-ocr page 1-

Dii=i=i=m=N7ii=m=N

•- ,"•'»-.

'm^

-ocr page 2-

			DIFFERENTIEREN
		(EEN MANIER OM VERANDERINGEN BIJ TE HOUDEN)
					I
				INHOUD A     VERANDERINGEN B     TIJD-AFSTAND-SNELHEID C     HELLINGEN METEN D     HELLINGFUNKTIES E     VRIJE VAL F     DIFFERENTIEREN G     VEELTERMEN H     MAXIMA-MINIMA

-ocr page 3-

			differenti£ren 1
				Een produktie van het Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs ten behoeve van de bovenbouw van het V.W.O. en H.A.V.O., in het bijzonder de 4e klas. Ontwerp tot stand gekomen binnen de afdeling WISKIVON van het I.O.W.O. Verantwoordelijk ontwerper: Martin Kindt. Voor leraren is een docenten- handleiding verkrijgbaar. Utrecht, voorjaar 1979; le druk.
		IOWO
						Instituut Ontwikkeling Wiskunde Onderwijs, Utrecht.

-ocr page 4-

		DEEL A VERANDERINGEN
						W>
									r

-ocr page 5-

								Al
		GROEISPURT
				De Fransman De Montbeillard heeft in de periode 1759 - 1777 op elke verjaar- dag van zijn zoon diens lengte gemeten. Van het resultaat van die metingen maakte hij twee grafieken.
					1. Bekijk plaatje A. In welke periode groeide De Montbeillard's zoon het hardst?
			2. Beantwoord vraag 1 ook aan de hand van plaatje B. 3. Tijdens de puberteit van De Montbeillard's zoon zette een zogenaamde groeispurt in. Op welke leeftijd begon die groeispurt? 4. Grafiek B geeft natuurlijk een beter beeld van de groei dan grafiek A. Hoe had de Montbeillard nog een betere grafiek kunnen krijgen?

-ocr page 6-

A2

EN DAN IS ER KOFFIE

KOFFIE f i "•- ftfc$ •' o@o3 .\v tm^-A 1 \ 7^ 3^__%~ y

Voorjaar 1977. Sombere tijden voor koffiedrinkend Nederland. Het dagelijkse kopje troost lijkt een dure liefhebberij te worden.                                                                                                  / Veel landgenoten zijn aan het koffie-hamsteren geslagen rf, en de supermarkten bieden een troost-eloze aanblik

Het NRC Handelsblad schrijft (april 1977)

een flink deel van de Brazlllaanse koffie-aanplant, zijn de wereldmarktnoteringen vrljwel voortdurend gestegen. Het huidlge prijspeil Is al meer dan het viffvoudlge van dat van rulm anderhalt jaar geleden. De Nederlandse winkelprljzen, die de slicing op lie wereldmarkt met een tussenpoos van ongeveer drle maanden volgen, zullen dan ook de komende maanden weer (ors moeten worden bljgesteld.

Maatregelen van de belangrljke kofflelandan BrazlliS en Colombia die letdden tot het nog duurder maken van de koff le-ultvoer, hebben begin deze week een nleuwe sprong van de Internationale koffle-noterlngen ultgelokt               De               we- reldmarktprt js van het populalre genotmlddel kllmt de laaiste weken naar steeds nleuwe hoogtepunten. Slnds de zomer van 1975, toen de vorst zware schade aanrlchtte aan

Koffieprijs als komeet de lucht in Dooronze redacteur W. J.vanCampen

Het artikel was verluchtigd met een grafiek:

360-1 ICO-pijzen voor ruwe koftie in dollarcertten ■ per pound, gemiddeld per maand:

240-

1801

Dg bedragen geven het gemiddelde aan van de noteringen van de vier hoofdsoorten ruwe koffie. Dit ICO-gemiddelde (ICO = International Coffee Organization) is uitgedrukt in Amerikaanse doliarcenten per pound (= 0,4536 kg), dus in eenheden van ongeveer Sh Nederlandse centen per kilo.

63,00

junt 1975

juh

lull

lebr maart april

sept         okl

febr maart

(an 1977

Gebruik de grafiek bij de beantwoording van de volgende vragen: 1. Zijn de wereldprijzen steeds gestegen in de periode van juli 1975 tot en met maart 1977? 2. In de kop van het kranteartikel wordt de koffieprijs met een komeet verge- leken. Vind je dat een goede vergelijking? 3. In welk kuaptaal steeg de koffieprijs het snelst? Hoe zie je dat in de grafiek?

-ocr page 7-

A3

EN DAN IS ER KOFFIE ...

4. Wat is de gemiddelde Verandering van de koffieprijs per maand in het jaar 1976? En in het eerste kwartaal van 1977? Die gemiddelde verandering per maand kun je opvatten als een maatstaf voor de snelheid waarmee de koffieprijs stijgt:

_ verandering van de koffieprijs verandering van de tijd

gemiddelde verandering (van de koffieprijs per maand)

In de wiskunde schrijven we de dingen liefst zo kort mogelijk op.

k = koffieprijs (in dollaroent per pound) t = tijd (in maanden) gemiddelde verandering (van de koffieprijs per maand) = A k A t

Het symbool A (de griekse hoofdletter "delta") staat voor "verandering van". A k 5. t—j kan ook negatief zijn! Noem een periode waarin dat het geval is. In een andere krant zou dit plaatje hebben kunnen staan:

6. Deze grafiek suggereert een sterkare stijging van de koffieprijs dan de eerste grafiek. Hoe komt dat? 7. Hoe zou je, zonder aan de gegevens te knoeien, nog een sterkere stijging kun- nen suggereren?

360 1 220 300 2?0 240 ■ 210 180 ■ ISO - 120 90 - 60 ■ 30-

ICO-prijzen voor ruue koffie in dollqrcenten per pound, yemiddeld per maand:

„ 1975

1976 -*—#—i—»-

1977. -i—i—•—i—•—*~

> i—i i

•i-» q <o © s •« v» v, g SrE'<-»'r5S ao e "3 •*■> v-, 6

-ocr page 8-

A4

WERKLOOSHEID IN ENGELAND

Hieronder zie je grafieken van de werkloosheid en de vacatures in Engeland over de periode april 1973 t/m mei 1977.

234123412341234 .JlzLZW: 7js5~ —m~ ij

7374 75 76 77

1. Hoeveel werklozen telde Engeland eind 1976? 2. Vergelijk de grafieken links en rechts van de cijfer-kolom. Hoe komt het dat het dieptepunt van de werkloosheidsgrafiek rechts lager ligt? 3. Wat zou dat betekenen "voor seizoen gecorrigeerd"? 4. W = het aantal werklozen in Engeland. V = het aantal vacatures in Engeland. t = de tijd (in maanden).

A y A t

A W A t

voor de jaren 1974, 1975 en 1976.

J Bereken

en

5. In welk kwartaal nam de werkloosheid het snelst toe? Met hoeveel mensen per maand steeg het aantal werklozen toen? 6. In welk kwartaal daalde het aantal vacatures het hardst? Hoeveel vrije banen verdwenen er toen gemiddeld per maand? 7. Wanneer is er een kentering begonnen in de stinging van de werkloosheid? 8. Wat is opvallend aan het verloop van de werkloosheid-grafiek en de vaca- ture-grafiek over het laatste jaar?

-ocr page 9-

A5

ZO MAAR EEN DAG IN ME I

Hel weer van alledag ondervinden wij als een samenspel van de verschil- lende elementen, die het weerbeeld bepalen, zoals de straling van de zon, de temperatuur, de wind, de vochtigheid van de lucht en de neerslag. Van deze elementen bekijken wij hier in het bijzonder de temperatuur. Iedereen weet wel bij ondervinding dat de temperatuur sterk afhankelijk is van het uur van de dag. De meteorologen spreken van de 'dagelijkse gang'; dat wil zeggen dat de temperatuur in de loop van de morgen stijgt en in de namiddag, avond en nacht daalt. In de regel is de temperatuur het laagst kort na het moment dat de zon opgaat, dat is dan de minimum temperatuur. De hoogste waarde van de temperatuur (het maximum) wordt meestal omstreeks 14.00 uur bereikt. 22 20 18 16 14 12 10 p 6 I « |* E s 0 f tt(dstip}:hoog) Thnnesland te ____i .... , , T ,T \ ^r\ naxin um-U nper tuur 1 / \ Ss. ^< s r_ I s < N v il s s, I in SOp omst ; .1 '' ' I i mini 1 ■num-fcempe! ItUUI i r i i 2 1 22 23 00 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 Middeneuropese tijd in uren {g£en zomertijd) Dagelijkse gang van de luchttemperatuur op een heldere dag in mei in De Bill

1. Op welk moment was het die dag het warmst? En het koudst? 2. Hoe verklaar je dat het warmste moment van de dag plaats heeft na dat de zon in de hoogste stand geweest is? 3. De temperatuur T (in °C) is een funktie van de tijd t (in uren). A T . Bereken j—- voor de periode (het interval) van 5 uur 's morgens tot 3 uur 's middags. Bereken dit ook voor het tijdsinterval van middernacht tot 5 uur 's mor- gens. 4. Op welk uur van de dag liep de temperatuur het snelst op? Met welke snelheid (in graden per uur) steeg die temperatuur toen onge- veer?

"?/

,.'-."*

7

-ocr page 10-

				TERUGBLIK
			In deel A heb je een vijftal voorbeelden bekeken. Op 't eerste gezicht vijf verschillende onderwer- pen. Maar als je door een wiskunde-bril kijkt ... Natuurlijk bij elk voorbeeld heb je een grafiek gezien en was er sprake van een funktie (al stond dat er niet steeds uitdrukkelijk bij). Maar er is meer dat die vijf voorbeelden bindt. Samengevat in drie kernvragen (beantwoord je die even?): 1. Je kunt aan een grafiek zien of er sprake is van toename of afname van de funktie. Hoe? 2. Hoe snellev de verandering, hoe ......... de grafiek. 3. Je kunt de snelheid waarmee de verandering plaatsvindt in een interval, uitdrukken in een getal. Hoe?
		VOORUITZICHT Dit boekje gaat dus over veranderingen van funk- ties, hoe snel die veranderingen gaan en soms ook hoe snel die veranderingen veranderen. De wiskunde-theorie die daar over gaat heet differentiaaIrekening. Het is een vrij ingewikkelde theorie die je niet zo maar even op een achternamiddag kunt leren. In de geschiedenis van de wiskunde is die theorie ook pas in de 17e eeuw ontwikkeld. De pioniers op dit terrein waren Newton en Leibniz (zie de tekst op de achterflap). Zij hebben de fundamenten ge- legd, waar later vele andere wiskundigen op hebben voortgebouwd. En tot op de dag van vandaag is de differentiaalrekening een "hulpbron", waar tech- nici en economen, natuurkundigen en biologen veel- vuldig van profiteren. Newton zette zijn eerste stappen voor de ontwikke- ling van de differentiaalrekening bij zijn studie van bewegingen. Problemen van tijd3 afstand, snel- heid3 versnelling. In zijn voetspoor gaan we in deel B een paar van zulke problemen bekijken .......

-ocr page 11-

		DEEL B TIJD-AFSTAND-SNELHEID

-ocr page 12-

ER RIJDEN WAT TREINEN VANDAA6 DE DAG ...

Op het trajekt Arnhem-Utrecht rijden drie soorten personentreinen: stoptreinen, intercitytreinen, internationale (TEE)-treinen. Hieronder zie je een fragment uit het spoorboekje afgedrukt met de dienstregeling op dit trajekt.

001848 ICTB 10 ! l 14 38 1 1448 IE 114 48 15 24 1441 1445 1449 1455 14  56 1501 15 09 1517 1521 15 28 14 50 1513 !

tfeinnummer

I D 222 1342(013 58 13 46 13 50 JT356 13 57 14 02 1410 1416 1420

i '1409 : I U4J9 ' 14 20

Arnhem Oosterbeek Wolfheze Ede-Wageningen

14 12 14 16 14 20 J 4 26 "14 27 14 32 14 40 14 46 14 50 1456

Ede-Wageningen Veenendaal-de Ktomp Maam Driebergen-Zeist Bunnik Utrecht CS

1426

14 31

X1443

I

We richten onze aandacht op het omlijnde gedeelte. Van de rit van de intercity (trein no. 1848) zie je op de volgende bladzijde een grafiek getekend. 1. Teken zelf in de figuur de grafiek van de stoptrein en van de TEE. 2. Welke trein haalt op zijn reis naar Utrecht een andere trein in? Hoe laat en waar? 3. Welke trein legt het trajekt Arnhem-Utrecht het snelst af? Met welke gemiddelde snelheid? 4. De stoptrein doet natuurlijk het langst over de reis. Maar rijdt die stoptrein ovevat langzamer dan b.v. de intercity? Hoe zie je dat in de grafiek?

