■ .v\' = . r

/). A.

OVER EEN BIJZONDERE SOORT

FUNCTIEN

W/sk. Loeszo?:
Utrecht

/ T /•

oT ^ rc

RIJKSUNIVERSITEIT UTRECHT

1409 1213

INLEIDING.

§ 1. Onder den titel „Sur une espèce particulière de fonctions

1 ""

entières nées du développement de la fonction -^ e i -

suivant les puissances de v" komen in de nagelaten papieren
van Abel functiën voor, waarvan enkele opgegeven eigen-
schappen doen vermoeden, dat ze de moeite van een onder-
zoek ruimschoots zullen loonen.

Alleen het feit, dat een Abel de studie van een onderwerp
onderneemt, zou al voldoende de belangstelling van anderen
kunnen motiveeren. Toch komen deze (jp-functiën slechts, voor
zoover mij bekend is, in drie verhandelingen voor. Tohebychep
gaat van een vraagstuk uit de waarschijnlijkheidsrekening
uit, en komt tot een soort van functiën, die trigonometrische,
bolfunctiën of (j:-functiën zijn, naar gelang aan de gewichten,
die in het oorspronkelijke vraagstuk een rol spelen, verschil-
lende waarden worden toegekend. Laguerre bewijst behalve
de door Abel gegeven eigenschappen nog verscheiden andere
en brengt een functie, die zeer nauw met 9,, (x) samenhangt,
in innig verband met den integraal-logarithmus. Halpiién
komt bij de studie van een bepaalde soort van reeksontwik-
keling\'naar tot zeer vreemde resultaten.

De overeenkomst der (^-functiën met de bolfunctiën is wel
hun meest op den voorgrond tredende eigenschap. In hoofd-
stuk V wordt deze overeenkomst nader toegelicht. Ik kon
het boekje van Todhunter \'), om zoo te zeggen, op den voet

\') An elementary treatise on Laplace\'s, Lamé\'s and Bessel\'s functions.

volgen, en voor de meeste eigenschappen der bolfunctiën met
één variabele analoga bij de (jp-functiën vinden.

Ongelukkig heb ik de overeenkomst met de bolfunctiën nog

niet kunnen uitbreiden op de ontwikkeling van een wille-

00

keurige functie in den vorm ^ (x), waarin a„ constanten

0

voorstellen.

, Er bestaan m. i. geen voldoende redenen om aan te nemen,
dat de ontwikkeling onmogelijk is, maar ik ben tot nog toe
niet in staat geweest, de mogelijkheid of de onmogelijklieid
. te bewijzen, \'t Spreekt wel van zelf, dat vooral op dit gebied
mijn taak alles behalve als voltooid beschouwd kan worden;
ik meende echter met dit proefschrift niet langer te mogen
wachten, vooral omdat niet te voorzien is, hoeveel tijd mij
de oplossing van de vraag: mag een willekeurige functie naar
qi\'a ontmkkeld worden, nog kosten kan.

Het onderzoek van de eigenschappen der ij.-functie was het
onderwerp eener Utrechtsche prijsvraag van 1888, waarop
geen antwoorden zijn ingekomen.

HOOFDSTUK 1.

De Functie (x).

§ 2. Abel\'s definitie \') luidt:
1

- e i-f = ^ (X) V".

1 - «j

Wanneer men na ontwikkeling der e-functie

^ (« 1) (w 2)... (w m — 1) , .
vangt door i: ■—!———^—^--v\'\\ dan vindt men :

(p„ (x)= 1 — nx

n!

waarm

k!{n-k)!

een binominaalcoefflcient voorstelt. De ontwikkeling is geldig
voor alle eindige waarden van x, onder de voorwaarde v < 1.
Wordt (fn {oc) gedefinieerd door de vergelijking (2), dan kan
men ?i ook negatief of gebroken nemen, in welk geval <jp„ {x)
geen polynomimn is, maar een reeks, absoluut convergent
voor alle eindige waarden van x en n.
Als nl. alle teekens positief genomen worden, is

6

§ 3. De functie q:,, {oc) kan zeer verschillende vormen aan-
nemen. Drie daarvan laat ik hier volgen; een paar andere
vinden in §§ 15 en 17 een plaats.

a. Vooreerst is cpnix) te schrijven als residu in den vorm
— ^^

p g 1 — < 00 ft\'"\'

zooals onmiddellijk uit de definitie (1) volgt. Op verschillende
wijzen kan men den algemeenen term van (x),

i = {- 1)^

tl

UJ

in twee factoren splitsen, en den eenen factor met den
anderen met t-^ vermenigvuldigen.\' Zijn dan deze factoren
algemeene termen van twee reeksen in t, dan is de
coëfficiënt van P in het product dier reeksen, en dus in residu-
vorm te schrijven.

Stelt men (- 1)^\'
of

p e~ ^ {1 T t)"
dan is qp„ te schrijven als ^-1

Stelt men (- 1)^
of

Ä.\' ^ u

= D"

dan volgt hieruit voor qp,, (x) de vorm ^

n

x^

Splitst men *t"«^ 1 = •( — factoren,

\\ rC J fc!

dan vindt men de residu-vormen

,,.(.)= .....(6)

en

\'n (OC) =

b. Halphen schrijft (p„(£c) in den vorm

d

jdx.

De contrôle door de verg. (2) ligt voor de hand. \'tis me
niet duidelijk, hoe Halphen tot deze uitdrukking gekomen
is. Wellicht door de differentiaalvergelijking van § 22, waar
de vorm (8) van zelf voor den dag komt.
In symbolische schrijfwijze kan (8) vervangen worden door

d

- 1

dx

De beide residu-vormen (6) en (7) leveren deze nieuwe
formules :

d"

-j j
e^^ {t X)" j

(1 O"

± X

i = 0

c. In Gauss\' notatie voor de hypergeometrische reeks is

= .....(14)

V. P 7(3= œ

O C. R. xcv p. 629.

Men zie bv. FORSYTII, Diff. Equations bl. 44.

De algemeene term dier reeks,

«(« 1)....(« 1).... A;)

wordt nl.

en dus, voor (5 = oo,

t 1

k-^l)

conform met (2).
§ 4. Uit (2) volgt deze diff.-verg. i) voor <f^{x):

- X) (p\'„(x}-}-ncf,„(x) = 0, . . (15)
ook te schrijven in den vorm
d

. . (16)

en een bijzonder geval van de diff.-verg. der hypergeome-
trische reeks

Worden nl. «, / en a? vervangen door —n, 1 en dan
gaat deze diff.-verg, over in

^ - I -(1 1? j =

of, voor = 00,

re -j- (1 - X) -{-n^ = 0.
De diff.-verg., waaraan een hypergeometrische reeks F («,(?,
voldoet, heeftin \'t algemeen een tweede oplossing van den vorm

Voor q)n (oc) is echter 7 = 1, zoodat de beide oplossingen
samenvallen. Hieruit is op te maken dat slechts één poly-
nomium of reeks aan de . verg. (15) voldoet. Een direct onder-
zoek bevestigt dit vermoeden. De diff.-verg. (15) laat zjch
op de volgende wijze symbolisch schrijven:

- ♦

1) In hetgeen volgt, zullen difFerentiaalquotienten zoo veel mogelijk door
accenten worden aangegeven.

, 9

X

d

waarin & den operator x ^ voorstelt.

Stelt men hierin

tj = a,n ic™ a™ 1 oj™ 1 2 ic™ ® ....,
dan volgt uit de resulteerende, identiek te vervullen verge-
lijking het stel voorwaarden

m^ a,„ = O ,

(m 2)2 «,„4.3 = {n-m-l) ,

Daar a,„ niet nul kan zijn, is w\'^ = O te stellen. De vierkants-
vergelijking in m, die ook in analoge gevallen optreedt, heeft
hier twee gelijke wortels. De difï.-verg. (15) heeft dus slechts
één oplossing in reeksvorm. De reeks wordt bovendien poly-
nomium, doordat alle a\'s na den factor nul hebben. Het-
zelfde resultaat wordt bereikt, als men aan (15) tracht te
voldoen door een polynomium van den vorm

y = apXP-{- ttp^ixP-\'^ -----[-aix üq.

Substitutie in (15) geeft de voorwaarde p=^n.

§ 5. Met behulp van (15) en (2) zijn nu zeer gemakkelijk
de volgende eigenschappen te contróleeren, die de analogie
met de bolfunctiën al zeer duidelijk in het hcht stellen:

X (X) (a?) w qp„ _ 1 (ar) == O
d

nqj„^l(x) = O,

<IP„ {X) = (x) — Cfj\'n 1 (a;), .

(f\'n (so) = cpn {X) - (1P„_1 {X),.

71

(tl 4- 1) (jp„ 1 {X) -{n-\\-l-x) (x) = x (x),
n (x)-\\-(x- q>\\ ix) = ncp„(x) , .

10

n _ 1 (a?) (a; - n) qp\'« 1 (a?) = {2n - x) (x) , (22)
(a?)-(jp„_i(a;) =ƒ(][„_ 1 . . . (28)

O

(n 1) i (X) - (2w 1 -x)(pu(x) %qf„_i(x) = 0. (24)
Deze eigenschappen hangen natuurlijk onderling op vele
wijzen samen. Ze zijn alle als afgeleiden te beschouwen van
twee grondformules , de difif.-verg. (15) en de recurrente be-
trekking (24). Tweevoudige differentiatie van (24) geeft nl.
een betrekking tusschen (x), {x) en cp\'n(oc);

driemalige toepassing van (15) levert dan de formule (19);
waaruit de overige gemakkelijk volgen. Grootendeels kunnen
ze ook op eenvoudige wijze uit (8) worden afgeleid; zoo ont-
staat (18) bijna onmiddellijk door differentiatie van (8); zoo
vindt men (19) op deze wijze:

K — 1

A

. dx.

(as\'

ydx

(rr» -1 e -

X

W = Y ^^^ 1

Differentiatie der formules (15) tot (24) zou tal van nieuwe
betrekkingen opleveren; ik geef er hier twee, afgeleid door
(15) en (24) A;-maal te differentieeren:

{x) {k-\\-l- X) ix) in - k) <pf(x) = O (25)

en

1) Cf\',, Î1 (ic) - (2w 1 - (X) 4- (W 1 (X)=0. (26)
§ 6. De functie tf,, (x) heeft dergelijke integraal-eigenschap-
pen als de trigonometrische, de Besselsche en de bolfunctiën.
Vermenigvuldigt men het produkt van de beide absoluut
convergente reeksen

11

en

1

--- e 1 -«= 2"\' (p,„ {X) W"

i -U O

met 6!-^, dan vindt men door integratie tusschen O en oo

00 00
^ /* _X ^ — 00 00 r

n—7V7Ï-^ / ^ (l-r) (i-»0 — (ä-)(f„{X) dx.

(J-—\'V) —U) J 0 0 J

O O

Het eerste lid laat zich schrijven als —-—, waaruit deze

1 — uv^

eigenschappen volgen: \')

00

(ï\'« dx = 0, voor min, . . . (27)
»

1.......(28)

Deze eigenschappen komen reeds in de papieren van Abel
voor; ze leeren een functie naar (^„\'s ontwikkelen, als men
weet, dat deze ontioikkeling mogelijk is. Zoo moet b.v. xf^
geschreven kunnen worden in den vorm

x^ = ^^ Aii" cpi (x),.....(29)

O

omdat {x) een polynomium is. Dan worden echter de
coefücienten Aj." gemakkelijk door (27) en (28) bepaald:

00

xy-e-^cpi (X) dx={- 1)\' r •

• O

zooals in § 38 nader wordt uitgewerkt.
Uit (29) volgt nu oók

ƒ e £13" dx = O voor n^m . . . . (31)

\') Waar geen verwarring ontstaan kan, zal ik voortaan dikwijls do functie
<(jn {x) zonder argument schrijven.

12

zoo wn (cc) een polynomium van graad n, en weder n < m is.

