|
DIFFIERIENTIIEMEN 2
|
|||||
|
Freudenthal instituut
Archief |
|||||
|
DII=I=I=I?I:NTII=RI=N 2
|
|||||
|
%
|
|||||||
|
Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht
|
|||||||
|
DIFFERENTIEREN
|
|||||||
|
Een produktie ten behoeve van de
experimenten in het kader van de Herverkaveling Eindexamenprogramma's Wiskunde I en II V.W.O. Samenstelling: Martin Kindt
Jan de Lange Jzn
Vormgeving: Ellen Hanepen
® 1982; 2e herziene versie.
Utrecht, december 1982. |
|||||||
|
1
|
|||||||
|
1
|
|||||||
|
HELLINGFUNCTIES
|
|||||||
|
De foto toont een parachutespringer in de zogenaamde kruishouding tij-
dens de 'vrije val'. In die houding ondervindt de springer een maximale luchtweerstand, waardoor zijn snelheid niet hoger wordt dan zo'n 200 km/u. Als de parachutist ca 800 m boven de aarde is, wordt het hoog tijd om de parachute open te maken. (Volgens de veiligheidsvoorschriften moet de parachute open zijn op 600 m afstand van de aarde!). Om dit in de gaten te kunnen houden heeft de springer een hoogtemeter aan de pols..... |
|||||||
|
2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Onderstaande figuur toont de vaZiMHQ (in km) van een parachutist als func-
tie van de tsijd (in minuten) .
De parachutist is neergedaald uit een helicopter op 4 km hoogte.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
£ijd{mimite.n)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
> 1 . a. Hiernaast zie je het beginstuk van de <t
grafiek uitvergroot. Hoe groot was de gdmiddzZde, snelheid
van de parachutist gedurende de eer- ste tien seconden van zijn val? b. En hoe groot was de AneZheXd op koX
momzwt, tien seconden na het begin van zijn val? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c. Na hoeveel meter vallen werd de maximale snelheid van 200 km/u
bereikt? d. Heeft de parachutist zich aan de veiligheidsvoorschriften gehou-
den m.b.t. het moment van openen van zijn parachute? e. Met welke snelheid (in km/u) kwam de parachutist terug op moeder
aarde? f. Teken de grafiek van de vaZAn&tkeA.d (km/u) als functie van de
tijd. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3
|
|||||||
|
De langste vrije val die is geregistreerd werd gemaakt door Kapt. Joseph
W. Kittinger, die uit een ballon op ruim 31 km hoogte sprong en pas na zo'n 26 km vallen zijn parachute opende. Dat ook vrouwen op dit gebied van wanten weten bewees de Russin Olga Kom-
misarova, die er niet tegen opzag om zich met een snelheid van 200 km/u over een afstand van 14 km te laten vallen. |
|||||||
|
4
|
||||||||
|
Bovenbaas AWS en zijn trouwe secretaris Steenbreek bestuderen de
winstcurve die laatstgenoemde op zijn gebruikelijke punctuele wijze heeft vervaardigd. Het betreft hier de verkoop van de 'rose bril- len', een artikel waarmee AWS veel eer heeft ingelegd ... |
||||||||
|
10 20 30 40 50 60 70
q ( = veAkoop in 1000-talle.n)
|
||||||||
|
a. Hoe kun je verklaren dat de winst niet steeds even sterk toe-
neemt? (Met name in de buurt van q = 40.000 treedt een sterke vervlakking op). b. Hoe groot is de gemiddelde winst per bril bij een verkoop van
20.000 rose brillen? Bij welke hoeveelheid verkochte brillen is de gemiddelde winst
per bril maximaal? |
||||||||
|
5
|
|||||||
|
c. De 'snelheid' waarmee de winst toeneemt bij toename van de ver-
koop noemt men de meUig^LnaZe. i£)ini>£. Bij welke afzet is de margi- nale winst het grootst? d. Schets de grafiek van de marginale winst als functie van de ver-
koop. Even terugkijken naar de twee voorbeelden.
In beide voorbeelden speelt de hzLLlftQ van de grafiek een rol:
- in de grafiek van de parachutist vind je de snelheid (op een gegeven
moment) door de helling van die grafiek in het geschikte punt te meten; - in de winstgrafiek van AWS geeft de helling van de grafiek in een gege-
ven punt de zogenaamde marginale winst. |
|||||||
|
We zeggen:
- de valsnelheidsfunctie is de kellA.ng{iuncjtLz of a^QzJLoJjiz fauncjtte. van
de valafstandsfunctie; - de marginale winstfunctie is de hellingfunctie van de winstfunctie.
|
|||||||
|
6
|
|||||
|
Wiskundig bekeken:
bij een functie y = ({(x), waarvan de grafiek een redelijk glad verloop
heeft, kun je de hellingfunctie vinden door de helling van de grafiek te
meten in een aantal punten.
De grafiek van de hellingfunctie krijg je, als je de helling uitzet tegen
de X-coordinaat.
|
|||||
|
7
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 3. Bekijk de grafieken van pag. 6.
a. Hoe groot is de helling van de grafiek van fa in het punt met
x = 4?
b. In welke punten heeft de grafiek van fa een horizontale raaklijn?
c. Hoe zie je aan de grafiek van de afgeleide functie fa' dat fa da-
lend is in het interval [l;3i]? d. In we Ik punt op dat interval daalt fa het sterkst?
Bij een functie waarvan de grafiek niet alleen 'redelijk glad' is, maar
waarbij ook een 'mooie' formule past, kunnen we de hellingfunctie vinden door dLLfafaeAe.vvtl&Ae.n. Het meest bekende voorbeeld: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fa'M = 2x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
faM = x*
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
> 4. a. Hoe groot is de helling van de grafiek van f)(x) = X2 in het
punt (10,100)? Geef een vergelijking van de KaakLijn in dat punt. b. In welk punt van de grafiek van $ maakt de raaklijn een hoek
van 45° met de positieve x-as? c. De grafiek van $ i-s spiegelsymmetrisch (t.o.v. de ij-as) .
Neem twee punten van de grafiek die elkaars spiegelbeeld zijn (t.o.v. de (/-as). Wat kun je zeggen van de helling van de gra- fiek in die beide punten? d. Van een functie Q is de helling-
functie g' gegeven: Hoe zou de grafiek van g eruit
kunnen zien? |
||||||
|
» 5. a. Teken de grafiek van ^(x) = fx3 op het interval [-2;2] .
(Neem de eenheid 2 cm en teken de punten met X = 0, \, -{, 1,
-1, H, -11, 2, -1 heel nauwkeurig) . b. Meet de helling in die negen punten.
c. Teken de grafiek van de hellingfunctie op het interval [-2;2] .
d. Welke formule past er bij die hellingfunctie?
e. Noem de punten van de grafiek met x-coordinaat -2 en 2 resp.
A en B. In twee punten van de grafiek is de raaklijn parallel met de lijn AB. Welke punten zijn dat? (Bereken de coordinaten in een decimaal
nauwkeurig). |
||||||
|
» 6.
|
||||||
|
De functie $ is periodiek met periode 2.
Voor -1 £ X i 1 geldt: ^(X J =X2 . a. Teken de grafiek van de hellingfunctie op het interval [-3;7].
b. In de 'pieken' van bovenstaande grafiek, dus de punten (1,1);
(-1,1); (3,1); (-3,1); (5,1) enz., is de helling van die gra- fiek niet gedefinieerd! Je zou hoogstens kunnen zeggen dat er in die punten twee hel-
lingen zijn; de grafiek verloopt in die punten niet 'glad', er is een abrupte verandering van richting. Hoe kun je die abrupte richtingsverandering in de hellinggra-
fiek waarnemen? OpmeAking
Van de functie fa in bovenstaand voorbeeld zeggen we dat zij YiioX dLLfafaz-
n.ZWLL(L(lhba.cUi is in x = 1, -1, 3, -3, 5 enz. » 7. a. Teken ook de grafiek van de hellingfunctie fa' van:
|
||||||
|
b. In welke punten is fa niet differentieerbaar?
|
||||||
|
10
|
||||||
|
De helling in een punt van de grafiek van y= $(x) is een maat voor de
VQA.andzfu.nQ van y t.o.v. de vnfuxndzfvinQ van x. VoofibdZld:
|
||||||
|
^(x) = X2 ; f)'(x) = 2x, dus: ^'(2) = 4 ( = helling in het punt op X = 2) .
