-ocr page 1-



			Freudenthal instituut Archief

		M AT RIC IE S

-ocr page 2-



		~r

			MATRICES

-ocr page 3-

Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht

Foto om&lag:

Moo-tea, en we� de noondkuAt. Op de achtoJiQftond Tahiti.
[ZU oak biz. 16)


	MATRICES
	Een produktie ten behoeve van de experiraenten in het kader van de Herverkaveling Eindexamenprogramma's Wiskunde 1 en 2 V.W.O.
	Samenstelling:	Jan de Lange Jzn Martin Kindt
	M.m.v.:	Heleen Verhage Guus Vonk
	Vormgeving:	Ellen Hanepen
	© 1983; 3e herziene versie
	Utrecht, april	1983.

-ocr page 4-

-ocr page 5-

GRAFEN EN MATRICES

HAU


	1.	Point Hau
	2.	Lalou
	3.	lalou Lagoon
	4.	Moau
	5.	St. Haula
	6.	Lonely Bay
	7.	Gunung Suray
	8.	Kota Hau
	9.	Lake Lae
	10	.Kaap Hau

5 KM

Hierboven een kaart van het - denkbeeldige - eilandje HAU, gelegen in
de Stille Oceaan en, zoals zoveel eilandjes daar, vulkanisch van oor-
sprong en gedeeltelijk met oerwoud bedekt. Je ziet slechts drie ver-
harde wegen, van de 'hoofdstad' St. Haula naar Moau en van St. Haula
naar Lalou; en van St. Haula naar Kota Hua; de lengtes zijn respectie-
velijk 4, 7 en 9 km.

Verder zijn er wegen van Lalou naar Moau en Pt. Hau, resp. 6 en 3 km.
In het kader van de ontwikkelingshulp kan er een schooltje worden ge-
bouwd. Besloten wordt deze school in een van de vijf aan de wegen lig-
gende plaatsen te zetten.

» 1. Welke zaken zullen een rol kunnen spelen bij het bepalen van de
'juiste' plaats van een school?

-ocr page 6-

' .

O /*\*KCUS

'^*o

A/ fir"!"*
>3 /

a u/xke

* t"Atl(/\fli_As

¹ a
i *

yoo km

<�>

CC*/nA

° \

MOE/M

©*,

^o</H/Vt>tf0

> � v

«o

\ e^uATOft

*�-

: NAURU

<» °CP

0?. V

�so \

* 0°

TuvAi.ua\)

, ^ - _

^VANUATU. -�

'M-^Qt/^S/IJ

>*~ �

tannaV

TiJ/%. f '

o cook
«<4a 'Si.
�«� BORfl-fcoftAo */�♦.

� ' jfrovGA

,. MooR^fo ^ <>,�«,.

� z'

/ics r/e /\ i. / A

AVSrKAt-
o

POLY^�S(A

/ yi^*!^ ?�AlAMD

LLA

PE STILLE OCEAAN: MET PAARIN PE IN PIT B0EKJE U00RK0MENVE ElLAWEH W.O. M0EN, NAURU, MALAITA EN TANNA.

-ocr page 7-



				3

	Een van de zaken die een rol zal (kunnen) spelen is het aantal kilometers dat een leerling zal moeten fietsen of lopen om de school te bereiken. Het maken van een afstandstabel lijkt daarbij gewenst. Dat gaat iets gemakke- lijker als je het wegennet op HAU schematiseert:

		of, als Kaap Hau meedoet:

			Kota Kaap

Zo'n voorstelling wordt een QticWLfa genoemd; d.w.z. een verzameling [knoop] puntzn, al of niet verbonden door takktn of wegen. » 2. Welke verschillen zijn er tussen dit plaatje en het kaartje? » 3. Maak een afstandstabel met daarin de afstanden tussen de vijf ver- bonden plaatsen van HAU. Kun je die tabel ook maken met Kaap erbij? Een van de voorwaarden voor het plaatsen van de school is: de. gnootste. a^itand voon een leeALLng moet zo ktoln mogeJLijk z-ijn. > 4. Als dit de enige voorwaarde zou zijn, waar komt de school dan?

-ocr page 8-

MALAITA


		MALAITA
	1.	Malu'u
	2.	Fouia
	3.	Lau Lagoon
	4.	Dala
	5.	Tluni
	6.	Kvai
	7.	Ato'lfi
	b.	Sinalanggu
	9.	Auki
	10.	Langa Langa Lagoon
	11.	Buma
	12.	Maka
	13.	Small Malaita

Ug. 4

MALAITA is het op een na grootste eiland van de Solomon Eilanden, ook in

de Stille Oceaan. De grootste 'stad' is Auki (9).

Andere belangrijke plaatsen zijn:

Malu'u (1); Fouia (2); Dala (4); Kwai (6) en Buma (11).

In totaal wonen er zo'n 60.000 mensen op het eiland.

> 5. Maak een graaf van het wegensysteem tussen deze vijf plaatsen.

*A>

AUK' ISLAND
MALA/TA

-ocr page 9-

» 6. Hoeveel knooppunten zijn er en hoeveel wegen? Hoeveel wegen kunnen
er aangelegd worden zodat ieder knooppunt een (LUtlcXd weg heeft
naar ieder ander knooppunt?

(Directe weg van A naar D: er liggen geen knooppunten tussen A en
D).

JMNA

TANNA


	1.	Green Hill
	2.	Launalang
	3.	Fetukvai
	4.	Middle Bush
	5.	White Grass
	6.	Imanalca
	7.	Lenakel
	8.	Isangel
	9.	Isoakal
	10.	Kwamera
	11.	Mount Tukosmera
	12.	Cooks Rock
	13.	Port Resolution
	14.	Yasur Volcano
	15.	Lake Sewe
	16.	Sulphur Bay
	17.	Whitesands
	18.	Waislsl
	19.	Loanealu Pass
	20.	Blacksands

-N-

Ua. 5

Zo'n 1000 km ten zuidoosten van MALAITA ligt het eiland TANNA, dat deel
uitmaakt van het sinds 1980 zelfstandige VANUATU. Dit eiland wordt gedo-
mineerd door de vulkaan YASUR (14). De belangrijkste knooppunten zijn
Green Hill (1), Fetukwai (3), Imanaka (6), Lenakel, de hoofdplaats (7),
het kruispunt bij Middle Bush (4) en de gehuchten Isoakai (9) en Kwame-
ra (10).

De taxi's op TANNA (LandRovers) zijn nogal prijzig; gemiddeld zo'n 75
Australische dollarcent per km; ander openbaar vervoer is er niet.
(A$ 1 = / 3,� , 1982).

» 7. Als je alle (knoop)punten wilt bezoeken met de taxi, waar (in welk
knooppunt) moet je je kamp dan opslaan om zo zuinig mogelijk met
je geld om te springen?
(Iedere dag 1 knooppunt, iedere dag terug naar het kamp).

-ocr page 10-



			6

		TAWWA, lacktA de vulkaan de, Vou,aK.

-ocr page 11-


Een	afstandstabel	is een b:	Ljzondere	vorm	van	een	MATRIX.	Een mouVux
is	een schema van	getallen	die gerar	igschikt		zijn	in /vLj<in	(horizon-
taa	1) en kolommm	(vertikaal).
De	a&meJUng of oA.de. van de		matrix is	het	aantal rijen maa			1 het aan-
tal	kolommen.

Bij HAU hadden we dus een 5x5 matrix en bij TANNA een 7x7 matrix; bei-
de in de vorm van een afstandstabel.

» 8. Hoe kun je gemakkelijk aan een TAXIKOSTEN-matrix voor TANNA komen?

Figuur 2 gaf de graaf van de wegen van het eiland HAU. Vanwege de toene-
mende drukte op het paradijselijke eiland (toeristen!) wordt besloten
tot eenrichtingsverkeer op de L, S, M driehoek en wel linksom (op de
kaart).

» 9. Stel de afstandsmatrix in dit geval op.

» 10. Welk opvallend verschil is er met een tweerichtingsverkeers-afstands-
matrix?

» 11. Waar komt de school in dit geval? (Alleen rekening houdend met de af-
standsvoorwaarde).

» 12. Hoe zou je in de graaf aangeven dat het nu eenrichtingsverkeer is?

Matrices worden vaak als volgt opgeschreven:


			VAN
	K	R	W 0	L
K	1°	3	4 5	1
R	³	0	4 1	4
W	r	4	0 6	8
0	l»	2	6 0	2
L	\t	4	8 2	0

0 3 4 5 7
3 0 4 2 4

of kortweg: A *

4 4 0 6 8

5 2 6 0 2
7 4 8 2 0

WAAR

K s Katwijk; N = Noordwijk; R = Rijnsburg; 0 = Oegstgeest; L = Leiden.

-ocr page 12-

De graaf behorend bij de bovenstaande matrix A is:

Ug.

» 13. Vul de afstanden in de graaf in.

» 14. Tijdens het bloemencorso is er tijdelijk eenrichtingsverkeer op de
NRK-driehoek, met de wijzers van de klok mee.
Geef de afstandsmatrix voor de hele regio in die situatie.

Behalve de afstandsmatrix kun je van een graaf ook een verbindingsmatrix
maken. Zo is de verbindingsmatrix van fig. 6 de volgende:


			l/AW
	K	R	N 0	L
K	*I 0*	7	7 0	0
R	1 7	0	1 7	0
N	7	1	*0 0*	0
0	I 0	1	*0 0*	1
L	*\ o*	0	0 7	0

NAAR

» 15. Geef weer wat met een 'verbindingsmatrix' bedoeld wordt.

» 16. Aan de hand van de graaf (fig. 6) kun je aardig goed zien welke
plaats de beste verbindingen heeft. Hoe vind je dat terug in de
verbindingsmatrix?
Wanneer is zo'n matrix handiger en/of duidelijker dan een graaf?

Op HAU is een eenvoudige busdienst, die - uiteraard - met jeeps wordt
gereden. Het routenet is nogal beperkt: Alleen op St. Haula - Moau v.v.
en St. Haula - Lalou v.v. wordt aanvankelijk gereden.

-ocr page 13-

» 17. Geef de verbindingsgraaf van deze busdienst en de verbindingsmatrix.
(Neem alle plaatsen van HAU op in de graaf en matrix).

» 18. Wat zijn de verschillen tussen deze verbindingsmatrix en graaf en
die van de vorige bladzijde?

De frequentie van de LandRovers op de lijnen op HAU wordt gegeven door
de volgende frequentiematrix (per dag):


		VAN
	5	M	L
s	/ °	4	1
M	4	0	0

WAAR

V =

of:

2 0 0 I

L \2 0 0 1

» 19. Wat betekenen de getallen van V?

Wat zou TO voorstellen? Schrijf de elementen van TO op.

Zaterdags is er markt in Lalou. Iedereen neemt alles wat hij kwijt wil
mee naar de markt en ruilt dat tegen wat nuttigers. Op zo'n markt vind
je fruit en groente, vlees en vis, maar ook koeien en landbouwwerktuigen.
Uiteraard worden er (LXfoui LandRovers ingezet. En wel volgens frequentie-
matrix:

0 0 6'
2 0 5
? 4 0 1

E =

» 20. Vergelijk E met V; verklaar het belangrijkste verschil.

» 21. Geef de matrix die het totatt aantal busdiensten aangeeft op zater-
dag: Z.

> 22. Welke matrix zou je aangeven met ?V+ E? Welke betekenis heeft deze
matrix?

