-ocr page 1-



		GROIEI

			Freudenthal instituut Archief

-ocr page 2-



		GROIil

-ocr page 3-

Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht


	G R 0 E I
	Een produkt ten behoeve van de
	experimenten in het kader van de
	Herverkaveling	Eindexamenprogranima' s
	Wiskunde I en	II V.W.O.
	Samenstelling:	Jan de Lange Jzn
		Martin Kindt
	Vormgeving:	Ellen Hanepen
	© 1984; 2e herziene versie
	Utrecht, januari 1984.

-ocr page 4-





				INHOUDSOPGAVE

					1. LINEAIRE GROEI: OPTELLEN pag. 1

			2. EXPONENTIELE GROEI: VERMENIGVULDIGEN

	3. GROEISNELHEID: DE HELLING 13

		4. GROEI VAN RATTEN 19

		5. AFGEREMDE GROEI 23

		6. EXPONENTIELE FUNCTIES 27

		7. LOGARITMISCHE FUNCTIES 39

8. (DUBBEL)LOGARITMISCH PAPIER 49

-ocr page 5-



					1



		LINEAIRE GROEI: OPTELLEN Twee vrienden zijn ieder in het bezit van een veulen. Bij de koop wogen beide dieren even veel. Een maand na de koop spreken de vrienden elkaar weer. Uiteraard vormen de edele dieren onderwerp van gesprek. Rudolf: "Mijn veulen is 10 kg gegroeid". Vanessa: "De mijne is 20% zwaarder geworden". Rudolf: "Ze zijn dus nog even zwaar". » 1. Hoe zwaar waren de dieren oorspronkelijk? De daarop volgende drie maanden zien ze elkaar niet. Als ze elkaar ein- delijk weer zien, in gezelschap van een derde, Willem, vindt het volgen- de gesprek plaats: Vanessa: "Mijn veulentje is iedere maand keurig zo'n 20% gegroeid". Rudolf: "De mijne is trouwens ook mooi regelmatig gegroeid, iedere maand 10 kg". Willem, die ook het buskruit niet heeft uitgevonden: "Dus ze zijn nog steeds even zwaar". » 2. Teken in een grafiek het gewichtsverloop van de veulens vanaf het moment van aankoop. > 3. Hoe leg je Willem uit dat de dieren echt niet even zwaar zijn na vier maanden? De groei van het veulen van Rudolf noemen we LLnzaJJi. Hierbij ontstaat de volgende waarde uit de vorige door optzULinQ met een getal. Dat getal is constant als de tijdsintervallen even groot zijn. De grafiek is een rechte lijn.

-ocr page 6-

Of, schematisch:

Qttijkt [geMxickti]
totnamt

getijfce

tijdi-intiAvaXtun

Mi de �ijdt>.vtfeJivalZzn (u) even gioot z-Ljn ontitaaX de volgcnde.
vxhoM.il uaX de voiiqz dooK OPTELUNG meX een geXat (u).

Pe gia^-tefe:

» 4. Vind een functievoorschrift dat de groei van het veulen van Rudolf
beschrijft (tijd in maanden; gewicht in kilo's).

» 5. De functie y beschrijft een lineair groeiproces. Als x toeneemt met
a dan neemt y toe met V.

a. Laat zien: als x toeneemt met 3u. neemt y toe met 3u.

b. Ook: als x toeneemt met n*u. neemt y toe met n«v. (n�lN).

c. Hoe groot is de helling van de grafiek, uitgedrukt in a en u?

» 6. Verklaar: KLj LintaJjie. gtioz-l -Li de gtioeAAneZheUd constant.

» 7. Verklaar: Bij lineaire groei is het functievoorschrift van de vorm:

y = b + ax
met:

b: beginwaarde (op x=0);

CL: helling van de grafiek (groeisnelheid = groei per

eenheid).

-ocr page 7-


	t	f(t)
	0	35
	6	95

t f(t) t: tijd in uren

f: aantal

» 8.

Bovenstaande tabel betreft een lineair groeiproces.

a. Bereken f(3) en f(10).

b. Bereken de groeisnelheid.

» 9. De grootte (lengte) van een blad wordt twee weken lang opgemeten:


	tijd*	lengte
	2 april	3,1 mm
	5 april	6,4 mm
	10 april	12,0 mm
	14 april	1 6,1 mm
	15 april	1 7,0 mm

a. Maak een grafiek (horizontaal tijd
in dagen) en laat zien dat dit
groeiproces redelijk te benaderen
is door een lineaire functie.

b. Bepaal net functievoorschrift.

*) steeds om 12 uur v.m. gemeten.

» 10. Aandelen kopen op de beurs van New York (Wall-Street) gebeurt via
bemiddeling van een dealer of broker. Aangezien voor niets de zon
opgaat moet er voor die bemiddeling wel wat betaald worden. En wel
volgens de volgende tabel:

Kosten(commissie) voor het verhandelen van 100 aandelen op de
New York Stock Exchange:


Bedrag (in US $)		Commissie
B < 400	$ 3.=	+ 2% over het bedrag
400 < B < 2400	$ 7.=	+ 1% over het bedrag
2400 < B < 5000	$ 19.=	+ 0,5% over het bedrag
B > 5000	$ 39.=	+ 0,1% over het bedrag

Minimum commissie: $ 6.=
Maximum commissie: $ 75.=

-ocr page 8-



		4

-ocr page 9-



			____________________________________________________________5 a. Je koopt 100 aandelen a $ 5.=. Bereken de commissie. b. De aandelen stijgen naar $ 5.10. Bereken de commissie in dit geval. c. Ook als de aandelen $ 5.20 zijn. d. Tot welk bedrag per aandeel blijft de commissie op deze lineaire wijze toenemen? Vind het functievoorschrift voor dit gedeelte van de "commissie- functie". (Horizontaal: prijs per aandeel, vertikaal: commissie in dollars). e. Bepaal voor ieder der lineaire gedeelten van de "commissiegrafiek" het functievoorschrift. f. Hoe zie je aan de grafiek dat de groei van de commissie steeds minder wordt naarmate het bedrag van de transactie toeneemt?

		Foto: de bojuihA van New yonk: Watl-StAneX.

-ocr page 10-

-ocr page 11-

EXPONENTIELE GROEI: VERMENIGVULDIGEN

In dit hoofdstuk kijken we eerst naar Vanessa, althans naar haar veulen.
De groei van dat veulen was ook heel "regelmatig" maar zeker niet het-
zelfde als dat van Rudolf.
De groei van Vanessa's veulen in tabelvorm:

gewicht

tijd

'>1,2
>1.2

c
c

+ 1

ledere volgende gewichtswaarde ontstaat uit de vorige door VQAmZYlLQVULt-
dig-lng met een getal. Dat getal is constant als de tijdsintervallen even
groot zijn. Dat getal heet de Qh.OdJ^is<X.dtoK.

-ocr page 12-

Algemeen:


X	y
giUjkz *■(}------ tljdi-Lnteji- ^^ ₊ . s- L vallm \ ^ \|_____\|	\|�\|^�		. gelsijke. t^ Q'loeA.^a.c.toim
G^toex. volge.ru dot model feeet EXP0NENTIELE GROEI.
De g-taij-tefc zxet e/i a&5 volgt uaX:
			</.^9 ■^xg
b I
		--------p.--------p.

De volgende tabel geeft (nogmaals) de groei van Vanessa's veulen weer:


	X	y
	0 1 2	50 50*1,2 = 60 � � �

x: tijd in maanden
y: gewicht in kilo's

» 11. Maak deze tabel af en vind een functievoorschrift voor de groei
van dit veulen.

» 12. Bedenk ook het functievoorschrift voor een veulen dat bij aankoop
(t=0) 60 kg woog en 15% per maand groeit.

» 13. Bedenk een functievoorschrift voor de groei van een zeester die bij
de eerste meting (31 juli) een diameter van 2,0 cm heeft, en ver-
volgens tot en met 9 oktober iedere 10 dagen zo'n 25% groter wordt.
(De diameter dus). Maak een grafiek van het groeiverloop.

-ocr page 13-

Hiernaast zie je de zeester op ware
grootte op 12 September.
Controleer in je grafiek of de afme-
tingen van de ster op 12 September
inderdaad kloppen met wat het vol-
gens het functievoorschrift zou moe-
ten zijn.

» 14. Rente per jaar is 10%. Op t=0 heeft iemand/ 5.000,= op de bank ge-
zet.

a. Laat zien dat de groei van het uitstaande bedrag exponentieel
is (bij samengestelde interest).

b. Hoe groot is het bedrag na vijf jaar?

c. Toon aan: als de percentuele toename p% is, dan is de groeifac-

tor 1 +

100

Algemeen:

Hzt ^unctizvootuchAifit vooa. exponzntizlz ghozi <a> van de vonm:

y = b-g

met: 6: bzgi.mma.Kdz op x - 0;

g: de gfioet^acton. ovzh. zmkzid&tijdAMvteAvaZ.