Als we X laten groeien van 2 tot 2,1, groeit y van 22 tot 2,12, dus van
4 tot 4,41.
De verandering van X resp. y geven we aan met Ax resp. At/.
In bovenstaand voorbeeld (bij startpunt X=2) geldt:
bij Ax = 0,1 hoort Ay = 0,41.
En dus: At/ is ongeveer 4 maal Ax. (At/ « 4«Ax) . De factor 4 is juist de helling in het punt op X = 2. » 8. Bekijk opnieuw $(x) =X2 en laat X groeien van 8 tot 8,1.
Ga na dat At/ ongeveer gelijk is aan ^'(8) maal Ax. |
||||||
|
11
|
||||||||||||||||||||||
|
HdLLLng be.nadzh.zn.
|
||||||||||||||||||||||
|
x + Ax
|
||||||||||||||||||||||
|
De QZmiddzZdz hzttinQ van een klein stukje grafiek (PQ) is nagenoeg ge-
lijk aan de helling van de raaklijn in P.
Ofwel:
|
||||||||||||||||||||||
|
Als Ax heel klein is, geldt: ^« (TU)
en dus: Ay w £'(x)*Ax
|
||||||||||||||||||||||
|
(1)
(2) |
||||||||||||||||||||||
|
De benaderingen (1) en (2) zijn in het algemeen nauwkeuriger naarmate
Ax kleiner gekozen wordt.
Om de 'exacte' helling in P te vinden, moeten we de verandering van X
als het ware 'oneindig klein' nemen.
In de wiskunde noteert men dan:
|
||||||||||||||||||||||
|
|f--n*]
|
||||||||||||||||||||||
|
(3)
|
||||||||||||||||||||||
|
dy
|
||||||||||||||||||||||
|
De oneindig kleine veranderingen noemt men 'differentialen' en -P- wordt
dl^eAZn&lMUjquotsLznt genoemd. |
||||||||||||||||||||||
|
9. if = X3 . Bereken op twee manieren -}*• voor X=2.
a. Door benadering m.b.v. -t^-; neem Ax = 0,001.
b. Door gebruik te maken van de hellingfunctie,
|
||||||||||||||||||||||
|
12
|
|||||
|
\kont St. ULchoJL [HoHmnruLLS.] u> boAomd om z-ijn 6n<M.e. tA-iw-lbhoJULngm.
HoX ntvuauveAAchil tuAAm koog en laag watoji U> 7 5 mzteA.. En btj eb txzkt hoX watnK zlch tzAug tot zo'n 7 7 km van do. kuAt. Pe vlozdba- mglng buielkt een bmlkoJjd van fiuim 30 km pun. aut. |
|||||
|
13
|
|||||||||||||||
|
AFGELEIDE VAN SINUS EN COSINUS
Waterstanden worden nauwkeurig geregis-
treerd. Via een vernuftig geconstrueerd apparaat, waarin een vlotter verbonden is met een naald die op een langzaam ronddraaiende trommel schrijft, wordt de waterbeweging in een grafiek vastge- legd. Zo'n apparaat noemt men een "nor- maalpeilschrijver". De trommel draait in een etmaal een keer
rond; om papier te sparen verwisselt men dit pas na 3 of 4 dagen. Als het papier van de rol wordt gehaald, krijg je zo- iets te zien: |
|||||||||||||||
|
Tf\
|
|||||||||||||||
|
- 2oo(c**-)
|
|||||||||||||||
|
Normaalpeilschrijver
|
|||||||||||||||
|
ItH.
|
|||||||||||||||
|
6 u
|
|||||||||||||||
|
» 10. De grafieken zijn naar data genummerd (7, 8, 9, 10).
Hoe zou je er een doorlopende grafiek van kunnen maken?
|
|||||||||||||||
|
» 11. a. Hoe hoog staat het water (gemiddeld) bij eb resp. vloed?
b. Hoe lang is de periode van de getijbeweging? |
|||||||||||||||
|
14
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Doordat de grafiek van de getij-
beweging in Vlissingen (biz. 13) sterk verkleind is afgebeeld, gaat er wat informatie verloren. Vergelijk maar eens met het stuk- je grafiek van het formaat zoals je dat op de rol te zien krijgt .. » 12. Wat is in deze figuur dui-
delijker zichtbaar dan in de verkleinde grafiek? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
12.00
» 13. Hieronder zie je de stukken Vlissingen-grafiek achter elkaar ge-
plakt: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-200cm
■ 8 JULI 78 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
•9 JULI 78-
|
-»'«-10 JULI 78
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
■7 JULI 78-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^»«^
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Wat geeft de helling in een punt van die grafiek aan?
b. Schets de hellinggrafiek voor 8 juli.
c. Hoe kun je uit die hellingfunctie de momenten van 'dood tij'
aflezen? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
15
|
|||||||||
|
De waterstand in Vlissingen is een periodieke functie van de tijd. De
grafiek ervan is een soort golflijn die een beetje doet denken aan de 'sinusgrafiek'. Gfia^lzk. van fa{t) = hint :
|
|||||||||
|
» 14. a. Wat is de periode van de functie fc [t] = sin-t ?
b. Lees uit de grafiek de waarden af van:
sin 0 ; sin tt ; sin iff ; sin 27tt ; sin 15£tt . » 15. De grafiek van Q[£) = cost krijg je door de sinusgrafiek over een
afstand itt naar links te verschuiven. Gfia^lzk van g [t] = coi> t :
|
|||||||||
|
a. Wat is het bereik van de functie Ql
b. Lees uit de grafiek de waarden af van:
cos 0 ; cos tt ; cos \t\ ; cos 27tt ; cos 15^tt . c. Vergelijk de grafieken van sinus en cosinus
Voor welke getallen tussen 0 en 2tt geldt: sin X = cos X?
(Controleer met je rekenmachientje). |
|||||||||
|
16
|
|||||||
|
Het ontstaan van de sinus- resp. cosinusgrafiek kan worden verklaard uit
de cirkelbeweging, bijv. van een draaiende propeller. |
|||||||
|
Een propeller (halve lengte = 1 meter) draait om het punt 0. De begin-
stand van de propeller is horizontaal. Als de propellertip een boog van t meter heeft afgelegd (van A naar B)
zijn de ve.tutic.alz pioj&ctle. (= y) resp. de ko>vizowtatz pHjojuctlz (= x) gelijk aan sixit resp. cos t. "» 16. De omtrek van de cirkel (straal 1m) die de propellertip beschrijft
is 2tt meter. Als de propellertip een achtste deel van de cirkelomtrek heeft af-
gelegd, geldt t = iir. De bijbehorende hoek AOB is dan iiT radialen. a. Hoeveel graden is dat?
b. Hoe groot is de hoek in graden tussen OA en OB als t = JTT?
En als t = ■jTT?
c. Toon aan: sin |tt = -= . (Gebruik de stelling van Pythagoras) .
/ 2
Controleer de uitkomst met je rekenmachientje. » 17. In de grafieken op biz. 15 kun je aflezen waar de sinus resp. de
cosinus negatieve waarden aanneemt. Hoe kun je dat aflezen uit de figuren hierboven? |
|||||||
|
17
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De grafiek van de sinus krijg je door de t/-coordinaat van de ene propel-
lertip uit te zetten tegen de booglengte t: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 18. Je gaat nu de hellingfunctie van y = sin^C opsporen met een computer.
