|
RUIMFIG
|
|||||||||||
|
RUIMTEMEETKUNDE
OPDE
COMPUTER
|
|||||||||||
|
WERKBOEK
BIJ HET PROGRAMMA |
|||||||||||
|
fi
|
|||||||||||
|
Freudenthal instituut
Archief |
|||||||||||
|
RUIMFIG
|
|||||||||
|
RUIMTEMEETKUNDE
OPDE
COMPUTER
|
|||||||||
|
H
|
|||||||||
|
Ontwerp en vormgeving:
Michiel Doorman & Jan de Jong © Utrecht, januari 1991 |
||||
|
Inhoud
Voorwoord.....................................................................................................3
1. Kennismaking met RUIMFIG.....................................................................5
2. Opgaven met RUIMFIG............................................................................19
Schema van alle opdrachten........................................................................37
|
||||
|
Voorwoord
|
|||||||
|
De opgaven in dit werkboek zijn gemaakt om te worden gebruikt met het computer-
programma RUIMFIG. Als voorkennis voor het werken met het programma wordt ver- wacht dat je al eens gewerkt hebt met, of kennis hebt genomen van coordinaten in de ruimte. Een kwartiertje instructie hierover in de voorafgaande les is voldoende. Ver- der is het aan te bevelen dat je van te voren gewerkt hebt met echte modellen van ruimtelijke figuren. Het werkboek bestaat uit twee delen.
In het eerste deel komen alle mogelijkheden van RUIMFIG naar voren. De ruimtemeet-
kunde-opgaven uit dit deel zijn ontstaan tijdens de experimenten met RUIMFIG (in het
HAWEX-project). Het is gemaakt voor twee liefst aansluitende computerlessen. Deze
lessen kunnen uitstekend geplaatst worden na een eerste kennismaking met de ruim-
temeetkunde.
Het tweede deel bestaat uit een aantal losse opgaven. Deze opgaven hoeven niet in de
gegeven volgorde gemaakt te worden. Sommige zijn snel te maken, andere duren wat
langer. Een paar kunnen zelfs gemaakt worden als werkstuk.
De opgaven in deel 2 kunnen behandeld worden op willekeurige momenten verderop
in de lessen ruimtemeetkunde. Dit kan met de klas in een praktikum, of individueel
in (vrije) uren.
Op- of aanmerkingen over het programma of dit werkboek zijn altijd welkom. Ook
suggesties voor nieuwe opgaven ontvangen we graag. Stuur deze dan naar:
Vakgroep OW & OC
t.a.v. Michiel Doorman Tiberdreef 4 3561 GG Utrecht |
|||||||
|
Aan het eind van het werkboek zijn alle opdrachten van RUIMFIG in een schema ge-
zet. Deze bladzijde kan handig zijn om snel een bepaalde opdracht te zoeken. Voor ideeen die hebben geleid tot opgaven in dit werkboek bedanken we Martin
Kindt, Henk van der Kooij, Anton Roodhardt en Heleen Verhage. |
|||||||
|
3
|
|||||||
|
Deel 1. Kennismaking met RUIMFIG
|
||||||||
|
1.1 Inleiding
RUIMFIG is een programma voor het tekenen van ruimtelijke figuren met de micro-
computer. Het is een menugestuurd programma. Dat wil zeggen dat er telkens een keuze van jou
verwacht wordt uit een aantal op het scherm zichtbare opdrachten (achterin staan ze allemaal op een rijtje). 1> Start het programma: ruimfig <Return>.
|
||||||||
|
Als het programma is gestart, zie je dit op het scherm:
|
||||||||
|
Figuur 1
In de bovenste balk A staan de menu's vermeld. Dit heet de menubalk.
In blok B, de menukaart, staan de opdrachten waaruit gekozen kan worden bij een gegeven menu. In blok C vindt de communicatie met het programma plaats. Bij een aantal opdrach-
ten wil de computer meer informatie hebben, Dat wordt gemeld in blok C. Bij C staat nu een lijst figuren die voor je klaar gezet zijn. Het omkaderde deel D is het 'grafische' scherm. Daarbinnen wordt alles getekend,
voorzover het er in past. In de menukaart staan nu de opdrachten die je kunt kiezen uit het menu Figuren. Dat
is te zien aan de oplichtende tekst in menubalk A. - Met de pijltjestoetsen <— en —> kun je door de menubalk gaan en met depijltjes
T en I door de menukaart. - Een keuze maak je met <Return> of door de betreffende hoofdletter te tikken.
- De puntjes op de assen zijn (1, 0, 0), (0, 1, 0) en (0,0, 1).
|
||||||||
|
5
|
||||||||
|
2> Als je er niet al bent, ga dan naar het menu Figuren.
De figuren die beschikbaar zijn (op de schijf staan), staan onder de menukaart in een
kader. 3> Kies de opdracht Haal op <Return> .
Merk op dat er iets oplicht in het kader met de figuren. Hiermee krijg je de mogelijk-
heid om, met de pijltjestoetsen, de kubus te kiezen. 4> Kies de kubus en tik <Return> .
De kubus wordt getekend.
