|
Freudenthal instituut
Archief |
||||||
|
FUNCTIISS VAN
2 VARIABIELIEN |
||||||
|
RJNCTIIE5 VAN
2 VARIAI3IELIEN |
||||
|
ft
|
|||||||
|
Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht
|
|||||||
|
FUNCTIES VAN TWEE VARIABELEN
|
|||||||
|
Een produktie ten behoeve van de
experimenten in net kader van de Herverkaveling Eindexamenprogramma's Wiskunde I en II V.W.O. Samenstelling: Jan de Lange Jzn
Martin Kindt Vormgeving: Ellen Hanepen
© 1983; 2e herziene versie;
gebaseerd op de I.O.W.O.-uitgave: Funkties van twee variabelen 1978. Utrecht, februari 1983.
|
|||||||
|
INHOUDSOPGAVE
1. ISOLIJNEN pag. 1
2. GRAND CANYON 7
3. EEN RUIMTELIJK MODEL 15
4. HOOGTELIJNEN 19
5. COORDINATEN IN DE RUIMTE 25
6. FUNCTIES VAN TWEE VARIABELEN 29
7. ISOBAREN EN ZADELPUNTEN 35
8. NIVEAULIJNEN 43
9. NOG MEER ISOLIJNEN 49
|
||||
|
1
|
|||||||
|
1
ISOLIJNEN
|
|||||||
|
lAotheAmcn zijn lijnen die punten met gelijke temperatuur met elkaar
verbinden.
Op bovenstaand kaartje - te vinden in bijna iedere atlas - zie je iso-
thermen getekend die de gemiddelde jaartemperatuur (1960) weergeven.
» 1. Verklaar het grillige verloop van de 9° isotherm.
» 2. Op dit moment is de inpoldering van het IJsselmeer al weer verder
gevorderd. Hoe verwacht je dat de 9° isotherm nu zal lopen? |
|||||||
|
2
|
|||||||
|
» 3. Waar is het - gemiddeld - het koudst in Nederland?
En waar het warmst? In je atlas vind je nog meer AJ>o-XJ-jnQ.n b.v.:
li>obaA<Ln, die punten van gelijke luchtdruk verbinden;
[li>o)kooQ£<lLlin<Ln, die punten met gelijke hoogte verbinden en lijnen die punten verbinden met gelijke - neerslag
- aantal dagen sneeuw per jaar
- aantal zomerse dagen per jaar
- gemiddelde windsnelheid
- aantal dagen vorst.
Ook in de krant vind je vaak weerkaartjes waarop soms een of meer van
bovengenoemde lijnen voorkomen. In plaats van AJ>o-LLjnon wordt ook wel de term -Li>okLjpi,nn gebruikt, zo-
als in dit voorbeeld: |
|||||||
|
Schema der gelaats-isohypsen.
Uit: CAAnF'S TF.KF.M EN SCHTLflERFOEK , 1961.
|
|||||||
|
3
|
||||||||||||
|
Enkele andere voorbeelden volgen nu:
|
||||||||||||
|
250
|
||||||||||||
|
PENNSYLVANIA; U.S.A.
|
||||||||||||
|
0___30
Kilometers
|
||||||||||||
|
O C104S «
|
||||||||||||
|
l6oqu.awte,n zijn lijnen die punten met een gelijke hoeveelheid (kwanti-
teit) verbinden, in dit geval: hoeveelheid sneeuw per jaar. Op bovenstaand kaartje zie je tevens de wintersportcentra, ingedeeld in
klassen van belangrijkheid, getekend. » 4. Is er enig verband tussen de gebieden waar meer dan 150 cm sneeuw
valt en de ligging van de centra? |
||||||||||||
|
4
|
|||||
|
l>&okoAte.nLLjn2n verbinden punten met gelijke kosten, in dit geval de
kosten van levensonderhoud per familie per jaar in Guatemala (in US $). » 5. Zoek de hoofdstad Guatemala City op. Het 'dure' gebied is gear-
ceerd. Wanneer is iets duur, dus wat is de ondergrens van het dure ge-
bied? » 6. Arceer zelf het 'goedkope' gebied. Neem als bovengrens 600 US $.
Teken zelf de isokostenlijn behorend bij US $ 730, afgaande op de gegevens op de kaart. Is die lijn erg nauwkeurig bepaald? » 7. Als je weet dat alle andere lijnen op dit kaartje gebaseerd zijn
op de getalletjes bij de stippen, wat kun je dan in het algemeen over de nauwkeurigheid opmerken? |
|||||
|
5
|
|||||
|
li>opfiQ,^eA.znti.QJLijnH.n zouden ook AJ>ovoonk<UJJiLljn<Ln genoemd kunnen worden.
Op dit kaartje van Ghana staat aangegeven hoe de voorkeur ligt van de ambtenaren voor een betrekking. Er staan geen getallen bij, maar je ziet wel Ivigk (sterke voorkeur) en tow staan. » 8. Arceer het gebied met de grootste voorkeur en arceer eveneens het
gebied met de kleinste voorkeur. a. Probeer een verklaring te geven voor het feit dat de lijnen zo
lopen. b. Denk je dat de lijnen erg nauwkeurig zijn?
c. Van wat voor soort functies lijken de lijnen grafieken?