Bekijk onderstaand structuurdiagram: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
k ■*• INVOER
pi ■*■ 3,14159265 dt *■ fc*pi |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
>21 KEER (m van 0 tot 20)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
V
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
STOP
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. Als je voor k een (klein) getal kiest, bijv..0,001, berekent
dit programma in 21 punten van de grafiek van y = sint de hel- ling. Is die berekening exact? b. Vertaal het structuurdiagram in een programma. Voer een kleine
waarde voor k in en gebruik de output om een grafiek van de hel- lingfunctie te tekenen. c. Enig idee welke functie de hellingfunctie is?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
18
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Hiernaast zie je de output voor fe=0,0005.
De keuze voor At (in het structuurdiagram
staat er dt) is dus 0,0005tt.
Naast de hellinggetallen zie je ook de
waarden van cos-t voor t= 0; 0,1tt; 0,2tt
enz.
De tabel maakt het geloofwaardig dat de
afgeleide functie van sinus juist de cosi-
nusfunctie is.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 19. a. Bekijk bovenstaande getallen.
Je ziet dat de helling van de sinusgrafiek schommelt tussen 1
en -1.
Kun je dat 'aflezen' uit de sinusgrafiek (biz. 15)?
b. Controleer aan de hand van de sinusgrafiek de negatieve hellin-
gen van bovenstaande tabel. c. Op grond van de symmetric van de sinusfunctie had je een symme-
trisch getallenpatroon in de hellingfunctie kunnen verwachten. In de 'cosinus-kolom' vind je dat inderdaad, maar in de 'helling-
kolom' zijn er kleine afwijkingen. Bijv. 'tweede uitkomst is 0,9508'; 'voorlaatste uitkomst is 0,9512'.
Enig idee hoe die verschillen zijn ontstaan? »20. a. Voorspel de resultaten die je krijgt als je de helling laat be-
rekenen voor de functie y = 2 sin t (in de punten met t = Q; -t = 0,1fr;
£ = 0,2tt; enz.) b. Dezelfde opdracht voor y=sint + 2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»21. Vergelijk de grafieken van sinus en cosinus.
Wat is de afgeleide functie van de cosinusfunctie?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
19
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
REKENREGELS
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De regels die je hierbij gebruikt zijn:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
20
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Verder heb je in hooftlstuk 2 nog gezien:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 22. Differentieer de functie j$, in het geval
|
j$(x) =
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e. (1 - X)(1 + X)
f. sin X - cos X
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c. 5sinX + 4X - 3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. X + cos X
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. 4x3 + 19
|
d. h" -
|
13x
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»23. Men gebruikt ook de notatie -r- f$(x) i.p.v. & '
VooubzeJLd'. ^-(x4 + 3x) = 4x3 +3
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d
c. -p(8 cos X- 16x3) = , d ,. a2 a3 u.1* N
d- ^(1+u+t-+-t+24) =
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. ^(x8-x5-85) =
b. ^(10-*2 + 20^ + 30 sint) =
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 24. ^(x) =ix2 - 2X, domein [-1; 6] .
a. Neem de tabel over en vul in:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. Teken de in de tabel aangegeven acht punten van de grafiek van
fi met de bijbehorende raaklijn. »25. F[t)=3t-t3, domein [-1i; 2i] .
a. In welke punten heeft de grafiek van F een horizontale raaklijn?
b. De functie F is ■itljgznd op het interval [-1; 1] .
Hoe kun je dat met behulp van F' berekenen? c. Teken naast elkaar de grafieken van F en van F'.
d. In welk punt van de grafiek van F (tussen X=-1 en x= 1) is de
helling het grootst? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
21
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
MoonhzoZd:
j$(x) =-2x3 +3x2 + 4
- De punten met horizontale raaklijn vind je door de afgeleide functie
gelijk te stellen aan nul: <{' (x) = -6x2 + 6X -6X2 + 6X = 0
6x(-x+ 1) = 0
X = 0 of X = 1
'Invullen' in de oorspronkelijke functie levert de punten (0,4) en (1,5) op. - Waar stijgt resp. daalt de functie £l
Dat zie je aan het tekenverloop van j$'. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t'U)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 + + +
_,---------
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ConclutxLe.:
Als X varieert van 0 tot °°, daalt fj(x) (en wel van 5 tot -00)
Als X varieert van 0 tot 1, stijgt ^(x) (en wel van 4 tot 5) Als X varieert van -°° tot 0, daalt |$(x) (en wel van °° tot 4) |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- Grafiek van &:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Voor x = 0 heeft ($(x) een (plaatselijk) minimum 4.
Voor x = 1 heeft ^(x) een (plaatselijk) maximum 5. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
22
|
|||||
|
» 26. &[x) = X4 + 2x3 + 3, domein K.
a. Maak het tekenverloop van de hellingfunctie.
b. Er zijn twee punten op de grafiek met een horizontale raaklijn.
Is er sprake van een (eventueel plaatselijk) maximum of minimum? c. Teken de grafiek van ((.
»27. £/ = 0,6x5-x3, domein [-1,5; 1,5] .
a. Maak het tekenverloop van de afgeleide functie.
b. Laat X varieren van -1,5 tot 1,5.
Hoe varieert t/? c. Teken de grafiek van de functie. (Kies een 'grote' eenheid,
bijv. 4 cm). » 28. a. Teken in een figuur de grafieken van ^(x) = X; g(x) = bin X en
k[x) = X + bin X alle drie met domein [0,2ttJ. b. Teken in een tweede figuur de grafieken van ^', g' en h'.
c. In welke punten heeft de grafiek van k een horizontale raaklijn?
»29. a. Teken in een figuur de grafieken van ¥{£) = sin-£ , G[t) = cos £
en H[t) = sin;t + cos t alle drie met domein [0; 2tt] . b. De punten met horizontale raaklijn op de grafiek van H (de 'top-
pen' en 'dalen') liggen recht boven of onder de snijpunten van de grafieken van F en G. Hoe kun je dit verklaren met behulp van H'? c. Wat is het bereik van de functie H?
|
|||||
|
23
|
|||||||
|
» 30. Bij een landbouwproject in een van de ontwikkelingslanden is onder-
zocht hoe het aantal benodigde manuren afhangt van de oppervlakte van de landbouwgrond (in ha). |
|||||||
|
Een econoom heeft hierbij een wiskundig model opgesteld:
M = 0,2a3 - 36a2 + 3000a
(M = aantal manuren; a = oppervlakte in ha). a. Het gemiddelde aantal manuren per ha noemen we G.
Stel G op als functie van a. b. Bereken bij welke landoppervlakte het gemiddelde aantal man-
uren per ha het laagst is. c. Hoe kun je het antwoord op vraag b. ook vinden met behulp van
bovenstaande grafiek? d. Door modernisering van werktuigen e.d. wordt het aantal beno-
digde manuren verminderd met 20%. Verandert hierdoor het antwoord bij b? Waarom?
|
|||||||
|
24
|
||||
|
Landbouw In de VeAde. WeA2ld
|
||||
|
25
|
||||||
|
4
|
||||||
|
OPTIMALISEREN
In dit hoofdstuk tref je een aantal vraagstukken aan, waarbij het erom
gaat een maximum (minimum) te vinden. Bij deze problemen zul je gebruik kunnen maken van de computer. Achter-
af zul je zien hoe je diezelfde problemen ook met differentiaalrekening aan kunt pakken. »31. In een fabriek werken aan een lopende band 40 mensen, die onderde-
len klaarmaken voor electronische apparatuur. De gemiddelde dagproduktie per man/vrouw is 100 onderdelen. De be-
drijfsleider wil de totale produktie opvoeren en extra personeel aantrekken. Het effect van meer mensen aan de lopende band is ech- ter dat de gemiddelde produktie per man/vrouw terugloopt. De be- drijfsleider vermoedt op grond van zijn ervaringen, dat iedere man/ vrouw extra.de gemiddelde dagproduktie (p. p.) met twee onderdelen doet verminderen. Als hij dus 43 mensen laat werken aan de lopende band is de gemiddelde dagproduktie 94 onderdelen. Ga bij beantwoording van de volgende vragen ervan uit dat de be-
drijfsleider 'goed zit' met zijn schatting. a. Vergelijk de totale dagproduktie van 40 mensen met de totale
produktie van 43 mensen aan de lopende band. b. Je ziet dat bij een toename van 40 naar 43 mensen de totale pro-
duktie is gestegen. Neemt de bedrijfsleider echter veel meer mensen in dienst, bijv. 60, dan loopt de totale produktie terug door de sterke daling van de individuele produkties. Hoe groot is de totale produktie van 60 mensen?
|
||||||
|
26
|
|||||||
|
Bij zo'n probleem (als in »31), waarbij we aanvankelijk een stijging van
de totale produktie hebben maar later een daling, kun je een optimatz si-
tuatie verwachten, waarbij de totale produktie ma.XAjm.cUi is.
