|
UE5SIEN
|
|||||||
|
IN
|
|||||||
|
RUIMTIEMIEIETKUNDIE 2
|
|||||||
|
Freudenthal instituut
Archief |
|||||||
|
LESSEN
|
|||||
|
IN
|
|||||
|
RUIMTIEMIEIETKUNDIE 2
|
|||||
|
I
|
|||||||||
|
Tiberdreef 4 - 3561 GG Utrecht
|
|||||||||
|
Voto omitag:
Ve. kndKomnda-nzvdL Xa ecu AteZ&eJL van rrUZj'aAdzn btunxm buiXm onze
Me£feweg. Vn Asiab-lkckz btzwimkundigo. kl-Soz^i. htt^t dit i>pinaaJU>toJUsQA. fiq,zdi> in dd 10 eeuw waaAgmomm. |
|||||||||
|
LESSEN IN RUIMTEMEETKUNDE 2
|
|||||||||
|
Een produktie ten behoeve van de
experimenten in net kader van de Herverkaveling Eindexamenprogramma's Wiskunde 1 en 2 V.W.O. Samenstelling: Martin Kindt
Jan de Lange Jzn
Vormgeving: Ellen Hanepen
© 1984; 1e versie.
Utrecht, September 1984.
|
|||||||||
|
i
i 1
I ♦
INHOUDSOPGAVE
|
||||||||
|
pag. 1
5
11 19 27 33 |
||||||||
|
1. ISO-HOOGTELIJNEN
2. BOLLEN
3. CILINDERSNEDEN
4. DE ELLIPS NADER BEKEKEN
5. KEGELSNEDEN
6. BEREKENING VAN INHOUD
|
||||||||
|
1
|
|||||||||
|
1
|
|||||||||
|
ISO-HOOGTELIJNEN
|
|||||||||
|
&Iq. 7-7
|
|||||||||
|
» 1 . Je ziet in fig. 1-1 het hoogtzkactfitje. van een bergeiland. De ge-
tallen bij de AJ>0-hoOQtoXX.JYltvi geven de hoogte in meters aan. a. Een boot nadert het eiland vanuit het westen.
Teken (op schaal) de vorm van de berg zoals die vanaf de boot
uit de verte wordt waargenomen. b. Dezelfde opdracht voor het geval de boot het eiland vanuit het
zuiden nadert. |
|||||||||
|
2
|
||||||||||
|
» 2. Hoogtzkaafctjn van een heuveZ-
tandichap. |
||||||||||
|
&lQ- 7-2
|
||||||||||
|
ScJtAAl l-.saoo
|
||||||||||
|
Iemand wandelt van A naar de top T volgens de rechtlijnige route
op de kaart. a. Hoeveel % is de gemiddelde helling van die weg?
b. Is het mogelijk om vanuit A de top T te bereiken zonder dat de
steilte van de klim ooit meer dan 10% is? Zo ja, maak een tekening van een dergelijke route.
c. In het landschap is een autoweg aangelegd (fig. 1-3). De breed-
te van het wegdek is 60 m. Trek het hoogtelijnkaartje (fig. 1_2) over en teken met een af-
wijkende kleur het hoogtekaartje voor de nieuw ontstane situatie, |
||||||||||
|
££g. J-3
|
||||||||||
|
3
|
|||||||
|
» 3. Fig. 1-4 laat twee projecties zien van een kegelvormige berg.
De hoogte van de kegel is 4, evenals de diameter van de grondcirkel.
a. Teken fig. 1-4 twee keer
zo groot over en teken de derde projectie van de ke- gel (op het XOZ-vlak). b. Teken in elk van de drie
projectiefiguren de iso- hoogtelijnen op hoogte 1, 2 en 3. c. Een route over de berg is
zo dat elk punt van die route de Y-coordinaat 5 heeft. Teken die route in de
drie projectief iguren. ^-ig. 1-4 |
|||||||
|
» 4. Van een piramide zijn de hoekpunten t.o.v. een 3-dimensionaal as-
senstelsel gegeven door: T: (4,4,6), A: (4,1,0), B: (7,4,0), C: (4,7,0) en D: (1,4,0). a. Teken de drie projecties van de piramide op de drie coordinaat-
vlakken in een figuur. b. Teken in elk van de drie projectiefiguren de iso-hoogtelijnen op
hoogte 0, 2 en 4. c. Een rondwandeling over de piramide begint in het punt B. De rou-
te op elk zijvlak is een rechte lijn. De wandeling voert langs de punten P op TC ter hoogte 2, Q op TD ter hoogte 4 en R op TA ter hoogte 2. Teken die rondwandeling in elk van de drie projectiefiguren.
d. De route ligt niet in een plat vlak. Beredeneer dit.
e. De route wordt gewijzigd zodat zij wel in een plat vlak komt te
liggen. De punten P en R blijven als tussenstations gehandhaafd en het vertrekpunt is weer B. Welk punt van TD ligt nu op de route?
|
|||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
5
|
|||||||||
|
BOLLEN
|
|||||||||
|
iig. 2-7
|
|||||||||
|
» 5. In fig. 2-1 zie je de bovenaanzichten van piramides bestaande uit
5 resp. 14 even grote bollen (straal 1). Hoe hoog zijn die piramides? » 6. Fig. 2-2 is een zij-aanzicht van een andere 'bol-piramide' bestaande
uit 11 bollen. a. Teken het bovenaanzicht.
b. Is deze piramide hoger of lager
dan de 'drie-lagen-piramide' van
fig. 2-1?
