" "\'T-. -\'jii-TiijrJiiiiijilbi:\'^\'"\'

......

Aan het einde mijner academische loophaan gekomen is hct
mij een aangename plicht een woord van dank te richten tot
t7, Hoogleeraren in de faculteit der Wis- en Natmirkunde,
voor Uio gewaardeerd onderwijs.

Inzonderheid U, Hooggeleerde Kapteyn, bcn ik veel ver-
schuldigd voor den steun, loelken ik hij de vervaardiging van
dit proefschrift mocht ondervinden.

Steeds zal mij de heldere en strenge betoogtrant, die altijd
Uw onderwijs kenmerkte, in herinnering bleven.

Ook aan U, Hooggeleerde Grinwis en Julius, gevoel ik mij
verplicht, niet slechts voor hetgeen ik op Uwe colleges mocht
leeren, maar ook voor dc welwillendheid, waarmede Gij mij
steeds ter zijde hebt gestaan zoo vaak ik Uwen raad kwam
vragen in moeilijkheden.

Uw onderricht in de mathematische theorie der levensver-
zekering, Zeergeleerde Mounikr blijkt, nu mijne bezigheden mij
dagelijks met deze theorie in aanraking brengen, voor mij een
groote steun te zijn.

Het is bekend, dat geen solide maatschappij van verzeke-
ring, (1) elk bedrag, hoe hoog dit ook zijn moge, op één
enkel risico verzekert. Wanneer het een zeker mavimum
overschrijdt, weigert zij het bedrag daar boven, of wel zij
herverzekert dit bij eene zuster-maatschappij. Het hoogste
bedrag, dat op deze wijze eene maatschappij voor eigen risico
houdt, noemt tnen haar „maximum van verzekerd bedrac/".

De wijze, waarop heden ten dage dit ma.ximuni wordt
bepaald, mag inderdaad hoogst primitief worden genoemd. Men
stelt, louter op grond van het vermoeden, dat men er mede aan
den voorzichtigon kant is, eenvoudig een maximum van kapi-
taal- en rente-verzekering vast, on beschouwt hiermede do
zaak als opgelost. Eenvoudiger kan het al niet. Ja zelfs dat
vermoeden wordt ternauwernood gerechtvaardigd, door to
zeggen, dat do praktijk heeft doon zion dat het vastgestelde
maximum niet to hoog is. Vraagt men intusschen hoe voor-
zichtig men is, dan moet men liet antwoord gohcel en al
schuldig blijven.

Nu zou men zich bij eene dergelijke rinvo wijze van den
knoop door te hakken kunnen neerleggen, wanneer hot een
kwestio gold van onderge.schikt belang. Dit is hier echtor niet
het geval. In de eorsto en voorniuamste pUuits is dat der
verzekerden er rechtstreeks mede gemoeid. Is er op woten-

(1) lloowol in hot vorvol;,\' iilloon rtprnk« znl zijn vnn imintHchnppijtMi vnn
lovonHvorzokiTing, znl t«Mih hot Krootxti« <1im>1 «lor to lioinlon l)i\'sphou\\vin;,\'«\'n,
Hnitntirt iniitniiiliH, kuniiiMi worden toi\'jjcpiixt op andero Hoorton viui iiiaa»-
Holiappjjoii van vorzoktirinff.

schappelijken grond een bedrag aan te wijzen, waar boven
eene maatschappij niet mag gaan, zonder het nakomen van
hare verplichtingen in de waagschaal te stellen, dan behoort
dat bedrag berekend te worden, en is een vermoeden alleen,
dat men, door er een slag in te slaan, er wel onderblijft
geen voldoende waarborg.

Maar in de tweede plaats is het een kwestie, waarbij zij
belang hebben, die eensdeels met hun kapitaal borg staan
voor het nakomen dier verplichtingen, maar daarom ander-
deels ook aanspraak hebben op de te maken winsten. En
waar nu door de woorden van Laurent, waar hij zegt: (1)
„qu\'aucune compagtiie ä notre cotinaissance n\'a jamais nssuré
une somme, atteigmint la dixième partie de son plein" het
vermoeden ontstaat, dat geheel onnoodig, d. w. z. zonder dat
de belangen der verzekerden er door geschaad zouden worden,
men een zeer belangrijk deel der winst jaar in jaar uit prijs
geeft, dan gaat het moeilijk meer om hier te spreken van
een ondergeschikt belang, en moet er een andere reden be-
staan, waarom men bij de bepaling van het maximum van
verzekerd bedrag tot zoo\'n huismiddeltje zijn toevlucht neemt.

Die reden is niet ver te zoeken. In de overigens vrij uit-
gebreide litteratuur der levensverzekering is zeker geen
onderwerp op meer stiefmoederlijke wijze behandeld geworden,
dan het maximum van verzekerd bedrag. Het is opvallend,
hoe, het belang dezer kwestie in aanmerking genomen, zelfs
uitgebreide werken over do mathematische theorie der levens-
verzekering halir öf in het geheel niet of slechts zeer terloops
en onvolledig behandelen. Zoo geeft Dormov (2), wiens werk,
bestaande uit twee dikke deelen, do wiskundige theorie der
levensverzekering overigens tot in den grond toe behandelt,
omtrent dit punt niet anders dan do belofte\', om in het
tweede deel de theorie der afwijkingen or op toolepas.son,
eene belofte, die overigens .slecht wordt nagekomen, want
daar ter plaatse ontslaat hij zich eenvoudig van de moeite
door te verwijzen naar de theorie van Laurent (1).

(1) H. liAtJlUINT. Tlieoriü ot Pratiquc «les Asauninceii «ur ia vle jiajj. 117.

Werkelijk schijnt deze theorie, tot voor korten tijd de
eenige te zijn geweest, die het probleem van het mcuimum
van verzekerd bedrag trachtte optelossen. Het schijnt echter
dat zij weinig bekendheid heeft genoten, hetwelk waarschijn-
lijk een gevolg is van de ineengedrongen wijze waarop Laurent
haar ontwikkelt. Of zij ooit in de praktijk is toegepast, is
aan rechtmatigen twijfel onderhevig.

Verleden jaar is deze theorie bestreden geworden door ecn
der meest bekende Nederlandsche wiskundigen op het gebied
van levensverzekering n.1. Corneille L. Landré. (1)

De conclusie waartoe Landré komt, is dat de theorie van
Laurent geheel is te verwerpen. Ik kan hem echter de gron-
den die hij hiervoor aanvoert niet toegeven, en heb daarom
Laurent\'s theorie van nieuws aan ter hand genomen, en
daarbij niet geschroomd do meest mogelijke uitgebreidheid in
acht te nemen. Zij is vervat in de drie eersto hoofdstukken
van dit proefschrift. \'

Naast de theorie van Laurent hebben in den laatsten tijd
twee nieuwe theoriön over dit onderwerp het licht gezien
beide afkomstig van twee op het gebied der levensverzeke-
ring zeer bekende Nederlandscho wiskundigen, den reeds go-
noemden Corneille L. Landré on Dr. Q. .1. D. Mounieh.

De eerste hoeft zijne theorie ontwikkeld in zijn niet minder
bekend leerboek „Wiskundige Hoofdstukken voor Levens-
verzekering", de laatste in het Archief voor Vorzekerings-
wetenschap. Dl. I All. 0. Aan beldo theorißii is een hoofdstuk
gewijd.

Doch hiermede schijnt do litteratuur over dit onderwerp
dan ook te zijn uitgeput. Ik althans hel) or niet meer van
kunnen vindon. (2)

Mag intiisschen uit oen on ander worden opgemaakt dat
het vraag.stuk in don laatsten tijd meer en moer do aandacht

(1) Arcliiof voor Vorzokorinpiwotoiisplinp Hl. I, Afl. L
(\'.J) Voor korton tijd is in iln „l\'uhlioiitionH of tlio Ao.ttiariiil Society of
Aniorioa vorrtoiicnon oi-n «tuk p-titcld: A nioflioil of Mciisuring tlio iniiximuni
ninoiint wliicli un Iimiirnnoo Coinpiiny nmy projwrloy ns^tnnio on ii wingli\'
risk. Tot nijjn lootlwozon licb ik «Ut «tuk niot tjjilig gonoog moer kiinnun
ninchtig worden om hot liior oono plautH to kunnen govon.

der wiskundigen gaande maakt, aan den anderen kant kan
het geen verwondering meer baren, als men in aanmerking
neemt, dat de juistheid van Laurent\'s theorie in twijfel
wordt getrokken, de theorie van Landré leidt tot een maxi-
mum, dat niet grooter is dan het dubbel van het gemiddeld
verzekerd bedrag per hoofd, een bedrag waar alle maatschap-
pijen boven gaan, en ver boven gaan, terwijl eindelijk de
theorie van Dr. Mounieb tot de conclusie voert, dat er geen
maximum van verzekerd bedrag is, maar dat men, zonder
de belangen der verzekerden te schaden, mits met in acht
nemen eener voldoende risico-reserve elk bedrag, hoe hoog
dit ook zij, op één hoofd mag aannemen voor eigen risico,
dat de maatschappijen aarzelen eene oplossing te aanvaarden
wier juistheid niet boven allen twijfel verheven is, en in
afwachting daarvan den weg blijven bewandelen, die, zoo zij
al niet de voordeeligste, dan toch veilig gebleken is.

§ 1. Uit een wiskundig oogpunt beschouwd is eik contract
van levensverzekering niets anders dan een kansspel, en kan
elke maatschappij die zich hiermede bezig houdt vergeleken
worden met een gewone speelbank, waarbij de verzekerden
als spelers optreden. Do premiön die zij betalen vormen den
inzet, do uitkeeringen der maatschappij zijn do te winnen
prijzen.

Hoewel dezo vergelijking wellicht eenigszins vreemd mag
klinken, zoo is zij niettemin juist, en we zullen ons meer-
malen genoopt zien er gebruik van te maken, wijl ze in vele
gevallen do voorstelling zeer verduidelijkt.

Bij het bepalen van hot bedrag dat elk der spelers moot
inzetten, gaat do maalschai)pij uit van twee grondslagen.

Daar do uitkeeringen dio zij zal hebben to doen, afhangen
van het overlijden of in loven zijn van hare vorzekerden oi)
bepaalde tijdstippen, moot zij kennen do waarschijnlijkheden
dezer evenenionton. Deze vindt zij in do door haar gebozigdo
sterftetafois, dio don eersten grondslag vormen voor do bere-
kening van don inzet.

Mot het gebruik dezer sterftetafois zij men intusschen zeer
voorzichtig. Wanneer zoo\'n tafel aangeeft, dat vau do 100
veertig-jarigen er in don loop van het eerst volgende jaar
10 overlijden, dan wil dit zeggen dat do kans van iemand,
waarvan men niets anders weet, dan dat hij veertig jaar is,
oni in don loop van liet eerstvolgendo jiuir to sterven \'/lo is.
Dio waarde is intusschen slechts een geniiddeldo waarde Zoo
zal do sterftekans van oen veertigjarigen mijnwerker grooter
zijn dan dio van een rontoiiior van dien leeftijd. Geneigd als

men nu is, om elk vraagstuk van waarschijnlijkheidsrekening
terug te brengen tot een bak met ballen van verschillende
kleuren, al naar gelang van omstandigheden, zou men meenen
in bovenstaand geval de levenden op 40-jarigen leeftijd te
kunnen vervangen door een bak met witte en roode ballen,
in verhouding van 10:1. Deed men dit, dan zou men echter
juist de fout begaan, waarvoor door Bertkand (1) zoo met
nadruk wordt gewaarschuwd, maar waar niettegenstaande
deze waarschuwing herhaaldelijk tegen wordt gezondigd, dat
men n.l. de sterftekansen van alle veertig-jarigen, die nu
gerepresenteerd worden door de roode ballen, identiek aan
elkaar gelijk stelt. Veeleer doet het voorbeeld van den mijn-
werker en den rentenier zien, dat men inplaats van 10 roode
ballen er 10 van verschillende kleur moet nemen, en wel
van de eene kleur meer dan van de andere, naar gelang de
sterftekans van de eene categorie van veertig-jarigen grooter
is dan dio van de andere. De gemiddelde sterftekans wordt
daardoor niet gewijzigd, maar wel die voor elk individu in
het bijzonder. Waar het er nu op aankomt do premie te
berekenen die een veertig-jarige zou moeten betalen, voor
eene uitkeering bij overlijden binnen het jaar, zal het gebruik
van de sterftetafel ook leiden tot eene gemiddelde waardo
wat door elkaar genomen weinig hindert. Maar heel iets
anders wordt de zaak, waimeer men op zoo\'n groep van
personen wil gaan toepassen do theorie dor afwijkingen.

Bekend is dq stelling uit de theorie dor waarschijnlijkheids-
rekening, dat wanneer w do waarschijnlijkheid is van een
evenement JÜ en (I — 20) dio van het tegengestelde, en men
neemt s proeven, waarbij s groot wordt ondersteld, do waar-
schijnlijkheid dat op deze s proeven het even.ement E een
aantal malen voor zal komen inliggondo tusschen
gelijk is aan:

De afleiding dezer wet, onderstelt nadrukkelijk, dat de
waarschijnlijkheid lo van het evenement bij elke proef dezelfde
is. Wanneer raeii nu een groep van s personen heeft, die
allo veertig jaar zijn, en men mocht veronderstellen, dat de
kans van iemand van dien leeftijd om binnen het jaar te
sterven louter en alleen afhing van zijn ouderdom, m. a. w.
dat de waarschijnlijkheid voor elk dier s personen om binnen
het jaar te overlijden volmaakt dezelfde was dan ware tegen
het gebruik van formule (1) ter berekening van de waarschijn-
lijkheid eener afwijking der sterfgevallen, van het meest waar-
schijnlijke aantal binnen zekere grenzen niet het minste bezwaar.

Nu dat echter niet het geval is, is het toepassen van
formule (1) op dit geval zonder nader bewijs ton eenon male
ongeoorloofd.

Ter gelegener plaatse komen we hier nader op terug.
Voorloopig zij dit voldoende om aan te toonen dat de sterftc-
tafels dio door do maatschappijen van levensverzekering voor
de berekening der premiön worden gobozigd voor dezo slechts
kunnen goven eeno gomiddoldo waarde.

Bij het borekonon eener promio kent men nu aan olkon
to verzekeren persoon een sterfte- of levenskans toe, die
volgens do sterftoUvfel overeenkomt met zijn leeftijd, cn be-
rekent nu do premie zoodanig, dat do mathematischo hoop
van deu vorzokordo gelijk is aan dio dor maatschappij,
m. a. w., maatschappij en vorzekerdo wordon geacht gelijk
spel to spelen. Een eenvoudig voorbeeld moge dit duidelijk
maken. Nomen wo het geval, dat iemand oud a jaren, zich
verzekert voor ceno uitkeering bij overlijden togen promio
in eens. Zij het aantal levendon op den leeftijd a, d., hot
aantal, dat hiervan volgens do storftotafol op dien ouderdom
sterft (1), het verzekerd bedrag gelijk aan do eenheid, dan
heeft do verzekerde achtorconvolgons do kansen:

(1) OotnnkHluilvo, is geen correotio nangobraolit voor ovorlijtlon in don
loop van hut jaar, terwjjl hior on ook in iiot vorvolg alloon gorokond zal
wordon mot netto promiPn, in do ondorHtelling dat do opshig juist diont tot
dokking dor adminiatratiokoston.

dit bedrag te winnen. Disconteeren we elk bedrag tot op
het oogenblik, waarop de verzekering wordt gesloten, tegen

Zij X de premie, die hij zal betalen, dan is het bedrag
hiervan tevens de mathematische hoop der maatschappij,
aangezien zij de zekerheid heeft haar te ontvangen. Zullen
beide partijen nu gelijk spel spelen, dan moet:

of, noemen we het gedisconteerd aantal levenden, r„ het
gedisconteerd aantal dooden, 2: t„ de som dezer laatsten van
af den leeftijd a tot den hoogsten leeftijd van de stertetafel,
dan is:

Dit voorbeeld doet terstond zien, dat de waarde dor promie,
behalve van de sterftekansen, ook afhangt van den rente-
voet. Dit is dan ook de tweede grondslag, waarop do
berekening dor. premiön berust, en we zien gemakkelijk dat
naarmate deze hooger is, do premie lager is, en omgekeerd.

Hoewel in den regel een contract van levensverzekering
vele jaren kan duren, neemt men toch bij do berekening der
premie, den rente-voet gedurende dien tijd constant aan. 01-
schoon we den invloed van eene verandering hierin eerst
later zullen nagaan, kan hier toch reeds worden opgemerkt,
dat wanneer de rentestaiidaard gedurende het verloop dor
verzekering daalt, de premie to laag is, en dus do mathe-
matische hoop van den verzekerde grooter wordt dan dio-
der maatschappij en omgekeerd.

§ 2. Gaan we na, welke beteekenis de premie-reserve
krijgt in onze vergelijking van eene contract van levensver-
zekering met een kansspel.

Kiezen we daartoe in de eerste plaats weder het voor-
beeld der vorige §. We vonden daar voor den inzet van den

tegen premie in eens, deze terstond als reserve wordt be-
legd. Het spel is nu ten einde als de verzekerde overlijdt,
hetgeen zeker eens zal gebeuren. Eerst dan kan worden
uitgemajikt, hoeveel elk der partijen heeft gewonnen of ver-
loren.

Nemen we in de tweede plaats iemand, die zich eveneens
verzekert voor eeno uitkeering bij overlijden, maar nu tegen
eene gelijkblijvende jaarpremie. Het is bekend, dat deze jaar-
premie in den beginne hooger is dan het bedrag dat do ver-
zekerde zou betiilen, indien hij zich elk jaar opnieuw telkens
voor één jaar verzekerde, en later lager wordt. Het is daarom
dat de maatschappij van die eerste premiön telkens iets
reserveert, voor den tijd dat do premiön te laag worden.
Verzekerde zoo iemand zich elk jiuir opnieuw tegen een toe-
nemende premie, dan zou dezo steeds overeenkomen met het
risico van dat jaar en was or dus geen roservo. Do praktijk
maakt dit intusschen onmogelijk, maar eischt dat beide
partijen zich in eens verbinden voor hot geheele loven. Men
ziet nu gemakkelijk in, dat die reserve eigenlijk niets aiulers
is dan den reeds betaalden inzet voor een gedeelte van hot
spel dat nog moet plaats hebbon on waaromtrent nog niet
beslist is wie van do beide partijen heeft gewonnen.

Welko vorzokoringswijzo men nu ook kiest, steeds zal men
tot do conclusie komen, dat do reserve niots anders is dan
do reeds betaalde inzet van spelen die aan don gang zijn.

Uit dit oogpunt beschouwd is het aanwezig zijn der gowono
premie-rosorvo in do kas der maatschappij do meest natuur-
lijke zaak van do wereld. Eeno maatschappij dio hierin in
gebreke bleef

zou gelijk staan mot b.v. den houder van oen
speelbank, die don inzet dor spelers reeds als winst beschouwde
voor dat do vorschillondo si)elon waren afgeloopen.

Aan den anderen kant ziet men gemakkelijk in, dat die
inzet alleen., nimmer een waarborg zijn kan voor het nakomen
der verplichtingen, veel minder nog wanneer er gelijk spel
wordt gespeeld.

Ja, wordt er gezegd, maar de reserve is ook alleen maar
die waarborg als de sterfte, om van den interest maar niet
eens te spreken, aan de daaromtrent gemaakte onderstelling
beantwoordt. Dit is volkomen waar, maar is er eenige kans
dat de sterfte aan die verwachting zal beantwoorden, en is
die kans zoo groot, dat zij recht geeft, om de reserve alseen
waarborg te beschouwen, dat de maatschappij ten allen tijde
hare verplichtingen zal kunnen nakomen? Het antwoord op
deze vragen is kortweg „neen". De waarschijnlijkheid dat de
sterfte plaats heeft volgens de sterftetafels, ook al koos men
deze volmaakt in overeenstemming met de werkelijke sterfte-
kansen der verzekerden, is nagenoeg „nul".

Stellen we ons voor een groep van 24 personen met gelijke
sterftekans S\'^, allen verzekerd voor eene uitkeering bij over-
lijden binnen één jaar, en wel 16 voor een bedrag a en 8
voor een bedrag h.

De premiën voor elk dezer beide groepen, die wo door I en
H zullen aanduiden, worden terstond gevonden uit do verge-
lijkingen:

Dit bedrag vormt nu voor do maatschappij de reserve.
Daartegenover sbiat dat zij de volgende kansen heeft om
de daar achter vermelde uitkceringon te doen;

Vermenigvuldigt men elk dezer waarschijnlijkheden mot
het overeenkomstige bedrag, en telt men deze produkton bij
elkaar op, dan verkrijgt men weder de mathematische hoop
voor de geheele groep der verzekerden. Men vindt daarvoor
zooals het behoort 4 a -f 2 Beide partijen spelen dus gelijk
spel. Onderstellen wo nu b >a, dan zijn de vier eerste
bedragen grooter, do beide laatste kleiner dan 4 a 4- 2 ö. Üc
kans, dat een der vier eersto bodnigeii zal moeten wordon
uitgekeerd, en dat dus do nuuitschappij verliest, is de som

ovorlijdon, is do kans nog maar dat zij, dio over-
lijden, zoodanig over do beido groepen vordeold zijn, dat juist
do reserve ziil worden uitgekeerd. Daar stiiat oono nagenoeg
- oven groote kans tegonover dat or meer en dat or minder
iial mooton worden uitgekeerd. Wat beteokont nu in dit geval
do reserve als waarborg dat do maatschappij hare verplich-
tingen zal kunnen iiakomon? Iminors nagenoeg niets. Maar
nog meor. Er kumioii meor, en or kunnen ook minder dan
personen van do gehcelo groep overlijden. En nomon wo nu
maar gemakshalvo ;uin, dat do sterftekansen van allen onder-

ling identiek aan elkaar gelijk zijn, dan is de waarschijnlijk-
heid, dat er van de 24 inderdaad slechts 6 zullen sterven:

en dus de waarschijnlijkheid, dat van die 6 sterfgevallen er
4 behooren tot groep I en 2 tot groep II slechts:

Neemt men nu in aanmerking, dat hier eene kans van
0,94 tegenover staat, dat een ander bedrag zal worden uitge-
keerd; dat wegens de gelijkheid van het spel de waarschijn-
lijkheid, dat dit grooter zal zijn dan de reserve nagenoeg
gelijk moet zijn aan de waarschijnlijkheid, dat het kleiner zal
zijn dan deze, dan zal men toch zeker niet meer kunnen
beweren, dat het hier in dit geval der maatschappij geoor-
loofd is, alleen met hare reserve het einde van het jaar af
te wachten, om te zien of zij dan al of niet hiermede uitkomt.