-ocr page 13-

						B2
			ER RIJDEN WAT TREINEN VANDAAG DE DAG
		5. Bekijk nog eens de rit van de stoptrein Arnhem-Utrecht. De afgelegde weg s (in km) is een funktie van de tijd t (in minuten). A s Bereken j-—r voor de trajekten: Arnhem - Oosterbeek; Wolfheze - Ede/Wageningen; Driebergen/Zeist - Bunnik. Hoe kun je de verschillen in uitkomst verklaren? Om 14.50 vertrekt van Utrecht CS een intercity in de richting Arnhem. Deze trein stopt alleen in Ede/Wageningen (aankomst 15.13, vertrek 15.14) en arriveert volgens de dienstregeling om 15.25 in Arnhem. 6. Teken de grafiek van die treinrit (in dezelfde figuur als de drie gra- fieken die je al gemaakt hebt). 7. Hoe laat ongeveer ontmoet deze intercity achtereenvolgens de intercity, de stoptrein en de TEE die tussen 14.30 en 15.00 uit Arnhem vertrekken? 8. Hoeveel treinen ontmoet deze intercity op zijn weg van Utrecht naar Arnhem? (Je mag aannemen dat de dienstregeling was die op biz. Bl is afgedrukt zich elk uur "herhaalt"). Afstand (km)
				14.40            14.50          15.00        15.10 15.20            15.30            tijd

-ocr page 14-

		De Beechcraft Bonanza (zie foto) haalt een snelheid van 300 km/u bij windstil weer. Er is brandstof voor 4 vlieguren aan boord. De piloot van dit toestel maakt een vlucht (op topsnelheid) waarbij hij eerst de wind pal mee heeft; daarna keert hij volgens dezelfde route terug, (dus met wind tegen). In de hogere regionen waait een stevige bries: 60 km per uur. 1. Teken de grafiek van die vlucht voor het geval de piloot besluit om na 2 uur vliegen terug te keren. Op hoeveel km van de vertrekhaven moet hij een noodlanding maken? 2. Teken met een andere kleur de grafiek voor het geval onze piloot met de- zelfde hoeveelheid brandstof en steeds op voile snelheid vliegend, wel na precies 4 uur terug is. Na hoeveel tijd is hij nu van koers veranderd? Onder het "point-of-no-return" verstaat men het punt van het trajekt waar terugkeer naar de vertrekhaven nog net mogetijk is, rekening houdend met de brandstof aan boord. (Uit: Leerboek voor de privevlieger). 3. Hoeveel km bedraagt voor deze vlucht de afstand van startpunt tot het point-of-no-return? 4. Waar ligt het point-of-no-return voor onze piloot als het 2 keer zo hard waait?
			111111111111111111111111 m 11 rn i' l: 11 i 11M111 m 11111111 i 11 i 111111111111 i 11 n i rrrrrrTmrrTnTrrmTrTrn i i ; i, 111 0                                   12                                     3                                   4 tijd (uur)

-ocr page 15-

B4

HEER IN HET VERKEER

Heer Bommel was danig uit zijn humeur. Het verkeer in Rommeldam had hem veel oponthoud bezorgd en toen hij zich buiten de bebouwde kom waande, trapte hij het gaspedaal geheel in, zodat de Oude Schicht gierend over de weg vloog. Helaas ontging het hem dat hij zich op een weg bevond waar snelheidsbeper- king geboden was en dat wreekte zich. Want daar naderde de commissaris van politie reeds op een brullende motor en stak een hand op.

"Hebt u zo'n haast, huh?" vroeg Bulle Bas, een notitieboekje trekkend. "Hebt u de borden niet gezien? Kunt u niet lezen?" "Maar ik reed niet te snel!" riep heer Bommel op piepende toon. "In het af- gelopen kwartier heb ik niet meer dan 10 km gereden, dat is dus 40 km per

uur

Inderdaad wees de dagteller in de Oude Schicht 10 km aan. Maar meer informatie over Bommel's autoritje geeft onderstaande grafiek.

1. Wat zou Bulle Bas hebben geantwoord op het verweer van heer Bommel? 2. Stel je voor dat heer Bommel gelijk zou hebben. Hoe zou die grafiek er dan hebben uitgezien? stand dagteller

km

f i i i ■ I i i I IN 1 i Ml l i i \ i i j j Ml 1 i M i iMI 1 1 I iil I r- •• , . i i 1 i i i j i .M I" j ' j ' ----------....."...... f" ~f" j 1 ut t/T m j 1 W i \M \r\ n -iTrl 1 1 M AT \ |007|5| ....... , ,................ , ... _____ " " ------ j# ........ | . , ._ ....... m M\ m [ M i 1 ,., ,i M 1005101 ■ -4________!_______________________1_________4-________,dt_________4_ " ^- 0 0 ■ | ... ... ...... f| 8 I Mr | i^ I A^ . y j ^ 1002151 -_____1-4-4____________________________L<*_____________________________ ■■■■■lll^ 1 **^ W^^^ 4 ^ .(j y W * 2 ^^mm ■ ' *0 ^ ________

10

15

*'1

v •■i )/ " 4 V

tijd(rrtin)

%

-ocr page 16-

														B5
				U NADERT NU HET STATION
			Hieronder zie je het beginstuk van de "intejrcity-grafiek" (biz. B2) vergroot weergegeven. 1. Waaraan kun je zien dat er in die grafiek geen rekening is gehouden met het optrekken en afremmen van de trein? 2. Je ziet op de volgende bladzijde een tijd-snelheid-grafiek waarin o.a. te zien is dat het afremmen minder tijd vergt dan het optrekken. Gebruik deze grafiek om de grafiek van de intercity-rit zo goed mogelijk te verbeteren.
		I t ] 1 O/i - I 1 i )m\ I z4 1 1 1 1 { ¥ 1 1 ! i 1 1 1 17- 1/ 1 Q - y £ 5 v~ 1 K •w /I - "S 4 +» 's Q CO £? n - <33 U ~
												14.55
					14,40					14.50
								14.45
													tijd(uur)

-ocr page 17-

B6

U NADERT NU HET STATION ,.,

Tijd-snelheid-grafiek voor de intercity:

----------------------------------------------_ _ _ ---------------------- 150_______________JZ____________________________________________ X X JL 100 ________x______________jt_______■-_______________ uu ___ . . x---------------X----------X--------------------------- 1 X JL x x 1 X x x ______X_____________x___x____ _________ X X----x----- 1 XI X XX X XX m- __X___________It— X-___■___- bU X ------- *-- 1- fc t X t t X XX _X -----____t_ X_____ __ _ X - X X X - X X - X XX 1_ X X...... " ~"~ '" '

'XI V

14,40

14.45

14.50

14.55

tijd(uur)

■ -

-ocr page 18-

B7

HET SNELSTE DIER

De cheetah, de snelste hardloper uit de dierenwereld kan  een snelheid berei- ken van 110 km/u. Soms wandelt hij openlijk op een kudde  gazellen af tot ze wegrennen, waarna hij een van hen achtervolgt. Hij heeft  echter geen uithou- dingsvermogen en geeft de jacht al na 450 meter op ...

Twee hardlopers. De snelheid van een dier hangt voor een deel at van de grootte van zijn passen en hardlopers ze- als paarden hebben dan ook lange benen. Zowel de poten als het lichaam van de cheetah zijn korter dan die van het paard, maar door de meer flexibele gewrichten van zijn voor- en achterpoten kan hij lange sprongen maken. Hij kan in korte tijd meer dan 110 km/uur bereiken, terwiji de topsnelheid van een paard 70 km/uur is.

Snelvoetige jagers en graseters Sommige dieren van de grasvlakten, zoals olifan- ten, zijn door hun grootte gevrijwaard tegen aanvallen, terwiji andere zo klein zijn dat ze zich beschermen door zich in te graven. Vele soorten zijn echter afhankelijk van hun snelheid om aan hun vijanden te ontkomen. De snelheid van een dier hangt af van de grootte en de frequentie van zijn sprongen. Bij de paardachtigen zijn de voetbeenderen ver- lengd en het aantal tenen is gereduceerd tot een, omdat een dik beenstuk steviger is dan een aan- tal dunne. Deze ene teen is omgeven door een stevige hoef, die het been tegen stoten beschermt

als het dier over een harde bodem galoppeert. De krachtige spieren die het been bewegen zijn bovenaan het been gebundeld, zodat een lichte spierbeweging bovenaan, het slanke onderste ge- deelte van het been ruim kan bewegen. De snelste sprinter ter wereld is de cheetah. Zijn poten zijn korter dan die van het paard, maar hij kan in 17 seconden op een snelheid van meer dan 110 km per uur komen en die volhou- den over een afstand van ruim 450 m. De cheetah wordt echter gauw moe, terwiji een paard, dat een topsnelheid van 70 km/u haalt, over ruim 6 km een snelheid van 50 km kan handhaven.

-ocr page 19-

B8

HET SNELSTE DIER

Een cheetah wordt uit zijn middagslaapje gewekt door het geluid van paarden- hoeven. Op het moment dat hij besluit de achtervolging in te zetten heeft het paard een voorsprong van 200 m. Het paard dat op topsnelheid draaft, is nog lang niet aan het eind van zijn krachten.

1. Haalt de cheetah het paard in? (Los dit probleem op met behulp van grafieken; je mag aannemen dat de cheetah in de tijd die hij nodig heeft om zijn topsnelheid te bereiken ongeveer 300 meter aflegt).

Og*

loo

?

-ocr page 20-

TERUGBLIK

B9

Intercity, vliegtuig, Oude Schicht, cheetah. Deel B ging over verandering van plaats. En een overzichtelijk beeld van zo'n verplaatsing krijg je vaak door een tijd-plaats-grafiek (of tijd- afstand-grafiek) te schetsen. Stel je voor, we hebben een tijd-plaats-grafiek van een of ander bewegend voorwerp. Een paar vragen:

1

Wat betekent het als in die grafiek een horizon- taal stuk voorkomt? Wat weet je van de beweging als de grafiek een kaarsrechte, maar schuine lijn is? En als de grafiek een kromme lijn is? Hoe groter de snelheid, hoe ..... de grafiek. De afgelegde weg (s) is een funktie van de tiid (t).

3. 4. 5.

Op een zeker tijdsinterval kun je j- Wat stelt dit getal voor?

berekenen.

VOORUITZICHT

De mate waarin een grafiek schuin loopt, om zo te zeggen de "steilheid" van de grafiek, heeft blijk- baar te maken met de snelheid van de verandering. Hoe meet je de steilheid van een, rechte of kromme, lijn? In deel C ("Hellingen meten") hoor je daar meer van.

-ocr page 21-

		DEEL C HELLINCEN METEN

-ocr page 22-

			HELLINGSPERCENTAGE				CI
				1. De helling van een oprit is 25%.
		Hoe komt men aan die 25%? 2. Laat in een tekening zien hoe steil een helling van 10% is. 3. Hoe groot is ongeveer het hellingspercentage van een oprit met een hel- lingshoek van 30 graden? 4. Hoe groot is de hellingshoek bij een helling van 100%? 5. Vul in (gebruik een rekenmachientje of tabellenboekje):
						hellingspercentage hellingshoek in graden 0 % % % % % % % % % 25 50 100 200 300 400 500 1000

-ocr page 23-

C2

ST, GOTTHARD

him)

St. Gotthard 2108 m

2500 ■

Alte Strasse 1600 ra

Fiesso 979 ra

500

250

__L,____t           I_______

0*

•*•*•*■ T ■'■'■*•'■ '■'■'i'i'i' i'-*i 'I '■'■ v ■*■'■*•*•*■ '.'f '■ VnVt V-Vi *r"iVy"i"iV*"*' 43        49                   60 ------------*- a(ktn)

*.....•...............

11 16        22 24 29 34

66

h = hoogte (in meters) a = afstand hemelsbreed tot Amsteg (in km)

1. Wat is de gemiddelde stijging van de weg (in meters per km) tussen Amsteg {h = 519 m) en Wassen {h = 916 m)? Voor het hoogteverschil tussen twee plaatsen gebruiken we het symbool A h. Voor de onderlinge afstand-hemelsbreed tussen twee plaatsen schrijven we A a. Zo is de gemiddelde stijging van de weg tussen Wassen en Goschenen: A h 185 ?-, * u ■t-- = ._ =37 meter per km. A a 5                          * A h 2. Bereken v— van de weg tussen Hospental en Matteli. Wat is het gemiddelde hellingsperceniag'e van die weg? 3. In het Beste Boek van de weg (uitgave ANWB) staat dat de helling tussen Hospental en Matteli 10% is. Hoe kan dat?

-ocr page 24-

C3

AFDALING

Een berghelling varieert meestal nogal in steilheid. Als je een dwarsdoorsnede van zo'n berg maakt, krijg je geen mooie rechte lijntjes te zien. Het plaatje van de St. Gotthard is wat dat betreft bedrieg- lijk. Hieronder zie je het "profiel" van een stukje berghelling, toeganke- lijk voor skieers. 701----..................-.....-------r----1-----1---------1-----r----i hoogte

hemelsbreed (m)

1. Hoeveel % is de "gemiddelde helling" van het trajekt? 2. Waar is de helling het steilst? 3. Hoe steil is de helling voor de skieer in het punt A? 4. Meet de hoogte en de steilheid in de punten op 0; 20; 40; 60; 80; 100; 120 m hemelsbreed. Zet je antwoorden in een tabel.

afstand hoogte steilheid hemelsbreed (m) (hellings- (m) percentage) 0 20 40 •

-ocr page 25-

																													C4
			AFDALING
			Onze skieer heeft een andere helling (100 m hemelsbreed, 60 m hoogteverschil) met veel verve genomen. In de tekening hieronder zie je drie punten van de helling: A, B, C. Er loopt een kabelbaan van A via B naar C. Bovendien zie je de stand van de ski's in de punten op 0; 10; 20; ...; 100 m hemelsbreed van A. Probeer met behulp van deze gegevens de helling zo goed mogelijk te schetsen.
		Stand van de ski's:
																												X — S
												X /
																											50          60           70            80           90         100
																	20
													10								30
																							40
										^^c ^ £^ i B I i i i i £ i t ! ! *Vy i i
						60																										60
																															30
						50
				40 ■																											40
																															30
					30
																															20
					20
																															10
						10
																										50           60           70           80           90         100
											0           10							20           30         40

-ocr page 26-

							C5
		HOOGGEBERGTE
			Van een ander stukje berghelling is gegeven:
					afstand hellings- hemelsbreed (m) percentage 0 0 % 10 50 % 20 100 % 30 200 % 40 50 % 50 0 %
		Probeer met behulp van deze gegevens het hoogteverschil over 50 m hemels- breed te schatten.