§ 7. De formules (27) en (28) volgen ook zeer eenvoudig
uit de difï.-verg. (16).

00 co

I=je-^ (p„,(fndx= - cp,n (x cp\'n) dx =

O O

00

= —\\xe-^ (fdx--e - ^ X/^en polynomium

^ J 71/

1 r

I = — lxe- dx,

O

CD

O

Voor w ^ w moet dus 1=0 zijn. Verder is dan vol-
gens (32)

00

ƒ (fn qp\'» dx=0,

O

of, na partieele integratie,

GD

ƒ e-" (f,^„dx=l

Nog een derde bewijs kan ge
d

everd worden:

^ co„ ix}f e-^dx = a}\\Je-dx-\\-w„e-^ q,^,

00

= I O)\',, Fidx-\\- j\'co„ qp„, dx,
0

O O

X

waann

dx.

13

mm

De integraal in het eerste lid is te schrijven als

A

m — l

{x\'" e-\'\')dx =

. dx.

1 — 1

Bij uitwerking wordt de vorm

polynomiun^ vermenigvuldigd met
voor de grenzen O en oo, zoodat

00 GC 00

ƒ e-^ (f„, dx = — ƒ (ü\'n Pi dx = ƒ Ps cïic =....

O 0 0

00

= V„,dX is.

O

Hierin is nu een m-voudige integraal, tusschen de grenzen

d V"

^J (x\'"e-^), welke inte-

QQlIl ß -X

graal de waarde ^ heeft. Is nu w < m, dan is O,

co

dus ook ƒ co„ (x) e -®(f(x) dx —O,

O

waaruit (27) volgt, door voor to„ (x) achtereenvolgens x",

.... te nemen.

Is n = m dan is w = k, een constante, dus
00

jiom = 1)™ k.

\' O

co

stelt men (a?) = o;\'",dan isk=m!en je-\'\'x"\'q„,dx={-l)""m!,

O

CO

terwijl voor w„, = k=(— 1)"\' wordt en ƒ e qp,«® da? = 1.

O

§ 8. De functie qp« (x) is het eenige polynomium van graad

00

w, dat den integraal / x^\'q.\'^dx voor m < wdoet verdwijnen.

jl U

Zij ü nl. een polynomium, dat deze eigenschap ook bezitten zou.

u

co

X

00

= Q2,

c

ƒ

zoodat dus

00

Nu gaat je-^ Q x\'"- dx, na partieele integratie, over in

X

co

X\'"  m je^^ ic\'»-^ dx =

"x

= X\'" Qi m Q2 ____ m/ e-® 1.

Voor alle waarden m = O m = 1 .... m — n — 1 moet
deze vorm nul zijn, als = O gesteld is. Dus moeten, voor

x = 0, alle vormen Qi, Q^, .....Q» nul worden. Het is

gemakkelijk in te zien, dat alle Q\'s tegelijk met Q van graad
n zijn. Bevatte een term x\'^ {k <n), dan zou deze term,
na /i;-voudiga differentiatie, in Q„ _ ^ een\' term van graad nul
geven, die _ ^ verhinderen zou, voor £c = O nul te worden.
Derhalve is Q„ = C x", waarin C een constante.

Dus is e-® Q„ = C X"

d

Q = C\'

Q C" {X). f^

Het bewijs kan ook aldus geleverd worden \'). Als cp„ (x) en
ƒ! Q beide den integraal ƒ e-® co,« dx nul maken, dan doet dat

ook de som qp„ Ä Q. Nu is Ä altijd zoo te kiezen, dat

\') Cf. JOKDAN, Cours d\'analyso. 1883. Tomo II p. 248.

15

cpn-\\-kQ van graad n — 1 wordt. Kiest men =

oc

[m = n— 1), dan zou dus ƒ dx nul moeten zijn.

O

Daar nu e-^ nergens van teeken verandert, moet overal
tusschen de grenzen O en oo

öj^m = O zijn,

d. i. (Om = O

of Q = C\'^ <,.„.

§ 9. De wortels van (x) zijn alle reëel, positief en onder-
hng verschillend.

Had een\' negatieven of een stel imaginaire wortels, dan
was q)„ voor te stellen door M N, waarin W = x c of
= {x — af ß"- en dus N van graad < n. Ifu is (x — af f-
altijd positief, terwijl x-\\-c positief is, als x tusschen de
grenzen O en co blijft. M verandert derhalve tusschen deze gren-
zen niet van teeken. Kiest men nu w (a?) = N, dan wordt (32)

ƒ dx = %

een ongerijmdheid, omdat geen der integraal-elementen van
teeken verandert.

Een tweede bewijs is aldus te geven. Als bijzonder geval
van (32) is

(p„ dx — Q,

waaruit volgt, dat qp,, van teeken verandert voor een waarde
x=a^ liggende tusschen O en oo. Men mag derhalve stellen:

(]P„ {x) = {x — a) {x).
Echter is, ook volgens (32),

<JU

ƒ e-^ {x — a) {x) dx — 0

O

00

e-^ [x—af (p„ (x) dx = 0 ,

16

uit welke verg, nu volgt, dat ook {x) voor een reëele
positieve waarde x = b van teeken verandert. Ten slotte is
{x) = G [x — a){x — h) .... {x — l), waarin a, b, .... l alle
reëel en positief zijn.

De functie (x) kan ook geen veelvoudige wortels hebben.
Was a er een, dan golden de betrekkingen

qp„ (a) ^ O en q>\\ {a) = 0.

Volgens de diff.-verg. (15) zou dan ook (a), dus ook
(a), dus ten slotte (^w (a) O moeten zijn, een ongerijmd-
heid , daar (a) = (^w {x) = { — 1)« is.
De recurrente betrekldng (24) leert,, dat de functiën te
beschouwen zijn als Sturmsche functiën: geen twee opeen-
volgende cp\'s kunnen tegelijkertijd nul worden; en, verdwijnt
cp„ (x), dan zijn (x) enqp^ i (x) van tegengesteld teeken.
Nu zijn voor x = O alle c^\'s positief; voor x= 00 zijn ze
beurtelings positief en negatief. Derhalve vertoont de rij der
Sturmsche functiën

(f^ {x), q>n-i{x),----cps (x), qpi (x), qo (x)

voor = O en voor x = 00 resp. nul en n variaties, waaruit
weder volgt, dat q)„ (x) n reëele, positieve wortels heeft.

§ 10.\' Beschouwt men X = qp„ [x) als eerste, Xi = {x)
als tweede Sturmsche functie, dan leert de verg. (21) dat
X2= — de derde wordt. Stelt men in de verg. (26)

^ = 1 en vervangt men w 1 door n,n — 1, &c, dan blijkt uit

n(x)-{-(x ~2n-\\- l)qp\'„_i (£c)  (a;) = 0,

(W-1) cp\'n-l (X) {x-2n-l) qp\'„_2 (X) (W-1) = O,

X3 r= _ 2 (a?),
Xi = — cfj\'„-z(x) ,

X. =

de verdere Sturmsche functiën van qp« (x) zijn. Te beginnen

17

bij X2 komen zij echter alle, behoudens het teeken, ook bij
qi„-i voor, die tot Sturmsche reeks heeft:

<jp„_i (x), qp\'„_i (x), - (jp\'„_2 (oc), (fj\\,-s(x), - (x), etc.

vind ik, na vermenigvuldiging met

Voor n = 2, 3, 4, 5
den factor n/,

X - 4 x 2

Xi= - 6x - 6

x-}-2
- 2

X 16 -t- 72 _ 96 4- 24

Xi - 12 x\'- 36x - 24

X3 = x" - 6x 6

X3 == X - 2

2

X =-x\' 2öx^ - 200x^ 600^^2 _ 600a; 120
Xi = - 20 x^ ~ 120 x^ -i- 240x - 120

Xg = - ar\' 12 - 36 4- 24

X3= 6 a;- 6

X _ 2

X5 = - 2.

De beteekenis van deze nauwe overeenstemming wordt
duidelijker, zoo men niet qp„_i met cp,, maar met qp\'„ vergelijkt.

en (]p\'„ hebben beide- een serie van n — 1 Sturmsche
functiën, die behoudens het teeken, en te beginnen bij Xi,
volkomen identisch zijn. Bepaalt men het aantal variaties
voor X = a en x=b, dan kan dit aantal voor (p\'„ en
alleen door toedoen van X verschillen, d. i. hoogstens één
verschillen: Indien tusschen twee grenzen a en ö wortels
van liggen en q van cpn-ij dan verschillen de getallen
P en q hoogstens 1.

Uit de vergelijking (19) volgt echter een belangrijker eigen-

2

18

schap omtrent de wortels van (x) = 0. Zijn a en b opeen-
volgende wortels van q)„ (x) — O, dan is

« qp\'« («) ^ <fn-i (a) = O

en

b (b) (b) = 0.

Daar a, b en n positief zijn, en volgens het theorema van
Rolle (a) en cp\',, (b) van teeken verschillen, hebben ook
(a) en (&) verschillend teeken, zoodat de verge-
lijking g)„_i (x) = o;een oneven aantal wortels heeft tusschen
elk paar opeenvolgende wortels van g)„ (x) = O, Daar qp„ (x)
n — 1 paren opeenvolgende wortels heeft, kan dit oneven
aantal niet anders dan één zijn:

Tusschen twee opeenvolgende wortels der vergelijking
(x) — O Ugt één wortel der verg. (jp„_i (ic) = 0. En dus
ook, vice versa: tusschen twee opeenvolgende wortels van
q)„ (x) = O ligt één wortel van 9,, (a;) = O, waarvan der-
halve voor n — 2 wortels grenzen gevonden zijn.

De grootste wortel^ van (x) = O mist de bovengrens,
de kleinste ligt tusschen O en 1. Dit laatste volgt uit het
feit, dat alle wortels positief zijn, in verband met de waarde
x=l die aan 91 {x) = O voldoet.

Ik laat hier voor w = 1, 2, 3, 4 de wortels van 9,, {x) = O
volgen.

19

X (x) = (71-1) qp\'„ {x) - 71 qp\'„_i {x)

en

X {x) = {71-2) (x) - 71 -i(x),

waaruit, geheel als boven voor q>„ (x) werd gedaan, bewezen
wordt, dat steeds één wortel van (p\'„_i en ^\'\'„-i gelegen
is tusschen twee opeenvolgende wortels van qp\'„, resp.
Daar bovendien qp\'s den wortel x = 2 en qp"s den wortel
X = 3 heeft, is men gerechtigd tot dit besluit:

Tusschen twee opeenvolgende wortels\', maxima en inflexie-
punten van y = (f>„ (x) ligt resp. één wortel, één maximum,
één inflexiepunt van ?/= (jp„ _ i (aj). „Maximum" is hier op
te vatten als „maximum of minimum". En: qp„ (x) heeft
stellig één wortel, één maximum, één inflexiepunt resp. voor
X <1, X <2, X <S.

§ 11. In deze paragraaf voeg ik nog enkele eigenschappen
der (^-functie bijeen.
a. Uit de formule (18) volgt

= <pi «f\'s
(jp\'a = <P3 «ï\'\'»

(p\'n = (jptt qp\'» -f 1 )

«

zoodat dus cf/j — is: i of, daar = — 1 = — qpo is,
qi(x) = -(p\\ ,{x).....\' (33)

O

b. Uit (17) volgt

i (fi-i = — X — (jp\'i,

ft » u

dus 2: i (fi_i= — X 2: qj\'U — i: qp\'i.

