-ocr page 1-



		DII=l=l=m=NTIIEI?l=N 3

			Freudenthal instituut Archief

-ocr page 2-



		C K':lil:lliN:lil:l:l:IICI

-ocr page 3-



			I

Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht

		DIFFERENTIEREN 3

	Een produktie ten behoeve van experimenten in het kader van de Herverkaveling Eindexamenprogramma *s Wiskunde 1 en 2 V.W.O. Samenstelling: Martin Kindt Jan de Lange Jzn Vormgeving: Ellen Hanepen © 1984; 1e versie. Utrecht, juli 1984.

-ocr page 4-



				INHOUDSOPGAVE

					1. OMTREK, OPPERVLAKTE, INHOUD pag. 1

			2. DE GRIEPGOLF

		3. KETTINGFUNCTIES 13

			4. KETTINGREGEL 17

	5. DIFFERENTIEREN VAN LOGARITMISCHE FUNCTIES 21

6. RENTE OP RENTE OP RENTE OP ... 27

			7. OEFENINGEN IN DIFFERENTIEREN 33

	8. DE TWEEDE AFGELEIDE 37

-ocr page 5-



			1

	1
	1	OMTREK, OPPERVLAKTE, INHOUD
		OMTREK, OPPERVLAKTE, INHOUD

» 1. a. Een (bekende?) puzzel. Iemand reist naar de maan met een kolossale hoeveelheid touw. Hij wil dat touw rondom de maan aanbrengen, een meter boven het maanoppervlak en parallel met de maanevenaar. De straal van de maan is ca 1760 km en de omtrek is ca 11060 km. Hoeveel km moet het touw langer zijn dan de maan-evenaar? b. De mannen op de foto zijn wat bescheidener. Zij willen een touw aanbrengen op een meter afstand van de bol parallel met een 'evenaarcirkel'. Hoeveel meter zal dit touw langer moeten zijn dan de omtrek van de bol?

-ocr page 6-



		2

	De verrassende oplossing van opgave » 1 is: 6,28 meter, onafhankelijk van de straal van de bol! Dat kan worden aangetoond via de formule: P = 2tt^i waarbij H. de straal en P de omtrek van de (evenaar)cirkel is, gemeten in een of andere lengte-eenheid (zeg kilometers). Wordt de straal nu 1m (= 0,001 km) groter, dan is de toename van de om- trek: AP= 2tt (/l + 0,001) - 2-nfi = 2tt«0,001 km (= 2tt meter). » 2. Een andere situatie krijgen we als we een bol met een zeildoek op 1 m hoogte willen afdekken. Om het rekenwerk niet al te ingewikkeld te maken, nemen we eerst een bol met een straal van 1 km.

a. Hoeveel km² moet dit zeildoek groter zijn dan de oppervlakte van de bol? (Formule voor de oppervlakte 0 van de bol als functie van de straal: 0 = 4tt^^z ). b. Wat is het antwoord als je een bol met een straal van 10 km neemt? Het verschil in resultaat: 'bij het touw doet het er niet toe hoe groot de straal van de bol is, bij het zeildoek wel', heeft meer met differen- tieren te maken dan je misschien denkt. Vergelijk de formules die de omth.uk. van een cJJikdi (?) en de oppdK.vlak.td van een boZ (0) beschrijven als functie van de btHOOt (ft): P = 2-nn. en 0 = 4tt/l^z

-ocr page 7-

Differentieren van deze functie naar *, _geeft:

dP
dt

= 2tt

dA ⁼ ^87T*

Dat betekent: bii een kloin^ *-~

"J een kleine toename van de straal met A*, geldt:

APw 2tt-A1 _pn

r:;:;^kr rr^<in ^ons ^sevai ^a*-°-°^o,) ^ -*» ^«.«

en AO wcx van /i afhangt!

» 3. Controleer de _uittomsten _voor _opgave , , ^

king AC?w 8tt^..M. oecreic

Het differentieren van formulas voor omtrek, oppervlakte en inhoud brengt
trouwens aardige verbanden aan het licht. ^g

Neem nu de bekende formules:

0 = tt^²

P = 2tt*

res_P. voor oppervlakte en omtrek van een cirkel
Differentiate van de oppervlakte geeft de omtrek, ofwel:

^= P
dt ^P"

Dit kan meetkundig worden verklaard:

opp. cirkel:

0 = TT/L*

opp. ring:

A0»A n. � P

omtrek cirkel:

P = 27T*

A/l

SS P

-ocr page 8-



				4

	» 4. Voor het volume (I/) en de oppervlakte (0) van een bol geldt een soortgelijk verband: � = 0.

		Er geldt: 0 = 4tt^.² (zoals je bij opgave »2 al hebt gezien) . Leid een formule af voor V als functie van H.

» 5. Bereken op twee verschillende raanieren het volume van het dunne laagje tussen bol en zeildoek in de situatie geschetst in opgave » 2. (Straal bol = 1 km). Het warmteverlies van mens of dier is afhankelijk van de totale huid- oppervlakte. Physiologen zijn o.a. daarom geinteresseerd in een verband tussen de huidoppervlakte van een dier en zijn gewicht. Een formule die wel eens gebruikt wordt is: 2 0 = C'G3 waarbij G het gewicht in kg is, 0 de huidoppervlakte in m² en c een con- stante is. In woorden: de huidoppervlakte van een diersoort is evenredig met het gewicht tot de macht twee-derde. De evenredigheidsconstante c is afhankelijk van de diersoort, maar ligt voor de meeste dieren in de buurt van 0,1.

			a

-ocr page 9-

> 6. Voor een paard is de constante c ongeveer gelijk aan 0,1.

a. Hoe groot zal de huidoppervlakte (in m²) van een paard van 250 kg
zijn?

b. Teken de grafiek van 0 als functie van G voor een paard.

c. Bereken -377. Wat is de betekenis hiervan in dit verband?

d(₇

d. Een paard van 200 kg komt in een maand 5 kg aan.