5> Om beter te zien welke ribben voor elkaar langs lopen is het mogelijk om de
opdracht Diepte in het menu Opmaak te kiezen. Probeer dit. Door de manier van tekenen (de projectie) is echter niet erg duidelijk te zien hoe de
kubus ten opzichte van de coordinaatassen staat. Door er anders tegen aan te kijken wordt dat wat duidelijker. 6> Ga naar het menu Projecties.
Kies de projectie op het Xy-viak. Je ziet de kubus met de assen loodrecht geprojecteerd op het XY-vlak. Dit is het
bovenaanzicht van de kubus. 7> Welke aanzichten van de kubus krijg je te zien bij de projecties op het Zx-vlak
en het Yz-vlakl 8> Bepaal met behulp van het juiste aanzicht de hoogte van het ondervlak van de
kubus. (Bedenk wat de positie van de puntjes op de assen is.) Hoogte:....................................
9> Hoe lang is een ribbe?....................................
10> Wat zijn de coordinaten van het middelpunt van de kubus?
Middelpunt:....................................
|
|||||
|
6
|
|||||
|
1.2 Verschuiven
|
||||||||
|
In het menu Transform (afkorting van transformaties) kunnen allerlei bewegingen en
vervormingen worden uitgevoerd op ruimtelijke figuren. 1> Zet de kubus in de oorspronkelijke /ngen/eurs-projectie.
2> Ga naar Transform, en zet het middelpunt van de kubus in de oorsprong (met
Schuif). 3> Kies nu Rest weg.
Alle figuren die op het scherm staan worden weggeveegd, en de laatstgemaakte
figuur wordt opnieuw getekend. 4> Controleer door de projecties op het XY-, YZ- en ZX-vlak te bekijken, of de
kubus inderdaad met het midden in de oorsprong staat. 5> Zet de kubus tot slot weer in de /ngen/eurs-projectie.
Belangrijk:
- De laatste figuur die getekend is na een of andere transformatie heet de
basisfiguur. Een transformatie werkt altijd op de basisfiguur. - Een transformatie kan ongedaan gemaakt worden met de functietoets <F4>.
6> Kun je dit plaatje maken? (In de ingenieursprojectie.)
|
||||||||
|
7
|
||||||||
|
Figuur 2
|
||||||||
|
7
|
||||||||
|
1.3 Draaien
1> Ga naar Figuren en maak het scherm schoon (Scherm leeg).
Nu verdwijnt ook de basisfiguur.
2> Haal het blok op, en ga daarmee naar Transform.
Draaien gaat rond een as, de zogenaamde draai-as. Deze as gaat door de oorsprong
en heeft een bepaalde richting. 3> Als je voor Draai kiest, vraagt de computer naar de richting van de draaias.
Voer in; [ 0 ] [ 0 ] [ 1 ] hoek : 90 aantal: 1. 4> Rond welke as is gedraaid?............................
En in welke richting?......................................
Probeer ook eens een draaiing om de X-as en om de Y-as.
(Pas op: slechts de basisfiguur wordt gedraaid!) |
||||||
|
Een gedraaide kubus.
|
||||||
|
K
|
||||||
|
1.4 Vergroten
1> Maak het scherm schoon (Rest weg) en kies Vergroot.
Gevraagd wordt hoe groot de factor (de vergrotingsfactor) moet zijn. 2> Probeer met factor 0.5 Probeer met factor 4
Wat is het centrum van de vermenigvuldiging?......................................
Het is mogelijk dat de laatste figuur niet meer binnen het tekenkader past.
Dat kan verholpen worden door een andere schaling voor de assen te kiezen. 3> Ga naar Opmaak en kies Schaal.
4> Verander de schaling voor alle assen eens in [-10,10].
5> Kies Rest weg.
1.5 Projectiemethoden
Bij het menu Projecties kan de projectiemethode gewijzigd worden. (Je hebt reeds
verschillende aanzichten gezien.) Tot nu toe werd getekend met assen zoals hieronder links is aangegeven.
Tekeningen in deze zogenaamde ingenieursprojectie geven een vrij natuurlijk beeld van het ruimtelijke lichaam. Sommige mensen geven de voorkeur aan de scheve projectie omdat je deze makkelijker tekent. Het beeld is wel minder natuurlijk. |
||||||
|
Ingenieursprojectie Scheve projectie
|
||||||
|
9
|
||||||
|
1> Bekijk het blok eens in de scheve projectie.
2> Kies in Projecties de Uitslag.
Je ziet nu de drie aanzichten van het blok in een keer.
3> Zet de assen weer in de oorspronkelijke schaling van -3 tot 3 (in Opmaak),
bijvoorbeeld door Beginstandit kiezen. Stel je een assenstelsel voor als de hoek van een kartonnen doos. Als je het assenstel-
sel 'losknipt' langs de X-as, dan kun je het uitvouwen en platleggen. |
|||||||
|
x *
x
doos uitslag
Op deze manier passen de drie aanzichten in een tekening.
4> Kies in Projecties de projectie op het XY-vlak.
5> Haal figuurl in menu Figuren op (eerst Scherm leeg).
6> Ga terug naar Projecties en laat de drie aanzichten tegelijk tekenen (Uitslag).
Je ziet nu de aanzichten van een draadmodel.