Alt, de. peAc.mtu.2Z2. toenomz p% p2A tijd6zmh.2A.d aj>, dan U> de
gKoel^actoK. 7 + -j4» .

-ocr page 14-

20 minutes

"^^"

)

Daughter cells

20 minutes

-*y~

CD LJ

» 14. Onder gunstige omstandigheden deelt een eel van de bacterie
Escherichia Coli zich iedere 20 minuten in tweeen.

a. Maak de volgende tabel af:


t	0	1	2	3	4	5	6	7
N(t)	1

t : in eenheden van 20 minuten;
N(t): aantal cellen op tijdstip t.

b. Teken een grafiek met horizontaal de tijd en vertikaal het
aantal cellen.

c. Kun je (een) functievoorschrift(en) bedenken?

-ocr page 15-



			11

		» 15. Bij bovenstaande bacterie ontstaan er iedere 20 minuten "plotse- ling" twee cellen uit een, maar de groei naar gewicht gaat niet zo sprongsgewijs zoals uit het plaatje blijkt: een eel groeit gelei- delijk (continu) tot hij tweemaal zo zwaar is als oorspronkelijk en deelt dan. a. Teken de grafiek met horizontaal de tijd en vertikaal het ge- wicht (massa) van de cellen die uit een eel zijn ontstaan. (Gewichtseenheid: gewicht(massa) eerste eel bij ontstaan). b. Geef een passend functievoorschrift dat deze continue groei be- schrij ft. c. Bereken de qemiddoJldz Qn.OQM>nzlk(isld op de intervallen [2,3], [3,4] en [4,5]. d. Meet de gfioeJj>vi<Llk<U.d op in de punten waarvoor t=0, t = 1, t=2, t=3 en t=4. Schets de grafiek van de hellingfunctie (groeisnelheidsfunctie). e. Wat valt op als je de grafiek van de hellingfunctie vergelijkt met de grafiek van de groeifunctie? » 16. Voor een andere bacteriesoort is de groeifactor (over 20 minuten) 3, en op tijdstip t=0 zijn er 50 bacterieen. a. Hoe luidt het functievoorschrift voor de groei nu? b. Hoe luidt het functievoorschrift als je als tijdseenheid een uur neemt i.p.v. 20 minuten? » 17. Laat zien dat als de groeifactor over 20 minuten 2 is, dat die 4 . . . over 10 minuten 2 is. En hoe groot is de groeifactor over 5 minu- ten? En over een uur? » 18. In de Witte Nijl, in Soedan, is een grote dam gebouwd ten zuiden van Chartoem, de Gebel Aulia stuwdam (zie kaart). In het stuwmeer groeit een plant: de waterhyacint. In 1958 bedekte deze waterplant 12 km² van het water. Jaarlijks nam de oppervlakte met ongeveer 50% toe.

-ocr page 16-

a. Geef het functievoor-
schrift dat de opper-
vlakte in km² als
functie van de tijd
(in jaren) beschrijft.

b. Teken de grafiek en
bepaal daarmee in welk
jaar het hele stuwmeer
(200 km²) met de hya-
cint was bedekt.

Wat<whycicA.nt

RODE

■ oMelht
^a"l^aiEI Fasier

yd*''

j!a\tnqei~~ -lM^0raweisja_o / En Nahaed

\ �/ LaqowJP .
\ Kadoekli^^-falodi

-ocr page 17-

GROEISNELHEID: DE HELLING

» 20. In deze opgave wordt de kroosgroei bestudeerd die beschreven wordt
door de functie f(t) = 2 .

Er wordt geprobeerd meer inzicht te krijgen in de hellingfunctie h.
Met de computer is daar enige greep op te krijgen. Daartoe wordt
onderstaand structuurdiagram gebruikt:

dt * INVOER

12 KEER (t van -5 tot 6)


� *	2^C
df *	2^C	tdt	*-2^t*
h *	df dt
UITVOER		t.f	h

STOP

a. Als dt klein wordt gekozen (b.v. 0,0001) berekent dit programma
12 punten van de grafiek van f(t) =2 en van de hellingfunctie
h. (Niet exact). De output in dit geval:


dt =	0.OOO1
-5	0.03125	0.021793
-4	0.0625	0.043437
-3	0. 125	0.086874
-2	0.25	0.173748
-1	0.5	0.346303
O	1	O.692606
1	2	1.385212
2	4	2.765656
3	8	5.531311
4	16	11.062620
5	32	22.125240
6	64	44.250490

-ocr page 18-



	14

Gmi Ze-PP&Hn - 1928 - Inhoad: 105.000 m^}

		.

-ocr page 19-

Vertaal het diagram in een programma. Bereken nog enige punten
van de hellingfunctie, indien mogelijk nauwkeuriger.

b. Toon aan de hand van de output aan:


aan of: Ali	Qfio2yii,�itthoA-d [keXLing] wezxge. kozMzoZhoJA;			ii>	ovunfitdig	moX do.
aan of: Ali	*iU) -*	-- 1 dan	16 h[t) ■	- c	>!-.*

Geef een nauwkeurige schatting van c.

Waar in de output-tabel kun je de waarde van c direct aflezen?

s>21. Luchtschepen verliezen draaggas door de enigszins poreuze huid. In
de beginjaren werd op deze manier de helft van het draaggas verlo-
ren in tien dagen. Om dat verlies te compenseren nam men grote hoe-
veelheden zand en/of water mee. Als de draagkracht minder werd,
werd het zand of water over boord gezet.

We gaan uit van een ballon van 1000 m³.

a. Hoe groot is de "groei"factor van de hoeveelheid gas over tien
dagen?

b. Hoe luidt de "groei"functie?

c. Teken de grafiek die het gasverlies aangeeft. (Horizontaal tijd
in eenheden van 10 dagen, vertikaal gasvolume in m³).

d. Na 20% gasverlies kan de luchtballon niet meer vliegen. Hoeveel
vliegdagen zijn er na vulling? (Oplossen met grafiek).

»22. a. Maak een structuurdiagram zoals in opgave » 20 dat enkele

punten van de hellingfunctie berekent (niet exact) en wel die
punten waarvoor: t = -2, t = -1, ..., t = 3.

b. Hier de output van een dergelijk programma voor dt=0,0001.

dt= O.OOOl

t f h

-2 4.000 -2.76804

-1 2.000 -1.38521

0 1.000 .0.69380

1 0.500 -0.34690

2 O.250 -0.17345

3 0. 125 .0.086/2

-ocr page 20-

Laat zien dat ook in dit geval van exponentiele groei (afnarae =
negatieve groei) de groeisnelheid evenredig is met de aanwezige
, hoeveel gas.

c. Geef een nauwkeurige schatting van de evenredigheidsconstante c.

d. Welk verband is er tussen de evenredigheidsconstante bij de
"kroosgroei" en de "gasgroei"?

Hut vesucMZ tuA6Q.n L1NEA1RE en EXPONENTIELE gfiool ttgt In hot. al o& nloX.
mzudozn van hoX.QQ.QM HQzdi> voofikandzn ti> btj de nioxmo. toonamQ. Btj lx.no.-
oajiq. grwQA. maakt hoX ntoXM utt o& do. vooKgaandz gh.oox pa& bzgonmn o&
btjna voltootd ti>; ona&hankoLijk ktoAvan komt qa i>to.o.di> dezeX^de potvtlo.
btj. Btj QxpomntieZo. gnoox. daah.Q.nto.go.n dhjxagt altoA wot <teed4 zo.K.doA go.-
g-jOQA.d u)aj>, aktto.^ btj tot do. voAdoJio. ultbouu). In do, goJLdmahkt hzoX dit
hamzngoJ^toZdo. tntoxoAt.

De gfiOQA-^actoh. is constant bij exponentiele groei.

groeisnelheid

bij

lineaire

groei

constant.

groeisnelheid

bij

exponent

Lele

oei

evenred

i-g

met

aanwezige

hoeveelheid.

Of, meer in wiskunde taal:

Als f(x) = 2 dan is f'(x) = c-2^X

g(x) = (i) dan is g' (x) = -c(�)^Xc is ongeveer 0,69

e. ^d2 o^x ^d(i) /i\X

of: -i� = c2 en �-�■� = -c(J)
dx dx

(kroos)
(luchtschip)

-ocr page 21-



		17

	Verder zagen we dat c gelijk leek te zijn aan de helling in het punt (0,1). Is dat echt zo?

