bij tal-
loze diersoorten voordoet, maar pas sinds het begin van deze eeuw voor
het eerst duidelijk werd voor de mens.
In de eerste wereldoorlog werd er in de Adriatische zee vanwege de oor-
logshandelingen niet gevist. Na de oorlog bleek het aantal roofvissen
(haaien) zeer sterk toegenomen. Deze waarneming gaf de stoot tot het
opstellen van het prooi-roofdier-model.
-ocr page 15-
11
Grafisch gezien levert het prooi-roofdier-model vaak twee sinus-achtige
krommen op die dezelfde periodes hebben en ten opzichte van elkaar hori-
zontaal verschoven zijn.
Dat dit geen studeerkamermodel alleen is blijkt uit de volgende grafiek,
die het resultaat is van laboratoriumexperimenten:
Paramecium aurelia
200
£150
! 100
ilg, 10
1
50
> 16. Welk diertje is klaarblijkelijk roofdier en welk prooidier in deze
grafiek?
» 17. Bij prooi-roofdier-modellen zegt men vaak:
"De groeisnelheid van de roofdieren is evenredig met de aan-
wezige hoeveelheid prooidieren".
Klopt dat in de voorgaande twee grafieken?
Een prooi-roofdier-model wordt beschreven door de volgende twee functies:
Nx(t) = 200 sin t + 400
N, (t) = 300 sin (t - -j? it) + 500
(t in 5 jaar)
» 18. a. Wat is de periode van de cyclus van dit prooi-roofdier-model?
b. WeIke functie beschrijft het aantal roofdieren?
c. Hoeveel dieren van iedere soort zijn er maximaal en minimaal?
d. Teken de grafieken van dit prooi-roofdier-model in een tekening
(op soortgelijke wijze als bij fig. 9).
-ocr page 16-
12
In bovenstaand model beweegt het aantal dieren Nx zich rond de 'even-
wichtssituatie 400.
Het maximum ligt er 200 boven, het minimum 200 eronder. Het getal 200 heet
de ampLUudd; d.w.z. de maximale uitwijking uit de evenwichtsstand.
» 19. Wat is de amplitude van N2(t)?
Van prooi-roofdier-modellen worden vaak grafieken getekend die het perio-
dieke verloop op geheel andere wijze verduidelijken.
Men tekent dan een grafiek met langs de twee assen het aantal prooi- resp.
roofdieren. Het eerste punt van de grafiek geeft de situatie aan op het
moment t = 0 (de getallen zijn uit het konijn-lynx-model) .
500
4oo
300
200
100
1
t.O
ilQ. 11
5
5000             15000             25.000
AANThl PAOOIP/BRSM
Vervolgens wordt het aantal op t= 1 getekend; daarna de situatie voor
t = 2; enz.
V
m. u
J5
•5.000              25.000
AANTAL PAOoiJ>/BR£M
woo
-ocr page 17-
13
» 20. Maak op deze manier de grafiek van de konijn-lynx-cyclus af.
Verklaar de ontstane grafiek.
»21. Maak een dergelijke grafiek van het model:
Nx(t) = 200 sin t + 400
N2(t) = 300sin(t-|tt) + 500
» 22. Teken een dergelijke grafiek in het geval dat beide soorten zich
stabiliseren na verloop van tijd.
Dus een dergelijk geval:
13
100
Z 3 4 5 6 7 8
9           +ijct in jir*r>
-ocr page 18-
14
Ve. mnkknab dankt zljn mam axm de i>texk ontwikkeZde. voonklam waanmze.
klj tijkt te. Menken.
-ocr page 19-
15
3
MEERVOUDIGE PERIODICITEIT
Periodieke verschijnselen roepen vaak weer andere periodieke verschijn-
selen op. Zo geeft de hartslagperiodiciteit aanleiding tot de bloeddruk-
periodiciteit.