Men zou hiertegen kunnen aanvoeren, dat men bij dc
berekening der reserve onderstelt dat de groepen groot zijn.

In de eerste plaats zou hiertegen kunnen worden opge-
merkt, dat dit den verzekerden weinig baat, als in de prak-
tijk ook niet werkelijk aan dio onderstelling is voldaan; maar
in do tweede plaats gaat het argument niet op, omdat, naar-
mate do groép grooter is, do waarschijnlijkheid, dat het
meest waarschijnlijke aantal zal overlijden kleiner wordt.

Om dit nader aan te toonen, nemen we eens een groep
van s personen, waarbij s zoo groot wordt ondersteld, dat
we de wet der groote getallen mogen toepüssen. Zij do
sterftekans van allen w, de verzekerde bedragen onder-
ling gelijk a, uit to keeren bij overlijden binnen het jaar,
dan is dus het bedrag dat de maatschappij voor dezo groep
als reserve bewaart sioa, zijnde tovens do som dio door de
gezamenlijke verzekerden is betaald.

Sterven er nu meer dan sw dan verliest do maatschappij,
terwijl zij wint, wanneer or minder dan sio overlijden. Nu
is de waarschijnlijkheid dat er een aantal zal overlijden inlig-

en dus de kans dat er meer dan sw sterven even groot als
die dat er minder overlijden, terwijl de waarschijnlijkheid
dat er juist sw overlijden een differentiaal, d. i. praktisch als
„nul" kan beschouwd worden.

Eene maatschappij, die onder zulke omstandigheden alleen
met hare reserve in kas, het einde van het jaar afwaciitte
zou dus een kans één tegen één hebben van hare verplich-
tingen niet of wel te kunnen nakomen, wat toch zeker door
niemand als een bewijs van soliditeit zal worden aangemerkt.

Wat we hier voor oen hoogst eenvoudig geval hebben
aangetoond, zullen we straks voor de meest ingewikkelde
combinatie van verzekeringen bewijzen. Dit bewijs is te dan-
ken aan Laurent (1). De vraag die hij zich stelt is zoo alge-
meen mogelijk, en is deze: ,,wat is, bij dc bestaande vmlediug
der verzekerde bedragen, bij mogelijke afwijkingen in de sterfte
en intereM, de waarschijnlijkheid, dat de maatschappij in de
toekomst aan haar Vfrzekerdcn een bedrag zal hebben uit tc
keeren., waarvan de contante waarde is A?"

Alvorens t^t het beantwoorden dezer vraag over to gaan,
J^ullon we eenige stellingen bewijzen, dio we bij hot bepalen
dezer waarschijnlijkheid zullen noodig hebben.

Zij O, oen dor contracten eener maatschappij; zijn a,,, a,^ enz.
do contante waarden der bedragen, wier kansen oni to moeten
worden uitgekeerd krachtons deze verzekering zijn :;>,„
onz.; dan i.s, in do onderstelling dat enkele dior bedragen
a ook negatief of nul kunnen zijn, steeds L

Alvorens tot het algemeen bewijs dezer stelling ovortogaan,
is hot wellicht niet ondienstig haar door oen paar voorhoeldon
optelioldoren.

Zij O,- eene levenslange verzekering voor uitkeering bij
overlijden, ten bedrage van de eenheid, gesloten door een
thans «-jarige tegen premie in eens.

Is dan da het aantal a-jarigen dat op dien leeftijd sterft,
la het aantal levenden volgens de sterftetafel op dien leeftijd,
dan ziet men terstond in, dat de maatschappij achtereenvol-
gens de kansen = Pii = \'Ii±l g^z. heeft om bedragen

Onderstellen we, dat dezelfde verzekering is gesloten tegen
eene gelijkblijvende jaarpremie m.

Overlijdt dan de verzekerde in den loop van het eerstvol-
gende jaar (2), waarvan de kans weder is j),, dan is dus

de contante waarde der uitkeering, het verzekerd bedrag, ver-
minderd met één premie. Derhalve is rt,i = (1—?»). Overlijdt hij

tante waarde- der uitkeering die van het verzekerd bedrag
verminderd met die van twee premiön, dus:

(1) Dfi notatio da ondorstoU weder dnt het uvcriijdon plnnt« henft hjj den
aanvang van het jaar. Dc intcreHt wordt fjedurendo den «luur van liet contract
ondersteld oonütant te plijven.

(2) Wü Htcllen ons voor to «taan aan liet begin van dat jaar, zoodat ook
nog do premie voor dat jaar moet worden betaald.

We willen hier van de gelegenheid gebruik maken, om de
beteekenis na te gaan van de uitdrukking .t, =: 2" «yeen
grootheid, waarvan we in het vervolg een veelvuldig gebruik
zullen maken.

is niets anders dan do koopsom op den tegenwoordigen leef-
tijd, d. i. als r„ het gedisconteerd luintal dooden, het

Zij Oi eene verzekering voor eene uitkeering gelijk aan de
eenheid bij in leven zijn over n jaren, tegen eene gelijkblij-
vende jaarpremie ten bedrage van m.
Dan is:

t n-1
la

Ig \\ n

Pin =

Pin ! 1 =

(Ig >1 — 1 I Ig I- H _ <

la ^ la ~

Als vierde voorbeeld willen we een geval behandelen waarbij
één persoon twee verschillende

Zij het eene contract eene tijdelijke verzekering voor uit-
keering bij overlijden binnen n jaren tegen een jaarpremie m,
het andere eene kapitaalsverzekering voor uitkeering bij in
leven zijn over n\' jaren, tegen eene jaarpremie m\'en is >n,
dan heeft men achtereenvolgens, als de verzekerde bedragen
beide gelijk zijn aan de eenheid:

cn ziet men gemakkelijk in, dat weder x, = 2\'a,de reserve
\'« van boido contracten to zjimen. Wo morkon hierbij op,
dat WO ook voor hot vervolg meordero contracten op één
lioofd ge.sloton, zullen bescliouwen als één enkele verzekering,
»«etgeen altijd mogelijk is.

Zij O,- een weduwe-pensioen, terwijl de man a de vrouw h
jaren oud is, en de premie in eens Is betaald.

Het volgende schema geeft dan de kansen die de maat-
schappij heeft de daarachter geplaatste contante bedragen te
moeten uitkeeren:

terwijl elke kans, vermenigvuldigd met de overeenkomstige
uitkeering, en doze producten gesommeerd, weder de koop-
som op den tegenwoordigen leeftijd aangeeft.

Ofschoon zich uit deze voorbeelden al wel reeds hetbe.sluit
laat trekken, dat de stelling doorgaat, voor elke wijze van ver-
zekeren is echter het algemeen bewijs niet moeilijk te leveren.

Zijn toch a,], a,i enz. do contante waarden van eventueele
uitkeeringen met kansen Piu p,2 enz., dan kan men vragen,
wat de waarschijnlijkheid is, dat de maatschappij één dier
bedragen, onverschillig welk, zal uitkeoren. Volgens het
beginsel der totale waarschijnlijkheid is die kans gelijk
aan ^Pij.

Nu kan Pij nooit grooter zijn dan do eenheid, want oeno
waarschijnlijkheid grooter dan één bestaat niet. Ls dan

Pa < 1 dan is 1 — .l\' pij blijkbaar de kans, dat de maat-
schappij niets behoeft uit te keeren. Voegen wo dus ook dit
bedrag bij de overige dan is steeds Pij= 1.

Van deze stelling zal bij de verdere ontwikkeling van de
theorie van Laurent een veelvuldig gebruik worden gemaakt.

§ 4. Het theorema van M. Laurent (1).
Is eene functie van de veranderhjke 2; = x i ?/ holomorph
binnen een gebied, begrensd door twee concentrische cirkels
met stralen r en r\' terwijl r > r\', dan is zij ontwikkelbaar
naar de geheele positieve en negatieve machten van de ver-
anderlijke, en deze ontwikkehng is convergent binnen dat gebied.

^ij f {z) de gegeven functie, leggen we den oorsprong in
het gemeenschappelijk middelpunt der beide cirkels, dan kan
volgens Cauchy de waarde der functie f [z) in eenig punt t
binnen het ringvormig gebied, dat door de beide cirkels wordt
begrensd, voorgesteld worden door de integraal:

in de onderstelling, dat deze integraal genomen wordt over
de beide omtrekken der cirkels, en deze daarbij in zoodanige
richting worden doorloopen, dat we steeds het ringvormig gebied

wanneer beide cirkels in positieven zin, d.i. tegengesteld aan
dien van do wijzers van een uurwerk worden doorloopen.
Merken we nu op dat:

(1) M. IjAUkknt wa» knpitcin dor gonio, on niO(*t niot vorwnnl wonion mot
H. liAUKKNT, wiens thoorio wo thans hozifj zijn to ontwikkelen.

Hiermede is het eerste deel van hiet theorema bewezen.
Om aan te toonen, dat beide reeksen convergent zijn voor
waarden van t binnen den ring, beschouwen we eerst de
reeks van de positieve machten van t. Noemen we de reeks
S, de som der n -h 1 eerste termen S„ „ de rest R dan is:

Is nu M do maximum modulus van ƒ (z) op den cirkel met
straal r, en ri de modulus van dan is

van f {z) vervangen door de maximum waarde M, ter-
wijl in den noemer in plaats van mod. (s — i) geschreven
wordt r—Ti, d. i. dus in de plaats van den modulus
van een verschil, het verschil der moduli,
20. omdat we in de plaats van den modulus van de som
der elementen van de integraal nemen de som hunner
moduli.

A fortiori is dus ook lim. mod. li = o, waarmede is aan-
getoond, dat deze reeks convergeert. Op goheel analoge wij zo
bewijst men, dat ook de reeks der negatieve machten van t
convergent is, mits men opmerkt, dat dan voor elke waarde
van t binnen het ringvormig gebied mod. z < mod. t.

8 5. Bepaling der waarschijnlijkheid, dat eene maatschappij
krachtens haro looponde contracten in do toekomst eene uit-
keering zal hebben to doen of een bedrag zal liobbon tc ont-
vangen, waarvan do contante waardo is A.

(Ier bedragen, wier kansen dat zij zullen moeten worden uit-
gekeerd resp. zijn p,2____p,j____; dan kan men, wan-
neer men deze bedragen en waarschijnlijkheden ovenzoo voor
allü verzekeringen opmaakt, vragen naar de waarschijnlijkheid,

dat de maatschappij een bedrag zal hebben uittekeeren of te
ontvangen, waarvan de contante waarde is A.

We maken daarbij gebruik van de volgende steUing uit de
waarschijnlijkheids-rekening:

Wanneer een evenement jE kan plaats hebben door ver-
schillende oorzaken Gx C2----C,- .... die elkaar wederkeerig

als li voorstelt de waarschijnlijkheid dat E zal plaats hebben
als de oorzaak C, iu het spel is, en /t, de waarschijnlijkheid,
dat C, in het spel is.

In ons geval is het evenement E het feit, dat de contante
waarde der eventueele uitkeeringen gelijk is aan A. Elke
wijze, waarop men de bedragen akan combineeren, zoodanig,
dat hun algebraïsche som gelijk is aan A (1), is een oorzaak,
waardoor dit evenement kan plaats hebben, en de waarschijn-
lijkheid, van elk dier oorzaken, is gelijk aan het produkt van
die grootheden die behooren bij do bedragen a wier com-
binatie de som A geeft. Is een dier oorzaken in het spel dan
heeft E zeker plaats, m. a. w. de grootheden X zijn in ons
geval alle gelijk aan de eenheid.

Het komt or dus op aan het aantal combinatiön to vinden
van de grootheden a, wier algebraïsche som gelijk is aan A,
vervolgens de waarschijnlijkheid van elk dier combinatiën to
berekenen en\' deze waarschijnlijkheden bij elkaar op te tellen.
Hun som is dan de gevraagde waarschijnlijkheid.

(1) Ilicrby moet wordon opgemerkt dut in elko oombiniitio goen twoo of
meer bedragen a mogon voorkomen dio op een verzekering betrokking iiobben.

dan is blijkbaar de gevraagde waarschijnlijkheid niets anders
dan de coefficient van ^ in de ontwikkeling van dit produkt.

Evenzoo is de kans, dat de contante waarde der uitkee-
ringen zal zijn —A, m. a. w. dat de maatschappij een bedrag
zal ontvangen, waarvan de constante waarde is A, de coeffi-
cient van z-^ in deze ontwikkeling.

Onderstellen we nu de munteenheid zoo klein gekozen (bv.
de cent), dat de grootheden a alle geheele getallen zijn en
beschouwen we z als eene complexe veranderlijke, dan is de
functie f [z) holomorph binnen een ringvormig gebied, begrensd
door t\'^/ee cirkels met stralen R en r van eindige grootte
om den oorsprong als middelpunt beschreven. Volgens het in
§ 4 bewezen theorema zijn dan de coefficienten van z\'^ en z\'^
in de ontwikkeling van ƒ {z) volgens do geheele positieve on
negatieve machten der veranderlijke:

b. Bij de integraal welko dient ter bepaling van Pa beweegt
~ zich langs een cirkelomtrek met straal R en kan derhalve
vervangen worden door Rc\'^. Dientengevolge wordt dz =
iRe>(^d{r on dus:

Het is met behulp van deze vormen niet moeilijk inte-
zien, dat inderdaad Pj en P-a onafhankelijk zijn van de
grootte van R en r. f (Reigeeft toch in hare ontwikke-
ling alleen termen van den vorm GR-"\'\' e - \' zoodat P^
geschreven kan worden in den vorm:

Hierin zijn nu m, m\' en Ä geheele getallen, terwijl C en G\'
functiön zijn van de grootheden p. Nu is olke integraal
waarvan de grenzen 2n uit elkaar liggen over eene gehcelo
macht van nul, zoodat in de uitdrukking voor Pa alleen
die term overblijft, waarvoor m = -f en in die voor
de term waarvoor m\' = — A. Dientengevolge wordt:

We zullen liiervan gebruik maken door zoowel R als r
gelijk te stellen aan de eenheid. Dan wordt:

en ontwikkolen we hiervan elk der termen volgons de reeks
van e", dan krijgen wo:

Boze reeksen zijn allo absoluut convergent voor allo waar-
den van en zijn het dus nog, als de termen van elk dor
reeksen met den overeonkomstigen factor p worden vermenig-
vuldigd. Bovendien is hun aantal oindig, zoodat hot geoorloofd
is de ovoreenkomstigo termen bij elkaar optetellon, en do
niouwo rooks:

. . ) X

Beschouwen we van deze som den term log (1 v,).
De uitdrukking, die we gelijk stelden aan 1 - v„ is oorspron-
kelijk ontstaan uit den factor:

Het zal nu in het vervolg van dit Hoofdstuk blijken, dat
f {e \' nog slechts merkbare Wciarden heeft voor waarden van
die zoo klein zijn, dat we cos a,j ^^ — 1 mogen stellen
en sin a.y {> = a,j n. Dit voorloopig aannemende, wordt

We gaan nu gebruik maken van tweo stellingen uit de
theorie der reeksen, die luiden als volgt:

1°. Zij twee reeksen absoluut convergent, dan is de reeks
welke men verkrijgt, door ze met elkaai- to vermenig-
vuldigen, nog absoluut convergent.

vergent is voor de waarde der veranderlijke binnen
een cirkel, dan is de reeks f {z) dit ook binnen dien
cirkel, en mag gerangschikt worden naar de opklim-
mende machten der veranderlijke z.
Met behulp van deze stellingen leidt men nu gemakkelijk
af, dat, daar:

^ v,
2

slotte ook de reeks:

Substitueeren we dus hierin de waarde van v,, dan mogen
we do nieuwe reeks rangschikken naar do opklimmende
machten der veranderlijke Doen we zulks, en stollen we:
- (hj Pij - a;,; 2\' Pij -- Zi.....dan vindt men:

\'.\'él

d. De hier gevonden waarden van Pa en P^a zijn nog
geheel algemeen. We gaan nu echter over tot het invoeren
van eenige bekortingen, waarvan we, om de redeneering niet
te veel te behoeven aftebreken, het geoorloofde voorloopig
zullen aannemen, om dan later hierop terug te komen

Ten einde het schijnbaar imaginaire deel uit de integralen,
waarin P^ en zijn uitgedrukt te verdrijven stellen we
u — — TT. Voorts verwaarloozen we in den exponent van
e de derde en hoogere machten van O- en stellen kortheidshalve

Zooals we straks zullen zien hebben alleen die elementen
dezer integralen nog eenige merkbare waarde, waarvoor ^^
weinig van nul verschilt. Daarom kunnen wo evengoed do
grenzen -f tt en — tt vervangen door -f- ® on — <», en
vinden dan:

Hiermede is do waarschijnlijkheid, dat do maatschappij een
bedrag zal hebben uittekeeren, waarvan de contante waarde
is A, zoomede die, dat zij een bedrag zal ontvangen, waarvan
A do contante waarde is, gevonden. Alvorens echter hel
gebruik te laten zien, dat men van deze formulen maken kan,
willen we even terugkomen op do verkortingen welke wo
ons hebben veroorloofd.

§ 6. a. Het verwaarloozen van de derde en hoogere
machten van & in den exponent van e.
Stellen we:

dan zien we, dat het produkt // uit zooveel factoren bestaat,
als de maatschappij verzekerden heeft.

Dit aantal is in den regel zeer groot, en kan gewoonlijk op
eenige tienduizenden worden geschat (1).
Stellen we nu:

Nu is elko modulus (? < 1 en alleen voor do waardo ^^ = O
gelijk aan do eenheid. Dit heeft tengevolge dat R dan alleen
nog maar oen merkbare waardo zal hebben voor zoodanige
waarden van O, waarvoor do moduli der factoren nagenoeg
gelijk zijn juiii do cenlieid.

(I) M»iii vorj^olijko hiornuMlo hv. (h> o|i},\'(ivpn van het aantal polisson hjj
oonigo No(l(.rlan(liwli(« niaatsoliaj)pii<\'n in liot jaarl)Ookjo voor liovonsvorzoko-
ring 189«.

is aan 0.045. Bij een sinus van deze waarde mogen we veilig
de siiius vervangen door den boog, zoodat:

Ontwikkelen wo elk der termen van de som in het tweede
lid volgons de reeks van l (1 s), terwijl wo ons bij de eer.ste
\'macht van s bepalen, dan wordt:

— 2 2\' 2- a,j fl.t Pik =
= Pa;\'i2 (a^i — 2 a,i a.a a^a) Pa Pi3 («^i— 2 aa a,-3 -f o^.a) . =
= 2 Pij Pik (dij - ctikY-

Hiermede is tevens aangetoond, dat de som {z — x\')
uitsluitend bestaat uit positieve termen, en dat het dus ge-
oorloofd is haar gelijk te stellen aan gp-

Gaan we thans over tot de bepaling van het argument
van dan merken we in de eerste plaats op, dat:

Daar U/j van dezelfde ordo ia als (a^j — a\'n) kunnen wodus
ook hier de sinussen in den teller vervangen door de bogen
en do cosinussen in den noemer gelijk stellen aan do eenheid.
Dit doende wordt:

\'C/ = hg {tg a aij pij) = a 2 «„• pij
terwijl we weder de hoogere machten van O in deze ontwik-

keling kunnen verwaarloozen. Stellen we ^aijp,j = Xi dan is
dus i// =: (f Xi en qp = O- 2- x, en wordt nu:

h. Uit het voorgaande blijkt, dat, wanneer het aantal ver-
zekerden slechts groot genoeg is, de integralen:

zeer nauwkeurig do gezochte waarschijnlijkheden voorstellen,
en dat, waar slechts zoodanige elementen dezer integralen
nog eenige merkbare waarde hebben, waarvoor sleclits
weinig van nul verschilt, aan deze nauwkeurigheid niet de
minste afbreuk wordt gedaan door de grenzen — n- en -f tt
te vervangen door — w en w.

c. De beide uitdrukkingen die we op pag. 28 vonden voor
Pa en krijgen nu een zeer eenvoudige beteekenis door
interpretatie van den vonn V = x. Wo zagen reeds bij
enkele voorbeelden in § 8, dat XiZ=± aij2)ij niets anders is
dan de reserve. Dit blijkt ook uit de volgende rodeneoring:
- (t.jPij verkrijgt men door elke uitkeering te vermenigvul-
digen met haar kans en deze produkten bij elkaar to tellen.
Die som stelt dus voor do mathematische hoop van den ver-
zekerde, d. i. den inzet, dien hij, bij gelijk spel zou moeten
betalen, wilde hij verzekerd worden op de voorwaarden waarop
nu de verzekering loopt.

Het is, dit in aanmerking nemende, nu duidelijk, dat, wan-
neer met inachtneming van do ontvangsten, de maatschappij
in de toekomst een bedrag zal hebben uittekeeren, waarvan
de contante wiuirde grooter is dan V, zij zal verliezen, on
daarentegen winnen, wanneer die contante waarde kleiner
is dan V.