Met hoeveel cm² zal de huidoppervlakte zijn toegenomen?

» 7. Hieronder zie je een tabel van waarden van c voor verschillende
dieren.


Bird		010
Cat		0 100
C'a* mid Si	."cr	0.0*1
Dog (over ^J	kgl	0 112
lunder 4 kg)		0 101
Guinea Pig		OIWO
Horse		0 M>
Man		0 II
Monkey		DIIS
Mouse		(MN0
Kabbic		OIN75
Ral		0.WI
Sheep (sheared weigh!)		0118-t
Svsine		otwo

� r lorn A C. Cju>ton, Circulatory
Phiwrtitiiy. CarJhU- Output and lt\ Kiau-
latum. Sceund hJitiun. W H Saunders
r'<>tiip.iii>. l'hiMdel|ihia. C'71

Voor een mens geldt dus bij benadering 0 = O,1lG⁷en voor een
varken 0= 0,09 G³ .

Hoe kun je verklaren dat de constante voor een varken kleiner is
dan die voor een mens?

0m wat meer inzicht in de formule 0 = c*G³ te krijgen, bekijken we het
verband tussen oppervlakte en volume van een paar 'meetkundige lichamen¹

» 8. Neem de kubus met lengte L.

a. Druk de totale oppervlakte
[0) van de kubus uit in L.
Doe hetzelfde voor het volume
(I/).

b. Leid vervolgens een formule
af voor 0 als functie van V.
(Aanwijzing: druk eerst L uit in \I)


			/"
			/

-ocr page 10-

> 9. a. Geef een formule voor de totale oppervlakte als functie van het
volume van een blok met vierkante bodem, waarvan de hoogte �
van de lengte is.

» 10. Doe hetzelfde voor een blok waarvan diepte, lengte en hoogte zich
verhouden als 1:2:4.

» 11. Hoe zal, algemeen gesproken, de formule van de totale oppervlakte
van een meetkundig lichaam als functie van het volume er uit zien?

» 12. Op dubbellogaritmisch papier zijn de grafieken van 0 als functie

van 1/ getekend voor de kubus en de blokken bedoeld in opgave 9,10.

■S

»' ,

/ y

y /'

y y y

o ⁶

^ 5

* 4

^J ₄

y .....f^

-kK^Z

^ ³V

' ' .

P%>> y'

^±y^y

V> ²

! \/^- ,

</■ ,/

i i | i.

\ . ..

■ . . ; j

iji J ::::!:

^m?^M;;:

' !

' i ! �■!

111;

! I 1 i 1 j

^! r f i

' i

ill

\ ! � I T

� - 1

:I:---j4lii

i ! !

I ,

_, !

"1""-

/_._;:

"t"

�

r V ■ -

; ~ee

�

i~;z.::::::z

...": ".'. '-�\

■ ------.....------------------- \

■ :i

! > i 7 B 9 10'

\ 6 :

l 910'

Vlu.n>t Crf

-ocr page 11-

a. Hoe verklaar je dat die grafieken evenwijdige lijnen zijn?

b. Aan weIke kant van de 'kubus-lijn' verwacht je de volume-opper-
vlakte-grafiek van de bol?

c. Stel de 0-l/-formule voor de bol op.

SAMENVATTING

In dit hoofdstuk hebben we het begrip 'afgeleide functie' in verband

gebracht met zaken als omtrek, oppervlakte, volume.

Ook heb je gezien hoe je uit twee functies een nieuwe kunt maken, bij-

voorbeeld als L, 0, 1/ resp. lengte, oppervlakte en volume van een kubus

zijn:

(1) L is een functie van 1/

(3) 0 is een functie van \I

(2) 0 is een functie van L

In formule:

(1) L = 1/3

(2) 0 = 6L*

(3) 0 = 61/3

-ocr page 12-

__hmp
I f 1 11 ;

:J$fe- 'M'

■■ :■■■■ '■■■'. ■■■.-:■■■ ■ .■■:.■■.; ■

'■■-■■". . .■■■,■■ ■■<.. ■■ .■ .■: ■

In 1918 weJid Slew Votik getsio^en doon. een vetiAcntLLkk.elA.jke gutepepidcmie.
Ve potitteagent op de fioto Ackijnt het vifuiA een halt toe te voWLen noe-
pen. Het mocht ntet baten. Ve epidemic eiAte tatiozc levenA.

-ocr page 13-

EEN GRIEPGOLF

#000-

r}f\Ot>-

*~Y """' �

JOOO-*

�voOo

*\OOls ~

2ooo-

■innr\-

IUV\J

(

20 22 2f

u
2

t = tijd in dagzn

» 13. Een groot bedrijf wordt getroffen door een hevige griepgolf.

Toen de epidemie zijn top bereikte was zo'n 80% van het totale
werknemersbestand geveld door de griep.

Hierboven zie je de grafiek van het aantal aanwezige werknemers
(=A) als functie van de tijd in dagen («t) in de dagen na het uit-
breken van de epidemie.

a. Hoeveel werknemers telt het bedrijf ongeveer?

b. Wanneer was het ziekteverzuim het grootst?

c. Wanneer nam het ziekteverzuim het sterkst toe?

-ocr page 14-

> 14. In die 22 dagen na het uitbreken van de epidemie was griep de

hoofdoorzaak van afwezigheid op het werk. Andere oorzaken van ab-

sentie vielen hierbij volkomen in het niet.

Het aantal zieke werknemers per dag noemen we Z.

a. Teken de grafiek van Z als functie van A.

b. Z is ook een functie van t. Teken de grafiek van deze functie.