Conclusie uit a en b: f(x) = f'(0)«2^X. Y Dus: ^ (x) li>* een conbtantz maat 1 en die. con&tante -u geJUjk aan de, heZLLng in heX pant [0,1).

-ocr page 22-

» 23. Het structuurschema:


K * INVOER
dt «- 0,001
	r*	6 KEER (t van -2 tot 3)
		t f <- _g
		.. t + dt t df * g -g
		-n
		UITVOER t,f,h,\|-
	I
STOP

en het programma daarbij maken het mogelijk de evenredigheidscon-
stante bij andere groeifactoren te berekenen.

a. Waarom wordt -? uitgerekend?

b. De output voor g = 3 en g=4:

9= «

cjt= 0.0001

<3= 3

dt¹³ O.OOOi

h/f


~2	0	HI	0,	12212	1	0990
-1	0.	333	0.	36627	1	0988
0	1	000	1	099 1 1	1	0991
1	3.	ooo	z,	29494	1	0983
-->	9	000	9	87053	1	U967
j	27	000	29	65927	1	09B5


-2	0	063	0.08672	1.3876
-1	0	250	0.34660	1.3864
0	1	000	1.38640	1.3864
1	4	000	5.54562	1.3864
2	16	000	22.14432	1.3840
3	64.	000	88.42469	1.3816

c. Geef nauwkeurige schattingen van de evenredigheidsconstanten
behorend bij g = 3, g = |, g = 4, g = �.

> 24. Bereken de afgeleiden van de volgende functies:

2X ~X . X

; y = 3 ; y = 4 ; y

(i)^x; y=(|)^x; y=(�)^x.

-ocr page 23-



			19

	4
	4	GROEI VAN RATTEN

Ook ovQA dz kozvzziheXd nakomeZingm van zzn fiattznpaaA -in zzn jaan. won.- dzn zzzn vznj>zkiIZzndz gztattzn vznj>tn.zkt. In kzt votgzndz koo^dhtuk zat ik dz A>c.kaohAz gzgzvzm> van ondznzozk ovzn. dz vhjuc.ktbaan.kzid van hattzn in dz natuun bz&pn.zkzn, maah. kzt ti> miAAckizn aandi.g kizn. zzn Azkatting tz makzn van kzt aantat nakomzttngzn van zzn pooh., uiXgaandz van de mzzi>t optimatz omi>tandi.gkzdzn. Vaantoz gzbhsxik ik dz votgzndz gzgzvzni,. Gzm-id- dztd -Li, kzt aantat jongzn pzn wn.p tz Atzttzn op zei; van dzzz zzi> jongzn bzkonzn zn. dhlz tot kzt vnouwztljk gzitackt. Vz dha.agti.jd iA zznzntwtntig dagzn; kit zogzn duu.it ook zznzntwtntig dagzn. Een vn.ouuitjz kan zzktzn. at bzvnuzkt wondzn tijdzni, de pzni.odz van kzt zogzn van kaan jongzn, ze kan zzt&A at bzvh.uc.kt wondzn op de dag van de. bzvatting. Gzmaki,katvz htzt ik de pzni.odz tcu>6zn twzz bzvattingzn op vzzAtig dagzn. Ati> nu zzn vnouwtjz op 1 januani. bzvatt. van zes jongzn ti> dot vnouwtjz vzznXig dagm. tatzn. opni.m.M in i,taat om zzi> jongzn tzn wznztd tz bn.zngzn. Vz vh,owMtjzi> van de eeti^e wonp van zzi> jongm. zijn zttfa na kondznd twintxg dagm in A toot om nakomztingzn voonX tz bnzngzn. Ati, ik znvan uitga dot zn. btj ztkz wonp i>tzzdt> dnXz vnouuitjzi, ztjn zn ati, ik dan otto. nakomztingzn optzt van alto, vnouwtjzi, in een jaan. kom ik op 1808 nattzn op 7 januahi. van kzt votgzndz jaan., kzt oohApnonkzLLjkz paan. mzzgoA-zkond. ViX Xt> een ^icXtz^ gztat. En ti> Atznfatz; mozdzhA vznwznpzn i>omi> kun jongzn; vnouwtjzi> komzn Aomi, tangz tijd ntzt in ozAtAub. HteXtzmtn gzzfat diX gztat zntg idzz van kzt tzgzt nattzn dot na zzn jaan. ont&taan kan ztjn. Uit: "Ratten" van Maarten 't Hart.

-ocr page 24-



			20

		Ve lange. 6taaht van de zwahte. hat wondt weZeem> ali, medeveAooh.zakeA van de "hattenkoning" gezlen. Vat U> een veJachijnAel dot alleen blj zwahte hatten voohkomt en waanblj de htaahten op onbekende uiijze In de knoop taken. Boven6taande hattenkonlng we^-d In 7 963 in Rucphen (N.B.J ge.vond.en. Vaak zij'n de. Mitten nog In lev en ali> ze gevonden wonden. Ve pijltjeA uiljzen op bh.eu.kzn, mU>&ckien antitoxin to en de. hatten 'loi,' ph.obeeh.den te komen.

-ocr page 25-



			21

		Een duidelijk verhaal, maar of die 1808 klopt is niet in een oogopslag duidelijk. » 25. Controleer de uitkomst 1808. Tip: Verdeel het jaar in 9 perioden van 40 dagen (tijdseenheid: 40 dagen). 1 januari: t = 0. Op 1 januari vindt de eerste bevalling plaats. Begin daarom 40 dagen eerder (dus op t = -1). Aangezien er ook een vader moet zijn stellen we: op t =-1 is N(-1) = 2 op t = 0 komen er 6 jongen dus N(0) = 2+6 = 8. De rest wordt aan jou overgelaten. » 26. a. Laat zien: als t � TL en t � [-1,2], dan is het groeiverloop lineair. Vind het functievoorschrift. b. Ook: als t � TL en t � [3,9], dan is het groeiverloop vrijwel exponentieel. Bepaal de groeifactor (ongeveer) en vind een functievoorschrift, »27. Het groeiproces is ook te illustreren met behulp van een gerichte graaf: vUeX zo jongm _ ^_ a. Verklaar de graaf. b. Bepaal de Leslie-matrix die bij deze graaf hoort. c. Controleer - met de computer - de uitkomst van 1808. d. Maarten 't Hart gaf al aan dat deze situatie niet erg realis- tisch is. Bereken het aantal ratten dat in een jaar ontstaat

-ocr page 26-



			22

		uit een paar onder de volgende voorwaarden: Van de zes geworpen ratjes sterft er gemiddeld een al in een vroeg stadium. Van de 'jongen' bereikt maar zo'n 80% het 'niet zo jonge' sta- dium. Van de 'niet zo jongen' bereikt 75% het volwassenstadium. En voor de volwassenen is de kans dat ze na 40 dagen nog in deze groep zitten zo'n 80%.

-ocr page 27-



						23

	s
					AFGEREMDE GROEI


In het algemeen zal bij groeiprocessen die min of meer exponentieel zijn op een bepaald moment een fase komen waarbij de groei afneemt. Zo zal de exponentiele groei bij de ratten (uit het vorige hoofdstuk) afnemen om- dat er na verloop van tijd te weinig voedsel is om alle ratten in leven te houden. Ook blijkt in zo'n situatie vaak het aantal geboorten af te nemen. lets dergelijks doet zich voor bij de groei van de waterhyacint in het stuwmeer van de Gebel Auliadam. De maximale oppervlakte die de plant kan bedekken is 200 km², maar lang daarvoor zal de groei al afgeremd worden doordat er zo weinig ruimte voor de plant is.

In plaats van het strikt exponentiele verloop van de groeikromme tot de grenswaarde 200 (km²) zal een meer vloeiende kromme de praktijk beter weergeven:

		200

			100

				58 59 60 61 62 63 64 65

-ocr page 28-

We zullen enkele soortgelijke groeikrommen - die weinig verrassend ook
wel S-krommen genoemd worden - nader bekijken.

De volgende grafiek is gebaseerd op de resultaten van een laboratorium-
experiment met een kolonie gistcellen:


		700
		650
		600
		550
		500
	I	450 400
	Amount c	350 300 250
		:oo
		150
		100
		50
		0

- Carrying capacity = 665 GRENSWAARDE


		: ::
		f__
	� � -1	l___
	_____1
	r ____ _j_
	___1_
	_____L.
	______!__
	___1
	j.~
	-__-/-__
	/_____
	~s

» 28. Laat zien dat de groeifactor(over een uur)de eerste acht uren rede-
lijk constant is.

Geef het functievoorschrift dat de groei beschrijft over de eerste
acht uur.