P. naar de waarschijnlijkheid, dat zij een bedrag u zal ver-
liezen. Dan is dus A = V u. Substitueeren we deze
waarde in de formule voor P^ dan is:

2°. naar de waarschijnlijkheid, dat zij een bedrag u zal
winnen. Dan is ^ = F — m en wordt evenzoo:

Combineeren we deze twee, door te vragen, wat of de
waarschijnlijkheid is, dat zij een bedrag zal hebben uit te
keeren, waarvan de contante waarde van hare tegenwoordige
reserve een bedrag n afwijkt, en noemen we deze waarschijn-
lijkheid P,„ dan is:

De maatschappij verliest echter ook, wanneer, met het oog
op de uitkeeringen die zij zal hebben te doen, de contante
waarde van hare toekomstige baten negatief is en wel een
bedrag dat in absolute waarde grooter is dan V. De contante
waarde vah dit verlies is weder u als dio der ontvangsten
gelijk is aan — (F u). Door substitutie van deze waarde
voor A in de formule voor vinden wo weder de waar-
schijnlijkheid van dit verlies, dio dus wordt:

Daarentegen wint zij weder een bedrag u wanneer de con-
tante waarde der toekomstige baten gelijk is aan — F -f u.
Substitueeren we dit in do formule voor dan wordt
weder do waarschijnlijkheid dezer winst:

Vatten we deze uitkomsten samen, dan leiden we deze
gevolgtrekkingen daaruit af:

2®. is P„ de waarschijnlijkheid, dat de contante waarde der
toekomstige uitkeeringen van de tegenwoordige waarde
der premie-reserve zal afwijken een bedrag j: n, d. w. z.
is P„ de waarschijnlijkheid dat de maatschappij een
som zal verliezen of winnen waarvan de contante
waarde is dan is:

4®. de meest waarschijnlijko contante waarde der toekom-
stige uitkeeringen in de reserve zelf.

§ 7. In do praktijk vraagt men naar do waarschijnlijkheid
dat de winst of het verlies gelegen zal zijn tusschen bepaalde
grenzen b.v. O en Stellen we dezo waarschijnlijkheid voor
door (j. {h\\ noemen wo y de kans, dat dit bedrag inligt tus-
schen u en n -i- dan is volgens het beginsel der totale
waarschijnlijkheid de kans dat het inligt tusschen O en -1- Ou

Hierin is 9\' (?/.) do ordinaat, behoorende bij de abscis n van
de waarschijnlijkheidskrommo, d. i. P„. Dientengevolge is:

Wil men de waarschijnlijkheid, dat er een bedrag waarvan
de contante waarde inligt tusschen O en u gewonnen zal
worden afzonderlijk bepalen, dan vindt men geheel op dezelfde

men voor de waarschijnlijkheid, dat er een bedrag verloren
zal worden, waarvan de contante waarde tusschen deze
grenzen inligt.

§ 8. Alvorens te doen zien welke toepassingen men van
deze formule maken kan, willen we nog even terugkeeren
tot den vorm, waarvan we zijn uitgegaan, om duidelijk hare
algemeenheid in het oog te doen springen.

In de eerste plaats zij dan opgemerkt, dat de bedragen a
niets anders voorstelden dan de contante waarden der toe-
komstige uitkeeringen. Men kent de tijdstippen, waarop men
kans heeft zoo\'n uitkeering te moeten doen en heeft dus nog
slechts de rente te kennen om hunne contante waarde te
kunnen berekenen. In de praktijk neemt men nu aan, dat de
rentevoet gedurende den loop van de eenmaal gesloten con-
tracten constant blijft. De afleiding van onze formule laiit
dit geheel in het midden, en noemt a eenvoudig de contante
waarden der eventueele uitkeeringen, daargelaten of men
een dalende, stijgende dan wel een constante rente-voet
aaimeemt.

De grootheden p stolden voor do waar.schijnlijkheden, dat
die bedragen zouden worden uitgekeerd. Neemt men hiervoor
do waarden die gegeven worden door de gebezigde sterfte-
tiifels, waar dus do 7>\'s uitsluitend verondersteld worden
functiön te zijn van den leeftijd, dan zijn dat gemiddelde
waarden. Had do statistiek intusschen gegevens genoeg, dan
zou niets beletten om voor p meer nauwkeurige waarden
to nemen.

combinatiën te zoeken der grootheden a, wier algebraïsche
som gelijk wag. ajin A, onafhankelijk van de wijze van af-
sterven, zoodat ook dio combinatiGn genomen werden, waarbij
de sterfte afwijkt van de meest waanschijnlijke, terwijl

als eenige voorwaarde voor het geoorloofd zijn van de
gebezigde verwaarloozing, de veronderstelling werd ingevoerd,
dat het aantal verzekerde personen groot was, eene voor-
waarde, waaraan in de praktijk bijna altijd is voldaan

Eindelijk is stilzwijgend iets aangenomen, dat spoedig zal
blijken van zeer veel belang te zijn, doch waarop ik hier
reeds de aandacht wil vestigen. Onderstelt men nl. dat de
opslag, die op de netto-premiën wordt gelegd, juist voldoende
is tot dekking van de administratiekosten, dat voor de jj\'s
waarden worden genomen die volmaakt aan de werkelijkheid
beantwoorden, dat de rente-voet noch to hoog noch te laag
wordt gekozen, dan berekent men in de praktijk do netto-
premiën zoodanig, dat verzekerden en maatschappij gelijk
spel spelen, m. a. w. zoodanig, dat de inzet van eiken verze-
kerde gelijk is aan zijn mathematische hoop, of nog anders
gezegd, de mathematischo hoop van den verzekerde gelijk is
aan die der maatschappij. Zij nu v,- de reeds bestaande
reserve van een contract O, , dan is deze tevens do mathe-
matischo hooj) der maatschappij, terwijl die van den ver-
zekerde volgens dit contract is Uijpij.

Toon wo dus x gelijk stelden aan do reserve, werd stil-
zwijgend ondersteld, dat tusschen maatschappy en verzekorden
volnuuikt gelijk spel werd gespeeld. Ook afgezien van don
opslag, dio dus door do verzekerden in elk geval to veel wordt
betaald, kan men wel aamiomen, dat do netto-premiën in hot
algemeen to hoog zijn, eoii gevolg van do keuzo van sterfte-
tafels, dio oeno voor do maatschappij ongunstige wijzo van
afsterven aangeven on het geneeskundig onderzoek. Dit heelt
ten gevolge, dat do mathematischo hoop der verzekerden feite-
lijk kleiner is dan die der maatschappij, on dus:

als V de gewone premie-reserve is en de grootheden x bere-
kend worden met waarden van p die aan de werkelijkheid
zooveel mogelijk nabij komen. Welken invloed dit heeft op
de kans op winst of verlies zullen we straks nader onder-
zoeken. In de eerste plaats willen we ons bezig houden met
het geval, dat de maatschappij en verzekerden wel gelijk
spel spelen en daarmede in het volgende hoofdstuk een aan-
vang maken.

§ 1. In het bekende werk „Calcul des Probabilités" van
J. Bertrand, draagt het zesde hoofdstuk den titel van : „La
ruine des joueurs". Dit hoofdstuk begint met de woorden :

„Le jeu ruine ceux qui s\'y livrent. Il n\'y a exception que
pour les joueurs, auxquels les conditions acceptées accordent
un avantage".

„Lorsque le jeu est équitable, la ruine tôt ou tard est certaine",
öit een theoretisch oogpunt is hiermede het doodvonnis
over elke maatschappij van levensverzekering geveld.

Het bewijs van bovengenoemde stelling mag ik als bekend
veronderstellen. Zoo zij ergens mag worden toegepast, dan is
liet op die instellingen, wier eenig dool het sluiten van kans-
overeenkomsten is, on dio zich voorstellen dit to doen op don
voet van gelijk spol. Hiertoo behooren in do eerste plaats de
maatschappijen van levensverzekering, die jaar in jaar uit,
duizenden en tienduizendon spelen tegelijk doen. En wanneer
de waarheid van bovengenoemde stelling zich bij dezo instel-
lingen niet meer openbaart, dan is do eenige redon hiervoor
dio, welko in het laatst van het vorige hoofdstuk word ge-
noemd, dat dio spelou slechts theoretisch met voor beido
partijen gelijke conditiën worden gespeeld, maar dat do maat-
schappijen inderdaad zorgen : „qiic les conditions leurs accor-
dent un avantage\'\'.

„Lo fermier des jeux à Monto-Carlo peut accroître sans
crainte lo nombre des coupes. La menace no s\'adrosso qu\'aux
pontes", zegt Bertrand. Evenzoo kan olko maatschappij van
levensverzekering gerust hot aant;il van haro verzekerden

zien toenemen, mits zij slechts zorgt en blijft zorgen, dat ten
allen tijde haar mathematische hoop grooter is dan die der
verzekerden.

Beginnen we echter met het onderzoek, dat die hoop voor
beide partijen dezelfde is.

die de waarschijnlijkheid voorstelt, dat krachtens den toestand
der maatschappij op het oogenbUk, de contante waarde der
toekomstige uitkeeringen van de reserve zal afwijken een
bedrag, dat inligt tusschen O en l. Hierin is:

We stellen ons dus voor, dat van af zeker oogenblik de
maatschappij al hare contracten laat ailoopen, zonder nieuwe
meer te sluiten. Dan is P do waarschijnlijkheid op dat oogen-
blik, dat de contante waarde der toekomstige uitkeeringen
van de reserve zal afwijken een bedrag inliggendo tusschen
O en Z, m. a. w. de waarschijnlijkheid dat zulk een bedrag
verloren of gewonnen zal worden.

De eerste • gevolgtrekking, waartoe nu formule (2) terstond
leidt is, dat de waarschijnlijkheid, dat do reserve zelf do con-
tante waarde der toekomstigo uitkeeringen voorstelt, prak-
tisch als nul mag worden beschouwd, terwijl do kans dat dio
contante waarde grooter is dan de reserve, d. i. dat er ver-
loren zal worden oven groot is als dio, dat zij kleiner zal zijn,
d. i. dat er gewonnen zal worden.

Eene maatschappij, die het er derhalve op zou willen
wagen met de premie-reserve alleen als waarborg op dezo
wijze de toekomst af to wachten, zou één tegen één de kans
loopen van niet ten einde toe aan hare verplchtingen to zullen
kunnen voldoen. Is dus het niet aanwezig zijn eener vol-
doende premie-reserve een bewijs van verregaande onverant-

woordelijkheid, het aanwezig zijn ervan, is evenmin eenigen
waarborg, dat ten allen tijde de verplichtingen zullen worden
nagekomen.
Substitueeren we in formule (2):

Deze uitdrukking voor P doet zien, dat als men l constant
denkt, de waarde van P afhankelijk is van de waarde van h\\
dat naarmate h grooter is, ook de waarschijnlijkheid grooter
is, dat de afwijking binnen dezelfde grenzen beperkt blijft.

De volmaakte analogie, die er im in den vorm der formule
voor P bestaat mot de formule in de methode der kleinste
kwadraten, die do waarschijnlijkheid aangeeft, dat de uitkomst
oener waarneming van de meest waarschijnlijko waardo af-
wijkt een bedrag, inliggende tusschen O en l, leidt er nu als
van zelf too voor do maat dezer afwijking dezelfde grootheid
in te voeren, dio men daarvoor in do methode der kleinste
kwadraten bezigt, nl. do middelbare fout.

ilet is bekond, dat or tusschen do middelbare fout t on do
grootheid, die in do methode der kleinste kwadraten do modu-
lus van precisie wordt genoemd en analoog is met onze
grootheid /<, een betrokking bestaat, dio wordt uitgedrukt
(loor do vergelijking:

Definieoron we nu ovenzoo do middelbare fout eener maat-
schappij van lovensvorzekoring, dio wo E zullen noennjii door
(le vergelijking:

Doch we gaan nog een stap verder. Zijn x,, x^... x,,
eenige onderling onafhankelijk waargenomen grootheden; zijn
de middelbare fouten dier waarnemingsreeksen fi, co... t„,
dan leert de methode der kleinste kwadraten, dat de middel-
bare fout f van hun som is:

Beschouwt men nu analoog met de grootheden xi, x^. ...t„
de verschillende verzekeringen Ou Oi... 0„, en noemen we
in verband daarmede:

de middelbare fout der verzekering O,-, dan is ook de middel-
bare fout der geheele maatschappij:

Men houde intusschen daarbij goed in het oog, dat dit niets
anders is, dan eene analogie in schrijfwijzen, die de te houden
beschouwingen min of meer vergemakkelijkt, maar niet ver-
oorlooft zonder nader bewijs maar allerlei stellingen uit do
methode der kleinste kwadraten to gaan toepassen o]) eene
maatschappij van levensverzekering.

§ 3. We • willen thans gaan zien welk praktisch nut men
van deze middelbare fout E kan trekken voor een maat-
schappij van levensverzekering. Ik sluit mo daarbij geheel
aan bij de redeneering van Dr. G. J. D. Mounier in zijno
bijdrage over „Risico-reserve" (1), waarbij hij-echter gebruik
maakt van een middelbare fout, die op eene geheel andere
wijzo is verkregen en waar we later op terugkomen.

Vragen we nl. naar de waarschijnlijkheid, dat do contante
waarde der toekomstige uitkoeringen van de reserve zal
afwijken een bedrag, dat inligt tusschen O en b E. We

zoeken in de daarvoor vervaardigde tafels. Men vindt hier-
voor 0.999999, hetgeen dus zeggen wil, dat dit de waarschijn-
lijkheid is, dat de contante waarde der toekomstige uitkee-
ringen van de reserve zal afwijken een bedrag dat inligt
tusschen O en 5 E. Praktisch kan deze waarschijnlijkheid
gelijk gesteld worden aan de eenheid. De kans, dat deze af-
wijking-positief is, is even groot als de kans dat zij negatief
is, zoodat wil de maatschappij gewaarborgd zijn, zoogoed als
zeker aan hare verplichtingen te kunnen voldoen, zij behalve
haro gewone premie-reserve zal moeten ter zijde leggen eene
risico-reserve ten bedrage van b E.

Nu kan men terecht vragen : waarom 5 E en geen 4 E of
QE? Dit is intusschen een quaestie van appreciatie, dio door
geen formulen is uit te maken, on derhalve aan do willekeur
van hen, die or over hebben to beslissen moot worden over-
gelaten

Do absolute zekerheid van aan haro verplichtingen steeds
to zullen kunnen voldoen zou eeno maatschappij eerst hebben,
watmeer zij do nominale waarde van allo verzekerde bedragen
in kas had. Dit nu is praktisch onmogelijk, zoodat er niets
anders overblijft, dan zoo goed mogelijk te zorgen, dat men
nimmer in gebreke behoeft te blijven. Do premie-reserve
alleen is, zooals is aangetoond, daarvoor onvoldoende, zoodat
men wel genoodzaakt is tot eeno risico-reserve zijno toevlucht
te nemen, doch het bedrag hiervan is en blijft afhankelijk
van subjectieve opvatting.

Keoron wo terug tot do vorgolijking E = 1/2\'dan zien
^vo dat elk nieuw bykomond contract do waarde van E ver-
t\'i\'oot, zoodat dientengevolge ook eeno vergrooting der risico-
roservo noodzakelijk wordt, wil do maatschappij dezelAIo
zekerheid houden, dat zij haro vorplichtingen zal kunnen
nakomen. Zij nu c- oene gemiddelde waardo dor grootheden
linn aantal s, dan is dus

De middelbare fout is dus grosso modo evenredig met den
vierkants-wortel uit het aantal verzekerden. Is dit laatste
dus na eenige jaren b.v. 4maal grooter geworden, dan be-
hoeft gemiddeld de risico-reserve slechts tweemaal grooter te
zijn, een uitkomst, die geheel en al parallel loopt met de
bekende regel uit de theorie van het spel, welke leert, dat
bij gelijk spel en bij eene gelijke waarschijnlijkheid het aantal
afwijkingen van het meest waarschijnlijke aantal evenredig
is met den vierkantswortel uit het aantal spelen.

Nemen we nu aan, dat ij^ klein is ten opzichte van -iV®,
hetgeen, zooals we spoedig zien zullen, in het algemeen wer-
kelijk het geval is, en noemen we de aangroeing van E, dE,
dan is:

Deze uitkomst leert, dat de toename voor eene zelfde ver-
zekering omgekeerd evenredig is met E. Is dus bv. na ver-
loop van eenige jaren het aantal verzekerden viermaal grooter
geworden en dientengevolge E ongeveer tweemaal, dan is do
toename van E en dus ook dio van de rislco-resorve, tengevolge
van het bijkomen eener nieuwe verzekering, tweemaal kleiner
dan zij zou geweest zijn indien diezelfde verzekering er nu bij
komt. Hierin ligt dus opgesloten, dat naarmate eeno maat-
schappij zich uitbreidt, zij des to gemakkelijker verzekoriiigoii
zal kunnen aannemen met een grootore middelbare fout,.of
anders gezegd met een grooter verzek(5rd bculrag.

Een bijzonder geval hiervan is dat alle verzekerden even
oud zijn, gelijktijdig eenzelfde verzekering hebben gesloten,
niet een zelfde verzekerd bedrag. Men ziet intusschen dat de
stelling zelf veel algemeener is.

§ 4. riet is na deze beschouwingen niet moeilijk in to
zien, dat, indien werkelijk aan de onderstelling voldaan ware.
dat er tusschen maatschappij en verzekerden gelijk spel werd
gespeeld, de eerste zou eindigen, hetzij vroeg of laat, met
hare betalingen to staken.

Om dit geheel duidelijk te maken zullen we echter in onze
tot heden toe gehouden beschouwingen nog eene kleine wijzi-
ging brongen. Wo hebben ons n.1. tot nu toe geplaatst op
liet standpunt, dat we ons voorstelden, dat de maatschappij
bare loopendo contracten liet adoopon. Dit is ook het stand-
punt, dat men inneemt hij do berekening der gewone premie-
i\'e.servo, en we zagen, dat in dat geval do middelbare fout
was E. Uit do waarde van E leidt men vervolgens het hodrag
der risico-reserve af, dio dus in zooverre met de gewone
pi\'eniie-re.sorve op oen lijn staat, dat zij geldt voor den ge-
•loeien duur der bestaande contracten.

Men kan echter ook spreken van do reserve voor hot eerst
volgende Jaar, d. i. van dat bedrag, hetwelk de maatschappij
"1 K\'as moet hebben, oni niet inachtneming van de in den
\'ooj) van dat jaar nog to ontvangen premiön do uitkeeringon
t\'io in dat jaar zullen moeten worden gedaan, to dokken,
^len heeft diiarbij intusschen er op te letten, dat men onder

te ontvangen premiën niet verstaat de netto-premiën, zooals
zij door de verzekerden worden betaald, want hiervan is in
den regel een gedeelte bestemd voor de reserve van volgende
jaren, maar de premiën die betaald zouden worden, indien de
verzekeringen voor een jaar waren gesloten.
. Men kan dan echter ook de vraag stellen, wat de waar-
schijnlijkheid is, dat de maatschappij in den loop van dat
jaar een bedrag zal hebben uit te keeren, waarvan de con-
tante waarde is A, en deze waarschijnlijkheid zou op vol-
maakt dezelfde wijze kunnen worden gevonden als we deden
toen we den geheelen duur der contracten beschouwden.

De zoo gevonden waarschijnlijkheid zou ons ook nu weder
geven de kans, dat er gewonnen of verloren zou worden in
dat jaar en die kansen zouden weder aan elkaar gelijk zijn.
De geheele afleiding blijft geheel hetzelfde. Men heeft slechts
voor de grootheden p en a de grootheden te nemen die op
dat jaar betrekking hebben.

Zoodoende krijgt men de middelbare fout voor dat jaar en
hieruit weder de risico-reserve, eveneens voor dat jaar.

Waar nu de kans om te winnen gelijk is aan die om te
verliezen, en beide gelijk zijn aan leert de waarschijnlijks-
rekening, dat, wanneer een groot aantal (2s) jaren gespeeld
wordt, de waarschijnlijkheid, dat een der partijen daarvan zal
winnen, een aantal jaren inliggend tusschen s en s 4- /i, de
andere zal verliezen, een aantal inliggend tusschen s ens-f h
gelijk is aan :

Hieruit volgt dat de waarschijnlijkheid, dat een der
partijen meer dan s /t jaren zal verliezen gelijk is juin:

Bij eeno afwijking h van het nreest waarschijnlijke aantal
s verliest de eeno partij 2 h jaren meer dan de andere. Men
kan nu vragen op hoeveel jaren de waarschijnlijkheid \'/o is,
dat een der partijen minstens 2h jaren meer zal winnen
dan de andere.

Dezo cijfers toonen aan, dat do miuitschappij eindigen
moet met geruineord to worden, tenzü do bron waaruit
«le verliezen gedokt worden, d. i. de risico-reserve, oneindig
groot is. llad men to doen met oen jaarlijkschen vasten

(1) D<izn oijfor» zijn ontloonil nnn hot roodn gonocindo Imck viui.). Hkuthand,

inzet, die gewonnen of verloren kon worden, dan ware de
berekening van het aantal jaren, waarna de maatschappij
met eene waarschijnlijkheid, die men zoo nabij de eenheid
kan doen naderen, als men wil, geruïneerd zoude zijn, vrij
eenvoudig. Waar intusschen winst en verlies telken jare ver-
schillend kunnen zijn, en het zoo goed als onmogelijk is eene
onderstelling te maken, die der waarheid ook maar eenigs-
zins nabij komt, is die berekening ondoenlijk, en willen we
liever trachten eene andere vraag te beantwoorden, nl. waar
de risico-reserve van moet worden gevormd.

In onze onderstelling, dat maatschappij en verzekerden gelijk
spel spelen en dus bij de berekening der netto-premién hierin
voor de risico-reserve geen opslag is gelegd, moet zij öf ge-
vormd worden uit de winst van andere jaren of door het
kapitaal van hen die hun geld disponibel hebben gesteld om
de kans te wagen dat zij zullen winnen.