De bedrijfsleider was de eerste dagen nauwelijks verontrust door het
ziekteverzuim. Hij beschikte namelijk over de gegevens betreffende de
produktie (=P) als functie van het aantal werknemers.

006

GnRFiEk JL

000-

�I�

-1--------------1�

> 15. a. Verklaar waarom de bedrijfsleider de eerste dagen nog niet zo
somber gestemd was.

b. Hoeveel dagen na het uitbreken van de epidemie bereikte de pro-
duktie een maximum?

c. Schets de grafiek van P als functie van t.

-ocr page 15-

3> 16. Terug naar grafiek I (biz. 9).

In drie punten is de helling gemeten:


�	A	dA dt
2	6200	- 300
4	4500	-1200
10	1800	300

a. Wat is de betekenis van de getallen -300, -1200, 300 in dit
verband?

b. Wat kun je zeggen van -jj op de momenten � = 2, 4, 10?
(Z = het aantal zieke werknemers).

» 17. In de vorige opgave was er sprake van drie 'momentopnamen' van het
bedrijf ten tijde van de griepgolf.

Op diezelfde momenten kunnen we ook de verandering van produktie
t.o.v. het aantal werknemers bekijken:


A	P	dP dA"
6200	7190	-0,1
4500	6750	0,6
1800	3670	1,7

a. Beredeneer dat op het tijdstip � =4 de produktie afnam met 720
stuks per dag.

b. Op het tijdstip .�=10 nam de produktie weer toe.
In welke mate?

c. Hoe zit het met de produktieverandering op het tijdstip �=21

d? dA

d. Welk verband bestaat er, denk je, tussen -

d� ' d� "" dA"

* 18. Bestaat er een dergelijk verband tussen -tj » -tj en -jjt ?

-ocr page 16-

■■■~~......~~��~~......."~~ ' '�� ■ ~~" "~~' ' ' ■ r- ' � ~~� ■��~~ �� ■■^�~~.........� "~~■'

SAMENVATTING

In dit hoofdstukje ben je vijf functies tegengekomen:

(1) A als functie van �

(2) Z als functie van A

(3) Z als functie van �

(4) P als functie van A

(5) P als functie van �

De functie (3) krijg je door 'schakeling' van de functies (1) en (2).


	(1) A is functie van �
	en		(3) Z is functie van �
	en		(3) Z is functie van �
	(2) Z is functie van A

Evenzo is (5) een k&ttlngfauncJU.il die ontstaat door schakeling van de
functies (1) en (4).


	(1) A is functie van �
	en (4) P is functie van A		(5) P is functie van �
	en (4) P is functie van A		(5) P is functie van �

Tussen de afgeleide functies van (1), (4) en (5) bestaat een belangrijk
verband:

dP _m dA dP

d� d� ' dA

Dit verband, de zogenaamde keX�ingKe.ge�, gaan we in hoofdstuk 4 verder
bestuderen.

-ocr page 17-

KETTINGFUNCTIES


	INPUT X
	U = y%
	V - U +	2
	y = log	(I/)
	print y

» 19. Bekijk bovenstaand computerprogramma.

a. Ga na dat bij invoer van het getal 3 de uitvoer gelijk is aan
0,5719475.

b. Bereken de uitgevoerde V-waarde voor het geval 6 wordt inge-
voerd. Doe hetzelfde voor 16 en 64.

c. De laatste uitkomst is mooi.

Kun je nog een getal bedenken waarbij de uitkomst een 'rond'
getal is?

d. Schets een grafiek van V als functie van X.
Welke formule hoort er bij die functie?

-ocr page 18-

In opgave > 19 is Y een kettingfunctie van X.

De schakels waaruit de ketting is opgebouwd kun je terugvinden in het

computerprogramma: U ■ vtf( , V ■ U + 2 en V = log (I/).

Van die schakels afzonderlijk kan natuurlijk ook een grafiek worden ge-

maakt.


^u1
J- * 1-	u = sx
J- * 1-
	i i i	¹ X

-»�i i

>*1

r^az

> 20. a. Waarom zouden delen van de tweede en derde grafiek gestippeld
zijn?

b. Laat X het interval [25,100] doorlopen.
Welk interval doorloopt U? En I/? En VI

>21, In het computerprogramma verwisselen we de wortel*-functie en de
logaritmische functie.
Er komt dan:

INPUT X
U = log(X)
V = U + 2

y = /v
print y

a. Bedenk een invoergetal waarbij de uitvoer een geheel getal is,

b. Welk interval doorloopt Y, als X het interval [10,1000] door-
loopt?

c. Schrijf y als functie van X.

d. Kun je elk getal als invoer kiezen?

-ocr page 19-

» 22. Een surf-twin bevindt zich in P op 2 km van de kust, recht voor de
vuurtoren V.

IV.

w «*-

-~o

<Nfl

ku.c,i

Het duo zeilt volgens een rechte lijn naar de kust.

a. Welke afstand is afgelegd vanaf P als het surfduo 1$ km ten
oosten van V het strand bereikt?

b. Noem de afstand (in km) van V tot het punt waar het strand wordt
bereikt X. Reken X positief als de aankomst ten oosten van V is
en negatief als het strand ten westen van V wordt bereikt.

Druk de afstand S die het duo aflegt uit in X.

c. S kan worden opgevat als een kettingfunctie.
Uit welke schakels bestaat die functie?

d. Schets de grafiek van S als functie van X.