» 9. Op het linker kaartje tref je nog een ander soort iso-lijnen aan,
namelijk ■iAO-afata.ndA-LLjn&n. Op welke afstand van Amsterdam ligt Ghana ongeveer? |
|||||
|
7
|
|||||||
|
2
GRAND CANYON
|
|||||||
|
De rivier en de Canyon hebben ook veel avonturiers aangetrokken: vooral
vroeger was het levensgevaarlijk om de rivier af te zakken. Pas in 1869 is dat voor het eerst gelukt door majoor Powell. Veel mensen zijn voor en na die tijd verdronken bij hun poging de Coloradorivier te overwinnen. Tegenwoordig is het een stuk veiliger omdat er enkele stuwdammen gebouwd zijn voor en na de Canyon, waardoor de stroomversnellingen wat rustiger zijn geworden. Alhoewel.... |
|||||||
|
8
|
|||||||
|
De Canyon kent maar
weinig rechte stuk- ken. De omslagfoto toont
zo'n recht stuk en wel het stuk van de Nankoweap s t roomver- snelling tot de Kwa- guntstroomversnel- ling (achteraan op de foto). In totaal zie je ongeveer vijf kilometer van de ri- vier. |
|||||||
|
Om aan te geven hoe hoog de Canyon hier is zijn op de foto lijnen gete-
kend die punten op gelijke hoogte met elkaar verbinden. Zo zie je dat de bovenrand hier op de foto ongeveer 4000 voet (1 voet « 30,5 cm) bo- ven zeeniveau ligt. Ook de hoogtelijnen op niveau 2750-, 3000- en 3250 voet zijn aangegeven. Verder zie je een punt aan de oever aangegeven met de letter P. |
|||||||
|
9
|
|||||||
|
Speciaal voor mensen die per bootje de rivier willen afzakken zijn er
gedetailleerde kaarten van de rivier gemaakt. Hieronder zie je zo'n stukje kaart. En wel dat stuk dat betrekking heeft op de foto. Op de kaart is ook aangegeven vanaf welk punt de foto is genomen. (F in hokje A1). Schaal: 1 : 40.000
|
|||||||
|
» 10. Op de foto op pag. 8 is een punt P aangegeven. Waar ligt dit punt
op bovenstaande kaart? » 11. Hoe groot is de afstand van de Nankoweapstroomversnelling tot de
Kwaguntstroomversnelling volgens het kaartje? » 12. Schat de breedte van de rivier met behulp van het kaartje (in meters).
» 13. Schat de breedte van de rivier met behulp van de foto. Verklaar even-
tueel verschil met het antwoord op » 12. |
|||||||
|
10
|
||||||||
|
» 14. Schat de hoogte bo\)Zn de. KL\)i.QJi waarop de foto is genomen.
We bekijken een kleiner stukje van de Canyon. En wel het deel binnen
het vak van blokje B2. We vergroten dat tot het dezelfde afmetingen heeft als ons oorspronke-
lijke kaartje. |
||||||||
|
Je ziet de hoogtelijnen nu wat duidelijker.
Vergelijk de hoogtelijnen op dit kaartje met die op de foto.
|
||||||||
|
» 15. Wat is de bchaal van dit laatste kaartje?
» 16. Wat is de hoogte van het hoogste punt dat op dit kaartje staat?
(In meters) . > 17. Welke conclusie is er te trekken uit het feit dat de hoogtelij-
nen van 3500 voet en 4000 voet zo dicht bij elkaar lopen? |
||||||||
|
11
|
|||||||
|
Onderstaand kaartje toont enige gelijkenis met het vorige kaartje van
de Canyon. Vergelijk beide kaartjes en beantwoord de volgende vragen. |
|||||||
|
» 18. Wat is er met de hoogtelijnen uit het 'echte' kaartje gebeurd in
het nieuwe kaartje? » 19. Zet in het nieuwe kaartje bij alle hoogtelijnen de hoogte (in voet).
Hou rekening met de regelmatigheid van het kaartje. »20. Kijk nog eens naar »17.Hoe zit dat in het "vereenvoudigde" kaartje?
»21. Geef een schatting van de diepte van de Coloradorivier aan de hand
van dit vereenvoudigde kaartje. » 22. Wat zijn de voor- en nadelen van zo'n vereenvoudigd kaartje?
» 23. Als de randen van het kaartje meedoen, wat is dan het hoogste punt
van het kaartje? |
|||||||
|
12
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
> 24. Wat is de hoogte van het punt met coordinaten (4,2)?
Schrijf dit op als n(4,2) =..... »25. Bepaal fl(2,4); n(1,6); h(6,1); h(5,5).
Wat kun je zeggen van n(a,b) en n(b,a)? Hoe kun je dat aan de hand van het kaartje duidelijk maken? |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
»26. Wat is de hoogte behorend bij (3,3)?
Welke andere punten hebben ook die hoogte? Welk verband (of formu-
le) geldt voor al dergelijke punten? »27. Teken in een OXY-stelsel alle punten die als functiewaarden 2750
hebben. Dit zijn dus de OhJjgtnztzn van 2750. Kun je voor deze originelen een formule vinden? »28. (1,6) is een punt van de lijn (J = X + 5 (zie kaartje ).
a. Alle punten die op die lijn liggen hebben dezelfde functiewaar-
de h. Welke functiewaarde is dat? b. Welke andere punten hebben diezelfde functiewaarde?
»29. Welke punten zijn het origineel van 4250? Het domztn van de functie is bij ons kaartje:
de verzameling (x,t/) met 0 ^ X ^ 7 en0St/^7.
Dit wordt ook wel geschreven als:
[0,7] x [0,7].
»30. Wat is het beAzlk van de (hoogte) functie h?
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
13
|
|||||||
|
»31. En wat is het bereik als het domein [2,5] x [2,5] is?
» 32 . Maak op het kaartje een tocht langs de lijn X = 3.
Geef een beschrijving van die tocht. |
|||||||
|
SAMENl/ATTING ----------------------------------------------------
Vo faunctlo h:
h
(a,b) -*■ hoogto [a,b)
voo.gt aan todeA punt van de kaatt do. hoogto, van dot punt too. [bovon
Ofa'. do. hoogto. aj> een fiunctio van do. plaatA.
