-ocr page 1-



	I. IE S 5 IE N

		IN

RUIMTEMEETKUNDE 1

			Freudenthal instituut Archief

-ocr page 2-



		LESSEN IN RUIMTIEMIEIETKUNDIE f

-ocr page 3-



		Xa

Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht

	LESSEN IN RUIMTEMEETKUNDE 1 Een produktie ten behoeve van de experimenten in het kader van de Herverkaveling Eindexamenprogramma's Wiskunde 1 en 2 V.W.O. Samenstelling: Martin Kindt Jan de Lange Jzn Vormgeving: Ellen Hanepen © 1982; 2e herziene versie. Utrecht, december 1982.

-ocr page 4-



				�



					De met * gemerkte opdrachten kunnen in het werkblok worden uitgevoerd.

-ocr page 5-



		1

1 KIJK MAAR, JE ZIET NIET WAT JE ZIET

	(1) (2) » 1. a. Twee foto's van hetzelfde huis. De boom die op foto (1) links staat is op foto (2) naar rechts verhuisd. Hoe kan dat nou? b. De werkelijke positie van de boom t.o.v. het huis kun je uit deze foto's blijkbaar moeilijk aflezen. Wat dat betreft zou een luchtfoto meer houvast bieden. Hoe zou je uit een lucht- foto het verschil tussen de foto's (1) en (2) kunnen verklaren?

-ocr page 6-

Om inzicht te krijgen in hoe een ruimtelijk object er uitziet, of hoe
verschillende objecten t.o.v. elkaar zijn gegroepeerd, kun je meestal
niet met een foto of tekening volstaan. Je hebt dan verschillende aan-
zixihtQjn. nodig.

» 2. Hieronder zie je drie verschillende aanzichten van een sportvlieg-
tuigje.

Voor

Zij

Boven

Noem een paar bijzonderheden van het hier afgebeelde sportvlieg-
tuigje en zeg erbij uit welke van de drie aanzichten je die afleest.

Dat een aantal verschillende aanzichten lang niet altijd inzicht verschaft
over vorm en gedaante bewijst de serie plaatjes, gemaakt van de planeet
Saturnus uit een 17e eeuws sterrekundeboek.

-ocr page 7-



		3

	De sterrekundigen uit de 17e eeuw wisten aanvankelijk niet goed raad met het beeld dat zij van Saturnus opvingen. Galilei bijvoorbeeld dacht aan een soort van drievoudige planeet. Christiaan Huygens die zo'n 40 jaar later over een veel betere (zelf vervaardigde!) telescoop beschikte, wist zijn verschillende waarnemingen op de juiste wijze te combineren, getui- ge de schetsjes die hij van Saturnus maakte.

	SdheXbzn van ChfvU>tiaan HuLjQUnA

» 3. a. Hoe is het mogelijk dat er zoveel verschillende beelden van Sa- turnus werden waargenomen, getuige het oude sterrekundeboek? b. Galilei nam op zeker moment Saturnus waar als een cirkelschijf (zie het zesde plaatje van de serie op biz. 2). Kun je verkla- ren hoe het kwam dat de beide 'oortjes' verdwenen waren? Wat zou Galilei gezien kunnen hebben als hij toen over een sterkere kij- ker zou hebben beschikt?

-ocr page 8-



		4

	» 4. Een aantal kubusjes (van gelijke grootte) is zo op een tafel ge- groepeerd dat fig. (a) het vooraanzicht en fig. (b) het zijaanzicht van het bouwsel is.

--------1--------1--------1--------i--------1------------ ---------1--------1--------1--------1--------L-------. (a) (b) a. Hoeveel kubusjes kunnen er hoog&te.n� gebruikt zijn? b. En hoeveel kubusjes zijn er minktoyih gebruikt? * 5. Noem een paar figuren/voorwerpen waarvan boven-, voor- en zijaan- zicht niet van elkaar verschillen. Extfia opgavz > 6. In een houten plank zijn drie gaten gemaakt in de vorm van een cirkel, een gelijkbenige driehoek en een vierkant. De middellijn van de cirkel, de basis en hoogte van de drie- hoek en de zijde van het vier- kant hebben alle dezelfde lengte. Een kurk is zo gesneden dat hij in ntk van de drie gaten past en elk gat geheel kan verduisteren. Hoe ziet zo'n kurk eruit?

-ocr page 9-



		5

o ZON, AARDE, MAAN Stel je voor: een schemerachtige kamer, een sterke lamp, een grote bol. De lichtbundel wordt op de bol gericht.

	» 7. In het zij-aanzicht is de schaduwgrens een rechte lijn. WeIke vorm heeft de schaduwgrens in werkelijkheid? » 8. a. Wat gebeurt er met de schaduwgrens als de lamp verder van de bol wordt verwijderd? b. Kan de bol door de lamp voor de helft worden belicht? » 9. Waar moet een waarnemer zich bevinden om de bol geheel in de scha- duw te zien? » 10. Kijken naar de maan is kijken naar een verlichte bol. Leg uit hoe het kan dat we soms "halve maan" zien.

-ocr page 10-

Hieronder zie je een schets van het rondje dat de maan in 29 dagen om de
aarde maakt. Omdat de lamp die de maan verlicht zo ontzettend ver weg
staat, zijn haar lichtstralen evenwijdig getekend.

CO
W
S5
B5

O
N

fig. 2.2

» 11. Van 'boven' af gezien zie je uitsluitend halve maantjes, maar van-
af de aarde is het maangezicht gevarieerder.

Teken de maangezichten die je vanaf de aarde ziet als de maan ach-
tereenvolgens de standen 1, 2, ..., 8 inneemt.

Aristarchos van Samos, een Grieks sterrekundige in de 3e eeuw voor Chr.
berekende de verhouding tussen de afstanden van de aarde tot de zon en
de maan. Bij halve maan, zo redeneerde hij, is de hoek Z(on)M(aan)A(aarde)
negentig graden ...

-ocr page 11-

fig. 2.3

Onder goede atmosferische omstandigheden is de maan ook overdag zichtbaar
en zo was Aristarchos bij machte om de hoek ZAM te meten. Met behulp van
die hoek bepaalde hij de verhouding tussen de afstanden ZA en MA.

> 12. Aristarchos schatte de hoek ZAM 87° en vond daaruit dat de zonne-
afstand 20 keer zo groot is als de afstand aarde-maan. Controleer
zijn conclusie. (Gebruik een rekenmachientje).

» 13. Het resultaat van Aristar-
chos was veel te laag. We
weten nu dat de zon onge-
veer 400 keer zo ver van de
aarde afstaat als de maan.
De fout van Aristarchos
school niet zo zeer in zijn
methode, als wel in de on-
nauwkeurigheid waarmee hij
hoek ZAM bepaalde.

Hoe groot zal die hoek dan
wel moeten zijn?

2ovu>veJiduAj>t&Ung, ge.{_totogJia�e.eA.d
In Ken-to. (1973).

» 14. Zon en maan schijnen ons op aarde even groot toe (denk maar eens

aan een zonsverduistering, de maan bedekt de zon dan heel precies!).
Laat in een figuur zien hoe de onderlinge posities van een waarne-
mer (op aarde), zon en maan zijn bij een totale zonsverduistering.

» 15. Uit de verhouding van de afstanden van de aarde tot zon en maan

kan de verhouding van de diameters van die beide laatste hemelli-
chamen worden afgeleid (Aristarchos deed dat trouwens ook).
De diameter van de maan is ongeveer 3520 km. Hoe groot is de diame-
ter van de zon?

-ocr page 12-

-ocr page 13-



		9

3 PROJECTIES EN COORDINATEN Douglas R. Hofstadter vervaardigde op vernuftige wijze een drie-letter- kubus. Drie lichtbundels pK.0j�c�eAe.n het blokje op drie vlakken die in de hoek van een kamer samenkomen. De letterf iguren E, G en B zijn de drie ph<0 j ZC.tA.2A van het blokje redwood. De lichtstralen worden wel ph.0jzctOAZYidz bthaJLojft. genoemd en de vlakken waarop geprojecteerd wordt noemt men pKOje.c�ie.vl.a.kk&n (of ta^QAntun) .

	D.R. Hofstadter, informaticus, is auteur van het boek Godel, Escher, Bach: An tXWnaX. goldeM blitid. De foto is als illustratie in dat boek gebruikt.

-ocr page 14-



				10

	In figuur 3.1 zie je een (onvoltooide) projectie op drie taferelen. De projecterende stralen zijn lijnen parallel met de ontmoetingslijnen (X-as, Y-as en Z-as) van de drie projectievlakken. (De denkbeeldige lichtbronnen zijn "oneindig" ver). » 16. Hoe zien de projecties op het XOY-tafereel en het XOZ-tafereel er- uit?

Op de X-as, Y-as en Z-as kiezen we dezelfde lengte-eenheid. Als je vanuit 0 twee eenheden in de X-richting, drie in de Y-rich- ting en vier in de Z-richting gaat, bereik je het punt R: (2,3,4). Onderweg ben je dan o.a. de punten P: (2,0,0) en Q: (2,3,0) gepasseerd. > 17. Wat zijn de coordinaten van het middelpunt van respectie- velijk OP; PQ; QR; RO?
		R: (2,3,4)

			fig. 3.2

-ocr page 15-

» 18. Het punt Q is de projectie op het XOY-vlak (de "Z-projectie") van
R. We schrijven ook wel: Q = R .

Wat zijn de coordinaten van de projecties R (van R op het XOZ-
vlak) en R (van R op het YOZ-vlak)?

Teken fig. 3.3 twee keer zo
groot over en knip de zo ver-
kregen figuur uit. Vouw het
XOY-vlak en het XOZ-vlak
respectievelijk langs de Y-
as en de Z-as en breng de
X-assen tegen elkaar. Zo krijg
je een model van een driedimen-
sionaal assenstelsel.

» 19.

b. Teken in dit model de projec-

ties A , A , A van het punt
x y' z

A: (5,4,6).

» 20. Als we het punt A (van » 19) laten bewegen, bewegen de projec-
ties A , A en A mee. Hoe bewegen die projecties zich als:
x y z

a. A zich in rechte lijn beweegt naar het punt (0,0,6)?

b. A zich recht omhoog beweegt (in de richting van de Z-as)?

c. A zich over een cirkel met straal 1 en middelpunt (4,4,6) be-
weegt, waarbij de Z-coordinaat van A niet verandert?

* » 21 Van een punt P zie je in een aantal gevallen twee van de drie pro-

jecties getekend. Teken in elk van die gevallen het derde projec-
tiepunt. (* betekent: zie werkblok).

» 22. Wat zijn de coordinaten van de projecties P , P , P van het punt

a. y z

P: (a,b,c)?

(a,b,c zijn reele getallen).

* »23. Twee van de drie projectietekeningen van een fotocamera. Maak het

"drieluik" compleet.

-ocr page 16-



			12

		* » 24. In de tekening zie je de Y- en de Z-projectie van een piramide. a. Waarom is de lijn TA in de Y-projectie gestippeld? b. Teken de X-projectie van de piramide. c. Wat zijn de coordinaten van de hoekpunten van de piramide? d. De piramide wordt afgeknot d.m.v. een vlak parallel met het grondvlak; de afgeknotte piramide is half zo hoog als de oor- spronkelijke piramide. Teken de drie projecties van de afgeknotte piramide in je werk- boek (gebruik een andere kleur). e. Wat zijn de coordinaten van de hoekpunten van het bovenvlak van die afgeknotte piramide? * » 25. De tekening hiernaast toont een Egyptische piramide in aanbouw. De enorme hoeveelheid zware steenblokken (voor de piramide van Cheops werden er ongeveer 2.300.000 van gemiddeld 2{ ton gebruikt) werden omhoog gesleept via spiraalsgewijs aangelegde hellingen ... In je werkboek zie je drie pro- jectietekeningen van een pira- mide en het begin van zo'n spi- raalweg naar de top. De volgen- de weggedeelten gaan even steil omhoog als het beginstuk. a. Teken het vervolg van die spiraalweg (in de drie pro- jectiefiguren) tot je twee keer de piramide rond bent. b. Hoe kun je uit de figuur het hellingspercentage van de spiraal- weg berekenen?

-ocr page 17-



			13

		Ex&ia opgave,. » 26. Bekijk opnieuw een spiraalweg om de piramide TABCD, beginnend in punt A. De keerpunten op de ribben TB, TC, ... noemen we achtereen- volgens A_x, A₂, ... a. Stel TA = 1 en TA₁ = H. Wat weet je van de lengte van TA₂, TA₃, enz. b. Na hoeveel rondgangen heb je meer dan 80% van de te overwinnen hoogte afgelegd in het geval H = 0,9? En na hoeveel rondgangen ben je de top op ongeveer 5% van de te overwinnen hoogte genaderd?