-ocr page 20-

23. Maak een computerprogramma waarbij de volgende kettingfuncties ge-
splitst worden in drie schakelfuncties.

Voorbeeld: y = (sinx + 1)³


Oplossing:		INPUT X U = sinX W = U + 1 y = w³print y
a. y - (e -	2	)²
b. y = ²Jx² +	8	)²
cos c. y " e	X- 1
d. �/ - /l00	+	/x

sin(x² + 1)
sinx² +1
sin²x + 1
sin² (x+ 1)

e. �/

f. y

g. {/

h. (/

-ocr page 21-

KETTINGREGEL

(1) (2) (3)


X	sin(x» + (-y)	*) ^d'dx**	cos(x² + 0	sin(2x)	cos(2x)
1	0 � 909	-0.832	-0.416	0 . 909	-0.416
»">	-0.959	.1. ., 134	0.284	-0.757	-0.654
'."^r.	-0.544	�5.033	-0.839	-0.279	0.960
4	-0.961	-2.202	-0.275	0.989	-0.145
5	0.763	6.489	0.647	-0.544	-0.839
6	-0.644	*7 e Si XL* -J»**	0. 765	-0.537	0.844
7	-0.262	13-534	0. 965	0 � 991	0. 137
8	0. 827	-9.010	-0.562	-0.288	-0.958
9	0 � 3.1. 3	1.7 . 06'7	0. 950	.....0.751	0. 660
0	0-452	17.950	0. 892	0. 913	0. 408

Misschien wel de lastigsce van alle regels voor het differentieren gaat

over kettingfuncties.

De vraag is bijvoorbeeld: hoe differentieer je y = sin(x² + 1).

De afgeleide van de functie sin is de functie cos en de afgeleide van

X² + 1 is 2x, dus wat is het nu:

(1) ^ = cos(x* +1), (2) ~L - sin(2x), of misschien wel (3) 4^ = cos(2x)?
a* ax ax

We hebben een computer de helling -j* laten benaderen in de punten met

X= 1, 2, ..., 10 en ook de waarden van cos(x^z + 1), sin(2x) en cos(2x)

laten afdrukken.

Je ziet daaraan dat zowel (1), (2) als (3) foutief zijn.

^24. Als je alleen op de mintekens let, is kolom (1) nog zo gek niet.

Er bestaat inderdaad een mooi verband tussen -r* en cos(x^z +1).

Deel de getallen van de kolom ~^- door die van kolom (1)

dx
Enig idee wat de afgeleide functie van y = sin(x^z + 1) is?

-ocr page 22-

f.^f

y4 f'uw^c/ �*

In hoofdstuk 2 (de 'griepgolf') heb je een verband gezien tussen de af-
geleide van een kettingfunctie en de afgeleide van de schakels:

A is een functie van t

P is een functie van t

P is een functie van A


d?	dA	dP
*IK '*	dt	dt

*,*"

Deze regel staat bekend onder de naam kettingregel,


r- KETTINGREGEL �
ALS	u. een differentieerbare functie is van	X en
	y een differentieerbare functie is van	U.
DAN	is y een differentieerbare functie van dj� _ dy _m du dx du dx	X met:

Passen we dit toe op de functie y = sin(x² + 1).

Deze functie is opgebouwd uit: (1) y = sin a

(2) u = X¹ + 1

Er geldt: -s� = cos U (1 ')

d7 ⁼ ^2X

(2')

Volgens de kettingregel:

^- = cos a � 2x = 2x � cos(x^f + 1)
dx

En dat resultaat is in overeenstemming met de computeroutput op biz.17!

-ocr page 23-

Bij toepassingen van de kettingregel is het van belang om de te diffe-
rentieren functie in 'geschikte' schakels te ontbinden.
'Geschikt' wil hier zeggen: eenvoudig te differentieren.

» 25. Differentieer de volgende functies met behulp van de kettingregel,


y	=	sin X e
y	=	(1 +X²)³
y	=	sin(5x)
y	=	(sinX)⁵

y = cos X²

y = /s in X

3X
y = e

y = (e^x)³

» 26. Bereken:

-j� cos²X
dX


	d dt	sin(i\t)
	d dt	sin(e )
	d dt	-t e
	d dt	₂1-^²

d . r
dx" ^Sln/X

d X² + 2X

-j^cos(2x-3)

^2' (c₂ w 0,6970)

» 27. De surf-twin van opgave » 22.

j q

a. Bereken-jy.

b. Voor welke X geldt: %*r - 0?

c. Schets het tekenverloop van -tit

d. Had je dit tekenverloop kunnen verwachten (zonder -ry te bere-
kenen)?

-ocr page 24-

> 28. Differentieer:

a. &(x) - Vx + 8

b. rf(x) = ³/8x

c. rf(x) « (2x+ 1)


e.	<JU)	J A. = e 5
f.	*<()*	= e
	6M	5
&�	6M	(1-x)*
h.	6M	= _L Y

-1

d- ^U) " (2_X+1)3

»29. Differentieer de functies van opgave s> 23 (biz. 16).

» 30. De ribbe van een kubusvormige eel is p.

Deze eel is aan veranderingen onderhevig.

De ribbe verandert volgens de formule: p = Z . (� is de tijd),

a. Bereken -r-r en -rx. (0 is de totale buitenoppervlakte van de
eel en V is het volume).

. � . dV ,. . dV dV dp

b. Bereken -r- en controleer: -rr = -=� * -n �

dp d-t dp d�

-ocr page 25-



			21

	s
		DIFFERENTIEREN VAN LOGARITMISCHE FUNCTIES


9 8 7 -4 2. I o -1 -2 ~ -3"" -2-1 0 1 z 3~~T T" 67 ^? 5 »31. In een figuur de grafieken van: <(X) = 2^X en g(x) = ²logX a. Hoe groot is de gemiddeZde. helling van de grafiek van ^: tussen A en E; tussen C en E; tussen C en A? b. Hoe groot is de gemiddelde helling van de grafiek van g: tussen B en F; tussen D en F; tussen D en B? c. Bereken in drie decimalen nauwkeurig de helling van de grafiek van (J in het punt C. (c₂ « 0,6930). Hoe kun je hieruit de helling van de grafiek van g in het punt D afleiden? d. Bereken g'(1) en g'(8) in drie decimalen nauwkeurig.