7> Probeer de ruimtelijke figuur hier onder te tekenen aan de hand van deze aan-
zichten. |
|||||||
|
10
|
|||||||
|
8> Controleer je tekening door figuurl in de ingenieursprojectie te laten tekenen.
Het is ook mogelijk om je ruimtelijke tekening in perspectief te bekijken met het oog
op een plaats die je zelf mag bepalen. Dit heet centrale projectie. Het oog staat nu in (10, 5, 5).
9> Kies uit Projecties Centraal. Typ direct drie keer <Return>.
Je kunt zelf kiezen vanuit welk punt je de figuur wilt bekijken. (Het oog kijkt altijd
in de richting van de oorsprong.) 10> Bekijk het bouwwerk vanuit verschillende punten.
11> Waar kun je het oog niet neerzetten?
|
|||||||||||
|
12> Waar moet je het oog zetten zodat de centrale projectie hetzelfde laat zien als
de projectie op het YZ-vlak? Oog:..........................................................
13> Waar moet het oog zich bevinden opdat vertikale lijnen vertikaal op het scherm
komen? (D.w.z. lijnen evenwijdig aan de Z-as, lopen op het scherm ook recht omhoog.) |
|||||||||||
|
14> Haal de kubus op en laat in Projecties het vooraanzicht ervan tekenen.
15> Ga naar Transform en probeer de volgende plaatjes te maken, met behulp van
Draai (dit zijn vooraanzichten!). |
|||||||||||
|
Als je de stand van de kubus op je scherm niet meer begrijpt, kun je hem altijd
weer een keer opnieuw ophalen (eerst Scherm leeg). |
|||||||||||
|
11
|
|||||||||||
|
1.6 Figuren veranderen
|
||||||
|
1> Ga naar het menu Figuren, doe Scherm leeg en haal de kubus nog eens op.
2> Verschuif de kubus met het midden naar de oorsprong.
3> Kies Edit (in Figuren).
Nu heb je zelf de mogelijkheden om een figuur te veranderen. Er zijn drie mogelijk-
heden. (Alleen even doorlezen.) 1. Punten invoeren of veranderen met Punten.
2. Verbindingen maken met verBlnden.
3. Punten of verbindingen verwijderen met Verwijderen.
Iedere verandering kan hersteld worden met <F4>.
Je ziet dat de hoekpunten van de kubus letters hebben gekregen. Deze heb je nodig
als je punten of verbindingen wilt veranderen of verwijderen. Je gaat twee nieuwe verbindingen toevoegen. Het midden van de ribbe ab verbinden
met hoekpunt g, en het midden van eh met het midden van be. Hiervoor heb je eerst drie extra punten nodig, de drie middens. In Punten is het mogelijk de coordinaten van een hoekpunt te bekijken.
4> Kies Punten met <Return>.
Het programma vraagt nu om de naam van een punt.
5> Tik: a <Return>.
Nu staan de coordinaten van a op het scherm. We willen alleen maar kijken,
niets veranderen. 6> Herstel deze keuze met <Esc>.
Op deze manier kun je de coordinaten van bestaande punten zien. Dit is handig voor
het vinden van de middens. 7> Bepaal de coordinaten van:
het midden van ab, puntp:...............................
het midden van be, punt q:...............................
het midden van eh, punt r:...............................
|
||||||
|
12
|
||||||
|
Vervolgens ga je deze punten invoeren.
In plaats van de letter van een bestaand punt voeren we nu in Punten een nieuwe letter
in.
8> Tik: p <Return>.
9> De coordinaten van p kunnen ingevoerd worden, doe dit.
(Het invoeren afbreken kan met <Esc>.) 10> Idem voor q en r.
Tenslotte moeten de juiste punten verbonden worden.
11> Ga naar verBinden.
Verbindp met g door te tikken: pg <Return>.
12> Maak ook nog de verbinding rq.
Als alles goed gegaan is staan nu de twee verbindingen in de kubus.
13> Uit Edit kom je met <Esc> (misschien twee keer <Esc>).
Snijden de twee nieuwe verbindingen elkaar?
Een snijpunt op het scherm hoeft nog niet te betekenen dat de verbindingen elkaar in
werkelijkheid snijden. Het is ook mogelijk dat de een achter de ander langs loopt
(kruisen).
Met een berekening of met een meetkundige constructie is dit te bepalen.
Het kan ook met RU1MFIG.
In Projecties biedt de opdracht Centraal je de mogelijkheid de figuur vanuit allerlei
verschillende posities te bekijken. Als er nu een stand is zodat de twee lijnstukken
elkaar op het scherm niet snijden dan weet je zeker dat ze elkaar in werkelijkheid
kruisen !?!
14> Probeer met Centraal uit te vinden of de twee verbindingen elkaar kruisen.
|
|||||||
|
De verbindingen van de vorige opgave zijn hierna niet meer nodig.
Verwijderen kan weer met Edit in Figuren.
Het is wel handig als de figuur dan in de ingenieursprojectie staat.
15> Ga hier naar toe en verwijder de punten /?, q en r door hun naam te tikken
gevolgd door <Return>. De bijbehorende verbindingen zijn nu ook verwijderd.
|
|||||||
|
L3
|
|||||||
|
Laat de kubus zo staan en lees eerst even verder.