Waar er nu echter nagenoeg evenveel jaren gewonnen als
verloren wordt, en er zelfs tijdvakken zullen komen waarin
meer jaren verloren dan gewonnen wordt, is de vorming
eener risico-reserve uit behaalde winsten een illusie.

Iets anders is het, wanneer personen gezamenlijk een zeker
kapitaal bijeenbrengen om dit eventueel te doen strekken om
geleden verliezen weder aan te vullen. Hier zijn echter twee
dingen tegen. Ten eerste zijn ze hun kapitaal vroeg of laat
kwijt, eu ten tweede is in do praktijk het bedrag van dit
kapitaal steeds constant, terwijl we gezien hebben, dat do
risico-reserve grooter wordt n;uirmate de maatschappij zich
uitbreidt. Heeft de risico-re.servo eenmaal het bedrag van dit
kapitaal overschreden, dan zou men dit laatste of uit
moeten breiden of van de verdere vorming van risico-reserve
afzien.

Doch behalve dit, wie zal zoo dwaas zijn, zijn kapitaal to
steken in een zaiik, waarin hij het zoo goed als zeker kwijt
is. Het bedrag der risico reserve moet dus ergens anders van
daan komen en wel van de verzekerden zelf. Men bereikt dit
het eenvoudigst, door een opslag op de netto-premißn, wanneer
n.1. onder deze laatste verstaan wordt de premiön die betaald
zouden moeten worden om gelijk spel te spelen.

§ 5, Reeds is er met een enkel woord op gewezen, dat
de maatschappijen op verschillende wijzen zorgdragen, dat de
premiën, die door de verzekerden worden betaald te hoog
zijn, in vergelijking met hun mathematische hoop. Dit is ook
dan nog het geval, wanneer men afziet van den opslag, welke
voor administratie-kosten bestemd is.

De voornaamste oorzaak is, dat men voor de berekening
der netto-premiën sterftetafels bezigt, die eene voor de maat-
schappij ongunstige wijze van afsterven aangeven, terwijl
men zich bij personen, waarbij de uitkeering van hun over-
lijden afhangt, in den regel nog overtuigt, dat zij eene goede
gezondheid genieten.

Deze twee omstandigheden bij elkaar genomen zijn dan ook
oorzaak, dat de premiön van de verzekeringen, krachtens
welke eene uitkeering bij overlijden plaats heeft, veel to hoog
zijn en dientengevolge deze contracten een buitengewoon rijke
bron van winst opleveren.

Iets anders is het geval, met de verzekeringen, krachtens
welke de uitkeering plaats heeft bij in leven zijn op een of
ander tijdstip. Wel is waar worden ook hiervoor sterftetafels
gekozen, die eene voor de maatschappij ongunstige wijzo van
afsterven aangeven, d.- i. in dit geval eene langzame afster-
ving, maar de maatschappij kan nu hare candidaten niet uit-
zoeken, zooals by do contracten met uitkeering bij overlijden.
Integendeel, deze verzekerden zoeken zichzelf uit, on do erva-
ring schijnt te loeren, dat het eigen oordeel over zyne gezond-
heidstoestand in den regel niet het minst juiste is. lomand
(•io zich zwak voelt, koopt geen lijfrente. Dat doet alleen
iemand die Hink en gezond is, en denkt or lang van te zullen
kunnen proflteoren. De verzekeringen voor uitkeering bij in
•oven zijn, zijn dan ook minder voordoeligo contracten.

Om nu den invloed na te gaan, dio een gevolg is van een
premie, die te groot of to klein is in vergelijking met de
matheniatischo hoop, kunnon wo aldus rodoneeron :

De maatschappij legt op al hare premiön een zekeren op-
slag, wiens verhouding tot do premie we door een breuk «
ï^ullon aanduiden. Deze opslag dient voor de vorming der
risico-reserve, terwijl wo zullen luinnemen, dat de gekozen

sterftetafels en rente-voet geen voor- of nadeel aan een der
partijen aanbieden. Noemen we nu de premiën zonder den
opslag netto-premiën, en met den opslag « hriito-premiën;
evenzoo de reserve berekend met netto-premiën F de netto-
reserve^ die berekend met\'bruto-premiën V\' de bruto-reserve.,
dan is blijkbaar V\' = V aV.

Hierin is V dus eenvoudig de contante waarde der toe-
komstige verplichtingen der maatschappij met inachtneming
der ontvangsten en «7 het bedrag bestemd voor risico-
reserve.

Voor de waarschijnlijkheid, dat de maatschappij in de toe-
komst een bedrag zal uitkeeren, waarvan de contante waardo
van V afwijkt een bedrag dat inligt tusschen O en vinden
we nu weder:

Do grootheden 2 en x moeten nn berekend worden met
netto-premiën, omdat de opslag niet geacht wordt de uitkee-
ringen te vermindoren, maar dient om ter zijde gelegd te
worden. .

Bovenstaande waarde voor F geeft nu echter niet meer
de kans aan, dat er verloren of gewonnen zal worden. Immers
er wordt nu eerst verloren, wanneer de contante waarde der
toekomstige uitkeeringen grooter is dan F « F. Do waar-
schijnlijkheid hiervan is:

Daarentegen wordt er gewonnen, als do contante waardo der
toekomstigo uitkeeringen kleiner is dan V -f « V. Die kans is:

Uit deze waarden voor P^ en P^ blijkt nu in de eerste
plaats, dat de kans om te winnen grooter is dan die om te ver-
liezen, maar in de tweede plaats stellen ze ons in de gele-
genheid de waarde voor « zoodanig te bepalen, dat de maat-
schappij practisch gesproken de zekerheid heeft van niet te
zullen verliezen. In § 3 toch hebben we gezien, dat, wilde
eene maatschappij zoo goed als zeker zijn steeds aan hare
verplichtingen te zullen kunnen voldoen, daarvoor eene risico-
reserve noodig was ten bedrage van bE

waarschijnlijkheden, die men practisch rosp. gelijk kan stellen
aan nul en één.

on dus kleiner wordt, naarmate de maatschappij zich uitbreidt.
E toch is, zooals wo gezien hebben, evenredig met -[/s on V
ovenredig met s, als s het aantal verzekerden voorstelt. Hier-
uit volgt, dat « omgekeerd evenredig is met i/ s.

§ 0. Wo willen nu bij enkele vorzokoringswijzen laten zion,
hoe men de grootheden z en x kan berekenen; hoe men met
behulp daarvan de waardo vindt van voor elko verzeke-
ring afzonderlijk en ten slotto uit de vorschillondo f\'s do
middelbare fout E voor do geheele maatschappij.

Is de leeftijd van den verzekerde a, het verzekerd bedrag
de eenheid en de verzekering gesloten tegen premie in eens
dan is:

De waarde van x = 2:aijPij i.s, zooals reeds is opge-
merkt, niets anders dan de reserve op den tegenwoordigen

een grootheid, die voor eiken leeftijd van de sterftotafel ge-
makkelijk is te berekenen.

Zij O, eene lijfrente tot den dood, praenumerando betaiil-
baar ten bedrage van de eenheid. Is a weder de leeftijd van
den verzekerde, dan is:

8de Voorbeeld.

Zij Oi eene levenslange verzekering voor uitkeering bij
overlijden tegen gelijkblijvende jaarproinio. Is hot verzekerd
bedrag do eenheid, m do premie en a de leeftijd van den ver-
zekerde, dan is:

«■O

Zij Oi eene gemengde verzekering voor den duur van n
jaren gesloten tegen premiën in eens. Is het verzekerd bedrag
weder de eenheid en a de leeftijd, dan is:

Zij Oi eeno tijdelijke verzekering voor uitkeering bij over-
lijden voor den duur van n jaren, gesloten togen promio in
eens, dan is:

Deze voorbeelden doen zien, dat het berekenen der middel-
bare fout voor elke verzekering een quaestie is van het
samenstellen van eenige tabellen. Heeft men deze eenmaal,
dan is de berekening van de middelbare fout der geheele
maatschappij en daarmede die van de risico-reserve een werk,
dat, wil men het nauwkeurig doen, in omvang gelijk staat
met de berekening der gewone premie-reserve.

Voor de praktijk heeft echter die nauwkeurigheid geen
zin en zal men het werk belangrijk kunnen vereenvoudigen
door op eene geschikte wijze de verzekerden in groepen te
verdeelen.

Zijn b.v. Oi, Oj... 0* alle verzekeringen voor uitkeering
bij overlijden tegen premie in eens. Zijn de verzekerde bedra-
gen resp. m2...77h, fi, de middelbare fout dezer groep,
dan is:

verschillende leeftijden na (zie Uibel Hl), dan ziet men, dat
wanneer men geen uitersten neemt, die waarden niet veel

uiteenloopen, zoodat men veilig volstaan kan met een gemid-
delde waarde te nemen, desverkiezende zoodanig, dat men
zeker is eene te groote waarde voor é, te vinden. Noemen
we deze gemiddelde waarde {z—x^) dan is:

^ 7. We willen nu een paar numerische voorbeelden
behandelen, waarbij we ons echter zullen bepalen tot
hoogst eenvoudige gevallen, die niettemin een denkbeeld
kunnen geven van de grootte der middelbare fout in het
algemeen in verband met den leeftijd en den aard der ver-
zekering.

Eene maatschappij heeft 10.000 verzekeiden, alle verzekerd
voor eene uitkeering bij overlijden ten bedrage van 1000
tegen premie in eens. De verzekerden hebben alle den leeftijd
van 40 jaar.

Neemt men ^E als norm aan voor het bedrag der risico-
reserve, dan wordt dezo 107125 bij eene netto-premie-reserve
van 4.270.000.

Om den opslag « to berekenen, dio op do netto promiön
moet zijn gelegd voor do vorming dezer risico-reserve, merken
we op dat:

(I) Voor «lü luirokoning van : cn .c zio men du tabellen aolitcrin on do
daarbij govocgdo verklaring.

We willen nu onderstellen, dat de maatschappij inderdaad
dezen opslag aan hare verzekerden heeft in rekening gebracht
en hiervan bovengenoemde risico-reserve heeft gevormd en
vervolgens nagaan wat er gebeurt als er eene nieuwe ver-
zekering bijkomt.

Zij dit eveneens eene levenslange verzekering voor uitkee-
ring bij overlijden tegen premie in eens, de leeftijd van den
verzekerde 40 jaar, doch het verzekerd bedrag niet 1000
maar 10.000, dan wordt nu:

De netto-premie van de nieuw bijgekomen verzekering be-
draagt 4270. De opslag voor de risico-reserve ii 2Vj pet. is
dus 107 en derhalve niet voldoende om de toename der risico-
reserve to^ dekken. Wil men nu angstvallig vasthouden aan
de risico-reserve bE, dan zou men nu kunnen vragen bij
welk verzekerd bedrag, do opslag nog dekt do toename der
risico-reserve. Is dan G de koopsom der nieuwe verzekering,
dan wordt dit bedrag bepatild door do vergelijking:

Is X het gezochte verzekerd bedrag, dan is = ().ül59.f;*
en C = 0.427a;, zoodat:

Men ziet hieruit, dat, houdt men zich strikt aan het bedrag
van 5 E voor de risico-reserve, men inderdaad zou kunnen
spreken van een maximum van verzekerd bedrag. Voor de
praktijk heeft dit intusschen geen waarde. Daar zal men ver-
standig doen, praktisch te redeneeren en praktisch te hande-
len en zich in geen geval krampachtig aan eene formule vast-
klemmen. Men neme den opslag wat ruim en bepale het
bedrag der risico-reserve, evenals dat der gewone premie-
reserve op bepaalde tijdstippen en overeenkomstig den toe-
stand der maatschappij op dat oogenblik. Maar dan schrome
men ook niet, als beide deze bedragen zijn vastgesteld over-
eenkomstig de eischen van soliditeit alleen bij uitzondering
over te gaan tot herverzekering.

Om eenig denkbeeld to krijgen van den invloed van onge-
lijke verzekerde bedragen, zullen we onderstellen, dat deze
als volgt verdeeld zijn:

5000 verzekerden met een verzekerd bedrag van 500.
3000 „ „ „ „ „ „ 1000.
1000 „ „ „ „ „ „ 2000.
1000 „ „ „ „ „ 2500.

Het aantal verzekerden cn het totaal verzekerd bedrag
zijn dus evengroot als in het I"\'« voorbeeld. Is de leeftijd van
alle verzekerden weder 40 jaar en de promie in eens boUiald,
dan wordt nu :

Men ziet dat het verschil met do uitkomst in het eersto
voorbeeld betrekkelijk gering is.

Oni den invloed van verschillende leeftijden na to gaan,
nemen wo weder het geval in voorbeeld 1, met dien ver-
stande dat WO ons voorstellen dat or zijn:

en dus iets minder dan wanneer men voor allen den gemid-
delden leeftijd van 40 jaar had gekozen.
4de Voorbeeld.

We nemen weder de maatschappij uit het 2de voorbeeld,
doch onderstellen nu, dat alle verzekerden eene gemengde
verzekering hebben gesloten tegen premie in eens.

Vergelijkt men deze waarde met die van het 2de voorbeeld,
dan ziet men terstond, dat de gemengde verzekering een veel
geringer risico oplevert dan de levenslange. Dit is trouwens
een bekende zaak. Merkwaardig mag het intusschen genoemd
worden, dat er maatschappijen zijn die voor beiden een zelfde
maximum van verzekerd bedrag aannemen.
5de Voorbeeld.

We nemen weder dezelfde maatschappij als boven, doch
onderstellen nu, dat alle verzekerden hebben gesloten eene
verzekering voor uitkeering bij overlijden vóór hun öO^te jaar
tegens premie in eens.
We vinden:

In tegenstelling met \'do gemengde verzekering levert dus
deze verzekeringswijze een veel grooter risico op. Ook dit

weten de maatschappijen zeer goed. De opslag op dit tarief
is zeer hoog, maar niettegenstaande dat sluiten de maatschap-
pijen liever een gemengde verzekering, waarop de winst veel
kleiner is, dan op de tijdelijke verzekering voor uitkeering
bij overlijden.

§ 8. De behandelde voorbeelden mogeii weinig met de
werkelijkheid overeenkomen, zij doen niettemin zien, hoe men
met behulp van eenmaal vervaardigde tabellen op betrekkelijk
eenvoudige wijze de middelbare fout en daarmede de risico-

Ik acht hiermede dan ook de groote waarde van Laurent\'s
theorie uit een prakti.sch oogpunt genoegzaam aangetoond.
Maar in de tweede plaats kan men er uit zien, hoe dringend
noodig het is op de netto-premiën eenen opslag te leggen voor
do vorming eener risico-reserve en dezen daarvoor dan ook
inderdaad te gebruiken. Dit is iets dat niet wordt gedaan en
dan ook de oorzaak is, dat er verzekeringen zijn, waarvoor
de maatschappijen bang zijn. Nog sterker dan met de tijde-
lijke verzekering voor uitkeering bij overlijden is dit het geval
met de overlevingsrente. Het is bekend, dat er Engelsche
maatschappijen zijn, die deze contracten eenvoudig weigeren.
Deze vrees zou niet behoeven te bestaan indien door een
behoorlijken opslag voor eene voldoende risico-reserve werd
gezorgd. Dat die opslag voor de eeno verzekeringswijze veel
grooter moet zijn dan voor de andore leert do vergelijking

reserve als de tijdelijke verzekering voor uitkeering bij over-
lijden, hot weduwe-pensioen e. a. is dio opslag belangrijk
grooter dan bij verzekeringen met groote reserve en weinig
risico, als de gemengde verzekering en in mindere mate de
levenslange verzekering voor uitkeering bij overlijden.

In de praktijk weet men dit ook wol, on doot dit dan ook,
doch vrijwel zonder vasten basis die de verhouding van den
opslag voor do verschillende vorzekoringswijzen regelt, veel
minder vormt men een risico-reserve, die in overeenstemming
is met de behoefte. Wel hobbon vele maatschappijen behalve

hun gewone premie-reserve nog in den regel een soort van
extra-reserve, maar deze heeft dan meestal de strekking om
in het geval van uitersten nood te worden aangetast.

De risico-reserve echter is een bedrag, dat op en neer gaat
met den voor- of achteruitgang der maatschappij; dat bij het
overlijden van iemand, waardoor eens een bijzonder groote
uitkeering noodzakelijk wordt, die uitkeering gedeeltelijk dekt,
want door het verdwijnen dier verzekering wordt ook de
risico-reserve belangrijk kleiner.

Het zou voorzeker de moeite loonen nog meerdere gevallen
te onderzoeken, in verband met het risico van verschillende
verzekeringen onder verschillende omstandigheden, als leeftijd,
wijze van premie-betaling enz. De beschikbare ruimte laat
zulks echter niet toe, waarom ik mij thans wil bepalen met
nog een paar algemeene uitkomsten mede te deelen, waarvan
men de juistheid gemakkelijk zelf kan controleeren.

De eerste is, dat de middelbare fout eener verzekering
grooter is als er een jaarpremie betaald wordt dan wanneer
zij gesloten wordt tegen premie in eens. Dit spreekt als van
zelf. Toch is het verschil kleiner dan men oppervlakkig zou
meenen. Nemen we b.v. de maatschappij in het 1ste voorbeeld
van § 7 en onderstelt men dat alle verzekeringen gesloten
zijn tegen jaarpremie en thans 10 jaren loopen, dan vindt
men voor de waarde van E 27000 tegen ruim 21000 bij
premie in eens.

Een tweede punt waar ik de aandacht op wensch to vesti-
gen is het volgende. De voorbeelden der vorige § toonen
duidelijk genoeg aan, dat het niet aangaat om èn voor do
levenslange èn voor de tijdelijke verzekering voor uitkeering
bij overlijden en voor de gemengde éénzelfde maximum vast to
stellen. Merkwaardig nu is intusschen do wijze waarop sommige
maatschappijen hun maximum van rente-verzekering bepalen.
Daartoe wordt de rente op, zooals sommige „verslagen" zeggen,
de gebruikelijke wijze herleid tot kapitaal. Die gebruikelijke
wijze bestaat hierin, dat men de rente mot 10 vermenig-
vuldigt, onverschillig mot welk soort van rente men heeft te
doen, of dit is een dadelijk ingaande lijfrente, een uitgestelde,
een weduwe-pensioen of wat ook. De inconsequenties, die

men intusschen door deze volmaakt willekeurige verhouding
begaat bij herverzekering zijn van dien aard, dat het mij
wenschelijk voorkomt die verhouding of geheel en al te laten
varen, aangezien zij toch op geen enkelen grond berust, öf
althans rekenhig te houden met den aard der verzekering.

Om een enkel voorbeeld te geven, deel ik hier mede, dat
als in het eerste voorbeeld van § 7 alle verzekeringen dade-
lijk ingaande lijfrenten waren op 40-jarigen leeftijd gesloten,
men alle verzekerde bedragen 20maal kleiner zou moeten
maken om ten naastenbij dezelfde middelbare fout voor do
geheele maatschappij te vinden.

Voor weduwe- en weezenpensioen zou het getal 20 nog
veel te klein zijn, maar 10 deugt in geen geval.

Behalve dus, dat men door het maximum van kapitaals-
verzekering door 10 te deelen en dit als maximum van rente-
verzekering vast te stellen, dit laatste veel te hoog neemt in
vergelijking met het eerste, doet zich hier nog de merkwaar-
dige omstandigheid bij voor, dat men veel angstvalliger is met
het herverzekeren van kapitaalsverzekering uit te keeren bij
overlijden, waarbij men toch de verzekerden eerst na een
streng geneeskundig onderzoek aanvaardt en zoodoende de
kans op verliezen belangrijk vermindert, dan met het herver-
zekeren van lijfrenten, waarbij men in het algemeen wel
zeggen kan ook met uitgezochte levens to doen te hebben,
maar nu uitgezocht in het nadeel der maatschappij.

S 9. Wo willen onze beschouwingen over Laukent\'s
theorie besluiten niet na to gaan welken invloed op de kans
van winst of verlies eeno verandering van den ronte-voet
gedurende den loop dor contracten hebben kan.

Het spreekt van zelf, dat wo ons hierbij ook zullen bepalen
tot een zeer eenvoudige hypothese, echter voldoende om ook
in dit opzicht do waarde van Laukent\'s theorie to loeren
konnen.

Het is duidelijk, dat wanneer de rentevoet gedurende den
loop der bestaiinde contracten stijgt, de contante waardo der
bednigen a to groot zijn genomen on daarentegen te klein,
wanneer do ronte-voet in dien tijd diuilt. Onderstellen we nu,

dat de contante waarde van eenig bedrag isa.j (1 zijnde
ß een kleine breuk positief of negatief, die we gemakshalve
voor alle bedragen even groot nemen, dan is derhalve de
middelbare fout:

Is dus f5 positief, d. i. daalt de rentevoet, dan wordt de
middelbare fout dientengevolge grooter en omgekeerd. Bere-
kende men nu de reserve met inachtnemen van de verande-
ring van den rente-standaard, dan zou deze moeten zijn :

De waarschijnlijkheid, dat de maatschappij eeno uitkeering
zal moeten doen, waarvan do contante waarde van V -j- (i V
afwijkt een bedrag dat inligt tusschen O en I is nu :

Heeft nu de maatschappij, zooals steeds geschiedt, hare
reserve berekend in de onderstelling, dat.de rente constant
blijft, en dus daarvoor in kas een bedrag V en voor risico-
reserve een bedrag «F, dan verliest zij dus als de contanto
waarde der toekomstige uitkeeringen grooter is dan V uV
Daar nu:

zal zij dus verliezen, als de contante waarde der toekomstigo
uitkeering van F- -F afwijkt-een bedrag in positieven zin,
dat grooter is dan («—|3)F.

Is positief, daalt dus de rente-standaard, dan ziet men
uit deze formulen, dat hierdoor de kans op verlies vergroot
wordt en dus die op winst verkleind; is daarentegen nega-
tief, stijgt dus de rente-standaard, dan heeft juist het omge-
keerde plaats.