-ocr page 26-

De grafiek van de logaritmische functie g[x)' = tog X is het spiegelbeeld
van de grafiek van fa{x) = a bij spiegeling in de lijn X = y.
Daaruit volgt dat de helling in een punt van de grafiek van g gevonden
kan worden door het omgefceeAde te berekenen van de helling van de gra-
fiek van fa in het spiegelpunt.

Voorbeeld: a = 2.

Gevraagd:

De helling van de grafiek van
g(x) = ²logX in het punt [u,t)

Oplossing:

Het spiegelbeeld [t,u] ligt op

de grafiek van fa(x) = 2 .

De helling van de grafiek van fa[x)
0,6930 � 2^t ofwel 0,6930 � a.
De helling van de grafiek van q[x)

2 in het punt [�,&) is ongeveer

= ² log X in het punt [u.,t] is ongeveer

ofwel

0,6930 � 2*

0,6930 � u

fit) - c. � 2^A

Dus:

(c₂ « 0,6930)

g'lttj =

c₂ � u

Voor andere grondtallen verandert alleen de constante factor c₂Er geldt:

Als g(x) = log x , dan g'(x)

(a>0, a. t \)

^ca^x

-ocr page 27-

»32. rfU) = ¹⁰logx.

Bereken j^'(5) in twee decimalen nauwkeurig. (c₁₀«2,3026).

» 33. q[x) = ²logX .

Bereken in twee decimalen nauwkeurig de X-coordinaat van het punt
op de grafiek van g, waarin de helling 1 is.

»34. y - ^elogX, ofwel y = lnx.

Met behulp van een computer is een benadering van de helling in
de punten met X = 1, 2.....10 berekend.


De	hel I	i n q	van	y		- 1 n < y- )
	>'		y		h	e 11 i n q
	.1.	0. 0.,	000 693			1 � 000 0.501
	;'T	1.	099			0. 334
	4	1.	386			0 � 250
	5	1.	609			('».. ?()i !
	/"	1.	792			0. 167
	7	1.	946			0. 143
	8	*.-.:!. �*	079			0. 1 24
	9	*.2. n*	197			0.112
	10	jL. b	303			0. 100

a. Bij de berekening is steeds Ax = 0,0001 genomen.

Reken met je rekenmachientje het resultaat na van X = 4,

b. Welk verband bestaat er tussen -^- en X?

>35. Differentieer elk van de volgende functies:

a. y = ¹⁰log3x e. y = ²log(x+ 1)

b. y = ¹⁰log3 + ¹⁰log X f. y - ²log(1 -X)

o i � , In X

c. y = 3 � In x g. y =

x
x

d. y - X � lnx h. y =

lnx

-ocr page 28-



			24

		»36. Neem de functie uit opgave > 35g. a. In welk punt heeft de grafiek een horizontale raaklijn? b. Teken de grafiek van die functie. » 37. Op een zakrekenmachientje vind je alleen toetsen voor de 10-loga- ritme (log) en de e-logaritme (In). Hoe kun je ²log7met de log-toets berekenen? En met de ln-toets? » 38. a. Druk ² log X uit in natuuAZA-j'ke. ZogcVuJynzn (d.w.z. logaritmen met grondtal e). b. Laat zien, door y = ²log X op twee manieren te differentieren, dat geldt: c₂ = In 2 . c. Bereken c₂ met je rekenmachientje. »39. In het boekje 'Groei' heb je een paar eigenschappen van de constante c ontdekt. <X Voorbeeld: produktregel Uit ~ (2* � 5^X) = (c_a � 2^X) � 5* + 2^X � (c₅ � 5^X) = (c₂ + c₅) � 10^Xen jL,o-c_la.,o volgt: c₂ + c₅ - c₁₀. Hoe kun je deze eigenschap nu verklaren uit opgave » 38? »40. a. c₂ w 0,6931 c₃ « 1,0986 Hoe bereken je hieruit c,, ? b. Welk verband bestaat er tussen c, en c-, , ? 3 ^X/3

-ocr page 29-

Het voorgaande vatten we samen in de twee regels voor het differentieren
van exponentiele en logaritmische functies:

Als^(x)=a^X, dan ^'(x) = lna � a^X

1 . 1

Als g(_xj = ^aiogX, dan g

In a X

(a> 0, a^1).

»41« Differentieer de volgende functies:

a. V - j�$ ' 5^X e. y = ⁵logX

b. {/ - �j � 25^X f. (/ - ln(5x + 4)

5x X

c. y = e g. t/ ■ ln(e + 4)

d. {/ - 5^eX h. y - ⁵log(5* + 4)

»42. De opbrengst (= 0 ) als functie van de hoeveelheid verkochte arti-
kelen (=q ) van een zeker produkt, wordt gegeven door de fortnule:

0 - 300 1n(q + 1) (0 ^ q ^ 100)

De kostenfunctie K wordt gegeven door K = ]0q.
Voor welke q is de winst 0 - K maxiraaal?

-ocr page 30-



			26

		RHYVtH Op H.dYVtQ. Op flZYVtZ Op fldYltZ

-ocr page 31-

RENTE OP RENTE OP RENTE OP

Een spaarbank biedt de spaarder de volgende mogelijkheden:


	*57.*	Spaar-direct rekening.
	*57.*	Direct opvraagbaar tot / 3.000,�.
		Voor hogere bedragen geldt een opzegtermijn
		van 1 maand.
	*77.*	Vast-tegoed rekening. Het bedrag kan niet binnen 1 jaar na storting
		worden opgevraagd.
		De rente is direct opvraagbaar.

> 43. Iemand opent een spaarrekening op bqvengenoemde bank.