Hiernaast zie je een tetraeder. Een tetraeder bestaat uit vier gelijkzijdige driehoeken. Zo'n tetraeder is te maken met behulp van een kubus. |
||||||||||||||
|
16> Ga naar verBinden, en verbind punt h met/ (door deze twee letters te tikken
gevolgd door <Return>). h
Een van de zes lijnen van de tetraeder is nu getekend. In het plaatje hiernaast zie je
hoe de tetraeder in een kubus ligt.
|
||||||||||||||
|
17> Probeer het zelf af te maken.
|
||||||||||||||
|
18> Verwijder nu de vier hoekpunten die geen verbinding met de tetraeder hebben.
De verbindingen met het betreffende hoekpunt worden meteen ook verwijderd. 19> Terugkeren naar het menu Figuren gaat met <Esc>.
Op tv heeft teleac haar programma's op Nederland 3. Als een programma van teleac
begint draait het vignet van Nederland 3 tot het teleac logo. Zijn beide plaatjes inder- daad de projectie van een tetraeder? |
||||||||||||||
|
/ \
|
||||||||||||||
|
teleac
|
||||||||||||||
|
NEDERLAND
|
||||||||||||||
|
14
|
||||||||||||||
|
20> Kies in Projecties de opdracht Centraal en vindt posities zo, dat de tetraeder
als het Nederland 3 vignet geprojecteerd wordt, idem voor het teleac-logo. |
||||||||
|
1.7 Zelf figuren maken
Een figuur wordt gedefinieerd door een aantal punten en de verbindingen hiertussen.
1> Ga naar Figuren, maak het Scherm leeg.
(Het laatste figuur hoeft niet op de schijf opgeslagen te worden.)
2> Kies Edit
3> Kies Punten. Tik: a <Return>
4> Geef vervolgens de coordinates
x: -2 <Return> y: -2 <Return> z: 0 <Return> Nu staat het punt a (-2, -2, 0) op het scherm.
5> Voer op dezelfde manier de volgende punten in:
fc(2,2,0),c(-2,2,4) end (2, -2, 4). Als deze vier punten op het scherm staan kunnen ze verbonden worden.
6> Verbind:
a met b, b met c, c met d en d met a.
|
||||||||
|
In Eindhoven staat deze figuur meer dan levensgroot langs een autoweg.
De vorm van het kunstwerk verandert voortdurend als je er langs rijdt. |
||||||||
|
15
|
||||||||
|
7> Ga naar Projecties en laat de drie verschillende aanzichten tekenen.
Waar moet bij de centrale projectie je oog staan zodat de figuur op het scherm; |
||||||||||||||||
|
- een driehoek is
|
||||||||||||||||
|
oog:
|
||||||||||||||||
|
- en ook:
|
||||||||||||||||
|
oog:
|
||||||||||||||||
|
een trapezium is
|
||||||||||||||||
|
oog:
|
||||||||||||||||
|
een zandloper is
|
||||||||||||||||
|
oog:
|
||||||||||||||||
|
1.8 Figuren bouwen
Bij de volgende opgaven maak je kennis met het opbouwen van een ruimtelijke
figuur vanuit een platte figuur, zoals een vierkant, rechthoek of lijnstuk. 1> Kies de ingenieursprojectie (in Projecties).
2> Ga naar Figuren (maak eventueel je scherm leeg) en kies het vierkant.
Met behulp van dit vierkant gaan we een balk maken:
|
||||||||||||||||
|
16
|
||||||||||||||||
|
3> Ga naar Transform.
Vergroot het vierkant met factor 2.
4> Schuif het vergrote vierkant over:
x = 0 y = 0 z = 0.2 met aantal 6. Je ziet nu de balk onderaan biz. 16 op je scherm (als alles goed gegaan is).
5> Ga naar Figuren.
6> Maak het scherm leeg.
7> Ga nu zelf een zeszijdig prisma maken met de zeshoek als grondvlak.
8> Probeer ook een scheef zeszijdig prisma te maken door een andere translatie te
kiezen. Bekijk hiervan ook het voor-, zij- en het bovenaanzicht. Met behulp van sChuif/groot is het mogelijk om een piramide te maken.
9> Kies het vierkant als grondvlak.
10> Ga naar Transform en geef de opdracht sChuif/groot
(met factor 0.9 en aantal 10). |
||||||
|
Pyramide in perspectief.
|
||||||
|
17
|
||||||
|
11> Lukt het je om de volgende plaatjes op je scherm te krijgen?
Probeer bij elk van de plaatjes eerst te bedenken uit welke basisfiguur ze ont-
staan zouden kunnen zijn. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
18
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Deel 2. Opgaven met RUIMFIG
|
||||||
|
In het vorige deel heb je kennis gemaakt met RUIMFIG. Je hebt alle mogelijke
opdrachten die je kunt geven geleerd. Een overzicht van deze opdrachten vind je ach- terin. Met RUIMFIG kun je meetkundige problemen op een andere manier oplossen dan
alleen met een boek en potlood en papier.
Doordat RUIMFIG zo snel kan tekenen, kun je bij een opgave een idee uitproberen
zonder dat je zeker weet of dit idee wel helemaal goed is. Dat scheelt je een hoop
tekentijd.