1 1 1

Formule (83) maakt van het tweede lid x cp\'"» 1 -f- 1,
terwijl men ten slotte, door (17) te differentieeren, deze be-
trekking vindt:

1 i f i _ 1 (£c) = - i(x)- (n 1) q>\\ (x). . (34)

20

Xu is

»

—nq>n-\\ {n— l)()p„_2-|- .... 2g)i 90 =
^ l)(jP„_i4- (w-2)qp„_2 .... qpi

_ 1  ()P„ _ 3 . . . . (jpi (jpo =

\' n — 1 n — 1 n — 1

= ^ i (fi ^ (fi = ^ i Cfi —
1 0 1

zoodat. (34) 00k aldus kan geschreven worden:

K—1

^ i (fi (x) = - i (x) - n (x). . . (35)

c. Herhaalde toepassing van (19) geeft

cpn — qjo = X 2, -7-,
1 I\'

of .....(36)

1 00

d.i. =   . . (37)

lij X

O

u J

waarin 0 — 2"

1 ^

cl. De recurrente betrekking (24),

(n 1) 1 (x) - (2n -f 1 - x) (x) n qp„-i (a;) = O ,

is voor het argument ^ natuurlijk

(w4-1) i (z) - {2n 1- z)  n (z) = 0.

Trekt men de tweede verg., vermenigvuldigd met (x),
af van de eerste, vermenigvuldigd met rp„ (z), dan vindt men

{n -f 1) 1 (x) cp^ (z) - qp„ (x) (p^ i (0)] =(z-x) (p„ (x) (p,, (s)

n [cpn {oc) q,n -1 - (fn - l (x) (f „ (z)] ,

zoodat

u *

{z - x)2: cp„ (x) (Pn (z} = (n-lrl)

O

is.

21

§ 12. De functie qp met ander argument.
Uit de verg. (2) volgt

cp„(rx) = 2:(- ly

O

dus, volgens (29),

i — u C11 \\ ^ =\' C i \\

» = 0 ^- = 0 \\ j
Nu geldt* algemeen de betrekking

i = ti t = i lc = n i=:H

Un = 2: 2: Uii = Um

«30 «31 «23

w„o ««1 ... «««•

«SC aa

Cf. dx f 3 dij = dy / z dx.

Zoodat {rx) = - 1)^ g^i {x) - 1)\'

A- = O i-=k

waann

i = v.

= r^ = r^- [lyi- ry-^ . (39)

Ten slotte wordt dus

H /" ï)

,f„(rx) = 2: I . . . (40)

O J

In de keus van r is men geheel vrij.

a. r=:2. cf.(2x) = {-\\y .

in symbolische notatie (2 (f) - 1)»,........(41)

waarin dan (j)^ te vervangen is door cp^ (x).

n f

symbohsch (2 - (f,)» . . . °..........(42)

(43)

22

(PH

0 V.

2\'>„ (T = (1 f )" •

ik —i

IV\'

1 - -J n

\'f ] - - 1 ■ . ,

\\. Q J

Q" fu

s lj 1

of ^

De laatste twee formules hadden in den vorm

(e - ly

(s - ly {oc) = S»

in § 11 opgenomen kunnen worden.

§ 13. Eigenschappen der coefficienten B?.
Voor r — \\ verdwijnen natuurlijk alle B\'s, behalve B", die
= 1 is. Ligt r tusschen O en 1, dan zijn Ê^lle B\'s positief;
voor r < O of > 1 hebben ze afwisselende teekens.

Verder gelden, zooals licht na te gaan is, deze eigenschappen:

K = r« (1 - B\'o\' = (1 - r)«

B: = r«

ric (1 _ _ y ^ ^ 1. (47)

Eindelijk is Kn r = Kn r-l.......(48)

TT X u- X. ^rn r ■ i i-m r (tl — m — T-j- 1) ,

Het quotiënt ^ is nl. gelijk aan li_r){rn r) \'

Hierin wordt ondersteld rn-]-r in 1 of r < 1.

23

Voor r > 1 geldt de formule (48) echter ook. Dan toch zijn
Blr r en beide = 0.

§ 14. Additie-theorema.
Uit de definitie voor (f„ (x) volgt:

^ v» (x ij)

1

g 1-v

■ \\-v

= (1 - -y) i V» qp„ {x) i (y).

o o

Derhalve is

(JP« (a? 2/) = [<]p« («) (Pn-i {x) qpi {]/) ()P„_ 2 {x) (pçi {y)-\\-....
-----hfjPlCx) (Pu-l(ï/) (fn{y)] -

- _1 {x) H- qp„_2 {x) 91 (2/) ... qpi {x) qp„_2 {V) qp«-l (2/)]. (49)
Deze formule moet voor 71 = 1 gewijzigd worden tot

(x-\\-ij) = q>i (x) qpi (y) - 1.
Uit (49) is nog af te leiden:

n

2 q>i(x-\\-y) = cpn (x) H- qp„ _ 1 (x) cpi (y) ----

.... qpi (a?) <p„_i (y) qp„ (y). . . . (50)
§ 15. Ik geef tot besluit van dit hoofdstuk nog een paar
vormen voor 9,, (x), nl. een\' bepaalden integraal en een\'
determinant-vorm.

In het tweede deel van Cauchy\'s „Exercices de Mathéma-
tiques" (1827) komen op p. 146 deze integralen voor:

jla-ir)-\'" -\\-{a-\\-ir) ■

dr =

2
n

nn ,

y^ rx

24

waarin w, a en m geheele getallen voorstellen, a en m posi-
tief, terwijl ook positief is, en i =

Stelt men a = lenm = w-[-l, dan gaat, in verband met
(8), (51) over in

00

{x)= ƒ j (1 «>)-»-! (1 - I r"

CD

O

waaruit door optelling volgt:

2n e-" qj„ (x) = / (1 4- r" e\' s e«»-^ -f

0

/ (1 — 3 . . . (52)

Vervangt men in den tweeden integraal r door — r, dan
wordt (52) met behulp der formule

n<Jt .• ■

2:r ix) = ^^ r\' dr. . . (53)

— w

Scheidt men hierin na substitutie van r — cot ß het reëele
van het imaginaire deel, dan vindt men

. . ^ Jsin{x cot ß{n ^ 1)} ß
^ J sin ß

_ Jcos {X cot ß (n 1)} ß

sin ß

§ 16. Aan den integraalvorm (54) zijn gemakkelijk de
eigenschappen van § 5 te toetsen.

25

Differentiatie van

(.) ^  /"  (65)

O \'

naar geeft nl.

O

fcos \\xcot§

cos» 3(3 =

SlTf §

rcos lx cot B 4-(n-{-1) (i\\ ^ /c-x

e^j -. • (56)

De integraal in het tweede lid treedt ook op bij de differen-
tiatie naar x van (54), zoodat

271 (p\',, 1 (x) = 2n e (e-^ (jp\'„ {x) - qp„ (a?))

ot

<f\'n l{x)= (p\'n{x)-^q>n{x). .... (18)

Uit de formule (54) volgt verder, zoo men onder het integraal-

teeken den factor sin^ [i cos® (3 = 1 invoert:
it

2n e-^ (x)=^ — j sin x cot ^ {n l) ^ j cos"(3 dcos^

O

•sin [x cot§ (w 1)

sin [S

of, na partieele integratie van den eersten der twee integralen

J Sm Ij

O

7f

j cos \\xcot ^^ (n 1) I cos» i d/3 -

O

_ J{cosxcot^f(n l)§}

n ij sm^ p \' \'

26

Telt men in het tweede lid de eerste twee integralen op,
en vervangt men den derden door

X

e {(p\'n — cp») ,

n-\\-l

dan komt er, met weglating van den gemeenschappelijken
factor 2n e-%

(n-}- 1 -X)cpn = (n l)cpn l - Oe (p\'n. . . (20)

Bij dit bewijs zij opgemerkt, dat men het recht heeft, den
bij de partieele integratie van

j X cot ^ {n l) cosl ^ d cos ^

optredenden term

COS" ^ ^ sin cot /3 (w 1) (5

gelijk aan nul te stellen omdat de uit cos" ^ voortvloeiende
factor (— !)" ! opgeheven wordt door een\' factor (— 1)" ^ ,
ontstaande uit

sin \\x cot ^ {n 1) ^ \\ ,
terwijl de functie xcotjS een periode TT heeft en dus

(x cot = (x cot (3)^ = O
is, ook al worden de beide leden dezer vergelijking oo.

De beide formules.(18) en (20) zijn voldoende, om alle
betrekkingen van § 5 op te leveren.

Nog volgt uit vergelijking van (55) met (56): Herhaalde
differentiatie van (55) brengt steeds een\' factor sin (3 in den
noemer van de breuk onder het integraalteeken; in den teller
treden beurtelings sinussen en cosinussen op van een argu-
ment, dat voortdurend met § afneemt. Naarmate n dus
oneven of even is, wordt (^c), afgezien van constante,
factoren, gelijk aan

n ./r

rsinCxcotS) ♦ , ■, ^ ^ r cos (x cot 3) ..

\' I / sil 4 ^^ ^

sin

27

welke integralen, geschreven in den vorm

n

O

en

7t

~ (ft 2) 4  ^

O

zuivere functiën van cot (3 zijn, functiën derhalve met de
periode n. De beide integralen, en daarmede {x) zijn

nu nul, waaruit volgt, dat de functie (p„ i(x), bepaald door
(55), een polynomium van graad w 1 in £c is.

§ 17. De determinantvorm volgt uit de formule (31):

00

ƒ qp» (x) x\'" dx — O voor m < w.

O

Schrijft men q>„ (x) als

Ao X" Al x"-^ .... A,._ 1 £C 4- A„
en neemt men voor m resp. O, 1,2, ____n — 1, dan treden

er steeds integralen van den vorm ƒ e-" x" dx op, waarvan

O

de waarde r! is. Derhalve geldt het stel vergelijkingen:
cf„{x)=A,x" -f-Ai-a;«-! ..-}-A„_i A„,
O = A,n! Ai(w-1)! .. A„_i 1! A,.,
O =A„(w 1)! 4-AiW.\' .. A,._i2!-l-A„l!,

N

waaruit volgt Aq = (x)

M

en dus

<,,.(a:) = Ao|- = (-l)»i.....(57)

28

Hierin is M de determinant

en N de sub-determinant van Omgekeerd volgt uit (57)
weer de eigenschap (31). De noemer N is nl. een constante,
terwijl M bij substitutie in den integraal
00

ƒ e-\'\' cpn(x) x"\' dx

O

een determinant wordt, die voor min twee gelijke rijen heeft.

HOOFDSTUK II.

De Functie ip,, (x).

§ 18. De difFerentiaalverg. voor cp,, {x) heeft nog een tweede
particuliere oplossing, die ik i//„ {x) zal noemen, en die door
een bekende methode uit qp„ (x) wordt afgeleid.
Voor qp„ (x) geldt

re (1 - a?) 71 = 0.
Evenzoo voor (x):

X xp"„ (1 - ic) v/„ n xp„ = 0.
Elimineert men n uit deze twee vergelijkingen, dan vindt men:

log. (yj,, <jj\'„ — (jp„ v^\'«) = 1 — ^

dx ^ ^ ^ ^

g-r

dus !//„ q/» — q>„ iff\'„ =C\' — ,

X

A

dx

En derhalve is

X

rPn (X) = q>n f dx.....(58)

-GD

een tweede particuliere oplossing der diff.-verg (15).

Deze integraal kan herleid worden tot den integraal-
logarithmus.

{x) heeft 71 enkelvoudige, positieve wortels «i «2... . «„.
Dus IS _op deze wijze in breuken te ontbinden:

X qn

1 ^ I V I x"

~ \'T^ TZ--To

X (jP„2 X \\ {X — «;)- 1 X — a; ■

30

Hierin is Ai =
en Bi =

(x - ft;)\'
dx \' X cp\\

zoo q)„ (x) = Ri(x — cci) gesteld wordt.
Door partieele integratie vindt men:

X X

f Ai ^ ^ dx = - Ai  f dx,

J (X- a,y X - Ui ^ J X - Ui \'

- 00

zoodat

XX X ■

J Xq>„^ J X ^x - Ui ^ ij X - Ui

- 00 • - 00 - 00

wordt.