-ocr page 18-



		14

-ocr page 19-



			15

		4

KUBUS IN PERSPECTIEF » 27. Een slechte tekening van een kubus. Of valt het mee? Knijp een oog dicht en beweeg het andere naar het plaatje toe. Wordt de tekening al beter? Waar moet je ongeveer kijken om er echt een kubus in te zien?

	fig. 4.1

-ocr page 20-



		16

Bij het tekenen van een ruimtelijk object is het probleem dat je de (drie- dimensionale) hiumte. moet afbeelden op het (tweedimensionale) vldk. Met dit probleem hebben door de eeuwen heen schilders en ontwerpers ge- worsteld. De methode van de drie projecties (boven-, voor- en zijaan- zicht) die je in de vorige lessen hebt leren kennen, is een van de vele afbeeldingsmethoden. Hij wordt vooral gebruikt door technisch tekenaars, architecten e.d. Zij zijn geinteresseerd in "maatgetrouwe" afbeeldingen waaruit hoeken en lengteverhoudingen kunnen worden afgelezen. In de beeldende kunst heeft men naar andere manieren gezocht om de ruimte uit te beelden. Van de Griek Agatarchos (± 450 voor Chr) wordt verhaald dat hij decors schilderde bij de tragedies van Aischylos met een sterke ruimte-suggestie. En onze huidige decorontwerpers weten daar ook wel raad mee. De methode om de ruimte "zichtgetrouw" af te beelden op een vlak, zodat de schijn gewekt wordt of je werkelijk de ruimte ziet, noemt men de metho- de van het peAApe.ctX.zfi' De tekening op pag. 15 is een perspectieftekening van een kubus.

	A. VtiAzn.

-ocr page 21-



		17

	Op de twee prenten resp. van Albrecht Diirer (1471-1528) en Simon de Caes (1567-1626) kun je zien hoe je heel nauwkeurig een perspectieftekening op een (draaibaar) tekenscherm kunt construeren.

» 28. Ga na hoe de beide tekenaars te werk gaan. Waarvoor dient het touw- met-gewicht? »29. In beide tekeningen kun je een punt in de kamer aanwijzen van waar- uit de luit resp. de kubus precies zo te zien is als op het scherm. WeIk punt is dat en waarom? »30. Diirer suggereert dat de tekening van de luit stipsgewijs wordt ge- maakt. Op de prent van De Caes is het niet zo goed te zien, maar ook daar lijkt het erop of de kubus stip-voor-stip op het scherm komt. Is dat handig van die twee "kubisten"? Voor het maken van een nauwkeurige perspectieftekening kunnen we het stel- len zonder hulpmiddelen als een draaibaar tekenscherm en een touw-met-ge- wicht! Wei houden we daarbij de methode van Diirer in gedachten ...

-ocr page 22-



			18

		* »31. a. In figuur 31a van je werkblok zie je een bovenaanzicht van de kubus (nu scheef op tafel), het tekenscherm en de plaats van het oog (H). Geef op het tekenscherm de plaatsen aan waar je de hoek- punten op het scherm ziet. b. Teken in fig. 31b het zijaanzicht van de kubus (stippel de on- zichtbare ribbe). Geef op het scherm nauwkeurig aan hoe hoog je elk van de acht hoekpunten ziet. c. In fig. 31c zie je het tekenscherm in vooraanzicht. Voor het ge- mak hebben we dat scherm van een coordinatenstelsel voorzien (oor- sprong linksonder, Y-as horizontaal, Z-as vertikaal). In de figuren 31a en 31b kun je de Y- en Z-coordinaten van de hoekpunten van de "kubus-op-het-scherm" opmeten met je passer. Teken die punten nauwkeurig op het scherm. Voltooi nu de perspec- tief tekening van de kubus (onzichtbare ribben stippelen). d. Neem de X-as langs de tafelrand (positieve richting naar de waar- nemer toe). Wat zijn de coordinaten van de plaats van het oog? Kijk nog eens naar je perspectieftekening vanuit dat punt. De methode van perspectiefconstructie die we hier hebben gevolgd, kan wor- den toegeschreven aan de 15e eeuwse Italiaanse meester Piero della Francesca, Van hem is onderstaande prent. De plaats van het oog is ongeveer 6 cm boven het kruisje.

-ocr page 23-

»32. We laten de kubus in dezelfde positie t.o.v. tekenscherm en tafel
(zie »31) en varieren de plaats van het oog. Zo ontstaan vier
nieuwe perspectieftekeningen. Ga bij elk van de vier na waar onge-
veer de plaats van het oog moet zijn.


�---------- F I	H ,-Id x, X X X X X N X X X X X	TekenbcheAm G t C


Tokmb,Qh.Qjm
I		f
E	*------	� �J	1 ,-""	G
A			D	C
B


		T<Lk.<Lni>dkojw
		H
E*---------■�
			G
F
		--" D\
	K"	\
	i A / /	\ \ 1
	/ /	\
	/ / / ___-- / ^,� ^^�	-"---- ^C
B

* »33. Door de tekenmethode via boven- en zijaanzicht terug te volgen kun
je de plaats van het oog exact reconstrueren.
Doe dat voor de vierde kubusfiguur.

-ocr page 24-



		20

	De Italiaanse schilders en tekenaars uit de 15e eeuw hielden zich inten- sief bezig met de perspectiefleer. En dat zij er poetisch over konden schrijven bewijst het volgende fragment van Battista Alberti (1435): "We moztzn oni> dz i>txaLzn voon&teJULm aJLi> zzzn. dannz dnadzn, mzt een i,tznkz band ati, een bundzl b-ljne.nge.houdzn i.n kzt oog ... Ati> een gzknottz i>tx.on\i van -itfialzn, waaAvan de. knoop jongz takkzn dMizct nzcht noon elk tzgzn te. komzn oppznvlak i>tunwt." De bundel stralen naar het oog werd door Alberti de "piramide visiva", de zichtpiramide genoemd.

In de wiskunde drukt men zich minder dichterlijk uit: een perspectief- afbeelding wordt verkregen door het voorwerp van tekening de.ntha.at op een vlak te piOje.cteA.zn. De pn.oje.CJteA.endz bthaZzn ("kijklijnen") ontmoe- ten elkaar in het CZntAiun van projectie ("het oog").

-ocr page 25-



			21

		s

PARALLELPROJECTIE

	» 34. Maak een kubus van ijzerdraad of limonaderietjes. Beschijn je ku- bus met een lamp en vang de schaduw op een vel papier of op een witte muur. Probeer de figuren van pag. 19 als schaduw te krijgen. » 35. Voer het schaduwexperiment met de kubus nog eens uit, maar nu met zonlicht. Teken een paar heel verschillende schaduwkubussen.

-ocr page 26-



		22

In »34 heb je de kubus centraal geprojecteerd. Het centrum van projectie was de plaats van de lichtbron. In 5S> 35 is de lichtbron zo ver weg dat de projecterende lijnen als paral- lel kunnen worden beschouwd. In dat geval spreken we van paAjodLZ2JtpA.OJ2.C- tit. »36. Zoals je hebt kunnen zien zijn er duidelijke verschillen tussen een centrale projectie en een parallelprojectie van een kubus. Noem eens een paar van die verschillen. Van een kubus kunnen we een parallelprojectief beeld construeren op een manier die veel lijkt op Piero della Francesca's constructiemethode van het perspectief. * »37. In je werkboek zie je weer boven- en zijaanzicht van een kubus op tafel, scheef voor een tekenscherm geplaatst. De projectierichting is in beide tekeningen aangegeven. a. Welke hoeken maakt de projectierichting met de X-as (tafelrand), Y-as (onderkant scherm) en Z-as (zijkant scherm)? b. Teken de projecties van de acht hoekpunten in elk van beide aan- zichten. Construeer met behulp daarvan de parallelprojectie van de kubus op het scherm. De projectierichting bij een parallelprojectie kan t.o.v. een coordinaten- stelsel worden vastgelegd door middel van een ?vLcYVtlnQi>\J2.c�o?i K. De oorsprong kiezen we als beginpunt voor H. De k<lYVtaJULm van /L zijn juist de coordinaten van zijn eind- punt. Voorbeeld (zie figuur): 1 = (1,2,3)

	fig. 5.1

-ocr page 27-



			23

		»38. Teken de vectoren: a = (2,0,0); b = (1,0,3); C = (0,2,1); d = (1,4,0); � = (2,4,6); & = (0,0,-2); Q = (1,0,-2); h = (1,2,-5). »39. Geef bij elk van onderstaande plaatjes (de kentallen van) de rich- tingsvector van de parallilprojectie. Het blok heeft de zijden 1,2 en 3 resp. langs de X-, Y- en Z-as. Een projectiestraal gaat door de punten A en B.

		»40. Neem het XOY-vlak als vlak van tekening en teken voor beide gevallen (fig. 5.2 en fig. 5.3) de projectie van het blok. »41. Wat is de richtingsvector van de parallelprojectie die je in »37 gehanteerd hebt? »42. Op pag. 24 zie je 49 parallelprojecties van de kubus. a. Welke lijkt het meest op de projectie die jij getekend hebt bij > 37 b. Bij welke projectierichting (richtingsvector!) krijg je het plaatje linksboven? (Kubus staat recht voor het scherm).

-ocr page 28-



					24

				-, 1^,

		IC3

	KZK O, lO\| f0> <]> a t^ 4^ 4^ M>

			o "Oi ^a> <i>

» 43. Het projectiescherm wordt t.o.v. de kubus gedraaid. De projectie- richting is steeds loodrecht op het scherm. De coordinaat-assen vallen langs de ribben van de kubus (oorsprong links-achter-onder). a. Hoe moet de projectierichting t.o.v. de kubus veranderen om de figuren op de bovenste rij van links naar rechts te krijgen? b. Wat is de richtingsvector bij de projectie die de figuur rechts onderaan te zien geeft?

-ocr page 29-



			25

		6

	PUNTEN, LIJNEN, VLAKKEN We kijken nog eens naar de prent van Simon de Caes (pag. 17). Op het draaibare tekenbord zie je hoe de ribben van de kubus stipsgewijs gete- kend zijn (net als de lijnen van de luit op de prent van Diirer, op pag. 16). Het lijkt wel of de tekenaar er niet op wilde vertrouwen dat die ribben weer als rechte lijnen op het bord zouden verschijnen!

Je kunt je afvragen of het eigenlijk wel zo vanzelfsprekend is dat het beeld van een rechte lijn bij (centrale) projectie ook weer een rechte lijn is. Laten we als voorbeeld de ribbe FA nemen uit de prent van De Caes, De "kijklijnen" uit H verbinden H met de punten van die ribbe. Die lijnen snijden het vlak T ("tafereel") in een reeks punten: A', P', ..., F'.

-ocr page 30-





		26

	De vraag waar het nu om gaat is: "waarom liggen de snijpunten A', P', ... F¹ op een rechte lijn? Voordat we daar dieper op ingaan eerst een opgave. > 44. Een kromme lijn van A naar F zal in het algemeen als kromme lijn op het tafereel verschijnen (zoals de lijnen van de luit op Diirer's tekening). Maar het is ook mogelijk om een kromme verbindingslijn van A en F als recht lijnstuk op het tafereel te zien. Hoe? Nu ons probleem. De kijklijnen die vanuit H naar de punten van AF lopen, spannen als het ware een plat vlak op. Dat "kijkvlak" noemen we k. En zoals het muurvlak van een kamer en de vloer elkaar in een rechte lijn ontmoeten, zo zullen het tafereel x en het kijkvlak k een rechte lijn als ontmoetingslijn of bYlljLLjn hebben. (Zie fig. 6.2).

Op de snijlijn van twee vlakken liggen de gemeenschappelijke punten van beide vlakken, in dit geval dus zeker ook de snijpunten van de kijklij- nen met het tafereel. Anders gezegd: de punten A', P', ..., F' liggen op een rechte lijn.

-ocr page 31-



		27

OpmeAking: Als we spreken over vlak, dan bedoelen we een onbZ.Qh.<Wi>d* vlak; het vier- kante tekenscherm en de driehoek HAF zijn delen van de vlakken T en K, zoals het lijnstuk A'F' een deel van de snijlijn van X en K is.

	»45. De redenering van pag. 26 begint met de constatering dat de lijnen die een punt (H) met een fizcktz lijn (AF) verbinden een plat vlak opspannen. Dat is i.h.a. niet het geval met de lijnen die een punt met een \lKOmmz lijn verbinden. Wat spannen die lijnen op als de kromme lijn een cirkel is? Kan het opspansel in dat geval toch een deel van een plat vlak zijn? »46. Aan boord van een schip zie je in de verte een zandbank. Bij eer- ste waarneming doet die zich voor als een streep, maar als je wat dichterbij komt zie je toch dat het een "pannekoek" is. Hoe kun je dat verschil in waarneming verklaren? Wat moet je doen om de zandbank van dichtbij ook als een streep te zien?

-ocr page 32-

In de redenering van pag. 26 zitten nogal wat veronderstellingen.
Zo zou je je kunnen afvragen:

- Waatiom tiggzn dz ktjklijnzn {van H naoJi AF) in een plat vlak?