Als je een figuur een beetje veranderen wilt is dat met RUIMFIG snel gedaan. Op
papier kan een plaatje snel volraken. Een lijn uitgummen kan ook niet altijd. Hierdoor
zou je weer een nieuwe figuur moeten tekenen.
Met RUIMFIG kun je een figuur van verschillende kanten bekijken. Van deze moge-
lijkheid kun je gebruik maken als het je niet lukt om de figuur waar je mee bezig bent
precies voor ogen te krijgen. Je kiest dan een paar punten in de ruimte van waaruit je
de figuur even bekijkt. Niemand die het merkt.
Het is ook mogelijk dat je leraar voor een les ruimtemeetkunde met RUIMFIG al figu-
ren op de schijf heeft gezet waarmee je meteen foutloos kunt beginnen.
Lang niet alle ruimtemeetkunde-opgaven kunnen met RUIMFIG. Je leraar en jij zelf
kunnen uitzoeken wanneer een bezoek aan het computerlokaal of een demonstratie in het wiskundelokaal zin heeft. De opgaven in dit deel zijn bij elkaar gezocht om te laten zien dat je met RUIMFIG
bepaalde ruimtemeetkunde-opgaven die je in je wiskundeboek tegenkomt kunt oplossen. Je zult merken dat de ene opgave langer duurt dan de andere. foto's en centraleprojectie.
Als je met RUIMFIG in de centrale projectie naar een figuur kijkt, dan kijk je vanuit
de plaats van het oog in de richting van de oorsprong. Je ziet dan wat je krijgt als je
vanuit dat punt een foto zou maken, met de camera naar de oorsprong gericht.
Als iemand een foto maakt doet hij dat meestal met de camera recht vooruit, dat is
horizontaal.
Horizontaal kijken met RUIMFIG kan alleen met het oog in het XY-vlak. Alleen daar
geldt: "in de richting van de oorsprong kijken" = "horizontaal kijken".
Enkele van de opgaven in dit deel beginnen met een foto. Daarbij ga je proberen met
RUIMFIG dezelfde figuur te maken. Als zo'n foto ook horizontaal genomen is moet je
je figuren gedeeltelijk onder het XY-vlak plaatsen, omdat je oog zich in dat vlak
bevindt. Als je alle figuren op of boven het XY-vlak zou plaatsen, zou je namelijk
alles een beetje schuin van de onderkant bekijken.
|
||||||
|
L9
|
||||||
|
2.1 Het gebruik van de rekenmachine (Alt-R)
|
|||||||
|
Bovenstaande figuur bestaat uit 10 punten met alle onderlinge verbindingen.
Het is eenvoudig om met RUIMFIG zoiets op het scherm te toveren.
De buitenste punten liggen gelijk verdeeld op een cirkel met straal 4 rond (0, 0, 0) in
het XY-vlak.
Punt a op de tekening heeft coordinaten (4, 0, 0).
Punt b heeft coordinaten (4*cos(36°), 4*sin(36°), 0).
1> Verklaar dat. Bedenk dat am - 4 en /Lamb = 36°. Maak een tekening.
|
|||||||
|
2> Ga naar Edit, voer punt a(4, 0, 0) in.
|
|||||||
|
Voor het invoer van het tweede punt kun je het rekenmachine van RUIMFIG gebrui-
ken en het resultaat meteen transporteren naar de invoer. |
|||||||
|
20
|
|||||||
|
3> Voeg punt b in. Als de cursor bij de jc-coordinaat staat te knipperen druk dan op
Alt-R. De rekenmachine verschijnt nu in beeld. Laat 4*cos(36°) uitrekenen ("c" is genoeg voor cos). Je ziet dat het antwoord meteen in dex-coordinaat van b wordt gestopt. 4> Voer met de rekenmachine 4*sin(36°) in voor de y-coordinaat van b.
De z-coordinaat is 0. Verbind a met b. 5> Draai nu 10 keer over een hoek van 36°.
Op deze manier krijg je de buitenkant van figuur 1.
6> Voeg nog meer punten en verbindingen toe, zo, dat je met draaien alle verbin-
dingen krijgt. - Probeer zo weinig mogelijk dubbel werk te doen (leg ieder type lijn maar
een keer aan); - Je hoeft niet alle 10 hoekpunten in te voeren, een deel is genoeg.
7> Wat is het minimaal aantal punten/lijnen waaruit de basisfiguur moet bestaan
om de hele figuur te kunnen maken? |
||||||
|
Hoeveel lijnen worden dan dubbel getekend?
|
||||||
|
21
|
||||||
|
2.2 Donald Duck fotografeert
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Figuur 2
Zoek met RU1MFIG uit of een foto als in de strip hierboven mogelijk is. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
22
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Stel voor het gemak visser en vis voor met lijnstukken.
De vis is een lijnstuk van 5 cm: punten (0, 0, -2) en (0, 0, 3).
Neem voor de visser een lijnstuk van 175 cm. De onderkant bevindt zich op nivo
z = -50, op dit nivo ligt de kade.
De plaats van de visser op de kade moet je zelf uitzoeken.