(De straal van elke bol is weer 1).
ilg. 2-2
|
|||||||||
|
> 7. In een kubusvormige doos worden gummiballen yerpakt met een diame-
ter van 2 dm. Lengte, breedte en hoogte van de doos zijn 1,20m.
Hoeveel ballen gaan er in die doos? |
|||||||||
|
6
|
|||||||||||||
|
ALs een vlak een bol Anijdt, hzzfit de doosun&de. de voajw van een ciAkoJL.
|
|||||||||||||
|
Bovenstaande regel is eenvoudig af te leiden met behulp van de stelling
van Pythagoras. Projecteer M loodrecht op het
snijvlak a.
De projectie K ligt op een afstand
i> van M.
De afstand 6 is kleiner dan de
straal K. van de bol.
Alle punten P van de snijkromme
hebben dezelfde afstand tot K,
|
|||||||||||||
|
ilQ. 2-3
|
|||||||||||||
|
nl. /*2 -42.
Kortom: de punten P liggen op de cirkel in a met middelpunt K en straal
|
|||||||||||||
|
//l2 -A2
|
|||||||||||||
|
8. Een bol zakt langzaam door
een horizontaal vlak. Beschrijf hoe de snijkromme van bol en vlak verandert. |
|||||||||||||
|
ilQ. 2-4
|
|||||||||||||
|
7
|
|||||
|
tlci.} 2-5
9. 3 is de bol met vergelijking: xl + yz + zl = 25.
a is het vlak met vergelijking: x+ y m 4. a. Wat zijn de coordinaten van het middelpunt van de snijcirkel
van a en 3? b. Hoe groot is de straal van die snijcirkel?
c. Wat zijn de coordinaten van de punten van de snijcirkel die in
het OYZ-vlak liggen? 10. De bolpiramiden van fig. 2-1 hebben elk vier symmetrievlakken.
Teken de verschillende doorsneden van de bolpiramiden met die sym-
metrievlakken (in ware gedaante). 11 . De bovenste bol van de kleine piramide is v-:n zijn 'voetstuk' ge-
rold ...... a. Hoe is het mogelijk om met een
vlak loodrecht op de tafel, de groep van vijf bollen te verde- len is twee delen met gelijke inhoud. b. Teken de doorsnede van de 'vijf-
bollengroep' met dat vlak (in ware gedaante). f^cg. 2-6 |
|||||
|
NASA-faoto [Gemini). Datum opnamz 15-11-1966.
School [faoto mtddzn) co 1 : 750.000.
Voon, de faoto buVtekzn g2.bi2.d-. Egypte./Soedan.
|
||||||
|
Op de koto u> de nivieA de Uijl duu.d2JU.jk zicktbaan.; n.zckti, op de voon.-
gn.ond ziz. jo. de Lybi&che. u)02Atijn, Link* bovm de Rode. Zee.
OpvalZend op de facto it> de ' J2t-6tn.2.am' diz aJU, een fitdhtu lijn ov2A een
Izngtz van tnigz. hondoAdm ktlometeAA doon. wolkzn u> g2mon.k2.2Ad.
(Een Z2X.-htn.2nm ii, een zee*, knazhtigz i>tonm In de vonm van een biede
Along dlz woedt op een koogtz van co. 12 km en een windknacht kan kzbbzn
von 100 tot maxtmaal 600 km/a.).
|
||||||
|
9
|
||||||||||||
|
» 12. Een halve bol met straal 5 ligt op het OXY-vlak.
|
||||||||||||
|
big. 2-7
|
||||||||||||
|
a. Teken in een bovenaanzicht de iso-hoogtelijnen van de halve bol
met hoogte resp. 4, 3, 2, 1. b. In het punt (0,10,0) staat een lamp L gericht op de bol.
Bereken de hoogte (precies!) van het hoogste punt K op de bol dat nog wordt belicht. c. Een deel van de halve bol ligt in de schaduw.
Teken dat deel in het hoogtekaartje. |
||||||||||||
|
» 13. a. Hoeveel raaklijnen kun je uit het
punt P: (0,0,5) trekken aan de bol 8: xl + y2 + z1 = 9?
b. Hoe groot is de afstand van de
raakpunten tot P? c. Wat voor een figuur wordt er be-
schreven door de raaklijnen uit P? » 14. Het ruimteschip Gemini bevindt zich
op een af stand van 1600 km van de aarde. De bemanning van het ruimtevaartuig
ziet de aarde als een deel van een cirkelvormige schijf. Hoeveel km is de straal van die schijf? |
||||||||||||
|
6*9. 2-8
|
||||||||||||
|
fa. 2-9
|
||||||||||||
|
<4aRPE,
|
||||||||||||
|
10
|
||||||||||||
|
» 15. In de kubus is een tetraeder geplaatst.
Een bol raakt aan de zes ribben van de tetraeder. a. Hoe verhouden de ribbe van de tetra-
eder en de straal van die bol zich? |
||||||||||||
|
big. 2-10
|
||||||||||||
|
b. De zes raakpunten zijn de hoekpunten
|
||||||||||||
|
van een octaeder in de bol.