Vaak is het echter niet zo duidelijk of een bepaald periodiek verschijn-
sel door een ander periodiek verschijnsel wordt veroorzaakt, of dat die
regelmaat er 'toevallig' al is.
Onderzoek heeft aangetoond dat de 'wenkkrab' zeer actief is tijdens
laagwater, maar niets uitvoert tijdens hoogwater.
De volgende grafiek maakt dat duidelijk:
-ocr page 20-
16
(M' 14
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
o
J
•5 JULI
T1JD IN UREN
Langs de verticale as staat 'activiteit' met daarbij een schaalverdeling
van 0-20. Dat zegt op deze manier niet veel. Daarom, ter verklaring:
men heeft het aantal keren geteld dat de krab een bepaald punt passeerde.
Het lijkt er sterk op dat eb en vloed - het getijde - de activiteit van
de krab bepalen. Om daar meer zekerheid over te verkrijgen werd de krab
geplaatst in een omgeving waar geen eb en vloed was.
Dit leverde voor 11 juli de volgende grafiek op:
ilq. 7 5
A /----V^
<
o
L
2 4 6
8 10 12 14 16 18 20 22 24
TIJD IN UREN
J
11 JULI
Een week later was een verband tussen het getijde en de activiteiten van
de krab totaal verdwenen.
> 23. Welke conclusie(s) kun je uit de twee grafieken trekken?
-ocr page 21-
17
Dezelfde krab, de WZnkkfulb, kent nog een tweede opvallend periodiek ver-
schijnsel:
' s nachts is hij licht gekleurd, overdag donker.
Of in een grafiek:
ilQ. 16
0
NACHT
TIJD IN UREN
Ook nu vroegen de onderzoekers zich af of een externe reden (dag-nacht-
cyclus) de oorzaak van de kleurwisseling was. Om daarop een antwoord te
vinden werd de krab in een ruimte geplaatst met een constante hoeveel-
heid licht.
Het resultaat was:
tf-tfl. 17
0               12
NACHT DAG
12
DAG
0
NACHT
TIJD IN UREN
> 24. Welke conclusie(s) kun je aan de hand van bovenstaande twee gra-
fieken trekken?
In het eerste geval (activiteiten) spreekt men van een &x£oAne. biologi-
sche klok. In het tweede geval van een -LvvteAne. biologische klok.
-ocr page 22-
18
Een andere krab, de QUOQMZ. \vwJo, is juist actief bij hoogwater en niet
zo actief tijdens laagwater.
De volgende grafiek 'bewijst' dat:
HOOGJ          IHOOq JHOOGJ JHOOGI         rrT,mc
.....toGT-"TLAAGl""lLAAGl""TAAGGETIJDE
ilg. 18
TIJD IN UREN
» 25. Welk verschijnsel - naast eb en vloed - lijkt invloed te hebben
op de activiteiten van de groene krab?
Deze grafiek is ook te modelleren; met het volgende resultaat:
HOOG
ib£-l»m}£iKPSta£P£l«-™»
1*3. 79
-i-
0                    12                     0                     12
NACHT             DAG              NACHt              DAG
TIJD IN UREN
-ocr page 23-
19
» 26. Hoe groot is de periode van de grafiek afgaande op dit gedeelte?
(Zo nauwkeurig mogelijk).
De groene krab houdt dus rekening met eb en vloed (periode 12,4 uur) en
dag en nacht (periode 24 uur).
Dat het model van fig. 19 niet onbeperkt naar rechts kan worden voortge-
zet moge blijken uit het antwoord op de volgende vraag.
>27. Teken de activiteiten-grafiek van de groene krab als het 'eerste'
hoogwater om ongeveer 06.00 uur valt:
fral^ra*^-to^H«*™«
H00G
ilQ. 10
0          6          12 (8           0          6
NACHT             DAG               NACHT
12 18
DAG
TIJD IN UREN
» 28. Hoe kun je de periode van de activiteiten van de groene krab bere-
kenen (rekening houdend met de periode van eb en vloed en die van
dag en nacht)?