Stelt men qp„ = Ri(x - «;)in de diff.-verg. (15), dan blijkt
R; te voldoen aan

xix - Ai) R"i (1 - X) (x - «O R\'i 2£c R\'i (1 - a;) R;

—«0 Ri = 0,

welke verg. voor x = ui overgaat in:

2 R\'; R; — a; R;.

X = Ui

A; Bi 0.

f^ax = f^dx-e^I^\'
J X cp/ J X \\ X — Ui

en ten slotte

^n (x) = (JTV ƒ dx = dx-i- e\' (x),. (59)

— 00 — oo

waarin \'/„ (x) een pplynomium in x van graad n — 1 is, be-
paald door

I .......(60)

9« 1 ^^^ — «i ^ ^

31

Daar uit deze formule voor A; de waarde - volgt,

en ool^

X = Ui . «i 9\',, («;) <jp\'„ (cci)

is, moet voor -/n (x) deze relatie gelden :

X» («0 =

......

§ 19. De formule (58) definieert de functie (x) voor
alle negatieve waarden van x; voor alle positieve ook, zoo
men dan de principale waarde van den integraal neemt. Voor
= 0 is !/;„ (£c) onbepaald, terwijl op de volgende wijze be-
wezen kan worden, dat t/;„(— 00) = O is.

• t//„(- 00)= Urn (- A) =

a =

- a a
_ ^

X y A

T.. (- i») > (- A)
1_ 1

is T/^„(-oo)< —gi— fe-^dx,

A = 00 J\\. (fn \\— -^J J

CD

,dus, in absolute waarde.

1

00) < lim

A = 00 A(]p„(-A)

<ï.i. ,/,„(- 00) = O.......(62)

§ 20. Het resultaat (58) is ook aldus te bereiken. De formule
(25) geeft voor k = n, en als door y vervangen wordt,
X 2/(» 3) (w -I- 1 _ £C) ?/(» 1) = 0,

of, als particuliere oplossing.

y{,l 1) —

32

dus
en

- X

X

.....(64)

- 00

X X

ƒ 6\' ë\' C

— dz=--)- )

2 X J Z"

- 00

stelt in staat, eiken term van (64), na ontwikkeling van
het hinomium (^ — x)" terug te voeren tot den int.-log. Na
herleiding zal men vinden:

— 00 _oo

waarin 2I„ een polynomium van den n«^®» graad voorstelt, dat
juist (jp„ (x) blijkt te zijn, en 7r„ een polynomium van den
graad n—1. Daar qp« en aan de diff.-verg. (15) voldoen,
volgt uit (59)\' een diff.-verg. voor , die na substitutie van

X

v\'« = y/n X»  f"

en

X

J Jj X

en na eenige herleiding de volgende gedaante aanneemt:

  = . (65)

\') Cf. Stükji, Cours d\'Analyse, 1884. Tome II p. 91.

X

38

Natuurlijk vindt men uit

^ = qp,. ƒ
-00

dat 7r„ ook aan deze diff.-verg. moet voldoen. Gemakkelijk
overtuigt men zich echter, dat de verg. (65) slechts één op-
lossing in den vorm van een polynomium van graad n — 1
\\ieett. Hieruit volgt de identiteit van 7r,i en De loeide
functiën mogen, doordat de vergelijking (65) een tweede lid
heeft, zelfs niet in een\' constanten factor verschillen.
Uit een en ander volgt nu deze derde vorm voor :

= ......(64,

V« (pc)

§ 21. In § 18 heb ik den vorm (59) uit (58) afgeleid. Men
kan het proces ook omkeeren.
De oplossingen ijx =

en

r G\'

dx

van de diff.-verg. (15) zijn gebonden door de relatie

waarin C een constante. Dus, na substitutie van yx en 2/3,

(<fn tn - qp\'. X« 1P» X") = C = 1, . . (66)
zooals uit het geval x = 0 blijkt. Of ook

dx xcpj X \'

waarin P =

qp»

Deze vergelijking komt eigenlijk reeds op bl. 29 voor in
den vorm

J:„ _ 1 1

X (pj X ^ i {X — Uif X — ai\'

3

34

„ « A •

9« 1 07 — «i

dV

= 2

\\{X — «if \'

De algemeene oplossing is, zoo k een willekeurige constante
voorstelt:

J \\_X X ]

- go

V\'« = ^ qp« 4- 9« I dx.

J ^.qp«

Daar nu xp^ (— oo) = O moet zijn, is k = 0.

Eindelijk kan de oplossing (59) gevonden worden door een
methode, die van algemeene toepassing is op die diff.-verge-
lijkingen der tweede orde, waarbij de vierkantsvergelijking
in m — Vergelijk § 4, bl. 9 — geen twee verschillende wortels
heeft, dus geen twee verschillende reeksen of polynomia levert.
Men vergelijke Forsyth\'s Diff. Equations, Ex. 2 van bl. 137.
Zij y=.U(p„-\\-io de tweede oplossing der diff.-verg. (15),
waarin u en w twee nader te bepalen functiën van x.
Substitutie van en y" in (15) geeft een lange diff-verg.,

die men vereenvoudigt door de opmerking, dat ook op-
lossing is, zoodat de termen met u wegvallen, en door de
termen met (p^ ook gelijk aan nul te stellen, d. i. u te laten
voldoen aan de verg.

xu" -X) u\' = 0.
De oplossing hiervan is

w = Ci C / — dx,
\' J X

waarin C en Ci willekeurige constanten.

Er blijft nu\'een diff.-verg. der 2« orde in w over, die. men

door de substitutie\' w = over doet gaan in

= . . (67)

35

Is uit deze verg. als polynomium of reeks gevonden —
natuurlijk zoekt men slechts een particuliere oplossing — dan
is de gevraagde algemeene oplossing der verg. (15)

y = Cl (p„-\\-G cp„ dx-\\-Ce\' xn,
J X

of, in de hier gebruikte notatie,

?/ = Cl (jp„ C Ipn.
§ 22. In de tweede editie van Forsyth\'s Differential
Equations komen twee vergelijkingen voor, waarvan (15) een
bijzonder geval is. De eerste (F. bl. 184),

X y" -[- (w ax-\\- [5£c) y\' (m/5 cï(3 £c) ^ = O,

heeft tot particuliere oplossingen

d

«1 — 1

yi = e-

.dx .

A\'

dx.

2/2

Daar «, ß, m en n hier resp. O, - 1, —n en 1 of
— 1, 0, 1 -h en —n zijn, worden de beide particuliere
oplossingen

en

d

2/3 =

waarvoor men, bij behoorlijke bepaling der constanten — zie
verg. (63) — , i}i„ (a?) mag schrijven.
De tweede (F. bl. 236),

(«3 -f h X) y" («1 öi a?) y\' -f- («o h x) ?/ = O,
heeft onder de voorwaarde

ai bi — a^bi = b^^
een particuhere oplossing van den vorm

y =j du,

p

36

, /ttttn f «2 «1 w «o t

waann log (VU) = / ^^—^^^—" du

en

u M® Ö1 W &0,

terwijl en g bepaald worden door de conditie, dat voor
ii = p Qwu — q e«^VU —O moet zijn.
In verg. (15) hebben «o, öo, «i, «3 en Ö3 de waarden
w, 0, 1, — 1, O en 1, zoodat aan de voorwaarde

«1 — CLihi =

voldaan is! U is hier u^ — u, en dus is
zoodat de oplossing dezen vorm aanneemt:

welke vorm door de substitutie iix — z onmiddellijk in (64)
overgaat.

§ 23. De formule (64) mag gedifferentieerd worden, zoo
men slechts rekening houdt met de discontinuïteit der functie
onder het integraalteeken voor z = {) qiv x positief, en met
het feit, dat één der grenzen 00 is. Wat het laatste betreft,
gemakkelijk is aan te toonen — vergelijk Jordan, Cours
d\'analyse II, p. 160 - dat

lim

p = CD

is. Het eerste lid dezer vergelijking toch wordt, daar zyp
is, grooter, als men er voor in de plaats stelt

— P

1 fe-iz-xT-^^^

^ p J

t—00

= Urn v»-i {-P)^

» = 00 p

en dat ip (— 00) = O is, is reeds op bl. 31 bewezen.

\') Zie Spitzer, Studien über lineare Differentialgl. Wien 1860.

37

Wat nu de discontinuiteit aangaat, voor positieve waarden
van X is ip„ (x) door de principale waarde van den integraal
gedefinieerd:

=[ ƒ   ï ci.;

— 00  s

Deze beide stukken bevatten geen discontinuïteiten; zij zelf
en dus ook hun som mogen gedifferentieerd worden. Yoert
men de differentiatie van (64) uit, dan vindt men

er

^ {z-xy-^ {z-{z-x)] dz^

— -^n-l {X) — v^» (a)

X

of a; xp\'n = n (i/;,. - .......(68)

Deze eigenschap is analoog met de formule (19). Voor 9,, en
geldt bovendien dezelfde diff.-verg., zoodat het stél formules
{15) tot (24) ook op i//„ va7i toepassing is.
In \'t bijzonder releveer ik de recurrente betrekking

(% l)t/;„ i-(2« l-a?)r/,„-f • (69)

die nu, met behulp van (59), ook voor j(„ dezelfde recurrente
betrekking oplevert:

(n-\\-l)xn i-{2n-^l-x)xn nxn_i = 0. . (70)
Het polynomium jj,. is van graad w — 1; 3(1 is dus een constante,
die krachtens de formule (65) de waarde 1 moet hebben.
Met behulp van (70) vindt men nu:

38

terwijl door middel der formule (65) voor de coefficien-
ten van

gevonden wordt:

— 1)! n

(72)

(w-3)! n{2n-2)

/ _ / i y. _ -t - n^ - ^n^ 3n 18

enz.

§ 24. De diif.-verg. (65) en de recurrente betrekking (70)
eindelijk geven voor jj,, een dergelijk stel eigenschappen, als
in § 5 voor (p„ gevonden zijn , en die ik hier zonder bewijs
nederschrijf:

. 1 ,
\'/»=X«-1-X»- - f n >

n Xn-\\ n x\'n -\\-(oc- n) 9 „ =0 , ) (73)
CPn = {n l){Xn l - 7.n)>

X — 2n — 1

l\'n <F„) = {n -f 1) (x„ 1 W -1).

X —71

De coefficienten van jf„,

k(j, ki, .... kn _ 1,

zijn afwisselend positief en negatief; h is steeds positief.
Het bewijs dezer stelling wordt, door de sluitrede van n op
« 1, getrokken uit de vierde formule van (73),

— I ^ / , 1

3C„ i — X» -h ^ ^ X » -t- ^^ 1 T»:

in verband met den vorm van , en van b.v. xa en Gevolg
er van is, dat de rij der Sturmsche functiën
X») X»-ij •••• Xo

39

geen variaties vertoont voor x = 0, en w — 1 voor a? = oo.
Alle wortels van zijn derhalve reëel en positief.

§ 25. De functie is .op de volgende wijze in (p„ uit te
drukken:

O

Immers levert. qp„ — (pn{x) bij deeling door een poly-
nomium op, dat zoowel in x als in z van graad w — 1 is.
Daar

00

z^ dz z= k!

ƒ

O

is, wordt een polynomium in x van graad n—1.
De formule (74) is dus bewezen — vergelijk het geval van
TTn in § 20 — zoo het tweede lid blijkt te voldoen aan de diff.-
verg. (65). Ik schrijf deze in den vorm

^ (a? yfn) {n 1) y,, 2 e^ = O. . (75)

Stelt men in (74) x = z-\\-t, dan is itMr x^^ K—\'t

X

/Qt

— [rpn (OC) - (Pn (X - f)] dt

-GD

dus

X

f e\'

xe\'x\\= e\'-e^<pn(oo) -j- [qp„(^)-qPH(a?-<) - (p\'n {x) 9\'„(a?-0] dt

— 00

en, na eenige herleiding,

^ %\'n) {n 1) x» 2 q>\'„ =

X

f e\'

^ - ne\' J — [-n(p„{x) n(f„ix-t)-cp\'„{x) (p\\,{x-t)
-00

X cp\'„ (x) — X (x—t)—x (x) 4- X {X — dt =

X

= - w 4-Je\' (x-t)- cp\\ (x-t)] dt = -ne^-}-ne\' = 0.