Stellen we nu het geval, dat men meent met de enkele
premie-reserve te kunnen volstaan als waarborg voor het
nakomen der verplichtingen, en dat de rentevoet dalende is.

en dus de kans op verlies veel grooter dan die op winst.
Ik geloof dat hiermede de noodzakelijkheid van de vorming
eener voldoende risico-reserve in een tijd als do tegenwoor-
dige, waarin do rente-standaard continu daalt, is aangetoond.

§ 1. Wij gaan thans over tot de theorie van Laurent over
maximum van verzekerd bedrag", zooals die door hem zelf
wordt ontwikkeld (1).

Laürent begint met afzonderlijk te beschouwen de uitkee-
ringen die de maatschappij zal hebben te doen en de ont-
vangsten die zij heeft te verwachten. Zijn nu:

heeft, krachtens de verzekering O,- dan leidt hij op de wijze
als in Hoofdst. I, § 5 de waarschijnlijkheid af, dat de maat-
schappij een bedrag zal hebben uit te keeren, waarvan de con-
tante watirde afwijkt van 2\'a:, een bedrag dat inligt tusschen l.
Die waarschijnlijkheid is dan:

voor de grootheden a alleen genomen worden de contante
waarden der uitkeeringon.

(1) Traité du calcul des rrobahilitéa par H. Lauukxt, pn},\'. 247 en Tliéorio
et Pratique «les AHSurances wur la vie van ilenzelfden sclirjjvor paj^. 110. Dit
laatste is bljjkbaiïr van jonjjeren datuni dan het ccrsto, en zal ik daarom als
richtsnoer ge))ruiken. Op eene kleine wijziging na Htominen belde verhande-
lingen geheel niet elkaar overeen.

heeft, krachtens de verzekering O,-, dan vraagt hij in de
tweede plaats, naar de waarschijnlijkheid, dat de maatschappij
een bedrag zal ontvangen waarvan de contante waarde van
afwijkt een bedrag dat inligt tusschen j: l, en vindt voor
die waarschijnlijkheid op dezelfde wijze:

§ 2. De beteekenis dezer formulen zal na het voorafgaande
duidelijk zijn. is de som, die men verkrijgt, door de
contante waarde van elke uitkeering te vermenigvuldigen met
haar kans en deze produkten bij elkaar op te tellen. Zij is
dus niets anders dan de mathematische hoop van do ver-
zekerden.

Evenzoo is de som, die men verkrijgt, door elke ont-
vangst te vermenigvuldigen met haar kans en deze produkten
te sommeeren. Dezo som is dus de contante wiuirde der
toekomstige baten.

Hij neemt nu aan, dat P = 0 (3) een waarschijnlijkheid
is, die praktisch gelijk gesteld mag worden aan de eenheid.
Aangenomen dat dit geoorloofd is, dan volgt daaruit, dat de
maatschappij er op rekenen mag, dat de contante waarde van
hare uitkeeringen niet grooter zal zijn dan:

en evenzoo, dat de contante waarde van hare ontvangsten
niet kleiner zal zijn dan :

Vermindert men nu de kleinste ontvangst met de grootste
uitkeering, dan verkrijgt men:

en dit nu is, zegt Laukknt, de minimum winst, welke de
maatschappij kan verwachten. Intusschen kunnen wo, wanneer
we opmerken dat 27/ — = — F voor "deze uitdrukking
schrijven:

eene uitdrukking, die altijd negatief is. Het ware daarom
wellicht duidelijker geweest, indien Laurent, in plaats van
te spreken van minimum winst, deze uitdrukking had ge-
noemd het maximum verlies. Neemt men in aanmerking, dat

een bedrag V van dit verlies gedekt wordt door de voor-
handen zijnde reserve, dan kan dus de maatschappij er op
rekenen voor het nakomen van hare verplichtingen een bedrag
te kort te komen waarvan de contante waarde hoogstens
gelijk is aan :

Ziedaar een resultaat, dat au fond volmaakt hetzelfde is
als waartoe we kwamen in het vorige hoofdstuk, met dit
onderscheid alleen, dat bovenstaande uitdrukking ons geeft
een maximum waarde voor het bedrag der risico-reserve, die
de maatschappij in kas moet hebben, wil zij ten allen tijde
gewaarborgd zijn hare verplichtingen ten einde toe te kunnen
nakomen. (1)

Tevens moet hier nog bij worden opgemerkt dat Laurknt als
norm heeft gekozen de waarde P — & (3), terwijl door mij geko-
zen is P = 0 (l\'l\'^^). Beide waarschijnlijkheden kunnen

Voor do numerische berekening der risico-roservo in csson-
tieele gevallen komt mij de formule:

van zeer veel waarde voor, aangezien men hier do ontvang-
sten en uitgaven gescheiden heeft, waardoor do berekening
der grootheden onder het wortelteeken belangrijk vereenvou-
digd wordt, terwijl men aan den anderen kant zeker is, dat
de op deze wijzo gevonden risico-resorvo in geen geval to
klein is. Lauuknt spreekt hier echter over geen risico-resorvo,
en gaat, in do onderstelling dat:

(1) Hot gulijktijdig doen siinioiivnllun vnti du iiiiniinuiii untvnngst cn du
"uixiinuni uitkoering is in zoovorn* onjuist, onuliit «luzo bi\'driigcn niet onder-
ling onnfliiuikflijk zjjn. Laukk.st zegt dit trouwens zelf. Manr het vult niet
tl) ontkennen, «lat de op deze wjjzo vorkregen uitkomst een uiterste grens van
het verlies aangeeft, terwjjl zjj het \'voordeel lu\'oft, dat do berekening er van
veel eenvoudiger is, dan wanneer uitkeeringen en ontvangsten worden ge-
combineerd.

de minimum winst is, Iietgeen desnoods kan als men dan
deze winst als negatief opvat, aldus voort: Opdat eene
nieuwe verzekering Ot niet onvoordeelig zij, mag zij deze
winst niet verkleinen en mag dus de aangroeiing van
W door het bijkomen dier nieuwe verzekering niet negatief zijn.

Noemen we xj„ tjk, Zk en Vk de grootheden die op deze
nieuwe verzekering betrekking hebben, dan is:

Deze uitkomst is weer geheel in. overeenstemming met
onze beschouwingen in het vorige Hoofdstuk. Het tweede lid
dezer vergelijking toch is zooals we weten altijd positief.

Zal derhalve de nieuwe verzekering niet nadeelig zijn, dan
moet Vk—^k positief zijn.

Neemt men nu aan, dat op de premiën geen andere op-
slag ligt, dan voor dekking van administratiekosten en deze
juist daarvoor voldoende is, zoodat ijk en Xk berekend worden
met netto-premiën, dan is Hk—^k = ö, en is dus de verzeke-
ring per se nadeelig.

Ziedaar eene bevestiging van onze uitkomst in het vorige
hoofdstuk, dat elke nieuw bijkomende verzekering de middel-
bare fout der maatschappij vergroot en dus bij oono zelfde
waarschijnlijkheid een grooter verlies mogelijk maakt, tenzij
in de premiën een opslag is berekend voor de vorming van
risico-reserve. Doen we dat hier ook, dan ziet men gemakke-
lijk in dat ?/*—juist is de contante waardo van dien opslag.

het bijkomen der nieuwe verzekering, en we zien dus dat
deze kan worden aanvaard, als de contante waarde van
den opslag voor de risico-reserve bestemd gelijk is aan de
toename van deze reserve tengevolge van het bijkomen
dier verzekering.

Deze voorwaarde stemt geheel en al overeen met de uit-
komsten van het vorige hoofdstuk. Het eenige verschil is,
dat men, door de vereenvoudigde wijze van Laurent zich
tevreden stelt met een grens.

Theoretisch gesproken, zou men dus bij elke nieuwe ver-
zekering na moeten gaan, of aan deze voorwaarde is voldaan.
Staat dan de opslag voor elk tarief vast, zoodat men daar
niet van afwijkt, dan, we zagen het in het vorige Hoofdstuk,
zal men inderdaad een grens kunnen aangeven voor het ver-
zekerd bedrag, waarboven men niet mag gaan. Maar menzon,
altijd uit een theoretisch oogpunt, ook in elk bijzonder geval
den opslag zoo kunnen regelen, dat steeds aan die voorwaarde
is voldaan, en dan is or geen ma.xinumi van verzekerd bedrag.

De groote vraag is daarom, dunkt mij, ook nu weer: Hoe
handelt men in de praktijk? Wanneer men er daar ooit too
zal overgaan op theoretischen grondslag do risico-reservo to
berekenen, dan zal men haar evenals do premie-reserve bere-
kenen op bepaalde tijdstippen en haar dan in overeenstem-
ming brengen met den bcstaanden toestand op dat oogenblik.

Do opslag zal in hot algemeen bepaald zijn. Het gevolg
hiervan zal zijn, dat bij het toetreden van een nieuwen ver-
zekerde ini eens do contante waardo van den opslag grooter
zal zijn dan de toename dor risico-j eservo, dan eens wat kleiner.

Ik herhaal daarom wat ik in het vorige Hoofdstuk zeido:
men neme dien opslag wat ruim, zoodat mon er zeker van
is dat do noodige risico-re.scrvo cr uit kan worden gevormd.

8 \'L ik wil dit hoofdstuk besluiten mot in het kort do
bezwaren te bespreken die door Corneif.lk L. Lanuré tegen
de theorie van Laurent zijn aangovoord (1). Zij zijn drie in getal:

Wat de fouten betreft in het samenstellen der formule
geloof ik in § 3 van Hoofdstuk I voldoende te hebben aan-
getoond, dat werkelijk 2\' p en q voor elke verzeke-
ringswijze gelijk zijn aan de eenheid, terwijl m. i. uit de
vorige § blijkt, dat Laurent wel degelijk rekening houdt mot
de reeds voorhanden zijnde reserve, al moet ik erkennen, dat
hij dit niet zeer duidelijk doet uitkomen.

Het aannemen van P = 0 (3) is inderdaad geheel wille-
kenrig. Maar is de keuze van sterfte-tafels, van rente-voet,
opslag en zoovele andere grootheden, waar het welzijn eener
maatschappij van afhangt, ook niet altijd aan een zekere
willekeur onderworpen; en wordt men bij de keuze daar-
van, behalve door overwegingen van theoretischen aard, ook
niet geleid door omstandigheden, die dwingen met de praktijk
rekening te houden ?

Hier althans kan ik het bezwaar niet van inzien. Ik hoop
trouwens bij de behandeUng van Landré\'s eigen theorie aan
te toonen, dat hij zelf, hoewel vermomd, zich aan dezelfde
willekeur schuldig maakt.

Wat het derde argument betreft, geloof ik thans duidelijk
to hebben gemaakt, dat het niet de theorie is, die staat of
valt met den opslag, maar do maatschappij, wanneer nl. do
waarden vaii p,-,- en (7,-^ werkelijk de sterfte-of levenskansen
voorstellen en niet zoodanig gekozen worden, dat hunne
waarden te hooge netto-premiën geven, waardoor als het waro
al een opslag wordt gevormd.

En nu onderstelt Laurent\'s theorie, dat dó waarschijnlijk-
heden p en q werkelijk de kansen voorstellen, dat de over-
eenkomstige bedragen zullen worden uitgekeerd of ontvangen.
En is dit het geval, dan is de uitkomst, dat elko verzekering
tegen netto-premiën verboden is, volkomen correct.

Het spreekt echter wel van zelf, dat als men voor p en q
waarden in gaat voeren, die merkbaar van de werkelijke
afwijken, de daardoor verkregen uitkomst niet meer kan
worden toegepast, zonder dat hiermede rekening wordtgehouden.

§ 1. In liet „Archief voor de Verzekerings-wetenschap en
aanverwante vakken, Dl I, All. VI" komt van de hand van
Dr. G. J. D. Mouniiok eeiie bijdrage voor, getiteld: „Iets over
Risico-reserve". De schrijver behandelt daarin twee theorièn
over dit hoofdstuk, de eene afkomstig van Dr. C. Buemiker,
de andere van Prof Tii. Wittstein, beide op het gebied der
verzekeringswetenschap welbekendo deskundigen.

Na in korte, maar duidelijke trekken de grondslagen van
beido theoriön to hebben uiteengezet, gaat Dr. Mounier or
toe over om op hunne uitkomsten te baseeren eene theorie
over het „mcuwmim van verzekerd bedrag".

Zooals ik reeds in § 3 van Hoofdstuk H heb gezegd, ga ik
in do wijze waarop Dr. Mounier mot behulp dor middelbare
fout eener maatschappij tot de conclusie komt, dat er ton
slotte geen ma-wnum van verzekerd bedrag is, maar, dat
eeno maatschappij, mits mot inachtneming oener behoorlijko
risico-reserve, elk bedrag voor eigen rekening mag nemen,
geheel mede.

Waar hij echter meent gebruik to mogen maken van do
middelbare fouten, verkregen met do theoriön van Wittstein
of Bremiker, moet ik met hem van gevoelen verschillen,
daar in. i. in de alloiding dier middelbare fouten eenigo
onjuistheden zijn begaan, dio ik in het vervolg van dit hoofd-
stuk nader hoop aan te toonen.

Overlijdt de verzekerde dan op een ander tijdstip, dan heeft
dit winst of verlies ten gevolge.

Het bedrag dier winst of van dat verlies beschouwt nu
Bremiker als een afwijking of fout.
Een enkel voorbeeld moge dit duidelijk maken.
Stel iemand, oud a jaren, sluit eene dadelijk ingaande,
levenslange, praenumerando betaalbare lijfrente, ten bedrage
van de eenheid.

Sterft nu de persoon in het w\'e jaar na het sluiten dezer
verzekering, dan is de contante waarde der uitkeeringen:

dan wordt er dus noch gewonnen, noch verloren, terwijl,
wanneer de verzekerde vroeger overlijdt de maatschappij
wint, daarentegen verhest, wanneer hij later overlijdt.

dar Mortalitnts-Tabelle, zegt nu Bhkmiker, lassen
sich nun aber im voraus alle AbweicJuaujcn, oder die Gewinne
und Verluste berechnen, welche durch das frühere oder spätere
Absterben enstehen. Sämmtliche Abweichungen quadrirt, die
Summe derselben durch ihre Anzahl dividirt, und die Quadrat-
wurzel davon genommen, ergeben den locrih für die mittlere
Gefahr oder das liisico für die einzelne Versicherung

Passen we dezen regel op bovenstaand voorbeeld toe, in de
onderstelling, dat dezelfde verzekering gesloten wordt door
la personen, waarvan er achtereenvolgens (Z.„ f/„4.1... enz.

sterven, dan vinden we dus voor de middelbare fout voor eene
zoodanige verzekering:

Ziedaar dus zelfs een middelbare fout, in de onderstolling
dat sterfte en intrest volmaakt aan do verwachtingen beant-
woorden.

Terecht is reeds door Dr. Mounikii er op gewezen, dat do
theorie van Bremiker fout is. Ik wil echter de gronden, dio
hij hiervoor aanvoert, nog met enkele vermeerderen, al was
het slechts om te doen zien hoe soms do methode der
kleinste kwadraten wordt toegepast in gevallen waarin in dc
vorste verte niet is voldaan aan de grondstellingen waarop
die methode is gebaseerd.

aangevende de waarschijnlijkheid, dat de uitkomst eonor
waarneming van do meest wiuirschijnlijke waardo zal afwij-
ken, een bedrag, inliggondo tusschen O en l.

Zoodra men met afwijkingen to doen heeft, hetgeen zeer
goed denkbaar is, wier waarschijnlijkheid niet meer aan dezo
wet voldoet, mag daarop, althans niet zonder nader bewijs,
(le methodo der kleinste kwadraten worden toegepast. Die
wet is gegrondvest op do drie volgende hypothesen :

1°. do waarschijnlijkheid van een fout is kleiner, naarmate
do fout zelf grooter is;

2°, de waarschijnlijkheid van een positieve fout is dezelfde
als van een even groote negatieve fout;

3". de meest waarschijnlijke waarde van de uitkomsten
eener waarnemingsreeks is het arithmetisch midden der
waarnemingen.

Behalve dat nu onder „/bz^i" moet verstaan worden eene
toevallige afwijking van de meest waarschijnlijke waarde,
terwijl daarvoor door Bkemikbr vooraf berekende bedragen,
met bepaalde gegeven waarschijnlijkheden genomen worden,
voldoen zijne afwijkingen letterlijk aan geen enkele dezer drie
hypothesen.

Bepalen we ons b.v. bij het voorbeeld van zooeven, dan is
de waarschijnlijkheid eener afwijking:

waarschijnlijkheid van een kleinere afwijking kleiner is dan
die van een\'grootore. Aan do eerste hypothese is dus al nict
voldaan.
Is:

dan zijn de waarschijnlijkheden van deze even groote posi-
tieve als negatieve afwijking resp.-en ,

twee verhoudingen, die zeker wel niet aan elkaar gelijk zullen
zijn. Ook aan de tweede hypothese is dus niet voldaan.

gedeeld door hun aantal, en dus het arithmetisch midden,
maar de waarschijnlijkheid, dat dit inderdaad de contante

schien voor een zeer bijzonderen leeftijd wel eens het geval
zijn, maar is het in het algemeen zeker niet.

Waar nu aan geen der drie hypothesen, waarop de fouten
wel berust is voldaan, is het toch zeer zeker niet geoorloofd
deze en hare gevolgen, d. i. de methode der kleinste quadra-
ten, toe te passen alsof dit wel het geval ware.

Maar bovendien ontstaat het „risico" tengevolge van afwij-
kingen van de sterfte of interest. Indien boide volmaakt aan
de onderstelling i)eantwoordon, en Buumikku neemt aan, dat
dit het geval is, dan is cr voor do maatschappij geen risico.
Desniottegenstaande vindt hij er toch een.

Het zou niet moeielijk zijn togen deze theorie nog tal van
bezwaren te berde tc brongen. Hot komt me echter voor, dat
bovengenoemde reeds zoo overwegend zijn, dat het onnoodig
is haar verder te behandelen. Biik,mikeh ontkent in zijne ge-
heele ontwikkeling eenvoudig hot bostjuui van vaste regels,
dio elk hunne beteekenis hebben, volgens welke een middel-
bare fout moet worden berekend.

Hetgeen hij daarvoor vindt is ton slotte niots anders dan
do uitkomst van oen aantal willekeurig gekozen getallen, die
hij quadratoert, vervolgons bij elkaar optelt en hun som
door hun aantal deelt. Aan zijno theorie kan niet de minste
waarde worden toegekend.

(!) Das mathomatiüclio Uirtioo dor Vordichorungs-Uosollspliafton sowio allor
«Ulf dom Spiülo dos Zufalls boruhondon Instituto.

van een geheel ander beginsel nit. Hij maakt gebruik van de
stelling, die reeds werd genoemd op pag. 6, dat de waar-
schijnlijkheid van eene afwijking van het meest waarschijn-
lijke aantal inliggende tusschen O en Z is:

Deze stelling neemt hij de vrijheid toetepassen op een
groep van s personen wier gemiddelde sterftekans is
Deze toepassing is minstens genomen gewaagd, en zooals
reeds in Hoofdstuk I, § 1, werd gezegd, wordt er door
Bertrand met nadruk voor gewaarschuwd (1).

Dat die waarschuwing van Bertrand zeer terecht is, moge
uit het volgende blijken.

Wanneer men zegt dat w de kans is voor een a-jarige om
in den loop van het eerstvolgende jaar te overlijden, dan is
reeds vroeger opgemerkt, dat dit een gemiddelde waarschijn-
lijkheid is.

De eene categorie van a-jarigen heeft, hetzij door betere of
minder gunstige oeconomische omstandigheden een kleinere
of grootere sterftekans dan de andere. De som der waar-
schijnlijkheden voor elk der categoriën gedeeld door hun aan-
tal, is de waarschijnlijkheid, die gegeven wordt door de
sterftetafels. Wil men het vergelijken met het trekken van
ballen uit een bak, dan zou men b.v. voor de a-jarigen zoo-
veel bakken moeten nemen als er categoriën van menschen
zijn, wier sterftekansen onderling gelijk zijn. Elke bak zou
dan ballen van tweeöerlei kleur bevatten, maar de verhou-
dingen dier twee kleuren zouden voor de verschillende bakken
verschillen.

Stel nu er zijn w bakken, waarvan do verhoudingen der
ballen die de dooden voorstellen tot do totale aantallen resp.
zijn: WJ„ w-x en w,,. Denkt men zich nu den inhoud dier
n bakken vereenigt in één, dan ziet men terstond in, dat de
kans om dan een bal te trekken, die voorstelt een persoon

ons nu voor een groep van ns personen van den leeftijd a,
gelijkelijk verdeeld over de n categoriën, die boven werden
voorgesteld door n bakken met ballen, dan Is het meest
waarschijnlijk aantal sterfgevallen:

Hetzelfde aantal verkrijgt men, wanneer men het meest
waarschijnlijk aantal der sterfgevallen in eens van de geheele

Dit is echter niet meer het geval met de afwijkingen. Zoo-
als bekend, is het vierkant der middelbare afwijking op
/t proeven, als p de waarschijnlijkheid van het evenement,
en (l —p) die van het tegengestelde is:

Noemen we dus de middelbare afwijkingen der verschil-
lende groepen fi. h enz. dan is dus:

Daar de groepen onderling onafhankelijk zijn is het vier-
kant der middelbare afwijking van het geheel:

Daarentegen is het vierkant der middelbare afwijking, als men
do groep ns als één beschouwt:

Deze uitdrukking is, zooals men ziet, altijd positief on zie
hier dus oen voorbeeld dat de middelbare afwijking, dio men

vindt, door gebruik te raaken van de gemiddelde sterftekans
grooter is, dan die men verkrijgt bij toepassing van de ware
sterftekansen.

Hiermede wordt intusschen door Wittstrin geen rekening
gehouden en onderstelt hij stilzwijgend, dat het toepassen
van de theorie der afwijkingen ook met gebruik maken eener
gemiddelde waarschijnlijkheid geoorloofd is. Dientengevolge
is volgens hem de middelbare afwijking der sterfgevallen
op s personen, met eene gemiddelde kans w om in den loop
van het eerst volgende jaar te overlijden: VswXl—io).