-ocr page 27-

								C6
					HELLING VAN EEN RECHTE LIJN
				Een rechte lijn in een coordinatenvlak loopt overal even steil t.o.v. de horizontale richting. We kunnen de helling van zo'n lijn gemakkelijk uitdrukken door middel van een getal. Dat getal krijgen we door de vertikale toename A y ("hoogteverschil") te de- len door de horizontale toename A x ("afstand hemelsbreed").
			de helling van de lijn 1 A y _ 3 Ax 4 N.B. We zeggen in de wiskunde dus niet: de helling is 75%! A ,V A X 1
		In plaats van de helling van een lijn spreekt men ook van de richtingscoef- ficient van die lijn. 1. Bekijk bovenstaande figuur. Hoe groot is A y als A x = 8? En als A x = 2? En als A x = 1? 2. De helling van een lijn kan ook negatief zijnI Teken in het plaatje een lijn met een negatieve helling. 3. Bekijk de weg van A naar H (figuur hieronder). Wat is de helling van de wegstukken AB, BC, enz. Teken ook een weg van A naar H waarbij de wegstukken respektievelijk de helling \; 2; -\; 0; |; -4; 2\ hebben.

-ocr page 28-

										C7
				VERBINDINGSLIJNEN
				, (." ,8 ) . (4 !,■ ) ,(1 ,2 >(f r — 1)
							Gegeven zijn de vier punten (1,2); (3,8); (8,3) en (6,-3). Verbind elk tweetal (van deze vier punten) door een rechte lijn. Bereken de helling van de verbin- dingslijnen die je getekend hebt.
		2. Hoe groot is de helling van de lijn door de punten: a.  (1,2) en (4,8); b.  (4,8) en (10,20); c.  (10,20) en (50,100); d.  (p,2p) en (q,2q)? 3. Hoe groot is de helling van de lijn door de punten: a.  (1,2) en (2,1); b.  (10,15) en (15,10); c.  (325,1000) en (1000,325); d.  (p,q) en (q,p)? 4. Hoe groot is de helling van de lijn door de punten: a.  (2,4) en (3,9); b.  (3,9) en (5,25); c.  (5,25) en (9,81); d.  (t,t2) en (s,s2)?
			5. Gegeven zijn de punten P:(10,25); Q:(100,475) en R:(1000,4975) Hoe groot is de helling van de lijn PQ? En van QR? Liggen P, Q en R op een rechte lijn? Waarom?

-ocr page 29-

C8

EEN VREEMDE LEGPUZZEL

■t *"*■*" ^ 2 ==3=EE5EEE?EE i=A==

Aantal vierkantjes 169 (= 13 x 13)

T^

3 -J P----5 ~+.^ =±=z 3t

Aantal vierkantjes 168 (= 8 x 21)

Met de zes figuurtjes kun je op twee manieren een rechthoek maken. Maar nu is er een vierkantje verdwenen. Hoe kan dat nou???

-ocr page 30-

					TERUGBLIK
				De steilheid van een rechte lijn in een coordina- tenvlak kun je gemakkelijk in een getal uitdrukken. 1. Hoe hebben we dat gedaan? 2. Wat weet je van de lijn als de helling nul is? En als de helling negatief is? Voor kromme lijnen ligt dat minder simpel. De helling van een kromme lijn is veranderlijk. In de opdrachten over de skier heb je gezien hoe je de helling van plaats tot plaats via een rechte lijn kunt benaderen.
			VOORUITZICHT
		Een rechte lijn waarmee je een kromme zo goed mogelijk benadert, noemen we een raaklijn. Voorlopig tekenen we zo'n raaklijn op "gevoel", Een beetje draaien met je liniaaltje, tot je het idee hebt, zo klopt het aardig. Omdat de helling steeds verandert, is het in- teressant om de helling als funktie van de (horizontale) afstand te bekijken. Zo'n funktie noemen we (ook voorlopig) een hellingfunktie.

-ocr page 31-

		DEEL D HELLINGFUNKTIES

-ocr page 32-

					Dl
			RAAKLIJNEN TEKENEN
		Op de kromme lijn zijn drie punten aangestipt. 1. Draai een liniaaltje om het punt A, totdat je de "raaklijn-stand" hebt gevonden. Teken de raaklijn in het punt A. Hoe groot is de helling van de kromme lijn in A? 2. Dezelfde opdracht voor de punten B en C. 3. Hoeveel hovizontdle raaklijnen heeft de kromme lijn? 4. Kleur het deel van de kromme, waar de helling positief is "blauw" en waar de helling negatief is "rood".

-ocr page 33-

					D2
		HELLING-FUNKTIES
		Op deze en de volgende biz. zie je een aantal grafieken. Bij elke grafiek past een funktie F. Voer voor elke grafiek de volgende opdrachten uit: 1. Meet in een aantal punten de helling van de grafiek (voor kromme lijnen wil dat zeggen de helling van de raaklijn!). 2. Teken een grafiek van de "helling-funktie" F van F. Die hellingfunktie koppelt aan elke x de helling in dat punt. Kortweg: F'i x •*■ helling van F in x. Fix)                                                                F(x)
			F'(x) = helling in x                                  F'(x) = helling in x

-ocr page 34-

D3

HELLING-FUNKTIES

Fix)

F(x)

6 x

6 x

F'(xJ 4 3 2. 1 0 -r -2 -3 -4 0

F'(x)

TTTTT

IH

-r—

:-i i

2-1

tp., : I nil: ij-

rrrr

as is;

at

::j-

1

m

T-ff+tft

tttp

__.

h"

1

:|::

:

tif-t:

;::

m

I!"

I

0-S

«£

*r

::::

a?

j :i;.:

^W^

;S;

tttt-

::r

M1

5HH

fci:

ttt

SSffl

-l-£

L-n

w

:!;;

m

i&

ttifctt

-2.,

1 rriri

p-i

a

ZZZZtPr

—

H3JSH

t::::::

Ji

:::: :

pllp

i Bfl

i^li±

—

6 x

5 X

(9

-ocr page 35-

D4

HELLING-FUNKTIES

F(x)

6 x

x

F'(x)

F'(x) 4

CTT

—

:,r

3 2_ 1 0

m\

-^11

ittt

—r

___

1

1

::-,:

#t

tttH

::: ::

St:S

::;:

«ti^

I

rr

:::

|

-:.

ill

r tr

1

0

!k|

— ■

-.

;;!;

II

t::

ifettl

III

ffl

i!!'i

-1 J -2

-2 -

33 IS

ffl

m

P

ai

1

ai

tttt iff:

a}a

-2 .

liili

Mt ::t

,u

a

TTTT

r;±i

Hi

m

: :

ffl

-3

-3-

mm

ii;;:

ztit

W

l-il-

Wtir

..1- I-,

ffr^atnft

-4

CE

-4 t

» t 1         2

6 X

6 x

-ocr page 36-

D5

HELLING-FUNKTIES

3. Bekijk nog eens de zes bovenste grafieken op de biz. D 2, 3, 4. Kleur van elke grafiek het deel waar de helling positief is "blauw" en het deel waar de helling negatief is "rood". Zie je een verband met de bijpassende hellingfunkties? Zo ja, welk? 4. De grafieken in de rechterstrip stellen de hellingfunkties van de funkties a, b, c, d voor, maar ze staan niet in de goede volgorde. Zoek bij elk van de vier de passende hellingfunktie.

\ [l\~ i+iii TT TT W as : ■ 1:3::

a =

::i »" 31 1 1 •* •ft ijtjj 4 tHt :ni 'f-pB ■ : 111 jj.ll : Hf TTTT 1 :#:] sis :ra ...: ::;: jro 4i! III tlst ... ., 5BB HHii figa a:: rttt; fjff 11 II S |: • ill ffi

b' =

hM '.&■■;■.: v-':.": !|:ih- 1 ;::: •••;;•:• I:::::::::."::**'i:::: ::::::: :::: :;::;::: •:::::::::;::::;..•*:: ::::::: :;;: jjjj :■:::::: ;;;;

4 3 2 ill 1 It? 2 [ijifR^I+VJ 0 mtj*;:|njHj;;l 4 St j{{ i|i|j|njjbijfi|j. J 1 II 1 I'HH

iiifiiiiiiiiiiiiiiiii;.            ;i!;:;::iil!l

:1tt "Hi J~^" m It :ffl [||1; ■ 4- -: wSni |S:S|Mffij: SI 11 illl ir p; MM! iiini j!i -'■'•mM llf j| MT 1 iji ait If! (l§f§ n j |T • ^Hr ±: 1 f ill lltil 11 t ! pt ill Hi IB 111 11

"iii:iiii!:ilii:llibli!»iii!li

-ocr page 37-

D6

HELLING-FUNKTIES

De hellingfunktie van F is gegeven. Teken de grafiek van F (een punt is al getekend)

6 x

6 x

x

X

-ocr page 38-

						D7
			GELD SPEELT EEN ROL
			In de gemeente Rommeldam zijn de boetes bij overtreding van de snelheidswet niet mals.
				GEMEENTE ROMMELDAM Politieverordening De boetes die opgelegd dienen te worden bij overtreding van Art. 243 uit het Wegenverkeersreglement zijn: - bij een overschrijding van de toegestane snelheid met ten hoogste 10 km/u bedraagt de boete 25 florijnen; - bij een overschrijding van meer dan 10 km/u maar ten hoogste 20 km/u is de boete 50 florijnen; - bij een overschrijding van meer dan 20 km/u maar ten hoogste 30 km/u betaalt de overtreder 100 florijnen Bij elke volgende 10 km/u boven de toegestane maximum snelheid, dient men de boete opnieuw te verdubbelen. De burgemeester van Rommeldam
		1. Bekijk de grafiek op biz. D8 van Bommels autoritje. Het aangekruiste punt geeft het moment (en de plaats) aan waar Bommels overtreding gekonsta- teerd werd. Hoeveel boete moest Bommel betalen? 2. Teken de grafiek van de snelheid, zoals die op de snelheidsmeter in de Oude Schicht tijdens het ritje werd aangegeven, als funktie van de tijd. 3. Tom Poes die naast Bommel in de auto zat beweerde later nog dat zij bijna de helft van de weg te snel hadden gereden. Ben jij het daarmee eens? Leg eens uit.

-ocr page 39-

D8

GELD SPEELT EEN ROL

stand dagteller

Yfi l" ] ; :'| 1 ; r _......""" ' ____l_____i_4X- -"-- --£"- ----' 4- , " _ 1 :,::.:.. i, . I I I ! ! i ,1....._____ _ _____ .....L 1 . -1 1 ............- ....... ■* "' ' ...... i—..... -...... •.. if+i-^:-^::::::::±::::::±::::::±:::::±:::±:::::::-;;i;i;;;;; 101010 jP m SB j ■ *"^~ HIT 7P JF 3F ifin7ici 1 Br |; i MT Jjn Br i ^B m[ jF ■ iJ» nncirt . Jy ^^ ^^ ^ ^^ ~j- 1 J ™ .j J j I™ ■ ^^ ^p innoici . j jj FT luy&a ^^^^ ^^4 ' B ^ ^^^ -^ ^ ^r ^^^ ^^^0^ ^^ [^ i*^^T ioooiq *

10

15 tijd(min)

stand snelhetdsmeter

km/i

i i | i i i n - i i ■^— i_i 1 i ! i i i i | 1 , . ! 1 i 1 1 i i i 1 . i i i i i i i i i i ______i ! i i 1 1 i 1 | | i i 1 | | j j j U - 1 1 i - _ -L- f 1 ±: n i i i 1 i ,„ i I 3 . 1 | i i | _____J 11 -----------U-J--------m | i 1 _J 1___ i --J- i - i i 1 I i i -

30-v -90

30-* „'-90

0; j -90

30-* '-90

300 '-90 o4&>

15 tijd(min)

10

-ocr page 40-

D9

DE SPIJKER OP Z N KOP

Een vallende hamer is afgebeeld in 6 opnamen met intervallen van 0,03 sec.

-l------1— 0,06

—f------------'-----------1------------1------------1------------(------------1------------1-----------1------------r °'10                                                                °'15 Tijd (seconder,)

/

k©

^:

•^ 6'

61 4

i®

5 2

©

©

©

-I------1------r-

--1-- 0,15

-1-- 0,10

-I--------1--------1--------r-

0,06

t(seo)

Op biz. DlO zie je een grafiek van de snelheid (V) van de hamer als funktie van de tijd.

1. Kontroleer die grafiek in de punten t = 0,05; t = 0,10; t = 0,15. 2. Hoe zou je beide grafieken (tijd-plaats en tijd-snelheid) kunnen voort- zetten?

-ocr page 41-

DE SPIJKER OP Z'N KOP

D10

v) Si

•50 "-

•100 --

—I-------r- 0,15

t(sea)

0,05

0,10

De snelheidsfunktie is de hellingfunktie van de plaatsfunktie. Omdat de snelheid van de hamer voortdurend verandert, is het interessant om ook de hellingfunktie van die snelheidsfunktie te bekijken.

IN o J 5

80

60 -

40

20

0 ■

-20

—I------1------r- 0,10

—I---------<~ 0,15

t(sea)

0,05

De maat voor de verandering van de snelheid noemt men vevsnell'ing. De versnelling is gemeten in cm/sec per sec, of zoals de natuurkundige zegt: cm/sec . 3. In welke periode is de versnelling konstant? Wat betekent dat voor de snelheid?