Met oog van RUIMFIG geeft de positie van het fototoestel aan. Kies hiervoor een plaats
in het XY-vlak om een horizontaal genomen foto te krijgen (zie de opmerking op biz 19 onderaan). Je ziet dat de coordinaten van de vis zo gekozen zijn dat de vis op ooghoogte hangt.
Let nog op het volgende: - De visser staat rechtop.
- Door de schaling van de assen is hij met de ingenieursprojectie niet zichtbaar, maar
dat is niet erg. Door het oog goed te kiezen komt de visser wel weer in beeld. Kies voor een goede omlijsting van de foto een schaling van -10 tot 10.
1> Zet met RUIMFIG vis en visser op hun plaats, kies een punt van waar je een foto
kunt nemen die het effect van de foto in de strip geeft. Gebruik de gegevens van hierboven. De rest moet je zelf schatten (met de strip)
of uitproberen. Resultaten:
Plaats van de visser: voeten (....,.... ,....), bovenkant (.... ,.... ,.....)
Plaats van de camera (oog): (.... ,....,....)
|
|||||
|
23
|
|||||
|
2.3 Verdwijnpunten
|
||||||
|
Figuur 3
De denkbeeldige lijn van de top van de lantarenpaal naar het hoogste punt van de
toren lijkt de grond ergens achter het huis te snijden. Toch weet je dat deze lijn omhoog gaat en alleen maar hoger en hoger komt. Hier is iets aan de hand: dat kun je met RUIMFIG uitzoeken. 1> Neem voor de lantarenpaal een lijnstuk van punt a(3, -1,0) naar 6(3, -1, 1) en
voor de toren een lijnstuk van punt c(0, 0, 0) naar d(0, 0, 2). De toren is dus 2 keer zo hoog als de paal. Teken ook de verbinding van de beide bovenkanten: bd. 2> Zoek een oogpunt op de X-as van waar je de paal boven de toren ziet uitsteken.
Let daarbij op het volgende: Om horizontaal te kunnen kijken moet je oog zich in hetXF-vlak bevinden. (Zie
de opmerking op bladzijde 19 onderaan) Resultaat: Gevonden oog = (.... ,.... ,....)
3> Bepaal een punt e dat op het verlengde van bd ligt, voer deze in en verbind d
met e. Met de verschillende aanzichten kun je controleren of e werkelijk op het verlengde ligt. Resultaat: e = (.... ,....,....)
|
||||||
|
24
|
||||||
|
Bekijk de situatie vanuit net in 2> bepaalde oog.
Verleg punt e zover mogelijk naar achter maar nog wel op het verlengde van bd.
Bedenk dat met RUIMFIG een coordinaat maximaal 999 kan zijn. De verbinding de blijft in stand. Bekijk deze situatie weer met de centrale projectie. Resultaat: e = (....,.... ,....)
Zet met je potlood een stip op het scherm waar het punt e nu ligt. Zet e nu onge-
veer op de helft terug richting d (de is dus half zo lang geworden). Kijk weer centraal. Resultaat: e = (.... ,....,....)
Hoe zit het nu met de lijn op de foto aan het begin van de opgave?
|
|||||
|
25
|
|||||
|
2.4 Hyperboloide
|
|||||||
|
Figuur 4
De constructie op de foto hierboven is gemaakt van rechte lijnen.
1> Schets hieronder wat je zien als je van boven in de constructie kijkt (het boven-
aanzicht). |
|||||||
|
2> Schets ook het vooraanzicht.
|
|||||||
|
3> Probeer een figuur te maken die op de toren op de foto lijkt. Bekijk de verschil-
lende aanzichten en vergelijk deze met je schetsen van 1> en 2>. 4> Waarschijnlijk heb je de vorige vraag met een basisfiguur en Draai gemaakt.
Breid de basisfiguur zo uit dat ook de boven- en ondercirkel als veelhoeken getekend worden. Denk eraan dat de rekenmachine van RUIMFIG kunt gebrui- ken om de precieze coordinaten te berekenen. |
|||||||
|
26
|
|||||||
|
2.5 Een veertienvlak
|
||||||||||
|
Figuur 5
Het veertienvlak in de figuur hierboven ontstaat uit een kubus door bij elk hoekpunt
een driezijdige piramide weg te zagen. |
||||||||||
|
1> Schets hieronder zelf de projectie op het YZ-vlak (het vooraanzicht) en de pro-
jectie als je kijkt vanuit (100, 100, 100) zoals jij denkt dat ze er uitzien. |
||||||||||
|
2> Maak met RUIMFIG het veertienvlak. Je mag zelf bedenken hoe je het aanpakt.