»23. Hoe heb je de matrices uit de vorige opgave bij elkaar opgeteld?

-ocr page 14-



			10

		MOEN, -in de. Tnuk Lagoon.

-ocr page 15-

VERBINDINGEN EN WEGEN

TRUK
LAGOON

MOEN ISLAND


.--
1.	air terminal	12.
2.	Legislature	13.
3.	Police and Fire Depts.	14.
4.	Dive Shop
5.	bank	15.
6.	Post Office	16.
7.	farmers' market	17.
8.	commercial port	18.
9.	Municipal Office	19.
10.	Protestant Church	20.
11.	Moen High School	21.

South Field

Truk High School

District Administrator/Office

of Tourism/hospital/courthouBe

caves with Japanese guns

ancient fortifications

Catholic Church

Wichon Waterfall

Xavier High School

Japanese lighthouse

anti-aircraft guns

l*&. 7

-ocr page 16-

Het eiland MOEN is een onderdeel van de TRUK-archipel; een verzameling

eilandjes en koraalriffen in MICRONESIE. Zelfs het grootste eiland MOEN

is nog betrekkelijk klein.

Op het kaartje op biz. 11 zie je 6 knooppunten aangegeven: in het zuiden

South Field (12), verder bij het vliegveld (2), ziekenhuis en VVV (13,14),

Nantaku daar vlakbij, de wegsplitsing bij Puubay en de Xavier Highschool

(19).

»24. Teken een verbindingsgraaf en de bijbehorende verbindingsmatrix
(6x6). Welke plaats ligt het meest centraal? En welke het meest
gelsoleerd?

De eerste school op het eiland was de Truk Highschool (13).
Vind je dat die op een logische plaats is gebouwd?

» 25. Teken de graaf die behoort bij:


0	1	0	0
1	0	1	0
0	1	0	1
o	0	J	0

8 =

en bij

Welk opvallend verschil is er?

Bij de graaf van A spreken we van MINIMALE VERBINDING.
Bij de graaf van 8 spreken we van MAXIMALE VERBINDING.

»26. Teken de graaf die behoort bij:


0	J	J	0
1	0	J	1
1	1	0	1
0	1	1	0

C =

»27. Hoeveel verbindingen zijn er nog nodig om de graaf maximaal te
maken? Hoe zie je dat aan de matrix?

»28. Als je acht plaatsen mi.vuma.odL met elkaar wilt verbinden, hoeveel
wegen heb je dan nodig?

-ocr page 17-



				13

» 29. Als je acht plaatsen mtXXAjncuzt met elkaar wilt verbinden, hoeveel wegen heb je dan nodig? » 30. Terug naar HAU (zie fig. 1). Als er op het eiland een spoorlijn moet worden aangelegd die de plaatsen Lalou, St. Haula, Moau, Kota Hau en Kaap Hau met elkaar op de goedkoopste manier - d.w.z. zo min mogelijk km spoorlijn - met elkaar verbindt, welke suggestie zou jij dan willen doen? Geef van jouw oplossing zowel de graaf als de verbindingsmatrix. »31. Overwogen wordt om een spoorbrug te bouwen van Moau naar het oosten zodat er een rechtstreekse spoorlijn komt van Moau naar Kaap Hau. Geef de verbindingsmatrix van het complete spoorwegnet. Waar zou jij het centrale emplacement plaatsen? Aan de verbindingsmatrix zie je snel hoeveel wegen er zijn en tussen wel- ke plaatsen en welke er (nog) niet zijn. Ook zagen we hoe een minimale en een maximale verbindingsmatrix eruit zien. Daartussen zijn natuurlijk nog vele mogelijkheden. > 32. Geef van de volgende graaf de verbindingsmatrix.

			*&ig. 8*

	Hoeveel wegen zijn er en hoeveel kunnen er maximaal zijn? Beantwoord dezelfde vraag voor het eiland MALAITA (zie » 5 en » 6). Welk van de twee wegennetten geeft een grotere graad van verbonden- heid?

		, , , . , aantal bestaande verbmdmgen Graad van verbondenheid = ---=---=----�=----r�.�tj----- maximaal aantal verbmdmgen

-ocr page 18-



				14

	» 33. Geef de graad van verbondenheid van bovenstaande graaf en van de volgende:

			h-iQ. 9

>34. Ook van die van het complete spoorwegnet op HAU. s>35. Wanneer zal de graad van verbondenheid gelijk aan nul zijn? (N.B. We spreken in dit geval ni,QJi van minimale verbondenheid). > 36. Geef de graad van verbondenheid van zowel fig. 2 als fig. 3 op pag. 3. » 37. Het spoorwegnet van HAU van » 30 was een typisch voorbeeld van miwimatz \)ZKbond<Lnh(li.d: het aantal wegen is dan een kleiner dan het aantal punten. Toon aan dat als er m punten zo verbonden worden, de graad van ver- ... 2 bondenheid dan gelijk is aan � . & j _m

		\Jli.ZQtn i.n de Zuxcizee: klz<im maatAckapp-ijzn op klt-im vLitQvzLdjui,.

-ocr page 19-

In ontwikkelingslanden wordt vaak gekozen voor mLnimaJLe. veAbonde.nheA.d,
in hoog ontwikkelde landen vaak voor meer maximaJie. veAbonde.nh.H-id. En de
aanleg van een of meer wegen kan grote gevolgen hebben voor de belangrijk-
heid - als centrale plaats - van een of meer steden, zoals we al zagen.
Overigens is minimale verbondenheid op meerdere manieren mogelijk, zoals
blijkt uit het volgende voorbeeld:


			* � .a.
*o -
� "" * * "^^^^^^ -** ^1
V<- - Tt-AUJVXO
POa/ape V,^ r~			w
crKVK) >. ��* -v.		�., *	\
^,\tA/M&.U*		-O "	*
		-»o. *APlFt*	*
	/vAMt>r-~-~	*(S4MOA1*
	CTUI)	»
fit/sr/ZfU/xX /vocsigjr^:
N (N�M CALSDO/V/A)			�t0. 7 0

Hier zie je luchtlijnen van AIR NAURU, in de Stille Oceaan. Doordat de
maatschappij niet bij de overkoepelende luchtvaartmaatschappijorganisa-
tie IATA is aangesloten, mag zij uitsluitend van NAURU naar andere ste-
den vliegen en niet b.v. van NANDI naar APIA. Maar ze zijn wel erg goed-
koop, dus kan het best verantwoord zijn om b.v. van MAJURO via NAURU naar
APIA te vliegen (2-etappe-vlucht).

»38. Geef de verbindingsmatrix; laat zien dat de graad van verbonden-
heid minimaal is.

Welke plaats is 'maximaal verbonden'? Noem enkele positieve gevolgen
daarvan in dit geval.

»39. Teken een ander luchtlijnensysteem, waarbij alle plaatsen minimaal
verbonden zijn.

Welke nadelige gevolgen zou dit voor NAURU hebben? En welke voorde-
lige voor de luchtreizigers?

-ocr page 20-



						16

			MOOREA

In de Stille Zuidzee - waar anders - liggen in Frans-Polynesie de eilanden BORA-BORA en MOOREA. Van ieder eiland wordt gezegd dat het het mooiste eiland ter wereld is. Hiernaast een kaartje van MOOREA. > 40. Is dit wegensysteem een systeem met minimale verbondenheid? Ver- klaar je antwoord.

		»41. Hoe groot is de graad van verbondenheid?

				BORA BORA
	Hiernaast een kaartje van BORA-BORA. De weg tussen FAANUI en AEHAUTAI heeft eenrichtings- verkeer. » 42. Teken de graaf (denk aan eenrichtings- verkeer). » 43. Maak een verbindingsmatrix (denk aan eenrichtingsverkeer). »44. Welke plaats(en) ligt (liggen) het meest centraal?			BORA BORA

					- **14. n***

-ocr page 21-

Hiernaast staat een kaart afge-
drukt van een gedeelte van de
Sahara waarin de twee belang-
rijkste noord-zuidverbindingen
zijn aangegeven. De linker be-
gint in Bechar en gaat via de
Oase Reggane naar Gao. De andere
veel drukkere en voor een groot
deel geasfalteerde route gaat
van Laghouat via In Salah naar
Tamanrasset in het Ahaggar ge-
bergte.

»45. Geef een 6x6 verbindings-
matrix en bereken de graad
van verbondenheid.

»46. Tegenwoordig is er een
oost-westverbinding van
Reggane naar In Salah.
Teken de verbindingsgraaf
en de 6 x6 matrix daarbij
en bereken de graad van ver-
bondenheid.

» 47. Als er een weg komt van Be-
char naar Laghouat, heeft
dat dan positieve of nega-
tieve gevolgen voor In Salah
of kun je daar niets van
zeggen?

^ 4LC��

ra*;«wrtV ;

* }4!&

sr^e*

<c�r[i«eiX> ■''V"^ �■.��V'--' ''?v'

..V^s

AIM 6 K&E.

RiPA

«'^,N.,tt>^v

■*t //VS4^/9 ,_;^_:

�f<rfr>to

'" * yr>#r^

tam'a'nrassbt

CHECH

,<iii'"' ''

AM/,/

ff/«o

₀ /f//»/V)/r"K

tf/HA/0

(M- ¹³.

Bft<r : ZA/V&WOESTU/V

In Salah,

budAQsigd doot hat opAakkznde. zand.

-ocr page 22-

»48. Als je 53 plaatsen minimaal met elkaar verbindt, hoeveel wegen heb
je dan nodig?

>49. Zelfde als » 48, maar nu maximaal.

» 50. Welke van de volgende grafen zijn hetzelfde als:

�ig. 14

»51. Gegeven is de matrix:

A =

a. Wat kun je opmerken als A een verbindingsmatrix is?

b. Kan A een afstandsmatrix zijn? Verklaar je antwoord.

c. Kan A een frequentiematrix zijn? Verklaar je antwoord,

Tot nog toe hebben we steeds grafen bekeken waarbij tussen ieder tweetal
punten steeds een weg was, al of niet met tweerichtingsverkeer. Vaak zijn
er meer wegen. Zo heeft de volgende graaf:

b<i$. 7 5

-ocr page 23-

de volgende directe-wegen-matrix:

l/AN

NAAR 8

Soms zijn er ook nog wegen die terugkeren naar de plaats van vertrek:

ilq. 16

levert:

NAAR

» 52. Waarom is a^ =2? (a_2?2 : het element op de 2e rij en in de 2e kolom)
» 53. Bepaal de directe-wegen-matrix van:

�ig. 17

-ocr page 24-



				20

		Reclame voon. j&anA munt nteX aZtij'd uuX doon. hzt tn^ofimatizvz kcvuikteA.

-ocr page 25-

VOORRAADMATRICES

In de vorige hoofdstukjes zagen we matrices zoals ze o.a. voorkomen in
de geografie. Een ander gebied waar regelmatig naar matrices wordt ge-
grepen is in de economie. Zo worden voorraden van goederen vaak op een
overzichtelijke manier in matrix-vorm bijgehouden. Dat is ook gemakkelijk
om in de computer te stoppen.