Voonboold: (4,2) + 3000 0& h{4,2) = 3000.
Ondox hot domoJji voAAtaan we otto punton waaAvoon. een lunctA.eimaA.do
godo^tntooAd aj>. In hot goval van hot kaoAtjo aj> dot: V = [0,7] x [0,7] OndoA hot vottodlg oHA.gA.nooL van (de lu.nctimaaH.do) 3000 voAMtaan we
ALLE punton dto 3000 ati> fiunctiewaaAde hobbon.
In hot goval van hot kaantjo ztjn dot otto punton van do LLjnon:
\x - y\ - 1
|
|||||||
|
14
|
|||||||||||||
|
»33. Maak de volgende tabel af die behoort bij het vereenvoudigde kaar-
tje van de Canyon: |
|||||||||||||
|
|x - y\ = 0
|x - y\ - 1
|x - t/| = 2
|x - y\ - 3
|x - t/l = 4
|
|||||||||||||
|
-> z = 2500
-> z =
-»■ z =
|
|||||||||||||
|
z =
z = |
|||||||||||||
|
»34. Stel dat het domein 1 x E is en dat het verband uit »33 zich voort-
zet. Vul aan: | X - y | = 73 -*■ z=---
Zie je kans een functievoorschrift te vinden voor functie hi
|
|||||||||||||
|
Een doiy lipzclaal iooxX notuboot) in tin van dz teU.m TOO itrioomveA&neZLLngzn
|
|||||||||||||
|
15
|
||||||
|
3
EEN RUIMTELIJK MODEL
De foto op de omslag van dit boekje is een platte tweedimensionale weer-
gave van een driedimensionaal iets: de Canyon. ledereen ziet ook "diepte" in zo'n foto: je weet wat dichtbij is en wat
ver af. De foto is op te vatten als een ruimtelijke weergave van het kaartje op
biz. 9. In dit hoofdstukje zullen we proberen zelf een ruimtelijke tekening te
maken van het ve-teenvoudcgde kaartje op biz. 11.
En aangezien de twee kaartjes wel wat van elkaar weg hebben, zullen ook
de te maken ruimtelijke tekening en de foto enigszins vergelijkbaar moe-
ten zijn.
Dat tekenen is geen eenvoudige zaak.
Hieronder nogmaals het kaartje ("plattegrond"):
Ty-as
7 6
5
4 3 2 1
|
||||||
|
0 12 3 4 5 6 7
|
||||||
|
16
|
||||||||||
|
recht boven de Canyon. Om een ruimtelijke te-
een eindje weg van ons gebied, zodat we er |
||||||||||
|
We vliegen nu als het ware
kening te maken vliegen we 'schuin' tegenaan kijken. De plattegrond is dan b.v. |
||||||||||
|
zo voor te stellen:
|
||||||||||
|
(7,7)
|
||||||||||
|
(0,0)
Het kaartje is niet volledig. Slechts twee hoogtelijnen zijn getekend:
&&n van 2750 vt en ee*n van 3000 vt. »35. Teken alle andere hoogtelijnen ook in het kaartje (in je schrift) .
Vanaf dit grondvlak gaan we nu omhoog werken en de Canyon 'reconstrueren'.
Bekend is dat de bodem van de rivier op 2500 vt ligt. Dat is de lijn van
(0,0) naar (7,7). Die ligt al op de goede hoogte. Alle andere punten lig-
gen hoger. B.v. het punt dat op de kaart (0,1) is.
Daarvoor geldt /i(0,1) = 2750.
Vergeleken met de rivierbodem moet dat punt dus 250 vt omhoog. We nemen
als schaal: 250 vt = 2cm.
|
||||||||||
|
17
|
||||||||||||||
|
Dit kan dan als volgt worden getekend:
|
||||||||||||||
|
(0,7)
|
||||||||||||||
|
(0,0)
|
||||||||||||||
|
In principe zou je alle punten zo 'op kunnen tillen'.
Handig is dat niet. Je weet dat alle punten tussen (0,1) en (6,7) als functiewaarde 2750 hebben. Dus tillen we die hele hoogtelijn naar de goede hoogte: |
||||||||||||||
|
(0,7)
|
||||||||||||||
|
250 vt
(o.i;
|
||||||||||||||
|
»36. Doe hetzelfde voor alle punten tussen (0,2) en (5,7).
|
||||||||||||||
|
18
|
||||||||
|
»37. Daarna voor alle punten tussen (0,3) en (4,7)
en (0,4) en (3,7).
»38. Teken nu de linkerzijwand van het Canyon-model.
»39. Teken ook de rechterzijwand en daarna de rivier,
|
||||||||
|
SAMEWI/ATTIWG
|
||||||||
|
Een methode. om een twAjnteJU.jke. tek.zni.ng tz makzn aan de hand van een
hoogteJU.j'nznkaa>itjZ U>: - Ezut Mfidt hzt kaantjz dAlzdLimznitonaal gztzkznd [jz kljkt Achutn
tzgzn hat kaaAtjz aan). - VaaAna fvicht j'e In 'tzdeA' punt een hoogtzLijntjZ op met de ju-iAtz
Izngtz. kti> hzt even kan tit jz een hoogtztijn In ztjn ge.he.el op. |
||||||||
|
19
|
||||||||
|
4
HOOGTELIJNEN
|
||||||||
|
Hieronder zie je een kaart en een tekening van een eiland:
|
||||||||
|
In de aardrijkskunde, maar ook in de wiskunde, wordt vaak met doorsne-
den gewerkt. Zo kunnen we een doorsnede van het eiland nemen in N.Z.- richting door de top (loodrecht op het grondvlak). We krijgen dan: v
T
_ 400 m
|
||||||||
|
HooKPI \Z.UID
|
||||||||
|
20
|
||||||||||||
|
Of wat lastiger, de doorsnede (loodrecht op het grondvlak) die door P
en Q gaat. |
||||||||||||
|
3oo m
|
||||||||||||
|
oar
|
||||||||||||
|
» 40. Teken zelf de doorsnede (loodrecht op het grondvlak) door de top
T in W.O.-richting. » 41. Ook die door A en B.