De uiteindelijke figuur moet alleen het 14-vlak zijn (de kubus is niet nodig). Je schetsen kun je controleren door de projecties op de coordinaatvlakken en vanuit bovengenoemd oog te bekijken. |
||||||||||
|
27
|
||||||||||
|
2.6 Het kubushuis
|
|||||
|
Figuur 6
De foto is van een huis in de vorm van een halve kubus. Dat zou je zo niet zeggen als
je alleen uit deze richting mag kijken. Met RUIMFIG gaan we een halve kubus maken die precies de vorm van het huis heeft. 1> Maak een kubus met hoekpunten a(0, 0, 0), 6(4, 0, 0), c(4, 4, 0), d(0, 4, 0),
e(0, 0, 4),/(4, 0, 4), g(4, 4, 4) en A(0, 4, 4). Denk eraan om de verbindingen toe te voegen. Er komen nu 6 nieuwe punten bij. Deze punten zijn de middens van zes ribben van
de kubus. p is het midden van ef, q van bf, r van be, s van cd, t van dhy u van eh. 2> Schrijf eerst de coordinaten van p, q, r, s, f en w op.
p = (.... ,....,....), q = {....,.... ,....), r = (.... ,....,....)
s = ( .... , .... , .... ), t = ( .... , .... , .... ), u = ( .... , .... , .... ).
|
|||||
|
28
|
|||||
|
3> Voerp, q, r, s, tenu toe aan de kubus. Verbind pq, qr, rs, st, tu en up.
|
||||||
|
4> Zoek een oog van waaruit je zeshoek pqrstu in ware vorm kunt zien.
Beschrijf deze ware vorm. Bekijk de aanzichten van de hele figuur op de coordinaatvlakken. Resultaat: gevonden oog: (.... ,....,....).
5> Zet de figuur weer in ingenieursprojectie.
Verwijder de punten/, g, c en h. Van de kubus is nu alleen nog een drietand over. Verbind nu ep, eu, bq, br} ds en dt. Het halve-kubus-huis is klaar. Als het goed is heb je een figuur met 10 hoekpunten en 15 verbindingen en 7 zijvlakken. 6> Bewaar deze figuur op de schijf.
7> Zoals gezegd heeft de figuur 7 zijvlakken. Wat voor vormen hebben deze?
Het de bedoeling dat de figuur in de stand van het huis op de foto gezet wordt, dus
met de zeshoek op het XY-vlak en a als hoogste punt. 8> Voer om deze stand te bereiken de volgende transformaties uit:
(Bij mislukken kun je de figuur opnieuw van de schijf halen) 1: Draaien rond de Z-as over een hoek van -45°.
2: Draaien rond de Y-as over een hoek van +125°. 3: Translatie over de vector [0 ; 0 ; 3.464]. 9> Bekijk de verschillende aanzichten en stel vast of het draaien en transleren het
gewenste resultaat hebben gehad. 10> Verklaar de getallen die gebruikt werden bij vraag 8>.
De methode die in opgave 8> genoemd is, is niet de enige methode om het kubushuis
in de goede stand te krijgen. Er zijn andere, zelfs snellere methodes (minder aantal stappen) mogelijk. 11> Weet je een andere manier om het kubushuis in de goede stand te krijgen?
|
||||||
|
29
|
||||||
|
2.7 Les Promenades d'Eudide
|
||||||
|
Figuur 7
Dit is een foto van een schilderij van de Belgische schilder Rene Margritte uit 1953.
Het heet 'Les Promenades d'Euclide' (De Euclidische wandelingen). Waarom heeft Margritte deze naam gekozen? Het frappante is dat de torenspits en de weg precies gelijkvormig en even groot op het
schilderij terechtkomen. In deze opgave ga je aantonen dat Margritte de waarheid geen geweld heeft aangedaan. In het schilderij kun je zien dat de torenspits zich op ooghoogte bevindt.
1> Waaruit blijkt dat?
Het oog en de top van de torenspits moeten dus in het XY-vIak liggen (zie de opmer-
king op bladzijde 19 onderaan) Natuurlijk kan iedereen twee dezelfde figuren invoeren om op het scherm het plaatje
van het schilderij te krijgen. De bedoeling is natuurlijk dat een van de tweepoten op het scherm van de torenspits en de andere van de weg afkomstig is. |
||||||
|
30
|
||||||
|
Je kunt elkaar controleren door de aanzichten te bekijken.
|
|||||||||||
|
2> Construeer een torenspits en een weg en zoek een oog van waaruit je beide figu-
ren gelijkvormig, gelijkstandig en even groot ziet. Let daarbij op het volgende: - Voor de torenspits zijn twee lijnen genoeg. (Als je meer lijnen wilt heb je
een herhaalde rotatie nodig. Bedenk dat daarna de weg er nog bij moet). - De twee lijnen van de weg zijn in werkelijkheid evenwijdig.
|
|||||||||||
|
3> Schets hieronder de aanzichten van jouw constructie:
|
|||||||||||
|
vooraanzicht
|
zijaanzicht
|
bovenaanzicht
|
|||||||||
|
31
|
|||||||||||
|
2.8 Draaien in een tienvlak
|
|||||
|
Figuur 8
1> Maak met RUIMFIG bovenstaand tienvlak.
Gebruik de volgende gegevens: - het grand- en bovenvlak zijn vierkanten met zijde 4
- de hoogte van de figuur is 6.
- de diagonalen in het bovenvlak zijn evenwijdig aan de zijden van het onder-
vlak (oftewel het bovenvlak ligt 45° gedraaid ten opzichte van het ondervlak). - de figuur moet zo staan dat het punt (0, 0, 0) het middelpunt van het vlak
ABCD is. 2> Bekijk de projecties op de coordinaatvlakken.