Een simpel voorbeeld waarbij het gebruik van matrices en eventueel compu-
ter nogal overdreven lijkt, is het volgende:

JEANS

Spijkerbroeken heb je in vele maten en merken. Bij een voorraadtelling
heeft een zaak drieentwintig broeken van het merk Wrangler en wel in de


maten: 28" (28 inch waist) :	3
30"	■ 11
32" ;	6
34"	3
Voor andere merken geldt:
Levi !	5,	5,	3	en	4	resp
Club de France :	1i	7,	0	en	0
Bobos	: 6,	2,	2	en	2
Ball :	3,	o,	0	en	3

Al deze informatie kan m.b.v. een matrix overzichtelijk opgeschreven
worden.

-ocr page 26-



		22

	» 54. Maak de matrix af: W L Cf Bo M

» 55. Hoeveel broeken in jouw maat heeft de winkel? > 56. In welke maat is de meeste keus? De verkoper wil z'n voorraad op peil brengen, waarbij hij onder andere de volgende zaken in het achterhoofd heeft: - van de merken Wrangler en Levi Strauss verkoopt hij ongeveer tweemaal zoveel als van de andere drie merken; - de maten 30" en 32" 'gaan' tweemaal zo snel als 28" en 34"; - van een merk wil hij niet meer dan veertig exemplaren in huis hebben. » 57. Maak zelf een bestelling op grond van bovenstaande gegevens en schrijf deze in matrixvorm. »58. Noem enige verschillen met de matrices uit de eerste hoofdstukken. De spijkerbroeken-voorraad-matrix was een 4x5 matrix, d.w.z. vier rijen en vijf kolommen. Voorraadmatrices hebben vaak reusachtige afmetingen. De elementen van een matrix zijn vaak getallen, maar kunnen ook varia- belen zijn, of ook weer matrices. Wij zullen ons meestal beperken tot getallen. We hebben al een paar keer matrices OpQZt<lZd. Dat gebeurde door de over- eenkomstige elementen bij elkaar op te tellen.

-ocr page 27-

Dus vb:

a + p b + q c + n.

I d + i> e + t (J + u

g + v h + w x+x

dan is:

In het algemeen kun je matrices oltzzn optellen als zij dczzlfade. afme-
tingen hebben. Soms echter kun je best een ander soort 'optelling' recht-
vaardigen. Kijk maar eens naar het volgende voorbeeld.

Twee concurrerende sportzaken verkopen hardloopschoenen. De ene heeft de
volgende schoenen in voorraad:


	maai	; 38	40	42	44	46	48
kdi.dai, lhahixtkon	r		3	3	7	0	0
AdidaA TRX	h		1	0	1	0	1
Hi.k.0. Vaybtiexik		' 2	4	6	7	7	0
UaJih Tculuiind		0	0	2	1	0	2
N. Balance. 620			1	2	2	7	0
M. Balance 430		\ 0	4	3	1	0	0

De andere zaak heeft de volgende voorraad

moat 50


0	3	1	2	0	0	7
4	7	2	7	0	7	0
0	6	3	7	2	7	2
2	3	3	1	7	3	2
2	4	4	2	7	0	0

W. Balance 620
M. Balance, 430
Bh.oo\it> Vantage
Bnooki> Huggo.fi GT
Puma UaAathon

»59. De zaken fuseren. Wat wordt de nieuwe voorraadmatrix?

Dus in bepaalde gevallen is ook 'optelling' van ongzLLjIze. matrices wel
mogelijk.

-ocr page 28-

Verder zagen we ook al eerder dat je een matrix met een getal kunt ver-
menigvuldigen door alle elementen met dat getal te vermenigvuldigen.
Als een matrix A met -1 wordt vermenigvuldigd, ontstaan de te.ge.ngeAte.tde.
van A: -A.


2	1	⁵\
7	4	"'
1	6	si
1	2	3	4	5
0	0	0	0	0


-3	2	³\
0	6	'
-4	-2	*-ll*
1	1	0	0
5	4	3	2

» 60.

A =

C =

V =

Bepaal indien mogelijk 28; -3C; 2A - 8; -B + 4V.

Terug naar de spijkerbroekenwinkel. De voorraden zijn op peil gebracht
7.6 dat aan de 'aandachtspunten' van de eigenaar is gedacht, met als re-
sultaat dat er van de grootste merken, van de meest verkochte maten
twaalf exemplaren in de winkel aanwezig zijn.

» 61. Schrijf de voorraadmatrix op (als deze verschillend is van de al
eerder gevonden matrix).

» 62. In een week wordt er verkocht:

Geef de voorraden aan het eind van die week in matrixvorm.

»63. De (gemiddelde) winst per broek op de Wranglers is / 30, �; op

Levi's / 35,�; op Club de France / 40,�; op Bobos / 25,� en op

Ball / 40, � .

Hoeveel winst maakt de zaak die weken in totaal op de kleinste maat?

» 64. En op maat 30"? En totaal?

-ocr page 29-

VERMENIGVULDIGEN (1)

In het vorige hoofdstukje zagen we een zaak spijkerbroeken verkopen (in
een week):

I/ =

Winst op Wrangler / 30,�; Levi / 35,�; Club de France / 40,�; Bobos
/ 25, � ; Ball / 40, � .

De winst op de kleinste maat kun je als volgt vinden, waarbij we de winst
per merk voorstellen als een 5x 1 matrix:

= 1.30 + 3.35 + 0.40+7.25 + 2.40=240.

wins

t 2S" 11

» 65. Bepaal op dezelfde manier de winst 30"; winst 32" en winst 34".

» 66. De winst kun je in een 4* 1 matrixvorm gieten:

-ocr page 30-

We hebben dan:

Ofwel: we hebben een soort pKodukt van een 4x5 met een 5x 1 matrix.
Dit levert een 4x 1 matrix.

De manier van matrices 'vermenigvuldigen' lijkt nogal ingewikkeld, maar
heeft veel voordelen in toepassingen zoals we zullen zien. Je mag dus
viLoJi de overeenkomstige elementen met elkaar vermenigvuldigen zoals bij
optellen.

We kijken nog even terug naar het p^iodukt.

Eerst keken we naar de elementen van de eerste rij en vermenigvuldigen

die met de overeenkomstige elementen van de (eerste) kolom van de tweede

matrix.

1.30+ 3.3b + 0.40+ J.25 + 1.40

Dan de tweede rij 'maal' de kolom:

5.30 + S.35 + 6.40 + 7.25 + 2.40

Vervolgens de derde rij en de vierde.

» 67. Waarom is het 'logisch' dat zd een 4x5 en een 5x 1 matrix een
4 x 1 matrix oplevert?

-ocr page 31-



					27

		» 68. A - I² ³*\4 1*

	Bereken A«B. Vergelijk de afmetingen van A,B en A«8. »69. Doe hetzelfde met:

				F =

» 71. Wat heb je 'ontdekt' over het verband tussen de afmetingen van twee matrices en hun produkt? » 72. Wat voor afmetingen krijg je als je een 1x12 en een 12 x 1 matrix met elkaar vermenigvuldigt? Bij de volgende serie opgaven hebben we steeds vermenigvuldiging van 1 xn met nx 1 matrices. Het produkt uitrekenen is een fluitje van een cent. Waar het om gaat is wat het produkt nu eigenlijk voorstelt. » 73. De prijzen van 1 liter melk, 1 pak boter, 1 pond kaas en 1 liter karnemelk zijn resp. (in centen): P = (7 30, 250, 500, 120). Een student koopt (resp) : 1

			Bereken P�. Wat betekent PQ?

-ocr page 32-

» 74. In 1957 kregen de boeren in de VS de volgende prijzen voor resp.
tarwe, mais, haver en gerst: P57 = (793, 777, 61, 89) in dollar-
centen per bushel ( = schepel: ± 35 dm³).
Geproduceerd werd er in totaal:

956 \
3045
7290

443 I

(in miljoenen bushels).

Bereken Ps7*Q5 7. Wat betekent dit?

In 1964 waren de prijzen als volgt: P₆4 = (737, 7 75, 63, 95).

Bereken P&l,'Q57- Wat betekent dit?

In de economie is:

7-64,57 = _n⁶ n⁵⁷ '700 de zogenaamde LASPEYRES-INDEX.

r5 7*!i5 7

Wat geeft die index aan?

» 75. Leerlingen uit drie plaatsen moeten respectievelijk 10, 7 en 12 km
naar school rijden. Uit de eerste plaats komen 12 leerlingen, uit
de tweede 36 en uit de derde 6.

\ = I 36

Bereken A*8. Wat is de betekenis ervan?

De elementen van A«B heten IzoJitinQkAtomztHfUi.

Leerlingkilometers kunnen een belangrijke rol spelen bij het bepa-

len van de plaats van een nieuwe school. Enig idee hoe?

-ocr page 33-

» 76. De N.L.M.-CityHopper vliegt iedere werkdag een aantal malen vanuit
Amsterdam naar Eindhoven, Enschede, Groningen en Maastricht.
De afstanden zijn resp.: A = (720, 120, 140, 190) in kilometers.

De aantallen passagiers per
vlucht zijn gemiddeld:
122

8 =

vertrekdagen

vertrek aank.

vluchtnr. -type
klasse

AMSTERDAM-EINDHOVEN

0625 0650

1045 1115

1310 1340

1700 1730

2100 2130

2110 2140

HN461
HN463
HN465
HN467
HN469
HN471

FKf

FKF
FKF
FKF
FKF
FKF

1 2 3 4 5 - -

1 2345--
12345-

----------5--

12 3 4 5-

AMSTERDAM-ENSCHEDE

1---------------

12 3 4 5-

1 2 3 4 5 - -

12 34 5-

12 3 4 5-

0620 0650

0830 0940

1325 1400

1655 1730

2120 2T55

HN441 V FKF
HN443 Y FKF
HN445 Y FKF
HN447 Y FKF
HN439 Y FKF

Hiernaast zie je de 'time-
table' (1979-1980).
Vertrekdag 1 betekent maandag.
Bereken het totaal aantal
' pcu>&ag^eAkilormteAA ' op een
woensdag via een matrix-
produkt.

AMSTERDAM-GRONINGEN

1 2 3 4 5- -

12 3 4 5-

1 2 3 4 5 - -

12 3 4 5-7

0S30 0905

1325 1435

1655 1805

2130 2205

HN443

HN4.1I,
HN447
HN449

FKF
FKF
FKF
FKF

AMSTERDAM-MAASTRICHT

12 3 4 5-
12 3 4 5
1 2 3 45 - -
------- 7

12 3 4 5

1045
1310
1 7H0
1700
2110
2110

1145
1410
1800
U>2
2210
2150 I

HN463
HN465
HM467
HN467
HN471
HM471

FKF
FKF
FKF
!KF
FKF
FKF

Pe FKF tUt dz tunz-tablz divLdt do, FofefecA TttirndbkLp aan, vxuuwan je. en.
op deze ioto twee van de WI.M ZA.zt.

-ocr page 34-



		30

-ocr page 35-

VERMENIGVULDIGEN (2)

In het vorige hoofdstukje zagen we aan de hand van de spijkerbroekenzaak
hoe je een 4^X 5 matrix zinvol kon vermenigvuldigen met een 5x 1 matrix.
We vatten dat nog even samen:

₀ 'VALT WEG'
Ba <----------

\))lni>�

. CF


28"	n	3	0	1	2
30"	5	8	6	1	2
31"	i:	3	5	6	0
34"	i:	7	1	0	3

l'"\

28"

30"
32"
34" \.../



4x	5 5	x 1 4x1

Deze methode van vermenigvuldigen laat zich uitbreiden tot b.v. een 4^X 5
matrix met een 5x3 matrix als volgt:

WinAt Ink. VeAk.