De horizontale asymptoot die de gfizniWaaAdiin aangeeft wordt vastgelegd door
de omgeving waarin het groeiproces plaatsvindt. Dat kan een aquarium zijn
waarin niet meer dan een bepaald aantal vissen kan leven, de oppervlakte
van een meer, de hoeveelheid voedsel in een bepaald gebied enz.
Ook bacteriegroei, b.v. die van een ziektebacterie, zal aanvankelijk expo-
nentieel zijn. Maar ook door die situatie zal op zeker moment een tekort
aan voedsel ontstaan. Een S-kromme is dan het resultaat.

Al dit soort groeiprocessen noemen we ZogiAtAAckz groeiprocessen.

-ocr page 29-



											25

	We zagen in de voorbeelden van logistische groei tot nu toe dat de expo- nent iele fase ongeveer duurt tot halverwege de grenswaarde. » 29. a. Teken de logistische groeikromme van bacteriegroei als je weet: - op t = 0 zijn er 5 bacterieen; - de grenswaarde is 25.000 bacterieen; - aanvankelijk is de groei exponentieel en wel: in een uur ver- drievoudiging. b. Geef het functievoorschrift voor de exponentiele groeifase. » 30. De groeikromme van de bevolking van Zweden ziet er ook uit als een S-kromme:

							Carrying capacity = 7,871

				_- 4

								1850 1900 Year of census	1950	2000
					1750	1800			1950	2000


			Teken de hellinggrafiek van deze grafiek. Hoe kun je, door de hel- linggrafiek te vergelijken met de groeigrafiek, zien welk gedeelte van de groei min of meer exponentieel is?

Samengevat:

		Men i>pheekt van LOGISTISCHE GROEI ati, de, qioza. aa.nvankeJU.jk exponen- tieeZ aj>; naahmate. de ah.oeAkh.omme dlckteA de. GRENSWAARDE nadehX meant de. QhoeA. i>teedi> mzzh afa. Het hej>ultaat aj> een S-KROMME.

-ocr page 30-



	26

>31. Bij logistische groei is de eerste fase min of meer exponentieel: de groeisnelheid is evenredig met de aanwezige hoeveelheid. Ook de tweede fase is in zekere zin exponentieel. Waarmee is de groeisnelheid evenredig in deze fase?

		-

-ocr page 31-

EXPONENTIELE FUNCTIES

De hoold2A.QUUiC.hjxp van de zxponnyvtittt functies luidt:

(g, p, q e 1R ; g > 0)

p q p + q

of: als F(x) = g dan is: F(p) � F(q) = F(p + q)

of, in woorden:

De hoeveelheid
op tijdstip
p+q

De hoeveelheid
op tijdstip
P

De hoeveelheid
op tijdstip

of, in een plaatje:

p + q

Een bewijs van de hoofdeigenschap:

groeifactor over
[0,q] is \

~~I///////////////////~~

x~~HIIIIIIIIIIIIHIIh~~--- groeifactor over

p p⁺ q �p⁺q

II.

-f-

[p,p + q] is «-

q p⁺q

»32. a. Waarom geldt nu: «- = ■§� ?

g° gP

b. Hoe volgt uit a nu de hoofdeigenschap?

-ocr page 32-



			28

		IzutoA, die op z'n nug lag, nXaht zi.cn op.

-ocr page 33-

»33. De groeif actor van een zeesterrensoort is 1,25 (over 10 dagen) van
t = 3 tot en met t = 8.
Op t = 3 heeft de ster een diameter van 3 cm.

a. Hoe groot is de groeifactor over 5 dagen?

b. Hoe groot is de groeifactor over 10 dagen?

c. Hoe luidt het functievoorschrift van t = 0 tot en met t = 8 (ervan
uitgaande dat de groei van t = 0 tot t = 3 ook plaatsvindt met

g= 1,25)?

d. Als de groeifactor van de tunQtt (diameter) van de ster ongeveer
1,25 is, kun je dan een schatting maken van de groeifactor van
het gmlcht?

^ 34. Als je een fotorolletje in de
winkel gaat halen krijg je
meestal een rolletje in handen
gestopt met daarop de nogal
mystieke aanduiding:
100 ASA/21 DIN.

Dit is een aanduiding over de
korreligheid van de film. Een

grove korrel heeft als voor-
deel dat er weinig licht bij
nodig is. Men spreekt dan ook
wel van een snelle film (kor-
te belichtingstijden).

�.,�..�,»>-

Het nadeel is dat de korrel nogal zichtbaar wordt bij vergrotingen.
Bij een zeer snelle film kan op het doosje staan: 3200 ASA/36 DIN.

Langzame, dus fijnkorrelige films zijn b.v. 25 ASA/15 DIN.

Een 200 ASA film is tweemaal zo snel als een 100 ASA film en heeft

dus tweemaal zo weinig licht nodig.

De ASA getallen nemen vrijwel exponentieel toe, de DIN getallen

lineair.

-ocr page 34-

Maak de volgende ASA/DIN tabel af:


ASA	*	*	100	200
DIN			21	24

* afronden op natuurlijke getallen.

Welk DIN-getal hoort bij ASA 160?

Welk ASA-getal hoort bij DIN 20?

Welk DIN-getal hoort bij ASA 40?

Welk ASA-getal hoort bij DIN 10?

Eerder zagen we:

Vz a^goZoJAo, ^txnctlz van een exponentiate, fitinctiz ^(x) = a -ii> een con-
■btantz (c ) moat de ooHAph.onkeJLlj\i2. fiunctlz. V-lz conbtantz hangt afi van
de. gfiooA^actofi a.

^ , da^K x

dx a

We hehbm at 6chattingzn gumaakt voon. c₂, c.3 en ci* aan kdt i>lot van koofid-
i>�iik 3.

Hier volgen wat meer waarden:


	a	c a
	1	0
	2	0,6931
	3	1,0986
	4	1,3863
	5	1,6094


	q	c a
	6	1,7914
	7	1,9459
	8	2,0794
	9	2,1972
	10	2,3026

^35. De tabel geeft afgeronde waarden in vier decimalen nauwkeurig. Al-
leen c, is precies 0.
Kun je dat verklaren?

-ocr page 35-

»36. Teken een (punten) grafiek met horizontaal de waarden van a en ver-

ticaal de waarden van c .

Het lijkt aannemelijk dat 'ergens' tussen de groeifactorwaarde twee en
drie de evenredigheidsconstante c gelijk zal zijn aan 1. Dat is interes-
sant, want dan is de afgeleide functie gelijk aan de functie zelf!

»37. Maak aan de hand van de grafiek van opgave » 36 een schatting van
de waarde van de groeifactor, waarbij de evenredigheidsconstante
gelijk is aan een.

Ve. gsw<u.&ac�oi waaAblj de zvzYiAe.digheA.dAconitante gutijk iA aan 1
no amen wz e.

Een nauwkeuriger schatting van de waarde van e kan gemaakt worden met
het volgende schema:

g *- INVOER

dt - 0,001

,-♦ 6 KEER (t van -2 tot 3)


f	t *■ g
df	t * g	♦ dt	t - g
h	df ■*- � dt
UITVOER		t.f	), ^h '7

STOP

»38. Neem vier waarden voor de groeifactor waarvan je verwacht dat de
evenredigheidsconstante ongeveer gelijk zal zijn aan 1.
Geef aan de hand van de resultaten een nauwkeurige schatting van
e. (Zie bladzijde 63 van dit boek voor voorbeelden van output).

-ocr page 36-




^	*�i^^:^:**
	*^^b&JL, T^^?^' ^BPIP^^ ^«GBk!^I**


'4; ■�%'		1
		',; ■ *

Fotog-to^eAen ondeA woutoA; b^Ljna aLtijd kunAtLLcht nodig. [Opgave ^> 44).

-ocr page 37-

»39. Differentieer de volgende functies:


	~X y = 3	X + e
	y = x²	♦ 2^X
	y = x �	X e
	y = rk	� 2^X
	y = x²	� 3^X
	f(x) =	4 � 2^X2^X+ 1

t
y = e � sin t

_rt
y = 5 + cos t

^3t -3
y = e - t³

y = ft-3^t

y = 2^t � e^t

a. Laat zien dat f een overal stijgende functie is.

b. Teken de grafiek.

c. Wat voor soort groei hebben we hier?

»41. De populatie van een diersoort wordt ingedeeld in jongen en vol-
wassenen.
De Lesliematrix over een periode van vijf jaar is:

0,5 0 /

De beginpopulatie is (_innh

a. Bereken de bevolkingssamenstelling na 5, 10, 15, 20 en 25 jaar.

b. Is er sprake van min of meer exponentiele groei van deze popu-
latie? Zo ja, wat is de waarde van de groeifactor?

c. Is er sprake van exponentiele groei onder de jongen of volwasse-
nen apart?

d. Tracht een functievoorschrift te vinden dat de groei van de popu-
latie als geheel redelijk weergeeft.

e. Welke functie geeft de groeisnelheid van de populatie weer?