Hoe verhouden zich de ribbe van de octaeder en de straal van
die bol? c. De tetraeder heeft ook een ongeschreven bol (= bol door de vier
hoekpunten). Hoe is de verhouding van de ribbe van de tetraeder en de straal
van die bol? |
||||||||||||
|
11
|
||||||||||
|
3
|
||||||||||
|
CILINDERSNEDEN
|
||||||||||
|
» 16. De schaduw van de 'patrijspoort' op de grond is een zgn. ellips.
De hoogte van de zon is 30°, dat betekent dat de zonnestralen de aarde treffen onder een hoek van 30°. a. Hoe verhouden zich de lengten van de beide tralies in het scha-
duwbeeld? b. De schaduw van de patrijspoort kan ook een cirkel zijn!
Hoe hoog moet de zon dan staan? |
||||||||||
|
12
|
|||||||||
|
De zonnestralen in opgave 16 vormen
een 'scheve cilinder'.
De schaduwellips is op te vatten als
de snijkromme van die cilinder met
een plat vlak (de vloer waarop de
schaduw valt).
Omdat dit meetkundig gezien eenvoudi-
ger is, richten we voorlopig onze
aandacht op doorsneden van 'rechte'
cilinders met vlakken.
|
|||||||||
|
ilQ. 3-3
|
|||||||||
|
y0E>^-J
|
|||||||||
|
> 17. Evenals een plat vlak is een cilindervlak in principe onbegrensd
(heeft noch bodem, noch deksel). Het cilindervlak y staat loodrecht op het vlak a. a. Beschrijf hoe de snijfiguur van y en a verandert als de cilinder
langzaam gekanteld wordt, waarbij alleen het punt 0 op zijn plaats blijft. b. Hoeveel graden moet de cilinder worden gekanteld om een door-
snede van deze vorm te krijgen: |
|||||||||
|
13
|
|||||||||
|
We letten nu niet op de twee 'randgevallen' waarbij a loodrecht op de as
staat of waarbij de as in a ligt. Het vlak a dat nu 'scheef staat t.o.v. de cilinderas, is als het ware een
tussenschot in de cilinderbuis. Je kunt je nu voorstellen dat twee bollen (die precies in de cilinder pas-
sen) van twee kanten door de buis rollen tot zij tegen het tussenschot rusten. Wiskundig gezegd: je kunt twee bollen $1 en 32 aanbrengen die dezelfde
straal hebben als de cilinder, de cilinder 'inwendig' raken en bovendien raken aan het vlak a. |
|||||||||
|
naakcAAkut Q1 2.n y
|
|||||||||
|
AacLkpunt 3X in. y
|
|||||||||
|
haakpunt 32 2.n y
|
|||||||||
|
naakcMikdl 3 2 en
|
|||||||||
|
Ug. 3-5
|
|||||||||
|
14
|
|||||||||||||||||
|
In fig. 3-6 zie je een lengtedoorsnede van de cilinder met de beide bol-
len; de halve afstand tussen de twee raakcirkels noemen we a, de halve afstand tussen de raakpunten Y1 en F2 heet C. |
|||||||||||||||||
|
fcg. 3-7
|
|||||||||||||||||
|
&lg. 3-6
|
|||||||||||||||||
|
P is een willekeurig punt op de snijkromme van a en de cilinder.
In fig. 3-7 zie je twee raaklijnen getekend uit P aan de bol &x, namelijk
de lijn PF-,^ en de lijn PGX (parallel met de cilinder-as) .
Evenzo zie je de raaklijnstukken PF2 en PG2 aan 32
» 18. PF-l + PF2 = la. Verklaar!
Hiermee is de stelling van Dandelin verklaard.
|
|||||||||||||||||
|
Moon, elk pant van de. AnijkAomme. van Wet vlak a en tie oJJLindeA y JJ>
de 6om van de afctanden tot Fx en F2 constant, nt. la. |
|||||||||||||||||
|
Bovengenoemde eigenschap van de snijkromme wordt vaak gebruikt om een
ellips te definieren. |
|||||||||||||||||
|
Een eJULLpb <u> de. vetizameLing van punten -in een plat vlak vxuxAvan do.
afatanden tot twee. ge.ge.vm punten Fx en F2 een con^tante Aom hebben. |
|||||||||||||||||
|
De punten Fx en F2 worden, om redenen waarin we in hoofdstuk 4 op in zul-
len gaan, de brandpunten van de ellips genoemd. |
|||||||||||||||||
|
15
|
||||||||||
|
» 19. Hoe kun je een ellips tekenen met behulp van een touwtje en twee
punaises? » 20. Bekijk nog eens de lengtedoorsnede van de cilinder met de twee
bollen. (Zie fig. 3-6). Het lijnstuk P^A^ wordt de Zangz <X6 van de ellips genoemd.
Toon aan: A A = 2d. »21. Er zijn twee punten (1^ en B2) op
de ellips die even ver van F1 en F (afstand a) afliggen. Het lijnstuk B1B2heet de koKtz CU> van de ellips. Hoe verandert de ellips van vorm
als we a om de lijn B1B2laten draaien? Wat verandert er dan aan |
||||||||||
|
de ligging van de punten F1 en F
|
||||||||||
|
ilQ. 3-8
|
||||||||||
|
OpmeAkingm:
|
||||||||||
|
(i) De verhouding tussen de brandpuntsafstand (= 2c) en de lange as
(= 2d) van een ellips is een maat voor de vorm. Die verhouding wordt de <lXC.Q.YiXAA.cJjtnJjt H van de ellips genoemd. Er geldt: £=-en0<e<1. Hoe dichter Z bij 0 ligt, hoe meer de ellips op een cirkel lijkt.