»29. a. Een verschijnsel A kent twee externe klokken. Bij die 'klokken'
passen de functievoorschriften:
Lx(t) - 0,5 sin 0,4 t
L2(t) = 0,7 sin0,25 t
Wat zal de periode van het verschijnsel A zijn?
b. Hetzelfde voor een verschijnsel B met drie externe klokken:
Kx (t) = 3 sinTT t
K2 (t) = 1,5 sin 0,25 it t
K3 (t) =          sin 0,1 tt t
-ocr page 24-
20
EXTRA: BIORYTHME
Er is de laatste jaren nogal wat interesse in biorythme. Er zouden drie
cyclussen zijn - de lichamelijke-, de gevoels- en de intellectuele cy-
clus - die ons gedrag beinvloeden.
Volgens sommige serieus te nemen onderzoekers zou aan de hand van deze
drie cyclussen voorspeld kunnen worden wanneer je mogelijkheden op de
drie genoemde gebieden goed of slecht zijn. In het laatste geval spreekt
men van kritische dagen. Zo nam Marilyn Monroe teveel slaappillen op een
kritische dag.
De grafieken van de drie cyclussen zijn sinusachtig.
Die van de lichamelijke cyclus heeft een periode van 23 dagen (sterk
voelen, uithoudingsvermogen, weerstand tegen ziekte).
De gevoelscyclus heeft een periode van 28 dagen (creativiteit, verdriet,
vreugde).
De intellectuele cyclus heeft een periode van 33 dagen.
Op je geboortedag beginnen alle drie cyclussen in het nulpunt en begin-
nen direct te stijgen.
> 30. Na hoeveel jaar is de totale cyclus weer op zo'n punt aangeland?
(Alle drie grafieken op nul en stijgend).
»31. Hoeveel keer in je leven zul je een topdag hebben (theoretisch) ,
d.w.z. alle drie grafieken bereiken op dezelfde dag het maximum?
De kritische dagen zijn dagen waarbij een van de drie grafieken een nul-
punt heeft.
De dagen dat de grafiek een minimum heeft zijn dagen van rust.
> 32. Kies een van de drie cyclussen uit en teken de grafiek daarvan
vanaf vandaag voor de eerstkomende maand.
Bepaal je kritische dagen.
-ocr page 25-
21
4
HET SINUS-MODEL
Sommige periodieke verschijnselen zijn redelijk te benaderen door een
sinus-functie. Een enkel voorbeeld werd al beschreven in de eerste
hoofdstukken.
Een heel bekend verschijnsel waarbij dat benaderen door een sinusoi'de
(= sinusgrafiek) goed lukt is de getijdebeweging.
Bij Vlissingen staat een meetstation. Op een rol, die in 24 uur rond-
draait, wordt continu de waterstand bijgehouden. Omdat de periode van
de getijbeweging niet precies samenvalt met die van dag en nacht (24 u)
laat men - om papier te sparen - het papier op de rol drie voile dagen
zitten.
Na zo'n periode krijg je dan - sterk verkleind:
tig. 2 7
V) f~ (»V ■**
-ocr page 26-
22
We zien hier het verloop vanaf 7 juli 1978 08.00 uur tot en met 10 juli
1978 08.00 uur.
Bij de top van de grafieken staat steeds de dag vermeld.
» 33. Uit de ligging van de 'drie' grafieken blijkt dat de periode niet
precies 12 uur is, maar iets meer.
Verklaar dit.
> 34. Teken de grafiek van het getij bij Vlissingen van 7 juli 08.00 uur
tot en met 10 juli 08.00 uur.
a. Bepaal de periode van het getij.
b. Bepaal de gemiddelde hoogwaterstand.
c. Bepaal de gemiddelde laagwaterstand.
De grafiek is sterk verkleind, waardoor veel informatie verloren gaat.