4. Welke gebeurtenissen horen er bij de twee pieken in de versnellingsgrafiek?

-ocr page 42-

										Dll
				TERUGBLIK
				Als je van een funktie de grafiek kent, kun je de grafiek van de hellingfunktie schetsen. Omgekeerd geeft de hellingfunktie informatie over de oorspronkelijke funktie. 1. Wat weet je van de oorspronkelijke funktie in een gebied waar de hellingfunktie positief (resp. negatief) is? 2. Wat weet je van de oorspronkelijke funktie als de hellingfunktie een horizontale lijn is? 3. Stel dat de oorspronkelijke funktie een tijd- plaats-funktie is. Wat stelt de hellingfunktie dan voor?
			VOORUITZICHT
		Tot nu toe hebben we de helling in een punt van een kromme lijn bepaald door het "op-gevoel-tekenen" van een raaklijn. In veel gevallen geeft dat op-gevoel-tekenen echter een onnauwkeurig resultaat. Er bestaat echter een betere methode om de helling- funktie te vindent Maar voor die betere methode is nodig dat je meer van de funktie weet dan alleen een grafiek. Je hebt een formule nodig waarmee de funktie beschre- ven wordt. Een bekend voorbeeld van een funktie waar- bij we over een formule beschikken is de zogenaamde vrije val. Daarover gaat deel E.

-ocr page 43-

				DEEL E VRIJE VAL

-ocr page 44-

							El
				BOMMENWERPER
			De zwaarste bommenwerper ter wereld is de Boeing B-52H Stratofortress met 8 straalmotoren en achterwaarts gerichte vleugels; het maximumstartgewicht bedraagt 221,35 ton. Het toestel heeft een vleugelspanwijdte van 56,38 m en is 48,02 m lang. De snelheid is maximaal 1050 km/u De B-52 kan 12 zware bommen (340 kg) vervoeren onder elke vleugel en 84 bom- men van 226 kg in de romp. Het totale gewicht aan bommenlading bedraagt dus 27.144 kg.
		Foto genomen tijdens bombavdement van Vietnam Bekijk de foto van de bommenwerper. De bommen worden met gelijke tussenpozen gedropt. Klopt dat met wat je op de foto ziet?

-ocr page 45-

								E2
			REAKTIE-AUTOMAAT
			In de stationshal van Utrecht CS staan automaten, waarmee je je reaktiesnel- heid kunt meten. De bedoeling is om het ingebrachte dubbeltje, zodra dit gaat vallen, zo snel mogelijk tot stilstand te brengen.
							f%
				,
		Lees de tekst op het apparaat en bekijk de kolom van de reaktietijd. Meet de aangegeven tijdsintervallen van 0,01 sec met een liniaal. Is die schaalverdeling wel eerlijk?

-ocr page 46-

						E3
		BALLAST OVERBOORD
			Uit een ballon op 320 m hoogte wordt een zandzakje geworpen. In de tekening kun je zien, waar dat zakje zich na 1, 2, 3, .... 8 sec be- vindt. 1. Teken de grafiek die het verband aangeeft tussen de tijd die het zakje onderweg is en de hoogte waarop het zich bevindt. 2. Hoe kun je in die grafiek zien dat het zakje steeds sneller valt?
					tijd(sea)

-ocr page 47-

									E4
			BALLAST OVERBOORD
						32(h
		Bij een vrije val letten we meestal op de Valweg (= gevallen afstand) als funktie van de tijd. 3. Teken de grafiek van die funktie. Via experimenten is komen vast te staan dat de valweg s als funktie van de tijd t bij benadering ge- geven wordt door de formule: s = 5t2 4. Hoe kun je nu de hoogte h van het zakje als funktie van t met een for- mule beschrijven? Precies 1 sec na het loslaten van het eer- ste zakje laat men een tweede zakje uit de ballon vallen. 5. Teken de grafiek van de valweg van het tweede zakje als funktie van de tijd. 6. Hoeveel seconden later dan het eer- ste zakje berteikt het tweede zakje de grond? 7. Teken de grafiek van het hoogtever- sahil tussen de twee zakjes als funktie van de tijd, op het tijdsinter- val van 1 tot en met 8 sec. 8. Die laatste gra- fiek is een rechte lijn. Dat had je kunnen voorspellen aan de hand van de foto's op biz. El en E2. Verklaar dat.
							9        10 ticd(sec)
								tijd(sec)

-ocr page 48-

		VALSNELHEID
						E
			Amerikaan overleeft val van 110 m De 22-jarige Amerikaan Ha- rold Brown heeft niets anders dan knie-, dijbeen- en hiel- fracturen overgehouden aan een val van 110 meter door een luchtverversingskanaal in het piramidevormige Transameri- ca-gebouw in San San Francis- co. Volgens de doktoren is het een wonder dat Brown, die op een bctonnen vioer terecht kwam, zijn val heeft overleefd. De jongeman was het gebouw na sluitingstijd binnengedron- gen al roepend: "Ik wil de man aan de top zien. I kben de afge- zant Gods". Achtervolgd door de politic rende hij de trappen op tot hij zich op de 27e verdie- ping in het ventilatiekanaal stortte. Men schat dat hij bij zijn val een snelheid ontwik- kelde van 160 kilometer per utir. (Reuter,AFP.)

-ocr page 49-

E6

VALSNELHEID

De vrije val op aarde, of het nu een zandzakje, een hagelkorrel of een dui- ker van de hoge plank betreft, kan worden beschreven door de formule: s = 5tz (s = valweg in m; t ■ valtijd in sec) (Deze formule werd ontdekt door de Italiaanse astronoom en natuurkundige Galilei omstreeks het jaar 1585. Het verhaal zegt dat hij zijn proeven deed met kleine kanonkogels die hij liet vallen van de gaanderijen in de scheve toren van Pisa).

Bekijk het kranteartikeltje op biz. E5. Laten we aannemen dat Harold Brown een vrije, d.w.z. ongeremde val heeft gemaakt. 1. Hoeveel seconden duurde zijn val on- geveer? 2. Meet in de grafiek met welke snel- heid ongeveer (in m/sec) hij is neer- gekomen. 3. Hoeveel km/u is dat? Klopt dat met het getal dat in het kranteartikeltje (biz. E5) genoemd wordt? In een andere krant stond dat Harold Brown in zijn val afgeremd werd door botsingen tegen de wand van het lucht- verversingskanaal. En gezien de hoge snelheid die bij een vrije val over 110 m wordt ontwikkeld lijkt het waar- schijnlijk dat dit zijn redding is ge- weest.

Je weet inmiddels dat de snelheid van een vallend objekt toeneemt met de valtijd. De snelheid kun je op elk gewenst moment schatten met behulp van een raaklijn aan de grafiek.

PROBLEEM: HOE KAN DE SNELHEID OP ELK GEWENST MOMENT WORDEN BEREKEND?

Als eerste voorbeeld kunnen we het moment t = 2 (de valweg is dan 20 meter) . Uitgangspunt: gemiddelde snelheid kan voor elk interval exakt berekend worden! Bekijk nu de plaatjes op biz. E7 en E8.

-ocr page 50-

VALSNELHEID

E7

TIJD (SEC) 1.50 - 2.00

10

iO(t=l,5)

IS

20 UO (* = 2)

TIJD 1.90

15

I I

O (t = l,9)

O (*-2)

20

tf

TIJD (SEC) 1.99 -

O (*-1.99)

20

-ocr page 51-

uo'2 = ? Q

- 00'2 ) aru

i

(I'Z = ?) O

OO'Z

ar

IX (z = *> of

(s'z = *)Ol

\02

\9Z

II (z = ?)Ofl03

CII3H"13NS~IVA

83

-ocr page 52-

E9

VALSNELHEID

5. Bereken de gemiddelde snelheden over de tijdsintervallen op biz. E7 en E8. 6. Wat kun je op grond van die uitkomsten zeggen over de snelheid op het moment t = 2? 7. Op dezelfde manier kun je de valsnelheid op een aantal andere momenten bepalen. Verdeel het werk met je klasgenoten en maak een tabel van de uitkomsten.

moment (t) 0 I 2 3 4 5 6 7 8 sec valweg (s) 0 5 20 45 80 125 180 245 320 m snelheid (u) 0 m/sec

8. De valsnelheid V (in m/sec) is een funktie van de tijd t (in sec) Teken een grafiek van die funktie. v(m/sea)

200-

' : vi—i .1 j ~ \ 1 ! j ----1------ T~ "1 i ! 1 j : ....j. . 1 ; j i ■■ ::;;; 1 -—j— i j ! ■:■ | :: j i ! ■ L.... 1 I-: 1 : :■- : ■ :;':■ :'!|"..: j ;:■ ■■■■ 1 ■: 11 .; : ■■ • ■ ,, ' ;. . '.':: !r( ;:!! . :; ■■ ; " : r :;: [": ■:ii ■: ■ ■: :;: ------------J ; : 1 : ;:!. ::: 1 :■ L~-~:------ ~r : : :■■: ■i

160'\ 120-

80-

40-

10 12 14 16 18 tCsea)

9. Past je antwoord op vraag 2 (biz. E6) bij die grafiek? 10. Snelheid in km/u spreekt meer tot de verbeelding! Vul daarom even in:

valweg (m) 0 5 ........—' 20 45 80 125 valsnelheid (km/u) 0

En je ziet dat zelfs bij een sprong van 5 meter hoogte het neerkomen niet bepaald zachtjes is.

-ocr page 53- -ocr page 54-

					TERUGBLIK
				Vallen is, wiskundig gezien, een simpele zaak. De valweg s (in meters) na t seconden vrije val neemt kwadratisch toe met de tijd: S = 5t2. De snelheid V (in m/sec) neemt lineair toe met de tijd: V = lOt. Vragen: 1. Na hoeveel seconden vrije val wordt er een snel- heid van 100 km/u ontwikkeld? 2. Stel F is de funktie t -* 5t2 (t > 0) . Door welke formule wordt de hellingfunktie F' van F gegeven?
			V00RUITZICHT
		Het proces waarmee de hellingfunktie van een gege- ven funktie bepaald wordt, noemt men diffevent-ieren In plaats van hellingfunktie spreekt men meestal van afgeteide funktie (of soms van gediffeventi- eerde funktie). Er bestaan allerlei regels om vlot de afgeleide funktie van een (door een formule gegeven) funktie op te sporen. De meest fameuze regel gaat over het differentieren van funkties als: x -*■ x x -* Xs x -*■ xk enz. Daarover meer in deel F.

-ocr page 55-

		DEEL F DIFFERENTIEREN

-ocr page 56-

									Fl
				HELLING VAN Y = X
			Grafiek y = X
					A 2 1 0 2
		A is het punt (1,1) PROBLEEM: WAT IS DE HELLING VAN DE GRAFIEK IN HET PUNT A? Op deze en de volgende bladzijde zie je een paar "filmfragmenten". In de film kruipt een punt B over de grafiek naar A toe. 1. Bereken bij elk fragment de "gemiddelde helling" van boog AB.
							Fragment 1

-ocr page 57-

CO Li-

313

4-> ~

-p c ^-> (1)' -ca- i ll (0 H M <1 fa

c ~ B II r^ <

• ■■■•■■■•■■■■I

OJ

X II

< > CD

1 I I I I I I I I I I

1 I I I I I I I I ■ ■ I ■ ■

• • • ■

X

-ocr page 58-

								F3
				HELLING VAN Y
			Door gebruik te maken van een variabele kan de komplete film met een formule beschreven worden! Stel: A x = p De X - coordinaat van B is dan: 1 + p De y - coordinaat van B is dan: 1 + 2p + p2 (Kontroleer je dat even?) A y 2. Toon aan dat de gemiddelde helling -r—«• van het stukje grafiek tussen A en B gelijk is aan 2 + p.
							= 2 +p
		3. Kontroleer de uitkomsten bij de filmfragmenten 1, 2, 3, 4 met deze formuleI 4. lemand beweert dat de helling van de grafiek in A gelijk is aan 2,000001, Wat vind je daarvan? 5. Einde van de film; A en B hebben elkaar gevonden! Geef kommentaar bij het laatste filmplaatje.
						A=B

-ocr page 59-

F4

HELLING VAN Y = X

De methode om de helling van de grafiek in A te vinden, is dus:

*JL

het "grens-getal" is de helling van de grafiek

laat p tot nul naderen

stel A x = p

druk

A x uit in p

Dat grensgetal (= helling van de raaklijn) wordt vaak genoteerd als 6. Bereken nu -f- in de punten van de grafiek van y = x met X = 2; 3; 5; 25; 100; 0; -1; -2; -3; /2. Verdeel het werk in de klas.

dx

Maak een tabel van de resultaten:

X hoogte y gemiddelde helling (met A x A x = P> helling dx 1 i 2 + p 2 2 4 • ■ 3 • * • •

7. Teken een grafiek van de afgeleide funktie van x -*■ x2 Welke formule past er bij die afgeleide funktie?

*) In plaats van grens-getal spreekt men in de wiskunde meestal van limiet.

-ocr page 60-

F5

HELLINGFUNKTIE VAN X - X

F is de funktie x -*■ x , met domein 3R. We kunnen ook "in een klap" de afgeleide funktie F' van F vinden!

Neem een "willekeurig" punt A op de grafiek van F. y (= hoogte van A) = x

,/ \ r --------/b \ \ x x+p " / \ x x+p

Stel: A x = p A y (= hoogteverschil tussen A en B) =

r.2 -

(x + p)' 2px + p'

A V .■ ° (= gemiddelde helling tussen A en B) = 2PX + P2 = 2££ + p± m P                      P         P 2x + p

HZZ

\ / /'

Laat p tot nul naderen en je vindt: -T- (= helling raaklijn in A) = 2x Dus F': x -*■ 2x

-ocr page 61-

differenti£ren

F6

Gegeven zijn de funkties f en g met domein TR. fix) = x1 + x ; g(x) = x3. 1. Schets de grafieken van f en g. 2. Probeer met de methode van biz. F5 de afgeleide funkties f en g' te vinden van f en g. 3. Teken nu ook de grafieken van /' en g'.