Hoe dichter 0, bij 1 ligt, hoe langwerpiger de ellips is. (ii) De lengte van de halve korte as van een ellips noemen we lb. Omdat
de eindpunten van de korte as (Bx en B2) op een afstand a. van F1 en F2 afliggen kan bij een ellips met gegeven assen gemakkelijk de plaats van de brandpunten worden geconstrueerd en/of berekend. (Zie fig. 3-9). |
||||||||||
|
16
|
||||||||||||||
|
l*Q. 3-9
|
||||||||||||||
|
a2 = b2 + cl
|
||||||||||||||
|
(iii) De stelling van Dandelin spreekt zich slechts uit over de snijkrom-
me van een 'rechte' cilinder en een vlak dat scheef staat t.o.v. de cilinders. Voor een scheve cilinder, zoals de bundel zonnestralen door de pa-
trijspoort, geldt ook dat de doorsnede van een vlak met de cilinder of een cirkel is, of een ellips, of bestaat uit twee evenwijdige lijnen. In hoofdstuk 4 volgt het bewijs hiervan. |
||||||||||||||
|
» 22. Van een punt P is gegeven dat het op een ellips lijkt met brand-
punten Fx en F2 en dat PF1 = 7 en PF2 = 3. Bovendien geldt: F1F2 = 8. |
||||||||||||||
|
fi-ig. 3-10
|
||||||||||||||
|
a. Hoe lang zijn de assen van de ellips?
b. Hoe groot is de excentriciteit?
|
||||||||||||||
|
17
|
|||||||||||
|
»23. Een blikje sap heeft een hoogte van 12 cm en een diameter van 5 cm.
Als het blikje half vol is dan kan, al naar gelang de stand, de vloeistofspiegel vier vormen aannemen: cirkel, ellips, 'afgekapte' ellips en rechthoek. Hoe moet je het blik houden om een (niet afgekapte) ellips met maxi-
male excentriciteit te krijgen? Hoe groot is die excentriciteit? |
|||||||||||
|
24. Als de 'mantel' van een bierblikje wordt
uitgerold krijg je een rechthoek. Hoe denk je dat de figuur eruit ziet die je krijgt door een scheef afgekapte cilin- der uit te rollen? Controleer je antwoord met de volgende proef: Neem een kaars en rol er een velletje pa-
pier omheen; snijdt vervolgens kaars en papier scheef door. |
|||||||||||
|
ilQ. 3-11
|
|||||||||||
|
» 25. De cilinder X2 + y2 = 100 wordt gesneden met vlak y = z.
a. Wat is de excentriciteit van de
snijkromme e? b. Geef een parametervoorstelling
van de cilinder. (Parameters £ en a) . c. WeIke betrekking bestaat er tus-
sen £ en u voor de punten op de kromme e? d. De cilinder wordt opengeknipt
langs de lijn door (10,0,0) paral- lel met de z-as en uitgerold. Teken de uitslag met een rooster van a-liinen (u= 0, -7-, -7-, -7-,
4 4 4
___, 2tt) en £-lijnen (£=0, ±2,
±4, ... ±10= en teken in dat roos-
ter de uitgerolde ellips e. |
|||||||||||
|
&*£. 3-7 2
|
|||||||||||
|
18
|
|||||||||
|
> 26. Wat heeft dit knippatroon met de beide vorige opgaven te maken?
|
|||||||||
|
mouw
|
|||||||||
|
verkleinen
|
|||||||||
|
6-ig. 3-13
|
|||||||||
|
> 27. Twee uitslagen van cilinderstukken (A en B) met elliptisch bodem-
en dekselgat. Hoe liggen die ellipsen t.o.v. elkaar bij A? En bij B? |
|||||||||
|
fag. 3-14
|
|||||||||
|
19
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
DE ELLIPS NADER BEKEKEN
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
^g. 4-2
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
(Jig. 4-J
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
» 28. Een (rechte) cilinder met straal b wordt gesneden met een vlak a.
P is een punt op de snij-ellips waarvan de assen 2<x en 2b zijn. (Zie fig. 4-1). Q is het voetpunt van de loodlijn uit P op de lijn AXA2.
OQ = X en PQ = y. Toon aan: QDX = ( a - x) en QD2 = - ( a + x) »29. De doorsnede van het 'horizontale'
vlak door P met de cilinder is de cirkel met middelpunt M en straal b. Druk PQ, QDX en QD2 uit in b en & |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
en bewijs: PQ = QDX QD2.