Moet nu aan elk dier personen bij overlijden een bedrag
A worden uitgekeerd, onder welk bedrag verstaan wordt de
verzekerde som, verminderd met de reeds voorhanden zijnde
reserve en hetgeen nog aan premie ontvangen wordt, dan is
dus de middelbare afwijking der uitkeeringen: A Vs tv (1—jc).

Om over te gaan tot het geval dat de bedragen A ver-
schillend zijn, onderstelt hij dat aan Si personen moet worden
uitgekeerd een bedrag A^, aan Sj een bedrag enz. Daar deze
groepen onderling onafhankelijk zijn, wordt dientengevolge de
middelbare afwijking van de geheele groep:

De groepen s„ s^, enz. moeten elk op zich zelf nog zoo
groot zijn, dat de wet der groote getallen mag worden toe
gepast. Maar nu vraag ik bij welke maatschappij is dat het
geval? Want het is niet alleen voldoende, dat de verzekerde
sommen even groot zijn, maar zooals boven werd gezegd, ver-
staat wittstein onder de bedragen yl, de uitkeeringen ver-
minderd met den reeds betaalden inzet. Daarvoor is het dus
noodig dat de groep Sj b. v. gelijktijdig dezelfde verzekering
heeft gesloten, voor een zelfde bedrag. En wanneer gebeurt
het nu, dat zich op een zelfde oogenblik een zoo groote groep
van personen, van denzelfden leeftijd, voor een zelfde verze-
kering en voor een zelfde bedrag aanmeldt, dat men daarop
zou mogen toepassen de wet der groote getallen. Men kan
gerust zeggen, dat dit nooit gebeurt. En als dit zoo is, dan
vervalt hiermede alle praktische waarde van Wittstein\'s
theorie.

Uit de bekende betrekking, die er bestaat tusschen do mid-
delbare afwijking t = Vsio(l—tv) en de gemiddelde waarde

der positieve afwijkingen k = ^^ Vsw(l — w) eene be-
trekking, die derhalve wordt uitgedrukt door de vergelijking:

leidt nu Wittstein uit de middelbare afwijking é de gemid-
delde\'waarde k der positieve afwijkingen af. Deze gemid-
delde waarde der positieve afwijkingen, noemt hij het „Risico".
Dit wordt dus in ons voorbeeld van zooeven:

en dit is volgens Wittstein het bedrag, dat de maatschappij
als risico-reserve in kas moet hebben.

Het is niet moeilijk na te gaan, binnen welke grenzen der
soliditeit eene maatschappij zich zou bewegen, die zich tevre-
den stelde met deze risico-reserve.

Stellen we daartoe eenvoudigheidshalve, dat we te doen
hebben met één groep van s personen met sterftekans lo en
aan wie bij overlijden moet worden uitgekeerd een bedrag Ä.
De risico-reserve volgens Wittstein zou dan voor deze groep
bedragen:

Do waarschijnlijkheid dat van de s personen een aantal zal
sterven inliggende tusschen sto l is:

waarschijnlijkheid, dat het aantal sterfgevallen van het meest
waarschijnlijke aantal s w; zal afwijken een bedrag, dat inligt
tusschen O en de gemiddelde waarde van de positieve afwij-
kingen, m. a. w. de waarschijnlijkheid, dat de maatschappij,
dank zij bovengenoemde risico-reserve, hare verplichtingen zal
kunnen nakomen.
Voeren we de substitutie uit, dan vinden we:

waar dus tegenover staat eene waarschijnlijkheid P = 0.57
dat de afwijking van het aantal sterfgevallen grooter is dan

Deze cijfers zijn voldoende om te doen zien, dat de gelijk-
stelling van het „Risico" van Wittstein aan het bedrag der
risico-reserve niet geoorloofd is.

Dr. Mounier heeft dan ook in zijne in 1 van dit Hoofd-
stuk genoemde verhandeUng voor de bepaling der risico-
reserve een anderen weg is ingeslagen. Heeft men eenmaal
aangetoond, dat de waarschijnlijkheid der afwijkingen welke
men beschouwt, de wet:

volgt en kent men van deze afwijkingen de middelbare afwij-
king, dan kan men een grens aangeven, die zoo goed als
zeker niet zal worden overschreden. Of dio grens nu aange-
geven wordt door de waarde P = 0 (3), welke Laurent kiest,

(1) Dr. Mounier kiost P =Z O (.f) M) nl» M tle wanrschijnlijko ftfwjjking
\\s. P = (O (5 M) = 0.991».

Hoe dit zij, de conclusie, waar Wittstein in elk geval toe
komt is, dat de premie-reserve alleen niet voldoende is, om
het nakomen der verplichtingen te waarborgen, maar dat er
ook behoort te zijn een risico-reserve en dat die risico-reserve
gevormd moet worden uit een opslag op de netto-premiën.

b. We hebben, den gedachtengang van Wittstein volgende,
ons tot nu toe bepaald tot het risico voor één jaar. In § 39
van zijne verhandeling gaat hij er nu vervolgens toe over om
het risico voor den geheelen duur van de verzekering te bere-
kenen voor een groep van s personen.

De wijze, waarop hij dit doet, willen we duidelijkheidshalve
met hetzelfde voorbeeld ophelderen, hetwelk ook door hem
wordt uitgewerkt.

Dit voorbeeld is eene postnumerando betaalbare lijfrente
ten bedrage van de eenheid, gesloten door een groot aantal
s personen.

De contante waarden der achtereenvolgende uitkeeringen
zijn als y = iöO^T^ ^ interest voorstelt:

Noemen we de koopsom G, dan is het vierkant der middel-
bare afwijking der uitkeeringen voor de verschillende jaren
afzonderlijk:

)) » ^ ), \'s

enz.

Volgens Wittstein is nu de middelbare afwijking voorden
geheelen duur der verzekering:

Dit is intussclien in tiet geheel niet juist. (1) De stelling
e = V^^ mag alleen dan worden toegepast, als de afwij-
kingen, waarvan éi, éa____enz. de middelbare waarden zijn,

onderling onafhankelijk zijn. Meet men b v. w onderling onaf-
hankelijke hoeken en zijn de middelbare fouten dier afzonder-
lijke waarnemingsreeksen fi, f^. . .. enz., dan is de middelbare
fout van hun som e = V 2: «\'■\'

Maar in bovenstaand voorbeeld zij die afwijkingen volstrekt
niet onderling onafhankelijk, want hun algebraïsche som moet
nul zijn.

Dit blijkt terstond als men onderstelt dat het aantal sterf-
gevallen in de achtereenvolgende jaren bedraagt:

Gaat men zoo door tot aan het einde der sterftetafel, dan
is het totaal aantal sterfgevallen s w 2: h.

Maar daar 2: iv =1 is dit aantal s h, waaruit volgt
dat h = o, want meer dan s personen kunnen er natuur-
lijk niet overlijden.

Dit ziet wittstein geheel over het hoofd. In zijn wijze
van doen ligt de onderstelling opgesloten, dat het mogelijk is
dat er elk jaar eene positieve afwijking van het meest waar-
schijnlijk aantal sterfgevallen kan plaats hebben. Zijne uit-
komst wordt dientengevolge, hetgeen uit den aard der zaak
volgt, te groot.

Ten gevolge van deze fout, vervalt de toepassing van deze
theorie op de berekening van het risico niet alleen voor den
geheelen duur der contracten, maar evenzeer voor den duur
van twee, drie of meer jaren, want ook dan is de som der
afwijkingen steeds gelijk nul en zijn zij dus niet meer onder-
ling onafhankelijk.

(1) Ik werd liet eerst op deze fout attent gemaakt door don heer .T, 11.
Pekk, I\'liil. docts. en wiskundige aan liet pensioenfonds te \'s Oravenhage.

van deze theorie, n.1. de berekening van het risico voor den
geheelen duur der loopende contracten, als vervallen kan
Avorden beschouwd, welke waarde zij ten slotte nog heeft.

lilijns inziens vervalt met die toepassing de geheele theorie,
voor zoover zij betrekking heeft op maatschappijen van levens-
verzekering. Het risico voor een enkel jaar toch, is iets,
wat voor de praktijk weinig of geen beteekenis heeft, even-
min als de reserve voor één jaar.
Maar behalve dat, berust de berekening van dat risico:
le op de ondersteUing dat het geoorloofd is de theorie der
afwijkingen te mogen toepassen in het geval de waarschijn-
lijkheid slechts eene gemiddelde is.

2o op de in de praktijk nooit vervulde voorwaarde, dat men
steeds met groepen te doen heeft, groot genoeg voor de toe-
passing der formule: P = ^ f ^^^\'\'\'du

Het eerste is een theoretisch, het tweede een praktisch be-
zwaar, die geen van beiden gering geschat mogen worden.

De eenige verdienste, die dan ook m. i. van Wittstein\'s
theorie overblijft, is, dat er uit blijkt, dat de maatschappijen
verplichf zijn, om, behalve de gewone premie-reserve, te
zorgen voor eene risico-reserve. Voor de berekening dezer
risico reserve geeft de methode van Wittsein echter geen
betrouwbare uitkomsten.

§ 1. In zijn bekend leerboek „Wiskundige Hoofdstukken
voor Levensverzekering\'^ geeft Corneill L. Landré een derde
theorie over het „Maximum van Verzekerd bedrag\'\'. Na het
voorgaande hoofdstuk kan ik volstaan met de quitessence
dezer theorie in korte trekken uiteen te zetten.

Landré begint met op dezelfde wijze als Wittstein, te
berekenen de gemiddelde waarde der positieve afwijkingen
van de uitkeeringen voor het eerstvolgende jaar.

Het quotiënt dat hij vervolgens krijgt, door dit jaarlijksch
mathematisch risico te deelen door de meest waarschijnlijke
uitkeering noemt hij het „relatief-risico".

Is s een groep personen met sterftekans iü, allen verzekerd
voor eene* uitkeering bij overlijden ten bedrage van A, dan
is de meest waarschijnlijke uitkeering:

De gemiddelde waarde der positieve afwijkingen van het
meest waarschijnlijko aantal sterfgevallen 6\' w is:

Men ziet gemakkelijk in, dat men, evenals Wittstein dit
doet, de berekening uit kan breiden voor meerdere groepen
en op deze wijze kan berekenen het jaarlij ksch mathematisch-
risico der geheele maatschappij, mits men zich bepaalt hetgeen
Landbé dan ook doet, tot het risico voor één enkel jaar.

mathematisch-risico, zegt Landré, geeft het hoogste
bedrag aan, dat de maatschappij gedurende een jaar tc hopen
heeft als loinst, of te vreezen als verlies, door de toijze van
afsterven. Er is een zeer gi-oote graad van waarschijnlijkheid,
die de zekerheid sterk nadert, dat het winst- of verlies-cijfer
kleiner zal zijn.

Wanneer dus de sterfte op den duur overeenkomt met die
volgens de sterftetafels dan geeft het mathematisch risico aan,
het bedrag, dat telken jare uit de premie-ontvangst zou moeten
worden afgezonderd, om er de mogelijke verliezen mee te
dekken; maar deze risico-reserve zou met elk jaar veranderen,
ook in x>ercenten van de premie-ontvangst. Daarom, is het
onmogelijk, vooruit vast te zetten, hoeveel percenten er op de
premien van een tarief moeten worden gelegd om te voorzien
in de afwijkingen der sterfte." (1)

Heeft men voor de geheele maatschappij het mathematisch
risico berekend on deelt men dit met in achtneming der reeds
bestaande reserve door do mee.st waarschijnlijke uitkeering,
dan verkrijgt men het relatief-risico der maatschappij voor
dat jaar.

^Zal nu, zegt Landré, de toestand eener maatschappij door
eene nieuwe verzekering verbeterd worden, dan moet het relatief-
risico niet vermeerderen. Ik meende mij bij het relatief-risico
voor één jaar te moeten bepalen en dat niet enkel om den een-
voud, maar ook, omdat, al sluit de maatschappij geene enkele

nieuwe verzekering, het risico en het relatief-risico telken jare
veranderen. (1)

Als toepassing geeft hij ten slotte in zijn leerboek het
volgende voorbeeld, dat ik de vrijheid neem woordelijk over
te nemen.

,,Wij loillen echter de methode toepassen op verzekering hij
overlijden, waarhij elke verzekerde jaarlijks een premie zou
betalen overeenkomende met zijn toenemenden leeftijd, en waarhij
dus geen reserve zou gevormd icorden.

Wij weten wel, dat deze loijze van verzekering zelden voor-
komt, maar de onderstelling geeft toch eenig licht.

Laat nu voor eene nieuwe verzekering ten bedrage van x,
de sterftekans geduurende een jaar ib\' zijn, dan is door dat
nieuwe toetreden, het relatief-risico voor dat jaar:

Nemen we het zeer eenvoudige geval, dat wij alleen te doen
hebben met personen van dezelfde sterftekans, die allen ver-
zekerd zijn voor hetzelfde bedrag.

Zij s dat aantal personen en « het bedrag per hoofd, dan
gaat bovenstaande formule over in:

He\'c\' aantal verzekerden s is hierbij zeer groot ondersteld,
anders heeft de geheele berekening tromoens geen zin. Stellen

kans en hetzelfde bedrag per hoofd, kan men zonder het rela-
tief-risico te verhoogen, een verzekering sluiten met dezelfde
sterftekans cn het dubbel bedrag.

Wil men een zeer uitvoerig gecijfer vermijden bij de prac-
tischc verzekeringswijzen, zoo is uit het vorige wel aan te
nemen, dat, zelfs als cr dooreen genomen geen winst te wachten
is door dc wijze van afsterven, het dubbel van het gemiddeld
verzekerd bedrag per hoofd, een zeer veilig ma.ximum is."

§ 2. Er bestaan ni. i. tegen deze theorie ernstige bezwaren,
welke ik hier puntsgewijze wil trachten uiteen te zotten.

1". Het toepassen van de theorio der afwijkingen, ingeval
men slechts te doen heeft met oene gomiddeldo sterftekans;
het feit, dat men in do praktijk nooit te doen heeft met
groepen groot genoeg om dezo theorie te kunnen gebruiken,
besprak ik reeds in het vorige Hoofdstuk, en kan ik derhalve
nu met stilzwijgen voorbijgaan.

2". Ook heb ik, bij de behandeling van Wittstein\'s theorie
doen zien, dat het beweren van Landré als zou het jaar-
lijksch matlieinatisch-risico het hoogste bedrag aangeven, dat
do maatschappij gedurende een jaar te hopen heeft als winst
of te vreezen als verlies door de wijze van afsterven, minder
juist is, en dat er evenmin oen zeer groote graad van waar-
schijnlijkheid is, dio do zekerheid sterk nadert, dat het winst-

of verliescijfer kleiner zal zijn. Integendeel, er is meer waar-
schijnlijkheid, dat het grooter zal zijn.

En waar nu dit jaarlijksch mathematisch-risico als risico-
reserve te klein moet worden geacht, rijst als van zelf de
vraag hoe groot deze dan zal moeten worden genomen.

Nog eens, de absolute zekerheid van hare verplichtingen te
kunnen nakomen heeft eene maatschappij eerst wanneer zij
de nominale waarde der verzekerde bedragen in kas heeft,
en daar dit praktisch onmogelijk is, blijft er niets anders over
dan er zoo goed mogelijk voor te zorgen. Maar dat geschiedt
niet door het jaarlijksch mathematisch-risico als risico-reserve
ter zijde te leggen, maar eenige malen het bedrag daarvan.
Hoevele malen, ik ben het met Landré geheel eens, is een
kwestie van willekeur, maar het antwoord op deze vraag
ligt in zijn eigene redeneering opgesloten. Men zorge een
groote graad van waarschijnlijkheid te krijgen, die de zeker-
heid zeer nabij komt, dat het winst- of verliescijfer kleiner
zal zijn.

3". Als maat voor den meer of min gunstigen toesümd
der maatschappij neemt Landré nu aan het relatief-risico
voor één jaar. Au fond kan tegen deze definitie geen bezwaar
bestaan, mits men in het oog houde, dat het niets bewijst
voor het nakomen der verplichtingen.

Is van èene maatschappij A het relatief-risico kleiner dan
dat van eene maatschappij B, dan wil dit alleen zeggen, dat,
als van beiden de meest waarschijnlijke uirkeering b.v. V is,
A volstaan kan met eene kleinere risico-reserve dan B.

Maar heeft B wel een behoorlijke risico-reserve en A niet,
dan is, met het oog op het nakomen der verplichtingen, do
toestand van B veel gunstiger te noemen dan die van A, al
is het relatief-risico van B grooter dan dat van A.

Intusschen kan men terecht vragen, waarom het relatief
risico voor één jaar, en waarom niet dat voor tweo jaren,
of wat toch /eer zeker veel meer voor de hand zou liggen,
dat voor den geheelen duur der contracten ?

maximum van verzekerd bedrag is een onbepaald vraagstuk,
en dat, wil men er absoluut een hebben, er nog een voor-
waarde moet worden ingevoerd.

Welnu, Landré kiest als voorwaarde het kleiner worden
van het relatief-risico, en hij heeft daar volkomen het recht
toe, raaar hetzelfde recht heeft Laurent in het kiezen van
y = 3. De eene voorwaarde is even willekeurig als de
andere, en het is een kwestie van persoonlijk opvatting welke
beter is.

4°. Met opzet heb ik het voorbeeld, waarop Landré zijne
theorie toepast in zijn geheel weergegeven, om te doen zien,
dat de keuze der voorwaarde, waarvan hij zijne maximum
wil laten afhangen, de toepassing eenvoudig onmogelijk maakt.

Na de nieuwe verzekering in het relatief-risico te hebben
ingevoerd, zegt L.\\ndré, wordt dit:

Dit is echter niet juist, want die enkele nieuwe verzekering
is toch zeker geen groep, groot genoeg om daarop de wet der
groote getallen toe te passen.

En in deze fout moet men noodwendig vervallen, wil men
op deze wijze het maximum bepalen.

Trouwens Landré zegt zelf, dat de berekening alleen zin
heeft wanneer s groot is. Maar dat zelfde geldt ovenzoo voor
de bijkomende groep.

f)°. Ten slotte is het niet duidelijk, hoe men uit dit voor-
beeld de govoltrekking kan maken, dat het dubbel van hot
gemiddeld verzekerd bedrag per hoofd ccn zeer veilig \\\\vó.yi\\\\\\\\\\im.
is. Men is integendeel tot do conclusie geneigd, dat liet een
zeer onveilig maximum is.

Een voor de maatschappij meest gunstig geval wordt
gekozen. Alle verzekerden hebben dezelfde sterftc-kans on
zijn verzekerd voor een zelfde bedrag, en niettegenstaande
dat is het verzekerd bedrag nog maar hot dubbel van het
gemiddeld bedrag per hoofd.

en het tweede lid dezer ongelijkheid is dus iets grooter dan
2«. Maar naarmate s grooter is, wordt dit verschil kleiner,
hetgeen echter tot de eenigszins vreemde gevolgtrekking leidt,
dat het maximum feitelijk kleiner is, naarmate het aantal
verzekerden grooter is.

Maar nu ligt het toch voor de hand, om te onderstellen,
dat als in zoo\'n uiterst gunstig geval dit dubbel van het
gemiddeld verzekerd bedrag per hoofd het maximum is, in
het algemeen, waar de toestand der maatschappijen in dit
opzicht veel ongunstiger is, een kleiner maximum zal moeten
worden aangenomen.

§ 1. Wanneer men de in de vorige hoofdstukken behan-
delde theoriën over het maximum van verzekerd bedrag met
elkaar vergelijkt, dan ziet men dat ze alle uitgaan van de
veronderstelling, dat de maatschappij, behalve hare gewone
premie-reserve, gevaar loopt nog een of ander bedrag te zullen
moeten uitkeeren.

De maat, die de grootte van dit gevaar bepaalt noemt men
gewoonlijk hot „risico".

Daar nu de een een andere maat aanneemt dan de ander
heeft men verschillende risico\'s. Zoo kan men spreken van
het risico van Wittstein, van Bremiker, enz.

Het moge nu wenschelijk zijn hierin meer eenheid te
brengen, hinderen doet het intusschen niet, zoolang men
scherp de beteekenis van elk risico in het oog blijft houden,
opdat men desnoods van het eene op het andere kan over-
gaan als vergelijking noodig is. Ik wil daarom de beteekenis
der verschillende risico\'s nog eens in het kort nagaan.

Laurent noemt het woord niet, alhoewel, zooals we gezien
hebben, zijne analyse rechtstreeks op het doel afgaat, nl. de
berekening van de waarschijnlijkheid eenor afwijking van de
premie-reserve. Als maat voor die afwijking heb ik ingevoerd
de grootheid E = j/" v(z—X\'\'), geheel in analogie met de maat
die men in de methode der kleinste kwadraten bezigt voor
de afvvyking van do meest waarschijnlijke waarde van de
uitkomst eenor wiuirnemingsreeks.

Niets zou intusschen beletten voor die maat te nemen de
waarschynlijko afwijking, d. i. het bedrag waarvoor do kans

positieve afwijkingen, wanneer men een zeer groot aantal
maatschappijen had onder dezelfde omstandigheden. Zoowel
het een als het ander is geheel willekeurig en zegt dan ook
op zichzelf niets.

Het is dan ook in geen geval geoorloofd, zooals Wittstein
en Landré doen, het „r?szco", d. i. die betrekkelijk willekeurig
gekozen maat, identiek gelijk te stellen aan de „risico-reserve".
Deze laatste is wel een functie van het ,,risico", maar welke
functie hangt, zooals gebleken is, naast geheel persoonlijke
opvattingen omtrent sohditeit, af van de keuze van het risico
en het is er verre van af dat de keuzo van Wittstein of
Landré veroorloven risico en risico-reserve te identiflceeren.