Hi

—

fix)

g(x)

m

- rtttl

:

n

3-

tt-

•ii

s$

::r

ffi;:

m

li:

iit

f+

ttt

ici

~

i-n-

TPi

m

ffii

rH£

it

E£

Ziii

X

X

g'(x)

f'(x)

-ocr page 62-

DE FUNKTIES X - X°

F7

Bekijk nog eens de gemiddelde helling van y = x en y = a:3 op het interval [ X; X + p\ :

A z/  _ (x + p) 2 - x2 A a: p

2x +

y = x

A .y  = (x + p)3

■£- = 3x2 +

3xp + p^

y = ar

Ax p

1. Bereken en vul in:

A z/ _ (x + p) ** - x1* Ax p

4x3 +

y = x

De omlijnde termen bevatten alle een faktor pf vandaar dat zij tot nul nade- ren als p tot nul nadert! Aw                                                                               2 3 En j—*- nadert dan tot respektievelijk 2x, 3x en 4x . Samengevat:

funktie helling in x y = x2 y - x3 y = x* &-=2x ax #-^x2 ax * = 4x* ax

afgeleide funktie

funktie

x -* 2x

x -*■ x

of

x -*■ 3x

x -*■ x'

4xz

x -*■ x

x

2. Je mag aannemen dat de regelmaat in de tabel zich voortzet. Wat - denk je - is de afgeleide van de funktie x -*■ X ? En van de funktie X -* X10? En van x -»• x1978? 3. Je kunt die resultaten ook samenvatten in een formule. VU"1 in:

(n = 2, 3, 4 enz

De afgeleide van de funktie x -* x is de funktie x -* ..

(Zie voor een nadere verklaring biz. F9) Onderzoek of die formule ook klopt voor n = 1. 4. /is de funktie: x -* x8. Bereken f(2).

-ocr page 63-

		GRAFIEKEN OP GROTE SCHAAL                                                                        F8 Hieronder zie je de grafieken getekend van f : x •* x en g i x -*■ x op het interval [-0,5; 1] .
					1. Teken (nauwkeurig!) de grafiek van h : x •* x erbij.
			2. Hoe groot is de helling van elk van de drie grafieken in het punt (0,0)? En in het punt (1,1)?
				3. Kleur de dalende stukken grafiek rood en de stijgende blauw. 4. Stel je voor dat je de opdrachten 1 en 3 ook uit zou voeren voor de funkties x -*■ x5; x -*■ x&; enz. Welke funkties zouden dan een "twee- kleuren-grafiek" krijgen? 5. Bekijk de drie grafieken van f^genh op het interval [0; 1]. Aanvankelijk is het / die het snelste stijgt, maar in de buurt van 1 stijgt f langzamer dan g en h. Vanaf welke x gaat g sneller stijgen dan / ? En vanaf welke x gaat h sneller stijgen dan g ?

-ocr page 64-

DE FUNKTIES X - x"

F9

A zv                                             o 3 i» Bij het berekenen van .■ ° voor y = x , y = x _, y = x , enz. op het inter- val [Xj x + p] stuit je op het uitwerken van (x + p)2, (x + p)3, {x + p)1*, enz. En dat wordt, wat je noemt een stuitend werkje, als de exponent groter wordt, tenzij .... je de (coefficienten-)driehoek van Pascal gebruikt. 1 (x + p)1

Elk getal binnen de driehoek ■is gelijk aan de som van zijn tuee "bovenbiwen".

(x + p) (x + p) (x + p)

(x + p) {x + p)

Zo krijg je bij de uitwerking van (x + p) de veelterm: 1.x1* + 4.x3p + 6.x2p2 + 4.xp3 + l.p1* En bij de uitwerking van (x + p)5: 1.x5 + 5.xkp + 10.x3p2 + 10.;r2p3 + 5.xp" + l.p1

1. Welke veelterm krijg je bij de uitwerking van {x + p)6? En bij {x + p)7? A v                    5 2. De berekening van j~ " voor y = x levert op:

A y = {x + p) •

X5          _ 14 -- = 5aT +

lCte3p + ......... + p4

Ax'              p dv ? Kontroleer dit. Wat volgt hieruit voor -f- dy                         e

x

3. Bereken op deze wijze -

dx

voor y =

In de driehoek van Pascal zie je dat de tweede term bij de uitwerking van {x + y) (voor n = 1, 2, 3, ...) de coefficient n heeft:

n n

Daaruit volgt: t—**■

(x + p) - x              n-1

V

alte termen deelbaar door p

n-1

A y_

La ten we p tot nut naderen, dan nadert -T-*- tot n.x

de afgeleide funktie van x ■* x is x -* n.x          (n = 1, 2, 3, ...)

Konklusie:

-ocr page 65- -ocr page 66-

F10

TERUGBLIK

Je hebt in deel F gezien hoe je via een tamelijk ingewikkeld proces de afgeleide funktie van een (door een formule gegeven) funktie kunt vinden. Meetkundig komt dat hierop neer: je laat een punt B over de grafiek naar een punt A toekruipen. De verbindingslijn AB voor die pun- ten nadert tot een raaklijn in A.

In algebra-taal:

het "grens-getal" is de helling van de grafiek

druk t—iL A x uit in p

stel A x = p

laat p tot nul naderen

Gelukkig hoef je dat proces niet keer op keer te herhalen. Van de funkties x -*■ Xn (n = 1,2,3,4,...) ken je de afgeleide funktie uit het hoofd: n-1 x -*■ n.x

VOORUITZICHT

Maar daarmee is de kous natuurlijk niet af. In veel toepassingen van de wiskunde kom je zoge- naamde Veelterm-funkties tegen, dat zijn funkties zoals: x -*■ 3 + 5x + lx2-, x -*■ 1 - 9x + lx2 + 9x3-, Veeltermfunkties zijn opgebouwd met behulp van de "basis-funkties" X -*■ 1; X -*■ X; x -* x2 ; x -* x3; .. Door een stel van zulke basisfunkties te vermenig- vuldigen met een getal en vervolgens op te tellen, krijg je een veeltermfunktie.

Voorbee ild: X -* 1 maal 10 x -*■ x maal 2 x -*■ x2 maal 0 x -*■ x3 maal -5 x -*■ xh maal 1

10 + 2x - bx6 + x

X

Omdat je de basisfunkties al kunt differentieren, hoef je nog slechts te weten wat er met de afge- leide gebeurt als je funkties met een constante vermenigvuldigt en daarna optelt .....

-ocr page 67-

		DEEL G VEELTERMEN

-ocr page 68-

Gl

CONSTANT VERSCHIL

1. Een goederentrein van 100 m lengte is aan het rangeren. In fig. 1 zie je de tijd-afstand-grafiek van de locomotief.

(fig.l)

(fig.2)

5 6 tijd(min)

0 12 3        4 5        6 tijd(m-in)

a. Teken in dezelfde figuur de tijd-afstand-grafiek van de laatste wagon. b. In fig. 2 zie je de tijd-snelheid-grafiek van de locomotief. (De snelheid bij het achteruit-rijden is negatief gerekend). Wat weet je van de tijd-snelheid-grafiek van de laatste wagon? 2. Teken in een figuur de grafieken van de funkties x -* X2; X -*■ xz + 2; x -* x2 - 4. Teken in een tweede figuur de grafieken van de afgeleiden van deze funkties. 3. Laat F een of andere funktie zijn met afgeleide ]?'. Wat weet je van de afgeleide funkties van: X -*■ F(X) + 25; X ■* Fix) + 0,1; X -*■ F(x) - 3 ? Formuleer een algemene regel.

-ocr page 69-

G2

CONSTANTE FAKTOR

1. Je hebt ontdekt: de afgeleide van de funktie t •* 5t2 is de funktie t ■*■ 10* (zie biz. E9) ; de afgeleide van de funktie t -*■ t2 is de funktie t -*■ 2t (zie biz. F5). Vergelijk die funkties en nun afgeleiden: Wat merk je op? 2. Zoals je misschien weet, val je op de maan zachter dan op de aarde. De valtijd-valweg-funktie beantwoordt op de maan (ongeveer) aan de formule: s = 0,8 t2

Een ruimtevaarder laat van 80 meter hoogte een maansteen vallen. Met welke snelheid ploft die op de maan?

Foto links onder: Edwin Aldrin op de maanbodem gefilmd door Neil Armstrong die als eerste mens de maanbodem had betreden (juli 1969). Foto links boven: Het besturings- en dienstcompartment van de Apollo-16 die in 1972 op de maan landde. Foto reahts          : Charles Duke met de maanauto van de Apollo-16.

3. Laat F een of andere funktie zijn met afgeleide F'. Wat weet je van de afgeleide funkties van: x ■* 25.F(x); X -*■ 0,1.Fix); X - -3.F(x) ? Formuleer een algemene regel.

-ocr page 70-

G3

TWEE REGELS

Laat F en G twee funkties zijn met hetzelfde domein D. De afgeleide funkties van F en G zijn respektievelijk F' en G'.

Op biz. Gl en G2 heb je ontdekt: Als de funktie F gelijk is aan de funktie G plus een oonstante c, dan zijn de afgeleiden F' en G' hetzelfde. Kortweg: Als F(x) = G(x) + o dan F'(x) = G'(x) ivoor elke x e D)

Als de funktie F gelijk is aan een aonstante maal de funktie G3 dan is F' gelijk aan a maal C'.

Als Fix) - a.Gix) dan F'(x) = a.G'(x) (voor elke x e D)

► F V / Jxc ^ ^------ -G

x x+p

x x+p OPREKKEN VAN DE GRAFIEK

OPSCHUIVEN VAN DE GRAFIEK Bewijs: Fix + p)   = G(x + p) + o ______F(x)           = G(x)           + a F(x + p) - Fix)   = Gix + p) - G(x) Fix + p) - Fix)   _ Gix + p) - Gix) p                                 p

Fix + p) Fix)

a.G(x + p) a. Gix)

Fix + p) - Fix) = o.[Gix + p) - Gix)] Gix + p) - Gix)

F

= a.

P

P

Op elk interval [x; x + p], hoe klein ook, hebben de grafieken van F en G dezelfde gemiddelde helling. Dan moeten F en G in elk "punt" ook dezelfde helling hebben.

Op elk interval [ + p], hoe klein ook, is de gemiddelde helling van de grafiek in F gelijk aan o maal de ge- middelde helling van de grafiek van G Dan moet in elk "punt" x de helling van de grafiek van F gelijk zijn aan a maal de helling van de grafiek in G

-ocr page 71-

G4

EVEN OEFENEN

Voorheeld: Diffeventieer de funktie x •* 10x3 Oplossing: De afgeleide van x •* x3 is x ■+ Zxz, dus de afgeleide van x •* 10x3 is x •* 3 Ox2 1. Differentieer de volgende funkties:

x -*■ lx5 r X X -*■ 5x6 - 7 t X x -*■ 10 . x1* f X n , r- „ CI

100

0,lx

25x" x3 + 9 10 + a:"

-5xc

X x X X

x

-2x^ + 3 (10 . x)1*

x •* 9x + 9

10 + x

x

ax + b {a}b e 1R)

ox

{o £ TR, n 6E )

f(x) = x3 = x . x2 Dus: f'{x) = X . 2X Waar zit de fout??

2xc

13.

Het punt (1,-1) ligt op de grafiek van y= 12x

3, 4.

Bereken de helling van de raaklijn in dat punt. Teken de grafiek van de funktie X •* 4^ - z#2 Bereken de helling van die grafiek in elk van de snijpunten met het assen- kruis. Hiernaast zie je de grafiek van V = \x2 . a. De raaklijn in het punt (2,2) snijdt de x-as in (i,0). Reken dat na. b. Hoewel er maar een klein stuk- je van de grafiek is getekend kun je je toch voorstellen hoe die verder loopt. Zo kun je bijv. nagaan dat die grafiek door het punt (100,5000) gaat. Hoe groot is de helling in dat punt? En waar snijdt de raak- lijn in dat punt de x-as?

-ocr page 72-

						G5
				FIETSEN OP EEN MAMMOET~TANKER
		Een mammoet-tanker heeft een lengte van een paar honderd meter. De grootste ter wereld is ruim 400 m lang (en ruim 60 m breed). Aan boord van zo'n tanker kan de bemanning beschikken over "witte" fietsen. In fig. 1 zie je de tijd-afstand-grafiek van de achtersteven van een mammoet- tanker gedurende twee minuten vaartijd. In diezelfde periode legt een bemanningslid op de fiets de afstand van achter- dek naar voordek af (grafiek in fig. 2).
			1. Hoeveel meter heeft die fietser op het dek afgelegd in die twee minuten? En hoeveel meter heeft hij hemelsbreed afgelegd? 2. Stel: f(t) = de afgelegde afstand van de fietser op het dek (na t sec); g(t) = de afgelegde afstand van de boot op zee (na t sec); s(t) = de afgelegde afstand hemelsbreed van de fietser (na t sec). Welke betrekking bestaat er tussen s{t), f(t) en g(t)? 3. Wat stellen f(t), g ' (t), s ' (t) respektievelijk voor? En welke betrekking bestaat er tussen f(t), g'(t) en s'(t)?