Op ware grootte ziet een stukje grafiek er als volgt uit:
I £ig. 22
-ocr page 27-
23
Net als bij het E.C.G. in hoofdstuk 1 kun je hier ook de grafieken (in
dit geval over een heel jaar) 'middelen'. De gemiddelde getijkromme voor
het hele jaar ziet er voor Vlissingen als volgt uit:
ilQ. 23
Gemiddelde getijkromme te Vlissingen
» 35. In hoeverre wijkt deze gemiddelde grafiek opvallend af van de gra-
fiek van 7-10 juli 1978?
De volgende stap die gemaakt kan worden is die naar het wiskundig model.
En gezien de oppervlakkige gelijkenis met een sinusoide ligt het voor de
hand het in die richting te zoeken.
De volgende twee bladzijden tonen:
- hoe je een grafiek kunt tekenen als je het functievoorschrift weet;
- hoe je een functievoorschrift kunt vinden als je de grafiek kent.
-ocr page 28-
24
VAN VOORSCHRIFT NAAR GRAFIEK
Voonbltld:
f(x) = 3 sin 2(x- 1) + 1,5
EeAite. itap: fx(x) = sin x
Tweerfe itap: £2(x) - sin (x- 1)
(verschuiving naar rechts)
VeMe. itap: f3(x) = sin2(x-1)
(periode tweemaal zo klein)
VieAde. itap: thW = 3sin2(x-1)
(amplitude driemaal zo groot)
Vij&de. itap: f5(x) - 3sin2(x-1) + 1,5
(verschuiving naar boven)
In het algemeen:
«l*
I •
ailn b(x + c) + d
dan:
a
is
amplitude (maximale uitwijking uit evenwichts-
stand)
2n
is
de periode
c
is
de verschuiving horizontaal
(C
positief: naar links; C negatief: naar rechts)
d
is
de verschuiving verticaal
»36. Teken op deze manier: f(x) = 1 ,5 sin 3(x + 1) + 1
»37. Noem enkele mogelijkheden om de volgorde van de stappen uit boven-
staand voorbeeld te veranderen.
-ocr page 29-
25
VAN GRAFIEK NAAR VOORSCHRIFT
Voolbe.eZd:
+ 40
"y^N.
+ 10
A
— ,-----V-
A
/is
/as
-20
EeAitz itap: amplitude is 30, dus a. ■ 30.
Tweede itap: horizontale verschuiving is 25 naar ie.ckti,
dus c ■ -25.
Vexde. itap: periode is 100, dus -r- ■ 100 fa = -rrrsr
V-ieAde. itap: verticale verschuiving is 10 naar faouen, dus d = +10.
Functievoorschrift: tf(x).= 30 A-oiyg^ (x - 25) + 10
Controle van met name de hoitzontate. verschuiving:
Vul x = 25 in en kijk of het antwoord klopt met de grafiek!
» 38. Vind op deze manier het functievoorschrift van:
-ocr page 30-
26
mm* jm*
Nog gzm 150 km van TaOibankA tigt de koog&tz b<wg van Noohd-kmnxika, de
Mt. Mc Klnluj, waasivan hLzn. de noofidoJU-jkn. p-idz di.d 5934 m hoog aj>. V<l
zuideJLLjkn aJ> 6194 m hoog.
-ocr page 31-
27
> 39. Vind een passend functievoorschrift voor de gemiddelde getijkrom-
me van Vlissingen.
» 40. Hieronder staat de maximale jaartemperatuur gedurende enig jaar
in de periode 1941 - 1970 in de stad Fairbanks in Alaska (U.S.A.)
en de minimum temperatuur in diezelfde periode.
Jan. Feb Mar Apr May June July Aug Sept. Oct. Nov. Dec Jan. Feb. Mar
Air temperature at Fairbanks, Alaska (1941-70)
6*9. 24
>41. a. Teken aan de hand van deze twee extremen een vloeiende grafiek
die de gemiddelde temperatuur weergeeft.
b. Geef een functievoorschrift. (Tijd in dagen, temperatuur in °F).
c. Geef een functievoorschrift. (Tijd in maanden, temperatuur in °C).