Ik noemde zooeven die keuze betrekkelijk willekeurig, en
dat wel daarom, omdat Wittstein een reden heeft, waarom
of hij juist de gemiddelde waarde der positieve afwijkingen
neemt.

Wittstein\'s risico toch is niets anders dan een premie, en
wel een (netto)-premie die de maatschappij van levensver-
zekering zou moeten betalen aan eene andere maatschappij,
die op zich nam mogelijke verliezen van de eerste te dekken.
Het bedrag dezer premie toch verkrijgt men door het bedrag
van elk vérlies te vermenigvuldigen met zijn waarschijnlijk-
heid en deze produkten te sommeeren.

Nemen we een groep van s personen, die alle een kans iv
hebben om in den loop van het eerstvolgende jaar te over-
lijden, in welk geval aan elk hunner een bedrag moet worden
uitgekeerd waarvan de netto waarde do eenheid is, dan is
de kans van een verlies u volgens Wittstein :

van het verlies en vervolgens gesommeerd, geeft voor het
bedrag der premie, die de maatschappij die deze groep als
verzekerden had, zou moeten betalen aan een genootschap
als boven werd bedoeld:

Maar door nu dit risico gelijk te stellen aan de risico-
reserve neemt hij stilzwijgend aan dat het der maatschappij
geoorloofd zou zijn zich tegen het gevaar van verlies bij zich
zelf te verzekeren. Dit toch zou gelijk staan niet iemand
die zich b.v. verzekerde voor eene uitkeering bij overlijden en
zelf elk jaar de premie belegde.

Wat betreft het „risico" van Bremiker, ik voor mij heb
daarin geen rationeele beteekenis in kunnen ontdekken en
geloof ook niet dat die er in gelegen is. En zoolang men die
niet kent, kan men er niet mede werken omdat men niet
meer weet wat of men eigenlijk doet.

Het is niet to ontkennen, dat met een klein relatief-risico
gepaard gaat een betrekkelijk kleine risico-reserve en dat dit
in een zeker opzicht een voordeel is, aangezien daardoor de
zuivere winst grooter is; maar aan den anderen kaïit legt
men zich, door de voorwaarde, dat het relatief-risico kleiner
moet worden, aan banden, die m. i. volstrekt niet noodig zijn
on wajirdoor men het voordeel van een kleine risico-reserve
weer geheel to niet doet, door zich to dwingen tot herver-
zekeren van bedragen die men voor eigen risico kon houden,
zonder eenig nadeel, mits slechts gezorgd is voor een behoor-
lijken opslag voor vorming van risico-reserve.

Bovendien zal de toepassing van Landré\'s theorie nog
belangrijk gewijzigd moeten worden, wil zij juist zijn.

Dit bewijst de uitlcomst van zijn voorbeeld, die, behalve
dat zij een bedrag geeft, dat voor de praktijk geen waarde
heeft, bovendien nog onafhankelijk is van den leeftijd, den
aard der verzekering en andere factoren, waarmede men toch
eischen mag dat eene volledige theorie rekening houdt.

§ 2. De vraag rijst nu welke methode om tot het „risico"
te komen de voorkeur verdient.

M. i, kan hieromtrent geen twijfel bestaan en behoort de
ontwikkeling van Laurent als verreweg de beste, zoo niet
als de eenig juiste te worden beschouwd.

Zijn sierlijke en fraaie uitkomst mag voor de theorie der
levensverzekering als een van de meest belangrijke formulen
geacht worden die daarin voorkomen.

Zij leert het bedrijf der levensverzekering in zijn ware
gedaante kennen, en doet zien dat het direct onderworpen is
aan de gewone regels van het spel. Zij toont aan, dat verze-
kering tegen netto-premiSn, wanneer nl. daaronder verstaan
wordt de premie die betaald zou moeten worden, opdat
maatschappij en verzekerden gelijk spel spelen, onherroepelijk
leidt tot den ondergang der maatschappij, maar aan den
anderen kant leert zij ook het bedrag kennen, dat de verze-
kerden meer dan de waarde hunner mathematische hoop
moeten betalen opdat de maatschappij in stand blijve en ten
allen tijde haar verplichtingen zal kunnen nakomen, m, a. w.
zij vormt de basis voor een rationeelen opslag op de verschil-
lende tarieven, ja zelfs op verschillende leeftijden zoo men wil.

Zij steunt direct op den werkelijk bestaanden toestand der
maatschappij, gaat niet uit van onderstellingen, die in de
praktijk nimmer vervuld zijn en geeft ten slotte een resul-
taat, dat, het ingewikkelde van het vraagstuk in aanmerking

Maar niet ajleen tot maatschappijen van levensverzekering
blijft deze toepassing beperkt.

alle instellingen, die zich bezig houden met het sluiten van
kans-overeenkomsten.

Als men met Laurent\'s theorie vergelijkt die van Witt-
stein of Bremiker, dan zal men moeten erkennen, dat geen
van beiden ook maar in de schaduw kunnen staan van de
eerste, en dit niet alleen omdat zij mathematisch fout zijn,,
maar ook om de veel engere opvatting van het vraagstuk,
om de, voor zoover het die van Wittstein betreft, in de
praktijk nooit vervulde veronderstelling, dat men steeds te
doen heeft met groepen, groot genoeg voor de toepassing van
de wet der groote getallen en eindelijk om de onuitvoerbare
berekeningen waartoe zij leiden.

§ 3. Staat het risico eenmaal vast, dan komt de kwestie
hoe daaruit af te leiden het maximum van verzekerd bedrag.

Bedenkt men nu, dat als de risico-reserve gevormd wordt
uit den opslag, die daarvoor op de preinién wordt gelegd,
zoodat dus deze geheel door de verzekerden wordt betaald,
dat mon deze steeds zoo kan kiezen, dat men de praktische
zekerheid heeft, dat het verlies niet het bedrag der risico-
reserve zal te boven gaan, m. a. w. dat er niet verloren zal
worden, dan zal men moeten erkennen, dat de maatschappijen
hierin eene angstvalligheid botoonen, die geheel ongemotiveerd
is, en dat Laurent volkomen gelijk heeft als hij zegt:
„qu\'aucunc compagnic ä notrc connaisse n\'a jamais assurce une
somme atteignani la dixième partie de son plein".

Ware er slechts sprake van enkele contracten, wier ver-
zekerde bedragen zeer sterk van de andere afweken, dan zou
het nog reden hebben tot herverzekering over te gaan,
ofschoon men niet vergeten moet, dat als er al eens ongeluk-
kigerwijze door onverwachte sterfte hierop verlies geloden
werd, een groot deel daarvan gedokt zou. worden door do
risico-reserve. Maar is eenmaal eeno maatschappij tot zooda-
nigen bloei gekomen, dat zij verwachten kan, dat binnen
betrekkelijk korten tijd het aantal groote verzekerde bedragen
merkbaar zal zijn toegenomen, dan komt het mij voor, dat
het eenvoudig vaststellen van een maximum van kapitaal-
en rente-verzekering, zonder luinzion van vorzokoringswijzo

of leeftijd of wat ook, een van de meest nadeelige stelsels is,
die men bedenken kan.

Men verlieze daarbij niet uit het oog, dat juist die soort
van contracten gesloten worden door een klasse uit de maat-
schappij, die in de meest gunstige levensomstandigheden ver-
keeren en bovendien aan een zeer streng geneeskundig onder-
zoek worden onderworpen.

Naar aanleiding van deze opmerkingen is ongetwijfeld de
meest voordeelige wijze van handelen die, welke Dr. Mounier
voorstelt in zijne bijdrage over „Risico-reserve", n.1 te zorgen
dat deze steeds zoo groot is, dat men de practische zeker-
heid heeft steeds aan de verplichtingen te kunnen voldoen,
natuurlijk onder voorbehoud dat het bedrag dier risico reserve
door de verzekerden wordt bijeen gebracht.

Theoretisch ligt hierin opgesloten dat feitelijk elk bedrag
voor eigen risico mag worden genomen.

En dit is ook de uitkomst van Laurent zelve. Zooals wo
gezien hebben is de beteekenis van zijn voorwaarde, dat do
contante waarde van den opslag gelijk is aan of grooter is
dan de toename der risico-reserve door het bijkomen der
nieuwe verzekering.

Tenzij men vast wil houden aan een vooraf vastgestelden
opslag, waarvan in geen geval mag worden afgeweken, volgt
uit deze voorwaarde geen maximum, aangezien niets belet
om in bijzondere gevallen een bijzonderen opslag te bezigen
on dan kan steeds aan do voorwaarde van Laurent worden
voldaan.

In de praktijk echter zal men rekening hebben to houden
met factoren waarmede ceno theoretische behandeling zich
niet kan inlaten, als: beroep, verblijfplaats o. a.

Dit neemt echter niet weg, dat het mij wenschelijk voor-
komt het tot heden gevolgde stelsel zoo spoedig mogelijk
vaarwel te zeggen.

Bezig zijnde niet afdrukken, ontvang ik over het behan-
delde onderwerp nog twee bijdragen, welke ik mij verpHcht
acht hier alsnog te vermelden.

De eerste is reeds genoemd in den noot op blz. 8 en kan
men vinden in de „Papers of Transactions of the Actuarial
Society of America, 1891—1892, Yol. 11." De schrijver is
Clavton C. Hall. Den inhoud er van geef ik hier in hoofd-
zaak vertaald weer.

„Is w de waarschijnlijkheid van een evenement, s het aan-
tal proeven dat men neemt, dan toont Wittstein aan, dat
de middelbare afwijking van het meest waarschijnlijke aantal
in het algemeen den vormt heeft:

en uit de bekende betrekking tusschen middelbare on waar-
schijnlijke afwijking volgt dat de waarde van dezo laatste is:

Past men dit toe op een groep van s porsonon, welke alle
een sterftekans 70 hebben, dan mag men, daar w in de meeste
gevallen klein is ten opzichte van do eenheid, wel aannemen,
dat de middelbare afwijking van het moest waarschijnlijke
aantal sterfgevallen evenredig is met den vierkants-wortel
uit dit aantal.

Na nu berekend to hebben de waar.schijnlijkheden van
verschillende afwijkingen, kan men vragen hoeveel malen deze
of gene afwijking op een zeker aantal jaren zal voorkomen.

Is Vn dan de middelbare afwijking, dan vindt men op bv.
1000 jaren, dat een afwijking:

tusschen \'^kVn en Vn 188 „ „
Vn en 2 Vn 269 „ ,,
„ 2 Vn en SVn 41 „ „
grooter dan 8 Vn 2 „ „

Alzoo is zuiver wiskundig aangetoond, dat van het geheel
aantal afwijkingen, zoowel gunstige als ongunstige, meer dan
\'^k kleiner is dan Vn en meer dan 95 "/,) kleiner dan 2 Vn.
Slechts tweemaal in de duizend jaar zal eene afwijking voor-
komen die grooter is dan 8 ]/n.

We mogen hieruit besluiten, dat het nemen van voorzorgs-
maatregelen tegen eene afwijking in de sterfte groot Vn be-
schouwd mag worden als getuigende van groote voorzichtigheid.

Indien hieruit derhalve mag worden afgeleid, dat de grens
van het maximum van verzekerd bedrag bepaald behoort te
worden met betrekking tot de waarschijnlijke afwijkingen
van de normale sterfte en dientengevolge evenredig is met
Vn, dan volgt hieruit, dat wanneer het aantal verzekeringen
onder dezelfde omstandigheden verkeerende viermaal grooter
wordt, het „maximum\'\' slechts tweemaal grooter wordt.

Of, in het algemeen, indien het „maximum" is y en x het
meest waarschijnlijke aantal sterfgevallen, zal or dus tusschen
y en V~x een constante verhouding bestaan, zoodat:

Laat ons eenige gevallen beschouwen, in elk waarvan het
totaal bedrag der uitkeeringen tengevolge van de meest waar-
schijnlijke sterfte in een gegeven jaar I.ÖOO.OOO bedraagt.
Eenvoudigheidshalve onderstellen wo dat alle verzekerden
dezelfde sterftekans hebben en verzekerd zijn voor eenzelfde
bedrags

Zij het meest waarschijnlijke aantal sterfgevallen 100,\' het
verzekerd bedrag per hoofd 10.000, dan moet dus gerekend
worden op eene afwijking van de meest waarschijnlijko uit-
keering dio gelijk is aan 10.000 l/lOü = 100.000.

Is het meest waarschijnlijke aantal sterfgevallen 200, met
een verzekerd bedrag van 5.000 per hoofd, dan moet gerekend
worden op eene afwijking die gelijk is aan 5.000 1/2Ö0" = 70.0000.

Is het meest waarschijnlijke aantal sterfgevallen 400 met
een verzekerd bedrag per hoofd van 2500, dan wordt de
afwijking 25001/4ÖÖ = 50.000.

Is het meest waarschijnlijke aantal sterfgevallen 1000, het
verzekerd bedrag 1000 per hoofd, dan is do afwijking
1000 Vvm = 32000.

Indien we nu dus het maximum van verzekerd bedrag
beschouwen als evenredig met de verschillende afwijkingen
die we in deze vier voorbeelden vonden, en we noemen dezo
maxima y,, ij2, 1J3 en dan zullen dezo zoodanig moeten
worden gekozen dat:

Hieraan wordt ten naastenbij voldaan door do waardon :
IJl = 30.000«, = 20.000a, = 15.000« on //, = lO.OOOtt.

Do waarde, die in deze uitkomsten aan a zou moeten
worden toegekend, hangt, blijkens de eindconclusie, welko
aldus is geformuleerd:

„The muxwmm risk which may be sajely assumed bi/ an
insurance company upon a single hazard should, I conceive,
stand in a similar relation to the strain resulting from probable
deviations in mortality, which are reasonably to be anticipated
and for which provision in i^roperty made",

Evenals, om dezelfde vergelijking van den schrijver to
bezigen, do werkelijke draagkracht van con brug steeds veel
grooter wordt berekend dan het gewicht, dat zij ooit zal
hebben to torsen, zoo zal men de waarde van a ook steeds

zoodanig moeten kiezen, dat het risico der nieuwe bijkomende
verzekering steeds klein is ten opzichte van het risico, dat
de maatschappij loopen kan, maar de verhouding dezer risico\'s
moet een constante zijn.

Dat deze theorie verre van bevredigend is, is o. a. gebleken
in de vergadering van de Actuarial Society, waarin over deze
verhandeling critiek is uitgeoefend.

Met uitzondering van een enkele, als Mr. Homans, die haar
noemt „the most scholarly paper that me have had presented"
is het oordeel, waaronder m. i. vooral dat van Mr. Macaulay
genoemd moet worden, ongunstig.

Terecht is er door dezen criticus op gewezen, dat dezo
theorie tot de bedenkelijke gevolgtrekking leidt, dat eene
maatschappij, die reeds een groot risico loopt eerder een nieuw
risico van een belangrijk bedrag op zich kan nemen, dan eene
maatschappij, die door haar kleiner risico feitelijk nog veel
meer draagkracht over heeft. Men vergelijke b.v. het eerste
en het vierde voorbeeld. Maar behalve dat wordt hoegenaamd
geen rekening gehouden met verzekeringswijze, wijzo van
premie-betaling, ontvangsten, reeds voorhanden zijnde reserve,
interest onz., factoren welke eeno volledige theorie toch in
zich moet bevatten.

De tweede bijdrage, welke ik nog ontving is van de hand
van corneii.le L. Landré en vindt men in do „Oesterreichi-
sche Verzlcherungs-Zeitung" van 4 oii 11 April 189(5.

Landré behandelt hierin opnieuw do theorie van Laurent.
De inhoud dezer verhandeling is op een paar kleino wijzigin-
gen na dezelfde als die welke voorkomt in\' het Archief voor
Verzekeringswetenschap Dl. I Afl 1.

De voornaamste dezer veranderingen is, dat Landré hot
bezwaar als zouden on q niot altijd gelijk zijn aan do
eenheid heeft laten wegvallen.

De opmerking, dat Laurent do kleinste premio-ontvruigst
van de kleinste uitkeering aftrekt, terwijl het blijkbaar zijne
bedoeling is haar van de grootste uitkeering aftetrekkeii is
in zooverre juist, dat deze vergissing voorkomt in zijn leer-

boek: Traité du Calcul des Probabilités, doch hij herstelt dit
in zijn „Théorie et Pratique des Assurances sur la Vie", cn
daar dit laatste van jongeren datum is, meen ik, dat men
Laurent recht doet wedervaren dit als uitgangspunt te kiezen.

De overige bezwaren, vnl. het willekeurig aannemen van
do waarschijnlijkheid P = 0(3) en vooral de conclusie, waar-
toe Laurent\'s theorie voert, dat elko verzekering tegen netto-
premie verboden zou zijn, blijven deze theorie voor Landré
onaanneembaar maken.

Het eerste is onvermijdelijk, omdat hot vraagstuk van het
maximum van verzekerd bedrag een onbepaald vraagstuk is,
zoodat, wanneer men zich werkelijk een grens wil stellen, do
invoering van do een of andere voorwaarde, waar die limiet
van af zal hangen, noodzakelijk is.

De keus dezer voorwaarde is willekeurig. De oenigo beper-
king is, dat men eischen mag dat zij een rationeelen grond heeft.

Het tweede bezwaar kan geen bezwaar zijn, want het
wordt eenvoudig bewezen, dat verzekering tegen netto-premie
per so nadeelig is, mits voor de waarschijnlijkheden p cn q
waarden wordon gekozen die niet of slechts zeer weinig van
do werkelijke afwijken.

Maar waar nu sterftetafels worden gekozen, waar dio al-
wijking zoo groot is als Landré onderstelt in zijn voorbeeld
van eeno maatschappij, dio or op rekent alleen door do wer-
kelijke afsterving zooveel voordeel te hebben dat zij geen
opslag behoeft, daar govon do grootheden p on q, aan zoo\'n
sterftotafel ontleend, niet meer de kansen aan, dat do maat-
schappij de overeenkomstige bedragen zal uitkeeren of ont-
vangen. Trouwens Landré zal moeten toestenunen dat, als
men met de aan dio sterftotafel ontleende storftokansen hot
risico van Wittstein ging borokenon, ook dezo uitkomst
geen vertrouwen meer zou vordionon.

De tabellen zijn vervaardigd met de mannen-tafel der 20 grootste
steden van ons land, tijdvak 1870/79 van Prof. Dr. A. J. v. Pesch.
Voor overlijden in den loop van het jaar is eene correctie aange-
bracht, door aan te nemen dat dit geschiedt op de helft van
het jaar.

1.\'i/.CKJ
1.3GG9
1.5512
1.7WK>
\\ .870:5
\'i.()5ij\'J
2.2015
2..;785

2.f)001)
2.9285

:{.54!)ü
:{.C)8ii
;{8:}2()
4.0107

/i.K/(8C.
.\'■..().57(»
5.2885

5 7!i(t;;
(i.()i7:{
(•i.:«H;7
(•...5(;!H)
(•..8:{25
7.1082
IWMi
7.(;828
7.".)7(t8
8.2C.08
8..55C.2
8.8.Viü

liet is wcnschelijk de uitdrukking „Maximum van verzekerd
bedrmf\' uit de niatlieinatisciie tiieorio dor lovensvorzekoring
to verbannen, on alleen to spreken van hot „Risico".

Wittstein\'« theorie over hot „Risico" (1) hooit, voor zoo-
ver zij betrekking heeft op maatschappijen van lovensvorzo-
kering geen waarde.

Wittstein\'s toepassing dor waarscliijnlijkhoidsrokening op
do borokoning van hot „Risico" eonor postnuniorando betaal-
bare lijfrente is onjuist (2)

Aan hot „Risico" van Bremiker (3) kan goon wotoiischap-
pelijko waardo worden toegekend.

stigen toestand eener maatschappij van levensverzekering,
verdient geen aanbeveling.

Een cursus over Waarschijnlijkheids-rekening behoort de
theorie der „fonctions generatrices" in zich te bevatten.

Bij het toepassen van de theorie der afwijkingen behoort
men zich eerst te overtuigen, of de elementen van het vraag-
stuk deze toepassing veroorloven.

Do grondslagen van do Dynamica volgens Kircuhoff hebben
alleen waarde voor de systematiek der Mechanica.

Do analogie tusschen do beweging van oen punt en het
evenwicht van koordliguron geeft geen aanleiding tot eenvou-
dige analytische oplossing van daarop betrekking hebbende
vraagstukken.

De wijze waarop Lobatto in zijn „Lessen over Hoogoro
Algebra" betrekkingen afleidt door vervanging van reöele
door imaginaire exponenten is onvolledig.

Dikiciilet\'s bewijs van het naar hem gonocmde Principe
is niet mathematisch streng.

De kinetische energio der progressievo beweging als maat
voor de temiJeratuur is niot overeen to brongen met het
beginsel van Clausius.

De tweede onderstelling welke Bouty (1) invoert voor do
verklaring van do door liem waargenomen gevoelige vlam-
men, als zou eene ontploffing bevorderd worden, wanneer het
geluid van deze ten naastenbij overeenkomt met de periode
van den voortgebrachten toon, is voor do verklaring van dit
verschijnsel niet noodig.

Bij het onderwijs in de elementaire natuurkunde bcporko
men zich bij do behandeling van de tweede wet der mecha-
nische warmte-theorie tot eene meer eenvoudige behandeling
dan in vele leerboeken gevolgd wordt.

Do kennis van do verhouding der soortelijke warmton bij
constanten druk cn constant volumen heeft voor de bepaling
van het aantal atomen in hot molccul weinig waardo.

Hot is niet aan to nomen, dat cr voor do ontleding eener
stof eon bepaalde tomporatuur zou zijn aan to wijzen.

Bij het onderwijs in de scheikunde is het wenschelijk het
begrip moleculen en atomen eerst later te ontwikkelen dan
in vele leerboeken geschiedt.