-ocr page 38-



			34

		X X » 42. De functie y = 2 � 3 kun je op twee manieren differentieren: met XX XXX de produktregel, of door eerst 2 � 3 uit te rekenen: 23 = 6 . a. Welk verband moet er (dus) bestaan tussen c�, c, en c_r (even- redigheidsconstante afgeleide)? b. Bereken zelf m.b.v. de tabel op biz. 30 c₁₂. 3^X» 43. y = � . Bereken op twee manieren de afgeleide en bereken c₁₅ met 2^X de tabel. »44. Plantaardig leven in water is niet mogelijk op diepten groter dan 10 meter, omdat er daar te weinig licht is. Globaal gesproken neemt de lichtintensiteit per meter diepte met maar liefst 75% af. a. lemand fotografeert normaal altijd met een 100 ASA/21 DIN film. Hij gaat snorkelen en duiken op ongeveer 1 meter diepte. Welke film zal hij nu moeten gebruiken? b. Hoeveel procent van de oorspronkelijke lichtsterkte heerst er op 10 meter diepte? c. Bepaal het functievoorschrift dat de lichtsterkte weergeeft (verticale as) als functie van de diepte (in meters). d. Bepaal de afgeleide van deze functie en wat betekent deze? Bereken de evenredigheidsconstante m.b.v. de tabel op biz. 30. »45. Teken in een plaatje de grafieken van: f(x) = 2^X; g(x) = G)^X en h(x) = 2^X + (\|)^x. In welk punt is de raaklijn aan h(x) horizontaal? x -x e t* e * 46. a. Teken de grafiek van c(x) = ---~---- ; bereken daartoe o.a. c'(x). x -x b. Teken de grafiek van s(x) = -------- ; bereken daartoe o.a. s'(x). Opmerking: de grafiek van c(x) is de zgn. 'kettinglijn': de vorm waarin een vrijhangende ketting gaat hangen.

-ocr page 39-

» 47.

De klapmuts wordt, zoals bekend, gejaagd. Met behulp van Lesliema-
trices kunnen voorspellingen worden gedaan over de kans dat de klap-
muts zal uitsterven.

0 0 0.038 0.171 0.178 0.251 0.263 0.298 0.301 0.301 0.307 0.313

0.850

0.B94

0.894

0.811 ,

0.811 ,0

0.811

0.B11

0.BI1

0.811

0.811
0000000000 0.811 0.811

Dit is de Lesliematrix die de huidige situatie met jacht weergeeft.
Uitgaande van een beginpopulatie van 10.000 geeft dit de volgende
resultaten (t in jaren).

-ocr page 40-


tijd t	populatie	tijd t	populatie
0	10.000	5	9.535
1	9.931	6	9.455
2	9.856	7	9.375
3	9.777	8	9.296
4	9.696	9	9.219

Onderzoek of hier sprake is van exponentiele 'groei'. Zo ja, bepaal
de groeifactor en het functievoorschrift.

>48. Gebruik de computer bij de volgende opgave.

De huidige bevolkingsopbouw van een populatie is:

10.000\ ouderen
10.000 1 volwassenen
10.000/ jongen

De Lesliematrix (over 1 jaar) is:

0,1 0,5 0,01
0,5 0 0
0 0,25 0

a. Bepaal de bevolkingsopbouw na 10 jaar.

b. Onderzoek of er sprake is van exponentiele groei.

c. Kun je een functievoorschrift bedenken voor de groeisnelheid van
deze populatie?

In economische toepassingen is er vaak sprake van procentuele groei: als

de rente 5% is, is de groeifactor 1,05.

In de economie is een ander begrip belangrijk: de QftooJjJO<Lt.

De groeivoet = groeifactor - 1.

Dus als het percentage 5% is,

is de groeifactor 1,05

en de groeivoet 0,05.

-ocr page 41-



			37

		Om de betekenis van de groeivoet beter te begrijpen, even terug. Eerder zagen we al (hoofdstuk 2): Als de percentuele toename p% is, dan is de QK.OZ>l{_ia.QJtofi: 1 + -r^� Dus: QfW<Livoo�: -t^tt- De groeivoet geeft dus de fi&ZcutLdvz verandering aan, per tijdseenheid. »49. Gegeven: f(x) = b- (1 ,2)^x. Hoe groot is de groeivoet van f(x)? » 50. Gegeven: y =y₀«(0,9)^t. Hoe groot is de groeivoet van y ? »51. De groeivoet van y is 0,1. De beginwaarde y₀ = 15.000. Geef een functievoorschrift voor y.

-ocr page 42-

Samenvatting:

FunctizA van de vonm x -*■ b-a hztzn. zxponznttztz ia.ncXi.zi>.

b iA de bzginwaaftdz [ati> x= 0); a hzzt gftozi-^aztofi o& gfiondtal.

a > 0; a j 7.

AIa 6=7 (en dot kunnzn we vaak zo "K.zgzlzn") kfvijgzn we x -> a ,

mzt de volgzndz zigznAchappzn:

0 < a < 1

a > 1

Gwjit'Ji

G-xa^leh

frn

' I

ffj^;

'■"'

;�::

.;.

■
■

....

.:::

.::■

....

:H:

■

:^jr

-AS,


		1	:	Y-	a	5	-■:�	:: ■	:
			:						■ ■
-	■		_v"	■:				*::■■.*
....	_. ■ ::	':':'. 1:1 .	N.	h:		mm		t	■■■
			m	>>	:':			■ ■:\v.\:
			m	>>	w	■si	�
		.:i			.		Y	� as ^:

VomeXn : R

Be*ex.k .- R

Nti�ptiRten : geen
Stijg end

Kiijmptote.n: x-ai

Pi'me. o i : R

Beicife : R⁺

NutpuHtin : geen

Aji/mptoteii: x-al


	H00FVE1GENSCHAP
	**aP> a - a?* ⁺ ^cL**	a. > 0, a f 1.
o& ati> F{x)	y = a dan iA F[p)-F[q) = F(p + q).

Btj zxponzntJJzlz gnozi. iA de gtioziAnzlkzid zvznAzdlg mzt de gftozi.-

{jUnctlz.

,,. da x

e ^os de waatde van a waa>u;ooA gzldt: c = 7, da4 �r� = e ;
e « 2,7182818284.....

De GROEIl/OET x4 gttijk aan de GR0EIFACTOR - 7 en gee^ de *.e�a�ceve
vzKandznJjng aan pzn. ti.jdAzznhzLd.

-ocr page 43-

Logaritmen ken je al lang. Hopelijk. Een kleine herhaling, vooral ge-
richt op de groeifactor is misschien toch wel zinvol.


32 OPP- ₃₀mm² 2 8 26 24 22 20 18 16 14 12 10 8 6 4 2						i i

					i i
					i i
					i
					i i
					i i
					i
					/
				<

				/ J

			�
			y y
		� ^
	i� "
	123^56 tijd in weken

Deze grafiek geeft de groei van waterplanten weer, uitgaande van 1 m².

» 52. Schat aan de hand van de grafiek na hoeveel daQZn er ongeveer
20 m² planten waren.

»53. Na hoeveel dagen ligt er 40 m² planten? (Zonder grafiek oplossen).
En 80 m²? En 10 m² ?
Controleer het laatste antwoord grafisch.

»54. Het verband tussen oppervlakte en tijd (weken) kun je vastleggen
in een tabel:

-ocr page 44-


oppervlakte	5	10	20	40	80
tijd in weken

»55. Bepaal het tijdstip waarop er 48 m² planten zijn (in weken, een
decimaal nauwkeurig).
Vul daarna, zonder grafiek, de tabel in:


oppervlakte	3	6	12	24	48	96
tijd in wekenJ

De functie die aan de oppervlakte de tijd toevoegt heet: Loga/LLtmiAchz

logaAsLtmi&chz
txponzntiUlz

oppztwlaktz

tijd

Of:

tsljd

oppojvolaktz

terwijl:

Omdat de groeifactor bij bovenstaand voorbeeld 2 was, wordt dat in de
notatie van de logaritmische functie als volgt tot uiting gebracht:

x -> ² log x
10 -> ²log 10

vb.

¹ log 10 aj> kzt tijd&tip wa.an.op w 10 m² planten zijn gavonmd, bij
gfiozi^actoK 2 (en bigi.nnt.nd mzt 1m²).