III L CFBo Ba

'VALT WEG',,

28"
30"
32"
34" \



4x	EI ⁵	x 3 4x3

> 77. Bereken de gehele matrix met winst, inkoop en verkoop per maat.

» 78. Onder welke voorwaarde voor de afmetingen kun je matrices op deze
manier vermenigvuldigen?

-ocr page 36-

» 19. _A 1-2 1\ � _ 10 -1

I 3 -J' \3 2

Bepaal A«B en 8«A. Wat valt op?

»80. _CJ1 -2\ _VJ4 -1

\-2 41 \2 7

Bepaal C'V en V-C.

»81. ,₅ _, ₃

^E ⁼ 10 2 /

Bepaal E*F. Als de 'afmetingsregel' moe^; gelden, bestaat F*E dan?

» 82,

G - (1 ] 7

Bereken G'H.

Wat voor effect op H heeft de vermenigvuldiging met G ('linksver-

menigvuldiging')?

»83. De 'spijkerbroekenmatrix' 1/ was:

1/ =

Vermenigvuldig 1/ aan de linkerkant met de matrix W = [1 1 7 J
Wat geeft de produktmatrix precies aan?

-ocr page 37-


		*jrffK*
\	fr>		ft
6			ft


h
h		sssfflfl
\ >

A*IB

AxB





.■:'■' '■:■'	11	I
	_	J

Schematische weergave van matrix-vermenigvuldiging:
de 5 x 3 matrix A wordt vermenigvuldigd met

3x4 matrix 8. Dit resulteert in de

5x4 matrix A x 8.

De 4e rij van A "maal" de 3e kolom van 8 levert het

element van A x 8 op de plaats 4,3 (dubbelgearceerd)

ofwel p

<*»3

Voorwaarde voor vermenigvuldigingen is dat de
"breedte" (aantal kolommen) van A gelijk is aan de
"hoogte" van B (aantal rijen).

84. Vertel en verklaar wat er gebeurt als je een willekeurige 3x3
matrix links vermenigvuldigt met:


0	0	1
1	0	0
0	1	0
]	1	0
0	1	0


3	0	0
0	J	0
0	0	1
1	0	0
0	-3	0
0	0	1

1 0 0'

0 1 0

0 0 1

0 0 ]

0 1 0

1 0 0

c «

8 =

E =

F =

A =

0 0 1

Matrix E uit deze opgave wordt de <KLYlh<U.di>mOLt>vLx genoemd.

-ocr page 38-



			34

		» 85. Hoe ziet een 6x6 eenheidsmatrix eruit? »86. Met welke matrix moet je een 4x4 matrix (links) vermenigvuldigen z5 dat - ieder element van de 4e rij met 5 vermenigvuldigd wordt - de elementen van de 2e en 3e rij worden verwisseld. »87. Kijk nog eens naar: *11 i o* A = I 0 1 0 *\0 0 1* Wat was het effect op een 3x3 matrix? Wat gebeurt er als je 11 10 0\ G = \0 7 0 *\0 0 11* loslaat op een 3 x3 matrix? » 88. Met welke matrix zou je een 3x3 matrix M moeten vermenigvuldigen 7.6 dat de elementen van de 3e rij van M opgeteld worden bij de overeenkomstige van de 1e rij? »89. Wat gebeurt er als we niet links met A vermenigvuldigen naar KZoMXaI » 90. *11 0 0\* 1/ = 700 7 70 *\ 0 0 11* Wat verwacht je bij 'linker' vermenigvuldiging? En bij 'reenter' vermenigvuldiging? Voer beide bewerkingen uit.

-ocr page 39-

Hierboven zie je de graaf die het aantal vluchten per dag tussen drie
landen aangeeft. k₁ en x₂ zijn vliegvelden in land X;

y_l5 y₂ en y₃ zijn vliegvelden in land Y;

z-y en z₂ zijn vliegvelden in land Z.
De gegevens van de vluchten tussen X en Y kunnen weer in een eenvoudige
matrix worden weergegeven:

2 3 0
1 2 3

A =

» 91. Verklaar deze matrix en stel zelf de matrix B op voor vluchten van
Y naar Z, zo dat het een 3x2 matrix wordt.

» 92. Hoeveel verschillende combinatie-mogelijkheden zijn er in principe
om van X via Y naar Z te vliegen?
Schrijf dit ook in matrixvorm: een 2x2 matrix C.

Waarom zul je aan een groot gedeelte van die mogelijkheden waar-
schijnlijk niets hebben?

-ocr page 40-

Iemand wil zijn vakantie doorbrengen in de prachtige woestenij van het
zuidwesten van de Verenigde Staten: de staten Arizona, Utah en Nevada.
Er zijn nogal wat mogelijkheden om daar te komen. De goedkoopste en ge-
riefelijkste mogelijkheden beginnen in Amsterdam of London en gaan via
New York, Los Angeles of Dallas naar Las Vegas (Nevada) of Tucson (Ari-
zona) .

De vier noord-amerikaanse
woestijnen: Great Basin,
Mohave, Sonora en Chihuahua.
De laatste twee liggen voor
het grootste deel in Mexico.

ilQ. 19

De frequentiematrix (per week) van de eerste etappe ziet er als volgt

uit:

New Vonk Lot, Angzlzi, Valtm

kmbtzxdam 114 7 5 \

A =

London \21 14 71

Die van de tweede etappe:

Lou, \Jzqou,
New Sank /14

8 = Lo-6 AngnlzA ( 56
Valla* \ ?

-ocr page 41-



			37

		»93. Teken de graaf die beide matrices combineert zoals bij de vorige opgave en geef het totale aantal mogelijkheden aan, in matrixvorm (C) om van Amsterdam/London in Las Vegas/Tucson te komen. De tarieven zullen natuurlijk een belangrijke rol spelen, alsmede de vliegduur. Hieronder volgen de tarieven: (de goedkoopste retours) Amsterdam - New York 999,� Amsterdam - Los Angeles 1.499,� Amsterdam - Dallas 1.199,� London - New York 760,� London - Los Angeles 1.360,� London - Dallas 1.230,� New York - Las Vegas 380,� Los Angeles - Las Vegas 110,� Dallas - Tucson 240,� Dallas - Las Vegas 300,� (Prijzen zomer 1981) » 94. Maak een matrix A met daarin de tarieven (A zoals hiervoor) van de eerste etappe. > 95. Maak een matrix 8 met daarin de tarieven van de tweede etappe. » 96. Hoe kom je nu aan de goedkoopste tarievenmatrix C? Leu, \Jzgoa, Tuc&on � _ knhtojidam I .. \ London I .. �� I »97. Als jij de beslissing mocht nemen, welke route zou je dan nemen en waarom?

-ocr page 42-

» 98. Misschien spelen vliegtijden voor jou een belangrijke rol. Deze
zijn - ongeveer - :


Amsterdam	New York	7
Amsterdam	- Los Angeles	11
Amsterdam	- Dallas	8
London	New York	6,5
London	Los Angeles	10,5
London	- Dallas	7,5
New York	- Las Vegas	5
Los Angeles	- Las Vegas	1
Dallas	Tucson	2,5
Dallas	- Las Vegas	3

Maak een matrix met minimum vliegtijden van Amsterdam/London naar
Las Vegas/Tucson en vergelijk deze met die van de minimum tarieven.
Besluit tot een definitieve keuze.

Uit de laatste voorbeelden blijkt duidelijk dat bij verwerking van twee

matrices het resultaat niet altijd gevonden wordt door ze met elkaar te

vermenigvuldigen.

Voorzichtigheid blijft te alien tijde geboden. Uit de situatie blijkt

meestal duidelijk wat je moet doen.

-ocr page 43-

SAMENl/ATTING

Een matKix is een schema van getallen die gerangschikt zijn in fvijzn
(horizontaal) of koZommm (vertikaal) .

De a^mttMig of oh.dz van de matrix is het aantal rijen maal het aantal
kolommen.

Matrices kun je met een constante vermenigvuldigen, door ieder element
met dat getal te vermenigvuldigen. (Scalaire vermenigvuldiging).

Voorbeeld:

(In a₁₂ a₁₃\ /3du 3a₁₂ 3ai₃^

a21 a₂₂ a₂₃\ ^r I 3a_a 3a_u 3a₂₃a_n a₃₂ a ₃ J \3a_n 3a₃₂ 3a₃₃J

Matrices kun je optellen als het aantal rijen gelijk is en het aantal

kolommen ook gelijk is.

De matrices worden opgeteid door de overeenkomstige elementen op te tel-

len.

Voorbeeld:

_A � fflll 0-12 "13\ g _ /fall fal2 fal3J

la₂l ^a22 0-211 »fa21 fa22 b23/

dan is:

(a_u + fan a 12 + bu a_I3 + fai₃\

a₂l ⁺ fa₂l ^22 ⁺ fa22 "-23 ⁺ b_n J

A + B = 8 + A (optelling commutatief).

Matrices kun je ook vermenigvuldigen als het aantal kolommen van de eer-
ste matrix gelijk is aan het aantal rijen van de tweede.

-ocr page 44-

Als we nog even de vermenigvuldigingsregel 'netjes' opschrijven:

Een kxm-matrix A en een m x n-matrix 8 kunnen met elkaar vermenigvuldigd
worden. Het produkt is een k xn-matrix P.

De elementen van P krijg je als volgt:

het element in de i.-d<L tvij en j-dz kolom: p ■ ■

ontstaat uit de L-do, fvij van A en de j-de. kotom van 8 door 'overeen-

komstige' vermenigvuldiging en optelling.

■*------n ------>

i-dt kolom

^b3i

X �

-L-di-K-Lj

>-r

^bt_S

A^#8 / B*A (vermenigvuldiging is ylIqA. commutatief)

met:

Een vierkante matrix met op de diagonaal van a, � naara enen, en verder

^v ^b 11 nn

allemaal nullen, heet de dUnheXd^maJyvix: E.
Als A een vierkante nx n matrix is, dan geldt:

E-A = A

-ocr page 45-

VERBINDINGSMATRICES


					HAU
<J\ z c \sr	/ /	4^			i 1 . Point Hau \ 2. Lalou
					3. lalou Lagoon
*yvi					1" 4. Moau
3^:" ^	^N-«V^		6	r^yL⁸ (1	5. St. Haula 6. Lonely Bay 7. Gunung Suray 8. Kota Hau
o	i	2	3	4- S Ki*	9. Lake Lae lO.Kaap Hau
					9. Lake Lae lO.Kaap Hau

ilQ. 20

We begonnen in hoofdstuk 1 met dit kaartje van HAU; we bepaalden toen de
plaats van een school waarbij alleen rekening werd gehouden met het aan-
tal kilometers dat een leerling maximaal zou moeten reizen. Duidelijk zal
toen ook al geweest zijn dat het aantal leerlingen dat in ieder der plaat-
sen woont ook een grote rol zal spelen. Ofwel: het aantal LeeALLngkAJLome.-
ieA6 zal een grote rol spelen. (Zie hoofdstuk 4, opgave 75).
Het aantal inwoners van de betrokken plaatsen is:


	Lalou	1200
	Moau	1000
	St. Haula	700
	Kota Hau	250
	Point Hau	150

Van de drie grote plaatsen bezoekt 15% de school, van de kleinste twee 25%

-ocr page 46-



		42

..... j_____,__________■ i » 99. Bepaal m.b.v. de afstandsmatrix (hoofdstuk 1 opgave 3) en de 5x 1 'leerlingmatrix' het aantal leerlingkilometers voor iedere plaats en bepaal de ideale plaats voor de school. » 100. teken een staafgrafiek waaruit duidelijk blijkt waar de school moet komen als het aantal leerlingkilometers bepalend is en een als we alleen het aantal kilometers bekijken, zoals vroeger. We doen een stapje terug in de tijd toen de graaf van de verbindingen op HAU nog zo was: � MOAU

	**mt,~~......~~i . \|fr** ■ fc LALOU ST.HAULA KOTA HAU 0 » 101. Schrijf de verbindingsmatrix op van deze situatie. Noem deze C. (C: Conne.ctLv-Lty-maOu,x). Wat betekenen de elementen van deze matrix? Welke plaats is het meest geisoleerd? De verbindingsmatrix C laat je dus zien of je dOitct van de ene naar een andere plaats kunt komen. Om tot een beter inzicht te komen over de mate van verbondenheid van een graaf, wordt ook vaak gekeken naar welke plaat- sen uit een andere plaats bereikbaar zijn in twee 'stappen'. Of in drie. En eventueel nog meer. Zo kun je op dh.i.2. manieren een tweestapsreis maken van St. Haula naar St. Haula: van St. Haula naar Moau en terug, van St. Haula naar Lalou en terug; van St. Haula naar Kota Hau en terug. » 102. HoeVeel tweestapsreizen zijn er van Lalou naar Lalou?