40

Immers is

« X

ƒe\' {x-t)dt= ~ (0) f Je\' (x -1) dt.

— 00 _03

Ook is nu anders voor te stellen.

X

Daar nl. de integraal j-^ dz zeer gemakkelijk wordt getrans-
— 00

00

formeerd in ^ / ~— dz, geeft de substitutie van (74) in (59):

j CC 2

O

00

,p„(x) = e^ f^ cpA^)dz.....(76)

J 00 — z

O

De formule (74) geeft, by directe integratie voor het geval
X = O\'

Zoo vindt men, door (74) te differentieeren naar x, en ver-
volgens het geval x — O over ^ te integreeren:

2.3

71

l3j

Een aanvulling van (72).

Deze waarden kunnen gemakkelijk geverifieerd worden door
de vierde formule van (73), die na differentiatie voor x = 0
de betrekkingen geeft

1) Z «-M (0) = (n 1) X «(0) 9 „ (0)
(71 1) i (0) - 2) (0) q>\\(0)
(71 -I- 1) i (0) = (71 3) y-,, (0) (0)

Eindelijk geeft\'(60) de relatie

(107)

41

§ 26. Het polynomium ^n moet op deze wijze geschreven
kunnen worden:

«—1

Xn = ao a{(pi......(79)

Differentieert men tweemaal, en substitueert men , ^\'n en
in de diff.-verg. (65), dan vindt men

(W 1) Oo {(W 1) (Pi (1 -f X) cp\'i £C 2 = O,

of, met behulp van (33),

(n l)ao ^^ aA{n 1)

1 O

x is door de diff.-verg. (15) hieruit te elimineeren, terwijl

de formule (19) de verg. ten slotte doet overgaan in de identiek

te vervullen voorwaarde
11—1

waaruit men vindt:

(?i 1) «0 = 2 4- 2 üi
(n ï -t- 1) «i = 2 2 (e 1) «i i
1

zoodat

2\'

3w-4

««-3 =

n {n — 1)

n{n-l)

_ 5 n^ - 25 w 32
n{n-l) (w-2)

_ 2 (3 n^ - 19 w 32)
n{n-l){n-2) \'

enz., en b. v.

2 2 1 1
JJ4 (a?) -f 91 {x) -}- ^ 92 {x) ^ 93 {x)

42

is. Daar in (80) a„ i, w en i positieve grootheden zijn, heb-
ben alle a\'s positieve waarden.
Uit (79) en (32) volgt nog

ƒ

e-® Xm q)ndx= O voor m ^ n,
uit (80) " • l . . (81)

O (

00

§ 27. De int.-log. in verg. (59) heeft een oneindig element
voor ^ = O, zoo X positief is. Ik heb daarom x door — x
vervangen en ook de integraalvariabelen van teeken ver-
anderd:

J 2 f\'«(-£C) (p„(-x)J l

De beide integralen worden nu niet meer, voor x positief,
oneindig. De functie q)„i-~z) heeft slechts positieve termen,
die ik alle kleiner maak, door de binomiaal-coefflcienten weg
te laten. Dan is dus

<pA-oc) y .... ^

of

I (pn i-x) |„=oo > ,

derhalve

1

9« (- X)

d. i. eindig. Verder is

x , x a

zoo A voldoet^ aan < A < oo. Uit < A (in den eersten
integraal)
is) volgt

/ ^ /

3 > ^

43

a a

A—a?V\' f ,

dz.

A J J z

ƒ& —" (z—icV\'

—I dz kan door den factor

X

(J^_^

zoo klein gemaakt worden, als men wil; de factor
dz nl, het verschil van twee integraal-logarithmen, blijft

ß

eindig. In den tweeden integraal is

z—x

dus ^

<

AeA \'

in absolute waarde. Ook deze term kan dus willekeurig
dicht tot nul naderen, \') zoodat ten slotte

\'e-\' (z-x)"

= O

Lqp,. i-X)J

is. Do breuk —^ heeft dus voor «=00 den int.-log.

(pn i-x) ®

00

/Q — S

— dz tot limiet.

X

Aan den anderen kant voldoen x» en cp„ aan dezelfde recur-

1) Dit bewijs is ontleend aan een verhandeling van Laouerre over den
int.-log. (Buil. do la Soe. Math, do Franco, T. VII p. 76). \'t Komt mij

voor, dat hij zich van den factor —--- wat al te gemakkelijk afmaakt,

<Pn (—

door eenvoudig te zeggen: „Jo forai observer d\'abord quo lo facteur_i_

tend vers zéro."

44

rente betrekking, zoodat —^ als n^ naderingsbreuk be-
schouwd kan worden van een kettingbreuk
ao -

h

«1

a« enz.

waarin dan

2% -I-1 -4- X , n

Uit de waarden voor yi (—x) en cpii—x) volgt bovendien
Op «1 _ 1
ai 1 aj\'

zoodat «O = O en &i = 1 is.

—^ is dus naderingsbreuk van de kettingbreuk

(pn i—x)

1

1

3

9

6-\\-x —

16

7 x

, . (83)
9 — enz.

welke kettingbreuk nu in nauw verband moet staan met
den int.-log.

§ 28. Dit verband komt in deze paragraaf nog duidelijker
aan het Licht.

GO

Cß-Z

Herhaalde partieele integratie van den int.-log. j ~ ds geeft:

X

% CO

 j\'-^. (84)

X X

M is van graad m, S van graad w—1. In het verschil

45

S T

van ^ met de rv^\' naderingshreuk =

mogen geen termen met ... x-" voorkomen.

Uit dezen eisch volgt het stel voorwaarden

Co -C1Ü C32! -CsS! ..=0

Col! _CI2! C33! -C34! .. 4.(_i)»C„(w 1)! = 0

Co (w -1)! - Cl w.\' C3 (w -f 1)! - C3 (w 2) ! .. ( -1 )« C„ (2« -1)! = O,
welke vergelijkingen door de formule

0

ƒ e:\'x\'dx = {- 1)^ r!

— 00

overgaan in

e^ N rfa; = O

ƒ

0

f^xNdx = 0 l ^ r = 0 voor /c<n.

— 00 ■ I J

ƒ

Uit § 8 volgt nu N = C(p„(—a;). De naderingsbreuk van
_S
M

S

ten factor na. Daar de teller, blijkens den vorm van

graad (w—1) is, en overigens teller en noemer van een nad.
breuk aan dezelfde recurrente betrekking moeten voldoen,
moet j(„(—x), behoudens een\' constanten factor, die teller

zijn, zoodat tot nad. breuk k heeft; een bijzon-

der geval leert, dat k=l gesteld moet worden.
§ 29. Het resultaat kan nu aldus worden samengevat:

46

, n^ nad. breuk der kettingbreuk

1 x

3 i»

5 £c — enz.

is tevens nad. breuk van

welke reeks blijkens (84) nauw met den int.-log. in verband
staat. Ofschoon nu deze reeks divergeert, convergeer en de

nad. breuken , en wel tot / ^ dz, zoodat men

(fni-x)\' J z \'

recht heeft tot het besluit: e

cpn(-x)
den int.-log,

Tn de boven aangehaalde verhandeling (p. 72) gaat Laguekre

van den int.-log. uit, definieert X» als nad. breuk

q>„(-x)

S

van leidt dan door de eigenschappen der nad. breuken

een vergelijking af, overeenkomende met (66) en vindt daaruit
de diff. -verg. (15), waaraan cpn en xpn voldoeij moeten.
Voor iii„ wordt vervolgens ook de vorm (64) gevonden, en
daaruit de recurrente betrekking (70), die nu ook voor (p„ en
y„ gelden moet; ook de integraal-eigenschap wordt genoemd.
Van ondergeschikt belang is, dat Lagueiire voortdurend met
een f(x) = x!q)„ (—x) werkt.

Voor x=l worden de nad. breuken van e

c

i- ± 7940 78040 859580

2 \' 7 \' 34\' 209\' 1546\' 18327 \' 130922 \' 1441729

47

of

0.5000

0.5714

0.5882

0.5933

0.5951 ,

0.5958

0.5961

0.5962

enz.

De werkelijke waarde is 0,5963

HOOFDSTUK IH.

Aanverwante Functiën.

§ 30. De definitie van cp„ (x) in § 2 vereischte de voor-

1

waarde v < 1. Is > 1, dan kan men j-- e - i -« ontwik-
kelen naar opklimmende machten van Ik definieer nu
den negatieven coëfficiënt van als qp_„(a;):

XV X

1-1

V

De ontwikkeling van

V v VJ l. VJ

die nu voor v > 1 geldig is, wat ook x zij, geeft
x^n{n l) . x^ n{n-^l){n-\\-2)

1 —--

Noemt men den term dezer reeks Uk, dan is

x{n-\\-h)

u, - {k^lf^

*

zoodat de reeks voor alle eindige waarden van x en n
convergeert.

§ 31. Stelt men—dan is (86) ook aldus te schrijven:

49

e^ 1 (p_„ {-x) t"-^ = ^^e i (x)

waaruit deze relatie volgt:

(jP_„ (-a?) = (jp„_i (a?)

d. i. (p-„ {x) = e\' (jp„_i (-ic).....

Zoo wordt uit (87) gevonden

(a;) - 1 3  .... =

== (1 4- a?) = qp,. (-aj).
Het resultaat (88) is ook te trekken uit de verg. (8):

(e-\'x")==

e

zoodat

Substitueert men

(]P„_i {-x) = e-\'= (aj)

in do diff.-verg. (15), hier natuurlijk gewijzigd tot

-a; 9"„_i(-aj)H- (a3 1) qp\'„_i(-a;) (n-l) (-a?) = 0,

dan blijkt (p-„ix) aan deze diff.-verg. te voldoen:

(l-a?)9\'_„-wqp_„ = 0 . . . (89)
Men had (p„ kunnen definieeren als het polynomium of de
reeks, oplossing van de diff.-verg. (15), waarbij dan omtrent
n geen enkele onderstelling behoefde gemaakt te worden.
Tot nog toe had echter, krachtens de in § 2 gegeven definitie

4

50

van qp„, alleen het geval n = een positief, geheel getal recht
van bestaan, terwijl voortaan n ook negatief zijn kan; aan de
diff.-verg. (89) voldoet dan een reeks, die beschouwd kan worden

als de negatieve coefficient van ^ in de ontwikkeling van

1 _

e i-v voor het geval v > 1.

1-v

Uit (88) volgt nog, dat in de ad inf. voortloopende reeks
e-® qp_„ (a?) de coefflcienten van xp {p ^n) alle nul moeten
worden, welke voorwaarde tot tal van betrekkingen aanlei-
ding geeft.

\' § 32. Daar de reeks (2) en de diff.-verg. (15) vroeger n
positief onderstelden, maar nu ook negatieve waarden van
n toelaten, zijn alle eigenschappen van cf„ die uit (2) en (15)
volgden, onmiddellijk in eigenschappen voor 9 _ „ om te zetten,
eenvoudig door n van teeken te veranderen. Overigens kunnen
deze eigenschappen steeds gemakkelijk gecontroleerd worden
door de formule (88). Zoo geldt (38) (§ 11) en alle relaties
van § 5. De recurrente betrekking

(1-W) (jP_„ l (2w i»J-l)qp_„-W9_„_i = O . (90)
is daarvan de belangrijkste. Ze volgt natuurlijk ook uit (24)
door daarin (88) te substitueeren. Analoog met § 3 c. verder is

X

. . . . (91)

ß Jß = ,

Enkele andere in die paragraaf voorkomende vormen ver-
eischen echter een wijziging. Zoo vindt men gemakkelijk de
formules

e i-t

p e \'

> . ^ r

---,

51

n — l

qp„_l i — X) =

. . . (93)

Het additie-theorema (49) wordt door toepassing van (88):

{x-{-7j) = <p-n{x) (f-iiv) (p_„4-i {x) qp_3 ....