On peut dire, à parler en rigueur, que presque toutes nos
connaissances ne sont que probables; et dans le petit nombre
des choses que nous pouvons savoir avec certitude, dans les
sciences mathématiques elles mêmes, les principaux moyens
de parvenir à la vérité, l\'induction et l\'analogie se fondent
sur les probabilités, en sorte que le système entier des con-
naissances humaines s\'y rattache.

	Er Bterven		^Vaarschjjnlijkheid		Uitkeering.
2= 1 van	groep I, 5 van groep II	6! 2 /1\\5 1! 5! 3 \\3/ ~	12 729	a 5b
3^2 „	I 4	„ n	6! /2\\2 /I 2! 4! \\3/ \\3/ ~	GO 729	2a -f 46
4e 3 „	1. 1) 3 „	„ n	6! /2\\3 /1\\3 3! 3! \\3/ \\3/ ~	160 7^	3 rt 3 6
5« 4 „	„ 1,2 „	„ n	6! /n^ 4! 2! \\3/ \\3/ ~	240 72\'9	ia 2b
6^5 „	»1,1 „	„ n	6! /2\\5 /l\\i 5! 1! \\3/ \\3/ ~	192 729	5a b
7e 6 „	„ 1,0 „	„ 11	6! /2\\ß G! \\3/ ~	64 729	Ga

h.	P.	h.	P.	h.	P.
1	0.475	«	0.307	15	0.172
2	0.450	9	0.285	IG	0.15G
O O	0.425	10	0.264	17	0.142
4	0.400	11	0 244	18	0.129
F)	0.377	12	0.225	19	0.115
G	0.353	13	0.200	20	0.103
7	0.330	14	0.188	21	0.093
	h	= 37	P = 0.01.
	h	= 50	P = O.OOI.

a	la	log. lu	a log. /•	log			log.	log IIa
yj)	ü
98	1	Ü.ÜOOOO	1.00927	8.:53073	0.0214	0.0214	8.3.3073	O.CKMWO
07	4	00200	05223	94983	0.0891	0.1105	9.04330	09353
ï>ö	13	1.11394	03520	9.47874	0.:5011	0.4110	01448	1:5574
•Jö	31	49130	01817	87319	0.7408	1.1584	0.00380	19007
94	Oü	81954	(■)0113	0.21841	1.1535	2.8119	44900	2:5059
9:j	124	2.09342	58410	50932	;5.2:509	6.0428	78124	27192
92	211	32428	50707	75721	5.7170	11.7004	1.07042	:51321
91	330	51851	5500:}	90848	9.2999	21.0003	32:540	:55498
90	48(j	08004	5:5300	1.15304	14.244	35.3043	5478:5	:59419
89	685	83509	51597	31972	20.879	50.18.33	74961	42989
88	919	903:52	49893	404:59	29.133	85.3103	9:510:5	4(5(5(5 i
87	1193	:5.07004	48190	59474	:59.331	124.047	2.09508	.50094
8«	1522	18241	4()487	71754	52.184	17(5.831	24750	5:50(i2
85	1945	28892	44783	84109	09.:557	246.188	;59127	55018
84	247Ü	\'Mm	43080	90295	91.823	:5:«.()11	52893	.5(5598
83	:}094	49052	41:577	2.()7(»75	119.;53	457.:541	(50024	58:5-59
82	3787	57830	:5907;5	181.57	151.ÎK)	(509.241	78479	(50322
81	4545	(55753	37970	2778:5	189.(j()	798.841	90246	(524(5:5
80	5359	72908	.3(i2ö7	;50()4I	2;52.4;i	1031 .:5:5	3.01.340	(54(599
79	6201	790C,4	345():5	45101	282.49	1313.82	11854	(5(575:5
78	7275	8018:$	:528()()	53:52:5	:541.:57	1655.19	21885	(585(52
77	8:?oo	92221	311.57	010()4	407.98	2(M5:5.I7	:514515	70:589
7(>	9479	97076.	2945:5	(•)8223	481.09	2.544.2(5	40556	72:5:5:5
75	1(M)28	4.02045 \'	27750	74895	500.98	:5105.24	49210	741515
74	11829	07221	20047	81174	(-.48.25	:5753.49	57444	715270
7«	13020	114^1	2434:5	871:58	74:5.C,7	4497.16	(55294	78150
72	14273	1.5452	22040	92812	847.40	5:544.(52	72792	79980
71	15542	19151	2(«»:57	98214	959.71	(5:504.:5:5 •	799(54	817.50
70	10831	22()11	1!»2:5;5	:5.():5378	1080.9	7:585.2:5	8(58:5(5	8:5458
(;9	18103	25775	17.5:50	08245	120!.\'. 1	8.594.:5:5	9:5421	85176
(>8	19;}.5ü	28(>()8	1.5827	12841	1:544.0	99:58.:5:5	9<)7:5I	8(581M)
(17	20587	31.359	14123	172:50	I.W7.2	11425.5	■1.0.5788	88552
(;<;	21817	:{:}880	12420	214C)0	10:59.1	i:«)(54.(5	11(510	901.50
<i5		:{0229	10717	2,5512	1799.4	148(54.0	17214	91702
(>i	24208	.38:19(3	()!)013	29:58:5	1907.1	1(5831.1	22(511	9:5228
(>:)	2535G	40408	07:510	;53098	2142.8	18973.9	27816	94718

O	la	log. la	((. log. »•	log. K			log. iU,.	log. Ra	Jii
02	20489	4.42;{07	1.05007	3 30700	2328.1	21302.0	4.32842	0.90142	9.1,500
<;i	\'i7ü02	4^5094	03903	40191	2523.0	2,3825.0	37703	97512	!).44:{2
«0	28670	4575(»	02200	43550	2720.2	20.551.2	42408	98852	9.7:191
59	29720	47305	00497	40808	2938.2	msd.A	40907	1.00159	io.o:«j7
58	30729	48755	0.98793	49902	3159.5	32048.9	51387	01425	10.3330
57	31700	50100	97090	53010	3389.7	30038.0	55077	02001	io.o:u9
5(>	32G37	51371	95387	55984	3029.4	.39008,0	59844	0:5800	10.929
55	33550	52509	93683	58880	3880.3	43548.3	03897	05011	11.223
5i	3\'i/iG3	53735	91980	01755	4145.2	47(593.5	07840	(K50!)t	11.5(Hi
5»	3535(5	54^^40	90277	04509	4422.7	5211(5.2	71007	07128	11.784
5Ü	36214	55888	88573	07315	4711.4	50827.0	75450	08141	12.002
51	:37ü4i	50872	8(3870	70002	.5012.1	01839.7	79127	09125	12.338
50	3784/1	578(K»	85107	72033	5325.1	071(54.8	82714	1(M)8I	12.013
IJ»	38019	58080	83\'i03	7.5217	5051.(i	72810.4	80223	11(HH5	12.884
•18	39371	59518	8l7(iO	77758	.5992.1	78808.5	89057	11899	13.1,52
17	40107	00322	8(\'057	8()2(\'.5	0348.2	85150.7	93022	127.57	i:ui4
K;	40825	01093	78353	82740	0720.5	91877 2	9(5.321	13.581	i:U571
<5	41522	01828	7C.0r)(>	85178	7108.5	98985.7	99557	i4:n9	13.!)25
11	42208	02539	74!)47	87592	7514.8	100,500	5.027.35	1514:$	14.172
l:t	42884	03230	73243	89987	7940.9	114441	05858	15871	14.412
It!	43537	0:i880	71.550	923^0	8.38.4.2	12282(5	08920	1058:{	14.(550
11	44175	04518	09837	!I4(\'.81	8847.3	131(573	ll!»50	172C<!)	14.883
10	44804	05132	08133	90999	9332.3	141005	14923	17924	15.109
	45429	05733	00/i30	99303	9840.8	1.5()8.\'i(5	178.53	18,5.50	15.329
.\'18	4()0.\'i3	003 IC.	04727	4.0158!)	10373	1(51219	20742	19l,5;j	15.543
	40021	008rKS	03023	03835	10923	172142		19754	15,7.59
:t(;	47108	()7305	01320	(H\'.0.!5	11493	1830X)	2(530(5	20351	15.!)78
:t5	47710	07801	,59017	082\'i 4	12()i)0	19.5725	201(55	20921	1(5.189
ni	48249	(•.8;M9	57913	1()\'i30	12710	208.141	.31809	2l.4(5;i	1(5.3!)2
	48782	08820	.5C.210	12010	13371	221812	3450!)	2I98:{	10.589
	49308	0i»2!t2	5^5507	14785	1.t050	2358(58	372(57	22482	10.781
	49830	09754	.52803	10951	14774	251H542	3!)905	22954	10 0(54
no	50370	70217	5 IKK)	19117	1,5530	2(50172	42510	23309	17.1:59
	501)10	7(H\'.80	49;«I7	21283	1(5324	28249(5	45101	2:wi8	17.;M)5
iI8	51455	71143	47093	23i5()	171,59	29!)(555	47(5(52	24212	17.4(53
27	r)20(H)	71 («»5	4.5{)90	2">015	1.803(5	317(591	,50200	24,585	17.014
2n	52:)C.3	720C.8	4i287	27781	18959	33(5(5,50	,52718	24937	17.7,57
25	53120	72531	42583	29948	19929	3,50579	55210	25208	17.893

a	da	log. da	(a-l-4)log.	r-2-	In ri-	1
99	0
98	1	0.00000	1.67778	8.32222	0.0210	0.0210
97	3	47712	66075	81637	0.0655	0.0865
9ß	9	95424	64372	9.31052	0.2044	0.2909
95	18	1.25527	62668	62859	0.4252	0.7161
94	35	54407	60965	93442	0.8598	1.5759
93	58	76343	59262	0.17081	1.4819	3.0578
92	87	93952	57558	3Ü394	2.3117	5.:}695
91	119	2.07555	55855	51700	3.2885	8.6580
90	156	19312	54152	65160	4.4833	13.1413
89	199	29885	52448	77437	5.9480	19.0893
88	2:i4	36922	50745	86177	1.2m	26.3632
87	274	43775	49042	94733	8.8579	35.2211
8«	329	51720	47338	1.04382	11.062	46.283
85	423	62634	45635	16999	14.791	61.074
84	531	72509	43932	28577	19.309	80.383
83	CIS	79099	42228	36871	23.373	103.756
82	093	84073	40525	43548	27.257	131.013
81	758	87967	38822	49145	31.006	162.019
80	814	91062	37118	53944	34.629	196.648
79	\'J02	95521	35415	60106	39.908	236.556
78	1014	3.00604	33712	66892	46.657	283.213
77	1085	03543	32008	71535	51.922	3^5.135
7«	1119	04883	30305	74578	55.690	390.825
75	1149	06032	28602	77430	59.470	450.295
74	1181	07225	26898	80327	63.573	513.8C.8
7»	1217	08520	25195	83334	(>8.130	581.998
72	1247	09587	23492	86095	72.602	654.1)00
71	12G9		21788	88558	76.839	731.439
70	1289	11025	20085	90940	81.171	812.610
»9	1272	10449	18382	92067	83..\'K)5	895.915
(>8	1247	09587	16678	92909	84.93(5	980.851
«7	1237	09237	14975	94262	87.623	1008.47
(>G	1230	08991	13272	95719	90.613	11.59.09
(i5	1213	08:^86	115()8	96818	92.935	1252.02
<il	1178	07115	01)865	97250	93.864	1345.89
<>3	1148	()r/J94	08162	97832	9.5.131	1441.02

tt	da	log. da	(a 4)log.r	log. -Y	ra 1	iV« 1
			r 2	r\'2	r-j
02	113.3	3.05423	1.0C458	1.98905	97.045	1538.00
Cl	1113	04G50	04755	99895	99.759	1038.42
60	1077	03222	03052	2.00170	100.39	1738.81
55)	1041	01745	01348	00397	100.92	1839.73
58	loon	00389	0.99045	00744	101.73	1941.40
37	. 971	2.98722	97942	00780	101.81	2043.27
5«	937	97174	90238	0093(5	102.18	2145.45
55	913	90047	94535	01.512	103.54	2248.99
54	013	9(5047	92832	0.3215	107.(58	2350.07
5:1	893	9.508.5	91128	o;vj57	109..54	24(50.21
52	858	93.349	89425	0:i924	109.40	2.575.07
51	8.30	91908	87722	04180	110.12	2(585.79
50	800	9030i)	80018	04291	110..38	2790.17
45)	77.^	88930	84315	04015	111.21	2907.:i8
4S	752	87022	82012	05010	112.23	3019.01
47	7.30	80()88	80908	05780	114.24	31.33.85
to	718	8.5012	79205	00407	115.90	3249.75
15	097	84323	77502	0(5821	117.01	.■Ï:Ï0().7()
14	080	83(i32	75798	078:U	119,77	:W8(5.53
l:{	07(»	82995	74095	08900	122.74	.3(309.27
42	(m3	81491	72392	090{){)	123.:51	:n32..58
11	0.38	80482	70088	09794	125.:W)	3857.88
10	()29	798()5	08985	10880	128.47	;59(58.35
:tl)	m	79588	07282	1230(5	132.70	4119.11
:is	014	78817	0.5578	13239	135.(54	42.54.75
:i7	.^78	70193	03875	12318	132.79	4387.54
no	.Vi7	737!)9	02172	11(527	1.30.70	4518.24
:i5		7:uoo	00408	129:52	134.(59	4052.93
ni		73159	58705	14394	139.30	4792.33
	r)a3	7207.3	57(M52	1.5(511	143.2(5	4!):55.4;)
.\'12		720!)9	55358	10741	147.03	5082.52
:ti	528	72203	53()55	18008	153.49	5230.01
:to		72754	51952	20802	1(51.44	5397.45
2»	5/SO	73239	.5024«	22991	109.79	.5507.24
2S		73(Vi0	48545	2.5095	178.22	5745.40
27	.\'■ini	74115	40842	27273	187.:»	59:52.84
20	rir)7	74.580	45i:w	29448	197.01	(5120.85
25		75051	4.34:1;)	:5101ü	207.09	(5.3:5(5.94

	To - """					ISAa	Va	Va
a	— 1
99
98	0.0004	0.0004	0.0005	0.0005	0.00046	0.00092	0.000	0.0000
97	0.0014	0.0018	0.0020	0,0025	0.00246	0.00584	0,145	0 0002
96	0.0046	0.0064	0.0070	0.0095	0.00953	0.02490	0.340	0.0003
95	0.0100	0,0164	0.0180	0.0275	0.02791	0.08072	0.532	0.0007
94	0.0211	0.0375	0.0414	0.0689	0.06885	0.21842	0.717	0.0012
!>3	0.0379	0.0754	0.0842	0.1531	0.15745	0,53.332	1.019	0.0016
92	0.0614	0.1368	0.1549	0,.3080	0.318(58	1,17068	1,337	0.0020
91	0.0909	0,2277	0.2621	0.5701	0.59353	2.3576	1.(592	0.0024
90	0.1288	0.3.505	0.4175	0.9876	1.0348	4.4272	2.096	0.0031
89	0.1778	0..5343	0.63(54	1 6240	1,7126	7,8,524	2.546	0.0039
88	0.2261	0.7604	0.9235	2.5475	2,(5984	13.2492	3.012	0.0047
87	0.2864	1.0468	1.2967	3.8442	4,1094	21.468	3.547	0.0058
8«	0..3719	1,4187	1.7893	5.(5335	6.0631	33.494	4.144	0,(XX)(5
85	0.5172	1,9359	2.4732	8.1067	8.7789	51.152	4.805	0.0077
84	0.7022	2.6381	3.40.53	11.512	12.535	76,222	5,452	0.008(5
83	O.88/1O	.3,5221	4.6024	16.114	17,639	111..50	(5,036	0.0096
82	1.0721	4..5942	(5.0932	22.207	24,4:}8	160.38	(5.590	0.0104
SI	1.2683	5.8(525	7.9(;92	30.116	33.324	227,02	7,144	0.0112
so	1.4732	7.3357	10.087	40.203	44,744	316,51	7.716	0.0121
79	1.7657	9.1014	12.740	52.950	.59,281	4.35,07	8,349	00132
78	2.14()!)	11.24«	16.019	68.9(59	77.(570	590.41	9.042	0.0143
77	2.4847	13.733	19.910	88.879	1(M),(5«	791.77	9.731	0.0153
7«	2.7716	1(5.505	24.418	113.30	129.13	1050,0	10.39	0.01(53
75	.3.0781	19 583	29.611	142.9!	1(53.91	1377.8	11,0(5	0.0172
74	.3.4221	23.005	.35.58(5	178,49	20(5.05	1789 9	11.76	0.0183
73	3.8141	2(5.819	42.4(50	220.95	2.5(5.75	2:W)3,4	12,4«	0.0194
72	4.2270	31.04(5	50.318	271.27	317.3i	29:i8.2	13.2.3	0.0206
71	4.6527	35.(59t)	59 2(52	3:M).53	:t89.29	•371(5,8	13,99	0.0217
70	.5.1116	40.810	(59,415	:«)9,{)5	474.28	4(5(55,2	14,7(5	0.0229
(i9	5.4557	4(5,266	80.752	4«0.7()	574,00	5813,2	15,51	0.0241
«S	5,78,52	52.051	93 3.5(5	.574.(K5	(590,31	7193.8	1(5.23	0.02.52
((7	().2069	58.258	107.43	(581,48	825.3S	8«44.(5	1(5.9(5	0 02(51
(w;	(>.(«754	(54.933	123.14	804.(52	981 „53	10808	17.70	0.(K274
(55	7,1204	72.054	140.59	945.21	11(51,4	13130	18.\'43	0,028(5
(;4	7.4792	79.53.3	159.85	1105.1	i:W57,7	1.W5(5	19,14	0.029(5
(>3	7.8833	87.416	181.08	128(5,1	1(503.5	19073	19.82	0.0306

n		r<2t	ha	2\' ht	2\' X„			Va
2a ,	ra
62	8.4154	95.a32	204.01	1490.8	1872 2	22817	20 51	0.0:518
fil	8.9414	104.77	230.02	1721.4	2177.8	27173	21.70	0.0327
(50	9.3581	114.13	259.10	1980.5	2524.0	32221	21.84	0.0.3:57
«{)	9.783G	123.91	290.48	2271.0	2915.4	38052	22..34	0.0347
58	10.257	134.17	324.80	2595.8	3350.9	44705	23.52	0.0350
57	■10.070	144.84	3(52.40	29.58.3	:5853.7	52473	23.58	0.0:504
5(i	11.142	1.55.99	403.02	3301.9	4411.4	01290	24.09	0,0:572
55	11.743	107.73	44«.78	:«i0.7	5030.0	71.309	24.58	0.0;58()
54	12.701	180.43	498.00	4309.3	57:50.7	82842	25.13	0.0:588
5:i	1.3.4 37	193.87	553.20	4802.(5	0519.3	9.5881	25.(5(5	0.0:590
52	13.904	207.83	(512.95	.5475.5	739:5.2	110(507	2(5.12	(),()40;5
51	14.010	222.44	(578.15	01.53.7	8:5(57.1	127401	20,57	O.O\'dO
50	15 23!	2.37.(57	749.31	(5<K)3.0	94.-rf).9	140:50:5	20.85	0.041(5
4!»	15.9.59	2.53.(53	827.08	77:50.1	10050	107014	27.:5()	0.0421
48	10.749	270.38	911.98	8(542,0	119!)4	191002	27.05	0.042(5
47	17.731	288.11	1004.8	904(5.8	1.3482	218500	27.97	0.04:51
4(;	18.708	30(5 82	110C..3	107.53	15125	24«810	28.29	0.04:5(5
45	19.04.3	320.4(5	1217.0	11970	1(594(5	282708	28..57	0.044!
44	20.!) 10	347.37	13:58.0	1:5:508	18902	;52(X):52	28.85	0.0444
t:i	22.287	3(5!).00	1470.4	14479	21191	:5(5:5014	29.04	0.04 45)
12	23.285	392 94	1014.0	1(5:593	2:5(5.5:5	410:520	29.:5(5	0.045:5
41	24.008	417 55	1771.9	181(55	201571	4(5:5002	29,.59	0.055(5
40	20 240	443.79	1943.!)	20109	2!):5/0	.521802	29.80	0.045!)
	28.200	47l.!)9	2 Kil.8	22241	;52(570	.W154	:{<).():5	0.04(5:5
as	2!).5H;5	.501.90	2:530.8	24578	:5(5:520	(5.597!)4	:50 25	0 0400
:17	:«)..51()	.532.47	2.55!):5	271:57	40:5:53	74()4<50	:50.:5(5	0.04(58
:i(i	31.229	5(53.(55)	2800.(5	29!):57	44747	829954	:5o.:58	0.04(58
:i5	33.409	.597.1(5	;{(H5;5.!)	:5:5ooi	4!)(50()	!)29I54	:5().42	0,04(58
:ti	35.!)!)«)	(533.10	:5:55I.5	:5(5:5.5:5	549:57	10:55)028	:50.4!)	0.04(59
:tn	:W..503	(571.(57	:5(504.!)	40018	(50798	1 1(50(524	:M)..5(5	0.0471
	41.09!)	712.7(5	4(KM5.7	44024	072:5(5	t25).5(V.)(5	:5().(55	0.0472
:M	44.(521	7.57.3!)	4;{8().l	48405	74:100	144:5708	;5().77	0.047:5
:to	4«.81()	80(\'..20	4788 2	.5:519:5	82(M5(5	1007840	:5\'t.9;5	0.0470
2»	53.387	8.59.58	.52:54.4	58427	90582	1789004	31.15	0.047(5
28	58.278	917.8(5	.5722.4	(54149	!)!)!)2!)	19888(52	: 51.22	0.04}<;5
27	<5.3.720	981 ..5!)	02.55.4	70405	11018(1	2209222	31.(58	0.04K7
2(;	(5!).(580	1051.3	(-.8:58.3	7724:5	12142(5	2452074	:51.98	0.0492
25	70.170	1127.4	7475.8	84719	1:5:57(51	2719r>!)(5	:52.:5()	0.0497



	\\\'r-