-ocr page 47-

» 103. Bereken C'C = C².

Vergelijk C² met C. Wat valt op? Wat betekent deze matrix? (Kijk
nog eens naar de vorige opgave).

» 104. a. Bereken C'C² - C³. Wat betekent C³?

b. Bereken C'C³ = C^h . Wat betekent C^h1

c. Wat zou C° moeten zijn?

» 105. Bereken C° + C¹ + C².

Wat betekent C° + C¹ + C²?

Wat betekent het dat er geen nullen in deze sommatrix voorkomen?

» 106. Stel dat er geen weg loopt van St. Haula naar Kota Hau. Verklaar
- zonder C° + C¹ + C² te berekenen - dat er nullen in deze matrix
zullen voorkomen.


Wat	: we zojuist gedaan hebben kunnen		we algemeen uitdrukken:
De	oploi>i,i.nQi>maJyvLx T van een graaf		zonder geisoleerde	punten wordt
als	> volgt gevonden:
Maak de rij sommatrices:
	C° + c° + � � �	C¹ c¹ + c²
De	� � � eerste matrix in deze ri;	waarin	geen enkele nul meer voorkomt
heet de oplossingsmatrix T.
In	ons voorbeeld was T = C°	+ C¹ + C². De diameter van		de graaf is
nu	2, te weten, de hoogste exponent		van de voorkomende	cⁿ.

Teken de graaf van A en B.

Bepaal de oplossingsmatrix van A en 8 en de diameter.

-ocr page 48-

» 108. Hiernaast zie je een klein ge-
deelte van het 'Underground'-
net in Londen.

a. Geef de verbindingsmatrix C
van deze graaf. (Neem de sta-
tions in de aangegeven volg-
orde!) .

b. Bereken C° + C¹ + C².

BafecA StuzeX
ID

{2}C[0x(,ofid Cluaa

Piccadilly
14) Cincm

G-teen Vaik

c. Hoe kun je het getal dat in de 2e rij en de 3e kolom van C + C²staat in het kaartje aflezen?

d. Hoe kun je in het kaartje de diameter van deze graaf aflezen?

» 109.

V =

C =

Teken de graaf van C en V.

Bepaal de oplossingsmatrix van C en V en de diameter.

De optoi>i>-LnQi>maJJvix J kan - zeker in gecompliceerde gevallen - snel be-
palen of voorspellen welke plaats een centrale rol gaat spelen binnen
een bepaald systeem.


	I '' \ \vV If . ^	s
^^^ ."^.i. v

zZ��^x5

» 110.

<^g. Z2

Vijf plaatsen P, Q, R, S en T zijn verbonden door een tamelijk
snel stromend rivierensysteem. In de goede oude tijd was daar-
door over de rivier alleen eenrichtingsverkeer mogelijk.

-ocr page 49-



		45

Maak een 'gerichte' (d.w.z. met pijlen) graaf van dit systeem en een verbindingsmatrix V. » 111. Bepaal V¹, V³ en P° + V¹ + V² + V³. Waarom zijn vier-staps-routes niet mogelijk? Welke plaats ligt het meest centraal? » 112. Toen er stoomboten kwamen kreeg het hele systeem tweerichtings- verkeer. Noem de bijbehorende matrix F en beantwoord overeenkoms- tige vragen als bij » 110 en » 111. » 113. In deze opgave gaat het om een Qhxxjx^ en z'n vQAbi.ndi.nQi,mCL&u.x C. Iemand heeft C² berekend en dit resultaat gekregen:

	a. Wat betekent het dat a, , =3? b. Probeer aan de hand van C² de graaf (van C) te vinden. c. Probeer de matrix C te vinden.

-ocr page 50-



		■-

			46

-ocr page 51-



				47

		/
		/	VERBINDINGSMATRICES EN DE COMPUTER

	Het vinden van de oplossingsmatrix T = C + C² + C³ + ... is nogal omslach- tig als C een wat grotere matrix is, bijvoorbeeld 8><8. Voor bewerkelij- ke zaken kunnen we vaak computers inschakelen. Laten we zo'n probleem met wat meer omvang bekijken.

Acht dorpjes in bergachtig terrein zijn verbonden met wegen volgens de tekening hierboven. De weg van 1 naar 6 loopt over een bergpas. We willen weten wat de diameter van dit wegennet is en welke plaatsen in de onderlinge verbinding met de meeste tussenstations te kampen hebben. We noemen de ligging van deze plaatsen daxunoAftjOUlt. » 114. Teken de graaf van de situatie. » 115. Stel de verbindingsmatrix C op. Deze matrix gaan we doorgeven aan een computer. Deze zal dan voor ons T bepalen. We moeten nu aangeven wat de orde van de matrix is. Een getal is hiervoor voldoende, dus 8 voor een 8x8 matrix. Daarna komt de matrix, rij voor rij, de getallen gescheiden door komma's. Daarna moeten de elementen van de matrix worden aangereikt, rij voor rij, de bovenste rij eerst.

-ocr page 52-



		48

	> 116. Verwerk de matrix met de computer. De computer geeft nu van het bergdorpenprobleem de oplossingsmatrix T en ook wat tussenresultaten die in de berekening van T voorkomen. » 117. Wat is de diameter van ons wegennet? Welke plaatsen liggen diametraal? Men overweegt een tunnel aan te leggen door de bergen die dorp 3 en dorp 4 scheiden, zodat er een weg kan komen tussen deze dorpen. Deze weg zal niet in verbinding staan met de weg tussen dorp 1 en dorp 6, die immers over de bergpas leidt. > 118. Teken de graaf van deze nieuwe situatie, stel de verbindingsma- trix op, bepaal de oplossingsmatrix en de diameter van dit we- gennet met behulp van een computer. Vergelijk het resultaat met dat van » 117. Is de diameter vergeleken hierbij een kleiner getal geworden? > 119. Hoe bepaal je uit de opeenvolgende matrices T welke plaatsen het grootste aantal 'stappen' uit elkaar liggen (diametraal zijn)? » 120. Verwerk ook per computer de matrix voor minimale verbinding be- horende bij de volgende graaf. 12 3 4 5 6 7

> 121. Verklaar het feit dat de oneven machten van C een hoofddiagonaal hebben met nullen. De situatie van de tekening van biz.47 is een probleem geworden omdat tweerichtingsverkeer op de smalle bergwegen veelvuldig vastloopt. Men stelt voor de weg tussen 7 en 8 en de weg tussen 5 en 6 te verbreden en daarmee beter geschikt te maken voor tweerichtingsverkeer. De andere we- gen wil men gaan beperken tot eenrichtingsverkeer. Daarvoor zijn er nog- al wat verschillende oplossingen.

-ocr page 53-

» 122. Verdeel die oplossingen onder elkaar en verwerk de bijbehorende
matrices met de computer.

Oplossingen met de kleinste diameter worden gekozen.
Kwamen er ook gevallen voor met een oneindig grote diameter?
Geef in de verschillende gevallen zo mogelijk diametrale plaatsen
aan.

We bekijken nog eens een voorbeeld van het gebruik dat we eerder van de
computer gemaakt hebben:

ondz mattix

i-Zhitu AA.j matnlx

beschikbare gegevens

tuiztzde. rvij mcufiix

verwerking

_______V-

mWUx C\ C° + C¹maXrUx C², C° + C¹ + C²maVUx C\ C° <■ C¹ + C² + C³

verlangde gegevens

Het bovenste blokje bevat wat we aan de computer beschikbaar stelden.
We noemen dit de beJ>ckikb(Vie gzge.ve.ftA. De computer vormde deze gegevens
om tot wat we verlangden: de veKJLa.ft.gde ge.ge.veni. Maar de verlangde ge-
gevens moesten we nog goed bekijken om daaruit af te leiden wat we echt
weten wilden: de diameter en diametraal liggende plaatsen. Anders gezegd,
we moesten aan de gegevens nog een betekenis hechten om i.ft.^OhmOJtie te
krijgen.

Nu zit de informatie over de diameter en diametraal liggende plaatsen
ook al opgesloten in de beschikbare gegevens. Het omvormen of veJiWeA.ke.n
van de gegevens heeft plaatsgevonden om de informatie gemakkelijker be-
schikbaar te krijgen.

Deze verwerking van de gegevens kan 'met de hand¹ of, zoals we nu gedaan
hebben, met behulp van een automaat: auutomcutL&cke. ge.geve.n6veAu)eA.king.

Hierboven staat de kern van de automatische gegevensverwerking. We her-
halen het nog eens in het kort.

-ocr page 54-


Automatische gegevensverwerking is
verwerking van beschikbare gegevens met behulp	van	een	automaat,
in het bijzonder een computer.
Gegevensverwerking
vindt plaats om de informatie gemakkelijker uit	de	gegevens		te
kunnen afleiden.
Beschikbare gegevens
zijn de gegevens voor de gegevensverwerking.
Verlangde gegevens
zijn de gegevens verkregen door de gegevensverw	erking.

De wijze waarop de gegevens door computers verwerkt worden, moet vast-
gelegd of be4ciiA�v/�n zijn. Juist omdat computers zo flexibel zijn dat
ze voor vele soorten van verwerking gebruikt worden, kunnen we de ver-
werking niet aan het initiatief van de machine overlaten. Een beschrij-
ving van de verwerking voor een computer heet een pfiogtCLmma.
Het programma voor de verbindingsmatrix is vrij lang en we zullen het
daarom niet bekijken. Wei kunnen we vermelden dat er zeven hoofdonder-
delen in het programma zijn. Een ervan heet NUL ZOEKEN. Dit onderdeel
bepaalt of er nog nullen buiten de hoofddiagonaal van de matrix T zijn.
Het resultaat van dit zoeken wordt gemeld: (GEVONDEN) of (NIET GEVONDEN).