- Waaftom Antjdm twzz vlakkzn zlkaaji in een nzchtz Itjn?

Als je die vragen wilt beantwoorden heb je weer andere veronderstellingen
nodig, waarvan je je ook weer kunt afvragen waarom ...
Omdat we natuurlijk niet tot in het oneindige kunnen doorgaan met het
stellen van de vraag "waarom ...", hebben we een aantal uitgangspunten
(veronderstellingen) gekozen. Die uitgangspunten van de ruimtemeetkunde
moet je zien als een soort spelregels waar we verder niet aan tornen.
Zulke spelregels noemt men in de wiskunde meestal ax-Lorna¹ i, of poitalxitzn.
Als eerste postulaat kiezen we:

KEGEL 1 :

Vooh. zin K<LQ.kt<i Lijn zn een pant buttzn die. Lijn gaat ptizcA.zi> (Lin plat
vlak.


			� c
� A
	�B	J3_	___x
\ a		f:	Lg. 6.4

Illustratie: door een rechte lijn gaan een
heleboel vlakken, zoals een opendraaiende
deur een heleboel standen in kan nemen.
Wijs je een punt aan (in het draaibereik
van de deur), dan leg je daarmee de stand
van de deur vast.

In de redenering op pag. 26 is K het (enige) vlak door het punt H en de
lijn AF. De lijnen die H met de punten van AF verbinden liggen geheel in
K volgens het tweede postulaat.

-ocr page 33-



				29

		REGEL 2: Alb een Jiccktz ILjn twze. puntm van een plat vlak met eZkaan veAbtndt, dan ligt deze ILjn -en dot u�afe.

	Populair gezegd: Je kunt een rechte liniaal langs twee punten op het bord of op een vlak stuk papier leggen fig. 6.5 » 47. Hoe kun je met een touwtje uitmaken of je tafelblad echt vlak is? » 48. Heel nadrukkelijk is er in Ke.aeJL 2 sprake van een plat vlak; dit om het verschil met een gebogen vlak te benadrukken. Bedenk eens een paar gebogen vlakken waarop rechte lijnen liggen. Geldt daarbij fi&gzl 11 Voor onze redenering bij de prent van Simon de Caes hebben we nog een derde postulaat nodig. REGEL 3: Ali> &oee ve.uchllle.nde. platte. vlakke.n eJLkaan i>nljde.n, dan <U> de. dooK- 6ne.de. een fie.chte. ILjn.

Zoals de schuine zijwanden van een tent elkaar snijden in de "noklijn" ... De snijlijn van twee vlakken bevat alle. gemeenschappelijke punten van die vlak- ken. In de figuur: a H 3 = l-

			fig. 6.6

-ocr page 34-

»49. Kan de snijlijn van een plat vlak en een gebogen vlak ook een rech-
te lijn zijn? Geef een paar voorbeelden waarbij dat wel, en een
paar voorbeelden waarbij dat niet het geval is.

» 50. De zijvlakken TAB en TCD van de piramide TABCD snijden elkaar in
het punt T. Is dat niet in tegenspraak met tizgeZ 3?

In een wiskundige theorie wordt meestal onderscheid gemaakt tussen de
"aangenomen" of "voorgeschreven" spelregels (de postulaten) en de daarmee
"afgeleide" spelregels (de stellingen) . Zo kun je uit de >mg<Ll�> 7 en 1
een nieuwe regel afleiden.

RBGEL 4 ¹⁾

Vooh. dnLe. puntm dee viioX op itn Lijn Liggtn goat pfie.c-i&> itn vlak.

De afleiding gaat als volgt:
Laat A, B, C die drie punten zijn.
Door A en de verbindingslijn t van
B en C, gaat (/ie.ge� 7) een vlak,
zeg a. Dat vlak a bevat de drie
punten.

Nu zou je ook een vlak 3 door A, B
en C kunnen leggen met behulp van de
lijn AC en het punt B.

Uit h,(Lg<JL 7 en I volgt dat dit vlak
3 hetzelfde is als a.

fig. 6.

We zullen in dit boek "postulaten" en "stellingen" beide met de term "regel" aanduiden. Je mag na-
melijk vergeten wat aangenomen en wat afgeleide regels zijn. Aangenomen en afgeleide regels zijn
trouwens soms uitwisselbaar. Zo kun je regel 4 i.p.v. regel 1 als postulaat kiezen en daaruit
(m.b.v. regel 2) weer regel 1 afleiden.

-ocr page 35-



			31

»51. Laat zien hoe je afleidt dat vlak B hetzelfde is als a. » 52. Hoeveel vlakken zijn er die door twee punten gaan? (Denk aan twee scharnierpunten van een deur). Is het mogelijk dat er door drie punten meer dan een vlak gaat? » 53. Hoe komt het dat een krukje met vier poten kan wiebelen en een krukje met drie poten niet? » 54. Probeer zelf de volgende IZQQJL uit de K.ZQQJl�> J en 2 af te leiden KEGEL 5: Vook. twze Avu.jde.nd<L Lijnm gaat pfizclu tm vlak. » 55. Op een vlak stuk grond staan drie paaltjes van ongelijke hoogte. Langs de toppen van de paaltjes worden touwen gespannen die met pennen in de grond worden bevestigd. a. De drie pennen zullen op een lijn moeten liggen. Hoe kun je dat verklaren? b. Wat gebeurt er met die lijn als je van alle paaltjes een even

		groot stuk afzaagt?

	» 56. Volgens KQjQUt 1 kan een lijn I die VbLtt in het vlak a ligt hoogstens een punt met a gemeenschappelijk hebben. Als � en a inderdaad zo'n gemeenschappelijk punt P bezitten, dan zeggen we dat I het vlak a in P Anijdt. (Zoals de kijklijnen in fig. 6.1 het tafereel T snijden). Hoeveel snijpunten kan een lijn met een cilindervlak hebben? En met een torus (dit is een oppervlak in de vorm van een binnenband)?

-ocr page 36-



		32

			.

-ocr page 37-



					33

		RUIMTE-CONSTRUCTIES

			fig. 7.1
			fig. 7.1	fig. 7.2
				fig. 7.2

	»57. De figuren 7.1 en 7.2 zijn respectievelijk een parallelprojectie en een centrale projectie van de kubus ABCD EFGH. Het punt E is verbonden met een punt P op de ribbe BF. Het snijpunt van de lijn EP met het grondvlak ligt ergens op de lijn AB. a. Het punt P beweegt zich van B naar F. Beschrijf hoe het snij- punt S beweegt. b. Wat gebeurt er met S in figuur 7.2 als P naar F toeloopt?

» 58. a. Teken fig. 7.1 over in je schrift (zonder de punten P en S) en teken op de kubus ABCD EFGH een tweede kubus (EFGH KLMN). Teken het vlak door MN en FE en 'construeer' de snijlijn met het grondvlak (= vlak door A, B en C). b. Dezelfde opdracht voor fig. 7.2.

-ocr page 38-



		34 In de perspectieftekening (fig. 7.2) gebeurt er iets geks als je P omhoog schuift naar het punt F. Het punt S dat, zolang P lager ligt dan F, toch zeker VOOH. de kubus moet liggen, duikt plotseling aan de achterzijde op! Dit perspectiefverschijnsel kun je bijv. ook waarnemen als je wandelend in Utrecht een denkbeeldige lijn trekt van de top van een lantaarnpaal (waar je vlak bij staat) naar het puntje van de Domtoren (die je in de verte ziet). Die lijn lijkt de grond ergens "achter" de Dom te snijden, zo bedrieglijk is perspectief. Ook in » 58 'wringt' er iets als je kijkt naar het vlak MNEF in de per- spectief figuur. Je kunt je vermoedelijk wel voorstellen waarom we bij 'ruimteconstructies' waarbij het gaat om het tekenen van snijpunten van lijnen en vlakken, lie- ver gebruik maken van een parallelprojectie zoals fig. 7.1. Bij de volgende &e>vie opdA.ac.hten v-ind je aJULe {si.guA.en in je uieAkblok. * »59. Het punt H is verbonden met de punten op het verlengde van AB. Waar liggen de snijpunten van die verbindingslijnen met zijvlak BCGF? * » 60. P, Q en R liggen resp. op de ribben EF, BF en FG van de kubus. De kubus staat op het vlak a. a. Teken het snijpunt van de lijn PQ met vlak a. b. Teken de snijlijn van het vlak PQR met het vlak a. * »61. De punten A, B en C hebben t.o.v. het driedimensionaal assenstel- sel resp. de coordinatenrijtjes (3,0,1), (1,0,3) en (2,3,0). a is het vlak door A, B en C. a. Teken de snijlijn van a met achtereenvolgens het X0Z-, het XOY- en het YOZ-vlak. b. Wat zijn de coordinaten van de snijpunten van a met de coordi- naat-assen? c. Dezelfde opdracht voor het geval A: (3,0,1); B: (1,0,3) en C: (4,3,0).

-ocr page 39-



			35

	* » 62. Op een vlak stuk grond staan twee paaltjes in de nabijheid van een luik. Paaltje 2 staat dichter bij het luik dan paaltje 1 en is bo- vendien korter dan paaltje 1. Het luik wordt opengedraaid. a. Kan het luik op beide paaltjes rusten? Waarom? b. Zo nee, van welk paaltje moet je iets afzagen? Geef in de teke- ning aan hoe hoog dat paaltje moet worden.

		* » 63. Het vlak ABGH is een "diagonaalvlak" van de kubus. De lichaamsdiagonaal EC ligt in drie van zulke diagonaalvlakken. Teken die drie diagonaalvlakken.

fig. 7.3 * » 64. Construeer het snijpunt van de lichaamsdiagonaal EC met het vlak AHF. * » 65. Construeer het snijpunt van de lijn FS met het grondvlak a. * » 66. Construeer de snijpunten van de lijn PQ (Q is het grondvlak, P ligt op de cilinderas) met het cilindervlak. ExtML opgavz * » 67. De punten A, B en C zijn gegeven door hun projectie op resp. het XOY-vlak, het YOZ-vlak en het XOZ-vlak. Construeer de snijlijnen van het vlak a door A, B en C met de drie coordinaatvlakken.

-ocr page 40-



			36

		Kub-Lbchz Aiujn�e.vuZLing, M.C. Escher

-ocr page 41-



			37

		8 KRUISENDE LIJNEN »68. Op de prent van Maurits Escher (pag. 36) zie je balken in drie richtingen lopen. Als je de afmetingen verwaarloost kun je de bal- ken als rechte lijnen en de verbindingskubussen als punten opvat- ten. Zo krijg je een driedimensionaal rooster dat is opgebouwd m.b.v. drie stelsels parallelle lijnen. Twee parallelle lijnen hebben, zoals bekend, geen ontmoetingspunt. Maar geldt het omgekeerde ook: twee lijnen in de ruimte die geen ontmoetingspunt hebben zijn parallel? »69. De telefoondraden sluiten een vierhoekje in. Of niet soms?

-ocr page 42-



			38

		fig. 8.1

	**"■~~......»~~■"

» 70. Bekijk figuur 8.1. a. De touwen 1 en 2 lijken elkaar te snijden. Hoe weet je dat dit in werkelijkheid zeker niet het geval is? b. Als je een touw met dezelfde lengte als touw 1 zou willen span- nen dat touw 2 wel snijdt, waar zou dat dan in de vloer beves- tigd moeten zijn? (De tegels van het pleintje zijn vierkant). c. Een muis zit op de hoek van een tegel (zie figuur) en kijkt naar de vlaggemast. Waar ziet de muis de touwen 1 en 2 elkaar "krui- sen"? d. Hoe verandert de plaats van het "kruispunt" als die muis in de richting van de pijl (langs de rand van het pleintje) wandelt? Waar ziet de muis het "kruispunt" op de grond?

-ocr page 43-



		39

	Lijnen die niet parallel zijn en toch geen snijpunt hebben noemen we \ihJuuU>md& lijnm. De naam is misschien een beetje ongelukkig gekozen; bij "kruisende le- venspaden" of "kruisende blikken" denk je juist wel aan een ontmoeting. Maar als je aan "kruisende wegen" in het luchtruim denkt, dan klinkt het toch niet zo gek ...

De witte sporen die beide vliegtuigen op de blauwe hemel achterlaten lij� ken elkaar te snijden, maar je weet wel beter ... » 71. Veronderstel dat twee vliegtuigen met dezelfde snelheid vliegen volgens rechtlijnige routes die elkaar kruisen. Wat kun je zeggen van hun onderlinge afstand? Hoe zit dat als ze met dezelfde snel- heid volgens parallelle routes in dezelfde richting vliegen? * > 72. Een vliegtuig (A) vliegt op 10 km hoogte in noordelijke richting. Een tweede vliegtuig (B) vliegt op 8 km hoogte naar het oosten. a. Teken een mogelijke routelijn voor A en een voor B. b. Wat is de kleinst mogelijke onderlinge afstand van die twee vliegtuigen? c. Hoeveel graden is de hoek tussen die twee routelijnen?