Een paradijselijk eilandje in de Stille Oceaan, 403mhoog, in vogel-
vlucht vanuit het zuidoosten. |
||||||||||||
|
Van dat eilandje kunnen we een model tekenen:
|
||||||||||||
|
400
|
||||||||||||
|
730 m.
|
||||||||||||
|
21
|
|||||||||
|
Je ziet de kompasrichtingen, enkele hoogtelijnen en de afmetingen van
het eiland op zeeniveau. »42. Maak een kaart ('plattegrond') van het eiland met daarin ook de
hoogtelijnen: |
|||||||||
|
w
|
|||||||||
|
»43. Hoe kun je aan het kaartje zien dat het eiland aan de westkant erg
steil is? » 44. Maak een wandeling beginnend aan het meest westelijk gelegen punt
via de top naar het meest oostelijk gelegen punt. Beschrijf en te- ken die wandeling door een W-O.-doorsnede te tekenen. |
|||||||||
|
Een Heer van stand koopt het ge-
arceerde stuk grond op het eiland hiernaast. Hij bouwt zijn huis op het hoogste punt van zijn stukje. » 45. Waar?
|
|||||||||
|
22
|
|||||||
|
Hij wil een rechte weg naar beneden laten aanleggen die zo V-tdk moge-
lijk loopt. » 46. Teken hoe die weg zal lopen.
De zojuist getekende weg loopt nogal steil.
»47. Hoe steil gemiddeld (in %)?
» 43. Teken een betere weg.
Een heer van stand mag dan rijk zijn, dat houdt niet automatisch in dat
hij handig is. Bij een bezoek aan de top verliest bij het - wankel- evenwicht en rolt de berg af. » 49. Waar ongeveer zal hij te water raken?
Als hij reeds bij punt S gevallen zou zijn, waar zou hij dan in
het water terecht gekomen zijn? Een ander eiland lijkt op de kaart erg veel op ons eiland:
|
|||||||
|
»50. Wat is het verschil?
» 51. Teken een W.O.-doorsnede.
|
|||||||
|
23
|
||||||||||||
|
Hieronder zie je een hoogtelijnenkaart getekend van een wiskundige
'berg'. |
||||||||||||
|
Y-as
|
||||||||||||
|
»52. Hoe wordt deze figuur genoemd?
Bij ieder punt behoort weer een functiewaarde. Zo is h(0,0) = 4.
En h(2,0) = 2. » 53 . Welke punten hebben 2 als functiewaarde, of, wat is het origineel
van 2 in vergelijkingvorm? »54. Wat is het origineel van 3?
|
||||||||||||
|
»55. Maak de tabel af:
x2 + y2 = 0
x2 + y2 - 1 |
||||||||||||
|
z = 4
z = 3 |
||||||||||||
|
»56. Hoe luidt het functievoorschrift voor deze functie?
|
||||||||||||
|
24
|
|||||
|
»57. Hierboven zie je het kaartje driedimensionaal getekend. Teken de
ruimtelijke figuur op dezelfde manier als bij de Canyon. |
|||||
|
25
|
||||||||||
|
s
|
||||||||||
|
COORDINATEN IN DE RUIMTE
Bij de eilanden uit het vorige hoofdstuk werd in feite gewerkt met drie
coordinaatassen: de N.Z.-as, de O.W.-as en de h-as. Ieder punt in zo'n driedimensionaal assenstelsel wordt bepaald door drie
coordinaten.
Zo vind je het punt (3,4,5) als volgt:
|
||||||||||
|
(3,4,0)
|
||||||||||
|
X
|
||||||||||
|
* 3 eenheden in de richting van de eerste (of X-as) te wandelen; daarna
* 4 eenheden in de richting van de tweede (of Y-as) te wandelen; daarna
* 5 eenheden in de richting van de derde (of Z-as).
|
||||||||||
|
26
|
|||||||
|
> 58. Schrijf de coordinaten op van de overige hoekpunten van het gete-
kende blok.
> 59. Neem het blok over in je schrift.
Arceer het oovenvlak van het blok. Waarom geldt voor i-ldoA punt
van dat bovenvlak dat z = 5? » 60. Voor welk vlak (van het blok) geldt Z - 0?
»61. Teken in het blok alle punten waarvoor geldt z = 2£.
» 62. Verklaar waarom het rechterzijvlak van het blok wordt bepaald
door y = 4. > 63. Wat is de vergelijking die behoort bij het LLnkeA zijvlak?
» 64. Welke vergelijking behoort bij het voorvlak? »65. En welke bij het achtervlak?
|
|||||||
|
Deze kubus is getekend in een driedimensionaal assenstelsel. De ribben
van de kubus zijn 6 lang. |
|||||||
|
27
|
||||||||
|
> 66. Geef de coordinaten van de hoekpunten van de kubus.
»67. Teken het punt K(6,0,3) in de kubus. Trek HK door tot deze de X-as
snijdt. Noem dat snijpunt L. Wat zijn de coordinaten van L? » 68. Trek de lijn door G (in het vlak y = 6) die evenwijdig is aan de
lijn HL. Teken het snijpunt met het grondvlak (z =0). Noem dat punt R. Wat zijn de coordinaten van R? Waar en waarom snijdt GR de ribbe
BF? Noem dat punt P. » 69. Arceer het vlak HKPG in de kubus.