-ocr page 73-

								G6
					SOMREGEL
			Laat F, G en S funkties zijn met hetzelfde domein D, respektievelijk met afgeleide funkties F'} G' en S', Als S de som is van F en G, dan is S' de som van F' en G' ofwel als S(x) = Fix) + Gis), dan is S'(x) = F'(x) + G'(x) (voor elke x e D). Bewijs: S(x + p) = F(x + p) + G(x + p) ________S(x)            __________FUl_______+__________GUI_______ S(x + p) - S(x) = [Fix + p) - Fix)] + [Gix + p) - Gix)] Six + p) - Six) _ Fix + p) - Fix)           Gix + p) - Gix) P                ~                  V                                     V
		Op elk interval [x; x + p] ; hoe klein ook, is de gemiddelde helling van de grafiek van S gelijk aan de som van de gemiddelde hellingen van de grafieken van F en G. Dan moet ook in elk punt x de helling van de grafiek van S de som zijn van de hellingen van de grafieken F en G.
				1. Laat V de verschilfunktie zijn van F en G , dat wil zeggen V(x) = F(x) - G(x) . Wat weet je van V'(x)?

-ocr page 74-

G7

OEFENINGEN

Voorbeeld: differenti'der de funktie x -*■ xh + x5 Oplossing: de afgeleide van x -* x4 is x -* 4x3

de afgeleide van x -*■ xl

5xH

^s x

de afgeleide van x -* x1* + x5 is x •* 4x3 + 5xh

1. Differentieer elk van de volgende funkties.

x -* k6 + X3 ; X ■* bx1* t -*■ t1* + 9t3 + It2 + 8t u -* 2u10 + 10u5+ 2000000 x -*■ x + a; (n G tl

x -*■ x + lOx

20a;

t •* t2 + 4£ + 8 ; t -*■ 3t2 - t - u -»• uk - u3 + u2 - u + 1 x -*■ ax2 + bx + a (a, b, a G m)

2. De grafiek van y =2^3:"*+ £x3 + \xz + x gaat door het punt (2,6) Kontroleerl Hoe groot is de helling in dat punt?

C£i:r:::::::::::::::::::p:r:::::":i::g: :|:::::::::::::::::::::::|::::::::j::±: ::E:::::::::::::::::::::::|:::::::: :: :: ::?-:":::::::::::::::::::::::::::::::-?:: ::: |::::::::::::::::::::::::::::::::2::: E"? :::":::::::::::::::::::::::::{::!:::: ::::i:::::z:::::::::::::::|:::::::E|:::: ::::±::::::::::::::::::::+::::::j:3::::: :::_-*_ :::::::::_::::::::. :-------i-t------- ::::::-:::::::::::::::::::::::::::c±::::: :::____!j_:_____________________________:.^ l______: V ' / . x..........._ ,...............'.... ......-. ______::_3j__:__:________:_________:__^f_;________ : _ _- ^ _ :: :~: _: \t ::_: — -t - ■- i -- \~ ---______j.__.-_-__._____.__*..__ __._.____ ^: : : z~( ~: :~: \- A ' .-------------------------5^-------------------------j$-------------------------. i_ _ S--j - - - -j Z - -5, - 9*± J _-------------------------,ti*------------------------------------_ --------------------------------^------------------------------------------------------- ,----------------------------:_^----------------------------------------------------------1 1----------------------------------,!_------------------------------------------------------------------1 1--------------------------------------------------------►.-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------, -------.---------------r------------------------------------------------------- :::::::::* :::::::::::::::::::::::::::::: -------------------------------%'-1---------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----------------^----------------------------------------------------- ---------r - ---- :::::::::^:::::::;:::::::::::::::::::::: ::::::::.:::::::::::::::::::::::::::::::: :::===:=;==:=:^::::;:=:::;:::::::::;=:::

3. In de figuur zie je de grafieken van F : x ■* a:2 en G : x -*■ a;3. Teken in dezelfde figuur in rood de grafiek van de funktie S -. x -*■ F(x) + G(x) . 4.  In welk punt heeft de grafiek in S een horizontale raaklijn? 5. P is de "produktfunktie" van F en G. Dus P(x) = F(x) . G(x) = x2. x3 = x5 Geldt P'(x) = F'(x) . G'(x)? Waarom?

-2

-2

-ocr page 75-

					G8
		GRAFIEKEN TEKENEN
			1. / is de funktie met domein [-1; 4] gegeven door f(x) = 8 + 2x - X2. a.  In welk punt van de grafiek is de raaklijn horizontaal? Teken dat punt met een stukje van die raaklijn. b. Teken nog enkele andere punten van de grafiek met de bijpassende raaklijn. c.  In welk gebied is de helling van de grafiek positief? En in welk gebied negatief? d. Teken nu de komplete grafiek van /. e. Wat is het bereik van deze funktie? 2. 3 is de funktie met domein [-3; 4] gegeven door g(x) = \x - 4iC. a. Bereken de punten van de grafiek, waarin de raaklijn horizontaal is. b.  In welk(e) gebied(en) is de helling van de grafiek positief? En in welk(e) gebied(en) negatief? c. Teken een grafiek van g. d. Wat is het bereik van gl 3. / is de funktie met domein M: x -*• 2x - \x . a. Teken een grafiek van f. b. Teken in dezelfde figuur een grafiek van g : x -*■ x.f(x). c. Voor welke x G ]R geldt: x.f(x) > f(x) ? 4. De funkties f3 g en h met domein TR zijn gegeven door: fix) =2 - x} g(x) = x2 + 1 en h(x) = (2 - x)(x2 + 1). a. Tetfen in een figuur een grafiek van elk van deze drie funkties. b. Toon aan dat de grafiek van f een raaklijn is van de grafiek van h. 5. Probeer een funktie f met domein 3R te vinden waarvan de afgeleide /' gegeven is door f'(x) = 2x - 3. Teken een grafiek van f en een van /". 6. Dezelfde opdracht voor g met domein [ -2; 3] en met g ': x -* 1 - x2.

-ocr page 76-

G9

ACHTERVOLGING OP DE SAVANNE

De 45-seconden-sprint van een cheetah beschrijven we met een wiskundig modet: Gedurende de eerste 15 seconden wordt de afgelegde afstand s (in meters) ge- geven door de formule: s = t . Voor de volgende 15 seconden geldt: s = -225 + 30£

s = - 1125 + 90t - t'

En door de laatste 15 seconden:

1. Vergelijk dit model met de gegevens over de sprint van de cheetah op biz. B7. In hoeverre sluit dit model bij die gegevens aan? En wat klopt er niet? 2. De cheetah achtervolgt een gazelle die met een snelheid van 72 km/u voor hem uit rent. Hoeveel meter voorsprong moet de gazelle bij het begin van de achtervolging hebben om net buiten het bereik van de cheetah te blijven?

■ ■ .■ ■. If.*--3' t"ii ^ i * «4c WW , * f * * *" .■■/■. J* '."/: #•*•:}* * /a,. , (:. : > ■ (is * -'* ' * .- V '^ Y 4^. .. ' -

5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 tijd (sec)

-ocr page 77-

G10

AFSTAND, SNELHEID, VERSNELLING

Bij vrije val op aarde wordt de valweg s (in m) als funktie van de tijd (in sec) gegeven door de formule s = St . Door differentiatie vind je een formule voor de snelheid op net moment t: *-§-!<*. Als we deze funktie ook weer differentieren, vinden we een formule voor de versnelling a (na t seconden: a = dt ' 10

a=10

Dat betekent dat de snelheid van een vallend objekt toeneemt met "10 m/sec per sec" of zoals de natuurkundige zegt: 10 m/sec2 (10 meter per seconde kwa- draat). Die (constante) versnelling wordt veroorzaakt door de zwaartekracht en wordt de gravitat-ie-constante van de aarde genoemd. *) 1. Je hebt op biz. D17 gezien dat de vrije val op de maan beschreven wordt door de formule s = 0,8£ . Hoeveel m/sec2 is de vrije-val-versnelling op de maan? 2. Op de planeet Mars is de vrije-val-versnelling 3,6 m/sec . Aan welke formule beantwoordt de tijd-valweg-funktie aldaar? Als je een vuurpijl recht omhoog schiet dan veroorzaakt de zwaartekracht een vertraging (= negatieve versnelling). Dus: a = -10 (m/sec2). Laat de beginsnelheid 40 m/sec zijn, dan is de snelheid na t seconden: V = 40 - lOt (in m/sec). 3. Beschrijf de afgelegde weg (=s) van die vuurpijl als funktie van t. 4. Zolang V positief is, gaat de pijl nog omhoog. Wanneer bereikt de pijl zijn hoogste punt? Hoe hoog is dat?

/ Het getal 10 is natuurlijk een benadering voor de gravitatie-constante. Bij berekeningen wordt meestal het getal 9,8 gebruikt.

De gravitatie-constante g voor een willekeurig hemellichaam wordt gevonden via de formule:

■i

y. —j (y = 0,667 . 10 ; m = massa; r = straal).

9

-ocr page 78-

Gil

AFSTAND, SNELHEID, VERSNELLING

Algemeen: Een eenparig versnelde beweging is een beweging waarbij de versnelling constant (zeg a) is. Is a < 0. dan spreekt men ook wel van eenparig vertraagde beweging. De snelheid na t seconden wordt gegeven door: V = Vq + at (Uo is de snelheid op het moment t = 0) De afgelegde weg na t seconden vinden we door een funktie te zoeken waarvan V de afgeleide is *) : s = So + Vot + \at2 (so is de afgelegde weg op het moment t = 0) Meestal kiest men So =0, zodat de formule wordt: s = Vot + hat1 5. Het wegenverkeersreglement schrijft voor dat de remvertraging van een auto minstens 4 m/sec2 moet zijn. Stel je voor: een automobilist rijdend met 120 km/u moet plotseling op zijn rem gaan staan. Neem aan dat de auto hierdoor een eenparig vertraagde bewe- ging krijgt. Hoeveel seconden na het indrukken van de rempedaal staat de auto stil? En hoeveel meter is de remweg? 6. Uit de Volkskrant (januari 1979)

WINTER VERGT AANGEPAST GEDRAG Trues tegen ongemakken

kwadraat van de tientallen kilome- ters. Dus iemand die 80 rijdt moet 64 (acht in het kwadraat) meter ach- ter zijn voorbuurman blijven. Behalve alle autoruiten moeten ook de voor- en achterlichten regel- matig worden gereinigd. Zien is be- langrijk, gezien worden niet min- der. Voorts is het verstandig de ver- warming niet op de voorruit te zet- ten, om te voorkomen dat opspat- tend pekel op de ruit opdroogt en de blik vertroebelt. Wie ondanks alle voorzichtigheid toch moet remmen, doet er goed aan die remmen niet te lang vast te houden — pompen dus — en tijdens het remmen beslist niet aan het stuur te draaien. Vanzelfsprekend is het af te ra- den een vastgevroren benzinedop met een aansteker te ontdooien. Een effectieve methode is een stevi- ge plastic zak met warm water te- gen dop of portierslot te houden. Warm water er overheen gieten helpt niet, want binnen een mum van tijd is de boel dan nog vaster gevroren. Voor de rest beveelt de ANWB aan te zorgen voor een goe- de accu; de capaciteit neemt af naarmate het kouder wordt. Om startmoeilijkheden te voorkomen zijn voorts belangrijk een juiste af- stelling van onderbrekingspunten en ontstekingstijdstip en goede bougies.

Het ziet er naar uit dat velen de al weer enige tijd geleden huis aan huis verspreide pamfletjes met tips van de waterleidingmaatschappij- en bijna even lang geleden tot oud papier hebben bestempeld. De wa- terleveranciers werden afgelopen dagen overstelpd met honderden te- lefoontjes van mensen die de nood van een gesprongen waterleiding moesten trotseren. Vrijstaande wo- ningen en boerderijen worden nog het meest geteisterd door de koude. In de stad Utrecht is het afgelopen weekeinde voor een miljoen gulden schade ontstaan door gesprongen leidingen. Het is dus zaak die leidingen open te houden — als dat nog kan, Vooral wie zijn woning voor een of meer dagen verlaat doet er goed aan de hoofdkraan af te sluiten en de lei- ding af te tappen. Voorts is het verstandig de verwarming niet uit te doen, ook Ts nachls niet, en be- vriezing van leidingen in niet-afge- sloten ruimten te voorkomen door de deuren open te laten staan. Als het kwaad al is geschied en de koperen buizen alleen nog ijs om- vatten, kan alleen de loodgieter nog uitkomst brengen. Zelf prutsen met elektrische kacheltjes of gasvlam- men kan alleen maar voor nog meer narigheid zorgen. Het waterleiding- bedrijf bellen heeft ook geen zin, want dat komt pas in het geweer als er buitenleidingen zijn bevroren.

/an onze verslaggever AMSTERDAM — Een zo winterse winter als nu heeft Nederland lang niet gekend. Het is zelfs zo lang geleden, dat velen kennelijk vergeten zijn hoe veel kleine en soms ook de wat grotere onge- makken van vorst en sneeuw met vaak eenvoudi- ge trues en aangepast ge- drag het hoofd te bieden zijn. Met name automobilis- ten hebben nogal eens moei- te hun verkeersgedrag in overeenstemming te bren- gen met de weersomstandig- heden, zo weet de ANWB mee te delen. De eerste drie geboden van deze national© bond luiden voor alles wat zich verplaatst: afstand hou- den, snelheid aanpassen en zorgen voor een goed zicht. Omdat geen tien automobihsten bij het bgrip ..afstand" aan een ge- lijk aantal meters denken, geeft de ANWB een handzame vuistregel voor besneeuwde en gladde wegen: de afstand tot de voorganger mag in meters niet minder zijn dan het

In het artikel is er sprake van een vuistregel voor het berekenen van de afstand (=remweg) tussen twee auto's op de snelweg. Klopt die vuistregel zo'n beetje met de remvertraging van 4 m/sec ?

Het opsporen van een funktie waarvan de afgeleide bekend is, genoemd .

wordt integreren

Rn.