Hij stort een zeker bedrag op een spaar-direct rekening.
Na 1 jaar boekt hij het totale bedrag op een vast-te-goed reke-
ning.

a. Hoeveel rente (in % van het oorspronkelijke bedrag) heeft hij
in totaal na 2 jaar ontvangen?

b. Hoeveel zou dat geweest zijn als hij in omgekeerde volgorde
had gehandeld?

-ocr page 32-



			28

	» 44. Een concurrerende bank biedt 6% rente met een opzegtermijn van een half jaar. Levert dat, bij hetzelfde beginkapitaal precies hetzelfde bedrag op aan rente over twee jaar, als het bedrag dat de spaarder van opgave » 43 inde? > 45. a. Jij zet een bedrag op een 5% spaarrekening. Na hoeveel jaren is dat bedrag verdubbeld? b. Dezelfde vraag voor een spaarrekening met 7% rente. Kapitaal dat uitgezet wordt tegen samengestelde interest ('rente op ren- te') groeit exponentieel. Als p het rente percentage is, is de groeifactor 1 + -rfcr. De verdubbelingstijd bereken je handig met behulp van logaritmen. Immers: uit: (1 + -rfcr?) = 2 (d = verdubbelingstijd) A ^ln2 volgt: u =
		lnll ₊₁\|q)
		lnll ₊₁\|q)

> 46. a. Verklaar die laatste formule. b. Maak een tabel van rentepercentage (p) met bijbehorende verdub- belingstijd (d) voor p = 1, 2, ..., 10%. c. Teken de grafiek van de verdubbelingstijd als functie van het rentepercentage. d. In de economie gebruikt men een handige vuistregel voor het berekenen van de verdubbelingstijd: d � p = 70 Klopt dat met jouw bevindingen. e. Is die vuistregel ook geldig voor een hoog rentepercentage, bijv. p = 50%? De vuistregel van opgave » 45d kun je ook gebruiken bij andere situaties van exponentiele groei, mits de groeifactor niet al te groot is. Pas de vuistregel toe bij de volgende opgaven.

-ocr page 33-



			29

		»47. Neem aan dat de inflatie in Nederland over een lange reeks van jaren 7% per jaar zal bedragen. a. In welk jaar is een 'briefje van vijf' evenveel waard als een rijksdaalder van nu? b. In welk jaar zal een 'tientje' evenveel zijn als een rijksdaal- der van nu? c. Wat zal de waarde zijn van / 1.000,� over 100 jaar in guldens van nu? (Bij een voortdurende inflatie van 7% per jaar)? * 48. In een laboratorium wordt een bacterie gekweekt. De omstandigheden zijn zodanig dat er onbelemmerde groei is, met een groeipercentage van 2\ % per dag. a. Na hoeveel weken heeft de bacteriekolonie zich verdubbeld? b. Laat zien (zonder rekenmachientje) dat de groeifactor over een jaar ongeveer gelijk is aan 8000. De vuistregel voor de berekening van de verdubbelingstijd is handig voor het maken van snelle, maar enigszins ruwe schattingen over de groei op lange termijn. Voor preciezere berekeningen gebruik je natuurlijk je re- kenmachine. De vuistregel lean worden verklaard met differentiaalrekening. Hieronder zie je de grafiek van y = In X. met de raaklijn in het punt (1,0). Daarnaast zie je een uitvergroot detail van de figuur.

-ocr page 34-



					30

	» 49. a. Laat zien dat de helling van de grafiek in het punt (1,0) gelijk is aan 1. b. Neem A X in de detailfiguur gelijk aan fe. Druk At/ uit in fe. c. fe is een klein getal (fe < 0,1). Verklaar: ln(1 + fe) « fe. » 50. Op bladzijde 28 staat de formule:

		d =		In 2
		d =
			^ln(1+X⁾

Herleid met behulp van opgave » 49c deze betrekking tot d^mp « 70. Dat de vuistregel 'dp f» 70' een beetje 'ruw' is, blijkt uit het volgende. Stel: je wint 'de honderdduizend' en bent van plan dit zojuist verworven kapitaal uit te zetten tegen 6% rente per jaar. Een concurrerende bank doet je een aanbod van 3% per half jaar. Volgens de vuistregel zou dit geen verschil uitmaken. 7 0 � Immers: de verdubbelmgstijd in het eerste geval is -g- jaar. In het tweede geval: -yL x -i-jaar, dus ook -g- jaar. >51. a. Laat door exacte berekening zien dat het tweede voorstel gunstiger is dan het eerste. b. Een derde bank doet een nog beter voorstel: �% rente per maand. Hoeveel rente levert dat op na 1 jaar? Het is mogelijk om over nog kleinere termijnen rente te laten bijschrij- ven. Voor rentebijschrijving per dag is de groeifactor van het kapitaal over 1 jaar gelijk aan: (1 +^^)³⁶⁵ = 1,06183131 Voor het geval de rente per uur wordt bijgeschreven is de jaarlijkse groei- factor: (\ + 0 _f 06 \ 36 5 X 2"t ^Vl 365 x 2k > = 1,06183619 Je ziet: zelfs bij een bedrag van / 100.000,� levert dat geen spectaeu- laire voordelen meer op.

-ocr page 35-

Noem het aantal termijnen waarover de rente (6% per jaar) wordt bij-

geschreven: n.

De groeifactor van het kapitaal is afhankelijk van n.


	n	groeifactor
	1	1,06
	2	1,0609
	12	1,06167781
	365	1,06183131
	8760	1,06183619

Je ziet: voor een grote waarde van h. valt die afhankelijkheid nogal

mee; de groeifactor blijft vrijwel constant.

Dit valt weer te verklaren met: ln(1 + k) « k voor een kleine waarde

van k.