Voor het berekenen in dit maximum en het bijbehorende optimale aantal
werknemers, schakelen we de computer in.
We laten de totale produktie berekenen voor 40, 41, 42, .., 59 werknemers.
Hieronder zie je een structuurdiagram voor deze berekening:
^20 KEER (n van 0 tot 19)
a "*" 40+n
p + 100-n*2 t ■*■ a*p
UITVOER a,t
|
|||||||
|
STOP
|
|||||||
|
»32. a. Wat stellen de variabelen H, CL, p, t in het structuurdiagram
voor? b. Maak een programma bij dit structuurdiagram, laat dit verwerken
door de computer en noteer de resultaten. c. Hoe groot is de maximale dagproduktie?
En het optimale aantal werknemers? d. Zet in een grafiek de totale dagproduktie uit tegen het aantal
werknemers. |
|||||||
|
27
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 33. EEN VREEMD TARIEF
Een sportclub reserveert een bus om de
leden naar een tournooi te vervoeren. De busmaatschappij ALHATO ('als harin- gen in een ton') rekent het volgende tarief: - bij het voorgeschreven aantal pas-
sagiers (30) is de prijs per passa- gier / 15,--; - als er meer passagiers mee willen
zal ALHATO een oogje dichtknijpen en de volgende prijzen berekenen: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
kortom, elke passagier meer doet de prijs met / 0,25 zakken.
Er mogen niet meer dan 50 passagiers mee, zodat de prijs per pas-
sagier minstens / 10,— zal bedragen. a. Bereken het totale bedrag dat ALHATO incasseert als er resp.
30, 40 en 50 passagiers meegaan. b. Maak een structuurdiagram en een computerprogramma voor de bere-
kening van het totale bedrag dat ALHATO ontvangt bij 30, 31, 32, ........, 50 passagiers. c. Welk aantal passagiers is voor ALHATO het gunstigst?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
28
|
|||||
|
»34. Een supermarkt verkoopt potjes vruchtenyoghurt (inhoud iltr) tegen
de prijs van / 1,90. Er worden wekelijks zo'n 500 van die potjes omgezet. Dat betekent
dus een opbrengst van / 950,—. De bedrijfsleider schat dat elk dubbeltje prijsverlaging een omzet-
verhoging van 100 potjes tot gevolg heeft. De inkoopprijs is / 1,— per potje. Ga er bij het maken van de volgende opdrachten vanuit dat de schat-
ting van de bedrijfsleider goed is. a. Wat zal de omzet zijn als de potjes yoghurt verkocht worden te-
gen inkoopsprijs? Welke opbrengst levert dat op? b. Maak een computerprogramma voor het berekenen van de week-op-
brengst van de potjes yoghurt voor de prijzen / 1,90; /1,80; ... / 1,—• c. Dezelfde opdracht voor de totale winst per week.
d. Teken grafieken van resp. de opbrengst (per week) en de winst
(per week) als functie van de prijs. e. Welke prijs zou je de bedrijfsleider willen adviseren?
|
|||||
|
29
|
|||||||||
|
»35. In het kader van ontwikkelingshulp worden naar een van de Sahelei-
landen platen kunststof (60 cm breed) gezonden om goten te maken voor een bevloeiingssysteem. Het lijkt technisch het eenvoudigste om de goot zo te maken: |
|||||||||
|
a. Een eerste opwelling is om zo'n goot 20 cm hoog en 20 cm breed
te laten zijn. Hoeveel liter water kan de goot per meter verwerken?
b. Verander de hoogte van de goot een beetje (bijv. 1 cm meer resp.
1 cm minder) en bereken de capaciteit van de goot (= aantal li- ter water per strekkende meter). Zijn de in a. genoemde afmetingen optimaal?
c. Laat de hoogte van de goot varieren en maak een computerprogram-
ma dat de capaciteit van de goot berekent en afdrukt bij ver- schillende afmetingen. Conclusie?
3" 36. a. Een van de medewerkers van het project komt op het idee om de
|
|||||||||
|
goten zo te maken:
|
|||||||||
|
De opstaande randen maken hoeken van 135° met de bodem. Hoe
groot is nu de capaciteit van de goot als de bodem 20 cm breed is? b. Als je de antwoorden van 35a en 36a vergelijkt, zie je dat dit
idee nog zo gek niet is. Weliswaar wordt de goot ongeveer 30% lager, maar daar tegenover
staat een winst in de breedte. |
|||||||||
|
30
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Laat de schuine opstaande rand in lengte varieren en houd een
hoek van 135° met de bodem aan. Spoor met behulp van de computer de optimale afmetingen van de
goot op. c. We varieren nu niet alleen de lengte van de opstaande rand, maar ook de hoek met de bodem. De variabelen noemen we X en ip (= "fi"). In dwarsdoorsnede: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bekijk de computer-output voor de berekening van de capaciteit
in de gevallen ip = 0, 5, 10, ..., 90 graden en X = 0, 2, 4, ... 30 cm. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Bij welke afmetingen is (volgens de tabel) de capaciteit van de
goot maximaal? d. In de tabel zie je een rij van 'nullen' en verder vind je rechts
onderin een nul. Hoe kun je die nullen meetkundig verklaren? e. Kun je resultaten bij 35c en 36b terugvinden in de tabel?
f. Als de platen verbogen kunnen worden tot halve cilinders kun je
de capaciteit nog vergroten. Hoe groot is de capaciteit in dat geval? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
31
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»37. Een vierkante plaat metaal (afmeting 10 bij 10 cm) wordt van vier
hoeken ontdaan en door opvouwen en vastsolderen van de snijranden omgevormd tot een bakje. a. Wat voor vorm krijgt het bakje als je hele kleine hoekjes uit-
snijdt? En als je bijna maximale hoeken uitsnijdt?
b. Laat de zijde van het uitgesneden vierkantje varieren en maak
een computerprogramma dat hoogte, breedte, lengte en inhoud van het bakje berekent. c. Wat is de maximale inhoud van het bakje?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
32
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
We keren terug naar het probleem van de lopende band.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De tAjadMOJxJjxboJid t in het structuurdiagram is een functie van de be.gA.n-
vaMMXbzX.<l n. Door substitutie van de tussenvariabelen a en p, kun je t als functie van n vinden. Kijk maar: t = a • p
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t = (40+n)(100-2w)
^ = -2n2 + 20n + 4000
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dus:
ofwel: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»38. Het maximum van deze functie kan nu worden gevonden met behulp van
de afgeleide functie. Hoe? »39. Bekijk het structuurdiagram dat je dat je gemaakt hebt bij het
ALHATO-probleem (» 33) . Schrijf de eindvariabele als functie van de beginvariabele en be-
reken het maximale totale bedrag m.b.v. de afgeleide functie. »40. Doe hetzelfde voor:
a. de maximale winst-berekening voor de potjes yoghurt (» 34) .
b. de berekening van de goot met vertikale wanden die de grootste
capaciteit heeft (» 35) . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c. de berekening van het bakje met maximaal volume (» 36)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
33
|
|||||||||||
|
Bekijk opnieuw het structuurdiagram op biz. 25.