(De formule voor het omrekenen van °F naar °C luidt: tr - 1,&tp + 32)
-ocr page 32-
28
42. Dit is de gemiddelde jaartemperatuurgrafiek van een andere Araeri-
kaanse stad: Bismarck in North Dakota.
so
-
TO
•
•
BISMARCK, NORTH DAKOTA
MEAN TEMPERATURE
60
-
•
•
•
DATA BY MONTH
50
•
40
la
50
•
•
20
-
•
10
i
i
i
i
'
i
•
III!
APR MAY JUN          JUL AUG          SEP OCT
NOV DEC          JAN FEB MAR APR
£tg. 25
Vind een functievoorschrift. (Tijd in maanden, temperatuur in °F)
^f^&
ilg. U
43. In Oude Schild (zie kaartje) is het 4,7 uur later hoogwater dan in
Vlissingen. Bovendien is de amplitude slechts 75 centimeter.
Geef een functievoorschrift voor het getij van Oude Schild.
-ocr page 33-
29
S
PERIODICITEIT EN TREND
In de eerste vier hoofdstukken werden steeds periodieke functies bespro-
ken. Een definitie van een periodieke functie werd daarbij niet gegeven.
Echt noodzakelijk is dat misschien ook niet. Een intuitieve omschrijving
levert meestal iets op ais:
In opzznvolgzndz tij'd&inteAvattzn van gztijkz Zzngtz hznhaalt dz
gna^izk zick.
Wet koitAtz tijdbinteAval uxuviop dit gzbeuAt, ti> dz peAJJodz van
hzt veAAckijnAzZ.
Vz pz/iiodz aj> hzt inteAvai. dat nodig ii> om een cycluA tz voltooizn.
lets meer wiskundig geformuleerd:
loot x behofizn tot hzt domzin van een niet zom>tantz fiunctiz y = £{x).
Loot p een potitizvz zom>tantz zijn.
Loot x + p, x+lp, ... ook tot hzt domain van £{x) bzhotzn.
Van Li> dz fiunctiz y = ^(x) pztiodizk aU>
jj(x) = ^(x + p) = £[x + lp) =------
vooh. alZz waaJidzn van x.
Hzt ktzini>tz gztat p met die. eJLge.ni><ihap i& de. peAiodz van £.
-ocr page 34-
30
In dit laatste hoofdstukje wordt gekeken naar grafieken die iets perio-
dieks hebben, maar het niet zijn in de zin van de omschrijvingen van de
vorige bladzijde.
Million persons
IS-
10-i
&ig. 2?
OH-----1—H-----1------1-----1-----1-----1-----r—I-----1-----1-----1-----1-----1-----1----
1940                           1945                           (950                          1955
De werkloosheid onder de boerenbevoIking van de V.S. is in bovenstaande
grafiek in beeld gebracht voor de periode 1940 - 1955.
> 44. Welk tijdsinterval speelt klaarblijkelijk een belangrijke rol bij
de werkloosheid onder de boeren? Kun je dit verklaren?
»45. Waarom is de grafiek niet 'echt periodiek'?
De grafiek heeft de 'neiging' om steeds meer naar de tijd-as te schui-
ven. Deze tAQJld is redelijk te benaderen door een rechte lijn.
» 46. Teken deze trendlijn en geef de vergelijking van de lijn.
Een wiskundig model vinden dat past bij deze grafiek kan door het ver-
schijnsel te ontrafelen in tweeen:
- de trendlijn
- de sinusachtige kromme die zich om de trendlijn slingert.
+
tftfl. 28
-ocr page 35-
31
Zolang de trendlijn een rechte is, is het vinden van een wiskundig model
dus niet veel moeilijker dan de problemen oplossen van het vorige hoofd-
stuk.