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
i*£. 4-3
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
20
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Uit de opgaven 28 en 29 volgt:
yz Jl(a-x). £(a+x) |
||||||||||||||||||||||||||
|
ofwel
|
||||||||||||||||||||||||||
|
?C*,Y)
|
||||||||||||||||||||||||||
|
(1)
|
||||||||||||||||||||||||||
|
*-x.
|
||||||||||||||||||||||||||
|
&lQ. 4-4
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Hiermee is de vergelijking gevonden van een ellips waarvan lange as en
korte as resp. langs X-as en y-as vallen. » 30. Laat zien dat de ellips-vergelijking (1) kan worden herleid tot:
|
||||||||||||||||||||||||||
|
+ y2 -
+ w - |
||||||||||||||||||||||||||
|
cil
|
.... (2)
|
|||||||||||||||||||||||||
|
Uit de ellipsvergelijking (1) kan worden afgeleid dat de scheve projectie
van een cirkel op een vlak (dat niet parallel is met de projectiestralen)
een ellips (of eventueel een cirkel) is.
Kijk naar fig. 4-4 (biz. 21).
Door de projectie worden afstanden loodrecht op vlak T met factor ver-
menigvuldigd, terwij1 afstanden parallel met T gelijk blijven.
Stel: OQ = X PQ = {/
O'Q' = x' P'Q* = y1
b
Dan geldt dus: x' = X en y' = - y |
||||||||||||||||||||||||||
|
a.1 -x,z
|
||||||||||||||||||||||||||
|
r'« =
|
||||||||||||||||||||||||||
|
Omdat: y1 = a.1 - X* volgt: t/'
en dat komt overeen met vergelijking (1).
Hieruit volgt dat in het geval b t a de projectie van de cirkel inderdaad
een ellips is.
|
||||||||||||||||||||||||||
|
21
|
|||||||||||||
|
■ ■ ■ ■ ' ■ . ■■ ..-■■■
|
|||||||||||||
|
fifiiftiBiMffiii
|
|||||||||||||
|
6-ig. 4-5
|
|||||||||||||
|
O'Q' = x
|
|||||||||||||
|
OQ = X
PQ = /a2 - xz
|
|||||||||||||
|
p'Q' = -/az -xz
|
|||||||||||||
|
»31. De cirkel in fig. 4-5 wordt gedraaid om de X-as, terwijl projectie-
richting en tafereel niet veranderen. De excentriciteit van de projectie-ellips verandert. In welke situatie is de projectie van de cirkel geen ellips? |
|||||||||||||
|
22
|
|||||||||||||
|
>32. Nogmaals de schaduw van de patrijspoort (biz. 11).
a. Bereken de excentriciteit van de schaduw-ellips bij een zonne-
hoogte van 30°. b. Doe dit ook voor een zonnehoogte van 60°.
|
|||||||||||||
|
Twee projecties van een om een middellijn draaiende cirkel in een assen-
stelsel: |
|||||||||||||
|
x2 + yi = a2
|
|||||||||||||
|
£♦£'
|
|||||||||||||
|
ilQ. 4-6
|
|||||||||||||
|
De ellips is blijkbaar de beeldfiguur van de cirkel bij een verticale
vermenigvuldiging vanuit de x-as. De vermenigvuldigingsfactor is . » 33. a. Teken in OXY-stelsel de cirkels X2 + £/2 = 4 en X2 + i/2 = 25.
b. Teken op de grote cirkel de punten die de cirkel in 12 even
grote bogen verdelen, te beginnen bij het punt (5,0). c. Vermenigvuldig die 12 punten vanuit de X-as in verticale rich-
ting met factor | . Dit gaat heel handig door zo'n punt met 0 te verbinden er vanuit het snijpunt van die straal met de kleine
cirkel een horizontaal lijntje te tekenen. d. Schets de ellips door de 12 beeldpunten. Welke vergelijking
heeft die ellips. |
|||||||||||||
|
23
|
|||||||
|
DE RAAKLIJNEIGENSCHAP VAN DE ELLIPS
Sommige duinvalleien worden 'fluisterkommen' genoemd. Is een verticale
doorsnee van zo'n vallei bij benadering ellipsvormig, dan is een zwak geluidsignaal voortgebracbt vanuit het ene brandpunt (Fx) goed hoorbaar in het tweede brandpunt (F2) . Zelfs als iemand, met zijn rug naar F2 ge- keerd, fluisterend spreekt, kunnen zijn woorden in Fx verrassend duide- lijk worden verstaan. |
|||||||
|
Een dergelijk verschijnsel kent de Parijse metro waarvan sommige tunnels
vrijwel elliptisch een doorsnede zijn en mensen op verschillende perrons zonder stemverheffing een goed gesprek kunnen voeren, mits zij op de goe- de plaatsen (de brandpunten) staan. |
|||||||
|
Deze merkwaardige eigenschap van de ellips gaan we meetkundig verklaren.