3> Zet de schaling op -4 tot 4.
4> Zoek uit bij welke rotaties om de Z-as de figuur op het scherm niet verandert.
Zulke rotaties heten rotaties waaronder de figuur invariant is.
De figuur wordt voor de helft gevuld met water.
5> Voeg punten en lijnen aan de figuur toe zodat op het scherm het wateroppervlak
zichtbaar is. Aanwijzing: met Edit kun je even stiekum naar de coordinaten kijken, zonder
ze te veranderen (gebruik <Esc> als je genoeg weet), afronden is toegestaan. |
|||||
|
M
|
|||||
|
6> Wat is de vorm van het wateroppervlak?
7> Verwijder nu weer de punten van het wateroppervlak en bewaar het tienvlak op
de schijf. Het bovenvlak kan met SCHUIF/DRAAI ontstaan uit het ondervlak. Als we de SCHUIF/
DRAAI met tussenstanden laten verlopen verschijnt een gedraaide figuur. We vragen ons af of deze gedraaide figuur in alle tussenstanden binnen het tienvlak past. 8> Probeer in een figuur het resultaat van de SCHUIF/DRAAI met het tienvlak te
krijgen. 9> Beantwoord de vraag of de gedraaide figuur in het tienvlak past.
10> Maak het scherm leeg (de figuur hoeft niet weer op de schijf als RUIMFIG
daarom vraagt) en begin nog een keer met het tienvlak. 11> Kies het oog zo op de z-as, dat je het volgende ziet:
|
||||||||
|
Resultaat: gevonden oog: (....,....,....)
|
||||||||
|
Opmerking: bij deze opgave is het mogelijk om meteen na vraag 4 door te gaan met
vraag 8. |
||||||||
|
33
|
||||||||
|
2.9 De wenteltrap
|
||||||
|
Figuur 9
Maak met RUIMFIG een wenteltrap. - Laat de Z-as de centrale stang zijn. Daar zitten de treden aan vast.
- Een eenheid op de assen is 1 meter.
- De treden zijn 1 meter lang en 30 cm breed. De dikte mag je verwaarlozen, waar-
door de treden rechthoekjes mogen zijn. - Met de trap moet een hoogteverschil van 3 meter overbrugd worden.
- Hieronder zie je een bovenaanzicht van het trapgat met alleen de eerste en de laat-
ste trede: y^" "\ y eerste trede
> I gj) laatste trede
- Kies zelf een redelijk hoogteverschil tussen twee treden.
- Kies ook de hoek tussen twee opeenvolgende treden.
|
||||||
|
34
|
||||||
|
Maak, rekening houdend met bovenstaande opmerkingen, een wenteltrap met
RUIMFIG. (bewaar de basisfiguur op de schijf, een mooie naam is "trade") |
|||||||||
|
1>
|
|||||||||
|
Resultaat: aantal treden:.................
Hoogteverschil per trede:...............
Hoek:..............................................
2> Controleer of de volgende formules kloppen:
Aantal treden * hoogteverschil per trede = 3 Aantal treden * hoek-................
3> Bekijk van de trap de aanzichten op de coordinaatvlakken.
De trap heeft ook een leuning. Deze leuning bevindt zich op handhoogte. Maak voor
deze handhoogte een redelijke keus. De leuning kan toegevoegd worden aan het plaatje door bij de basisfiguur die je gaat
schuifdraaien een extra punt toe te voegen op handhoogte boven de trede. Dit punt kan meedraaien met de trede. 4> Voeg zo'n 'leuningpunt' toe aan de basisfiguur en laat de trede met leuning
tekenen. Het is jammer dat de leuning onderbroken getekend wordt.
De leuning kan wel ononderbroken getekend worden door in de basifiguur een
leuningstukje op te nemen. Dit leuningstukje is de verbinding tussen twee opeenvol- gende leuningpunten. Hiervoor heb je de coordinaten van het tweede leuningpunt nodig.
5> Zorg dat op de schijf een figuur staat met de naam "eerste" die de eerste trede
met het eerst leuning/?rmr vormt. 6> Schuifdraai "eerste" slechts 1 keer. (gebruik dezelfde getallen als bij 1>)
Nu staan de eerste 2 treden en de eerste 2 leuningpunten op het scherm. De
tweede figuur is de basisfiguur, met behulp van Ed it Ices je af wat de coordina- ten zijn van het tweede leuningpunt. Resultaat: coordinaten van het tweede leuningpunt: (....,....,....)
7> Doe nu scherm leeg, haal "eerste" op, en voeg het leuningstukje toe.
8> Laat nu de trap met leuning tekenen.
|
|||||||||
|
35
|
|||||||||
|
!___
|
||||||
|
-
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Schema van alle opdrachten
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Speciale toetsen:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Esc: Meestal te gebruiken om een verkeerde keuze af te breken.
F1: Hulp.
F2: Tekensnelheid veranderen (sloom of snel), zoals de opdracht in Opmaak.
F3: Stop hettekenen.
F4: Herstel de laatste transformatie of edit-opdracht.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Speciale toetscombinaties:
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Alt R: Schakel de rekenmachine in.
Alt B: Verander de achtergrondkleur van het hele scherm.
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
37
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||