> 47. Laat zien dat het volgende model een redelijke benadering geeft
van het verloop van de werkloosheid onder de Amerikaanse bevolking
van 1940 - 1955:
N(t) = -0,2 t + 10 + sin 2tt t.
OeAwouden veA.vutLe.ri ee/i uie.zenti.jke lot bij keX in de hand houden van de (^xnbon-dioxyde-veAonVieAni^-iji-
aen van de dampkiing: tijdem heX gtoei&eizoen usondt veel canton-dioxyde epgenomen [phof.o-iynthz6ii).
Verontreiniging van de dampkring met kooldioxide is een probleem dat
steeds ernstiger wordt.
De volgende grafiek die het resultaat is van jarenlange waarnemingen op
het Mauna Loa observatorium (Hawaii) maakt dat duidelijk:
-ocr page 36-
32
324
ilg. 29
Q 320
If
-1__________I___________I_________'I I
J____________I____________I___________I I I I I
J___L
J___L
1958 1960 1962 1964 1966 1968 1970 1972 1974 1976
»48. a. Hoe komt het dat de trend hier nogal sterk stijgend Lijktl
b. Bepaal een vergelijking voor de trendlijn.
c. In welk jaar zal de gemiddelde verontreiniging (per jaar) voor
het eerst boven 340 (deeltjes per miljoen) komen als de trend
doorzet?
d. Probeer een wiskundig model te vinden dat de kooldioxidever-
ontreiniging redelijk goed beschrijft.
e. Heb je een vermoeden waarom deze verontreiniging een peAxoctcefe
karakter heeft?
VtHoep <).r worklooihfid v.n 1948 t/m 1952
9nn: CcatnaJ Ecooomltcb Plafl 1951
-ocr page 37-
33
De werkloosheid zoals die zich ontwikkelde in Nederland van 1948 tot en
met 1952. Je ziet weer het 'werkelijke' verloop en de trend dat in dit
geval het twaalfmaands-voortschrijdend-gemiddelde heet: het gemiddelde
van de werkloosheidscijfers van de zes maanden voor en de zes maanden na
het tijdstip waarop dit cijfer betrekking heeft.
» 49. Benader de trend door een rechte lijn en bereken op grond daarvan
het aantal werklozen in 1983.
Klopt dit enigszins met het werkelijke aantal (±750.000)?
> 50. a. Kun je uit het feit dat het model redelijk aansluit bij de cij-
fers van 1983 conclusies trekken over tussenliggende data?
b. Teken de grafiek van:
N(t) = 40 + 20x + 20 cos 2ttx
voor x £ [0,5].
c. Hoe moet de verdeling der assen worden om deze functie als model
te gebruiken voor de werkloosheid in Nederland van 1948 tot en
met 1952?
De milieuverontreiniging heeft op sommige plaatsen een negatieve invloed
op de stand van (prooi en roof-)dieren.
De volgende grafiek geeft aan wat voor effect dat op een prooi - roof-
dier - cyclus kan hebben.
&ig. 31
ll34rt7*9to r,jj> m j4Atn
»51. a. Teken bovenstaande grafiek op de manier zoals uiteengezet op
biz. 12/13.
b. Hoe vind je de 'trend' terug in een dergelijke grafiek?
-ocr page 38-
34
PeAiodizkz ^xnoXizA ApzZzn in vzzt wztzni>cha.ppzn zzn not. Vzzz ondzfizoz-
kzh. wzzgt dz ijAkappzn op dz polzn. Hij dozt dot doon do, koe.vzelh.zdzn
zwclA-z zwjJi&to{ in ktzinz zzz^o&iiztzn tz mztzn. VolouijuuX ii> vcu>t tz i>tzl-
tzn kozvzzt wcutzK gzduAzndz vzuzhMzndz pznlodzn in kzt vzfiZzdzn bz-
vn.oA.zn wcu>. Vz hozvzzthzid iji op dz pooZkappzn vzncmdext ook pehiodizk
mzt dz tijd.