De volgende vraagstukken leiden naar dat doel. |
|||||||||||||
|
» 34. P ligt in het voorvlak en Q is
het rechter-zijvlak van de ku- bus met ribbe 8. Bereken de lengte van de korts- te weg van P naar Q over de ku- bus. »35. Op een vierkant biljart (zijde
8) liggen ballen in P en Q. Een biljartbal wordt (zonder effect) van P naar Q gespeeld via de rechter band. Construeer de baan van de bal. > 36. Gegeven is een lijn Z en twee
punten A en B. Construeer het punt C op Z zo
dat AC en BC gelijke hoeken met Z maken. |
|||||||||||||
|
ilg. 4-8
|
|||||||||||||
|
£tfl. 4-9
|
|||||||||||||
|
-+
|
|||||||||||||
|
£ifl. 4-10
|
|||||||||||||
|
» 37. Door een punt P van de ellips
met lange as 2a wordt de bis- sectrice van Z-F1PF2 getekend. De lijn Z staat loodrecht op die bissectrice en maakt dus gelijke hoeken met PFj^ en PF2. Toon aan: als Q een punt van Z is dat
niet samenvalt met P, dan geldt: QF! + QF2 > 2a . |
|||||||||||||
|
&lQ- 4-11
|
|||||||||||||
|
25
|
||||||
|
GEVOLGEN/OPMERKINGEN
1. Als P een punt van een ellips is met brandpunten Fj en F2, dan is de
loodlijn t van P op de bissectrice van l₯i?F2 een siaakLLj'n aan de ellips. Immers: L heeft slechts een punt P met de ellips gemeenschappelijk.
Alle andere punten van t liggen bvuiton de ellips. (Zie opgave 37). 2. De bissectrice van /LF1PF2 , die loodrecht op de raaklijn in P staat,
wordt om die reden de nofunaaJL van de ellips in P genoemd. 3. Alle stralen vanuit Yx die via de ellips worden teruggekaatst volgen
het principe 'hoek van inval' = 'hoek van terugkaatsing'; worden terug- gekaatst door F2. |
||||||
|
Ug. 4-12
» 38. De normalen van een cirkel gaan alle door het middelpunt van die
cirkel. Hoe zit dat bij een ellips? |
||||||
|
In dz Tadj Mahal In India u> zzn zgn. filulbtzAzaal tz vlndzn mzt zzn
vlozn. in dz vonm van zzn zULvpt,. BhuldApafizn dJLz dz Tadj Uakat In hzt vzntzdzn bzzochtzn wzsidzn -in dz
^luli>tzn.zaal vzhdzzld ovza dz bzldz btvandpxntzn. Vz bmildzgom bzloo&dz op zachXz fahuJ>tztvtoon zljn bnxiid zzuwlg tuomo. lljn wooKdzn wzhdzn al- Izzn doox dz bmild {op zzn afctand van mzzn. dan 7 5 mztzn.) gzkoonA. |
||||
|
27
|
||||||||
|
s
|
||||||||
|
KEGELSNEDEN
|
||||||||
|
De zonneschaduw van een ring is meestal een ellips, een enkele keer een
cirkel of een recht lijnstuk. Voor een schaduw van een ring veroorzaakt door een lamp, zijn er meer
mogelijkheden. Dat heeft te maken met het feit dat de doorsnede van een kegel met een plat vlak in meer verschillende vormen voorkomt dan de doorsnede van een cilinder en een vlak. |
||||||||
|
28
|
|||||
|
&
|
|||||
|
29
|
||||||||||||||
|
De doorsnede van een (rechte) kegel met een plat vlak kan ook een pcWX-
bool of hyp&ibool zijn. De vorm van de kdQUtdn2.de, hangt af van de stand van het snijvlak t.o.v.
de as van de kegel. V
|
||||||||||||||
|
&ig. 5-7
|
||||||||||||||
|
Hyperbool.
|
||||||||||||||
|
Parabool.
|
||||||||||||||
|
EUips.
|
||||||||||||||
|
Veronderstel dat de halve tophoek van de kegel gelijk is aan <£.
» 39. Neem nu een vZ.dk doOK. de. top van de kegel.
Hoe ziet de doorsnede eruit als de hoek van dat vlak met de as:
a. kleiner is dan <}>;
b. gelijk is aan <j>;
c. groter is dan <f>.
> 40. Neem nu een vlak dat niet door de top gaat. Raadpleeg bovenstaande
figuur. Wat weet je van de vorm van de kegelsnede als de hoek van dat vlak
met de as: a. recht is;
b. scherp is, maar groter dan (j>;
c. gelijk is aan 4>;
d. kleiner is dan <j>.
|
||||||||||||||
|
Opmerking: Alleen in geval 39b is er sprake van een Houodivlak aan de kegel.
|
||||||||||||||
|
30
|
|||||||
|
>41. Van een kegel K is de tangens van de halve tophoek f . De hoogte van
de kegel is 8. Een vlak a is parallel met het raakvlak door TS en snijdt vlak TRS volgens AM. |
|||||||
|
P is een punt op de snijkromme van K en a.
Het vlak door P loodrecht op de as TM snijdt de kegel volgens een
cirkel met middellijn UV.
Q is het snijpunt van AM en UV.
Stel: PQ = y, AQ = X.
a. Bereken AM.
b. Toon aan: UQ = §x .
c. Omdat PQ //WM, geldt PQ_|_UV en dus PQ2 = UQ QV.
(Zie ook opgave 29). Leidt hieruit een betrekking af tussen y en X.
d. Wat voor een kromme is de doorsnede van K en a?
|
|||||||
|
31
|
||||||||
|
»42. Vlakken die parallel zijn met twee beschrijvende lijnen van de ke-
gel snijden de kegel volgens een hyperbool. In de figuur zie je de doorsneden van K: X2 - yz + z1 = 0 met de
vlakken Z = 1, z = 2, z = 3, ..... |
||||||||
|
^
|
||||||||
|
jj-tfl. 5-3
a. Teken in een OXY-vlak de iso-hoogtelijnen van de kegel met hoog-
te 0, 1, 2, 3. b. Wat is de vergelijking van de iso-hoogtelijn met hoogtegetal 2.