De variabele £ (= totale dagproduktie) kun je ook schrijven als functie
van <x.
Dat gaat zo:
t = a. • p
|
|||||||||||
|
t = a(100-2n)
|
|||||||||||
|
a = 40+n, dus
|
|||||||||||
|
» 41. Schrijf t als functie van a.
|
|||||||||||
|
dt
|
|||||||||||
|
Bereken het maximum van t met behulp van -r-
|
|||||||||||
|
34
|
|||
|
35
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
PRODUKTREGEL
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Groeiende vierkanten.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
D
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»42. De plaatjes suggereren een sprongsgewijze groei van het vierkant.
De zijde groeit gelijkmatig, d.w.z. de 'groeisprongen' zijn gelijk (nl. 1). Groeit de oppervlakte ook gelijkmatig? » 43. De oppervlakte van het vierkant noemen we 0, de zijde X.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Vul in:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
36
|
||||||||||
|
»44. Wat weet je van de aangroeiing van X in het geval Ax = 1 en A0 = 105?
» 45. Wat weet je van At) als X groeit van n tot n+ 1? (tt is een of ander
natuurlijk getal). s>46. Maak ook een tabelletje van At) als X sprongsgewijs toeneemt met
Ax = J. a. Vind je eenzelfde regelmaat als in de AC) - kolom bij » 43?
Hoe kun je dat in bovenstaande tekening zien? b. Wat weet je van At) als X groeit van n tot n + £?
In theorie kunnen we het vierkant i.p.v. sprongsgewijs ook 'continu' la-
ten groeien. Zo'n continue groei is niet eenvoudig voor te stellen. In eerste instantie kun je denken aan een groei waarbij de sprongetjes Ax zeer klein zijn. (het 'tekenfilmprincipe'). Met een penseelstreek (dikte Ax) vergroten we
het vierkant. «
»47. De groeisprong AO is bij benadering ge-
lijk aan 2x«Ax. Waarom? En waarom 'bij benadering'? De 'gemiddelde groei' van de oppervlakte r—, is bij benadering dus gelijk
aan 2x. Die benadering is nauwkeuriger naarmate de penseel fijner is. Bij continue groei nemen we Ax als het ware 'oneindig klein'. En zo komen we tot: -,— = 2x, waarbij -j— de 'groeisnelheid' is van 0 ten opzichte van X. |
||||||||||
|
In plaatje:
|
||||||||||
|
d0
|
||||||||||
|
0 = X*
|
||||||||||
|
= 2x
|
||||||||||
|
37
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een soortgelijk verhaal kunnen we houden bij de groei van een kubus (met
ribbe x). Door drie vlakken van de kubus te verven bewerkstelligen we een kleine volumegroei. Als de dikte van de verflaag gelijk is aan Ax, is de groeisprong Al/ bij
benadering gelijk aan 3X2 Ax. Gevolg: -r—» 3X2 en dus -j— = 3x2 (= de groeisnelheid van 1/ t.o.v. X) .
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
dV
cfx
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1/ = X-
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
= 3x*
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
Zo heb je nog eens langs andere weg gezien dat geldt:
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
x3 = 3x2
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
en
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
~3x
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
~3x
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
»48. Waarom kun je zo'n meetkundige afleiding niet meer maken voor
4-xk = 4x3?
ctx Op biz. 36 heb je gezien dat, als je een vierkant in twee richtingen laat
groeien, de groeisnelheid van de oppervlakte t.o.v. de zijde gelijk is
aan de halve omtrek.
Geldt dit ook voor een niet-vierkante rechthoek?
Laten we een rechthoek bekijken waarvan de lengte tweemaal de breedte is.
(b = x, 1= Zx).
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
fa= X
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
0 = I • b = 2X2, dus volgens
de regels van het differen-
tieren geldt:
dO .
dx maar voor de halve omtrek
geldt: •
1+ b = 2x+ X = 3X.
Niet dus.
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
1-- 2x
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
I* 2x
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
38
|
|||||||||||||||||||||
|
Het verschil met het vierkant zit hier in, dat de 'penseelstreek' aan de
korte zijde twee keer zo dik moet zijn, wil je tenminste weer een goede lengte-breedte-verhouding hebben! |
|||||||||||||||||||||
|
Ab = Ax
M = 2-Ax En:
AG> w b-Al + l-Ab |
|||||||||||||||||||||
|
+----fa----**&b
|
|||||||||||||||||||||
|
»49. Leid uit het voorgaande af: -r— » 4x.
(Dit resultaat is wel in overeenstemming met de regels van het
differentieren). |
|||||||||||||||||||||
|
» 50. Bekijk de groei van een rechthoek met breedte-lengteverhouding
3:4 (b = 3x, I =4x) en oppervlakte 0. a. Laat X groeien met Ax.
Hoe groot is ht resp. Ab uitge-
|
|||||||||||||||||||||
|
b = 3x
|
|||||||||||||||||||||
|
drukt in Ax?
|
|||||||||||||||||||||
|
b. Druk A0 uit in X en Ax.
c. Ga na dat geldt: -^ = l-^+b^
|
|||||||||||||||||||||
|
I- 4x
|
|||||||||||||||||||||
|
In moH.de.n:
De groeisnelheid van de oppervlakte = "lengte maal de groeisnel-
heid van de breedte" + "breedte maal de groeisnelheid van de leng- |
|||||||||||||||||||||
|
te'
|
|||||||||||||||||||||
|
39
|
||||||||||||||||||||
|
»51. Van een rechthoek is de lengte 1 groter dan
de breedte. a. Laat X groeien met Ax.
Waarom geldt: M = Afa? b. Druk AC uit in X en Ax?
|
||||||||||||||||||||
|
l*x* 1
|
||||||||||||||||||||
|
c. Ga na dat je voor de groeisnelheid van de
oppervlakte eenzelfde resultaat vindt als in » 50c
|
||||||||||||||||||||
|
In de opgaven » 49 en » 50 heb je twee voorbeelden gezien waarbij de
groeisnelheid van de oppervlakte van een rechthoek uitgedrukt werd in
de groeisnelheden van lengte en breedte.
,_., ., . dO „ db , dl
In beide gevallen vind je: -r- = L • -j— + D • -r— . Dit is niet moeilijk te verklaren.
Bekijk eerst twee bijzondere gevallen: |
||||||||||||||||||||
|
(i) t is constant, b is een functie van X.
Er geldt: 0[x) = I • b(x). Volgens regel 2 (biz. 19) geldt: 0'(x) = £• b'(x) |
||||||||||||||||||||
|
I
|
||||||||||||||||||||
|
40c)
|
||||||||||||||||||||
|
In de figuur zie je de aangroeiing weergegeven met een 'strookje'
|
||||||||||||||||||||
|
(ii) t is een functie van X, b is constant.
Er geldt: 0[x) = l[x) • b. Alweer volgens regel 2 geldt: 0'[x) = V[x) • b. Wu. algdmz&n:
|
||||||||||||||||||||
|
A
|
||||||||||||||||||||
|
4,
|
||||||||||||||||||||
|
(iii) Si en b zijn beide functies van X.
De groeisnelheid van 0 is de som van de groeisnelheden in twee richtingen, ofwel: 0'[x) = V[x) • b(x) + l[x) • b'(x)
|
||||||||||||||||||||
|
^»)
|
||||||||||||||||||||
|
Dit laatste resultaat staat bekend onder de naam pftodu.ktAe.g2Ji.
|
||||||||||||||||||||
|
40
|
||||||||
|
Regel 7
|
||||||||
|
Ms F(x) = iU) • g(x), dan F'(x) = rf'(x)g(x] + rf(x)g'(x)
|
||||||||
|
OpmeAfc^ngen:
a. De afleiding zoals hierboven is weergegeven heeft alleen betrekking
op 'positieve' functies. De produktregel geldt echter ook voor functies
met negatieve waarden in het bereik. De enige eis waaraan de functies moeten voldoen is 'differentieerbaarheid' (zie biz. 9). b. We schrijven de produktregel vaak in telegramstij1:
li'9)' = i'-9 + 6*9'
Hoe pas je de produktregel toe?