Y;_________________
c-----------------------|P
|
||||||||
|
I
|
||||||||
|
H K X*
Hier zie je een 'kaartje' van het vlak HKPG uit de vorige kubus, met
daarin de hoogtelijn bij hoogte 6. » 70. Teken de hoogtelijnen op het niveau 3, 4 en 5 in dit 'kaartje'.
De 'hoogtefunctie' die behoort bij dit kaartje is vrij eenvoudig te vin-
den.
Alle punten waarvoor de X-coordinaat nul is, hebben hoogte 6.
» 71. Vul de tabel aan:
x = 0 -*■ z = 6
x = 1 -*■ z = ..
x = 2 -*■
en geef de vergelijking van het vlak.
|
||||||||
|
28
|
|||
|
29
|
||||||||||
|
6
|
||||||||||
|
FUNCTIES VAN TWEE VARIABELEN
Hieronder zie je een hoogtekaartje van een gebied A.
A = [0,4] x [0,4]
De hoogtefunctie noemen we $. |
||||||||||
|
(4,4)
|
||||||||||
|
»72. Teken in een driedimensionaal assenstelsel (zoals hieronder) de
ruimtelijke figuur die bij dit kaartje hoort (dus de "ruimtelijke
grafiek"). |
||||||||||
|
c
|
||||||||||
|
30
|
|||||||
|
» 73. Als een bal wordt neergelegd in het punt met coordinaten (0,0,4)
zal deze langs het schuine vlak naar beneden rollen. Geef in het hoogtekaartje aan waar de bal van het vlak af zal rollen. Geef ook in de ruimtelijke grafiek deze baan aan. »74. Teken in de ruimtelijke tekening ook de hoogtelijn behorend bij
niveau 0. Van de functie ft hebben we nu een hoogtelijnenkaartje en een ruimtelij-
ke grafiek. Kunnen we daarmee nu het functievoorschrift van & vinden?
Dat kan op dezelfde manier als in hoofdstuk 3 en 4 met een tabel: Uit het kaartje is af te lezen:
het origineel van z = 4 is y = -{x of y + ix = 0.
Dus: y + Jx = 0 -»■ z = 4
Analoog: y + {x = 2 -*■ z=3
»75. Maak de tabel af:
y + {x = 0 -*■ z=4
y + ix = 2 ■> z = 3
£/ + £X = 4 -»■ Z = ..
|
|||||||
|
» 76. Controleer tenslotte dat geldt:
y + ix = c -> z = 4 - ic
Als je in de betrekking z = 4 - Jc de c vervangt door y + \x vind je z als functie van X en y. Doe dat. Zoals steeds bij de functies in dit boekje, hebben we te maken met een
functie die aan een punt (x,y) een functiewaarde z toevoegt. Die functie- waarde hangt af van zowel X als £/. We spreken dan van een famnctiz van tiMZQ. V0LHJM.bQl.2Ji. |
|||||||
|
31
|
|||||||
|
Hiernaast de grafiek van een functie
van twee variabelen: h. De grafiek is een deel van een plat vlak. Voor de hoekpunten geldt: h(3,4) = 0
h(3,0) = 4
fi(0,4) = 3
fi(0,0) = 7
»77. Teken het hoogtelijnenkaartje.
»78. Vind het functievoorschrift van h.
» 79. Wat is het domein van hi f^
En het bereik?
Hieronder een hoogtekaartje met daarin de hoogtelijnen op niveau 1, 2
en 3. (En die op niveau 0). y |
|||||||
|
»80. Teken zelf de hoogtelijnen bij niveau 4 en 5, waarbij je uit mag
gaan van een regelmatig opgebouwd figuur. »81. Hoe heet deze figuur?
»82. Maak de ruimtelijke tekening.
»83. De hoogte Z van ieder punt (x,(/) is gelijk aan de afstand van dat
punt (x,f/) tot (0,0). Kun je het functievoorschrift van z daaruit afleiden? |
|||||||
|
32
|
|||||||||||||
|
We hebben nu een aantal malen het functievoorschrift afgeleid uit de
grafiek. Hoe gaat het omgekeerd? Dus: hoe kun je een ruimtelijke gra- fiek tekenen als je het functievoorschrift kent? Vaak is het handig om Q,QM>t een hoogtelijnenkaartje te tekenen. |
|||||||||||||
|
Een v00n.b2.ttd:
Teken de ruimtelijke grafiek van z
A = [0,4] x [0,4]. Teken eerst het gebied A:
|
|||||||||||||
|
= 4 - ix - i{/ op het gebied
Y
(A,4)
|
|||||||||||||
|
Dan enkele niveau- of hoogtelijnen naar keuze
Kies b.v. eerst de hoogtelijn op hoogte 2: dan geldt: 2 = 4 - |x - it/ of: Lj = -Jx + 4. |
|||||||||||||
|
Deze rechte lijn teken je dan in het gebied A.
Vervolgens teken je nog enkele andere hoogtelijnen. Daarna op de beken-
de manier de ruimtelijke tekening.
» 84. Het gebied D is de driehoek met de hoekpunten (0,0), (3,0) en
(0,3); inclusief de randen. Op dat gebied is de functie gegeven: h(x,y) = 3 - x - y. a. Teken een niveaulijnenkaartje.
b. Teken de ruimtelijke grafiek van h.
c. Wat is het bereik van h op D?
|
|||||||||||||
|
33
|
||||||||
|
»85. Het gebied F wordt gegeven door: F = [0,6] x [0,6].
Op dat gebied is de functie gegeven: h(x,y) - 4 - ix - y.