Er is ook nog iets te vermelden over de volgorde waarin de hoofdonderde-
len worden uitgevoerd, welke worden herhaald en welke niet. Men noteert
dit vaak met behulp van een 6&iuktuuA&chma.
Dat ziet er als volgt uit:

INLEZEN MATRIX
AFDRUKKEN MATRIX
NUL ZOEKEN
ZOLANG (GEVONDEN)

VOLGENDE MACHT BEREKENEN

BIJ T OPTELLEN

MATRICES AFDRUKKEN

NUL ZOEKEN

(NIET GEVONDEN) STOP

-ocr page 55-

We kijken nog eens terug naar TANNA:

TANNA


	1.	Green Hill
	2.	Launalang
	3.	Fetukwal
	4.	Middle Bush
	5.	White Grass
	6.	Imanaka
	7.	Lenakel
	8.	Isangel
	9.	Isoakai
	10.	Kwamera
	11.	Mount Tukosmera
	12.	Cooks Rock
	13.	Port Resolution
	14.	Yasur Volcano
	15.	Lake Sewe
	16.	Sulphur Bay
	17.	Whitesands
	18.	Walslsi
	19.	Loanealu Pass
	20.	Blacksands

Ug. U

Zo'n 1000 km ten zuidoosten van MALAITA ligt het eiland TANNA, dat deel
uitmaakt van het sinds 1980 zelfstandige VANUATU. Dit eiland wordt ge-
domineerd door de vulkaan YASUR (14). De belangrijkste knooppunten zijn
Green Hill (1), Fetukwai (3), Imanaka (6), Lenakel, de hoofdplaats (7),
het kruispunt bij Middle Bush (4) en de gehuchten Isoakai (9) en Kwame-
ra (10).

De taxi's op TANNA (LandRovers) zijn nogal prijzig; gemiddeld zo'n 75
Australische dollarcent per km; ander openbaar vervoer is er niet.

» Als je alle (knoop)punten wilt bezoeken met de taxi, waar (in welk
knooppunt) moet je je kamp dan opslaan om zo zuinig mogelijk met je
geld om te springen?
(Iedere dag 1 knooppunt, iedere dag terug naar het kamp).

We illustreren hiermee nog eens de eerder behandelde begrippen.

- Verlangd gegeven is de aanduiding van een knooppunt.

- Informatie is dat vanuit dit knooppunt alle punten bezocht kunnen wor-
den tegen de laagste kosten.

- Beschikbare gegevens zijn:

-ocr page 56-



			52

		1. ligging van TANNA t.o.v. MALAITA; 2. de eilandengroep waartoe TANNA behoort; 3. TANNA wordt gedomineerd door een vulkaan; 4. de namen van de 7 knoop- en eindpunten; 5. namen van 13 andere topografische eenheden; 6. kaartje met weergave verbindingswegen en onderlinge ligging van de topografische eenheden; 7. schaalaanduiding bij de kaart; 8. noordrichting op de kaart; 9. merk van de taxi's; 10. taxiprijs per kilometer. - Verwerking: het bepalen van het knooppunt waarvan de som van de afstan- den over de weg tot de andere knooppunten het kleinst is. - Beschrijving van de verwerking: 1. maak een graaf; 2. meet de afstanden op de kaart en vul die bij de graaf in; 3. maak een afstandsmatrix; 4. totaliseer de kolommen; 5. de kolom met de laagste som behoort bij het gezochte knooppunt; 6. geef de naam van dit knooppunt. » 123. Ga na welke gegevens niet voor deze verwerking gebruikt zijn. Deze gegevens zijn voor deze verwerking overtollig of Ke.du.nda.nt. In de gegevens die we wel gebruikt hebben kan ook redundantie voorkomen. Zo kan men uit gegeven nummer 6, het kaartje, rustig de kustlijn wegvlak- ken zonder dat dit op onze verwerking van invloed is. > 124. Noem meer redundantie in de kaart voor deze verwerking. Vaak bepaalt de verwerking wat redundant is en wat niet. Er is ook re- dundantie onafhankelijk hiervan. In onze taal kunnen we vaak met veel minder woorden toe dan we gebruiken. "Dit eiland wordt gedomineerd door de vulkaan Yasur". "Vulkaan Yasur domineert TANNA". De tweede zin gebruikt de helft van het aantal woorden, maar bevat de-

-ocr page 57-



			53

		zelfde informatie. Waarmee we niet willen zeggen dat deze krantenkoppen- stijl te prefereren zou zijn. In het dagelijks leven ontmoeten we veel redundantie. Dat brengt er nu juist de kleur aan. Men heeft berekend dat het papierverbruik tot een derde zou verminderen als de Nederlandse geschreven taal geen redundan- tie meer zou bevatten. Maar taal zonder redundantie is meestal niet fijn om te lezen. In de automatische gegevensverwerking tracht men redundantie te voorko- men in de gegevens die aan de verwerking beschikbaar worden gesteld. De voornaamste reden is dat het nog erg kostbaar is om verwerking te ontwik- kelen die redundantie van noodzakelijke gegevens kan onderscheiden. Een zekere kleurloosheid is daarbij wel een nadeel. » 125. Bekijk nog eens het probleem dat op biz. 36 begint. Wat is in de gegevens redundantie voor de beantwoording van » 97? » 126. Ook de gewenste gegevens bij automatische gegevensverwerking be- vatten vaak redundantie. Geef bij een van de resultaten van » 117, > 118 en » 119 aan welke gegevens echt nodig zijn om de informa- tie 'diameter' en 'diametrale plaatsen' af te leiden.

-ocr page 58-



		54

			,

-ocr page 59-

INCIDENTIE- EN KANSMATRICES

De verbindingsmatrices, met daarin alleen 7 en 0 als elementen, vormen
een bijzonder soort van de veel grotere groep INCIDENTIE-MATRICES. Een
andere soort incidentie-matrices komt voor in de sociale wetenschappen.

Uit een verhaal lichtten we het volgende fragment:

... ze werden verwelkomd door A.W.S., zijn zoon Johan en
dochter Geertje, Johan's vrouw Suus, hun zonen Michiel en
Rokus, dochter Elma en Geertjes zoon Berend ...

Om familie - en andere - relaties te ontwarren, kun je 'gerichte gra-
fen' gebruiken. Zo heeft de relatie "is zoon van" de volgende gerichte
graaf:

-A.W.S

ilq. 25

�E

Ook deze graaf kun je representeren door een matrix, met nullen en enen,
net als bij de verbindingsmatrix; dus, gedeeltelijk ingevuld:

-ocr page 60-

A G B J S E R

G is geen zoon van A
B is zoon van G.

» 127. Verklaar aan de hand van de graaf dat p^, ^ = 0 en p� � = 1 .
» 128. Maak de matrix "is zoon van" af.

» 129. Teken de gerichte graaf en de matrix Q van de relatie "is kind
van".

» 130. Bereken de matrix P*�) en leg uit wat deze betekent. Teken daarna
da graaf. fA

» 131. Hiernaast zie je een gerichte graaf
van de relatie "is ouder van".
Maak de incidentie-matrix (J van deze
graaf.

» 132. Bereken U² en vertel wat deze betekent. Teken de graaf.

» 133. Bovenstaande graaf breiden we uit:
C is ouder van E; noem de matrix R.
VoolApeJl hoe de matrix R³ eruit zal zien.

» 134. Bekijk de graaf van de vorige bladzijde (met A.W.S.) nog eens.
Teken hem eens, met alle pijlen de andere kant op. Geef de ma-
trix S. Welke relatie bestuderen we hier? Welk verband is er tus-
sen de matrices P en S?

» 135. Doe hetzelfde voor R.

-ocr page 61-

» 136. Hiernaast zie je een gerichte graaf van de
relatie "houdt van".

a. Stel de matrix 8 op die behoort bij deze
graaf.

� e

b. Welke persoon wordt het meest bemind? .. �-,

c. Laat zien (met matrixprodukten en de graaf) dat er precies
een driestapsweg is en geen vier- of meerstapswegen.

Een andere toepassing uit de sociale wetenschappen is die waarbij we te
maken hebben met kOLni.mcitnA.C2A.

In een ontwikkelingsland is er een wekelijks mededelingenprograinma voor

landbouwers. Op een bepaald moment wordt iedere week een technologische

innovatie uiteengezet in dat programma. Er is geen contact tussen de

boeren onderling.

De kans dat een boer luistert is zo'n 20%.

Op t = 0 weet geen enkele boer van de nieuwste ontwikkeling.

/ 7 \ �»» gedeelte niet-wete
\01 -*� gedeelte weters

Of op t = 0:

van de boeren.

Na een uitzending is dit dus;

\0,2/

» 137. Laat zien dat dit op te vatten is als het produkt van de kans-
matrix P met de matrix ( ^J , waarbij P de volgende matrix is:

VAN

yilqJ:-

WZtZAA WOJteAi

0,8 0

weXeAA \ 0,2 1

WAAR

» 138. Wat betekent py. = 0,8; p_2>i = 0,21
Waarom zijn Pi,i + P2,i = It

-ocr page 62-



			58

		» 139. Bereken door herhaalde vermenigvuldiging met P net percentage boeren dat kennis heeft genomen van de uitzending na vijf weken. » 140. Laat zien dat iedere volgende uitzending minder efficient is dan de vorige. » 141. Zodra 75% (ongeveer) van de boodschap heeft kennisgenomen, wor- den de uitzendingen (wegens de kosten) gestaakt. Na hoeveel uitzendingen is dat? » 142. Beantwoord dezelfde (laatste drie) vragen als 30% van de boeren luistert. » 143. Teken de aantallen boeren die bekend zijn met het radiobericht na iedere uitzending in een grafiek. Een plaatje waarin beide grafieken getekend worden, horizontaal de tijd in weken, vertikaal het gedeelte van de boeren dat bekend is met het radiobericht. Wat gebeurt er als t -■* °°?

-ocr page 63-

TEWSLOTTE:

Als een matrix wordt gevormd uit een andere matrix R door de RIJEN en
KOLOMMEN van die matrix R te verwisselen, ontstaat de gHAp<l&geZde. van
R. Deze wordt vaak opgeschreven als R'.

» 144. Bereken de gespiegelde van:


	1 2 3\
	0 1 2
	5 2 1/
	23 44 -82	12
	7 32 -17	0
	1 0 -123	5

c:)

II 1 2 3\
\5 5 7 4/

A =

c =


1	0	7
0	1	0
6	0	I

V =

» 145. Geef een voorbeeld van 3*3 incidentie-matrix die gelijk is aan
zijn gespiegelde met bijbehorende graaf.

'7 2 0'
3 -7 2i

» 146. 1-1 7

2 4
Laat zien dat: (AB)' = B'«A

-ocr page 64-



		60

-ocr page 65-

MIGRATIE- EN LESLIEMATRICES

Bij biologie en aardrijkskunde spelen zogenaamde MIGRATIEMATRICES nogal
eens een belangrijke rol. De elementen van zo'n matrix zijn verhoudings-
getallen: ieder element geeft aan welk gedeelte van de ene naar een an-
dere plaats verhuist, over een bepaalde tijdseenheid. Laten we eens kij-
ken naar het volgende voorbeeld:

l/AN

KATWIJK MOORVWUK

....� KATWIJK I 7/8 1/16 \ �... . .. _c .

NAAR 1 tijdseenheid: 5 jaar.

WORVmJK [ 1/8 J 5/76 /

» 147. Verklaar deze matrix; ook met een graaf.

» 148. De bevolking van Katwijk (40.000) en Noordwijk (16.000) is in ma-
trixnotatie:

(40000\

[uoool

Hoe ziet deze bevolking er over 5 jaar uit als je alleen rekening
houdt met migratie zoals voorgesteld door deze matrix?