-ocr page 44-

»73. Bekijk onderstaande kubus-plaatjes. De lijn door 1 en 2 snijdt de
lijn door 3 en 4 in S. Ben je het daar mee eens?

■ \


I ! 1 1 \/	\ \	IS \ \ \
*	--	^_-v
		\ j.
		3

fig. 8.2

» 74. Op de ribben HG resp. CG liggen
de punten Y en Z. (HY = y en
CZ = z).

a. Waarom zullen de lijnen EY en
BZ elkaar in het algemeen
kruisen?

b. Wat weet je van y en z als EY
en BZ elkaar snijden?

c. En wat als de lijn BZ de lijn
EY "achter langs" kruist?

fig. 8.3

-ocr page 45-

» 75. a. De zijvlaksdiagonalen AF en BG
ontmoeten elkaar (ook na ver-
lenging) niet! Hoe kun je dat
beredeneren?

b. We verdelen AF en BG nu in vier
gelijke stukken. Welke van de
vijf verbindingslijnstukken is
het kortst? (Licht je antwoord
toe) .

fig. 8.4

Met een beetje fantasie kun je in de bovenstaande figuur een ontwrichte
ladder of verwrongen hekwerk zien. Timmerlieden spreken in dat geval van
AckztuW. Bij een raamwerk van bijv. een deur, is het zaak dat de latten
niet scheluw, niet kruisend mogen zijn. Door kruisende lijnen kan n.l.
geen plat vlak worden gelegd! Allicht: als twee lijnen wel in een plat
vlak liggen, dan zijn ze of snijdend of parallel.

Van Dale: icheZuu) ■ verwrongen, uit het platte vlak gebogen;

ich&iuw hoot - door ongelijke krimping gedraaide, scheve planken.

-ocr page 46-

Er geldt dan:
KEGEL 6:

Voon. two.e. kmvUmdz ILjnm gaat geen plat vlak.

In tegenstelling tot:
REGEL 7:

Voon. twe.e. pahoJULzllz Itjnzn gaat een plat vlak.

» 76. In hoofdstuk 6 heb je gezien dat de verbin-
dingslijn van een rechte lijn I met een punt
H buiten I een vlak opspannen.
Als dat punt H heel ver weg van I ligt,
lopen die lijnen van H "bijna-parallel".

a. Hoe zit het als die lijnen echt parallel
zijn? Spannen ze een vlak op?

b. Gevolg: de parallelprojectie van een rechte
lijn op een vlak is weer een rechte lijn
Geldt dit in elke situatie?

De h.ng<lLt> 1, 4, 5 en 7 hebben alle betrekking op het "bepaald zijn van

een plat vlak".

We vatten ze hier even samen.

Een plat vlak ti> bepaald doon.:

a. een inchte. lijn en een punt daaAbuttzn;

b. dull punttn nloX-op-zln-Ktchtz-tiin;

c. -twee ■inljdo.nde. h.z.cht<i lljnm;

d. twin pahjollzJULz nzchtz tijntn.

i ■~~......~~»1 ■ t>;i i'|W i'lVl uH l,H I M-~~t H M.~~I I «'-M ■

ffw^wwrrr*!^!^^

fig. 8.6

-ocr page 47-



			43

		» 77. Door twee parallelle lijnen gaan (behalve een plat vlak) vele ge- bogen vlakken. Kun je een voorbeeld geven van een gebogen vlak door twee parallel- le lijnen? Minder bekend zijn gebogen vlakken die door kruisende lijnen gaan. Zo'n vlak kun je eenvoudig maken met behulp van twee latjes en een rekbaar koord. Span op gelijke afstand tussen de twee latjes een aantal draden. Als je de latten parallel houdt met de touwtjes gespannen (en ook paral- lel) krijg je een plat vlak. Draai je nu een van beide latjes t.o.v. de andere, zodat de latjes elkaar kruisen, dan spannen de draden een gebogen vlak pp. fig. 8.7 (1) » 78. Behalve die twee kruisende latjes in (2) zijn ook de verbindings- draden twee aan twee kruisend. Waarom? In plaats van twee rechte latjes kun je ook twee ringen of cirkelschij- ven nemen, waartussen de draden worden gespannen. Zijn de draden parallel, dan spannen ze een cilindervlak (zie foto 1, pag. 44) op. Als je nu de ene cirkel een beetje draait t.o.v. de andere, ontstaat een fraai gebogen vlak, opgespannen door kruisende lijnen (foto 2). Dat gebogen vlak heet een ky- p<mboloZdz. (Heb je enig idee waarom?).

-ocr page 48-



		44

	1. parallelle lijnen 2. kruisende lijnen 3. snijdende lijnen

»79. Hoeveel graden moet je de bovenste cirkel t.o.v. de onderste draaien om het kegelvlak (foto 3) te krijgen? » 80. Is een cilindervlak zoals op foto 1 bepaald door twee parallelle lijnen? Zo nee, door hoeveel lijnen dan wel? * »81. Een muis zit in het hoekpunt "links-voor-beneden" van de kubus. Hij ziet een "kruispunt" van de kruisende lijnen t en m. Construeer in de figuur de plaats waar hij dat "kruispunt" op I en waar hij het op m ziet. » 82. Bekijk nog eens figuur 8.4. Stel je voor dat AF en BG twee latjes zijn en de verbindingslijnen rekbare draden. Door het latje AF te draaien waarbij alleen A op zijn plaats blijft, kun je die draden in een vlak krijgen. a. Welke plaats neemt het latje AF dan in? b. Hoe groot is de hoek tussen de oorspronkelijke en de nieuwe stand van het latje? c. Hoeveel graden is de hoek tussen de kruisende lijnen AF en BG?

-ocr page 49-

PARALLELLITEITEN (1)

In de vorige hoofdstukken hebben we nogal wat aandacht besteed aan de
onderlinge ligging van punten, lijnen en vlakken in de ruimte.
De tabel geeft een overzicht van de mogelijkheden:


	?um	LIJN	l/LAK
?UNT	- valt samen met - valt niet samen met	- ligt op - ligt niet op	- ligt in - ligt niet in
LIJN	- gaat door - gaat niet door	- valt samen met - is parallel met - snijdt - kruist	-
l/LAK	- gaat door - gaat niet door	-	-

»83. Drie vakken zijn nog open. Wat moet daar staan?

» 84. Wanneer zul je een lijn parallel met een vlak noemen?
Geef een paar voorbeelden uit je omgeving.

» 85. Kan een zonnestraal parallel met het aardoppervlak zijn?

-ocr page 50-

> 86. Stel je voor, iemand beschikt over een touw dat precies even lang

is als de evenaar. Hij wil dat touw parallel aan het aardoppervlak

op 1 m hoogte boven de evenaar aanbrengen.
Hoeveel meter touw komt hij tekort?

rOi

» 87. Hoeveel meter touw zou hij tekort komen
als de aarde een hele grote kubus was?

fig. 9.1
» 88. Waar/onwaar?

a. Twee lijnen die parallel zijn met een derde lijn zijn onderling
parallel.

b. Twee lijnen die parallel zijn met een vlak zijn onderling paral-
lel.

» 89. Met een stukje papier kun je een modelletje
van twee snijdende vlakken vouwen. Onderzoek
met zo'n modelletje of er lijnen bestaan die
parallel zijn met twee snijdende vlakken.

> 90. Noem de twee vlakken om de vouwlijn: a en

ftJ / ^flg-

Kies een punt A in a en een punt B in 8.
Hoe vind je de kortste route van A via de
snijlijn naar B?

>91. Twee lijnen � en m liggen in een vlak y. De lijn k ligt niet in y>
snijdt t en is parallel met m. Maak een schetsje van die situatie.

> 92. Wanneer zul je twee vlakken parallel noemen? Geef voorbeelden uit

je omgeving.

»93. Ergens op 20 km van het aardoppervlak ligt het (denkbeeldige) grens-
vlak tussen de troposfeer en de stratosfeer. Welke vorm heeft dat
grensvlak?

> 94. Gegeven een kubus met ribben van 5 cm. Wat kun je vertellen van de

verzameling van alle punten bihiten de kubus die op een afstand van
1 cm van het kubusoppervlak liggen?

-ocr page 51-



		47

» 95. Een punt P ligt buiten een vlak y. Hoeveel lijnen kun je door P trekken die parallel zijn met y? Wat weet je van die lijnen? » 96. Een punt P ligt buiten de lijn c. Hoeveel vlakken kun je door P aanbrengen die parallel zijn met c? Wat weet je van die vlakken? » 97. Wat kun je zeggen van de verzameling van alle lijnen die parallel zijn met een gegeven lijn (resp. een gegeven vlak) en een afstand van 1 cm tot die lijn (resp. dat vlak) hebben? » 98. Gegeven: een lijn C in het vlak y. Geef commentaar bij de volgende uitspraken. a. Elke lijn Z die c kruist is parallel met y. b. Elke lijn � die parallel is met c, is parallel met y. » 99. Twee lijnen die in parallelle vlakken liggen zijn parallel. Is dat waar? » 100. Twee parallelle vlakken snijden een derde vlak. Wat weet je van de snijlijnen met dat derde vlak? » 101. Waar/onwaar? a. Een vlak dat een lijn parallel met een tweede vlak bevat, is parallel met dat tweede vlak. b. Een vlak dat twee lijnen parallel met een tweede vlak bevat, is parallel met dat tweede vlak. » 102. Twee vlakken verdelen de ruimte in drie of vier delen (al naar gelang ze parallel of snijdend zijn). Hoe zit dat met drie vlakken? Scbets alle mogelijkheden!

	fig. 9.3

-ocr page 52-

Je hebt 20 opgaven gemaakt over parallelliteit van lijnen en vlakken.
Een paar belangrijke zaken lichten we er uit.
Allereerst twee definities:

Ee,n tijn t en een vtak a zijn paAatlet ati, ze geen panten germemchappe-
tijk he.bbe.n. Notatie.: t//a ol a//t .

Twee vtakken a en 3 z^cj'n paxatteZ ati> ze geen punten gemeznichappeZijk
hehben. Hotatiz: a//B.

Uit de definities en de regels 1 tot en met 7 kunnen de volgende regels
worden afgeleid:

REGEi. %

Ati een tijn paAatteZ U> met een tij'n In een vtak
en ze�j$ n-iet in dot vtak tigt, dan ii> cite tijn
paAatteZ met dot vtak.

REGEL 9

At& een tijn panatleZ ii> met een vtak, dan hee.it etk
vtak, dot dit vtak mijdt en doon die. tijn goat, een
inijtijn met dit vtak die. panoJUleZ, -lb met die tijn

REGEL 10

Ati twee. inijden.de tijnen in een vtak paKoiteZ
zijn met twee hnijdende tijnen -in een -tweede vtak,
dan z-ijn die vtakken patattet.

REGEL H

Ati -twee paAaiiette vtakke.n geineden wo-tden doon.
een den.de. vtak, dan ztjn de. Anijtijnen met dot
dojide. vtak panattet.

REGEL 7 2 (PRIEl/LAKKENREGEL)

Ati dtie. vtakken eJLkaan. -inijden votgem dnie ven.
ickittende tijnen z-ijn ex tuie.e mogetijkkeden:
b^ de. dnie 6nijtijnen gaan doon. een pant,
ofa de dnie 6nijtijne.n ztjn pafuxtteJL.

-ocr page 53-

BEWIJS REGEL 8

Gegeven: I is parallel met de lijn m in a; t niet in a.

Door t en m gaat een vlak (regel 7), zeg 8.

Een eventueel snijpunt van t en a zou moeten liggen op a O $ (** lijn m) en dat is

in strijd met het gegeven til ft\.

Conclusie: til a.

BEWIJS REGEL 9

Gegeven: I is parallel met a.

Laat m de snijlijn van een vlak 3 door t met a zijn.

Omdat t en m in een vlak liggen kunnen zij elkaar niet kruisen. Zij kunnen elkaar

ook niet snijden, want dan zou t niet parallel zijn met a.

Conclusie: til m.

BEWIJS REGEL 10

Gegeven: De snijdende lijnen fa en b₂ in vlak S zijn resp. parallel met de li'jnen d₁

en a₂ in vlak a.

Volgens regel 8 zijn b_x en b₂ parallel met a. Vol gens regel 9 zou een eventuele

snijlijn van S met a parallel moeten zijn met zowel b_x als b₂; dit is onmogelijk

omdat b_x en b₂ elkaar snijden!

Conclusie: $// a.

BEWIJS REGEL 11

Gegeven: De parallelle vlakken a en 8 snijden y resp. volgens de lijnen a en b,
De lijnen a. en b kunnen elkaar niet kruisen, want ze liggen beide in y. Ze kunnen
elkaar evenmin snijden, want a en 3 hebben geen gemeenschappelijke punten.
Conclusie: all b.

BEWIJS REGEL 12

Gegeven: a, 6, y zijn drie vlakken met: a O 3 = fc, 3 n y = t en y n a = m. (k f

We letten nu op de lijn k en het vlak y.