Beantwoord dezelfde vragen als bij de vorige opgave. »86. a. Teken in een assenstelsel (driedimensionaal) de piramide met
hoekpunten A(4,0,0); B(0,0,0); C(0,4,0); D(4,4,0); E(2,2,4). b. Teken een doorsnede van deze piramide die gaat door de punten
A, C en E. c. Teken een hoogtelijnenkaartje van de piramide.
d. Kleur in de ruimtelijke figuur alle punten binnen de piramide
die op hoogte 1 liggen. Y-as
|
||||||||
|
X-as
|
||||||||
|
»87. a. Teken in een driedimensionaal assenstelsel een figuur die past
bij het bovenstaande niveaulijnenkaartje. b. Enig idee van welke functie dit de grafiek zou kunnen zijn?
|
||||||||
|
34
|
|||
|
35
|
||||||||
|
/
ISOBAREN EN ZADELPUNTEN
|
||||||||
|
135* 130* Hi* 1?0° 113° 110° 105° 100° 93° 90° 85° »0° 75° 70°________65°_________60°
|
||||||||
|
Op bovenstaande weerkaart komen ook een soort 'hoogtelijnen' voor, name-
lijk AJsObaSMLn, d.w.z. lijnen die punten van gelijke druk verbinden (op de 110° W.L.-lijn zie je het woord <U>ob(XA staan). Als je bij zo'n isobaar 7 7 ziet staan, wordt er bedoeld: 107 7 millibar.
(1013 mb « 76 cm Hg) . |
||||||||
|
36
|
||||||||
|
» 88 . a. Vind vier hogedrukgebieden (H).
b. Vind drie lagedrukgebieden (L).
c. Welke isobaren staan getekend rond het L-gebied op 87 WL en
50 NB? d. Bij een van de vier H-gebieden staat de druk (1016).
Geef een schatting van de luchtdruk in de andere H-gebieden. Behalve isobaren vind je nog veel andere gegevens, zoals:
koude. fafwwt:
uxvvmte. fiiont:
jf-----► fvidhtinQ wind [kieA N.O.)
(J ------► kali bewolkX.
Bekijken we nu het volgende hogedrukgebied:
|
||||||||
|
Dit lijkt sprekend op het plaatje van onze berg. Echter dit is een hoge-
drukgebied, d.w.z. de getalletjes 1000, 1010, enz. geven de luchtdruk aan in mb. Omdat de druk is het midden het grootst (hoogst) is, noemen we dit een koQa.dhxih.Qzb.itd. |
||||||||
|
» 89. Teken zelf een lagedrukgebied.
|
||||||||
|
37
|
||||||||||
|
Een ruimtelijke voorstelling van een H-gebied zou er zo uit kunnen zien:
|
||||||||||
|
as
i
DRUK in mb
|
||||||||||
|
Wind ontstaat door veAAchiJL in luchtdruk: het is de beweging van lucht
van een gebied met hogere druk naar een gebied met lagere druk (denk aan een bal die naar beneden rolt). |
||||||||||
|
» 90. Hoe zal de windrichting (in principe) zijn ten opzichte van de
richting van de isobaren? (Door de draaiing der aarde is de wer-
kelijke richting bijna evenwijdig aan de isobaren!). |
||||||||||
|
38
|
||||||||
|
Kijken we tenslotte naar het volgende weerkaartje:
|
||||||||
|
» 91. a. Waar heerst harde wind?
b. Wat is de (theoretische) windrichting daar?
c. Waar zal het hard waaien boven Nederland?
|
||||||||
|
»92. We noemen de functie die aan elke plaats de luchtdruk in die
plaats toevoegt: d. Bepaal: d(4,6i). »93. a. Wat is de laagste druk die boven Nederland voorkomt?
Geef de coordinaten. b. Hetzelfde (schatting) voor de hoogste druk.
c. Wat is het domein en bereik van de functie d?
|
||||||||
|
39
|
|||||||
|
Op Noord Borneo bevindt zich de "Berg der doden", ofwel Gunung Kinabalu.
Het hoogste punt is 13455 voet en heet Lows Peak, naar de Engelse ont- dekkingsreiziger Low. Maar er zijn meer pieken zoals uit het volgende kaartje blijkt: |
|||||||
|
Peze &oto t6 genomen dichtbij Lorn Peak, op de Koate noon, de top. Ve plek die je zlet -Li
St. John'i peak. Gee^ op het kaantje aan uxian de doto -U genomen. |
|||||||
|
40
|
||||||||
|
»94. Je ziet met een stippellijn de route naar de top aangegeven. Hoe
steil loopt die route het laatste gedeelte, d.w.z. vanaf 13.100 voet tot de top? »95. Teken de dwarsdoorsnede die door St. John's Peak en Lows Peak
gaat. Wat is het laagste punt tussen die twee pieken? »96. Teken de dwarsdoorsnede die van A naar B gaat. Wat is het hoogste
punt tussen A en B? Noem dit punt Z. Zo'n punt als Z, dat enerzijds een maximum en anderzijds een minimum is,
noemen we een zadeJipiLVlt. Kun je dat zadelpunt op de foto terugvinden? |
||||||||
|
Ook in de meteorologie spelen zadelpunten een belangrijke rol.