....

— K -j- 1

[x] qp_i [y) qp_„ 2(\'») (p-2 iy) ....

.....(94)

Eindelek leert de formule (42):

n—l _ Y

§ 33. Integraaleigenschappen voor de functie qi _„ worden,
steeds met behulp van (88), gemakkelijk afgeleid uit de for-
mules (27) en (28). Men vindt:

O

je-" ()p_„, (53) [x) dx = 0 voor m In, ^ _ ^gg^

= 1 voorm=7i. )
Analoog met § 6 zijn deze eigenschappen ook af te leiden
uit de definitie (86).

De reeksen
en

qp_„ ix) t\'^ = -
1 J-

2: (p_„, (X) = -j
1 i

geven na vermenigvuldiging
6-== S 2 cp^^ {x) g._„ (x) tl\'" t" =

of

ut

^ 2: e-\'\' çp(x) (x) u\'" t" dx = .-7 = ut U\' f- lê t^

1 i — ut

52

O

d. i. ƒ e-" {x) qp _„ (£c) dx = 0 of 1,

m^n of m = n.

naarmate
Ook volgt uit (27), (28) en (88):

O

ƒ (f\' (x) q>„-i (—x) dx = 0 voor m ) w,
— 00

= lvoorm=w.

En ten slotte:

y

Jcp-n {X)

voor m < 71—1.

O

jf-n (x) (X) dx = O

Uit de laatste formule volgt, geheel als in § 9, dat de
wortels van alle reëel en negatief zijn. Ook dit resultaat
is weer uit (88) te trekken, daar slechts nul wordt voor

X=- 00.

Eindelijk: overtuigt men zich, analoog met § 10, gemakkelijk
van de waarheid van deze stellingen: Tusschen twee opeen-
volgende wortels der vergelijking (a?) — O ligt één wortel
van qp_„4-i (a?) = 0; de verg. cp_„ (x) = O heeft één\' wortel
tusschen nul en —1.

§ 34. De formules (29) en (88) geven recht tot de ont-
wikkeling

. . (99)

a;." (f =2 2: A^. (p^i (x),

waarin dan A^. door de zooeven gevonden integraaleigen-
schappen bepaald wordt. En wel zal men in § 41 vin\'den:

. = (-!)\'• -(.^J,,/. . . . (100)

Met behulp van deze formule krijgt

(- 1)\'

— n
i

53

den vorm

r^i k—X ff)\'

i = o

k- 00

k — o

zooals door vergelijking met § 12 gemakkelijk blijkt.
Of ook, onder de voorwaarde r < 1,

® vk f_ Aj"

Aan den anderen kant kan men qp _ „ (rx) vervangen door
e" qp„_i (— rx), zoodat

rk

(1 \' i

is. Voor r = — worden deze formules

. O

qP/t (-

(103)

<)P\'

§ 85. Het resultaat (58) is onafhankelijk van het teeken
van n, welke grootheid immers uit de diff.-verg. geëlimi-
neerd is. Dus is ook

X

xp^n (x) = qp_„ (x) / dx,. . . (104)

waarin de grens — oo in oo veranderd moest worden.
Stelt men de formule (88) in (58) dan komt er

V»„_i (- X) = qp„_i (- x) /

zoodat

yj-n (x) = & xij„-i (— x) . . . . (105)

is. De diff.-verg, voor (jp_„,

54

heeft volgens § 22 de beide oplossingen

ÉL

.dx

d
.dx.

Het blijkt, cf. (93), dat y^, op een\' constanten factor na,
= cp_„(x) is, terwijl de formules (63) en (105) de identiteit
van yi en aantoonen.

Daar ç.» en aan hetzelfde stel formules voldoen (§ 23),
moet krachtens de vergelijkingen (88) en (105) het gewij-
zigde stel, dat voor geldt, ook op van toepassing
zijn. Uit de relatie

ipn-i = e^ f « -1 f\'

is gemakkelijk af te leiden :

{x) = /„_i {-x)

waaruit blijkt, dat ^^ ^ ^ ^^^ naderingsbreuk van ƒ ^ dz

CP

beschouwd kan worden. Nu is echter de noemer geen poly-
nomium meer, waardoor het karakter van naderingsbreuk
wel eenigerihate verloren gaat. Ik heb daarom de vele
eigenschappen van 9_„en (en van een eventueel in te
voeren functie x-«)? die nog uit de eerste twee hoofdstuk-
ken af te leiden zijn, niet verder nagegaan.

§ 36. De diff.-verg. der hypergeometrische reeks (zi\'e b.v.
Forsyth\'s Diff. Equations p. 192) laat 24 particuliere oplos-

00

singen toe, welk aantal zich in ons geval, waar x door —

vervangen moet worden, en = oo, / = 1 te stellen is, be-
perkt tot deze vier:

55

£C

^ r

J

De oplossingen 1 en 4 zijn

beide = q)„ (x). Daar

X

T

is, zijn de oplossingen 2 en 3 te schrijven als

1

2! 2! 3!

= e" (jp_(„ i) {-x)= (fn (x).
Alle 24 oplossingen zijn hier dus teruggebracht tot één enkele,
iets, dat geen verwondering kan baren, als men nagaat, dat
alle oplossingen combinaties zijn van de twee hoofdoplossingen

en F (a -{- 1 — y, ^ 1 - y, 2 - y, X),

en dat deze beide voor y = 1 samenvallen.
• §37. De functie « = qpW (a;), verwante functie der
eerste soort.

Differentieert men de verg. (19) herhaaldelijk, dan vindt men
na eenige herleiding
X^ = n {71 - 1) (qp,. - 2 qp„_a (]p„_3),
x\'^ (f"\\ = 71 {71- 1) (W - 2) ((]P„ - 3 (jp„_i 3 qp„_ 2 - (fn-i) ,

3!

dus, in symbolische schrijfwijze.
Zoo wordt

(107)

56

Daar de functie »/»„ ook aan de verg. (19) voldoet, wordt een
verwante functie der tweede soort in dezen vorm verkregen:

(108)

(ip-lf

,M i "

Terwijl de functiën en i/jW aan de verg. (25) voldoen,
zijn « en [3 oplossingen van

y" - (k-^x - l)xy\' {xtl - 2k)y = 0 . (109)
Elimineert men xn — 2k uit de vergelijkingen

x"- a" - {k x - l)xa\' {xn - 2k)a = 0
en x^ - {k x -  {xn - 2k)^ = Q,

dan komt er, geheel als in § 18,

-

dus

X

dx,

(110)

— 1

(3= - aC

Dergelijke betrekkingen zijn ook voor en te

vinden.

HOOFDSTUK IV.

Reeksontwikiceling naar cp„ (x).

§ 38. Daar (ic) een polynomium is, kan x^ naar qp\'s
ontwikkeld worden, terwijl dan de hoogste index wordt:

xf^ = Aif* cpi{x)......(29)

0

De integraal-eigenschappen van § 6 bepalen de coefficienten
Ai^* in den vorm

Ai^ = ƒ x^\'e-" qji(x)dx =

. (111)

Echter ook, met behulp der formule (8):

oo 00

(ZV. . , , 1 /•

Af = = {cc\'e-).

O O

Bij partieele integratie verdwijnt de term

i-i

(x\'e-^),

een polynomium X voor de grenzen O en 00.

Herhaalde partieele integratie geeft dus

xl"

(x\'e-\') dx =

00

58

Of

= ..........

Van deze formule is al in de paragrafen 6 en 12 gebruik
gemaakt.

Mag men aannemen, dat arf* ook voor u = een gebroken
naar (p„ (x) ontwikkeld kan worden, dan wordt

De vergelijking der beide waarden voor Ky-, waarin twee para-
meters , i en fi, voorkomen, die slechts aan de voorwaarde
i-^fi gebonden zijn, geeft tot zeer veel getallen-eigenschappen
aanleiding; ik zal hier één er van opnemen. Voor i = /t
vindt men:

Nemen we b. v. ^w = 10, dan wordt

• 11 ! 12!___13! 20! _

9! 8!2!2! 7! 8! 3!  10! 10! ""

= 1 - 110 2970 - 34320 210210 - 756756 -f 1681680 —
- 2333760 1969110 - 923780 -f 184756 = 1 = {-1^.
§ 39. De vergelijldng (30), geschreven. in den vorm

.....(113)

doet zien, dat de coefflcienten in nauw verband staan
met de binomiaal-coefflcienten, een verband, waaruit natuur-
lijk de overeenkomst van veel eigenschappen volgt. Zoo ligt
onmiddellijk deze eigenschap voor de hand:

At = {-lfAuti......(114)

Zoo volgt uit (18)

Aif =jxf e-^ q,idx=jx!^ (9\'i — «p\'i i) dx.

59

Bij partieele integratie valt de term

(f\'i 1) x!^

voor de beide grenzen weg, ?;oodat

GO

Aif" = - ƒ i^i X - xl") ((f\'i - 9\'i i) dx ^
Derhalve

= - Afri\'),.....(115)

een resultaat, dat natuurlijk ook uit (113) dadelijk af te leiden
is. Stelt men in (115) achtereenvolgens i z= O, 1, 2,... m:

Aof^ = f^!

A.^^MAf-^-Ar^)

dan komt er door optelling

= ......(116)

O

waarin voor m = ^ het tweede lid nul wordt: een bekende
öigenschap der binomiaal-coefficienten, welker pendant deze
relatie levert:

È i-iy AT = 21^ ^i!......(117)

O

§ 40. Als uitbreiding van een Vraagstuk van het (genoot-
schap „Een onvermoeide arbeid komt alles te boven" (Deel
V, p. 339), geef ik hier deze curieuse eigenschap der binomiaal-
coefficienten :

1 w (n 1) « ^ .... À

= O,

naarmate het aantal der factoren (i • «) ... (i

60

n-j- 1, n of kleiner dan w is. De grootheden (3,.... P. zijn
volmaakt willekeurig. Neemt men b. v.

dan vindt men

O O 6000 - 72800 249480 - 828400 141440=
= 720 = (- 1)8 6!

Voor het speciale geval « = 1, ß = 2,____l = gaat (118)

na deeling door nl over in
\'n %

 jn i)! _

n ) [ij 7 Ui! (n — i)! ^ ^ \' ^ ^
een relatie, die ook in § 38 gevonden is. Zijn er n l
factoren, dan is l = n -\\-l, zoodat

= (- lyn!

d. i.

" v\' IV  _ /_ iv-i n«

O

(119)

\'n— 11
i

N. -\'S,

Voor n = 1:

7 _ 336 4- 3780 - 16800 34650 - 33?64 12012 =
= 49 = (- 1)8 73.
Het aantal dezer formules is natuurlijk gemakkelijk uit te
breiden. Analoge eigenschappen gelden steeds voor de coeffi-
cienten Aif^. Zoo blijkt uit (118) onmiddellijk:

(i «) (z (3) . ... (i A) =

. (120)

■ =0,

naarmate het aantal factoren ^it 1, ^ of kleiner dan n is.

61

Zoo gaan (112) en (119) na eenige herleiding over in

M A .« A n -f- » \\

V ^ n f

O (n-^i)!

en .... (121)

« — 1 A .« — 1 A » » 1

2 i-ir i^.—= —
(n z)!