De lijn k ligt zeker niet in y. (Immers: k in a, a n y = m en k j* m).

Er blijven nu twee mogelijkheden over:

(i) k snijdt y in S. S ligt in a en B (want S 6 fe) en S ligt in y.

Dus S is het gemeenschappelijke punt van a, B en y (en van fe, t en m).

Conclusie: fe, I, m snijden elkaar in S.

(ii) klly.

Volgens regel 9 zijn I en m parallel met k.
Conclusie: fe// III m.

+ fe)

-ocr page 54-



		50

-ocr page 55-



				51

		f

PARALLELL1TEITEN (2)

	» 103. Het "zuiver" Nederlandse woord voor parallel is ZVCYlW-LjcLLg (van even wij d = even ver). Bekijk de twee definities op pag. 48. Kun je alternatieve definities bedenken die aansluiten bij de letterlijke betekenis van het woord evenwijdig? » 104. In fig. 10.1 zie je een vlak door het punt (0,0,3) parallel met het XOY-vlak. a. Dat vlak wordt aangeduid met: "z = 3". Kun je dat verklaren? b. Wat kun je zeggen van de ligging van de vlakken "x = 2" en *"y = ~V">* c. Het vlak "z = 3" draaien we om de snijlijn met het YOZ-vlak (in de aangegeven richting). In de nieuwe stand wordt het XOY-vlak gesneden. Wat weet je van de ligging van de snijlijn? Hoever ligt die lijn z van de oorsprong af in het geval dat je het vlak "z = 3" over een hoek van 1° draait? En bij een draaiings- hoek van 2°?

			fig. 10.1

-ocr page 56-



			52

		* > 105. De vlakken a en 3 zijn parallel. De lijnen t en t snijden elkaar in P. A₁ en B_x zijn de snijpunten van Z₁ met a en 3. A₂ is het snijpunt van t₂ met a. Construeer het snijpunt B₂ van Z_z met 3. * » 106. De vlakken a, 3 en y zijn parallel; de lijnen t_x en t₂ kruisen el- kaar. A_x, B₁ en C., zijn de snijpunten van t_x met resp. a, 3 en y; A₂ en B₂ zijn de snijpunten van t₂ met resp. a en 3. Construeer het snijpunt C₂ van �₂ met y. (Aanwijzing: trek een "hulplijn"). * » 107. Gegeven is de kubus ABCD EFGH. a is het vlak door A, C en H; � is de lijn door A en H. a. Teken vier lijnen door B die parallel zijn met a. b. Teken drie vlakken door B die parallel zijn met t. * » 108. a. Teken het vlak a door de punten (4,0,0) en (0,4,0) dat parallel is met de Z-as. b. Voor de punten van a die in het XOY-vlak liggen geldt dat de som van de x- en y-coordinaat gelijk is aan 4. Hoe zit dat voor de punten van a die yiLqX. in het XOY-vlak liggen? c. Wat weet je van de verzameling punten (x,y en z) in de ruimte waarvoor geldt: X+y = 6l Maak een tekening. d. Teken (in een andere kleur) de verzameling punten met y + z = 8. » 109. Bekijk nog eens fig. 10.1. Het vlak "z = 3" wordt in de aangegeven richting om de snij lijn met het YOZ-vlak over een hoek van 45° gedraaid. Welke "vergelij- king" heeft het vlak dat je zo krijgt?

-ocr page 57-



				53

	* »110. De drie coordinaatvlakken (x. = 0, y = 0 en Z = 0) verdelen de ruimte in acht delen, de zogenaamde OcXantzn. Het vlak X + 2z - 4 gaat door zes van de acht octanten. Teken het vlak (voorzover zichtbaar) in die zes octanten.

* » 111. In een driedimensionaal assenstelsel zijn gegeven de punten A: (2,0,2); B: (2,5,0); C: (5,0,5) en D: (5,2,0). a. Teken die punten. b. De kruisende lijnen AB en CD zijn beide parallel met het YOZ- vlak. Hoe kun je dat beredeneren? c. Construeer de verbindingslijn van AB en CD die parallel is met de x-as. d. Bereken de coordinaten van de punten op AB en CD die door die lijn worden verbonden. * » 112. P, Q, R en S zijn de middens van resp. de ribben AB, AC, DC en DB van het viervlak. a. PQ//RS. Waarom? b. Uit a. volgt dat de vier punten P, Q, R en S in een vlak - zeg a - liggen. Het vlak a is parallel met de ribben AD en BC. Waarom? c. Er zijn drie van zulke "middenvlakken" in een viervlak. Teken de drie middenvlakken a, 6 en y van het viervlak ABCD. Teken ook het snijpunt van die drie vlakken _D in je werkblok.

		fig. 10.2
			B

-ocr page 58-



				54

» 113. Gegeven zijn twee kruisende lijnen <X en 6. Door a wordt een vlak

			a, door b een vlak 3 aangebracht.

		a. Is het zeker dat a en 3 elkaar snijden? Zo nee, hoeveel vlakken a en 3 zijn er waarvoor dit niet het geval is? (Je kunt wat experimenteren met twee agenda's als "vlakkenbun- dels"). b. Veronderstel dat a en 3 elkaar snijden in de lijn C. Wat weet je van de ligging van c t.o.v. de lijnen a en b? c. Hoe kun je het voorgaande gebruiken om door een gegeven punt P een verbindingslijn van a en 6 te construeren? a

	d. Er zijn drie soorten punten in de ruimte: i. Punten waardoor oneindig veel verbindingslijnen van d en b gaan. ii. Punten waardoor geen verbindingslijnen van <X en b gaan. iii. Punten waardoor een verbindingslijn van a en b gaat. Beschrijf de ligging van de punten van elke soort.

-ocr page 59-



				55

		11

DOORSNEDEN

			■■ .'■"■'■'

	» 114. Een houtblok in tweeen. Hoe ziet het zaagvlak eruit als je het blok niet vertikaal of horizontaal, maar d-lago- naat doorzaagt?

	» 115. Een stuk kaas in de vorm van een vier- zijdige piramide. Alle ribben zijn 6 cm lang. Het kaasbijltje wordt paral- lel met een van de opstaande zijvlakken bewogen en begint in het midden van een ribbe. Welke vorm heeft het snijvlak? Construeer dat snijvlak op ware grootte.

-ocr page 60-



			56

		Een literpak melk heeft de afmetingen 7 bij 7 bij 20 cm. In een van de hoeken van het bovenvlak zit een schenkgaatje. Het pak melk op de foto was half vol (de melk trouwens ook). Kijk goed naar de stand van het pak. Welke vorm had de vloeistofspiegel toen Aad begon te schenken? Teken die vloeistofspiegel nauwkeurig op schaal. » 117. Melk- en frisdranken worden ook wel verkocht in "viervlakverpak- king". a. Zo'n viervlakpakje kun je vouwen uit een rechthoekig vel pa- pier (afmetingen 8 bij 18 cm). Hoe? b. Stel je voor dat je zo'n pakje hebt van doorschijnend verpak- kingsmateriaal. Als je een half vol pakje op tafel zet >k staat de vloeistofspiegel onder het / \ >v / � \ N. midden. Je kunt dan niet zien dat het / \ ,-\ pakje precies voor de helft gevuld is. / \ /' / Het is echter mogelijk om het pakje zo C^^ " ""V / te houden dat je wel met een oogopslag "~*~-V kunt zien dat het precies voor de helft vol is. Hoe moet je het pakje dan houden? (Er zijn twee verschillende oplossingen).

-ocr page 61-



			57

* » 118. Gegeven is de kubus ABCD EFGH. a. Bewijs dat de vlakken AHF en BDG parallel zijn. b. In de middens van drie rib- ben van de kubus zitten drie kubuskruipers. Zij maken alle drie een rondwandeling over de kubus en lopen daar- bij steeds in een richting parallel met vlak AHF. Teken de drie rondwandelin- gen over de kubus. c. Wat weet je van de onder- linge lengteverhouding van de drie routes? d. Een vierde kubuskruiper loopt ook een route paral- lel met vlak AHF, maar start op een andere plaats tussen A en B. Hij meent dat het er niet toe doet waar je tussen A en B begint (alle rondwan- delingen zijn even lang). Zoek uit of dat waar is.
		fig. 11.1


	Let nog eens op fig. 11.1. Daarin zijn de vlakken AHF en BDG duidelijk aangegeven. Je weet natuurlijk dat het vlak AHF veel groter is dan in de tekening wordt gesuggereerd, in feite is het onbegrensd! Wat we getekend hebben is het deel van het vlak dat door de kubus "snijdt". We noemen dat dan ook de dooHAndde. van de kubus met het vlak. De zaagvlakken en de vloeistofspiegels van de vorige opgaven zijn ook voorbeelden van een doorsnede van een plat vlak en een ruimtelijke fi- guur.

-ocr page 62-



		58

	In figuur 11.3 zie je de doorsnede van de piramide TABCD met het vlak y dat door het midden P van ribbe TA gaat en parallel is met het zijvlak TCD.

Id------------\^ fig. 11.3 A B * » 119. We laten het vlak y langzaam draaien om de lijn PQ. Probeer je goed voor te stellen hoe de doorsnede van y met de piramide gelei delijk verandert. Teken drie verschillenden tussenstanden. * » 120. Dezelfde opdracht als in » 119, maar nu draait y om de lijn QR. * » 121. P en Q zijn de middens van twee aansluitende ribben van de kubus in het bovenvlak. We laten een vlak a door de lijn PQ draaien om die lijn. De doorsnede van a met de kubus neemt achtereenvolgens de vorm aan van: een gelijkzijdige driehoek, een rechthoek, een symmetrisch trapezium, een regelmatige zeshoek, een symmetrische vijfhoek en een vierkant. Teken die doorsneden. * » 122. In een driedimensionaal assenstelsel is een kubus met ribbelengte 6 getekend. y is het vlak door de punten P: (8,0,0); Q: (0,4,0) en R: (0,0,8). a. Teken de doorsnede van y met de kubus. b. Welke coordinaten hebben de hoekpunten van die doorsnede? We laten nu Q langs de y-as lopen, waarbij de y-coordinaat van Q toeneemt. c. Hoe groot moet de y-coordinaat van Q zijn om een zeshoek als doorsnede te krijgen? En vanaf welke y-coordinaat wordt de doorsnede een vierhoek?

-ocr page 63-



				59

	d. Teken de "limietstand" van de doorsnede van y met de kubus voor het geval de y-coordinaat van Q naar °° nadert.

			PaalwoviLnge,n (architect P. Blom)

» 123. Kubuswoningen op palen bestaan echt. Als je in de buurt van Hel- mond komt moet je ze maar eens opzoekeri. Sommige bewoners van deze merkwaardige huizen schijnen last van evenwichtsstoornissen te hebben, maar afgezien van dit ongerief is het knus wonen in de paalhuizen. a. Teken het bovenaanzicht van zo'n kubus. b. In de tekening hieronder zie je dat er drie verdiepingen zijn. Teken in het bovenaanzicht de vloer van de kubus die zich op niveau A bevindt.

		niveau A

-ocr page 64-



		60

	c. De oppervlakte van die vloer is 60 m². Hoe lang is de ribbe van het kubushuis? d. Hoe verandert de vloeroppervlakte bij A als je die vloer een beetje laat zakken (of een beetje omhoog schuift)? e. De vloer van de zolderkamer (B) heeft de vorm van een regelma- tige zeshoek. Kijk maar naar de foto van het kubushuis in aan- bouw. Welke vorm zou die vloer hebben als deze door zou lopen tot het "dak"?

f. De hoogte van de grote kamer is 2.40 m. Hoe hoog is de zolder- kamer?

-ocr page 65-



				61

			12

	RUIMTECONSTRUCTIES (2) Een "stripverhaal" van een ruimteconstructie. Het gaat om de constructie van het vlak y door P, Q en R met de piramide TABCD. Bij de constructie is gebruik gemaakt van het drievlakkenpunt K.

		» 124. Vertel in woorden hoe de constructie is uitgevoerd.

I

-ocr page 66-



			62

		*#mm 4m

-ocr page 67-



			63

		» 125. Bekijk opnieuw de figuren op de vorige pagina. De lijn QR is parallel met de opstaande ribbe TC. Wat weet je van de snijlijn van vlak y met het vlak TCD? Hoe zou je die lijn kun- nen construeren? * » 126. P en Q liggen resp. op de ribben AD en AB van het prisma ABCDEF; R ligt in het zijvlak BEFC; y is het vlak door P, Q en R. Construeer de doorsnede van het vlak y met het prisma. * » 127. Nu liggen P, Q en R resp. in de zijvlakken ABD, BCD en ACD van het viervlak ABCD. y is weer het vlak door P, Q en R. a. Construeer de snijlijn van y met het grondvlak (d.i. de zoge- naamde gfiond-LLjn) . b. Construeer de doorsnede van y met de piramide. * » 128. y is het vlak door C , C , C resp. op de ribben A^, A₂B₂ en A₅B₅ van het prisma. Construeer de doorsnede van y met het prisma. * » 129. Construeer de doorsnede van de piramide met het vlak door A, B en C. (Let op: de grondlijnconstructie is niet goed uitvoerbaar!). * » 130. Construeer de doorsnede van het zeszijdige prisma met het vlak door de ribbe A,A� dat de ribbe A,B, halveert. * » 131. Van een vierzijdige afgeknotte piramide is het grondvlak en een punt van het bovenvlak (nl. G) getekend. Grond- en bovenvlak snij- den elkaar in de lijn �. Voltooi de tekening van die afgeknotte piramide. * » 132. Een kubus staat op het tafelblad y. De zonnestralen zijn parallel met de getekende lichaamsdiagonaal. a. WeIke zijvlakken van de kubus zijn in de schaduw? b. Teken de schaduw die de kubus op tafel werpt.