-ocr page 79- -ocr page 80-

TERUGBLIK

G12

Vier regels om te onthouden:

F, G, K zijn funkties res pektievelijk met afgeleide F' s G 3 K . 1. Als K(x) = xn , dan K'(x) = n.x 2. Als K(x) = Fix) + a , dan K'(x) - F'(x) 3. Als K(x) - c.F(x) , dan K'(x) - o.F'(x) 4. Als K(x) - Fix) + G(x) j dan K'(x) - F'(x) + G'(x)

Met behulp van deze regels kun je alle veeltermfunkties differentieren. De afgeleide funktie is een belangrijke steun bij het tekenen van een grafiek: je kunt daarmee de punten met horizontale raaklijn vinden en ook de gebieden waarin de helling van de grafiek positief respektievelijk negatief is.

VOORUITZICHT

De punten met horizontale raaklijn zijn vaak van bij- zondere betekenis. Zij zijn als het ware de "rustpun- ten" in de verandering van de funktie. Br zijn vier mogelijkheden:

II

In de gevallen 1 en 2 geven de punten met horizontale raaklijn een witevste waarde (maximum of minimum) van de funktie aan en dat is in de toepassingen soms erg belangrijk.....

(fO

-ocr page 81-

		DEEL H MAXIMA-MINIMA

-ocr page 82- -ocr page 83-

CAMPING "MIERENHOOP"

HI

1 . ■ ■ py^"^ __*\^ —^^^^K [*■ '^ ^SH^fll^^ffiP ■>',:-'■-■Mm^mSBBk-- V-'i Hbh^^^^^P^^^^^^^hHB bub :^m ■ tb§ LI f ■:■ ■ ' ■ : ■ ■■ ..'I'..'.:.' " . * l^i 1 1

Een kampeerterrein van Zandvoort: een stad van tenten.

In het reglement van camping "Mierenhoop" staat o.a. te lezen: Iedere n-ieuw aangekomen kampeerder ontvangt vier vlaggetjes en een touw van 30 meter lengte, waavmee htQ een reohthoekige kavel moet afperken .... Het campingterrein wordt aan alle kanten begrensd door een twee meter hoge afrastering. In het voorseizoen wordt vaak oogluikend toegestaan dat deze afrastering handig wordt benut bij het uitzetten van een kavel.

Een van de eerste kampeerders dit jaar, Piet Vroegop, heeft het goed be- keken (vindt-ie zelf):

afrastering

Camping- terrei-n

1. Onderzoek of Piet (op deze manier profiterend van het hek) een nog groter stukje terrein met zijn touw had kunnen afperken.

-ocr page 84-

CAMPING "MIERENHOOP"

H2

De vraag is natuurlijk: "Wat is de gvootste rechthoek die je op deze manier met een touw van 30 meter kunt maken?" De methode van oplossen die hier wordt behandeld, berust op twee ideeen: a. De oppervlakte van zo'n rechthoek is een funktie van een van de zijden (zeg de zijde langs het hek). b. De afgeleide funktie hiervan geeft inzicht hoe die oppervlakte verandert bij verandering van de zijde. Uitwerking van deze ideeen:

a. Stel de zijde van de rechthoek langs de afrastering X meter.

De oppervlakte van de rechthoek (in m2) is een funktie van x.

Noem die oppervlakte A(x)

1. Er geldt: A(x) = 15x - \x2. Kontroleer dit. Wat is het domein van de funktie x -* A(x)? 2. Bereken A'(x). Voor welke x is A' (x) positief (respektievelijk negatief)? b. In het interval waar A'(x) positief (respektievelijk negatief) is neemt A(x) toe (respektievelijk af)I In dit geval: 0 < x < 15 "*■ A'(x) positief =* A(x) neemt toe als x toeneemt. 15 < x < 30 — A'(x) negatief =* A(x) neemt af als x toeneemt.

Schema:

A'(x)=0 A'(x) > 0                                         A'(x) < 0

»■-

0                                                15                                               30

A(x) neemt toe                        A(x) neemt af i---------------------------------------------------------------------------------------------------------------1----------------------------------------------------------------------------------------------------------------1 0                                               15                                               30 3. Maak een grafiek van de funkties x •* A(x). 4. Welke afmetingen heeft de grootste rechthoek die Piet Vroegop kan uitzetten? En welke oppervlakte heeft dat kavel?

-ocr page 85-

H3

CAMPING "MIERENHOOP"

De oplossing van Piet Vroegop kan, grofweg gezien, worden ingedeeld in drie stappen:

Stel een van de zijden x en bereken de oppervlakte als funktie van x.

Bereken de grootste waarde van deze funktie met behulp van de afgeleide funktie en kontroleer met een grafiek.

Vertaal deze resultaten terug in afmetingen en oppervlakte van het kavel,

Pas deze methode toe bij de volgende opdrachten.

Twee andere kampeerders, Jeroen Langveld en Max Kamphuis spannen samen. Zij willen het touw dat hun door de campingbaas verstrekt is (twee stukken van 30 meter) zo economisch mogelijk gebruiken. Volgens de reglementen moet er wel een grenslijn gespannen zijn tussen de twee kavels. En natuurlijk benutten zij ook de afrastering.

5. Welke afmetingen hebben de twee kavels voor het geval dat de totale oppervlakte maximaal is?

In het hoogseizoen is de campingbaas minder soepel. Hij maakt bekend dat elke kampeerder zijn kavel aan atte kanten met zijn touw moet begrenzen. Met andere woorden, de omtrek van het kavel mag niet meer dan 30 meter zijn.

6. Welke afmetingen heeft het grootste kavel met die omtrek?

-ocr page 86-

H4

OPTIMALE STIJGSNELHEID

Bij een vliegtuigkaping is het voor de vlieger van het grootste belang om te weten met welk vevmogen hij het langst in de lucht kan blijven. Bij luchtver- voer van een ernstig zieke patient is juist het probleem: met welk vermogen ben ik het snelst op de plaats van bestemming? De luchtfoto-vlieger of politie-surveillance-vlieger doet juist zijn best om zo langzaam mogelijk te vliegen. En bij een onverwacht uit de nevel opduikende bergwand is het vermogen om zo snel mogelijk op te stijgen van levensbelang .. We bekijken de gegevens voor een zeker type vliegtuig, zoals die door de fa- briek worden verstrekt.

snelheid in hovizontale vtueht maximaal vermogen minimadl vevmogen 80 km/u 125 pk 60 pk 120 km/u 130 pk 40 pk 160 km/u 135 pk 80 pk 200 km/u 140 pk 100 pk 240 km/u 130 pk 130 pk

Stel je voor dat een vliegtuig van dit type gekaapt wordt. Welke snelheid zou de vlieger het best kunnen aanhouden?

Hiernaast zie je grafieken van het maximaal vermogen (N ) max en het minimaal vermogen (N . ) mzn als funktie van de snelheid (V).

2. Het verschil N

N

is

max mvn het vermogen wat de piloot "over" heeft om vanuit hori- zontale vlucht te kunnen stijgen. Wat is de optimale stijg- snelheid, dat wil zeggen de snelheid waarbij het meeste vermogen "over" is?

Los dit probleem op door de grafiek te tekenen van

stigg

N         - N . ) als max m%n

funktie van V.

120 160 200 240 V (hn/u)

-ocr page 87-

H5

OPTIMALE STIJGSNELHEID

Voor een ander type vliegtuig kunnen de gegevens voor N        en N ■ benaderd ltf             * 3                                                       max          m%n worden door de formule:

4 V + 60

A'

max

ro < v < 240;

A7 • - m> ^2 - I K + 120 mtn 1 u

4. Gebruik dit "wiskundig model" om met behulp van differentiaalrekening de optimale stijgsnelheid uit te rekenen. 5. Teken ook de grafieken van N , N . en N , . . in een figuur. max mvn          stzcg

De CESSNA 172 Skyhawk is het meest vevkochte spovtvliegtuig tev weveld. De pvestaties van dit vliegtuig komen oveveen met de gegevens in deze opgave.

-ocr page 88-

H6

TEL UIT JE WINST

Een rietsuiker-fabrikant brengt zijn produkt op de markt voor / 2,80 per kg. De winst die hij maakt hangt natuurlijk af van zijn kosten i.v.m. inkoop, fabrikage en verkoop. 1. Geef een paar voorbeelden van inkoop- kosten. Ook van fabrikage- en verkoop- kosten. De totale kosten (in guldens) noemen we K en de te produceren hoeveelheid rietsuiker (in kg) noemen we q.

RIETSUIKER Bij de bereiding van rietsuiker wordt het suikerriet eerst tussen molenrol- len geplet en gemalen, waarbij het suikersap (ruwsap) emit geperst wordt. De vezelachtige rest (ampas) dient o.m. als brandstof voor stoomketels. Het ruwsap wordt door uitvlokken, bezin- ken en filtreren gezuiverd. Het hel- dere sap (sohoonsap) wordt dan verdev behandeld zoals bietsuiker. Door rietsuiker te gebruiken vergroot men de politieke druk op de regeringen van de rijke landen om ook de arme lan- den een plaatsje onder de welvaartszon te gunnen.

De fabrikant beschikt over de volgende gegevens:

produktie in kg q 100 200 300 400 500 600 kosten in guldens K 75 100 125 200 400 800

2. Schets een grafiek van K als funktie in q. 3. Teken in dezelfde figuur ook een grafiek van de opbrengst R (in gld) als funktie in q. (Je mag aannemen dat de totale geproduceerde hoeveelheid tegen de vastgestelde prijs wordt verkocht).

4. De winst W is gelijk aan R - K Teken nu ook de grafieken van W.

-ocr page 89-

					H7
			TEL UIT JE WINST
		De fabrikant is er in geinteresseerd hoe kosten (en winst) veranderen bij toename van de produktie. 5. Bereken de gemiddelde kosten-stijging (in gld per kg) bij een produktie- toename van 400 naar 500 kg. Bereken ook de gemiddelde winststijging bij die produktietoename. De gemiddelde kostenstijging (winststijging) kan meetkundig worden gezien als de gemiddelde helling van de kostengrafiek (winst grafiek) op een inter- val. In de economie hecht men ook betekenis aan de helling van zo'n grafiek in een punt. Zo noemt men de helling in een punt van de kosten-grafiek de marginale kos- ten (MK).                        , In formule: MK - -j- dq De marginale kosten geven een maat voor de verandering van de kosten bij ver- andering van de produktie. Evenzo spreekt men van marginale winst en marginale opbrengst. 6. Schat met behulp van je grafiek de marginale kosten, marginale opbrengst en marginale winst voor de rietsuikerfabrikant bij een produktie q = 400. 7. De fabrikant heeft een wiskundig model van zijn kostenfunktie gemaakt: R = 10<33 - 60S2 + 1303 waarin Q de produktie in hoeveelheden van 100 kg is {Q = 100q). Kontroleer of dit model aardig past bij de gegevens in de tabel op biz. H6. 8. Bereken op basis van dit model de marginale kosten en de marginale winst bij een produktie q = 400. 9. Bij welke produktie is volgens dit model de winst maximaal?

-ocr page 90-

						H8
				MAXIMALE OPBRENGST
		In het voorbeeld van de rietsuikerfabrikant hebben we verondersteld dat de prijs (p) van het produkt en de verkochte hoeveelheid (q) onafhankelijk van elkaar zijn. Dat is niet erg realistisch, al zou je je kunnen voorstellen dat veel mensen uit idealisme ("steun de derde wereld") rietsuiker kopen, ongeacht de prijs. In de economische praktijk van alledag heeft de prijs natuurlijk wel invloed op de verkoop (hoe lager p, hoe groter q) en in het volgende voorbeeld zullen we daarmee rekening houden. Een supermarkt verkoopt potjes vruchtenyoghurt (inhoud h 1) tegen de advies- prijs van / 1,80. Er worden wekelijks zo'n 1000 van die potjes omgezet. Dat betekent dus een opbrengst van / 1800,—. De bedrijfsleider schat, dat elk dubbeltje prijsverlaging een omzetverhoging van 100 potjes tot gevolg heeft. De laagst mogelijke prijs is / 1,20; dat is namelijk de prijs waartegen de potjes worden ingekocht. 1. De bedrijfsleider heeft een wiskundig model gekozen. Stel: p = de verkoopprijs in centen en q = de omzet. Beschrijf het model van de bedrijfsleider met een algebra-formule die het verband vastlegt tussen p en q. 2. De opbrengst R (in centen) is een funktie van p. Welke? (Geef weer een formule). Wat is het domein van die funktie? 3. Bereken de "marginale opbrengst" als funktie van p. Wat betekent het voor de opbrengst als de marginale opbrengst positief, respektievelijk negatief is? 4. Bij welke prijs zal de opbrengst maximaal zijn?
			5. Teken de grafiek van R als funktie van p.

-ocr page 91-

H9

POINTS-OF-NO-RETURN

Op biz. B3 heb je gezien dat het point-of-no-return van een vliegtuig dichter- bij ligt, naarmate de windkracht in de richting van de vliegroute groter is. In het plaatje zie je een paar gra- fieken van de vier-uurs-vlucht van de Beechcraft Bonanza bij verschil- lende windsnelheden. Daarbij is uitgegaan van een vlieg- snelheid van 300 km/u t.o.v. de lucht. De verschillende toppen die korres- ponderen met de points-of-no-return, liggen op een kromme lijn. Bij die kromme lijn kunnen we een formule vinden.