» 149. Welke nadelen en simplificaties zitten er aan deze voorstelling
van zaken?

Een andere migratiematrix heeft de volgende vorm:

M = I over 10 jaar.

\//3 2/31

De betreffende populaties bestaan hier uit 54.000 en 108.000 individuen.

-ocr page 66-

» 150. Bereken de bevoIking over 10 jaar.
Ook na 20 jaar, 30 jaar, enz.

» 151. Maak een tekening met daarin de grafieken die het verloop van bei
de populaties aangeven. Welke conclusies kun je trekken?

s> 152. Doe hetzelfde als hiervoor als de migratiegraaf is:

O^O

2/3

» 153. Ook nog met de matrix

E-f⁷ °
\0 1

Migratiematrices kunnen natuurlijk ook op meer dan twee populaties wor-
den 'losgelaten'. En bovendien hoef je niet altijd van een plaats naar
de andere te verhuizen, maar b.v. van een bepaald leeftijdscategorie
naar een volgende; of van een bepaalde sociale klasse naar een naast-
hogere of - lagere.

We bekijken de volgende populatie:

98
11

De myLgK.aJU.ejna&Lix ziet er als volgt uit:

VAN

13/5 1/10 1/10'
M = NAAR 1/5 4/5 3/10
\l/5 1/10 3/5

» 154. Teken de graaf van deze matrix M.

» 155. Bereken de samenstelling van de populatie over 3, 6 en 9 jaar en
trek enige conclusies. Waarom is de som van de kolommen steeds 1?
En waarom die van de rijen niet?
Kun je deze matrix ook als kansenmatrix opvatten?

-ocr page 67-



			63

	» 156. Je zou de matrix ook in deze vorm hebben kunnen schrijven: NAAR M' = VAN In welke relatie tot M staat deze matrix? Hoe moet je nu vermenigvuldigen om een goed resultaat te krijgen?

		¹ dood

0,904 / Y>- o,033 ->V V⁰'⁹³⁵ 0^007* California Buiten California Hierboven een migratiegraaf van de migratie van California naar andere staten en omgekeerd. Alleen is deze iets reeler dan die van Katwijk en Noordwijk. » 157. Verklaar waarom deze graaf wel redelijk waarheidsgetrouw is of kan zijn. » 158. Bij twee pijlen staan nog geen getalletjes. Vul deze alsnog in. » 159. Maak de matrix. (NAAR: links; l/AN: boven) . Een bepaalde keversoort levert - na geruime tijd van studie - de volgen- de bijzonderheden: - (ongeveer) de helft van de geboren kevers overleven hun eerste levens- jaar en leven dus nog in hun tweede jaar; - een derde gedeelte daarvan maakt z'n tweede verjaardag mee; - geen enkele kever wordt 3 jaar oud. Maar ze zitten dat laatste jaar (of gedeelte daarvan) niet stil; ieder van de in leven zijnde kevers produceert (gemiddeld) zes nakomelingen.

-ocr page 68-

We starten met een ideale bevolking van 3000 kevers: 1000 die hun eerste
verjaardag nog moeten vieren; 1000 in de middelste leeftijdsgroep en
1000 in de oudste groep.
De bevolkingspyramide ziet er dus zo uit:

oud

middel
Jong

17% 17%

> 160. Bereken en teken de pyramides (in procenten) van de bevolkings-
opbouw na 1 jaar, 2 en 3 jaar. Kun je voorspellingen doen over
nog later?

» 161. Teken de grafieken van het bevolkingsverloop van ieder van de
drie groepen in een plaatje.

/ 0

» 162,

Ldat A =

1/2 0 0
0 1/3 0/

met graaf:

1000

Verklaar de graaf en bereken A � j 1000

'000

» 163. Verklaar waarom dit produkt de bevolkingsopbouw na een jaar op-
levert. Bereken op deze manier ook de volgende populaties en con-
troleer de resultaten.

�800
» 164. Onderzoek het bevolkingsverloop als de beginpopulatie | 900 ] is,

300

De matrix A is een zogenaamde POPULATIE-VOORSPELLINGS-MATRIX, of:
LESLIE-MATRIX, naar de Engelse zooloog Leslie, die voor het eerst de
matrices zo gebruikte (vlak na de Tweede Wereldoorlog).

-ocr page 69-

Zo'n matrix bevat de volgende elementen:

- op de. e.eXi>�e. fiij: vruchtbaarheid van ieder der betreffende personen;

- op de tweede fvij: 1e kolom: kans om van eerste groep naar tweede te

komen (overlevingskans, promotiekans); alle andere
elementen zijn nullen.

- op de. deh.de fvij : 2e kolom: kans om van de tweede naar de derde

groep te komen; alle andere elementen zijn nullen.

- op de \)i.eh.de Klj: op analoge wijze verder.

Dus, in het algemeen:

'n-1


	0	0
	0	0
	0	0

0 0 0

» 165. Waarom is de laatste rij niet:

0 0 0..

p ?

» 166. Verklaar de betekenis van de elementen in de volgende twee Les-
liematrices:

'0,01 0,47 1,82 1,37 0,23>

0,98 0 0 0 0

0 0,99 0 0 0

0 0 0,83 0 0

0 0 0 0,81 0

0 3 2

3/4 0 0 0

0 1/40 0

0 0 1/10 0

B =

Teken een graaf bij B en bij C.

» 167. Even terug naar ons torren-verhaal.

Door toegenomen insecticidengebruik neemt de vruchtbaarheid nogal
af: i.p.v 6 jonge torren worden er in het derde jaar maar 3 gebo-
ren. Onderzoek de consequenties daarvan over langere tijd.

-ocr page 70-



			66

		> 168. Maak zelf een Lesliematrix op grond van de volgende gegevens: De populatie is ingedeeld in leeftijdsklassen van 15 dagen. Geen enkel individu wordt ouder dan 90 dagen. Alleen tussen de 30e en 75e levensdag is er kans op voortplanting. Tussen de 45e en 60e dag zijn gemiddeld zo'n 10 jongen daarvan het resultaat. Daarvoor en daarna gemiddeld zo'n 4 jongen. Wat de overlevingskansen betreft van de ene leeftijdsklasse naar de volgende is het volgende ontdekt: De helft dan de dieren gaat de eerste 15 dagen dood. Daarna ziet het er wat florisanter uit: de kans om van de tweede naar de der- de en van de derde naar de vierde groep te 'promoveren' is onge- veer gelijk en wel zo'n 75%. Daarna wordt het een stuk slechter: de volgende percentages zijn 33% en 25%. » 169. We beschouwen een gemeenschap van 3000 individuen. Deze gemeen- schap delen we in drie leeftijdsklassen in, ieder een jaar breed. We noemen die drie groepen: jongeren, volwassenen en ouderen. Bij aanvang van onze studie zijn deze groepen even groot. De vruchtbaarheid en overlevingskansen: 10 jongeren brengen gemiddeld 1 jong voort; 2 volwassenen ook. En er zijn wel 100 ouderen nodig om datzelfde resultaat te bereiken. Jongeren hebben 50% kans volwassen te worden, volwassenen 25% kans om 'ouder' te worden. a. Geef de bevolkingsopbouw voor de komende 4 jaren. b. Teken de bijbehorende pyramides (in procenten). c. Teken de grafiek waarin het verloop van ieder der drie bevol- kingsgroepen te zien is. d. Teken de grafiek waarin het verloop van de totale bevolking te zien is. e. WeIke conclusies zijn er te trekken?

-ocr page 71-

» 170. Tenslotte een geval met authentieke cijfers:

Het betreft hier een gedeelte van de Amerikaanse vrouwelijke bevol-
king. Men heeft vrouwen genomen omdat die 'reproduceren' en dus
goed in een Lesliematrix passen. Bovendien kun je toch een redelij-
ke schatting geven van de totale bevoIking.
De gegevens zijn:

aantal vr. aantal dochters
leeftijd: in 1940 in periode 40-55

0-14 14.459* 4.651

15 - 29 15.264 10.403

30 - 44 11.346 1.374

aantal vr.
in 1955

16.428

14.258

14.837

- Bepaal de v. van de Lesliematrix L.

- Bepaal de p. van de Lesliematrix L.

- Laat zien dat L.B (B = bevoIking 1940) inderdaad de bevolking van
1955 oplevert.

- Bereken de bevolking van 1970 en 1985.

veertieneneenhalfmiljoen.

-ocr page 72-

<**!

-Jf",

�#&" #**t>.

vM&wSi&mftotoiiti),

,&ntt0&^~

- ^^jiff*

ladzViobbzn vzuzamzlzn z-ick om tz pa/izn op hzt pakijA. (\i� dz ^oto
woidt dwidzLLjk hot kwztibaaA dz di.zh.zn z-ljn ati QA op zz gzjaagd
woh.d�.

-ocr page 73-



			69

	1
	1	KLAPMUTSEN
		KLAPMUTSEN

DE JACHT OP DE KLAPMUTS loolog-Lschc. 0m6chAA.jvi.ng van dz ktapnuti: In de wateren rondom de Noordpool worden de slurfrobben vertegenwoor- digd door de zeer grote en zware klapmuts (Cystophora cristata). De man- net jes kunnen bijna 4 meter lang worden en een gewicht van 400 kg halen. De vrouwtjes zijn wat kleiner (3 meter, 270 kg). Zowel mannetjes als vrouwtjes hebben een soort 'blaas' of 'muts' op de kop, bij vrouwtjes echter minder sterk ontwikkeld. Jongen zijn vlak na de geboorte wit; daarna tot hun vierde of vijfde le- vensjaar blauwgrijs - robbenjagers spreken dan van blauwruggen (Blue- backs, Blauriicker, Blaumanner) . Ze komen voor in de drijfijszone van de noordelijke Atlantische Oceaan en Noordelijke IJszee; de dieren trekken vaak over grote afstand, incidenteel zelfs tot Florida en Portugal. Leven4uk./ze.: Alleen met het drijfijs komt de klapmuts in de nabijheid van het land. Hij houdt zich bij voorkeur op in diep water, waar hij jaagt op inktvis- sen, kabeljauwen en bodemvissen zoals de bot. Dat hij in gevangenschap zeer moeilijk te houden is zal wel voornamelijk liggen aan het feit dat geen bassin in een dierentuin diep genoeg voor hem is. Een van zijn werpplaatsen ligt ten noordoosten van Newfoundland, de andere ten noor- den van het eiland Jan Mayen. De klapmuts blijft in de voortplantingstijd zo dicht mogelijk bij de zee. Waarschijnlijk komt dit doordat de jongen hun wollige kleed al voor of kort na de geboorte verliezen, zodat ze al heel klein het water in kunnen vluchten. De jongen blijven ongeveer acht dagen op het ijs en leven twee

-ocr page 74-



		70

	of drie weken lang uitsluitend van moedermelk. In deze tijd treft men de klapmuts meestal in familieverband aan, dus niet in 'harems' of grote kudden, zoals dat bij vele andere robben het geval is. Nadat de jongen geboren zijn, worden de wijfjes opnieuw bevrucht. Dit gaat gepaard met veel gevechten en van verre hoorbaar gebrul van de man- net jes. In juni verzamelen de klapmutsen zich opnieuw, nu in de Denemar- kenstraat tussen IJsland en Groenland, om op het drijfijs hun jaarlijkse haarwisseling door te maken. Na afloop daarvan zijn ze sterk vermagerd en gaan weer aan het zwerven in het gebied van het drijfijs tussen de oost- kust van Amerika, Spitsbergen en het Bereneiland. Omtrent de door vele waarnemers vermelde trektochten van de klapmuts bestaat nog geen volle- dige duidelijkheid. De dieren trekken in het gezelschap van zadelrobben, maar beide soorten blijven strikt van elkaar gescheiden.