»43. Een plastic kegel, half gevuld met vloeistof, ligt op de grond.
De vloeistofspiegel heeft de vorm van een pa/iabooZ. Hoe kun j e zeker weten dat het geen tak van een hyperbool is? |
||||||||
|
32
|
|||
|
33
|
||||||||||||||
|
6
|
||||||||||||||
|
BEREKENING VAN INHOUD
|
||||||||||||||
|
A.
|
||||||||||||||
|
6+9. 6-1
|
||||||||||||||
|
De inhoud van een balk is, zoals bekend:
hoogte x lengte x breedte
Deze formule is niet van toepassing op prisma's waarvan grond- en boven- vlak geen richthoeken zijn, laat staan op cilinders. Daarom hanteren we liever een andere inhoudsformule voor de balk: Inhoud = hoogte x oppervlakte grondvlak,
of kortweg: |
||||||||||||||
|
I = fc- G
Die formule is wel op andere prisma's en cilinders toe te passen. |
||||||||||||||
|
34
|
||||||||||||
|
Dat de formule I » ifl ' G geldig is voor rechte prisma's en voor cilinders,
ja zelfs voor grillige 'cilinderachtigen', zoals: |
||||||||||||
|
&iQ. 6-2
|
||||||||||||
|
kan gemakkelijk worden aangetoond,
|
||||||||||||
|
ilQ. 6-3
|
||||||||||||
|
De formule I = h G klopt dus voor alle driezijdige prisma's en daarmee
voor alle n-zijdige prisma's (ft =4,5,6,..) want zo'n prisma kan altijd in driezijdige prisma's worden opgedeeld! Hebben we te maken met een cilinderachtige waarvan grond- en bovenvlak
door kromme lijnen worden begrensd, dan kan de oppervlakte van het grond- vlak willekeurig dicht door de oppervlakte van veelhoeken worden benaderd en daarmee wordt de inhoud van het lichaam willekeurig dicht benaderd door de inhoud van een veelzijdig prisma. Op grond daarvan kun je inzien dat de inhoud van de cilinder ook gelijk is aan h G. |
||||||||||||
|
35
|
|||||||||||
|
» 44. In een kubus met ribbe a is
een cilinder beschreven. Hoe verhouden de inhouden van cilinder en kubus zich? |
|||||||||||
|
» 45. Bereken de inhoud van het
scheef afgesneden stuk cilinder. |
|||||||||||
|
&t£. 6-4
|
|||||||||||
|
> 46. Het principe 'Inhoud = hoogte x oppervlakte grondvlak' is ook van
toepassing op scheve prisma's en scheve cilinders. Toon aan dat de inhoud van PQRS EFGH gelijk is aan h G. |
|||||||||||
|
6-5
|
|||||||||||
|
36
|
||||||||||
|
Bij het berekenen van inhouden kan met vrucht gebruik worden gemaakt van
de integraalrekening.
Neem een lichaam waarvan grond- en bovenvlak in evenwijdige vlakken a en
3 liggen.
De afstand tussen a en 3 is de hoogte van het lichaam.
|
||||||||||
|
tig. 6-6
|
||||||||||
|
De oppervlakte van de doorsnede van een willekeurig vlak y parallel met
a op de 'hoogte' X (gemeten vanaf a) is een functie van X. Die oppervlakte noemen we 0(x) . |
||||||||||
|
&ig. 6-7
|
||||||||||
|
Er geldt dan:
0(0) = oppervlakte grondvlak;
0(h) = oppervlakte bovenvlak.
|
||||||||||
|
37
|
||||||||||||||||
|
De inhoud van het 'lichaamsdeel' dat tussen 0 en y ligt is ook een func-
tie van X: I(x). We laten nu zien: |
||||||||||||||||
|
0 is de afgeleide functie van I.
|
||||||||||||||||
|
Een kleine toename van X met Ax leidt tot de toename van de inhoud:
I(x+Ax) - I(x).
Dat is de inhoud van een 'plakje' met hoogte Ax en grondoppervlakte 0(x)
Voor kleine waarden van Ax is I(x + Ax) - I(x) bij benadering gelijk aan Ax 0(X). Sterker nog: i Kx + Ax) - I(x) ,Vv.
lim -----j--------- = C>(x) Ax ^ 0 aX
ofwel I'(X) = 0(X). Als 0(x) in formule bekendis, kan de inhoud van het lichaam gevonden wor-
den door het berekenen van de integraal: h
l{h) = J 0(x)dx
0 Dit principe passen we nu toe op een piramide:
|
||||||||||||||||
|
&A&> 6-8
|
||||||||||||||||
|
We rekenen nu de hoogte Xvanaf het vlak a door de top evenwijdig aan het
grondvlak 0.
|
||||||||||||||||
|
Door de veelhoek is het grondvlak vanuit T met factor (
|
7T-
|
te vermenig-
|
||||||||||||||
|
vuldigen, krijg je de doorsnedefiguur.
|
||||||||||||||||
|
38
|
|||||||||||||||||||||||
|
Noemen we de oppervlakte van het grondvlak G, dan geldt;
|
|||||||||||||||||||||||
|
0<X) =J?'G.