Stel: y = afstand vertrekhaven tot point-of-no-return. x = tijdstip waarop het point- of-no-return wordt bereikt (time-of-no-return). W = de windsnelheid (W > 0; wind mee, W < 0; wind tegen)

De snelheid op de heenweg (in km/u) is 300 + W. y Die snelheid is ook gelijk aan "

X

Dus: & = 300 + W ..........(1) . x

1. Via de snelheid op de terugweg kun je een tweede betrekking (2) tussen y} x en w opstellen. Welke?

150x"

2. Uit (1) en (2) volgt dan: y = 600x Kontroleer dit.

3. Teken de grafiek K van y = 600a: - 150a: . 4.  Met welke situatie korrespondeert de top van K? 5. K is symmetrisch t.o.v. de lijn x = 2. Dit had je ook vooraf (zonder formule) kunnen weten. Waarom?

6. Bereken de helling van K in het punt (0,0). Ook deze uitkomst had je kunnen voorspellen. Verklaar dit.

-ocr page 92-

H10

DE ACHTERVOLGING VAN DE BISMARCK

Uit de 2e wereldoorlog: 1941 18mei De zaken gaan voorspoedig voor de Duitsers. Overal wurden overwinningen geboekt. Vanuit de haven van Gdynia (nu Folen) vertrekken de Bismarck, het sterkste slagschip tei wereld, en de kmiser Prinz Eugen. Voor de Bismarck is het de eerste reis. Het is de bedoeling oin onopgemerkt door de geallieerden de Noorse fjorden te bereiken. Vandaar wil men, bij geschikt slecht weer, uitvaren naar de Atlantische Oceaan, om zoveel mogelijk vijandelijke konvooien lastig te valien. De operatie "Rheinubung" is begonnen. 20mei Jammer genoeg voor de Duitsers worden ze in het Skager- rak waargeriomen door een Zweedse kruiser. En zo neutraal zijn de Zweden ook weer niet. Dezelfde dag weet de Britse admiraliteit het slechte nieuws: "De Bismarck is uitgevaren" 21 mei

Pech voor Lutjens is ook, dal de Engelse radar veel beter is dan de Duitsers denken zodat ze de Suffolk maar met kwijt kunnen raken. Dat vail hehoorlijk tegen. Zeker als hij ook nog ontdekt dat de Hood inmiddels in de buurt is. Via de radio hoort Lutjens dat de Suffolk aan de Hood de positie van de Bismarck doorgeeft. 24 mei 05.52 uur De Hood opent het vuiir op de fantastisch gepantserde Bismarck. Jammer genoeg voor de Engelsen heeft de Hood niet zo'n geweldige pantsering, met name op het bovendek. En uitgerekend daar treft het vijfde salvo van de Bismarck de Hood. Een verschrikkelijke explosie wordt gevolgd door enorme rookwolken. Al die optrekken is de zee *eer geheel verlaten. Drie van de 1400 opvarenden worden gered... De Prince of Wales weet niet hoe snel hij van het strijdtoneel moet vertrekken. De jubelstemming waarin Lutjens verkeert is er verantwoordelijk voor dat deze de raad van de kapitein van de Bismarck, om nu maar snel met het beschadigde scliip naar huis te koersen, in de wind slaat. Een kostbare overmoedigheid. 24 mei 24.00 uur De Engelsen doen een verbeten aanval op de Bismarck met torpedo's gelanceerd door Swordfish vliegtuigen, maar de punlsering van de Bismarck is superieur. Maar een toch wal nerveus geworden Lutjens besluit alsnog maar naar Hankrijk terug te keien.

De Engelsen zenden verkenningsvliegtuigen uit die ;cn foto maken, waarop de Bismarck duidelijk (zie cirkel) te zien is. Dit brengt de Engelsen pas gocd in aktie.

De Suffolk

Verwacht wordt o.a. dat de Bismarck uit zal breken naar het nauw tussen Usiand en Groenland, de Straat van Denemarken. Daarom voeren de Engelsen een bombarde- ment uit op de fjord maar helaas, de Bismarck blijkt reeds vertrokken, gebruik makend van duisternis en mist. In de Straat patrouilleren de Engelse kruisers Suffolk en Norfolk, die snel versterking dienen te krijgen.

25 mei 03.00 uur De Suffolk achtervolgt de Bismarck. Het is zeer slecht weer. Een donkere nacht met dichte mist. Bovendien is de bemanning van de Sulffolk uitgeput. Tot overmaat van ramp moeten ze een zig-zag-koers varen vanwege de Duitse duikboten. Daardoor raakt de Bismarck nogal eens buiten het 20 km bereik van Suffolk's radar. Ook nu, om 03 00 uur is dat weer het geval. De positie van de Sulffolk is op dat moment 57° N.B., 36° W.L.

22 mei Daarom vertrekt een dag later Engelands trots: het ielwat bejaarde slagschip Hood, samen met de Prince of Wales uit Scapa Flow (Schotland) naar de Straat. 23 mei 12.00 uur De Bismarck en de Frinz Eugen varen de Straat binnen en worden om 19.22 uur gezien door de Suffolk en Norfolk, aangezien de beloofde mist de Duitsers in de steek laat. De twee Engelse schepen schaduwen de Bismarck met behulp van hun radar, zorgvuldig op afstand blijvend, en daardoor zo af en toe het contact verliezend. Admiraal Lutjens op de Bismarck maakt zich nauwelijks zorgen. De twee Engelsen zijn geen partij voor hem, en volgens een Duits verkenningsvliegtuig zijn de Hood en de Prince of Wales nog niet uitgevaren. Een kostbare foul van de vlieger, want inmiddels zijn beide schepen wel degelijk in de Straat aangekomen.

\

-ocr page 93-

Hll

DE ACHTERVOLGING VAN DE BISMARCK

De Bismarck vaart zuidwaarts met een snelheid van 40 km per uur. Ze is licht be- schadigd in het gevecht met de Hood en kan daardoor niet op voile snelheid varen. De Suffolk is het spoor bijster en vaart in weste- lijke richting met een snel- heid van 60 km per uur.

W

/

/

/

sis

X

/■

Om 03.00 uur is de afstand tussen beide schepen 39 km, zodat de Bismarck royaal buiten het bereik van Suffolk's radar is. Het daarop volgende uur veranderen de beide schepen niet van koers. PROBLEEM: BLEEF DE BISMARCK ONZICHTBAAR OP HET RADARSCHERM VAN DE SUFFOLK?

1. Meet (of bereken) de onder- linge afstand van beide schepen om 03.00 uur; 03.15; 03.30; 03.45; 04.00; 04.15 uur. 2. Zet je resultaten uit in een grafiek. 3. In welke periode - denk je - is de onderlinge afstand van beide schepen minimaal ge- weest? 4. De afstand tussen beide sche- pen om t minuten na 03.00 uur noemen we ait). Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je gemak- kelijk het kwadraat van die afstand uitdrukken in t. Vul in:

-1----*i—

e_gLjj f y

20 30 40 50

fit) = aUt) =

Bereken de afgeleide van /. Op welk moment is fit) (en dus ook ait)'.) minimaal? Bleef de Bismarck buiten het radarbereik van de Suffolk?

we m

-ocr page 94-

H12

DE ACHTERVOLGING VAN DE BISMARCK

Het vraagstuk kan ook meetkundig worden opgelost!                                            _^ _^ Noem de snelheidvectoren van de Bismarck en de Suffolk respektievelijk Vn en Vn B           o De relatieve snelheid van de Bismarck ten opzichte van de Suffolks is het verschil van de vectoren 7R en V„.                                           w De Bismarck beweegt zich ten opzichte van de Suffolk langs een rechte lijn, waarvan de richting door de vectoren

V-r, - V„ bepaald wordt. D           a

In de serie plaatjes is dat duidelijk te zien.

De konstruktie van de kortste afstand is nu niet moeilijk raeer. Op het mo- ment dat de lijn BS loodrecht staat op de stippelroute is de afstand mi- nimaal. En zoals uit de tekening blijkt is die minimale afstand iets meer dan 20 km.

/

-:'S*^8te—i&-»

*&"

/

/

/

/

■**?■■■£■■

/

/

>£ '.(:

-ocr page 95-

H13

DE ONDERGANG VAN DE BISMARCK

Hoe het atlemaal afliep:

25 mei 06.05 uur Het oppercommando in Engeland krijgt het bericlit: We zijn de Bismarck kwijt. Maar dan maakt Liitjens een nieuwe blunder. Hij doorbreekt de radiostilte orn een hall uur lang met de Fiihrer over z'n geweldige succes le praten. (De Prinz Eugen was ondertussen onopgemerkt z'n eigen weg gegaan). De Engelsen hebben aan dat halve uur ruim genoeg om de Bismarck nauwkeurig te peilen. Maar nu begaan de Britten op hun beurt een stommiteit: ze zetten de peilingen uit op een navigatiekaart en niet op de speciale gnomische kaart. Daardoor komen ze uit op een punt 300 km (!) verwijderd van de ware positie. Kortom de Engelsen menen dat de Duitsers rechtsomkeert gemaakt hebben en zenden al hun schepen de verkeerde kant op. Maar een nieuwe lout brengt de Engelsen weer terug in de strijd: ze vangen een bericht op van een U-boot maar denken dat het de Bismarck is, en zowaar, die is wel degelijk daar in de buurt. 26 mei Zoekakties tussen Usland en Erankrijk hebben resultaat: om 10.36 uur viiidt een Catalina vliegboot de Bismarck weer. Alleen kan nu geen van de Engelse oorlogsschepen op tijd zijn om de Bismarck te onderseheppen. Daaroni wordt besloten tot een laatste luchtaanval.

feite is de enige kwetsbare plek van de Bismarck het roer en de schroeven. Daar treft de tweede torpedo het schip. Dan is het een paar minuten voor negen.

De Fairey Swordfish, een 2-penoons turpedovliegtuig. geschikt voor vliegdekschepen Er kan slechts een torpedo worden meegenomen (duidehjk zuhtbaar tussen het landingsgestel).

Nu is Liitjens in paniek. Want wat te doen met een prima slagschip waarvan het roer vastzit onder een hoek van 15 graden met de langsas van het schip, en dat bovendien maar op halve kracht kan varen'1 Een Uzeren Kruis wordt uitgeloofd voor degene die het roer kan repareren. Tever- geefs. De Bismarck vaart rondjes, wachtend op z'n afslachting. Die laat niet lang meet op zich wachten.

26 mei 14.30 uur De vliegtuigen van de Ark Royal stijgen op. De eerste aanval is niet direct de beste. Weliswaar worden elf torpedo's gelanceerd, maar op een Engels schip, de Sheffield. Een gelukkig niet noodlottige vergissing, maar de tijd dringt nu erg.

27 mei 10.40 uur Nadal het geschut van de Bismarck door de Rodney is uitgeschakeld wordt het schip tot zinken gebracht door torpedo's van de Dorsetshire. Van de 2300 opvarenden worden er slechts 105 gered, omdat een Engelse uitkijk denkt een U-boot te zien (die er niet is) waardoor de Engelsen hun reddingsakties staken, daarmee de Duitsers in het water achterlatend. De eerste en enige reis van de Bismarck is ten einde.

26 mei 19.10 uur In storm en regen stijgen de vliegtuigen weer op. Van de onder deze zeer moeilijke omstandigheden gelanceerde dertien torpedo's treffen er twee doel. Een midscheeps, maar zoals al eerder bleek, kan dat niet veel kwaad. In

-ocr page 96-

				TERUGBLIK
			Je hebt in deel H gezien dat differentiaalrekening gebruikt kan worden om uiterste waarden (maxima, minima) van funkties op te sporen. In dat verband zijn vooral de punten waarin de af- geleide nul is, interessant. Vraag: Vind je in zo'n punt (met horizontale raaklijn) altijd een maximum of minimum? Licht je antwoord toe met voorbeelden. Als je de vraag goed beantwoord hebt, zal het je duidelijk zijn, waarom het zo belangrijk is om te letten op het tekenverloop van de afgeleide funktie (waar is de afgeleide positief, waar negatief?) Vergeet dat nooit!
		VOORUITZICHT Einde van het boek. Maar niet het einde van de differentiaalrekening. Behalve "veeltermfunkties" is er in de wiskunde veel meer te koop. Andere funkties die je nog moet leren differentieren Daarvoor zijn weer meer regels nodig. Voor het differentieren van het produkt, quotient en ketting (= samenstelling) van twee funkties. Voor logaritmische en goniometrische funkties. En daarvan zijn weer allerlei toepassingen te vinden in de economische en de natuurwetenschappen. Genoeg stof dus voor een volgend boek ...

-ocr page 97-

i........wmmrwm

Galileo Galilei (1564 - 1642), is vooral beroemd door het feit dat hij, overtuigd aanhanger van Copernicus' visie op het wereldstelsel (de aarde draait om de zon), door de kerkelijke inquisitie werd gedwongen zijn mening te herroepen. Galilei die een veelzijdig sterre-, wis-, en natuur- kundige was, geldt als de grondlegger van de moderne raechanica en met de ideeen die hij in de kinematica (bewegingsleer) ontwikkelde, is hij een van de voor- lopers van de differentiaalrekening.

P0STEITAL1ANEL.7Q

><•*>■

............mi

Sir Isaac Newton (1642 - 1737) wordt beschouwd als een van de grootste wis- en natuurkundigen die ooit heeft geleefd. Van hem heeft Einstein gezegd: "de natuur was voor hem een open boek, waarin hij met het grootste gemak las". Een groot deel van zijn leven besteedde Newton echter aan de theologische studie en later aan zijn werk als muntmeester. Hij schreef zijn versie van de differentiaalrekening in 1665, maar publiceerde dit werk pas in 1704.

MUM

Gottfried Wilhelm von Leibniz (1646 - 1716) was een knap geleerde in bijna iedere tak van wetenschap. Hij studeerde wetskennis, religie, politieke wetenschap, geschiedenis, letterkunde, logica, metafysica en filosofie. Zijn versie van de differentiaalrekening, die hij onafhankelijk van Newton ontwikkelde, zag in 1684 het licht.