Op de klapmuts wordt helaas gejaagd. Dit is een traditionele jacht van kustbewoners van Noorwegen en Canada. De dieren worden gevangen op de werpplaatsen tijdens de zeer korte periode dat de klapmutsen op het drijfijs zijn om te werpen en te paren. De invloed van deze jacht op de populatie behorend bij de werpplaats bij Jan Mayen-eiland, ten noordoosten van IJsland, is in 1975 onderzocht door de Nederlanders E. Flipse en E.J.M. Veling. Zij wensten te bepalen of de klapmutsen uit het betrokken gebied met uitsterven worden bedreigd als de huidige jachtintensiviteit zou worden gehandhaafd. We volgen dit onderzoek nu op de voet met behulp van automatische verwerking van Les- liematrices.

-ocr page 75-



			26 M 25 M 24 10 I * cl BiHnnch 0 L [ Hi 6'Mnmeh 10 21 » 20 ' » 19

		1:40 000 000 » Boundaries of internaltonal --------- Southern limit ol -�--- Minimum limit ol pack ice ■g ; . . . y___________;■■__________'Ji?__________2"'" ' > dependency claims in the permatrasl ---------Extreme limil of drift ice Arctic Ocean ........ Medium limit ol iceberg drill* De eenvoudigste oplossing, het enkele jaren achtereen tellen van het totale aantal, in onuitvoerbaar. Ze zijn onvindbaar in diep water en fotograferen vanuit de lucht tijdens de korte werptijd is onmogelijk door de onbereikbaarheid van het gebied voor lichte vliegtuigen. De gegevens moeten worden ontleend aan onderzoekingen van gemerkte die- ren waarmee een sterftecijfer kan worden geschat, aan secties op gescho- ten wijfjes waaruit vruchtbaarheidscijfers kunnen worden afgeleid en tenslotte de leeftijdsverdeling bij gevangen dieren, te bepalen uit onderzoek van de gebitten. Wat dit laatste betreft, meldt een vangst van een schip in 1975 de verdeling zoals die op de volgende bladzijde is weergegeven.

-ocr page 76-

40 -

30 .

20 -

^g. ZS

10 -

_�i

1 1"�i

1 ,__

�i�r�r�r�,

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28

tzz{jtA.jd -in jcvim

Het aantal gevangen pasgeboren puppies wordt niet vermeld. Toch misschien
wat schaamtegevoel?

» 171. Verklaar het 'gat' aan de linkerkant van het histogram.

We willen onderzoeken

wat

gevo

lgen

zij

van

de jacht

voor het

aantal klapmutsen.

Daartoe zal de situatie

met

jacht

wore

verge

leken

met

situa-

tie zonder jacht.

Bij zo'n onderzoek zou geprobeerd kunnen worden antwoorden te vinden op
de volgende vragen:

- Hoe ontwikkelt zich de omvang van de totdlz populatie? Neemt deze toe
of af?

- Wordt de bevolkingsopbouw op den duur stabiel, of in andere woorden:
blijft na verloop van een aantal jaren de vorm van de bevolkingspyra-
mide (in procenten) hetzelfde?

- Hoe is het aandeel van de verschillende leeftijdsklassen in de loop der
jaren?

-ocr page 77-

De volgende feiten kunnen daarbij helpen:

Er zijn, uit vroegere onderzoekingen, overlevingskansen bekend. Deze
percentages houden nog geen rekening met de jacht, maar uitsluitend met
dood door ziekte en natuurlijke vijanden buiten de mens. Voor puppies is
dit 85% om de eenjarige leeftijd te halen, voor de overige is 89,4% de
kans om een jaar ouder te worden. Voor de klasse 11 jaar-en-ouder geldt
dat eveneens 89,4% in de klasse bLLjfit. De hogere sterfte bij de puppies
is voornamelijk te wijten aan darminfecties. Bovendien worden nogal wat
puppies onder de voet gelopen door de mannen wanneer deze om de vrouwen
vechten.

De reproductie in de verschillende leeftijdsklassen, dus de geboorten
uit ouders van de verschillende leeftijden, is hieronder weergegeven in
aantallen puppies per 1000 ouders.


kla&6e.	0	7	1	3	4	5	6	7	8	9	10	m
to	0	0	S3	240	149	352	369	418	411	411	430	438

» 172. Stel de Lesliematrix-zonder-jacht op. Verklaar waarom het getal
rechtsonder nu geen nul is.

We gaan uit van een aanvangspopulatie met in elke leeftijdsklasse even-

veel dieren.

Als je deze beginpopulatie en de Lesliematrix in de computer invoert,

rekent die de populatie na 1, 2, 3, ... jaar uit.

Dat kan op twee manieren:

1. In absolute aantallen; d.w.z. het aantal dieren per leeftijdsklasse
wordt voor alle klassen uitgerekend.

2. In percentages; d.w.z. het percentage dat een klasse van de totale
populatie uitmaakt wordt van jaar tot jaar uitgerekend.

Als je wilt onderzoeken of de populatie toe- of afneemt heb je de abso-
lute aantallen nodig.

Als je wilt onderzoeken of de populatie een stabiele opbouw krijgt, heb
je de percentages nodig.

-ocr page 78-



			74

		» 173. Onderzoek of - uitgaande van een aanvangspopulatie met in elke klasse evenveel dieren - of de totale bevolking toe- of afneemt en zo ja, met welk percentage per jaar (ongeveer). » 174. Onderzoek of - uitgaande van een aanvangspopulatie met in elke klasse evenveel dieren - of de bevolkingsopbouw in percentages na verloop van tijd stabiel wordt. Noteer deze stabiele opbouw en teken de bevolkingspyramide daar- bij. Verdeel daarbij de klasse 11-en-ouder naar eigen inzicht over de klassen 11 tot en met 28. » 175. Is het realistisch om uit te gaan van een bevolkingsopbouw met in elke leeftijdsklasse evenveel dieren? » 176. Maak een schatting van een meer realistische opbouw van de bevol- king, uitgaande van het histogram op pag. 72 en de resultaten van opgave » 1 74. > 177. Wat voor verschil zal er zijn als je i.p.v. met een aanvangspopu- latie zoals in de opgaven » 173 en » 174 start met een aanvangs- populatie zoals in opgave » 176? Voorspel met name hoe lang het zal duren voor de stabiele opbouw wordt bereikt. We hebben nu het totale aantal onderzocht als geen jacht gemaakt wordt op de klapmutsen en er voldoende voedsel en ruimte aanwezig is. Nu de gevolgen van de jacht. Geschat wordt dat van alle dieren van 3 jaar en ouder zoveel wordt af- geschoten, dat de overlevingskans daalt tot 81,1%. We houden dit percen- tage ook aan voor de hoogste klasse. Van de pasgeboren puppies wordt helaas aanzienlijk meer gevangen, naar schatting 28,6%. Dit betekent dat de reproductie van alle leeftijds- klassen met dit percentage verminderd moeten worden. (Aftrekking). » 178. Stel deze nieuwe matrix-met-jacht op en verwerk die in absolute aantallen en in procenten met een aanvangspopulatie zoals in op- gave > 176. Ook nu weer voor zoveel jaren achtereen dat de bevol- kingspyramide in procenten gelijk blijft.

-ocr page 79-



			75

		Noteer dit resultaat en maak hiervan een histogram. Verdeel de klasse 11-en-ouder naar eigen inzicht over de klassen 11 tot en met 28. 2" 179. Bij opgave » 178 heb je de nieuwe matrix gevonden door de repro- ductie van alle leeftijdsklassen met 28,6% te verminderen. Is er ook een andere methode om tot de 'matrix-met-jacht' te komen? » 180. Hoe ziet het er met de overlevingskansen van de klapmuts op lange termijn uit als de jacht ongewijzigd doorgaat? Het is in de praktijk uitgesloten dat er helemaal niet gejaagd wordt op klapmutsen, want de lokale bevolking ziet z'n boterham ook graag belegd. Vandaar dat enige tussenoplossingen zijn bestudeerd: A - geen jacht op puppies, WoJL op ouderen (vanaf 3 jaar). B - de jacht op puppies wordt ge.haZve.eAd, op ouderen ongewi.jzi.gd jagen. C - de jacht op puppies wordt Qe.hdtv2.QAd, op ouderen wordt YlLeX. gejaagd. Van deze situatie worden Lesliematrices gemaakt, in de computer ingevoerd en bekeken wat de gevolgen zijn na ti.e.n jaar. Op de biz. 74 zie je de ge- volgen. Linksboven op dat blad zie je de huidige situatie benaderd (bevolking op T = 0) als histogram. Rechts zie je de toestand na 10 jaar in de vijf verschillende gevallen. Bekijk die vijf gevallen goed. > 181. Probeer aan de hand van de twee gegeven matrices de matrix op te stellen voor geval A en geval B. » 182. Alle vijf grafieken op T = 10 lijken veel op elkaar, al neemt de grootte van de totale populatie van boven naar beneden toe. Toch is er een opvallend verschil tussen de grafieken A en C. Wat is dat verschil en tracht dit verschil te verklaren.

-ocr page 80-

�� \\

�� 01

»�� 6

�� Q

XH3Vr H30N0Z �� I

�� g

��*�� g

�� |r

�� �

��«� 2

�� !

�� 3

��* \\

�� (j

saiddfid ivxnw nva »*»**»»» 9

��«�� /

I313H dO XHDVf N331TV

��* y

3 »»»�� g

�� ^

��*�� �

��*�� J

��»�� J

��*�� 0

�� \\

�� 01

saiddfid

do 13in sna 'aaano N3

Nsoiavr-e do xmvr Nasnv

�� Q

�� g

«��» ^

«**�� 9

��«�� g

��*�� p

�� �

�� 2

«*�� [

��*�� 0

�� \\

** 0t

�� 5

�� g

� ��  ^

�� O

�� g

�� y

« * * * * * * » * * * * � �

*«*»�� 2

�� f

»�� 0

saiddnd Nsovr ai

IVXNW X3H NVA DNIH3A1VH

N33 aaawsiv 'asano
Na raoiHvr-c do XHovr

�� .J I

�� 01

�� fl

�� g

�� I

�� g

�� fc>

�� �

��*��*�� 2

*«»� �♦»��♦* ]

��*�� 0

*»�� ^|

♦* 01

�� §

� �♦� g

� � � � ^

��  9

�� g

�� \,

«�� �

�»»»*�»*�*� J

**»��»♦��*� ^

��«�� Q

XHovr xaw

oi = 1 ONiTioAaa

0=1 DNi^noAag

INHOUDSOPGAVE

1. GRAFEN EN MATRICES pag. 1

2. VERBINDINGEN EN WEGEN 11

3. VOORRAADMATRICES 21

4. VERMENIGVULDIGEN (1) 25

5. VERMENIGVULDIGEN (2) 31

6. VERBINDINGSMATRICES 41

7. VERBINDINGSMATRICES EN DE COMPUTER 47

8. INCIDENTIE- EN KANSMATRICES 55

9. MIGRATIE- EN LESLIEMATRICES 61
10. KLAPMUTSEN 69