§ 41. Vermenigvuldigt men de vergelijking (29) met e-\',
en maakt men gebruik van de betrekking
(p-i (x) = e^ (-cc),
dan vindt men deze ontwikkeling:

O

of

waarm nu

is. Natuurlijk zijn, analoog met § 38, de coefficienten Ai^;, nu
men eenmaal weet, dat de ontwikkeling van x^" naar q)_i (x)
mogelijk is, ook door de integraal-eigenschappen van § 33
te vinden:

O O

i—1

(/t-i 1)! (2-1)1

§ 42. In de beide volgende paragrafen voeg ik nog enkele
ontwikkelingen bijeen, waarvan men de mogelißklieid v^r^Qi,

Het x\'olynomium kan naar 9\'s ontwikkeld worden. Hier
wordt:

>-X) 00 00

Ai= je-" (jfij dx= e-" <p„ (fi —ƒ e--" dx e-" 9,, dx.

62

qp\'i is te vervangen door een reeks, geordend naar cp„, waarin
i — 1 de hoogste index is. Daar i^n—1, volgt uit (27),
dat de beide integralen verdwijnen. Derhalve

Ai = I (jpj 1° = — 1,

zoodat

(x) ^ -"2: cp,, (x)......(33)

0

is, een resultaat, dat § 11 reeds opgeleverd had.
§ 43. De definitie

1 co

-—-e = 2; cp„ix)v".....(1)

^ 0 .

sluit in zich, dat ook voor functiën als de ontwikkeling

V

naar qp„ mogelijk is. Stelt men nl. t = ^—-, dan is

^ rp (Tttp^^ ahf • •\' ^^^^^

onder de voorwaarde tnod. v < 1,

of mod. Y^t <

. i -f- c

Stelt men t = p {cos O- f^)

dan gaat deze conditie na eenige herleiding over in

__<1

1 (,2 2 p cos ^ .

Het punt t mag derhalve overal genomen worden in het ge-
/f H\\ed, dat rechts ligt van de lijn i = 0. Reëelc waarden

van t moeten dus >--J- zijn.

Ontleent men aan de definitie (1) alleen de wetenschap, dat
de ontwikkeling mogelijk is, dan kunnen natuurlijk de int.-
eigenschappen van § 6 de reeks (124) ook opleveren:

CD 00 • ^ 2

/67c 

63

Daar

O O

is, onder de — hier vervulde — voorwaarde •. t 1 — positief,
heeft men

A— J-fl- ( ly 1 V-

^^ , I)

-1-^1

Voor t = 1 wordt de reeks (124)

= -^qpi{X) ^^ (po (a?) ....= qp-i (— a;),

zooals ook uit (95) blijkt.

Is n nl. niet een geheel getal, grooter dan 1, dan is het
tweede hd van (95) geen polynomium, maar een reeks:

r

(x) = e^{ (fo (oo) 2»-i — (M — 1) ()pi (x) 2\'\'-2
- -h

of

(x) = (-X) = 2—1 - (n - 1) cfi (x) 2"-3
2\'-\'-....

d.i., voor n = O,

44. De definitie van § 31,

00 l X

^ qp_„ {x) it" =-- e 1- < {mod. ^ < 1),

1 i t

levert, onder de voorwaarde uy^, de reeks

a

\') Dczo ontwikkeling komt ook bij Laguerre (Buil. de la Soc. math, de
France, Tome VII, p. 79) voor.

64

.....(125)

De formules (124) en (125), met de voorwaarden ty —^ en

M > i, vullen elkander juist aan, zoodat voor elke waarde
van t de functie e*\'\' naar cp» (x) of q)_„ (x) ontwikkeld kan
worden. Het geval f = A maakt een uitzondering; echter is

1 1

dus, volgens (124),
1 9 r

Uit (125) volgt nog

= 9-1 (x),

cf. § 31, dus ook

6«^== (ux).
Voor «O geldt derhalve de verg.

9_i (x) <)P-3 (a;) ....

u

De ontwikkeling (125) kan ook uit de integraal-eigenschappen
van § 33 afgeleid worden. Wil dan echter een stuk als

Qßk

-dat bij de partieele integratie optreedt, nul

ti - i . «

worden, dan moet w > 1 zijn, zoodat dan de formules (124) en
(125) niet meer aansluiten, maar voor-|-^ïi<l twijfel zou-
den overlaten. Daarom prefereer ik de afleiding van (125)
uit de definitie 9_„ {x).

1

Overigens kan men waarin-^ < m < 1 is, in den vorm

gx Qx(u-i) (Jqq^ middel van (124) behandelen.

§ 45. De vergelijkingen (2) en (29) vertoonen een eigen-
aardige reciprociteit, die nog beter aan den dag treedt, door
i! 9j (x) symbolisch te vervangen door (P\\

x\'

65

(2) wordt dan:

Hieruit volgt deze stelling \'): Als een naar opklinnnende
machten van x gerangschikte functie naar ontwikkeld kan
worden, zoodat symbolisch

is, dan is ook

= F (x).

is hierin steeds te vervangen door k l (pt (x).
Zoo volgt uit de definitie van (x):

1 d)"

, —-e — 2—,- = e\'\'J\'
l—i n nl

of

1 Jf-
i -f- t

Nu moet omgekeerd ook

^^.....] =

^ .....]\'

de vergelijking (124).

§ 46. Halphkn tracht een functie te ontwikkelen in
dezen vorm:

f(x) = 2 C,

1) Laouekue, t. a. p. bl. 81.

C. R. xcv p. 629, en Buil. de la Soc. math, do Franco, Toino X p. G7.

5

66

In de onderstelling, dat de ontwikkeling mogelijk is, vindt hij :

d

O

Ik weet niet, hoe Halphén tot deze uitdrukking gekomen
is. Waarschijnlijk niet langs den weg, dien ik hier inslaan
zal, gebruik makende van de formules van § 12. Ik integreer
de beide leden der vergelijking

. . . (128)

tusschen de grenzen O en oo, na vermenigvuldiging met den
factor

{x) -

Daar nu

(Pi-

.... (40)

is, verdwijnen alle termen van (128), die k<n hebben. De
term met k = n,

«y-

C„ [g)„_i (qp„_i — q)„) dx ,

O

reduceert zich tot

C„ / cp„-i dx = C„.

O \'

Immers is voor k = 7i (§ 13)

Bij de termen, waarvoor k>ti is, komen van de formule
(40) slechts in aanmerking de beide stukken

die dus na integratie geven:

oc

O

= O, volgens (48).

67

C„ (<P»-1 — (pn) f {n ß x) da:

O

C30

Halphén tracht nu omgekeerd de reeks
te sommeeren.

Hij bewijst, dat deze reeks convergeert, maa?- tot een andere

limiet dan f (x), tenzij het mogelijk is, getallen a te vinden,

die den vorm m(cc) oneindig klein maken voor

m = 00. Als a willekeurig groot genomen kan worden, dan

is de keus van ^ aan geen voorwaarden gebonden; anders

ligt tusschen bepaalde grenzen. De reeksontwikkeling geldt

in beide gevallen voor alle waarde van x. .

De getallen « zijn alleen te vindeii, als/"{x) een polynomium

is. In alle andere gevallen is dus de ontwikkeling foutief.

Zoo geeft de formule (128) voor e--":

1 2t
F [Xi) = 7Ï-T-A3 n I O AS \'iPi

...

(1 nty^^"^"-^

een convergente reeks, die echter niet tot e-^\' convergeert.

§ 47. Halphéns curieus resultaat bewijst nog niets tegen
de ontwikkeling eener functie naar (f„ (x). Terwijl b.v. de
ontwikkeling van e-^\' volgens Halphéns methode spaak

CO

loopt, levert ze, zoo x en niet — als argument der functie qp„

genomen wordt, niet de minste bezwaren op (§43). Ik heb
echter de kwestie van de algemeene ontwikkeling naar qp,, nog
niet tot klaarheid kunnen brengen. Verschillende wegen ben
ik ingeslagen, zonder evenwel het doel te bereiken. Het meest

68

voor de hand lag de methode, die bij Besselsche, bol- en andere
functiën zulke goede resultaten geeft, nl. de substitutie van

een convergente reeks voor ^ ^ _ in de formule van Cauchy,

z—x

in welke formule de integraalweg een gebied moet omsluiten,
waarbinnen f (z) steeds holomorf is. Nu wijst de in § 25
gevonden uitdrukking

00

e-

!ƒ/„ (x) = e

X — z

naar qp-functiën. Het is alsof

men

1

— ^^ 03i (x) cpi (z) .

x — z

gesteld heeft, en toen door de integraal-eigenschappen van
§ 6 de coefflcienten w; (x) heeft bepaald in den vorm
w„ (x) = 6-\'\' !//„ (x).

Is nu

1

-—i = xpiix) q\'i(z),

X — 2 O

dan is men geheel op den weg, die bij andere functiën tot

het doel voert. Ongelukkig geeft de ont-jvikkeling van de

z ^

verg. (129) naar —, bij vervanging van zi^ door 2 A;\'^ qi (z),

00 O

volgens (29), een reeks,

= e-^v« ( — 1)"
t

4- 2\'
2

die voor alle eindige waarden van x divergeert, en dus met
te gebruiken is. Ik heb nu op verschillende wijzen getracht,
de reeks

J q>i (z) xpi (x) = I q^i co; (x)

(m 2)!

69

zonder van de divergente reeks

X — z

voor coi [x) gebruik te maken. Vervangt men qp; {z) en xpi (x)
resp. door een\' bepaalden integraal en door den residuvorm
(3), dan is de sommatie wel uitvoerbaar, binnen zeker gebied
van convergentie, maar de daarop volgende integratie biedt
te groote zwarigheden.

Gebruikt men de formule (122) in plaats van (29), dan wordt

1 «> _
= e-^ (jp_„ (x) {z),

X — z

waarin nu

\'w l\' («4-2)! « 2\'

I j-r 3 2

een reeks is, die evenzeer voor alle waarden van divergeert.

§ 48. Ook dit divergeeren van reeksen, die bij analoge
functiën convergeeren, bewijst nog niet de onmogelijkheid
eener ontwikkeling volgens qp,,.

Een ontwikkeling volgens (p„ is slechts op één wijze mogelijk.
Gesteld nl.

f (x) = «0 «1 n {x) ao (p2 (aj) ... •

en

f{x) = bo-^bi [x) bi (p2 (x) ....

dus

O = (ao-öo) {ai~bi) qpi {x) («a-^\'a) qp« (a?) • • ■ •;
dan geven de integraal-eigenschappen van § 6 onmiddellijk
cii = bi. Dit bewijs geldt natuurlijk voor de functie qp even-
zeer als b.v. voor de bolfunctiën. Bij deze laatste nu komt
men schijnbaar tot twee ontwikkelingen. De vergelijking
van Cauciiy geeft nl. coefficienten met de functie der 2" soort,
Q„, onder het integraalteeken, terwijl de gewone integraal-
eigenschappen« der functie 1® soort, P„, een ontwikkeling
geven met P„ onder het integraalteeken. Men moet kunnen
bewijzen, dat deze beide integraalvormen voor de coefficienten
identiek zijn. Het is nu zeer goed denkbaar, dat voor de
functie qp„, waarbij de vergelijking van Cauchy ons in den
steek laat, deze gelijkheid ophoudt te bestaan, zonder dat

70

daarom de ontwikkeling volgens waarbij de coefficienten
door de integraal-eigenschappen gevonden worden, vervalt.
Deze ontwikkeling zou nu te bewijzen zijn, door de reeks

co

Iq„(x)le-\'r(2:)cp,{z)dz . . . . (130)

O

rechtstreeks te sommeeren. Wel is waar leert de formule

u

(38) een uitdrukking voor q„ (x) cf» (z) vinden, maar het

O

is mij nog niet gelukt, de limiet van het tweede lid te vinden.
Evenmin heb ik de convergentie der reeks J q>„ (x) gv.