Differentieer de functie F(x) = X2 4-tnx.
Oplossing: F'(x) = lx-6-lnx + xz • coi> x
|
||||||||
|
Voofibeeld 2
jj(x) = (5x+ 10)(4x+ 20)
jj' (x) = 5-(4x+ 20) + (5x+ 10)-4
= 20X + 100 + 20x + 40 = 40X + 140.
|
||||||||
|
41
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»52. Je kunt de afgeleide functie van & uit voorbeeld 2 ook vinden door
het produkt (5X+ 10)(4x+20) eerst uit te werken en daarna te dif- ferentieren. Doe dat en controleer het resultaat. » 53. ({U) = X- 1; g[x) = X2 + X+ 1 .
Bereken op twee manieren: -r- ( (^ (x) *g(x))
»54. Differentieer de functie (J met $(x) =
a. X2 «C04 X d. t>inzX
b. -64.nx-c.o-6x e. 3x - x co<6 x
c. (x3+x)«^nx f. (x3 + x) • {xk + 7)
Uit de produktregel voor twee functies kun je een produktregel voor drie,
vier en vijf enz. functies afleiden. Bijv. Ugh)' - [fa)''h+ [6g)>h'
- i'Qh + bd'h + lfr%.
Analoog kun je vinden: lighk)' - {s'ghk * ig'hk * fah'k * ighk'.
Bij het differentieren van een produkt van een aantal functies ga je als
volgt te werk: - je differentieert de eerste functie en beschouwt de andere als constan-
ten; - je differentieert de tweede functie en beschouwt de andere als constan-
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ten;
enz. - tenslotte tel je de resultaten bij elkaar op. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
42
|
||||||
|
» 55. Bereken op twee manieren de afgeleide functie van:
(J(x) = (x- 1)(x-2)(x-3) » 56. tf(x) = (1 - x) (1 +x) (1 +x2)
Bereken £ ' (1). » 57. Bereken:
a. -T- (x4xn xco-6 x )
b. -j- \t>AMlX COi, X)
C. -rj [^i-V^tCOi,1 t) d. -4 (4^n2^+ co-iU)
|
||||||
|
»58. jj(x) = iin3x domein [0,2tt].
a. In welke punten heeft de grafiek van fi een horizontale raaklijn?
b. Teken in een figuur de grafieken van g{x) = i>inx en ^(x) = 4-Ot3X
»59. tj = Xilnx + co& x (0 i x £ 2tt)
a. In welke punten op de grafiek (van deze functie) is de raaklijn
horizontaal? b. Teken de grafiek van deze functie.
|
||||||
|
43
|
||||||||||||||||||
|
6
|
||||||||||||||||||
|
MACHTSFUNCTIES
De zo zoetjes aan welbekende regel voor het differentieren van machts-
functies luidt: |
||||||||||||||||||
|
d n n- 1
-T-X = ft X
ax
|
||||||||||||||||||
|
(ft = 1, 2, 3, ...)
|
||||||||||||||||||
|
Deze regel kun je vrij gemakkelijk 'herontdekken' met behulp van de
(uitgebreide) produktregel. |
||||||||||||||||||
|
Voor ft = 1 is de regel direct meetkundig te zien.
|
||||||||||||||||||
|
X = 1
|
||||||||||||||||||
|
c?X
|
||||||||||||||||||
|
Voor ft = 2, 3, 4, enz. werkt de produktregel:
= 1*x + x«1 = 2x
|
||||||||||||||||||
|
a^X =^ <***>
|
||||||||||||||||||
|
-rrX3 = -j- (X'X'X) = 1«X«X + X«1'X + X'X'1 = 3X2
^-X4 = -r- (X'X'X'X) = 1*X*X*X+X'1'X'X+X'X*1*X + X*X*X'1 =4X3
|
||||||||||||||||||
|
en zo verder, en zo voort.
|
||||||||||||||||||
|
44
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
De machten waarvan sprake is op biz. 43, hebben als exponent een naXuuA-
LLjk qqJjxL.
Je herinnert je zonder twijfel dat er in de wiskunde ook gewerkt wordt
met niet-natuurlijke (negatieve en/of gebroken) exponenten.
-1 1
Hieronder zie je de grafieken van de functie y = X en y = X2 resp. met domein <0;°°> en [0;°°> .
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
$■
3
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
r
3
2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 -
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Sr
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 60. Bekijk die twee grafieken.
a. Wat betekent X eigenlijk? En X*?
-1 A -1 A
b. Bereken (uit je hoofd): 100 ; 100*; 0,01 ; 0,01z.
-1 \
c. Wat gebeurt er met X resp. X als je voor X een heel groot
getal kiest?
En als je voor X een heel klein positief getal kiest?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»61. De vraag die nu misschien bij je opkomt is of de regel:
d n n - 1
-T—X = n'X
ax
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ook geldt voor negatieve en/of gebroken exponenten.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
zou dit betekenen: -xjr* = -1'X
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Voor n = -1
En voor n = i |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d J
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-i
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Meet de helling in een tweetal punten van elk van bovenstaande
grafieken en ga na of de regel in die gevallen aardig klopt. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
45
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Om wat meer zekerheid te krijgen van het geldig zijn van de regel, scha-
kelen we nu de computer in: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx <- 0.001
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
10 KEER (X van 1 tot 10)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y «- 1/x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dy ■*- 1/(x+dx)-1/x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
fi «- dy/dx
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u *■ -1/(x*x)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
UITVOER X,y,h,u
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
STOP
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Met als resultaat:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-i
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
-1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
/x heUUjig {x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
helLLng -1 • x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
* 62. Bekijk de twee structuurdiagrammen.
a. Hoe berekent de computer de helling in de punten 1,2, .., 10?
b. De resultaten (3e kolom) zijn aardig in overeenstemming met de
resultaten die je volgens de regel zou moeten krijgen (4e kolom) Wat moet je in het programma veranderen om nog meer overeenstem- ming te krijgen? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
46
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d H Yl — 1
De regel ~r- X = Yl-X lijkt dus inderdaad 'machtiger' dan in hoofdstuk
drie is verondersteld. In elk geval geeft zij voor n = -1 en n = { be-
vredigende uitkomsten.
Mocht je nog niet helemaal overtuigd zijn, hieronder vind je een aflei-
ding met behulp van de produktregel.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
I. n = -1 : &[x) = x ofwel f)(x) = —
A.
Eerst een 'list': X*$(x) = 1 (want X'— = 1)
A.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Na differentieren: X»($(x) = 1
/ 1
W(x) +x-i'{x) = o
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
{)'[x] 'oplossen':
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
II. n=i : ^(x) = x* ofwel &{x) = fx
De 'list' is nu: ^(x)«^(x) = X (want /x • /x = x)
Differentieren: ^(x)«^(x) = X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(T(x).($U) + <{[x) • <$»(x) = 1
£'(x) oplossen:
<T(x)-/x +/c^'(x) = 1
2/x"- rf'(x) = 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
'(x) = -4- = 4-x *
2 A
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Dergelijke afleidingen kun je ook geven voor andere negatieve en/of
gebroken exponenten. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Kortom:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Vooftbz&ld:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
6Vx
|
i
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
=
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2/
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Om te kunnen differentieren schrijf je: $(x]
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
bx
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Er volgt: &' (x) =6
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
n
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 63. Differentieer de functie $ in het geval $(x]
a. — f. Vx |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2
x6
3 5 C- 77 + -
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
g. ^
h. xVx
i. (/x)3 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d. x2 +1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X + 1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
j. -ft
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»64. Dezelfde opdracht voor:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
e. x2(1 + /x)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
a. 3/x + cos X
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. /x • sin X
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
f.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
c • — • s in X
X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
cos X
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
h.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
48
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»65. a. Teken in een figuur de grafieken van £[x) = X en q[x) =— beide
met domein <0,°°>. b. Teken in dezelfde figuur ook de grafiek van h[x) =x + — .