Wijs het zadelpunt aan op het volgende kaartje: |
||||||||
|
In een zadelgebied heerst meestal rustig weer.
|
||||||||
|
» 97. Zou je kunnen verklaren waarom?
|
||||||||
|
41
|
|||||||||
|
Verder overheerst het drukgebied waarvan de isobaren het sterkst ge-
kromd zijn langs het zadelgebied. » 98. Overheerst hier een hoge- of lagedrukgebied?
|
|||||||||
|
Hierboven zie je een plaatje van een model van een heuvelachtig land-
schap. » 99. a. Hoeveel zadelpunten staan erop? Waar?
|
|||||||||
|
b. Hoeveel maxima staan erop? Waar?
c. Hoeveel minima staan erop? Waar?
d. Hoe zal dit model eruit zien als wij er loodrecht boven vliegen?
e. Als verder gegeven is dat de maxima op 400m, de zadelpunten op
200 m en de minima op 0 m liggen, probeer dan een kaartje met ni- veaulijnen te maken van bovenstaand model. |
|||||||||
|
42
|
|||
|
43
|
||||||
|
NIVEAULIJNEN
|
||||||
|
We vatten enkele belangrijke zaken eerst nog even samen.
Er werd in de eerste zes hoofdstukken steeds gekeken naar lijnen die
punten met gelijke 'hoogte' verbinden.
Zulke lijnen heten iAO-LLjnzn of v\AV<ijCUxLLjm.n.
Als je dat wiskundig netjes wil zeggen kan dat als volgt:
z = h[x,y)
of
(x,y) + h[x,y)
Het domein van de functie k is een gedeelte van het XOY-vlak, of: een
deelverzameling van 1^1 (want X £ M en y € R) . Het bereik is een deelverzameling van E. . Zie bijvoorbeeld op biz. 32:
k - 4 - ix - \y
domein : A = [0,4] x [0,4]
bereik : [1,4] |
||||||
|
44
|
|||||||||
|
Stel dat de grafiek van een willekeurige functie k er zo uit ziet:
|
|||||||||
|
Als je die grafiek doorsnijdt met een vlak, evenwijdig met het XOY-vlak
op een hoogte Zi, dan ontstaat een kromme, behorend bij die hoogte Zi. |
|||||||||
|
kromme behorend
bij zi |
|||||||||
|
— — *— — Y
|
|||||||||
|
45
|
||||||||||||||
|
Vervolgens 'projecteren' we die kromme op het XOY-vlak ('wij laten hem
loodrecht naar beneden vallen'). Als nu het OXY-vlak vlak van tekening wordt, dan krijg je:
|
||||||||||||||
|
j+niveauli jn
Mililiiaiifciiiiiihiii
|
||||||||||||||
|
iiiijfcJItJMiJjjJIJ^JUJ^^
|
||||||||||||||
|
Y a
|
||||||||||||||
|
niveaulijn
|
||||||||||||||
|
o
|
||||||||||||||
|
De nu ontstane kromme heet Yibo<umJLLjn bij niveau z^,of volledig fi-origi-
neel van z±. |
||||||||||||||
|
46
|
|||||||||||
|
»100. De functie z = 2x + 3y heeft als domein A = [1,3] x [2,5].
a. Teken het niveaulijnenkaartje.
b. Wat is het bereik van de functie z = 2x + 3t/ op A?
»101. De functie &{x,y) -*■ y - X heeft als domein B = [-2,2] x [-1,3]
(6,y,z e »).
a. Teken het niveaulijnenkaartje.
b. Wat is het bereik van de functie ($?
|
|||||||||||
|
Een domein kan natuurlijk ook een andere vorm hebben dan een 'rechthoek'
van de vorm [&,£>] x [c,d], zoals b.v. in de volgende opgave. |
|||||||||||
|
^102. Ten opzichte van een rechthoekig XY-stelsel is C het gebied van
de punten \x,y) € K. x ]R waarvoor geldt: X ^ 0 en 1 < y < 6 en 2 S x + y i 8 Dit gebied C is het domein voor een functie k die gegeven wordt door: k[x,y) = x + 2y. a. Teken het domein C door eerst de lijnen x. = 0; y = 1; t/ = 6;
X+f/=2enX+t/=8te tekenen. b. Teken het niveaulijnenkaartje.
c. Wat is het bereik van h op A?
|
|||||||||||
|
Niveaulijnen waren in dit boekje heel vaak rechte lijnen (die evenwijdig
waren; waarom?). Maar er zijn natuurlijk ook andere mogelijkheden zoals b.v. cirkels (b.v. als de grafiek een kegel is). In de volgende opgave maak je kennis met weer een heel andere soort ni-
veaulijnen, die nogal eens in de economie voorkomen. |
|||||||||||
|
47
|
|||||
|
»103.Ten opzichte van een rechthoekig XY-stelsel is D het gebied dat
wordt gegeven door: X^O en t/SO en X + 2i/ S 8
Dit gebied D is het domein van een functie fa die gegeven wordt door:
fa : [x,y] -*■ xy (fa,x,y en). a. Teken het gebied D.
b. Teken enkele niveaulijnen voor fa.
c. Wat is het bereik van fa op D?
|
|||||
|
48
|
|||
|
49
|
|||||||
|
9
|
|||||||
|
NOG MEER ISOLIJNEN
|
|||||||
|
In Duitsland is door ene Dr. Ritter in 1960 een onderzoek gehouden over
de kosten van zandtransport voor wegenaanleg. De negen technische moge- lijkheden waren als volgt: 1. Graven met scheppen.
Transport met treintje naar kiepkarren.
Kiepkarren geduwd door arbeiders. 2. Als (1), maar transport per transportband.
3. Als (2), maar locomotief voor kiepkarren.
4. Dragline met capaciteit 0,35 m3 , transport als bij (3).
5. Dragline met capaciteit 0,90 m3 , transport als bij (3).
6. Dragline met capaciteit 1,35 m3, transport als bij (3).
7. Dragline met capaciteit 1,80 m3, transport als bij (3).
8. Drie scrapers met capaciteit 8,4 m3 . (Verzorgen tevens transport).
9. Drie scrapers met capaciteit 13,4 m3 . (Verzorgen tevens transport).
De totale kosten werden uitgerekend voor een hoeveelheid zand van 1000 m3
over 600 m.