»56. Verklaar: ² log 16= 4
Ook: ³ log 27 = 3

'log 25 = 2

En:

»57. Bepaal aan de hand van de eerder gemaakte tabellen ongzvZZA en
waar mogelijk ph.Zdi.Zi> de grootte van:
²log1 ²log4 ²log8 ² log 16

² log 2 ² log 5 ² log 10 ² log 20

² log 3 ²log6 ² log 12 ² log 24

-ocr page 45-



			41

		» 58. Bereken: ^ log \| * log* ² log \| ² l°g IT »59. a. Teken de grafieken van: x -*■ 2 en x -»■ ² log x in een tekening. b. Welke as van symmetrie heeft dit paar grafieken en waarom? c. Geef van beide functies het domein, bereik en asymptoot. » 60. Verklaar waarom: ² log 3 + 1 = ²log6 ² log 7 + 1 = ²log 14 ² log 6 + ²log 2 = ² log 12 » 61. f (x) = ²logx Welk verband bestaat er tussen f(4), f(5) en f(20)? » 62. a. Teken in een figuur de grafieken van: f(x) = 2^Xen g(x) = (i)^X b. Laat zien: ²log3 = log -\| c. Ook: ²log 7 = 'logj »63. Vul in: log ^ = ² log ... l Analoog:⁵logj = ⁵log ... i ³log 23 = ³log ...

-ocr page 46-

²log 4 = "tijd nodyig voon, vzAvloAvoadi.gi.ng"

ⁱtog 5 = "tijd nodJjg voon. veJivi^j^voadlging"

²log 20 = "tijd nodsig voon. vznJM-iyvtigvoa.di.ging"
Ofc AchemcutLich:

□ ^ DDDDD

_n □ M □□□□□

^u □ M DDDDD

D □ DDDDD

A B C D

k J----------1---------------------------1------------------v tijd

�²loe 4 ■

² log 5-

² log 20

64. Verklaar ² log 4 + ² log 5 = ² log 20. (of: BD = ² log 5) .

De opgave hierboven was niets anders dan een "bewijs" van de koofidzigzn-
6ckap van de logaritmische functies:


		^log ab = ®log a + ®log b
	ofa aJU, F(x)	= ⁹�og x dan lt> F(ab) = F(a) + F(b)

Gebruik makend van deze hoofdeieenschap zijn de volgende logaritmische
vergelijkingen op te lossen: (x G 3R ).

»65. ²logx =²log5+²logi ³log (2x+ 1) = 1 + ³log2

logx = ³log 2 + 3log 7 ⁷logx + ⁷log 5 = -1

⁵log3x+ ⁵logf =⁵log3 s_logx+5_logi ₌ ₂

l ill

»66. ¹⁰logx= 1 + ¹⁰log| ^?logx = ²log3 + ³logf

-ocr page 47-

² log 7 is het moment waarop er 7 m² kroos is, bij groeifactor 2.

-yr

Dus ²log 7 is de oplossing van 2 =7.
Of, weer anders gezegd: 2 =7.

» 67. a. Van welke vergelijking is ²log 5 een oplossing?
En ⁵log2?

b. En ²log8?

c. Ook: ⁵log125; Hog ₂7 ; ¹⁰log 1000 ; ³log3^p.

d. Tevens: ^0,2log5; ^0,2log 1 ; °'²log 0,2.

» 68. Van welke vergelijking is log a een oplossing?
(Bij geschikte keuze van g en a).

Samenvattend:

⁹ log a= x <=> a = g^x of g ^l°⁹ ^a = a

» 69. Toon aan dat ¹⁰log2 � ²log 3 = ¹⁰log3 .

Noem daartoe ¹°log 2 = x ; ²log 3 = y en ¹⁰log 3 = z,
en toon aan: x*y = z.

De vorige opgave luidt in algemene termen:

^log g � ⁹log a = ^log a of ®log a =---*�

^Plog g

Deze eigenschap geeft je de mogelijkheid om van grondtal te veranderen
hetgeen o.a. belangrijk is als je logaritmen op de rekenmachine wilt
berekenen. Als je een rekenmachine hebt die alleen logaritmen berekent
met grondtal (groeifactor) 10 zou je ³log 5niet in kunnen toetsen.
Maar omdat:

^-c_ 'log5

log 5 = �

¹⁰log3

kun je ³log 5toch met je rekenmachine berekenen.

-ocr page 48-



				44

		Een duel, van de AteA/ienhemet: hoz gtotzn. de iteA, dzi> tz hzldzn.dzn. SJJvluA ziX. LlnkAondzn., Bztzlgzuzz -Ln hzt nuiddzn. Op biz. 58 v-ind jz een facto van dz opzznhopi.na van btzwitn in ORION.

-ocr page 49-



				45

	Opmerking 1: Als het grondtal 10 is wordt het vaak weggelaten. Dus ¹⁰log 3 wordt geschreven als log 3. Opmerking 2: Als het grondtal e is wordt het weggelaten en wordt er In i.p.v. log geschreven. Dus log 3 wordt geschreven als In 3. Men spreekt wel van de 'natuurlijke logaritme'. » 70. Bereken: ³log5; ⁵log 3 ; ⁷log 10 ; log 7 ; In 5 ; ⁵loge. » 71. Verklaar: e^ln ² =2. » 72. De coli-bacterie verdubbelt iedere 20 minuten in gewicht. Hoe lang duurt het voor het gewicht is toegenomen met een factor e?

Voorbeeld:

			Los op: log x = i. Oplossing: ³logx= { <=* 3 = x, dus x = v3.

		> 73. Los op: ⁵logx= 1 ^Xlog9 =2 lnx = 2 lnx = i ^Xlog27 =3 nogx= 2 ⁸logx= -§ ^Xlog/2= 1 logx= 0 » 74. De groeifactor van een bacteriesoort "Repetitorum Firum" is gelijk aan 6. Op het tijdstip 0 zijn er 4 bacterieen. Bereken het tijd- stip waarop er 100 bacterieen zijn. »75. De groeifactor van de totale hoeveelheid hout in een bos is 5% per jaar. Hoe lang zal het duren voor de houthoeveelheid verdubbeld is? » 76. De zon is ogenschijnlijk verreweg de helderste ster uit het heelal. Dat komt omdat hij zo dichtbij staat. Er zijn andere sterren die wel zo'n 100.000 maal zo helder zijn als de zon. Maar zo'n ster zien we veel zwakker dan de zon, omdat hij zo ver weg staat.

-ocr page 50-

De schijnbare lichtsterkte, dus zoals wij het zien, wordt uitgedrukt
in de 6dh-LjYlbaA.il magnitude.. Een VQAActvLl van 5 magnitudes komt over-
een met een {^actot 100 in de lichtsterkte.

a. De zon heeft een magnitude van -26.

De zwakste zichtbare ster een van + 24.

Hoeveel maal zo lichtsterk is de zon ogenschijnlijk?

b. Maak de volgende tabel af:


Magnitude	-30	-25	-20	-15	-10	-5	0	5	10	15	20	25
Helderheid						100	1	100"¹

Wat heeft deze tabel met logaritmen te maken?

c. Sirius, een ster, heeft een magnitude van -1,6. Die van Betel-
geuze is +0,9.

Hoeveel maal zo helder zien we Sirius aan de hemel vergeleken
met Betelgeuze?

d. Sirius is de helderste ster, met z'n magnitude van -1,6. De zon
heeft een magnitude van -26,9. Hoeveel maal zo helder zien we
de zon vergeleken bij Sirius?

-ocr page 51-

Samenvatting:

;■

....

■ ■ ■

ill

■ :

I.;.:

■�

■�"

:...

"■"■

...

�

y '

"rp:

....

■

;:^:

-/:■

liir

**■

*�

■

.�

.:.U

in A

-■

■;.fr

" i^:-:^:

'""T""

- - *

III!

■.::| :

■■:

....

...

(>.«>

:^:; ^::*^:

)

~::

::.

....

itii

rtH

�;■

?.....!i

:�■:;

._:

...J�

iiH

■:-

;.;.

::-:


VlXYldtlZ	x -> 2^X	x ■■ ²log x*	x - (i)^X	x. -»■ ⁵�og x
VomeA-n	1?	K⁺	K	K⁺
RqaqMi	K⁺	R	K⁺	K
Snlj'punt most cu>6m	(0,7)	(7,0)	(0,/)	(7,0)
AAymptoot	x-a-6	t/-04	x-a*	t/-06
StZj'gmd o<5 dalund	t>�lig<Ln.d	Atijgmd	da�end	da�ewd

^�og a
9 ^r«

^�og a

°rf

a = g

^�og a + ^�og b = ^-�og afa
^s�og a - %og fa = ³log |

P�

eg a

og a

^p�ogb

¹⁰�og 3 \MoK.dt vaak gzAckntvoyi ali, log 3

^Xog 3 wondt vfvljWeJl altijd gej>chAzvm ali In 3.