O

kunnen bewijzen, d. i. de convergentie der reeks (130). Was
dit bewijs geleverd, dan zou men gemakkelijk kunnen aan-
toonen, dat de som f(x) moet zijn. Stelt men nl.

i (fu (x)l e-\'f [z) cp„ {z) dz = F (x),
()

00 oo

Je-\'\'F (x) qp« (x) dx == j e-\'f{z) cf.,, [z) dz ƒ e-" qr„ (a;) qp„ (x) dx

O 0 0

of

ao

J e-^ [F (X)- fix)] q,, {X) dx = O,

O . ,

dus ook, daar x"- door qp\'s te vervangen is,

cc

j e-\'[F (x) - f(x)] Tl dx = O,

O

waarin n een geheel willekeurig polynomium; kiest men nu
dit polynomium zoo, dat het tegelijk met F {x) — f {x) -van
teeken verandert, dan moet, daar steeds positief blijft,
overal tusschén O en oo F (x) = f{x) zijn. \')

•) LioüvillE, Journal de Math. Vol. II. (1837) p. 1.

HOOFDSTUK V.

§ 49. Ik wil nog ^enkele paragrafen wijden aan een over-
zicht van de punten van overeenkomst tusschen cp„ (x) en
Besselsche, trigonometrische en bolfunctiën, alle leden van
dezelfde familie. Ik zal me hoofdzakelijk met bolfunctiën
bezighouden, waarvan de verwantschap met de Besselsche
functiën gemakkelijk is na te gaan. Men zie o. a. het boekje
van C. Neumann: „Theorie der Besserschen Funktionen. Ein
Analogon zur Theorie der Kugelfunktionen."
Er zijn functiën van de eerste en van de tweede soort, qp„
en tp», zooals er bolfunctiën P„ en Q„ zijn. Het zijn de beide
oplossingen van een differentiaalvergelijking der tweede
orde, die een speciaal geval is van de diff.-vergelijking der
hypergeometrische reeks. Noemt men en P„ van de orde
n, dan is er iets voor te zeggen, om yt,, en Q„ tot de orde
— n—1 te rekenen. Zie b.v. § 22, waarin een vorm voor
en »//„ optreedt, dien men als formule van Rodkigues bij de
bolfunctiën terugvindt. De vormen en P„ zijn polynomia,
if/„ en Q„ reeksen. Beide hebben hun verwante functiën en

(^a;-—1)2 PjP. Van beide functiën zijn alle wortels reëel, en
gelegen binnen bepaald aan te wijzen grenzen. Zoowel cp,,
als P„ zijn als Sturmsche functiën te beschouwen. De poly-
nomia (p„ en P„ hebben integraal-eigenschappen, die tot in

\') De analogie mot de Besselsche functiën is liier alleen duidelijk voor hem,
die niet Neumanus, maar Lommkls behandeling van het onderwerp volgt.

72

bijzonderheden onderling overeenkomen. Voor P„ geldt een
dergelijk stel eigenschappen, als voor qp„ in § 5 gevonden is,
terwijl ten slotte zoowel P„ als qp„ in determinantvorm ge-
schreven kan worden.

§ 50. Nadere bespreking verdient het verband, dat tusschen
(jp„ en bestaat. Dat de formule (58) ook bij de bolfunctiën
optreedt, spreekt van zelf. Meer verrassend is het, dat de
gedeeltelijke integratie van deze formule leidt tot een betrek-
king tusschen en

X

(x) e\' X» (x) 9« (x)

-00

die volkomen analoog is met

q„(£c)=-R„ {X) .

R„ {x) en (x) zijn polynomia van den graad w—1, die aan
een diff.-verg. der tweede orde voldoen. Ook de formule

00

0

komt geheel overeen met een relatie uit de leer der bol-
functiën :

-1

R (x) y (_X^

. en ^^-zijn respectievelijk naderingsbreuken van

r,j (a?) (fn {—x)

X _

[ \' A X 1

én^u^uA^ ^J ^^^ V x—i\' transcendente func-

00

tiën beide in een kettingbreuk kunnen worden ontwikkeld.
Deze eigenschappen vooral zijn het, die er op wijzen, dat
de functiën 9,, en P„ tot een grootere familie behooren. Men
zie de algemeene behandeling van dit punt in het reeds aange-
haalde werk van Jobdan (p. 248).

73

Daar wordt de integraal

h

^^^^ dz

J x—z

■z

a

ontwikkeld in een reeks

«1 I «3 I

waarin

h

^ ƒ f{z) dz.

Zoo deze reeks in den vorm eener kettingbreuk geschreven
wordt, die het polynomium S„ tot noemer der iv^\' naderings-
breuk heeft, moet S„ voldoen aan de voorwaarde

h

lo.{z)S,J{z)dz.....(131)

a

waarin w (z) een polynomium van graad < w voorstelt. Aan
deze voorwaarde voldoet slechts één polynomium S„; de verge-
lijking S„ = O heeft slechts reëele wortels, alle gelegen
tusschen a en b.

In elk bijzonder geval moet onderzocht worden, in hoever de
reeksontwikkeling volgens S„, waarvoor (131) de coefficienten
levert, geldig is. Ongelukkig zag ik op dit gebied de functiën
qp,, en P„ verschillende wegen bewandelen, en weet ik nog
niet, of deze ten slotte toch nog naar hetzelfde punt voeren.
§ 51. Evenals P„ (x) uit de ontwikkeling van
ü=i-= 1

naar t volgt, wordt (f„ {x) gedefinieerd door

1 00
u = Yzrt ^ = - 9» {oi^) t".

Beide moederfunctiën, om ze zoo te betitelen, voldoen aan

een diff.-verg. der tweede orde, U = aan

74

(1-2 xt t^) {x~t) U\' U = O,

j u aan

(1-2^ -1- t^) u" 4- (ic \'èt-\'è) u\' = . (132)
I waarin x als constante beschouwd wordt. Uit

i l

I u =

i ;

r en ^

,, _ l-t-x , . l-t-2x

- (1-^)3  (1-^)3 \'\'\'

met welke waarden gemakkelijk de diff.-verg.

(1 -ty u" -f {x 4- 3^- 3)\' u\' = Q
te verifieeren is. Deze diff.-verg. volgt ook, volgens een
methode , ■ aangegeven door Poinoaeé uit de recurrente
betrekking (24), geschreven in den vorm
n q)„ (x) - 2 (« -1) (ir) (a; -1) ()p„_i (x) («-!) (p„_3 (a;) = O,
door vermenigvuldiging met en sommatie van

1 tot 00. Uit de waarden

U = i t" (x) = It"-^ (x),

0 1

u\' = È nt"-\'^ (p„ (x) = I\' (n-1) t"-^ (x)

en

= 3n(n-l)t"-^(p„(x) = I (n-1) (n-2) t"-^ (p„_i (x)
1 . 1 \'
leidt men nl. af:

I n (n-1) (x) t"-^- = u",

ix-l) 1 (n-l) = ,

1

- 2lin-1)3(f,,_ 1 (a;) -2 = -2(x)u" u\')
1 1
en *

i (n -1 g „ _ 3 [x) = I n^ _ 1 {x) -1 = u" J^Uu\'A-u,
1 1

1) C. R. xcvi, p. 637.

75

zoodat de verg.

1 1 1
overgaat in

{l-2t{x-3 . (132)

of\' in

^^ 3r) ^ « = O , . . . (133)

waarin r = 1. Het eenige kritieke punt der coefficienten
van u\' en na deeling door 1 —2^ ^^ is ^ = 1. De oplossing
u is derhalve holomorf binnen het gebied, waarvoor mod til.
Aan de diff.-verg. (133) voldoet nog een tweede functie JJ = uv,
die op de bekende wijze uit de oplossing u wordt afgeleid.
Ik vind:

\' /II \' —- \' ■

U

zoodat

1 ±

V = -ö—3

een particuliere oplossing is. Substitutie van
geeft dan

U = uJ\'^ dz; ...... (134)

00

ook hier komt dus weef de int.-log. te voorschijn.

§ 52. In deze laatste paragrafen wil ik een overzicht
geven van een verhandeüng van Tghébyghef \') waarin zeer
duidelijk de verwantschap van de ^-functiën met trigonome-
trische, Besselsche en bolfunctiën aan den dag komt.

1) Bulletin do l\'Ac. Imp. de St. Pót. 1860, T. I, p. 193, en Journal do
Liouvillo, 2de Série, T. III, p. 289.

76

F (X) kan, onderstelt men, door een polynomium van den
graad m met voldoende nauwkeurigheid worden weergegeven.
Door waarneming zijn de 1 waarden (n ^ m)
F (.cco), F {xi), .... F {x,)

bekend, met de gewichten ö-o, ö-i____gn- Gevraagd wordt,

F (X) zoo goed mogelijk, volgens het principe van de methode

n

der kleinste kwadraten, te schrijven als 2 liY {xi). Tché-

0

BYCHEP vindt:

p (X) = ( irT ^^^ ^ -^m i (X) jxi) ^ ^^^^ ^
i = o OCi X

waarin (/»„, de noemer is van denaderingsbreuk, die op-

f\' ix)

treedt bij de ontwikkeling van q \' ^ ^ in een kettingbreuk,

/ {X)

terwijl

f {X) =^{x- Xo) ix-xi)----[x- a„)

is. Daar de wijzergetallen der kettingbreuk den vorm A;£c4-B;
hebben, kan men ook schryven:

m i = H

F (X) = (-1)» 1 (X) ^^ t//,„ (Xi) Qi F (Xi), . (136)

• O i ■= O ■

uit welke formule nu, duidelijker dan uit (135), blijkt, dat
F (X) door een polynomium van den graad m is voorgesteld.
Door voor F (X) t/;,„ (X) te nemen, vindt Toeiébychep:

A,„ i =

2 gi ipj (Xi)

of

n / _ 1 y«

2gi ipJiXi)^\'\'-^ ,

O -^m 1

^^ gi Vm [Xi] !//„/ (iCi) = 0

* O

is.

§ 53. Hij behandelt nu verschillende onderstellingen om-
trent de verdeeling der waarden xi en omtrent de gewich-
ten gi.

77

1Neemt men w = oo, en laat men xi ~ u varieeren tus-
schen —1 en 4- 1, terAvijl

/ , du

is, dan wordt

-f 1

^ r{x) ^ ^ g (te) _ f 1_ • du

f{x) x-u J x-uyi — u"- \\/x^~l\'
-1

De noemers van de naderingsbreuken der kettingbreuk

71 TT

-

2x — enz.

zijn cos q), cos 2 q), cos 3 cp enz., waarin cos q = x. De formule
(136) geeft nu Fouriers ontwikkeling naar cosinussen, echter
zonder de mogelijkheid dier reeksontwikkeling streng te be-
wijzen. De integraal-eigenschappen (137) leveren de coeffi-
cienten der ontwikkeling.

2". In dezelfde hypothese omtrent Xi, en zoo g(u) = een
constante is, vindt Tciiébychep:

X — Xi J X —u X — 1

— 1

een functie, die bij ontwikkeling in een kettingbreuk, tot
noemers der nad. breuken de bolfunctiën blijkt te bezitten.
Formule (136) geeft nu een reeksontwikkeling naar bolfunctiën,
welker coefficienten door (137) gevonden worden.

3". Laat men Xi = u tusschen de grenzen O en oo variee-
ren, terwijl g {u) = e-" du is, dan wordt

00 —Ï

V - fdu = dz.

X — Xi Jx — u J z

O 00

Volgens § 27 is deze integraal te schrijven als een ketting-
breuk met

X"

78

(Pu (x) =

tot noemer der naderingsbreuk.
Nu is .

00

ƒ {x) e-^ dx=l,

O \'

zoodat de reeksontwil^keling (136) wordt:

CD

F (X) = i (X) if„ [X) F {x) dx.

O J

O

Echter levert Tchébychef geen schijn van bewijs voor de
mogelijkheid der reeksontwikkeling; hij spreekt zelfs niet over
de convergentie der*gevonden reeksen, maar draagt eenvoudig,
wat hij voor w= eindig, d. i. voor een polynomium gevonden
heeft, over op het geval 7% = oneindig.

LINGEN

m

m