-ocr page 68-



	64

* > 133. In het punt bevindt zich een lampje. De zeshoek AjAg.^Ag werpt een schaduw op het vlak T. Drie hoekpunten van de schaduwzeshoek zijn al getekend. Teken die schaduwzeshoek af. * > 134. Een vlak a door B en P (op het verlengde van DH) snijdt de kubus volgens een veelhoek waarvan PB de symmetrie-as is. Construeer die veelhoek. * » 135. Construeer de doorsnede van de kubus met het vlak door P, Q en het middelpunt M van de kubus. Wat weet je van de stukken waarin dit vlak de kubus verdeelt? * » 136. Een groepje van drie kubussen. Je kunt met een vlak alle drie de kubussen in twee congruente stukken verdelen. Teken de doorsnede van dat vlak y met de drie kubussen. Extna. opgave. » 137. Kan de doorsnede van een kubus met een vlak door het middelpunt ook een vijfhoek zijn? Waarom?

		'

-ocr page 69-



				65


		w
		w

ALGEBRAISCHE VOORSTELLING VAN DE RECHTE LIJN

			fig. 13.1

	» 138. Parallelprojectie van een kubus met assenstelsel. a. Bob: "Het punt P heeft de coordinaten (4,2,4)". Wim: "Volgens mij (0,0,3)". Wie van de twee heeft gelijk? b. Welk misverstand zou er m.b.t. het punt Q kunnen bestaan? c. Bob geeft in de figuur heel precies het punt (4,2,1) aan. Waar vind je dat punt in de figuur? d. En waar vind je het punt (2,1,!)? En waar het punt (-4,-2,-1)? En (-40,-20,-10)? e. In welke richting is de kubus op het papier geprojecteerd, d.w.z. wat is de richtingsvector van de projectstralen?

-ocr page 70-



				66

		De kubusfiguur op pag. 65 is de tweedimensionale voorstelling van een driedimensionale vorm. Bij zo'n voorstelling kan het niet anders of ver- schillende punten van de ruimte worden door dezelfde stip voorgesteld. Vandaar het meningsverschil van Bob en Wim. Sterker gezegd: Elk punt in de ^tguuA veAtzge.nuiooH.dlgt onutndZg veeZ puntm, na.melA.jk alle punten van de. pn.oje.cjbLeAt>uiaZ doon. dot pant. Dat kan duidelijk worden gemaakt in een tekening waarbij het projectie- tafereel nlet samenvalt met het tekenvlak. Z

	Het XOY-vlak is het projectietafereel. De richting van de projectie wordt vastgelegd door de vector h. = (2,3,4).

			fig. 13.2

Alle punten van de lijnfc^, hebben dezelfde projectie n.l. het punt (0,0,0) Evenzo worden k₂ (resp. fe₃, resp. k_h) geprojecteerd in de punten (2,0,0) (resp. (0,3,0), resp. (2,3,0)). » 139. Noem (de coordinaten) van twee punten "boven" en twee punten "on- der" het XOY-vlak waarvan het punt (2,0,0) de projectie is. Dezelfde vraag voor (0,3,0) en voor (2,3,0). De coordinaten van een punt van k vind je eenvoudig door de coordinaten van het punt R: (2,3,4) met een of ander reeel getal te vermenigvuldigen. Zo vind je bijv. (4,6,8); (20,30,40); (\| ,1,1); (-10,-15,-20) als punten van k_lt punten die allemaal in de oorsprong worden geprojecteerd.

-ocr page 71-

Kortom: fe₁ is de verzameling punten (2�, 3-t, 4�) met � �
We schrijven dat zd op:


k₁ :	[x,y,z] of	= [2t,3t,U)
fe₁ :	(x,t/,z)	= �(2,3,4)

(1)

» 140. Bekijk het rijtje punten van f^ onderaan pag. 66 ((4,6,8); enz.)
Hoe kun je bij dit rijtje gemakkelijk vier punten van k₂ vinden?
En punten van fe₃? En van k_h1

In » 140 heb je waarschijnlijk gevonden dat je de punten van k₂ kunt vin-
den door de punten van k te verschuiven over de vector (2,0,0).
Verschuiven over de vector (2,0,0) betekent: "bij de eerste coordinaat
2 optellen".


k₂ :	(x,(/,z) of	= (2 + 2t,3t, kt\
k₂ :	[x,y,z]	= (2,0,0) +�(2,3,4)

... (2)

fig. 13

(1) en (2) zijn algebraische voorstellingen van de lijnen \l₁ en fe₂.
Men noemt dit ook wel poA-t^mzteAvooutoXLinQtYl. De variabele t is de
zogenaamde poJiOM0�<L?i.

-ocr page 72-

» 141. Schrijf een parametervoorstelling van k op. (Op twee manieren)
Ook voor fe. .

Kijk nog eens naar de lijn fe₂.

De vector (2,3,4) legt de richting van k₂ vast en wordt daarom ook wel

een SvLchtingAVZcXoti van k₂ genoemd.

De lijn k₂ steunt als het ware op de vector (2,0,0) en deze heet dan ook

wel een ■btQJU.nvncX.on. van k₂.

Z k₂

i₂ : (x,y,z) = (2,0,0) + �(2,3,4)
I------------------------'

i>tzunvzctosi paAameXnA iilcktlnQ&vzctoK.

fig. 13.4

Twee opmeA.k-ingzn.

� In principe kun je elk punt van de lijn als eindpunt van de steun-
vector kiezen. Voor de lijn fe₂ bijvoorbeeld (6,6,8) in plaats van
(2,0,0).

Ook kun je elke vector parallel met k₂ als richtingsvector nemen.
Voor k₂ bijvoorbeeld (20,30,40) in plaats van (2,3,4).
Zo krijg je dan "(x,�/,z) = (6,6,8) + u(20,30,40)" hetgeen evengoed
een parametervoorstelling van k₂ is als "(x,t/,z) = (2,0,0) +�(2,3,4)".

Li In de parametervoorstelling (1) van k_l ontbreekt ogenschijnlijk de
steunvector. Als steunpunt van die lijn kun je echter (0,0,0) kie-
zen; "(x,lf,z) = �(2,3,4)" is ook te schrijven als:
"(x,t/,z) = (0,0,0) + �(2,3,4)".

-ocr page 73-



			69

	» 142. Schrijf een parametervoorstelling op van de lijn fe_g// k₁ die door het punt (0,0,4) gaat. Welk punt van het XOY-vlak is de projectie van het punt (0,0,4) bij een parallelprojectie met richtingsvector (2,3,4)? Z H = (2,3,4)

		fig. 13.5

» 143. K is de kubus met ribben langs de positieve X-, Y- en Z-as en ribbelengte 4. De kubus K wordt parallel geprojecteerd op het XOY-vlak in de richting (2,3,4). a. Bereken de coordinaten van de projecties van de hoekpunten van het bovenvlak van K. b. Neem het XOY-vlak als tekenvlak en teken daarin de projectie van K. » 144. Bekijk fig. 13.3 op pag. 67. Hoe kun je beredeneren dat k^ de Z-as snijdt? In welk punt gebeurt dat?

» 145. Bekijk opnieuw figuur 13.1 (pag. 65). De punten (4,2,4) en (0,0,3) hebben daarin dezelfde projectie. a. Hoe kun je uit de coordinaten van die twee punten de richtings- vector van de projectie terugvinden? b. Noem nog drie punten die in de tekening door P worden voorge- steld.

-ocr page 74-



			70

		* » 146. P en Q zijn roosterpunten in het YOZ-vlak en het XOZ-vlak. Bij een parallelprojectie op het XOY-vlak hebben P en Q hetzelfde beeldpunt. a. Construeer in de figuur dat beeldpunt. b. Wat is de richtingsvector van die parallelprojectie? c. De punten A en B liggen twee eenheden vertikaal "boven" P resp. Q. Bereken de coordinaten van het snijpunt van de lijn AB met het XOY-vlak. d. Laat 3 het vlak zijn door de Z-as waarvan de snijlijn met het XOY-vlak de richtingsvector (1,1,0) heeft. Teken het spiegelbeeld van de lijn PQ bij spiegeling in het vlak 3. Geef ook een parametervoorstelling van dat spiegelbeeld. » 147. De kubus K uit » 143 wordt nu centraal geprojecteerd op het XOY- vlak. Het projectiecentrum is het punt (6,6,8). a. Bereken de coordinaten van de projecties van de hoekpunten van K's bovenvlak. b. Teken de projectiefiguur van K. (Neem het XOY-vlak als teken- vlak). » 148. Een deeltje beweegt zich t.o.v. een driedimensionaal coordinaten- vlak in een vaste richting met constante snelheid. Op het tijdstip 0 bevindt het zich in het punt (0,3,2); een secon- de later (op "het tijdstip 1") is het in (2,4,4). a. Welke positie heeft het deeltje op "het tijdstip 10" (d.w.z. 10 seconden nadat het in (0,3,2) arriveerde)1 b. Waar is het deeltje op "het tijdstip -2" (2 seconden vooraf- gaande aan het tijdstip 0)? c. En waar op het tijdstip �1 d. De eenheid van het coordinatenstelsel is 1 m. Toon aan dat de snelheid van het deeltje 3 m/s bedraagt.

-ocr page 75-

» 149. Van een deeltje dat zich in de ruimte beweegt is de positie (t.o.v.
een rechthoekig coordinatenstelsel met als eenheid 1m) op het
tijdstip t gegeven door:

S_t = (2-t, 1, t)

We noemen S-. de pla.ative.ctoh. van het deeltje op het tijdstip t.

a. Welke vector geeft de snelheid van het deeltje aan?

b. Hoe snel (in m/s) beweegt het deeltje zich?

c. Teken de baan van het deeltje voorzover die zich binnen de ku-
bus (fig. 13.6) bevindt.

d. Gedurende welk tijdsinterval bevindt het deeltje zich binnen
de kubus?

fig. 13.6

o ■ ²

2 )---------■

» 150. Dezelfde opgave voor het geval: S. = (2 +1, -t, 2 + t).

» 151. Laat S^ de plaatsvector zijn van een deeltje op het tijdstip t en
v de (constante) snelheidsvector.

Ga na dat de (rechtlijnige) baan van het deeltje gegeven wordt
door de parametervoorstelling:

S. = S� + tv.
-t -o

» 152. De baan in de vorige opgave kan ook beschreven worden als:

h ⁼ *o ⁺ ^Uh ' V

Waarom?

-ocr page 76-

«*�!

. . . ;

■.'.;..' ■ ■ ■ ■■'■■

Vfuxcuiz fmimtzkfiommzn Wid&n gzvohmd dooh. kooQvli.zgzn.dz vLizgtLiigzn.
Peze knommzn bzbtaan aiZ kun&tmatigz condznicutlzuiolkzn.

-ocr page 77-



		73

	14 KROMMEN IN DE RUIMTE

» 153. Van een bewegend deeltje wordt de baan (t.o.v. een driedimensio- naal assenstelsel) gegeven door: S.,. = (1,-t,-t²). a. Enig idee hoe die baan er uitziet? b. In welk vlak beweegt het deeltje zich? c. Schets in een driedimensionaal assenstelsel de baan die bet deeltje doorloopt. » 154. Dezelfde opdracht voor: a. S. = (cos-t, 3, sin-t). b. S^ = (t,t,U²).

-ocr page 78-



			74

		De deeltjes, waarvan de beweging beschreven wordt in » 153 en » 154, be- wegen zich langs kromme banen. Bij zo'n kromlijnige beweging verandert het deeltje voortdurend van richting, m.a.w. de snelheidsvector is yvLqX constant. De kentallen van de (variabele) snelheidsvector op het tijd- stip t vind je door de kentallen van de plaatsvector naar t te differen- tieren. De volgende redenering, geldig voor een willekeurige kromlijnige baan, maakt dat duidelijk. Stel het deeltje is op tijdstip t in het punt P met plaatsvector S^ = (x[t), yU), z[t)). Een klein poosje (At) later bevindt het deeltje zich in Q met plaatsvec- tor: -t + ht ⁼ (x-lt + bt)' ytt + bt), z{t + At)). Stel je voor dat het deeltje zich rechtlijnig van P naar Q zou bewegen. De snelheidsvector zou in dat geval gelijk zijn aan: 1 It' ⁽-t + At~-r ⁼ ( x[t+ At) - x[t) y[t + At) - yU) z[t + At) - z[t) \ \ At "At 'At )

-ocr page 79-

Laten we nu At tot nul naderen, dan vinden we de snelheidsvector op het
tijdstip t:

v_t = (x'[t), y'[t), z'tf))

ofwel:

_ /dx dy_ dz \

-t [at' at' at)

aan te geven dat we v. door differentieren uit S .. vinden, noteren we

= «. ¹>

ook wel: Vj. = S'..