-ocr page 52-



		48

-ocr page 53-

(DUBBEL)LOGARITMISCH PAPIER

De Mount Everest is ongeveer 10.000 m (8840) hoog.
De middellijn van de aarde is ongeveer 10.000.000 m.
De middellijn van de zon is ongeveer 1.000.000.000 m.

Als we deze afmetingen op de getallenlijn zetten is dat niet eenvoudig
door de grote verschillen tussen de diverse getallen:

-i------\-

-(----(-

500 miljoen

1.000.000.000

miljoen

0 .. 100

meters

aarde
tft. Everest

zon

Overzichtelijker is de volgende getallenlijn:

10° 10¹ 10² 1(j³ 10** 10⁵ 1₍0⁶ 1(j⁷ 10⁸ 10⁹ 10

meters

aarde

Mt. Everest

zon

» 77. Wat is er aan de hand met deze getallenlijn als je hem vergelijkt
met de vorige?

We noemen dit een "schaaltransformatie".

10^J10^:10³

10 -*■ 1

-*> 1 of

-2 of 100 -> 2

-* 3 of 1000 * 3

10'

-* 4 of 10000 ■*■ 4

-ocr page 54-



							50

	» 78. Welk functievoorschrift hoort er bij deze transformatie? Soms maken we van deze schaal gebruik bij het tekenen van grafieken. De x-as heeft daar b.v. de "gewone" verdeling, en langs de y-as gebrui- ken we de zojuist ingevoerde schaalverdeling die (nogal logisch) de logaritmische schaalverdeling wordt genoemd.

	We krijgen dan:

			Y-as

		100000 10000 1000 100 10 1
						X-as
				0 1	3 4 5	X-as
				0 1


» 79. a. Maak zelf logaritmisch grafiekpapier zoals hierboven en teken daarop de grafiek van: f : x -* 10 met x � [0,5], b. Hoe ziet de grafiek eruit? Waarom? » 80. Probeer aan te geven waar langs de y-as 500 en 50.000 moeten staan. » 81. a. Teken op groot formaat het hokje waarvoor geldt: x � [0,1] en y � [1,10] en teken zo precies mogelijk langs de y-as de punten waarvoor geldt: y = 2, 3, 4, ...., 10. b. Kun je nu gemakkelijk de schaalverdeling langs de y-as tussen de 10 en 100 aangeven?

-ocr page 55-

Hier zie je nog wat afmetingen uit de wereld om ons heen met elkaar ver-
ge leken.

» 82. Waar is het nulpunt van de hieronder afgebeelde schaal?


	n:	C
	«	1
	H	N
Cj	QJ	(U
CT)	T3	na
a u	U C	u
flj rt	rj G	ct
E «	rj N	ra

2: -u-a «TJ

I ~~I 1 1 I I I I~~ I

i ! ~~I I~~

I ' .1 .1

N I .»

Si «'

~f» meters

Mi. EvoAUt

-ocr page 56-











-	7	6	■5	3	2	1	0	1	2	I	k	5	6	7	6	X-as

10°
10⁷10'

io^b

10"

10³10²10¹

10°

I if¹

I0"²

ur⁵

lO"⁵10*⁶

to-⁷

Y-as

»83. a. Teken bovenstaand grafiekpapier met logaritmische asverdeling
in je schrift en daarin de grafieken van:

f : x ■*■ 100^x h : x -*� (/To)^x

g : x ■> 10^x

Neem steeds x � II

1 N^X

k : x f (^)

b. Schrijf de functies f, g, h en k alle als macht van 10.

c. Welk verband bestaat er tussen de exponenten van de functies
en de richtingscoefficienten van de grafieken?

d. Teken nu ook de grafiek van: 1 : x ■+ 2 in dezelfde figuur.

e. Verklaar waarom 2^X = 10⁽ ^lo8²⁾*^x .

-ocr page 57-



			53

		f. Zie je kans uit de richtingscoefficient van de grafiek van x -■* 2 een schatting te geven van de grootte van log 2? g. Hoe zou je op soortgelijke wijze een benadering kunnen vinden voor ¹⁰log3?

-ocr page 58-



				54

		Ennt>tA.g beMckadigde haxtkleppen wofiden tegmwoondlg veA.vange.Yi doox n-ieuwe kasvtkteppen van kunAtAtofa. Op de ^oto whj&t zo'n kJLzp -Ingebruxckt.

-ocr page 59-

Op onderstaande grafiek zie je het aantal mensen dat in de U.S.A. sterft
aan hartkwalen (per 100.000) naar leeftijd uitgezet; en wel op logarit-
misch papier.

> 84. a. Hoe kun je zien
dat de mensen
ingedeeld zijn
in leeftijds-
groepen van 5
jaar "breedte"?

b. Hoeveel mensen
(per 100.000)
sterven in de
groep van 10-15
jarigen aan hart- 5
kwalen?

c. En in de groep
van 85-90 jari-
gen?

d. Tussen de 50 en
90 jaar is de
grafiek een vrij-
wel rechte lijn.
Wat wil dat in
dit geval zeggen?

e. Hoe groot is de
groeifactor on-
geveer (over het
stuk grafiek van

10*-

| llj!

■

I�

to*-

�■

�

._.

�

------

�

w 20 30 « 50 id K »o 96

LEBFT'JD IN JAXert

50-90 jaar;
5 jaar als eenheid). Wat wil

f. Kun je een functievoorschrif

dat hier zeggen?
t bedenken voor dat stuk grafiek?

-ocr page 60-

»85. Van drie landen, India, Zweden en Tsjecho-Slowakije, vind je hier-
bij het aantal Zygote, abortussen dat plaats vindt per jaar, per
1000 vrouwen tussen 15 en 44 jaar oud.


Jaar	India	Zweden	Tsjecho-Slowakije
1967	-	6,0	32,5
1968	-	7,0	33,8
1969	-	9,0	34,0
1970	-	10,5	32,5
1971	-	12,3	32,0
1972	0,2	15,2	30,0
1973	0,4	16,2	26,2
1974	0,8	19,0	25,0
1975	1.5	21,2	-

a. Teken de drie grafieken die het verloop van het aantal abortussen
in die landen aangeeft op log. grafiekenpapier.

b. In welk land neemt het aantal abortussen het snelst toe?
Hoe zie je dat aan de grafiek?

c. Is de toename in dat land:

- vrijwel lineair;

- vrijwel exponentieel;

- geen van beide?

d. Hoe groot is de "groeifactor" in India? (Ongeveer).

e. Stel dat een land X dezelfde 'groeifactor' heeft als India, maak
dan het volgende tabelletje af en teken de grafiek in de tekening
van vraag a erbij.


	Jaar	Aantal abortussen
	1967	1,0
	1968
	�	�
	1975	...

f. Wat valt op als je de grafieken van India en het land X met
elkaar vergelijkt?

-ocr page 61-



			57

		AJU, bi.j �u)<l<l txpone,wtleJl<L &uncti&> dz gfwtiiactoK geLLjk -6s, wonden de. gnjx^lzkzn op logtvuXmiAch pap^2A zve.ywti.jdLge. LLjn&n. g. Zie je aan de grafieken van Zweden of Tsjecho-Slowakije nog een gedeelte dat je exponentieel of lineair zou kunnen noemen? (Over minstens 4 jaar). »86. In hoofdstuk 4 zag je hoe de groei van een paar ratten tot een enorme explosie leidde bij ideale omstandigheden.(Opgave » 27) . a. Teken op logaritmisch grafiekenpapier de groei onder ideale omstandigheden en onder minder ideale omstandigheden. (Zie voor bijzonderheden opgave >27). b. Vanaf welk moment kun je in ieder der gevallen spreken van exponentiele groei? »87. In hoofdstuk 6 (opgave » 33) stond de groei van zeesterren beschre- ven. S16 Deze was: groeifactor 1,25 over 10 dagen (vanaf 30 ' dag tot en met 80^Ste dag). s t e Op de 30 ' dag is de diameter 3 cm. Enige aanvullende informatie over de eerste 30 dagen (bij benade- ring): g(x) = (1,5) - 1 (x in eenheden van 10 dagen). Teken het verloop van de groei op logaritmisch papier. Waarom kun je bij g(x) niet van een zuiver exponentiele functie spreken? We hebben al kennis gemaakt met zgn. ZogcUvLtnvL&ch Qha^2.kpap-ioA. waarbij de X-as "gewoon" was verdeeld en de Y-as logaritmisch. Soms werken we ook met dubb<l�Zogci^fvitmLi>c.h papier waarbij beide assen lo- garitmisch verdeeld zijn. Het voordeel van logaritmisch papier was dat een QxponzntA.'<iZ<l functie te voorschijn kwam als een fiQ.dn.tz Z<ijn. De vraag is welke functies als grafiek op dubbellogpapier een rechte lijn hebben.