(Bij gelijkvormige figuren verhouden de oppervlakten zich als het kwa-
draat van de vermenigvuldigingsfactor!). De inhoud van de piramide is dan: |
|||||||||||||||||||||||
|
rfcx«
/ p-G dX =
|
|||||||||||||||||||||||
|
\hG,
|
|||||||||||||||||||||||
|
W'^
|
|||||||||||||||||||||||
|
Dus voor een piramide met hoogte h en grondoppervlakte G geldt:
|
|||||||||||||||||||||||
|
I - J.fcG
|
|||||||||||||||||||||||
|
»47. M is het middelpunt van een kubus
met ribbe <£. Bereken de inhoud van de piramide
met M als top en de 'vloer' van de kubus als grondvlak. |
|||||||||||||||||||||||
|
1*9. 6-9
|
|||||||||||||||||||||||
|
» 48. Bereken de inhoud van een kegel waarvan de tophoek 45° is en de
straal van de grondcirkel gelijk is aan ft. |
|||||||||||||||||||||||
|
» 49. Hoe verhouden de inhoud van de
tetraeder en de kubus zich? |
|||||||||||||||||||||||
|
ilQ. 6-10
|
|||||||||||||||||||||||
|
50. En hoe verhouden de inhoud van
de octaeder en de kubus zich? |
|||||||||||||||||||||||
|
1*4- 6-11
|
|||||||||||||||||||||||
|
39
|
||||||||||||||
|
51. Iemand beschikt over een rechthoekig
bakje met een inhoud van 6 dl. Hoe kan hij zonder gebruik te maken van een ander meetinstrument met dit bakje precies 1 dl water afmeten? |
||||||||||||||
|
»52. Opnieuw het kubushuis van architect Blom.
De onderste woonlaag wordt het 'straathuis' genoemd. De vloeropper-
vlakte van het straathuis is 24 m2 en de hoogte is 2,80 m. De ribbe van het kubushuis is 6,80 m. Hoeveel m3 is de inhoud van het straathuis? |
||||||||||||||
|
oppeAvtakte. 60 m
|
||||||||||||||
|
1, SO m
|
||||||||||||||
|
oppznvtaktt.
|
||||||||||||||
|
»5 3. We passen nu het integraalprincipe
toe om de inhoud van een halve bol te berekenen. a. Ga na: OM = tt(^z - Xz).
b. Toon met behulp van integraal-
rekening aan dat de inhoud van de halve bol gelijk is aan j tt h} |
||||||||||||||
|
CtCk.)
|
||||||||||||||
|
iig. 6-12
|
||||||||||||||
|
40
|
||||||||||||
|
We hebben dus:
|
||||||||||||
|
De inhoud van een bol met straal h. is gelijk aan \ tt H?
|
||||||||||||
|
»54. In een cilinder past precies
een bol met straal H. (De bol raakt bodem en deksel van de cilinder). Hoe verhouden de inhouden van bol en cilinder zich? »55. Van een kegel is de halve top-
hoek 30°. Een bol met straal h. raakt de bodem en de kegelman- tel. Bereken de verhouding van de inhouden van kegel en bol. |
||||||||||||
|
&*&> 6-73
|
||||||||||||
|
ilQ. 6-14
|
||||||||||||
|
Door de grafiek van een functie y = j$(x.) te laten draaien om de x-as,
ontstaat een otmxinteZingitichaam. |
||||||||||||
|
b*Q. 6-7 5
|
||||||||||||
|
41
|
|||||||||||||
|
De oppervlakte van een doorsnede loodrecht op de x-as, op een afstand X
van de oorsprong, is gelijk aan tt £! (*) |
|||||||||||||
|
i-ig. 6-16
|
|||||||||||||
|
De inhoud van het omwentelingslichaam begrensd door de vlakken X=a en
X = b is dus: b
J TT^(x)dX.
a
|
|||||||||||||
|
» 56.
|
|||||||||||||
|
6*4' 6-17
|
|||||||||||||
|
Bereken de inhoud van de pcUuibotoZdz die ontstaat door de grafiek
van y - 2/x tussen X = 0 en X = 9 te draaien om de X-as. 57. Bereken de inhoud van de 'hoed' die ontstaat door de grafiek van
y = |xz tussen X = 0 en X = 3 te wentelen om de X-as. |
|||||||||||||
|
b*Q. 6-1S
|
|||||||||||||
|
42
|
|||||||||||
|
» 53.
|
|||||||||||
|
iig. 6-19
Bereken de inhoud van de hyp2AboZoZd<L die ontstaat door de hyper-
bool X2 - y2 = -4 tussen de lijn X = 2 en X = -2 te wentelen om de X-as. |
|||||||||||
|
» 59.
|
|||||||||||
|
ilQ- 6-20
|
|||||||||||
|
Bereken de inhoud van de dLLvpkoZ&Q, die ontstaat door de el lips
x2 a2
~ZT + TT= ^ te wentelen om de X-as.
|
|||||||||||
|
»60. Tot slot van dit hoofdstuk een extra moeilijke opgave.
Twee cilinders met dezelfde straal (<t) zijn zo geplaatst dat de
assen elkaar loodrecht snijden. Bereken de inhoud van het deel van de ruimte dat binnen allebei de
cilinders ligt. |
|||||||||||