A,
c. Welke asymptoten heeft de grafiek van hi
d. In welk punt is de raaklijn aan de grafiek van k horizontaal?
1,5
» 66 . i\x) = X - 3x (domein [0,°°>).
a. Vul in:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
b. Schets een grafiek van f).
c. Wat is het bereik van ^?
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 67. In een destilleerderij kan per dag 1000 liter jonge jenever worden
gestookt. De produktiekosten K. (in guldens) en de opbrengst 0 (in guldens)
zijn functies van de geproduceerde hoeveelheid q (in liters). De economisch adviseur van het bedrijf heeft een fraai wiskundig model opgesteld: K = q2/* en 0 = 4q1h
a. Teken de grafieken van K en 0 als functie van q.
b. Teken ook de grafiek van de winst W (= 0 - K) als functie van q.
c. Bij welke produktieomvang is W maximaal?
d. Wat weet je in dat geval van de marginale kosten en de marginale
opbrengst? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
49
|
|||||
|
» 68. Op de emballage-afdeling van een fabriek vervaardigt men o.a. kar-
tonnen dozen met een inhoud van 36 dm3. De bodem van zo'n doos moet een vaste vorm hebben (lengte en breed-
te moeten zich verhouden als 2:1). a. Neem de breedte van de doos achtereenvolgens 1, 2, 3, 4, 5 dm
en bereken de benodigde hoeveelheid karton. (De dozen zijn aan de bovenkant open). b. Stel de breedte van de doos is X dm.
Schrijf de opp&AvZ&kXe. van de doos als functie van X.
c. Bij welke afmetingen is de benodigde hoeveelheid karton minimaal?
|
|||||
|
50
|
|||
|
51
|
||||||
|
INGEBLIKT
|
||||||
|
Conservenblikken, verfblikken, e.d. varieren behoorlijk in afmetingen
zoals je op de foto kunt zien.
We gaan onderzoeken welke afmetingen economisch verantwoord zijn. Laten
we bijv. blikken met de inhoud van 1 liter bekijken.
Hoogte en diameter van zo'n blik kun je laten varieren, op zoek naar die
vorm waarbij de buitenoppervlakte miyvunaal. is.
|
||||||
|
52
|
|||||||||||||
|
» 69. Noem de straal van de bodem van zo'n blik h. en de hoogte h.
a. Welke betrekking bestaat er tussen A. en hi
b. Zoek in een supermarkt of verfwinkel een literblik en controleer
of voldaan is aan die betrekking. » 70. Neem aan dat deksel en bodem van zo'n blik uit vierkanten worden
'geponst' en beschouw het restant als afval. |
|||||||||||||
|
a. Hoeveel cm2 blik is er nodig voor het vervaardigen van een blik
(uitgedrukt in K. en h) ? b. Schrijf die oppervlakte (=0) als functie van een variabele (fi) .
(Gebruik het resultaat van »69!). c. Teken de grafiek van die functie.
d. Bij welke afmetingen is de benodigde hoeveelheid blik minimaal?
»71. Het ponsen van deksel en bodem kan ook zuiniger:
|
|||||||||||||
|
geponst met zeshoeken.
|
|||||||||||||
|
-1
|
|||||||||||||
|
a. Laat zien dat nu geldt: 0 = cK.2 + 2h met c = 4/3 « 6,93.
b. Welke afmetingen vind je nu voor het meest economische liter-
blik? |
|||||||||||||
|
53
|
|||||||||
|
» 72. Het allerzuinigste is natuurlijk om het blikafval zo te verwerken
dat het gebruikt kan worden bij de vervaardiging van nieuwe blik- ken. Voor weIke K is de oppervlakte nu minimaal? » 73. lemand heeft in het derde geval (zie » 72) een mooie grafiek ge-
maakt van de oppervlakte van het literblik. Op de horizontale as heeft hij niet de straal, maar de verhouding tussen hoogte en straal afgezet. totale
oppervlakte
0 '
(dm2) |
|||||||||
|
a. Controleer of zijn minimum in overeenstemming is met wat jij in
» 72 vond. b. Welke blikken zijn relatief het duurst: platte blikken of hoge
blikken? |
|||||||||
|
»74. a. Wat verandert er in je oppervlaktefunctie van » 70 als je met
halve-liter-blikken te maken hebt? b. Is het verstandig om halve literblikken gelijkvormig te maken
met literblikken (d.w.z. dezelfde verhouding van diameter en hoogte)? |
|||||||||
|
54
|
||||
|
OPTIMALE SERIEGROOTTE
• j I " ) ^ ^
[ • ■ • ■ -> T -I .. ■ r> .- ;-^ Q I
Op een kleine fabriek worden per maand 100 platenspelers (inclusief ver-
sterker) vervaardigd. De bijbehorende luidsprekerboxen worden van een andere firma betrokken:
per 3 maanden worden 300 sets van twee boxen besteld. De prijs per luid- sprekerset is / 100,— en dan kost elke geplaatste bestelling nog eens / 500,—. Dit laatste bedrag is onafhankelijk van het aantal bestelde boxen, vandaar dat de fabrikant ze in behoorlijke hoeveelheden aanschaft. Maar hij kan er ook weer niet teveel tegelijk kopen, want dat betekent dat een groot aantal boxen lange tijd opgeslagen zal moeten worden en dat is puur verlies. Het in voorraad houden van de luidsprekersets kost de fabrikant nl. per jaar 10% van de waarde van de gemiddelde voorraad luid- sprekersets ! » 75. Hoe kun je die 10% voorraadkosten verklaren?
s> 76. Stel je voor dat op een gegeven moment (zeg: tijdstip 0) de voor-
raad boxen juist uitgeput is en er een nieuwe bestelling van 300 sets binnenkomt. a. Hoe groot zal de voorraad een halve maand later zijn?
En 2\ maand later? b. Teken een grafiek van het aantal luidsprekersets in voorraad
als functie van de tijd (over een periode van een jaar). |
||||
|
55
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 77. a. Hoeveel sets heeft de fabrikant gemiddeld in voorraad?
Welk bedrag moet hij per jaar aan voorraadkosten betalen?
b. Wat zijn zijn jaarlijkse totaalkosten (aanschaf- en voorraad-
kosten) van de boxen? » 78. De fabrikant overweegt om de bestellingen van de luidsprekers met
een andere frequentie te plaatsen (zonder dat het aantal luidspre- kers dat hij per jaar bestelt, verandert). a. Hoe verandert zijn voorraadgrafiek als hij om de twee maanden
bestelt? b. Op welk totaalbedrag aan kosten per jaar (voor de luidsprekers)
komt hij dan uit? »79. Onderzoek nog andere gevallen.
Schrijf de resultaten in een tabel.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Welk advies zou jij de fabrikant op grond van deze tabel willen
geven? |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Is het aantal luidsprekersets per bestelling.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
56
|
|||||
|
» 80. Noem de serie-grootte S, de voorraadkosten K , de aanschafkosten K
en de totale (luidspreker-)kosten K.. Zet K , K en Kt in een grafiek uit tegen S. »81. Beschrijf K. K„ en /C. als functies van 5.
»82. Bij welke serie-grootte (ongeveer) is het totale bedrag aan kosten
[K.) minimaal? |
|||||
|
57
|
||||||
|
a
|
||||||
|
QUOTIENTREGEL
» 83 . Twee zusjes schelen nagenoeg 5 jaar in leeftijd. Toen de oudste
10 werd zei ze trots tegen haar zusje: nu ben ik twee keer zo oud
als jij . Vijf jaar later, toen de oudste opnieuw haar verjaardag vierde,
herinnerde de jongste zich dit voorval plotseling en zei: nu ben je nog maar I5 keer zo oud als ik. a. Hoe is de verhouding van de leeftijden als de oudste 25 jaar
wordt? En als ze 45 wordt? x + 5
b. Teken de grafiek van de functie j$(x) = -------- (domein <0;°°> ).