-ocr page 62-

» 88.

U::

- : ;

. -j._____. _, _.

---

■ 1---------------------- ■*- �-

rHr

1 i^; i

1!; 1

l i

- . . , .

. 1 . :
■ I ■ ■

�i - -
..., . i

;

i � ■ 4

: i 1

. , 1.

: hi

¹ i ■j

t;;;

' !

4 t
1

I :
I ;

. i .-

:!;;

;tr:.

K^:

-j

[lis

4 :r;

- ■ -

■

- i .. j

m²

....

� i � ■

] i ;T
� - �

■

]

11:;'

.Hi!

'f!!

-1 �^: �

^::

t -j

I !

■ i ■ ■

- ■ :�

_T--

. j, i

: ■:!

. i .

.., .... :

"if

■»f.

■ j

�

■

* 1 1 .

....

. . , i

■ ■

i -

A ,

� - �

iH i

! ;,

; :

: ^: ^: :

}

M^Ti

!■![]

'!H:

■ \

:i::
:|::

: ;::

;

-\-

| I. :_i.

�Hi

jrr!
i-pi-t

..., j

4- j

:| :

.., : .

;.-�

:i;

ll-El

. ;.. .

.;;: �

i; ��

-"";

4 -+-

-\ '-

m¹

. 1 - -

� )■�■

^: .; : :^:

:::^:

^: r:

_j.

-r

ii--

1".

1 ;

1 �-
4 ■ i

- � - ■

�

■

.... ^,.

.....

.... ..

t- -

. _ ..

�!-■

- . ... -

....

- �

■ - ■■ - ^:

4:.-,

4 f->-

� -

�1 ■-

....,

- -

■

I'rr

-h_T4

!■+^,+

. j

T - ■ ■ -

.-,;.-

■

1 ' 1

-4

1 I ""

■I--

...

. j_;_r

■

...

J ! i h

-! .

------

-f

ⁱ-

-r

■�j�1- T

■M

Tir

It-

■ 1�r~

4 ■�

.___,_,_^H

f:^:

. . j .

^:itrr

:-;;

�

�1� 1 .. I

.ill!

n v ..]_

i ! �
. ! 14

" It;

1:;:

..-;.

! !-

4-4

� ^

-'�

; �

. - _, .j..

mi:

- 1

-In

...i_

-44-f

-+-X i - -

₇-t-_T»

- !"-^J

¹ ! i
--+■---1-

■ + ■ -*--

rtr;

1 |

! f

__�. .. L_

fcrh

" r i

zr:

-+-

Hi"

Hj^H

^:ilf

- A -

"T---i-

l^;i

~4-

■ Li:::

! 1 ■

.: 1.1 .

- - j - -

:T-
T

.4..

"4
-t
■ I-

Hit

::y;

I--

------f

! :

3 <

l !

j 1

> ~>

¹1

3 *

i !

j 6 ;

-r4"

' 89

10'

a. Teken de grafieken van:

f : x -*■ x; g:x->-x²; h:x->x³; krx^-x¹*.

b. Hoe zal de grafiek van p : x -*■ x eruit zien op dubbellogpa-
pier?

c. Hoe zal de grafiek van q : x �> 4x² eruit zien op dubbellogpa-
pier?

» 89. Laat zien, d.m.v. de hoofdeigenschap dat de grafieken van macktA-
faunQJU.QJ> fizchtu Lijnm worden op dubbellogaritmisch papier.
Wat valt bovendien van de richtingscoefficienten van die lijnen te
vertellen?

-ocr page 63-

Omgekeerd is het ook zo dat als de grafiek op dubbellogaritmisch papier
een rechte is, de functie een functie is van de vorm:

x ■+ axⁿ

» 90. Een mooi voorbeeld is de grafiek die het verband aangeeft tussen
het gewicht van warmbloedige dieren en de dagelijkse hoeveelheid
warmte die geproduceerd wordt:
wanmtt

cat.
60,000
40,000

20,000

10,000-
6,000
4,000

2,000-

1,000-
600-
400-

200

100
60
40

El< phant

Butt,

Horse �

Boar* %
Cov

�Sow

'Ian

and Steer

Voman-

30tWBCv*l sp

~~cmm~~

wa
�Condor

Maiaque

Goose

Wildb

nrds-#."

f Rabbit
Marmot

Giant rats
Gdinea pig-«

*,"Rat
Pigeon

and Dove

� Small ajrds
�� Ntouse

J_____I___L

J___L

»g 20 50 KX) 200 500 1kg 2 5020 50100200500 2000 5000

guoZcht

a. Teken de rechte die bovenstaande puntengrafiek redelijk bena-
dert.

b. Teken in hetzelfde plaatje de grafieken van:
x ->■ 100-x
en (X: gewicht in kilo's;

Y: warmte in calorieen)

100-

c. Stel dat x ■*■ a*x de oorspronke.lijke grafiek moet weergeven.
Hoe groot zal n dan ongeveer moeten zijn?

-ocr page 64-



			60

>91. Opbrengst (=0) en kosten ( = K) van een bepaald produkt zijn func- ties van de geproduceerde hoeveelheid ( = q). Op dubbellogaritmisch papier zijn de grafieken van 0 en K als functies van q getekend. Neem aan dat die grafieken zich rechtlijnig voortzetten en elkaar ontmoeten in het punt (10000,1000).

		3 4 5 6 7 8 910' (q)

	a. Beschrijf 0 en K als functies van q met behulp van een formule. b. Teken op millimeterpapier de grafieken van 0 en K voor 0 i q 5! 10000 in een assenstelsel met 'gewone' schaalverdeling langs de assen. (Neem de eenheid op de verticale as tien keer zo groot als op de horizontale). c. Bereken voor welke q de winst W maximaal is; W = 0 - K. d. Welke van de twee grafische voorstellingen, die met logaritmische schaalverdeling, resp. lineaire schaalverdeling, leent zich het beste voor het aflezen van de maximale winst?

-ocr page 65-



		Samenvatting:

			Er bestaan twee soorten logaritmisch grafiekpapier: 1. Logaritmisch grafiekpapier: - De X-as heeft de gebruikelijke verdeling: 0, 1, 2, ... - De Y-as heeft de 10°, 10¹, 10², 10³ ... verdeling. Y Grafieken van exponentiele functies: b'd worden op dit papier rechte lijnen. Het grondtal is bepalend voor de richtingscoefficient van die rechte lijn: gelijke grondtallen geven dezelfde richting. 2. Dubbellogaritmisch grafiekpapier: - De X-as heeft de 10°, 10¹, 10², ... verdeling. - De Y-as heeft de 10°, 10¹, 10², ... verdeling. u Grafieken van machtsfuncties: a«x worden op dit papier rechte lijnen. De macht (exponent) bepaalt de richting van de rechte lijn: gelijke machten geven dezelfde richting.

-ocr page 66-



		62

-ocr page 67-

Output, behorend bij biz. 31, opgave » 38.

y= 2.5

d t = 0.0001

dt =

0. 0001

h/f


-2	0	.111	0.12212	1	.0990
1	0	333	0.36627	1	. 09B8
0	1	000	1.09911	1	.0991
1	3.	000	3.29494	1	, 0983
;>	9	000	9.B7053	1	. 0967
3	27.	000	29.65927	1	0985


__ 71	0	160	0	14663	0	.9164
-1	0	400	0.	36687	0	9172
Ci	1	000	0	91553	0	9155
1	2.	500	0	28643	0,	9146
^r7	6	250	5	71728	0	9148
3	15	625	14.	2B604	0.	9143

g= 2.7

dt = 0.0001

g= 2.71
dt = 0.0001

h/f


0	137	0	13635	0	9940
0.	370	0.	36836	0	9946
1	000	0.	99421	0	9942
2.	700	'?	67982	0	9925
7	290	7	21455	0	9896
19	683	19.	49310	0	9904


_->	0	136	0	13575	0	9970
-1	0	369	0	36806	0	9974
0	1	000	0	99659	0	9966
i	^	710	2.	70128	0.	9968
2	7	344	7	30515	0.	9947
3	19.	903	19.	83643	0.	9967

- I

g= 2.72
dt= 0.0001

h/f


_T	0	135	0	.13590	1	. 0054
1	0	368	0	36836	1	0019
0	t	000	1	00136	1	. 001 4
1	*"»	720	i'.	72036	1	0001
2	7	398	7	37667	0	.9971
3	20	124	20	00809	0	. 9943