Immers:

Als je de 6% rente verdeelt over ft termijnen, is de groeifactor over

een jaar:

g = (1 +^2A)

Hieruit volgt: In g = n*ln(1 +-2i&2-).

Omdat ln( 1 + ^~-) ongeveer gelijk is aan ^~ (voor n= 1, 2, 3, .. .) ,
volgt:

lnq = n � -2-tlS- = 0,06

g = e°»⁰⁶

» 52. Bereken e ' ⁶ op je rekenmachientje en vergelijk de uitkomst met

die van (1 + ~~°'⁰⁶.~~ )³⁶⁵ ^xH .

36 5X24

Een bank kan de rente als het ware elk moment laten bijschrijven. De

groeifactor van het kapitaal over 1 jaar is dan e ' . Men spreekt in <
geval van coYVtlvuit K.2.wtQ.bi.j&ch?vljv-lng.

-ocr page 36-



			32

		»53. Een ondernemer wil een kapitaal beleggen. Hij heeft de keus tussen 7?% rente per jaar continu bijgeschreven, of 8% rente per jaar halfjaarlijks bijgeschreven. Wat is gunstiger? »54. Iemand zet / 5.000,� uit tegen 5% per jaar. De rente wordt continu bijgeschreven. Welk bedrag heeft hij na 10 jaar? de > 55. Een vader spreekt op de 10 verjaardag van zijn dochter af: de "Als je tot die tijd niet rookt, krijg je op je 18 verjaardag / 200, � ." De volgende dag gaat hij naar de bank en zet een bedrag uit tegen de 8% continue rente. Hoeveel moet hij storten om op de 18 verjaar- dag te beschikken over / 200,�. » 56. Een kapitaal K_Q wordt uitgezet tegen H7o rente per jaar, continu bijgeschreven. Kj. is het kapitaal na t jaar. Druk K. uit in t. > 57. Een groot kantoorgebouw werd gekocht voor 1^ miljoen gulden. Tien jaar later werd het bedrag betaald; er moest toen 4 miljoen worden betaald. De rente op de schuld werd continu berekend. Van welk rentepercentage per jaar werd er uitgegaan?

-ocr page 37-

OEFENINGEN IN DIFFERENTIEREN


Regels voor het differentieren van	standaardfuncties:
Algemeen	Bijzondere gevallen
(Six) nxj	... ₁ *iU)*	nxj
p p-i x' , px'	X²	2X
1	1	1
t (p willekeurig reeel)	/x	1 . 1 2 7x
	X	1
X ' X *p ! In pp**	X e	X e
(p > 0, p =M)
^PWy ' ¹	lnX	1 X
^log* , lnp-X t	lnX	1 X
*(p > 0, p 1)**
sin px i p cos px	sin X	cos X
cos px ! -p sin px	cos X	- sin X
(p willekeurig reeel)

Door optellen, aftrekken, vermenigvuldigen, delen en kettingvorming wor-
den uit deze standaardfuncties nieuwe, meer ingewikkelde functies gebouwd.
Het differentieren daarvan gaat met behulp van de 'som/verschil-regel',
'produktregel', 'quotientregel' en 'kettingregel'.

Verder zijn de regels voor het optellen en vermenigvuldigen met een con-
stante van belang.

-ocr page 38-

> 58. Differentieer de functie ft in het geval �)(x) =

.1 0

^X 1

TVT


10 + X		10x
W		A?
sin(10 -	x) ;	sin¹⁰*

sin(-rr) ;

logx ;

> 59. Van een insectenpopulatie is de omvang N[t) gegeven door:
U{t) = 300-e⁰'¹*
waarbij �. de tijd in dagen is, gerekend vanaf een zeker moment.
Hoe groot is de groeisnelheid van de populatie op het tijdstip
�=5? En op het tijdstip �=10?

» 60. a. Bereken de helling in het punt met X-coordinaat 0 van de grafiek

X
van y= e *cos X.

b. Bereken de helling in het punt met X-coordinaat tt van de grafiek
van y = X*sin 2x.

»61. De opbrengst R van een zeker produkt is als functie van de gepro-
duceerde hoeveelheid gegeven door:

R = 600-^p.
Bereken de marginale opbrengst voor q = 125.

De marginale opbrengst is de verandering van de opbrengst (per gepro-
duceerde eenheid).

»62. De waterhoogte (in m boven N.A.P.) van een zeehaven wordt benaderd
met de formule:

W[t} = 1,5 sin \t
waarbij t de tijd in uren is.

Hoe groot is de snelheid (in meters per uur) waarmee het water
stijgt op het moment dat het niveau gelijk is aan 0 m N.A.P.?

» 63. i{x) = ¹⁰logX.

a. Bereken de x-coordinaat van het punt waarin de helling gelijk
is aan 0,1.

b. Toon aan: {>'[x] =�^-^-.

-ocr page 39-



				35

		»64. Herhaald dif ferentieren. Vooibzeld: &[x) = x^h *i'U)* = 4x³ $"(x) = 12X² �^m(x) = 24X i'^vU) = 24 rui = o r'(x) = o Maak ook zo'n rijtje voor: Y a. ^(x)=sinx b. t$(x)=lnx c. (J(x)»Xe . »65. $" wordt de two.zd.e- afgeleide van $ genoemd. j$^m de deAde afgeleide, enz. a. Welke functie is de 25 afgeleide van &{x) =sinx? b. En van j$(x) = In X ? y c. En van (J(x) = Xe ?