Voofibzutdzn:

In » 153 geldt: v± = (0,1,It)

In » 154a geldt: v. = (-sin^t, 0, cos t)

In » 154b geldt: v. = (1,1,-t)

» 155. Zie » 150.

Wat is het resultaat als je de plaatsvector naar t differentieert?

» 156. S. = (\t, ^t², \t³) is de algebraxsche voorstelling van de baan van
een zich bewegend deeltje.

a. Teken de baan die het deeltje gedurende het tijdsinterval
[0;2] doorloopt.

b. Teken de snelheidsvector op de tijdstippen t = 0 en t - 1.

c. Teken de loodrechte projecties van de baan op het XOY- en het
XOZ-vlak.

d. Ligt de baan van het deeltje in een plat vlak?

Men gebruikt hier ook wel het "fluxie-syinbool" waarvan Newton zich bij zijn differentiaalrekening

bediende: v,. » S-.

-ocr page 80-



				76

	(1)

		: .'■: '■.■■.. ^:-- ■ ' ' ■ ■ ,.- gtf\|

			§



(2)

-ocr page 81-



		77

	Meetkundig gezien is de snelheidsvector op het tijdstip t (zoals bijv. in » 156) een richtingsvector van de tiaa.ltLLjn aan de kromme in het punt met parameter t.

» 157. Gegeven de ruimtekromme k met parametervoorstelling (x,y,z) = {t, \lt, & - 1) De raaklijn aan k in het punt met � = 4 is Z. Geef een parametervoorstelling van die lijn t. Een fraai bekend voorbeeld van een "ruimtekromme" is de zgn. 6chtioe.&ZsLjn of koJLLx. Voorbeelden hiervan zijn: de draad in een schroef, de leuning van een wenteltrap, de baan van een propellertip, ... Foto 1 toont een miniatuur radiotelescoop in Hong Kong met schroeflijn- antenne, ingesteld op een passerende Amerikaanse weersatelliet. Foto 2 laat zien dat je onder bepaalde atmosferische omstandigheden de "propellerschroeflijn" bij een startend vliegtuig met eigen ogen kunt waarnemen.

-ocr page 82-

Kijk naar de beweging van de propellertip

fig. 14.3

Deze "schroefbeweging" is de resultante van:

(1) een cirkelbeweging in het XOZ-vlak;

(2) een rechtlijnige beweging in de richting van de y-as,

^^L

fig. 14.4

Kiezen we de tijdseenheid zo dat de propeller in 2n tijdseenheden een
voile slag maakt, stellen we de lengte van de propeller H en de snelheid
van het vliegtuig v, dan worden de bewegingen (1) en (2) algebraisch be-
schreven als:

(1) : (x, y, z) = {ficos t, 0, ftsint)

(2) : {X,y,z) = (0,vt, 0).

-ocr page 83-

» 158. a. Verklaar de parametervoorstellingen (1) en (2)

b. Geef een parametervoorstelling van de schroeflijn die de pro-
pellertip beschrijft.

» 159. Op de cilinder zie je een schrijflijn
aangebracht.

a. Geef een parametervoorstelling van
de schroeflijn.
Neem daarbij het volgende aan:

1. De Z-as is de as van de cilinder.

2. De straal van de cilinder is 1.

3. Het beginpunt (� = 0) ligt op de
X-as.

4. De hoogte van de schroeflijn na
een voile slag is 2tt.

Bereken de kentallen van een rich-
tingsvector van de raaklijn aan de
schroeflijn in het punt met parame-
terwaarde t.

c. Toon aan dat de in b. bedoelde raaklijn een hoek van 45° met
de Z-as maakt.

d. De cilinder (met hoogte 4tt) wordt opengeknipt langs de lijn door
(1,0,0) parallel met de cilinderas en vervolgens uitgerold.

Zo ontstaat er een rechthoek.

Teken die rechthoek en daarin de schroeflijn.

» 160. De schroeflijn op de foto is een zogenaamde rechtsdraaiende schroef-
lijn.

Geef een parametervoorstelling van een "linksdraaiende" schroeflijn
die in hetzelfde punt begint.

-ocr page 84-



		80

-ocr page 85-

ALGEBRAISCHE VOORSTELLING VAN PLATTE EN GEBOGEN VLAKKEN

Z
I

^~3?

fig. 15.1

» 161. Een bouwsel van kubusjes met ribbe 1.

a. Uit hoeveel kubusjes bestaat het bouwsel?

b. Vijftien hoekpunten zijn er aangestipt.

Geef de coordinaten van elk van die hoekpunten.

c. Welke betrekking bestaat er tussen die coordinaten van elk
van die vijftien hoekpunten?

d. Hoe kun je beredeneren dat die vijftien hoekpunten in een vlak
-zeg a - liggen?

e. In welke punten snijdt het vlak a de drie coordinaatassen?

-ocr page 86-



		82

	Opvallend aan de vijftien punten van fig. 15.1 is dat de i>om van de. co- ofidincutzn voor alle vijftien gelijk is aan 7. Bovendien liggen die vijf- tien in een vlak a, Er is weinig fantasie voor nodig om op het idee te komen dat voor <Ml punt van a de coordinatensom wel eens gelijk zou kunnen zijn aan 7.

»162. Kies twee punten uit de vijftien van fig. 15.2 en stel een para- metervoorstelling op van de verbindingslijn van die door jou ge- kozen punten. Laat nu zien dat voor elk punt van die verbindingslijn de coordi- natensom inderdaad gelijk is aan 7. » 163. De punten van de ruimte worden parallel geprojecteerd op het XOY- vlak. De richtingsvector van de projectie is (1,0,-1). a. Wat kun je zeggen van de projecties van de punten van a? Laat � de snijlijn zijn van a met het XOY-vlak. b. Geef een parametervoorstelling van t. c. Neem een willekeurig punt van t (coordinaten uitgedrukt in een parameter). Geef een parametervoorstelling van de projectiestraal van dat punt.

-ocr page 87-

fig. 15.3

d. Bereken de cob'rdinatensom van een willekeurig punt van die
projectiestraal. En?

Uitgaande van de parametervoorstelling (x,�/,z) = (7,0,0) + �(1,-1,0)
van de lijn t, vind je als parametervoorstelling van een "willekeurige"
projectiestraal in a:

(x,t/,z) = (7 + �, -t, 0) + a( 1,0,-1)

ofwel:

(x,t/,z) = (7 + t + a, -t, -a)

(1)

Omdat elk punt van a op deze manier beschreven kan worden, noemen we (1)
een paAamtteAvootUtelLLng van htt vlak a. Hierin komen de twee onafhanke-
lijke parameters t en U voor.
In plaats van (1) kunnen we ook schrijven:

(1')

(X,(/,Z) = (7,0,0) +*(1,-1,0) +u(1,0,-1)

Uit (1) volgt onmiddellijk dat de coordinatensom van elk punt (x,�/,z) is

a gelijk is aan 7.

Zo hebben we een tweede algebraische voorstelling van a

(2)

x + y + z = 7

die ook wel een veAQuLLjkJjlQ van a wordt genoemd.

-ocr page 88-



					84

Bekijk nog eens de parametervoorstelling (1'). Als je voor � een vaste waarde kiest (en u laat varieren), krijg je een lijn in a met richtingsvector (1,0,-1). Kies je voor a een vaste waarde (en laat je � varieren), dan krijg je een lijn in a met richtingsvector (1,-1,0). In de figuur hieronder zie je een aantal "-t-lijnen" en "u-lijnen" gete- kend. Men noemt dit ook wel paAam&teALijntn van a.

			X

				fig. 15.4

		» 164. Elk punt van het vlak a correspondeert met twee parameterwaarden � en u. Neem fig. 13.4 over en teken daarin de verzameling punten waarvoor geldt: � = a. Dezelfde opgave voor: � + u = 4. Ook: � - u. = 2.

	» 165. Bij een parametervoorstelling van een lijn hebben we onderscheid gemaakt tussen een "steunvector" en een "richtingsvector". Welke vectoren in(l') zou je steun- resp. richtingsvector willen noemen?

-ocr page 89-

Z
I

» 166. a is het vlak door het punt

(4,0,0) parallel met het Y0Z-
vlak.

a. Geef een parametervoorstelling
van a.

b. Hoe lopen de parameterlijnen?

c. De vergelijking van a is wel
heel simpel. Hoe?

» 167. 3 is het vlak door de punten

(4,0,0) en (0,0,4) parallel met
de Y-as.

a. Geef een parametervoorstelling

van (3.

b. Hoe lopen de parameterlijnen?

c. Geef een vergelijking van (3.

Jk* + -n *t + -fe -h4s+

■ ■ .■-■■..■■■

fig. 15.5

fig. 15.6

» 168. Kijk nog eens naar het kubusbouwsel in fig. 15.1.
Hoeveel kubusjes liggen er "boven" het vlak z = 2?
En hoeveel liggen er "achter" het vlak X + y = 3?

Houd goed uit elkaar:

In een tweedimensionaal coordinaten-
stelsel is X+ y=3 de vergelijking
van een (KQJlktZ) tijn.

In een driedimensionaal coordinaten-
stelsel is x+y = 3 de vergelijking
van een (plat) vlak.

■;'■ ,�'.:;;.■■:

(0,3)

fig. 15.7

fig. 15.8

In verzamelingentaal:

I = {(x,(/) e W | x + y = 3}

{{x,y,z) e K³ | x + y 3}

-ocr page 90-



					86

	Het eerste weet je nog van vroeger. Het tweede kun je bijv. als volgt beredeneren: "Kies een punt in het OXY-vlak, waarvan de coordinaten voldoen aan X+ y=3 (zo'n punt ligt op de lijn �). Als je dit punt in vertikale richting verschuift (omhoog of omlaag), verandert alleen de z-coordinaat! De coordinaten blijven dus voldoen aan X+ y=3. Zo krijg je allemaal ver- tikale lijnen (parallel met de Z-as) door punten van Z en die vormen met z'n alien een plat vlak!" » 169. K is de kubus {(x,t/,z) � M³ \| 0 ^ X ^ 4 en 0 ^ y i 4 en 0 S z i 4} a. Teken (in verschillende kleuren) de doorsneden van de vlakken a : x + y = 2 ; g : x + z = 3 ; y : y + z = k met de kubus K. b. Construeer het snijpunt van de vlakken a, B en y. c. Bereken de coordinaten van dat punt. �

			fig. 15.9
» 170. De vergelijking van het diagonaal- vlak a in de kubus (ribbe 6) is: X- z = 0 ofwel X = z. De kubus heeft nog vij f andere diagonaalvlakken. a. Welke vergelijkingen passen daarbij ? b. Welk punt ligt in alle zes diagonaalvlakken? » 171. In het begin van dit hoofdstuk heb je ontdekt dat X+ y+ z=7 een vergelijking is van het vlak door de punten (7,0,0), (0,7,0) en (0,0,7). Wat voor een vlak krijg je als je die 7 in de vergelijking ver- vangt door een ander getal? (7,0,			fig. 15.9

				(0,7,0)


		fig. 15.10

-ocr page 91-

* » 172. a. Teken de doorsnede van de kubus K met het vlak a: X+t/+z = G.

b. Voor welke C 6 M is die doorsnede een driehoek?

c. Bereken de oppervlakte van die doorsnede als functie van C.
(Onderscheid de gevallen 0 ^ C ^ 2 , 2 ^ c $ 4 en 4 ^ C ^ 6).

d. Teken de grafiek van de functie bedoeld in de vorige vraag in
je werkboek.

Voor welke t E R is de oppervlakte van de doorsnede maximaal?
(Vergelijk je resultaat met de opgave over het kubushuis van
Blom, pag. 60 vraag d!).

» 173. a is het vlak door de punten (2,0,0), (0,5,0) en (0,0,3)

a. Geef een parametervoorstelling

van a.

(0,0,3)

fig. 15.11

b. Leid hieruit af dat voor elk
punt van a geldt:

x a 2

� + J- + � = 1
2 5 3 '

ofwel:

15X + 6y+ 10z = 30.

'(2,0,0)

» 174. Geef een vergelijking van het vlak door de punten: (25,0,0),

(0,10,0) en (0,0,20).

Ook van een vlak door de punten: (p,0,0), (0,^,0) en (0,0,^).

(p, q, H. zijn reele getallen ^ 0).