A,
c. Wat heeft het verhaal van de twee zusjes met het verloop van
de grafiek te maken? d. Wat kun je zeggen van de verhouding van de leeftijden van beide
zusjes als die het eeuwige leven zouden hebben? »84. t en n zijn functies van X : t = 2x + 1 ; n = X + 1 (X € R).
a. Bereken — voor x=0, 1,2,3,4. Wat valt je op?
b. Wat kun je zeggen van — als X 'een heel groot getal' is?
c. Bereken ~ voor X = -0,8; -0,9; -0,99.
d. Wat kun je zeggen van — als X een klein beetje groter is dan -1?
e. En als X een klein beetje kleiner is dan -1?
f. Teken de grafiek van — als functie van x.
g. Welke asymptoten heeft die grafiek?
|
||||||
|
58
|
||||||||||||||||
|
»85. De functie in » 84 noemen we nu ^.
Dus: rf(x] =^f|- a. Kijk naar de grafiek van &.
In welke punten van de grafiek is de helling positief?
b. De hellingfunctie van $ kan (indirect) gevonden worden uit de
produktregel.
2.x + 1
Kijk maar: ($(x) = ------, dus (x + 1)'/j(x) = 2x + 1. |
||||||||||||||||
|
Nu differentieren: (x+ 1)^(x) = 2x+ 1
WU) + (x+ D-tf'U) = 2
|
||||||||||||||||
|
2x + 1
c. Substitueer nu f)(x) = ------ in deze laatste regel en leidt af: |
||||||||||||||||
|
(x + 1)2 '
»86. 3{x)=X*; h(x)=x + 5; fU*) = f[|j •
Bereken de afgeleide functie fj' via ^[x),k(x] = q[x) .
De methode die je in > 86 hebt toegepast, kan ook 'algemeen' worden uit-
gevoerd. Voor het gemak stellen we: t/ = &(x), t = g(x), ft = Mx).
En geldt: U = — ofwel: ft*t/ = t.
Differentiatie: n''(J + ft-</' = V
|
||||||||||||||||
|
'•- + ft./
|
||||||||||||||||
|
Dus: n'•- + n'U' = V
n J
Nu {/» oplossen: -^- +(/'=—, dus (/'= — - _r-
|
||||||||||||||||
|
We schrijven het resultaat nog wat 'mooier':
y = nz
|
||||||||||||||||
|
59
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
M.a.w.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
We hebben nu de zogenaamde quotientregel gevonden.
In verkorte vorm: |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(I)
|
' /■ » *> _ ■* I
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
t'n - n'-t
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2x + 7
Passen we de regel toe op j$(x) = Lde
teller r^ /noemei dan komt er: fj' (x
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Nog een voorbeeld:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3X- 1
2x»(3x- 1) - 3*(x2 + 1)
(3x- 1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
3x2 - 2x- 3
(3x- 1)2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
tf'U)
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»87. Controleer het antwoord van » 86 door de quotientregel toe te pas-
X2
sen op jj(x) = YTT ' |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 88. Differentieer de functie $ in het geval j$(x]
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
X + 1
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
60
|
||||||||||||||||
|
4x
|
||||||||||||||||
|
(dome in W.)
|
||||||||||||||||
|
»89.
|
||||||||||||||||
|
X2 + 1
a. In welke punten heeft de grafiek van {, een horizontale raaklijn?
b. Hoe groot is de helling van de grafiek van £ in het punt (0,0)?
c. Ga na dat geldt: ^C10) = ({(0,1).
Ook rf(100) = tf(0,01); ^(1000) = £(0,001).
d. Teken de grafiek van $.
|
||||||||||||||||
|
» 90. Van een (open) doos is de bodem vierkant.
De inhoud is 12 dm3. Het materiaal van de bodem kost per dm2 driemaal
zoveel als het materiaal voor de zijwanden. |
||||||||||||||||
|
^^^
|
||||||||||||||||
|
Bij welke afmetingen zijn de materiaalkosten voor de doos het
laagst? » 91 • Met het verschijnsel 'file'
hebben veel automobilisten leren leven, al levert het slakkegangetje natuurlijk de nodige ergenis op. Hoe komt het dat bij lage snelheden er blijkbaar meer auto's verwerkt kunnen wor- den? En wat is de optimale snelheid voor een file? Problemen die met de com- puter en/of differentiaal- rekening kunnen worden opge- lost. Waarmee niet gezegd wil zijn dat iedere file nu ook snel opgelost zal raken ..... a. De Vereniging voor Veilig Verkeer heeft een aardige vuistregel
bedacht voor het berekenen van de remweg van een personenauto. Die regel luidt: deel de snelheid (in km/u) door 10, kwadrateer de uitkomst en vermenigvuldig het resultaat met \. Je krijgt dan de remweg in meters. |
||||||||||||||||
|
_jll-
|
|||||||||||||||
|
61
|
|||||||||||||||
|
Hoeveel meter is de remweg bij een snelheid van 100 km/u?
En bij 50 km/u? b. Teken de grafiek van de remweg [ft) als functie van de snelheid
(v).
Beschrijf die functie ook met een formule.
c. Stel dat we hebben te maken met een file van louter personen-
auto's. Gemiddelde lengte: 4 meter. De snelheid van de file is 60 km/u en iedereen houdt zich keurig
aan de voorgeschreven remafstand tot zijn voorligger. De politie heeft op een bepaald punt een teller geplaatst. Hoeveel auto's passeren er in een minuut? |
|||||||||||||||
|
rrrTPt
|
|||||||||||||||
|
*-+^±j*- 27m
|
|||||||||||||||
|
D t.
|
|||||||||||||||
|
4 m
|
|||||||||||||||
|
ller
|
|||||||||||||||
|
d. Maak een computerprogramma voor het berekenen van het aantal
auto's dat in een minuut de teller passeert bij een file-snel- heid van resp. 10, 20, 30, ..., 120 km/u. e. Welke snelheid zou jij een file willen (aan)bevelen?
f. Leid uit je computerprogramma een formule af waardoor het aantal
auto's (=A) beschreven wordt als functie van de snelheid (=u). g. Bereken de minimale waarde van A en de optimale waarde van V
m.b.v. differentiaalrekening. h. In de formule voor de remweg bij een gegeven snelheid is geen
rekening gehouden met de reactietijd. De tijd die een automobilist nodig heeft om te reageren op de rem-
lichten van zijn voorligger is gemiddeld 0,6 sec. Rekening houdend met die reactietijd zou de afstand tussen twee auto's bij een snel- heid van 60 km/u eigenlijk 37 m (= 27 + 10) moeten zijn. Ga dit na. i. Wat verandert er aan de functie die je in (J 'hebt opgesteld als je
rekening houdt met de reactietijd? Heeft dat invloed op de optimale snelheid van de file? |
|||||||||||||||
|
62
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
OVERZICHT VAN DIFFERENTIEERREGELS
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- Regels voor het gebruik van een constante:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(1) Als F[x) = c + G[x), dan is F'(x) = G'(x)
(2) Als F(x) = C-G[x) , dan is F'(x) = C-G'(x)
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- Som, verschil, produkt, quotientregel:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- In telegramstij1:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- De regels (3) en (5) kunnen gemakkelijk worden uitgebreid:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(3*) (^ M2 M3 + •••• + 6„}' - i[ + ii + iz + •••
(5') [ix'i2' 63 - ...Mw)' MJd2 <$3 -Mn + M2 f>3 ......i1 i2 ^3 '
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
JI1
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
- Afgeleiden van speciale functies:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
63
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Of in differentiaalnotatie:
|
||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||