-ocr page 40-



			^

		36

-ocr page 41-



			37

	a
	a	DE TWEEDE AFGELEIDE de verandermg van de functie; de verandering van de eerste afge- e verandering van de tweede afge-

De eerste afgeleide is een maat voor de tweede afgeleide is een maat voor leide; de derde afgeleide is een maat voor < leide; enz. VoonbzeZd: Bij een (niet afgeremde) vrije val wordt de valweg S als functie van de tijd gegeven door S = 5t² . Differentiatie van deze functie geeft de snelheid als functie van de tijd: S' =1/, dus l/= 10. Nog een keer differentieren levert de snelheidsverandering, de vQJvbnzt-* LLviQ, op: S" = (/' =a, dus a= 10. De versnelling bij vrije val is con- stant: de snelheid neemt per seconde toe met 10 m/sec. In de natuurkunde zegt men: de versnelling is 10 m/sec².

-ocr page 42-



					38

		»66. Een automobilist rijdt met een snelheid van 72 km/uur (dat is dus 20 m/sec) op het moment dat hij een stoplicht op rood ziet sprin- gen. Hij drukt meteen het rempedaal in en komt vlak voor de witte streep tot stilstand. Vanaf het moment dat hij tot stilstand komt geldt voor de afgeleg- de weg S[�) = 20t- 2W . a. Bereken S'(-t) en S"{�) . b. Na hoeveel seconden stond de auto stil? c. Hoe lang was de remweg? d. Hoeveel m/sec² was de remvertraging? > 67. Een parachutespringer opent zijn valscherm op het moment (zeg: �=0) dat hij 800 m boven de grond is. De valweg (in meters) na � seconden wordt gegeven door: SU) =27,5 + 6� - 27,5 e~^]'^6t. a. Welke snelheid (in m/sec) had de parachutist op het moment dat zijn parachute openging? Hoeveel km/u is dat? b. Welke vertraging (in m/sec²) ondervond hij na 1 seconde? En na 3 seconden? c. Beredeneer dat de snelheid van de parachutist afneemt tot onge- veer 6 m/sec. »68. &(x) =e"*² a. Bereken (J'(x] en �"[x].* b. In welk punt van de grafiek van fi is de raaklijn horizontaal? Heeft de grafiek in dat punt een 'top' en 'dal', een 'dal' of geen van beiden? c. Schets de grafiek van j{.

-ocr page 43-

d. Ergens in een punt P links van de (/-as heeft de grafiek een ma-
ximale helling. Dit punt kan exact worden berekend met behulp van
f$"(x). Het gaat immers om een maximum van j$'(x)!

Laat zien dat P de X-coordinaat -1 heeft.

e. In welk punt is de helling minimaal?

OpmznkinQ :

De grafiek van (J heeft de vorm van de zgn. 'normale kromme' (klok-kromme)
die in de statistiek een vooraanstaande rol speelt.

De punten met maximale en minimale helling zijn de bcuigpuntzn van de gra-
fiek.

Een voorbeeld van zo'n buigpunt levert de grafiek van f$(x) =0,1x³ + 0,5x:


	y	*^^ 0,5*
	<V	*<X X.*

i' (x) =0,3X^Z + 0,5.

De minimale helling van de grafiek wordt bereikt in (0,0) en is gelijk

aan 0,5.

Omdat f$'(x.) zo eenvoudig is dat je het minimum direct kunt zien, hoef je

niet met f$" te werken.

Er geldt overigens: $"(x) =0,6x waaruit ook direct volgt dat het minimum

van ^'(x) bereikt wordt voor X = 0.

Een ander voorbeeld zie je in de grafiek van fiix) = sinX.

In (0,0) is de helling maximaal (n.l. 1), immers $'(x) =cos X .

-ocr page 44-



			40

		» 69. jj(x) = ln(x* + 1) a. Bereken f$'U) en ^" (x) . b. In welke punten van de grafiek van (J is de helling 1? c. Bereken het minimum van fiix). d. Bereken de punten op de grafiek van � waarin de helling maximaal (resp. minimaal) is. e. Teken de grafiek van �� » 70. In een krant stond te lezen: 'de werkloosheidsstijging neemt af'. a. Betekent dit dat het aantal werklozen minder wordt? b. Geef met een globaal geschetst grafiekje aan wat de journalist bedoelt. c. Veronderstel dat het aantal werklozen (=W) een functie van t is waarvan de eerste en tweede afgeleide resp. W en W" zijn. Wat weet je van W (positief, nul of negatief) op het tijdstip waarover de krant schrijft? d. En wat weet je van W" op dat tijdstip? »71. In de maand maart is het in een bepaalde streek van Zuid-Europa zeer constant weer. De dagelijkse gang van de luchttemperatuur wordt beschreven door de formule: 7 = 10 - 8 sin---yy--- waarbij u de tijd in uren is vanaf middernacht en T de temperatuur in °C. a. Teken een grafiek van het temperatuurverloop gedurende een etmaal. b. 's Morgens vroeg loopt de temperatuur snel op. Met hoeveel °C per uur stijgt de temperatuur om 08.00 uur ongeveer (Rond je antwoord af in 1 dec. nauwkeurig). c. Op welk uur van de dag stijgt de temperatuur het sterkst?

-ocr page 45-



				41

> 72. Een bioloog stelde het volgende wiskundige model op voor de groei van een pompoen: 3000

			1 ♦ 9e"¹'²*

		(t is de tijd in dagen, G is het gewicht in grammen) a. Laat zien dat geldt: 9e^_1'^2;CG' = 1,26«

	1 ₊ ₉e"¹>²* b. Hoe kun je aan die formule zien dat de pompoen op den duur vrij- wel niet meer groeit? c. Leidt uit a af: G' = 1,2G - 0,0004G². d. Laat zien dat geldt: G" = 0 voor G = 1500. e. Schets de grafiek van G als functie van t voor de periode tussen *t = 0* en t" 10. Geef de plaats van het buigpunt aan. Wat is de betekenis van dit punt voor de groei?

Voorbeeld:

fx

y = e
y - e .-
La = /x -

da a
da

da . 1
dx 2/x

a 1 1
^e 2/X 2/x