In het algemeen geldt:

Een plat vlak he.e.{,� t.o.v. een x,y,z--i>t<iLi>zl een v<lk.qtiljking van de

vonjM: ax + by + cz = d.

» 175. In bovenstaande vergelijking mogen de c.otL^i.dlLntzn a, b en c
niet alle drie gelijk zijn aan 0.

a. Wat weet je van de ligging van het vlak als a = 0, b ^ 0 en

C ^ 0?

b. En wat als a = 0, b = 0 en c ^:/ 0?

c. En wat als d = 0?

(0,5,0)

-ocr page 92-



			88

		* > 176. Teken de doorsneden van het blok met de vlakken: a: 2x + 3y + 6z = 6; g: 2x + 3(/ + 6z = 12 en y: 2x + 3y + 6z = 18. * » 177. a. Teken in het blok (in verschillende kleuren) de vlakken: a: 3x +4t/+8z = 24; B: 3</+2z = 9 en y: 2z = 3. b. Construeer het snijpunt van a, 3 en y en bereken de coordina- ten van dat punt. * » 178. a. Teken in het coordinatenstelsel de verzameling punten (x,t/,z) die voldoen aan \|x\| + \y\ =3enO^Z^6. b. Teken de doorsnede van de in a. genoemde verzameling met het vlak 8X + 2y + 3Z = 12. * » 179. a. Teken in het coordinatenstelsel de verzameling punt (x,i/,z) die voldoen aan \|x\| + \y\ + \z\ =6. b. Wat is de "meetkundige" naam van die verzameling? c. Beschouw de zwaartepunten van de zijvlakken van het veelvlak dat je getekend hebt. Van wat voor een figuur zijn die zwaartepunten juist de hoek- punten?

-ocr page 93-



			89

		16

	ALGEBRAISCHE VOORSTELLING VAN GEBOGEN VLAKKEN Y

» 180. Bol met middelpunt 0 en straal 5 in een assenstelsel. a. Welke van de volgende punten liggen op die bol? Welke binnen, welke buiten? (4,2,0); (3,4,0); (3,4,1); (2,3,3); (3,3,3); (2/2,4,1). b. Aan welke vergelijking (in X, y en z) voldoen alle punten van de bol? c. Hoe ziet de doorsnede eruit van de bol met het vlak Z = 4? d. En de doorsnede met het vlak X = �/?

-ocr page 94-

De afstand van een punt in de ruimte tot de oorsprong vind je via de
stelling van Pythagoras. _z

l/o onb zeld:

P = (1,2,2)

PO² = PP ² + OP ²z z

= pp 2 + pp 2 + pp 2

z y x
= 2² + 2² + 1²

= 9
Dus: PO = 3

Kortom: Als P: (x,y,z), dan: PO = \JX² + y² + Z²

De formule geldt ook als een of meer coordinaten van P negatief zijn.

Uit bovenstaande afstandsformule volgt onmiddellijk dat voor elk punt
(x,y,z) op de bol met middelpunt 0 en straal K geldt:

X² + y² + Z² = K²

(1)

Omgekeerd: elk punt (x,y,z) waarvoor (1) geldt, heeft een afstand H tot

0 en ligt dus op de bol (0,-t) .

Kortom: X² + y² + z² = h² is een VQAgeJU-jking van de bol (Q,H.) .

Anders gezegd: {{x,y,z) � ]R³ | X² + y² + Z² = h² } stelt de bol {0,H)

voor.

» 181. Wat voor een meetkundige figuur stelt

{(X,t/,z) � ]R³ | 9 ^ X² + y² + z² i 25} voor?

* » 182. De ribbe van de kubus in je werkboek heeft de lengte 2.

a. Teken de doorsnede van de bol 3_X : X² + y² + z² = 4 met de
kubus.

b. De bollen $₂ ^en $3 ^ziJⁿ �0nc�n�/uJ>ch met 3_x (d.w.z. ze hebben
hetzelfde middelpunt) en gaan resp. door de punten (2,0,1) en
(2,0,2). ■�

Teken (in andere kleuren) de doorsneden van 3₂ resp. 8₃ met
de kubus.

-ocr page 95-



		91

* » 183. a. Teken, voorzover zichtbaar, de punten (x,y,z) in het XOY-vlak, die voldoen aan X² + y² =25. b. Teken ook de punten in het vlak z = 6 die aan X² + y² =25 vol- doen. c. Enig idee wat {(x,(/,z) � m³ \| X² + y² =25} voorstelt? Maak een tekening! » 184. $ is de bol met middelpunt 0 en straal 5. Y is de cilinder met de Z-as als as en straal 3. a. Geef een vergelijking van y. b. Waaruit bestaat de doorsnede van 3 en yl » 185. 7

	a. De cilinder-as is de Y-as en de straal van de cilinder is 2. Geef een vergelijking van die cilinder. b. Waaruit bestaat de doorsnede van die cilinder met het vlak X= 1? En wat is de doorsnede van de cilinder met het vlak t/= 1? c. Dezelfde opdracht als b. maar nu voor de vlakken X = z resp. *x = y.*

-ocr page 96-



			92

	» 186. De cilinder van opgave 185 gaan we snijden met een tweede dilinder met straal 2, waarvan de Z-as de as is. a. Heb je enig idee hoe de doorsnij- dingsfiguur van beide cilinders eruit ziet? b. Leidt uit de vergelijking van beide cilinders af dat de doorsnij- dingskrommen in de vlakken y = Z en y = -z liggen. c. Wat weet je dus van de doorsnij- dingsfiguur? PARAMETERVOORSTELLING VAN EEN CILINDER

		fig. 16.3

Op een eenvoudige wijze kunnen we van de cilinder met de Z-as als as en straal 5 een parametervoorstelling maken. Een plaatsvector van een willekeurig punt P op de cilinder kan worden ont- bonden in twee componenten: een component in het XOY-vlak: (5 cost, 5 sint , 0) een component langs de Z-as : (0 , 0 , a)

-ocr page 97-



			93

Gevolg: (x, tj, z) = (5 cos t, 5 sin t, u) (0 i t < 2tt , a � M) . is een parametervoorstelling van de cilinder. De parameterlijnen (resp. t = constant, a = constant) zijn resp. de rechte lijnen (// Z-as) en de cirkels (// XOY-vlak) op de cilinder.

		» 187. Uit de parametervoorstelling van de cilinder: (x,y,z) = (5 cos t, 5 sin t, a) kun je de vergelijking X² + y² =25 afleiden. Hoe?

		» 188. De parameterlijnen op de cilinder vormen een 'rooster' op de cilin- der. Elk punt van de cilinder correspondeert met een -t-waarde en een u-waarde. Wat weet je van de verzameling punten op de cilinder waarvoor geldt: t = a?

	» 189. Geef een parametervoorstelling van de cilinder van opgave 185.

-ocr page 98-



			94

	PARAMETERVOORSTELLING VAN DE BOL

		fig. 16.5

	3 is de bol met middelpunt 0 en straal K. We kiezen een punt P op de bol. De plaatsvector van P ontbinden we in een component langs de Z-as en een component in het XOY-vlak. » 190. a. Wat is de lengte van OP uitgedrukt in H en ixl b. Ga na dat: (x,y,z) = (ft cos u cos t, K cos a sin t, A. sin u.) met -r-SuSy, -ttSxStt een parametervoorstelling van 3 is. c. Hoe kun je uit die parametervoorstelling de vergelijking X² + �/² + z¹ = /l^? afleiden?

» 191. De parameter � wordt wel de 'lengte' en de parameter a de 'breed- te' van het bijbehorende punt op de bol genoemd. Dit in navolging van het taalgebruik in de geografie. Hoe zou je, overeenkomstig geografisch taalgebruik, de parameter- lijnen "t = constant" resp. "u. = constant" willen noemen?

-ocr page 99-



			95

		» 192. Van welke breedtecirkels op de bol is de omtrek half zo lang als de "evenaar"? TT » 193. a. Geef een parametervoorstelling van de "meridiaan" � = �. b. Bereken de x-, y- en z-coordinaat van het snijpunt van deze me- . . TT ndiaan met de breedtecirkel u. = r. c. Bereken (de kentallen van) de richtingsvector van de raaklijn in P aan de breedtecirkel resp. meridiaan door P. d. Geef een parametervoorstelling of vergelijking van het raakvlak in P aan de bol. » 194. Op een bol met middelpunt 0 wordt een rooster van parameterlijnen (breedtecirkels en meridianen) aangebracht. De bol (met rooster) wordt orthogonaal geprojecteerd op het XOY-vlak. a. Neem het XOY-vlak als tekenvlak en teken daarin de projectie van het rooster. b. Dezelfde opdracht maar nu bij een loodrechte projectie van de bol op het YOZ-vlak. » 195. K is de kegel met de oorsprong als top, Z-as als as en een halve tophoek van 45°. (Zie tekening op pag. 96). De plaatsvector van een willekeurig punt P: (x,t/,z) op de kegel wordt ontbonden in componenten op de gebruikelijke wijze. a. Welke parametervoorstelling kun je nu van K opstellen? (De parameters t en a zijn aangegeven in de figuur). Aanwijzing: L POP = 45°. b. Laat zien dat X²+ y^z- z¹ =0 een vergelijking van K is. c. Wat voor een figuur is de doorsnede van K met het vlak 2=2? d. Teken de doorsnede van K met het vlak x^- = 2. Aanwijzing: Breng in het vlak-X = 2 een assenstelsel aan //YOZ- stelsel, met (2,0,0) als oorsprong.

-ocr page 100-



			96

		fig. 16.6

	» 196. Bekijk nog eens de kegel K. Het gedeelte van K tussen de vlakken Z = 0 en z = 4 wordt open- geknipt langs de lijn "t = 0" en vervolgens uitgerold zo dat een vlakke figuur ontstaat. a. Beredeneer dat die figuur een sector van een cirkel met straal kJl is. b. Teken die cirkelsector. (Aanwijzing: bereken eerst de omtrek van de cirkel "u- = 4") . c. Hoe vind je de parameterlijnen ("a = constant", "t = constant") op de uitslag van de kegel terug?

» 197. Van een kegel is de uitslag precies een halve cirkel. a. Hoe groot is de' halve tophoek van de kegel? b. Als je die kegel in een driedimensionaal assenstelsel plaatst (top in de oorsprong, as langs de Z-as), wat wordt dan de ver- gelijking van die kegel?

-ocr page 101-

* » 198. Op de kegel K : X* + y^z - z^z =0 zie je een rooster van parameterlij-
nen aangebracht. Door de vergelijking a = � wordt een kromme op de
kegel bepaald.

a. Schets een deel van die kromme.

b. Bewijs dat de parameterlijn "� = 0" de raaklijn aan de kromme
in de oorsprong is.

c. Een deeltje beweegt zich langs de kromme "u = �"; � is de tijd-
parameter.

Toon aan dat (de grootte van) de snelheid op het tijdstip � ge-
lijk is aan

De kromme bedoeld in » 198 is een soort "kegel-spiraal".

Uit het resultaat van 198 c. kun je afleiden dat de hoek die de spiraal

maakt met de Z-as voortdurend verandert:

cos 4 AOB =■

JTTV

fig. 16.7

Preciezer: Als we � laten toenemen van 0 tot °° neemt de sinus van de

hoek tussen de Z-as en de raaklijnvector toe van
De spiraal gaat dan steeds steiler omhoog!

tot 1

-ocr page 102-



					98

		Sch&lpm en i>pinaJLm.

-ocr page 103-



		99

	Vier kegelspiralen waarbij de hoek met de as niet verandert, zie je hiernaast uitgebeeld door de Itali aan Daniele Barbaro (1513 - 1570).

» 199. Een gelijke-hoek-spiraal op onze kegel K wordt bepaald door de ,... . t vergelijkmg u. = e . De paratnetervoorstelling van die ruimte kromme is dan: (x,y,z) = (e cos t, e sin -t, e ). a. Bewijs dat de lengte van de raaklijnvector in het punt met para- t meter t gelijk is aan V3 � e . b. Bewijs dat hieruit volgt dat de cosiuns van de hoek tussen zo'n raaklijn en de Z-as steeds gelijk is aan -xr. c. Wat kun je zeggen over het verloop van de spiraal als � afneemt van 0 tot -oo ?

-ocr page 104-



		100

	» 200. Een gebogen vlak a heeft de parametervoorstelling: (x,y,z) = (a cos t, u sin t, a²) a. Maak een schets van a in een driedimensionaal stelsel. b. Geef een vergelijking van a. c. Hoe ziet de doorsnede van ex met het vlak if - 0 eruit? Niet zo erg verbazend dat a een paraboloide genoemd wordt,

Grote radiotelescopen zoals deze in Goldstone (Californie) hebben vaak de vorm van een paraboloide. Waarom juist deze vorm voor dat doel ge- schikt is, kom je tegen in deel 2 van "Lessen in Ruimtemeetkunde". Overigens, de hier afgebeelde antenne kan signalen uit de ruimte over een afstand van meer dan 200.000.000 mijl opvangen.

			J

TefeeaAefieAwi