En die kos-ten zijn dan weer te splitsen in:
- kapitaalkosten (machines e.d.);
- arbeidskosten.
|
|||||||
|
50
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Het zal duidelijk zijn dat de eerste methode veel arbeidskosten met zich
meebrengt, wat ook blijkt uit de volgende tabel: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Een SCHRAPER.
We.ge.nbow) ti> tegenwoofidtg ondenkbaaA, zondeA deze gA.ondveA.zet mackineA.
Wodejine veAi,tej> kunnen tot 100m} gfiond opAchsiapen en veA.voeA.en.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
51
|
|||||
|
We gaan nu een grafiek tekenen die aangeeft hoe de arbeidskosten en ka-
pitaalkosten bij iedere mogelijkheid liggen.
Als voorbeeld is ph.odaktte.meX.kodn 4 (1088,1260) al ingetekend.
»104. a. Teken de overige acht punten.
b. Teken een vtoeA.ende kromme door de negen punten.
c. Mag eigenlijk wel wat je bij (b) gedaan hebt?
We hebben nu een kromme getekend die punten verbindt van gelijke hoe-
veelheden (zand). Immers, voor aJLte methoden ging het over een hoeveel- heid van 1000 m3 zand. Zo'n lijn noemen we een ISOQUANT.
Deze isoquant behoort bij het niveau 1000 (m3).
|
|||||
|
52
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
d. Teken de niveaulijn behorend bij 2000 (m3) uitgaande van de vol-
gende gegevens: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
In de praktijk benaderen we ook hier de werkelijkheid met een M0VEL.
Zo hebben veel isoquanten de formule: q = /a*fe <X,\i > 0 met d : arbeid; k : kapitaal en q : quantiteit of hoeveelheid.
»105. Teken de isoquanten behorend bij de niveaus 1, 2, 3 en 4.
»106. Vergelijk deze isoquanten uit het model met de isoquant(en) uit
de werkelijkheid van biz. 50 en deze bladzijde. »107.Los op met de grafiek:
Hoeveel goederen kan ik maximaal produceren met twee eenheden
arbeid en een eenheid kapitaal? »108. Hetzelfde voor twee eenheden arbeid en twee eenheden kapitaal.
»109.De totale kosten zijn a+k.
Teken enkele iso-kostenlijnen in je grafiek en bepaal wanneer de
kosten minimaal zijn bij een gegeven isoquant. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
53
|
||||||
|
Tenslotte hieronder de ruimtelijke grafiek van q = /aE met CL,k ^ 0.
Je ziet de hoogtelijnen van niveau 1, 2, 3 en 4 getekend. Vergelijk dit met je isoquanten. |
||||||
|
ISO-KAPITAALLIJNEN
In de statuten van de dakpannenfabriek "Lekwater", een N.V. te Vrees-
wijk staat o.a.: "Eerst wordt aan aandeelhouders (van de netto-winst) uitgekeerd vijf
procent over het nominale bedrag van hun aandelen en van het restant twintig procent aan het personeel." » 110. Noem het geplaatste kapitaal k, de winst W en 'de uitkering aan
het personeel a. a. Laat zien dat de uitkering gelijk is aan:
u = |(W - j^k) en daarna:
fc(W,u) = 20w - 100a. b. Teken een assenstelsel met horizontaal de W-as, vertikaal de
u-as. Teken daarin niveaulijnen van k, bij de niveaus 1 miljoen, 2 miljoen, enz.
Deze lijnen he ten AJ>o-kap*£aallijne.n.
|
||||||
|
54
|
|||||||||
|
» 111. Als door een aandelenemissie het geplaatste kapitaal met
/ 1.000.000,— toeneemt, met welk bedrag moet de winst dan toe-
nemen wil de uitkering aan het personeel gelijkblijven? (Neem a b.v. / 10.000, — ). |
|||||||||
|
ISO-OPPERVLAKTELIJNEN
Experimenteel is vastgesteld dat de huidoppervlakte van mensen afhangt
van het gewicht en de lengte. Dat is niet zo verwonderlijk. Daarmee is de oppervlakte een functie van twee variabelen. Volgens een onderzoeker (Dubois) luidt het functievoorschrift: 0(gfD = 0,007184 • g°>425 • l0'725
met het gewicht g in kg, de lengte Z in cm en de opp. 0 in m2.
De grafiek is uiteraard een ruimtelijke grafiek, maar met een hoogtelij-
nenkaartje komen we ook een eind.
|
|||||||||
|
20 30 40 50 55 60 70 75 80 90 100 110
|
|||||||||
|
gewicht g in kg
|
|||||||||
|
55
|
|||||
|
» 112. Hoe groot is de oppervlakte van iemand die 1.50m lang en 75 kg
zwaar is? En van een iets minder zwaarljjvig type dat 1.50 m lang is en
55 kg weegt? » 113. lemand heeft een huidoppervlakte van 2,0m2.
Geef een aantal (4) mogelijkheden voor bijpassende lengte en ge-
wicht. » 114. lemand is tweemaal zo lang als een ander. Is het mogelijk dat zijn
oppervlakte dan ook tweemaal zo groot is? Geef een voorbeeld. Een ruimtelijke grafiek tekenen is niet zo gemakkelijk. Maar als we de
iso-oppervlaktekrommen als rechte lijnen tekenen, wordt het een stuk een-
voudiger.
De grafiek zoals die was vereenvoudigen we tot:
|
|||||
|
56
|
||||||
|
Teken de ruimtelijke grafiek in een assenstelsel als volgt:
|
||||||
|
In hoeverre zal de echte ruimtelijke grafiek afwijken van deze wat ver-
eenvoudigde? |
||||||